nilai eigen dan vektor eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...howard anton & chris...
TRANSCRIPT
![Page 1: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/1.jpg)
Nilai Eigen dan Vektor Eigen(Bagian 2)
Bahan kuliah IF2123 Aljabar Linier dan Geometri
Oleh: Rinaldi Munir
Program Studi Teknik Informatika
STEI-ITB
Seri bahan kuliah Algeo #19
1
![Page 2: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/2.jpg)
Sumber:
Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition
2
![Page 3: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/3.jpg)
Diagonalisasi
• Matriks diagonal adalah matriks yang semua elemen di atas dan di bawah diagonal utama adalah nol.
Contoh 1:
,
3
−3 0 0 00 2 0 00 0 0 00 0 0 1
2 0 00 4 00 0 1
![Page 4: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/4.jpg)
• Definisi. Sebuah matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalisasijika ia mirip dengan matriks diagonal, yaitu terdapat matriks E sedemikian sehingga E–1AE adalah matriks diagonal. Dalam hal inidikatakan E mendiagonalisasi matriks A.
• E adalah matriks yang kolom-kolomnya adalah basis ruang eigen darimatriks A, yaitu:
E = (e1 | e2 | … | en)
Misalkan D adalah matriks diagonal, maka
A = EDE–1 → D = E–1AE
4
![Page 5: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/5.jpg)
• Matriks A memiliki kemiripan dengan D, salah satunya memilikideterminan yang sama, yaitu
D = E–1AE
det(D) = det(E–1AE)
= det(E–1)det(A)det(E)
= 1
det(E)det(A)det(E)
= det(A)
• Beberapa sifat kemiripan lainnya pada A dan D adalah memiliki rank, nullity, trace, persamaan karakteristik, dan nilai-nilai eigen yang sama.
5
![Page 6: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh 2: Misalkan 𝐴 =1 33 1
. Tentukan matriks E yang mendiagonalisasi A.
Jawaban:
Sudah dihitung ruang eigennya dari Latihan 2 (lihat materi Nilai Eigen dan VektorEigen bagian 1):
E(4) = { x = t11
, t R } dan E(–2) = { x = t1−1
, t R }
maka
𝐸 =1 11 −1
→ E –1 = 1
−1 −1
−1 −1−1 −1
= 1
−2
−1 −1−1 1
=
1
2
1
21
2−
1
2
Untuk memeriksa apakah E mendiagonalisasi A, maka hitunglah bahwa
D = E–1AE
=1/2 1/21/2 −1/2
1 33 1
1 11 −1
= 1/2 1/21/2 −1/2
4 −24 2
= 4 00 −2
6
![Page 7: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh 3: Tentukan matriks E yang mendiagonalisasi A = 0 0 −21 2 11 0 3
Jawaban:
Persamaan karakteristik matriks A adalah
( – 1)( – 2)2 = 0 → 1 = 1 dan 2 = 2
Untuk = 2 → E(2) = { x = r−101
+ s010
, r dan s R }
Untuk = 1→ E(1) = { x = t−211
, t R }
Maka E = −1 0 −20 1 11 0 1
→ E –1 = 1 0 21 1 1−1 1 −1
7
![Page 8: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/8.jpg)
Untuk memastikan bahwa E mendiagonalisasi A, periksa bahwa
D = E–1AE
= 1 0 21 1 1−1 1 −1
0 0 −21 2 11 0 3
−1 0 −20 1 11 0 1
= 2 0 00 2 00 0 1
adalah matriks diagonal.
8
![Page 9: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh 4: Tentukan matriks E yang mendiagonalisasi A = 1 0 01 2 0−3 5 2
Jawaban:
Persamaan karakteristik matriks A adalah
( – 1)( – 2)( – 2) = 0 → 1 = 1 dan 2 = 2
Untuk = 1 → E(1) = { x = t1/8−1/81
, t R }
Untuk = 2→ E(2) = { x = s001
, s R }
Oleh karena A adalah matriks 3 x 3 sedangkan hanya ada dua vektor basis di dalamkedua ruang eigen, maka tidak terdapat matriks E sehingga A tidak dapatdidiagonalisasi.
9
![Page 10: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/10.jpg)
Kegunaan matriks diagonal: menghitung perpangkatan matriks.
Contoh: Berapakah A3?
A3 = (EDE–1)3
= (EDE–1)(EDE–1)(EDE–1)
= ED(E–1E)D(E–1E)DE–1
E –1E = I
= EDIDIDE–1
= EDDDE–1
= ED3E–1
10
![Page 11: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/11.jpg)
Menghitung D3 sangat mudah, misalkan dari Contoh 2, matriks diagonal D
yang mirip dengan A =1 33 1
sudah dihitung, yaitu D = 4 00 −2
.
Maka,
D3 = 4 00 −2
3
=43 00 (−2)3
= 64 00 −8
maka
A3 = ED3E–1
= 1 11 −1
64 00 −8
1/2 1/21/2 −1/2
= 64 −864 8
1/2 1/21/2 −1/2
= 28 3636 28
11
![Page 12: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/12.jpg)
Latihan (dari soal kuis 2019)
12
![Page 13: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/13.jpg)
Aplikasi Nilai Eigen dan Vektor Eigen di dalam Analytic Hierarchy Process (AHP)
Bahan tambahan IF2123 Aljabar Geometri
Program Studi Informatika ITB
13
![Page 14: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/14.jpg)
Sumber:
1. Unknown, Analytic Hierarchy Process (What is AHP)
14
![Page 15: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/15.jpg)
• AHP: metode yang digunakan dalam analisis pengambilan keputusan.
15
AHP: metode untuk menurunkan skala rasiodari perbandingan antar kriteria
Skala rasio diturunkan dari prinsipvektor Eigen
Indeks kekonsistenan diturunkan dariprinsip nilai Eigen
xAx =eigenvector eigenvalue
![Page 16: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh: Ada tiga buah yang akan dipilih oleh Joko untuk dibawa piknik: pisang, apel, cherry. Buah mana yang akan dipilih?
16
![Page 17: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Tahap 1: Pairwise comparison
Catatan: Jika ada n pilihan, maka diperlukan sebanyak n(n – 1)/2 perbandingan
![Page 18: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/18.jpg)
Tahap 2: Pembentukan matriks perbandingan
Rule:
• Jika nilai yang diberikan terletak di kiri angka 1, maka kita meletakkannilai aktual tersebut di dalam matriks.
• Jika nilai yang diberikan terletak di kanan angka 1, maka kitameletakkan nilai kebalikannya di dalam matriks.
18
![Page 19: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/19.jpg)
19
𝐴 =𝑎𝑝𝑝𝑙𝑒
𝑏𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑐ℎ𝑒𝑟𝑟𝑦
11
35
3 1 71
5
1
71
apple banana cherry
𝐴 =𝑎𝑝𝑝𝑙𝑒
𝑏𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑐ℎ𝑒𝑟𝑟𝑦
11
35
1 71
apple banana cherry
Rule: Jika nilai yang diberikan terletak di kiri angka 1, makakita meletakkan nilai aktual tersebut di dalammatriks.
Jika nilai yang diberikan terletak di kanan angka 1, maka kita meletakkan nilai kebalikannya di dalammatriks.
![Page 20: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/20.jpg)
Tahap 3: Menentukan vektor prioritas (Menghitung nilai eigen danvektor eigen)
20
xx =A1 1/3 53 1 71/5 1/7 1
𝑥1𝑥2𝑥3
= 𝜆
𝑥1𝑥2𝑥3
Setelah dilakukan perhitungan, diperoleh: 1. Nilai eigen max = 3.0649
2. Vektor eigen x =
𝑥1𝑥2𝑥3
=3.878289.02462
1=
0.27900.64910.0719
Appel = 27,9%Banana = 64,9%Cherry = 7,1%
0) =− AIdet(
*)
*) Diperoleh dengan menormalisasi vektor eigen, yaitu membagi setiap komponen dengan nilai totalnya
![Page 21: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/21.jpg)
Tahap 4: Menentukan Indeks Konsistensi dan Rasio Konsistensi
Indeks konsistensi:
Rasio konsistensi:
Jika CR 10%, maka inkonsistensi dapat diterima. Jika CR > 10%, makakita perlu merevisi penilaian subyektif (pairwise comparison)
21
0484.02
30967.3
1
max =−
=−
−=
n
nCI
Table 1 Random Consistency Index ( )
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49
𝐶𝑅 =𝐶𝐼
𝑅𝐼=0.0484
0.58= 0.083 = 8,3% (acceptable)
![Page 22: Nilai Eigen dan Vektor Eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition 2 Diagonalisasi •Matriks diagonal adalah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052216/60819d4d102e9b76ef4509d2/html5/thumbnails/22.jpg)
TAMAT
22