niels bohr institutet – niels bohr institutet - b iofysikogendal/personal/lho/...vinkelhastighed i...

BIOFYSIK

Lars Øgendal

BiofysikLars Øgendal

Niels Bohr Institutet juni 2016

ii

BIOFYSIKLars Øgendal1. udgave 2016

c©Lars Øgendal 2016

Forsidebilledet af geparden er taget af Erik Damen.http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Cheetah.JPG

Indhold

1 Det helt grundlæggende 31.1 Hastighed og acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Et sidespring: ”Systemer” i fysikken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Bevægelsesmængde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Newtons love og kraftbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Tyngdekraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Gnidning mellem faste stoffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Arbejde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9 Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Drejningsmoment 292.1 Mekanisk ligevægt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Drejningsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Eksempel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 Eksempel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Varme 473.1 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Organismers varmeregulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Kroppens varme/energibalance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4 Temaopgaver om geparder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A Regning med enheder 91A.1 Metersystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92A.2 Fysiske størrelser, deres symboler og enheder . . . . . . . . . . . . . . 96A.3 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

1

2 Indhold

1Det helt grundlæggende

Al forståelse af fysik kan i den sidste ende føres tilbage til forståelse af det, man kaldermekanikkens grundbegreber: Hastighed, acceleration, bevægelsesmængde, kraft, arbej-de, energi og effekt. Disse begreber indføres normalt i den nævnte rækkefølge, da debegrebsmæssigt er afhængige af hinanden, netop i denne rækkefølge. Begreberne (ellerde fleste af dem) er i princippet velkendte fra folkeskolen og gymnasiet, men man kangodt efterlades med det indtryk at disse begreber mest anvendes til at beregne hvor langten kanonkugle kan flyve og hvor stor en kraft en bil bliver udsat for ved kollision. Menbegreberne er selvfølgelig ligeså relevante i forbindelse med beregninger på biologiskesystemer: Hvor hurtigt strømmer blod eller saften i en plante? Hvor stor kraft påvirkesen viruspartikel af under centrifugering? Vi tager begreberne op fra en ende af:

1.1 Hastighed og accelerationSe figur 1.1. Hunden løber i en bestemt retning i en lige linje. Til tiden t = t1 befinderhundens sig stykket x1 fra et (tilfældigt valgt) fast punkt. Til tiden t2 har den nået at løbehen til punktet x2. Imellem de to tidspunkter t1 og t2 har hunden bevæget sig stykket∆x = x2− x1 og dens gennemsnitsfart vgns i tidsrummet er defineret som:

vgns =x2− x1t2− t1

=∆x∆t

(1.1)

Hvis man forestiller sig, at tidspunktet t2 rykker meget tæt på tidspunktet t1 og der-med at x2 rykker tæt på x1 kan man sige, at gennemsnitsfarten i tidsrummet fra t1 til

3

4 Kapitel 1. Det helt grundlæggende

Figur 1.1: Hvis hunden til tiden t = t1 = 4,5 s befinder sig ved x1 = 8,0 m og til tiden t = t1 = 7,0 sbefinder sig ved x2 = 18,0 m, så er dens gennemsnitsfart i tidsrummet fra 4,5 s til 7,0 s lig med vgns =x2−x1t2−t1 =

18,0 m−8,0 m7,0 s−4,5 s =

10,0 m2,5 s = 4,0 m · s

−1

t2 repræsenterer den øjeblikkelige fart v(t1) til tidspunktet t1. Jo tættere på hinanden deto tidspunkter er, jo bedre repræsenterer gennemsnitsfarten den øjeblikkelige fart. Mandefinerer derfor farten tid tidspunktet t1 som grænseværdien af gennemsnitsfarten nårt2→ t1, dvs.:

v(t1) = limt2→t1x2− x1t2− t1

=

(dxdt

)t=t1

(1.2)

altså differentialkvotienten af stedkoordinaten. Man ser, at hastigheden får dimensionenlængde divideret med tid og dermed SI-enheden m · s−1 (Se Appendix A).På samme måde som hastigheden beskriver, hvor hurtigt stedet ændrer sig med tiden,så beskriver accelerationen hvor hurtigt hastigheden ændrer sig med tiden. De figur 1.2.Til tiden t = t1 har hunden hastigheden (altså den øjeblikkelige hastighed) v1. Til tiden t2har den hastigheden v2. Imellem de to tidspunkter t1 og t2 har hundens hastighed ændretsig med ∆v = v2− v1 og dens gennemsnitsacceleration agns i tidsrummet er defineretsom:

agns =v2− v1t2− t1

=∆v∆t

(1.3)

Ligesom vi ovenfor definerede den øjeblikkelige fart som en grænseværdi af gennem-snitsfarten, altså en differentialkvotient, så definerer man den øjeblikkelige accelerationtil tiden t1 som grænseværdien af gennemsnitsaccelerationen for t2→ t1:

a(t1) = limt2→t1v2− v1t2− t1

=

(dvdt

)t=t1

(1.4)

altså differentialkvotienten af hastigheden. Man ser, at accelerationen får dimensionenhastighed divideret med tid, dvs. længde divideret med tid divideret med tid en gang til,

1.1. Hastighed og acceleration 5

Figur 1.2: Hvis hunden til tiden t = t1 = 4,5 s bevæger sig med hastigheden v1 = 1,5 m · s−1 og til tident = t2 = 6,5 s har opnået hastigheden v2 = 5,5 m · s−1, så er dens gennemsnitsacceleration i tidsrummetfra 4,5 s til 6,5 s lig med agns =

v2−v1t2−t1 =

5,5 m·s−1−1,5 m·s−16,5 s−4,5 s =

4,0 m·s−12,0 s = 2,0 m · s

−2

og dermed SI-enheden m · s−2 (Se Appendix A).Denne gennemgang af begreberne hastighed og acceleration byggede på at bevægelsenforegik i en lige linje. Hvis dette ikke er tilfældet må begreberne defineres lidt ander-ledes, først og fremmest fordi steder nu ikke kan angives med et enkelt tal, men måangives som vektorer. Hvis vi som et eksempel ser på en flues bevægelse i rummet (sefigur 1.3), så er fluens position tiden t1 beskrevet ved vektoren ~r1 i et (tilfældigt valgt)koordinatsystem. Til tiden t2 har den nået at flyve hen til punktet givet ved vektoren~r2. Imellem de to tidspunkter t1 og t2 har fluen altså bevæget sig stykket ∆~r =~r2−~r1,der jo også er en vektor (vist med rødt i figuren). Fluens gennemsnitshastighed ~vgns itidsrummet er defineret som:

~vgns =~r2−~r1t2− t1

=∆~r∆t

(1.5)

Bemærk, at vi her taler om hastighed og ikke fart. Forskellen er, i fysikkens fagsprog,at farten kun er et tal, medens hastigheden er en vektor, altså noget, der både har enstørrelse og en retning.Fuldstændigt i analogi til det retlinjede tilfælde defineres både hastighed og accelerationsom differentialkvotienter, der her er vektorer. Dette er der ikke noget sært ved, mandifferentierer bare vektorernes enkelte koordinater. Vi skal altså forestille os et objekt(f.eks. en flue) hvis position kan beskrives som en funktion af tiden:

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

(1.6)


x

y

z

r1

r2 t1

t2

(a)

x

y

z

r1

r2 Δr t1

t2

(b)

Figur 1.3: (a) Fluens position tiden t = t1 er beskrevet ved vektoren ~r1 i et (tilfældigt valgt) koordinatsy-stem. Til tiden t2 har den nået at flyve hen til punktet givet ved vektoren ~r2. (b) Imellem de to tidspunktert1 og t2 har fluen altså bevæget sig stykket ∆~r = ~r2−~r1, der jo også er en vektor, her vist med rødt.

hvor det eksplicit er vist, at koordinaterne x, y og z er funktioner af (dvs. afhængeraf) tiden. Så hastigheden ~v, der også er en funktion af tiden og derfor skrives ~v(t), erdefineret som:

~v(t) =

vx(t)vy(t)vz(t)

= dxdtdy

dtdzdt

(1.7)hvor differentialkvotienterne af de enkelte koordinater tages til tiden t. De enkelte ha-stighedskoordinater vx(t), vy(t), vz(t) eller om man vil, dxdt ,

dydt og

dzdt kaldes hastighedens

komposanter.På tilsvarende måde defineres en genstands acceleration ~a, der selvfølgelig også er enfunktion af tiden og derfor skrives~a(t), som:

~a(t) =

ax(t)ay(t)az(t)

= dvxdtdvydt

dvzdt

(1.8)Alt dette er jo temmelig abstrakt, så vi ser straks på et mere konkret eksempel:

Jævn cirkelbevægelse

Et vigtigt eksempel på hvordan man anvender de generelle, vektorbaserede, definitionerpå hastighed og acceleration er den jævne cirkelbevægelse. Se figur 1.4. I dette tilfældehar vi ikke brug for alle tre koordinater, idet vi antager, at bevægelsen foregår i XY -planen, så z-koordinaten er 0. Vi nøjes derfor med at anvende to koordinater. Den jævne


θ

r

v

R

Figur 1.4: Partiklen bevæger sig i en cirkelformet bane, med radius R. Vektoren, der går fra koordinatsy-stemets begyndelsespunkt til partiklen, kaldes partiklens stedvektor og betegnes~r. Den har længden R ogdens koordinater i to dimensioner er (Rcosθ ,Rsinθ).

cirkelbevægelse er vigtig i laboratoriemæssig sammenhæng, fordi den er grundlaget forforståelse af hvordan centrifugering egentlig virker. Her ser vi foreløbig på fænomenetuden tanke for centrifugering, men ser bare på en partikel, der bevæger med konstantvinkelhastighed i en cirkelformet bane med en given radius, R (se figur 1.4). Vinkelha-stigheden ω (omega) bestemmer hvor hurtigt vinklen θ vokser:

θ = ωt +θ0 (1.9)

hvor θ0 bare er værdien af vinklen θ til tiden t = 0. Hvis ω er konstant, dvs. uafhængig aftiden, kaldes cirkelbevægelsen for jævn. Vinkelhastigheden har enheden radianer · s−1idet vi, som det er almindeligt i matematikken, regner vinklen θ i radianer og ikke i gra-der. Dette får ingen praktisk betydning men har udelukkende noget at gøre med hvordanman differentierer sinus og cosinus funktionerne.Vi kan relatere vinkelhastigheden ω til noget mere velkendt: Omløbstiden T og om-løbsfrekvensen f , hvor omløbstiden er den tid det tager partiklen at foretage et omløb icirkelbanen, og omløbsfrekvensen er antallet af omløb pr. tidsenhed (f.eks. antal omløbpr. sekund eller pr. minut). Omløbstid og omløbsfrekvens hænger naturligvis sammen,idet:

f =1T

(1.10)


Idet vinkelhastigheden angiver antallet af radianer pr. tidsenhed og omløbsfrekvensenangiver antallet af omløb pr. tidsenhed bliver sammenhængen mellem vinkelhastighedenω og omløbsfrekvensen f :

ω = 2π f (1.11)da en hel omgang i cirkelbanen svarer til 2π radianer.Vektoren, der går fra koordinatsystemets begyndelsespunkt til partiklen, kaldes partik-lens stedvektor. Den har længden R og betegnes~r. Stedvektoren kan som nævnt skrivesved brug af kun to koordinater, hvis vi antager at cirkelbevægelsen foregår i XY -planen:

~r =(

x(t)y(t)

)=

(Rcos(θ(t))Rsin(θ(t))

)(1.12)

Vi kan beregne hastigheden ved at benytte ligning 1.7 idet vi bare udelader z-koordinaten:

~v =( dx

dtdydt

)=

(−Rsin(θ(t)) · dθdt

Rcos(θ(t)) · dθdt

)=

(−Rsin(θ(t)) ·ω

Rcos(θ(t)) ·ω

)(1.13)

hvor vi bl.a. har brugt reglen for differentiation af sammensat funktion samt at dθdt = ωifølge ligning 1.9. Læg i øvrigt mærke til, at ~r ·~v = 0 (benyt ligning 1.12 og 1.13).Dette betyder, at hastigheden altid er vinkelret på stedvektoren, som det også er vistpå figur 1.4. Til slut beregner vi accelerationen ved at benytte ligning 1.8, altså ved atdifferentiere ligning 1.13:

~a =

(dvxdt

dvydt

)=

(−Rcos(θ(t)) ·ω · dθdt−Rsin(θ(t)) ·ω · dθdt

)=

(−Rcos(θ(t)) ·ω2−Rsin(θ(t)) ·ω2

)=−ω2~r (1.14)

Her ser man, at accelerationen er rettet fra partiklen mod cirkelbevægelsens centrum.Man kalder den for centripetalaccelerationen (det betyder ”den mod centrum rettedeacceleration”). Størrelsen af centripetalaccelerationen er ac = |ω2~r|= ω2|~r|. Da partik-lens stedvektor~r har længden R, som er radius is cirkelbanen fås:

ac = ω2R (1.15)

Vend tingene på hovedet!Vi har set, at hastighed (eller fart) er defineret ud fra et kendskab til en genstands position(se ligning 1.2 og 1.7). I princippet skal man kende positionen som funktion af tiden.På samme måde defineres en genstands acceleration ud fra et kendskab til genstandenshastighed som funktion af tiden (se ligning 1.4 og 1.8). Hvis vi tager det 1-dimensionaletilfælde, har vi altså:

v(t) =dxdt

a(t) =dvdt

(1.16)


Da integration er det omvendte af differentiation kan vi altså i princippet vende tingeneom og finde stedet x som funktion af tiden, hvis vi kender hastigheden som funktion aftiden. Og vi kan finde hastigheden som funktion af tiden hvis vi kender accelerationensom funktion af tiden. Med andre ord:

x(t) =∫

v(t)dt

v(t) =∫

a(t)dt (1.17)

Dette er naturligvis meget abstrakt, så vi kigger straks på et par konkrete eksempler påanvendelse af ligningerne 1.17:

Eksempel: Lad os først antage, at hastigheden v(t) er konstant (hvormedaccelerationen har værdien 0 og dermed også er konstant), og lad os kaldeværdien af hastigheden for v0. Så får vi stedet x som funktion af tiden:

x(t) =∫

v(t) ·dt =∫

v0 ·dt = v0 · t + x0 (1.18)

hvor x0 er den ”arbitrære konstant”, der her betyder genstandens position tiltiden t = 0.Lad os dernæst se på tilfældet hvor accelerationen a(t) er konstant, menikke nødvendigvis 0. Lad os kalde den konstante værdi af accelerationenfor a0. Her får vi først hastigheden som funktion af tiden:

v(t) =∫

a(t) ·dt =∫

a0 ·dt = a0 · t + v0 (1.19)

hvor v0 er den ”arbitrære konstant”, der her betyder genstandens fart tiltiden t = 0.Vi kan nu gå skridtet videre og finde stedet som funktion af tiden med detfundne udtryk 1.19 for hastigheden:

x(t) =∫

v(t) ·dt =∫(a0 · t + v0) ·dt =

12

a0 · t2 + v0 · t + x0 (1.20)

hvor, som før, x0 og v0 er hhv. stedet og farten til tiden t = 0.Bemærk, at ligning 1.18 er indeholdt i ligning 1.20. Man skal bare indsætte,at a0 = 0 når hastigheden er konstant.

Resultaterne i ovenstående eksempel er så vigtige, at vi skriver dem i en ramme for sigselv:


Stedet x, når farten er konstant v0 og stedet er x0 til tiden t = 0

x(t) = v0 · t + x0 (1.21)

Farten v, når accelerationen er konstant a0 og farten er v0 til tiden t = 0

v(t) = a0 · t + v0 (1.22)

Stedet x, når accelerationen er konstant a0 og farten er v0 og stedet er x0 til tident = 0

x(t) =12

a0 · t2 + v0 · t + x0 (1.23)

1.2 Et sidespring: ”Systemer” i fysikkenI fysikken høres ofte udtrykkene ”et lukket system” og ”et isoleret system”. Ved etsystem i fysikken forstås den del af verden, som man (fysikeren) er interesseret i at be-skrive. Hvad et system er, afhænger af omstændighederne, men det kan f.eks. være et ensukkeropløsning i et bægerglas, en enkelt celle, et enkelt molekyle, en hest, hele jorden,hele solsystemet osv. Til det aktuelle formål deles verden op i to ting: Systemet og omgi-velserne. Systemet beskrives ofte i stor detalje medens omgivelserne karakteriseres vednogle få størrelser, f.eks. tryk og temperatur.

Eksempel: En amøbe i Atlanterhavet. Amøben er systemet, Atlanterhaveter omgivelserne (faktisk er resten af universet omgivelser, men amøben ernaturligvis kun på virket af de relativt nære omgivelser). De biokemiskeprocesser i amøben er bestemt af temperatur og tryk i amøben. Disse erbestemt af temperaturen og trykket i omgivelserne ( = havet). Desuden kanamøben udveksle stof med havet gennem sin overflade, så den er, hvad mankalder et åbent system.

Når talen er om systemer skelner man mellem tre typer: Åbne, lukkede og isolerede. Iet åbent system kan der udveksles stof og energi med omgivelserne. I et lukket systemkan der udveksles energi med omgivelserne men ikke stof. Og i et isoleret system kander hverken udveksles stof eller energi med omgivelserne. De tre typer er illustreret ifigur 1.5.

Eksempel: Indholdet i en uåbnet ølflaske er et eksempel på et lukket sy-

1.2. Et sidespring: ”Systemer” i fysikken 11

(a) (b) (c)

Figur 1.5: (a) Åbent system. Der kan der udveksles stof og energi med omgivelserne. (b) Lukket system:Der kan udveksles energi med omgivelserne men ikke stof. (c) Isoleret system: Der kan hverken udvekslesstof eller energi med omgivelserne.

stem. Indholdet i en lukket termoflaske udgør med god tilnærmelse et iso-leret system.

Isolerede systemer forekommer ikke i den biologiske verden: Alle organismer udvekslerbåde stof og energi med deres omgivelser. Selv hvis det system, man betragter er megetstørre end en organisme, f.eks. en sø eller måske hele Jordens overflade, så sker derenergiudveksling med omgivelserne. Alligevel er begrebet ”et isoleret system” nyttigtfordi man ofte studerer eller beskriver fænomener, der foregår over så kort tid, at der ipraksis ikke kan nå at ske nogen stof- eller energiudveksling med omgivelserne.

Eksempel: En gepard, der lever på savannen udgør et åbent system: Denæder sit bytte og indånder luften og modtager derved stof fra omgivelserne.Den defækerer og udånder luft og afgiver derved stof til omgivelserne. Denudveksler også energi med omgivelserne: Den absorberer stråling fra solenog de nære omgivelser. Den reflekterer lys og udsender selv varmestrålingfra sin overflade. Desuden fordamper den vand fra sine åndedrætsorganerog afgiver herved varmeenergi til omgivelserne.Men når en gepard jagter sit bytte og løber over 100 kilometer i timen i en20 sekunders spurt, så kan den med god tilnærmelse betragtes som et iso-leret system, i hvert fald hvis man ser på dens energibalance: Den udviklerstore mængder varmeenergi i kroppen under spurten. Selvfølgelig udveks-ler den samtidig energi med omgivelserne som ovenfor beskrevet, men denmængde af energi, der kan udveksles med omgivelserne på denne måde, iløbet af 20 sekunder er meget lille i forhold til den mængde varmeenergider frigøres i gepardens krop, når den løber med maksimal hastighed. Der-for kan man med god tilnærmelse regne med at geparden udgør et isoleretsystem under spurten.


1.3 BevægelsesmængdeBegrebet kinetisk energi, eller bevægelsesenergi, er kendt for de fleste. For et objekt medmassen m er dets kinetiske energi Ekin = 12mv

2, hvor v er ojektets fart. Mindre kendt erbegrebet bevægelsesmængde for et objekt. Bevægelsesmængde kaldes ofte, fejlagtigt,impuls.

Et objekt med massen m og hastighheden ~v har bevægelsesmængden ~pgivet ved udtrykket:

~p = m~v (1.24)

hvor m er genstandens masse og ~v er dens hastighed. Bevægelsesmængde harSI-enheden kg m · s−1

Man ser, at bevægelsesmængden ligesom hastigheden er en vektor. Det, der gør be-vægelsesmængden interessant er, at i et isoleret system er summen af alle objektersbevægelsesmængder konstant (se figur 1.6).

Eksempel: I Hollywoodfilm ser man ofte helten blive ramt af skud fra enpump gun, hvorved han flyver flere meter gennem luften. Lad os se på fy-sikken i dette:En pump gun udsender kuglen med en hastighed på 229 m · s−1. Kuglenvejer 13 g. En typisk hollywoodhelt (Mel Gibson) vejer 70 kg. Lad for sim-pelheds skyld antage, at vores helt bærer skudsikker vest og at kuglen, efterat have ramt ham, har hastigheden 0 m · s−1. Vi vil antage, at kuglen oghelten kan opfattes som et isoleret system. Endvidere antager vi, at al be-vægelse foregår på en ret linje, så vi ikke behøver regne med vektorer. Viberegner komponenternes samlede bevægelsesmængde før kuglen rammerog opskriver et udtryk for bevægelsesmængden efter at kuglen har ramt.Hensigten er at beregne heltens hastighed efter at han er blevet ramt af kug-len:

ptotal, før = phelt, før + pkugle, førptotal, efter = phelt, efter + pkugle, efter

1.3. Bevægelsesmængde 13

Figur 1.6: Et isoleret system med 12 objekter, der har forskellig masse m1, m2 osv. og forskellige ha-stigheder v1, v2 osv. Summen af de enkelte partiklers bevægelsesmængde ~ptotal = ~p1 + ~p2 + . . .+ ~p12 erkonstant. Selvom objekterne bevæger sig rundt imellem hinanden, støder sammen og hele tiden ændrerhastighed, så er ~ptotal altid uforandret. Hvis man også tager i betragtning, at objekterne støder ind i ”behol-derens” vægge, så skal beholderens egen bevægelsesmængde inkluderes i den totale bevægelsesmængde.

eller:

ptotal, før = mhelt · vhelt, før +mkugle · vkugle, førptotal, efter = mhelt · vhelt, efter +mkugle · vkugle, efter

Da ptotal, før = ptotal, efter, skal vi løse ligningen

mhelt · vhelt, før +mkugle · vkugle, før = mhelt · vhelt, efter +mkugle · vkugle, eftermed hensyn til vhelt, efter. Resultatet er:

vhelt, efter =mhelt · vhelt, før +mkugle · vkugle, før−mkugle · vkugle, efter

mhelt

=70 kg ·0 m · s−1 +0,013 kg ·229 m · s−1−0,013 kg ·0 m · s−1

70 kg= 0,0425 m · s−1

Alså ”flyver” helten gennem luften med hastigheden 0,0425 m · s−1 = 4,25 cm · s−1efter at være blevet ramt !


1.4 Newtons love og kraftbegrebetVi skal nu se på årsagerne til at noget bevæger sig.Det er en almindelig erfaring at bevægelse stopper hvis ikke den ”holdes ved lige” vedhjælp af en kraftpåvirkning: En bil går i stå hvis motoren slukkes, indkøbsvognen isupermarkedet standser, hvis man holder op med at skubbe den, gyngen på legepladsenender med at hænge stille hvis ikke den bliver holdt i gang af en tålmodig forælder elleraf det gyngende barn selv. Denne erfaring indeholder to elementer

• Der er ”noget” der kendetegner styrken af et træk eller et skub. Vi kalder det enkraft.

• Al vedvarende bevægelse har en ”årsag”, nemlig en vedvarende påvirkning af enkraft.

Mennesker havde tænkt over dette i flere tusinde år før det blev klart at den alminde-lige dagligdags opfattelse af sammenhængen mellem kræfter og bevægelse er forkert!Grunden er til misforståelsen er, at der ud over den kraft der synes nødvendig for atopretholde en given bevægelse næsten altid er en nærmest usynlig kraft i spil, nemligfriktion (gnidning). Det var først med Newton i slutningen af 1600-tallet, at det blevklart, at bevægelse ikke nødvendigvis kræver nogen årsag. I den forbindelse blev ogsåkraftbegrebet gjort mere præcist. Newton’s indsigt blev formuleret i tre love, som vi nukalder Newtons første, anden og tredje lov. De lyder:

Newtons 1. lov Et legeme, der ikke påvirkes af nogen ydre kraft, bevæger sigenten jævnt (dvs. med konstant fart) og retlinjet eller også ligger det stille.

Newtons 2. lov Summen af ydre kræfter ~Fres. på et legeme giver det en accele-ration~a, givet ved ligningen ~Fres. = m ·~a, hvor m betegner legemets masse.

Newtons 3. lov Hvis et legeme (lad os kalde det legeme 1) påvirker et andetlegeme (legeme 2) med en kraft, ~F1,2 så vil legeme 2 påvirke legeme 1 meden ligeså stor og modsat rettet kraft ~F2,1, altså ~F1,2 =−~F2,1

Det er altså ikke hastigheden, der har en årsag, men accelerationen. Hvis vi ser på ek-semplet med bilen, der går i stå hvis der ikke er en ydre kraft, der holder den i gang,så er forklaringen at bilen, når den bevæger sig er udsat for friktion, der altid er ret-tet imod bevægelsesretningen. Friktionen kommer både fra luften, fra friktion i lejerne ihjulophæng og motor samt såkaldt rullemodstand mellem dækkene og underlaget. Udenanden ydre kraftpåvirkning vil bilens bevægelse høre op efterhånden. Dvs. at hastighe-den falder, hvad der jo er det samme som at bilen har en negativ acceleration. Hvis bilen

1.5. Tyngdekraften 15

skal bevæge sig med konstant hastighed (så accelerationen er nul) skal der en ydre krafttil, der er præcis lige så stor som friktionen men modsat rettet. Newtons 3. lov kaldesogså loven om aktion og reaktion. Med nogen omtanke kan man indse, at både første ogtredje lov er indeholdt i Newtons 2. lov.Vi skal nu se på nogle specielle kræfter, nemlig tyngdekraften og gnidningskræfter mel-lem faste stoffer. Der er mange andre kræfter, men dem behandler vi i den relevantesammenhæng.

1.5 TyngdekraftenNewton var den første til at formulere den universelle tyngdelov, nemlig at to masser,m1 og m2 trækker i hinanden med en kraft Ft, der kan beregnes som:

Ft = G ·m1 ·m2

r2(1.25)

hvor r er afstanden mellem de to massers massemidtpunkter (tyngdepunkter) og G =6,67384 · 10−11 N ·m2 ·kg−2 er den universelle tyngdekonstant. Jordens massemidt-punkt ligger i dens centrum, så tyngdekraften, der påvirker en genstand med massenm på jordens overflade, hvor afstanden mellem jordens og genstanden massemidtpunk-ter er jordens radius rjord, kan skrives som

Ft = G ·mjord ·m

r2jord=

G ·mjordr2jord

·m (1.26)

Størrelsen foran m kan beregnes:

G ·mjordr2jord

=(6,67384 ·10−11 N ·m2 ·kg−2) · (5,97219 ·1024 kg)

(6,371 ·106 m)2= 9,81961 m · s−2

Resultatet kaldes jordens tyngdeacceleration og betegnes g. Det er en konvention atskrive tyngdeaccelerationen efter massen (lige som i Newton’s 2. lov, F = m ·a). Dettebetyder, at:

Ved jordens overflade kan tyngdekraften på en genstand med massen m skrives:

Ft = m ·g (1.27)

hvor g≈ 9,82 m · s−2 kaldes jordens tyngdeacceleration. Se også bemærkninger-ne nedenfor.


Ligning 1.27 gælder strengt taget kun ved jordens overflade, men benyttes som regeluden hensyn hertil, bare man er ”nær” jordens overflade. Faktoren G·mjordr2 ændrer signemlig meget lidt ved at benytte en afstand r, der lidt større end jordens radius: Man skalop i en højde på 3 km over jorden før faktoren er faldet fra 9,82 m · s−2 til 9,81 m · s−2,altså et fald på ca. 0,1%. Jordens tyngdeacceleration varierer i praksis med stedet påjorden, idet jordens overflade jo ikke er en eksakt kugle, så forskellige steder på jor-dens overflade har lidt forskellig afstand til jordens centrum. Desuden kan der der værelokale forskelle på, hvor megen masse, der ligge under jordens overflade (om det ermineraler med høj eller lav densitet). Endelig roterer jorden, så den effektive tyngdeac-celeration bliver reduceret lidt, jo tættere man kommer på ækvator (på grund af ”cen-trifugalkraften”). Man regner derfor ofte med en slags gennemsnitstyngdeacceleration,standardtyngdeaccelerationen g= 9,80665 m · s−2. Til beregninger i Danmark kan manbenytte den her gældende værdi g = 9,816 m · s−2.

1.6 Gnidning mellem faste stofferGnidning, også kaldet friktion mellem to faste stoffer i kontakt med hinanden (se fi-gur 1.7) er et fænomen eller en kraft der opstår, når en ydre kraft forsøger at få de tofaste stoffer til at glide i forhold til hinanden. Hvis den ydre kraft, der skubber, er forlille vil de to faste stoffer ikke glide i forhold til hinanden. Op til en vis størrelse af”skubbekaften” sker der ingen bevægelse (se figur 1.7). Dette betyder, ifølge Newton’s2. lov, at friktionen i dette tilfælde hele tiden har samme størrelse men modsat retning af”skubbekraften”. Skubbes der til gengæld med en tilstrækkelig stor kraft begynder derat ske glidning mellem de to materialer. Man siger at gnidningskraften - eller friktionen -er blevet overvundet. Gnidningskraften har altså en vis maksimal størrelse. Denne mak-simale gnidningskraft kan let beregnes: Hvis en glat klods af tyngdekraften og eventueltogså af andre kræfter presses mod en glat overflade af et materiale, der kan være et andetend klodsen er lavet af, vil overfladen presse tilbage på klodsen. Denne kraft, normal-kraften eller normalreaktionen, forhindrer at klodsen bliver presset igennem overfladen,og den betegnes Fn. Normalkraften er vinkelret på kontaktfladen mellem klodsen og un-derlaget. Det viser sig, at det kræver det en vis sidelæns kraft at få klodserne til at glidei forhold til hinanden. Den mindste kraft, der skal til for at klodsen bevæger sig, er denmaksimale værdi af friktionskraften. Denne maksimale værdi kaldes blot friktionskraf-ten, Ff. Størrelsen af denne afhænger af normalkraftens størrelse og af de to materialersindbyrdes friktionskoefficient, µ . Sammenhængen er simpel:

Ff = µ ·Fn (1.28)

Størrelsen af friktionskoefficienten afhænger af, hvilke to materialer, der er i kontaktmed hinanden. Friktionskoefficienten er et rent tal (dvs. uden enhed), og størrelsen an-

1.7. Arbejde 17

Figur 1.7: En glat klods presses mod en glat overflade af tyngdekraften og eventuelt af andre kræfter.Overfladen presser tilbage på klodsen med en kraft Fn, normalkraften, der er vinkelret på kontaktfladenmellem dem. For at få klodsen til at glide i forhold til fladen, skal der skubbes med en vis kraft. Denmindste kraft, der skal til før klodsen bevæger sig, kaldes friktionskraften, Ff. Størrelsen af denne afhæn-ger af normalkraftens størrelse og af de to materialers indbyrdes friktionskoefficient, µ . Sammenhængener: Ff = µ ·Fn

ses normalt for at være uafhængig af den hastighed hvormed klodserne bevæger sig iforhold til hinanden.Det er dog sådan, at det ofte kræver en større kraft at sætte denindbyrdes bevægelse i gang end at holde den i gang, når først bevægelsen er begyndt.Man opererer derfor med to friktionskoefficienter, den statiske friktionskoefficient, µs,der gælder i ligning 1.28 lige før bevægelsen går i gang, og den dynamiske friktionsko-efficient, µd , der gælder, når bevægelsen først er i gang. Tabel 1.1 viser nogle eksemplerpå størrelsen af friktionskoefficienter. Bemærk, at

• Friktionskraftens størrelse afhænger ikke af størrelsen af kontaktfladen mellemklodserne

• Den dynamiske friktionskrafts størrelse afhænger ikke af hvor hurtigt klodsernebevæger sig i forhold til hinanden

• Friktionskoefficienten er ikke en materialekonstant men afhænger af, hvilke tostoffer der er i kontakt med hinanden

1.7 ArbejdeI fysikken er et arbejde en kraft gange en vejstrækning. Figur 1.8 forestiller en mand, dertrækker en tung sæk hen over jorden. Vi siger, at manden udfører et arbejde på sækken,men i fysisk forstand er det kraften, der udfører arbejdet. Faktisk er det kun den del afkraften, der går i bevægelsens retning, der udfører et arbejde.


FriktionskoefficientMateriale 1 Materiale 2 Statisk (µs) Dynamisk (µd)Aluminum Aluminum 1,05 - 1,35 1,4Aluminum Stål 0,61 0,47Bly Støbejern 0,43Bronze Støbejern 0,22Bronze StålDiamant Diamant 0,1Diamant Metal 0,1 - 0,15Glas Glas 0,9 - 1,0 0,4Glas Metal 0,5 - 0,7Grafit Grafit 0,1Grafit Stål 0,1Gummi Asfalt (Tør) 0,5 - 0,8Gummi Asfalt (Våd) 0,25 - 0,75Gummi Beton (Tør) 0,6 - 0,85Gummi Beton (Våd) 0,45 - 0,75Jern Jern 1Kobber Støbejern 1,05 0,29Kobber Kobber 1Kobber Stål 0,53 0,36Læder Træ 0,3 - 0,4Læder Metal 0,6Læder Egetræ 0,61 0,52Messing Støbejern 0,3Mursten Træ 0,6Nylon Nylon 0,15 - 0,25Plexiglas Plexiglas 0,8Plexiglas Stål 0,4 - 0,5Polyetylen Stål 0,2Polystyren Polystyren 0,5Polystyren Stål 0,3 - 0,35Støbejern Støbejern 1,1 0,15Støbejern Egetræ 0,49Stål Stål 0,75Stål Is 0,02Teflon Stål 0,04Teflon Teflon 0,04

Tabel 1.1: Liste over friktionskoefficienter for nogle (tilfældige) kombinationer af materialer. For noglekombinationer er anført såvel den statiske som den dynamiske friktionskoefficient.

1.7. Arbejde 19

Figur 1.8: Der udføres i fysikkens forstand et arbejde når en kraft flytter en genstand i kraftens retning,eller mere præcist: Kun den del af kraften, der går i bevægelsens retning, udfører et arbejde.

Arbejdet W (fra engelsk work):beregnes som prikproduktet af kraften og vejstrækningen:

W = ~F ·~s (1.29)

hvor både kraften ~F og strækningen ~s er vektorer. Ligning 1.29 forudsætter, atbevægelsen går langs en ret linje over en bestemt strækning (så bevægelsen kanbeskrives ved en vektor) og at kraften er konstant i størrelse og retning.Arbejde har ifølge ligning 1.29 SI-enheden Nm der normalt skives som J (joule).

Bemærk, at hvis kraften og bevægelsen er vinkelret på hinanden, så udføres der ikkenoget arbejde (altså, W = 0)! Hvis kraften ikke er konstant, men afhænger af ”stedet”,eller hvis bevægelsen ikke foregår langs en ret linje, så gælder ligning 1.29 selvfølgeligikke. For at beregne det udførte arbejde under disse, mere generelle omstændighederdeler man (i tankerne) bevægelsen op i mindre stykker, hvor kraften kan antages at værekonstant og bevægelsen foregår langs en ret linje (se figur 1.9). Arbejdet, der udføres in-denfor hvert af disse mindre stykker, beregnes efter ligning 1.29. Dette svarer til arealetaf de smalle rektangler i figur 1.9. Det samlede udførte arbejde beregnes så som sum-men af disse bidrag. Som det ses, er summen af disse arealer altid mindre end arealetunder kurven, men jo flere og smallere rektangler, der deles op i, jo nærmere kommersummen af rektanglernes areal til arealet under kurven. Dette beregnes som bekendt vedat integrere funktionen med den blå graf, dvs. ved at integrere kraften fra startpositiontil slutposition. Vi har altså:


Figur 1.9: Den blå kurve viser den ydre kraft F som funktion af ”stedet” x. Det arbejde, kraften udførerved at flytte sit angrebspunkt fra 0 til x, er arealet under kurven.

Hvis kraften F kendes som funktion af stedet x, beregnes det arbejde, W , somkraften udfører ved at flytte sit angrebspunkt fra xstart til xslut som

W =∫ xslut

xstartF(x) ·dx (1.30)

1.8 EnergiDet arbejde der er udført ved at trække sækken hen over gulvet bliver omdannet tilvarme og kan ikke leveres tilbage i form af nyt arbejde1

Som eksemplerne nedenfor viser, kan man indrette sig anderledes og opnå, at det arbejdeder udføres, kan genvindes og bruges til at lave mekanisk arbejde. De to tilfælde visereksempler på såkaldt mekanisk energi, hhv. potentiel og kinetisk energi. Varme er ogsåen form for energi. Da alle energiformerne stammer fra arbejde, der bliver oplagret, erdet klart at energi har samme SI-enhed som arbejde, nemlig J (joule).

Potentiel energi EpotHvis vi i stedet for at trække en sæk hen over gulvet løfter den op i luften (figur 1.10) erder ingen gnidning at overvinde, kun trækket nedad fra tyngdekraften. I modsætning til

1Dette er ikke helt rigtigt: Varme kan i et vist omfang omdannes til arbejde, men det kræver at der kon-strueres en maskine, der arbejder mellem to temperaturer, Thøj og Tlav. Man taler om Carnot-effektivitetenη = 1− TlavThøj af omsætningen fra varme til mekanisk arbejde. Carnot-effektiviteten er den teoretisk øvregrænse for hvor stor en del af varmen, der kan omdannes til mekanisk arbejde. Temperaturerne Thøj ogTlav er absolutte temperaturer.

1.8. Energi 21

Figur 1.10: Der udføres et arbejde ved at løfte sækken op. Dette arbejde kan leveres tilbage ved at ladesækken ”falde” medens den f.eks. løfter noget andet eller evt. driver en el-generator og derved laverelektrisk energi.

hvad der sker, når man trækker en genstand under overvindelse af gnidningsmodstander det arbejde der udføres ved at løfte sækken imod tyngdekraften ikke tabt. Hvis snorenbindes fast når sækken er løftet op, kan man altid løsne snoren og genvinde det arbejdeder er udført, f.eks. ved at lade den ”faldende” sæk løfte en anden sæk eller evt. driveen el-generator, der laver elektrisk energi. Man siger at den løftede sæk indeholder po-tentiel energi, der bare er et andet ord for at det udførte arbejde er blevet ”gemt”. Hvissækken løftes stykket h udføres der ifølge ligning 1.29 arbejdet W = Fsnor ·h på sækken,hvor Fsnor er kraften, som snoren påvirker sækken med. For at sækken overhovedet skalkunne bevæge sig opad, skal snorekraften være mindst lige så stor som tyngdekraftenpå sækken. Denne har størrelsen Ft = m · g, hvor m er sækkens masse og g er jordenstyngdeacceleration, der i Danmark2 har den værdien g = 9,82 m · s−2. Hvis vi siger atsnorekraften lige netop har samme størrelse som tyngdekraften, så bliver det udførtearbejde lig med den potentielle energi:

Den potentielle energi i jordens tyngdefelt (nær jordens overflade):

Epot = mgh (1.31)

hvor massen m løftes stykket h lodret, og g er jordens tyngdeacceleration.

2Tyngdeaccelerationen varierer ca. 0,5%, alt efter hvor på jorden overflade man befinder sig: Vedpolerne har den værdien 9.832 m · s−2 og ved ækvator værdien 9.780 m · s−2


Det er en egenskab ved tyngdekraften (eller egentlig ved jordens tyngdefelt), at det ud-førte arbejde ved at løfte en genstand bliver gemt i form af potentiel energi. I tilfældetmed sækken der trækkes hen over underlaget er den kraft, der skal overvindes for at flyt-te sækken, gnidningskraften mod underlaget. Gnidningskraften har ikke den egenskab,at den kan levere det udførte arbejde tilbage. Man kalder kræfter, der leverer arbejde til-bage for konservative kræfter. Tyngdekraften samt elektrisk tiltrækning og frastødninger eksempler på konservative kræfter. Og gnidningskraften er et eksempel på en kraft,der ikke er konservativ.Begrebet potentiel energi er derfor mere generelt end ligning 1.31 antyder. Arbejde, derudføres imod en konservativ krafts modstand, bliver altid gemt som en form for po-tentiel energi, f.eks. elastisk potentiel energi eller elektrisk potentiel energi. Hvordandisse konkret beregnes, er bestemt af, hvordan kraften i det aktuelle tilfælde afhængeraf stedet. Ligning 1.31 har sit simple udseende fordi kraften, der skal overvindes, ertyngdekraften, og den har størrelsen m ·g alle steder, dvs. uafhængigt af højden h.

Kinetisk energi EkinHvis snorekraften i ovenstående eksempel er større end tyngdekraften, bliver den resul-terende kraft Fres = Fsnor−Ft > 0. Ifølge Newtons 2. lov får sækken herved en acce-leration a, der er større en 0, givet ved Fres = m · a. En del af det udførte arbejde gåri dette tilfælde til at forøge genstandens (sækkens) hastighed. Arbejde, der benyttes tilat forøge en genstands hastighed kan også (i princippet) genvindes, f.eks. ved at bindeen snor i genstanden og (ved passende brug af trisser) lade den løfte en anden genstandhvorved den selv bremses, dvs. mister hastighed. Det arbejde, der medgår til at give engenstand en vis hastighed bliver således gemt i genstanden. Vi sige at genstanden gem-mer arbejdet i form af kinetisk energi Ekin. Størrelsen af den kinetiske energi afhængerkun af genstandens hastighed, ikke af, hvordan hastigheden blev opnået, f.eks. en lilleacceleration over lang tid eller en stor acceleration over kort tid. Vi vil udlede udtrykketfor hvor stort et arbejde, der udføres på en genstand med massen m, når den påvirkes afen konstant kraft F igennem tidsrummet t. Vi vil gå ud fra, at vi har indrettet os sådan,at genstanden til tiden t = 0 har hastigheden v0 = 0.Ifølge Newtons 2. lov giver kraften F genstanden en acceleration a givet ved:

F = m ·a

Ifølge ligning 1.23 gennemløber genstanden strækningen s i løbet af tiden t givet ved

s = x(t)− x0 =12

a · t2

idet jo v0 = 0. Herved udføres arbejdet W givet ved:

W = F · s

1.9. Effekt 23

= (m ·a) · s

= (m ·a) · (12

a · t2)

=12

m(a · t)2

=12

m · (v(t))2

hvor vi til den sidste omskrivning har benyttet ligning 1.22 (med v0 = 0). Som nævntkan dette udførte arbejde genvindes og siges derfor at være lagret i genstanden i form afbevægelsesenergi eller kinetisk energi Ekin, der er givet ved genstandens hastighed v:

Den kinetiske energi af et objekt:

Ekin =12

m · v2 (1.32)

hvor m er tingens masse og v er dens hastighed.

Energiens bevarelse

Den, måske vigtigste, af alle fysikkens love er loven om energiens bevarelse, der siger:

Loven om energiens bevarelse:I et isoleret system er summen af alle energiformer bevaret (dvs. konstant).

Det vil sige, at systemets samlede energi til et givet tidspunkt er den samme som til et-hvert andet tidspunkt. Det er muligt, f.eks., at systemets samlede potentielle energi fal-der, men så vil andre energiformer stige, så summen af alle energiformer er uforandret.At energien er bevaret i et isoleret system kan ikke bevises, men er et eksperimenteltfaktum i den forstand, at der aldrig er fundet holdbare eksempler på det modsatte.

1.9 EffektBegrebet effekt beskriver hvor hurtigt arbejde udføres eller hvor hurtigt energi overføres.


Effekten P (af engelsk power) er defineret som:

P =Wt

eller P =Et

(1.33)

hvor W er størrelsen af et arbejde, E er størrelsen af den overførte energi og t erden tid det tager at udføre arbejdet eller at overføre energien.SI-enheden for effekt er ifølge ligning 1.33 J · s−1, der også skrives W (watt).

Der findes mange situationer, hvor effekten kan beregnes direkte. Dette er f.eks. tilfæl-det hvor en kraft flytter sit angrebspunkt med en given hastighed, v. I løbet af en tidt vil kraften have flyttet sit angrebspunkt stykket s, givet ved ~s =~v · t. Indsættes detteudtrykket for arbejde (ligning 1.29) får man

W = ~F ·~s = ~F ·~v · t (1.34)

som ved indsættelse i ligning 1.33 giver P = Wt =~F ·~v·t

t =~F ·~v. Vi har altså:

Effekten P når kraften ~F flytter sit angrebspunkt med hastigheden~v:

P = ~F ·~v (1.35)

Man skelner mellem effekt forbrug og effekt ydelse:

Eksempel: En gammeldags pære3 til en arkitektlampe har påstemplet 60 W.Det betyder at denne pære forbruger 60 J hvert sekund. Det indebærer og-så, at pæren udsender elektromagnetisk stråling med en samlet effekt på lidtunder 60 W. Lidt under fordi noget af energien går til at opvarme luften, derhar kontakt med pæren. Den elektromagnetiske stråling (se afsnit 3.2) bestårdels af synligt lys (2 - 5% af energien, afhængigt at glødetrådens tempera-tur) samt af varmestråling (infrarød stråling, ca. 90% af energien).

En bilmotor, der yder 70 kW (det samme som 95 hk4) forbruger kemiskenergi fra benzin med en effekt på 250 kW idet en benzinmotor i bedstefald leverer 25 – 30% af den forbrugte kemiske energi tilbage i form af me-kanisk arbejde.

3Nu forbudt iflg. et EU direktiv. I stedet skal man benytte lavenergipærer eller LED’er4hk (hestekræfter) har ikke noget at gøre med kraft, men er et mål for den effekt motoren kan levere i

form af mekanisk arbejde. Omregningsfaktoren er 1 hk = 735,5 W

1.9. Effekt 25

Ligning 1.35 giver i øvrigt forklaringen på, at en bil er dårligere til at accele-rere, når den i forvejen kører hurtigt. Dette har selvfølgelig også noget at gø-re med luftmodstanden, der vokser med bilens hastighed, så der bliver min-dre og mindre kraft til rådighed for selve accelerationen: Det, der bestem-mer accelerationen er den resulterende kraft, Fres. = Fhjulene−Fluftmodstand.Men selv uden luftmodstand ville accelerationen blive mindre ved stigendehastighed. Bilens acceleration a er givet ved Newtons 2. lov, Fres. = m · a,som indsat i ligning 1.35 giver P = m ·a · v. Heraf følger, at

a =P

m · v

hvor P er den effekt bilens motor yder og m er bilens masse. Man ser heraf,at jo større hastigheden v er, jo mindre acceleration får man ud af motorenseffekt.


Opgaver

Opgave 1.1En bil, kommer kørende med 60 km/time, og udsættes for en frontal kollision, hvorvedden stoppes på 0,25 s.

a: Hvad sker der med passagererne, hvis de ikke bærer sikkerhedsseler?Hvilket fysisk princip anvendte du til at komme til din konklusion?

Antag nu, at de bærer sikkerhedsseler og, som en første tilnærmelse, at accelerationen(der er negativ) er konstant i løbet af de 0,25 s.

b: Hvor stor bliver passagerernes acceleration?

c: Hvor stor er den gennemsnitlige kraft, der virker på kroppen af en passager medmasse 75 kg i løbet af kollisionen?

Opgave 1.2En kontormand kører hver dag til sin arbejdsplads i bil, og hans daglige energibehov er1,00 ·107 J ·døgn−1. En dag beslutter han, at han fra nu af vil cykle på arbejde. Dettemedfører, at han dagligt kommer til at cykle 20 km med en gennemsnitliggnidningsmodstand på 10 N. Hans energibehov bliver dermed forøget til1,10·107 J ·døgn−1.

a: Hvor stor en procentdel af det ekstra energiforbrug bliver omsat til hanscykelarbejde?

Opgave 1.3Forestil dig, at du er ude at lufte din hund, og I er kommet 1 km væk hjemmefra ognetop er på vej hjem, da hunden i et anfald af trods nægter at gå længere. Du forsøgerat lokke hunden ved at love, at den må få en King Size Mars (= 100 gram lækkerchokolade) når I kommer hjem, hvis den vil være så venlig at gå selv. Hunden viser sigubestikkelig da den ved, at hunde ikke kan tåle chokolade, og du må slæbe den hjemved at trække med en kraft på 100 N i vandret retning. Det tager 20 minutter.

a: Hvor stort arbejde udfører du ved at trække hunden hjem (1 km)?

b: Hvor stor er effekten af det udførte arbejde?

1.9. Effekt 27

Træt og fuld af selvmedlidenhed føler du dig berettiget til at spise Mars’en selv. Denindeholder energien 2000 kJ. Idet den slankende effekt af selvmedlidenhed desværre ernoget overvurderet, så skal du

c: lave en nøgtern beregning af hvor mange procent af Mars’en du kan tillade dig atspise, hvis du bare skal kompensere for det ekstra arbejde, du netop har udført.Husk, at musklerne kun er 20% effektive.


Facit til opgaver

Opgave 1.1a: Fortsætter med 60 km/timen til de rammer forruden iflg. Newtons 1. lov: Ingen

sikkerhedsseler ⇒ ingen kraft på passagererne ⇒ uændret bevægelsesmængde(og dermed hastighed) af passagerer.

b: −66,7 m · s−2

c: -5000 N

Opgave 1.2a: 20%

Opgave 1.3a: 105 J

b: 83,33 W

c: Der kan spises 25% af Mars’en

2Drejningsmoment

Begreberne Kraft, arbejde og energi er velkendte, og de fleste der har beskæftiget sigmed fysik i nogle år har en ret klar fornemmelse af, hvad disse begreber står for, oghvordan de anvendes. Anderledes stiller det sig med begrebet drejningsmoment (ogsåkaldet kraftmoment), som kun få har hørt om og endnu færre har en klar forståelse for.Ikke desto mindre er det et centralt begreb i beskrivelsen af samspillet mellem dyrs ellermenneskers skelet og deres muskler. Begrebet er et (næsten uundværligt) hjælpemiddeltil at forstå og beregne kræfter og spændinger i knogler og muskler.

2.1 Mekanisk ligevægtVi skal lige se nærmere på Newtons 2. lov:

~F = m ·~a (2.1)

Den udtaler sig om et ”legeme” med massen m, der påvirkes af en kraft ~F . Herved fårlegemet, eller rettere, legemets massemidtpunkt, accelerationen~a.Den kraft, F , der indgår i Newtons 2.lov er summen af alle de kræfter, der virker pålegemet, dvs. det, der kaldes den resulterende kraft på legemet. På figur 2.1 er vist etlegeme, der er påvirket af fem kræfter, ~F1, . . . , ~F5, der alle angriber i forskellige punkterog har forskellige størrelser og retninger. Vektorsummen ~Fres, af disse kræfter, er denresulterende kraft på legemet og giver det en bevægelse, så massemidtpunktet får enacceleration, der kan beregnes ud fra Newtons 2. lov. ”Beregningen” af den resulteren-de kraft er vist på figuren ved siden af. Hvis summen af alle kræfter, der virker på et

29

30 Kapitel 2. Drejningsmoment

Figur 2.1: Legemet påvirkes af kræfterne ~F1, . . . , ~F5, der angriber i forskellige punkter. På figuren til højreer vist, hvordan den resulterende kraft ~Fres findes ved at ”beregne” vektorsummen. I det viste tilfælde erkræfterne tæt på at ophæve hinanden.

legeme, er nul, har legemets massemidtpunkt derfor accelerationen nul, hvilket vil sige,at legemets masssemidtpunkt enten ligger stille eller bevæger sig jævnt og retlinjet. Ibiologisk sammenhæng er det som regel den første situation, der er relevant. Når denresulterende kraft på et legeme er 0, siges legemet at være i translationsligevægt.

2.2 DrejningsmomentLegemet vist på figur 2.2 er klart i translationsligevægt, da de to kræfter, der virker pådet, er lige store og modsat rettede, så de tilsammen giver nul (vektoren). Men det erogså klart, at legemet vil begynde at dreje sig. Drejningen vil stoppe, når de to kræfterligger i forlængelse af hinanden.For at kunne regne på kræfters evne til at dreje legemer har man indført begrebet drej-ningsmoment, somme tider kaldet kraftmoment. På svensk kaldes det vridningsmoment,hvad der måske bedre giver en forståelse af, hvad det handler om. Begrebet bliver måskelette at forstå hvis man sammenligner kraft og drejeningsmoment:Hvis et legeme er påvirket af en (resulterende) kraft vil det (dvs. dets massemidtpunkt),så længe kraften virker og er forskellig fra 0

• enten ændre hastighed

• eller ændre bevægelsesretning

2.2. Drejningsmoment 31

Figur 2.2: De to kræfter på legemet er lige store og modsat rettede, så deres vektorsum er nul, hvor-for legemets massemidtpunkt ikke bliver accelereret. Men legemet vil til gengæld begynde at dreje sigomkring massemidtpunktet.

• eller begge dele

Hvis et legeme er påvirket af et (resulterende) drejningsmoment vil det, så længe drej-ningsmomentet virker og er forskellig fra 0

• enten ændre omdrejningshastighed

• eller ændre den akse drejningen foregår omkring

• eller begge dele

Der skal tre ting til at definere et drejningsmoment:

1. Størrelsen af kraften

2. Placeringen af omdrejningspunktet, O

3. Placeringen af kraftens angrebspunkt, A

4. Vinklen mellem kraften og linjen OA

Vi kan nu give en mere generel og præcis definition af begrebet drejningsmoment:


Figur 2.3: Man skal forestille sig, at legemet er tvunget til at dreje omkring punktet O, f.eks. ved at derer sat et søm igennem det. Kraften ~F trækker i legemet i angrebspunktet A, der ligger i retning og afstand~r fra O.

Drejningsmoment (eller kraftmoment):Med henvisning til figur2.3 defineres drejningsmomentet M for kraften F medhensyn til omdrejningspunktet O ved ligning 2.2

M = F · r sin(θ) (2.2)

hvor θ angiver vinklen mellem kraften og forbindelseslinjen mellem kraftens an-grebspunkt A og det angivne omdrejningspunkt O.Drejningsmoment har SI-enheden N ·m. Konventionen er, at hvis kraften for-søger at dreje legemet mod uret, er drejningsmomentet positivt, og hvis kraftenforsøger at dreje legemet med uret, regnes drejningsmomentet for negativt.

Bemærk, at størrelsen F sin(θ) udtrykker, hvor stor en del af kraften, der er vinkelret påvektoren~r. Det er med andre ord kun den del af kraften, der er vinkelret på forbindel-seslinjen OA, der bidrager til drejningsmomentet, dvs. forsøger at dreje legemet.I dette tilfælde vil drejningen stoppe, når forbindelseslinjen OA ligger i forlængelse afkraften ~F (de er parallelle, se figur 2.4). Når forbindelseslinjen OA ligger i forlængelseaf kraften ~F er vinklen θ = 180◦, så når legemet når sin stabile position er drejnings-momentet nul (jf. ligning 2.2), idet sin(180◦) = 0. Hvis et legeme er påvirket af flerekræfter samtidig (som vist i figur 2.1) beregnes det samlede drejningsmoment på lege-met (med hensyn til et på forhånd valgt omdrejningspunkt) ved at beregne drejnings-momentet med hensyn til det valgte omdrejningspunkt for hver enkelt kraft og dernæstlægge de beregnede drejningsmomenter sammen. De enkelte drejningsmomenter skalnaturligvis regnes med fortegn. Efterhånden som legemet drejer sig under indflydelseaf kræfterne, ændres det samlede drejningsmoment, indtil det er nul. Legemet siges at

2.3. Eksempel 1 33

Figur 2.4: Kraften har her fået drejet legemet, så forbindelseslinjen OA ligger i forlængelse af kraften.

være i rotationsligevægt når det samlede drejningsmoment på legemet er lig med nul.

Mekanisk ligevægt:Et legeme siges at være i mekanisk ligevægt når to ting er opfyldt:

1. Det er i translationsligevægt (summen af kræfter er nul)

2. Det er i rotationsligevægt (summen af drejningsmomenter er nul for ethvertmuligt omdrejningspunkt)

I biologisk sammenhæng er den relevante situation, at legemet ligger helt stille, dvs.hverken flytter sig (mht. massemidtpunktet) eller drejer sig.

2.3 Eksempel 1Vi skal nu se på et eksempel på, hvad alt dette kan bruges til:Vi ser på en (under-)arm (figur 2.5), der bliver belastet ved at hånden løfter et lod medmassen 10 kg.Afstanden fra albueleddet A til muskelhæftningspunktet B er |AB| = 3 cm, og afstandenfra A til midten af hånden C er |AC| = 30 cm.Underarmen bevæger sig ikke. Det betyder, at der er såvel translationsligevægt som ro-tationsligevægt. Underarmen er vandret og bicepsmusklen er lodret, hvorved den kraft,musklen trækker i underarmen med, også er lodret. Vi vil beregne

1. hvor stor kraft FB, musklen trækker i underarmen med, og

2. hvor stor kraft FA overarmsknoglen presser på underarmsknoglen med.


Figur 2.5: Når bicepsmusklen har en passende spænding, er underarmen i ro, medens den holder loddet,der vejer 10 kg.

For at illustrere brugen af de to ligevægtsprincipper vil beregningerne blive gennemgåetpå tre forskellige måder (men der er også andre måder). Først forsimples figur 2.5,og kræfterne indtegnes i figur 2.6: Underarmen har fysisk kontakt med omgivelserne i

Figur 2.6: En forsimplet udgave af figur 2.5, hvor de relevante kræfter er indtegnet. Overarmsknoglen ertegnet stiplet, men kunne ligeså godt have været udeladt, da vi kun ser på kræfter, der virker på under-armsknoglen.

2.3. Eksempel 1 35

punkterne A, B og C, så det er kun her, der kan virke kræfter (på nær tyngdekraften påselve armen; men den vil vi se bort fra).Vi kan først bemærke, at vi kender én kraft, nemlig FC, idetFC = m ·g = 10 kg ·9,82 m · s−2 = 98,2 N.

Metode 1 (A som omdrejningspunkt)Først benyttes rotationsligevægt: Summen af drejningsmomenter mht. ethvert punkt ernul. Vi kan altså vælge omdrejningspunktet som vi selv vil. Beregningerne bliver let-test, hvis man vælger enten A, B eller C, men alle andre punkter er brugbare, selvomberegningerne bliver mere besværlige. For at beregne FB, kan man med fordel vælgealbuepunktet A som omdrejningspunkt.Rotationsligevægt kan så udtrykkes:

−|AC| ·FC · sin(θC)+ |AB| ·FB · sin(θB)+ |AA| ·FA · sin(θA) = 0 (2.3)

eller, med nogle af de kendte størrelser indsat

−|AC| ·FC · sin(90◦)+ |AB| ·FB · sin(90◦)+0 ·FA · sin(θA) = 0 (2.4)

som giver

−|AC| ·FC + |AB| ·FB = 0 (2.5)

Heraf findes muskelkraften: FB =|AC|·FC|AB| =

98,2 N·0,3 m0,03 m = 982 N

Bemærk, at kraften FA ikke kan findes af denne ligning, da FA er blevet ganget med 0i ligning 2.4. Hvis man vil bruge rotationsligevægt til at beregne størrelsen af en kraft,kan man altså ikke benytte denne krafts angrebspunkt som omdrejningspunkt. Her kanvi til gengæld benytte:Translationsligevægt: ~FA + ~FB + ~FC =~0.Da kræfterne ~FB og ~FC ikke har nogen vandret komposant, har kraften ~FA det hellerikke, da summen er~0. Det betyder, at også ~FA er lodret. Translationsligevægten kan såudtrykkes

FA−FB +FC = 0 (2.6)

hvormed størrelsen af kraften ~FA findes:FA = FB−FC = 982 N−98,2 N = 883,8 NVi prøver nu at foretage beregningerne på en lidt anden måde:


Metode 2 (B som omdrejningspunkt)Vi kender FC og ønsker at finde FA og FB. Vælg punktet B som omdrejningspunkt:Rotationsligevægt kan så udtrykkes:

|AB| ·FA · sin(θA)−|BB| ·FB · sin(θB)−|BC| ·FC · sin(θC) = 0 (2.7)

eller|AB| ·FA · sin(90◦)−0 ·FB · sin(90◦)−|BC| ·FC · sin(90◦) = 0 (2.8)

som giver|AB| ·FA−|BC| ·FC = 0 (2.9)

Heraf findes størrelse af kraften ~FA:FA =

|BC|·FC|AB| =

(0,3 m−0,03 m)·98,2 N0,03 m = 883,8 N

Bemærk, at kraften FA her blev fundet uden brug af translationsligevægt. Til gengældkan vi nu ikke finde kraften FB, da den udgår af beregningerne (pga. multiplikation med0 ligning 2.8). Men vi benytter så translationsligevægt (ligning 2.6) igen, hvoraf FB fin-des.FB = FA +FC = 883,8 N+98,2 N = 982 N

Metode 3 (C som omdrejningspunkt)Det er også muligt at benytte punktet C som omdrejningspunkt, men udregningernebliver lidt mere besværlige, da den kendte kraft, FC, udgår af ligningen for rotationsli-gevægt:

|AC| ·FA · sin(θA)−|BC| ·FB · sin(90◦)+ |CC| ·FC · sin(90◦) = 0 (2.10)

der kan skrives som

|AC| ·FA−|BC| ·FB · sin(90◦)−0 ·FC · sin(90◦) = 0 (2.11)

hvormed|AC| ·FA−|BC| ·FB = 0 (2.12)

Sammen med ligningen 2.6 for translationsligevægt udgør ligning 2.12 et lineært lig-ningssystem (”to ligninger med to ubekendte”):

|AC| ·FA−|BC| ·FB = 0 (2.13)−FA +FB = FC (2.14)

2.4. Eksempel 2 37

Indsættelse af de kendte størrelser giver:

(0,30 m) ·FA− (0,27 m) ·FB = 0 (2.15)−FA +FB = 98,2 N

Ligningssystemet kan f.eks. løses ved først at gange den nederste ligning med 0,3 m påbegge sider af lighedstegnet:

(0,30 m) ·FA− (0,27 m) ·FB = 0 (2.16)−(0,30 m) ·FA +(0,30 m) ·FB = (0,30 m) ·98,2 N

og dernæst lægge de to ligninger sammen:

(0,30 m−0,30 m) ·FA +(0,30 m−0.27 m) ·FB = (0,30 m) ·98,2 N (2.17)

hvormed(0 m) ·FA +(0,03 m) ·FB = (0,30 m) ·98,2 N (2.18)

så

FB =(0,30 m) ·98,2 N

0,03 N= 982 N (2.19)

Indsættelse af dette resultat i den anden af ligningerne i 2.15, giver så

FA = 982 N−98,2 N = 883,8 N (2.20)

2.4 Eksempel 2Vi ser nu igen på en arm, men antager nu ikke som i eksempel 1, at alle vinkler er 90◦.Se på figur 2.7. Lad os sige, at θB = 120◦ og θC = 70◦. Loddet har stadig massen 10kg og alle længder er som i eksempel 1. Lad os igen beregne størrelsen af musklenstræk FB i underarmen. Igen kan det gøres på utallige måder, afhængigt af hvor man væl-ger sit omdrejningspunkt. Vælg omdrejningspunktet til at være A, svarende til metode1 i eksempel 1. Med albuepunktet A som omdrejningspunkt kan rotationsligevægt såudtrykkes:

|AC| ·FC · sin(θC)−|AB| ·FB · sin(θB)+ |AA| ·FA · sin(θA) = 0 (2.21)

Bemærk, at leddene har modsat fortegn af, hvad de havde i eksempel 1, metode 1.Årsagen er, at tegningen nu er vendt modsat, så tyngdekraften FC nu drejer underarmenmod uret og muskelkraften FB nu drejer underarmen med uret. eller, med |AA| = 0indsat:

|AC| ·FC · sin(θC)−|AB| ·FB · sin(θB) = 0 (2.22)


Figur 2.7: En arm hvor underarmen er løftet, så tyngdekraften på loddet nu ikke længere danner en retvinkel i forhold til armen. Og over-og underarm danner nu en vinkel med hinanden, så musklens trækkraftikke er vinkelret på underarmen.

2.4. Eksempel 2 39

Heraf findes muskelkraften:

FB =|AC| · sin(θC) ·FC|AB| · sin(θB)

=(0,3 m) · sin(70◦) ·98,2 N

(0,03 m) · sin(120◦)= 1056,5 N


Opgaver

Opgave 2.1Skinnebensknoglen kan holde til at blive vredet med et drejningsmoment på mellem50 N ·m og 250 N ·m afhængigt af alder, køn, mineralisering m.m. Antag, at foden erspændt fast på midten af en ski, der er 2,0 m lang.

a: Beregn, hvor stor kraft vinkelret på skispidsen (i vandret plan) der skal til for atbrække underbenet på en skiløber (én beregning for hvert af de to tilfælde).

b: Hvor stor masse skulle et lod have for at tyngdens træk i loddet svarer til kraftenberegnet i spørgsmål a? (Ét svar for hver kraft).

Opgave 2.2Figur 2.8 forestiller en arm med biceps. Loddet, der hviler på hånden, har massen10 kg. Dimensionerne er følgende:|SM| = 25 cm, |AM| = 4 cm, |AH| = 30 cmUnderarmen er vandret, og vinklen θM = 90◦

Figur 2.8

a: Hvor stor en kraft holder bicepsmusklen?

Nu strækkes armen lidt, så underarmen stadig er vandret, men vinklen θM = 150◦

b: Hvor stor en kraft holder bicepsmusklen nu?

Til slut løftes hånden og albuen ved at dreje i skulderen, så underarmen kommer til atdanne vinklen 30◦ i forhold til vandret (se figur 2.9). Vinklen θM = 150◦, stadigvæk.

2.4. Eksempel 2 41

Figur 2.9

c: Hvor stor en kraft holder bicepsmusklen nu?

d: Hvor stor er den kraft, overarmsknoglen påvirker albueleddet med under sammeforhold som under spørgsmål a? (altså som figur 2.8)

Opgave 2.3Den hastighed, hvormed skeletmuskulaturens fibre (maksimalt) kan trække sigsammen, afhænger af, hvor stor ydre belastning, de skal overvinde. Figur 2.10 viser enprincipskitse af sammenhængen mellem størrelsen af den ydre belastning F på énmuskelfiber og den hastighed v, hvormed den kan trække sig sammen. Sammenhængener givet ved udtrykket

v = a · F0−FF1 +F

(2.23)

hvor a = 72 mm · s−1, F0 = 400 µN, og F1 = 300 µN.Figur 2.11 viser en skitse af en arm, hvor afstanden |AC| = 3 cm og afstanden |BC| = 30cm. Bicepsmusklen M består af 4 ·106 parallelforbundne muskelfibre af typenbeskrevet ved ovenstående ligning. Vi ser i opgaven bort fra massen af selveunderarmen.

a: Vis, at musklen maksimalt kan trække sig sammen med hastigheden 96 mm · s−1,og at den enkelte fiber højst kan trække med en kraft på 400 µN.

b: Beregn, hvor stor kraft musklen i belastes med, når et lod med massen 15 kgophænges i punktet B.

c: Beregn, hvor stor kraft overarmsknoglen påvirker underarmsknoglen med ipunktet C, når der hænger et lod med massen 15 kg i punktet B. (Hvis du ikkehar svaret på spm. b, kan du sætte belastningen på musklen til 1450 N).


d: Hvor lang tid tager det (mindst) for musklen at trække sig 1 cm sammen (punktetA løfter sig 1 cm), når der hænger 15 kg i B?

Når en muskelfiber trækker sig sammen med hastigheden v, medens den overvinderden ydre kraft F , udfører den et arbejde med effekten P = F · v .

e: Ved hvilken sammentrækningshastighed yder muskelfiberen den maksimaleeffekt?(Vink: Skitsér en graf af P som funktion af v ved at vælge nogle værdier for F ogdernæst beregne de tilhørende værdier for v og P).Man kan også løse opgaven analytisk. Det nemmeste er, at isolere kraften F iligning 2.23, så den udtrykkes som funktion F(v) af hastigheden v. Lav dernæsten funktionsundersøgelse af funktionen f (v) = v ·F(v).

Figur 2.10 Figur 2.11

2.4. Eksempel 2 43


Facit til opgaver

Opgave 2.1a: 50 N

250 N

b: Hvis Fmax = 50 N er m = 5,09 kgHvis Fmax = 250 N er m = 25,46 kg

Opgave 2.2a: 736,5 N

b: 1473 N

c: 1275,7 N

d: 638,3 N

Opgave 2.3a: 96 mm · s−1

Maximalt træk når F =400 µN

b: (−)1473 N

c: 1326 N

d: 2,9 s

e: Se figur 2.12: ca. 40 mm · s−1For de ambitiøse/nysgerrige: Opgaven kan også løses eksakt algebraisk.Den eksakte løsning er (72 mm · s−1) · (

√7/3−1)≈ 38,0 mm · s−1

2.4. Eksempel 2 45

Figur 2.12

3Varme

Hovedformålet med dette kapitel er at beskrive hvordan levende organismer opretholderen relativt konstant legemstemperatur.

3.1 TemperaturMennesker og dyr har specialiserede nerveceller, termoreceptorer, der reagerer på var-me og kulde. Man kender mindst 6 forskellige termoreceptorer. Varmt og koldt refererertil sanseindtryk. De er et groft mål for hvad vi også kalder temperatur. Men termore-ceptorerne giver ikke noget pålideligt eller reproducerbart mål for nogen egenskab vedstof. Hvis man holder den venstre hånd ned i vand med en temperatur på 10 ◦C og denhøjre hånd ned i vand med temperaturen 40 ◦C vil de føle hhv. varme og kulde. Mentermoreceptorerne tilpasser sig påvirkningen, så hvis man efter et minut holder beggehænder ned i vand med temperaturen 25 ◦C vil den venstre hånd føle det som varmtmedens den højre hånd vil føle det som koldt. Desuden er nogle af termoreceptorernefølsomme for visse kemiske forbindelser: Varmereceptoren TRPV1, der aktiveres vedtemperaturer over 43 ◦C aktiveres også af syre (H+-ioner), kamfer og af capsaicin, detaktive stof i chilepeber. Kuldereceptoren TRPM8, der aktivieres ved temperaturer under28 ◦C reagerer også på mentol. Man forsøgte derfor i mange år at finde metoder til atmåle varme og kulde kvantitativt, men ført med opfindelsen af kviksølvtermometeret(Daniel Gabriel Fahrenheit 1724) blev det praktisk muligt at måle temperaturer repro-ducerbart. Fahrenheit indførte også sin egen temperatureskala (inspireret af arbejder afGalilei og Ole Rømer). Fahrenheit skalaen har undergået mindre ændringer nogle gange

47

48 Kapitel 3. Varme

siden, den blev indført, men er nu fastlagt ved to temperaturfixpunkter: Is smelter ved32 ◦F og vand koger ved 212 ◦F.Nogle år senere indførte Anders Celsius en anden skala, der bærer hans navn. Dennevar i mange år defineret ved de to temperaturfixpunkter: Is smelter ved 0 ◦C og vandkoger ved 100 ◦C. Definitionen er nu baseret på kelvinskalaen (se nedenfor), der bla erbaseret på at vands tripelpunkt1 er 0,01 ◦C. I mange år var Fahrenheit skalaen den mestbenyttede i engelsktalende lande, men i dag er det næsten kun USA der benytter den.Stort set resten af verden benytter celsiusskalaen.

KelvinskalaenEfterhånden blev man opmærksom på, at temperaturer ikke kunne blive vilkårligt lave,eller med andre ord, at der fandtes en mindste temperatur. Omkring 1848 blev det be-regnet, at den lavest mulige temperatur måtte være ca. −273 ◦C. Dette betyder, at dettil mange videnskabelige formål er mere naturligt at benytte en temperaturskala, derhar sit nulpunkt ved den lavest mulige temperatur. Dette gav anledning til kelvinskala-en, der oprindeligt skulle have samme afstand mellem kelvintemperaturerene som dervar mellem temperatur-inddelingerne i celsiusskalaen. Kelviskalaen er nu defineret vedto fixpunkter: Det absolutte nulpunkt, 0 K og at vands tripelpunkt er præcis 273,16 K.Herved kommer vands kogepunkt ikke ind i billedet og det viser sig da også, at meddenne definition bliver vands kogepunkt ikke præcis 100 ◦C men 99,9839 ◦C, hvad derikke har den store praktiske betydning. Vi kan derfor skrive sammenhængen mellemcelsiusskalaen og kelvinskalaen:

Sammenhængen mellem celsius og kelvin skalaerne:

kelvintemperatur = celsiustemperatur+273.15 (3.1)

En temperaturforskel på 1 K er også en temperaturforskel på 1 ◦C

Temperatur måles med et termometer, der kan være udformet meget forskelligt. Ter-mometre kan være baseret på mange forskellige principper, f.eks.:

• Varmeudvidelse af en væske (f.eks. kviksølv eller sprit)

• Forskel i varmeudvidelse mellem to sammensvejste metaller

• Ændring af elektrisk modstand ved temperaturændring1Vands tripelpunkt er den temperatur, hvor vanddamp, flydende vand og is eksisterer samtidig.

3.1. Temperatur 49

• Dannelse af elektrisk spændingsforskel mellem to punkter hvor forskellige metal-ler er loddet sammen

• Måling af den udsendte varmestråling

De fleste laboratorietermometre har (ligesom vejrtermometre) en nøjagtighed på ca.1 ◦C. Dyre termometre og termometre med lille temperaturområde (til lægelig brug)har en nøjagtighed på ca. 0,1 ◦C. Det er meget vanskeligt at måle temperatur med ennøjagtighed, der er bedre end 0,01 ◦C.

Varme og temperatur

I daglig tale er varme og temperatur næsten synonyme. I fysikken betyder begrebernenoget vidt forskelligt:

Varme En af formerne for energi

Temperatur Det, man måler med et termometer.

Vi skal senere se, at et stofs temperatur blot er et mål for molekylernes gennemsnitligekinetiske energi.Varme kan opbevares på flere forskellige måder: Ved at forøge temperaturen for et ob-jekt, ved at smelte materiale og opbevare det smeltede eller ved af fordampe materialeog opbevare det fordampede. Vi ser på de tre måder hver for sig:

Varme ved temperaturændring

Det var den engelske fysiker og ølbrygger, James Prescott Joule der gennem en række– dengang kontroversielle forsøg – op igennem 1800-tallet beviste at varme er en formfor energi. Han bestemte hvor meget mekanisk arbejde, det krævede at varme en givenmængde vand op og nåede til en værdi af omregningsfaktoren, der lå mindre en 0,5%fra den værdi, der er den accepterede i dag. Den accepterede værdi i dag er, at detkræver 4,1855 J at forøge temperaturen af 1 gram vand fra 14,5 ◦C til 15,5 ◦C. Dennevarmemængde kaldtes også 1 calorie (1 cal). Denne enhed er stadig i brug i dag indenforvisse fag, selvom den jo ikke er en SI-enhed. Indenfor ernærings- og fødevarevidenskaber en almindelig anvendt enhed for energiindholdet i fødemidler Cal (skrevet med stortC), der er det samme som 1000 cal. Altså:

50 Kapitel 3. Varme

Stof ckJ ·kg−1 ·K−1

vand 4,18is 2,09ethyl alkohol 2,72olivenolie 1,97organismens væv 3,47lithium 3,58jern 0,45bly 0,13luft 1,01

Tabel 3.1: Specifikke varmekapaciteter for en række stoffer, de fleste ved 25 ◦C. Værdien for luft gælderved konstant tryk (1 atm). Værdien for organismens væv er en gennemsnitsværdi.

Sammenhængen mellem Cal, cal, og joule:

1 cal er den varmemængde, der går til at opvarme 1 gram vand fra 14,5 ◦C til15,5 ◦C

1 Cal = 1000 cal = 1 kcal

1 cal = 4,1855 J

Varmeenergi betegnes traditionelt med symbolet Q.

Hvis en portion af et materiale (det kan være f.eks. vand, fedt, egetræ, gummi ellernoget helt femte) med massen m tilføres varmemængden Q uden at der smelter ellerfordamper noget vil temperaturen ændre sig fra Tfør til Tefter, dvs. med værdien ∆T =Tefter−Tfør. Forholdet

Qm ·∆T

= c (3.2)

kaldes den specifikke varmekapacitet for materialet. SI-enheden er J ·kg−1 ·K−1Denspecifikke varmekapacitet er en materialekonstant, ligesom f.eks. et stofs densitet. Li-gesom et stofs densitet afhænger noget (lidt) af temperaturen, gør den specifikke var-mekapacitet det også. For vand er det klart, at c = 4,1855 ·103 J ·kg−1 ·K−1. Tabel 3.1viser specifikke varmekapaciteter for nogle udvalgte stoffer. Af alle biologisk relevantestoffer har vand den højeste specifikke varmekapacitet.Ud fra definitionen på specifik varmekapacitet (ligning 3.2) kan man beregne hvor me-

3.1. Temperatur 51

gen energi en temperaturstigning i et givet materiale kræver:

Sammenhængen mellem temperaturstigning ∆T og varmetilførsel Q:

Q = c ·m ·∆T (3.3)

hvor m er stoffets masse og c er stoffets specifikke varmekapacitet

I et isoleret system, hvor der ikke foregår smeltning, fordampning eller udføres me-kanisk eller andet arbejde kan princippet om energiens bevarelse bruges til at bereg-ne temperaturændringer for et systems komponenter: Figur 3.1 viser et isoleret systembestående af vand med massen m1 og temperaturen T1 samt et andet materiale medmassen m2 og temperaturen T2. Hvis stoffet med massen m2 kommes ned i vandet, vil

Figur 3.1: To stoffer med masse m1 og m2, temperatur T1 og T2 befinder sig i et isoleret system. Debringes i varmekontakt med hinanden og opnår ved temodynamisk ligevægt ligevægtstemperaturen ellerblandingstemperaturen T3

varmeenergi flyde fra stoffet med højest temperatur til stoffet med lavest temperatur.Til sidst (efter i princippet uendelig lang tid, men i praksis meget kort tid) opstår dertermodynamisk ligevægt og de to stoffer opnår en fælles temperatur T3. Det ene stofmodtager varmeenergien Q1 = c1 ·m1 · (T3−T1) og det andet stof modtager varmeener-gien Q2 = c2 ·m2 · (T3−T2), hvor c1 og c2 er de to stoffers specifikke varmekapaciteter.Da de to stoffer udgør et isoleret system, er den samlede energitilvækst lig nul, dvs.Q1 +Q2 = 0 eller

c1 ·m1 · (T3−T1)+ c2 ·m2 · (T3−T2) = 0

Heraf fås ligevægtstemperaturen T3, også somme tider kaldet blandingstemperaturen:

52 Kapitel 3. Varme

Beregning af ligevægts- eller blandingstemperatur:

T3 =c1 ·m1 ·T1 + c2 ·m2 ·T2

c1 ·m1 + c2 ·m2(3.4)

hvor to stoffer bringes i varmekontakt med hinanden. Stofferne har masse m1 ogm2, specifikke varmekapaciteter c1 og c2 samt begyndelsestemperaturer T1 og T2.Det er uden betydning om temperaturerne alle angives i enheden ◦C eller i K.

Ligningen 3.4 kan anvendes til f.eks. at beregne temperaturen der opnås når to væs-ker med forskellig temperatur blandes eller den temperatur en organisme opnår ved atindtage en given mængde vand ved en given temperatur. Ved sådanne anvendelser an-tager man, at blandingen foregår så hurtigt, at varmeudveksling med omgivelserne kannegligeres i det tidsrum det tager for blandingens komponenter at opnå termodynamiskligevægt med hinanden. Altså at vi i løbet af den korte blandingstid kan opfatte de tostoffer som et isoleret system.

Varme og faseovergange

Ovenfor har vi set på, hvordan energitilførsel til et stof giver anledning til at stoffetstemperatur stiger, hvis ikke der sker smeltning eller fordampning af stoffet.Man kalder stoffets tilstansformer for faser af stoffet. Stof kan befinde sig i (højst)tre forskellige faser: Fast, flydende og gasformig. Nogle stoffer kan ikke befinde sig iandet en fast form, da de dekomponerer hvis man forsøger at smelte dem ved at varmedem op. Dette gælder mange organiske forbindelser samt biologisk væv. I forbindelsemed faseovergange, sker der optagelse eller frigivelse af varmeenergi. Faseovergangenekaldes:

Smeltning: Fast til flydende form (kræver energi)Størkning: Flydende til fast form (afgiver energi)Fordampning: Flydende form til gas (kræver energi)Fortætning: Gas til flydende form (afgiver energi)Sublimation: Fast form til gas (kræver energi)Deposition: Gas til fast stof (afgiver energi)

Faseovergange foregår uden at temperaturen ændrer sig. Energitilførslen går til at bringeen del af stoffet i en anden tilstandsform. Hvis tilførsel af varmemængden Q smeltereller fordamper massen m af stoffet ved konstant temperatur, er forholdet

Qm

= L (3.5)

3.1. Temperatur 53

konstant for et givet stof og for en given type faseovergang. Forholdet L har SI-enhedenJ ·kg−1 og kaldes stoffets specifikke smeltevarme eller stoffets specifikke fordampnings-varme. Det er kun smeltevarme og fordamningsvarme for vand, der har nogen biologiskbetydning. Medens den specifikke smeltevarme for vand (is) kun er relevant ved tem-peraturen 0 ◦C, kan vand fordampe ved alle temperaturer, selv under 0 ◦C, hvor der såer tale om sublimation. Tabel 3.2 viser den specifikke fordampningsvame for vand vedforskellige temperaturer. Vi kalder for klarheds skyld fordampningsvarmen for Lv→d ogsmeltevarmen for Li→v Man ser, at der er en tendens til at fordampningsvarmen aftager

T T Lv→d Li→v◦C K MJ ·kg−1 MJ ·kg−1

0 273 2,50 0,33410 283 2,48 ikke def.20 293 2,45 ikke def.30 303 2,43 ikke def.37 310 2,41 ikke def.40 313 2,41 ikke def.50 323 2,38 ikke def.70 343 2,33 ikke def.

100 373 2,26 ikke def.

Tabel 3.2: Den specifikke fordampningsvarme for vand ved forskellige temperaturer, samt den specifikkesmeltevarme for is.

lidt med stigende temperatur.Ved brug af ligning 3.6 samt et stofs specifikke faseovergangsvarme (smeltevarme ellerfordampningsvarme) kan man beregne den nødvendige energi til smeltning eller for-dampning:

Energiforbrug ved smeltning eller fordampning:

Q = m ·L (3.6)

hvor m er massen af det fordampede eller smeltede stof og L er den specifikkesmelte- eller fordampningsvarme.

54 Kapitel 3. Varme

3.2 Organismers varmereguleringPattedyr og fugle skal have en kropstemperatur for at fungere, der ligger indenfor snæv-re rammer, som regel mellem 36 ◦C og 40 ◦C afhængigt af dyret. Fisk og krybdyr kanklare sig ved omgivelsernes temperatur i et noget større temperaturinterval. Da omgi-velsernes temperatur kan variere stærkt og dyr og mennesker også kan blive opvarmetved at opholde sig i solen, er det vigtigt for sådanne organismer at kunne regulere derestemperatur, så den hverken bliver for lav eller for høj. For at beskrive hvordan, detteforegår skal vi først se på, hvordan varme(energi) flytter sig, altså hvilke forhold, derbestemmer hvor meget varmeenergi der flytter sig og hvor hurtigt, det sker.

Varme (varmeenergi) har den egenskab, at den flytter sig mellem steder, der har for-skellig temperatur, men varme kan også flytte sig af andre grunde, som vi kommer indpå nedenfor. Når det drejer sig om levende væseners temperaturregulering handler detegentlig om regulering af transporten af varme mellem organismen og omgivelserne.Varmetransport foregår i princippet ved fire forskellige mekanismer:

• Konduktion

• Konvektion

• Evaporation

• Elektromagnetisk stråling

Vi gennemgår de fire mekanismer én ad gangen. Der er en oversigt over de fire princip-per i enden af kapitlet.

KonduktionKonduktion hedder også varmeledning og somme tider varmediffusion. Konduktionkræver direkte, fysisk kontakt mellem de stofdele, der udveksler varme.

Varmeledning gennem flere lag

Dette afsnit handler om varmetransport gennem lagdelt materiale. Det drejer sig først ogfremmest om transport gennem forskellige vævslag, såsom underhudsfedt eller pels hosdyr. Formalismen kan selvfølgelig også benyttes i en plantefysiologisk sammenhæng tilat beskrive transporten af varme gennem forskellige jordlag. Jordlagene, der eventueltkan være dækket af et lag sne, kan have forskellig tykkelse og forskellig varmelednings-evne.Vi ser først på varmeledning gennem et plant lag med tykkelsen x og tværsnitsarealetA (se figur 3.2). Temperaturen på de to sider af materialet er hhv. T1 og T2. Mængden

3.2. Organismers varmeregulering 55

Figur 3.2: Varmestrømmen Q̇ er bestemt af temperaturforskellen mellem de to sider af materialet, var-meledningsevnen λ tykkelsen x og tværsnitarealet, A

af varmeenergi, der strømmer gennem et materiale afhænger af flere faktorer: Det, derdriver varmeenergien, er temperaturforskellen mellem de to sider af materialet. Jo størretemperaturforskel T1−T2 = ∆T , jo større bliver varmetransporten. Jo større tværsnitsa-real og jo tyndere materiale desto større bliver varmetransporten. Og endelig: Jo længeretid temperaturforskellen opretholdes jo mere varme transporteres der selvfølgelig. Dettebetyder, at det er relevant at se på, hvor meget varmeenergi, der transporteres pr. tidsen-hed (dvs. effekten. Dette kaldes varmestrømmen og betegnes Q̇. SI-enheden for varme-strømmen er W (watt). Prikken ovenover Q symboliserer, at vi ser på Q pr. tidsenhed,altså at

Q̇ =dQdt

Skrivemåden er almindelig i fysikken, når der er tale om differentiation mht. tiden. Var-mestrømmen Q̇ er givet ved det simplest mulige udtryk der afspejler de nævnte egen-skaber for varmetransport:

Varmestrømmen ved konduktion gennem ét lag materiale:

Q̇kond. = A ·λ ·T1−T2

x(3.7)

hvor A er (tværsnits-) arealet, varmen passerer igennem, og x er tykkelsen afmaterialet, altså afstanden mellem fladerne, der har temperatur hhv. T1 og T2.Størrelsen λ kaldes for materialets varmeledningsevne.

56 Kapitel 3. Varme

Materiale Varmeledningsevne, λ( W ·m−1 ·K−1)

Luft 0,026Hydrogen 0,183Vand 0,596Is (0 ◦C) 2,22Ethanol 0,15Fedt 0,2Pels 0,035Kork 0,05Glas 1Jern 80Aluminium 239Sølv 418Guld 312Kobber 390

Tabel 3.3: Varmeledningsevnen λ for nogle udvalgte materialer ved temperaturen 20 ◦C, på nær for is.

Værdien afhænger af varmeledningsevnen λ afhænger af, hvilket materiale varmenstrømmer igennem. Hvis vi omskriver ligning 3.7 til λ = Q̇kond.·x(T1−T2)·A ser vi, at SI-enhedenfor varmeledningsevne er W ·m−1 ·K−1. Hvis varmeledningsevnen er et ”stort” tal, si-ger man, at materialet er en god varmeleder. Eksempler på gode varmeledere er metaller,med sølv, guld, kobber og aluminium som nogle af de bedste. Årsagen til, at metallerleder varmen godt er den samme som at metaller leder eletrisk strøm godt, nemlig, atmetaller indeholder fri elektroner, altså elektroner, der ikke er bundet til noget enkeltatom. Disse fri elektroner kan bevæge sig gennem metallet og udveksle kinetisk energimed hinanden og med atomerne i metalgitteret. Hvis varmeledningsevnen er et lille tal,siges materialet at være en dårlig varmeleder eller en god varmeisolator. Eksempler pågode isolatorer er materialer, der er elektriske isolatorer, dvs. ikke er metaller. De bedsteisolatorer er materialer, der indeholder meget luft, da luft i sig selv er en fremragendeisolator. I tabel 3.3 er vist varmeledningsevnen for nogle udvalgte materialer.

Vi ser dernæst på varmeledning gennem to parallelle lag med tykkelse hhv. x1 og x2 (sefigur 3.3), der adskiller temperaturerne T1 og T2. De to lag har varmeledningsevne hhv.λ1 og λ2. Temperaturen i grænselaget kaldes T1,2. Den udgår af den færdige formel.

Da der ikke ophobes varmeenergi i materialet, er varmestrømmen gennem de to lag den


Figur 3.3: Varmestrømmen Q̇kond. er bestemt af temperaturforskellen mellem de to sider af materialet,varmeledningsevnerne λ1 og λ2, tykkelserne x1 og x2 samt tværsnitarealet, A. Temperaturen i grænselagetmellem de to materialer er T1,2

samme. Anvendes ligning 3.7 på hvert af de to lag fås

Q̇kond. = A ·λ1 ·T1−T1,2

x1(3.8)

= A ·λ2 ·T1,2−T2

x2

hvor T1,2 er temperaturen i grænselaget. Hvis man løser ligningerne 3.8 mht. tempera-turforskellen fås

T1−T1,2 =Q̇kond.

A· x1

λ1og (3.9)

T1,2−T2 =Q̇kond.

A· x2

λ2(3.10)

Når man adderer ligningerne 3.9 og 3.10 går temperaturen i grænselaget ud, og man får

T1−T2 =Q̇kond.

A·(

x1λ1

+x2λ2

)(3.11)

som løses mht. Q̇, hvorved vi får udtrykket for varmestrømmen gennem to materialelagmed forskellig tykkelse og varmeledningsevne:

Q̇kond. = A ·T1−T2x1λ1+ x2λ2

(3.12)

58 Kapitel 3. Varme

Bemærk at ligningen 3.7 for varmestrømmen gennem et enkelt lag kan skrives på for-men

Q̇kond. = A ·T1−T2

xλ

Forskellen på dette udtryk og ligning 3.12, er antallet led i nævneren, der åbenbart svarertil antallet af materialelag. Det er derfor let at indse, at udtrykket 3.11 for to lag kangeneraliseres til at gælde for varmestrømmen gennem n lag:

Varmestrømmen gennem flere lag:

Q̇kond. = A ·T1−Tn

x1λ1+ x2λ2

+ · · ·+ xnλn(3.13)

hvor T1 og Tn er temperaturerne på hver sin side af de n lag af forskellige mate-rialer, x1, x2, . . . ,xn er tykkelserne og λ1, λ2, . . . ,λn er varmeledningsevnerne forde n forskellige lag.

KonvektionVed konvektion flyttes varmen fra et objekt til et andet ved at det ene objekt opvar-mer luften (eller vandet, hvis det er det mellemliggende medium) ved direkte kontakthvorefter luften (eller vandet) flytter sig til et sted hvor et andet objekt med en laveretemperatur end luften befinder sig. Her afgiver luften så noget af sin varmeenergi til detkoldere objekt ved direkte kontakt (se figur 3.4). Der er altså i forbindelse med kon-vektion tale om, at varme bliver flyttet ved at et stof (luften) flytter sig. Eksempler påvarmetransport ved konvektion er tab af varme i koldt vejr, når det blæser. Man kan godtholde varmen ved en lufttemperatur på 10 ◦C, hvis man bare har en sweater på. Hvis detblæser er dette ikke nok til at holde varmen, da den kolde luft trænger igennem sweate-ren og køler kroppens overflade af.Man skelner mellem

• fri konvektion

• tvungen konvektion

Varmetab ved blæst er et eksempel på tvungen konvektion. Fri konvektion er varmetabved at en varm overflade opvarmer luften, der har kontakt med den, hvorved den udvidersig, bliver lettere og stiger til vejrs. Derved strømmer så kold luft til i stedet, hvorefterden opvarmes, stiger til vejrs, osv. En almindelig radiator fungerer ved fri konvektion


Figur 3.4: Luften (mediet) har temperaturen T1 og strømmer forbi fladen, der har arealet A og overflade-temperaturen T2. Efter at have været i kontakt med fladen har den strømmende luft fået temperaturen T3.I processen er der udvekslet varme mellem fladen og luften med en ”hastighed” Q̇konv = k ·A · (T2−T1),hvor k er konvektionskoefficienten.

medens varmeblæsere fungerer ved tvungen konvektion. Varmetransporten ved konvek-tion kan beskrives ved en simpel ligning:

Varmestrømmen ved konvektion:

Q̇konv. = k ·A · (Toverflade−Tluft) (3.14)

hvor k kaldes konvektionskoefficienten. Den har SI-enheden W ·m−2 ·K−1. Tal-værdien afhænger af bl.a. vindhastigheden og luftens fugtindhold.

EvaporationEvaporation kaldes også for fordampning.Dyr og mennesker benytter evaporation til at skille sig af med overskudsvarme, så deikke bliver overophedede. Fordampningen sker enten fra huden eller fra åndedrætsorga-nerne. Mennesker, heste og mange større pattedyr har svedkirtler, der udskiller væske påhudens overflade, hvorfra den kan fordampe ved at tage varme fra huden. Dyr, der ikkekan svede, f.eks. hunde, katte og svin, fordamper vand fra åndedrætsorganerne ved atgispe overfladisk. Varmemængden Q̇evap, der kan fjernes pr. tidsenhed på denne måde,

60 Kapitel 3. Varme

er givet ved ligning 3.6

Varmestrømmen ved evaporation:

Q̇evap. = Lv→d ·dmdt

(3.15)

hvor differentialkvotienten angiver hvor meget vand, der fordamper pr. tidsenhed(SI-enhed kg · s−1)

På grund af vands store fordampningsvarme er evaporation er en meget effektiv mådeat skaffe varme bort på.

Eksempel: Under ekstrem anstrengelse kan et menneske udvikle varmesvarende til Q̇ = 800 W. For ikke at blive overophedet slipper man af meddenne varmeproduktion primært ved evaporation. Ifølge ligning 3.15 er for-dampningshastigheden fra hud og lunger så givet ved

dmdt

=Q̇evap.Lv→d

=800 W

2,45 ·106 J ·kg−1= 3,2 ·10−4 kg · s−1

Varmen bortskaffes altså ved at fordampe 0,32 g vand pr. sekund svarendetil 1,16 liter i timen.Bemærk, at det er kun den sved, der fordamper, der bidrager til bortskaffelseaf varme. Den sved, der drypper ned på jorden fjerner ingen varme.

Elektromagnetisk strålingDen sidste måde hvorpå varme kan flyttes er ved elektromagnetisk stråling. Ifølge Plan-ck’s strålingslov udsender alle overflader der er varmere end det absolutte nulpunktelektromagnetisk stråling. Det er kun hvis overfladen, der uds

niels bohr institutet – niels bohr institutet - b iofysikogendal/personal/lho/...vinkelhastighed i...

Documents