nie-kommutatiewe sigma model

’n Nie-Kommutatiewe σ-model

M. van den Worm1

1Department FisikaUniversiteit van Pretoria

Studentesimposium in die Natuurwetenskappe

Mauritz van den Worm (UP) ’n Nie-Kommutatiewe σ-model 2011 1 / 39

Uiteensetting

1 Motivering

2 Die Kwantumtorus

3 Derivasies en die gladde *-albegra A∞θ

4 Nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie

5 Eindig dimensionele voorstelling

6 Bestaansstellings


Motivering

Stringteorie - ’n Kort inleiding

Σ

X

ϕ

x

y

t

τ

σ


Motivering


Basiese Ideesϕ : Σ→ XParameterruimte Σ, met koördinate σ en τWêreldtyd X , met d ruimtelike en 1 tyd koördinateArea in wêreldtyd kan beskryf word deur Xµ(τ, σ)

Enige vaste punt in parameterruimte word afgebeeld na

ϕ(τ, σ) =(

X 0(τ, σ),X 1(τ, σ), · · · ,X d (τ, σ)).

τ - tyd op die stringσ - posisie op die string


Motivering

Stringteorie - ’n Kort Inleiding

Vrye puntdeeltjieBeskou die aksie in Lagrange meganikaAksie is direk eweredig aan die werklike tydWerklike tyd = lengte van wêreldlyn in XMinimeer die aksie om bewegingsvergelykings te kryOns het dan al die dinamika van die puntdeeltjie

∂L∂x

=ddt∂L∂x


Motivering


Nambu-Goto-Aksie

SNG = −T0

c

∫ τf

τi

∫ σ1

0

√(∂ϕ

∂τ

∂ϕ

∂σ

)2

−(∂ϕ

∂τ

)2(∂ϕ∂σ

)2

dτdσ

met T0 die spanning in die string en c die spoed van lig.

Werklike Area

Awerklik =

∫ τf

τi

∫ σ1

0

√(∂ϕ

∂τ

∂ϕ

∂σ

)2

−(∂ϕ

∂τ

)2(∂ϕ∂σ

)2

dτdσ.

Minimeer die area om die bewegingsvergelykings te kry.


Motivering

Stringteorie - ’n Kort Inleiding

Polyakov-AksieMeer natuurlike keuse in moderne stringteorie is diePolyakov-Aksie

S = −14πα′

∫ √−hhαβ∂αX µ∂βX νηµνdτdσ

Ekwivalent aan die Nambu-Goto-Aksie en gee dieselfdebewegingsvergelykings


Motivering

Kompaktifisering van die parameterruimte


Motivering

Wat wil ons doen?

Doel:Vervang Σ en X met nie-kommutatiewe C∗-algebrasBepaal nie-kommutatiewe veralgemenings van die Polyakov-AksieBestaan sulke afbeeldings?Konstrueer ’n eindig dimensionele voorstelling


Die Kwantumtorus

Die Kwantumtorus

Konstruksie van AθLaat f ∈ L2(T2) en definieer die operatore

Uf (x , y) = e2πix f(

x , y +θ

2

)Vf (x , y) = e2πiy f

(x − θ

2, y)

Ons kan maklik aantoon dat U en V

UV = e2πiθVU

gehoorsaam en beide unitêr is.


Die Kwantumtorus

Die Kwantumtorus Aθ

Kwantumtorus AθIs die C∗-algebra voortgebrind deur twee unitêre operatore U and V

wat die kommutasie relasie

UV = e2πiθVUgehoorsaam.


Die Kwantumtorus

Die Kwantumtorus

Aθ in die klassieke limietIn die klassieke limiet, θ = 0 reduseer U en V na

U = U(x , y) = e2πix

V = V (x , y) = e2πiy

Verder het ons ook UV = VUDie C∗-algebra voortgebring deur U en V is abelsIn die klassieke limiet het ons A0

∼= C(T2)

Dit verklaar dan ook waarom ons praat van die kwantumtorus


Die Kwantumtorus

Die unieke spoor op Aθ

Kanoniese spoor op AθDefinieer ’n lineêre funksionaal τ as volg: vir enige a ∈ Aθ

τ(a) := 〈Ω,aΩ〉 =

∫aΩ(x , y)dxdy

τ ’n spoor op Aθτ is uniek (...die kanoniese spoor)


Derivasies en die gladde *-albegra A∞θ

Derivasies

Definisie van ’n DerivasieLaat A ’n ∗-algebra wees met δ ’n linêre afbeelding van A na homself.δ is ’n ∗-derivasie as

δ(xy) = δ(x)y + xδ(y),

δ(x∗) = δ(x)∗

vir elke x , y ∈ A.

Waarom derivasies?Ons gebruik derivasies as die veralgemenings van parsiële afgeleideswanneer ons werk met operatorwaardige funksies.



Die gladde *-algebra A∞θ

Definisie van A∞θLaat (A,Rn, α) ’n C∗-dinamiese stelsel wees. Ons sê dat x ∈ A van dieklas C∞ is, as en slegs as die afbeelding g 7→ αg(x) vanaf Rn na diegenormeerde ruimte A, C∞ is (m.a.w alle orde parsiële afgeleidesbestaan en is goed gedefinieer). Die gladde kwantumtorus wordgedefinieer as

A∞θ := a ∈ Aθ : a is van klas C∞ .

So paar opmerkings oor A∞θA∞θ is ’n *-algebraA∞θ is dig in AθOns gaan derivasies op A∞θ definieer



Die derivasies op A∞θ

Derivasies op A∞θLaat a ∈ A∞θ en definieer die volgende

δ1(a) :=ddrαr ,0(a)

∣∣∣∣r=0

, δ2(a) :=ddsα0,s(a)

∣∣∣∣s=0

Ons kan aantoon dat die δi ’s derivasies is vir i = 1,2In die klassieke limiet, θ = 0 sien ons dat

δ1 =∂

∂x, δ2 =

∂

∂y


Nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie

Die nie-kommutatiewe Polyakov-Aksie

Ons begin met die gewone Polyakov-aksie

S =−1

4πα′

∫ √−hhαβ∂αXµ∂βX νηµνdσ1dσ2,

Stel al die konstantes gelyk aan 1Gebruik die Euklidiese metriek vir beide hαβ en ηµνDit stel ons in staat om die aksie te skryf as

S =

∫∂αXµ∂αXµdσ1dσ2.




Laat Σ en Rn die twee dimensionele parameterruimte enwêreldtyd onderskeidelik wees en beskou die afbeelding

g : Σ→ Rn, g(σ1, σ2) =(

X 1(σ1, σ2), · · · ,X n(σ1, σ2))

Stel belang in die algebraïse raamwerkDefinieer die afbeelding

ϕ : C(Rn)→ C(Σ) : f 7→ f g.




Let op dat[∂αeiX 1g

]∗∂αeiX 1g + · · ·+

[∂αx iX ng

]∗∂αeiX ng = (∂αXµ)∗ ∂αXµ

Hierdie lei ons om die volgende unitêre operatore te definieer

Uµ := eiXµ

Waarna ons die Polyakov-aksie kan uitdruk as

S =

∫[∂αϕ(Uµ)]∗ ∂αϕ(Uµ)dσ1dσ2.




Spesialiseer na A0∼= C(T2)-geval

Laat beide Σ en X torusse, T2 weesg en ϕ word

g : T2 → T2

ϕ : C(T2)→ C(T2)

Die voortbringers van A0 word

U1 = U(x , y) = e2πix

U2 = V (x , y) = e2πiy




Die Polyakov-aksie was

S =

∫[∂αϕ(Uµ)]∗ ∂αϕ(Uµ)dσ1dσ2.

Die kanonisie spoor was gedefinieer as

τ(a) =

∫aΩ(σ1, σ2)dσ1dσ2

In die klassieke limiet herskryf ons die aksie as

S = τ [δ1 (ϕ(U))∗ δ1(ϕ(U))δ1 + δ2 (ϕ(U))∗ δ2(ϕ(U))+

δ1 (ϕ(V ))∗ δ1(ϕ(V )) + δ2 (ϕ(V ))∗ δ2(ϕ(V )) ]

waar die δi net die normale parsiële afgeleides is.




Die nie-kommutatiewe Polyakov AksieDie natuurlike verlagemening van die Polyakov-aksie na dienie-kommutatiewe C∗-algebra Aθ word gegee deur

S(ϕ) = τ [δ1(ϕ(U))∗δ1(ϕ(U)) + δ2(ϕ(U))∗δ2(ϕ(U))

+δ1(ϕ(V ))∗δ1(ϕ(V )) + δ2(ϕ(V ))∗δ2(ϕ(V ))]

waar ϕ : AΘ → Aθ en δi normale derivasies is.Ons kan dit herskryf as

S (ϕ) =2∑

k=1

2∑l=1

τ [δk (ϕ(Ul))∗ δk (ϕ(Ul))]

waarU1 := U, U2 := V .


Eindig dimensionele voorstelling

M2(C) geval

Die geval van M2(C)

Beskou die spesiale geval van 2× 2 matrikse met imaginêreinskrywingsBeskou die matrikse

u =

(1 00 −1

), v =

(0 11 0

)wat

uv = qvu, q = exp(

ikr2

)= exp (iπ) = −1

gehoorsaam



M2(C) geval

Beskou *-homomorfie ϕ : M2(C)→ M2(C)

Alle sulke *-homomorfieë moet noodwendig *-outomorfieë wees

Tegniese aspek

Eindige dimensies impliseer B(H) = K (H)

Alle *-outomorfieë van K (H) het die form

AdU : A 7→ UAU∗

waar U ’n unitêre operator in K (H) isSo ons hoef slegs na A 7→ UAU∗ te kyk!




Parametrseer SU(2)

Ons wil graag (nie-kommutatiewe) padintegrale berekenVir ’n normale padintegral neem ons die “som” oor al die veldeHier neem ons die “som” oor alle AdU met U ∈ SU(2)

Parametriseer al die matrikse in SU(2)




Parametriseer SU(2)

Ons kan enige unitêre matriks g ∈ SU(2) uitdruk as ’n funksie vanEuler-hoeke as:

g(φ, θ, ψ) =

(cos θ

2ei φ+ψ2 i sin θ

2ei φ−ψ2

i sin θ2e−i φ−ψ2 cos θ

2e−i φ+ψ2

).

0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ ψ ≤ 4πVerder kan ons ook die maat bepaal

dµ(g) =1

16π2 sin θdθdφdψ met∫

SU(2)dµ(g) = 1




Padinntegral op SU(2)

Die parametrisasie gee al die elemente van SU(2)

Die Polyakov-aksie word nou (met die hulp van Mathematica)geskryf as

S(ϕ) =2∑

k=1

2∑l=1

Tr [δk (gulg∗)∗ δk (gulg∗)]

=1

16r2 e−2i(φ+ψ)[−4(−1 + e4iφ

)(−1 + e4iψ

)cos(θ)−(

1 + e2iφ)2 (

1 + e2iψ)2

cos(2θ)+

4e2i(φ+ψ)(21 + cos(2φ)(1− 3 cos(2ψ)) + cos(2ψ))].




Padintegraal op SU(2)

Padintegraal is maar net ’n partisiefunksieGebruik aksie om partisiefunksie te konstrueer

Z (ϕ) =

∫SU(2)

e−S(ϕ)dµ(g)

=1

16π2

∫ 4π

0

∫ 2π

0

∫ π

0e−S(ϕ) sin θdθdφdψ.

Grafiese voorstelling?




2 4 6 8 10

r

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ZHAdUL

Figuur: Partisiefunksie as ’n funksie van r




2 4 6 8 10

r

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

SminHAdUL

Figuur: Minimum van diepartisiefunksie as ’n funksievan r . Ons kan ’n eksakteformule bepaal: Smin = 4r−2

2 4 6 8 10

r

1

2

3

4

5

SmaxHAdUL

Figuur: Maksimum van diepartisiefunksie as ’n funksievan r . Ons kan ’n eksakteformule bepaal Smax = 6r−2




4.2

4.2

4.2

4.2

4.2

4.2

4.4 4.4 4.4

4.4

4.4 4.4

4.6

4.6

4.6 4.6

4.64.6

4.8

4.8

4.84.8

4.8

4.8

5

5

5

5

5

5

5.2

5.25.2

5.25.2

5.2

5.4

5.4

5.4

5.4

5.4 5.4

5.6

5.6

5.6 5.6

5.65.6

5.8

5.85.8

5.8

5.8

5.8

6 6

6 6

6 6 6 666

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Figuur: Kontoerkromme vandie partisiefunksie vir ψ = 0 enr = 1.

4.24.2

4.24.2

4.2 4.2

4.24.2

4.44.4

4.4

4.4

4.4 4.4

4.44.4

4.64.6

4.64.6

4.64.6

4.64.6

4.8 4.8

4.84.8

4.84.8

4.84.8

5 5

5

5

5

5

5

5

5.2 5.2

5.25.2

5.25.2

5.25.2

5.4

5.4

5.4

5.4

5.4

5.4

5.4

5.4

5.6

5.6

5.6

5.6

5.6

5.6

5.65.6

5.8

5.8

5.8

5.8

5.8

5.8

5.8

5.8

6

66

6 6

6

66

6

6

6

6 6

6

6

6 6

6

6 6

6

6

6

6

66

66

6 6

6 6

6

6

6

6

6

6

0 1 2 3 4 5 6

0

2

4

6

8

10

12

Figuur: Kontoerkromme vandie partisiefunksie vir θ = π

2 enr = 1.




Wat beteken al hierdie?In klassieke σ-modelle het eindige aantal kretieke punteDie kritieke punte is daardie wat die Euler-Lagrange vergelykingsgehoorsaamIn die klassieke benadering sal hierdie die fisiese trajekte weesM2(C)-geval dui dat daar oneindig veel kritieke punte isEikteorie kan moontlik helpTot dusver het die besonderhede ons ontwyk...


Bestaansstellings

Bestaansstellings

Wat is volgende?Vervang Σ en X met onderskeidelik AΘ en AθWaar Θ 6= θ in die algemeenBestaan daar afbeeldings van die form ϕ : AΘ → Aθ?

Sonder sulke afbeeldings kan ons nie’n nie-kommutatiewe σ-model hê nie!


Bestaansstellings

Bestaanstellings

Die bewyse van hierdie stellings is baie tegnies en maak gebruikvan onder andere

C∗-algebrasK-teorie, enMorita ekwivalensie

Die bewyse word nie hier gestaaf nie

Stelling (Eenvoudigste geval)

Kies Θ en θ in (0,1), beide irrasionaal. Daar bestaan ’n unitale*-homomorfie ϕ : AΘ → Aθ, as en slegs as, Θ = cθ + d virc,d ∈ Z, c 6= 0. So ’n *-homomorphism ϕ kan gekies word om ’nisomorfie op sy beeld te wees, as en slegs as, c = ±1.


Bestaansstellings

Bestaanstellings

Stelling (Meer algemene geval)

Kies Θ en θ in (0,1) beide irrasionaal en n ∈ N,n ≥ 1. Daar bestaan ’nunitale *-homomorfie

ϕ : AΘ → Mn(Aθ)

as en slegs as, nΘ = cθ + d vir c,d ∈ Z en c 6= 0. So ’n *-homomorfiekan gekeis word om ’n isomorfie op sy beeld te wees, as en slegs as,n = 1 en c = 1.


Bestaansstellings

Opsomming

Om mee op te som:Kwantumveldteorie en stringteorie benodig streng wiskundigefondasiesNatuurlikste manier is om van operator algebras gebruik te maakHoekom nie-kommutatief?

By baie hoë energieë (“Large Hardron Collider”) is die landskapnie-kommutatiefNatuurlike gereedskap bestaan uit operator algebras

klassieke fisika ⊂ kwantumfisika ⊂ kwantumstringteorie


Bestaansstellings

Dankbetuigings

Baie dankie aan...Dr. Rocco DuvenhageDepartement FisikaHalfgeleier GroepDepartement Wiskunde en Toegepasde WiskundeNITheP


Bestaansstellings


nie-kommutatiewe sigma model

Documents