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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
NHI2049-13 — Logica Basica(Logica Classica de Primeira Ordem)
Professor : [email protected]
pagina da disciplina na web:http://professor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/logica
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
O assunto
O que e logica?
Disciplina que se ocupa do estudo sistematico das formas deargumento, a ideia de que a validade de um argumento edeterminada pela sua forma logica e nao pelo seu conteudo.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
O assunto
Silogismo aristotelico
Premissa Todo homem e mortalPremissa Socrates e homem
Conclusao Socrates e mortal
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
O assunto
Silogismo aristotelico
Premissa Todo carro e FerrariPremissa Fusca e carro
Conclusao Fusca e Ferrari
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
O assunto
Silogismo aristotelico
Premissa Todo A e BPremissa C e A
Conclusao C e B
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
O assunto
O que e logica?
Logica Matematica estuda as formas de argumentos matematicospor meio de uma linguagem formal criada artificialmente.
Logica Simbolica estuda as abstracoes simbolicas que capturam ascaracterısticas formais dos argumentos da linguagem natural.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
O assunto
Logica contemporanea
Os logicos contemporaneos1 constroem linguagens simbolicas, rigorosas e livres de
ambiguidades e de contexo, adequadas para lidar com arelacao de consequencia. As linguagens possuem duasdimensoes relevantes:
a sintatica: os sımbolos da linguagem e as regras decombinacao as quais estao sujeitos para a construcao dostermos e formulas;a semantica define precisamente o significado das formulas.
2 especificam um sistema dedutivo: axiomas tomados dentre asformulas e especificam as regras de inferencia que independemda semantica.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem
Linguagem
Por que precisamos criar uma linguagem para formalizar as formasde raciocınio?
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem
Paradoxo do mentiroso
Esta afirmacao e falsa.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem
Paradoxo do Barbeiro
Havia, no vilarejo, um barbeiro que so fazia a barba de todas aspessoas que nao faziam a propria barba.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem
Paradoxo de Richard
O menor numero natural que nao pode ser definido com menos devinte palavras.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem
Paradoxo de Russel
O conjunto de todos os conjuntos que nao pertencem a si mesmos.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem×Metalinguagem
Linguagem×Metalinguagem
Linguagem da logica definida para descrever e demonstrar comrigor os fatos matematicos.
A logica matematica e, em si, parte da matematica.
Qual linguagem utilizaremos quando construımos a logica?Metalinguagem
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Discussao informal
O que queremos formalizar? Informalmente:
Proposicoes: sentencas declarativas que podem assumir umvalor-verdade dentre, por exemplo, verdadeiro ou falso.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Discussao informal
O que queremos formalizar? Informalmente: I
Sentencas atomicas
1 o quadrado de todo numero e positivo.
2 27 e um quadrado perfeito.
3 O conjunto vazio e unico.
4 25 e a soma de quatro quadrados perfeitos.
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Discussao informal
O que queremos formalizar? Informalmente: I
Sentencas compostas
nao α expressa a negacao da sentenca α;
α e β expressa a conjuncao das sentencas α e β;
α ou β expressa a disjuncao inclusiva;
se α, entao β expressa uma forma condicional;
α se, e somente se β representa a bicondicional α se β e αsomente se β.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Discussao informal
O que queremos formalizar? Informalmente: I
5 um numero diferente de 2 e primo se, e somente se, for ımpar.
6√
2 e positivo ou 2 e positivo.
7 Se√
2 e positivo, entao 2 e positivo.
8 27 nao e um quadrado perfeito e 9 e um quadrado perfeito.
9 O conjunto vazio nao e unico.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem formal da logica proposicional
Linguagem da logica proposicional — Sımbolos
Alfabeto: o conjunto dos sımbolos que compoem linguagem
sımbolos proposicionais atomicos p1 p2 p3 . . .
Conectivos logicos
nome sımbolo
negacao ¬disjuncao ∨conjucao ∧
implicacao →bi-implicacao ↔
Pontuacao ( )
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem formal da logica proposicional
Linguagem da logica proposicional — Sintaxe I
As sequencias de sımbolos da linguagem com significado saochamadas de formulas bem formadas ou, simplesmente,formula. O conjunto das formulas bem formadas e a linguagemda logica proposicional.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem formal da logica proposicional
Linguagem da logica proposicional — Sintaxe II
Regras de formacao das formulas:
(F1) sımbolos proposicionais atomicos sao formulas, chamadasformulas atomicas;
(F2) se α e formula, (¬α) e formula;
(F3) se α e β sao formulas, entao sao formulas:(α ∧ β), (α ∨ β), (α→ β) e (α↔ β);
(F4) nao ha outras formulas alem das obtidas pelo uso das regras(F1), (F2) e (F3) finitas vezes.
A ultima regra assegura que todas as formulas podem serconstruıdas passo-a-passo pelas regras anteriores.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem formal da logica proposicional
Linguagem da logica proposicional — Sintaxe III
Representamos (metalinguagem) as formulas por letras gregasα, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι, κ, λ, µ, ν, π, ρ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ωeventualmente indexadas com numeros naturais.
Representamos (metalinguagem) os conectivos ∨, ∧, → e ↔genericamente, por �
Representamos (metalinguagem) as variaveis proposicionais poralgumas das letras p, q, r , s, t, u, v , x , z (se precisar mais, usamosas variaveis formais).
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem formal da logica proposicional
Linguagem da logica proposicional — Sintaxe IV
Exemplos
p1, (¬p2), (p3 → (p1 ∧ (¬p1)));
p1 ← p2, ))¬p1, nao sao formulas.
(α ∧ (β ∧ γ)) e formula diferente de ((α ∧ β) ∧ γ) ?
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem formal da logica proposicional
Linguagem L0
L0 e o conjunto de todas as formulas,
e o menor conjunto X formado pelas sequencias de sımbolos daalfabeto que satisfaz
1 p1, p2, . . . ∈ X ,
2 se α, β ∈ X entao(¬α), (α ∨ β), (α ∧ β), (α→ β), (α↔ β) ∈ X .
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem formal da logica proposicional
Princıpio de inducao
Metateorema: Princıpio de inducao para formulas
Suponha que uma propriedade de formulas
(1) vale para toda formula atomica e
(2) se vale para a formula α entao tambem vale para (¬α) e
(3) se vale para as formulas α e β, entao tambem vale para(α�β).
Entao essa propriedade vale para todas formulas da linguagemproposicional.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem formal da logica proposicional
Definicao recursiva: grau de complexidade
1 grau(α) = 0 se α e formula atomica;
2 grau(¬α) = grau(α) + 1; e
3 grau(α�β) = max{grau(α), grau(β)
}+ 1.
Que, por inducao, esta definido para toda formula, i.e., temos
grau : L0 → N
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem formal da logica proposicional
Unicidade da representacao
Metateorema da leitura unica
Para toda formula α, uma, e apenas uma, das afirmacoes abaixo everdadeira:
α e uma formula atomica;
existe uma unica formula β tal que α = (¬β);
existem unicas formulas β e γ e um conectivo� ∈ {∧,∨,→,↔} tais que α = (β�γ).
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem formal da logica proposicional
Exemplo
Arvore de formacao
((p1 ∧ p2
)→
((¬p3) ∨ (p4 ↔ p5)
))
(p1 ∧ p2)
p1 p2
((¬p3) ∨ (p4 ↔ p5))
(¬p3)
p3
(p4 ↔ p5)
p4 p5
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem formal da logica proposicional
Subformulas
As formulas intermediarias que aparecem no processo deconstrucao de uma formula atraves das regras (F1)–(F3) saochamadas de subformulas
Exemplo: p, q, (¬p) e (q ∧ (¬p)) sao subformulas de(p → (q ∧ (¬p))).
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Linguagem formal da logica proposicional
Definicao recursiva
Exercıcio: De uma definicao recursiva para subformula.
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Valoracao I
Valoracao de L0 e uma funcao
w : L0 → {0, 1}
tal que
w(¬α) = 1− w(α).
w(α ∧ β) = min{w(α),w(β)}.
w(α ∨ β) = max{w(α),w(β)}.
w(α→ β) = max{1− w(α),w(β)}
w(α↔ β) =max
{min{w(α),w(β)},min{1− w(α), 1− w(β)}
}Professor : [email protected]
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Valoracao II
Valoracao de L0 e uma funcao
w : L0 → {0, 1}
tal que
w(¬α) = 1− w(α).
w(α ∧ β) = min{w(α),w(β)}.
w(α ∨ β) = max{w(α),w(β)}.
w(α→ β) = max{1− w(α),w(β)}
w(α↔ β) = 1− |w(α)− w(β)| =max
{min{w(α),w(β)},min{1− w(α), 1− w(β)}
}Professor : [email protected]
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Valoracao III
α ∧ β α = 0 α = 1
β = 0 0 0β = 1 0 1
α ∨ β α = 0 α = 1
β = 0 0 1β = 1 1 1
α→ β α = 0 α = 1
β = 0 1 0β = 1 1 1
α↔ β α = 0 α = 1
β = 0 1 0β = 1 0 1
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Logica Basica
Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Valoracao IV
Se w(p1) = w(p3) = 0 e w(p2) = 1 entao,
w((p1 ∨ p2)→ p3) = max{1− w(p1 ∨ p2),w(p3)}= max{1−max{w(p1),w(p2)},w(p3)}= max{1−max{w(p1),w(p2)},w(p3)}
O valor de α depende so dos valores nos atomos.
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Valoracao V
Se w(p1) = w(p3) = 0 e w(p2) = 1 entao,
w((p1 ∨ p2)→ p3) = max{1− w(p1 ∨ p2),w(p3)}= max{1−max{w(p1),w(p2)},w(p3)}= max{1−max{w(p1),w(p2)},w(p3)}= max{1−max{0, 1}, 0}
= max{0, 0} = 0.
O valor de α depende so dos valores nos atomos.
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Valoracao VI
Metateorema da valoracao
Sejam v e w duas valoracoes de L0.Seja α uma formula tal que v(p) = w(p) para toda formulaatomica p ∈ Sf(α).Entao v(α) = w(α).
Demonstracao.
Por inducao na formula. �
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Interpretacao I
Interpretacao e uma funcao
v : {p1, p2, . . . } → {0, 1}
Interpretacao de uma formula e uma funcao
v : {p ∈ Sf(α) : p e atomico} → {0, 1}
Uma interpretacao de p → (q ∨ s) e
p = 0, q = 1, s = 0
Nela a formula tem valor-verdade 1.
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Interpretacao II
V = {p1, p2, . . . }
Metateorema da extensao de interpretacao para valoracao
Dada um interpretacao v : V → {0, 1}, existe uma unica valoracaov : L0 → {0, 1} tal que
v(p) = v(p)
para qualquer formula atomica p ∈ V .
v e chamada extensao de v
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Semantica
Interpretacao III
Demonstracao.
Por contradicao.
Tome α de grau mınimo onde duas extensoes u e v diferem.
α e ¬β ou α e β� γ.
grau(β), grau(γ) < grau(α) logo u(β) = v(β) e u(γ) = v(γ).
Mas, entao u(α) = v(α), absurdo. �
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Tautologia e Contradicao I
α ∈ L0 e
satisfazıvel se existe v
v(α) = 1
tautologia se para todo v
v(α) = 1
contradicao se para todo v
v(α) = 0
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Tautologia e Contradicao II
Por exemplo, para qualquer v
v(α↔ ¬¬α) = max{
min{v(α), v(¬¬α)},min{1− v(α), 1− v(¬¬α)}
= max{v(α), 1− v(α)
}= 1
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Semantica
Tautologia e Contradicao III
Algumas das tautologias notaveis
Nao contradicao ¬(α ∧ (¬α))Terceiro excluıdo α ∨ (¬α)
Algumas das implicacoes tautologicas notaveis
Lei da adicao α→ (α ∨ β)Lei da simplificacao (α ∧ β)→ αModus Ponens (α ∧ (α→ β))→ βModus Tollens ((¬β) ∧ (α→ β))→ ¬αSilogismo disjuntivo ((α ∨ β) ∧ ¬α)→ βSilogismo hipotetico ((α→ β) ∧ (β → γ))→ (α→ γ)Reducao ao absurdo ((α ∧ (¬β))→ (γ ∧ (¬γ)))→ (α→ β)
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Tautologia e Contradicao IV
Algumas bi-implicacoes tautologicas notaveis sao
Dupla negacao α↔ ¬(¬α)Implicacao (α→ β)↔ (¬α ∨ β)Bi-implicacao (α↔ β)↔
((α→ β) ∧ (β → α)
)Comutatividade (α ∨ β)↔ (β ∨ α)
(α ∧ β)↔ (β ∧ α)Associatividade ((α ∨ β) ∨ γ)↔ (α ∨ (β ∨ γ))
((α ∧ β) ∧ γ)↔ (α ∧ (β ∧ γ))Distributividade (α ∧ (β ∨ γ))↔ ((α ∧ β) ∨ (α ∧ γ))
(α ∨ (β ∧ γ))↔ ((α ∨ β) ∧ (α ∨ γ))Contrapositiva (α→ β)↔ ((¬β)→ (¬α))Negacao da implicacao ¬(α→ β)↔ (α ∧ (¬β))Leis de De Morgan ¬(α ∨ β)↔ ((¬α) ∧ (¬β))
¬(α ∧ β)↔ ((¬α) ∨ (¬β))
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Tautologia e Contradicao V
Notacao
v satisfaz αv � α
α e tautologia� α
⊥ e falsidade, ie, para todo v
v(⊥) = 0
> e verdade, ie,
> = ¬⊥
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Tabela-verdade I
Metateorema da decidibilidade
Existe um algoritmo que, dado uma formula α ∈ L0, decide se α esatisfazıvel.
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Semantica
Tabela-verdade II
Tabela-verdade: metodo mecanico e eficiente para estudar ospossıveis valores-verdade de uma formula.
(1) O primeiro passo para montar a tabela-verdade de umaformula e destrincha-la nas subformulas.
(2) Em seguida, montamos uma coluna para cada subformula,colocando as mais elementares a esquerda, e as maiscomplexas a direita, partindo das formulas atomicas ate aformula toda.
(3) Escrevemos uma linha para cada possıvel interpretacao(valoracao das formulas atomicas) e usamos as regras dosconectivos para completar a tabela.
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Semantica
Tabela-verdade III
Tabela-verdade para α =(p1 ∧ p2
)→
((¬p3) ∨ (p4 ↔ p5)
)p1 p2 p3 p4 p5 p1 ∧ p2 ¬p3 p4 ↔ p5 (¬p3) ∨ (p4 ↔ p5) α
0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 1 0 1 0 1 10 0 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 0 1 1 1 10 0 1 0 0 0 1 1 1 10 0 1 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 1 0 1 10 0 1 1 1 0 1 1 1 10 1 0 0 0 0 0 1 1 10 1 0 0 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0 0 0 0 10 1 0 1 1 0 0 1 1 10 1 1 0 0 0 0 1 1 10 1 1 0 1 0 0 0 0 10 1 1 1 0 0 0 0 0 10 1 1 1 1 0 0 1 1 1
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Semantica
Tabela-verdade IV
p1 p2 p3 p4 p5 p1 ∧ p2 ¬p3 p4 ↔ p5 (¬p3) ∨ (p4 ↔ p5) α
1 0 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 1 0 1 11 0 0 1 0 0 1 0 1 11 0 0 1 1 0 1 1 1 11 0 1 0 0 0 0 1 1 11 0 1 0 1 0 0 0 0 11 0 1 1 0 0 0 0 0 11 0 1 1 1 0 0 1 1 11 1 0 0 0 1 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 0 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 1 0 1 1 11 1 1 0 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 0 1 1 1
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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional
Equivalencia logica
Equivalencia logica I
α e β sao equivalentes se tem o mesmo valor que qualquerinterpretacao
Equivalentemente � α↔ β
Notacao: α ≡ β
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Equivalencia logica
Equivalencia logica II
Algumas equivalencias notaveis
dupla negacao α ≡ ¬¬αimplicacao γ → δ ≡ (¬γ) ∨ δbi-implicacao γ ↔ δ ≡ (γ → δ) ∧ (δ → γ)comutatividade α ∨ β ≡ β ∨ αleis de De Morgan ¬(γ ∧ δ) ≡ (¬γ) ∨ (¬δ)
¬(γ ∨ δ) ≡ (¬γ) ∧ (¬δ)distributiva α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)contrapositiva (α→ β) ≡ ((¬β)→ (¬α))
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Equivalencia logica
Equivalencia logica III
Notemos que
γ ∧ δ ≡ ¬¬(γ ∧ δ)
≡ ¬(¬γ ∨ ¬δ)
γ → δ ≡ (¬γ) ∨ δ
γ ↔ δ ≡ (γ → δ) ∧ (δ → γ)
≡ (¬γ ∨ δ) ∧ (¬δ ∨ γ)
≡ ¬(¬(¬γ ∨ δ) ∨ ¬(¬δ ∨ γ)
)Professor : [email protected]
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Equivalencia logica
Equivalencia logica IV
So precisamos dos conectivos ¬ e ∨.
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Equivalencia logica
Equivalencia logica V
O mesmo vale para
¬ e ∨.
¬ e →.
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