nhập môn số mờ & lớp mờ

PHẦN 1

CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VỀ MỜ.

1. Hàm thuộc của Toán mờ.

Trong logic học cổ điển, ta có hàm thuộc μ(a) của phần tử a với tập hợp A sẽ là:

μA(a) = {0 , nếua∉ A1 ,nếu a∈ A .

Trong Toán mờ, μA(a) nhận các giá trị liên tục trong đoạn [0; 1], tức μA(a) ∈ [0; 1].

Như vậy, hàm thuộc μA(a) của tập mờ là một hàm liên tục, có giá trị từ 0 tới 1.

Một số ví dụ về hàm thuộc mờ của tập các số trên đoạn thẳng.

Ví dụ 1.1: mờ khoảng giữa 2 số a b

Ví dụ 1.2: Mờ tam giác giữa 3 số a c

Ví dụ1.3: Mờ hình thang giữa 4 số a d

2. Mờ lớp:

Gọi X là không gian các quá trình ngẫu nhiên, biến trạng thái x ∈ X.

Ta định nghĩa, mờ lớp α của hàm u là tập hợp các biến trạng thái x được phân theo lớp mờ α ∈ [0; 1].

Cụ thể: [u]α = { x ∈ X: u(x) ≥ α, ∀ α ∈ [0; 1] }.

Khi đó, [u]0 – tập đóng trong topo X là hợp của tất cả các lớp mờ, tức là:

[u]0 = ¿α∈[0 ;1][u]α, còn được gọi là giá của số mờ.

[u]1 được gọi là nhân (hay lõi) của số mờ.

3. Tạo số mờ trong R:

Có nhiều cách để tạo số mờ. Ở đây chúng ta sẽ xét 5 cách tạo số mờ phổ biến nhất, đó là: số mờ tam giác, số mờ hình thang, số mờ L – R, số mờ Gauss và số mờ mũ. Trong mỗi loại số mờ, ta sẽ xác định và chứng minh cụ thể từng lớp mờ [u]α tương ứng để phục vụ cho các tính toán và ví dụ sau này.

3.1. Mờ tam giác:

Với a ≤ b ≤ c, số mờ tam giác u = < a, b, c > được định nghĩa là:

u(x) = {0 , nếux<a

x−ab−a ,nếua≤x thì [u]α = [ a + α(b – a) ; c – α(c – b) ].

Chứng minh:

Thật vậy, Nếu a = b hoặc b = c thì số mờ tam giác sẽ trở thành đoạn thẳng, nên ta chỉ xét với a 0)⟺ x ≥ a + α(b – a)⟺

Suy ra x ∈ [ a + α(b – a) ; b] (1).

Với x ∈ [b; c], ta có: u(x) ≥ α ⟺ x−cb−c ≥ α

x – c ≤ α(b – c) (vì b – c < 0)⟺ x ≤ c – α(c – b)⟺

Suy ra x ∈ [ b; c – α(c – b)] (2).

Từ (1) và (2) ta được: u(x) ≥ α a + α(b – a) ≤ x ≤ c – α(c – b) ,⟺

Hay [u]α = [ a + α(b – a) ; c – α(c – b) ] (đpcm).

Nhờ nhận xét 3.1.1, ta có nhận xét 3.1.2.

3.1.2. Số mờ tam giác u = < a, b, c > có lõi mờ là [u]1 = { b }.

3.2. Mờ hình thang:

Với a ≤ b ≤ c ≤ d, số mờ hình thang u = < a, b, c, d > được định nghĩa là:

u(x) = {0 ,nếu x<a

x−ab−a ,nếua≤ xd

Chứng minh tương tự như số mờ tam giác, ta cũng có 2 nhận xét sau:

3.2.1. Số mờ hình thang u = < a, b, c, d > có [u]α = [a + α(b – a); d – α(d – c)]

3.2.2. Số mờ hình thang u = < a, b, c, d > có lõi mờ [u]1 = [b; c].

3.3. Mờ L – R:

Gọi L, R là 2 hàm liên tục, đơn điệu tăng từ đoạn [0;1] vào [0; 1], thỏa mãn:

L(0) = R(0) = 0 và L(1) = R(1) = 1. Cho các số a0– ≤ a1

– ≤ a1+ ≤ a0

+,

khi đó tập mờ u: R → [0; 1] được gọi là số mờ L–R nếu:

u(x) = ¿

Nhận xét:

3.3.1. Lớp mờ α của số mờ L – R:

Với L – R số mờ u = < a0– , a1

– , a1+ , a0

+ > thì

[u]α = [ ao– + L–1(α).(a1

– – ao–) ; ao

+ – R–1(α).(ao+ – a1

+) ] .

Thật vậy,

+ Với x ∈ [ao– ; a1

– ], Vì L là hàm đơn điệu tăng nên L–1 cũng là hàm đơn điệu tăng. Đặt L–1(α) = t thì t ∈ [0; 1] nên ( ao

– + L–1(α)(a1– – ao

–) ) ∈ [a0– ; a1

–], từ đó

L(ao– + L–1(α)(a1

– – ao–)) = L(L–1(α)) = α.

Do L tăng nên L(x) ≥ α ⟺ x ≥ ao– + L–1(α)(a1

– – ao–).

Kết hợp với x ∈ [ao– ; a1

– ] suy ra: L(x) ≥ α x ⟺ ∈ [ao– + L–1(α)(a1

– – ao–) ; a1

–] (1)

+ Với x ∈ [a1+ ; ao

+ ], Vì R là hàm đơn điệu tăng nên R–1 cũng là hàm đơn điệu tăng. Đặt R–1(α) = t thì t ∈ [0; 1] nên ( ao

+ – R–1(α)(ao+ – a1

+) ) ∈ [a1+ ; ao

+], từ đó

R(ao+ – R–1(α)(ao

+ – a1+)) = R(R–1(α)) = α.

Do R tăng nên R(x) ≥ α ⟺ x ≥ ao+ – R–1(α)(ao

+ – a1+).

Kết hợp với x ∈ [a1+ ; ao

+ ] suy ra: R(x) ≥ α x ⟺ ∈ [a1+; ao

+ – R–1(α)(ao+ – a1

+)] (2)

+ Với x ∈ [a1– ; a1

+] thì u(x) = 1 nên hiển nhiên u(x) ≥ α (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: [u]α = [ ao– + L–1(α).(a1

– – ao–) ; ao

+ – R–1(α).(ao+ – a1

+) ] .

3.3.2. Lõi mờ của số mờ L – R là [u]1 = [ a1– ; a1

+ ].

Ví dụ 3.3.3.

Cho L(x) = R(x) = x2 và bộ (a0– ; a1

– ; a1+ ; a0

+ ) = (0; 1; 1; 3). Áp dụng nhận xét 3.3.1, ta sẽ tính được [u]α = [√α ;3−2√α ].

3.4. Mờ Gauss.

Cho x1 là lõi mờ, hai số dương σ1 , σ2 là độ nhòe áp trái và phải, số a > 0 là giá trị cho phép nhòe, chúng ta sẽ tạo ra số mờ Gauss theo công thức sau:

u(x) = {0 , nếu x<x1−aσ l

ex−x1

2σl2

,nếu x1−a σ l≤ x<x1

e−( x−x1

2σr2 ), nếu x1≤ x< x1+aσr

0 , n ế u x≥ x1+aσr

Nhận xét:

3.4.1. Lớp mờ α của số mờ Gauss:

Số mờ Gauss ở trên sẽ có lớp mờ [u]α = [x1 + 2σ l2lnα ; x1 – 2σ r

2lnα]

Thật vậy, với α ∈ (0; 1] ta có lnα < 0. Xét trên từng khoảng xác định của hàm u:

+ ex− x1

2σ l2 = α ⟺

x−x1

2σ l2 = lnα x = x⟺ 1 + 2σ l

2lnα < x1 (vì ln α < 0 )

Do hàm ex− x1

2σ l2 đơn điệu tăng nên e

x− x1

2σ l2

≥α , ∀ x ≥ x1 + 2σ l2lnα

Suy ra ex− x1

2σ l2

≥α , ∀ x ∈ [x1 + 2σ l2lnα ; x1 ] (1)

(Ở đây, các giá trị α, a, σ l phải thỏa điều kiện ln α ≥ −a2σ l

để có

x1 + 2σ l2lnα ≥ x1 – aσl . Vì nếu ngược lại (tức x1 + 2σ l

2lnα < x1 – aσl ) sẽ dẫn đến u(x1+2σ l

2lnα ¿ = 0 theo định nghĩa của u(x), như vậy α không có tác động gì tới [u]α . Khi ấy ta vẫn tính được [u]α với cận dưới theo x1 , a, σl . Nhưng vì số α không còn ý nghĩa với [u]α nên ta không xét trường hợp này. Điều này cũng hàm ý rằng giá trị của độ nhòe σl và σr là đủ nhỏ cần thiết).

+ Tương tự: e− x−x1

2σr2 = α ⟺

x−x1

2σ r2 = – lnα x = x⟺ 1 – 2σr

2lnα > x1 (vì lnα <

0)

Do hàm e− x−x1

2σl2 đơn điệu giảm nên e

− x−x1

2σr2

≥α , ∀ x ≤ x1 – 2σr2lnα

Suy ra e− x−x1

2σr2

≥α , ∀ x ∈ [x1 ; x1 – 2σr2lnα] (2)

Từ (1) và (2) suy ra: u(x) ≥ α ⟺ x1 + 2σ l2lnα ≤ x ≤ x1 – 2σ r

2lnα

Hay [u]α = [ x1 + 2σ l2lnα ; x1 – 2σ r

2lnα ] (đpcm)

3.4.2. Lõi mờ của số mờ Gauss là [u]1 = { x1 }

3.5. Mờ mũ.

Cho x1 là lõi mờ, hai số dương τ1 , τ2 là độ nhòe áp trái và phải, số a > 0 là giá trị cho phép nhòe, chúng ta sẽ tạo ra số mờ Gauss theo công thức sau:

u(x) = {0 , nếu x<x1−aτ l

ex−x1

τ l , nếu x1−a τ l≤ x< x1

e−( x−x1

τr ), nếu x1≤ x<x1+a τ r

0 ,n ế u x≥ x1+aτ r

Chứng minh hoàn toàn tương tự như số mờ Gauss, chúng ta sẽ có nhận xét sau:

3.5.1. Lớp mờ α của số mờ mũ:

Với số mờ mũ ở trên thì [u]α = [x1 + τ1lnα ; x1 – τ2lnα ].

3.5.2. Lõi mờ của số mờ mũ là [u]1 = { x1 }.

Qua các Nhận xét và chứng minh từ 3.1 đến 3.5, chúng ta kết luận được rằng: với mỗi loại số mờ, ta luôn tạo ra được các mờ lớp tương ứng của chúng (Bài tập 6, Chương 1, trang 51, cuốn TOÁN MỜ).

4. Số mờ (hoặc tập mờ) trong không gian thực n – chiều Rn.

Qua các khái niệm ở trên, chúng ta thấy rằng, số mờ được xây dựng trên không gian R không còn là một giá trị cụ thể, mà là cả một tập hợp. Từ khái niệm mờ theo lớp α của biến trạng thái x trên R, chúng ta sẽ xây dựng khái niệm số mờ (hay tập mờ) trong không gian thực n – chiều, bằng cách mở rộng lớp mờ thành mờ gán theo ánh xạ tập như dưới đây.

Gọi En là không gian mờ (họ các số mờ hay tập mờ) được xây dựng từ các biến trạng thái trên không gian thực n – chiều Rn.

En = { u| u: Rn → [0; 1], u(x) > α, với α ∈ [0; 1] }

Tập u ∈ En được gọi là số mờ (hay tập mờ) nếu thỏa mãn 4 tiên đề sau:

1i) u là chuẩn tắc, tức tồn tại xo ∈ Rn sao cho u(xo) = 1;

2i) u bị chặn, tức là giá [u]0 bị chặn trong Rn ;

3i) [u]α là tập compact trong Rn với mọi α ∈ [0; 1] ;

4i) u là lồi, nghĩa là với mọi α ∈ [0; 1], với mọi λ ∈ [0; 1], tồn tại x, y ∈ Rn sao cho

u(λx + (1 – λ)y) ≥ min [u(x), u(y)]

Tính chất:

Từ định nghĩa trên, số mờ u ∈ En sẽ có đủ tính chất của một tập lồi, chẳng hạn:

(i) Nếu u ∈ En là lồi thì [u]α là lồi trong Rn với mọi α ∈ [0; 1]

Thật vậy, với mọi x, y ∈ Rn mà x, y ∈ [u]α , ta có

u(x) ≥ α và u(y) ≥ α, suy ra min [u(x), u(y)] ≥ α.

Khi đó với mọi λ ∈ [0; 1], theo tiên đề 4i), ta có:

u(λx + (1 – λ)y) ≥ min [u(x), u(y)] u(λx + (1 – λ)y) ≥ α⟹

suy ra (λx + (1 – λ)y) ∈ [u]α . Vậy [u]α là lồi trong Rn.

(ii) Với mọi 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ 1 thì [u]α2 ⊂ [u]α1

Thật vậy, theo định nghĩa của lớp mờ α thì:

[u]α1 = { x ∈ Rn : u(x) ≥ α1 }

[u]α2 = { x ∈ Rn : u(x) ≥ α2 }

Do α1 ≤ α2 nên với mọi x ∈ [u]α2 thì u(x) ≥ α2 ≥ α1, suy ra x ∈ [u]α1.

Vậy, [u]α2 ⊂ [u]α1 , ∀ 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ 1.

(iii) Nếu {αk} là dãy số thực hội tụ về α thì [u ]α=¿k ≥1 [u ]α k.

Thật vậy, theo định nghĩa lớp mờ α ta được:

[u ]α k=¿ { x ∈ Rn: u(x) ≥ α k, với k ∈ N* }.

Khi đó, với mỗi x ∈ ¿k ≥1 [u ]α k❑, ta có u(x) ≥ α k, hay u(x) – αk ≥ 0, ∀ k ≥ 1.

Xét dãy {vk}k ≥ 1 được xác định bởi: vk = u(x) – αk thì vk ≥ 0, ∀ k ≥ 1.

Do u(x) cố định và {αk} là dãy số thực hội tụ về α nên dãy không âm {vk} sẽ hội tụ về v = u(x) – α ≥ 0, suy ra u(x) ≥ α, hay x ∈ [u]α .

Vậy ¿k ≥1 [u ]α k ⊂ [u]α (1)

Ngược lại, giả sử tồn tại xo ∈ [u]α mà xo ∉ ¿k ≥1 [u ]α k, tức tồn tại xo sao cho

u(xo) ≥ α mà u(xo) < αi , với i ≥ 1 là 1 chỉ số nào đó.

Xét dãy con tăng {αim}m = {βm}, (với β1 = αi) của dãy {αk}.

Khi đó, dãy wn = u(xo) – βm < 0, ∀ m ≥ 1. Lấy giới hạn hai vế ta được u(xo) – α ≤ 0,

Suy ra u(xo) ≤ α , điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.

Vậy không tồn tại xo ∈ [u]α mà xo ∉ ¿k ≥1 [u ]α k, suy ra [u]α ⊂ ¿k ≥ 1 [u ]α k (2)

Từ (1) và (2) ta có:

Nếu {αk} là dãy số thực hội tụ về α thì [u ]α=¿k ≥1 [u ]α k (đpcm).

5. Hàm mờ.

5.1. Nguyên lý mở rộng Zadeh.

Nguyên lý mở rộng Zadeh là hình thức mở rộng các hàm giá trị thực sang các hàm có giá trị mờ (giá trị khoảng), từ đó, ta có thể thực hiện các phép tính mờ với Nguyên lý mở rộng Zadeh.

Định nghĩa 5.1.1.

Cho X, Y là các tập số thực và hàm thực f: X → Y. Các tập mờ tương ứng với X, Y lần lượt là E(X), E(Y). Xét hàm mờ F: E(X) → E(Y) sao cho y = F(x), trong đó

y (s )={¿ {x (t ) : t∈ X , f (t )=s } ,n ế u f −1 ( s)≠∅0 , nế u f −1 ( s )=∅

Khi đó, hàm mờ F được gọi là mở rộng Zadeh của hàm thực f.

Định lý 5.1.2.

Cho hàm thực f: R → R có thể mở rộng thành hàm mờ F: E1 → E1. Với x ∈ E1 chúng ta có thể xác định được y = F(x) ∈ E1 bởi lớp mờ [y]α = yα = F(xα), ∀α∈ [0;1], tức là chúng ta sẽ có [y]α = yα = [yα ; yα ], trong đó:

yα=inf {f (t ) : t∈ xα }

yα ={f (t ) : t∈ xα } ¿

Ở đây, xα=[ x ]α là lớp mờ α ∈ [0; 1] của x ∈ E1.

Chứng minh: Xem cuốn TOÁN MỜ – trang 65, 66.

Ta còn có 1 dạng phát biểu khác của Định lý 5.1.2 như sau:

Với hàm liên tục f: KC(R) → KC(R) ta luôn tìm được hàm mờ F: E1 → E1, sao cho với mỗi u ∈ E1 đều có v = F(u) với tập mờ lớp [v]α = vα = f ([u]α), tức là

[v]α = vα = [vα ; vα ]¿ [inf {f ( x ): x∈ [u ]α ;{f ( x ) : x∈ [u ]α }], với α ∈ [0; 1]

Ngoài ra, chúng ta còn có thể định nghĩa hàm mờ bằng hai ánh xạ sau:

+ Ánh xạ x: [0; T] → En, tức hàm x(t) ∈ En là hàm mờ.

+ Ánh xạ f: [0; T] x En → En , tức hàm phụ thuộc 2 biến f(t, x) là hàm mờ thuộc En.

5.1.3. Hàm giá của tập A ∈ KCC(Rn).

Với p ∈ Rn, ta định nghĩa hàm giá của tập A ∈ KCC(Rn) là hàm s(p, A) được xác định bởi công thức: s(p, A) = sup { < p, a > : a ∈ A }

6. Không gian metric của các tập mờ, đại số mờ và giải tích mờ.

Phần này đã được Thầy giảng trên lớp nên ta sẽ không nhắc lại chi tiết. Ở đây bao gồm:

6.1. Ba metric cơ bản trên không gian các tập mờ:

Đó là Do , D∞ và Dp. Trong đó Do là metric ta sẽ dùng chủ yếu.

Do : En x En → [0; ∞) thỏa Do[x, y] = sup { dH ([x]α , [y]α ), với α ∈ [0; 1] }

Trong đó dH ([x]α , [y]α ) là khoảng cách Hausdorff giữa 2 tập [x]α và [y]α .

6.2. Các phép toán đối với tập mờ:

Tổng, tích vô hướng của số thực và số mờ, hiệu của 2 số mờ, tích 2 số mờ thuộc E1 (còn tích của 2 số mờ thuộc En, với n > 1, vẫn là một khái niệm chưa được xây dựng)

6.3. Tính hội tụ và liên tục của hàm mờ.

6.4. Phép tính vi phân các hàm mờ:

Gồm vi phân Seikkala, vi phân Hukuhara (cổ điển, tổng quát, loại 1, loại 2, loại 3, loại 4). Trong đó, ta chủ yếu xét loại 1 và loại 2.

Từ các phép toán đối với tập mờ, chúng ta sẽ có phương trình vi phân mờ, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc nghiệm vào các yếu tố ban đầu.

7. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ dưới dạng hàm mờ (hàm giá trị khoảng).

7.1. Định lý:

Xét bài toán điều kiện của đối với phương trình vi phân mờ (FIVP)

(I) {DH x (t )= f (t , x (t ))x (t 0 )=x0

, với t ∈ [t0 ; T], x(t) ∈ En , f(t, x(t)) ∈ En .

Giả sử hàm mờ f(t, x(t)) liên tục và thỏa mãn 3 điều kiện:

1i) [f(t, x(t))]α = [f α (t , xα , xα ) ; f α (t , xα , xα) ] , α ∈ [0; 1];

2i) Trên S0=[ t 0, t 0+ p ]×B (x0, p) các hàm f α , f α liên tục;

3i) Trên S0=[ t 0 , t 0+ p ]×B (x0, p) các hàm f α , f α thỏa điều kiện Lipschitz đều đối với t,

Khi đó bài toán (I) có nghiệm duy nhất dưới dạng:

[x(t))]α = [xα (t 0 , x0 , t ); xα (t 0 , x0 , t) ]

Chứng minh: Xem cuốn TOÁN MỜ, trang 91.

PHẦN II

GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG I & VÍ DỤ TRONG SÁCH

Bài 1 (bài 15 trang 52, cuốn TOÁN MỜ).

Cho L(x) = R(x) = xa , với a > 0. Hãy chỉ ra số mờ lớp L–R và biểu diễn hàm thuộc của số mờ này.

Giải.

Ta có L(x) = R(x) = xa , (với a > 0) là hàm đồng biến trên [0; 1], đồng thời

L(0) = R(0) = 0 và L(1) = R(1) = 1; L–1(α) = R–1(α) = α1/a . Do đó, với các số

ao– ≤ a1

– ≤ a1+ ≤ ao

+ ta sẽ có số mờ lớp L – R là:

[u]α = [ao– + α1/a.(a1

– – ao–) ; a1

+ – α1/a.(ao+ – a1

+)]

Biểu diễn hàm thuộc của số mờ này là: u(x) = ¿

Bài 2 (Ví dụ 4.1 trang 91, cuốn TOÁN MỜ).

Giải bài toán FIVP của ptvp mờ

DH x(t) = f(t, x) , x0 = [ –1 + α, 1 + α ] , Với hàm mờ vế phải

[f(t, x)]α = [f(t, x, α), f (t, x, α)] = [–xe–t + α , xet – α ].

Giải.

Ta có: f(t, x, α) = –xe–t + α , f (t, x, α) = xet – α

Là các hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều đối với t.

Khi đó, xét 2 bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thực:

x'(t) = – xe–t + α , xo = –1 + α (1)

x’(t) = xet – α , x0 = 1 + α (2)

Theo định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của ptvp thực thì mỗi phương trình (1), (2) đều sẽ có nghiệm duy nhất, tương ứng là: x(t) = x1(t) , x(t) = x2(t)

Suy ra pt FIVP đã cho có nghiệm là: [x(t)]α = [x1(t) , x2(t) ].

nhập môn số mờ & lớp mờ

Career