nguyen le chi quyet
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
![Page 1: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/1.jpg)
Ôn thi Cao học năm 2010 môn Giải tích (Cơ bản)
Bài 3 - LÝ THUYẾT CHUỖI
PGS TS. Lê Hoàn Hóa
Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm TP HCM
http://math.hcmup.edu.vn
Ngày 3 tháng 1 năm 2010
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 2: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/2.jpg)
Nội Dung
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 3: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/3.jpg)
Nội Dung
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 4: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/4.jpg)
Định nghĩa
Cho (an)n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký
hiệu là∞∑1
an. Với mỗi k ∈ N, đặt sk =k∑1
an là tổng riêng phần
thứ k . Khi k thay đổi trên N, có dãy tổng riêng phần (sk)k .
Nếu limk→∞
sk tồn tại hữu hạn, ta nói chuỗi∞∑1
an hội tụ và đặt
S = limk→∞
sk là tổng của chuỗi, S =∞∑1
an.
Nếu limk→∞
sk không tồn tại hoặc limk→∞
sk = +∞ hay
limk→∞
sk = −∞, ta nói chuỗi∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 5: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/5.jpg)
Định nghĩa
Cho (an)n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký
hiệu là∞∑1
an. Với mỗi k ∈ N, đặt sk =k∑1
an là tổng riêng phần
thứ k . Khi k thay đổi trên N, có dãy tổng riêng phần (sk)k .
Nếu limk→∞
sk tồn tại hữu hạn, ta nói chuỗi∞∑1
an hội tụ và đặt
S = limk→∞
sk là tổng của chuỗi, S =∞∑1
an.
Nếu limk→∞
sk không tồn tại hoặc limk→∞
sk = +∞ hay
limk→∞
sk = −∞, ta nói chuỗi∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 6: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/6.jpg)
Định nghĩa
Cho (an)n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký
hiệu là∞∑1
an. Với mỗi k ∈ N, đặt sk =k∑1
an là tổng riêng phần
thứ k . Khi k thay đổi trên N, có dãy tổng riêng phần (sk)k .
Nếu limk→∞
sk tồn tại hữu hạn, ta nói chuỗi∞∑1
an hội tụ và đặt
S = limk→∞
sk là tổng của chuỗi, S =∞∑1
an.
Nếu limk→∞
sk không tồn tại hoặc limk→∞
sk = +∞ hay
limk→∞
sk = −∞, ta nói chuỗi∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 7: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/7.jpg)
Định nghĩa
Cho (an)n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký
hiệu là∞∑1
an. Với mỗi k ∈ N, đặt sk =k∑1
an là tổng riêng phần
thứ k . Khi k thay đổi trên N, có dãy tổng riêng phần (sk)k .
Nếu limk→∞
sk tồn tại hữu hạn, ta nói chuỗi∞∑1
an hội tụ và đặt
S = limk→∞
sk là tổng của chuỗi, S =∞∑1
an.
Nếu limk→∞
sk không tồn tại hoặc limk→∞
sk = +∞ hay
limk→∞
sk = −∞, ta nói chuỗi∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 8: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/8.jpg)
Tính chất
1 Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổithứ tự của một số hữu hạn số hạng.
2 Chuỗi∞∑1
an và∑n≥n0
an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
3 Điều kiện cần: nếu chuỗi∞∑1
an hội tụ thì limk→∞
an = 0.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 9: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/9.jpg)
Tính chất
1 Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổithứ tự của một số hữu hạn số hạng.
2 Chuỗi∞∑1
an và∑n≥n0
an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
3 Điều kiện cần: nếu chuỗi∞∑1
an hội tụ thì limk→∞
an = 0.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 10: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/10.jpg)
Tính chất
1 Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổithứ tự của một số hữu hạn số hạng.
2 Chuỗi∞∑1
an và∑n≥n0
an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
3 Điều kiện cần: nếu chuỗi∞∑1
an hội tụ thì limk→∞
an = 0.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 11: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/11.jpg)
Tính chất
1 Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổithứ tự của một số hữu hạn số hạng.
2 Chuỗi∞∑1
an và∑n≥n0
an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
3 Điều kiện cần: nếu chuỗi∞∑1
an hội tụ thì limk→∞
an = 0.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 12: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/12.jpg)
Nội Dung
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 13: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/13.jpg)
Chuỗi không âm » Tính chất
Chuỗi không âm là chuỗi có dạng:∞∑1
an, an ≥ 0
Tính chất
Cho∞∑1
an, an ≥ 0. Khi đó dãy tổng riêng phần (sk)k là dãy tăng
và nếu (sk)k bị chặn thì chuỗi∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 14: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/14.jpg)
Chuỗi không âm » Tính chất
Chuỗi không âm là chuỗi có dạng:∞∑1
an, an ≥ 0
Tính chất
Cho∞∑1
an, an ≥ 0. Khi đó dãy tổng riêng phần (sk)k là dãy tăng
và nếu (sk)k bị chặn thì chuỗi∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 15: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/15.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh
1 Giả sử 0 ≤ an ≤ bn, ∀n ≥ n0. Khi đó, nếu∞∑1
bn hội tụ thì
∞∑1
an hội tụ, nếu∞∑1
an phân kỳ thì∞∑1
bn phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 16: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/16.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh
1 Giả sử 0 ≤ an ≤ bn, ∀n ≥ n0. Khi đó, nếu∞∑1
bn hội tụ thì
∞∑1
an hội tụ, nếu∞∑1
an phân kỳ thì∞∑1
bn phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 17: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/17.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh
2 Giả sử limn→∞
an
bn= k . Khi đó:
Nếu 0 < k < ∞ thì∞∑1
an,∞∑1
bn cùng hội tụ hoặc cùng phân
kỳ.
Nếu k = 0 và∞∑1
bn hội tụ thì∞∑1
an hội tụ, nếu∞∑1
an phân
kỳ thì∞∑1
bn phân kỳ.
Nếu k = ∞ và∞∑1
an hội tụ thì∞∑1
bn hội tụ, nếu∞∑1
bn phân
kỳ thì∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 18: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/18.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh
2 Giả sử limn→∞
an
bn= k . Khi đó:
Nếu 0 < k < ∞ thì∞∑1
an,∞∑1
bn cùng hội tụ hoặc cùng phân
kỳ.
Nếu k = 0 và∞∑1
bn hội tụ thì∞∑1
an hội tụ, nếu∞∑1
an phân
kỳ thì∞∑1
bn phân kỳ.
Nếu k = ∞ và∞∑1
an hội tụ thì∞∑1
bn hội tụ, nếu∞∑1
bn phân
kỳ thì∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 19: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/19.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh
2 Giả sử limn→∞
an
bn= k . Khi đó:
Nếu 0 < k < ∞ thì∞∑1
an,∞∑1
bn cùng hội tụ hoặc cùng phân
kỳ.
Nếu k = 0 và∞∑1
bn hội tụ thì∞∑1
an hội tụ, nếu∞∑1
an phân
kỳ thì∞∑1
bn phân kỳ.
Nếu k = ∞ và∞∑1
an hội tụ thì∞∑1
bn hội tụ, nếu∞∑1
bn phân
kỳ thì∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 20: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/20.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh
2 Giả sử limn→∞
an
bn= k . Khi đó:
Nếu 0 < k < ∞ thì∞∑1
an,∞∑1
bn cùng hội tụ hoặc cùng phân
kỳ.
Nếu k = 0 và∞∑1
bn hội tụ thì∞∑1
an hội tụ, nếu∞∑1
an phân
kỳ thì∞∑1
bn phân kỳ.
Nếu k = ∞ và∞∑1
an hội tụ thì∞∑1
bn hội tụ, nếu∞∑1
bn phân
kỳ thì∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 21: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/21.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh
2 Giả sử limn→∞
an
bn= k . Khi đó:
Nếu 0 < k < ∞ thì∞∑1
an,∞∑1
bn cùng hội tụ hoặc cùng phân
kỳ.
Nếu k = 0 và∞∑1
bn hội tụ thì∞∑1
an hội tụ, nếu∞∑1
an phân
kỳ thì∞∑1
bn phân kỳ.
Nếu k = ∞ và∞∑1
an hội tụ thì∞∑1
bn hội tụ, nếu∞∑1
bn phân
kỳ thì∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 22: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/22.jpg)
Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân
Cho f : [1,+∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N,đặt an = f (n). Khi đó:
Tích phân suy rộng
∞∫1
f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi∞∑1
an hội tụ.
Chuỗi cơ bản
1
∞∑1
1
nshội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1.
2
∞∑0
tn, |t| < 1, hội tụ và tổng S =∞∑0
tn =1
1 − t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 23: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/23.jpg)
Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân
Cho f : [1,+∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N,đặt an = f (n). Khi đó:
Tích phân suy rộng
∞∫1
f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi∞∑1
an hội tụ.
Chuỗi cơ bản
1
∞∑1
1
nshội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1.
2
∞∑0
tn, |t| < 1, hội tụ và tổng S =∞∑0
tn =1
1 − t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 24: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/24.jpg)
Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân
Cho f : [1,+∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N,đặt an = f (n). Khi đó:
Tích phân suy rộng
∞∫1
f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi∞∑1
an hội tụ.
Chuỗi cơ bản
1
∞∑1
1
nshội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1.
2
∞∑0
tn, |t| < 1, hội tụ và tổng S =∞∑0
tn =1
1 − t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 25: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/25.jpg)
Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân
Cho f : [1,+∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N,đặt an = f (n). Khi đó:
Tích phân suy rộng
∞∫1
f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi∞∑1
an hội tụ.
Chuỗi cơ bản
1
∞∑1
1
nshội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1.
2
∞∑0
tn, |t| < 1, hội tụ và tổng S =∞∑0
tn =1
1 − t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 26: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/26.jpg)
Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân
Cho f : [1,+∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N,đặt an = f (n). Khi đó:
Tích phân suy rộng
∞∫1
f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi∞∑1
an hội tụ.
Chuỗi cơ bản
1
∞∑1
1
nshội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1.
2
∞∑0
tn, |t| < 1, hội tụ và tổng S =∞∑0
tn =1
1 − t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 27: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/27.jpg)
Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân
Cho f : [1,+∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N,đặt an = f (n). Khi đó:
Tích phân suy rộng
∞∫1
f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi∞∑1
an hội tụ.
Chuỗi cơ bản
1
∞∑1
1
nshội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1.
2
∞∑0
tn, |t| < 1, hội tụ và tổng S =∞∑0
tn =1
1 − t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 28: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/28.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số)
Cho chuỗi số dương∞∑1
an, an > 0. Giả sử limn→∞
an+1
an= k . Khi đó:
1 Nếu k < 1 thì∞∑1
an hội tụ.
2 Nếu k > 1 thì∞∑1
an phân kỳ.
3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ.
Ghi chú. Nếu cóan+1
an≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi
∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 29: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/29.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số)
Cho chuỗi số dương∞∑1
an, an > 0. Giả sử limn→∞
an+1
an= k . Khi đó:
1 Nếu k < 1 thì∞∑1
an hội tụ.
2 Nếu k > 1 thì∞∑1
an phân kỳ.
3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ.
Ghi chú. Nếu cóan+1
an≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi
∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 30: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/30.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số)
Cho chuỗi số dương∞∑1
an, an > 0. Giả sử limn→∞
an+1
an= k . Khi đó:
1 Nếu k < 1 thì∞∑1
an hội tụ.
2 Nếu k > 1 thì∞∑1
an phân kỳ.
3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ.
Ghi chú. Nếu cóan+1
an≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi
∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 31: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/31.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số)
Cho chuỗi số dương∞∑1
an, an > 0. Giả sử limn→∞
an+1
an= k . Khi đó:
1 Nếu k < 1 thì∞∑1
an hội tụ.
2 Nếu k > 1 thì∞∑1
an phân kỳ.
3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ.
Ghi chú. Nếu cóan+1
an≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi
∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 32: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/32.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số)
Cho chuỗi số dương∞∑1
an, an > 0. Giả sử limn→∞
an+1
an= k . Khi đó:
1 Nếu k < 1 thì∞∑1
an hội tụ.
2 Nếu k > 1 thì∞∑1
an phân kỳ.
3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ.
Ghi chú. Nếu cóan+1
an≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi
∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 33: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/33.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số)
Cho chuỗi số dương∞∑1
an, an > 0. Giả sử limn→∞
an+1
an= k . Khi đó:
1 Nếu k < 1 thì∞∑1
an hội tụ.
2 Nếu k > 1 thì∞∑1
an phân kỳ.
3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ.
Ghi chú. Nếu cóan+1
an≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi
∞∑1
an phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 34: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/34.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số)
Cho chuỗi không âm∞∑1
an, an ≥ 0. Giả sử limk→∞
n√
an = k . Khi đó:
1 Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ.
2 Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ.
3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 35: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/35.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số)
Cho chuỗi không âm∞∑1
an, an ≥ 0. Giả sử limk→∞
n√
an = k . Khi đó:
1 Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ.
2 Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ.
3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 36: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/36.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số)
Cho chuỗi không âm∞∑1
an, an ≥ 0. Giả sử limk→∞
n√
an = k . Khi đó:
1 Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ.
2 Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ.
3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 37: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/37.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số)
Cho chuỗi không âm∞∑1
an, an ≥ 0. Giả sử limk→∞
n√
an = k . Khi đó:
1 Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ.
2 Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ.
3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 38: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/38.jpg)
Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số)
Cho chuỗi không âm∞∑1
an, an ≥ 0. Giả sử limk→∞
n√
an = k . Khi đó:
1 Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ.
2 Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ.
3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 39: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/39.jpg)
Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz
Chuỗi đan dấu có dạng∞∑1
(−1)nan hoặc∞∑0
(−1)nan, an ≥ 0.
Dấu hiệu Leibnitz
Cho chuỗi đan dấu∞∑1
(−1)nan, an ≥ 0. Giả sử (an)n là dãy giảm
và limk→∞
an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó:
|S | ≤ a1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 40: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/40.jpg)
Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz
Chuỗi đan dấu có dạng∞∑1
(−1)nan hoặc∞∑0
(−1)nan, an ≥ 0.
Dấu hiệu Leibnitz
Cho chuỗi đan dấu∞∑1
(−1)nan, an ≥ 0. Giả sử (an)n là dãy giảm
và limk→∞
an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó:
|S | ≤ a1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 41: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/41.jpg)
Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz
Chuỗi đan dấu có dạng∞∑1
(−1)nan hoặc∞∑0
(−1)nan, an ≥ 0.
Dấu hiệu Leibnitz
Cho chuỗi đan dấu∞∑1
(−1)nan, an ≥ 0. Giả sử (an)n là dãy giảm
và limk→∞
an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó:
|S | ≤ a1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 42: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/42.jpg)
Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz
Chuỗi đan dấu có dạng∞∑1
(−1)nan hoặc∞∑0
(−1)nan, an ≥ 0.
Dấu hiệu Leibnitz
Cho chuỗi đan dấu∞∑1
(−1)nan, an ≥ 0. Giả sử (an)n là dãy giảm
và limk→∞
an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó:
|S | ≤ a1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 43: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/43.jpg)
Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz
Chuỗi đan dấu có dạng∞∑1
(−1)nan hoặc∞∑0
(−1)nan, an ≥ 0.
Dấu hiệu Leibnitz
Cho chuỗi đan dấu∞∑1
(−1)nan, an ≥ 0. Giả sử (an)n là dãy giảm
và limk→∞
an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó:
|S | ≤ a1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 44: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/44.jpg)
Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz
Chuỗi đan dấu có dạng∞∑1
(−1)nan hoặc∞∑0
(−1)nan, an ≥ 0.
Dấu hiệu Leibnitz
Cho chuỗi đan dấu∞∑1
(−1)nan, an ≥ 0. Giả sử (an)n là dãy giảm
và limk→∞
an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó:
|S | ≤ a1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 45: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/45.jpg)
Chuỗi bất kì » Các định nghĩa
Chuỗi bất kì có dạng∞∑1
an với an có thể âm hay dương.
Xét chuỗi không âm∞∑1
|an|.
Nếu chuỗi∞∑1
|an| hội tụ thì chuỗi∞∑1
an hội tụ và ta nói
chuỗi∞∑1
an hội tụ tuyệt đối.
Nếu chuỗi∞∑1
an hội tụ nhưng chuỗi∞∑1
|an| phân kỳ, ta nói
chuỗi∞∑1
an là bán hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 46: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/46.jpg)
Chuỗi bất kì » Các định nghĩa
Chuỗi bất kì có dạng∞∑1
an với an có thể âm hay dương.
Xét chuỗi không âm∞∑1
|an|.
Nếu chuỗi∞∑1
|an| hội tụ thì chuỗi∞∑1
an hội tụ và ta nói
chuỗi∞∑1
an hội tụ tuyệt đối.
Nếu chuỗi∞∑1
an hội tụ nhưng chuỗi∞∑1
|an| phân kỳ, ta nói
chuỗi∞∑1
an là bán hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 47: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/47.jpg)
Chuỗi bất kì » Các định nghĩa
Chuỗi bất kì có dạng∞∑1
an với an có thể âm hay dương.
Xét chuỗi không âm∞∑1
|an|.
Nếu chuỗi∞∑1
|an| hội tụ thì chuỗi∞∑1
an hội tụ và ta nói
chuỗi∞∑1
an hội tụ tuyệt đối.
Nếu chuỗi∞∑1
an hội tụ nhưng chuỗi∞∑1
|an| phân kỳ, ta nói
chuỗi∞∑1
an là bán hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 48: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/48.jpg)
Chuỗi bất kì » Các định nghĩa
Chuỗi bất kì có dạng∞∑1
an với an có thể âm hay dương.
Xét chuỗi không âm∞∑1
|an|.
Nếu chuỗi∞∑1
|an| hội tụ thì chuỗi∞∑1
an hội tụ và ta nói
chuỗi∞∑1
an hội tụ tuyệt đối.
Nếu chuỗi∞∑1
an hội tụ nhưng chuỗi∞∑1
|an| phân kỳ, ta nói
chuỗi∞∑1
an là bán hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 49: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/49.jpg)
Chuỗi bất kì » Các định nghĩa
Chuỗi bất kì có dạng∞∑1
an với an có thể âm hay dương.
Xét chuỗi không âm∞∑1
|an|.
Nếu chuỗi∞∑1
|an| hội tụ thì chuỗi∞∑1
an hội tụ và ta nói
chuỗi∞∑1
an hội tụ tuyệt đối.
Nếu chuỗi∞∑1
an hội tụ nhưng chuỗi∞∑1
|an| phân kỳ, ta nói
chuỗi∞∑1
an là bán hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 50: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/50.jpg)
Chuỗi bất kì » Tính chất
Nếu chuỗi∞∑1
an hội tụ tuyệt đối thì chuỗi có được bằng cách thay
đổi thứ tự các số hạng cũng hội tụ và tổng của chuỗi không thayđổi.
Ghi chú
Nếu bằng dấu hiệu D’Alembert hoặc Cauchy mà chuỗi∞∑1
|an| hội
tụ (phân kỳ) thì chuỗi∞∑1
an cũng hội tụ (phân kỳ)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 51: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/51.jpg)
Chuỗi bất kì » Tính chất
Nếu chuỗi∞∑1
an hội tụ tuyệt đối thì chuỗi có được bằng cách thay
đổi thứ tự các số hạng cũng hội tụ và tổng của chuỗi không thayđổi.
Ghi chú
Nếu bằng dấu hiệu D’Alembert hoặc Cauchy mà chuỗi∞∑1
|an| hội
tụ (phân kỳ) thì chuỗi∞∑1
an cũng hội tụ (phân kỳ)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 52: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/52.jpg)
Chuỗi bất kì » Tính chất
Nếu chuỗi∞∑1
an hội tụ tuyệt đối thì chuỗi có được bằng cách thay
đổi thứ tự các số hạng cũng hội tụ và tổng của chuỗi không thayđổi.
Ghi chú
Nếu bằng dấu hiệu D’Alembert hoặc Cauchy mà chuỗi∞∑1
|an| hội
tụ (phân kỳ) thì chuỗi∞∑1
an cũng hội tụ (phân kỳ)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 53: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/53.jpg)
Chuỗi bất kì » Định lí
Cho (an)n là dãy giảm, an ≥ 0, limn→∞
an = 0. Cho (bn)n là dãy bất
kỳ (không cần dương). Giả sử có hằng số C > 0 sao cho với mọi
n ∈ N,
n∑1
bk
≤ C .
Khi đó, chuỗi∞∑1
anbn hội tụ và tổng S =∞∑1
anbn thỏa mãn
|S | ≤ Ca1.Sau đây là một vài ví dụ "Xét tính hội tụ của chuỗi".
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 54: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/54.jpg)
Chuỗi bất kì » Định lí
Cho (an)n là dãy giảm, an ≥ 0, limn→∞
an = 0. Cho (bn)n là dãy bất
kỳ (không cần dương). Giả sử có hằng số C > 0 sao cho với mọi
n ∈ N,
n∑1
bk
≤ C .
Khi đó, chuỗi∞∑1
anbn hội tụ và tổng S =∞∑1
anbn thỏa mãn
|S | ≤ Ca1.Sau đây là một vài ví dụ "Xét tính hội tụ của chuỗi".
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 55: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/55.jpg)
Chuỗi bất kì » Định lí
Cho (an)n là dãy giảm, an ≥ 0, limn→∞
an = 0. Cho (bn)n là dãy bất
kỳ (không cần dương). Giả sử có hằng số C > 0 sao cho với mọi
n ∈ N,
n∑1
bk
≤ C .
Khi đó, chuỗi∞∑1
anbn hội tụ và tổng S =∞∑1
anbn thỏa mãn
|S | ≤ Ca1.Sau đây là một vài ví dụ "Xét tính hội tụ của chuỗi".
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 56: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/56.jpg)
Chuỗi bất kì » Định lí
Cho (an)n là dãy giảm, an ≥ 0, limn→∞
an = 0. Cho (bn)n là dãy bất
kỳ (không cần dương). Giả sử có hằng số C > 0 sao cho với mọi
n ∈ N,
n∑1
bk
≤ C .
Khi đó, chuỗi∞∑1
anbn hội tụ và tổng S =∞∑1
anbn thỏa mãn
|S | ≤ Ca1.Sau đây là một vài ví dụ "Xét tính hội tụ của chuỗi".
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 57: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/57.jpg)
Nội Dung
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 58: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/58.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 1
Ví dụ 1
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 n
Đặt f : [2,∞) → R, f (x) =1
x ln𝛼 xthì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f
giảm. Khi đó, f (n) =1
n ln𝛼 n, n ≥ 2.
Xét tích phân suy rộng
∞∫2
dx
x ln𝛼 x=
∞∫ln 2
dt
t𝛼(đổi biến t = ln x)
Tích phân hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
Vậy chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 nhội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 59: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/59.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 1
Ví dụ 1
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 n
Đặt f : [2,∞) → R, f (x) =1
x ln𝛼 xthì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f
giảm. Khi đó, f (n) =1
n ln𝛼 n, n ≥ 2.
Xét tích phân suy rộng
∞∫2
dx
x ln𝛼 x=
∞∫ln 2
dt
t𝛼(đổi biến t = ln x)
Tích phân hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
Vậy chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 nhội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 60: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/60.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 1
Ví dụ 1
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 n
Đặt f : [2,∞) → R, f (x) =1
x ln𝛼 xthì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f
giảm. Khi đó, f (n) =1
n ln𝛼 n, n ≥ 2.
Xét tích phân suy rộng
∞∫2
dx
x ln𝛼 x=
∞∫ln 2
dt
t𝛼(đổi biến t = ln x)
Tích phân hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
Vậy chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 nhội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 61: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/61.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 1
Ví dụ 1
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 n
Đặt f : [2,∞) → R, f (x) =1
x ln𝛼 xthì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f
giảm. Khi đó, f (n) =1
n ln𝛼 n, n ≥ 2.
Xét tích phân suy rộng
∞∫2
dx
x ln𝛼 x=
∞∫ln 2
dt
t𝛼(đổi biến t = ln x)
Tích phân hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
Vậy chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 nhội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 62: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/62.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 1
Ví dụ 1
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 n
Đặt f : [2,∞) → R, f (x) =1
x ln𝛼 xthì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f
giảm. Khi đó, f (n) =1
n ln𝛼 n, n ≥ 2.
Xét tích phân suy rộng
∞∫2
dx
x ln𝛼 x=
∞∫ln 2
dt
t𝛼(đổi biến t = ln x)
Tích phân hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
Vậy chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 nhội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 63: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/63.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 1
Ví dụ 1
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 n
Đặt f : [2,∞) → R, f (x) =1
x ln𝛼 xthì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f
giảm. Khi đó, f (n) =1
n ln𝛼 n, n ≥ 2.
Xét tích phân suy rộng
∞∫2
dx
x ln𝛼 x=
∞∫ln 2
dt
t𝛼(đổi biến t = ln x)
Tích phân hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
Vậy chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 nhội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 64: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/64.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 1
Ví dụ 1
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 n
Đặt f : [2,∞) → R, f (x) =1
x ln𝛼 xthì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f
giảm. Khi đó, f (n) =1
n ln𝛼 n, n ≥ 2.
Xét tích phân suy rộng
∞∫2
dx
x ln𝛼 x=
∞∫ln 2
dt
t𝛼(đổi biến t = ln x)
Tích phân hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
Vậy chuỗi∞∑2
1
n ln𝛼 nhội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 65: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/65.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 2
Ví dụ 2
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
( n√
a − 1)𝛼 với a > 1
Đặt an = ( n√
a − 1)𝛼 =(e
1n
ln a − 1)𝛼
và bn =ln𝛼 a
n𝛼thì
limn→∞
an
bn= 1
Chuỗi∞∑1
ln𝛼 a
n𝛼hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 66: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/66.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 2
Ví dụ 2
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
( n√
a − 1)𝛼 với a > 1
Đặt an = ( n√
a − 1)𝛼 =(e
1n
ln a − 1)𝛼
và bn =ln𝛼 a
n𝛼thì
limn→∞
an
bn= 1
Chuỗi∞∑1
ln𝛼 a
n𝛼hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 67: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/67.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 2
Ví dụ 2
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
( n√
a − 1)𝛼 với a > 1
Đặt an = ( n√
a − 1)𝛼 =(e
1n
ln a − 1)𝛼
và bn =ln𝛼 a
n𝛼thì
limn→∞
an
bn= 1
Chuỗi∞∑1
ln𝛼 a
n𝛼hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 68: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/68.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 2
Ví dụ 2
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
( n√
a − 1)𝛼 với a > 1
Đặt an = ( n√
a − 1)𝛼 =(e
1n
ln a − 1)𝛼
và bn =ln𝛼 a
n𝛼thì
limn→∞
an
bn= 1
Chuỗi∞∑1
ln𝛼 a
n𝛼hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 69: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/69.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 2
Ví dụ 2
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
( n√
a − 1)𝛼 với a > 1
Đặt an = ( n√
a − 1)𝛼 =(e
1n
ln a − 1)𝛼
và bn =ln𝛼 a
n𝛼thì
limn→∞
an
bn= 1
Chuỗi∞∑1
ln𝛼 a
n𝛼hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi 𝛼 > 1, phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 70: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/70.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[ln
1
n25
− ln
(sin
1
n25
)]
Đặt an =
[ln
1
n2/5− ln
(sin
1
n2/5
)]= − ln
⎛⎜⎝sin1
n2/5
1
n2/5
⎞⎟⎠Do sin t = t − t3
6+ o(t3)nên
sin t
t= 1 − t2
6+ o(t2)
Đặt bn =1
n4/5, dùng lim
t→0
ln(1 + t)
t= 1,ta có lim
n→∞
an
bn=
1
6
Do chuỗi∞∑1
1
n4/5phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 71: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/71.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[ln
1
n25
− ln
(sin
1
n25
)]
Đặt an =
[ln
1
n2/5− ln
(sin
1
n2/5
)]= − ln
⎛⎜⎝sin1
n2/5
1
n2/5
⎞⎟⎠Do sin t = t − t3
6+ o(t3)nên
sin t
t= 1 − t2
6+ o(t2)
Đặt bn =1
n4/5, dùng lim
t→0
ln(1 + t)
t= 1,ta có lim
n→∞
an
bn=
1
6
Do chuỗi∞∑1
1
n4/5phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 72: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/72.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[ln
1
n25
− ln
(sin
1
n25
)]
Đặt an =
[ln
1
n2/5− ln
(sin
1
n2/5
)]= − ln
⎛⎜⎝sin1
n2/5
1
n2/5
⎞⎟⎠Do sin t = t − t3
6+ o(t3)nên
sin t
t= 1 − t2
6+ o(t2)
Đặt bn =1
n4/5, dùng lim
t→0
ln(1 + t)
t= 1,ta có lim
n→∞
an
bn=
1
6
Do chuỗi∞∑1
1
n4/5phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 73: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/73.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[ln
1
n25
− ln
(sin
1
n25
)]
Đặt an =
[ln
1
n2/5− ln
(sin
1
n2/5
)]= − ln
⎛⎜⎝sin1
n2/5
1
n2/5
⎞⎟⎠Do sin t = t − t3
6+ o(t3)nên
sin t
t= 1 − t2
6+ o(t2)
Đặt bn =1
n4/5, dùng lim
t→0
ln(1 + t)
t= 1,ta có lim
n→∞
an
bn=
1
6
Do chuỗi∞∑1
1
n4/5phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 74: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/74.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[ln
1
n25
− ln
(sin
1
n25
)]
Đặt an =
[ln
1
n2/5− ln
(sin
1
n2/5
)]= − ln
⎛⎜⎝sin1
n2/5
1
n2/5
⎞⎟⎠Do sin t = t − t3
6+ o(t3)nên
sin t
t= 1 − t2
6+ o(t2)
Đặt bn =1
n4/5, dùng lim
t→0
ln(1 + t)
t= 1,ta có lim
n→∞
an
bn=
1
6
Do chuỗi∞∑1
1
n4/5phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 75: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/75.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[ln
1
n25
− ln
(sin
1
n25
)]
Đặt an =
[ln
1
n2/5− ln
(sin
1
n2/5
)]= − ln
⎛⎜⎝sin1
n2/5
1
n2/5
⎞⎟⎠Do sin t = t − t3
6+ o(t3)nên
sin t
t= 1 − t2
6+ o(t2)
Đặt bn =1
n4/5, dùng lim
t→0
ln(1 + t)
t= 1,ta có lim
n→∞
an
bn=
1
6
Do chuỗi∞∑1
1
n4/5phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 76: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/76.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[ln
1
n25
− ln
(sin
1
n25
)]
Đặt an =
[ln
1
n2/5− ln
(sin
1
n2/5
)]= − ln
⎛⎜⎝sin1
n2/5
1
n2/5
⎞⎟⎠Do sin t = t − t3
6+ o(t3)nên
sin t
t= 1 − t2
6+ o(t2)
Đặt bn =1
n4/5, dùng lim
t→0
ln(1 + t)
t= 1,ta có lim
n→∞
an
bn=
1
6
Do chuỗi∞∑1
1
n4/5phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 77: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/77.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[ln
1
n25
− ln
(sin
1
n25
)]
Đặt an =
[ln
1
n2/5− ln
(sin
1
n2/5
)]= − ln
⎛⎜⎝sin1
n2/5
1
n2/5
⎞⎟⎠Do sin t = t − t3
6+ o(t3)nên
sin t
t= 1 − t2
6+ o(t2)
Đặt bn =1
n4/5, dùng lim
t→0
ln(1 + t)
t= 1,ta có lim
n→∞
an
bn=
1
6
Do chuỗi∞∑1
1
n4/5phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 78: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/78.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[sin
1
n− ln
(1 +
1
n
)]
Đặt an = sin1
n− ln
(1 +
1
n
)Dùng khai triển Taylor:
sin t = t − t3
6+ o(t3), ln(1 + t) = t − t2
2+ o(t2)
Suy ra: sin t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2)
Đặt bn =1
2n2, ta có lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 79: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/79.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[sin
1
n− ln
(1 +
1
n
)]
Đặt an = sin1
n− ln
(1 +
1
n
)Dùng khai triển Taylor:
sin t = t − t3
6+ o(t3), ln(1 + t) = t − t2
2+ o(t2)
Suy ra: sin t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2)
Đặt bn =1
2n2, ta có lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 80: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/80.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[sin
1
n− ln
(1 +
1
n
)]
Đặt an = sin1
n− ln
(1 +
1
n
)Dùng khai triển Taylor:
sin t = t − t3
6+ o(t3), ln(1 + t) = t − t2
2+ o(t2)
Suy ra: sin t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2)
Đặt bn =1
2n2, ta có lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 81: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/81.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[sin
1
n− ln
(1 +
1
n
)]
Đặt an = sin1
n− ln
(1 +
1
n
)Dùng khai triển Taylor:
sin t = t − t3
6+ o(t3), ln(1 + t) = t − t2
2+ o(t2)
Suy ra: sin t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2)
Đặt bn =1
2n2, ta có lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 82: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/82.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[sin
1
n− ln
(1 +
1
n
)]
Đặt an = sin1
n− ln
(1 +
1
n
)Dùng khai triển Taylor:
sin t = t − t3
6+ o(t3), ln(1 + t) = t − t2
2+ o(t2)
Suy ra: sin t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2)
Đặt bn =1
2n2, ta có lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 83: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/83.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[sin
1
n− ln
(1 +
1
n
)]
Đặt an = sin1
n− ln
(1 +
1
n
)Dùng khai triển Taylor:
sin t = t − t3
6+ o(t3), ln(1 + t) = t − t2
2+ o(t2)
Suy ra: sin t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2)
Đặt bn =1
2n2, ta có lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 84: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/84.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
[sin
1
n− ln
(1 +
1
n
)]
Đặt an = sin1
n− ln
(1 +
1
n
)Dùng khai triển Taylor:
sin t = t − t3
6+ o(t3), ln(1 + t) = t − t2
2+ o(t2)
Suy ra: sin t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2)
Đặt bn =1
2n2, ta có lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 85: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/85.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 5
Ví dụ 5
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
(1
n− ln
n + 1
n
)
Đặt an =1
n− ln
n + 1
n
Do t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2), đặt bn =
1
2n2,ta có: lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 86: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/86.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 5
Ví dụ 5
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
(1
n− ln
n + 1
n
)
Đặt an =1
n− ln
n + 1
n
Do t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2), đặt bn =
1
2n2,ta có: lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 87: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/87.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 5
Ví dụ 5
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
(1
n− ln
n + 1
n
)
Đặt an =1
n− ln
n + 1
n
Do t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2), đặt bn =
1
2n2,ta có: lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 88: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/88.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 5
Ví dụ 5
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
(1
n− ln
n + 1
n
)
Đặt an =1
n− ln
n + 1
n
Do t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2), đặt bn =
1
2n2,ta có: lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 89: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/89.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 5
Ví dụ 5
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
(1
n− ln
n + 1
n
)
Đặt an =1
n− ln
n + 1
n
Do t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2), đặt bn =
1
2n2,ta có: lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 90: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/90.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 5
Ví dụ 5
Xét tính hội tụ của chuỗi∞∑1
(1
n− ln
n + 1
n
)
Đặt an =1
n− ln
n + 1
n
Do t − ln(1 + t) =t2
2+ o(t2), đặt bn =
1
2n2,ta có: lim
n→∞
an
bn= 1
Do chuỗi∞∑1
1
2n2hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 91: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/91.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 6
Ví dụ 6
Xét sự hội tụ của chuỗi dương∞∑1
an thỏa điều kiện:
∀n ≥ n0, n√
an ≤(
1 − 1
n𝛼
)với 𝛼 ∈ (0, 1).
Ta có: 0 < an ≤(
1 − 1
n𝛼
)n
, ∀n ≥ n0
Xét limn→∞
n2
(1 − 1
n𝛼
)n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 92: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/92.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 6
Ví dụ 6
Xét sự hội tụ của chuỗi dương∞∑1
an thỏa điều kiện:
∀n ≥ n0, n√
an ≤(
1 − 1
n𝛼
)với 𝛼 ∈ (0, 1).
Ta có: 0 < an ≤(
1 − 1
n𝛼
)n
, ∀n ≥ n0
Xét limn→∞
n2
(1 − 1
n𝛼
)n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 93: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/93.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 6
Ví dụ 6
Xét sự hội tụ của chuỗi dương∞∑1
an thỏa điều kiện:
∀n ≥ n0, n√
an ≤(
1 − 1
n𝛼
)với 𝛼 ∈ (0, 1).
Ta có: 0 < an ≤(
1 − 1
n𝛼
)n
, ∀n ≥ n0
Xét limn→∞
n2
(1 − 1
n𝛼
)n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 94: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/94.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 6
Ví dụ 6
Xét sự hội tụ của chuỗi dương∞∑1
an thỏa điều kiện:
∀n ≥ n0, n√
an ≤(
1 − 1
n𝛼
)với 𝛼 ∈ (0, 1).
Ta có: 0 < an ≤(
1 − 1
n𝛼
)n
, ∀n ≥ n0
Xét limn→∞
n2
(1 − 1
n𝛼
)n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 95: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/95.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 6
Ta có ln
[n2
(1 − 1
n𝛼
)n]= 2 ln n − n ln
(1 − 1
n𝛼
)
= n1−𝛼
[2 ln n
n1−𝛼− n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)]
Do limn→∞
ln n
n1−𝛼= 0, lim
n→∞n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)= −1nên
limn→∞
n2
(1 − 1
n𝛼
)n
= 0
Dẫn đến limn→∞
n2.an = 0
Do chuỗi∞∑1
1
n2hội tụ nên
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 96: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/96.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 6
Ta có ln
[n2
(1 − 1
n𝛼
)n]= 2 ln n − n ln
(1 − 1
n𝛼
)
= n1−𝛼
[2 ln n
n1−𝛼− n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)]
Do limn→∞
ln n
n1−𝛼= 0, lim
n→∞n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)= −1nên
limn→∞
n2
(1 − 1
n𝛼
)n
= 0
Dẫn đến limn→∞
n2.an = 0
Do chuỗi∞∑1
1
n2hội tụ nên
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 97: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/97.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 6
Ta có ln
[n2
(1 − 1
n𝛼
)n]= 2 ln n − n ln
(1 − 1
n𝛼
)
= n1−𝛼
[2 ln n
n1−𝛼− n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)]
Do limn→∞
ln n
n1−𝛼= 0, lim
n→∞n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)= −1nên
limn→∞
n2
(1 − 1
n𝛼
)n
= 0
Dẫn đến limn→∞
n2.an = 0
Do chuỗi∞∑1
1
n2hội tụ nên
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 98: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/98.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 6
Ta có ln
[n2
(1 − 1
n𝛼
)n]= 2 ln n − n ln
(1 − 1
n𝛼
)
= n1−𝛼
[2 ln n
n1−𝛼− n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)]
Do limn→∞
ln n
n1−𝛼= 0, lim
n→∞n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)= −1nên
limn→∞
n2
(1 − 1
n𝛼
)n
= 0
Dẫn đến limn→∞
n2.an = 0
Do chuỗi∞∑1
1
n2hội tụ nên
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 99: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/99.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 6
Ta có ln
[n2
(1 − 1
n𝛼
)n]= 2 ln n − n ln
(1 − 1
n𝛼
)
= n1−𝛼
[2 ln n
n1−𝛼− n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)]
Do limn→∞
ln n
n1−𝛼= 0, lim
n→∞n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)= −1nên
limn→∞
n2
(1 − 1
n𝛼
)n
= 0
Dẫn đến limn→∞
n2.an = 0
Do chuỗi∞∑1
1
n2hội tụ nên
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 100: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/100.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 6
Ta có ln
[n2
(1 − 1
n𝛼
)n]= 2 ln n − n ln
(1 − 1
n𝛼
)
= n1−𝛼
[2 ln n
n1−𝛼− n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)]
Do limn→∞
ln n
n1−𝛼= 0, lim
n→∞n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)= −1nên
limn→∞
n2
(1 − 1
n𝛼
)n
= 0
Dẫn đến limn→∞
n2.an = 0
Do chuỗi∞∑1
1
n2hội tụ nên
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 101: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/101.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 6
Ta có ln
[n2
(1 − 1
n𝛼
)n]= 2 ln n − n ln
(1 − 1
n𝛼
)
= n1−𝛼
[2 ln n
n1−𝛼− n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)]
Do limn→∞
ln n
n1−𝛼= 0, lim
n→∞n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)= −1nên
limn→∞
n2
(1 − 1
n𝛼
)n
= 0
Dẫn đến limn→∞
n2.an = 0
Do chuỗi∞∑1
1
n2hội tụ nên
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 102: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/102.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 6
Ta có ln
[n2
(1 − 1
n𝛼
)n]= 2 ln n − n ln
(1 − 1
n𝛼
)
= n1−𝛼
[2 ln n
n1−𝛼− n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)]
Do limn→∞
ln n
n1−𝛼= 0, lim
n→∞n𝛼 ln
(1 − 1
n𝛼
)= −1nên
limn→∞
n2
(1 − 1
n𝛼
)n
= 0
Dẫn đến limn→∞
n2.an = 0
Do chuỗi∞∑1
1
n2hội tụ nên
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 103: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/103.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
Ví dụ 7
1 Xét sự hội tụ của chuỗi∞∑1
an thỏa điều kiện:
an > 0,an+1
an≤(
n
n + 1
)𝛼
với 𝛼 > 1
2 Xét sự hội tụ của chuỗi∞∑1
un với:
un =1.3. . . . .(2n − 1)
2.4. . . . .2n.(2n + 2)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 104: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/104.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
Ví dụ 7
1 Xét sự hội tụ của chuỗi∞∑1
an thỏa điều kiện:
an > 0,an+1
an≤(
n
n + 1
)𝛼
với 𝛼 > 1
2 Xét sự hội tụ của chuỗi∞∑1
un với:
un =1.3. . . . .(2n − 1)
2.4. . . . .2n.(2n + 2)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 105: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/105.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
Ví dụ 7
1 Xét sự hội tụ của chuỗi∞∑1
an thỏa điều kiện:
an > 0,an+1
an≤(
n
n + 1
)𝛼
với 𝛼 > 1
2 Xét sự hội tụ của chuỗi∞∑1
un với:
un =1.3. . . . .(2n − 1)
2.4. . . . .2n.(2n + 2)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 106: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/106.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
1 Đặt bn =1
n𝛼, ta có
an+1
an≤(
n
n + 1
)𝛼
=bn+1
bn=
(1 − 1
n + 1
)𝛼
, ∀n
Suy raan+1
bn+1≤ an
bn≤ · · · ≤ a1
b1= a1, ∀n
Vậy an ≤ a1.bn, ∀n.
Do 𝛼 > 1, chuỗi∞∑1
1
n𝛼hội tụ nên chuỗi
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 107: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/107.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
1 Đặt bn =1
n𝛼, ta có
an+1
an≤(
n
n + 1
)𝛼
=bn+1
bn=
(1 − 1
n + 1
)𝛼
, ∀n
Suy raan+1
bn+1≤ an
bn≤ · · · ≤ a1
b1= a1, ∀n
Vậy an ≤ a1.bn, ∀n.
Do 𝛼 > 1, chuỗi∞∑1
1
n𝛼hội tụ nên chuỗi
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 108: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/108.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
1 Đặt bn =1
n𝛼, ta có
an+1
an≤(
n
n + 1
)𝛼
=bn+1
bn=
(1 − 1
n + 1
)𝛼
, ∀n
Suy raan+1
bn+1≤ an
bn≤ · · · ≤ a1
b1= a1, ∀n
Vậy an ≤ a1.bn, ∀n.
Do 𝛼 > 1, chuỗi∞∑1
1
n𝛼hội tụ nên chuỗi
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 109: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/109.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
1 Đặt bn =1
n𝛼, ta có
an+1
an≤(
n
n + 1
)𝛼
=bn+1
bn=
(1 − 1
n + 1
)𝛼
, ∀n
Suy raan+1
bn+1≤ an
bn≤ · · · ≤ a1
b1= a1, ∀n
Vậy an ≤ a1.bn, ∀n.
Do 𝛼 > 1, chuỗi∞∑1
1
n𝛼hội tụ nên chuỗi
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 110: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/110.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
1 Đặt bn =1
n𝛼, ta có
an+1
an≤(
n
n + 1
)𝛼
=bn+1
bn=
(1 − 1
n + 1
)𝛼
, ∀n
Suy raan+1
bn+1≤ an
bn≤ · · · ≤ a1
b1= a1, ∀n
Vậy an ≤ a1.bn, ∀n.
Do 𝛼 > 1, chuỗi∞∑1
1
n𝛼hội tụ nên chuỗi
∞∑1
an hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 111: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/111.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
2 Ta cóun+1
un=
2n + 1
2n + 4= 1− 3
2(n + 2)≤(
1 − 1
n + 2
) 32
(*)
Tương tự câu 1 với bn =1
(n + 1)3/2ta có chuỗi
∞∑1
un hội tụ.
Ta chứng minh: với t ∈ [0, 1], 𝛼 > 1, (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼tĐặt 𝜙(t) = (1 − t)𝛼 − (1 − 𝛼t),ta có:𝜙′(t) = −𝛼(1 − t)𝛼−1 + 𝛼 ≥ 0Do 𝜙(0) = 0 nên 𝜙(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] hay (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 112: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/112.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
2 Ta cóun+1
un=
2n + 1
2n + 4= 1− 3
2(n + 2)≤(
1 − 1
n + 2
) 32
(*)
Tương tự câu 1 với bn =1
(n + 1)3/2ta có chuỗi
∞∑1
un hội tụ.
Ta chứng minh: với t ∈ [0, 1], 𝛼 > 1, (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼tĐặt 𝜙(t) = (1 − t)𝛼 − (1 − 𝛼t),ta có:𝜙′(t) = −𝛼(1 − t)𝛼−1 + 𝛼 ≥ 0Do 𝜙(0) = 0 nên 𝜙(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] hay (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 113: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/113.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
2 Ta cóun+1
un=
2n + 1
2n + 4= 1− 3
2(n + 2)≤(
1 − 1
n + 2
) 32
(*)
Tương tự câu 1 với bn =1
(n + 1)3/2ta có chuỗi
∞∑1
un hội tụ.
Ta chứng minh: với t ∈ [0, 1], 𝛼 > 1, (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼tĐặt 𝜙(t) = (1 − t)𝛼 − (1 − 𝛼t),ta có:𝜙′(t) = −𝛼(1 − t)𝛼−1 + 𝛼 ≥ 0Do 𝜙(0) = 0 nên 𝜙(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] hay (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 114: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/114.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
2 Ta cóun+1
un=
2n + 1
2n + 4= 1− 3
2(n + 2)≤(
1 − 1
n + 2
) 32
(*)
Tương tự câu 1 với bn =1
(n + 1)3/2ta có chuỗi
∞∑1
un hội tụ.
Ta chứng minh: với t ∈ [0, 1], 𝛼 > 1, (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼tĐặt 𝜙(t) = (1 − t)𝛼 − (1 − 𝛼t),ta có:𝜙′(t) = −𝛼(1 − t)𝛼−1 + 𝛼 ≥ 0Do 𝜙(0) = 0 nên 𝜙(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] hay (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 115: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/115.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
2 Ta cóun+1
un=
2n + 1
2n + 4= 1− 3
2(n + 2)≤(
1 − 1
n + 2
) 32
(*)
Tương tự câu 1 với bn =1
(n + 1)3/2ta có chuỗi
∞∑1
un hội tụ.
Ta chứng minh: với t ∈ [0, 1], 𝛼 > 1, (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼tĐặt 𝜙(t) = (1 − t)𝛼 − (1 − 𝛼t),ta có:𝜙′(t) = −𝛼(1 − t)𝛼−1 + 𝛼 ≥ 0Do 𝜙(0) = 0 nên 𝜙(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] hay (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 116: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/116.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
2 Ta cóun+1
un=
2n + 1
2n + 4= 1− 3
2(n + 2)≤(
1 − 1
n + 2
) 32
(*)
Tương tự câu 1 với bn =1
(n + 1)3/2ta có chuỗi
∞∑1
un hội tụ.
Ta chứng minh: với t ∈ [0, 1], 𝛼 > 1, (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼tĐặt 𝜙(t) = (1 − t)𝛼 − (1 − 𝛼t),ta có:𝜙′(t) = −𝛼(1 − t)𝛼−1 + 𝛼 ≥ 0Do 𝜙(0) = 0 nên 𝜙(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] hay (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 117: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/117.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 7
2 Ta cóun+1
un=
2n + 1
2n + 4= 1− 3
2(n + 2)≤(
1 − 1
n + 2
) 32
(*)
Tương tự câu 1 với bn =1
(n + 1)3/2ta có chuỗi
∞∑1
un hội tụ.
Ta chứng minh: với t ∈ [0, 1], 𝛼 > 1, (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼tĐặt 𝜙(t) = (1 − t)𝛼 − (1 − 𝛼t),ta có:𝜙′(t) = −𝛼(1 − t)𝛼−1 + 𝛼 ≥ 0Do 𝜙(0) = 0 nên 𝜙(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] hay (1 − t)𝛼 ≥ 1 − 𝛼t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 118: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/118.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Ví dụ 8
Cho 𝛼 ∈ (0, 2𝜋), s > 0.
Xét sự hội tụ của hai chuỗi∞∑1
cos n𝛼ns ,
∞∑1
sin n𝛼ns
Trước tiên chứng minh: có M > 0 sao cho
n∑0
cos k𝛼
≤ M,
n∑0
sin k𝛼
≤ M, ∀n
Do e ik𝛼 = cos k𝛼+ i sin k𝛼, ∀k ∈ N, ta có:n∑0
e ik𝛼 = 1−e i(n+1)𝛼
1−e i𝛼 = (1−cos(n+1)𝛼)−i sin(n+1)𝛼(1−cos𝛼)−i sin𝛼
= [(1−cos(n+1)𝛼)−i sin(n+1)𝛼][(1−cos𝛼)+i sin𝛼]
(1−cos𝛼)2+sin2 𝛼
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 119: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/119.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Ví dụ 8
Cho 𝛼 ∈ (0, 2𝜋), s > 0.
Xét sự hội tụ của hai chuỗi∞∑1
cos n𝛼ns ,
∞∑1
sin n𝛼ns
Trước tiên chứng minh: có M > 0 sao cho
n∑0
cos k𝛼
≤ M,
n∑0
sin k𝛼
≤ M, ∀n
Do e ik𝛼 = cos k𝛼+ i sin k𝛼, ∀k ∈ N, ta có:n∑0
e ik𝛼 = 1−e i(n+1)𝛼
1−e i𝛼 = (1−cos(n+1)𝛼)−i sin(n+1)𝛼(1−cos𝛼)−i sin𝛼
= [(1−cos(n+1)𝛼)−i sin(n+1)𝛼][(1−cos𝛼)+i sin𝛼]
(1−cos𝛼)2+sin2 𝛼
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 120: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/120.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Ví dụ 8
Cho 𝛼 ∈ (0, 2𝜋), s > 0.
Xét sự hội tụ của hai chuỗi∞∑1
cos n𝛼ns ,
∞∑1
sin n𝛼ns
Trước tiên chứng minh: có M > 0 sao cho
n∑0
cos k𝛼
≤ M,
n∑0
sin k𝛼
≤ M, ∀n
Do e ik𝛼 = cos k𝛼+ i sin k𝛼, ∀k ∈ N, ta có:n∑0
e ik𝛼 = 1−e i(n+1)𝛼
1−e i𝛼 = (1−cos(n+1)𝛼)−i sin(n+1)𝛼(1−cos𝛼)−i sin𝛼
= [(1−cos(n+1)𝛼)−i sin(n+1)𝛼][(1−cos𝛼)+i sin𝛼]
(1−cos𝛼)2+sin2 𝛼
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 121: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/121.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Ví dụ 8
Cho 𝛼 ∈ (0, 2𝜋), s > 0.
Xét sự hội tụ của hai chuỗi∞∑1
cos n𝛼ns ,
∞∑1
sin n𝛼ns
Trước tiên chứng minh: có M > 0 sao cho
n∑0
cos k𝛼
≤ M,
n∑0
sin k𝛼
≤ M, ∀n
Do e ik𝛼 = cos k𝛼+ i sin k𝛼, ∀k ∈ N, ta có:n∑0
e ik𝛼 = 1−e i(n+1)𝛼
1−e i𝛼 = (1−cos(n+1)𝛼)−i sin(n+1)𝛼(1−cos𝛼)−i sin𝛼
= [(1−cos(n+1)𝛼)−i sin(n+1)𝛼][(1−cos𝛼)+i sin𝛼]
(1−cos𝛼)2+sin2 𝛼
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 122: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/122.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Ví dụ 8
Cho 𝛼 ∈ (0, 2𝜋), s > 0.
Xét sự hội tụ của hai chuỗi∞∑1
cos n𝛼ns ,
∞∑1
sin n𝛼ns
Trước tiên chứng minh: có M > 0 sao cho
n∑0
cos k𝛼
≤ M,
n∑0
sin k𝛼
≤ M, ∀n
Do e ik𝛼 = cos k𝛼+ i sin k𝛼, ∀k ∈ N, ta có:n∑0
e ik𝛼 = 1−e i(n+1)𝛼
1−e i𝛼 = (1−cos(n+1)𝛼)−i sin(n+1)𝛼(1−cos𝛼)−i sin𝛼
= [(1−cos(n+1)𝛼)−i sin(n+1)𝛼][(1−cos𝛼)+i sin𝛼]
(1−cos𝛼)2+sin2 𝛼
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 123: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/123.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Đồng nhất phần thực và ảo
n∑0
cos k𝛼
=
[1 − cos(n + 1)𝛼](1 − cos𝛼) + sin𝛼. sin(n + 1)𝛼
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
≤
≤5
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
n∑0
sin k𝛼
=
[1 − cos(n + 1)𝛼] sin𝛼+ (1 − cos𝛼). sin(n + 1)𝛼
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
≤
≤4
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
Vậy điều khẳng định được chứng minh.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 124: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/124.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Đồng nhất phần thực và ảo
n∑0
cos k𝛼
=
[1 − cos(n + 1)𝛼](1 − cos𝛼) + sin𝛼. sin(n + 1)𝛼
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
≤
≤5
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
n∑0
sin k𝛼
=
[1 − cos(n + 1)𝛼] sin𝛼+ (1 − cos𝛼). sin(n + 1)𝛼
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
≤
≤4
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
Vậy điều khẳng định được chứng minh.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 125: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/125.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Đồng nhất phần thực và ảo
n∑0
cos k𝛼
=
[1 − cos(n + 1)𝛼](1 − cos𝛼) + sin𝛼. sin(n + 1)𝛼
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
≤
≤5
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
n∑0
sin k𝛼
=
[1 − cos(n + 1)𝛼] sin𝛼+ (1 − cos𝛼). sin(n + 1)𝛼
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
≤
≤4
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
Vậy điều khẳng định được chứng minh.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 126: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/126.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Đồng nhất phần thực và ảo
n∑0
cos k𝛼
=
[1 − cos(n + 1)𝛼](1 − cos𝛼) + sin𝛼. sin(n + 1)𝛼
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
≤
≤5
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
n∑0
sin k𝛼
=
[1 − cos(n + 1)𝛼] sin𝛼+ (1 − cos𝛼). sin(n + 1)𝛼
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
≤
≤4
(1 − cos𝛼)2 + sin2 𝛼
Vậy điều khẳng định được chứng minh.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 127: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/127.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Do hai chuỗi đã cho có dạng∞∑1
anbn với lần lượt bn = cos n𝛼,
bn = sin n𝛼 và an =1
ns, (an)n là dãy giảm, lim
n→∞an = 0 và có hằng
số C ≥ 0 thỏa mãn:
n∑1
cos k𝛼
≤ C ,
n∑1
sin k𝛼
≤ C , ∀n
Vậy chuỗi∞∑1
cos n𝛼
ns,
∞∑1
sin n𝛼
nshội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 128: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/128.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Do hai chuỗi đã cho có dạng∞∑1
anbn với lần lượt bn = cos n𝛼,
bn = sin n𝛼 và an =1
ns, (an)n là dãy giảm, lim
n→∞an = 0 và có hằng
số C ≥ 0 thỏa mãn:
n∑1
cos k𝛼
≤ C ,
n∑1
sin k𝛼
≤ C , ∀n
Vậy chuỗi∞∑1
cos n𝛼
ns,
∞∑1
sin n𝛼
nshội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 129: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/129.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Do hai chuỗi đã cho có dạng∞∑1
anbn với lần lượt bn = cos n𝛼,
bn = sin n𝛼 và an =1
ns, (an)n là dãy giảm, lim
n→∞an = 0 và có hằng
số C ≥ 0 thỏa mãn:
n∑1
cos k𝛼
≤ C ,
n∑1
sin k𝛼
≤ C , ∀n
Vậy chuỗi∞∑1
cos n𝛼
ns,
∞∑1
sin n𝛼
nshội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 130: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/130.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Do hai chuỗi đã cho có dạng∞∑1
anbn với lần lượt bn = cos n𝛼,
bn = sin n𝛼 và an =1
ns, (an)n là dãy giảm, lim
n→∞an = 0 và có hằng
số C ≥ 0 thỏa mãn:
n∑1
cos k𝛼
≤ C ,
n∑1
sin k𝛼
≤ C , ∀n
Vậy chuỗi∞∑1
cos n𝛼
ns,
∞∑1
sin n𝛼
nshội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 131: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/131.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 8
Do hai chuỗi đã cho có dạng∞∑1
anbn với lần lượt bn = cos n𝛼,
bn = sin n𝛼 và an =1
ns, (an)n là dãy giảm, lim
n→∞an = 0 và có hằng
số C ≥ 0 thỏa mãn:
n∑1
cos k𝛼
≤ C ,
n∑1
sin k𝛼
≤ C , ∀n
Vậy chuỗi∞∑1
cos n𝛼
ns,
∞∑1
sin n𝛼
nshội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 132: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/132.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 9
Ví dụ 9
Cho 𝛼 > 0, s > 0. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu∞∑2
(−1)nln𝛼 n
ns
Xét hàm 𝜙(t) =ln𝛼 t
ts
Ta có 𝜙′(t) =ln𝛼−1 t
ts+1(𝛼− s ln t) ≤ 0khi ln t ≥ 𝛼
sVậy 𝜙 là hàm giảm khi t ≥ e𝛼/s
Với n0 ∈ N sao cho n0 ≥ e𝛼/s , chuỗi đan dấu∑n≥n0
(−1)nln𝛼 n
nscó
dãy
(ln𝛼 n
ns
)là dãy giảm, lim
n→∞
ln𝛼 n
ns= 0
Theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 133: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/133.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 9
Ví dụ 9
Cho 𝛼 > 0, s > 0. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu∞∑2
(−1)nln𝛼 n
ns
Xét hàm 𝜙(t) =ln𝛼 t
ts
Ta có 𝜙′(t) =ln𝛼−1 t
ts+1(𝛼− s ln t) ≤ 0khi ln t ≥ 𝛼
sVậy 𝜙 là hàm giảm khi t ≥ e𝛼/s
Với n0 ∈ N sao cho n0 ≥ e𝛼/s , chuỗi đan dấu∑n≥n0
(−1)nln𝛼 n
nscó
dãy
(ln𝛼 n
ns
)là dãy giảm, lim
n→∞
ln𝛼 n
ns= 0
Theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 134: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/134.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 9
Ví dụ 9
Cho 𝛼 > 0, s > 0. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu∞∑2
(−1)nln𝛼 n
ns
Xét hàm 𝜙(t) =ln𝛼 t
ts
Ta có 𝜙′(t) =ln𝛼−1 t
ts+1(𝛼− s ln t) ≤ 0khi ln t ≥ 𝛼
sVậy 𝜙 là hàm giảm khi t ≥ e𝛼/s
Với n0 ∈ N sao cho n0 ≥ e𝛼/s , chuỗi đan dấu∑n≥n0
(−1)nln𝛼 n
nscó
dãy
(ln𝛼 n
ns
)là dãy giảm, lim
n→∞
ln𝛼 n
ns= 0
Theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 135: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/135.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 9
Ví dụ 9
Cho 𝛼 > 0, s > 0. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu∞∑2
(−1)nln𝛼 n
ns
Xét hàm 𝜙(t) =ln𝛼 t
ts
Ta có 𝜙′(t) =ln𝛼−1 t
ts+1(𝛼− s ln t) ≤ 0khi ln t ≥ 𝛼
sVậy 𝜙 là hàm giảm khi t ≥ e𝛼/s
Với n0 ∈ N sao cho n0 ≥ e𝛼/s , chuỗi đan dấu∑n≥n0
(−1)nln𝛼 n
nscó
dãy
(ln𝛼 n
ns
)là dãy giảm, lim
n→∞
ln𝛼 n
ns= 0
Theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 136: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/136.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 9
Ví dụ 9
Cho 𝛼 > 0, s > 0. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu∞∑2
(−1)nln𝛼 n
ns
Xét hàm 𝜙(t) =ln𝛼 t
ts
Ta có 𝜙′(t) =ln𝛼−1 t
ts+1(𝛼− s ln t) ≤ 0khi ln t ≥ 𝛼
sVậy 𝜙 là hàm giảm khi t ≥ e𝛼/s
Với n0 ∈ N sao cho n0 ≥ e𝛼/s , chuỗi đan dấu∑n≥n0
(−1)nln𝛼 n
nscó
dãy
(ln𝛼 n
ns
)là dãy giảm, lim
n→∞
ln𝛼 n
ns= 0
Theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 137: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/137.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 9
Ví dụ 9
Cho 𝛼 > 0, s > 0. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu∞∑2
(−1)nln𝛼 n
ns
Xét hàm 𝜙(t) =ln𝛼 t
ts
Ta có 𝜙′(t) =ln𝛼−1 t
ts+1(𝛼− s ln t) ≤ 0khi ln t ≥ 𝛼
sVậy 𝜙 là hàm giảm khi t ≥ e𝛼/s
Với n0 ∈ N sao cho n0 ≥ e𝛼/s , chuỗi đan dấu∑n≥n0
(−1)nln𝛼 n
nscó
dãy
(ln𝛼 n
ns
)là dãy giảm, lim
n→∞
ln𝛼 n
ns= 0
Theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 138: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/138.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 9
Ví dụ 9
Cho 𝛼 > 0, s > 0. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu∞∑2
(−1)nln𝛼 n
ns
Xét hàm 𝜙(t) =ln𝛼 t
ts
Ta có 𝜙′(t) =ln𝛼−1 t
ts+1(𝛼− s ln t) ≤ 0khi ln t ≥ 𝛼
sVậy 𝜙 là hàm giảm khi t ≥ e𝛼/s
Với n0 ∈ N sao cho n0 ≥ e𝛼/s , chuỗi đan dấu∑n≥n0
(−1)nln𝛼 n
nscó
dãy
(ln𝛼 n
ns
)là dãy giảm, lim
n→∞
ln𝛼 n
ns= 0
Theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 139: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/139.jpg)
Ví dụ » Ví dụ 9
Ví dụ 9
Cho 𝛼 > 0, s > 0. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu∞∑2
(−1)nln𝛼 n
ns
Xét hàm 𝜙(t) =ln𝛼 t
ts
Ta có 𝜙′(t) =ln𝛼−1 t
ts+1(𝛼− s ln t) ≤ 0khi ln t ≥ 𝛼
sVậy 𝜙 là hàm giảm khi t ≥ e𝛼/s
Với n0 ∈ N sao cho n0 ≥ e𝛼/s , chuỗi đan dấu∑n≥n0
(−1)nln𝛼 n
nscó
dãy
(ln𝛼 n
ns
)là dãy giảm, lim
n→∞
ln𝛼 n
ns= 0
Theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 140: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/140.jpg)
Nội Dung
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 141: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/141.jpg)
Bài tập 1
Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của chuỗi sau:
1
∞∑1
1
4n2 − 1HD: an =
1
4n2 − 1=
1
2
(1
2n − 1−
1
2n + 1
)
2
∞∑1
3n2 + 3n + 1
n3(n + 1)3HD: an =
1
n3−
1
(n + 1)3
3
∞∑1
arctg1
n2 + n + 1HD: arctga − arctgb = arctg
a − b
1 + ab
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 142: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/142.jpg)
Bài tập 1
Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của chuỗi sau:
1
∞∑1
1
4n2 − 1HD: an =
1
4n2 − 1=
1
2
(1
2n − 1−
1
2n + 1
)
2
∞∑1
3n2 + 3n + 1
n3(n + 1)3HD: an =
1
n3−
1
(n + 1)3
3
∞∑1
arctg1
n2 + n + 1HD: arctga − arctgb = arctg
a − b
1 + ab
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 143: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/143.jpg)
Bài tập 1
Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của chuỗi sau:
1
∞∑1
1
4n2 − 1HD: an =
1
4n2 − 1=
1
2
(1
2n − 1−
1
2n + 1
)
2
∞∑1
3n2 + 3n + 1
n3(n + 1)3HD: an =
1
n3−
1
(n + 1)3
3
∞∑1
arctg1
n2 + n + 1HD: arctga − arctgb = arctg
a − b
1 + ab
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 144: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/144.jpg)
Bài tập 1
Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của chuỗi sau:
1
∞∑1
1
4n2 − 1HD: an =
1
4n2 − 1=
1
2
(1
2n − 1−
1
2n + 1
)
2
∞∑1
3n2 + 3n + 1
n3(n + 1)3HD: an =
1
n3−
1
(n + 1)3
3
∞∑1
arctg1
n2 + n + 1HD: arctga − arctgb = arctg
a − b
1 + ab
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 145: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/145.jpg)
Bài tập 1
Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của chuỗi sau:
1
∞∑1
1
4n2 − 1HD: an =
1
4n2 − 1=
1
2
(1
2n − 1−
1
2n + 1
)
2
∞∑1
3n2 + 3n + 1
n3(n + 1)3HD: an =
1
n3−
1
(n + 1)3
3
∞∑1
arctg1
n2 + n + 1HD: arctga − arctgb = arctg
a − b
1 + ab
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 146: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/146.jpg)
Bài tập 1
Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của chuỗi sau:
1
∞∑1
1
4n2 − 1HD: an =
1
4n2 − 1=
1
2
(1
2n − 1−
1
2n + 1
)
2
∞∑1
3n2 + 3n + 1
n3(n + 1)3HD: an =
1
n3−
1
(n + 1)3
3
∞∑1
arctg1
n2 + n + 1HD: arctga − arctgb = arctg
a − b
1 + ab
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 147: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/147.jpg)
Bài tập 1
Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của chuỗi sau:
1
∞∑1
1
4n2 − 1HD: an =
1
4n2 − 1=
1
2
(1
2n − 1−
1
2n + 1
)
2
∞∑1
3n2 + 3n + 1
n3(n + 1)3HD: an =
1
n3−
1
(n + 1)3
3
∞∑1
arctg1
n2 + n + 1HD: arctga − arctgb = arctg
a − b
1 + ab
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 148: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/148.jpg)
Bài tập 1
Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của chuỗi sau:
1
∞∑1
1
4n2 − 1HD: an =
1
4n2 − 1=
1
2
(1
2n − 1−
1
2n + 1
)
2
∞∑1
3n2 + 3n + 1
n3(n + 1)3HD: an =
1
n3−
1
(n + 1)3
3
∞∑1
arctg1
n2 + n + 1HD: arctga − arctgb = arctg
a − b
1 + ab
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 149: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/149.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
1
∞∑1
1√n(n + 1)
2
∞∑1
√n + 1 −
√n − 1
n3/4
3
∞∑1
(√
n2 + 1 − n)𝛼
4
∞∑1
1
n𝛼
(n + 1
n
)n
HD: limn→∞
(n + 1
n
)n
= e
5
∞∑1
ln
(1 +
1
n𝛼
)HD: ln(1 + t) ∼ t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 150: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/150.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
1
∞∑1
1√n(n + 1)
2
∞∑1
√n + 1 −
√n − 1
n3/4
3
∞∑1
(√
n2 + 1 − n)𝛼
4
∞∑1
1
n𝛼
(n + 1
n
)n
HD: limn→∞
(n + 1
n
)n
= e
5
∞∑1
ln
(1 +
1
n𝛼
)HD: ln(1 + t) ∼ t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 151: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/151.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
1
∞∑1
1√n(n + 1)
2
∞∑1
√n + 1 −
√n − 1
n3/4
3
∞∑1
(√
n2 + 1 − n)𝛼
4
∞∑1
1
n𝛼
(n + 1
n
)n
HD: limn→∞
(n + 1
n
)n
= e
5
∞∑1
ln
(1 +
1
n𝛼
)HD: ln(1 + t) ∼ t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 152: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/152.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
1
∞∑1
1√n(n + 1)
2
∞∑1
√n + 1 −
√n − 1
n3/4
3
∞∑1
(√
n2 + 1 − n)𝛼
4
∞∑1
1
n𝛼
(n + 1
n
)n
HD: limn→∞
(n + 1
n
)n
= e
5
∞∑1
ln
(1 +
1
n𝛼
)HD: ln(1 + t) ∼ t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 153: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/153.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
1
∞∑1
1√n(n + 1)
2
∞∑1
√n + 1 −
√n − 1
n3/4
3
∞∑1
(√
n2 + 1 − n)𝛼
4
∞∑1
1
n𝛼
(n + 1
n
)n
HD: limn→∞
(n + 1
n
)n
= e
5
∞∑1
ln
(1 +
1
n𝛼
)HD: ln(1 + t) ∼ t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 154: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/154.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
1
∞∑1
1√n(n + 1)
2
∞∑1
√n + 1 −
√n − 1
n3/4
3
∞∑1
(√
n2 + 1 − n)𝛼
4
∞∑1
1
n𝛼
(n + 1
n
)n
HD: limn→∞
(n + 1
n
)n
= e
5
∞∑1
ln
(1 +
1
n𝛼
)HD: ln(1 + t) ∼ t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 155: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/155.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
1
∞∑1
1√n(n + 1)
2
∞∑1
√n + 1 −
√n − 1
n3/4
3
∞∑1
(√
n2 + 1 − n)𝛼
4
∞∑1
1
n𝛼
(n + 1
n
)n
HD: limn→∞
(n + 1
n
)n
= e
5
∞∑1
ln
(1 +
1
n𝛼
)HD: ln(1 + t) ∼ t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 156: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/156.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
1
∞∑1
1√n(n + 1)
2
∞∑1
√n + 1 −
√n − 1
n3/4
3
∞∑1
(√
n2 + 1 − n)𝛼
4
∞∑1
1
n𝛼
(n + 1
n
)n
HD: limn→∞
(n + 1
n
)n
= e
5
∞∑1
ln
(1 +
1
n𝛼
)HD: ln(1 + t) ∼ t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 157: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/157.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
1
∞∑1
1√n(n + 1)
2
∞∑1
√n + 1 −
√n − 1
n3/4
3
∞∑1
(√
n2 + 1 − n)𝛼
4
∞∑1
1
n𝛼
(n + 1
n
)n
HD: limn→∞
(n + 1
n
)n
= e
5
∞∑1
ln
(1 +
1
n𝛼
)HD: ln(1 + t) ∼ t
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 158: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/158.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
6
∞∑1
1√n
ln
(n + 1
n − 1
)7
∞∑1
(1 − cos
1
n𝛼
)HD: 1 − cos t ∼ t2
2
8
∞∑1
n4/3 arctg1
n2
9
∞∑1
ln n
n3/2
10
∞∑1
2n + 3n
4n + n2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 159: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/159.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
6
∞∑1
1√n
ln
(n + 1
n − 1
)7
∞∑1
(1 − cos
1
n𝛼
)HD: 1 − cos t ∼ t2
2
8
∞∑1
n4/3 arctg1
n2
9
∞∑1
ln n
n3/2
10
∞∑1
2n + 3n
4n + n2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 160: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/160.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
6
∞∑1
1√n
ln
(n + 1
n − 1
)7
∞∑1
(1 − cos
1
n𝛼
)HD: 1 − cos t ∼ t2
2
8
∞∑1
n4/3 arctg1
n2
9
∞∑1
ln n
n3/2
10
∞∑1
2n + 3n
4n + n2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 161: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/161.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
6
∞∑1
1√n
ln
(n + 1
n − 1
)7
∞∑1
(1 − cos
1
n𝛼
)HD: 1 − cos t ∼ t2
2
8
∞∑1
n4/3 arctg1
n2
9
∞∑1
ln n
n3/2
10
∞∑1
2n + 3n
4n + n2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 162: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/162.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
6
∞∑1
1√n
ln
(n + 1
n − 1
)7
∞∑1
(1 − cos
1
n𝛼
)HD: 1 − cos t ∼ t2
2
8
∞∑1
n4/3 arctg1
n2
9
∞∑1
ln n
n3/2
10
∞∑1
2n + 3n
4n + n2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 163: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/163.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
6
∞∑1
1√n
ln
(n + 1
n − 1
)7
∞∑1
(1 − cos
1
n𝛼
)HD: 1 − cos t ∼ t2
2
8
∞∑1
n4/3 arctg1
n2
9
∞∑1
ln n
n3/2
10
∞∑1
2n + 3n
4n + n2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 164: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/164.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
6
∞∑1
1√n
ln
(n + 1
n − 1
)7
∞∑1
(1 − cos
1
n𝛼
)HD: 1 − cos t ∼ t2
2
8
∞∑1
n4/3 arctg1
n2
9
∞∑1
ln n
n3/2
10
∞∑1
2n + 3n
4n + n2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 165: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/165.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
6
∞∑1
1√n
ln
(n + 1
n − 1
)7
∞∑1
(1 − cos
1
n𝛼
)HD: 1 − cos t ∼ t2
2
8
∞∑1
n4/3 arctg1
n2
9
∞∑1
ln n
n3/2
10
∞∑1
2n + 3n
4n + n2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 166: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/166.jpg)
Nội Dung
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 167: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/167.jpg)
Bài tập 3
Dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn số xét sự hội tụ của chuỗi:
1
∞∑1
n!
8n.n2
2
∞∑1
1.3.5. . . . .(2n − 1)
22n.(n − 1)!
3
∞∑1
7n(n!)2
n2n
4
∞∑1
n
(2n + 1
3n − 1
)n
5
∞∑1
1
2n
(1 +
1
n
)n2
6
∞∑1
(n − 1
n + 1
)n(n−1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 168: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/168.jpg)
Bài tập 3
Dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn số xét sự hội tụ của chuỗi:
1
∞∑1
n!
8n.n2
2
∞∑1
1.3.5. . . . .(2n − 1)
22n.(n − 1)!
3
∞∑1
7n(n!)2
n2n
4
∞∑1
n
(2n + 1
3n − 1
)n
5
∞∑1
1
2n
(1 +
1
n
)n2
6
∞∑1
(n − 1
n + 1
)n(n−1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 169: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/169.jpg)
Bài tập 3
Dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn số xét sự hội tụ của chuỗi:
1
∞∑1
n!
8n.n2
2
∞∑1
1.3.5. . . . .(2n − 1)
22n.(n − 1)!
3
∞∑1
7n(n!)2
n2n
4
∞∑1
n
(2n + 1
3n − 1
)n
5
∞∑1
1
2n
(1 +
1
n
)n2
6
∞∑1
(n − 1
n + 1
)n(n−1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 170: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/170.jpg)
Bài tập 3
Dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn số xét sự hội tụ của chuỗi:
1
∞∑1
n!
8n.n2
2
∞∑1
1.3.5. . . . .(2n − 1)
22n.(n − 1)!
3
∞∑1
7n(n!)2
n2n
4
∞∑1
n
(2n + 1
3n − 1
)n
5
∞∑1
1
2n
(1 +
1
n
)n2
6
∞∑1
(n − 1
n + 1
)n(n−1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 171: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/171.jpg)
Bài tập 3
Dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn số xét sự hội tụ của chuỗi:
1
∞∑1
n!
8n.n2
2
∞∑1
1.3.5. . . . .(2n − 1)
22n.(n − 1)!
3
∞∑1
7n(n!)2
n2n
4
∞∑1
n
(2n + 1
3n − 1
)n
5
∞∑1
1
2n
(1 +
1
n
)n2
6
∞∑1
(n − 1
n + 1
)n(n−1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 172: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/172.jpg)
Bài tập 3
Dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn số xét sự hội tụ của chuỗi:
1
∞∑1
n!
8n.n2
2
∞∑1
1.3.5. . . . .(2n − 1)
22n.(n − 1)!
3
∞∑1
7n(n!)2
n2n
4
∞∑1
n
(2n + 1
3n − 1
)n
5
∞∑1
1
2n
(1 +
1
n
)n2
6
∞∑1
(n − 1
n + 1
)n(n−1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 173: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/173.jpg)
Bài tập 3
Dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn số xét sự hội tụ của chuỗi:
1
∞∑1
n!
8n.n2
2
∞∑1
1.3.5. . . . .(2n − 1)
22n.(n − 1)!
3
∞∑1
7n(n!)2
n2n
4
∞∑1
n
(2n + 1
3n − 1
)n
5
∞∑1
1
2n
(1 +
1
n
)n2
6
∞∑1
(n − 1
n + 1
)n(n−1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 174: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/174.jpg)
Bài tập 3
Dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn số xét sự hội tụ của chuỗi:
1
∞∑1
n!
8n.n2
2
∞∑1
1.3.5. . . . .(2n − 1)
22n.(n − 1)!
3
∞∑1
7n(n!)2
n2n
4
∞∑1
n
(2n + 1
3n − 1
)n
5
∞∑1
1
2n
(1 +
1
n
)n2
6
∞∑1
(n − 1
n + 1
)n(n−1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 175: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/175.jpg)
Bài tập 3
Dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn số xét sự hội tụ của chuỗi:
1
∞∑1
n!
8n.n2
2
∞∑1
1.3.5. . . . .(2n − 1)
22n.(n − 1)!
3
∞∑1
7n(n!)2
n2n
4
∞∑1
n
(2n + 1
3n − 1
)n
5
∞∑1
1
2n
(1 +
1
n
)n2
6
∞∑1
(n − 1
n + 1
)n(n−1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 176: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/176.jpg)
Bài tập 4
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu:
1
∞∑1
(−1)n.n + 1
n2 + n + 1
2
∞∑1
(−1)n. ln
(1 +
1
n𝛼
), 𝛼 > 0
3
∞∑1
(−1)n tg1√n
sin1√n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 177: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/177.jpg)
Bài tập 4
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu:
1
∞∑1
(−1)n.n + 1
n2 + n + 1
2
∞∑1
(−1)n. ln
(1 +
1
n𝛼
), 𝛼 > 0
3
∞∑1
(−1)n tg1√n
sin1√n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 178: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/178.jpg)
Bài tập 4
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu:
1
∞∑1
(−1)n.n + 1
n2 + n + 1
2
∞∑1
(−1)n. ln
(1 +
1
n𝛼
), 𝛼 > 0
3
∞∑1
(−1)n tg1√n
sin1√n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 179: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/179.jpg)
Bài tập 4
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu:
1
∞∑1
(−1)n.n + 1
n2 + n + 1
2
∞∑1
(−1)n. ln
(1 +
1
n𝛼
), 𝛼 > 0
3
∞∑1
(−1)n tg1√n
sin1√n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 180: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/180.jpg)
Bài tập 4
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu:
1
∞∑1
(−1)n.n + 1
n2 + n + 1
2
∞∑1
(−1)n. ln
(1 +
1
n𝛼
), 𝛼 > 0
3
∞∑1
(−1)n tg1√n
sin1√n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 181: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/181.jpg)
Bài tập 4
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu
4
∞∑1
(−1)n
n + cos1√n
5
∞∑1
(√
n + 1 −√
n) cos n𝜋 HD: cos n𝜋 = (−1)n
6
∞∑1
(−1)n+1 1.4.7. . . . .(3n − 2)
3.5.7. . . . .(2n + 1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 182: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/182.jpg)
Bài tập 4
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu
4
∞∑1
(−1)n
n + cos1√n
5
∞∑1
(√
n + 1 −√
n) cos n𝜋 HD: cos n𝜋 = (−1)n
6
∞∑1
(−1)n+1 1.4.7. . . . .(3n − 2)
3.5.7. . . . .(2n + 1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 183: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/183.jpg)
Bài tập 4
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu
4
∞∑1
(−1)n
n + cos1√n
5
∞∑1
(√
n + 1 −√
n) cos n𝜋 HD: cos n𝜋 = (−1)n
6
∞∑1
(−1)n+1 1.4.7. . . . .(3n − 2)
3.5.7. . . . .(2n + 1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 184: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/184.jpg)
Bài tập 4
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu
4
∞∑1
(−1)n
n + cos1√n
5
∞∑1
(√
n + 1 −√
n) cos n𝜋 HD: cos n𝜋 = (−1)n
6
∞∑1
(−1)n+1 1.4.7. . . . .(3n − 2)
3.5.7. . . . .(2n + 1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 185: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/185.jpg)
Bài tập 4
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu
4
∞∑1
(−1)n
n + cos1√n
5
∞∑1
(√
n + 1 −√
n) cos n𝜋 HD: cos n𝜋 = (−1)n
6
∞∑1
(−1)n+1 1.4.7. . . . .(3n − 2)
3.5.7. . . . .(2n + 1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 186: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/186.jpg)
Bài tập 4
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu
4
∞∑1
(−1)n
n + cos1√n
5
∞∑1
(√
n + 1 −√
n) cos n𝜋 HD: cos n𝜋 = (−1)n
6
∞∑1
(−1)n+1 1.4.7. . . . .(3n − 2)
3.5.7. . . . .(2n + 1)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 187: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/187.jpg)
Bài tập 5
Xét sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối của chuỗi:
1
∞∑1
(−1)n+1 1
n𝛼 ln n, 𝛼 > 0
2
∞∑1
(−1)n1
n𝛼.n1/n, 𝛼 > 0
3
∞∑1
(−1)n(
n + 1
2n2 + 1
)𝛼
, 𝛼 > 0
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 188: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/188.jpg)
Bài tập 5
Xét sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối của chuỗi:
1
∞∑1
(−1)n+1 1
n𝛼 ln n, 𝛼 > 0
2
∞∑1
(−1)n1
n𝛼.n1/n, 𝛼 > 0
3
∞∑1
(−1)n(
n + 1
2n2 + 1
)𝛼
, 𝛼 > 0
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 189: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/189.jpg)
Bài tập 5
Xét sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối của chuỗi:
1
∞∑1
(−1)n+1 1
n𝛼 ln n, 𝛼 > 0
2
∞∑1
(−1)n1
n𝛼.n1/n, 𝛼 > 0
3
∞∑1
(−1)n(
n + 1
2n2 + 1
)𝛼
, 𝛼 > 0
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 190: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/190.jpg)
Bài tập 5
Xét sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối của chuỗi:
1
∞∑1
(−1)n+1 1
n𝛼 ln n, 𝛼 > 0
2
∞∑1
(−1)n1
n𝛼.n1/n, 𝛼 > 0
3
∞∑1
(−1)n(
n + 1
2n2 + 1
)𝛼
, 𝛼 > 0
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 191: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/191.jpg)
Bài tập 5
Xét sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối của chuỗi:
1
∞∑1
(−1)n+1 1
n𝛼 ln n, 𝛼 > 0
2
∞∑1
(−1)n1
n𝛼.n1/n, 𝛼 > 0
3
∞∑1
(−1)n(
n + 1
2n2 + 1
)𝛼
, 𝛼 > 0
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 192: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/192.jpg)
Bài tập 5
4
∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 > 0, a ∈ (0, 𝜋)
HD:∞∑1
cos2 na
n𝛼,=
1
2
∞∑1
cos 2na + 1
n𝛼
Với 𝛼 ≤ 1, chuỗi∞∑1
1
n𝛼phân kỳ,
∞∑1
cos 2na
n𝛼hội tụ.
Suy ra chuỗi∞∑1
cos2 na
n𝛼phân kỳ.
Do | cos na| ≥ cos2 na, ∀n ∈ N nên chuỗi∞∑1
| cos na|n𝛼
phân kỳ.
Vậy chuỗi∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 ≤ 1, hội tụ, không hội tụ tuyệt đối.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 193: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/193.jpg)
Bài tập 5
4
∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 > 0, a ∈ (0, 𝜋)
HD:∞∑1
cos2 na
n𝛼,=
1
2
∞∑1
cos 2na + 1
n𝛼
Với 𝛼 ≤ 1, chuỗi∞∑1
1
n𝛼phân kỳ,
∞∑1
cos 2na
n𝛼hội tụ.
Suy ra chuỗi∞∑1
cos2 na
n𝛼phân kỳ.
Do | cos na| ≥ cos2 na, ∀n ∈ N nên chuỗi∞∑1
| cos na|n𝛼
phân kỳ.
Vậy chuỗi∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 ≤ 1, hội tụ, không hội tụ tuyệt đối.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 194: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/194.jpg)
Bài tập 5
4
∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 > 0, a ∈ (0, 𝜋)
HD:∞∑1
cos2 na
n𝛼,=
1
2
∞∑1
cos 2na + 1
n𝛼
Với 𝛼 ≤ 1, chuỗi∞∑1
1
n𝛼phân kỳ,
∞∑1
cos 2na
n𝛼hội tụ.
Suy ra chuỗi∞∑1
cos2 na
n𝛼phân kỳ.
Do | cos na| ≥ cos2 na, ∀n ∈ N nên chuỗi∞∑1
| cos na|n𝛼
phân kỳ.
Vậy chuỗi∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 ≤ 1, hội tụ, không hội tụ tuyệt đối.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 195: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/195.jpg)
Bài tập 5
4
∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 > 0, a ∈ (0, 𝜋)
HD:∞∑1
cos2 na
n𝛼,=
1
2
∞∑1
cos 2na + 1
n𝛼
Với 𝛼 ≤ 1, chuỗi∞∑1
1
n𝛼phân kỳ,
∞∑1
cos 2na
n𝛼hội tụ.
Suy ra chuỗi∞∑1
cos2 na
n𝛼phân kỳ.
Do | cos na| ≥ cos2 na, ∀n ∈ N nên chuỗi∞∑1
| cos na|n𝛼
phân kỳ.
Vậy chuỗi∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 ≤ 1, hội tụ, không hội tụ tuyệt đối.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 196: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/196.jpg)
Bài tập 5
4
∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 > 0, a ∈ (0, 𝜋)
HD:∞∑1
cos2 na
n𝛼,=
1
2
∞∑1
cos 2na + 1
n𝛼
Với 𝛼 ≤ 1, chuỗi∞∑1
1
n𝛼phân kỳ,
∞∑1
cos 2na
n𝛼hội tụ.
Suy ra chuỗi∞∑1
cos2 na
n𝛼phân kỳ.
Do | cos na| ≥ cos2 na, ∀n ∈ N nên chuỗi∞∑1
| cos na|n𝛼
phân kỳ.
Vậy chuỗi∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 ≤ 1, hội tụ, không hội tụ tuyệt đối.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 197: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/197.jpg)
Bài tập 5
4
∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 > 0, a ∈ (0, 𝜋)
HD:∞∑1
cos2 na
n𝛼,=
1
2
∞∑1
cos 2na + 1
n𝛼
Với 𝛼 ≤ 1, chuỗi∞∑1
1
n𝛼phân kỳ,
∞∑1
cos 2na
n𝛼hội tụ.
Suy ra chuỗi∞∑1
cos2 na
n𝛼phân kỳ.
Do | cos na| ≥ cos2 na, ∀n ∈ N nên chuỗi∞∑1
| cos na|n𝛼
phân kỳ.
Vậy chuỗi∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 ≤ 1, hội tụ, không hội tụ tuyệt đối.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 198: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/198.jpg)
Bài tập 5
4
∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 > 0, a ∈ (0, 𝜋)
HD:∞∑1
cos2 na
n𝛼,=
1
2
∞∑1
cos 2na + 1
n𝛼
Với 𝛼 ≤ 1, chuỗi∞∑1
1
n𝛼phân kỳ,
∞∑1
cos 2na
n𝛼hội tụ.
Suy ra chuỗi∞∑1
cos2 na
n𝛼phân kỳ.
Do | cos na| ≥ cos2 na, ∀n ∈ N nên chuỗi∞∑1
| cos na|n𝛼
phân kỳ.
Vậy chuỗi∞∑1
cos na
n𝛼, 𝛼 ≤ 1, hội tụ, không hội tụ tuyệt đối.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 199: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/199.jpg)
Nội Dung
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 200: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/200.jpg)
Định nghĩa
Với mọi n ∈ N, un : I ⊂ R → R, chuỗi hàm tương ứng ký hiệu làn∑1
un. Với mỗi x ∈ I , có chuỗi số thực∞∑1
un(x), khi x thay đổi
trên I , có vô số chuỗi số, trong số đó có những chuỗi số hội tụ vànhững chuỗi phân kỳ.
Đặt D =
{x ∈ I ,
∞∑1
un(x) hội tụ
}và đặt
u(x) =∞∑1
un(x), x ∈ D. D được gọi là miền hội tụ của chuỗi, ký
hiệu : u =∞∑1
un.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 201: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/201.jpg)
Định nghĩa
Với mọi n ∈ N, un : I ⊂ R → R, chuỗi hàm tương ứng ký hiệu làn∑1
un. Với mỗi x ∈ I , có chuỗi số thực∞∑1
un(x), khi x thay đổi
trên I , có vô số chuỗi số, trong số đó có những chuỗi số hội tụ vànhững chuỗi phân kỳ.
Đặt D =
{x ∈ I ,
∞∑1
un(x) hội tụ
}và đặt
u(x) =∞∑1
un(x), x ∈ D. D được gọi là miền hội tụ của chuỗi, ký
hiệu : u =∞∑1
un.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 202: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/202.jpg)
Định nghĩa
Với mọi n ∈ N, un : I ⊂ R → R, chuỗi hàm tương ứng ký hiệu làn∑1
un. Với mỗi x ∈ I , có chuỗi số thực∞∑1
un(x), khi x thay đổi
trên I , có vô số chuỗi số, trong số đó có những chuỗi số hội tụ vànhững chuỗi phân kỳ.
Đặt D =
{x ∈ I ,
∞∑1
un(x) hội tụ
}và đặt
u(x) =∞∑1
un(x), x ∈ D. D được gọi là miền hội tụ của chuỗi, ký
hiệu : u =∞∑1
un.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 203: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/203.jpg)
Định nghĩa
Ta nói :∞∑1
un hội tụ về u trên D
⇔ ∀x ∈ D, ∀𝜀 > 0,∃k0 : ∀k ≥ k0 =⇒
∑n≥k0
un(x)
< 𝜀.
∞∑1
un hội tụ đều về u trên D
⇔ ∀𝜀 > 0, ∃k0 ∈ N : ∀k ≥ k0 =⇒
∑n≥k0
un(x)
< 𝜀,∀x ∈ D.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 204: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/204.jpg)
Định nghĩa
Ta nói :∞∑1
un hội tụ về u trên D
⇔ ∀x ∈ D, ∀𝜀 > 0,∃k0 : ∀k ≥ k0 =⇒
∑n≥k0
un(x)
< 𝜀.
∞∑1
un hội tụ đều về u trên D
⇔ ∀𝜀 > 0, ∃k0 ∈ N : ∀k ≥ k0 =⇒
∑n≥k0
un(x)
< 𝜀,∀x ∈ D.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 205: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/205.jpg)
Định nghĩa
Ta nói :∞∑1
un hội tụ về u trên D
⇔ ∀x ∈ D, ∀𝜀 > 0,∃k0 : ∀k ≥ k0 =⇒
∑n≥k0
un(x)
< 𝜀.
∞∑1
un hội tụ đều về u trên D
⇔ ∀𝜀 > 0, ∃k0 ∈ N : ∀k ≥ k0 =⇒
∑n≥k0
un(x)
< 𝜀,∀x ∈ D.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 206: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/206.jpg)
Định nghĩa
Ta nói :∞∑1
un hội tụ về u trên D
⇔ ∀x ∈ D, ∀𝜀 > 0,∃k0 : ∀k ≥ k0 =⇒
∑n≥k0
un(x)
< 𝜀.
∞∑1
un hội tụ đều về u trên D
⇔ ∀𝜀 > 0, ∃k0 ∈ N : ∀k ≥ k0 =⇒
∑n≥k0
un(x)
< 𝜀,∀x ∈ D.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 207: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/207.jpg)
Dấu hiệu Weierstrass
Dấu hiệu Weierstrass
Giả sử : |un(x)| ≤ an,∀x ∈ D, ∀n ≥ n0 và∞∑1
an hội tụ. Khi đó
chuỗi∞∑1
un hội tụ đều trên D.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 208: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/208.jpg)
Dấu hiệu Weierstrass
Dấu hiệu Weierstrass
Giả sử : |un(x)| ≤ an,∀x ∈ D, ∀n ≥ n0 và∞∑1
an hội tụ. Khi đó
chuỗi∞∑1
un hội tụ đều trên D.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 209: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/209.jpg)
Dấu hiệu Weierstrass
Dấu hiệu Weierstrass
Giả sử : |un(x)| ≤ an,∀x ∈ D, ∀n ≥ n0 và∞∑1
an hội tụ. Khi đó
chuỗi∞∑1
un hội tụ đều trên D.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 210: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/210.jpg)
Nội Dung
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 211: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/211.jpg)
Định lí (Weierstrass)
1 Giả sử : ∀n ∈ N, un liên tục trên D,∞∑1
un hội tụ đều về u trên
D. Khi đó u liên tục trên D.
2 Giả sử : ∀n ∈ N, un khả vi liên tục trên [a, b], chuỗi đạo hàm∞∑1
u′n hội tụ đều về v và có x0 ∈ [a, b] sao cho chuỗi số
∞∑1
un(x0) hội tụ.
Khi đó có hàm u khả vi liên tục trên [a, b] sao cho chuỗi∞∑1
un hội tụ đều về u trên [a, b] và u′ = v =∞∑1
u′n.
Hơn nữa :
x∫a
u(t)dt =∞∑1
x∫a
u(t)dt.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 212: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/212.jpg)
Định lí (Weierstrass)
1 Giả sử : ∀n ∈ N, un liên tục trên D,∞∑1
un hội tụ đều về u trên
D. Khi đó u liên tục trên D.
2 Giả sử : ∀n ∈ N, un khả vi liên tục trên [a, b], chuỗi đạo hàm∞∑1
u′n hội tụ đều về v và có x0 ∈ [a, b] sao cho chuỗi số
∞∑1
un(x0) hội tụ.
Khi đó có hàm u khả vi liên tục trên [a, b] sao cho chuỗi∞∑1
un hội tụ đều về u trên [a, b] và u′ = v =∞∑1
u′n.
Hơn nữa :
x∫a
u(t)dt =∞∑1
x∫a
u(t)dt.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 213: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/213.jpg)
Định lí (Weierstrass)
1 Giả sử : ∀n ∈ N, un liên tục trên D,∞∑1
un hội tụ đều về u trên
D. Khi đó u liên tục trên D.
2 Giả sử : ∀n ∈ N, un khả vi liên tục trên [a, b], chuỗi đạo hàm∞∑1
u′n hội tụ đều về v và có x0 ∈ [a, b] sao cho chuỗi số
∞∑1
un(x0) hội tụ.
Khi đó có hàm u khả vi liên tục trên [a, b] sao cho chuỗi∞∑1
un hội tụ đều về u trên [a, b] và u′ = v =∞∑1
u′n.
Hơn nữa :
x∫a
u(t)dt =∞∑1
x∫a
u(t)dt.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 214: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/214.jpg)
Định lí (Weierstrass)
1 Giả sử : ∀n ∈ N, un liên tục trên D,∞∑1
un hội tụ đều về u trên
D. Khi đó u liên tục trên D.
2 Giả sử : ∀n ∈ N, un khả vi liên tục trên [a, b], chuỗi đạo hàm∞∑1
u′n hội tụ đều về v và có x0 ∈ [a, b] sao cho chuỗi số
∞∑1
un(x0) hội tụ.
Khi đó có hàm u khả vi liên tục trên [a, b] sao cho chuỗi∞∑1
un hội tụ đều về u trên [a, b] và u′ = v =∞∑1
u′n.
Hơn nữa :
x∫a
u(t)dt =∞∑1
x∫a
u(t)dt.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 215: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/215.jpg)
Định lí (Weierstrass)
1 Giả sử : ∀n ∈ N, un liên tục trên D,∞∑1
un hội tụ đều về u trên
D. Khi đó u liên tục trên D.
2 Giả sử : ∀n ∈ N, un khả vi liên tục trên [a, b], chuỗi đạo hàm∞∑1
u′n hội tụ đều về v và có x0 ∈ [a, b] sao cho chuỗi số
∞∑1
un(x0) hội tụ.
Khi đó có hàm u khả vi liên tục trên [a, b] sao cho chuỗi∞∑1
un hội tụ đều về u trên [a, b] và u′ = v =∞∑1
u′n.
Hơn nữa :
x∫a
u(t)dt =∞∑1
x∫a
u(t)dt.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 216: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/216.jpg)
Định lí (Weierstrass)
1 Giả sử : ∀n ∈ N, un liên tục trên D,∞∑1
un hội tụ đều về u trên
D. Khi đó u liên tục trên D.
2 Giả sử : ∀n ∈ N, un khả vi liên tục trên [a, b], chuỗi đạo hàm∞∑1
u′n hội tụ đều về v và có x0 ∈ [a, b] sao cho chuỗi số
∞∑1
un(x0) hội tụ.
Khi đó có hàm u khả vi liên tục trên [a, b] sao cho chuỗi∞∑1
un hội tụ đều về u trên [a, b] và u′ = v =∞∑1
u′n.
Hơn nữa :
x∫a
u(t)dt =∞∑1
x∫a
u(t)dt.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 217: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/217.jpg)
Nội Dung
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 218: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/218.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Chuỗi lũy thừa có dạng:∞∑0
an(x − x0)n, x0 là tâm của chuỗi.
Định lí
Cho chuỗi lũy thừa∞∑0
an(x − x0)n. Giả sử : lim
n→∞
an+1
an
= 𝜌 hoặc
limn→∞
n√
|an| = 𝜌.
Đặt R =1
𝜌và gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi. Khi đó :
1 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n hội tụ về hàm u trên (x0 − R , x0 + R).
2 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n phân kỳ khi |x − x0| > R .
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 219: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/219.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Chuỗi lũy thừa có dạng:∞∑0
an(x − x0)n, x0 là tâm của chuỗi.
Định lí
Cho chuỗi lũy thừa∞∑0
an(x − x0)n. Giả sử : lim
n→∞
an+1
an
= 𝜌 hoặc
limn→∞
n√
|an| = 𝜌.
Đặt R =1
𝜌và gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi. Khi đó :
1 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n hội tụ về hàm u trên (x0 − R , x0 + R).
2 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n phân kỳ khi |x − x0| > R .
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 220: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/220.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Chuỗi lũy thừa có dạng:∞∑0
an(x − x0)n, x0 là tâm của chuỗi.
Định lí
Cho chuỗi lũy thừa∞∑0
an(x − x0)n. Giả sử : lim
n→∞
an+1
an
= 𝜌 hoặc
limn→∞
n√
|an| = 𝜌.
Đặt R =1
𝜌và gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi. Khi đó :
1 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n hội tụ về hàm u trên (x0 − R , x0 + R).
2 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n phân kỳ khi |x − x0| > R .
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 221: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/221.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Chuỗi lũy thừa có dạng:∞∑0
an(x − x0)n, x0 là tâm của chuỗi.
Định lí
Cho chuỗi lũy thừa∞∑0
an(x − x0)n. Giả sử : lim
n→∞
an+1
an
= 𝜌 hoặc
limn→∞
n√
|an| = 𝜌.
Đặt R =1
𝜌và gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi. Khi đó :
1 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n hội tụ về hàm u trên (x0 − R , x0 + R).
2 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n phân kỳ khi |x − x0| > R .
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 222: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/222.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Chuỗi lũy thừa có dạng:∞∑0
an(x − x0)n, x0 là tâm của chuỗi.
Định lí
Cho chuỗi lũy thừa∞∑0
an(x − x0)n. Giả sử : lim
n→∞
an+1
an
= 𝜌 hoặc
limn→∞
n√
|an| = 𝜌.
Đặt R =1
𝜌và gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi. Khi đó :
1 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n hội tụ về hàm u trên (x0 − R , x0 + R).
2 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n phân kỳ khi |x − x0| > R .
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 223: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/223.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Chuỗi lũy thừa có dạng:∞∑0
an(x − x0)n, x0 là tâm của chuỗi.
Định lí
Cho chuỗi lũy thừa∞∑0
an(x − x0)n. Giả sử : lim
n→∞
an+1
an
= 𝜌 hoặc
limn→∞
n√
|an| = 𝜌.
Đặt R =1
𝜌và gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi. Khi đó :
1 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n hội tụ về hàm u trên (x0 − R , x0 + R).
2 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n phân kỳ khi |x − x0| > R .
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 224: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/224.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Chuỗi lũy thừa có dạng:∞∑0
an(x − x0)n, x0 là tâm của chuỗi.
Định lí
Cho chuỗi lũy thừa∞∑0
an(x − x0)n. Giả sử : lim
n→∞
an+1
an
= 𝜌 hoặc
limn→∞
n√
|an| = 𝜌.
Đặt R =1
𝜌và gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi. Khi đó :
1 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n hội tụ về hàm u trên (x0 − R , x0 + R).
2 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n phân kỳ khi |x − x0| > R .
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 225: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/225.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Chuỗi lũy thừa có dạng:∞∑0
an(x − x0)n, x0 là tâm của chuỗi.
Định lí
Cho chuỗi lũy thừa∞∑0
an(x − x0)n. Giả sử : lim
n→∞
an+1
an
= 𝜌 hoặc
limn→∞
n√
|an| = 𝜌.
Đặt R =1
𝜌và gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi. Khi đó :
1 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n hội tụ về hàm u trên (x0 − R , x0 + R).
2 Chuỗi∞∑0
an(x − x0)n phân kỳ khi |x − x0| > R .
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 226: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/226.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Định lí (tiếp theo)
3 Hàm u khả vi và
u′(x) =∞∑1
nan(x − x0)n−1, ∀x ∈ (x0 − R , x0 + R)
Hơn nữa :x∫
x0
u(t)dt =∞∑0
an
n + 1(x − x0)
n+1,∀x ∈ (x0 − R , x0 + R).
Miền hội tụ của chuỗi∞∑0
an(x − x0)n là (x0 − R , x0 + R) có
thể thêm vào điểm đầu x0 − R và điểm cuối x0 + R tùy từngtrường hợp.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 227: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/227.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Định lí (tiếp theo)
3 Hàm u khả vi và
u′(x) =∞∑1
nan(x − x0)n−1, ∀x ∈ (x0 − R , x0 + R)
Hơn nữa :x∫
x0
u(t)dt =∞∑0
an
n + 1(x − x0)
n+1,∀x ∈ (x0 − R , x0 + R).
Miền hội tụ của chuỗi∞∑0
an(x − x0)n là (x0 − R , x0 + R) có
thể thêm vào điểm đầu x0 − R và điểm cuối x0 + R tùy từngtrường hợp.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 228: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/228.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Định lí (tiếp theo)
3 Hàm u khả vi và
u′(x) =∞∑1
nan(x − x0)n−1, ∀x ∈ (x0 − R , x0 + R)
Hơn nữa :x∫
x0
u(t)dt =∞∑0
an
n + 1(x − x0)
n+1,∀x ∈ (x0 − R , x0 + R).
Miền hội tụ của chuỗi∞∑0
an(x − x0)n là (x0 − R , x0 + R) có
thể thêm vào điểm đầu x0 − R và điểm cuối x0 + R tùy từngtrường hợp.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 229: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/229.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Định lí (tiếp theo)
3 Hàm u khả vi và
u′(x) =∞∑1
nan(x − x0)n−1, ∀x ∈ (x0 − R , x0 + R)
Hơn nữa :x∫
x0
u(t)dt =∞∑0
an
n + 1(x − x0)
n+1,∀x ∈ (x0 − R , x0 + R).
Miền hội tụ của chuỗi∞∑0
an(x − x0)n là (x0 − R , x0 + R) có
thể thêm vào điểm đầu x0 − R và điểm cuối x0 + R tùy từngtrường hợp.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 230: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/230.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Định lí
Định lí (tiếp theo)
3 Hàm u khả vi và
u′(x) =∞∑1
nan(x − x0)n−1, ∀x ∈ (x0 − R , x0 + R)
Hơn nữa :x∫
x0
u(t)dt =∞∑0
an
n + 1(x − x0)
n+1,∀x ∈ (x0 − R , x0 + R).
Miền hội tụ của chuỗi∞∑0
an(x − x0)n là (x0 − R , x0 + R) có
thể thêm vào điểm đầu x0 − R và điểm cuối x0 + R tùy từngtrường hợp.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 231: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/231.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 1
Ví dụ 1
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
1
1 + x2n
Chuỗi∞∑0
1
1 + x2ncó miền hội tụ là |x | > 1.
Với a > 1, ta có :1
1 + x2n≤ 1
1 + a2n, ∀x , |x | ≤ a và
∞∑0
1
a2nhội
tụ. Vậy chuỗi hàm hội tụ đều trên miền |x | ≥ a.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 232: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/232.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 1
Ví dụ 1
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
1
1 + x2n
Chuỗi∞∑0
1
1 + x2ncó miền hội tụ là |x | > 1.
Với a > 1, ta có :1
1 + x2n≤ 1
1 + a2n, ∀x , |x | ≤ a và
∞∑0
1
a2nhội
tụ. Vậy chuỗi hàm hội tụ đều trên miền |x | ≥ a.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 233: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/233.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 1
Ví dụ 1
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
1
1 + x2n
Chuỗi∞∑0
1
1 + x2ncó miền hội tụ là |x | > 1.
Với a > 1, ta có :1
1 + x2n≤ 1
1 + a2n, ∀x , |x | ≤ a và
∞∑0
1
a2nhội
tụ. Vậy chuỗi hàm hội tụ đều trên miền |x | ≥ a.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 234: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/234.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 1
Ví dụ 1
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
1
1 + x2n
Chuỗi∞∑0
1
1 + x2ncó miền hội tụ là |x | > 1.
Với a > 1, ta có :1
1 + x2n≤ 1
1 + a2n, ∀x , |x | ≤ a và
∞∑0
1
a2nhội
tụ. Vậy chuỗi hàm hội tụ đều trên miền |x | ≥ a.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 235: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/235.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 1
Ví dụ 1
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
1
1 + x2n
Chuỗi∞∑0
1
1 + x2ncó miền hội tụ là |x | > 1.
Với a > 1, ta có :1
1 + x2n≤ 1
1 + a2n, ∀x , |x | ≤ a và
∞∑0
1
a2nhội
tụ. Vậy chuỗi hàm hội tụ đều trên miền |x | ≥ a.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 236: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/236.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 2
Ví dụ 2
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
(−1)n
nln x
Chuỗi∞∑0
(−1)n
nln xlà chuỗi hàm đan dấu, có miền hội tụ là x > 1.
Với a > 1, 𝜀 > 0, do tính chất của chuỗi đan dấu, có
k0 ∈ N :1
k ln a0
< 𝜀, với k ≥ k0 ta có :∑n≥k
(−1)n
nln x
≤ 1
k ln a≤
1
k ln a0
< 𝜀.
Vậy chuỗi hội tụ đều trên miền x ≥ a.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 237: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/237.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 2
Ví dụ 2
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
(−1)n
nln x
Chuỗi∞∑0
(−1)n
nln xlà chuỗi hàm đan dấu, có miền hội tụ là x > 1.
Với a > 1, 𝜀 > 0, do tính chất của chuỗi đan dấu, có
k0 ∈ N :1
k ln a0
< 𝜀, với k ≥ k0 ta có :∑n≥k
(−1)n
nln x
≤ 1
k ln a≤
1
k ln a0
< 𝜀.
Vậy chuỗi hội tụ đều trên miền x ≥ a.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 238: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/238.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 2
Ví dụ 2
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
(−1)n
nln x
Chuỗi∞∑0
(−1)n
nln xlà chuỗi hàm đan dấu, có miền hội tụ là x > 1.
Với a > 1, 𝜀 > 0, do tính chất của chuỗi đan dấu, có
k0 ∈ N :1
k ln a0
< 𝜀, với k ≥ k0 ta có :∑n≥k
(−1)n
nln x
≤ 1
k ln a≤
1
k ln a0
< 𝜀.
Vậy chuỗi hội tụ đều trên miền x ≥ a.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 239: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/239.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 2
Ví dụ 2
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
(−1)n
nln x
Chuỗi∞∑0
(−1)n
nln xlà chuỗi hàm đan dấu, có miền hội tụ là x > 1.
Với a > 1, 𝜀 > 0, do tính chất của chuỗi đan dấu, có
k0 ∈ N :1
k ln a0
< 𝜀, với k ≥ k0 ta có :∑n≥k
(−1)n
nln x
≤ 1
k ln a≤
1
k ln a0
< 𝜀.
Vậy chuỗi hội tụ đều trên miền x ≥ a.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 240: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/240.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 2
Ví dụ 2
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
(−1)n
nln x
Chuỗi∞∑0
(−1)n
nln xlà chuỗi hàm đan dấu, có miền hội tụ là x > 1.
Với a > 1, 𝜀 > 0, do tính chất của chuỗi đan dấu, có
k0 ∈ N :1
k ln a0
< 𝜀, với k ≥ k0 ta có :∑n≥k
(−1)n
nln x
≤ 1
k ln a≤
1
k ln a0
< 𝜀.
Vậy chuỗi hội tụ đều trên miền x ≥ a.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 241: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/241.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
xn
1 + xn, x = 1.
Chuỗi∞∑0
xn
1 + xn, x = 1.
Với |x | < 1, có n0 ∈ N sao cho : ∀n ≥ n0 thì |x |n <1
2.
Suy ra :
xn
1 + xn
≤ 2|x |n.
Vậy miền hội tụ của chuỗi là (−1, 1). Tuy nhiên chuỗi không hộitụ đều trên (−1, 1). Thật vậy, với 𝜀 = 1, với mọi k ∈ N có thể
chọn x ∈ (0, 1) sao cho:xk
1 − x2> 1
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 242: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/242.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
xn
1 + xn, x = 1.
Chuỗi∞∑0
xn
1 + xn, x = 1.
Với |x | < 1, có n0 ∈ N sao cho : ∀n ≥ n0 thì |x |n <1
2.
Suy ra :
xn
1 + xn
≤ 2|x |n.
Vậy miền hội tụ của chuỗi là (−1, 1). Tuy nhiên chuỗi không hộitụ đều trên (−1, 1). Thật vậy, với 𝜀 = 1, với mọi k ∈ N có thể
chọn x ∈ (0, 1) sao cho:xk
1 − x2> 1
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 243: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/243.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
xn
1 + xn, x = 1.
Chuỗi∞∑0
xn
1 + xn, x = 1.
Với |x | < 1, có n0 ∈ N sao cho : ∀n ≥ n0 thì |x |n <1
2.
Suy ra :
xn
1 + xn
≤ 2|x |n.
Vậy miền hội tụ của chuỗi là (−1, 1). Tuy nhiên chuỗi không hộitụ đều trên (−1, 1). Thật vậy, với 𝜀 = 1, với mọi k ∈ N có thể
chọn x ∈ (0, 1) sao cho:xk
1 − x2> 1
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 244: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/244.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
xn
1 + xn, x = 1.
Chuỗi∞∑0
xn
1 + xn, x = 1.
Với |x | < 1, có n0 ∈ N sao cho : ∀n ≥ n0 thì |x |n <1
2.
Suy ra :
xn
1 + xn
≤ 2|x |n.
Vậy miền hội tụ của chuỗi là (−1, 1). Tuy nhiên chuỗi không hộitụ đều trên (−1, 1). Thật vậy, với 𝜀 = 1, với mọi k ∈ N có thể
chọn x ∈ (0, 1) sao cho:xk
1 − x2> 1
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 245: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/245.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
xn
1 + xn, x = 1.
Chuỗi∞∑0
xn
1 + xn, x = 1.
Với |x | < 1, có n0 ∈ N sao cho : ∀n ≥ n0 thì |x |n <1
2.
Suy ra :
xn
1 + xn
≤ 2|x |n.
Vậy miền hội tụ của chuỗi là (−1, 1). Tuy nhiên chuỗi không hộitụ đều trên (−1, 1). Thật vậy, với 𝜀 = 1, với mọi k ∈ N có thể
chọn x ∈ (0, 1) sao cho:xk
1 − x2> 1
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 246: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/246.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 3
Ví dụ 3
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi∞∑0
xn
1 + xn, x = 1.
Chuỗi∞∑0
xn
1 + xn, x = 1.
Với |x | < 1, có n0 ∈ N sao cho : ∀n ≥ n0 thì |x |n <1
2.
Suy ra :
xn
1 + xn
≤ 2|x |n.
Vậy miền hội tụ của chuỗi là (−1, 1). Tuy nhiên chuỗi không hộitụ đều trên (−1, 1). Thật vậy, với 𝜀 = 1, với mọi k ∈ N có thể
chọn x ∈ (0, 1) sao cho:xk
1 − x2> 1
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 247: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/247.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 3
Khi đó :
1 <xk
1 − x2=∑n≥k
xn
1 + x≤∑n≥k
xn
1 + xn.
Với mọi 0 < a < 1, ta có :
xn
1 + xn
≤ an
1 − a, ∀x , |x | ≤ a, ∀n ∈ N.
Chuỗi∞∑0
an hội tụ. Vậy chuỗi∞∑0
xn
1 + xnhội tụ đều trên [−a, a].
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 248: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/248.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 3
Khi đó :
1 <xk
1 − x2=∑n≥k
xn
1 + x≤∑n≥k
xn
1 + xn.
Với mọi 0 < a < 1, ta có :
xn
1 + xn
≤ an
1 − a, ∀x , |x | ≤ a, ∀n ∈ N.
Chuỗi∞∑0
an hội tụ. Vậy chuỗi∞∑0
xn
1 + xnhội tụ đều trên [−a, a].
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 249: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/249.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 3
Khi đó :
1 <xk
1 − x2=∑n≥k
xn
1 + x≤∑n≥k
xn
1 + xn.
Với mọi 0 < a < 1, ta có :
xn
1 + xn
≤ an
1 − a, ∀x , |x | ≤ a, ∀n ∈ N.
Chuỗi∞∑0
an hội tụ. Vậy chuỗi∞∑0
xn
1 + xnhội tụ đều trên [−a, a].
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 250: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/250.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 3
Khi đó :
1 <xk
1 − x2=∑n≥k
xn
1 + x≤∑n≥k
xn
1 + xn.
Với mọi 0 < a < 1, ta có :
xn
1 + xn
≤ an
1 − a, ∀x , |x | ≤ a, ∀n ∈ N.
Chuỗi∞∑0
an hội tụ. Vậy chuỗi∞∑0
xn
1 + xnhội tụ đều trên [−a, a].
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 251: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/251.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của hai chuỗi∞∑1
cos nx
ns,
∞∑1
sin nx
ns
Với s > 0, chuỗi∞∑1
cos nx
ns,
∞∑1
sin nx
nshội tụ khi x = k2𝜋, k ∈ Z.
Thật vậy, với mỗi k , p ∈ N có hằng số M sao cho:k+p∑
k
cos nx
≤ M
1 − cos x,
k+p∑
k
sin nx
≤ M
1 − cos x
dãy
(1
ns
)giảm về 0 nên chuỗi
∞∑k
cos nx
ns,
∞∑k
sin nx
x shội tụ, có
tổng:
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 252: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/252.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của hai chuỗi∞∑1
cos nx
ns,
∞∑1
sin nx
ns
Với s > 0, chuỗi∞∑1
cos nx
ns,
∞∑1
sin nx
nshội tụ khi x = k2𝜋, k ∈ Z.
Thật vậy, với mỗi k , p ∈ N có hằng số M sao cho:k+p∑
k
cos nx
≤ M
1 − cos x,
k+p∑
k
sin nx
≤ M
1 − cos x
dãy
(1
ns
)giảm về 0 nên chuỗi
∞∑k
cos nx
ns,
∞∑k
sin nx
x shội tụ, có
tổng:
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 253: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/253.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của hai chuỗi∞∑1
cos nx
ns,
∞∑1
sin nx
ns
Với s > 0, chuỗi∞∑1
cos nx
ns,
∞∑1
sin nx
nshội tụ khi x = k2𝜋, k ∈ Z.
Thật vậy, với mỗi k , p ∈ N có hằng số M sao cho:k+p∑
k
cos nx
≤ M
1 − cos x,
k+p∑
k
sin nx
≤ M
1 − cos x
dãy
(1
ns
)giảm về 0 nên chuỗi
∞∑k
cos nx
ns,
∞∑k
sin nx
x shội tụ, có
tổng:
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 254: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/254.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của hai chuỗi∞∑1
cos nx
ns,
∞∑1
sin nx
ns
Với s > 0, chuỗi∞∑1
cos nx
ns,
∞∑1
sin nx
nshội tụ khi x = k2𝜋, k ∈ Z.
Thật vậy, với mỗi k , p ∈ N có hằng số M sao cho:k+p∑
k
cos nx
≤ M
1 − cos x,
k+p∑
k
sin nx
≤ M
1 − cos x
dãy
(1
ns
)giảm về 0 nên chuỗi
∞∑k
cos nx
ns,
∞∑k
sin nx
x shội tụ, có
tổng:
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 255: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/255.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của hai chuỗi∞∑1
cos nx
ns,
∞∑1
sin nx
ns
Với s > 0, chuỗi∞∑1
cos nx
ns,
∞∑1
sin nx
nshội tụ khi x = k2𝜋, k ∈ Z.
Thật vậy, với mỗi k , p ∈ N có hằng số M sao cho:k+p∑
k
cos nx
≤ M
1 − cos x,
k+p∑
k
sin nx
≤ M
1 − cos x
dãy
(1
ns
)giảm về 0 nên chuỗi
∞∑k
cos nx
ns,
∞∑k
sin nx
x shội tụ, có
tổng:
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 256: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/256.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
Ví dụ 4
Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của hai chuỗi∞∑1
cos nx
ns,
∞∑1
sin nx
ns
Với s > 0, chuỗi∞∑1
cos nx
ns,
∞∑1
sin nx
nshội tụ khi x = k2𝜋, k ∈ Z.
Thật vậy, với mỗi k , p ∈ N có hằng số M sao cho:k+p∑
k
cos nx
≤ M
1 − cos x,
k+p∑
k
sin nx
≤ M
1 − cos x
dãy
(1
ns
)giảm về 0 nên chuỗi
∞∑k
cos nx
ns,
∞∑k
sin nx
x shội tụ, có
tổng:
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 257: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/257.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
S1 =∞∑k
cos nx
ns, S2 =
∞∑k
sin nx
ns
thỏa mãn: |S1| ≤1
ks
M
1 − cos x, |S2| ≤
1
ks
M
1 − cos x.
Với a > 0 và 𝜀 > 0 bất kỳ,
doM
1 − cos x≤ M
1 − cosa, ∀x ∈ [a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a], ∀i ∈ Z,
chọn k0 ∈ N sao cho:1
ks.
M
1 − cos a< 𝜀.Khi đó, với k ≥ k0, ta có:
∞∑k
cos nx
ns
< 𝜀,
∞∑k
sin nx
ns
𝜀, ∀x ∈ [a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a].
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 258: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/258.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
S1 =∞∑k
cos nx
ns, S2 =
∞∑k
sin nx
ns
thỏa mãn: |S1| ≤1
ks
M
1 − cos x, |S2| ≤
1
ks
M
1 − cos x.
Với a > 0 và 𝜀 > 0 bất kỳ,
doM
1 − cos x≤ M
1 − cosa, ∀x ∈ [a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a], ∀i ∈ Z,
chọn k0 ∈ N sao cho:1
ks.
M
1 − cos a< 𝜀.Khi đó, với k ≥ k0, ta có:
∞∑k
cos nx
ns
< 𝜀,
∞∑k
sin nx
ns
𝜀, ∀x ∈ [a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a].
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 259: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/259.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
S1 =∞∑k
cos nx
ns, S2 =
∞∑k
sin nx
ns
thỏa mãn: |S1| ≤1
ks
M
1 − cos x, |S2| ≤
1
ks
M
1 − cos x.
Với a > 0 và 𝜀 > 0 bất kỳ,
doM
1 − cos x≤ M
1 − cosa, ∀x ∈ [a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a], ∀i ∈ Z,
chọn k0 ∈ N sao cho:1
ks.
M
1 − cos a< 𝜀.Khi đó, với k ≥ k0, ta có:
∞∑k
cos nx
ns
< 𝜀,
∞∑k
sin nx
ns
𝜀, ∀x ∈ [a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a].
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 260: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/260.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
S1 =∞∑k
cos nx
ns, S2 =
∞∑k
sin nx
ns
thỏa mãn: |S1| ≤1
ks
M
1 − cos x, |S2| ≤
1
ks
M
1 − cos x.
Với a > 0 và 𝜀 > 0 bất kỳ,
doM
1 − cos x≤ M
1 − cosa, ∀x ∈ [a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a], ∀i ∈ Z,
chọn k0 ∈ N sao cho:1
ks.
M
1 − cos a< 𝜀.Khi đó, với k ≥ k0, ta có:
∞∑k
cos nx
ns
< 𝜀,
∞∑k
sin nx
ns
𝜀, ∀x ∈ [a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a].
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 261: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/261.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
S1 =∞∑k
cos nx
ns, S2 =
∞∑k
sin nx
ns
thỏa mãn: |S1| ≤1
ks
M
1 − cos x, |S2| ≤
1
ks
M
1 − cos x.
Với a > 0 và 𝜀 > 0 bất kỳ,
doM
1 − cos x≤ M
1 − cosa, ∀x ∈ [a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a], ∀i ∈ Z,
chọn k0 ∈ N sao cho:1
ks.
M
1 − cos a< 𝜀.Khi đó, với k ≥ k0, ta có:
∞∑k
cos nx
ns
< 𝜀,
∞∑k
sin nx
ns
𝜀, ∀x ∈ [a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a].
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 262: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/262.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
S1 =∞∑k
cos nx
ns, S2 =
∞∑k
sin nx
ns
thỏa mãn: |S1| ≤1
ks
M
1 − cos x, |S2| ≤
1
ks
M
1 − cos x.
Với a > 0 và 𝜀 > 0 bất kỳ,
doM
1 − cos x≤ M
1 − cosa, ∀x ∈ [a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a], ∀i ∈ Z,
chọn k0 ∈ N sao cho:1
ks.
M
1 − cos a< 𝜀.Khi đó, với k ≥ k0, ta có:
∞∑k
cos nx
ns
< 𝜀,
∞∑k
sin nx
ns
𝜀, ∀x ∈ [a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a].
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 263: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/263.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
Suy ra: chuỗi∞∑1
sin nx
x s,
∞∑1
cos nx
x shội tụ đêu trên miền
[a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a], i ∈ Z.
Ghi chú
Chuỗi∞∑1
sin n2x
n2hội tụ trên R nhưng chuỗi đạo hàm từng số
hạng∞∑1
cos n2x không hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 264: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/264.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
Suy ra: chuỗi∞∑1
sin nx
x s,
∞∑1
cos nx
x shội tụ đêu trên miền
[a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a], i ∈ Z.
Ghi chú
Chuỗi∞∑1
sin n2x
n2hội tụ trên R nhưng chuỗi đạo hàm từng số
hạng∞∑1
cos n2x không hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 265: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/265.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Ví dụ » Ví dụ 4
Suy ra: chuỗi∞∑1
sin nx
x s,
∞∑1
cos nx
x shội tụ đêu trên miền
[a + 2i𝜋, 2(i + 1)𝜋 − a], i ∈ Z.
Ghi chú
Chuỗi∞∑1
sin n2x
n2hội tụ trên R nhưng chuỗi đạo hàm từng số
hạng∞∑1
cos n2x không hội tụ.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 266: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/266.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Công thức Maclaurin các hàm cơ bản
11
1 − t=
∞∑0
tn, |t| < 1
21
1 + t=
∞∑0
(−1)ntn, |t| < 1
3 et =∞∑0
tn
n!, ∀t ∈ R
4 sin t =∞∑0
(−1)nt2n+1
(2n + 1)!, ∀t ∈ R
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 267: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/267.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Công thức Maclaurin các hàm cơ bản
11
1 − t=
∞∑0
tn, |t| < 1
21
1 + t=
∞∑0
(−1)ntn, |t| < 1
3 et =∞∑0
tn
n!, ∀t ∈ R
4 sin t =∞∑0
(−1)nt2n+1
(2n + 1)!, ∀t ∈ R
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 268: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/268.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Công thức Maclaurin các hàm cơ bản
11
1 − t=
∞∑0
tn, |t| < 1
21
1 + t=
∞∑0
(−1)ntn, |t| < 1
3 et =∞∑0
tn
n!, ∀t ∈ R
4 sin t =∞∑0
(−1)nt2n+1
(2n + 1)!, ∀t ∈ R
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 269: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/269.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Công thức Maclaurin các hàm cơ bản
11
1 − t=
∞∑0
tn, |t| < 1
21
1 + t=
∞∑0
(−1)ntn, |t| < 1
3 et =∞∑0
tn
n!, ∀t ∈ R
4 sin t =∞∑0
(−1)nt2n+1
(2n + 1)!, ∀t ∈ R
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 270: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/270.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Công thức Maclaurin các hàm cơ bản
11
1 − t=
∞∑0
tn, |t| < 1
21
1 + t=
∞∑0
(−1)ntn, |t| < 1
3 et =∞∑0
tn
n!, ∀t ∈ R
4 sin t =∞∑0
(−1)nt2n+1
(2n + 1)!, ∀t ∈ R
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 271: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/271.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Công thức Maclaurin các hàm cơ bản (tt)
5 cos t =∞∑0
(−1)nt2n
(2n)!, ∀t ∈ R
6 ln(1 + t) =∞∑0
(−1)ntn+1
n + 1, t > −1
7 (1 + t)𝛼 = 1 + 𝛼t +𝛼(𝛼− 1)
2!t2 + . . .+
+𝛼(𝛼− 1) . . . (𝛼− n + 1)
n!tn + . . . , |t| < 1
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 272: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/272.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Công thức Maclaurin các hàm cơ bản (tt)
5 cos t =∞∑0
(−1)nt2n
(2n)!, ∀t ∈ R
6 ln(1 + t) =∞∑0
(−1)ntn+1
n + 1, t > −1
7 (1 + t)𝛼 = 1 + 𝛼t +𝛼(𝛼− 1)
2!t2 + . . .+
+𝛼(𝛼− 1) . . . (𝛼− n + 1)
n!tn + . . . , |t| < 1
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 273: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/273.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Công thức Maclaurin các hàm cơ bản (tt)
5 cos t =∞∑0
(−1)nt2n
(2n)!, ∀t ∈ R
6 ln(1 + t) =∞∑0
(−1)ntn+1
n + 1, t > −1
7 (1 + t)𝛼 = 1 + 𝛼t +𝛼(𝛼− 1)
2!t2 + . . .+
+𝛼(𝛼− 1) . . . (𝛼− n + 1)
n!tn + . . . , |t| < 1
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 274: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/274.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Công thức Maclaurin các hàm cơ bản (tt)
5 cos t =∞∑0
(−1)nt2n
(2n)!, ∀t ∈ R
6 ln(1 + t) =∞∑0
(−1)ntn+1
n + 1, t > −1
7 (1 + t)𝛼 = 1 + 𝛼t +𝛼(𝛼− 1)
2!t2 + . . .+
+𝛼(𝛼− 1) . . . (𝛼− n + 1)
n!tn + . . . , |t| < 1
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 275: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/275.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Chuỗi Taylor
Cho hàm f khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0. Chuỗi∞∑0
f (n)(x0)
n!(x − x0)
n là chuỗi Taylor của f trong lân cận của
x0.
Nếu chuỗi Taylor của f có bán kính hội tụ R > 0 thì
f (x) =∞∑0
f (n)(x0)
n!(x − x0)
n, x ∈ (x0 − R , x0 + R).
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 276: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/276.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Chuỗi Taylor
Cho hàm f khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0. Chuỗi∞∑0
f (n)(x0)
n!(x − x0)
n là chuỗi Taylor của f trong lân cận của
x0.
Nếu chuỗi Taylor của f có bán kính hội tụ R > 0 thì
f (x) =∞∑0
f (n)(x0)
n!(x − x0)
n, x ∈ (x0 − R , x0 + R).
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 277: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/277.jpg)
Chuỗi lũy thừa » Chuỗi Taylor
Cho hàm f khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0. Chuỗi∞∑0
f (n)(x0)
n!(x − x0)
n là chuỗi Taylor của f trong lân cận của
x0.
Nếu chuỗi Taylor của f có bán kính hội tụ R > 0 thì
f (x) =∞∑0
f (n)(x0)
n!(x − x0)
n, x ∈ (x0 − R , x0 + R).
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 278: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/278.jpg)
Nội Dung
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 279: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/279.jpg)
Bài tập 1
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
1
∞∑1
1
nx
2
∞∑1
(−1)n+1
1 + nx
3
∞∑1
n − 1
xnx
4
∞∑0
(xn +
1
2nxn
)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 280: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/280.jpg)
Bài tập 1
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
1
∞∑1
1
nx
2
∞∑1
(−1)n+1
1 + nx
3
∞∑1
n − 1
xnx
4
∞∑0
(xn +
1
2nxn
)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 281: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/281.jpg)
Bài tập 1
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
1
∞∑1
1
nx
2
∞∑1
(−1)n+1
1 + nx
3
∞∑1
n − 1
xnx
4
∞∑0
(xn +
1
2nxn
)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 282: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/282.jpg)
Bài tập 1
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
1
∞∑1
1
nx
2
∞∑1
(−1)n+1
1 + nx
3
∞∑1
n − 1
xnx
4
∞∑0
(xn +
1
2nxn
)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 283: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/283.jpg)
Bài tập 1
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
1
∞∑1
1
nx
2
∞∑1
(−1)n+1
1 + nx
3
∞∑1
n − 1
xnx
4
∞∑0
(xn +
1
2nxn
)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 284: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/284.jpg)
Bài tập 1
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
1
∞∑1
1
nx
2
∞∑1
(−1)n+1
1 + nx
3
∞∑1
n − 1
xnx
4
∞∑0
(xn +
1
2nxn
)
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 285: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/285.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm:
1
∞∑1
(−1)n
x2n + ntrên R. HD : dùng chuỗi đan dấu.
2
∞∑0
xne−nx trên [0, a] với a > 0.
3
∞∑0
1√n(x2n − x2n+1) trên [0, 1].
HD :
0 ≤ un(x) =1√n(x2n − x2n+1) ≤ 1√
n(2n + 1), ∀x ∈ [0, 1].
4
∞∑0
(−1)nx2
(1 + x2)ntrên R.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 286: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/286.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm:
1
∞∑1
(−1)n
x2n + ntrên R. HD : dùng chuỗi đan dấu.
2
∞∑0
xne−nx trên [0, a] với a > 0.
3
∞∑0
1√n(x2n − x2n+1) trên [0, 1].
HD :
0 ≤ un(x) =1√n(x2n − x2n+1) ≤ 1√
n(2n + 1), ∀x ∈ [0, 1].
4
∞∑0
(−1)nx2
(1 + x2)ntrên R.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 287: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/287.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm:
1
∞∑1
(−1)n
x2n + ntrên R. HD : dùng chuỗi đan dấu.
2
∞∑0
xne−nx trên [0, a] với a > 0.
3
∞∑0
1√n(x2n − x2n+1) trên [0, 1].
HD :
0 ≤ un(x) =1√n(x2n − x2n+1) ≤ 1√
n(2n + 1), ∀x ∈ [0, 1].
4
∞∑0
(−1)nx2
(1 + x2)ntrên R.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 288: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/288.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm:
1
∞∑1
(−1)n
x2n + ntrên R. HD : dùng chuỗi đan dấu.
2
∞∑0
xne−nx trên [0, a] với a > 0.
3
∞∑0
1√n(x2n − x2n+1) trên [0, 1].
HD :
0 ≤ un(x) =1√n(x2n − x2n+1) ≤ 1√
n(2n + 1), ∀x ∈ [0, 1].
4
∞∑0
(−1)nx2
(1 + x2)ntrên R.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 289: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/289.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm:
1
∞∑1
(−1)n
x2n + ntrên R. HD : dùng chuỗi đan dấu.
2
∞∑0
xne−nx trên [0, a] với a > 0.
3
∞∑0
1√n(x2n − x2n+1) trên [0, 1].
HD :
0 ≤ un(x) =1√n(x2n − x2n+1) ≤ 1√
n(2n + 1), ∀x ∈ [0, 1].
4
∞∑0
(−1)nx2
(1 + x2)ntrên R.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 290: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/290.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm:
1
∞∑1
(−1)n
x2n + ntrên R. HD : dùng chuỗi đan dấu.
2
∞∑0
xne−nx trên [0, a] với a > 0.
3
∞∑0
1√n(x2n − x2n+1) trên [0, 1].
HD :
0 ≤ un(x) =1√n(x2n − x2n+1) ≤ 1√
n(2n + 1), ∀x ∈ [0, 1].
4
∞∑0
(−1)nx2
(1 + x2)ntrên R.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 291: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/291.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm:
1
∞∑1
(−1)n
x2n + ntrên R. HD : dùng chuỗi đan dấu.
2
∞∑0
xne−nx trên [0, a] với a > 0.
3
∞∑0
1√n(x2n − x2n+1) trên [0, 1].
HD :
0 ≤ un(x) =1√n(x2n − x2n+1) ≤ 1√
n(2n + 1), ∀x ∈ [0, 1].
4
∞∑0
(−1)nx2
(1 + x2)ntrên R.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 292: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/292.jpg)
Bài tập 2
Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm:
1
∞∑1
(−1)n
x2n + ntrên R. HD : dùng chuỗi đan dấu.
2
∞∑0
xne−nx trên [0, a] với a > 0.
3
∞∑0
1√n(x2n − x2n+1) trên [0, 1].
HD :
0 ≤ un(x) =1√n(x2n − x2n+1) ≤ 1√
n(2n + 1), ∀x ∈ [0, 1].
4
∞∑0
(−1)nx2
(1 + x2)ntrên R.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 293: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/293.jpg)
Bài tập 3
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:
1
∞∑1
xn
n
2
∞∑1
(x − 2)n
ns, s > 0.
3
∞∑1
(x + 1)n
(2n − 1)!
4
∞∑1
xn
3n + 2n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 294: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/294.jpg)
Bài tập 3
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:
1
∞∑1
xn
n
2
∞∑1
(x − 2)n
ns, s > 0.
3
∞∑1
(x + 1)n
(2n − 1)!
4
∞∑1
xn
3n + 2n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 295: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/295.jpg)
Bài tập 3
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:
1
∞∑1
xn
n
2
∞∑1
(x − 2)n
ns, s > 0.
3
∞∑1
(x + 1)n
(2n − 1)!
4
∞∑1
xn
3n + 2n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 296: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/296.jpg)
Bài tập 3
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:
1
∞∑1
xn
n
2
∞∑1
(x − 2)n
ns, s > 0.
3
∞∑1
(x + 1)n
(2n − 1)!
4
∞∑1
xn
3n + 2n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 297: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/297.jpg)
Bài tập 3
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:
1
∞∑1
xn
n
2
∞∑1
(x − 2)n
ns, s > 0.
3
∞∑1
(x + 1)n
(2n − 1)!
4
∞∑1
xn
3n + 2n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 298: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/298.jpg)
Bài tập 3
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:
1
∞∑1
xn
n
2
∞∑1
(x − 2)n
ns, s > 0.
3
∞∑1
(x + 1)n
(2n − 1)!
4
∞∑1
xn
3n + 2n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 299: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/299.jpg)
Bài tập 3
5
∞∑0
2√
n(x + 1)n
6
∞∑1
(x − 4)n√n
7
∞∑1
(−1)n−1
n2nxn
8
∞∑1
(n + 1
2n + 1
)n
(x − 2)2n,
HD : đặt t = (x − 2)2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 300: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/300.jpg)
Bài tập 3
5
∞∑0
2√
n(x + 1)n
6
∞∑1
(x − 4)n√n
7
∞∑1
(−1)n−1
n2nxn
8
∞∑1
(n + 1
2n + 1
)n
(x − 2)2n,
HD : đặt t = (x − 2)2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 301: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/301.jpg)
Bài tập 3
5
∞∑0
2√
n(x + 1)n
6
∞∑1
(x − 4)n√n
7
∞∑1
(−1)n−1
n2nxn
8
∞∑1
(n + 1
2n + 1
)n
(x − 2)2n,
HD : đặt t = (x − 2)2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 302: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/302.jpg)
Bài tập 3
5
∞∑0
2√
n(x + 1)n
6
∞∑1
(x − 4)n√n
7
∞∑1
(−1)n−1
n2nxn
8
∞∑1
(n + 1
2n + 1
)n
(x − 2)2n,
HD : đặt t = (x − 2)2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 303: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/303.jpg)
Bài tập 3
5
∞∑0
2√
n(x + 1)n
6
∞∑1
(x − 4)n√n
7
∞∑1
(−1)n−1
n2nxn
8
∞∑1
(n + 1
2n + 1
)n
(x − 2)2n,
HD : đặt t = (x − 2)2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 304: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/304.jpg)
Bài tập 3
5
∞∑0
2√
n(x + 1)n
6
∞∑1
(x − 4)n√n
7
∞∑1
(−1)n−1
n2nxn
8
∞∑1
(n + 1
2n + 1
)n
(x − 2)2n,
HD : đặt t = (x − 2)2
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 305: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/305.jpg)
Bài tập 3
9
∞∑1
(x + 5)2n−1
n24n
HD : xét (x + 5)∞∑1
(x + 5)2n−2
n24n
10
∞∑2
1
n(ln n)2(x − 1)n
11
∞∑1
ln n
n(x + 2)n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 306: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/306.jpg)
Bài tập 3
9
∞∑1
(x + 5)2n−1
n24n
HD : xét (x + 5)∞∑1
(x + 5)2n−2
n24n
10
∞∑2
1
n(ln n)2(x − 1)n
11
∞∑1
ln n
n(x + 2)n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 307: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/307.jpg)
Bài tập 3
9
∞∑1
(x + 5)2n−1
n24n
HD : xét (x + 5)∞∑1
(x + 5)2n−2
n24n
10
∞∑2
1
n(ln n)2(x − 1)n
11
∞∑1
ln n
n(x + 2)n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 308: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/308.jpg)
Bài tập 3
9
∞∑1
(x + 5)2n−1
n24n
HD : xét (x + 5)∞∑1
(x + 5)2n−2
n24n
10
∞∑2
1
n(ln n)2(x − 1)n
11
∞∑1
ln n
n(x + 2)n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 309: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/309.jpg)
Bài tập 3
9
∞∑1
(x + 5)2n−1
n24n
HD : xét (x + 5)∞∑1
(x + 5)2n−2
n24n
10
∞∑2
1
n(ln n)2(x − 1)n
11
∞∑1
ln n
n(x + 2)n
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 310: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/310.jpg)
Nội Dung
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 311: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/311.jpg)
Bài tập 4
Tính tổng của các chuỗi sau :
1
∞∑1
(−1)n2nx2n−1, x ∈ (−1, 1).
HD: đặt f (x) =∞∑1
(−1)n2nx2n−1, x ∈ (−1, 1). Tính tích
phân hai vế.
2
∞∑1
xn
n, x ∈ (−1, 1)
HD: f (x) =∞∑1
xn
n, f (0) = 0. Đạo hàm hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 312: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/312.jpg)
Bài tập 4
Tính tổng của các chuỗi sau :
1
∞∑1
(−1)n2nx2n−1, x ∈ (−1, 1).
HD: đặt f (x) =∞∑1
(−1)n2nx2n−1, x ∈ (−1, 1). Tính tích
phân hai vế.
2
∞∑1
xn
n, x ∈ (−1, 1)
HD: f (x) =∞∑1
xn
n, f (0) = 0. Đạo hàm hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 313: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/313.jpg)
Bài tập 4
Tính tổng của các chuỗi sau :
1
∞∑1
(−1)n2nx2n−1, x ∈ (−1, 1).
HD: đặt f (x) =∞∑1
(−1)n2nx2n−1, x ∈ (−1, 1). Tính tích
phân hai vế.
2
∞∑1
xn
n, x ∈ (−1, 1)
HD: f (x) =∞∑1
xn
n, f (0) = 0. Đạo hàm hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 314: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/314.jpg)
Bài tập 4
Tính tổng của các chuỗi sau :
1
∞∑1
(−1)n2nx2n−1, x ∈ (−1, 1).
HD: đặt f (x) =∞∑1
(−1)n2nx2n−1, x ∈ (−1, 1). Tính tích
phân hai vế.
2
∞∑1
xn
n, x ∈ (−1, 1)
HD: f (x) =∞∑1
xn
n, f (0) = 0. Đạo hàm hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 315: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/315.jpg)
Bài tập 4
Tính tổng của các chuỗi sau :
1
∞∑1
(−1)n2nx2n−1, x ∈ (−1, 1).
HD: đặt f (x) =∞∑1
(−1)n2nx2n−1, x ∈ (−1, 1). Tính tích
phân hai vế.
2
∞∑1
xn
n, x ∈ (−1, 1)
HD: f (x) =∞∑1
xn
n, f (0) = 0. Đạo hàm hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 316: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/316.jpg)
Bài tập 4
Tính tổng của các chuỗi sau :
1
∞∑1
(−1)n2nx2n−1, x ∈ (−1, 1).
HD: đặt f (x) =∞∑1
(−1)n2nx2n−1, x ∈ (−1, 1). Tính tích
phân hai vế.
2
∞∑1
xn
n, x ∈ (−1, 1)
HD: f (x) =∞∑1
xn
n, f (0) = 0. Đạo hàm hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 317: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/317.jpg)
Bài tập 4
3
∞∑1
nxn, x ∈ (−1, 1)
HD : f (x) = x .∞∑1
nxn−1 = x .S(x) với S(x) =∞∑1
nxn−1.
4
∞∑0
(1 +
2
3n+1
)xn, x ∈ (−1, 1).
HD: tách thành tổng hai chuỗi.
5
∞∑2
n(n + 1)xn−2, x ∈ (−1, 1).
HD : đặt
S(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−2, S(0) = 6, xS(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 318: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/318.jpg)
Bài tập 4
3
∞∑1
nxn, x ∈ (−1, 1)
HD : f (x) = x .∞∑1
nxn−1 = x .S(x) với S(x) =∞∑1
nxn−1.
4
∞∑0
(1 +
2
3n+1
)xn, x ∈ (−1, 1).
HD: tách thành tổng hai chuỗi.
5
∞∑2
n(n + 1)xn−2, x ∈ (−1, 1).
HD : đặt
S(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−2, S(0) = 6, xS(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 319: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/319.jpg)
Bài tập 4
3
∞∑1
nxn, x ∈ (−1, 1)
HD : f (x) = x .∞∑1
nxn−1 = x .S(x) với S(x) =∞∑1
nxn−1.
4
∞∑0
(1 +
2
3n+1
)xn, x ∈ (−1, 1).
HD: tách thành tổng hai chuỗi.
5
∞∑2
n(n + 1)xn−2, x ∈ (−1, 1).
HD : đặt
S(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−2, S(0) = 6, xS(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 320: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/320.jpg)
Bài tập 4
3
∞∑1
nxn, x ∈ (−1, 1)
HD : f (x) = x .∞∑1
nxn−1 = x .S(x) với S(x) =∞∑1
nxn−1.
4
∞∑0
(1 +
2
3n+1
)xn, x ∈ (−1, 1).
HD: tách thành tổng hai chuỗi.
5
∞∑2
n(n + 1)xn−2, x ∈ (−1, 1).
HD : đặt
S(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−2, S(0) = 6, xS(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 321: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/321.jpg)
Bài tập 4
3
∞∑1
nxn, x ∈ (−1, 1)
HD : f (x) = x .∞∑1
nxn−1 = x .S(x) với S(x) =∞∑1
nxn−1.
4
∞∑0
(1 +
2
3n+1
)xn, x ∈ (−1, 1).
HD: tách thành tổng hai chuỗi.
5
∞∑2
n(n + 1)xn−2, x ∈ (−1, 1).
HD : đặt
S(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−2, S(0) = 6, xS(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 322: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/322.jpg)
Bài tập 4
3
∞∑1
nxn, x ∈ (−1, 1)
HD : f (x) = x .∞∑1
nxn−1 = x .S(x) với S(x) =∞∑1
nxn−1.
4
∞∑0
(1 +
2
3n+1
)xn, x ∈ (−1, 1).
HD: tách thành tổng hai chuỗi.
5
∞∑2
n(n + 1)xn−2, x ∈ (−1, 1).
HD : đặt
S(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−2, S(0) = 6, xS(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 323: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/323.jpg)
Bài tập 4
3
∞∑1
nxn, x ∈ (−1, 1)
HD : f (x) = x .∞∑1
nxn−1 = x .S(x) với S(x) =∞∑1
nxn−1.
4
∞∑0
(1 +
2
3n+1
)xn, x ∈ (−1, 1).
HD: tách thành tổng hai chuỗi.
5
∞∑2
n(n + 1)xn−2, x ∈ (−1, 1).
HD : đặt
S(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−2, S(0) = 6, xS(x) =∞∑2
n(n + 1)xn−1.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 324: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/324.jpg)
Bài tập 5
Khai triển Maclaurin của các hàm số sau :
1 f (x) = sin2 x .HD : sin2 x = 1
2(1 − cos 2x).
2 f (x) =x3 + x + 1
x3 − 4x + 3.
HD : f (x) = x + 4 − 32(x−1) +
312(x−3) .
3 f (x) = xex2, Tính f (19)(0).
HD : f (x) =∞∑0
x2n+1
n!=
∞∑0
f (k)(0)
k!xk . Đồng nhất hệ số
của x19 ở hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 325: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/325.jpg)
Bài tập 5
Khai triển Maclaurin của các hàm số sau :
1 f (x) = sin2 x .HD : sin2 x = 1
2(1 − cos 2x).
2 f (x) =x3 + x + 1
x3 − 4x + 3.
HD : f (x) = x + 4 − 32(x−1) +
312(x−3) .
3 f (x) = xex2, Tính f (19)(0).
HD : f (x) =∞∑0
x2n+1
n!=
∞∑0
f (k)(0)
k!xk . Đồng nhất hệ số
của x19 ở hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 326: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/326.jpg)
Bài tập 5
Khai triển Maclaurin của các hàm số sau :
1 f (x) = sin2 x .HD : sin2 x = 1
2(1 − cos 2x).
2 f (x) =x3 + x + 1
x3 − 4x + 3.
HD : f (x) = x + 4 − 32(x−1) +
312(x−3) .
3 f (x) = xex2, Tính f (19)(0).
HD : f (x) =∞∑0
x2n+1
n!=
∞∑0
f (k)(0)
k!xk . Đồng nhất hệ số
của x19 ở hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 327: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/327.jpg)
Bài tập 5
Khai triển Maclaurin của các hàm số sau :
1 f (x) = sin2 x .HD : sin2 x = 1
2(1 − cos 2x).
2 f (x) =x3 + x + 1
x3 − 4x + 3.
HD : f (x) = x + 4 − 32(x−1) +
312(x−3) .
3 f (x) = xex2, Tính f (19)(0).
HD : f (x) =∞∑0
x2n+1
n!=
∞∑0
f (k)(0)
k!xk . Đồng nhất hệ số
của x19 ở hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 328: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/328.jpg)
Bài tập 5
Khai triển Maclaurin của các hàm số sau :
1 f (x) = sin2 x .HD : sin2 x = 1
2(1 − cos 2x).
2 f (x) =x3 + x + 1
x3 − 4x + 3.
HD : f (x) = x + 4 − 32(x−1) +
312(x−3) .
3 f (x) = xex2, Tính f (19)(0).
HD : f (x) =∞∑0
x2n+1
n!=
∞∑0
f (k)(0)
k!xk . Đồng nhất hệ số
của x19 ở hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 329: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/329.jpg)
Bài tập 5
Khai triển Maclaurin của các hàm số sau :
1 f (x) = sin2 x .HD : sin2 x = 1
2(1 − cos 2x).
2 f (x) =x3 + x + 1
x3 − 4x + 3.
HD : f (x) = x + 4 − 32(x−1) +
312(x−3) .
3 f (x) = xex2, Tính f (19)(0).
HD : f (x) =∞∑0
x2n+1
n!=
∞∑0
f (k)(0)
k!xk . Đồng nhất hệ số
của x19 ở hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 330: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/330.jpg)
Bài tập 5
Khai triển Maclaurin của các hàm số sau :
1 f (x) = sin2 x .HD : sin2 x = 1
2(1 − cos 2x).
2 f (x) =x3 + x + 1
x3 − 4x + 3.
HD : f (x) = x + 4 − 32(x−1) +
312(x−3) .
3 f (x) = xex2, Tính f (19)(0).
HD : f (x) =∞∑0
x2n+1
n!=
∞∑0
f (k)(0)
k!xk . Đồng nhất hệ số
của x19 ở hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 331: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/331.jpg)
Bài tập 5
Khai triển Maclaurin của các hàm số sau :
1 f (x) = sin2 x .HD : sin2 x = 1
2(1 − cos 2x).
2 f (x) =x3 + x + 1
x3 − 4x + 3.
HD : f (x) = x + 4 − 32(x−1) +
312(x−3) .
3 f (x) = xex2, Tính f (19)(0).
HD : f (x) =∞∑0
x2n+1
n!=
∞∑0
f (k)(0)
k!xk . Đồng nhất hệ số
của x19 ở hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 332: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/332.jpg)
Bài tập 5
Khai triển Maclaurin của các hàm số sau :
1 f (x) = sin2 x .HD : sin2 x = 1
2(1 − cos 2x).
2 f (x) =x3 + x + 1
x3 − 4x + 3.
HD : f (x) = x + 4 − 32(x−1) +
312(x−3) .
3 f (x) = xex2, Tính f (19)(0).
HD : f (x) =∞∑0
x2n+1
n!=
∞∑0
f (k)(0)
k!xk . Đồng nhất hệ số
của x19 ở hai vế.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 333: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/333.jpg)
Bài tập 5
4 f (x) =x
1 + x4, Tính f (17)(0).
5 f (x) = 3√
8 + x .
6 f (x) = ln(x +√
1 + x2).
HD : f (0), f ′(x) = (1 + x2)−12 ,
f ′(x) =∞∑0
x∫0
𝛼(𝛼− 1) . . . (𝛼− n + 1)
n!t2ndt, với 𝛼 = −1
2.
7 f (x) =
x∫0
sin t
tdt.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 334: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/334.jpg)
Bài tập 5
4 f (x) =x
1 + x4, Tính f (17)(0).
5 f (x) = 3√
8 + x .
6 f (x) = ln(x +√
1 + x2).
HD : f (0), f ′(x) = (1 + x2)−12 ,
f ′(x) =∞∑0
x∫0
𝛼(𝛼− 1) . . . (𝛼− n + 1)
n!t2ndt, với 𝛼 = −1
2.
7 f (x) =
x∫0
sin t
tdt.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 335: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/335.jpg)
Bài tập 5
4 f (x) =x
1 + x4, Tính f (17)(0).
5 f (x) = 3√
8 + x .
6 f (x) = ln(x +√
1 + x2).
HD : f (0), f ′(x) = (1 + x2)−12 ,
f ′(x) =∞∑0
x∫0
𝛼(𝛼− 1) . . . (𝛼− n + 1)
n!t2ndt, với 𝛼 = −1
2.
7 f (x) =
x∫0
sin t
tdt.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 336: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/336.jpg)
Bài tập 5
4 f (x) =x
1 + x4, Tính f (17)(0).
5 f (x) = 3√
8 + x .
6 f (x) = ln(x +√
1 + x2).
HD : f (0), f ′(x) = (1 + x2)−12 ,
f ′(x) =∞∑0
x∫0
𝛼(𝛼− 1) . . . (𝛼− n + 1)
n!t2ndt, với 𝛼 = −1
2.
7 f (x) =
x∫0
sin t
tdt.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 337: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/337.jpg)
Bài tập 5
4 f (x) =x
1 + x4, Tính f (17)(0).
5 f (x) = 3√
8 + x .
6 f (x) = ln(x +√
1 + x2).
HD : f (0), f ′(x) = (1 + x2)−12 ,
f ′(x) =∞∑0
x∫0
𝛼(𝛼− 1) . . . (𝛼− n + 1)
n!t2ndt, với 𝛼 = −1
2.
7 f (x) =
x∫0
sin t
tdt.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
![Page 338: Nguyen le chi quyet](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050905/54823a835806b51f058b4664/html5/thumbnails/338.jpg)
Bài tập 5
4 f (x) =x
1 + x4, Tính f (17)(0).
5 f (x) = 3√
8 + x .
6 f (x) = ln(x +√
1 + x2).
HD : f (0), f ′(x) = (1 + x2)−12 ,
f ′(x) =∞∑0
x∫0
𝛼(𝛼− 1) . . . (𝛼− n + 1)
n!t2ndt, với 𝛼 = −1
2.
7 f (x) =
x∫0
sin t
tdt.
PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích