nghiÊn cỨu giẢm dao ĐỘng xoẮn cho trỤc mÁy bẰng bỘ...
TRANSCRIPT
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
VŨ XUÂN TRƯỜNG
NGHIÊN CỨU GIẢM DAO ĐỘNG XOẮN CHO TRỤC MÁY
BẰNG BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ & CƠ KỸ THUẬT
Hà Nội - 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
VŨ XUÂN TRƯỜNG
NGHIÊN CỨU GIẢM DAO ĐỘNG XOẮN CHO TRỤC MÁY
BẰNG BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ & CƠ KỸ THUẬT
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS.TS Khổng Doãn Điền
2. TS Nguyễn Duy Chinh
Hà Nội - 2018
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu, kết quả
nghiên cứu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.
Tác giả luận án
Vũ Xuân Trường
ii
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành cám ơn PGS.TS Khổng Doãn Điền và TS. Nguyễn Duy
Chinh, đã tận tình hướng dẫn, truyền cảm hứng và niềm say mê nghiên cứu khoa học đã
giúp đỡ tôi hoàn thành luận án.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy và
đào tạo trong quá trình tác giả học tập tại Học viện Khoa học và Công nghệ. Đặc biệt,
tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Đông Anh và TS Lã Đức Việt đã đóng
góp nhiều ý kiến có giá trị cao, hiệu quả và động viên tác giả hoàn thành luận án.
Đồng thời tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Học viện Khoa học và Công nghệ
- Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Viện Cơ học, Khoa Cơ học kỹ thuật
và Tự động hóa, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, Khoa Cơ khí -Trường
Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả làm
việc trong suốt thời gian học tập tại Học viện.
Cuối cùng tác giả ghi nhớ sự hỗ trợ về vật chất và động viên tinh thần của bạn
bè, đồng nghiệp và những người thân trong gia đình trong suốt quá trình hoàn thành luận
án này.
Tác giả luận án
Vũ Xuân Trường
iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
A Hàm khuếch đại biên độ-tần số
AN Hàm khuếch đại biên độ-tần số của bậc tự do thứ N
B Ma trận hệ thống
C Ma trận cản
ca Hệ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động (Ns/m)
cs Hệ số cản môi trường của hệ chính (kgm2/s)
ctđ Hệ số cản tương đương
det Định thức của ma trận
DOF Số bậc tự do
DVA Bộ hấp thụ động lực
DVA-FPM Bộ hấp thụ động lực với thiết kế tối ưu sử dụng phương pháp hai
điểm cố định
DVA-MQT Bộ hấp thụ động lực với thiết kế tối ưu sử dụng phương pháp cực
tiểu mô men bậc hai
DVA-MEVR Bộ hấp thụ động lực với thiết kế tối ưu sử dụng phương pháp cực
đại độ cản tương đương.
DVA-MKE Bộ hấp thụ động lực với thiết kế tối ưu sử dụng phương pháp cực
tiểu hóa năng lượng.
E Ma trận đơn vị
E Phần năng lượng truyền từ hệ chính sang bộ hấp thụ DVA
e1 Khoảng cách lắp lò xo bộ hấp thụ so với tâm trục (m)
e2 Khoảng cách lắp cản nhớt bộ hấp thụ so với tâm trục (m)
FPM Phương pháp hai điểm cố định
F Véc tơ lực kích động
Hf Véc tơ định vị của kích động ngẫu nhiên
Jr Mô men quán tính khối lượng của trục (rotor) (kgm2)
Jri Mô men quán tính khối lượng của bậc tự do thứ i (kgm2)
Ja Mô men quán tính khối lượng của bộ hấp thụ (kgm2)
K Ma trận độ cứng
iv
ks Độ cứng xoắn của trục (Nm/rad)
ksi Độ cứng xoắn của bậc tự do thứ i (Nm/rad)
ka Độ cứng lò xo của bộ hấp thụ (N/m)
L Phiếm hàm năng lượng
M Ma trận khối lượng
MDOF Hệ nhiều bậc tự do
MEVR Phương pháp cực đại độ cản tương đương.
MQT Phương pháp cực tiểu mô men bậc hai
MKE Phương pháp cực tiểu hóa năng lượng
M Mô men kích động (Nm)
Meqv Ma trận cản tương đương
M Mô men kích động phức (Nm)
mr Khối lượng của trục (kg)
ma Khối lượng bộ hấp thụ dao động (kg)
N Số bậc tự do của hệ chính
n Số bộ lò xo-cản nhớt sử dụng
P Ma trận mô men bậc hai
Q Ma trận trọng số
q Véc tơ tọa độ suy rộng
SDOF Hệ chính có một bậc tự do
Sf Mật độ phổ của kích động ngẫu nhiên ồn trắng.
T Động năng của cơ hệ (kgm2/s2)
y0 Véc tơ trạng thái ban đầu.
α Tỷ số giữa tần số riêng của DVA và trục
αopt Tỷ số tối ưu giữa tần số riêng của DVA và trục
β Tỷ số giữa tần số lực và tần số riêng của trục
βopt Tỷ số tối ưu giữa tần số lực và tần số riêng của trục
γ Tỷ số giữa vị trí lắp lò xo và bán kính quán tính của trục
θ Góc xoắn giữa hai đầu trục (rad)
θi Góc xoắn của bậc tự do thứ i (rad)
v
θN Góc xoắn của bậc tự do thứ N (rad)
Biên độ phức của dao động xoắn của trục (rad)
ˆN Biên độ phức của dao động xoắn của bậc tự do thứ N (rad)
Biên độ thực của dao động xoắn của trục (rad)
ˆN Biên độ thực của dao động xoắn của bậc tự do thứ N (rad)
η Tỷ số bán kính quán tính của DVA và trục
λ Tỷ số giữa vị trí lắp cản nhớt và bán kính quán tính của trục
μ Tỷ số khối lượng của DVA và trục
ξ Tỷ số cản nhớt
ξopt Tỷ số cản nhớt tối ưu
ρa Bán kính quán tính đĩa bị động của bộ hấp thụ (m)
ρr Bán kính quán tính của trục (m)
φa Góc quay tương đối giữa DVA và trục (rad)
ˆa Biên độ phức của góc quay tương đối giữa DVA và trục (rad)
φr Góc quay của trục (rad)
φri Góc quay của bậc tự do thứ i (rad)
ˆr Biên độ phức của góc quay của trục (rad)
ˆri Biên độ phức của góc quay của bậc tự do thứ i (rad)
ω Tần số của kích động (s-1)
Ωs Tần số dao động riêng của trục (s-1)
Ω0 Tốc độ quay của trục, s-1
∏ Thế năng của cơ hệ (kgm2/s2)
ϕ Hàm hao tán của cơ hệ
ϕs Hàm hao tán của cản môi trường tác dụng lên hệ chính
ϕa Hàm hao tán của cản nhớt bộ hấp thụ DVA
1
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU iii
MỤC LỤC 1
DANH MỤC CÁC BẢNG 4
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ 5
MỞ ĐẦU 8
1. Lý do chọn đề tài. 8
2. Mục đích nghiên cứu của luận án. 9
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án. 9
4. Phương pháp nghiên cứu. 10
5. Những đóng góp mới của luận án. 10
6. Bố cục của luận án. 11
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU GIẢM DAO ĐỘNG
XOẮN VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH THAM SỐ TỐI ƯU 12
1.1. Tổng quan về các nghiên cứu giảm dao động xoắn. 12
1.2. Tổng quan về bộ hấp thụ dao động DVA và các phương pháp
tính toán giảm dao động. 18
1.2.1 Giới thiệu chung. 19
1.2.2 Nguyên lý cơ bản của bộ hấp thụ dao động thụ động. 20
1.2.3. Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ chính
không có cản nhớt. 23
1.2.4. Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ chính có cản nhớt. 40
1.2.5.Tính toán tham số tối ưu trong trường hợp hệ chính
có nhiều bậc tự do 42
1.2.6. Một số tiêu chuẩn để xác định bộ hấp thụ dao động thụ động. 45
1.3. Kết luận chương 1. 46
2
CHƯƠNG 2 . PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG
XOẮN CỦA TRỤC MÁY CÓ LẮP ĐẶT HỆ THỐNG GIẢM
DAO ĐỘNG DVA 47
2.1. Phân tích mô hình tính toán dao động xoắn của trục máy có
gắn bộ hấp thụ dao động được nghiên cứu trong luận án. 47
2.2. Thiết lập phương trình vi phân dao động. 49
2.3. Mô phỏng số dao động xoắn của trục máy có lắp bộ hấp thụ DVA. 55
2.4. Kết luận chương 2 58
CHƯƠNG 3. NGHIÊN CỨU, PHÂN TÍCH, TÍNH TOÁN VÀ
XÁC ĐỊNH CÁC THAM SỐ TỐI ƯU CỦA BỘ HẤP THỤ
DAO ĐỘNG DVA 59
3.1. Xác định tham số tối ưu trong trường hợp trục máy
chịu kích động điều hòa 60
3.2. Xác định tham số tối ưu trong trường hợp trục máy
chịu kích động ngẫu nhiên 71
3.3. Xác định tham số tối ưu trong trường hợp trục máy
chịu kích động va chạm 75
3.4. Các bước thiết kế bộ hấp thụ dao động DVA giảm dao
động xoắn cho trục. 79
3.5. Kết luận chương 3 80
CHƯƠNG 4. TÍNH TOÁN, MÔ PHỎNG SỐ HIỆU QUẢ
GIẢM DAO ĐỘNG VÀ PHÁT TRIỂN CHO HỆ CHÍNH
NHIỀU BẬC TỰ DO 81
4.1. Tính toán, mô phỏng số hiệu quả giảm dao động xoắn cho trục máy 82
4.1.1. Mô phỏng số trường hợp hệ chịu tác dụng của
kích động điều hòa. 83
4.1.2. Mô phỏng số trường hợp trục máy chịu tác dụng của
kích động va chạm. 90
4.1.3. Mô phỏng số trường hợp hệ chịu tác dụng của
kích động ngẫu nhiên 94
4.2. Phát triển kết quả nghiên cứu cho trường hợp hệ chính
nhiều bậc tự do 99
4.2.1. Mô hình nghiên cứu và phương trình vi phân dao động xoắn
của trục máy nhiều bậc tự do 99
3
4.2.2. Nghiên cứu xác định tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động
giảm dao động xoắn cho trục máy nhiều bậc tự do 102
4.2.3. Tính toán mô phỏng số các kết quả nghiên cứu cho
hệ chính nhiều bậc tự do 116
4.3. Kết luận chương 4. 126
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 128
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 132
TÀI LIỆU THAM KHẢO 133
4
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động cho cơ hệ một bậc tự do không
có cản ............................................................................................................................. 28
Bảng 1.2. Một số bộ thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ một bậc
tự do không cản chịu kích động ồn trắng. ..................................................................... 28
Bảng 1.3. Bảng số liệu đầu vào cho phép hồi quy toán học. ........................................ 43
Bảng 4.1. Tham số tối ưu của bộ hấp thụ DVA theo các phương pháp khác nhau ...... 81
Bảng 4.2. Dữ liệu số của các tham số tối ưu ................................................................. 83
Bảng 4.3. Tần số cộng hưởng của hệ ............................................................................ 87
Bảng 4.4. Hiệu quả giảm dao động của các thiết kế DVA khi hệ chính chịu kích động
tuần hoàn với tần số cộng hưởng. .................................................................................. 89
Bảng 4.5. Hiệu quả giảm dao động của các thiết kế DVA khi hệ chính chịu kích động
va chạm .......................................................................................................................... 93
Bảng 4.6. Hiệu quả giảm dao động của các thiết kế DVA khi hệ chính chịu kích động
ngẫu nhiên ...................................................................................................................... 98
Bảng 4.7. Tham số tối ưu α theo số bậc tự do của hệ chính ....................................... 113
Bảng 4.8. Tham số tối ưu ξ theo số bậc tự do của hệ chính ........................................ 116
Bảng 4.9. Giá trị hàm khuếch đại A tại các tần số cộng hưởng của hệ khi thay đổi tỷ số
cản nhớt . ................................................................................................................... 117
Bảng 4.10. Các thông số mô phỏng cho trường hợp hệ chính nhiều bậc tự do. ......... 118
Bảng 4.11. Giá trị của các đại lượng không thứ nguyên............................................. 118
Bảng 4.12. Giá trị các tham số tối ưu α và ξ theo số bậc tự do của hệ chính. ............ 118
5
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Mô hình bộ hấp thụ dao động xoắn CPVAs. ................................................. 12
Hình 1.2. Mô hình bộ hấp thụ dao động CDR. ............................................................. 14
Hình 1.3. Mô hình bộ hấp thụ dao động. ....................................................................... 16
Hình 1.4. Mô hình bộ hấp thụ dao động dạng con lắc ly tâm. ...................................... 17
Hình 1.5. Mô hình bộ hấp thụ dao động dạng con rãnh trượt tròn. ............................... 18
Hình 1.6. Bộ hấp thụ dao động và hệ chính. ................................................................. 19
Hình 1.7. Sơ đồ của hệ chính tương đương. .................................................................. 22
Hình 1.8. Mô hình hệ chính không cản có lắp bộ TMD. ............................................... 23
Hình 1.9. Hệ số A theo biến β với μ=0.05, α=1.0. ........................................................ 24
Hình 1.10. Sự xấp xỉ hệ chính [20]. .............................................................................. 41
Hình 2.1. Mô hình trục máy có lắp bộ hấp thụ dao động DVA. ................................... 48
Hình 2.2. Mô hình bộ hấp thụ dao động DVA. ............................................................. 49
Hình 2.3. Dao động xoắn của trục khi hệ chịu kích động điều hòa .............................. 56
Hình 2.4. Dao động xoắn của trục khi hệ chịu kích va chạm ........................................ 56
Hình 2.5. Dao động xoắn của trục khi hệ chịu kích động ngẫu nhiên .......................... 57
Hình 3.1. Đồ thị hàm khuếch đại biên độ - tần số với α=0.9, μ=0.04, η=1, γ=0.5, λ=0.8
và n=4. ........................................................................................................................... 67
Hình 4.1. Dao động xoắn của trục trong giai đoạn chuyển tiếp ban đầu với tần số ω =
62.8 s-1 của kích động .................................................................................................... 84
Hình 4.2. Dao động xoắn của trục trong giai đoạn bình ổn với tần số kích động
ω = 62.8 s-1 của kích động ............................................................................................. 85
Hình 4.3. Đồ thị mô tả năng lượng E với tần số ω = 62.8 s-1 của kích động ................ 86
Hình 4.4. Đáp ứng của hệ khi lắp và không lắp DVA-FPM ......................................... 88
Hình 4.5. Đồ thị mô tả năng lượng E với DVA-FPM, hệ chính không cản. ................. 88
6
Hình 4.6. Đồ thị mô tả năng lượng E với DVA-FPM, hệ chính có cản, cs=22.5 kgm2/s
....................................................................................................................................... 89
Hình 4.7. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MKE khi hệ chính không cản chịu kích
động va chạm ................................................................................................................. 91
Hình 4.8. Năng lượng E khi lắp DVA-MKE với hệ chính không cản chịu kích động va
chạm ............................................................................................................................... 91
Hình 4.9. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MKE khi hệ chính có cản chịu kích động
va chạm .......................................................................................................................... 92
Hình 4.10. Năng lượng E khi lắp DVA-MKE với hệ chính có cản chịu kích động va
chạm ............................................................................................................................... 93
Hình 4.11. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MQT khi hệ chính không cản chịu kích
động ngẫu nhiên............................................................................................................. 94
Hình 4.12. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MQT khi hệ chính có cản chịu kích
động ngẫu nhiên............................................................................................................. 95
Hình 4.13. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MEVR khi hệ chính không cản chịu
kích động ngẫu nhiên ..................................................................................................... 96
Hình 4.14. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MEVR khi hệ chính có cản chịu kích
động ngẫu nhiên............................................................................................................. 97
Hình 4.15. Năng lượng E với DVA-MQT khi hệ chính không cản chịu kích động ngẫu
nhiên .............................................................................................................................. 97
Hình 4.16. Năng lượng E với DVA-MEVR khi hệ chính không cản chịu kích động
ngẫu nhiên ...................................................................................................................... 98
Hình 4.17. Mô hình trục máy nhiều bậc tự do lắp bộ hấp thụ dao động DVA ............. 99
Hình 4.18. Sự thay đổi của đường cong khuếch đại biên độ khi thay đổi tỷ số cản với N
= 2, = 0.02, = 1, = 0.5, = 0.8, n = 6 và = 0.2 ............................................... 111
Hình 4.19. Sự thay đổi của đường cong khuếch đại biên độ khi thay đổi tỷ số cản với
N = 3, = 0.02, = 1, = 0.5, = 0.8, n = 6 và = 0.2 ............................................ 111
7
Hình 4.20. Hàm khuếch đại biên độ-tần số với các giá trị khác nhau của tỷ số cản nhớt
với N=2, µ = 0.02, η = 1, γ = 0.5, λ= 0.8, n = 6 and α = αopt = 0.708 ........... 117
Hình 4.21. Dao động xoắn của hệ chính 2 bậc tự do tại tần số = 0.04.................... 119
Hình 4.22. Dao động xoắn của hệ chính 3 bậc tự do tại tần số = 0.04.................... 120
Hình 4.23. Hàm khuếch đại biên độ với = opt và = 0 với trường hợp hệ chính có 2
bậc tự do ...................................................................................................................... 120
Hình 4.24. Dao động xoắn của hệ chính 2 bậc tự do tại tần số = 0.88.................... 121
Hình 4.25. Dao động xoắn của hệ chính 2 bậc tự do tại tần số = 0.46.................... 122
Hình 4.26. Dao động xoắn của hệ chính 2 bậc tự do tại tần số = 1.58.................... 123
Hình 4.27. Hàm khuếch đại biên độ với = opt và = 0 hệ chính có 3 bậc tự do .... 124
Hình 4.28. Dao động xoắn của hệ chính 3 bậc tự do tại tần số = 0.36.................... 124
Hình 4.29. Dao động xoắn của hệ chính 3 bậc tự do tại tần số = 0.77.................... 125
8
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Cùng với quá trình phát triển của lịch sử loài người, công nghệ cũng từng bước
phát triển đột phá. Một trong những giai đoạn quan trọng nhất mở ra những khởi đầu
sớm của kỷ nguyên hiện đại là cuộc cách mạng công nghiệp. Trong thời gian này, ngành
công nghiệp máy móc đã được sinh ra, đóng một vai trò quan trọng trong hoạt động hỗ
trợ sản xuất. Máy móc cho phép sản xuất hàng loạt các mặt hàng khác nhau, không chỉ
đạt hiệu quả về tốc độ mà còn đạt hiệu quả cao vượt lên trên năng lực của con người.
Ngoài ra, máy móc hoạt động tốt hơn trong những công việc dài hạn và đạt độ thống
nhất cao. Chất lượng công việc của con người có thể thay đổi khi bị ảnh hưởng bởi các
yếu tố cảm xúc, sức khỏe,… Bên cạnh đó, máy móc giúp thực hiện các công việc nguy
hiểm khác nhau thay cho con người. Máy được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác
nhau như: sản xuất, xây dựng, nông nghiệp, công nghiệp, khai thác mỏ,… Ngày nay,
nhiều máy thậm chí còn được thiết kế để hoạt động mà không có con người. Với sự giúp
đỡ của máy móc, thế giới đang hiện đại hóa và ngày càng phát triển, đặc biệt trong bối
cảnh cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 đang dần phát triển mạnh trên toàn thế giới, tác
động đến nền kinh tế của toàn cầu. Việc nghiên cứu chế tạo và nâng cao tuổi thọ, khả
năng làm việc của máy móc thiết bị, góp phần quan trọng trong công cuộc cách mạng
công nghiệp.
Trục là một trong những chi tiết máy quan trọng của máy, nó có tác dụng truyền
mô men xoắn và chuyển động quay từ bộ phận này sang bộ phận khác của máy thông
qua các chi tiết máy khác lắp trên trục chẳng hạn như bánh răng, bánh đai, then, khớp
nối trục… Chuyển động đặc trưng của trục là chuyển động quay. Trong quá trình làm
việc trục chịu tác động của mô men xoắn do động cơ hoặc hệ thống lắp với trục truyền
vào [21], [22], [25], [26], [28], [35], bản thân trục nói riêng và các chi tiết máy khác nói
chung được tạo thành từ những vật liệu đàn hồi, nên dưới tác động của mô men xoắn,
trục sẽ chịu biến dạng xoắn. Biến dạng này thay đổi theo thời gian và lặp đi lặp lại theo
mỗi chu kỳ quay của trục gọi là dao động xoắn của trục. Dao động này đặc biệt có hại,
không mong muốn, nó gây ra phá hủy mỏi, ảnh hưởng đến tuổi thọ và khả năng làm
việc của trục và máy [21], [22], [25], [26], [28], [35]. Cụ thể nó gây ra rung động, tiếng
9
ồn cho máy, và phá hủy mỏi cho trục; vì không những chỉ ảnh hưởng đến chính bản thân
trục mà còn gây hại cho những tiết máy quan trọng khác lắp trên trục, từ đó gây hại cho
máy. Việc nghiên cứu giảm dao động cho trục là một việc làm có ý nghĩa quan trọng và
mang tính thời sự [21], [22], [25], [26], [28], [35].
Với mong muốn được kế thừa và phát triển những kết quả nghiên cứu trước đây
và các kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng vào trong thực tế để nâng cao tuổi thọ,
khả năng làm việc, độ chính xác của trục nói chung và máy nói riêng. Nên tác giả chọn
đề tài: “Nghiên cứu giảm dao động xoắn của trục máy bằng bộ hấp thụ dao động” để
nghiên cứu trong luận án của mình.
2. Mục đích nghiên cứu của luận án.
Như đã phân tích ở trên, dao động xoắn đặc biệt có hại với độ bền, tuổi thọ và
khả năng làm việc của trục nói chung và máy nói riêng. Trong quá trình làm việc nó gây
ra rung động và tiếng ồn, không những ảnh hưởng đến tuổi thọ và khả năng làm việc
của trục, máy móc mà còn trực tiếp ảnh hưởng đến chất lượng của chi tiết gia công trên
máy. Đặc biệt, chưa có nghiên cứu nào sử dụng phương pháp giải tích tính toán tối ưu
thông số của bộ hấp thụ dao động cho mô hình hệ chính dao động xoắn. Bởi vậy, mục
đích của luận án là nghiên cứu giảm dao động xoắn cho trục máy bằng bộ hấp thụ dao
động DVA (dynamic vibration absorber) dạng đĩa khối lượng – lò xo – cản nhớt.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án.
Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động
thụ động DVA giảm dao động cho xoắn cho trục máy khi chịu tác dụng của các
loại kích động khác nhau: kích động điều hòa, kích động va chạm, kích động
ngẫu nhiên.
Phạm vi nghiên cứu
Trong phạm vi nghiên cứu của luận án này, tác giả tìm các thông số tối ưu của
bộ hấp thụ dao động DVA để giảm dao động xoắn cho trục máy có 1 bậc tự do
cho trường hợp hệ chính không cản và phát triển phương pháp điểm cố định cho
bậc tự do thứ N của mô hình trục máy có nhiều bậc tự do.
10
Luận án chỉ tập trung nghiên cứu giảm dao động xoắn của trục máy, không xét
đến các dao động khác, chẳng hạn dao động dọc trục, dao động uốn, … Việc tính
toán khi kể đến các dao động này được tác giả đề cập trong phần hướng nghiên
cứu tiếp theo của Luận án.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Trên cơ sở các trục máy trong thực tế, tác giả chuyển về mô hình lý thuyết có lắp
bộ hấp thụ dao động DVA. Từ mô hình tính toán của trục máy có lắp bộ DVA, tác giả
sử dụng phương trình Lagrange loại II để thiết lập phương trình vi phân dao động của
hệ.
Từ hệ phương trình vi phân dao động thu được, tác giả tiến hành nghiên cứu,
phân tích tính toán để giảm dao động xoắn cho trục máy, tìm nghiệm giải tích của hệ
bằng các phương pháp: Phương pháp hai điểm cố định, phương pháp cực tiểu mô men
bậc hai, phương pháp cực đại độ cản tương đương và phương pháp cực tiểu hóa năng
lượng.
Để thực hiện các tính toán và đánh giá hiệu quả giảm dao động của kết quả nghiên
cứu của luận án tác giả xây dựng các chương trình máy tính trên phần mềm Maple để
mô phỏng dao động của hệ để người đọc có cái nhìn trực quan về hiệu quả của bộ hấp
thụ dao động. Đây là phần mềm được các nhà khoa học trên thế giới chuyên dùng và
cho kết quả tin cậy.
5. Những đóng góp mới của luận án.
- Tính toán tìm được các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động DVA giảm dao
động xoắn cho trục máy có một bậc tự do theo các phương pháp khác nhau. Tham số tối
ưu được biểu diễn dưới dạng giải tích tường minh.
- Xây dựng các chương trình tính toán trên phần mềm để đánh giá, so sánh và
kiểm chứng sự khác biệt thông qua đáp ứng đầu ra của mô hình mô phỏng trong trường
hợp hệ chịu kích động điều hòa, kích động va chạm và kích động ngẫu nhiên với bộ
tham số tối ưu.
- Đã phát triển các kết quả nghiên cứu cho trường hợp hệ chính có nhiều bậc tự
do. Đưa ra các biểu thức giải tích của tham số trong trường hợp tối ưu cho hệ có 1, 2 và
3 bậc tự do.
11
6. Bố cục của luận án.
Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương và phần kết luận, hướng nghiên cứu tiếp
theo với 139 trang, 12 bảng và 45 hình vẽ và đồ thị.
Chương 1 trình bày tổng quan về nghiên cứu giảm dao động xoắn và các phương
pháp tính toán xác định tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động.
Chương 2 thiết lập mô hình tính toán và xác định hệ phương trình vi chuyển động
mô tả dao động của cơ hê.
Chương 3 giải quyết bài toán tính toán giảm dao động xoắn cho trục máy và xác
định tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực DVA theo các phương pháp khác nhau.
Chương 4 phân tích, đánh giá hiệu quả giảm dao động theo các kết quả tối ưu
được xác định tại chương 3, mô phỏng số các kết quả nghiên cứu giảm dao động xoắn
cho trục máy. Phát triển các kết quả nghiên cứu cho trường hợp trục máy có nhiều bậc
tự do.
Các kết quả chính, những đóng góp mới và hướng nghiên cứu tiếp theo của luận
án được tóm tắt trong phần kết luận.
Danh sách công trình đã được công bố thuộc luận án bao gồm 06 bài báo,
trong đó:
Bài báo số 1 được công bố trên tạp chí Journal of Multibody Dynamics (thuộc
danh mục ISI, Impact Factor 1.242).
Bài báo số 2 được công bố trên Tạp chí Khoa học Công nghệ, các Trường Đại
học Kỹ thuật, ISSN 2354-1083.
Bài báo số 3 được công bố trên Tạp chí Kết cấu và Công nghệ xây dựng, Hội Kết
cấu và Công nghệ Xây dựng Việt Nam, ISSN 1859-3194.
Bài báo số 4 được công bố tại Tuyển tập Công trình khoa học Hội nghị Cơ kỹ
thuật và Tự động hóa lần 2 tổ chức tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội ngày
7,8/10/2016, ISBN 978-604-95-0221-7.
Bài báo số 5 công bố trên Tạp chí Khoa học Công nghệ, Trường ĐH Sư phạm
Kỹ thuật Hưng Yên, ISSN 2354-0575.
Bài báo số 6 được công bố trên Kỷ yếu Hội nghị Quốc tế RCMME 2014, ISBN
978-604-911-942-2.
12
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU GIẢM DAO ĐỘNG
XOẮN VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH THAM SỐ TỐI ƯU
1.1. Tổng quan về các nghiên cứu giảm dao động xoắn.
Dao động xoắn của hệ thống quay chủ yếu là do việc truyền tải mô men không
đều (mô men thay đổi theo thời gian) giữa các bộ phận quay của máy. Sự dao động xoắn
quá mức trong hệ thống cơ học dẫn đến tiếng ồn hoặc phá hủy mỏi. Do đó, chúng cần
được ngăn chặn hoặc kiểm soát ngay lập tức để đảm bảo độ tin cậy của hệ thống. Kiểm
soát dao động thụ động đã được áp dụng thường xuyên do sự đơn giản của nó trong một
miền rộng của mô men xoắn và hiệu quả là chấp nhận được. Trong số các kỹ thuật kiểm
soát thụ động, bộ hấp thụ dao động dạng con lắc ly tâm CPVA (centrifugal pendulum
vibration absorber) là một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất, có thể
tìm thấy trong các máy móc hạng nặng khác nhau, ví dụ máy bay trực thăng và động cơ
đốt trong. Các nghiên cứu này đề cập đến việc tối ưu hóa thiết kế của biên dạng rãnh
trượt của CPVA để giảm thiểu dao động xoắn trong một hệ thống trục.
Hình 1.1. Mô hình bộ hấp thụ dao động xoắn CPVAs.
Bộ hấp thụ dao động xoắn CPVA bao gồm khối lượng gắn trên một rotor theo
cách để chúng có thể tự do di chuyển theo các đường dẫn quy định liên quan đến các hệ
thống quay. Chuyển động của các khối lượng được sử dụng để chống lại các mô men
xoắn do đó giảm được dao động xoắn cho các tiết máy quay [54], [65]. Một trong những
13
thiết kế đầu tiên của về CPVA được giới thiệu và công bố bởi Kutzbach, ở đó cấu tạo
của CPVA gồm những khối lượng chuyển động trong các rãnh chữ U chứa đầy chất
lỏng (Hình 1.1).
Năm 1929, Carter phát triển một dạng CPVA dùng cho động cơ diesel [25]. Sau
đó, CPVA với thiết kế khác nhau đã được giới thiệu để sử dụng cho một phạm vi rộng
hơn của các điều kiện hoạt động của hệ thống. Taylor [57] đã đề xuất CPVA để sử dụng
trong động cơ máy bay với điều kiện tốc độ thay đổi. Trong nghiên cứu này, trọng lượng
của khối lượng ly tâm được thiết kế sao cho lực phục hồi thay đổi theo tốc độ.
Sarazin [53] giới thiệu CPVA, bao gồm một con lắc thiết kế nhỏ gọn với các con
lăn áp dụng cho động cơ máy bay. Cho đến đầu năm 1980, phần lớn các thiết kế của
CPVAs đã sử dụng các biên dạng tròn [21], [34]. Sau đó, các dạng đường dẫn không
tròn khác nhau đã được xem xét cho thiết kế CPVA, chẳng hạn như đường xiclôít [40],
epi- xiclôít [26], [38] và các đường đẳng thời (tautochronic curve) [28], [41].
Mayet và Ulbrich [41] trình bày thiết kế theo các đường đẳng thời cho bộ hấp thụ
đơn để có được các phương trình trung bình của chuyển động cho trạng thái ổn định. Họ
cũng thu được các phương trình tuyến tính và phi tuyến tính và tối ưu cho các CPVA có
dạng đường dẫn đẳng thời bằng cách sử dụng công thức Hamilton trung bình [42].
Bên cạnh các nghiên cứu lý thuyết, các nghiên cứu thực nghiệm về CPVA cũng
đã được thực hiện.
Shaw và cộng sự [34], [48], [54] đã thí nghiệm hiệu quả của các đặc tính mô men
dao động đối với trạng thái ổn định của một hệ thống trục-CPVA thông qua các thí
nghiệm. Các nghiên cứu tính toán này chỉ ra rằng các khối lượng chuyển động trong các
rãnh trượt tròn có tâm trùng với tâm của trục là tốt nhất, đặc biệt số bộ CPVA sử dụng
là số chẵn thì hiệu quả giảm dao động xoắn sẽ là tốt nhất (hình 1.1).
Mayet và các cộng sự [43], [44] tiến hành thí nghiệm thử nghiệm trạng thái ổn
định và đáp ứng tức thời của tốc độ góc của hệ thống quay với CPVA.
Ngày nay, các nghiên cứu về CPVA đang gia tăng sự quan tâm do sự gia tăng
liên tục nhu cầu về hiệu suất nhiên liệu cao hơn, lượng phát thải thấp hơn, và hoạt động
14
êm ái của hệ thống quay.
Swank và Lindemann [55] đã đề xuất một sự kết hợp cả hai bộ hấp thụ dạng khối
lượng TMD (tuned mass damper) và dạng con lắc ly tâm CPVA sử dụng cho hệ thống
truyền động hiện đại.
Gần đây, Sedaghati và các cộng sự [56] đã phát triển một bộ giảm dao động xoắn
bằng cách kết hợp CPVA truyền thống và bộ giảm chấn từ.
Nhìn chung, một số lượng lớn các nghiên cứu về dao động xoắn của trục và
CPVA đã được tiến hành về tốc độ quay của trục hoặc sự thay đổi gia tốc góc [34], [48],
[54]. Các đáp ứng ổn định của dao động xoắn thường được xem xét trong hầu hết các
nghiên cứu [34], [40], [41], [42], [43], [44], [48], [54].
Tuy nhiên, dao động xoắn được xác định bởi góc xoắn tương đối giữa hai đầu
của trục hiếm khi được thảo luận. Trên thực tế, việc xác định dao động xoắn của trục là
rất quan trọng vì nó cho phép xác định ứng suất trong trục, cũng như đánh giá độ bền
mỏi của trục [35].
Hình 1.2. Mô hình bộ hấp thụ dao động CDR.
Hosek [35] đề xuất bộ hấp thụ cộng hưởng ly tâm (CDR-centrifugal delayed
resonator), đây là thiết bị điều khiển được để giảm dao động xoắn trong các cấu trúc cơ
học quay. Trong nghiên cứu này Hosek mô hình hóa trục quay đều với vận tốc góc ω0
gồm ba thành phần: lò xo xoắn có độ cứng xoắn k1, cản môi trường có hệ số cản c1 và
một đĩa có mô men quán tính I1. Mô men kích động do hệ thống chấp hành lắp với trục
được mô hình dưới dạng tuần hoàn M1=Asin ωt. Ma(t) là mô men điều khiển để bình ổn
15
dao động xoắn của trục; R1, Ra và θa lần lượt là bán kính trục, chiều dài con lắc và góc
quay tương đối của con lắc so với trục.
Phương trình vi phân dao động của cơ hệ:
2 21 1
21 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0
a a a a a a a a a a
a a a a
I m R R R t I m R t c t
m R R t M t
21 1 1 1 1 1 1
21 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0
a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
I n I n m R R R t c t k t
n I n m R R R t n c t n M t M t
Trong đó:
θ1 là góc quay của trục; 1 1 0t là góc xoắn giữa hai đầu trục. ma, ca lần
lượt là khối lượng và hệ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động. I1, Ia lần lượt là mô men
quán tính khối lượng của trục và CDR. Ma(t) là mô men điều khiển để bình ổn dao động
xoắn của trục
Nghiên cứu này cũng tập trung về ổn định và điều khiển dao động, nghiên cứu
chưa tập trung cho thiết kế tối ưu của bộ hấp thụ dao động. Các kết quả nghiên cứu mà
Hosek đưa ra là:
- Trong trạng thái ổn định, CDR có khả năng loại bỏ hoàn toàn các dao động
không mong muốn của cấu trúc chính theo kích động của mô men điều hòa;
- Do điều chỉnh được thời gian thực, CDR hoạt động hoàn toàn với các vấn đề
dao động xoắn với thời gian dao động khác nhau. Nó có thể đáp ứng với một dải tần cực
kỳ rộng, đặc biệt trong trường hợp tần số nhiễu loạn có xu hướng gia tăng với vận tốc
góc của hệ chính;
- Thuật toán điều khiển cho CDR rất đơn giản để thực hiện đặc biệt là sử dụng
các thiết bị xử lý tín hiệu số tiên tiến; Do đặc tính thụ động của CDR, nó vẫn có thể hoạt
động một phần ngay cả trong trường hợp kiểm soát thất bại khi giả sử rằng con lắc thụ
động ly tâm thụ động được sử dụng đúng cách.
Từ các nghiên cứu trên ta thấy rằng các tác giả khi nghiên cứu chỉ tập trung vào
nghiên cứu sự ổn định và điều khiển chuyển động của các bộ hấp thụ dao động xoắn,
nhưng rất hiếm các nghiên cứu xác định tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm
16
dao động xoắn cho trục máy như tỷ số cản nhớt, tỷ số giữa tần số riêng của DVA và trục
từ đó cho phép chọn bộ cản nhớt và độ cứng lò xo cho thiết kế DVA tối ưu.
Trong [21], [25], [26], [34], [41] đã nghiên cứu giảm dao động xoắn khi sử dụng
các bộ hấp thụ dao động. Tuy nhiên, các nghiên cứu này chỉ xét đến chuyển động của
bộ hấp thụ dao động và tập trung nghiên cứu tìm biên dạng rãnh trượt tối ưu của các
khối lượng m của bộ hấp thụ và số lượng bộ hấp thụ sử dụng với mục tiêu ổn định dao
động xoắn của hệ. Trong các phương trình vi phân dao động của cơ hệ, các nghiên cứu
này chưa xét đến dao động xoắn của trục.
Trong các nghiên cứu [35], [44] các tác giả mô hình hóa trục máy bao gồm một
lò xo xoắn có độ cứng ks và một đĩa có độ cứng Jr chịu tác dụng của cản môi trường với
hệ số cản cs. Để giảm dao động xoắn cho trục các nghiên cứu đề xuất lắp bộ hấp thụ dao
động CDR (centrifugal delayed resonator) và DVA. Tuy nhiên các nghiên cứu này chỉ
tập trung vào điều khiển dao động để bình ổn dao động xoắn. Nghiên cứu chưa tập trung
tìm tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động xoắn cho trục máy.
Gần đây, trong [7], [9], [10], [14], [30] đã nghiên cứu xác định các tham số tối
ưu cho bộ hấp thụ DVA lắp trên trục máy chịu xoắn như các hình 1.3, 1.4 và hình 1.5.
Trong các nghiên cứu này các tác giả sử dụng các phương pháp số để xác định tham số
tối ưu.
A B D
g c
2m
1m
e
mk
2l
1l
Hình 1.3. Mô hình bộ hấp thụ dao động.
Trong [7], [9] các tác giả tính toán tham số tối ưu giảm dao động xoắn cho trục
chính máy tiện vạn năng T616 bằng cách lắp bộ hấp thụ DVA có dạng như hình 1.3. Bộ
hấp thụ dao động DVA trong [7], [9] có dạng con lắc lệch tâm được liên kết với rotor
của trục chính thông qua bộ cản nhớt c và lò xo xoắn km. Nghiên cứu sử dụng phương
17
pháp quy hoạch thực nghiệm Taguchi kết hợp mô phỏng số trên Maple. Nghiên cứu đã
mô phỏng số dao động xoắn của trục với bộ DVA tối ưu cho đáp ứng tốt so với khi chưa
lắp DVA.
Trong nghiên cứu [10] cũng sử dụng phương pháp quy hoạch thực nghiệm
Taguchi cho mô hình trục máy chịu xoắn có lắp bộ DVA có dạng con lắc ly tâm (hình
1.4). Nghiên cứu này đã chỉ ra rằng, tuy có đáp ứng tốt về hiệu quả giảm dao động xoắn
cho trục, tuy nhiên do bản thân bộ DVA có dạng con lắc ly tâm, lại lắp trên trục máy
quay nên gây ra sự mất ổn định cho trục, đặc biệt phản lực động lực tại các khớp nối rất
lớn. Nghiên cứu kết luận rằng khi nghiên cứu tính toán tham số tối ưu cho bộ DVA
không những chỉ quan tâm đến hiệu quả giảm dao động xoắn mà cần phải xét đến tính
ổn định của cơ hệ, đặc biệt quan tâm đến phản lực động lực tại các khớp nối để nâng
cao tuổi thọ của các khớp nối, tránh hiện tượng phá hủy khớp.
3
2
m
tk
2mk
mc
e
x
y
Hình 1.4. Mô hình bộ hấp thụ dao động dạng con lắc ly tâm.
Trong nghiên cứu [14] sử dụng phương pháp hồi quy phi tuyến Levenberg-
Marquadt để xây dựng hàm hồi quy phi tuyến mô tả quan hệ giữa các thông số của bộ
hấp thụ DVA dạng rãnh trượt tròn (hình 1.5), bao gồm tỷ số khối lượng, tỷ số độ cứng
và tỷ số cản nhớt.
Nghiên cứu đã thiết lập được hàm hồi quy phi tuyến mô tả quan hệ giữa các thông
số DVA và dao động xoắn của trục; đánh giá độ tin cậy của hàm hồi quy thông qua đánh
giá phương sai. Từ đó, xác định được tham số tối ưu của DVA nhằm giảm dao động
xoắn cho trục.
18
sk( )t
( )t
( ) ( )t t
Hình 1.5. Mô hình bộ hấp thụ dao động dạng con rãnh trượt tròn.
Từ các nghiên cứu [7], [9], [10], [14], [30] ta nhận thấy rằng:
So với mô hình bộ hấp thụ dao động trong các nghiên cứu [21], [28], [34], [38],
[41], [42], [43], [44] mô hình bộ hấp thụ trong các nghiên cứu này đều có dạng lệch tâm,
trục máy dao động không ổn định, phản lực động lực tại các khớp nối rất lớn và có thể
phá hủy các khớp nối.
Phương pháp sử dụng trong các nghiên cứu này là phương pháp số chẳng hạn
phương pháp quy hoạch thực nghiệm Taguchi, phương pháp hồi quy phi tuyến, … do
đó chỉ có thể áp dụng cho các trục máy có số liệu cụ thể mà không thể áp dụng cho trục
có số liệu khác nhau, tổng quát. Tuy nhiên, nếu xét về hiệu quả giảm dao động xoắn thì
việc lắp các bộ hấp thụ dao động này rõ ràng mang lại hiệu quả tốt so với khi chưa lắp.
1.2. Tổng quan về bộ hấp thụ dao động DVA và các phương pháp tính toán giảm
dao động.
Như đã phân tích ở trên các nghiên cứu về dao động xoắn chủ yếu tập trung vào
đáp ứng ổn định và điều khiển dao động xoắn. Dao động xoắn được xác định bởi góc
xoắn tương đối giữa hai đầu của trục hiếm khi được thảo luận. Trên thực tế, việc xác
định dao động xoắn của trục là rất quan trọng vì nó cho phép xác định ứng suất trong
trục, cũng như đánh giá độ bền mỏi của trục [35].
Hosek [35] mô hình hóa trục gồm ba thành phần: lò xo xoắn có độ cứng xoắn k1,
cản môi trường có hệ số cản c1 và một đĩa có mô men quán tính I1. Để giảm dao động
xoắn cho trục máy, Hosek đề xuất lắp bộ hấp thụ cộng hưởng ly tâm CDR, đây là thiết
bị điều khiển được để giảm dao động xoắn trong các cấu trúc cơ học quay. Tuy nhiên
19
nghiên cứu này tập trung vào bài toán ổn định và điều khiển dao động, nghiên cứu không
tập trung vào tìm tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động.
Trong [59], [60] các tác giả đề xuất lắp bộ hấp thụ dao động DVA dạng đĩa – lò
xo – cản nhớt (thực chất là một dạng riêng của CPVA [40], [43], [44]) và tính toán xác
định tham số tối ưu của bộ DVA bằng phương pháp giải tích.
Phần sau đây trình bày về tổng quan bộ hấp thụ động lực DVA: tổng quan về lịch
sử hình thành và phát triển, các nghiên cứu về DVA, nguyên lý của bộ hấp thụ dao động
DVA, các phương pháp tính toán giải tích cho bộ hấp thụ DVA và các tiêu chuẩn tính
toán.
1.2.1 Giới thiệu chung.
Trong phương pháp hấp thụ thụ động, bộ hấp thụ dao động thụ động được gắn
thêm vào hệ máy hay kết cấu. Mục đích của việc sử dụng bộ hấp thụ dao động thụ động
là để hấp thụ một phần năng lượng của hệ chính. Ưu điểm của phương pháp là không cần
năng lượng sinh ra bởi bộ tạo nguồn lực nên đơn giản cho công tác duy tu, bảo dưỡng.
k1
m
k2
(TMD)
F1
F2 c1
c2
M
x1
x2
Hình 1.6. Bộ hấp thụ dao động và hệ chính.
Sự hấp thụ được thực hiện bằng cách truyền một phần năng lượng dao động có hại
từ hệ chính tới bộ hấp thụ dao động thụ động. Bộ hấp thụ dao động thụ động dạng khối
lượng gọi tắt là TMD có thể mô tả như là một khối lượng được gắn với hệ chính thông
qua lò xo và giảm chấn dạng cản nhớt. Sơ đồ kết nối giữa bộ hấp thụ dao động thụ động
và hệ dao động chính được biểu diễn trên hình 1.6.
Việc ứng dụng bộ hấp thụ dao động thụ động được nghiên cứu lần đầu tiên bởi
Frahm vào năm 1909 [31]. Trong đó bộ hấp thụ dao động thụ động có khối lượng m và
20
lò so với độ cứng k1. Hệ chính là vật M được gắn với nền bằng lò so có độ cứng k2. Khi
cả hai hệ đều không chứa lực cản, dưới tác dụng của kích động điều hòa, hệ dao động
chính M có thể đứng yên không chuyển động nếu tần số riêng của bộ hấp thụ dao động
thụ động, m
ka
1 , được chọn bằng tần số của lực kích động.
Lý thuyết về bộ hấp thụ dao động thụ động có cản nhớt được Den Hartog [29]
phát triển cho các trường hợp hệ chính có cản nhớt. Ông đã đưa ra phương pháp tính
toán thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động. Sau đó, việc nghiên cứu bộ hấp
thụ dao động thụ động cho các hệ chính có cản nhớt được tiếp tục bởi Bishop và
Welbourn [23]. Trong nhiều trường hợp, việc xác định các thông số tối ưu dưới dạng
giải tích cho bộ hấp thụ dao động thụ động đối với các hệ có cản nhớt là không thể thực
hiện được. Do vậy phương pháp số đã được nhiều tác giả nghiên cứu để giải quyết các
bài toán này:
- Jennige và Frohrib (1977) đã dùng phương pháp số để đánh giá bộ hấp thụ dao
động thụ động dạng quay cho những cơ hệ chịu uốn và xoắn.
- Ioi và Ikeda (1978), [36] đưa ra các công thức kinh nghiệm để tính toán các thông
số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động cho những hệ chính có hệ số cản nhớt nhỏ.
- Randall et al. (1981) đã đưa ra các đồ thị phụ thuộc theo tham số cho các thông
số tối ưu khi hệ chính có cản nhớt.
- Warbuton và Ayorinde (1981), [67] cũng đưa ra phương pháp tính các thông số
tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động để giảm biên độ dao động cho hệ chính với một
số thông số cho trước.
1.2.2 Nguyên lý cơ bản của bộ hấp thụ dao động thụ động.
Hình 1.6 mô tả hệ dao động một bậc tự do có khối lượng M chịu kích động bởi
lực F2(t). Để giảm đáp ứng dao động của hệ chính ta gắn vào hệ dao động một bộ hấp
thụ dao động thụ động khối lượng m.
Phương trình chuyển động của cơ hệ được mô tả bởi:
( ) ( ) ( ) ( )t t t t MX CX KX F (1.1)
21
Ở đây X(t) là véctơ dịch chuyển tương đối của các vật so với nền.
M, C, K tương ứng là các ma trận khối lượng, ma trận cản nhớt và ma trận độ
cứng:
2
1
( )( )
( )
x tt
x t
X , 2
1
( )( )
( )
F tt
F t
F
0
0
M
m
M , 1 2 1
1 1
c c c
c c
C , 1 2 1
1 1
k k k
k k
K (1.2)
Nhân 2x vào hai vế của phương trình (1.1) và lấy trung bình, ta có:
2
2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2
21 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
F ( )
( )
M x x c c x k k x x t x c x x k x x
m x x c x c x x k x x k x x F t x
(1.3)
ở đây <…> là kỳ vọng toán học cho trường hợp hệ chịu kích động ngẫu nhiên
hay giá trị trung bình cho trường hợp kích động điều hoà.
Từ 022 )t(x)t(x , 022 )t(x)t(x và cộng 2 phương trình trên lại, ta có
phương trình cân bằng năng lượng đơn giản:
22 2 2 1 2 1 2( ) ( )c x F t F t x m x x (1.4)
trong đó,
- 222 xc là năng lượng tiêu hao do tác dụng của lực cản.
- 212 x)t(F)t(F là năng lượng do kích động từ bên ngoài
- Phần năng lượng bằng [ 21xxm ] được truyền từ hệ chính sang khối lượng
lắp thêm m.
Đó chính là nguyên lý hoạt động của bộ hấp thụ dao động thụ động. Trong trường
hợp dấu của [ 21xxm ] dương, bộ hấp thụ dao động thụ động đã hấp thụ một phần
năng lượng của dao động. Nếu năng lượng truyền từ hệ chính sang bộ hấp thụ dao động
thụ động càng lớn thì dao động của hệ chính sẽ càng nhỏ.
Trường hợp dấu của [ 21xxm ] âm, lúc này hệ phụ sẽ truyền năng lượng cho
hệ chính, hệ chính sẽ dao động mạnh thêm. Như vậy trong quá trình dao động luôn có
22
sự trao đổi năng lượng giữa hệ chính và hệ phụ. Bộ hấp thụ dao động thụ động sẽ đạt
hiệu quả tốt khi dao động của bộ hấp thụ lệch pha 90o so với dao động của hệ chính. Lúc
này, gia tốc của bộ hấp thụ dao động thụ động cùng chiều với vận tốc của hệ chính. Khi
bộ hấp thụ dao động làm việc có hiệu quả, nó làm tăng hệ số cản của hệ chính theo công
thức (1.5)
22
2122
x
xxmcc eq
(1.5)
Tương tù nhân 2x vào hai vế của phương trình (1.1) và lấy trung bình, ta có:
2
2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2
21 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2
F ( )
( )
M x x c c x x k k x t x c x x k x x
m x x c x x c x x k x k x x F t x (1.6)
Từ 022 )t(x)t(x , 022 )t(x)t(x và cộng 2 phương trình trên lại, ta có
phương trình :
21 2 2 2 2 1 2 2 2F ( ) ( )m x x k x t F t x M x x (1.7)
Vậy độ cứng tương đương của hệ chính được xác định theo công thức:
1 2
2 2 22
eq
x xk k m
x
(1.8)
Ta có thể sử dụng hình 1.7 thay cho hình 1.1 với k2eq và c2eq là độ cứng và hệ số
cản của hệ chính tương đương.
k2eq
F1+ F2
c2eq
M+m
x2
Hình 1.7. Sơ đồ của hệ chính tương đương.
23
1.2.3. Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ chính không có cản nhớt.
Hình 1.8 mô tả hệ dao động một bậc tự do có khối lượng M chịu kích động bởi lực
F(t). Để giảm đáp ứng dao động của hệ chính ta gắn vào hệ dao động một bộ hấp thụ
dao động thụ động TMD có khối lượng m.
Hình 1.8. Mô hình hệ chính không cản có lắp bộ TMD.
Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ được xác định theo phương trình Lagrăng
II :
2 1 2 2
1 2 1 1 1 1
( )
0
M m x mx k x F t
mx mx c x k x
(1.9a)
Phương pháp hai điểm cố định.
Việc sử dụng bộ hấp thụ dao động thụ động có cản đã được Den Hartog [29]
nghiên cứu cho trường hợp đơn giản khi hệ chính không có cản nhớt và chịu kích động
của lực điều hòa 2 ( ) I toF t F e .
Bằng cách đặt các hệ số không thứ nguyên
aω
Ω : TØ sè gi÷a tÇn sè riªng cña bé hÊp thô dao ®éng vµ hÖ chÝnh.
ω
Ω : TØ sè gi÷a tÇn sè lùc kÝch ®éng vµ tÇn sè riªng cña hÖ chÝnh.
m
ka
1 : tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động.
24
2
k
M : tần số dao động riêng của hệ chính.
M
mμ : Tỷ số khối lượng của bộ hấp thụ và hệ chính.
a
c
2m
là tû số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động thụ động.
Khi đó phương trình vi phân dao động (1.9a) trở thành :
2
2 1 2
2 21 2 1 1
1 ( ) /
2 0
x x x F t M
x x x x
(1.9b)
Trong ví dụ này, hiệu quả của bộ hấp thụ dao động thụ động được tính thông qua
hệ số A là tỷ số giữa biên độ dao động và chuyển vị tĩnh 0
2
2
st
Fx
k
2 2 2 2
2max22 2 2 2 2 2 2 2 2
2st
x ( ) (2 )A
x ( )(1 ) (2 ) (1 )
(1.10)
Hình 1.9. Hệ số A theo biến β với μ=0.05, α=1.0.
Hệ số biên độ A là một hàm của 4 tham số μ, α, β, ξ đồ thị của A theo biến β
trong trường hợp α=1.0, μ=0.05 và các giá trị khác nhau của ξ được biểu thị trên hình
25
1.9. Chúng ta hãy quan sát sự thay đổi của A khi tăng dần cản nhớt của bộ hấp thụ dao
động thụ động.
Từ đồ thị trên hình 1.9 chúng ta có thể thấy rằng nếu bộ hấp thụ dao động thụ
động không có cản nhớt, hệ số A tăng đến vô hạn tại tần số cộng hưởng của hệ chính và
tần số cộng hưởng của bộ hấp thụ dao động thụ động.
Khi cản nhớt của bộ hấp thụ dao động thụ động đạt tới vô hạn, hệ chính và bộ
hấp thụ dao động thụ động coi như gắn cứng với nhau và trở thành hệ một bậc tự do với
khối lượng bằng tổng của hai khối lượng và vì vậy, hệ lại dao động ở chế độ cộng hưởng
tại
* 1k
m M
. Như vậy ở giữa những điểm cộng hưởng này phải có giá trị nào đó
của mà đỉnh của cộng hưởng là nhỏ nhất.
Như chúng ta đã nói ở trên, mục đích của việc gắn thêm bộ hấp thụ dao động thụ
động là giảm đỉnh cộng hưởng của biên độ dao động tới giá trị nhỏ nhất có thể. Từ đồ
thị chúng ta có thể nhận thấy có hai điểm (S và T) tại đó hÖ sè A không phụ thuộc vào
hệ số cản nhớt và như vậy đỉnh của biên độ dao động nhỏ nhất có thể đạt được bằng
cách chọn hệ số f để hai điểm S, T có tung độ bằng nhau và đồ thị biểu diễn giá trị của
A đạt giá trị cực đại.
Tại điểm S do có = 0, hệ số A bằng
2 2
2 2 2 2 2
( )A
( )(1 )
Tại điểm T do có = , hệ số A bằng
2
1A
1 1
Đỉnh của biên độ dao động có thể đạt được gi¸ trÞ nhỏ nhất bằng cách cho tung
độ hai điểm S và T bằng nhau và có giá trị cực đại. Để tung độ của hai điểm S và T bằng
nhau ta có :
26
2 2
2 2 2 2 2
( )
( )(1 )
2
1
1 1
Giải phương trình trên ta nhận được:
22 2 4 2
1,2
11 1 1 2 1
2
Trong đó β1 (lấy dấu -) là hoành độ của điểm S, β2 (lấy dấu +) là hoành độ của
điểm T. Biểu thức xác định tung độ của S và T có dạng :
S 21
1
1 (1 )A
T 22
1
1 (1 )A
Do β1 và β2 là hàm của các tham số và α nên các tung độ của các điểm S và T
phụ thuộc vào và α và do vậy phụ thuộc vào các khối lượng m, M và các hệ số độ
cứng k2 và k1 .
Vì ta đã biết trước M và k2 nên nếu ta chọn m thì chỉ còn lại hệ số α là cần phải
xác định để thoả mãn điều kiện tung độ S và T bằng nhau. Giá trị tối ưu của f tìm được
bằng cách giải phương trình AS= AT. Sau khi giải ta tìm được:
1
1opt
(1.11)
Với giá trị tìm được của α opt , hÖ sè A, β1 và β2 t¹i hai điểm S và T b»ng
2
1A
(1.12)
2
1,2
11
1 2
Tiếp theo ta tìm hệ số cản để đường cong biên độ tần số đạt cực đại tại các
điểm S và T.
27
Ta thay các giá trị tìm được của αopt , β1 và β2 vào phương trình 0A
và thực
hiện một vài phép biến đổi ta nhận được hệ thức giữa tham số và :
Tại S :
2
3
32
8 1
Tại T :
2
3
32
8 1
Theo Brock [24] giá trị tốt nhất của opt có thể chọn bằng trung bình cộng của
hai giá trị c¶n tèi u tìm được tại hai điểm S và T trên và bằng
3
3
8(1 )opt
(1.13)
Nhìn vào biểu thức (1.13) ta thấy rằng khi chọn được bộ hấp thụ dao động tối ưu
hiệu quả của bộ hấp thụ dao động tỷ lệ nghịch với hệ số hay nói cách khác việc tăng
khối lượng của bộ hấp thụ dao động làm giảm biên độ dao động lớn nhất của hệ chính.
Cũng theo phương pháp này Warburton [67] đã tính toán được các thông số tối
ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động cho một số dạng của kích động điều hòa. Kết quả
tính toán được trình bày trong bảng 1.1. Ở trường hợp thứ nhất, lực kích động tuần hoàn
tác động vào hệ chính, tiêu chuẩn tối ưu là cùc tiÓu biên độ dao động của hệ chính. Ở
trường hợp thứ hai, lực kích động tuần hoàn tác động vào hệ chính, nhưng tiêu chuẩn
tối ưu là cùc tiÓu biên độ gia tốc của hệ chính.
Trong trường hợp cuối cùng, hệ chịu kích động của gia tốc nền, tiêu chuẩn tối ưu
là cùc tiÓu biên độ gia tốc của hệ chính. Trường hợp hệ dao động mô tả ở trên chịu lực
kích động ồn trắng cũng đã được xét trong nghiên cứu của Warburton [67] với giả thiết
hệ chịu kích động ồn trắng với mật độ phổ So.
28
Bảng 1.1. Các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động cho cơ hệ một bậc tự do không
có cản ( gX là gia tốc nền)
Dạng
Kích động
Tiêu
chuẩn
tối ưu (A)
Thông số tối ưu
Aopt αopt opt
ti0 eP
0
2
P
kx
2/12
1
1
1
)1(8
3
ti0 eP
0
22
P
xm
2/1
1
2
2/1
1
1
)2/1(8
3
tigeX
g
g
X
xX
2
2/12
1
1
1 )1(8
3
Bảng 1.2. Một số bộ thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ một bậc
tự do không cản chịu kích động ồn trắng.
Dạng
Kích động
Tiêu chuẩn
tối ưu (A)
Thông số tối ưu
Aopt opt opt
Lực
(ồn trắng) oS
Px
2
222
2
1
)1(4
34
1
2/1
12/14
4/31
Gia tốc nền
(ồn trắng) oS
x
2
221
2
1
23
4
111
1
2/1
12/14
4/1
29
Tiêu chuẩn để chọn thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động là cực tiểu
trung bình bình phương của chuyển vị của hệ chính )t(x22 . Để tìm được các thông số
tối ưu, giá trị của )t(x22 được tìm như một hàm phụ thuộc vào các tham số α, . Sau
đó cho 22 / 0x và
22 / 0x và giải hệ hai phương trình hai ẩn số này để tìm
giá trị của α, ξ.
Bằng phương pháp này, Warburton đã xác định được các thông số tối ưu của bộ
TMD cho hệ dao động một bậc tự do không có cản nhớt.
Kết quả này được đưa ra trong bảng 1.2 cho hai trường hợp: trường hợp một, hệ
chịu lực kích động tác động vào hệ chính, tiêu chuẩn tối ưu là cực tiểu trung bình bình
phương của chuyển vị của hệ chính, trường hợp hai, hệ chịu lực kích động của gia tốc
nền và tiêu chuẩn tối ưu là cực tiểu trung bình bình phương của chuyển vị của hệ chính.
Phương pháp cực tiểu mô men bậc hai.
Phương pháp cực tiểu mô men bậc hai áp dụng cho lực kích động ồn trắng F(t) có cường
độ Sf. [67]
Từ phương trinh (1.9) ta đưa về phương trình trạng thái sau:
( ) ( )ft t y By H F (1.14)
Trong đó y(t) là véc tơ trạng thái ứng với các đáp ứng của hệ:
2 12 1[ ]Tx x x x
y (1.15)
B là ma trận hệ thống
2 2
2 2
0 0 1
0 0 1
0 2
(1 ) 2 (1 )
a a
a a
0
0 =
0
B (1.16)
Còn Hf là ma trận định vị của kích động
30
[0 0 1/ 1/ ]Tf M M H (1.17)
Ma trận mô men bậc hai P là nghiệm của phương trình ma trận Lyapunov:
0T Tf f fS BP PB H H (1.18)
Sau khi tìm được ma trận mô men bậc hai P. Ta có kết quả mô men bậc 2 của chuyển
dịch của hệ chính là [61], [62], [66]:
24 2 2 2
11 3 2
1 1 4 4 2
4
fSP
M
(1.19)
Các tham số tối ưu α và được tìm làm tối ưu mô men bậc hai của đáp ứng hệ chính
P11. Điều kiện cực tiểu là:
11 11
* *
0, 0P P
(1.20)
Như vậy để thu được tham số tối ưu với chỉ tiêu cực mô men bậc hai thì ta cần giải hệ
(1.19, 1.20) được kết quả như sau:
* *2 4 (3 4)
;2(1 ) 2 1 2
(1.21)
Phương pháp cực đại độ cản tương đương.
Phương pháp cực đại độ cản tương đương được sử dụng khi kết cấu dao động
ngẫu nhiên chịu kích động ồn trắng (Luft 1979 [39]). Trước hết ta cần xác định lực do
bộ hấp thụ dao động TMD tác động vào hệ chính.
Xét hệ phương trình (1.9). Nhân hàng thứ 2 với -1 rồi cộng với hàng thứ nhất,
sau đó nhân với M ta có:
2 2 2
2 12 12 ( )M x M x m x M x F t
(1.22)
Vậy lực cản do bộ TMD tác động vào hệ chính là:
2 21 12F m x M x
(1.23)
31
Khi đó hệ số cản tương đương của bộ TMD tác động vào hệ chính là:
2
2 212 2 1 2
2 2
2
td
F x m x x M x x
c
x x
(1.24)
Nếu xét hệ kích động là ồn trắng, các giá trị trung bình trong (1.24) là các thành phần
của ma trận mô men bậc hai P trong phương trình ma trận Lyapunov [39].
2
2 2 234 32
332
2td
F xm P M P
cP
x
(1.25)
Để cực đại ctd, điều kiện cực đại của hàm hai biến được áp dụng vào (1.25).
* *
0, 0td tdc c
(1.26)
Giải hệ phương trình (1.25, 1.26) tìm tham số tối ưu cho TMD là:
1
* , *21
(1.27)
Phương pháp cân bằng cực.
Phương pháp cân bằng cực được sử dụng khi làm giảm dao động tần số riêng
của hệ (dao động rung lắc) [8], [19]. Ta chuyển hệ phương trình vi phân cấp 2 (1.9) về
phương trình vi phân cấp 1 bằng cách đặt như sau:
2 1 1 2
2 3 1 4
x s ,x s
x s ,x s
(1.28)
Khi đó ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc 4:
(t) (t)
s As (1.29)
32
Hệ (1.29) luôn luôn tồn tại một hệ cơ bản 4 véc tơ nghiệm độc lập tuyến tính
( )i t , i=14. Nó trùng với 4 véc tơ đơn vị ei khi t=0, (0) , 1, 4.ie i
Và thoả mãn điều kiện (1.29)
(t) (t)
φ Aφ (1.30)
Các véc tơ nghiệm sẽ tạo thành các cột của ma trận không suy biến 44
1 2 3 4(t) (t) | (t) | (t) | (t) Φ (1.31)
Ma trận (1.31) được gọi là ma trận cơ bản, nó có một số tính chất đặc trưng, đây
là véc tơ nghiệm đặc biệt được chuẩn hoá tại thời điểm ban đầu t=0, thì vấn đề trị riêng
đặc trưng cho dáng điệu của hệ động lực (1.29) theo các nghiệm riêng với tính chất là
véc tơ trạng thái s(t) và đạo hàm của nó (t)
s có cùng hướng trong không gian trạng thái
(t) (t)
s s (1.32)
Nếu các nghiệm riêng này tồn tại, khi đó chúng phải thoả mãn không chỉ phương
trình (1.29) mà còn cả điều kiện (1.32). Điều này nói lên rằng các quỹ đạo mà giữ nguyên
hướng không đổi trong không gian trạng thái phải thoả mãn
t(t) es s (1.33)
Điều này phù hợp với điều kiện (1.32). Thay (1.33) vào (1.32) ta có
t te e s A s (1.34)
Ta được phương trình thuần nhất
0 E A s (1.35)
Mà được gọi là bài toán trị riêng liên quan với ma trận A
Bài toán trị riêng (1.35) có nghiệm véc tơ không tầm thường s nếu và chỉ nếu
E A là ma trận suy biến. Một cách chính xác, đó là trường hợp khi là nghiệm
của đa thức
4 3 21 2 3 4( ) det( )p g g g g E A (1.36)
đa thức ( )p được gọi là đa thức đặc trưng của hệ (1.35)
33
Ta nhận thấy rằng toàn bộ hệ cũng như các giá trị riêng đều phụ thuộc vào đa
thức đặc trưng này, ứng với phương trình đặc trưng (1.36), các giá trị riêng có dạng i
= iii, i=14. Các giá trị riêng này có chứa các thông số của bộ hấp thụ dao động. Nếu
hệ dao động ổn định với một số tổ hợp tham số chấp nhận được, Re 0, 1 4i i . Giá
trị riêng của đa thức đặc trưng đầu tiên sẽ được xem xét là bậc của sự ổn định (dự trữ
ổn định tuyệt đối), được xác định là khoảng cách đo từ trục ảo tới trị riêng gần nhất.
01,4
max Re ii
d
(1.37)
Bậc của sự ổn định đặc trưng cho tốc độ tắt dần của quá trình chuyển tiếp. Nếu
bậc của sự ổn định lớn khi đó các dao động riêng sẽ tắt nhanh. Giá trị riêng phức liên
hợp i = iii, i <0, có thể xác định bậc của sự tắt dần (dự trữ ổn định tương đối ).
01,4
Remax i
i i
D
(1.38)
Bậc của sự tắt dần là chỉ số tắt dần nhỏ nhất
2 2, 1 4i
i
i i
D i
của các dao động riêng khác nhau, và nó biểu thị sự giảm của độ lệch ban đầu theo số
chu kỳ, nếu bậc của sự tắt dần là lớn thì dao động sẽ tắt sau vài chu kỳ và bậc của sự tắt
dần càng lớn thì dao động sẽ tắt càng nhanh. Bậc của sự tắt dần lớn cũng bảo đảm biên
độ dao động nhỏ và do đó sẽ có dáng điệu ít nhiễu hơn.
Các nghiệm của đa thức đặc trưng (1.36) gọi là các cực của hệ thống. Từ (1.37,
1.38) ta có nhận xét: Nếu như hệ làm ổn định thì các cực của hệ phải có phần thực âm,
nghĩa là chúng nằm trên nửa trái của mặt phẳng phức, phần thực của các cực sẽ thể hiện
độ tắt dần của đáp ứng, còn phần ảo thể hiện số lần dao động thực hiện. Mà mục đích
của việc thiết kế bộ hấp thụ dao động TMD là làm dao động của hệ chính tắt càng nhanh
càng tốt. Vì thế quá trình tính toán tìm các thông số của bộ hấp thụ dao động là tìm các
hệ số để độ lớn của các phần thực của các cực càng lớn càng tốt và độ lớn của phần ảo
của các cực càng bé càng tốt.
34
Theo [16] ( )p được xác định như sau:
) 21
p(λ det λ λdet
M C KM
(1.39)
Từ (1.9) và (1.39) ta có ( )p là:
4 3 21 2 3 4P a a a a (1.40)
trong đó
2 21 2
3 2 43 4
2 1 , 1 1 ,
2 ,
a a
a a
(1.41)
Mục tiêu của việc nghiên cứu là tìm các thông số tối ưu , của bộ TMD sao cho cực
của P có
Re max , 1,..4i i
(1.42)
Im min, 1,..4i i
(1.43)
Xét đa thức ( )p , theo vào định lý Vieta, ta có:
4
11
Re 2 1ii
a
(1.44)
Biểu thức này dẫn tới hai bất đẳng thức
1,..4
1min Re
2i
i
(1.45)
4
11
Re( ) min (Re( ) 4 min (Re( )i i ii
a
(1.46)
Ta có thể thấy rằng vế phải của (1.45) không phụ thuộc vào độ cứng lò xo k1. Do
vế trái của (1.46) lại phụ thuộc vào độ cứng của lò xo k1, để bậc của sự ổn định lớn và
35
dao động tắt nhanh thì độ lớn của các phần thực là lớn nhất có thể nên trong bước đầu
tiên hệ số lò xo của bộ hấp thụ dao động TMD được chọn để (1.45) trở thành đẳng thức.
Khi (1.45) trở thành đẳng thức thì vế phải của (1.46) triệt tiêu, dẫn tới tất cả các phần
thực bằng nhau. Ta ký hiệu giá trị chung đó là 0. Khi đó các trị riêng của hệ là hai cặp
phức liên hợp được ký hiệu là 1,2 = 0i1 và 3,4 =0i2, trong đó 1 và 2 tương ứng
là các phần ảo. Vậy đa thức ( )p là:
2 22 20 1 0 2( )p
4 3 2 2 2 20 0 1 2
3 2 2 2 2 2 20 0 1 2 0 1 0 2
( ) 4 6
4 2
p
(1.47)
Từ biểu thức (1.45, 1.46) và (1.47) ta thu được hệ phương trình sau:
0 2 14 (1.48)
2 2 2 2 20 1 26 1 1 (1.49)
3 2 2 2 30 0 1 24 2 2 (1.50)
2 2 2 2 2 40 1 0 2 (1.51)
Từ (1.48) suy ra:
0
2 1
4
(1.52)
Thay từ (1.52) vào (1.50) ta có:
2 22 21 22
01 2
(1.53)
Từ (1.51) suy ra:
2 2 2 20 1 0 22
4
(1.54)
36
Thay (1.53, 1.54) vào (1.49) ta có:
2 2 2 2 2 22
1 2 0 1 0 22 2 21 2 4
6 1 11 2
(1.55)
Biến đổi biểu thức (1.55), chúng ta thu được biểu thức quan hệ giữa các phần ảo 1 và
2.
22 2 2 2
1 2
2 2 2 22 21 2 1 2 2
16 2 1 1
1 2 1 2
(1.56)
Ta sử dụng bất đẳng thức sau:
22 2 2 22 2 21 2 1 2
1 2 1 2 1
(1.57)
Từ biểu thức (1.56) và (1.57) ta thu được bất đẳng thức sau:
22 21 2
4
2 1
(1.58)
2 2
1,2
4max
4 1i
i
(1.59)
Vế phải của biểu thức (1.59) không phụ thuộc vào hệ số cản nhớt c1 của bộ hấp
thụ dao động TMD, bởi vì chúng ta muốn độ lớn của phần ảo là nhỏ nên trong bước thứ
hai hệ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động c1 được chọn để biểu thức (1.59) trở thành
đẳng thức, nghĩa là 1=2.
Giá trị của chúng là:
1 2
4
4 1
(1.60)
Thay (1.60) vào (1.53) ta có:
37
02 1
(1.61)
Thay (1.60, 1.61) vào (1.54) ta có tham số tối ưu thứ nhất:
1*
1
(1.62)
Thay (1.61, 1.62) vào (1.52) ta có tham số tối ưu thứ hai:
*1
(1.63)
Phương pháp cực tiểu hóa năng lượng [63], [64].
Xét phương trình vi phân (1.9a), ta đưa về dạng như sau:
•• •
Mx Dx kx F (1.64)
Với điều kiện đầu 00;(0) (0)
x x x x
Trong đó M, D, K tương ứng là các ma trận khối lượng, cản và độ cứng. Ta dùng phép
đổi biến số, từ phương trinh (1.64) đưa về phương trình:
z Vz F (1.65)
V là ma trận sau
1 1
n
=
0 I
V
M K M D
(1.66)
Với In là ma trận đơn vị cấp n. Với điều kiện đầu: z(0) = z0
Phương pháp cực tiểu hóa năng lượng để giảm dao động tần số riêng của kết cấu nên ta
xét phương trình vi phân dao động tự do ứng với (1.65)
z Vz (1.67)
Nghiệm của (1.67) có dạng 0te Vz z
38
Năng lượng toàn phần của hệ là tổng động năng và thế năng được tính bởi công thức.
00 01 1
( , , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
T TE t E t t t t t
x x z x Mx x Kx (1.68)
Chú ý rằng
0 01
( ) ( ) ( , )2
Tt t E tz Q z z (1.69)
Trong đó
0
K 0Q
0 M (1.70)
Năng lượng toàn phần của hệ trong suốt quá trình dao động được tính như sau:
0
0
( , )E t dt
z (1.71)
Như vậy tiêu chuẩn thiết kế tối ưu được đặt ra là cực tiểu tích phân năng lượng (1.71).
Để có được kết quả rõ ràng hơn ta thực hiện các phép biến đổi như sau:
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
1 1 1( , ) ( , ) ( , ) dt dt
2 2 2
TT T t t TE t dt t t e e
V Vz z z Q z z z Q z z Pz
(1.72)
Trong đó
0
0
T t te e dt
V VP Q (1.73)
Ma trận P là xác định dương. P là nghiệm của phương trình Lyapunov sau:
0T V P PV Q (1.74)
Trong nhiều trường hợp, ta không cần phải cực tiểu hóa toàn bộ năng lượng của hệ mà
chỉ cần giảm một phần nào đó. Khi đó hàm mục tiêu không phải là cực tiểu năng lượng
toàn phần trong quá trình dao động của hệ. Thay vào đó một hàm mục tiêu có dạng khác
39
được đưa ra với mục đích là chỉ cực tiểu một phần năng lượng của hệ tùy theo mục đích
thiết kế.
0
Tt te e dt
V VP Q (1.75)
trong đó Q được hiểu là hàm trọng số, Q đối xứng (thường là bán xác định dương). Tùy
thuộc vào thành phần năng lượng cần tính mà Q được chọn sao cho phù hợp. Khi đó P
sẽ là nghiệm của phương trình Lyapunov sau:
0T V P PV Q (1.76)
Điều này có thể dễ dàng chứng minh được như sau:
0
0 0 0
1 1( , ) dt ( ) dt
2 2T T TE t dt
z z Qz z V P PV z
0 0
1 1( ) dt ( ) ) dt
2 2T T T T T
z V Pz z PVz Vz Pz z PVz
0 0
0
1 1 1( )dt
2 2 20
T T Td
dt
z Pz z Pz z Pz
Kết luận: Các tham số tối ưu α và được tìm làm cực tiểu hàm mục tiêu.
0 01
2TL z Pz (1.77)
Trong đó z0 là điều kiện ban đầu, P là nghiệm của phương trình đại số Lyapunov (1.76).
Để cực tiểu hàm mục tiêu L, điều kiện cực tiểu của hàm hai biến được áp dụng vào
(1.77).
* *
0, 0L L
(1.78)
Giải hệ phương trình (1.78) tìm tham số tối ưu cho TMD là:
40
1* , *
1 1
(1.79)
Ta thấy rằng với cùng một kết cấu như nhau thì tham số tối ưu tìm được theo các
phương pháp khác nhau là không giống nhau. Vì mỗi một phương pháp áp dụng cho
cơ hệ chịu lực kích động khác nhau. Vì vậy khi tìm tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao
động TMD, ta phải xem hệ chính chịu kích động của loại lực nào để áp dụng phương
pháp tìm tham số tối ưu thích hợp.
1.2.4. Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ chính có cản nhớt.
Xét cơ hệ có lực cản nhớt 22xc được mô tả trên hình 1.1 chịu kích động điều hoà,
biểu thức tương tự (1.6) mô tả A cũng có thể được xác lập, tuy nhiên các điểm không
thay đổi S, T đã nói ở trên không tồn tại. Vì vậy để giải bài toán trên người ta phải sử
dụng phương pháp số để xác định cặp giá trị tối ưu của , . Một hướng nghiên cứu
được thực hiện bởi Randall và các cộng sự (1981) là chọn giá trị tối ưu của , bằng
cách làm nhỏ nhất hai đỉnh của đường cong biên độ mô tả trên hình 1.3 bằng phương
pháp số. Những giá trị tối ưu của , cho những trường hợp 2 nhỏ cũng được tổng kết
bởi Ioi và Ikeda [36] theo công thức sau:
2 2 2
2 2(0.241 1.7 2.6 ) (1.0 1.9 )opt opt
2 2 2
2 2(0.13 1.2 0.4 ) (0.01 0.9 3 )opt opt
ở đây 2 là tỷ số cản nhớt của hệ chính.
Độ chính xác và khoảng sai số cho các công thức trên nhỏ hơn 1% trong khoảng
4.003.0 và 20.01 0.15 , đây cũng là khoảng tỉ số khối lượng và cản nhớt
thường gặp trong thực tế.
Phương pháp xác định tần số được đưa ra bởi Thompson [58] cũng để xác định
α, ξ cho hệ chính có cản nhớt. Theo cách tính này α được xác định theo phương pháp số
và ξ có thể được xác định bằng giải tích khi đã biết α.
(1.80)
41
Warburton (1982) [67] xác định các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ
động dạng khối lượng cho hÖ một bËc tù do cho các trường hợp kích động là điều hoà
và ngẫu nhiên tác động vào hệ chính ở dạng ngoại lực hoặc gia tốc nền. Warburton đã
tính đạo hàm của đáp ứng hệ chính theo các tham số của bộ TMD và cho các đạo hàm
này bằng không dẫn tới việc giải các phương trình phi tuyến. Việc giải được thực hiện
trên máy tính và cho kết quả số.
Những năm gần đây, GS Nguyễn Đông Anh và các cộng sự [20] áp dụng ý tưởng
của phương pháp tuyến tính hóa tương đương và tiêu chuẩn sai số bình phương trung
bình để thu được xấp xỉ hệ chính không cản từ hệ chính ban đầu có cản để có thể dễ
dàng hơn trong việc tìm lời giải (giải tích) cho các tham số tối ưu của TMD.
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ tiền định được đề xuất bởi
Krylov và Bogoliubov (1943). Sau đó Caughey (1956, 1960) mở rộng phương pháp để
áp dụng cho hệ ngẫu nhiên [20].
Hình 1.10. Sự xấp xỉ hệ chính [20].
Trong hình 1.10a, mô tả hệ chính có cản ban đầu, phương trình vi phân chuyển động có
dạng:
22 0s s s s s sx x x (1.81)
Trong hình 1.10b, hệ không có cản, phương trình vi phân chuyển động có dạng
2 0s e sx x (1.82)
Trong đó e là tần số tương đương.
42
Bằng các phép biến đổi giải tích, các kết quả thu được là [20]:
22
2 2 21
( 2) ( 2)
se
s s
(1.83)
Như vậy hệ chính có cản được thay thế bằng hệ chính không cản với tần số tương
đương được tính theo (1.83). Đây là một kết quả hết sức ý nghĩa, từ đây cho phép sử
dụng các phương pháp giải tích tìm theo số tối ưu, chẳng hạn như phương pháp hai điểm
cố định để xác định các tham số tối ưu cho bộ hấp thụ dao động trong trường hạn hệ
chính có cản nhớt.
1.2.5. Tính toán tham số tối ưu trong trường hợp hệ chính có nhiều bậc tự do
Các nghiên cứu ở trên là đối với cơ hệ mà hệ chính có một bậc tự do. Vì hệ kết cấu
thường có nhiều bậc tự do nên lời giải giải tích cho hệ một bậc tự do chỉ là lời giải gần
đúng khi áp dụng cho hệ nhiều bậc tự do. Các nghiên cứu về TMD cho hệ nhiều bậc tự
do chịu kích động ngẫu nhiên đã được Nguyễn Đông Anh và các cộng sự nghiên cứu
trong [68], [69], có mô hình như sau (hình 1.11)
k1 c1
m1
x1
k2
m2
. . . . . . . . F2
F1 c2
x2
kn
mn
Fn
cn
xn
k0
m0 (TMD)
F0
c0
x0
Hình 1.11 Bộ hấp thụ dao động và hệ chính nhiều bậc tự do
43
Trong các nghiên cứu này việc tính toán tìm nghiệm giải tích cho các thông số
tối ưu gặp khó khăn, bởi vậy các tác giả đã sử dụng phương pháp số.
Trên cơ sở kế thừa phương pháp hai điểm cố định, GS Vakakis và các cộng sự
[70], [71] phát triển phương pháp này cho hệ chính nhiều bậc tự do. Với kỳ vọng
nghiệm tối ưu được biểu diễn dưới dạng giải tích nên mô hình trong nghiên cứu này
là mô hình nhiều bậc tự do nhưng giả thuyết tần số dao động riêng của mỗi bậc tự do
là như nhau. Đối với hệ nhiều bậc tự do mà tần số dao động riêng của mỗi bậc khác
nhau thì phải sử dụng phương pháp số với sự trợ giúp của máy tính. [70], [71]
Tuy nghiên cứu đã xác định được hàm khuếch đại biên độ A cho bậc tự do thứ
N của mô hình gốc (mô hình dịch chuyển một chiều) ở dạng giải tích. Nhưng với
trường hợp hệ chính có nhiều bậc tự do, chẳng hạn 2 bậc tự do như trên hình 1.12,
biểu thức giải tích tối ưu của tỉ số α (công thức 1.84) được xác định bằng cách lập
bảng giá trị (bảng 1.3) khi thay đổi tham số đầu vào và sử dụng phép hồi quy toán học
(xấp xỉ).
2
2 3
6 5
10 15 7opt
(1.84)
Bảng 1.3. Bảng số liệu đầu vào cho phép hồi quy toán học.
μ αopt β1 β2 β3 A1=A2 A3
0.05 0.598 0.566 0.647 1.613 8.689 21.976
0.1 0.58 0.54 0.652 1.61 6.21 11.419
0.2 0.565 0.527 0.626 1.634 5.696 2.086
0.3 0.532 0.486 0.629 1.621 4.531 1.925
0.4 0.502 0.455 0.625 1.61 3.668 1.807
0.5 0.463 0.417 0.629 1.577 2.879 1.577
0.8 0.401 0.362 0.601 1.556 2.333 2.241
1 0.369 0.333 0.583 1.548 2.134 1.986
2 0.26 0.239 0.508 1.512 1.64 1.487
5 0.137 0.130 0.383 1.468 1.28 1.195
10 0.077 0.074 0.291 1.444 1.146 1.098
44
Hình 1.13 mô tả rằng dạng đường cong của tỷ số α cho trường hợp hệ chính có 1
bậc tự do và 2 bậc tự do là tương đương nhau.
Tỷ số cản nhớt ξ trong nghiên cứu này được xác định ở dạng số phụ thuộc vào
số liệu dạng số của các thông số đầu vào.
Hình 1.12. Mô hình hệ chính 2 bậc tự do
Hình 1.13. Đồ thị tỷ số tối ưu α theo μ
45
1.2.6. Một số tiêu chuẩn để xác định bộ hấp thụ dao động thụ động.
Phương pháp của Den Hartog [29] như trình bày ở phần trên được thiết lập trên
cơ sở làm giảm thiểu chuyển dịch của hệ chính. Điều này cho phép bảo đảm tính an toàn
và nguyên vẹn của hệ máy cũng như kết cấu dưới tác động của ngoại lực. Tuy nhiên
dưới tác động của kích động làm cho cơ hệ có gia tốc lớn cũng gây ra tác động bất lợi
như các phần tử của cơ hệ không thực hiện được các chức năng của chúng, g©y vỡ hỏng
nền hay gây khó chịu cho người sử dụng; vì vậy giảm thiểu gia tốc của cơ hệ cũng là
một tiêu chuẩn để lựa chọn các thông số của bộ hấp thụ dao động thụ động.
Cũng phân tích tương tự như vậy, rất nhiều các tiêu chuẩn khác cũng được dùng để
xem xét bởi rất nhiều tác giả. Các tiêu chuẩn để tính toán bộ hấp thụ được điểm lại như
sau:
a) Làm giảm chuyển vị của hệ chính, Den Hartog [29], Thompson [58], Jacquot và
Hoppe [37], Fujino và Abe [32].
b) Tăng độ cứng động của hệ chính, Falcon et al. [33].
c) Tăng hiệu quả giảm chấn của bộ hấp thụ năng lượng, Luft [39].
d) Tiêu chuẩn hỗn hợp: giảm chuyển vị của hệ chính và nâng cao hiệu quả giảm
chấn của bộ hấp thụ dao động, Luft [39].
e) Làm giảm thiểu chuyển vị tương đối của bộ hấp thụ dao động so với hệ chính,
Luft [39].
f) Làm giảm thiểu vận tốc của hệ chính, Warburton [67].
g) Làm giảm thiểu gia tốc của hệ chính, Ioi và Ikeda [36], Warbuton [67].
h) Làm giảm thiểu lực tác động lên hệ chính, Warburton [67].
i) Làm giảm thành phần dao động tần số riêng, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Bá
Nghị [2], [15]
j) Làm giảm dao động tự do, Nguyễn Đông Anh, Phạm Minh Vương [5].
46
1.3. Kết luận chương 1.
Chương 1 tác giả đã tổng quan các nghiên cứu trong nước và quốc tế về giảm dao
động xoắn cho trục máy; tổng quan về bộ hấp thụ dao động DVA, trình bày nguyên lý
cơ bản của bộ hấp thụ dao động thụ động, đưa ra các phương pháp tính bộ hấp thụ dao
động thụ động cho hệ chính có cản và không cản; tổng quan các nghiên cứu xác định
tham số tối ưu trong trường hợp hệ chính có nhiều bậc tự do. Cuối chương tác giả đưa
ra một số tiêu chuẩn để xác định bộ hấp thụ dao động thụ động. Đây là các cơ sở để tác
giả nghiên cứu xác định các tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động DVA giảm
dao động cho xoắn cho trục máy khi chịu tác dụng của các loại kích động khác nhau
như: kích động điều hòa, kích động va chạm, kích động ngẫu nhiên… trong các chương
sau.
47
CHƯƠNG 2 . PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG XOẮN CỦA
TRỤC MÁY CÓ LẮP ĐẶT HỆ THỐNG GIẢM DAO ĐỘNG DVA
2.1. Phân tích mô hình tính toán dao động xoắn của trục máy có gắn bộ hấp thụ
dao động được nghiên cứu trong luận án.
Từ các nghiên cứu trong chương 1, tác giả nhận thấy rằng đã có rất nhiều nghiên
cứu về giảm dao động xoắn với thiết bị hấp thụ hay được sử dụng là CPVA (centrifugal
pendulum vibration absorber), CDR (centrifugal delay resonant) và DVA (dynamic
vibration absorbers). Nhưng các nghiên cứu này chỉ tập trung vào bài toán ổn định và
điều khiển chuyển động của hệ có lắp bộ hấp thụ dao động, chưa có nghiên cứu nào sử
dụng phương pháp giải tích tính toán tối ưu thông số của bộ hấp thụ dao động cho mô
hình hệ chính dao động xoắn.
Đã có một số công trình nghiên cứu giảm dao động xoắn cho trục máy bằng cách
lắp bộ hấp thụ DVA với một số dạng khác nhau. Trong các nghiên cứu này, các tác giả
cũng đã tập trung nghiên cứu xác định tham số tối ưu cho thiết kế bộ DVA. Tuy nhiên,
phương pháp sử dụng trong các nghiên cứu này là các phương pháp số, chẳng hạn
phương pháp Taguchi, phương pháp hồi quy phi tuyến Gauss-Newton nên kết quả tối
ưu chỉ có thể áp dụng cho các trục máy có số liệu cụ thể, mà không thể áp dụng cho trục
máy bất kỳ với các thông số thay đổi [7], [9], [10], [13], [14].
Vì vậy, trong Luận án này tác giả đã đề xuất lắp bộ hấp thụ động lực DVA dạng
đĩa - lò xo - cản nhớt vào trục quay để giảm dao động xoắn cho trục như hình 2.1. Thực
chất, bộ DVA dạng đĩa - lò xo - cản nhớt là một dạng đặc thù của bộ hấp thụ dao động,
nó áp dụng kết quả nghiên cứu từ bộ hấp thụ dao động CPVA [40], [43], [44] là bộ hấp
thụ dao động DVA phải được thiết kế đối xứng qua tâm trục máy. Mô hình này khắc
phục được các hạn chế của [7], [9], [10], [13], [14] và kế thừa được ưu điểm của thiết
kế bộ hấp thụ trong [21], [26], [54] với thiết kế bộ DVA có trọng tâm trùng với đường
tâm của trục máy, để không xảy ra hiện tượng lệch tâm và kết cấu đạt được sự ổn định
nhất.
48
Đặc biệt, trong luận án này tác giả tập trung nghiên cứu, tính toán và xác định
xác tham số tối ưu của bộ hấp thụ DVA ở dạng giải tích với mục đích giảm chuyển vị
góc của hệ chính (góc xoắn của trục) bằng cách sử dụng phương pháp điểm cố định [29],
[59], [60], phương pháp cực tiểu mô men bậc hai [60], [67], phương pháp cực đại độ
cản tương đương [39], [60] và phương pháp cực tiểu hóa năng lượng [6], [63], [64] của
hệ để xác định các tham số tối ưu của bộ DVA như tỷ số cản nhớt và tỷ số giữa tần số
riêng của bộ DVA và trục. Từ đó tính toán các kết quả nghiên cứu đạt được để đánh giá
hiệu quả giảm dao động xoắn cho trục với các dạng kích động khác nhau, theo các tiêu
chuẩn khác nhau.
ak
ac
0
rJ aJ
sk
sc
Hình 2.1. Mô hình trục máy có lắp bộ hấp thụ dao động DVA.
Hình 2.1 biểu diễn sơ đồ của trục máy có lắp bộ hấp thụ dao động DVA dạng
đĩa-cản nhớt-lò xo. Trục máy được mô hình hóa gồm một lò xo có độ cứng chống xoắn
là ks (Nm), và một đĩa có mô men quán tính khối lượng là Jr [35], [59] (gồm trục và phần
rotor lắp cứng với trục thông qua moay ơ); trục máy quay đều với vận tốc góc Ω0 (s-1).
Trục chịu tác dụng của cản có hệ số cản là cs
Để giảm dao động xoắn cho trục máy, ta lắp bộ hấp thụ dao động DVA dạng lò
xo-giảm chấn-đĩa (mass-spring-dics) vào phần ngõng trục thông qua moay ơ (hub) của
bộ hấp thụ dao động DVA. Liên kết giữa trục máy và bộ hấp thụ DVA là liên kết then
hoa, do đó rotor của DVA sẽ quay cùng trục.
Sơ đồ cấu tạo của bộ hấp thụ dao động DVA được nghiên cứu trong luận án được
biểu diễn trên hình 2.2.
49
Bộ hấp thụ dao động DVA bao gồm một rotor (lắp với phần ngõng trục thông
qua moay ơ) và một đĩa bị động. Rotor và đĩa bị động được liên kết với nhau thông qua
n bộ lò xo - giảm chấn (spring-damper). Bán kính quán tính và mô men quán tính khối
lượng của rotor và đĩa bị động lần lượt là ρr, Jr, ρa, Ja.
1e 2e
acak
rr a
( )M t
Hình 2.2. Mô hình bộ hấp thụ dao động DVA.
Độ cứng của mỗi lò xo là ka (N/m), hệ số cản nhớt của mỗi giảm chấn là ca
(Ns/m). Góc quay của rotor là φr (rad), góc quay tương đối giữa đĩa bị động và rotor là
φa (rad)
Góc xoắn θ(t) giữa hai đầu ngõng trục được xác định
tt r 0)( (rad) (2.1)
Trục máy chịu tác động của mô men kích động M(t) do hệ thống lắp phía sau trục
tác động [35].
2.2. Thiết lập phương trình vi phân dao động.
Mô hình cơ hệ khảo sát trên hình 2.1 có 2 bậc tự do, trong đó:
φr (rad): Góc quay của rotor
φa (rad): Góc quay tương đối giữa đĩa bị động của DVA và rotor
Ta có phương trình Lagrange loại II (dạng giải tích) cho cơ hệ ta có:
*
rQ
TT
dt
d
rrrr
(2.2)
50
*
aQ
TT
dt
d
aaaa
(2.3)
trong đó:
T: Động năng của cơ hệ
: Thế năng của hệ
: Hàm hao tán của hệ
* ,r
Q : Lực hoạt suy rộng của các lực không thế phát động ứng với tọa độ suy rộng
φr.
* ,a
Q : Lực hoạt suy rộng của các lực không thế phát động ứng với tọa độ suy rộng
φa.
2.2.1. Biểu thức động năng
Động năng của cơ hệ là:
ar TTT (2.4)
Trong đó:
Tr là động năng của rotor
Ta là động năng của đĩa bị động
Do rotor quay cùng trục với góc quay r nên động năng của rotor được xác định
như sau:
2
2
1rrr JT (2.5)
Động năng của đĩa bị động
22
1araa JT (2.6)
Thay (2.5) và (2.6) vào (2.4) ta có động năng của cơ hệ là:
22
2
1
2
1ararr JJT (2.7)
51
2.2.2. Hàm thế năng của hệ
Thế năng của cơ hệ được tính bằng tổng thế năng trọng lực, thế năng đàn hổi của
trục máy và thế năng đàn hồi của các lò xo.
TL s LX (2.8)
trong đó:
TL : Thế năng trọng lực
s : Thế năng đàn hồi xoắn của trục
LX : Thế năng đàn hồi của các lò xo
Thế năng trọng lực là:
const (2.9)
Thế năng đàn hồi xoắn của trục máy (do biến dạng góc xoắn giữa hai đầu trục):
2 2
0
1 1
2 2s s r sk t k (2.10)
trong đó:
ks: Độ cứng xoắn của trục máy
Ω0: Tốc độ quay của trục
θ: Góc xoắn giữa hai đầu trục máy
Thế năng đàn hồi của các lò xo bộ hấp thụ DVA là:
2
11
1
2
n
LX ai aii
k e
(2.11)
trong đó:
kai: Độ cứng lò xo của bộ hấp thụ dao động
e1: Khoảng cách lắp lò xo của bộ hấp thụ dao động so với tâm trục
n: Số bộ lò xo-giảm chấn.
Thay (2.9), (2.10) và (2.11) vào (2.8), ta có hàm thế năng của cơ hệ được biểu
diễn như sau:
22
11
1 1
2 2
n
s ai aii
k k e
(2.12)
52
2.2.3. Hàm hao tán
Năng lượng có hại của trục máy (dao động xoắn) bị tiêu tán bởi các bộ cản nhớt
của bộ hấp thụ dao động DVA và của cản môi trường tác dụng lên trục máy:
s a (2.13)
trong đó:
là hàm hao tán của cơ hệ
a là hàm hao tán của các bộ cản nhớt DVA
s là hàm hao tán của cản môi trường tác dụng lên trục (hệ chính)
Hàm hao tán do các bộ cản nhớt của bộ hấp thụ động lực DVA là:
2
21
1
2
n
a ai ai
c e
(2.14)
trong đó:
cai: hệ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động
e2: khoảng cách lắp các bộ cản nhớt so với tâm trục máy.
φa: góc quay tương đối của đĩa bị động và rotor của bộ hấp thụ dao động.
Để đơn giản trong thiết kế và thuận tiện trong quá trình lắp ráp, sửa chữa bộ hấp
thụ động lực DVA ta nên chọn các bộ cản nhớt có hệ số cản nhớt bằng nhau, nghĩa là:
ai aj ac c c với i j
Từ đó ta có:
2 2 2
2 21
1 1
2 2
n
a ai a a ai
c e nc e
(2.15)
Hàm hao tán do cản môi trường tác dụng lên hệ chính là:
21
2s sc (2.16)
Thay (2.15) và (2.16) vào (2.14) ta có hàm hao tán của cơ hệ là:
2 2 2
2
1 1
2 2s a ac nc e (2.17)
2.2.4. Lực suy rộng của cơ hệ:
Lực suy rộng của cơ hệ được xác định theo công thức sau:
53
*
rrQQ
rr
(2.18)
*
aaQQ
aa
(2.19)
Do rotor chịu tác dụng của mô men kích động M(t) nên lực hoạt suy rộng của lực không
thế phát động là:
)(* tMQr (2.20)
0* a
Q (2.21)
Thay (2.12), (2.17), (2.20) và (2.21) vào các biểu thức (2.18) và (2.19) ta có:
sktMQr
)( (2.22)
222
21 aaaa encenkQ
a (2.23)
2.2.5. Phương trình vi phân dao động xoắn của hệ
Thay (2.7), (2.22) và (2.23) vào phương trình (2.2) và (2.3) ta thu được phương
trình vi phân mô tả chuyển động của cơ hệ như sau:
0( ) ( )r a r a a s s rJ J J c k t M t (2.24)
0222
21 aaaaaara encenkJJ (2.25)
Trong quá trình làm việc phần lớn thời gian hoạt động của trục máy là ở chế độ
quay đều. Vì vậy, ta xét trường hợp trục máy quay đều với tốc độ quay Ω0 là hằng số.
Từ phương trình góc xoắn (2.1), đạo hàm cấp hai theo thời gian ta thu được
r (2.26)
Mặt khác mô men quán tính khối lượng của rotor và đĩa bị động được xác định
theo công thức:
2rrr mJ (2.27)
2aaa mJ (2.28)
trong đó:
mr : khối lượng rotor (trục máy), kg
54
ma : khối lượng đĩa bị động của bộ hấp thụ DVA, kg
ρr : bán kính quán tính của rotor (trục máy), m
ρa : bán kính quán tính đĩa bị động của bộ hấp thụ DVA, m
Thay các công thức (2.26), (2.27) và (2.28) vào (2.24), (2.25) ta thu được hệ
phương trình vi phân chuyển động mô tả dao động xoắn )(t của cơ hệ như sau:
2 2 2( ) ( )r r a a a a a s sm m m c k M t (2.29)
2 2 2 21 2 0a a a a a a a a am m nk e nc e (2.30)
Biểu diễn các phương trình (2.29) và (2.30) dưới dạng ma trận ta thu được:
FKqqCqM (2.31)
Trong đó véc tơ tọa độ suy rộng là:
a
q (2.32)
và ma trận khối lượng, ma trận cản nhớt, ma trận độ cứng và véc tơ của lực kích
động được biểu diễn như sau:
2 2 2
2 2
r r a a a a
a a a a
m m m
m m
M (2.33)
22
0
0s
a
c
nc e
C (2.34)
21
0
0s
a
k
nk e
K (2.35)
2
( )
0
r r
M t
m
F (2.36)
Trường hợp bỏ qua cản của môi trường tác dụng lên hệ chính (cs=0), phương
trình vi phân mô tả dao động của hệ được viết lại như sau:
55
2 2 2( ) ( )r r a a a a a sm m m k M t (2.37)
2 2 2 21 2 0a a a a a a a a am m nk e nc e (2.38)
2.3. Mô phỏng số dao động xoắn của trục máy có lắp bộ hấp thụ DVA.
Trong mục này tác giả thực hiện mô phỏng số dao động xoắn của trục máy không
cản có lắp bộ hấp thụ DVA với thông số bất kỳ (khi chưa tính toán xác định các tham
số tối ưu). Để thực hiện mô phỏng số tác giả sử dụng số liệu mô phỏng trong công bố
[35] của GS Hosek (Hình 1.2). Số liệu mô phỏng như sau:
Trục máy có độ cứng xoắn ks=k1=1.125.105 kgm2/s2
Mô men quán tính khối lượng của trục máy là Jr=I1=1.125.10-1 kgm2
Trục máy có bán kính quán tính ρr=0.15 m
Các thông số của bộ hấp thụ DVA được chọn bất kỳ như sau:
- Số lò xo-cản nhớt sử dụng: n = 4
- Bán kính quán tính của đĩa DVA: ρa = 0.15 m
- Khoảng cách lắp ráp lò xo: e1 = 0.075 m
- Khoảng cách lắp cản nhớt: e2 = 0.12 m
- Khối lượng đĩa DVA: ma = 0.2 kg
- Mô men quán tính khối lượng: Ja = 4.5.10-3 kgm2
- Mỗi lò xo có độ cứng ka = 1.812 x 105 Nm-1
- Mỗi bộ cản nhớt có hệ số cản nhớt ca = 14.658 Nsm-1
Mô phỏng số kích động tuần hoàn
Với số liệu mô phỏng được chọn bất kỳ như ở trên, cơ hệ gồm trục máy chịu xoắn
có lắp bộ hấp thụ DVA sẽ xảy ra cộng hưởng tại các tần số lần lượt là 49.997 s-1, 980.58
s-1 và 1000.05 s-1. Trong phần này, tác giả thực hiện mô phỏng tại tần số cộng hưởng
của hệ là 49.997 s-1. Đáp ứng dao động xoắn của trục máy trong mô phỏng này được thể
hiện trên hình 2.3.
56
Hình 2.3. Dao động xoắn của trục khi hệ chịu kích động điều hòa
Mô phỏng số kích động va chạm
Hình 2.4. Dao động xoắn của trục khi hệ chịu kích va chạm
57
Mô phỏng số kích động ngẫu nhiên
Xét hệ chịu kích động ngẫu nhiên được biểu diễn dưới dạng hàm Gaussian Noise
như sau:
2
2
1 ( )
21 2e( )
2
t a
b
M tb
trong đó a là giá trị trung bình; b là độ lệch chuẩn.
Chọn giá trị trung bình a = 10 và độ lệch chuẩn b = 1 để mô phỏng số. Đáp ứng
dao động xoắn của trục khi chịu kích động ngẫu nhiên được biểu diễn trong hình 2.5.
Hình 2.5. Dao động xoắn của trục khi hệ chịu kích động ngẫu nhiên
Nhận xét:
Từ hình 2.3 ta thấy rằng với trường hợp hệ chịu kích động điều hòa làm việc
trong miền tần số cộng hưởng, việc lắp bộ hấp thụ động lực DVA không những không
mang lại hiệu quả giảm dao động mà biên độ dao động lại tăng so với trường hợp khi
chưa lắp DVA. Đáp ứng dao động xoắn của trục với kích động va chạm được mô tả trên
hình 2.4. Từ hình 2.4, ta thấy rằng trong trường hợp có lắp bộ hấp thụ động lực DVA
dao động xoắn của trục có xu hướng giảm, tuy nhiên biên độ dao động xoắn giảm không
58
đáng kể so với trường hợp khi chưa lắp DVA. Điều này cũng xảy ra tương tự trong
trường hợp hệ chịu kích động ngẫu nhiên được thể hiện trên hình 2.5.
Từ những phân tích kể trên tác giả nhận thấy rằng: Việc xác định các thông số
của bộ hấp thụ dao động DVA là rất quan trọng để tăng hiệu quả giảm dao động xoắn
cho trục máy. Nếu các thông số thiết kế được chọn không hợp lý, có thể có tác dụng
giảm dao động nhưng với hiệu quả thấp (hình 2.4 và 2.5), hoặc không những không
mang lại hiệu quả giảm dao động mà còn làm tăng biên độ dao động của loại dao động
có hại này. Từ đó ta thấy rằng, việc xác định các thông số tối ưu của bộ hấp thụ DVA để
nâng cao hiệu quả giảm dao động xoắn cho trục là một việc làm hết sức ý nghĩa và có
ứng dụng thực tế kỹ thuật.
2.4. Kết luận chương 2
Chương 2 đã thiết lập mô hình cơ học và mô hình toán học để xác định dao động
xoắn của trục máy có sử dụng bộ hấp thụ dao động DVA dạng đĩa-cản nhớt-lò xo trường
hợp hệ chính có cản và không cản. Để thiết lập hệ phương trình vi phân dao động của
hệ, tác giả sử dụng phương trình Lagrange loại II. Hệ phương trình vi phân tìm được là
hệ tuyến tính. Từ quy luật dao động xoắn của trục máy, ta nhận thấy rằng nó có chứa
các đại lượng thiết kế của bộ hấp thụ dao động DVA, đây chính là cơ sở để các nhà khoa
học nghiên cứu, phân tích, tính toán tìm tham số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động theo
các tiêu chuẩn tối ưu khác nhau.
Cuối chương tác giả mô phỏng số đáp ứng dao động xoắn của trục máy trong
trường hợp không lắp và có lắp bộ DVA với thông số được chọn bất kỳ, từ đó thấy rằng
việc lắp bộ DVA vào trục máy nó đã có tác dụng làm thay đổi biên độ dao động của
trục, tuy nhiên không phải cứ lắp bộ hấp thụ dao động là biên độ dao động của trục máy
giảm mà trong trường hợp chọn các thông số của bộ DVA không hợp lý thì không những
biên độ dao động của trục máy không giảm mà còn tăng lên. Từ đây tác giả nhận thấy
rằng việc nghiên cứu xác định các tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực DVA là hết
sức cần thiết và ý nghĩa. Việc tính toán xác định tham số tối ưu này được tác giả trình
bày trong chương 3.
59
CHƯƠNG 3. NGHIÊN CỨU, PHÂN TÍCH, TÍNH TOÁN VÀ XÁC ĐỊNH
CÁC THAM SỐ TỐI ƯU CỦA BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG DVA
Để xác định các thông số tối ưu của hệ thống giảm dao động DVA, ta có nhiều
phương pháp khác nhau như: Phương pháp hai điểm cố định, phương pháp cực tiểu mô
men bậc hai, phương pháp cực đại độ cản tương đương, phương pháp cân bằng cực,
phương pháp cực tiểu hóa năng lượng, phương pháp bình phương tối thiểu, các phương
pháp số, … và ứng với mỗi phương pháp khác nhau ta lại tìm được các thông số tối ưu
khác nhau của các bộ hấp thụ dao động. Việc áp dụng phương pháp nào để tìm các
thông số tối ưu, hoàn toàn phụ thuộc vào đáp ứng dao động của kết cấu mà yêu cầu của
thực tiễn kỹ thuật cần giảm dao động.
Trong giới hạn của luận án này, tác giả tìm các thông số tối ưu của các bộ hấp
thụ dao động DVA với mục đích là giảm chuyển vị góc của hệ chính (dao động xoắn
của trục) với mô hình trục máy không có cản (cs=0). Thông qua việc mô phỏng số (trình
bày trong chương 4 của luận án), kết quả sẽ được chứng minh là vẫn có hiệu quả tốt đối
với trường hợp hệ chính có cản.
Với mục tiêu là nghiên cứu, tính toán bộ hấp thụ dao động tối ưu để giảm chuyển
vị của hệ chính. Các phương pháp tối ưu được sử dụng là trong luận án là:
- Phương pháp hai điểm cố định theo các tài liệu [29], [30], [59] khi trục máy
chịu tác động của mô men kích động điều hòa. Mục đích chính của phương pháp này là
giảm đỉnh cộng hưởng của biên độ dao động tới giá trị nhỏ nhất có thể.
- Phương pháp cực tiểu mô men bậc hai [60], [67] và phương pháp cực đại độ
cản tương đương [39] khi trục máy chịu tác dụng của kích động ngẫu nhiên ồn trắng với
mật độ phổ Sf.
- Phương pháp cực tiểu hóa năng lượng [6], [63], [64], với mục đích là thiết kế
bộ hấp thụ động lực DVA nhằm giảm thành phần dao động tần số riêng của kết cấu. Bài
toán đặt ra là xác định các tham số tối ưu của bộ hấp thụ DVA sao cho phiếm hàm tích
phân năng lượng đạt cực tiểu.
60
Các tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động DVA bao gồm hệ số lò xo và hệ số
cản nhớt. Xác định được các tham số này cho phép ta chọn được lò xo và dầu cản nhớt
cho thiết kế DVA với hiệu quả giảm dao động tốt nhất mà vẫn đảm bảo các yêu cầu kỹ
thuật và kinh tế đặt ra khi thiết kế.
3.1. Xác định tham số tối ưu trong trường hợp trục máy chịu kích động điều hòa
Với lực kích động điều hòa ta sử dụng phương pháp giải tích hai điểm cố định
(gọi tắt là FPM-Fixed Points Method) để xác định tham số tối ưu. Trong phần này, tác
giả tìm các thông số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động DVA với mục đích là giảm
chuyển vị của hệ chính (dao động xoắn của trục).
Từ các phương trình vi phân dao động (2.37) và (2.38) ta có tần số dao động riêng
của bộ hấp thụ dao động DVA là:
aa
a
k
m (3.1)
và tần số dao động riêng của trục máy:
ss
r
k
J (3.2)
Ta đặt các đại lượng không thứ nguyên như sau:
r
a
m
m là tỷ số giữa khối lượng của bộ hấp thụ và rotor
r
a
là tỷ số bán kính quán tính của bộ hấp thụ và rotor
r
e
1 là tỷ số vị trí lắp lò xo
r
e
2 là tỷ số vị trí lắp bộ cản nhớt
61
s
a
là tỷ số giữa tần số riêng của bộ DVA với trục.
s
là tỷ số giữa tần số của kích động và tần số riêng của trục
aa
a
m
c
là tỷ số cản nhớt của bộ hấp thụ DVA.
Do đó phương trình vi phân dao động (2.25) và (2.26) trở thành:
2
222 )1(rr
sam
M
(3.3)
0222222 asasa nn (3.4)
Khi so sánh hệ phương trình vi phân dao động xoắn (3.3), (3.4) với hệ phương
trình vi phân dao động (1.9b) của Den Hartog (phần tổng quan thuộc chương 1 của luận
án này), tác giả nhận thấy rằng hệ phương trình vi phân (3.3), (3.4) thuộc dạng phương
trình chuẩn của Den Hartog. Điều này có nghĩa là việc áp dụng lý thuyết điểm cố định
kinh điển cho mô hình trục máy chịu xoắn được nghiên cứu trong luận án là hoàn toàn
phù hợp và tin cậy.
Điểm mới và khác biệt trong luận án là ngoài việc luận án tập trung nghiên cứu
cho mô hình mới - mô hình trục máy chịu xoắn có lắp bộ hấp thụ dao động DVA thì xét
về mặt hệ số của hệ phương trình vi phân có chứa cả những đại lượng không thứ nguyên
mô tả vị trí lắp đặt lò xo γ, vị trí lắp đặt bộ cản nhớt λ. Vì vậy trong biểu thức giải tích
tối ưu xác định được ngoài việc chứa tỷ số khối lượng μ, còn chứa cả các đại lượng mô
tả vị trí lắp lò xo và vị trí lắp bộ cản nhớt. Từ đó cho phép người thiết kế xác định được
vị trí lắp đặt lò xo và bộ cản nhớt tối ưu phù hợp với các yêu cầu kỹ thuật và điều kiện
lắp ráp đặt ra. Đặc biệt, từ việc tính toán các tham số tối ưu của bộ DVA cho mô hình
trục máy có 1 bậc tự do, luận án phát triển phương pháp điểm cố định cho mô hình trục
máy có nhiều bậc tự do (mục 4.2 chương 4 của luận án này).
Biểu diễn phương trình (3.3), (3.4) dưới dạng ma trận ta có:
FKqqCqM (3.5)
62
Trong đó véc tơ tọa độ suy rộng, véc tơ tốc độ suy rộng và véc tơ gia tốc suy rộng
lần lượt là:
a
q (3.6)
a
q (3.7)
a
q (3.8)
Và ma trận khối lượng, ma trận cản nhớt, ma trận độ cứng và véc tơ của lực
kích động được biểu diễn như sau:
22
221
M (3.9)
20
00
snC (3.10)
222
2
0
0
s
s
nK (3.11)
2
( )
0
r r
M t
m
F (3.12)
Xét trường hợp trục máy chịu tác động của mô men kích động tuần hoàn, do hệ
thống lắp nối tiếp với trục tác dụng lên. Mô men kích động tuần hoàn tác dụng lên trục
được biểu diễn dưới dạng phức như sau:
ˆ( ) I tM t Me (3.13)
63
Trong đó:
M là biên độ phức của kích động tuần hoàn
ω là tần số của mô men kích động tuần hoàn
Khi trục máy (hệ chính) chịu tác động của kích động điều hòa thì đáp ứng biên
độ của các tọa độ suy rộng được biểu diễn như sau:
tIe ˆ (3.14)
tIaa e ˆ (3.15)
Trong đó:
và a là biên độ dao động phức của hệ chính và DVA
Thay vào phương trình vi phân dao động (3.5) ta thu được
0
atI
stI
satI
satI
s
tIs
s
tIsa
tIs
tIs
ssss
ssss
eeenIen
ek
Meee
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ)1(
22222222222
22222222
(3.16)
Giải phương trình (3.16) ta thu được biên độ dao động phức của của dao động xoắn hệ
chính (trục máy đàn hồi):
2 2 2 2 2
4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ˆˆ
(1 ) (1 ) s
I n n M
kI n n I n n
(3.17)
Và biên độ dao động phức của bộ hấp thụ DVA:
ˆˆ
a
s
D M
E k
(3.18)
64
trong đó:
2 2D
4 2 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2
(1 )
(1 )
E I n
n I n n
Đặt:
2 2 2 2 2( )B I n n
4 2 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2
(1 )
(1 )
C I n
n I n n
Khi ấy phương trình (3.17) trở thành:
ˆˆ
s
B M
C k
(3.19)
Đặt các hệ số
2 2 2 21 Re( )A B n (3.20)
22
1Im( )A B n
(3.21)
2 2 2 2 2 2 23
2 2 4 2 2 2
Re( )A C n n
n
(3.22)
3 2 2 3 2 24
1Im( )A C n n n
(3.23)
Do đó đáp ứng bình ổn của hệ chính có dạng:
65
1 2
3 4
ˆˆ
s
A I A M
A I A k
(3.24)
Nhân cả tử và mẫu của biểu thức (3.24) với 3 4( )A I A ta có:
1 2 3 4
3 4 3 4
ˆ( )( )ˆ( )( ) s
A I A A I A M
A I A A I A k
2 21 3 1 4 2 3 2 4
2 2 2 23 3 4 3 4 4
ˆˆ
s
A A I A A I A A I A A M
kA I A A I A A I A
21 3 2 4 2 3 1 4
2 2 23 4
ˆ( )ˆ
s
A A A A I A A A A M
kA A
21 3 2 4 2 3 1 4
2 2 2 2 2 23 4 3 4
ˆ( ) ( )ˆ
s
A A A A A A A A MI
kA A A A
(3.25)
Vậy độ lớn thực của đáp ứng ổn định của hệ chính là
2 22
1 3 2 4 2 3 1 42 2 2 2 2 23 4 3 4
ˆˆ
s
A A A A A A A AM
k A A A A
2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 3 1 3 2 4 2 4 2 3 1 3 2 4 1 4
2 2 2 23 4
ˆ 2 2ˆ( )s
A A A A A A A A A A A A A A A AM
k A A
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 21 3 2 4 2 3 1 4
2 2 2 23 4
ˆˆ
( )s
A A A A A A A AM
k A A
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 3 4 2 4 3
2 2 2 23 4
ˆ ( ) ( )ˆ( )s
A A A A A AM
k A A
2 2 2 2 2 21 2 3 4
2 2 2 23 4
ˆ ( )( )ˆ( )s
A A A AM
k A A
66
1 2
3 4
2 2 2
2 2 2
ˆˆ
s
A AM
k A A
(3.26)
Đặt:
224
23
222
21
AA
AAA
(3.27)
A được gọi là hàm khuếch đại biên độ.
Thay các hệ số A1, A2, A3, A4 trong các phương trình (3.20)-(3.23) vào biểu thức
(3.27) trên ta thu được hàm khuếch biên độ-tần số đại như sau:
22
22
WV
YXA
(3.28)
Trong đó:
2X n (3.29)
2222 nY (3.30)
3 2 2 3 2 2V n n n (3.31)
2 3 2 2 2 2 2
2 2 4 2 2 2
W n n
n
(3.32)
Hàm khuếch đại A với 0
0
HA
K (3.33)
trong đó
2 2 2 2H n
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2K n n n
Hàm khuếch đại A với
1222
1242224244
A (3.34)
67
Hình 3.1. Đồ thị hàm khuếch đại biên độ - tần số với α=0.9, μ=0.04, η=1,
γ=0.5, λ=0.8 và n=4.
Hình 3.1 mô tả đồ thị của hàm khuếch đại biên độ-tần số A theo tỷ số cản nhớt ξ.
Ta thấy rằng với hai trường hợp tới hạn 0 (không cản) và (cản tới hạn) đều
dẫn tới đỉnh của đồ thị hàm khuếch đại tiến ra vô cùng. Điều đó cho thấy giữa hai giá trị
này tồn tại một giá trị tối ưu nào đó của tỉ số cản . Ngoài ra tính chất không cản của
hệ chính dẫn tới sự tồn tại của hai điểm cố định S, T không phụ thuộc vào tỉ số cản
của bộ hấp thụ dao động DVA.
Bước đầu tiên của phương pháp điểm cố định là tìm hai điểm cố định S, T. Giả
sử hai điểm S, T có hoành độ là β1, β2.
Để A không phụ thuộc vào ξ thì:
0A
(3.35)
Thay (3.27) vào (3.35) ta có:
2 2 2 21 4 2 3
2 2 222 2 2 1 2
4 3 2 2 23 4
( )0
A A A A
A AA A
A A
(3.36)
Từ (3.36) ta có:
68
2 2 2 21 4 2 3 0A A A A (3.37)
2 2 2 2
1 4 2 3A A A A (3.38)
2 21 22 23 4
A A
A A (3.39)
từ đó suy ra:
4
2
3
1
A
A
A
A (3.40)
Thay (3.20)-(3.23) vào phương trình (3.40) ta thu được:
nnn
n
nnn
n223223
2
2222242222222
2222
(3.41)
Giải phương trình (3.41) ta thu được các giá trị tối ưu của β như sau:
2
)1(2)1(2
2
12222422242224
,1
nnnopt (3.42)
2
)1(2)1(2
2
12222422242224
,2
nnnopt (3.43)
Thay β=β1,opt và β=β2,opt vào biểu thức của hàm khuếch đại (3.27) ta thu được giá
trị của hàm khuếch đại tại hai điểm cố định S và T.
1 2
3
1S
AB B
B
(3.44)
1 2
3
1T
AB B
B
(3.45)
trong đó
69
2 4 2 2 2 4 2 2 2 41 ( 1) ( 1) 2B n n
2 2 4 2 2 2 2 2 22 (2 1)B n n n
2 23 ( 2)B
Theo Den Hartog [29], muốn đồ thị của hàm khuếch đại biên độ A không thay
đổi lớn trong khoảng giữa hai đỉnh thì trước hết cần phải cho hai điểm S và T có độ cao
bằng nhau, nghĩa là:
1 2
2 2
4 4S T
A AA A
A A (3.46)
Thay (3.20)-(3.23) vào phương trình (3.46), sau đó giải phương trình ta thu được
tham số tối ưu của α như sau:
21
nopt (3.47)
Tiếp theo ta tìm hệ số cản ξ để đường cong biên độ-tần số đạt cực đại tại các điểm
cố định S và T.
Để thỏa mãn điều kiện này ta có :
0
A (3.48)
Từ phương trình (3.27) ta có:
3 4 1 2
2 2 2 2 2 2 2A A A A A (3.49)
Đạo hàm hai vế của phương trình (3.49) theo β và giải ra nghiệm ξ2
2 23 13 3 1
2
2 24 24 4 2
A AAA A AA A
A AAA A AA A
(3.50)
Thay điều kiện (3.48) vào phương trình (3.50) ta có:
70
2 3 13 1
2
2 4 24 2
A AA A A
A AA A A
(3.51)
Thay các giá trị tối ưu α = αopt và β1 =β1,opt trong các phương trình (3.42), (3.47)
vào phương trình (3.51) ta thu được:
1,
2 311 3
21
22 42 4
,opt opt
AAA A A
A AA A A
(3.52)
Tương tự thay các giá trị tối ưu α = αopt và β2 =β2,opt trong các phương trình
(3.43), (3.47) vào phương trình (3.51) ta thu được:
2,
2 311 3
22
22 42 4
,opt opt
AAA A A
A AA A A
(3.53)
Theo Brock [24] tỷ số cản nhớt tối ưu ξopt được xác định như sau:
2 21 2*
2opt
(3.54)
Thay (3.52) và (3.53) vào (3.54) ta thu được tỷ số cản tối ưu là:
2
2 2
3*
2 (1 )opt
n
(3.55)
Như vậy khi trục máy chịu tác động của mô men kích động điều hòa, thì các tham
số tối ưu của bộ hấp thụ dao động xoắn DVA được xác định bằng phương pháp điểm cố
định (các bước tính toán, biến đổi được lập trình tự động trên phần mềm Maple 2016)
thu được các kết quả dưới dạng giải tích như sau:
1
4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2
1,2, 2
( 1) 2 ( 1)
2opt
n n n
71
21
nopt
2
2 2
3
2 (1 )opt
n
3.2. Xác định tham số tối ưu trong trường hợp trục máy chịu kích động ngẫu nhiên
Với trường hợp tính toán tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực DVA khi trục
máy chịu tác dụng của kích động ngẫu nhiên, trong luận án này tác giả sử dụng phương
pháp cực tiểu mô men bậc hai và phương pháp cực đại độ cản tương đương.
Phương pháp cực tiểu mô men bậc hai
Phương pháp cực tiểu mô men bậc hai áp dụng cho cơ hệ chịu tác động của mô
men kích động ngẫu nhiên ồn trắng M(t) có mật độ phổ Sf .
Từ phương trình vi phân dao động dạng ma trận (3.5) ta đưa về phương trình
trạng thái:
( ) ( ) ( )ft t M t y By H (3.56)
trong đó:
y(t) là véc tơ trạng thái ứng với các đáp ứng của hệ và được xác định như sau:
( )T
a at y (3.57)
Hf là véc tơ định vị của kích động [47]
1( )T
f M t H 0 M F (3.58)
Thay (3.9) và (3.12) vào phương trình (3.58) ta thu được véc tơ định vị của kích động
Hf:
0
0
1
1
f
r
r
J
J
H (3.59)
72
Ma trận hệ thống B được xác định như sau [11], [60] :
-1 -1
0 EB
-M K -M C (3.60)
Trong (3.60), E là ma trận đơn vị.
Thay (3.9), (3.10) và (3.11) vào phương trình (3.60) ta thu được ma trận hệ thống B như
sau:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
0 0 1 0
0 0 0 1
0
1 10
s s s
s s
s
n n
n n
B
(3.61)
Ma trận mô men bậc hai P là nghiệm của phương trình ma trận Lyapunov [67]
f fT T
fSBP + PB + H H = 0 (3.62)
Các thành phần của ma trận P được xác định bằng cách giải phương trình (3.62).
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
P P P P
P P P P
P P P P
P P P P
P (3.63)
trong đó:
22 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 4
11 2 4 3 2 4
1 (1 ) (2 )1
2
f
r r s
S n n nP
m n
(3.64)
22 2 4 2 3
1
2
f
r r s
SP
m n
(3.65)
4 2 4 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 4
33 2 2 4 4
( 2 )
2
f
s r r
S n n n nP
n m
(3.66)
73
44 2 4 2
1
2
f
r r s
SP
m n
(3.67)
2 2 2 2
12 21 2 4 2 2 3
( 1)1
2
f
r r s
S nP P
m n
(3.68)
13 31 0P P (3.69)
14 41 2 4 2 2
1
2
f
r r s
SP P
m
(3.70)
23 32 2 4 2 22
f
r r s
SP P
m
(3.71)
24 42 0P P (3.72)
2 2 2
34 43 2 4 2 2
( )
2
f
s r r
S nP P
n m
(3.73)
Ta nhận thấy rằng ma trận mô men bậc hai P là ma trận đối xứng. Mô men bậc
hai của chuyển dịch của hệ chính là thành phần P11.
Các tham số tối ưu được tìm làm tối ưu mô men bậc hai của đáp ứng hệ chính P11 [67].
Điều kiện cực tiểu là:
11 0P
(3.74)
11 0P
(3.75)
Thay (3.64) vào (3.74) và (3.75) ta thu được hệ phương trình sau:
1 2
3
(3 )0
2
fS C C
C
(3.76)
1 4
3
( )0
2
fS C C
C
(3.77)
trong đó:
74
2 4 4 2 21 (1 )C n
2 4 2 2 2 2 2 42 (1 ) (2 )C n n
4 2 4 2 2 33 r r sC m n
2 4 2 2 2 2 2 44 (1 ) (2 )C n n
Giải hệ phương trình (3.76), (3.77) ta thu được các tham số tối ưu của bộ hấp thụ
động lực DVA:
2
2
(2 )2
2 (1 )opt
n
n
(3.78)
2 2
2 2 2
2 (4 3 )
2 (1 )(2 )opt
n
(3.79)
Xác định tham số tối ưu theo phương pháp cực đại độ cản tương đương.
Từ hệ phương trình vi phân dao động (2.37), (2.38) ta biến đổi về dạng:
2 2 21 2 ( )r r s a a a am k nk e nc e M t (3.80)
Từ (3.80) ta xác định được mô men cản tương đương tác dụng lên trục máy (hệ
chính) như sau:
2 21 2eqv a a a aM nk e nc e (3.81)
Thay các đại lượng không thứ nguyên trong các phương trình (3.20)-(3.23) vào
phương trình (3.81), ta có:
2 2 2 2 2 2eqv a s r a a s r aM nm n m (3.82)
Hệ số cản tương đương của bộ hấp thụ động lực DVA tác động vào hệ chính
được xác định như sau:
2 2 2 2 2 2
2 2
a s r a a s r a
td
M n m nmc
(3.83)
75
Xét trường hợp hệ chính chịu tác dụng của kích động ngẫu nhiên ồn trắng, các
giá trị trung bình trong (3.83) là các thành phần của ma trận mô men bậc hai trong
phương trình ma trận Lyapunov (3.62) [39], nghĩa là:
2 2 2 2 2 234 32
33
a s r a s rtd
n m P nm Pc
P
(3.84)
Để cực đại ctđ điều kiện cực đại của hàm hai biến được áp dụng vào phương trình
(3.84). Ta có:
*
0tdc
(3.85)
*
0tdc
(3.86)
Giải hệ phương trình (3.85), (3.86) ta thu được các tham số tối ưu của bộ hấp thụ
động lực DVA như sau:
*
2(1 )opt
n
(3.87)
2*
2optn
(3.88)
3.3. Xác định tham số tối ưu trong trường hợp trục chịu kích động va chạm
Trong phần này trình bày tính toán xác định tham số tối ưu cho DVA bằng cách
sử dụng phương pháp cực tiểu hóa năng lượng với hàm mục tiêu là tích phân năng lượng
gây ra dao động cho hệ chính đạt cực tiểu. Mục đích chính là giảm thành phần dao động
riêng của hệ chính.
Ta dùng phép đổi biến số như sau:
1
2
3 1
4 2
a
a
y
y
y y
y y
(3.89a)
76
Từ phương trình vi phân dao động (3.5) đưa về phương trình:
y By + F (3.89b)
trong đó:
1
2
3
4
a
a
y
y
y
y
y
F là véc tơ lực kích động trong (3.12)
2
( )
0
r r
M t
m
F
Ma trận B được xác định trong (3.61)
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
0 0 1 0
0 0 0 1
0
1 10
s s s
s s
s
n n
n n
B
Mục tiêu của luận án ở phần này là thiết kế tối ưu bộ hấp thụ động lực DVA nhằm
giảm thành phần dao động riêng của cơ hệ nên ta xét phương trình vi phân dao động tự
do của cơ hệ ứng với phương trình (3.89b) như sau :
y By (3.89c)
với điều kiện đầu là y(0) = y0
Trong phần này tác giả sử dụng phương pháp cực tiểu hóa năng lượng sử dụng
phiếm hàm động năng theo các tài liệu [63], [64]. Bài toán đặt ra là thiết kế các thông
số của bộ hấp thụ động lực DVA sao cho phiếm hàm năng lượng
1
2To oL Py y (3.90)
77
đạt giá trị cực tiểu, trong đó y0 là véc tơ điều kiện ban đầu, ma trận P là nghiệm
của phương trình đại số Lyapunov
T B P PB Q (3.91a)
Với Q là ma trận trọng số. Với mục tiêu là cực tiểu năng lượng của hệ chính sử
dụng phiếm hàm động năng nên ma trận trọng số Q sẽ được chọn như sau:
33
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
Q
Q (3.91b)
trong đó Q33 là trọng số.
Trong trường hợp này nó chỉ có tác dụng như một hằng số nhân và không ảnh
hưởng đến kết quả tính toán tối ưu, do đó để đơn giản ta chọn Q33 = 1, như vậy ma trận
trọng số Q sẽ có dạng:
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
Q (3.92)
Thay các ma trận trong (3.61) và (3.92) vào phương trình Lyapunov (3.91) và
giải hệ phương trình này ta thu được ma trận P như sau:
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
P P P P
P P P P
P P P P
P P P P
P (3.93)
trong đó:
1 2 311
4
sD D DP
D
2 4 4 2 21 (1 )D n
2 4 22 (1 )D n
78
4 2 2 2 2 2 43 4(2 ); 2D n D n
3 4
22 22sn
P
1 2
33
3
E EP
E
4 2 4 4 2 31 (1 )E n
2 2 2 4 2 2 22 1 1 2E n n
2 43 2 sE n
2 4 2 4 2
44 2
(1 )
s
nP
2 2 2 2 2
12 21 2 2
(1 )
2
s nP P
13 31
1
2P P
14 41
1
2P P
2 2 2
23 32 2
(1 )
2
nP P
2 2
24 42
1
2P P n ;
1 234 43
3
G GP P
G
3 4 4 2 2 4 4 21 ( )G n n
2 2 4 4 2 22 (2 )G n
2 23 2 sG
Thay (3.93) vào (3.90) ta tìm được phiếm hàm L như sau:
2 4 4 2 3
2 40 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4
(1 )/ 4
(1 ) (1 ) 2s
nL n
n n
(3.94)
79
Để cực tiểu hàm mục tiêu L, điều kiện cực tiểu của hàm hai biến được áp dụng:
*
*
0
0
L
L
(3.95)
Giải hệ phương trình (3.94, 3.95) ta tìm tham số tối ưu cho DVA là:
2
2
2 (2 )*
2 (1 )
n
n
(3.96)
2 2 2 4
2 2 2
(4 3 )*
(1 ) 2 (2 )n
(3.97)
3.4. Các bước thiết kế bộ hấp thụ dao động DVA giảm dao động xoắn cho trục.
Quá trình thiết kế tìm thông số tối ưu của bộ hấp thụ DVA thường được thực hiện
theo các bước sau:
Bước đầu tiên: chọn khối lượng và bán kính của bộ hấp thụ dao động theo tỷ lệ
ma=μmr và ρa= ηρr để tăng đặc tính tắt dần cho dao động xoắn của trục và sao
cho μ chỉ khoảng vài phần trăm để không thay đổi bản chất động lực của cơ hệ
[20].
Bước thứ hai chọn số bộ lò xo-cản nhớt n với lưu ý nên chọn n là số chẵn, chẳng
hạn, n=2, n=4, … [26].
Bước thứ ba ta chọn vị trí lắp đặt lò xo và bộ cản nhớt của bộ hấp thụ dao động
sao cho thuận lợi trong quá trình lắp đặt và chế tạo bộ hấp thụ.
Các thông số ở trên nên được chọn sao cho tỷ số α được tính theo các công thức
(3.47), (3.78), (3.87) và (3.96) xấp xỉ bằng 1 và dao động của hệ chính và DVA
ngược pha nhau (nghĩa là tần số dao động riêng của bộ hấp thụ DVA và của hệ
chính xấp xỉ bằng nhau), khi ấy hiệu quả giảm dao động xoắn cho trục sẽ tốt hơn.
Bước cuối cùng: hệ số lò xo ka và hệ số cản nhớt ca tính toán theo các công thức
(3.54) và (3.55) hoặc (3.78), (3.79), (3.87), (3.88), (3.96) và (3.97). Từ đó cho
phép ta chọn lò xo và cản nhớt tối ưu cho thiết kế bộ hấp thụ dao động.
80
3.5. Kết luận chương 3
Chương 3 đã nghiên cứu lý thuyết, tính toán các tham số tối ưu của bộ hấp thụ
dao động DVA. Các kết quả nghiên cứu thu được như sau:
Trường hợp 1. Trục máy chịu kích động điều hòa. Các tham số tối ưu được xác định
theo phương pháp hai điểm cố định.
2 1opt
n
2
2 2
3
2 (1 )opt
n
Trường hợp 2. Trục máy chịu kích động ngẫu nhiên
Xác định theo phương pháp cực tiểu mô men bậc hai
2
2
(2 )2
2 (1 )opt
n
n
2 2
2 2 2
2 (4 3 )
2 (1 )(2 )opt
n
Xác định theo phương pháp cực đại độ cản tương đương
2(1 )opt
n
2
2optn
Trường hợp 4. Trục máy chịu kích động va chạm. Các tham số tối ưu được xác định
theo phương pháp cực tiểu hóa năng lượng.
2
2
2 (2 )*
2 (1 )
n
n
2 2 2 4
2 2 2
(4 3 )*
(1 ) 2 (2 )n
Các kết quả nghiên cứu này được tác giả tính toán và lập trình trên phần mềm
Maple, đây là phần mềm được các nhà khoa học trên thế giới chuyên dùng và cho kết
quả tin cậy. Để đánh giá và mô phỏng hiệu quả giảm dao động của trục máy khi lắp bộ
DVA với các thông số tối ưu tìm được ở trên, tác giả sẽ trình bầy trong chương 4 của
luận án.
81
CHƯƠNG 4. TÍNH TOÁN, MÔ PHỎNG SỐ HIỆU QUẢ GIẢM DAO
ĐỘNG VÀ PHÁT TRIỂN CHO HỆ CHÍNH NHIỀU BẬC TỰ DO
Trong chương 3, tác giả đã tính toán và xác định các tham số tối ưu của bộ hấp
thụ dao động DVA giảm dao động xoắn cho trục máy. Các kết quả được trình bày dưới
dạng nghiệm giải tích tường minh. Từ các kết quả thu được ở chương 3, ta thấy rằng có
nhiều tiêu chuẩn thiết kế tối ưu để tìm ra bộ thông số tối ưu cho thiết kế bộ hấp thụ dao
động tùy thuộc vào mỗi loại kích động khác nhau tác dụng vào hệ chính. Mỗi tiêu chuẩn
tính toán cho ta một kết quả khác nhau. Để thấy được hiệu quả giảm dao động xoắn của
việc lắp bộ hấp thụ động lực DVA, trong mục này sẽ trình bày các kết quả tính toán và
mô phỏng số với mô hình trục máy có cản và không cản có lắp bộ hấp thụ DVA với các
thiết kế theo các nghiệm giải tích đã xác định trong chương 3. Các kết quả giải tích tối
ưu được xác định trong chương 3 được liệt kê trong bảng 4.1.
Bảng 4.1. Các tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động theo các phương pháp khác nhau
Kích động (Phương pháp) αopt ξopt
Kích động điều hòa (Hai
điểm cố định) 2 1n
2
2 2
3
2 (1 )n
Kích động ngẫu nhiên (Cực
tiểu mô men bậc hai)
2
2
(2 )2
2 (1 )
n
n
2 2
2 2 2
2 (4 3 )
2 (1 )(2 )n
Kích động ngẫu nhiên (Cực
đại độ cản tương đương) 2(1 )n
2
2 n
Kích động va chạm (Cực
tiểu hóa năng lượng)
2
2
2 (2 )
2 (1 )
n
n
2 2 2 4
2 2 2
(4 3 )
(1 ) 2 (2 )n
Để thuận tiện trong việc tính toán và mô phỏng số và tính toán hiệu quả giảm dao
động theo các phương pháp giải tích, tác giả ký hiệu:
DVA-FPM là thiết kế DVA với các nghiệm tối ưu được xác định theo phương
pháp hai điểm cố định theo các công thức (3.47) và (3.55).
82
DVA-MQT là thiết kế DVA với các nghiệm tối ưu được xác định theo phương
pháp cực tiểu mô men bậc hai, công thức (3.78) và (3.79).
DVA-MEVR là thiết kế DVA với các nghiệm tối ưu được xác định theo phương
pháp cực đại độ cản tương đương, công thức (3.87) và (3.88).
và tương tự như vậy DVA-MKE là thiết kế DVA với các nghiệm tối ưu được xác
định theo phương pháp cực tiểu hóa năng lượng, công thức (3.96) và (3.97).
Gọi E là phần năng lượng truyền từ trục (hệ chính) sang bộ hấp thụ động lực
DVA [2], [15]. Ta có [2]:
( ) ( )aE t t (4.1)
Để có thể phân tích và đánh giá hiệu quả giảm dao động của các thiết kế DVA
theo từng phương pháp, tiêu chuẩn tính toán và các kích động khác nhau, tác giả sử dụng
công thức trong [2], [15]:
2 2
2
ˆ ˆ[ ] [ ]
.100%ˆ [ ]
k l
k
i i
Hi
(4.2)
Trong đó:
H là hiệu quả giảm dao động khi kết cấu có lắp DVA, %
ˆk là đường bao đáp ứng của kết cấu khi chưa lắp DVA, rad
ˆl là đường bao đáp ứng của kết cấu khi lắp DVA, rad
4.1. Tính toán, mô phỏng số hiệu quả giảm dao động xoắn cho trục máy
Để thực hiện tính toán và mô phỏng số hiệu quả giảm dao động xoắn của trục
máy tác giả sử dụng số liệu mô phỏng trong công bố [35] của GS Hosek và các cộng sự
(Hình 1.2, chương 1 luận án này). Số liệu mô phỏng như sau:
Trục máy có độ cứng xoắn ks=k1=1.125.105 kgm2/s2
Trục máy chịu cản môi trường có hệ số cản nhớt cs=c1=22.5 kgm2/s
Mô men quán tính khối lượng của trục Jr=I1=1.125.10-1 kgm2
Trục có bán kính quán tính ρr=0.15 m
83
Các số liệu thiết kế đã biết (được chọn trước và yêu cầu kỹ thuật của quy trình
thiết kế và lắp ráp) của bộ hấp thụ DVA bao gồm:
- Số lò xo-cản nhớt sử dụng: n = 4
- Bán kính quán tính của đĩa DVA: ρa = 0.15 m
- Khoảng cách lắp ráp lò xo: e1 = 0.075 m
- Khoảng cách lắp bộ cản nhớt: e2 = 0.12 m
- Khối lượng đĩa DVA: ma = 0.2 kg
- Mô men quán tính khối lượng của đĩa DVA: Ja = 4.5.10-3 kgm2
Với bộ số liệu trên, các đại lượng không thứ nguyên được xác định như sau:
- Tỷ số khối lượng: μ = 0.04 = 4%
- Tỷ số bán kính quán tính khối lượng: η = 1
- Tỷ số vị trí lắp lò xo: γ = 0.5
- Tỷ số vị trí lắp cản nhớt: λ = 0.8
Các giá trị tối ưu của tỷ số α và tỷ số cản nhớt xác định theo các phương pháp
trên được thống kê trong bảng 4.2.
Bảng 4.2. Dữ liệu số của các tham số tối ưu
Phương pháp tính toán αopt ξopt
Hai điểm cố định 0.961 0.093
Cực tiểu mô men bậc hai 0.971 0.076
Cực đại độ cản tương đương 0.980 0.078
Cực tiểu hóa năng lượng 0.951 0.076
4.1.1. Mô phỏng số trường hợp hệ chịu tác dụng của kích động điều hòa.
Như phân tích trong chương 3 của luận án này, khi hệ chính chịu kích động điều
hòa thì phương pháp xác định tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực DVA phù hợp
nhất là phương pháp hai điểm cố định. Điều này có nghĩa là khi hệ chính chịu kích động
điều hòa, ta nên sử dụng thiết kế tối ưu DVA-FPM.
Trong phần này, tác giả mô phỏng số với trường hợp trục máy chịu xoắn có lắp bộ
hấp thụ DVA-FPM và chịu tác động của mô men kích động điều hòa có dạng:
84
M=M0sin(ωt) với M0 = 200 Nm.
Để thấy được hiệu quả giảm dao động xoắn của các thiết kế DVA tối ưu khác nhau,
khi mô phỏng tác giả thực hiện trên ba trường hợp hệ chính không cản, có cản bé (cs =
5 kgm2/s) và cản lớn (cs = 22.5 kgm2/s [35]).
Điều kiện ban đầu như sau:
2(0) 10r rad
1(0) 0r s
(0) 0a rad
1(0) 0a s
Các đáp ứng của hệ chính và của bộ hấp thụ dao động khi hệ chính chịu tác động
của kích động điều hòa có tần số kích động nằm ngoài vùng cộng hưởng (ω = 62.8 s-1)
được thể hiện từ hình 4.1 đến hình 4.3.
Hình 4.1. Dao động xoắn của trục trong giai đoạn chuyển tiếp ban đầu với tần số ω =
62.8 s-1 của kích động
Từ kết quả mô phỏng trên các hình 4.1 ta thấy rằng khi chưa lắp bộ hấp thụ dao
động dao động xoắn của trục có dạng tuần hoàn với biên độ không thay đổi (0.02 rad).
Nhưng khi lắp bộ hấp thụ dao động DVA-FPM dao động xoắn của trục được giảm rất
nhanh trong giai đoạn chuyển tiếp (hình 4.1).
85
Hình 4.2. Dao động xoắn của trục trong giai đoạn bình ổn với tần số kích động
ω = 62.8 s-1 của kích động
Từ kết quả mô phỏng trên các hình 4.2, trong giai đoạn dao động bình ổn (từ 0.1s
trở đi), biên độ dao động xoắn chỉ còn 0.004 rad so với 0.02 rad khi chưa lắp DVA. Điều
này cho thấy hiệu quả giảm dao động với cả bốn thiết kế DVA được trình bày trong luận
án là tốt. Hiệu quả giảm dao động được tính theo công thức (4.2) trong trường hợp này
là 96.4%.
Từ đồ thị trên hình 4.3 mô tả phần năng lượng E cho thấy rằng phần lớn đồ thị
nằm ở phía trên trục hoành. Nên khi lấy tổng tích phân của E sẽ là một số dương. Vì vậy
năng lượng truyền từ trục sang bộ hấp thụ dao động DVA cũng là dương. Điều này
chứng tỏ việc lắp thêm DVA-FPM có tác dụng tốt trong việc giảm năng lượng dao động
của hệ chính.
86
Hình 4.3. Đồ thị mô tả năng lượng E với tần số ω = 62.8 s-1 của kích động
Các mô phỏng và tính toán trên đây được thực hiện với trường hợp kích động có
tần số nằm ngoài vùng cộng hưởng của hệ. Trường hợp tần số của kích động bằng tần
số riêng của hệ, hệ sẽ xảy ra cộng hưởng với biên độ lớn và rất nguy hiểm.
Tần số riêng của cơ hệ được xác định như sau:
2det( ) M K 0 (4.3)
Trong trạng thái cản tới hạn ∞, bộ hấp thụ DVA và trục máy coi như bó cứng
thành một vật có mô men quán tính khối lượng là Jr+Ja, khi đó tần số cộng hưởng được
xác định như sau:
sre
r a
k
J J
(4.4)
Thay các số liệu mô phỏng ở trên và các phương trình (2.33), (2.35) vào phương
trình (4.3) và giải phương trình này thu được hai tần số cộng hưởng của cơ hệ là ωre1 và
ωre3. Từ phương trình (4.4) ta thu được tần số cộng hưởng ωre2.
Các tần số cộng hưởng của cơ hệ theo các thiết kế tối ưu DVA khác nhau được
liệt kê trong bảng 4.3.
87
Bảng 4.3. Tần số cộng hưởng của hệ
Tần số cộng hưởng ωre1 ωre2 ωre3
DVA-FPM 887.41 980.58 1083.52
Trong các tính toán và mô phỏng số sau đây tác giả thực hiện với tần số của kích
động là ω = 1000 s-1 (hệ làm việc trong vùng cộng hưởng) [35]. Các đáp ứng của hệ
chính khi lắp bộ hấp thụ dao động DVA-FPM khi hệ làm việc trong vùng cộng hưởng
được thể hiện trên các hình 4.4 đến hình 4.6.
a) Hệ chính không cản (cs = 0)
b) Hệ chính có cản nhỏ (cs = 5kgm2/s)
88
c) Hệ chính có cản (cs = 22.5 kgm2/s)
Hình 4.4. Đáp ứng của hệ khi lắp và không lắp DVA-FPM
Hình 4.5. Đồ thị mô tả năng lượng E với DVA-FPM, hệ chính không cản.
89
Hình 4.6. Đồ thị mô tả năng lượng E với DVA-FPM, hệ chính có cản, cs=22.5 kgm2/s
Bảng 4.4. Hiệu quả giảm dao động của các thiết kế DVA khi hệ chính chịu kích động
tuần hoàn với tần số cộng hưởng.
Thiết kế DVA Hiệu quả giảm dao động (%)
cs = 0 kgm2/s cs = 5 kgm2/s cs = 22.5 kgm2/s
DVA-FPM 99.987 94.939 68.178
Hình 4.4 đến hình 4.6 mô tả hiệu quả giảm dao động xoắn của trục máy khi lắp
bộ hấp thụ dao động DVA-FPM. Khi hệ chịu kích động tuần hoàn với tần số của kích
động là ω = 1000s-1 (vùng tần số cộng hưởng), kết quả tính toán hiệu quả giảm dao động
xoắn theo công thức (4.2) được liệt kê trong bảng 4.4.
Từ các hình 4.4 đến 4.6 và bảng 4.4 ta thấy rằng ngay cả trong trường hợp hệ
chịu kích động tuần hoàn và làm việc trong vùng cộng hưởng, hiệu quả giảm dao động
xoắn khi lắp DVA-FPM vẫn rất tốt. Trong khi với trường hợp khi chưa lắp DVA-FPM
biên độ dao động xoắn của trục có xu hướng tăng thì khi lắp DVA-FPM với thiết kế tối
ưu biên độ dao động xoắn được giữ bình ổn với giá trị nhỏ so với khi chưa lắp. Cụ thể
với việc lắp bộ hấp thụ DVA-FPM (hình 4.4), sau khoảng 0.04s đầu tiên dao động xoắn
90
chuyển sang chế độ bình ổn với biên độ khoảng 0.04 rad với trường hợp hệ chính không
cản (hình 4.4a). Trường hợp hệ chính có cản nhỏ (cs = 5 kgm2/s) biên độ dao động xoắn
bình ổn là 0.004 rad (hình 4.4b). Trường hợp hệ chính có cản khá lớn (cs = 22.5 kgm2/s)
biên độ dao động xoắn bình ổn là 0.001 rad (hình 4.4c).
Từ bảng 4.5 ta thấy rằng trong trường hợp hệ chính không cản, hiệu quả giảm
dao động là rất tốt (99.987%). Điều này được thể hiện rõ hơn với đồ thị mô tả hàm năng
lượng E truyền từ hệ chính sang DVA (hình 4.5) rất lớn so với trường hợp hệ chính có
cản (hình 4.9, 4.11, 4.13 và 4.15). Trong trường hợp hệ chính không cản năng lượng dao
động từ hệ chính truyền sang DVA lớn hơn nhiều trong trường hợp hệ chính có cản, vì
khi ấy một phần năng lượng dao động bị cản mô trường cs tác dụng lên hệ chính hấp
thụ. Khi hệ chính chịu cản môi trường có hệ số cản, hiệu quả giảm dao động của bộ
DVA-FPM là 68.178%. Ta thấy rằng phần lớn đồ thị năng lượng E đều nằm trên trục
hoành (dương) nên năng lượng dao động được truyền từ hệ chính sang bộ hấp thụ DVA
(hình 4.5 và 4.6).
Từ các tính toán và mô phỏng trong trường hợp hệ chính chịu tác động của kích
động điều hòa với tần số kích động nằm ngoài vùng cộng hưởng và nằm trong vùng
cộng hưởng, ta thấy đáp ứng của các thiết kế DVA-FPM đều rất tốt. Hiệu quả giảm dao
động còn được thể hiện thông qua việc xét đến hoặc không xét đến cản của hệ chính.
Trong chương 3 tác giả đã nghiên cứu xác định tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động
DVA theo bốn phương pháp giải tích khác nhau trong trường hợp hệ chính không cản.
Tuy nhiên với các kết quả mô phỏng số ở trên cho thấy đáp ứng rất tốt của các kết quả
tối ưu xác định được với trường hợp hệ chính có cản.
4.1.2. Mô phỏng số trường hợp trục máy chịu tác dụng của kích động va chạm.
Trong quá trình làm việc của máy nhiều khi xảy ra hiện tượng các bánh răng lắp
trên va chạm nhau trong quá trình ăn khớp, hoặc xảy ra quá tải cục bộ với hệ thống. Vì
vậy ta cần xem xét hiệu quả giảm dao động của các thiết kế DVA tối ưu thu được ở
chương 3 khi hệ thống xảy ra va chạm. Khi hệ chính chịu tác động của kích động va
chạm thiết kế DVA-MKE (được xác định theo phương pháp cực tiểu hóa năng lượng)
là phù hợp nhất.
Hệ chịu kích động va chạm tương đương với hệ có vận tốc góc ban đầu khác
không. Trong mục này tác giả thực hiện mô phỏng với trạng thái ban đầu:
91
0 0 0 2 0T
y
Các đáp ứng của hệ với kích động va chạm khi lắp và không lắp DVA-MKE
trong các trường hợp hệ chính có cản (cs=22.5 kgms-2) và không cản (cs=0 kgms-2) được
thể hiện trong các hình 4.7 đến hình 4.10
Hình 4.7. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MKE khi hệ chính không cản chịu kích
động va chạm
Hình 4.8. Năng lượng E khi lắp DVA-MKE với hệ chính không cản chịu kích động va
chạm
92
b) Hệ chính có cản cs = 5 kgms-2
b) Hệ chính có cản cs = 22.5 kgms-2
Hình 4.9. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MKE khi hệ chính có cản chịu kích động
va chạm
93
Hình 4.10. Năng lượng E khi lắp DVA-MKE với hệ chính có cản chịu kích động va
chạm
Hiệu quả giảm dao động tính theo công thức (4.2) cho thiết kế DVA-FPM tối ưu
khi hệ chịu kích động va chạm được thống kê trong bảng 4.5.
Bảng 4.5. Hiệu quả giảm dao động của các thiết kế DVA khi hệ chính chịu kích động
va chạm
Thiết kế DVA Hiệu quả giảm dao động (%)
cs = 0 kgms-2 cs = 5 kgms-2 cs = 22.5 kgms-2
DVA-MKE 99.473 95.461 81.674
Từ các kết quả mô phỏng số trên các hình 4.7 đến hình 4.10 và dữ liệu bảng 4.5
ta thấy rằng hiệu quả giảm dao động của thiết kế DVA-MKE trong trường hợp hệ chịu
kích động va chạm là rất tốt. Trong trường hợp hệ chính có cản hiệu quả giảm dao động
là 81.675% và trong trường hợp hệ chính không cản thì hiệu quả giảm dao động cao hơn
là 99.473%. Điều này phù hợp với đồ thị năng lượng E (hình 4.8) trong trường hợp hệ
chính không cản lớn hơn năng lượng E trong trường hợp hệ chính có cản (hình 4.10),
nghĩa là trong trường hợp hệ chính không cản DVA-MKE hấp thụ năng lượng dao động
từ hệ chính tốt hơn khi hệ chính có cản.
94
4.1.3. Mô phỏng số trường hợp hệ chịu tác dụng của kích động ngẫu nhiên
Với trường hợp hệ chính chịu kích động ngẫu nhiên, như đã phân tích trong
chương 3, ta có thể sử dụng bộ hấp thụ động lực DVA với thiết kế DVA-MQT (được
xác định theo phương pháp cực tiểu mô men bậc hai) hoặc thiết kế DVA-MEVR (được
xác định theo phương pháp cực đại độ cản tương đương).
Xét hệ chịu kích động ngẫu nhiên. Trong mục này tác giả thực hiện mô phỏng
với kích động ngẫu nhiên được biểu diễn dưới dạng hàm Gaussian Noise như sau:
2
2
1 ( )
21 2e( )
2
t a
b
M tb
trong đó a là giá trị trung bình; b là độ lệch chuẩn.
Chọn giá trị trung bình a = 10 và độ lệch chuẩn b = 1 để tính toán và mô phỏng
số. Các đáp ứng của hệ khi lắp và không lắp DVA với các thiết kế tối ưu khác nhau
(DVA-MQT và DVA-MEVR) trong các trường hợp hệ chính có cản (cs=22.5 kgms-2)
và không cản (cs=0 kgms-2) được thể hiện trong các hình 4.11 và hình 4.16. Hiệu quả
giảm dao động theo từng thiết kế khi hệ chịu kích động ngẫu nhiên được liệt kê trong
bảng 4.6.
Hình 4.11. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MQT khi hệ chính không cản chịu kích
động ngẫu nhiên
95
a) Hệ chính có cản cs = 5 kgms-2
b) Hệ chính có cản cs = 22.5 kgms-2
Hình 4.12. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MQT khi hệ chính có cản chịu kích
động ngẫu nhiên
96
Hình 4.13. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MEVR khi hệ chính không cản chịu
kích động ngẫu nhiên
a) Hệ chính có cản cs = 5 kgms-2
97
b) Hệ chính có cản cs = 22.5 kgms-2
Hình 4.14. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MEVR khi hệ chính có cản chịu kích
động ngẫu nhiên
Hình 4.15. Năng lượng E với DVA-MQT khi hệ chính không cản chịu kích động ngẫu
nhiên
98
Hình 4.16. Năng lượng E với DVA-MEVR khi hệ chính không cản chịu kích động
ngẫu nhiên
Bảng 4.6. Hiệu quả giảm dao động của các thiết kế DVA khi hệ chính chịu kích động
ngẫu nhiên
Thiết kế DVA Hiệu quả giảm dao động (%)
cs = 0 kgms-2 cs = 5 kgms-2 cs = 22.5 kgms-2
DVA-MQT 97.058 95.464 95.758
DVA-MEVR 96.988 95.909 96.013
Từ các kết quả mô phỏng trên các hình 4.11 đến 4.16 và các kết quả tính toán
hiệu quả giảm dao động xoắn được liệt kê trong bảng 4.6 ta thấy rằng với cả hai thiết kế
tối ưu trong trường hợp hệ chịu kích động ngẫu nhiên đều mang lại hiệu quả giảm dao
động tốt (đều đạt trên 95%).
Đặc biệt ta nhận thấy rằng trường hợp hệ chính không cản và có cản hiệu quả
giảm dao động chênh nhau không đáng kể (khoảng 1.3% với DVA-MQT và 0.975% với
DVA-MEVR). Điều này chứng tỏ nghiệm giải tích tối ưu đã xác định được ở chương 3
không những cho đáp ứng tốt với trường hợp hệ chính không cản mà còn đáp ứng tốt
với trường hợp hệ chính có cản.
99
4.2. Phát triển kết quả nghiên cứu cho trường hợp hệ chính nhiều bậc tự do
4.2.1. Mô hình nghiên cứu và phương trình vi phân dao động xoắn của trục máy
nhiều bậc tự do
( 1)s Nk ak
ac
02sk
2rJ
1sk
1rJ
aJ
sNk
( 1)r NJ rNJ
Hình 4.17. Mô hình trục máy nhiều bậc tự do lắp bộ hấp thụ dao động DVA
Khảo sát mô hình trục máy (hệ chính) có N bậc tự do, mỗi bậc tự do được mô
hình hóa gồm một lò xo xoắn có độ cứng xoắn là ksi và một đĩa có mô men quán tính
khối lượng Jri như hình 4.17.
Để giảm dao động xoắn cho trục máy, ta lắp bộ hấp thụ dao động DVA dạng đĩa-
lò xo-cản nhớt vào phần ngõng trục thông qua moay ơ (hub) của bộ hấp thụ dao động
DVA. Liên kết giữa trục máy và bộ hấp thụ DVA là liên kết then hoa, do đó rotor của
DVA sẽ quay cùng trục khi trục máy chuyển động quay. Sơ đồ cấu tạo của bộ hấp thụ
dao động DVA được biểu diễn trên hình 2.2 (chương 2 của luận án này).
Cơ hệ khảo sát có N+1 bậc tự do, trong đó hệ chính có N bậc tự do và bộ hấp thụ
dao động DVA có một bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng độc lập là góc quay φi của bậc
tự do thứ i (i=1, 2, …, N) và góc quay tương đối φa của đĩa DVA so với bậc tự do thứ
nhất.
Động năng của cơ hệ
1
N
a ii
T T T
(4.5)
trong đó
T: động năng của cơ hệ;
Ta: động năng của bộ hấp thụ dao động DVA
Ti: động năng của bậc tự do thứ i;
100
N: số bậc tự do của hệ chính
Động năng của bậc tự do thứ i được xác định như sau:
21
2i ri iT J (4.6)
Động năng của DVA là:
2
1
1
2a a aT J (4.7)
Vậy động năng của cơ hệ là:
22
11
1 1
2 2
N
ri i a ai
T J J
(4.8)
Hàm thế năng của cơ hệ
2 21 1
1
1 1( ) ( )
2 2
N
a a si i ii
nk e k
(4.9)
trong đó: 1 0N t (rad)
Hàm hao tán:
22
1( )
2a anc e (4.10)
Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ
Áp dụng phương trình Lagrange loại II cho hệ có N+1 bậc tự do ta có:
* ( 1.. 1)i
i i i i
d T TQ i N
dt
(4.11)
trong đó:
* ( ) 1( 1.. 1)
0 1i
M t iQ i N
i
(4.12)
Thay (4.8), (4.9), (4.10) và (4.12) vào phương trình (4.11) ta thu được phương
trình vi phân mô tả dao động xoắn của hệ N+1 bậc tự do:
101
2 21 2 1
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 1 2 3 2
( )
( ) ( )
............................................
............................................
..................
a a a a a a
r a a s
r s s
J nc e nk e
J J k M t
J k k
( 1) 1 1
( 1)
..........................
............................................
............................................
............................................
rj j s j j j sj j j
r N
J k k
J
1 ( 2) 1 2 ( 1) 1
( 1) 1 0
N s N N N s N N N
rN N s N N N sN N
k k
J k k t
(4.13)
Gọi θj là góc xoắn của bậc tự do thứ j so với đầu trái của trục, ta có:
0 ( 1.. )j j t j N (4.14)
Gọi θj(j-1) là góc xoắn tương đối của hai bậc tự do liền kề nhau, ta có:
( 1) 1 ( 1.. )j j j j j N (4.15)
0 0 0N N N N t (4.16)
Thay (4.14) vào (4.15), ta có:
( 1) 0 1 0 1 ( 1.. )j j j j j jt t j N (4.17)
Đạo hàm cấp hai theo thời gian hai vế của phương trình (4.14) với lưu ý Ω0=const, ta
có:
( 1.. )j j i N (4.18)
Thay (4.15), (4.17) và (4.18) vào hệ phương trình (4.13) ta thu được hệ phương trình vi
phân dao động mô tả dao động xoắn của hệ khảo sát như sau:
102
2 21 2 1
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 1 2 3 2
( )
( ) ( )
............................................
............................................
..................
a a a a a a
r a a s
r s s
J nc e nk e
J J k M t
J k k
( 1) 1 1
( 1)
..........................
............................................
............................................
............................................
rj j s j j j sj j j
r N
J k k
J
1 ( 2) 1 2 ( 1) 1
( 1) 1
N s N N N s N N N
rN N s N N N sN N
k k
J k k
(4.19)
4.2.2. Nghiên cứu xác định tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động giảm dao động
xoắn cho trục máy nhiều bậc tự do
Khi thực hiện tính toán và mô phỏng số các kết quả nghiên cứu trong mục này,
tác giả nhận thấy rằng với mô hình trục máy có N bậc tự do, với bậc tự do thứ N các
đường cong của hàm khuếch đại biên độ (ứng với mọi giá trị của tỉ số cản nhớt) luôn đi
qua các điểm cố định (tồn tại các điểm cố định mà tại các điểm này hàm khuếch đại biên
độ của bậc tự do thứ N không phụ thuộc vào tỷ số cản nhớt). Trong khi các bậc tự do
khác của mô hình trục máy N bậc tự do không tồn tại các điểm cố định trên đồ thị hàm
khuếch đại biên độ của chúng.
Trong phạm vi nghiên cứu của luận án, với mục đích phát triển phương pháp
điểm cố định (trình bày trong chương 3 của luận án này với mô hình trục máy một bậc
tự do) cho mô hình trục máy N bậc tự do để xác định các tham số tối ưu của bộ hấp thụ
dao động DVA, tác giả tập trung thiết lập hàm khuếch đại biên độ và phát triển phương
pháp điểm cố định để xác định tham số tối ưu của bộ DVA giảm dao động xoắn cho bậc
tự do thứ N. Kết quả mô phỏng số (được trình bày trong mục 4.2.3 của chương này) cho
thấy với các tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động DVA không những mang lại hiệu
103
quả tốt trong việc giảm dao động xoắn cho bậc tự do thứ N và còn có hiệu quả tốt cho
các bậc tự do còn lại.
Xác định hàm khuếch đại biên độ A của bậc tự do thứ N
Từ hệ phương trình vi phân dao động xoắn (4.19) ta có tần số dao động riêng của
bộ hấp thụ dao động DVA là:
2 /a a ak m (4.20)
Ta đặt:
2 /si si rik J (4.21)
Trong phạm vi nghiên cứu phát triển của luận án, tác giả giả định độ cứng xoắn
và mô men quán tính khối lượng của mỗi bậc tự do là như nhau:
1 2 ...s s sN sk k k k (4.22)
21 2 3...r r r rN r r rJ J J J J m (4.23)
Do đó ta có: Ωsi = Ωsj = Ωs với i≠j
Ta đặt các đại lượng không thứ nguyên như sau:
μ = ma /mr, η = ρa / ρr, λ = e1 / ρr, α = ωa /Ωs, β = ω /Ωs, ξ = ca /(ma ωa)
Xét trường hợp mô hình trục máy chịu tác động của mô men kích động tuần hoàn
(hình 4.17) được biểu diễn dưới dạng phức như sau:
ˆ( ) I tM t Me (4.24)
Trong đó:
M là biên độ phức của kích động
là tần số của lực kích động tuần hoàn
Khi hệ chính chịu tác động của kích động điều hòa thì đáp ứng biên độ của các
tọa độ suy rộng được biểu diễn như sau:
104
ˆ I ti ie
(4.25)
tIaa e ˆ (4.26)
Trong đó:
i và a là biên độ dao động phức của bậc tự do thứ i và DVA
Để xác định được biên độ phức tổng quát cho bậc tự do thứ N, tác giả lần lượt
khảo sát mô hình trục máy có N = 1, 2, 3 … bậc tự do.
Xét mô hình trục máy có 1 bậc tự do (N=1)
Đáp ứng biên độ của các tọa độ suy rộng được biểu diễn như sau:
ˆ I te (4.27)
tIaa e ˆ (4.28)
Thay N=1 và các phương trình (4.24), (4.27) và (4.28) vào hệ phương trình (4.19)
ta thu được hệ phương trình vi phân dao động:
0
atI
stI
satI
satI
s
tIs
s
tIsa
tIs
tIs
ssss
ssss
eeenIen
ek
Meee
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ)1(
22222222222
22222222
(4.29)
Hệ phương trình (4.29) thu được trùng với hệ phương trình (3.16) cho mô hình
SDOF (trình bày trong chương 3 của luận án này). Điều này chứng tỏ độ tin cậy của hệ
phương trình vi phân dao động (4.19) khi áp dụng cho mô hình trục 1 bậc tự do. Việc
xác định các tham số tối ưu được thực hiện như mục 3.1 của luận án này.
Xét mô hình trục máy có 2 bậc tự do (N=2)
Đáp ứng biên độ của các tọa độ suy rộng được biểu diễn như sau:
1 1ˆ I te (4.30)
2 2ˆ I te (4.31)
105
tIaa e ˆ (4.32)
Thay N=2, các đại lượng không thứ nguyên ở trên và các phương trình (4.24),
(4.30), (4.31) và (4.32) vào hệ phương trình (4.19) ta thu được hệ phương trình vi phân
dao động:
2 2 2 2 21 1 2
22 1 2
2 2 2 2 2 21
( 1) e ( ) e
( 2 )
( e ) e ( )
s s
s s
I t I ts a s
s
I t I ta s s a
M
n I
(4.33)
Giải hệ phương trình (4.33) ta thu được biên độ phức của dao động xoắn của bậc
tự do thứ N = 2 (bậc tự do thứ hai) là:
2 2 2 2 2
2
2 2
( ) ( )ˆ
s
n I n M
X I Y k
(4.34)
trong đó:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 22 2 2 2 2 4 2 2 2
( )n n
X x n yn
(4.35)
2 3 2 2 3 2 22 2 2( )Y x n y n n n (4.36)
2 1x (4.37)
22 2y (4.38)
So sánh các công thức (4.34), (4.35), (4.36) với các công thức (3.20), (3.21),
(3.22) và (3.23) ta thu được biên độ phức của dao động xoắn của bậc tự do thứ 2 như
sau:
1 2
2
2 1 2 3 2 2 2 4
ˆ
s
A I A M
x A y A I x A y A k
(4.39)
106
Xét mô hình trục máy có 3 bậc tự do (N=3)
Đáp ứng biên độ của các tọa độ suy rộng được biểu diễn như sau:
1 1ˆ I te (4.40)
2 2ˆ I te (4.41)
3 3ˆ I te (4.42)
tIaa e ˆ (4.43)
Thay N=3, các đại lượng không thứ nguyên ở trên và các phương trình (4.24),
(4.40), (4.41), (4.42) và (4.43) vào hệ phương trình (4.19) ta thu được hệ phương trình
vi phân dao động:
2 2 2 2 21 1 2
22 1 2 3
23 2 3
2 2 2 2 2 21
( 1) e ( ) e
( 2 )
( 2 )
( e ) e ( )
s s
s s
I t I ts a s
s
s
I t I ta s s a
M
n I
(4.44)
Giải hệ phương trình (4.44) ta thu được biên độ phức của dao động xoắn của bậc
tự do thứ N = 3 (bậc tự do thứ ba) là:
2 2 2 2 2
3
3 3
( ) ( )ˆ
s
n I n M
X I Y k
(4.45)
trong đó:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 23 3 3 2 2 4 2 2 2
( )n n
X x n yn
(4.46)
2 3 2 2 3 2 23 3 3( )Y x n y n n n (4.47)
23 2x (4.48)
107
2 23 (2 ) 1y (4.49)
So sánh các công thức (4.45), (4.46), (4.47), (4.48) và (4.49) với các công thức
(3.20), (3.21), (3.22) và (3.23) ta thu được:
1 2
3
3 1 3 3 3 2 3 4
ˆ
s
A I A M
x A y A I x A y A k
(4.50)
Xét mô hình trục máy có 4 bậc tự do (N=4)
Thực hiện tương tự với mô hình trục máy có 4 bậc tự do (N=4), ta thu được hệ
phương trình vi phân dao động của cơ hệ là:
2 2 2 2 21 1 2
22 1 3 2
23 4 3 2
24 3 4
2 2 2 2 2 21
( 1) e ( ) e
( 2 )
( 2 )
( 2 )
( e ) e ( )
s s
s s
I t I ts a s
s
s
s
I t I ta s s a
M
n I
(4.51)
và biên độ phức của dao động xoắn bậc tự do thứ N = 4 (bậc tự do thứ tư) là:
1 2
4
4 1 4 3 4 2 4 4
ˆ
s
A I A M
x A y A I x A y A k
(4.52)
trong đó:
2 24 (2 ) 1x (4.53)
32 2
4 2 2( 2)y (4.54)
So sánh biểu thức biên độ phức của dao động xoắn của bậc tự do thứ N trong các
mô hình trục máy có N = 2, 3, 4, … bậc tự do, ta thấy rằng các biểu thức này chỉ khác
nhau các hệ số xN và yN. Từ đây tác giả có ý tưởng tìm mối quan hệ toán học giữa các
đại lượng xN, xN-1, yN và yN-1 để xây dựng công thức tổng quát của biên độ phức dao động
xoắn của bậc tự do thứ N trong mô hình trục máy có N bậc tự do.
- Với N = 2 (trục máy có 2 bậc tự do)
2 1x
108
(2 1 1)/2
2 1 22 22
0
(2 1 )!2 1 2
2 1 2 ! !
kk
k
ky
k k
- Với N = 3 (trục máy có 3 bậc tự do)
23 22x y
(3 1)/2
3 1 22 2 23
0
(3 1 )!(2 ) 1 1 2
3 1 2 ! !
kk
k
ky
k k
- Với N = 4 (trục máy có 4 bậc tự do)
2 24 3(2 ) 1x y
(4 1 1)/2
3 4 1 22 2 24
0
(4 1 )!2 2( 2) 1 2
4 1 2 ! !
kk
k
ky
k k
- Với N = 5 (trục máy có 5 bậc tự do)
2 3 2
5 4(2 ) 2( 2)x y
(5 1)/2
4 5 1 22 2 2 25
0
(5 1 )!2 3(2 ) 1 1 2
5 1 2 ! !
kk
k
ky
k k
…
Từ các kết quả tính toán ở trên ta thu được:
1 22
0
( 1 )!1 2
1 2 ! !
NkN kk
Nk
N ky
N k k
1N Nx y
Nếu N chẵn: kN = (N-2)/2; nếu N lẻ: kN = (N-1)/2
Đặt yN = AN-1 thì xN = AN-2.
Từ đó ta thu được công thức tổng quát xác định biên độ phức của dao động xoắn
bậc tự do thứ N trong mô hình trục máy có N bậc tự do như sau:
109
1 2
2 1 1 3 2 2 1 4
ˆN
N N N N s
A I A M
A A A A I A A A A k
(4.55)
Thực hiện các phép biến đổi phức tương tự như các công thức (3.25) và (3.26)
với trường hợp hệ chính một bậc tự do (SDOF) ta thu được đáp ứng thực của dao động
xoắn của bậc tự do thứ N là:
1
22 2 21 22 22
2 1 1 3 2 2 1 4
ˆN
N N N N
A A M
ksA A A A A A A A
(4.56)
Từ đó ta thu được hàm khuếch đại biên độ-tần số của bậc tự do thứ N có dạng:
1
22 2 21 22 22
2 1 1 3 2 2 1 4
N
N N N N
A AA A
A A A A A A A A
(4.57)
Trong đó A1, A2, A3, A4 là các hệ số được xác định từ mô hình trục một bậc tự do
tương ứng. Các hệ số này đã được xác định trong các công thức (3.20), (3.21), (3.22) và
(3.23).
Xác định tỷ số α tối ưu
Với hàm khuếch đại biên độ A đã xác định được trong công thức (4.29) ta thấy
nó phụ thuộc vào 8 thông số không thứ nguyên ở trên gồm n, μ, η, λ, α, β và tỷ số cản
ξ. Vậy ta hoàn toàn có thể xác định các thông số này để hàm khuếch đại biên độ-tần số
đạt giá trị nhỏ nhất.
Với ξ=0 (trạng thái không cản) hàm khuếch đại A trong (4.57) có dạng:
1
2 1 1 3N N
AA
A A A A
(4.58)
Với ξ=∞ (trạng thái cản tới hạn) ta có:
2
2 2 1 4
limN N
AA
A A A A
(4.59)
110
Xác định các điểm cố định
Từ biểu thức tổng quát (4.57) xác định hàm khuếch đại biên độ của bậc tự do thứ
N trong mô hình trục máy có N bậc tự do. Với mô hình trục máy có hai bậc tự do (N=2)
ta có, hàm khuếch đại biên độ của bậc tự do thứ hai là:
12 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 222 2
( ) ( )N
n nA
X Y
(4.60)
trong đó:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 22 2 2 4 2 2 2
( ) (2 )n n
X nn
2 2 3 2 2 3 2 22 ( ) (2 )Y n n n n
Với mô hình trục máy có ba bậc tự do (N=3) ta có, hàm khuếch đại biên độ của
bậc tự do thứ ba là:
12 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 233 3
( ) ( )N
n nA
X Y
(4.61)
trong đó:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 23 2 2 4 2 2 2
(2 )( ) ((2 ) 1)n n
X nn
2 2 2 2 3 2 2 3 2 23 (2 )( ) ((2 ) 1)Y n n n n
Hình 4.18 và hình 4.19 lần lượt mô tả sự thay đổi của hàm khuếch đại biên độ-
tần số của bậc tự do thứ N theo tần số β với trường hợp hệ chính có 2 bậc tự do (N=2)
và hệ chính có 3 bậc tự do (N=3) xác định từ các công thức (4.60) và (4.61). Từ hình
4.18 và hình 4.19 ta thấy rằng, tất cả các đường cong với với giá trị của tỷ số cản nhớt ξ
111
đều đi qua một số điểm cố định. Số điểm cố định này bằng 2N. Khi mô phỏng đồ thị
hàm khuếch đại biên độ của bậc tự do thứ N trong miền tần số với hệ chính có số bậc tự
do khác nhau và với mọi giá trị khác nhau của tỉ số cản ξ tác giả thấy rằng các đường
cong được mô tả bởi (4.60) và (4.61) luôn đi qua các điểm cố định và trong trường hợp
tổng quát, cao độ của các điểm này là khác nhau .
Hình 4.18. Sự thay đổi của đường cong khuếch đại biên độ khi thay đổi tỷ số cản với
N = 2, = 0.02, = 1, = 0.5, = 0.8, n = 6 và = 0.2
Hình 4.19. Sự thay đổi của đường cong khuếch đại biên độ khi thay đổi tỷ số cản với
N = 3, = 0.02, = 1, = 0.5, = 0.8, n = 6 và = 0.2
Từ hình 4.18 ta thấy rằng với hệ chính có số bậc tự do N=2 sẽ tồn tại 3 đỉnh cộng
hưởng (với ξ=0) và 2 đỉnh cộng hưởng (với ξ=∞). Với hệ chính có 3 bậc tự do thì số
đỉnh cộng hưởng với ξ=0 là 4 đỉnh và 3 đỉnh với ξ=∞ (hình 4.19). Một cách tổng quát,
nếu hệ chính có N bậc tự do sẽ tồn tại N+1 đỉnh cộng hưởng với trạng thái không cản
112
(ξ=0) ứng với N đỉnh cộng hưởng của N bậc tự do của hệ chính và thêm 1 đỉnh cộng
hưởng của DVA (hệ phụ); còn trong trạng thái cản tới hạn ξ=∞, sẽ tồn tại N đỉnh cộng
hưởng. Vậy giữa các định cộng hưởng này luôn luôn tồn tại các điểm cố định.
Tương tự trường hợp hệ chính có một bậc tự do (mục 3.1 của luận án này), hoành
độ βj của các điểm cố định này được xác định bằng cách giải phương trình:
0A
Đạo hàm hàm khuếch đại A trong (4.57) theo biến ξ ta được
2 2 2 2 2 21 1 2 4 2 1 4 1 1 2 3 2 2 3 1
13 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 3 4 2 1 2 1 2 1 3 2 4 1 2
2 2
2
N N N N N
N N N N
A A A A A A A A A A A A A A AA
A A A A A A A A A A A A A A
(4.62)
Điều kiện để 0A
là:
2 2 2 21 4 1 1 2 4 1 2
2 2 2 22 3 1 2 1 3 1 2
2
2
N N N
N N N
A A A A A A A A
A A A A A A A A
(4.63)
Cộng vào hai vế của phương trình (4.63) với 2 2 21 2 2NA A A ta có:
2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 4 1 1 2 4 1 2
2 2 2 2 2 2 21 2 2 2 3 1 2 1 3 1 2
2
2
N N N N
N N N N
A A A A A A A A A A A
A A A A A A A A A A A
(4.64)
Từ đó ta có:
222 2 1 42
221 2 1 1 3
N N
N N
A A A AA
A A A A A
(4.65)
Phương trình (4.65) dùng để xác định hoành độ các điểm cố định trong trường
hợp tổng quát.
Với mô hình trục máy có 2 bậc tự do (N=2), phương trình (4.65) trở thành:
22 2 3 2 2 3 2 22 2
22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 4 2 2 2
(2 )( )( )
( )( ) (2 )
n n n nn
n n nn
n
113
(4.66)
Với mô hình trục máy có 3 bậc tự do (N=3), phương trình (4.38) trở thành:
22 2 2 2 3 2 2 3 2 2
2 2
22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4 2 2 2
(2 )( ) (2 ) 1 ( )( )
( )(2 )( ) (2 ) 1
n n n nn
n n nn
n
(4.67)
Giải phương trình (4.66) ta thu được các giá trị của βj cho mô hình trục máy có 2
bậc tự do. Tương tự giải phương trình (4.67) ta thu được các giá trị của βj cho mô hình
trục máy có 3 bậc tự do.
Để xác định tham số tối ưu α thì giá trị của hàm khuếch đại biên độ A tại hai điểm
cố định (tương ứng với β1 và β2) phải bằng nhau. Có một số giá trị của tần số β, chẳng
hạn β=0.26, β=0.67 và β=1.62, tại đó xảy ra cộng hưởng (hình 4.18). Vùng cộng hưởng
được kiểm soát xác định trong thiết kế tối ưu hóa là một trong những điểm gần nhất với
β = 1. Bởi vậy, tỷ số β1 và β2 được chọn sao cho tỷ số β được kiểm soát phải nằm giữa
chúng. Theo cách này, hai điểm cố định được chọn là S và T. Giải phương trình AS=AT
thu được tham số tối ưu α. Bảng 4.7 liệt kê các kết quả thu được của tỷ số α ứng với
N=1, N=2 và N=3.
Bảng 4.7. Tham số tối ưu α theo số bậc tự do của hệ chính
Số bậc tự do αopt
N=1 2 1n
N=2
2 2
22
2 1 3 2
2 1
n
n
N=3…
6 3 4 2 2
22
2 6 10 4
2 1
n
n
114
Xác định tỷ số ξ tối ưu
Để xác định ξ tối ưu ta giải phương trình 0A
Từ phương trình (4.57) ta có:
2 22 2 2 2 22 1 1 3 2 2 1 4 1 2N N N NA A A A A A A A A A A (4.68)
Đạo hàm hai vế của phương trình (4.68) theo β ta thu được
2 222 1 1 3 2 2 1 4
2 1 312 1 1 3 1 2 3 1
2
22 12 42 2 1 4 2 2 4 1
21 21 2
2
2( )( )
2( )( )
2 2
N N N N
N NN N N N
N NN N N N
AA A A A A A A A A
A A AAA A A A A A A A
AA AA A
A A A A A A A A
A AA A
(4.69)
Chú ý điều kiện
0A
(4.70)
Giải hệ phương trình (4.69), (4.70) ta thu được:
2 2 2 21 2 313 1 2 1 1 3 3 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3
2
2 2 2 22 1 2 42 4 2 2 1 4 2 2 4 1 2 2 1 2 2 1 4
N NN N N N N N N N
N NN N N N N N N N
A A AAA A A A A A A A A A A AA A A A A A A A
A A A AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
2 2 2 21 2 31 13 1 1 2 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 2 3 1
2
2 2 2 22 1 2 22 4 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 1 2 2
N NN N N N N N N N
N NN N N N N N N
A A AA AA A A AA AA A AA A AA A A A AA AA
A A A AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A
44 1N
AA
115
2 2 21 2 31 13 1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 1 1
2
2 2 22 1 2 42 4 2 2 4 1 2 2 2 4 1 1 2 2 4 1
N NN N N N N N N N
N NN N N N N N N N
A A AA AA A A AA AA A A AA AA A A AA AA A
A A A AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A
22
AA
2 21 2 3 1 13 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 1
2
2 22 1 2 4 22 4 2 2 4 1 2 2 4 1 2 1 2
N NN N N N N N
N NN N N N N N
A A A A AA A A A A A A A A A A A A A A
A A A A AA A A A A A A A A A A A A A A
Cuối cùng ta thu được biểu thức tối giản của tỷ số cản như sau:
2 1 2 3 1 11 2 3 1 3 1 1 2 1
2
2 2 1 2 4 22 2 4 1 2 4 2 1 2
N NN N N N
N NN N N N
A A A A AA A A A A A A A A A
A A A A AA A A A A A A A A A
(4.71)
Thay các giá trị tối ưu α = αopt và β1 =β1,opt vào phương trình (4.71) ta thu được:
1,
2 1 2 3 1 11 2 3 1 3 1 1 2 1
21
2 2 1 2 4 22 2 4 1 2 4 2 1 2
,opt opt
N NN N N N
N NN N N N
A A A A AA AA A A A A A A A
A A A A AA A A A A A A A A A
(4.72)
Thay các giá trị tối ưu α = αopt và β2 =β2,opt vào phương trình (4.71) ta thu được:
2,
2 1 2 3 1 11 2 3 1 3 1 1 2 1
22
2 2 1 2 4 22 2 4 1 2 4 2 1 2
,opt opt
N NN N N N
N NN N N N
A A A A AA AA A A A A A A A
A A A A AA A A A A A A A A A
(4.73)
Theo Brock [14] tỷ số cản tối ưu ξopt được xác định theo công thức:
116
2 21 2*
2opt
(4.74)
Thay (4.72), (4.73) vào phương trình (4.74) ta thu được tỷ số cản tối ưu. Các kết
quả giải tích của tỷ số cản nhớt ξ thu được được liệt kê trong bảng 4.8.
Bảng 4.8. Tham số tối ưu ξ theo số bậc tự do của hệ chính
Số bậc tự do Biểu thức giải tích tối ưu của ξ
N=1 2
2 2
3
2 (1 )n
N=2
1
2
AB
C
3 6 2 4 2
2 4 2 2 2 4 2 2 3
(4 6 5 2)
(2 5 2) ; (2 3 )(1 )
A
B C n
N=3…
2
2
ABC
DE
2 2 4 8 3 6 2 4 2
43 6 2 4 2 4 2
4 8 3 6 2 4 2
; 2 7 6 2 2
5 14 10 2; 1
2 13 26 18 4
A B
C D n
E
4.2.3. Tính toán mô phỏng số các kết quả nghiên cứu cho hệ chính nhiều bậc tự do
Hình 4.20 mô tả sự thay đổi đường cong khuếch đại biên độ theo tỷ số cản nhớt.
Hình 4.20 chỉ ra rằng có một số vùng cộng hưởng, chẳng hạn tại các tần số = 0.392,
0.873 và 1.648. Rõ ràng rằng với giá trị của tỷ số cản nhớt tối ưu ξopt=0.23 tại các đỉnh
cộng hưởng đường cong khuếch đại biên độ có độ cao thấp nhất so với các đường cong
A khác ứng với các giá trị khác nhau của ξ.
117
Hình 4.20. Hàm khuếch đại biên độ-tần số với các giá trị khác nhau của tỷ số cản
nhớt với N=2, µ = 0.02, η = 1, γ = 0.5, λ= 0.8, n = 6 and α = αopt = 0.708.
Bảng 4.9 trình bày các giá trị của hàm A ở các vùng cộng hưởng của các đường
cong trong hình 4.20. Từ bảng 4.9, nhận thấy rằng không chỉ giá trị của A tại vùng cộng
hưởng được kiểm soát của đường cong được tối ưu mà còn cả các giá trị tại các vùng
cộng hưởng khác sẽ được giảm xuống khi so sánh đến các đường cong mà không có tối
ưu ξ.
Bảng 4.9. Giá trị hàm khuếch đại A tại các tần số cộng hưởng của hệ khi thay đổi tỷ số
cản nhớt .
Tỷ số cản nhớt Hàm khuếch đại biên độ A
= 0.392 = 0.873 = 1.648
ξ = 0.1 8.772 1.885 3.734
ξ = 0.12 7.655 1.503 3.116
ξopt= 0.23 4.463 0.992 1.263
Để mô phỏng số các kết quả nghiên cứu ở trên, tính toán sẽ được thực hiện với
các số liệu mô phỏng trong bảng 4.10. Trục máy được kích thích bởi một mô men xoắn
với biên độ 5 Nm và tần số kích thích khác nhau. Các đại lượng không thứ nguyên được
tính toán và thể hiện trong bảng 4.11. Bảng 4.12 cho thấy các kết quả tối ưu được tính
theo các tham số đầu vào đã xác định.
118
Bảng 4.10. Các thông số mô phỏng cho trường hợp hệ chính nhiều bậc tự do.
Tham số Đơn vị Giá trị Tham số Đơn vị Giá trị
mr [kg] 5.0 e2
[m] 0.09
ma [kg] 0.2 Jr
[kgm2] 2E-02
r [m] 0.1 Ja
[kgm2] 2E-03
a [m] 0.1 ks
[Nm/rad] 1E+04
e1 [m] 0.06 N
- 6
Bảng 4.11. Giá trị của các đại lượng không thứ nguyên
Tham số μ η γ λ
Giá trị 0.04 1.0 0.6 0.9
Bảng 4.12. Giá trị các tham số tối ưu α và ξ theo số bậc tự do của hệ chính.
Số bậc tự do Tần số β tại các điểm cố định αopt ξopt
N = 1 β1= 0.843;
β2= 1.052 0.619 0.112
N = 2
β1= 0.388;
β2= 0.707;
β3= 1.414;
β4= 1.557
0.632 0.220
N = 3
β1= 0.290; β2= 0.468;
β3= 1.001; β4= 1.190;
β5= 0.732; β6= 1.775
0.895 0.186
119
Mô phỏng số trường hợp hệ chính có 2 bậc tự do
Dao động xoắn của hệ chính 2 trong trường hợp không lắp và có lắp DVA tối ưu
được thể hiện trên hình 4.21. Trong trường hợp này tần số mô phỏng được chọn là
= 0.04. Rõ ràng là các biên độ dao động trong trạng thái ổn định của hệ thống có lắp
DVA đã được giảm đáng kể. Khi chưa lắp DVA tối ưu biên độ dao động xoắn của bậc
tự do thứ nhất (DOF #1) và bậc tự do thứ hai (DOF #2) lần lượt là 0.4 rad và 0.6 rad.
Trong khi đó với hệ thống có lắp DVA tối ưu, biên độ dao động trong 1s đầu tiên được
giảm đi rõ rệt. Trong giai đoạn bình ổn (khoảng từ 1s trở đi) biên độ dao động xoắn chỉ
còn là 0.002 rad đối với bậc tự do thứ nhất và 0.001 rad đối với bậc tự do thứ hai.
a) Không lắp DVA
b) Có lắp DVA tối ưu
Hình 4.21. Dao động xoắn của hệ chính 2 bậc tự do tại tần số = 0.04
Tương tự, với trường hợp hệ chính có 3 bậc tự do, hiệu quả giảm dao động của DVA
tối ưu được thể hiện trên hình 4.22. Hiệu quả giảm dao động của thiết kế DVA tối ưu là
120
tốt. Trong giai đoạn bình ổn biên độ dao động của cả ba bậc tự do đều nhỏ, khoảng dưới
0.0004 rad. Do đó, các công thức đề xuất đã được chứng minh ở trên là có hiệu quả để
giảm dao động của cả hai hệ thống SDOF và MDOF.
a) Không lắp DVA
b) Có lắp DVA tối ưu
Hình 4.22. Dao động xoắn của hệ chính 3 bậc tự do tại tần số = 0.04
Hình 4.23. Hàm khuếch đại biên độ với = opt và = 0 với trường hợp hệ chính có 2
bậc tự do
121
Để chứng minh hiệu quả của thiết kế DVA tối ưu, các tính toán và mô phỏng số
tiếp theo sẽ được thực hiện cho các hệ thống MDOF trong điều kiện cộng hưởng. Hình
4.23 mô tả sự thay đổi của hàm khuếch đại A trong trường hợp hệ chính có 2 bậc tự do
với = opt và = 0. Từ hình 4.23 ta dễ dàng xác định được các vùng cộng hưởng của
cơ hệ. Trên hình 4.23, tần số cộng hưởng tại = 0.46 và 1.58 có thể thấy rõ ràng. Sự
rung động ở một điểm cộng hưởng khác tương ứng với tỉ lệ tần số điều khiển β = 0.88
bị triệt tiêu và gần như phẳng. Hình 4.24, 4.25 và 4.26 thể hiện đáp ứng dao động của
hệ thống có 2 bậc tự do với thiết kế DVA tối ưu được tính toán tại các tần số nói trên.
Rõ ràng là biên độ dao động của các hệ thống với DVA tối ưu thấp hơn đáng kể so với
các hệ thống không có DVA.
a) Không lắp DVA
b) Có lắp DVA tối ưu
Hình 4.24. Dao động xoắn của hệ chính 2 bậc tự do tại tần số = 0.88
122
Với việc lắp DVA tối ưu vào hệ thống, tại tần số cộng hưởng = 0.88 dao động
xoắn được bình ổn trong khoảng thời gian ngắn (khoảng 0.13s) với biên độ nhỏ dưới
0.012 rad (hình 4.24).
a) Không lắp DVA
b) Có lắp DVA tối ưu
Hình 4.25. Dao động xoắn của hệ chính 2 bậc tự do tại tần số = 0.46
Hình 4.25 mô tả đáp ứng dao động xoắn của hệ thống có 2 bậc tự do có lắp bộ
hấp thụ DVA tối ưu tại tần số cộng hưởng = 0.46. Bằng việc so sánh các đáp ứng trên
hình 4.25a và 4.25b, rõ ràng rằng việc lắp DVA tối ưu mang lại hiệu quả tốt với cả hai
bậc tự do so với trường hợp khi chưa lắp DVA tối ưu. Trong chế độ dao động bình ổn
(0.15 trở đi), biên độ dao động của bậc tự do thứ nhất chỉ còn 0.12 rad, bậc tự do thứ hai
chỉ còn 0.08 rad, trong khi biên độ dao động cực đại với trường hợp chưa lắp DVA tại
tần số cộng hưởng = 0.46 là 1.2 rad. Với biên độ dao động rất lớn như vậy sẽ gây nguy
hại cho trục, trục có thể bị phá hủy ngay lập tức do biến dạng xoắn quá lớn. Việc lắp
DVA tối ưu trong trường hợp này mang lại hiệu quả kỹ thuật rất lớn và ý nghĩa.
123
a) Không lắp DVA
b) Có lắp DVA tối ưu
Hình 4.26. Dao động xoắn của hệ chính 2 bậc tự do tại tần số = 1.58
Hiệu quả giảm dao động xoắn của thiết kế DVA theo nghiệm giải tích tối ưu tìm
được ở trên còn được thể hiện tại tần số cộng hưởng = 1.58.
Hiệu quả này được thể hiện rõ ràng khi so sánh đáp ứng dao động trong hình
4.26a và 4.26b. Từ hình 4.26a ta thấy rằng dao động xoắn của hệ với cả hai bậc tự do
trong trường hợp không lắp DVA là không ổn định.
Trong khi với trường hợp có lắp DVA tối ưu, thứ nhất dao động xoắn có hại
nhanh chóng được bình ổn trong khoảng thời gian 0.8s trở đi, thứ hai biên độ dao động
là nhỏ: khoảng 0.04rad với bậc tự do thứ hai và 0.004 rad với bậc tự do thứ nhất.
124
Mô phỏng số trường hợp hệ chính có 3 bậc tự do
Hình 4.27. Hàm khuếch đại biên độ A với = opt và = 0 hệ chính có 3 bậc tự do.
a) Không lắp DVA
b) Có lắp DVA tối ưu
Hình 4.28. Dao động xoắn của hệ chính 3 bậc tự do tại tần số = 0.36
125
Hình 4.27 mô tả sự thay đổi của hàm khuếch đại biên độ A với trường hợp hệ
chính có 3 bậc tự do. Từ hình 4.27 ta thấy vùng cộng hưởng được xác định tại = 0.36,
0.77, 1.2, và 1.76.
Trong trường hợp này, ngoại trừ vùng cộng hưởng đầu tiên ở = 0.36, sự dao
động ở các điểm cộng hưởng khác ( = 0.77, 1.2, và 1.76.) bị triệt tiêu một cách hiệu
quả với giá trị tương đối nhỏ của A.
Hình 4.28 và 4.29 minh họa dao động của hệ thống 3 bậc tự do có lắp và không
lắp DVA tối ưu tại tần số cộng hưởng = 0.36 và 0.77.
a) Không lắp DVA
b) Có lắp DVA tối ưu
Hình 4.29. Dao động xoắn của hệ chính 3 bậc tự do tại tần số = 0.77
126
Từ hình 4. 28 và 4.29, một lần nữa ta lại thấy rằng trong trường hợp có DVA tối
ưu làm giảm đáng kể biên độ dao động của hệ thống so với trường hợp khi chưa lắp
DVA. Hiệu quả giảm dao động của DVA tối ưu trong trường hợp này không những
được thể hiện qua việc bình ổn dao động xoắn có hại trong thời gian ngắn mà còn thể
hiện biên độ giao động giảm rõ rệt và có giá trị nhỏ. Trong khi đó khi chưa lắp DVA tối
ưu, dao động xoắn không ổn định, có biên độ cực đại là lớn, khoảng 1.6 rad (bậc tự do
thứ nhất) tại tần số cộng hưởng = 0.36.
4.3. Kết luận chương 4.
Chương 4 luận án, tác giả đã nghiên cứu các vấn đề sau:
- Tác giả đã nghiên cứu, phân tích, đánh giá hiệu quả giảm dao động xoắn cho
trục máy trong trường hợp không lắp bộ hấp thụ dao động và trường hợp có lắp bộ hấp
thụ dao động với các nghiệm giải tích tối ưu tìm được của bộ hấp thụ dao động DVA
theo bốn phương pháp như sau:
Mô men
kích động Thiết kế DVA
Hiệu quả giảm dao động (%)
cs = 0 kgm2/s cs = 5 kgm2/s cs = 22.5 kgm2/s
Kích động
tuần hoàn (DVA-FPM) 99.987 94.939 68.178
Kích động
va chạm (DVA-MKE) 99.473 95.46 81.674
Kích động
ngẫu nhiên
(DVA-MQT) 97.058 95.464 95.758
(DVA-MEVR) 96.988 95.909 96.013
Kết quả này khẳng định các tham số tối ưu của bộ DVA tìm được trong luận án
có hiệu quả giảm dao động tốt trong cả trường hợp hệ chính có cản và không cản.
- Đã áp dụng các kết quả nghiên cứu, tính toán các thông số tối ưu của bộ hấp thụ
động DVA và mô phỏng số các kết quả nghiên cứu. Từ việc mô phỏng số các kết quả
nghiên cứu trong trường hợp hệ chịu kích động điều hòa, kích động va chạm và kích
127
động ngẫu nhiên ta thấy rằng hiệu quả giảm dao động của các thiết kế DVA là rất tốt.
Với trường hợp hệ chịu kích động điều hòa, ngay cả khi hệ làm việc trong vùng cộng
hưởng thì hiệu quả giảm dao động khi hệ chính không cản và có cản đều rất tốt. Điều
này đáp ứng được yêu cầu của kỹ thuật đặt ra.
- Đã phát triển các kết quả nghiên cứu cho trường hợp hệ chính có nhiều bậc tự
do. Tác giả đã thiết lập được hệ phương trình vi phân mô tả dao động của hệ và tìm được
tham số tối ưu của bộ DVA giảm dao động cho hệ nhiều bậc tự do theo phương pháp
hai điểm cố định.
128
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Các kết quả chính của luận án:
Luận án tập trung nghiên cứu tính toán xác định các tham số tối ưu của bộ hấp
thụ dao động DVA giảm dao động xoắn cho mô hình trục máy có 1 và nhiều bậc tự do.
Các tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động DVA gồm tỷ số α (tỷ số giữa tần số riêng
của bộ hấp thụ dao động DVA và tần số riêng của hệ chính) và tỷ số cản nhớt ξ.
1. Tác giả đã thiết lập mô hình cơ học và mô hình toán học để xác định dao động
xoắn của trục có sử dụng bộ hấp thụ dao động DVA. Để tìm phương trình vi phân dao
động của cơ hệ, tác giả sử dụng phương trình Lagrange loại II. Hệ phương trình vi phân
thu được là hệ tuyến tính. Từ hệ phương trình vi phân mô tả dao động xoắn của trục,
nhận thấy có chứa các đại lượng của bộ hấp thụ dao động, đây chính là cơ sở để các nhà
khoa học nghiên cứu, phân tích, tính toán tìm các thông số của bộ hấp thụ dao động theo
các tiêu chuẩn tối ưu khác nhau.
2. Tác giả đã nghiên cứu xác định được tham số tối ưu của bộ DVA dưới dạng
biểu thức giải tích tường minh, giảm dao động xoắn cho trục máy có 1 bậc tự do chịu
tác dụng của các kích động khác nhau.
Trường hợp trục máy chịu kích động điều hòa:
2
2 22
3;
2 (1 )1opt opt
nn
Trường hợp trục máy chịu kích động ngẫu nhiên:
- Nghiệm giải tích tối ưu theo phương pháp cực tiểu mô men bậc hai:
2 2 2
2 2 2 2
(2 )2 2 (4 3 );
2 (1 ) 2 (1 )(2 )opt opt
n
n n
- Nghiệm giải tích tối ưu theo phương pháp cực đại độ cản tương đương:
2
22;
(1 )opt opt
nn
129
Trường hợp trục máy chịu kích động va chạm:
2 2 2 2 4
2 2 2 2
2 (2 ) (4 3 );
2 (1 ) (1 ) 2 (2 )opt opt
n
n n
3. Tác giả đã nghiên cứu, phân tích, đánh giá hiệu quả giảm dao động xoắn cho
trục máy trong trường hợp không lắp bộ hấp thụ dao động và trường hợp có lắp bộ hấp
thụ dao động với các nghiệm giải tích tối ưu tìm được của bộ hấp thụ dao động DVA.
Từ việc mô phỏng số biên độ dao động theo thời gian trong trường hợp hệ chịu kích
động điều hòa, kích động va chạm và kích động ngẫu nhiên ta thấy rằng biên độ giảm
dao động của trục máy khi thiết kế DVA theo các tham số tối ưu tìm trong luận án là rất
tốt. Với trường hợp hệ chịu kích động điều hòa, ngay cả khi hệ làm việc trong vùng cộng
hưởng thì hiệu quả giảm dao động đều rất tốt. Điều này đáp ứng được yêu cầu của kỹ
thuật đặt ra.
4. Đã phát triển các kết quả nghiên cứu cho trường hợp hệ chính có nhiều bậc tự
do. Tác giả đã thiết lập được hệ phương trình vi phân mô tả dao động của hệ, thiết lập
được biểu thức tổng quát của hàm khuếch đại biên độ của bậc tự do thứ N trong mô hình
trục máy có N bậc tự do và tìm được tham số tối ưu của bộ DVA giảm dao động xoắn
cho hệ nhiều bậc tự do dưới dạng giải tích.
- Tham số tối ưu của bộ DVA với mô hình trục máy có 2 bậc tự do:
2 2
22
2 1 3 2
2 1opt
n
n
3 6 2 4 2 2 4 2 2 2
4 2 2 3
1 (4 6 5 2)(2 5 2)
2 (2 3 )(1 )opt
n
- Tham số tối ưu của bộ DVA với mô hình trục máy có 3 bậc tự do:
130
6 3 4 2 2
22
2 6 10 4
2 1opt
n
n
2
2opt
ABC
DE
2 2
4 8 3 6 2 4 2
3 6 2 4 2
44 2
4 8 3 6 2 4 2
;
2 7 6 2 2
5 14 10 2;
1 ;
2 13 26 18 4
A
B
C
D n
E
Các kết quả nghiên cứu trong luận án đã được tác giả lập trình tính toán và mô
phỏng trên phần mềm Maple, đây là phần mềm được các nhà khoa học trên thế giới
chuyên dùng và cho kết quả tin cậy.
Những đóng góp mới của luận án
- Tính toán tìm được các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động DVA giảm dao
động xoắn cho trục máy có một bậc tự do theo các phương pháp khác nhau. Tham số tối
ưu được biểu diễn dưới dạng giải tích tường minh.
- Xây dựng các chương trình tính toán trên phần mềm để đánh giá, so sánh và
kiểm chứng sự khác biệt thông qua đáp ứng đầu ra của mô hình mô phỏng trong trường
hợp hệ chịu kích động điều hòa, kích động va chạm và kích động ngẫu nhiên với bộ
tham số tối ưu.
- Đã phát triển các kết quả nghiên cứu cho trường hợp hệ chính có nhiều bậc tự
do. Đưa ra các biểu thức giải tích của tham số trong trường hợp tối ưu cho hệ có 1, 2 và
3 bậc tự do.
- Đóng góp chính về mặt học thuật của luận án là sự phát triển nghiên cứu để tính
toán giải tích xác định các tham số tối ưu và mô phỏng hiệu quả giảm dao động cho hệ
chính nhiều bậc tự do.
131
Các vấn đề cần nghiên cứu tiếp theo
1. Tiếp tục nghiên cứu tìm thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động giảm dao
động xoắn cho trục máy khi hệ chính có cản.
2. Để đưa các kết quả nghiên cứu vào ứng dụng thực tế cần nghiên cứu thực
nghiệm.
3. Phát triển các kết quả nghiên cứu của Luận án khi kể đến các dao động khác
như dao động dọc trục, dao động uốn, …
132
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
1. Vu Xuan Truong, Nguyen Duy Chinh, Khong Doan Dien, Tong Van Canh (2017),
Closed-form solutions to the optimization of dynamic vibration absorber attached to
multi degree-of-freedom damped linear systems under torsional excitation using the
fixed-point theory, Journal of Mutibody Dynamics (ISI, IF 1.242), First
Published August 4, 2017, DOI: 10.1177/1464419317725216.
2. Vu Xuan Truong, Khong Doan Dien, Nguyen Duy Chinh, Nguyen Duc Toan (2017),
Optimal Parameters of Linear Dynamic Vibration Absorber for reduction of
torsional vibration, Journal of Science and Technology (Technical Universities),
Vol 119B, pp.37-42.
3. Nguyễn Duy Chinh, Vũ Xuân Trường, Khổng Doãn Điền (2017), Nghiên cứu thiết
kế tối ưu bộ DVA giảm dao động xoắn cho trục máy theo phương pháp cực tiểu động
năng của hệ, Tạp chí Kết cấu và Công nghệ Xây dựng, Hội Kết cấu và Công nghệ
Xây dựng Việt Nam, Số 25 (Quý III-2017), tr.5-12.
4. Khong Doan Dien, Vu Xuan Truong, Nguyen Duy Chinh (2017), The fixed-points
theory for shaft model by passive mass-spring-disc dynamic vibration absorber,
Proceedings of The 2nd National Conference on Mechanical Engineering and
Automation, ISBN 978-604-95-0221-7, pp. 82-86.
5. Vũ Xuân Trường, Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh (2017), Tính toán và mô
phỏng số hiệu quả giảm dao động xoắn cho trục máy khi sử dụng bộ hấp thụ động
lực DVA, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, UTEHY, ISSN 2354-0575, Số 15, tr.9-
15
6. Khong Doan Dien, Nguyen Duy Chinh, Vu Xuan Truong (2014), Research to reduce
vibration for shaft of machines using tuned mass dampers, Proceedings of The
Regional Conference on Mechanical and Manufacturing Engineering, ISBN
978-604-911-942-2, pp. 132-136.
133
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu Tiếng Việt
1. Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Chiều, Khổng Doãn Điền (2004), Lý thuyết dao
động, Nhà xuất bản Nông nghiệp.
2. Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Bá Nghị (2006), Tính toán hệ TMD cho cơ hệ một bậc
tự do nhằm giảm thành phần dao động tần số riêng, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Bách
khoa Hà Nội.
3. Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Chỉ Sáng (2004), Nghiên cứu bài toán hấp thụ dao
động cho hệ nhiều bậc tự do, Luận án Tiến sĩ Cơ học, Viện Cơ học.
4. Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt (2008), Giảm dao động bằng thiết bị tiêu tán năng
lượng, Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và công nghệ.
5. Nguyễn Đông Anh, Phạm Minh Vương (2006), Nghiên cứu giảm dao động tự do
của một số cơ hệ bằng TMD, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội.
6. Nguyễn Duy Chinh, Vũ Xuân Trường, Khổng Doãn Điền (2017), Nghiên cứu thiết
kế tối ưu bộ DVA giảm dao động xoắn cho trục máy theo phương pháp cực tiểu
động năng của hệ, Tạp chí Kết cấu và Công nghệ Xây dựng, Hội Kết cấu và Công
nghệ Xây dựng Việt Nam, ISSN 0859-3194, Vol2/2017.
7. Nguyễn Ngọc Chung (2015), Nghiên cứu xác định tham số tối ưu của bộ hấp thụ
dao động TMD dạng con lắc kép giảm dao động xoắn cho trục máy, Luận văn Thạc
sĩ, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên.
8. Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh (2010), Nghiên cứu giảm dao động cho công
trình theo mô hình con lắc ngược chịu tác dụng của ngoại lực, Luận án Tiến sĩ Cơ
học, Viện Cơ học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
9. Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Vũ Xuân Trường, Nguyễn Ngọc Chung
(2015), Nghiên cứu xác định tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động TMD dạng
con lắc kép giảm dao động xoắn cho trục máy, Tạp chí Khoa học và Công nghệ,
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, ISSN 2354-0577, Số 6, tr.15-20.
10. Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Vũ Xuân Trường, Đào Công Luật, (2015),
Nghiên cứu xác định tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động TMD dạng con lắc
134
lệch tâm giảm dao động xoắn cho trục máy, Tạp chí Khoa học và Công nghệ,
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, ISSN 2354-0577, Số 7, tr.9-14.
11. Nguyễn Văn Khang (2009), Cơ học kỹ thuật, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
12. Nguyễn Văn Khang (2005), Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4), Nhà xuất bản Khoa
học Kỹ thuật, Hà Nội.
13. Đào Công Luật (2015), Nghiên cứu giảm dao động xoắn cho trục máy bằng bộ hấp
thụ dao động dạng con lắc, Luận văn Thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Hưng
Yên.
14. Phạm Văn Thơ (2015), Nghiên cứu giảm dao động cho trục máy bằng bộ giảm dao
động rãnh trượt tròn, Luận văn Thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên.
Tài liệu Tiếng Anh
15. Anh. N.D and Nghi N.B. (2006), Design of TMD for Inverted pendulum type
structures to reduce free vibration components, Proceeding of the National
conference on Engineering Mechanics and Automation, Bach Khoa Publishing
House, Hanoi 1-8.
16. Anh. N.D and Sang. N.C (2003), A selection of parameters of tuned mass damper
for multi-Degree-Of Freedom-Systems, Subjected to second order coloured noise
excitation, Vietnam Journal of Mechanics, Vol .25, No 2, pp.65-76.
17. Anh. N.D and N.C. Sang (2003), Design of an Optimal Tuned Mass Dampers For
Muliti-Dgree-Of-Freedom-Systems, Advances in Natural Sciences, Volume 4, No
1, pp. 1-14.
18. Anh. N.D and Sang. N.C (2004), On the Optimal Control Force Applied to Tuned
Mass Dampers for Muliti-Degree-Of-Freedom System, Vietnam Journal of
Mechanics, Vol .26, No. 1, pp.1-14.
19. Anh N.D, Matsuhisa. H, Viet. L.D, and Yasuda. M (2007), Vibration control of an
inverted pendulum type structure by passive mass-spring-pendulum dynamic
vibration absorber, Journal of Sound and Vibration 307, pp.187-201.
20. Anh. N.D and Nguyen. N.X (2013), Design of TMD for damped linear structures
using dual criterion of equivalent linearization method, International Journal of
Mechanical Sciences. 77, pp. 164-170.
135
21. Alsuwaiyan A.S, Shaw S.W (2002), Performance and dynamic stability of general-
path centrifugal pendulum vibration absorbers. Journal of Sound Vibratin, 252,
791-815.
22. Abouobaia E., Bhat R. and Sedaghati R. (2016), Development of a new torsional
vibration damper incorporating conventional centrifugal pendulum absorber and
magnetorheological damper. J Intel Mat Syst Str, 27: 980-992.
23. Bishop. R.E.D, and Welbourn. D.B (1952), The Problem of the Dynamic Vibration
Absorber, Engineering, London.
24. Brock J.E (1929), A Note on the Damped Vibration Absober, J. Appl. Mech., 13(4).
A-284.
25. Carter B.C (1929), Rotating pendulum absorbers with partly solid and liquid inertia
members with mechanical or fluid damping, Patent 337, British, 1929.
26. Chao C.P, Shaw S.H and Lee C.T (1997), Stability of the unison response for a
rotating system with multiple tautochronic pendulum vibration absorbers, J Appl
Mech; 64: 149-156.
27. Crandall S.H. (1963), Random vibration in mechanical systems, Academic Press.
28. Denman H.H (1992), Tautochronic bifilar pendulum torsion absorbers for
reciprocating engines, J Sound Vib; 159: 251–277.
29. Den Hartog J.P. (1985), Mechanical Vibrations, Dover Publications, Inc, NewYork.
30. Dien K.D, Truong V.X and Chinh N.D (2017), The fixed-points theory for shaft
model by passive mass-spring-disc dynamic vibration absorber, Proceedings of The
2nd National Conference on Mechanical Engineering and Automation, 82-86, ISBN
978-604-95-0221-7.
31. Frahm. H (1909), Device for damped vibration of bodies, U.S. Patent No 989958,
Oct. 30.
32. Fujino. Y and Abe. M (1993), Design Formulas for Tuned Mass Dampers Based on
a Perturbation Technique, Earthquake Eng. Struct. Dyn., 22, pp. 833-854.
33. Falcon. K.C, Stone. B.J, Simcock. W.D and Andrew. C (1976), Optimization of
Vibration Absorbers: A Graphical Method for Use on Idealized Systems with
Restricted Damping, J. Mech. Eng. Science, 9, pp. 374-381.
136
34. Haddow A.G and Shaw S.W, Centrifugal pendulum vibration absorbers: An
experimental and theoretical investigation, Nonlin Dyn 2003; 34: 293-307.
35. Hosek. M, Elmali. H, and Olgac. N (1997), A tunable torsional vibration absorber:
the centrifugal delayed resonator, Journal of Sound and Vibration. 205(2), pp. 151-
165.
36. Ioi. T, Ideka. K (1978), On the dynamic vibration damped absorber of the vibration
system, Bulletin of Japanese Society of Mechanical Engineering, 21(151), pp. 64-
71.
37. Jacquot. R.G, and Hoppe. D.L (1973), Optimal Random Vibration Absorbers, J.
Eng. Mech., ASCE, 99, pp. 612-616
38. Lee C.T and Shaw S.W, A subharmonic vibration absorber for rotating machinery,
J Vib Acoust 1997; 119: 590-595.
39. Luft. R.W (1979), Optimal Tuned Mass Damper for building, J. Struct. Div., ASCE,
105(12), pp. 2766-2772.
40. Madden J.F (1980), Constant frequency bifilar vibration absorber, Patent 4218187,
USA.
41. Mayet J. and Ulbrich H. (2014), Tautochronic centrifugal pendulum vibration
absorbers: General design and analysis, J Sound Vib; 333: 711–729.
42. Mayet J. and Ulbrich H. (2015), First-order optimal linear and nonlinear detuning
of centrifugal pendulum vibration absorbers, J Sound Vib; 335: 34–54.
43. Mayet J., Rixen D. and Ulbrich H. (2013), Experimental investigation of centrifugal
pendulum vibration absorbers, The 11th International Conference on Vibration
Problems (ed Dimitrovova D et.al.), Lisbon, Portugal, paper no. MS19.
44. Mayet J., Rixen D. and Ulbrich. H (2013), Experimental investigation of centrifugal
pendulum vibration absorbers, 11th International Conference on Vibration
Problems, pp.1-9.
45. Mehmet B.O., Thomas J.R. (2005), Application of Sherman–Morrison matrix
inversion formula to damped vibration absorbers attached to multi-degree of
freedom systems, Journal of Sound and Vibration 283, 1235-1249.
46. Mendes A.S, Meirelles P.S and Zampieri D.E. (2008), Analysis of torsional
137
vibration in internal combustion engines: Modelling and experimental validation,
Proc IMechE Part K: J Multi-body Dyn; 222: 155-178.
47. Nagashima I., Optimal displacement feedback control law for active tuned mass
damper, Earthquake engineering and structural dynamic, 30: 1221-1242, (2001).
48. Nester T.M., Schmitz P.M., Haddow A.G. and Shaw S.W, Experimental
observations of centrifugal pendulum vibration absorbers, the 10th International
Symposium on Transport Phenomena and Dynamics of Rotating Machinery,
Honolulu, Hawaii, March 07-11, 2004, paper no. ISROMAC10-2004-043.
49. Nishihara O, and Asami T, Close-form solutions to the exact optimizations of
dynamic vibration absorber (minimizations of the maximum amplitude manification
factors), Journal of Vibration and Acoustics, 124, 576-582, 2002.
50. Ormondroyd J., and Den Hartog J.P. (1928), The theory of the dynamic vibration
absorber, Transactions of ASME, Journal of Applied Mechanics, 50 (7), 9-22.
51. Paipetis. S.A, and Vakakis. A.F (1985), A method of analysis for unidirectional
vibration isolators with many degrees of freedom, Journal of Sound and Vibration.
98(1), pp.13-23.
52. Paipetis. S.A, and Vakakis. A.F (1986), The effect of a viscously damped dynamic
absorber on a linear multi-degrees of freedom system, Journal of Sound and
Vibration. 105(1), pp.49-60.
53. Sarazin RRR. (1937), Means adapted to reduce the torsional oscillations of
crankshafts, Patent 2079226, USA.
54. Shaw S.W, Schmitz P.M and Haddow A.G (2006), Tautochronic vibration
absorbers for rotating systems, J Comput Nonlin Dyn; 1: 283-293.
55. Swank M. and Lindemann P. (2011), Dynamic absorbers for modern powertrains,
SAE paper 2011-01-1554.
56. Sedaghati. G (2014), Optimal design of distributed tuned mass dampers for passive
vibration control of structures, Struct. Control Health Monit, doi: 10.1002/stc.1670.
57. Taylor ET. (1936), Eliminating Crankshaft Torsional Vibration in Radial Aircraft
Engines, SAE paper 360105, 1936.
58. Thomson W. T. (1995), Theory of Vibration with Applications, George Allen and
138
Unwin, London and Sydney, Second Edition.
59. Truong V.X, Chinh N.D, Dien K.D and Canh T.V (2017), Closed-form solutions to
the optimization of dynamic vibration absorber attached to multi degree-of-freedom
damped linear systems under torsional excitation using the fixed-point theory,
Journal of Mutibody Dynamics (ISI), IF1.242, DOI: 10.1177/1464419317725216.
60. Truong V.X, Dien K.D, Chinh N.D and Toan N.D (2017), Optimal Parameters of
Linear Dynamic Vibration Absorber for reduction of torsional vibration, Journal of
Science and Technology (Technical Universities), Vol 119, pp.37-42.
61. Truong V.X, Dien K.D and Chinh N.D (2015), Research on specify optimal
parameters of the TMD to reduce torsional vibration for shaft, UTEHY Journal of
Science and Technology, ISSN 2354-0575, Vol 8, pp.15-20.
62. Truong V.X, Dien K.D and Chinh N.D (2014), Research to reduce vibration for
shaft of machines using tuned mass dampers, Proceedings of The Regional
Conference on Mechanical and Manufacturing Engineering, ISBN 978-604-911-
942-2, pp. 132-136.
63. Truhar Ninoslav, Veselic Kresimir (2004), On some properties of the Lyapunov
equation for damper systems, Mathematical Communications, pp. 189-197.
64. Truhar Ninoslav (2004), An efficient algorithm for damper optimization for linear
vibrating systems using Lyapunov equation, J.Comput. Appl. Math 172(2004),
pp169 -182.
65. Vitaliani E., Di Rocco D. and Sopouch M. (2015), Modelling and simulation of
general path centrifugal pendulum vibration absorbers, SAE paper 2015-24-2387.
66. Wilson W.K. (1968), Practical solution of torsional vibration problems: with
examples from marine, electrical, and automobile engineering practice, Vol. 4,
Devices for controlling vibration, 3rd ed. London: Chapman and Hall.
67. Warbuton. G. B (1982), Optimum absorber parameters for various combinations of
response and excitation parameters, Earthquake Engineering and Structural
Dynamics, pp. 381-401.
68. Anh. N.D., and N.C. Sang (2003), "Design of an Optimal Tuned Mass Dampers For
Muliti-Dgree-Of-Freedom-Systems", Advances in Natural Sciences, Volume 4, No
139
1, pp. 1-14.
69. Anh. N.D, and Sang. N.C (2004), "On the Optimal Control Force Applied to Tuned
Mass Dampers for Muliti-Degree-Of-Freedom System", Vietnam Journal of
Mechanics, Vol .26, No. 1, pp.1-14.
70. Vakakis. A.F (1985), "A method of analysis for unidirectional vibration isolators
with many degrees of freedom", Journal of Sound and Vibration. 98(1), pp.13-23.
71. Vakakis. A.F (1986), "The effect of a viscously damped dynamic absorber on a
linear multi-degrees of freedom system", Journal of Sound and Vibration. 105(1),
pp.49-60.