nfsps.3dn.ru · 2 УДК 372.851 ББК 74.262.21я72 К59 Печатается по решению...

2

УДК 372.851 ББК 74.262.21я72

К59

Печатается по решению редакционно-издательского совета Межрегионального центра инновационных технологий в образовании

Книга написана в рамках реализации проекта «Ресурсно-методическое сопровождение математического образования школьников» региональной инновационной площадки

«Взаимосвязь содержания, форм и методов основного и дополнительного математического образования школьников» МОАУ «Лицей № 21» г. Кирова

Рецензенты: доктор педагогических наук, профессор В. А. Тестов;

кандидат педагогических наук, доцент Н. А. Зеленина; кандидат физико-математических наук, доцент Д. В. Чупраков

Научный редактор:

кандидат педагогических наук, доцент П. М. Горев

К59 Козлова Е. В. Математика: Материалы для комплексной подготовки к

итоговой аттестации за курс основной школы. 9 класс: Учебно-методи-ческое пособие. – Киров: Изд-во МЦИТО, 2015. – 132 с.

ISBN 978-5-906642-20-2

Пособие является отражением курса комплексной подготовки к итоговой аттеста-ции по математике в формате Основного государственного экзамена (ОГЭ). Описанная в пособии методика многократно апробирована автором во внеклассной работе с учащи-мися 9-х классов.

Автор не только знакомит читателя с материалами занятий курса, но и предлагает отдельные педагогические приемы психологической подготовки школьников к управ-лению временем для качественной подготовки и сдачи экзамена.

Пособие представляет интерес для учителей математики, студентов педагогических направлений подготовки, учащихся старших классов основной школы и всех тех, кто нахо-дится в творческом поиске новых возможностей саморазвития в области математики.

УДК 372.851 ББК 74.262.21я72

ISBN 978-5-906642-20-2 © АНО ДПО «Межрегиональный центр инноваци-онных технологий в образовании», 2015

© Козлова Е. В., 2015

3

Оглавление

Предисловие ........................................................................................................................... 3

Поурочное планирование курса ............................................................................... 4

Тайм-менеджмент для успешной подготовки к экзамену .................... 5

Диагностическая работа № 1 ................................................................................... 11

Алгебра

Тема 1. Числа и вычисления .................................................................................... 14 Тема 2. Координатная прямая и числовые неравенства ......................... 23 Тема 3. Алгебраические выражения ................................................................... 27 Тема 4. Уравнения ......................................................................................................... 32 Тема 5. Неравенства ..................................................................................................... 36 Тема 6. Системы уравнений и неравенств ...................................................... 40 Тема 7. Функции и графики ..................................................................................... 45 Тема 8. Текстовые задачи ......................................................................................... 55 Тема 9. Числовые последовательности ............................................................ 66

Диагностическая работа № 2 ................................................................................... 70

Геометрия

Тема 10. Основные понятия. Треугольники ................................................... 72 Тема 11. Четырехугольники .................................................................................... 80 Тема 12. Окружность и круг ..................................................................................... 83 Тема 13. Правильные многоугольники и площади фигур ..................... 87 Тема 14. Векторы и прямоугольная система координат ........................ 91 Тема 15. Анализ геометрических высказываний ........................................ 94

Диагностическая работа № 3 ................................................................................. 100

Прикладные задачи

Тема 16. Анализ статистической информации ........................................... 102 Тема 17. Комбинаторика и теория вероятностей ..................................... 110 Тема 18. Расчеты по формулам ............................................................................ 115

Диагностическая работа № 4 ................................................................................. 118

Психологические рекомендации родителям и учащимся ............... 122

Ответы к задачам ........................................................................................................... 125

Ответы к диагностическим работам ................................................................ 130

Библиографический список ................................................................................... 131

4

Предисловие

В среде учителей математики нередко возникают споры, нужно ли специально го-

товить к итоговому экзамену, «натаскивать» на решение его заданий или же учить ма-тематике планомерно, соблюдая принцип прочности знаний. Однако все эти споры учи-телей, болеющих за результаты своих воспитанников, рано или поздно приводят к по-ниманию того, что в современных условиях неизбежно возникает необходимость под-готовки школьников к экзамену, а вот формы ее могут быть крайне разнообразны.

Так, к примеру, для сильных учеников с высокой мотивацией к учебному труду достаточно рекомендации источников или отбора материала для подготовки, а средним и особенно слабым необходим помощник – педагог, тьютор, репетитор.

В учебно-методическом пособии, которое вы держите в руках, представлены ма-териалы уникального опыта проведения занятий (в объеме 68 часов) по целенаправлен-ной комплексной подготовке учащихся 9-х классов к итоговой аттестации в формате классно-урочной работы над материалом под руководством учителя или педагога до-полнительного образования. Более подготовленные ученики могут использовать посо-бие для самостоятельной интенсивной подготовки к экзамену.

Комплексность подготовки заключается в том, что наряду с формированием предметных знаний и умений курс ориентирован на создание психологически комфорт-ной обстановки и уверенности в своих силах. В нем затрагиваются вопросы управления временем и психологические аспекты подготовки к экзамену.

Вопросы планирования времени очень остро стоят перед сегодняшними школь-никами. Особенно это касается периода подготовки к экзаменам. От того, насколько гра-мотно они смогут распределить свое время, а значит, и силы, зависит успешность под-готовки к экзамену и исключение временного цейтнота.

Любой экзамен – это серьезное испытание. Поэтому задача родителей и педагогов – создавать максимально комфортные условия для подготовки к нему, чтобы избежать стрессовых ситуаций. В пособии представлены практические психологические рекоменда-ции для родителей и учащихся. Описаны некоторые методики, позволяющие настроиться на успешную сдачу экзамена.

Основная часть пособия непосредственно предметная, математическая. Система-тизация знаний по математике осуществляется за весь курс основной школы. Система задач предваряется справочным материалом, необходимым согласно кодификатору элементов содержания. Задания в каждой из тем трех крупных разделов (алгебра, гео-метрия, прикладные задачи) разбиты на три блока: для разбора с учителем в классе, для самостоятельной работы и для домашней работы. После изучения каждого раздела осу-ществляется промежуточный контроль усвоения знаний, для этого в пособие включены диагностические работы.

Для упрощения работы педагога по пособию на стр. 5 предлагается один из вари-антов поурочного планирования материала.

Надеемся, что пособие окажется полезным при подготовке выпускников основ-ной школы к итоговому экзамену и их результаты будут достаточно успешными, чтобы продолжить дальнейшую математическую подготовку в старших классах.

5

Поурочное планирование курса

Уроки Тема

1–2 Тайм-менеджмент для успешной подготовки к экзамену 3–7 Входная диагностическая работа в форме ОГЭ

8 Числа и вычисления 9 Преобразование числовых выражений

10 Координатная прямая 11 Числовые неравенства 12 Алгебраические выражения 13 Разложение многочленов на линейные множители 14 Преобразование алгебраических выражений 15 Решение линейных и квадратных уравнений 16 Дробно-рациональные и простейшие иррациональные уравнения 17 Решение уравнений высших степеней 18 Числовые промежутки и решение линейных неравенств 19 Решение квадратных неравенств 20 Метод интервалов

21–22 Решение систем уравнений 23–24 Решение систем неравенств

25 Основные функции и их графики 26 «Чтение» графиков основных функций 27 Основные приемы преобразования графиков 28 Задачи на проценты 29 Задачи на концентрацию, смеси и сплавы 30 Задачи на движение 31 Задачи на совместную работу 32 Числовые последовательности. Арифметическая прогрессия 33 Геометрическая прогрессия

34–35 Диагностическая работа по разделу «Алгебра» 36–37 Анализ диагностической работы по разделу «Алгебра»

38 Основные геометрические понятия 39 Треугольники 40 Параллелограмм. Прямоугольник 41 Ромб. Квадрат 42 Трапеция 43 Окружность и круг 44 Углы в окружности 45 Правильные многоугольники

46–47 Площади фигур 48 Векторы 49 Прямоугольная система координат 50 Анализ геометрических высказываний

51–52 Диагностическая работа по разделу «Геометрия» 53–54 Анализ диагностической работы по разделу «Геометрия»

55 Статистические характеристики 56 Формы наглядного представления информации 57 Размещения, перестановки, сочетания без повторений 58 Размещения, перестановки, сочетания с повторениями 59 Теория вероятностей 60 Расчеты по формулам 61 Психологические рекомендации учащимся при подготовке и сдаче ОГЭ

62–66 Итоговая работа в форме ОГЭ 67–68 Анализ итоговой работы в форме ОГЭ

6

Тайм-менеджмент для успешной подготовки к экзамену

Беседа с учащимися

Очень часто школьники слышат в свой адрес вопрос: «Почему ты это не сделал?» Как вы думаете, какой самый распространенный ответ? Правильно! «Не хватило времени…»

Неужели короче стали дни, минуты, секунды? Нет! Время – это та категория, по отно-шению к которой все мы находимся в равноправном положении. Каждому дано 24 часа в сутки, 168 часов в неделю. Каждый располагает всем временем, которое у него есть. «Нет времени» – эта фраза стала, пожалуй, символом нашей эпохи. «Ни на что не хватает вре-мени. Позавчера не успел написать сочинение, вчера – прочитать книгу, а уже пора отда-вать, сегодня не успел сделать уборку в квартире, завтрашнюю прогулку на лыжах при-дется отложить» – мы мало что успеваем, но в этом все склонны винить время, но не себя.

Одной из причин нехватки времени является склонность или привычка откладывать дела, поступки, действия до какого-нибудь срока, который чаще всего не определен.

«Долго раскачиваюсь, тяну до последнего момента». «Вместо того чтобы делать что-то нужное, я сижу за компьютером или звоню

друзьям. А потом, когда времени остается совсем мало, хватаюсь за все сразу, ничего не успеваю и злюсь».

«Мне ничего не удается выполнить вовремя, я все откладываю на последний мо-мент, занимаюсь тем, что приносит удовольствие, или вообще ничем. Потом приходит расплата, и я страдаю оттого, что жизнь проходит зря».

Много способных и талантливых людей мало чего добились в жизни по одной лишь причине – они не умели достаточно разумно использовать свое время. А оно – бесплат-ное добро, и каждый имеет его в равном количестве. Задумывались ли вы над тем, сколько времени у вас есть, и действительно ли вы так заняты, что постоянно жалуетесь на его нехватку?

Давайте произведем некоторые расчеты, которые позволят установить, каким ка-питалом рабочего (Кр) и личного (Кл) времени вы располагаете.

Учебный год в школе длится 36 недель. Учебная неделя составляет 6 дней, значит, всего в учебном году 216 рабочих дней.

Каникулы вместе с праздниками составляют 30 дней, добавляем 36 воскресений, полу-чаем 66 выходных дней, почти одна треть от рабочих дней, и это не считая летних каникул.

Но эти числа мало что могут нам сказать. Картина будет более яркая, если вы рас-считаете капитал вашего времени в часах.

В сутках 24 часа, но вы не можете располагать ими полностью. Одну треть этого вре-мени занимает сон. Прибавьте сюда 1 час на утренний туалет и сборы в школу, получается 9 часов. Таким образом, оставшиеся 15 часов вы можете использовать сознательно.

Часть этого времени уже занята уроками в школе (в среднем 6 часов в день) и при-готовлением домашних заданий (примерно 2,5 часа). Следовательно, рабочее время со-ставляет 8,5 часов ежедневно.

Посчитаем капитал рабочего времени за учебный год:

Кр = 216 рабочих дней × 8,5 часов = 1 836 часов.

Капитал личного времени складывается, во-первых, из часов, которые остались по-сле школьных уроков и выполнения домашних заданий с понедельника до суб-боты (Клр), всего 6,5 часов в день. Во-вторых, из времени выходных дней (Клв), которых, как известно, 66 дней, в каждом из которых вы располагаете 15 часами.

7

Посчитаем, сколько это будет в сумме.

Клр = 216 рабочих дней × 6,5 часов = 1 404 часов, Клв = 66 выходных дней × 15 часов = 990 часов,

Кл = Клр + Клв = 2 394 часов.

Для многих результаты произведенных подсчетов оказываются неожиданными, так как личного, свободного от учебы времени оказывается больше, чем рабочего, на 458 часов.

Некоторые даже не могут сразу в это поверить. Конечно, соотношение ежеднев-ного рабочего времени и времени для досуга не может быть одинаковым для каждого. Однако в любом случае можно констатировать следующее.

1. Время, которое занято учебой и связанной с ней деятельностью, не превышает количества времени, которым можно распоряжаться по своему усмотрению (на личное развитие, хобби, общение с друзьями).

2. Даже если на домашнюю работу (хозяйственные дела, покупки) вы будете отво-дить 1,5 часа в день, то за 282 дня оно составит 423 часа. Следовательно, свободного вре-мени все равно останется больше, чем рабочего. 5 часов в день, 45 часов в неделю, 180 ча-сов в месяц.

Задумайтесь, на что уходят эти часы? Фактор времени не подлежит увеличению и накоплению. Единственное, что

можно сделать, – это научиться сознательно планировать и рационально его использо-вать. Но прежде, чем приступить к планированию, необходимо изучить затраты соб-ственного времени, то есть в течение нескольких дней записывать все дела и количество времени, затраченного на их выполнение.

Естественным будет задать вопрос: зачем нужен такой подробный автохрономет-раж? Может ли он дать новую информацию о тебе?

Да, может. Вы узнаете: на что вообще расходуется ваше время; сколько времени вам требуется для выполнения тех или иных дел; вы определите свои сильные и слабые стороны, а также то, кто или что отвле-

кает вас от дел и какие факторы стимулируют вашу работоспособность. Письменное фиксирование дел сделает учет затрат точным, а не приблизитель-

ным. Попробуйте вспомнить все, что вы делали вчера, с точностью до получаса. Вот вы и убедились, что это нелегко.

Во-первых, многие моменты «стерлись» из вашей памяти как мелкие и незначи-тельные, поэтому вам трудно их вспомнить. Во-вторых, очень сложно спустя сутки оце-нить время, затраченное на разные занятия. Дело в том, что кроме физического вре-мени, которое мы отмеряем по минутам, часам, существует еще так называемое психо-логическое время. Оно определяется субъективно, зависит от состояния человека и наполненности событиями часов и минут. Например, час может показаться бесконечно долгим, когда вы на скучном уроке, и те же 60 минут пролетают незаметно, когда вы читаете интересную книгу или присутствуете на концерте популярного артиста.

Еще одна причина, которая мешает реалистично оценить время, – нежелание знать, на что уходят дни и часы жизни. Когда человек пытается осмыслить собственную жизнь, срабатывает механизм психической защиты от абсолютного знания о себе, кото-рая помогает сохранить иллюзии и мешает увидеть реальную картину собственной жизни. Поэтому самонаблюдение, автохронометраж – это верный путь к получению но-вой информации о себе, о собственной занятости. Это возможность проверить свою го-товность научиться организовывать время, которое является нашей собственностью.

Природа предоставила в наше распоряжение только эту вечно текущую и непо-

8

средственную вещь, которую может отнять у нас всякий, кто этого захочет. Тот, кто поз-воляет ускользать своему времени, выпускает из рук свою жизнь. Тот, кто держит его в руках, держит в руках и жизнь.

Приведем пример из жизни Александра Александровича Любищева, известного био-лога и философа, описанный Даниилом Граниным в документальной повести «Эта стран-ная жизнь». 1 января 1916 года Александр Любищев дал себе обет правильно организовать свою жизнь. Ему было тогда 26 лет. С этого дня в течение 56 лет до самой смерти в 1972 году он аккуратно записывал расход своего времени и не прерывал своих записей ни разу, хотя за эти годы происходили грандиозные исторические события. С годами у Любищева выра-боталось чувство времени. Он мог оценивать затраты времени с точностью до 5 минут, не глядя на часы. Любищев не имел секретаря, он сам вел каждодневные записи расхода вре-мени, подводил итоги и на их основе составлял планы на неделю, месяц вперед, где ста-рался занять каждый час. Данные о затратах были ему нужны для оценки «стоимости» каж-дой работы. Так, его статья «О применении математики в биологии» потребовала от него таких затрат: подготовка (план, просмотр литературы) – 14 часов 30 минут, написание – 29 часов 15 минут, всего 43 часа 45 минут с 12 по 19 октября 1921 года.

Учет приучил Любищева экономить каждую минуту, находить и использовать так называемые «отбросы времени», то есть перерывы в работе: поездки в транспорте, собра-ния, очереди в магазинах. На заседаниях, где было много бесполезной болтовни, он решал задачи, в поездах читал книги. Например, английский язык он выучил в транспорте.

Какой смысл, спросите вы, вести учет, ведь это требует много времени? Стоило ли так закрепощать себя? Да, на первый взгляд может показаться, что такой жесткий учет сделает жизнь скучной, формальной. Однако это не так. Судьба профессора Любищева – пример полнокровной, гармоничной жизни. Он доказал, что успех дела напрямую зави-сит от учета всего времени. Все время одинаково дорого. Нет времени плохого, пустого, лишнего. Нет времени отдыха. Отдых – смена занятий.

Годовой отчет А. Любищева помещался в толстой тетради, где было расписано, сколько времени уходит на науку, сколько на чтение, сколько на общение с друзьями. Из отчета за 1938 год: прочитано 9 000 страниц художественной литературы за 247 часов. Написано 552 страницы научных трудов, из них напечатано 152 страницы. Развлечения – 65 раз, и следует список спектаклей, концертов, выставок, кинокартин.

Любищев учитывал расходы времени и на составление отчетов. На месячный план уходило от 1,5 до 3 часов. Ежедневные записи занимали несколько минут, годовые от-четы 17–20 часов. Здесь требовался самоанализ: как изменялась производительность, почему. С годами у А. Любищева возрастало ощущение ценности времени, выработалось уважение к каждой минуте, и при этом он не стал рабом времени. Наоборот, ученый не зависел от него. Столь формальный в организации времени, Александр Александрович был творческим и разносторонним человеком. Он был биологом, математиком, изучал философию, читал художественную литературу. Нельзя назвать его жизнь аскетичной: он имел семью, вырастил двоих детей, занимался спортом, плавал, ходил на прогулки.

Итог этой «странной» привычки учитывать и планировать свое время – долгая, гармоничная и наполненная смыслом жизнь.

Не следует расценивать столь подробный рассказ о жизни А. А. Любищева как призыв последовать его примеру. Повторить чужую жизнь нельзя. Человек может прожить только свою жизнь, то время, которое ему отпущено. Прожить или потратить – каждый решает сам.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что всем без исключения просто необходимо учиться организовывать свое время. Для этого нужно усвоить несколько общих правил распределения дел во времени. Вот эти правила.

1. Составление списка дел. Возьмите лист бумаги и запишите на нем все дела, ко-торыми вам предстоит заниматься, например, в течение недели.

9

2. Упорядочение дел в списке. Просмотрев внимательно весь список, вы увидите, что в нем есть дела сложные и простые. Сложные нужно разбить на части. Например, вы приглашены на день рождения в воскресенье. Это мероприятие придется разбить на три части: выбор подарка, подготовка праздничной одежды и посещение самого торжества. В результате такого упорядочивания список дел станет более четким.

3. Разделение списка на два: список регулярных и прочих дел. Какие дела можно отнести к регулярным? Это те дела, процедура выполнения которых остается одной и той же, или те, которые нужно делать каждый день, каждую неделю, месяц. Гулять с со-бакой нужно каждый день, делать генеральную уборку в квартире раз в неделю, а пла-тить за коммунальные услуги раз в месяц.

Подумайте, какие дела в вашем списке носят регулярный характер, и отметьте их. Прочие дела – это те, которые можно делать редко, и возникают они случайно. Напри-мер, такие как ремонт перегоревшего утюга или покупка стержней для авторучки. Они войдут в список прочих дел.

4. Превращение нерегулярных дел в регулярные. Обратимся к списку прочих дел. Именно они создают неожиданные трудности. Однако среди них есть такие, которые можно перевести в регулярные. Например, можно стричься тогда, когда вам не понравится ваше от-ражение в зеркале. Но можно поступить иначе. Установить для себя правило: стричься в первую неделю каждого месяца. Теперь стрижка перейдет в список регулярных дел.

Регулярными можно сделать чтение журналов, посещение театров, чистку одежды, закупку продуктов и многое другое. Это позволит экономить время, заранее подгото-виться к делу и не выбиваться из общего ритма.

5. Разделение дел на жестко фиксированные во времени и имеющие времен-ные рамки. Регулярность у разных дел разная. Готовить одежду, в которой вы ходите в школу (почистить и погладить), можно раз в неделю, например в субботу. Брать книги в библиотеке – раз в две недели. Это регулярные дела, которые имеют временные рамки. Против них в списке нужно указать день их выполнения, например в субботу, в каждый второй понедельник и т. д. Но в списке есть занятия, которые не только регулярные, но и жестко фиксированные во времени. Это может быть занятие в секции карате, которые бывают два раза в неделю, по вторникам и пятницам с 18 до 20 часов. Посмотрите, какие еще в вашем списке есть дела, имеющие жестко фиксированное время, и отметьте их.

6. Превращение регулярных дел в четко фиксированные во времени и закреп-ление за ними одних и тех же часов. Многие регулярные дела, имеющие временные рамки, можно жестко фиксировать во времени. Это облегчит их выполнение. Положим, вы приняли решение: ходить в библиотеку каждый второй и четвертый понедельник после уроков с 14 до 15 часов. Для каких ваших дел вы еще можете установить конкрет-ные часы? Переход от условной регуляции к фиксированной увеличивает гарантию вы-полнения ваших дел. Четко зафиксированные во времени дела принимают обязатель-ный характер, от них уже труднее уклониться.

7. Выделение степени неотложности нерегулярных дел. Для каждого из нере-гулярных дел нужно отметить степень его неотложности и указать время, когда вы хо-тите его выполнить. Есть среди нерегулярных дел первоочередные. Например, вы обна-ружили, что уже нет чистых тетрадей, значит, купить их нужно уже сегодня. Следова-тельно, покупка тетрадей будет первоочередным делом. Бывают «негорящие», нерегу-лярные дела, но если их долго не делать, то из «негорящих» они могут превратиться в «горящие». Так, если вовремя не заплатить за Интернет, то его могут отключить. Тогда вместо получасового дела возникает многочасовое. «Горящее» дело нарушает ход дру-гих дел, отвлекает. Лучше его избежать, предупредить. Поэтому среди нерегулярных дел в вашем списке найдите те, которые могут стать неотложными и горящими. Отметьте их и укажите время, в которое вы сможете их выполнить.

10

Эти правила просты и универсальны. Если их освоить, то с их помощью можно легко научиться планировать дела на день, неделю, месяц, не только в школе, но и после ее окончания, и тогда вы с легкостью сможете рационально распределить свое время в период подготовки к экзаменам.

Домашнее задание

Для изучения вопроса, как и на что тратится ваше время, необходимо провести ав-тохронометраж. В течение следующей недели вам предстоит регулярно записывать все выполняемые дела в том порядке, в каком они следуют друг за другом в действительно-сти. Для записи необходимо разработать собственный бланк.

Подумайте, в каком месте будет находиться бланк, чтобы вы не забывали запол-нять его. Где удобнее его поместить: на письменном столе, в записной книжке или пове-сить на стену?

При учете времени будьте честными и самокритичными, даже если у вас возник-нет впечатление, что результаты будут разочаровывать.

Старайтесь производить немедленную регистрацию своих дел и занятий. Помните, что неточности возникают прежде всего из-за стремления приукрасить действительность, а также из-за того, что иногда пытаются заполнить бланк вечером, по памяти.

Записывайте все внешние «помехи», которые отрывают вас от дел (например, телефонный звонок или кто-то заглянул в гости).

Фиксируйте не только внешние «помехи», но и те случаи, когда вы сами отвле-каетесь от дел (например, бросаете решение задачи, бежите к телефону, так как вам вне-запно пришло в голову позвонить другу).

Помните, что автохронометраж вы делаете только для себя, это значит, что он не предназначен для посторонних глаз и посторонней оценки. Отнеситесь к этому как к ведению дневника, куда вы записываете свои сокровенные мысли. Это поможет избе-жать самокорректировки.

Вести самонаблюдение в течение всей недели очень трудная задача. Не огорчай-тесь, если у вас не все будет получаться. Постарайтесь прохронометрировать полностью не менее трех дней.

11

Диагностическая работа № 1

1. Запишите в ответе номера тех выражений, значение которых равно –5. 1) −4 ∙ 1,25 + 10; 2) −4 ∙ (−1,25) − 10; 3) 4 ∙ (−1,25) − 10; 4) 4 ∙ 1,25 − 10.

2. Одна из точек, отмеченных на коорди-

натной прямой, соответствует числу √45. Какая это точка?

1) точка M; 2) точка N; 3) точка P; 4) точка Q.

3. В каком случае числа 4√2, 2√7 и 5 расположены в порядке возрастания? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 5; 2√7; 4√2; 2) 4√2; 2√7; 5; 3) 2√7; 5; 4√2; 4) 4√2; 5; 2√7.

4. Найдите корни уравнения 2𝑥2 − 10𝑥 = 0. Если корней несколько, запи-шите их через точку с запятой в порядке возрастания.

5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, кото-рые их задают.

Графики

Формулы

1) 𝑦 =2

𝑥; 2) 𝑦 = 𝑥2 − 2; 3) 𝑦 = 2𝑥; 4) 𝑦 = 2 − 𝑥2.

Запишите в ответ цифры в порядке, соответствующем буквам.

6. Дана арифметическая прогрессия (𝑎𝑛), разность которой равна −5,3, 𝑎1 = −7,7. Найдите 𝑎7.

7. Найдите значение выражения 16

4𝑎−𝑎2−

4

𝑎 при 𝑎 = −12.

8. Укажите неравенство, которое не имеет решений. 1) 𝑥2 − 64 ≤ 0; 2) 𝑥2 + 64 ≥ 0; 3) 𝑥2 − 64 ≥ 0; 4) 𝑥2 + 64 ≤ 0.

9. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

12

10. Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду MN в её середине – точке K. Найдите длину хорды MN, если KB = 1 см, а радиус окружности равен 13 см.

11. В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон равен 60°, длина этой стороны равна 5.

Найдите площадь прямоугольника, деленную на √3.

12. На рисунке изображен ромб ABCD. Используя рисунок, найдите тангенс ∠𝐶𝐷𝑂.

13. Какие из данных утверждений верны? 1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность. 2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпенди-кулярны, то этот параллелограмм – квадрат. 3) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

14. В таблице даны нормативы по прыжкам в длину с места для 11-го класса.

Мальчики Девочки Отметка «3» «4» «5» «3» «4» «5» Дальность (в см) 200 229 230 155 170 185

Какую отметку получит мальчик, прыгнувший на 215 см? 1) «2»; 2) «3»; 3) «4»; 4) «5».

15. На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кан-дидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них. Сколько всего тысяч телезрителей проголосовало за первые 40 минут дебатов?

16. Мотоциклист проехал 19 километров за 15 минут. Сколько километров он проедет за 18 минут, если будет ехать с той же скоростью?

17. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?

13

18. Рок-магазин продаёт значки с символикой рок-групп. В продаже име-ются значки пяти цветов: чёрные, синие, зелёные, серые и белые. Данные о проданных значках представлены на столбчатой диаграмме.

Определите по диаграмме, значков какого цвета было продано меньше всего. Сколько примерно процентов от общего числа значков они составляют? 1) 5; 2) 10; 3) 15; 4) 20.

19. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.

20. Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по

формуле 𝐸 =𝑚𝑣2

2+ 𝑚𝑔ℎ , где m – масса тела (в килограммах), v – его ско-

рость (в м/с), h – высота положения центра масс тела над произвольно вы-бранным нулевым уровнем (в метрах), а g – ускорение свободного падения (в м/𝑐2). Пользуясь этой формулой, найдите h (в метрах), если E = 250 Дж, v = 5 м/с, m = 4 кг, а g = 10 м/с2.

21. Сократите дробь: 𝑎2−9

𝑎𝑏+4𝑎−3𝑏−12.

22. Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый про-бег. Первый едет со скоростью, на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

23. Постройте график функции 𝑦 =1−2𝑥

2𝑥2−𝑥 и определите, при каких значе-

ниях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

24. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6, BC = 8. Найдите медиану CK этого треугольника.

25. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

26. Три окружности с центрами 𝑂1, 𝑂2 и 𝑂3 радиусами 6, 1 и 7 соответ-ственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол 𝑂1𝑂2𝑂3.

14

Алгебра

Тема 1. Числа и вычисления

Справочные материалы к теме

1.1. Делители и кратные Делителем натурального числа а называется натуральное число, на ко-

торое а делится без остатка. Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое

делится без остатка на а. Основные признаки делимости: если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число

делится на 10; если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это

число делится на 5; если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой (0, 2, 4,

6 или 8), то это число делится на 2; если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9. Натуральное число больше 1 называют простым, если оно имеет ровно

два натуральных делителя: единицу и само себя. В противном случае нату-ральное число называют составным.

Наибольшее натуральное число, на которое делятся числа a и b, назы-вают наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел. Например, НОД (24; 36) = 12.

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их НОД равен 1.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо: разложить их на простые множители; из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычерк-

нуть те, которые не входят в разложение других чисел; найти произведение оставшихся множителей.

Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b.

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо: разложить их на простые множители; выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; добавить к ним недостающие множители остальных чисел; найти произведение получившихся множителей.

15

Пример 24 2 12 2 6 2 3 3 1

36 2 18 2 9 3 3 3 1

НОД (24; 36) = 2 · 2 · 3 = 12. НОК (24; 36) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72.

1.2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: привести данные дроби к общему знаменателю; сравнить (сложить, вычесть) числители получившихся дробей, оста-

вив знаменатель без изменений.

Примеры

а) 2

3+

3

5=

10

15+

9

15=

19

15= 1

4

15; б)

2

3−

3

5=

10

15 −

9

15=

1

15.

Чтобы сложить смешанные числа, надо: привести дробные части этих чисел к общему знаменателю; отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных;

если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части.

Пример

55

6+ 3

3

4= 5

10

12+ 3

9

12= 8

19

12= 9

7

12 .

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: привести дробные части этих чисел к общему знаменателю; если дроб-

ная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть;

отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных.

Пример

57

9− 2

1

6= 5

14

18− 2

3

18= 3

11

18 .

1.3. Умножение и деление обыкновенных дробей

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умно-жить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Пример 4

5· 3 =

4·3

5 =

12

5= 2

2

5.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо: найти произведение числителей и знаменателей этих дробей; первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

Пример 4

5·

2

3=

4·2

5·3=

8

15 .

16

Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их запи-сать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умно-жения дробей.

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно: умножить целую часть на натуральное число; умножить дробную часть на это натуральное число; сложить полученные результаты.

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Пример

22

5: 1

1

15=

12

5:

16

15=

12

5·

15

16=

12·15

5·16=

3·3

4=

9

4= 2

1

4.

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на эту дробь.

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.

1.4. Отношения и пропорции

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение по-казывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть пер-вое число составляет от второго.

Равенство двух отношений называют пропорцией: 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑; 𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑,

где а и d – крайние члены пропорции, c и b – средние члены пропорции. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведе-

нию средних: a · d = b · c. Если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, то пропорция верна.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо произведение средних членов разделить на известный крайний член пропорции.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член пропорции.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличе-нии (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увели-чении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

17

1.5. Положительные и отрицательные числа

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют про-тивоположными числами.

Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют це-лыми числами.

Модулем |𝑎| числа 𝑎 называется само это число, если оно неотрица-тельно, и противоположное ему число, если оно отрицательно:

|𝑎| = {𝑎, если 𝑎 ≥ 0,−𝑎, если 𝑎 < 0.

Основные свойства модуля: |−𝑎| = 𝑎; |𝑎| ≥ 0; |𝑎|2 = 𝑎2; ‖𝑎‖ = |𝑎|;

|𝑎 ∙ 𝑏| = |𝑎| ∙ |𝑏|;

|𝑎

𝑏| =

|𝑎|

|𝑏| (𝑏 ≠ 0);

|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|; |𝑎| − |𝑏| ≤ ||𝑎| − |𝑏||.

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: сложить их модули; поставить перед полученным числом знак «–».

Примеры а) – 8,7 + (– 3,5) = – (8,7 + 3,5) = – 12,2;

б) – 21

4+ (−3

1

8) = − (2

1

4+ 3

1

8) = − (2

2

8+ 3

1

8) = −5

3

8.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: из большего модуля слагаемых вычесть меньший; поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль ко-

торого больше.

Примеры а) 6,1 + (–4,2) = + (6,1 – 4,2) = 1,9;

б) – 84

5+ 2

1

3= − ( 8

4

5− 2

1

3 ) = − ( 8

12

15− 2

5

15) = −6

7

15.

Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому приба-вить число, противоположное вычитаемому: a – b = a + (– b).

Пример 18 – 14 = –18 + (–14) = – (18 + 14) = – 32.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из коорди-наты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «–».

18

Примеры а) (– 1,2) · 0,3 = – (1,2 · 0,3) = – 0,36; б) 1,2 · (– 0,3) = – (1,2 · 0,3) = – 0,36.

Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.

Пример (– 3,2) · (– 9) = │– 3,2│· │– 9│= 3,2 · 9 = 28,8.

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разде-лить модуль делимого на модуль делителя.

Пример (– 12) : (– 4) =│–12│ : │– 4│ = 3.

При делении чисел с разными знаками, надо: разделить модуль делимого на модуль делителя; поставить перед полученным числом знак «–».

Примеры

а) 3,6 : (–3) = – (3,6 : 3) = –1,2; б) − (3

8) :

3

4= − (

3

8:

3

4) = − (

3

8:

3

4) = −

1

2.

Делить на нуль нельзя!

1.6. Округление десятичных дробей

Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда целой или дробной части, все меньшие разряды отбрасываются, а предшествующий отбрасываемой при округлении цифре разряд не изменяет своей величины, если за ним идут цифры 0, 1, 2, 3, 4, и увеличивается на единицу, если идут цифры 5, 6, 7, 8, 9.

Примеры а) округлить 41,958 до сотых: 41,958 41,96; б) округлить 7,15 до десятых: 7,12 7,1.

Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в чис-лителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – еди-ницу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр находится справа от запятой.

Примеры

а) 0,3 =3

10; б) 3,09 = 3

9

100.

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить ее чис-

литель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.

Примеры

а) 3

25= 3: 25 = 0,12; б)

1

3= 1: 3 = 0,3333 … = 0, (3).

19

Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо: из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до

первого периода; записать эту разность числителем; в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде; дописать в знаменателе столько нулей, сколько цифр между запятой

и первым периодом.

Примеры

а) 0, (45) =45−0

99=

5

11; б) 2,1(34) =

2134−21

990=

2113

990.

1.7. Степени и корни

Свойства арифметического корня:

√𝑎𝑛

∙ √𝑏𝑛

= √𝑎𝑏𝑛

;

√𝑎

𝑛

√𝑏𝑛 = √

𝑎

𝑏

𝑛 (𝑏 ≠ 0);

√ √𝑎𝑛𝑝

= √𝑎𝑝𝑛

;

√𝑎𝑘𝑛𝑘= √𝑎

𝑛;

√𝑎𝑛

∙ √𝑎𝑝

= √𝑎𝑛+𝑝𝑛𝑝

;

( √𝑎𝑛

)𝑝

= √𝑎𝑝𝑛;

√𝑐𝑝𝑛= 𝑐

𝑝

𝑛 (𝑛 и 𝑝 – натуральные).

Свойства степеней (𝑝 и 𝑞 – произвольные рациональные числа): 𝑐1 = 𝑐; 𝑐0 = 1;

𝑐−𝑝 =1

𝑐𝑝;

𝑐𝑝 ∙ 𝑐𝑞 = 𝑐𝑝+𝑞; (𝑐𝑝)𝑞 = 𝑐𝑝𝑞;

𝑐𝑝

𝑐𝑞= 𝑐𝑝−𝑞;

(𝑐1 ∙ 𝑐2)𝑝 = 𝑐1𝑝

∙ 𝑐2𝑝

;

(𝑐1

𝑐2)

𝑝=

𝑐1𝑝

𝑐2𝑝.

Примеры а) 62 = 6 ∙ 6 = 36; б) – 62 = – 36; в) (– 6)2 = (– 6) ∙ (– 6) = 36;

г) √83

= 2; д) √−83

= −2; е) √81 = 9.

Таблица квадратов двузначных чисел

x2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81

1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361

2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841

3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521

4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401

5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481

6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761

7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241

8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921

9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

20

Задачи для разбора в классе

1. Обратите периодическую дробь 0,2(19) в обыкновенную.

2. Найдите значение выражения 18 ∙ (1

9)

2− 20 ∙

1

9 .


5)

2− 8 ∙

1

5 .

4. Найдите значение выражения 80 + 0,4 ∙ (−10)3. 5. Найдите значение выражения 0,9 ∙ (−10)2 − 120.


9)

2− 19 ∙

1

9 .


3)

2− 11 ∙

1

3 .

8. Найдите значение выражения 4,6 ∙ 3,4 − 0,34. 9. Найдите значение выражения 2,5 ∙ 3,5 − 0,35.

10. Найдите значение выражения 0,03 ∙ 0,3 ∙ 30 000.

11. Найдите значение выражения 5,6∙0,3

0,8 .


4,9 .


0,6 .


0,42 . Ответ округлите до десятых.

15. Укажите выражение, значение которого является наименьшим.

1) 2

0,3 ; 2) 2 ∙ 0,3; 3)

1

2−

1

3 ; 4)

1

2+

1

3 .

16. Запишите десятичную дробь, равную 3 ∙ 10−1 + 1 ∙ 10−2 + 5 ∙ 10−4. 17. Расположите в порядке убывания числа 0,1327; 0,014; 0,13.

18. Вычислите: 3

4−

4

5 .


2−

7

25 .


25+

15

4 .


2−

9

5 .

22. Найдите значение выражения (11

18+

2

9) :

5

48 .


30−

17

36) :

19

45 .


10−

4

11) :

15

44 .


16−

1

32) :

11

24 .

26. Значение какого из перечисленных выражений является числом раци-ональным?

1)(√6 − 3)(√6 + 3); 2) (√5)

2

√10; 3) √3 ∙ √5; 4) (√6 − 3)2.

21

27. Какому из перечисленных промежутков принадлежит число 2

9 ?

1) [0,1; 0,2]; 2) [0,2; 0,3]; 3) [0,3; 0,4]; 4) [0,4; 0,5].

28. В каком случае числа расположены в порядке возрастания?

1) 6; 2√5; 5√2; 2) 2√5; 6; 5√2; 3) 5√2; 6; 2√5; 4) ) 2√5; 5√2; 6.

29. Найдите значение выражения (2√6)

2

36.

1) 2

3; 2)

1

3; 3) 2; 4) 4.

30. Сравните числа √67 + √61 и 16.

1) √67 + √61 < 16; 2) √67 + √61 = 16; 3) √67 + √61 > 16.

Задачи для самостоятельного решения

31. Обратите периодическую дробь 0,(27) в обыкновенную. 32. Обратите периодическую дробь 0,2(1) в обыкновенную.


2)

2+ 2 ∙

1

2 .


2)

2+ 9 ∙

1

2 .


2)

2− 16 ∙

1

5 .


5)

2− 12 ∙

1

5 .


0,8 .


0,6∙2,8 .

39. Расположите в порядке возрастания: −0,5; (−0,5)2; (−0,5)3. 40. Расположите в порядке убывания: −0,7; (−0,7)2; (−0,7)3.

41. Расположите в порядке возрастания: 0,122; 3

200;

0,6∙0,35

15.

42. Расположите в порядке убывания: 61

100∙ 0,02; (0,11)2;

3

1000+

1

50+

1

10 .

43. Найдите значение выражения −0,2 ∙ (−10)2 + 55. 44. Найдите значение выражения 0,8 ∙ (−10)2 − 95. 45. Найдите значение выражения 0,7 ∙ (−10)2 − 20. 46. Найдите значение выражения −0,7 ∙ (−10)2 + 90. 47. Найдите значение выражения 6,1 ∙ 8,3 − 0,83. 48. Найдите значение выражения 5,4 ∙ 0,8 + 0,08.


8−

11

20) :

5

46 .


35+

3

8) :

5

28 .


8+

11

12) :

5

48 .


10+

11

13) :

22

39 .

22


33+

13

22) :

5

18 .


8−

17

12) :

5

12 .


22+

14

11) :

10

33 .


11−

17

10) :

5

22 .


18+

13

20) :

17

36 .


25−

13

38) :

6

19 .


10+

10

11) :

5

44 .


25−

9

11) :

6

11 .

61. В каком случае числа расположены в порядке возрастания?

1) 2√3; 4; 3√2; 2) 2√3; 3√2; 4; 3) 3√2; 4; 2√3; 4) 4; 2√3; 3√2. 62. Значение какого из данных выражений является наибольшим?

1) √11; 2) √21

√3; 3) √2 ∙ √5; 4) 2√3.

63. Какое из следующих выражений равно 5𝑘−3?

1) 5𝑘

53; 2)

5𝑘

5−3; 3) 5𝑘 − 53; 4) (5𝑘)−3.

64. Какое из следующих выражений равно 25 ∙ 5𝑛? 1) 5𝑛+2; 2) 52𝑛; 3) 125𝑛; 4) 25𝑛.


(2√6)2 .

1) 3

2; 2) 3; 3)

1

2; 4)

1

4 .

66. Вычислите: 7−7∙7−8

7−13 .

1) −49; 2) 49; 3)−1

49; 4)

1

49 .


1) √52 + √46 < 14; 2) √52 + √46 = 14; 3) √52 + √46 > 14.

68. Сравните числа√34 + √38 и 12.

1) √34 + √38 < 12; 2) √34 + √38 = 12; 3) √34 + √38 > 12.

69. Какое из чисел больше: 4 + √5 или √6 + √15?

1) 4 + √5 < √6 + √15; 2) 4 + √5 = √6 + √15; 3) 4 + √5 > √6 + √15.

70. Какое из чисел больше: √6 + √10 или 3 + √7?

1) √6 + √10 < 3 + √7; 2) √6 + √10 = 3 + √7; 3) √6 + √10 > 3 + √7.

Задачи для домашней работы

71. Обратите периодическую дробь 2,2(41) в обыкновенную.

72. Найдите значение выражения 5∙ (1

5)

2− 16 ∙

1

5 .

23


5)

2− 12 ∙

1

5 .

74. Найдите значение выражения 0,6 ∙ (−10)3 + 50. 75. Найдите значение выражения 80 + 0,9 ∙ (−10)3.

76. Найдите значение выражения 2,4

2,9−1,4 .


11+

17

10) ∙

11

15 .

78. Значение какого из выражений является числом рациональным?

1) (√6 − 3)(√6 + 3); 2) (√5)

2

√10; 3) √3 ∙ √5; 4) (√6 − 3)2.

79. Укажите наибольшее из следующих чисел:

1) √18; 2) 2√6; 3) 5; 4) √5 + √6.

80. Представьте выражение 3−10

34∙3−5 в виде степени с основанием 3.

1) 3−8; 2) 3−6; 3) 3−9; 4) 310.

Тема 2. Координатная прямая и числовые неравенства


2.1. Координатная прямая

Координатной прямой называют прямую, на которой заданы положи-тельное направление, начало отсчета (точка О) и единичный отрезок.

Каждой точке на координатной прямой соответствует некоторое число, которое называют координатой этой точки. Например, А(5) (читают: точка А с координатой пять); В(–3) (читают: точка В с координатой минус три).

Примеры 1) Изобразить на координатной прямой точки А(–7), В(–3), С(2), D(5).

Начертим прямую, стрелкой покажем положительное направление, поставим

точку О (0) – начало отсчета – и выберем единичный отрезок, равный одной клетке. На полученной координатной прямой отметим заданные точки. Точка А(–7) отстоит от начала отсчета – точки О – влево на 7 единичных отрезков (7 клеток). Точку В(–3) отме-тим на 3 клетки левее начала отсчета. Точка С(2) будет находиться правее нуля на 2 клетки, а точку D(5) отметим на 5 клеток правее начала отсчета.

2) Изобразить на координатной прямой числа: 5; –4; –1; 3; –6; 7. Сравнить с помо-щью координатной прямой: а) 0 и 5; б) –1 и 7; в) –6 и –4; г) 5 и –6; д) 0 и –6; е) –4 и 3. Сделать выводы.

Выбрав единичный отрезок равным 1 клетке, отметим числа –6, –4 и –1 слева от

нуля, а числа 3, 5 и 7 справа от нуля. Меньшее число располагается левее на координат-ной прямой, а большее – правее.

а) 0 < 5; б) –1 < 7; в) –6 < –4; г) 5 > –6; д) 0 > –6; е) –4 < 3.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/06/koord-pr.jpg

24

Рассмотрим неравенство с одной переменной 3х – 1 ˃ 5. Это неравен-

ство при одних значениях х обращается в верное числовое неравенство (например, при х = 3; 9; 10,5; 52), при других – не является верным (напри-мер, при x = 0; –4; –11; 2). Говорят, что числа 3; 9; 10,5; 52 являются решени-ями данного неравенства, а числа 0; –4; –11; 2 не являются его решениями.

2.2. Свойства числовых неравенств: если a > b, то b < a; если a > b, b > c, то a > c; если a > b, с – любое число, то a + c > b + c; если a > b, c > 0, то ac > bc; если a > b, c < 0, то ac < bc; если a > b, c > d, то a + c > b + d; если a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, a > b и c > d, то ac > bd; если a > b > 0, n – натуральное число, то an > bn;

если a > 0, b > 0, a > b, то 1

𝑎<

1

𝑏 .


81. На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из следующих чисел наибольшее?

1) a + b; 2) –a; 3) 2b; 4) a – b. 82. На координатной прямой отмечены числа x и y.

Какое из следующих утверждений неверно?

1) xy < 0; 2) y – x < 0; 3) x2y > 0; 4) x + y > 0. 83. Одна из точек, отмеченных на координат-

ной прямой, соответствует числу √77. Ка-кая это точка? 1) точка А; 2) точка В; 3) точка С; 4) точка D.

84. Одна из точек, отмеченных на координат-

ной прямой, соответствует числу √68. Ка-кая это точка? 1) точка А; 2) точка В; 3) точка С; 4) точка D.

85. Одна из точек, отмеченных на коорди-

натной прямой, соответствует числу √45. Какая это точка? 1) точка M; 2) точка N; 3) точка P; 4) точка Q.

86. На координатной прямой отмечены числа a и c. Какое из следующих утверждений неверно? 1) c – a < 0; 2) – a > 0; 3) 0 < c + 1 < 1; 4) ac > 0.

y x 0

b а 0 1

25


ной прямой, соответствует числу √14. Ка-кая это точка? 1) точка M; 2) точка N; 3) точка P; 4) точка Q.

88. О числах a и b известно, что a > b . Среди приведенных неравенств вы-берите верные: 1) a – b > – 3; 2) b – a > 1; 3) b – a < –2.

89. О числах a и c известно, что a < c. Какое из следующих неравенств неверно?

1) a – 3 < c – 3; 2) a + 5 < c + 5; 3) 𝑎

4<

𝑐

4 ; 4) −

𝑎

2< −

𝑐

2 .

90. На координатной прямой изображены числа a и c. Какое из следующих нера-венств неверно?

1) a – 1 > c – 1; 2) – a < – c; 3) 𝑎

6<

𝑐

6 ; 4) a + 3 > c + 1.


91. О числах a, b, c и d известно, что a < b, b = c, d > c. Сравните числа d и a. 1) d = a; 2) d > a; 3) d < a; 4) сравнить невозможно.

92. Какое из следующих неравенств не следует из неравенства y – x > z ? 1) y > z + x; 2) y – x – z < 0; 3) z + x – y < 0; 4) y – z > x.

93. Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

1) √2; 2) √3; 3) √7; 4) √11.

94. Известно, что 0 < a < 1. Выберите наименьшее из чисел.

1) a2; 2) a3; 3) –a; 4) 1

𝑎 .

95. Известно, что a > b. Какое из указанных утверждений неверно? 1) 2a > 2b; 2) 2 + a > 2 + b; 3) 2 – b < 2 – a; 4) a – b > 0.

96. Известно, что a < b < 0. Выберите наименьшее из чисел. 1) a – 1; 2) b – 1; 3) ab; 4) –b.

97. Известно, что a > b > c. Какое из следующих чисел отрицательно? 1) a – b; 2) a – c; 3) b – c; 4) c – b.

98. Известно, что a > b > 0. Какое из указанных утверждений верно? 1) 2a + 1 < 0; 2) – a > – b; 3) 2b > 2a; 4) 1 – a < 1 – b.

99. Известно, что 0 < a < 1. Выберите наибольшее из чисел.

1) a2; 2) a3; 3) 1

𝑎; 4) a – 1.

100. Одна из точек, отмеченных на коор-динатной прямой, соответствует

числу 3

8 . Какая это точка?

1) A; 2) B; 3) C; 4) D.

26

101. Одно из чисел 5

6,

5

7,

5

9,

5

12 отмечено на

координатной прямой точкой A. Ука-жите это число.

1) 5

6; 2)

5

7; 3)

5

9; 4)

5

12.

102. На координатной прямой отме-чены числа a, b, c. Какое из сле-дующих утверждений неверно?

1) a + b > c; 2) ab < c; 3) 1

𝑐> 1; 4) c – a < b.

103. На координатной прямой отме-чены числа a, b, c. Какое из сле-дующих утверждений неверно?

1) a + c < b; 2) 𝑏

𝑐< 1; 3) ac < b; 4) c – b < a.

104. На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относи-тельно этого числа является верным?

1) a + 4 > 0; 2) a + 5 < 0; 3) 2 – a > 0; 4) 3 – a < 0.

105. Какое из следующих чисел заключено между числами 1

6 и

1

4?

1) 0,1; 2) 0,2; 3) 0,3; 4) 0,4. 106. На координатной прямой отме-

чено число a. Какое из утвержде-ний относительно этого числа является верным?

1) a – 3 > 0; 2) 6 – a < 0; 3) a – 7 > 0; 4) 4 – a > 0. 107. На координатной прямой изображены

числа a и c. Какое из следующих нера-венств неверно?

1) c + 24 > a + 21; 2) c – 39 > a – 40; 3) 𝑐

3<

𝑎

3; 4) –c < –a.


ной прямой, соответствует числу √37. Ка-кая это точка?

1) M; 2) N; 3) P; 4) Q. 109. О числах a и c известно, что a < c. Какое из следующих неравенств не-

верно?

1) a – 14 < c – 14; 2) a + 23 < c + 23; 3) 𝑎

4<

𝑐

4; 4) −

𝑎

30< −

𝑐

30.

110. На координатной прямой отме-чены числа a и c. Какое из следу-ющих утверждений неверно?

1) a – c > 0; 2) –3 < a + 1 < –2; 3) –c > –1; 4) 𝑎

𝑐< 0.

27


111. На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из следующих чисел наибольшее? 1) a + b; 2) −a; 3) 2b; 4) a − b.

112. На координатной прямой отмечено число а. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?

1) –a > 2; 2) –1 – a > 0; 3) 1

𝑎> 0; 4) a + 3 < 0.

113. На координатной прямой отмечено число а. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?

1) –a < 1; 2) –2 – a > 0; 3) 1

𝑎< 0; 4) a + 4 < 0.

114. На координатной прямой отмечено число а. Какое из утверждений относи-тельно этого числа является верным?

1) –a > –6; 2) 5 – a < 0; 3) 1

𝑎< 0; 4) a – 7 > 0.

115. На координатной прямой отмечено число а. Какое из утверждений относи-тельно этого числа является верным?

1) –a > –5; 2) 6 – a < 0; 3) 1

𝑎< 0; 4) a – 3 > 0.

116. На координатной прямой отмечены числа a, b и c. Значение какого из следую-щих выражений отрицательно? 1) − a; 2) a + c; 3) b − c; 4) c – a.

Тема 3. Алгебраические выражения


3.1. Разложение многочлена на множители

Чтобы разложить многочлен вынесением общего множителя за скобки, нужно: найти общий множитель; вынести его за скобки (разделить каждое слагаемое на общий множитель).

Пример 8𝑥2 + 2𝑥 = 2𝑥(4𝑥 + 1).

28

Чтобы разложить многочлен на множители методом группировки, нужно: объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий

множитель в виде многочлена; вынести этот общий множитель за скобки.

Пример 6𝑎𝑥 + 2𝑥 − 3𝑎 − 1 = (6𝑎𝑥 − 3𝑎) + (2𝑥 − 1) = 3𝑎(2𝑥 − 1) + (2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)(3𝑎 + 1).

3.2. Формулы сокращенного умножения: 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) – разность квадратов; (𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 – квадрат суммы (разности); 𝑎3 ± 𝑏3 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2) – сумма (разность) кубов; (𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3 – куб суммы (разности); (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑐; 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2+. . . +𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1).

Пример 𝑥4 − 16𝑦2 = (𝑥2)2 − (4𝑦)2 = (𝑥2 − 4𝑦)(𝑥2 + 4𝑦).

3.3. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2), где 𝑥1 и 𝑥2 – корни квадратного

трехчлена 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

Пример 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3), так как 𝑥1 = −2; 𝑥2 = −3.

3.4. Сокращение алгебраических дробей

Отношение двух многочленов называют алгебраической дробью.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно числитель и знамена-тель разложить на множители, после этого разделить числитель и знаме-натель на их общий множитель.

Для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно: найти общий знаменатель данных дробей; для каждой дроби найти дополнительный множитель; умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель; записать каждую дробь с найденным числителем и общим знаменателем.

Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменате-лями нужно:

найти общий знаменатель дробей; привести дроби к общему знаменателю; сложить или вычесть полученные дроби; упростить результат, если возможно.

29

Пример 𝑎

𝑛±

𝑏

𝑚=

𝑎∙𝑚±𝑏∙𝑛

𝑛𝑚.

Умножение и деление алгебраических дробей выполняется по тем же правилам, что и умножение и деление обыкновенных дробей:

𝑎

𝑏 ·

𝑐

𝑑=

𝑎 ·𝑐

𝑏·𝑑;

𝑎

𝑏∶

𝑐

𝑑=

𝑎 · 𝑑

𝑏 · 𝑐.

Пример

(1

𝑥2−

1

4𝑦2) ∙ 𝑥𝑦

2𝑦+𝑥=

4𝑦2− 𝑥2

4𝑦2 𝑥2∙

𝑥𝑦

2𝑦+𝑥=

(2𝑦−𝑥)(2𝑦+𝑥)∙𝑥𝑦

4𝑦2 𝑥2∙(2𝑦+𝑥)=

(2𝑦−𝑥)

4𝑦𝑥.


117. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь (𝑎−3)4

𝑎−4 ?

1) 𝑎−18; 2) 𝑎−2; 3) 𝑎7; 4) 𝑎−8.

118. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь (𝑎6)−2

𝑎−4 ?

1) 𝑎8; 2) 𝑎3; 3) 𝑎−8; 4) 𝑎−16. 119. Упростите выражение (2 − 𝑐)2 − 𝑐(𝑐 + 4), найдите его значение при

с = 0,5.

120. Упростите выражение 2𝑐−4

𝑐𝑑−2𝑑, найдите его значение при 𝑐 = 0,5; 𝑑 = 5.

121. Упростите выражение 𝑎+𝑥

𝑎:

𝑎𝑥+𝑥2

𝑎2, найдите его значение при 𝑎 = 23, 𝑥 = 5.

122. Найдите значение выражения 𝑎12 ∙ (𝑎−4)4 при 𝑎 = −1

2 .

123. Найдите значение выражения 64𝑏2+128𝑏+64

𝑏: (

4

𝑏+ 4) при 𝑏 = −

15

16 .

124. Упростите выражение (𝑥 − 5)2 − 𝑥(10 + 𝑥) и найдите его значение

при 𝑥 = −1

20 .

125. Упростите выражение 𝑏

𝑎2−𝑏2:

𝑏

𝑎2+𝑎𝑏 и найдите его значение при 𝑎 = 1,1

и 𝑏 = 0,9.

126. Упростите выражение 6𝑐−𝑐2

1−𝑐:

𝑐2

1−𝑐 и найдите его значение при 𝑐 = 1,2.

127. Упростите выражение 𝑐2−𝑎𝑐

𝑎2:

𝑐−𝑎

𝑎 и найдите его значение при 𝑎 = 5; 𝑐 = 26.

128. Упростите выражение 𝑎−2

𝑎2:

𝑎−2

𝑎2+3𝑎 и найдите его значение при 𝑎 = 1,5.

129. Найдите значение выражения (𝑎 +1

𝑎+ 2) ∙

1

𝑎+1 при а = 2.

130. Найдите значение выражения 27𝑏2+108𝑏+108

𝑏: (

6

𝑏+ 3) при 𝑏 = −

4

9 .

131. Упростите выражение 𝑎

𝑎2−𝑏2:

𝑎

𝑎𝑏+𝑏2 и найдите его значение при a = 0,8

и b = 0,3.


𝑎2−𝑏2:

𝑎

𝑎𝑏+𝑏2 и найдите его значение при a = 1,1

и b = 0,6.

30


𝑎𝑏+𝑏2:

𝑎

𝑎2−𝑏2 и найдите его значение при a = 1,3

и b = 0,2.


𝑎𝑏−𝑏2:

𝑎

𝑎2−𝑏2 и найдите его значение при a = 0,7

и b = 0,2.

135. Сократите дробь 𝑝(𝑏)

𝑝(1

𝑏), если 𝑝(𝑏) = (𝑏 +

3

𝑏)(3𝑏 +

1

𝑏).

136. Упростите выражение 3𝑥2+4𝑥

𝑥2−2𝑥−

2𝑥−7

𝑥−

𝑥+8

𝑥−2 .

137. Сократите дробь (3𝑥+7)2−(3𝑥−7)2

𝑥 .

138. Сократите дробь (5𝑥+3)2−(5𝑥−3)2

𝑥 .

139. Сократите дробь 18𝑛+3

32𝑛+5∙2𝑛−2 .

140. Сократите дробь (2𝑎2)3∙(3𝑏)2

(6𝑎3𝑏)2 .

141. Сократите дробь 𝑥3−6𝑥2−4𝑥+24

(𝑥−6)(𝑥−2) .


(𝑥−2)(𝑥−4) .

143. Сократите дробь 𝑎𝑏−2𝑏−6+3𝑎

𝑎2−4 .

144. Сократите дробь 𝑎2−16

𝑎𝑏−4𝑏−3𝑎+12 .


145. Представьте выражение (с−6)−2

𝑐−3 в виде степени с основанием c.

1) 𝑐9; 2) 𝑐15; 3) 𝑐−5; 4) 𝑐−4.

146. Представьте выражение 𝑥−10

𝑥4∙𝑥−5в виде степени с основанием x.

1) 𝑥−8; 2) 𝑥−6; 3) 𝑥−9; 4) 𝑥10.

147. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь 𝑧−8∙𝑧

𝑧−4?

1) 𝑧−3; 2) 𝑧−11; 3) 𝑧3; 4) 𝑧−1.

148. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь 𝑧−6∙𝑧

𝑧−3?

1) 𝑧−2; 2) 𝑧−8; 3) 𝑧3; 4) 𝑧−1. 149. Упростите выражение (𝑎 − 3)2 − 𝑎(5𝑎 − 6), найдите его значение

при 𝑎 = −1

2.

150. Упростите выражение 7𝑏 +2𝑎−7𝑏2

𝑏, найдите его значение при 𝑎 = 9, 𝑏 = 12.

151. Упростите выражение 𝑥2

𝑦−1:

𝑥3

2𝑦−2 и найдите его значение при x = 0,5; y = –3.

152. Упростите выражение 𝑎2+4𝑎

𝑎2+8𝑎+16 и найдите его значение при 𝑎 = −2.

153. Найдите значение выражения 5𝑎𝑏

5𝑎𝑏−8𝑎2 при 𝑎 = 3; 𝑏 = 8.

31

154. Найдите значение выражения 30𝑎 − 5(𝑎 + 3)2 при 𝑎 = √3.


𝑎+ 2) ∙

1

𝑎+1 при 𝑎 = −5.

156. Найдите значение выражения (𝑎

3+

3

𝑎+ 2) ∙

1

𝑎+3 при 𝑎 = 6.

157. Упростите выражение 9𝑏 +5𝑎−9𝑏2

𝑏, найдите его значение при 𝑎 = 9 и b = 18.

158. Упростите выражение 𝑥𝑦+𝑦2

15𝑥∙

3𝑥

𝑥+𝑦, найдите его значение при x = 18; 𝑦 = 7,5.

159. Упростите выражение 𝑎+𝑥

𝑎:

𝑎𝑥+𝑥2

𝑎2 и найдите его значение при 𝑎 = 21; 𝑥 = 5.

160. Упростите выражение 4𝑎

𝑎+𝑏∙

𝑎𝑏+𝑏2

16𝑎 и найдите его значение при a = 9,2; b = 18.

161. Упростите выражение (𝑎 − 3)2 − 𝑎(5𝑎 − 6) и найдите его значение

при 𝑎 = −1

2.

162. Упростите выражение 4𝑎−𝑎2

3+𝑎:

𝑎2

3+𝑎 и найдите его значение при 𝑎 = 0,8.

163. Упростите выражение (𝑎 + 2)2 − 𝑎(4 − 7𝑎) и найдите его значение

при 𝑎 = −1

2.

164. Упростите выражение 6𝑎 +2𝑐−6𝑎2

𝑎 и найдите его значение при a = 12;

c = 15.

165. Упростите выражение 5𝑛+1−5𝑛−1

2∙5𝑛 .

166. Упростите выражение 10∙2𝑛

2𝑛+1+2𝑛−1 .

167. Упростите выражение 6

𝑎−1−

10

(𝑎−1)2:

10

𝑎2−1−

2𝑎+2

𝑎−1 .

168. Сократите дробь (3𝑥3)2∙(2𝑦)3

(6𝑥3𝑦)2 .

169. Сократите дробь𝑥3+3𝑥2−4𝑥−12

(𝑥−2)(𝑥+3) .


(𝑥−2)(𝑥+3) .

171. Сократите дробь 𝑎𝑏+5𝑏+10+2𝑎

𝑎2−25 .


𝑎𝑏+4𝑎−3𝑏−12 .


𝑎𝑏−5𝑏+10−2𝑎 .

174. Сократите дробь 𝑎𝑏−3𝑎−2𝑏+6

𝑎2−4 .


175. Представьте выражение (с−3)4

𝑐−17 в виде степени с основанием c.

1) c18; 2) c5; 3) c−29; 4) c−16.

32

176. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь (𝑥−3)4

𝑥−4?

1) 𝑥−8; 2) 𝑥−16; 3) 𝑥3; 4) 𝑥5. 177. Упростите выражение 𝑎(𝑎 + 1) − (𝑎 − 3)2 и найдите его значение

при 𝑎 = −1. В ответ запишите полученное число.

178. Упростите выражение 𝑥2−4

4𝑥2∙

2𝑥

𝑥+2 и найдите его значение при 𝑥 = 4.

179. Представьте в виде дроби выражение 15𝑥2

3𝑥−2− 5𝑥 и найдите его значе-

ние при 𝑥 = 0,5.

180. Найдите значение выражения (2𝑥 + 3𝑦)2 − 3𝑥 (4

3𝑥 + 4𝑦) при x = –1,038

и 𝑦 = √3.

181. Упростите выражение 4𝑏

𝑎−𝑏∙

𝑎2−𝑎𝑏

8𝑏 и найдите значение при a = 19; b = 8,2.


𝑎+ 2) ∙

1

𝑎+1 при а = −5.

183. Найдите значение выражения (3𝑥)2∙𝑥−9

𝑥−10∙2𝑥5 при 𝑥 = 5.

184. Сократите дробь 2𝑛+2∙21𝑛+3

6𝑛+1∙7𝑛+2 .

185. Сократите дробь 𝑥3+2𝑥2−9𝑥−18

(𝑥−3)(𝑥+2) .


𝑎𝑏−5𝑏−3𝑎+15 .

Тема 4. Уравнения


4.1. Основные понятия

Уравнением называется равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.

Решить уравнение – значит найти его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня.

Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение пере-менной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

4.2. Линейное уравнение

Уравнение вида 𝑎𝑥 = 𝑏 (𝑎 ≠ 0) называется линейным. Оно имеет един-

ственное решение 𝑥 =𝑏

𝑎 .

4.3. Квадратное уравнение Уравнение вида 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, где а, b, с – некоторые числа, причем

а ≠ 0, называется квадратным.

33

Если коэффициент а = 1, то полученное квадратное уравнение называ-ется приведенным.

Выражение вида D = b2 – 4ас называется дискриминантом квадратного уравнения.

1) Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действи-

тельных корня: 𝑥1 =−𝑏+√𝐷

2𝑎, 𝑥2 =

−𝑏−√𝐷

2𝑎 .

2) Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень: 𝑥 =−𝑏

2𝑎 .

3) Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Примеры а) 4𝑥2 + 7𝑥 + 3 = 0;

a = 4; b = 7; c = 3; D = 72 – 4 · 4 · 3 = 1 > 0, два корня; 𝑥1 =−7+1

8= −

3

4, 𝑥2 =

−7−1

8= −1;

б) 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0;

a = 4; b = 4; c = 1; D = 42 – 4 · 4 · 1 = 0, один корень; 𝑥 =4

8=

1

2 ;

в) 2𝑥2 + 3𝑥 + 4 = 0; a = 2; b = 3; c = 4; D = 32 – 4 · 2 · 4 = –13 < 0, нет решений.

1) Если в полном квадратном уравнении с = 0, то

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 ⇔ 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 ⇔ 𝑥1 = 0; 𝑥2 = −𝑏

𝑎 .

2) Если в квадратном уравнении b = 0, то 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 ⇔ 𝑎𝑥2 = −𝑐

при − 𝑐 ≥ 0 𝑥1;2 = ±√−𝑐

𝑎 ;

при − 𝑐 ≤ 0 уравнение не имеет корней. 3) Если в квадратном уравнении b = 0, с = 0, то 𝑎𝑥2 = 0 ⇔ 𝑥 = 0.

Теорема Виета. Если 𝑥1 и 𝑥2 – корни уравнения 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (а ≠ 0),

то 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎, 𝑥1 ∙ 𝑥2 =

𝑐

𝑎 .

4.4. Биквадратное уравнение Уравнение вида 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 (а ≠ 0) называется биквадратным. За-

меной неизвестного 𝑥2 = 𝑡 оно сводится к решению квадратного уравнения.

Пример 𝑥4 − 5𝑥2 + 6 = 0.

Пусть 𝑥2 = 𝑡, тогда получим уравнение 𝑡2 − 5𝑡 + 6 = 0, у которого два корня: 𝑡1 = 2, 𝑡2 = 3.

Тогда если t = 2, то 𝑥1,2 = ±√2; если t = 3, то 𝑥3,4 = ±√3.

4.5. Дробно-рациональные уравнения Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются

дробными выражениями, называется дробно-рациональными уравнением. Дробно-рациональное уравнение, как правило, приводятся к виду

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= 0, где 𝑃(𝑥)и 𝑄(𝑥) – многочлены, которое имеет смысл, когда знаме-

натель не равен 0.

34

Для того чтобы решить дробно-рациональное уравнение, надо: перенести все слагаемые в левую часть уравнения; привести все слагаемые в левой части к общему знаменателю;

перейти к системе {𝑃(𝑥) = 0;𝑄(𝑥) ≠ 0;

решить уравнение 𝑃(𝑥) = 0; решить неравенство 𝑄(𝑥) ≠ 0; из множества решений уравнения 𝑃(𝑥) = 0 исключить решения нера-

венства 𝑄(𝑥) ≠ 0 и записать ответ.

Пример 7

𝑥+1−

𝑥+4

2−2𝑥=

3𝑥2−38

𝑥2−1 ;

7

𝑥+1+

𝑥+4

2𝑥−2−

3𝑥2−38

𝑥2−1= 0;

7

𝑥+1+

𝑥+4

2(𝑥−1)−

3𝑥2−38

(𝑥−1)(𝑥+1)= 0;

7∙2(𝑥−1)+(𝑥+4)(𝑥+1)−(3𝑥2−38)∙2

2(𝑥−1)(𝑥+1)= 0;

−5𝑥2+19𝑥+66

2(𝑥−1)(𝑥+1)= 0;

{−5𝑥2 + 19𝑥 + 66 = 0;2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ≠ 0; {

𝑥1 = 6; 𝑥2 = −2,2;𝑥3 ≠ 1; 𝑥4 ≠ −1.

Ответ: 6; –2,2.


187. Найдите корень уравнения 2 − 3(2𝑥 + 2) = 5 − 4𝑥. 188. Найдите корни уравнения 2𝑥2 − 10𝑥 = 0. 189. Решите уравнение 𝑥2 + 7𝑥 − 18 = 0. 190. Найдите корни уравнения 𝑥2 + 3𝑥 = 18. 191. Найдите корни уравнения 𝑥2 + 6 = 5𝑥.

192. Решите уравнение 3 −𝑥

7=

𝑥

3 .

193. Решите уравнение 𝑥3 − 3𝑥2 − 8𝑥 + 24 = 0. 194. Решите уравнение 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 = 0.

195. Решите уравнение (𝑥−2)(𝑥+3)

𝑥−3= 0.

196. Решите уравнение 4𝑥+8

𝑥2−4+ 2𝑥 + 5 = 0.


197. Решите уравнение 8 − 5(2𝑥 − 3) = 13 − 6𝑥. 198. Решите уравнение 1 − 2(5 − 2𝑥) = −𝑥 − 3. 199. Найдите корни уравнения 2𝑥2 + 14𝑥 = 0. 200. Найдите корни уравнения 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 0. 201. Решите уравнение 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0. 202. Решите уравнение 𝑥2 + 3𝑥 = 4. 203. Решите уравнение 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0. 204. Решите уравнение 16𝑥2 − 8𝑥 + 1 = 0. 205. Найдите корни уравнения 4𝑥2 − 16𝑥 = 0.

35

206. Найдите корни уравнения 16𝑥2 − 1 = 0. 207. Найдите корни уравнения 𝑥2 + 4 = 5𝑥. 208. Найдите корни уравнения 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0. 209. Найдите корни уравнения 5𝑥2 + 20𝑥 = 0. 210. Решите уравнение 𝑥2 − 5𝑥 − 14 = 0.

211. Решите уравнение 4 −𝑥

7=

𝑥

9 .

212. Решите уравнение 𝑥+1

8+ 1 =

𝑥

2 .

213. Решите уравнение 𝑥−6

2−

𝑥

3= 3.

214. Решите уравнение 5𝑥+4

2+ 3 =

9𝑥

4 .

215. Решите уравнение 𝑥3 = 𝑥2 − 7𝑥 + 7. 216. Решите уравнение 𝑥3 = 4𝑥2 + 5𝑥. 217. Решите уравнение 𝑥3 = 6𝑥2 + 7𝑥.

218. (𝑥 +1

𝑥) − 2 (𝑥2 +

1

𝑥2) = 9.

219. 12

(𝑥+1)(𝑥+5)+

15

(𝑥+2)(𝑥+4)= 2.

220. 𝑥2

𝑥2+27−

4

𝑥2+7= 0.


221. Решите уравнение 1 − 7(4 + 2𝑥) = −9 − 4𝑥. 222. Решите уравнение 𝑥2 = 2𝑥 + 8. 223. Решите уравнение 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0. 224. Решите уравнение 4𝑥2 + 𝑥 = 0. 225. Решите уравнение 4𝑥2 − 𝑥 = 0. 226. Найдите корни уравнения 3𝑥2 + 18𝑥 = 0. 227. Найдите корни уравнения 7𝑥2 − 14𝑥 = 0. 228. Решите уравнение 𝑥2 + 2𝑥 + 17 = 0. 229. Решите уравнение 𝑥2 − 6𝑥 − 7 = 0. 230. Найдите корни уравнения 5𝑥2 + 15𝑥 = 0. 231. Найдите корни уравнения 3𝑥2 + 12𝑥 = 0.

232. Решите уравнение 3𝑥−2

4−

𝑥

3= 2.

233. Решите уравнение 𝑥3 − 5𝑥2 − 6𝑥 = 0. 234. Решите уравнение 𝑥4 + 2𝑥2 − 8 = 0.

235. Решите уравнение 2−𝑥

𝑥2+3𝑥+

6

𝑥2−9=

1

𝑥−3.

236. Решите уравнение 2

𝑥2+10𝑥+25−

10

25−𝑥2=

1

𝑥−5.

237. Решите уравнение 𝑥2

𝑥2+2𝑥+1= (

𝑥

𝑥2−1−

1

𝑥2+𝑥) :

1+𝑥3

𝑥2−𝑥.

238. Решите уравнение (6𝑥−1

𝑥2+6𝑥+

6𝑥+1

𝑥2−6𝑥) :

𝑥2+1

𝑥2−36−

12

𝑥−1=

12

𝑥−𝑥2.

36

Тема 5. Неравенства


5.1. Основные понятия

Неравенством называется совокупность двух алгебраических выра-жений, соединённых знаком отношения >, <, ≥, ≤.

Неравенства, содержащие два знака отношения, называются двой-ными (f(x) < h(x) < g(x)), три знака отношения – тройными и т. п.

Неравенства f(x) > g(x), f(x) < g(x), называются строгими, а неравен-ства f(x) ≤ g(x), f(x) ≥ g(x) – нестрогими.

Решением неравенства называется всякое значение переменой, при котором неравенство будет верным. Решить неравенство означает найти множество всех его решений. Это множество может оказаться пустым – в случае, когда решений нет.

5.2. Линейные неравенства

Пример 4х + 7 ˃ –5 + х перенесем слагаемое х с противоположным знаком в левую часть, а число 7 с про-

тивоположным знаком в правую часть: 4х – х ˃ –5 – 7; приведем подобные слагаемые: 3х ˃ –12; разделим обе части неравенства на 3: х ˃ –4; множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших – 4. Это множе-

ство представляет собой числовой промежуток (–4; +∞).

5.3. Числовые промежутки

Вид промежутка

Геометрическое изображение

Обозначение Запись

неравенством

Интервал

ba; a < x < b

Отрезок

ba; a ≤ x ≤ b

Полуинтервал

ba; a < x ≤ b

Полуинтервал

ba; а ≤ x < b

Луч

;a x ≥ a

Луч

b; x ≤ b

Открытый луч

;a x > a

Открытый луч

b; x < b

-4

37

5.4. Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0.

Квадратичная функция задается формулой у = ax2 + bx + c, где a 0. По-этому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

D a > 0 a < 0

D < 0

D = 0

D > 0

5.5. Метод интервалов

Метод применяется для решения неравенств второй и более высоких степеней, а также для решения дробно-рациональных неравенств.

Чтобы решить неравенство методом интервалов, нужно: перенести все слагаемые в левую часть; перейти к уравнению; найти все решения полученного уравнения и значения х, при которых

функция левой части не имеет смысла (нули функции); на числовой прямой отметить все полученные значения; при этом если

знак неравенства строгий, то точки изображаются «выколотыми», если знак неравенства нестрогий, то точки изображаются закрашенными, все значения х, при которых функция не имеет смысла, изображаются «выколо-тыми» точками;

определить знак функции на каждом промежутке; записать ответ, исходя из знака неравенства.

Пример (2x – 6)(3x + 12)(5x + 1) < 0; (2x – 6)(3x + 12)(5x + 1) = 0;

нули функции: –4; –0,2; 3. Ответ: 𝑥 ∈ (−∞; – 4) ∪ (−0,2; 3).

38


239. Решите неравенство 4𝑥 + 5 ≥ 6𝑥 − 2 и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

240. Решите неравенство 18 − 5(𝑥 + 3) > 1 − 7𝑥 и определите, на каком

рисунке изображено множество его решений.

241. На каком рисунке изображено множество решений неравенства

𝑥2 − 4𝑥 + 3 ≥ 0?

242. Решите неравенство −𝑥2 + 5𝑥 ≥ 0.

1)[0; 5]; 2)(−∞; 0) ∪ (5; +∞); 3)(−∞; 0] ∪ [5; +∞); 4) (0; 5).

243. Решите неравенство 𝑥2

3≥

3𝑥+3

4 .

244. Решите неравенство (3𝑥 − 2)(𝑥 + 4) > −11.

245. Решите неравенство (√3 − 1,5)(3 − 2𝑥) > 0.

246. Решите неравенство (√19 − 4,5)(5 − 3𝑥) > 0.


247. Решите неравенство 2𝑥 − 5 < 9 − 6(𝑥 − 3) и определите, на каком ри-сунке изображено множество его решений.

248. Решите неравенство 2 + 𝑥 ≤ 5𝑥 − 8 и определите, на каком рисунке

изображено множество его решений.

39

249. Решите неравенство 20 − 3(𝑥 − 5) < 19 − 7𝑥 и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

250. Решите неравенство 3 − 4𝑥 > 11 − 8(𝑥 − 2) и определите, на каком

рисунке изображено множество его решений.


(2𝑥 − 5)(𝑥 + 3) ≥ 0?

252. На каком рисунке изображено множество решений неравен-

ства 2𝑥−7

4−𝑥≥ 0?

253. Решите неравенство 𝑥2 − 4𝑥 < 0.

1)[0; 4]; 2)(−∞; 0) ∪ (4; +∞); 3)(0; 4); 4) (−∞; 0] ∪ [4; +∞). 254. Решите неравенство −𝑥2 − 2𝑥 ≤ 0.

1)(−∞; −3) ∪ (0; +∞); 2)(−∞; −2] ∪ [0; +∞); 3)(−2; 0); 4) [−2; 0]. 255. Решите неравенство 𝑥2 + 3𝑥 > 0.

1)(−∞; −3) ∪ (0; +∞); 2)(−3; 0); 3)[−3; 0]; 4) (−∞; −3] ∪ [0; +∞). 256. Решите неравенство −𝑥2 + 𝑥 ≥ 0.

1)(−∞; 0) ∪ (1; +∞); 2)[0; 1]; 3)(0; 1); 4) (−∞; 0] ∪ [1; +∞).

257. Решите неравенство 11𝑥−4

5≥

𝑥2

2 .


2>

11𝑥−4

5 .


3>

8𝑥−9

5 .

260. Решите неравенство 8𝑥−9

5≥

𝑥2

3 .

261. Решите неравенство (2𝑥 + 1)(𝑥 − 1) > 9. 262. Решите неравенство 𝑥2(−𝑥2 − 64) ≤ 64(−𝑥2 − 64).

40


263. Решите неравенство 3 − 2(𝑥 − 3) > 18 − 5𝑥 и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

264. Решите неравенство 22 − 𝑥 > 5 − 4(𝑥 − 2) и определите, на каком ри-

сунке изображено множество его решений.


𝑥2 − 3𝑥 − 4 ≥ 0?

266. Решите неравенство 𝑥2 < 361. 1)(−∞; −19) ∪ (19; +∞); 2)(−∞; −19] ∪ [19; +∞); 3)(−19; 19); 4) [−19; 19].


3<

3𝑥+3

4 .


2≥

2𝑥+2

3 .

269. Решите неравенство (𝑥 − 1)(3𝑥 − 5) < 1. 270. Решите неравенство 𝑥2(−𝑥2 − 49) ≤ 49(−𝑥2 − 49).

Тема 6. Системы уравнений и неравенств


6.1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными

Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют систему вида (𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 – коэффициенты, 𝑐1 и 𝑐2 – свободные члены, а 𝑥 и 𝑦 – переменные):

{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1,𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2.

41

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют та-кую пару чисел х и у, которые при подстановке в эту систему обращают каж-дое её уравнение в верное равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения или уста-новить, что их нет.

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными способом подстановки, нужно:

из любого уравнения системы выразить одно неизвестное через другое; полученное выражение подставить в другое уравнение системы; решить полученное уравнение с одним неизвестным; подставить найденное значение в выражение для второй переменной

и найти ее значение.

Пример

{𝑥 + 𝑦 = 10,𝑥 − 𝑦 = 4;

{𝑥 = 10 − 𝑦,

10 − 𝑦 − 𝑦 = 4;

10 − 2𝑦 = 4; −2𝑦 = 4 − 10; −2𝑦 = −6; 𝑦 = 3; 𝑥 = 10 − 𝑦; 𝑥 = 10 − 3; 𝑥 = 7. Ответ: (7; 3).

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными способом алгебраического сложения, нужно:

уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных; почленно сложить или вычесть полученные уравнения, найти одно не-

известное; подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы,

найти второе неизвестное.

Пример

+ {𝑥 + 𝑦 = 10,𝑥 − 𝑦 = 4;

2𝑥 = 14; 𝑥 = 7;

𝑥 + 𝑦 = 10; 7 + 𝑦 = 10; 𝑦 = 10 − 7; 𝑦 = 3. Ответ: (7; 3).

Чтобы решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными графи-ческим способом, нужно:

построить графики каждого из уравнений системы; если графики пересекаются (имеют одну общую точку), то система

уравнений имеет единственное решение, которым являются координаты точки пересечения графиков;

если графики не имеют общих точек, то система не имеет решений; если графики совпадают, то система уравнений имеет бесконечно

много решений.

42

6.2. Системы неравенств

Для того чтобы решить систему неравенств, нужно: решить каждое неравенство отдельно; на общей числовой прямой изобразить решения обоих неравенств; отметить промежутки, где решения неравенств совпадают, и запи-

сать их в ответ.

Примеры

а)

.029

,062

x

xx ⇔

.5,4

,0)2)(3(

x

xx

Ответ: (–∞; –2] ⋃ [3; 4,5).

б)

.0152

,0342

2

xx

xx ⇔

.0)3)(5(

,0)1)(3(

xx

xx

Ответ: (–3; 1) ⋃ (3; 5).

в)

.0

,12

2

xx

xx ⇔

.0

,012

2

xx

xx

Рассмотрев первое неравенство, получим D = – 3 < 0, значит, квадратный трехчлен имеет постоянно отрицательный знак, поэтому решением первого неравенства системы яв-ляются х ∊ (–∞; +∞). Второе неравенство системы x(x + 1) < 0 выполняется при x ∊ (–1; 0).

Ответ: (–1; 0).


271. Решите систему уравнений {4𝑥 − 2𝑦 = 2,2𝑥 + 𝑦 = 5.

272. Решите систему неравенств {5𝑥 + 13 ≤ 0,

𝑥 + 5 ≥ 1. На каком рисунке изобра-

жено множество её решений?

273. Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе нера-

венств {6𝑥 + 18 ≤ 0,𝑥 + 8 ≥ 2.


венств {3𝑥 + 12 ≥ 0,𝑥 + 3 ≤ 1.

275. Решите систему уравнений {3𝑥 + 𝑦 = 5,

𝑥+2

5+

𝑦

2= −1.

276. Решите систему уравнений {𝑥 − 𝑦 = −5,

𝑥2 − 2𝑥𝑦 − 𝑦2 = 17.

43

277. Решите систему {(2𝑥 + 3)2 = 5𝑦,

(3𝑥 + 2)2 = 5𝑦.

278. Решите систему уравнений {2𝑥 + 𝑦 = 1,

𝑥2 − 11𝑥 + 14 = 2𝑦.


279. Решите систему уравнений {3𝑥 + 2𝑦 = 8,4𝑥 − 𝑦 = 7.

280. Решите систему уравнений {5𝑥 − 𝑦 = 7, 3𝑥 + 2𝑦 = −1.

281. Решите систему уравнений {2𝑥 − 𝑦 = 1, 3𝑥 + 2𝑦 = 12.

282. Решите систему уравнений {4𝑥 + 𝑦 = 10,𝑥 + 3𝑦 = −3.

283. Решите систему неравенств {2𝑥 − 3 ≤ 5,7 − 3𝑥 ≤ 1.

На каком из рисунков изобра-


284. Решите систему неравенств { 𝑥2 ≤ 4,𝑥 + 3 ≥ 0.

На каком из рисунков изобра-



венств {2𝑥 + 12 ≥ 0,𝑥 + 5 ≤ 2.

286. Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе нера-

венств {8𝑥 + 16 ≤ 0,𝑥 + 7 ≥ 2.


венств {8𝑥 + 16 ≤ 0,𝑥 + 7 ≥ 2.


венств {6𝑥 + 18 ≤ 0,𝑥 + 8 ≥ 2.

44


венств {3𝑥 + 12 ≥ 0,𝑥 + 3 ≤ 1.


венств {4𝑥 + 20 ≥ 0,𝑥 + 5 ≤ 1.

291. Решите систему уравнений {𝑦 − 5𝑥 = −8,

𝑦 − 𝑥2 = −2.

292. Решите систему уравнений {𝑥 + 𝑦 = −7,

𝑥2 + 𝑦2 = 25.

293. Решите систему уравнений {5𝑥 + 𝑦 = −13,

𝑥2 + 𝑦2 = 13.

294. Решите систему уравнений {2𝑥 − 𝑦 = −8,𝑥−1

3+

𝑦

2= −1.

295. Решите систему уравнений {2𝑥 − 𝑦 = −8,𝑥−1

2+

𝑦

3= 1.

296. Решите систему уравнений {𝑦 − 2𝑥 = 6,

𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 12.

297. Решите систему уравнений {(2𝑥 + 4)2 = 3𝑦,

(4𝑥 + 2)2 = 3𝑦.

298. Решите систему уравнений {(𝑥 + 6𝑦)2 = 7𝑦,

(𝑥 + 6𝑦)2 = 7𝑥.


299. Решите систему уравнений {3𝑥 − 𝑦 = −1,−𝑥 + 2𝑦 = 7.

300. Решите систему неравенств {𝑥 > −1,

3 − 𝑥 > 0. На каком рисунке изображено

множество её решений?


венств {5𝑥 + 15 ≤ 0,𝑥 + 5 ≥ 1.


венств {𝑥 + 20 ≥ 0,𝑥 + 5 ≤ 1.

303. Решите систему уравнений {𝑥2 + 3𝑥 + 𝑦2 = 2,

𝑥2 + 3𝑥 − 𝑦2 = −6.

45

304. Решите систему уравнений {𝑥 + 2𝑦 = 5,𝑥

4+

𝑦+6

3= 3.

305. Решите систему уравнений {𝑥 + 𝑦 = 2,

2𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 8.

306. Решите систему уравнений {(2𝑥 + 6𝑦)2 = 8𝑦,

(2𝑥 + 6𝑦)2 = 8𝑥.

Тема 7. Функции и графики


7.1. Линейная функция

Функция 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏, где 𝑘 и 𝑏 – некоторые действительные числа, а 𝑥 – переменная, называется линейной.

Область определения линейной функции – все действительные числа, область значений при 𝑘 = 0 состоит из одного числа 𝑏, при 𝑘 ≠ 0 – все дей-ствительные числа. При 𝑘 > 0 функция возрастает, при 𝑘 < 0 – убывает, при 𝑘 = 0 является постоянной. Графиком линейной функции является прямая, для ее построения достаточно двух точек.

По уравнениям линейных функций 𝑦 = 𝑘1𝑥 + 𝑏1 и 𝑦 = 𝑘2𝑥 + 𝑏2 можно судить о расположении их графиков. Если 𝑘1 = 𝑘2, то прямые параллельны; если 𝑘1𝑘2 = −1 – перпендикулярны.

7.2. Квадратичная функция

Функция 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, где 𝑎 (𝑎 ≠ 0), 𝑏 и 𝑐 – действительные числа и 𝑥 – переменная, называется квадратичной.

Областью определения квадратичной функции является множество дей-ствительных чисел. Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой при 𝑎 > 0 направлены вверх, а при 𝑎 < 0 – вниз. Вершина пара-

болы находится в точке (𝑥0; 𝑦0), где 𝑥0 = −𝑏

2𝑎, 𝑦0 = 𝑎𝑥0

2 + 𝑏𝑥0 + 𝑐.

Положение параболы относительно оси 𝑂𝑥 зависит от первого коэффи-циента и дискриминанта, что показано на рисунке.

0 x

y

b

k > 0

0 x

y

b

k < 0

0 x

y

b

k = 0

46

7.3. Степенные функции

Функции вида 𝑦 = 𝑥2𝑛, 𝑦 = 𝑥2𝑛+1, где 𝑛 ∈ 𝑁 Область определения этих функций – все действи-

тельные числа, область значения функции 𝑦 = 𝑥2𝑛 – множество всех неотрицательных чисел, 𝑦 = 𝑥2𝑛+1 – все действительные числа. Функция 𝑦 = 𝑥2𝑛+1 возрас-тает на всей области определения, а 𝑦 = 𝑥2𝑛 на проме-жутке (−∞; 0] убывает и на промежутке [0; +∞) воз-растает. Функция 𝑦 = 𝑥2𝑛 является четной, ее график симметричен относительно оси 𝑂𝑦, функция 𝑦 = 𝑥2𝑛+1 является нечетной, ее график симметричен относи-тельно начала координат.

Функция 𝑦 =𝑘

𝑥

Области определения и значений – все действи-тельные числа, кроме нуля. Функция на каждом из двух промежутков области опреде-ления убывает при 𝑘 > 0 и воз-растает при 𝑘 < 0. График функции называется гипербо-лой. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

Функции вида 𝑦 = √𝑥2𝑛

и 𝑦 = √𝑥2𝑛+1

, где 𝑛 ∈ 𝑁 Область определения и об-

ласть значений функции 𝑦 =

√𝑥2𝑛+1

– все действительные

числа, а функции 𝑦 = √𝑥2𝑛

– мно-жество всех неотрицательных чисел. Обе функции возрастают

на своей области определения. Функция 𝑦 = √𝑥2𝑛+1

является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

a > 0

0

x

y

D=0

D <0

D>0

a < 0

0 x

y

D=0

D>0

D<0

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

47

7.4. Основные приемы преобразования графиков

𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑏 Перенос графика 𝑦=𝑓(𝑥) на вектор �⃗� (0; 𝑏)

𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑏) Перенос графика 𝑦 = 𝑓(𝑥) на вектор �⃗� (−𝑏; 0)

𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥), 𝑘 > 0

При 𝑘 > 1 растяжение от точки (0; 0) вдоль оси ординат в k раз; при 0 < 𝑘 < 1 сжатие к точке (0; 0)

вдоль оси ординат в 1

𝑘 раз

𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥), 𝑘 > 0

При 𝑘 > 1 сжатие к точке (0; 0) вдоль оси абсцисс в k раз; при 0 < 𝑘 < 1 растяжение от точки

(0; 0) вдоль оси абсцисс в 1

𝑘 раз

𝑦 = −𝑓(𝑥) Отображение симметрично относи-тельно оси абсцисс

𝑦 = 𝑓(−𝑥) Отображение симметрично относи-тельно оси ординат

𝑦 = |𝑓(𝑥)|

Часть графика в верхней полуплос-кости и на оси абсцисс без измене-ния, а вместо части графика в ниж-ней полуплоскости строим симмет-ричную ей относительно оси 𝑂𝑥

𝑦 = 𝑓(|𝑥|)

Часть графика в правой полуплоско-сти и на оси ординат без изменения, а вместо части в левой полуплоско-сти строим симметричную правой относительно оси 𝑂𝑦

y f(x)

x 0

f(x)+b

b

y

f(x)

x 0

f(x+b) b

y

x 0

y f(x)

x 0

f(kx),(k>1)

f(kx),(0<k<1)

y f(x)

x 0

y

x 0

f(x)

y f(x)

x 0

f(-x)

y f(x)

x 0

-f(x)

48


307. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) 𝑦 =1

𝑥; 2) 𝑦 =

1

2𝑥; 3) 𝑦 = 2 − 𝑥2; 4) 𝑦 = √𝑥.

308. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке? 1) 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥; 2) 𝑦 = −𝑥2 − 𝑥; 3) 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥; 4) 𝑦 = −𝑥2 + 𝑥.

309. На одном из рисунков изображен график функции 𝑦 = −4

𝑥 . Укажите

номер этого рисунка.

1) 2) 3) 4)

310. Найдите значение a по графику функции 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, изображенному на рисунке.

311. Укажите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) 𝑦 = (𝑥 + 2)2 + 1; 2) 𝑦 = √7𝑥 + 2; 3) 𝑦 =

𝑥

3− 3; 4) 𝑦 = (𝑥 − 2)2 + 1.

312. На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x). Какие из следующих утверждений о данной функции неверны?

49

1) f(x) < 0 при x < 1; 2) наибольшее значение функции равно 3; 3) f(0) > f(4).

313. Постройте график функции 𝑦 =𝑥4−13𝑥2+36

(𝑥−3)(𝑥+2) и определите, при каких зна-

чениях параметра c прямая y = c имеет с графиком одну общую точку. 314. Постройте график заданной функции и определите, при каких значениях

параметра c прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

𝑦 = {𝑥2, если |𝑥| ≤ 1;

−1

𝑥, если |𝑥| > 1.

315. При каком значении p прямая 𝑦 = −2𝑥 + 𝑝 имеет ровно одну общую точку с параболой 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥? Найдите координаты этой точки. По-стройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении p.

316. Постройте график заданной функции и определите, при каких значе-ниях с прямая 𝑦 = 𝑐 имеет с графиком ровно две общие точки.

𝑦 = {1,5𝑥 + 2, если 𝑥 < 0;

2 − 𝑥, если 0 ≤ 𝑥 < 1;𝑥, если 𝑥 ≥ 1.

317. Найдите наименьшее значение выражения и значения x и y, при кото-рых оно достигается |6𝑥 + 5𝑦 + 7| + |2𝑥 + 3𝑦 + 1|.

318. Постройте график функции 𝑦 =(√16−𝑥2)

2

𝑥+4 и найдите все значения 𝑎,

при которых прямая 𝑦 = 𝑎 имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.



1) 𝑦 = −1

𝑥; 2) 𝑦 = 4 − 𝑥2; 3) 𝑦 = 2𝑥 + 4; 4) 𝑦 = √𝑥.

50


1) 𝑦 =2

𝑥; 2) 𝑦 = 𝑥2 − 2; 3) 𝑦 = 2𝑥; 4) 𝑦 = 2 − 𝑥2.

321. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

1) 𝑦 = −2

𝑥;

2) 𝑦 =2

𝑥;

3) 𝑦 = −1

2𝑥;

4) 𝑦 =1

2𝑥.

322. Найдите значение 𝑎 по графику функции 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, изображен-ному на рисунке.

1) –1; 2) 1; 3) 2; 4) 3.

323. На одном из рисунков изображен график функции 𝑦 = −2

𝑥 . Укажите

номер этого рисунка.

1) 2) 3) 4)

324. На одном из рисунков изображен график функции 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3.

Укажите номер этого рисунка.

1) 2) 3) 44)

51

325. Найдите значение 𝑏 по графику квадратичной функции 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, изображенному на рисунке справа.

326. Найдите значение 𝑐 по графику квадратичной функции 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, изображенному на рисунке справа.

327. Укажите соответствие между графиками функций и формулами, кото-рые их задают.

1) 𝑦 = 4𝑥 − 3; 2) 𝑦 = 4𝑥 + 3; 3) 𝑦 = √𝑥 − 1; 4) 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥.

328. Укажите соответствие между графиками функций и формулами, кото-рые их задают.

1) 𝑦 = 2𝑥 − 4; 2) 𝑦 = −√2𝑥 − 2; 3) 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 1; 4) 𝑦 = −√2𝑥 + 2.


1) Функция возрастает на промежутке (−∞; −1]; 2) наибольшее значение функции равно 8; 3) f(−4) ≠ f(2).

330. На рисунке изображён график квадратичной функции y=f(x). Какие из следующих утверждений о данной функции неверны?

1) Функция убывает на промежутке [1; +∞); 2) наименьшее значение функции равно – 4; 3) f(−2) < f(3).

52

331. На рисунке изображены графики функций вида 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏. Устано-вите соответствие между знаками коэффициентов 𝑘 и 𝑏 и графиками. 1) 2) 3) 4)

А) 𝑘 < 0, 𝑏 < 0; Б) 𝑘 > 0, 𝑏 > 0; В) 𝑘 > 0, 𝑏 < 0. 332. На рисунке изображены графики функций вида 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏. Устано-

вите соответствие между графиками и знаками коэффициентов 𝑘 и 𝑏.

1) 𝑘 < 0, 𝑏 < 0; 2) 𝑘 > 0, 𝑏 > 0; 3) 𝑘 > 0, 𝑏 < 0; 4) 𝑘 < 0, 𝑏 > 0.

333. Постройте график заданной функции и определите, при каких значе-ниях параметра c прямая y = c имеет с графиком три общие точки.

𝑦 = {

5

𝑥, если 𝑥 ≥ 1;

𝑥2 + 4𝑥, если 𝑥 < 1.

334. Постройте график функции и определите, при каких значениях пара-метра c прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку.

𝑦 = {−𝑥2, если |𝑥| ≤ 1;

−1

𝑥, если |𝑥| > 1.

335. При каких отрицательных значениях k прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 − 4 имеет с па-раболой 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

336. Постройте график функции и определите, при каких значениях c пря-мая 𝑦 = 𝑐 имеет с графиком ровно две общие точки.

𝑦 = {2𝑥 + 1, если 𝑥 < 0;

−1,5𝑥 + 1, если 0 ≤ 𝑥 < 2;𝑥 − 4, если 𝑥 ≥ 2.

337. Постройте график функции 𝑦 = |𝑥 − 2| − |𝑥 + 1| + 𝑥 − 2 и найдите зна-чения 𝑚, при которых прямая 𝑦 = 𝑚 имеет с ним ровно две общие точки.

338. Постройте график функции 𝑦 = |𝑥 − 1| − |𝑥 + 3| + 𝑥 + 4 и найдите зна-чения 𝑚, при которых прямая 𝑦 = 𝑚 имеет с ним ровно две общие точки.

53

339. Постройте график функции 𝑦 = −2𝑥 + 4|𝑥| − 𝑥2 и определите, при ка-ких значениях c прямая 𝑦 = 𝑐 имеет с графиком ровно три общие точки.

340. Постройте график функции 𝑦 = 𝑥 + 5|𝑥| − 𝑥2 и определите, при каких значениях c прямая 𝑦 = 𝑐 имеет с графиком ровно три общие точки.

341. Первая прямая проходит через точки (0; 4,5) и (3; 6). Вторая прямая проходит через точки (1; 2) и (−4; 7). Найдите координаты общей точки этих двух прямых.

342. Известно, что парабола проходит через точку 𝐵(−1; −1

4) и её вершина

находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую 𝑦 = −16.

343. Постройте график функции 𝑦 =(√𝑥2+3𝑥)

2

𝑥 . Найдите значения 𝑎, при ко-

торых прямая 𝑦 = 𝑎 не имеет с графиком данной функции общих точек.

344. Постройте график функции 𝑦 =(𝑥−9)(𝑥2−9)

𝑥2−6𝑥−27 и определите, при каких

значениях 𝑘 построенный график не будет иметь общих точек с пря-мой 𝑦 = 𝑘𝑥.

345. Постройте график функции 𝑦 =2𝑥+1

2𝑥2+𝑥 и определите, при каких значе-

ниях k прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 имеет с графиком ровно одну общую точку.

346. Постройте график функции 𝑦 =𝑥+2

𝑥2+2𝑥 и определите, при каких значе-

ниях 𝑘 прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 имеет с графиком одну общую точку. 347. Известно, что графики функций 𝑦 = 𝑥2 + 𝑃 и 𝑦 = −4𝑥 − 5 имеют ровно

одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

348. Известно, что графики функций 𝑦 = 𝑥2 + 𝑃 и 𝑦 = −2𝑥 − 5 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.


349. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.

1) 𝑦 = 2𝑥 − 4; 2) 𝑦 = −

4

𝑥; 3) 𝑦 = 2𝑥2; 4) 𝑦 = 2𝑥 + 4.

54

350. Найдите значение 𝑏 по графику функции 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, изображен-ному на рисунке.

1) −2; 2) 1; 3) 2; 4) 3.

351. На одном из рисунков изображен график функции 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3. Укажите номер этого рисунка.

1) 2) 3) 4)

352. Найдите значение 𝑘 по графику функции 𝑦 =𝑘

𝑥, изоб-

раженному на рисунке. 353. Укажите соответствие между графиками функций и

формулами, которые их задают.

1) 𝑦 = (𝑥 + 1)2 + 2; 2) 𝑦 = 1 − 2𝑥; 3) 𝑦 = √5𝑥 + 5; 4) 𝑦 = √5𝑥 − 5.


1) Функция возрастает на промежутке [2; +∞); 2) f(x) > 0 при −1 < x < 5; 3) f(0) < f(4).

55

355. Постройте график функции 𝑦 = −𝑥 + 5|𝑥| − 𝑥2 и определите, при каких значениях c прямая 𝑦 = 𝑐 имеет с графиком ровно три общие точки.

356. Постройте график функции 𝑦 = 𝑥2 − 3|𝑥| + 𝑥 и определите, при каких значениях c прямая 𝑦 = 𝑐 имеет с графиком ровно три общие точки.

357. Известно, что графики функций 𝑦 = 𝑥2 + 𝑃 и 𝑦 = 2𝑥 − 2 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

358. Известно, что графики функций 𝑦 = −𝑥2 + 𝑃 и 𝑦 = −4𝑥 + 5 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. По-стройте графики заданных функций в одной системе координат.

359. Постройте график заданной функции и определите, при каких значе-ниях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

𝑦 = {𝑥2 + 2𝑥 + 3, если 𝑥 ≥ −3;

𝑥 + 9, при 𝑥 < −3.

360. Парабола проходит через точки K(0; 2), L(–1; 9), M(2; –6). Найдите ко-ординаты её вершины.

361. Найдите наименьшее значение выражения (5𝑥 − 4𝑦 + 3)2 + (3𝑥 − 𝑦 − 1)2 и значения 𝑥 и 𝑦, при которых оно достигается.

362. Постройте график функции 𝑦 = 𝑥2 − 3|𝑥| − 𝑥 и определите, при ка-ких значениях 𝑐 прямая 𝑦 = 𝑐 имеет с графиком три общие точки.

363. Постройте график функции 𝑦 =(√𝑥2−5𝑥+6)2

𝑥−3 и найдите все значения 𝑎,

при которых прямая 𝑦 = 𝑎 не имеет с графиком данной функции об-щих точек.

364. Постройте график заданной функции и определите, при каких значе-ниях параметра a он имеет ровно две общие точки с прямой y = a.

𝑦 = {−𝑥2 − 4𝑥 − 4, если 𝑥 < −1;

1 − |𝑥 − 1|, если 𝑥 ≥ −1.

Тема 8. Текстовые задачи


8.1. Задачи на проценты

1% от какого-то числа – это 0,01 от этого числа. Поэтому в задачах це-лесообразно сразу заменять проценты на соответствующие дроби. Напри-мер, 20% = 0,2; 25% = 0,25 и т. д. Таким образом, задачи на проценты сво-дятся к задачам на дроби.

Существует три основных типа задач на проценты.

1) Задача на нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на количе-ство процентов, выраженное в виде десятичной дроби.

56

Пример. В классе 30 человек, из них 40% – мальчики. Сколько в классе мальчиков? Нам надо найти 40% от 30 человек. 30 · 0,4 = 12 мальчиков.

2) Задача на нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, надо это число разделить на коли-чество процентов, выраженное в виде десятичной дроби.

Пример. В классе 12 мальчиков, что составляет 40% от числа всех детей в классе. Сколько детей в классе?

Нам надо найти то число, 40% которого дает 12. 12 : 0,4 = 30 детей.

3) Нахождение процентов, которое одно число составляет от другого

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, надо первое число разделить на второе и умножить на 100%.

Пример. В классе 30 человек, из них 12 мальчиков. Какую часть от всех детей со-ставляют мальчики?

Нам надо выразить дробью отношение числа мальчиков ко всем детям класса. 12 : 30 · 100% = 40%.

8.2. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы

Примеры а) Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит

20% олова, второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

До сплавления в двух кусках было 300 ∙ 0,2 + 200 ∙ 0,4 = 140 г олова. После сплавления кусок массой 200 + 300 = 500 г будет содержать 140: 500 ∙ 100 = 28% олова.

б) В 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, добавили 4 л чистой воды. Определите процентное содержание кислоты в новом растворе.

До добавления воды кислоты было 2 · 0,6 = 1,2 л. Количество кислоты не измени-лось; ее процентное содержание в новом растворе массой 6 л будет 1,2 : 6 ∙ 100 = 20%.

в) Сколько надо взять 5%-го и 25%-го растворов кислоты, чтобы получить 4 л 10 %-го раствора кислоты?

Пусть надо взять х л первого раствора и (4 – х) л второго, тогда кислоты будет взято или 0,1∙4 = 0,4, или 0,05х + 0,25(4 – х) л. Составим уравнение: 0,05х + 0,25(4 – х) = 0,4. Это уравнение имеет единственный корень: х = 3. Следовательно, надо взять 3 л первого рас-твора и 1 л второго.

г) Имеется два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100 г первого раствора и 200 г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300 г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найдите концентрацию второго раствора.

Пусть процентное содержание соли в первом и втором растворах p% и q% соответ-ственно, тогда по условиям задачи можно составить два уравнения.

100 · p : 100 + 200 · q : 100 = 50 · (100 + 200) : 100, 300 · p : 100 + 200 · q : 100 = 42 · (300 + 200) : 100. Упростив эти уравнения и решив систему, получим p = 30 и q = 60. Следовательно,

концентрация второго раствора равна 60%.

57

8.3. Задачи на движение

Пусть S – расстояние (пройденный путь), t – время движения, υ – ско-рость. Тогда справедливо соотношение S = υ · t.

При решении задач разумно использовать понятия «скорость сближе-ния» и «скорость удаления». При решении задач на встречное движение и движение в противоположных направлениях скорость сближения и скорость удаления находятся сложением скоростей движущихся объектов. При реше-нии задач на движение в одном направлении скорость сближения и скорость удаления находятся вычитанием скоростей движущихся объектов.

Примеры а) В данный момент расстояние между двумя таксистами 345 км. На каком рассто-

янии будут находиться таксисты через два часа, если скорость одного 72 км/ч, а другого 68 км/ч и они выезжают навстречу друг другу одновременно?

Первый способ решения 72 + 68 = 140 (км/ч) – скорость сближения таксистов; 140 · 2 = 280 (км) – на такое расстояние таксисты приблизятся друг к другу за 2 часа; 345 – 280 = 145 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа. Второй способ решения 72 · 2 =144 (км) – такое расстояние проедет один таксист за 2 часа; 68 · 2 = 136 (км) – такое расстояние проедет другой таксист за 2 часа; 144 + 136 = 280 (км) – на такое расстояние таксисты приблизятся друг к другу за 2 часа; 345 – 280 = 145 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа. б) Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно

навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пеше-хода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пе-шеход, шедший из В, и сделал в пути получасовую остановку.

Большинство задач на движение удобно решать с помощью составления таблиц.

υ, км/ч t, ч S, км

Пешеход, который вышел из А x + 1 9

𝑥+1 9

Пешеход, который вышел из В x 10

𝑥 10

Так как пешеход, вышедший из А, сделал получасовую остановку, то составим урав-

нение: 9

x+1+

1

2=

10

x. Решая уравнение, находим, что х1 = 5; х2 = –4. Так как скорость – число

неотрицательное, то скорость пешехода, который вышел из В, была 5 км/ч. Тогда ско-рость пешехода, шедшего из А, была 5 + 1 = 6 км/ч.

8.4. Задачи на совместную работу

При решении задач такого типа принимают всю работу за единицу. Боль-шинство задач можно решить с помощью дробного рационального уравне-ния. Для решения более сложных задач составляют систему уравнений. За-дачи на совместную работу связывают время работы, производительность труда и время работы соотношением: время работы · производительность труда = объем работы.

58

Пример. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное зада-ние за 20 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый из них, работая само-стоятельно, если одному из них для этого надо на 9 дней больше, чем другому?

Примем все задание за единицу. Пусть второй рабочий, работая самостоятельно, может выполнить все задание за x дней, тогда первый – за (x + 9) дней.

Время работы Производительность Объем работы

Первый рабочий x + 9 1

𝑥+9 1

Второй рабочий x 1

𝑥 1

За 1 день двое рабочих вместе выполняют 1

x+9+

1

x часть задания, тогда за 20 дней

они выполнят всё производственное задание: 20 ∙ (1

x+9+

1

x) = 1. Решая уравнение, нахо-

дим, что х1 = –5; х2 = 36. Так как время работы не может быть числом отрицательным, то получаем, что время работы второго рабочего составляет 36 дней. Тогда первый рабо-чий выполнит производственное задание за 36 + 9 = 45 дней.


365. Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 руб-лей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?

366. Чашка, которая стоила 90 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При по-купке 10 таких чашек покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

367. Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вклад-чик положил на счет 800 рублей. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

368. Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 40 млн рублей. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

369. На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 120 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:5. Сколько голосов получил победитель?

370. В начале года число абонентов телефонной компании «Север» состав-ляло 200 тыс. человек, а в конце года их стало 210 тыс. человек. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

371. На счет в банке, доход по которому составляет 15% годовых, внесли 24 тыс. рублей. Сколько тысяч рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

372. Какая сумма (в рублях) будет проставлена в кассовом чеке, если стои-мость товара 520 рублей и покупатель оплачивает его по дисконтной карте с 5%-ной скидкой?

59

373. Клубника стоит 180 рублей за килограмм, а клюква – 250 рублей за килограмм. На сколько процентов клубника дешевле клюквы?

374. На молочном заводе пакеты молока упаковываются по 15 штук в ко-робку, причём в каждой коробке все пакеты одинаковые. В партии мо-лока, отправляемой в магазин «Уголок», коробок с полуторалитро-выми пакетами молока вдвое меньше, чем коробок с литровыми паке-тами. Сколько литров молока в этой партии, если коробок с литро-выми пакетами молока 32?

375. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновре-менно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути получасовую остановку.

376. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 19 км, вышел пе-шеход. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел турист и встретил пешехода в 9 км от В. Турист шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход. Найдите скорость пешехода, шедшего из А.

377. Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

378. Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ло-вил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отдалился, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

379. Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявле-ний за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

380. Костя и Руслан выполняют одинаковый тест. Костя отвечает за час на 19 вопросов теста, а Руслан – на 20. Они одновременно начали отве-чать на вопросы теста, и Костя закончил свой тест позже Руслана на 9 минут. Сколько вопросов содержит тест?

381. Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше вре-мени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?

382. Смешав 60%-й и 30%-й растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%-й раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор

60

кислоты. Сколько килограммов 60%-го раствора использовали для получения смеси?

383. Имеется два сплава с разным содержанием золота: в первом содержится 50%, а во втором – 80% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них сплав, содержащий 55% золота?

384. На пост главы администрации города претендовало три кандидата: Журавлёв, Зайцев, Иванов. Во время выборов за Иванова было отдано в 2 раза больше голосов, чем за Журавлёва, а за Зайцева – в 3 раза больше, чем за Журавлёва и Иванова вместе. Сколько процентов голо-сов было отдано за победителя?


385. Альбом, который стоил 120 рублей, продаётся с 25%-й скидкой. При покупке 5 таких альбомов покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

386. Чайник, который стоил 800 рублей, продаётся с 5%-й скидкой. При по-купке этого чайника покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

387. Набор полотенец, который стоил 200 рублей, продаётся с 3%-й скид-кой. При покупке этого набора покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

388. Пылесос, который стоил 3500 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке этого пылесоса покупатель отдал кассиру 5000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

389. Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 3:5. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 32 млн рублей. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

390. Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 1 : 4. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?

391. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько весит Сергей?

392. Городской бюджет составляет 45 млн рублей, а расходы на одну из его ста-тей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

393. Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

394. На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 120 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:5. Сколько голосов получил победитель?

395. В понедельник некоторый товар поступил в продажу по цене 1000 руб-лей. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в

61

течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следую-щей недели снижается на 20% от предыдущей цены. Сколько рублей бу-дет стоить товар на двенадцатый день после поступления в продажу?

396. Поступивший в продажу в январе мобильный телефон стоил 3000 рублей. В марте он стал стоить 2790 рублей. На сколько процен-тов снизилась цена на мобильный телефон в период с января по март?

397. Спортивный магазин проводит акцию: «Любая футболка по цене 200 рублей. При покупке двух футболок – скидка на вторую 75%». Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух футболок?

398. Спортивный магазин проводит акцию: «Любая футболка по цене 300 рублей. При покупке двух футболок – скидка на вторую 60%». Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух футболок?

399. Виноград стоит 160 рублей за килограмм, а малина – 200 рублей за килограмм. На сколько процентов виноград дешевле малины?

400. Черешня стоит 150 рублей за килограмм, а виноград – 160 рублей за килограмм. На сколько процентов черешня дешевле винограда?

401. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 27 км, вышли одновре-менно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 15 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 2 км/ч большей, чем второй пешеход, и сделал в пути получасовую остановку.

402. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если ско-рость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

403. Расстояние между городами А и В равно 375 км. Город С находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а че-рез 1 час 30 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мото-циклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

404. Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, ко-торая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 34 км. Найдите скорость яхты в непо-движной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

405. Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин, а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего ва-гона) при той же скорости – за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?

406. Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

407. На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

62

408. Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша – на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?

409. Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 45 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 21 час. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

410. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вто-рая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если ре-зервуар объёмом 130 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 136 литров?

411. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором 45% меди. В каком отношении надо взять первый и вто-рой сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

412. Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве со-держится 35% золота, а во втором – 60%. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

413. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отноше-нии были взяты первый и второй растворы?

414. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них сплав, содержащий 50% меди?

415. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 2 часа, вернулись обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а соб-ственная скорость лодки 6 км/ч?

416. Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а соб-ственная скорость лодки 6 км/ч?


418. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от

63

лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а соб-ственная скорость лодки 6 км/ч?





423. На пост главы администрации города претендовало три кандидата: Андреев, Борисов, Васильев. Во время выборов за Васильева было от-дано в 1,5 раза больше голосов, чем за Андреева, а за Борисова – в 4 раза больше, чем за Андреева и Васильева вместе. Сколько процен-тов голосов было отдано за победителя?

424. На пост губернатора области претендовало три кандидата: Гаврилов, Дмитриев, Егоров. Во время выборов за Дмитриева было отдано в 3 раза меньше голосов, чем за Гаврилова, а за Егорова – в 9 раз больше, чем за Гаврилова и Дмитриева вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя?

425. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 19 км, вышел пе-шеход. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел турист и встретил пешехода в 9 км от В. Турист шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход. Найдите скорость пешехода, шедшего из А.

426. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 34 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из В выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч большей скорости пешехода. Найдите скорость ве-лосипедиста, если известно, что они встретились в 10 км от пункта А.

427. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч пешехода за 57 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

64

428. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 5 км/ч пешехода за 45 секунд. Найдите длину поезда в метрах.


429. Блюдце, которое стоило 40 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке 10 таких блюдец покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

430. Поступивший в продажу в январе мобильный телефон стоил 3000 рублей. В апреле он стал стоить 2160 рублей. На сколько процен-тов снизилась цена на мобильный телефон в период с января по ап-рель?

431. Клубника стоит 180 рублей за килограмм, а клюква — 250 рублей за килограмм. На сколько процентов клубника дешевле клюквы?

432. На складе есть коробки с ручками двух цветов: чёрные и синие. Коро-бок с чёрными ручками 4, с синими – 11. Сколько всего ручек на складе, если чёрных ручек 640, коробки одинаковые и в каждой ко-робке находятся ручки только одного цвета?

433. Площадь земель крестьянского хозяйства, отведённая под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 24 га и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении 5:3. Сколько гектаров занимают овощные культуры?

434. В течение августа помидоры подешевели на 50%, а затем в течение сентября подорожали на 70%. Какая цена меньше: в начале августа или в конце сентября – и на сколько процентов?

435. Поступивший в продажу в апреле мобильный телефон стоил 4000 руб-лей. В сентябре он стал стоить 2560 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с апреля по сентябрь?

436. На молочном заводе пакеты молока упаковываются по 12 штук в ко-робку, причём в каждой коробке все пакеты одинаковые. В партии мо-лока, отправляемой в магазин «Уголок», коробок с полуторалитро-выми пакетами молока втрое меньше, чем коробок с литровыми паке-тами. Сколько литров молока в этой партии, если коробок с литро-выми пакетами молока 45?

437. Расстояние между городами А и В равно 750 км. Из города А в город В со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 70 км/ч второй ав-томобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

438. Расстояние между городами А и В равно 490 км. Из города А в город В со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 90 км/ч второй автомо-биль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

65

439. Расстояние от города до посёлка равно 120 км. Из города в посёлок вы-ехал автобус. Через час после этого вслед за ним выехал автомобиль, ско-рость которого на 10 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса (в км/ч), если известно, что в пути он сделал остановку на 24 ми-нуты, а в посёлок автомобиль и автобус прибыли одновременно.

440. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пе-шеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Велосипе-дист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сде-лал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км от пункта В.

441. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 27 км, вышли одновре-менно навстречу друг другу два туриста и встретились в 12 км от В. Турист, шедший из А, сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость туриста, шедшего из В, если известно, что он шёл со скоро-стью, на 2 км/ч меньшей, чем первый турист.

442. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найдите скоро-сти товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товар-ного поезда составляет 5/8 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.

443. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью пер-вый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью, на 2 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 168 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.

444. Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч.

445. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой 800 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

446. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направле-нии следуют товарный и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 40 км/ч и 100 км/ч. Длина товарного поезда равна 750 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 1 минуте.

447. При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, полу-чился раствор с концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

448. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 30%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого

66

50%, получили раствор, содержащий 45% кислоты. В каком отноше-нии были взяты первый и второй растворы?

449. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

450. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 11% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

451. Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 45 минут, а одна первая труба – за 21 час. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

452. Две трубы наполняют бассейн за 57 минут, а одна первая труба – за 19 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Тема 9. Числовые последовательности


9.1. Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и фиксированного числа 𝑑, называемого разностью арифметической прогрессии: 𝑎𝑖+1 = 𝑎𝑖 + 𝑑.

Для нахождения члена прогрессии используют формулы (𝑘 < 𝑛): 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑,

𝑎𝑛 =1

2(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛+1),

𝑎𝑛 = 𝑎𝑘 + (𝑛 − 𝑘) ∙ 𝑑,

𝑎𝑛 =1

2(𝑎𝑛−𝑘 + 𝑎𝑛+𝑘).

Сумму первых 𝑛 членов арифметической прогрессии можно найти по

одной из формул: 𝑆𝑛 =𝑎1+𝑎𝑛

2∙ 𝑛, 𝑆𝑛 =

2𝑎1+(𝑛−1)𝑑

2∙ 𝑛.

Примеры а) Дана арифметическая прогрессия: −4; −2; 0. Найдите сумму первых десяти её членов.

d = a2 – a1 = (–2) – (–4) = 2; 𝑆10 =2(−4)+9∙2

2∙ 10 = (−8 + 18) ∙ 5 = 50.

б) Дана арифметическая прогрессия: −7; −5; −3 … Найдите 𝑎16. d = a2 – a1 = (–5) – (–7) = 2; 𝑎16 = 𝑎1 + (16 − 1) ∙ 𝑑 = −7 + 15 ∙ 2 = 23.

9.2. Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛, в которой каждый член, начиная со второго, равен произведе-нию предыдущего члена и фиксированного числа 𝑞 (𝑞 ≠ 0), называемого знаменателем геометрической прогрессии: 𝑏𝑖+1 = 𝑏𝑖 ∙ 𝑞.

67

Для нахождения члена прогрессии используют формулы (𝑘 < 𝑛): 𝑏𝑛 = 𝑏1 ∙ 𝑞𝑛−1,

𝑏𝑛 = √𝑏𝑛−1 ∙ 𝑏𝑛+1,

𝑏𝑛 = 𝑏𝑘 ∙ 𝑞𝑛−𝑘 ,

𝑏𝑛 = √𝑏𝑛−𝑘 ∙ 𝑏𝑛+𝑘 .

Сумму первых 𝑛 членов геометрической прогрессии можно найти по

одной из формул: 𝑆𝑛 =𝑏𝑛∙𝑞−𝑏1

𝑞−1, 𝑆𝑛 =

𝑏1∙(𝑞𝑛−1)

𝑞−1.

Сумму всех членов бесконечной геометрической прогрессии со знамена-

телем |𝑞| < 1 и первым членом 𝑏1 находят по формуле 𝑆𝑛 =𝑏1

1−𝑞 .

Пример Геометрическая прогрессия задана условиями: 𝑏1 = 4, 𝑏𝑛+1 = 2𝑏𝑛. Найдите 𝑏7.

𝑞 =𝑏𝑛+1

𝑏𝑛=

2𝑏𝑛

𝑏𝑛= 2; 𝑏7 = 𝑏1 ∙ 𝑞7−1 = 4 ∙ 26 = 256.


453. Дана арифметическая прогрессия: −4; −2; 0. Найдите S10. 454. Геометрическая прогрессия задана условиями: 𝑏1 = 4, 𝑏𝑛+1 = 2𝑏𝑛.

Найдите 𝑏7. 455. Дана арифметическая прогрессия: −7; −5; −3 … Найдите 𝑎16. 456. Дана арифметическая прогрессия: −6; −3; 0 … Найдите S10. 457. Арифметическая прогрессия задана условиями: 𝑎1 = 5, 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 3.

Найдите 𝑎10.

458. Последовательность задана формулой 𝑎𝑛 =11

𝑛+1. Сколько членов в

этой последовательности больше 1?

1) 8; 2) 9; 3) 10; 4) 11.

459. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1) 1; 2; 3; 5; … 2) 1; 2; 4; 8; … 3) 1; 3; 5; 7; … 4) 1;1

2;

2

3;

3

4; …

460. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12; … Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 83; 2) 95; 3) 100; 4) 102.

461. Арифметические прогрессии заданы формулами n-го члена. Укажите те из них, у которых разность равна 4: 𝑥𝑛 = 2𝑛 + 4, 𝑦𝑛 = 4𝑛, 𝑧𝑛 = 4𝑛 + 2.

462. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

463. Геометрическая прогрессия задана формулой 𝑛-го члена 𝑏𝑛 = 2 ∙ (−3)𝑛−1. Укажите четвертый член этой прогрессии.

464. Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен 2,

а 𝑏1 = −3

4. Найдите сумму первых шести её членов.

68


465. Дана арифметическая прогрессия: −4; −2; 0; … Найдите сумму первых десяти её членов.

466. Дана арифметическая прогрессия: 14, 9, 4, ... Какое число стоит в этой последовательности на 81-м месте?

467. Дана арифметическая прогрессия: −19, −15, −11, ... Какое число стоит в этой последовательности на 81-м месте?

468. Дана арифметическая прогрессия: 11, 7, 3, ... Какое число стоит в этой последовательности на 7-м месте?

469. Последовательность задана формулой 𝑐𝑛 = 𝑛2 − 1 . Какое из указан-ных чисел является членом этой последовательности?

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.

470. Последовательность задана формулой 𝑐𝑛 = 𝑛 +(−1)𝑛

𝑛. Какое из следую-

щих чисел не является членом этой последовательности?

1) 21

2 ; 2) 4

1

4 ; 3) 5

1

5 ; 4) 6

1

6 .

471. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1) 28 + 2𝑛; 2) 30 + 2𝑛; 3) 32 + 2𝑛; 4) 2n.

472. Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отри-цательный член этой прогрессии.

473. Последовательность задана условиями: 𝑐1 = −3, 𝑐𝑛+1 = 𝑐𝑛 − 1. Найдите 𝑐7.

474. Последовательность задана условиями: 𝑏1 = 4, 𝑏𝑛+1 = −1

𝑏𝑛. Найдите 𝑏7.

475. В геометрической прогрессии известно, что 𝑏1 = 2, 𝑞 = −2. Найти пя-тый член этой прогрессии.

476. Арифметическая прогрессия задана формулой: 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 2, и из-вестно, что 𝑎1 = 3. Найдите пятый член этой прогрессии.

477. В арифметической прогрессии известно, что 𝑎1 = −2, 𝑑 = 3. Найдите четвёртый член этой прогрессии.

478. Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена 𝑏𝑛 = 3 ∙ 2𝑛−1. Укажите третий член этой прогрессии.

479. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 144, а сумма второго и третьего членов равна 48. Найдите первые три члена этой прогрессии.


481. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −87; −76; −65; … Найдите первый положительный член этой прогрессии.

482. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 93; 85,5; 78; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

69


483. Одна из данных последовательностей является геометрической про-грессией. Укажите эту последовательность.

1) 10; 6; 2; −2; … 2) 5;5

2;

5

4;

5

8; … 3) 1; 2; 3; 5; … 4)

1

2;

1

3;

1

4;

1

5; …

484. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией? 1) Последовательность натуральных степеней числа 2. 2) Последовательность натуральных чисел, кратных 5. 3) Последовательность кубов натуральных чисел. 4) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя.

485. Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … . Найдите первый от-рицательный член этой прогрессии.

486. В арифметической прогрессии известно, что 𝑎1 = 3, 𝑑 = −2. Найдите 𝑎3. 487. Арифметическая прогрессия задана условиями: 𝑎1 = −3,1, 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 +

+0,9. Найдите сумму первых 19 её членов. 488. Арифметическая прогрессия задана условиями: a1 = 3, an + 1 = an + 4.

Найдите a10.

489. Геометрическая прогрессия задана условиями 𝑏1 = −128, 𝑏𝑛+1 =1

2𝑏𝑛.

Найдите 𝑏7. 490. Дана арифметическая прогрессия: −6; −3; 0; … Найдите сумму первых

сорока её членов. 491. Записаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 17; 14.

Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте? 492. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна

150, а сумма второго и третьего членов равна 75. Найдите первые три члена этой прогрессии.


494. Дана арифметическая прогрессия: 8, 4, 0, ... . Какое число стоит в этой последовательности на 7-м месте?


496. Дана арифметическая прогрессия: −6, −2, 2, … . Найдите a16.

70



22+

14

11) ÷

10

33 .

2. Найдите значение выражения (2 ∙ 102)3 ∙ 3 ∙ 10−5.

3. На координатной прямой отмечены числа a и b.

Какое из приведенных утверждений не верно? 1) 𝑎𝑏2 > 0; 2) 𝑏 − 𝑎 > 0; 3) 𝑎𝑏 < 0; 4) 𝑎 + 𝑏 < 0.

4. Одна из точек, отмеченных на координатной

прямой, соответствует числу √68. Какая это точка?

1) точка A; 2) точка B; 3) точка C; 4) точка D.

5. Сравните числа √50 + √48 и 14. В ответе укажите номер правильного ответа.

1) √50 + √48 < 14; 2) √50 + √48 = 14; 3) √50 + √48 > 14.

6. Найдите значение выражения (9,8 × 10−2)(3 × 10−4).

1) 0,000294; 2) 0,00000294; 3) 0,0000294; 4) 2940000000.

7. Решите уравнение 𝑥2 = 18 − 7𝑥. Если корней несколько, запишите их че-

рез точку с запятой в порядке возрастания.

8. Найдите корни уравнения 2𝑥2 − 10𝑥 = 0. Если корней несколько, запи-

шите их через точку с запятой в порядке возрастания.

9. Найдите значение выражения (2𝑥 + 3𝑦)2 − 3𝑥 (4

3𝑥 + 4𝑥) при 𝑥 = −1,038,

𝑦 = √3.

10. Найдите значение выражения 𝑎2−49𝑏2

4𝑎2∙

𝑎

4𝑎−28𝑏 при 𝑎 = √175, 𝑏 = √175.

11. Решите неравенство 4𝑥 − 4 ≥ 9𝑥 + 6. 1) [−0,4; +∞); 2) (−∞; −2]; 3) [−2; +∞); 4) (−∞; −0,4].

12. На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Графики

71

Коэффициенты

1) k > 0, b < 0; 2) k < 0, b < 0; 3) k < 0, b > 0; 4) k > 0, b > 0.

13. Установите соответствие между графиками функций и формулами.

Формулы

1) 𝑦 = 𝑥 + 3; 2) 𝑦 = −3𝑥; 3) 𝑦 = 3; 4) 𝑦 = 3𝑥.

Графики

14. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −25; −20; −16; ... Найдите её четвёртый член.

15. Арифметическая прогрессия задана условиями: 𝑎1 = 6, 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 6. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии? 1) 80; 2) 56; 3) 48; 4) 32.

16. Чашка, которая стоила 90 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При по-купке 10 таких чашек покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько руб-лей сдачи он должен получить?

17. Городской бюджет составляет 45 млн рублей, а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

18. Решите систему уравнений {2𝑥 − 𝑦 = 1, 3𝑥 + 2𝑦 = 12.

19. Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?

20. При каких a выражение 5a + 9 принимает отрицательные значения?


3≥

3𝑥+3

4.

22. Найдите значение выражения (3𝑥)3∙𝑥−9

𝑥−10∙2𝑥5 при 𝑥 = 5.

23. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пеше-ход. Одновременно с ним из В выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получа-совую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встре-тились в 8 км от пункта В.

24. Постройте график функции 𝑦 = |𝑥 − 1| − |𝑥 + 3| + 𝑥 + 4 и найдите зна-чения 𝑚, при которых прямая 𝑦 = 𝑚 имеет с ним ровно две общие точки.

72

Геометрия

Тема 10. Основные понятия. Треугольники


10.1. Некоторые аксиомы планиметрии

1) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Запись А ∈ а означает: точка A принадлежит прямой a. 2) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна

прямая, параллельная данной.

10.2. Параллельные прямые на плоскости

Прямые а и b пересечены секущей с. ∠1 и ∠2; ∠3 и ∠4 – накрест лежащие углы; ∠1 и ∠8; ∠3 и ∠5 – соответственные углы; ∠2 и ∠7; ∠4 и ∠6 – соответственные углы; ∠1 и ∠ 3; ∠2 и ∠4 – односторонние углы. Свойства углов при параллельных прямых: если две параллельные прямые пересе-

чены секущей, то накрест лежащие углы равны; если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответ-

ственные углы равны; если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма одно-

сторонних углов равна 180°. Признаки параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы

равны, то прямые параллельны; если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы

равны, то прямые параллельны; если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних

углов равна 180°, то прямые параллельны; если две прямые параллельны третьей, то они параллельны; если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

10.3. Углы. Теоремы синуса и косинуса

Развернутый угол – угол, стороны которого являются дополнитель-ными лучами, его градусная мера равна 180°.

Прямой угол – угол, равный половине развернутого (90°). Острый угол – угол, который меньше прямого угла (меньше 90°). Тупой угол – угол, который больше прямого угла (больше 90°).

b

8

6 1 3

2

с

7

5 4

a

73

Смежные углы – углы, у которых одна сторона об-щая, а две другие являются дополнительными лучами. Сумма смежных углов равна 180°: ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝐶𝐵𝐷 − смежные углы; ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠C𝐵𝐷 = 180°.

Вертикальные углы – углы, стороны которых явля-ются дополнительными лучами. Вертикальные углы равны: ∠𝐴𝑂𝐵 и ∠𝐶𝑂𝐷 − вертикальные; ∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐶𝑂𝐷.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Внешним углом треугольника называют угол,

смежный внутреннему углу треугольника. Свойство внешнего угла: внешний угол треуголь-

ника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т. е. ∠АСК = ∠А + ∠В.

Соотношение между сторонами и углами треуголь-ника: в треугольнике против большей стороны лежит боль-ший угол; против большего угла лежит большая сторона.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам

противолежащих углов: 𝑎

sin 𝐴=

𝑏

sin 𝐵=

𝑐

sin 𝐶= 2𝑅, где 𝑅 − радиус описанной

окружности. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квад-

ратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на ко-синус угла между ними: с² = а² + b² ― 2аb cos 𝐶.

10.4. Неравенство треугольника. Линии в треугольнике

Неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Биссектриса – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам. Свойства биссектрисы: каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его

сторон; биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центре

вписанной окружности); биссектриса треугольника делит противоположную сторону на

отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Медиана треугольника – отрезок, соединяющий одну из вершин тре-

угольника с серединой противоположной стороны. Свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в одной точке,

которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для вычисления медианы треугольника используют формулу:

𝑚 =√2𝑏2+2𝑐2−𝑎2

2, где a, b, c – стороны треугольника, m – медиана к стороне a.

О A

B C

D

D

С

В А

К

А

В С а

b с

74

Высота треугольника – отрезок, проведенный из вершины треуголь-ника перпендикулярно к противолежащей стороне.

Свойство высот: высоты треугольника пересекаются в одной точке треугольника.

Серединный перпендикуляр – отрезок, делящий сторону треугольника пополам и перпендикулярный этой стороне.

Свойство серединных перпендикуляров: серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке (центре описанной окружности).

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна третей стороне треугольника и равна ее половине.

10.5. Признаки равенства треугольников

1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответ-ственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника со-ответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого тре-угольника, то такие треугольники равны.

3) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

10.6. Признаки подобия треугольников

1) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум уг-лам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сто-ронам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

4) Если в треугольнике проведена прямая, параллельная одной из сто-рон, то она отсекает от треугольника треугольник, подобный данному.

10.7. Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, третью сторону – основанием.

Свойства равнобедренного треугольника: углы при основании равнобедренного треугольника равны; медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника,

является биссектрисой и высотой.

75

10.8. Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны. Свойства равностороннего треугольника: все углы равностороннего треугольника равны между собой и их гра-

дусные меры составляют 60°; каждая из медиан является биссектрисой и высотой.

10.9. Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, у кото-рого один из углов прямой.

∠С = 900; ∠А = α; с = АВ – гипотенуза; а = ВС – катет, противолежащий к α; b = АС – катет, прилежащий к углу α.

Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = а² + b².

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике: h² =𝑎𝑐𝑏𝑐 ,

где h – высота, проведенная к гипотенузе, а² = 𝑎𝑐𝑐; b² = 𝑏𝑐𝑐; h =𝑎𝑏

𝑐.

Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение про-тиволежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

Значения тригонометрических функций

𝛼 30° 45° 60°

sin 𝛼 1

2 √2

2

√3

2

соs 𝛼 √3

2

√2

2

1

2

tg 𝛼 √3

3 1 √3

Свойства прямоугольного треугольника: сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°;̊ катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, ра-

вен половине гипотенузы; если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против

этого катета, равен 30°; медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине и является

радиусом описанной окружности.

c

b

a

С

В

А

α

76

Признаки равенства прямоугольных треугольников: Прямоугольные треугольники равны: по гипотенузе и катету; катету и прилежащему острому углу; катету и противолежащему острому углу; гипотенузе и острому углу.


497. В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 8, sin A = 0,4. Найдите AB. 498. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5.

Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. 499. В равностороннем треугольнике ABC (рис. а)) биссектрисы CN и AM пе-

ресекаются в точке P. Найдите ∠𝑀𝑃𝑁. 500. В равнобедренном треугольнике ABC (рис. б)) с основанием AC внеш-

ний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

501. Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рис. в). 502. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 см отмечены точки А, В и С

(рис. г)). Найдите расстояние в сантиметрах от точки А до прямой ВС.

а) б) в) г) 503. Проектор полностью освещает экран A высо-

той 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

504. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем по-вернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

505. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны ка-теты: AC = 6, BC = 8. Найдите медиану CK этого треугольника.

506. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

507. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

77

508. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√3; √7; и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC; отрезок KC пересекает сто-рону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC > 90°.

509. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны. Оказа-лось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

510. На медиане KF треугольника MKP отмечена точка E. Докажите, что если EM = EP, то KM = KP.


511. В треугольнике ABC угол C прямой, AC = 8, cos A = 0,4. Найдите AB. 512. В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 9, sin A = 0,3. Найдите AB. 513. В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются

в точке O (рис. а)). Найдите ∠𝐴𝑂𝐾. 514. Биссектрисы углов N и M треугольника MNP пересекаются в точке A

(рис. б)). Найдите угол 𝑁𝐴𝑀, если ∠𝑁 = 84°, а ∠𝑀 = 42°. 515. Найдите тангенс угла А треугольника ABC, изображённого на рис. в). 516. Найдите тангенс угла B треугольника ABC, изображённого на рис. г). 517. На квадратной сетке изображён угол 𝐴 (рис. д)). Найдите tg 𝐴. 518. Найдите котангенс угла B треугольника 𝐴𝐵𝐶, изображённого на рис. е).

а) б) в)

г) д) е) 519. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 см отмечены точки А, В и С

(рис. ж)). Найдите расстояние в сантиметрах от точки А до прямой ВС. 520. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 см отмечены точки А, В и С

(рис. з)). Найдите расстояние в сантиметрах от точки А до середины от-резка ВС.

521. Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву (рис. и)). На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,8 м?

78

522. Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву (рис. к)). На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

ж) з) и) к)

523. Девочка прошла от дома по направлению на запад 20 м. Затем повернула на север и прошла 800 м. После этого она повернула на восток и прошла ещё 200 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?

524. Девочка прошла от дома по направлению на запад 880 м. Затем повер-нула на север и прошла 900 м. После этого она повернула на восток и прошла ещё 400 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?

525. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с дли-нами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая вы-сота треугольника делит ее пополам.

526. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам (рис. л)). Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.

527. На сторонах угла BAC, равного 20°, и на его биссектрисе отложены рав-ные отрезки AB, AC и AD (рис. м)). Определите величину угла BDC.

528. На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD (рис. н)). Величина угла BDC равна 160°. Определите вели-чину угла BAC.

л) м) н) 529. Докажите, что у равных треугольников ABC и A1B1C1 биссектрисы, про-

ведённые из вершины A и А1, равны. 530. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K – середины сто-

рон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK равно-сторонний.

79


531. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке K (рис. а)). Найдите ∠𝐵𝐾𝐶, если ∠𝐵 = 40°, а ∠𝐶 = 80°.

532. В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 3, cos B = 0,6. Найдите AB. 533. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 12, tg A = 1,5. Найдите AC. 534. Найдите тангенс угла 𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶, изображённого на рис. б). 535. Найдите тангенс угла 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, изображённого на рис. в). 536. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 см отмечены точки А, В и

С (рис. г)). Найдите расстояние от точки А до прямой BC. Ответ выра-зите в сантиметрах.

а) б) в) г) 537. Проектор полностью освещает

экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в санти-метрах) от проектора нужно располо-жить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

538. Мальчик прошёл от дома по направлению на восток 400 м. Затем по-вернул на север и прошёл 90 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

539. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√2; √5 и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причем отрезок KC пересекает отрезок AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если угол KAC > 90°.

540. Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходя-щая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.

541. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите длину ме-дианы, проведённой к стороне BC, если угол BAC = 47°, угол BMC = 133°,

BC = 4√3. 542. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и

60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

80

543. Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольни-ка ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.

544. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) точки M, N, K – середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK равнобедренный.

Тема 11. Четырехугольники


11.1. Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма: в параллелограмме противополож-

ные стороны и противоположные углы равны: AB = CD; BC = AD; ∠A = ∠C; ∠B = ∠D;

диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: AC ∩ BD = O, AO = OC, BO = OD;

в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: ∠А + ∠В = 180°;

верно соотношение: 𝑑1² + 𝑑2² = a² + b² + c² + d², где 𝑑1= AC; 𝑑2= BD – диагонали; a = AD; b = AB; c = BC; d = CD – стороны;

P = 2(a + b) – периметр параллелограмма, где a = AD; b = AB. Признаки параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот

четырехугольник – параллелограмм; если в четырехугольнике противоположные стороны попарно

равны, то этот четырехугольник – параллелограмм; если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересе-

чения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

11.2. Прямоугольник, ромб, квадрат

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Свойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят

углы пополам. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Свойства квадрата: диагонали квадрата равны, взаимно перпендику-

лярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

а H А

В С

D

О b h

81

11.3. Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у кото-рого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

AD = a, BC = b – основания; AB, CD – боко-вые стороны; BH = h – высота; AD ∥ BC; MN – средняя линия трапеции, где М – середина АВ, N – середина СD.

Свойства трапеции: сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°; биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, пер-

пендикулярны; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу-

сумме: MN ∥ BC; MN ∥ AD; MN = 𝐵𝐶+𝐴𝐷

2.

Прямоугольная трапеция – трапеция, в которой один из углов прямой. Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны. Свойства равнобедренной трапеции: диагонали равны; углы при основании равны; середины сторон являются вершинами ромба.


545. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диаго-наль AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, рав-ные 30° и 45° соответственно.

546. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

547. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

548. Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?

549. В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH – высота, прове-дённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если сред-няя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.

550. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 16. Найдите её среднюю линию.

a

a

H

a

b

a

N

a

M

a

B C

a

А

a

D

a

h

a

82

551. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM – параллелограмм.

552. В параллелограмме ABCD точка K – середина сто-роны AB. Известно, что KC = KD. Докажите, что дан-ный параллелограмм – прямоугольник.


553. Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диаго-наль АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 50° соответственно.

554. Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.

555. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма.

556. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма.

557. Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите мень-ший угол. Ответ дайте в градусах.

558. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

559. В 60 м одна от другой растут две сосны. Высота од-ной 31 м, а другой – 6 м. Найдите расстояние (в мет-рах) между их верхушками.

560. Сторона ромба равна 28, а острый угол равен 60°. Вы-сота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

561. Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боко-вые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если MP = 40 см, NK = 24 см.

562. Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боко-вые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если MP = 24 см, NK = 16 см.

563. Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов A и B этой трапеции пересекаются в точке K, биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка KE равна 28.

564. Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов A и B этой трапеции пересекаются в точке

83

P, биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке R. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка PR равна 24.

565. В параллелограмме АВСD проведены перпенди-куляры ВЕ и DF к диагонали АС . Докажите, что отрезки ВF и DE параллельны.

566. Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое боль-ше стороны AD. Точка K – середина стороны AB. Докажите, что DK – биссектриса угла ADC.


567. Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 20° и 100° соответственно.

568. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 25°. Найдите больший угол параллелограмма.

569. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

570. Глубина бассейна составляет 2 метра, ширина – 10 метров, а длина – 25 метров. Найдите суммарную площадь боковых стен и дна бассейна.

571. Прямая, параллельная основаниям AD и BC трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боко-вые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 10 см, BC = 15 см.

572. В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AC и BD, равна одному метру. Прямые AC и BD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего се-редины диагоналей AC и BD.

573. В параллелограмме ABCD проведены высоты BE и BF. Докажите, что треугольник ABE подобен треугольнику CBF.

574. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K – середины сто-рон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что АMNK – ромб.

Тема 12. Окружность и круг


12.1. Основные понятия Окр (О; r); О – центр окружности; OK = OB = OA = r –

радиусы; AB = d – диаметр (d = 2r); b – касательная; AC – хорда; MN – секущая; 𝐴�̆� – дуга окружности; С = 2𝜋𝑟 –

длина окружности; L =𝑟𝜋𝛼

180° – длина дуги.

N

M K

С b

A B О

𝛼

84

∠КОВ – центральный угол, градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается: ∠КОВ = 𝐾�̆�.

∠САВ – вписанный угол, вписанный угол измеряется половиной дуги, на

которую опирается: ∠САВ = 1

2𝐶�̆�.

Свойства окружности: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на полуокружность, – прямой; если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков

одной хорды равно произведению отрезков другой хорды; касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведен-

ному в точку касания; отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки,

равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

12.2. Вписанная окружность

В любой треугольник можно вписать окружность. Её центр – точка пе-ресечения биссектрис треугольника.

r = 2𝑆

𝑎+𝑏+𝑐 – радиус вписанной окружности, где a, b, c – стороны тре-

угольника и S – его площадь. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, только если

суммы противоположных сторон равны.

12.3. Описанная окружность

Около любого треугольника можно описать окружность. Её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

R = 𝑎𝑏𝑐

4𝑆 – радиус описанной окружности, где a, b, c – стороны треуголь-

ника, S – его площадь. Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность,

только если суммы противоположных углов равны и составляют 180°.


575. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 19°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

576. Колесо имеет 18 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

577. Охват ствола секвойи равен 4,8 м. Чему равен его диаметр (в метрах)? Ответ округлите до десятых.

578. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки, когда часы показывают ровно 4 часа?

85

579. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О – центр

окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 140°.

580. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что цен-тральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендику-ляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

581. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и центр впи-санной окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.

582. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окруж-ность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолже-ний боковых сторон треугольника и касается основания AC в его сере-дине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.




585. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 18°? 586. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 5 ч? 587. Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 20 мин? 588. На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка, пока ча-

совая проходит 2°?

589. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О – центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 110°.

590. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 6.

591. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пе-ресечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.

592. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окруж-ности. Докажите, что угол ABC равен 60°

593. В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O – середина хорды BD.

594. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окруж-ность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересека-ются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

86

595. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Ра-

диус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, tg ∠BAC = 4

3.

Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC. 596. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пе-

ресекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

597. Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пере-секает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. От-резки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите ∠КСВ, если ∠АВС = 20°.

598. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит че-рез вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.


599. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 80°, угол CAD равен 54°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

600. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 10 мин? 601. Охват ствола секвойи равен 6,3 м. Чему равен его диаметр (в метрах)?

Ответ округлите до целых. 602. Колесо имеет 5 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите

величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

603. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О – центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.

604. Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Дока-жите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.

605. На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вер-шины ромба. Найдите его сторону.

606. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 17:15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 24.

607. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 6. Окруж-ность радиуса 4,5 с центром вне этого треугольника касается продол-жения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его се-редине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

608. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точ-ках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольни-ка MKP равны 49°, 69° и 62°.

87

Тема 13. Правильные многоугольники и площади фигур


13.1. Правильные многоугольники

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

𝛼𝑛 =

𝑛−2

𝑛· 180° − угол многоугольника;

аn = 2𝑅 sin180°

𝑛− сторона многоугольника;

S = 1

2· 𝑃𝑟 – площадь; 𝑟 = 𝑅 cos

180°

𝑛.

Треугольник Квадрат Шестиугольник ∠𝛼 60° 90° 120°

а 𝑎3 = 𝑅√3 𝑎4 = 𝑅√2 𝑎6 = 𝑅

R R = 𝑎3

√3 R =

𝑎4

√2 𝑅 = 𝑎6

r r = 1

2 R r =

√2

2 𝑅 r =

√3

2 𝑅

n – число сторон; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности; Р – периметр.

13.2. Площади многоугольников

Площадь треугольника:

S = 1

2 ah;

S = 1

2 ab sin 𝐶 =

1

2 aс sin 𝐵 =

1

2 сb sin 𝐴;

S =√𝑝(𝑝 − 𝑎) (𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) , где 𝑝 = 𝑎+𝑏+𝑐

2 –

полупериметр; S = 𝑝r , где r – радиус вписанной в треуголь-ник окружности;

S = 𝑎𝑏𝑐

4𝑅 , где R – радиус описанной около тре-

угольника окружности

𝑎3 r

R R

r

𝑎4

𝑎6 r

R

c

А

В a

b

С

h

88

Площадь произвольного четырехугольника:

S =𝐴𝐶·𝐵𝐷·sin 𝛾

2, где АС, ВD – диагонали

Площадь параллелограмма: S = ah, где a = AD – основание, h = BH – высота; S = ab· sin 𝛼, где а = AD, b = AB, ∠ 𝛼 = ∠BAD;

S = 𝐴𝐶·𝐵𝐷·sin∠ 𝐴𝑂𝐵

2;

S= 4· 𝑆∆𝐴𝑂𝐵

Площадь прямоугольника: S = 𝑎𝑏;

𝑆 =𝑑1² sin 𝛾

2

Площадь ромба: S = 𝑎² sin 𝛼; S=ah, где h – высота ромба;

S = 𝑑1𝑑2

2

Площадь квадрата: S = a²;

S = 𝑑1²

2;

S= 1

2𝑃𝑟, где r – радиус вписанной окружности

Площадь трапеции:

𝑆 =(𝑎+𝑏)

2ℎ

А D

О С

В

𝛾

а H А

В С

D

О

b h

aa

C

D

𝑑1

A

B

ba

𝛾

A C

B

D

aa

d1

a

d2

α h

aa

Ha

ba

Na

Ma

B Ca

Аa

Da

ha

aa

C

D

𝑑1

A

B

89

Площадь круга: S = 𝜋𝑟². Площадь сектора:

S = 𝜋 𝑅²

360· 𝛼


609. Площадь прямоугольного земельного участка равна 9 га, ширина участка равна 150 м. Найдите длину этого участка в метрах.

610. Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 800 м2 и одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.

611. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

612. В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого от-

резка, если основания трапеции равны 24√2 см и 7√2 см. 613. Точка F – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что

площадь треугольника ABF равна половине площади трапеции. 614. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A прове-

дена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.

615. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A прове-дена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.

616. Длина катета AC прямоугольного треугольника ABC равна 8 см. Окруж-ность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AM:MB = 16:9.


617. Дизайнер Павел получил заказ на декорирова-ние чемодана цветной бумагой. По рисунку опре-делите, сколько бумаги (в см2) необходимо заку-пить Павлу, чтобы оклеить всю внешнюю по-верхность чемодана, если каждую грань он будет обклеивать отдельно (без загибов).

618. Дизайнер Алина получила заказ на декорирова-ние чемодана цветной бумагой. По рисунку определите, сколько бумаги (в см2) необходимо закупить Алине, чтобы оклеить всю внешнюю поверхность чемодана, если каждую грань она будет обклеивать отдельно (без загибов).

R

О

𝛼

90

619. Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь это прямоугольника.

620. Периметр прямоугольника равен 30, а диагональ равна 14. Найдите площадь этого прямоугольника.

621. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 25 см2 и 16 см2. Найдите площадь трапеции.

622. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

623. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Дока-жите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

624. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Дока-жите, что сумма площадей треугольников AEB и CED равна половине площади параллелограмма.

625. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

626. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 1. Найдите площадь трапеции.


627. Определите, сколько необходимо закупить пленки (м2) для гидроизоляции садовой до-рожки, изображенной на рисунке, если её ши-рина везде одинакова.

628. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а её периметр ра-вен 52. Найдите площадь трапеции.

629. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

630. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 12.

631. Точка E – середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

632. В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендику-ляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если пло-щадь трапеции ABCD равна 36.

91

Тема 14. Векторы и прямоугольная система координат


14.1. Векторы

Вектор – отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на од-

ной прямой либо на параллельных прямых. Векторы �⃗�, �⃗⃗� и 𝑐 коллинеарные.

При этом векторы �⃗� и �⃗⃗� – сонаправленные (�⃗� ↑↑ �⃗⃗�), а векторы �⃗⃗� и 𝑐 – проти-

воположно направленные (�⃗� ↑↓ �⃗⃗�).

�⃗� �⃗⃗� 𝑐

Векторы называются равными, если они сонаправлены и длины их равны. Действия над векторами

1) Даны два вектора �⃗� и 𝑏⃗⃗ ⃗. Отметим произвольную точку A и отложим

от этой точки вектор 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , равный вектору �⃗� . Затем от точки B отложим век-

тор 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , равный вектору 𝑏⃗⃗ ⃗. Вектор 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ называется суммой векторов �⃗� и 𝑏⃗⃗ ⃗. Это правило называется «правилом треугольника».

2) Рассмотрим те же два вектора �⃗� и 𝑏⃗⃗ ⃗. От произвольной точки А отло-

жим вектор 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , равный вектору �⃗�, и затем вектор 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , равный вектору 𝑏⃗⃗ ⃗. Построим параллелограмм АВСD, проведем в нем диагональ AC, тогда век-

тор 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ равен сумме векторов �⃗� и 𝑏⃗⃗ ⃗. Этот прием построения суммы векторов называется «правилом параллелограмма».

3) Даны два вектора �⃗� и 𝑏⃗⃗ ⃗. Отметим произвольную точку A и отложим

от этой точки вектор 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , равный вектору �⃗� . Затем от точки А отложим век-

тор 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , равный вектору 𝑏⃗⃗ ⃗. Тогда вектор СВ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – разность векторов �⃗� и 𝑏⃗⃗ ⃗.

4) Произведение ненулевого вектора �⃗� на число k – такой вектор �⃗⃗� ,

длина которого равна ∣ �⃗⃗� ∣ =∣ 𝑘 ∣∙ ∣ �⃗�∣, причем векторы �⃗� и �⃗⃗� сонаправлены при k ≥ 0 и противоположно направлены при k < 0. Произведение нулевого вектора на любое число – это нулевой вектор.

5) Скалярное произведение векторов �⃗� и 𝑏:⃗⃗⃗⃗ �⃗� ∙ �⃗⃗� = ∣ �⃗� ∣ ∙∣ �⃗⃗�∣∙cos 𝜑 (где 𝜑 –

угол между векторами �⃗� и �⃗⃗�).

92

14.2. Действия в прямоугольных координатах

Расстояние между точ-ками А(х1; у1) и В(х2; у2) 𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Координаты (х; у) сере-дины отрезка АВ с концами А(х1; у1) и В(х2; у2)

𝑥 =𝑥1+𝑥2

2; 𝑦 =

𝑦1+𝑦2

2

Общее уравнение прямой, перпендикулярной век-тору �⃗⃗�{a; b}

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

Уравнение окружности с радиусом R и с центром в точке (х0; у0)

(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0) 2 = 𝑅2

Координаты вектора 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ,если А(х1; у1) и В(х2; у2)

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ {х2 – х1; у2 – у1}

Сложение и вычитание векторов в координатах

�⃗�{а1; а2} + �⃗⃗�{b1; b2} = с⃗{a1 + b1; a2 + b2}

�⃗�{а1; а2} − �⃗⃗�{b1; b2} = с⃗{a1 − b1; a2 − b2} Умножение вектора {𝑎1; 𝑎2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ } на число 𝜆

{𝑎1; 𝑎2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ }𝜆 = {𝜆𝑎1; 𝜆𝑎2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗}

Скалярное произведение

векторов �⃗�{а1; а2} и �⃗⃗�{b1; b2} �⃗�∙�⃗⃗� = a1b1 + a2b2

Косинус угла между векто-

рами �⃗�{а1; а2} и �⃗⃗�{b1; b2} 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 = cos 𝜑 ∙ √𝑎1

2 + 𝑎22 ∙ √𝑏1

2 + 𝑏22

Необходимое и достаточ-ное условие перпендику-лярности векторов

�⃗�{a1; а2} ⊥ �⃗⃗�{b1; b2}

�⃗�∙�⃗⃗� = 0 или a1b1 + a2b2 = 0


633. В треугольнике ABC B1 – середина АС, М – точка пересечения медиан.

Выразите 𝑀𝐵1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ через 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ и 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

634. В треугольнике ABC B1 – середина АС, М – точка пересечения медиан.

Выразите 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 635. В треугольнике ABC B1 – середина АС, М – точка пересечения медиан.

Выразите 𝑀𝐴1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ через 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ и 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , если А1 ∊ ВС и ВА1:А1С = 1:2.

636. Даны точки Е (4; 12), F (–4; –10). Найдите координаты векторов EF. 637. Даны точки F (–4; –10), G (–2; 6). Найдите длину вектора FG. 638. Даны точки Е (4; 12), F (–4; –10). Найдите координаты середины EF. 639. В квадрате ABCD сторона равна 1. Диагонали пересекаются в точке О.

Найдите скалярное произведение 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

640. ∣ �⃗� ∣ = 2√2, ∣ �⃗⃗� ∣ = 4, угол между �⃗� и �⃗⃗� равен 1350. Найдите ∣ �⃗� + 2�⃗⃗� ∣.

93


641. В трапеции ABCD основания AD и ВС относятся как 3:1. Выразите 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗

через 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ и 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 642. В трапеции ABCD основания AD и ВС относятся как 3:1. Диагонали тра-

пеции пересекаются в точке О. Выразите 𝐵𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ через 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ и 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 643. В трапеции ABCD основания AD и ВС относятся как 3:1. Диагонали тра-

пеции пересекаются в точке О. Выразите 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ через 𝐷𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ и 𝐷𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, если точки Е и М – середины сторон АВ и ВС соответственно.

644. В параллелограмме ABCD точка М – середина стороны BC, отрезки BD

и AM пересекаются в точке О. Выразите 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ через 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ и 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 645. В параллелограмме ABCD точка М – середина стороны BC, отрезки BD

и AM пересекаются в точке О. Выразите 𝐵𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ через 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ и 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 646. В параллелограмме ABCD точка М – середина стороны BC, отрезки BD

и AM пересекаются в точке О. Выразите 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗, если P – середина отрезка CD.

647. Даны точки A (–2; 4), B (4; –2). Найдите координаты вектора AB. 648. Даны точки B (4; –2), C (–8; –14). Найдите длину вектора BC. 649. Даны точки A (–2; 4), B (4; –2). Найдите координаты середины AB. 650. Даны точки M (–5; 7), N (3; –1). Найдите координаты вектора MN. 651. Даны точки N (3; –1), P (3; 5). Найдите длину вектора NP. 652. Даны точки M (–5; 7), N (3; –1). Найдите координаты середины MN. 653. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 1, MN – средняя ли-

ния (MN ∥ AC). Найдите скалярное произведение 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 654. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) BD – медиана, AC = 8,

BD = 3. Найдите скалярное произведение 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

655. ∣ �⃗� ∣ = 2√3, ∣ �⃗⃗� ∣ = 2, угол между �⃗� и �⃗⃗� равен 1500. Найдите ∣ 2𝑎⃗⃗⃗⃗ ⃗ − �⃗⃗� ∣.

656. В треугольнике ABC AB = 2, AC = 3√2, угол BAC = 45°. Найдите длину медианы AD.


657. Основания BC и AD трапеции ABCD относятся как 1:2, Е – середина сто-

роны CD, О – точка пересечения диагоналей. Выразите 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ через 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ и 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 658. Основания BC и AD трапеции ABCD относятся как 1:2, Е – середина сто-

роны CD, О – точка пересечения диагоналей. Выразите 𝐵𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ через 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ и 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 659. Основания BC и AD трапеции ABCD относятся как 1:2, Е – середина сто-

роны CD, О – точка пересечения диагоналей. Выразите 𝐶𝑂 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗через 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ и 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 660. Даны точки Е (7; 1), F (–3; –5). Найдите координаты вектора EF. 661. Даны точки Е (7; 1), G (–11; –3). Найдите длину вектора EG. 662. Даны точки Е (7; 1), F (–3; –5). Найдите координаты середины EF.

94

663. Сторона ромба ABCD равна 10, диагональ AC = 16. Найдите скалярное

произведение 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

664. В треугольнике EFK FE = 2, FK = 3√2, угол EFK = 135°. Найдите длину медианы FM.

Тема 15. Анализ геометрических высказываний

Задачи направлены на проверку теоретических знаний по всем темам раздела «Геометрия». В каждой задаче правильными являются не менее одного варианта ответа.


665. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого тре-угольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы равны. 3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой.

666. Укажите номера верных утверждений. 1) Существует квадрат, который не является прямоугольником. 2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны. 3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя парал-лельными прямыми и секущей, равны.

667. Укажите номера верных утверждений. 1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части. 2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружно-сти равно радиусу.

668. Укажите номера верных утверждений. 1) Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего тре-угольника совпадают. 2) Существует квадрат, который не является ромбом. 3) Сумма углов любого треугольника равна 180°.

669. Укажите номера верных утверждений. 1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. 2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 3) В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.

670. Укажите номера верных утверждений. 1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

95

2) Сумма смежных углов равна 180°. 3) Любая высота равнобедренного треугольника является биссектрисой.

671. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая. 4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.

672. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответствен-ные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны. 2) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки. 3) Через любую точку проходит более одной прямой. 4) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

673. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест ле-жащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны. 2) Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°. 3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние од-носторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны. 4) Через любые три точки проходит не более одной прямой.

674. Какие из следующих утверждений верны? 1) Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду окружности, равны. 2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек. 3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружно-сти до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются. 4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.


675. Какие из следующих утверждений верны? 1) Через любые три точки проходит не более одной окружности. 2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек. 3) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются. 4) Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опираю-щийся на эту дугу окружности, равен 40°.

676. Какие из следующих утверждений верны? 1) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.

96

2) Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противополож-ный ему угол равен 120°. 3) Диагонали квадрата делят его углы пополам. 4) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

677. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллело-грамм – прямоугольник. 2) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм – ромб. 3) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°. 4) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.

678. Какие из следующих утверждений верны? 1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности. 2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности. 3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис. 4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пе-ресечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

679. Какие из следующих утверждений верны? 1) Около любого правильного многоугольника можно описать не бо-лее одной окружности. 2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника. 3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей. 4) Около любого ромба можно описать окружность.

680. Какие из следующих утверждений верны? 1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии. 2) Прямая не имеет осей симметрии. 3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии. 4) Квадрат не имеет центра симметрии.

681. Какие из следующих утверждений верны? 1) Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии. 2) Прямая не имеет осей симметрии. 3) Центром симметрии ромба является точка пересечения диагоналей. 4) Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.

682. Какие из следующих утверждений верны? 1) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей. 2) Центром симметрии ромба является точка пересечения диагоналей.

97

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии. 4) Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пе-ресечения ее диагоналей.

683. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны со-ответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. 2) Любые два равнобедренных треугольника подобны. 3) Любые два прямоугольных треугольника подобны. 4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупо-угольным.

684. Какие из следующих утверждений верны? 1) Любые два прямоугольных треугольника подобны. 2) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны со-ответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. 3) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежа-щих углов. 4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

685. Какие из следующих утверждений верны? 1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. 2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его ги-потенуза равна 13. 3) Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остро-угольным. 4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

686. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры. 2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту. 3) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними ра-вен 30°, то площадь этого треугольника равна 10. 4) Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.

687. Какие из следующих утверждений верны? 1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности. 2) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6. 3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту. 4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.

98

688. Укажите номера верных утверждений. 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести пря-мую, параллельную этой прямой. 2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. 3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб – квадрат. 4) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

689. Укажите номера верных утверждений. 1) Через любую точку проходит не менее одной прямой. 2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответствен-ные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны. 3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые па-раллельны.

690. Укажите номера верных утверждений. 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответствен-ные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны. 2) Через любые три точки проходит не более одной прямой. 3) Сумма вертикальных углов равна 180°.

691. Укажите номера верных утверждений. 1) Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на раз-ность оснований. 2) Через любые две точки можно провести прямую. 3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести един-ственную прямую, перпендикулярную данной прямой.

692. Укажите номера верных утверждений. 1) В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность. 2) Диагональ параллелограмма делит его углы пополам. 3) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произве-дения его катетов.

693. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность. 2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм – квадрат. 3) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

694. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. 2) Диагонали прямоугольника равны. 3) У любой трапеции боковые стороны равны.

99


695. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежа-щие углы равны, то прямые параллельны. 2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. 3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

696. Укажите номера верных утверждений. 1) Смежные углы равны. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.

697. Укажите номера верных утверждений. 1) Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°. 2) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две пря-мые параллельны. 3) Через любую точку проходит ровно одна прямая.

698. Укажите номера верных утверждений. 1) Любые три прямые имеют не более одной общей точки. 2) Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°. 3) Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.

699. Укажите номера неверных утверждений. 1) При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°. 2) Диагонали ромба перпендикулярны. 3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис.

700. Какие из следующих утверждений верны? 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести пря-мую, параллельную этой прямой. 2) Если диагонали параллелограмма равны, то это ромб. 3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружно-сти равно радиусу.

701. Какие из следующих утверждений верны? 1) Любой прямоугольник можно вписать в окружность. 2) Все углы ромба равны. 3) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

702. Какие из следующих утверждений верны? 1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. 2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого тре-угольника, то такие треугольники подобны.

100


1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tg A = 0,5. Найдите BC.

2. В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 9, sin A = 0,3 . Найдите AB.

3. Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27 (рис. а)). Найдите диаметр окружности.

4. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 24° (рис. б)). Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

5. Сторона ромба равна 65, а диагональ равна 104. Найдите площадь ромба.

6. Основания трапеции равны 18 и 10, одна из боковых сторон равна 4√3, а угол между ней и одним из оснований равен 120°. Найдите площадь трапеции.

а) б) в) г)

7. Найдите тангенс угла А треугольника ABC, изображённого на рис. д).

8. Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рис. е).

9. Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 800 м2 и одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.

10. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном по-ложении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м (рис. ж)). Найдите длину троса.

д) е) ж)

11. Укажите номера верных утверждений. 1) Существует квадрат, который не является прямоугольником.

101

2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.

3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллель-ными прямыми и секущей, равны.

12. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность. 2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то

этот параллелограмм – квадрат. 3) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

13. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.

14. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины пря-мого угла B прямоугольного треугольника ABC (рис. з)). Окружность с диа-метром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH =16.

15. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке F стороны CD (рис. и)). Докажите, что F – середина CD.

16. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96 (рис. к)). Найдите стороны треуголь-ника ABC.

з) и) к)

102

Прикладные задачи

Тема 16. Анализ статистической информации


16.1. Статистические характеристики

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из них.

Пример. Найти размах ряда 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5. 5 – 1 = 4.

Среднее арифметическое ряда чисел – это частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Пример. Найти среднее арифметическое ряда 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5.

(1+2∙2+ 3 + 4∙2 +5∙3 ) :9 = 31

9= 3

4

9.

Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других. Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.

Медиана упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов – это число, записанное посередине.

Медиана упорядоченного ряда чисел с четным числом членов – среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Пример. Найти медиану ряда 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5. Ряд имеет 9 членов (нечетное число). Средний член 4 – это и есть медиана.

Частота – количество появлений числа в ряду.

Пример. Администрация решила поверить математическую подготовку восьми-классников. С этой целью был составлен тест, содержащий 9 заданий. Работу выполняли 40 учащихся школы. При проверке каждой работы учитель отмечал число верно выпол-ненных заданий. В результате был составлен такой ряд чисел: 6, 5, 4, 0, 4, 5, 7, 9, 1, 6, 8, 7, 9, 5, 8, 6, 7, 2, 5, 7, 6, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 6, 7, 7, 4, 3, 5, 9, 6, 7, 8, 6, 9, 8.

Упорядочим этот ряд: 0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9. Составим таблицу частот.

Число верно выполненных заданий 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Частота 1 1 1 2 5 6 8 7 5 4

Проверяем: сумма частот равна общему числу проверяемых работ – 40. Среднее арифметическое 5,8; мода 6; размах 9; медиана 6.

16.2. Наглядное представление информации

Столбчатая диаграмма. Используется тогда, когда хотят проиллю-стрировать динамику изменения данных по времени или распределение данных, полученных в результате статистического исследования.

103

Столбчатая диаграмма состоит из прямоугольников, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Равные основания прямоугольни-ков выбирают произвольно, а высота каждого из них равна соответствую-щей выборке. Если в ходе статистического исследования проведена группи-ровка одинаковых данных и для каждой группы указана соответствующая частота (или относительная частота), то каждая группа изображается на столбчатой диаграмме прямоугольником, высота которого при выбранном масштабе равна соответствующей частоте (или относительной частоте).

Пример. По результатам за четверть оценки по геомет-рии учащихся одного класса распределились следующим об-разом: «5» – 4 ученика, «4» – 10 учеников, «3» – 11 учеников. Постройте столбчатую диаграмму (рис. справа).

Круговая диаграмма. Используется для нагляд-ного изображения соотношения между частями ис-следуемой совокупности.

Если результат статистического исследования представлен в виде таб-лицы относительных частот, то для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны от-носительным частотам, определенным для каждой группы данных.

Пример. В результате статистического иссле-дования были получены следующие данные о рас-пределении пассажиропотока: трамваи – 40%, троллейбусы – 12%, автобусы – 48%. Постройте круговую диаграмму.

Определим величину соответствующих уг-

лов: 360О∙40%

100%≈144°;

360о∙12%

100%≈ 43°;

360∙48%

100%≈ 173°.

Полигон. Для построения полигона отмечают в координатной плоско-сти точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединяя последовательно эти точки отрезками, получают ломаную, которую называют полигоном. Полигон позволяет судить о значениях величины в определенных точках и характере их изменения, но по нему нельзя найти значения этой величины в промежуточных точках.

Пример. При изучении распределения семей, проживающих в доме, по количеству членов семьи была составлена таблица, в которой для каждой семьи с одинаковым чис-лом членов указана относительная частота.

Количество членов семьи

Относительная частота, %

1 10 2 18 3 35 4 26

5 и более 11

0

10

20

30

40

1 2 3 4 5 и более

0

5

10

15

20

3 4 5

Трамваи

Троллейбусы

Автобусы

104

Гистограмма. Гистограмма представляет ступенчатую фигуру, состав-ленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоуголь-ника равно длине интервала, а высота – частоте или относительной частоте.

Пример. В оздоровительном лагере были получены следующие данные о весе 30 мальчиков (с точностью до 0,1 кг), которые были занесены в таблицу.

Вес, кг Частота 20–22 4 22–24 7 24–26 4 26–28 4 28–30 7 30–32 4


703. Для административной контрольной работы был создан тест из 8 за-даний. Количество верных ответов, полученных каждым из 50 уча-щихся, было представлено в виде таблицы частот. Найдите пропущен-ное значение частоты.

Число верных ответов 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Частота 1 2 4 5 12 8 6 3

1) 7; 2) 9; 3) 10; 4) 11. 704. Фонд школьной библиотеки, состоящей из учебной и художественной

литературы российских и зарубежных авторов, представлен в виде диаграммы. Сколько примерно книг учебной литературы в библио-теке, если всего в библиотечном фонде 800 книг?

1) 400; 2) 570; 3) 300; 4) 600.

705. Завуч школы подвел итоги по выбору предметов для сдачи ЕГЭ уча-щимися 11-х классов. Результаты представлены на диаграмме. Сколько примерно учащихся выбрали для сдачи ЕГЭ физику?

1) 16; 2) 12; 3) 14; 4) 8.

0

2

4

6

8

Частота

20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 30-32

худ. литература рос. авторов

худ. литература заруб. авторов

уч. литература рос. авторов

уч. литература заруб. Авторов

048

1216202428323640

химия физика остальные предметы

биология

Ко

ли

чес

тв

о ч

ел.

Предмет

авторов

105

706. В таблице приведены нор-мативы по прыжкам в длину с места для 11-го класса. Ка-кую отметку получит маль-чик, прыгнувший на 215 см? 1) неудовлетворительно; 2) «3»; 3) «4»; 4) «5».


707. Для определения оптимального варианта плана выпуска мужской обуви фиксировалась относительная частота (в процентах) размеров проданной в течение месяца обуви. Найдите пропущенное значение относительной частоты. Размер обуви 38 39 40 41 42 43 44 45 Относительная частота, % 3 5 12 19 20 13 7

1) 32; 2) 22; 3) 21; 4) 11. 708. Найдите моду числового ряда, представленного таблицей частот.

Варианта 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Частота 1 2 3 6 12 11 8 5 4 2

1) 12; 2) 11; 3) 5; 4) 4. 709. На диаграмме показано количество школьников, посетивших театры

г. Краснодара за 2010 г. Определите, сколько примерно зрителей по-сетили за этот период филармонию, если во всех этих театрах школь-ников было 2000 человек.

1) 150; 2) 240; 3) 350; 4) 500.

710. Учитель математики подвел итоги контрольной работы по алгебре среди учащихся 9-х классов. Результаты представлены на диаграмме. Сколько примерно учащихся получили отметку «4» и «5», если всего в этих классах учатся 200 учащихся?

1) 120; 2) 50; 3) 60; 4) 140.

711. На диаграмме представлены некоторые из крупнейших по площади территории стран мира. Во сколько примерно раз площадь США больше площади Судана? (Ответ округлите до целых.)

Отсутствовали

Получили "2"




Мальчики Девочки

Отметка «3» «4» «5» «3» «4» «5»

Дальность (в см) 200 220 230 155 170 185

Премьера

Театр кукол

Филармония

Театр драмы

106

712. На диаграмме представлены некоторые из крупнейших по численно-

сти населения стран мира. Численность населения какого государства примерно в 6 раз меньше численности населения Китая? В ответе напишите численность населения этого государства в млн чел.

713. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в го-

роде N за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали – значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Ука-жите наименьшее значение атмосферного давления во вторник.

714. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в го-

роде N за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали – значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Ука-жите наибольшее значение атмосферного давления во вторник.

17

,1

10

9,6

9,4

8,5

3,2

2,8

2,5

Р О С С И Я К А Н А Д А К И Т А Й С Ш А Б Р А З И Л И Я И Н Д И Я А Р Г Е Н Т И Н А С У Д А Н

ПЛ

ОЩ

АД

Ь, М

ЛН

КМ

КВ

.

12

75

10

10

28

0

21

5

17

0

14

2

12

5

К И Т А Й И Н Д И Я С Ш А И Н Д О Н Е З И Я Б Р А З И Л И Я Р О С С И Я Я П О Н И Я

ЧИ

СЛ

ЕН

НО

СТ

ЬН

АС

ЕЛ

ЕН

ИЯ

, МЛ

Н Ч

ЕЛ

.

750

752

754

756

758

760

762

ДА

ВЛ

ЕН

ИЕ

,М

М. Р

Т. С

Т.

ВТОРНИК | СРЕДА | ЧЕТВЕРГ

750

752

754

756

758

760

762

ДА

ВЛ

ЕН

ИЕ

,М

М. Р

Т. С

Т.


107

715. В таблице приведены нормативы по бегу на 30 метров для учащихся 9-х классов. Какую отметку получит девочка, пробежавшая эту ди-станцию за 5,36 секунды?

Мальчики Девочки

Отметка «5» «4» «3» «5» «4» «3»

Время, секунды 4,6 4,9 5,3 5,0 5,5 5,9

1) «5»; 2) «4»; 3) «3»; 4) норматив не выполнен.

716. В таблице представлены нормативы по технике чтения в 3-м классе. Какую отметку получит третьеклассник, прочитавший в феврале 65 слов за минуту?

Отметка Количество прочитанных слов в минуту

I и II четверти III и IV четверти

«2» 59 и менее 69 и менее

«3» 60−69 70−79

«4» 70−79 80−89

«5» 80 и более 90 и более

1) «2»; 2) «3»; 3) «4»; 4) «5».

717. Бизнесмен Соловьёв выезжает из Москвы в Санкт-Петербург на дело-вую встречу, которая назначена на 10:00. В таблице дано расписание ночных поездов Москва – Санкт-Петербург. Путь от вокзала до места встречи занимает полчаса. Укажите номер самого позднего (по вре-мени отправления) из московских поездов, которые подходят бизнес-мену Соловьёву.

Номер поезда

Отправление из Москвы

Прибытие в Санкт-Петербург

038А 00:43 08:45

020У 00:54 09:00

016А 01:00 08:38

030А 01:10 09:37

1) 038А; 2) 020У; 3) 016А; 4) 030А.

718. Учёный Комаров выезжает из Москвы на конференцию в Санкт-Пе-тербургский университет. Работа конференции начинается в 8:30. В таблице дано расписание ночных поездов Москва – Санкт-Петербург. Путь от вокзала до университета занимает полтора часа. Укажите но-мер самого позднего (по времени отправления) из московских поез-дов, которые подходят учёному Комарову.

Номер поезда

Отправление из Москвы

Прибытие в Санкт-Петербург

032АВ 22:50 05:48

026А 23:00 06:30

002А 23:55 07:55

004А 23:59 08:00

1) 032АВ; 2) 26А; 3) 002А; 4) 004А.

108

719. В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрос-лыми. Какой вывод о суточном потреблении жиров, белков и углево-дов 12-летним мальчиком можно сделать, если по подсчётам дието-лога в среднем за сутки он потребляет 55 г жиров, 99 г белков и 340 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.

Веще-ство

Дети от 1 года до

14 лет

Муж-чины

Жен-щины

Жиры 40–97 70–154 60–102

Белки 36–87 65–117 58–87

Углеводы 170–420 257–586

1) потребление жиров в норме; 2) потребление белков в норме; 3) потребление углеводов в норме.

720. В таблице (см. № 719) даны рекомендуемые суточные нормы потреб-ления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми. Какой вывод о суточном потреблении жиров, бел-ков и углеводов женщиной можно сделать, если по подсчётам дието-лога в среднем за сутки она потребляет 101 г жиров, 71 г белков и 375 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.


721. Найдите медиану числового ряда, представленного таблицей частот. Варианта 0 1 2 3 4 5 6 Частота 1 2 5 12 10 6 4

1) 3,5; 2) 3; 3) 2,5; 4) 12. 722. Учащимся сочинских школ был задан вопрос: «По какому виду спорта

вы хотели бы посетить соревнования на зимней Олимпиаде в Сочи?». Их ответы можно увидеть на диаграмме. Сколько примерно учащихся хотели бы посетить соревнования и по хоккею, и по санному спорту, если всего в опросе приняли участие 400 школьников?

1) 180; 2) 240; 3) 120; 4) 200.

723. На диаграмме показано количество посаженных деревьев и кустарни-ков в г. Сочи за период с 2009 по 2012 г. Определите, сколько всего было посажено зелёных насаждений за 2011 г. и 2012 г.?

Биатлон

Санный спорт

Хоккей

Бобслей

Фигурное катание

109

1) 10 000; 2) 4 000; 3) 12 000; 4) 8 000.

724. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в го-роде N за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали – значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Ука-жите наибольшее значение атмосферного давления во вторник.

725. Студентка Фиалкова выезжает из Наро-Фоминска в Москву на заня-тия в университет. Занятия начинаются в 8:30. В таблице приведено расписание утренних электропоездов от станции Нара до Киевского вокзала в Москве. Путь от вокзала до университета занимает 40 ми-нут. Укажите время отправления от станции Нара самого позднего из электропоездов, которые подходят студентке.

Отправление от ст. Нара Прибытие на Киевский вокзал

6:17 7:13

6:29 7:40

6:35 7:59

7:05 8:23

1) 6:17; 2) 6:29; 3) 6:35; 4) 7:05.

726. В таблице (см. № 719) даны рекомендуемые суточные нормы потреб-ления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми. Какой вывод о суточном потреблении жиров, белков и уг-леводов 10-летней девочкой можно сделать, если по подсчётам дието-лога в среднем за сутки она потребляет 102 г жиров, 85 г белков и 175 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.

750

752

754

756

758

760

762

ДА

ВЛ

ЕН

ИЕ

,М

М. Р

Т. С

Т.


02468

101214161820

2009 2010 2011 2012

Ты

с., ш

т.

год

110

Тема 17. Комбинаторика и теория вероятностей


17.1. Основные правила комбинаторики

Соединения – группы, составленные из каких-либо элементов. Правило комбинаторного сложения. Если элемент а можно выбрать m

способами, а элемент b – п способами, причём любой выбор элемента а отли-чен от выбора элемента b, то выбор «а или b» можно сделать m + n способами.

Пример. На блюде лежат 5 яблок и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать один фрукт?

Одно яблоко выбираем 5 способами, а одну грушу 3 способами, т. е. один фрукт можно выбрать 5 + 3 = 8 способами.

Правило комбинаторного умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 спосо-бами, второе действие можно выполнить n2 способами, третье действие можно выполнить n3 способами и так далее, k-е действие можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ … ∙ nk способами.

Пример. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами можно побывать на вершине, если: а) нельзя дважды проходить по одной дороге; б) можно дважды прохо-дить по одной дороге?

а) Подняться в гору можно 7 способами (т. к. 7 дорог ведут вверх) и спуститься с горы можно 6 способами (т. к. 7 дорог ведут вниз, но дорогу, по которой мы поднима-лись, учитывать нельзя). Следовательно, согласно правилу комбинаторики, подняться и спуститься с горы (т. е. побывать на вершине) можно 7 ∙ 6 = 42 способами.

б) Подняться в гору можно 7 способами (т. к. 7 дорог ведут вверх) и спуститься с горы можно 7 способами (т. к. 7 дорог ведут вниз). Следовательно, подняться и спу-ститься с горы (т. е. побывать на вершине) можно 7 ∙ 7 = 49 способами.

17.2. Размещения. Перестановки. Сочетания

Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соеди-нения из m элементов, которые отличаются друг от друга либо самими эле-ментами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m в каждом обозначается симво-

лом 𝐴𝑛𝑚 и вычисляется по формуле 𝐴𝑛

𝑚 =𝑛!

(𝑛−𝑚)! .

Произведение последовательных чисел от 1 до n включительно обо-значают символом n! (читается «n-факториал»), т. е. n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n, причем полагают 0! = 1, 1! = 1.

Пример. Составить все возможные размещения из 3 элементов по 2 в каждом из элементов множества {а, b, с}.

Ответ: {а, b}, {b, а}, {b, c}, {c, b}, {a, c}, {c, a}, т. е. 𝐴32 = 6.

111

Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn и вычис-ляется по формуле Pn =n! Перестановки представляют частный случай разме-

щений из n элементов по n в каждом, т. е. 𝑃𝑛 = 𝐴𝑛𝑛 =

𝑛!

(𝑛−𝑛)!=

𝑛!

0!=

𝑛!

1= 𝑛!

Если рассматривать перестановки п предметов, расположенных не в ряд, а по кругу, и считать одинаковыми расположения, переходящие друг в друга при вращении, то число различных перестановок будет Р = (п – 1)!

Пример. Составить все возможные перестановки из трех элементов из элементов множества {а, b, с}.

Ответ: {а, b, с}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, b, a}, {c, a, b}, т. е. Pn = 6.

Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соеди-нения из m элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m в каждом обозначается символом

𝐶𝑛𝑚 и вычисляется по формуле 𝐶𝑛

𝑚 =𝑛!

𝑚(𝑛−𝑚)! .

Пример. Составить все возможные сочетания из трех элементов по 2 в каждом из элементов множества {а, b, с}.

Ответ: {а, b}, {b, c}, {a, c}, т. е. 𝐶32 = 3.

Важно различать: в случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их

местоположение; в случае размещений берётся только часть элементов и важно распо-

ложение элементов друг относительно друга; в случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет зна-

чения расположение элементов друг относительно друга. Размещения с повторениями – комбинаторные соединения, составлен-

ные из n элементов по m. При этом каждый из n элементов может содер-жаться сколько угодно раз или вообще отсутствовать.

Число размещений из n элементов по m в каждом обозначается симво-

лом 𝐴𝑛𝑚 и вычисляется по формуле 𝐴𝑛

𝑚 = 𝑚𝑛. При этом в расстановки могут входить и предметы одного вида, а две расстановки считаются различ-ными, если они отличаются друг от друга или видом входящих в них пред-метов, или порядком этих предметов.

Пример. Составить все возможные размещения из трех элементов по 2 в каждом из

элементов множества {а, b, с}. Ответ: {а, a}, {а, b}, {a, c}, {b, a}, {b, b}, {b, c}, {c, a}, {c, b}, {c, c}, т. е. 𝐴𝑛

𝑚 = 23 = 8.

112

Перестановки с повторениями – комбинаторные соединения, в которых среди образующих элементов имеются одинаковые. В таких соединениях участвуют несколько типов объектов, причём имеется некоторое количество объектов каждого типа, поэтому в выборках встречаются одинаковые.

Пример. Сколько перестановок можно получить из букв слова «колокола»? Требуется найти число перестановок с повторениями на множестве из 8 букв, среди ко-

торых: буква «к» повторяется 2 раза, буква «о» повторяется 3 раза, буква «л» повторяется

2 раза, буква «а» повторяется 1 раз. Таким образом, 𝑃8(2; 3; 2; 1) =8!

2!∙3!∙2!∙1!= 1680.

Сочетания с повторениями из n элементов по k – это неупорядоченная выборка k элементов с возвращением из множества, содержащего n элемен-тов, то есть это комбинаторные соединения из n элементов по m, составлен-ные из этих элементов без учета порядка с возможностью многократного

повторения предметов: С𝑛𝑘 = С𝑘+𝑚−1

𝑘 .

Пример. Сколькими способами можно составить набор из 5 шоколадок, если име-ются шоколадки трех сортов в количестве по 10 штук каждого вида?

Поскольку при составлении шоколадного набора порядок расположения шокола-док не важен, то используем для подсчета формулу сочетаний с повторениями:

С30+5−15 = С34

5 =34!

5!(34−5)!=

34!

5!29!=

34∙33∙32∙31∙30

2∙3∙4∙5= 278 256.

17.3. Вероятность события

Вероятность события определяется равенством 𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛, где m – число

элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n – общее число возможных элементарных исходов испытания. Предпола-гается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Пример. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, опре-деляется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.

Всего спортсменов (общее количество исходов) 13 + 2 + 5 = 20. Чтобы найти коли-чество благоприятных исходов, необходимо найти сумму количества спортсменов из Норвегии и Швеции. Тогда количество благоприятных исходов 2 + 5 = 7. Искомая веро-ятность Р = 7 : 20 = 0,35.


727. Сколько чисел из первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

728. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и чёр-ный квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали?

729. На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

113

730. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите веро-ятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

731. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероят-ность того, что пирожок окажется с яблоками.

732. В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 76 ак-кумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный ак-кумулятор не заряжен.

733. Коля наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 3.

734. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку? В ответе укажите результат, округленный до тысячных.


735. Двое ребят собрали 10 ромашек, 15 васильков и 14 незабудок. Сколь-кими способами они могут разделить эти цветы?

736. В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

737. Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно со-ставить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз?

738. Сколько сигналов можно подать пятью различными флажками, под-нимая их в любом количестве и в произвольном порядке?

739. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 10 прыгунов из Мексики. Порядок выступ-лений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пят-надцатым будет выступать прыгун из России.

740. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 160 качественных сумок при-ходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округ-лите до сотых.

741. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортс-мены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

742. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортс-мены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

743. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероят-ность того, что взятый учеником билет имеет однозначный номер?

114

744. В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Ка-кова вероятность того, что извлеченный наугад из мешка жетон со-держит двузначное число?

745. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова ве-роятность того, что наугад взятый учеником билет имеет номер, яв-ляющийся двузначным числом?

746. В денежно-вещевой лотерее на 100 000 билетов разыгрывается 1300 вещевых и 850 денежных выигрышей. Какова вероятность полу-чить вещевой выигрыш?

747. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Ка-кова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся не бракованными?

748. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,03. Ка-кова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся не бракованными?


749. Сколькими способами можно распределить уроки в шести классах между тремя учителями, если каждый учитель будет преподавать в двух классах?

750. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоёные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

751. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероят-ность того, что орёл выпал ровно 2 раза?

752. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

753. В денежно-вещевой лотерее на 100 000 билетов разыгрывается 1250 вещевых и 810 денежных выигрышей. Какова вероятность де-нежного выигрыша?

754. В мешке содержатся жетоны с номерами от 2 до 51 включительно. Ка-кова вероятность того, что номер извлеченного наугад из мешка же-тона является однозначным числом?

755. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы опреде-лить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча – с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А.

756. На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероят-ность того, что ему попадётся выученный билет.

115

Тема 18. Расчеты по формулам

Выражение величины из формулы производится с помощью математических опе-раций – переноса членов, деления на одно число обеих частей равенства и др., то есть, следует упрощать формулу и и работать с ней, как с алгебраическим уравнением. Вы-полняя данные действия, нужно также учитывать смену знака, правила вывода вели-чины из-под корня, возведения в степень.


757. Период колебания математического маятника 𝑇 (в секундах) прибли-

женно можно вычислить по формуле 𝑇 = 2√𝑙, где 𝑙 – длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.

758. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчи-тывается по формуле 𝐶 = 150 + 11 ∙ (𝑡 − 5), где 𝑡 – длительность по-ездки, выраженная в минутах (𝑡 > 5). Пользуясь этой формулой, рас-считайте стоимость 15-минутной поездки.

759. В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле 𝐶 = 6000 + 4100 ∙ 𝑛, где n – число колец, установленных при рытье колодца. Пользу-ясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 5 колец.

760. Длину окружности l можно вычислить по формуле 𝑙 = 2𝜋𝑅, где 𝑅 – ра-диус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите ра-диус окружности, если её длина равна 78 м. Считать 𝜋 = 3.

761. Площадь ромба 𝑆(в м2) можно вычислить по формуле 𝑆 =1

2𝑑1𝑑2, где

𝑑1, 𝑑2 – диагонали ромба (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите диагональ 𝑑1, если диагональ 𝑑2 равна 30 м, а площадь ромба 120 м2.

762. Площадь треугольника 𝑆 (в м2) вычисляется по формуле 𝑆 =1

2𝑎ℎ, где

𝑎 – сторона треугольника, ℎ – высота, проведенная к этой стороне (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите сторону a, если площадь треугольника равна 28 м2, а высота ℎ равна 14 м.


763. Площадь параллелограмма 𝑆(в м2) вычисляется по формуле 𝑆 = 𝑎ℎ, где 𝑎 – сторона параллелограмма, ℎ – высота, проведенная к этой сто-роне (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите высоту ℎ , если площадь параллелограмма равна 18м2, а сторона 𝑎 равна 3,6 м.

764. Площадь трапеции 𝑆 (в м2) можно вычислить по формуле 𝑆 =𝑎+𝑏

2∙ ℎ ,

где 𝑎, 𝑏 – основания трапеции, ℎ – высота (в метрах). Пользу-ясь этой формулой, найдите высоту h, если основания трапеции равны 5 м и 7 м, а её площадь 24 м2.

116

765. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчи-тывается по формуле 𝐶 = 150 + 11 ∙ (𝑡 − 5), где 𝑡 – длительность по-ездки, выраженная в минутах (𝑡 > 5). Пользуясь этой формулой, рас-считайте стоимость 15-минутной поездки.

766. Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n – число шагов, l – длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 80 см, n = 1600? Ответ выразите в километрах.

767. Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближённо вычислить по формуле s = 330t, где t – количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком рас-стоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t = 10 с. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.

768. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по

формуле 𝑅 =𝑎

2sin𝛼 , где 𝑎 – сторона треугольника, 𝛼 – противолежа-

щий этой стороне угол, а 𝑅 – радиус описанной около этого треуголь-ника окружности. Пользуясь этой формулой, найдите sin 𝛼, если 𝑎 = 0,6, а 𝑅 = 0,75.

769. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружно-

сти можно найти по формуле 𝑟 =𝑎+𝑏−𝑐

2, где 𝑎 и 𝑏 – катеты, а 𝑐 – гипоте-

нуза треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите 𝑏, если 𝑟 = 1,2; 𝑐 = 6 и 𝑎 = 0,6.

770. Длину биссектрисы треугольника, проведённой к стороне

𝑎, можно вычислить по формуле 𝑙𝑎 =2𝑏𝑐 cos

𝑎

2

𝑏+𝑐. Вычислите cos

𝑎

2, если

𝑏 = 1; 𝑐 = 3; 𝑙𝑎 = 1,2.

771. Площадь треугольника можно вычислить по формуле 𝑆 =𝑏𝑐 sin𝛼

2 , где 𝑏 и

𝑐 – стороны треугольника, а 𝛼 – угол между этими сторонами. Пользу-ясь формулой, найдите площадь треугольника, если 𝛼 = 30°, 𝑐 = 5, 𝑏 = 6.

772. Площадь треугольника можно вычислить по формуле 𝑆 =(𝑎+𝑏+𝑐)𝑟

2, где

𝑎, 𝑏, 𝑐 – длины сторон треугольника, 𝑟 – радиус вписанной окружности. Вычислите длину стороны 𝑐, если 𝑆 = 24, 𝑎 = 8, 𝑏 = 6, 𝑟 = 2.

773. Объём пирамиды вычисляют по формуле 𝑉 =1

3𝑆ℎ, где 𝑆 – площадь ос-

нования пирамиды, ℎ – её высота. Объём пирамиды равен 40, площадь основания 15. Чему равна высота пирамиды?

774. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t°C) в шкалу Фаренгейта (𝑡°F) пользуются формулой 𝐹 = 1,8𝐶 + 32, где C – градусы Цельсия, F – градусы Фаренгейта. Какая температура (в гра-дусах) по шкале Фаренгейта соответствует 20° по шкале Цельсия?

117


775. Из закона всемирного тяготения 𝐹 = 𝐺𝑚𝑀

𝑟2 выразите массу 𝑚 и найдите

её величину (в килограммах), если 𝐹 = 13,4 𝐻, 𝑟 = 5 м, 𝑀 = 5 ∙ 109 кг и

гравитационная постоянная 6,7 ∙ 10−11 м3

кг∙с .

776. Прибыль предприятия вычисляется по формуле 𝜋(𝑞) = 𝑞(𝑝 − 𝑣) − 𝑓. Компания продает свою продукцию по цене 𝑝 = 500 рублей за штуку, переменные затраты на производство одной единицы продукции со-ставляют 𝑣 = 200 рублей за штуку, постоянные расходы предприятия 𝑓 = 900 000 рублей в месяц. Определите месячный объем производ-ства 𝑞 (шт.), при котором прибыль предприятия 𝜋(𝑞) = 600 000 руб-лей в месяц.



2+ 𝑚𝑔ℎ, где 𝑚 – масса тела (в килограммах), 𝑣 – его

скорость (в м/с), ℎ – высота положения центра масс тела над произ-вольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а 𝑔 – ускорение сво-бодного падения (в м/с2). Пользуясь этой формулой, найдите ℎ (в мет-рах), если 𝐸 = 250 Дж, 𝑣 = 5 м/с , 𝑚 = 4 кг, а 𝑔 = 10 м/с2.



2+ 𝑚𝑔ℎ, где 𝑚 – масса тела (в килограммах), 𝑣 – его

скорость (в м/с), ℎ – высота положения центра масс тела над произ-вольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а 𝑔 – ускорение сво-бодного падения (в м/с2). Пользуясь этой формулой, найдите 𝑚 (в ки-лограммах), если 𝐸 = 336 Дж, 𝑣 = 6 м/с , ℎ = 3 м, а 𝑔 = 10 м/с2.

779. Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определя-

ется формулой 𝜂 =𝑇1−𝑇2

𝑇1∙ 100%. При каком значении температуры

нагревателя 𝑇1 КПД этого двигателя будет 80%, если температура хо-лодильника 𝑇2 = 400 K?

780. Камень брошен вниз с высоты 36 м. Пока камень не упал, его высоту можно находить по формуле ℎ(𝑡) = 36 − 3𝑡 − 5𝑡2 (ℎ – высота в метрах, 𝑡 – время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень будет падать.

118


1. Запишите номера верных равенств.

1) 2 ∙1

3−

1

4=

1

6; 2)

11

14: 3

1

7= 0,25; 3) 1,75 − 2

1

3= −

7

12; 4) 1,6: (

2

3:

5

6) = 4.

2. На координатной прямой отмечены числа a и c . Какое из следующих утвержде-ний неверно? 1) 𝑐 − 𝑎 < 0; 2) 𝑎𝑐 > 0; 3) 0 < 𝑐 + 1 < 1; 4) −𝑎 > 0.


1) √65 + √63 < 16; 2) √65 + √63 = 16; 3) √65 + √63 > 16.

4. Решите систему уравнений {5𝑥 − 𝑦 = 7,

3𝑥 + 2𝑦 = −1. В ответе запишите сумму ре-

шений системы.

5. На рисунке изображены графики функций вида 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏. Установите соответствие между знаками коэффициентов 𝑘 и 𝑏 и графиками.

Коэффициенты a) 𝑘 < 0, 𝑏 < 0; b) 𝑘 > 0, 𝑏 > 0; c) 𝑘 > 0, 𝑏 < 0.

Графики


7. Найдите значение выражения 𝑎2−𝑏2

𝑎𝑏: (

1

𝑏−

1

𝑎) при 𝑎 = 1

3

7 и 𝑏 = 2

4

7 .

119

8. Решите неравенство 4𝑥 + 5 ≥ 6𝑥 − 2 и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

9. Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а основание – 96. Найдите площадь треугольника.

10. Радиус окружности с центром в точке O равен 82, длина хорды AB равна 36. Найдите расстояние от хорды AB до парал-лельной ей касательной k.

11. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей 5(√6 − √2), а угол, из ко-

торого выходит эта диагональ, равен 150°. Найдите площадь ромба.

12. На рисунке изображен параллелограмм ABCD. Ис-пользуя рисунок, найдите sin ∠𝐻𝐵𝐴.

13. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая. 4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклон-ной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1. Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

14. Бизнесмен Петров выезжает из Москвы в Санкт-Петербург на деловую встречу, которая назначена на 9:30. В таблице дано расписание ночных поез-дов Москва – Санкт-Петербург.

Путь от вокзала до места встречи занимает полчаса. Укажите номер са-мого позднего (по времени отправле-ния) из московских поездов, которые подходят бизнесмену Петрову. 1) 038А; 2) 020У; 3) 016А; 4) 116С.

15. Спортивный магазин проводит акцию: «Любой джемпер по цене 400 рублей. При покупке двух джемперов — скидка на второй 75%». Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух джемперов?

16. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 10 мин?

120

17. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении од-них суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали – значение темпера-туры в градусах Цельсия. Сколько часов в первой половине дня температура не превышала 0°C?

18. В магазине продаются футболки пяти размеров: XS, S, M, L и XL. Данные по про-дажам в июне представлены на круговой диа-грамме. Какое утверждение относительно продан-ных в июне футболок верно, если всего в июне было продано 120 таких футболок? 1) Больше всего было продано футболок размера S. 2) Меньше 30% проданных футболок – футболки размера L или больше. 3) Больше 30 проданных футболок – футболки размера S или меньше. 4) Футболок размера XL было продано больше 30 штук.

19. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

20. Период колебания математического маятника 𝑇 (в секундах) прибли-

женно можно вычислить по формуле 𝑇 = 2√𝑙, где 𝑙 – длина нити (в метрах). Пользуясь данной формулой, найдите длину нити маятника, период коле-баний которого составляет 7 с.

21. Решите уравнение (𝑥 − 3)(𝑥 − 4)(𝑥 − 5) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 4)(𝑥 − 5).

22. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют товарный и пассажирский поезда, скорости которых равны соот-ветственно 40 км/ч и 100 км/ч. Длина товарного поезда равна 750 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 1 минуте.

23. Постройте график заданной функции и определите, при каких значе-ниях 𝑐 прямая 𝑦 = 𝑐 будет иметь с графиком единственную общую точку:

𝑦 = {𝑥2, |𝑥| ≤ 1,1

𝑥, |𝑥| > 1.

121

24. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√2, √5 , и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC , причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треуголь-ник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите коси-нус угла AKC, если угол KAC > 90°.

25. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K – се-редины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что AMNK – ромб.

26. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B про-ведена биссектриса угла A. Известно, что она пересекает сере-динный перпендикуляр, проведённый к стороне BC в точке K. Найдите угол BCK, если известно, что угол ACB равен 40°.

122

Психологические рекомендации родителям и учащимся

Практические рекомендации родителям

1. Именно ваша поддержка нужна выпускнику прежде всего. Во время подготовки к экзаменам основная задача родителей – создать оптимальные комфортные условия для подготовки ребенка. Поощрение, поддержка и спокойствие взрослых помогают ре-бенку успешно справиться с волнением.

2. Не тревожьтесь о количестве баллов, которые ребенок получит на экзамене. Внушайте ему мысль, что количество баллов не является совершенным измерением его возможностей.

3. Не запугивайте ребенка, не напоминайте ему о сложности и ответственности предстоящих экзаменов. Это не повышает мотивацию, а только создает эмоциональные барьеры, которые сам ребенок преодолеть не может.

4. Подбадривайте детей, повышайте их уверенность в себе. 5. Очень важно скорректировать ожидания выпускника. Объясните: для хорошего

результата совсем не обязательно отвечать на все вопросы экзамена. Гораздо эффектив-нее спокойно решить те задания, которые он знает наверняка, чем переживать из-за не-решенных заданий.

6. Независимо от результата экзамена часто, щедро и от всей души говорите ему о том, что у него все получится! Вера в успех, уверенность в своем ребенке, его возможно-стях, стимулирующая помощь в виде похвалы и одобрения очень важны.

7. Очень важно разработать ребенку индивидуальную стратегию деятельности при подготовке и во время экзамена. Именно индивидуальную, так как все дети разные (есть медлительные, есть очень активные, есть аудиалы, кинестетики, тревожные, есть с хорошей переключаемостью или не очень и т. д.)! И вот именно в разработке индиви-дуальной стратегии родители должны принять самое активное участие: помочь своим детям осознать свои сильные и слабые стороны, понять свой стиль учебной деятельно-сти (при необходимости доработать его), развить умения использовать собственные ин-теллектуальные ресурсы и настроить на успех!

8. Одна из главных причин предэкзаменационного стресса – ситуация неопреде-ленности. Заблаговременное ознакомление с правилами проведения экзамена и запол-нения бланков, особенностями экзамена поможет разрешить эту ситуацию. Тренировка в решении пробных заданий также снимает чувство неизвестности.

9. В процессе работы с заданиями приучайте ребенка ориентироваться во времени и уметь его распределять.

10. Помогите распределить темы подготовки по дням. 11. Обеспечьте своему выпускнику удобное место для занятий, чтобы ему нрави-

лось там заниматься! 12. Позаботьтесь об организации режима дня и полноценного питания. Такие про-

дукты, как рыба, творог, орехи, курага, стимулируют работу головного мозга. 13. Не допускайте перегрузок ребенка. Через каждые 40–50 минут занятий обяза-

тельно нужно делать перерывы на 10–15 минут. 14. Накануне экзамена ребенок должен отдохнуть и как следует выспаться. Про-

следите за этим. 15. Не критикуйте ребенка после экзамена.

123

Практические рекомендации учащимся

Экзамен лишь одно из жизненных испытаний, многие из которых еще предстоит пройти. Не придавайте событию слишком высокую важность, чтобы не увеличивать волнение. При правильном подходе экзамены могут служить средством самоутвержде-ния и повышения личностной самооценки.

В период подготовки к экзаменам 1. Заранее поставьте перед собой цель, которая вам по силам. Никто не может всегда

быть идеальным. Пусть достижения не всегда совпадают с идеалом, зато они ваши личные. 2. Не стоит бояться ошибок. Не ошибается тот, кто ничего не делает. 3. Люди, настроенные на успех, добиваются в жизни гораздо больше, чем те, кто

старается избегать неудач. Поэтому, готовясь к экзаменам, мысленно рисуйте себе кар-тину триумфа. Никогда не думайте о том, что не справитесь с заданием.

4. Будьте уверены: каждому, кто учился в школе, по силам сдать экзамен. Все зада-ния составлены на основе школьной программы. Подготовившись должным образом, вы обязательно сдадите его.

5. Перед началом работы нужно сосредоточиться, расслабиться и успокоиться. Расслаб-ленная сосредоточенность гораздо эффективнее, чем напряженное, скованное внимание.

6. Заблаговременное ознакомление с правилами и процедурой экзамена снимет эффект неожиданности на экзамене. Тренировка в решении заданий поможет ориенти-роваться в разных типах заданий, рассчитывать время. С правилами заполнения блан-ков тоже можно ознакомиться заранее.

7. Подготовка к экзамену требует достаточно много времени, но она не должна за-нимать абсолютно все время. Внимание и концентрация ослабевают, если долго зани-маться однообразной работой. Меняйте умственную деятельность на двигательную. Не бойтесь отвлекаться от подготовки на прогулки и любимое хобби, чтобы избежать пе-реутомления, но и не затягивайте перемену! Оптимально делать 10–15-минутные пере-рывы после 40–50 минут занятий.

8. Для активной работы мозга требуется много жидкости, поэтому полезно больше пить простую или минеральную воду, зеленый чай.

9. Соблюдайте режим сна и отдыха. При усиленных умственных нагрузках стоит увеличить время сна на час.

10. При подготовке главное – распределение повторений во времени. 11. Прорешивать повторно задания рекомендуется сразу в течение 15–20 минут

после разбора прототипов, через 8–9 часов и через 24 часа. 12. При каждом прорешивании нужно осмысливать ошибки и обращать внимание

на более трудные места. 13. Чтобы перевести информацию в долговременную память, нужно делать повто-

рения спустя сутки, двое и так далее, постепенно увеличивая временные интервалы между повторениями. Такой способ обеспечит запоминание надолго.

14. Оставьте один день перед экзаменом на то, чтобы еще раз повторить самые трудные темы.

Во время экзамена 1. Проблема, с которой сталкиваются школьники, попавшие в стрессовую ситуа-

цию, – это нарушение гармоничной работы левого и правого полушарий головного мозга. Если доминирует одно из них – правое (образное) или левое (логическое), то у человека снижается способность оптимально решать стоящие перед ними задачи. Но можно восстановить гармонию, применив следующий прием: нарисовать на чистом ли-сте бумаги косой крест, похожий на букву «Х», и несколько минут внимательно на него смотреть.

124

2. Еще одна проблема – кислородное голодание, усиливающее негативное влияние стресса. Для борьбы с кислородным голоданием существует прием под названием «энер-гетическое зевание». Зевать необходимо тем чаще, чем более интенсивной умственной деятельностью вы заняты. Зевание во время экзамена очень полезно. Как правильно зе-вать? Во время зевка обеими руками массировать круговыми движениями сухожилия (около ушей), соединяющую нижнюю и верхнюю челюсти. В этих местах находится большое количество нервных волокон. Для того чтобы оградить свой организм от кис-лородного голодания, достаточно 3–5 зевков.

3. Прием самовнушения. Думайте о себе только положительно: я умница, я все сдам; я спокоен, и все мои умения проявят себя; я уверенно сдам экзамен; я уверенно и спокойно справлюсь с заданиями; я с хорошим результатом пройду все испытания; я спокойный и выдержанный человек; я смогу справиться с заданием; я справлюсь. 4. Пробегите глазами всю работу, чтобы увидеть, какого типа задания в ней содержатся. 5. Внимательно читаете вопрос в каждом задании до конца, чтобы правильно по-

нять его смысл. 6. Если не знаете ответа на вопрос или не уверены, пропустите его, чтобы потом к

нему вернуться. Начните с легкого! Начните отвечать на те вопросы, в знании которых вы не сомневаетесь, не останавливаясь на тех, которые могут вызвать долгие раздумья.

7. Научитесь пропускать трудные или непонятные задания. Помните: всегда найдутся вопросы, с которыми вы обязательно справитесь.

8. Думайте только о текущем задании. 9. Оставьте время для проверки своей работы, чтобы успеть пробежать глазами и

заметить явные ошибки.

Вам всё под силу!

Вы легко сдадите экзамен! Успехов!

125

Ответы к задачам*

1. 217

990

2. –2 3. –1 4. –320 5. –30 6. –2 7. –3 8. 15,3 9. 8,4 10. 270 11. 2,1 12. 1,5 13. 3,2 14. 0,3 15. 3 16. 0,3105 17. 0,014; 0,13; 0,1327 18. –0,05 19. 9,22 20. 3,91 21. –0,3 22. 8 23. –0,25 24. 2,16 25. 2,25 26. 1 27. 2 28. 2 29. 1 30. 1

31. 3

11

32. 19

90

33. 7 34. 5 35. –1,95 36. –2 37. 1,65 38. 12,5 39. (–0,5)3; –0,5; (–0,5)2 40. (–0,7)2; –0,7; (–0,7)3 41. 0,14; 0,144; 0,15 42. 0,0121; 0,0122; 0,123 43. 35 44. –15 45. 50 46. 20 47. 49,8 * Курсивом выделены задания, ответом к которым является номер выбранного варианта.

48. 4,4 49. 14,49 50. 4,82 51. 31,6 52. 3,45 53. 3 54. –1,3 55. 5,25 56. –2,68 57. 2,2 58. –0,07 59. 22,96 60. –0,18 61. 1 62. 4 63. 1 64. 1 65. 1 66. 4 67. 1 68. 1 69. 1 70. 1

71. 2219

990

72. –3 73. –2 74. –550 75. –820 76. 1,6 77. 2,18 78. 1 79. 3 80. 3 81. 2 82. 2 83. 2 84. 3 85. 2 86. 1 87. 2 88. 3 89. 4 90. 3 91. 2 92. 2 93. 2 94. 3

95. 3 96. 1 97. 4 98. 4 99. 3 100. 3 101. 3 102. 3 103. 2 104. 3 105. 2 106. 1 107. 3 108. 3 109. 4 110. 1 111. 2 112. 2 113. 3 114. 1 115. 4 116. 3 117. 4 118. 3 119. 0 120. 0,4 121. 4,6 122. 16 123. 1 124. 26 125. 5,5 126. 4 127. 5,2 128. 3 129. 1,5 130. 14 131. 0,6 132. 1,2 133. 5,5 134. 4,5 135. 1

136. 7

𝑥

137. 84 138. 60 139. 96 140. 2 141. x + 2

126

142. x+4

143. 𝑏+3

𝑎+2

144. 𝑎+4

𝑏−3

145. 2 146. 3 147. 1 148. 1 149. 8 150. 1,5 151. 4 152. –1 153. 2,5 154. –60 155. 0,8 156. 0,5 157. 2,5 158. 1,5 159. 4,2 160. 4,5 161. 8 162. 4 163. 6 164. 2,5 165. 2,4 166. 4 167. –3 168. 2y 169. x + 2 170. x – 3

171. 𝑏+2

𝑎−5

172. 𝑎+3

𝑏+4

173. 𝑎+5

𝑏−2

174. 𝑏−3

𝑎+2

175. 2 176. 1 177. –16 178. 0,25 179. –10 180. 27 181. 9,5 182. 0,8 183. 0,18 184. 126 185. x+3

186. 𝑎+5

𝑏−3

187. –4,5 188. 0; 5 189. –9; 2 190. –6; 3 191. 2; 3

192. 6,3

193. −2√2; 2√2; 3 194. –2; –1; 1; 2 195. 2; –3 196. 1,5 197. 2,5 198. 1,2 199. –7; 0 200. –3; 0,5 201. –2; 3 202. –4; 1 203. –5; 3 204. 0,25 205. 0; 4 206. –0,25; 0,25 207. 1; 4 208. –3 209. –4; 0 210. –2; 7 211. 15,75 212. 3 213. 36 214. –20 215. 1; ±√7 216. –1; 0; 5 217. –1; 0; 7 218. Решений нет

219. 1; –7; −6+√10

2;

−6−√10

2

220. 3; –3 221. –1,8 222. –2; 4 223. –3: 1 224. –0,25; 0 225. 0; 0,25 226. –6; 0 227. 0; 2 228. Решений нет 229. –1; 7 230. –3; 0 231. –4; 0 232. 6 233. –1; 0; 6 234. −√2; √2 235. 1 236. –3 237. Решений нет 238. Решений нет 239. 1 240. 4 241. 1 242. 1 243. (−∞; −0,75] ∪ [3; +∞)

244. (−∞; −3) ∪ (−1

3; +∞)

245. (−∞; 1,5)

246. (12

3; +∞)

247. 3 248. 4 249. 1 250. 2 251. 2 252. 4 253. 3 254. 2 255. 1 256. 2 257. [0,4; 4] 258. (−∞; 0,4) ∪ (4; +∞) 259. (−∞; 1,8) ∪ (3; +∞) 260. [1,8; 3] 261. (−∞; −2) ∪ (2,5; +∞) 262. (−∞; −8] ∪ [8; +∞) 263. 4 264. 4 265. 2 266. 3 267. (−0,75; 3)

268. (−∞; −2

3] ∪ [2; +∞)

269. (2

3; 2)

270. (−∞; −7] ∪ [7; +∞) 271. (1,5; 2) 272. 2 273. –3 274. –2 275. (3; −4) 276. (–7; −2), (–3; 2)

277. (1; 5); (–1; 1

5)

278. (3; –5); (4; –7) 279. (2; 1) 280. (1; –2) 281. (2; 3) 282. (3; –2) 283. 3 284. 3 285. –3 286. –5 287. –2 288. –6 289. –4 290. –4 291. (2; 2), (3; 7) 292. (–4;–3),(–3;–4) 293. (–3; 2), (–2; –3) 294. (–3,5; 1)

127

295. (–1; 6) 296. (–2; 2), (–4; –2)

297. (1; 12); (–1; 4

3)

298. (0; 0); ( 1

7;

1

7)

299. (1; 4) 300. 2 301. –4 302. –20 303. (–2; –2), (–2; 2),

(–1; –2), (–1, 2) 304. (2; 1,5) 305. (2; 0), (–1; 3)

306. (0; 0); ( 1

8;

1

8)

307. А2; Б4; В3 308. 3 309. 3 310. 1 311. А2; Б3; В4 312. 1; 2 313. –6,25; –4; 6 314. (−1; 0] 315. (–2; 0) 316. 2; 1 317. 0; (–2; 1) 318. [0; 8) 319. А3; Б1; В2 320. А3; Б1; В4 321. 1 322. 2 323. 4 324. 4 325. 1 326. 1 327. А2; Б4; В3 328. А4; Б3; В1 329. 2; 3 330. 1; 3 331. А3; Б2; В1 332. А2; Б1; В4 333. (0; 5) 334. [0; 1) 335. k=–2; (–2; 0) 336. 1; –2 337. –3; 0 338. 1; 5 339. 0; 1 340. 0; 4 341. (–1; 4)

342. −1

4𝑥2,

(8; –16) ,(–8; 16) 343. (0; 3]

344. 2

3; 1; 2

345. 4 346. 0,25 347. (–2; 3) 348. (–1; –3) 349. А4; Б3; В2 350. 3 351. 1 352. –1 353. А3; Б2; В1 354. 1 355. 0; 4 356. –1; 0 357. (1; 0) 358. (2; –3) 359. 2; 6 360. (–3; –7) 361. 0, х = 1; y = 2 362. 0; –1 363. (0; 1] 364. 𝑎 < −1; 0 < 𝑎 < 1 365. 1980 366. 190 367. 960 368. 16 000 000 369. 75 370. 5 371. 27,6 372. 494 373. 28 374. 840 375. 6 376. 5 377. 18 378. 8 379. 12; 24 380. 57 381. 9 382. 2 383. 5 : 1 384. 75 385. 50 386. 240 387. 306 388. 1850 389. 20 000 000 390. 80 391. 57,6 392. 5 625 000 393. 850 394. 75 395. 800 396. 7

397. 250 398. 420 399. 20 400. 6,25 401. 6 402. 0,4 403. 225 404. 16 405. 2 406. 15 407. 3 408. 33 409. 15 410. 10 411. 2 : 1 412. 4 : 1 413. 2 : 1 414. 1 : 2 415. 9 416. 8 417. 7,5 418. 4,5 419. 9,6 420. 6,4 421. 8,4 422. 8 423. 80 424. 90 425. 5 426. 12 427. 950 428. 650 429. 140 430. 28 431. 28 432. 2400 433. 9 434. 15 435. 36 436. 810 437. 400 438. 220 439. 40 440. 5 441. 4 442. 50; 100 443. 12 444. 11 445. 700 446. 250 447. 3 : 1 448. 1 : 3 449. 16

128

450. 6 451. 15 452. 1 453. 50 454. 256 455. 23 456. 75 457. 32 458. 2 459. 3 460. 4 461. yn; zn 462. 28 + 2n 463. –54 464. –47,25 465. 50 466. –386 467. 301 468. –13 469. 3 470. 3 471. 1 472. –7 473. –9 474. 4 475. 32 476. 11 477. 7 478. 12 479. 108; 36; 12 480. 90; 30; 10 481. 1 482. –4,5 483. 2 484. 2 485. –7 486. –1 487. 95 488. 39 489. –2 490. 2100 491. –250 492. 100; 50; 25 493. 24; 48; 96 494. –16 495. –13 496. 54 497. 20 498. 50 499. 120 500. 66 501. 2 502. 2

503. 500 504. 1000 505. 5 506. 14,4 507. 20°

508. √3

2

511. 20 512. 30 513. 60 514. 117° 515. 0,4 516. 3,5 517. 3 518. 0,4 519. 1 520. 5 521. 2,4 522. 1,6 523. 820 524. 1020 525. 12 526. 8 527. 170° 528. 40° 531. 120 532. 5 533. 8 534. 1,5 535. 0,75 536. 3 537. 500 538. 410

539. √2

2

540. 1 : 2 541. 6 542. 20° 545. 105 546. 65 547. 70 548. 500 549. 12 550. 16 553. 80 554. 110 555. 105 556. 45 557. 60 558. 110 559. 65 560. 14 561. 30 562. 19,2

563. 56 564. 48 567. 120 568. 110 569. 70 570. 390 571. 12 572. 1 575. 54 576. 20 577. 1,5 578. 120 579. 50 582. 4,5 583. 132 584. 44 585. 20 586. 150 587. 10 588. 24 589. 20 590. 12 595. 10 596. 2 597. 35° 598. 16 599. 26° 600. 60° 601. 2 602. 72° 603. 10° 605. 4,8 606. 25,5 607. 2 608. 82°; 42°; 56° 609. 600 610. 120

611. 130√2 612. 25 614. 12 : 5 615. 5 : 3 616. 24 617. 17 400 618. 11 200 619. 27,5 620. 14,5 621. 81 622. 6 625. 4 : 9

626. 3√3

4

627. 13 628. 156 629. 20

129

630. 28 632. 9

633. 1

2МА⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +

1

2МС⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

634. 1

3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +

1

3𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

635. 1

3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +

1

3∙ 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

636. (–8; –22) 637. √260 638. (0; 1) 639. 0 640. 2√10

641. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ +1

3𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

642. 1

3𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ −

1

3𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

643. 3

4𝐷𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ −

3

4𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

644. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ +1

2𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

645. 1

3𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ +

1

3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗

646. 4

3𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −

4

3𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

647. (6; –6) 648. 12√2 649. (1; 1) 650. (8; –8) 651. 6 652. (–1; 3)

653. −1

2

654. 32 655. 2√19

656. √34

2

657. 1

2𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ +

1

2𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

658. 1

3𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ −

1

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

659. −1

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ −

1

6𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

660. (–10; –6) 661. √340 662. (2; –2) 663. 128

664. √10

2

665. 1; 2 666. 2; 3 667. 1; 3 668. 1; 3 669. 2; 3 670. 1; 2 671. 1 672. 1; 3 673. 2; 3; 4 674. 3; 4 675. 1; 2; 4 676. 3

677. 1; 2; 4 678. 1; 2 679. 1; 2; 3 680. 3 681. 1; 3 682. 1; 2; 3 683. 1 684. 2; 4 685. 2; 3; 4 686. 4 687. 2; 3; 4 688. 1; 3 689. 1; 2 690. 1; 2 691. 2; 3 692. 3 693. 1; 2; 3 694. 2 695. 1; 3 696. 3 697. 2 698. 3 699. 1; 3 700. 1; 3 701. 1 702. 1; 3 703. 2 704. 2 705. 3 706. 2 707. 3 708. 4 709. 3 710. 4 711. 4 712. 215 713. 751 714. 755 715. 2 716. 1 717. 3 718. 2 719. 1; 3 720. 1; 2; 3 721. 2 722. 1 723. 3 724. 760 725. 2 726. 2; 3 727. 26 728. 768 729. 0,95

730. 0,14 731. 0,2 732. 0,05 733. 0,1 734. 0,995 735. 2640 736. 190 737. 125 738. 325 739. 0,16 740. 0,98 741. 0,35 742. 0,65 743. 0,18 744. 0,9 745. 0,64 746. 0,013 747. 0,9604 748. 0,9409 749. 90 750. 120 751. 0,375 752. 0,4 753. 0,0081 754. 0,16 755. 0,25 756. 0,88 757. 2,25 758. 260 759. 26 500 760. 13 761. 8 762. 4 763. 5 764. 4 765. 260 766. 1,28 767. 3 768. 0,4 769. 7,8 770. 0,8 771. 7,5 772. 10 773. 8 774. 68 775. 1000 776. 5000 777. 5 778. 7 779. 2000 780. 2,4

130

Ответы к диагностическим работам


1. 24 2. 2 3. 1 4. 0; 5 5. 314 6. −39,5 7. 0,25 8. 4 9. 45°

10. 10 11. 25 12. 0,75 13. 1; 2; 3 14. 2 15. 55 16. 22,8 17. 3,5 18. 3

19. 0,75 20. 5

21. 𝑎+3

𝑏+4

22. 80 23. –4 24. 5 26. 120°


1. 5,25 2. 240 3. 1 4. 1 5. 1 6. 3 7. –9; 2 8. 0; 5

9. 27 10. 0,5 11. 2 12. 431 13. 134 14. –12,8 15. 3 16. 190

17. 5 625 000 18. (2; 3) 19. 8 20. (−∞; −1,8) 21. (−∞; −0,75] ∪ [3; +∞) 22. 2,7 23. 5 24. 1; 5


1. 10 2. 30 3. 90 4. 12 5. 4056 6. 84

7. 0,4 8. 2 9. 120 10. 17 11. 2; 3 12. 1; 2; 3

13. 3√3 14. 16

16. 24√13; 48√13; 72√5


1. 23 2. 1 3. 1 4. –1 5. 321 6. –13 7. 4 8. 1 9. 672

10. 162 11. 50 12. 0,6 13. 1 14. 3 15. 500 16. 60 17. 9 18. 3

19. 0,2 20. 12,25 21. 4; 5 22. 250 23. (−1; −0]

24. √2

2

26. 25°

131

Библиографический список

Справочники и пособия для подготовки по математике

Алгебра в таблицах. 7–11 кл.: справочное пособие / авт.-сост. Л. И. Звавич, А. Р. Ря-зановский. – М.: Дрофа, 2007. – 94 с.

Алгебра: сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 кл. / Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. – М.: Просвещение, 2010. – 239 с.

Бунимович Е. А., Булычев В. А. Вероятность и статистика. 5–9 кл. – М.: Дрофа, 2009. – 159 с. Геометрия в таблицах. 7–11 кл.: справочное пособие / авт.-сост. Л. И. Звавич, А. Р. Ря-

зановский. – М.: Дрофа, 2007. – 124 с. Гусев В. А., Кожухов И. Б., Прокофьев А. А. Геометрия. Полный справочник. – М.: Ма-

хаон, 2006. – 320 с. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Справочник по математике. – М.: Просвещение, 1995. – 448 с. Кожухов И. Б., Прокофьев А. А. Математика. Полный справочник. – М.: Махаон, 2005. – 352 с. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал ана-

лиза. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – М.: Мнемо-

зина, 2004. – 336 с. Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра: Пособие для самообразования. – М.: Наука,

1990. – 416 с. Прокофьев А. А., Кожухов И. Б. Математика. Готовимся без репетитора. Задачи и ре-

шения. – М.: Махаон, 2006. – 304 с. Шарыгин И. Ф. Стандарт по математике: 500 геометрических задач. – М.: Просвеще-

ние, 2005. – 205 с.

Психологическая поддержка подготовки к экзаменам

Аллен Д. Как привести дела в порядок. Искусство продуктивности без стресса. – М.: Манн, Иванов и Фербер, 2011. – 368 с.

Болсуновская Н. Тайм-менеджмент для школьников: методы, приемы, инструменты. – URL: http://flatik.ru/tajmmenedjment-dlya-shkolenikov-metodi-priemi-instrumenti-nade.

Горбачев А. Тайм-менеджмент в два счета. – СПб.: Питер, 2009. – 256 с. Кох Р. Закон Парето, или Принцип 80/20. – URL: http://www.arbuz.uz/t_pareto.html. Мухина В. С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество. –

М.: Академия. – 2004. – 448 с. Строкова Т. А. Педагогическая поддержка и помощь в современной образователь-

ной практике // Педагогика. – 2002. – №4. – С. 20–27.

Важные интернет-ресурсы

http://alexlarin.net http://fipi.ru http://sdamgia.ru http://www.problems.ru http://zadachi.mccme.ru/2012/#&page1

132

Учебное издание

Козлова Елена Владимировна

Математика: материалы для комплексной подготовки

к итоговой аттестации за курс основной школы

9 класс

Редактор Ю. Болдырева Технические редакторы Е. Козлова, П. Горев

Верстка и обложка П. Горев

Подписано в печать 10.08.2015. Формат 60x84/16. Гарнитура «Cambria». Бумага офсетная.

Усл. п. л. 8,25. Тираж 500 экз. Заказ № .

Издательство АНО ДПО «Межрегиональный центр инновационных технологий в образовании»

610035, г. Киров, ул. Калинина, 38, оф. 318 Тел.: 8 (8332) 32-47-48

http://www.e-koncept.ru; e-mail: [email protected]

nfsps.3dn.ru · 2 УДК 372.851 ББК 74.262.21я72 К59 Печатается по решению...

Documents