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Fondamenti di Informatica: Codifica Binaria dell’Informazione 1

��

��

Somma di numeri binari

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Esempio:

10011011 +

00101011 =

11000110

Universita’ degli Studi di Milano-Bicocca


��

��

Cifre necessarie per rappresentare numero

Sia dato un numero naturale � e una base � . Qual e’ il minimo numero di

cifre necessarie a rappresentare � in base � ?

Date � cifre in base � , posso distinguere tra �� casi diversi.

Considerando valori numerici NATURALI, posso rappresentare tutti i valori

� tali che

� � � � �� Devo allora trovare un intero � � � tale che:

��

Il minimo numero di cifre e’: � � ��



��

��

Cifre necessarie per rappresentare numero

Come calcolo � � � ?

� � �� .

Pertanto:

��

Segue che

� � �� (trunc = troncamento alla parte intera)



��

��

Esempi

1. Quanti bit sono necessari a rappresentare il valore 24062? � � ��

trunc(14.55) = 14

Numero bit necessari: ��

Infatti: ��



��

��

Esempi

2. Quanti bit sono necessari a rappresentare il valore 65536?

� � � � � � � � ��

Numero bit necessari: ��

Infatti: �� , cioe’ posso rappresentare tutti i numeri compresi tra 0

e 65535!

3. Quanti bit sono necessari a rappresentare il valore 65535?

� � � � � � � � � � � � �

trunc(15.99)=15

Numero bit necessari: � � � ��



��

��

Rappresentare valori numerici nel calcolatore

RAM composta da celle

Ogni SOTTOCELLA contiene un bit (0 o 1)

DIMENSIONE DELLA CELLA (parola): numero di BIT che puo‘

contenere

DIMENSIONE DELLA CELLA e‘ fissata

Tipica dimensione delle parole: 8, 16, 32, 64 BIT

Come rappresento i valori numerici nel calcolatore?



��

��

Rappresentare valori numerici nel calcolatore

Supponiamo di avere celle da 8 bit = 1 byte

Che valori possiamo rappresentare?

�� Quindi: riusciamo a rappresentare tutti i numeri naturali da 0 a

255

PROBLEMI

1. Come memorizzo valori piu’ grandi di 255?

2. Come rappresento i numeri negativi?

3. Come rappresento i numeri reali?



��

��

Rappresentazione di interi

Per rappresentare valori maggiori di 255 e’ sufficiente accostare piu’ celle.

NB 1: Non accosto BIT, ma CELLE!

NB 2: accostamento e’ fatto via software, non hardware. Avendo calcolatori

a 8 bit, posso avere dati a 16 o 32 bit!



��

��


Problema: Dato il massimo numero da rappresentare, quante celle mi

servono in un calcolatore a � bit (cioe’: con celle di dimensione � )?

Risposta:

1. Calcolo il numero di bit necessari a rappresentare il numero, come visto

in precedenza: chiamiamolo � � .

2. Effettuo la divisione intera tra � � e il numero di bit che compone una

cella: � � � � DIV �

3. Risultato � ��



��

��

ESEMPIO

Si vogliono rappresentare tutti gli interi tra 0 e 10 miliardi:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Servono 34 BIT.

Usando celle da 8 BIT: � ��

� � � � � � . Avremo bisogno di 34 DIV 8 + 1 = 5

celle (5 BYTES).


�� . Avremo bisogno di 34 DIV 16 + 1

= 3 celle.


� � � � � �� . Avremo bisogno di 34 DIV 32 +

1 = 2 celle.



��

��


Problema: rappresentare numeri positivi e negativi, con l’informazione

relativa al segno.

Vedremo due metodi:

1. Modulo e Segno: metodo intuitivo

2. Complemento a due: semplifica operazioni artimetiche sugli interi



��

��

Rappresentazione di interi in MODULO e SEGNO

Segno del valore puo‘ essere ‘+’ o ‘-’. Per memorizzare questa

informazione e’ sufficiente un singolo BIT.

BIT DI SEGNO: 0 = ’+’, 1 = ’-’ (per convenzione)

Avendo a disposizione � bit, uso � � � bit per il MODULO del numero e 1

bit (quello piu’ significativo) per il SEGNO.

Posso rappresentare tutti i valori � tali che

� �� NB: Zero positivo e zero negativo!



��

��

MODULO e SEGNO: Esempio

Supponiamo di utilizzare dati a 8 BIT.

Un BIT viene usato per il segno e 7 BIT per il modulo

��

Possiamo rappresentare tutti gli interi tra -127 e 127

� � � �� , � � � ��

NOTA: � � � � � � � � �� , � � � � � � � � � � � � � ��



��

��

Somma di due interi

Come sommo due interi in formato MODULO e SEGNO?

1. Confronto i BIT DI SEGNO dei numeri:

2. SE i BIT sono uguali

BIT DI SEGNO risultato = BIT di SEGNO dei 2 valori

ROUTINE DI SOMMA

3. SE i BIT sono differenti

Confronta i valori assoluti dei due numeri

BIT DI SEGNO risultato = BIT di SEGNO intero piu‘ grande

ROUTINE DI SOTTRAZIONE



��

��

Complemento a due

Scopo: semplificare operazioni aritmetiche su valori interi.

Metodo (supponiamo celle a � bit):

� Il BIT piu’ a sinistra e’ interpretato come BIT DI SEGNO

� La cifra contenuta nel BIT DI SEGNO e’ coefficiente della potenza

� ��

� Le restanti cifre rappresentano i coefficienti delle restanti potenze di

due (da 0 a � � � ), nel modo usuale

Con � bit rappresento i valori � t.c.

��

��

NOTA: vi e’ un solo valore 0!



��

��

ESEMPI

1.� � � ��

��

� � � � �� SOMMA DI POSITIVI� � � � � � � � � �

2. � � � ��

��

� � � � �� SOMMA DI POSITIVI� � � ��

NB: non compare il valore 109!

3. ��

4. � � � � � � � � � ��



��

��

Complemento a due

I numeri positivi sono rappresentati come nella rappresentazione in modulo

e segno

I numeri negativi sono rappresentati in modo che i 7 BIT a destra del BIT

DI SEGNO rappresentano il COMPLEMENTO A 2 del numero considerato

�� valore assoluto del numero



��

��

Complemento a due

Il complemento a due di un numero intero negativo � si ottiene nel modo

seguente:

� Si calcola il valore binario del modulo (valore assoluto) di �

� Si COMPLEMENTANO i bit del modulo N del numero: ogni 1 e’

convertito in 0 e viceversa

� Si somma 1 al risultato ottenuto

� Si pone a 1 il bit si segno



��

��

ESEMPIO - Complemento a due

Rappresentare il valore -78 in complemento a due.

� Valore assoluto in binario= 78 = 1001110

� Bit complementati: 0110001

� Sommare 1 al risultato ottenuto: 0110010

� Porre a 1 il bit si segno: 1 0110010

Verifica: � ��

� � ��



��

��

Complemento a due vs. modulo e segno

Intero M&S Comp. 2

-4 - 1 00

-3 1 11 1 01

-2 1 10 1 10

-1 1 01 1 11

-0 1 00 -

+0 0 00 0 00

+1 0 01 0 01

+2 0 10 0 10

+3 0 11 0 11



��

��

Somma e sottrazione in complemento a due

Vantaggi:

1. Non c’e’ differenza tra sommare positivi e negativi!

2. Sottrazione puo’ essere convertita in somma!



��

��

Esempi

Somma di positivi: � � � � � �

� � � � � � � ��

� � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

Somma di negativi: � � � � � � ��

� � � � � � � ��

� � � � � � � � �

� � � � � � � ��



��

��

Somma e sottrazione in complemento a due

Somma di positivo e negativo

� � � ��

� � � � � � � ��

� � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � CARRY=1

� � � � � ��

� � � � � � � ��

� � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � �



��

��

Overflow

Si puo’ verificare solo se i due operandi hanno lo stesso segno

� � � � � � � � �

� � � � � � � ��

� � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �� CARRY=1

Segno risultato diverso da segno comune ai 2 operandi: OVERFLOW!

� � � � � � �

� � � � � � � ��

� � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� CARRY=0

Segno risultato diverso da segno comune ai 2 operandi: OVERFLOW!



��

��

Rappresentazione Numeri Reali

Come e’ possibile rappresentare i numeri reali?

Problemi:

- Contenere spazio

- Approssimazione valori

- Coprire un ampio intervallo di valori

Alcuni numeri richiedono infinite cifre. Es:

- Il numero ‘e’, base del logaritmo naturale: e = 2.7182...

- � � � ��

Rappresentazione Approssimata



��

��

Rappresentazione di reali in virgola fissa

Metodo piu’ semplice: affianchiamo un intero e un frazionario

Problema: Non disponiamo di un simbolo per rappresentare il PUNTO

DECIMALE

Soluzione: fissiamo a priori il numero di bit disponibili per la parte intera e

il numero di bit disponibili per la parte frazionaria



��

��

Esempio

Supponiamo di avere a disposizione 8 bit. Decidiamo di usare 5 bit per la

parte intera e 3 per la parte frazionaria:

XXXXX.XXX

Interpretato come intero:

� � � � � � � � ��

Interpretato come reale (5-3): � � � � � � � � ��

��

NOTARE: Il valore reale e’ uguale all’intero diviso per � � (fattore che

dipende dalla posizione della virgola fissa):

� � ��

� �



��

��

Virgola fissa - Svantaggi

Intervallo dei valori rappresentabili limitato

Problemi di approssimazione



��

��

Rappresentazione in virgola mobile

Anche detto FLOATING POINT

I valori sono rappresentati in notazione esponenziale:

� � � � ��

- � = parte frazionaria

- �� = parte esponenziale

Esempio: �� E’ sufficiente memorizzare, in una base � , i valori 24 e 21

La base � usata per memorizzare questi valori non e’ necessariamente

uguale alla base della notazione esponenziale � .



��

��

Rappresentazione in virgola mobile

VANTAGGI

- Range di valori rappresentati

- Distribuzione dei valori rappresentati consente approssimazione migliore

Provare a rappresentare in virgola fissa i valori � � � � � � � � � e � � � � � � � � � � !



��

��

Caratteristica e Mantissa

La CELLA DI MEMORIA e’ suddivisa in parti:

1. Parte frazionaria: MANTISSA

2. Esponente: CARATTERISTICA

3. BIT DI SEGNO per l’esponente

4. BIT DI SEGNO per la mantissa



��

��

Rappresentazione in virgola mobile - Esempi

Esempio 1:

Rappresentare il valore -123.45 in virgola mobile, usando ��

Soluzione: Dato che � � � � , scrivo � ed� in base 10

� � � � � � � � � � � � �

Bit segno mantissa = 1, Bit segno esponente = 0

� � � � � � � � � � � � �



��

��


Esempio 2:

A che valore decimale corrisponde il seguente valore in virgola mobile

( �� ):

� � � � � � � � � � � , Segno mantissa=1, Segno esponente=1

(notare che � e� sono in base 2, poiche’ � � � )?

Soluzione: � � � � ��

� � � � � ��

� � � � ��



��

��


Esempio 3:

A che valore decimale corrisponde il seguente valore in virgola mobile

( �� ):

� � � � � � � � � � , Segno mantissa=1, Segno esponente=1?

Soluzione: � � � � ��

��

� � � � ��

Notare che � e� sono dati in base 2 (� � � ) e che -3 e’ esponente di 10,

poiche’ ��



��

��

Rappresentazione di caratteri

L’utente inserisce dati tramite tastiera: numeri, lettere, simboli

Il calcolatore memorizza solo numeri binari.

Come memorizzo i caratteri?

TABELLA ASCII (American Standard Code for Information Interchange):

ad ogni valore numerico associo un carattere

Utilizza 8 bit: � � � � �� caratteri diversi

Eventuale utilizzo del bit di parita’



��

��

Memorizzazione di caratteri

Tipi di carattere contenuti nella tabella ASCII:

� Caratteri alfanumerici

– Cifre ”0”, ..., ”9”

– Lettere maiuscole ”A”, ...,”Z” e minuscole ”a”, ...,”z”

� Segni: caratteri di punteggiatura, operatori aritmetici, ecc.

� Caratteri di comando: Carriage Return, Line Feed, Form Feed, ecc.



��

��

Memorizzazione immagini

Come memorizzo un’immagine in un calcolatore?

DIGITALIZZAZIONE

L’immagine e‘ suddivisa in punti: PIXEL

Ogni punto e‘ codificato con un numero che corrisponde a un particolare

colore. In generale, potenze di 2!

Informazioni necessarie per codificare l’immagine:

1. Dimensioni (es. 640x480, 1024x768, ecc.)

2. Risoluzione (misurata in dpi : dot per inch)

3. Numero di colori (o sfumature)


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