new ecuatii cu derivate partiale de ordin iimath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/ms ii_slides_ecuatii...
TRANSCRIPT
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
Metoda separării variabilelor
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Metoda separării variabilelor
1 Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtă
2 Integrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
3 Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtă
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
O clasă largă de probleme la limită asociate unor ecuaţii cuderivate parţial de ordiul al doilea se pot rezolv prin metodaseparării variabilelor atribuită lui Fourier. Expunem în cele ceurmează această metodă pentru rezolvarea ecuaţiei coardeivibrante şi a ecuaţiei căldurii, cu diverse condiţii iniţiale şicondiţii la limită. Vom considera t variabila temporală, xvariabila spaţială iar funcţia necunoscută este u = u(t , x),(t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ], I ⊆ R interval.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Condiţiile iniţiale
Condiţiile iniţiale se referă la variabila timp t ∈ [0,+∞), dauinformaţii despre funcţia necunoscută la un moment de timpt0 ∈ [0,+∞) precizat şi pot fi de forma
u(t0, x) = u0(x), x ∈ I,
sau u(t0, x) = ϕ(x),∂u∂t
(t0, x) = ψ(x), x ∈ I,
unde ϕ,ψ sunt funcţii cunoscute. O problemă în care nu existădecât condiţii iniţiale se numeşte problemă Cauchy.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Condiţiile la limită
Condiţiile la limită se referă la variabila spaţială x ∈ I şiprecizează valorile funcţiei necunoscute în punctele frontierăale intervalului I la orice moment de timp t . Dacă I = [0, ` ]atunci condiţiile la limită pot fi de forma{
u(t ,0) = f (t),u(t , `) = g(t), t ∈ [0,+∞),
unde f ,g sunt funcţii cunoscute. Situaţia f (t) = g(t) = 0, pentruorice t ∈ [0,+∞) corespunde condiţiilor la limită omogene.În caz contrar spunem că problema este cu condiţii la limităneomogene.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Ecuaţia omogenă a coardei vibrante finite
cu condiţii la limită omogene
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Fie o coardă vibrantă (fir material extensibil şi omogen) delungime finită ` şi fixată la capetele x = 0 şi x = `. În poziţia deechilibru coarda ocupa segmentul [0, ` ]. Notăm u(t , x)elongaţia sau abaterea de la poziţia de echilibru la momentulde timp t şi în punctul de abascisă x . Atunci u(t , x) verificăecuaţia hiperbolică omogenă:
1a2∂2u∂t2− ∂
2u∂x2
= 0, (t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ]. (2.1)
Constanta a2 depinde de densitatea materialului ρ şi de T0,proiecţia ortogonală pe 0x a vectorului tensiune în coarda
aflată în poziţia de echilibru; a2 =T0ρ.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Admitem că la momentul de timp t = 0 se cunosc poziţia iniţialăϕ şi viteza iniţială ψ a coardei. Acest fapt se reflectă încondiţiile iniţiale:
(C.I.)
u(0, x) = ϕ(x),∂u∂t
(0, x) = ψ(x), x ∈ [0, ` ],(2.2)
cu ϕ,ψ : [0, ` ]→ R funcţii continue.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Presupunem că la capetele sale coarda este fixată, decielongaţia în aceste puncte este nulă. Aceasta se transcrie princondiţiile la limită omogene:
(C.L.)
{u(t ,0) = 0,u(t , `) = 0, t ∈ [0,+∞). (2.3)
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Metoda separării variabilelor pentru problema omogenă(2.1)+(2.2) cu condiţiile la limită omogene (2.3) constă încăutarea soluţiilor de forma
u(t , x) = T (t) · X (x), (2.4)
unde funcţiile T (t) şi X (x) urmează a fi determinate astfelîncât ecuaţia (2.1) să fie satisfăcută iar condiţiile iniţiale (2.2) şicele la limită (2.3) să fie îndeplinite.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Avem
∂2u∂t2
= T ′′(t) · X (x) şi ∂2u∂x2
= T (t) · X ′′(x),
şi atunci ecuaţia (2.1) se scrie
T ′′(t) · X (x)− a2T (t) · X ′′(x) = 0.
RezultăX ′′(x)X (x)
=T ′′(t)a2T (t)
= k , (2.5)
unde k nu poate fi decât o constantă deoarece trebuie să fieegală simultan şi cu un raport de funcţii de x , şi cu un raport defuncţii de t , iar variabilele t şi x sunt independente.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Egalităţile (2.5) sunt echivalente cu
X ′′(x)− kX (x) = 0 (2.6)
şiT ′′(t)− ka2T (t) = 0. (2.7)
Condiţiile la limită (2.3) sunt echivalente cu X (0) = 0 şiX (`) = 0. Astfel, X trebuie să fie soluţie pentru problema
X ′′(x)− kX (x) = 0, x ∈ [0, ` ],X (0) = 0,X (`) = 0.
(2.8)
Ecuaţia caracteristică asociată este λ2 − k = 0.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
(i) k > 0. Atunci λ1 =√
k , λ2 = −√
k , iar soluţia generală aecuaţiei este
X (x) = C1ex√
k + C2e−x√
k , x ∈ [0, ` ], C1,C2 ∈ R.
Condiţiile X (0) = 0 şi X (`) = 0 conduc la{C1 + C2 = 0C1e`
√k + C2e−`
√k = 0,
sistem ce are soluţia C1 = C2 = 0. Atunci X (x) = 0, pentruorice x ∈ [0, ` ], deci u(t , x) = 0, pentru orice(t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ], iar această soluţie nu convine (a sevedea (2.2)).
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
(ii) k = 0. Atunci λ1 = λ2 = 0 şi soluţia generală a ecuaţieieste
X (x) = C1 + C2x , x ∈ [0, ` ], C1,C2 ∈ R,
iar din condiţiile X (0) = 0 şi X (`) = 0 găsim ca mai susC1 = C2 = 0, deci u(t , x) = 0, pentru orice(t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ], soluţie ce nu convine.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
(iii) k < 0. Notăm k = −ν2. Atunci λ1,2 = ±jν şi soluţiagenerală a ecuaţiei este
X (x) = C1 cos νx + C2 sin νx , x ∈ [0, ` ], C1,C2 ∈ R.Impunem condiţiile X (0) = 0 şi X (`) = 0 şi găsim{
C1 = 0C2 sin ν` = 0.
Nu putem avea C2 = 0 şi atunci rezultă sin ν` = 0 de underezultă ν` = nπ, n ∈ N∗. Am obţinut astfel
νn =nπ`, kn = −
(nπ`
)2, n ∈ N∗, (2.9)
iar familia de soluţii pentru problema (2.8) este
Xn(x) = sinnπ`
x , n ∈ N∗. (2.10)
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Revenim la ecuaţia pentru T , (2.7), unde kn este dat de (2.9) şi,pentru fiecare n ∈ N∗, obţinem o ecuaţie diferenţială liniară şiomogenă cu coeficienţi constanţi,
T ′′(t) + a2(
nπ`
)2T (t) = 0.
Soluţia generală este
Tn(t) = an cosnπa`
t + bn sinnπa`
t , t ∈ [0, ` ], n ∈ N∗, (2.11)
unde an,bn sunt constante reale ce urmează a fi determinate.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Toate funcţiile un : [0,+∞)× [0, ` ]→ R,
un(t , x) =(
an cosnπa`
t + bn sinnπa`
t)
sinnπ`
x , n ∈ N∗,
sunt soluţii ale ecuaţiei coardei vibrante (2.1) ce satisfaccondiţiile la limită (2.3).Datorită omogenităţii ecuaţiei (2.1) şi condiţiilor la limită (2.3),rezultă că suma tuturor acestor soluţii este de asemenea osoluţie pentru (2.1)+(2.3).Considerăm soluţia u : [0,+∞)× [0, ` ]→ R,
u(t , x) =∞∑
n=1
(an cos
nπa`
t + bn sinnπa`
t)
sinnπ`
x , (2.12)
unde an,bn, n ∈ N∗, sunt constante reale ce urmează a fideterminate din condiţiile iniţiale (2.2).
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Calculăm, prin derivarea seriei termen cu termen,
∂un∂t
(t , x) =πa`
∞∑n=1
n(−an sin
nπa`
t + bn cosnπa`
t)
sinnπ`
x .
Impunem condiţiile (2.2) şi rezultă
∞∑n=1
an sinnπ`
x = ϕ(x)
πa`
∞∑n=1
nbn sinnπ`
x = ψ(x)
pentru orice x ∈ [0, ` ].
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Să observăm că an şinπa`
bn reprezintă coeficieni̧i Fourier aidezvoltărilor funcţiilor ϕ şi, respectiv, ψ în serie de sinusuri peintervalul [0, ` ]. Rezultă
an =2`
`∫0
ϕ(x) sinnπ`
x dx ,
bn =2
nπa
`∫0
ψ(x) sinnπ`
x dx , n ∈ N∗.
(2.13)
Soluţia ecuaţiei omogene a coardei vibrante finite cu condiţii lalimită omogene (2.1)+(2.2)+(2.3) este dată de suma seriei(2.12) unde coeficienţii an şi bn sunt determinaţi de relaţiile(2.13).
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Ecuaţia omogenă a căldurii cu condiţii la limită omogene
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Propagarea temperaturii într-o bară omogenă de lungime finită,`, în ipoteza că între suprafaţa barei şi mediul înconjurător nuexistă schimb de căldură, este descrisă de o ecuaţie parabolicăomogenă
1a2∂u∂t− ∂
2u∂x2
= 0, (t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ], (3.1)
u(t , x) reprezentând temperatura la momentul de timp t şi înpunctul de abscisă x . Constanta a2 se numeşte difuzivitatetermică a barei prin care se propagă căldura şi depinde deproprietăţile fizico-chimice ale materialului barei.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Admitem că la momentul de timp t = 0 când se incepe studiulpropagării temparaturii în bară, se cunoaşte temperatură înbară ϕ. Acest fapt se reflectă în condiţia iniţială:
(C.I.) u(0, x) = ϕ(x), x ∈ [0, ` ], (3.2)
unde ϕ : [0, ` ]→ R este o funcţie de clasă C2.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Presupunem că la capetele barei, în orice moment de timp,temperatura este zero. Această ipoteză se transcrie princondiţiile la limită omogene:
(C.L.)
{u(t ,0) = 0,u(t , `) = 0, t ∈ [0,+∞). (3.3)
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Metoda separării variabilelor pentru problema(3.1)+(3.2)+(3.3) constă în determinarea soluţiei de forma
u(t , x) = T (t) · X (x), (3.4)pentru orice (t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ], unde funcţiile T (t) şiX (x) urmează a fi determinate astfel încât ecuaţia (3.1) să fiesatisfăcută iar condiţia iniţiă (3.2) şi condiţiile la limită (3.3) săfie îndeplinite.
∂u∂t
= T ′(t) · X (x) şi ∂2u∂x2
= T (t) · X ′′(x),
şi atunci ecuaţia (3.1) se scrie
T ′(t) · X (x)− a2T (t) · X ′′(x) = 0sau echivalent
X ′′(x)X (x)
=T ′(t)
a2T (t)= k , (3.5)
unde k nu poate fi decât o constantă.Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
X ′′(x)− kX (x) = 0X (0) = 0X (`) = 0.
(3.6)
Situaţiile k > 0 şi k = 0 conduc la soluţia banală X (x) = 0, deciu(t , x) = 0, care nu convine.Situaţia k < 0, notăm k = −ν2; ecuaţia caracteristicăλ2 + ν2 = 0, admite rădăcinile λ1,2 = ±jν şi soluţia generală aecuaţiei este
X (x) = C1 cos νx + C2 sin νx , x ∈ [0, ` ], C1,C2 ∈ R.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Impunem condiţiile X (0) = 0 şi X (`) = 0 şi găsim{C1 = 0C2 sin ν` = 0.
Nu putem avea C2 = 0 (implică X (x) = 0, deci u(t , x) = 0 carenu convine) şi atunci rezultă sin ν` = 0 de unde rezultă
νn =nπ`, n ∈ N∗.
Familia de soluţii pentru problema (3.6) este
Xn(x) = sinnπ`
x , x ∈ [0, ` ], n ∈ N∗. (3.7)
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Ecuaţia pentru TT ′(t)
a2T (t)= k cu k = −
(nπ`
)2devine
T ′(t) + a2(
nπ`
)2T (t) = 0,
iar soluţie generală este
Tn(t) = ane−(nπ` )
2 t , t ∈ [0,+∞), n ∈ N∗, (3.8)
unde an sunt constante reale ce urmează a fi determinate.
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Funcţiile un : [0,+∞)× [0, ` ]→ R,
un(t , x) = ane−(nπ` )
2 t · sin nπ`
x , n ∈ N∗,
sunt soluţii ale ecuaţiei (3.1) ce satisfac condiţiile la limită (3.3).Rezultă că u : [0,+∞)× [0, ` ]→ R,
u(t , x) =∞∑
n=1
ane−(nπ` )
2 t · sin nπ`
x , (3.9)
(t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ], este soluţie pentru (3.1)+(3.3), undecoeficienţii an, n ∈ N∗, urmeză a fi determinaţi din condiţia lainiţială (3.2).
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
-
Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite
Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită
Condiţia u(0, x) = ϕ(x), pentru orice x ∈ [0, ` ] ne conduce la
∞∑n=1
an sinnπ`
x = ϕ(x),
pentru orice x ∈ [0, ` ]. Să observăm că (an)n reprezintăcoeficienţii Fourier ai dezvoltării funcţiei ϕ în serie de sinusuripe intervalul [0, ` ]. Atunci
an =2`
`∫0
ϕ(x) sinnπ`
x dx , n ∈ N∗. (3.10)
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II
Introducere. Conditii initiale, conditii la limtaIntegrarea ecuatiei coardei vibrante finiteIntegrarea ecuatiei caldurii într-o bara de lungime finita