naturaleza del pensamiento matem atico · segun el diccionario de la real academia de la lengua...

Naturaleza del pensamiento matematico

Jose Luis Munoz CasadoUniversidad Complutense de Madrid

Indice general

1. Concepciones matematicas de la antiguedad 11.1. Doctrinas Pitagoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Platon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Aristoteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Concepciones matematicas de la modernidad 112.1. Gottfried Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. La Filosofıa Matematica de Kant . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. La Filosofıa Matematica de John Stuart Mill . . . . . . . . . . 182.4. Controversias: logicistas, formalistas e intuicionistas . . . . . . 20

2.4.1. Los programas logicistas de Dedekind y Frege . . . . . 202.4.2. Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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Introduccion

Segun el diccionario de la Real Academia de la Lengua Espanola, la Ma-tematica es la ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entesabstractos como numeros, figuras geometricas o sımbolo y sus relaciones.

El sentido ıntimo de las matematicas, el lugar que ocupa entre las otrasciencias, su caracter racional y la reflexion que hace sobre sı misma dan lugara la idea de que la concepcion filosofica de la misma no solo condiciona elquehacer matematico sino que muy especialmente su ensenanza.

En estas lıneas no se pretende exponer una historia de la evolucion de losconocimientos y resultados matematicos; mas bien, se desarrollara un resu-men de la evolucion del pensamiento sobre las Matematicas a traves de lostiempos.

Para Kant, de notable influencia en la concepcion filosofica de la Ma-tematica en nuestros dıas, el quehacer matematico anterior al mundo griegodel siglo VI a.C, se reducıa a una serie de descubrimientos de caracter exclu-sivamente empırico, ası los egipcios desarrollan la Geometrıa para reordenarlos terrenos tras las crecidas del Nilo, los sumerios desarrollan una Aritmeti-ca elemental y los babilonios la Astronomıa, posiblemente como respuesta anecesidades comerciales y de prediccion del clima en base a las secuencias dela vida agraria.

En La Crıtica de la Razon Pura Kant atribuye a la actividad matematicade los griegos la azana de la RAZON mas grande de todos los tiempos. Elsiglo VI griego protagonizarıa un salto cualitativo humano en la creacion delas matematicas como ciencia. Para Kant, Thales y los Pitagoricos encuen-tran el camino real para las matematicas.

El camino que la Matematica encontro en Grecia genero no solo un torren-te de conocimientos y estilo en la forma de hacer matematicas sino tambien

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ii Introduccion

en la busqueda de la razon. Esto les condujo a preguntar cierta serie de cosasy a buscar su respuesta.

Capıtulo 1

Concepciones matematicas dela antiguedad

1.1. Doctrinas Pitagoricas

Pitagoras (-584,-496) funda la escuela Pitagorica en Cretona. Mas queuna escuela aparece como una orden religiosa, un secta que valoraba la vidacontemplativa, el estudio de los numeros como principio basico de todas lascosas que rigen la armonıa del cosmos por encima de los cuatro elementostierra, agua, aire y fuego. Los Pitagoricos creen en la transmigracion de lasalmas y es este mismo caracter religioso el que establecıa la prohibicion dedifundir sus descubrimientos bajo pena de muerte. Para los Pitagoricos laesencia de los seres esta en los numeros y la explicacion de los fenomenos serealiza, mediante relaciones numericas. El movimiento de los astros dara lu-gar a la armonıa de las esferas, el cielo entero esta en armonıa y numero.Ası transforman el mundo natural en cosmos armonico. Las matematicas ylas ciencias naturales son lo mismo. Para ellos los numeros forman parte dela materia de las cosas.

Se distinguen cinco generaciones de Pitagoricos del 530 al 360 a.C.

1. Del 530 al 500 a.C cuyo representante principal es el mismo Pitagoras.

2. Del 520 al 480 a.C representada por Hipaso de Metaponto y Alcmeon.

3. Del 480 al 430 a.C generacion anonima a la que se deben grandes re-sultados.

4. Del 440 al 400 a,C representada por Filolao: ”Todo es numero”

1

2 Concepciones matematicas de la antiguedad

5. Del 400 al 360 a.C representada por Arquitas de Tarento.

Los Pitagoricos hacen de sus conocimientos matematicos fuente de prin-cipios sociales, eticos y religiosos. Consideran el numero como clave mısticade forma de vida.

1 La Unidad. Generador de numeros, el numero de la razon2 La Dıada. Diversidad, la opinion. Primer numero de mujeres

verdaderas.3 La Trıada. Armonıa= unidad + diversidad. Primer numero

de hombres verdaderos.4 Justicia, castigo. Ajuste de cuentas.5 Matrimonio. Primera mujer + primer hombre.6 La creacion. Primera mujer + primer hombre + 110 Universo. Tetractys. 1+2+3+4=10

Aristoteles les reprocha el caracter material de los numeros dotados demagnitud y compuestos por unidades extensas indivisibles, su manera de ar-gumentacion pues no ofrecen demostraciones ni tienen pretension de ofrecer-las. Hablan de analogıas, semejanzas, formas, asignaciones etc. Sus pruebasde los resultados son graficas y visuales ignorando la esencia de la abstrac-cion, de este modo no desligan la Aritmetica de la Geometrıa.

Coincide con ellos en que los numeros no son anteriores a las cosas sinoconsustanciales con las mismas, sin embargo rechaza la idea de que las cosassensibles se compongan de ellos.

La comunidad pitagorica distingue entre los Matematicos, que trabajanen obtener nuevos resultados y los Acusmaticos que no tienen acceso crıtico alos resultados pero que se ocupan de salvaguardar las creencias y costumbresde la comunidad.

Los conocimientos de la Mathema se clasifican en: Astronomıa, Geo-metrıa, Aritmetica y Musica.

Por otra parte al no distinguir entre numero y magnitud se les debe laentrada en el dominio de los numeros del a-logos o i-racional. Al no poderllamar numero a

√2 ellos mismos rompen la armonıa que habıan creado con

respecto a los numeros, ya que si se puede hablar de la relacion entre lasmagnitudes de los catetos de un triangulo rectangulo y su hipotenusa.

1.2. PLATON 3

Aristoteles refuta las consecuencias de la teorıa pitagorica en base a lassiguientes objeciones:

* Identificar numero y ente aplicando teoremas a los cuerpos como siestos constaran de aquellos (mas adelante la descripcion matematicade la naturaleza dara lugar a la Fısica)

* No se puede asociar una afeccion a un numero por ejemplo: lo blan-do, lo caliente, lo dulce. Hoy dia se puede hablar de la ecuacion delcalor y la elasticidad como propiedades fısicas descritas mediante lasmatematicas.

* Si todo participa de un numero muchas cosas deben resultar identicas.Hoy en dia un mismo modelo matematico puede describir diferentesfenomenos.

Sirva lo anterior como ejemplo de como una crıtica a una manera depensar -en el caso de los Pitagoricos, de vivir- resulta muy provechosa parael quehacer matematico y ensenanzas posteriores.

1.2. Platon

Aristocles Prodos o Platon (-427/28 al -347), fue hijo de Ariston un an-tiguo rey ateniense. Participo en las guerras del Peloponeso contra Esparta,fue alumno de Socrates y fundo la Academia ateniense en el 361 a.C queperduro hasta el 529 d.C cuando fue prohibida por orden de Justiniano I,acusada de aceptar el Cristianismo. A Platon se le considera el autenticofundador de la filosofıa de las matematicas. La creencia platonica tiene dosvertientes: la ontologica1 y la epistemologica 2.

En ”La Republica”Platon describe en El mito de la caverna el mundo delas ideas que existe eternamente y cuya evocacion abre las puertas al ver-dadero conocimiento. Las cosas sensibles a las que los sentidos dan acceso,

1En filosofıa, la Ontologıa es una parte de la metafısica que estudia lo que hay, es decircuales entidades existen y cuales no

2La Epistemologıa, como teorıa del conocimiento, se ocupa de problemas tales comolas circunstancias historicas, psicologicas y sociologicas que llevan a su obtencion, y loscriterios por los cuales se lo justifica o invalida


Figura 1.1: Mito de la Caverna

constituyen un mundo que es la imagen de otro mundo eterno que el Demiur-go3 diseno segun las leyes matematicas.

Para Platon:

1. Los entes matematicos son objetos que no estan en continuidad con lascosas sensibles y su existencia es independiente de ellas.

2. Tampoco son producto del pensamiento humano sino que existen conexistencia eterna e inmutable.

El lenguaje es enganoso respecto al objeto de la naturaleza que nombra yno solo no apunta al objeto de la matematica sino que dificulta su captacion.Dos niveles distinguen la falta de adecuacion del lenguaje a la naturaleza dellenguaje de matematico.

1. Las connotaciones empıricas de terminos que aluden a operaciones yrelaciones: anadir, cortar, doblar etc.

2. El caracter convencional de terminos que nombran objetos y definicio-nes.

Platon argumenta que el lenguaje trata de geometrıa hablando de cua-drar, prolongar, anadir, como si los objetos a los que se refiere fueran muta-bles, sensibles y caducos, sin embargo, los objetos de la Geometrıa, como losde la Aritmetica son eternamente identicos e inmutables. Los numeros de losque hablan los matematicos no proceden de ninguna operacion realizada por

3El demiurgo en la filosofıa gnostica, es la entidad que sin ser necesariamente creadoraes impulsora del universo.

1.2. PLATON 5

los sentidos sobre las cosas sensibles. No se comprende de otra manera queno sea mediante el pensamiento.

Ejemplo del circulo, el Nombre serıa cırculo o circunferencia pero sepodrıa haber denominado de cualquier otra forma, la Definicion de circun-ferencia o redondez, a su vez compuesta de nombres y verbos: aquello cuyosextremos equidistan perfectamente de un centro, la Imagen; serıa lo que setraza y se borra. Lo que se delinea en forma circular y que es perecedera.Anadir, transportar, dividir, etc es un lenguaje adecuado a la imagen perono a la cosa imperecedera, la Ciencia, serıa la inteleccion verdadera y porultimo la Cosa en si, cognoscible y real; el cırculo como idea de la que parti-cipan las imagenes y toscamente las palabras que empleamos. Es lo que tieneexistencia eterna.

De este modo el objeto existe con independencia del sujeto que intentaaprehenderlo 4 y el lenguaje actua solo como senal orientadora de la busque-da. Al pensarlo el intelecto no lo crea, solo se topa con el.

En la obra de Platon los entes matematicos aparecen como objetos se-parados de las cosas ni proceden de cosas sensibles, ni son producidos porel pensamiento de los hombres, existen con existencia eterna e inmutable.Parece ası que Platon situa los entes matematicos en el reino de las ideas,al contrario que Aristoteles que los piensa como entes intermedios entre lascosas sensibles y las ideas. No asigna al conocimiento matematico la cualidadde idea sino de creencia (en el sentido de verdadera y justificada), es decir,no son ideas que sostenemos sino ideas que nos sostienen.

En la Republica Platon presenta la serie: Imaginacion-Creencias-Entendimiento-Razon, donde las dos primeras pertenecen al mundo de la doxa5 u opinion ylas dos ultimas al de la epısteme6 o ciencia primigenia o saber en sı.

Segun Platon el verdadero conocimiento solo puede obtenerse de las cosasque permanecen siempre en el mismo estado, de la misma manera. La cienciaverdadera esta orientada a los seres que no nacen ni mueren y son eterna-mente identicos e inmutables en contraposicion al modelo generado o nacidoque nace siempre y no existe nunca. Al ser le corresponde el conocimiento,es decir la verdad. Al devenir le corresponde la creencia y opinion.

4Aprehender:Concebir las especies de las cosas sin hacer juicio de ellas o sin afirmar ninegar.

5Doxa palabra griega que se suele traducir por ’opinion’6Epısteme, conocimiento


Las proposiciones de las matematicas tendran caracter de verdades ne-cesarias y universales como corresponde a un modelo eterno parmenidiano7 . Seran accesible solo por el entendimiento sin apelar a la ayuda de lossentidos, (de esto discrepara Aristoteles pues este argumento cierra la puertaa una Ciencia de la Naturaleza).

Las matematicas se orientan a la contemplacion del ser y deja sus ha-llazgos al servicio de la Dialectica cuyo objeto son las ideas mismas que enun proceso ascendente, que ni necesita ni admite demostracion, busca el pri-mer principio que es el Bien. Las matematicas, sin embargo proceden deforma descendiente, mostrando ordenada, concatenadamente y ayudandosede imagenes e hipotesis, las consecuencias de ese primer principio. Se esta-blece de esta forma una diferencia entre las ideas; por una parte, las ideasmatematicas en el ambito de la dianoia o razon discursiva que remite a lacapacidad de la razon de obtener conocimientos mediante premisas y con-clusiones , por otra parte las ideas pertenecientes al ambito de la Noesis quees el de las ideas propiamente dichas y mas relacionadas con la Etica y laEstetica que se dirigen directamente hacia la idea de Bien.

Distingue tambien dos tipos de matematica: las del vulgo, que a su vezdistingue entre las usadas para la guerra y las utilizadas para el comercio yla medicion. En ambos casos serıa la matematica que se ocupa de los objetosde la experiencia sensible, y la Ciencia Matematica que a su vez clasificaen Aritmetica, que se ocupa de series innumerables de unidades identicas yGeometrıa cuyas verdades son absolutas y exactas.

Por lo dicho anteriormente las matematicas no se inventan, se descubrenpues tienen existencia por sı mismas independientemente del sujeto que laspiense y el procedimiento es adentrarse en un proceso de reminiscencia 8

al que nos acercamos por dos caminos: el de la mayeutica 9 empleada porSocrates y el re-conocimiento de los resultados que nos hace asentir el co-nocimiento logrado y tomarlo como verdad, eterna y universal. Luego no esla observacion de los objetos sensibles, ni de las representaciones de objetosmatematicos, el camino para el aprendizaje; ellos son unicamente instrumen-

7el calificativo parmenidiano fue acunado por Cebes para ejemplificar una vida hono-rable y recta

8Facultad del alma con que se trae a la memoria aquellas imagenes de que esta tras-cordado o que no se tienen presentes.

9Metodo socratico con que el maestro, mediante preguntas, va haciendo que el discıpulodescubra nociones que en el estaban latentes.

1.3. ARISTOTELES 7

tos de ayuda, el verdadero camino es la reminiscencia.

En el Timeo 10 plantea su vision del mundo mediante un mito cosmogoni-co. Es el Demiurgo quien geometriza el mundo y lo escribe segun un modeloparmenidiano que permite el acceso a la verdad y acerca al Ser. El modelo ele-gido sera el del conocimiento matematico y la copia del mismo dara lugar alCosmos. El ser de las cosas esta constituido segun combinaciones matemati-cas y regido por sus leyes. El criterio de composicion de los elementos queconstituyen la tierra es la armonıa de las proporciones y segun las leyes dela composicion bella, nunca dos terminos pueden dar lugar a ella, se precisade un tercero que forme con los anteriores una progresion bien aritmetica,geometrica o armonica. Y como todo lo tangible precisa, para serlo, un cuer-po geometrico de tres dimensiones y el mas perfecto resulta ser la esfera. Dela misma manera el tiempo sera la imitacion movil de la Eternidad (inmovily una) que progresa segun las leyes de los numeros.

1.3. Aristoteles

Aristoteles (-384 al -322) no concede a las matematicas un lugar pri-vilegiado para el conocimiento del mundo, su pensamiento conecta con suimportancia para el mundo fısico y con los procedimientos de su desarrolloen cuanto a metodico.

Para Aristoteles los entes matematicos ni estan separados de las cosas,ni son principio de ellas. Distingue tres niveles: El del ser y los principios,equivalente al mundo de las ideas platonico, las matematicas que aunque susobjetos tienen caracter permanente no se pueden separar de las cosas, por loque no pertenecen ni a las ideas ni a las cosas sensibles, por ultimo la Fısicay las cosas sensibles.

La demostracion es un proceso deductivo silogıstico del conocimiento dedeterminadas proposiciones al conocimiento de otras que participan de lanecesidad y certeza de las primeras.

Aristoteles descarta la legitimacion del conocimiento matematico median-te un mito al modo de Platon, su posicion ontologica le reclama acudir almetodo de obtencion de resultados con un doble foco de atencion.

1. La logica deductiva propia del proceso de demostracion.

10El Timeo es un dialogo escrito por Platon entorno al ano 360 a. C. Precede al Critiaso La Atlantida, y es considerado como el mas influyente en toda la filosofıa y cienciaposteriore


2. La naturaleza de las proposiciones primitivas o primeros principios.

Aristoteles halla la certeza de las matematicas en la DEMOSTRACIONen dos sentidos: en el de genesis en cuanto a proceso matematico y el dedemostracion como justificacion de resultados. Al primero le corresponde lafase creativa, que en este caso es constructiva, mientras que a la segunda sele confiere la legitimidad inherente al metodo axiomatico.

Ası el punto de partida del conocimiento matematico es una proposicioncierta, inmediata a la que se llega por medio de la induccion, es decir del pro-ceso de obtener datos generales a partir de premisas con datos particulares.

Para Aristoteles la matematica no es ciencia de principios, ni es cienciadel ser, ni es ciencia de las cosas del mundo, sin embargo si es ciencia dela cantidad discreta, de la cantidad continua, de los numeros y del espacio.Por tanto la Matematica se constituye en ciencia pues parte de proposicio-nes ciertas, inmediatas y no demostrables. Y cuenta, ademas de los AxiomasLogicos con dos tipos de principios: Los de existencia o hipotesis y en casode la Aritmetica de las definiciones de formas y atributos de la unidad y enel caso de la Geometrıa los de la magnitud espacial. Ası, la matematica esla ciencia que se ocupa de entes no separados de las cosas, pero inmoviles ypermanentes, con dos fases, la creativa y la demostrable.

Para Aristoteles la Matematica construye sus objetos a partir del mundonatural, los sentidos a traves de los organos determinados para ello recogenlo que les es propio que al pasar a la memoria, la inteligencia aprehende lasposibles relaciones cuantitativas existentes dando lugar a la creacion de obje-tos matematicos. Cuando la inteligencia capta la relacion entre estos objetos,se da la experiencia matematica.Por tanto la Matematica es la ciencia de relaciones entre objetos abstraıdosde las cosas que pueblan el mundo fısico, en un sentido empirista.

Para Aristoteles la Matematica no constituye ella misma el nucleo deorganizacion de la realidad (con respecto a otras ciencias) pero si es con-veniente, aunque no necesaria ni suficiente, a excepcion de la Astronomıa.Ası Aristoteles es capaz de diferenciar el infinito fısico del infinito matemati-co.

1.4. Euclides

”Los Elementos”de Euclides (-325 al -265) seran la referencia validantede cuantas expresiones sobre la creencia en el caracter necesario y universal

1.4. EUCLIDES 9

de las proposiciones matematicas a lo largo de los siglos hasta finalizar laprimera mitad del XIX.El libro que mas influencia ha tenido en la culturaoccidental despues de la Biblia ha sido Los Elementos.

Si Aristoteles dio forma al metodo demostrativo axiomatico, fue el librode los Elementos de Euclides, el que consagro el metodo como base del rigoren la construccion del conocimiento. Segun Proclo recogio los resultados ex-puestos en los Elementos de Eudoxo y perfecciono los de Teeteto y llevo ademostracion irrefutable las cosas que habıan sido vagamente probadas porsus predecesores.

Los Elementos son un tratado compuesto por trece libros que ademas derecoger los trabajos matematicos de varias generaciones de pitagoricos, acunay exhibe un metodo paradigmatico a traves de los tiempos. Pero al hablar demetodo debemos de significar dos cosas. Por un lado el Metodo Axiomaticoy por otro el Metodo Heurıstico o explicacion de los pasos que constituyen elproceso del quehacer matematico y que no es reducible al proceso deductivoasociado habitualmente al metodo axiomatico. La ejemplaridad del MetodoAxiomatico queda patente en el contenido del libro 1 que se inicia con 23definiciones de terminos como punto, linea, lınea recta, superficie, anguloplano, rectas paralelas etc, y cinco postulados;

1. Se puede trazar una lınea recta de cualquier punto a cualquier punto.

2. Una recta terminada (finita) se puede prolongar continuamente en linearecta.

3. Se puede describir un cırculo con cualquier centro y cualquier distancia.

4. Todos los angulos rectos son iguales entre si.

5. Si una lınea recta que corta a otras dos forma angulos internos delmismo lado de la secante, cuya suma sea menos de dos rectos, aquellasdos prolongadas hacia este lado, se encuentran

Y un tercer bloque formado por las nociones comunes o axiomas logicos,como que el todo es mayor que la parte, si a cosas iguales se anaden cosasiguales a una tercera son iguales entre si, etc. A partir de las definiciones,los postulados y los axiomas, Euclides ofrece la demostracion de proposi-ciones. Este procedimiento recibira el nombre de metodo axiomatico, mastarde sera perfeccionado y reconstruido por la replica contemporanea de losElementos: Los fundamentos de la Geometrıa de David Hilbert. Conviene


advertir, sin embargo que los sistemas axiomaticos 11, hasta finales del sigloXIX, son sistemas genericos no sistemas formales al modo como los hemosconcebido despues de Hilbert.

Las demostraciones concretas van acompanadas de figuras pero las prue-bas requieren del proceso deductivo. Solo la deduccion sancionara la verdaduniversal y necesaria de la proposicion correspondiente. Posteriores investi-gaciones sobre estos procesos de deduccion han dado lugar a interpretacionesdiversas, algunas de ellas llevando a confundir las matematicas con la logica.Se distinguen seis partes en el contenido de las proposiciones de los Elemen-tos:

1. La protasis o enunciacion de Ja proposicion o teorema-

2. La ekthesis o planteamiento que establece los datos particulares queentran en juego en la demostracion,

3. La diorismos o especificacion, establecimiento de lo que se quiere probaren terminos de tos datos particulares.

4. La kataskeue o construccion, que incluye posibles adiciones a la figuraoriginal por medio de construcciones para posibilitar la marcha de iademostracion.

5. La apodeixis o demostracion misma.

6. La symperasma o conclusion que remite al enunciado y establece lo queha sido probado o hecho.

Este proceso complejo dota al quehacer matematico de un procedimientometodico que incluye creacion y descubrimiento, ademas de razonamientodeductivo. El propio metodo remite a una heurıstica y no solo al procesodeductivo-axiomatico. Prueba de este caracter heurıstico es la larga historiade investigaciones a las que ha dado lugar el V postulado, entre ellas la deintentar probar el V postulado a partir de los otros cuatro; hasta que a finalesdel siglo XIX se prueba que este postulado es independiente de los otroscuatro, es decir que tanto su afirmacion como su negacion son consistentescon los postulados del I al IV. Surgiran ası las geometrıas alternativas a laeuclıdea; la del angulo agudo o hiperbolica debida independientemente alBolyai (1802-1860) y a Lobachevski (1793-185U) y a la del angulo obtuso oesferica debida a Riemann (1826-1866).

11Un sistema axiomatico son un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante deduc-ciones, para demostrar teoremas.

Capıtulo 2

Concepciones matematicas dela modernidad

Hemos visto las diversas maneras que los pensadores griegos tuvieron dearticular teoricamente el asombro y la fascinacion que les produjo esa formade conocimiento que es la Matematica. Sus preguntas estaban formuladasdesde lo que constituıa su preocupacion central: el ser. De ahı que la cuestionontologica catalice el centro de las indagaciones. Y junto a la especulacionontologica pusieron estos autores la reflexion sobre el metodo que regıa elquehacer de los matematicos.

De lo dicho hasta ahora sobre la creencia en torno a la Matematica po-demos concluir dos cosas:

1. Sus proposiciones son necesarias y verdaderas.

2. Ningun ser racional puede cuestionar su verdad y ningun suceso empıri-co puede refutarla.

Despues de la aproximacion a la etapa griega donde se generan los nucleosde creencias respecto a la Matematica, debemos mirar como los matematicosposteriores gestionan la herencia recibida por los griegos.

El giro en las relaciones Matematicas-mundo natural introducido por laciencia moderna, respecto de la concepcion de la ciencia aristotelica, sera de-cisivo para el avance de la Matematica y para comprender la primacıa delas cuestiones epistemologicas. Los objetos matematicos van a fraguarse co-mo idealizaciones adecuadas para abordar el conocimiento de la Naturaleza,para construir la nueva ciencia natural de Galileo y Newton. La Matemati-ca deviene ası en lenguaje del libro de la Naturaleza, y durante un perıodosignificativo, hasta las primeras decadas del XIX, los grandes avances de la

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12 Concepciones matematicas de la modernidad

Matematica son inseparables de los avances de la Fısica. Pero este procesode fecundacion mutua de la Matematica y la Ciencia Natural tiene tambiencomo consecuencia una idealizacion de la Matematica en su conjunto y desu metodo. El racionalismo cartesiano abrira un nuevo tipo de discurso queen sus grandes preguntas ha perdurado hasta el ocaso del perıodo de funda-mentacion de la Matematica a mitad del siglo XX.

Las preguntas que en esos siglos surgieron y los modos de argumentarconstituyen un bagaje sobre el que muchos han construido no solo teorıasepistemologicas, sino teorıas matematicas. Tendremos ocasion de ver en laparte siguiente como las grandes construcciones filosoficas de autores comoLeibniz y Kant seran fuentes de fecundidad para formas de entender y dehacer matematicas.

2.1. Gottfried Leibniz

La actitud de Leibniz (1646-1716) ante el quehacer matematico se cons-truye bajo la herencia racionalista de Descartes y sobre el empirismo deLocke. Y se apoya en los siguientes puntos:

1. Su planteamiento de la racionalidad matematica esta fuertemente rela-cionada con el infinito a traves del Calculo Infinitesimal.

2. Caracterizacion de las verdades matematicas y su relacion con la his-toria: necesidad y contingencia (posibilidad de que algo suceda o no,cosa que puede o no suceder).

3. Caracterizacion del conocimiento matematico: certeza y habilidad.

El producto singular de la racionalidad matematica de la obra de Leib-niz, es ese objeto matematico no aprehensible por la evidencia cartersiana,que es el infinito. Si el analisis y la sıntesis del metodo cartesiano han de iracompanados de la aceptacion de ideas claras y distintas y justificados porel rigor deductivo, el finito leibniziano reclama otros presupuestos y otrosprincipios de justificacion. La racionalidad matematica se apoya en Leibnizen principios metafısicos y no solo, ni principalmente en Principios Logicos.

En su historia de las matematicas ”Matematicas en la Cultura Occiden-tal”Morris Kline [1] cita a Voltaire describiendo el calculo infinitesimal comoEl arte de nombrar y medir exactamente una cosa cuya existencia no puedeser concebida. Ni el empirismo ingles, ni el racionalismo continental disponıan

2.1. GOTTFRIED LEIBNIZ 13

de marcos conceptuales adecuados para recibir la forma de pensamiento quela humanidad acababa de conquistar. La aparicion del Calculo Infinitesimalsupuso acceder a un dominio inasequible para la racionalidad matematicavigente en el segundo tercio del siglo XVII. Sin embargo en la concepcionmatematica de Leibniz el infinito rompe las exigencias logicas de la raciona-lidad cartesiana.

Segun esta concepcion el infinito genera lo finito. Ası Leibniz distingueentre: ciencia de la cantidad en el universo, ciencia de lo finito o Principiode Posicion 1 y ciencia de lo infinito o Principio de Transicion o continui-dad infinita 2. De esta forma Leibniz separa el calculo infinitesimal de todocompromiso metafısico y descarta tratar el numero real como los pitagoricos.Descartes tratara el numero real geometricamente, como lo hicieron los pi-tagoricos, la nocion de paso al infinito permanece extrana para el. Ası paraDescartes π solo puede ser visto como la razon entre la longitud de la cir-cunferencia y su diametro. Para Leibniz el numero π estara asociado a laserie:

1− 1

3+

1

5+ · · ·+ (−1)n

2n+ 1+ · · · = π

4

Pero este modo de proceder rompe la logica de la racionalidad matemati-ca al uso. En la matematica de lo finito, con el Principio de Posicion comoguıa, una transformacion puede hacer semejantes dos elementos al modo dela curva a la recta. La curva y la recta constituyen un par de elementos”homogeneos”. Sin embargo, en la Matematica de lo infinito, el Principiode Continuidad permite relacionar pares de elementos que aparecen masbien como una especie de contradictorios: tiempo/instante, espacio/punto,desigualdad/igualdad..., pares a los que Leibniz llamo ”homogones”. De es-te modo, el principio de continuidad permite considerar el reposo como unmovimiento infinitamente pequeno y la coincidencia sera un distancia infi-nitamente pequena y la igualdad sera la ultima de las desigualdades, comolımite de una serie.

Para Leibniz el principio de continuidad permite hacer de la igualdad elhomogeneo de la desigualdad. Por ejemplo, la siguiente serie:

1

2+

1

4+

1

8+ · · · = 1

En vez de suponer el intervalo [0,1] dividido en partes, considerando lasuma de las partes, Leibniz considera el paso al lımite.

1El que el todo equivale a la union de las partes2Nada en la naturaleza se hace por saltos


Ası Leibniz rompe con el quehacer matematico heredado y construye unnuevo sistema coherente. Leibniz considera distinguir entre las ideas purasque son innatas, las cuales se contraponen a las imagenes de los sentidos,y tambien las verdades necesarias o de razon, las cuales Leibniz opone alas verdades de hecho. Las ideas de razon, que constituyen el origen de lasverdades necesarias, no provienen de los sentidos. En cambio, las ideas quevienen de los sentidos son confusas y las verdades que dependen de ellas soncontingentes.

El garante de la verdad matematica sera el Principio de la Razon Sufi-ciente 3 basado en el Principio de Contradiccion 4 . Por otra parte el quehacermatematico debe ser metodico y por ello distingue tres partes en el procesode elaboracion de un resultado o metodo demostrativo.

1. La ectesis o proposicion que se quiere demostrar o descarga de imagina-cion que depende del metodo utilizado para conseguir de cada momentohistorico lo que se puede esperar para diversificar y perfeccionar el re-sultado.

2. Fase de preparacion del problema o fase creativa de la que forman partelas relaciones, puntos de vista, generacion de conceptos, nuevos proce-dimientos, consecuencias, contraejemplos y modos de eludirlas. Hayque senalar que en el estudio de Lakatos Proof and Refutations [2] lasconcepciones epistemologicas de los sujetos del quehacer matematicoinfluyen en la fase creativa del proceso del tratamiento de contraejem-plos.

3. Fase de razonamiento o parte demostrativa en si misma. Este razona-miento sera dependiente de la veracidad de las premisas implıcitas yexplıcitas.

Para Leibniz la veracidad y la certeza de la Matematica debe basarse entres principios: el principio de verdad suficiente, el principio de contradicciony el principio de orden. Sera el principio de contradiccion el que garantice laverdad de los teoremas obtenidos. Los axiomas secundarios deben ser redu-cibles a axiomas primitivos.

Podemos extraer las siguientes conclusiones de la posicion leibziana antela Matematica:

3Todo objeto debe tener una razon suficiente que lo explique4El principio de la contradiccion afirma que: es imposible que algo sea al mismo tiempo

verdadero y falso

2.2. LA FILOSOFIA MATEMATICA DE KANT 15

1. Relacion entre racionalidad matematica y Logica. Los principios logi-cos son insuficientes para fundamentar los resultados matematicos. Seprecisara de los principios de la metafısica como el de posicion y el detransicion que contiene los de continuidad y orden.

2. Caracterizacion de verdades matematicas y su relacion con la historia.Necesidad y contingencia. Verdades necesarias y universales sin basarseen los datos que proporcionan los sentidos. El avance de las matemati-cas no solo contempla la obtencion de resultados sino la creacion denuevos metodos es un exponente necesario de las verdades que posibi-lita.

3. El conocimiento matematico debe ser un conocimiento cierto con ver-dades accesibles a la mente humana. Para ello la habilidad de esteconocimiento debe recurrir a los sujetos historicos teniendo en cuenta:

a) Los conceptos no siempre son caracterizables.

b) Metodos de representacion historicamente gestados que permitanla descarga de imaginacion en la primera Fase del quehacer.

c) Salto creativo que puede omitir consecuencias no deseadas comoen el caso de los contraejemplos.

d) El rigor deductivo dependiente de axioma intermedios.

e) El tratamiento del infinito no puede fundar su rigor en los mismosprincipio que para dominios finitos.

2.2. La Filosofıa Matematica de Kant

Inmanuel Kant (1724-1804) fue uno de los filosofos mas influyentes de laEuropa moderna y en la epoca de la ilustracion. Sus planteamientos sobre laFilosofıa de las matematicas tuvieron una gran repercusion durante los siglosXIX y XX. Si bien es cierto que fue un obstaculo para la emergencia de lasgeometrıas no euclideas, tambien lo es el que las objeciones a su teorıa sobreel espacio incito a Dedekind a publicar los resultados de Riemann [4] sobrela geometrıa no euclidea del angulo obtuso o esferica.

En tiempos de Kant la obra sobre matematicas mas influyente es ”Princi-pia Mathematica Philosopiae Naturalis”[5]. El analisis durante el siglo XVIIIesta ligado a problemas fısicos. Se consiguen importantes resultados en Alge-bra y Teorıa de Numeros, mas tarde repercutiran en el tratamiento abstracto


del Analisis.

La doctrina Leibniziana verdades de hecho-verdades de razon se corres-ponde con la division que Hume construye sobre Locke y que formula comocuestiones de hecho-cuestiones de ideas. Ası la unica fuente de conocimientoes la experiencia y todo nuestro conocimiento no solo comienza en ella sinoque procede de ella. Hume diferencia dos tipos de percepciones- las impre-siones o cuestiones de hecho y los pensamientos o ideas que son relacionesde ideas. Hume reserva para la matematica el poder de la razon, aunque supoder esta limitado por los sentidos, en la construccion de la matematica yen la universalidad de sus proposiciones, que van de lo singular a lo universalmediante el habito que reconoce un objeto semejante a otro.Para Kant la Matematica es el reducto privilegiado del Conocimiento Cierto.Y se basa en los siguientes aspectos:

1. La revolucion de la antigua Grecia.

2. El Conocimiento sistematico es conocimiento cierto fundado en la intui-cion pura a priori. Con los racionalistas comparte el caracter sintetico,pero rechaza el aporte de la experiencia.

3. Contrapone el metodo filosofico al metodo matematico. Ambos tienenen comun la universalizacion del conocimiento, pero proceden de dis-tinta forma. El primero razona por conceptos y procede indagando yanalizando. El segundo razona construyendo conceptos y es propio dela Matematica.

En cuanto a la naturaleza de los juicios matematicos Kant, cree que laexperiencia no lo es todo en el conocimiento, pero que esta comienza conaquella aunque no por eso procede todo el de la misma.

Para Kant es un error reducir la Matematica a la Logica, atribuyendo uncaracter analıtico a sus juicios. Los juicios matematicos tienen contenido pro-pio, son juicios sinteticos cuyo predicado se halla ligado al concepto-sujeto.El principio de contradiccion no es el fundamental de los juicios en la cons-truccion de la Matematica sino el principio rector de las demostraciones. Losjuicios en matematica son pues ”sinteticos”.

Que la lınea recta sea la distancia mas corta entre dos puntos o que sietemas cinco suman doce son proposiciones universalmente validas, no cabenexcepciones, y son necesarias. Son sinteticas 5 por que ni el concepto de doce

5Proposiciones sinteticas: Son aquellas cuyo predicado no esta contenido en el sujeto.

2.2. LA FILOSOFIA MATEMATICA DE KANT 17

esta contenido en el de suma ni el de recta un ’cortedad.o longitud mınima.Por ser necesarias y universales son a priori, luego son sinteticas y a priori.Esto ultimo independiza a la matematica de la experiencia y la capacita paraavanzar en el conocimiento.

La tradicion racionalista encuentra en el principio de contradiccion lafuente de la certeza para legitimar la caracterıstica apodıctica 6 de las ver-dades de la razon.

Para Kant el principio de contradiccion, es una regla a la cual han deatenerse las construcciones. Define la Geometrıa como ”la ciencia que esta-blece las propiedades del espacio sinteticamente no obstante .a priori” luegosus proposiciones son todas apodıcticas y van acompanadas de la concienciade necesidad. Esta concepcion queda en entredicho con la aparacion de lasGeometrıas no Euclıdeas. Contra la vision Kantiana de Geometrıa unica. Sinembargo la geometrıa de Euclides sigue siendo la geometrıa patron.

En cuanto a la construccion de los conceptos Kant afirma ”Las Matemati-cas ofrecen el mas brillante ejemplo de una razon que consigue ampliarse porsı misma”. Luego la razon procede por construccion de conceptos, no porindagacion. El conocimiento filosofico se obtiene derivando de un concep-to las propiedades contenidas en el. El conocimiento matematico se obtieneconstruyendo conceptos de los que se obtienen propiedades que no se hallanen el concepto. Kant diferencia tres niveles: concepto (magnitud), esquema(numero) e imagen (cuentas del abaco). El esquema serıa el procedimientouniversal de la imaginacion para suministrar a un concepto su propia imagen.Los axiomas son para Kant, principios sinteticos a priori.

De esta manera la verdad en las matematicas se obtiene mediante el juicioque como facultad superior que permite conectar las imagenes empıricas conel concepto y permite asomarse al mundo fısico y descubrir allı imagenes deun concepto matematico, por eso ”Los principios de la matematica (junto aotros tipos de principios) constituyen la fuente de toda verdad, es decir laconcordancia de nuestro conocimiento con objetos”.

Para terminar Kant distingue entre dos tipos de infinito: el infinito poten-cial, relativo a los conceptos y que permite el avance de la razon sin lımite,y el infinito actual que es la capacidad de la razon para aprehender unatotalidad infinita y que es relativo a las ideas.

6Incondicionalmente cierto, necesariamente valido


2.3. La Filosofıa Matematica de John Stuart

Mill

John Stuar Mill (1806-1873) filosofo londinense, empirista y positivistapretendio construir un sistema filosofico completo en el que su aproximaciona la matematica es puramente epistemologica, al igual que Kant carece deexperiencia en el quehacer matematico. Mill no tiene noticias de las nue-vas geometrıas no euclıdeas pero aunque le separan de Kant 70 anos ambosconocen el mismo tipo de matematicas. Por otro lado ambos se ocupan deencontrar el lugar adecuado al conocimiento matematico dentro de la episte-mologıa que la trata de articular.

Los caminos buscados por cada uno discrepan sustancialmente. Kantconstruye su posicion afirmando la distancia con respecto al empirismo Humeano,mientras que Mill elabora un sistema en continuidad con dicho empirismo.Ası discrepan en cuanto al papel atribuido a la razon, en la concepcion delorigen de la Matematica y respecto a la necesidad y universalidad atribuidaa las proposiciones matematicas.

Mill considera la matematica como nueva elaboracion de datos propor-cionados por la experiencia, como Hume, por el contrario Kant habla de laligereza del vuelo sin razonamiento empırico de la Matematica. Ademas Kantconsidera el paso de los calculos empıricos de las civilizaciones antiguas a laMatematica Griega como corte epistemologico. Sin embargo Mill lo ve comoun proceso continuo, aunque llega a contemplar la ruptura modelica de LosElementos.

Mientras Kant construye el quehacer matematico del sujeto transcenden-tal y formula las condiciones de posibilidad de esa actividad de la razon; Millse interesa en el quehacer del sujeto individual solo para apoyar la afirma-cion de su psicologismo y el origen empırico de los objetos y axiomas de lamatematica.

El empirismo raız de Mill le lleva a considerar los objetos de la Geometrıacomo copia de puntos, lıneas y cırculos conocidos por la experiencia, es decirson representaciones de cosas observables. Es sorprendente que siendo con-temporaneo de Bolyai, Lobachevsqui y Riemann, no conozca sus resultados,esto significa una falta total de vision para considerar lo formal en sı mis-mo y separar la verdad de la validez. En cuanto a la aritmetica, consideraal numero solo como mero signo; todos los nombres han de serlo de alguna

2.3. LA FILOSOFIA MATEMATICA DE JOHN STUART MILL 19

cosa. No hay nombres abstractos.

Sin embargo Los Elementos son para Mill un punto estelar en la confi-guracion de la ciencia Matematica, pues esta pasa de ciencia experimental aciencia deductiva y por ello deja de seguir fundandose en la experiencia. ParaMill los procesos deductivos arrancan siempre de primeros principios que noson sino generalizaciones inductivas de la experiencia. Por eso las cienciasdeductivas no se oponen a las inductivas, pues ellas mismas lo son, sino quese oponen a las ciencias experimentales.

Si para Kant el quehacer en matematicas va del quehacer empırico alquehacer de la razon, para Mill este va de un quehacer experimental, median-te inducciones explıcitas, a un quehacer metodico. Ası pues se le presentandos problemas, por un lado justificar los principios de la aritmetica y la geo-metrıa, es decir definiciones y axiomas, como generalizaciones inductivas dela experiencia, y por otro justificar la necesidad de universalidad atribuidasa la proposiones matematicas.

En el caso de la Aritmetica, la justifica como existencia de colecciones deobjetos que impresionan los sentidos. En el caso de la Geometrıa dice quelas definiciones son generalizaciones de objetos naturales obtenidas median-te induccion. Limita la atencion a algunas propiedades de objetos naturalesabstrayendo diferencias individuales. En cuanto a los Axiomas los conside-rara producto de procesos inductivos 7 , una generalizacion de la observacion.

Afirmar la necesidad y universalidad de un axioma no es otra cosa que afir-mar que su contrario es inconcebible. La necesidad atribuida a los teoremasobtenidos deductivamente, para Mill no es mas que una necesidad formal,su certeza es relativa a la verdad y certidumbre de los primeros principios.Las demostraciones son inferencias deductivas, pero la deduccion no es masque una inferencia aparente o induccion, es decir son inferencias inductivas.La Matematica para Mill goza de un estatuto privilegiado entre las cienciasde la naturaleza pero no necesita mas fundamento que la experiencia y elhabito.

7Inducir: Extraer, a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares,el principio general que en ellas esta implıcito.


2.4. Controversias: logicistas, formalistas e in-

tuicionistas

El siglo XIX protagoniza la doble emancipacion de la Geometrıa del mun-do natural y del Analisis respecto a la Geometrıa y respecto del mismo mundonatural. De esta forma se prima el contenido filosofico sobre el matematico.

A continuacion se presentan tres concepciones de la Matematica en tantoque conocimiento sedimentado y en tanto a la labor a realizar. Partiendo delas concepciones de Leibniz y Kant se presentan las tres escuelas: la tradicionlogicista leibziana con dos grandes proponentes como Dedekind y Frege, a suvez secundados por Bertrand Russell. Aunque a ambos les cuadre la expre-sion ”La Matematica se reduce a Logica”. Por otra parte la logica presentadapor cada uno los situa en distinto lugar filosofico, debido al tratamiento detos conjuntos infinitos.

Hilbert y Brouwer entroncan mas con el pensamiento Kantiano en sendaspropuesta de fundamentacion. Formalismo e intuicionismo respectivamente,descansan sobre bases en las que solo tiene lugar el vuelo libre de la palomakantiana. El formalismo hilbertiano ha desarrollado resultados tan fecundoscomo la axiomatizacion de la teorıa de conjuntos o la creacion de los sistemasde deduccion natural en Logica, la teorıa de modelos o el teorema de Godel.

Por otra parte el intuicionismo ha generado metodos para desarrollartratamientos finitistas de caracter constructivo de gran relevancia. Tal vez elfracaso de los tres programas solo resida en haber confundido dos tipos deracionalidades: la matematica y la filosofica.

2.4.1. Los programas logicistas de Dedekind y Frege

Se pretende fundamentar el caracter exacto e independiente de toda ex-periencia que se atribuye al conocimiento matematico. El problema tieneentonces un caracter epistemologico en su punto de partida.

Estudiaremos el planteamiento desde el que cada autor parte y despuesciertos puntos significativos abordados desde perspectivas diferentes y noconciliables por esos mismos autores.

En la fundamentacion de la Aritmetica a la Logica diremos que la revolu-cion del rigor se puede considerar iniciada por Cauchy (1821) y continuada

2.4. CONTROVERSIAS: LOGICISTAS, FORMALISTAS E INTUICIONISTAS21

a lo largo del siglo XIX orientada a lograr para el Analisis la fiabilidadd queel metodo axiomatico logro para la geometrıa. En los sesenta de ese sigloWeierstrass aplica su teorıa de los numeros reales en sus clases de Berlın,en 1869 Meray publica la construccion de los numeros reales en terminos denumeros racionales. Otro tanto hicieron Cantor, Dedekind y Heine en 1872.

El camino elegido para la fundamentacion del analisis fue el de la aritme-tizacion. El reto consistıa en fundamentar la Aritmetica. Dedekind y Fregese adentran en ese area y encuentran en la Logica donde asentar la exactitudde la Aritmetica.

Julius Wilheim Richard Dedekind

Se centra en mostrar la Aritmetica como parte de la Logica y al afir-mar esto Dedekind (1831-1916) se situa en que el concepto de numero esindependiente de las nociones del intuicion del espacio y del tiempo al modokantiano. Afirma que los numeros son creaciones de la mente humana al igualque los conjuntos infinitos (sistemas). Luego numeros y conjuntos infinitosson para Dedekind objetos de la logica. Probo que dos sistemas cualesquierade numeros naturales son isomorfos. Basa el concepto de numero real en elde cortadura si A1 y A2 son dos clases de numeros reales de manera que cual-quier numero de A1 es menor que cualquiera de A2 entonces el par (A1, A2)se denomina corte. Aunque todo numero racional produce un corte (o dosque no son diferentes). Hay infinitos cortes NO producidos por numeros ra-cionales, es decir producidos por numeros irracionales. 8

Los cortes son conjuntos infinitos, luego la aritmetizacion del Analisis deDedekind deviene en Teorıa de Conjuntos Infinitos y ambas cosas pertenecen,segun Dedekind, a la Logica. Dedekind incluye el infinito como un objetologico. Un sistema S se dice infinito sı es similar, es decir en correspondencia1:1 a una parte de si mismo. En caso contrario el Sistema S sera finito.Dedekind demuestra la existencia de, al menos un conjunto infinito con elsiguiente razonamiento.

Teorema 2.4.1 Existen sistemas infinitos.

Demostracion 2.4.2 Mi propio reino de pensamientos, es decir la totalidadS de todas las cosas de mi pensamiento es infinito. Si s expresa un elementode S, entonces el pensamiento s′ de s puede ser objeto de mi pensamiento,es el mismo un elemento de S.

8Son las denominadas cortaduras de Dedekind


Si miramos esto como una transformacion f(s) del elemento s, entoncestengo la transformacion f de S determinada ası con la propiedad de que latrasnformada S ′ es parte de S, y ciertamente S ′ es parte propia de S, puestoque hay elementos en S (por ejemplo, mi propio yo) que son diferentes a esospensamientos s′ y por tanto no estan contenidos en S ′. Finalmente es claroque si a y b son elementos diferentes de S, sus transformados a′ y b′ sontambien diferentes, por lo que la transformacion f es una transformaciondistinta (similar). Con lo que S es infinito, que es lo que se querıa probar.[3]

Varias objeciones se pueden poner a este razonamiento, en primer lugarla apelacion a que el conjunto de pensamientos que alguien pueda tener envida sea infinito (mas que infinito se podrıa decir que ilimitado en vida).Por otro lado, choca con la paradoja de Cantor: en 1899, en una carta queenvio Cantor a Dedekind, observa que no puede hablarse del ”conjunto detodos los conjuntos”, ya que si Ω fuese este conjunto entonces el conjuntoP (Ω) de todos los subconjuntos de Ω serıa un elemento de Ω, es decir:

P (Ω) ∈ Ω y tambien P (Ω) es un subconjunto de Ω

Entonces existe m tal que 2m ≤ 2, lo cual es una contradiccion.El planteamiento de la tesis logicista hecho por Dedekind se basa en cuatropuntos:

1. El concepto de numero es independiente de cualquier intuicion del es-pacio y el tiempo. Posicion antikantiana y anti-intuicionista.

2. La Logica aparece como anterior a la Matematica y como garantıa de sucerteza. Frege disiente de esto al reprocharle la definicion del conceptode Sistema y ”una cosa que pertenece a una cosa”.

3. Dedekind habla de los numeros como creaciones libres de la mente,las construcciones propuestas son posibles solo porque las leyes delpensamiento las regulan. Es decir ellas mismas son objetos logicos.Frege tachara este planteamiento de psicologista. Pero Zermelo 9 en-contrara en Dedekind los elementos fundamentales para construir suteorıa axiomatica de conjuntos, aunque cree que el programa de Dede-kind conduce a paradojas.

4. Llama Logica a lo que propiamente hablando es Teorıa de Conjuntos.

9Ernst Zermelo (Berlın, 1871 - Friburgo, 1953) . Su mas importante contribucion fuela axiomatizacion de la teorıa de conjuntos.


Friedrich Ludwin Gottlob Frege

Sostiene la creencia epistemologica del caracter necesario y universal pro-pio de las verdades matematicas. Sostiene tambien una concepcion trascen-dental de la Logica.

Segun Frege (1848-1925) los pensamientos no se producen, se captan, esdecir la Matematica no consiste en crear sino en descubrir pensamientos ver-daderos. La verdad correspondiente es independiente del tiempo y del sujetoque la descubre y la logica se ocupa de descubrir el entramado de pensamien-tos verdaderos. Razon mas que suficiente para descalificar el empirismo deMill.

Frege considera asi la Aritmetica una parte de la Logica pero de estamanera choca inevitablemente con la nocion de conjunto o Sistema en laterminologıa de Dedekind.

El programa de Frege consiste en ofrecer una prueba irrefutable de quelas verdades de la Aritmetica tienen caracter analıtico, lo cual confirmarıa lacreencia epistemologica de la naturaleza eterna, universal y necesaria de lasproposiciones de la Aritmetica.

Para Prege, operaciones fundamentales en Aritmetica son: Definir y De-ducir. De esta manera se impone acometer dos tareas, una primera de ase-gurar que las definiciones de los conceptos basicos encierran solo nocioneslogicas, y una segunda consistente en probar que las demostraciones de laAritmetica se pueden expresar como deducciones de la Logica. Ambas ta-reas precisara de la construccion de un lenguaje formal que las haga posiblesevitando ambiguedades.

2.4.2. Formalismo

Al comenzar el siglo XX David Hilbert habra conseguido centrar el queha-cer matematico en el metodo axiomatico. En 1904 Hilbert define su posiciony la desarrolla y matiza de 1925 a 1927. David Hilbert se preocupa por sal-var la confianza en el caracter absoluto de las verdades matematicas y enno perder las posibilidades de hacer de las matematicas encontradas hastaentonces incluidas las que se derivan de la teorıa de conjuntos de Cantor.Conoce el fracaso de programa de Frege y no le satisfacen las enmiendasde Rusell. Tambien sigue de cerca el programa intuicionista de Brouwer. Noesta dispuesto a abandonar la ley del tercio excluso (o A es B o A no es B


. (esto es lo mismo que decir que o bien P es verdadero o bien su negacionlo es, no hay una tercera posibilidad) en las demostraciones de existencia enlas que aparece el infinito actual. Veamos a continuacion las dos maneras detratar el infinito.

- La Actualista, segun la cual es posible y lıcito considerar el conjuntode todos los conjuntos.

- La Constructivista o proceso constructivo que genera la jerarquıa deconjuntos, se construyen todos los conjuntos posibles, pero no se puedehablar de la totalidad de conjuntos como un nuevo conjunto.

En la axiomatizacion de la Teorıa de Conjuntos de Von Newman-Godel,se distingue entre clases y conjuntos. Un conjunto puede ser miembro de unaclase y tambien un conjunto. Pero una clase nunca puede ser miembro de otraclase. La totalidad de los conjuntos constituye una clase que es un objeto enun orden distinto a los conjuntos. Ası lo infinito nunca puede ser consideradocomo completo sino como un proceso abierto a ulteriores procesos.

La aplicacion de la ley del tercio excluso aplicada a dominios infinitoses fuente de confusion en matematicas. La renuncia de esta ley en algunosresultados del analisis llevarıa a renunciar a, algunos resultados de los queno se puede prescindir.

El constructivismo de Brouwer renuncia a aceptar los resultados que uti-lizan la Ley del Tercio Excluso en dominios infinitos. Por otro lado Hilberprentende asegurar la fiabilidad matematica de la herencia clasica en dospasos:

1. Estableciendo que todo el edificio de la matematica clasica es expresablemediante la teorıa axiomatica.

2. Probando que son consistentes. Se dice que un conjunto de axiomas esconsistente si a partir de el NO pueden deducirse simultaneamente unaproposicion y su contraria.

Segun Hilbert ”Kant ya habıa ensenado que la Matematica dispone deun contenido asegurado independientemente de la Logica y por tanto nuncapuede ser provista de un fundamento por medio de la sola Logica” . A partirde esta posicion tratara de construir un metodo en el que quepan tanto lasproposiciones de contenido finitista como aquellas que conllevan la existenciade un infinito actual. Para ello distingue dos tipos de proposiciones: las reales


o finitistas y las ideales o formulas gobernadas por reglas. Ası, todo el edificiode la Matematica se orienta sobre axiomas que son formulas. Para ello trata,la Matematica Clasica como sistema de teorıas axiomaticas. Basandose enlos siguientes cimientos;

1. Todas las proposiciones matematicas son cxpresables mediante formu-las de un lenguaje formal.

2. Los axiomas son las formulas que cimientan el edificio matematico.Las definiciones explıcitas que introducen nuevas nociones matematicastienen caracter de axiomas.

3. Una demostracion finita sucesion finita de formulas que o bien sonaxiomas o son teoremas o se han obtenido de estos mediante inferenciasadmisibles.

4. Una formula es demostrable si se puede construir una demostracion dela que ella sea el ultimo paso.

Plantea estos principios despues de haber axiomatizado las teorıas masimportantes de la matematica; numeros reales, geometrıa, teorıa de conjun-tos etc. Su fuente parece ser la obra de Peano. Reaparece, cıe este mudo elviejo esquema Euclidiano: nociones comunes, postulados y definiciones. Asiel lenguaje formal adquiere una dimension creadora.

Ya hemos dicho antes que un sistema se dice consistente cuando no sepueden deducir simultaneamente una proposicion y su negacion.

Se conoce como Teorıa de la Demostracion a una nueva rama de laMeta-Matematica cuyo objeto son las demostraciones formales de las teorıasaxiomaticas. Ası surgen los conceptos de:

1. Completitud Logica Sintactica: un sistema axiomatico es sintactica-mente completo si para cada formula bien formada A se puede demos-trar A o no A.

2. Completitud Logica Semantica: un sistema axiomatico sera semanti-camente completo si permite demostrar toda verdad logica que puedaexpresar. Es decir si toda tautologıa es un teorema.

El teorema de Incompletitud de la Aritmetica de Godel (1931) estableceque no puede demostrar la consistencia de una teorıa matematica que con-tenga la teorıa elemental de numeros de Peano (aun suponiendo que esta sea


consistente) por medio de tecnicas de demostracion propias de esa teorıa.

Godel mostro como construir una formula aritmetica G, que represente laafirmacion matematica”la formula Q no es demostrable 2demostro que G esdemostrable si y solamente si lo es su negacion. Pero, si bien G no es formal-mente demostrable, por su construccion, G es verdadera, ya que afirma supropia indemostrabilidad. Y puesto que G es a la vez verdadera y formalmen-te indecidible, la Aritmetica de Peano es una teorıa axiomatica incompleta.Ademas Godel describio tambien como construir la formula aritmetica A, querepresenta la proposicion metamatematica; ”La aritmetica es inconsistente”,y demostro que la formula implicativa A → G es formalmente demostrable.Esto implica que A no puede ser demostrada formalmente en el calculo, puesde otro modo, aplicando la regla de Modus Ponens 10 [A∪ (A→ G)]→ G, seobtendrıa que G serıa demostrable, contra lo establecido anteriormente. Portanto la formula A que expresa: ” la aritmetica es consistente”no es demos-trable en la teorıa axiomatica de Peano.

Gentzen muestra el nivel de infinito al que debe salir la Aritmetica nece-sario para demostrar la consistencia de la Aritmetica, utilizando inducciontransfinita, extrapolacion finisticamente elaboradaa del Principio de Induc-cion Completa. Si el Principio de Induccion Completa se aplica a loa numerosnaturales, la induccion transfinita requiere la utilizacion del ordinal lımite ε0

Hilbert comtempla los signos del lenguaje formal como las piedras deconstruccion del edificio de las matematicas cuya argamasa son las leyesde la logica aristotelica. Los objetos matematicos solo pueden expresarseen lenguaje formal matematica y teorıa formal que lo sustenta es la Teorıade Conjuntos. Para Hilbert los axiomas son copias de los pensamientos queconstituyen las matematicas habituales tal y como se han desarrollado hastaahora y a la vez son el modo de introducir nuevos conceptos en las matemati-cas, bien en forma de definiciones explıcitas o bien como axiomas de recursion.

Uno de los desarrollos mas ricos y potentes de la Logica matematica es lateorıa de modelos. La matematica hilbertiana introduce la separacion entresımbolo y objeto significado, es decir sintactica y semantica. Pero esto yaesta en Riemann que construyo un modelo en el que el postulado de lasparalelas es falso y los otros cuatro son verdaderos. Por tanto una teorıamatematica puede tener mas de un modelo. Se establece la diferencia entreverdad y validez. El postulado de las paralelas hace validos a los otros cuatro,

10Regla de inferencia que tiene la siguiente forma: Si A, entonces B. A, por lo tanto, B


es decir es consistente con ellos. Pero no es una formula valida universalmentepues hay, al menos un modelo comun para los otros cuatro, que afirma queel postulado de las paralelas es falso. Pero segun Frege un axioma no puedeser falso, aunque ahora vemos que si puede ser insuficiente.

Bibliografıa

[1] Morris Kline: Matematicas en la Cultura Occidental, Oxford UniversityPress, Inc., 1953

[2] Lakatos, Imre: Proofs and Refutations, Cambridge: Cambridge Univer-sity Press, 1976

[3] Dedekind, Richard: ¿Que son y para que sirven los numeros?1888

[4] Munoz Casado, Jose Luis: Riemann: Una vision nueva de la Geometrıa,Nivola, 1996

[5] Newton: Philosophae naturalis principia mathematica, 1687

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naturaleza del pensamiento matem atico · segun el diccionario de la real academia de la lengua...

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