nasionale senior sertifikaat graad 12 · 1.3 waarde van een standaardafwyking bo gemiddeld = r11...

Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

PUNTE: 150

Hierdie memorandum bestaan uit 18 bladsye.

WISKUNDE V2

FEBRUARIE/MAART 2012

MEMORANDUM

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT

GRAAD 12

Wiskunde/V2 2 DBE/Feb.–Mrt. 2012 NSS – Memorandum


VRAAG 1 1.1 Gemiddeld

n

xn

∑1

1

= 9

102100

= R11 344, 44

102100

antwoord

(2)

1.2 Standaardafwyking

n

xxn

∑ −1

21 )(

= R4 460,97

antwoord

(2)

1.3 Waarde van een standaardafwyking bo gemiddeld = R11 344,44 + R4 460,97 = R15 805,41 Slegs een persoon het kommisie bo R 15 805,41 verdien. Dus het slegs 1 persoon 'n gradering van 'goed' ontvang.

tel gemiddeld en std. af. by

afleiding (2)[6]

VRAAG 2 2.1

ten minste vier punte korrek

al die punte korrek

(2)

2.2 Eksponensieel, want die toename in groei wys amper 'n verdubbeling elke jaar.

eksponensieel rede

(2)



2.3 JAAR 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

N (Getal in miljoene)

8 17 34 67 135 281 552

Log N (korrek tot

EEN desimale

plek)

6,9 7,2 7,5 7,8 8,1 8,4 8,7

OF (indien slegs logwaardes in table in berekening gebring is)

JAAR 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 N

(Getal in miljoene)

8 17 34 67 135 281 552

Log N (korrek tot

EEN desimale

plek)

0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7

ten minste 4

punte korrek

alle punte korrek

(2)

ten minste 4 punte korrek

alle punte korrek

(2)

2.4

ten minste 4 punte korrek gestip

alle punte korrek

(2)



OF (indien slegs logwaardes in table in berekening gebring is)

ten minste 4 punte korrek gestip

alle punte korrek

(2)

2.5 Lineêr, want die punte lê baie naby aan 'n reguitlyn lineêr rede (2)

[9]



VRAAG 3 3.1 40 40 (1) 3.2 Tyd, t, in minute Frekwensie

0 ≤ t < 5 3 5 ≤ t <10 5

10 ≤ t < 15 10 15 ≤ t < 20 15 20 ≤ t < 25 7

vir intervalle in tabel

vir eerste drie korrekte frekwensies

vir laaste twee korrekte frekwensies (3)

3.3

korrekte frekwensies

middelpunt- waardes

geen spasies tussen stawe

(3)[7]

VRAAG 4

a = 7 b = 15 c = 17 d = 23 e = 34 f = 37 g = 42

OF

g = 42 ; a = 7 ; d = 23 ; f = 37 ; b = 15

257

3153723742=

+++++ c

3c = 51 c = 17 e = 34

elke korrekte antwoord (7)

g a d f b c e (7)

[7]

Tydintervalle

Frek

wen

sie

15

10

5

0 5 10 15 20 25



VRAAG 5 5.1

mAD = 12

12

xxyy

−−

= 1542

−−−

= 46

− = 23

−

vir substitusie

vir antwoord (2)

5.2 AD = 212

212 )()( yyxx −+−

= 22 )42()15( −−+−

= 3616+

= 52

vir substitusie 52

(2)

5.3

( )1;32

24;2

512

;2

2121

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=

M

M

yyxxM

x-waarde

y-waarde (2)

5.4 mBC = mAD lyne is parallel

= 23

−

y – y1 = m (x – x1)

y – 1 = 23

− (x + 3)

9322 −−=− xy 0723 =++ yx

OF

072327

2327

)3(231

23

=++

−−=

−=

+−−=

+−=

yx

xy

c

c

cxy

waarde mBC

subst (–3 ; 1)

vergelyking (3)

waarde mBC

subst (–3 ; 1)

vergelyking

(3)



5.5.1

69,12331,56180

23tan

23

=°−°=

−=

−=

ββ

β

ADm

tan β = mAD

123,69°

(2)5.5.2

°=°−°=

−=

−=

−−−−

=

44,15956,20180

83tan

83

)3(512

αα

α

BDm

°=°+°−°=

°=

°=°−°=

75,35)69,12356,20(180ˆ69,123ˆ

56,2044,159180ˆ

EDF

DFE

DEF

83−

=BDm

159,44°

20,56° 123,69° 35,75°

(5)

5.6 Koördinate van middelpunt M (3 ; 1) Radius van sirkel:

21 of AD =

21 (2 13 ) = 13 = 52

21

Vergelyking van die sirkel is: ( ) ( ) =−+− 22 13 yx 13 OF

13)41()13( 222 =−+−=r Vergelyking van die sirkel is: ( ) ( ) =−+− 22 13 yx 13

waarde van

radius substitusie in

vergelyking vir sirkelmiddelpunt- vorm (2)

waarde van r2

substitusie in vergelyking in sirkelmiddelpunt vorm (2)

5.7 M(3 ; 1) B(– 3 ; 1) ( )( )

6 MB11)33 MB 22

=

−++=

Punt B lê buite die sirkel want MB > radius OF M(3 ; 1) B(– 3 ; 1)

633 MB =+= Radius van die sirkel = 613 < Punt B lê buite die sirkel want MB > radius

substitusie buite (2)

substitusie

buite (2) [20]

A(1 ; 4)

B(–3 ; 1)

D(5 ; –2)

β α

E F



VRAAG 6 6.1 Koördinate van middelpunt M (−2 ; 1)

( ) ( ) 222 181221 r==−−++ Radius = 18 of 3 2

koördinate van middelpunt

berekening waarde (4)

6.2

1

1

133

=−=

−=−

=

RS

RSMS

MS

mxmm

m

OF raaklyn ⊥ radius

y – y1 = m (x – x1) y + 2 = 1(x – 1) y = x – 3 OF

11

133

=−=

−=−

=

RS

RSMS

MS

mxmm

m

33

12

−=−=+=−+=

xyc

ccxy

gradiënt MS

gradiënt RS

subst (1 ; –2) vergelyking (4)

gradiënt MS

gradiënt RS

subst (1 ; –2)

vergelyking

(4)

6.3

22 93

31

MSMPMSMP

MPMS

=

=∴

=

162)33(9)1()2( 2222 =+=−++ ba (1)

MS PS mmSR SR en PSMS =∴⊥⊥

12

13

312

+−=+

−=−

=−+

abab

1−−= ab (2) Vervang (2) in (1)

MP = 3MS

vergelyking

dieselfde gradiënte

gradiënt

b = -a - 1



)8 ; 7(81

11 of 79 of 92

81)2(162)2(2162)2()2(162)11()2(

2

2

22

22

−−=−−=

−=−=+

=+

=+

=+++

=−−−++

Pab

aa

aaaa

aa

OF

22 93

31

MSMPMSMP

MPMS

=

=∴

=

162)33(9)1()2( 2222 =+=−++ ba (1)

MS PS mmSR SR en PSMS =∴⊥⊥

12

13

312

+−=+

−=−

=−+

abab

1−−= ab (2) Vervangt (2) in (1)

)8 ; 7(81

7 0Maar

11 of 70)7)(11(07740154821624444

2

2

22

−−=−−=

=∴>

−==−+=−+

=−+

=+++++

Pab

aaa

aaaa

aaaaaa

OF

substitusie

a = 7 b = -8

(8)

MP = 3MS

vergelyking

dieselfde gradiënte

gradiënt

b = -a - 1

substitusie

a = 7 b = -8

(8)



P(a ; b) MSP is 'n reguitlyn (MS⊥ SR)

)2.......(72)2()1(72)18(4

1829922

)1.......(121

121

1

22

2

=++−

==

=+==

−−=−−=−

−=+−

−=

baPS

MSPS

abab

abmPM

)8;7(817570)5)(7(

035207042

72)21()1(

2

2

22

−−=−−=−=/==+−=−−

=−−

=+−−+−

Pb

aofaaa

aaaa

aa

OF

OF

MSP is 'n reguitlyn

1−=PMm

21

+−

ab

vergelyking 1

vergelyking 2

substitusie van

vergelyking 1 in vergelyking 2

koördinate

(8)

diagram

(8)

)8 ; 7(8

75 of 7

6 of 6136)1(

72)1(22

2

-Pbaaaa

a

−==

−=−=−

=−

=−

P(a ;b)

M(−2; 1)

S(1 ;−2) (−2; −2)

(−2; −8) (1; −8)

3

3

3

6

6

(−2; −8)

(−2; −2)

(1; −8)

P(7 ; −8)



P(a ; b)

)8; 7(7

298

1931

23

13

31

−=

+=−=

−=−

=+

=−−

=−−

=−−

Pa

ab

bab

yyyy

xxxx

MP

MS

MP

MS

verdeling van 'n lynstuk in 'n gegewe verhouding

substitusie vergelyking

vergelyking koördinate

(8)

[16] VRAAG 7

7.1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

N/

M/

L/K/ M

L

N

K

Vir korrekte koördinate en benoeming van elke beeld:

K ′ L′ M ′ N ′

(4)7.2.1 Transformasie is nie rigied (star) nie, want die area het verander as

gevolg van die vergroting. nie rigied nie grootte nie

behou nie (2)

7.2.2 )2;2(// −−N koördinate van //N (2)

7.3 (x ; y) → (–y ; x) → (–2y ; 2x) –y x –2y 2x (4)

7.4 Area van KLMN : area van //////// NMLK = 1 : 4 antwoord (2)

7.5 Indien die verste punt vanaf die oorsprong in die sirkel gedruk/gestuur word, dan sal die hele vierhoek in die sirkel gedruk wees. K is die verste weg. 1833KO 22 =+=

K – verste 18KO = antwoord

(3)



1KO. =p , 181

=p [17]

VRAAG 8 8.

0,71- or 2

2 of 21 −−

=−=

°−+°−=

+=

23

22x

135sin)3(135cos2xsinycosxx

Q

Q

Q θθ

54,32

252

52

22

3

135sin)2(135cos3

sincos

===+=

°−−°−=

−=

Q

Q

Q

y

y

xyy θθ

Q ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −2

5;21

OF

0,71- or 2

2 of 21 −−

=−=

°−−−°−−=

−=

23

22x

)135sin()3()135cos(2xsinycosxx

Q

Q

Q θθ

54,32

252

52

22

3

)135sin()2()135cos(3

sincos

===+=

°−−+°−−=

+=

Q

Q

Q

y

y

xyy θθ

Q ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −2

5;21

OF

)1(2222

2

135sin135cos2sincos

yx

yxyx

yxx

−−=−

−−

=−

°−°=−−=′ θθ

)2(2322

3

135sin135cos3sincos

yx

xyxy

xyy

−=−

+−

=−

°+°=−+=′ θθ

Los (1) en (2) gelyktydig op:

subst −2 en −3 in korrekte formule vir xQ

gebruik 135° x-koördinate (in

enige formaat)

subst −2 en −3 in korrekte formule vir yQ

vir y-koördinate (in enige formaat)

(5)

subst −2 en −3 in korrekte formule vir xQ

gebruik −135° x-koördinate (in

enige formaat)

subst −2 en −3 in korrekte formule vir yQ

vir y-koördinate (in enige formaat)

(5)

subst −2 en 135° in korrekte formule vir x′

vereenvoudiging

subst −2 en 135° in korrekte formule vir y′

y-koördinaat x-koördinaat

(5)



21e

25

225−

==

−=−

xny

y

OF

Gebruik eerste beginsels: )sin;cos(Q αα rr−=

)3;2(Q/ −−=

1323

23tan

22 =+=

=

r

θ

θ = 56,31°

°=°−°=∴ 69,7831,56135α

3,54) ; 71,0()sin;cos(Q

−=−= αα rr

23tan =θ

13=r θ = 56,31°

)sin;cos(Q αα rr−=

antwoord (5)

[5]

r

°135

r 3

2

θ

θ

α



VRAAG 9 9.1.1 r = 13

1312cos =α

13

1312

(2)9.1.2

αα

−°=+°−°=

90 )90(180ROQ

)90(180 α+°−° α−°90

(2) 9.1.3

OQQRROQcos =

5,19OQ 1355,7OQ

sin5,7OQ

)90cos(5,7OQ

OQ5,7)90cos(

=

=

=

−°=

=−°

α

α

α

OF

5,19OQ 1355,7OQ

sin5,7OQ

OQ7,5O)QRsin(

=

=

=∴

=

α

OQ5,7)90cos( =−° α

αsin5,7

135

19,5

(4)

OQ7,5O)QRsin( =

αsin5,7

135

19,5 (4)

9.2

RK

LK

==

=

−−

=

xsinxcosxsin.xcos

xcos)xtan(xcos.xcos

cos x – tan x

xx

cossin

antwoord (4)

[12]



VRAAG 10 10.1 Periode = 120º 120°

(1) 10.2 sin 3x = -1

x = −30° of x = 90° − 30° 90° (2)

10.3 Maksimum waarde van )(xf is 1 ∴ Maksimum waarde van )(xh is 0

maks van f(x) antwoord (2)

10.4

-90 -60 -30 30 60 90 120 150 180

-3

-2

-1

1

2

x

y

f

g

°− 90 ; °90 )3;0( ° )3;180( −°

(3)

10.5

xxxx

xx

cos33sin0cos33sin

0cos33sin

=∴=−

=−

Daar is 2 oplossings waar die grafieke van f en g gelyk is

sin 3x = 3 cos x

antwoord (2)

10.6 f(x).g(x) < 0 x∈ (−60º ; 0º) of (60º ; 90º) of (120º ; 180º)

OF –60°< x < 0° of 60°< x < 90° of 120°< x < 180°

vir elke interval

korrekte hakies of korrekte simbole

(4)[14]



VRAAG 11 11.1.1 sin 61° = p

sin 241° = sin (180° + 61°) = − sin 61° = − p

− sin 61°

antwoord

(2)11.1.2

p−=

°−=°

1

61sin161cos 2

identiteit antwoord

(2)

11.1.3

( )

ppp

p

211221)1(2

112

161cos2)61(2cos122cos

2

2

−=−−=−−=

−−=

−°=

°=°

dubbelhoek uitbreiding

antwoord

(3)11.1.4 cos 73°cos15° + sin 73°.sin15°

= cos(73° − 15°) = cos 58° = (cos 180° − 122°) = − (cos 122°) = −(1 – 2p) = 2p −1

cos(73°-15°)

− (cos 122°) antwoord

(3)11.2.1

RK

LK

==

=

−=

+−+−−++

=

+−−−+

=

xtan2x2cosx2sin2

xsinxcosxsinxcos4

)xsinx)(cosxsinx(cos)xsinxcosxsin2x(cosxsinxsinxcos2xcos

)xsinx)(cosxsinx(cos)xsinx(cos)xsinx(cos

22

2222

22

)sin)(cossin(cos

2)sin(cos2)sin(cos

xxxx

xxxx

+−

−−+

teller xx sincos4

xx 22 sincos − x2sin2

x2cos (6)

11.2.2 °°= 135;45x °45 °135 (2)

11.3.1

0sinsin2sin2sin

1sin21sin12cossin

2

2

2

=+

−=

−−=

−=

xxxx

xxxx

1 – 2sin2 x

(1)

1

p 61˚ p−1



11.3.2 sin x = cos 2x – 1

2 sin2 x + sin x = 0 sin x (2 sin x + 1) = 0

sin x = 0 of sin x = –21

∴ x = 0° + 180° k; k ∈ Z of x = {210° or 330°} + 360°k; k ∈ Z

OF

Znnxnxnx

∈°+°+=°−°=

°=

,30180).12(30360.

180.

sin x (2 sin x + 1) = 0 sin x = 0 of sin x =

–21

0° + 180° k 210° 330° + 360°k; k ∈ Z

(6) 11.4 tan 1˚ × tan 2˚ × tan 3˚ × tan 4˚ × …….× tan 87˚ × tan 88˚ × tan 89˚

145tan

1sin1cos

2sin2cos......

45cos45sin......

2cos2sin

1cos1sin

)190cos()190sin(

290cos()290sin(......

45cos45sin......

2cos2sin

1cos1sin

89cos89sin

88cos88sin......

45cos45sin......

2cos2sin

1cos1sin

=°=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°−°°−°

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°−°°−°

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°°

=

OF

11...111 45tan).44cot.44)...(tan2cot.2)(tan1cot.1(tan isproduk

...2cot88tan1cot89tan

=××××=°°°°°°°∴

°=°°=°

identiteit

ko-verhoudings

vereenvoudiging vir antwoord

(4)

identiteit ko-verhoudings vereenvoudiging vir antwoord

(4)[29]


Kopiereg voorbehou

VRAAG 12 12 By Δ CBG en ΔCDH:

CG² = x² + y² Pythagoras CH² = x² + y² Pythagoras By ΔFAE AE² = x² + x² = 2x² = GH² By Δ CGH GH² = CG² + CH² - 2 CG.CH. cos GCH

22

2

22

2

2222

22222

222

HCGcos

)(22HCGcos

.2

2HCGcos

.2HCGcos

yxy

yxy

yxyx

xyxyxCHCG

GHCHCG

+=

+=

++

−+++=

−+=

CG² CH²

AE² AE² = GH²

gebruik van cos-reël

manipulasie van formule

substitusie

)(2

2HCGcos 22

2

yxy+

=

(8)[8]

TOTAAL: 150

nasionale senior sertifikaat graad 12 · 1.3 waarde van een standaardafwyking bo gemiddeld = r11...

Documents