nasionale senior sertifikaat graad 11...2.4 trek vervolgens 'n frekwensieveelhoek van die data...

Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

PUNTE: 150 TYD: 3 uur

Hierdie vraestel bestaan uit 14 bladsye.

WISKUNDE V2

NOVEMBER 2014

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT

GRAAD 11

Wiskunde/V2 2 DBE/November 2014 KABV – Graad 11


INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies aandagtig deur voordat jy die vrae beantwoord.

1. 2. 3. 4. 5.

Hierdie vraestel bestaan uit 10 vrae. Beantwoord AL die vrae in die SPESIALE ANTWOORDEBOEK wat voorsien is. Dui ALLE berekeninge, diagramme, grafieke, ensovoorts wat jy in die bepaling van die antwoorde gebruik het, duidelik aan. Volpunte sal NIE noodwendig aan antwoorde alleen toegeken word NIE. Jy mag 'n goedgekeurde wetenskaplike sakrekenaar (nie-programmeerbaar en nie-grafies) gebruik, tensy anders vermeld.

6. 7.

Indien nodig, rond antwoorde tot TWEE desimale plekke af, tensy anders vermeld. Skryf netjies en leesbaar.



VRAAG 1 1.1 Die getal afleweringsvoertuie wat daagliks in 'n tydperk van twee weke goedere by

naburige supermarkte, Supermark A en Supermark B, aflewer, word in die mond-en-snordiagramme hieronder voorgestel.

1.1.1 Bereken die interkwartielomvang van die data vir Supermark A. (2) 1.1.2 Beskryf die skeefheid in die data van Supermark A. (1) 1.1.3 Bereken die omvang (variasiewydte) van die data vir Supermark B. (2) 1.1.4 In die tydperk van twee weke, watter supermark ontvang 25 of meer

aflewerings per dag op meer dae? Verduidelik jou antwoord.

(2) 1.2 Die getal afleweringsvoertuie wat daagliks in die tydperk van twee weke goedere by

Supermark A afgelewer het, is aangeteken. Die data word hieronder getoon.

Indien die gemiddelde getal afleweringsvoertuie wat goedere in die tydperk van twee weke by Supermark A afgelewer het, aan 24,5 gelyk is, bereken die waarde van x.

(3) [10]

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

10 15 20 x 30 35 15 31 32 21 x 27 28 29

Supermark B

Supermark A



VRAAG 2 Die 2012 Olimpiese Somerspele het in Londen plaasgevind. Die gemiddelde daaglikse temperatuur, in grade Celsius, is vir die duur van die Spele aangeteken. 'n Kumulatiewe- frekwensie-grafiek (ogief) van hierdie data is hieronder getoon.

2.1 Oor hoeveel dae het die 2012 Olimpiese Somerspele plaasgevind? (1) 2.2 Skat die persentasie dae wat die gemiddelde daaglikse temperatuur minder as

24 °C was.

(2) 2.3 Voltooi die frekwensietabel van die data in die SPESIALE ANTWOORDEBOEK. (3) 2.4 Trek vervolgens 'n frekwensieveelhoek van die data op die rooster wat in die

SPESIALE ANTWOORDEBOEK voorsien word.

(4) [10]

0

5

10

15

20

25

30

17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Kum

ulat

iew

e fr

ekw

ensie

Gemiddelde daaglikse temperatuur (in grade Celsius)

Kumulatiewefrekwensie-grafiek van die gemiddelde daaglikse temperatuur aangeteken



VRAAG 3 In die diagram is A(–9 ; 12), B(9 ; 9) en C(–3 ; –9) die hoekpunte van 'ABC. N(a ; 7) is 'n punt sodanig dat BN = 55 . R is 'n punt op AB en S is 'n punt op BC sodat RNS parallel is met AC en RNS deur die oorsprong gaan. T lê op die x-as regs van punt P.

θ BCA , D OMA en E TPB .

x

y

3.1 Bereken die gradiënt van die lyn AC. (2) 3.2 Bepaal die vergelyking van lyn RNS in die vorm y = mx + c. (2) 3.3 Bereken die waarde van a. (4) 3.4 Bereken die grootte van T. (5)

[13]

A(–9 ; 12)

B(9 ; 9)

C(–3 ; –9)

N(a ; 7)

R

O M P T

S

T



VRAAG 4 In die diagram is A(–8 ; 6), B, C en D(3 ; 9) die hoekpunte van 'n ruit. Die vergelyking van

BD is 3x – y = 0. Die hoeklyne van die ruit sny in punt K.

4.1 Bereken die omtrek van ABCD. Laat jou antwoord in vereenvoudigde wortelvorm. (3) 4.2 Bepaal die vergelyking van die hoeklyn AC in die vorm y = mx + c. (4)

4.3 Bereken die koördinate van K as die vergelyking van AC gegee word deur

x + 3y = 10.

(3) 4.4 Bereken die koördinate van B. (2) 4.5 Bepaal, deur AL jou berekeninge te toon, of ruit ABCD 'n vierkant is of nie. (5)

[17]

A(–8 ; 6)

D(3 ; 9)

K

B

C O



VRAAG 5 5.1 Indien cos 23° = p, druk die volgende uit in terme van p, sonder die gebruik van 'n

sakrekenaar:

5.1.1 cos 203° (2) 5.1.2 sin 293° (3) 5.2 Vereenvoudig die volgende uitdrukking tot 'n enkele trigonometriese term:

)AcosA).(sin180cos()tan().360sin(

22 ��q��q

xxx

(6)

5.3 5.3.1 Bewys die identiteit: xx

xx

xcos

2cos

sin1sin1

cos

��

�

(5)

5.3.2 Vir watter waardes van x in die interval 0° ≤ x ≤ 360° sal die identiteit in VRAAG 5.3.1 ongedefinieerd wees?

(2)

5.4 Bepaal die algemene oplossing van: xx 2cos42sin (5) 5.5 In die diagram hieronder is )3;(P x 'n punt in die Kartesiese vlak sodanig dat

OP = 2. Q(a ; b) is 'n punt sodanig dat D QOT en OQ = 20. q 90QOP .

5.5.1 Bereken die waarde van x. (2) 5.5.2 Bereken vervolgens die grootte van α. (3) 5.5.3 Bepaal die koördinate van Q. (5)

[33]

O x

P(

Q(a ; b)

D

2

y

20

�x �T



VRAAG 6 In die diagram hieronder is die grafieke van f(x) = a cos bx en g(x) = sin (x + p) geskets vir x � [–180° ; 180°].

6.1 Skryf die waardes van a, b en p neer. (3)

6.2 Vir watter waardes van x in die gegewe interval neem die grafiek van f toe soos

wat die grafiek van g toeneem?

(2)

6.3 Skryf die periode van f (2x) neer. (2)

6.4 Bepaal die minimum waarde van h indien h(x) = 3f(x) – 1. (2)

6.5 Verduidelik hoe die grafiek van g getransformeer moet word om grafiek k te vorm, waar k(x) = – cos x.

(2) [11]

f g

0



VRAAG 7 7.1 In die diagram is die basis van die piramide 'n stomphoekige 'ABC met A = 110°,

B = 40° en BC = 6 meter. Die loodregte hoogte van die piramide is 8 meter.

7.1.1 Bereken die lengte van AB. (3) 7.1.2 Bereken die oppervlakte van die basis, dit is 'ABC. (2) 7.1.3 Bereken die volume van die piramide. (3)

Buite-oppervlakte = Srr SS �2 waar S die skuinshoogte is.

Volume = 31 oppervlakte van basis u loodregte hoogte

Volume = hr 2

31 S

A B

C

40° 110°

6

8

T



7.2 Die loodregte hoogte, AC, van die keël hieronder, is 2 meter en die radius is r.

AB is die skuinshoogte. q 36CAB

Bereken die totale buite-oppervlakte van die keël. (6)

[14]

A

2

r

36°

B C



GEE REDES VIR JOU BEWERINGS EN BEREKENINGE IN VRAAG 8, 9 EN 10. VRAAG 8 8.1 In die diagram hieronder is PT 'n middellyn van die sirkel met middelpunt O. M en

S is punte op die sirkel weerskante van PT. MP, MT, MS en OS word getrek.

2M�

= 37°

Bereken, met redes, die grootte van: 8.1.1 1M

�

(2)

8.1.2 1O�

(2)

M

P

S

T

O 2

1

1

2 37°



8.2 In die diagram is O die middelpunt van die sirkel. KM en LM is raaklyne aan die

sirkel by K en L onderskeidelik. T is 'n punt op die omtrek van die sirkel. KT en TL word verbind. 1O = 106°.

8.2.1 Bereken, met redes, die grootte van 1T . (3) 8.2.2 Bewys dat vierhoek OKML 'n vlieër is. (3) 8.2.3 Bewys dat vierhoek OKML 'n koordevierhoek is. (3) 8.2.4 Bereken, met redes, die grootte van M . (2) [15]

1 1

K

L

M O T 2 106°



VRAAG 9 In die diagram is M die middelpunt van die sirkel wat deur die punt L, N en P gaan. PM is verleng na K. KLMN is 'n koordevierhoek in die groter sirkel met KL = MN. LP is verbind. q 20 LMK .

9.1 Skryf, met redes, die grootte van MKN neer. (2) 9.2 Gee 'n rede waarom KN | | LM. (1) 9.3 Bewys dat KL = LM. (2) 9.4 Bereken, met redes, die grootte van: 9.4.1 MNK (4) 9.4.2 NPL (3) [12]

1

1

1

1

2

2

2 2

2 1

3 4

K

L

M

N P

20°


Kopiereg voorbehou

VRAAG 10 10.1 Gebruik die skets in die SPESIALE ANTWOORDEBOEK om die stelling te bewys

wat beweer dat .

(6)

10.2 In die diagram is PQ 'n raaklyn aan die sirkel QST by Q sodanig dat QT 'n koord

van die sirkel is en TS verleng die raaklyn by P ontmoet. R is 'n punt op QT sodanig dat PQRS 'n koordevierhoek in 'n ander sirkel is. PR, QS en RS word verbind.

10.2.1 Gee 'n rede vir elke bewering. Skryf slegs die rede langs die vraagnommer

in die SPESIALE ANTWOORDEBOEK neer.

Bewering Rede

TQ1 10.2.1 (a)

22 PQ 10.2.1 (b) (2) 10.2.2 Bewys dat PQR 'n gelykbenige driehoek is. (4) 10.2.3 Bewys dat PR 'n raaklyn aan die sirkel RST by punt R is. (3) [15]

TOTAAL: 150

CTAB

P

Q R

S

T

1

1 1

1

2

2 2 2 3

3

P A T

B C

x O


LEERDER SE NAAM

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT

WISKUNDE V2

GRAAD 11

NOVEMBER 2014

SPESIALE ANTWOORDEBOEK

VRAAG PUNT PARAAF MOD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TOTAAL

Hierdie antwoordeboek bestaan uit 24 bladsye.

Wiskunde/V2 2 DBE/November 2014 KABV – Graad 11 – Antwoordeboek


VRAAG 1 1.1

Oplossing Punt 1.1.1

(2)

1.1.2

(1)

1.1.3

(2)

1.1.4

(2)

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

Supermark B

Supermark A



1.2

10 15 20 x 30 35 15 31 32 21 x 27 28 29

Oplossing Punt 1.2

(3)

[10]



VRAAG 2

Oplossing Punt 2.1

(1)

2.2

(2)

2.3

Temperatuur, T, in

grade Celsius Frekwensie

19 d T < 21 21 d T < 23 23 d T < 25 25 d T < 27 27 d T < 29 29 d T < 31

(3)

0

5

10

15

20

25

30

17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Kum

ulat

iew

e fr

ekw

ensie


Kumulatiewefrekwensie-grafiek van die gemiddelde daaglikse temperatuur aangeteken



Oplossing Punt 2.4

(4)

[10]

0

2

4

6

8

10

12

17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Frek

wen

sie


Frekwensieveelhoek van aangetekende temperatuur



VRAAG 3

x

y

Oplossing Punt 3.1

(2)

3.2

(2)

A(–9 ; 12)

B(9 ; 9)

C(–3 ; –9)

N(a ; 7)

R

O M P T

S

T

55



Oplossing Punt 3.3

(4)

3.4

(5)

[13]



VRAAG 4

Oplossing Punt 4.1

(3)

A(–8 ; 6)

D(3 ; 9)

K

B

C O



Oplossing Punt 4.2

(4)

4.3

(3)



Oplossing Punt 4.4

(2)

4.5

(5)

[17]



VRAAG 5 Oplossing Punt 5.1.1

(2)

5.1.2

(3)

5.2

(6)




(5)

5.3.2

(2)

5.4

(5)



5.5 Oplossing Punt 5.5.1

(2)

5.5.2

(3)

O x

P( )3;x

Q(a ; b)

D

2

y

20

x T




(5)

[33]



VRAAG 6

Oplossing Punt 6.1

(3)

6.2

(2)

6.3

(2)

6.4

(2)

6.5

(2)

[11]

f g

0



VRAAG 7 7.1


(3)

7.1.2

(2)

7.1.3

(3)

A B

C

40° 110°

6

8

T



7.2

Oplossing Punt

(6)

[14]

A

2

r

36°

B C



GEE REDES VIR JOU BEWERINGS EN BEREKENINGE IN VRAAG 8, 9 EN 10. VRAAG 8 8.1


(2)

8.1.2

(2)

M

P

S

T

O 2

1

1

2 37°



8.2 Oplossing Punt 8.2.1

(3)

8.2.2

(3)

8.2.3

(3)

8.2.4

(2)

[15]

1 1

K

L

M O T 2 106°



VRAAG 9

Oplossing Punt 9.1

(2)

9.2

(1)

9.3

(2)

1

1

1

1

2

2

2 2

2 1

3 4

K

L

M

N P

20°




(4)

9.4.2

(3)

[12]



VRAAG 10

Oplossing Punt 10.1

(6)

P A T

B C

x O



10.2

Oplossing Punt 10.2.1(a)

(1)

10.2.1(b)

(1)

10.2.2

(4)

P

Q R

S

T

1

1 1

1

2

2 2 2 3

3


Kopiereg voorbehou


(3)

[15]

TOTAAL: 150

Copyright reserved/Kopiereg voorbehou Please turn over/Blaai om asseblief

MARKS/PUNTE: 150

This memorandum consists of 16 pages. Hierdie memorandum bestaan uit 16 bladsye.

MATHEMATICS P2/WISKUNDE V2

NOVEMBER 2014

MEMORANDUM

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE

GRADE/GRAAD 11

Mathematics/P2/Wiskunde/V2 2 DBE/November 2014 CAPS/KABV – Memorandum


NOTE: • If a candidate answers a question TWICE, only mark the FIRST attempt. • If a candidate has crossed out an attempt of a question and not redone the question, mark the

crossed out version. • Consistent accuracy applies in ALL aspects of the marking memorandum. • Assuming answers/values in order to solve a problem is NOT acceptable. LET WEL: • Indien 'n kandidaat 'n vraag twee keer beantwoord, merk slegs die eerste poging. • Indien 'n kandidaat 'n antwoord doodgetrek het, maar nie oorgedoen het nie, merk die

doodgetrekte antwoord. • Volgehoue akkuraatheid geld in ALLE aspekte van die memorandum. • Aanname van antwoorde/waardes om 'n probleem op te los, is ONaanvaarbaar. QUESTION/VRAAG 1 1.1.1 IQR (A) = 30 – 20

= 10 3 30 – 20 3 10

(2) 1.1.2 Data of Supermarket A is skewed to the left/Data van Supermark

A is skeef na links.

OR Negatively skewed/negatief skeef

3 comment/kommentaar

(1)

1.1.3 Range/Omvang (B) = 35 – 6 = 29

3 35 – 6 3 29

(2) 1.1.4 Supermarket A

• Supermarket A received 25 or more deliveries on more than 7 days whilst Supermarket B received 25 or more deliveries on less than 7 days/ Supermark A het op meer as 7 dae 25 of meer

aflewerings ontvang terwyl Supermark B op minder as 7 dae

soveel aflewerings ontvang het.

3 correct choice/ regte keuse

3 reason/rede

(2)

1.2

255023432932

5,2414

29325,24

===+

=+

=

x

x

x

x

x

3 14

2932 +x

3 2x + 293 = 343 3 25

(3) [10]



QUESTION/VRAAG 2 2.1 28 days/dae 3 answ/antw

(1) 2.2 12 days

∴ 1002812

×

= 42,86% Accept/Aanvaar 12,5 days which is/dae, wat gelyk is aan 44,64% OR Accept/Aanvaar 13 days which is/dae, wat gelyk is aan 46,43%

3 No. of days/ getal dae

3 percentage/ persentasie

(2) 2.3

Temperature, T, in degrees Celsius Frequency

19 ≤ T < 21 2 21 ≤ T < 23 6 23 ≤ T < 25 9 25 ≤ T < 27 5 27 ≤ T < 29 4 29 ≤ T < 31 2

3 2 and/en 6 3 9 and/en 5 3 4 and/en 2

(3) 2.4

3 anchored at / geanker by (18 ; 0) and/en

(32 ; 0) 3 points at midpoints/ punte by

middelpunte 3 straight lines joining pts/ reguitlyne

verbind punte

3 all points plotted/ alle punte

geplot (4)

[10]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Freq

uenc

y

Average daily temperature (in degrees Celsius)

FREQUENCY POLYGON



QUESTION/VRAAG 3

3.1

276

2139912

AC

−=

−=

+−+

=m

3 substitution into gradient formula/ subst in gradiënt-

formule

3 27

−

(2) 3.2

27

ACRNS −== mm (parallel lines/parallelle lyne)

xy27

−=

3 gradients equal/ gradiënte gelyk

3 equation/vgl

(2) 3.3

0)2)(20(04018

012548118

125)97()9(

)55(NB

2

2

22

22

=+−=−−

=−++−

=−+−

=

aa

aa

aa

a

220 −=∴≠ aa

3 subst into distance formula/subst in

afstandformule

3 st form/st vorm

3 factors/faktore

3 answ/antw

(4) 3.4

27tan AC −== mα

°=

°−°=95,105

05,74180α

23 tan BC == mβ

°= 56,31β

°−°=∴ 31,5695,105θ °= 64,49

3 27tan −=α

3 =α 105,95°

3 23tan =β

3 =β 56,31°

3 =θ 49,64° (5)

[13]



QUESTION/VRAAG 4

4.1 Perimeter/Omtrek ABCD = 4 × AD (sides of rhombus all equal/sye van ruit almal gelyk)

22 )69()83(AD −++=

130= OR/OF 11,40 Perimeter/Omtrek = 4 130 OR/OF 45,61

3 subst into distance form/ subst in

afstandformule

3 130 OR/OF 11,40 3 4 130 OR/OF 45,61

(3) 4.2 3BD =m

1BDAC −=×mm (diagonals of a rhombus/hoeklyne van ruit)

31

AC −=∴m

)( 11 xxmyy −=− cmxy +=

( )8316 +−=− xy ( ) c+−−= 8

316

318

38

31

+−−= xy OR/OF c=3

10

310

31

+−= xy

310

31

+−= xy

3 3BD =m

3 31

AC −=m

3 subst into correct form/subt in

korrekte formule

3 answer/antw

(4) 4.3 At/By K:

11010

1093

10313

==

+−=

+−=

x

x

xx

xx

y = 3(1) = 3 K(1 ; 3) OR/OF

1101010)3(33

===+=

x

x

xx

xy

y = 3(1) = 3 K(1 ; 3) OR/OF

103 +−= yx 0)103(3 =−+− yy

0309 =−+− yy

33010

=−=−

y

y

x = –3(3) + 10 x = 1 K(1 ; 3)

3 equate equations/ stel vgls gelyk

3 x = 1 3 y = 3

(3)

3 subst of/subst van xy 3= into 103 =+ yx 3 x = 1 3 y = 3

(3)

3 subst of/subst van

103 +−= yx into

03 =− yx

3 y = 3 3 x = 1 (3)



4.4

123

12

3

B

B

B

−==+

=+

x

x

x

3

69

32

9

B

B

B

−==+

=+

y

y

y

B(–1 ; –3) OR/OF

1B −=x 3B −=y (by translation/deur translasie) B(–1 ; –3)

3 x value/waarde

3 y value/waarde (2)

3 x value/waarde 3 y value/waarde

(2) 4.5

79

1836

AB −=+−+

=m

113

8369

AD =+−

=m

1ADAB −≠×mm ABCD is not a square/ is nie 'n vierkant ( °≠ 90DAB ) OR/OF C(10 ; 0)

222 ))3(9())1(3(BD −−+−−=

= 160

104 BD = OR/OF 12,65

222 )06()108(AC −+−−=

= 360

106 AC = OR/OF 18,97

ABCD is not a square/is nie 'n vierkant (BD ≠ AC)

3 subst into gradient formula/subst in

gradiëntformule 3 gradient AB 3 gradient AD 3 ≠ –1 3 S/R

(5)

3 C(10 ; 0) 3 subst into distance formula/subst in

afstandformule

3 104 OR 12,65 3 6 10 OR 18,97 3 S/R

(5) [17]



QUESTION/VRAAG 5 5.1.1

p−=°−=° 23cos203cos

3 reduction/herlei

3 answer/antw

(2) 5.1.2

°−=°−=°

23cos67sin293sin

p−=

3 reduction/herlei

3 co-ratio/ko-verh

3 answ/antw ito/v p

(3) 5.2

x

x

x

x

x

xx

x

xx

x

xx

2

2

2

22

tancossin

coscossin)sin(

)1)(cos()tan)(sin(

)AcosA).(sin180cos()tan().360sin(

−=

−=

−

−−=

−−−

=

++°−−°

3 xsin− 3 xtan− 3 xcos− 3 1

3 −x

x

cossin

3 x2tan−

(6) 5.3.1

RHScos

2cos).sin1(

)sin1(2cos).sin1(

sin211cos).sin1(

sinsin21cos

cos).sin1()sin1(cosLHS

22

22

=

=

++

=

+++

=

++++

=

+++

=

x

xx

x

xx

x

xx

xxx

xx

xx

3 numerator/teller

3 denominator/ noemer

3 multiplication/ vermenigvuldiging

3 identity/identiteit

3 fact/faktor numerator/teller

(5)

5.3.2 Undefined if/ongedefinieerd as: sin x = –1 or cos x = 0 ∴ x = 90° ; 270°

3 90° 3 270°

(2) 5.4 xx 2cos42sin =

42tan =x °+°= 180.96,752 kx

Zkkx ∈°+°= ;90.98,37

3 42tan =x 3 75,96° 3 37,98° 3 °90.k 3 Zk∈

(5)



5.5.1

112)3(

2

222

222

±==

=+

=+

x

x

x

ryx

1=x (since P lies in the 1st quadrant/aangesien P in

die 1ste

kwadrant lê)

3 subst

3 x = 1 (2)

5.5.2

°=

=

60TOP23TOPsin

°=°−°=

°=+

306090

90TOPαα

3 correct ratio/ korrekte verh

3 60°

3 answer/antw

(3) 5.5.3

20)30sin( b=°−

)30sin(20 °−=b

10−=b

20

)30cos( a=°−

)30cos(20 °−=a

310=a OR/OF 17,32 )10 ; 310(Q − OR/OF Q(17,32 ; –10)

OR/OF OQ2 = 400 a² + b² = 400 PQ² = 2² + 20² PQ² = 404

404)3()1( 22 =−+− ba 40433212 22 =+−++− bbaa

4043242400 =−+− ba ba 322 −=

ba 3−=

400)3( 22 =+− bb 4004 2 =b

1002 =b 10−=b (b < 0)

)10(3 −−=a 310=a

)10 ; 310Q( −∴

3 correct ratio/ korrekte verh

3 )30sin(20 °−=b

3 b = –10 3 correct ratio/ korrekte verh

3 310=a OR17,32

(5)


afstandformule


afstandformule

3 ba 3−= 3 10−=b

3 310=a OR17,32

(5) [33]



QUESTION/VRAAG 6

6.1 a = 1 b = 2 p = 45°

3 a = 1 3 b = 2 3 p = 45°

(3) 6.2 0°) ; 90°(−∈x

OR/OF

0° 90° <<− x OR/OF

0° and 90°between − /tussen –90° en 0°

3 extreme values/ uiterste waardes

3 correct notation/ korrekte notasie

(2) 3 extreme values/ uiterste waardes


(2) 3 extreme values/ uiterste waardes


(2) 6.3 xxxf 4cos)2(2cos)2( ==

∴ period/periode = 90° 3 cos 4x 3 90°

(2) 6.4 12cos3)( −= xxh

Minimum value/waarde = –4 3 3 –4

(2) 6.5 move 45° to the left and then reflect about the x-axis/

skuif 45° na links en reflekteer dan om die x-as

OR/OF The graph of g must be moved 135° to the right/ Die grafiek van g moet 135° na regs beweeg.

3 45° left/links

3 reflection x-axis/ refleksie om x-as

3 3135° right/regs

(2) [11]



QUESTION/VRAAG 7 7.1.1 °=°−°= 30150180BCA

m19,3AB110sin6

30sinAB

=°

=°

3 30° 3 subst into sine rule/ subst in sin-reël

3 AB = 3,19 (3)

7.1.2 Area ∆ABC:

215,6

40sin619,321

Bsin.AB.BC.21

m=

°×××=

=

3 subst into correct form/subst in

korrekte formule

3 6,15 (2)

7.1.3 Volume of pyramid =

31 area of base × ⊥ height

34,16

815,631

m=

××=

3 correct formula/ korrekte formule

3 subst 3 answer/antw

(3) 7.2 radius of base/radius van basis:

mr

h

r

45,136tan2

36tan

=°=

°=

slant height/skuinshoogte:

mS

h

S

47,236cos

236cos

1

=°

=

°=

SA = π(2tan 36°)2 + π(2tan 36°)°36cos

2

= 17,92 m2 OR/OF Surface area of cone = area of base + area of curved surface buite-opp van keël = opp van basis + opp van geboë opp

2

2

2

86,17)47,2)(45,1()45,1(

m

rSr

=

+=

+=

ππ

ππ

3 °= 36tanh

r

3 45,136tan2 =°=r

3 °

=36cos

1h

l

3

47,236cos

2=

°=S


korrekte formule 3 answer/antw


korrekte formule 3 answer/antw

(6)

[14]



QUESTION/VRAAG 8 8.1 8.1.1 °=+ 90MM 21 (∠ in semi circle/∠ in halfsirkel or/of diameter

subtends right∠/midlyn onderspan regte∠ /

or/of ∠ 21~)

°= 53M1 OR/OF

°= 74O2 (∠ at centre/midpt = 2 ×∠ at circum/by omtrek) °= 106O1 (∠s on a str line/∠e op reguitlyn) °= 53M1 (∠ at centre/midpt = 2 ×∠ at circum/by omtrek)

3 S/R

3 S

(2)

3 S/R

3 S

(2) 8.1.2

11 M2O ×= (∠ at centre/midpt = 2 ×∠ at circum/by omtrek)

°=106O1 OR/OF

°= 74O2 (∠ at centre/midpt = 2 ×∠ at circum/by omtrek) °= 106O1 (∠s on a str line/∠e op reguitlyn)

3 S/R 3 S

(2)

3 S/R 3 S

(2)

M

P

S

T

O 2

1

1

2 37°



8.2 8.2.1 °=°−°= 254106360O2 (∠s round a pt or ∠s in a rev)

(∠e om 'n pt of ∠e omw)

21 O21T ×= (∠ at centre/midpt = 2 ×∠ at circum/by omtrek)

°=127

3 S 3 S 3 R

(3) 8.2.2 KO = OL (radii equal/radiusse gelyk)

KM = ML (Tans from common/same pt/rklyne van dies pt) ∴KOLM is a kite (adj sides of quad are =/aangr sye v vh =)

3 S 3 S/R 3 S/R

(3) 8.2.3 °= 90MKO (tan/rkl ⊥ radius or/of tan/rkl ⊥ diam/midlyn)

°= 90MLO (tan/rkl ⊥ radius or/of tan/rkl ⊥ diam/midlyn) °=+ 180MLOMKO

OKML = cyc quad/kdvh

(opp ∠s quad supp or converse opp ∠s of cyclic quad)/ (tos ∠e vierh supp of omgek tos ∠e van kdvh)

3 S/R 3 S 3 R

(3) 8.2.4 °=+ 180OM 1 (opp ∠s of cyclic quad/tos ∠e van kdvh)

°= 74M

3 R 3 S

(2) [15]

1 1

K

L

M O T 2

106°



QUESTION/VRAAG 9

9.1 °== 20K MKN 1 (equal chords; equal ∠s) (gelyke koorde; gelyke ∠e)

3 S 3 R

(2) 9.2 Alternate ∠s are equal/verwiss ∠e gelyk 3 R

(1) 9.3 NM = LM (radii)

NM = KL (given/gegee) ∴ KL = LM

3 S 3 S

(2) 9.4.1 °== 20KLKM 2 (∠s/e opp equal sides/to gelyke sye)

°== 140LMLK 2 (∠s sum in ∆ /∠e som in ∆) °=°−°== 40140180NMNK 1 (opp ∠s of cyclic quad/

tos ∠e van kdvh)

3 S/R 3 S 3 S 3 R

(4) 9.4.2 °=°+°−°== 120)4020(180MNMK 2 (∠s sum in ∆ /

∠e som in ∆) °=°+°=+= 14012020MMNML 21

°=+= 70PPNPL 21 (∠ at centre = 2 ×∠ at circumference) (∠ by midpt = 2 ×∠ by omtrek)

3 S 3 S 3 R

(3) [12]

K

1

1

1

1

2

2

2 2

2 1

3 4

L

M

N P

20°



QUESTION/VRAAG 10 10.1 Construction: Draw diameter AD and join DB.

Konstruksie: Trek middellyn AD en verbind DB

Proof/Bewys:

°=+ 90BADTAB (tangent/rklyn ⊥ radius) °=+ 90ABCCBD (∠ in semi circle/halfsirkel) °=+ 90BDABAD (∠s/e of/van ∆)

BDATAB = BDAACB = (∠s in same segment/∠e in dies segment) ACBTAB =

OR/OF Construct diameter AD and join DC. Konstrueer middellyn AD en verbind DC.

Proof/Bewys:

°=+ 90BADTAB (tangent/rklyn ⊥ radius) °=+ 90ACBBCD (∠ in semi circle/halfsirkel) BCD90ACB −°= TAB90BAD −°=

BADBCD = (∠s in same segment/∠e in dies segment)ACBTAB =

3 construction/ konstruksie

3 S 3 R 3 S 3 R 3 S/R

(6)


3 S 3 R 3 S 3 R 3 S/R

(6)

T P

O

D

C B

A

T P

O

D

C B

A



OR/OF

Construction: Draw radii OA and OB. Konstruksie: Trek radiusses OA en OB. Proof/Bewys:

°=+ 90TABBAO (tangent/rklyn ⊥ radius) TAB90BAO −°= TAB90ABO −°= (∠s opp = sides/∠e to = sye)

T)AB90(2180BOA −°−°= (∠s/e of/van ∆) TAB2BOA =

C2BOA = (∠ at centre = 2 ×∠ at circumference/ ACBTAB = ∠ by midpt = 2 ×∠ by omtrek)


3 S 3 R 3 S 3 S 3 S/R

(6)

10.2

T P

O

C B

A

P

Q R

S

T

1

1 1

1

2

2 2

2 3

3


Copyright reserved/Kopiereg voorbehou

10.2.1(a) Tan chord theorem/rklyn-koordstelling 3 R

(1) 10.2.1(b) ∠s in same segment/ ∠e in dieselfde segment

3 R

(1) 10.2.2 TPR 21 += (ext ∠ of ∆/ buite∠ v ∆)

22 QP = (from/vanaf 10.2.1(b))

TQ1 = (from/vanaf 10.2.1(a)) ∴ TPQQ 221 +=+

∴ 121 RQQ =+

∴PQ = PR (sides opp =∠s/sye to =∠e) ∴∆PQR = isosceles triangle/gelykbenige driehoek

3 S 3 S 3 S 3 S/R

(4) 10.2.3

12 QR = (∠s in same segment/∠e in dies segment)

1QT = (from/vanaf 10.2.1(a)) TR 2 =

PR is a tangent to circle RST at R (converse tan chord th) PR is 'n rklyn aan sirkel RST by R (omgekeerde rkl-kdst) OR/OF

)RQQ(180P 1211 ++−°= (∠s/e of/van ∆)

12 QR = (∠s in same segment/∠e in dies segment)TQ1 = (from/vanaf 10.2.1(a))

TR 2 =∴

3 S/R 3 S 3 R

(3)

3 S

3 S/R 3 R

(3) TOTAL/TOTAAL: 150

nasionale senior sertifikaat graad 11...2.4 trek vervolgens 'n frekwensieveelhoek van die data...

Documents