1    

Name__________________________________________________  Sec_____          Math  1005    Post-­‐Exam2  ReviewFall  2013    The  final  exam  covers  material  covered  from  the  entire  semester.  This  includes  material  from  the  guided  notebook,  homework,  quizzes,  and  this  review.    You  must  show  all  your  work  to  earn  full  credit.    Calculators  are  allowed  on  the  final  exam,  but  phones  or  computers  may  not  be  used  as  a  calculator.  Use  your  notes,  homework,  quizzes,  and  previous  review  packets  to  study.    These  problems  are  from  the  sections  covered  after  exam  2  which  includes  sec  4.4-­‐4.6,  5.1-­‐5.5,  and  7.1.      1.  Use  synthetic  division  to  divide  𝑓(𝑥)  by  𝑥 − 𝑐  and  then  write  𝑓(𝑥)  in  the  form  𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑞(𝑥) + 𝑟.    a)  𝑓 𝑥 = −2𝑥! + 3𝑥! − 𝑥! + 7𝑥 + 2  ,      𝑥 + 1              b)  𝑓 𝑥 = 6𝑥! − 2𝑥 + 3  ,      𝑥 − 2              2.  Use  synthetic  division  and  the  remainder  theorem  to  find  the  remainder  when  𝑓 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥! + 𝑥 + 6  is  divided  by  𝑥 − 3.              3.  Use  synthetic  division  and  the  factor  theorem  to  determine  whether  𝑥 + !

!  is  a  factor  of  𝑓 𝑥 = 2𝑥! + 5𝑥! − 8𝑥 − 5.  

             4.    Find  the  remaining  zeros  of  𝑓 𝑥 = 3𝑥! − 5𝑥! − 2𝑥! + 6𝑥! − 𝑥 − 1  given  that  𝑐 = 1  is  a  zero  of  multiplicity  3.    Then  rewrite  𝑓 𝑥  in  completely  factored  form  and  sketch  its  graph.                    

2    

5.  Use  the  rational  zeros  theorem  to  determine  the  potential  rational  zeros  of  the  polynomial  function    𝑓 𝑥 = 5𝑥! − 27𝑥! + 10𝑥! + 16 − 4𝑥.    Do  NOT  find  the  zeros.            6.  Find  all  complex  zeros  of  the  polynomial  function,  and  write  the  polynomial  in  completely  factored  form.  a)  𝑓 𝑥 = −6𝑥! + 19𝑥! − 15𝑥! − 3𝑥 + 5                        b)  𝑓 𝑥 = 8𝑥! + 36𝑥! + 70𝑥! − 5𝑥! − 68𝑥 + 24                            7.  Solve  the  polynomial  equation  in  the  complex  numbers.    𝑥! − 1 = 0                    8.  Write  a  polynomial  𝑓 𝑥  with  real  coefficients  that  satisfies  the  given  information.    Form  a  third-­‐degree  polynomial  function  with  real  coefficients  such  that  5𝑖  and  2  are  zeros.            

3    

9.    Use  the  intermediate  value  theorem  to  show  that  the  polynomial  𝑓 𝑥 = 2𝑥! + 5𝑥 + 1  has  a  real  zero  on  the  interval  [−1,0].            10.    For  𝑓 𝑥 = −𝑥! − 5𝑥! − 3𝑥 + 9  ,  determine  the  end  behavior,  plot  the  y-­‐intercept,  find  and  plot  all  real  zeros,  and  plot  at  least  one  test  value  between  each  intercept.    Then  connect  the  points  with  a  smooth  curve.    

     

11.  Determine  the  domain,  the  y-­‐intercept  if  there  is  one,  and  any  x-­‐intercepts.    𝑓 𝑥 = !!!!!!!!!!!!!!!!!!

                 12.  Find  all  vertical  asymptotes,  and  create  a  rough  sketch  of  the  graph  near  each  asymptote.      𝑓 𝑥 = !!!

!!!!!!!  

 

   13.  Find  the  equation  of  all  horizontal  asymptotes  (if  any)  of  the  rational  function.  

a)  𝑓 𝑥 = !!!

!!!!  

     

b)  𝑓 𝑥 = !!!!!!!!!

 

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-8-7-6-5-4-3-2-1

12345678y

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-8-7-6-5-4-3-2-1

12345678y

4    

14.  Use  transformations  of  𝑦 = !!  or  𝑦 = !

!!  to  sketch  the  rational  function.    Label  all  intercepts,  and  find  the  equations  of  

all  asymptotes.    𝑓 𝑥 = !!!!! ! + 3  

   15.  Identify  the  coordinates  of  all  removable  discontinuities,  and  sketch  the  graph  of  the  rational  function.    Label  all  intercepts,  and  find  the  equations  of  all  asymptotes.    𝑓 𝑥 = !!!

!!!!!!  

     

16.  Find  the  slant  asymptote  of  the  graph  of  the  rational  function  𝑓 𝑥 = !!!!!!!!

                     17.  Determine  the  correct  exponential  function  of  the  form  𝑓 𝑥 = 𝑏!  whose  graph  is  given.  

   

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-8-7-6-5-4-3-2-1

12345678y

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-8-7-6-5-4-3-2-1

12345678y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5f HxL

5    

18.  Use  the  graph  of  𝑦 = 4!  or  𝑦 = 𝑒!  and  transformations  to  sketch  each  exponential  function.  Determine  the  domain  and  range,  𝑦-­‐intercept,  and  the  equation  of  the  horizontal  asymptote  for  each  function.  a)  𝑦 = 4!!! − 1  

 b)  𝑦 = −𝑒!! + 2  

   19.  Solve  each  exponential  equation  by  “relating  the  bases”.    a)  3! = 81          b)   !

!!= 2!  

           c)  𝑒!!!! = 𝑒!                

d)  49! = !!

!!!  

       

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-8-7-6-5-4-3-2-1

12345678y

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-8-7-6-5-4-3-2-1

12345678y

6    

e)  𝑒!! ∙ 𝑒! = (!!!!)!

!!  

           20.  Which  of  these  investments  will  yield  the  greatest  total  amount?  a)  $2000  invested  for  10  years  compounded  semiannually  at  6%  b)  $3000  invested  for  8  years  compounded  quarterly  at  4.5%                      21.  An  investment  of  $6000  earns  6.25%  interest  compounded  continuously.  What  will  the  investment  be  worth  in  15  years?  Round  your  answer  to  the  nearest  cent.              22.  Unbeknownst  to  the  residents  of  northern  Minnesota,  a  rare  species  of  unicorn  was  introduced  to  the  area  in  1989.  The  growth  rate  for  this  species  is  14.17%.  By  2013,  the  unicorn  population  had  grown  to  150.    a)  How  many  unicorns  were  originally  introduced  in  1989?                      a)  How  many  unicorns  can  be  expected  in  the  year  2049?        23.  Write  the  exponential  equation  as  an  equation  involving  a  logarithm.    a)  2!! = !

!"  

   b)  𝑒!" = 𝑁  

7    

24.  Write  each  logarithmic  equation  as  an  exponential  equation.    a)  log! 𝑥 − 1 = 3      b)  ln 1 = 0      25.  Evaluate  without  using  a  calculator.    You  must  show  your  steps.    a)  log!

!( 4! )  

     b)  10!"# !        c)  ln 𝑒 − ln(𝑒!)        d)  log!(6!")      26.  Find  the  domain  of  each  function.    a)  log!

!(2𝑥 + 8)  

   

b)  ln !!!!!!!!!"

           27.  Expand  each  of  the  following  logarithms.    Simplify  if  possible.    

a. log! 𝑥!𝑦!      

b. log! 27𝑥      

c. log!!!!

!"!!!  

 

8    

d. ln !!!!!!! !

!!  

     28.  Write  each  expression  as  a  single  logarithm.    

a. log! 80 − log! 5      

b. 2 log! 𝑥 +!!log! 𝑦  

   

c. log! 𝑥! − 5𝑥 + 6 − log! 𝑥! − 4 + log! 𝑥 + 2  

 

 

 

29.  Use  the  change  of  base  formula  and  a  calculator  to  approximate  log! 21  to  four  decimal  places.    30.  Solve  each  of  the  following  exponential  or  logarithmic  functions.    

a. 3! = 5  

 

 

b. log! 𝑥! − 21 = log! 4𝑥  

 

 

 

c. 4!!!!! = 64  

 

 

 

d. 150𝑒!!! = 5  

 

 

9    

e. log! 3 = −1  

 

 

 

f. 7 2 − 10!!!! = 8  

 

 

 

 

g. ln 3 + ln 𝑥! + !!!

= 0  

 

 

 

 

 

 

31.  Solve  each  of  the  following  systems  of  equations  using  either  substitution  or  elimination.    If  the  system  has  infinitely  many  solutions,  express  the  ordered  pair  in  terms  of  x  or  y.    

a. 5𝑥 + 4𝑦 = −6  8𝑥 − 4𝑦 = −72                                

10    

b. 0.1𝑥 − 0.4𝑦 = −2.4  0.7𝑥 − 𝑦 = −9.6                                                

c. 8𝑥 − 𝑦 = −13  𝑦 = −8𝑥