NAMA KELOMPOK:1. ZULKIFLI DWI S (08184202141)2. NUR NAILIH (08184202084)3. MITA SEPTIAN (08184202068)4. NUR’AINI (0610707045)

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANSTKIP-STIT PGRI PASURUAN

1

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr.Wb

Alhamdulillahi Robbil Alamin, puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT

karena hanya dengan rahmat dan karunia-Nya saya dapat menyelesaikan makalah

Struktur Aljabar 2 dengan judul “Teorema Cauchy” sebagai tugas semester 4 ini dengan

tepat waktu.

Saya berharap makalah ini dapat diterima dengan baik oleh semua pihak terutama

oleh dosen pembimbing dalam mata kuliah struktur aljabar 2 agar makalah yang telah

kami buat mendapat nilai yang baik dan dapat menunjang nilai kami dalam mata struktur

aljabar 2. Tidak lupa ucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah

membantu dan memberi dukungan kepada kami dalam pembuatan makalah ini.

Saya mohon maaf yang sebesar-besarnya apabila dalam makalah ini masih

banyak kekurangannya dan jauh dari kesempurnaan. Maka dari itu kami mengharapkan

kritik dan saran dari semua pihak. Dan kami berharap semoga makalah ini dapat

bermanfaat bagi kita semua.

Pasuruan, 26 Juni 2010

Penyusun

2

DAFTAR ISI

JUDUL MAKALAH

Kata Pengantar……………………………………………………………….

Daftar Isi……………………………………………………………………..

BAB 1 PENDAHULUAN…………………………………………………...

A. Latar Belakang……………………………………………………..

B. Rumusan Masalah………………………………………………….

C. Tujuan………………………………………………………………

i

ii

1

1

1

1

3

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar belakangTeorema cauchy merupakan teorema kelanjutan dari Grup Simetrik.

Dimana kita telah mempelajari orbit dari suatu elemen yang dipermutasikan.

Salah satu tujuan dari pembahasan teorema cauchy ini adalah agar kita dapat

memahami konsep-konsep tentang teorema-teorema tersebut serta kita dapat

menerapkan dan menyelesaikan persoalan-persoalan dalam teorema ini.

Oleh karena itu dengan berbahan pengetahuan yang sederhana, kita akan

mencoba membahas sedikit tentang teorema cauchy. Sebetulnya inti dari

pembahasan teorema cauchy ini adalah agar kita dapat menentukan order dan

orbit dari suatu elemen yang dipermutasikan.

1.2 Rumusan Masalah

1.2.1 Sebutkan teorema-teorema Cauchy itu !

1.2.2 Jelaskan dan jabarkan isi dari teorema-teorema cauchy !

1.3 Tujuan Masalah

1.3.1 Untuk mengetahui macam-macam dari teorema cachy

1.3.2 Untuk mengetahui penjelasan dari teorema-teorema cauchy

1.4 Manfaat

1.4.1 Agar kita dapat mengetahui macam-macam dari teorema cauchy

1.4.2 Agar kita dapat mengetaui penjelsan dari teorema cauchy

4

BAB II

TEOREMA CAUCHY

Teorema 12.3 Misalkan G suatu grup berorder pq dengan p dan q dua bilangan prima

yang berbeda dan p > q. Jika aG o(a) = p dan H = (a), maka H < G.

Bukti: H = (a), maka H subgroup dari G dan karena o(a) = p, maka o(H) = p. H adalah

satu-satunya subgroup dari G yang berorder p. Sebab, jika K subgroup dari G dan o(K) =

p, maka HK = {xyxH dan yK} berorder p2, yaitu HK akan memuat p2 elemen yang

berbeda. Sebab apabila ac = bd dengan a,bH dan c,dK maka b-1a = dc-1 dan b-1aH.,

dc-1K serta b-1aHK, karena HK dan HK subgroup dari H dank arena o(H) = p

maka HK ={e}. Jadi b-1a = e, yaitu a = b. Begitu pula c = d. Jadi banyaknya elemen HK

adalah p2. Hal ini tidak mungkin, karena pq < p2 dan HK G, maka H = K. Selanjutnya,

jika x G, dan xHx-1 = N maka o(N) = p, sehingga N = H. Jadi H < G.

Dalam bukti teorema tersebut, karena H = (a) dan o(H) = p serta H < G, maka x H

x -1 = H, x G, sehingga x G dan a H, maka x a x-1H dan karena H = {e, a,

a2, …, ap-1}, maka x a x-1 = ai untuk suatu i dengan 0 i <p. Hal ini merupakan akibat

dari teorema 12.3 dan dinyatakan sebagai berikut.

Akibat. Jika G suatu grup, aG dengan o(a) = p (prima) dan H = (a), maka xG, xax-1

= ai dengan 0 i p.

Misalkan G suatu grup , aG dan o(a) = m, bG dan o(b) = n dengan (m,n) = 1,

apakah ada cG yang berorder mn? Pertanyaan ini akan terjawab dalam teorema berikut

ini.

Teorema 12.4 Jika G suatu grup, aG dan o(a) = m, bG dan o(b) = n dan ab = ba serta

(m, n) = 1 maka o(ab) = mn.

Bukti: Misalkan H = (a) subgroup dari G dan o(H) = m.K = (b) adalah subgroup dari G

dan o(K) = n. Karena (m, n) = 1, maka HK = {e}, sebab menurut Teorema Lagrange

o(HK|m dan o(HK)|n.

5

Misalkan o(ab) = t, maka t suatu bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga (ab) t

= e. Karena ab = ba, maka (ab)t = atbt = e atau b-1HK = {e} (Mengapa?). Karena at = e

dan o(a)= m, maka m|t. Karena (b-t)-1 = bt = e, dan o(b) = n, maka n | t. Selanjutnya karena

(m, n) = 1, m | t dan n | t maka mn | t, sehingga mn t. Karena (ab)mn = amn bmn = e dan

o(ab) = t maka t | mn dan t mn. Sehingga t = mn. Jadi o(ab) = mn.

Teorema 12.5 Misalkan G suatu grup yang berorder pq dengan p dan q prima dan p > q.

Apabila q | p -1, maka G siklik.

Bukti: Karena o(G) = pq dengan p dan q prima dan p > q, maka menurut teorema

Cauchy, ada a, bG dengan o(a) = p dan o(b) = q dan akibatnya b -1ab = at untuk suatu t

dengan 0 < t < p. Seperti argumentasi pada contoh diatas diperoleh bahwa b -rabr = atr,

untuk setiap bilangan bulat r 0.

Demikian pula b-qabq = atq, tetapi karena bq = e (sebab o(b) = q), maka atq = a atau atq -1 = e

dan karena o(a) = p, maka p | tq -1 sehingga tq 1 (mod p).

Menurut Teorema Fermat, karena p prima dan (t, p) = 1 (sebab o < t < p) maka t p-1 1

(mod p), karena q | (p-1) maka (p-1, q) = 1 maka ada m, n B sedemikian hingga m(p-1)

+ nq = 1, sehingga

t1 tm(p-i)+nq (mod p)

(tp-1)m (tq)n (mod p)

t 1 (mod p) dengan 0 < t < p

Jadi t = 1.

Maka b-1ab = at = a sehingga ab = ba. Selanjutnya menurut teorema 12.4. maka o(ab) =

pq, dan karena o(G) = pq, maka G adalah grup siklik.

Contoh soal

1 Misalkan G suatu grup dan o(G) = 15, maka G mempunyai elemen-elemen yang

berorder 5 dan 3. Misalnya a, bG dan o(a) = 5, o(b) = 3. Oleh akibat dari teorema 12.3,

6

maka b-1ab = at dengan 0 t <5. Sehingga b-2ab2 = b-1(b-1ab)b = b-1atb = (b-1ab)t = (at)t =

at2.

Sejalan dengan ini diperoleh b-3ab3 = at3, tetapi karena b3 = e (karena o(b) = 3), maka a t3 =

a, sehingga at3-1 = e dan karena o(a) = 5), maka 5 | t3-1, yaitu t31 (mod 5). Selanjutnya,

oleh Torema Fermat (teorema 9.8), t4 1 (mod 5), maka diperoleh t 1 (mod 5) dan

karena 0 t < 5, maka t = 1. Jadi b-1ab = at = a yang berarti ab = ba. Selanjutnya, karena

o(a) = 5 dan o(b) = 3, maka menurut teorema 12.3, o(ab) = 15. Ini berarti G adalah grup

siklik dengan generator ab.

Latihan Soal1. Buktikan bahwa grup yang berorder 35 adalah siklik .

Bukti :

misal grup yang berorder 35 adalah G maka o(G) = 35, dengan elemen-elemen yang

berorder 7 dan 5.

Misal a, b G dan o(a) = 7, o(b) = 5 berdasarkan Teorema 12. 3 maka :

b -1ab = a t dengan 0 t < 7 sehingga dapat diperoleh :

b -5ab 5 = a t ,karena b 5 = e maka a t = a, sehingga a t - 1 = e . dan o(a) = 7, maka

7 | t 5 – 1, yaitu t 5 1 (mod 7). Menurut Teorema fermat , t6 1 (mod 7) dan diperoleh t

1 (mod 7) dan karena 0 t < 7, maka t = 1.

Dapat disimpulkan bahwa b -1ab = a t = a, ab = ba, karena o(a) =7, dan o(b) = 5, menurut

Teorema 12. 3 O(ab) = 35 dan terbukti G adalah siklik.

2. jika G suatu grup, H dan K subgrup-subgrup dari G yang berturut-turut mempunyai

order m dan n . Buktikan bahwa himpunan HK = { abG | aH dan bK } mempunyai

mn yang berbeda .

Bukti : Diketahui H dan K subgrup dari G dan o(H) = m, o(K) = n, misal jika K subgrup

dari G dan o(K) = m, maka HK = { abG | aH dan bK }berorder m2 , yaitu HK akan

memuat m2 elemen yang berbeda tapi karena o(K) = n maka HK = { abG | aH dan

bK }berorder mn,Yaitu HK memuat mn elemen yang berbeda.

7

BAB 3

PENUTUP

1. Kesimpulan

8

Jika G suatu grup, aG dengan o(a) = p (prima) dan H = (a), maka xG, xax-1 = ai

dengan 0 i p.

Misalkan G suatu grup , aG dan o(a) = m, bG dan o(b) = n dengan (m,n) = 1,

apakah ada cG yang berorder mn

2. Penutup

Makalah ini dibuat dengan sebaik mungkin, dikemas dengan praktis dan disertai

dengan contoh-contoh soal. Semoga dapat bermanfaat bagi kita semua. Penulis

mohon maaf apabila terdapat salah dalam kata, ketik, maupun ejaan.

DAFTAR PUSTAKA

Sukirman, 2003. Pengantar Aljabar Abstrak, Yogyakarta:JICAFadly. Bahan Ajar Struktur Aljabar.

9

10