náhodný jav a náhodná veličina
DESCRIPTION
Náhodný jav a náhodná veličina. Vlastnosti NV Diskrétna a spojitá NV. Náhodný jav. charakterizuje výsledok náhodného pokusu kvalitatívne – slovne, alebo kvantitatívne – číselne. Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu ( x i ). Náhodná veličina (NV). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Náhodný jav a náhodná veličina
Vlastnosti NV
Diskrétna a spojitá NV
![Page 2: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Náhodný jav
charakterizuje výsledok náhodného pokusu kvalitatívne – slovne,
alebo kvantitatívne – číselne.
Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu (xi )
![Page 3: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Náhodná veličina (NV)
Je určená výsledkom náhodného pokusu
Charakteristickým znakom je jej premenlivosť pri opakovaní pokusu
Môže nadobúdať rôzne hodnoty alebo hodnoty z rôznych intervalov
Diskrétna náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
![Page 4: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Diskrétna NV
Môže nadobúdať konkrétnu hodnotu z otvoreného alebo uzatvoreného intervalu
Izolované, väčšinou celočíselné hodnoty
![Page 5: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Príklady na diskrétnu NV
Počet narodených chlapcov zo 100 narodených detí je NV, ktorá nadobúda akúkoľvek náhodnú hodnotu od 0 po 100
Počet chybných výrobkov v sklade (obmedzený počet, závisí od kapacity skladu)
Počet zákazníkov, ktorý prídu do obchodu za jeden deň (je to vždy obmedzený počet)
Odmeraný smer na stanovisku Adičná konštanta a pod.
![Page 6: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Spojitá náhodná veličina
Hodnoty z konečného alebo nekonečného intervalu, ktorých počet je nekonečný.
![Page 7: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Príklady na spojitú NV Ak meriame dĺžku s presnosťou ±5 mm, potom
chyba, ktorej sa pri meraní dopustíme je spojitá NV a môže nadobúdať akékoľvek hodnoty z intervalu ±5 mm
Doba čakania na autobus na zastávke je spojitá NV, lebo môže nadobudnúť akékoľvek nezáporné hodnoty
Časový interval medzi prichádzajúcimi vlakmi v metre
Dĺžka náhodne vybranej tetivy v kružnici (body A, B)
![Page 8: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Je pravidlo, podľa ktorého sa priraďuje náhodnej veličine pravdepodobnosť P(xi)
Zákon rozdelenia NV
![Page 9: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/9.jpg)
9
matematickým vzorcom distribučná funkcia F(x) – u spojitej aj diskrétnej NV
grafom na osi x sú hodnoty náhodnej veličiny x i a na osi y sú jej
príslušné pravdepodobnosti P(xi)
pravdepodobnostnou tabuľkou u diskrétnej náhodnej veličiny
Popis zákona rozdelenia pravdepodobnosti NV
![Page 10: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Distribučná funkciaSlúži k popisu diskrétnej aj spojitej NVKaždému reálnemu číslu priraďuje
pravdepodobnosť, že náhodná veličina x nadobudne hodnotu menšiu než toto číslo
Distribučná funkcia spojitej NV
) ( )( ii xxPxF
dxxxFx
)(
![Page 11: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Vlastnosti distribučnej funkcieDistribučná funkcia nadobúda hodnoty od 0 do 1
vrátane
Distribučná funkcia je neklesajúca
Distribučná funkcia je spojitá zľava
Každá distribučná funkcia spĺňa podmienky
)()0( ixxPxF
1)(0 xF
0 )(F
1)(F
)()(x 2121 xFFxx
)()0( xFxF
![Page 12: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Graf distribučnej funkcie
Zodpovedá v popisnej štatistike grafu kumulatívnych relatívnych početností
![Page 13: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Výpočet kumulatívnej početnosti (pravdepodobnosti)
r f (%) r f Ft Ft*100
1 -0.456 0 0.0 0 0.0 0.0002 0.02
2 -0.391 1 0.4 1 0.4 0.0013 0.13
3 -0.326 2 0.9 3 1.3 0.0062 0.62
4 -0.261 5 2.2 8 3.5 0.0228 2.28
5 -0.196 8 3.5 16 7.0 0.0668 6.68
6 -0.130 13 5.7 29 12.6 0.1587 15.87
7 -0.065 38 16.5 67 29.1 0.3085 30.85
8 0.000 44 19.1 111 48.3 0.5000 50.00
9 0.065 55 23.9 166 72.2 0.6915 69.15
10 0.130 28 12.2 194 84.3 0.8413 84.13
11 0.196 24 10.4 218 94.8 0.9332 93.32
12 0.261 7 3.0 225 97.8 0.9772 97.72
13 0.326 2 0.9 227 98.7 0.9938 99.38
14 0.391 2 0.9 229 99.6 0.9987 99.87
15 0.456 1 0.4 230 100.0 0.9998 99.98
![Page 14: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Symbolika
– triedny interval r – skutočné početnosti f (%) – relatívne početnosti
n – počet hodnôt r – kumulatívne početnosti f – kumulatívne relatívne početnosti Ft – teoretická distribučná funkcia
Ft*100 – kumulatívne pravdepodobnosti
100% n
rf
![Page 15: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/15.jpg)
15
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
F(x)
x
x
Graf distribučnej funkcie
diskrétnej NV spojitej NV
![Page 16: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Pravdepodobnostná tabuľkaPopisuje len diskrétnu náhodnú premennúJe najjednoduchšou formou zákona rozdelenia
Ku všetkým možným hodnotám diskrétnej veličiny priraďuje zodpovedajúce pravdepodobnosti
xi x1 x2 ... xnSpolu
P(i) P(1) P(2) ... P(n) 1
![Page 17: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Pravdepodobnosť diskrétnej NVSúčet pravdepodobností je rovný 1
Pravdepodobnosť je určená vzťahom
Pravdepodobnosť diskrétnej náhodnej veličiny v intervale je daná vzťahom
1)( ixP
)()()( 1221 xFxFxxxP
ixx
iii xPxFxxP )()()(
![Page 18: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Hustota pravdepodobnosti (x)
zobrazuje sa frekvenčnou krivkou popisuje rozdelenie spojitej NV má podobné vlastnosti ako pravdepodobnosť
pri diskrétnej veličine
x
xFxxF
dx
xdFxFx
x
)()(lim
)(0
![Page 19: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Vlastnosti hustoty pravdepodobnosti
1. Je nezáporná
2. Spĺňa vzťah
3. Pravdepodobnosť, že NV nadobudne hodnoty z intervalu <x1,x2>
0x
1
dxx
dxxxxxPx
x
2
1
21
![Page 20: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Distribučná funkcia a hustota pravdepodobnosti
![Page 21: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Číselné hodnoty, ktoré popisujú rozdelenie náhodných veličínPopisujú hlavné vlastnosti NV Charakteristiky polohy Charakteristiky premenlivosti Charakteristiky šikmosti Charakteristiky špicatosti Momentové charakteristiky
Charakteristiky náhodných veličín
![Page 22: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Charakteristiky polohy
Stredná hodnotaMediánModusHarmonický priemerGeometrický priemerAritmetický priemerKvadratický priemer, ...
![Page 23: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Popisuje polohu náhodnej veličiny, teda stred celého rozdelenia
Stredná hodnota diskrétnej náhodnej veličiny
Stredná hodnota spojitej náhodnej veličiny
ix
ii xPxxE )(.)(
dxxxxE )(.)(
Stredná hodnota
![Page 24: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Vlastnosti strednej hodnoty
Súčin konštanty a NV
Súčet dvoch náhodných veličín x a y
Súčin dvoch nezávislých náhodných veličín
)(.).( xEkxkE
)()()( yExEyxE
)().().( yExEyxE
![Page 25: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Medián
je hodnota, ktorá delí súbor náhodnej veličiny na dve rovnako pravdepodobné polovice
5,0)()( medmed xxPxxP
![Page 26: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Modus
pri diskrétnej NV je to hodnota s najväčšou početnosťou
![Page 27: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Aritmetický priemer
je to zvláštny prípad strednej hodnoty
Všeobecný aritmetický priemer
(vážený aritmetický priemer)
n
xxxx
nx i
nAP 21
1
i
iinn
iVAP p
xpxpxpxp
px 2211
1
![Page 28: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Harmonický priemer
je to zvláštny prípad strednej hodnoty recipročných hodnôt
Príklad: priemerná rýchlosť
nHP xxxnx11111
21
![Page 29: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Geometrický priemer
Príklad: finančný prírastok
nnGP xxxx .. 21
![Page 30: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Kvadratický priemer
Príklad: priemerná hodnoty výroby elektrickej energie
nxxx
x nQ
222
21
![Page 31: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Momentové charakteristiky
Počiatočný moment k-teho rádu
Centrálny moment k- teho rádu
kk xE
kkk xExExE 1
![Page 32: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Momenty diskrétnej náhodnej veličiny
)(xPxkk
x
kk xPxEx )(
![Page 33: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Momenty spojitej náhodnej veličiny
dxxxEx kk )()(
dxxxkk )(
![Page 34: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Charakteristiky premelivosti
VarianciaStredná kvadratická odchýlkaPriemerná odchýlkaPravdepodobná odchýlka
![Page 35: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/35.jpg)
35
je mierou variability náhodnej premennej
je definovaná ako druhý centrálny moment
222 )()()()( xExExExExV
n
iii xPxExxV
1
2 )(.)()(
dxxxExxV i )()()( 2
Variancia (rozptyl, disperzia)
![Page 36: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Vlastnosti variancie
Variancia konštanty
Variancia súčinu konštanty a náhodnej veličiny
Variancia súčtu alebo rozdielu dvoch nezávislých NV
0)( kV
)().( 2 xVkxkV
)()()( yVxVyxV
![Page 37: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Stredná kvadratická odchýlka
Základná charakteristika premenlivosti
Smerodajná odchýlka, štandardná odchýlka
)(xV
![Page 38: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Priemerná lineárna odchýlka od strednej hodnoty
Prvý absolútny centrálny moment
V prípade skutočnej chyby v základnom súbore
hovoríme o priemernej lineárnej chybe
)(1 xExE
E
lL
![Page 39: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Pravdepodobná odchýlka od strednej hodnoty
medián absolútnych odchýliek od strednej hodnoty
V prípade skutočnej chyby v základnom súbore hovoríme o pravdepodobnej chybe
5,0)()( xExrPxExrP
5,0 rPrP
![Page 40: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Normovaná náhodná veličina
Štandardizovaná veličina
Stredná hodnota normovanej veličiny
Variancia normovanej veličiny
)(xEx
u
0)( uE
1)( uV
![Page 41: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Charakteristiky šikmosti
Tretí normovaný moment Koeficient šikmosti
Symetrické rozdelenie
33
3
3
3
)()(
xExEtA
0)(3 t
![Page 42: Náhodný jav a náhodná veličina](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070408/568143c3550346895db04fe4/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Charakteristiky špicatosti
Štvrtý normovaný moment
Koeficient špicatosti
Pre normálne rozdelenie je rovný 0Pre E>0 je rozdelenie špicatejšie ako normálne Pre E<0 je rozdelenie menej špicaté ako
normálne
44
4
4
4
)()(
xExEt
33)( 44
4 tE