"IIi

Nacelo problemnosti

Zdravko Kurnik, Zagreb

Sustav nacela nastave matematike

Polazne postavke i temeljne ideje na os-novu kojih se izvodi nastava zovu se, kao

sto znamo, didaktiCka naccla. ana su op-ee smjemice odgojno- obrazovnog rada i kao

i,l sastavni dio'teorije nastave odreduju se ci-Ijevima nastave i odgoja, potrebama drustve-nog razvoja i osobitostima skolske djelatnostiueenika, zasnovane na odgovarajucem stup-nju njihovog psihitkog razvoja. S druge stra-ne, didakticka naeela odreduju nacine preno-knja ueenicima odredenih znanja, razvijanjanjihovih umijeea, navika i sposobnosti - na-stavne metode.

Didakticka nacela medusobno su usko

povezana i tine sustav. Nije rijedak slucajda se ostvarivanjem jednog nacela ostvaru-je i neko drugo ~acelo. U temelje didaktikemogu biti ugra<teni razliciti sustavi is razliCi-tim brojem naeela. Jedan od tih sustava cinesljedeea nacela:

Nacclo primjcrcnosti, nacclo zornosti,nacclo intcrcsa, svjcsnosti i aktivnosti, na-cclo sistcmaticnosti i postupnosti, nacclotrajnosti znanja, vjcsti~a i navika, nacclo

(148

odgojnosti nastavc, nacclo individualizaci-jc.

Sva su nacela podjednako vain a, jer iz-raiavaju bitna polazista nastave. Zato se tre-baju u nastavi svakog nastavnog predmeta, ato znaCi i u nastavi matematike, kako u os-

novnoj tako i u srednjoj skoli, podjednakouvaiavati i primjenjivati. Osnovna znacajkasvakog nacela sadnana je vee u samom nazi-vu nacela i ona su nastavnicima matematike

uglavnom jasna. Medutim, matematika imau odnosu na druge nastavne predmete nekeosobitosti zbog kojih se gomji sustav obic-no nadopunjuje s jos nekoliko nacela, od ko-jih navodimo matematici posebno primjerenadva nacela: nacclo znanstvcnosti i nacclo

problcmnosti. Sva navedena nacela zajednocine tada sustav nacela nastavc matcmati-kc.

Nacelo znanstvenosti opisano je u ovoj

rubrici u pros 10m broju "~-a. Cilj je ovogclanka da se poblize opisu znacenje i znacajkedrugog istaknutog nacela, nacela problemno-sti.

~ 14,2002

Nacclo problcmnosti

Nastava matematike je zahtjevan proces.Matematicki sadnaji Iogicki su povezani i

razlikuju se po slozenosti i tdini. Neki suizrazito slozeni i teski i za njihovo razumije-

vanje potreban je veCiumni napor. Nastavnikmatematike nastoji smanjiti ovu teskocu pri-mjenjujuci nacela postupnosti i primjerenos-ti. Medutim, sam ucenik cesto se prema tomeodnosi sasvim drugacije. On tome pristupa

povrsno, ne primjecuje tu nikakvih problemani teskoca, pa ne ulaze za razumijevanje po-treban napor, njemu se sve cini jasnim. Ovajasnoca potjeee od neukosti i mozemo je na-zvatijasnoca od nedostatka shvacanja.

Ilustrirajmo to s nekoliko slucajeva iznastavnicke prakse.

Primjer 1. Dogodilo se . . .

1) Na pitanje sto je paralelogram, uci-telj dobiva odgovor: Paralelogram je ceNe-rokut kojemu su nasuprotne stranice paralel-

ne ijednakih duljina.Malo ce koji ucenik znati da se u ovom

odgovoru krije definicija i poucak.2) Kako se definiraju okomiti pravci i

pravi kut? Mozda ovako: Pravci koji zat-varaju pravi kut nazivaju se okomiti pravci iPravi kul je kul kojemu su kraci okomiti.

Nesto nije u redu, zar ne? Ovakav pardefinicija "provjeren" je u metodickoj radio-nici!

3) Motivacija potrebc obrade obrata Pi-

tagorina poucka pocinje pitanjem: Je Ii trakuts duljinama stranica a = 5.b = 12.c = 13pravokutan?

Ucitelj nije iznenacten kad ucenik napisejednakosti52+122 = 25+144 = 169 = 132i odgovori da vrijedi Pitagorin teorem i da jetrokut pravokutan. On u tom trenutku ni-je svjestan pogresnosti svog zakljucivanja.Ovakva pogreska moze se naci i u ponekomudzbeniku. Naravno, nakon dokaza obrata

Pitagorina teorema provjera na ovaj nacin bitce vaijana.

m 14,2002

4) Pogledajmo tvrdnju: Svi pravi kutavi

jednaki su jedan drugam. Ucenik primjeeujeda se to sarno po sebi razumije i nije mu jasnosto se tu ima dokazati. Zapravo, djelomicno

je u pravu i blizu je pojmu aksioma! lzjavaje kod Euklida zaista aksiom, ali danas jc onapoucak i dade se dokazati.

a+b ~.5) Nejednakost 2"" ~ vab kOja po-

vezuje aritmeticku i geometrijsku sredinu po-zitivnih realnih brojeva a i b ucenik dokazujcovako:

a + b r-;- r-;-- > vab =- a + b > 2v ab2 - -

=- a + b - 2v;;b ~ 0

=- (va)2+ (Vb)2 - 2vaVb ~ 0

=- (va - Vb)2~ O.

On ne shvaca da to nije dokaz i zasto to nijc

dokaz (v. [4]).

* * *

Sto treba uciniti nastavnik matematike

kada ucenici ne zamjeeuju probleme i kad im

je odmah "sve jasno"? Metodika nudi jed-nostavan odgovor na to pitanje: treba primi-jeniti nacelo problemnosti! Nacelo mozemoiskazati vrIo kratko:

INajprije uciniti nejasnim, a zatim jasnim.j

To znaci da razmatranja treba produbi-ti i ucenike staviti pred problem. Pri tomemora se paziti da novi zahtjevi budu prim-jereni veCini ucenika. Svako produbljivanjepovlaCi u prvom trenutku nestajanje prethod-ne jasnoce. Nejasnoca koja sc pojavi prvi jeznak uspjeha. Sada je potrebno dosta trudai dodatni umni napor da se savladaju nasta-Ie teskoce i razrijese problemi. Ponovo sepojavljuje jasnoca, ali na visoj razini. To jejasnaca spaznavanja.

Ucenici nisu uvijek spremni na promje-nu situacije i povisenje razine njezine prob-lemnosti. Mogu biti kriticrti prema takvom

149

obliku rada. Medutim kriticKo misljenje ce-sto je cIta kreativnosti. Zato i njega trebakOOucenika pravilno usmjeravati i razvijati.Sve to nije jednostavno ostvariti i zahtijeva00 nastavnika matematike mnogo strpljivostii umjclnosti.

Pogledajmo kako se nacelo problemno-sti primjenjuje i ostvaruje pri obradi nekolikoodabranih matematicklh sadIiaja.

Primjer 2. Pitagorin poucak.1) Tradicionalna obrada ove teme ima

jedan izraziti metOOicki nedostatak: pocinjenajcesce tako da se OOmah na pocetku iska-~e svojstvo duljiJ;1aa, b i c stranica pravo-kutnog trokuta u obliku Pitagorina poucka?- = a2 + b2. Nerijetkomanjka i dokaz, vecse brzo prelazi na primjenu poucka na raz-ne geometrijske likove. To nije pogresno, ina taj nacin ucenici ce usvojiti poucak, pos.tat ce njihovo trajno znanje, pogotovo sto ceih Pitagorin poucak "pratiti" tijekom daljnjegskolovanja. Medutim, u ovakvoj obradi na.celo problemnosti prilicno je zapostavljeno.

2) Problemski nacin obrade ovog mate.matickog sadIiaja ima nekoliko izvanrednihznaeajki. To su: visoka razina samostalno-

sti uCenika" ispoljavanje OOredenog stupnjakreativnosti, brzo vlastito "otkrice" nove ma.tematicke istine ?- = a2 + b2. U obradiovenastavne jedinice treba osmisliti sarno dva

koraka prije heuristickog otkrica Pitagorinateorema i to

a) Izracunavanje povrSine kvadrata ukvadratnoj mrezi.

b) Proucavanje razlicitih Pitagorinih fl-gura u kvadratnoj mrdi i sastavljanje tablices vrijednostima a2, b2, c2.

Oba koraka vrlo su pogOOna za primjenu, jetlne korisne metOOe u nastavi matematike

u osnovnoj skoli - metode demonstracije.Sigumo je da se u ovakvoj obradi Pitagori-na poucka naCelo problemnosti primjerenoostvaruje.

* * *

150

Primjer 3. Svojstva rjesenja kvadratnejednadzbe.

Teorijske cinjenice potrebne za obraduovog pitanja su formule za rjesenja XI i X2kvadratne jednadzbe a.x2 + bx + c = 0:

Koja veza postoji izmedu rjdenja XI i-X2kvadratne jednadibe a.x2 + bx + c = 0 injezinih koeficijenata a, b i c?

Ovdje ima vise nepoznanica. Nije po'znat ni smjer istrazivanja, ni krajnji reZllltat.Od ucenika se ocekuje da sami otkriju da naj-jednostavniji reZllltat daje razmatranje zbrojaXI +X2 i umnoska XlX2 rjesenja, ali nastavnik

ne smije biti iznenaden ako kod ucenika nadei druge formule. Na primjer, formule

2 2 b2 - 2acXI + X2 =

Xl = -b + -Ib2 - 4ac2a

-b - -Ib2 - 4ac

2a

(*)

X2 =

Svaka formula izrazava jedno od rjese-nja kvadratne jednadzbe pomocu svih njezi-nih kocficijenata a, b i c. No, zanimljivo je ipitanje veze oba rjesenja XI i X2 S nekirn odkocficijenata a, b i c. Problemnost ove situa-cije moguce je izraziti na tri razlicita nacina.Izbor ovisi 0 predznanju ucenika.

1) Nastavnik precizno postavlja problemucenicima. Dokaiite da za rjdenja Xl i X2kvadratne jednadibe a.x2+ bx + c = 0 vrijedejednakosti

a2

-Ib2 - 4acXl - X2 =

a

To sarno moze ukazivati na kreativnost nje-

govih ucenika.U sva tri slucaja cilj nastave je upoznati

i dokazati tzv. Vieteove formule (*). Jedinose u svakom od njih polazi s drugacije razine

problemnosti.4) Postoji jos jedan vaZan trenutak pri

razmatranju kvadratne jednadzbe: zapis kva-dratne jednadzbe pomocu njezinih rjesenjaXl i X2. Problemnost ove situacije nastavnikmoze tako i iskazati:

Pronadite naCin zapisivanja kvadratlle

jednadibe kojoj su zadana rjesenja XI i X2.

Ovdje je nepoznat zapis kvadratne jed-nadzbeax2+bx+c = 0 u obliku (X-Xl )(X-

X2) = O. Od ucenika se ocekuje da do togazapisa doc!u primjenom Vieteovih formula.

b CXI +X2 = --, XlX2 =-a a

Ovdje se radi 0 jednom poucku. Poz-nat je krajnji rewltat, a 00 ucenika se sarnoocekuje da taj poucak dokazu.

2) Nastavnik stvara situaciju u kojoj se00 ucenika zahtijeva da sami razrijese prob-lem koji se u toj situaciji nalazi i gdje jednakomponenta problemske situacije nije poz-nata. * * *

Izrazite zbroj Xl +X2 i umlloiak XlX2 rje-senja XI i X2 kvadratne jednadibe a.x2 + bx +c = 0 pomocu njezinih koeficijenata a, b i c.

Ovdje krajnji reZllltat nije poznat, ali jeoznacen smjer u kojem se trebaju provesti ra-zmatranja. Od ucenika se ocekuje otkrivanjeformula i formulacija poucka.

3) Nastavnik stvara situaeiju u kojoj se00 ucenika zahtijeva da sami shvate, formu.

liraju i razrijese problem koji se u toj situacijinalazi.

Razmotrimo sadajedan tdi problem ko-ji je pogOOan za rad s naprednijim ucenicimai razvijanje njihovog stvaralackog misljenja.

Primjer 4. Odrec!ivanje cijelog dijela

brojaI 1 1

XII = 1+ .j2 + -13+ . . . + vn(n> 1).

(1)Cijeli dio nekog broja X najveei je ci.

jeli broj koji nije yeti 00 x. Oznacava se

~ 14,2002 ~ 14,2002

sa [X]. U nasem slucaju treba OOrediti [XII]'Za male prirOOne brojeve;1 OOredivanjebroja

[XII]je standardni zadatak i on se moze rije-Wi aproksimiranjem pojedinih pribrojnika ineposrednim zbrajanjem. Ali, koliki je, naprimjer, broj [XIOOOO] ili broj [X4008004j? Sada

to postaje teZak problemski zadatak. On serjesava primjenom nejednakosti, a problem ijest u pitanju: kojih nejednakosti?

a) Razmotrimo najprije jednostavnijuproblemsku situaciju. U nekim zbirkama za-dataka moze se u OOjeljku0 nejednakostimai u vezi s nasim problemom naci sljedeci za.datak:

Dokaiite da za svaki prirodlli broj n vec'i

od I vrijede nejednakosti

II ::' ;Ii ', ,il .I

I

I:.'ii

iii'"'IIiI,I

ii'!iiiI

Ii""II '

I' I11 I11 'ii i'I

2vn - 2 < XII< 2vn - I. (2)

Zadatak daje gran ice broja XII' Ako na-stavnik upozna ucenike s.ovim nejednakosti.ma, telina polazne problemske situacije timese naravno snizila i ucenicima preostaju dva

prirodna koraka: dokazi nejednakosti (prim-jenom metOOe matematicke indukcije) i 00-govor na gomje pitanje (izracunavanje broje-va [XIOOOO]= 198, hOO8004] =4002).

b) Razmotrimo polaznu problemsku si-tuaciju. Pred ucenicima je sada mnogo visenepoznanica. Prva 00 njih je teorijska osno-va, tj. one teorijske Cinjenice koje su u najuzojvezi s uvjetima i ciljem zadatka i koje se ot-krivaju dubljom analizom. Za to je potrebanozbiljan istrazivacki rad. Je Ii tesko otkritiideju i pocetni korak?

Ogranicavanje broja XIIslijeva i zdesna usvrhu smanjivanja broja mogucnosti za broj[XII]javlja se prirOOnom idejom, a to znacida teorijske cinjenice treba potraziti u po-drucju nejednakosti. Ideja se dalje razvijaovako: treba pronaci dva izraza A(n) i B(n)

koji ovise 0 prirOOnom broju n, tako da jeA(n) <X" < B(n)idajerazlikaB(rz)-A(n)sto je moguce manja. Sasvim je jasno da cese ovi uvjeti lakSe ispuniti ako se najprije us-

151

piju naCirazlicite ocjene za izraz :n° Netr<iba iCi daleko, vee treba taj broj usporeditis']ednostavnim IZl-azima. Mozda su to izrazi

.;n=-I, .jii, JiI+T, koji se lako uocavaju isami nameeu?

Kriticno mjesto analize su pomocne ne-jednakosti koje povezuju te izraze. U nasem

slueaju izdvajamo, ad vise mogucnosti, slje-deee cetiri pomocne nejednakosti

.jii > v;=I, 2.jii < ~ + .jii,2.jii> ~ + v;=I,2.jii> .jii+ v;=I.

One su vise-manje ocigledne i "obeeavaju".Pokazuje se,da je to dobar izbor. Njihovimtransfonniranjem na oblike

I

.jii - v;=I < .jii'1

2~ - 2.jii < .jii'1

.jii < ~ - v;=I,1

- < 2.jii - 2v;=I.jii

mogu se za broj Xn lako izvesti nejednakosti

(jn<Xn, 2vn'+ 1 - 2h + 1 < Xn,

Xn< ~ + .jii - h, XII< 2.jii - I.

Vratimo se nasem problemu. Za zapisoblika A(n) < XII < B(n) imamo vise mo-gucnosti. Najbolji je pomocu druge i cetvrtenejed.nakosti, tj.

2JiI+T - 2h + 1 < X" < 2.jii - 1. (3)

Prirnijetirno daje lijeva granica bolja odnejednakosti (2) u gornjem zadatku, a boljaje i od granice 2-v'i1+T - 2, koja se navodiu nekim zbirkama.

Samostalno otkrivanje razmatranih i slic-nih nejed.nakosti bio bi za ucenike istinskimatematicki dozivljaj i poticaj za nova otk-riCa. Nije jednostavno i lagano, ali je sva-kako pravi put dubljeg sagledavanja i ucenja

152

matematike. I primjerenao ostvarenje naccla

problcmnosti.

* * *

Zakljucak.

Nacelo problemnosti mora postati jednood vodecih nacela nastave matematikc. Pri-

mjenom toga nacela nastavnik matematike

moze potisnuti prividnu jasnocu, upozoritiucenike na probleme koje oni ne uocavaju,doprinijeti razvoju matematickog misljenja iznatno poboljsati vrsnocu nastave matemati-

ke. Jasno je da ce rezultati primjene ovognacela biti veci u visim razredima osnovnc i

srednje skole. Nacelo problemnosti posebnodolazi do izrafaja u nastavnom sustavu kojise naziva problemska nastava. 0 tome ce u

ovoj rubrici uskoro biti vise rijeei.

Literatura

II] N. M. Beskin, 0 "dim osnovllim prillcipimaprednvanja iz ma/emalike (prijevod s ruskog).Matematika 2 (1985). 5-10.

[2) Z. Kumik, Suvremena melodilw i nos/ava ma-/ema/ike, Zbomik radova I. kongresa nastavnikamatcmatike Republike Hrvatske, Zagreb 21XXJ,187-201.

[3] Z. Kumik. Ma/ema/ic'ki zadn/ak, Matematika iskola 7 (21XXJ),5 I-58.

[4) Z. Kumik, Nacefo manslvellos/i, Matematika iskola 13 (2002). 102-106.

[5] Y. A. Oganesjan i dr., Me/odilw prepodava."ija ma/emaliki v srednej skofe. Prosvescenie,Moskva 1980.

~ 14,2002