Universidad Andres BelloFacultad de Ingenierıay Construccion CivilDepartamento de Matematicas

Algebra (FMM013)Guıa 1

Polinomios:

1. Determine el grado de los siguientes polinomios en R[x]:

a) Q(x) = 10

b) Q(x) = 3x2 + 5x + 1

c) Q(x) = 13x3 + 1

2. Considere el polinomio p(x) = x2+x perteneciente a Z2[x]. Calcule p(0) y p(1). Deduzcaque p(x) no es el polinomio nulo en Z2[x], pero sı es la funcion nula.

3. Realize las siguientes multiplicaciones de polinomios en R[x]:

a) (m4 − 3m2 + 4)(3m2 − 2m + 1) =

b) (3an−1 + an − 2an−2)(an − an−1 + an−2) =

c)(

32x2 + 1

4x− 2

5

) (2x3 − 1

3x + 2

)=

d) (a2 − 5)(am − 3am−1 + 5am−3 =

4. Reducir las siguientes expresiones:

a) x(a + x) + 3x(a + 1)− (x + 1)(a + 2x)− (a− x)(a− x) =

b) [3(x + 2)− 4(x + 1)][3(x + 4)− 2(x + 2)] =

5. Considere p(x) = 2x4 +x3−2x2 +1 ∈ R[x]. Calcule p(−3), p(−2), p(−1), p(0), p(1/2),p(1) y p(2).

6. Encuentre a y b tal que los polinomios p(x) y q(x) ∈ R[x] sean iguales:

a) p(x) = x3 + (a + b)x2 + 7x− 5, q(x) = x3 + 8x2 − (a− 2b)x− 5.

b) p(x) = −x4 + (a− b)x3 + 8x2 + x− 1, q(x) = −x4 + 6x3 + (2a− b)x2 + x− 1

7. Encuentre a y b para que p(x) ∈ R[x] verifique las condiciones dadas:

a) p(x) = x3 + ax2 + 6x + b, p(0) = 1, p(1) = 5.

b) p(x) = x4 − 2x3 − ax2 − b, p(0) = −1, p(1) = 8.

8. Realice las siguientes divisiones:

a) (x3 − 8x2 + 15x− 8) : (x− 1)

b) (x3 − 4x2 − 32x + 65) : (x + 5)

c) (28x3 − 41x2 + 63x− 36) : (4x− 3)

d) (3x4 − 7x3 + 14x2 + 17x− 7) : (3x2 + 2x− 1)

e) (a5 − a4 + 10− 27a + 7a2) : (a2 + 5− a)

f ) (x15 + y15) : (x3 + y3)

g) (x2a+5 − 3x2a+3 + 2x2a+4 − 4x2a+2 + 2x2a+1) : (xa+3 − 2xa+1)

h) (34x5 + 1

2x4 − 37

40x3 + 2

3x2 + 19

30x− 4

5) : (2x3 − 1

3x + 2)

9. Encuentre el valor de k para que:

a) x3 − 7x + 5 sea factor de x5 − 2x4 − 4x3 + 19x2 − 31x + 12 + k.

b) (2x3 − 5x2 + kx + 8k) sea divisible por x + 2.

c) El resto de dividir 2x3 + 2kx2 − 3x + 5 por x + 3 sea igual a 10.

10. Al dividir un polinomio entre x−6 se obtiene cociente x2 +x+1 y resto −4. Encuentreel dividendo.

11. Si se divide x2 − 5x + 5 por x − c se obtiene resto −1. Encuentre los posibles valoresde c.

12. Factorice en factores lineales el polinomio 4x3 + 4x2 − x− 1 sabiendo que x + 1 es unfactor.

13. Encuentre Q(x) y R(x) tal que P (x) = Q(x)D(x) + R(x), con P (x) = x8 + x7 + x6 +x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 y D(x) = x3 + x2 + x + 1.

14. Encuentre el resto R(x) obtenido al dividir el polinomio P (x) entre x2 − 1, sabiendoque P (−1) = 4, P (1) = 0.

15. Encuentre el resto R(x) obtenido al dividir el polinomio P (x) entre x2 − 8x + 15,sabiendo que P (3) = 3, P (5) = 5.

16. Resuelva, para la variable x, las siguientes ecuaciones:

a) 6x2 − 13x + 6 = 0

b) 6x2 + 5x = 1

c) abx2 + (a2 − 2b2)x = 2ab

d) (6x− 5)(5x− 4)− (4x− 3)(3x− 2) = 22

e) (2x− 3) : 7 = (2x + 2) : (3x + 2)

f ) 7x−510x−3

= 5x−36x+1

g) ax3 − (a− 1)2x2 − (2a2 − a + 2)x + 2a = 0

h) 9x + 45x

= 86

i) 2x+√

x+327

= 52x−√x+3

j )√

2x + 1−√2x− 4 =√

2x− 7

k) 8x4 + 10x2 = 3

l) (2x− a)2 = b(2x− a) + b2

m) 35√

x4 − 55√

x2 = 2

n)√

3x−4x−5

+√

x−53x−4

= 52

17. Factorize los siguientes polinomios:

a) x3 − 5x + 4

b) x3 − 3x2 + 2

c) x3 + 4x2 − 27x− 90

d) x4 − x3 − 5x2 + 3x + 6

e) x4 − 5x3 − 4x2 + 44x− 48

f ) x4 − 6x3 + 13x2 − 12x + 4

g) x5 − 3x4 − 5x3 + 15x2 + 4x− 12

h) x5 + 17x4 + 2x3 − 58x2 − 99x− 45

18. Encuentre el valor del parametro k para que en el polinomio x2 − 2(k + 1) + 2k + 1

a) El producto de sus raıces sea igual a 3.

b) La suma de sus raıces sea igual a 6.

19. Sean α y β las raıces de la ecuacion 3ax2 − 6bx + 4c = 0. Encuentre el valor de lassiguientes expresiones en funcion de a, b y c.

a) 1α

+ 1β

b)(α + 1

β

) (β + 1

α

)

c) α2β + αβ2

d) 1α2 + 1

β2

20. Encuentre el valor de m para que la ecuacion x2 + 2(m + 2)x + 9m = 0 tenga raıcesiguales.

21. Encuentre los valores de k para que la ecuacion (k − 1)x2 + 4x − 5 = 0 tenga raıcesreales y distintas.

22. Encuentre los valores de k para que la ecuacion 3x2 + (k − 4)x + 3 = 0 tenga raıcescomplejas.

23. Determine el conjunto de los m ∈ R tal que la ecuacion mx3+(m−3)x2+(2−m)x = 0tiene por lo menos una solucion positiva.

24. Demuestre que para todo p ∈ R, el polinomio x3 − (p + 1)x2 + (p− 3)x + 3 tiene unaraız entera.

25. Formar las ecuaciones que tengan como raıces:

a) 2 +√

5 y 2−√5.

b) 5 + 3i y 5− 3i.

c) 94

y −56.

26. Determine los parametros m, b y k tal que los polinomios Q(x) = x3 − 12x + k yP (x) = (x−m)2(x + b) son iguales.

27.

a) Encuentre una relacion entre p y q si se sabe que existe un numero m tal quem2 = −p

3y m3 = q

2

b) Demuestre que si m es una raız de multiplicidad dos del polinomio Q(x) = x3 +

px + q, entonces 3m2 + p = 0 y q2

4+ p3

27= 0.

c) Determine los valores de q que hacen que el polinomio Q(x) = x3 − 6x + q tengauna raız doble. Encuentre esta raız.

28. Encuentre el resto R(x) que se obtiene al dividir un polinomio P (x) entre el polinomioQ(x) = (x + 1)(x− 1)(x− 2), sabiendo que P (−1) = −1 y P (2) = 2.

29. Demuestre que el polinomio Q(x) = x3 − (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x − abc tieneraıces a, b y c.

30. Encuentre un polinomio de grado 3 con raıces m, m− n y m + n.

31. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 2x3 − 4x2 − 5x + 10 = 0

b) 4x3 − 4√

3x2 − x +√

3 = 0

c) x3 − x = 3√

2(x2 − 1)

d) 3√

4x3 + 2x2 − 2 = x 3√

4

e) x3 − 15√

5 + 5x− 3x2√

5 = 0

f ) x5 − x = 0

g) 16x4 − 1 = 0

h) x4 + 2x2 − 15 = 0

i) 3x6 + 4x3 − 4 = 0

j ) 2x7 + 3x5 − 2x3 = 0

k) (x2 + x)4 − 1 = 0

l) x4 − 6x3 + 9x2 − 4 = 0

32. Dos raıces diferentes del polinomio A(x) = x2 + ax + b son tambien raıces de B(x) =x4 + ax3 + 5x2 − 5x− b = 0. Encuentre a y b.

33. Los polinomios A(x) = a(x− 2)(x − 3) + b(x − 1)(x − 3) + c(x − 1)(x− 2) y B(x) =5x2 − 19x + 18 son iguales. Calcule a, b y c.

34. Los numeros 1 y 2 son raıces de la ecuacion x3 + ax2 − bx− 6 = 0. Encuentre a y b.

35. El polinomio Q(x) = x3 − (k + m)x2 − (k−m)x + 3 es divisible por (x− 1) y (x− 3).Calcule m y k.

36. Se sabe que el numero 3 es una raız de multiplicidad dos del polinomio Q(x) = x3 −5x2 + px + q. Encuentre p y q.

37. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 4− 2x2(3− x2)− (1− x2)2 = 0

b) x2 + 1x2 = a2 + 1

a2

c) p2q2x4 − (p4 + q4)x2 + p2q2 = 0

d) x2 = 7x−33x−7

e) 4x+45x−5

= x2+2x+11+x2

f ) 3x4 − 10x3 + 10x− 3 = 0

g) 6x4 + 7x3 − 12x2 − 3x + 2 = 0

h) x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 = 0

i) x4 − 3x3 − 8x2 + 12x + 16 = 0

j ) 3(x2 − 4x)− (x2 − 4x)2 + 10 = 0

k) (x2 − 3x + 4)(x2 − 3x− 1) = −6

l) (3x2 + x− 2)2 = 30x2 + 10x− 36

m) 12x5 − 8x4 − 45x3 + 45x2 + 8x− 12 = 0