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Operações Aritméticas no sistema binário

Na área de eletrônica digital e microprocessadoresé usado as operações aritméticas.

Adição no sistema binárioPara efetuar a adição no sistema binário, devemos agir comonuma adição convencional no sistema decimal, lembrando que,no sistema binário temos apenas dois algarismos.

Lembrando que no sistema binário 𝟏 + 𝟏 = 𝟐𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟐

0+ 0

0

0+ 1

1

11

+ 11 0

𝟏) 2) 3)

Transporta 1

Ou seja transporta os algarismos para cima deixando apenas o

ultimo

10

“vai um” para o dígito de ordem superior

Adição no sistema binário

𝟏𝟏𝟐 + 𝟏𝟎𝟐 = 𝟏𝟎𝟏𝟐

1 1+ 1 01 0 1

1

10

Transporta


𝟏𝟏𝟎𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟏𝟐

1 1 0+ 1 1 11 1 0 1

11

11

Transporta


𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟐 + 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟐

1 1 0 0 1

+ 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0

1111Transporta


𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟏𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐

1 0 1 1 0 1

+ 1 1 1 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 0

111111Transporta 1


𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟐

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

+ 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 0

Transporta


𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟐 + 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟐= 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐

1 1 10 10 10 1

1 0 0 1 1 1

+ 1 1 1 0

+ 1 0 1 1

1 0 0 0 0 0 0

10

+10100

𝟏𝟎 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟎

Transporta

Hora de estudar praticandoExercício 1.6.17) Efetue as operações𝒂)𝟏𝟎𝟎𝟎𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟐𝒃)𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟐𝒄)𝟏𝟎𝟏𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟐𝒅)𝟏𝟏𝟏𝟎𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟐𝒆)𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟐 + 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟐

-1 10-1=9 10

1 0 0

- 9 9

0 0 1

Subtração no sistema decimal

𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎 − 𝟗𝟗𝟏𝟎 = 𝟏𝟐

1 0 0

- 9 9

Inicia a operação na ultima casa decimal

Como tirar 9 de zero?Recorremos a casadecimal superior

1 0 0

- 9 9

Como tirar algo da casa decimal superior se ela também é zero?Recorremos decimal superior

Mas é zero também. E agora?

“emprestando 1 que é igual 10 unidades da casa anterior”

“emprestando 1 que é igual 10 unidades da casa anterior”

Subtração no sistema binário

𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟐 + 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟐 == 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐

Como é impossível tirar 1 de 0, o artifício é “pedir emprestado” 1 da casa de ordemsuperior, ou seja, na realidade o que se faz é subtrair 12 de 102 e encontramos12 como resultado, devendo então subtrair 1 do dígito de ordem superior.

0- 0

0

0- 1

-1

1- 1

0

𝟏) 2) 3)

Sinal negativo “emprestei do próximo vizinho decimal”


𝟏𝟏𝟏𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝟐 = 𝟎𝟏𝟏𝟐

1 1 1- 1 0 0

0 1 1


𝟏𝟎𝟎𝟎𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟐 = 𝟏𝟐

-1 10-1=1 10-1=1 10

1 0 0 0

- 1 1 1

0 0 0 1

“emprestando 1”


𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟐 = 𝟏𝟎𝟐

1 0 1 0- 1 0 0 0

0 0 1 0


𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐 = 𝟏𝟐

-1 101 0 0 1 0

- 1 0 0 0 10 0 0 0 1

“emprestando 1”


𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐

“emprestando 1”

-1 10-1=1 10-1=1 101 1 0 0 0

- 1 1 11 0 0 0 1

Hora de estudar praticandoExercício 1.6.18) Efetue as operações𝒂)𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐 − 𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐𝒃)𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟐𝒄)𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝒅)𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟐 − 𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟐𝒆)𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐

Multiplicação no sistema binário

𝟎 ∗ 𝟎 = 𝟎𝟎 ∗ 𝟏 = 𝟎𝟏 ∗ 𝟏 = 𝟏

Semelhante ao decimal. Tá fácil !


𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎𝟐

1 1 0 1 0x 1 0

0 0 0 0 0+ 1 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0


𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐 ∗ 𝟎𝟏𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟐

1 1 0 0x 0 1 1

1 1 0 0+ 1 1 0 0+ 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0


𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟐

1 1 0 1 0

x 1 0 1

1 1 0 1 0

+ 0 0 0 0 0

+ 1 1 0 1 0

1 0 0 0 0 0 1 0


𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟏𝟐

1 0 0 1 0 1

x 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1

+ 0 0 0 0 0 0

+ 0 0 0 0 0 0

+ 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 0 1 1 0 1

Hora de estudar praticandoExercício 1.6.19) Efetue as operações𝒂)𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝒃)𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟐𝒄)𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟐𝒅)𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟐𝒆)𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐

Notação dos números binários POSITIVO

ENEGATIVO

A notação de números binários positivos e negativos pode ser feita utilizandoos sinais “+” e “-” respectivamente.Na prática, em hardware, dos sistemas digitais que processam operaçõesaritméticas, microcomputador por exemplo, estes sinais não podem serutilizados, pois tudo deve ser codificado em 0 ou 1.Uma forma de representar em alguns casos, é acrescentar ao número um “bitde sinal” colocado à esquerda, na posição de algarismo mais significativo.Número positivo = bit “0”Número negativo = bit “1”

SINAL MÓDULO

SINAL MÓDULO

Número positivo = bit “0”Número negativo = bit “1”

Sendo assim então+𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐 = 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐-𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟏𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟏𝟐

Notação dos números binários POSITIVO

ENEGATIVO

Outra forma seria utilizar do “complemento de 2”para representar os números negativos

-1 0 0 1 1 0 1 1

"complemento de 1" 0 1 1 0 0 1 0 0

"complemento de 2" + 1

0 1 1 0 0 1 0 1

“Complemento de 2”

Esta representação, por serem utilizados no hardware de sistemas, possuem sempre um número predefinido de bits, não devendo ser desconsiderado nenhum deles na resposta.

-1 1 0 0 1 1 0 1

"complemento de 1" 0 0 1 1 0 0 1 0


0 0 1 1 0 0 1 1

DECIMAL BINÁRIO COMPLEMENTO DE 1 COMPLEMENTO DE 2

N

E

G

A

T

I

V

O

S

-9 -1001 0110 0111-8 -1000 0111 1000-7 -0111 1000 1001-6 -0110 1001 1010-5 -0101 1010 1011-4 -0100 1011 1100-3 -0011 1100 1101-2 -0010 1101 1110-1 -0001 1110 1111

P

O

S

I

T

I

V

O

S

0 0000 00001 0001 00012 0010 00103 0011 00114 0100 01005 0101 01016 0110 01107 0111 01118 1000 10009 1001 1001

Números positivos recebem representação normal

Represente os seguintes números utilizando a notação sinal-módulo

−𝟐𝟕𝟏𝟎=? ?

+𝟐𝟕𝟏𝟎= 𝒒𝒖𝒂𝒍 é 𝒐 𝒃𝒊𝒏á𝒓𝒊𝒐 𝒓𝒆𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆? ?

𝑽𝑶𝑳𝑻𝑬 𝑺𝑬 𝑵Ã𝑶 𝑬𝑺𝑻𝑼𝑫𝑶𝑼 𝑵𝑨 𝑨𝑼𝑳𝑨 𝑷𝑨𝑺𝑺𝑨𝑫𝑨+𝟐𝟕𝟏𝟎= +𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟐

Sendo um número negativo, para representar na notação “sinal módulo” acrescentamos 1 como bit de sinal à esquerda

−𝟐𝟕𝟏𝟎= 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟐

Represente os seguintes números utilizando a notação sinal-módulo

−𝟒𝟗𝟏𝟎=? ?

+𝟒𝟗𝟏𝟎= 𝒒𝒖𝒂𝒍 é 𝒐 𝒃𝒊𝒏á𝒓𝒊𝒐 𝒓𝒆𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆? ?

𝑽𝑶𝑳𝑻𝑬 𝑺𝑬 𝑵Ã𝑶 𝑬𝑺𝑻𝑼𝑫𝑶𝑼 𝑵𝑨 𝑨𝑼𝑳𝑨 𝑷𝑨𝑺𝑺𝑨𝑫𝑨+𝟒𝟗𝟏𝟎= +𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐

Sendo um número negativo, para representar na notação “sinal módulo” acrescentamos 1 como bit de sinal à esquerda

−𝟒𝟗𝟏𝟎= 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐

Determine o “complemento de 1”

𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐 =? ?

INVERTER BIT A BIT

𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐 = 𝟎𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟐

Exercício 1.6.22) Determine o complemento de 1 de cada número

binário

𝒂)𝟎𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎𝟐𝒃) 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟐

Determine o “complemento de 2”

𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟐 =? ?

- 1 0 0 1 0 1 1 0"complemente de 1" 0 1 1 0 1 0 0 1"complemento de 2" + 1

0 1 1 0 1 0 1 0

𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟐 = 𝟎𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐

Exercício 1.6.23) Represente os números na notação complemento de 2

𝒂) −𝟏𝟎𝟏𝟏𝟐𝒃) −𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝐜) −𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟐𝒅) −𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎𝟐𝒆) −𝟎𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐

Qual o equivalente positivo do número 𝟎𝟏𝟏𝟎𝟐 representado em “complemento de

2” ?

BASTA DETERMINARMOS NOVAMENTE O “COMPLEMENTO DE 2” E ENCONTRAREMOS

O EQUIVALENTE POSITIVO

𝟎𝟏𝟏𝟎𝟐 = 𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐

0 1 1 0"complemente de 1" 1 0 0 1"complemento de 2" + 1

1 0 1 0

Exercício 1.6.24) Qual o equivalente decimal do número 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟐 aqui representado em

complemento de 2 ?

Exercício 1.6.20) Represente os números decimais utilizando a notação

sinal módulo

𝒂) +𝟗𝟕𝟏𝟎𝒃) −𝟏𝟐𝟏𝟏𝟎

Exercício 1.6.21) Estando o número 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟐 em sinal módulo, o que ele

representa no sistema decimal ?

Utilização do complemento de 2 em operações aritméticasPodemos utilizar a notação do complemento de 2 para efetuar operaçõesdiversas que envolvam soma ou subtração.

Utilização do complemento de 2 em operações aritméticasEXEMPLO) 𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟐

- 0 0 1 0 0 1 0 1

"complemente de 1" 1 1 0 1 1 0 1 0


1 1 0 1 1 0 1 1

SOMA + 1 1 0 1 0 1 1 1

ESTOURO DO Nº DE BITS DESCONSIDERADO

1 1 0 1 1 0 0 1 0

MESMO NÚMERO DE BITS

-0 1 0 0 0 1 0 0

"complemente de 1" 1 0 1 1 1 0 1 1


1 0 1 1 1 1 0 0

SOMA 1 0 1 0 1 0 1 1


1 0 1 1 0 0 1 1 1

Utilização do complemento de 2 em operações aritméticasEXEMPLO) 𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟐

MESMO NÚMERO DE BITS

Utilização do complemento de 2 em operações aritméticasEXEMPLO) 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟐 = −𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟐

O MINUENDI É MENOR QUE O SUBTRAENDO

- 1 0 0 1 0 1

"complemente de 1" 0 1 1 0 1 0


0 1 1 0 1 1

SOMA 0 1 0 0 1 1

NÚMERO NEGATIVO, RESPOSTA EM

COMPLEMENTO DE 2, OBTER EM NOTAÇÃO BINÁRIA

1 0 1 1 1 0

1 0 1 1 1 0

"complemente de 1" 0 1 0 0 0 1


-0 1 0 0 1 0

Utilização do complemento de 2 em operações aritméticasEXEMPLO) 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟐 = −𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟐

Utilização do complemento de 2 em operações aritméticasEXEMPLO) Efetuar em binário utilizando a aritmética do complemento de 2 aoperação 𝑪𝑨𝟏𝟔 − 𝟕𝑫𝟏𝟔 = 𝟒𝑫𝟏𝟔

7 D

-0 1 1 1 1 1 0 1

"complemente de 1" 1 0 0 0 0 0 1 0


1 0 0 0 0 0 1 1

C A

SOMA 1 1 0 0 1 0 1 0


1 0 1 0 0 1 1 0 1

4 D

TESTANDO SEUS LIMITESExercício 1.6.25) Efetue as operações utilizando o complemento de 2𝒂)𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟏𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟐𝒃)𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟐 − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝒄)𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟐𝒅) −𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐 +𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐𝒆) −𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟐 −𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟐

Exercício 1.6.26) Efetue em binário as operações utilizando a aritmética docomplemento de 2𝒂)𝟕𝟓𝟖 − 𝟑𝟎𝟖𝒃)𝟒𝟒𝟏𝟔 − 𝟑𝑬𝟏𝟔𝒄)𝑨𝟗𝟏𝟔 − 𝑬𝟎𝟏𝟔𝒅) −𝑩𝑪𝟏𝟔 +𝑭𝑪𝟏𝟔𝒆) −𝟐𝟐𝟏𝟔 −𝟏𝑫𝟏𝟔

TCHAUUUuuu... !!!

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