Matematika

ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN!

Zopakujte si základní informace ke zkoušce

n Test obsahuje 30 úloh.

n Na jeho riešenie máte 90 minút čistého času.

n Každá úloha má správnu len jednu odpoveď.

n Za každú správnu odpoveď získáte bod, za nesprávnu odpoveď sa vám odčíta 1/4 bodu.

n Najlepšie je riešiť najskôr jednoduché úlohy a k náročnejším sa vrátiť.

n Nebuďte nervózni z toho, že nevyriešite všetko, to sa podarí len málokomu.

NÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY

MAREC I 2019

PREHĽAD VZORCOV

© Scio® 2018 Matematika

Kvadratická rovnica: 2 0ax bx c ; 2

1,2

4

2

b b acx

a

; x1 + x2 =

b

a ;

1 2

cx x

a ; 0a

Goniometrické funkcie: 2 2sin cos 1x x

tg cotg 1,2

x x x k

sin 2 2 sin cosx x x ; 2 2cos2 cos sinx x x

xx cos2

πsin

;

πcos sin

2x x

costg cotg ,

2 sin

xx x x k

x

π sin π

cotg tg , 2 12 cos 2

xx x x k

x

sin sin cos cos sinx y x y x y

cos cos cos sin sin x y x y x y

2

cos1

2sin

xx ;

2

cos1

2cos

xx

x 0 6

π

4

π

3

π

2

π

sin x 0 1

2

1

22

1

23 1

cos x 1 1

23

1

22

1

20

Trigonometria: sínusová veta:

sin

sin

b

a;

sin

sin

c

b;

sin

sin

a

c

kosínusová veta: 2 2 2 2 cosa b c b c ; 2 2 2 2 cosb a c a c ; 2 2 2 2 cosc a b a b

Logaritmus: log log logz z zx y x y ; log log logz z z

xx y

y ; log logk

z zx k x ; log y

z x y x z

Aritmetická postupnosť: 1 1na a n d ; 12

n n

ns a a

Geometrická postupnosť: 1

1

n

na a q ; 1

1, 1

1

n

n

qs a q

q

Geometrický rad: 1

1, 1

1s a q

q

Rozklad na súčin: 1 2 3 2 2 1( )( ... ) n n n n n n na b a b a a b a b a b b

Kombinatorika: ( ) !P n n ;

V k nn

n k( , )

!

!

;

!,

! !

n nC k n

k k n k

;

1; =

1 1

n n n n n

k n k k k k

1 2

1 2

1 2

( ... )!’( , , ..., )

! !... !

k

k

k

n n nP n n n

n n n

; ’ , kV k n n ;

1 1’ ,

1

n k n kC k n

k n

Binomická veta: 1 2 2 1....1 2 1

n n n n n nn n n

a b a a b a b a b bn

Analytická geometria: veľkosť vektoru: 1 2( ; )u u u je: 2 2

1 2u u

Kosínus odchýlky priamok 1 1 1 1: 0p a x b y c a

2 2 2 2: 0p a x b y c je 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cosa a b b

a b a b

Vzdialenosť bodu M[m1;m2] od priamky p: ax + by + c = 0 je 1 2

2 2

a m b m cMp

a b

Stredový tvar rovnice kružnice: 2 2 2x m y n r ; elipsy:

2 2

2 21

x m y n

a b

; e

2 = a

2 – b

2

Stredový tvar rovnice hyperboly:

2 2

2 21

x m y n

a b

;

1

2

2

2

2

b

ny

a

mx; e

2 = a

2 + b

2

Vrcholová rovnica paraboly: 2

2 , ;2

py n p x m F m n

;

22 , ;

2

px m p y n F m n

Objemy a povrchy telies:

Kváder Valec Ihlan Kužeľ Guľa

Objem a b c 2r v 1

3S v 21

π3

r v 34π

3r

Povrch 2(ab+ac+bc) 2π r r v S+Q π r r s 24π r

Matematika 

© Scio 2019  3 

1.

Ktorá z nasledujúcich rovností platí pre všetky reálne čísla x?

(A) 2 2( 2) 4 4x x x

(B) 2 2 2( 2) 4 4x x x

(C) 2 2( 2) 2 4x x x

(D) 2 2( 2) 2 4 4x x x

(E) 2 2( 2) 4 2 2x x x

2.

1 1 1 1 1, , , , , ...

4 4 4 4 4

V postupnosti sa pravidelne striedajú čísla 1

4 a

1

4 . Aký je

súčet prvých sto čísel takejto postupnosti, z ktorej je uvedených prvých 5 čísel?

(A) 1

2

(B) 1

4

(C) 0

(D) 1

4

(E) 1

2

3.

Na začiatku je v hrnčeku tekutina, z ktorej je 85 % čaju a zvyšok tvorí mlieko. Ak prilejeme do hrnčeka 15 ml mlieka, zmení sa podiel čaju na 80 %. Koľko bolo v hrnčeku na začiatku tekutiny?

(A) 200 ml (B) 175 ml (C) 240 ml (D) 250 ml (E) 125 ml

4.

Ako Mersenneove prvočísla sú označované prvočísla v tvare 2 1pM , kde p je prvočíslo. Mersenneovým prvočíslom je

napríklad číslo:

(A) 5 (B) 11 (C) 15 (D) 31 (E) 63

Matematika 

© Scio 2019  4 

5.

Ľubovoľné prirodzené číslo, ktoré pri delení číslom 5 dáva zvyšok 2, sa dá napísať nasledujúcim spôsobom:

(A) 2 5, k k N

(B) 2 5, k k N

(C) 5 3, k k N

(D) 5 2, k k N

(E) 5 3, k k N

6.

Medzi racionálne čísla nepatrí číslo:

(A) 1

22

22

(B)

1

211

2 22

(C) 102 1

22

(D)

1

212

2

2

(E) 2

1

1 1

22

7.

Pre každé dané výroky X, Y, Z, ktorých negácie sú označené X ' , Y ', Z ', platí, že negácia výroku (X ∨ Z) ∧ Y je výrok:

(A) (X ' ∨ Z ' ) ∧ Y ' (B) (X ' ∧ Z ' ) ∨ Y ' (C) X ' ∧ Z ' ∧ Y ' (D) X ' ∨ Z ' ∨ Y ' (E) X ' ∨ Z ' ∨ Y

8.

Rodičia Novákovi, Vankovi a Šimkovi sľúbili pred koncom školského roka svojmu jedinému dieťaťu: „Ak budeš mať vyznamenanie na vysvedčení, kúpime ti bicykel.“ Na konci školského roka sa stalo toto:

Mirko Novák nemal vyznamenanie a rodičia mu kúpili bicykel. Vašek Vanek nemal vyznamenanie a rodičia mu nekúpili bicykel. Tomáš Šimko mal vyznamenanie a rodičia mu nekúpili bicykel. Ktorí rodičia nesplnili, čo sľúbili?

(A) len Novákovi (B) len Šimkovi (C) len Novákovi a Šimkovi (D) len Novákovi a Vankovi (E) Žiadni rodičia nesplnili, čo sľúbili.

Matematika 

© Scio 2019  5 

9.

Na hodinovom displeji je údaj 14:41, tj. je práve 14 hodín 41 minút. Uvažujme tento časový údaj ako symetrické štvorciferné číslo 1441. Na displeji bude symetrické štvorciferné číslo deliteľné tromi napríklad:

(A) o 2 minúty (B) o 8 minút (C) o 19 minút (D) o 1 hodinu 10 minút (E) o 5 hodín 9 minút

10.

Počet podmnožín X množiny {1, 2, 3, 4, 5}, pre ktoré platí

{1, 3, 4} ∩ X = {1, 4},

sa rovná:

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

11.

Je daná nerovnica 2 5x p s neznámou x a reálnym

parametrom p. Riešením tejto nerovnice je každé reálne číslo x pre:

(A) 5p

(B) 5p

(C) ľubovoľné 5;p

(D) ľubovoľné ; 5p

(E) Žiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna.

12.

Ak vyplníme do políčok uvedenej pyramídy celé čísla tak, aby každé číslo v druhom a vyššom poschodí bolo súčtom dvoch čísel priamo pod sebou, bude na mieste otáznika číslo:

(A) −3 (B) −1 (C) 1 (D) 2 (E) 3

Matematika 

© Scio 2019  6 

13.

Rovnica

2 21 4 1 2 0x x x x

má v obore reálnych čísel:

(A) práve jedno riešenie (B) práve dve riešenia (C) práve tri riešenia (D) práve štyri riešenia (E) Rovnica nemá žiadne riešenie.

14.

Číslo, ktoré je riešením rovnice

64 754 3 0

2 43

3

x x

xx x

,

leží v intervale:

(A) ; 1

(B) 1; 0

(C) 0;1

(D) 1; 2

(E) 2;

15.

Mnohočlen 3 22 2x x x nie je bezo zvyšku deliteľný dvojčlenom:

(A) 2 1x (B) 1x (C) 1x

(D) 2x (E) 2x

Matematika 

© Scio 2019  7 

16.

Máme dva sudy a v nich čierne a biele gule. Na začiatku sú v prvom sude dve čierne a tri biele gule, zatiaľ čo v druhom sude sú tri čierne a štyri biele gule. Vyberieme jednu guľu z prvého suda a premiestnime zvyšok gulí do druhého suda. Následne vyberieme jednu guľu z druhého suda. Aká je pravdepodobnosť, že sme vybrali jednu čiernu a jednu bielu guľu (v ľubovoľnom poradí)?

(A) 29

55

(B) 1

2

(C) 35

132

(D) 31

66

(E) 5

12

17.

Z dvadsiatich žiakov triedy sa má vybrať desaťčlenná skupina, v ktorej nezáleží na usporiadaní a v ktorej sú žiaci A i B a nie je žiadny zo žiakov C, D, E. Počet možných výberov tejto skupiny sa rovná:

(A) 18

8

(B) 17

10

(C) 17

8

(D) 15

10

(E) 15

8

18. Na základě VO uznána dvě správná řešení.

Počas športového dňa sa z 33 žiakov triedy 8. C prihlásilo 21 žiakov na účasť vo futbalovom zápase, 9 žiakov sa prihlásilo na tenisový turnaj a 17 žiakov sa prihlásilo na závod v šprinte. Žiadny žiak sa neprihlásil na práve dva športy. Počet žiakov, ktorí sa prihlásili na práve tri z týchto aktivít, sa rovná:

(A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 9 (E) 11

Matematika 

© Scio 2019  8 

19.

Ak je na geometrická postupnosť s prvým členom 1 3a

taká, že jej kvocient q je kladné celé číslo, potom súčtom prvých troch členov tejto postupnosti nemôže byť číslo:

(A) 21 (B) 39 (C) 63 (D) 71 (E) 93

20.

Počet spoločných bodov grafov funkcií 2 4

2

xy

x

, 2y x

je:

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) nekonečne veľa

21.

Z funkcií

: cos 2f y x , : π cos3 g y x

s definičnými obormi :

(A) sú obe párne (B) je párna len funkcia f (C) je párna len funkcia g (D) nie je párna ani jedna (E) nedá sa rozhodnúť, či je niektorá párna

22.

Rovnica 22

16t

t má v obore reálnych čísel:

(A) dve kladné riešenia (B) jedno kladné a jedno záporné riešenie (C) dve záporné riešenia (D) jediné riešenie (E) žiadne riešenie

Matematika 

© Scio 2019  9 

23.

V aritmetickej postupnosti na je daný piaty člen 5 15a .

Súčet prvých pätnástich členov tejto postupnosti sa rovná 150, ak sa diferencia d rovná číslu:

(A) 5

3

(B) 3

5

(C) 3

5

(D) 5

3

(E) Žiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna.

24.

Sústave rovníc

12 3 17x y

12 3 23x y

vyhovuje usporiadaná dvojica reálnych čísel [x; y].

Súčet x + y sa rovná číslu:

(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 13 (E) 17

25.

Funkcia 2

2

log

a

a

y x s reálnym parametrom a nie je

definovaná mimo iné pre a rovné:

(A) −3 (B) 1 (C) 3 (D) 5 (E) 7

Matematika 

© Scio 2019  10 

26.

V obdĺžniku KLMN so stredom S platí

|KL| = a, | LSM| = 60°.

Potom |LM| sa rovná:

(A) 3

4a

(B) 2

2a

(C) 2

3a

(D) 3

3a

(E) 1

2a

27.

Ak má kocka, ktorej povrch je 1S , rovnaký objem ako guľa,

ktorej povrch je 2S , potom sa pomer 1

2

S

S rovná:

(A) 34

π

(B) 36

π

(C) 38

π

(D) 32

12

π

(E) 32

15

π

28.

Štvoruholník ABCD má vrcholy A [2; 2], B [6; 5], C [1; 5], D [−3; 2]. Odchýlka jeho uhlopriečok sa rovná:

(A) 60° (B) 75° (C) 90° (D) 105° (E) 180°

Matematika 

© Scio 2019  11 

29.

Grafickým riešením sústavy nerovníc

2 3 0x y

2 1 0x y

je:

(A) ostrý uhol (B) priamy uhol (C) tupý uhol (D) pás (E) prázdna množina

30.

Rovnica strednej (priamky prechádzajúcej stredmi) dvoch kružníc

2 21 : 3 5 4,5 0k x y x y

2 22 : 2 8 8 0k x y x y

môže mať tvar:

(A) 3 5 17 0x y

(B) 3 5 17 0x y

(C) 3 5 17 0x y

(D) 3 5 17 0x y

(E) 3 5 17 0x y