n m nowikowa .. ysnowo tpo imizacii () kurs ekcijl file4-,,-.,,-,, ,[email protected]...
TRANSCRIPT
. .
1998
1
n m n O W I K O W A
moskwa
( )osnowy optimizacii
KURS LEKCIJ
. .
,( ) | -
, , -( -, ,
, ), -.
,4-
, , -. ,
, -, , ,. -
: . . ,. .
c . .
2
oTWETSTWENNYJ REDAKTORAKADEMIK ran p s kRASNO]EKOW
w SVATOJ FORME DAETSQ IZLOVENIE OSNOW TEORII SLOVNOSTILINEJNOGO PROGRAMMIROWANIQ lp S OPISANIEM POLINOMIALXNYH ALGORITMOW CELO^ISLENNOGO lp MATEMATI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ NEOBHODIMYE USLOWIQ \KSTREMUMA PRI OGRANI^ENIQHNERAWENSTWAH LOKALXNYE METODY BEZUSLOWNOJ OPTIMIZACII METOD[TRAFOW IDEI GLOBALXNOJ OPTIMIZACII SHEM METODOW DINAMI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ I WETWEJ I GRANIC
rABOTA NAPISANA NA BAZE SEMESTROWOGO KURSA LEKCIJ ^ITAEMOGOAWTOROM STUDENTAM GO KURSA PROGRAMMISTSKOGO POTOKA FAKULXTETAwmIk mgu S U^ETOM DOPOLNENIJ I ZAME^ANIJ UKAZANNYH STUDENTAMI aWTOR BLAGODARIT WSEH STUDENTOW SODEJSTWOWAW[IH IZDANI@\TOGO KURSA I PREDLOVIW[IH ISPRAWLENIQ SPOSOBSTWU@]IE EGO ULU^[ENI@ W TOM ^ISLE lASKAWOGO sERGEQ sANNIKOWA aNDREQ I sWAHINAnIKOLAQ zAME^ENNYE OPE^ATKI I NETO^NOSTI PROSXBA SOOB]ATX AWTORU PO ADRESU
rABOTA ^ASTI^NO PODDERVANA GRANTOM rffi
rECENZENTY s k zAWRIEWa w lOTOW
n m nOWIKOWA
1. ., . -. .: , 1982.
2. ., . ..: , 1985.
. , -,
[1]. 500 ( -, , ,
, , ,. .),
-. ,
( 1{4), ,, -
. , | , ,,
-.
,, -
, , -.
,, -
.
1 ( -, ),
3
g\RI m dVONSON d wY^ISLITELXNYE MA[INY I TRUDNORE[AEMYE ZADA^I m mIR
pAPADIMITRIU h sTAJGLIC k kOMBINATORNAQ OPTIMIZACIQm mIR
nA WOPROS DLQ ^EGO NADO IMETX PREDSTAWLENIE O SLOVNOSTI RE[AEMYH ZADA^ NAIBOLEE NAGLQDNYJ OTWET DAN WO WWEDENII K KNIGE
w \TOJ KNIGE TAKVE PRIWODITSQ BOLEE ZADA^ IZ SAMYH RAZNYH OBLASTEJ WKL@^AQ TEORI@ GRAFOW I SETEJ TEORI@ RASPISANIJTEORI@ AWTOMATOW I QZYKOW OPTIMIZACI@ PROGRAMM BAZY DANNYHIGRY I GOLOWOLOMKI I T P DLQ KOTORYH W NASTOQ]EE WREMQ NETOSNOWANIJ NADEQTXSQ POSTROITX \FFEKTIWNYE ALGORITMY IH RE[ENIQ ~TO \TO ZNA^IT FORMALXNO BUDET RASSKAZANO W DANNOM RAZDELE
A SOOTWETSTWU@]IE PRAKTI^ESKIE WYWODY KAVDYJ ^ELOWEKTAK ILI INA^E SWQZANNYJ S RAZRABOTKOJ ALGORITMOW I PROGRAMM DELAET DLQ SEBQ SAM kROME TOGO TEORIQ SLOVNOSTI NOWAQ MODNAQINTENSIWNO RAZWIWA@]AQSQ OBLASTX MATEMATIKI I KIBERNETIKI EETERMINOLOGIQ [IROKO RASPROSTRANENA W SOWREMENNOJ NAU^NOJ LITERATURE I TREBUET OPREDELENNOGO S NEJ ZNAKOMSTWA
pOQWLENIE WY^ISLITELXNOJ TEHNIKI PRIWELO K TOMU ^TO WSE REVEPRIHODITSQ RE[ATX OTDELXNU@ KONKRETNU@ ZADA^U A WSE BOLX[E PISATX PROGRAMMY RASS^ITANNYE NA CELYJ KLASS ZADA^ POLU^A@]IHSQ ODNA IZ DRUGOJ ZAMENOJ RQDA ISHODNYH DANNYH pO\TOMU IMEETSMYSL GOWORITX O SLOVNOSTI NE DLQ ODNOJ ZADA^IA DLQ SOOTWETSTWU@]EJ MNOVESTWU INDIWIDUALXNYH ZADA^
fORMALXNO MASSOWAQ ZADA^A OPREDELQETSQOB]IM SPISKOM WSEH PARAMETROW ZADA^I SWOBODNYH PARAME
TROW ZNA^ENIQ KOTORYH NE ZADANY
1.
1.
P NP
1
I
~ASTX wwedenie w teori` slovnosti
pONQTIE O SLOVNOSTI RE[ENIQ ZADA^
p
p
x
xx
:
: , -, , �
. ( , ).
,
lITERATURA
oSNOWNYE OPREDELENIQ INDIWIDUALXNAQ I MASSOWAQ ZADA^I KODI
ROWKA ALGORITM RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I WREMENNAQ SLOVNOSTX
ALGORITMA kLASSY I FORMALXNYE OPREDELENIQ PRIMERY
INDIWIDUALXNOJ
MASSOWOJ ZADA^I ILI PROBLEMY
0
2 ,( ).
, -.
: -( , )
.1 :=
( ) 0 : = ;
2 : [ ]
min ( ) + ( )
-. 1 , -
: = 4, ( ) = 10,( ) = 5, ( ) = 9, ( ) = 9, ( ) = 3, ( ) = 6,( ) = ( ).
[ ], 27.(
)( ), -
. ,,
( . .) . -
, ,( ).
-,
( , ! ).
4
FORMULIROWKOJ SWOJSTW KOTORYM DOLVEN UDOWLETWORQTX OTWETRE[ENIE ZADA^IiNDIWIDUALXNAQ ZADA^A POLU^AETSQ IZ ESLI WSEM PARA
METRAM PRISWOITX KONKRETNYE ZNA^ENIQdLQ PRIMERA RASSMOTRIM ZADA^U KOMMIWOQVERA NAJTI MINI
MALXNYJ MAR[RUT OBHODA GRUPPY OB_EKTOW USLOWNO GOWORQ GORODOWS WOZWRATOM W NA^ALXNU@ TO^KU dLQ KOMMIWOQVERA WWEDEM
WHODNYE PARAMETRY ^ISLO GORODOW ILI MNOVESTWO GORODOWI NABOR RASSTOQNIJ MEVDU GORODAMI
TREBOWANIQ K RE[ENI@ REALIZUET
GDE MINIMUM BERETSQ PO WSEM WOZMOVNYM PERESTANOWKAM NA MNOVESTWE INDEKSOW GORODOW kONKRETIZIRUEM PARAMETRY ^TOBY POLU^ITX INDIWIDUALXNU@ ZADA^U KOMMIWOQVERA
tOGDA W ZADA^E OPTIMALXNYM OKAZYWAETSQMAR[RUT REALIZU@]IJ PUTX MINIMALXNOJ DLINY
kROME PERWI^NYH PONQTIJ MASSOWOJ I INDIWIDUALXNOJ ZADA^II MY BUDEM ISPOLXZOWATX TERMIN ALGORITM I OBOZNA^ENIE DLQPO[AGOWOJ PROCEDURY RE[ENIQ ZADA^I W ^ASTNOSTI MA[INY tX@RINGA ILI PROGRAMMY DLQ |wm bUDEM GOWORITX ^TO
ESLI DLQ L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^IALGORITM PRIMENIM K T E OSTANAWLIWAETSQ ZA KONE^NOE
^ISLO [AGOW I ALGORITM DAET RE[ENIE ZADA^I nAPRIMER DLQ KOMMIWOQVERA SU]ESTWUET ALGORITM KOTORYJ RE[AET EENA OSNOWE POLNOGO PEREBORA WSEH MAR[RUTOW PERESTANOWOK
bOLX[INSTWO DISKRETNYH I KOMBINATORNYH ZADA^ DOPUSKAET RE[ENIE S POMO]X@ NEKOTOROGO PROCESSA PEREBORA WARIANTOW ODNAKO^ISLO WOZMOVNYH WARIANTOW RASTET \KSPONENCIALXNO W ZAWISIMOSTIOT RAZMEROW ZADA^I TAK W ZADA^E KOMMIWOQVERA MAR[RUTOW
I
I
I
I
I II I
p p
p
p
a
a
p
p a
p a
p
2
f gf 2 6 g
28 2
ALGORITM
RE[AET MASSOWU@ ZADA^U
0
0
1
0(1) ( )
1
=1
( ) ( +1) ( ) (1)
0
1 2
1 3 1 4 2 4 3 4 3 2
1 2 4 3
mC c ; : : : ; c
d c ; c > c ; c C; i j
c ; : : : ; c
d c ; c d c ; c ;
�
m d c ; cd c ; c d c ; c d c ; c d c ; c d c ; cd c ; c d c ; c
c ; c ; c ; c
�
m
m
i j i j
� � m
�
m
i
� i � i � m �
i j j i
"X #�
-( -
)., . . ,
,\ " . -
,, -,
( . . ),. -
, , ,| .. .
. .| , \ " \ "
. , .2 -
-, \ ".
., .1 . ,
[ , ] -. -
, -: , -
. , , .1| , .2 \ -
, ?" -. -
( [2]),( ) = ( )
| , | .\ "
5
pO\TOMU PEREBORNYE ALGORITMY RE[ENIQ MASSOWYH ZADA^ S^ITA@TSQ NE\FFEKTIWNYMI MOGUT RE[ATX LI[X NEBOLX[IE INDIWIDUALXNYE ZADA^I w OTLI^IE OT NIH \FFEKTIWNYMI NAZYWA@TSQ
RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I T E TAKIE KOTORYERE[A@T PROIZWOLXNU@ ZA WREMQ OGRANI^ENNOE POLINOMOM OTRAZMERA nESMOTRQ NA OPREDELENNU@ USLOWNOSTX \TOGO RAZDELENIQ S TO^KI ZRENIQ PRAKTI^ESKOGO S^ETA ONO OB_QSNQETSQ PREVDEWSEGO TEM ^TO CENTRALXNYM DLQ DISKRETNOJ OPTIMIZACII QWLQETSQ WOPROS MOVNO LI POSTROITX ALGORITM RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^IT E L@BOJ INDIWIDUALXNOJ NE PEREBIRA@]IJ WSEH ILI PO^TI WSEHWARIANTOW EE RE[ENIQ eSLI DLQ MASSOWOJ ZADA^I SU]ESTWUET POLINOMIALXNYJ ALGORITM EE RE[A@]IJ ZNA^IT EE MOVNO RE[ITXNE PUTEM PEREBORA \FFEKTIWNO uKAZANNYE ZADA^I NAZYWA@TSQPOLINOMIALXNYMI pEREJDEM K IH FORMALXNOMU OPREDELENI@
fORMALIZACIQ PROWODITSQ DLQ|TO MASSOWYE ZADA^I PREDPOLAGA@]IE OTWET DA ILI NET WKA^ESTWE RE[ENIQ tAKIM OBRAZOM W P OPREDELENIQ RASPOZNAWANIQ SWOJSTW STOIT NEKOTORYJ ALXTERNATIWNYJ WOPROS I RE[ENIEMKAVDOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I QWLQETSQ PRAWILXNOE RASPOZNAWANIE PRINADLEVIT LI ONA K ZADA^AM S OTWETOM DA pOSLEDNEEPODMNOVESTWO MNOVESTWA INDIWIDUALXNYH ZADA^ BUDEM OBOZNA^ATX
tEPERX WWEDEM OBOZNA^ENIE DLQ MNOVESTWA WSEH WOZMOVNYHZNA^ENIJ PARAMETROW ZADANNYH W P OPREDELENIQ o^EWIDNO^TO NABOR POLNOSTX@ HARAKTERIZUET SOOTWETSTWU@]U@ MASSOWU@ ZADA^U RASPOZNAWANIQ SWOJSTW nESMOTRQ NA SPECIFI^NOSTX POSTANOWKI KLASS ZADA^ RASPOZNAWANIQ SWOJSTW QWLQETSQ DOSTATO^NO [IROKIM PO KRAJNEJ MERE DLQ L@BOJ ZADA^I DISKRETNOJ OPTIMIZACII MOVNO UKAZATX ANALOGI^NU@ RASPOZNAWANIQSWOJSTW w ^ASTNOSTI DLQ KOMMIWOQVERA ESLI WWESTI W P E]EODIN PARAMETR DLINU MAR[RUTA TO WOPROS W P SU]ESTWUET LI MAR[RUT DLINY NE PREWY[A@]EJ DAET EE PEREFORMULIROWKU KAK ZADA^I RASPOZNAWANIQ SWOJSTW pOLU^ENNAQ KOMMIWOQVERA IMEET W LITERATURE OBOZNA^ENIE ILI zk DLQ NEE
zDESX I DALEE MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL CELYHdLQ FORMALIZACII RAZMERA INDIWIDUALXNOJ ZADA^I SWQVEM S
II
2
I
Y D
D( ) Y( )
D Z ZZ Z
p
p
p
p
p
p
p p
p
p
p
p
km
km
2
2
f f 2 j 2 g 2 g
-POLINO
MIALXNYE ALGORITMY
ZADA^ RASPOZNAWANIQ SWOJSTW
0
0
0
0
+ +
+
BB
C; d c ; c c ; c C; i < j ; B :i j i j
. | � = ,� = 0 1 , � � | -
,, , = � ;, 011000.
, = .: � ,
( ) = � (� ),
1 : = ( ) = ( );2 : , -
, ( ), -( ) ( ( )) ( ( ) );
3 : , -1 ,2 , ( ) ,
( ) ( ( ) ). , -- 1,
( = 1) .
+ log + max log ( ) .
, | ., 1{3 , , -
, ., -
� . , -, \ ",
\ "� . , ( , ) = ( )=
= � � | = ( ) ( )-
( -
6
KAVDOJ PROBLEMOJ OPREDELENNU@wWEDEM KONE^NOE MNOVESTWO NAPRIMER
A TAKVE MNOVESTWO PROIZWOLXNYH KONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ SOSTAWLENNYH IZ SIMWOLOWALFAWITA WOZMOVNO POWTORQ@]IHSQNAPRIMER PUSTOE MNOVESTWO ILI ~ISLO NAZYWAETSQ
I OBOZNA^AETSQ ZNAKOM MODULQNAZOWEM TAKOE OTOBRAVENIE STAWQ]EE W SOOTWETSTWIE
L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^E EE KOD SLOWO IZALFAWITA ^TO
WOZMOVNO ODNOZNA^NOE DEKODIROWANIEPOLINOMIALXNO WY^ISLIMY SU]ESTWUET ALGORITM REA
LIZU@]IJ I POLINOM DLQ KOTOROGO WREMQ OPREDELENIQ I NE PREWOSHODIT
KODIROWKA NEIZBYTO^NA DLQ L@BOJ DRUGOJ KODIROWKI UDOWLETWORQ@]EJ USLOWIQM NAJDETSQ POLINOM TAKOJ ^TO
nAPRIMER DLQ ZAPISI CELYH ^ISEL NEIZBYTO^NOJ QWLQETSQ L@BAQ I^NAQ SISTEMA S^ISLENIQ S KODIROWKA^ISEL TEM VE KOLI^ESTWOM PALO^EK SLU^AJ IZBYTO^NA
zDESX I DALEE ZNAKOM OBOZNA^AETSQ BLIVAJ[EE CELOE SWERHU K^ISLU W SKOBKAH A CELAQ ^ASTX ^ISLA
nA^INAQ S \TOGO MOMENTA W MY BUDEM KAK PRAWILO RASSMATRIWATX RASPOZNAWANIQ SWOJSTW OGOWARIWAQ DRUGIE SLU^AI OSOBO
pOSLE TOGO KAK DLQ MASSOWOJ ZADA^I WWEDENA KODIROWKA S L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^EJ BUDET SWQZANO NEKOTOROE SLOWOW ALFAWITE \TOJ KODIROWKI sLOWA KOTORYE SOOTWETSTWU@T INDIWIDUALXNYM ZADA^AM RASPOZNAWANIQ SWOJSTW IME@]IM OTWET DAUSLOWIMSQ S^ITATX PRAWILXNYMI I MNOVESTWO PRAWILXNYH SLOW W
NAZOWEM fORMALXNO QZYKALFAWIT
s ALGORITMOM RE[ENIQ ZADA^I RASPOZNAWANIQ SWOJSTW BUDEM ASSOCIIROWATX MA[INU tX@RINGA PROGRAMMU DLQ DETERMINI
I I
I I I I
II I I
II I
1. -,
[1] . 35:
I
Y( )I I Y
p
p p
p
p
p
upravnenie pREDLOVITX NEIZBYTO^NU@ KODIROW
KU I OCENITX PO PORQDKU DLINU WHODA ZADA^I KOMMIWOQVERA
SRAWNITX POLU^ENNU@ OCENKU S UKAZANNOJ W NA S
p
p
p
p p
p
a p
f gf g
2 8;
j j!
2 2
8 6 6
� 8 2j j
� 8 2j j j j
d e fd ej 2 gd�e
b�cxx
2
f 2 j 2 g
( -)
--
SHEMU KODIROWANIQ KODIROW
KU ALFAWIT
SLOW NAD ALFAWITOM
DLI
NOJ SLOWA kODIROWKOJ ZADA
^I
QZYKOM
1 2 1 21
1
1
2 2
�;
� � � : : : � ; � in
� n �e
e �
e ee; e
e; e pe e e p e
ep
e < p ek k >
k
m B d c ; c c ; c C
�
L e:e
::
� e; � e ; :
i
i i i i j
i j i j
�
�
�
�
�
� �
�
�
� 0
� � 0
0 0
�
�
1 2 n j
) �(\ ") (\ ")
, (| \ "),
( ) = � � | , ( ) =-
, ( ) = ( , ) � .( ) � ( )
.( ),
( ) = max ( )
, �\ "
( ), , -.
= ( , ) , ( ) | :( ) ( )
, ( , ), a
, -. (
, -( , ) .)
-. ( -
.2.) ( ).
. ,1) ,
, , . .: , , ( ( )) = ; -
, 10- :
7
ROWANNOJ MA[INY tX@RINGA S WHODNYM ALFAWITOM I KONE^NYMISOSTOQNIQMI DA I NET I ANALOGI^NO NAZOWEM QZYKOMALGORITMA MNOVESTWO SLOW S KOTORYMI NA WHODEOSTANAWLIWAETSQ W SOSTOQNII DA
ALFAWIT IaLGORITM MASSOWU@ ZADA^U S KO
DIROWKOJ ESLI I OSTANAWLIWAETSQoBOZNA^IM WREMQ RABOTY NAD SLOWOM ^ISLO [AGOWALGORITMA DO OSTANOWKI ALGORITMARE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I NAZOWEM FUNKCI@ OPREDELQEMU@KAK
tAKIM OBRAZOM PRI OCENKE WREMENNOJ SLOVNOSTI ALGORITMOW MYRASS^ITYWAEM NA HUD[U@ IZ WOZMOVNYH INDIWIDUALXNYH ZADA^DANNOGO RAZMERA POSKOLXKU ZARANEE NE IZWESTNO S KAKOJ KONKRETNOJ ZADA^EJ PRIDETSQ RABOTATX
RE[A@]IJ S KODIROWKOJ POLINOM
eSLI DLQ ZADA^I SU]ESTWUET TAKAQ KODIROWKA ^TOTO BUDEM NAZYWATX ZAD ^U ILI
PROSTO I POLXZOWATXSQ OBOZNA^ENIEM OTOVDESTWLQQ MASSOWU@ ZADA^U I QZYK s U^ETOM USLOWIQ NEIZBYTO^NOSTIKODA UKAZANNAQ PROCEDURA KORREKTNA IBO DLQ POLINOMIALXNOJ POLU^AEM
pRIMEROM POLINOMIALXNOJ ZADA^I QWLQETSQ RASPOZNAWANIE ^ETNOSTI CELOGO ^ISLA s E]E ODNOJ POLINOMIALXNOJ ZADA^EJ MY WSTRETIMSQ W RAZD dLQ ZADA^I RASPOZNAWANIQ PROSTOTY ^ISLAWOPROS O EE POLINOMIALXNOSTI POKA OTKRYT dLQ RQDA DRUGIH ZADA^UDAETSQ DOKAZATX IH NEPOLINOMIALXNOSTX tAK IZWESTNY
ALGORITMI^ESKI NERAZRE[IMYE ZADA^I KOGDA NE SU]ESTWUETALGORITMA RE[A@]EGO L@BU@ INDIWIDUALXNU@ ZADA^U T E
NE PRIMENIM K W ^ASTNOSTI NAPRIMER Q PROBLEMA gILXBERTA PO DANNOMU MNOGO^LENU S CELYMI
Z
2. -, � .
PZ
PP
P
I I I
a a
a
a a a
a p
a p a
a a
p
upravnenie dATX ALGORITM RASPOZNAWANIQ PRO
STOTY ^ISLA OCENITX WREMENNU@ SLOVNOSTX ALGORITMA
p a p
p p
p
p
p
p
p~
a
p a
f 2 j g
8 22
�
8 2
f j 9 9 �8 2 g
2
2
2 8
89 2 1
�
PRINIMAEMYH
RE[AET
wREMENNOJ SLOVNOSTX@
kLASS POLINOMIALXNO RAZRE[IMYH ZADA^
POLINOMIALXNO RAZRE[IMOJ
POLINOMIALXNOJ
� :+
+
q q
qL
:� � q :
e L L e �t � �
T
T n t � n :
:L e e; p
T n < p n n :e L e
L e e
t eg
Y N
Y
Y
� � <n
A
�
�
�
2 j j
1.
2.
oPREDELENIE
oPREDELENIE
a
a
a a
a
�
, = 0( . . 1970 .);
2) ( ),-
, ,( );
3) ,( ) : ( ( )) ( ( ) ). ( ),
, .,
, : -,
( ) . , -,-
, -(
). , - ,, -
( . 2),
.| .
. ( )| |
( ) ( ) �,� :
= ( ),
( ), . -. | ,
( ) :^( ) = � � : ( ( )) .
( ), ( )
8
KO\FFICIENTAMI WYQSNITX IMEET LI URAWNENIE CELO^ISLENNOERE[ENIE NERAZRE[IMOSTX DOKAZAL ` m mATIQSEWI^ W G
ZADA^I NE QWLQ@]IESQ ZADA^AMI RASPOZNAWANIQ SWOJSTW DLQKOTORYH DLINA ZAPISI RE[ENIQ PREWOSHODIT L@BOJ NAPERED ZADANNYJ POLINOM OT DLINY WHODA NAPRIMER W ZADA^E KOMMIWOQVERA ESLITREBUETSQ NAJTI WSE MAR[RUTY IH \KSPONENCIALXNOE ^ISLO
W OSTALXNYH SLU^AQH FORMALXNO IMEEM RE[A@]EGO SKODIROWKOJ zDESX I DALEEWOZMOVNO S INDEKSAMI SLUVIT DLQ OBOZNA^ENIQ POLINOMOW
w NASTOQ]EE WREMQ DLQ L@BOJ MASSOWOJ ZADA^I DLQ KOTOROJDOKAZANO POSLEDNEE USLOWIE POLU^EN I BOLEE SILXNYJ REZULXTAT OTSUTSTWIE POLINOMIALXNOGO ALGORITMA ISPOLXZU@]EGO PROIZWOLXNOEPUSTX BESKONE^NOE ^ISLO PARALLELXNYH PROCESSOROW wOPROS SU]ESTWU@T LI NEPOLINOMIALXNYE ZADA^I RASPOZNAWANIQ SWOJSTWKOTORYE OKAZYWA@TSQ POLINOMIALXNO RAZRE[IMYMI PRI WOZMOVNOSTI RASPARALLELIWANIQ WY^ISLENIJ QWLQETSQ METODOLOGI^ESKOJ TEORII SLOVNOSTI OBUSLOWIW[EJ EE FORMIROWANIEKAK SAMOSTOQTELXNOJ NAU^NOJ DISCIPLINY oTWET PO WIDIMOMUDOLVEN BYTX POLOVITELXNYM I UVE UKAZAN BOLX[OJ KLASS MASSOWYH ZADA^ W KA^ESTWE KANDIDATOW SM KLASS W NO DOKAZATXILI OPROWERGNUTX \TU GIPOTEZU W DANNYJ MOMENT PREDSTAWLQETSQNEREALXNYM dLQ EE FORMALIZACII WWODITSQ OB_EML@]IJ KLASS
oPREDELIM ndmtKAK NABOR OBY^NYH DETERMINIROWANNYH MA[IN tX@RINGA
dmt S ALFAWITOM GDE PROBEGAET WSE MNOVESTWO SLOW IZ
ndmt OSTANAWLIWAETSQ KOGDA OSTANAWLIWAETSQ PERWAQ IZ dmtPRINIMA@]AQ WHODNOE SLOWO sOOTWETSTWU@]IM KONE^NYM SO
STOQNIEM BUDET MNOVESTWO SLOW PRINIMAEMYHHOTQ BY ODNOJ dmt IZ
sLOWA W OPREDELENII ndmt MOVNO PROINTERPRETIROWATX KAKPODSKAZKI K RE[ENI@ DOGADKI TOGDA dmt PROWERQET DLQ
I I I
NPC
PNP
3A
A
A A^
A A^
a p
p
p
p
a
a
a a
a
88 � 9 2 j j �
x
f g
f 2 j 9 2 2 g
OSNOWNOJ
PROBLEMOJ
NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNYH ZADA^
NEDETERMINIROWANNU@ MA[INU tX@RINGA
qZYK ndmt
�
g
e; p t e > p e p
S S
:S :
Sq
SL
:� S � L S
SS
S
Y
�
2
� �
a
�
-.
, -, \ ". ( -
,.)
-, ( , ) = ^( ), . . :
( , ) � : ( ) ,� ( , ) � ( ) ( -
).^( )
( ), -, ( . . ):
^ ( ) = min + ( )
-^ ( ) :
^ ( ) = max ^ ( ) = max min + ( )
� :( -
\ ").
= ( , ) | ,( ) | : ^ ( ) ( ) -
, ( , ) ,-
( , ).
, -.
,\ " ( ,
9
WHODNOGO SLOWA PODSKAZKU I W SLU^AE PRAWILXNOSTI OSTANAWLIWAETSQ W SOSTOQNII ndmt PROWERQET DLQ WHODNOGO SLOWAWSE WOZMOVNYE PODSKAZKI I ESLI HOTX ODNA PRAWILXNAQ DOGADKA SU]ESTWUET TO ndmt OSTANAWLIWAETSQ S OTWETOM DA w SILU BESKONE^NOSTI ^ISLA DOGADOK W SOSTOQNII ndmt OSTANOWITXSQ NEMOVET
ndmt MASSOWU@ ZADA^U S KODIROWKOJ ESLI T E QZYKI ndmt I ZADA^I SOWPADA@T
dmt OSTANAWLIWAETSQ W SOSTOQNIII dmt NE PRINIMAET NE OSTANAWLIWAETSQ ILI OSTANAWLIWAETSQ W SOSTOQNII
oPREDELIM NAD SLOWOM KAKMINIMALXNOE IZ WREMEN RABOTY NAD WHODOM dmt PRINIMA@]IH S U^ETOM WREMENI PRO^TENIQ SLOWA T E EGO DLINY
RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I NAZOWEM FUNKCI@
pOD^ERKNEM RAZNICU S OPREDELENIEM WREMENNOJ SLOVNOSTI dmt DLQndmt RASSMATRIWA@TSQ LI[X SLOWA IZ QZYKA SOOTWETSTWU@]IE INDIWIDUALXNYM ZADA^AM S OTWETOM DA
ndmt RE[A@]AQ S KODIROWKOJPOLINOM eSLI DLQ ZADA
^I SU]ESTWUET TAKAQ KODIROWKA ^TO TO BUDEMNAZYWATX ZADA^U I POLXZOWATXSQ OBOZNA^ENIEM KAK I DLQ KLASSA KORREKTNYM
pRIMEROM NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNOJ ZADA^I QWLQETSQIBO W KA^ESTWE DOGADKI MOVNO ISPOLXZOWATX MAR[RUT I PRO
WERKA EGO DOPUSTIMOSTI POLINOMIALXNAoTMETIM ^TO POLINOMIALXNOSTX PROWERKI GARANTIRUETSQ TOLXKO
DLQ INDIWIDUALXNYH ZADA^ S OTWETOM DA I WOZMOVNO LI[X PRI
A
^^
^ ^
^
Z
NP ^
ZNP
NP P
a p
p a
p a
p a
a a
a
a p
p a p
p p
p
p
km
8 2 9 28 2 n 8 2
8 2
fj j g
� 8 2
fj j g
f j 99 � 8 2 g
2
2
�
RE[AET
WREMQ RABOTY ndmt
wREMENNOJ SLOVNOSTX@ ndmt
kLASS NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNYH
ZADA^
NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNOJ
( )
+
^( ): ^( ):( )
+
� Sq �
q
e L e L� L e S S q� L e ; S S �
q� L �
� S� S
t �:
S t � :
T n
T n t �:
S t � :
:L e
e; p T n < p n n :e L e
Y
N
Y
N
S � LS
� L � <n � L � <n S � LS
�
� �
f j 2 g
2 j j 2 j j f j 2 g
( )
( )
S
S
3.
4.
oPREDELENIE
oPREDELENIE
A A
A
A^
A^
A
A
a a
A
A
), ( ) ( ). | .
.
.
. .-
,, . . ( ) | | :
( ) 2,
-: ( ) ( ) | ,
( ) : ( ) ( ) ( ) | . ,� ( -
) :� ( ) ( )
( ).( . . ),
;( ) -
, -.
, ( ) � (, � | -
�)..
10
EDINSTWENNOJ PODSKAZKE A DLQ ndmt PROSTONE OSTANOWITSQ w \TOM SU]ESTWENNOE OTLI^IE KLASSOW InEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIJ SLEDUET
wOPROS O NALI^II STROGOGO WKL@^ENIQ I QWLQETSQ FORMALIZACIEJOSNOWNOJ PROBLEMY TEORII SLOVNOSTI
rASSMOTRIM PODROBNEE KLASSdLQ L@BOJ NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNOJ ZA
DA^I SU]ESTWUET dmt RE[A@]AQ EE S \KSPONENCIALXNOJ WREMENNOJSLOVNOSTX@ T E POLINOM I dmt
RE[AET ItAK KAK TO DLQ L@BOGO SLOWA IZ
QZYKA ZADA^I SU]ESTWUET PRAWILXNAQ DOGADKA POLINOMIALXNOJ DLINY POLINOM I SU]ESTWUET dmt
POLINOM pOSTROIM dmtKOTORAQ RABOTAET NAD L@BYM WHODNYM SLOWOM S L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^EJ SLEDU@]IM OBRAZOM RASSMATRIWA@TSQWSE SLOWA IZ DLINY MENX[E I DELAETSQ NE BOLEE[AGOW S KAVDOJ dmt eSLI O^EREDNAQ dmt OSTANAWLIWAETSQ WSOSTOQNII T E SOOTWETSTWU@]AQ DOGADKA OKAZALASX PRAWILXNOJS^ITAEM SLOWO PRINQTYM I RABOTU dmt ZAKON^ENNOJ ESLI NIODNA IZ dmt NE OSTANOWILASX ZA OTWEDENNOE WREMQ ILI OSTANOWILASX W SOSTOQNII TO ZAKAN^IWAEM RABOTU dmt I PRIPISYWAEM EJ KONE^NOE SOSTOQNIE w POSLEDNEM SLU^AE dmt DELAETNAIBOLX[EE ^ISLO [AGOW I \TO ^ISLO MENX[E WTOROJSOMNOVITELX RAWEN ^ISLU PROWERQEMYH DOGADOK ^ISLO SIMWOLOW W ALFAWITE oTS@DA UVE NETRUDNO POLU^ITX UTWERVDENIETEOREMY
I D YP NP
P NP
2. NP- ( )
NP -N
NPC NPNP H
1 NP
NPZ
NP
I
p p
POLNYE UNIWERSALXNYE ZADA^I
SO r
bl
p a
a p
p
p
a a
p
a
a
a
a
a
2 n
�
x
8 2 9 �8 2
2
j j j j �j j �
22
j j j j
j j �j jj j
�. . , -
. .. ( ). -
. - ( -).
tEOREMA OB \KSPONENCIALXNOJ OCENKE WREMENNOJ SLOVNOSTI
DLQ ZADA^ IZ KLASSA kLASS zADA^I IME@]IE HORO
[U@ HARAKTERIZACI@ oPREDELENIE POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI
kLASS tEOREMA kUKA BEZ DOKAZATELXSTWA kRITERIJ
POLNOTY dOKAZATELXSTWO POLNOTY ZADA^I BULEWY LI
NEJNYE NERAWENSTWA
( )+
1 1
( ) 2 2
1 2
2( )
pT n < n :
�S
S < p � ; pS t � < p � ; p
�
S p � p �S
q�S
p �
p n
S
Y
N
Np �
�
�
j j1
1.
1.
.
uTWERVDENIE
tEOREMA
dOKAZATELXSTWO
a
a
,, -
-, ( . .2
1) , \ ,, ?".
( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ).=
= . , ,, ,
. ,= .
: -,
\ " ( . . ( ), ( )) -, .
, , -,
( | | -); .
.-
,.
2 , . -. \
", -( .
| | .2)., ( -
, , . [2, . 414]), -,
.
11
dLQ TOGO ^TOBY LU^[E PO^UWSTWOWATX RAZLI^IE KLASSOW IWWEDEM PONQTIE MASSOWOJ ZADA^I POLU^A@]EJSQ IZ RASPOZNAWANIQ SWOJSTW ZAMENOJ ALXTERNATIWNOGO WOPROSA OPREDELQ@]EGO OTWET W ZADA^E SM P OPREDELENIQ W
EGO OTRICANIEM NAPRIMER WOPROSOM W PRAWDA LI ^TONE SU]ESTWUET MAR[RUTA DLINY NE PREWOSHODQ]EJ fORMALXNO
oPREDELIM KLASSY DOPOLNITELXNYH ZADA^ IiZ OPREDELENIJ O^EWIDNO ^TO ESLI dmt
RE[AET TO dmt RE[AET GDE PROGRAMMA dmt POLU^ENAIZ PROGRAMMY dmt PROSTOJ ZAMENOJ KONE^NYH SOSTOQNIJ IDRUG NA DRUGA tAKIM OBRAZOM SPRAWEDLIWO
aNALOGI^NOE UTWERVDENIE DLQ KLASSA DO SIH POR NE UDAETSQNI DOKAZATX NI OPROWERGNUTX PRIWEDENNOE WY[E DLQ dmt RASSUVDENIE NELXZQ OBOB]ITX NA ndmt IBO DLQ INDIWIDUALXNYH ZADA^S OTWETOM NET T E ILI ndmt NE OSTA
NAWLIWAETSQ ZA WREMQ OGRANI^ENNOE POLINOMOM OT DLINY WHODAw ^ASTNOSTI NE IZWESTNA ndmt RE[A@]AQ ZA POLINOMIALXNOE WREMQ TAK KAK DLQ NEE NE PRIDUMANO PODSKAZKI POLINOMIALXNOJDLINY ESTESTWENNYJ WARIANT POKAZATX WSE MAR[RUTY NE POLINOMIALEN WKL@^ENIE NE DOKAZANO I NE OPROWERGNUTO
mASSOWAQ ZADA^A RASPOZNAWANIQ SWOJSTW NAZYWAETSQ ESLI DLQ NEE WYPOLNENO
iZ UTWERVDENIQ SLEDUET ^TO sOWREMENNAQ GIPOTEZA SOSTOIT W RAWENSTWE \TIH KLASSOW oTS@DA I TERMIN HORO[AQHARAKTERIZACIQ TAK KAK DLQ PODOBNYH ZADA^ ESTX OSNOWANIQ NADEQTXSQ NA WOZMOVNOSTX POSTROENIQ POLINOMIALXNYH ALGORITMOW SMZADA^U LINEJNYE NERAWENSTWA W RAZD oDNAKO DLQ ZADA^I
OBLADA@]EJ HORO[EJ HARAKTERIZACIEJ DLQ DOKAZATELXSTWA TOGO ^TO SM S DETERMINIROWANNOGO POLINOMIALXNOGO ALGORITMA POKA NE NAJDENO NESMOTRQ NA EE NEPOSREDSTWENNU@PRAKTI^ESKU@ ZNA^IMOSTX
P NP
D D Y D Yco-P P
co-NP NP
co-P PNP
I I Y I YI
NP3. ,
-N , . . NP
NP co-NPP NP co-NP
NP
p p
p
p
km
p p p p p
p p
p p a
p a p a
a
p p
km
km
upravnenie dOKAZATX ^TO ZADA^A RASPOZNAWANIQ
PROSTOTY ^ISLA PRINADLEVIT KLASSU SO r T E p~
p
ln
p~
p~
x
nf j 2 g
f j 2 g
62 2
2
2
2 \� \
2
DOPOLNITELXNOJ K
IME@]EJ HORO[U@ HARAKTERIZACI@
0
B;
::
q qY N
2.
5.
uTWERVDENIE
oPREDELENIE
. | ,-
,. -
., -
, -
.: ( ( )) ( ( )),
( ( ( ))) = ( ( )), . . ( ( )) ( ) ( ( ))( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )),
,. . ( ) | : ( ( )) ( ) ( )
, ,
( )
(, , -
| .).
., -
, , -, -
: = . .( ( )) -
= ( ) ( ( )) .| ( ) ( ) + ( ( )) | .
( ).
12
zADA^ RASPOZNAWANIQ SWOJSTW BOLX[OE RAZNOOBRAZIE I DLQTEORII PREDSTAWLQET INTERES NE TOLXKO WOZMOVNOSTX IH KLASSIFIKACII NO I SPOSOBY OPREDELENIQ KLASSA SLOVNOSTI ODNIH ZADA^ NAOSNOWE IZWESTNOGO KLASSA SLOVNOSTI DRUGIH pO\TOMU WWODITSQ BAZOWOE DLQ TEORII SLOVNOSTI PONQTIE
bUDEM GOWORITX ^TO MASSOWAQ ZADA^A RASPOZNAWANIQ SWOJSTW S KODIROWKOJ K ZADA^ES KODIROWKOJ ESLI L@BAQ INDIWIDUALXNAQ ZADA^A MO
VET BYTX SWEDENA ZA POLINOMIALXNOE OT EE DLINY WREMQ K NEKOTOROJS SOHRANENIEM OTWETA fORMALXNO
SU]ESTWUET FUNKCIQ SWODIMOSTI TAKAQ^TO T EI
I SU]ESTWUET dmt REALIZU@]AQ ZA POLINOMIALXNOE WREMQT E POLINOMw SLU^AE KOGDA SOOTWETSTWU@]IE KODIROWKI NE IZBYTO^NY BUDEMISPOLXZOWATX TERMIN POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI PO OTNO[ENI@ KSAMIM ZADA^AM BEZ UKAZANIQ KODIROWOK I PRIMENQTX OBOZNA^ENIE
kORREKTNOSTX UPRO]ENIQ WYTEKAET IZ POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTIZADA^I K SAMOJ SEBE NO S DRUGOJ NEIZBYTO^NOJ KODIROWKOJ I SLEDU@]EGO O^EWIDNOGO UTWERVDENIQ TRANZITIWNOSTI OTNO[ENIQ
eSLI I TOsU]ESTWENNYM DLQ TEORII SLOVNOSTI QWLQETSQ
eSLI I TO IoBOZNA^IM dmt RE[A@]U@ S POLI
NOMIALXNOJ WREMENNOJ SLOVNOSTX@ I POSTROIM dmt RE[A@]U@ S POLINOMIALXNOJ WREMENNOJ SLOVNOSTX@ KAK SUPERPOZICI@ dmt I T E SNA^ALA K L@BOMU WHODNOMUSLOWU PRIMENQETSQ A POTOM K POLU^IW[EMUSQ SLOWU DLINOJ NE BOLEE PRIMENQETSQ wREMENNAQSLOVNOSTX POLINOM
aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ PRI ZAMENE SLOWA dmt NA ndmteSLI I TO I
2
I
ID D
Y Y Y YD Y D Y
AD
P P
A
A A A A AD A
AA
NP NP
p
p p
p
p p
p p p p
p p p p
p
p p
p p p p p p
p p p p
a p
p
p
p p p p
2
2!
8 2 28 2 n 2 n
9 � 8 2 j j
/
// / /
/ 2 2
�2
j j� � � �
/ 2 2
POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI
POLINOMIALXNO SWODITSQ
1 2 2 3 1 3
ee
f e ef e e � e f � e
� e f � e; f
p � e t � < p � :
:
;
;
;� e ;
� f � p �T T T p
;
f f
f
f
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
00 0 0 00
0 0
0
0 0
0
0
0
0 0 0
0 0
0
0 0
6.
3.
4.
.
5.
oPREDELENIE
uTWERVDENIE
uTWERVDENIE
dOKAZATELXSTWO
uTWERVDENIE
f
A
f f
f
A A A0
f
f
, ( . . -
). - ( ) -( -complete).
. . 1971 . -( ):( ) |
, . . -. ,,
( 1).(S. A. Cook). .
-( -
, , , - )-
, -, -
( . [1,2]). , ., ( , -
),
, ., -
(+ 1). -
| ,( ) -
.
-= , = .
( ) = , ., -
- ,
13
mASSOWAQ ZADA^A NAZYWAETSQESLI I T E L@BAQ NE
DETERMINIROWANNO POLINOMIALXNAQ ZADA^A POLINOMIALXNO SWODITSQK kLASS WSEH POLNYH ZADA^ RASPOZNAWANIQ SWOJSTW OBOZNA^AETSQ
nEPUSTOTU KLASSA DOKAZAL s a kUK W G iM BYLA RASSMOTRENA ZADA^A O WYPOLNIMOSTI WYQSNITX WYPOLNIMOSTXKON_@NKTIWNOJ NORMALXNOJ FORMY knf KON_@NKCII KONE^NOGO^ISLA DIZ_@NKTIWNYH FUNKCIJ T E DIZ_@NKCIJ BULEWYH PEREMENNYH ILI IH OTRICANIJ a IMENNO W ZADA^E TREBUETSQRASPOZNATX DLQ knf NA WHODE SU]ESTWUET LI WYPOLNQ@]IJ NABOR
DLQ KOTOROGO ZNA^ENIE knf RAWNO
POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI K L@BOJNEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNOJ ZADA^I OSNOWANO NA FORMALXNOJ ZAPISI USLOWIQ PRINADLEVNOSTI SLOWA QZYKU IZ KLASSA TOGO ^TO PRINIMAETSQ NEKOTOROJ ndmt A ZNA^IT I KAKOJ TO dmtW WIDE NABORA DIZ_@NKTIWNYH FUNKCIJ OT SPECIALXNO WWODIMYH BULEWYH PEREMENNYH SWQZANNYH S SOSTOQNIQMI dmt W RAZLI^NYE MOMENTY WREMENI I QWLQETSQ NEDOSTATO^NO PROSTYM DLQ WWODNOGO KURSA SM pO\TOMU MY LI[X UBEDIMSQ W TOM ^TOdEJSTWITELXNO WHODNOE SLOWO PARAMETRY OPREDELQ@]IE INDIWIDUALXNU@ ZADA^U WYPOLNIMOSTI SODERVIT ^ISLO DIZ_@NKTIWNYHFUNKCIJ W knf I UKAZANIE DLQ KAVDOJ IZ NIH KAKIE PEREMENNYEWHODQT S OTRICANIEM A KAKIE NE WHODQT WOOB]E dLINU TAKOGO SLOWAMOVNO OGRANI^ITX SNIZU SUMMOJ DLIN DIZ_@NKTIWNYH FUNKCIJ PONIMAQ POD DLINOJ FUNKCII ^ISLO EE PEREMENNYH ILI ^ISLO ZNAKOWDIZ_@NKCII eSLI TEPERX W KA^ESTWE PODSKAZKI DLQ OPREDELQEMOJ WHODNYM SLOWOM knf WZQTX WYPOLNQ@]IJ EE NABOR TOWY^ISLENIE NA NEM ZNA^ENIQ knf PROWERKA WYPOLNIMOSTI POTREBUET TAKOGO VE PO PORQDKU ^ISLA [AGOW
iZ OPREDELENIQ POLNOTY NEPOSREDSTWENNO SLEDUETeSLI TO a ESLITO
tAKIM OBRAZOM ESLI BY UDALOSX NAJTI POLINOMIALXNYJ ALGORITM RE[ENIQ HOTX ODNOJ POLNOJ ZADA^I TO BYLI BY POSTROENY
NPNP NP
NPNPC NP
NPC
NPC
NP
NP
NPP NPC P NP
NPC NP P NPC NP P
NP
p
p p p p
p
wyp
wyp
wyp
wyp
wyp
2 8 2 /
2
2
\ 6 ;\ n 6 ; � n
-POLNOJ ILIUNIWERSALXNOJ
0
0
z z
z
��
z
i i
0 07.
2
6.
oPREDELENIE
tEOREMA
dOKAZATELXSTWO
uTWERVDENIE
-, - - -
,( . .
), --
. ,, , -
-. , ,
, -- ,
.
. ( -), -
- ( . [1])., 3( ). -
- , --
- ::
3, - -
( )..
1) ,,
,( -
. [2, . 330]).2) .
+ + + = 1-
. -
14
POLINOMIALXNYE ALGORITMY RE[ENIQ WSEH POLNYH ZADA^ I WSEHZADA^ IZ KLASSA A ESLI DLQ KAKOJ LIBO POLNOJ ZADA^I DOKAZATX OTSUTSTWIE POLINOMIALXNOGO ALGORITMA EE RE[ENIQ TO \TONE TOLXKO DAET STROGOE WKL@^ENIE T E OTWET K OSNOWNOJPROBLEME TEORII SLOVNOSTI NO I WLE^ET ZA SOBOJ DOKAZATELXSTWO NEWOZMOVNOSTI POSTROENIQ POLINOMIALXNOGO ALGORITMA RE[ENIQ L@BOJ ZADA^I IZ KLASSA pOSKOLXKU NI TOGO NI DRUGOGO POKA NESDELANO S^ITAETSQ ^TO ZADA^I IZ OTWE^A@T VITEJSKOMU PREDSTAWLENI@ O TRUDNOJ ZADA^E I WRQD LI DOPUSKA@T \FFEKTIWNOE RE[ENIE pO\TOMU ESLI WSTRE^AETSQ ZADA^A DLQ KOTOROJ NA PRAKTIKENE UDAETSQ PRIDUMATX NEPEREBORNYJ ALGORITM TO IMEET SMYSL POPYTATXSQ DOKAZATX EE POLNOTU ^TOBY OPRAWDATX PRIMENENIE KNEJ TEH ILI INYH PEREBORNYH SHEM
pOSLE TOGO KAK BYLA USTANOWLENA NEPUSTOTA KLASSA TEOREMOJ kUKA POQWILASX WOZMOVNOSTX DOKAZATELXSTWA POLNOTYMASSOWOJ ZADA^I PUTEM POLINOMIALXNOGO SWEDENIQ K ODNOJ IZIZWESTNYH POLNYH ZADA^ SOOTWETSTWU@]IJ SPISOK SM WdEJSTWITELXNO IZ UTWERVDENIQ SLEDUET
mASSOWAQ ZADA^A RASPOZNAWANIQ SWOJSTW POLNA TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA ONA PRINADLEVIT KLASSU I K NEJ POLINOMIALXNO SWODITSQ KAKAQ LIBO
POLNAQ ZADA^AI
pOLXZUQSX TEOREMOJ MOVNO POKAZATX POLNOTU ZADA^I O SU]ESTWOWANII CELO^ISLENNOGO RE[ENIQ SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTWS CELYMI KO\FFICIENTAMI
TAK KAK PODSKAZKOJ MOVETSLUVITX RE[ENIE SISTEMY A EGO PROWERKA SWODITSQ K UMNOVENI@ NAZADANNYE KO\FFICIENTY I SLOVENI@ ^TO NE PREWOSHODIT POLINOMAOT DLINY ZAPISI WSEH KO\FFICIENTOW DOKAZATELXSTWO POLINOMIALXNOSTI DLINY ZAPISI RE[ENIQ SM W S
oB]IJ WID SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTW
nETRUDNO PREDSTAWITX W PODOBNOJ FORME USLOWIE ISTINNOSTI DIZ_@NKTIWNOJ FUNKCII dLQ \TOGO ZAMENIM W KAVDOJ J FUNKCII ZNAKI
NPNP NP
P NP
NPCNPC
NP
3 NPCNP
NP
NPNP
NPNP
NPC NP NPCNP
NPCNP
p p
p
p p p p p
cln
cln
cln
wyp cln
�
f 2 g () f 2 9 2 / g
22
/�
-KRITERIJ POLNOTY
1 1 2 2
:
a z a z : : : a z b ; j ; : : : ;m:
j
j j jn n j
0 0
3
7.
.
tEOREMA
uTWERVDENIE
dOKAZATELXSTWO
, | (1 )1, -
0 1 .= -
(
).-
. ., .2
| -
( ).
.1 [2] ( -),
.
. , -( )
3 .( . [1]) -
., ( ,
[1,2]), -. ,, -
( ), .
15
DIZ_@NKCII ZNAKAMI SUMMY A OTRICANIQ PEREMENNYH NAI NAPI[EM DLQ POLU^IW[EJSQ LINEJNOJ FUNKCII USLOWIE DOBAWIW OGRANI^ENIQ I NA WSE PEREMENNYE cELO^ISLENNOERE[ENIE SISTEMY WSEH POSTROENNYH NERAWENSTW QWLQETSQ WYPOLNQ@]IM NABOROM DLQ ISHODNOJ knf TAK KAK ISTINNOSTXknf \KWIWALENTNA ISTINNOSTI WSEH OBRAZU@]IH EE DIZ_@NKTIWNYHFUNKCIJ tAKIM SPOSOBOM RE[ENIE L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^IO WYPOLNIMOSTI SWODITSQ K RE[ENI@ NEKOTOROJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I pOLINOMIALXNOSTX SWEDENIQ O^EWIDNA
zAMETIM ^TO FAKTI^ESKI W P DANNOGO DOKAZATELXSTWA DOKAZANBOLEE SILXNYJ REZULXTAT O SWEDENII K PODZADA^E ZADA^E O SU]ESTWOWANII BULEWA RE[ENIQ SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTWS CELYMI KO\FFICIENTAMI dOKAZATELXSTWO PRINADLEVNOSTI
KLASSU NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNYH ZADA^ POWTORQETP DANNOGO DOKAZATELXSTWA BEZ SSYLKI NA TAK KAK POLINOMIALXNOSTX DLINY BULEWA RE[ENIQ O^EWIDNA TEM SAMYM POLU^ENO I
kROME ZADA^I O WYPOLNIMOSTI POLNOTA WSEH OSTALXNYHIZWESTNYH ZADA^ IZ KLASSA W TOM ^ISLE I BYLA DOKAZANANA OSNOWE TEOREMY S POMO]X@ POLINOMIALXNOGO SWEDENIQ oB]IERECEPTY DOKAZATELXSTWA POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI SM W LEGKO ISPOLXZOWATX LI[X W PROSTEJ[IH SLU^AQH ~TOBY NAU^ITXSQ IHPRIMENQTX NADO RAZOBRATX BOLX[OE ^ISLO PRIMEROW W ^ASTNOSTIIME@]IESQ W NA ^TO U NAS W RAMKAH DANNOJ RABOTY NET WOZMOVNOSTI oDNAKO E]E ODIN PRIMER BUDET DALEE PRIWEDEN S CELX@POKAZATX ^TO NE TOLXKO L@BAQ PODZADA^A SWODITSQ K SOOTWETSTWU@]EJ ZADA^E AWTOMATI^ESKI NO WOZMOVNO I OBRATNOE SWEDENIE
I
NPC
3. .NP-
NP, N N , N -N NP
SNP
NP
1 NPNP
cln
wyp cln
bln
bln
bln
kLASSY SLOVNOSTI
sILXNAQ POLNOTA I PSEWDOPOLINOMIALXNOSTX
r r rs r SO r
r rase
s km
��
� �f g
2
2
x
- 3- . -. -
. . . -. - . -
- -.
dOKAZATELXSTWO POLNOTY ZADA^I O WYPOLNIMOSTI wZAI
MOOTNO[ENIE KLASSOW I I TRUDNYE
ZADA^I kLASS pSEWDOPOLINOMIALXNYE ALGORITMY pRI
MER DLQ ZADA^I O R@KZAKE sILXNAQ POLNOTA tEOREMA O SWQ
ZI SILXNOJ POLNOTY ZADA^I S SU]ESTWOWANIEM PSEWDOPOLINO
MIALXNOGO ALGORITMA EE RE[ENIQ
0 0
z z
z zz z
i i
i i
i
8.uTWERVDENIE
,-
( ). , -. ( 5).
- ,
; , -. , -
() .
.,
( ) -(
).
, - -;3 :
( )&( )&( )&
&( )&( )., . -
, -, ,
1,, 1. , ,
-.
3
( - ) -, ( -
) -- ,
. 6- -, = .
16
rASSMOTRIM ^ASTNYJ SLU^AJ ZADA^I O WYPOLNIMOSTI KOGDA Wknf MOGUT WHODITX LI[X DIZ_@NKTIWNYE FUNKCII TREH PEREMENNYH pOSKOLXKU TO PO OPREDELENI@ tAK ^TO PO UTWERVDENI@ nOEE POLNOTA TREBUET SPECIALXNOGO DOKAZATELXSTWA IBO ^ASTNYEMASSOWYE ZADA^I SODERVAT MENX[E INDIWIDUALXNYH ZADA^ I MOGUTOKAZATXSQ PRO]E NAPRIMER ANALOGI^NAQ ZADA^A POLINOMIALXNA dLQ POLU^ENIQ REZULXTATA DOKAVEM ^TOPOLNAQ ZADA^A O WYPOLNIMOSTI SWODITSQ K SWOEJ PODZADA^E ^ASTNOMUSLU^A@
pOKAVEM ^TO PROIZWOLXNU@ DIZ_@NKTIWNU@FUNKCI@ PEREMENNYH MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KON_@NKCII DIZ_@NKTIWNYH FUNKCIJ OT TREH PEREMENNYH ZA S^ET WWEDENIQDOPOLNITELXNYH PEREMENNYH oBOZNA^IM ^EREZ PEREMENNU@ILI W ZAWISIMOSTI OT TOGO KAK Q KOMPONENTA WHODIT W RASSMATRIWAEMU@ DIZ_@NKTIWNU@ FUNKCI@ TOGDA POSLEDN@@ MOVNOZAPISATX KAK I PRI ZAMENITX NA knf
oTMETIM ^TO DANNAQ ZAMENA NE QWLQETSQ \KWIWALENTNOJ dEJSTWITELXNO ESLI ISHODNAQ DIZ_@NKTIWNAQ FUNKCIQ RAWNQLASX NUL@ TO POSTROENNAQ knf RAWNA NUL@ PRI WSEH ZNA^ENIQH NO ESLIISHODNAQ DIZ_@NKTIWNAQ FUNKCIQ RAWNQLASX TO NAJDETSQ TAKOEZNA^ENIE ^TOBY knf RAWNQLASX |TOGO ODNAKO DOSTATO^NO DLQSOHRANENIQ OTWETA NA WOPROS O SU]ESTWOWANII WYPOLNQ@]EGO NABORA
uNIWERSALXNOSTX ZADA^ IZ KLASSA POLNYH ZADA^ SOSTOIT W TOM ^TO OSNOWNYE NERE[ENNYE WOPROSY DLQ KLASSA NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNYH ZADA^ DOSTATO^NO RAZRE[ITX HOTQ BY DLQ ODNOJ POLNOJ ZADA^I ^TOBY POLU^ITX OTWET DLQ WSEGOKLASSA kROME UTWERVDENIQ ZDESX TAKVE WAVNO
eSLI DLQ NEKOTOROJ POLNOJ ZADA^I DOPOLNITELXNAQ K NEJ PRINADLEVIT KLASSU TO
3- D(3- ) D( )3- 3- NP
NP
2-3- NP NP
3-3-
4. N - -3- ( ).
2. NP NPNP
NPNP
NPNP NP co-NP
wyp wyp wyp
wyp wyp wyp
wyp
wyp s
wyp
wyp wyp
upravnenie zAWER[ITX DOKAZATELXSTWO r POL
NOTY ZADA^I wyp RASSMOTRETX SLU^AI
s
p
p
�/ 2
2
/
_ _ _
_ _ _ _ _ _
_ _ _ _
1 2
1 2 1 3 1 2 4 2 3
2 4 3 1 3
f z k
u y z
z i z
y y : : : y k >
y y u y u u y u u : : :
: : : y u u y y u
u
u
k <
j j
ji
ji
ji
j
k
j j j j j
kjk
jk k k
jk� � � � �
9.
.
10.
uTWERVDENIE
dOKAZATELXSTWO
uTWERVDENIE
, ,
(
| . 6). , ,5. ,.
= .
, = -( = ),
- -. -
,, ( . .
), , -
,- ( . . - )
().
, . . ,,
- ,1) , ,
, , ( ,);
2) , -- ( , .1
1);3) (
), - -, | | -
,.
( ),: : , -
- .
17
tAK KAK TOOTS@DA I POLINOMIALXNOE SWEDENIE OSU]ESTWLQETSQ TOJ VEFUNKCIEJ SM OPREDELENIE nO ZNA^ITPO UTWERVDENI@ s U^ETOM PROIZWOLXNOSTI POLU^ILI^TO oBRATNOE WKL@^ENIE DOKAZYWAETSQ NA OSNOWANIIO^EWIDNOGO RAWENSTWA
nAPOMNIM ^TO GIPOTEZA W NASTOQ]EE WREMQ KAVETSQ NEREALXNOJ REALXNAQ GIPOTEZA I WRQD LIDLQ KAKOJ LIBO POLNOJ ZADA^I UDASTSQ DOKAZATX PRINADLEVNOSTXKLASSU pO\TOMU DLQ KONKRETNOJ NEDERMINIROWANNO POLINOMIALXNOJ MASSOWOJ ZADA^I ESLI EE RE[ENIE PREDSTAWLQETINTERES IMEET SMYSL POPYTATXSQ DOKAZATX WKL@^ENIE T EEE HORO[U@ HARAKTERIZACI@ I ZATEM POSTROITX POLINOMIALXNYJALGORITM RE[ENIQ LIBO KOGDA UKAZANNOE WKL@^ENIE NE DOKAZYWAETSQ NADO POPROBOWATX POLINOMIALXNO SWESTI K ODNU IZ IZWESTNYH
POLNYH ZADA^ T E POKAZATX POLNOTU I W SLU^AE USPEHAPODYSKIWATX PEREBORNU@ SHEMU RE[ENIQ U^ITYWAQ OGRANI^ENIQ NARAZMERNOSTX PRAKTI^ESKI RE[AEMYH INDIWIDUALXNYH ZADA^
dOKAZATELXSTWO UNIWERSALXNOSTI T E WKL@^ENIQUDAETSQ NE WSEGDA I W TEORII SLOVNOSTI BYL WWEDEN OB_EML@]IJ
KLASS ZADA^ SODERVA]IJRASPOZNAWANIQ SWOJSTW DLQ KOTORYH DOKAZANO ^TO
DLQ NO NE POKAZANO ^TO W ^ASTNOSTI \TO ZADA^I
OPTIMIZACII DLQ KOTORYH SOOTWETSTWU@]IE RASPOZNAWANIQ SWOJSTW POLNY NAPRIMER ZADA^A KOMMIWOQVERA IZ P
I OSTALXNYE MASSOWYE ZADA^I NE OBQZATELXNO RASPOZNAWANIQSWOJSTW K KOTORYM KAKIE LIBO POLNYEZADA^I GDE SWODIMOSTX PO tX@RINGU OZNA^AET ^TO IZ SU]ESTWOWANIQ POLINOMIALXNOGO ALGORITMA RE[ENIQSLEDUET SU]ESTWOWANIE POLINOMIALXNOGO ALGORITMA I DLQ
zADA^I NE OBQZATELXNO RASPOZNAWANIQ SWOJSTW DLQ KOTORYHI NAZYWA@TSQ ZADA^A
MI IZ KLASSA
NPC NP
NP NPNP
co-NP NP
NP co-NPP NP co-NP
NPco-NP
NPNP
NP NP
NPC
NPC NP
NPC NPco-NPC
NP
NPNPC
NPC NPNP
p p p p
p p
p p
p
p p
p
p
p
p
p p
p p p
p p
p
p p
p p p
p
p
p
p p p p p p
2 8 2 /
/
2 22
�
\
22
2
/2 2
2
x
2 /
9 2 / 9 2 /
TRUDNYH
SWODQTSQ PO tX@RINGU
\KWIWALENTNYH
T
T T
0 0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0 00 00
.dOKAZATELXSTWO
|( -
),, . -
. -,
- , - -. ( -. [2, . 412].)
,-
; , - ( -).
, , -. . -
(Nick Class, N. Pippenger), ,
, ( -).
,.
. , -(
) , -. ,
- - ,.
( ) - -| ( ), ,
.
max
18
wSE RASSMOTRENNYE NAMI KLASSY ZADA^WKL@^A@TSQ W OB]IJ KLASS MASSOWYH ZADA^ NE OBQZATELXNO RASPOZNAWANIQ SWOJSTW DLQ RE[ENIQ KOTORYH SU]ESTWU@TALGORITMY TREBU@]IE NE BOLEE ^EM POLINOMIALXNOJ PAMQTI wOPROS O RAWENSTWE I QWLQETSQ OTKRYTYM rABO^AQ GIPOTEZA SOSTOIT W NALI^II STROGOGO WKL@^ENIQ PRI\TOM POLNYE TRUDNYE I \KWIWALENTNYE ZADA^I DOLVNYWKL@^ATXSQ W sOOTWETSTWU@]U@ DIAGRAMMU WZAIMOSWQZI KLASSOW SLOVNOSTI SM W S
zAMETIM ^TO TEORETI^ESKI RASSMOTRENNU@ SHEMU POSTROENIQKLASSOW SLOVNOSTI MOVNO PRIMENQTX I DLQ DRUGIH SHEM KLASSIFIKACII W ^ASTNOSTI WWODQT TAKVE KLASS POLNYH ZADA^ K KOTORYM POLINOMIALXNO SWODITSQ L@BAQ ZADA^A IZ KLASSAkROME POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI MOVNO ANALOGI^NO GOWORITX OLOGARIFMI^ESKOJ SWODIMOSTI O ZADA^AH TREBU@]IH LOGARIFMI^ESKOJ PAMQTI I T P w NASTOQ]EE WREMQ NAIBOLEE INTENSIWNO IZU^AEMYM ZDESX OKAZYWAETSQ KLASS AWTORZADA^ RE[AEMYH ZA WREMQ OGRANI^ENNOE POLINOMOM OT LOGARIFMADLINY WHODA I TREBU@]IH POLINOMIALXNOJ PAMQTI LOGARIFMI^ESKOE WREMQ PRI WOZMOVNOSTI POLINOMIALXNOGO ^ISLA PROCESSOROWk SOVALENI@ IZLOVENIE POLU^ENNYH DLQ REZULXTATOW WYHODITZA RAMKI WWEDENIQ W TEORI@ SLOVNOSTI
rANEE UVE OTME^ALOSX ^TO S PRAKTI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ RAZNICA MEVDU POLINOMIALXNYM ALGORITMOM DLQ POLINOMOW WYSOKIHSTEPENEJ I \KSPONENCIALXNYM WESXMA USLOWNA A WSE DELO W WOZMOVNOSTI ILI NEWOZMOVNOSTI IZBEVATX POLNOGO PEREBORA wOPROS WSE LI
POLNYE I TRUDNYE ZADA^I TRUDNY DLQ PRAKTI^ESKOGO S^ETAMY OBSUDIM NIVE W \TOM PARAGRAFE
rASSMOTRIM SAMU@ PROSTU@ PO FORMULIROWKE TRUDNU@ ZADA^U ZADA^U O R@KZAKE ZAKL@^A@]U@SQ W TOM ^TOBY IZIME@]EGOSQ NABORA POLEZNYH WE]EJ SOBRATX R@KZAK OGRANI^ENNOGOOB_EMA S NAIBOLX[EJ POLXZOJ fORMALXNO TREBUETSQ NAJTI
PSPACE
P PSPACEP PSPACE
NP NP NPPSPACE P
PSPACEPSPACE
NC
NC
3
NP NP
NP
p
zr
�
n
f j � g
KLASSY SLOVNOSTI
: 0 1 =1=1 =1
c z w z K ;z z ; j ;:::;n
n
j
j j
n
j
j j
X X2f g 8j
| ( ), | ( ) -, ;
( ). | -
| - (8,
, . [1, . 87 2, . 386]).( ).
-
( ) = max
(0) | ., 1. ,
( ) = 0 . = 0 1 :
( ) =0
,
= 1 2: ( ) = max ( ) + ( + ) =
= max + ( + ) ; (0) = max (0) + ( )
� . ,, -
log ; |.
.
19
GDE POLEZNOSTX CENNOSTX OB_EM WES JWE]I A PEREMENNAQ OPREDELQET KLASTX ILI NE KLASTX EE W R@KZAKMAKSIMALXNO WOZMOVNYJ OB_EM WES R@KZAKA ZADAETSQ PARAMETROM
sOOTWETSTWU@]AQ ZADA^A RASPOZNAWANIQ SWOJSTW SU]ESTWUET LI BULEWO RE[ENIE SISTEMY DWUH LINEJNYH NERAWENSTW
I
S NATURALXNYMI KO\FFICIENTAMI POLNA DOKAZATELXSTWO NESLEDUET IZ UTWERVDENIQ TAK KAK RASSMATRIWAETSQ ^ASTNYJ SLU^AJ
PO\TOMU SM S ILI S dLQ RE[ENIQ IZWESTENSLEDU@]IJ METOD
pROIZWOLXNAQ INDIWIDUALXNAQ ZADA^A POGRUVAETSQ W SEMEJSTWO ZADA^ POISKA
ZNA^ENIE i RE[A@TSQ WSE ZADA^I DANNOGO SEMEJSTWA POREKURRENTNYM FORMULAM GDE UBYWAET S DO a IMENNO POLOVIM
iMEEM
INA^E
I
~ISLO ITERACIJ PREDLOVENNOGO ALGORITMA RAWNO I TOGO VEPORQDKA BUDET EGO WREMENNAQ SLOVNOSTX oTMETIM ^TO ALGORITM NEQWLQETSQ POLINOMIALXNYM IBO DLQ ZAPISI ^ISLA TREBUETSQ PORQDKA SIMWOLOW ON TAKVE OKAZYWAETSQ PEREBORNYM PEREBIRAETWSE WARIANTY ZAPOLNENNOSTI R@KZAKA oDNAKO PRI NE O^ENX BOLX[IHOB_EMAH R@KZAKA MOVNO DOWOLXNO BYSTRO POLU^ITX RE[ENIE dLQOBOB]ENIQ UKAZANNOGO SWOJSTWA DADIM
Z Z
Z
NP
I
bln zr
zr
zr
2 2
2
� �
2
f j � � g
8 � 8 8 �
�
8 � f g
f g f g
DINAMI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ
+ +
+
=1 =1
: 0 1 == =
1
+1 +1
0 1+1 1 2 1 2 1
2
c w jz
K
c z B w z K
F E:
c z w z K E ;
Fi n
F E:
E K; i E ;K
F E; E > K w ;c
i n ; : : : ; F E F E ; c F E w:
:c z F E w z F F ; c F w :
nK
KK
j j
j
n
j
j j
n
j
j j
iz z ; j i;:::;n
n
j i
j j
n
j i
j j
i
nn
n
i i i i i
z ;i i i i i
X X
X X
�
2f g 8
2f g
j
i
num( ) -( 0), -
, = ( ) |. ( -
) ,( ) ( ( )) ( ,num( ))
.
. -( , )
. ,-
,,
= num( ) ( )-
, -, . . ( ) | : .
-( ),( ,
), ( -), [1, . 123-124].
= , -.
. -- ( ( )) ( ,num( ))
( ). ( ( )) ( ( )) =( ), . . | -
6.
-. , -
-. -
:( ) ( ) ( ) = ( ) ( ),
20
oBOZNA^IM ^EREZ MAKSIMALXNOE PO MODUL@ CELOE ^ISLO ILI FIGURIRU@]EE PRI ZADANII ^ISLOWYH PARAMETROW DLQ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I I ^EREZ DLINUZAPISI aLGORITM RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I NE OBQZATELXNO RASPOZNAWANIQ SWOJSTW NAZYWAETSQ ESLIDLQ NEKOTOROGO POLINOMA WYPOLNENO
pRIMEROM PSEWDOPOLINOMIALXNOGO ALGORITMA QWLQETSQ ALGORITMDINAMI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ DLQ RE[ENIQ dLQ MNOGIH DRUGIH ZADA^ W ^ASTNOSTI PSEWDOPOLINOMIALXNYH ALGORITMOW NEIZWESTNO ~TOBY WYDELITX KLASS TAKIH ZADA^ WWEDEM PONQTIE
MASSOWOJ ZADA^I KAK MNOVESTWA TEH INDIWIDUALXNYH ZADA^ ^ISLOWYE PARAMETRY KOTORYH NE PREWOSHODQTPOLINOMA OT DLINY WHODA
mASSOWAQ ZADA^A RASPOZNAWANIQ SWOJSTW NAZYWAETSQ ESLI EE POLINOMIALXNOE SUVENIEPOLNO T E POLINOM
pRIMERAMI SILXNO POLNYH ZADA^ QWLQ@TSQ IKAK SOWPADA@]IE SO SWOIMI POLINOMIALXNYMI SUVENIQMIPOSKOLXKU BYLA SWEDENA K EE POLINOMIALXNOMU SUVENI@ WKOTOROM MODULI PRAWYH ^ASTEJ NE PREWY[A@T KAK OBOB]ENIE W OTLI^IE OT A TAKVE S
eSLI TO NI DLQ KAKOJ SILXNO POLNOJZADA^I NE SU]ESTWUET PSEWDOPOLINOMIALXNOGO ALGORITMA RE[ENIQ
PROWEDEM OT PROTIWNOGO pUSTX dmt RE[AET SILXNO POLNU@ ZADA^U IDLQ POLINOMA tOGDA
T E PROTIWORE^IE S ILI UTWERVDENIEM
sILXNO POLNYE ZADA^I S^ITA@TSQ NAIBOLEE TRUDNYMI DLQS^ETA SREDI WSEH ZADA^ KLASSA dALEE MY POKAVEM ^TO DLQ PODOBNYH ZADA^ W OPTIMIZACIONNOJ POSTANOWKE OTSUTSTWU@T\FFEKTIWNYE ALGORITMY POISKA DAVE PRIBLIVENNOGO RE[ENIQ rEKOMENDUEMYM PODHODOM K IH RE[ENI@ QWLQETSQ RAZBIENIE NA PODZADA^I
ANALIZ SLOVNOSTI PODZADA^
I
I I II
I I II
I I I
NP NPNPC
NP 3-
P NP NP
NP I I I II I I I
I P NPC
NPNP
D D Y Y D
a p
p
zr
km
p
p p
p
p
wyp wyp
bln
wyp
cln
bln zr km
a
p p
p
p p
p
p p p p p
j j j j
� � j j8 2
f 2 j j j g
9 � 2
6
8 2 j j� � 8 2 j j j j
j j 2 2
� \
-
-
PSEWDOPOLINOMIALXNYM
PO
LINOMIALXNOGO SUVENIQ
SILXNO POLNOJ
( )
( )
( )
( ) ( )
:e
p ; t e < p
:< p :
p
n
t e < pp ; t e < p ; p
p
;
p
p
p
p p
�
�
0
0�
0
00� �
0
0 0 0
8.
9.
4.
oPREDELENIE
oPREDELENIE
tEOREMA
dOKAZATELXSTWO
A
A
A
( . 10,12) .- -
( ,- , )
( 10,11).
.
( ) = max ( )
. . ( ) ( ), ( ( )) = ( ).( ) |
( ) , ( ) : ( ) |, max -
min.= ( ),
,( ) -
. , ( ) = ,( ) = = ( ) 0 1 = 1 ,= ( ) = -
.
21
I RAZRABOTKA SHEM PEREBORA SM W DLQ pRI \TOMDLQ SILXNO POLNYH PODZADA^ NE UDAETSQ ISPOLXZOWATX METOD DINAMI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ W KA^ESTWE SPOSOBA PEREBORA IBOPO WIDIMOMU REALIZU@]IE EGO ALGORITMY PSEWDOPOLINOMIALXNY ISLEDUET ORIENTIROWATXSQ NA SHEMU METODA WETWEJ I GRANIC
wAVNYJ KLASS MASSOWYH ZADA^ OBRAZU@TdLQ OPTIMIZACIONNOJ POSTANOWKI
ZADA^I RE[ENIEM KAVDOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I QWLQETSQPROIZWOLXNAQ REALIZACIQ OPTIMUMA
T E TAKAQ TO^KA DLQ KOTOROJzDESX OBLASTX DOPUSTIMYH ZNA^ENIJ DISKRETNOJCELO^ISLENNOJ PEREMENNOJ CELEWAQFUNKCIQ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I OPTIMIZACII ZNAK W POSTANOWKE ZADA^I MOVET BYTX ZAMENEN NA
bUDEM OBOZNA^ATX I TE KOMPONENTY WHODNOGO SLOWAOPREDELQ@]EGO PARAMETRY INDIWIDUALXNOJ ZADA^I KOTORYEZADA@T DOPUSTIMU@ OBLASTX OGRANI^ENIQ ZADA^I I FUNKCI@ CELI SOOTWETSTWENNO nAPRIMER DLQ IMEEM
II zDESX I DALEE ZNAK OBOZNA^AET SKALQR
NOE PROIZWEDENIE WEKTOROW
NPCNP
4.
NP
I
I I
I I I I II Z
I I ZI
II
p
pRIBLIVENNOE RE[ENIE ZADA^
KOMBINATORNOJ OPTIMIZACII
p p
p
zr
xx 2
xx
x
2
2�
� !
2
h if j 2 f g 8 h i � g
h� �i
-. -
. -- -
( ).. -
, -. .
( )
oPREDELENIE ZADA^I KOMBINATORNOJ OPTIMIZACII I PRIBLIVEN
NOGO ALGORITMA EE RE[ENIQ uTWERVDENIE O RAZNICE MEVDU PRI
BLIVENNYM I TO^NYM OPTIMUMOM DLQ ZADA^I O R@KZAKE oPREDELE
NIE PRIBLIVENNOGO ALGORITMA I POLNOSTX@ POLINOMIALXNOJ PRI
BLIVENNOJ SHEMY ppps sWQZX MEVDU SU]ESTWOWANIEM ppps I
PSEWDOPOLINOMIALXNOSTX@ tEOREMA OB OTSUTSTWII ppps DLQ ZA
DA^ OPTIMIZACII SOOTWETSTWU@]IH SILXNO POLNYM ZADA^AM
RASPOZNAWANIQ SWOJSTW pRIMER ZADA^I O KOMMIWOQVERE
ZADA^I DISKRETNOJ
KOMBINATORNOJ OPTIMIZACII
( )
( )
1
"
Opt:
f ; z ;
z S f ; z OptS
z f ; S
� � � e
f �; z c; zS � z z ; : : : ; z z ; j ; n w; z K� n;w;K � c: ;
z S
n I
S f
n j
S f
0
2
� �
Ip p
p p p
p
p p
zr
zr
p
,( ) ( ),
. ( ( )) -( ).
-(
) ,= ,
0( ) ( ) .
. -. :
+ 1 | -,
+ 1, . . ( ) = ( ) ( + 1). -, ( ) = ( + 1) ( ) -
.( ) ( ) = ( ) ( ) ( + 1) ( + 1) 1,
. . ( ). -.
( ) , , -,
6.
- -0,
( ) ( )
( )
. . .-
[2, . 439], -.
1) ;2) ( ) ( num( )) num( ) ( ( ))
22
aLGORITM NAZYWAETSQESLI
ON NAHODIT NEKOTORU@ TO^KU IZ DOPUSTIMOJ OBLASTIPRINIMAEMU@ ZA PRIBLIVENNOE RE[ENIE zNA^ENIE NAZYWAETSQ PRIBLIVENNYM ZNA^ENIEM OPTIMUMA I OBOZNA^AETSQ
gOWORITX OB ABSOL@TNOJ POGRE[NOSTI PRIBLIVENNOGO ALGORITMA RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I OPTIMIZACII NA KLASSE WSEWOZMOVNYHINDIWIDUALXNYH ZADA^ NE IMEET BOLX[OGO SMYSLA KAK POKAZYWAET
eSLI TO NI DLQ KAKOJ KONSTANTYNE SU]ESTWUET POLINOMIALXNOGO PRIBLIVENNOGO ALGORITMA
RE[ENIQ S OCENKOJPROWEDEM OT PROTIWNOGO pUSTX NAJDENY TA
KIE I pOSTROIM ALGORITM SLEDU@]IM OBRAZOMDOMNOVIM WSE KO\FFICIENTY NA POLU^IM INDIWIDUALXNU@ ZADA^U K KOTOROJ PRIMENIM ALGORITM I RAZDELIMPOLU^ENNYJ OTWET NA T E o^EWIDNO I IZ POLINOMIALXNOSTI ALGORITMA WYTEKAET POLINOMIALXNOSTX pRI \TOM EGO TO^NOSTX RAWNA
T E RAWNA NUL@ TAK KAK WSE ZNA^ENIQ CELEWOJ FUNKCII CELYE pOLU^ILI POLINOMIALXNYJ ALGORITM TO^NOGO RE[ENIQ pROWERKA
POLINOMIALXNA ZNA^IT POSTROILI I POLINOMIALXNYJ ALGORITM RE[ENIQ W POSTANOWKE RASPOZNAWANIQ SWOJSTW ^TOS U^ETOM UNIWERSALXNOSTI POSLEDNEJ PROTIWORE^IT UTWERVDENI@
pRIBLIVENNYJ ALGORITM RE[ENIQ MASSOWOJZADA^I OPTIMIZACII NAZYWAETSQ RE[ENIQ DLQ NEKOTOROGO ESLI
T E EGO OTNOSITELXNAQ POGRE[NOSTX NE PREWOSHODITdLQ PRIBLIVENNYH ALGORITMOW PRIWEDEM SLEDU@]IJ REZULXTATS DOKAZATELXSTWO KOTOROGO OSNOWANO NA METODE DINAMI^ESKO
GO PROGRAMMIROWANIQ I W DANNOM KURSE OPUSKAETSQpUSTX DLQ ZADA^I OPTIMIZACII
SU]ESTWUET PSEWDOPOLINOMIALXNYJ ALGORITM EE RE[ENIQI
II II I
I
P NP
I I I
I
II I
I I
I I I I
I
II I
I
I I I I I I I
a
p p
a
zr zr
a a zr
zr a
a a
zr
zr
a
p
p
p
p
p
8 22
6
j � j � 8 2
8 2
2
j � j j � j �
�
8 2j � j
j j
8 2 j j j j j j
-PRIBLIVENNYM AL
GORITMOM RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I OPTIMIZACII
s
PRIBLIVENNYM ALGORITMOM
1 2
z Sf ; z
A
C >Opt A C
Cc C
C A A = COpt Opt
Opt A Opt A = C C= C <
Opt B
"" >
Opt A
Opt< ";
""
Opt < p ; < p ;Opt
j
0
0
0 0
0
0
0 0 0
10.
11.
11.
5.
oPREDELENIE
uTWERVDENIE
dOKAZATELXSTWO
oPREDELENIE
tEOREMA
a p
p a
zr
zr zr
zr zr
zr
p
p
p p
( ) ( );3) = ( ) : , , ,
, , ( )( ) ;
( ) | : 0 -� ( ) ( 1 )
5 , , (11). , -
5,( ) . | ,
- . ,,
- ( ) | -: ( ) (num( )) , , = ,
.. -
. . -= 1 ( (num( ))+1).
- ( )( ) ( ) ( (num( )) + 1) (num( )) ( (num( )) + 1)
. -, -
, 1. , ,( ) = ( ) ( (num( )) + 1) .
, ,4.
= , 0-
.. [2, . 440{441].
, ( ) -, -
0.5-[2, . 429{432] ( ).
23
DLQ NEKOTORYH POLINOMOWPARAMETRY ZADA@]IE OGRANI^ENIQ I
ZADA@]IE CELEWU@ FUNKCI@ NE PERESEKA@TSQ I FUNKCIQCELI LINEJNO ZAWISIT OT PARAMETROW
TOGDA POLINOM PRIBLIVENNYJ ALGORITMRE[ENIQ S WREMENNOJ SLOVNOSTX@tEOREMA SPRAWEDLIWA NAPRIMER DLQ SRAWNITE REZULXTAT
S UTWERVDENIEM nABOR ALGORITMOW OPREDELENNYJ W TEOREME NAZYWAETSQppps RE[ENIQ ZADA^I OPTIMIZACII nALI^IE ppps LU^[EE^EGO MOVNO OVIDATX PRI RE[ENII TRUDNYH ZADA^ k SOVALENI@W CELOM RQDE SLU^AEW NA \TO NELXZQ RASS^ITYWATX TAK KAK IMEETSQ
eSLI DLQ OPTIMIZACII SOOTWETSTWU@]AQ EJRASPOZNAWANIQ SWOJSTW QWLQETSQ SILXNO POLNOJ I POLINOM TO PRI USLOWII ^TODLQ NE SU]ESTWUET ppps
PROWEDEM OT PROTIWNOGO pUSTX ppps SU]ESTWUET pOSTROIM ALGORITM SLEDU@]IM OBRAZOM dLQ L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I WYZYWAET StOGDA PO OPREDELENI@ PRIBLIVENNOGO ALGORITMA
POUSLOWI@ TEOREMY nO W LEWOJ ^ASTI POLU^ENNOGO NERAWENSTWA BYLO CELOE ^ISLO KOTOROE OKAZYWAETSQ RAWNYM NUL@ KAK NEOTRICATELXNOE MENX[EE tAKIM OBRAZOM ALGORITM TO^EN PRI^EM
PO OPREDELENI@ pppssLEDOWATELXNO ALGORITM PSEWDOPOLINOMIALEN ^TO PROTIWORE^ITTEOREME
eSLI TO NI DLQ KAKOGO NESU]ESTWUET POLINOMIALXNOGO PRIBLIVENNOGO ALGORITMA RE[ENIQOPTIMIZACIONNOJ POSTANOWKI ZADA^I KOMMIWOQVERA
SM W SdLQ ^ASTNOGO SLU^AQ W KOTOROM FUNKCIQ RASSTOQ
NIQ MEVDU GORODAMI UDOWLETWORQET NERAWENSTWU TREUGOLXNIKA IZWESTEN PRIBLIVENNYJ POLINOMIALXNYJ ALGORITM kRISTOFIDESA
S RE[ENIQ OPTIMIZACII
I I
A I I
A
NP
NPI I I P NP
AI A A I
A II I I I I
AI I I I
A
P NP
p
p
zr
p
p p
p
p
km
km
� � � �8 2
8 2
9 � � 8 9j j j j
f g
9 �j j 8 2 6
j �j j j
j j j j j j
6
� �
POLNOSTX@ POLINOMIALXNOJ PRIBLIVENNOJ SHEMOJ
1 2p ; ; p ;� e ; � �
z S �f �; z �
p ; " > "T < p ; =" :
pOpt < p
" = p" Opt
A < Opt = p < p = p
T T < p ; p
" >"
d ;
S f
f
"
"
"
"
0
0
0
0 0
0 0 0 0
0
0
0
"
"
6.
12.
tEOREMA
dOKAZATELXSTWO
uTWERVDENIE
dOKAZATELXSTWO
A
A A
p
p
p
p
p
0
1.1. 32. NP- ( ) 103. . NP-
154.
212.5.
( ) 246. 297. . 333.
8. ( ) 389. 454.10. .
( ) 5111. ( ) 5412. ( ) 58
24
wwedenie w teori` slovnostipONQTIE O SLOVNOSTI RE[ENIQ ZADA^
POLNYE UNIWERSALXNYE ZADA^IkLASSY SLOVNOSTI sILXNAQ POLNOTA
I PSEWDOPOLINOMIALXNOSTXpRIBLIVENNOE RE[ENIE ZADA^ KOMBINATORNOJ
OPTIMIZACIIosnowy linejnogo programmirowaniqpONQTIE O SLOVNOSTI ZADA^I
LINEJNOGO PROGRAMMIROWANIQ lpmETOD \LLIPSOIDOWtEORIQ DWOJSTWENNOSTI lp iDEQ METODA kARMARKARA|lementy matemati~eskogo
programmirowaniqoBZOR IDEJ MATEMATI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ mpdWOJSTWENNOSTX W mpsposoby re{eniq perebornyh zada~gLOBALXNAQ OPTIMIZACIQ
mETOD WETWEJ I GRANIC mwgcELO^ISLENNOE LINEJNOE PROGRAMMIROWANIE clpmETOD DINAMI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ dp
sODERVANIE
xxx
x
x
xx
xx
x
xx