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© WLV / Waldviertler Lehrmittelverlag Bildungsstandards – 6. Schulstufe/Roman Wielander
- 1 -
Bildungsstandardsfür
die 6. Schulstufe
Arbeiten mit Figuren und
Körpern
Band 1
Arbeiten mit Variablen und
funktionalen Abhängigkeiten
Arbeiten mit Z
ahlen
und Maßen
Arbeiten mit s
tatistisch
en
Kenngrößen
und Darstellu
ngen
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Bildungsstandards für die 6. Schulstufe
Vorwort
Bildungsstandards sind ein Teilsystem der Steuerung von Bildungsprozessen, die in
Österreich in letzter Zeit in der Bildungspolitik an Bedeutung gewonnen haben.
Anlässlich verschiedener Bildungsstudien, z.B. PISA-Studie, die gezeigt haben, dass
das allgemeinbildende Bildungssystem international eine eher mittelmäßige
Stellung einnimmt, wurden seitens des Unterrichtsministeriums bundesweit
einheitliche Bildungsstandards entwickelt und verbindlich gemacht.
Das Erreichen von Standards kann in verschiedenen Formen, mit verschiedenen
Instrumenten und zu verschiedenen Zwecken erhoben werden. Sie dienen zur
Sicherung und Weiterentwicklung der Qualität des Unterrichts und der Schule. Die
vorliegenden Standards beschreiben die einzelnen Kompetenzen, die SchülerInnen
bis zum Ende der 8. Schulstufe entwickeln sollen. Sie sollen ihnen nachhaltig über
die Schule hinaus zur Verfügung stehen.
Band 1 (Mathematik) und Band 2 (Deutsch) sollen den LehrerInnen der 6. Schul-
stufe als Hilfestellung dienen.
Überprüfungsblätter im Anhang dienen einerseits LehrerInnen und Eltern zur
Kontrolle, andererseits können SchülerInnen jedes einzelne Aufgabengebiet selbst
überprüfen und so feststellen, wo sie Defizite haben.
Mein besonderer Dank gilt dem Verleger Erwin Schwarzinger, der es mir
ermöglichte, über den „Waldviertler Lehrmittelverlag“ die Arbeitsbände zu
veröffentlichen.
Impressum:
Titel: Bildungsstandards für die 6. Schulstufe (Band 1 – Mathematik)
Autor und Lektorat: Roman Wielander, Eichengasse 590/1/4, A-3034 Maria Anzbach, Tel. +43 (0)
650/8412945; e-mail: [email protected], Produktion: Waldviertler Lehrmittelverlag, A-3910
Zwettl, Syrafeld 20, www.lernen.at; Grafiken: Roman Wielander; Satz und Layout: Roman
Wielander; Verlag: Waldviertler Lehrmittelverlag, E. Schwarzinger, A-3910 Zwettl, Syrafeld 20,
Tel.+ Fax +43/(0)2735/2598, e-mail: [email protected], www.lernen.at; Urheber- und
Leistungsschutzrechte: Roman Wielander © bei Waldviertler Lehrmittelverlag, E. Schwarzinger; 2.
Auflage 2017, Die Verwertung der Texte und Bilder, auch auszugsweise, ist ohne Zustimmung des
Verlages urheberrechtswidrig und strafbar. Dies gilt auch für Vervielfältigungen, Übersetzungen,
Mikroverfilmungen und für die Verarbeitung mit elektronischen Systemen. Die Vervielfältigung der
Arbeitsblätter ist nur für den Schulgebrauch an e i n e r Schule gestattet. Jede weitere
Verwendung sowie Vervielfältigung, insbesondere durch Printmedien und audiovisuelle Medien, sind
auf Grund des Urheberrechtes verboten und bedürfen der ausdrücklichen Zustimmung des Autors
und des Verlages. Alle Rechte vorbehalten. Für Veröffentlichung: Quellenangabe.
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Inhaltsverzeichnis Bildungsstandards – Mathematik
6. Schulstufe
Thema Seite
Vorwort 2
Inhaltsverzeichnis 3-4
Einleitung – Standards Mathematik – Allgemein 5-8
Erläuterung mathematischer Kompetenzen 9
Lehrstoff – Allgemein 6. Schulstufe 10-11
Kompetenzbereich 1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen 12
ÜB 1 – Grundrechnungsarten 13-17
ÜB 2 – Teilbarkeitsregeln 18-22
ÜB 3 – Größter gemeinsamer Teiler (ggT) 23-27
ÜB 4 – Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) 28-32
ÜB 5 – Textaufgaben-Teilbarkeit 33-37
ÜB 6 – Brüche 1 38-42
ÜB 7 – Brüche 2 43-47
ÜB 8 – Brüche 3 48-52
ÜB 9 – Prozentrechnungen 53-57
ÜB 10 – Promillerechnungen 58-62
ÜB 11 – Textaufgaben – Prozentrechnung 63-67
ÜB 12 – Textaufgaben – Promillerechnung 68-72
Kompetenzbereich 2: Arbeiten mit Variablen und
funktionalen Abhängigkeiten 73
ÜB 1 – Gleichungen 74-78
ÜB 2 – Textaufgaben 1 – Gleichungen 79-83
ÜB 3 – Textaufgaben 2 – Gleichungen 84-88
ÜB 4 – Ungleichungen 89-93
ÜB 5 – Textaufgaben – Ungleichungen 94-98
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Kompetenzbereich 2: Arbeiten mit Variablen und
funktionalen Abhängigkeiten
ÜB 6 – Alltagsgeschichten 1 99-103
ÜB 7 – Alltagsgeschichten 2 104-108
Kompetenzbereich 3: Arbeiten mit Figuren und Körpern 109
ÜB 1 – Winkel 110-114
ÜB 2 – Symmetrie 115-119
ÜB 3 – Dreiecke 1 120-124
ÜB 4 – Dreiecke 2 125-129
ÜB 5 – Zusammengesetzte Flächen 130-134
ÜB 6 – Parallelogramm und Raute 135-139
ÜB 7 – Trapez und Deltoid 140-144
ÜB 8 – Vielecke 145-149
ÜB 9 – Prismen 1 150-154
ÜB 10 – Prismen 2 155-159
Kompetenzbereich 4: Arbeiten mit statistischen
Kenngrößen und Darstellungen 160
ÜB 1 – Körpergewicht 161-166
ÜB 2 – Halbmarathon 167-173
ÜB 3 – Bücherei 174-178
ÜB 4 – Test 179-181
ÜB 5 – Gehweg 182-184
ÜB 6 – Aus dem Leben 185-187
ÜB 7 – Temperatur 188-190
ÜB 8 – Freigegenstände 191-195
ÜB 9 – Müllentsorgung 196-200
Anhang: Überprüfungsblätter 201-203
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Standards Mathematik – Allgemein 1
Einleitung
Die mathematischen Kompetenzen
Sie beschreiben jene Bereiche (drei an der Zahl), die SchülerInnen bis zum Ende der 8. Schulstufe entwickeln und längerfristig verfügbar haben sollten.
1. Handlungsbereiche
Für die mathematischen Standards wurden die folgenden vier
Tätigkeitsbereiche erarbeitet und festgehalten:
H1 Darstellen, Modellbilden
Darstellen bedeutet, dass Sachverhalte mathematisch anders repräsentiert werden sollen.
Das Modellbilden erfordert zusätzlich, mathematische Beziehungen zu erkennen und diese dann darzustellen. Hier
sollen Annahmen getroffen oder Vereinfachungen vorgenommen werden.
Beispiele: einen gegebenen Sachverhalt in eine andere
Darstellungsform übertragen (tabellarisch, grafisch,…) Zeichnungen einfacher geometrischer Figuren
anfertigen (mit Lineal oder als Freihandskizze) mathematische Zusammenhänge bestätigen und
darstellen
geeignete mathematische Mittel (Begriffe, Modelle, Darstellungsformen) und Lösungswege auswählen
aus bekannten Modellen neue Modelle entwickeln (modulare Arbeiten)
alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache der Mathematik übersetzen
H2 Rechnen, Operieren
Rechnen meint einerseits die Durchführung von Rechen-operationen mit konkreten Zahlen, andererseits die
Umformung symbolisch dargestellter Sachverhalte. Unter dem Begriff „Operieren“ versteht man die Planung
sowie die korrekte und sinnvolle Durchführung von Rechen-
oder Konstruktionsabläufen. Dazu gehören auch geometrische Konstruktionen und das Arbeiten mit Tabellen
und Grafiken. Beispiele:
elementare Rechenoperationen durchführen, Potenzieren, Wurzelziehen
Maßeinheiten umrechnen in Formeln Zahlen einsetzen, Werte berechnen
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Standards Mathematik – Allgemein 2
H2 Rechnen,
Operieren Beispiele:
Gleichungen und Ungleichungen lösen Ergebnisse abschätzen, sinnvoll runden,
Näherungswerte bestimmen mit und in Tabellen oder Grafiken rechnen
geometrische Konstruktionen durchführen
H3 Interpretieren Aus mathematischen Darstellungen sollen Fakten,
Zusammenhänge oder Sachverhalte erkannt und
dargestellt werden. Weiters sollen die Beziehungen und Sachverhalte gedeutet werden können.
Beispiele: aus Tabellen und Grafiken Werte ablesen und
deuten tabellarisch, grafisch oder symbolische
Zusammenhänge beschreiben und deuten Zusammenhänge und Strukturen in Termen und
Formeln erkennen und deuten Rechenergebnisse in Kontexten deuten
tabellarische, grafische oder auch symbolische Rechendarstellungen angemessen deuten
H4 Argumentieren,
Begründen
Beim Argumentieren werden mathematische Aspekte auf
eine bestimmte Sichtweise, die für oder gegen etwas sprechen, untersucht. Dies erfordert eine genaue
Verwendung von Regeln und Eigenschaften. Das Begründen verlangt bestimmte Schlussfolgerungen
und Entscheidungen bei mathematischen Beispielen. Beispiele:
Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten mathematischen
Begriffs oder eines Lösungsweges sprechen Vermutungen formulieren und begründen
Zusammenhänge (Formeln, Sätze) herleiten oder beweisen
richtige oder falsche mathematische
Argumentationen bzw. Begründungen erkennen begründen, warum eine Argumentation oder
Begründung zutreffend bzw. unzutreffend ist
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Standards Mathematik – Allgemein 3
2. Inhaltsbereiche
Sie wurden unter der Berücksichtigung des derzeitigen Lehrplanes ausgewählt und zu folgenden vier Bereichen zusammengefasst:
I1 Zahlen und
Maße
Verschiedene Zahlen und Maße sollen praxisnahe
Anwendung finden. Lehrstoff:
natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen Bruch- und Dezimaldarstellung rationaler Zahlen,
Potenzschreibweise, Wurzeln Rechenoperationen, Rechengesetze und –regeln
Anteile, Prozente, Zinsen Maßeinheiten – für Längen, Flächen, Volumina,
Massen, Zeiten und zusammengesetzte Größen
I2 Variable, funktionale
Abhängigkeiten
Variable, Terme und (Un-)Gleichungen, funktionale Abhängigkeiten sollen unterschiedlich dargestellt werden.
Lehrstoff: Variable und Terme
einfache Gleichungen (auch Formeln) und Ungleichungen
lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen tabellarische, grafische und symbolische
Darstellung funktionaler Zusammenhänge lineare Funktionen
direkte und indirekte Proportionalität
I3 Geometrische Figuren und
Körper
Das Erlernen grundlegender geometrischer Begriffe, einfacher Figuren und Körper und deren Eigenschaften
und Darstellung (Zeichnung, Konstruktion) steht im Vordergrund.
Lehrstoff: Punkt, Gerade, Ebene, Strecke, Winkel, Parallele,
Normale Symmetrie, Ähnlichkeit
Dreiecke, Vierecke, Kreis Würfel, Quader, Prismen, Pyramiden, Zylinder,
Kegel, Kugel Satz des Pythagoras
Umfangs-, Flächen-, Oberflächen- und
Volumsformeln
I4 Statistische
Darstellungen und
Kenngrößen
Statistische Daten sollen tabellarisch und grafisch
dargestellt werden können. Lehrstoff:
tabellarische Darstellung statistischer Daten
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Standards Mathematik – Allgemein 4
I4 Statistische Darstellungen
und Kenngrößen
Lehrstoff: Stab-, Kreis-, Streifen-, Linien-, Streudiagramm,
Piktogramm absolute und relative Häufigkeiten
arithmetisches Mittel, Median, Quartile Spannweite, Interquartilabstand
3. Komplexitätsbereiche
Mathematische Problemstellungen können einerseits lediglich die direkte Anwendung eines Begriffes erfordern (leicht), andererseits eine Kombination und Vernetzung mehrerer mathematischer Begriffe verlangen (schwierig). Die Anforderungen der Rechnungen umfassen drei Bereiche:
K1 Einsetzen von
Grundkenntnissen u. –fertigkeiten
(= GERINGE
KOMPLEXITÄT)
Darunter versteht man die Wiedergabe oder direkte
Anwendung von grundlegenden mathematischen Begriffen, Sätzen, Verfahren und Darstellungen.
Mathematisches Wissen und Können ist direkt aus dem Text erkenn- und anwendbar. Aus diesem Grund
erfordern die mathematischen Fertigkeiten bzw. Kenntnisse eine geringe Komplexität.
K2 Herstellen von Verbindungen
(= MITTLERE
KOMPLEXITÄT)
Wenn mathematische Sachverhalte und deren Problemlösungen komplexer sind, müssen
Verbindungen (Begriffe, Sätze, Verfahren, Darstellungsformen) aus verschiedenen
mathematischen Gebieten hergestellt werden.
K3 Einsetzen von
Reflexionswissen, Reflektieren
(= HÖHERE
KOMPLEXITÄT)
Hier ist das Nachdenken über Zusammenhänge
erforderlich, die nicht unmittelbar aus dem dargelegten mathematischen Sachverhalt ablesbar
sind. Dazu gehören z.B. Lösungswege und Alternativen,
Vor- und Nachteile von Darstellungsformen, Grenzen von Modellen, Nachdenken über Interpretationen und
Begründungen.
All diese Beispiele sollen durch Dokumentationen von Lösungswegen sichtbar gemacht werden.
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Komplexität
mathematischer Inhalt
mathematische
Handlung
Kompetenz (H2, I1, K3)
Erläuterung mathematischer Kompetenzen
Mathematische Kompetenzen (Modelldarstellung)
Sie beziehen sich auf mathematische Tätigkeiten (= Handlungen), auf
mathematische Inhalte und auf die Art der Komplexität (Grad der Vernetzung zu anderen Bereichen)
Beispiel: Eine Kompetenz ist die Fähigkeit zur Erklärung (Handlungsbereich = H) von
mathematischen Darstellungen des Sachverhaltes (Inhaltsbereich = I), wobei mehrere Fakten und
Zusammenhänge in Verbindung gebracht werden müssen (Komplexitätsbereich = K)
Handlungsbereich – H
Inhaltsbereich – I
Komplexitätsbereich – K
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Mathematik – Lehrstoff – Allgemein 1
Lehrstoff 6. Schulstufe (= 2. Klasse)
1. Arbeiten mit Zahlen und Maßen
Die Schüler sollen …
- das Arbeiten mit positiven rationalen Zahlen festigen und vertiefen, um
vielfältige und komplexere Probleme in Sachsituationen bearbeiten zu können.
- mit Brüchen rechnen, damit die Rechenregeln im Hinblick auf die Algebra sicher beherrscht werden.
- diese Rechenregeln für das Bruchrechnen begründen können. - Bruchdarstellungen in Dezimaldarstellungen überführen und umgekehrt
anwenden können. - wichtige Teilbarkeitsregeln kennen und anwenden können.
- mit Prozenten in vielfältigen Zusammenhängen rechnen. - Maße verwenden und Umwandlungen durchführen können.
2. Arbeiten mit Variablen und funktionalen
Abhängigkeiten
Die Schüler sollen …
- Gleichungen und Formeln insbesondere auch in Sachsituationen aufstellen
können. - unter Verwendung von Umkehroperationen einfache lineare Gleichungen mit
einer Unbekannten lösen und Formeln umformen.
- Formeln interpretieren.
3. Arbeiten mit Figuren und Körpern
Die Schüler sollen …
- Dreiecke, Vierecke und regelmäßige Vielecke untersuchen, wesentliche Eigenschaften feststellen.
- die Figuren skizzieren und konstruieren können. - erkennen, ob Angaben mehrdeutig sind oder überhaupt nicht in
Konstruktionen umgesetzt werden können. - kongruente Figuren herstellen und diese Kongruenz begründen können.
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Mathematik – Lehrstoff – Allgemein 2
3. Arbeiten mit Figuren und Körpern – Fortsetzung
Die Schüler sollen … - Eigenschaften von Strecken- und Winkelsymmetralen kennen und für die
Konstruktion anwenden können. - Flächeninhalte von Figuren berechnen können, die sich durch Zerlegen oder
Ergänzen auf Rechtecke zurückführen lassen. - Volumina von Prismen berechnen, möglichst in Anwendungsaufgaben.
4. Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und
Darstellungen
Die Schüler sollen …
- charakteristische Kennzeichen von indirekten und direkten Proportionalitäten an Beispielen angeben können.
- einfache Fragestellungen dazu formulieren, sie graphisch darstellen und lösen können.
- relative Häufigkeiten ermitteln können. - entsprechende graphische Darstellungen lesen, anfertigen und kritisch
betrachten können. - Manipulationsmöglichkeiten erkennen.
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Arbeitsaufgaben
zum
Kompetenzbereich
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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Übungsbeispiel 1
Titel: Grundrechnungsarten
Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander
Themenbereich: Ganze Zahlen – Verbindung von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
Mathematische Kompetenzen
Aufgabe 1 Aufgabe 2
1. Arbeiten mit Zahlen und Maßen I1 I1
2. Darstellen und Modellbilden,
Operieren und Rechnen
H2 H1/H2
3. Grundkenntnisse und –
fertigkeiten; Herstellen von Verbindungen
K1 K1/K2
Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:
Aufgabe 1: Aufgabe 2:
15 Minuten
5 Minuten 10 Minuten
Komplexitätsstufen: Aufgabe 1: a, b und c) niedriger; d) mittel; e) höher
Aufgabe 2:
a und c) mittel; b) niedriger; d) höher
Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber
Besondere
Bemerkungen:
Der Taschenrechner ist bei beiden Aufgaben
nicht erlaubt.
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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Grundrechnungsarten – Arbeitsblatt 1
Aufgabe 1:
a) Wie lautet das Ergebnis folgender Addition? Kreuze an!
5,37 + 45,02 + 17,71
Ο 70,5 Ο 65,3
Ο 68,1 Ο 69,2
b) Wie lautet das Ergebnis folgender Subtraktion? Kreuze an!
458,31 – 277,23
Ο 108,08
Ο 180,08 Ο 181,08
Ο 118,08
c) Das Ergebnis folgender Multiplikation lautet … Kreuze an!
82 ∙ 5 ∙ 4 =
Ο 1 540
Ο 1 640 Ο 1 740
Ο 1 840
d) Rechne folgende Divisionen im Kopf und kreuze das jeweilige richtige
Ergebnis an!
43,1 : 0,1 17 : 0,001 0,35 : 100
Ο 4 310 Ο 43 100
Ο 431 Ο 431 000
Ο 17 000 Ο 1 700
Ο 170 000 Ο 170
Ο 35 Ο 0,035
Ο 3,5 Ο 0,0035
e) Wie lautet das Ergebnis folgender Rechnungen? Kreuze an!
3,5 – 2,5 : 0,5 + 4 (1,7 + 2,3) ∙ 6 – 12,5 (4,5 – 2,8) : (3,1 – 2,9)
Ο 2
Ο 2,5
Ο 3 Ο 3,5
Ο 10,5
Ο 11
Ο 11,5 Ο 12,5
Ο 8,5
Ο 9,5
Ο 10,5 Ο 11,5
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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Grundrechnungsarten – Arbeitsblatt 2
Aufgabe 2:
a) Wie lautet das Verteilungsgesetz der Multiplikation?
O (a ∙ b) ∙ c = (a + c) + (b + c) O (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c
O (a + b) : c = a : c + b : c
O (a – b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c
b) Eine Klasse fährt mit 38 Kindern auf Projektwoche. Für die Autobusfahrt
werden 592,80 € bezahlt. Wie hoch sind die Fahrtkosten für ein Kind?
A.:
c) Am Sportplatz soll ein Weg von insgesamt 96 m Länge mit 50 x 50 cm großen Platten ausgelegt werden.
Wie viele Platten werden benötigt, wenn je drei Platten nebeneinander
liegen?
A.:
d) Beim Fleischhauer kostet 1,45 kg Rindfleisch 20,59 €. Im Supermarkt
bezahlt man für 0,9 kg Rindfleisch 13,32 €. Wo kauft man günstiger?
A.:
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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Grundrechnungsarten – Arbeitsblatt 1 – Lösung
Aufgabe 1:
a) Wie lautet das Ergebnis folgender Addition? Kreuze an!
5,37 + 45,02 + 17,71
Ο 70,5 Ο 65,3
Ο 68,1 Ο 69,2
b) Wie lautet das Ergebnis folgender Subtraktion? Kreuze an!
458,31 – 277,23
Ο 108,08
Ο 180,08 Ο 181,08
Ο 118,08
c) Das Ergebnis folgender Multiplikation lautet … Kreuze an!
82 ∙ 5 ∙ 4 =
Ο 1 540
Ο 1 640 Ο 1 740
Ο 1 840
d) Rechne folgende Divisionen im Kopf und kreuze das jeweilige richtige
Ergebnis an!
43,1 : 0,1 17 : 0,001 0,35 : 100
Ο 4 310 Ο 43 100
Ο 431 Ο 431 000
Ο 17 000 Ο 1 700
Ο 170 000 Ο 170
Ο 35 Ο 0,035
Ο 3,5 Ο 0,0035
e) Wie lautet das Ergebnis folgender Rechnungen? Kreuze an!
3,5 – 2,5 : 0,5 + 4 (1,7 + 2,3) ∙ 6 – 12,5 (4,5 – 2,8) : (3,1 – 2,9)
Ο 2
Ο 2,5
Ο 3 Ο 3,5
Ο 10,5
Ο 11
Ο 11,5 Ο 12,5
Ο 8,5
Ο 9,5
Ο 10,5 Ο 11,5
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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Grundrechnungsarten – Arbeitsblatt 2- Lösung
Aufgabe 2:
a) Wie lautet das Verteilungsgesetz der Multiplikation?
O (a ∙ b) ∙ c = (a + c) + (b + c) O (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c
O (a + b) : c = a : c + b : c
O (a – b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c
b) Eine Klasse fährt mit 38 Kindern auf Projektwoche. Für die Autobusfahrt
werden 592,80 € bezahlt. Wie hoch sind die Fahrtkosten für ein Kind?
592,80 : 38 = 15,60 €
212 228
000R
A.: Die Fahrtkosten für ein Kind betragen 15,60 Euro.
c) Am Sportplatz soll ein Weg von insgesamt 96 m Länge mit 50 x 50 cm großen Platten ausgelegt werden.
Wie viele Platten werden benötigt, wenn je drei Platten nebeneinander
liegen?
96 m = 9 600 cm
9600 : 50 = 192 Platten 460
100
00R
192 ∙ 3 = 576 Platten
A.: Es werden 576 Platten benötigt.
d) Beim Fleischhauer kostet 1,45 kg Rindfleisch 20,59 €. Im Supermarkt
bezahlt man für 0,9 kg Rindfleisch 13,32 €. Wo kauft man günstiger?
20,59 : 1,45 =
2059 : 145 = 14,2 0609
290
00R
13,32 : 0,9
1332 : 90 = 14,8 0432
0720
00R
A.: Beim Fleischhauer kauft man günstiger.
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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Übungsbeispiel 2
Titel: Teilbarkeitsregeln
Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander
Themenbereich: Teilbarkeit von natürlichen Zahlen
Mathematische Kompetenzen
Aufgabe 1 Aufgabe 2
1. Arbeiten mit Zahlen und Maßen I1 I1
2. Darstellen und Modellbilden,
Operieren und Rechnen
H1/H2 H1/H2
3. Grundkenntnisse und – fertigkeiten;
Herstellen von Verbindungen
K1/K2 K1/K2
Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit: Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
15 Minuten 5 Minuten
10 Minuten
Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:
a, b und c) mittel; d und e) niedriger
Aufgabe 2: a) niedriger; b und c) mittel; d) höher
Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber
Besondere
Bemerkungen:
Der Taschenrechner ist bei beiden Aufgaben
nicht erlaubt.
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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Teilbarkeitsregeln – Arbeitsblatt 1
Aufgabe 1:
a) Welche Zahlen zwischen 20 und 40 sind durch 3 teilbar? Kreuze die richtige Lösung an!
Ο 21, 25, 27, 29, 34, 38 und 39
Ο 21, 24, 27, 30, 33, 36 und 39 Ο 22, 25, 27, 33, 36 und 38
Ο 24, 27, 30, 33, 35 und 39
b) Welche Zahlen zwischen 50 und 80 sind ein Vielfaches von 9?
Ο 51, 60, 69, 72 und 79 Ο 54, 63, 71 und 76
Ο 54, 63 und 72
Ο 52, 61, 70 und 79
c) Welche Zahlen zwischen 70 und 100 haben 7 als Teiler?
Ο 77, 84, 91 und 98
Ο 71, 78, 85, 92 und 99 Ο 75, 82, 89 und 96
Ο 73, 80, 87 und 93
d) Kreuze alle Primzahlen an, die zwischen 10 und 30 liegen!
Ο 11, 15, 17, 21, 25, 27 und 29
Ο 11, 13, 17, 19, 23 und 29 Ο 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 und 28
Ο 13, 15, 18, 21, 24, 27 und 29
e) Kreuze alle richtigen Aussagen an!
Ο Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und
durch sich selbst teilbar ist.
Ο Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Einerziffer 1, 3, 6 und 9 ist.
Ο Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die Einerziffer 0 oder 5 ist.
Ο Eine Zahl ist durch 4 bzw. 25 teilbar, wenn die aus der Zehner- und Einerziffer
gebildete Zahl durch 10 teilbar ist.
Ο Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3
bzw. 9 teilbar ist.
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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Teilbarkeitsregeln – Arbeitsblatt 2
Aufgabe 2:
a) Kreuze alle Ziffern an, die für den Platzhalter □ gesetzt werden können, sodass eine wahre Aussage entsteht! 3 │ 67□2
O 0
O 1
O 2
O 3
O 4
O 5
O 6
O 7
O 8
O 9
Die Zahlen lauten:
b) Kreuze alle Ziffern an, die für den Platzhalter □ gesetzt werden können, sodass eine wahre Aussage entsteht! 4 │ 2813□
O 0
O 1
O 2
O 3
O 4
O 5
O 6
O 7
O 8
O 9
Die Zahlen lauten:
c) Kreuze alle Ziffern an, die für den Platzhalter □ gesetzt werden
können, sodass eine wahre Aussage entsteht! 9 │ 471□1
O 0 O 1
O 2 O 3
O 4 O 5
O 6 O 7
O 8 O 9
Die Zahl lautet:
d) Kreuze die leeren Felder an, wenn die links stehende Zahl durch die oben stehende Zahl teilbar ist!
2 3 4 5 6 7 9 10 15 25 100
204
744
2 250
8 022
34 700
514 845
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- 21 -
Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Teilbarkeitsregeln – Arbeitsblatt 1 – Lösung
Aufgabe 1:
a) Welche Zahlen zwischen 20 und 40 sind durch 3 teilbar? Kreuze die richtige Lösung an!
Ο 21, 25, 27, 29, 34, 38 und 39
Ο 21, 24, 27, 30, 33, 36 und 39 Ο 22, 25, 27, 33, 36 und 38
Ο 24, 27, 30, 33, 35 und 39
b) Welche Zahlen zwischen 50 und 80 sind ein Vielfaches von 9?
Ο 51, 60, 69, 72 und 79 Ο 54, 63, 71 und 76
Ο 54, 63 und 72
Ο 52, 61, 70 und 79
c) Welche Zahlen zwischen 70 und 100 haben 7 als Teiler?
Ο 77, 84, 91 und 98
Ο 71, 78, 85, 92 und 99 Ο 75, 82, 89 und 96
Ο 73, 80, 87 und 93
d) Kreuze alle Primzahlen an, die zwischen 10 und 30 liegen!
Ο 11, 15, 17, 21, 25, 27 und 29
Ο 11, 13, 17, 19, 23 und 29 Ο 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 und 28
Ο 13, 15, 18, 21, 24, 27 und 29
e) Kreuze alle richtigen Aussagen an!
Ο Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und
durch sich selbst teilbar ist.
Ο Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Einerziffer 1, 3, 6 und 9 ist.
Ο Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die Einerziffer 0 oder 5 ist.
Ο Eine Zahl ist durch 4 bzw. 25 teilbar, wenn die aus der Zehner- und Einerziffer
gebildete Zahl durch 10 teilbar ist.
Ο Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3
bzw. 9 teilbar ist.
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- 22 -
Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Teilbarkeitsregeln – Arbeitsblatt 2 – Lösung
Aufgabe 2:
a) Kreuze alle Ziffern an, die für den Platzhalter □ gesetzt werden können, sodass eine wahre Aussage entsteht! 3 │ 67□2
O 0
O 1
O 2
O 3
O 4
O 5
O 6
O 7
O 8
O 9
Die Zahlen lauten: 6 702, 6 732, 6 762 und 6 792
b) Kreuze alle Ziffern an, die für den Platzhalter □ gesetzt werden können, sodass eine wahre Aussage entsteht! 4 │ 2813□
O 0
O 1
O 2
O 3
O 4
O 5
O 6
O 7
O 8
O 9
Die Zahlen lauten: 28 130, 28 131, 28 133, 28 134, 28 135, 28 137, 28 138 und 28 139
c) Kreuze alle Ziffern an, die für den Platzhalter □ gesetzt werden
können, sodass eine wahre Aussage entsteht! 9 │ 471□1
O 0 O 1
O 2 O 3
O 4 O 5
O 6 O 7
O 8 O 9
Die Zahl lautet: 47 151
d) Kreuze die leeren Felder an, wenn die links stehende Zahl durch die oben stehende Zahl teilbar ist!
2 3 4 5 6 7 9 10 15 25 100
204 X X X X
744 X X X X
2 250 X X X X X X X X
8 022 X X X X
34 700 X X X X X X
514 845 X X X X
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- 160 -
Arbeitsaufgaben
zum
Kompetenzbereich
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- 161 -
Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Übungsbeispiel 1
Titel: Körpergewicht
Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander Themenbereich: Datenmengen untersuchen und darstellen Mathematische Kompetenzen
Aufgabenstellung
1. Statistische Darstellungen und
Kenngrößen
I4
2. Darstellen und Modellbilden,
Operieren und Rechnen, Interpretieren und Dokumentieren
H1/H2/H3
3. Grundkenntnisse und - fertigkeiten
Herstellen von Verbindungen, Einsetzen von Reflexionswissen
K1/K2/K3
Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
Aufgabe 3:
40 Minuten 10 Minuten
15 Minuten
15 Minuten
Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:
mittel
Aufgabe 2: niedriger
Aufgabe 3:
höher
Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck, Zirkel,
Bleistift, Taschenrechner, Farbstifte, eventuell Computer (Office)
Besondere
Bemerkungen:
Begabte SchülerInnen können das Beispiel
mithilfe des Computers lösen.
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- 162 -
Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Körpergewicht – AB 1
Aufgabenstellung:
Bei einer ärztlichen Untersuchung wurden in der 3b-Klasse folgende Körpergewichte (m) in kg gemessen:
37,2 – 48,1 – 35,0 – 24,3 – 51,5 – 26,9 – 53,4 – 48,5 – 29,6 – 41,7 – 33,3 – 46,0 – 29,2 – 54,7 – 50,2 – 50,7 – 30,9 – 46,4 – 37,2 – 26,5 – 35,8 – 55,6 – 56,1 – 34,3 – 49,0
1) Teile in „Gewichtsklassen“ ein (Zahlenwerte in kg)!
K1: m ≤ 25,0
K2: 25,1 ≤ m ≤ 35,0
K3: 35,1 ≤ m ≤ 45,0
K4: 45,1 ≤ m ≤ 55,0
K5: 55,1 ≤ m
Erstelle zu dieser Einteilung eine Statistik der absoluten, der relativen und der prozentuellen Häufigkeiten!
„Gewichts-klasse“
„Gewicht“ in m Zahlenwert in kg
absolute Häufigkeit
relative Häufigkeit
prozentuelle Häufigkeit
K1: m ≤ 25,0
K2: 25,1 ≤ m ≤ 35,0
K3: 35,1 ≤ m ≤ 45,0
K4: 45,1 ≤ m ≤ 55,0
K5: 55,1 ≤ m
Gesamt
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- 163 -
Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Körpergewicht – AB 2
2) Veranschauliche die prozentuellen Häufigkeiten mithilfe eines Streifenschaubildes (Streifenbreite: 1 cm, 10 % 2 cm)!
K1 K2 K3 K4 K5
Prozentuelle Häufigkeit
Grafische D.
Streifenschaubild
x-Achse - Gewichtsklasse
y-Achse – %
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- 164 -
Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Körpergewicht – AB 1 – Lösung
Aufgabenstellung:
Bei einer ärztlichen Untersuchung wurden in der 3b-Klasse folgende Körpergewichte (m) in kg gemessen:
37,2 – 48,1 – 35,0 – 24,3 – 51,5 – 26,9 – 53,4 – 48,5 – 29,6 – 41,7 – 33,3 – 46,0 – 29,2 – 54,7 – 50,2 – 50,7 – 30,9 – 46,4 – 37,2 – 26,5 – 35,8 – 55,6 – 56,1 – 34,3 – 49,0
1) Teile in „Gewichtsklassen“ ein (Zahlenwerte in kg)!
K1: m ≤ 25,0
K2: 25,1 ≤ m ≤ 35,0
K3: 35,1 ≤ m ≤ 45,0
K4: 45,1 ≤ m ≤ 55,0
K5: 55,1 ≤ m
Erstelle zu dieser Einteilung eine Statistik der absoluten, der relativen und der prozentuellen Häufigkeiten!
„Gewichts-
klasse“
„Gewicht“ in m
Zahlenwert in kg
absolute
Häufigkeit
relative
Häufigkeit
prozentuelle
Häufigkeit
K1: m ≤ 25,0 1 04,025
1 4 %
K2: 25,1 ≤ m ≤ 35,0 8 32,025
8 32 %
K3: 35,1 ≤ m ≤ 45,0 4 16,025
4 16 %
K4: 45,1 ≤ m ≤ 55,0 10 40,025
10 40 %
K5: 55,1 ≤ m 2 08,025
2 8 %
Gesamt 25 00,125
25 100 %
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- 165 -
K1
5
25
20
15
10
Gewichtsklasse
30
35
prozentuelle Häufigkeit
40
4
8
40
16
32
K2 K3 K4 K5
Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Körpergewicht – AB 2 – Lösung
2) Veranschauliche die prozentuellen Häufigkeiten mithilfe eines Streifenschaubildes (Streifenbreite: 1 cm, 10 % 2 cm)!
K1 K2 K3 K4 K5
Prozentuelle Häufigkeit 4 % 32 % 16 % 40 % 8 %
Grafische D. 8 mm 64 mm 32 mm 80 mm 16 mm
Streifenschaubild
x-Achse - Gewichtsklasse
y-Achse – %
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- 166 -
Pro
zen
tuell
e H
äu
figkeit
K1
4%
K2
32
%
K5
8%
K4
40
%
K3
16
%
K1K2
K3K4
K5
Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Körpergewicht – AB 3 – Lösung
3) Veranschaulichung mithilfe des Computers
Kreisdiagramm mithilfe des Computers (mögliche Lösung) Zu beachten: Überschrift und Legende dürfen nicht fehlen.
Beim Kreisdiagramm sollten die Gewichtsklassen und die Prozente
eingetragen sein.
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- 167 -
Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Übungsbeispiel 2
Titel: Halbmarathon
Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander Themenbereich: Datenmengen untersuchen und darstellen Mathematische Kompetenzen
Aufgabenstellung
1. Statistische Darstellungen und Kenngrößen
I4
2. Darstellen und Modellbilden, Operieren und Rechnen,
Interpretieren und Dokumentieren
H1/H2/H3
3. Grundkenntnisse und - fertigkeiten
Herstellen von Verbindungen, Einsetzen von Reflexionswissen
K1/K2/K3
Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
Aufgabe 3:
30 Minuten 5 Minuten
10 Minuten
15 Minuten
Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:
mittel Aufgabe 2:
mittel
Aufgabe 3: höher
Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck, Zirkel,
Bleistift, Taschenrechner, Farbstifte, eventuell Computer (Office)
Besondere
Bemerkungen:
Begabte SchülerInnen können das Beispiel
mithilfe des Computers lösen.
Muster
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- 168 -
Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Halbmarathon – AB 1
Aufgabenstellung:
Der Start für den Halbmarathon in Melk erfolgte um 11:00. Für die 30 Teilnehmer wurden folgende Ankunftszeiten gestoppt und in die Teilnehmerliste eingetragen: 12:55, 13:04, 12:41, 12:59, 13:25, 13:12, 13:08, 12:36, 12:48, 13:11, 12:44, 13:09, 13:30, 13:22, 13:01, 12:57, 12:45, 13:13, 12:46, 12:37, 13:33, 12:42, 13:07, 13:28, 12:50, 13:20, 13:29, 13:43, 13:03, 13:17, (30 Teilnehmer)
Teile in „Leistungsklassen“ ein (t … Laufzeit)!
K1: 1 h 30 min ≤ t ≤ 1 h 44 min
K2: 1 h 45 min ≤ t ≤ 1 h 59 min
K3: 2 h ≤ t ≤ 2 h 14 min
K4: 2 h 15 min ≤ t ≤ 2 h 29 min
K5: 2 h 30 min ≤ t ≤ 2 h 44 min
1) Ergänze in der Tabelle die Häufigkeiten!
Leistungs-klasse
Laufzeit t
Strichliste Häufigkeit
K1 1 h 30 min ≤ t ≤ 1 h 44 min
K2 1 h 45 min ≤ t ≤ 1 h 59 min
K3 2 h ≤ t ≤ 2 h 14 min
K4 2 h 15 min ≤ t ≤ 2 h 29 min
K5 2 h 30 min ≤ t ≤ 2 h 44 min
Muster
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- 169 -
Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Halbmarathon – AB 2
2) Erstelle zu dieser Einteilung eine Statistik der absoluten, der relativen und der prozentuellen Häufigkeiten!
„Leistungs
-klasse“
Laufzeit
t
Ankunftszeit
T
abs. rel. proz.
Häufigkeit
K1: 1 h 30 min ≤ t ≤ 1 h 44 min 12:30 ≤ T ≤ 12:44
K2: 1 h 45 min ≤ t ≤ 1 h 59 min 12:45 ≤ T ≤ 12:59
K3: 2 h ≤ t ≤ 2 h 14 min 13:00 ≤ T ≤ 13:14
K4: 2 h 15 min ≤ t ≤ 2 h 29 min 13:15 ≤ T ≤ 13:29
K5: 2 h 30 min ≤ t ≤ 2 h 44 min 13:30 ≤ T ≤ 13:44
Gesamt
3) Veranschauliche die absoluten Häufigkeiten mithilfe eines Kreisdiagramms (r = 5 cm)!
Zu beachten: Winkel der einzelnen Kreissektoren im Kreisdiagramm 30 Teilnehmer 360°
1 Teilnehmer 360° : 30 = 12°
K1 K2 K3 K4 K5
absolute Häufigkeit
Grafische D. in Grad
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- 170 -
Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Halbmarathon – AB 3
3) Fortsetzung - Kreisdiagramm
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- 171 -
Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Halbmarathon – AB 1 – Lösung
Aufgabenstellung:
Der Start für den Halbmarathon in Melk erfolgte um 11:00. Für die 30 Teilnehmer wurden folgende Ankunftszeiten gestoppt und in die Teilnehmerliste eingetragen: 12:55, 13:04, 12:41, 12:59, 13:25, 13:12, 13:08, 12:36, 12:48, 13:11, 12:44, 13:09, 13:30, 13:22, 13:01, 12:57, 12:45, 13:13, 12:46, 12:37, 13:33, 12:42, 13:07, 13:28, 12:50, 13:20, 13:29, 13:43, 13:03, 13:17, (30 Teilnehmer)
Teile in „Leistungsklassen“ ein (t … Laufzeit)!
K1: 1 h 30 min ≤ t ≤ 1 h 44 min
K2: 1 h 45 min ≤ t ≤ 1 h 59 min
K3: 2 h ≤ t ≤ 2 h 14 min
K4: 2 h 15 min ≤ t ≤ 2 h 29 min
K5: 2 h 30 min ≤ t ≤ 2 h 44 min
1) Ergänze in der Tabelle die Häufigkeiten!
Leistungs-klasse
Laufzeit t
Strichliste Häufigkeit
K1 1 h 30 min ≤ t ≤ 1 h 44 min IIII 5
K2 1 h 45 min ≤ t ≤ 1 h 59 min IIII II 7
K3 2 h ≤ t ≤ 2 h 14 min IIII IIII 9
K4 2 h 15 min ≤ t ≤ 2 h 29 min IIII I 6
K5 2 h 30 min ≤ t ≤ 2 h 44 min III 3
Muster
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- 172 -
Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Halbmarathon – AB 2 – Lösung
2) Erstelle zu dieser Einteilung eine Statistik der absoluten, der relativen und der prozentuellen Häufigkeiten!
„Leistungs
-klasse“
Laufzeit
t
Ankunftszeit
T
abs. rel. proz.
Häufigkeit
K1: 1 h 30 min ≤ t ≤ 1 h 44 min 12:30 ≤ T ≤ 12:44 5 30
5 17 %
K2: 1 h 45 min ≤ t ≤ 1 h 59 min 12:45 ≤ T ≤ 12:59 7 30
7 23 %
K3: 2 h ≤ t ≤ 2 h 14 min 13:00 ≤ T ≤ 13:14 9 30
9 30 %
K4: 2 h 15 min ≤ t ≤ 2 h 29 min 13:15 ≤ T ≤ 13:29 6 30
6 20 %
K5: 2 h 30 min ≤ t ≤ 2 h 44 min 13:30 ≤ T ≤ 13:44 3 30
3 10 %
Gesamt
30 30
30 100 %
3) Veranschauliche die absoluten Häufigkeiten mithilfe eines Kreisdiagramms (r = 5 cm)!
Zu beachten: Winkel der einzelnen Kreissektoren im Kreisdiagramm 30 Teilnehmer 360°
1 Teilnehmer 360° : 30 = 12°
K1 K2 K3 K4 K5
absolute Häufigkeit 5 7 9 6 3
Grafische D. in Grad 60° 84° 108° 72° 36°
Muster
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- 173 -
Prozentuelle Häufigkeit
K3
30%
K4
20%
K5
10%
K2
23%
K1
17%
K1 K2 K3 K4 K5
Absolute Häufigkeit
K3
9
K4
6
K5
3
K2
7
K1
5
K1 K2 K3 K4 K5
Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Halbm. – AB 3 – Lösung
3) Fortsetzung - Kreisdiagramm
(mögliche Lösung) Kreisdiagramm mithilfe des Computers (mögliche Lösung)