n, e m e r e ons e on une on une soite ition -...
TRANSCRIPT
EC
E1-
B20
15-2
016
CH
XX
II:E
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vect
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Défi
nit
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1 A
1
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2015-2016
Défi
nition
Un
ensemble
nonvide
Eest
unespace
vectorielsurR
si:
1)E
estm
unid’uneloi
+quivérifie
lespropriétés
suivantes.
a)+
estune
loidecom
positioninterne
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,y)2
E2,
x+
y=
y+
x(com
mutativité)
c)8(x
,y,z
)2E
2,x
+(y
+z)
=(x
+y)+
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2E
telque
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2E
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E=
0E
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(élément
neutre)
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E,9
y2
E,
x+
y=
y+
x=
0E
(yopposé
dex)
2)E
estm
unid’uneloi·quivérifie
lespropriétés
suivantes.
a)·est
uneloide
composition
externe
b)8(�
,µ)2
R2,8
(x,y
)2E
2,�
·(x
+y)
=�
·x+
�·y
c)8(�
,µ)2
R2,8
(x,y
)2E
2,(�
+µ)·
x=
�·x
+µ
·x
d)8(�
,µ)2
R2,8
x2
E,
(�µ)·x
=�
·(µ
·x)
e)8(�
,µ)2
R2,8
x2
E,
1·x
=x
Vocab
ulaire
SoitE
unespace
vectorielsurR
.
•O
nparle
aussideR
-espacevectoriel.À
notreniveau,on
pourram
ême
omettre
leR
etparler
simplem
entd’espace
vectoriel.
•Les
éléments
deE
sontappelés
vecteurs.
•A
finde
fairela
différenceentre
réelset
vecteurson
notesouvent
lesvecteurs
àl’aide
d’uneflèche
: �!x.
•L’élém
entneutre �!0
Ede
Eest
unique.O
npourra
lenoter
simplem
ent �!0s’iln’y
apas
ambiguïté.
•Si �!x
2E
,l’opposéde �!x
par+
estunique
etest
not�!x
.
2
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15-2
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�·�! x
X
•La
défin
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fait
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mul
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i-ca
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nne
peut
donc
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iori
,mul
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+0)·�! x
=0·�! x
+0·�! x
eton
ajou
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éde
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dech
aque
côté
.
3
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2015-2016
Rem
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On
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utilisécette
propriétésans
laciter.
En
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l’onconsidère
denouveau
l’applicationlinéaire
f:
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M3,1 (R
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M2,1 (R
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xyz
1A7!
✓3x
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x+
2y
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32
01
21
◆0@
xyz
1A
Alors
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s’écritsous
laform
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✓31
◆+
y✓
22
◆+
z✓
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◆|(x
,y)2
R2}
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ect
✓✓
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◆,
✓22
◆,
✓01
◆◆
q
=V
ect
f
0@100
1A!
,f
0@010
1A!
,f
0@001
1A!!
III.4.C
onclu
sion:m
ontrerqu
’un
ensem
ble
Fest
un
ev
Nous
pouvonsm
aintenantcom
pléternotre
listede
méthodes
permet-
tantde
montrer
qu’unensem
bleF
estun
espacevectoriel.
1)R
evenirà
ladéfinition
etvérifier
tousles
axiomes.
Longet
pénible–
àéviter.
2)M
ontrerque
Fest
unsous-espace
vectorielF
d’unev
E.
Méthode
classique(fonctionne
toujours!)à
connaîtreabsolum
ent.3)
Montrer
queF
s’écritsous
laform
e:F
=Vect
( �!a1 ,..., �!am
).Plus
élégantet
rapide.4)
Montrer
queF
s’écritsous
laform
e:F
=K
erf
oùf
estune
applicationlinéaire.
Plus
élégantet
rapide.
5)M
ontrerque
Fs’écrit
sousla
forme
:F
=Im
foù
fest
uneapplication
linéaire.Tout
aussiélégant
etrapide.
25
EC
E1-B
2015-2016
c)�!0
E=
�· �!0E
=�·( �!x
+(�
�!x))
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+�·(�
�!x)
eton
ajoutel’opposé
de�
· �!xde
chaquecôté.
De
mêm
e, �!0=
O· �!x
=(�
+(�
�))· �!x
=� �!x
+(�
�) �!x
.
d)Supposons
�· �!x=
�!0E
et�6=
0.On
auraalors
:1� ·(�· �!x
)=
1� · �!0E
=�!0
E
d’où1· �!x
=�!0
Eet �!x
=�!0
E.
Illustration
sur
un
exemple.
Pourcom
prendreplusfacilem
entceque
représententcespropriétés,traduisons-les
surl’exem
plesim
plede
E=
M3,1 (R
).
Notons
toutd’abord
que: �!0
E=
0@000
1A
a)�
·0@
000
1A=
0@000
1A
b)0·
0@x
1
x2
x3 1A
=
0@000
1A
c)�
·0@
�x
1
�x
2
�x
3 1A=
(��)·
0@x
1
x2
x3 1A
=� �
·0@
x1
x2
x3 1A!
d)�
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x1
x2
x3 1A
=
0@000
1A)
�=
0OU
0@x
1
x2
x3 1A
=
0@000
1A
Défi
nition
SoitE
unR
-espacevectorielet
m2
N⇤.
Soit( �!u
1 ,..., �!um)
unefam
illede
vecteursde
E.
•U
nvecteur �!v
2E
estunecom
bin
aisonlin
éairedesvecteurs �!u
1 ,..., �!ums’ilexiste
(�1 ,...,�
m)2
Rm
telque
�!v=
�1 �!u
1+
�2 �!u
2+
···+
�m �!um
4
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B20
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016
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◆◆
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tout
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dans
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reEns
embl
eset
appl
icat
ions
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uent
aux
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ions
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.
Théo
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Soit
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.
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(�! e1),
...,
f(�! e
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F)
5
EC
E1-B
2015-2016
III.3.Im
aged’u
ne
application
linéaire
Défi
nition
SoientE
etF
deuxespaces
vectorielset
soitf2
L(E
,F).
On
appelleim
agede
fet
onnote
Imf
l’ensemble
:
Imf
={ �!y
2F
|9 �!x2
E,
y=
f( �!x
)}
Théorèm
e5.
SoientE
etF
deuxespaces
vectorielset
soitf2
L(E
,F).
Alors
Imf
estun
sous-espacevectorielde
F.
Dém
onstration.
•Im
f✓
F(évident)
etIm
f6=
?:f( �!0
E)
=�!0
Fdonc �!0
F2
Imf.
•Si
�2
Ret
( �!y1 , �!y
2 )2(Im
f)2,
alorsil
existe( �!x
1 , �!x2 )2
E2
telque
y1
=f( �!x
1 )et
y2
=f( �!x
2 ).Alors �!y
1+
�· �!y
2 2Im
fcar
:�!y
1+
�· �!y
2=
f( �!x
1 )+
�·f
( �!x2 )
=f( �!x
1+
�·f
( �!x2 )).
Exem
ple
Reprenons
l’exemple
fondamental.
•Soit
M2
Mp,n
(R)
etf
:M
n,1 (R
)!
Mp,1 (R
)X
7!M
X.
Alors
Imf
={Y
2M
p,1 (R
)|9X
2M
n,1 (R
),Y
=M
X}.A
insi,Im
fest
l’ensemble
desseconds
mem
bresY
telsque
lesystèm
eM
X=
Yadm
etune
solution.
•Ilfaut
savoirreconnaître
lesensem
blesécrits
comm
edes
images.
Par
exemple,
F=
{✓
3x
+2y
x+
2y
+z
◆2
M2,1 (R
)|0@
xyz
1A2
M3,1 (R
)}=
Imf
oùl’application
linéairef
estdéfinie
par:
f:
M3,1 (R
)!
M2,1 (R
)0@
xyz
1A7!
✓3x
+2y
x+
2y
+z
◆=✓
32
01
21
◆0@
xyz
1A
23
EC
E1-B
2015-2016
Dém
onstration.
1)()
)Soit
(�,µ
)2R
2et
( �!x, �!y
)2F
2.Com
me
Fest
stablepar
laloi
·,ona�
· �!x2
Fet
µ· �!y
2F
.Com
me
Fest
stablepar
laloi
+,on
a�
· �!x+
µ· �!y
2F
.((
)La
propriétéétant
vraiepour
toutcouple
(�,µ
)elle
l’estpour
�=
µ=
1,ce
quim
ontrela
stabilitéde
Fpar
laloi
+.E
nprenant
seulement
µ=
0,onprouve
queF
eststable
pourla
loi·2)
Dém
onstrationsim
ilaire.
Prop
osition3.
SoitE
unR
-espacevectoriel.
Fsous-espace
vectorieldeE
)F
estun
espacevectoriel
Dém
onstration.+
estune
loidecom
positioninterne
pourF
(parstabilité).
·estune
loidecom
positionexterne
pourF
(parstabilité).
De
plus,ces
deuxlois
vérifientles
axiomes
desespaces
vectorielspuis-
qu’ellesfont
déjàde
Eun
espacevectoriel.
Exem
ple
•Si
Eest
unev,{ �!0
E }et
Esont
dessev
deE
.
•L’ensem
bledes
fonctionsde
Rdans
R,noté
F(R
,R),
estun
R-espace
vectoriel(pour
ledém
ontrer:m
ontrerque
tousles
axiomes
sontvéri-
fiés).L’ensem
bledes
fonctionsréelles
bornées/
polynômes
/paires
sontdes
sous-espacesvectoriels
deF(R
,R)
etsont
donceux-m
êmes
desespaces
vectoriels.
•{0@
x1
x2
x3 1A
2M
3,1 (R
)|3x
1+
2x
2 �x
1=
0}est
unsev
deM
3,1 (R
).
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1 A|(
x1,x
2)2
R2}
=Vec
t
0 @
1 0 3
1 A,
0 @0 1 2
1 A!
Théo
rèm
e4.
Soie
ntE
etF
deux
espa
ces
vect
orie
lset
soit
f2
L(E
,F).
fin
ject
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,K
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={�! 0 E
}
Dém
onst
ration
.()
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omm
ef
linéa
ire,
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)=
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ef
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vect
eur
f(�! x
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lque
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’où�! x
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22
EC
E1-
B20
15-2
016
Mon
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ctor
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2)M
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(iii)
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F,
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(R).
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Mn,1(R
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nsem
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eur
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luti
ondu
syst
ème
MX
=0.
(iii)
SiX
1et
X2
sont
deux
solu
tion
sdu
syst
èmes
,alo
rsX
1+
X2
est
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utio
ndu
syst
ème
carM
(X1+
X2)
=M
X1+
MX
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0.
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Si�2
Ret
X2
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)so
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alor
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est
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solu
tion
dusy
stèm
eca
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(�X
)=
�M
X=
0.
7
EC
E1-B
2015-2016
III.2.N
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ne
application
linéaire
Défi
nition
SoientE
etF
deuxespaces
vectorielset
soitf2
L(E
,F).
On
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de
fet
onnote
Ker
fl’ensem
ble:
Ker
f=
{ �!x2
E|f( �!x
)=
�!0F }
Théorèm
e3.
SoientE
etF
deuxespaces
vectorielset
soitf2
L(E
,F).
Alors
Ker
fest
unsous-espace
vectorieldeE
.
Dém
onstration.
•K
erf✓
E(évident)
etK
erf6=
?:f( �!0
E)
=�!0
Fdonc �!0
E2
Ker
f,
•Si
�2
Ret
( �!x, �!y
)2(K
erf)2,alors �!x
+�
· �!y2
Ker
fcar
:f( �!x
+�
· �!y)
=f( �!x
)+
�·f
( �!y)
=�!0
F+
�· �!0
F=
�!0F.
Exem
ple
Reprenons
l’exemple
fondamental.
•Soit
M2
Mp,n
(R)
etf
:M
n,1 (R
)!
Mp,1 (R
)X
7!M
X.
Alors
Ker
f=
{X2
Mn,1 (R
)|M
X=
0}.A
insi,K
erf
estl’ensem
bledes
solutionsdu
système
homogène
MX
=0.(n
inconnueset
péquation)
•Ilfaut
savoirreconnaître
lesensem
blesreprésentant
desnoyaux.
Par
exemple,
F=
{0@
xyz
1A2
M3,1 (R
)|x
=2y
etz
=�
y}=
Ker
f
oùl’application
linéairef
estdéfinie
par:
f:
M3,1 (R
)!
R2
0@xyz
1A7!
✓x�
2y
y+
z
◆=✓
1�
20
01
1
◆0@
xyz
1A
21
EC
E1-B
2015-2016
II.2.Sou
s-espace
vectorielen
gendré
par
une
partie
Défi
nition
SoitE
unR
-espacevectoriel.
SoitA
unepartie
nonvide
deE
(A✓
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•O
nappelle
sous-esp
acevectorielen
gendré
par
Aeton
noteV
ect(A
)l’ensem
bledes
vecteursde
Equis’écrivent
comm
ecom
binaisonlinéaire
d’éléments
deA
.Autrem
entdit
:
Vect
(A)
={
pPi=1�
i �!ai |
p2
N⇤,(�
1 ,...,�p )2
Rp,( �!a
1 ,..., �!ap )2
Ap}
•Side
plus,A
={ �!a
1 ,..., �!am }(i.e.
Afini),
Vect
(A)
=Vect
( �!a1 ,..., �!am
)=
⇢mPi=
1�
i �!ai
|(�
1 ,...,�m
)2R
m
�
(onnote
Vect
( �!a1 ,..., �!am
)en
lieuet
placede
Vect
({ �!a1 ,..., �!am }))
�O
nsuppose
seulement
queA
estune
partienon
videde
E.
En
aucu
ncas
onne
suppose
que
Aest
un
espace
vectoriel.V
ect(A
)est
levectorialisé
deA
.Partant
d’unepartie
A,on
luiajoute
tousles
éléments
luiperm
ettantd’obtenir
unestructure
vectorielle:
•pour
touta2
A,on
ajoutetous
les�a
avec�2
R,
•une
foisces
ajoutseffectués,on
ajoutetoutes
lessom
mes
finiesd’élém
entsde
cettenouvelle
partie.
En
somm
e,partant
deA
,on
ajoutetoutes
lescom
binaisonsli-
néairesd’élém
entsde
A.
On
obtientainsi
unespace
vectoriel:
c’estV
ect(A
).
8
EC
E1-
B20
15-2
016
•E
xem
ple
fond
amen
tal.
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(R),
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L’ap
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rf
:M
n,1(R
)!
Mp,1(R
)X
7!M
Xes
tlin
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e.
Théo
rèm
e2.
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pde
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sna
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nnu
ls.
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atio
nlin
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fde
Mn,1(R
)da
nsM
p,1(R
)es
tde
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Mn,1(R
)!
Mp,1(R
)X
7!M
X
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1,.
..,�! e
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que
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n,1(R
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,...
,�! f p)
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seca
noni
que
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=M
p,1(R
).
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1 . . . xn
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Mn,1(R
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1 0 . . . 0
1 C C C A+
...+
xn·0 B B B @
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...+
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1 C A)
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20
EC
E1-
B20
15-2
016
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9
EC
E1-B
2015-2016
Prop
riétéSoient
Eet
Fdeux
espacesvectoriels.
Soitf2
L(E
,F)
uneapplication
linéaire.Alors
:
1)f( �!0
E)
=�!0
F
2)8 �!x
2E
,f(�
�!x)
=�
f( �!x
)
3)8(�
1 ,...,�n)2
Rn,8
( �!x1 ,..., �!x
n)2
En,
f(�
1 · �!x1+
···+
�n · �!x
n)
=�
1 ·f( �!x
1 )+
···+
�n ·f
( �!xn)
(compatibilité
def
avecles
combinaisons
linéaires)
Rem
arque
Une
applicationlinéaire
estdonc
àla
foisconvexe
etconcave.
Exem
ple
•L’application
nullede
Edans
F,
définiepar
f( �!x
)=
�!0F
pourtout
�!x2
Eest
uneapplication
linéaire.
•L’application
identitéde
E,définie
parf( �!x
)=
�!xpour
tout �!x2
Eest
uneapplication
linéaire.
•C
onsidéronsE
=R
etdes
applicationsf
:E
!E
.
a)L’application
f:
R!
Rx
7!0
estlinéaire.
b)L’application
f:
R!
Rx
7!1
n’estpas
linéaire.
En
effet,f(0)
=16=
0.
c)L’application
f:
R!
Rx
7!3x
estune
applicationlinéaire.
En
effet,f(0)
=16=
0.
d)L’application
f:
R!
Rx
7!3x
+2
n’estpas
linéaire.
En
effet,f(0)
=26=
0.
19
EC
E1-B
2015-2016
Exem
ple
•Si
A=
{ �!0},ona
Vect
(A)
=A
={ �!0}.
•Si
A=
{ �!a}avec �!a
6=�!0
alorsV
ect(A
)=
{� �!a|�2
R}.O
nnotera
simplem
entV
ect( �!a
)au
lieude
Vect
({ �!a}).•
SiA
={ �!a
, �!b}avec �!a
6=�!0
et �!b6=
�!0alors
ona
:V
ect(A
)=
{� �!a+
� �!b|(�
,�)2
R2}.
On
noterasim
plement
Vect ⇣�!a
, �!b ⌘au
lieude
Vect ⇣{ �!a
, �!b} ⌘.
•O
na
notamm
ent:
{0@
xyz
1A2
M3,1 (R
)|x
=2y
etz
=�
y}
={0@
2yy�y
1A|y2
R}=
{y0@
21�1
1A|y2
R}=
Vect
0@211
1A!
•E
taussi:
{✓
3x
+2y
x+
2y
+z
◆2
M2,1 (R
)|(x
,y,z
)2M
3,1 (R
)}
={x✓
31
◆+
y✓
22
◆+
z✓
01
◆|(x
,y)2
R2}
=V
ect ✓✓
31
◆,✓
22
◆,✓
01
◆ ◆
=V
ect ✓✓
31
◆,✓
11
◆,✓
01
◆ ◆=
Vect ✓
✓11
◆,✓
01
◆ ◆=
R2
Prop
osition4.
SoitE
unR
-espacevectoriel.
SoitA
unepartie
nonvide
deE
(A✓
E).
1)Si �!a
6=�!0
E,on
aV
ect ⇣�!a, �!0
E ⌘=
Vect
( �!a).
2)D
em
anièregénérale,
ona
:
���!u
m+
1 2V
ect( �!u
1 ,..., �!us )
)V
ect( �!u
1 ,..., �!us , ��!
us+
1 )=
Vect
( �!u1 ,..., �!u
s )
3)8�2
R:
Vect
( �!u1 ,...,� �!u
i ,..., �!us )
=Vect
( �!u1 ,..., �!u
i ,..., �!us )
10
EC
E1-
B20
15-2
016
III.
App
licat
ion
linéa
ires
III.1.
Défi
nit
ion
Défi
nit
ion
Soie
ntE
etF
deux
espa
ces
vect
orie
ls.
•U
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plic
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nf
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!F
est
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linéa
ire
si:
8 < :8(�! x
,�! y)2
E2,
f(�! x
+�! y
)=
f(�! x
)+
f(�! y
)
8�2
R,8
�! x2
E2,
f(�
·�! x)
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·f(�! x
)
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pour
les
lois
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·)•
L’en
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(E,F
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(E).
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itio
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(Car
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des
appl
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Eet
Fde
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ctor
iels.
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(�! x,�! y
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18
EC
E1-
B20
15-2
016
Dém
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Si�! u
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,�! am).
II.3
.B
ase
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nso
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Soit
Eun
espa
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ctor
iel.
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ndi
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B=
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n)2
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n)2
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que
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n P i=1
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t,�! x
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com
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dem
aniè
reun
ique
sous
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1,.
..,�! e
n).
•Le
sré
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(x1,.
..,x
p)
sont
lesco
ordon
née
sde
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nsla
base
B.
11
EC
E1-B
2015-2016
Théorèm
e1.
SoitE
unespace
vectorielnonréduit
à{ �!0
E }.•
SiE
admet
unebase
Bde
cardinalfinin2
N,alors
toutesles
basesde
Esont
finieset
decardinal
n.
•Ce
nombre
nest
appelédim
ension
del’espace
vectorielE
,noté
dim
E.
•Par
convention,on
notedim
({ �!0E }
)=
0.
Dém
onstration.C
en’est
pasun
attendudu
programm
ede
première
année.O
nne
développeradonc
pasla
démonstration
ici.
Rem
arque
•dim
(M2,1 (R
))=
2.
•dim
(M3,1 (R
))=
3.
•dim
(M4,1 (R
))=
4.
17
EC
E1-B
2015-2016
Exem
ple
a)Sion
prendE
=M
2,1 (R
).
•La
famille
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10
◆◆
n’estpas
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.
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effet, �!x=
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◆ne
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forme�✓
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◆.
•La
famille
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◆◆
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basede
M2,1 (R
).
Elle
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basecanonique
deM
2,1 (R
).
•La
famille
✓✓
10
◆,✓
11
◆◆
estelle
aussiunebase
deM
2,1 (R
).
•La
famille
✓✓
10
◆,✓
11
◆,✓
01
◆◆
n’estpas
unebase
deE
.
En
effet,✓
21
◆=
2✓
10
◆+✓
01
◆=
2✓
11
◆�✓
01
◆.
b)Sion
prendE
=M
3,1 (R
).
•La
famille
0@
100
1A!
n’estpas
unebase
deE
.
En
effet, �!x=
0@010
1Ane
peuts’écrire
sousla
forme�
0@100
1A.
•La
famille
0@
100
1A,
0@010
1A,
0@001
1A!
estune
basede
M3,1 (R
).
Elle
estappelée
basecanonique
deM
3,1 (R
).
•La
famille
0@100
1A,
0@011
1A,
0@001
1A!
estelleaussiune
basede
M3,1 (R
).
•La
famille
0@100
1A,
0@010
1A,
0@011
1A,
0@001
1A!
n’estpas
unebase
deE
.
12
EC
E1-
B20
15-2
016
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ration
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une
base
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osit
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tlib
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me
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tion
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16
EC
E1-
B20
15-2
016
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nes
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ctor
ielle
Vec
t
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0 1 0
1 A!
.
13
EC
E1-B
2015-2016
Défi
nition
SoitE
unespace
vectoriel.Soit
( �!e1 ,..., �!e
n)
unefam
illede
vecteursde
E.
•La
famille
( �!e1 ,..., �!e
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estdite
génératrice
si:
E=
Vect
( �!e1 ,..., �!e
n )
Autrem
entdit,
sitout
vecteurde
Epeut
s’écrirecom
me
combinaison
linéairede
vecteursde
lafam
ille.
•La
famille
( �!e1 ,..., �!e
n)
estdite
libre
si:
8(�
1 ,...,�n)2
Rn,
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i �!ei
=�!0
)�
1=
···=
�n
=0 ◆
On
diraaussi
queles
vecteurs( �!e
1 ,..., �!en)
sontlin
éairement
indé-
pen
dants
:aucun
des�!e
ine
peuts’exprim
ercom
me
combinaison
li-néaire
(nontriviale)
desautres
vecteurs.
Prop
osition6.
SoitE
unespace
vectoriel.
Lafam
ille( �!e
1 ,..., �!en)
deE
estune
basede
E,
1)C’est
unefam
illegénératrice.
2)C’est
unefam
illelibre.
15
EC
E1-B
2015-2016
•
0@
100
1A,
0@010
1A,
0@001
1A!
constitueune
basede
l’espaceR
3.Tout
pointP
deR
3s’écrit
dem
anièreunique
sousla
forme
:x �!i
+y �!j
+
z �!kavec
x(abscisse),
y(ordonnée)
etz
(cote),coordonnéesdu
pointP
.
c)D
em
ême,
R4
s’identifieà
Vect 0B@
0BB@
1000
1CCA,
0BB@
0100
1CCA,
0BB@
0010
1CCA,
0BB@
0001
1CCA
1CA,
es-
pacede
dimension
4.
d)E
taussiR
5espace
vectorieldedim
ension5.
e)...
Prop
osition5.
SoitE
unespace
vectoriel.
B=
( �!e1 ,..., �!e
n)2
En
unebase
deE
)E
=Vect
( �!e1 ,..., �!e
n )
Dém
onstration.C
omm
eBest
unebase
deE
,toutélém
ent �!xse
décompose
(dem
anièreunique)
comm
ecom
binaisonlinéaire
d’éléments
deB
doncappartient
àV
ect( �!e
1 ,..., �!en ).
Rem
arque
Iln’ya
paséquivalence.P
arexem
ple,sionprend
E=
M2,1 (R
).
Alors
E=
Vect ✓
✓10
◆,✓
11
◆,✓
01
◆ ◆et✓✓
10
◆,✓
11
◆,✓
01
◆◆
n’est
pasune
basede
E.
14