n. boudaoud plans dexpériences 1 les plans factoriels fractionnaires 2 k-p
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1N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Les plans Factoriels Fractionnaires
2k-p
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2N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Approche fractionnaire
• Dans un plan factoriel complet, le nombre d’essais augmente de façon exponentielle avec le nombre de facteurs– 4 facteurs : 24=16 essais– 5 facteurs : 25=32 essais– 7 facteurs : 27=128 essais
2 4 6 8 10 12 14 160
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
4
Nombre de facteurs
Nom
bre
d’e
ssai
sLes plans fractionnaires sont
des plans optimaux orthogonaux qui se focalisentsur les effets les plus intéressant
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3N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Relation nombre d’essais et nombre de ddl
• Règle – le nombre minimal d’essais à réalisé est
égal au nombre de ddl du modèle étudié (nombre de coefficients du modèle)
• Exemple : 3 facteurs à 2 niveaux A,B,C et 2 interactions AB, AC– ddlA+ddlB+ddlC+ddlAB+ddlAC+1=6
ddl de la moyenne
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4N. BOUDAOUD Plans d’expériences
• Objectif : Réduction du nombre d’essais– Focalisation sur les effets les plus intéressants
• Hypothèse :– Interactions d’ordre supérieur à 2 sont souvent
négligeables : ABC, ABCD, ABCDE…
• Ex: 5 facteurs A,B,C,D,E 32 essais– Les informations utiles :
• A,B,C,D,E : 5• Interaction d’ordre 1 : 10
– Une table avec 16 essais (25-1) suffirait…
Plans Fractionnaires à 2 niveaux
Lorsque le nombre de facteurs augmente , le rapport du nombre d’informations utiles au nombre total d’essais diminue de façon alarmante ! Réduction de la taille des plans
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5N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation
• Faire le bilan sur – le nombre de facteurs (+ nombre de modalités) – Le nombre d’interactions– Le nombre de degrés de liberté (ddl) au total : donne le
nombre d’essais minimal nécessaire.• ddl(total)=somme des ddl des facteurs• ddl(Facteur)=Nombre de modalité du facteur moins 1
• Choisir la table en adéquation avec le nombre d’essais minimum
• Affecter les facteurs aux colonnes – Le choix de colonnes se fait selon des contraintes de coût sur
la fréquence de variation des niveaux des facteurs d’un essai à l’autre.
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6N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation
• Tables orthogonales et tables des interactions associée
1x2 1x4 2x4
A B C
L8(23)3 facteursA,B,C+ 3 interactionsSans confusion
1 2 3 4 5 6 7
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7N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation
• Tables orthogonales et tables des interactions associée
1x24x7
1x42x7
2x41x7
A B C D
L8(23)4 facteursA,B,C, D+ interactionsSans confusion
1 2 3 4 5 6 7
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N. BOUDAOUD Plans d’expériences
• Plan complet : 24=16 essais• Liste des facteurs et interactions :
– A,B,C,D : 4– AB,AC,AD,BC,BD,CD : 6 interactions ordre 1– ABC,ABD,ACD,BCD : 4 interactions ordre 2– ABCD : 1 interaction ordre 3– Total de 15 facteurs : nécessite 16 essais
15 colonnes
Plan 24-1 : Etude de 4 facteurs
Réduire le nombre d’essaisRéaliser le plan fractionnaire 24-1 ( 8 essais) ?
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9N. BOUDAOUD Plans d’expériences
L16L8(23)Table à 16 essais (4 facteurs ABCD)
Ajouter un facteur implique une confusion avec une colonne ???
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10N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Le plan 24-1
Chaque facteur (A,B,C) et les interactions occupent une colonne. Pour tester le facteur D et les interactions avec (A,B,C,AB,AC,BC,AC,ABC)avec seulement 8 essais : il faut donc les affecter à des colonnes déjà occupées
ABC interaction probablement négligeable D est affecté à la colonne ABC Conséquences :Niveaux de D et ABC suivent les mêmes changements de signes
A quelle colonne affecterle facteur D ?
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11N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Affectation des Facteurs et interactions : Alias
• D et ABC sont donc aliasés : D=ABC• Les autres colonnes A, B, C, AB,.. vont être aliasés avec les interactions de D
Essai A B C D Y
1 Y1
2 Y2
3 Y3
4 Y4
5 Y5
6 Y6
7 Y7
8 Y8
Comment déterminertous les aliases ?
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12N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Détermination des aliases
Propriétés • Commutativité : AB=BA• Associativité : A(BC)=(AB)C=ABC• Elément Neutre I (colonne de (+)): I.A=A.I=A• A.A=I quel que soit A
• L’égalité D=ABC peut s’écrire I=D.D=DABC=ABCD• I=ABCD appelé GENERATEUR D’ALIAS• Détermination de tous les alias :
– I.A=ABCD.A=BCD A=BCD– I.B=ABCD.B=ACD B=ACD
Conséquences
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13N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Liste des alias
Comment calculer les effets des facteurs et interactions à partir des colonnes aliasées ?
On parle de Contrastes
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14N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Calcul des contrastes
• Colonne 1 : A et BCD– Contraste : h1=A+BCD=1/8(-y1+y2-y3+y4-..+y8)
• Colonne 2 : B et ACD– Contraste : h1=B+ACD=1/8(-y1-y2+y3+y4-..+y8)
• Etc..
Exemple : Etude de l’influence sur Y = allongement à la rupture d’un élastomère (en %) des facteurs :
A : nature de l’élastomère
B : taux d’additif ( autour de la valeur préconisée)
C : Système de vulcanisation
D : taux de kaolin
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15N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Exemple ( suite)
• Plan fractionnaire 24-1
• Alias D=ABC• Générateur d’alias
– I=ABCD
Essai A B C D Y
1 275
2 325
3 210
4 220
5 290
6 370
7 260
8 270
Niveau (-1)
Niveau (+1)
Contrastesh1 =A+BCDh2 =B+ACDh3C+ABDh4 =D+ABCh5 =AB+CDh6 BC+ADh7 AC+BD
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16N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Interprétation
• Hypothèses– Conditions de l’étude : les
contrastes dont la valeur absolue est inférieur à 8 sont supposés négligeables
– Compte tenu de la nature des facteurs les interactions d’ordre 2 sont probablement négligeables
Interprétation physique : une interaction élastomère-additif (AB) est plus plausible qu’une interaction entre système de vulcanisation et kaolin (CD) (charge inerte)
• Conséquences :– h1=+18.75 A– h2=37.50 B– h3= +18.75 C– h4=-3.75D 0– h5=AB+CD=-13.75 ? Quel est
l’interaction la plus prépondérante ?
– H6 et h7 négligeables : interactions négligeables ou de signes opposés
Effet A et de C sont du même ordre de grandeurEffet de B important, D insignifiant. On peut donc penser que dans h5 l’interaction AB et plus significative que CD AB=-13.75
Conclusion
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17N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Conclusion
• Un excès d’additif diminue l’allongement à la rupture, surtout avec l’élastomère 2. L’élastomère 2 et préférable au 1.
• Système de vulcanisation 2 est meilleur• Kaolin sans influence
BilanNous avons pu conclure de façon satisfaisante avec 8=24-1 essais pour 4 facteurs.Nous avons effectué la moitié d’un plan complet 24
• Facteurs significatifs : A (Elastomère), B (taux additif) C (Syst. Vulc), AB–EA=+18.75
–EB=37.50–EC=+18.75–EAB=-13.75
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18N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Remarques
• L’utilisation des plans fractionnaires est conseillée lorsque l’on a une connaissance minimum a priori sur les interactions.
• A l’issue de l’exploitation d’un plan fractionnaire, si l’information obtenue est jugée insuffisante, le plan peut être complété par une autre fraction du plan complet à condition qu’elle soit choisie de façon judicieuse.
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19N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Plan 25-2 (groupe d’alias)
• Cas d’un plan fractionnaire à 5 facteurs ABCDE– plan complet 32 essais
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20N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Plan 25 plan completA B C AB AC BC ABC D AD BD CD ABD BCD ACD ABCD E AE BE CE ABE ACE BCE ABCE DE ADE BDE CDE ABDE BCDE ACDE ABCDE
1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -12 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 13 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 14 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -15 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 16 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -17 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -18 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 19 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1
10 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -111 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -112 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 113 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -114 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 115 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 116 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -117 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 118 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -119 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -120 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 121 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -122 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 123 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 124 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -125 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -126 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 127 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 128 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -129 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 130 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -131 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -132 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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21N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Plan 25-2 (groupe d’alias)
A B AB C AC BC ABC
Affectation des facteurs D et E• Choix des colonnes• Détermination du groupe
de générateurs d’alias - indépendants
- dépendants• Détermination des alias
Réduction du nombre d’essais de 32 à 8 essais
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22N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Générateurs d’Alias
Essais
1
2
3
4
5
6
7 8
E AC BD
ABCDE
AB CD
ADE BCE
BC AD
ABE CDE
I ACE BDE
ABCD
A CE
BCD ABDE
B DE
ACD ABCE
C AE
ABD BCDE
D BE
ABC ACDE
D=ABC et E= AC.Il y a donc 3 générateurs d'alias : I=ABCD, I=ACE et I=BDE
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23N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Généralisation Plan fractionnaire 2k-p
• Choix d’un plan fractionnaire – pour un plan complet avec k facteurs à deux niveaux : 2k
expériences– on réduit ce plan en prenant 2k-p expériences avec – k-p3 si k=4,5,6 et k-p=4 si k=7,..15.– On a donc recours au plan 23 ou 24.
• Alias et générateurs d’aliases – Dans un plan 2k-p on dispose de p aliases indépendants dont on
déduit des aliases dépendants par multiplication 2 à 2, 3 à 3 de tous les aliases indépendants, ce qui représente finalement 2p-1 générateurs d’alias.
• Exemples :– 4 facteurs : – p=1, 1 alias D=ABC,
• 1 générateur d’aliases I=ABCD– 5 facteurs : p=2, 2 aliases D=ABC E=AB,
• 3 générateurs d’aliases I=ABCD, I=ABE, I=CDE– 6 facteurs : p=3, 3 aliases et 7 générateurs d’aliases .
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24N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Essais par blocs
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25N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Réalisation d’essais par Blocs
• Quand ? Si l’on souhaite réaliser des essais décalés dans le temps – Ex : pour des raisons de temps on
ne peut réaliser tous les essais sur un même équipement
• Utiliser 2 machines par exemple• Tester l’effet de 4 facteurs
A,B,C,D
– Solution : partager la table. Comment ?
• On peut prendre les essais 1-4 sur le 1er équipement
• puis 5 à 8 sur le second équipement
Table L8
Effet de l’équipementConfondu avec l’effet de A
Equipement 1
Equipement 2
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26N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Réalisation d’essais par Blocs
• On ne pourra pas distinguer l’effet de A de celui de l’équipement
• Idée pour éviter la confusion avec A :– Rechercher 2 blocs tel que l’effet
de l’équipement ne soit pas confondu avec un facteur principal
– Création d’un facteur fictif : X (équipement)
• Choix d’une colonne d’affectation– Par exemple : ABC, AC, BC
• Découpage des blocs : – Bloc 1: 1,3,6,8– Bloc 2 : 2,4,5,7
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27N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Exemple• Un plan factoriel 8
essai a été réalisé pour minimiser le fluage (% d’allongement après 24 heures) d’une pièce.
• Facteurs listés sont :• A : la température • B : la quantité de
gomme• C : la quantité d’additif
Essai
Température
Gommes
Additif
Réponse(%)
1
2
3
4
5
6
7
8
Mélangeur 1Mélangeur 2
Comment répartir les essais surLes 2 mélangeurs ?
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28N. BOUDAOUD Plans d’expériences
ExempleEssai
Température
Gommes
Additif
Réponse(%)
1
2
3
4
5
6
7
8
Mélangeur 1
Mélangeur 2Les essais sont répartis en 2 blocs de 4 :- essais : 1 4 6 7- essais : 2 3 5 8
Cela permet de ne pasConfondre l’effet « changement de mélangeur » Avec un facteur du plan Le facteur Type de mélangeur est affecté à la colonne 7De la table L8(23)
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29N. BOUDAOUD Plans d’expériences
ExempleEssai
Température
Gommes
Additif
Melangeur (C7)
Réponse(%)
1
2
3
4
5
6
7
8
Mélangeur 1
Mélangeur 2Comment estimer l’effet bloc ?
Au travail !
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30N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Solution
-6
-4
-2
0
2
4
6
T°
Gomme
Additif
Melangeur
T° 3.6125 -3.6125
Gomme -0.8875 0.8875
Additif 4.7625 -4.7625
Melangeur -1.5375 1.5375
effet Moy- effet Moy+
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31N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Solution
F0.95(1,3)=10.01
Alors le mélangeur a-t-il introduit un effet bloc ?
Facteur SCE ddl V FA 208.80 1 208.80 43.44
B 12.60 1 12.60 2.62
C 362.90 1 362.90 75.51
Melangeur 37.82 1 37.82 7.87
R 14.42 3 4.81
Total 636.55 7
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32N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Plans screening• Les plans screening (Plaket-Burman) sont
utilisés pour tester les facteurs principaux
• Qui ? Ne concerne que les plans à 2 niveaux • Quand ? Lorsque le nombre de facteurs est
élevé• Cela permet de filtrer ou de débroussailler des cas
complexes
• Comment générer ces plans ?– Algorithme de permutation circulaire
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33N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Plans screening
• On donne la séquence de signes de la première ligne
• On réalise une permutation circulaire à partir de la droite
• On complète la dernière ligne par -1
Essayons !
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34N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Plans screening
• Les premières lignes en fonction du nombre de facteurs principaux à analyser
– k inférieur ou égal à 3 (N=4):
– k inférieur ou égal à 7 (N=8):
– k inférieur ou égal à 11(N=12) : – k inférieur ou égal à 15 (N=16) :
– k inférieur ou égal à 19 (N=20):
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35N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Exemple : tenue de soudage de supports
• Un plan d’expérience de type SCREENING a permis de tester l’influence de 4 facteurs de réglage sur la tenue de soudage de 2 supports :
• Les réponses sont :– Y1 : taux de microdéfauts souhaité < 20%– Y2 : Dureté après soudure souhaité >70 HB
• Les facteurs sont :– A : type de décapage -1 (mécanique) +1 (non
mécanique)– B : jeu de supports -1 (0.1 mm) +1 (0.5 mm)– C : nature de soudure -1 (C10) +1 (C20)– D : montée en température -1 ( 5 min) +1 ( 10 min)
Générer le plan d’expérience « screening »!
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36N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Exemple
• 4 facteurs, – k inférieur ou égal à 7 : 8 essais
Construire la table
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37N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Exemple A B C D Y1 Y2
1 60 752 78 903 97 824 38 405 69 806 35 327 75 708 58 32
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38N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Analyse du plan
• Estimation des effets moyens• Analyse de Variance• Écriture du modèle et validation