N, 21. nov.

• Kodune ülesanne

Geomeetriline tõenäosus

Näide. Järve keskel on saar. Arvutuste kohaselt tabab meteoriit päris kindlalt järve piirkonda. Kui suur on saare tabamise tõenäosus?

Geomeetriline tõenäosus

• Näide. Järve keskel on saar. Arvutuste kohaselt tabab meteoriit päris kindlalt järve piirkonda. Kui suur on saare tabamise tõenäosus? Saab leida pindalad:

S1 – saare pindalaS – järve pindala (koos saarega)

Sündmuse A (meteoriit tabab saart) tõenäosuse leiame seosest

Geom. tõenäosuse korral eeldatakse, et piirkonna iga punkti tabamiseks on võrdsed võimalused.

Suhtarvu leidmisel võib jagada erinevaid mõõtmeid (pikkus, pindala, ruumala).

Mõnikord teiseneb arvutus nurkade suhte leidmisele.

Geomeetriline tõenäosus (II)

NäitedLõigust [-1; 3] valitakse juhuslikult üks arv.

– Kui suur on tõenäosus, et valitud arv on 2,5?

– Kui suur on tõenäosus, et valitud arv on vähemalt 0,5 (≥0,5)?

-1 32,5

-1 3x≥0,50,5

JäreldusSündmus võib toimuda ka siis, kui tõenäosus on null.

/Teame, et võimatu sündmuse tõenäosus on 0; seega vastupidine väide ei kehti./

Kasutatakse ka terminit praktiliselt võimatu sündmus.

Geomeetriline tõenäosus (IV)

• Näide 2Ring, mille üks sektor on värvitud punast värvi, hakkab kiiresti pöörlema ümber keskpunkti. Kui suur on tõenäosus, et selle ringi torkamisel nõelaga tabatakse punast osa? Sektori nurk on 300.

Geomeetriline tõenäosus (IV)

• Näide 2Ring, mille üks sektor on värvitud punast värvi, hakkab kiiresti pöörlema ümber keskpunkti. Kui suur on tõenäosus, et selle ringi torkamisel nõelaga tabatakse punast osa? Sektori nurk on 300.

Geomeetrilise tõenäosuse valemi põhjal:

Ülesanne

Kui suur on värvitud piirkonna tabamise tõenäosus?

r

2r

Statistiline tõenäosus (I)Tugineb Bernoulli suurte arvude seadusele.

Toimitakse nõnda: •sooritatakse k sõltumatut katset•tehakse kindlaks sündmuse A toimumiste arv •arvutatakse nn suhteline sagedus

•statistiline tõenäosus:

Statistiline tõenäosus (II)Näide 1Korvpallur on sooritanud iga treeningu lõpus seeria vabaviskeid:

A – korvpallur tabab vabaviske

Visete arv 80 100 120 100 100 100 100 100 100 100

Tabamuste arv 70 85 100 80 85 90 90 95 85 90

Statistiline tõenäosus (II)Näide 2Kui suur on tõenäosus, et sünnib poiss?

Tervise Arengu Instituudi (TAI) andmetel

Poisi sündimise tõenäosus:

1992-2011

Poisse 147172

Tüdrukuid 138500

KOKKU 254741

Tuntud näiteid ajaloost• Georges de Buffon (1707-1788)

viskas münti 4040 korda, vapp 2048 korral;suhteline sagedus 0,507

• Karl Pearson (1857-1936)viskas münti 12000 korda, vapp 6019;suhteline sagedus 0,5016;II seeria 24000 korda, vapp 12012 korral;

suhteline sagedus 0,5005

Klassikalise valemi järgi: p(A) = 0,5

Buffoni nõel

• Paberilehele on tõmmatud peenikesed paralleelsed jooned (joonte vaheline kaugus on d); visatakse nõel (pikkusega l). Kui suur on tõenäosus, et nõel puudutab ühte sirgetest?

Ülesanded (I)

1. Korvpallur on viimase hooaja ametlikes mängudes sooritanud kokku 2435 lähipositsiooni pealeviset, neist tabanud aga 1629. Kui suur on tõenäosus, et täna toimuvas mängus see korvpallur tabab oma viienda pealeviske?

2. Visatakse ühte täringut. Kui üheksal korral järjest on saadud 6 silma, kui suur on siis tõenäosus, et kümnendal korral saadakse ka 6 silma?

Ülesanded (II)

3. Ukse mõõtmed on 1x2 meetrit. Ukses on aknake mõõtmetega 2x5 detsimeetrit. Ust pommitatakse/visatakse lumepallidega. Kui suur on tõenäosus, et tabatakse aknaruutu?

4. Arvutisimulatsioonis imiteeritakse teatud katset. Seni läbiviidud 109 katses on sündmus A toimunud ligikaudu 4,4 108 korda.Kui suur on sündmuse A toimumise tõenäosus?

Ülesanded (III)5. Tabelis on kirjeldatud sündmuse A esiletulek paljudes

katseseeriates. Kui suur on tõenäosus, et homme läbiviidavas katses sündmus A siiski ei toimu?

5. Kui suur on tõenäosus, et võrdkülgses kolmnurgas juhuslikult valitud punkt on ühtlasi kolmnurga siseringi punkt?

Katsete arv

100 100 100 100 100 100 100

n 95 90 95 80 95 95 90

6. ülesande lahendus

r

a

h

Ülesanded (IV)

7. Urnis on 3 valget ja 5 musta kuulikest. Võetakse järjest 3 kuulikest (neid tagasi panemata). Kui on teada, et valgeid kuulikesi ei saadud, kui suur on siis tõenäosus, et järgmise kuuli võtmisel saadakse siiski valge kuul?

8. Laual on kaardid numbritega 1, 2, 3, 4, 5. Väike Mall laob neist rea. Kui palju on erinevaid võimalusi?Kui suur on tõenäosus, et ta laob 5-ga jaguva arvu?