multivariate polynome - imng.uni-stuttgart.de · man bezeichnet ein n-variates polynom als homogen...
TRANSCRIPT
Multivariate Polynome
Ein Polynom p in n Variablen x1, . . . , xn ist eine Linearkombination vonMonomen:
p(x) =∑α
aαxα, xα = xα1
1 · · · xαnn ,
mit αi ∈ N0.
Je nach Summationsbereich unterscheidet man zwischen
totalem Grad ≤ m:∑α = α1 + · · ·+ αn ≤ m;
maximalem Grad ≤ m: maxα = maxi αi ≤ m.
Multivariate Polynome 1-1
Multivariate Polynome
Ein Polynom p in n Variablen x1, . . . , xn ist eine Linearkombination vonMonomen:
p(x) =∑α
aαxα, xα = xα1
1 · · · xαnn ,
mit αi ∈ N0.Je nach Summationsbereich unterscheidet man zwischen
totalem Grad ≤ m:∑α = α1 + · · ·+ αn ≤ m;
maximalem Grad ≤ m: maxα = maxi αi ≤ m.
Multivariate Polynome 1-2
Man bezeichnet ein n-variates Polynom als homogen vom Grad k , wenndie Linearkombination nur Monome mit
∑α = k enthalt. Die Anzahl
solcher homogenen Monome ist(k+n−1
n−1
). Folglich ist die Dimension der
Polynome vom totalen Grad ≤ m gleich(m + n
n
)=
m∑k=0
(k + n − 1
n − 1
).
Die Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad ≤ m ist
(m + 1)n .
Multivariate Polynome 1-3
Beweis:
(i) bivariate Polynome (n = 2):
Auflistung der homogenen Monome
k = 0 : 1k = 1 : x , yk = 2 : x2, xy , y2
k = 3 : x3, x2y , y2x , y3
. . . ,
Anzahl k + 1 =(k+2−1
2−1
)fur Grad k
Dimension der bivariaten Polynome vom totalen Grad ≤ m:
1 + 2 + · · ·+ (m + 1) =(m + 2)(m + 1)
2=
(m + 2
2
)(m + 1)2 Monome vom maximalen Grad ≤ m
x iy j , i , j ≤ m
Multivariate Polynome 2-1
Beweis:
(i) bivariate Polynome (n = 2):Auflistung der homogenen Monome
k = 0 : 1k = 1 : x , yk = 2 : x2, xy , y2
k = 3 : x3, x2y , y2x , y3
. . . ,
Anzahl k + 1 =(k+2−1
2−1
)fur Grad k
Dimension der bivariaten Polynome vom totalen Grad ≤ m:
1 + 2 + · · ·+ (m + 1) =(m + 2)(m + 1)
2=
(m + 2
2
)(m + 1)2 Monome vom maximalen Grad ≤ m
x iy j , i , j ≤ m
Multivariate Polynome 2-2
Beweis:
(i) bivariate Polynome (n = 2):Auflistung der homogenen Monome
k = 0 : 1k = 1 : x , yk = 2 : x2, xy , y2
k = 3 : x3, x2y , y2x , y3
. . . ,
Anzahl k + 1 =(k+2−1
2−1
)fur Grad k
Dimension der bivariaten Polynome vom totalen Grad ≤ m:
1 + 2 + · · ·+ (m + 1) =(m + 2)(m + 1)
2=
(m + 2
2
)(m + 1)2 Monome vom maximalen Grad ≤ m
x iy j , i , j ≤ m
Multivariate Polynome 2-3
Beweis:
(i) bivariate Polynome (n = 2):Auflistung der homogenen Monome
k = 0 : 1k = 1 : x , yk = 2 : x2, xy , y2
k = 3 : x3, x2y , y2x , y3
. . . ,
Anzahl k + 1 =(k+2−1
2−1
)fur Grad k
Dimension der bivariaten Polynome vom totalen Grad ≤ m:
1 + 2 + · · ·+ (m + 1) =(m + 2)(m + 1)
2=
(m + 2
2
)
(m + 1)2 Monome vom maximalen Grad ≤ m
x iy j , i , j ≤ m
Multivariate Polynome 2-4
Beweis:
(i) bivariate Polynome (n = 2):Auflistung der homogenen Monome
k = 0 : 1k = 1 : x , yk = 2 : x2, xy , y2
k = 3 : x3, x2y , y2x , y3
. . . ,
Anzahl k + 1 =(k+2−1
2−1
)fur Grad k
Dimension der bivariaten Polynome vom totalen Grad ≤ m:
1 + 2 + · · ·+ (m + 1) =(m + 2)(m + 1)
2=
(m + 2
2
)(m + 1)2 Monome vom maximalen Grad ≤ m
x iy j , i , j ≤ m
Multivariate Polynome 2-5
(ii) n-variate Polynome:
identifiziere den Exponent
(α1, . . . , αn),∑
α = m
mit einer strikt monotonen Folge
β1 = α1 + 1β2 = α1 + α2 + 2. . .
βn−1 = α1 + · · ·+ αn−1 + (n − 1)
aus {1, . . . ,m + n − 1}
αi = βi − βi−1 − 1
mit β0 = 0, βn = m + n
(m+n−1n−1
)Moglichkeiten
Multivariate Polynome 2-6
(ii) n-variate Polynome:identifiziere den Exponent
(α1, . . . , αn),∑
α = m
mit einer strikt monotonen Folge
β1 = α1 + 1β2 = α1 + α2 + 2. . .
βn−1 = α1 + · · ·+ αn−1 + (n − 1)
aus {1, . . . ,m + n − 1}
αi = βi − βi−1 − 1
mit β0 = 0, βn = m + n
(m+n−1
n−1
)Moglichkeiten
Multivariate Polynome 2-7
(ii) n-variate Polynome:identifiziere den Exponent
(α1, . . . , αn),∑
α = m
mit einer strikt monotonen Folge
β1 = α1 + 1β2 = α1 + α2 + 2. . .
βn−1 = α1 + · · ·+ αn−1 + (n − 1)
aus {1, . . . ,m + n − 1}
αi = βi − βi−1 − 1
mit β0 = 0, βn = m + n
(m+n−1n−1
)Moglichkeiten
Multivariate Polynome 2-8
(iii) n-variate Monome vom totalen Grad ≤ m:
←→ (n + 1)-variate homogene Monome vom Grad m:
xα11 · · · x
αnn ⇐⇒ xα1
1 · · · xαnn x
m−∑αi
n+1
(Letzter Exponent liegt fest.) Dimension (
m + (n + 1)− 1
(n + 1)− 1
)Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad ≤ m:Analog zum bivariaten Fall existieren (m + 1)n Monome.
Multivariate Polynome 2-9
(iii) n-variate Monome vom totalen Grad ≤ m:←→ (n + 1)-variate homogene Monome vom Grad m:
xα11 · · · x
αnn ⇐⇒ xα1
1 · · · xαnn x
m−∑αi
n+1
(Letzter Exponent liegt fest.)
Dimension (m + (n + 1)− 1
(n + 1)− 1
)Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad ≤ m:Analog zum bivariaten Fall existieren (m + 1)n Monome.
Multivariate Polynome 2-10
(iii) n-variate Monome vom totalen Grad ≤ m:←→ (n + 1)-variate homogene Monome vom Grad m:
xα11 · · · x
αnn ⇐⇒ xα1
1 · · · xαnn x
m−∑αi
n+1
(Letzter Exponent liegt fest.) Dimension (
m + (n + 1)− 1
(n + 1)− 1
)
Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad ≤ m:Analog zum bivariaten Fall existieren (m + 1)n Monome.
Multivariate Polynome 2-11
(iii) n-variate Monome vom totalen Grad ≤ m:←→ (n + 1)-variate homogene Monome vom Grad m:
xα11 · · · x
αnn ⇐⇒ xα1
1 · · · xαnn x
m−∑αi
n+1
(Letzter Exponent liegt fest.) Dimension (
m + (n + 1)− 1
(n + 1)− 1
)Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad ≤ m:
Analog zum bivariaten Fall existieren (m + 1)n Monome.
Multivariate Polynome 2-12
(iii) n-variate Monome vom totalen Grad ≤ m:←→ (n + 1)-variate homogene Monome vom Grad m:
xα11 · · · x
αnn ⇐⇒ xα1
1 · · · xαnn x
m−∑αi
n+1
(Letzter Exponent liegt fest.) Dimension (
m + (n + 1)− 1
(n + 1)− 1
)Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad ≤ m:Analog zum bivariaten Fall existieren (m + 1)n Monome.
Multivariate Polynome 2-13
Beispiel:
(i) Polynom mit totalen Grad ≤ 3 in 2 Variablen:
p(x , y) = a0,0 + (a1,0x + a0,1y) + (a2,0x2 + a1,1xy + a0,2y
2)
+(a3,0x3 + a2,1x
2y + a1,2xy2 + a0,3y
3)
spezielles homogenes bivariates Polynom vom Grad 5:
7x5 − 9x3y2 + 8xy4
(ii) Polynom mit maximalem Grad ≤ 1 in drei Variablen:
p(x , y , z) = (a0,0,0 + a1,0,0x) + (a0,1,0y + a1,1,0xy)
+(a0,0,1z + a1,0,1xz) + (a0,1,1yz + a1,1,1xyz)
Multivariate Polynome 3-1
Beispiel:
(i) Polynom mit totalen Grad ≤ 3 in 2 Variablen:
p(x , y) = a0,0 + (a1,0x + a0,1y) + (a2,0x2 + a1,1xy + a0,2y
2)
+(a3,0x3 + a2,1x
2y + a1,2xy2 + a0,3y
3)
spezielles homogenes bivariates Polynom vom Grad 5:
7x5 − 9x3y2 + 8xy4
(ii) Polynom mit maximalem Grad ≤ 1 in drei Variablen:
p(x , y , z) = (a0,0,0 + a1,0,0x) + (a0,1,0y + a1,1,0xy)
+(a0,0,1z + a1,0,1xz) + (a0,1,1yz + a1,1,1xyz)
Multivariate Polynome 3-2
Beispiel:
(i) Polynom mit totalen Grad ≤ 3 in 2 Variablen:
p(x , y) = a0,0 + (a1,0x + a0,1y) + (a2,0x2 + a1,1xy + a0,2y
2)
+(a3,0x3 + a2,1x
2y + a1,2xy2 + a0,3y
3)
spezielles homogenes bivariates Polynom vom Grad 5:
7x5 − 9x3y2 + 8xy4
(ii) Polynom mit maximalem Grad ≤ 1 in drei Variablen:
p(x , y , z) = (a0,0,0 + a1,0,0x) + (a0,1,0y + a1,1,0xy)
+(a0,0,1z + a1,0,1xz) + (a0,1,1yz + a1,1,1xyz)
Multivariate Polynome 3-3
Beispiel:
(i) Polynom mit totalen Grad ≤ 3 in 2 Variablen:
p(x , y) = a0,0 + (a1,0x + a0,1y) + (a2,0x2 + a1,1xy + a0,2y
2)
+(a3,0x3 + a2,1x
2y + a1,2xy2 + a0,3y
3)
spezielles homogenes bivariates Polynom vom Grad 5:
7x5 − 9x3y2 + 8xy4
(ii) Polynom mit maximalem Grad ≤ 1 in drei Variablen:
p(x , y , z) = (a0,0,0 + a1,0,0x) + (a0,1,0y + a1,1,0xy)
+(a0,0,1z + a1,0,1xz) + (a0,1,1yz + a1,1,1xyz)
Multivariate Polynome 3-4
Beispiel:
(i) Polynom mit totalen Grad ≤ 3 in 2 Variablen:
p(x , y) = a0,0 + (a1,0x + a0,1y) + (a2,0x2 + a1,1xy + a0,2y
2)
+(a3,0x3 + a2,1x
2y + a1,2xy2 + a0,3y
3)
spezielles homogenes bivariates Polynom vom Grad 5:
7x5 − 9x3y2 + 8xy4
(ii) Polynom mit maximalem Grad ≤ 1 in drei Variablen:
p(x , y , z) = (a0,0,0 + a1,0,0x) + (a0,1,0y + a1,1,0xy)
+(a0,0,1z + a1,0,1xz) + (a0,1,1yz + a1,1,1xyz)
Multivariate Polynome 3-5