multivariate bernstein polynomial and convexity thomas sauer

7/27/2019 Multivariate Bernstein Polynomial and Convexity Thomas Sauer

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M u l t i v a r i a t e B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s a n d c o n v e x i t y

b y

T h o m a s S a u e r

A b s t r a c t

I t i s w e l l k n o w n t h a t i n t w o o r m o r e v a r i a b l e s B e r n s t e i n p o l y n o m i -

a l s d o n o t p r e s e r v e c o n v e x i t y . H e r e w e i n t r o d u c e t w o v a r i a t i o n s , o n e

s t r o n g e r t h a n t h e c l a s s i c a l n o t i o n , t h e o t h e r o n e w e a k e r , w h i c h a r e

p r e s e r v e d . M o r e o v e r , a w e a k e r s u c i e n t c o n d i t i o n f o r t h e m o n o t o n y

o f s u b s e q u e n t B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s i s g i v e n .

x 1

I n t r o d u c t i o n

C o n s i d e r m + 1 p o i n t s p

0

; : : : ; p

m

2 R

d

i n g e n e r a l p o s i t i o n ; i . e . , t h e v e c t o r s

p

k

? p

0

, k = 0 ; : : : ; m , a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , i n t h e c o u r s e o f w h i c h d h a s

t o b e g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o m . A p o i n t p i n t h e a n e h u l l o f p

0

; : : : ; p

m

c a n b e u n i q u e l y w r i t t e n a s

p =

m

X

k = 0

u

k

p

k

; w h e r e u

0

+ + u

m

= 1

T h e c o e c i e n t s o f u = ( u

0

; : : : ; u

m

) 2 R

m + 1

a r e c a l l e d t h e b a r y c e n t r i c c o o r -

d i n a t e s o f p w i t h r e s p e c t t o p

0

; : : : ; p

m

. M o r e o v e r , t h e p o i n t s o f t h e s i m p l e x

p

0

; : : : ; p

m

] , s p a n n e d b y t h e v e r t i c e s p

0

; : : : ; p

m

h a v e n o n n e g a t i v e b a r y c e n -

t r i c c o o r d i n a t e s a n d v i c e v e r s a . I n o t h e r w o r d s , w e c a n i d e n t i f y p

0

; : : : ; p

m

w i t h

S

m

= f u = ( u

0

; : : : ; u

m

) : u

k

0 ; u

0

+ + u

m

= 1 g

b y u s i n g t h e 1 { 1 m a p p i n g w h i c h a s s o c i a t e s e a c h p o i n t o f t h e s i m p l e x w i t h

i t s u n i q u e l y d e n e d b a r y c e n t r i c c o o r d i n a t e s .

W e c o n s i d e r S

m

= f ( x

1

; : : : ; x

m

) : x

k

0 ; x

1

+ + x

m

1 g t o b e t h e

s t a n d a r d u n i t s i m p l e x i n R

m

I f f i s a f u n c t i o n d e n e d o n a n a r b i t r a r y m {

d i m e n s i o n a l s i m p l e x , e s p e c i a l l y o n S

m

, i t w i l l p r o v e q u i t e u s e f u l t o c o n s i d e r

f a s a f u n c t i o n d e n e d o v e r S

m

b y t h e u s e o f b a r y c e n t r i c c o o r d i n a t e s .

1


2/15

L e t i = ( i

0

; : : : ; i

m

) 2 N

m + 1

0

b e a m u l t i i n d e x w i t h i = i

0

+ + i

m

= n ,

a n d l e t u 2 S

m

. T h e i - t h B e r n s t e i n ( b a s e { ) p o l y n o m i a l o f d e g r e e m i s d e n e d

b y

B

n

i

( u ) =

n !

i !

u

i

=

n !

i

0

! i

m

!

u

i

0

0

u

i

m

m

G i v e n a n y c o n t r o l p o l y h e d r o n = f b

i

: i = n g R

d

w e d e n e t h e a s s o c i a t e d

B e r n s t e i n { B e z i e r { p o l y n o m i a l b

n

: S

m

! R

d

o f d e g r e e n v i a

u ! b

n

( u ) =

X

i = n

b

i

B

n

i

( u )

I n t h i s p a p e r w e w i l l b e e s p e c i a l l y i n t e r e s t e d i n p o l y n o m i a l s , a s s o c i a t e d w i t h

f u n c t i o n s f : S

m

! R , a s f o l l o w s :

b

n

f ( u ) =

X

i = n

f

i

n

!

B

n

i

( u )

w h e r e

i

n

= (

i

0

n

; : : : ;

i

m

n

) a r e p r o p e r l y d e n e d b a r y c e n t r i c c o o r d i n a t e s . T h i s

p o l y n o m i a l , k n o w n a s t h e B e r n s t e i n p o l y n o m i a l o f f o f d e g r e e n , w a s i n t r o -

d u c e d b y D i n g h a s 4 ] a n d L o r e n t z 6 ] i n 1 9 5 1 , i n d e p e n d e n t l y .

D e a l i n g w i t h f u n c t i o n s d e n e d o v e r a n a r b i t r a r y s i m p l e x , i t h a s s h o w n t o

b e c o n v e n i e n t t o m a k e u s e o f d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e s b e c a u s e n o i n f o r m a t i o n i s

n e e d e d a b o u t t h e e x a c t p o s i t i o n o f t h e s i m p l e x a n d i t s v e r t i c e s . A d i r e c t i o n

d i n S

m

, i s g i v e n b y t h e d i e r e n c e o f t w o p o i n t s i n S

m

; i . e . , d = u ? v ,

u ; v 2 S

m

. A c c o r d i n g t o t h i s t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n f w i t h

r e s p e c t t o d i s d e n e d i n t h e f o l l o w i n g w a y :

D

d

f ( u ) = l i m

t ! 0

f ( u + t d ) ? f ( u )

t

=

m

X

k = 0

d

k

@

@ u

k

f ( u )

S o m e s p e c i a l , b u t n e v e r t h e l e s s i m p o r t a n t d i r e c t i o n s a r e g i v e n b y

^

e

k

= e

k

? e

0

,

w h e r e e

0

; : : : ; e

m

d e n o t e t h e u n i t v e c t o r s i n R

m + 1

; c o n s i d e r e d a s b a r y c e n t r i c

c o o r d i n a t e s t h e y f o r m t h e v e r t i c e s o f t h e s i m p l e x S

m

. I f w e i d e n t i f y S

m

w i t h

t h e m - d i m e n s i o n a l u n i t s i m p l e x S

m

, t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e s D

^

e

k

c o i n c i d e

w i t h t h e s t a n d a r d p a r t i a l d e r i v a t i v e s

@

@ x

k

. A s a c o n s e q u e n c e w e c a n r e p l a c e

m u l t i p l e p a r t i a l d e r i v a t i v e s b y

D

r

f ( u ) = D

r

1

^

e

1

D

r

m

^

e

m

f ( u ) ;

2


3/15

w h e r e r = ( r

1

; : : : ; r

m

) 2 N

m

0

T h e m a i n t o o l m a n a g i n g t h e s e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f B e r n s t e i n p o l y n o -

m i a l s i s g i v e n b y t h e f o r w a r d d i e r e n c e o p e r a t o r , w h i c h i s w e l l { k n o w n , b u t

r e m a i n s o v e r l o o k e d i n t h e C A G D { l i t e r a t u r e u p t o n o w . F o r w a r d d i e r e n c e s ,

a c c o r d i n g t o a n o n n e g a t i v e m u l t i i n d e x r = ( r

1

; : : : ; r

m

) 2 N

m

0

a r e i n d u c t i v e l y

d e n e d a s f o l l o w s :

0

^

e

k

b

i

= b

i

;

r

^

e

k

b

i

=

r ? 1

^

e

k

b

i +

^

e

k

?

r ? 1

^

e

k

b

i

;

r

b

i

=

r

1

^

e

1

r

m

^

e

m

b

i

w h e r e i i s a m u l t i i n d e x w i t h i

0

r t o g u a r a n t e e t h a t

r

i s w e l l d e n e d .

S o m e t i m e s w e w i l l u s e t h e a b b r e v i a t i o n

j k

t o m e a n

e

j

+ e

k

f o r 1 j ; k

m . N o w w e a r e i n p o s i t i o n t o r e p r e s e n t t h e d e r i v a t i v e s D

r

o f a B e r n s t e i n

p o l y n o m i a l i n t e r m s o f d i e r e n c e s

r

; i n d e e d ,

D

r

b

n

( u ) =

n !

( n ? r ) !

X

i = n ? r

r

b

i + r e

0

B

n ? r

i

( u ) ( 1 )

w h i c h i s p r o v e d b y u s i n g t h e w e l l - k n o w n i d e n t i t y

D

d

B

n

i

( u ) = n

m

X

k = 0

d

k

B

n ? 1

i ? e

k

( u ) ;

a s w e l l a s

D

^

e

k

b

n

( u ) =

X

i = n

b

i

n

B

n ? 1

i ? e

k

( u ) ? B

n ? 1

i ? e

0

( u )

= n

X

i = n ? 1

( b

i + e

k

? b

i + e

0

) B

n ? 1

i

( u )

= n

X

i = n ? 1

1

^

e

k

b

i + e

0

B

n ? 1

i

( u )

I t i s s o m e t i m e s n e s c e s s a r y a n d h e l p f u l t o w r i t e a B e r n s t e i n p o l y n o m i a l

o f d e g r e e n i n t e r m s o f t h e b a s e p o l y n o m i a l s B

n + 1

i

o f d e g r e e n + 1 . T h e

f o r m u l a , n e e d e d i n t h i s c o n t e x t i s k n o w n a s d e g r e e r a i s i n g . W e h a v e

X

i = n

b

i

B

n

i

=

X

j = n + 1

^

b

j

B

n + 1

j

; w h e r e

^

b

j

=

m

X

k = 0

j

k

n + 1

b

j ? e

k

; ( 2 )

3


4/15

f o r a p r o o f s e e 5 ] .

x 2

C o n v e x i t y

A f u n c t i o n f : S

m

! R i s s a i d t o b e c o n v e x i f f o r e v e r y t w o p o i n t s

u ; v 2 S

m

a n d e v e r y 2 0 ; 1

f ( u + ( 1 ? ) v ) f ( u ) + ( 1 ? ) f ( v ) ;

i t i s k n o w n t h a t f o r t w i c e d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n s t h i s i s e q u i v a l e n t t o t h e

s t a t e m e n t t h a t t h e H e s s i a n H f ( u ) i s p o s i t i v e s e m i - d e n i t e f o r e v e r y u 2 S

m

;

i . e . , f o r e a c h d i r e c t i o n d = ( d

1

; : : : ; d

m

) ( r e m e m b e r : e v e r y d i r e c t i o n c a n b e

w r i t t e n a s l i n e a r c o m b i n a t i o n d

1

^

e

1

+ d

m

^

e

m

)

d H f ( u ) d

T

0

U s i n g t h i s c h a r a c t e r i z a t i o n a n d t h e e n d p o i n t i n t e r p o l a t i o n p r o p e r t y o f

B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s ; i . e . , b

n

( e

k

) = b

n e

k

( s e e e . g . 5 ] ) , w e o b t a i n a t o n c e

t h a t f o r e v e r y c o n v e x B e r n s t e i n p o l y n o m i a l t h e m a t r i c e s

H

i

=

0

B

B

@

( 2 0 ; : : : ; 0 )

b

i

( 1 0 ; : : : ; 0 1 )

b

i

( 1 0 ; : : : ; 0 1 )

b

i

( 0 ; : : : ; 0 2 )

b

i

1

C

C

A

( 3 )

h a v e t o b e p o s i t i v e s e m i - d e n i t e f o r a l l i = ( n ? 2 ) e

k

+ 2 e

0

, k = 0 ; : : : ; m ,

s i n c e H b

n

( e

k

) = H

( n ? 2 ) e

k

+ 2 e

0

O n t h e o t h e r h a n d , w e a r e a l s o i n a p o s i t i o n t o g i v e a s u c i e n t c o n d i t i o n

f o r c o n v e x i t y , w h i c h i s d u e t o t h e C h a n g a n d F e n g 2 ] : t h e B e r n s t e i n p o l y -

n o m i a l b

n

i s c o n v e x i f t h e m a t r i c e s H

i

a r e p o s i t i v e s e m i - d e n i t e f o r e v e r y i

w i t h i

0

2

T h e p r o o f i s q u i t e e a s y : f o r a d i r e c t i o n d = ( d

1

; : : : ; d

m

) w e c o n s i d e r

d H b

n

( u ) d

T

=

X

i = n ? 2

d H

i + 2 e

0

d

T

B

n ? 2

i

( u )

D u e t o t h e p o s i t i v e s e m i - d e n i t e n e s s o f t h e H

i

, a l l c o e c i e n t s o f t h e r i g h t -

h a n d p o l y n o m i a l a r e n o n n e g a t i v e f r o m w h i c h a t o n c e f o l l o w s t h a t H b

n

i s

p o s i t i v e s e m i - d e n i t e , h e n c e t h a t b

n

i s c o n v e x .

4


5/15

I n h i s c l a s s i c a l b o o k o n B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s 6 ] L o r e n t z p o i n t e d o u t

t h a t i n o n e v a r i a b l e B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s p r e s e r v e m a n y p r o p e r t i e s o f t h e

a s s o c i a t e d f u n c t i o n s , a m o n g o t h e r s c o n v e x i t y . T h i s d o e s n o t r e m a i n v a l i d i n

t w o o r m o r e v a r i a b l e s a s t h e s i m p l e f u n c t i o n u

1

? u

2

s h o w s w h e r e f o r m = 2

t h e m a t r i x H

n e

0

t a k e s o n t h e f o r m

1

n

0 ? 2

? 2 0

!

w h i c h i s n o t p o s i t i v e s e m i - d e n i t e , i n c o n t r a d i c t i o n t o t h e n e s c e s s a r y c o n d i -

t i o n s t a t e d a b o v e .

T h i s c o u n t e r e x a m p l e w a s r s t g i v e n i n 1 9 7 5 b y S c h m i d

1

i n 7 ] , a s i m i l a r

e x a m p l e w a s l a t e r a l s o c o n s i d e r e d b y C h a n g a n d D a v i s 1 ] .

x 3

A x i a l c o n v e x i t y

A s c o n v e x i t y s e e m e d s o m e h o w i n a p p r o p r i a t e f o r d e a l i n g w i t h m u l t i v a r i a t e

B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s , t h e c o n c e p t o f a x i a l c o n v e x i t y w a s i n t r o d u c e d i n 7 ]

a s a v a r i a n t o f c l a s s i c a l c o n v e x i t y . S t e p p i n g f r o m o n e t o h i g h e r d i m e n s i o n s ,

i t p r o v e s t o b e t h e r i g h t c h o i c e : i n d e e d , a x i a l c o n v e x i t y i s p r e s e r v e d b y

B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s a n d , a l t h o u g h m u c h w e a k e r t h a n c o n v e x i t y , i t a l s o

p r o v e s t o b e a s u c e n t c o n d i t i o n f o r t h e m o n o t o n y o f s u b s e q u e n t B e r n s t e i n

p o l y n o m i a l s ; i . e . , b

n ? 1

f b

n

f


m

! R i s c a l l e d a x i a l l y c o n v e x , i f f i s c o n v e x w i t h r e s p e c t

t o t h e d i r e c t i o n s e

k

? e

j

, 0 j < k m , o n S

m

, t h a t i s

f ( u + ( 1 ? ) v ) f ( u ) + ( 1 ? ) f ( v )

f o r 2 0 ; 1 ] a n d a l l u ; v w i t h u ? v = ( e

k

? e

j

) a n d s u i t a b l e , 0 j


6/15

F i r s t w e w i l l g i v e a c h a r a c t e r i z a t i o n o f a x i a l l y c o n v e x f u n c t i o n s , g e n e r a l -

i z i n g S c h m i d ' s t w o - d i m e n s i o n a l r e s u l t s .

P r o p o s i t i o n 1 . A c o n t i n u o u s f u n c t i o n f : S

m

! R i s a x i a l l y c o n v e x i f a n d

o n l y i f t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t i e s h o l d f o r a l l n 2 N

k k

f

i

n

!

0 ( 4 )

a n d

s

j k

f

i

n

!

=

j j

+

k k

? 2

j k

f

i

n

!

0 ( 5 )

w h e r e i = n a n d 1 j < k m

P r o o f : C o n v e x i t y i n t h e d i r e c t i o n o f e

k

? e

0

y i e l d s

1

2

f

i + 2

^

e

k

n

!

+

1

2

f

i

n

!

f

i +

^

e

k

n

!

; ( 6 )

w h i c h c a n e a s i l y b e r e w r i t t e n a s ( 4 ) . M o r e o v e r ( 6 ) i s e q u i v a l e n t t o c o n v e x i t y

i n t h e d i r e c t i o n o f e

k

? e

0

, s i n c e , d u e t o t h e c o n t i n u i t y o f f , t h e c u r v e t !

f ( u + t

^

e

k

) i s c o n v e x i f a n d o n l y i f i t i s m i d p o i n t c o n v e x ; i . e . ,

1

2

f ( u + 2 t

^

e

k

) +

1

2

f ( u ) f ( u + t

^

e

k

) w h i c h y i e l d s ( 6 ) b y c h o o s i n g u =

i

n

a n d t =

1

n

T h e s a m e a r g u m e n t a t i o n a p p l i e d t o e

k

? e

j

w i l l p r o d u c e t h e e q u i v a l e n c e t o

( 5 ) , r e s p e c t i v e l y . 2

F o r t w i c e d i e r e n t i a b l e f a n o t h e r c h a r a c t e r i z a t i o n i s o b t a i n e d b y t h e f o l -

l o w i n g

P r o p o s i t i o n 2 . A C

2

{ f u n c t i o n f : S

m

! R i s a x i a l l y c o n v e x i f a n d o n l y

i f f o r a l l u 2 S

m

t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t i e s h o l d :

D

k k

f ( u ) 0 ( 7 )

a n d

D

j j

f ( u ) + D

k k

f ( u ) ? 2 D

j k

f ( u ) 0 ( 8 )

w h e r e D

j k

f d e n o t e s D

^

e

j

D

^

e

k

f f o r 1 j < k m

T h e p r o o f i s b a s e d o n t h e i d e n t i t y

r

f

i

n

!

=

Z 1

n

0

Z 1

n

0

D

r

f

0

@

i

n

+

m

X

k = 0

r

k

X

j = 1

^

e

k

t

k

j

1

A

d t

1

1

d t

r

m

m

( 9 )

6


7/15

w h i c h i s o b t a i n e d b y n o t i n g t h a t

@

@ t

f

i

n

+ t

^

e

k

!

= D

^

e

k

f

i

n

+ t

^

e

k

!

a n d

Z

1

n

0

D

^

e

k

f

i

n

+ t

^

e

k

!

d t =

Z

1

n

0

@

@ t

f

i

n

+ t

^

e

k

!

d t =

^

e

k

f

i

n

!

;

t h e f u n d a m e n t a l s t e p f o r i n d u c t i o n .

U s i n g ( 9 ) , t h e e q u a t i o n s ( 4 ) a n d ( 7 ) a r e e a s i l y p r o v e d t o b e e q u i v a l e n t ,

a s a r e ( 5 ) a n d ( 8 ) , t o o . C o m b i n i n g t h e s e r e s u l t s , w e g e t

T h e o r e m 3 . I f f : S

m

! R i s a c o n t i n u o u s a n d a x i a l l y c o n v e x f u n c t i o n ,

t h e n a l l B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s b

n

f , n 2 N , a r e a x i a l l y c o n v e x , t o o .

P r o o f : S i n c e f i s a x i a l l y c o n v e x , t h e i n e q u a l i t y

k k

f

i

n

0 h o l d s f o r a l l

i w i t h i

0

2 , d u e t o P r o p o s i t i o n 1 ; w e h a v e

D

k k

b

n

f =

X

i = n ? 2

k k

f

i + 2 e

0

n

!

B

n ? 2

i

0 ;

i . e . , i n e q u a l i t y ( 7 ) h o l d s . S i m i l a r l y , ( 8 ) c a n b e d e d u c e d , a n d a n a p p l i c a t i o n

o f P r o p o s i t i o n 2 c o m p l e t e s t h e p r o o f . 2

G i v e n a n a r b i t r a r y v e c t o r h = ( h

0

; : : : ; h

m

) 2 R

m + 1

, w h e r e h = h

0

+

+ h

m

, w e d e n e t h e d i e r e n c e

r

h

f ( u ) =

m

X

k = 0

h

k

h

f ( u + h ? h e

k

) ? f ( u ) ( 1 0 )

w h e r e t h e i n c r e m e n t v e c t o r h i s c a l l e d p e r m i s s i b l e , i f u + h ? h e

k

2 S

m

f o r

0 k m . W e n o t i c e t h a t s i m p l e c a l c u l a t i o n s y i e l d t h e i d e n t i t y

m

X

k = 0

h

k

h

( u + h ? h e

k

) = u ; ( 1 1 )

w h e r e w e a r e f a c i n g a s p e c i a l b a r y c e n t r i c c o m b i n a t i o n . T h i s d i e r e n c e l e a d s

u s t o a n o t h e r c h a r a c t e r i z a t i o n o f a x i a l c o n v e x i t y :

7


8/15

P r o p o s i t i o n 4 . T h e f u n c t i o n f : S

m

! R i s a x i a l l y c o n v e x i r

h

f ( u ) 0

f o r a l l u 2 S

m

a n d a l l p e r m i s s i b l e h 2 R

m + 1

P r o o f : W e s e t u

0

k

= u + h ? h e

k

a n d d e a l w i t h t h e f o l l o w i n g r e c u r s i o n :

u

j + 1

k

=

h

j

h ? h

0

? ? h

j ? 1

u

j

j

+

1 ?

h

j

h ? h

0

? ? h

j ? 1

!

u

j

k

; ( 1 2 )

w h e r e j = 0 ; : : : ; m ? 1 a n d k = j + 1 ; : : : ; m . F o r t h e s a k e o f b r e v i t y w e s e t

j

=

h

j

h ? h

0

? ? h

j ? 1

s o t h a t ( 1 2 ) n o w r e a d s u

j + 1

k

=

j

u

j

j

+ ( 1 ?

j

) u

k

j

F i r s t w e n o t i c e t h a t u

0

k

? u

0

l

= h ( e

k

? e

l

) , a n d o b t a i n i n a d d i t i o n

u

j + 1

k

? u

j + 1

l

=

j

u

j

j

+ ( 1 ?

j

) u

j

k

?

j

u

j

j

? ( 1 ?

j

) u

j

l

= ( 1 ?

j

)

u

j

k

? u

j

l

s o t h a t t w o p o i n t s o f t h e s a m e l e v e l , s a y u

j

k

a n d u

j

l

, d i e r o n l y i n a m u l t i p l e

o f e

k

? e

l

, a n d h e n c e

j

f

u

j

j

+ ( 1 ?

j

) f

u

j

k

f

u

j + 1

k

; ( 1 3 )

d u e t o t h e a x i a l c o n v e x i t y o f f

I n t h e s e c o n d s t e p w e c a l c u l a t e

u

m

m

=

m ? 1

u

m ? 1

m ? 1

+ ( 1 ?

m ? 1

) u

m ? 1

m

=

=

0

u

0

0

+ ( 1 ?

0

)

1

u

0

1

+ + ( 1 ?

0

) ( 1 ?

m ? 1

) u

0

m

;

a n d n o t i c e t h a t

( 1 ?

0

) ( 1 ?

k ? 1

)

k

=

=

h ? h

0

h

h ? h

0

? h

1

h ? h

0

h

k

h ? h

0

? ? h

k ? 1

=

h

k

h

a s w e l l a s

( 1 ?

0

) ( 1 ?

m ? 1

) =

h ? h

0

? ? h

m ? 1

h

=

h

m

h

8


9/15

w h i c h y i e l d s , i n c o m b i n a t i o n w i t h ( 1 1 ) ,

u

m

m

=

m

X

k = 0

h

k

h

u

0

k

= u

U s i n g t h e s a m e a r g u m e n t a t i o n f o r ( 1 3 ) , w e n a l l y g e t

f ( u ) = f ( u

m

m

)

m

X

k = 0

h

k

h

f ( u + h ? h e

k

)

T h u s w e p r o v e d t h a t f o r e v e r y a x i a l l y c o n v e x f , e v e r y u 2 S

m

a n d e v e r y

p e r m i s s i b l e h t h e d i e r e n c e r

h

f ( u ) i s a l w a y s n o n n e g a t i v e . T h e e q u i v a l e n c e

i s s i m p l y c o m p l e t e d b y s e t t i n g u =

i +

^

e

k

n

a n d c h o o s i n g h

k

= h

0

=

1

n

w h i c h

y i e l d s ( 4 ) , o r u =

i +

^

e

j

+

^

e

k

n

a n d h

j

= h

k

=

1

n

t o g e t ( 5 ) , r e s p e c t i v e l y . 2

F i n a l l y , w e u s e a s p e c i a l c a s e o f ( 1 0 ) , n a m e l y ,

r f

i

n

!

=

m

X

k = 0

i

k

n

f

i ? e

k

n ? 1

!

? f

i

n

!

t o e s t a b l i s h

T h e o r e m 5 . I f f i s a x i a l l y c o n v e x , t h e n b

n ? 1

f b

n

f

P r o o f : A c c o r d i n g t o ( 2 ) w e o n l y h a v e t o c a l c u l a t e

b

n ? 1

f ( u ) ? b

n

f ( u ) =

X

i = n

m

X

k = 0

i

k

n

f

i ? e

k

n ? 1

? f

i

n

!

B

n

i

( u )

=

X

i = n

r f

i

n

!

B

n

i

( u ) 0

t o g e t t h e m o n o t o n e b e h a v i o r o f b

n

f ] f o r a x i a l l y c o n v e x f u n c t i o n s . 2

x 4

P o l y h e d r a l c o n v e x i t y

P o l y h e d r a l c o n v e x i t y i s a n o t h e r w a y o f d e a l i n g w i t h t h e n o n - p r e s e r v a t i o n

o f c o n v e x i t y b y B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s , u s i n g a s t r o n g e r v a r i a t i o n i n s t e a d o f

a w e a k e r o n e , a s d o n e i n t r o d u c i n g a x i a l c o n v e x i t y . T h e n o t i o n i s s t r o n g l y

g e o m e t r i c a l l y m o t i v a t e d , b e c a u s e t h e c o n v e x i t y o f t h e c o n t r o l p o l y h e d r o n i s

9


10/15

s o m e t h i n g t h e h u m a n e y e c a n p e r c e i v e , a t l e a s t i n t w o v a r i a b l e s w h e r e a t w o -

d i m e n s i o n a l s u r f a c e i n R

3

i s f o r m e d . O t h e r w i s e i t s e e m e d n o t h i n g b u t n a t u r a l

t h a t t h e d e C a s t e l j a u { A l g o r i t h m , u s i n g o n l y c o n v e x c o m b i n a t i o n s , s h o u l d

p r o d u c e n o t h i n g e l s e b u t a c o n v e x p a t c h , w h e n a p p l i e d t o a c o n v e x p o l y h e -

d r o n , a s i t w a s p o i n t e d o u t b y C h a n g a n d D a v i s 1 ] f o r b i v a r i a t e B e r n s t e i n

p o l y n o m i a l s a t l e a s t . W e w i l l s e e t h a t m { d i m e n s i o n a l p o l y h e d r o n s p r o v i d e

s o m e h i d d e n t r a p s f o r s o m e o n e w h o w i s h e s t o g e t c l o s e t o t h e i r c o n v e x i t y .

G i v e n a f u n c t i o n f : S

m

! R , t h e e v a l u a t i o n p o l y h e d r o n a s s o c i a t e d t o

f i s d e n e d a s t h e p i e c e w i s e l i n e a r f u n c t i o n L f : S

m

! R , g i v e n b y t h e

v e r t i c e s

L f

i

n

!

= f

i

n

!

S i n c e a p i e c e w i s e l i n e a r f u n c t i o n h a s t o b e c o n s i d e r e d o v e r a s i m p l i c i a l d i s s e c -

t i o n o f t h e p a r a m e t e r s p a c e , t h i s d e n i t i o n f a i l s t o b e s u c i e n t f o r t h e c a s e

m 3 , a s t h e p o i n t s

i

n

, d e n i n g t h e v e r t i c e s ( o r k n o t s ) o f t h e d i s s e c t i o n o f S

m

,

w h e r e e a c h v e r t e x i s j o i n e d t o i t s n e i g h b o u r s

i + e

k

? e

j

n

, 0 j < k m , l e a v e

\ h o l e s " ; i . e . , m { d i m e n s i o n a l p o l y h e d r o n s w i t h v e r t i c e s

i +

^

e

j

+

^

e

k

n

, 0 j ; k m

T h e s e p o l y h e d r o n s h a v e

m ( m + 1 )

2

v e r t i c e s , s o t h a t t h e y a r e n o s i m p l i c e s f o r

m 3 . T h e c o n s t r u c t i o n o f t r i a n g u l a t i o n s o f S

m

, c o m p l e t i n g t h e d e n i t i o n

o f L f ] , i s d i s c u s s e d b y D a h m e n a n d M i c c h e l l i 3 ] , b u t w e s h a l l s e e t h a t t h e r e

i s n o r e a l n e e d f o r i t .

N e v e r t h e l e s s i t i s c l e a r t h a t a p o l y h e d r o n g i v e n b y = f b

i

2 R : i = n g

i s c o n v e x , i n d e p e n d e n t l y o f a n y t r i a n g u l a t i o n s , i a l l t h e s u b p o l y h e d r o n s ,

g i v e n b y t h e v e r t i c e s b

i

, b

i +

^

e

k

a n d b

i +

^

e

j

+

^

e

k

, w h e r e i = n , i

0

2 , 1

j ; k m a r e c o n v e x . S o i t i s s u c i e n t t o e x a m i n e o n l y p o l y h e d r o n s o f t h a t

t y p e , t h e v e r t i c e s d e n o t e d b y b

j k

, 0 j ; k m w h e r e b

j k

= b

i +

^

e

j

+

^

e

k

, a n d

^

e

0

= e

0

? e

0

= 0 . S i m i l a r l y , w e w i l l d e n o t e b y u

j k

2 S

m

t h e p o i n t s

i +

^

e

j

+

^

e

k

n

i n

t h e p a r a m e t e r s p a c e , o b t a i n i n g b

j k

= f ( u

j k

) , s o t h a t w e c a n a s s o c i a t e b

j k

w i t h u

j k

I n d e p e n t l y o f a n y t r i a n g u l a t i o n , t h e v e r t i c e s u

j k

, 0 j m , f o r m m + 1

s i m p l i c e s

k

i n S

m

, d e n i n g a n e l i n e a r f u n c t i o n s

k

: S

m

! R b y

k

( u

j k

) =

b

j k

. S o c o n v e x i t y y i e l d s t h a t a l l b

j l

h a v e t o b e p o s i t i o n e d a t o p o f

k

; i . e . ,

b

j l

k

( u

j l

) , 0 j ; k ; l m . F r o m t h i s w e o b t a i n

b

j j

+ b

k l

b

j k

+ b

j l

; ( 1 4 )

1 0


11/15

w h i c h c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o

k k

b

i

j k

b

i

0 ; ( 1 5 )

b e i n g t r u e f o r 0 j < k m a n d i w i t h i

0

2

B u t h o w t o p r o c e e d w i t h t h e \ h o l e " ? S i n c e a l l t r i a n g u l a t i o n s a r e e q u i v -

a l e n t , t h e r e a r e t w o p o s s i b i l i t i e s t o c a l l c o n v e x : e i t h e r i f t h e r e e x i s t s a

t r i a n g u l a t i o n s u c h t h a t t h e r e s u l t i n g p o l y h e d r o n i s c o n v e x , o r w e w a n t t o

p r o c e s s c o n v e x p o l y h e d r o n s u n d e r a r b i t r a r y t r i a n g u l a t i o n s . T h e r s t w a y

w a s r e c o m m e n d e d b y D a h m e n a n d M i c c h e l l i 3 ] , w h o t h e n p r o v e t h a t t h i s

p r o p e r t y r e m a i n e s v a l i d u n d e r d e g r e e e l a v a t i o n a n d w h o p r o c l a i m e t h a t c o n -

v e x p o l y h e d r o n s i n t h i s r s t s e n s e w o u l d g u a r a n t e e c o n v e x i t y o f t h e B e r n s t e i n

p o l y n o m i a l s , d u e t o t h e u n i f o r m c o n v e r g e n c e o f d e g r e e e l a v a t e d p o l y h e d r o n s

a g a i n s t b

n

. W e s h a l l s e e b e l o w t h a t t h i s d o e s n o t h o l d e v e n f o r m = 3 , a n d

t h a t w e w i l l h a v e t o d e a l w i t h t h e s e c o n d , m u c h m o r e r e s t r i c t i v e f o r m o f a

c o n v e x p o l y h e d r o n t o a v o i d c o n t r a d i c t i o n s .

T o g i v e a c o u n t e r e x a m p l e t o t h e c l a i m i n 3 ] w e w i l l c o n s i d e r t h e c a s e

m = 3 m o r e t h o r o u g h l y w h e r e f o r n = 2 t h e f o l l o w i n g g u r e a p p e a r s :

?

?

?

?

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

?

?

@

@

@

@

?

?

u

1 1

u

3 3

u

2 2

u

0 0

u

0 1

u

0 3

u

0 2

u

1 2

u

1 3

u

2 3

H e r e w e h a v e , w i t h r e s p e c t t o s y m m e t r y , t h r e e p o s s i b i l i t i e s t o t r i a n g u l a t e

t h e \ h o l e " b y i n t r o d u c i n g a n a d d i t i o n a l e d g e , t h a t i s

u

0 1

$ u

2 3

; u

0 2

$ u

1 3

; a n d u

0 3

$ u

1 2

1 1


12/15

C o n v e x i t y w i t h r e s p e c t t o t h e r s t i n t r o d u c e d v e r t e x l e a d s t o

b

0 2

+ b

1 3

b

0 3

+ b

1 2

b

0 1

+ b

2 3

;

w h i c h c a n b e t r a n s f o r m e d i n t h e f o l l o w i n g w a y ( i = ( 2 ; 0 ; : : : ; 0 ) ) :

b

0 2

+ b

1 3

b

0 1

+ b

2 3

;

b

i +

^

e

1

+

^

e

3

? b

i +

^

e

1

b

i +

^

e

2

+

^

e

3

? b

i +

^

e

2

;

1

^

e

3

b

i +

^

e

1

1

^

e

3

b

i +

^

e

2

;

1 3

b

i

2 3

b

i

A p p l y i n g t h i s i d e a t o a l l t r i a n g u l a t i o n s , c o n v e x i t y w i t h r e s p e c t t o t h e r s t

c a s e t u r n s o u t t o b e e q u i v a l e n t t o

1 2

b

i

1 3

b

i

2 3

b

i

; ( 1 6 )

i n t r o d u c i n g a v e r t e x o f t h e s e c o n d t y p e l e a d s t o

1 2

b

i

2 3

b

i

1 3

b

i

; ( 1 7 )

w h i l e t h e l a s t c a s e m e a n s

1 3

b

i

2 3

b

i

1 2

b

i

( 1 8 )

W e n o w c o n s i d e r t h e c o n t r o l p o l y h e d r o n s p a n n e d b y t h e v e r t i c e s

b

( 0 2 0 0 )

= b

( 0 1 1 0 )

= b

( 0 0 2 0 )

= b

( 0 0 1 1 )

= b

( 0 0 0 2 )

= 1

a n d a l l r e m a i n i n g b

i

= 0 . T h i s r e s u l t s i n t h e m a t r i x

=

j k

b

( 2 0 0 0 )

m

j k = 1

=

0

B

@

1 1 0

1 1 1

0 1 1

1

C

A

w h i c h s h o w s t h a t t h e c o n t r o l p o l y h e d r o n s a t i s e s t h e i n e q u a l i t i e s ( 1 5 ) a n d

( 1 7 ) a n d i s t h e r e f o r e c o n v e x w i t h r e s p e c t t o t h e s e c o n d t r i a n g u l a t i o n . A c -

c o r d i n g t o 3 ]

b

2

( u ) =

X

i = 2

b

i

B

2

i

( u )

1 2


13/15

i s a c o n v e x f u n c t i o n .

O n t h e o t h e r h a n d o n e e v a l u a t e s H b

2

] , t o b e e q u a l t o

1

2

; n o t b e i n g

p o s i t i v e s e m i - d e n i t e , s i n c e d e t = ? 1 , i n c o n t r a d i c t i o n t o t h e n e s c e s s a r y

c o n d i t i o n f o r c o n v e x i t y s t a t e d a b o v e . H e n c e i t f o l l o w s , t h a t c o n v e x i t y w i t h

r e s p e c t t o o n e s i n g l e t r i a n g u l a t i o n d o e s n o t l e a d t o c o n s i s t e n t r e s u l t s .

D u e t o t h e s e r e s u l t s w e c a l l a p o l y h e d r o n c o n v e x , i f i t i s c o n v e x w i t h

r e s p e c t t o a l l t r i a n g u l a t i o n s ; t h a t m e a n s , i s c o n v e x i n t h e s e n s e o f ( 1 5 ) a n d

t h e v e r t i c e s o f t h e \ h o l e " a r e c o m p l a n a r i n a n m { d i m e n s i o n a l m e a n i n g ; i . e . ,

t h e s e p o i n t s l i e o n a n m { d i m e n s i o n a l h y p e r p l a n e , t h u s f o r m i n g o n e f a c e o f

, w h i c h s e e m s t o b e a n i c e g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n . I n o t h e r w o r d s , i s

c o n v e x i f a n d o n l y i f t h e i n e q u a l i t i e s

k k

b

i

j k

b

i

0 ( 1 9 )

a n d

j k

b

i

=

k l

b

i

( 2 0 )

h o l d f o r 1 j ; k ; l m a n d i

0

2 , w h e r e ( 2 0 ) i s t h e n u m e r i c a l e x p r e s s i o n

f o r c o m p l a n a r i t y .


m

! R i s s a i d t o b e p o l y h e d r a l l y c o n v e x , i f a l l e v a l u a t i o n

p o l y h e d r o n s =

n

f (

i

n

) : i = n

o

a r e c o n v e x f o r n 1 . U s i n g ( 9 ) o n c e a g a i n ,

w e c a n g i v e t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f p o l y h e d r a l l y c o n v e x f u n c t i o n s :

P r o p o s i t i o n 6 . A C

2

{ f u n c t i o n f : S

m

! R i s p o l y h e d r a l l y c o n v e x i f a n d

o n l y i f t h e i n e q u a l i t i e s

D

k k

f ( u ) D

j k

f ( u ) 0 ( 2 1 )

a n d

D

j k

f ( u ) = D

k l

f ( u ) ( 2 2 )

h o l d f o r 1 j ; k ; l m a n d u 2 S

m

W e n o t i c e t h a t p o l y h e d r a l c o n v e x i t y ( e s p e c i a l l y f o r m 3 ) i s a r a t h e r

r e s t r i c t i v e p r o p e r t y , b u t n e v e r t h e l e s s B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s d o p r e s e r v e i t .

I n d e e d , w e p r o v e i n a n a l o g y t o T h e o r e m 3

T h e o r e m 7 . I f f : S

m

! R i s a p o l y h e d r a l l y c o n v e x f u n c t i o n , t h e n a l l

B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s b

n

f , n 2 N a r e p o l y h e d r a l l y c o n v e x , t o o .

1 3


14/15

L e t u s n a l l y r e m a r k t h a t f r o m t h e p o i n t o f v i e w g i v e n a b o v e , t h e t w o -

d i m e n s i o n a l c a s e , a s d i s c u s s e d i n 1 ] , c a n n o w b e s i m p l y t r a n s f e r r e d t o t h e

m { d i m e n s i o n a l o n e w i t h o u t a n y f u r t h e r d i c u l t i e s . I n d e e d , o n e c a n e a s i l y

s h o w t h a t t h e c o n d i t i o n s s t a t e d i n ( 1 9 ) a n d ( 2 0 ) a r e m o r e t h a n s u c i e n t f o r

t h e p o s i t i v e s e m i - d e n i t e n e s s o f H

i

a n d t h u s f o r t h e c o n v e x i t y o f b

n

x 5

C o n c l u s i o n s

I n t h e p a p e r w e i n c l u d e d t h e n o t i o n o f c o n v e x i t y b e t w e e n t w o o t h e r n o -

t i o n s , o n e s t r o n g e r t h a n c l a s s i c a l c o n v e x i t y , t h e o t h e r o n e w e a k e r , s o t h a t t h e y

a r e a l l e q u i v a l e n t i n t h e u n i v a r i a t e c a s e . W e f u r t h e r s h o w e d t h a t t h e y a r e

p r e s e r v e d b y t h e B e r n s t e i n p o y l n o m i a l s i n t h e m u l t i v a r i a t e c a s e , a c c o r d i n g

t o t h e f o l l o w i n g s c h e m e

f p o l y h e d r a l l y c o n v e x ) c o n v e x ) a x i a l l y c o n v e x ,

+ 6+ +

b

n

f ] p o l y h e d r a l l y c o n v e x ) c o n v e x ) a x i a l l y c o n v e x .

M o r e o v e r , w e w e r e a b l e t o p r o o f o n e f u r t h e r p r o p e r t y o f a x i a l l y c o n v e x

f u n c t i o n s , n a m e l y t h e m o n o t o n y o f s u b s e q u e n t B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s , a s

w e l l a s t o p o i n t o u t s o m e h i d d e n t r a p s i n d i m e n s i o n s l y i n g o u t o f o u r n o r m a l

r a n g e o f i m a g i n a t i o n .

A c k n o w l e g d e m e n t s

T h e a u t h o r w i s h e s t o t h a n k P r o f . B e r e n s a n d P r o f . S c h m i d f o r t h e i r

h e l p f u l s u g g e s t i o n s a n d f o r m a k i n g m e a q u a i n t e d w i t h t h e i r u n p u b l i s h e d

m a n u s c r i p t s .

R e f e r e n c e s

1 ] G . C h a n g a n d P . J . D a v i s . T h e c o n v e x i t y o f B e r n s t e i n p o l y n o m i a l s o v e r

t r i a n g l e s . J . A p p r o x . T h e o r y , 4 0 , 1 9 8 4 .

2 ] G . C h a n g a n d Y . Y . F e n g . A n i m p r o v e d c o n d i t i o n f o r t h e c o n v e x i t y o f

B e r n s t e i n { B e z i e r p a t c h e s . C o m p u t . A i d e d G e o m . D e s i g n , 1 , 1 9 8 4 .

1 4


15/15

3 ] W . D a h m e n a n d C . A . M i c c h e l l i . C o n v e x i t y o f m u l t i v a r i a t e B e r n s t e i n

p o l y n o m i a l s a n d b o x s p l i n e s u r f a c e s . S t u d i a S c i . M a t h . H u n g a r . , 2 3 ,

1 9 8 8 .

4 ] A . D i n g h a s .

U b e r e i n i g e I d e n t i t a t e n v o m B e r n s t e i n s c h e n T y p u s . D e t

K o n e g l i g e N o r s k e V i d e n s k a b e r s S e l s k a b , 2 4 ( 2 1 ) , 1 9 5 1 .

5 ] G . F a r i n . C u r v e s a n d s u r f a c e s i n C A G D . A c a d e m i c P r e s s I n c . , 1 9 8 8 .

6 ] G . G . L o r e n t z . B e r n s t e i n P o l y n o m i a l s . U n i v e r s i t y o f T o r o n t o P r e s s , 1 9 5 3 .

7 ] H . J . S c h m i d . B e r n s t e i n p o l y n o m e . U n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t . 1 9 7 5 .

M a t h e m a t i c a l I n s t i t u t e

U n i v e r s i t y o f E r l a n g e n { N u r e m b e r g

B i s m a r c k s t r . 1

1

2

8 5 2 0 E r l a n g e n , F . R . G .

1 5

multivariate bernstein polynomial and convexity thomas sauer

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