mukavemet-iikompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/bölüm-9... · mukavemet-ii...

124
Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Upload: lengoc

Post on 06-Feb-2018

237 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Mukavemet-II

Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Page 2: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Bölüm 9

Kirişlerin Yer Değiştirmesi

Kaynak: ‘Cisimlerin Mukavemeti’, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

Page 3: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Bu bölümde, kirişlerdeki yer değiştirmenin belirlenmesi ile ilgileneceğiz. Verilen bir yüklemeye maruz bir kirişin maksimum yer değiştirmesini belirlemek özel bir önem taşır. Çünkü bir kirişin tasarımında, genellikle kirişin yer değiştirmesinin izin verilebilir maksimum değeri dikkate alınır. Mesnetlerdeki tepki kuvvetlerinin sayısının bilinmeyenleri belirlemek için mevcut olan denge denklemlerinin sayısını aştığı belirsiz kirişlerin analizinde de yer değiştirme bilgisine ihtiyaç duyulur.

9.1 Giriş

Page 4: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Basit eğilmeye maruz bir prizmatik kiriş, bir çember yayına eğilir. Elastik bölgede, tarafsız yüzeyin eğriliği, M eğilme momenti, E elastisite modülü ve I, kesitin tarafsız eksenine göre eylemsizlik momenti olmak üzere aşağıdaki gibi yazılır.

9.2 Enine Yüklemeye Maruz Bir Kirişin Deformasyonu

Page 5: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

9.2 Enine Yüklemeye Maruz Bir Kirişin Deformasyonu

Bu denklem, Saint Venant ilkesi uygulanabilir olmak koşuluyla, enine yüklemeye maruz bir kiriş için de kullanılabilir. Ancak, eğilme momenti ve tarafsız yüzeyin eğriliği kesitten kesite değişir.

Page 6: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

9.2 Enine Yüklemeye Maruz Bir Kirişin Deformasyonu

M ve dolayısıyla eğrilik, kirişin iki ucunda ve E noktasında sıfırdır. A-E arasında M pozitiftir, kiriş yukarı doğru konkavdır; E-D arasında M negatiftir, kiriş aşağıya doğru konkanvdır. Eğriliğin en büyük değeri, M’nin en büyük olduğu C noktasında ortaya çıkar.

Page 7: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

9.3 Elastik Eğrinin Denklemi

Elastik eğri

Yukarıdaki denklem, bir kirişin ekseni üzerindeki bir Q noktasında ölçülen y yer değiştirmesiyle bu noktanın orijine olan x uzaklığı arasında bir bağıntı kurmak için kullanılabilir. Elde edilecek bağıntı, elastik eğrinin denklemidir.

Page 8: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

9.3 Elastik Eğrinin Denklemi

Bir kirişin ekseni üzerindeki bir Q noktasında ölçülen y yer değiştirmesiyle bu noktanın orijine olan x uzaklığı arasındaki bağıntı, elastik eğrinin denklemidir.

EI eğilme rijitliği olarak bilinir. Prizmatik kiriş halinde sabittir.

Page 9: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

9.3 Elastik Eğrinin Denklemi

Denklemin iki yanı EI ile çarpılıp integre edilebilir.

C1 ve C2 sabitleri, sınır koşullarından belirlenir.

Page 10: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

9.3 Elastik Eğrinin Denklemi

Bu bölümde analizler statikçe belirli kirişlerle sınırlanacaktır. Basit mesnetli ve çıkmalı kirişlerin mesnetlerinde yer değiştirme sıfırdır. Ankastre kirişte ise A’daki yer değiştirme ve eğim sıfırdır. Bu sınır koşullarından C1 ve C2’nin çözülebileceği iki denklem elde edilir.

(a) Basit mesnetli kiriş

(b) Çıkmalı kiriş

(c) Ankastre kiriş

Page 11: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.01

AB ankastre kirişi, düzgün kesitli olup A serbest ucunda bir P yükü taşımaktadır. Elastik eğrinin denklemi ile A’daki yer değiştirmeyi ve eğimi belirleyiniz.

Page 12: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.01

Page 13: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.02

Basit mesnetli prizmatik AB kirişi, birim uzunluk başına düzgün yayılı w yükünü taşımaktadır. Elastik eğrinin denklemini ve kirişin maksimum yer değiştirmesini belirleyiniz.

Page 14: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.02

Page 15: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.02

Page 16: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Şimdiye kadar ele alınan örneklerde kirişte eğilme momenti tek bir serbest cisim diyagramından elde edilebiliyordu. Bunun sonucunda, tüm kirişteki M’yi temsil etmek için x’in tek bir fonksiyonu kullanıldı. Ancak, tekil yükler, mesnetlerdeki tepkiler veya bir yayılı yükteki süreksizlikler eğilme momentinin farklı M(x) fonksiyonları ile temsil edilmesini gerektirir.

Page 17: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.03

Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için D noktasındaki eğim ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Page 18: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.03

Kirişi AD ve DB parçalarına ayırmalı ve bu parçaların her biri için elastik eğriyi tanımlayan y(x) fonksiyonunu belirlemeliyiz.

1. A’dan D’ye (x<L/4).

Page 19: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.03 2. D’den B’ye (x>L/4).

Page 20: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.03 İntegrasyon Sabitlerinin Belirlenmesi.

Page 21: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.03 İntegrasyon Sabitlerinin Belirlenmesi.

Page 22: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.03 İntegrasyon Sabitlerinin Belirlenmesi.

Page 23: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.4 Elastik Eğrinin Yük Dağılımından Doğrudan Belirlenmesi

Elastik eğrinin denkleminin aşağıdaki diferansiyel denklemin iki kere integre edilmesiyle elde edilebildiğini gördük.

Daha önceden, bir kirişin w(x) yükünü taşıdığında, kirişin herhangi bir noktasında dM/dx=V ve dV/dx=-w olduğunu biliyoruz. EI sabit ise:

Page 24: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.4 Elastik Eğrinin Yük Dağılımından Doğrudan Belirlenmesi

Denklemin her iki yanı, EI sabitiyle çarpılır ve ardından dört kere integre edilirse,

Page 25: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.4 Elastik Eğrinin Yük Dağılımından Doğrudan Belirlenmesi

Dört integrasyon sabiti sınır koşullarından belirlenebilir. Burada verilen yöntem, bir yayılı yük taşıyan ankastre veya basit mesnetli kirişlerde etkin şekilde kullanılabilir.

(a) Ankastre kiriş

(b) Basit mesnetli kiriş

Page 26: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.04

Basit mesnetli AB prizmatik kirişi, birim uzunluk başına bir w düzgün yayılı yükünü taşımaktadır. Kirişin elastik eğrisinin denklemini ve maksimum yer değiştirmesini belirleyiniz.

Page 27: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.04

Page 28: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.04

Page 29: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

9.5 Statikçe Belirsiz Kirişler

Serbest cisim diyagramından sadece üç denge denklemi yazılabildiği halde, tepkiler dört tane bilinmeyen içerir. Bu denklemlerden sadece Ax belirlenebildiği için, kiriş statikçe belirsizdir. Statikçe belirsiz bir problemde, tepkiler söz konusu yapının deformasyonları göz önüne alınarak belirlenir.

Page 30: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

9.5 Statikçe Belirsiz Kirişler

Deformasyonların hesabında ortaya çıkan integral sabitleri üç denge denklemi ve yukarıdaki şekilde de verilen sınır koşullarından elde edilir.

Page 31: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.05

Gösterilen prizmatik kirişte mesnetlerdeki tepkileri belirleyiniz.

Page 32: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.05

Denge Denklemleri.

Elastik Eğrinin Denklemi.

Page 33: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.05

Elastik Eğrinin Denklemi.

Page 34: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

9.5 Statikçe Belirsiz Kirişler

Ele alınan önceki örnekte bir tane fazlalık tepki vardı. Karşı gelen kirişin birinci dereceden statikçe belirsiz olduğu söylenir. Kiriş mesnetlerinde iki tane fazlalık tepki bulunursa, kirişe ikinci dereceden belirsiz kiriş denir. Beş tane bilinmeyen tepki olduğu halde, sınır koşullarından dört denklem elde edilir. Beş tepkiyi ve iki integrasyon sabitini belirlemek için toplam yedi denklem vardır.

Sabit uç Sürtünmesiz yüzey

Page 35: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.1

ABC çıkmalı çelik kirişi, C ucunda bir P tekil yükünü taşımaktadır. Kirişin AB kısmı için, (a) elastik eğrinin denklemini elde ediniz, (b) maksimum yer değiştirmeyi belirleyiniz, (c) aşağıda verilen değerleri kullanarak ymaks değerini hesaplayınız.

Page 36: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.1

Serbest Cisim Diyagramı.

Elastik Eğrinin Diferansiyel Denklemi.

Page 37: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.1

Sabitlerin Belirlenmesi.

a. Elastik Eğrinin Denklemi.

Page 38: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.1 b. AB Kısmındaki Maksimum Yer Değiştirme.

dy/dx=0 ise y=ymax olur.

c. ymaks’ın Hesaplanması.

Page 39: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.2

Gösterilen kiriş ve yükleme için, (a) elastik eğrinin denklemini, (b) A ucundaki eğimi, (c) maksimum yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Page 40: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.2 Elastik Eğrinin Diferansiyel Denklemi.

Sınır Koşulları.

Page 41: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.2 Sınır Koşulları.

a. Elastik Eğrinin Denklemi.

b. A Ucundaki Eğim.

c. Maksimum Yer Değiştirme.

Page 42: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.3

Düzgün AB kirişi için, (a) A’daki tepkiyi belirleyiniz, (b) elastik eğrinin denklemini elde ediniz, (c) A’daki eğimi belirleyiniz. (Kirişin birinci dereceden statikçe belirsiz olduğuna dikkat ediniz).

Page 43: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.3 Eğilme Momenti.

Elastik Eğrinin Diferansiyel Denklemi.

Sınır Koşulları.

Page 44: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.3 a. A’daki Tepki Kuvveti.

İkinci denklemi L ile çarpar, elde edilen denklemden üçüncü denklemi çıkarırsak,

RA’yı ikinci denklemde kullanırsak,

b. Elastik Eğrinin Denklemi.

Page 45: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.3

c. A’daki Eğim.

Page 46: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.6 Tekillik Fonksiyonlarının Kullanılması

Eğilme momentini temsil etmek için üç veya daha fazla fonksiyon gerekirse, oldukça uzun hesaplamalara yol açan ek sabitler ve karşılık olarak ek denklemler gerekir. Bu kesimde, bu hesaplamalar tekillik fonksiyonlarının kullanımı ile basitleştirilecektir.

Eğilme momenti tek bir M(x) analitik fonksiyonu ile ifade edilebilirse, integrasyon yöntemi, prizmatik bir kirişte eğim ve yer değiştirmelerin belirlenmesinde etkin olarak kullanılabilir.

Page 47: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.6 Tekillik Fonksiyonlarının Kullanılması

‹› köşeli parantezi x ≥ a olduğunda normal parantez () ile, x < a olduğunda sıfırla değiştirilirse, iki fonksiyon tek bir fonksiyon ile ifade edilebilir. Kesim 5.5’te açıklanan tekillik fonksiyonlarını kullanarak:

Page 48: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.6 Tekillik Fonksiyonlarının Kullanılması

Önceki çözüme göre, C3 ve C4 ek sabitlerine ihtiyaç kalmamıştır. Ayrıca, eğim ve yer değiştirmenin D noktasında sürekli olduğunu ifade eden denklemleri yazmamıza gerek kalmamıştır.

Page 49: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.06

Gösterilen kiriş ve yükleme için, tekillik fonksiyonlarını kullanarak, (a) eğim ve yer değiştirmeyi, A mesnedine olan x uzaklığının fonksiyonları olarak ifade ediniz, (b) D orta noktasındaki yer değiştirmeyi belirleyiniz. E = 200 GPa ve I = 6.87x10-6 m4 alınız.

Page 50: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.06

Page 51: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.06

Page 52: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.4

Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için, (a) elastik eğrinin denklemini, (b) A’daki eğimi, (c) maksimum yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Page 53: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.4

Eğilme Momenti.

a. Elastik Eğrinin Denklemi.

Page 54: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.4

Sınır Koşulları.

Page 55: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.4

b. A’daki Eğim.

c. Maksimum Yer Değiştirme.

Page 56: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Bir kiriş birçok tekil ve yayılı yüke maruz kaldığı zaman, her bir yükün neden olduğu eğim ve yer değiştirmeyi ayrı ayrı hesaplamak genellikle uygun olur. Ardından süperpozisyon ilkesi uygulanarak, yüklere karşı gelen eğim ve yer değiştirme değerleri toplanır ve kombine yüklerden kaynaklanan eğim ve yer değiştirme elde edilir.

9.7 Süperpozisyon Yöntemi

Page 57: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Gösterilen kiriş ve yükleme için, kirişin eğilme rijitliği EI = 100 MN∙m2 olduğuna göre, D’deki eğim ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek 9.07

Page 58: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Kirişin herhangi bir noktasındaki eğim ve yer değiştirme, tekil yük ve yayılı yükün neden olduğu eğim ve yer değiştirmeler süperpoze edilerek elde edilebilir.

Örnek 9.07

Page 59: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.07

Tekil yük çeyrek açıklıkta uygulandığından, Örnek 9.03’teki kiriş ve yükleme için bulunan sonuçlar kullanılabilir.

Page 60: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.07

Düzgün yayılı yük için de 9.02’de elde edilen elastik eğrinin denklemi kullanılabilir.

Page 61: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.07

Tekil ve yayılı yüklerle üretilen eğim ve yer değiştirmeleri birleştirerek sonucu elde ederiz.

Page 62: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Statikçe belirsiz bir kirişin mesnetlerindeki tepkileri belirlemek için, çoğu zaman süperpozisyon yöntemini kullanmak uygun olur. Birinci dereceden belirsiz kiriş halini ele alırsak, tepkilerden birini fazlalık olarak seçeriz ve buna karşılık gelen mesnedi kaldırarak yeniden düzenleriz. Bu şekilde, fazlalık tepki diğer yüklerle birlikte, bir bilinmeyen yük olarak düşünülür. Mesnedin kaldırıldığı noktadaki eğim veya yer değiştirme, verilen yüklerin ve fazlalık tepkinin neden olduğu deformasyonların ayrı ayrı hesaplanması ve sonuçların süperpoze edilmesiyle elde edilir.

9.8 Statikçe Belirsiz Kirişlerde Süperpozisyon Uygulaması

Page 63: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Bu otoyol üst geçidini taşıyan sürekli kiriş üç mesnede sahiptir ve dolayısıyla statikçe belirsizdir.

9.8 Statikçe Belirsiz Kirişlerde Süperpozisyon Uygulaması

Page 64: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için mesnetlerdeki tepkileri belirleyiniz.

Örnek 9.08

Page 65: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

B’deki tepkiyi fazlalık olarak düşünüp, kirişi mesnetten ayırıyoruz. RB tepki kuvveti bir bilinmeyen yük olarak düşünülecek ve kirişin B’deki yer değiştirmesinin sıfır olması koşulundan belirlenecektir.

Örnek 9.08

Page 66: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.08

Kiriş ve Yükleme Elastik Eğri Maksimum Deplasman Uçtaki Eğim Elastik Eğrinin Denklemi

Page 67: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.08

Page 68: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

A sabit ucunda uygulanan kuvvet çiftini fazlalık olarak düşünür ve sabit ucu bir pim ve konsolla değiştirebiliriz. MA kuvvet çifti bir bilinmeyen yük olarak kabul edilip kirişin A’daki eğiminin sıfır olması gerektiği koşulundan belirlenebilir.

Örnek 9.08

Alternatif Çözüm.

Page 69: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Gösterilen kiriş ve yükleme için, B noktasındaki eğim ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek Problem 9.7

Page 70: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Verilen yükleme, aşağıdaki «şekil denklem»de gösterilen yüklemeler süperpoze edilerek elde edilebilir.

Örnek Problem 9.7

Süperpozisyon İlkesi.

Page 71: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Yükleme II için CB kısmında eğilme momenti sıfırdır ve dolayısıyla elastik eğri bir doğrudur.

Örnek Problem 9.7

Page 72: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

B Noktasındaki Eğim.

Örnek Problem 9.7

B Noktasındaki Yer Değiştirme.

Page 73: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Gösterilen düzgün kiriş ve yükleme için, (a) her bir mesnetteki tepkiyi, (b) A ucundaki eğimi belirleyiniz.

Örnek Problem 9.8

Page 74: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

RB tepkisi fazlalık olarak seçilir ve bir bilinmeyen yük olarak kabul edilir. Yayılı yük ve RB tepkisinden kaynaklanan yer değiştirmeler, aşağıda gösterildiği gibi ayrı ayrı ele alınır:

Örnek Problem 9.8

Süperpozisyon İlkesi.

Page 75: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.8

Yayılı Yük.

B Noktasında,

Page 76: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.8

Fazlalık Tepki Yüklemesi.

Page 77: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.8

a. Mesnetlerdeki Tepkiler.

b. A Ucundaki Eğim.

Page 78: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.9 Moment-Alan Teoremleri

Bu kesimde, kirişin belirli bir noktasındaki yer değiştirmesini ve eğimini belirlemek için elastik eğrinin geometrik özelliklerinin nasıl kullanılabileceğini öğreneceğiz.

Bir binanın döşemelerini taşıyan kirişlerin yer değiştirmeleri, tasarım sürecinde dikkate alınmalıdır.

Page 79: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Birinci moment-alan teoremi.

*9.9 Moment-Alan Teoremleri

Keyfi yüklemeye maruz AB kirişi için M/EI diyagramını çizelim.

Denklemin iki yanını C’den D’ye integre edelim:

θD/C = C ve D arasında M/EI diyagramı altında kalan alandır.

Page 80: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Birinci moment-alan teoremi.

*9.9 Moment-Alan Teoremleri

θD/C = C ve D arasında (M/EI) diyagramı altındaki alan

Bu, birinci moment-alan teoremidir. θD/C açısı ve M/EI diyagramı altındaki alan aynı işaretlidir. Pozitif alan (x ekseni üstünde), C’den D’ye doğru gittiğimizde, elastik eğrinin teğetinin saatin tersi yönünde dönmesine karşı gelir.

Page 81: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

İkinci moment-alan teoremi.

*9.9 Moment-Alan Teoremleri

Elastik eğriye P ve P' noktalarında çizilen teğet-lerin C’den geçen düşey doğruyu kestikleri nok-talar, dt uzunluklu bir doğru parçası oluşturur.

tC/D, C’nin D’ye göre teğetsel sapması olarak adlandırılır ve CE uzunluğuna eşittir. Denklemin sağ yanı ise C ve D arasında, M/EI diyagramı altında kalan alanın C’den geçen düşey eksene göre birinci momentine eşittir.

Page 82: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

İkinci moment-alan teoremi.

*9.9 Moment-Alan Teoremleri

Bir alanın bir eksene göre birinci momenti, alanın, alan merkezinin söz konusu eksene olan uzaklığıyla çarpımına eşit olduğundan, ikinci moment-alan teoremi aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

C ve D arasındaki alan

Buradaki alan, M/EI diyagramı altındaki alanı ve 𝑥 1ise alan merkezinin C’den geçen düşey eksene olan uzaklığı gösterir.

Page 83: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

İkinci moment-alan teoremi.

*9.9 Moment-Alan Teoremleri

M/EI diyagramı altındaki alan x ekseninin üst kısmında yer alırsa, bu alanın bir düşey eksene göre birinci momenti pozitif olur.

tC/D, C’nin D’ye göre teğetsel sapması; tD/C, D’nin C’ye göre teğetsel sapması;

C ve D arasındaki alan

C ve D arasındaki alan

Page 84: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.10 Ankastre Kirişlere ve Simetrik Yüklemeli Kirişlere Uygulama

Birinci moment-alan teoremi, elastik eğrinin C ve D noktalarındaki teğetleri arasındaki θD/C açısını tanımlar. θD açısı, yani D’deki eğim, ancak C’deki eğim bilinirse elde edilebilir. Benzer şekilde, ikinci moment-alan teoremi, elastik eğrinin bir noktasının diğer bir noktadaki teğete olan düşey uzaklığını tanımlar. tD/C teğetsel sapması, ancak C’deki teğet bilinirse, D noktasının yerini bulmamızı sağlayacaktır. İki moment-alan teoremi de, ancak elastik eğrinin belli bir referans teğeti belirlendiği takdirde, eğimlerin ve yer değiştirmelerin belirlenmesinde etkin bir şekilde kullanılabilir.

Page 85: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.10 Ankastre Kirişlere ve Simetrik Yüklemeli Kirişlere Uygulama

Bir ankastre kirişte, elastik eğrinin A sabit ucundaki teğeti bilinmekte-dir ve referans teğeti olarak kullanılabilir. θA = 0 olduğundan, kirişin herhangi bir D noktasındaki eğimi θD = θD/A olur ve birinci moment-alan teoreminden elde edilebilir.

Referans teğeti

D’deki teğet

Öte yandan, D noktasının yD yer değiştirmesi, A’daki yatay referans teğetinden ölçülen tD/A teğetsel sapmasına eşittir ve ikinci moment-alan teoreminden elde edilebilir.

Page 86: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.10 Ankastre Kirişlere ve Simetrik Yüklemeli Kirişlere Uygulama

Simetrik yüklemeli basit mesnetli bir AB kirişinde, kirişin C merkezindeki teğet, simetriden dolayı yatay olmalıdır ve referans teğeti olarak kullanılabilir. θC = 0 olduğundan, B mesnedindeki eğim θB = θB/C’dir ve birinci moment-alan teore-minden elde edilebilir. |y|maks ise tB/C teğetsel sapmasına eşittir ve ikinci moment-alan teoreminden elde edilebilir. Ayrıca, yD= tB/C - tD/C olur. Referans teğeti

Referans teğeti

Yatay

Page 87: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

AB prizmatik ankastre kirişinin eğilme rijitliği EI = 10 MN∙m2 olduğuna göre, kiriş gösterildiği gibi yüklendiğinde, B ucundaki eğimi ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek 9.09

Page 88: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.09

Page 89: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.09

Referans teğeti

Page 90: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.11 Parçalı Eğilme-Momenti Diyagramları

Bazı durumlarda, θD/C açısının ve tD/C teğetsel sapmasının belirlenmesi, her bir yükün etkisi bağımsız olarak hesaplandığında basitleşir. Her bir yük için ayrı bir M/EI diyagramı çizilir ve diyagramlar altındaki alanların cebirsel olarak toplanmasıyla θD/C açısı elde edilir. Benzer şekilde, bu alanların D’den geçen düşey eksene göre birinci momentleri toplanarak, tD/C teğetsel sapması elde edilir. Bu yolla çizilen bir eğilme momenti veya M/EI diyagramının parçalı çizildiği söylenir.

Page 91: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Şekil Alan

Dikdörtgen

Üçgen

Parabolik Alan

Kübik Alan

Genel Alan

*9.11 Parçalı Eğilme-Momenti Diyagramları

Parçalı diyagramlardaki alanlar dikdörtgen, üçgen, parabolik alan gibi basit geometrik şekillerden oluşur.

Page 92: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

AB prizmatik ankastre kirişinin eğilme rijitliği EI = 10 MN∙m2 olduğuna göre, kiriş gösterildiği gibi yüklendiğinde, B ucundaki eğimi ve yer değiştirmeyi parçalı eğilme-momenti diyagramını çizerek belirleyiniz.

Örnek 9.10

Page 93: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.10

Page 94: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.10

Page 95: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Gösterilen AB prizmatik kirişi ve yükleme için, bir mesnetteki eğimi ve maksimum yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek 9.11

Page 96: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.11

Referans teğeti

Page 97: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.11

Referans teğeti

Page 98: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

AD ve DB prizmatik çubukları kaynaklanarak ADB ankastre kirişi oluşturulmuştur. Kirişin AD kısmının eğilme rijitliği EI ve DB kısmınınki 2EI olduğuna göre, gösterildiği gibi yüklenen kirişin A ucundaki eğim ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek Problem 9.10

Page 99: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.10

Önce kirişin eğilme momenti diyagramını çizeriz. Ardından, kirişin her bir noktasındaki M değerini, eğilme rijitliğinin karşı gelen değeriyle bölerek M/EI diyagramını elde ederiz.

M/EI Diyagramı.

Referans Teğeti. Referans teğeti

Page 100: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.10 A’daki Eğim.

A’daki Yer Değiştirme.

Page 101: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için, E ucundaki eğim ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek Problem 9.11

Page 102: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.11

Serbest cisim diyagramından tepkileri belirleyip kesme kuvveti ile eğilme momenti diyagramlarını çizeriz. M’nin her değerini EI ile bölerek M/EI diyagramını elde ederiz.

M/EI Diyagramı.

Referans Teğeti.

Referans teğeti

Page 103: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.11

E’deki Eğim.

Page 104: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.11

E’deki Yer Değiştirme.

Page 105: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.12 Yüklemesi Simetrik Olmayan Kirişlere Moment-Alan Teoremlerinin Uygulanması

Bir basit mesnetli veya çıkmalı kiriş simetrik olmayan bir yük taşıdığında, teğetin yatay olduğu kiriş noktasını gözlemle belirlemek genellikle mümkün değildir.

Referans teğetini, kiriş mesnetlerinden birinde seçmek genellikle en uygun olanıdır. Basit mesnetli AB kirişinin A mesnedini ele alalım. B mesnedinin A’ya göre tB/A teğetsel sapmasını hesaplarız ve tB/A’yı, mesnetler arasındaki L mesafesiyle bölerek bu teğetin eğimini hesaplarız. Referans

teğeti

Page 106: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.12 Yüklemesi Simetrik Olmayan Kirişlere Moment-Alan Teoremlerinin Uygulanması

Referans teğetinin eğimi bulunduktan sonra, kirişin herhangi bir D noktasındaki θD eğimini belirlemek için birinci moment alan teoremi kulanılarak θD/A elde edilir ve θD aşağıdaki gibi hesaplanır.

Referans teğeti Referans

teğeti

Page 107: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.12 Yüklemesi Simetrik Olmayan Kirişlere Moment-Alan Teoremlerinin Uygulanması

D’nin A mesnedine göre tD/A teğetsel sapması, ikinci moment-alan teoreminden belirlenebilir.

Referans teğeti

Referans teğeti

tD/A, ED doğru parçasına eşittir ve D’nin referans teğetine olan düşey uzaklığını temsil eder. Öte yandan, D noktasının yD yer değiştirmesi, D’nin AB yatay doğrusuna olan düşey uzaklığını temsil eder.

Page 108: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.12 Yüklemesi Simetrik Olmayan Kirişlere Moment-Alan Teoremlerinin Uygulanması

yD, FD’ye eşit olduğundan EF ve ED farkı olarak ifade edilebilir. AFE ve ABH benzer üçgenlerinden,

Page 109: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için, D noktasındaki eğimi ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek 9.12

Page 110: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.12

A Mesnedindeki Referans Teğeti.

Referans teğeti

Page 111: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.12

D’deki Eğim.

D’deki Yer Değiştirme.

Referans teğeti

Page 112: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.13 Maksimum Yer Değiştirme

Bir basit mesnetli veya çıkmalı kiriş simetrik olmayan bir yük taşıdığında, maksimum yer değiştirme genellikle kirişin merkezinde oluşmaz. Bu durum, üzerinden araç geçen köprülerin kirişlerinde geçerlidir.

Page 113: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.13 Maksimum Yer Değiştirme

Kirişin maksimum yer değiştirmesini belirlemek için, kirişin teğetinin yatay olduğu K noktasının yerini saptamalı ve bu noktadaki yer değiştirmeyi hesaplamalıyız. Analiz, mesnetlerden birindeki referans teğeti belirleyerek başlamalıdır.

K noktası, birinci moment-alan teoremi kullanılarak M/EI diyagramının altındaki alandan hesaplanabilir. |y|maks, A ve K arasında kalan alanın A’dan geçen düşey eksene göre birinci momentine eşittir.

Referans teğeti

Page 114: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için, maksimum yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek 9.13

Page 115: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.13

Eğimin Sıfır Olduğu K Noktasının Belirlenmesi.

A’daki eğimi daha önceki örneklerimizden biliyoruz.

Page 116: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.13

Maksimum Yer Değiştirme.

Page 117: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

*9.14 Statikçe Belirsiz Kirişlerde Moment-Alan Teoremlerinin Kullanılması

Kirişin iki ayrı serbest cisim diyagramı çizilir. Biri verilen yükleri ve kaldırılmamış mesnetlerdeki karşı gelen tepkileri gösterir; diğeri fazlalık tepkiyi ve aynı mesnetlerdeki karşı gelen tepkileri gösterir. İki yüklemenin her biri için bir M/EI diyagramı çizilir ve ikinci moment-alan teoremi kullanılarak istenen teğetsel sapmalar elde edilir. Sonuçlar süperpoze edilerek gerekli uygunluk koşulu ifade edilir ve fazlalık tepki belirlenir. Tepkiler belirlendikten sonra, kirişin herhangi bir noktasındaki eğim ve yer değiştirme, moment-alan yöntemleri ile elde edilebilir.

Page 118: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için, mesnetlerdeki tepkileri belirleyiniz.

Örnek 9.14

Page 119: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.14

A sabit ucunda uygulanan kuvvet çiftini fazlalık olarak düşünür ve sabit ucu bir pim ve bir konsol mesnetle değiştiririz. Artık MA kuvvet çifti, bilinmeyen bir yük olarak kabul edilir ve kirişin A’daki teğetinin yatay olması gerektiği koşulundan belirlenir. Bu teğet, B mesnedinden geçmelidir, tB/A=0. w ve MA’nın oluşturduğu teğetsel sapmalar ayrı ayrı hesaplanır.

Page 120: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Sonra, karşı gelen M/EI diyagramlarını çizeriz. Parabolün alanı:

Örnek 9.14

Önce bilinen w yayılı yüküne maruz kirişin serbest cisim diyagramını çizer ve tepkileri belirleriz.

Page 121: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek 9.14

Daha sonra, bilinmeyen kuvvet çiftine maruz kirişin serbest cisim diyagramı çizilir ve tepkiler belirlenir.

Page 122: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.12

Gösterilen kiriş ve yükleme için, (a) A ucundaki yer değiştirmeyi belirleyiniz, (b) aşağıdaki değerleri kullanarak yA’yı hesaplanyınız.

Page 123: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.12

Referans teğeti

M/EI Diyagramı.

B’deki Referans Teğeti.

Page 124: Mukavemet-IIkompozit.balikesir.edu.tr/wp-content/uploads/2015/10/Bölüm-9... · Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın ... Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. Gösterilen kiriş ve yükleme

Örnek Problem 9.12

Referans teğeti

a. A Ucundaki Yer Değiştirme.

b. yA’nın Hesaplanması.