Mukavemet-IIPROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN

KAYNAK KİTAPLAR

Mukavemet

Mehmet H. OMURTAG

Cisimlerin Mukavemeti

F.P. BEER, E.R. JOHNSTON

Mukavemet-2

Prof.Dr. Onur SAYMAN,

Prof.Dr. Ramazan Karakuzu

SİMETRİK OLMAYAN (EĞİK) EĞİLME

1

Kirişe etki eden kuvvetlerin veya kuvvet çiftlerinin, kiriş simetri eksenlerinden birisiyle veya asal ataleteksenlerinden biriyle çakışması durumuna ’Simetrik (basit) eğilme’ denilmektedir.

Eğer kuvvet veya kuvvet çiftleri, kirişin simetri eksenleri veya asal atalet eksenlerinden herhangi biriyleçakışmıyorsa ’Simetrik olmayan (eğik) eğilme’ denilmektedir.

Atalet MomentleriBir kesitin eksenlerine göre atalet momentleri;

Paralel eksen teoremi

Asal Atalet Eksenleri

Çarpım atalet momentinin sıfır olduğu birbirine dik öyle iki eksen vardır ki, bu eksenlerde ataletmomentleri maksimum ve minimum değerlerini alır. Bu eksenlere asal atalet eksenleri adı verilir.

Örnek : Aşağıda verilen kesitte; a) ağırlıkmerkezinin koordinatlarını, b) ağırlık merkezinden geçen eksenleregöre atalet momentlerini, c) asal atalet momentlerini ve eksenlerini bulunuz.

Eşlenik Eksenler

Simetrik Olmayan Eğilme

Keyfi şekilli yanda görülen bir kesitintarafsız ekseninin hangi koşullar altında bukesite etkiyen kuvvet çiftinin (M) ekseniyleçakıştığını belirlemek istersek;

Bunun için yandaki kesitte kuvvet ve kuvvetçiftleri için aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.

Buradan kesitin tarafsız ekseni ancak ve ancak M kuvvet çifti kesitin asal atalet eksenlerinden biri boyuncayönlenmişse çarpım atalet momenti sıfır olur sonucunu ortaya çıkarır.

Kirişe etki eden kuvvetlerin veya kuvvet çiftlerinin, kiriş simetri eksenlerinden birisiyle veya asal ataleteksenlerinden biriyle çakışması durumun da ’Simetrik (basit) eğilme’ oluştuğu daha evvel bahsedilmişti.Böyle bir durumda gerilme dağılımları;

Aşağıdaki şekilden görüleceği gibi bir kesitin düşeydüzlemiyle q açısı yapan düzlem içinde etkiyen kuvvetçiftinin (M) simetrik olmayan eğilme durumuoluşturacağı açıktır. Çünkü bu moment vektörü nesimetri ekseninde nede asal eksenlerden biridoğrultusunda etki etmemektedir.

Bununla birlikte bu M momentinin y ve z eksenlerinegöre oluşturacağı My ve Mz momentleri simetriekseninde veya asal atalet eksenlerinde etkiyeceğiaşikardır. Bu durumda bu iki bileşenin ayrı ayrıoluşturacağı gerilmeler süperpozisyon ilkesi ile biraraya getirilebilir.

A

= +

A

Yukarıdaki T kesitin A noktasındaki gerilmeyi yazarsak;

Yukarıda elde edilen denklem y ve z asal eksenleri belirledikten sonra simetrik olmayan kesitlerdekigerilmeleri belirlemekte de kullanılabilir. Bu denklem ayrıca simetrik olmayan eğilmenin neden olduğugerilme dağılımlarının lineer olduğunu gösterir. Kesitin tarafsız ekseni, genellikle eğilme çiftinin ekseniyleçakışmaz.

Iy ve Iz asal atalet momentlerinin ikisi de pozitif olduğundan, q ve f ‘nin işaretleri aynıdır. Ayrıca,

iken, ve iken dir. Buna göre tarafsız eksen daima Mmomenti ile

minimum eylemsizlik momentine karşılık gelen asal eksen arasında yer alır.

Normal gerilme tarafsız eksenin her noktasında sıfır olduğundan, bu ekseni tanımlayandenklem aşağıdaki şekilde elde edilir.

Örnek : 180 N.m’lik bir kuvvet çifti, düşeyle 30o ‘lik bir açı yapan bir düzlemde dikdörtgen kesitli bir ahşapkirişe uygulanmaktadır. a) Kirişteki maksimum gerilmeyi, b) tarafsız yüzeyin yatay düzlemle yaptığı açıyıbulunuz.

Mz= 180.cos 30o = 155,9 N.m

My= 180.sin 30o = 90 N.m

Iy= (1/12).0,09.0,043 = 0,48x10-6m4

Iz= (1/12).0,04.0,093 = 2,43x10-6m4

En büyük gerilme A noktasında oluşacaktır.

Tarafsız düzlem;

Örnek : Kesiti aşağıda gösterilen kirişe, düşeyle b = 20o ‘lik bir açı yapan bir düzlemde M = 1 kN.m ‘lik birkuvvet çifti etki etmektedir. a) A, B ve D noktalarındaki gerilmeyi, b) tarafsız yüzeyin yatay düzlemle yaptığıaçıyı bulunuz.

Dış Merkezli Eksenel Yüklemenin Genel Hali

Tarafsız düzlem;

Örnek : Kısa bir W150x24 çekme çelik elemana şekilde görüldüğü gibi 50 kN büyüklüğünde P kuvveti etkietmektedir. Maksimum basınç gerilmesinin 90 MPa aşmayacak şekilde en büyük a mesafesini belirleyiniz.

Iz= 13,4x106mm4, Iy= 1,83x10

6mm4 , A= 3060 mm2

Örnek. Düşey bir düzlemde etkiyen, büyüklüğüMo=1,5 kN.m olan bir kuvvet çifti gösterilen Z şekilli kesitesahip bir kirişe uygulanmaktadır. a) A noktasındaki gerilmeyi, b) Tarafsız eksenin yatay eksenle yaptığıaçıyı belirleyiniz.