muha protuha a

Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci

Graevinska statika IPripremila: Maja Gadea, dipl. ing. gra.

2009/10Dodatni zadaci uz vjebe

SadrajZadada 1 osnovni pojmovi o stabilnosti krutog tijela ............................................................. 3 Zadada 2 sloeni sustavi krutih tijela ....................................................................................... 5 Zadada 3 princip virtualnog rada ............................................................................................. 7 Zadada 4 utjecajne linije na grednim sustavima ..................................................................... 9 Zadada 5 utjecajne linije na reetkama ................................................................................. 15 Zadada 6 vjeba za 1. kolokvij crtanje momentnih dijagrama ........................................... 20 Zadada 7 sloeni reetkasti sustavi........................................................................................ 22 Zadada 8 virtualni rad ............................................................................................................ 24 Zadada 9 ovjeeni i razuprti sustavi....................................................................................... 25 Zadada 10 Zadada 11 Zadada 12 Zadada 13 Zadada 14 Zadada 15 deformacije mohrova analogija ...................................................................... 27 deformacije metoda jedinine sile .................................................................. 32 deformacije metoda jedinine sile .................................................................. 34 deformacije na reetkama metoda jedinine sile ........................................... 35 deformacije na reetkama metoda jedinine sile ........................................... 36 deformacije trozglobnih sustava metoda jedinine sile ................................. 37

Graevinska statika I ak. god. 2009/10

2

Zadala: Maja Gadea, dipl.ing. gra.

ZADADA 1

OSNOVNI POJMOVI O STABILNOSTI KRUTOG TIJELA

DODATNI ZADATAK ZA 1. GRUPU

Odrediti reakcije oslonaca nosaa. F = 50 kN, q = 10 kN/m.

q F3,0 4,0 2,0


Odrediti reakcije oslonaca nosaa. M = 20 kNm, q = 10 kN/m.

M q4,0

4,0

6,0

4,0


3



Odrediti reakcije oslonaca nosaa. q = 10 kN/m.

q4,0

3,0

5,0


Odrediti reakcije oslonaca nosaa. F = 50 kN.

F60 1,5 1,5

3,0

3,0

4,0


4


ZADADA 2

SLOENI SUSTAVI KRUT IH TIJELA


Nacrtati N, V i M dijagrame na sustavu. F = 80 kN, q = 15 kN/m', w = 10 kN/m'.

q

w

1,0

3,0

3,0

3,0


Nacrtati N, V i M dijagrame na sustavu. H = 50 kN, q = 12 kN/m', w = 10 kN/m'.

q H

w

2,0

3,0

1,0

4,0


5,05 Zadala: Maja Gadea, dipl.ing. gra.


Nacrtati N, V i M dijagrame na sustavu. q = 10 kN/m', w = 5 kN/m'.

w

2,0

4,0

3,0


Nacrtati N, V i M dijagrame na sustavu. H = 60 kN, q = 10 kN/m', w = 15 kN/m'.

q H

4,0

w

3,0

3,0

3,0


6


4,0

ZADADA 3

PRINCIP VIRTUALNOG RADA


Pomodu principa virtualnog rada pronadi vrijednosti i nacrtati dijagram momenata savijanja na sustavu. H = 80 kN, q = 15 kN/m', M = 100 kNm.

q H4,0

M3,0 3,0 2,0 3,0


Pomodu principa virtualnog rada pronadi vrijednosti i nacrtati dijagram momenata savijanja na sustavu. F = 150 kN, q = 15 kN/m', M = 100 kNm.

F M

q

3,0

3,0

2,0

3,0


7


4,0



F M4,0

3,0

3,0

3,0

2,0

2,0

2,0



q M H2,0

4,0

4,0

2,0

2,0


8


2,0

ZADADA 4

UTJECAJNE LINIJE NA GREDNIM SUSTAVIMA

ZADATAK 4.2. DODATNI ZADATAK S OBJANJENJEM PRINCIPA

Pronadi utjecajnu liniju za reakciju u leaju B i moment savijanja u toki D na zadanom sustavu koristedi se kinematikom metodom. Za zadanu shemu opteredenja odrediti najvede vrijednosti reakcije u leaju B i momenta savijanja u toki D. P = 100 kN.

P P PA B D C1,5 1,5

4,0

3,0

3,0

5,0

Utjecajna linija na statiki odreenom sustavu za neku reakciju ili unutarnju silu jednaka je liniji pomaka mehanizma s jednim stupnjem slobode koji nastaje oslobaanjem odgovarajude vanjske ili unutarnje veze, ako je na mjestu i u smjeru suprotnom od dogovornog pozitivnog smjera djelovanja sile zadan jedinini pomak.

Dakle, nepoznate presjene sile nanosimo ovako: Pozitivan virtualni rad osloboene veliine = negativna utjecajna linija i obrnuto Pronaimo utjecajnu liniju za reakciju B i njenu najvedu vrijednost s obzirom na zadanu shemu opteredenja.1,5 1,5

P P P

A

1

2

3

B

+

D

C

C

4,0

3,0

3,0

5,0


9


Na mjestu leaja iznad kojeg traimo reakciju (leaj B) nanosimo jedinini pomak usmjeren suprotno od pozitivnog smjera reakcije. Virtualni rad koji nepoznata sila vri na pomaku jest negativan, dakle utjecajna linija je pozitivna. Vrijednost najvede reakcije dobije se tako da se shema opteredenja postavi iznad toke u kojoj utjecajna linija za reakciju dobiva najvedu vrijednost i to tako da jedna od sila bude tono iznad najvede ordinate, 2.

P P P

1,5

1,5

A

1

2

3

B

+

D

C

C

4,0

3,0

3,0

5,0

Vrijednosti ordinata odrede se iz geometrije sustava, uzimajudi u obzir da ovakvi mehanizmi imaju po jedan stupanj slobode, pa ako je C kut zaokreta kod leaja C (najdesniji leaj) slijedi:

Pa dobivamo:


10


Pronaimo utjecajnu liniju za moment u presjeku D i njegovu najvedu vrijednost s obzirom na 1,5 1,5 1,5 1,5 zadanu shemu opteredenja.

A

1

-

M3 2 B

D,L

M

D,D

BB 4 B

D

C6 C C

+5

3,0

4,0

3,0

3,0

5,0

Na mjestu presjeka D nanosimo jedinini pomak usmjerenu suprotno od pozitivnog smjera momenta (na slici je ucrtan negativan smjer momenta). Da bi pomak bio jedinian, zbroj kutova C i B mora biti jednak 1, a to se postie na slijededi nain: Udaljenost od presjeka D do leaja B prenesemo na pravac vertikalno ispod leaja B. Spojimo s leajem C i tako smo konstruirali kut C, iji tangens iznosi 3/(3+5). Analogno tome konstruiramo kut B, pa dobivamo da njegov tangens iznosi 5/(3+5). Na taj nain zbroj tangensa kutova (odnosno samih kutova) jest 1. Virtualni rad koji nepoznata sila vri na ovakvom pomaku jest negativan, dakle na ovom segmentu (izmeu leaja B i C) utjecajna je linija pozitivna, a s druge strane negativna.

1,5

1,5

1,5

1,5

A

1

-

M3 2 B

D,L

M

D,D

BB 4 B

D

C6 C C

+5

3,0

4,0

3,0

3,0

5,0


11


5,0

5,0

Vrijednost apsolutno najvedeg momenta dobije se tako da se shema opteredenja postavi iznad toke u kojoj utjecajna linija za reakciju dobiva najvedu vrijednost i to tako da jedna od sila bude tono iznad najvede ordinate.

Ili

Prije toga moramo pronadi najvedu ordinatu:

Iz ega zakljuujemo da je najvedi moment u presjeku D po apsolutnoj vrijednosti za sluaj kada se pokretni teret nalazi na 4,0 m od leaja A.


12



Pronadi utjecajnu liniju za moment i transverzalnu silu u presjeku D na zadanom sustavu koristedi se kinematikom metodom. Za zadanu shemu opteredenja odrediti najvede vrijednosti tih veliina. P = 100 kN.

3,0

P P PD B C4,0 4,0 1,5 1,5

A3,0 4,0


Pronadi utjecajnu liniju za moment i transverzalnu silu u presjeku D na zadanom sustavu koristedi se kinematikom metodom. Za zadanu shemu opteredenja odrediti najvede vrijednosti tih veliina. P = 100 kN.

3,0

PPPD B C5,0 2,0 2,0 1,0 1,0

A2,0 4,0


13



Pronadi utjecajnu liniju za moment u presjeku E i reakciju leaja A na zadanom sustavu koristedi se kinematikom metodom. Za zadanu shemu opteredenja odrediti najvede vrijednosti tih veliina. P = 150 kN.

2,0

PPPE C6,0 1,0 1,0

A3,0 3,0 3,0

B


Pronadi utjecajnu liniju za moment u presjeku E i reakciju leaja A na zadanom sustavu koristedi se kinematikom metodom. Za zadanu shemu opteredenja odrediti najvede vrijednosti tih veliina. P = 200 kN.

2,0

PPPB4,0 2,0 1,0 1,0

A2,0 6,0

E

C


14


ZADADA 5

UTJECAJNE LINIJE NA REETKAMA

ZADATAK 5.3. DODATNI ZADATAK: K REETKA

Pronadi sile u oznaenim tapovima za zadana opteredenja. H = 50 kN, F = 60 kN.

F2,0

H A3,0 3,0

Bx2,0 3,0

ByReakcije A = - 10 kN By = 70 kN Bx = 50 kN Sile u tapovima izdvajamo vor B:

S1 ByGraevinska statika I ak. god. 2009/10

S2 BxRjeavanjem sustava jednadbi dobijemo sile: S1 = -91,68 kN (tlak), S2 = 15 kN (vlak)

15

4,0Zadala: Maja Gadea, dipl.ing. gra.

2,0

Sile u tapovima Ritterova metoda presjeka K reetku treba presijedi na slijededi nain:

Da bi dobili sile u oznaenim tapovima presjedi demo reetku na ovaj nain. Donji kosi tap takoer treba uzeti u obzir!

F2,0

H

3,0

3,0

2,0

3,0

Pa nakon presjeka imamo slijedede:Graevinska statika I ak. god. 2009/10 16 Zadala: Maja Gadea, dipl.ing. gra.

4,0

2,0

FR32,0

S6 S5 S4

2,0

103,0 3,0

R6 91,68

S3

Da bi dobili silu S6 postavljamo sumu momenata oko Ritterove toke za tu silu, R6.

S6 = 15 kN (vlak) Da bi dobili silu S3 postavljamo sumu momenata oko Ritterove toke za tu silu, R3.

S3 = 26 kN (vlak)


17



Pronadi utjecajne linije za sile u oznaenom tapu za sluaj da je kolnika konstrukcija u razini donjeg pojasa reetke.

3,0

3,0

3,0

3,0



4,0

4,0

3,0

3,0

4,0


18


4,0



3,0

3,0

3,0



2,04,0 4,0 4,0Graevinska statika I ak. god. 2009/10 19 Zadala: Maja Gadea, dipl.ing. gra.

3,0

ZADADA 6

VJEBA ZA 1. KOLOKVIJ CRTANJE MOMENTNIH DIJAGRAMA


Nacrtati N, V i M dijagrame na sustavu. H = 80 kN, q = 15 kN/m'

1,0

q4,0

H2,02,0 5,0 2,0 2,0DODATNI ZADATAK ZA 2. GRUPU

Nacrtati N, V i M dijagrame na sustavu. F = 80 kN, H = 50 kN, q = 12 kN/m'.

F q H2,0 2,01,5 4,0 3,0 2,5Graevinska statika I ak. god. 2009/10

5,0

20



Nacrtati N, V i M dijagrame na sustavu. F = 100 kN, q = 10 kN/m'.

F1,0

q6,02,0 5,0 2,0 2,0


Nacrtati N, V i M dijagrame na sustavu. H = 60 kN, F = 100 kN, q = 10 kN/m'.

F q H2,0

2,5

3,0

4,0

1,5


2,0

5,0

21


ZADADA 7

SLOENI REETKASTI SUSTAVI


Pronadi sile u oznaenim tapovima za zadano opteredenje. H = 80 kN, F = 100 kN.

F2,0

F2,0

4,0

H

1,5

3,0

3,0

3,0

3,0

3,0



F2,0

F

H

2,0

2,0

2,0

3,0

3,0

3,0

3,0

3,0

1,5


22


4,0

2,0



F

F

H3,02,0 2,5 2,5 2,0 3,0 3,0 2,0



F

F

H3,02,0 3,0 3,0 2,0 2,5 2,5 2,0


23


3,0

3,0

3,0

3,0

ZADADA 8

VIRTUALNI RAD

Zadan je sustav:

FC G D E

q HB

6,0

A 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0


Pronadi vrijednost RAy metodom virtualnog rada.


Pronadi vrijednost MD metodom virtualnog rada.


Pronadi vrijednost MF metodom virtualnog rada.


Pronadi vrijednost MEdesno metodom virtualnog rada.


24


ZADADA 9

OVJEENI I RAZUPRTI SUSTAVI


Pronadi utjecajne linije za rezne sile u oznaenim presjecima na zadanom ovjeenom sustavu.

P

2,0

1,0 1,5

2,5

2,5

1,5 1,0

2,0


Pronadi utjecajne linije za rezne sile u oznaenim presjecima na zadanom razuprtom sustavu.

P

1,0

4,0

2,0

1,0 1,5

2,5

2,5

1,5 1,0

2,0


25


4,0

1,0


Pronadi utjecajne linije za rezne sile u oznaenim presjecima na zadanom ovjeenom sustavu.

P

1,5

2,0

1,0 1,5

2,5

2,5

1,5 1,0

2,0


Pronadi utjecajne linije za rezne sile u oznaenim presjecima na zadanom razuprtom sustavu.

P

1,0

4,0

2,0

1,0 1,5

2,5

2,5

1,5 1,0

2,0


26


4,0

ZADADA 10

DEFORMACIJE MOHROVA ANALOGIJA

ZADATAK 10.2 DODATNI ZADATAK

Grafoanalitikim postupkom odrediti deformacijsku liniju zadanog sustava.

F2A

MB G

F7C

13,0

23,0

33,0

43,0

53,0

63,0

73,0

8

60 cm

F2 = 60kN, F7 = 90 kN, M = 120 kNm40 cm

E = 30 000 MPa Greda 1-5 presjek A Greda 5-8 presjek B

30 cm

30 cm

AKrutosti presjeka Greda 1-5: Greda 5-8:

B

Reakcije


27


Dijagram momenata savijanja

-210 -901 2 3

-

4

-

5

6

7

8

+ 503,0 3,0 3,0 3,0 3,0

+ 1803,0 3,0

Fiktivna greda1 2 3 4 5 6 7 8

3,0

3,0

3,0

3,0

3,0

3,0

3,0

Fiktivno opteredenje je dijagram momenata savijanja podijeljen s krutodu promatranog elementa: Paziti na krutosti! Gredi 1-5 odgovara razliita krutost nego gredi 5-8! Fiktivna greda optereena fiktivnim optereenjem

180/EIB 50/EIA1 2

D

3

4

5

6

7

8

A

90/EIA3,0 3,0 3,0 3,0

G

C

3,0

3,0

3,0

210/EIAGraevinska statika I ak. god. 2009/10 28 Zadala: Maja Gadea, dipl.ing. gra.

Rezultante fiktivnih kontinuiranih (trokutnih) optereenja po segmentima greda

Fiktivne reakcije

Fiktivni momenti u karakteristinim tokama

Fiktivni momenti odgovaraju progibima u odgovarajudim tokama!


29




F3

F5

13,0

23,0

33,0

43,0

53,0

63,0

7

80 cm

F3 = 100 kN, F5 = 50 kN60 cm

E = 30 000 MPa Grede 1-2 i 6-7 presjek A Greda 2-6 presjek B

40 cm

40 cm

ADODATNI ZADATAK ZA 2. GRUPU

B


F2

F4

13,0

23,0

33,0

43,0

53,0

63,0

7

80 cm

F2 = 100 kN, F4 = 50 kN60 cm


40 cm

40 cm

A

B


30




F3

F6

13,0

23,0

33,0

43,0

53,0

63,0

73,0

8

60 cm

F3 = 90 kN, F6 = 90 kN40 cm


30 cm

30 cm


B


F1

F4

13,0

23,0

33,0

43,0

53,0

6

E = 30 000 MPa Greda 1-4 presjek A Greda 4-6 presjek B30 cm 30 cm

A

BZadala: Maja Gadea, dipl.ing. gra.


31

40 cm

F1 = 60 kN, F4 = 90 kN

60 cm

ZADADA 11

DEFORMACIJE METODA JEDININE SILE


Metodom jedinine sile odrediti pomake u tokama 2 i 6.

F3

F5

13,0

23,0

33,0

43,0

53,0

63,0

7

80 cm

F3 = 100 kN, F5 = 50 kN60 cm


40 cm

40 cm


B


F2

F4

13,0

23,0

33,0

43,0

53,0

63,0

7

80 cm

F2 = 100 kN, F4 = 50 kN60 cm

E = 30 000 MPa Grede 1-2 i 6-7 presjek A Greda 2-6 presjek BZadala: Maja Gadea, dipl.ing. gra.

40 cm

40 cm

AGraevinska statika I ak. god. 2009/10

B

32



F3

F6

13,0

23,0

33,0

43,0

53,0

63,0

73,0

8

60 cm

F3 = 90 kN, F6 = 90 kN40 cm


30 cm

30 cm


B


F1

F4

13,0

23,0

33,0

43,0

53,0

6

E = 30 000 MPa Greda 1-4 presjek A Greda 4-6 presjek B30 cm 30 cm

A

BZadala: Maja Gadea, dipl.ing. gra.


33

40 cm

F1 = 60 kN, F4 = 90 kN

60 cm

ZADADA 12

DEFORMACIJE METODA JEDININE SILE

DODATNI ZADATAK ZA SVE GRUPE

Na zadanom sustavu odrediti horizontalni pomak toke D. w = 10 kN/m', EI1 = 2EI2

C

(2)

D

w

(1)

(1)

A

B

9,0


34


6,0

ZADADA 13

DEFORMACIJE NA REETKAMA METODA JEDININE SILE


Odrediti horizontalni i vertikalni pomak vora C zadane reetke. Svi tapovi su kvadratnog presjeka stranice 5,0 cm. H = 60 kN, E = 210 GPa

H2,0

C

2,0

A3,0 3,0

B


35


ZADADA 14

DEFORMACIJE NA REETKAMA METODA JEDININE SILE


Na zadanom sustavu izraunati pomak toke C. F = 100 kN.

3,0

FC

3,0

3,0


36


ZADADA 15

DEFORMACIJE TROZGLOBNIH SUSTAVA METODA JEDININE SILE


Na zadanom sustavu odrediti vertikalni pomak toke G. q = 12 kN/m'.q

C

(2)

G

(2) (1)

D

(1)

B

A

4,5

4,5


37

3,0Zadala: Maja Gadea, dipl.ing. gra.

3,0

muha protuha a

Documents