muh1g3/ matriks dan ruang vektor · sehingga hasil kali elementer dari matriks a (determinan) ......
TRANSCRIPT
Sub Pokok Bahasan
• Permutasi dan Determinan Matriks
• Determinan dengan OBE
• Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Beberapa Aplikasi Matriks
• Solusi SPL
• Optimasi
• Model Ekonomi
• dan lain-lain.
2 1/29/2017
Determinan Matriks
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
3 1/29/2017
Permutasi dan Determinan Matriks
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Permutasi adalah susunan yang mungkin dibuatdengan memperhatikan urutan
Contoh: Permutasi dari {1,2,3} adalah
– (1,2,3)
– (1,3,2)
– (2,1,3)
– (2,3,1)
– (3,1,2)
– (3,2,1)
Invers dalam Permutasi
Sebuah inversi dikatakan terjadi dalam suatu permutasi jikabilangan bulat yang lebih besar mendahului bilangan bulat yanglainnya.
Jika jumlah inversi dalam satu permutasinya genap maka disebutpermutasi genap, dan begitu pula sebaliknya untuk permutasiganjil.
– (1,2,3) → permutasi genap
– (1,3,2)→ permutasi ganjil
– (2,1,3)→ permutasi ganjil
– (2,3,1)→ permutasi genap
– (3,1,2)→ permutasi genap
– (3,2,1) → permutasi ganjil
4 1/29/2017
Permutasi dan Determinan Matriks(2)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
5 1/29/2017
Permutasi dan Determinan Matriks(3)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Hasil perkalian elementer matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 adalahhasilkali 𝑛 buah unsur dari matriks tersebut tanpa adapengambilan unsur dari baris dan kolom yang sama
Contoh:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
Terdapat 6 (atau 3!) hasil kali elementer dari matriks 𝐴 ,yakni
𝑎11𝑎22𝑎33, 𝑎11𝑎23𝑎32, 𝑎12𝑎21𝑎33,𝑎12𝑎23𝑎31, 𝑎13𝑎21𝑎32, 𝑎13𝑎22𝑎31
6 1/29/2017
Permutasi dan Determinan Matriks(4)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Hasil kali elementer bertanda𝑎11𝑎22𝑎33−𝑎11𝑎23𝑎32−𝑎12𝑎21𝑎33𝑎12𝑎23𝑎31𝑎13𝑎21𝑎32−𝑎13𝑎22𝑎31
Determinan didefinisikan sebagai penjumlahan hasil kalielementer dengan bertanda.
Sehingga hasil kali elementer dari matriks A (determinan) denganorde 3 × 3 adalah𝑎11𝑎22𝑎33 − 𝑎11𝑎23𝑎32 − 𝑎12𝑎21𝑎33 + 𝑎12𝑎23𝑎31 + 𝑎13𝑎21𝑎32 − 𝑎13𝑎22𝑎31
Perhatikan…
Tanda (+/-) muncul sesuai hasil
klasifikasi permutasi indeks kolom,
yaitu : jika genap + (positif)
jika ganjil - (negatif)
7 1/29/2017
Permutasi dan Determinan Matriks(5)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh:
Tentukan Determinan Matriks
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
Jawab:
Menurut definisi:𝒅𝒆𝒕 𝑨𝟑×𝟑 = 𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟐𝒂𝟑𝟑 − 𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟑𝒂𝟑𝟐 − 𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟏𝒂𝟑𝟑 + 𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟑𝒂𝟑𝟏 + 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟏𝒂𝟑𝟐 − 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟐𝒂𝟑𝟏
Atau dapat dilihat lebih mudah menggunakan
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22𝑎31 𝑎32
ket : jumlahkan hasil kali elemen yang terlintasi garis hijau dan kurangi hasilkali elemen yang terlintasi garis merah
Cara ini tidak berlakuuntuk matriks 4x4, dst.
8 1/29/2017
Permutasi dan Determinan Matriks(6)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh:
Tentukan Determinan Matriks
𝐵 =3 2 −11 1 0−2 −2 1
Jawab:
𝐵 =3 2 −11 1 0−2 −2 1
3 21 1−2 −2
= 3 1 1 + 2 0 −2 + −1 1 −2 − −1 1 −2 − 3 0 −2 − 2 1 1
= 3 + 0 + 2 − 2 − 0 − 2
= 1
Perhatikan
a. det 1 20 3
= 3
b.1 2 30 4 50 0 6
= 24
c. det1 0 04 5 07 8 9
= 45
9 1/29/2017
Determinan dengan OBE
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Determinan matriks
segitiga =
Hasilkali unsur
diagonal?hasil kali elementer
bertanda selain unsur
diagonal adalah nol
Menghitung determinan matriks dengan cara mengkalikan unsur-unsur diagonalnya hanya berlaku untuk matriks dengan bentuksegitiga bawah ataupun matriks segitiga atas.
Oleh karena itu :
Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ Matriks Segitiga
Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatumatriks, yaitu :
1. Jika matriks 𝐵 berasal dari matriks 𝐴 dengan satu kali pertukaranbaris maka 𝒅𝒆𝒕 (𝑩) = − 𝒅𝒆𝒕 (𝑨)
Contoh :
sehingga
10 1/29/2017
Determinan dengan OBE(2)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
11
12A 3A
12
11B
12
11B A3
2. Jika matriks 𝐵 berasal dari matriks 𝐴 dengan mengalikan satu baris 𝐴dengan 𝑘 maka 𝒅𝒆𝒕 (𝑩) = 𝒌 𝒅𝒆𝒕 (𝑨)
Contoh :
dan
maka
3. Jika matriks 𝐵 berasal dari matriks 𝐴 dengan perkalian sebuah barisdengan konstanta tak nol 𝑘 lalu dijumlahkan pada baris lain maka𝒅𝒆𝒕 𝑩 = 𝒅𝒆𝒕 𝑨
Contoh
Perhatikan
11 1/29/2017
Determinan dengan OBE(3)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
11
12A 3A
22
12B
22
12B 62
11
122
A
62
31A 12A
62
31
120
31
12-
OBE yang dilakukan pada matriks
tersebut adalah –2b1 + b2
12 1/29/2017
Determinan dengan OBE(4)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Tentukan determinan matriks berikut :
Jawab :
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
2-kedan 1-ke baris pertukaran
2 1 0
0 1 2
1 2 1
13 1/29/2017
Determinan dengan OBE(5)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
= 4 (hasil perkalian semua unsur diagonalnya)
212
2 1 0
2- 3- 0
1 2 1
bbA
3-kedan 2-ke baris Pertukaran
2- 3- 0
2 1 0
1 2 1
323
4 0 0
2 1 0
1 2 1
bb
Determinan dengan ekspansi kofaktor
Misalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
𝑀𝑖𝑗 disebut Minor- ij yaitu determinan matriks 𝐴 denganmenghilangkan baris ke−𝑖 dan kolom ke−𝑗 matriks 𝐴.
Contoh :
14 1/29/2017
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
:::
...
...
21
22221
11211
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A 1
1 0
2 1
maka 13 M
𝐶𝑖𝑗 dinamakan kofaktor − 𝒊𝒋 yaitu 𝐶𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗
Contoh :
maka
= – 1 3 .2
= – 2
15 1/29/2017
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(2)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
2 0
1 1 1
21
12
C
Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansikofaktor:
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke−𝑖det(𝐴) = 𝑎𝑖1𝐶𝑖1 +
𝑎𝑖2𝐶𝑖2 + .. . + 𝑎𝑖𝑛 𝐶𝑖𝑛
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke−𝑗det(𝐴) = 𝑎𝑖𝑗 𝐶1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐶2𝑗 + . . . + 𝑎𝑛𝑗 𝐶𝑛𝑗
Contoh: Hitunglah det(𝐴) dengan ekspansi kofaktor :
16 1/29/2017
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(3)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Jawab :
A. Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansikofaktor sepanjang baris ke-3
= 𝑎31 𝐶31 + 𝑎32 𝐶32 + 𝑎33 𝐶33
= 0 – 2 + 6 = 4
17 1/29/2017
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(4)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
3
1
33)det(
j
jjcaA
23)1(10 1 1
0 2 33)1(2
2 1
1 2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
B. Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolomke-3
= 𝑎13 𝐶13 + 𝑎23 𝐶23 + 𝑎33 𝐶33
= 0 – 2 + 6
= 4
18 1/29/2017
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(5)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
3
1
33)det(i
ii caA
32)1(10 1 0
1 2 33)1(2 2 1
1 2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Misal 𝐴𝑛×𝑛 merupakan matriks yang memiliki invers dan 𝐶𝑖𝑗adalah kofaktor 𝑎𝑖𝑗. Maka
𝐶 =
𝐶11 𝐶12𝐶21 𝐶22
… 𝐶1𝑛… 𝐶2𝑛
⋮ ⋮𝐶𝑛1 𝐶𝑛2
⋱ ⋮… 𝐶𝑛𝑛
disebut matriks kofaktor 𝐴. Transpos dari matriks tersebutdinamakan adjoin 𝐴 (notasi 𝑎𝑑𝑗(𝐴)).
𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝐶𝑇 =
𝐶11 𝐶21𝐶12 𝐶22
… 𝐶𝑛1… 𝐶𝑛2
⋮ ⋮𝐶1𝑛 𝐶2𝑛
⋱ ⋮… 𝐶𝑛𝑛
19 1/29/2017
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(6)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Misalkan A punya invers
maka
𝐴−1 =1
det 𝐴𝑎𝑑𝑗 (𝐴)
A mempunyai invers jika dan hanya jika det(𝐴) 0.
Beberapa sifat determinan matriks adalah :
1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka det 𝐴 =det 𝐴𝑡
2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka: det(𝐴) det(𝐵) = det(𝐴𝐵)
3. Jika A mempunyai invers maka :
det 𝐴−1 =1
det(𝐴)20 1/29/2017
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(7)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh:
Diketahui
Tentukan matriks adjoin A
Jawab :
Perhatikan bahwa
21 1/29/2017
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(8)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
1 2 0
0 1- 1
1 0 1
A
112
01)1( 11
11
c 110
01)1( 21
12 c 220
11)1( 31
13
c
.1dan,1,1,2,1,2 333231232221 cccccc
Sehingga matriks kofaktor dari 𝐴 :
Maka matriks Adjoin dari 𝐴 adalah :
22 1/29/2017
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(9)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
1- 1 1
2- 1 2
2 1- 1-
C
1- 2- 2
1 1 1-
1 2 1-
)( TCAadj
1. Tentukan determinan matriks dengan OBE dan ekspansi
kofaktor
dan
2. Diketahui :
dan
Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)
23 1/29/2017
LATIHAN
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
211
121
112
P
144
010
023
Q
200
043
012
A
105
217
311
B
3. Diketahui :
Tentukan k jika det (D) = 29
4. Diketahui matriks
Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan
nilai
24 1/29/2017
LATIHAN(2)
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
43
101
51
k
k
D
543
012
001
A
BA
BAx
tdet
5det2det 2