MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

EDWIN DUGARTE PEÑA

1. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

Se caracteriza porque otorga la misma probabilidad de ser

elegidos a todos los elementos de la población.

Aplica en aquellos casos para los que se puede garantizar que la

población de interés es homogénea o aún sin serlo es pequeña y

por lo tanto se puede ejercer algún control sobre ella.

El muestreo está concluido cuando se ha determinado el tamaño

de la muestra y su identificación.

TAMAÑO DE MUESTRA EN MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

n = f(1 – a, E, S2, N, n1)

1 – a : Nivel de Confianza

S2: Varianza

E: Error de muestreo

N: Tamaño de población

n1: Tamaño de premuestra

n: Tamaño de muestra

El tamaño de la muestra en lo posible debe ajustarse a la homogeneidad oheterogeneidad de la población, el nivel de precisión requerido para el estudio y elnúmero de variables que se pueda investigar. También se debe tener en cuenta loreferente a la logística requerida para el estudio.

n1: Tamaño de premuestra

Premuestra

Conjunto de unidades, subconjunto de latotalidad, seleccionado aleatoriamente con elpropósito de lograr información preliminar sobre lasvariables que se pretende observar.

Su tamaño (n1 ) se asume menor que el tamaño de lamuestra que se espera determinar.

Z=X-/

a b X

Nivel de confianza = 1 - a

Z1 Z2 Z

Coeficiente de confianza

Límites de confianza

“Si se realiza 100 veces el proceso de observación e interpretación de lapoblación con una muestra probabilística, ¿en cuántas de estas se espera(¿Cuál es la probabilidad?) que el resultado obtenido sea como el que seobtendría si se observa toda la población?”

NIVEL DE CONFIANZA. PRECISIÓN. RIESGO.

TABLA 1. AREAS BAJO LA CURVA NORMAL DE PROBABILIDAD

Z A Z A Z A Z A Z A

0 0.00000

0.01 0.00399

0.02 0.00798

0.03 0.01197

0.04 0.01595

0.05 0.01994

0.06 0.02392

0.07 0.02790

0.08 0.03188

0.09 0.03586

0.10 0.03983

0.11 0.04380

0.12 0.04776

0.13 0.05172

0.14 0.05567

0.15 0.05962

0.16 0.06356

0.17 0.06749

0.18 0.07142

0.19 0.07535

0.20 0.07926

0.21 0.08317

0.22 0.08706

0.23 0.09095

0.24 0.09483

0.25 0.09871

0.26 0.10257

0.27 0.10642

0.28 0.11026

0.29 0.11409

0.30 0.11791

0.31 0.12172

0.32 0.12552

0.33 0.12930

0.34 0.13307

0.35 0.13683

0.36 0.14058

0.37 0.14431

0.38 0.14803

0.39 0.15173

0.40 0.15542

0.41 0.15910

0.42 0.16276

0.43 0.16640

0.44 0.17003

0.45 0.17364

0.46 0.17724

0.47 0.18082

0.48 0.18439

0.49 0.18793

0.50 0.19146

0.51 0.19497

0.52 0.19847

0.53 0.20194

0.54 0.20540

0.55 0.20884

0.56 0.21226

0.57 0.21566

0.58 0.21904

0.59 0.22240

0.60 0.22575

0.61 0.22907

0.62 0.23237

0.63 0.23565

0.64 0.23891

0.65 0.24215

0.66 0.24537

0.67 0.24857

0.68 0.25175

0.69 0.25490

0.70 0.25804

0.71 0.26115

0.72 0.26424

0.73 0.26730

0.74 0.27035

0.75 0.27337

0.76 0.27637

0.77 0.27935

0.78 0.28230

0.79 0.28524

0.80 0.28814

0.81 0.29103

0.82 0.29389

0.83 0.29673

0.84 0.29955

0.85 0.30234

0.86 0.30511

0.87 0.30785

0.88 0.31057

0.89 0.31327

0.90 0.31594

0.91 0.31859

0.92 0.32121

0.93 0.32381

0.94 0.32639

0.95 0.32894

0.96 0.33147

0.97 0.33398

0.98 0.33646

0.99 0.33891

1.00 0.34134

1.01 0.34375

1.02 0.34614

1.03 0.34850

1.04 0.35083

1.05 0.35314

1.06 0.35543

1.07 0.35769

1.08 0.35993

1.09 0.36214

1.10 0.36433

1.11 0.36650

1.12 0.36864

1.13 0.37076

1.14 0.37286

1.15 0.37493

1.16 0.37698

1.17 0.37900

1.18 0.38100

1.19 0.38298

1.20 0.38493

1.21 0.38686

1.22 0.38877

1.23 0.39065

1.24 0.39251

1.25 0.39435

1.26 0.39617

1.27 0.39796

1.28 0.39973

1.29 0.40147

1.30 0.40320

1.31 0.40490

1.32 0.40658

1.33 0.40824

1.34 0.40988

1.35 0.41149

1.36 0.41309

1.37 0.41466

1.38 0.41621

1.39 0.41774

1.40 0.41924

1.41 0.42073

1.42 0.42220

1.43 0.42364

1.44 0.42507

1.45 0.42647

1.46 0.42785

1.47 0.42922

1.48 0.43056

1.49 0.43189

1.50 0.43319

1.51 0.43448

1.52 0.43574

1.53 0.43699

1.54 0.43822

1.55 0.43943

1.56 0.44062

1.57 0.44179

1.58 0.44295

1.59 0.44408

1.60 0.44520

1.61 0.44630

1.62 0.44738

1.63 0.44845

1.64 0.44950

1.65 0.45053

1.66 0.45154

1.67 0.45254

1.68 0.45352

1.69 0.45449

1.70 0.45543

1.71 0.45637

1.72 0.45728

1.73 0.45818

1.74 0.45907

1.75 0.45994

1.76 0.46080

1.77 0.46164

1.78 0.46246

1.79 0.46327

1.80 0.46407

1.81 0.46485

1.82 0.46562

1.83 0.46638

1.84 0.46712

1.85 0.46784

1.86 0.46856

1.87 0.46926

1.88 0.46995

1.89 0.47062

1.90 0.47128

1.91 0.47193

1.92 0.47257

1.93 0.47320

1.94 0.47381

1.95 0.47441

1.96 0.47500

1.97 0.47558

1.98 0.47615

1.99 0.47670

2.00 0.47725

2.01 0.47778

2.02 0.47831

2.03 0.47882

2.04 0.47932

2.05 0.47982

2.06 0.48030

2.07 0.48077

2.08 0.48124

2.09 0.48169

2.10 0.48214

2.11 0.48257

2.12 0.48300

2.13 0.48341

2.14 0.48382

2.15 0.48422

2.16 0.48461

2.17 0.48500

2.18 0.48537

2.19 0.48574

2.20 0.48610

2.21 0.48645

2.22 0.48679

2.23 0.48713

2.24 0.48745

2.25 0.48778

2.26 0.48809

2.27 0.48840

2.28 0.48870

2.29 0.48899

2.30 0.48928

2.31 0.48956

2.32 0.48983

2.33 0.49010

2.34 0.49036

2.35 0.49061

2.36 0.49086

2.37 0.49111

2.38 0.49134

2.39 0.49158

2.40 0.49180

2.41 0.49202

2.42 0.49224

2.43 0.49245

2.44 0.49266

2.45 0.49286

2.46 0.49305

2.47 0.49324

2.48 0.49343

2.49 0.49361

2.50 0.49379

2.51 0.49396

2.52 0.49413

2.53 0.49430

2.54 0.49446

2.55 0.49461

2.56 0.49477

2.57 0.49492

2.58 0.49506

2.59 0.49520

Varianza

A PARTIR DE LOS RESULTADOS DE OTRAS INVESTIGACIONES SIMILARES A LA QUE SEPRETENDE REALIZAR.

POBLACION MUESTRA

N

(Xi - )2

2 =

i=1

N

n

(Xi - X)2

S2 =

i=1

n –1

2 = P.Q S2 = p.q

CON BASE EN LOS RESULTADOS DE UN PREMUESTREO.

A PARTIR DE LOS VALORES MÁXIMO Y MINIMO DE LA VARIABLE, PARA VARIABLESCUANTITATIVAS CUYO COMPORTAMIENTO SEA NORMAL O APROXIMADAMENTENORMAL

A PARTIR DEL SUPUESTO P = 0.5 Y Q = 0.5 PARA VARIABLES CUALITATIVAS.

E: Error de muestreo, Error de Estimación o Exactitud

¿qué tanto espero equivocarme al observar la característica de interés, con la muestraque se determine?

Resulta al considerar que una muestra no proporciona información completa acerca de lapoblación que se observa.

El error de muestreo es supuesto por el investigador.

Se controla con el tamaño de la muestra

Bajo condiciones de premuestreo en variables cuantitativas, se asume como un porcentaje (menor o igual al 5%) del cálculo de la media aritmética de los datos observados.

Población. N

Conjunto conformado por la totalidad de observaciones que interesan al analista.

¿Finita o Infinita? fracción de muestreo

N

nf

También se le podrá llamar infinita, si su tamaño, siendo muy grande resulta desconocido.

Error Estándar ( , )x

Ap

Cociente entre el error de muestreo o precisión y el coeficiente de confianza.

Z

Ex

Z

EAp

n

QPInfinitasspoblacione

npx

.

1

.

1

N

nN

n

QPfinitassPoblacione

N

nN

nApx

Variables cuantitativas Variables cualitativas

44444

11

1

Muestreo

Generalización

POBLACIÓN

?21

21

2

PP

T

P

21

21

2

pp

xx

t

p

s

s

x

MUESTRA

Qué tamaño de muestra se requiere para cometer un error de muestreo E al intentar estimar …

La Media Poblacional?La proporción Poblacional?

El total Poblacional?

TAMAÑO DE MUESTRA EN MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

VARIABLES CUANTITATIVAS

Tamaño de muestras

n0 = Z2 * s

2 * (1 + 2/n1) para poblaciones n0 = Z

2 * p * q * (1 + 2/n1)

E2 infinitas con premuestreo E

2

VARIABLES CUALITATIVAS

Z: Coeficiente de confianza

p: Proporción de unidades con la característica de interés

q: Proporción de unidades complementarias

n0: Tamaño Inicial de muestra

Tamaño de muestra

para poblaciones finitasNn

Nnn

0

0

Nn

NnNf

0

0)(

1. f(N) corta en N=0

2. Lim f(N) = n0 Por lo tanto existe un asíntota en f(N) = n0

N →∞

3. f’(N) > 0, por lo tanto f(N) es creciente.

4. f‘(N) = 0 no tiene solución para N; por lo tanto no hay máximos ni mínimos.

5. f‘’(N) < 0, por lo tanto f(N) es cóncava.

6. f‘’(N) = 0 no tiene solución para N; por lo tanto no hay puntos de inflexión.

0.009.75

44.24

217.19

277.46

356.61369.80

381.07 381.56 381.90 382.17 382.37

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96

Tam

año

de

Mu

est

ra

Tamaño de población (x1000)

n0=384 (1-a = 95% Z=1,96 E=5% p=50% q=50% )

2

2

0

)1.()(

E

ppZnpf

Máximo en p=0,5

Calcule el tamaño de muestra necesario si se quiere una confianza del 90%, un erroradmisible de 4000 y se estima la desviación en 15.000.

Aplicaciones

Calcule el tamaño de muestra necesario si se quiere una confianza del 95%, un error

admisible del 6% y la proporción de éxitos es de 0.30.

Se realiza un estudio para estimar el porcentaje de ciudadanos de Bucaramanga queestán a favor de la venta de acciones en Ecopetrol. ¿Qué tan grande debe ser lamuestra si se desea tener una confianza de al menos 95% de que la estimación estarádentro del 2% del porcentaje real? ¿Qué tan grande será el tamaño si se asume que lapoblación de inversionistas es de 95000?

Se desea hacer una investigación sobre el ingreso familiar promedio de los 15800hogares en una ciudad. Por investigaciones anteriores se considera que la desviacióntípica es de $15000 ¿Qué tamaño debe tener la muestra, si se desea hacer unaestimación de la media que se encuentre a $4500 de la media verdadera con un nivelde confianza del 95%?

Una máquina empacadora va a observarse para estimar la proporción de paquetescorrectos que produce. Si desea estimar la proporción con un error máximo de 0,02 yun nivel de confianza del 96,5%,1. Si no se sabe nada sobre la proporción en la población, ¿qué valor de p debe

emplearse al planear el tamaño de muestra necesario? ¿cuál es ese tamaño?2. Si se determina por un premuestreo (n1 = 35) que la proporción de paquetes

correctos es de 0,82 ¿cuál es el tamaño necesario para estimar P utilizando unerror máximo del 2% y un nivel de confianza del 98%?

Un Tecnólogo Ambiental está interesado en conocer con un error de muestreo del 3%y con un nivel de confianza del 98% la concentración media de monóxido de carbonoque emiten los autos modelos 90 en ppm. Por observaciones realizadas puedesuponer que la concentración mínima es de 0,5 ppm y la máxima de 12,9 ppm. Siademás es válido asumir que las concentraciones siguen aproximadamente unadistribución normal ¿De qué tamaño debe escoger la muestra? Se sabe que laconcentración media emitida es de 5,8 ppm.

1. Ante procesos por premuestreo, para variables

cualitativas (dicotómicas o politómicas), el tamaño de la

muestra estará determinado por la clasificación cuyaproporción p observada sea la más cercana a 0.5.

2. Por cada variable de interés en un proceso de

observación por muestreo se podrá calcular un tamaño

de muestra. ¿Cuál de todos los tamaños es el adecuadopara realizar el muestreo?

Se pretende realizar un proceso de muestreo sobre una población con 4625unidades con el propósito de generar una idea acerca del comportamientode tres variables: V1 y V2 de naturaleza cuantitativas y V3 de naturalezacualitativa (Con tres clasificaciones: A, B, C). Se decidió realizar un estudiopreliminar con el 4% de la población. Al procesar la informaciónproporcionada por la premuestra en las variables de interés se determinó:Para V1: = 245,2 =56,42para V2: = 2,2 = 0,42Para V3: pA = 0,15 pB = 0,40 pC = 0,45

Si se decide utilizar un nivel de confianza del 95,5% y un error de muestreodel 5%a. ¿Qué tamaño de muestra se requeriría para observar sólo V1?b. ¿Qué tamaño de muestra se requeriría para observar sólo V2?c. ¿Qué tamaño de muestra se requeriría para observar sólo V3?d. ¿Qué tamaño de muestra se requeriría para observar tanto V1 como V2 yV3?

XX S

2S

SELECCIÓN DE MUESTRA EN MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

¿CÓMO SELECCIONAMOS LAS UNIDADES QUE SERÁN INCLUIDAS EN LA MUESTRA?.

SIN REPOSICIÓN CON REPOSICIÓN

POR SORTEO

POR MEDIOS ELECTRÓNICOS

POR TABLA DE NUMEROS ALEATORIOS

MÉTODO SPEUDO ALEATORIO PARA LA SELECIÓN: EXCEL

1. IDENTIFICAR LA POBLACIÓN (BASE DE DATOS)

2. CODIFICAR CADA UNA DE LAS UNIDADES DE LA POBLACIÓN (1 a N)

3. SE UTILIZA LA OPCIÓN MUESTRA EN LA HERRAMIENTA ANÁLISIS DE DATOS

4. EJECUTAR LA SELECCIÓN

5. SE APLICA EL INSTRUMENTO