mÜhƏndİs rİyazİyyati - anl.az · verilmi sistemləri modellədirdikdə qurulmu vektor simulink...
TRANSCRIPT
H..Mmmdov, Q..Rstmov R.Q.Rstmov
MHNDS RYAZYYATI
Matlab /Simulinkd modelldirm
INGNEERNG MATHEMATICS
Mn dayaq nqtsi verin, Yer
krrsini yerindn oynadm
Arximed
1
H..Mmmdov, Q..Rstmov R.Q.Rstmov
MHNDS
RYAZYYATI
Matlab/ Simulinkd modelldirm
Ali texniki mktblr n
drslik
Azrbaycan Respublikas Thsil Nazirliyi
trfindn tsdiq edilmidir
AzTU-nun nriyyat -2015
2
Ryilr:
F.H.lkbrli, t.e.d.,prof. Sumqayt Dvlt Universitetinin Texniki
kibernetika kafedrasnn mdiri
..liyev, t.e.d.,prof. Bak Dvlt Universitetinin nformasiya
texnologiyalar v proqramlaadrma
kafedrasnn mdiri
M..Seyidov, t.e.n.,dos. Azrbaycan Dvlt Neft Akademiyasnn
Ttbiqi riyaziyyat kafedrasnn dosenti
V.Q.Frhadov,t.e.n.,dos. Azrbaycan Texniki Universitetinin
Avtomatika v idaretm kafedrasnn
dosenti
Redaktor: dos. R.M. hmdov
H..Mmmdov, Q..Rstmov, R.Q.Rstmov
Mhndis riyaziyyat: Matlab/Simulinkd modelldirm. Drslik.
Bak-AzTU, 2015, 440 s. , , 2007
Drslikd mhndis Matlab/Simulinkd , , xsusi hesablamalar, , - , , inteqral evirmlr, , - , , Bul v mntiqi mliyyatlar, tsadfi prosaslrin Matlabda realizasiyas .
,
, ,
, Kimya mhndisliyi, Texniki sistemlrd idaretm v digr texniki ynml r , aspirantlar, doktorantlar, elmi iilr, orta mktb agirdlri v .
Azrbaycan Texniki Universiteti-2015
3
Mndricat
Giri .................... 8
Fsil 1. Matlab sisteminin xsusiyytlri v sas ilm qaydalar...................................................................... 11
1.1.
1.2.
1.3.
Matlab sisteminin pncrlri................................................
Matlab sisteminin ba menysi..............................................
Matlab sisteminin mumi strukturu.......................................
11
13
13
1.4. Hqiqi ddlr v double tipli ddlrin tqdin olunma
format....................................................................................
1.4.1.Hesablama dqiqliyinin idar olunmas........................
15
16
1.5. Riyazi ifadlrin hesablanmas............................................... 16
1.6. Mnasibt operatorlar........................................................... 19
1.7. Mntiqi operatorlar................................................................. 20
1.7.1. Matlabda modelldirm.............................................. 25
1.7.2. Simulinkd modelldirm...........................................
almalar 1.1.......................................................................
26
29
1.8. Say sistemlri. Bit mliyyatlarn yerin yetirn
funksiyalar..............................................................................
almalar 1.2........................................................................
29
32
Fsil 2. Funksiyalarn hesablanmas, cdvlldirilmsi v vizualladrlmas......................................................... 37
2.1. Funksiyann qiymtinin hesablanmas v cdvlldirilmsi 37
2.2. Funksiyalarn vizualladrlmas............................................. 40
2.2.1. kill qrafika........................................................... 40
2.2.2. ll qrafiklrin qurulmas..................................... 50
2.2.3. qlandrlm sthin qurulmas................................... 51
2.2.4. Qrafiklr ailsinin qurulmas. Dvr operatoru............. 52
Fsil 3. Riyazi funksiyalarn hesablanmas............................. 54 3.1. Elementar funksiyalar............................................................. 54
3.1.1. Cbri v arifmetik funksiyalar....................................... 54
3.1.2. Hiperbolik funksiyalar.................................................. 57
3.2. Kompleks dyin funksiya.................................................... 57
3.3. Yuvarladrma v blmdn alnan qaln hesablanmas
funksiyalar............................................................................ 59
3.4. Polinomlar............................................................................. 60
3.5. stifadinin funksiyas......................................................... 62
3.6. fadlrin sadldirilmsi v evrilmsi.............................. 62
almalar 3.1........................................................................ 62
Fsil 4. Xsusi hesablamalar.................................................. 65
4
4.1. Hddlrin hesablanmas......................................................... 65
4.2. Funksiyann sraya ayrlmas................................................. 67
4.2.1. Teylor sras................................................................. 67
4.2.2. Srann cminin hesablanmas..................................... 69
4.2.3. Furye sras.................................................................. 71
4.2.4. Pade sras.................................................................... 72
4.3. Xttildirm......................................................................... 78
4.3.1.Girii-x formasnda olan dinamika tnliklrinin
xttildirilmsi........................................................... 79
4.3.2.Vziyyt modeli formasnda olan dinamika
tnliklrinin xttildirilmsi. Yakobi matrisi............ 84
4.3.3. Matlab/Simulink paketind xttildirm...................
almalar 4.1........................................................................
almalar 4.2........................................................................
almalar 4.3........................................................................
90
97
98
101
Fsil 5. Xsusi riyazi funksiyalar........................................... 103 5.1. Vahid impuls v vahid tkan................................................. 103
5.2. nteqral sinusu v cosinusu.................................................... 105
5.3. Qamma-funksiya................................................................... 106
5.4. Betta-funksiya........................................................................ 108
5.5. stl inteqral funksiyas........................................................ 108
5.6. Lejandr funksiyas................................................................. 109
5.7. Bessel funksiyas................................................................... 110
5.8. Tsadfi proseslr.................................................................. 112
5.8.1. Fasilsz tsadfi kmiyytin ehtimal v ddi
xarakteristikalar......................................................................... 112
5.8.2. Tsadfi kmiyytlrin paylanma qanunlar............... 118
5.8.3. Diskret tsadfi kmiyytlr........................................ 123
5.8.4. Tsadfi kmiyytin statistik xarakteristikalarnn
tcrb sasnda tyini................................................. 127
5.8.5. Matlabda realizasiya.................................................... 131
5.8.6. Tsadfi kmiyytin ddi xarakteristikalarnn
hesablanmas................................................................ 137
Fsil 6. Vektor v matris cbri................................................ 139 6.1. Vektor v matris anlay....................................................... 139
6.2. Vektor v matrisin daxil edilmsi.......................................... 140
6.3. Matrislrin sas nvlri......................................................... 142
6.4. Matrisin elementlrin mracit olunmas............................ 156
6.5. Matrisin lsnn tyin olunmas v elementlri zrind
mliyyatlar........................................................................... 158
6.6. Vektor v matrislr zrind riyazi mliyyatlar.................. 160
5
6.7. Matrisin sas gstricilri......................................................
almalar 6.1.......................................................................
168
186
Fsil 7. Cbri v transendent tnliklrin hlli........................ 187 7.1. funksiyasnn kmyi il tnliklrin hlli................ 187
7.2. funksiyasnn kmyi il tnliklrin hqiqi
kklrinin taplmas............................................................... 188 7.3. funksiyasnn kmyi il coxhdlinin kklrinin
taplmas................................................................................ almalar 7.1........................................................................
almalar 7.2...............................................................................
190
191
193
Fsil 8. Xtti v qeyri-xtti tnliklr sisteminin hlli............. 195 8.1. Xtti cbri tnliklr sisteminin hlli....................................... 195
8.1.1. Xtti tnliklr sisteminin detrminant (Kramer) sulu
il hlli......................................................................... 195
8.1.2. Xtti tnliklr sisteminin trs matris sulu il hlli....
8.1.3. solve() funksiyasnn kmyi il xtti tnliklr
sisteminin hlli ............................................................
197
198
8.2. Matlab mhitind qeyri-xtti tnliklr sisteminin hlli......... 199
8.3. Xtti tnliklr sisteminin Simulinkd hlli............................ 200
8.4. Matris tnliklrin hlli........................................................... 201
8.4.1. Cbri matris tnliyi....................................................... 202
8.4.2. Matris eksponensas..................................................... 202
8.4.3. Lyapunov tnliyi.......................................................... 203
8.4.4. Rikkati tnliyi..............................................................
almalar 8.1......................................................................
206
207
Fsil 9. Trm v inteqrallarn hesablanmas..................... 214 9.1. Trmnin analitik (simvollu) hesablanmas..................... 214
9.1.1. Parametrik kild verilmi funksiyann trmsi........ 217
9.1.2. Mrkkb funksiyann trmsi .................................. 219
9.2. Myyn inteqrallarn ddi sullarla hesablanmas............ 221
9.2.1. Trapesiyalar sulu........................................................ 222
9.2.2. Simpson sulu............................................................. 223
9.3. M-fayldan istifad etmkl ikiqat inleqrallarn hesablanmas 225
9.3.1. Parametrdn asl olan inteqrallarn hesablanmas...... 227
9.3.2. Yuxar hddi dyin olan inteqrallar.......................... 230
9.4. Matlab mhitind myyn inteqrallarn analitik (simvollu)
hesablanmas.......................................................................... 231
9.5. Inteqral evirmlr................................................................. 234
9.5.1. Laplas evirmsi........................................................... 234
9.5.1.1. Laplas evirmsinin sas xasslri.................. 235
)solve(
)fzero(
)roots(
6
9.5.1.2. Tsvirlrin MATLABda tyini........................ 240
9.5.1.3. trm funksiyas............................................
almalar 9.1.........................................................................
242
243
9.5.2. Furye evirmsi............................................................. 245
9.5.2.1. Kompleks gclndirm msal......................... 248
9.5.2.2. Matlabda modelldirm v thlil...................
almalar 9.2.........................................................................
252
260
9.6. Z-evirm................................................................................ 261
9.6.1. Z-evirmnin sas xasslri.......................................... 261
9.6.2. Tsvirlrin Matlabda tyini........................................... 267
9.6.3. Diskret trm funksiyas.............................................
almalar 9.1.........................................................................
almalar 9.2.........................................................................
271
279
280
Fsil 10. Adi diferensial tnliklr hlli...................................... 282 10.1. Dinamik sistemlrin diferensial tnliklrl
modelldirilmsi.................................................................. 282
10.2. Diferensial tnliklrin trtib olunmasna aid misallar........... 282
10.2.1. mumildirm.......................................................... 285
10.2.2. Xtti diferensial tnliklr sisteminin analitik hlli..... 291
10.3. Matlab mhitind adi diferensial tnliklrin v tnliklr
sisteminin hlli........................................................................ 293
10.4. Diferensial tnliklrin hllin aid texniki misallar................. 299
10.5. Diferensial tnliklrin Simulink paketind hlli.................... 304
10.5.1. Qeyri-xtti v qeyri- stasionar tnliklrin Simulink-
d hlli........................................................................ 307
10.5.2. Diferensial tnliklrin vektor modelldirilmsi......... 309
10.5.3. Sabit msall xtti diferensial tnliklrin vektor
modelldirilmsi...................................................... 313
10.6. Xaotik proseslr................................................................... 314
10.7. Diferensial tnliklrin yazl formalar.................................
almalar 10.1......................................................................
alimalar 10.2......................................................................
almalar 10.3 .....................................................................
317
319
323
324
Fsil 11. Tcrbi verilnlrin emal. nterpolyasiya................ 329 11.1. lkin anlaylar......................................................................... 329
11.2.
11.3.
11.4.
Dyn nqtlrind dqiq olan interpolyasiya.....................
11.2.1. Nqtvi interpolyasiya..............................................
11.2.2. oxhdlilr vasitsi il interpolyasiya......................
n kiik kbadratlar sulu. Approksimasiyaedici
funksiyann taplmas............................................................
Aproksimasiya xtasnn hesablanmas.................................
330
330
333
339
347
7
11.5.
Splaynlarla interpolyasiya.....................................................
alimalar 11.1......................................................................
almalar 11.2........................................................................
almalar 11.3.......................................................................
348
352
353
355
Fsil 12. Parametrik optimalladrma msllri ................... 358 12.1. Matlab mhitind optimalladrma msllrinin hlli......... 358
12.2.
12.3.
12.4.
Optimalladrma msllrinin tsnifat................................
Optimalladrmann analitik sullar ....................................
12.3.1. Birdyinli funksiyann rtsiz ekstremumu ...........
12.3.2. oxdyinli funksiyann rtsiz ekstremumu ........
12.3.3. oxdyinli funksiyann mhdudiyytlr
brabrlik olduu halda ekstremumu .......................
Optimalladrmann dd sullar .......................................
359
360
360
362
365
368
12.4.1. Birll minimalladrma. Qzl blg sulu....... 368
12.4.2. rtsiz (mhdudiyytsiz) minimalladrma............... 369
12.4.3. Xtti proqramladrma mslsinin hlli................... 370
12.4.4. Qeyri-xtti proqramladrma mslsinin hlli.........
almalar 12.1.....................................................................
almalar 12.2......................................................................
almalar 12.3......................................................................
almalar 12.4......................................................................
373
376
378
380
384
dbiyyat ............. 388
lav 1. Elementar riyazi funksiyalar .. 391
lav 2. 1.Optimalladrma msllrinin Matlabda hlli.....................
2. Optimization
Toolbox............................................................................
393
405
lav 3. 1. Statistics Toolbox................... 409
2. System Identification
Toolbox. 426
lav 4. stifad olunan Matlab funksiyalar........................................
lav 5. Simulink paketind matris mliyyatlar ...............................
434
437
8
GIRI
Mhndis - latn sz ingenium olub, ba vern proseslri mahid edib orada mna axtaran, ideyann glmsin hazr olub onu ixtiralq (patent)
sahsin ttbiq edn-texniki savad olan ixtisas.
Riyaziyyat - qdim yuan sz olub, yrnmk, elm demkdir. Riyaziyyatda btn obyektlr v mliyyatlar real hyatn formal v
idealladrlm yazlndan ibartdir. Bu sbbdn riyaziyyat ox vaxt formal
riyaziyyat da adlandrlr.Riyaziyyat real dnyann miqdar mnasibtlri v
fza formalar haqqnda elimdir.
Riyaziyyatn tdrisini elementar v ali riyaziyyata ayrmaq olar.
Elementar riyaziyyat orta mktd tdris olunur:
1. Hesab.
2. Elementar cbr.
3. Elementar hnds: planometriya v stereometriya (qdim yunan sz
stereos brk, fza quruluu v lrm szlrinin birlmsindn tkil olunmudur).
4. Elementar funksiyalar nzriyysi v analizin balanc.
Ali riyaziyyat ali mktblrd tdris olunur:
1. Riyazi analiz.
2. Ali cbr.
3. Analitik hnds.
4. Xtti cbr v hnds.
5. Diskret riyaziyyat.
6. Riyazi mntiq.
7. Diferensial tnliklr.
8. Diferensial hnds.
9. Topologiya.
10. Funksional analiz v inteqral tnliklr.
11. Kompleks dyin funksiyalar nzriyysi.
12. Xsusi trmli tnliklr.
13. Ehtimal nzriyysi.
14. Riyazi statistika.
15. Tsadfi proseslr nzriyysi.
16. Variyasiya hesab sulu v optimalladrma sullar.
17. Hesablama sullar (riyaziyyat).
18. ddlr nzriyysi.
19. Operasiya hesab.
9
Mhndis riyaziyyat fnni ttbiqi riyaziyyat sahsin aiddir.Ttbiqi
riyaziyyatda- riyazi sullarn v alqoritmlrin elm v praktikann baqa
sahlrin ttbiqi msllrin baxlr.
Mhndis riyaziyyatnn predmeti elementar riyaziyyatdan balam ali riyaziyyatn xsusu bolmlrin qdr geni bir spektri hat edir. Drs vsaiti abstrakt riyyaziyyat deyil mhs mhndisin elm v texnikann mxtlif sahlrind rast gldiyi praktiki riyazi msllrin kompyterd modelldirilmsi v tdqiqin ynlmidir. Bu zaman drin riyazi bilik v aradrmalar tlb olunmadndan mhndisin sas vaxt yalnz praktiki msllrin hllin v onlarn istehsalatda v texnikada ttbiqin ynlmi olur.
Intensiv inkiaf edn riyaziyyat v informatikann qovumas nticsind
yaranan, yeni elmi istiqamt kimi, kompter v mhndis riyaziyyat indiki
dvrd kifayt qdr sciyylnmidir.
Mhndis riyaziyyat masir elementar v ali riyaziyyatn sas sahlrinin
yrnilmsind dstk rolunu oynayan oxsayl kompyter paketlrinin
yrnilmsi v onlarn vasitsi il geni spektrli msllrin hllinin
aradrlmas, msllrin hllinin yrnilmsi, mxtlif xarakterli hesabatlarn
yerin yetirilmsin xidmt edir.
Drsliyin mqsdi masir informasiya texnologiyalarndan istifad
etmkl istifadiy sad hesablama v thlil usullarn yrtmkdir. Bunun
n hal-hazrda kompyuter riyaziyyat sistemlrindn daha mnasib olanlar
MatLAB/Simulink paketindn istifad edilmidir.
Matlab Math Work Inc. (AB) irkti trfindn yaradlmdr. Sistem ilk
df XX srin 70-ci illrind istifad edilmy balansa da, onun iklnm
dvr 80-ci illr tsadf edir.
Matlab (qsa- Matrix Labaratory-matris laboratoriyas) mhndis v elmi
hesablamalar yerin yetirmk n nzrd tutulmu interaktiv kompyter
sistemidir.
Matlab elmi kalkulyator adlandrmaq olar. Burada proqramla vizual
vasitlrin vhdti tdqiqatlar n vzolunmaz imkanlar yaradr. Matlabn
trkibind olan v dinamik sistemlrin modelldirilmsi n nzrd
tutulmu vizual-bloklu imitasiya modelldirm paketi Simulink xsusi yer
tutur. Simulinkd avtomatik tnzimlm sisteminin tipik element v bloklar,
funksional v vizualladrma vasitlri kitabxanada olan hazr bloklar klind
tqdim olunur. Proqram tminat is z xmayaraq arxa planda qalr.
Bloklarn parametrlrini dyimk n parametrlr pncrsindn istifad
olunur.
Simulinkd mxtlif modellr klind verilmi idaretm obyektlrini
modelldirmk mmkndr. Bunlardan trm funksiyalarn v vziyyt
modellrini gstrmk olar. Bloklu imitasiya modelldirmsin olduqca az
10
vaxt srf olunduundan bir drs saat rzind nticlri almaq v daha ox
mlumat toplamaq mmkndr.
Matlabda hesablama elementi matris olduundan modeli matris klind
verilmi sistemlri modelldirdikd qurulmu vektor Simulink sxemind
matris v vektorlar daxil etmk kifayytdir.
Tdqiqatlarn virtual xarakter damasna baxmayaraq praktiki tdbiqlrd
ox vacib olan biliklr qazanmaq mmkndr.
Kitabda Matlabn aadak blmlrindn istifad olunmudur:
Symbolic Math Toolbox;
Signal Processing Toolbox;
Control System Toolbox;
Statistics Toolbox;
System Identification Toolbox;
Optimization Toolbox;
Simulink. Matlabda mvcud olmayan mslnin hllini ld etmk n nternet
mracit etmk olar. Matlab szndn sonra mslnin aar szlrini rus v ya
ingilis dilind daxil etmk lazmdr. Msln, Matlab,
(brabrsizliklr sisteminin hlli).
Drslik 12 blmdn v 5 lavdn ibartdir. Hr bir blmnin sonunda
tlblrin mstqil ilmlri n kifayt sayda taprq variantlar
verilmidir.
Kitabda MatLAB sisteminin xsusiyytlri v bu sistemlrd sas ilm
qaydalar, hesablamalarn vizualladrlmas, vektorlar v matrislrl
mliyyatlar, cbri v transendent tnliklrin hlli, xtti cbri, qeyri-xtti v
matris tnliklr sisteminin hlli, trm v inteqrallarn hesablanmas, xsusi
funksiyalar, diferensial tnliklrin hlli, interpolyasiya v reqressiya msll-
rinin hlli, optimalladrma msllrinin hlli kifayt qdr misal nmunlri
gstrilmkl ardcl olaraq rh olunmudur.
Kitab vsait Kompyuter mhndisliyi, Mexatronika v robototexnika
mhndisliyi, nformasiya texnologiyalar v sistemlri mhndisliyi,
Proseslrin avtomatladrlmas mhndisliyi ixtisaslar zr thsil alan
tlblr v bu sahd alan mxtlif pe sahiblri n nzrd
tutulmudur.
Mlliflr: H..Mmmdov Q..Rstmov R.Q.Rstmov
Email: [email protected] mob. (0 50) 516 85 60
11
FSL 1
MATLAB SSTEMNN XSUSYYTLR V SAS LM QAYDALARI _________________________________________________________
1.1. Matlab sisteminin pncrlri
MatLAB sistemi MathWork Inc. firmas trfindn (AB, Neytik h.,
Massausets tat) yaradlmdr. Bu sistemdn ken srin 70-ci illrin
axrlarndan istifad edilmy balanlsa da, onun ttbiq edilmsi 80-c illrin
axrlarndan sonra daha da artmaa balamdr. MatLAB sisteminin axrnc
versiyalar son drc inkiaf etmi sistemlrdir.
MatLAB mhitind sistem il laq matlab.exe proqramn i
buraxandan sonra ekranda grnn pncrlrin (Window) vasitsi il hyata
keirilir.
12
Matlab sisteminin sas pncrlri Kitabda sasn kild gstriln pncrdn istifad edilmidir:
1.Command Window - mrlr pncrsi; 2. Workspace - ii sah; 3. Command History - mrlrin tarixi. 1. Command Window pncrsi. Bu pncr sas pncr olub onun
kmyi il riyazi ifadlr v mrlr daxil edilir, hesablamalarn nticlri alnr,
habel sistemin gndrdiyi mlumatlar tqdim olunur.
Daxiletm stri >> iarsi il nianlanmdr. mrlr pncrsind
klaviaturadan daxil olunan ddlr, dyinlr, hm d hesablamalarn
nticlri gstrilir. Dyinlrin adlar hrfl balamaldr. = iarsi
mnimstm operatoruna uyundur. Enter klaviininin baslmas sistemi
ifadni hesablamaa v nticni gstrmy mcbur edir. Msln, daxiletm
strind klaviaturadan >> a=2+3
daxil etsk v Enter klaviini bassaq, ekranda hesablamann nticsi
grnck: a =5.
13
Hr hans ddi v ya simvolu dyimk (dzli etmk) istsk he n
alnmayacaq. Bu MatLABn xarakterik (blk d atmayan) xsusiyytidir.
Dzli etmk n v klavilrindn istifad olunur. Bu klavilr vvld
daxil olunmu btn ifadlri vrqlmy (yuxar v aaya doru) imkan
verir. Lazmi stird dayanaraq dzli edilir. Daxil ediln ifadnin davamn
nvbti str keirmk n nqtdn . . . istifad olunur.
mirlr pncrsini tmizlmk (silmk) n clc mrindn istifad edilir.
Lakin bu zaman vvlki simvollar, mirlr, alm fayllar v nticlr yadda
saxlanlr. Bu pncrni balamaq n sa kncd yerln dymsini
basmaq lazmdr.
2. Workspace pncrsi. prosesind mxtlif tipli dyinlrdn
istifad olunur.Yaradlml dyinlr v cari seans rzind hesablanm
cavablar kompyterin yaddann xsusi ayrlm sahsind yadda saxlanlr.
Dyinlrin qiymtlrinin ap etmk v ya qrafikini qurmaq olar.Msln,
mirlr pncrsin [t,x1] v ya plot(t,x1) yazmaqla qiymtlri ap etrmk
v ya qrafikini qurmaq olar.
who .
Enter . MLAB
. MLAB
File / Save Workspace As . mat , - .
File / Load Workspace .
3.Command History pncrsi.mirlr pncrsin yazlan btn ifadlr avtomatik olaraq yadda saxlanlr v Command History pncrsin
xarlr. Bu siyahnn xeyri ndir? gr haansa yerin yetirilmi mri tkrar
etmk tlb olunarsa, onu siyahda tapb iki df sol klik etmkl yenidn
yerin yetirmk olar. V ya bu pncrd olan ifadlri tk-tk v ya qrup
kilnd frqlndirib (vvlki kild x=2+3 stri) sol klikin kmyi il mirlr
pncrsin gtirmkl tkrarlamaq olar. Command History pncrsinin
trkibi sistemdn xdqda , htta kompyteri sndrdkd bel
itmir.Siyahn yalnz menynn kmyi il silmk (pozmaq olar).
Digr pncrlri ekrana gtirmk n View (, ru.)menyusindn
istifad edilir.
14
1.2. Matlab sisteminin ba menyusi
Menyularn kmyi il MatLABn n mumi funksiyalar yerin
yetirilir.vvld gstrilmi kildki Matlab 7.6.0(R2008a) versiyasnda
menyu 7 madddn ibartdir:
1. File - fayllarla ilm. 2. Edit - redaksiya etm. 3.View - pncrlrin idar olunmas. 4.Web - ii grn firma il nternet vasitsi il laq. 5. Desktop - pncrlrin ekranda yerldirilmsi 6. Window - pncrlr il laq. 7. Help - Matlabun mlumat sistimi il laq.
1.3. Matlab sisteminin mumi strukturu
mumi tyyinatl hesablama alqoritmlrinin realladran nvdn baqa
MATLABda mxtlif praktiki msllri hll etmk n onlarla Toolboxlar
(xsusi altproqramlar kitabxanas) realiz olunmudur. Msln, SYMBOLC
toolbox - simvolik hesablamalar, Toolbox CONTROL is avtomatik idaretm
sistemlrini modelldirmk v hesablamaq n nzrd tutulub.
MATLAB paketi il yana dinamik sistemlri vizual-bloklu-imitasiya
modelldirilmsini yerin yetirn SMULNK nzrd tutulmudur.Bu paketi
i buraxmaq n vvlki kild gstrilmi dymni basmaq v ya mirlr
pncrsind >>simulink mrini daxil etmk lazmdr. kil 1.1-d MATLAB sisteminin mumi strukturu izah olunmudur.
15
kil 1.1. MATLAB sisteminin mumi strukturu
klin yuxar hisssi Matlabn nvsin uyundur. Burada tez yerin
yetiriln tikilmi (artq sistemd mvud olan) funksiyalar (cmlm, vurma,
triqonometrik v baqa baza funksiyalar) v yerin yetirilm alqoritmlri
MATLAB dilind yazlm m-funksiyalar yerlir. Solda aada hr-biri
onlarla m-funksiyalarindan ibart olan Toolboxlar ailsi gstrilmidir.Sada
is - SMULNK mhiti v onunla bal olan vasitlr (genilnmlr v
mxtlif lavlr n kitabxanalar bloku) gstrilmidir.
1.4. Hqiqi ddlr v double tipli ddlrin tqdim olunma format
MatLABda ddlrin tqdim olunma diapazonu:10-308-10+308.
16
MLAB , , 2.85093+11,
10-. 2.85093+11 2.850931011 . double . MLAB
() short . ,
>> a=5.345*2.868/3.14-99.455+1.274
,
a =-93.2990
. res ,
>> format long
:
>> a
Enter
a =-93.29900636942675
. . ,
>> format short
Enter .
. MLAB ,
:
pi ;
ans .
format long mrindn istifad etsk vergldn sonra on iki rqm almaq olar.
1.4.1. Hesablama dqiqliyinin idar olunmas
17
Hesablamalarn dqiqliyi (vergldn sonra olan rqmlrin say ) digits mri il verilir.Verilmi dqiqlikli hesablamalar vpa mri yerin yetirir.
1.5. Riyazi ifadlrin hesablanmas Riyazi ifadlri hesablamaq n aadak sinvollardan istifad olunur.
1. Xsusi simvollar
Matlab dilind aadak xsusi simvollar mvcuddur:
( ) - dairvi (kiik) mtriz; arqument v ifadlrin ayrlmas v s. sin(x), (x-1)/(x+1)
[ ] - kvadrat (orta) mtriz; vektor v matrislri formaladrr: [1;5;7], [1 3 5; -2 5 3] .
{ }- fiqurlu (byk) mtriz; massiv yuvalarn formaladrr. . - onluq nqt; 3.2; x.^2+x./cos(x)
; - nqt-vergl; operatorun sonunda informasiyann ekrana verilmsinin qarsn almaq, hminin kiik mtrizlrin
irisind matrisin stirlrini ayrmaq n istifad olunur.
: - iki nqt; i:k[i,i+1,i+2,,k]1:5[1 2 3 4 5]
, ayrc (vergl);
.. ana kataloq; bir sviyy yuxar budaa kem. ... strin davam;
18
% - komentari; komentari (aiqlama) vermk n istifad olunur.
! - operiasion sistemin mrinin arlmas; !-dn sonra operasion sistemin mrinin glcyini gstrir.
= - mnimstm; msln, x= [2 1 7] , x=sin(a), x=1:0.5:10;
' drnaq. riyazi ifadd simvol dyininin olduunu gstrir,
msln, '.01)exp(' axy
2. Hesabi mliyyatlar simvollar
:
;
;
* ; / ;
\ ;
^ . abs(a) ddin mtlq qiymti.
3. Elementar riyazi funksiyalar (Elementary math functions)
3.1. (Trigonometric)
1. sin
2. sinh
3. asin ( arcsin )
4. asinh
5. cos
6. cosh
7. acos ( arccos )
8. acosh
9. tan
10. tanh
11. atan ( arctg )
12. atan2 4 arctg
13. atanh
14. sec
15. sech
16. asec
19
17. asech
18. csc
19. csch
20. acsc
21. acsch
22. cot
23. coth
24. acot
25. acoth
3.2. (Exponential)
26. xp
27. log
28. log10
29. log2
30. pow2 2
31. sqrt
32. nextpow2 2
3.3. (Complex)
33. bs
34. angle
35. complex
36. conj
37. imag
38. real
39. unwrap
40. isreal ,
41. cplxpair
3.4. (Rounding and remainder)
42. fix
43. floor
44. ceil
20
45. round
46. mod (Modulus
or signed remainder after division)
47. rem
48. sign (Signum)
Matlabn mirlr pncrsind sturdn -str kemk n nqtdn
... istifad etmk lazmdr.Msln:
Matlabn mirlr pncrsinin tmizlnmsi clc mrinin kmyi il yerin
yetirilir.
1.6. Mnasibt operatorlar
Mnasibt operatorlar iki operantn mqayis edilmsi n nzrd
tutulub. Operantlar eynidirs proqram 1(True), ks halda 0(False) verir.
Operendlarn yazl qaydalar aaida verilmidir.
Funksiyalar Operatorun ad arsi Misal
eq Brabrdir == a=b ne Brabr deyil = a=b lt Kiikdir < a a>b
le Kiik v ya brabr =b
Operatorlar = v = hqiqi v kompleks dyinlri mqayis ed bilir. Bu
zaman hm hqiqi, hm d xyali hisslr mqayis olunur.
Operatorlar = kmpleks ddlri mqayis etdikd yalnz hqiqi
hisslri mqayis edir.
Misallar.
fadlr Funksiyalar Ntic
21
>>5==5 >>eq (5, 5) ans=1 >>3=3 >>ne(3, 3) ans=0 >>2+3i==2+i >> eq(2+3i, 2+i) ans=0 >>2+3i==2+3i >>eq(2+3i, 2+3i) ans=1 >>2+3i=2+3i >>ne(2+3i, 2+3i) ans=0 >>3.2>lt(3.2, 3.21) ans=1 >>2.3+8i>lt(2.3+8i, 2.4+i) ans=1 >>3.8-3i>5+i >> gt(3.8-3i, 5+i) ans=0 >>3>le(3, 2.999) ans=0 >>3>=2.999 >>ge(3, 2.9999) ans=1
1.7. Mntiqi operatorlar
Mhndis praktikasnda mntiqi mliyyatlardan iqtisadiyyatda,
idaretm sistemlrind, mumiyytl insan faliyytinin bir-ox sahlrind
geni istifad olunur. Matlabda aadak elementar mntiqi operatorlarn
yerin yeturilmsi nzrd tutulub:
inversiya (inkar) YOX;
konyuksiya (mntiqi vurma) V;
dezyunksiya (mntiqi cmlm) -V YA;
V YA-nn knar edilmsi ( ). Operatorlarn yazilma qaydalar aada gstrilmidir.
Funksiya Ad
not YOX and V
or V YA xor V ya-nn knarladrlmas
xor mliyyat bel ilyir: operandlar mxtlifdirs- 1, eynidirs- 0. xor-
un inkar ekvivalensiya (adtn simvolu il iar olunur) adlanr. Gstriln elementar mntiqi mliyyatlar Simulink paketind d
mvcuddur.
Daha mrkkb mliyyallar yxarda ad kiln elementar
mliyyatlarn kombinasiyasndan tkil olunur. mliyyatlarn yerin
yetrilm ardcll aadak kimidir:
1. konyuksiya (mntiqi vurma) AND;
2. dezyunksiya (mntiqi cmlm) OR ;
3. inversiya (inkar) NOT mliyyat ardclla gr aparlr.
Mntiqi mliyyatlar iki x1 v x2 operantlar n cdvl klind
gstrk.
22
1. NOT- inkar: y= x . Bu mliyyatnda yalnz bir operant itirak etdiyindn
inkar unar mliyyatdr (cdvl 1.1).
Cdvl 1.1
x xy
0 1
1 0
2. AND-mntiqi vurma y=x1 x2, (&, ).Bu mliyyatda iki operand itirak etdiyindn mntiqi vurma mliyyat binar mliyyatdr (cdvl 1.2).
Cdvl 1.2
x1 x2 y=x1
x2 0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
3.NAND-and-n inkar: ANDy v ya .21 xxy
Cdvl 1.3
4. OR- mntiqi cmlm : y=x1+x2, (|, V). Doruluq cdvli 1.4-d
gstrilmidir.
Cdvl 1.4
x1 x2 y=x1+x2 0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
5. NOR -V YA-nn inkar: .ORy .21 xxy
Doruluq cdvli 1.5-d gstrilmidir.
Cdvl 1.5
x1 x2 y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
23
x1 x2 21 xxy
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
NOR mliyyatnn yoxlanlmasnn Simulink sxemi kil 1.2-d
gsrilmidir.
k.1.2. NOR mliyyatnn yoxlanlmasnn Simulink sxemi
4. XOR- OR-yn knarladrlmas. Doruluq cdvli:
Cdvl 1.4
Mntiqi mliyyat:
.2121 xxxxy
Matlab proqram:
5. Mntiqi ntic (implikasiya):x1 x2, ().
x1
x2
y
Logical
Operator
NOR
Display
1
0
0
0
Constant 1
[0 1 0 1 ]
Constant
[0 0 1 1 ]
x1 x2 y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
24
Cdvl 1.5
x 1 x2 x1 x2
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Ntic yalnsz v yalnsz o vaxt yalan (fal), yni 0 olur ki, x1 hqiqi, x2 is
yalan olsun.
6. Mntiqi brabrlik- XOR-un inkar XORy (ekvivalensiya):y=x1
x2, v ya (=,,). Mntiqi mliyyat:
.2121 xxxxy
Doruluq cdvli 1.6-d gstrilmidir.
Cdvl 1.6
x1 x2 y=x1x2 0 0 1
1 1 1
0 1 0
1 0 0
Bu halda yalnz operantlar eyni olduqda ntic 1 olur.
Texniki misal:
.0
,0
2
1
xyegeru
xyegeruu
mliyyatn mntiqi elementlrd realladrmaq tlb olunur.
x v y siqnallar mntiqi blokun giri siqnallar u1 v u2 is gstriln
mntiqi alqoritm zr obyekt gndriln idar siqnallardr.
x v y siqnallarn bul dyinlrin (1 v ya 0) evirmk n hardlim
blokundan istifad olunur. Bu qurularn x siqnallar:
.00
,01
xeger
xegerzx
.00
,01
yeger
yegerz y
Mvafiq texniki sxem kil 1.3-d gstrilmidir.
25
kil 1.3. Ekvivalensiya mliyyatna aid realizasiya sxemi
Qeyd edk ki, vvlc AND , sonra is OR mliyyat yerin yetirilir.
mliyyatlarn ardclln dyimk n mtrizlrdn istifad edilir.
1.7.1. Matlabda modelldirm
Misal 1.1.
26
Sfrdan frqli olan ddlr v sinvollar zrind mntiqi
mliyyatlar. Bu mliyyatlar konkret misalda aradiraq.
Misal 1.2.
Grndy kimi proqram sfrdan frqli olan ddlri v sinvollar 1
(vahid) kimi qbul edir.
Mrkkb mntiqi mliyyatlar. 2121 xxxxy mntiqi mliyyat
27
yerin yetirk. Burada, (nqt) mntiqi vurma (and), + mntiqi cmlm (or), (dz xtt) inkar (not) kimi istifad olunmudur.
Sadlik n ifad iki hissy paralanmdr:
));(,( 21211 xnotxandxxy )).(( 21212 xxandnotxxy Yekunda
)( 21yyory .
Qeyd etmk vacibdir ki, giri x1, x2,... dyinlrinin say 2-dn byk ola
bilr.
1.7.2. Simulinkd modelldirm Simulink paketinda elementar mntiqi mliyyatlar yerin yrtirn AND,
OR, NOT, XOR, NAND (AND-n inkar), NOR (OR-un inkar) v baqa bloklar mvcuddur.
Bunlar Logic and Bit Operations bunkerind AND blokunun trkibind yerlir:
xi giri dyinlrinin sayndan asl olaraq parametrlr pncrsindn
bloklarn girilrin sayn artrmaq mmkndr.
Simulinkd giri x1,x2,x3,..... bul (0 v ya 1) qiymtlrini sxem daxil
etmk n Constant blokundan istifad etmk olar. ddlr Parametrlr
Logical
Operator 5
NOT
Logical
Operator 4
XOR
Logical
Operator 3
NOR
Logical
Operator 2
OR
Logical
Operator 1
NAND
Logical
Operator
AND
28
pncrsindn [1 0 1 1 0...] vector klind daxil olunur. Nticni grmk
n Display cihazndan istifad olunur.
kil 1.4-d AND mliyyatnn realizasiya sxemi gstrilmidir.
kil 1.4. AND mliyyatnn realizasiya sxemi
Girilrin say n=3 olarsa kombinasiyalarn say N=2n=8. V doruluq
cdvli
Bu halda, msln, OR-un Simulink sxemi kil 1.5-d gstrilmidir.
kil 1.5. OR mliyyatnn realizasiya sxemi
vvld baxdmz NANDxxxxxxy 212121
mliyyatan Simulinkd realiz edk.
kil 1.6-da muvafiq realizasiya sxemi gstrilmidir.
x1 0 0 0 0 1 1 1 1
x2 0 0 1 1 0 0 1 1
x3 0 1 0 1 0 1 0 1
29
ril 1.6. Mrkkb mntiqi mliyyatn realizasya sxemi
Sxemd .,, 21212211 yyyxxyxxy Grndy kimi cavab
y=[0 1 1 1 ] vvld proqramladrma yolu il alnm cavab il eynidir.
almalar - 1.1
Aadak mntiqi mliyyatlar proqladrma yolu il v Simulink
sxeminin vasitsi il yerin yetirin.
1. V=xy+z 2. V= zyx 3. zxyV
4. V= zyx 5. V= zyx 6. V= ,zyx
7.V=x+y+z, 8.V= ,zyx 9.V= ,zyx
10.V= ,zyx 11.V= ,zyx 12. ,zxyxV
13. .zyxxV 14.V= .zxyx 15. V= .zzyx
1.8. Say sistemlri. Bit mliyyatlarn yerin yetirn funksiyalar
Burada rqm texnikasnda istifad olunan mxtlif say sistemlrinin biri-
30
birin evrilmsi qaydalarna baxacaq.Mhndis praktikasnda adtn
2,8,10,16-lq say sistemlrindn istifad olunur.
Bit v bayt (1 bayt=8 bit) rqm informasiyasnn l vavidi olub ikilik say sistemin (rqm kodu) tkil edn 1 v ya 0 demkdir. Buradan, hr-bir bit
bir mrtbdir ().Msln, 10010 -5 mrtbli, 0010 is4 mrtbli
dddir. Onluq say sistemind tklik (0,1,2,...,9)-1 mrtbli, onluq ddlr
(10-99) -2 mrtbli v s. Msln, 6324-4 mrtbli dddir. Sad dild
desk,mrtb ddi tkil edn rqmlrin sayna brabrdir.
Daha byk l vahidlri: 1kilobayt=103bayt, 1meqabayt=106 bayt, 1giqabayt=109 bayt, 1petabayt=1012bayt v s.
1. kilik say sistemindn onluq say sistemin keid (210).Bu keidin
sasnda onluq ddin aadak tsviri dayanr:
,... 0112
11
0 papapapaA nnnn (1.1)
Burada a0...an nn aaaaA 110 ... ddini tkil edn 0-9 qdr rqmlr;
p- say sisteminin sas (adtn, p=2,8,10,v ya 16), n- A ddinin mrtbsidir
(A=14526 olarsa n=5).
evirm bilavasit (1.1) dsturunun sasnda aparlr.Bu halda p=2.
Misal 1.3. 1100101012 ddini onluq say sistemin evirk. Bu halda n=9
olduundan, yazmaq olar:
.40514
161282561120418016132064012812561
122021202120202121110010101
10
0123456782
Bellikl 1100101012=40510.
Matlabda realizasiya
2 10 keidnn matlab fuksiyas bin2dec( ).
2. Onluq say sistemindn ikilik say sistemin keid (102). Bu mlliyyat yerin yetirmk n xsusi blm qaydasndan istifad olunur:
hr df alnm qismt ( blm nticsind alnm ntic ) yenidn 2-y blnr. 2-y blmd qalq 1v ya 0-a
brabr ola bilr;
blm o vaxta qdr davam etdirilir ki, qismt 2-dn kiik olsun.
alnm qalqlar axrdan vvl doru yazlr. Misal 1.4. A=56710 onluq ddini ikilik say sistemin keirk. Blm
31
qaydas aada gstrilmidir.
Blm nticsind alnm qalqlar: 1,1,1,0,1,1,0,0,0,1. Bu rqmlri
axirdan vvl dru dzsk nticni alarq: 10001101112. Bellikl56710
=10001101112.
Matlabda realizasiya. Mvafiq Matlab funksiyas dec2bin(). Misal 1.5.
32
3. Onluq say sistemindn skkizlik say sistemin keid (10 8). Bu
halda da 102 uyun olaraq stunlu blmdn istifad olunur:
ilkin tam dd 8- o vaxta qdr stunlu blnr ki, qismt (ntic) 8-dn kiik alnsn. 8- blmd qaliq 0,1,...,7 ola bilr.
Alnm qalqlar axrdan vvl doru yazlr. Misal.56710 ddini skkizlik say sistemin evirk. Blm aada
gstrilmidir.
Blm nticsind alnm qalqlar: 7,6,1,0. Bu rrmlri axrdan vvl
yazaq: 1067. Bellikl 56710=10678 .
4. Onluq say sistemindn onaltlq say sistemin keid (10 16). Bu
keid d yuxarda istifad olunan stunlu blm qaydasna saslanr.
Misal 1.6. 56710 onluq ddini 16-lq say sistemin evirk. Aada mqvafiq blm gstrilmidir.
Blm nticsind alnm qalq: 0,12,1. 12-ddini C il vz edib
qalqlaraxrdan vvoru yazsaq alarq: 44810 =1C016.
33
Matlab fuksiyas dec2hex().
ks (1610) keid hex2dec() fuksiyasinin vasitsi il yerin yetirilir.
Qeyd edk ki, onaltlq say sistemind ikirqmli ddlrdn ibart olan
oaln 10,11,12,13,14,15 qalqlar uyun olaraq A,B,C,D,E,F hriflri il iar
olunur.
mumi hal 1. Onluq say sistemindn digr say sistemlr keid (10...). Matlab
funksiyas dec2base(d,p). Burada d-onluq say sistemind olan dd (v ya stir klind olan ddlr
[a,b,c,...,p), p- keid olunas say sisteminin sas.
Misal 1.7.
34
Kompyterd 2+1=3 mliyyat bu rqmlr ikilik say sistemin
evrildikdn sonra 110010+(OR) 110001=110011, yn mntiqi cmlm kimi
yerin yetirilir.
ks evirm 2. p sasl say sistemindn onluq say sistemin keid (...10). Matlab
funksiyas base2dec(S,p). Burada S- sas p olan dd (v ya stir klind olan bir-ne ddlr
[a,b,c,...,p].
Misal 1.8.
Burada baxlmayan keidlri nternetdn gtrmk olar.
almalar-1.2
MatLAB parametrlrin .
1. 31,a ; 910,b ; 750,c ; 322,x ; 8k
35
ax
bc
tg
kxcos
b
kxa
c
xasiny
3210
2
3
24
2. 2k ; 320,x ; 251,d ; 4n ; 750,b ; 22,c
510
3 22
223
sin
kxcos
cdbx
)bx)(dx(kntgy
3. 5i ; 2k ; 10,x ; 225,a ; 352,b
32
253
2
3 1010
)ba(
xke
)ba(
baxintgy
4. 251,a ; 050,c ; 52,d ; 5i ; 351,x
3 2
23
2
102 )ca(
adce
isin
)ca(dcy ix
5. 2k ; 52,x ; 310,c ; 930,a ; 615,b
xcaxkxcos
ba
sin
kxlny 3
3 2410
7
6. 2k ; 53,a ; 350,b ; 5231,x
xebax
ln
kx
ba
b
axy kx
3 22
4 310
7. 71,a ; 251,b ; 30,c ; 52,x ; 3k
kx
abkxcos
sin
abc,
,
abcy
5410
7
70
42
8. 31,a ; 422,b ; 51,x ; 2k ; 830,c
54222
103
bckxsine
ktgk
kxsin
bay
kx
9. 290,x ; 42,a ; 3k ; 521,c
x
ckcosx,
x,
axlny
2
42
2
3 2
7
10470
470
10. 52,a ; 351,b ; 752,x ; 3i ; 720,c
bcaix
sin)xa(,ba
i
cba
)ba(,y
22
23 75210
5
51
11. 53,a ; 2i ; 70,b ; 80,x
bbx,iacos
bxx,isiny
6 3
324 320
432010
36
12. 724,a ; 251,b ; 010,d ; 252,x ; 2i ; 3k
kxsin
icos
)ba(
kx
)ba(
daxy
5
2
4
2
2
10
13. 253,a ; 28,x ; 4k ; 050,b ; 950,d
3
434
5
1042 )ax(k
dx)ax(
b,
ax)ax(kcosy
14. 480,x ; 310,b ; 721,c ; 012,a ; 3k
215710 32
5 32
kxsin
cekxlnbaxy
kx
15. 52,x ; 040,b ; 3k ; 5n
n)bx(
sinbxcose
x,bx
y kx
2
242 3
10409
1
16. 50,x ; 712,a ; 253,c ; 533,d ; 5k
cdxkxcoslnxxdk,
)caxsin(y 54
3 2
2
2
103250
17. 020,a ; 253,x ; 52,b ; 21,c ; 50,d ; 6k
5254
2
210
bdsincbd
ebd)bax(y
kd
18. 71,a ; 322,b ; 920,c ; 2k ; 0570,x
k
c
xksina
xktge
ba
bxkcosy
2
3274
22
2 510
19. 521,a ; 213,b ; 4n ; 2k ; 41,x
5 24
2
2
1050 baxnxcos
ksin
b)ba(
bax,y
20. 3k ; 53,a ; 350,b ; 4n ; 020,x
3
41050
2
ba
abx
kxcos
nasinx
x,ba
ktgabxy
21. 41,a ; 325,b ; 4n ; 54,x
37
FSL 2 FUNKSYALARIN HESABLANMASI, CDVLLDRLMS V VZUALLADIRILMASI
_________________________________________________ MatLAB
. , , , ; ; , .
2.1. Funksiyann qiymtinin hesablanmas v cdvlldirilmsi
Hr hans funksiyann qiymtini hesablamaq n vvlc arqumentin qiymtlrinin daxil etmk (generasiya etmk) lazmdr. Bu mliyyat mxtlif
sullarla etmk olar. Arqumentin qiymtlri xi diskret olduundad funksiyann
bu nqtlrd hesablanm qiymtlri d diskret kild yi(xi) olur. Qrafiki
tsvird nqtlr ksilmz (-) v ya stildn asl olaraq qrq-qrq (--) (v ya
baqa) dz xtl birldirilirlr.Lazm glrs diskretldirm nqtlrini qeyd
etmk olar, msln dairciklr il.Funksiyann qrafikini originala
yaxnlama dqiqliyini artrmaq n arqumentin dx diskretldirm addmn
kiiltmk lazmdr.
Misal 2.1. y=ex funksiyasnn [0;1] intervalnda sabit h=0,2 addmla v x=[0, 0.5, 1, 2, 5] qiymtlri n qiymtlrini hesablayb cdvlldirk.
Eyni zamanda bir-ne funksiyan cdvlldrmk mmkndr.
Frz edk ki, y1=ex, y2=x
2, y3=sin(x).
38
Cdvlin tronspon (stirlrl stunlarn yerinin dyidrilmsi) edilmsi.
2.1.1. Massivin elementlrinin cminin v hasilinin
hesablanmas
1.Cmin hesablanmas.Matlabda massivin lementlrinin cmi sum(x)
funksiyasnn kmyi il hesablanr.
x-vektor olarsa vektorun elementlrinin cmi hesablanr.x-matris olan
halnda is hr-bir stunun elementlrinin cmini hesablanir.
Misal 2.2.
39
2.Hasilin hesablanmas. Matlabda massivin lementlrinin hasili prod(x)
funksiyasnn kmyi il hesablanr.
x-vektor olarsa vektorun elementlrinin hasili hesablanr.x-matris olan
halnda is hr-bir stunun elementlrinin hasili hesablanir.
Misal 2.3.
1-dn 10-qdr ddlrin hasili;
[1 4 9 16 25] vektorunun (vektor stir) lementlrinin hasili;
[1 2 3 4;2 3 4 5;3 4 5 6;4 5 6 7] matrisinin elementlrinin hasilini hesablayaq.
40
2.2. Funksiyalarn vizualladrlmas
2.2.1. kill qrafika
:
)y,x(plot ,
)s,y,x(plot ,
)sn,yn,xn,,2s,2y,2x,1s,1y,1x(plot .
B:
;
, ;
s () ; ; ();
xn,,2x,1x n
;
yn,,2y,1y n
. )y,x(plot )x(f ,
. . :
0)x(f ()
; (, ,
, ) -;
-.
Misal 2.4.
6x93y x .
06x93x .
:
>> x=0:0.1:3.5;
>> y=3.^x-9.*x+6;
>> plot(x,y)
41
kil 2.1-d f gstrilmidir.
kil 2.1. 6x93y x funksiyasnn qrafiki
, . () :
.30.2
,5.15.0
2
1
x
x
5.25.1 min x
. )s,y,x(plot )y,x(plot
s . .
,2s,1s ()
. ( 2.1),
( 2.2), ( 2.3). . , 'r+-' '-+r' .
2.1
- -- : -.
42
2.2
c g
m b
y w
r k
2.3
+ *
1. Qrafiklrin bir pncrd qurulmas. y1=x2 v y2=sin(5x)
funksiyalarnn qrafiklrini bir pncrd quraq (k.2.2).
Misal 2.5.
kil 2.2
43
Dyn nqtlri dz xttlrl birldirilmidir. Dqiqliyi artrmaq n x
arqumentinin dx=0.2 diskretldirm addmn kiiltmk lazmdr.
Yeni qrafiki yeni pncrd qurmaq n plot mrindn vl figure(2) mrini daxil etmk lazmdr:
>>figure(2); plot(x,y); ki qrafiki bir pncrd qurmaq n hold on mrindn istifad olunur (kil 2.3):
kil 2.3
Analoji nticni plot(x,y,x,z) mrinin kmyi il d almaq olar. 2. Qrafiki qurulan funksiyaya mhdudiyyt verilmsi. Bzi hallrda
qrafiki qurulan funksiya x arqumentinin myyn qiymtlrind olduqca byk
qiymt alr. Msln, ikinci trtib ksilm ba verir. kala bu qivmt
uyunladndan funksiya lazmi trzd vizuallaa bilmir. Funksiyan
mhdudladrsaq bu atmamazl aradan qaldrmaq olar. Lazm olarsa
arqumentin qrafik xarlan qiymtini d (absis oxunu) mhdudladrmaq olar.
Aada Matlab proqramnn teksti gstrilmidir:
x=0:01:x1; y=f(x);plot(x,y), xlim([xmin xmax]), ylim([ymin ymax]). xmax> % Qrafikin qurulmas
44
kil 2.4
kil 2.5
Funksiyann mhdudladrlmas tg(x) qrafikinin normal
vizualladrlmasna sbb oldu.
Koordinat oxlann miqyasnn dyidirilmsi: axis([xmin, xmax, ymin, ymax]). 3.Parada verilmi funksiyalarn qrafiki. hissdn ibart olan
funksiyann qrafikini quraq:
45
.2,sin
;,
;2,sin
)(
3
xx
xx
xx
xy (2.1)
vvlc hr buda, yni ct (x1,y1),(x2,y2) v (x3,y3) massivlrini
hesablamaq lazmdr. Sonra absislri x, fuksiyalar is y vektorunda birldirib,
(x,y) ctnn xarakteriz etdiyi yrinin qrafiki qurulur.
Misal 2.7.
kil 2.6-da (2.1) ifadsin uyun gln parada verilmi (v ya hiss-hiss)
y(x) funksiyasnn qrafiki gstrilmidir.
kil 2.6
4.Parametrik kild verilmi funksiyann qrafiki. Bu tip funksiya
aadak kild verilir:
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
46
).()(),()( 21 ttyttx (2.2)
y=f(x) asllnn qrafikini qurmaq tlb olunur.t parametrini birinci tnlikdn
tapb (gr bu mmkndrs) ikincid yerin yazsaq y=f(x) funksiyasnn
analitik ifadsini ala bilrik.
Lakin Matlabda qrafik qurmaq n daha konstruktiv sul mvcuddur.
vvlc t arqumentinin (parametr, burada zaman) qiymtlr vektoru
generasiya olunur. Sonra x(t) v y(t) funksiyalar hesablanr. Mhz bu vektorlar
plot -un arqumentlri rolunda x edirlr.
Misal 2.8. Frz edk,ki x(t)=0.5sin(t), y(t)=0.7cos(t), ].2,0[ t
kil 2.7-d (2.2) formasnda verilmi funksiyann qrafiki gstrilmidir.
kil 2.7
5. Eyni zamanda bir-ne qrafiki pencrnin almas. Bu mliyyat
mxtlf qrafiklrin ycam kild vizualladrlmas mqsdi n nzrd
tutulmudur. Bu mqsdl pncrlri matris klind yerldirmy imkan
vern parametrli subplot(i,j,n) mrindn istifad olunur.Burada i,j-
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
47
pncrlrin vertikal v horizontal zr say (matrisin stir v stunlarin say),
n-cari ap olunacaq qrafikin nmrsdir. Hr bir subplot(i,j,n) nvanndan
sonra vizualladrma mrini yazmaq lazmdr (msln, plot(.) v ya
ezplot(.),...)
Misal 2.9. Sad misala baxaq. 1)
kil 2.8 2)
48
kil 2.9
6. Qrafiklrin mxtlif pncrlrd qurulmas. Mxtlif avtonom qrafiki pncrlr amaq n figure mrindn istifad olunur.
Misal 2.10. y=5sin(2x)e-0.3x, z=10cos(12x0.4) funksiyalarnn qrafiklrini mxtlif pncrlrd quraq.
kil 2.10
7. Simvolik kild verilmi fuksiyann qrafiki. Qrafik ezplot(.)
49
funksiyasnn kmyi il qurulur:
ezplot(f) -f(x) funksiyasnn qrafikini x [2pi,-2pi] intervalnda qurur;
ezplot(f,xmin,xmax) -f(x) funksiyasnn qrafikini verilmi x [xmin,xmax] intervalnda qurur;
Misal 2.11. f=sin(x) funksiyasnn qrafiki.
kil 2.11-d mvafiq qrafik gstrilmidir.
kil 2.11
Misal 2.12. -3
50
kil 2.12
2.2.2.ll qrafiklrin qurulmas
Fza qrafiki plot3(.) funksiyasnn kmyi il qurulur. Misal 2.13. 1)
kil 2.13
2) x,y arqumentlrinin [-4;4] intervalnda h=0.1 addim il z=lnx+lny
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
x
yx2-y2-1 = 0
0
10
20
30
40
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
51
funksiyasnn qrafikini quraq.
kil 2.14
2.2.3. qlandrlm sthin qurulmas
Frz edk ki, sth i ks etdirn v udan materialdan
hazrlanmdr.Bundan baqa, iq mnbyinin yerini dyimk mmkndr.Bu
iki imkan qrafikin dndrilmsi il birlikd sthi lazmi bucaq altnda
iqlandrmaa v tbii grkm almaa imkan berir.qlandrlm sthi
qurmaq n surfl funksiyasndan istifad olunur. Arqumentlrin ]1,0[],1,1[ yx intervalnda
)1()1()5.1cos(2sin4),( 2 yyxyxyxz
ifadsi il verilmi iqlanm sthi quraq.
surfl funksiyasndan istifad etdikd rng politrasn copper,bone,gray,pink funksiyalar il vermk lverilidir. Bu halda in
intensivliyi xtti dyiir.Rvan dyin klg almaq n shading interp dn
52
istifad etmk olar.
Matlabda relizasiya.
Misal 2.14.
kil 2.15
2.2.4. Qrafiklr ailsinin qurulmas.Dvr operatopu
Frz edk ki, parametrdn asl olan funksiyan parametrlrin mxtlif qiymtlrind v dyinin verilmi intervalnda hesablamaq tlb olunur.Bel
funksiya y=f(a,x) klind veril bilr.
Bu mqsdl for (n) dvr operatorundan istifad olunur: for a=amin:a:amax
Matlab mirlri end
Misal 2.15. y(a,x)=e-axsin(x) funksiyasnn parametrin ]1.0,1.0[a qiymtlri n dyinin ]2,0[ x intervalnda yrilr ailsini
53
quraq.
kil 2.16
54
FSL 3
RYAZ FUNKSYALARIN HESABLANMASI _________________________________________________________
sas riyazi funksiyalar aadaklardr:
1. Elementar funksiyalar.
2. Xsusi funksiyalar.
3. stifadcinin funksiyalar.
Funksiyalarn siyahsn gstrk v onlarn hesablama qaydalarna baxaq.
3.1. Elementar funksiyalar
Riyazi funksiyalar fun(x) klind tsvir olunur.fun-funksiyann ad, x- arqumentidir (dd v ya matris).Bzi elementar funksiyalarin hesablanma
texhologiyasna baxaq.
sas elementar funksiyalarn siyahs lav 1-d verilmidir.
3.1.1. Cbri v arifmetrik funksiyalar
1. abs(x)- x-in mtlq qiymti. Aadak dd v matrislerin mtlq qiymtlrini tapaq:
x1=(-3, 5); x2=(2, 3, 2+3i, i);
.
52
321
32
3
ix
Misal 3.1.
55
2.exp(x)- eksponensial funksiya. x-hqiqi dd olarsa ex hesablanr.gr x=a+ib kompleks kmiyyt olarsa
kompleks eksponenta dicbibee ax )sin(cos hesablanr.
Aadak arqumentlr n ex hesablayaq:
x1=(1 2 3 4 5); x2=(2.5+7i -1 1);
.
25.05.0
52.13
1.01
3
ii
i
x
Arqumentlri bir matris klind birldirmk n x1, x2, x3 stirlri eyni
gtrlmdr.
Misal 3.2.
56
3.log(x), log10(x), log2(x) - loqarifmik funksiyalar ddlrin sas e, 10,v
2 olan loqarifmlrini hesablayr.
Arqument x msbt, mnfi v kompleks ola bilr.gr x=a+ib kompleks
kmiyytdirs, onda kompleks loqarifm adlanan loqarifm hesablanr:
).,(2))(log()log( baanatixabsx
Hqiqi a v b ddlri n z=atan2(a,b) a,b vektorlar arasnda bucaqdr:
].,[
Misal 3.3.
57
3.1.2. Hiperbolik funksiyalar
Bunlar eksponensial funksiyalarla ifad olunurlar:
.1
2)(,
1
2)(,
1
1)(
,1
1)(,
2)(,
2)(
222
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xxxxx
e
excsh
e
exsch
e
excth
e
exth
eexch
eexsh
Mvafiq Matlb funksiyalar (bax, lav 1):
vvld olduu kimi arqument x hqiqi, kompleks dd, vektor v ya matris ola bilr.
Misal 3.4.
58
3.2. Kompleks dyin funksiya
Matlabda xyali vahid 1 i v ya j il iar olunur (lav 1). Xyali ddin sas gstricilrinin tyin olunmasna misalda baxaq. Misal 3.5.
Kompleks ddlr zrind elementar mliyyatlar addi cbri iarlrin +, -, *, /, \ v ^ kmyi il aparlr.
Misal 3.6.
59
Qeyd edk ki, sadan blm addi, soldan blm is ksin
blmdir:5/2(5:2)=2.5; 5\2(2:5)=0.4.
3.3. Yuvarladrma v blmdn alnan qaln hesablanmas funksiyalar
Funksiyalar v yazl:
-fix(x) -sfra trf n yaxn tam dd qdr yuvarladrma; -floor(x)- mnfi sonsuzlua trf n yaxn tam dd qdr yuvarladrma;
-ceil(x)- mnfi sonsuzlua trf n yaxn tam dd qdr yuvarladrma; -round(x) - n yaxn tam dd qdr yuvarladrma; -mod(x,y) - iarsi nzr alnmaqla tamqiymtli blm nticsind alnm
qalq;
-rem(x,y) - modula gr tamqiymtli blm nticsind alnm qalq;
60
-sign(x) - ddin iarsinin tyin olunmas. rem(.) v mod(.) funksiyalar aasak kimi hesablanr:
rem(x,y)=x-y*fix(x/y); mod(x,y)=x-y*floor(x/y). x v y arqumentlri msbt olduu halda rem=mod.
Msln,rem(7,2)=mod(7,2)=1. Misal 3.7.
>> b=[1.95 8.17 -4.2]; >> fix(b) ans = 1 8 -4 >> floor(b) ans = 1 8 -5 >> ceil(b) ans = 2 9 -4 >> round(b) ans = 2 8 -4 >> mod(b,2) ans = 1.9500 0.1700 1.8000 >> rem(b,3) ans = 1.9500 2.1700 -1.2000 >> sign(b) ans = 1 1 -1
3.4. Polinomlar
Aada gstrln
n
1n
1
n
0 a...sasap
polinomlarn cmlnmsi, vurulmas, blnmsi, kklrinin tyini, verilmi
kklr sasn polinomun brpas, sad vuruqlara ayrlmas msllrin
baxaq. s=x olarsa yazmaq olar:
nnn axaxay ...110 .
61
1.1. Polinomlarn vurulmas v blnmsi.. Vurma p=p1p2 iki-iki conv
(z1, z2) funksiyasnn kmyi il yerin yetirilir. Burada, z1, z2 uyun p1 v p2
polinomlarnn msallar vektorudur. polinomun hasili conv(conv(z1, z2),
z3). ki p1(s) v p2(s) polinomlarnn blnmsi deconv(z1,z2) funksiyasnn
kmyi il hyata keirilir.
Misal 3.8. Aada p1=3s2+2s+1, p2=s+4 polinomlarnn vurulma v
blnm proqramlar gstrilmidir.
Vurma mliyyat nticsind p(s)=3s3+14s
2+9s+4, blm nticsind is
p(s)=3s-10, qalq t=0s2+0s+41.
1.2. Polinomun verilmi s=k nqtsindki qiymtinin hesablanmas. mliyyat polyar (n,k) funksiyasnn kmyi il hyata keirilir. n-polinomun
msallar vektoru, k s dyininin qiymtidir.
Aada p(s)=5s5+7s
4+2s
2-6s+10 polinomunun s=2 nqtsindki qiymtinin
hesablanmas gstrilmidir.
1.3. Kklrin tyini. Bu mliyyat roots (z) funksiyasvasitsi il hyata
keirilir. p=5s5+7s
4+2s
2-6s=0 polinomunun kklrinin tyin olunmas
gstrilmidir.
62
1.4. Verilmi kklr gr polinomun brpas. Bu mliyyat poly (.)
funksiyasnn kmyi il hyata kemirilir.
Grndy kimi, p(s)=0 tnliyinin hr trfi 5- blnmdr. Yni
yksk trtib s5-in msalna gr normalladrma aparlmdr.
1.5. Polinomlarn sad vuruqlara ayrlmas.Bu mqsdl factor(.)
funksiyasndan istifad olunur.
Bu halda polinomun iki j46.31p 3,2 kompleks-qoma kk
oldugundan onlar hqiqi kvadratik hdd klind gstrilmilr.
3.5. stifadinin funksiyas
Hesablamalar ddi qsullarla yerin yetirdikd adtn rekurent ifadlrdn
istifad olunur. Hesablama prosesind hr iterasiyada bu ifady yz dflrl
63
mracit olunur. Bu sbbdn, hesablamalar srtlndirmk mqsdi il sas
ifadni (msln, inteqralalt ifad) M-fayla , mliyyat funksiyasn is
Matlabn mirlr pncrsin yazrlar. M-fayla yazlan funksiya istifadinin
funksiyas adlanr.
M-fayln redaktor pncrsini armaq n aadak mliyyatlar
yerin yetirmk lazmdr:
1. Matlab armaq. 2. File/New/M-File dymsin klik etmk. Pncr alacaqdr.
Lazmi mirlri daxil etdikdn sonra Save dymsin klik etmk. Baqa
pncr alr.Burada Cox (Save) dymsin yen klik etmli.
3.6. fadlrin sadldirilmsi v evrilmsi
Polinomlar zrind mliyyatlar aadak funksiyalarn kmyi il
hyata keirilir:
Polminom (x+a)
4 +(x-1)
3 - (x-a)
2 ax+x-3 daxil edib pretty funksiyasnn
kmyi il tsvir edk.
x-in qvvtlrin nzrn qrupladrma.
64
sin(x+y) ifadsini sadvuruqlarn cmi v hasili klind gstrk.
Daha mumi kild olan ifadlri sadldirmk n simple v simplify funksiyalarnn kmyi il hyata keirilir. (1-x
2)/ (1-x) ifadsini
sadldrk.
almalar- 3.1
1. Polinomlar zrind MATLABda mliyyatlar.
1.1.Tnliyin kklrini tapn.
A1(s)=s3+3 s
2+5s+7=0,
A2(s)=s4+3 s
3+4s
2 +4s+10=0,
A3(s)=s4+2 s
2+1=0.
1.2. A1(s)/A2(s), A2(s)/A3(s) blm v eyni zamanda vurma mliyyatlarn
yerin yetirin.
65
1.3. Bnd 1.1-d verilmi polinomlarn uyun olaraq s=1, s=4, s=10
nqtlrindki A1(1), A2(4), A3(10) qiymtlrini tapn.
1.4. Verilmi kklr sasn p(s)polinomunu brpa edin:
s1=-2; s2,3=4j; s4,5=-2 1j; s6=0.
FSL 4
66
XSUS HESABLAMALAR _________________________________________________________
4.1. Hddlrin hesablanmas
Hddlrin hesablanmas riyazi analizin vacib sahsini tkil edir.
h ddi f(x) funksiyasnn a nqtsind o zaman hddi adlanir ki, x dyini a
nqtsin yaxnladqda (xa) f(x) funksiyas h-a hdsiz yaxnlasn. Bu
proses aadak kimi iar olunur:
.)(lim hxfax
El funksiyalar mvcuddur ki, (msln, a nqtsind ksiln) onlarn x=a
nqtsinin znd hddi yoxdur (yni, (inf) ola bilr).Lakin soldan xa-0
v sadan xa+0 yaxnlamada hddi mvcuddur.Burada sfr ox kiik
kmiyyt kimi baa dlr. Birinci halda deyirlr ki, hdd a nqtsindn
solda, ikinci halda is-sada mvcuddur. Msln f(x)=tg(x) funksiyasnn
)90(2/ ax nqtsind limiti yoxdur. Sol v sa hddlr brabr olarsa,
onda x=a nqtsind hdd mvcuddur.
Kompyter cbrinin mliyyatlar 0/0, 0/, /0, /tipli qeyri-
myynliklrir halnda bel funksiyann hddini tapmaa imkan verir.
Matlabda hddlr limit(.)funksiyasnn kmyi il hesablanr. Sintaksis limit(f,x,a): -f-hddi tyin olunan funksiya;
-x-arqument;
-a-x-in hdd qiymtidir.
limit(f,x,a,left)-soldan yaxnlama hddi; limit(f,x,a,right)-sadan yaxnlama hddi.
Misal 4.1.
x
x
x
)sin(lim
0tapaq.
Misal 4.2.
n
n n
x
)1lim tyin etmli.
67
Cavab f=ex artan eksponentadr.
kil 4.1-d ilkin funksiyann n=10, n=100 qiymtlrind v hdd
funksiyalarnn qrafiklri gstrilmidir.
kil 4.1
Grndy kimi, n artdqca ilkin funksiyann qrafiki znn hdd yrisin yaxnlar.
Misal 4.3. y=tg(x) funksiyasnn pi/2 (90o) nqtsind sol v sa hdd qiymtlrini tapaq.
68
4.2. Funksiyann sraya ayrlmas Mrkkb funksiyalarin aproksimasiyas (yaxnlama) msllrind bu
funksiylarn tdqiqat v hesablama baxmndan daha sad olan sraya ayrlmas
vacib yer tutur. Bundan baqa, qeyri-xtti funksiyan xttildirdikd onu
sraya ayrb xtti hissni gtrrlr.
4.2.1. Teylor sras
y=f(x) funksiyasn stl sraya ayrmaq n Teylor srasndan istifad
olunur:
.)(!
)(....)(
!
)(
...)(!2
)()(
!1
)()()(
0
)()(
2
n
n
nn
n
axn
afax
n
af
axaf
axaf
afxf
Burada a- kiik trafnda sraya ayrmann yerin yetirildiyi x=a nqtsidir.
)(),...,(),(),( )( afafafaf n funksiya v onun trmlrinin x=a
nqtsindki qiymtidir (srann msallar). Aydndr ki, msallar hesablaya bilmk n f(x) funksiyasnn x=a nqtsind (kiik trafnda) n-d daxil olmaqla btn trtib trmtri mvcud olmaldr. x=a olarsa sra Makleron sras adlanr:
....!
)0(...
!2
)0(
!1
)0()0()(
)(2
n
n
xn
fx
fx
ffxf
Matlab sistemind funksiyann Teylor srasna ayrlmas taylor(f,x,x0,n) funksiyasnn kmyi il hyata keirilir.
Burada:
f - sraya ayrlan funksiya; x- arqunent;
x0=a - kiik trafnda sraya ayrmann yerin yetirildiyi nqt; n-hddlrin say. Misal 4.4. y=ex, y=sin(x) funksiyalarn x=0 nqtsinin trafnda Teylor srasna ayrb n=5 hddini trn.
69
x=0 nqtsind f=sin(x) funksiyasnn ct trtibli trmlri sfra brabr
olduundan proqram yalnz iki hdd vermidir.
Misal 4.5.x
xfsin54
1)(
funksiyasn x0=2 nqtsinin trafnda sraya
ayrb n=5 hddini gtrmli. Alinm funksiyann qrafikini qurub ilkin f(x)
funksiyasnn qrafiki il mqayis etmli.
kil 4.2.
Grundy kimi, n=5 n orta x=1 nqtsinin [1;3] trafnda
aproksimasiya (yaxnlama) kifayyt qdr dq aparlmdr.
4.2.2. Srann cminin hesablanmas
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.2
0.21
x
Teylor aproksim. ve ilkin funksiya
Funksiya
Teylor
70
Riyazi analizd bir-ox hallarda arqumentin tam x=k qiymtlrind srann cmini hesablamaq lazm glir:
.)(
b
ak
kfF
Arqumentin yuxar hdd qiymtindn asl olaraq cm sonlu b
71
Matlabda Psi() funksiyas .)(
/)()(
dxxdxPsi Burada (x)-qamma
funksiyadr.
Misal 4.8. El hallar mmkndr ki, toplanan hddlr tkc k indeksindn deyil, hr-hans simvol, msln, x dyinindn d asl olur.
sin(x) funksiyasnn siraya ayrl:
.)!12(
)1(12
0
k
xs
k
k
k
Bu cmi hesablayaq.
Gzlnildiyi kimi, cm ilkin sin(x) funksiyasna brabr olmudur.
4.2.3. Furye sras
72
Furye srasnn sas stnly ondan ibartdir ki, o ksin v qeyri-hamar
funksiyalar hamar funksiyalar il yksk dqiqlikl aproksimasiya
(yaxnlama) etmy imkan verir. Ksiln funksiyaya misal olaraq dzbucaql
inpulslar ardclln, qeyri-hamar funksiyaya is bucaql impulslar
ardclln gstrmk olar.
Furye sras dvr (periodik) siqnallara ttbiq olunur. Bel siqnallarn
qiymtlri T periodundan bir tkrar olunur:
),kTt(x)t(x ...,2,1,0k
Periodik funksiyalara misal olaraq ),tsin( ),tcos( dzbucaql v
miarvari impulslar ardclln gstrmk olar. Birinci iki siqnaln periodu
T=2/, s. , rad/s dvr srtdir (slind bucaq srti).
Periodik olmayan siqnallara furye srasn T hddin kemkl ttbiq
etmk mmkndr. Bu halda Furye sras Furye inteqralna evrilir. Bu
inteqral Furye evirmsi adlanr.
Furye srasn ttbiq ed bilmk n x(t) siqnal aadak Dirixle rtlrini
dmlidir:
a) ikinci trtib (sonsuzlua gedn) sraylar olmal deyil. b) birinci trtib (sonlu) sraylarn say mhduddur. c) ekstremumlarn say mhduddur.
Bazis funksiyalarndan asl olaraq mxtlif formal Furye sralarndan
istifad olunur.
1.1.Sinus-cosinus formas:
.))tksin(b)tkcos(a(2
a)t(x
1k
nn0
F
(4.1)
Burada T/2 - dvri tezlik, T perioddur.
fad (4.1)- daxil olan msallar aadak dstrlarn kmyi il
hesablanr:
,dt)tkcos()t(xT
2a
t
Tt
k
...,2,1k (4.2)
t
Tt
k ,dt)tksin()t(xT
2b
T
Tt
0 .dt)t(xT
2a
73
gr )t(x siqnal t,Tt intervalnda tk funksiya olarsa ,0a,0a k0 ct funksiya olduqda is ...).,2,1k(0bk
1.2. Hqiqi forma:
1k
kk0
F )tkcos(A2
a)t(x . (4.3)
1.3.Kompleks forma. Bu forma (4.3) ifadsind Eyler dsturundan
isitifad edrk
)ee(2
1xcos jxjx
vzlmsini etmkl alnr:
tjk
k
kF eCtx
)( , (4.4)
t
Tt
tjkk dte)t(x
T
1C . (4.5)
Misal 4.5. kil 4.2-d gstriln dzbucaql impulslar ardclln
.2t
,t0
eger
eger
a
a)t(x
Furye srasna ayraq.
kil 4.2
Bu halda period .s/rad1.,s2T
Srann msallarn tyin edk. )(tx tk funksiya olduundan
...).,2,1k(0a,0a k0 Dstur (4.2)-d Tt qbul etsk alarq:
x
T
0
a
-a t
74
0
2
k 1)kcos(k
a2dt)ktsin(adt)ktsin(a
2
2b
.tek
,cut
k
k
eger
eger
k
a40
)1(1k
a2 k
Bellikl, baxlan impulslar ardcll n Furye sras yalnz sinusun tk
harmonikalarnn sonsuz cmindn ibartdir:
..)t5sin(
5
1)t3sin(
3
1)tsin(
a4)t(xF .
kil 4.3-d 5,3,1k,1a halnda ilkin )t(x siqnalnn v
aproksimasiyaedici )t(xF funksiyasnn (qrq-qrq xtt) qrafiklri
gstrilmidir.
kil 4.3
Qnatbx dqiqlik alamaq n srann hddi kfayyt etmidir.
4.2.4.Pade sras
Pade sras adtn avtomatik idaretmd yksk trtibli trm
funksiyalarn v e s
gecikm operatorunu (mumiyytl stlu funksiyalar
75
approksimasiya (yaxnlama) etmk n istifad olunur. Gecikm operatoru
n bu sra:
.)(...)()()(1
)()1(...)()()(13
32
21
133
221
nn
nn
ns
sPsPsPsP
sPsPsPsPe
Burada Pi msallar n-dn asldr.
Ksrin surti v mxrci eyni trtibli gtrldkd pade (,n)
funksiyasndan istifad olunur.
Aada =1s, n=2 v n=3 halnda realizasiya proqram v mvafiq trm
funksiyalar gstrilmidir.
kil 4.4-d =1s, n=2, n=4, n=10, n=20 qiymtlrind MATLABda
realizasiya proqram gstrilmidir.
76
kil 4.4
kildn grndy kimi, trtibin kskin artrlmas rqsliliyi
hmiyytli drcd sndr bilmir.
Surt v mxrcin r v k trtiblrini mxtlif gtrmkl aproksimasiya
dqiqliyini hmiyytli drcd yaxladrmaq olar. Bu halda [n,d]=paderm
(,r,k) funksiyalarndan istifad edilir.
1. trm funksiyasnn gecikm il birlikd aproksimasiyas. ndi
frz edk ki, trm funksiyas:
s0eW)s(W
klind verilmidir. Gecikm operatorunu Pade srasna ayrdqdan sonra
yekun trm funksiyasn tapmaq tlb olunur.
Bu mliyyat drd mrhld yerin yetirmk olar:
a) W0 - formaladrmaq: W0=tf([],[]);
b) exp(-s)-i aproksimasiya etmk: tau=; [n1,d1]=pade(tau,n);
c) uyun trm funksiyasn formaladrmaq: WP=tf[n1,d1];
d) alnm nticlrin hasilini tapmaq: W=W0*WP;
e) aproksimasiya dqiqliyini strep funksiyasnn kmyi il keid
xarakteristikalarn mqayis etmkl yoxlamal.
Misal 4.6. lkin trm funksiyas aadak kild verilmidir:
,e)1s(
1s3)s(W s5.1
3
=1.5s.
kil 4.5-d MATLABda realizasiya proqram v n=2 n ntic
gstrilmidir:
77
kil 4.5. Gecikmy malik v aproksimasiya edilmi
bndin (obyektin) reaksiyas
kildn grndy kimi, n=2 halnda yksk aproksimasiya dqiqliyi
ld edilmidir.
Matlabda Pade siras pademod funksiyalarnn kmyi il realizasiya
olunur.
Aproksimasiya dqiqliyi ilkin v aproksimasiya nticsind alnm
trm funksiyalar sasnda alnm tezlik v zaman xarakteristikalarnn
mqayissi sasnda vizual aparlr.
Misal 4.7. Pade aproksimasiyas. lkin trm funksiyas m=3, n=4 halnda:
78
.24s50s35s10s
24s24s7s)s(W
234
23
Pade aproksimasiyas n m=1, n=2 qbul edk.
kil 4.6-da aproksimasiya proqram M-fayl il birlikd gstrilmidir.
79
kil 4.6. Aproksimasiya dqiqliyini yoxlamaq n
Bode (tezlik) v keid (zaman) xarakteristikalar
kildn grndy kimi, aproksimasiya dqiqliyini qnatbx hesab
etmk olar.
4.3. Xttildirm Real idaretm obyektlri v sistemlri adtn qeyri-xtti diferensial
tnliklrl yazlrlar. Bel obyektlrin tdqiqatn v idaretm sisteminin
sintezini asanladrmaq mqsdi il qeyri-xtti modellri hr hans bir tarazlq
nqtsinin kiik trafnda xttildirirlr. Obyektin tarazlq nqtsindn meyli
n qdr kiik olarsa, xttildirilmi tnlik d bir o qdr dqiq olar. Snayed
v texnikada istifad ediln obyektlr adtn tarazlq (ii) nqtsinin kiik
trafnda ildiyindn praktiki ttbiqlrd xttildirm zn ox vaxt
doruldur.
Xttildirmnin riyazi sasn oxdyinli qeyri-xtti )x(f funksiyasnn
0x nqtsinin kiik trafnda Teylor srasna ayrlmas v birdn byk trtibli
toplananlarn nzrdn atlmas tkil edir:
)xx(x
f)x,,x,x(f)x,,x,x(f 0ii
xx
xx
n
1i i
0n2010n21
0nn
101
.
Bu ifad vektor klind:
.xk)x(f)x(f 0 (4.6)
Burada
80
)x,,x,x( n21 x ,
00 xxxxx
k
iin21
x
f,,
x
f,
x
ff
,
0nn
202
101
xx
xx
xx
x .
fad (4.6) bucaq msal k olan mstvinin tnliyidir.
x srdrlm dyindir, yni 0x nqtsindn meyletmdir.
4.3.1. Girii-x formasnda olan dinamika tnliklrinin xttildirilmsi Bel tnlik tnliklr sistemindn ibart olmayb yalnz n-trtibli bir
diferensial tnlikdn ibartdid.
Sadlik n 2n , 1m , 0r qbul edib 0),f,f;,u,u;,y,y(F
dinamika tnliyinin sol trfini oxdyinli cbri funksiya kimi sss f,u,y
tarazlq nqtsinin trafnda Teylor srasna ayrsaq v dyinlrin vahiddn
byk qvvtlrini qalq R hddinin trkibin daxil etsk, alarq:
u
u
Fy
y
Fy
y
Fy
y
F)f,u,y(F)(F
sss
sss
s
0)f,...,y,f,u,y(Rff
Fu
u
Fsss
ss
. (4.7)
Burada syyy , suuu , sfff v tarazlq nqtsind sy =0, sy
=0, su =0 olduundan ,yy ,yy .uu
Qarsnda iarsi olan dyinlr kiik kmiyytlr olub meyl v ya
srdrlm (tarazlq nqtsin) koordinatlar adlanr. (4.7) tnliyind
stasionarlq rtin sasn 0)f,u,y(F sss olduundan meyillrd yazlm
xttildirilmi tnlik:
.fmububyayaya 010210
Burada sabit msallar
s
2
s
1
s
0y
Fa,
y
Fa,
y
Fa
, (4.8)
81
s
0
s
1
s
0f
Fm ,
u
Fb,
u
Fb
.
Trmlrin taplm ifadlrind dyinlrin yerin tarazlq nqtsinin
0ys , 0ys , 0us , syy , suu , sff qiymtlrini yazsaq msallarn
konkret qiymtini taparq.
Xttildirmni qeyri-akar
0),f,f;,u,u;,y,y(F . (4.9)
v ya akar kild verilmi diferensial tnliklr ttbiq etdikd buradak
,f,f;,u,u;,y,y dyinlri ,x,x,x 321 rolunda x edirlr. Bu halda
)(F v )( diferensial tnliklrin cbri ifadlr kimi baxlr. ,x,x 2010
rolunda x edn tarazlq nqtsinin koordinatlar 0)f,u,y(F v ya
f)(u,y (4.9a)
statika tnliklrindn tyin edilir. Birll sistemd iki f,u giri v bir x
y olduundan tnlik bir, dyinlr is dr. Bunlardan ikisini verib o birisini
taprlar. Msln, f hysanlandrc tsirin nominal (ii) sf v u idarsinin
smrlilik baxmdan seilmi su qiymtlrini tnlikd yerin yazb sy
tarazlq nqtsin uyun gln xn qiymtini tapmaq olar. V ya sy v sf -i
verib obyekti tarazlqda saxlayan su idarsini tapmaq olar. Demli, birll
obyektlrd stasionar (qrarlama) nqtsi koordinatla xarakteriz olunur,
)f,u,y(A sss .
Qrarlam rejimd trmlrin qiymti sfra brabr olduundan bunlara
uyun olan srdrlm dyinlr:
yys , yys , , uus , uus , , ffs , ffs
.
Xttildirmnin hndsi mnas oordinat balancn tarazlq nqtsin
paralel srdrb yeni koordinat sisteminin kiik ii oblastnda sthin
hipermstvi il aproksimasiya olunmasndan ibartdir. ki ll halda yri
toxunan il vz olunur.
kil 4.7-d statik hal n xttildirmnin hndsi tsviri gstrilmidir.
82
kil 4.7. Statik hal n xttildirm
Trmlri olan dyinlr n tarazlq nqtsinin koordinatlar sfra
brabr olduundan srdrlm yalnz y, u v f koordinatlarna nzrn
yerin yetirilir.
Misal 4.8. Van-der-Pol tnliyinin xttildirilmsin baxaq. Obyektin tnliyi aadak kild verilmidir:
fu2yy)1y(y 2 fu2yy)1(yyF 2 .
Xsusi trmlri taprq:
0a ,1y
F
1a )1(y
y
F 2
, 2a 1yy2
y
F
,
,2u
Fb0
.1
f
Fm0
0y , 0y qiymtlrind statika tnliyi:
0fu2y
xtti kild alnr. Bu tnlikd 5.0us , 2.0fs qbul etsk, taparq 2.1ys .
0ys qiymtind (4.8)- sasn msallar: 1a0 , 44.0a1 , 1a2 ;
2b1 , 1m0 . Bellikl, xttildirilmi tnlik
fu2yy0.44y .
Burada
,yy , ,yy , ,2.1yy , ,5.0uu .2.0ff
Misal 4.9. Riyazi rqqasn sink ,
gk , tnliyini xttildirk. Bu
halda statika tnliyi: 0sink . Buradan tarazlq nqtsinin koordinat 00
rad. Yni rqqasn mvazint hal vertikal xtt zrdir. Bu halda sinkF
83
. Xttildirilmi tnliyin msallar:
0a 1F
s
, 1a 0
F
s
, 2a kcosk
F0
s
.
0s , 0s
olduunu nzr alsaq, xttildirilmi tnlik:
k .
kil 4.8.-d sin qeyri-xtti funksiyasnn il approksimasiyas
gstrilmidir.
kildn grndy kimi, bel yaxnlama 44
intervalnda qna-
tbx hesab oluna bilr. Msln, rqqasn xtti modelinin tarazlq nqtsinin
523.0 rad. ( o30 ) intervalnda dourduu rqslr qeyri-xtti tnlikl yazlan
hqiqi rqqasn rqslrindn cmi 2% frqlnir.
Misal 4.10. Daha sad olan baqa bir misala baxaq. Obyektin qeyri-xtti tnliyi
f2yu3y
klind verilmidir. Bu halda f2yu3yF . Xttildirilmi tnliyin
msallar:
0a 1y
F
s
, 1a suu
s
u3y
F
,
0b syys
y3u
F
, 0m 2
f
F
s
.
vvld olduu kimi, tarazlq nqtlrinin koordinatlarn
u
f
3
2y
statika tnliyindn taprq. Frz edk ki, hycanlandrc tsirin nominal qiy-
kil 4.8. Xtti approksimasiya (yaxnlama)
84
mti 1fs , x kmiyytinin ii qiymti is 5.0ys . Onda 3/4us . Bu
qiymtlri msallarn ifadlrind yerin yazsaq, alarq: 0a 1, 1a 4 , 0b
5.1 , 0m 2 .
Xttildirilmi tnlik:
f2u5.1y4y .
Burada yy , 5.0yy , 3/4uu , 1ff .
Misal 4.11. Aada obyektin xttildirilmsin baxaq:
2u3
1y
dt
dy . (4.10)
Frz edk ki, idar 2u ii nqtsinin trafnda dyiir. xn qrar-
lam qiymtini 0dt/dy qiymtind stasionarlq rtindn taprq:
0u3
1y 2 0
3
4y
9
16ys .
Demli, ilkin diferensial tnliyin xttildirilmi hlli 7.1ys , 2us
nqtlrinin kiik trafnda axtarrlar. gr giri 2us qiymtindn ox
frqlnirs, xttildirm xtas artacaqdr.
Tnlik (4.10)-u (16/9, 2) nqtsinin trafnda Teylor srasna ayrsaq,
alarq:
uu3
2y
y2
1
dt
yds
.
i nqtnin koordinatlarn yerin yazsaq, xttildirilmi tnliyi alm
olarq:
u3
4y
8
3
dt
yd
. (4.11)
Burada srdrlm koordinat v ya dyinlr u9
16yy ,
2uu . Xttildirm dqiqliyini thlil etmk n qeyri-xtti (4.10)
modeli il (4.11) xttildirilmi modelin hllri giriin 2u qiymtindn
getdikc artan qiymtlrind v 5.1)0(y balanc qiymtind mqayis
olunmudur.
kil 4.9-da hllin qrafiklri gstrilmidir.
85
kil 4.9. Qeyri-xtti )t(yQ v xtti )t(yx sistemin xlar
kildn grndy kimi, giri siqnal 2us ii qiymtindn frq-
lndikc xttildirm xtas artr. Balanc rt 5.1y0 qrarlam
777.1ys qiymtindn bilrkdn bir qdr frqli gtrlmdr.
4.3.2. Vziyyt modeli formasnda olan dinamika tnliklrinin xttildirilmsi. Yakobi matrisi.
Masir tnzimlm nzriyysind dinamika tnliyi tnliklr sistemi (Koi
formas) klind yazlr:
.
,dt
d
f)u,g(x,y
f)u,(x,x
(4.12)
Burada n21 )x,,x,x( x vziyyt vektoru;
m21 )u,,u,u( u
idar vektoru; r21 )f,,f,f( f hycan vektoru;
n21 ),,,( ,
m21 )g,,g,g( g qeyri-xtti vektor funksiyalar;
21 )y,,y,y( y
obyektin mahid olunan xdr.
Bu halda sss f,u,x tarazlq nqtlrinin koordinatlar 0x halnda
statika tnliyindn (stasionarlq rti) tyin edilir:
0f)u,(x, . (4.13)
xn sy ii qiymti is ),,( ssss fuxgy .
Tnlik (4.13) qeyri-xtti cbri tnliklr sistemidir. Dyinin sayn tn-
liklrin sayna brabr etmk mqsdi il (birqiymtli hll almaq n) artq
86
qalan dyinlrin qiymtini vermk lazmdr. Bir ne tarazlq nqtsi
mvcud olarsa, onlardan n effektivlisini semk lazmdr.
Vziyytlr fzasnda (4.12) yazl formasna uyun gln xttildirilmi
tnlik:
.fuxCy
,fuxAx
GD
MB (4.14)
Burada sxxx ; suuu ; sfff ; syyy .
A
sx
s
s
s
ffuuxx
n
n
1
n
n
1
1
1
xx
..................
xx
, B
su
s
s
s
ffuuxx
m
n
1
n
m
1
1
1
uu
..................
uu
, (4.15)
M
sf
s
s
s
ffuuxx
r
n
1
n
r
1
1
1
ff
..................
ff
, C
sx
g
s
s
s
ffuuxx
n
n
1
n
n
1
1
1
x
g
x
g
..................
x
g
x
g
,
D
su
g
s
s
s
ffuuxx
m
n
1
n
m
1
1
1
u
g
u
g
..................
u
g
u
g
, G
sf
g
s
s
s
ffuuxx
r
n
1
n
r
1
1
1
f
g
f
g
..................
f
g
f
g
.
(4.15) tipli matrislr Yakobi matrisi v ya Yakobian adlanr.
daretm nzriyysinin modellrind sadlik n dyinlrin
qarsnda olan iarsi nzrdn atlr. Lakin hesab olunur ki, xtti tnliklr
slind xttildirilmi tnliklrdir.
Misal 4.12. Obyektin vziyyt dyinlrind tnliyi
87
12111 u2/dtd xxx , (4.16)
222212 u42/dtd xxxx .
Tarazlq nqtsinin koordinatlarn aadak statika tnliyindn taprq:
1 0ux2x 1211 ,
2 0ux4xx2 22221 .
Bu tnliklr sistemi iki trtibli olduundan 1x v 2x dyinlrinin iki
kk mvcuddur. Bu sbbdn baxlan obyektin iki tarazlq nqtsi mvcud-
dur.
Bu tnliklr sistemind 1u s1 , 5.4u s2 qbul edib onu hll etsk,
vziyyt dyinlrinin tarazlq (qrarlam) qiymtlrini taparq (sfrdan
byk kklr gtrlmdr): 1s =0.5, 2s =1.
111 xx u22
1 , 2221 ux4xx2 22 olduunu nzr alsaq
taparq:
sx
32
03
x21x4
0x41
s
2/1
21
1,
su
1 0
0 1.
Xttildirilmi tnlik:
2
1
u
u
1 0
0 1
x
x
3 2
0 3
2
1x . (4.17)
Burada
2s2
1s1
xx
xx
x . 0xx 2s1s olduundan
2
1
x
x
x .
Yakobi matrisinin MATLABda tyin olunmas
fad (4.14)-dn grndy kimi, vziyyt dyinlrind verilmi (4.12)
qeyri-xtti tnliklr sisteminin xttildirilmsinin sas mliyyat A, B, M, C,
D, G Yakobi matrislrinin tyin olunmasdr