4

Mẫu các dạng bài toán ôn tập môn toán A1

(Tài liệu này chỉ mang tính chất tham khảo, không phải bài giải của thầy Phan Dân)

Bài 1. Tính định thứcCách thực hiện như sau:Theo quy tắc Sarrus, ta ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình.

A=

Det(A)=a.e.i + b.f.g + c.d.h - c.e.g - a.f.h - b.d.i

Ví dụ: Tính định thức

GiảiTheo quy tắc Sarrus ta có

Bài 2: Giải hệ phương trình tuyến tính

Để giải dạng này đơn giản nhất thì ta nên lập ma trận hệ số bổ sung, rồi biến đổi thành ma trận dạng bậc thang quy gọn, 3 số hạng nằm bìa phải tương ứng là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.GiảiLập ma trận hệ số của hệ là:

Ma trận hệ số bổ sung của hệ là:

P.1

+ -

+ -

4

Vậy nghiệm của hệ phương trình tuyến tính trên là

Bài 3: Xác định hạng của ma trận

Để xác định hạng của ma trận, ta thực hiện:- Biến đổi ma trận A về dạng ma trận bậc thang w- Đếm số dòng khác 0 của w, số này chính là hạng của w và cũng chính là hạng của A

có dạng bậc thang và Bài 4: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi sơ cấpLập 1 ma trận ghép B=[A|I] (I=In thuộc Mn(R) là ma trận đơn vị)Dùng các phép biến đổi sơ cấp theo dòng trên B sao cho nửa bên trái (phần A chiếm chỗ ban đầu) trở thành IKhi đó ở khối bên phải ta nhận được A-1

B=[A|I] ~ [ | ] ~….~[I|A-1]

P.2

4

Giải

Vậy ma trận nghịch đảo là:

Bài 5: Xác định tọa độ của vectơTrong không gian R3 cho hệ cơ sởu1=(1,-1,1) u2=(-1,1,0) u3=(1,0,0)Hãy xác định tọa độ của vectơ u=(1,1,0) đối với cơ sở đã cho.GiảiTọa độ (α1,α2,α3) của u đối với cơ sở đã cho chính là nghiệm của phương trìnhU= α1.u1 + α2.u2 + α3.u3 (1)

(1) α1. (1,-1,1) + α2. (-1,1,0) + α3. (1,0,0)=(1,1,0)(α1,-α1,α1) + (-α2,α2,0) + (α3,0,0)=(1,1,0)(α1-α2+α3,-α1+α2,α1)=(1,1,0)

Bài 6: Xác định sự phục thuộc tuyến tính & độc lập tuyến tínhCho các hệ vectơ trong R3. Hãy xác định sự độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ nàya) u1=(2,1,-3) u2=(3,1,2) u3=(5,2,-1)b) v1=(3,2,-2) v2=(-2,1,2) v3=(2,2,-1)

*Phương pháp:

P.3

4

Hệ vectơ v1, v2,…, vk thuộc không gian vectơ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu phương trình( )

Chỉ có nghiệm duy nhất là Một hệ vectơ v1, v2,…, vk được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không phải là hệ độc lập tuyến tính.

Giảia) Xét phương trình

(1)(1)

Hệ vô nghiệm

Đây là hệ phụ thuộc tuyến tính

b) Xét phương trình(2)

(2)

Đây là hệ độc lập tuyến tínhBài 7: Chứng minh ánh xạ tuyến tínhHãy chứng minh rằng ánh xạ

là một ánh xạ tuyến tính

*Phương pháp:Để chứng minh T là một ánh xạ tuyến tính ta phải chỉ ra rằng:

Giải

Với là các phần tử bất kì trong R3 và tùy ý

Ta có:

Ta lại có:

So sánh và ta nhận thấy 2 vế phải bằng nhauCuối cùng

P.4

4

T là ánh xạ tuyến tínhBài 8: Xác định nhân Ker(T) và ảnh Im(T)Hãy xác định Ker(T), Im(T) (nhân & ảnh) của ánh xạ tuyến tính

*Phương pháp

Tìm Im(T): chọn hệ cơ sở e1, e2,…, en trong Vn

Tìm Ker(T): giải phương trình Giải

Ánh xạ T hoàn toàn xác định bởi ảnh của 1 cơ sở trong R3. Vậy ta chọn cơ sở chính tắc

Và xét ảnh của cơ sở

Giả sử ta có biểu thức v bằng cách biểu diễn tọa độ theo cơ sở e1, e2, e3

Xác định Ker(T)

Vậy Ker(T) là tập hợp các phần tử có tọa độ thỏa mãn hệ

Ma trận hệ số

Hạng của ma trận A=2 Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất là

và T là đơn cấu (Theo định lí về số chiều)

Kết luận

P.5

4

Bài 9: Giá trị riêng của ma trậnHãy xác định giá trị riêng của các ma trận sau:

a) b)

*Phương pháp

Với là 1 giá trị riêng thựcGiải

a) Phương trình đặc trưng của ma trận A là:

Phương trình đặc trưng có 3 nghiệm và đây chính là 3 giá trị riêng của ma trận A

b) Phương trình đặc trưng của ma trận B là:

Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm và đây chính là 2 giá trị riêng của ma trận B

Bài 10: Giá trị riêng & vectơ riêngXác định giá trị riêng và các vectơ riêng tương ứng với mỗi giá trị riêng đó của ma trận:

*Phương phápLập phương trình đặc trưng

P.6

4

(lấy các giá trị trên đường chéo chính trừ đi )

Giải phương trình theo ẩn (vế trái là đa thức của A)Giả sử có các nghiệm thực:

Để tìm vectơ riêng ứng với ta giải phương trình

GiảiPhương trình đặc trưng của ma trận B là:

Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm và đây chính là 2 giá trị riêng của ma trận B

Để tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng ta giải phương trình

12 24 xx 122 xx

P.7

4

Kết luận: Vectơ riêng ứng với giá trị riêng là: hay

Để tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng ta giải phương trình

Kết luận: Vectơ riêng ứng với giá trị riêng là: hay ,

Bài 11: Chéo hóa ma trậnTìm ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận đối xứng

*Phương phápCho dạng toán phương với ma trận là A xác định với các giá trị riêng của AVới mỗi giá trị riêng, tìm tìm không gian con riêng tương ứng rồi dùng thuật toán để trực chẩn hóa hệ vectơ này.Ghép tất cả các vectơ riêng này theo thứ tự từ trái sang phải P là ma trận trực giao làm chéo hóa ma trận ADùng phép biến đổi tọa độ at có dạng toàn phương chính tắc.GiảiLập phương trình đặc trưng của A để tìm các giá trị riêng của A

Ta tìm vectơ riêng tương ứng đối với mỗi giá trị riêng

Với ta có phương trình tìm giá trị riêng

P.8

4

Ta có vectơ riêng

Chẩn hóa vectơ này ta có

Với ta có phương trình tìm giá trị riêng

Ta có vectơ riêng

Chuẩn hóa vectơ này ta có

Vậy ma trận P cần tìm là:

Bài 12: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắcCho các dạng toàn phươnga) b) Hãy đưa các toàn phương f, g về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange*Phương phápCho dạng toàn phương , ta thực hiện nhóm tất cả các hạng tử có chứa biến vào một biểu thức rồi chuyển thành một bình phương của tổng các biến. Ước lượng các biến để chuyển vào khối thứ hai. Như vậy khối thứ 2 chỉ chứa các biến , ta kí hiệu khối này bởi Đối với (dạng toàn phương của n-1 biến) ta thực hiện quá trình trên để tách phần có chứa thành một khối.Tiếp tục quá trình này ta thu được dạng toàn phương theo các biến mới ở dạng chính tắcCơ sở của phương pháp:

Ghi chú:Nếu biến nào không tham gia trong công thức thì bước thực hiện theo biến này được bỏ qua.Nếu chỉ chứa các hạng tử dạng chéo không chứa số hạng dạng thì ta thực hiện đổi biến như sau:

P.9

4

(có chứa số hạng tương ứng với bậc 2 của biến)

Giảia) Ta có

[…]

Bài 13: Trực giao hóa hệ vectơHãy dùng thuật toán Gram-Schmidt để trực giao hóa hệ vectơ

[…]

P.10