mÉtodos en diÉdrico

Curso de Dibujo Técnico Patxi Aguirrezabal Martin11-1

11MÉTODOS EN DIÉDRICOABATIMIENTOS, CAMBIOS DE PLANO Y GIROS

ABATIMIENTOS. Abatimiento de un punto. Abatimiento por afinidad. Abatimiento de un plano. Abatimiento de una forma plana contenida en un plano oblicuo. Verdadera magnitud. Desabatimientos. Ejemplos. CAMBIOS DE PLANO. Verdadera magnitud de una recta por cambio de plano. Transformar una recta en otra de perfil. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre dos rectas paralelas. Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan. Nuevas proyecciones de un plano por cambio de plano. Transformar un plano en proyectante. GIROS. Giro de una recta. Transformar una recta en otra de perfil. Giro de un plano.TEMPORALIZACION: 11 horas

ABATIMIENTOS

El abatimiento es uno de los tres métodos (los otros son los cambios de planos y los giros) con

que cuenta la geometría descriptiva para facilitar las operaciones necesarias para resolver pro-

blemas que de otra forma tendrían una resolución más laboriosa.

Abatir un plano sobre otro, que se considera de proyección, es hacerlos coincidir girando el plano

alrededor de la recta intersección de ambos, llamada eje de abatimiento o charnela. Fig.11.1

El abatimiento sirve para apreciar las posiciones relati-

vas de los distintos elementos proyectados, su verda-

dera magnitud, distancia, etc. Los ejes de abatimiento

suelen ser la traza horizontal o vertical del plano.

Puesto que el abatimiento es un proceso de desplaza-

miento de un plano en torno a un eje, al realizarlo desplazamos todos los elementos contenidos

en dicho plano.

pH

e

Fig.11.1

Sistema diédrico.- Métodos 11-2

En la Fig.11.2 podemos estudiar como

funciona el abatimiento en el espacio. Te-

nemos un punto A cualquiera en un plano

α que queremos abatir. El eje de abati-

miento “e” es la traza horizontal del plano

α1.

Si hacemos pasar por el punto A una recta

perpendicular al eje, al abatir el plano α el punto A describirá, junto con el plano, un arco en su

recorrido hasta la coincidencia de α con el plano de proyección; mientras, la distancia L del punto

A al eje, se mantendrá igual una vez abatido el plano.

El procedimiento descrito es un procedimiento tridimensional que necesariamente debemos tras-

ladar a otro bidimensional. Por ello en nada cambiará el proceso, como vemos en la figura, si

hallamos la proyección A1 del punto A sobre el plano horizontal, así como la proyección L1 de la

recta L. Se forma un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es la verdadera magnitud de la

recta R y los catetos son, por un lado, la proyección horizontal de la recta L y la cota del punto A.

Si tumbamos sobre el plano horizontal dicho triángulo, en torno a la proyección L1, tendremos

sobre el plano de proyección el punto A y la verdadera magnitud de la recta distancia L. Por lo

tanto, si tomamos como centro el punto N, donde la recta L corta al eje de abatimiento, y como

radio dicha recta L, abatida, podemos trazar un circulo que cortará necesariamente a la recta

L, abatida, y dibujada en el proceso tridimensional. Ambos procesos nos dan el abatimiento del

plano α y del punto A contenido en él.

Traspasado este proceso al diédrico vemos

en la Fig.11.3 que el plano a abatir es el plano

α y el eje de abatimiento la traza horizontal

α1. Al abatir el plano abatimos el punto A si-

tuado en él y definido por sus proyecciones

A1-A2. El primer paso para realizar el abati-

miento es trazar por la proyección horizontal

(A)

eL

L

L

N

A

(A)

pH

Fig.11.2

LL

(A)

A1

A2

h

h

N

1

2

Fig.11.3


A1 una perpendicular a la charnela y una paralela a dicho eje, tal como se puede ver en la repre-

sentación tridimensional efectuada anteriormente.

Llevamos sobre la paralela al eje y a partir de A1 la cota del punto A, es decir h. La distancia entre

el punto N con el extremo de h, será la distancia L.

Nuevamente llevamos sobre la perpendicular al eje, y a partir de éste, la distancia L para obtener

el punto (A) abatido.

Abatimiento por afinidad. Fig.11.4

El abatimiento por afinidad es un proceso para agilizar el abatido de los distintos puntos de un

cuerpo.

Si por un punto del que conocemos su abatido, por ejemplo el punto A del caso anterior, trazamos

una recta que lo una con otro punto B, esta recta, al abatir el plano, seguirá pasando por A y B.

Si prolongamos la recta hasta la LT, está claro que al abatirla también pasará por la LT lo que nos

puede servir como 2º punto extremo de dicha recta.

Si tenemos dos puntos A y B, en diédrico, situados en un plano, para hallar sus abatidos toma-

mos el A y por el procedimiento general antes descrito realizamos el abatimiento (A). Seguida-

mente trazamos la perpendicular a la charnela desde la proyección horizontal del punto B.

Como tercer paso, trazamos una recta que pasando por las proyecciones horizontales de ambos

puntos, A1 y B1 llegue a la LT, desde donde unimos con el abatido del punto (A) hallado anterior-

mente. Cuando esta recta corta a la perpendicular trazada por B1 tendremos el abatido del punto

(B).

N

(A)

2

A

A1

(A)

A2

A1

B1

B2

(B) 1

B

B1

(B)

Fig.11.4


Obsérvese que hablamos de abatir puntos y rectas. Lo hacemos así por abreviar; pero sólo se

puede hablar con propiedad del abatimiento de planos. Lo que se abate siempre es un plano, el

cual arrastra consigo a todos los elementos que contiene.

Abatimiento de una forma plana contenida en un plano oblicuo. Verdadera magnitud.

Fig.11.5

El abatimiento de un polígono puede hacerse de dos modos:

1.- Se abaten cada uno de sus vértices y una vez abatidos se unen, entre si, para obtener el

polígono abatido. (Fig. izquierda)

2.- Se abaten cada uno de los lados del polígono por afinidad.

Se pueden también combinar los dos procedimientos obteniendo algunos vértices y algunos la-

dos según convenga en cada caso.

En la figura de la izquierda se emplea el primer procedimiento. Dadas las proyecciones del trián-

gulo ABC y las trazas del plano que lo contiene, para abatir alrededor del eje α1, se empieza por

dibujar las horizontales del plano que contienen los puntos A, B y C; a continuación se abate la

traza vertical del plano α2 para lo cual podemos abatir una cualquiera de las trazas verticales de

las rectas horizontales u otro punto K, cualquiera según se explicó en el caso general.

Abatidos cada uno de los tres vértices, finalmente se unen los vértices y el resultado es el trián-

gulo (A)(B)(C) en verdadera magnitud.

(A) (B)

(C)

(B)

(A)

(C)

h

A2

1

2

B2

B1

C2

A1C1

(2)

1

2

C2

B2

B1

C1

A2

A1

(2)

Fig.11.5


En la figura derecha se logra la verdadera magnitud empleando la afinidad.

Abatimiento de las trazas de un plano. Fig.11.6

Para abatir sobre la traza horizontal de un plano (caso

más común):

1.- Tomamos un punto cualquiera K, en la traza verti-

cal del plano α2. Puesto que el punto está en la traza

vertical, la proyección horizontal K1 estará en la LT.

2.- Por la proyección horizontal del punto, k1, traza-

mos una perpendicular a la traza horizontal del plano.

3.- Con centro en el punto N, trazamos un arco de radio N-K2 que corte a la perpendicular levan-

tada en el paso 2 y obtendremos el punto (K) abatido, por donde pasará (α2).

Abatimiento de un punto situado en cada uno de los planos de proyección. Fig.11.7 y 11.8

N

(K)

K2

1

2

K1

(2)

Fig.11.6

(A)

A2

1

2

A1

(2)

Abatimiento de un punto situadoen un plano proyectante horizontal

(A)

A2

1

2

A1

(2)

Abatimiento de un punto situadoen un plano proyectante vertical


No se representan los planos “paralelo al plano horizontal” ni “paralelo al plano vertical” puesto

que cualquier superficie contenida en ellos proyecta una superficie en verdadera magnitud.

Des-abatimiento de las trazas de un plano. Problema inverso del abatimiento. Fig.11.9

Supongamos un plano oblicuo abatido del que conocemos, por tanto, su amplitud y el ángulo que

forma la traza horizontal con respecto a la LT.

Para des-abatirlo, tomamos:

- un punto cualquiera (K) de la traza vertical

abatida (α2) y por él trazamos una perpendicu-

lar a la traza horizontal del plano, que prolonga-

remos hasta la LT, para obtener k1.

- por k1 levantamos una perpendicular a la LT.

- con centro en N y radio N-(K) trazamos un

arco que corte a la perpendicular levantada por

k1 en el paso anterior. Cuando el arco corta a la perpendicular obtenemos k2.

- por K2 pasará la traza vertical del plano.

(A)

A2

1

2

A1

(2)

Abatimiento de un punto en un plano de perfil

A2 2

1

(2)(A)

A1

Abatimiento de un puntoen un plano paralelo a la LT

Abatimiento de un punto enun plano que pasa por la LT

A A2

(A)

A1

M2

M1

M

N

(K)

K2

1

2

K1

(2)Fig.11.9


CAMBIOS DE PLANO

El cambio de los planos de proyección es un artificio empleado en Descriptiva para facilitar la

resolución de problemas, al conseguir que los elementos a proyectar presenten una posición

más favorable respecto a los nuevos planos. En la práctica del dibujo, el objeto se coloca en una

posición tal que las caras principales sean paralelas a los planos de proyección. Esta posición es

más favorable porque así tenemos vistas en verdadera magnitud, que es lo que generalmente

interesa.

Es de hacer notar que los planos se cambian uno por uno y no los dos a la vez, siendo necesario

escalonar las operaciones para conseguir la posición definitiva que se desee. Esta operación

puede repetirse tantas veces como se quiera aunque en la mayoría de los casos, basta con efec-

tuar dos cambios de planos alternados, es decir, primero el horizontal y luego el vertical o a la

inversa. Se cambia, por ej. el plano H y se determina la nueva proyección sobre éste quedando

fija la proyección vertical que no cambia; seguidamente, si es necesario, se cambia el plano V y

se halla la nueva proyección vertical, quedando así definido el nuevo sistema de proyecciones

diédricas.

Como es natural si se cambia de posición un plano de proyección, éste deberá seguir siendo

perpendicular al otro.

En el cambio de plano, la figura del espacio permanece fija, siendo únicamente los planos de

proyección y, por tanto, las proyecciones sobre ellos, las que varían.

Al realizar un cambio de plano debemos realizar una notación adecuada para determinarlo. Para

ello iremos aumentando progresivamente con cada cambio el número de rayitas situadas de-

bajo de la LT. Tendremos en cuenta que situamos una rayita debajo de cada extremo de la LT

y siempre en el lado de las proyecciones horizontales. Por todo lo cual, si cambiamos de plano

dibujaremos dos rayitas debajo de cada extremo de la LT y en el lado de las nuevas proyeccio-

nes horizontales. Si realizáramos un tercer cambio de plano, independientemente del plano de

proyección cambiado, trazaríamos una tercera rayita en el lado de las proyecciones horizontales.


En el extremo de la primera línea de tierra podemos dibujar una llave con las letras H y V. En

la segunda línea de tierra la llave contendrá las iniciales H y V1 si lo que se cambia es el plano

vertical, o H1 y V si lo cambiado es el plano horizontal.

Para designar las proyecciones auxiliares utilizaremos las mismas letras que designan las pro-

yecciones primitivas, afectadas de una comilla en el primer cambio, dos comillas en el segundo

cambio, tres comillas en el tercero, etc. Cuando se cambie el plano vertical, la letra que designe

la nueva proyección vertical seguirá llevando el subíndice 2, y si es el plano horizontal el cambia-

do, la letra que designe a la nueva proyección horizontal continuará con el subíndice 1.

Cambio de planos, vertical y horizontal. Figs. 10 y 11.

Consideremos los planos de proyección horizontal y vertical y un punto A en el espacio con su

cota y alejamiento. Las proyecciones de A serán A1-A2. Si introducimos un nuevo plano vertical

(que como hemos dicho deberá ser perpendicular al horizontal) se forma un nuevo sistema

diédrico de manera que A1 seguirá proyectándose en el mismo lugar que en el primitivo diedro

y A2 sobre el nuevo plano vertical de proyección. Podemos observar de las proyecciones así

obtenidas, que al realizar un cambio de plano vertical la cota del punto permanece constante al

proyectarse en los dos diedros mientras que el alejamiento del punto variará, dependiendo esta

variación de la colocación de la nueva línea de tierra. Fig.11.10

Si realizamos un cambio de plano horizontal obtendremos nuevas proyecciones del punto, pero

en este caso será el alejamiento del punto el que permanece constante siendo la cota la que

Cota

cota

A2

A1A'1

A'2

A2

A1A'1

A'2

A

Fig.11.10


variará de magnitud. Fig.11.11

Verdadera magnitud de una recta por cambio de plano. Fig.11.12

Para conocer la verdadera magnitud de una recta,

ésta tiene que ser paralela a uno de los planos de

proyección.

Para hallar la verdadera magnitud de una recta, se

hace, por ej., un cambio de plano vertical transfor-

mando la recta en una recta frontal; de esta for-

ma la nueva proyección vertical será la verdadera

magnitud.

Transformar una recta en recta de perfil por cambio de plano. Fig.11.13

Las proyecciones de una recta de perfil deben ser

perpendiculares a la LT.

Realizamos un cambio de plano vertical. Por ello,

dibujaremos la nueva LT de forma que sea per-

pendicular a la proyección horizontal de la recta.

Dado que en el cambio de plano vertical las cotas

se mantienen constantes, llevaremos sobre la LT

las cotas de los puntos extremos del segmento de

Alej.

A2A'2

A1

A2A'2

A1

Alej.

A'1

A

A'1

Fig.11.11

m

n

m

n

A2

B2

A1 A´1

R2

R1B1 B´1

R0A´2

B´2

Fig.11.12

mn

n

A2

B2

R2

A1 A1´B1B1´

R1 R´1

R´2

A2´ B2´

Fig.11.13


recta que deseamos transformar en recta de perfil.

Distancia de un punto a una recta por cambio de plano. Fig.11.14

Tal como se explica en el ejemplo base debemos conseguir que la recta sea perpendicular a uno

de los planos de proyección. Para ello y por medio de un cambio de plano vertical (que afectará

tanto a la recta como al punto) conseguiremos transformar la recta en una frontal.

Seguidamente por medio de un cambio de plano horizontal dibujaremos una LT perpendicular a

la proyección vertical de la frontal. Colocando la nueva proyección horizontal (que mantendrá los

alejamientos) obtendremos la distancia del punto a la recta al unir la proyección del punto dado,

C, con la proyección horizontal A”1≡B”1.

Distancia entre dos rectas paralelas. Fig.11.15

En el ejemplo del espacio puede verse como las dos rectas paralelas deben convertirse en

perpendiculares al de proyección. Por ello realizamos cambios de planos de forma que ambas

rectas resulten perpendiculares. La unión entre las proyecciones horizontales halladas en tercer

lugar será la verdadera magnitud de la distancia.

A

B

d

A1A1´

A1B1 C1

A2

d

R2B2

B1B1´

C1C1´

C2

C2´C2”B2´B2”A1”B1”

C1”d

A2´A2”

CR1

Fig.11.14


Nuevas proyecciones de un plano por cambio de plano. Fig.11.16

Realizamos un cambio de plano vertical con

lo que conservaremos las cotas.

Por un lugar cualquiera dibujamos una nueva

linea de tierra. Por la proyección horizontal

A1 llevamos una perpendicular a la nueva LT

que prolongaremos.

Sobre la prolongación y por encima de la

nueva LT llevamos la cota del punto A.

Dibujamos una horizontal del plano que nos determinará el paso de la traza vertical α’2.

C

B

dA

D

dA1B1 C1D1

A2R2

B2

C2 D2

A1A1´B1B1´

R1

C1C1´D1D1´

A2´A2”B2´B2”

C2´C2”D2´D2”

d D1”C1”

A1”B1”

Fig.11.15

A2

2

A1A´1

A´2

´2

1 ´1

Fig.11.16


Nuevas proyecciones de un plano por cambio de plano, tomando un punto situado en la

traza del plano. Fig.11.17

El proceso es el mismo que el explicado para la figura 11.16

Transformar un plano oblicuo en proyectante. Fig.11.18

Para transformar un plano oblicuo en proyectante la traza horizontal debe ser perpendicular a

la LT. Por ello hacemos que la nueva LT sea perpendicular a la traza horizontal del plano dado.

Manteniendo la cota del punto A obtendremos las nuevas trazas.

Transformar un plano oblicuo en paralelo a la LT. Fig.11.19

Para transformar un plano oblicuo en un plano paralelo a la línea de tierra, basta con hacer una

línea de tierra que sea paralela a la traza horizontal del plano. La nueva traza vertical del plano

será paralela a la traza horizontal y su cota vendrá dada por la cota del punto de intersección K

de un plano vertical con la traza vertical del

plano α.

A2

A1A1´

2

1 1´

A2´ 2´

Fig.11.17

A2

A1A1´

1 1´

2

A2´2´

Fig.11.18

2

K2

K1

K2´

1 1´

2´

Fig.11.19


GIROS

Es uno de los tres métodos empleados por la geometría descriptiva para facilitar la resolución de

algunos problemas, en especial de verdaderas magnitudes. Los giros permiten colocar puntos,

rectas, planos y cuerpos en una posición más favorable, respecto a los planos de proyección,

que en la posición inicial.

La diferencia fundamental de los giros con relación a los cambios de planos es que en los giros

los que cambian son los elementos a proyectar, permaneciendo fijos los planos de proyección.

En general al hablar de giros se considera el giro circular. Los giros se hacen tomando como eje

de giro, rectas perpendiculares a los planos de proyección. Según esto, cada punto del elemento

que gira describe un arco que está en un plano perpendicular al eje de giro y cuyo centro está en

la intersección del eje con el plano del arco, siendo, pues el radio, la distancia del punto al eje.

En los problemas de giros, lo primero que se ha de hacer es elegir el eje de giro apropiado para

conseguir el resultado que se busca. Este eje de giro puede ser perpendicular al vertical o al

horizontal de proyección.

Fácilmente puede deducirse que con un eje de giro vertical, una recta oblicua puede colocarse

frontal y si el eje es perpendicular al plano V, una recta oblicua se convertirá en horizontal del

plano y no a la inversa.


Giro de un punto. Casos generales.

Giro de un punto con un eje perpendicular al horizontal. Fig.11.20

Tomamos un eje cualquiera perpendicular al pH.

Dibujamos un plano auxiliar, paralelo al pH, que contenga el punto A que deseamos girar.

Con un radio igual a la distancia existente entre el punto de intersección del eje con el plano

auxiliar, y el punto dado, A-e describimos un arco cuyo ángulo dependerá de la posición en que

deseemos situar las nuevas proyecciones del punto.

La nueva proyección vertical del punto A, es decir A2’ se situará sobre la traza vertical del plano

auxiliar y por tanto conservará su cota.

La nueva proyección horizontal A1’ habrá descrito el mismo ángulo que el punto A.

Giro de un punto con un eje perpendicular al vertical. Fig.11.21

A2

A1

A

A2´

A1´

A´

e2

eA2 A2´ 2

A1

A1´

e1

1

e2

1

A2

Ae

A2´

A1

A´

A1 A1´

A2

A1 A1´

A2´

e2


El proceso es el inverso del estudiado para el giro de un punto con un eje perpendicular al hori-

zontal.

El sentido del giro será siempre el más conveniente para la realización del dibujo.

La proyección horizontal del punto se desplazará, en el giro, sobre la traza del plano auxiliar.

Verdadera magnitud de una recta por medio de un giro. Fig.11.22

Para obtener la verdadera magnitud de

una recta debemos conseguir que una de

sus proyecciones sea paralela a la LT.

Si convertimos la recta en frontal, el án-

gulo girado ha de ser tal que permita co-

locar la proyección horizontal de la recta

R1 paralela a la LT.

Según esto se hace pasar por el punto B

el eje de giro, de forma que la proyección

A1 rote con respecto a la proyección horizontal del punto B, hasta que B1´-A1´ sea, como hemos

dicho, paralela a la LT.

B2’-A2’ será la verdadera magnitud de la recta.

Giro de una recta oblicua hasta situarla perpendicular al plano horizontal. Fig.11.23

En la Fig.11.23 la recta se transforma

en perpendicular al plano horizontal por

medio de dos giros.

Se toma el eje e (perpendicular al pH)

que hacemos pasar por el punto B y gi-

rando la proyección A1 convertimos la

recta en frontal. Esta recta será la de-

terminada por A-B y sus proyecciones

A1’-B1’ y A2’-B2’.

A2

A1

R2

R1

e

R1´

R2´B2 B2´

A2´

B1 B1´ A1´e1

Fig.11.22

A2

R2

e

B2 B2´

A1

B2”

A2´ A2”

A1´ B1”A1”B1 B1´e1

e1´

Fig.11.23


Nuevamente tomamos un eje, esta vez perpendicular al plano vertical, que haremos pasar por el

punto A’. Al girar la proyección B2’ obtendremos la recta perpendicular al horizontal.

Giro de un plano. Fig.11.24

Un plano se puede girar alrededor de un eje de

punta hasta colocarle en la posición que se desee.

En la figura se tiene un plano oblicuo α(α1-α2) y va-

mos a girarle alrededor del eje e, que a su vez pasa

por un punto B (intersección del eje con el plano α)

del plano, contenido en una recta horizontal.

El punto B(B1-B2) en el giro permanece fijo por ser

del eje. Se gira ahora la traza horizontal α1 del pla-

no un ángulo cualquiera, la cuál seguirá siendo la traza horizontal; para ello, se traza la perpen-

dicular desde B1 a α1. El punto de corte girará un ángulo que determinaremos.

Girado el punto, observamos que la perpendicular a α1 que lo definió seguirá siendo perpendi-

cular a la nueva traza horizontal del plano α1’. Hallaremos las nuevas trazas del plano con sólo

dibujar una recta horizontal del plano que sea perpendicular a la recta que saliendo de la proyec-

ción B1 nos permitió dibujar la traza α1’.

Giro de un plano hasta convertirlo en proyectante. Fig.11.25

Es un caso particular del anterior. El plano se gira alrededor del eje de punta hasta colocarle en

una posición tal que la traza horizontal sea per-

pendicular a la LT.

En la figura se tiene un plano oblicuo α(α1-α2) y

se gira alrededor del eje e, que a su vez pasa por

un punto B del plano, contenido en una recta ho-

rizontal. La recta de máxima pendiente que pasa

por B, se hace girar hasta que resulte una recta

frontal.

A2

A1

B2 B2´

A1´

A2´

B1B1´1

1´

2

2´e

Fig.11.24

A2

2

2´e

A1

B2 B2´

B1´B1

P1´

P1

1

1´


EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Representar una circunferencia situada en un plano perpendicular al plano vertical y cuya

traza forma 45º con la LT. La circunferencia de radio 30 mm es tangente a las trazas del plano.

2.- Dado un plano oblicuo con vértice a la izquierda de la LT cuyas trazas horizontal y vertical

forman 45º y 60º respectivamente con la LT. Se pide:

a) Abatirlo girando en torno a su traza horizontal y hallar su amplitud.

b) Situar en el plano abatido un cuadrado de 4 cm. con un lado incluido en la traza horizontal

y un vértice en la traza vertical, hallando las dos proyecciones sobre el plano.

3.- Hallar las proyecciones de un cuadrado situado en un plano paralelo a la LT. Este plano forma

60̊ con el pH y dista 2 cm de la LT. Una de las diagonales del cuadrado forma 60̊ con la traza

horizontal del plano y sus extremos están sobre las trazas de éste.

4.- Se dan: un plano P, por sus trazas; de una recta T y de un punto C pertenecientes a dicho

plano, se dan así mismo sus abatimientos (T) y (C) sobre el P. Horizontal de proyección.

Una elipse situada en el plano P dado con centro C, se proyecta en planta como una circunfe-

rencia y su abatimiento sobre el P. Horizontal de proyección es tal que es tangente a la recta (T)

dada.

Se pide: determinar la proyección horizontal y el abatimiento de dicha elipse.

P2

P1(T)

(C)Ejercicio 4


5.- Representar un hexágono de lado 30 mm situado en un plano cuya traza horizontal forma 30º

con la LT. Un lado se encuentra en el plano H, y otro lado, no contiguo ni paralelo al anterior, está

en el plano vertical.

6.- Dado un plano oblicuo cuya traza vertical forma 60º con la LT y 30º la traza horizontal, así

como un pentágono regular en proyección vertical, se pide:

a) la proyección horizontal

b) su verdadera magnitud por medio de un giro.

7.- Dado un plano oblicuo cuyas trazas vertical y horizontal forman con la LT 45̊ y 60̊ respecti-

vamente, en el que se sitúa la proyección horizontal de una circunferencia contenida en dicho

plano, hallar:

a) proyección vertical de dicha figura.

b) la verdadera magnitud por cambio de plano.

El centro de la figura tiene de cota y alejamiento 45 y 35 mm. respectivamente. Su diámetro

es 25 mm.

8.- Hallar la distancia de un punto A, a un plano oblicuo por medio de un cambio de plano vertical.

9.- Dado un punto A, cambiar los planos de proyección de forma que las nuevas proyecciones

del punto estén confundidas.

10.- Dada una recta oblicua cualquiera hacer un cambio de plano para que quede de perfil.


1.- Se trazan desde el punto P, dado por sus pro-

yecciones, perpendiculares a α1 y α2.

Se hace pasar un plano β que contenga a la recta

perpendicular.

Se realiza la intersección de los dos planos α y β.

El punto de corte de la intersección con la recta

es el punto I(i1-i2) o punto de encuentro de la per-

pendicular trazada desde P con el plano α.

Para hallar la verdadera magnitud del segmento P-I se halla la diferencia de cotas entre los pun-

tos P(P1-P2) e I(I1-I2) y lo abatimos sobre la proyección horizontal del segmento P-I con lo que

tendremos la solución buscada.

2.-

EJERCICIOS RESUELTOSCAPITULO 10º

2

1

P1 P2

2

1

I2

I1

Solución ejercicio 1

2

1

2

1

D1

D2

VR

A2

W2

Vs

B2

Hs

HR

B1

A1

S2

S1

C2

W1

R2

R1

I2

I1

C1


Tómense dos lados cualesquiera del triángulo dado para determinar el plano α que lo contiene.

En la figura se han utilizado los lados DB y BC.

Determinado el plano α se trazan perpendiculares a las trazas del plano desde el punto A(A1-A2)

con lo que tendremos las proyecciones W1-W2.

Por la recta W, perpendicular a α, se traza un plano β que la contiene.

Se halla la intersección del plano oblicuo α con el proyectante β.

Donde la recta intersección de los planos α y β corta a la recta W obtendremos el punto intersec-

ción I(I1-I2) de la recta con el plano.

3.- Para que la recta sea perpendicular al

plano sus proyecciones han de ser perpen-

diculares a las trazas del plano.

Por otro lado, como el plano debe pasar por

el punto A, es decir debe pertenecer a dicho

plano, conviene hacer pasar por A una recta

auxiliar que también pertenezca al plano.

Por ello, en un lugar cualquiera se traza una

línea perpendicular a la proyección de la

recta R1 que sirva de referencia para dibujar la recta horizontal del plano que pase por A.

La traza vertical del plano perpendicular (α2) pasará por la traza vertical de la recta (VS) y será

perpendicular a la proyección vertical de la recta (R2).

La traza horizontal del plano perpendicular

(α1) será perpendicular a R1.

4.- A partir de un punto O de la LT dibújen-

se los puntos dados.

Hállese el plano α determinado por los 3

puntos a partir de las trazas de dos cuales-

quiera de las rectas.

2 R2

1

VS

R1

A1

A2S2

S1


S1

R1

C1

B1

A1

2

1

B2 VR

C2

A2

S2

R2

P2

P1

O

HR



Trácese una recta horizontal del plano para determinar sobre ella un punto cualquiera P perte-

neciente al plano α.

Por el punto P(P1-P2) trazar la perpendicular al plano α de forma que las proyecciones de la per-

pendicular sean perpendiculares a las trazas del plano.

5.- A partir de un punto O de la LT

dibújense los puntos dados.

Hállese el plano α determinado por

los 3 puntos a partir de las trazas de

dos cualesquiera de las rectas.

Por el punto D(D1-D2) trazar la per-

pendicular al plano α de forma que

sus proyecciones sean perpendicu-

lares a las trazas del plano.

Trácese por D un plano β que con-

tenga la perpendicular y hállese la recta intersección de este plano β con el plano α.

La recta D-I es la distancia pedida.

6.- Dibujadas las trazas del plano, para hallar

un punto A de cota 40 que esté colocado sobre

la traza vertical del plano basta con trazar una

paralela a la LT a dicha distancia.

Desde el punto A(A1-A2) se dibujan perpendicu-

lares a las trazas del plano.

Se traza un plano auxiliar β que contenga a la

recta perpendicular R.

Se halla la intersección I de la recta perpendi-

cular R con la recta intersección de los planos α y β.

Por último se halla en verdadera magnitud la distancia entre los puntos A e I.

B2 VR

C1

B1

A1

R2

C2A2

VS

S2

S1R1

D2

I2

D1

2

1

2

1

m-n

m-n

D0

O

HR


2

1

2

1

R2

R1

A2

A1

I2

I1

60º

45º

40



7.- La verdadera magnitud de la distan-

cia de un punto A a un plano que pasa

por la LT es la perpendicular trazada

desde dicho punto y el plano, en el

perfil.

Hallada la distancia en verdadera mag-

nitud, por el camino inverso al ejercido

para llevar las proyecciones al plano de

perfil, se dibujarán las proyecciones del

segmento distancia A-B.

8.- Para resolver este ejercicio basta

aplicar el caso general explicado para la

Fig.10.15.

Se traza por el punto A una recta horizontal

del plano de forma que la proyección hori-

zontal de dicha recta sea perpendicular a

la recta dada R.

La horizontal del plano así trazada perte-

necerá a un plano α que a su vez contiene

al punto A.

Se hace pasar un plano β que contenga a la recta R.

Se halla la recta intersección de los dos planos α y β, con lo que se obtiene el punto I(I1-I2).

Por último, para hallar la verdadera magnitud de la distancia entre el punto y la recta se halla la

diferencia de cotas entre los puntos A(A1-A2) e I(I1-I2) y lo abatimos sobre la proyección horizontal

del segmento A-I con lo que tendremos la solución buscada.

9.- Hállense las trazas de la recta R de máxima pendiente. Se traza un plano α que contenga di-

cha recta sabiendo que la proyección horizontal de la recta tiene que ser perpendicular a la traza

M2

A1

M1

A2A

M B

B1

R1

R2

B2

Distancia

Solución ejercicio /

A1

A2

R1

R2

2

1

2

1

I1

I2

H2

H1

Verdad

era

Magnit

ud



horizontal del plano que la contiene.

Por el punto A se trazan proyecciones per-

pendiculares a las trazas del plano.

Se dibuja un plano β que contenga la recta

perpendicular trazada desde A.

La recta intersección de los planos α y β

determinará el pie de la perpendicular en

el punto P.

R2

S2

S1

R1

2

1

2

1

A2

A1

P1

P2


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