mët t i l»u ngn gån v· lþ thuy¸t ph¤m trò v h m tû · mët t i l»u ngn gån v· lþ...
TRANSCRIPT
Mët t i l»u ngn gån v·Lþ thuy¸t Ph¤m trò v
H m tû
A short way to
Theory of Categories and Functors
Author: DongPhD
DongPhD Problems Book Series
υo`.1
All rights reserved.
c© 2009 by wWw.VnMath.CoM
MÖC LÖC
Líi tüa 1
1 Ph¤m trò 21.1 Kh¡i ni»m v· ph¤m trò . . . . . . . . . . . 2
1.2 C¡c vªt v c¡c c§u x¤ �°c bi»t . . . . . . . 4
1.3 Ph¤m trò khîp, cëng t½nh, abel . . . . . . 14
2 H m tû 172.1 Kh¡i ni»m h m tû . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Ph²p bi¸n �êi tü nhi¶n . . . . . . . . . . . 19
2.3 H m tû khîp . . . . . . . . . . . . . . . . 20
T i li»u tham kh£o 28
i
www.vnmath.com
Líi tüa
Lþ thuy¸t ph¤m trò v h m tû l mæn håc mîi vîi ph¦n
�æng chóng ta. Vi»c t¼m mët quyºn b i tªp v· nâ qu£ l
khâ kh«n. �º phöc vö cho nhu c¦u æn tªp cõa m¼nh, tæi
bi¶n so¤n tªp t i li»u ngn gån n y. Gâp nh°t nìi n y v i
þ t÷ðng, nìi kia v i luªn cù tæi �¢ l m cæng vi»c cõa mët
con b÷îm li»ng v÷ín hoa - v÷ín hoa xù l¤ - m khæng
mong k¸t tinh mët �÷ñc mët thù mªt n o l nh ngåt. May
ch«ng, ch¿ câ thº tr¡nh �÷ñc sü cho¡ng ngñp ban �¦u khi
ti¸p cªn vîi �tay ki¸m kh¡ch væ còng trøu t÷ñng� n y.
R§t mong �÷ñc sü ch¿ gi¡o cõa c¡c �ëc gi£ v· nhúng
sai l¦m khæng tr¡nh khäi trong t i li»u n y.
N÷îc muæn sæng khæng �õ cho tæi rûa tai �º nghe nhúng
líi cao luªn.†
Hu¸, Mòa �æng, n«m �inh Hñi
DongPhD
†Of first editon. Thanks for nothing.‡This is the second version.§Ask not me why
1
www.vnmath.com
1 Ph¤m trò
Chaque v²rit² que je trouvois ²tant une r±gle qui me
servoit apr±s en trouver d'autres [Each problem
that I solved became a rule which served afterwards
to solve other problems]. (Ren² Descartes, �Discours
de la M²thode�)
1.1 Kh¡i ni»m v· ph¤m trò
B i tªp 1.1.
1. 1 l ph¤m trò vîi mët vªt ? v mët môi t¶n id?;
2. 0 l ph¤m trò réng khæng câ vªt v môi t¶n n o.
3. Gr khæng l ph¤m trò con �¦y cõa ph¤m trò S
4. Ab l ph¤m trò con �¦y cõa Gr.
Líi gi£i.
3. Trong ph¤m trò Gr ta câ [Z2,Z2] = {0, id}. Tuy nhi¶n
trong ph¤m trò S, [Z2,Z2] = {0, id, e} vîi e(0) =
1, e(1) = 1
4. Rã v¼ kh¡i ni»m c§u x¤1 trong Ab v Gr l nh÷ nhau.
B i tªp 1.2. Cho mët hå (Ai)i∈I c¡c vªt trong mët ph¤mtrò C, chùng minh r¬ng CS, CP l ph¤m trò.
1Mët sè s¡ch gåi l môi t¶n(arrow)
2
www.vnmath.com
1. Ob(CS) = {(αi : Ai −→ X)I |X ∈ Ob(C)},[(αi : Ai −→ X)I , (βi : Ai −→ Y )I ]CS = {δ : X −→Y ∈ [X, Y ]C|βi = δαi, ∀i ∈ I}hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CS ch½nh l t½ch c¡c c§ux¤ trong C.
2. Ob(CP) = {(αi : X −→ Ai)I |X ∈ Ob(C)},[(αi : X −→ Ai)I , (βi : Y −→ Ai)I ]CP = {γ : X −→Y ∈ [X, Y ]C|βi = γαi, ∀i ∈ I}hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CP ch½nh l t½ch c¡c c§ux¤ trong C.
Líi gi£i.
∗ Ta câ [(αi : Ai −→ X)I , (βi : Ai −→ Y )I ]CS ⊂ [X, Y ]Cn¶n nâ l mët tªp hñp.
∗ 1(αi:Ai−→X)I = 1X
∗ V¼ ph²p hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CS ch½nh l t½ch
c¡c c§u x¤ trong C n¶n 1(αi:Ai−→X)I = 1X l duy nh§t
v ph²p hñp th nh câ t½nh k¸t hñp.
B i tªp 1.3. Cho A, B l c¡c vªt trong mët ph¤m trò C,chùng minh r¬ng OvB, UnA l ph¤m trò.
1. Ob(OvB) = {(X −→ B)|X ∈ Ob(C)},[X
α−→ B, Yβ−→ B]OvB = {γ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C|βγ =
α}
3
www.vnmath.com
2. Ob(UnA) = {(A −→ Y )|Y ∈ Ob(C)},[A
α−→ Y,Aβ−→ X]UnA = {δ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C|δβ =
α}
Líi gi£i. Ch¿ vi»c kiºm tra c¡c ti¶n �· nh÷ B i tªp 1.2.
1.2 C¡c vªt v c¡c c§u x¤ �°c bi»t
B i tªp 1.4. Chùng minh r¬ng
a. N¸u α, β l �ìn x¤ v βα x¡c �ành th¼ βα công �ìnx¤.
b. N¸u αβ th¼ α �ìn x¤ (nh÷ng β khæng nh§t thi¸t �ìnx¤).
c. N¸u α l to n x¤ (�ìn x¤) trong ph¤m trò C th¼ [α]
khæng to n x¤ (�ìn x¤) trong ph¤m trò th÷ìng cõa C.
Líi gi£i.
a. Gi£ sû câ f , g sao cho βαf = βαg. V¼ β l �ìn x¤
n¶n αf = αg, do α l �ìn x¤ n¶n f = g. Vªy βα �ìn
x¤.
b. Gi£ sû câ f , g sao cho αf = αg. Suy ra βαf = βαg
do βα l �ìn x¤ n¶n f = g. Vªy α l �ìn x¤.
β khæng nh§t thi¸t �ìn x¤.
Trong ph¤m trò c¡c tªp hñp, x²t c¡c c§u x¤
N α−→ Z β−→ Nn 7−→ n
z 7−→ |z|
4
www.vnmath.com
Rã r ng βα = idN l �ìn x¤. Tuy nhi¶n β khæng l
�ìn x¤ v¼ |z1| = |z2| khæng suy ra �÷ñc z1 = z2.
c. X²t ph¤m trò và nhâm nh¥n N. Ta x²t mët quan h»
t÷ìng �÷ìng tr¶n Mor(N):
a, b ∈ Mor(N), a ∼ b⇐⇒ a v b còng chia h¸t cho 2
hay �·u khæng chia h¸t cho 2.
Khi �â Mor(N) �÷ñc chia th nh hai lîp:[0], [1].
Ta câ ph¤m trò th÷ìng N:
Ob(N) = {N},Mor(N) = {[0], [1]}
Hñp th nh[a], [b]:
[a][b] = [ab] =
[1] n¸u a v b �·u l´
[0] c¡c tr÷íng hñp cán l¤i
Ta câ 2 l to n x¤ (�ìn x¤) trong N. Nh÷ng [2] khæng
to n x¤ (�ìn x¤) trong N.
B i tªp 1.5.
1. To n x¤ ch÷a chc l to n ¡nh.
2. �ìn x¤ ch÷a chc l �ìn ¡nh.
Líi gi£i.
1. X²t ph¤m trò Mon c¡c nûa nhâm câ �ìn và(Monoid)
c¡c c§u x¤ l c¡c �çng c§u cõa chóng.
�çng c§u bao h m j : N −→ Z l mët to n x¤ nh÷ng
khæng to n ¡nh. Thªt vªy, gi£ sû r¬ng g1 and g2 l
hai c§u x¤ ph¥n bi»t tø Z tîi mët monoid M n o
5
www.vnmath.com
�â. Lóc �â câ n ∈ Z sao cho g1(n) 6= g2(n), do �â
g1(−n) 6= g2(−n). Ho°c n ho°c −n /∈ N, g1j 6= g2j.
Vªy j l to n x¤.
2. Trong ph¤m trò Div c¡c nhâm abel chia �÷ñc v c¡c
c§u x¤ l c¡c �çng c§u nhâm giúa chóng. X²t �çng
c§u th÷ìng q : Q −→ Q/Z. Rã r ng nâ khæng l �ìn
¡nh; tuy nhi¶n, nâ l mët �ìn x¤ trong ph¤m trò n y.
Thªt vªy, n¸u qf = qg trong �â f , g : G −→ Q, G
l nhâm abel chia �÷ñc n o �â. Lóc �â qh = 0 vîi
h = f − g (�¥y l mët ph¤m trò cëng t½nh2). Suy ra
h(x) l mët sè húu t¿ n¸u x ∈ G. N¸u h(x) 6= 0, ch¯ng
h¤n,
h
(x
2008h(x)
)=
1
2008
th¼
qh
(x
2008h(x)
)6= 0
m¥u thu¨n vîi qh = 0, vªy h(x) = 0 v q l �ìn x¤.
B i tªp 1.6. Chùng minh r¬ng c¡c m»nh �· sau t÷ìng�÷ìng:
a. A l vªt khæng.
b. O −→ A l to n x¤.
c. A −→ O l �ìn x¤.
d. 1A l c§u x¤ khæng.2xem [1]
6
www.vnmath.com
Líi gi£i. Ta ch¿ chùng minh a⇐⇒ b v a⇐⇒ d.
1. (a =⇒ b). Gi£ sû A l vªt khæng. N¸u câ f , g : A −→X sao cho f.0OA = g.0OA th¼ f = g v¼ [A,X] câ duy
nh§t mët ph¦n tû. Vªy O −→ A l to n x¤.
2. (b =⇒ a). Gi£ sû O −→ A l to n x¤. c Ta s³ chùng
minh O −→ A l �¯ng x¤. Thªt vªy,
A0AO // O
0OA // A
∗ Ta câ 0OA.0AO = 0AA ∈ [A,A] v 1AA ∈ [A,A].
M°t kh¡c 0AA0OA = 1AA0OA = 0OA, do 0OA l
to n x¤ n¶n 0AA = 1AA.
∗ Ta công câ 0AO.0OA = 0OO = 1OO.
Vªy a⇐⇒ b.
3. (a =⇒ d). Rã.
4. (d =⇒ a). Gi£ sû 1A l c§u x¤ khæng. A l vªt tªn
còng v¼ 0XA ∈ [X,A] v n¸u f ∈ [X,A] th¼ 1Af =
0XA = 1A0XA, do �â f = 0XA v¼ 1A l �¯ng x¤.
Vªy a⇐⇒ d.
B i tªp 1.7. Cho C l mët ph¤m trò v h¼nh vuæng saugiao ho¡n:
Pp1 //
p2��
B1
β1
��D2 β2
// B
7
www.vnmath.com
Ta x²t ph¤m trò Pull:Vîi β1 : B1 −→ B, β2 : B2 −→ B cho s®n cõa COb(Pull) = {(p1 : P −→ B1, p2 : P −→ B2)|p1, p2 ∈
Mor(C), β1p1 = β2p2} [(p1, p2), (p′1, p′2)]Pull = {γ : P ′ −→
P ∈Mor(C)| p′1 = p1γ, p′2 = p2γ};
hñp th nh l hñp th nh trong trong C; 1(p1,p2) = 1C.H¢y t¼m vªt tªn còng trong ph¤m trò Pull.
Líi gi£i.
∗ Gi£ sû trong ph¤m trò Pull tçn t¤i n½u cho c°p β1,
β2 l (P, p1, p2) th¼ (p1, p2) ch½nh l vªt tªn còng c¦n
t¼m.
∗ N¸u ph¤m trò Pull khæng tçn t¤i n½u cho c°p β1, β2.
Gi£ sû (p1, p2) l vªt tªn còng cõa ph¤m trò Pull th¼(P, p1, p2) l n½u (væ lþ).
B i tªp 1.8. Chùng minh r¬ng:
a. N¸u α l �ìn x¤ th¼ Kerα = 0, nh÷ng ng÷ñc l¤i th¼ch÷a chc;
b. N¸u β l �ìn x¤ th¼ Ker(α) = Ker(βα).
c. N¸u u : K −→ A l h¤t nh¥n cõa α : A −→ B v p : A −→ K∗ l �èi h¤t nh¥n cõa u th¼ u l h¤t nh¥ncõa p.
Líi gi£i.
a. Ta câ
X0XA−→ A
α−→ B
8
www.vnmath.com
∗ α.0XA = 0.
∗ Gi£ sû câ c§u x¤ u′ : K ′ −→ A thäa m¢n �i·u
ki»n αu′ = 0. V¼ α l �ìn x¤ n¶n u′ = 0XA. Vîi
λ = idX ta câ 0XA.λ = u′.
Vªy Kerα = 0.
Ph£n v½ dö:
X²t ph¤m trò R− Smod c¡c nûa mæ�un tr¡i.
X²t Λ3 = {0, 1, a}, trong �â a kh¡c 0 v 1 vîi
ph²p to¡n cång �÷ñc �ành ngh¾a nh÷ sau:
+ 0 1 a
0 0 1 a
1 1 1 1
a a 1 a
Λ3 l và nhâm cëng giao ho¡n vîi ph¦n tû �ìn và
l 1.
Ta câ N = {0, 1, 2, . . .} vîi ph²p cëng v nh¥n
thæng th÷íng l nûa v nh.
X²t ¡nh x¤
ϕ : N× Λ3 −→ Λ3
(n, x) 7−→ nx = x+ x+ . . . x︸ ︷︷ ︸n l¦n
Ta câ ∀m,n ∈ N, ∀x, y ∈ Λ3
n(x+ y) = (x+ y) + . . . (x+ y)︸ ︷︷ ︸n l¦n
= x+ x+ . . . x︸ ︷︷ ︸n l¦n
+ y + y + . . . y︸ ︷︷ ︸n l¦n
= nx+ ny
9
www.vnmath.com
T÷ìng tü
(m+ n)x = nx+mx
(mn)x = m(nx)
1x = x
Vªy Λ3 l mët N− nûa mæ�un tr¡i.
X²tf : Λ3 −→ Λ3
0 7−→ 0
1 7−→ 1
a 7−→ 1
f(0 + 1) = f(1) = 1 = 0 + 1 = f(0) + f(1)
T÷ìng tü
f(0 + a) = f(0) + f(a)
f(1 + a) = f(1) + f(a)
f(m1) = mf(1)
f(m0) = mf(0)
f(ma) = mf(a)
Vªy f l N−�çng c§u nûa mæ �un tr¡i.
X²t K = {x ∈ Λ3|f(x) = 0} = {0} l vªt khæng
trong R− Smod.X²t
K ′0K′K=λ
~~
g′
BBB
BBBB
B
Kg=0 // Λ3
f // Λ3
10
www.vnmath.com
vîig : K −→ Λ3
0 7−→ 0
Ta câ fg = f.0KΛ3 = 0KΛ3.
Vîi måi g′ : K ′ −→ Λ3 thäa fg′ = 0K′Λ3. Suy ra
g′ = 0.
Khi �â tçn t¤i duy nh§t c§u x¤
λ : K ′ −→ K = {0}x 7−→ 0
sao cho gλ(x) = g(0) = 0 = g′(x), ∀x ∈ K ′.Vªy K = Kerf nh÷ng f khæng �ìn ¡nh, do �â
khæng �ìn x¤3.
b. Ta chùng minh n¸u tçn t¤i Ker(α) th¼ Ker(βα) công
tçn t¤i v Ker(α) = Ker(βα) v ng÷ñc l¤i .
(=⇒)
Xkerα−→ A
α−→ Bβ−→ C
Ta câ (βα)kerα = β(αkerα) = β0XB = 0XC
K ′
λ
~~
u′
AAA
AAAA
A
Xkerα // A
α // Bβ // C
Gi£ sû câ u′ : K ′ −→ A sao cho βαu′ = 0K′C , v¼ β
l �ìn x¤ n¶n αu′ = 0XB. M αkerα = 0XB n¶n tçn
t¤i duy nh§t λ : K ′ −→ K sao cho ker(α).λ = u′.3Ph£n chùng: khæng khâ �º t¼m ra mët ph£n th½ dö.
11
www.vnmath.com
Vªy Ker(α) = Ker(βα).
(⇐=)4
c.
K ′
λ
~~
u′
AAA
AAAA
A
K u// A
p //
α ��@@@
@@@@
K∗
γ}}B
∗ Ta câ pu = 0 v¼ p = cokeru.
M°t kh¡c αu = 0 n¶n theo t½nh ch§t cõa cokeru
tçn t¤i c§u x¤ duy nh§t γ : K∗ −→ B sao cho
γp = α.
∗ Gi£ sû câ u′ : K ′ −→ A thäa m¢n pu′ = 0. Lóc
�â γpu′ = 0 = αu′. Do u = kerα n¶n tçn t¤i duy
nh§t c§u x¤ λ : K ′ −→ K sao cho uλ = u′.
Vªy u l h¤t nh¥n cõa p.
B i tªp 1.9. Ta gåi t½ch thî cõa mët hå c§u x¤ (βi :
Bi −→ B)i∈I) cõa ph¤m trò C l t½ch cõa hå vªt (βi :
Bi −→ B)i∈I) trong ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B.Khi méi c§u x¤ βi l �ìn x¤ th¼ t½ch thî cõa hå (βi :
Bi −→ B)i∈I) cán �÷ñc gåi l giao cõa hå c¡c vªt Bi, k½hi»u
⋂i∈IBi.
H¢y chùng tä r¬ng n¸u ph¤m trò C câ vªt tªn còng B th¼4rã
12
www.vnmath.com
i) Ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B tròng vîi ph¤m trò�¢ cho.
ii) T½ch cõa hå vªt (Bi)i∈I tròng vîi t½ch thî cõa hå (βi :
Bi −→ B)i∈I).
Líi gi£i.
i) Chùng minh trong ph¤m trò C câ vªt tªn còng th¼
OvB ≡ C. Ta c¦n chùng minh
1. Ob(C) 1−1←→ Ob(OvB)
2. [Xf−→ B, Y
g−→ B] = [X, Y ]C
1. Ta câ vîi méi vªt cõa Ob(OvB) t÷ìng ùng 1 − 1
vîi méi vªt cõa Ob(C).(X −→ B) ∈ Ob(OvB)
1−1←→ X ∈ Ob(C)
2. Ta câ ∀γ ∈ [Xf−→ B, Y
g−→ B]OvB , γ : X −→Y : gγ = f .
γ ∈ [X, Y ]C. Suy ra [Xα−→ B, Y
β−→ B] ⊂[X, Y ]C.
Ng÷ñc l¤i, vîi måi γ ∈ [X, Y ]C, γ : X −→ Y . Khi
�â gγ : X −→ B ∈ [X,B].
Ta câ f : X −→ B ∈ [X,B] v do B l vªt tªn
còng n¶n gγ = f . Do �â γ ∈ [Xf−→ B, Y
g−→B]OvB , tùc l [X, Y ]C ⊂ [X
f−→ B, Yg−→ B]OvB .
Vªy [Xf−→ B, Y
g−→ B] = [X, Y ]C.
ii) Gi£ sû (P, Ppi−→ Bi)i∈I l t½ch cõa hå vªt (Bi)i∈I
trong ph¤m trò C. Ta s³ chùng minh (P, Ppi−→ Bi)i∈I
13
www.vnmath.com
l t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I .
Thªt vªy, ta câ
βipi : P −→ B, βjpj : P −→ B
Do B l vªt tªn còng n¶n βipi = βjpj, ∀i, j ∈ ISuy ra βipi ∈ Ob(OvB).
∀X ∈ Ob(C), (X,Xαi−→ Bi)i∈I ta câ
βiαi : X −→ B, βjαj : X −→ B
Do B l vªt tªn còng n¶n βiαi = βjαj, ∀i, j ∈ I.Suy ra βiαi ∈ Ob(OvB).
Do P l t½ch n¶n tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ γ : X −→ P
sao cho piγ = αi, ∀i ∈ I.Vªy P l t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I .
1.3 Ph¤m trò khîp, cëng t½nh, abel
B i tªp 1.10. Trong ph¤m trò khîp
1. Chùng minh méi �ìn x¤ l h¤t nh¥n cõa �èi h¤t nh¥ncõa nâ
2. Mët c§u x¤ α l �ìn x¤ khi v ch¿ khi Kerα = 0.
Líi gi£i. Trong ph¤m trò khîp, ta câ måi c§u x¤ α :
A −→ B thäa α = uv trong �â u = ker(cokerα), v =
coker(kerα).
14
www.vnmath.com
1. Gi£ sû α l �ìn x¤. Ta chùng minh α = ker(cokerα).
V¼ α �ìn x¤ n¶n kerα = 0XA. Ta câ v = coker(kerα) =
coker0XA = 1A. Vªy α = u1A = ker(cokerα).
2. kerα = 0 =⇒ α �ìn x¤.
Thªt vªy, gi£ sû câ f, g : X −→ A sao cho αf = αg
hay uvf = uvg. V¼ u l �ìn x¤ n¶n vf = vg hay
coker(kerα)f = coker(kerα)g. Suy ra 1Af = 1Ag,
tùc l f = g .
B i tªp 1.11. Trong ph¤m trò cëng t½nh, chùng minh
1. α to n x¤ ⇐⇒ Cokerα = 0.
2. Coequ(α, β) = Coker(α− β).
Líi gi£i. Cho α : A −→ B, cokerα : B −→ Y .
1. Ta chùng minh Cokerα = 0 =⇒ α to n x¤.
Gi£ sû câ f, g : B −→ Y ∗ sao cho fα = gα th¼
fα− gα = 0 hay (f − g)α = 0.
Aα // B
Cokerα //
f−g BBB
BBBB
B Y
γ~~Y ∗
Lóc �â tçn t¤i duy nh§t γ : B −→ Y ∗ sao cho f−g =
γcokerα = 0. Vªy f = g, tùc l α l to n x¤.
2. Gi£ sû (C, h) = Coker(α− β) tçn t¤i. 5
Ta chùng minh Coequ(α, β) = Coker(α − β). Ta câ5Khi Coequ(α, β) tçn t¤i th¼ ta chùng minh t÷ìng tü
15
www.vnmath.com
h(α− β) = hα− hβ = 0 n¶n hα = hβ.
N¸u câ u : B −→ Z sao chouα = uβ hay u(α−β) = 0
th¼ theo �ành ngh¾a cõa �èi h¤t nh¥n câ duy nh§t
γ : Y −→ Z sao cho γh = u.
Aα−β // B
h //
u ��@@@
@@@@
C
�Z
Vªy Coequ(α, β) = Coker(α− β).
16
www.vnmath.com
2 H m tû
If you can't solve a problem, then there is an easier
problem you can solve, find it.(George P�olya)
2.1 Kh¡i ni»m h m tû
B i tªp 2.1. Chùng tä c¡c t÷ìng ùng sau �¥y l h m tûhi»p bi¸n
a. T÷ìng ùng
HA : C −→ SX 7−→ [A,X]C
Xα−→ Y 7−→ HA(X)
[A,α]=HA(α)−→ HA(Y )
f 7−→ αf
trong �â C l mët ph¤m trò tuý þ v A l mët vªt cè�ành trong ph¤m trò C.
b. T÷ìng ùng
A⊗R − : R−Mod −→ AbX 7−→ A⊗R X
Xα−→ Y 7−→ A⊗R X
1⊗α−→ A⊗R X
trong �â A l mët R−mæ�un ph£i, R−mod l ph¤mtrò c¡c R−mæ�un tr¡i.
c. T÷ìng ùng
HomR(A,−) : R−Mod −→ AbX 7−→ HomR(A,X)
Xα−→ Y 7−→ HomR(A,α)
17
www.vnmath.com
trong �â A l mët R−mæ�un ph£i, R−mod l ph¤mtrò c¡c R−mæ�un tr¡i.
Líi gi£i. Rã r ng c¡c t÷ìng ùng
X 7−→ [A,X]C
Xα−→ Y 7−→ HA(X)
HA(α)−→ HA(Y )
f 7−→ αf
l c¡c ¡nh x¤.
Ta câ
∗ HA(1X) = 1HA(X). Thªt vªy, vîi måi φ ∈ [A,X]C th¼
HA(1X)(φ) = 1X(φ) = φ
v
1HA(X)(φ) = φ.
∗ Vîi måi φ ∈ [A,X]C, f ∈ [X, Y ]C g ∈ [Y, Z]C th¼
HA(gf)(φ) = (gf)φ = gfφ
v
HA(g)HA(f)(φ) = HA(g)(fφ) = gfφ,
suy ra HA(gf) = HA(g)HA(f).
Vªy HA l mët h m tû hi»p bi¸n.
18
www.vnmath.com
2.2 Ph²p bi¸n �êi tü nhi¶n
B i tªp 2.2. Cho α : A −→ B l mët c§u x¤ cõaMor(C),ta x²t c¡c h m tû ph£n bi¸n HA v HB. Vîi X ∈ Ob(C),ta x¡c �ành ¡nh x¤
Hα : HA(X) −→ HB(X)
f 7−→ αf
Chùng tä r¬ng Hα l mët ph²p bi¸n �êi tü nhi¶n tø h mtû HA tîi h m tû HB.
Líi gi£i. V¼ HA v HB l hai h m tû ph£n bi¸n n¶n �º
chùng minh Hα l ph²p bi¸n �êi tü nhi¶n ta s³ chùng
minh vîi méi φ : X −→ Y ∈ Mor(C) ta câ biºu �ç sau
giao ho¡n
HA(Y )
HA(φ)��
Hα(Y )//HB(Y )
HB(φ)��
HA(X)Hα(X)
//HB(X)
hay biºu �ç sau giao ho¡n
[Y,A]C
HA(φ)��
Hα(Y )// [Y,B]C
HB(φ)��
[X,A]CHα(X)// [X,B]C
Thªt vªy, vîi måi f ∈ [Y,A] ta câ
HB(φ)Hα(Y )(f) = HB(φ)(αf) = αfφ
v
Hα(X)HA(φ)(f) = Hα(X)(fφ) = αfφ.
19
www.vnmath.com
Vªy
HB(φ)Hα(Y ) = Hα(X)HA(φ).
2.3 H m tû khîp
B i tªp 2.3. N¸u F : C −→ D l h m tû cëng t½nh th¼
a. F (0) = 0
b. F (−α) = −F (α), ∀α ∈Mor(C).
Líi gi£i.
a. Ta câ F (id0 + id0) = F (id0) + F (id0) =⇒ F (id0) = 0
=⇒ idF (0) = 0 =⇒ F (0) = 0
b. Ta câ F (α− α) = F (0) = F (α) + F (−α) = 0,
F (−α) = −F (α)
B i tªp 2.4. Mët h m tû hi»p bi¸n cëng t½nh F tø ph¤mtrò abel C v o ph¤m trò abel D l khîp ph£i n¸u v ch¿n¸u nâ bi¸n méi d¢y khîp
Xα−→ Y
β−→ Z −→ 0
th nh d¢y khîp
F (X)F (α)−→ F (Y )
F (β)−→ F (Z) −→ 0
Líi gi£i.
20
www.vnmath.com
1. (=⇒) Gi£ sû F bi¸n méi d¢y khîp
Xα−→ Y
β−→ Z −→ 0
th nh d¢y khîp
F (X)F (α)−→ F (Y )
F (β)−→ F (Z) −→ 0
Ta chùng minh F khîp ph£i.
N¸u trong C câ d¢y c§u x¤ Xα−→ Y
β−→ Z vîi β =
Cokerα th¼ β l to n x¤ n¶n β = Cokerα = Coimβ.
Suy ra Imα = Kerβ. Do �â d¢y
Xα−→ Y
β−→ Z −→ 0
khîp sinh ra d¢y khîp
F (X)F (α)−→ F (Y )
F (β)−→ F (Z) −→ 0
hay ImF (α) = KerF (β) v F (β) l to n x¤. Vªy
CokerF (α) = CoimF (β) = F (β).
2. (⇐=) Gi£ sû F khîp ph£i, tùc l n¸u trong C câ d¢y
c§u x¤ Xα−→ Y
β−→ Z vîi β = Cokerα th¼ d¢y
F (X)F (α)−→ F (Y )
F (β)−→ F (Z) −→ 0
câ CokerF (α) = F (β).
Gi£ sû
Xα−→ Y
β−→ Z −→ 0
khîp, tùc l Imα = Kerβ v β l to n x¤. Do �â
Cokerα = Coimβ = β n¶n câ d¢y
F (X)F (α)−→ F (Y )
F (β)−→ F (Z)
21
www.vnmath.com
vîi
CokerF (α) = CoimF (β) = F (β)
Suy ra ImF (α) = KerF (β) v F (β) l to n x¤.6
B i tªp 2.5. Chùng tä r¬ng :
a. C¡c h m tû HA, HB, HomR(A,−), HomR(−, B) :
R−Mod −→ Abl khîp tr¡i.
b. C¡c h m tû
A⊗R − : R−Mod −→ Ab−⊗R B : R−Mod −→ Ab
l khîp ph£i
Líi gi£i. Ta ch¿ x²t HA v A⊗R − v k½ hi»u C thay cho
R−Mod.
a. Ta chùng minh HA l khîp tr¡i.
∗ HA l h m tû hi»p bi¸n.
∗ HA l cëng t½nh. Thªt vªy, vîi måi f, g ∈ [A,X]Cta câ
[A,α](f+g) = α(f+g) = αf+αg = [A,α]f+[A,α]g
∗ HA l khîp tr¡i, tùc l n¸u trong C câ d¢y c§u x¤
Xα−→ Y
β−→ Z vîi α = Kerβ th¼ trong Ab câ
d¢y c§u x¤
[A,X]C[A,α]−→ [A, Y ]C
[A,β]−→ [A,Z]C6??? Sai ð �¥u
22
www.vnmath.com
vîi F (α) = KerF (β).
i) F (α) ⊂ KerF (β).
Ta câ F (β)F (α)(f) = βαf = 0 =⇒ F (β)F (α) =
0 hay F (α) ⊂ KerF (β).
ii) KerF (β) ⊂ F (α).
L§y g ∈ KerF (β) ta câ F (β)(g) = 0 =⇒ βg =
0. V¼ α = kerβ n¶n tçn t¤i duy nh§t �çng c§u
γ : A −→ X sao cho αγ = g, tùc l F (α)(γ) =
g. Vªy KerF (β) ⊂ F (α).
b. Ta chùng minh A⊗R − l khîp ph£i.
∗ A⊗R − v −⊗R B �·u l h m tû hi»p bi¸n7.
∗ A ⊗R − l h m tû cëng t½nh. Ta câ ∀X, Y ∈Ob(R-Mod) : α, β ∈ [X, Y ]R-Mod
A⊗R (α + β) = A⊗R α + A⊗R β.
Thªt vªy, ∀(a⊗ x) ∈ A⊗R X,
A ⊗R (α + β)(a ⊗ x) = 1A(a) ⊗ [(α + β)(x)] =
a⊗ [α(x) + β(x)]
= a⊗ α(x) + a⊗ β(x) = (1A ⊗ α)(a⊗ x) + (1A ⊗β)(a⊗ x)
= (1A ⊗ α + 1A ⊗ β)(a⊗ x).
∗ A ⊗R − l khîp ph£i. Gi£ sû trong C câ d¢y c§u
x¤ Xα−→ Y
β−→ Z vîi β = cokerα ta s³ chùng7Vi»c chùng minh −⊗R B khîp ph£i ta ti¸n h nh t÷ìng tü
23
www.vnmath.com
minh trong Ab câ d¢y c§u x¤
A⊗R X1⊗α−→ A⊗R Y
1⊗β−→ A⊗R Z
vîi 1⊗ β = Coker(1⊗ α).
Thªt vªy, v¼ β = Cokerα = Y/Imα n¶n β l to n
x¤, do �â β = Coimβ = Y/Kerβ. =⇒ imα =
kerβ.
Vªy d¢y Xα−→ Y
β−→ Z −→ O khîp, tø �â d¢y
A⊗R X1⊗α−→ A⊗R Y
1⊗β−→ A⊗R Z −→ 0
khîp8.
Suy ra im(1⊗α) = ker(1⊗β) v 1⊗β l to n
x¤ n¶n
1 ⊗ β = coim(1 ⊗ β) = A ⊗R Y/Ker(1 ⊗ β) =
A⊗R Y/Im(1⊗ α)
= Coker(1⊗ α)
NH�N X�T:Nâi chung − ⊗R B, HomR(B,−) khæng khîp. Thªt vªy,
chån R = Z, B = Z2.
∗ Ta câ d¢y sau khîp:
0 −→ 2Z j−→ Z p−→ Z2 −→ 0,
trong �â j(1) = 2, p(1) = 1̄. Tuy nhi¶n, d¢y sau khæng
khîp
0 −→ 2Z⊗Z Z2j⊗id−→ Z⊗Z Z2
p⊗id−→ Z2 ⊗Z Z2 −→ 0
8X ⊗R A1⊗α−→ Y ⊗R A
1⊗β−→ Z ⊗R A −→ 0 công khîp
24
www.vnmath.com
v¼ j ⊗ id khæng �ìn ¡nh. Thªt vªy,
j⊗id(1⊗1̄) = j(1)⊗id(1̄) = 2⊗1̄ = 1⊗21̄ = 1⊗0̄ = 0.
=⇒ j ⊗ id l ¡nh x¤ khæng. Nâ khæng �ìn ¡nh v¼
2Z⊗Z Z2∼= Z⊗Z Z2
∼= Z2 6= 0.9
∗ Ta câ vîi ϕ ∈ HomZ(Z2,Z), 2ϕ(1̄) = ϕ(2̄ = 0.
=⇒ ϕ(1̄) = 0 hay ϕ = 0. =⇒ HomZ(Z2,Z) = 0.
N¸u d¢y khîp
0 −→ Z j−→ Z p−→ Z2 −→ 0,
trong �â j(1) = 2, p(1) = 1̄ sinh ra d¢y khîp
0 −→ HomZ(Z2,Z)j?−→HomZ(Z2,Z)
p?−→HomZ(Z2,Z2) −→ 0
th¼ d¢y sau khîp
0 −→ 0 −→ 0 −→ HomZ(Z2,Z2) −→ 0
Vªy HomZ(Z2,Z2) = 0 (væ lþ).
B i tªp 2.6. Cho P l R−mæ�un ph£i tü do10, h m tûsau khîp:
P ⊗R − : R−Mod −→ AbX 7−→ P ⊗R X
Xα−→ Y 7−→ P ⊗R X
1⊗α−→ P ⊗R X9R⊗RM ∼= M ⊗R R ∼= M v 2Z ∼= Z
10P x¤ £nh công �óng
25
www.vnmath.com
Líi gi£i. V¼ c¡c ph¤m trò R −Mod v Ab l c¡c ph¤m
trò abel n¶n ta s³ chùng minh P ⊗R− bi¸n d¢y khîp ngn
0 −→ Xα−→ Y
β−→ Z −→ 0
th nh d¢y khîp ngn
0 −→ P ⊗R X1⊗α−→ P ⊗R Y
1⊗β−→ P ⊗R Z −→ 0
Ta bi¸t P ⊗R − l khîp ph£i n¶n vi»c cán l¤i l chùng
minh P ⊗R f l �ìn c§u. V¼ P tü do n¶n P câ cì sð (ei)I .
Khi �â måi ph¦n tû cõa P ⊗RX �·u câ thº vi¸t duy nh§t
d÷îi d¤ng∑ei ⊗R xi trong �â xi ∈ X v hå (xi)I câ gi¡
húu h¤n.11
Gi£ sû
(P ⊗R f)(∑
ei ⊗R xi) =∑
ei ⊗R f(xi) = 0 =∑
ei ⊗R 0
Do �â f(xi) = 0, ∀i ∈ I. M°t kh¡c f �ìn c§u n¶n xi =
0∀i ∈ I. Vªy ker(P ⊗R f) = 0 hay P ⊗R f l �ìn c§u.
B i tªp 2.7.
1. N¸u P l mæ�un x¤ £nh th¼ h m tû HomR(P,−) khîp.
2. Cho Q l mæ�un nëi x¤ th¼ h m tû HomR(−, Q) khîp.
Líi gi£i.
1. HomR(P,−) l h m tû hi»p bi¸n khîp tr¡i n¶n �º
chùng minh d¢y khîp ngn 0 −→ Af−→ B
g−→ C −→0 sinh ra d¢y khîp
0 −→ HomR(P,A)f?−→HomR(P,B)
f?−→HomR(P,C) −→ 0
11Xem l¤i lþ thuy¸t mæ �un
26
www.vnmath.com
ta ch¿ cán chùng minh g? l to n c§u. Thªt vªy, v¼
d¢y tr¶n khîp n¶n g l to n c§u.
P
�
ϕ
~~B g
// C // O
M P x¤ £nh n¶n vîi måi α : P −→ C tçn t¤i ϕ :
P −→ B sao cho gϕ = α = g?.
2. HomR(−, Q) l h m tû ph£n bi¸n khîp tr¡i. 12. Y¶u
c¦u cõa b i to¡n t÷ìng �÷ìng vîi f ? l to n c§u n¸u
f �ìn c§u ngh¾a l ∀β ∈ HomR(A,Q) tçn t¤i ϕ ∈HomR(B,Q) sao cho f ?(ϕ) = ϕf = β. �i·u n y rã
r ng v¼ Q l nëi x¤.
12D¢y khîp Af−→ B
g−→ C −→ 0 c£m sinh d¢y khîp
0 −→ HomR(C,Q)f?
−→ HomR(B,Q)f?
−→ HomR(A,Q)
27
T�I LI�U THAM KH�O
[1] Nguy¹n Xu¥n Tuy¸n, L¶ V«n Thuy¸t, Cì sð �¤i sèhi»n �¤i, NXB Gi¡o döc, 2001.
[2] Barry Mitchell, Lþ thuy¸t ph¤m trò, Academic Press,
1965 (B£n dàch ti¸ng Vi»t)
[3] Saunder MacLane, Categories for mathematicianworking, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-
Verlag.
[4] Barr, Michael Wells, Charles (2002), Toposes, Triplesand Theories, http://www.case.edu/artsci/math/wells/pub/pdf/ttt.pdf.
[5] Ad¡mek, Ji�r½, Herrlich, Horst Strecker, George E.
(1990), Abstract and Concrete Categories, John
Wiley Sons, ISBN 0-471-60922-6, http://katmat.math.uni-
bremen.de/acc/acc.pdf .
[6] Asperti, Andrea Longo, Giuseppe (1991), Cat-egories, Types and Structures, MIT Press,
ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf.
S¡ch l th¦y cõa c¡c th¦y
H¦u h¸t c¡c t i li»u tr¶n �·u câ t¤i �àa ch¿
http://www.vnmath.com/2009/11/pham-tru-ham-tu.html
28