mt sistem persamaan linear
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
1/45
SISTEM PERSAMAAN LIN
Systems of Linear Algebraic Equat
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
2/45
Sistem Persamaan Linear2
Acuan Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers,
2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.
Chapter 7, 8, dan 9, hlm. 201-290.
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
3/45
Sistem Persamaan Linear3
Serangkaian npersamaan linear:
nnnnnn
nn
nn
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
...
.
.
.
...
...
2211
22222121
11212111
Sejumlah npersamaan linear
ini harus diselesaikan secara
simultan untuk mendapatkan
x1,x2,,xnyang memenuhisetiap persamaan tsb.
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
4/45
Metoda Penyelesaian
Penyelesaian
Grafis
Cramer
Eliminasi
Penyelesaian langsun
Eliminasi Gauss
Gauss-Jordan
Iteratif Jacobi
Gauss-Seidel
Successive Over Re
4
Jml. pers. sedikit, n Jml. pers. banyak, n
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
5/45
Metoda Grafis5
x2=
x1=
x2
x1
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
6/45
Metoda Grafis6
x2
x1
x2
x1
x2
ill-conditioned system singular system singular
seberimpithampir sejajar
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
7/45
Metoda Cramer7
Variabel tak diketahui,xi, merupakan perbandingan dua detematrix
Penyebut : determinan, D, matrix koefisien sistem persamaan
Pembilang : determinan matrix koefisien sistem persamaan sepe
namun koefisien kolom ke idiganti dengan koefisie
Contoh 3 persamaan linear
3333232131
2323222121
1313212111
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
8/45
Metoda Cramer8
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A A
333231
232221
131211
det
aaa
aaa
aaa
D A
D
aac
aacaac
x 33233
23222
13121
1D
aca
aca
aca
x 33331
23221
13111
2 D
aa
aa
aa
x31
21
11
3
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
9/45
Determinan Matrix9
Matrix bujur sangkar: nn Mencari determinan matrix
Hitungan manual
MSExcel, dengan fungsi =MDETERM()
Contoh hitungan determinan matrix 2 2 dan 3 3
2221
1211
aa
aaA A
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
B B
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
10/45
Determinan Matrix10
21122211
2221
1211det aaaa
aa
aaD A
312232211331233321123223332211
3231
2221
133331
2321
123332
2322
11
333231
232221
131211
det
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaaaaa
aaa
D
B
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
11/45
Metoda Cramer11
4.71102.03.0
3.193.071.0
85.72.01.03
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh: 3 persamaan linear
102.03.0
3.071.0
2.01.03
3
2
1
x
x
x
CXA
353.210
3.072.01.02.0
101.01.02.03.01073det
A
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
12/45
Metoda Cramer12
102.04.71
3.073.19
2.01.085.7
1A
104.713.0
3.03.191.0
2.085.73
2A
3.0
1.0
3
3A
059.631det 1 A1A 883.525det 2 A2A det 3 A3A
3353.210
059.631
det
det1
A
A1x 5.2
353.210
883.525
det
det2
A
A2x
det
det3
A
A3x
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
13/45
Metoda Eliminasi13
Contoh: 2 persamaan linear
122111212222121111222121
212121111212111211212111
aaxaacxaxaacxaxa
aaxaacxaxaacxaxa
2211221122 cxaaxaa
22
22
aa
acx
22
21
aa
acx
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
14/45
Eliminasi Gauss14
Strategi Forward elimination
Back substitution
Contoh
3 persamaan linear
3333232131
2323222121
1313212111
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
(1)
(2)
(3)
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
15/45
Eliminasi Gauss15
1
11
313313
11
3133212
11
3132
1
11
212313
11
2123212
11
2122
1313212111
ca
acxa
a
aaxa
a
aa
ca
acxa
a
aaxa
a
aa
cxaxaxa
232
222
212111
xa
xa
xaxa
Forward elimination #1 Hilangkanx1dari pers. kedua dan ketiga dengan operasi perkalia
pengurangan dengan pers. pertama.
pivot equationpivot coefficient
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
16/45
Eliminasi Gauss16
2
22
323323
22
3233
2323222
1313212111
ca
acxa
a
aa
cxaxa
cxaxaxa
Forward elimination #2 Hilangkanx2dari pers. ketiga dengan operasi perkalian koefisien
pengurangan dengan pers. kedua.
pivot equationpivot coefficient
33
23222
13212111
a
axa
axaxa
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
17/45
Eliminasi Gauss17
Back substitution Hitungx3dari pers. (3''), hitungx2dari pers. (2), danx1dari pers.
33
33
a
cx
22
32322
a
xacx
11
121211
a
axacx
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
18/45
Eliminasi Gauss18
Forward elimination
11
22323
22323222
11313212111
.
.
.
...
...
...
n
nn
n
nn
nn
nn
nn
cxa
cxaxa
cxaxaxa
cxaxaxaxa
,11
11
1
1
i
a
xac
x
a
cx
i
ii
ij
j
i
ij
i
i
i
n
nn
n
n
n
Back substitution
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
19/45
Eliminasi Gauss19
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh: 3 persamaan linear
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
20/45
Eliminasi Gauss20
Forward elimination Eliminasix2dari Pers. 2 dan 3, Pers. 1 sebagai pivot
Eliminasix3dari Pers. 3, Pers. 2 sebagai pivot
0843.700120.1000)3(
5617.192933.00033.70)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
615.7002.1019.00)3(
5617.192933.00033.70)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
21/45
Eliminasi Gauss21
Backward substitution Menghitungx3dari Pers. 3''
70120.10
0843.703 x
Substitusix3ke Pers. 2' untuk menghitungx2
5.20033.7
72933.05617.192 x
Substitusix3danx2ke Pers. 1 untuk menghitungx1
3
3
5.21.072.085.71
x
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
22/45
Metoda Eliminasi22
Strategi Eliminasi variabel tak diketahui,xi, dengan penggabungan dua p
Hasil eliminasi adalah satu persamaan yang dapat diselesaikan u
mendapatkan satu variabelxi.
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
23/45
Kelemahan Metoda Eliminasi23
Pembagian dengan nol
Pivot coefficient sama dengan nol ataupun sangat kecil.
Pembagian dengan nol dapat terjadi selama proses eliminasi ataupu
Round-off errors
Selama proses eliminasi maupun substitusi, setiap langkah hitungan be
langkah hitungan sebelumnya dan setiap kali terjadi kesalahan; kesaterakumulasi, terutama apabila jumlah persamaan sangat besar.
Ill-conditioned systems
Ill-condition adalah situasi dimana perubahan kecil pada satu atau b
koefisien berakibat perubahan yang besar pada hasil hitungan.
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
24/45
Perbaikan24
Pemilihan pivot (pivoting)
Urutan persamaan dipilih sedemikian hingga yang menjadi pivot
adalah persamaan yang memberikan pivot coefficient terbesar.
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
25/45
Metoda Penyelesaian25
Matrix Inverse
Gauss-Jordan
Metoda Iteratif
Jacobi
Gauss-Seidel
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
26/45
Metoda Gauss-Jordan26
Mirip dengan metoda eliminasi Gauss, tetapi tidak diperlukan
substitution.
Contoh
3 persamaan linear
4.71102.03.0
3.193.071.0
85.72.01.03
321
321
321
xxx
xxx
xxx
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
27/45
Metoda Gauss-Jordan27
4.71
3.19
85.7
101.03.0
3.071.0
2.01.03
4.71
3.19
385.7
101.03.0
3.071.0
32.031.033
101.03.0
3.071.0
066.00333.01
0200.101900.00
2933.00033.70
0667.00333.01
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
28/45
0120.1000
0419.010
0681.001
Metoda Gauss-Jordan28
6150.70
5617.19
6167.2
0200.101900.00
2933.00033.70
0667.00333.01
6.70
0.7/5617.19
6.2
0200.101900.00
0033.7/2933.00033.7/0033.70033.7/0
0667.00333.01
6150.70
7931.2
6167.2
0200.101900.00
0419.010
0667.00333.01
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
29/45
7
7931.25236.2
100
0419.0100681.001
0120.10/0843.70
793.25236.2
0120.10/0120.100120.10/00120.10/0
0419.0100681.001
Metoda Gauss-Jordan29
7
5.23
100
010001
x
x
x
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
30/45
Gauss-Jordan vs Eliminasi Gauss30
Metoda Gauss-Jordan
Jumlah operasi lebih banyak (50%)
Memiliki kelemahan yang sama dengan eliminasi Gauss
Pembagian dengan nol
Round-off error
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
31/45
Inversi Matrix31
CAXCXA 1
100
010
001
333131
232221
131211
aaa
aaa
aaa
1
33
1
32
1
31
1
23
1
22
1
21
113
112
111
100
010
001
aaa
aaa
aaa
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
32/45
Inversi Matrix32
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh: 3 persamaan linear
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
33/45
Inversi Matrix33
100
010
001
102.03.0
3.071.0
2.01.03
A
102.03.0
3.071.0
0667.00333.01
A
0200.101900.00
2933.00033.70
0667.00333.01
A
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
34/45
Inversi Matrix34
100999.0
01422.00047.0
003333.0
0200.101900.00
0417.010
0667.00333.01
A
10270.01009.0
01422.00047.0
00047.03318.0
0121.1000
0417.010
0681.001
A
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
35/45
Inversi Matrix35
0999.00027.00101.0
01422.00047.0
00047.03318.0
100
0417.010
0681.001
A
0999.00027.00101.0
0042.01423.00052.00068.00049.03325.0
100
010001
A
1A
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
36/45
Inversi Matrix36
0002.7
4881.2
0004.3
4.71
3.19
85.7
0999.00027.00101.0
0042.01423.00052.0
0068.00049.03325.0
3
2
1
3
2
1
1
x
x
x
x
x
x
CAX
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
37/45
Metoda Iteratif: Jacobi37
3333232131
2323222121
1313212111
cxaxaxa
cxaxaxacxaxaxa
33
23213133
22
32312122
11
31321211
a
xaxacx
a
xaxacx
a
xaxacx
33
0
232
0
13131
3
22
0
323
0
12121
2
11
0
313
0
21211
1
a
xaxacx
a
xaxacx
a
xaxacx
0
0
0
0
3
0
2
0
1
x
x
x
31
3
21
2
11
1
cx
cx
cx
n
n
n
nilai awal,biasanyaxi
0= 0 ite
sam
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
38/45
Metoda Iteratif: Jacobi38
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh: 3 persamaan linear
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
39/45
Metoda Iteratif: Gauss-Seidel39
33
1
232
1
131313
22
0323
112121
2
11
0313
021211
1
axaxacx
a
xaxacx
a
xaxacx
33
1
232
1
131313
22
3231
121212
11
313212111
axaxacx
a
xaxacx
a
xaxacx
nn
n
nn
n
nn
n
ite
sam
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
40/45
Metoda Iteratif: Gauss-Seidel40
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh: 3 persamaan linear
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
41/45
Jacobi vs Gauss-Seidel41
12321131313
0323
11212
12
0313
02121
11
axaxacx
axaxacx
axaxacx
22322131323
1
323
2
1212
2
2
1313
12121
21
axaxacx
axaxacx
axaxacx
3302320131313
220323
01212
12
110313
02121
11
axaxacx
axaxacx
axaxacx
3312321131323
22
1
323
1
1212
2
2
111313
12121
21
axaxacx
axaxacx
axaxacx
Jacobi Gauss-Seidel
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
42/45
Successive Over-relaxation Method42
Dalam setiap iterasi, nilai variabel terbaru (yang baru saja di
tidak langsung dipakai pada iterasi selanjutnya
Pada iterasi selanjutnya, nilai tsb dimodifikasi dengan memasupengaruh nilai variabel lama (pada iterasi sebelumnya),xn
faktor relaxasi ldimaksudkan untuk mempercepat konvergensi hi
under-relaxation: 0 < l < 1
over-relaxation: 1 < l < 2
ni
n
i
newxxx ll 111
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
43/45
Successive Over-relaxation Method43
33
21
23211
13131
3
22
3231
1
12121
2
11
31321211
1
11
1
a
xxaxxacx
a
xaxxacx
a
xaxacx
nnnnn
nnn
n
nnn
llll
ll
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
44/45
Successive Over-relaxation Method44
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh: 3 persamaan linear
-
7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear
45/45