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Máquinas Elétricas 1
Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
Capítulo 2 – Transformadores Monofásicos
Sumário
Sumário do capítulo
Introdução
O Transformador Ideal
O Transformadores Real
O Autotransformador
Sistema Por Unidade
O Transformador de Alta Frequência
Exercícios
Referências
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Sumário
Observações
Estes slides foram preparados como parte do conteúdo da disciplina de
Máquinas Elétricas 1 dos cursos de Engenharia Elétrica e Engenharia de
Controle e Automação da UTFPR, campus Curitiba.
Esperamos que estes slides possam servir também como uma pequena
apostila, além de material a ser exibido em sala de aula. Daí a maior
quantidade de texto em relação a slides convencionais.
Todas as ilustrações, exceto menção em contrário, foram confeccionadas
pelo autor por meio do GIMP 2.8.18, GNU Image Manipulation Program.
As fotografias foram pesquisadas por meio do Google e, quando a fonte
não foi encontrada, foram consideradas de domínio comum. Caso não
seja este o caso, basta entrar em contato e solicitar a retirada.
E-mail: [email protected].
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Introdução4
Sumário
Transformadores
Transformadores (ou “Trafos”, na gíria da Engenharia Elétrica brasileira) são circuitos elétricos que transferem energia eletromagnética entre dois ou mais circuitos por meio de indução eletromagnética, possibilitando o aumento ou a redução de tensão.
Faraday descobriu o princípio da indução de pulsos de tensão entre dois enrolamentos em 1830. Contudo, ele não percebeu que havia uma relação entre o número de espiras do primário e do secundário e as tensões do primário e do secundário, respectivamente.
Um dos primeiros pesquisadores a perceber a relação entre espiras e tensões foi o irlandês Nicholas Callan (1799-1864). Em 1837, usando um relógio para interromper a corrente 20 vezes por segundo, Callan, produziu faíscas de 380mm, uma tensão estimada de 60kV.
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Sumário
Aplicações dos Transformadores
Adequar os níveis de tensão em sistemas de geração, transmissão e
distribuição de energia elétrica.
Isolar eletricamente o circuito de potência principal dos sistemas de
proteção, medição e controle.
Realizar casamentos de impedância, maximizando a transferência de
potência entre dois circuitos.
Evitar a transferência de corrente contínua de um circuito para o outro.
Alimentar equipamentos de baixa tensão a partir de tomadas de média
tensão (380/220/110 V).
Realizar medições de tensão e corrente.
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Sumário
Alguns Tipos de Transformadores
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Figura (2.1)
Sumário
Transformadores de
Força
São transformadores para geração,
transmissão e distribuição de energia
em concessionárias e subestações de grandes indústrias, incluindo aplicações
especiais como fornos de indução,
fornos a arco e retificadores.
Potência: 5 MVA a 300 MVA.
Tensões: as tensões mais comuns no
Brasil vão de 230 kV a 500 kV. Uma
exceção é uma das linhas AC da UHE
Itaipu, que transmite em 750 kV.
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Fonte: WEG
Sumário
Sumário
Transformadores de
Distribuição
São transformadores para distribuição
de energia ao consumidor final
(concessionárias de energia, cooperativas, instaladoras e empresas
de modo geral).
Potência: 30 kVA a 300 kVA.
Alta tensão: 13,8 kV a 25 kV.
Baixa tensão: 380/220 V ou 220/127 V.
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Sumário
Autotransformadores
São transformadores cujos enrolamentos, além de
acoplados magneticamente, são também aco-
plados eletricamente.
Se o isolamento elétrico não for necessário e se, além
disso, tensões variáveis forem necessárias, o auto-
transformador é o mais indicado.
Por causa do acoplamento elétrico, o rendimento e a
regulação do autotransformador são maiores.
Um autotransformador de baixa potência bastante
conhecido é o Varivolt.
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Sumário
Autotransformadores
de Potência
Autotransformadores trifásicos podem operar
em potências que vão até algumas centenas
de kVA. A grande vantagem é o tap variável, que per-mite o controle de tensão sob carga
variável.
Exemplos desse tipo de transformador
encontram-se na subestação de 765/500/345 kV Tijuco Preto e na subestação de 500/345 kV
de Ibiúna, ambas pertencentes a Furnas.
O autotransformador da fotografia ao lado foi
construído pela Ningbo Tianan Group, uma empresa chinesa.
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Fonte: Ningbo Tianan Group, China
Sumário
Transformadores de Potencial (TPs)
Os TPs são transformadores de medição de alta tensão usados em conjunto com os TCs. São conectados em paralelo com o circuito medido, interferindo minimamente no funcionamento deste.
O primário do TP é conectado ao circuito de alta tensão a ser medido e o secundário é conectado a um voltímetro.
A razão entre a tensão do primário e a tensão do secundário é uma constante denominada “razão de transformação” e é determinada pelo fabricante.
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Sumário
Transformadores de Corrente
(TCs)
TCs de alta tensão são usados em subestações para
medição de corrente e proteção.
Também existem TCs de baixa tensão, usados para
monitoramento do consumo de energia em residências
e outras instalações do mesmo tipo.
O primário dos TCs é geralmente um só condutor e o
secundário é um bobina envolvente.
Amperímetros do tipo alicate, que permitem a medição
de correntes sem interrupção do circuito, também
operam com base nesse princípio.
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Sumário
Transformadores de Pulso
Enquanto os transformadores convencionais operam com ondas senoidais, os transformadores de pulso operam com ondas descontínuas, e.g., ondas quadradas.
A principal característica destes transformadores é reproduzir o mais adequadamente possível em seu secundário o sinal injetado no primário, o que requer elevada permeabilidade e indutância de dispersão reduzida, assim como capacitância entre espiras.
De modo a evitar a distorção dos pulsos, estes transformadores operam somente na região linear da curva de magnetização.
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Sumário
Transformadores de
Pulso de Alta Potência
Transformadores de pulso são também
usados na área de alta potência e alta
frequência.
Estes transformadores podem usados
para acoplar a saída de geradores AC
com a entrada de retificadores, por
exemplo. Outras aplicações envolvem aceleradores de partículas e a geração
de pulsos para radar.
A fotografia ao lado mostra um
transformador de pulso de 12,5 MVA para uso em 33 kV.
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Fonte: Tianan China
Sumário
Transformadores de
Áudio (AF)
Os transformadores de áudio operam em
banda larga, em frequências que vão de
20Hz até 20kHz, e são usados para
adequar a saída de alta impedância dos
amplificadores de áudio com a entrada
de baixa impedância dos alto falantes.
Esses transformadores foram essenciais na
época dos amplificadores valvulados, mas
ainda são produzidos para uma série de
funções, como no caso de amplificadores
que devem alimentar simultaneamente
dois ou mais alto falantes de impedâncias
diferentes, por exemplo.
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Sumário
Transformadores de Alta Frequência (RF)
As aplicações de transformadores de RF incluem o
casamento de impedâncias, o isolamento de compo-
nentes DC de sinais AC e o interfaceamento entre
circuitos balanceados e circuitos desbalanceados, como
no caso de amplificadores de alta frequência.
O núcleo destes transformadores não pode ser o aço
silício, por causa da permeabilidade reduzida deste
material em frequências elevadas. Materiais como ferrite,
permalloy ou SMC (Soft Magnetic Composite) são então
utilizados.
Os transformadores de RF são de banda larga, como os
transformadores de áudio, mas, ao contrário destes,
podem operar em frequências que vão de alguns kHz
até mais de 1,0 GHz.
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Fonte: BCE
componentes
eletrônicos
O Transformador Ideal18
Sumário
O Transformador Ideal
Um transformador ideal é aquele que não apresenta perdas no cobre, no ferro, dispersão de fluxo ou quaisquer outros tipos de perdas.
Um transformador é ilustrado ao lado, com uma fonte AC colocada no primário e uma carga no secundário.
As grandezas indicadas por 1pertencem ao primário e as indicadas por 2 pertencem ao secundário.
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Figura (2.2)
Sumário
Sumário
Notação
A notação que iremos utilizar daqui em diante é a seguinte:
Supondo que uma forma de onda seja senoidal de frequência w rad/s, podemos escrever, por exemplo:
onde q é um ângulo de defasamento medido a partir de uma referência.
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𝑣, 𝑖: valores instantâneos.
𝑉𝑚, 𝐼𝑚: valores máximos.
𝑉, 𝐼: valores eficazes.
ሶ𝑉, ሶ𝐼: fasores.
𝑣 = 𝑉𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜃 ,
Sumário
Fluxo Concatenado
O fluxo magnético que atravessa uma espira é conhecido como fluxo
concatenado com a espira (linkage flux). No caso de um enrolamento
formado por N espiras o fluxo concatenado pode ser escrito como:
Na relação acima devemos considerar que o fluxo concatenado com cada espira é levemente diferente do fluxo da espira vizinha e é muito
difícil estimar essa distribuição de fluxos.
Assim, na prática é mais comum usarmos a noção de fluxo concatenado
equivalente:
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20
𝜆 =
𝑖=1
𝑁
𝜙𝑖
𝜆 = 𝑁𝜙 (2.1)
Sumário
Fluxos de Dispersão
O fluxo total em um enrolamento i pode ser escrito como:
Aqui fdi é o fluxo de dispersão do enrolamento i e o fluxo f pode ser
entendido como o fluxo mútuo entre os dois enrolamentos.
O fluxo de dispersão é pequeno quando comparado com o fluxo mútuo,
não mais de 7%.
O fluxo de dispersão não satura, de forma que este fluxo em um dado
enrolamento é proporcional à corrente neste enrolamento.
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𝜙𝑖 = 𝜙𝑑𝑖 + 𝜙 (2.2)
Sumário
Equacionamento do Trafo Ideal (1)
Os valores instantâneos de fems e fluxos mútuos são escritos em função da
Lei de Faraday:
No transformador ideal os fluxos dispersos no primário e no secundário são
desprezíveis. Logo, teremos f1 = f2 = f. Assim:
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𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙1
𝑑𝑡e 𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙2
𝑑𝑡
𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙
𝑑𝑡e 𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙
𝑑𝑡ou
𝑣1𝑁1
=𝑣2𝑁2
Sumário
Equacionamento do Trafo Ideal (2)
Supondo ainda que as fems sejam funções suaves do tempo, como
funções senoidais, a relação valerá também para os valores eficazes:
ou
onde k é denominada “relação de espiras” ou “relação de transformação”.
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23
𝑉1𝑉2
=𝑁1𝑁2
= 𝑘 (2.3)
Sumário
Equacionamento do Trafo Ideal (3)
Em qualquer transformador temos que:
No transformador ideal (sem perdas), vale também que:
Substituindo esta relação em (2.3), teremos que
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24
𝑆1 = 𝑉1𝐼1 e 𝑆2 = 𝑉2𝐼2
𝑆1 = 𝑆2 ou 𝑉1𝐼1 = 𝑉2𝐼2
𝑉1𝑉2
=𝐼2𝐼1= 𝑘 (2.4)
Sumário
Equacionamento do Trafo Ideal (4)
Unindo as relações (2.3) e (2.4) vem que
Da relação (2.3) vem também que:
Da relação (2.6) fica claro que a fmm e o fluxo magnético dentro do núcleo do
transformador ideal são nulos. Isso ocorre por causa da Lei de Lenz, que produz uma fem com sinal inverso ao do fluxo original (força contra-eletromotriz).
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26
𝑁1𝐼1 = 𝑁2𝐼2 ou
𝑉1𝑉2
=𝑁1𝑁2
=𝐼2𝐼1= 𝑘 (2.5)
ℱ1 = ℱ2 (2.6)
Sumário
A Convenção do Ponto
Testes de polaridade permitem
determinar em qual terminal do
secundário será induzida uma tensão
positiva a partir de uma tensão positiva
aplicada em um terminal do primário.
Na notação de circuitos os pontos são
colocados nos terminas das bobinas
que tenham tensão positiva. Isso signi-
fica que um fluxo mútuo variável atra-
vés das duas bobinas produz tensões
induzidas em fase:
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Figura (2.3)
ሶ𝐸1 = ሶ𝐸2
O Transformador Real29
Sumário
Transformadores Elevadores
As relações (2.3) e (2.4) permitem entender porque é
necessário elevar as tensões antes de transmitir a po-
tência a longas distâncias. Seja, por exemplo, uma subestação cujos dados básicos são os seguintes:
Gerador: 440 MVA, 13,8 kV.
Transformador: 13,8 kV/230 kV.
Resistência da Linha de transmissão: RTX=10 W.
As perdas ôhmicas na linha de transmissão são P=RTXI2
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Sumário
Resultados
O fator de transformação é k=13,8 kV/230 kV=0,06.
A corrente no primário é 𝐼1 = Τ𝑆 3𝑉1 = 400 × 103/ 3 × 13,8 =16.735 A
Os demais resultados são mostrados na tabela abaixo.
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Tipo I1 (A) I2 (A) Perdas (MW) Perdas (%)
Com
transformador
16.735 1.004 10,1 2,5%
Sem
transformador
16.735 16.735 2.800 700%
Sumário
Conclusão
Para manter as perdas em 2,5%, sem
usar transformador, seria necessário um
condutor com diâmetro 600 vezes maior do que os utilizados.
O uso dos transformadores, que só é
possível em corrente alternada, permite
reduzir as perdas.
Quando a linha de transmissão chega à
subestação de destino, transformadores
abaixadores fazem a operação inversa,
reduzindo as tensões a valores utilizáveis.
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Sumário
Sistema de Geração, Transmissão e Distribuição
Um sistema de geração,
transmissão e distribuição de
energia elétrica é mostrado ao
lado.
Note que, no desenho, um
consumidor industrial é atendido
diretamente da linha de distribui-
ção, talvez 13,8 kV, 34,5 kV ou 69
kV.
Alguns poucos consumidores no
Brasil são atendidos diretamente
da transmissão, em 230 kV, por
exemplo.
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Sumário
Perdas no Transformador Real
As perdas no transformador real são classificadas da seguinte forma:
Perdas sob carga (PL)
Perdas no cobre (PCu)
Perdas suplementares (Psup)
Perdas a vazio (Pf)
Perdas no Ferro ou no núcleo (“core”) (PC)
Perdas nos dielétricos (Pdi)
As perdas suplementares e nos dielétricos são muito menores do que
as perdas no cobre e no ferro, respectivamente, e são usualmente
desprezadas.
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33
Sumário
Perdas no Cobre
Sendo Ne o número total de enrolamentos de um
transformador e ri a resistência elétrica de cada um
deles, as perdas totais no cobre (também denominadas “perdas ôhmicas”) serão:
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34
𝑃𝐶𝑢 =
𝑖=1
𝑁𝑒
𝑟𝑖 𝐼𝑖2 (2.7)
Sumário
Perdas por Histerese
As perdas por histerese surgem da energia absorvida pelo núcleo de
ferro para percorrer os laços de histerese.
Sendo Bm a indução magnética de pico e f a frequência de operação,
as perdas por histerese podem ser escritas como:
onde x (o expoente de Steinmetz) e kh são parâmetros que devem ser
determinados experimentalmente.
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35
𝑃ℎ = 𝑘𝑘𝑓𝐵𝑚𝑥 (2.8)
Sumário
Perdas por Correntes de Foucault
As perdas por Foucault surgem das correntes induzidas no núcleo de ferro,
também denominadas “correntes parasitas”. Sendo s a condutividade do núcleo, d a espessura das lâminas do núcleo, Bm a indução magnética de
pico e f a frequência de operação, as perdas por Foucault serão:
Note que as perdas por Foucault são diretamente proporcionais a s2 e a d2. Logo, quanto mais finas e menos condutivas forem as lâminas, menores
serão as perdas por Foucault.
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36
𝑃𝐹𝐶 =𝜋2𝜎
6𝑓2𝑑2𝐵𝑚
2 (2.9)
Sumário
Perdas no Ferro
Na prática as perdas por Foucault e por histerese não
são medidas separadamente. De fato, a maneira mais
fácil de determinar tais perdas é por meio do ensaio a vazio, que resulta nas perdas no ferro:
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37
𝑃𝐶 = 𝑃𝐻 + 𝑃𝐹𝐶 (2.10)
Sumário
Sumário
Reatâncias do Transformador (1)
Como mostra a anterior, o fluxo total do transformador divide-se em três
componentes: o fluxo mútuo entre o primário e o secundário, o fluxo
disperso no primário e o fluxo disperso no secundário.
É possível representar os fluxos por meio de reatâncias. Inicialmente,
sabemos que:
onde “i” é o índice do enrolamento em questão.
Da Lei de Hopkinson, temos:
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38
𝑥𝑖 = 𝜔𝐿𝑖 = 𝜔𝑁𝑖2
ℛ,
𝑥𝑖 = 𝜔𝑁𝑖2
Τℱ𝑖 𝜙𝑖ou 𝑥𝑖 = 𝜔
𝑁𝑖2
ℱ𝑖𝜙𝑖 (2.11)
Sumário
Reatâncias do Transformador (2)
As reatâncias de dispersão do transformador correspondem à potência
fornecida pela fonte de alimentação, mas que não estão disponíveis para
realizar o processo de transformação.
Da mesma forma, o fluxo mútuo, ou fluxo de magnetização, pode ser
escrito em função de uma reatância de magnetização:
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39
𝑥𝑚 = 𝜔𝑁2
ℱ𝑚𝜙𝑚 (2.12)
Sumário
Circuito Equivalente do Transformador Real
A terminologia completa de impedâncias e correntes que usaremos é a
seguinte:
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40
𝑟1 = resistência ôhmica do primário (Ω).𝑟2 = resistência ôhmica do secundário Ω .𝑟𝐶 = resistência de perdas no ferro Ω .𝑥1 = reatância de dispersão do primário Ω .𝑥2 = reatância de dispersão do secundário Ω .𝑥𝑚 = reatância de magnetização Ω .𝐼1 = corrente do primário A .𝐼2 = corrente do secundário A .𝐼𝜙 = corrente de excitação A .
𝐼𝐶 = corrente de perdas no ferro A .𝐼𝑚 = corrente de magnetização A .𝐼𝐶 = corrente de perdas no ferro A .
Sumário
Magnetização do Núcleo
Considerando que o fluxo concatenado seja um função senoidal do
tempo de frequência w rad/s, podemos escrever:
A tensão induzida no primário será:
Calculando o valor eficaz da tensão, teremos:
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41
𝜙 = 𝜙𝑚𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛ω𝑡
𝑒1 = 𝑁1𝑑𝜙
𝑑𝑡𝑒1 = 𝜔𝑁1𝜙𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 2𝜋𝑓𝑁1𝜙𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡ou
𝑉1 =2𝜋
2𝑓𝑁1𝜙𝑚𝑎𝑥
ou𝜙𝑚𝑎𝑥 =
𝐸
𝜋 2𝑓𝑁1(2.13)
Sumário
Equivalente do Transformador Real (1)
O circuito equivalente do transformador real é inicialmente construído
adicionando-se as resistências dos condutores e as reatâncias de
dispersão ao circuito do transformador ideal.
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42
Figura (2.4)
Sumário
Ramo de Excitação
Os efeitos de excitação do núcleo
precisam ser agora incluídos.
Charles P. Steinmetz (1865-1923)
representou a excitação dividindo-a
em duas partes: magnetização e
perdas no núcleo.
O fluxo de magnetização fm, é
produzido pela corrente de magnetização Im e as perdas no ferro
são produzidas pela corrente Ic.
O ramo de excitação é representado
ao lado.
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44
Figura (2.5)
Sumário
Equivalente do Transformador Real (2)
O equivalente do transformador real é finalizado adicionando-se o ramo
de excitação ao equivalente anterior.
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44
Figura (2.6)
Sumário
Equacionamento do Trafo Real
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45
ሶ𝐼1 = ሶ𝐼𝜙 + ሶ𝐼1′ (2.14)
ሶ𝐼𝜙 = ሶ𝐼𝑚 + ሶ𝐼𝑐 (2.15)
ሶ𝑉1 = ሶ𝐸1 + ሶ𝐼1 𝑟1 + 𝑗𝑥1 (2.22)
ሶ𝐸2 = ሶ𝑉2+ ሶ𝐼2 𝑟2 + 𝑗𝑥2 (2.23)
𝑃𝑐 =𝐸1
2
𝑟𝑐(2.16)
𝑃𝑐 = 𝑟𝑐 𝐼𝑐2 (2.17)
𝑄𝑚 =𝐸1
2
𝑥𝑚(2.19)
𝑄𝑚 = 𝑥𝑚 𝐼𝑚2 (2.20)
ሶ𝐸1 = 𝑘 ሶ𝐸2 (2.18)
𝑃𝐶𝑢 = 𝑟1𝐼12 + 𝑟2𝐼2
2 (2.21)
Sumário
Figura (2.7)
Diagrama Fasorial a Vazio (1)
Sabendo que o fluxo e as fems estão defasados de 90°, o diagrama ao lado pode ser construído.
Note que o fluxo de magnetização é tratado como um fasor, embora seja a rigor um escalar (lembremos da Lei de Gauss do magnetismo).
Esse tipo de “vetorização” ou “fasorização” do fluxo magnético será útil em varias oportunidades.
Note que, no momento, por facilidade, as fems do primário e do secundário estão representadas em oposição de fase.
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Sumário
Diagrama Fasorial a Vazio (2)
Quando a vazio, a relação (2.22)
se torna:
O diagrama ao lado ilustra todos
os fasores do transformador
monofásico a vazio.
Note que, neste caso, a corrente
que passa pela resistência do
primário é apenas a corrente de
excitação.
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Figura (2.8)
ሶ𝑉1 = ሶ𝐸1 + ሶ𝐼𝜙 𝑟1 + 𝑗𝑥1
Sumário
Sumário
Figura (2.9)
Diagrama Fasorial Sob Carga (1)
Supondo um transformador alimentando carga indutiva, o diagrama fasorial é
construído a partir da equação (2.22).
Prof. Alvaro Augusto - UTFPR Máquinas Elétricas 1 48 Sumário
Sumário
Figura (2.10)
Diagrama Fasorial Sob Carga (2)
O diagrama fasorial completo, com as grandezas do secundário incluídas, é mostrado
abaixo.
Prof. Alvaro Augusto - UTFPR Máquinas Elétricas 1 49 Sumário
Sumário
Transferência de Impedância
Lembrando das relações de transformação (relação 2.5), podemos escrever:
Uma impedância Z2 no secundário pode ser escrita em função de uma impedância Z1 no primário:
A relação (2.24) é denominada transferência de impedância e significa que uma impedância do secundário pode ser “vista” do primário desde que multiplicada por k2.
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50
𝑉1 = 𝑉2𝑘 e 𝐼1 =𝐼2𝑘
𝑍1 =𝑉1𝐼1
=𝑘𝑉2𝐼2/𝑘
= 𝑘2𝑉2𝐼2
ou 𝑍1 = 𝑘2𝑍2 (2.24)
Sumário
Equivalente “T” Referido ao Primário
O circuito equivalente referido ao primário, também denominado
Equivalente T, pode ser agora construído tomando-se como base a
transferência de impedância.
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51
Figura (2.11)
Sumário
Equacionamento do Equivalente “T”
Referido ao Primário Algumas relações no circuito referido ao primário podem ser simplificadas
em relação ao circuito completo, conforme abaixo:
As demais relações permanecem as mesmas.
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52
ሶ𝐼1 = ሶ𝐼𝜙 +ሶ𝐼2𝑘
(2.25)
ሶ𝑉1 = ሶ𝐸 + ሶ𝐼1 𝑟1 + 𝑗𝑥1 (2.30)
ሶ𝐸 = ሶ𝑘𝑉2 + ሶ𝐼2 𝑘𝑟2 + 𝑗𝑘𝑥2 (2.29)
𝑃𝑐 =𝐸2
𝑟𝑐(2.27)
𝑄𝑚 =𝐸2
𝑥𝑚(2.26)
𝑃𝐶𝑢 = 𝑟1𝐼12 + 𝑟2𝐼2
2 (2.28)
Sumário
Figura (2.12)
Diagrama Fasorial do Equivalente “T” – Carga Indutiva O diagrama fasorial do Equivalente T é igual ao diagrama do circuito completo, desde
que façamos E1 = E2 = E. Por facilidade de visualização, vamos remover os fasores-
corrente do ramo de excitação e agrupar os demais fasores do lado direito.
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Sumário
Diagrama Fasorial do Equivalente “T” – Carga Capacitiva
No caso de carga capacitiva a corrente do secundário se adianta em relação à
tensão do secundário.
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Figura (2.13)
Sumário
Equivalente “T” Referido ao Secundário
Um Equivalente “T” referido ao secundário também pode ser construído.
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55
Figura (2.14)
Sumário
Equivalente Simplificado Ref. Primário (1)
Em algumas situações a corrente de excitação é muito pequena em
comparação com a corrente do primário. O ramo de excitação pode
então ser posicionado em paralelo com a fonte de alimentação.
Por conveniência duas variáveis são definidas:
O circuito equivalente simplificado referido ao primário, também
denominado Circuito L, é mostrado na página seguinte.
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𝑟𝑒𝑞 = 𝑟1 + 𝑘2𝑟2 (2.31)
𝑥𝑒𝑞 = 𝑥1 + 𝑘2𝑥2 (2.32)
Sumário
Equivalente Simplificado Ref. Primário (2)
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57
Figura (2.15)
Sumário
Equacionamento do Equivalente “L”
Algumas relações podem ser ainda mais simplificadas:
As demais relações permanecem as mesmas.
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58
ሶ𝐼1 = ሶ𝐼𝜙 +ሶ𝐼2𝑘
(2.33)
ሶ𝑉1 = 𝑘 ሶ𝑉2+ ሶ𝐼2
𝑘𝑟𝑒𝑞 + 𝑗𝑥𝑒𝑞 (2.37)
𝑃𝑐 =𝑉12
𝑟𝑐(2.35)
𝑄𝑚 =𝑉12
𝑥𝑚(2.34)
𝑃𝐶𝑢 = 𝑟𝑒𝑞𝐼2𝑘
2
(2.36)
Sumário
Exemplo 2.1 (1)
Um transformador monofásico de 100 kVA, 8.000/320 V tem os seguintes
parâmetros de circuito equivalente: r1=5.0 W; r2=0,0075 W; x1=6,0 W; x2=0,009
W; rc=50 kW; xm=10 kW. Os parâmetros em série estão referidos aos seus próprios lados e os parâmetros em paralelo estão referidos ao lado de alta.
O transformador opera com fator de potência 0,9 indutivo. Considerando
V2=320 V, tomado como referência, calcule as perdas no ferro e a
potência de magnetização usando o circuito: a)equivalente “T”; b)
equivalente “L”.
Para o equivalente “T”:
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59
ሶ𝐼2 =𝑆
𝑉2. exp −𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑓𝑝 =
100.000
320. exp −25,84 = 312,5. exp(−25,84)
ሶ𝐸 = 𝑘 ሶ𝑉2 + ሶ𝐼2 𝑘𝑟2 + 𝑗𝑘𝑥2 = 25 × 320 + 312,5. exp(−25,84) × 0,005 + 𝑗0,006
Sumário
Exemplo 2.1 (2)
Perdas no ferro:
Potência de magnetização:
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60
ሶ𝐸 = 8.055,61. exp(0,179)
𝑃𝑐 = 1.297,86 𝑊𝑃𝑐 =𝐸2
𝑟𝑐=
8.055,61 2
50.000
𝑄𝑚 =𝐸2
𝑥𝑚=
8.055,61 2
10.000𝑄𝑚 = 6.489,28 var
Sumário
Exemplo 2.1 (3)
Para o equivalente “L”:
Tensão de entrada para 320V na saída:
As perdas no ferro e potência de magnetização podem ser calculadas
como antes, com V1 no lugar de E.
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61
𝑃𝑐 = 1.335,89 𝑊 𝑄𝑚 = 6.679,47 var
𝑟𝑒𝑞 = 𝑟1 + 𝑘2𝑟2 = 9,69 Ω 𝑥𝑒𝑞 = 𝑥1 + 𝑘2𝑥2 = 11,63 Ω
ሶ𝑉1 = 𝑘 ሶ𝑉2+ ሶ𝐼2
𝑘𝑟𝑒𝑞 + 𝑗𝑥𝑒𝑞 = 25 × 320 +
312,5
25. exp(−𝑗25,84) × 9,69 + 𝑗11,63
ሶ𝑉1 = 8.172,80. exp 𝑗0,547 𝑉 .
O erro entre os cálculos
com os dois equivalentes
é 2,85%.
Sumário
Equivalente Simplificado Referido ao Primário sem Ramo de Excitação
Em algumas aplicações o
ramo de excitação pode
ser totalmente desprezado sem grandes prejuízo aos
cálculos.
Um circuito sem ramo de
excitação, referido ao primário, é mostrado ao
lado.
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Figura (2.16)
Sumário
Equacionamento do Equivalente
Simplificado Algumas relações bastante simplificadas:
As demais relações permanecem as mesmas.
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63
ሶ𝐼1 = ሶ𝐼𝜙 +ሶ𝐼2𝑘
(2.33)
ሶ𝑉1 = 𝑘 ሶ𝑉2+ ሶ𝐼2
𝑘𝑟𝑒𝑞 + 𝑗𝑥𝑒𝑞 (2.37)
𝑃𝑐 =𝑉12
𝑟𝑐(2.35)
𝑄𝑚 =𝑉12
𝑥𝑚(2.34)
𝑃𝐶𝑢 = 𝑟𝑒𝑞𝐼2𝑘
2
(2.36)
Sumário
Laboratório: Ensaio a Vazio
O objetivo do ensaio a vazio é determinar o valor dos parâmetros
do ramo de excitação. Deve-se deixar o lado de alta tensão a
vazio, alimentar o lado de baixa com tensão nominal e medir corrente e potência, conforme abaixo.
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64
Figura (2.17)
Sumário
Equivalente a Vazio
A vazio podemos usar o equivalente L e desconsiderar o ramo série,
pois a corrente circulando por ele é desprezível, conforme mostrado
abaixo.
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65
Figura (2.18)
Sumário
Cálculo dos Parâmetros a Vazio
Tendo-se medido V0, P0 e I0, os parâmetros do ramo de excitação podem
ser determinados conforme se segue, referidos ao lado de baixa tensão.
Da mesma forma:
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66
𝑃0 =𝑉02
𝑟𝑐𝑟𝑐(𝐵) =
𝑉02
𝑃0(2.38)ou
𝑄0 =𝑉02
𝑥𝑚ou 𝑥𝑚 =
𝑉02
𝑄0,
ou, ainda:𝑥𝑚(𝐵) =
𝑉02
𝑉02𝐼0
2 − 𝑃02
(2.39)
Sumário
Laboratório: Ensaio em Curto-Circuito
O objetivo do ensaio em curto é determinar o valor dos parâmetros do
ramo em série. Devemos deixar o lado de baixa tensão em curto e
alimentar o lado de alta, de modo que circule corrente nominal. A seguir medimos tensão e potência, conforme abaixo.
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67
Figura (2.19)
Sumário
Equivalente em Curto
Em curto podemos desconsiderar o ramo em paralelo, pois a corrente
circulando por ele é desprezível, conforme mostrado abaixo.
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68
Figura (2.20)
Sumário
Cálculo dos Parâmetros em Curto
Tendo-se medido Vcc, Pcc e Icc, os parâmetros do ramo de excitação podem
ser determinados conforme se segue, referidos ao lado de alta.
Da mesma forma:
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69
𝑃𝑐𝑐 = 𝑟𝑒𝑞𝐼𝑐𝑐2
𝑟𝑒𝑞(𝐴) =𝑃𝑐𝑐
𝐼𝑐𝑐2 (2.40)ou
ou,
𝑥𝑒𝑞(𝐴) =𝑉𝑐𝑐2𝐼𝑐𝑐
2 − 𝑃𝑐𝑐2
𝐼𝑐𝑐2
(2.41)𝑄𝑐𝑐 = 𝑥𝑒𝑞𝐼𝑐𝑐2
Sumário
Cálculo dos Parâmetros em Curto
Para facilitar os cálculos é interessante converter os parâmetros para o
mesmo lado. Por exemplo, convertendo os parâmetros em série para o
lado de baixa tensão, teremos:
Os parâmetros do circuito T podem ser estimados da seguinte forma:
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70
𝑟𝑒𝑞(𝐵) = 𝑘2𝑟𝑒𝑞(𝐴) (2.42) 𝑥𝑒𝑞(𝐵) = 𝑘2𝑥𝑒𝑞(𝐴) (2.43)
𝑟1 𝐵 = 𝑟2 𝐵 = 0,5 × 𝑟𝑒𝑞(𝐵) (2.44) 𝑥1 𝐵 = 𝑥2 𝐵 = 0,5 × 𝑥𝑒𝑞(𝐵) (2.45)
Sumário
Rendimento do Transformador (1)
O rendimento de qualquer máquina é a relação entre a potência de
saída e a potência de entrada. Definindo:
O rendimento pode ser escrito como:
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71
𝑃𝑖 = potência de entrada.𝑃𝑜 = potencia de saída.
𝑃𝑐 = perdas no ferro.𝑃𝐶𝑢1 = perdas no cobre do primário.𝑃𝐶𝑢2 = perdas no cobre do secundário.
𝜂 =𝑃𝑜
𝑃𝑜 + 𝑃𝐶𝑢1 + 𝑃𝐶𝑢2 + 𝑃𝑐(2.46)𝜂 =
𝑃𝑜𝑃𝑖
ou
Sumário
Rendimento do
Transformador (2)
A curva do rendimento em
função da carga é mostrado
ao lado, com parâmetros ilustrativos.
Podemos perceber que o
rendimento é pequeno até um
certo nível de carga, tornando-se máximo em um ponto ótimo
e decaindo um pouco a seguir.
Esse é um dos problemas dos
transformadores operando
com carga reduzida.
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Figura (2.21)
Sumário
Sumário
Rendimento Máximo
O rendimento máximo ocorrerá quando a derivada do rendimento em relação à corrente for nula. Utilizando o Circuito L, podemos escrever:
Assim, o rendimento é máximo para a carga na qual as perdas no ferro igualam as perdas no cobre. Este fenômeno pode ser facilmente observado no gráfico anterior.
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73
𝜂 =𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑟𝑒𝑞𝐼
2 − 𝑃𝑐𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑑𝜂
𝑑𝐼=𝐼 𝑉𝑐𝑜𝑠𝜑 − 2𝐼𝑟𝑒𝑞 − 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝐼2𝑟𝑒𝑞 − 𝑃𝑐
𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 2= 0
𝑟𝑒𝑞𝐼2 = 𝑃𝑐 ou 𝑃𝐶𝑢 = 𝑃𝑐 (2.47)
Sumário
Regulação de Tensão
A regulação de tensão é uma medida da variação da tensão do secundário provocadas por variações na carga. Sendo V2(0) a tensão do
secundário a vazio e V2(L) a tensão do secundário sob carga, podemos
escrever:
A regulação percentual pode ser escrita como:
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74
𝑅 = อ𝑉2 0 − 𝑉2 𝐿
𝑉2 0𝑉1=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(2.48)
𝑅(%) = อ100 ×𝑉2 0 − 𝑉2 𝐿
𝑉2 0𝑉1=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(2.49)
Sumário
Exemplo 2.2 – Regulação Positiva (1)
Vamos usar o Equivalente L para calcular inicialmente um circuito com
regulação positiva. Seja um transformador de 10 kVA, 2.400/240 V, r1=3,0 W;
r2=0,03 W; x1=15,0 W; x2=0,15 W. O fator de potência inicialmente é 0,8 indutivo.
A impedância referida ao primário é:
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75
𝑘 =2.400
2400= 10
ሶ𝑍𝑒𝑞 1 = 𝑟1 + 𝑘2𝑟2 + 𝑗 𝑥1 + 𝑘2𝑥2 = 3,0 + 3,0 + 𝑗 15,0 + 15,0
ሶ𝑍𝑒𝑞 1 = 6,0 + 𝑗30,0 = 30,59. exp(𝑗78,7) Ω
Sumário
Exemplo 2.2 – Regulação Positiva (2)
Agora calculamos a corrente:
A tensão do secundário para V1=2.400 será:
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76
ሶ𝐼2 =𝑆
𝑉2. exp −𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑓𝑝 =
10.000
240. exp −36,87 = 41,7. exp(−36,87)
𝑘 ሶ𝑉2 = ሶ𝑉1 − ሶ𝑍𝑒𝑞 1ሶ𝐼2𝑘= 2.400 − 30,59 ×
41,7
10× exp 78,7 − 36,87
ሶ𝑉2 = 230,67. exp −2,11
𝑅 =𝑉2 0 − 𝑉2(𝐿)
𝑉2 0=240 − 230,67
240= 0,0389 ∴ 𝑅 % = +3,89%
Sumário
Exemplo 2.3 – Regulação Negativa (1)
Seja agora um caso de fator de potência 0,8 adiantado. A corrente será:
A tensão do secundário para V1=2.400 será:
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77
ሶ𝐼2 = 41,7. exp(+36,87)
𝑘 ሶ𝑉2 = 2.400 − 30,59 ×41,7
10× exp 78,7 + 36,87 = 230,69. exp( 115,57)
ሶ𝑉2 = 245,77. exp −2,68
𝑅 =𝑉2 0 − 𝑉2(𝐿)
𝑉2 0=240 − 245,77
240= −0,024 ∴ 𝑅 % = −2,4%
Sumário
Curvas de
Regulação
A figura ao lado mostra as
curvas de regulação para
três fatores de potência, com a potência do
transformador variando de
zero até o valor nominal.
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Figura (2.22)
Sumário
O Autotransformador79
Sumário
Figura (2.23)
Autotransformadores
Um autotransformador tem apenas um
enrolamento, conforme mostrado ao
lado. A formação do primário e do secundário é feita por meio de um tap,
o que faz o autotransformador ser
acoplado eletricamente, além de
magneticamente.
O tap pode ser fixo, deslizante ou
selecionável por meio de contatos,
permitindo a obtenção de diversos
níveis de tensão.
Da mesma forma que corre com os
transformadores comuns, os
autotransformadores podem ser
abaixadores ou elevadores.
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80
Sumário
Definição das Variáveis
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81
𝑁𝑠 = número de espiras do enrola −mento série.
𝑁𝑐 = número de espiras do enrola −mento comum.
𝑁𝑇 = 𝑁𝑠 + 𝑁𝑐= número total de espiras do autotrafo.
ℱ𝑇 = 𝑓𝑚𝑚 total Ae .ℱ𝑠 = 𝑓𝑚𝑚 do enrolamento série Ae .ℱ𝑐 = 𝑓𝑚𝑚 do enrolamento comum Ae .𝐼𝑒𝑥 = corrente de excitação A .𝑉𝑐 = tensão do enrolamento comum (V).𝐼𝑐 = corrente do enrolamento
comum (A).
𝑉𝑠 = tensão nominal do enrola −mento série (V).
𝐼𝑠 = corrente do enrolamentosérie (A).
𝑆𝐵 = 𝑉𝑠𝐼𝑠 = potência nominal dotransformador antes de serconectado como autotrafo VA .
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = potência conduzida VA .𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = potência transformada VA .𝑆𝑖𝑛 = potência de entrada VA .𝑆𝑜𝑢𝑡 = potência de saída VA .
Sumário
Autotransformador Elevador
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82
Figura (2.24)
Sumário
Autotransformador Abaixador
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83
Figura (2.25)
Sumário
Equacionamento do Autotransformador
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84
𝐼2 = 𝐼𝑠 + 𝐼𝑐 (2.51)
𝐼1 = 𝐼𝑠 (2.52)
𝐼𝑒𝑥 ≅ 0 (2.50)
𝑘 =𝑁𝑠 + 𝑁𝑐
𝑁𝑐(2.53)
𝑉𝑐𝑉𝑠=𝐼𝑠𝐼𝑐=𝑁𝑐𝑁𝑠
(2.54)
𝑉1 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 (2.55)
𝑉1𝑉2
=𝐼2𝐼1= 𝑘 (2.56)
𝑆𝑖𝑛 = 𝑉1𝐼1 (2.58)
𝑆𝑜𝑢𝑡 = 𝑉2𝐼2 (2.59)
𝑆𝑖𝑛 ≅ 𝑆𝑜𝑢𝑡 (2.60)
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑉𝑐 𝐼2 − 𝐼𝑠 (2.62)
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑉2𝐼2 1 −1
𝑘(2.63)
𝑉𝑐 = 𝑉2 (2.57)𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑆𝑜𝑢𝑡
𝑁𝑠𝑁𝑠 + 𝑁𝑐
(2.64)
𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑆𝑜𝑢𝑡 − 𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 (2.65)
𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑆𝑜𝑢𝑡𝑁𝑐
𝑁𝑠 + 𝑁𝑐(2.66)
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑉𝑐𝐼𝑐 (2.61)
Sumário
Exemplo 2.4 – Autotrafo Elevador (1)
Um transformador de 60 VA, 120/12 V, 5 A (no secundário) foi reconectado
como um autotransformador elevador. O enrolamento de 120 V é o
enrolamento comum e o enrolamento de 12 V é o enrolamento série. Determine: (a) o fator de transformação k; (b) a tensão na saída para 105
V aplicados no primário; (c) a potência total transferida; (d) a potência
transformada; (e) a potência conduzida.
Fator de transformação:
Tensão no secundário:
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85
𝑉2 =𝑉1𝑘=
105
0,909
𝑘 =𝑉𝑐
𝑉𝑠 + 𝑉𝑐=
120
120 + 12=120
132∴ 𝑘 = 0,9091
∴ 𝑉2 = 115,5 𝑉
Sumário
Exemplo 2.4 – Autotrafo Elevador (2)
Potência nominal transferida:
Potência nominal transformada:
Potência conduzida
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86
𝑆𝑜𝑢𝑡 = 𝑉2𝐼𝑛𝑜𝑚 = 115,5 × 5 ∴ 𝑆𝑜𝑢𝑡 = 577,5 𝑉𝐴
𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑉1𝐼2 = 105 × 0,50 ∴ 𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 52,5 𝑉𝐴
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑆𝑜𝑢𝑡 − 𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 577,5 − 52,5∴ 𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 525 𝑉𝐴
𝐼2 =𝑆𝑛𝑜𝑚𝑉𝑛𝑜𝑚
=60
120= 0,50
Sumário
Conclusões
Pelo preço de um transformador de 60 VA nominais obtemos um
transformador capaz de transformar 577,5 VA. A potência que não é
transferida magneticamente (52,5 VA) é transferida eletricamente (525
VA). Por causa disso o autotransformador é mais econômico do que o transformador convencional.
Outra característica aqui é que se deseja elevar a tensão de 105 V para
apenas 115,5 V. Nesse caso seria um desperdício adquirir um transformador de 525 VA para realizar somente esta operação.
Uma desvantagem do autotransformador é a ausência de isolamento
elétrico. Uma falha no isolamento dos enrolamentos pode resultar e tensão
plena aplicada à carga.
No caso de redes trifásicas os autotransformadores têm a limitação de não
suprimir harmônicos de corrente.
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87
Sistema Por Unidade (PU)88
Sumário
Definição do Sistema Por Unidade
Um valor em PU é o valor original de uma grandeza, tal como tensão,
corrente, impedância, etc., escrito em relação a um valor base da mesma
grandeza. Sendo Vreal o valor da grandeza original e Vbase o valor base, o valor expresso em PU será:
Um valor expresso em PU é igual a um centésimo do mesmo valor, quando
expresso de forma percentual. Da mesma forma que percentuais, valores
em PU são adimensionais. Todavia, costumamos anexar a partícula “PU”
ao final dos valores, de modo a evitar confusão.
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89
𝑉𝑝𝑢 =𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒
(2.85)
Sumário
Algumas Vantagens do Sistema PU
Os fabricantes de equipamentos tais como geradores, motores e
transformadores costumam fornecer reatâncias e impedâncias já em PU
ou em percentual, expressas nas bases nominais dos equipamentos.
Equipamentos semelhantes (mesma tensão, mesma potência, etc.) têm
impedâncias semelhantes quando expressas em PU. Isso facilita os cálculos
para substituição de equipamentos e para expansão e reformulação de
redes.
A impedância de transformadores, quando expressa em PU, é
independente do lado (alta, média, baixa tensão) que tomamos como
referência.
A impedância dos transformadores torna-se independente do tipo de
ligação (delta-estrela, delta-delta, estrela-estrela, etc.).
Nas máquinas trifásicas, o uso do é minimizado.
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90
√3
Sumário
Escolha das Bases (1)
Em sistemas elétricos há três grandezas importantes: tensão elétrica,
potência aparente, corrente elétrica e impedância. Escolhendo-se as
bases para duas dessas grandezas, as bases para as outras seguem-se diretamente.
Por exemplo, sendo Vb e Sb as bases de tensão e potência, respecti-
vamente, a impedância base é:
A corrente base para sistemas monofásicos é:
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91
𝑍𝑏 =𝑉𝑏
2
𝑆𝑏(2.86)
𝐼𝑏 =𝑆𝑏𝑉𝑏
(2.87)
Sumário
Escolha das Bases (2)
Para sistemas trifásicos a corrente base será:
A impedância base também pode ser escrita da seguinte forma:
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92
𝐼𝑏 =𝑆𝑏
3𝑉𝑏(2.88)
𝑍𝑏 =𝑉𝑏𝐼𝑏
(2.89)
Sumário
Exemplo 2.5 (1)
(CHAPMAN, Exemplo 2.3) Considere o sistema de potência abaixo.
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93
Figura (2.26)
Sumário
Exemplo 2.5 (2)
Os dados do sistema são os seguintes:
Vamos escolher as seguintes bases na região do gerador:
As bases de corrente e impedância são calculadas a partir das bases de
tensão e potencia:
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94
𝑉𝐺 = 480 𝑉 Transformador 1: 𝑘1= 1/10 Transformador 2: 𝑘2 = 1/10
𝑍𝐿𝑇 = 20 + 𝑗60 Ω 𝑍𝐿 = 10. exp(𝑗30) Ω
𝑉𝑏1 = 480 𝑉 𝑆𝑏 = 10 𝑘𝑉𝐴
𝐼𝑏1 =𝑆𝑏𝑉𝑏1
=10.000
480= 20,83 𝐴 𝑍𝑏1 =
𝑉𝑏1𝐼𝑏1
=480
20,83= 23,04 Ω
Sumário
Exemplo 2.5 (3)
As tensão base se transformam da mesma forma que as tensões reais:
Enquanto a potência base permanece a mesma em todo o sistema.
As demais bases na região 2 serão:
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95
𝑉𝑏2 =𝑉𝑏1𝑘1
=480
1/10= 4.800 𝑉
𝑆𝑏2 = 𝑆𝑏1 = 10.000 𝑉𝐴
𝐼𝑏2 =𝑆𝑏𝑉𝑏2
=10.000
4.800= 2,083 𝐴 𝑍𝑏2 =
𝑉𝑏2𝐼𝑏2
=480
2,083= 2.304 Ω
Sumário
Exemplo 2.5 (4)
Na região 3 teremos
As demais bases na região 3 serão:
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96
𝑉𝑏3 =𝑉𝑏2𝑘2
=4.800
20/1= 240 𝑉
𝑆𝑏3 = 10.000 𝑉𝐴
𝐼𝑏3 =𝑆𝑏𝑉𝑏3
=10.000
240= 41,67 𝐴
𝑍𝑏3 =𝑉𝑏3𝐼𝑏3
=240
41,67= 5,76 Ω
Sumário
Exemplo 2.5 (5)
Agora convertemos os valores para pu:
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97
𝑉𝐺𝑝𝑢
=𝑉𝐺𝑉𝑏1
=1,0
1,0= 1,0 𝑝𝑢
𝑍𝐿𝑇𝑝𝑢
=𝑍𝐿𝑇𝑍𝑏2
=20 + 𝑗60
2.304= 0,00866 + 𝑗0,026 𝑝𝑢
𝑍𝐿𝑝𝑢
=𝑍𝐿𝑍𝑏3
=10. exp(𝑗30)
5,76= 1,736. exp(𝑗30)𝑝𝑢
𝑍𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑝𝑢
= 𝑍𝐿𝑇𝑝𝑢
+ 𝑍𝐿𝑇𝑝𝑢
= 1,5117 + 0,894 𝑝𝑢 = 1,756. exp 𝑗30,6 𝑝𝑢
𝐼𝐺𝑝𝑢
= 𝐼𝐿𝑇𝑝𝑢
= 𝐼𝐿𝑝𝑢
=𝑉𝑝𝑢
𝑍𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑝𝑢 =
1,0
1,756. exp(𝑗30,6)= 0,569. exp(−𝑗30,6)
Sumário
Exemplo 2.5 (6)
A figura abaixo mostra o circuito final convertido para PU.
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98
Figura (2.27)
SumárioSumário
Diagramas Unifilares
Diagramas unifilares são interessantes por se aplicarem tanto a sistemas monofásicos quanto a sistemas trifásicos equilibrados.
O diagrama da Figura (2.25), por exemplo, pode ser dese-nhado como ao lado. Os barramentos 2 e 3 delimitam as regiões operacionais.
Em um sistema de potência, além de outros barramentos, cada enrolamento de um transformador define um barramento.
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Figura (2.28)
O Transformador de Alta Frequência100
Sumário
Transformadores de Alta Frequência
Quando os transformadores devem operar em frequências superiores a
60 Hz, seja em AF ou RF, algumas características especiais aparecem.
Uma dessas característica é a elevada permeabilidade que o núcleo
deve ter em frequências elevadas, o que torna impossível o uso de
chapas de aço silício.
Outra característica é a operação em várias frequências, e não
apenas em uma frequência fixa. Dizemos então que o transformador
deve ter banda larga.
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101
Sumário
Resposta em Frequência
A resposta em frequência de
um transformador de alta
frequência pode ser medida por meio das perdas por
inserção em relação, como
mostrado ao lado.
As perdas por inserção correspondem à fração de
potência perdida quando o
transformador é inserido em
um sistema de transmissão,
comparadas a um trans-
formador ideal.
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102
Figura (2.29)
Sumário
Circuito Equivalente
para Altas Frequências As limitações de resposta em frequência do transformador de alta frequência
são modeladas por meio da reatância capacitiva entre dois enrolamentos, (-jxc2)
e das reatâncias capacitivas dos enrolamentos em si (-jxc1 e –jxc3).
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103
Figura (2.30)
Exercícios100
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105
Sumário
Exercício 2.1 (MCPHERSON; LARAMORE, 1990, 3.1). Um transformador
monofásico tem 50 espiras em seu enrolamento primário, cuja indutância de
dispersão é 0,8 mH. Em dado instante o fluxo entre o enrolamento primário e o secundário é 10 mWb e a corrente no primário é 20 A. Pede-se o fluxo
concatenado total no primário neste instante.
Exercício 2.2 (MCPHERSON; LARAMORE, 1990, 3.10). Um transformador
monofásico de 7.200 V/240 V, 15 kVA tem Zeq=0,06 + j0,50 W, rc=800 W e xm=160
W, todas referidas ao secundário. (a) Quando o transformador está entregando corrente nominal a um fator de potência 0,8 indutivo sob 240 V,
pede-se a tensão terminal e a corrente no primário; (b) que erro seria
cometido se o transformador fosse ideal?
Exercício 2.3 (MCPHERSON; LARAMORE, 1990, 3.11). Um transformador monofásico de 5 kVA, 440/220 V é testado em vazio e em curto-circuito. Os
resultados do ensaio em vazio são 220 V; 1,10 A e 48,4 W e os resultados do
ensaio em curto são 22,8 V; 11,4 A e 52 W. Pede-se: (a) o rendimento do
transformador a plena carga e fator de potência 0,85 indutivo; (b) a que
carga o transformador atinge rendimento máximo?
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106
Sumário
Exercício 2.4 (MCPHERSON; LARAMORE, 1990, 3.18). Um transformador
monofásico, 10 kVA, 7.260/240 V tem impedância equivalente de 100 + j400 W
referida ao primário. Pede-se: (a) a impedância referida ao secundário; (b) sob potência nominal, fator de potência unitário e tensão terminal igual a 220 V,
qual a tensão no lado de baixa?
Exercício 2.5 (MCPHERSON; LARAMORE, 1990, 3.19). Um transformador
monofásico de 2.400/120 V, tem impedância equivalente de 0,01 + j0,09 W, referida ao lado de baixa. As perdas no ferro são 100 W. Quando tensão
nominal é aplicada ao primário a tensão de excitação é 0,2 A. Pede-se a
regulação e o rendimento a plena carga para: (a) fator de potência 0,8
indutivo; (b) fator de potência 0,8 capacitivo.
Exercício 2.6 (FITZGERALD; KINGSLEY; UMANS, 2006, 2.11). As resistências e reatâncias de dispersão de um transformador de distribuição de 30 kVA, 60 Hz,
2.400/240 V, são: r1=0,68 W; x1=7,8 W; r2=0,0068 W ; x2=0,078 W. Cada quantidade
está referida ao seu próprio lado. Considerando que o transformador esteja
entregando potência nominal a uma carga com 230 V no lado de baixa,
encontre a tensão no lado de alta que a carga seja: (a) indutiva com fator de
potência 0,8; (b) capacitiva com fator de potência 0,8.
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Sumário
Exercício 2.7 (FITZGERALD; KINGSLEY; UMANS, 2006, 2.18). Um transformador de
distribuição de 75 kVA, 240/7970 V, 60 Hz, tem os seguintes parâmetros referidos
ao lado de alta tensão: r1=5,93 W; x1=43,2 W; r2=3,39 W; x2=40,6 W; rc=244 kW;
xm=114 kW. Suponha que o transformador esteja fornecendo sua potência aparente nominal em seu lado de baixa. Escreva um script em Matlab para
determinar o rendimento do transformador para qualquer fator de potência,
indutivo ou capacitivo.
Exercício 2.8 (CHAPMAN, 2012, 2.3). Considere um sistema de potência simples consistindo de uma fonte ideal de tensão, um transformador elevador ideal,
uma linha de transmissão, um transformador abaixador ideal e uma carga. A
tensão da fonte é VS=480 V, a impedância da linha é ZLT=3 + j4 W e a impe-
dância da carga é ZL=30 + j40 W. (a) Considerando que os transformadores
não estão presentes no circuito, qual a tensão da carga e o rendimento do
sistema?; (b) considerando que o transformador 1 é elevador de 1 para 5 e
que o transformador 2 é abaixador de 5 para 1, qual a tensão da carga e o
rendimento do sistema?; (c) qual a relação de espiras necessária para reduzir
as perdas na linha de transmissão a 1% da potência total do gerador?
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Sumário
Exercício 2.9 (CHAPMAN, 2012, 2.15). Um autotransformador é utilizado para
conectar uma linha de transmissão de 12,6 kV a uma outra linha de 13,8 kV. Ele
deve ser capaz de operar com 2.000 kVA. Há três fases, ligadas em YY, com seus neutros solidamente aterrados. (a) qual deve ser a relação Nc/Ns para
obter essa conexão?; (b) qual a potência aparente de cada enrolamento?;
(c) qual é a vantagem de potência desse sistema como autotransformador?;
(d) se um dos transformadores fosse religado como transformador comum,
quais seriam suas especificações nominais?
Exercício 2.10 (CHAPMAN, 2012, 2.16). Prove a seguinte afirmação: se um
transformador, com uma impedância em série Zeq, for ligado como auto-
transformador, sua impedância em série, como autotransformador, será:
𝑍𝑒𝑞′ =
𝑁𝑆𝑁𝑆 + 𝑁𝐶
𝑍𝑒𝑞
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Sumário
Exercício 2.11 (DEL TORO, 1999, 2.15). Um transformador de 200/100 V tem uma
impedância de 0,3 + j0,8 W no enrolamento de 200 V e uma impedância de
0,1 + j0,25 W no enrolamento de 100 V. Quais as correntes nos lados de alta e de baixa se o curto-circuito ocorrer do lado de 100 V com 200 V aplicados no
lado de alta?
Exercício 2.12 (DEL TORO, 1999, 2.21). Um transformador de 10 kVA, 460/150 V,
tem resistência do enrolamento do lado de alta igual a 0,4 W e resistência do
enrolamento do lado de baixa igual a 0,02 W. A reatância de dispersão
equivalente do lado de alta é 3,2 W. Esse transformador alimenta uma carga passiva com corrente atrasada de 21,7 A em 460 V e 8 kW. Determine as
componentes resistiva e reativa da impedância de carga. Despreze a
impedância de magnetização.
Exercício 2.13 (DEL TORO, 1999, 2.23). Um transformador de 30 kVA, 240/120 V,
tem os seguintes parâmetros: r1=0,14 W; x1=0,22 W; r2=0,035 W; x2=0,055 W.
Deseja-se uma fem induzida no primário igual, em módulo, à tensão nos
terminais do primário quando o transformador fornece corrente de plena
carga. Como deve ser o transformador carregado para que se obtenha esse
carregamento?
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Sumário
Exercício 2.14 (DEL TORO, 1999, 2.36). Um autotransformador monofásico tem
Ns=100 espiras e Nc=600 espiras. Um ensaio de curto-circuito é realizado curto-
circuitando-se o enrolamento AB e aplicando-se uma tensão reduzida no enrolamento BC. A impedância equivalente vista do enrolamento BC é 1,5 +
j4,5. (a) Calcule a impedância equivalente vista do lado AC para a condição
onde o enrolamento BC está em curto; (b) calcule a resistência equivalente
vista de BC quando AC é curto-circuitado e uma tensão aplicada a BC.
Exercício 2.15 (DEL TORO, 1999, 2.37). Um autotransformador monofásico de 40
kVA, alimenta uma impedância de 4,0.exp(-j36,9°) W, sob 200 V, a partir de uma alimentação de 125 V. Todas as perdas de potência e reatâncias de
dispersão são desprezíveis. Calcule os módulos das correntes nas partes
comuns e não comuns do transformador, considerando corrente de
magnetização igual a 0,075 PU.
Exercício 2.16 (DEL TORO, 1999, 2.40). Um transformador com potência nominal
de 40 kVA tem perdas ôhmicas totais de 250 W quando opera com 50% da
corrente nominal. Determine o valor PU da resistência equivalente.
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Sumário
Exercício 2.17 (DEL TORO, 1999, 2.43). Um transformador com valores nominais
de 2,5 MVA, 10.000/2.000 V, 60 z, é projetado para rendimento máximo com
80% da carga nominal. O valor por unidade da impedância equivalente deste transformador é 0,02 + j0,06. Para uma carga resistiva e operação com
rendimento máximo, calcule as perdas e a mudança na tensão de uma de
carga de 80% (na tensão nominal) até a operação a vazio.
Exercício 2.18 (BIM, 2009, 2.7). Um transformador monofásico de 200 kVA, 20/2,4 kV, 60 Hz, é conectado para transformar 2,4 kV para 22,4 kV. Pede-se:
(a) a máxima potência que pode ser transferida à carga sem exceder os
valores nominais de tensão e corrente de seus enrolamentos; (b) as potências
transferidas por indução e por condução.
Exercício 2.19 (SEN, 1997, 2.10). Um transformador monofásico, 300 kVA, 11kV/2,2 kV, 60 Hz, tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente
referidos ao lado de alta tensão: req=2,784 W; xeq=8,45 W; rc=57,6 k W; xm=16,34 k
W. (a) Pede-se: (i) a corrente a vazio como um percentual da corrente a plena
carga; (ii) as perdas a vazio (i.e., perdas no ferro); (iii) o fator de potência a
vazio; (iv) as perdas no cobre a vazio. (b) Se a impedância da carga do lado
de baixa for 16.exp(-j60°), calcule a regulação usando o circuito aproximado.
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Sumário
Exercício 2.20 (SEN, 1997, 2.13 e 2.14). Um transformador monofásico, 25 kVA,
2.300/230 V, tem os seguintes parâmetros: Zeq=4,0 + j5,0 W; rc=450 W; xm=300 W.
O transformador é conectado a uma carga de fator de potência variável. (a) Determine a regulação para plena carga no pior caso; (b) determine o
rendimento quando o transformador entrega plena carga sob tensão nominal
e fator de potência 0,85 atrasado; (c) determine o carregamento percentual
do transformador quando seu rendimento é máximo e determine este
rendimento se o fator de potência é 0,85 atrasado sob tensão 230 V na carga.
Exercício 2.21 (SEN, 1997, 2.15). Um transformador monofásico, 10 kVA,
2.400/240 V, tem as seguintes características: perdas no ferro a plena
carga=100 W; perdas no ferro a meia carga=60 W. (a) Determine o rendimento
do transformador quando alimenta plena carga sob fator de potência 0,8
atrasado; (b) determine o carregamento em PU no qual o rendimento é
máximo. Determine esse rendimento se o fator de potência da carga for 0,9;
(c) o transformador tem a seguinte curva de carga: vazio por 6 horas; 70% da
carga por 10 horas sob fator de potência 0,8 indutivo; 90% da plena carga por
8 horas sob fator de potência 0,9 indutivo. Determine o rendimento diário do
transformador.
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Exercício 2.22 (SEN, 1997, 2.17). Um transformador monofásico, 10 kVA, 460/120
V, 60 Hz, tem rendimento de 96% quando entrega 9 kW sob fator de potência
0,9 indutivo. Este transformador é conectado como autotransformador para alimentar uma carga de 460 V a partir de uma fonte de 580 V. Pede-se: (a)
desenhe a ligação do transformador como autotransformador; (b) determine
a máxima potência (em kVA) que o autotransformador pode suprir à carga de
460 V; (c) determine o rendimento do autotransformador a plena carga para
fator de potência 0,9 indutivo.
Exercício 2.23 (CHAPMAN, 2012, 2.9). Um transformador monofásico de 150
MVA, 15/200 kV tem resistência de 0,012 pu e reatância de j0,05 pu. A
impedância de magnetização é j50 pu. Pede-se: (a) encontre o circuito
equivalente, referido ao lado de baixa tensão, deste transformador; (b)
calcule a regulação de tensão do transformador, para uma corrente de plena
carga com fator de potência 0,8 atrasado; (c) calcule as perdas no núcleo e
no cobre nas condições do item (b); (d) considere que a tensão no primário é
15 kV. Plote a tensão no secundário como uma função da corrente de carga
para a condição desde a vazio até a plenas carga. Repita esse processo para
fatores de potência 0,8 atrasado, unitário e 0,8 adiantado.
Sumário
The End!
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Sumário
Referências do Capítulo 2
BIN, E. Máquinas elétricas e acionamento, 2009.
CHAPMAN, S.J. Fundamentos de máquinas elétricas, 5ed. 2013.
FITZGERALD, A.E. et al. Máquinas elétricas – com introdução a eletrônica
de potência, 2006.
JORDÃO, Rubens Guedes. Transformadores, 2008.
MCPHERSON, G.; LARAMORE, R.D. An introduction to electrical machines
and transformers, 1990.
SEN, Paresh C. Principles of electric machines and power electronics. 1997.
SMITH, Ralph J. Circuitos dispositivos e sistemas – um curso de introdução à
engenharia elétrica, v.1, 1975.
WOLSKI, B. Eletromagnetismo para estudantes de engenharia, 2013.
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