MOVIMIENTO EN UN PLANODesplazamiento, Velocidad y AceleracinUna partcula se mueve en el plano X -Y siguiendo una trayectoria curva; se muestran sus vectores de posicin ( r), velocidad( ) V y aceleracin( ) a; as como sus componentes respectivas x, y; Vx, Vy; ax, ay (Obsrveseay= (-)Los vectoresr,( ) V,( ) a estn relacionados como sigue:j y x r + j Vy Vx v+ j ay ax a + Movimiento de un plano con aceleracin constante.Se va a considerar el caso especial del movimiento en un plano con aceleracin constantecte a cte ax y cte ay Y un subcaso especial seria cte Vx ax 0 y g ay Se calcularon las ecuaciones del movimiento para la direccin (x) y la direccin (y) y se obtuvo la siguiente tabla.Ecuacin del movimiento en (x) Ecuacin del movimiento en (y)t a Vx Vxx+ 020 02 / 1 t a Vx x xx+ + ) ( 20202x x ax Vx Vx + t Vx Vx x x ) ( 2 / 10 0+ + t a Vy Vyy+ 020 02 / 1 t a Vy y yy+ + ) ( 20202y y ay Vy Vy + t Vy Vy y y ) ( 2 / 10 0+ + Cos v VxVVxCos0 000 Sen v VyVVySen0 000 MOVIMIENTO DE LOS PROYECTILESUn ejemplo de movimiento curvilneo con aceleracin constante es el movimiento de los proyectiles. (Movimiento de una partcula disparada oblicuamente en el aire)Condiciones:0 ax y g ay Con Cos V Vx Cos V Vx0 0 0 0 y Sen V Vy0 0 Como no hay componente horizontal de la aceleracin (ax=0)la componente horizontal de la velocidad ser constantet a V V + 0axt x V Vx + 0Donde Cos V Vx0 0 conserva su valor durante todo el movimientoY la componente vertical cambia debido aque ay=-g y Vy0=V0Senusando t g Sen V Vy ayt V Vy ) ( `0 0 + + gt Sen V Vy 0La magnitud del vector de velocidad resultante en un instante cualquiera es:2 2Vy Vx V + Y el ngulo que forma el vector velocidad con al horizontal en este instante dado esta dado por:VxVy tanDe acuerdo a la ecuacin del desplazamiento horizontal (en x) 20 02 / 1 axt t Vx x x + + y si consideramos que Cos V Vx x0 0 0; 0 y 0 ax( )t Cos V x 0 (1)Y para le movimiento vertical (en y)20 02 / 1 ayt t Vy y y + + y si consideramos que: Sen V Vy y0 0 0; 0 yg ay ( )202 / gt a t Sent V y (2)Despejando t de la ecuacin (1)( )Cos Vxt t V x00cos Y sustituimos en( )202 / gt a t Sent V y

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Cos VxgCos VxSen V y0 0021) (y x / tan mm1580033 . 20819tan 3176 . 1 tan ) 3176 . 1 ( tan1 8 . 52 ( )220) ( 2tan xCos Vgx y Donde , V0y g son constantes.2bx ax y La ecuacin anterior representa a una parbola, por lo quela trayectoria seguida por un proyectil se dice que es parablicahipopSen hipadyCos adyop tan( )( )( )( )tan

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adyophip ady hip ophipadyHipopCosSenEjemplo:Un bombardero que lleva una velocidad horizontal constante de 1320 Km/hr va a una altura de 15800 m volando hacia un punto que esta directamente sobre su blanco Qu ngulo debe formar con al visual con respecto al blanco, en el momento de dejar caer la bomba para que esta de precisamente en el blanco?Datos Cos V Vx0 0 h km V Vx / 13200 m y 15800 2/ 8 . 9 s m g ? Sen V y V0 00000xy 0 00y VMOVIMIENTO VERTICAL MOVIMEITNO HORIZONTAL20 021gt y V y y + 221gt y gyt22/ 8 . 9) 15800 ( 2s mt seg t 78 . 56 20 021axt xt V x x + + 0 ax00 x 0 Cos V Vx00V Vx ) 78 . 56 (36001320000ssmx t V x ,_

m x 33 . 20819 Ejemplo:Un jugador de ftbol le pega a la pelota con un ngulo de 32 con respecto a la horizontal, comunicndole una velocidad inicial de 15.2 m/seg. Suponiendo que la pelota se mueve en un plano vertical. Encontrar a) El tiempo que tarda en llegar al punto mas alto de su trayectoria?b) A que altura llega la pelota?c) Cual es el alcance horizontal de la pelota?d) Cual es la velocidad de la pelota al chocar contra el suelo?a) el tiempo que tarda en llegar al punto mas alto de su trayectoria j Vy Vx V0 0 0+ Cos V Vx0 0 Sen V Vy0 0 MOVIMIENTO VERTICAL20 021gt ySen V y y + y a y V Vyy2202+ tVy Vyg0gsen VgVyt0 0 ( )( )2/ 8 . 960 . / 2 . 15s mseg mt seg t 93 . b) A que altura llega la pelota?20 021gt t ySen V y y + ( )( )( ) ( )( )2 293 . / 8 . 92193 . 60 . / 2 . 15 s s m s s m y ( )( ) m s s m y 2 . 4 93 . / 12 . 9 m m y 2 . 4 48 . 8 m y 28 . 4max c)Cual es el alcance horizontal de la pelotaMovimiento horizontal20 0axt xt V x x + + 0 ax 00 xy Cos V x v0 0( ) ( )( )( ) s Cos s m x t Cos V x 86 . 1 37 / 2 . 150 m x 56 . 22 t= tiempo que tardo en subir al punto mas alto ymax fue t=0.93el tiempo que tarda en bajar desde lo mas alto ser 0.93 segel tiempo que tardara en bajar desde lo mas alto sera 0.93seg( ) seg t seg ttot tot86 . 1 93 . 0 2 d)Cual es la velocidad de la pelota al chocar contra el suelo? Cos V Vx 0y gt Sen V Vy 0( )( ) 37 / 2 . 15 Cos s m Vx ( )( ) ( ) s s m Sen s m Vy 86 . 1 / 8 . 9 37 / 2 . 152 s m Vx/ 14 . 12 s m Vy / 06 . 9 ( ) ( )2 2 2 2/ 06 . 9 / 14 . 12 s m s m Vy Vx V + + s m s m s m V / 2 . 15 / 08 . 82 / 38 . 1472 2 2 + ( ) 37 746 . 0 tan14 . 1206 . 9tan tan1 1 1 ,_

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VxVy 37 CAPITULO 5MOVIMEITNO CIRCULAR UNIFORMEEn el movimiento circular uniforme una partcula se mueve con una rapidez (magnitud de V) constante, pero en si el vector velocidad aun y cuando mantenga su magnitud constante , estar continuamente cambiando su direccin (aclarando:que el movimiento de la partcula se da en un circulo)Consideremos el movimiento de una partcula en un circulo de radio rEn todo punto de la trayectoria seguida por la partcula sobre el circulo V es tal que al crculo.- y Pes la posicin en t y Pen la posicin en t+t ----- pero con diferente direccin.En todo punto de la trayectoria seguida por la particula sobre el circulo Ves tangente al crculo.-Y P es la posicin en t y Pes la posicin en t t + V V pero con diferente direccinSi0 t el arco es igual a la cuerdad en PP Y por semejanza de tringulos (en magnitud)rt vvv Aprox. Si la cuerda pp y el arco pp son iguales en longitud; ser esto cuandolim0 trvtVrvtVt202lim Pero rvatVat20lim Siendo esta ultima ecuacin la magnitud de la aceleracin, y la direccin dea en un instante dado es la de un radioy apunta hacia el centrodel circulo.GRAFICAMENTESe trazan Vy Vdesde un punto comn, conservando, magnitud, direccin y sentido de cada vector V V V En el movimiento circularuniforme, la aceleracina siempre apunta hacia el centro del circulo y por consiguiente es perpendicular a V. aes radial al crculo Ves tangencialal circuloson mutuamente perpendiculares UNIDADES DE ACELERACINPrimeramente la aceleracin producida en un movimiento circular uniforme se denomina aceleracin RADIAL O CENTRIPETAy tiene las mismas unidades que al aceleracin que se da en una direccin.2 22 222222/ , /) 1 (1s pies s mTLaLTLLTLlonguitudtiempolonguitudrva

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etc EJEMPLO:La luna gira alrededor de la tierra efectuando una revolucin completa en 27.3 das, supngase que la orbita es circular y que tiene un radio de 385000Km Cul es la magnitud de la aceleracin de la luna hacia la tierra? Solucin:rvac2 r=385,000Kmh dias T 24 3 . 27 T=27.3dias( )( ) seg h T 3600 2 . 655 1 vuelta =2rseg T610 36 . 2 segmTrV6610 36 . 2) 10 385 ( 2 2 ( )ms mac6210 385/ 1625 s m V / 10 10256 6 s m ac/ 0027 . 0 s m V / 1025 EJEMPLO:Calcular la velocidad de un instante artificial de la tierra suponiendo que se mueve a una altura h de 225 Km sobre la superficie terrestre siendo g=9.15m/s2 y el radio terrestre R=6370 KmSOLUCIN:a= Linealr=conexin=angularv= Linealr= conexinw=angularrva2pero a=g rvg2 pero r=R+hh Rvg+ 2) (2h R g V + ) 225 10 37 . 6 ( / 15 . 9 ) (6 2m m s m h R g V + + h Km Vs m V/ 6 . 27484/ 62 . 7634RELACION DEL MOVIMEINTO LINEAL CON EL MOVIMEINTO ANGULAR( ) 1 de r s Derivando s con respecto al tiempo se obtiene:dtdrdtds Dondevdtdsdtdr v ywdtd(Velocidad angular)rw v (3)Derivando vcon respecto al tiempo en (3) se obtiene:dtdwrdtdvDondeadtdvdtdwr a Donde dtdw(aceleracin angular) r a Aplicando la analoga para las ecuaciones del movimiento rectilneo uniforme acelerado con las del movimiento angular acelerado obtenemos:s=lineal=angularr=conexinrs (Por definicin)Donde = desplazamiento angular se mide en: grados; revoluciones y radianes LINEAL ANGULARat V VF+ 020 021at t V S S + + ) ( 20202S S a V VF + t V V S SF) (210 0+ + tF + 020 021t t + + ) ( 20202 + FtF) (210 0 + + t S St tS SVFF000t V Vt tV VaFFF 000t t tFF000 t t tFFF 000 UNIDADES DE , y = (Grados, Revoluciones, Radianes)=MINUTOES REVOLUCION;SEGUNDOES REVOLUCION;MINUTO;SEGUNDOS2segundosradianes (mas comn)Definicin de radin:Es el ngulo subtendido por el crculo cuyo arco es igual al radio del mismo crculo.1 Rad.r s 1 rev=2 360 rad 360 2 rad x rad 1( )( ) 3 . 572 360 1 radradx 3 . 57 1 radEn un movimiento circular una partcula de masa m experimenta una fuerza centrpeta que se mueve en la direccin radial y esta dada por:rvm Fc2 (LINEAL)Pero rwr mF wr wc22) ( rr wm Fc2 2 r mw Fc2 (ANGULAR)LABORATORIO III DE MECANICA1. Convirtanse:a) 50rN a radb) 48rad revc) 72rps a rad/segd) 1500rpm a r.p.se) 22rad/seg a rpmf) 2 rad/seg a grados /segSolucin:a) 100 50rw rad

x rwrad rw502 1 radrw rad rwx 1001) 2 )( 50 ( b) 24 48 rad rev

x radrev rad481 2seg revrad rev radx / 252) 1 )( 48 ( c) seg rad rps / 144 72 seg radsegradseg rev / 144) 2 (72 / 72 d)rps rpm 25 1500

seg revsegrevrev / 25601500 min / 1500 e)rpm seg rad 210 / 22

rev radx rad1 222rev revradrev radx 50 . 3112) 1 )( 22 ( rpmrev210min60150 . 3

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f)seg s rad / 64 . 144 / 2

x radrad2 360 2segradradx / 64 . 1142) 360 )( 2 ( 2. Una rueda volante gira a 480 rev/min. Calcular la velocidad angular en cualquier punto de la rueda y la rapidez tangencial a 30cm del centro?Solucin:seg rad wseg rad wrev w/ 16) 60 / 2 ( 480min / 480seg m vcm seg rad vwr v/ 07 . 15) 30 )( / 16 (3. La lenteja de un pndulo de 50 cm. de largo oscila describiendo un arco de 15 cm. Encuentre el ngulo en radianes y grados, que forma al oscilar.Solucin:rs radcmcm16 . 09015 x radrad16 360 2 5 . 92) 360 )( 16 (. radradx4. Un ventilador gira a razn de 900 rev/mina) La rapidez de un punto cualquiera situado sobre las aletas del ventilador b) Encuentre la rapidez tangencial de la aleta si la distancia desde el centro a dicho extremo es de 20cm Solucin:5. Una rueda de 40 cmde radio gira sobre un eje estacionario. Su rapidez aumenta uniformemente desde el reposo hasta 900rev/min en un tiempo de 20 seg a) encuentre la aceleracin angular de al ruedab) La aceleracin tangencial de un punto sobre el borde.Solucin:6. Un coche tiene ruedas de 30 cm de radio parte del reposo y acelera uniformemente hasta una rapidez de 15m/s en un tiempo de 8 seg. encuentre la aceleracin angular de las ruedas y el nmero de rotaciones que realiza en ese tiempo.Solucin:min / 900rev w En cualquier punto situado dentro de la aleta la velocidad angular es w ) 6 0 / 2 ( 9 0 0 s e g r a d w a)seg rad w / 30 r=0.20m v=?) 20 . 0 )( / 30 ( m s rad v wr v b) s m v / 84 . 18 r a [ ]22/ 88 . 140 . 0) 2 ( 75 . 0s m ams rada1]1

t=20segr=0.40m00 wmin / 900rev wF? a=?t w wF 0 seg segrevsegrev20060900 2/ 75 . 0 s rev 7. La centrifuga de secado de una lavadora esta girando a 900rev/min y disminuye uniformemente hasta 300 rev/min mientras que efectuar 50rev. Encuentra:a) la aceleracin angular b) El tiempo requerido para efectuar estas 50revSolucin:8. Desde la cima de una torre de 80m de altura se dispara un proyectil en direccin horizontal con una velocidad de 330m/sa) Cuanto tiempo necesitara para chocar contra el suelo?b) A que distancia del pico de la torre ser el choque?c) Con que velocidad ser el choque?Solucin:??50min / 300min / 9000trevrev wrev wFx radrev rad2001 2rad rev radx 2) 1 )( 200 ( 2202+ w wF) 50 ( 2) 60 / 900 ( ) 60 / 300 (2 2revseg rev seg rev revs rev s rev100/ 225 / 252 2 2 22/ 2 s rev r=0.30m00 vs m vF/ 15 t=8seg? ? 20/ 875 . 180 / 15s m asegseg mat V VaFr a ms mra30 . 0/ 875 . 12 a) 2/ 25 . 6 s rad revradbs s radt t w84 . 31200)) 8 )( / 25 . 6 (21212 220+ PARTE VERTICAL200/ 8 . 9080?0s m gym yV V y Vy a) gytgt ygt ygt yt V y y2221212220 0 + + seg tseg ts mmt04 . 43 . 16) / 8 . 9 () 80 ( 222b)PARTE HORIZONTALseg taxxx04 . 40?00m Xs s m Xxt v Xt a xt V X xx20 . 1333) 04 . 4 )( / 330 (21020 0+ + c)s m Vseg s m Vgt y V Vty V Vyyyyy/ 59 . 39 .) 04 . 4 )( / 8 . 9 (00 + s m Vs m s m Vm s m VVy Vx Vvs m Vx/ 36 . 332/ 36 . 1567 / 108900) 59 . 39 )( / 330 (/ 3302 2 2 22 22 2+ + (-) hacia abajoY en ngulo 8 . 6) 119 . 0 ( tan119 . 0 tan36 . 33259 . 39tantan1 vxvxvy10. Un piloto vuela a 15m/s con direccin para ella al suelo y a una altura de 100m, a distancia x del objetivo debe estar al avin, si se deja caer un saco de arena para que choque contra el blanco?Solucin:PARTE VERTICALPARTE HORIZONTALsegs mmgytgt ygt yt V y yV y Vym yy51 . 4/ 8 . 9) 100 ( 2 2221?00100220 000 + + m Xseg s m xt V Xax xt V X Xs m V Vxs taXXxx65 . 67) 51 . 4 )( / 15 (21/ 1551 . 400?00 000 + +