Movimiento periódico

Muchos tipos de movimiento se repiten una y otra vez: la vibración de un cristal de cuarzo en un reloj de pulso, la péndola oscilante de un reloj con pedestal, las vibraciones sonoras producidas por un clarinete o un tubo de órgano y el movimiento periódico de los pistones de un motor de combustión. A esta clase de movimiento le llamamos movimiento periódico u oscilación, y será el tema del presente capítulo.

Un cuerpo que tiene un movimiento periódico se caracteriza por una posición de equilibrio estable; cuando se le aleja de esa posición y se suelta, entra en acción una fuerza o torca para volverlo al equilibrio. Sin embargo, para cuando llega ahí, ya ha adquirido cierta energía cinética que le permite continuar su movimiento hasta detenerse del otro lado, de donde será impulsado nuevamente hacia su posición de equilibrio.

Descripción de la oscilación

Uno de los sistemas más simples que puede tener movimiento periódico se muestra en la figura 13.1. Un cuerpo con masa m se mueve sobre una guía horizontal sin fricción, como una pista o riel de aire, de modo que sólo puede desplazarse en el eje x. El cuerpo está conectado a un resorte de masa despreciable que puede estirarse o comprimirse. El extremo izquierdo del resorte está fijo, y el derecho está unido al cuerpo. La fuerza del resorte es la única fuerza horizontal que actúa sobre el cuerpo; las fuerzas normal y gravitacional verticales en este caso suman cero.

13.1 Sistema que puede tener movimiento periódico.

Características de un movimiento armónico simple

La amplitud del movimiento, denotada con A, es la magnitud máxima del desplazamiento con respecto al equilibrio; es decir, el valor máximo de 0x0 y siempre es positiva.

El periodo, T, es el tiempo que tarda un ciclo, y siempre es positivo. La unidad del periodo en el SI es el segundo, aunque a veces se expresa como “segundos por ciclo”.

La frecuencia, f, es el número de ciclos en la unidad de tiempo, y siempre es positiva. La unidad de la frecuencia en el SI es el hertz:

1 hertz = 1 Hz = 1 ciclo/s = 1 s-1

La frecuencia angular, w, es 2p veces la frecuencia, representa la rapidez de cambio de una cantidad angular (no necesariamente relacionada con un movimiento rotacional) que siempre se mide en radianes, de modo que sus unidades son rad/s.

f está en ciclos/s, podemos considerar que el número 2p tiene unidades de rad/ciclo

Por las definiciones de periodo T y frecuencia f, es evidente que uno es el recíproco del otro:

También, por la definición de w,

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

El Movimiento Armónico Simple (MAS) es un tipo de movimiento vibratorio causado por la proyección de un Movimiento circular Uniforme (MCU) en una recta lineal.

Es el que describe una partícula sometida a una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento. Se genera entonces un movimiento periódico, es decir que se repite cada cierto intervalo de tiempo. No todos los movimientos periódicos son armónicos. Para que lo sean, la fuerza restauradora debe ser proporcional al desplazamiento.

Ecuación fundamental del movimiento armónico simple

En la figura se ha representado la posición x de un péndulo que oscila después de haber sido desplazado un pequeño ángulo en función del tiempo. Se han representado dos oscilaciones completas.

Ecuación de la elongación en el Movimiento armónico simple

La posición de una partícula que sigue un movimiento armónico simple ( m.a.s.), también denominada elongación, viene determinada por la distancia x a la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m). Se trata de una función sinusoidal (seno o coseno), que depende del tiempo x = f(t).

Ecuación de la velocidad en el Movimiento armónico simple

x = A cos (wt + d)

v = dx/dt = -w.a.sen (w.t + δ)

La velocidad en un movimiento armónico simple varía de forma armónica (sinusoidal).

Sabemos que sen² (w.t + δ) + cos² (w.t + δ) = 1

sen (w.t +d) =

v = -w.A sen (w.t + d) = -w.A

.

Como la raíz lleva doble signo para cada valor de x hay dos de v (ida y vuelta) v =

La velocidad es cero cuando x = ±A (extremos) La velocidad es máxima cuando x = 0 (centro) v = ±w.A Las gráficas de x y v están desfasadas π/2 → cos (w.t + π/2) = - sen w.t

Si representamos la posición y la velocidad frente al tiempo

x = A.cos w.t = A.cos (2.π/T).t

v = -A.w.sen w.t = -w.A.sen (2.π/T).t

Ver ejemplo n° 2

Ecuación de la aceleración en el Movimiento armónico simple

V = -w.A sen (w.t +d)

a = dv/dt = -w².A.cos (w.t + δ)

 

Sabemos que v = a.cos (w.t + δ)

a = -w².x la aceleración en un MAS es una función armónica que depende sinusoidalmente de tiempo.

La aceleración es nula en la posición de equilibrio (x = 0) Es máxima en los extremos en cuyo caso vale –w².A

Sentido opuesto a x

La gráfica está desfasada π respecto de la posición x → cos (w.t +d) = - cos (w.t)

x = a.cos (2.π/T).t

v = -w.A.sen (2.π/T).t

a = -w².A.cos (2.π/T).t

Autor: Leandro Bautista.

Fuente: http://www.freewebs.com/fisicamontpe/

Fisica de 2° de Bachillerato - Colegio Montpellier

Editor: Fisicanet ®

DINAMICA DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE

Ya se definió anteriormente el movimiento armónico simple mediante la ecuación de la elongación: y = Asen(ω t + jo) De ella se deducía la ecuación de la aceleración:

Aplicando la ecuación F = ma y sustituyendo el valor de a queda:

Esto implica que en el movimiento armónico simple la fuerza que actua es proporcional a la elongación y opuesta aella, es decir estará dirigida siempre hacia el origen o punto de equilibrio pues en este punto como y = 0·F= 0. Este tipo de fuerza es la que aparece cuando se doforma un cuerpo elástico (ley de Hooke). La constante K se llama a veces constante elástica representa la fuerza necesaria para desplazar la partícula una unidad de distancia.

Ecuación que expresa el periodo en un movimiento armónico simple en función de la masa y de la constante elástica.

*aquí se hará una deducción inversa a la anterior* Igualando las ecuaciones:

Se trata de una ecuación diferencial cuya solución se sabe que son senos o cosenos de ω·t, es decir la solución de esta ecuación diferencial será: y = A·sen(ω t + jo)

De donde se deduce que una fuerza proporcional y opuesta al desplazamiento origina un movimiento armónico simple.

APLICACION AL PENDULO SIMPLE

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida de un punto O por un hilo de longitud l y masa despreciable. Si la partícula se lleva hasta B de modo que forma un ángulo θ con la vertical y luego se suelta esta oscilará entre B y B'.

La partícula se mueve en un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud de la cuerda. Las fuerzas que actúan sobre esta partícula serán Fx que es anulada por la tensión de la cuerda T y Ft cuyo valor será: Ft = mg senθ y por tanto, ya que se opone al desplazamiento:

Por tanto y sustituyendo:

Cuando el ángulo θ es muy pequeño (longitud l grande y pequeñas amplitudes de oscilación) senθ es aproximadamente θ por lo que:

Ecuación diferencial similar a la que se vio anteriormente donde:

Como se ve el periodo del péndulo simple solo es función de la longitud del hilo y de g que en el campo gravitatorio terrestre es constante e igual a 9.81 m/s2.

Otra deducción de la ecuación del periodo en un péndulo simple se podrá hacer de la forma siguiente:

Por tanto Ft = q·K s. s es la separación del móvil respecto del punto de equilibrio O y esta es una ecuación en la que la fuerza que actua sobre el móvil es proporcional a la elongación, por lo que, según se vio antes:

De donde se deduce que:

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos98/el-movimiento-armonico-simple/el-movimiento-armonico-simple.shtml#ixzz3oqW499nZ

http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinam1p/mas.html

http://www.fisicanet.com.ar/fisica/elasticidad/ap03_ecuaciones_del_movimiento_armonico_simple.php

http://www.monografias.com/trabajos98/el-movimiento-armonico-simple/el-movimiento-armonico-simple.shtml#ixzz3oqUZBUJF

http://fisicayquimicaenflash.es/dinamicapunto/dinpunto04.htm

Un cuerpo de 300 g se encuentra unido al techo a través de un muelle. El peso del cuerpo hace que el muelle se deforme 6 cm. Determina:

1. Cuál será la frecuencia de oscilación del cuerpo cuando se desplaza de su posición de equilibrio

2. Qué ocurriría al variar la masa del cuerpo a 500 g.3. Determina para este último caso la frecuencia y el periodo

Datos

Masa del cuerpo: m = 300 g = 0.3 kg Distancia a la posición de equilibrio del muelle: x0 = 6 cm = 6·10-2 m

Consideraciones previas Las fuerzas presentes en el objeto son el peso y la fuerza elástica o restauradora.

La fuerza elástica sigue la ley de Hooke. Resolución 1.La frecuencia de un oscilador armónico viene determinada por

ω=km−−−√ En el equilibrio, el cuerpo no posee aceleración y por tanto las fuerzas peso y la

fuerza restauradore se contrarrestan. Esto nos servirá para determinar la constante de elasticidad, k.

m⋅g=k⋅x0⇒0.3⋅9.8=k⋅6⋅10−2⇒k=49N/m   Ahora ya podemos calcular la frecuencia angular:

ω=km−−−√=490.3−−−√=12.78 rad/s   2. Al variar la masa, la constante k del muelle no cambia, ya que es una

característica de cada muelle. Si lo hace la frecuencia: ω=km−−−√=490.5−−−√=9.89 rad/s

  Observa como al cargar el muelle con más peso, este se vuelve más lento en sus

oscilaciones. 3.Para el cálculo del periodo y la frecuencia, procedemos a través de la relación

que hay entre ellos 

f=ω2⋅π=9.892⋅π=1.57Hz

T=1/f=1/1.57=0.63 s