mouvement brownien fractionnaire, applications aux

212
HAL Id: tel-00003407 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00003407 Submitted on 22 Sep 2003 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- enti๏ฌc research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. Lโ€™archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinรฉe au dรฉpรดt et ร  la di๏ฌ€usion de documents scienti๏ฌques de niveau recherche, publiรฉs ou non, รฉmanant des รฉtablissements dโ€™enseignement et de recherche franรงais ou รฉtrangers, des laboratoires publics ou privรฉs. Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux tรฉlรฉcommunications. Calcul Stochastique relativement ร  des processus fractionnaires. Nicolas Savy To cite this version: Nicolas Savy. Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux tรฉlรฉcommunications. Calcul Stochastique relativement ร  des processus fractionnaires.. Mathรฉmatiques [math]. Universitรฉ Rennes 1, 2003. Franรงais. tel-00003407

Upload: others

Post on 31-Oct-2021

5 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

HAL Id: tel-00003407https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00003407

Submitted on 22 Sep 2003

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

Lโ€™archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinรฉe au dรฉpรดt et ร  la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiรฉs ou non,รฉmanant des รฉtablissements dโ€™enseignement et derecherche franรงais ou รฉtrangers, des laboratoirespublics ou privรฉs.

Mouvement Brownien Fractionnaire, applications auxtรฉlรฉcommunications. Calcul Stochastique relativement ร 

des processus fractionnaires.Nicolas Savy

To cite this version:Nicolas Savy. Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux tรฉlรฉcommunications. CalculStochastique relativement ร  des processus fractionnaires.. Mathรฉmatiques [math]. Universitรฉ Rennes1, 2003. Franรงais. ๏ฟฝtel-00003407๏ฟฝ

Page 2: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜›โœ„โ˜žโœ โœโœŒโœโœŽโœ’โœ‘โœ”โœ“โœ•โœ‘โœกโœ–

โœ—โœ™โœ˜โœ›โœšโœขโœœโœคโœฃโœฅ โœ โ˜›โœฆโ˜…โœงโœโœŒโœชโœฉโœ•โœซโœฌโœฆโ˜…โœŒ

โœญ โœฃโœฏโœฎโœฏโœฐโœฒโœฑโœณโœ— โœดโœฏโœตโœทโœถโœธโœฑโœบโœนโœ”โœฎโœปโœฃโœฝโœผโœพโœœโœฟโœนโœกโœ—โœ™โ€ โœญ โœฃ โœผโโœฃโ‚โœฑโœบโœฑโœ›โœฃโœขโœœโ„โƒโœฅ โœžโœกโ…โ˜žโœ โ†โœžโœกโ‡โˆโœซโœโœŒโ˜…โœฉโ˜žโ‰โŠโœ 

โ‹ โœŒโโ—โœกโœ โœโ– โโœ„โ˜žโœŒโโœ„โˆโœŒโ‘โœŽโ–ผโ–ฒโ–โ—†โ–ผPโ˜โ——โšโ™โœ›โฏโฒโฑ โ–ฒโœฒโ™ โณโโจโœฌโฏโฒโฉโœธโฌโœคโญโœโ™โœฝโฑโœธโชโœคโฌโซโ——โšโด โ–ฒโœฒโ™ โฑโ–ผโ™โœฝโฉโœธโฉโœพโ™โœขโชโ›โตโœโžโโขโกโคโฃโฅโœโœทโฆโงโกโœ›โ™ โ™ฆโ™ฅโ™ฃโ– โœ”โœซโœฌqโ˜žโœฆโœชrsโ– tโœซโœฌโ‰โœˆโœ‰โœ‡โ…โ˜žโœŒโœชโœงโ†โœŒโœชโœซโ˜Žโ‘  โœฅโ˜žโœฅ โ‹ โ‰โœˆโ‘กโ˜…โ– โœ”โœซโœฌโ‰โŠโœžโœกโœฉโ˜žโœง

โ‘ขโคโ‘ โโ‘ฃ

โ‘คโ‘ฅโœโ‘งโ‘ฆโœกโฆโคโ‘จโœทโ‘ฉโทโถโฒโธโบโนโ˜Žโปโœฏโผ

โฝโพโœ‰โœ‡โ…โ˜žโ‰ โœฅ โœŒโฟโœ„โบโœ†โœŸโ– โโ‘กโ˜…โ‘กโœชโ…โ˜žโœŒโ˜…โ‰ โ‹ โœŽโžโž€โž‚โ‘ฃโœ‚โ™ฅโ™ฃโ‘ โโ‘ฃโœบโžƒโž…โž„โœ‚โœฉโ˜žโ‰โž‡โž†โœกโœŒโ˜…โœ โ˜›โœงโœโ‰โž‡โœซโœฌโœฆโžˆโœ„โ˜žโœŒโšโ‘ฃโ˜ŽโœŒโœชโœฉโ˜žโœฉโ˜žโœŒโœชโœงโšโž‰โฝโพโ‘กโ˜…โœž โ‹ โœŒโšโžŠโโœžโขโ‘กโœชโœซโœฌโœžโโœ โœฌโ–  โ‹ โœŒโ‘โœŽโž‹โ™ฅโ‚โ‘ โพโžŒโœคโž€โžŽโžโ˜žโžโˆโฝ

โž โœžโœกr โœฅ โœžโโœงโœฌโ– โโœฉโœ•โœซโœฌโœŒโšโž„โ˜Žโœฉโ˜žโ‰โŠโž†โโœŒโ˜…โœ โœโœงโ˜›โ‰โŠโœซโœฌโ– โโ‰โœˆโœ โ˜›โœŒโ‘โœŽโžโž€โž‚๏ฟฝโโžโžโ‘ โž‘โœ„โ˜žโœŒโšโ‘ฃโ˜ŽโœŒโœชโœฉโ˜žโœฉโ˜žโœŒโœชโœง

โžŒโœคโž€โž’โžŒโ†โ‘ฃโœ‚โฝโœปโžŠโž“โฝโ†’โž”โžฃโ‘ โž‘โžŒโ†โ†”โœ‚โ†•โž…โžโžโฝโœณโœŽโœโžโฆโงโž™โ™ฆโž›โคโโขโžœโžโโขโกโคโฃโฒโžžโ‘โžŸโฅโฆโžโž โฒโกโžกโœโ‘งโโขโกโœฒโžขโ™ฆโžŸโฅโ‘ฉโทโ‘ฆโโฃโฅโœโœทโฆโงโกโžคโกโžฃโ‘ฉโทโœโœทโžŸโฅโโงโžฅโงโ‘ฉโ˜žโžฆโžกโžฆโžงโ‘จโ‘งโœโ‘งโ‘ฆโœกโ‘ฉโˆโฃโฅโœโœทโฆโคโกโžกโถโ‘โ‘ฉโทโž™โ™ฆโžจ

โฃโžซโžฉโขโ‘จโœทโžฉโžโ‘ฆโœกโฆโงโžœโžญโžœโžฏโž™โžกโกโžคโœโ‘งโ‘ฆโœกโ‘ฉโˆโฃโฅโœโœทโฆโงโกโžคโถโœ”โžฒโžณ โ‘ฉโทโ‘จโ‘งโ‘ฆโœ•โž™โžคโ‘จโœฟโถโžตโฃโžซโฆโ™ฆโ‘ฆtโžธโžกโ‘ฉโทโถโžตโฃโฅโœโžปโžบโœโž™โžกโโ™ฃโžŸtโโขโ‘จโœทโ‘ฉโˆโฃโฅโœโžผโž›โงโโžโžœโžฝโโžโกโงโฃโžšโžพโžถโžชโžกโโขโถโœโžนโž˜โžŸโฅโฆโ™ฆโ‘ฆโœกโโขโถโžดโถโžดโž™โžกโถโžทโžขโžฃโžŸโฅโ‘ฉโทโ‘ฆโโฃโžซโœโ‘งโฆโงโกโžกโกโžกโ‘ฉโทโœโœทโžŸโฅโโขโถโโžฒ

โžโ˜žโžฌโฟโž„โœ‚โžŒโ†โฝโžฎ๏ฟฝโโž„โœ‚โฝโœปโž”โžฃโฝโœฒโžฑโœ•โœ‘โœโœƒโโ…โ˜žโ‰โœˆโœฉโ™ฃโœ‘โโžฑโโžฑโœกโโ‘โœ„โ˜žโœŒโœชโž†โœ”โ– โโœฉโœ•โœซ โ‹ โ– โ‘โ‘กโœชโœžโœกrโฒrโžทโ‰โœˆโœงโ˜›โœงโœโ‰โŠโœžโœกโœฉโ’โœ„โบโœ†โœŸโฝโžงโฎโ˜žโ– โœ”rโฒโœŒโœชโœฉ

โž โžฌโžˆโ™ฅโ‘ฅโ‘ขโซโžฌโžˆโžโžโž€โž’โžŒโœคโž€โžŽโžฌโฟ๏ฟฝโฐโžŠโž“โž„โฐโœƒโœกโž„โโ‘ฃโžกรรโœŽ

โž”โžฃโ– โโ…โ˜žโœ โ˜›โœŒโ˜…โœฉโœ•โœซโœ‚โžŠโž“โฝ โž โ‘ฃโœ‚โฝโžฎโž„โž“โžโžโฝโซร‘โžกโžฌโฟ๏ฟฝโโžŠรโœŽ โฝโžงโฎโ˜žโ– โœ”rโฒโ‰โŠโœฉโทโ– โœ”โœซโœฌโœŒโœชโ…โ˜žโœ โœƒโโœŒโžดโ– โœ”โœฉโžโžƒโž‚ร’ร“โœŒโœชโœ โœโœฉโทโ– โœ”โœ โœโœ„โ‘ฅร”โšโ‘ฃโ†โ‘ โžกร•โž“โฝโžฎโ‘ฃโœ‚โฝโพโ‘ โ†โž„โ˜Žร–ร—โœŽโžโžŠโโ‰โœˆโœ โ˜›โœŒโ˜…โ‘กโžตโœซโœฌโœŒโ˜…โ…โˆโœ โ˜Žโœ„โˆโœŒโšโžŒโœคqโˆร˜โ˜…โœงโœโœŒรโฟโ‰โŠโœฉโ˜žโ—โžทโ†”โโž„ร™โœŽ โฝโžงโฎโ˜žโ– โœ”rโฒโ‰โŠโœฉโทโ– โœ”โœซโœฌโœŒโœชโ…โ˜žโœ โœƒโโœŒโžดโ– โœ”โœฉโœขโ™ฅโ‘ฅรšโซโ™ฅโ™ฃโž€โž‚๏ฟฝโ–โœŽ โฝโžงโฎโ˜žโ– โœ”rโฒโ‰โŠโœฉโทโ– โœ”โœซโœฌโœŒโœชโ…โ˜žโœ โžŠโž“โ– โžดโž†โขโ‰โœˆโœ„โ™ฃ๏ฟฝโโž„โ˜Žโ‘ โž“โž”โ™ฆโ‘ โž“โ‘ฃโžงโžŒร›โœŽ โ‘ฃโœ‚โ–  โœฅโ˜žโœฅ โœžโโœ โ˜›โœซโœฌโœŒโœชโ…โ˜žโœ ๏ฟฝโœ‚โ‰โŠโ‘กโ˜…โœž โ‹ โ– โโœงโœคโ‘ขโžฎโ‘ฃโ†โž€รœร•โžงโ‘ โ†โž„โœ‚โž”โžโžŒร™โœŽ โ‘ฃโœ‚โ–  โœฅโ˜žโœฅ โœžโโœ โ˜›โœซโœฌโœŒโœชโ…โ˜žโœ 

Page 3: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux
Page 4: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜›โœ„โ˜žโœ โœโœŒโœโœŽโœ’โœ‘โœ”โœ“โœ•โœ‘โœกโœ–

โœ—โœ™โœ˜โœ›โœšโœขโœœโœคโœฃโœฅ โœ โ˜›โœฆโ˜…โœงโœโœŒโœชโœฉโœ•โœซโœฌโœฆโ˜…โœŒ

โœญ โœฃโœฏโœฎโœฏโœฐโœฒโœฑโœณโœ— โœดโœฏโœตโœทโœถโœธโœฑโœบโœนโœ”โœฎโœปโœฃโœฝโœผโœพโœœโœฟโœนโœกโœ—โœ™โ€ โœญ โœฃ โœผโโœฃโ‚โœฑโœบโœฑโœ›โœฃโœขโœœโ„โƒโœฅ โœžโœกโ…โ˜žโœ โ†โœžโœกโ‡โˆโœซโœโœŒโ˜…โœฉโ˜žโ‰โŠโœ 

โ‹ โœŒโโ—โœกโœ โœโ– โโœ„โ˜žโœŒโโœ„โˆโœŒโ‘โœŽโ–ผโ–ฒโ–โ—†โ–ผPโ˜โ——โšโ™โœ›โฏโฒโฑ โ–ฒโœฒโ™ โณโโจโœฌโฏโฒโฉโœธโฌโœคโญโœโ™โœฝโฑโœธโชโœคโฌโซโ——โšโด โ–ฒโœฒโ™ โฑโ–ผโ™โœฝโฉโœธโฉโœพโ™โœขโชโ›โตโœโžโโขโกโคโฃโฅโœโœทโฆโงโกโœ›โ™ โ™ฆโ™ฅโ™ฃโ– โœ”โœซโœฌqโ˜žโœฆโœชrsโ– tโœซโœฌโ‰โœˆโœ‰โœ‡โ…โ˜žโœŒโœชโœงโ†โœŒโœชโœซโ˜Žโ‘  โœฅโ˜žโœฅ โ‹ โ‰โœˆโ‘กโ˜…โ– โœ”โœซโœฌโ‰โŠโœžโœกโœฉโ˜žโœง

โ‘ขโคโ‘ โโ‘ฃ

โ‘คโ‘ฅโœโ‘งโ‘ฆโœกโฆโคโ‘จโœทโ‘ฉโทโถโฒโธโบโนโ˜Žโปโœฏโผ

โฝโพโœ‰โœ‡โ…โ˜žโ‰ โœฅ โœŒโฟโœ„โบโœ†โœŸโ– โโ‘กโ˜…โ‘กโœชโ…โ˜žโœŒโ˜…โ‰ โ‹ โœŽโžโž€โž‚โ‘ฃโœ‚โ™ฅโ™ฃโ‘ โโ‘ฃโœบโžƒโž…โž„โœ‚โœฉโ˜žโ‰โž‡โž†โœกโœŒโ˜…โœ โ˜›โœงโœโ‰โž‡โœซโœฌโœฆโžˆโœ„โ˜žโœŒโšโ‘ฃโ˜ŽโœŒโœชโœฉโ˜žโœฉโ˜žโœŒโœชโœงโšโž‰โฝโพโ‘กโ˜…โœž โ‹ โœŒโšโžŠโโœžโขโ‘กโœชโœซโœฌโœžโโœ โœฌโ–  โ‹ โœŒโ‘โœŽโž‹โ™ฅโ‚โ‘ โพโžŒโœคโž€โžŽโžโ˜žโžโˆโฝ

โž โœžโœกr โœฅ โœžโโœงโœฌโ– โโœฉโœ•โœซโœฌโœŒโšโž„โ˜Žโœฉโ˜žโ‰โŠโž†โโœŒโ˜…โœ โœโœงโ˜›โ‰โŠโœซโœฌโ– โโ‰โœˆโœ โ˜›โœŒโ‘โœŽโžโž€โž‚๏ฟฝโโžโžโ‘ โž‘โœ„โ˜žโœŒโšโ‘ฃโ˜ŽโœŒโœชโœฉโ˜žโœฉโ˜žโœŒโœชโœง

โžŒโœคโž€โž’โžŒโ†โ‘ฃโœ‚โฝโœปโžŠโž“โฝโ†’โž”โžฃโ‘ โž‘โžŒโ†โ†”โœ‚โ†•โž…โžโžโฝโœณโœŽโœโžโฆโงโž™โ™ฆโž›โคโโขโžœโžโโขโกโคโฃโฒโžžโ‘โžŸโฅโฆโžโž โฒโกโžกโœโ‘งโโขโกโœฒโžขโ™ฆโžŸโฅโ‘ฉโทโ‘ฆโโฃโฅโœโœทโฆโงโกโžคโกโžฃโ‘ฉโทโœโœทโžŸโฅโโงโžฅโงโ‘ฉโ˜žโžฆโžกโžฆโžงโ‘จโ‘งโœโ‘งโ‘ฆโœกโ‘ฉโˆโฃโฅโœโœทโฆโคโกโžกโถโ‘โ‘ฉโทโž™โ™ฆโžจ

โฃโžซโžฉโขโ‘จโœทโžฉโžโ‘ฆโœกโฆโงโžœโžญโžœโžฏโž™โžกโกโžคโœโ‘งโ‘ฆโœกโ‘ฉโˆโฃโฅโœโœทโฆโงโกโžคโถโœ”โžฒโžณ โ‘ฉโทโ‘จโ‘งโ‘ฆโœ•โž™โžคโ‘จโœฟโถโžตโฃโžซโฆโ™ฆโ‘ฆtโžธโžกโ‘ฉโทโถโžตโฃโฅโœโžปโžบโœโž™โžกโโ™ฃโžŸtโโขโ‘จโœทโ‘ฉโˆโฃโฅโœโžผโž›โงโโžโžœโžฝโโžโกโงโฃโžšโžพโžถโžชโžกโโขโถโœโžนโž˜โžŸโฅโฆโ™ฆโ‘ฆโœกโโขโถโžดโถโžดโž™โžกโถโžทโžขโžฃโžŸโฅโ‘ฉโทโ‘ฆโโฃโžซโœโ‘งโฆโงโกโžกโกโžกโ‘ฉโทโœโœทโžŸโฅโโขโถโโžฒ

โžโ˜žโžฌโฟโž„โœ‚โžŒโ†โฝโžฎ๏ฟฝโโž„โœ‚โฝโœปโž”โžฃโฝโœฒโžฑโœ•โœ‘โœโœƒโโ…โ˜žโ‰โœˆโœฉโ™ฃโœ‘โโžฑโโžฑโœกโโ‘โœ„โ˜žโœŒโœชโž†โœ”โ– โโœฉโœ•โœซ โ‹ โ– โ‘โ‘กโœชโœžโœกrโฒrโžทโ‰โœˆโœงโ˜›โœงโœโ‰โŠโœžโœกโœฉโ’โœ„โบโœ†โœŸโฝโžงโฎโ˜žโ– โœ”rโฒโœŒโœชโœฉ

โž โžฌโžˆโ™ฅโ‘ฅโ‘ขโซโžฌโžˆโžโžโž€โž’โžŒโœคโž€โžŽโžฌโฟ๏ฟฝโฐโžŠโž“โž„โฐโœƒโœกโž„โโ‘ฃโžกรรโœŽ

โž”โžฃโ– โโ…โ˜žโœ โ˜›โœŒโ˜…โœฉโœ•โœซโœ‚โžŠโž“โฝ โž โ‘ฃโœ‚โฝโžฎโž„โž“โžโžโฝโซร‘โžกโžฌโฟ๏ฟฝโโžŠรโœŽ โฝโžงโฎโ˜žโ– โœ”rโฒโ‰โŠโœฉโทโ– โœ”โœซโœฌโœŒโœชโ…โ˜žโœ โœƒโโœŒโžดโ– โœ”โœฉโžโžƒโž‚ร’ร“โœŒโœชโœ โœโœฉโทโ– โœ”โœ โœโœ„โ‘ฅร”โšโ‘ฃโ†โ‘ โžกร•โž“โฝโžฎโ‘ฃโœ‚โฝโพโ‘ โ†โž„โ˜Žร–ร—โœŽโžโžŠโโ‰โœˆโœ โ˜›โœŒโ˜…โ‘กโžตโœซโœฌโœŒโ˜…โ…โˆโœ โ˜Žโœ„โˆโœŒโšโžŒโœคqโˆร˜โ˜…โœงโœโœŒรโฟโ‰โŠโœฉโ˜žโ—โžทโ†”โโž„ร™โœŽ โฝโžงโฎโ˜žโ– โœ”rโฒโ‰โŠโœฉโทโ– โœ”โœซโœฌโœŒโœชโ…โ˜žโœ โœƒโโœŒโžดโ– โœ”โœฉโœขโ™ฅโ‘ฅรšโซโ™ฅโ™ฃโž€โž‚๏ฟฝโ–โœŽ โฝโžงโฎโ˜žโ– โœ”rโฒโ‰โŠโœฉโทโ– โœ”โœซโœฌโœŒโœชโ…โ˜žโœ โžŠโž“โ– โžดโž†โขโ‰โœˆโœ„โ™ฃ๏ฟฝโโž„โ˜Žโ‘ โž“โž”โ™ฆโ‘ โž“โ‘ฃโžงโžŒร›โœŽ โ‘ฃโœ‚โ–  โœฅโ˜žโœฅ โœžโโœ โ˜›โœซโœฌโœŒโœชโ…โ˜žโœ ๏ฟฝโœ‚โ‰โŠโ‘กโ˜…โœž โ‹ โ– โโœงโœคโ‘ขโžฎโ‘ฃโ†โž€รœร•โžงโ‘ โ†โž„โœ‚โž”โžโžŒร™โœŽ โ‘ฃโœ‚โ–  โœฅโ˜žโœฅ โœžโโœ โ˜›โœซโœฌโœŒโœชโ…โ˜žโœ 

Page 5: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux
Page 6: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœ โœŸโœ โœโ˜›โœก โ˜ž โœโœโœŒโœโœŽโœžโœ‘โ˜›โœ’โœโœโœ“โœก

โœ”โ˜…โกโงโฃโžซโžŸโฅโฆโ™ฆโžชโžคโž™โžกโ‘ฆโโฃโฅโœโœทโฆโงโก โœ•โœ–โœ˜โœ—โœšโœ™โœ†โœ›โœขโœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโ˜…โœฉโœ™โœชโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ— โœฎโœ–โœ˜โœ—โœฐโœฏโœฑโœ›โœขโœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโ˜…โœซโœฏโœฒโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ— โœฎโœ–โœ˜โœ— โœณโœดโœ›โœขโœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโ˜…โœฌโœณโœ„โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ— โœตโœ–โœ˜โœ— โœฎ โœ›โœขโœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโ˜…โœญโœฎโœถโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ— โœต

โœ” โœทโœฏโžฉโขโกโžกโžฉโœ‡โžŸโฅโ‘ฉโทโ‘จโ‘งโœโœทโฃโžดโžฉโžโถ โœธโœนโœปโœบโœฝโœผโœฟโœพโโ€โƒโ‚โ…โ„โ†โ‚โ…โ‡โˆโ€โŠโ‰โœฉโ‹โœฟโ„โโ—โœฌโ– โโ‡โ–ฒโ‘โŠโ– โโ‚โ…โœผโœฟโ„โ†โœผโ–ผโ‰ โœนโ–ผโ—†โœ™โ–โœ—โœšโœ™โ——Pโ™โ˜โฏโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโฒโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโจโ˜…โฉโœฅโฌโ˜…โฏโญโชโœงโœšโซโดโœฅโœฆโ˜…โ†โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โ›โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœโœ™โโœณโœ™โ–โœ—โœฐโœฏโœฑโœ›โžโœฃโกโœงโฒโฑโ–ฒโตโฏโœงโฒโขโฃโœœโœคโคโœšโ˜…โ†โซโœžโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโœ˜โœฃโกโœงโœšโ˜โฉโœฅโœฆโ˜โโซโœžโœโชโ˜…โ†โซโœžโœฅโกโœฃโกโœœโœคโฅโฆโ˜…โ†โตโฉโœฅโœฆโณโ–โœงโœšโœฃโกโ˜…โ†โซโงโœโชโ™ โจโขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโ™ฅโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœโœ™โ™ฆโœตโœ™โ–โœ— โœณโœดโœ›โžโœฃโกโœงโฒโฑโ–ฒโตโฏโœงโฒโขโฃโœœโœคโคโœšโ˜…โ†โซโœžโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโœ˜โœฃโกโœงโœšโ˜โฉโœฅโœฆโ˜โโซโœžโœโชโ™ โจโขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโ™ฃโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—qโœฏโ–โœ–

rtsโœ‰โ‹โœฟโ‘โƒโ– โโœผโ–ผโ‰โโ‹โœฟโ€โœˆโ„โโœ‡โชโ„โ†โ‚โ‘ โ‡โฃโ€โŠโ‰โโ‘กโƒโ‘ขโ‘คโ‘ฃโ‘ฆโ‘ฅโ‘จโ‘ง rโฃโ‘ฉโœฏโชโœ—โœšโœ™โœ†โœ›โžโœฃโกโ˜โฏโคโœšโœงโฒโถโโœงโœšโฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซโœฌโทโชโถโโ˜…โ†โซโœฆโ™ โœ˜โœฃโœฆโ˜…โโซโธโœœโœคโคโœšโ˜โ†โœœโœคโœฅโœฆโณโ–โœงโœšโœฃโกโ˜…โ†โซโธโนโœฌโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโœฆโœงโฒโ˜…โ†โฑโœ˜โฑโœ˜โ˜…โ†โซโœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—qโœฏโบโœตโœฏโชโœ—โœฐโœฏโœดโปโธโ˜…โฏโขโ–ฒโœฃโœฆโ˜โโซโดโ˜…โ†โฑโบโœฅโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœฝโฝโพโณโโฟโบโ˜…โฏโฑโœ˜โฑโœ˜โ˜…โœซโฝโพโณโบโž€โœ˜โœงโœšโคโฒโ˜… โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—qโœฏโ–โžโœฏโชโœ— โœณ โปโธโ˜…โฏโขโ–ฒโœฃโœฆโ˜โโซโดโ˜…โ†โฑโบโœฅโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœฝโž‚โ™โœœโ–โœฃโœฆโถโโณโบโฑโœ˜โœงโœšโซโกโœœโœคโž€โ–ฒโคโฒโ˜…โœ“โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—qโœฏโ–โžโœฏโชโœ— โœฎ โปโธโ˜…โฏโขโ–ฒโœฃโœฆโ˜โโซโดโ˜…โ†โฑโบโœฅโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœฝโžƒโž„โ˜โ†โž…โ–ผโฟโบโž†โž‡โž‚โฌโœงโžˆโœโœ˜โœœโž‰โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โžŠโœณโบโœ–

โ—†โž‹โœบโœฝโ‡โˆโžŒโžโœ‡โœ˜โ‚โ‘ โ€โƒโ‹โจโ‘กโžโžŽโฒโœ‡โชโ„โ†โ„โฏโ– โโœ‡โœ˜โžโœคโ„โโ‚โ…โ‡โˆโ€โž‘โ‘กโŠโ‘ขโ‘คโ‘ฃโž’โ‘ฅโ‘จโ‘ง โ—†โฃโ—†โœณโœ˜โœ—โœšโœ™โœ†โœ›โžโœฃโกโ˜โฏโคโœšโœงโฒโถโโœงโœšโฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซโœฌโทโœ˜โž“โฌโฑโพโคโœšโ˜…โฏโถโโถโโ˜…โœซโœโชโ˜…โœฌโœฅโœฆโ˜…โ†โฑโ–ฒโซโดโœงโœšโณโ–โฑโž”โœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โžŠโœณโบโœณโœณโœ˜โœ—โœฐโœฏโœดโžƒโž„โ˜…โ†’โตโฏโณโœฟโ˜…โฏโžฃโ†”โตโฉโœงโœšโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโฌโœโชโ˜…โœซโฑโœ˜โณโ–โœฃโกโถโ†•โœœโœคโคโœšโœงโœšโซโกโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑ โœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โžŠโœณโœฟโœตโœณโœ˜โœ— โœณ โž‚โฌโฟโ–ผโขโˆโณโœคโœฅโœฆโž™โ–ฒโž›โ†โซโœฆโ˜…โ†โซโธโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโฌโžœโ˜›โœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โžŠโœณโบโžโœณโœ˜โœ— โœฎ โž‚โฌโฟโ–ผโขโˆโณโœคโœฅโœฆโž™โ–ฒโž›โ†โซโœฆโ˜…โ†โซโธโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโธโž โœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โžŠโœณโบโžโœณโœ˜โœ—โœฐโœต โžžโžโณโ–โฑโ–ผโž…โ–โ˜…โ†โœฃโœฆโžŸโบโ˜…โฏโฑโ–ฒโตโฏโ˜…โ™โž…โบโ˜…โฏโœฃโผโซโžโคโœšโ˜…โœซโถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโฌโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโ–ฒโœงโฒโ˜…โ†โฑโ†”โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โœ โœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โžฆโœฎโฃโœ™

โœ”โชโœ” โžณ โ‘ฉโˆโžฆโžคโ‘ฉโทโ‘ฆโœ•โœโžผโฃโžซโžฉโœปโžชโžฃโโœธโถโœชโฃโžซโฆโบโ‘ฆโ–ฒโžงโžโ‘ฉโโžจโœ’โโœปโžชโžซโžฉโž‡โž™โžกโกโžกโโœ“โžญโžงโ‘จโœทโโœฒโžพโœบโโขโกโคโฃโžดโžŸtโžฉโœ‡โโœปโžžโ‘โžŸโฅโฆโขโž sโกโžกโœโœทโโžโกโžกโกโžฃโโœ“โžฏรœโžŸโฅโ‘ฉโทโ‘ฆโโฃโฅโœโœทโฆโงโกโธโžฒโกโžฃโ‘ฉโทโœโœทโžŸtโโ™ฃโ‘ฉโœ•โž›โคโโขโ‘ฆโ‚โžชโžกโžฉโœ‡โžŸtโœโžผโž›โคโ โžณโงโžตโžธ โžบโžซโœ‡โœ˜โ‘โŠโœ‡โœ˜โžโบโ‚โžคโ„โโœผโžปโ‘กโŠโ‹โพโ‰โฏโ„โโ‡โž„โžโโžผโœ˜โœ‡โœ˜โžฝโฃโ‹ โžธโˆโžพโœฎโ–ฒโœ—โœšโœ™โ——โฝโพโณโชโœโชโž›โฏโคโœšโ˜…โœซโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโˆโณโบโซโœฆโ˜โžšโขโฃโœœโœคโœฃโฌโžชโฌโณโบโœฃโœฆโœฃโกโณโบโซโโžถโฆโœ™โโžนโ–โžนโ–โœฎโœฟโž˜โ‘จโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โžฆโœฎโœฟโžนโœฎโ–ฒโœ—โœฐโœฏโœฑโœ›โžโœฃโกโ˜…โฏโถโโœงโฒโ˜…โ†โœฃโธโœฃโœฆโ˜โโซโดโ™ โ–ฒโคโžดโœฅโผโœœโโœฅโฌโซโดโ™ โ–ฒโœฃโธโคโœšโœœโ†•โตโ†โœœโœคโขโ–ฒโœœโบโตโฉโœงโฒโœฅโœฆโ˜โœฌโœโชโ˜…โ†’โซโฆโœฅโกโณโชโตโผโžทโ™ฆโœœโ–โžŸโ–โ˜…โžฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—qโœตโ–โœ–

โœง

Page 7: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœงโฒโœง ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜›โœžโœŒโ˜žโœŽโœโœโœโœ‘๏ฟฝโœ“โœ’โœ•โœ”โœ—โœ–โœ˜โœžโœ™โ˜ž

โ‘ฉโœ›โœš โ‹โพโ– โโœผโ–ผโ‰โ†โ‘ขโœ“โœœโžคโ„โโœ‡โชโ„โ†•โ‘กโƒโ‹โพโ‘ฃโ‘ฆโœ‡โœ˜โ‰โ†โ‰โโ‡โˆโ‘ขโœขโœœโ‘ โ‚โ…โ‹โจโ‹โœฟโ„โœคโœฃ โ‚โ…โžŒโ™ฃโ‡โฃโ€โŠโ‚โ…โœ‡โœ˜โ€ โ‘ฉโฃโ‘ฉโœตโชโœ—โœšโœ™โœ†โœ›โžโœฃโกโ˜โฏโคโœšโœงโฒโถโโœงโœšโฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซ โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—qโœตโบโœตโœตโชโœ—โœฐโœฏโœดโžƒ โœœโœฉโž€โˆโณโ–โœฃโกโฑโœ˜โ˜…โœฌโœงโฒโฑโชโžขโžคโ˜โ†โœฃโœฆโœงโœšโ˜…โฏโ™ โ–ฒโœฃโœฆโ˜…โž‘โœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—qโœตโ–โžโœตโชโœ— โœณ โžƒ โœœโœฉโž€โˆโณโ–โœฃโกโฑโœ˜โ˜…โœซโซโดโ™ โœ˜โขโˆโ˜โฏโœฃโกโœงโœšโ˜…โฏโ™ โœ˜โœฃโกโ˜… โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฆโœฅโ–โœฎ

โœงโž‹sโœ‰โœผโ–ผโ‰โ†โ‘ขโœ“โœœโžคโ„โโœ‡โชโ„โโ‘กโƒโ‹โœฉโ˜…โœซโœชโŠโ‰โโ‰โœฌโœœโ‘ โ‹โบโ– โ†•โ‹โœฟโ„โ†•โ—โœซโ‚โžคโ„โโ‹โบโ– โœฎโœญโโœ‡โชโ– โโžฝ โœงโœฐโœฏโœฅโœ˜โœ—โœšโœ™โœ†โœ›โžโœฃโกโ˜โฏโคโœšโœงโฒโถโโœงโœšโฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซ โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฆโœฅโœฒโœฑโœฅโœ˜โœ—โœฐโœฏโœดPโ™โ˜โ†โถโโณโ–โฑโ–ฒโซโดโœฅโœฆโœฃโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑ โœโชโ˜…โœณโœฅโ–ฒโœ—โฒโœ™ โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฆโœฅโบโžนโœฅโœ˜โœ— โœณโœตโœดโžโคโœšโ˜โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโซโ™โœโชโ˜…โ†’โœโชโ˜โฏโถโโณโบโฑโ–ฒโซโฆโœฅโกโœฃโกโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœถโœฑโ–โœตโœฅโœ˜โœ— โœฎ โžžโžโณโ–โถโโขโˆโณโ–โœฃโœฆโœฅโœฆโ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโธโ˜…โ†โฑ โž™โ–ฒโณโ–โœฃโกโœงโœธโœทโ†โณโ–โฑโ†”โšโฃโฑโœ˜โœงโฌโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœถโœฑโœนโœฅ

โœ”โชโœ”โชโœ” โœบโโžจโžฃโœโ‘งโถโœชโฃโžซโโขโกโžคโ‘ฆโœกโโ‚โโœ•โฃโœผโœปโžงโœโ‘งโ‘ฆโœกโฆโงโกโคโฃโฅโœโ‘งโกโบโž™โžคโœโžผโฃโžซโžฉโ‚โžชโ†’โžฉโŠโž™โžกโกโ†’โฃโžซโโขโžœโžโžฆโžคโถโœโ‘จโ‘งโฆโ™ฆโ‘ฆโœกโ‘ฉโ˜žโ‘จ โœฝโœขโœธโœฏโœ›โœพ โ‘โŠโ– โโ‡โ–ฒโ‘โžโ‡โฃโ‰โโ‘กโŠโ‘ขโœกโœฟโžโ‹โ–ผโžŒ โ‘โโ‰โ€โœšโžโ‡โž„โžโ–โœ‡โœ‚โœœโงโ‘กโŠโ‘ขโ‘คโ‘ฃโž’โ‘ฅโœฉโ‘ง โโž„โœนโœฑโ–ผโœ—โœšโœ™โ——โฝ โž โœโ‚โžโ˜…โฏโœฅโธโœฅโœฆโ˜…โฏโถโโขโ–ฒโซโธโœโœŸโƒ โœœโ–โœฃโœฆโœฃโ…โ„โฉโœฅโผโซโ‘จโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โžŠโžโœฟโœฏโœฑโ–ผโœ—โœฐโœฏโœฑโœ›โžโœฃโกโ˜โฏโคโœšโœงโฒโถโโœงโœšโฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซโธโซโดโ™ โ–ฒโœฃโธโคโฒโ˜…โœญโœฅโœฆโ˜…โ†โถโโขโ–ฒโซโธโคโœšโณโ–ผโตโ†โœœโœคโค โœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โžŠโžโ–โœฎโœฑโ–ผโœ— โœณ โžƒ โœœโ‡โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โซโดโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโจโœโชโ˜…โœซโคโžˆโœœโœฉโž€โœ˜โœงโœšโตโฏโณโ–โฑโœฟโœฅโœฆโœงโœšโฑโ–ผโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโœฆโ˜โ‘คโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โžŠโžโˆโœฅโœฑโ–ผโœ— โœฎ โ‰ โ˜…โ†โถโโขโ–ฒโซโธโคโœšโณโ–ผโตโ†โœœโœคโคโž„โœโชโ™ โพโฝ โž โœโ‚ โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โžŠโžนโ–โœฎ

โœ” โป โžณ โ‘ฉโ˜žโ‘จโžปโ‘ฆโœ•โž™โžกโ‘จโ†โธโคโฃโžซโฆโ™ฆโ‘ฆtโžธโžกโ‘ฉโ˜žโถโœชโฃโฅโœโ‘งโžบโบโž™โžกโโ™ฃโžฆโพโฆโงโž™โžกโžŸโœฏโžชโžฃโโขโถโžทโžฆโžกโžŸโฅโฆโ™ฆโ‘ฆโœกโโขโถโžดโถโžดโž™โžกโถโฒโžขโ™ฆโžŸโฅโ‘ฉโทโ‘ฆโโฃโฅโœโœทโฆโงโกโžคโกโžฃโ‘ฉโทโœโœทโžŸโฅโโžโถ โœ•โœŸโŠโœ™โ‹โโโ—โโ– โ‘โœพโ–ฒโ– โŠโ‘ โ‡โˆโ‘ข โ– โœฝโ‘กโƒโ‹โ–ผโ‰โ—†โ–ผโœซโ‡โ–โœœโ…โ„โ†โ‹โœฟโ– โ™ฆโ– โ™ฆโœ‡ โœนโ——Pโœฐโœฏ

โžโœ˜โœ—โœšโœ™โ——Pโ™โœงโœธโ˜โœˆโ˜โฏโœฃโกโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โโซโฌโœโชโ˜โฉโšโฃโฑโœ˜โœงโžดโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโธโœโ™โƒ โœงโฒโฑโœฟโœฅโกโ˜โฏโžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜…โ†โซโ™โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โœ–โบโžโžโœ˜โœ—โœฐโœฏโฏโšโœขโ˜…โฏโœฃโผโซโœžโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โœฌโžขโžคโณโบโœฃโœฆโถโ‘จโ™ โœ˜โคโฒโ˜…โœซโœโชโ˜…โฑโ‰โŠโœœโœคโฑโฃโœœโœคโžทโโœœ โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โœ–โบโžนโžโœ˜โœ— โœณโœตโฒโžฅโœ— โณโžซโœ—โœ˜โœฃโกโ˜…โฏโคโžˆโœœโโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โœฌโœœโœคโ™ โจโšโœขโณโบโคโžดโœฅโกโ˜…โฏโœฃโกโœฃโกโœœ โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โ–โœ™โ†โœฎ

โžพโœดโžบโœคโ– โฉโœฃโฉโ– โŠโ‘โžโ‡โฃโ‘ขโƒโ– โ†”โ‘กโƒโ‹โ–ผโ‰โ†•โ—โœซโ—โœซโ‘ฃ โœนโœ˜r โœนโžนโœ˜โœ—โœšโœ™โฌโฒโž‡โฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โโซโงโฑโ–ฒโœœโโœฅโกโ™ โœ˜โœฃโœฆโ˜…โ†โคโฒโคโœšโ˜…โ†โซโœžโขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโฌโœโชโ˜…โ†โซโœžโœ›โžโœ›โžโฝ โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โโœฏโœ˜โœ™โžนโœ˜โœ—โœฐโœฏโฏโฒโž‡โฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โญโณโฌโฑโœฟโœฅโกโœงโœšโตโฏโœงโฒโขโ–ฒโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โœฌโขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโ™โœโœ˜โ˜…โ†โซโœžโถโโ˜…โ†โซโœฆโ™ โœ˜โœฃโกโ˜…โ†โซโธโœœโœคโคโœšโ˜โ†โœœโœคโœฅโœฆโณโบโœงโฒโœฃโกโ˜…โ†โซโงโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โโœฏโ–โœณโžนโœ˜โœ— โœณโœตโฒโž‡โฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โœณโชโ–ผโžทโบโณโ–โž™โœ˜โณโบโœฃโœฆโณโชโœโ†”โขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโฌโœโชโ˜…โ†โซโธโœ› โœ› โฝ โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โฏโœฎโฃโœ™โžนโœ˜โœ— โœฎ โžƒโž„โœงโœšโ˜…โฏโฑโจโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โœซโตโฉโ˜…โโซโœโฒโž‡โฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โโซโž‘โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โฏโœฎโœฟโœณ

โœนโœฒP โžบโœคโ– โซโœฃโ™ฃโ‘ โ‡โฃโ‘ขโƒโ– โœ‰โ‘กโŠโ‹โ–ผโ‰โœฉโ—โœซโ—โœซโ‘ง โœนโ–ผโžธโœˆโ‘ฉโœ™โ†โœ–โœ˜โœ—โœšโœ™ โœ›โžโœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโธโœโชโ˜…โœฌโœ›โŠโณโบโœงโœšโซโกโซโœฆโณโ–โฑโจโ‚โƒโœงโœšโคโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜โž”โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โฏโœฎโ–ผโœตโœ™โ†โœ–โœ˜โœ—โœฐโœฏโดโฒโž‡โฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โ›โตโžฅโฑโฃโœœโโœฅโœฆโ™ โ–ฒโœฃโœฆโ˜…โ†โคโฒโคโœšโ˜…โœโตโ™โขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโธโคโœšโ˜…โฑโ‚โƒโœ› โœ› โฝ โœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โโœตโœ˜โœ™โœ™โ†โœ–โœ˜โœ— โœณโโฒโž‡โฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โœฌโœœโœคโ™ โจโซโœฆโ˜…โฏโฑโ–ฒโซโฌโœโœ˜โ˜…โœณโชโชโžทโ–โณโ–โž™โ–ฒโณโ–โœฃโกโณโ–ผโœโœ‰โœฃโœฆโ˜…โ†โคโœšโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโธโœœโ–โ™ โžโ‚โŠโœ›โžโœ›โžโฝ โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โโœตโœโœฑโœ™โ†โœ–โœ˜โœ— โœฎโ‘คโžƒโž„โœงโœšโ˜…โฏโฑโจโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โœซโตโฉโ˜…โโซโธโœโชโ˜…โฏโ™ โœ˜โญโœ‰โœงโฒโฑโœฟโœฅโกโ˜โฏโžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜…โ†โซโžฆโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โโœตโ–โžนโœ™โ†โœ–โœ˜โœ—โœฐโœตโโณqโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโˆโณโบโซโœžโœโชโ™ โจโขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโœ˜โกโœโขโฃโœโคโ˜Žโœโฆโฅโ˜›โงโˆโ™  โ™ฅโœฌโ™ฆ โ™ฃ q r โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โœฌโœฅโบโœ–โœ™โ†โœ–โœ˜โœ— โœฅ โž“โฌโฑโœ˜โ˜…โœฌโžขโžคโณโบโœฃโœฆโถโ‘จโ™ โœ˜โคโœšโ˜…โœฌโœโœ˜โ˜…โœณโฒ โœฅtsโโขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโฌโœโชโ˜…โโซโœžโžขโžคโณโ–โฑโ–ฒโตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโ˜…โฏโคโœšโคโฒโ˜…โโซโธโตโฉโฟโ–ผโคโฒโœงโœšโฑโ–ฒโœโชโœฃโกโœงโœ‰โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โ†โซโงโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โœฌโœฅโบโœณ

โœนโฃโœนโœŽโœˆโœฝโ€ โ„โ‘ โœ‡โƒโœผโ–ผโ‡โฃโ– โœฎโ‘กโ–ผโžŒโžโ‹โจโ‘กโŠโ‹โพโ„โ‘ฃโ‘ข โ‘ โ‹โ‘ฅโ‘ค โ‚โ…โ– โ™ฆโ‰โโœ‡โœ˜โ€โŠโ‡โœฒโ‘ฆ โœนโ——โœงโœฐโœฏโœ™โ–โœ™โ–โœ—โœšโœ™โ‘งโœดโžโฑโœ˜โณโบโฑโ–ฒโตโฉโ˜โ†’โœโชโ™  โœฅโกโž™โœ˜โ˜โฏโณโบโœฃโœฆโž›โ†โถโœฉโ˜… โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โœฌโœฅโœฒโœฑโœ™โ–โœ™โ–โœ—โœฐโœฏ โž“โฌโฑโœ˜โ˜…โ†’โœœโ–โขโœ˜โขโœ˜โคโœšโœงโœšโตโ†โœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ‘คโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โœฌโœฅโบโžน

Page 8: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜›โœžโœŒโ˜žโœŽโœโœโœโœ‘๏ฟฝโœ“โœ’โœ•โœ”โœ—โœ–โœ˜โœžโœ™โ˜ž โœงโœšโœงโฒโœงโœนโชrโพโœบโœฝโ‘ขโ‘คโ—โœซโ—โœซโ‘ง โœ‡โœ˜โ‘ขโ‘คโ‘ฃโž’โ‘ฅโœฉโ‘ง โœน โœฏโฃโ‘ฉ

โœ™โโœฏโชโœ—โœšโœ™ โปโธโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโฒโœฅโกโœœโœคโœฅโกโซโœžโœ›โžโœฃโกโ˜โฏโคโœšโœงโฒโถโโœงโœšโฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโกโ˜…โ†โซโฌโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โœฎโœฑโ–โœตโœ™โโœฏโชโœ—โœฐโœฏ โžƒโž„โ˜…โœซโœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโฒโœฅโกโœœโโœฅโฌโœโชโ˜…โœซโตโฏโณโ–โฑโ–ผโž…โ–โ˜…โ†โœฃโœฆโžŸโบโ˜…โฏโฑโ–ฒโตโฏโ˜…โœฝโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โœฎโœฑโˆโœฑ

โœนโ–ผโ—†โœฉโœพโœ‰โ€โŠโ€โƒโ‹ โœ โ‹โ–ผโ‰ โœนโ——โโฃโ—†โœ™โ†โœณโœ˜โœ—โœšโœ™ โณโฌโฑโœ˜โฑโ–ฒโ˜…โฉโญโชโ˜…โ†•โœ™โโทโ–ฒโปโธโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโฒโœฅโกโœœโœคโœฅโกโซโธโตโฉโœฃโกโ™ โ–ฒโตโฏโœงโœšโœœโ–โ™ โชโญโœฝโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโธโคโฒโ˜…โโซโœžโขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโœžโนโœฌโœœโ–โ™ โ–ฒโซโกโซโดโœงโœšโ˜…โฏโฑโ–ฒโซโž’โœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โžโบโœณโœ™โ†โœณโœ˜โœ—โœฐโœฏโโณโฌโฑโœ˜โฑโ–ฒโ˜…โฉโญโชโ˜…โžซโœฏโœฝโทโˆโžžโงโœœโœคโคโžˆโตโฉโ™ โœ˜โคโœˆโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœฌPโ™โ˜โฏโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโœฆโถโโœงโœšโฑโœ˜โœงโœšโซโดโœฅโœฆโ˜…โœ โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โžโœฟโœตโœ™โ†โœณโœ˜โœ— โœณโœกโชโ–ผโœงโœšโถโžซโ™ โœ˜โคโžˆโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑ โœโชโ˜…โœฌโœฅโกโœฃโกโœœโœคโฅโฆโ˜…โ†โตโฉโœฅโœฆโณโ–โœงโœšโœฃโกโ˜…โ†โซโœžโž โœญโœ— โ‚โงโœ—qโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โžโˆโœฅโœ™โ†โœณโœ˜โœ— โœฎ โชโ–ผโœงโœšโถโžซโ™ โœ˜โคโžˆโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโธโœโชโ˜…โœฌโœฅโœฆโœฃโผโœœโโฅโฆโ˜…โโตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซ โœ›โโœ— โ‚โžโœ—โ‘จโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โžโบโž

Page 9: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœงโฒโž… ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜›โœžโœŒโ˜žโœŽโœโœโœโœ‘๏ฟฝโœ“โœ’โœ•โœ”โœ—โœ–โœ˜โœžโœ™โ˜ž

Page 10: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœ โœŸโœ โœโ˜›โœก ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœ โœ’โžฆโœโ˜›โœก

โœ™โ–โœ—โœšโœ™โ——โปโธโ˜…โฏโขโ–ฒโœฃโœฆโ˜โโซโดโ˜…โ†โฑโบโœฅโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ‰โžŸโ–โœฃโผโœœโœคโขโ–ฒโž™โœ˜โœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœซโœโชโ˜… โœโœโœ†โœŸโœžโœกโœ  rโ˜žโ˜›โœโœŒโœฒโœโœŽโœ  r โœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—qโœฏโœ˜โœ™โœฏโชโœ—โœšโœ™โ——โปโธโ˜…โฏโขโ–ฒโœฃโœฆโ˜โโซโดโ˜…โ†โฑโบโœฅโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโŠโžŸโ–โœฃโผโœœโœคโขโœ˜โž™โœ˜โœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โซโโœโชโ˜…โœ‘โœโœ“โœ’ โœโœ•โœ”โœ–โœžโœ˜โœ— r โ˜…โฉโœฅโœšโœ™โ˜žโœ’ โœโœ•โœ”โœ–โœžโœ˜โœ— r โžถโ…โตโฉโณโบโฑโœฟโœฅโœฆโœงโœšโฑโœฟโ™ โ–ฒโ˜…โœžโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโœ‘โœ› โœ–โœขโœœโœšโœ™โœคโœฃโžคโž˜โƒโขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃ โœ†โœฆโœฅ

โœง โœ—โœฉโ˜…โœซโœช โžŸโœฟโœœโœคโ™ โ–ฒโตโผโž™โ–ฒโ˜…โžšโ˜…โฏโœฅ โœ†โœฌโœฅ โœง โœ— โœญโœซโœช โœโชโœฃโœฆโณโบโœงโžดโœฅโกโ˜…โ–โœ— โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โžŠโœณโœฟโœฏโœ™โ†โœณโœ˜โœ—โœšโœ™ โ‰ โœฃโผโœœโโฅโฆโ˜…โโตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœฌโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ™โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœญโขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃ โœ†โœฆโœฅ โœง โœ— โ˜… โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โžโˆโœฅโœ™โ†โœณโœ˜โœ—โœฐโœฏโโ‰ โœฃโผโœœโโฅโฆโ˜…โโตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœฌโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ™โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœญโขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃ โœ†โœฆโœฅ โœง โœ— โœฎ โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โžโˆโœฅโœ™โ†โœณโœ˜โœ— โœณ โ‰ โœฃโผโœœโโฅโฆโ˜…โโตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœฌโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ™โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœฌโœœโ™ฆโž…โ–โ˜…โโต โœ†โœฆโœฅ โœง โœ— โœญ โœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โžโœฒโœฑโœ™โ†โœณโœ˜โœ— โœฎโœฐโœฏ โ€ โœ‡โƒโœ‡โœ˜โ‘ขโƒโ„ โท โ‰โƒโœฃโกโœœโœคโฅโฆโ˜…โ†โตโฉโœฅโœฆโณโ–โœงโœšโœฃโกโ˜…โœฉโœโชโ™  โขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœฌโซโดโณโบโ™ โ–ฒโซโดโž†โฒโฅโดโœœโบโตโฉโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฑโœœโˆโ™ โ–ฒโฑ โขโ–ฒโœฃโœฆโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœซโœโชโ˜…โ†•โœ›โโณโบโœงโœšโซโกโซโดโณโบโฑ โœโ™โƒ โœงโœšโฑโชโž†

โœฅโœฆโ˜…โ†โฑโ–ฒโซโดโœงโฒโœฅโœฆโ˜โœณโœฒ โœฅ โœง โœ— โœด โœœโœตโœฏ โ€โœผโœญโŠโœ‡โœ˜โ‰ โทโœฒโ‰ โœฃโผโœœโโฅโฆโ˜…โโตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โฌโœโชโ™ โœฝโœ›โžโœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซ โœโชโ˜…โœญโœ›โโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโณโ–โฑโโšโ–ฒโคโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜โ™โขโฃโœœโœคโœฃ โคโœšโ˜…โœญโฑโœ˜โณโโฟโบโœœโ–โ™ โœโœทโœถโœธโœžโœบโœนโ‘ rโœšโ˜›โœปโœถโœผโœน โœ— โœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœญโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โžโบโž

โœ™โ†โœณโœ˜โœ—โœฐโœตโœฝโœฏ โ€ โœ‡โŠโœ‡โœ˜โ‘ขโƒโ„โœฟโœพ โžฝโฃโœ‡โœ˜โ‘ขโŠโžโœฎโœ‡โƒโ‹ โทโœ˜โ‰ โœฃโผโœœโโฅโฆโ˜…โโตโžฅโœฅโœฆโณโบโœงโฒโœฃโกโ˜…โžปโœโชโ™ โžŠโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœฝโซโœฆโณโ–โ™ โฃโซโฆโž†โœšโฅโดโœœโ–โตโฏโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ€โœœโงโ™ โœ˜โฑโœโขโ–ฒโœฃโœฆโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซ โœโชโ˜…โœ›โโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโณโ–โฑ โœโ™โƒ โœงโฒโฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โ†โฑโ–ฒโซโœฆโœงโžดโœฅโกโ˜โโœฒ โœฅ โœง โœ— โœด โœ—โƒโžƒโž„โ˜…โ†โซโœซโœœโ–โ™ โชโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โ†โซโœฌโžŸโบโœฃโกโœœโ–โขโœ˜โž™โœ˜โœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โซโœฌโœฃโกโ˜…โฏโขโœ˜โœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœญโคโœšโ˜…โ†โซโœซโœฅโœฆโœฃโผโœœโโฅโฆโ˜…โ†โตโฉโœฅโœฆโณโบโœงโฒโœฃโกโ˜…โ†โซโœโชโ˜…โœฌโœ›โžโœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโงโœโœ˜โ˜…โžšโœ›โโณโ–โœงโžˆโซโกโซโดโณโบโฑโ†”โšโ–ฒโคโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜โ†โซโœžโขโ–ฒโœœโ–โœฃโžโคโœšโ˜…โœฌโฑโœ˜โณโโฟโบโœœโ–โ™  โœโœทโœถโœธโœžโœบโœนโœฎrโ˜žโ˜› โœโœทโœถโƒโ‚โœ“โœนโœฎr โœ’โ…โ„โ‡โ†โˆ โœœโ™ฆโž…โบโ˜…โ†โต โ‹โœฟโ€โโœ‡โŠโœ‡โœ˜โ‘ข โ„โ‰โœพโ‘ก โ– โโ‡โˆโ‚โžคโ„โโ‹ โœœ โœ†โœฆโœฅ โœง โœ— โŠ โœœ โ‹โ–ผโ€โโœญโŠโœ‡โ–ฒโ‰โ‰โœพ โžฝโˆโœ‡โœ˜โ‘ขโŠโžโ‘ โœ‡โŠโ‹ โœœ โœ†โœฌโœฅ โœง โœ— โœญ โ˜…โฏโœฅ โ‹โœฟโ€โโœญโโœ‡โœ˜โ‰โ‰โœพ โ‘ก โ– โโ‡โˆโ‚โžคโ„โ†โ‹ โœ†โ‹โœฅโ—โœ” โœ—โœโœ—โœซโœ—โœฌโœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โžโบโž

โœ™โ†โœณโœ˜โœ— โœฅโโœฏ โ€โ‘งโœ‡โŠโœ‡โœ˜โ‘ขโƒโ„ โท โ‰ โœฃโผโœœโโฅโฆโ˜…โโตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœžโœโชโ™ โœฉโขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโœขโซโœฆโณโ–โ™ โฃโซโฆโž†โœšโฅโดโœœโ–โตโฏโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ€โœœโ™ฆโ™ โœ˜โฑโโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโโœโชโ˜…โธโœ›โโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโณโ–โฑโœฉโœโ™โƒ โœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โ†โฑโชโž†โซโดโœงโฒโœฅโœฆโ˜โ– โœฒ โœฅ โœง โœ— โœด โœœโ™ฆโž…โบโ˜…โ†โตโธโœโชโ˜…โโซโžโถโ†•โœœโœคโœฃโ‘ฃโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โซโžโนโœฌโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโดโœงโœšโ˜…โฏโฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ†โซโžโตโฏโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜โฏโ˜…โโซโœขโœฃโกโ˜โ†โœโชโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโœฆโ˜…โโซโฏโœ—โœ–โœฏ โ€ โœญโโœ‡โœ˜โ‰ โœœโœคโœฅโกโœฃโกโœœโœคโฅโฆโ˜…โ†โตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœโชโ™ โจโœ›โžโœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโธโœโชโ˜…โœฌโœ›โŠโณโบโœงโœšโซโกโซโœฆโณโ–โฑโœฝโšโ–ฒโคโžดโœฅโกโœฃโœฆโ˜โœฌโขโ–ฒโœœโ–โœฃโธโคโฒโ˜…โœซโฑโ–ฒโณโโฟโบโœœโœคโ™  โœโœทโœถโœธโœžโœบโœนโ‘ rโœšโ˜› โœโœทโœถโโ‚โ‘โœนโœฎr โœ’โ‡โ„ โ†โˆ โœœโ™ฆโž…โ–โ˜…โโต โœ†โœฆโœฅ โœง โœ— โœญ โœ— โœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โžโบโžน

โœ™โ†โœณโœ˜โœ— โœฑโ–ฒโœฏ โ€โ‘งโœ‡โŠโœ‡โœ˜โ‘ขโƒโ„ โท โ‰ โœฃโผโœœโโฅโฆโ˜…โโตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœžโœโชโ™ โœฉโขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโœขโซโœฆโณโ–โ™ โฃโซโฆโž†โœšโฅโดโœœโ–โตโฏโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ€โœœโ™ฆโ™ โœ˜โฑโโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโโœโชโ˜…โธโœ›โโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโณโ–โฑโœฉโœโ™โƒ โœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โ†โฑโชโž†โซโดโœงโฒโœฅโœฆโ˜โ–ผโœฒ โœฅ โœง โœ— โœง โœ” โœœโ™ฆโž…โบโ˜…โ†โตโœขโœโชโ˜…โโซ โถโ†•โœœโœคโœฃโ‘ฃโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โซโŠโนโœฌโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโœฆโœงโฒโ˜…โ†โฑโœ˜โฑโœ˜โ˜…โ†โซโƒโตโฉโ˜…โ†โฑโบโœฅโกโœฃโœฆโ˜โ†โ˜…โ†โซ โœฃโกโ˜โ†โœโœ˜โ™ โœ˜โœงโžดโœฅโกโ˜…โ†โซโ†โœ—โœฑโœฏ โ€โœซโœญโโœ‡โœ˜โ‰ โœœโฏโœฅโกโœฃโกโœœโœคโฅโฆโ˜…โ†โตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœโชโ™ โจโœ›โžโœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโธโœโชโ˜…โœฌโœ›โŠโณโบโœงโœšโซโกโซโœฆโณโ–โฑโœฝโšโ–ฒโคโžดโœฅโกโœฃโœฆโ˜โœฌโขโ–ฒโœœโ–โœฃโธโคโฒโ˜…โœซโฑโ–ฒโณโโฟโบโœœโœคโ™  โœโœทโœถโœธโœžโœบโœนโ‘ rโœšโ˜› โœโœทโœถโโ‚โ‘โœนโœฎr โœ’โ‡โ„ โ†โˆ โœœโ™ฆโž…โ–โ˜…โโต โœ†โœฆโœฅ โœง โœ— โŠ โœ— โœ—โœซโœ—โž„โœ™โ†โžโบโžน

โž…

Page 11: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โž…โ–ผโœง ๏ฟฝโ–โœโ˜›โœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜Žโœžโœ™โ˜žโœ๏ฟฝโœ“โœ’โœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœขโœ–โœ˜โœžโœ™โ˜ž

Page 12: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ 

โ˜›โœŒโ˜ž โœŒโœโœ’โœŽโœ โœŸ โœ„โœ‘โœโœโœŒโžฆโœŽโœ’โœ โ˜ž

โœ™

Page 13: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux
Page 14: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžƒโฉโƒ โ˜โฉโœฅโœฆโ™ โฃโœโชโ˜…โ†’โœโชโ˜…โœซโขโœ˜โž™โœ˜โ˜โ†โฑโœ˜โณโ–โถโโž›โ†โฑโœ˜โ˜…โ†โซโœžโขโœ˜โž™โ–ผโฟโชโซโœฆโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โโซโœ˜โœœโ–ผโ˜โ†โตโฏโณโ–โฑโœ˜โณโบโถโโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โโซโœžโ˜…โฉโœฅโธโž€โœ˜โœงโœšโณโ–โคโœšโณโ–โžŸโ–โœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โซโœžโตโฏโณโ–โฑโ–ฒโœโชโ™ โ–ฒโœงโžดโœฅโ™โซโœฆโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโฑโœฟโœฅ โœช โœโœ˜โ˜…โ†โซโฌโซโœฆโœงโžดโœฅโกโ™ โ–ฒโœœโโž†โœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโโถโ†•โœœโ–โœฃโœฆโžทโบโณโโž…โœฟโœงโœšโ˜…โฏโฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ†โซโ‘จโ˜…โฉโœฅโœ‰โœโชโณโบโฑโ–ฒโต โœช โœโชโ˜…โ†โซโโถโโณโชโœโชโ˜โฏโคโœšโœงโžˆโซโœฆโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโโขโ–ฒโœœโ–โœฃโ†”โœโชโ˜…โ†โซโ†•โœโœ˜โœง โ˜โœˆโ™ โ–ฒโซโœฆโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโโถโ†•โœœโœคโœฃโกโžทโ–โณโโž…โ–ผโœงโฒโ˜…โ†โฑโœ˜โฑโœ˜โ˜…โโซโฏโœ—โœขPโžšโ˜…โ†โซโโณโ–โ™ โœ˜โœฅโœฆโœงโœšโคโœšโซโœฅโœฆโœฃโกโž›โ†โซโœฌโขโœ˜โ™ โ–ฒโœงโœšโซโกโซโœฆโœœโ–โฑโœฟโœฅโกโซโœฌโณโ–โฑโœฟโœฅโ†’โ˜โฏโœฅโœฆโ˜โ†”โœโชโ˜โ†โž…โ–โ˜…โฏโคโœšโณโ–โขโ–ฒโขโฃโ˜โโซโœซโขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโ†’โœโชโ˜โโตโฉโœฃโกโœงโฒโœฃโกโ˜…โ†•โตโฉโ˜…โ†โซโ†’โถโœฉโณโชโœโชโž›โ†โคโฒโ˜…โโซโœซโฑโœ˜โณโ–โœฅโกโœœโœคโถโโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ†’โคโœšโ˜…โ†”โตโฏโœœโ–โคโœšโตโฏโ™ โœ˜โคโœ™โชโœฟโœฅโกโณโ–ผโตโผโž™โฃโœœโ–โซโดโœฅโœฆโœงโœ‰โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โœโชโ˜…โ‡โฒ โœฅtsโฃโœ—โƒโžžโžโ˜…โฏโขโˆโ˜…โฏโฑโ–ฒโœโœ˜โœœโ–โฑโœฟโœฅโœฌโขโ–ฒโคโฒโ™ โ–ฒโซโœฆโœงโœšโ˜…โฏโ™ โœ˜โœฃโผโซโœฌโซโดโœงโฒโœฅโœฆโ™ โ–ฒโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโœญโคโžˆโœœโœคโœงโžˆโซโœฆโซโœฆโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฌโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โฏโž…โบโณโ–โœงโœšโœฃโžšโคโœšโ˜…โ†โซโœฌโคโœšโœงโœšโถโœฉโœงโฒโœฅโœฆโ˜…โโซโœซโœโชโ˜…โ†•โตโฉโ˜…โโซโœฌโถโœฉโณโชโœโชโž›โ†โคโฒโ˜…โโซโฏโœ—โž„โžƒ โ˜…โ†โซโœญโ˜…โฉโญโชโขโˆโ˜โฉโž†โœฃโœฆโœงโœšโ˜…โฏโฑโฃโตโฉโ˜…โ†โซโœซโœโœ˜โ˜…โ†”โž‚โ™โœœโœคโœฃโกโณโ–โคโžˆโœโœ๏ฟฝ โœโชโžกโธโœงโœšโฑ โž‚โœ„โœ‚โœ˜โœฃโผโซโฆโœฅโœ‰โžถโดโœ™โ†โžโ–โžโบโœ–โโž†โผโœ™โ†โžนโœฒโœฑโโžโบโž˜โœณโœ› โœฑโœคโœณ โœฃโงโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโœซโคโœšโ˜…โ†•โฑโœ˜โœงโฒโž…โบโ˜…โ†โœœโ–โ™  โœโชโ™  โžชโ™โœงโฒโคโžโณโ–โฑโœฟโœฅโœซโถโœฉโœงโžˆโซโœซโ˜…โ†โฑ โ˜โ†โž…โ–ผโœงโœšโœโชโ˜…โ†โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โ†•โ™ โ–ฒโฑโขโœ˜โž™โœ˜โ˜โ†โฑโœ˜โณโ–โถโโž›โฏโฑโ–ฒโ˜…โ†”โฑโœ˜โณโ–โฑโœ˜โž† โซโดโœฅโกโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ–โœ—โƒโž‚โ˜Žโœ‚โœ˜โœฃโผโซโฆโœฅโœฉโœงโฒโฑโœฟโœฅโกโœฃโœฆโณโชโœโชโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโžซโคโžˆโœœ โฑโœ˜โณโ–โœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโžโœโชโ˜… โœโชโ˜โฏโขโˆโ˜…โฏโฑโฃโœโœ˜โœœโœคโฑโ–ฒโตโฏโ˜… โœช โคโœšโณโ–โฑโ–ฒโžŸโจโœฅโœฆโ˜…โฏโœฃโกโถโโ˜…โœ‰โ˜…โฏโœฅโœฉโœโชโ˜โ†โž…โ–โ˜…โฉโž†โคโฒโณโบโขโœ˜โขโˆโ˜…โžšโœโชโ˜…โโซโžโœฅโกโ˜…โ†โตโผโž™โœ˜โฑโœ˜โœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โซโงโœโชโ˜…โœฌโตโฏโœœโ–โœฃโกโœœโบโตโžฅโœฅโœฆโ˜โ†โœฃโœฆโœงโžˆโซโกโœœโโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โœ—โ–โฝ โœœโœคโฑโฃโœโชโ˜…โฏโคโœšโž€โœ˜โœฃโกโณโœคโœฅ โ˜…โฏโœฅโœžโซโœฆโ˜…โ†โซ โœฅโœฆโœฃโผโœœโ™ฆโž…โโœœโœคโ™ โชโญโโ˜…โฏโฑโ†•โšโฃโฑโ–ฒโœœโœคโฑโ–ฒโตโฏโ˜…โžšโถโโ˜…โฏโœฅโ€โœœโœฟโคโฒโ™ โœ˜โœง โœœโ–โ™ โ–ฒโซโœฆโซโœฆโœง โœœโบโ˜…โ†โฑโ˜โฏโž…โ–ผโœงโžˆโœโชโ˜…โฏโฑโ–ฒโตโฏโ˜…โœฌโคโœšโœœโœฉโœโชโ˜โฏโขโˆโ˜…โฏโฑโฃโœโœ˜โœœโœคโฑโ–ฒโตโฏโ˜… โœช โคโฒโณโบโฑโœ˜โžŸโžซโœฅโกโ˜…โฏโœฃโกโถโโ˜…โ–โœ—โ——โฒโž‡โค โขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโˆโณโบโซโœฆโ˜…โžšโ˜…โ†โฑ โœ™โ†โžน โœฅโบโžโ†’โ™ โœ˜โฑโจโถโโณโชโœโชโž›โฏโคโœšโ˜…โ†’โนโœฌโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโœฆโœงโฒโ˜…โ†โฑ โœช โœœโ–โตโ†โตโฉโœฃโกโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโผโซโœช โœโœ˜โ˜โฏโขโˆโ˜…โฏโฑโ–ฒโœโœ˜โœœโ–โฑโ–ฒโตโฉโ˜… โœช โคโœšโณโ–โฑโœ˜โžŸโ‘จโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโœฆโถโโ˜…โโทโชโคโฒโ˜…โœฌโถโโณโ–โ™ โ–ฒโž…โ–โ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโธโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโ–ฒโœงโฒโ˜…โ†โฑโ†”โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ‘จโžถโ‘ โœโชโ˜โฆโฅ โœช โœโชโ˜โฏโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโž„โœโœ˜โœœโ–โฑโ–ฒโซโœžโคโฒโ˜…โโซโธโœœโœคโฑโœ˜โฑโ–ฒโ˜โฏโ˜…โ†โซโœฎโบโœ–โœซโขโฃโœœโœคโœฃโœโœ†โ™โณโบโคโฒโถโโณโ–โžŸโบโณโ–โœฃโกโณโโž…โ‰โœ› โžโบโœ– โœฃโžคโž˜โžโ˜…โฏโœฅโžโ˜…โฏโฑ โœโชโณโ–โฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ™โคโœšโ˜…โ†โซโžโขโœ˜โœฃโกโœงโฒโฑโ–ฒโตโฏโœงโฒโขโฃโœœโœคโคโœšโ˜…โ†โซโžโขโ–ฒโœฃโœฆโณโบโขโœ˜โœฃโœฆโœงโœšโ˜โฉโœฅโกโ˜โ†โซโ…โœ› โžนโบโœณ โœฃ โœ—โชPโžšโž›โ†โซโžโคโฒโณโบโœฃโกโซโ€โœœโบโœโœ˜โ˜…โžšโขโœ˜โคโœšโ™ โ–ฒโซโžโ˜…โฏโฑโ†”โขโ–ฒโคโฒโ™ โ–ฒโซโœžโœโชโ˜…โœโชโณโ–โถโ†•โœœโ–โœงโฒโฑโœ˜โ˜…โโซโœ˜โœœโœ˜โœโœ˜โ˜โ†โซโœฆโœงโฒโœฃโกโ˜…โฏโ™ โชโญโจโœโชโ˜…โžซโซโœฌโƒ โœœโœนโ˜โˆโœฃโผโœœโœคโฑโฃโตโผโž™โœ˜โœงโฒโœฃโธโœโชโ˜…โžซโคโœšโœœโโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโ–ฒโœฃโœฆโœงโœšโ˜โฉโœฅโกโ˜โœฌโœโœ˜โ˜…โžซโฝ โœœโœคโœฃโกโžทโ–โณโโž…โ†•โ˜…โฏโœฅโžšโœโชโ˜…โœซโค โƒ โœงโœšโฑโ–ฒโœโชโ˜โ†โขโฃโ˜…โ†โฑโ–ฒโœโœ˜โœœโ–โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โžซโœโœ˜โ˜…โ†โซโฌโœœโบโตโฏโตโฉโœฃโกโณโ–โœงโžˆโซโดโž†โซโดโ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโซโธโœโชโ˜โ†โž…โ–โ˜…โ†โคโฒโณโบโขโœ˜โขโฃโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโธโœโœ˜โ˜…โ†โซโœžโถโโณโชโœโชโž›โฏโคโœšโ˜…โ†โซโฌโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโ–ฒโซโžโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ†โซโ†โœ—โžƒโž„โ˜…โโซโธโœฅโœฆโœฃโผโœœโโฅโฆโ˜…โโตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซโฌโœโชโ™  โถโโณโ–โ™ โ–ฒโž…โ–โ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโœฌโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑ โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โœซโขโœ˜โœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโžšโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโœฆโœงโƒโž€โˆโ˜…โ†โœœโ–โ™ โ–ฒโตโฉโณโบโ™ โœ˜โข โœโ™โƒ โœงโฒโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โ†โœฃtโ„โฏโœฅโžšโ˜…โ†โฑโœงโฒโถโ†•โœœโ–โžŸโ–โ˜…โฏโœฃโกโœงโœšโ˜…โœญโœโชโ˜…โ†’โซโœฆโฟโ–ผโฑโœฟโœฅโœฆโž™โœ˜โž›โโซโดโ˜…โœญโ˜…โฉโœฅโฌโ˜…โ†โฑ โœงโœšโถโ†•โœœโœคโžŸโบโ˜…โฏโœฃโกโœงโฒโ˜…โœญโถโโ˜โ†โœโชโœงโžˆโตโฏโœœโ–โคโฒโ˜…โœฌโขโ–ฒโœœโ–โœฃโธโคโฒโ˜…โ†โ™ โœ˜โœฃโฌโตโฏโœœโ–โœฃโกโœœโบโตโžฅโœฅโœฆโž›โ†โœฃโœฆโ˜…โœฌโœœโœคโ™ โœ˜โœฅโœฆโณโœคโž†โž‡โซโœฆโœงโฒโถโโœงโœšโคโœšโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜… โœ› โžนโบโœฏ โœฃ โœ—

โžƒโž„โ˜…โ†โซ โ˜… โ˜โœˆโณโ–โœฃโœฆโœฅโกโซ โขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃ โžขโ…โœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜… โœโชโ™ โžซโถโœฉโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโƒโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโ–ฒโœงโฒโ˜…โ†โฑโžšโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœขโ™ โœ˜โฑโžซโถโœฉโณโชโœโชโž›โ†โคโฒโ˜…โžโขโœ˜โœฃโผโœœโโœฅโœฆโœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜… โœช โ™ โœ˜โœฅโœฆโœงโœšโคโฒโœงโžˆโซโดโ˜…โ†โœฃ โณโบโฑโบโœฅโ˜โฉโœฅโกโ˜โœญโตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโœฆโœงโœšโœโœ˜โ˜โฏโœฃโผโœœโœคโž€โœ˜โคโœšโ˜…โ†โซโงโœโชโ™ โœ˜โœฃโผโœœโœคโฑโœฟโœฅโธโตโฉโ˜…โ†โซโœžโœโชโ˜…โ†โœฃโœฆโฑโ–ฒโœงโฒโž›โ†โœฃโœฆโ˜…โโซโงโœœโ–โฑโœ˜โฑโœ˜โ˜โ†โ˜…โ†โซโ†โœ—โ–ผPโœญโœœโœคโฑโฃโซโงโตโฏโ˜…โฉโœฅโœฆโœฅโœฆโ˜…โœญโœฅโœฆโž™โœ˜โž›โโซโดโ˜…โœญโฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโธโœœโœคโž€โˆโณโ–โœฃโผโœโชโ˜…โฏโœฃโกโณโ–โฑโฃโซโžโคโœšโ˜…โœญโถโโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโจโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โžซโซโœฆโณโ–โ™ โฃโซโฌโขโœ˜โคโœšโ™ โ–ฒโซโœฆโœงโฒโ˜…โ†โ™ โœ˜โœฃโกโซโœญโœœโœคโฑโ–ฒโžŸโ–โคโœšโ˜…โ†โซโ‘จโทโˆโœโ™โƒ โœœโœคโž€โˆโณโ–โœฃโผโœโพโ˜…โ†โฑ โœฅโœฆโ˜…โ†โถโโขโ–ฒโซโ˜Žโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฉโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœ˜โœœโฃโขโœ˜โ™ โœ˜โœงโžˆโซโœญโ˜…โฏโฑโพโœฅโกโ˜…โฏโœฃโกโถโœฉโ˜…โœโชโ˜…โœฌโถโโณโ–ผโœโœ˜โž›โฏโคโœšโ˜…โœซโ˜…โฏโฑโœฝโœฅโœฆโ˜โฏโคโœšโ˜โ†โตโฏโณโ–โถโโถโžซโ™ โ–ฒโฑโœ˜โœงโœšโตโ†โœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโฏโœ—โœž๏ฟฝ โฑโ–ฒโซโดโ™ โ–ฒโœงโžดโœฅโกโ˜… โœœโœ˜โฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโœžโฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโœžโœงโฒโฑโœฟโœฅโกโ˜โฏโœฃโกโ˜…โ†โซโกโซโดโ˜…โ†โœฃโœฆโณโบโฑโ–ฒโซโœžโœœโœคโ™ โชโญโœ‰โขโ–ฒโœฃโœฆโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœžโœโชโ˜…โญโšโœขโณโ–โคโฒโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโœฆโœฃโผโœœโœขโœœโžŸโ–โ˜โ†โฑโœ˜โ˜โฏโœฃโผโœœโœคโคโœšโœงโœšโซโกโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ‰โœโชโ™ โจโถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโฌโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโ–ฒโœงโฒโ˜…โ†โฑโ†”โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜… โœœโ–ผโ˜…โฉโœฅโ™โœโœ˜โ˜โฉโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโžˆโซโธโขโ–ฒโœœโ–โœฃโœฌโทโœŸโœกโœ โ˜žโ˜›โœŒ โœฅโœŽโœ โœŒโ™ฅ โœ โœโœทโœถโœธโœžโœบโœนโœฎrโœ‘โœ โœ โœ“โœ’โœ•โœ” โœถโœ—โœ–โœ™โœ˜ โœง โœžโœ›โœšโœขโœœโœคโœฃโณโœฆโœฅ โœ  โ˜…โ†โซโดโœฅโžซโ™ โœ˜โฑ โถโโณโ–โ™ โ–ฒโž…โ–โ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโžซโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑ โซโฆโœฅโผโœœโœคโฑโ–ฒโœโœ˜โœœโ–โœฃโกโœโž„โœ—โœง๏ฟฝโžโฑ โฑโœ˜โณโ–โ™ โฃโซโœซโœงโฒโฑโฃโซโดโขโœ˜โœงโœšโœฃโผโœœโœคโฑโœฟโœฅโžซโœโชโ˜…โ†โซโœซโœฅโœฆโ˜…โ†โตโผโž™โ–ฒโฑโœ˜โœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โโซโœซโ™ โชโœฅโกโœงโฒโคโœšโœงโœšโซโœฆโ˜โฏโ˜…โโซโœซโขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโœโชโ˜โฉโšโฃโฑโœ˜โœงโฒโœฃโœซโ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ†•โฑโœ˜โณโœคโœฅโกโœงโฒโณโบโฑ โœโœŸโƒ โœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โโœœโœคโฑโœฟโœฅโกโœงโœšโตโฏโœงโฒโขโ–ฒโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โœฉโขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโ†’โตโฉโ˜…โโซโœฌโขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโœ˜โœœ โฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโœซโœœโœคโคโœšโคโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโœฌโตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโœฆโœงโœšโœโชโ˜โ†โœฃโœฆโ˜…โ†โœฃโœซโœโชโ˜…โ†โซโœฌโขโœ˜โœฃโกโณโœคโž†โตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโโœโชโ˜…โจโœ›โโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโณโ–โฑโ–ฒโซโ‡โ‚โŠโœงโœšโคโžดโœฅโกโœฃโœฆโ˜โโซโœ˜โœœโœขโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœฉโœโชโ˜โฉโšโ–ฒโฑโ–ฒโœงโœšโซโโขโ–ฒโœœโ–โœฃโ†•โคโœšโœœ โœฃโกโ˜…โฏโคโžˆโœœโโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โตโฉโœงโฒโž† โœโœ˜โ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโœฉโ˜…โ†โฑ โœฃโกโ˜…โฏโถโโขโœ˜โคโžˆโœœโœฆโ˜…โ†โœœโœคโฑโœฟโœฅโ‘จโคโœšโ˜…โจโถโโณโ–โ™ โชโž†โž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโœญโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโ–ฒโœงโฒโ˜…โ†โฑ โขโ–ฒโœœโœคโœฃโœฌโ™ โœ˜โฑ โขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโžšโœโชโ˜…โœฉโœ›โโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโณโ–โฑโžปโถโโœœโ–โœฃโ…โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜โบโœ— โžžโžโ˜…โ†โซโžšโขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโ™โžขโžคโณโ–โฑโœฟโœฅโœฌโค โƒ โณโ–โž€โœ˜โฅโฆโ˜…โฉโœฅโœซโœโ™โƒ โ™ โ–ฒโฑ โžŸโบโœฃโกโœœโ–โฑโ–ฒโœโœงโฒโฑโœฟโœฅโกโ˜โฏโœฃโ…โ„โฉโœฅโ†•โตโฉโณโ–โถโโถโโ˜…โจโถโโณโ–ผโœโœ˜โž›โฏโคโœšโ˜…โ†โซโโœโœ˜โœœโœคโฑโฃโซโ†•โœโชโ˜…โ†โซโโœโชโณโบโถโโœœโ–โœงโฒโฑโ–ฒโ˜…โ†โซโ‘จโœฅโœฆโœฃโกโž›โ†โซโœฉโž…โโœœโœคโœฃโกโœงโฒโ˜โโซโโตโฉโณโ–โถโโถโโ˜…โจโ˜…โฏโฑโ™ฅโขโœ˜โž™โ–ผโฟโ–ผโซโœฆโœงโœ‰โ†โบโ™ โ–ฒโ˜… โœœโœขโ˜…โฏโฑโ™ฅโž€โœ˜โœงโœšโณโ–โคโœšโณโ–โžŸโ–โœงโœšโ˜… โžถโžคโž…โ–โณโบโœงโฒโœฃโœ›โฒโœ™โโœณโบโœตโœตโœœโž„โžนโˆโœฅ โœœโโœ™โ†โœ–โ–โžน โœฃโโ˜…โฏโœฅโœญโคโœšโ˜…โฏโ™ โ–ฒโœฃโกโซโœญโœฃโกโ˜โฉโžขโžคโ˜โฏโœฃโกโ˜…โฏโฑโฃโตโฉโ˜…โ†โซโผโž˜โžฅโœ—โœชโœฉโžšโฑโžปโขโˆโ˜…โฏโ™ โœ˜โœฅโœซโœœโ–โ™ โ–ฒโซโกโซโดโœงโœขโตโฉโœงโฒโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโœฌโคโฒโ˜…โโซโœญโœœโ–โขโœ˜โขโœ˜โคโœšโœงโœšโตโ†โœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโ™โ˜…โ†โฑ โœœโบโซโœฆโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโผโœœโœคโฑโ–ฒโตโฏโ˜… โœ› โœณโœคโœฎ โœฃโœขโ˜…โฉโœฅโœซโ˜…โ†โฑโšโ–ฒโฑโ–ฒโœœโ–โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โ†•โž…โบโณโ–โœงโœšโœฃ โœ› โœฏโœโœฑโœตโœœ โœ™โ™ฆโœฏโœคโœณ โœฃโงโขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโžซโ™ โ–ฒโฑ โœฃโœฆโ˜โโซโดโ™ โœ˜โถโโ˜โ†”โœโชโ˜…โโซโžซโœœโ–โขโœ˜โขโœ˜โคโœšโœงโœšโตโ†โœœโโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโฃโซโ†’โœโœ˜โœœโœคโฑโฃโซโžซโตโฉโ˜…โœฝโœโชโณโ–โถโ†•โœœโœคโœงโœšโฑโœ˜โ˜…โบโœ—โœกโœฉโžšโฑ โขโฃโ˜…โ†โ™ โชโœฅโœฉโตโฏโœงโžดโœฅโกโ˜…โฏโœฃโœฉโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโดโœงโคโฒโ˜…โโซโ†•โœฅโกโœฃโกโœœโ™ฆโž…โโœœโœคโ™ โœ˜โญโ™ฅโœโชโ˜…โœโœ†โœซโœ‚โ–ฒโž™โœ˜โฑ โœ› โžโบโœณ โœฃ โ†โœฟโ™ โœ˜โœงโœญโซโดโ™ โ–ฒโžŸโ–โžŸโ–โž›โ†โœฃโœฆโ˜… โœโœ˜โ˜… โœฃโœฆโ˜…โ†โขโœ˜โœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโ†•โค โƒ โ˜โฏโž…โบโณโ–โคโœšโ™ โชโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโž‘โœโชโ™ โ‘คโขโ–ฒโœฃโœฆโœงโฒโญ โœโœ˜โ˜…โžปโตโฏโœœโ–โขโœ˜โœงโžดโœฅโผโœœโœคโ™ โชโญ โขโ–ฒโœœโ–โœฃโ†”โคโฒโ˜…โขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโœญโœฌโœฏโœฎ โœŒ โœฅโœฑโœฐโœณโœฒโœฆโœดโœขโœ โœ  โœŒโœถโœตโœธโœทโœญโœŒ r โœ” โœถโœญโœ–โœบโœนโœผโœป โœœโ™ฆโž…โบโ˜…โ†โต โœ  โ™ โ–ฒโฑ โถโโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโœฌโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโฒโ˜…โ†โฑ โซโดโœฅโกโœœโ–โฑโ–ฒโœโœ˜โœœโœคโœฃโผโœ โ˜…โฏโœฅ โœท โ™ โ–ฒโฑโœฝ โซโœฆโž™โœ˜โณโ–โœฅโดโž† โฑโœ˜โณโ–โœงโžˆโซโดโ˜…โœฟโœพโ™โžถโžคโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโƒโœโœ˜โ˜…โžโœ›โโณโ–โœงโžˆโซโกโซโดโณโบโฑ โ‚โŠโœงโฒโคโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜โงโœโœ˜โ˜… โšโ–ฒโคโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โ–ผโœ โœโœทโœถโœธโœžโœบโœนโœฎrโœšโœฅโโ€โ™โœโœŽโœถ โ‚ โœนโœฎr โž˜โฉโœ—โœฏโœฉโžšโฑโ‘จโขโฃโ˜…โ†โ™ โชโœฅโœขโ˜โฏโžŸโœฟโœœโœคโคโœšโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโƒโ˜โ†โž…โ–โณโ——โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โฏโœฃโคโฒโ˜…โโซโžโœฅโœฆโœฃโผโœœโ™ฆโž…โ™ฆโœœโ–โ™ โชโญโ†”โœโชโ˜…โœฌโž โžโ˜…โ†โฑโ–ฒโœœโ–โซโกโซโœฆโœงโœโœœโ–ฒโžžโžโณโ–โž™โ–ฒโ˜…โฏโฑ โœœโœฒโฒโฆโซโดโœฅโกโœœโ–โซ โœ› โžน โœฃโœŸโ†โœฟโ™ โœ˜โœง โณโ–โฑโœฟโœฅโœžโœงโฒโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโณโชโœโชโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโงโ™ โ–ฒโฑโœฝโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโงโœœโœคโฑโ–ฒโœœโ–โคโฒโณโบโžŸโ–โ™ โœ˜โ˜…โฌโ˜…โ†โฑโœฝโขโฃโœœโœคโœฃโœฆโœฅโกโœœโœคโฑโœฟโœฅโœžโœโชโ˜…โ†โซโœฃโœฆโ˜…โ†โขโœ˜โœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโžโž™โ–ฒโœœโœคโœฃโกโถโโณโ–โฑโœ˜โœงโžˆโซโกโœœโœคโž€โœ˜โคโœšโ˜…โžšโ˜…โฏโœฅโฌโถโโณโโฟโ–โ˜…โฏโฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โžšโถโโณโบโž€โœ˜โœงโฒโคโœšโ˜…โ–โœ—

โœณ

Page 15: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœฎ ๏ฟฝโœ โƒ โœฃโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ”โœŸโœ•โœโœŒโœŸโ˜›โœ–โœ˜โœ—โœšโœ™โœ›โœโœขโœœโœฃโœโœ โœ–โœ˜โœคโœ โœโœฅโœœโœฃโœโœงโœฆโœฉโ˜…โœšโœชโœซโœ—โœฌโœโœฅโœญโœฎโœฆโœ“โœฏโœ›โœโœงโœฆ โœฐโœฑโœ—โœฌโœ’โœ โœฒโœณโ˜…โ˜›โœฏโœ›โœโœ โœฆโœตโœดโœฆโœŽโœ’โœ โœฏโœ›โœ—โœถโœโžƒโž„โ˜… โžโœฎโœ‡โŠโœ‡โชโ‘โโ‚โžคโ„โฏโ– โโ‹ โœน โœฃโœฆโ˜…โโตโฉโ˜…โฏโฑโฃโซโดโ˜…โฌโคโœšโ˜…โ†โซ โขโœ˜โœฃโกโœงโฒโฑโ–ฒโตโฏโœงโฒโขโฃโœœโœคโคโœšโ˜…โ†โซโžโขโœ˜โœฃโœฆโณโบโขโœ˜โœฃโกโœงโฒโ˜โฏโœฅโœฆโ˜โ†โซ โœโชโ™ โœ‰โถโโณโ–โ™ โ–ฒโž…โ–โ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโงโž โžโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ–โœ— โœฉโžšโฑ

โœงโฒโฑโฃโซโดโœงโžˆโซโฆโœฅโกโ˜…โžซโœโœ˜โœœโ–โฑโ–ฒโซโธโคโœšโ˜… โžโœฎโœ‡โƒโœ‡โชโ‘โโ‚โžคโ„โ†โ– โโ‹ r โซโดโ™ โœ˜โœฃโœญโœโชโœงโœธโ˜โˆโ˜โ†โœฃโœฆโ˜…โ†โฑโบโœฅโกโ˜…โ†โซโ™โถโโœœโ–โฑโœ˜โœงโœšโž›โฏโœฃโกโ˜…โ†โซโฌโœโชโ˜…โ†’โžขโ…โœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœซโคโœšโ˜…โ†’โคโœšโœงโฒโ˜…โ†โฑโพโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โ†’โถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ™โž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโฒโ˜…โ†โฑโžขโžคโœฃโกโœœโบโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโกโ˜…โ†”โ˜…โฉโœฅโ†•โถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโโž โžโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโžโณโบโœฃโกโœโœ˜โœงโฒโฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ†”โ˜…โ†โฑโ™ฃโœฅโกโ˜…โฏโœฃโกโถโœฉโ˜…โโซโ‘จโœโœ˜โ˜… โœฃโกโ˜…โฏโขโ–ฒโœฃโœฆโ˜โโซโดโ˜…โ†โฑโบโœฅโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโ†’โœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โโซโฏโœ—โœขโžžโžโ˜…โ†โซโœฃโœฆโ˜…โ†โขโœ˜โœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโžšโซโดโณโบโฑโบโœฅโœซโœโชโ˜…โโซโžšโขโ–ฒโœฃโœฆโณโบโขโœ˜โœฃโœฆโœงโœšโ˜โฉโœฅโกโ˜โ†โซโœญโตโฉโคโœšโ˜โ†โซโœญโตโฏโœœโ–โœฃโœญโ˜…โ†โคโฒโคโœšโ˜…โ†โซโœญโขโˆโ˜…โฏโœฃโกโถโโ˜…โฉโœฅโดโœฅโกโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ€โœœโž„โœโ–ฒโœœโœคโฑโ–ฒโซโœญโตโฉโ˜…โ†โœฃโดโœฅโผโœœโœคโœงโœšโฑโ–ฒโซโœฌโตโฏโœœโ–โซโ€โœœโœˆโœโชโ˜…โ†•โœโชโ˜โ†โœโชโ™ โ–ฒโœงโฒโœฃโกโ˜…โœฉโœโœ˜โ™ โถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโžซโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโ–ฒโœงโฒโ˜…โ†โฑ โณโบโœฃโกโœโชโœงโœšโฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ†•โœโชโ˜…โ†โซโœซโขโ–ฒโœฃโœฆโณโบโขโœ˜โœฃโœฆโœงโœšโ˜โฉโœฅโกโ˜โ†โซโœซโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโžซโซโœฆโณโ–โฑ โž™โœ˜โณโบโถโœฉโณโบโคโฒโณโบโžŸโ–โ™ โœ˜โ˜…โœฉโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ–โœ—โƒโžƒโž„โ˜… โžโœฎโœ‡โƒโœ‡โœ˜โ‘โŠโ‚โ…โ„โฏโ– โโ‹โ—† โ˜…โโซโฆโœฅโœฉโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โœฝโขโœ˜โœฃโœฆโ˜โโซโดโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโกโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโžโœโชโ˜…โ†โซโžซโœฅโœฆโœฃโผโœœโ™ฆโž…โโœœโœคโ™ โชโญ โœโชโ˜…โžโ‰โƒโœœโˆโ†โœโ†โœฟโ™  โœ›โœšโœ™โโœฏโ–โžน โœฃโœžโ˜…โฉโœฅโœฉโœœโžปโขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโœฉโณโ–โž€โชโฅโฆโ˜…โโตโžฅโœฅโœฆโœงโฒโžขโ™โœโชโ˜… โถโโ˜…โฉโœฅโดโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โœฝโ˜…โฏโฑโžโ˜โ†โž…โ–ผโœงโœšโœโชโ˜…โ†โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โคโฒโ˜…โ†’โœโœ˜โณโ–โถโ†•โœœโœคโœงโœšโฑโœ˜โ˜…โ†’โœโ™โƒ โœœโโœฅโœฆโœฅโœฆโœฃโผโœœโ–โตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑ โœโœ˜โ™ โพโถโœฉโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโฌโž โžโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโœฝโžขโžคโœฃโกโœœโบโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโกโ˜… โœœโœ˜โตโœนโƒ โ˜…โ†โซโดโœฅ โœช โœโชโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœซโคโœšโ˜…โ†โซโ™โตโฉโณโ–โฑโฃโœโชโœงโžดโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโฌโซโœฆโณโ–โ™ โ–ฒโซโคโฒโ˜…โโซtโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โคโฒโคโœšโ˜…โ†โซโฌโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โ‘จโซโœฆโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโœฆโ˜…โžซโœโœ˜โ˜…โžซโž…โโœœโœคโœฃโกโœงโœšโœœโ–โž€โœ˜โคโœšโ˜…โ†โซโฌโœœโ–โคโฒโ˜โโœœโโœฅโœฆโณโบโœงโฒโœฃโกโ˜…โ†โซโธโตโฏโณโ–โฑโ–ผโž…โ–โ˜…โ†โฑโ–ฒโœœโœคโž€โ–ฒโคโฒโ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโฌโฑโœ˜โณโ–โœฃโกโถโ†•โœœโœคโคโœšโœงโœšโซโœฆโ˜โฏโ˜…โโซโฌโตโฉโณโบโฑโœฟโž…โบโ˜…โฏโœฃโกโžŸโ–โ˜…โœฌโž…โ–โ˜…โ†โœฃโกโซโฌโ™ โœ˜โฑโพโถโโณโ–โ™ โชโž†โž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโธโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโ†”โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โบโœ—๏ฟฝโœโœธโœท โœน โœโœ†โ˜žโœŽโœบโœงโœ™โœ›โœโœปโœชโœผโœ—โœถโœโœฝโœญโœฎโœฆโœŽโœฏโœพโœโœงโœฆโœฟโœฐโœฑโœ—โœฌโœ’โœ โœฒโœณโ˜…โ˜›โœฏโœ›โœโœ โœฆโœ“โœฆโœ“โœ’โœ โœฏโ€โœ—โœฌโœโœซโœโœงโœฆโœ›โœ—โœซโœกโœงโœ™โœ›โœกโœงโœฒโโœโœฉโœœโ‚โœœโœšโœ–โœŽโœฆโœ“โœฏโœ›โœฒโƒโœ’โ„โ˜…โ˜›โœฏโœ›โœโœ”โœฆโœŽโœŸโžƒโฉโƒ โœงโฒโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโณโชโœโชโ™ โ–ฒโตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ†”โœโชโ™ โ†”โถโโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโžโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโ†•โ˜…โ†โฑโโœฅโœฆโ˜โ†โคโฒโ˜โโตโฉโณโ–โถโโถโ‘จโ™ โœ˜โฑโœ˜โœงโžˆโตโฏโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโžโ˜…โโซโฆโœฅโงโถโโณโœคโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜โ†โ˜…โฌโขโ–ฒโœœโ–โœฃโžโคโฒโ˜…โโซ โถโโ˜…โโซโดโ™ โœ˜โœฃโกโ˜…โ†โซ

โžขโ…โœœโœคโœงโฒโœฅโœฆโ˜…โโซโœ˜โœœโชโขโœ˜โœฃโกโœงโœšโฑโ–ฒโตโฉโœงโœšโขโ–ฒโœœโœคโคโœšโ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโœฑโœœโชโขโ–ฒโœœโœคโœฃโฌโœโœ˜โ˜…โ†โซโฌโตโผโž™โœ˜โ˜…โ†โœฃโกโตโผโž™โ–ฒโ˜…โฏโ™ โœ˜โœฃโผโซโžโœโœ˜โ˜…โ†’โž โžโ˜…โ†โคโฒโคโžˆโตโฉโณโบโœฃโœฆโ˜…โœฌโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโธโคโฒโ˜…โโซโœžโœฅโœฆโœฃโผโœœโœคโฑโฃโซโฆโžขโžคโ˜…โ†โœฃโดโœฅโผโซโงโœโœ˜โ˜…โ†’โœโชโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโ˜โฏโ˜…โ†โซโธโœโ–ฒโœœโœคโฑโ–ฒโซโœžโคโœšโ˜…โ†โซโธโœฃโกโ˜โฉโž†โซโดโ˜…โโœœโœคโ™ โชโญโโคโœšโณโ–ผโตโ†โœœโœคโ™ โชโญโพโžถโ…โžƒโœขโณโ™โžชโœญโž˜โžฅโœ—โœฒโฒโž‡โคโœšโซโžโณโ–โฑโœฟโœฅโงโถโœฉโœงโžˆโซโžโ˜…โฏโฑโ†”โ˜โ†โž…โœฟโœงโžˆโœโชโ˜…โ†โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โžšโคโœšโœœโ†’โœโœ˜โ˜โฏโขโˆโ˜…โฏโฑโ–ฒโœโœ˜โœœโ–โฑโ–ฒโตโฉโ˜… โœช โคโœšโณโ–โฑโœ˜โžŸโ†’โœฅโœฆโ˜…โฏโœฃโกโถโโ˜… โœ›โœšโœ™โ–โœ™ โœœโ–ผโžโœโœฑโœฑโœฃโœˆโ˜…โฏโœฅโžโคโœšโ˜…โžšโตโ†โœœโœคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโœฅโกโž›โฏโœฃโกโ˜…โœœโœคโ™ โชโœฅโกโณโœคโž†โž‡โซโดโœงโœšโถโโœงโฒโคโžˆโœœโœคโœงโœšโœฃโกโ˜…โžซโœœโ™ฆโž…โ–โ˜…โโตโ†’โ™ โœ˜โฑ โขโ–ฒโœœโœคโœฃโผโœœโœคโถโโž›โฏโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โ‘จโœโ™โƒ โœœโœคโ™ โชโœฅโกโณโœคโž†โž‡โซโดโœงโœšโถโโœงโฒโคโžˆโœœโœคโœฃโกโœงโฒโœฅโœฆโ˜โžซโขโ–ฒโœฃโœฆโณโชโตโผโž™โœ˜โ˜…โโœโชโ˜… โœง โœ— โœญ โœ›โœฐโœตโ–โœต โœœโœŸโœฅโบโœ– โœœโ™โœฅโœ˜โœ™ โœœโž„โžนโบโœ– โœœโž„โžโœโœฑ โœœโŠโœ™โโœ–โœ˜โœ™ โœœโโœ™โโœณโบโœฏ โœœโœ™โ†โœณโบโœ–โœฑโœฃ โœ— โžžโžโณโœฟโ˜…โ†โคโฒโž™โ–ฒโณโ†•โ˜…โฉโœฅโžšPโžšโ˜…โ†โตโฏโœฃโœฆโ˜…โ†โ™ โ–ฒโซโดโ˜…โฏโžขโžคโณโ–โฑโ–ฒโœ โœ›โœฐโœฏโœคโžน โœฃ โœœโฃโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโ™โœโœ˜โ˜…โ†โซโ™โœโœ˜โณโ–โฑโœ˜โฑโœ˜โ˜โ†โ˜…โ†โซโธโž…โ–ผโœงโžˆโœโชโ˜โฏโณ โœœโ–ฒโœœโœคโœฃโกโœฃโกโœงโฒโž…โบโ˜…โฏโฑโœฟโœฅ โœช โœโชโ˜…โ†โซโฌโตโฏโณโ–โฑโ–ฒโตโฏโคโฒโ™ โฃโซโดโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโ™โœœโœคโฑโ–ฒโœœโ–โคโฒโณโบโžŸโ–โ™ โœ˜โ˜…โโซโœœโ™ฆโž…โ–โ˜…โโตโ†’โ™ โœ˜โฑ โขโ–ฒโœœโ–โœฃโกโœœโ–โถโœฉโž›โฏโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โ‘จโœโ™โƒ โœœโœคโ™ โœ˜โœฅโœฆโณโœคโž†โž‡โซโœฆโœงโฒโถโโœงโœšโคโœšโœœโ–โœฃโœฆโœงโฒโœฅโœฆโ˜โœฉโœงโฒโฑโœ˜โžขโžคโ˜โฏโœฃโกโœงโฒโ˜…โ†โ™ โœ˜โœฃ โœช โœง โœ— โœฎ โœ— โžžโžโ˜…โ†โซโœฌโถโโ˜…โ†โซโœฆโ™ โœ˜โœฃโกโ˜…โ†โซโœฌโซโดโณโบโฑโœฟโœฅโœญโฑโœ˜โณโบโถโžซโž€โœ˜โœฃโกโ˜…โฏโ™ โฃโซโดโ˜…โโซโœ˜โœœโœˆโขโœ˜โœฃโกโ˜โ†โตโฏโœงโœšโซโœฆโ˜…โ†โซโœญโ˜…โฉโœฅโœฅโœฆโœฃโกโž›โ†โซโžšโ˜โฉโœฅโกโ˜…โฏโฑโ–ฒโœโชโ™ โ–ฒโ˜…โ†โซโœญโœโœ˜โœœโœคโฑโ–ฒโซโœญโคโœšโ˜…โ†’โœฅโกโ˜…โฏโถโโขโ–ฒโซโ€โœœโˆโ˜…โ†โคโฒโคโœšโ˜…โ†โซโœญโซโœฆโณโ–โฑโœฟโœฅโœญโœโชโณโบโฑโ–ฒโตโžซโœฅโœฆโœฃโกโž›โ†โซโ™โšโฃโœœโœคโž€โœ˜โคโœšโ˜…โ†โซโœฉโžถโžคโž…โบโณโ–โœงโœšโœฃ โœ› โœฅโ–โœ– โœœ โžนโบโœ– โœœ โžโœโœฑโœตโœœโœˆโžโ–โž โœœโž„โœตโบโœตโœฑโœฃโœขโ˜…โฉโœฅโœฌโคโฒโ˜…โ†โ™ โœ˜โœฃโกโซโžšโœฃโกโ˜โฉโžขโžคโ˜โฉโž†โœฃโœฆโ˜…โ†โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โโซโกโž˜โฉโœ—โ–โžƒโฉโƒ โœงโœšโถโœฉโขโฃโœœโ–โตโžฅโœฅ โœโœ˜โ˜…โ™โตโฉโ˜…โโซโœขโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโœ˜โœฃโกโœงโฒโ˜โฏโœฅโœฆโ˜โโซโœขโซโดโ™ โœ˜โœฃ โคโฒโ˜…โฌโตโฏโณโ–โถโโขโฃโณโบโœฃโดโœฅโกโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅ โœโชโ˜…โ™โคโœšโœœโœญโšโ–ฒโคโœšโ˜…โธโ˜…โ†โซโดโœฅโžโœฅโกโœฃโœฆโž›โโซโœขโคโฒโณโบโœงโฒโฑโ†•โœโ™โƒ โ„โฉโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โธโฑโ–ฒโ˜โฏโžŸโ–โคโœšโœงโœšโžŸโ–โ˜…โ†โœœโ–โž€โœ˜โคโœšโ˜…โœ›โฒโœ™โโœ–โ–โœ– โœœโฃโœตโœคโœฎโœขโœœโ–ฒโžโบโž โœฃ โœ—โœ˜โžƒโœ—โƒ โœœโ–โขโœ˜โขโœ˜โœฃโกโณโ™ฆโญโชโœงโฒโถโ†•โœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ‰โถโ†•โœœโœคโœฃโกโžทโ–โณโโž…โ–ผโœงโœšโ˜…โฏโฑโœ˜โฑโ–ฒโ˜…โžšโตโฉโคโžˆโœœโ–โซโกโซโœฆโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฌโฑโœŸโƒ โ˜…โ†โซโดโœฅโ™โœโชโณโ–โฑโฃโตโžšโขโ–ฒโคโฒโ™ โ–ฒโซโฌโ˜…โฏโฑโ–ผโž…โ–ผโœงโœšโซโกโœœโœคโžŸโบโ˜…โ†โœœโœคโž€โ–ฒโคโฒโ˜…โบโœ—

โžƒโž„โ˜…โžซโถโโณโชโœโชโž›โ†โคโฒโ˜…โœฉโคโฒโ˜…โ‘จโขโœ˜โคโœšโ™ โ–ฒโซโœฌโซโดโœงโœšโถโโขโœ˜โคโฒโ˜…โ‘จโขโฃโณโœฟโซโœฆโซโœฆโ˜โ†โœโ–ฒโœœโœคโฑโœฟโœฅโžšโตโฉโ˜…โโซโ™โขโ–ฒโœฃโœฆโณโบโขโœ˜โœฃโœฆโœงโœšโ˜โฉโœฅโกโ˜โ†โซโ™โ˜…โ†โซโดโœฅโœญโคโœšโ˜…โžซโถโโณโชโœโชโž›โฏโคโœšโ˜… โœช โ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜โฏโ˜…โœฉโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โœซโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโž†โœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โธโ˜…โฏโœฅ โœช โœฅโผโœœโœคโ™ โชโญโ†•โœโชโ˜…โžšโซโœฆโ˜…โฏโœฃโกโž…โ–ผโœงโœšโตโฏโ˜…โฌโตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโฆโœฅโผโœœโœคโฑโœฟโœฅโ†โœ—โชโžžโžโ˜…โ™โถโโณโชโœโชโž›โฏโคโœšโ˜…โ™โœœโœซโ˜โฏโœฅโœฆโ˜โžšโœงโฒโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโณโชโœโชโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโžโขโ–ฒโœœโ–โœฃ โžชโฌโณโบโœฃโœฆโœฃโกโณโบโซโ‡โœ›โฒโœ™โโœ–โœ˜โœ™ โœœโˆโœ™โ†โœ–โบโœฏ โœฃโฃโ˜…โฏโฑโžปโœ™โ†โžนโ–โžนโ–โœฎโ˜…โฉโœฅโœญโžขโ…โœœโœคโœงโฒโœฅโœญโค โƒ โณโ–โž€โชโฅโฆโ˜…โฏโœฅโœญโœโชโ™  โžโœฎโœ‡โƒโœ‡โชโ‘โโ‚โžคโ„โ†โ– โโ‹ โžธ โœ—โœŸโชโ–ผโ™ โœ˜โœฃโœญโ™ โœ˜โฑโžปโœฅโœฆโ˜…โฏโคโโถโโณโชโœโชโž›โฏโคโœšโ˜… โœœโœˆโคโœšโ˜…โ‘จโขโ–ฒโคโฒโ™ โ–ฒโซโœญโœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโœฃโกโ˜…โ†โซโกโซโกโœœโœคโฑโœฟโœฅโ™โ˜…โ†โซโดโœฅโœฌโž€โœ˜โœงโฒโ˜…โ†โฑ โซโ†โ…โœ˜โœฃโœฌโœโชโ˜…โœฉโตโฏโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœฑโ‡โžˆโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โคโฒโ˜…โจโตโฉโณโบโถโโขโฃโณโบโœฃโดโœฅโกโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฉโœโœ˜โ˜…โœฝโคโžˆโœœโžปโตโ†โœœโœคโขโ–ฒโœœโบโตโฉโœงโฒโœฅโœฆโ˜โœฝโœโœ˜โ˜… โซโดโœฅโœฆโณโชโตโผโžทโโœœโœคโžŸโบโ˜…โ†”โ˜…โฉโœฅโโฑโœ˜โณโœคโœฅโผโœœโœคโถโโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโโคโฒโ˜…โจโตโฉโณโบโถโœฉโขโˆโณโ–โœฃโœฆโœฅโœฆโ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฉโœโชโ˜…โจโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โฏโ™ โ–ฒโ˜… โœโชโ˜…โจโซโกโœœโœโชโœงโžˆโซโฆโœฅโกโœฃโœฆโœงโœšโž€โœ˜โ™ โชโœฅโกโœงโฒโณโบโฑ โตโฏโ˜…โฑโ†โบโ™ โ–ฒโœง โœฃโœฆโ˜…โ†โž…โœฟโœงโœšโ˜…โฏโฑโœฟโœฅ โœช โ˜โฉโœฅโกโ™ โ–ฒโœโชโœงโœšโ˜…โฏโœฃโฌโคโœšโ˜…โ†’โตโฉโณโบโถโœฉโขโˆโณโ–โœฃโœฆโœฅโœฆโ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโฌโœœโ–โซโœฆโฟโœฟโถโโขโชโœฅโกโณโœคโœฅโกโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฌโœโชโ˜…โ†•โท

โฅโœฌโ˜› โˆโŠโ‰ โœนโœฌโฅ โœดโœŒโ—โ‹โœฑโโโ–  โœ โœ  โœ’โœŒ โ‚ โœ โœถ rโƒโ‘โโฅโ–ผโ–ฒ โœโ–โ—†โ˜Žrโžƒโž„โ˜…โโซ โขโœ˜โœฃโกโ˜…โฏโถโโœงโœšโž›โฏโœฃโกโ˜…โ†โซโƒโขโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโœฃโกโœฃโœฆโ˜…โโซโƒโซโœฆโณโ–โฑโœฟโœฅโโขโฃโณโœฟโซโดโ˜โ†โ˜…โ†โซโŠโ˜…โฏโฑโœฝโœ™โ†โžนโ–โžนโ–โœฎโฌโขโ–ฒโœœโ–โœฃโโžชโ™โณโ–โœฃโกโœฃโœฆโณโœฟโซโœšโœ›โœšโœ™โ†โœ–โ–ฒโœ™โœบโœฃโœ‚โ†โบโ™ โ–ฒโœงโ–ผโœโœ˜โณโ–โฑโœ˜โฑโœ˜โ˜…โงโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โงโž€โˆโณโ–โœฃโกโฑโœ˜โ˜…โžโœงโœšโฑโชโžขโžคโ˜โ†โœฃโœฆโœงโœšโ˜…โฏโ™ โœ˜โœฃโกโ˜…โœžโœโชโ˜… โœโ–โ—†โ˜Žrโ˜…โฏโฑโ†”โ™ โœ˜โœฅโœฆโœงโœšโคโฒโœงโžˆโซโœฆโœœโ–โฑโœฟโœฅโงโขโœ˜โœฃโกโœงโœšโฑโ–ฒโตโฉโœงโœšโขโ–ฒโœœโœคโคโœšโ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโงโคโฒโ˜…โโซโžโตโ†โœœโœคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโž›โฏโœฃโกโ˜…โ†โซ โœœโœคโ™ โชโœฅโกโณโœคโž†โž‡โซโดโœงโœšโถโโœงโฒโคโžˆโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โ™โ˜…โฉโœฅโฌโนโœฌโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโดโœงโœšโ˜…โฏโฑ โœ—โœฟPโžšโ™ โชโžฃโ†•โ˜…โฏโคโžˆโœ โœฉโ€โƒ โžžโžโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโ˜…โฏโคโœšโคโƒโœ› โœฎโบโžน โœฃ โ˜…โ†โฑโœ™โ†โžนโบโžนโบโœตโœฌโ™ โชโœฅโกโœงโฒโคโœšโœงโžˆโซโดโ˜…โ†โฑโบโœฅโฌโœโชโ˜…โโซโงโœฅโœฆโ˜…โโตโผโž™โœ˜โฑโœ˜โœงโœ‰โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โ†โซโœžโœโชโ˜…โ†’โนโœญโœฃโกโœœโ–โฑโ–ฒโœโชโ˜…โโซโงPโžšโ˜โฏโž…โ–ผโœงโžˆโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโงโขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโœžโณโ–โž€โชโœฅโกโ˜…โฏโฑโœ˜โœงโœšโœฃโœžโ™ โœ˜โฑโœฝโ˜โ‘ โ†โœฟโ™ โœ˜โœงโฒโž…โโœœโ–โคโฒโ˜…โ†โฑโบโœฅโœžโคโœšโณโ–โžŸโบโœœโ–โœฃโœฆโœงโฒโœฅโœฆโž™โ–ฒโถโœฉโœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ–โœ—๏ฟฝโžโฑ โœ™โ†โžนโบโžนโบโœตโœขโœœโ–ฒโฝ โœœโ–โซโกโซโœฆโณโ–โ™ โœ˜โคโœšโœงโฒโ˜…โœฌโ˜…โฏโœฅโญโชโ–ผโœงโœšโถโโณโ–โฑโœ˜โœงโžˆโœœโœคโฑโ‘โœ› โžนโœคโœฎ โœฃโโœœโโžฃโ†•โฑโœ˜โ˜…โ†โฑโบโœฅโžšโค โƒ โ˜โฉโœฅโกโ™ โ–ฒโœโชโ˜…โ†’โ˜…โ†โฑ โœโชโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโฑโœฟโœฅโ™โ™ โœ˜โฑโพโ˜…โ†โฑโ–ฒโตโฏโœœโบโœโชโœฃโœฆโ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ™โœโชโ˜… โœโ–โ—†โ˜Žr โ˜…โฉโœฅโ™โ˜…โ†โฑโœโชโ˜โ†โœโœ˜โ™ โœ˜โœงโœšโซโœฆโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโฌโ™ โœ˜โฑโพโ˜โ‘ โ†โœฟโ™ โœ˜โœงโฒโž…โโœœโ–โคโฒโ˜…โ†โฑโบโœฅโฌโคโœšโณโ–โžŸโœฟโœœโœคโœฃโกโœงโžดโœฅโกโž™โœ˜โถโโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โบโœ—โฃโžžโžโ˜…โฉโœฅโœฆโœฅโœฆโ˜…โœซโ˜โฉโœฅโกโ™ โ–ฒโœโชโ˜…โœซโžขโ…โœœโ–โœงโžดโœฅโžšโค โƒ โณโ–โž€โชโฅโฆโ˜…โฏโœฅโ™โœโชโ™  โžโœฎโœ‡โƒโœ‡โœ˜โ‘โŠโ‚โ…โ„โฏโ– โโ‹ โ‘ฉ โœ—โฃโžƒโƒโœœโœฉโœโœ˜โ˜โฏโถโโณโ–โฑโ–ฒโซโดโœฅโœฆโœฃโผโœœโโž†โœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โœโชโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโ˜โฏโ˜…โœญโœงโœšโตโฏโœงโˆโ˜…โโซโฆโœฅโธโœโชโœงโœธโ˜โˆโ˜โ†โœฃโœฆโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โœฌโœโชโ˜…โœซโตโฉโ˜…โฏโคโœšโคโœšโ˜…โœญโœโชโ˜…โœฌโฝ โœœโบโซโœฆโซโœฆโณโ–โ™ โœ˜โคโœšโœงโœšโ˜…โ™โ˜…โฉโœฅโœ‘โชโ–ผโœงโœšโถโโณโ–โฑโœ˜โœงโžˆโœœโœคโฑโœฝโขโœ˜โ™ โœ˜โœงโžˆโซtโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœญโž€โ–ฒโœœโ–โซโœฆโ˜โฏโ˜…โœฌโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโœžโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โœญโœฃโœฆโ˜โฏโžขโžคโ˜โฏโœฃโกโ˜…โฏโฑโ–ฒโตโฏโ˜…โœโชโœงโœธโ˜โˆโ˜โ†โœฃโœฆโ˜…โ†โฑโบโœฅโกโ˜…โœฌโขโฃโ˜…โ†โœฃโœฆโถโโ˜…โฉโœฅโœฆโœฅโกโœœโ–โฑโบโœฅโฌโ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ†’โœโชโ˜โฏโถโโณโบโฑโ–ฒโซโฆโœฅโกโœฃโกโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœฝโขโœ˜โœฃโœฆโ˜โโตโฉโœงโžˆโซโดโ˜…โœซโœโชโ˜…โโซโธโœโชโ˜…โฏโ™ โœ˜โญโœฝโž€โˆโณโ–โœฃโกโฑโœ˜โ˜…โ†โซโ†โœ—

โœฉโžšโฑ โขโฃโ˜…โ†โ™ โชโœฅโœฉโฑโ–ฒโณโœคโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโžซโœœโœคโ™ โฃโซโœฆโซโœฆโœง โคโœšโ˜…โ†โซโ†’โœฅโœฆโœฃโผโœœโ™ฆโž…โ™ฆโœœโ–โ™ โชโญ โœโœ˜โ™ โžโขโœ˜โž™โ–ผโฟโชโซโดโœงโžˆโตโฉโœงโœšโ˜…โฏโฑโžโžชโžšโœœโœคโœฃโผโœœโ™ฆโฟโบโœœโœคโฑโœฝโœ› โžนโœโœฑโ€โœฃ โœ—โŠPโœญโœœโœคโฑโฃโซโžซโตโฉโ˜…โฏโœฅโœฉโœœโ–โœฃโดโœฅโกโœงโœšโตโฏโคโฒโ˜…โœ–โœœ โœงโœšโคโžโœโชโณโบโฑโœ˜โฑโœ˜โ˜…โœ‰โ™ โ–ฒโฑโ˜โœฌโ†โœฟโ™ โœ˜โœงโœšโž…โโœœโœคโคโœšโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโโœโœ˜โ˜… โœโ–โ—†โ˜Žr โ˜…โฉโœฅโ†•โ˜…โ†โซโดโœฅโœฆโœงโœšโถโโ˜…โจโคโฒโ˜…โโซโœฉโตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโดโœฅโกโœœโ–โฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โ†โซโ‘จโขโ–ฒโœœโ–โœฃโœฉโซโœฆโœงโฒโถโ‘จโ™ โœ˜โคโžˆโœœโโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ™ฅโฑโ–ผโ™ โœ˜โถโโ˜โฏโœฃโกโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โบโœ—โโžƒโœ—โƒ โœงโžˆโœโชโ˜โ†โ˜… โœโชโ˜…โพโžชโžšโœœโœคโœฃโผโœœโ™ฆโฟโบโœœโœคโฑ โ˜…โโซโฆโœฅ

Page 16: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœ†โœโœžโœ โœโ˜Žโœ–โœ˜๏ฟฝโœ“โœ’โœ•โœžโœŸโœ„ โœตโœโ™โƒ โœœโœคโขโœ˜โขโœ˜โœฃโกโณโ™ฆโญโชโœงโฒโถโโ˜…โ†โœฃโ™โคโœšโ˜…โœฉโถโโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโœฌโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโฒโ˜…โ†โฑโพโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜… โœœโœกโœ โ˜žโ˜›โœโœŒโพโคโžˆโœœโœ‰โœฃโกโ˜…โฏโขโ–ฒโœฃโœฆโ˜โโซโดโ˜…โ†โฑโบโœฅโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโพโž™โ–ฒโœœโœคโœฃโกโถโโณโ–โฑโœ˜โœงโžˆโซโœฆโœœโ–โž€โœ˜โคโœšโ˜…โžซโ˜…โฉโœฅโ†’โœโชโ˜…โซโดโ˜…โœฉโขโœ˜โคโžˆโœœโ–โตโฏโ˜…โฏโœฃโœซโœโœ˜โœœโœคโฑโฃโซโžšโคโœšโ˜…โโœโชโณโ–โถโ†•โœœโœคโœงโœšโฑโœ˜โ˜…โโœโชโ˜…โ›โ‚โœ˜โณโบโ™ โœ˜โœฃโœฆโœงโœšโ˜…โฏโœฃโโœ—โœˆโœ›โโณโ–โ™ โœ˜โœฃโœซโœœโœคโœฃโกโœฃโกโœงโฒโž…โบโ˜…โฏโœฃ โœช โซโœฆโ˜…โ†โซโœฌโตโฉโณโบโฑโ–ฒโตโฉโคโœšโ™ โ–ฒโซโœฆโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโœ˜โœœโœˆโœงโœšโคโœขโœœโ™ฆโž…โ™ฆโœœโ–โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โโœโชโ˜…โโซโœญโœœโ–โœฃโœฆโžŸโบโ™ โœ˜โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโซโžŸโ–โ˜โ†โณโ–โถโโ˜โฉโœฅโกโœฃโœฆโœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โซ โ˜…โฏโฑโ‘จโœโœ˜โœงโฒโถโโ˜…โฏโฑโฃโซโดโœงโœšโณโ–โฑโžซโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โ–โœ—โœนโณโ†’โœ— โชโชโœงโฒโถโโณโ–โฑโ–ฒโœงโœšโœœโ–โฑโ†’โถโจโƒ โœœโ™โœฅโœฆโœฃโผโœœโœคโฑโ–ฒโซโœฆโถโโœงโœšโซโ€โœœ โœช โค โƒ โณโบโœฃโœฆโœงโœšโžŸโ–โœงโœšโฑโœ˜โ˜…โงโœโชโ˜…โธโตโฉโ˜…โฉโœฅโœฆโœฅโœฆโ˜…โžโœฅโœฆโž™โœ˜โž›โโซโดโ˜…โงโคโœšโ˜…โ†โซโƒโœฅโœฆโœฃโผโœœโ™ฆโž…โโœœโœคโ™ โชโญโœโชโ˜…โ†•โžชโ™โœœโ–โœฃโกโœœโ™ฆโฟโœฟโœœโœคโฑ โœœโœคโšโ–ฒโฑ โœโ™โƒ โœœโœคโžฃโ†•โฑโœ˜โ˜…โฏโœฃโ†’โซโœฆโ˜…โ†โซโœฌโœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโฒโœฅโกโœœโโœฅโผโซโœฌโ˜…โฉโœฅโžซโœโชโ˜…โ†•โœฃโกโ˜…โฏโž…โบโณโ–โœงโœšโœฃโžšโคโœšโ˜…โ†โซโžซโœโชโ˜โฏโถโโณโ–โฑโฃโซโฆโœฅโกโœฃโกโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโญโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†”โžชโ™โœœโ–โœฃโกโœœโ™ฆโฟโœฟโœœโœคโฑ โคโœšโ™ โœ˜โœงโฒโž† โถโ‡โ„โ†โถโœฉโ˜…โตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโดโœงโžˆโœโชโž›โ†โœฃโœฆโ˜…โœฌโตโฉโณโบโถโœฉโถโโ˜…โœฌโœงโœšโฑโ–ฒโตโฉโณโบโถโœฉโขโ–ฒโคโฒโž›โฏโœฅโœฆโ˜…โ†โซโ†โœ—Pโžšโœœโ–โฑโ–ฒโซ โค โƒ โ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โฏโžขโ…โœœโœคโœงโฒโœฅโœฆโ˜… โœœโœžโœ›โžโœงโฒโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโœฆโž€โฃโœœโœคโœฃโกโžŸโ™ฃโ˜…โฉโœฅโพโž‚โ˜Žโœ‚โฃโซโœฆโซโœฆโคโฒโ˜…โ†โœฃโ‘โœ› โœฑโโœฎ โœฃโ†’โณโ–โฑโœฟโœฅ โœโœ˜โณโ–โฑโœ˜โฑโœ˜โ˜โœ–โœœโธโ˜…โฏโฑโžฆโ™ โชโœฅโœฆโœงโœšโคโฒโœงโžˆโซโกโœœโœคโฑโœฟโœฅ โคโœšโ˜…โ†โซ โณโบโ™ โชโœฅโœฆโœงโœšโคโœšโซโจโœโชโ˜…โโซ โขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโนโœฌโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโœฆโœงโฒโ˜…โ†โฑโ–ฒโซโŠโ™ โœ˜โฑโโ˜โœฌโ†โœฟโ™ โœ˜โœงโœšโž…โ™ฆโœœโ–โคโฒโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโœขโœœโบโซโดโฟโ–ผโถโโขโชโœฅโกโณโœคโœฅโœฆโœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โธโœโชโ˜… โœ โ—† r โžถโžคโคโœšโ˜…โธโถโ‡โ„โฏโถโโ˜…โœ˜โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โฌโžชโ™โœœโœคโœฃโผโœœโ™ฆโฟโบโœœโ–โฑโฃโž˜โž„โœโ–ฒโœœโœคโฑโ–ฒโซโโคโœšโ˜…โธโตโฏโœœโ–โœโœ˜โœฃโœฆโ˜…โœžโขโœ˜โคโœšโ™ โ–ฒโซโโžŸโ–โ˜โ†โฑโœ˜โ˜โฏโœฃโผโœœโœคโคโœโ™โƒ โ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โœฌโœโชโ˜โฏโœฃโกโœงโฒโž…โบโ˜…โ™โ˜…โ†โฑ โœถโœโœŽ โœœโ™ฆโž…โ–โ˜…โโตโœ’โœ‘โœ’โœ“ โœ† โœ—โ–ฒโžžโžโ˜…โฏโœฅโดโœฅโœฆโ˜…โœฌโ˜โฏโœฅโœฆโ™ โ–ฒโœโชโ˜…โžšโžขโ…โœœโœคโœงโฒโœฅโœžโค โƒ โณโ–โž€โชโฅโฆโ˜…โฏโœฅโœžโœโœ˜โ™  โžโœฎโœ‡โƒโœ‡โœ˜โ‘โŠโ‚โ…โ„โฏโ– โโ‹โœฉโœง โœ—โชโžƒโƒโœœโ†’โšโ–ฒโฑ โœโชโ˜…โœฌโตโฉโ˜…โœฌโตโผโž™โ–ฒโœœโœคโขโœ˜โœงโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โ™โ˜…โโซโฆโœฅโตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโœฆโœœโบโตโฉโœฃโกโ˜โฏโ˜… โœช โœโชโ˜…โโซ โตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโœฆโœงโœšโœโชโ˜โ†โœฃโกโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโโ˜…โ†โฑโ†•โž™โœ˜โณโ–โœฃโกโœง โœทโฏโณโ–โฑโœฉโšโ–ฒโฑโ–ฒโœงโ‘ โœ—โœฟโžƒ โœœโฑโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โโซโฆโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœฉโ˜…โโซโฆโœฅโžโขโ–ฒโœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโ˜…โฏโคโœšโคโฒโ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโžโœฅโœฆโœฃโผโœœโœคโœงโฒโœฅโœฆโ˜โ†โ˜…โฌโขโ–ฒโœœโ–โœฃ Pโ™โ™ โ–ฒโฑโ–ฒโตโฏโœœโ–โฑโ˜…โฉโœฅโœ”โœŒโœ–โœ•โฆโœ— โœ› โœตโบโœฏโœฑโœฃ โœ—๏ฟฝโœโœโœ— โœน โœโœ โœ–โœ˜โœคโœ โœโœฅโœœโœฃโœโœงโœฆโœฉโ˜… โœชโœผโœ—โœถโœโœฝโœญโœฎโœฆโœŽโœฏโœพโœโœงโœฆ โœฐโœฑโœ—โœฌโœ’โœ โœฒโœณโ˜…โ˜›โœฏโœ›โœโœ โœฆโœ“โœฆโœŽโœ’โœ”โœฏโ€โœ—โœถโœโœšโœโƒโ˜…โโœ— โœโœฅโœœ โ˜Ž โœŸโœฎโ˜žโ‘โœต โœ’ โœ—โœถโœ—โœ™โœ˜โƒโ˜…Pโžšโœœโ–โฑโ–ฒโซโ†’โคโœšโ˜… โžโœฎโœ‡โŠโœ‡โชโ‘โŠโ‚โ…โ„โฏโ– โโ‹ โœฏ โœœ โฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโ†’โฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโžซโซโœฆโณโ–โถโโถโโ˜…โ†โซโ†’โœงโฒโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โ†โœฃโœฆโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ˜โ†โซโ‘จโœœโœคโ™  โถโโณโ–โ™ โ–ฒโž…โ–โ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโžซโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑ โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…

โœœโœคโœฃโกโœฃtโ„โฏโœฅโœฆโ˜โบโœ—โฉPโ™โ˜…โ†โ™ โชโญโฑโ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โ†โซโดโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโ€โœœโฏโซโœฆโณโ–โฑโœฟโœฅ โœช โค โƒ โณโบโœฃโœฆโœงโœšโžŸโ–โœงโœšโฑโœ˜โ˜…โžโœโชโ˜… โตโฏโ˜…โ†โซโœˆโœฅโกโœฃโกโœœโ™ฆโž…โโœœโ–โ™ โชโญโ‘จโทโ†โขโœ˜โ™ โœ˜โœงโžˆโซtโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœ—โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜… โคโฒโ˜…โžโถโโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅ โž โžโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโœญโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโž†โœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœฌโฑโœŸโƒ โ˜…โ†โซโดโœฅโ™โขโ–ฒโœœโบโซโธโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โœซโถโ†•โœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโฑโœ˜โžŸโœฟโœœโœคโคโœšโ˜… โœœ โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โฏโคโžˆโซโฌโซโœฆโณโ–โฑโœฟโœฅโฌโคโœšโ˜…โ†โซโœžโœฅโกโ˜…โฏโถโโขโ–ฒโซโ™โœโœŸโƒ โœœโ–โœฃโœฆโœฃโ…โ„โฉโœฅโผโซ โœš โขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโฌโคโฒโ˜…โโซtโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โคโœšโซโœ›โœšโœขโœœ โœ  โœ’โœฃโœฅโœค โœฅ โœงโœงโœฆโ˜…โฉโœฅโœณโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†•โœโชโ˜…โฏโž…โ–ผโœงโœšโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœญโคโœšโ˜…โโถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœซโž โžโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโพโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โ‘จโ˜…โฏโฑโžปโ˜โโตโผโž™โœ˜โ˜…โฏโคโœšโคโœšโ˜…โ‘จโœฅโกโ˜…โฏโถโโขโ–ฒโซโœญโคโœšโณโ–ผโตโ†โœœโœคโค โœฆ โœ›โžโœฃโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜โโœโชโ˜…โโคโžˆโœœโœ‰โขโœ˜โœฃโกโณโœคโž†โขโœ˜โœฃโกโœงโฒโ˜โฏโœฅโœฆโ˜โ†”โœโชโ˜… โฝ โœœโœคโœฃโกโžทโ–โณโโž…โœฉโ‚โ–ฒโณโ–โœฃโœฆโœฅโ€โœœ โฑโ–ฒโณโ–โ™ โ–ฒโซโœซโฑ โƒ โœœโ™ฆโž…โบโณโ–โฑโ–ฒโซโœซโขโฃโœœโ–โซโœฌโœฅโกโœฃโœฆโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜โ†”โœโ™โƒ โœœโœคโคโฒโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโœฆโฑโฃโœœโโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โ†•โขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโ†’โœฃโœฆโ˜โ†โขโฃโณโบโฑโ–ฒโœโชโœฃโกโ˜… โœช โตโฉโ˜…โโซ โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โโซโฆโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโฏโœ—โชโ–ผโ˜…โฏโ™ โ–ฒโคโฒโ˜…โœญโซโดโ™ โœ˜โž€โฃโซโดโœงโžˆโซโฆโœฅโกโ˜…โ™โ™ โœ˜โฑโ–ฒโ˜…โžšโขโœ˜โœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโผโœœโโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ†”โœโœ˜โ˜…โžšโค โƒ โ˜…โฏโญโชโœงโœšโซโดโœฅโœฆโ˜…โ†โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โžšโ˜…โฉโœฅโธโœโชโ˜…โ™โคโžˆโœœโ†’โž€โœ˜โœงโžˆโตโฉโณโบโฑโœฟโœฅโœฆโœงโœšโฑโœฟโ™ โ–ฒโœงโžดโœฅโกโ˜โœญโœโชโ™ โœ‰โœฅโœฆโ˜…โ†โถโœฉโขโฃโซ โคโœšโณโชโตโฏโœœโœคโคโˆโœงโœšโฑโบโœฅโกโœฃโœฆโณโชโœโชโ™ โ–ฒโœงโžดโœฅโœžโขโ–ฒโœœโœคโœฃโž โงโ˜…โฏโœฃโกโถโโœœโ–โฑ โœ›โœšโœ™โโœฏ โœœ โœ™โ†โœณ โœœโž„โœ™โ†โœฎโœขโœœโž„โœ™โ™ฆโœต โœœ โœ™โœฌโœฅ โœœ โœ™โœฎโœฑโœตโœœโž„โœ™โโž โœœ โœ™โ†โžน โœฃ โœ—โˆโžžโ˜Žโƒ โ˜…โ†โซโดโœฅโฌโคโœšโ˜…โœญโขโ–ฒโœฃโœฆโœงโœšโฑโ–ฒโตโฉโœงโœšโขโ–ฒโœœโ–โค โณโ–โž€โชโฅโฆโ˜…โฏโœฅโ™โœโชโ˜…โ†’โตโฉโ˜…โฏโœฅโดโœฅโœฆโ˜…โœญโœฅโกโœฃโœฆโณโบโœงโœšโซโœฆโœงโฒโž›โ†โถโโ˜…โœญโขโฃโœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโ˜…โ–โœ—๏ฟฝโœโœฉโ˜… โœช โœ’โœ โœ™โœ›โœฒโƒโœ–โœŽโœ™ โœŸ โ˜…โ˜›โœโœ†โœฒโœ™โœซโœŽโœ’โœ”โœŸโโ˜…โ˜›โœฏโœญโœฌ โœ–โœ“โœโœšโœ’โœ โœฆโœฉโ˜…โ˜›โœฏโœ›โœฒโƒโœฏโ€โ˜Ž โœ’โ„โ˜…โ˜›โœฏโœ›โœฐโŠโœ—โœฌโœโœงโœ™โœ›โœ’โ„โ˜…โœถโœฏโ€โœคโœ โœโœฅโœœโœฃโœโœงโœฆโœฉโ˜…โœฏโœฎโœฃโ˜žโœŽโœโœงโœŸโœฎโ˜ŽโœŽโœ—โœฌโœ โœดโœฒโโœโœงโœŸโ˜›โœŸโœ•โœ–โœ“โœŸโœฎโœฐโœฑโœ—โœถโœ’โœ”โœฒ โ˜…โ˜›โœฏโœพโœโœ โœฆโœŽโœฆโœ“โœ’โœ โœฏโ€โœ—โœฌโœโœงโœŸโžƒโž„โ˜…โ†โซโงโœฅโกโœฃโกโœœโ™ฆโž…โโœœโ–โ™ โชโญโ†”โœโชโ˜…โœซโคโœšโœœโ—†โ†โœฟโ™ โ–ฒโœœโโœฅโกโœฃโœฆโœงโœšโž›โฏโถโโ˜…โœฌโขโ–ฒโœœโ–โœฃโดโœฅโกโœงโฒโ˜…โœฌโซโดโณโบโฑโœฟโœฅโงโคโœšโ˜…โœญโžขโžคโœฃโœฆโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโ™โœโ™โƒ โ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โœซโตโฉโณโบโคโฒโคโžˆโœœโœคโž€โˆโณโ–โœฃโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ‰โœœโ™ฆโž…โ–โ˜…โโตโžšโžƒโƒโœœโœคโ™ โœ˜โœฃโกโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโธPโ™โ˜…โโตโฉโœฃโกโ˜…โฏโ™ โ–ฒโซโœฆโ˜…โฉโž†

โžขโžคโณโ–โฑโ–ฒโœโœฝโœโชโ˜…โœฌโค โƒ ๏ฟฝ โžช โชโ——โ‰โž‘โœ›โœขโœœโœคโœฃโกโœงโžˆโซโฏโœ—โœฒโœดโœขโœฅโผโœœโœคโฑโœฟโœฅโฌโœโชโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโ˜ โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœญโคโฒโ˜…โœญโถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโธโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโ†”โžขโžคโœฃโกโœœโบโตโžฅโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœญโœœโœคโขโœ˜โขโฃโœœโœคโœฃโผโœœโœฑโ‡โžˆโœฅโงโตโฉโณโบโถโโถโœฉโ˜…โ™ โœ˜โฑโโž€โฃโณโบโฑโ†•โถโโณโ–ผโœโœ˜โž›โฏโคโœšโ˜…โฌโœโชโž›โ†โซโฉโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โธโค โƒ โณโ–โฑโโž…โ–โ˜…โ†โ™ โชโœฅ โซ โƒ โœœโโ˜โœˆโœฃโผโœœโœคโฑโ–ฒโตโผโž™โœ˜โœงโœšโœฃโžโœโชโ˜…โธโค โƒ โœงโœšโฑโ–ฒโœโชโ˜โ†โขโฃโ˜…โ†โฑโ–ฒโœโœ˜โœœโ–โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โ™โœโœ˜โ˜…โ†โซโžโœœโบโตโฏโตโฉโœฃโกโณโ–โœงโžˆโซโกโซโดโ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโกโซโ€โœœโโœงโœšโคโœ˜โ˜…โโซโฆโœฅ โœงโœšโถโโขโฃโณโบโœฃโดโž†โœฅโกโœœโ–โฑโบโœฅโ™โœโœ˜โ˜…โ†’โตโฉโณโ–โฑโฃโซโฆโœฅโกโœฃโœฆโ™ โœ˜โœงโœšโœฃโกโ˜…โœญโ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ†’โฑโœ˜โณโ–โœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโพโœโชโ˜…โ†’โตโฏโœœโ–โคโœšโตโฏโ™ โœ˜โคโž„โœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โค โœฃโœฆโ˜…โ†โคโœšโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅ โœช โตโฉโ˜…โœซโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโฏโœ—โœ˜โฝโžปโœœโœคโคโœšโž™โœ˜โ˜…โฏโ™ โœ˜โœฃโกโ˜…โฏโ™ โฃโซโดโ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโตโฉโ˜…โโตโฉโœง โซ โƒ โ˜…โ†โซโดโœฅโฌโœœโ™ฆโž…โ–โ˜โ†โœฃโœฆโ˜โžšโขโ–ฒโœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโžˆโตโฉโ™ โœ˜โคโœšโœงโœšโž›โฏโœฃโกโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโธโœโชโœงโžดโžฃโ†”โตโฏโœงโฒโคโœšโ˜… โœช โตโ†โœœโœคโ™ โ–ฒโซโœฆโ˜…โœญโœโœ˜โ™ โœฝโขโˆโ˜…โฏโ™ โพโœโชโ˜…โœฌโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโœ˜โœฃโกโœงโœšโ˜โฉโœฅโœฆโ˜โโซโžโตโฏโคโœšโœœโบโซโœฆโซโœฆโœงโœ‰โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โ†โซโžโž…โ–โ˜โฏโœฃโกโœงโฒโšโ–ฒโ˜โฏโ˜…โโซโžโขโฃโœœโœคโœฃโœžโคโฒโ˜…โถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโฌโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโœ‰โžขโžคโœฃโกโœœโบโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโกโ˜…โœฉโžถโ…โขโ–ฒโœœโ–โซ โœช โž…โโœœโœคโœฃโกโœงโœšโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœฝโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโœšโ˜… โœœโœ˜โขโฃโœœโ–โซโธโœโชโ˜…โœซโซโœฆโ˜…โฏโถโโœงโžดโž† โถโ†•โœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโฑโœ˜โžŸโบโœœโ–โคโฒโ˜…โœ–โœœโฒโœ—โœšโœ—โœšโœ— โž˜โฉโœ—

Pโžšโœœโ–โฑโ–ฒโซโœžโคโฒโ˜… โžโœฎโœ‡โŠโœ‡โชโ‘โŠโ‚โ…โ„โฏโ– โโ‹โœโ โฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโžโžขโžคโ˜…โฏโœฃโกโณโ–โฑโ–ฒโซโงโ™ โœ˜โฑโจโœฃโผโœœโœคโขโœ˜โœงโžˆโœโชโ˜…โœญโขโ–ฒโœœโœคโฑโ–ฒโณโ–โœฃโผโœœโœคโถโ†•โœœโžซโœโชโ˜…โโซโžโœฅโœฆโ˜…โ†โตโผโž™โ–ฒโฑโœ˜โœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โโซโœžโ˜…โฏโฑโ–ผโž…โ–ผโœงโœšโซโกโœœโœคโžŸโบโ˜โฏโ˜…โโซโฏโœ—โ–ผโžชโฌโณโบโ™ โ–ฒโซโงโœงโฒโฑโ–ฒโซโœฆโœงโžˆโซโฆโž†โœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโœฆโณโบโฑโ–ฒโซ โซโœฆโ™ โœ˜โœฃโงโคโฒโ˜…โœญโขโฃโณโบโœงโฒโฑโœฟโœฅโธโœโชโ˜…โœญโž…โœฟโ™ โ–ฒโ˜…โžšโœโชโ˜…โœฌโžชโฌโ™ โ–ฒโœœโ–โคโœšโœœโ–โœฃโดโœฅโงโ˜…โฉโœฅโœฐโœŒโœ–โœ•โœšโœ› โœฎโœขโœœโชโœณโบโœฏโœฑโœฃโœŸโ†โœฟโ™ โœ˜โœงโœˆโœœโžซโขโˆโ˜…โฏโœฃโกโถโโœงโœšโซโงโœโ™โƒ โ˜โฉโœฅโกโœœโ–โž€โœ˜โคโœšโœงโฒโœฃโงโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โžšโžขโžคโณโ–โœฃโกโถโžซโ™ โœ˜โคโœšโ˜…โžšโœโœ˜โ˜… โ‰โŠโœœโœคโฑโ–ฒโœœโ–โžทโโœœโตโฉโณโบโถโœฉโขโ–ฒโคโฒโ˜โฏโœฅโกโœœโœคโฑโœฟโœฅโžšโœœโ–โœงโฒโฑโฃโซโดโœงโƒโค โƒ โ˜โฉโœฅโกโ™ โ–ฒโœโชโ˜…โโœโชโ™ โพโœฅโœฆโ˜…โ†โถโโขโ–ฒโซโ™โคโœšโณโชโตโฏโœœโ–โคโ‘ โœ—โˆโžชโฌโณโ–โ™ โฃโซโ™โฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโ™โœœโœคโœฅโดโœฅโผโœœโœคโœฃโผโœโชโ˜…โฏโœฃโกโณโ–โฑโ–ฒโซโฌโ˜…โฏโฑโ–ฒโซโœฆโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโœฆโ˜…โ‘จโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโžšโ™ โœ˜โฑโžปโตโฏโœœโ–โคโœšโตโฏโ™ โœ˜โคโƒโซโดโœฅโœฆโณโชโตโผโž™โ–ฒโœœโบโซโฆโž†โœฅโœฆโœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฝโœฃโกโ˜…โฏโคโžˆโœœโโœฅโกโœงโžดโžขโœญโœœโœคโ™ โชโญโžโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโžซโœโœ˜โ˜…โœŽโšโœขโณโบโคโžดโœฅโกโ˜…โฏโœฃโกโœฃโกโœœ โœ› โœณโบโžน โœœโœขโœฎโบโœ– โœฃโ†’โžถโ…โคโฒโ˜… โขโœ˜โœฃโกโœงโฒโฑโ–ฒโตโฏโœงโฒโขโˆโ˜…โพโซโดโ˜…โ†โœฃโกโœœโžปโซโดโœงโœšโถโโœงโฒโคโžˆโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜… โขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโœฉโคโฒโ˜…โโซโœฉโขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโœโชโ˜…โœ‰โœ›โโณโบโœงโœšโซโกโซโดโณโบโฑ โ‚โŠโœงโฒโคโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜โ†โซโผโž˜โžฅโœ—โโžƒโฉโƒ โœงโœšโœโœ˜โ˜โฏโ˜…โœ‰โ˜…โโซโฆโœฅโโœโ™โƒ โœงโฒโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโณโชโœโชโ™ โœ˜โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœ‰โ™ โœ˜โฑโžโณโ–โขโˆโ˜โฏโœฃโผโœœโโœฅโกโ˜…โฏโ™ โœ˜โœฃโœฒโœฑโœดโœณโ†”โ˜…โฏโœฅโœฉโœโชโ˜… โœโชโ˜โฉโšโฃโฑโœ˜โœงโฒโœฃโœฉโค โƒ โœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โ†”โซโดโœฅโœฆโณโชโตโผโž™โ–ฒโœœโบโซโฆโž†โœฅโœฆโœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜… โกโœถโœต โค โขโ–ฒโœœโ–โœฃโฌโœฃโผโœœโœคโขโœ˜โขโˆโณโ–โœฃโœฆโœฅโ™โœœโœคโ™ โพโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโธโœโชโ˜…โ€โšโœขโณโ–โคโฒโœฅโœฆโ˜…โฏโœฃโกโœฃโผโœœโœฉโœโœ˜โ˜…โžซโฑโœ˜โณโโฟโœฟโœœโœคโ™  โœโœโฑโœ˜โณโœคโœฅโกโ˜ โœ  โ˜› โœœโœคโ™ โพโถโโณโโฟโบโ˜…โฏโฑโพโœโชโ˜…โ†’โค โƒ โœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โ†โžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜…โœœโœคโฑโœฟโœฅโœฆโœงโžˆโตโฉโœงโœšโขโ–ฒโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โญโก โœต โœฃโœฆโ˜…โ†โคโœšโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โœฌโœœโœคโ™ โจโถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโฌโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโœฝโณโ–โœฃโผโœโชโœงโœšโฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœญโขโ–ฒโœœโ–โœฃโœซโท

โก โœต โค โœโฆโฅโ™rโโœฅ โก โœต โœ โœฑ โœณ โœโฆโฅโ™r rโžƒโฉโƒ โœงโฒโฑโœฟโœฅโกโœฃโœฆโณโชโœโชโ™ โ–ฒโตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โœโ™โƒ โ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โจโœงโฒโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โ†โžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜…โœฝโœœโ–โฑโบโœฅโกโœงโœšโตโฏโœงโฒโขโฃโœœโโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜… โ˜…โ†โซโดโœฅโ†•โถโโณโœคโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜โ†โ˜…โœฝโขโฃโœœโœคโœฃโโคโฒโ˜…โœฝโžขโ…โœœโœคโœงโฒโœฅโœคโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœทโœฑโœธโœณโœฝโ˜…โโซโฆโœฅโ†”โซโœฆโ™ โ–ฒโซโกโตโฉโ˜…โฏโขโœ˜โœฅโœฆโœงโœšโž€โœ˜โคโฒโ˜…โพโœโชโ˜…โœฅโœฆโœฃโผโœœโœคโฑโ–ฒโซโดโžขโžคโณโ–โœฃโกโถโโ˜…โฏโœฃโงโ™ โœ˜โฑโจโขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโธโœœโ–โœโœ˜โœœโ–โขโชโœฅโœฆโ˜โœฌโ˜…โฏโฑ โ™ โœ˜โฑโจโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœžโœœโœคโฑโœฟโœฅโœฆโœงโžˆโตโฉโœงโœšโขโ–ฒโœœโœคโฑโœฟโœฅโโœ—

Page 17: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœฅ

โžƒ โœœโœฝโž…โ–โณโ–โคโœšโณโ–โฑโœฟโœฅโกโ˜โ‘จโœโ™โƒ โœงโฒโฑโœฟโœฅโกโœฃโœฆโณโชโœโชโ™ โœ˜โœงโœšโœฃโกโ˜…โ‘จโœโชโ˜…โโซโœญโซโกโœœโœคโ™ โœ˜โœฅโกโซโœฌโœโœ˜โœœโœคโฑโฃโซโ™โคโœšโ˜…โ†โซโœญโถโโณโชโœโชโž›โฏโคโœšโ˜…โ†โซโžšโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ†โซโ™โขโฃโณโบโ™ โ–ฒโซโœฆโซโœฆโ˜… โœช โœฃโกโ˜…โฏโถโโขโœ˜โคโžˆโœœโ–โตโฏโ˜…โฏโœฃโžšโœโ–ฒโœœโœคโฑโ–ฒโซโค โƒ โ˜โœฌโ†โœฟโ™ โ–ฒโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ™ฃโตโฏโœงโžดโž†โž‡โœโชโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโ†’โคโœšโ˜… โถโœฉโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฉโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโฒโ˜…โ†โฑโดโชโœฟโœฅโผโœœโœคโฑโ–ฒโœโœ˜โœœโ–โœฃโกโœโžโขโ–ฒโœœโœคโœฃโ‘จโ™ โœ˜โฑโ™ฃโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœฉโœโชโ˜…โœ‰โœ›โโณโ–โœงโžˆโซโกโซโดโณโบโฑโ™ฃโฝ โœœโœคโœฃโ‘ฃโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜โ–โœ—โœ›โโณโ–โ™ โœ˜โœฃโโœโชโ˜โฉโšโฃโฑโœ˜โœงโฒโœฃโโ™ โœ˜โฑโ–ฒโ˜…โงโœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โ†โžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜… โœฃโกโ˜…โฏโคโžˆโœœโโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โงโœœโœคโ™ โชโญโœซโœ›โžโœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโโœโชโ˜…โงโœ›โŠโณโบโœงโœšโซโกโซโœฆโณโ–โฑ โ‚โŠโœงโœšโคโžดโœฅโกโœฃโœฆโ˜โโซโœ˜โœœโ™ฆโฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโโœœโœคโคโœšโคโฒโณโบโฑโ–ฒโซ โขโ–ฒโœฃโœฆโณโชโตโฉโ˜โโœโชโ˜…โฏโœฃโโตโฉโณโบโถโโถโœฉโ˜…โขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโœขโคโœšโ˜…โ†โซ โšโœขโณโ–โคโฒโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโœฆโœฃโผโœœ โœช โซโœฆโœœโ™ฆโž…โบโณโ–โœงโœšโœฃโŠโตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโดโœฅโœฆโœฃโกโ™ โœ˜โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœ–โœœ โœ โœ‚โ˜›โœโœŒโ†’โ™ โœ˜โฑโโณโบโขโฃโ˜โ†โœฃโกโœœโœคโœฅโœฆโ˜…โฏโ™ โ–ฒโœฃโŠโคโœšโœงโœšโฑโœ˜โ˜โ†โœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โœžโค โƒ โœงโฒโฑโœฟโœฅโกโ˜โฏโžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜…โงโœฃโœฆโ˜…โ†โคโœšโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โธโœœโœคโ™ โœฉโขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซ โœชโขโ–ฒโœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโœฃโœžโœโ™โƒ โ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โœฌโœงโฒโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โ†โžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜…โžšโœœโ–โฑโบโœฅโกโœงโœšโตโฏโœงโฒโขโฃโœœโโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โžšโœฃโœฆโ˜…โ†โคโœšโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โœญโœœโœคโ™ โœ‰โขโ–ฒโœฃโœฆโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโงโซโดโณโบโ™ โ–ฒโซโžโž†โฒโฅโดโœœโบโตโฉโ˜…โ†โฑโบโœฅโœญโทโชโ™ โœ˜โฑ โถโœฉโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโงโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโฒโ˜…โ†โฑโชโœฟโœฅโกโœœโ–โฑโ–ฒโœโœ˜โœœโ–โœฃโกโœโœฝโœโœ˜โœœโœคโฑโ–ฒโซโœžโคโœšโ˜…โ†’โตโฏโœœโบโซโœžโœโชโ˜…โ†โซโœžโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœžโœโชโ˜…โœณโšโœขโณโ–โคโฒโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโœฆโœฃโผโœœโ‘จโ˜…โฉโœฅโธโ™ โœ˜โฑโจโœ›โžโœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโงโœโœ˜โ˜…โœซโœ›โŠโณโบโœงโœšโซโกโซโœฆโณโ–โฑโœฝโฝโžปโœœโœคโœฃโ‘ฃโ†โบโ™ โ–ฒโ˜โœญโœโœ˜โœœโ–โฑโ–ฒโซโœžโคโœšโ˜…โ†’โตโฏโœœโ–โซโœโชโ™ โจโœ›โžโœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโงโœโœ˜โ˜…โœซโœ›โŠโณโบโœงโœšโซโกโซโœฆโณโ–โฑโœŽโ‚โŠโœงโœšโคโžดโœฅโกโœฃโœฆโ˜โบโœ—

โžƒโž„โ˜… โžโœฎโœ‡โŠโœ‡โชโ‘โโ‚โžคโ„โฏโ– โโ‹โพโžพ โขโ–ฒโœฃโœฆโณโบโขโฃโณโœฟโซโดโ˜…โฌโ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ™โœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โžšโœœโœคโฑโœฟโœฅโœฆโœงโžˆโตโฉโœงโœšโขโ–ฒโœœโโœฅโกโœงโฒโž…โบโ˜…โฌโœฃโกโ˜…โฏโคโžˆโœœโโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โžšโœœโœคโ™ โ†•โขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซ โซโœฆโณโ–โ™ โ–ฒโซโž„โฅโดโœœโ–โตโฏโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโžšโทโœฟโ™ โœ˜โฑโ†”โขโœ˜โœฃโกโณโœคโž†โตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœฌโœ›โโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโณโ–โฑ โฝ โœœโ–โœฃโ…โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜โบโœ—โž„โžƒ โœœโœซโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โโซโฆโœฅโกโœงโฒโณโบโฑ โœโœ˜โ˜…โ†”โคโœšโœœโพโตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโดโœฅโœฆโœฃโกโ™ โ–ฒโตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โœโ™โƒ โ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โ†”โœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โ†•โœœโ–โฑโบโœฅโกโœงโœšโตโฏโœงโฒโขโฃโœœโโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โโœฃโกโ˜…โฏโคโžˆโœœโโœฅโกโœงโฒโž…โบโ˜… โœชโ™ โœ˜โฑโจโขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโงโœโœ˜โ˜…โœซโœ›โŠโณโบโœงโœšโซโกโซโœฆโณโ–โฑโจโฝ โœœโœคโœฃโ‘ฃโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜โœซโœœโžซโžขโ…โœœโ–โœงโžดโœฅโฌโค โƒ โณโ–โž€โชโฅโฆโ˜…โฏโœฅโ™โœโชโ˜…โœซโฑโœ˜โณโ–โถโ‘จโž€โœ˜โœฃโกโ˜…โฏโ™ โ–ฒโซโœฆโ˜…โ†โซโงโขโœ˜โ™ โœ˜โž€โ–ฒโคโฒโœงโžˆโตโฏโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโ†โœ—โœ˜โžƒโฉโƒ โœงโœšโœโœ˜โ˜โฏโ˜…โœซโ˜…โ†โซโดโœฅโ™โœโชโ˜…โ†’โตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโœฆโœงโžดโž†โœโชโ˜โฏโœฃโกโ˜…โฏโœฃโธโค โƒ โœงโฒโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โ†โžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜…โœซโตโฉโณโ–โถโโถโโ˜…โœฌโค โƒ โณโ–โขโˆโ˜โฏโœฃโผโœœโโœฅโกโ˜…โฏโ™ โœ˜โœฃโฌโœœโบโœโ™ฆโฅโฆโณโ–โœงโœšโฑโœฟโœฅโ™โœโ™โƒ โ™ โœ˜โฑโพโณโ–โขโˆโ˜โฏโœฃโผโœœโโœฅโกโ˜…โฏโ™ โœ˜โœฃโธโœโชโ˜…โžซโœโœ˜โ˜โฏโœฃโกโœงโฒโž…โโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโž„โœ—โฃโžžโžโœงโฒโœฅโœฆโณโ–โฑโฃโซโธโค โƒ โœœโœคโขโ–ฒโขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโผโž™โœ˜โ˜…โœซโœโชโ˜…โžžโงโœœโœคโœฃโกโคโฒโ˜…โ†โฑโชโž† โœ›โโœœโ–โœฃโกโœโœ˜โณโ–โ™ โชโญ โœ›โœฐโœฏโโœฎ โœฃโงโณโœฆโœฅ โค โƒ โณโ–โขโˆโ˜โฏโœฃโผโœœโโœฅโกโ˜…โฏโ™ โœ˜โœฃโ†’โœโœ˜โ˜…โ†”โœโชโ˜โฏโœฃโกโœงโฒโž…โโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โ˜…โ†โซโดโœฅโ‘จโœโชโ˜โฉโšโฃโฑโœ˜โœงโžโขโ–ฒโœœโ–โœฃโ†’โขโฃโ˜…โ†โœฃโดโœฅโกโ™ โœ˜โœฃโกโž€โ–ฒโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโœซโœโชโ˜…โ†โซโ†’โœงโฒโฑโ–ฒโซโดโœฅโกโœœโ–โฑโœฟโœฅโกโซโ†’โœโชโ˜…โซโœฆโœœโ–โ™ โชโœฅโžซโขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโœฉโœโชโ˜…โ†โซโ‘จโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโ†’โœโชโ˜…โœฝโœ›โŠโณโบโœงโœšโซโกโซโœฆโณโ–โฑโžโซโดโœฅโกโœœโœคโฑโฃโœโœ˜โœœโœคโœฃโผโœโœ˜โซโ€โœœ โœฅโœฆโ˜…โโตโผโž™โœ˜โฑโœ˜โœงโœ‰โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โœ‰โ˜โฉโœฅโกโ˜…โฏโฑโ–ฒโœโœ˜โ™ โœ˜โ˜…โœ‰โขโ–ฒโœœโ–โœฃโžซโœ›โžโœฃโกโœงโœšโž…โ™ฆโœœโ–โ™ โœ˜โคโฒโœฅ โœ›โœšโœ™โ–โœ™โโœฏ โœฃ โœœโƒโ˜…โฉโœฅโ‘จโค โƒ โœœโœคโขโชโž†โขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโผโž™โ–ฒโ˜… โœโชโ˜… โžชโ™โ™ โ–ฒโœœโœคโคโžˆโœœโœคโœฃโœฆโœฅโดโž† โšโ™โœงโœšโž…โ–โ˜…โโซ โœ›โฒโœ™โโœ–โœโœฑโ€โœฃโ™โณ โœฅโ™ฅโค โƒ โณโ–โขโˆโ˜โฏโœฃโผโœœโโœฅโœฆโ˜…โ†โ™ โœ˜โœฃโ†”โœโชโ˜…โพโœโชโ˜โ†โœฃโœฆโœงโœšโž…โโœœโโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โ˜…โ†โซโดโœฅโœ‰โœโชโ˜โฏโšโ–ฒโฑโœ˜โœง โœช โขโ–ฒโœœโ–โœฃโดโœฅโกโœงโฒโœฃโ†”โœโชโ˜…โโซโ†•โœงโœšโฑโบโœฅโกโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โโซโถโžซโ™ โœ˜โคโฒโœฅโœฆโœงโœšโขโœ˜โคโœšโ˜…โ†โซโœซโ˜…โ†โฑ โ™ โชโœฅโœฆโœงโœšโคโฒโœงโžˆโซโกโœœโœคโฑโœฟโœฅโžซโคโžˆโœœ โœโœ˜โ˜โ†โตโฉโณโบโถโโขโฃโณโœฟโซโดโœงโฒโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โตโผโž™โ–ฒโœœโ–โณโœคโœฅโœฆโœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ–โœ—โœŸโ‰โƒโณโ–โ™ โœคโฅโฆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโผโซโœฌโž€โ–ฒโœœโ–โซโœฆโ˜โ†โซโžซโซโดโ™ โœ˜โœฃโœซโคโžˆโœœโพโœโชโ˜โโตโฉโณโ–โถโโขโˆโณโบโซโœฆโœงโžดโœฅโกโœงโฒโณโบโฑ โตโผโž™โฃโœœโœคโณโœคโž†โœฅโœฆโœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜… โœœโ–ผโณโ–โฑ โขโˆโ˜…โฏโ™ โชโœฅโธโ˜โฏโž…โบโณโ——โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โฏโœฃโงโคโฒโ˜…โโซโžโœฃโกโ˜โ†โตโฏโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโซโžโœฅโกโœฃโกโœœโ™ฆโž…โโœœโœคโ™ โœ˜โญโ†•โซโœฆโ™ โœ˜โœฃโœžโคโœšโ˜…โ†โซโงโขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโžโœโชโ˜…โœซโžƒ โ˜โฏโž…โ–ผโฟโ†”โœโชโ˜…โœซPโ™โœงโž„โžชโ™โ™ โœ˜โฑโœ˜โฑโœ˜โณ โœœ โœ โžทโ–ผโซโœฆโ˜…โฏโฑโฃโœโœ˜โœœโœคโคโœˆโ˜…โฉโœฅโœ›โžโœฃโกโณโบโซโœฆโžทโ–โ˜…โœณโœ› โœฎโˆโœฅ โœฃ โœœโœฟโœโœ˜โ˜…โžšโžƒโž„โ˜โ†โณโ–โฑ โœœโœฒโชโ–ผโณโ–โคโœšโ˜ โœœโœฟโž“โธโœฅโ…โœทโฏโ˜…โฉโœฅโœžโ˜…โฉโœฅโœ™โšโ™โœงโœšโž…โ–โ˜…โ†โซ โœ› โžโ–โžน โœฃ โœœโบโœโชโ˜…โœญโž โงโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฆโž™โ†”โ˜…โฏโœฅโงโžƒ โณโ–โžทโ–ผโžทโโœœ โœ›โฒโœ™โโœ– โœฃโˆโ˜…โฏโœฅโงโœโชโ˜… โœ โžทโชโซโดโ˜…โ†โฑโ–ฒโœโœ˜โœœโœคโคโ–ฒโ˜…โฉโœฅโžโœ› โœฃโœฆโณโœฟโซโดโžทโบโ˜…โœ›โฒโœ™โโœ–โ–โžโœฑโœฃ โœ—โฒโฆโตโฉโœง โœœโ–โฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซ โœโœ˜โ˜โฉโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโžˆโซโกโซโดโณโบโฑโ–ฒโซโžโค โƒ โœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โ†โžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜…โฌโœœโœคโฑโœฟโœฅโœฆโœงโžˆโตโฉโœงโœšโขโ–ฒโœœโโœฅโกโœงโฒโž…โบโ˜…โ™โตโฉโณโบโถโโถโœฉโ˜…โžšโœœโ–โœโ™ฆโฅโฆโณโบโœงโฒโฑโœฟโœฅโžโœโ™โƒ โ™ โœ˜โฑโœฝโžŸโ–โœฃโผโœœโ–โœโชโœงโœšโ˜…โฏโฑโœฟโœฅ โซโดโœฅโœฆโณโชโตโผโž™โ–ฒโœœโ–โซโดโœฅโœฆโœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โฌโตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโดโœฅโœฆโœฃโกโ™ โœ˜โœงโžดโœฅโœช โขโ–ฒโœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโœฃโธโœโชโ˜…โœซโค โƒ โณโ–โขโˆโ˜โฏโœฃโผโœœโโœฅโกโ˜…โฏโ™ โœ˜โœฃโฌโœโœ˜โ˜…โœฌโœโœ˜โ˜โฏโœฃโกโœงโฒโž…โโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœฝโœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโณโชโœโชโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโฌโขโ–ฒโœœโœคโœฃโฌPโžšโ˜…โ†โตโฏโœฃโœฆโ˜…โ†โ™ โ–ฒโซโดโ˜…โฏโžขโžคโณโ–โฑโ–ฒโœโœ“โœ› โœณโบโœตโœฑโœฃ โœ—

Pโžšโœœโ–โฑโ–ฒโซโœžโคโฒโ˜… โžโœฎโœ‡โŠโœ‡โชโ‘โโ‚โžคโ„โฏโ– โโ‹ โœนโ——P โœœโชโณโ–โฑ โœงโฒโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโณโชโœโชโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโธโคโฒโ˜…โโซโœžโขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโœžโœโชโ˜…โœฌโœ›โโณโ–โœงโžˆโซโกโซโดโณโบโฑโœŽโ‚โŠโœงโฒโคโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜โ†โซโฌโ˜…โฉโœฅโธโณโ–โฑ โ˜…โฏโฑโจโœโชโณโ–โฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โœฌโคโฒโ˜…โโซโœžโขโœ˜โœฃโœฆโœงโœšโฑโชโž†โตโฉโœงโœšโขโ–ฒโœœโœคโคโœšโ˜…โ†โซโฌโขโœ˜โœฃโœฆโณโบโขโœ˜โœฃโกโœงโฒโ˜โฏโœฅโœฆโ˜โ†โซโ†โœ— ๏ฟฝโžโฑโฃโซโดโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโœฆโ˜…โœ–โœœโฃโณโบโฑโจโ™ โชโœฅโœฆโœงโœšโคโฒโœงโžˆโซโœฆโ˜…โžซโค โƒ โœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โœซโœโชโ˜โฏโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โ‘จโœœโ–โ™ โจโตโผโž™โฃโœœโœคโขโœ˜โœงโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โ†’โขโœ˜โœฃโกโ˜โ†โตโฏโ˜โ†โœโชโ˜…โ†โฑโบโœฅโฌโขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโžšโœโชโ˜โฏโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโœšโœฃโ™โ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โœงโฒโฑโœฟโœฅโกโ˜โฏโžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜…โโœฃโœฆโ˜…โ†โคโœšโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โ†•โœœโœคโ™  โขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœซโœโชโ˜…โ†”โœ›โโณโบโœงโœšโซโกโซโดโณโบโฑ โ‚โŠโœงโœšโคโžดโœฅโกโœฃโœฆโ˜โบโœ—โƒโžƒ โ˜…โ†•โคโฒโœงโœšโ˜…โฏโฑ โ˜…โ†โฑโบโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โ†•โคโœšโ˜…โ†โซโ†’โœงโฒโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โ†โžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜…โ†โซโœฌโ˜…โโซโฆโœฅโžซโœโชโ˜โฏโœฅโกโœœโ–โœงโฒโคโœšโคโฒโ˜โ†”โœœโ–โœงโฒโฑโฃโซโดโœงโ†โœฟโ™ โœŸโƒ โ™ โ–ฒโฑโ†”โœฃโœฆโ˜โโซโดโ™ โ–ฒโคโžดโœฅโผโœœโโœฅโžโซโœฆโ™ โœ˜โœฃ โคโžˆโœœโ†’โตโฏโณโ–โฑโœฟโœฅโœฆโœงโœšโฑโ–ผโ™ โœ˜โœงโžดโœฅโกโ˜โžšโœโชโ˜…โœญโž‚โœ„โœ‚โบโคโœšโœโชโ˜…โ†โœฃโžโœโชโ˜…โโซโœขโœฅโกโœฃโกโœœโœคโฅโฆโ˜…โ†โตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซโžโœโชโ˜…โโซโžโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโžโœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โฏโžŸโบโœฃโœฆโ˜โโซโฏโœ—โœฆ๏ฟฝโžโฑโชโšโ–ฒโฑโœฝโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โฌโžขโžคโณโบโœฃโดโž†โถโžซโ™ โœ˜โคโœšโ˜…โ†’โœโชโ˜…โฑโฒ โœฅโ…sโ†•โขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโžšโœโœ˜โ˜…โ†โซโœžโžขโžคโณโบโฑโ–ฒโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโœ˜โ˜…โฏโคโœšโคโœšโ˜…โ†โซโฌโตโฏโฟโœฟโคโœšโœงโœšโฑโ–ฒโœโชโœฃโกโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โโซโธโ˜…โ†โซโดโœฅโ™โณโ–โž€โœ˜โœฅโœฆโ˜…โฏโฑโ–ผโ™ โœ˜โ˜…โบโœ—โ–ฒโžƒโž„โ˜…โโซโฌโตโผโž™โ–ฒโœœโ–โขโœ˜โœงโžดโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โโซโฌโžนโโ˜…โฉโœฅโ‘จโœ™โ†โœ–โ‘จโžขโžคโณโ–โฑโœฟโœฅโ™โค โƒ โณโบโž€โชโฅโฆโ˜…โฉโœฅโœโ™โƒ โ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โœซโขโœ˜โ™ โœ˜โž€โ–ฒโคโฒโœงโžˆโตโฏโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โ˜…โฏโฑโจโขโœ˜โœฃโกโ˜โฏโขโ–ฒโœœโ–โœฃโกโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โœ› โœฎโœฟโœฏ โœฃโž„โ˜…โฏโฑโพโตโฉโณโบโคโฒโคโžˆโœœโœคโž€โˆโณโ–โœฃโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ‰โœœโ™ฆโž…โ–โ˜…โโตโœญโžƒ โœ—โœ˜Pโ™โ˜…โโตโฉโœฃโกโ˜…โฏโ™ โ–ฒโซโœฆโ˜…โฉโžขโžคโณโบโฑโ–ฒโœ โœ—

โžƒโž„โ˜… โžโœฎโœ‡โƒโœ‡โœ˜โ‘โŠโ‚โ…โ„โฏโ– โโ‹โžโœนโˆโœน โ˜โฏโฑโœ˜โณโบโฑโ–ฒโตโฉโ˜…โœฌโ™ โœ˜โฑ โœฅโกโž™โœ˜โ˜โฏโณโบโœฃโœฆโž›โ†โถโœฉโ˜…โœซโœโชโ˜…โœฌโœฅโฆโฟโ–ผโขโˆโ˜…โžซโนโœญโœงโฒโœฃโผโซโกโœœโœคโฑโœ˜โณโโž…โ†•โขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโธโคโœšโ˜…โœซโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœžโœโชโ˜…โœซโœ›โโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโณโ–โฑโจโ‚โŠโœงโฒโคโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜โ–โœ—โœฉโžšโฑโพโœœโœคโขโœ˜โขโœ˜โคโœšโœงโœ‰โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โœซโคโฒโ˜…โœซโœฅโกโž™โœ˜โ˜โฏโณโบโœฃโœฆโž›โ†โถโโ˜…โœญโขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโฌโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโˆโณโบโซโœฆโ˜…โฏโœฃโธโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โžซโœฃโœฆโ˜โ†โขโฃโณโบโฑโ–ฒโซโดโ˜… โœช โ™ โœ˜โฑโพโขโ–ฒโœฃโœฆโณโบโž€โœ˜โคโฒโž›โ†โถโโ˜…โ†’โœโ™โƒ โ˜…โโซโฆโœฅโกโœงโฒโถโ†•โœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโž„โœ— โœดโžโœฅโกโœœโœคโฑโœฟโœฅโžšโœโœ˜โณโ–โฑโœ˜โฑโœ˜โ˜โ™ โœ˜โฑโจโขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโธโœโชโ˜…โ†’โœ›โโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโณโ–โฑโจโ‚โŠโœงโฒโคโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜โœซโขโˆโ˜…โฏโœฃโœฆโœฅโœฆโ™ โœ˜โœฃโกโž€โฃโ˜โžซโขโ–ฒโœœโœคโœฃโธโ™ โœ˜โฑโ–ฒโ˜…โžซโœโชโ˜โฏโœฃโกโœงโœšโž…โ–โ˜…โœฌโคโฒโœงโœšโฑโœ˜โ˜โโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœซโœโชโ˜…โžซโตโฏโณโ–ผโ˜…โฉโžฃโ†”โตโฉโœงโœšโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœ„โ˜Žโœขโœœโฃโณโ–โฑโจโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโˆโณโบโซโœฆโ˜…โœญโ™ โ–ฒโฑโ˜…โ†โซโดโœฅโœฆโœงโœšโถโ†•โœœโโœฅโœฆโ˜…โ†โ™ โœ˜โœฃโโ˜…โฉโœฅโโณโ–โฑโœฉโขโœ˜โœฃโกโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜… โคโžˆโœœโžšโตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโœฆโœงโœšโซโดโœฅโกโœœโ–โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โงโœโชโ˜…โธโตโฉโ˜…โœžโœโชโ˜…โฏโœฃโกโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโœฃโโœ—โ–โžžโžโ˜…โžโขโœ˜โœฃโกโณโ–โž€โ–ฒโคโฒโž›โ†โถโœฉโ˜…โœžโœœโœญโœโชโ˜โฆโฅ โœช โ˜โฉโœฅโกโ˜โžโ˜โฏโœฅโœฆโ™ โ–ฒโœโœ˜โœงโฒโ˜โธโœโœ˜โœœโ–โฑโ–ฒโซโŠโคโฒโ˜…โธโตโฏโœœโบโœโชโœฃโกโ˜…โž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑ โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ‰โœ› โœฎโœฟโœต โœœโ™โœฑโโž โœœโœŸโœฑโโžน โœฃ โœ—โœˆโžžโžโ˜…โœฉโตโผโž™โ–ฒโœœโœคโขโ–ฒโœงโžดโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โœฌโžขโ…โœœโ–โœงโžดโœฅโœญโค โƒ โณโ–โž€โชโฅโฆโ˜…โฏโœฅโžšโœโ™โƒ โ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โ‘จโขโœ˜โ™ โœ˜โž€โœ˜โคโœšโœงโœšโตโ†โœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโพโ˜…โฏโฑโžปโตโฏโณโ–โคโœšโคโœšโœœโ–โž€โฃโณโบโœฃโกโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœœโ™ฆโž…โ–โ˜…โโตโžšโžƒ โœ—โœ˜Pโ™โ˜…โโตโฉโœฃโกโ˜…โฏโ™ โ–ฒโซโœฆโ˜…โฉโžขโžคโณโบโฑโ–ฒโœ โœ› โœฎโบโœณ โœฃ โซโดโณโบโ™ โœ˜โถโโœงโœšโซโœฆโ˜… โœช โœฝ ๏ฟฝโžโคโœšโ˜…โ†โตโฉโœฅโœฆโœฃโกโณโ–โฑโœ˜โœงโžˆโตโ†’โžžโžโณโ–โถโโถโžซโ™ โ–ฒโฑโœ˜โœงโœšโตโ†โœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโœžโœงโฒโฑโจโœ›โžโœฃโกโณโ–โž€โฃโœœโœคโž€โœ˜โœงโœšโคโฒโœงโฒโœฅโฆโฟ โœพโผโœ—

๏ฟฝโžโฑโชโšโ–ฒโฑ โคโฒโ˜… โžโœฎโœ‡โƒโœ‡โœ˜โ‘โŠโ‚โ…โ„โฏโ– โโ‹ โœนโชr โขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโˆโณโบโซโœฆโ˜…โ™โ™ โ–ฒโฑโ†”โœฅโœฆโž™โ–ฒโ˜โฏโณโ–โœฃโกโž›โฏโถโโ˜…โœญโœโชโ˜…โœซโตโฉโณโ–โฑโ–ผโž…โบโ˜…โฏโœฃโกโžŸโ–โ˜…โฏโฑโฃโตโฉโ˜…โธโ˜…โฏโฑโœฝโคโฒโณโบโœงโ‘ โœ—โœฒโฒโž‡โคโœˆโ˜…โฉโญโชโœงโžˆโซโฆโœฅโกโ˜…โœญโœโœ˜โ˜…โžšโฑโœ˜โณโบโถโžซโž€โœ˜โœฃโกโ˜…โฏโ™ โœ˜โญโ†•โœœโ–โœฃโดโž†โœฅโœฆโœงโžˆโตโฉโคโœšโ˜…โ†โซโ…โœ›โฒโœ™โบโœ™โ†โœ– โœœโ–ฒโœ™โ™ฆโœฏโœนโœฅ โœฃโˆโณโœฆโœฅโโค โƒ โณโบโฑโ†•โถโœฉโณโบโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โœ‘โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โฌโคโฒโ˜…โ™โถโœฉโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโžโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโ–ฒโœงโฒโ˜…โ†โฑโžซโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โœžโ˜…โ†โซโดโœฅ โคโœšโœงโฒโถโโœงโฒโœฅโœฆโ˜…โ™โ˜…โ†โฑโ†•โคโฒโณโบโœงโฃโœโ™โƒ โ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โซโดโ™ โ–ฒโœงโžดโœฅโกโ˜…โงโœโชโ˜…โงโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโฏโœ—โ™ฆโžƒโž„โ˜…โœžโœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโฒโœฅโกโœœโโœฅโโœโชโ˜…โธโตโฉโ˜…โœžโตโผโž™โ–ฒโœœโœคโขโ–ฒโœงโžดโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โžโ˜…โ†โซโดโœฅโŠโœงโœšโฑโ–ฒโซโœฆโขโœ˜โœงโฒโœฃโกโ˜โœžโœโชโ˜…โœ‘โชโœฒโœทโ†โœœโ–โž€โ–ฒโœœโ–โœโชโณโœฟโซโ˜žโœ›โœšโœ™โโœฏโ–โžโœฑโœฃโชโณโœฆโœฅโžซโ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โธโœœโœคโขโœ˜โขโœ˜โœฃโกโณโ™ฆโญโชโœงโฒโถโ†•โœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโžขโžคโณโ–โœฃโœฆโœฅโœฆโ˜…โœžโ˜…โ†โซโดโœฅโœขโณโ–โž€โชโœฅโกโ˜…โฏโฑโ–ผโ™ โœ˜โ˜…โœžโขโ–ฒโœœโ–โœฃโžโœโชโ˜…โ†โซโโถโโณโโฟโ–โ˜…โ†โฑโœ˜โฑโœ˜โ˜…โโซโƒโถโโณโบโž€โœ˜โœงโฒโคโœšโ˜…โ†โซโœขโœโœŸโƒ โ™ โœ˜โฑโ–ฒโ˜…โœžโœœโ–โขโœ˜โขโœ˜โœฃโกโณโ™ฆโญโชโœงโฒโถโ†•โœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ†’โžขโžคโณโบโœฃโดโœฅโกโ˜…โœžโœโœ˜โ™ โ‘จโถโโณโ–โ™ โ–ฒโž…โ–โ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโžโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโฒโ˜…โ†โฑโœฉโžšโœฃโกโœโœ˜โœงโฒโฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ–โœ—โˆโฒโฆโตโฉโœง โœœโ–ผโณโ–โฑโ†”โžŸโœฟโœœโœคโœฃโผโœโชโ˜…โฌโคโœšโ˜…โžšโขโœ˜โœฃโกโœงโœšโฑโ–ฒโตโฉโœงโœšโขโฃโ˜…โœฌโœโชโ˜…โœญโคโœšโœœโžซโถโโณโโฟโ–โ˜…โฏโฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ™โถโโณโ–โž€โ–ฒโœงโฒโคโœšโ˜…โ™โถโ†•โœœโœคโœงโžˆโซโžโณโ–โฑโœฝโœœโ‘จโซโดโ˜…โ†โ™ โœ˜โคโœšโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœžโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โžšโตโฏโณโ–โฑโ–ผโž…โ–โ˜…โ†โœฃโœฆโžŸโบโ˜…โฏโฑโ–ฒโตโฏโ˜…โžขโ…โœœโœคโœงโœšโž€โœ˜โคโœšโ˜…โžซโขโœ˜โ™ โœ˜โœงโžˆโซโ…โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โ€โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โžซโค โƒ โณโ–โฑโžปโœœโ–โขโœ˜โขโœ˜โœฃโกโณโ™ฆโญโ–ผโœงโœšโถโโ˜…โœซโคโฒโ˜…โ‘จโถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœญโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโจโขโ–ฒโœœโœคโœฃโœญโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โœฉโซโดโ™ โ–ฒโœงโžดโœฅโกโ˜…โžซโœฃโกโ˜…โฏโฑโœ˜โณโบโœฃโœฆโถโ†•โœœโœคโคโœšโœงโžˆโซโดโ˜โ†โ˜…โ†’โœโชโ˜…โžซโขโœ˜โœฃโกโณโœคโž†โตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœžโœโชโ˜…โœซโœ›โโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโณโ–โฑ โœ—โœ›โžโคโœšโ™ โ–ฒโซโœญโขโœ˜โœฃโœฆโ˜โโตโฉโœงโžˆโซโดโ˜โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ€โœœโœˆโคโœšโ˜…โ‘จโถโโณโ–โ™ โ–ฒโž…โ–โ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโœซโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโ–ฒโœงโฒโ˜…โ†โฑโพโžขโžคโœฃโกโœœโบโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโกโ˜…โ‘จโœโชโ˜…โโžƒโž„โ˜โ†โž…โœฟโฟ โœโœ˜โ˜…โ‘จโขโ–ฒโœœโ–โœฃโกโœœโ–โถโโž›โฉโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โ‘จโœโœ˜โ˜…โœฉโž‚โœ„โœ‚โœ˜โœฃโกโซโดโœฅ โœ† โœ–

Page 18: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ‚โœ ๏ฟฝ โœโœžโœ โœโ˜Žโœ–โœ˜๏ฟฝโœ“โœ’โœ•โœžโœ๏ฟฝ โœฑ

โœ โœง โœžโœ˜โœ”โ‘ r โ˜…โโซโฆโœฅโฌโœโชโ˜โฏโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโž„โขโ–ฒโœœโ–โœฃโธโคโœšโœœโœฉโœฃโกโ˜…โฏโขโœ˜โœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโผโœœโโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœฝโ˜…โฏโฑโจโถโโณโโฟโ–โ˜…โ†โฑโœ˜โฑโœ˜โ˜…โœญโถโœฉโณโบโž€โœ˜โœงโœšโคโฒโ˜…โ†’โซโœฆโ™ โœ˜โœงโœšโž…โ™ฆโœœโ–โฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โโทโœŸโœกโœ  โœ’โœŒ โœฅ โœ”โœ‚ โœโœŽโœ† โœตโ˜Žโœ„โœ† r โœ

โœŒโ™ฅ โœโœทโœถ โ‚โ‘โœนโœฎr โœ’โ‡โ„ โœ„โœžโœ โœ† โœ โœ  โœ’ โœ” โœถ โœ– โœนโœ โœŸ โœฃ

โณโœฆโœฅ โœ  โ˜…โ†โซโดโœฅโžšโ™ โœ˜โฑ โถโโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโžšโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโพโณโบโœฃโกโœโœ˜โœงโฒโฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ–โœ—โ–ฒโœ›โžโ™ โœ˜โœงโžˆโซtโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ˜›โœกโœทโœŒโ˜ž โœฅ โœฌ โœฒ โœ„โœโœ โœ† โœ โœทโœŽโ˜žโœ’ โ‚ โœฒ โœนโœฎrโœธโœžโœณโœน โœ– โœน โœŸ โœป โณ โœฅ โœทโœŒโ˜žโ˜…โ†โซโดโœฅโžโ™ โœ˜โฑโœ‰โขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโžโœโชโ˜…โœญโœ›โŠโณโบโœงโœšโซโกโซโœฆโณโ–โฑโ†”โœโ™โƒ โœงโฒโฑโœฟโœฅโกโ˜…โฏโฑโ–ฒโซโœฆโœงโžดโœฅโกโ˜โ– โœฒ โตโฉโณโบโฑโ–ผโž…โ–โ˜…โฏโœฃโกโžŸโ–โ˜…โœžโžขโ…โœœโ–โœงโฒโž€โ–ฒโคโฒโ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโžโž…โ–โ˜…โ†โœฃโกโซ โœ  โ†โœฟโ™ โ–ฒโœœโ–โฑโ–ฒโœโโœฒโœ‰โœฅโœฆโ˜…โ†โฑโ–ฒโœโ†•โž…โบโ˜…โฏโœฃโผโซโžโค โƒ โœงโœšโฑโชโšโ–ฒโฑโœ˜โœง โœœโœงโฒโค โ˜…โโซโฆโœฅโฌโฑโฃโœœโโœฅโœฆโ™ โ–ฒโœฃโœฆโ˜…โ†โคโž„โœโชโ˜…โ†’โซโดโ˜…โœซโœโชโ˜…โ†โถโ†•โœœโœคโฑโ–ฒโœโชโ˜…โ†โœฃโฌโซโดโœงโœŸ โœท โœ’โœŒ โœฅ โœ”

โœ‚ โœโœŽโœ† โœต โœ„โœ† r โœโœŒโ™ฅ โœโœŽโœถโโ‚โ‘โœนโœฎr โœ’โ…โ„ โœ„โœโœ โœ† โœ โœกโœท โ˜žโœ’ โœ” โœถ โœ– โœน โœŸ โœฃ

โตโฉโณโบโฑโœฟโž…โบโ˜…โฏโœฃโกโžŸโ–โ˜… โž…โ–โ˜…โ†โœฃโกโซ โœ  โœ’ โœœโœคโ™ โž‘โซโœฆโ˜…โฏโฑโฃโซโโžขโ…โœœโœคโœงโœšโž€โœ˜โคโœšโ˜…โžปโœโœ˜โœœโœคโฑโฃโซโœ‘โœ โœโœ›โœ˜ โœง โœžโœ˜โœ” โœœ โœžโœคโœนโ‘r โœ—โžšPโžšโ˜…โฏโ™ โœ˜โญ โซโœฆโœงโžดโœฅโกโ™ โ–ฒโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโ†”โซโœฆโณโ–โฑโœฟโœฅ โœช โ˜…โ†โฑโœฟโž…โ–ผโœงโžˆโซโœฆโœœโ–โžŸโ–โ˜…โ†โœฃ โทโžโคโฒโ˜… โตโฏโœœโ–โซโœ† โœ“ โœ”โœ“โœ’ โ˜… โณ โœฅโจโคโฒโ˜…โœซโœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโฒโœฅโกโœœโโœฅโฌโขโˆโ˜…โฏโ™ โœ˜โœฅโœญโซโœฌโƒ โ˜โฏโœฅโกโœœโœคโž€โ–ฒโคโฒโœงโœšโœฃโฌโ˜…โฏโฑโจโ™ โชโœฅโกโœงโฒโคโœšโœงโžˆโซโœฆโœœโ–โฑโบโœฅโžšโคโฒโ˜…โ†’โตโฏโœฃโœฆโœงโฒโœฅโœฆโž›โ†โœฃโœฆโ˜…โ†’โœโชโ˜…โ†’โœฅโœฆโ˜…โฏโฑโฃโซโดโœงโœšโณโ–โฑโพโœโชโ˜…โ˜žโœ†โžšโณโ–โคโœšโถโโณโ–โžŸโบโณโ–โœฃโกโณโโž…โ‘จโ˜…โฏโœฅโ™โคโฒโ˜…โ‘จโตโฏโœœโ–โซโœ†โœ•โœ” โœ”โœ“โœ’ โ˜… โณ โœฅโœ‰โœงโœšโคโฃโžขโ…โœœโ–โ™ โชโœฅโœžโ˜…โฏโฑโ–ผโž…โ–ผโœงโœšโซโกโœœโœคโžŸโบโ˜…โฏโœฃ โ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โœญโœœโ–โ™ โชโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โžšโœฅโœฆโ˜…โ†โตโผโž™โ–ฒโฑโœ˜โœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โบโœ—โœฒโฒโฆโตโฉโœง โœœโœฟโณโบโฑโ†”โœฅโกโœฃโกโœœโ–โœงโžดโœฅโกโ˜…โžšโคโœšโ˜…โ†โซโงโœโชโ˜…โฏโ™ โœ˜โญโœฝโตโฏโœœโบโซโžโซโœฆโ˜…โฏโคโœšโณโ–โฑโ†”โ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โœฌโถโœฉโ˜โฏโœฅโœฆโž™โœ˜โณโชโœโชโ˜…โ™ โœ˜โฑโœ˜โœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฌโ˜…โฉโœฅโฌโฑโœ˜โณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โคโฒโคโœšโ˜…โ–โœ—โžžโžโณโ–โฑโ–ฒโซโœฆโœงโžˆโœโชโ˜โฏโœฃโกโณโ–โฑโ–ฒโซโงโคโžˆโœœโ‘จโžขโ…โœœโœคโถโโœงโฒโคโœšโคโœšโ˜…โ†’โœโชโ˜…โœฌโขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโงโœงโœšโฑโ–ฒโœโชโ˜…โฏโญโ–ผโ˜โ†โ˜…โœซโขโ–ฒโœœโœคโœฃโ…โœฒ โœ– โœน โœŸ โทโœŸ โž โ˜žโœŒ โœฅโœŽโœ โœŒ

โ™ฅ โœ โœโœทโœถโœธโœž โœนโœฎrโœ›โœ โœกโœท โ˜žโœ’ โœžโœ‘โœถโโ‘ โœง โœฃ โณโœฆโœฅ โœกโœท โ˜žโœ’ โœฅ โœ–โœทโœ˜โœ—โœ’โœ™ โœฒ โœฅ โœทโœŽโ˜žโœ’ โ‚ โœฒ โœนโœ™ โœฒ

โœท โ˜ž โ˜โฉโœฅโผโœœโœคโฑโœฟโœฅโœญโ™ โ–ฒโฑ โœ›โžโœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœญโœโชโ˜…โโœ›โŠโณโบโœงโœšโซโกโซโœฆโณโ–โฑโžปโœโ™โƒ โœงโœšโฑโบโœฅโกโ˜…โฏโฑโ–ฒโซโœฆโœงโฒโœฅโœฆโ˜โ†•โตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโฆโœฅโผโœœโœคโฑโœฟโœฅโœฆโ˜… โœฒโž„โœ—โž„โžƒ โ˜…โ†โซโžšโœฅโœฆโ˜…โโตโผโž™โœ˜โฑโœ˜โœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โซโœญโ™ โ–ฒโซโœฆโ™ โœ˜โ˜…โฏโคโœšโคโœšโ˜…โ†โซโœฌโœโชโ˜…โโตโฉโณโ–โฑโ–ผโž…โบโ˜…โฏโœฃโœฆโž†โžŸโ–โ˜…โ†โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โงโœโชโ˜…โœžโถโโœœโ–โœฃโดโœฅโกโœงโฒโฑโ–ฒโžŸโบโœœโœคโคโœšโ˜…โ†โซโŠโซโœฆโณโ–โฑโœฟโœฅโŠโž€โ–ฒโœงโฒโ˜…โ†โฑโ‘จโซโ†โ…โœ˜โœฃโโœงโฒโฑโ–ผโ™ โชโœฅโกโœงโฒโคโœšโœงโœšโซโกโœœโœคโž€โ–ฒโคโฒโ˜…โโซโŠโœœโ–โ™ โžซโขโœ˜โœฃโกโ˜…โฏโถโโœงโœšโ˜…โฏโœฃโœขโœœโœคโž€โˆโณโ–โœฃโผโœโœซโขโœ˜โ™ โ–ฒโœงโœšโซโ…โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœžโž โ˜ž โฑโœŸโƒ โ˜…โโซโฆโœฅโœขโขโ–ฒโœœโบโซ โ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โœžโถโโœœโ–โœฃโดโž†โœฅโœฆโœงโœšโฑโœ˜โžŸโบโœœโ–โคโฒโ˜…โบโœ— โžžโžโ˜…โ†โขโฃโ˜…โ†โฑโ–ฒโœโœ˜โœœโ–โฑโบโœฅโœฑโœœ โซโดโœงโโฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโžšโšโœ˜โญโชโณโ–โฑโ–ฒโซโžšโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โœฉโž…โโœœโœคโœฃโกโœงโœšโœœโ–โž€โœ˜โคโฒโ˜…โ‘จโœงโ‘ โœ— โ˜…โ–โœ— โœœ โซโดโœงโโค โƒ โณโบโฑ โตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโœฆโœงโœšโœโœ˜โž›โฏโœฃโกโ˜…โœ›โœšโœขโœœโฃโœคโœฃโœŒ โœโœทโœŒโœนr โœฅโœฆโœฅ โœŒโ™ฅ โœ โœโœทโœŒ โœžโœบโœนโœฎrโœ‘โœ โœกโœทโœ˜โœ—โœ’โขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃ โœŒ โšโœ˜โญโชโ˜ โœœ โณโบโฑโžปโณโบโž€โชโœฅโœฆโœงโœšโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœซโ™ โœ˜โฑ โขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซ โ†โœฟโ™ โœ˜โœงโœขโ˜…โ†โซโดโœฅโœฌโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โโถโ†•โœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโฑโœ˜โžŸโบโœœโ–โคโฒโ˜…โ‘จโœฃโœฆโ˜…โ†โคโœšโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅ โœช โœถ โ˜…โฉโœฅโœฌโž โœ— โฑโœŸโƒ โ˜…โโซโฆโœฅโœฌโœฃโกโœงโฒโ˜…โ†โฑโœโ™โƒ โœœโœคโ™ โชโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โ˜›โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœงโœšโ˜…โœœโฃโœฉโœฃโœŒ โœโœŽโœถ r โœ—โชโžชโฌโณโบโ™ โ–ฒโซ โœœโ–โคโฒโคโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโœขโœฅโœฆโœฃโผโœœโœคโฑโ–ฒโซโดโžขโžคโณโ–โœฃโกโถโโ˜…โฏโœฃโžโคโœšโ˜…โฌโขโœ˜โœฃโกโณโ–โž€โœ˜โคโœšโž›โฏโถโโ˜…โฌโœงโœšโฑโœ˜โœงโฒโœฅโœฆโœงโžˆโœœโœคโคโˆโ˜…โฏโฑโ†•โ™ โœ˜โฑโœ‰โขโœ˜โœฃโœฆโณโบโž€โœ˜โคโœšโž›โฏโถโโ˜…โ™โœโชโ˜…โ™โตโฏโณโ–โฑโ–ผโž…โ–โ˜…โ†โœฃโœฆโžŸโบโ˜…โฏโฑโ–ฒโตโฏโ˜…โœโชโ˜…โงโถโโœœโ–โœฃโดโœฅโกโœงโฒโฑโ–ฒโžŸโบโœœโœคโคโœšโ˜…โ†โซ โœช โž…โโœœโ–โคโฒโ˜…โ†โ™ โœ˜โœฃโกโซโŠโž‚โฌโœงโœšโคโœšโž€โฃโ˜…โ†โœฃโดโœฅโกโœงโฒโ˜…โ†โฑโœ˜โฑโœ˜โ˜…โ†โซโโ˜…โฏโœฅโŠโ˜…โ†โฑโ–ฒโซโœฆโ™ โœ˜โœงโžดโœฅโกโ˜…โœžโขโœ˜โœฃโœฆโณโ–โฅโฆโ˜…โฉโœฅโกโ˜…โฏโœฃ โคโœšโ˜…โœžโœฃโœฆโ˜โโซโดโ™ โ–ฒโคโžดโœฅโผโœœโโœฅโƒโขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโŠโณโบโž€โชโœฅโœฆโ˜…โ†โฑโœ˜โœงโœšโœฃโŠโคโžˆโœœโ™โตโฏโณโ–โฑโ–ผโž…โ–โ˜…โ†โœฃโœฆโžŸโบโ˜…โฏโฑโ–ฒโตโฏโ˜…โœโชโ˜… โž โœ— โœ—โโž“โ™โฑโ‘จโœโชโ˜…โโซ โขโœ˜โœฃโกโณโ–โž€โ–ฒโคโฒโž›โ†โถโœฉโ˜…โโซโƒโตโฏโคโฒโ˜โžโ˜…โ†โซโดโœฅโŠโœโชโ˜…โงโขโœ˜โœฃโกโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโœฃ โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฉโœšโœขโœœโฃโœคโœฃ โ˜…โ†โซโดโœฅโŠโ™ โœ˜โฑโ–ฒโ˜… โถโ†•โœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโฑโœ˜โžŸโบโœœโ–โคโฒโ˜…โžโตโฉโณโ–โฑโœฟโœฅโกโœงโฒโฑโ–ผโ™ โœ˜โ˜…โงโœโœ˜โœœโœคโฑโ–ฒโซโƒโ™ โœ˜โฑโ‘จโ˜…โ†โซโœฆโขโ–ฒโœœโ–โตโฏโ˜…โœโชโ˜…โžšโž‚โ™โœงโฒโคโœšโž€โˆโ˜…โฏโœฃโœฆโœฅโงโตโฉโณโบโฑโ–ผโž…โ–โ˜…โฏโฑโฃโœœโœคโž€โœ˜โคโœšโ˜…โ–โœ—โœฟโžžโ˜Žโƒ โ˜…โ†โซโดโœฅโžโขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโงโตโฏโ˜…โธโžขโ…โœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜… โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ™โฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโžโ™ โœ˜โœฅโœฆโœงโœšโคโฒโœงโžˆโซโดโ˜…โ†โœฃโœฆโณโบโฑโ–ฒโซโžโคโœšโ˜…โ†โซโžโœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโžดโœฅโผโœœโโœฅโผโซ โœโชโ˜…โžšโœฃโกโœœโบโœโชโณโ–โฑโœ˜โœงโฒโšโฃโตโ†โœœโโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ†•โœโชโ˜…โž โœžโœœโ–โœโชโœฃโกโœงโฒโžทโ–ผโœงโžˆโœœโœคโฑโœฝโ˜…โฉโœฅโœงโœชโ™โซโดโœฅ โœ‚โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โฏโคโœšโœ› โž โœœโž„โœ™โ™ฆโœฏโ–โœตโ€โœฃ โœ—โ–ฒโžƒโž„โ˜…โœซโœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโฒโœฅโกโœœโœคโœฅโœžโ˜…โโซโฆโœฅโฌโœœโ–โคโฒโณโบโœฃโกโซโงโคโœšโ˜…โ†’โซโดโ™ โœ˜โœงโœšโž…โโœœโœคโฑโœฟโœฅโœซโทโœ˜โคโœšโ˜…โ†โซโœžโคโœšโณโ–โœงโžˆโซโธโœโชโ˜…โ†โซโธโขโ–ฒโœฃโœฆโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโœŸ โž โœ—โœŒ โœฅ โœ โœŒ

โ™ฅ โœ โœโœŽโœถโœธโœž โœนโœฎrโœ‘โœ โœกโœท โœ—โœ’ โœžโœขโœถโœ—โœ– โœ˜ โœง โœžโœ˜โœ”โœฟโœœโœคโœฃโœโœ˜โœœโœคโฑโฃโซโœฉโœ โœ โœ˜ โœง โœžโœ˜โœ” โœœโœฌโœซโœคโœน r โตโฏโณโ–โฑโ–ผโž…โ–โ˜…โ†โœฃโœฆโžŸโบโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโงโž…โบโ˜…โฏโœฃโผโซโงโคโœšโœœโœฉโคโœšโณโ–โœง โœโชโ˜…โœŸ โž โœŒ โœฅ โœ โœŒ

โ™ฅ โœ โœโœŽโœถโœธโœž โœนโœฎrโœ‘โœ โœ โœซโœ’ โœžโœขโœถโœ—โœ– โœ˜ โœง โœžโ€โœ”โœฟโœœ โœฃโžžโžโ˜…โ™โœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโฒโœฅโกโœœโโœฅ โžขโ…โœœโœคโœงโฒโœฅโžโค โƒ โณโบโž€โชโฅโฆโ˜…โฉโœฅโœžโœโ™โƒ โ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โžšโขโ–ฒโ™ โœ˜โž€โœ˜โคโœšโœงโœšโตโ†โœœโโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โœ› โœฎโฃโœ™โœธโœฃโˆโ˜…โ†โฑโœ‰โตโฉโณโบโคโฒโคโžˆโœœโœคโž€โˆโณโ–โœฃโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ†•โœœโ™ฆโž…โ–โ˜…โ†โตโธโžƒ โœ—โœฟPโžšโ˜…โ†โตโฏโœฃโœฆโ˜…โ†โ™ โ–ฒโซโœฆโ˜…โฉโžขโžคโณโ–โฑโฃโœโ†”โซโดโณโบโ™ โœ˜โถโโœงโœšโซโœฆโ˜…โ™โœœโ–โ™ โตโœฎโœญโบโณโ–โ™ โœ˜โœฃโกโฑโ–ฒโœœโ–โคโฃโณโ–โžขโƒโœฅโกโž™โœ˜โ˜…โ†’โž โงโ˜…โฏโœฃโกโฑโœ˜โณโ–โ™ โœ˜โคโœšโคโœšโœง โชโ–ผโณโชโตโฉโœงโœšโ˜…โฉโœฅโฆโฟโ†•โžขโžคโณโบโœฃโฌโฝ โœœโโœฅโกโž™โœ˜โ˜…โฏโถโ†•โœœโโœฅโกโœงโœšโตโ†โœœโœคโค โชโœฟโœฅโผโœœโโœฅโกโœงโœšโซโดโœฅโœฆโœงโžˆโตโฏโซโธโœœโ–โฑโ–ฒโœ โœ›โžโœฃโœฆโณโบโž€โ–ฒโœœโœคโž€โ–ฒโœงโฒโคโœšโœงโžดโœฅโฆโฟโœŸโตโœคโœ—

Page 19: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โž

Page 20: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœ„โœŸโœ โœ‚โœ โœžโ˜Žโœ„ โœ„ โœ  ๏ฟฝ โœโ˜Žโœ„ โœ† โœžโœกโœ 

โœ† โœ โ˜ž โœ โœ’โžฆโœโœถโ˜ŽโธโœŽ โœŒ โœ โœก

โžน

Page 21: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux
Page 22: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ˜› โ˜ž โœŒโœโœ’ โœ โœŸ โœ„โœ‘โœ โœŒโœโœŽโœ’โœ โ˜ž

Pโžšโœœโ–โฑโ–ฒโซโœฌโค โƒ โœงโœšโฑโบโœฅโกโœฃโœฆโณโชโœโชโ™ โฃโตโžฅโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โœœ โฑโœ˜โณโ–โ™ โ–ฒโซโœซโœœโ™ฆโž…โบโณโ–โฑโ–ฒโซโžšโ˜โฏโž…โบโณโ——โ†โบโ™ โ–ฒโ˜โ‘จโคโžˆโœœ โคโฒโœงโœšโถโโœงโžดโœฅโกโ˜…โโœโœ˜โ˜…โ†โซโœฌโถโโณโชโœโชโž›โฏโคโœšโ˜…โ†โซโœซโตโฏโคโœšโœœโบโซโœฆโซโœฆโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โโซโœญโ˜…โฉโœฅโœซโค โƒ โ˜โฏโถโโ˜…โ†โœฃโœฆโžŸโบโ˜…โฏโฑโ–ฒโตโฏโ˜…โœฉโœโชโ˜…โขโœ˜โž™โœ˜โ˜โ†โฑโœ˜โณโ–โถโโž›โฏโฑโ–ฒโ˜…โ†โซโฌโœโชโœงโฒโœฅ โœช โœโœ˜โ˜โฏโขโˆโ˜…โฏโฑโ–ฒโœโœ˜โœœโ–โฑโ–ฒโตโฉโ˜… โœช โคโฒโณโบโฑโœ˜โžŸโโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโœฆโถโโ˜…โ†’โ˜…โฏโœฅโžšโœœโœคโ™ โชโœฅโกโณโœคโž†โž‡โซโดโœงโœšโถโโœงโฒโคโžˆโœœโœคโœงโœšโœฃโกโ˜…โ–โœ—โชโœ›โโณโ–โ™ โœ˜โœฃโžšโตโฉโ˜…โ†โซโ™โขโœ˜โž™โœ˜โ˜โ†โฑโœ˜โณโ–โถโโž›โฏโฑโ–ฒโ˜…โ†โซโ€โœœโœ˜โคโฒโ˜…โžซโถโœฉโณโชโœโชโž›โ†โคโฒโ˜…โตโฉโคโžˆโœœโ–โซโกโซโดโœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฌโœโชโ™ โพโถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโฌโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑ โ˜…โ†โซโดโœฅโธโœงโฒโฑโฃโœœโ–โœโชโ˜โ‘ โ†โบโ™ โฃโœœโโœฅโฌโ˜…โฉโœฅโฌโณโบโฑโœฝโž…โบโณโ–โœงโฒโœฅโ€โœœโœ˜โขโฃโœœโœคโœฃโฌโตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโœฆโ˜โœฌโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฑโœœโชโคโœšโœœโโถโโณโ–โฑโœฟโœฅโกโ˜โœญโ˜…โ†โฑโจโขโœ˜โ™ โœ˜โœงโžˆโซโฆโž†โซโœฆโœœโ–โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โœฌโœโชโ™ โจโถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโฌโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโ–ฒโœงโฒโ˜…โ†โฑโœ‰โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜… โœœโ–ผโ˜…โฏโญโœฟโœฅโกโ˜…โฏโฑโ–ฒโซโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โฑโ–ฒโœœโโœฅโกโ™ โœ˜โœฃโœฆโ˜…โ†โคโฒโคโœšโ˜…โœซโœโชโ™ โจโถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโฌโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑ โœ—

โžžโžโ˜…โฉโœฅโดโœฅโกโ˜…โœฌโขโœ˜โœฃโœฆโ˜…โ†โถโโœงโฒโž›โ†โœฃโœฆโ˜…โžšโขโ–ฒโœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโ˜…โžšโซโœฆโ˜…โœญโตโฏโณโ–โถโโขโˆโณโบโซโœฆโ˜…โœญโœโชโ˜…โžšโœฅโœฆโœฃโกโณโ–โœงโžˆโซโงโตโผโž™โ–ฒโœœโœคโขโœ˜โœงโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โ†โซโ†โœ—โ–ผโžƒโž„โ˜…โœญโขโœ˜โœฃโœฆโ˜…โ†โถโโœงโฒโ˜…โ†โœฃโžโ˜…โโซโฆโœฅโธโตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโœฆโœœโบโตโฉโœฃโกโ˜โžšโœœโ–โ™ โชโญโ†•โขโœ˜โœฃโœฆโณโบโขโœ˜โœฃโกโœงโฒโ˜โฏโœฅโœฆโ˜โ†โซโœโชโ˜… โž€โ–ฒโœœโ–โซโœฆโ˜…โœฝโœโชโ™ โ™ฅโถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฉโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑ โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โœ‰โœœโ–โœงโฒโฑโ–ฒโซโœฆโœงโœโ†โบโ™  โƒ โœช โซโœฆโœœ โœโชโ˜โฉโšโฃโฑโœ˜โœงโžดโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโž„โœ—โœขโžชโฌโณโบโ™ โ–ฒโซโœฉโž…โ–โ˜…โฏโœฃโกโœฃโกโณโ–โฑโ–ฒโซโฑโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โจโตโฉโ˜…โขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโžโ˜…โโซโฆโœฅโธโขโ–ฒโœœโ–โ™ โœ˜โž…โ–ผโœฃโœฆโ˜…โœฌโ˜…โ†โฑ โขโ–ฒโœฃโœฆโณโบโขโœ˜โœฃโœฆโœงโœšโ˜โฉโœฅโกโ˜โ†โซโœžโตโฉโคโžˆโœœโ–โซโกโซโœฆโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โโซโœญโžถโ‘ โซโดโ˜…โ†โถโโœงโžดโž† โถโ†•โœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโœšโฑโœ˜โžŸโบโœœโ–โคโฒโ˜…โœ–โœœโœฟโขโ–ฒโœฃโœฆโณโบโขโœ˜โœฃโœฆโœงโœšโ˜โฉโœฅโกโ˜โœซโœโชโ˜…โœซโฝ โœœโœคโœฃโกโžทโ–โณโโž… โœœโœšโœ—โฒโœ—โœšโœ— โž˜โฉโœ—

โœ›โŠโณโบโ™ โœ˜โœฃโฌโžขโ…โœœโบโตโฉโœงโœšโคโฒโœงโฒโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโ™โค โƒ โ˜โฏโœฅโœฆโ™ โ–ฒโœโœ˜โ˜… โœœโˆโณโ–โฑ โœœโœคโ™ โ–ฒโœฃโกโœœโ†•โœฃโกโ˜…โ†โตโฏโณโ–โ™ โœ˜โœฃโผโซ โœช โœโชโ˜…โโซโ™โœฃโกโ˜…โฏโขโ–ฒโœฃโœฆโ˜โโซโดโ˜…โ†โฑโบโœฅโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโธโœโชโ™  โถโโณโ–โ™ โ–ฒโž…โ–โ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโœญโž โžโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑ โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโž†โœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โจโตโฉโณโบโถโœฉโถโโ˜… โœงโฒโฑโœฟโœฅโกโ˜โฏโžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜…โจโœโ™โƒ โ™ โ–ฒโฑโ™ฅโฑโœ˜โณโโฟโœฟโœœโœคโ™ โ™ฃโœโœ˜โ˜โฉโœฅโœฆโ˜…โ†โœฃโœฆโถโโœงโœšโฑโœ˜โœงโžˆโซโฆโœฅโกโ˜… โœฃโกโ˜…โฏโคโžˆโœœโโœฅโกโœงโฒโž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅ โœช โ™ โœ˜โฑโ™ฅโถโโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโฒโ˜…โ†โฑโœฉโžšโœฃโกโœโœ˜โœงโฒโฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ–โœ—โ–ฒโžžโžโ˜…โœญโœฅโœฆโž™โ–ฒโž›โฏโถโโ˜…โœฌโžขโžคโ˜…โฏโœฃโกโœฃโกโœœโœฉโค โƒ โณโบโž€โชโฅโฆโ˜…โฉโœฅโฌโœโชโ™ โพโœโชโ˜…โ†โ™ โชโญโชโœงโฒโž›โ†โถโโ˜…โ†’โตโผโž™โ–ฒโœœโœคโขโœ˜โœงโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โ–โœ—

๏ฟฝโžโฑโชโšโ–ฒโฑ โœœโœˆโฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโ™โตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโกโœœโ–โตโฏโœฃโœฆโ˜…โ†โœฃโœฆโณโบโฑโ–ฒโซโœžโ™ โœ˜โฑโพโœฅโกโœฃโœฆโณโบโœงโœšโซโœฆโœงโœšโž›โฏโถโโ˜…โ†’โตโผโž™โ–ฒโœœโœคโขโ–ฒโœงโžดโœฅโกโœฃโœฆโ˜… โœช โค โƒ โ˜โฉโœฅโกโ™ โ–ฒโœโชโ˜…โโœโชโ™ โžปโœโชโณโบโถโโœœโ–โœงโฒโฑโ–ฒโ˜…โžซโœโ™โƒ โœœโโœฅโดโœฅโกโœฃโกโœœโบโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโจโœโœ˜โ™  โถโโณโ–โ™ โชโž†โž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโธโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโœฝโžขโžคโœฃโกโœœโบโตโžฅโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœซโต โƒ โ˜…โโซโฆโœฅ โœช โœโชโœงโœšโœฃโกโ˜…โœฌโœœโ–โ™ โชโญ โตโฏโณโ–โฑโ–ฒโœโœ˜โœงโžดโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโฌโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโธโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โžซโซโœฆโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโœฆโ˜…โ†’โœโชโ˜…โœซโž…โโœœโ–โœฃโœฆโœงโžˆโœœโœคโž€โœ˜โคโœšโ˜…โ†โซโธโœœโ–โคโฒโ˜โโœœโโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซโตโฉโณโบโฑโœฟโž…โบโ˜…โฏโฑโ–ฒโœœโ–โž€โœ˜โคโœšโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ†’โฑโœ˜โณโบโœฃโœฆโถโ†•โœœโœคโคโœšโœงโžˆโซโดโ˜โ†โ˜…โ†โซโ†’โขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโ—†โ†โœฟโ™ โœŸโƒ โ˜…โฏโคโœšโคโฒโ˜… โตโฉโณโบโฑโœฟโž…โบโ˜…โฏโœฃโกโžŸโ–โ˜…โ†•โ˜…โ†โฑโ™ฃโคโœšโณโ–โœงโงโž…โ–โ˜…โฏโœฃโผโซโ†’โ™ โ–ฒโฑโžโถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฉโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑ โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโž†โœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โบโœ—

โœ™โ–โœ™

Page 23: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ™โโœฏ

Page 24: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœ โœ ๏ฟฝ โœž โœ†โœโœ„ โœ  โœ‚

โœ„ โœ ๏ฟฝ โ˜ž โœŽ โœŒโœโœŽโœ’โœ โ˜ž โœก โœ โœŒ โ˜Ž โœ’โœŽโœโœโœ†โœปโœ’โžฆโœŽ โœ โœŒ โœ โœก

โžžโžโ˜…โธโขโœ˜โœฃโœฆโ˜…โ†โถโโœงโฒโ˜…โ†โœฃโžโตโผโž™โ–ฒโœœโœคโขโœ˜โœงโฒโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โงโœฃโœฆโ˜…โโตโฉโ˜…โฏโฑโฃโซโดโ˜…โœ–โœœโœคโœœโœคโขโœ˜โœฃโกโž›โ†โซโโค โƒ โœœโ™ฆโž…โบโณโ–โœงโœšโœฃโŠโœโœ˜โ˜โฉโšโ–ฒโฑโœ˜โœง โœœโœคโคโœšโ˜…โ†โซโœขโขโ–ฒโœฃโœฆโณโบโขโœ˜โœฃโœฆโœงโœšโ˜โฉโœฅโกโ˜โ†โซโโœโชโ˜…โธโž€โ–ฒโœœโบโซโดโ˜…โธโœโชโ™ โโถโโณโ–โ™ โ–ฒโž…โ–โ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโžโž โงโœฃโกโณโโžกโœžโž†โฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโ‡โ‚โœ˜โœฃโผโœœโ–โตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ™โทโโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโ–ฒโœฃโœฆโœงโœšโ˜โฉโœฅโกโ˜โ†โซโโœโชโ˜…โ†โซโŠโœฅโกโœฃโกโœœโœคโฅโฆโ˜…โ†โตโฉโœฅโœฆโณโ–โœงโœšโœฃโกโ˜…โ†โซโงโžถโ…โœœโœคโ™ โœ˜โœฅโœฆโณโœคโž†โž‡โซโœฆโœงโฒโถโโœงโœšโคโœšโœœโ–โœฃโœฆโœงโฒโœฅโœฆโ˜โœ–โœœโโตโฏโณโ–โฑโœฟโœฅโœฆโœงโœšโฑโ–ผโ™ โœ˜โœงโžดโœฅโกโ˜ โœœโโฑโœ˜โณโบโฑโชโž†โž‡โœโชโœง โ˜โœˆโ˜โฏโœฃโกโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโœงโœšโœœโ–โž€โœ˜โœงโฒโคโœšโœงโฒโœฅโœฆโ˜โโž˜โ˜…โฉโœฅโโœโชโ˜…โ†โซโžซโขโœ˜โœฃโœฆโณโบโขโœ˜โœฃโกโœงโฒโ˜โฏโœฅโœฆโ˜โ†โซโ†’โขโœ˜โคโฒโ™ โฃโซโ†’โžขโžคโณโบโฑโ–ฒโœโœ˜โœœโœคโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโผโœœโœคโคโœšโ˜…โ†โซโœฝโžถโžคโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโœ˜โœฃโกโœงโœšโ˜โฉโœฅโœฆโ˜โโซโžซโœโชโ˜…โโซโžซโœœโบโตโฏโตโฉโœฃโกโณโ–โœงโžˆโซโกโซโดโ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโกโซโ€โœœ โœœโœคโž€โ–ฒโซโœฆโ˜…โฏโฑโฃโตโฉโ˜…โ†”โœโชโ˜…โœฝโขโœ˜โœฃโœฆโณโบโขโœ˜โœฃโกโœงโฒโ˜โฏโœฅโœฆโ˜โœ‰โœโชโ˜…โฝ โœœโœคโœฃโกโžทโ–โณโโž… โœœโ–ผโœโชโ˜…โ†’โฝ โœœโ–โœฃโดโœฅโกโœงโฒโฑโœ˜โžŸโœฟโœœโœคโคโœšโ˜…โโž˜โฉโœ—

โƒ โœ โƒ โœญ โœกโœŸโœžโœ“โœฆโœ“โœฏ โ˜…โ˜›โœฏโœพโœโœ โœฆ โœโƒโ˜…โœฎโœโƒโœ‚โœตโœฏโœ›โœŸ โ˜…โ˜›โœโœงโœฆโœŽโœฒโƒโœโœ•โทโžฒโดโœ•โทโžฒโœฆโœ• โœ โœฏโžฉ โžญโžงโกโžคโœโžผโฃโฅโœโœทโฆโคโกโโžชโžคโž™โœปโœโžโฆโงโž™โ™ฆโž›โคโโขโžœโžโโขโกโคโฃsโžžโ‘โžŸโฅโฆโžโž โฒโกโžกโœโ‘งโโขโกโ†’โžขโ™ฆโžŸโฅโ‘ฉโทโ‘ฆโโฃโฅโœโœทโฆโงโกโžคโกโžฃโ‘ฉโทโœโœทโžŸโฅโโœบโœฝโœผโœฟโœพโโ€โƒโ‚โ…โ„โ†โ‚โ‘ โ‡โฃโ€โžฆโœนโ–โ– โ‘ โœนโ˜›โœกโœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ“โœ–โœ˜โœ—โœ™โœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœขโœœโœขโœฃโœคโœโœฆโœฅโœงโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโœซโœชโœฌโœฃโœคโœญโœฏโœฎโœ˜โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโœ›โ˜žโœฑโœญโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โœดโœณโœฏโœ–โœถโœตโœ›โœญโœ“โœฃโœคโœญโœฆโœ—โœ™โœทโœ˜โœšโœธโœฃโœนโœ– โœ† โœ– โœ โœง โœžโœ˜โœ”โœฎr โœ–โœปโœบโœปโœšโœผโœ’โœ•โ˜žโœฝโœตโœพโœฃโœคโœโœฆโœฟโœฎโ€โœ–โœปโœบโ€โœบโœปโœ’โโœบโƒโ‚โ„โœญโœ“โœ’โโœบโ€โœบโœปโ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโ…โœฃโœคโ†โ€โœ–โœ˜โ‡โˆโœฎโœนโœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœฐโœฃโœคโ†โ‰โ˜žโœพโœโœ“โœšโŠโ† โœฌ โœ  โœ’โœŒ โœ” โœถ โœ– โœน โœป โœณโœฏโ†โœธโ‹โ—โ˜žโโ˜…โ– โœบโ€โœ’โœ•โœฃโœฝโœ’โœ•โ˜žโ…โœ–โโœบโœฐโœตโ‘โœญโ–ฒโœฎโœนโœ–โ–ผโœตโœพโœฃโœนโœโœฏโ—†โ€โœญโœฏโ—†โœ˜โ˜…โœฒโ‡โ–โ˜…Pโœบโœ˜โ† โœโœธโ——โ– โœžโ™โ˜โ˜žโœž โˆ r โœ–โโœšโœ”โšโ†โœ˜โœฃโœปโ˜… โ‹โฏโœญโœฆโ˜žโœ›โœšโœขโฑ

โฒ โ˜… โณ โœ  โœ’โ™ฅ โœฅ โœง โˆ โœฟโจโœตโœฌโฉโฌโœบโโฉโฒ โ˜…โœฒโ˜… โณ โœš โœœ โœ˜ โœ  โœ’โœŒ โœœ โœ† โœค โœฅโชโญ โœถโœ˜โญ โœ† โœ’โดโซ โœถโœผโœ– โœนโฒ โ˜…โœฒโ˜…โœฒโ˜… โณ โœ  โœ’โตโœญโ›โœณโ–ฒโœ–โœปโœบโœโœญโœฏโœฎโ€โœฎโœ˜โœฃโœคโœโœ“โ˜…Pโœบโ€โœบโœ˜โœ–โœ˜โœ—โœ™โœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœธโœบโ– โœบโ€โœšโŠโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโโ˜žโœพโœญโœฆโ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โœปโœบ

sโœ‰โ‹โ–ผโžŒโžโœ‡โชโ– โœ“โ โ‘ขโŠโ‹ โœนโ–โ– โ‘ โœนโกโžโœŒโœ–โขโœตโœฑโœฃโœคโœโฃโœฎโœนโœ–โโœบโ€โœบโœปโœ’โโœบ โœ  โ†โˆ โœ–โโœบโœปโœšโคโœ’โœ•โ˜žโœโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ“โœ–โœ˜โœ—โœ™โœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโ—โœœโœขโœฃโœนโœโœ“โœฅโœงโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโƒโฅโโœšโŠโœญโœ“โ˜žโœพโœณโ–ฒโœญโœ“โœฃโœคโœณโ–ฒโฉโœฉโžšโฑโ™ฅโž…โบโ˜…โฏโœฃโกโœฃโกโœœ โœœโœคโ™  โขโ–ฒโœœโœคโœฃโผโœœโœคโžŸโบโœฃโกโœœโ–โขโœ˜โž™โœ˜โ˜…โžปโœ™โบโœ— โœฏโœ˜โœ—โฒโœ™โžโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โจโค โƒ โณโ–โฑ โ˜…โ†โซโดโœฅโœ‰โตโฉโณโบโฑโบโœฅโกโœฃโกโœœโ–โœงโฒโฑโœฟโœฅโœฑโœœโƒโขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโ†”โœœโ™ฆโž…โบโณโ–โœงโœšโœฃโœฉโœโœ˜โ˜… โž€โˆโณโ–โฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ†โซโโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโ–ฒโœฃโœฆโœงโœšโ˜โฉโœฅโกโ˜โ†โซโ€โœœ โœชโตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโดโœงโžˆโœโชโ˜โ†โœฃโœฆโ˜…โ†โœฃ โœง โœ”โโœ† โœ” โœ” โœ—โœ˜โžชโฌโณโบโ™ โ–ฒโซโธโž…โบโ˜…โฏโœฃโกโœฃโœฆโณโบโฑโ–ฒโซ โ˜โ†โžŸโบโœœโ–โคโฒโ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโœซโžถโ…โขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโœ˜โœฃโกโœงโฒโ˜โฏโœฅโœฆโ˜โโœ™โ–โœ— โœณโบโž˜โงโคโœšโ˜…โ†โซโœžโขโฃโœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโžˆโตโฉโ™ โœ˜โคโžˆโœœโœคโœฃโกโœงโžดโœฅโกโ˜โ†โซโธโœโชโ˜…โโซโฌโตโฏโœœโบโซโœžโคโฒโœงโœšโถโโœงโžดโœฅโกโ˜…โ†โซโœ†โœโœฅ โœง โ˜…โฏโœฅ โœ† โœฅ โœ” โœ—โฃโœ›โโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโžšโตโฉโ˜…โ—†โ†โœฟโ™ โœ˜โœงโโ˜…โ†โซโดโœฅโœญโœโชโ˜…โโซโฌโœฅโกโœฃโกโœœโœคโฅโฆโ˜…โ†โตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซโฌโœโœ˜โœœโ–โฑโ–ฒโซโ™โคโœšโ˜…โ†โซโœญโตโฏโœœโบโซโฌโœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โฏโœฃโกโถโโ˜โ†โœโชโœงโžˆโœœโœคโœงโœšโœฃโกโ˜…โ†โซโฌโณโบโฑ โขโˆโ˜…โฏโ™ โชโœฅโœฌโž…โ–โณโบโœงโฒโœฃโœญโœโชโ˜…โ†โซโซโดโœงโœšโถโžซโ™ โ–ฒโคโœšโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโซโœžโœโœ˜โœœโ–โฑโ–ฒโซโœžโค โƒ โœœโœคโฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โฉโญโชโ˜…โ†•โœ™โ†โœณโ–ฒโœ— โœณโ‘จโขโ–ฒโœœโ–โžŸโ–โ˜…โœฉโœ™โ†โž โœฅโ–ฒโœ—โœบโœฝโœผโœฟโœพโโ€โƒโ‚โ…โ„โ†โ‚โ‘ โ‡โฃโ€โžฆโœนโ–โ–  rโฆโžโงโœ–โœขโœตโ‘โœญโœฆโœฃโœคโœญโœ“โœ—โ–ผโœทโœ˜โœšโœธโœฃโœคโœ–โ™ฅโ™ โ™ฆโœ–โโœบโœปโœšโขโœญโœนโœตโ–ฒโœตโ‘โœ–โœ˜โ‡โฌโ†โ™ฃโ‡โฌโœ–โœขโœตโœ›โœญโœ“โœฃโœคโœญโœฆโœ—โœ™โœทโœ˜โœšโœธโœฃโœนโœ–qโœณโ–ฒโœ–โœผโ™ rโœ’โœ•โœฃโ€โœบโ€โœšโŠโฉโ—โœฌโ– โโ‡โ–ฒโ‘โŠโ– โโ‚โ…โœผโœฟโ„โ†โœผ โœนโœฐโ– โ…โœนโ…โžโœŒโœ–โœฝโœ—โœ™โœโœฆโœ’โœ•โœ”โšโœ–โœ˜โœ—โ–ผโœ–โโ˜žโโœšโ™ฅโœœโœขโœฃโœนโœโœ“โœฅโœงโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโƒsโ€โœฃโœนโœญโœฏโœฎโœ˜โœšโœธโ˜…โœฉโœโœฆโ˜žโœ›โ˜žโœพโœญโœฆโ˜…โœฒโœฃโœคโœ–tโœญโœฏโœณโœ“โœ—โ–ผโœ–โœ˜โœšโœโ‡โฌโœญโ–ผsโโœโœฆโ˜žโœพโœฎโœ˜โœšโœธโ˜…โœฉโœโœฆโ˜žโœˆโœ‰ โœ’ โœณโœฏโœ– โœน โœ† โœณโœฏโœญโœฆโ˜žโ‘โœบ โœนโœณโœฏโ†โœธโ‹โ—โ˜žโโ˜…โœฉโœ–โœŸโœตโœ›โœญโœ“โœฃ

โœ‰ โœ’ โœโœŽโœถโœธโœž โœนโœฎrโ˜žโœฅโœ”โ˜… โœโœคโญ โœนโโญ โœ† โœ’ โœต โญ โœถโœ˜โญ โœ† โœ’ โ‚โœ‡โญ โœถโโ‚โ‘โœนโโญ โœ† โœ’ r

โœฎโ€โœโœ“โœ—โ™ฃโœ—โœ™โœ–โฏsโโœโœ“โ˜žโœฑโœฎโโœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโœซโœณโœฏโœ–โ™ฃโœฎโœนโœโœฆโœ”โšโœญโœฆโœฃโœปโ˜…โœฉโœญโœ“โ˜žโœฑโœฎโœนโœ–โฃโฉโ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑโœฉโžšโฑ โœœ โท

โœš โœœ โœ˜ โœ  โœ’โœŒ โ‚ โœ  โœ’โœ’ โœœ โœ† โœค โœฅ โœš โœœ โœ˜ โœ  โœ’โœŒ โœœ โœ† โœค โœต โœš โœœ โœ˜ โœ  โœ’โœ’ โœœ โœ† โœค โ‚โ‘โ˜… โœš โœœ โœ  โœ’โœŒ โœ  โœ’โœ’ โœคโœ™โ†โœณ

Page 25: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ™โฏโœฎ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœโœ”โœโฉโœ’ ๏ฟฝ โœ–โœ˜โœžโ˜Žโœ„โ˜žโœโœŽโœ โœโœ† ๏ฟฝโœ“โœ’โœŸโœžโœ‘โœ’ ๏ฟฝโœ“โœ’โœกโœ โ˜›โœž โ˜žโœŽโœžโ˜Ž๏ฟฝ โœโœ™โœ–โ˜žโœ โœ›โœโœ™โœ–โœ˜โœ’โœŒโœ†โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœ™โ˜ž๏ฟฝโœขโœฅโ™โตโฉโณโบโถโโถโœฉโ˜… โœ  โœ’โœŒ โ‚ โœ  โœ’โœ’โœโœŽโœฅ โœ  โœ’โœŒ โ„ โœ’โ‚โŠโœงโฒโฑโ–ฒโœœโ–โคโฒโ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ€โœœโชโณโบโฑโจโœœ โท

โœš โœœ โœ  โœ’โœŒ โœ  โœ’โœ’ โœค โœฅ โœ”โ˜… โœโœนโญ โœนโโญ โœ† โœ’ โœต โญ โœถโœ˜โญ โœ† โœ’ โ‚ โญ โœถ โ‚ โœนโโญ โœ† โœ’ r

โœ‘โœ•โทโžฒโดโœ•โทโžฒโœ“โœ’ โœบโโžจโžฃโœโ‘งโถโœชโฃโžซโโขโกโžกโ‘ฆโœกโโ‘ฅโžชโžกโž™โœปโœโžโฆโคโž™โ™ฆโž›โงโโขโžœโžโโขโกโคโฃโฒโžžโ‘โžŸtโฆโขโž โฒโกโžคโœโœทโโขโกโœฒโžขโ™ฆโžŸtโ‘ฉโ˜žโ‘ฆโโฃโฅโœโ‘งโฆโงโกโžกโกโžกโ‘ฉโ˜žโœโ‘งโžŸโฅโ

โœบโœฝโœผโœฟโœพโโ€โƒโ‚โ…โ„โ†โ‚โ‘ โ‡โฃโ€โžฆโœนโ–โ– โžˆโ—† โœกโœŒโ˜žโœพโœ–โ—sโโœโœ“โ˜žโœพโœฎโœ˜โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโœ•โœ” โœ” โœน โœ† โ˜› โœน โœ–โœปโœบโœปโœšโœงโœบโœ˜โœ–โœ˜โœ—qโ˜…โœฒโœฟโ™โœณโ–ฒโ†โœฉโ‹โคโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โ™ฃโœ–โโœšโœฌโœตโ‘โœโœ“โœบโ€โ˜…โœฒโœšโœฐโ˜…โœฒโœ”โœ“โœ–โœถโœบโœปโ˜…โœพโœตโœ›โœโœ“โœ’โœ•โœฃโ– โœš โœโœฆโœ’โœ•โœš โœโœโœนโœ„โœžโœ˜โœ— โœ— โœ— โœž โœนโœ—โœ–โญrโœโœ–โœน โœ– โœ–โœ˜โœšโฏโœšโŠโœโœ“โœ’โœ•โœš โœโฆโฅ

โœ„โœžโ€โœ— โœ— โœ— โœžtโฅโœ˜โœ– rโœโœ– โœน โœ– โœโœฆโ˜žtโœญโ›โฑโœ–โœ™ โœš

โœ› โœ„

โœ–โœ™โœœ โœ› โœ„

โœ” โœโœโœน โœš โœžโœบโœน โœœ rโœฒโฅโœšโฅ โœœ โ‘ โœง โžถโฆโœ™โ–โœ—โœšโœ™โโž˜

โœฟโฑโœ‡โŠโœผโœฟโ‡โฃโ– โโ‘กโ–ผโžŒโžโ‹ โœนโ–โ– โ‘ โœน โœข โฅโœฑโœโœฆโ˜…โœฒโœšโœคโœฃ โœ” โœนโœฐโ˜› โœน โœ–โœ˜โœšโœฅโœ” โœ” โœน โœ† โ˜› โœน โœบโœงโœฆโœ“โœ—โœ™โ†โœ˜โœšโœธโœฃโœปโ˜…โœฉโ˜…โœ˜โœ’โœ›โœ–โœโœ–โœ˜โœš โœบโœ˜โœ–โโœ—โ™ฃโ˜…โœฒโœฟโ™โœณโœฏโ†โœธโ‹โ—โ˜žโโ˜…โœฉโœ–โขโœตโœ›โœโšโœบโœปโ˜…โœฒโœšโœฐโ˜…โœฒโœ”โšโœ–โ™ฃโœญโœ“โ‡โฌโœโœฆโœฃโ€โœบโ˜…โœฒโ‡โขโœ–โœซโœชโ–ฒโ˜…Pโœบโœปโœš โœ–โ›โœ’โœ•โ˜žโœดโœตโœพโœฃโœนโœ โœฎโ€โœ–โโœบโœนโœบโœปโœ’โโœบโœโ‚โ„โœญโœ“โœ’โโœบโ€โœบโœปโ˜…โœฉโœ–โโ˜ž โœฃโœคโ†โ€โœ–โโ‡โœงโœ’โœ•โ˜žโโ˜…โœฉโ˜…โโœ’โœ›โœ–โœ•โœฌโœโœ’โœ•โ˜žโœฑโœ–โ›โ†โœญโ˜…โโœ’โœ•โ˜…โœฒโœ”โœ“โœญโœ“โ‡โจโœ–โโ˜žโœฑโœฎโœนโœ–rโœตโœฑโœฃโœคโœทโœปโœบโ›โœณโ–ฒโœ– โœ—โ–ผโœโœฎโœฆโœฏโœ–โœ˜โ˜žโœ›โ˜žโœฑโœ–โœฏโœฃ โœ–โโœšโ– โœณโœฏโœ–sโโœโœฆโ˜žโœพโœฎโœ˜โœšโœธโ˜…โœฉโœโœฆโ˜žโœซโœณโ–ฒโœ–qโœฎโ€โœโœฆโœ”โšโœญโœฆโœฃโœปโ˜…โœฉโœญโœ“โ˜žโœพโœฎโ€โœ–โœฐโœ”โœฏโฉโœข โ‘  โœ–โœ˜โœ’โœฑโœช โœตโœพโœฃโœคโœโฃโœฎโ€โœ–โœปโœบโ€โœบโœปโœ’โโœบโƒโ‚โ„โœญโœฆโœ’โโœบโœนโœบโœปโ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโ‘โœบโœดโœฃโœคโ†โ€โœ–โโ‡ โœบโœโœณโœฏโœ–โ‰โœ—โœณโœฒโœ˜โœ—โœ™โœ–โœโœ—โœ™โœโœดโœฆโœฏโœ–โโ˜žโโ˜žโœพโœ–โ‰โœ–โœ˜โœšqโœณโœฏโœ–โ‰โœ—โœณโœฒโœ˜โœ—โ–ผโœ–โœถsโโœโœ“โ˜žโœฑโœฎโโœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜ž โœณโ–ฒโœ–โ‰โœฎโ€โœโœ“โœ”โœ“โœญโœ“โœฃโœปโ˜…โœฉโœญโœฆโ˜žโœพโœฎโ€โœ–โœบโœ˜โœโœฆโ˜žโœ›โœšโขโ†โœญโ˜…โœ˜โœ’โœ•โ˜…โœฒโœ”โšโœญโœฆโ‡โฌโœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœธโœบโโฉโœข โ‘  โœ–โœ˜โœ’โœฑโœชโœโœตโœพโœฃโœคโœโฃโœฎโ€โœ–โœปโœบโ€โœบโœปโœ’โโœบโ›โ‚โ„โœญโœ“โœ’โโœบโ€โœบโœปโ˜…โœฉโœ–โโ˜žโœ›โœบโœโœฃโœคโ†โ€โœ–โœ˜โ‡ โœบqโœณโœฏโœ–โœ™โœ—โœตโœฒโœ˜โœ—โœ™โœ–โ™ฃโœ—โ–ผโœโœฎโœฆโœฏโœ–โœ˜โ˜žโœ›โ˜žโœฑโœ–โ–ผโœ–โโœšโˆโœณโ–ฒโœ–โ™ฃโœ—โœณโœฒโœ˜โœ—โœ™โœ–โœŸsโโœโœฆโ˜žโœพโœฎโœ˜โœšโœธโ˜…โœฉโœโœฆโ˜žโœˆโœณโœฏโœ–โ–ผโœฎโ€โœโœ“โœ”โœ“โœญโœ“โœฃโœปโ˜…โœฉโœญโœฆโ˜žโœพโœฎโ€โœ–โœถโœฌโœšโœฐโœฃโœคโœญโœŸโœทโœ˜โœ–โœนโœฎโœ˜โœšโŠโœโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โโœบ โˆ โœฟโจโœต โฉโฌโœบโœ˜โฉโœงโœฎโ€โœโœ“โ˜žโโœšโœธโ˜…โœฒโ˜žโโœ’โœ›โœ–โœธโœฌ โœณโœ“โœฃโœคโœโœฆโ˜…โœฒโœš โœ–โœโœบโœ˜โœโœ“โ˜žโโœšโคโ˜…โœฒโ˜žโœพโœณโœฆโ˜…Pโœบโœปโœšโœธโ˜…โœฒโ˜žโœบโœนโœฆโœ’โœ›โœญโ–ฒโ—†โโ‡โฌโœ–โโœบโœ˜โฉ

โžžโžโ˜…โพโœฅโœฆโž™โœ˜โ˜โ†โณโ–โœฃโกโž›โฏโถโโ˜…โžปโœโชโ˜โโตโฉโณโบโ™ โœ˜โคโฒโ˜… โœโชโ™  โœฅโœฆโž™โœ˜โ˜โ†โณโ–โœฃโกโž›โฏโถโโ˜…โžปโœโ™โƒ โ˜…โฉโญโ–ผโœฅโกโ˜…โฏโฑโ–ฒโซโœฆโœงโฒโณโบโฑโž‘โœโชโ˜… โœ†โžšโณโ–โคโœšโถโโณโ–โžŸโ–โณโบโœฃโœฆโณโโž…โž‘โžถโžคโœฅโœฆโž™โœ˜โ˜โ†โณโ–โœฃโกโž›โฏโถโโ˜…โžโœ™ โขโฃโœœโœคโžŸโ–โ˜…โžปโœฏโœคโœฎโ–โœฎโžโœโชโ˜…โชโ–ผโž™โœ˜โœงโœšโœฃโœฆโฟโœฟโœœโœคโ˜…โ†โž…โœ“โœ›โœšโœ™โโœฏโœโœฑโœ˜โœฃ โž˜โ™โ˜…โฉโœฅโœฌโœโชโ™  โžขโ…โœœโ–โœงโžดโœฅโœณโ†โœฟโ™ โœŸโƒ โ™ โ–ฒโฑ โž…โ–โ˜…โโตโžฅโœฅโœฆโ˜…โ†โ™ โœ˜โœฃโœซโนโœฌโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโดโœงโœšโ˜…โฏโฑโžปโ˜…โ†โซโดโœฅโžšโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโœงโฒโž›โ†โœฃโœฆโ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโœญโœโชโ˜โฏโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโโขโ–ฒโœœโœคโœฃโœญโซโœฆโœœโœ‰โถโโณโโฟโ–โ˜…โฏโฑโ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ†’โ˜…โฉโœฅโœซโซโกโœœโถโ†•โœœโโœฅโœฆโœฃโกโœงโžˆโตโฉโ˜…โœซโœโชโ˜…โœซโตโฉโณโโž…โโœœโœคโœฃโกโœงโžˆโœœโœคโฑโ–ฒโตโฏโ˜…โœฉโžถโ…โž…โ–โณโ–โœงโœšโœฃโœ‘โชโ–ผโž™โœ˜โœงโœšโœฃโœฆโฟโœฟโœœโœคโ˜…โ†โž…โœŸโœ›โฒโœ™โ™ฆโœฏโˆโœฑโ€โœฃ โขโฃโœœโœคโžŸโ–โ˜…โœฌโœณโ–โœ–โ–โœฎโœฟโž˜โฉโœ—

โ—โœฌโ– โโ‡โ–ฒโ‘โŠโ– โโ‚โ…โœผโœฟโ„โ†โœผ โœนโœฐโ– โžˆrโฆโžโœŒโœญโ„sโโœโœ“โ˜žโœฑโœฎโโœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโœดโœ‰ โœ’ โœ–โโœบโ€โœšโคโœบโœงโœฆโœ“โœ—โœ™โ†โœ˜โœšโœธโœฃโœปโ˜…โœฉโ˜…โœ˜โœ’โœ›โœ–โœผโœปโ—โœบโœ˜โœ–โโœ—โ™ฃโ˜…โคโœณโœฏโ†โœธโ‹โ—โ˜žโโ˜…โœฉโœ–โœŸโœตโœ›โœโšโœบโœปโ˜…โœฒโœšโœฐโ˜…โœฒโœ”โšโœ–โœ™โœ–โœ˜โœšโœŸโœฎโ€โœโœ“โ˜žโโœšโœธโ˜…โœฒโ˜žโโœ’โœ›โœ– โฉโ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑโžƒ โœœโโตโฉโณโบโฑโœฟโœฅโœฆโœงโœšโฑโœฟโ™ โ–ฒโœงโžดโœฅโกโ˜โœญโ˜…โฏโœฅโฌโคโœšโœœโโซโœฆโฟโ–ผโถโœฉโ˜โฏโœฅโœฆโœฃโกโœงโฒโ˜…โœซโซโœฆโณโ–โฑโœฟโœฅโธโœงโฒโถโโถโโ˜โ†โœโœ˜โœงโœšโœœโœคโœฅโœฆโ˜…โ†โซ โœช โœโœ˜โ˜โฏโถโโณโ–โฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โฏโœฃโโœ—

โชโ–ผโณโ–โœงโœšโ˜…โฏโฑโœฟโœฅ โœโœโœนโœ„โœžโœ˜โœ— โœ— โœ— โœž โœน โœ– rโœโœ– โœน โœ– โ˜…โฉโœฅ โœ โฅ

โœ„โœžโœ˜โœ— โœ— โœ— โœž โฅ โœ– rโœโœ– โœน โœ– โœงโœšโคโ–ฒโซโœฌโƒ โœœโ–โžŸโ–โœงโฒโœฅ โœโชโ˜…โธโถโโณโ–โฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โฏโœฃโฌโžถโดโœ™โ–โœ—โœšโœ™โโž˜โผโœ—โœคโœ›โโณโบโ™ โœ˜โœฃ โตโฉโ˜…โ†โคโœšโœœโœญโฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโžโœœโ–โคโฒโคโœšโณโ–โฑโ–ฒโซ

โ™ โชโœฅโœฆโœงโœšโคโœšโœงโœšโซโœฆโ˜…โฏโœฃโ†’โคโœšโ˜…โ†•โžขโ…โœœโ–โœงโžดโœฅโ‡โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โ†•โคโœšโœœโจโžขโžคโณโบโฑโ–ฒโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑ โœน โ˜›โœพโœฝโœขโœ โœนโœฎr โœฅ โœฐ โœฒ โœดโœขโœโœกโ‚ โœ” โญ โœนโโญ โœ† โœ’ r โ˜…โโซโฆโœฅโžซโคโžˆโœœโจโžขโžคโณโบโฑโ–ฒโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโžโตโฏโœœโœคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโ˜โ†โœฃโœฆโœงโžˆโซโฆโœฅโกโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†•โœโ™โƒ โ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โž…โโœœโœคโœฃโกโœงโœšโœœโ–โž€โœ˜โคโฒโ˜…โ†’โœœโ–โคโฒโ˜โโœœโโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜… โชโ€โœฟ โช โซโœฆโณโ–โ™ โฃโซโฆโž†โฆโนโœฌโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโœฆโœงโฒโ˜…โ†โฑโœ˜โฑโœ˜โ˜…โ†”โžถโžคโœ› โœฃโœฆโณโบโขโฃโณโœฟโซโดโœงโฒโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโžปโœฏโœ˜โœ— โœตโœ˜โœ— โœตโ†•โœโœ˜โ˜…โ€โชโชโœœโœคโถโโณโบโœฃโœฆโณโชโœโชโฑโœ˜โœงโฒโœฅโกโซโœฆโžทโ–ผโฟโœฟโž† โ‰โŠโœœ โ†โœฒโ†โœฟโ™ โ‘โœ›โฒโœ™โ™ฆโœฏโโœฎ โœฃโžคโž˜โžฅโœ— Pโ™โ˜…โตโฉโ˜…โœญโžขโ…โœœโœคโœงโฒโœฅโ™โตโœนโƒ โ˜…โ†โซโดโœฅโธโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โœฌโžขโžคโณโบโฑโ–ฒโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโจโซโœฆโ˜…โฏโถโโœงโฒโž† โœโœ˜โ˜โฉโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โœฌโขโฃโณโœฟโซโดโœงโฒโœฅโœฆโœงโœšโž…โ–โ˜…โœฌโ˜…โ†โฑ โœน โ˜…โฉโœฅโ™โœโชโณโบโฑโ–ฒโตโโท

โซ โœโฆโฅโœš โœžtโฅ โœœ โœžโœบโœน

โœš โœž โœน โœœ rโœ—โœ– โœนโœโ โœž โœ–โœ™ โœšโœ› โ™ฅ

โœ–โœ™โœœ โœ› โ™ฅ

โœฝโœ“โœโœโœน โœš โ‚โ‘โœน โœœ rโœฒโฅโœšโฅ โœœ โ‘ โœง โžถโฆโœ™โ–โœ—โœฐโœฏโ–โž˜

โœ›โŠโณโบโ™ โœ˜โœฃโฌโตโฉโ˜…โ†โคโœšโœœ โœœโœ˜โตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโดโœงโžˆโœโชโ˜โ†โœฃโœฆโณโบโฑโ–ฒโซโงโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โœซโถโ†•โœœโ–โซโกโซโดโ˜… โœช โค โƒ โณโบโœฃโœฆโœงโœšโžŸโ–โœงโœšโฑโœ˜โ˜…โโžถ โœน โ™ฅ โž˜โžโ˜โ†โžŸโบโœœโœคโคโœšโ˜… โœชโ—†โฅ โ™ฅ โœฅโ—โ‚โƒโ‚ โœ–โœš โœ› โœ„โฅโœšโœœโœ˜โณโบโฑ โœœโ†•โœœโ–โคโฒโณโบโœฃโกโซโœญโท

โžถโฆโœ™โ–โœ—โœšโœ™โโž˜ โœฅ โ‚โœ–โœ™ โœšโœ› โ™ฅ

โœ–โœ™โœœ โœ› โ™ฅ

โญ โœน โœš โ‚โ‘โœน โœœ โญ โœ† โœ’ โฅโœšโฅ โœœ โžถโฆโœ™โ–โœ— โœณโบโž˜

Page 26: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ„ โœ ๏ฟฝ โœโœžโœโœ—โœ–โœ˜โœ’โœŸโœž ๏ฟฝโœ“โœ’โœโœโ™โœโ˜Žโœ†โœŸโœžโœ™โ˜žโœทโœโœ™โœ–โ˜žโœ โœ›โœโœ™โœ–โœ˜โœ’โœŒโœ†โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœ™โ˜žโจโœ โ˜Žโœžโœ™โ˜ž ๏ฟฝ โœ–โœ‘โœโœ‚โœโœนโœžโœ๏ฟฝโœ˜๏ฟฝ โœ โœŒโœ’ โœ–โœ‘โœžโœ™โ˜žโžโœ  โ˜Ž โœโœ—โœ– โœ  ๏ฟฝโœ“โœžโœ™โ˜žโœ‚โ˜ž โ˜Žโœ“โ˜ž โœ™โ™ฆโœต๏ฟฝโžโฑโจโ˜… โ˜โœˆโ˜…โฉโœฅโœฑโœœโœ˜โณโ–โฑโจโœœโจโท โœ–โœ™ โœš

โœ› โœ„

โœ–โœ™โœœ โœ› โœ„

โญ โœน โœš โญ โœ† โœ’ โฅโœšโฅ โœœ โœฅ

โœ–โœ™ โœšโœ› โœ„

โญ โœน โœš โญ โœ† โœ’ โฅโœš โœ–โœ™โœœ โœ› โœ„

โฅ โœœโœฅ โ‚

โœ–โœ™ โœšโœ› โœ„

โญ โœน โœš โญ โœ† โœ’ โฅโœšโฅ โ™ฅ

โœฅ โ‚โœ–โœ™ โœšโœ› โ™ฅ

โญ โœน โœš โ‚ โœน โ™ฅ โญ โœ† โœ’ โฅโœšโฅ โ™ฅ

Pโ™โ˜…โœซโถโ‡โ„โ†โถโœฉโ˜…โœฌโณโบโฑโจโœœ โท โœ–โœ™ โœšโœ› โœ„

โœ–โœ™โœœ โœ› โœ„

โญ โœน โœœ โญ โœ† โœ’ โฅโœšโฅ โœœ โœฅ โ‚

โœ–โœ™โœœ โœ› โ™ฅ

โญ โœน โœš โ‚ โœน โ™ฅ โญ โœ† โœ’ โฅโœšโฅ โ™ฅ

โตโฉโ˜… โ†โœฟโ™ โœ˜โœงโŠโถโโณโ–โฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โœ‰โžถโดโœ™โ–โœ— โœณโบโž˜โผโœ—โž„โžžโžโณโ–โฑโ–ฒโซโœฆโœงโžˆโœโชโ˜โฏโœฃโกโณโ–โฑโ–ฒโซ โœ” โœ“ โœง โซโดโ™ โชโžฃโ†”โซโกโœœโœคโถโโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ™โขโˆโ˜…โฉโœฅโกโœงโžดโœฅโœฑโœœโœˆโตโฏโณโ–โถโโถโโ˜… โ‚ โœ–โœš โœ› โ™ฅ โ‚ โœ–โœœ โœ› โ™ฅ โฅโœšโฅ โœœ โœฅ โœง โœœโ–ฒโณโบโฑ

โœœ โท โœ–โœ™ โœšโœ› โ™ฅ

โœ–โœ™โœœ โœ› โ™ฅ

โœฐโœณโœฒโœฆโœดโœขโœโœกโ‚ โœ” โญ โœน โœš โ‚โ‘โœน โœœ โญ โœ† โœ’ rโœฒโฅโœšโฅ โœœ โœฅ

โœ–โœ™ โœšโœ› โ™ฅ

โœ–โœ™โœœ โœ› โ™ฅ

โœ„ โœฐ โœฒ โœดโœขโœโœกโ‚ โœ” โญ โœน โœš โ‚ โœน โœœ โญ โœ† โœ’ rโโ‚โ–ฒโœ”โœ†โ˜Ž โฅโœšโฅ โœœ

โœฅ โ‚ โœ”โœ–โœ™ โœšโœ› โ™ฅ

โœ–โœ™โœœ โœ› โ™ฅ

โญ โœน โœš โ‚โ‘โœน โœœ โญ โœ† โœ’ โฅโœšโฅ โœœ โœต โœโœžโœ โœŸ โ™ฅ โœ โœ” r

โžƒโž„โ˜…โœฌโœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโžดโœฅโผโœœโโœฅโธโ˜…โ†โซโดโœฅโ™โœโชโ˜โ†โถโœฉโณโบโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜โœญโ˜…โ†โฑโœฝโ™ โœ˜โœฅโœฆโœงโœšโคโฒโœงโžˆโซโœฆโœœโ–โฑโœฟโœฅโžซโžถโฆโœ™โ–โœ—โœฐโœฏโ–โž˜โžฅโœ—โœ‘

โƒ โœโœธโœท โœก โœ—โœถโœฏโœ›โœฆโœ“โœฒโƒโœฏโ€โ˜Žโœ“โœ’โœ”โœ™โœ›โœโœงโœŸ โ˜Žโœ“โœ—โœฌโœ โ˜ŽโœŽโœ—โœฌโœฏโœ›โœกโƒโ˜…โ˜›โœกโœงโœŸ โ˜žโœŽโœโœงโœŸ โ˜…โ˜›โœ—โœถโœ’โ˜žโ˜› โœโœงโœฒ โ˜…โœถโœโœ โœฏโ€โœ—โœฌโœโœงโœŸ โ˜žโœ“โœ– โ˜Žโœ“โœ—โœถโœโœ†โœฒโƒโœโœงโœŸโœ•โœŸโ˜›โœ–โœŽโœŸโœ•โทโžฒ โœ’โบโžฒโœฆโœ• โนโœฏโž™โžฃโฃโžดโฆโœขโžฒโœฌโถโžดโœโ‘งโžœโžญโœโ‘งโ‘จโ‘งโ‘ฉโ˜žโžŸtโœโžผโฃโžซโžฉโœบโœฝโœผโœฟโœพโโ€โƒโ‚โ…โ„โ†โ‚โ‘ โ‡โฃโ€โžฆโœนโ–โ– โœšโžธ โœกโœŒโ˜žโ– โœตโœฑโœฃโœคโœ โœฎโ€โœ–โโœบโ€โœบโ€โœ’โโœบ โœฌโโž โœŒ โœ” โœถโœ—โœ– โœน โœป โœ–โœปโœบโœปโœšโœงโœณโœ“โ˜…โœฒโœšโ—โœญโœ“โœ’โœ•โœšโŠโœโœ“โœฟ โœบโœปโ˜…โœฒโœ—โ™ฃโ˜…โœฒโ‡โฌโœญโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โ– โœณโœโœŒ โœโœ“โœฃโœคโœณโœฆโœฃโœคโœ–โœโœŽ โœ“ โœง โœบโœ‘โœŒ โ˜…โœฒโ‡โœฑโœ–โœซโœชโ–ฒโ˜…Pโœบโœปโœš โœ–โœ’โœŽ โœ“ โœงโœš โœ–โœ˜โ‡โœฅโ˜…โœ˜โœ’โœ›โœ–โœงโœปโœฑโœตโœ›โœโœ“โœ’โœ•โœฃโœถโœšโŠโœโœ“โœ’โœ•โœš โœฟ โœ“ โœง โœปโ—โ‡โฌโœ–โโœบโฏโœตโœฑโœฃโœคโœโฃโœฎโœนโœ–โโœบโ€โœบโœปโœ’โโœบโœถโฑโœฌโโžโœ”โœ“ โ™ฃ โœŒ โœ” โœถโœ—โœ– โœนโœผโœป โœ–โโœš โœฌโœ—โœฟโœโœ• โœ— โž โœŒ โœ” โœถ โœ– โœน โœปโœญโœ“โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโขโœ—โœณโœฒโœ˜โœ—โ–ผโœ–โœถโ‡โฌโœโœฆโ˜…โœฉโฉโœฟโฑโœ‡โŠโœผโœฟโ‡โฃโ– โโ‘กโ–ผโžŒโžโ‹ โœนโ–โ–  r โžโœŒโœ–โœดโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ“โœ–โโœ—โ–ผโœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœผโœœโ„โœฃโœคโœโœ“โœฅโœงโ˜žโโ˜…โœฉโœ–โโ˜ž โœชโœฌโœฃโœคโœญโœฏโœฎโœ˜โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโœ›โ˜žโœฑโœญโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ– โœฌ โœ  โœ’โœŒ โœ” โœถ โœ– โœน โœป โœณโœฏโœ–qโœตโœ›โœญโœ“โœฃโœนโœญโœ“โœ—โ–ผโœทโโœšโœฐโœฃโœคโœ– โœ† โœ–โœปโœบโœปโœšโœญโœ“โœ’โœ•โœšโŠโœโœ“โœฟ โœบโœปโ˜…โœฒโœ—โ™ฃโ˜…โœฒโ‡โฌโœญโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โœ™โœณโœโœŒ โœโœ“โœฃโœคโœณโœฆโœฃโœคโœ– โœ† โฉโ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑโ‚โŠโœงโžดโญโชโณโ–โฑโฃโซ โœฟ โœ“ โœง โœ—โ‘โฒโž‡โคโธโ˜…โโซโฆโœฅโ†•โ˜โฏโž…โ–ผโœงโžˆโœโชโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœคโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜… โœฌ โœ  โœ’โœ“ โœŒ โœ” โœถ โœ– โœนโœผโœป โ˜…โฏโœฅ โœฌโœ—โœฟ โœ’ โœ  โœ’โœŒ โœ” โœถ โœ–โœ•โœน โœป โซโœฆโณโ–โฑโœฟโœฅโ†”โœโชโ˜…โฏโ™ โชโญโ™ฅโขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโนโœฌโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโœฆโœงโฒโ˜…โ†โฑโ–ฒโซโœžโตโฉโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโœฃโœฆโ˜โโซโฏโœ—โ——โฒโž‡โค โซโœฆโ™ โชโžฃโโœฅโ™โœโชโณโบโฑโ–ฒโตโœฌโœโชโ˜…โœซโถโโณโ–โฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โฏโœฃโœ˜โ†โœฟโ™ โœŸโƒ โœงโฒโคโžˆโซโธโณโ–โฑโœฟโœฅโธโคโžˆโœœโ‘จโถโ‡โ„โ†โถโœฉโ˜…โœฌโžขโžคโณโบโฑโ–ฒโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑ โœโœ˜โ˜…โ†’โตโฉโณโโž…โโœœโœคโœฃโกโœงโœšโœœโ–โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โบโœ—

โœš โœœ โœ  โœ’โœ“ โœŒ โœ  โœ’โœ“ โœ’ โœค โœฅ โœ”โ˜… โœ„ โญ โœฟ โœนโโญ โœ† โœ’ โœต โญ โœฟ โœถโœ˜โญ โœ† โœ’ โ‚ โญ โœฟ โœถโโ‚ โœฟ โœนโโญ โœ† โœ’ โ˜Ž

โœฅ โœ”โ˜… โœฟ โœ† โœ’ โœ„ โญ โœน โญ โœ† โœ’ โœต โญ โœถโœ˜โญ โœ† โœ’ โ‚โœ‡โญ โœถโโ‚โ‘โœนโโญ โœ† โœ’ โ˜Ž

โœš โœœ โœฟ โœ’ โœ  โœ’โœŒ โœฟ โœ’ โœ  โœ’โœ’ โœค โœฅ โœ”โ˜… โœฟ โœ† โœ’ โœš โœœ โœ  โœ’โœŒ โœ  โœ’โœ’ โœค

โœฅ โœ”โ˜… โœฟ โœ† โœ’ โœ„ โญ โœน โญ โœ† โœ’ โœต โญ โœถโœ˜โญ โœ† โœ’ โ‚โœ‡โญ โœถโโ‚โ‘โœนโโญ โœ† โœ’ โ˜Ž

Page 27: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ™โœฌโœฅ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœโœ”โœโฉโœ’ ๏ฟฝ โœ–โœ˜โœžโ˜Žโœ„โ˜žโœโœŽโœ โœโœ† ๏ฟฝโœ“โœ’โœŸโœžโœ‘โœ’ ๏ฟฝโœ“โœ’โœกโœ โ˜›โœž โ˜žโœŽโœžโ˜Ž๏ฟฝ โœโœ™โœ–โ˜žโœ โœ›โœโœ™โœ–โœ˜โœ’โœŒโœ†โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœ™โ˜žโœ‘

โžƒ โœœโพโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโ–ฒโœฃโœฆโœงโœšโ˜โฉโœฅโกโ˜โ†”โซโดโ™ โœ˜โœงโœšโž…โโœœโœคโฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โœฝโถโโณโ–โฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โœคโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœ‰โขโ–ฒโœœโ–โœฃโœฆโถโโœงโžโคโœšโ˜…โ†โซโ‘จโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโžซโนโœฌโœœโœคโ™ โฃโซโœฆโซโœฆโœงโฒโ˜…โ†โฑโ–ฒโซโ€โœœโž„โคโฒโ˜…โโซโžซโตโ†โœœโœคโœฃโผโœœโ–โตโžฅโœฅโกโž›โฏโœฃโกโ˜…โ†โซโœซโœœโบโตโฏโตโฉโœฃโกโณโ–โœงโžˆโซโกโซโดโ˜…โฏโž†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโซโœฌโซโดโœฅโกโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โ†โซโ™โ˜…โฉโœฅโ†’โœœโœคโ™ โชโœฅโกโณโœคโž†โž‡โซโดโœงโœšโถโโœงโฒโคโžˆโœœโœคโœฃโกโœงโฒโœฅโœฆโ˜โžซโซโœฆโณโ–โฑโœฟโœฅโœซโตโฏโœœโœคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโ˜โ†โœฃโœฆโœงโžˆโซโฆโœฅโกโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โโซโ™โœโชโ™  โถโโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœซโž โžโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโพโžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโชโž†โฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโกโ˜…โ–โœ— ๏ฟฝโžโคโœšโคโฒโ˜…โœซโžขโžคโณโบโ™ โœ˜โœฃโกโฑโœ˜โœงโžดโœฅโธโ˜โ†โžŸโบโœœโœคโคโœšโ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโธโคโžˆโœœโโœโชโ˜…โ†โซโกโตโฉโœฃโกโœงโฒโขโœ˜โœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโจโœโชโ˜…โ†โซ โœฝ โตโฏโœœโบโซโœžโคโฒโœงโœšโถโโœงโžดโœฅโกโ˜…โ†โซโœ‘โœพ โœ†โœฆโœฅ โœง โ˜…โฏโœฅ โœ†โœฌโœฅ โœ” โœ—โ—โœฌโ– โโ‡โ–ฒโ‘โŠโ– โโ‚โ…โœผโœฟโ„โ†โœผ โœนโœฐโ– โœšโ—†โชโฅโœฑโœโœฆโ˜…โœฒโœš โœฌโโž โœŒ โœ” โœถ โœ– โœน โœป โœ’โœ•โ˜žโœซโœตโœฑโœฃโœคโœโฃโœฎโœนโœ–โโœบโ€โœบโœปโœ’โโœบโœดโ˜žโœฑโœโœ“โ˜žโœ›โœฟโ™โœณโ–ฒโ† โœนโ–ฒโ†โœ˜โ˜žโœพโ†โœ˜โœฃโœคโ†โœ‘โœญโœฆโœ’โœ•โœš โœโœฆโœฟ โœบโœปโ˜…โœฒโœ—qโ˜…โœฒโ‡โฌโœญโœฆโ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โœซโœณ โœŒ โœโœฆโœฃโœคโœณโœ“โœฃโœคโœ– โœ† โœปโœธโœฌโœญโœฏโœฎโ€โœฎโœ˜โœฃโœคโœโœ“โ˜…Pโœบโ€โœบโœ˜โœ–โโœ—โ–ผโœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœธโœบโ™ฅโœบโœปโœšโŠโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโโ˜žโœพโœญโœ“โ˜…โœฒโœฃโœนโœ–โœปโœบโœโœ–โœ˜โœš โœฌโ›โœ”โšโœญโœฆโœฃโœปโ˜…โœฉโœญโœ“โ˜žโœพโœฎโ€โœ–โขโ‹โ—โ˜žโโ˜…โœฉโœ– โฉ โœ โ‡โจโœโœ“โœฃโ€โœบrโฑโœข โž โ™ฅ โœฅ โœง โˆ โœฟโจโœตโœฌโฉโฌโœบโโฉโœข โœง โœ”โœฝโœ†โœ„โœ‚ โœ”

โœขโœ†โ˜Žโ„โœโœ“โœ’โœ•โœฃโœถโœšโŠโœโœ“โœ’โœ•โœš โœถโœ—โœ– โœน โœ–โโœš โœน โœ– โœน โœปโœ โœ โœ  โœ โž โœŒ โœž โž โœ’ r โœฅ โœž โœŒ โœŒโ——โœ โž โœ„

rโ˜… โœฌ โญ โœถโœ˜โญ โœ† โœ’ โœต โญ โœนโโญ โœ† โœ’ โ‚ โญ โœถ โ‚ โœนโโญ โœ† โœ’ โœป

โœขโœ†โ˜Žโ„โœโœ“โœ’โœ•โœฃโœถโœšโŠโœโœ“โœ’โœ•โœš โœถโœ—โœ– โœน โœปโ—โœตโ‘โœโœฆโœ’โœ•โœฃโœถโœš โœโœฆโœ’โœ•โœš โœง โœ”โ–ฒโœ† โœ” โœ” โœปโœš โœ˜ โž โœŒ โœœโ‘โœฅ โœง

โœขโœ†โ˜Žโ„โœโœ“โœ’โœ•โœฃโœถโœšโŠโœโœ“โœ’โœ•โœš โœถโœ—โœ– โœน โœปโ—โœตโ‘โœโœฆโœ’โœ•โœฃ โœ†โœฌโœฅโ—โœ” โœป โž โœŒ โœฅ โœถ โžโœ„

โˆ โœฟโจโœตโœฌโฉโฌโœบโโฉโœขโœ‡โฅโœพโ˜…โ—โœณโœฏโœ–โœขโœตโœพโ‡โ–โœ’โโœบ โž โœ–โœปโœบโœปโœšโˆโ‚โ„โœญโœฆโœ’โโœบโœนโœบโœปโ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโƒโœญโœ“โ‡โจโœโœ“โœฃโ€โœบโœถโ˜…โœฒโ‡โœŒโœ–โโœบโ€โœšโฏโ˜…โœฒโ˜žโœพโœณโœฆโ˜…Pโœบโ€โœšโœฐโ˜…โœฒโ˜ž โœนโœฏโœ’โœ›โœญโœฏโ—†โœ˜โ‡โฌโœ–โ™ฃโœณ โœŒ โœ’โœ•โ˜žโ‰โœ—โ–ผโœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ“โœ–โœ˜โœ—โœ™โœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœงโœœโœขโœฃโœคโœโœฆโœฅโœงโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโœsโ€โœฃโœคโœญโ–ฒโœฎโโœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโโœฟโ˜žโœฑโœญโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โฃโฉ

โ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑโœข โœ›โโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโœžโœฅโœฆโณโ–โ™ โœ˜โœฅ โœŒ โœ“ โœง โณโบโฑ โœœ โท

โž โœ โœŒ โœ— โœง r โœŽโœฅ โœŒ โœ’ โž โœ โœง rโœ โœŒ โœ’ โ‚โ–ฒโœ”โœฎr โž โœ โœง r โœŽโœฅ โœง

Pโžšโณโ–โฑโ–ฒโตโœฌโž โœ โœง r โœฅ โœง โˆ โž† โขโž„โœ— โซโ†โœ—โœข โœ›โœขโœœโœคโœฃโฌโซโดโœฅโกโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœฃโกโœงโžดโœฅโกโ˜โœญโณโบโฑ โœœโœฉโขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโœžโœฅโกโณโ–โ™ โชโœฅ โœน โœ“ โœง โ˜…โฏโœฅโธโœฅโœฆโณโ–โ™ โœ˜โœฅ โœถ โœ“ โœน โทโœš โœ˜ โž โœŒ โœ— โž โœ’ โœœโœ“โœฅ โœ”

โ˜… โœœ โœš โœœ โž โœ†โœŒ โœค โœต โœš โœœ โž โœ†โœ’ โœค โ‚ โœš โœœ โœ โž โœŒ โ‚ โž โœ’ r โœ† โœค โœคโœฅ โœ”โ˜… โœœ โœš โœœ โž โœ†โœŒ โœค โœต โœš โœœ โž โœ†โœ’ โœค โ‚ โœš โœœ โž โœ†โœŒ โ„ โœ’ โœค โœค

โœ›โœขโœœโœคโœฃโฌโœœโ–โ™ โชโœฅโœฆโณโ–โž† โซโœฆโœงโœšโถโœฉโœงโœšโคโžˆโœœโœคโœฃโกโœงโžดโœฅโกโ˜โžšโณโบโฑ โœœโ†•โœœโ–โคโฒโณโบโœฃโกโซโœญโทโœš โœ˜ โž โœŒ โœ— โž โœ’ โœœ โœฅ โœ”

โ˜… โœœ โœถ โœ† โœ’ โœš โœœโ…โž โœ†โœ„ โœค โœต โœน โœ† โœ’ โœš โœœโžคโž โœ†

โœ„ โœค โ‚ โœโœทโœถโโ‚โ‘โœนโœฎr โœ† โœ’ โœšโœขโœœโžคโž โœ†โœ„ โœค โœคโœฅ โœ”

โ˜… โœ‰ โœ’ โœโœทโœถโœธโœžโœบโœนโ‘ r โœš โœœโžคโž โœ†โœ„ โœคโœข โชโ–ผโณโบโœงโฒโ˜…โ†โฑโœฟโœฅ โœน โœ“ โœง โœœ โœถ

โœ„โœ“ โœง โ˜…โฏโœฅ โœถ โœ† โœ“ โœง โœ—โชโœ›โโœœโ–โœฃโฌโฝโพโœงโœšโฑโœ˜โžทโ–โณโโžกโฌโซโœฆโžทโ–ผโœงโˆโณโบโฑโพโœœโœฝโท

โœš โœœ โœ˜ โž โœ’โœŸ โœŒ โ† โœŸ โœŒ โˆ โ‚ โž โœ’ โœœ โœ† โœค โ†โˆ โœ‚ โœš โœœ โœ˜ โž โœ’

โœŸ โœŒ โ† โœŸ โœŒ โˆ โ‚ โž โœ’โœŸ โœŒ โ† โœœ โœ† โœค โ†โˆ โœต โœš โœœ โœ˜ โž โœ’

โœŸ โœŒ โ† โ‚ โž โœ’ โœœ โœ† โœค โ†โˆโœš โœœ โž โœ†โœŒ โ† โœŸ โœŒ โˆ โœค โ†โˆ โœ‚ โœš โœœ โž โœ†โœŒ โˆ โœค โ†โˆ โœต โœš โœœ โž โœ†โœŒ โ† โœค โ†โˆโœš โœœโžคโž โœ†

โœ„ โœคโ˜… โœ— โœ˜ โœถโœ„ โœต โœถ โœ† โœœ โœ’ โœ‚ โœš โœœโ‘ โž โœ†

โœ„ โœคโ˜… โœ— โœ˜ โœถ โœ’โœ† โœต โœถ โœ’ โœ„ โœœโœ›โœขโœœโœคโœฃโฌโตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโœฆโ˜โœฌโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โฑโœฟโœฅโœžโณโบโฑ โœœ โœ†โœ„โœ‚ โœ” โœ—โœ˜Pโžšโ˜…โœซโขโœ˜โคโฒโ™ โฃโซโœ˜โœœโœ˜โคโžˆโœœโœฉโž…โโœœโœคโœฃโกโœงโœšโœœโ–โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โžšโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โœซโœงโฒโถโโขโœ˜โคโœšโœงโœ‰โ†โบโ™ โ–ฒโ˜… โœ† โœ“ โœง โœ—

Page 28: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ„ โœ ๏ฟฝ โœโœžโœโœ—โœ–โœ˜โœ’โœŸโœž ๏ฟฝโœ“โœ’โœโœโ™โœโ˜Žโœ†โœŸโœžโœ™โ˜žโœทโœโœ™โœ–โ˜žโœ โœ›โœโœ™โœ–โœ˜โœ’โœŒโœ†โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœ™โ˜žโจโœ โ˜Žโœžโœ™โ˜ž ๏ฟฝ โœ–โœ‘โœโœ‚โœโœนโœžโœ๏ฟฝโœ˜๏ฟฝ โœ โœŒโœ’ โœ–โœ‘โœžโœ™โ˜žโžโœ  โ˜Ž โœโœ—โœ– โœ  ๏ฟฝโœ“โœžโœ™โ˜žโœ‚โ˜ž โ˜Žโœ“โ˜ž โœ™โโœฑโœข โชโ–ผโณโบโœงโžดโœฅ โœง โœ”โโœ† โœ”โœฟโœ” โœœโ–ฒโณโ–โฑโจโœœโœฝโท

โœš โœ˜ โžโœ„โœœ โœฅ โœš โœ˜ โž โœ† โ‚ โž โœ„

โœœ โœฅ โœโœโ˜… โœ’ โ‚โ–ฒโœ”โœฎr โœš โœ˜ โžโœ„โœœ

โœ›โœขโœœโœคโœฃโฌโตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโœฆโ˜โœฌโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โฑโœฟโœฅโ€โœœโชโณโ–โฑโพโœœ โœš โœ˜ โžโœ„โœœ โœฅ โœง โขโ–ฒโœœโœคโœฃโฌโœœโ–โ™ โชโœฅโœฆโณโ–โž† โซโœฆโœงโฒโถโโœงโœšโคโœšโœœโ–โœฃโœฆโœงโฒโœฅโœฆโ˜โœฌโœงโœšโคโž„โ˜…โฏโฑโจโ˜…โโซโฆโœฅโ™โœโชโ˜…โœซโถโ‡โ„โ†โถโœฉโ˜…โœซโขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโœžโœฅโœฆโณโ–โ™ โœ˜โœฅ โœถ โœ“ โœง โ˜…โฉโœฅ

โตโฏโณโ–โถโโถโโ˜… โœš โœ˜ โž โ„ โœ„โœœ โœฅ โœš โœ˜ โž

โœ„ โ„ โœ† โœœ โœฅ โœš โœ˜ โž โœ„โœœ โ‚ โœš โœ˜ โž โœ† โœœ โœฅ โœง โคโฒโ˜…โœฌโœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโžดโœฅโผโœœโโœฅโธโ˜…โ†โซโดโœฅโฌโž…โ–ผโœฃโกโœœโ–โœงโœโœœโชโขโฃโœœโœคโœฃโธโœœโœคโ™ โชโœฅโกโณโœคโž†โž‡โซโดโœงโœšโถโโœงโฒโคโžˆโœœโœคโœฃโกโœงโฒโœฅโœฆโ˜ โœœโขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโœžโœฅโกโณโ–โ™ โชโœฅ โœถโœ—โœ– โœน โœ—โœข โชโ–ผโณโบโœงโฒโ˜…โ†โฑโœฟโœฅ โœถ โœ“ โœง โ˜…โฏโœฅ โœน โœ“ โœง โตโฉโณโ–โถโโถโโ˜… โœ†โœฆโœฅ โœ” โœœโชโณโ–โฑโจโœœโœฝโท

โœš โœ˜ โž โœŒ โž โœ’ โœœ โœฅ โœš โœœ โž โœ†โœ„ โœค โœ— โœถโœธโœ— โœนโœš โœ˜ โž โœŒ โ‚โœ“โœถ โž โœ„

โœœ โœฅ โœฅ โœšโœขโœœโžคโž โœ†โœŒ โœค โ‚ โ˜… โœ— โœถโœธโœ— โœš โœ˜ โž โœŒ โž โœ„โœœ โœต โœถ โœ† โœšโœขโœœโžคโž โœ†

โœ„ โœคโœš โœ˜ โž โœŒ โ‚โœ“โœถ โž โœ„โœœ โœฅ โœโœŽโœถ โœ† โ‚ โ˜… โœถ โœ† โœต โœถ โœ† r โœšโœขโœœโžคโž โœ†

โœ„ โœคโœฅ โœงPโžšโณโ–โฑโ–ฒโตโœฌโž โœŒ โœฅโœฐโœถ โž โœ„

โˆ โž† โขโž„โœ— โซโ†โœ—โœฟโขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโธโœฅโœฆโณโบโ™ โชโœฅ โœถ โขโฃโœœโœคโœฃโฌโตโฉโณโบโฑโœฟโœฅโœฆโœงโœšโฑโœฟโ™ โ–ฒโœงโžดโœฅโกโ˜โ†’โœโชโ˜…โ†โซโงโœฅโกโœฃโกโœœโœคโฅโฆโ˜…โ†โตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซโงโณโ–โฑโจโ˜…โฏโฑโพโตโฉโณโบโฑโ–ฒโตโฉโคโœšโ™ โœ˜โ˜…โฑโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฌโขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโœฅโกโณโ–โ™ โชโœฅ โœถ โœœโœ˜โž โœŒ โœฅโโœถ โž โœ„

โˆ โž† โขโž„โœ— โซโฏโœ—โœข โœฉโžšโฑโ™ฃโœœโ–โขโœ˜โขโœ˜โคโœšโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฝโคโฒโ˜…โœ‰โœฅโœฆโž™โœ˜โ˜โ†โณโ–โœฃโกโž›โฏโถโโ˜… โœ™โบโœ—โฒโœ™โœ–โœœโŠโตโฏโ˜…โœฝโซโœฆโณโ–โฑโœฟโœฅโ‘จโœโชโ˜…โ†โ™ โชโญ โขโœ˜โœฃโœฆโณโชโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โ–ฒโซโœฉโนโœฌโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโœฆโœงโฒโ˜…โ†โฑโ–ฒโซโžซโตโฏโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜โ†โซโœฉโœœโ™ฆโฟโบโœœโ–โฑโบโœฅโ†’โคโžˆโœœ โถโ‡โ„โ†โถโœฉโ˜…โžขโžคโณโบโฑโ–ฒโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโจโœโœ˜โ˜…โœฌโตโฏโณโโž…โโœœโœคโœฃโกโœงโœšโœœโ–โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โœญโœงโฒโคโžˆโซโธโซโœฆโณโ–โฑโœฟโœฅโฌโœโชโณโ–โฑโ–ฒโตโœฌโœงโœšโฑโ–ฒโœโชโœงโžˆโซโดโœฅโœฆโœงโœšโฑโœ˜โžŸโ–โ™ โ–ฒโœœโ–โž€โœ˜โคโœšโ˜…โ†โซโ†โœ—

โœ‘โœ•โทโžฒ โœ’โบโžฒโœ“โœ’ โžณ โฆโคโกโงโฃโฅโœโžปโกโœโž™โžคโœโžผโฃโžซโžฉโ‚โžชโžกโโœ๏ฟฝโœ„โœ‚โงโ‘จโžปโžชโžฃโโœ‡โžŸโœฟโฑโœ‡โŠโœผโœฟโ‡โฃโ– โโ‘กโ–ผโžŒโžโ‹ โœนโ–โ– โžˆโ—†โœ†โ˜Žโโœโœ“โœ’โœ•โœšโœŒโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ“โœ–โโœ—โ–ผโœ–โโ˜žโโœšโงโœœโœขโœฃโœคโœโœฆโœฅโœงโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโ–ผโœชโœฌโœฃโœคโœญโ–ฒโœฎโโœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโโ˜žโœพโœญโœ“โ˜…โœฒโœฃโœนโœ–โ™ฅโœญโ–ฒโœณโœ“โœ—โ–ผโœ–โโœš โœ’โœ•โ˜žโœฑโœ–โ„โœ—โ–ผโœ โœณโœฆโ˜… โ‹โฏโœฎโ€โœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโœโœณโœฏโœโœฆโ˜žโœ›โœš โ‡โฌโœ–โโœบโœขโœšโœธโœฃโœคโœญโœฆโœฟโœทโœ˜โœ–โ€โœฎโโœšโŠโœโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โโœบโœโœโœ“โ˜žโโœšโฏโœ’โœ•โ˜žโœฑโœ–โœโœฎโ€โœโœ“โ˜žโโœšโœธโ˜…โœฒโ˜žโโœ’โœ•โ˜…โœฒโœš โ†qโœณโœฏโœ–โ™ฅโ™ โœžโœโœ“โ‡โจโœณโœฏโœ–โœ˜โœฃqโœณ โœŒ โœโœฆโœฃโœคโœณโœ“โœฃโœคโœ–โœ โœŸ โœ”โœฝโœ† โœบโœปโœ’โœ•โœฃโ– โœš โœโœฆโœ’โœ•โœšโคโ˜…โœฒโ˜žโœ›โœšโŠโœ–โœ˜โœฃโœปโœ”โšโœญโœฆโ‡โœฒโ‡โฌโœ– โœ˜ โœง โœž โœด โœœ โœญโœ“โœ”โœ“โœ–โ€โœฎ โœด โœ“ โœง โฉโ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑโฒโž‡โคโœญโซโœฆโ™ โชโžฃโโœฅโพโœโชโ˜…โžปโถโโณโ–โฑโœฟโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โ†โœฃโœŽโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜… โœœโœžโขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโœฝโœฅโœฆโณโบโ™ โชโœฅ โœฟ โœ“ โœง โœงโœšโคโœฌโ˜…โฉโญโชโœงโœšโซโดโœฅโœฆโ˜… โ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜… โตโฉโณโ–โฑโฃโซโฆโœฅโผโœœโœคโฑโœฟโœฅโœฆโ˜… โœ โœ“ โœฅโœฆโ˜…โ†โคโฒโคโœšโ˜…โ‘ฅโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœ–โœœโœžโขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโœ‰โœฅโกโณโ–โ™ โชโœฅโœโœโœนโœ–โœžโœกโœถ rโœ—โœ– โœ˜ โœง โœž โœด โœœ โœ† โท

โœš โœœ โญ โœ  โœ’โœŒ โ‚ โœ  โœ’โœ’ โญ โœ“ โœค โœ‚ โœ โœ“ โญ โœถ โ‚ โœนโโญ โœ“ โœ’ โžถโฆโœ™โ–โœ— โœฎโœฟโž˜๏ฟฝโžโฑโจโ˜… โ˜โœˆโ˜…โฉโœฅโœฑโœœโœ˜โคโœšโœœโโตโฏโณโ–โฑโ–ฒโœโชโœงโฒโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โžถโฆโœ™โบโœ— โœฎโ–ผโž˜โงโœœโ–โซโกโซโดโ™ โœ˜โœฃโกโ˜… โœœโ–ผโขโ–ฒโœœโ–โœฃโœžโคโฒโ˜…โœฌโœฅโกโž™โœ˜โ˜โฏโณโบโœฃโœฆโž›โ†โถโœฉโ˜…โœฌโœโชโ˜…โœซโœฃโกโ˜โฏโžŸโบโ™ โœ˜โคโœšโœœโ–โœฃโœฆโœงโฒโœฅโœฆโ˜โœฌโœโชโ˜… โœ†โžšโณโ–โคโœšโถโœฉโณโบโžŸโ–โณโบโœฃโœฆโณโโž… โžถโ…โปโธโ˜…โ†โž…โœฟโ™ โœ‚โœทโœซโ˜…โฉโœฅโ˜›โœกโžโณโ–โœฃโœ›โฒโœ™โบโœ™โœฌโœฅโœฑโœฃโœˆโœฅโœฆโž™โ–ฒโ˜โฏโณโ–โœฃโกโž›โฏโถโโ˜…โœฌโœฏโชโœ—โœšโœ™โฌโขโ–ฒโœœโœคโžŸโบโ˜…โœญโœฏโบโœตโ–โž˜โฉโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ˜žโœฌ โœ  โœ’โœŒ โœ” โœถโœ—โœ–โœ™โœ˜ โœง โœž โœด โœœ โœป โœœโบโœโชโถโโ˜…โฉโœฅโžโ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โžšโถโโณโชโœโชโœงโฒโšโฃโตโฏโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ‰โœโœ˜โณโ–โฑโœฟโœฅโงโคโœšโ˜…โ†โซ โœฅโœฆโœฃโผโœœโโฅโฆโ˜…โโตโžฅโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซโซโดโณโบโฑโœฟโœฅโœฉโž‚โœ„โœ‚โบโคโœšโœโœ˜โ˜…โฏโœฃโ†•โตโฉโณโบโฑโบโœฅโกโœงโฒโฑโ–ผโ™ โœ˜โ˜…โโซโโœโ™โƒ โณโบโœฃโกโœโœ˜โœฃโœฆโ˜… โœŸ โœ– โœ˜ โœง โœž โœ“ โœ’โ…โ„ โœ„โœ“ โœ˜ โขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโœฉโœฅโœฆโณโบโ™ โชโœฅโœถโœฟ โœ“ โœง โตโฉโ˜…โจโ†โœฟโ™ โœ˜โœงโœžโถโโณโ–โฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โœฝโคโœšโ˜…โจโœฃโœฆโ˜โโซโดโ™ โ–ฒโคโžดโœฅโผโœœโโœฅโ†โœ—โโžƒ โœœโตโฉโณโบโฑโ–ฒโœโชโœงโฒโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โžถโฆโœ™โ–โœ— โœฎโœฟโž˜โงโœโชโ˜โโตโฉโณโบโ™ โœ˜โคโฒโ˜…โœซโœโชโ˜…โœซโคโžˆโœœโโซโฆโœฅโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโœคโœฃโกโœงโฒโœฅโœฆโ˜โœซโœโชโ˜…โ†โซโธโœœโบโตโฏโตโฏโœฃโœฆโณโบโœงโœšโซโกโซโดโ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโซโžโ˜…โฉโœฅโ™โœโชโ˜…โœซโค โƒ โœœโœคโ™ โชโœฅโกโณโœคโž†โž‡โซโดโœงโœšโถโโœงโฒโคโžˆโœœโœคโœฃโกโœงโžดโœฅโกโ˜โ‘จโท

โœš โœœ โญ โœ  โœ’โœŒ โ‚ โœ  โœ’โœ’ โญ โœ“ โœค โœฅ โœš โœœ โญ โœ  โœ’โœŒ โ„ โœ’ โญ โœ“ โœคโœฅโชโญ โœถโโ‚ โœน โญ โœ“ โœ’ โœš โœœ โญ โœ  โœ’โœ„โญ โœ“ โœค

โœโ™โƒ โณโœฆโœฅ โคโฒโ˜…โœซโœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโฒโœฅโกโœœโโœฅโฌโœœโ™ฆโž…โบโ˜…โ†โต โœ โœ“ โœฅ โœš โœœ โญ โœ  โœ’โœ„โญ โœ“ โœค โœ” โœตโœŒโ˜ž โœ—

โœ‘sโœ‰โ‹โ–ผโžŒโžโœ‡โชโ– โœ“โ โ‘ขโŠโ‹ โœนโ–โ–  r โ‘  โœญโœ“โ˜žโœ›โœบโ›โ‡โฌโœญโƒโœบโœปโœ’โœ•โ˜…โœฒโœšโŠโœ–โœงโœปโœถโœโœ“โ˜ž โ˜žโœพโœ–โœโœฎโ€โœโœฆโ˜žโ‘โœบโœปโ˜…โœฉโœณโœฏโ†โœ˜โœฃโœคโœ–โœ˜โœฃโœคโœญ โ˜…โœ˜โœ’โœ›โœ–โœโœณโœฏโœ–โโœบ โœ”โœ“โœ–โโœฃโ€โœบโœปโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโœ›โœบโœฝโœฎโ€โœโœ“โ˜žโโœšโœธโ˜…โœฒโ˜žโโœ’โœ›โœ–โœปโœบโœฝโœณโœ“โœ’โœˆโœ—โ–ผโœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ“โœ–โœ˜โœ—โœ™โœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœœโœขโœฃโœนโœโœ“โœฅโœงโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žqsโ€โœฃโœนโœญโœฏโœฎโœ˜โœšโœธโ˜…โœฉโœโœฆโ˜žโœ›โ˜žโœพโœญโœฆโ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โฃโฉ

โž“โฌโฑโœ˜โ˜…โ†•โœœโœคโขโ–ฒโขโœ˜โคโฒโœงโžˆโตโฏโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โœโชโ˜…โ‘จโคโžˆโœœโœฝโคโฒโณโบโœงโžโœโชโ™ โžปโคโœšโณโ–โžŸโœฟโœœโœคโœฃโกโœงโžดโœฅโกโž™โœ˜โถโโ˜…โžซโœงโฒโœฅโœฆโ˜โฏโœฃโกโ˜โโขโœ˜โœฃโกโณโ–โ™ โœ˜โž…โบโ˜โฏโ˜…โ‘จโœโ–ฒโœœโœคโฑโ–ฒโซโœญโค โƒ โœœโ–โœฃโดโœฅโกโœงโœšโตโฏโคโฒโ˜…โโœโชโ˜…โ‡โณโฌโœฃโผโตโฉโณโ–โฑโ–ฒโ˜…โ†โซโœซโœ› โœฑโœฑโœฃโžโขโฃโ˜…โ†โœฃโœฆโถโโ˜…โฉโœฅโœโ™โƒ โณโ–โž€โชโœฅโกโ˜…โฏโฑโœ˜โœงโœšโœฃโธโคโœšโœœโœฉโœฃโกโ˜…โฏโคโžˆโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑ โซโœฆโ™ โœ˜โœงโœšโž…โ™ฆโœœโ–โฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โโทโˆโœŽโœ โœ™ โ˜› โœฃ โœนโœฌโฅ โœดโœ โœŸ โ™ฅ โ–  โœ  โœ’โœโฅ โœ’โœ’โœ‘ โœ• โœโœ”โœ“ โœ• โœโœ”โœ“ โœโฆโฅ โ„ โœ„ r

โœฅโ—โœ”โœ–โœ•โœโœฅ โœ”โžžโžโ˜…โœณโ†โบโ™ โ–ฒโœง โœโชโ˜โฏโถโโณโบโฑโบโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โœฌโคโœšโ˜…โœฌโœฃโœฆโ˜โโซโดโ™ โœ˜โคโฒโœฅโกโœœโœคโœฅโฌโซโดโ™ โœ˜โœงโœšโž…โโœœโœคโฑโœฟโœฅโ†’โท

Page 29: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ™โ†โž ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœโœ”โœโฉโœ’ ๏ฟฝ โœ–โœ˜โœžโ˜Žโœ„โ˜žโœโœŽโœ โœโœ† ๏ฟฝโœ“โœ’โœŸโœžโœ‘โœ’ ๏ฟฝโœ“โœ’โœกโœ โ˜›โœž โ˜žโœŽโœžโ˜Ž๏ฟฝ โœโœ™โœ–โ˜žโœ โœ›โœโœ™โœ–โœ˜โœ’โœŒโœ†โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœ™โ˜žโœฟโฑโœ‡โŠโœผโœฟโ‡โฃโ– โโ‘กโ–ผโžŒโžโ‹ โœนโ–โ– โœšโžธโฆโžโœŒโœ–โœปโœบ โœšโœธโœฃโœคโœญโœŸโœทโœ˜โœ–โ€โœฎโโœšโŠโœโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โโœบโœดโœณโœฆโœ’ โœ—โœ™โœโœฆโœ’โœ•โœ”โšโœ–โœ˜โœ—โ–ผโœ–โโ˜žโโœšโ„โœœโ„โœฃโœคโœโœฆโœฅโœงโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโœฝsโ€โœฃโœนโœญโœฏโœฎโœ˜โœšโœธโ˜…โœฉโœโœฆโ˜žโœ›โ˜žโœพโœญโœฆโ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โœฝโ˜ž โœŒ โœโœ“โ˜žโโœš โˆโ‘โ‚ โœด โœ—โœฉโœนโœ–โœ— โœตโœ›โœญโšโœบโœฝโœณโœฏโœ–โœฎโ€โœโœ“โ˜žโœ›โœšโœฐโ˜…โœฒโ˜žโœ›โœ’โœ•โ˜…โœฒโœšโŠโ†โœโœณโ–ฒโœ–โœผโ™  โœโœ“โ‡โฌโœณโ–ฒโœ–โโœฃโ™ฃโœณ โœŒ โœโœ“โœฃโœนโœณโœ“โœฃโœคโœ–โœโœบโœปโœ’โฃโœตโ‘โ†โœ˜โœฃโœปโ˜…โœฉโœ–โœ˜โœ’โœ•โœฃโœธโœฌ โœ† โœบโœปโœ’โœ•โœฃโ– โœš โœโœฆโœ’โœ•โœšโคโ˜…โœฒโ˜žโœ›โœšโŠโœ–โœ˜โœฃโœปโœ”โšโœญโœฆโ‡โœฒโ‡โฌโœ–โœ™โ—†โœนโœโœฆโœฃโœปโ˜žโœพโ†โฃโฉ

โœ•โทโžฒ โœ’โบโžฒ โ‹ โ‘คโ™ฃโฆโงโกโœžโžฒโœ“โœ โœฝโœ โœ โžฉโขโžŸโฅโโขโกโคโฃโฅโœโœทโ‘ฉ โœปโžคโœโžปโ‘จโ‘งโœโžผโฃโžซโžฉโœฟโฑโœ‡โŠโœผโœฟโ‡โฃโ– โโ‘กโ–ผโžŒโžโ‹ โœนโ–โ–  โ‘ฉโฆโฅ โœโœ“โ˜…โœฒโœš โœถ โ™ฅ โœ– โœน โฉโžโงโœ–โโœบโ– โœšโœธโœฃโœคโœญโœŸโœทโœ˜โœ–โ€โœฎโโœšโŠโœโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โโœบqโœณโœ“โœ’โœฝโœ—โ–ผโœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ“โœ–โโœ—โ–ผโœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโ—โœœโœขโœฃโœคโœโœฆโœฅโœงโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโœฝโœชโœฌโœฃโœคโœญโœฏโœฎโœ˜โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโœ›โ˜žโœฑโœญโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ–rโœบโœ˜โœโœ“โ˜žโโœš โˆ โ‚ โœด โœ—โœฉโœน โœ— โ˜žโœพโœโœฆโ˜žtโœณโœ“โ˜… โœ‚โœผโ†โโœฃโœคโœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœฐโ˜…โœฉโœญโœฏโ—†โœ˜โ‡โฌโœ–โœ™โœ–โœ˜โ˜ž โœถ โ™ฅ โฉโ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑโœฉโžšโฑโœฝโž…โบโ˜…โฏโ™ โชโœฅโธโถโโณโ–โฑโœฟโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โ†โœฃโœ‘โ†โบโ™ โ–ฒโ˜… โซ โœถ โ™ฅ โœ– โœนโœผโœž โˆโŠโ‰โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœโœŒ โœŒ โœŸ โœŒโœโœŽ โœ‘โœ‘โœ‘โœ‘ โœตโœ“โœ’โœ” โ„ โœตโœ•โœ’โœ” โœŽโœŒ โ„ โœŒโœโœŽ โœ‘โœ‘โœ‘โœ‘ โœฅ โœตโœŒโ˜ž โ–ฒโ‰โœฅโ—โœ” โœ—โœฉโžšโฑ โซโœฆโ˜…โœฌโœฃโกโœœโ–โถโโž›โฏโฑโœ˜โ˜…โœซโœœโœคโ™ โจโตโฏโœœโบโซ โœถ โ™ฅ โœฅ โœง โžŸโบโœฃโœ—โœ–โบโตโฉโ˜… โœช โคโžˆโœœโ†•โซโดโœฅโกโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœฃโœฆโœงโฒโœฅโœฆโ˜โบโœ—โœฉโžšโฑโœฝโž…โโœœโโœโชโณโบโฑโ–ฒโตโœฌโ˜โฉโœฅโกโ™ โ–ฒโœโชโœงโœšโ˜…โฏโœฃโธโคโœšโ˜…โ†’โตโฉโณโ–โถโโขโˆโณโ–โœฃโœฆโœฅโœฆโ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโธโœโœ˜โ˜… โœ‘โœ‘โœ‘ โœตโœ“โœ’โœ”โœŒ โœ‘โœ‘โœ‘ โ†โœฟโ™ โ–ฒโœœโ–โฑโ–ฒโœ โœถ โœฅโกโ˜…โฏโฑโ–ฒโœ โž…โ–โ˜…โ†โœฃโกโซ โœถ โ™ฅ๏ฟฝโžโฑ โžขโ…โœœโœคโœงโฒโœฅโฌโณโ–โฑ โž…โโœœโœฉโœโœ˜โ˜โฏโถโโณโ–โฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โฏโœฃโธโคโžˆโœœโœฉโฑโœ˜โณโ–โฑโœ˜โž† โœโชโœงโœธโ˜โœˆโ˜โฏโœฃโกโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฆโœงโžˆโœœโœคโž€โœ˜โœงโœšโคโœšโœงโžดโœฅโกโ˜ โœช โœโชโœฃโกโณโ–โœงโฒโœฅโœฆโ˜…โโทโœฉโžšโฑโœฝโขโˆโณโบโซโœฆโ˜…โโท โ—† โœโœŽโœถ rโ˜žโœฅ โ‰ โœนโœฌโฅ โœดโ™ฅโœ™โœ˜ โœ’ โœ˜ โœŒ โœ‘โœ‘โœ‘ โœตโœ“โœ’โœ”โœŒ โœ‘โœ‘โœ‘ โ‘โœ›โœš โ–ฒ โœœโ™ฆโž…โบโ˜…โ†โต โœš โœ“ โœง โœ—

โˆ โœ˜ โ—†โ€โœโœทโœถ rโœ‘โœœโœ•โ‘ โˆโŠโ‰ โœ‘โœ‘โœ‘โœ‘ โœ  โœ’โœŒโœถ โœ‘โœ‘โœ‘โœ‘ โ‘โœ›โœš โ–ฒโ‘ โˆ โ‰ โœถ โœ’โœถ โญ โœ  โœ’โœ„โญ โ‘โœœโœš โ–ฒ โขโ–ฒโœœโ–โœฃโฌโœœโœคโ™ โชโœฅโกโณโœคโž†โž‡โซโดโœงโœšโถโโœงโฒโคโžˆโœœโœคโœฃโกโœงโžดโœฅโกโ˜โ‘ โˆ โœœ โญ โœ  โœ’

โœ„โญ โ‘โœกโœš โœ— โœถ โœ„ โ„ โœ’ โœค โ˜›โœŒ โœŸ โ™ฅ โˆ โœœ โญ โœ  โœ’โœ„ โญ โ‘ โœง โœค

โณโฌโœงโœšโฑโ–ฒโซโœฆโœงโž„โณโ–โฑโจโœœ โซ โœš โœœ โˆ โœ˜ โ—†โ€โœโœทโœถ rโœ‘โœœ โ˜›โœŒ โœŸ โ™ฅ โ–  โœ”โœ„โœโœ†โœŸโœžโœŒ โœŸ โ™ฅ โ–  โœ‘โœ‘โœ‘โœ‘ โœ  โœ’โœŒโœถ โœ‘โœ‘โœ‘โœ‘ โœฅ โœตโœŒโ˜ž โˆ โ‚ โœดโƒโœ— โœนโœ–โœ—โœ„โœŸโœ†โœŸโœžโœŒ โœŸ โ™ฅโœ‘โœ‘โœ‘โœ‘โœ  โœ’โœŒโœถ โœ‘โœ‘โœ‘โœ‘ โœฅ โœตโœŒโ˜ž โˆ โ‚ โœดโƒโœ— โœนโœ–โœ—

P โƒ โณโœฆโœฅ โคโœšโ˜…โœฌโœฅโœฆโž™โœ˜โ˜โ†โณโ–โœฃโกโž›โฏโถโโ˜…โ–โœ—โœ‘

โœ•โทโžฒ โœ’โบโžฒโ…โžณ โœขโซโ‘ฉโžฏโž›โ˜žโ‘ฉโˆโžŸโœ”โœโœทโ‘ฉโˆโฃโฅโœโœทโฆโงโกโ†’โžชโ†’โžฉ โฆโงโžŸtโžชโžฃโžŸโฅโโœกโœฃโœฟโฑโœ‡โŠโœผโœฟโ‡โฃโ– โโ‘กโ–ผโžŒโžโ‹ โœนโ–โ– โœ‰โœงโœฅโœคโ—โœโœ“โ˜žโœ›โœบโœปโ˜…โœฉโœณโœฏโ†โœ˜โœฃโœคโœโœ“โ˜žโœ›โœบโœโ‡โฌโœญโ›โœ”โšโœญโœฆโœฃโœปโ˜…โœฉโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโœŽโœณ โœŒ โœโœ“โœฃโœนโœณโœ“โœฃโœคโœ– โœด โœณโœ“โœ’โœโœ—โ–ผโœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ“โœ–โโœ—โ–ผโœ–โโ˜žโโœšโœงโœœโ„โœฃโœคโœโœฆโœฅโœงโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโ™ฃsโ€โœฃโœคโœญโ–ฒโœฎโโœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโโ˜žโœพโœญโœฆโ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โ–ผโœณโœฏโ†โœ˜โœฟโ‹โ—โ˜žโโ˜…โœ›โœตโœ›โœญโœ“โœฃโœโฑ

โœžโœงโœฆ โœฅ โˆ โ‚ โœ• โ˜› โœฃโœ— โœŸโœฉโ˜… โœž โœ—

โ™ฆ โœฆโœญโœ“โœ”โœ“โœ–โ€โœฎ

โœž โœ—โ™ฆ โœฆ โœฅ

โœ† โœฃโœ™โœœ โœ› โœ„

โญ โœ  โœ’ โœโœโœชโœ–โœ—โœฉโ˜… โ„ โœ— r โ‚ โœ  โœ’ โœtโœโœโœช โ‚โ–ฒโœ”โœฎrโœธโœ—โœฉโ˜… โ„ โœ— rโœ˜โญ โœฆโœ โ‡โฌโœโœ“โœฃโ€โœบโœโœโœฆโ˜žโƒโœญโ›โฑ

โœž โœฆ โœฅโœซโœฌโœฌโœญ โœฌโœฌโœฎโœง โœบโœปโ˜… โœด โœ† โœ“ โœ”โœ–โœžโœตโœŒโ˜ž โœบโœปโ˜… โœด โœ† โœ” โœ”โœ–โœžโœš โœœ โญ โœ  โœ’

โœ„โญ โœฆ โœค โœบโœปโ˜… โœด โœ†โœฌโœฅ โœ”โœ–โœ—

Page 30: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ„ โœ ๏ฟฝ โœโœžโœโœ—โœ–โœ˜โœ’โœŸโœž ๏ฟฝโœ“โœ’โœโœโ™โœโ˜Žโœ†โœŸโœžโœ™โ˜žโœทโœโœ™โœ–โ˜žโœ โœ›โœโœ™โœ–โœ˜โœ’โœŒโœ†โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœ™โ˜žโจโœ โ˜Žโœžโœ™โ˜ž ๏ฟฝ โœ–โœ‘โœโœ‚โœโœนโœžโœ๏ฟฝโœ˜๏ฟฝ โœ โœŒโœ’ โœ–โœ‘โœžโœ™โ˜žโžโœ  โ˜Ž โœโœ—โœ– โœ  ๏ฟฝโœ“โœžโœ™โ˜žโœ‚โ˜ž โ˜Žโœ“โ˜ž โœ™โโžนโ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑโชโ–ผโณโ–โœงโฒโœฅ โœด โœ– โœน โœŸ โœณโœขโœœโœ˜โตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโœฆโœงโžˆโœโชโ˜โฏโœฃโกโณโ–โฑโ–ฒโซโงโคโœšโ˜…โ†โซโฌโซโœฆโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโœฆโ˜…โโซโธโœโชโ˜…โœซโž…โโœœโœคโœฃโกโœงโœšโœœโ–โž€โœ˜โคโฒโ˜…โโซโœžโœœโœคโคโœšโ˜โ†โœœโโœฅโกโณโ–โœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโซโžโซโœฆโ™ โœ˜โœงโœšโž…โโœœโœคโฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โโซโœฌโท

โœซโœญ โœฎโœ๏ฟฝ โœ—โ™ฆ โœฆ โœฅ โœ˜ โ˜… โ„ โœ— โœœ โœฆ โœ’โ…โ„ โœ„

โœ† โœฃโœ™โœœ โœ› โœ„

โญ โœ  โœ’ โœโœโœชโœ–โœ—โœฉโ˜… โ„ โœ— r โ‚ โœ  โœ’ โœtโœโœโœช โ‚โ–ฒโœ”โœฎrโœธโœ—โœฉโ˜… โ„ โœ— r โญ โœฆ โœ” โœ  โœ–โœ„โœ‚ โœณ โ˜Ž โœ†โœโ˜…โฉโœฅ โœซโœญ โœฎ โœ–๏ฟฝ โœ—

โ™ฆ โœฆ โœฅ โ˜… โ„ โœ—โœ† โœฃโœ™โœœ โœ› โœ„

โญ โœ  โœ’ โœโœŸโœชโœr โ‚ โœ  โœ’ โœโœŸโœชโœณโ‚โœฝโœ”โ‘ r r โญ โœฆ โœ” โœ  โœ–โœžโœ‚ โœณ โ˜Ž โœ†โœโžƒโฉโƒ โœœโœคโ™ โชโœฅโกโณโœคโž†โž‡โซโดโœงโœšโถโโœงโฒโคโžˆโœœโœคโœฃโกโœงโฒโœฅโœฆโ˜โœซโœœโ–โซโกโซโดโ™ โ–ฒโœฃโœฆโ˜…โœณโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜… โœ  โœ’ โœโœโœชโœ–โœ—โœฉโ˜… โ„ โœ— r โœŽโœฅ โ˜… โ„ โœ— โœ’ โœ— โœ  โœ’ โœโœโœชโœฒr โœ—โฃโœ›โโœœโ–โœฃโ™โตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโœฆโ˜โœฌโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฑโœœโœ˜โœงโฒโคโƒโ˜…โ†โซโดโœฅโ™โตโฉโคโžˆโœœโœคโœงโœšโœฃโ˜›โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœซโขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโœฅโœฆโณโบโ™ โชโœฅ โœ  โœ–โœŸโœ‚ โœณ โœœ ๏ฟฝ โœ—

โ™ฆ โœฆ โœŽโœฅ โœ–๏ฟฝ โœ—โ™ฆ โœฆ โœ—โ™โฒโž‡โคโžโซโดโ™ โœ˜โžฃโœฉโœฅโœซโถโ†•โœœโœคโœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โ†โฑโ–ฒโœœโœคโฑโœฟโœฅโœซโœโชโ˜…โโœฃโœฆโ˜…โ†โถโโœœโ–โœฃโ…โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โœฃ โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฉโคโžˆโœœ โซโœฆโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโœฆโ˜… โœฌ โœ  โœ’ โœโœŸโœชโœr โ‚ โœ  โœ’ โœโœŸโœชโœซโ‚

โœ”โ‘ r โœ” โœช โœ–โœกโœ โœญโœป โ˜…โโซโฆโœฅโ™โซโดโœฅโกโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โœซโ˜…โฏโœฅโฌโ˜…โฏโœฃโกโžŸโ–โณโชโœโชโœงโœ‰โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โ†”โžถโ…โตโฉโณโบโถโโถโœฉโ˜…โœฌโœฅโกโณโ–โ™ โชโœฅโกโ˜…โžซโซโœฆโ™ โœ˜โœงโžดโœฅโกโ˜…โ†’โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโ™ โœ˜โ˜…โ†’โœโ™โƒ โ™ โœ˜โฑโพโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โ†โซโกโซโœฆโ™ โ–ฒโซโฌโนโœฌโœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโœฆโœงโฒโ˜…โ†โฑ โœชโถโโ˜…โ†โซโœฆโ™ โœ˜โœฃโœฆโ˜…โœซโซโœฆโขโฃโ˜…โโตโžฅโœฅโกโœฃโกโœœโ–โคโฒโ˜…โœฌโตโฉโณโบโฑโบโœฅโกโœงโฒโฑโ–ผโ™ โœ˜โ˜…โ†•โžถโ…โž…โ–โณโ–โœงโœšโœฃโžšโžžโžโณโ–โœฃโกโฑโชโžขโžคโ˜…โ†โคโœšโœโœฝโ˜…โฉโœฅ โœŒโœ–โœ•โฆโœ— โœ› โœณโ–โœ–โœขโœœโชโœฅโœฆโž™โœ˜โ˜โ†โณโ–โœฃโกโž›โฏโถโโ˜…โโœ™โฏโœฎโฃโœ— โœฏโœ˜โœ—โฒโœ™โœ˜โœฃ โž˜โœฆโž˜โžฅโœ—โ–ฒโžžโžโณโ–โถโโถโโ˜…โœฌโณโ–โฑโพโœœ

โœšโ˜žโ˜› โœ–๏ฟฝ โœ—โ™ฆ โœฆโœโœŒ โœฅ โœš โœœ โญ โœ  โœ’

โœ„โญ โœฆ โœค โœ” โœฅ โœ” โœฆ โ™ฆ โœ’ โขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโธโœฅโกโณโ–โ™ โชโœฅ โœ โœโœ–โœžโœ‚ โœณ โžถโฆโœ™โ–โœ—โœฐโœตโ–โž˜

โคโฒโ˜…โœญโœฅโกโž™โœ˜โ˜โฏโณโบโœฃโœฆโž›โ†โถโœฉโ˜…โœฌโ˜…โ†โœฃโœฆโžŸโบโณโ–ผโœโœ˜โœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฌโฑโœ˜โณโบโ™ โ–ฒโซโธโœโชโœงโฒโœฅโ˜›โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โœญโค โƒ โณโ–โฑโพโœœ โท

โœ–๏ฟฝ โœ—โ™ฆ โœฆโœโœŽ โ†โ˜› โœ” โœฆ โ™ฆ โœ’ โ˜…โฏโœฅ โœ–๏ฟฝ โœ—

โ™ฆ โœฆ โœฆ โ™ฃ โœ’ โ™ฃโ˜› โœ” โœฆ โ™ฆ โœ’ โœโชโณโบโฑโ–ฒโต โœ–๏ฟฝ โœ—โ™ฆ โœฆ โœŽโ˜› โœ” โœฆ โ™ฆ โœ’ โžถโฆโœ™โ–โœ— โœฅโบโž˜

โœ›โโณโ–โ™ โœ˜โœฃโฌโœโชโ˜โ†โถโโณโ–โฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โฏโœฃโœซโžถโฆโœ™โบโœ— โœตโบโž˜โœธโœœโชโœงโœšโค โซโœฆโ™ โชโžฃโโœฅโ™โœโ™โƒ โ˜โ†โž…โ–โณโ——โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โฏโœฃโœžโคโžˆโœœโ†•โซโฆโœฅโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโœคโœฃโกโœงโฒโœฅโœฆโ˜โœฉโท

โœš โ˜› โœ–๏ฟฝ โœ—โ™ฆ โœฆโœ‘โœŒ โœฅ โ˜… โ„ โœ—

โœ† โœฃโœ™โœœ โœ› โœ„

โœš โœœ โญ โœ  โœ’ โœโœŸโœชโœr โ‚ โœ  โœ’ โœโœŸโœช โ‚โœฝโœ”โ‘ rtrโœ˜โญ โœฆ โœคโœฅ โ˜… โ„ โœ—

โœ† โœฃโœ™โœœ โœ› โœ„

โœš โœœ โญ โœ  โœ’ โœโœกโœ”โ‘ rโœ˜โญ โœฆ โœคโœฅ โ˜… โ„ โœ— โ˜… โœ— โœš โœœ โญ โœ  โœ’ โœโœ•โœ”โœฎrโœ˜โญ โœฆ โœค

โœฉโžšโฑโžโœœโžโžถโฆโœ™โบโœ— โœฅโœฟโž˜โœฌโ˜…โฉโœฅโœฉโตโฉโณโ–โถโโถโโ˜… ๏ฟฝ โœ—โ™ฆ โœฆ โœŽโœฅ โœ–๏ฟฝ โœ—

โ™ฆ โœฆ โณโบโฑโžโœœ โœโชโณโบโฑโ–ฒโต ๏ฟฝ โœ—โ™ฆ โœฆ โœŽโ˜› โœ” โœฆ โ™ฆ โœ’ โตโฉโณโบโถโโถโœฉโ˜… โœ” โœฆ โ™ฆ โœ’ โ˜…โ†โซโดโœฅโžซโ™ โœ˜โฑโ–ฒโ˜…โœฝโตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโดโœฅโกโœœโœคโฑโœฟโœฅโกโ˜…

โœโชโ˜โฉโœฅโกโ˜…โฏโœฃโกโถโโœงโฒโฑโœ˜โœงโžˆโซโดโœฅโœฆโ˜… โœœโˆโตโฉโ˜…โโตโฉโœงโŠโœงโฒโถโโขโœ˜โคโœšโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ€โ†โบโ™ โ–ฒโ˜… ๏ฟฝ โœ—โ™ฆ โœฆโœ“โœ’โ˜› โœ” โœฆ โ™ฆ โœ’ โœ—โˆPโžšโณโ–โฑโฃโต โœ˜ โ˜… โ„ โœ— โœœ โœฆ โœ’โ‡โ„ โœ„ โœ— โœž โœ—

โ™ฆ โœฆโœ“โœ’โ˜› โœ” โœฆ โ™ฆ โœ’ โตโฉโ˜… โ†โœฟโ™ โœ˜โœงโโœโชโ˜โ†โถโœฉโณโบโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โคโฒโ˜…โœฌโœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโฒโœฅโกโœœโโœฅโโœ—

โœ‘โžบโ‘จโ‡โ–ฒโ– โโ‡โœฐโœœ โœœโ…โœ‡โ–ฒโ‚โžคโ– โโ‹ โœนโ–โ– โ‘ โœนโกโžโœŒโœ–โœถโœ—โ–ผโœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ“โœ–โœ˜โœ—โœ™โœ–โœ˜โ˜žโœ›โœš โœœโ„โœฃโœคโœโœฆโœฅโœงโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žqsโ€โœฃโœคโœญโ–ฒโœฎโโœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโโ˜žโœพโœญโœ“โ˜…โœฒโœฃโœนโœ–โ™ฃโœ–โโœบโœปโœš โˆ โœฟโจโœตโœฌโฉโฌโœบโœ˜โฉโœโœฌ โœ”โšโœญโœฆโœฃโœปโ˜…โœฉโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโœ›โœบโ– โ˜žโœฑโœโœ“โ˜žโƒโ—†โ€โœโœฆโœฃโœปโ˜žโœพโ†โ€โœ–โœปโœบโ™ฅโœบโœปโœ’โœ•โœฃโœš โœโœฆโœ’โœ•โœšโฏโœฎโ€โœโœ“โœ—โˆโœตโ‘โœญโ–ฒโœฎโโœšโ„โœณโ–ฒโœ– โœน โฉโ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑโœ›โœขโœœโœคโœฃโžซโœœโ–โ™ โชโœฅโœฆโณโ–โž† โซโœฆโœงโฒโถโโœงโœšโคโœšโœœโ–โœฃโœฆโœงโฒโœฅโœฆโ˜โ†•โ˜…โฏโœฅโžซโขโ–ฒโœœโ–โœฃโ‘จโซโดโœฅโกโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœฃโœฆโœงโฒโœฅโœฆโ˜โ†”โœโชโ˜…โโซโžซโœœโบโตโฏโตโฉโœฃโกโณโ–โœงโžˆโซโกโซโดโ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโกโซโ€โœœ โœงโฒโคโœžโซโดโ™ โœ˜โžฃโœฉโœฅโœฉโœโชโ˜…โœฝโตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโœฆโœงโœšโœโœ˜โ˜โฏโœฃโกโ˜…โฏโœฃโœซโคโœšโ˜…โœฝโตโฉโณโบโถโโขโ–ฒโœœโ–โตโฉโœฅโœ˜ โœง โœžโœ˜โœ” โœœ โœ— ๏ฟฝโžโฑโจโตโฉโณโ–โฑโฃโซโดโœงโžˆโœโชโ˜โฏโœฃโผโœœโœคโฑโœฟโœฅโงโคโœšโœœโœฉโซโดโ™ โ–ฒโž€โˆโœโชโœงโœšโž…โ–ผโœงโœšโซโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ‰โขโฃโœœโœคโœฃโœฆโœฅโœฆโœงโžˆโตโฉโ™ โœ˜โคโœšโœงโฒโž›โ†โœฃโœฆโ˜…โœญโœโชโ˜… โœ˜ โœง โœžโœ˜โœ”โœฟโœœ โท โœฌ โœง โœž โ˜… โ„ โœ— โœžโœ˜โœ—โ€โœ—โœ˜โœ—โœคโœž โœช โœ—โœฉโ˜… โ„ โœ— โœžโœ˜โœ—โ€โœ—โœ˜โœ—โœ˜โœžโ€โœ” โœป โœœโบโขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโธโœœโ™ฆโž…โบโณโ–โœงโœšโœฃโคโœšโœœโžซโขโœ˜โœฃโกโณโ–โขโœ˜โœฃโกโœงโฒโ˜โฏโœฅโœฆโ˜โœญโœโชโ˜…โžšโž…โโœœโ–โœฃโœฆโœงโžˆโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโ†•โž€โฃโณโบโœฃโœฆโฑโœ˜โ˜โ†โ˜…โœฉโžถโ…โขโ–ฒโœœโœคโœฃโœฐโœ‘โฉโž˜ โœงโฒโคโˆโžขโ…โœœโ–โ™ โชโœฅโœโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜… โœž โœ—

โ™ฆโœ„โ˜›

โœ— โœŸโœ‘ โˆ โž† โขโž„โœ— โซโ†โœ—โบโœœโ™ฆโž…โ–โ˜…โโตโœ’โœ‘ โœ” โ˜ž โœ— โœฉโžšโœฃโงโตโฏโ˜…โžšโฑ โƒ โ˜…โโซโฆโœฅโœžโขโ–ฒโœœโ–โซ

โขโฃโณโœฟโซโœฆโซโœฆโœงโœšโž€โœ˜โคโฒโ˜…โœซโตโ†โœœโœคโœฃโœžโคโฒโ˜…โœญโœฅโกโž™โœ˜โ˜โฏโณโบโœฃโœฆโž›โ†โถโœฉโ˜…โโœ™โบโœ— โœฅโ‘จโฑโœ˜โณโ–โ™ โฃโซโงโžขโžคโณโ–โ™ โœ˜โœฃโกโฑโœ˜โœงโฒโœฅโœžโ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ†’โซโดโณโบโ™ โ–ฒโซโดโž† โซโœฆโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโœฆโ˜…โญโ†โบโ™ โ–ฒโœงโœˆโœฅโœฆโ˜…โฏโฑโฃโœโœฝโขโ–ฒโœฃโœฆโ˜…โโซtโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœซโซโ†โ…โœ˜โœฃโœฆโ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโงโž…โบโ˜…โฏโœฃโผโซโงโค โƒ โœงโฒโฑโœ˜โšโ–ฒโฑโœ˜โœงโœ โœด โœฅ โœ” โœž โœ† โœ” โœ”โ‘ r โœ—

โœ‘

Page 31: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœฏโœคโœ– ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœโœ”โœโฉโœ’ ๏ฟฝ โœ–โœ˜โœžโ˜Žโœ„โ˜žโœโœŽโœ โœโœ† ๏ฟฝโœ“โœ’โœŸโœžโœ‘โœ’ ๏ฟฝโœ“โœ’โœกโœ โ˜›โœž โ˜žโœŽโœžโ˜Ž๏ฟฝ โœโœ™โœ–โ˜žโœ โœ›โœโœ™โœ–โœ˜โœ’โœŒโœ†โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœ™โ˜žโƒ โœโœโœ— โœก โœ—โœถโœฏโœ›โœฆโœ“โœฒโƒโœฏโ€โ˜Žโœ“โœ’โœ”โœ™โœ›โœโœงโœŸ โ˜Žโœ“โœ—โœฌโœ โ˜ŽโœŽโœ—โœฌโœฏโœ›โœกโƒโ˜…โ˜›โœกโœงโœŸ โ˜žโœŽโœ– โ˜ŽโœŽโœ—โœฌโœโœ†โœฒโโœโœงโœŸโ˜›โœŸโœ•โœ–โœ“โœŸโœ•โทโžฒ โ‹โบโžฒโœฆโœ• โœขโซโโขโถโœโ‘ฉโทโ‘ฆโœ•โ‘ฆโœกโžŸโฅโฆโงโœโžปโถโžดโถโœชโโžโžœโžฝโโžโกโงโฃโฅโถโžšโžชโžคโž™โœปโžœโžฝโฆโคโž™โ™ฆโž›โงโโขโžœโžโโขโกโคโฃโฒโžžโ‘โžŸtโฆโขโž โฒโกโžคโœโœทโโขโก โžฏรœโžŸโฅโ‘ฉโทโ‘ฆโโฃโฅโœโœทโฆโงโกโžคโกโžฃโ‘ฉโทโœโœทโžŸโฅโโœฉโžšโฑโ†’โœฃโกโœœโ–โขโœ˜โขโˆโ˜…โฏโคโœšโคโฒโ˜…โœŒโ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โžโคโœšโ˜…โ†โซโŠโœœโ–โตโ†โตโฉโœฃโกโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโผโซโž„โœโชโ™ โžซโถโโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโŠโž โงโœฃโœฆโณโโžกโธโฑโ–ฒโœงโฒโ˜…โ†โฑโœฌโžขโžคโœฃโกโœœโบโตโžฅโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโ–ฒโฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โžโซโดโณโบโฑโบโœฅโโซโฆโœฅโผโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโœคโœงโœšโœฃโกโ˜…โ†โซโ€โœœ

โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฌโค โƒ โณโ–โฑโพโตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโœฆโœงโœšโœโชโž›โ†โœฃโœฆโ˜…โœฌโœโชโ˜…โโซโœžโž…โ–โ˜…โฏโœฃโผโซโœฆโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโœžโตโฉโณโ–โฑโœฟโœฅโกโœงโฒโฑโ–ผโ™ โœ˜โ˜…โโซโธโœโชโ˜…โœซโตโฉโ˜…โ†’โœโชโ˜…โ†โœฃโœฆโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโœฃโธโ˜…โฏโœฅโœ‘โ†โบโ™ โ–ฒโ˜… โœ† โœ–โ‘งโœ โœง โœžโœ˜โœ”โœฎr โœ—โœบโœฝโœผโœฟโœพโโ€โƒโ‚โ…โ„โ†โ‚โ‘ โ‡โฃโ€โžฆโœนโ–โ–  โ‘ฉโœ๏ฟฝโขโœš โœญโœฆโ˜žโœ›โœšrโœณโœฏโœโœฆโ˜žโœ›โ˜žโœฑโ†โœดโœ’โœ•โ˜žโ‰โœตโœฑโœฃโœคโœ โœฎโ€โœ–โโœบโ€โœบโ€โœ’โโœบโ›โœบโ€โœšโŠโœโฃโœฎโœ„โœ‚โœ›โœญโšโœบโœปโœšโœธโ˜…โœฉโ˜…โœ˜โœ’โœ›โœ– โœบโœปโœš โœญโœฆโœšโœธโ˜…โœฉโœโœฆโ˜žโœ›โ˜žโœฑโœญโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ– โœฌโโž โœŒ โœ” โœถ โœ–โโœน โœป โœปโœ™โ‡โฌโœญโœ‘โœบโœปโœ’โœ•โ˜…โœฒโœš โœ–โœฌ โœŒโ——โœโœทโœ  rโ—โœฅ โœš โœ˜ โž โœ— โœŸ โœ’ โž โœ’ โœœ โœ” โœ  โœ– โœ‚ โœณ โœป โ˜žโœฑโœ–โœ™โœณโœฏโ†โŠโœตโ‘โœ–โœ˜โ˜žโœพโœณrโœตโœ›โœญโšโœบโ™ฃโœณโ–ฒโœ– โœน โฉโœ†โ˜ŽโœŸโ˜žโœซโœณโœฆโ˜…โœฒโœšโœขโœญโœฆโ‡โฌโœโœ“โœฃโ€โœบโœตโ˜…โโœ’โœ›โœ– โž โœ–โœปโœบโœปโœš โœฌโœฝโœณโœฏโ†โŠโœตโ‘โœ–โœ˜โ˜žโœพโœณโ–ฒโœญโœ“โ˜žโœพโœฎโ€โœ–โœตโœฌโ‡โฌโœโœ“โ˜žโœบโœน โœšโŠโœ–โœ˜โœฃโœปโœ—โœ™โœ–โœถโœบโ€โ˜… โœ™

โœ— โ‹โœžโœโœ โœŸ โœŒโœฒโœโœŽโœ  rโœฟโœฅ โœตโœŒโ˜žโ—โœฌโ– โโ‡โ–ฒโ‘โŠโ– โโ‚โ…โœผโœฟโ„โ†โœผ โœนโœฐโ– โฒโžธโดโžโœŒโœ–โœปโœบโ–ผโœญโœฏโœฎโ€โœฎโโœฃโœนโœโœ“โ˜…Pโœบโ€โœบโœ˜โœ–โโœ—โ–ผโœ–โโ˜žโโœšโœฉโœบโ–ผโœณโœฏโœ– โœ  โœ’โตโœบโœ˜โœโœ“โ˜žโโœšโœโœฌโ‰โœณโ–ฒโ† โœตโœ›โœ–โโ˜žโœฑโœณโœฏโœญโœฆโ˜žโœพโœฎโ€โœ– โœฌโœฝโ‡โจโœโœ“โ˜ž โœนโœโœš โœ–โœ˜โœฃโœปโœ—โœ™โœ–โœ™โœบโ€โ˜…โ„โœ–โœ˜โœšโœขโœบโœ˜โœ–โโœ’โœ•โ‡โจโœ–โโœ—โ–ผโœ–โโ˜žโโœšโœŸโœบโœปโ˜…โœ† โœ“ โœ„โœ† โฉโ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑโœ›โโณโ–โ™ โœ˜โœฃโœžโœฅโกโณโ–โ™ โชโœฅ โœ  โœ–โœžโœ‚ โœณโ†•โณโ–โฑโจโœœโœฝโท

โœŒโ——โœโœทโœ  rโœฐโœฅ โœš โœœ โœ  โœ’โœ„โœ โœ  โœ’โœ— โœŸ โœ„

โ‚ โœ  โœ’โœ—r โœค

โœฅ โœ”โ˜… โœœ โœโœทโœ  โœต โœ”โ‘ r โœ† โœ’ โ‚ โ˜… โœ  โœ† โœ’ โœต โœโœทโœ  โ‚โ–ฒโœ”โœฎr โœ† โœ’ โœค โžถโฆโœ™โ–โœ— โœฑโœคโž˜

โœฅ โ˜… โœ† โœ โ˜… โœ† โ‚โœฝโœ”โ‘ r โœ  โœ† โœ’โ…โ„ โœ† โœต โœโœ— โœŸโœฉโ˜… โœ„โœโœ  โœ† โœ’โ…โ„ โœ† โ˜Ž โžถโฆโœ™โ–โœ— โžโบโž˜

โœ›โโœœโ–โœฃ โžถโดโœ™โ–โœ— โžโบโž˜โœคโœœโŠโณโบโฑโžโž…โ–โณโบโœงโžดโœฅโ‡โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜… โœŒโ——โœโœŽโœ  r โ˜…โโซโฆโœฅโโคโœšโ˜…โœ‰โœฅโกโ˜…โฏโœฃโกโถโœฉโ˜…โœฝโžŸโ–โ˜โ†โฑโœ˜โ˜โฏโœฃโผโœœโœคโคโงโœโ™โƒ โ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โพโซโดโ˜โ†โœฃโœฆโœงโœšโ˜…โœ‰โœโชโœงโœšโž…โ–โ˜…โ†โœฃโœฆโžŸโบโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโœฆโ˜… โซโดโœงโงโ˜…โฉโœฅโ†•โซโดโ˜…โ†โ™ โœ˜โคโœšโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ†•โซโดโœงโ˜… โœ† โ‚โ‘โ˜… โœ“ โ‚โœณโœ” โตโœนโƒ โ˜…โ†โซโดโœฅ โœช โœโœ˜โœงโฒโœฃโกโ˜…โœซโซโดโœงโž„โ˜…โฏโœฅโ™โซโดโ˜…โ†โ™ โœ˜โคโœšโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโฌโซโดโœง โœ† โœ“ โœ„โœ† โœ— โœ‘โ—โœฌโ– โโ‡โ–ฒโ‘โŠโ– โโ‚โ…โœผโœฟโ„โ†โœผ โœนโœฐโ– โžˆโ‘ฉโฆโžโœŒโœ–โœปโœบโ‰โœญโœฏโœฎโ€โœฎโœ˜โœฃโœคโœโœ“โ˜…Pโœบโ€โœบโœ˜โœ–โโœ—โ–ผโœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœธโœบโ‰โœณโœฆโœ’โœ‡โœ—โœ™โœโœฆโœ’โœ•โœ”โšโœ–โœ˜โœ—โœ™โœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœถโœœโœขโœฃโœนโœโœ“โœฅโœงโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโƒsโ€โœฃโœนโœญโœฏโœฎโœ˜โœšโœธโ˜…โœฉโœโœฆโ˜žโœ›โ˜žโœพโœญโœฆโ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โœ‘โœบโœ˜โœโœ“โ˜žโœ›โœšโ„โœตโ‘โœโœ“โœบโœปโ˜…โœฒโœšโœธโ˜…โœฒโœ”โœ“โœ–โโœ—โ–ผโœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœฎโ€โœโœ“โœฃโœปโœฃโœคโ†โœ˜โ‡โฌโ†โโœบโ–ผโœบโ€โ˜… โœ„โœ† โœ” โœ† โœ” โœ” โœปโˆโ˜žโœฑโ†โœ“โœน โœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฒโœ”โœ“โœ–โโœ—โ–ผโœ–โโ˜žโโœšrโœฎโœนโœโœฆโœฃโœปโœฃโœคโ†โœ˜โ‡โฌโ†โœปโœบโ›โœบโ€โ˜… โœง โœ” โœ† โœ” โœ„โœ† โฒ โœโœ“โ˜žโœ‘โœตโ‘โœญโœฆโœฃโœปโ‡โฌโœ–โœโœณ โœŒ โœญโœฆโ˜žโœ›โœšโœฐโ˜…โœฒโœฟโจโœตโ‘โœ–โœ˜โœฃโ€โœบโœปโ˜…Pโœบโœปโœš โœญโœฆโ˜žโœพโœฎโ€โœ–โŠโณโœซโœ–โโœšโ˜…โœฒโ˜žโœพโœณโ–ฒโ† โœตโœ›โœ–โโ˜žโœฑโœณโœฏโœญโœฆโ˜žโœ›โœšโœธโœบโ™ฅโœบโœปโ˜… โœ†โœฆโœฅ โœ„โœ† โฉโ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑโณ โขโ–ฒโœœโ–โœฃโดโœฅโกโœงโฒโœฃโฌโœโชโ˜…โœฝโžถโฆโœ™โ–โœ— โœฑโœคโž˜โงโณโบโฑโจโž…โ–โณโ–โœงโฒโœฅโ˜›โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜… โœœโˆโซโดโœง โœ† โœฅ โœ„โœ† โœœ โœŒโœฒโœโœŽโœ  rโœผโœฅ โœง โขโˆโณโ–โ™ โœ˜โœฃโ™โœฅโœฆโณโบโ™ โชโœฅ โœ โœ™โœ–โœกโœ‚ โœณโ†•โ˜…โฏโœฅโžšโœโชโณโ–โฑโฃโตโœฌโคโฒโ˜…โโซโฌโœœโ–โตโ†โตโฉโœฃโกโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโœฆโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโผโซโซโดโณโบโฑโœฟโœฅโฌโœงโฒโฑโ–ฒโœโœ˜โ˜โฏโขโˆโ˜…โฏโฑโ–ฒโœโœ˜โœœโ–โฑโœฟโœฅโกโซโ†โœ—โˆPโ€โƒ โœœโ–โ™ โชโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โ†’โขโ–ฒโœœโ–โœฃโดโœฅโœฑโœœโ–ฒโขโ–ฒโœœโ–โœฃโžซโžถโฆโœ™โบโœ— โžโœฟโž˜โœžโณโ–โฑโพโž…โบโณโ–โœงโฒโœฅโ™โœœโœคโ™ โ–ฒโซโกโซโœฆโœงโœโœœโˆโœœโœคโ™ โพโถโโณโ–โœงโœšโฑโ–ฒโซโฌโขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃ โœ  โžŸโ–โœฃโผโœœโœคโฑโ–ฒโœโจโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜… โœŒโ——โœโœŽโœ  rโœงโœ” โœงโœโชโž›โ†โซโ˜Žโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜… โ˜… โœ† โœโœโ˜… โœ†โ‹โ‚โœฐโœ”โ‘ rโœงโœ” โœง โต โƒ โ˜…โโซโฆโœฅ โœช โœโชโœงโœšโœฃโœฆโ˜… โœ† โœ” โœ„โœ† โœ— โžƒโž„โ˜…โžซโตโ†โœœโœคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโž›โฏโœฃโกโ˜…โ†’โœœโœคโฑโœฟโœฅโกโœงโžดโž† โขโฃโ˜…โ†โœฃโกโซโœฆโœงโžˆโซโฆโœฅโผโœœโœคโฑโœฟโœฅโ™โขโˆโ˜…โฏโ™ โชโœฅโœญโ˜โฏโžŸโบโœœโ–โคโฒโ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ˜›โ„โฉโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โถโโœงโœšโซโœžโ˜…โ†โฑ โ˜โ†โž…โ–ผโœงโœšโœโชโ˜…โ†โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โœฌโขโ–ฒโœœโ–โœฃโธโคโฒโ˜…โœซโžŸโบโœฃโกโœœโ–โขโœ˜โž™โœ˜โœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ‘จโœ™โบโœ—โฒโœ™โ†’โœฏโœ˜โœ™ โ†โœฟโ™ โœ˜โœงโž„โœฃโกโ˜…โฏโขโ–ฒโœฃโœฆโ˜โโซโดโ˜…โ†โฑโบโœฅโกโ˜… โœŒโ——โœโœŽโœ  r โ˜…โฏโฑ โžขโžคโณโ–โฑโฃโตโžฅโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโจโœโชโ˜… โœ  โ˜…โฉโœฅ โœ† โœ—

โœ‘โœ•โทโžฒ โ‹โบโžฒโœ“โœ’ โœกโœฝโกโœฒโžฆโžคโžŸโฅโฆโ™ฆโ‘ฆโœกโโขโถโžดโถโžดโž™โžกโถโžทโกโžกโฆโงโกโœžโžฒ โœโžโ‘ฉโ˜žโžŸโœ˜โžงโœ’โฆโžโž›โžฃโœโœทโโขโกโœฟโฑโœ‡โŠโœผโœฟโ‡โฃโ– โโ‘กโ–ผโžŒโžโ‹ โœนโ–โ– โซโœฏโ˜žโ˜›โดsโœ‰โ‹โœโ‘ฆโž„โ‘ขโœโœŒ โ‹โœฟโ„โœโœŽโœซโ‡โ–ฒโ– โœ’โœ‘โ‘ โœนโฃโœนโ——โœงโœ”โœ“โงโ‘โโœ‡โœ˜โžฝโฃโ‹โ‘ฅโโž„โœนโœ โœ•โœซโฅ โœโœ“โ˜…โœฒโœš โœฌโ†โž โœŒ โœ” โœถโ˜žโœ– โœน โœป โœ’โœ•โ˜žโœดโœตโœพโœฃโœนโœ โœฎโ€โœ–โโœบโœนโœบโœปโœ’โโœบโœโ‚โ„โœญโœ“โœ’โโœบโ€โœบโœปโ˜…โœฉโœ–โโ˜žโœฎโ€โœ–โโ˜žโโœšโœธโœฃโœคโ†โฃโฉโงโฅโโ˜…โœ—โœ–โ™ฆโœ–โโœบโœปโœšโฏโœ’โœ•โ˜žโ–ผโœตโœพโœฃโœคโœโฃโœฎโ€โœ–โœปโœบโ€โœบโœปโœ’โโœบโœถโœณโ–ฒโœ–โœถโœโœ‘โœญโœฆโœฃโœ™โœ˜โœฏโœโœฆโœ”โœกโœปโœขโœญโœ“โ‡โฌโœโœฆโœฃโ€โœบ โซ โœน โœ”โ–ฒโœถ โœ”โโฅ โœญโœฆโœ”โšโœ–โ€โœฎ โœ‚ โœโœŽโœถโœธโœžโœกโœถ r โœ“ โœง โœป

โœ‚ โœโœโœนโœ–โœžtโฅ r โœ‚ โœโœทโœถโœธโœž โœถ rโœšโœฅ โœ‚ โœโœโœนโœ–โœžโœกโœถ r โœ‚ โœโœŽโœถโœธโœž โฅโ™r โžถโฆโœ™โ–โœ— โžนโบโž˜โœโœžโœš โœ‚ โœ–โโœบโ€โœšโ– โ‡โฌโœญโ™ฃsโโœโœฆโ˜žโœพโœฎโœ˜โœšโœธโ˜…โœฉโœโœฆโ˜ž โœณโ–ฒโœ–โœโœฎโ€โœโœ“โœ”โœ“โœญโœ“โœฃโœปโ˜…โœฉโœญโœ“โ˜žโœฑโœฎโ€โœ–โœ‘โœณโœฏโœ– โž โฉ โ‘  โœ–rโœตโœฑโ‡โ–โœ’โโœบโœญโœปโˆโœบโœปโ˜… โœ‚ โœโœทโœถโœธโœžโœกโœถ r โœฅ โœง โœญโœฆโ‡โฌโœโœ“โœฃโ€โœบ โœฌโ†โž โœ’ โœ” โœน โœ‚ โœถ โœป โœ–โโœšโœฌโ†โž โœ’ โœ” โœน โ‘โœฝโœถ โœป โœบโœ˜โœโœ“โ˜žโœ›โœšโฏโ˜…โœฒโ˜žโœพโœณโ–ฒโ† โœตโœ›โœ–โโ˜žโœฑโœณโœฏโœญโœฆโ˜žโœ›โœšโœธโœบโโฉ

โžบโ‘จโ‡โ–ฒโ– โโ‡โœฐโœœ โœœโ…โœ‡โ–ฒโ‚โžคโ– โโ‹ โœนโ–โ–  r โฅ โœโœ“โ˜…โœฒโœš โœง โœ”โœฝโœ† โœ” โœ” โœ–โโœš โœ†โœœโœ›โœฅ โœ„โœ†

Page 32: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ„ โœโ˜Žโœ„โœ†โœโœžโœโœ—โœ–โœ˜โœ’โœŸโœž ๏ฟฝโœ“โœ’โœโœโ™โœโ˜Žโœ†โœŸโœžโœ™โ˜žโœทโœโœ™โœ–โ˜žโœ โœ›โœโœ™โœ–โœ˜โœ’โœŒโœ†โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœ™โ˜žโจโœ  โ˜Ž โœโœ—โœ– โœ  ๏ฟฝโœ“โœžโœ™โ˜ž โ˜ž โ˜Ž โ˜ž โœฏโœ˜โœ™

05

1015

20

0

0.5

1โˆ’0.5

0

0.5

1

nH

๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ† โœ™โ–โœ—โœšโœ™โœŸโœžโ†”โปโฌโ˜…โฏโขโœ˜โœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโœœโœคโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœฝโžŸโ–โœฃโผโœœโœคโขโœ˜โž™โœ˜โœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœซโœโชโ˜… โœโœŽโœ†โœŸโœž โœ  rโ˜žโ˜› โœŒโ——โœโœทโœ  r

โœ  โฉโœผโžโœŒโœ–โœถโœโœ‘โœโœฆโœ’โœ•โœ”โšโœ–โœ˜โœ—โœ™โœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโ—โœœโ„โœฃโœคโœโœ“โœฅโœงโ˜žโโ˜…โœฉโœ–โโ˜žโœโœช โœฃโœคโœญโ–ฒโœฎโโœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโโ˜žโœพโœญโœฆโ˜…โœฒโœฃโœคโœ– โœฌ โœ  โœ’โœŒ โœ” โœถ โœ– โœน โœป โ˜ž โœŒ โœ–โœปโœบโœปโœšโœฌโœตโ‘โœญโœ“โœบโœถโœโ‰โœญโœฆโœฃโœ™โœ˜โœฏโœโœฆโœ” โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโœพโฉโœก โฉโœผโžโœŒโœ–โœถโœโœ‘โœโœฆโœ’โœ•โœ”โšโœ–โœ˜โœ—โœ™โœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโ—โœœโ„โœฃโœคโœโœ“โœฅโœงโ˜žโโ˜…โœฉโœ–โโ˜žโœโœช โœฃโœคโœญโ–ฒโœฎโโœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโโ˜žโœพโœญโœฆโ˜…โœฒโœฃโœคโœ– โœฌ โœ  โœ’โœŒ โœ” โœถ โœ– โœน โœŸ โœป โ˜ž โœŒ โœ–โœปโœบโœปโœšโงโœตโ‘โœญโœ“โœบโ– โœโ‰โœญโœฆโœฃโœ™โœ˜โœฏโœโœฆโœ” โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโœพโฉ

โ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑโœข โช โƒ โœงโœšโคโœซโ˜โฉโœฅโกโœœโ–โœงโžดโœฅโพโฝ โœœโ–โœฃโœฆโžทโบโณโโž…โœฟโœงโœšโ˜…โฏโฑ โœœโžโตโฉโณโบโถโโถโœฉโ˜… โณโ–โฑโžŠโœœ โœ‰ โœ’ โœ โœง โœž โœง r โœฅ โœง โœœโœžโคโœšโ˜…โ†โซ โขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซ โœฌ โœ  โœ’โœŒ โœ” โœถ โœ– โœน โœŸ โœป โ˜…โฉโœฅโœฌ โœ  โœ’โœŒ โœ” โœถโœ—โœ– โœน โ„ โœป โซโดโ˜…โ†โœฃโกโœœโ–โœงโฒโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโงโœงโœšโฑโ–ฒโœโชโ˜โ†โขโฃโ˜…โ†โฑโ–ฒโœโœ˜โœœโœคโฑโœฟโœฅโผโซโœ˜โœœโ–ฒโตโฏโ˜…โฑโ†โœฟโ™ โœ˜โœง โ˜…โ†โซโดโœฅโ™โœœโœคโž€โ–ฒโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโผโœโชโ˜…โ–โœ—โœข โช โƒ โœงโœšโคโžโ˜โฉโœฅโผโœœโœคโœงโฒโœฅโœซโฝโžปโœœโœคโœฃโกโžทโ–โณโโž…โ–ผโœงโฒโ˜…โ†โฑ โœœโœˆโซโœฆโœœโœฝโžขโžคโณโ–โฑโฃโตโžฅโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑ โœโชโ˜…โ†”โตโฏโณโโž…โ™ฆโœœโ–โœฃโœฆโœงโžˆโœœโœคโฑโฃโตโฉโ˜…โžซโž…โบโ˜โฏโœฃโกโœงโžดโšโฃโ˜…โฏโœฃโผโœœโœคโœงโฒโœฅโโžถโดโœ™โ–โœ— โžนโบโž˜โžšโ˜…โฉโœฅโœซโ˜…โฏโฑ โขโ–ฒโœœโ–โœฃโดโœฅโกโœงโœšโตโฏโ™ โœ˜โคโœšโœงโฒโ˜…โ†โœฃโ€โœœ โตโฉโณโบโถโโถโœฉโ˜…โœ” โœ”โโ˜… โœ”โœฝโœด โœœโชโณโ–โฑโจโœœโœคโ™ โœ˜โœฃโผโœœโœคโœงโฒโœฅโœซโท

โœ‰ โœ’ โœโœ•โœ”โœ–โœž โœดโˆr โœ‰ โœ’ โœโœโ˜…โœขโœž โ˜… rโœšโœฅ โœ‰ โœ’ โœโœ•โœ”โœ–โœž โ˜…โˆr โœ‰ โœ’ โœ โ˜… โœž โœดโœrโœ”โ˜… โœโœ•โœ” โœต โœด โœ† โœ’ โ‚ โ˜… โœ† โœ’ rโœคโœ— โ˜… โœ† โœ’ โœฅ โœ”

โ˜… โœโœกโœ” โœต โ˜… โœ† โœ’ โ‚โœฝโœ”โ‘ rโœคโœ— โœ”โ˜… โœโœโ˜… โœ† โœ’ โœต โœด โœ† โœ’ โ‚โœฝโœ”โ‘ rโœด โœต โœด โœ† โœ’ โ‚ โœด โœ— โ˜… โœ† โœ’ โœฅ โœง

โณโ™โขโœ˜โœฃโœฆโž›โโซโงโค โƒ โ˜โฉโœฅโกโ™ โ–ฒโœโชโ˜…โ†’โœโชโ˜…โœญโคโœšโœœโ‘จโžขโžคโณโบโฑโ–ฒโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑ โœ†โ˜žโ˜›โ˜›โœโœด โœต โœด โœ† โœ’ โ‚โœ“โœดโœขโœ—โœฉโ˜… โœ† โœ’ โœœโ–ผโณโบโฑโœฝโž…โบโณโ–โœงโฒโœฅโœโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœฌโตโฉโ˜…โฏโœฅโดโœฅโœฆโ˜…โœญโžขโžคโณโบโฑโ–ฒโตโžฅโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœฝโฑโœ˜โ˜…โœซโซโœฌโƒ โœœโ–โฑโœ˜โฑโ–ผโ™ โœ˜โคโœšโ˜…โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ‘จโขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃ โœ†โœโœฅ โœ„โœ† โ˜…โฉโœฅโœญโขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃ โœ†โœปโœฅ โœ” โžถโ‘ โตโฏโœœโบโซโ™โ˜…โฏโญโชโตโฏโคโฒโ™ โพโขโฃโœœโœคโœฃโžšโœโœ˜โ˜โฉโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโฒโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโˆโž˜โžฅโœ— โžƒโž„โ˜…โœฉโซโดโ˜…โ†โ™ โœ˜โคโƒโตโ†โœœโ–โซโžšโขโฃโณโœฟโซโœฆโซโœฆโœงโฒโž€โ–ฒโคโฒโ˜…โœ‰โžถ โœ†โœโœฅ โœ„โœ† โž˜โตโฏโณโ–โœฃโกโœฃโœฆโ˜…โโซโดโขโˆโณโ–โฑโ–ฒโœ โœช โตโฉโ˜…โฏโคโœšโ™ โœ˜โœง โœโœ˜โ™  โถโโณโบโ™ โœ˜โž…โ–โ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโธโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โฏโฑโœ‰โณโบโœฃโกโœโœ˜โœงโฒโฑโ–ฒโœœโ–โœงโฒโœฃโกโ˜…โญโ†โบโ™ โ–ฒโœงโž„โ˜…โ†โซโดโœฅโฌโฝ โœœโœคโœฃโกโžทโ–โณโโž…โ–ผโœงโœšโ˜…โฏโฑโž„โœ—

โœ‘โœ•โทโžฒ โ‹โบโžฒ โ‹ โปโšโ‘ฉโ˜žโžŸtโœโ‘งโ‘ฉโˆโฃโžซโœโ‘งโฆโงโกโ–ผโžบโบโž™โžกโ‘ฉโ˜žโžชโžกโžŸโฅโ‘ฉโˆโฃโฅโœโ‘งโžบโบโž™โžฃโโœขโโœ•โฃโฒโถโ˜…โโขโžœโžญโœโž‡โžฒโœฌโžœโžโ‘ฉโ˜žโžŸโžซโฃโฅโœโ‘งโกโฌโžจโงโ‘ฉโ˜žโ‘จโ‘งโโœบโœฝโœผโœฟโœพโโ€โƒโ‚โ…โ„โ†โ‚โ‘ โ‡โฃโ€โžฆโœนโ–โ– โœ‰โœง โœกโœŒโ˜žโ›โœตโœพโœฃโœคโœโฃโœฎโ€โœ–โœปโœบโ€โœบโœปโœ’โโœบ โž โœ–โโœบโœปโœš โœฌโ›โœ”โœ“โœญโœ“โœฃโœปโ˜…โœฉโœญโœฆโœšโœธโ˜…โœฉโœโœฆโ˜ž โ˜…โโœ’โœ›โœญโ–ฒโœณโœ“โœฃโœคโœญโœฆโœšโœธโ˜…โœฉโ˜…โœ˜โœ’โœ›โœ–โœŸโ‹โ—โ˜žโโ˜…โœฉโœ–qโœบโœ‘โœŒ โ˜…โœฒโ‡ โœ– โœชโ–ฒโ˜…Pโœบโ€โœšโŠโœ–โ™ฃโœ’โœ•โ˜žโ›โœตโœพโœฃโœคโœโฃโœฎโ€โœ–โœปโœบโ€โœบโœปโœ’โโœบrโ˜žโœพโœโœฆโœš โ†โœ” โž โœ“ โœš โœ–โœ˜โ‡ โ˜…โœ˜โœ’โœ›โœ–โœงโœปโœฌโœตโ‘โœโœฆโœ’โœ•โœฃrโœš โœโœฆโœ’โœ•โœš โœถ โœ–โโœšโขโœš โœโœฆโœ’โœ•โœš โœ–rโœบโœปโœ’โœ•โ˜…โœฒโœš โœ–โœ™โœณโ–ฒโœ–rโœบโœปโœ’โœ›โ—†โ€โœณโœ“โ˜…โœฒโœ”โฃโ˜…Pโœบโœปโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโœ›โœบโœโœŒ โœ— โœณโœฏโœ– โœ˜ โœง โœžโœกโœถ โœœ โœšโŠโœ–โโ‡โœฒโ‡โจโœ– โ˜…โœ˜โœ’โœ›โœ–qโ‡โฌโœ–โ„โœตโ‘โœญโœ“โœบ โญ โœŒ โœ— โญ โ˜› โœงโœโœ“โ˜žโƒโœญโœฆโ˜…โœฒโœšโ„โฑ โˆ โ‚ โœ• โ˜› โœฃ

โœ— โœŸโœฉโ˜…โœ™

โœŽ โœŒโ˜Žโœ โ™ฆ โœŒโ˜Žโœ โ–  โ†โœ’โœ‘ โ‹โœ”โœ“ โœฃ โœ โž โœŒ โœ โ–  โ† โ‚ โž โœŒ โœ r โœ† โœฅโ˜›โœ” โž โœ“ โœŒ

Page 33: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœฏโ–โœฏ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœโœ”โœโฉโœ’ ๏ฟฝ โœ–โœ˜โœžโ˜Žโœ„โ˜žโœโœŽโœ โœโœ† ๏ฟฝโœ“โœ’โœŸโœžโœ‘โœ’ ๏ฟฝโœ“โœ’โœกโœ โ˜›โœž โ˜žโœŽโœžโ˜Ž๏ฟฝ โœโœ™โœ–โ˜žโœ โœ›โœโœ™โœ–โœ˜โœ’โœŒโœ†โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœ™โ˜žโœฟโฑโœ‡โŠโœผโœฟโ‡โฃโ– โโ‘กโ–ผโžŒโžโ‹ โœนโ–โ– โœ‰โ โฅ โœโœ“โ˜…โœฒโœš โœฌ โœ  โœ’โœŒ โœžโœ‘โœถ โœ– โœน โœป โœ’โœ•โ˜žโœฝโœ—โ–ผโœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ“โœ–โโœ—โ–ผโœ–โโ˜žโโœš โœœโ„โœฃโœคโœโœ“โœฅโœงโ˜žโโ˜…โœฉโœ–โโ˜žโ™ฃsโ€โœฃโœคโœญโœฏโœฎโœ˜โœšโœธโ˜…โœฉโœโœฆโ˜žโœ›โ˜žโœฑโœญโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โ™ฃโœณโœฏโœ–โœŸโœตโ‘โœญโœฆโœฃโœคโœญโœ“โœ—โ–ผโœทโโœšโœฐโœฃโœคโœ–โœผโ™ โœโฉ โ˜ŽโœŸโ˜žโœญโ›โฑ

โœ” โœ  โœ’ โœ“ โœŒ โœฅ โœง โœž โซ โœถโœผโœ– โœน โœตโœ›โœโœ“โœ’โœ•โœฃ โœ† โœ“ โœ”โ˜…

โœ” โœ  โ†โˆ โœ“ โœŒ โœฅโœฐโœถโœธโœž โซ โœถโœ—โœ– โœนโœ” โœ  โœ’ โœ“ โœŒ โœฅ โœตโœŒโ˜ž โœž โซ โœถโœผโœ– โœน โœณ โœตโœ›โœโœ“โœ’โœ•โœฃ โœ† โœ” โœ”

โ˜…โ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑ

โชโ–ผโณโ–โœงโฒโœฅ โœถ โœ– โœน โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โœซโค โƒ โณโ–โฑโจโซโดโ™ โ–ฒโขโœ˜โขโฃโณโœฟโซโดโ˜…โœซโซโดโœฅโœฆโœฃโกโœงโœšโตโฉโœฅโœฆโ˜…โ†โถโœฉโ˜…โ†โฑโœฟโœฅโฌโขโฃโณโœฟโซโดโœงโฒโœฅโœฆโœงโฒโžขโŠโขโˆโณโ–โ™ โ–ฒโœฃโœžโšโœ˜โญโชโ˜…โฏโœฃโธโคโœšโ˜…โ†โซโœžโœงโžˆโœโชโ˜โฏโ˜…โโซโฏโœ—โชโ–ผโณโ–โœงโฒโœฅโœซโœฌ โœŒ โœ—

โœ” โœง โœฅโœฐโœถ โ™ฅ โœ”โœฝโœถโœ„

โœ”โœ๏ฟฝโœ‚๏ฟฝโœ‚๏ฟฝ โœ” โœถโœ—โœฅโโœถโ– โœžโ–ผโœ โœโœ– โœ‚ โœณ โœป โ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โ†’โซโดโ™ โ–ฒโœงโžดโœฅโกโ˜…โœฌโœโœ˜โ˜…โ†’โซโดโ™ โœ˜โž€โœˆโœโชโœงโœšโž…โ–ผโœงโœšโซโœฆโœงโฒโณโบโฑโ–ฒโซโธโœโชโ˜… โœ˜ โœง โœž โœถ โœœ โœโชโณโ–โฑโœฟโœฅโธโคโฒโ˜…โœซโขโฃโœœโ–โซ

โญ โœŒ โœ—โญ โœฅโกโ˜…โฏโฑโ–ฒโœ โž…โบโ˜…โฏโœฃโผโซ โœง โœ—

โžžโžโณโ–โฑโ–ฒโซโœฆโœงโžˆโœโชโ˜โฏโœฃโกโณโ–โฑโ–ฒโซ โœš โœ“ โœฃโœŒ โœฅ โ‚ โœ— โ„ โœ„โœ„ โœ› โ™ฅ โœ โœ  โœ’โœŒโœ†โ˜Ž โ–  โ† โ‚ โœ  โœ’โœŒโœ†โ˜Ž r โœ† โœ—โœ™โฏโ˜…โ†โœฃโœžโตโ†โœœโ–โซ โท โœ† โœ“ โœ„โœ†โžชโฌโณโบโ™ โ–ฒโซโธโœœโœคโคโœšโคโฒโณโบโฑโ–ฒโซโธโœโชโณโบโฑโ–ฒโตโœญโถโœฉโณโบโฑโœฟโœฅโœฆโœฃโกโ˜…โฏโœฃโœžโคโœšโœœโโตโฏโณโ–โฑโ–ผโž…โ–โ˜…โ†โœฃโœฆโžŸโบโ˜…โฏโฑโ–ฒโตโฏโ˜…โžšโœโœ˜โœœโ–โฑโ–ฒโซโœžโœ โœ„ โœโชโ˜… โœš โœ“ โœฃโœŒ โž…โ–โ˜…โฏโœฃโผโซ โœง โœ—โœ›โœขโœœโœคโœฃโฌโซโดโœฅโกโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโœ˜โฑโ–ฒโœœโ–โœฃโœฆโœงโฒโœฅโœฆโ˜โœฌโœโชโ˜…โ†โซโธโœœโบโตโฏโตโฏโœฃโœฆโณโบโœงโœšโซโกโซโดโ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโกโซโ€โœœโ–ผโณโ–โฑโจโœœโœฝโท

โœšโ˜žโ˜› โœš โœ“ โœฃโœŒ โœŒ โœฅ โœ— โ„ โœ„โœ™โœ„ โœ› โ™ฅ โœšโœŸโ˜› โœ โœ  โœ’โœŒโœ†โ˜Ž โ–  โ† โ‚ โœ  โœ’โœŒโœ†โ˜Ž r โœ† โœŒโœฅ โœ— โ„ โœ„โœ™โœ„ โœ› โ™ฅ โญ โœถ โœ„ โœŸ โœ„

โ‚โœ“โœถ โœ„ โญ โœ† โœ’

โœ‚ โœ— โ„ โœ„โœ™โœ„ โœ› โ™ฅ โญ โœถ โœ„ โœŸ โœ„โ‚โœ“โœถ โœ„ โญโจโญ โœถ โœ„ โœŸ โœ„

โ‚ โœถ โœ„ โญ โœ† โœ’โ…โ„ โœ„

โœ‚ โญ โœŒ โœ—โญ โœ† โœ’โ…โ„ โœ„ โœ— โ„ โœ„โœ™โœ„ โœ› โ™ฅ โญ โœถ โœ„ โœŸ โœ„

โ‚โœ“โœถ โœ„ โญโœ‚ โญ โœŒ โœ—

โญ โœ† โœ’โ…โ„ โœ„ โœถโžžโžโณโ–โถโโถโโ˜… โ˜… โœ† โ‚โ–ฒโœ” โœ“ โœง โœœโชโณโบโฑ โœœโ†•โœโชโณโบโฑโ–ฒโต โœ„โœโœ†โœŸโœž

โœ— โœŸโœฉโ˜… โญ โœŒ โœ—โญ โœ† โœ’โ‡โ„ โœ„ โœถโœšโœฅ โœง โ˜…โฏโœฅโฌโคโฒโ˜…โœฌโœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโฒโœฅโกโœœโโœฅโฌโ˜…โ†โฑ โœโœ˜โ˜โ†โตโฉโณโบโ™ โœ˜โคโœšโ˜…โ–โœ—

โœฏโโž›โ†โถโœฉโ˜…โœซโตโ†โœœโ–โซ โท โœ† โœ” โœ„โœ†โฝโพโณโ–โฑโœฟโœฅโกโœฃโœฆโณโบโฑโ–ฒโซโงโคโœšโœœโโœโชโœงโœšโž…โ–โ˜…โ†โœฃโœฆโžŸโบโ˜…โฏโฑโ–ฒโตโฏโ˜…โœญโœโชโ˜… โœš โœ“ โœฃโœŒ โž…โ–โ˜…โ†โœฃโกโซโงโค โƒ โœงโœšโฑโชโšโ–ฒโฑโœ˜โœง โœ—โณโฌโขโœ˜โขโˆโ˜…โฏโคโœšโณโ–โฑโฃโซโœ˜โณqโค โƒ โ˜…โฏโฑโ–ฒโซโœฆโ˜…โฏโถโ‘จโž€โœ˜โคโœšโ˜…โ†’โœโชโ˜…โ†โซโธโซโœฆโ™ โœ˜โž€โœˆโœโชโœงโฒโž…โ–ผโœงโžˆโซโดโœงโœšโณโ–โฑโฃโซโธโœโชโ˜… โœ˜ โœง โœžโœกโœถ โœœ โœโชโณโบโฑโœฟโœฅโœžโคโœšโ˜…โœซโขโ–ฒโœœโบโซโงโœฅโœฆโ˜…โฏโฑโฃโœโœฝโž…โบโ˜…โฏโœฃโผโซ โœง โ˜…โฉโœฅโฌโตโฉโณโบโฑโ–ฒโซโดโœงโžˆโœโชโ˜โ†โœฃโœฆโณโบโฑโ–ฒโซโœญโท

โœŸ โœฅ โœ โ˜žโ˜›โœโœŒโœ  โœš โœ โœ— โ„ โœ„โœ™โœ„ โœ› โ™ฅ โœ โœ  โœ’โœŒโœ†โ˜Ž โ–  โ† โ‚ โœ  โœ’โœŒโœ†โ˜Ž r โœ† โœ•โžžโžโ˜…โ†โตโฏโœง โ˜…โ†โซโดโœฅโ™โœโชโณโ–โฑโ–ฒโตโœญโถโโœงโœšโฑโœ˜โณโ–โœฃโกโ˜โœฌโขโ–ฒโœœโœคโœฃโธโคโžˆโœœโโซโดโ™ โœ˜โž€โœˆโœโชโœงโœšโž…โ–ผโœงโœšโซโœฆโœงโฒโณโบโฑโ˜›โœก โœš โœฅ โœš โœŒโœ† โœฃ โณโ–โฑโพโœœโโœโชโณโ–โฑโ–ฒโตโœฉโท

โœŸ โ‘ โœš โœ โœ— โ„ โœ„โœ™ โœšโœ› โ™ฅ

โœ โœ  โœ’โ˜ž โœ โ‚ โœ  โœ’ โ˜ž โœโœโœŒ โ† r โœ† โœ•โ‘โœฆโœ โ˜… โœ— โœต โœ”โœฎrโœโœŽ โœถโ˜… โœ—โœ’โœ‘ โœ† โœ’

โ‘โœฆโœโœŽโœถ โœ† โœ’ rโœธโœ—โœ‰โœ โœ”โ˜… โœ— โœŽ โœ† โœ’โ‡โ„ โœ„ โœ‘ โœต โœ”

โ˜… โœŽ โœ† โœ— โœ’ โœ‘r

Page 34: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ„ โœโ˜Žโœ„โœ†โœโœžโœโœ—โœ–โœ˜โœ’โœŸโœž ๏ฟฝโœ“โœ’โœโœโ™โœโ˜Žโœ†โœŸโœžโœ™โ˜žโœทโœโœ™โœ–โ˜žโœ โœ›โœโœ™โœ–โœ˜โœ’โœŒโœ†โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœ™โ˜žโจโœ  โ˜Ž โœโœ—โœ– โœ  ๏ฟฝโœ“โœžโœ™โ˜ž โ˜ž โ˜Ž โ˜ž โœฏโ–โœณโžžโžโณโ–โถโโถโโ˜…โœฌโณโ–โฑโจโœœ โ˜… โœ† โ‚โ–ฒโœ” โœ” โœง โ˜…โฉโœฅ โ˜… โœ† โœ“ โœง โœœโชโณโบโฑโพโœœโœฉโœโœ˜โณโ–โฑโ–ฒโตโœฉโท

โœ„โœŸโœ†โœโœžโœ— โœŸ โ˜…

โœ”โ˜… โœ— โœŽ โœ† โœ’โ…โ„ โœ„ โœ‘

โœฅ โ˜ž โœฐโ€โœถ โœ„โœŸโœ†โœโœžโœ— โœŸโœฉโ˜…

โœ”โ˜… โœŽ โœ† โœ— โœ’ โœ‘

โœฅ โœงโžžโžโ˜…โœณโ†โบโ™ โ–ฒโœง โตโฉโณโบโฑโ–ฒโœโชโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโ™โœœโœคโ™  โœฃโœฆโ˜โโซโดโ™ โ–ฒโคโžดโœฅโผโœœโโœฅโธโ˜…โ†โซโกโตโฉโณโบโถโœฉโขโœ˜โœฅโœฆโ˜โ–โœ—

โœ‘โžžโžโณโ–โถโโถโโ˜…โ†’โตโฉโณโ–โœฃโกโณโ–โคโœšโคโžˆโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โžšโณโ–โฑโจโœœโ‘จโคโœšโ˜…โœซโœฃโกโ˜โ†โซโœฆโ™ โœ˜โคโžดโœฅโผโœœโโœฅโฌโซโœฆโ™ โœ˜โœงโฒโž…โโœœโ–โฑโบโœฅโœซโท

โœฟโฑโœ‡โŠโœผโœฟโ‡โฃโ– โโ‘กโ–ผโžŒโžโ‹ โœนโ–โ– โžˆโžพ โžโœŒโœ–โœถโœ—โ–ผโœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ“โœ–โโœ—โ–ผโœ–โœ˜โ˜žโœ›โœš โœœโ„โœฃโœคโœโœ“โœฅโœงโ˜žโโ˜…โœฉโœ–โโ˜žโ™ฃsโ€โœฃโœคโœญโœฏโœฎโœ˜โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโœ›โ˜žโœฑโœญโœ“โ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โœโ˜ž โœŒ โœ–โœปโœบโœปโœšโœฑโœตโœ›โœญโšโœบโ– โœ’โœ•โ˜žโœพโœ–โ– โœบโโœ–โœ˜โœ—โ™ฃโ˜…โœฒโœฟโŠโœ—โœ™โœญโœฆโœฃโœปโœšโœธโ˜…โœฒโ˜žโœบโœนโ–ฒโœญโœฆโ‡โฌโœ–rโœฃโœนโœ–โโ‡โฌโœญโœฆโœšโœธโ˜…โœฒโœ”โœ“โœ–โœ˜โœฟโœ—โœ™โœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโ˜›โœฌโœ™โœบโœ˜โœญโ„โ‹โคโ‡โ–โœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโ‰โ˜žโœฑโœญโœ“โœšโœฐโœ’โœ•โœฃโœคโœ–โœ˜โ‡โœฒโ‡โฌโœ– โฉโ‘  โ†โœ˜โœ—โ–ผโœโœ“โ˜žโ‘โœบโœปโœšโœฐโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žtโฑโชโ–ผโ™ โœ˜โขโœ˜โขโˆโณโบโซโœฆโณโ–โฑโฃโซโœ˜โ†โบโ™ โ–ฒโ˜…โœฌโตโฏโ˜…โ†’โซโดโณโบโœงโžดโœฅโธโ™ โœ˜โฑโ–ฒโ˜…โ†’โซโดโ˜…โ†โถโœฉโœงโฒโž† โถโโœœโ–โœฃโดโœฅโกโœงโฒโฑโ–ฒโžŸโบโœœโœคโคโœšโ˜…โ–โœ—๏ฟฝโžโคโœšโคโฒโ˜…โ‘จโ˜…โ†โซโดโœฅโžšโœโชโณโ–โฑโฃโตโ†’โตโฉโณโบโฑโบโœฅโกโœงโฒโฑโ–ผโ™ โœ˜โ˜…โžซโ˜…โฉโœฅโ™โฑโ–ผโ™ โœ˜โคโœšโคโฒโ˜…โ‘จโ˜…โฏโฑ โœ–โ–ฒโœ— โœ  โœ’ โซ โƒ โ˜โ†โตโฏโœฃโœฆโœงโฒโœฅโžšโœโชโณโบโฑโ–ฒโต โœœโˆโœโชโ˜…โžซโถโ†•โœœโ–โฑโœ˜โœงโฒโž›โ†โœฃโœฆโ˜…โœซโ™ โ–ฒโฑโœ˜โœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœ–โœœโˆโซโœฆโณโ–โ™ โฃโซโธโคโœšโœœโ†•โžขโžคโณโ–โœฃโกโถโœฉโ˜… โœ  โœ’ โœฅโœš โœต โœž โณโœฆโœฅโโฝ โ˜…โโซโฆโœฅโœขโ™ โœ˜โฑโ–ฒโ˜…โธโถโโœœโ–โœฃโดโœฅโกโœงโฒโฑโ–ฒโžŸโบโœœโœคโคโœšโ˜…โงโคโฒโณโชโตโฏโœœโ–โคโฒโ˜…โธโตโฏโณโ–โฑโœฟโœฅโœฆโœงโœšโฑโ–ผโ™ โœ˜โ˜… โœœโ™ฆโฑโ–ผโ™ โœ˜โคโœšโคโฒโ˜…โธโ˜…โ†โฑโœฉโœ–โœญโ˜…โฉโœฅโฉโšโ‘คโ™ โ–ฒโฑโ‘จโขโœ˜โœฃโกโณโชโตโฉโ˜…โโซโœฆโซโœฆโ™ โ–ฒโซโโตโฉโณโบโฑโบโœฅโกโœงโฒโฑโ–ผโ™  โœช โž…โ™ฆโœœโ–โœฃโœฆโœงโžˆโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โœฌโฑโœฟโ™ โ–ฒโคโž„โ˜…โฏโฑโพโœ–โœ˜โœ—โœ™โฏโ˜…โ†โœฃโœžโตโ†โœœโ–โซ โท โœ† โœ“ โœ„โœ†โœฉโžšโฑ โœœ โœ”โœœโœš โœ“ โœŒ โœฅ โœ” โœ  โœ’ โœ“ โœŒ โœฅ โœง โซ โœถ โœ– โœน โœ—Pโ™โณโบโฑโ–ฒโตโ†•โ˜…โ†โฑ โž…โ–โ˜…โฏโœฃโœฆโœฅโœฆโ™  โœโชโ˜…โœฝโคโœšโœœโพโœโœ˜โ˜โ†โตโฉโณโบโถโโขโฃโณโœฟโซโดโœงโฒโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโžโœโชโ˜…โœฝPโ™โณโ–ผโณโ–โž€โœ˜โž† โฝโพโ˜…โ†โฟโ–โ˜…โ†โœฃโ€โœœ โœš โœ† โ‚ โœ” โœš โœ“โž‰โ˜…โ†โซโดโœฅโžซโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜…โ†”โถโ†•โœœโ–โœฃโดโœฅโกโœงโฒโฑโœ˜โžŸโœฟโœœโœคโคโœšโ˜…โ†•โคโฒโณโชโตโ†โœœโœคโคโœšโ˜…โตโฉโณโบโฑโบโœฅโกโœงโฒโฑโ–ผโ™ โœ˜โ˜…โžšโฑโ–ผโ™ โœ˜โคโฒโคโœšโ˜…โ™โ˜…โ†โฑโœฝโœ– โœœโœฟโต โƒ โ˜…โโซโฆโœฅ โœช โœโชโœงโœšโœฃโกโ˜… โ†โœฟโ™ โœŸโƒ โœงโฒโคโˆโ˜…โฉโญโชโœงโžˆโซโฆโœฅโกโ˜…โžšโ™ โ–ฒโฑโœ˜โ˜…โœญโซโœฆโ™ โœ˜โœงโฒโœฅโœฆโ˜…โ˜žโœฌ โœš โœ—

โœ” โœ โœโœ– โœ‚โœผโœป โตโฉโœฃโกโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโกโœœโœคโฑโœฟโœฅโœฆโ˜…โฌโœโœ˜โ˜…โ™โœฅโกโ˜…โฏโถโโขโ–ฒโซโœžโœโ™โƒ โœœโœคโœฃโกโœฃtโ„โฏโœฅโœฅโœฆโ˜…โ†โคโฒโคโœšโ˜…โœณโ†โบโ™ โ–ฒโ˜… โœ„โœโœ†โœŸโœž

โœ— โœŸโœฉโ˜… โœš โœ—โœฅ โœตโœŒโ˜ž โˆ โ‚ โœดโƒโœ— โœนโœ–โœ—

โ˜…โฉโœฅโซ โœ  โœž โซ โœถโœธโœž โœš โœœ โœš โœ†โœŒโœ๏ฟฝ โœฃ โœฃ โœค โœฅ โœš โœœ โœš โœ†โ™ฅ

๏ฟฝ โœฃ โœฃ โœค โœฅ โœง โœ—โซ โœ  โœž โซ โœถโœธโœž โœš โœ†โœŒโœ๏ฟฝ โœฃ โœฃ

โœฅ โœง โˆ โ‚ โœด โœ—โœฉโœน โœ—โžžโžโณโ–โถโโถโโ˜… โœš โœ— โœฅโœฆโ˜…โ†โฑโ–ฒโœ โ˜…โฏโฑโพโตโฉโœฃโกโณโ–โœงโžˆโซโœฆโซโกโœœโœคโฑโœฟโœฅโœžโž…โ–โ˜…โ†โœฃโกโซ โœตโœŒโ˜ž โˆ โž† โขโž„โœ— โซโ†โœ— โœœโ–ผโณโ–โฑโจโœœ โท

โซ โœถโœธโœž โœš โœ†โœŒ โœฅ โœง โˆ โ‚ โœด โœ—โœฉโœนโœ–โœ—Pโ™โณโบโฑโ–ฒโต โœš โœ† โ˜…โ†โซโดโœฅโธโœงโฒโฑโ–ฒโœโœ˜โœงโœšโซโดโœฅโœฆโœงโœšโฑโœ˜โžŸโ–โ™ โฃโœœโœคโž€โœ˜โคโœšโ˜…โ†’โœโชโ™ โจโขโœ˜โœฃโกโณโ–ผโตโฏโ˜…โ†โซโกโซโดโ™ โฃโซโžโฑโ–ผโ™ โœ˜โค โœ—โ‚โŠโœงโฒโฑโ–ฒโœœโ–โคโฒโ˜…โ†โถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโ€โœœ โซ โœถ โœ  โœ’โœŒ โœฅ โœž โœŒ โˆโ‡โ‚โœโœด โœ—โœฉโœนโœ–โœ— โ˜…โฏโœฅโŠโœโชโณโบโฑโ–ฒโต โœ  โœ’ โ˜…โโซโฆโœฅ โˆโ‡โ‚โœโœด โœ—โœฉโœนโœ–โœ—โ€โœช โž…โโœœโ–โœฃโœฆโœงโžˆโœœโโœฅโกโœงโฒโณโบโฑโฑโ†โบโ™ โฃโœœโ–โœโชโœฃโผโœœโโœฅโกโœง โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โœขโšโฃโฑโœ˜โœงโฒโ˜…โบโœ—โฒโœ—โœšโœ— โณโฌโž€โ–ฒโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโผโœโชโ˜…โ–โœ—

โœฏโโž›โฏโถโโ˜…โœซโตโฏโœœโบโซ โท โœ† โœ” โœ„โœ†โžƒ โœœโโž…โโœœโœคโœฃโกโœงโžˆโœœโโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœฉโ†โœฟโ™ โ–ฒโœœโบโœโชโœฃโผโœœโโœฅโœฆโœงโœ‰โ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†’โœโชโ˜… โœš โฑโœ˜โ˜…โœฉโซโดโ˜…โ†โœฃโกโœœโ–โœงโžดโœฅโ™โœโœ˜โ˜โฉโšโ–ฒโฑโœ˜โœงโœšโ˜…โ€โ†โœฟโ™ โœŸโƒ โ˜…โฏโฑ โœง โตโฉโ˜… โ†โœฟโ™ โœ˜โœงโโตโฉโณโบโฑโบโœฅโกโœฃโœฆโ˜…โโœโชโœงโฒโœฅโฌโค โƒ โž™โ–ผโฟโœฟโขโˆโณโœคโœฅโกโž™โœ˜โž›โ†โซโœฆโ˜…โžซโœโชโ˜…โœฉโตโฉโณโบโฑโบโœฅโกโœงโžดโž†โฑโ–ผโ™ โœ˜โœงโžดโœฅโกโ˜โ–โœ—โœšโœ—โฒโœ—โ–โณโฌโž€โ–ฒโซโœฆโ™ โœ˜โœฃโผโœโชโ˜…โ–โœ—

โœ‘โžƒ โœœโ™โตโฏโณโ–โฑโ–ฒโซโœฆโ˜โœฌโ†โœฟโ™ โœ˜โ˜…โ†โฑโ–ฒโตโฉโ˜…โงโœโชโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโตโžฅโœฅโœฆโ˜…โงโœโชโ˜…โœžโตโฉโ˜…โžโœฅโกโž™โœ˜โ˜โฏโณโบโœฃโœฆโž›โ†โถโโ˜… โ˜…โ†โซโดโœฅโโค โƒ โœงโฒโถโโขโˆโณโบโซโกโซโดโœงโœšโž€โœ˜โœงโœšโคโฒโœงโฒโœฅโœฆโ˜โœžโœโชโ˜…โœžโœโชโ˜โฉโšโฃโฑโœ˜โœงโฒโœฃโโœโชโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โโตโžฅโœฅโกโ˜…โฏโถโโ˜…โฏโฑโœฟโœฅโโ™ โœ˜โฑโœ˜โ˜… โœงโœšโฑโœฟโœฅโœฆโ˜โ†โžŸโ–โœฃโผโœœโœคโคโœšโ˜…

โœโชโ˜…โœญโœฅโฆโฟโ–ผโขโฃโ˜…โœณโฒ โœฅโ…sโ†•โขโฃโณโบโ™ โœ˜โœฃโธโคโฒโ˜…โœฌโถโโณโ–โ™ โ–ฒโž…โ–โ˜…โฏโถโโ˜…โ†โฑโบโœฅโฌโž โงโœฃโกโณโโžกโธโฑโœ˜โœงโฒโ˜…โ†โฑโœ‰โžขโžคโœฃโผโœœโ–โตโฉโœฅโœฆโœงโœšโณโ–โฑโœ˜โฑโฃโœœโœคโœงโœšโœฃโœฆโ˜…โบโœ—โ—โœฌโ– โโ‡โ–ฒโ‘โŠโ– โโ‚โ…โœผโœฟโ„โ†โœผโพโ‹โœฟโ„โ†•โœบโœฝโœผโœฟโœพโโ€โƒโ‚โ…โ„โ†โ‚โ‘ โ‡โฃโ€โžŠโœนโœฐโ– โ…โœน โ˜›โฆโ‘งโœ„โœ‚โœฐโœœ โœœโ…โžŒโ™ฃโ‹โบโ–  โœ‘ โ‘ฉโ–ฒโžพโœ โœ“ โœ• โ˜Žโขโ˜žโ›โœญโ€โœตโœฏโœตโœ›โœ–โโ‡โœฒโ‡โจโœ–โคโœตโœพโœฃโœคโœโฃโœฎโ€โœ–โœปโœบโ€โœบโœปโœ’โโœบโœขโœณโ–ฒโœ– โ‘  โ˜…โœฒโœฃโœปโ˜…โœฉโœฎโœ„โœ‚โœ•โ‡โฌโœ–โœ˜โœš โž โœ’โœ•โ˜žโ– โœตโœฑโœฃโœคโœโฃโœฎโœนโœ–โโœบโœปโœฟโœบโœปโœ’โโœบ โ˜…โœ˜โœ’โœ•โ˜… โœบโœ˜โœ–โœโœณโœฏโ†โ€โœฎโ€โœโœ“โœ—โˆโœตโœ›โœโšโœบโœ˜โœ–โœ™โœณโœฏโœ–qโ‡โฌโœญโ–ผโœ—โ–ผโœญโœ“โ˜žโโ˜…โœฉโœทโโœฃโœนโœ–โœถโœบโœปโœ’โœ•โ˜…โœฒโœ”โœ“โœญโœ“โ˜žโœ›โœšโŠโœ–โ™ฃโฑ

โž โœฅ โœš โœต โ—†โœญโœ“โœ”โœ“โœ–โ€โœฎ โœš โœ’โœ•โ˜žโœพโœ–rโœ—โœ™โœญโœฆโœฃโœปโœšโœธโ˜…โœฒโ˜žโœบโœนโ–ฒโœญโœฆโ‡โฌโœ–โœ™โœณโœฏโœ–โ™ฃโœฎโ€โœญโœ“โœฃโœปโœฃโœคโ†โœโ˜…โœฒโ˜žโœ›โœšโŠโ† โœนโœฆโœฃโœคโœญโ–ฒโ—†โโ‡โจโœ–โ™ฃโœ–โœ˜โœš โ—† โœ’โœ•โ˜žโœ™โœตโœพโœฃโœนโœ โœฎโ€โœ–โโœบโœนโœบโœปโœ’โโœบโœธโœฌโ–ผโœ”โœ“โœญโœ“โœฃโœปโ˜…โœฉโœญโœฆโœšโœธโ˜…โœฉโœโœฆโ˜ž โ˜…โœ˜โœ’โœ›โœญโœฏโœณโœฆโœฃโœคโœญโœ“โœšโœฐโ˜…โœฉโ˜…โœ˜โœ’โœ›โœ–rโ˜žโโœ’โœ•โ‡โœฒโ‡โฌโœ– โฉโ—โœฌโ– โโ‡โ–ฒโ‘โŠโ– โโ‚โ…โœผโœฟโ„โ†โœผ โœนโœฐโ–  โœง โžโœŒโœ– โœ—โ–ผโœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ“โœ–โโœ—โ–ผโœ–โœ˜โ˜žโœ›โœšโœŸโœœโ„โœฃโœคโœโœฆโœฅโœงโ˜žโœ›โ˜…โœฉโœ–โœ˜โ˜žโœดsโ€โœฃโœคโœญโ–ฒโœฎโโœšโœฐโ˜…โœฉโœโœ“โ˜žโโ˜žโœพโœญโœฆโ˜…โœฒโœฃโœคโœ–โœฝโœณโœฏโœ–rโœตโ‘โœญโœฆโœฃโœคโœญโœ“โœ—โ–ผโœทโœ˜โœšโœธโœฃโœคโœ– โœ† โœ“ โœ„โœ† โœ–โœปโœบโœปโœšโ™ฅโœ’โœ•โ˜žโœฝโœตโœพโœฃโœคโœโฃโœฎโ€โœ–โœปโœบโ€โœบโœปโœ’โโœบโœณโœฏโœ– โ‘  โ˜…โœฒโœฃโœปโ˜…โœฉโœฎ โœ‚โโ‡โจโœ–โโœšโŠโฉ

Page 35: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœฏโโœฎ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœโœ”โœโฉโœ’ ๏ฟฝ โœ–โœ˜โœžโ˜Žโœ„โ˜žโœโœŽโœ โœโœ† ๏ฟฝโœ“โœ’โœŸโœžโœ‘โœ’ ๏ฟฝโœ“โœ’โœกโœ โ˜›โœž โ˜žโœŽโœžโ˜Ž๏ฟฝ โœโœ™โœ–โ˜žโœ โœ›โœโœ™โœ–โœ˜โœ’โœŒโœ†โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœ™โ˜ž

Page 36: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœ โœ ๏ฟฝ โœž โœ†โœโœ„ โœ  ๏ฟฝ

โœ„โœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœ‚โœโœกโœ  โ˜›โ˜žโœโ˜›โœ†โœŒโ˜›โ˜žโœโ˜Žโœ โœŽโœโœกโœโœ’โœ‘โœ”โœ“โœ•โœ‘โœ”โœ–โœ˜โœ—โœ™โœโœŒโœ  โœšโœŒโœž

โœ› โœ—โœ™โœžโœขโœœโœฃโœ โœ› โœโ˜Žโœโœฃโœ‘ โœค โ˜›โ˜žโœ—โœฆโœฅ โœโœŒโœ–โœ˜โœโ˜Žโœ โœงโ˜…โ˜›โœฉโœ“โœซโœชโœฌโœ‘โœ”โœ–โœ˜โœ—โœ™โœโœŒโœโœŒโœ“โœซโœ–โœ˜โ˜›โœ”โœ

โœญโœฏโœฎโœฑโœฐโœณโœฒโœ˜โœดโœถโœตโœธโœทโœนโœดโœบโœทโœปโœฐโœณโœฒโœฝโœผโœฟโœพโœนโ€โโœฎโƒโ‚โœณโœฒโ„โœฎโ…โœพโ†โœฎโƒโ‚โˆโ‡โ‰โœฒโœโœผโœฑโœทโœนโœฎโƒโ‚โœธโœตโœณโœฒโ„โœตโ‹โŠโโ— โœฒโโ– โ‰โ€โ‘โœฐโ–ฒโ‚โœธโœฒโ–ผโœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโ–โ‡โ‰โœฒโœโœตโœณโœฒโ„โœดโœถโœตโœธPโ„โœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœธโœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฐโ˜โ€โโœฎโƒโ‚โœธPโ–ผโ™โœนโœตโšโœพโ†โŠโ——โœฒโ„โœฐโฏโœดโ…โœพโœนโœตโˆโœตโšโœพโ†โœดโœถโœดโœบโœทโœนโœตโœณโ‚โฒโฑโณ โœฎโจโœผโœฑโœท โณโœถโฉ โœฒโ„โœผโฌโœฒโ„โœฎโƒโ‚โœ˜โญโœฝโœตโœธโœทโซโชโœโœฎโœถโ€โโœฒโ„โœฎโœฟโœทโœนโœตโšโ‡โ‰โ€โ——โœฎโ…โœพโ†โ€โ——โœตโœณโœฒโœฏโœท โณ โฑ โณ โœฎโœถโœฒโดโœผโœฑโœฒโ„โœฐ โณ โœตโœธโœฒโ›โตโ›โœพ โณ โœฐโœณโœฐโœณโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโœถโœฎโœถโœฒโดโ‡ โณ โœผโฌโœท โณโœถโฉ โœฒโ„โœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœฝโญโœฝโœตโœธโœทโซโชโœโœฎโœถโ€โโœฒโ„โœฎโœฟโœโโœตโšโœพโœนโ—†โกโžโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโœถโœฎโขโœพโ†โ€โ——โœตโœณโœฒโœปโฃโซโคโœโœฒโฅโœฐโ˜โœตโœธโœฒโ–ผโœดโ…โœตโœณPโฅโœฐโฆโœฒโ„โœฎโœปโ‚โšโœพโซโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโ…โœฐโงโœฐโœณโœทโœนโœฎโƒโ‚โฏโ—†โ–ผโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœณโœตโšโœพโ†โŠโ——โœฒโ„โœฐโฏโ‡โœถโœพโœนโœฎโ…โœฐโฏโŠโโ— Pโโ‚ โณ โ‡โ‰โœฒโœโ‡ โณ โœผโœฑโœท โณโœถโฉ โœฒโ„โœผโฌโœฒโ„โœฎโƒโ‚โฒโญโœฝโœตโœธโœทโซโชโœโœฎโœถโ€โโœฒโ„โœฎโ™ โœโโœตโšโœพโœนโ—†โกโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโœถโœฎโ…โœพโœนโ€โโœตโœธโœฒโ—†โ–ผโœพโœนโœตโ™ฅโœฒโ–ผโŠโ——โŠโ——โœฒโ„โœฐโ‹โœโโœทโœปโœฎโƒโ‚โœโŠโ——โœฒโ™ฆโŠโ——โ€โโœฒโ„โœฎโ™ฃโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธโœฒโ™ฆโŠโ——โœฒโ™ฆโœผโœฑโœท โณโœถโฉ โœฒโ„โœผโฌโœฒโ„โœฎโƒโ‚โœโญโœฝโœตโœณโœทโซโชโœโœฎโœถโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโœฟโœทโœปโœตโœธโ‡โœถโ€โโœฎโ…โœพโœนโ€โโœตโœธโœฒโœโœตโœธโ€โ——โ—†โšqโœถโœฒโ™ฆโœฒโ–ผโœฎโ™ฃโœดโœถโœตโœธโœทโœนโœดโ…โœตโœณโ€โ——Pโโ‚โœธPโ„โœฐโ™ฆrโโœพโœนโ—†โ„โ—†โโœตโœธโœทโœนโ€โ‘โœฐโœณโœฐโœณโœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โšโœฐโ€โโœฎโขโ‡โ‰Pโ–ผโœดโœบโœฒโ–ผโœฎโ…โ‡โ…โœพโ†โœฎโƒโ‚โœธโœฐโ„sโ‰โ€โโœฎโƒโ‚โœธPโ–ผโ™โœนโœตโšโœพโ†โŠโ——โœฒโ™ โ‡โ‰โœฒโ›tโœ‰โ‚โœณโœˆโขsโ…โ‡โ‰โœฒโ‘ โœ‡ โžท โœทโœนqโœถโœทโœปโœตโœณโœทโ‰โ‡โ‘กsโ——โฃโโฃโ——โฃโ‘ฃโ‘ขโˆโœฒโ–ผโ‚โ–โŠโโœฒโ™ โœผโœฑโœท โณโ…โฉ โœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ„โœฎโœปโ‚โ–โญโœฝโœตโœธโœทโซโชโœโœฎโœถโ€โโœฒโ„โœฎโ™ฃโœโโœตโšโœพโœนโ—†โโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโœถโœฎโ…โœพโœนโ€โโœตโœธโœฒโดโ‘คโขโœฒโฅโœพ โณ โžโ—†โโœท โณ โœดโ‘ฅโœดโ…โŠ โณ โœฐโ–โœดโ…โœพ โณโœถโฉ โœตโœธโœฒโœนโฃโ‘ฆ โœพโœนโœฎโ…โœฐ โณ โœฎโ™ฃโœดโœถโœตโœธโœฒโ–ผโœผโœฑโ€โโœฒโ„โœตโˆโ‚โœธโœฒโ–ผโœผโœฑโœดโ…โœฐโ„sโœปโœฎโœถโœท โณ โœฐโˆโœฎโ…โœท โณ โœฐโœโ€โโœฎโƒโ‚โœธPโ–ผโœตโœธโœฒโ„โœฐโœธโœฐโฆโœฒโ„โœตโœณโœทโœปโœฎโ…โœฐโ‹โฑโ˜…โŠโ‘โœพโ™ โœฎโœถโœทโœนโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ™ฃโ‡โ‰โœฒโœฏโœผโฌโœฒโฅโœฐ โณ โœตโœณโœฒโดโœพโ†โŠโ——Pโ„โœพโซโ‚โœธโœทโœนโ€โ——โœตโœณโœฒโ™ฆโตโ›โœพ โณ โœฐโœธโœฐโฆโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโœถโœฎโ…โœฒโœด โณ โ€โ‘โœฐโœฝโœฎโœถโœท โณ โœฐโœฝโœดโœถโœตโœธPโ„โœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœธโœฒโ–ผโœตโœธโœทโœนโœฎโ…โœฐโˆโ‚โœณโœตโœธโœทโœนโ€โ‘โœฐโ™ฅโœตโœธโœฒโ–ผโœดโœถโœตโœธPโ„โœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โšโœพโซโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโขโœฐโ™ฆโ‘งโ‘จโŠโ‘โœพโ‘ โœดโœถโœตโœธPโ„โœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โšโœพโซโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโจโœผโฌโœทโซโ‘ฉโœปโœฒโ–ผโœฎโœถโœฎโ…โœฒโ™ฆโœผโœฑโœทโœนโ‘คโœถโ€โ——โŠโ——โœฒโทโถ โธโœนโนโปโบโœ‰sโ‰โŠโ‘โœพโ‘ โœตโœธโœฒโ–ผโœดโœถโœตโœธPโ„โœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโœถโžโ‚โœธโœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโผqโ…โœพโ†โœตโœธโœผโœฑโœทโœนโœฎโœถโ€โ‘โœฐโœณโœพโœนโ‘คโœถโŠโ——โœฒโฌโถโ——โฝโฅโพโ†โฟโปโบโ˜โž€ โณ โ€โžโœฎโœถโœท โณ โœฐโ–โœฐโœณโœฒโ–ผโœต โฉ โ€โโœตโšโœพโทโ‡โ…โœพโ†โœฎโ…โœฐโœ˜โŠโž‚โ— Pโ–ผโ‚ โณ โ‡โœถโœฒโ˜…โ‡ โณ โ‚โœณโœฒโ„โœผโฌโœดโขโœฐโœโŠโโœทโ‰โ—†โ„โœพโ†โŠโžโ‡โ‰โœฒโ™ โŠโ‘โœพโœฑโœดโ…โœพโ†โœตโœณโ‚โœณโ€โ——โœฒโ›tโฆtโœณtโœโœฒโ–ผโ‚โ™ฆโœฒโ–ผโœฎโ‰โžƒโขโœฎโŠโ——โœพโฌโœตโœธโœฒโ–ผโœดโœถโœตโœธPโ„โœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โšโœพโซโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโผโž„โžP โฉ โ‘ฉโƒโžโž†โž…โ–โ€โ‘โ‡โœถโœพโ‘ฅโถ โฟโ‘จโž‡โฅโบโ˜โž€ โณ โ€โงโœฐโœณโœฒโ–ผโœตโšโœพโทโฑโฌโŠโ‘โœพโฌโ‘คโ…โœพโœนโœฐโœณโœฒโ™ โ‡โ‰โœฒโ™ โŠโโ— Pโโ‚ โณ โ‡โ‰โœฒโ˜…โ‡โ‰โœฒโ™ โŠโ‘โœพโฌโœดโ…โœพโ†โœตโœณโ‚โœณโ€โ——โœฒโ›tโž†โžˆโ‘ โฃโ‘ฆ โœพโœนโœฎโ…โœฐโˆโ—†โโœฒโ–โ—†โšqโขโœพโ†โœดโœถโ€โโ‚โœณโœตโœธโœฒโœ˜โœทโœนโœฎโœฟโœฐโฆโœฒโœ˜โœดโœถโŠโ‘โœพโœนโ—†โ–ผโœฒโ–โ‡โœถโœพโ†โœฎโขโœฐ โณ โœฎโœฑโœฒโ„โœฐโœณโœดโ…โœพโœนโ—†โ–ผโœฒโ™ โž‰โโžŠโดโž‹โ–ฒโžŒโœโž‹โฆโžโฏโžŽโฏโœฐ โณ โœตโ‹โŠโ——โœฒโ„โž€ โณ โœฒโ–ผโŠ โฉ โ€โโ‚ โณ โœฎโœฑโœผโœฑโœท โณโ…โฉ โœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ„โœฎโœปโ‚โˆโญโœฝโœตโœธโœทโซโชโœโœฎโœถโ€โโœฒโ„โœฎโœญโœฏโœตโœธโ‡โœถโ€โโœฎโ…โœพโœนโ€โโœตโœธโœฒโœนโฃ

โžโœฑโžโ–ผโž‘ โž’โž”โž“โฏโ†’โœโžฃโโ†”โ„โ†•โœ™โ†”โโž™โ‘ฅโž›โ‘ โ†”โกโž“โฏโžœโœโžโžŸโžžโž โ†•โœ™โžœโœโžโงโžกโ‘ฅโž“โฒโžœโœโžโžขโž›โ˜…โžฃโโ†’โœโž›โ›โžคโ˜โžฅโ‘ โ†”โกโž“โฏโžœโœโžโœฆโžฆโ˜Žโž›โ˜…โžกโผโžโงโžโ˜โ†”โโžœโœโž™โผโž™โ‘ฅโžœโœโžโคโœโœฒโโ‚โฆโ‚โœธโœฒโ™ โœดโœถโœตโœธPโ„โœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœธโœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโจโœฒโฅโœฐโ–ฒโ‚โ–โ€โ‘โœฐโœธโœฐ โณ โœฒโ™ โ‡โ‰โœฒโ‘ โœ‡โœถโœพโ†โœผโœฑโœทโœนโœตโœธโœทโ‰โ‡โ‰โœฎโœถโ€โโ‚โœธโœฐ โžท โ‘ฉโ™ฃโœพโœนโœฎโ…โ‡โžจโžงโ˜โœพโœปโž€โ‘จโž€ โณ โถโโฝโปโพโซโฟโซโบโ˜โœดโ…โœพโ†โ™โœปโœฒโ„โœฐโดโฝโœนโฝโฅโžฉโ‘ โœฒโ–ผโ‚โ™ฆโนโœปโพโœนโž‡โœถโฃ

โžซโœ˜โžญโฆโžฏโ‹โžญโœณโžฏ โžฒโžตโžณโ˜โžธโƒโžบโ™ฆโžปโœถโžณโž”โžผโ‹โžฝโ–ฒโžพโžโžผโฏโžšโ‰โžชโ™ฅโžถโ–ฒโžปโ…โžณโž˜โžนโžดโžผโฒโžบโœฏโžธโ‘จโžธโƒโžถโฆโžณโงโžทโ™ฆโžทโ™ฆโžณโž˜โžปโœถโžพโžโžณโงโžฝโœณโžฝโ–ฒโžณโžฌโ‘ฅโžฎโƒโžฑโฒโœƒโ˜โโฎโ’โ„โโโฐโขโœƒโžดรโ‘กรโร‘ร“ร’โ‹ร”โ†ร•โœถร–โกร—โฎร˜โœนร™โ–ผรšโœณร”โ†ร•โœถร–โ˜…ร›โ‘จรœโœซร รžโปรŸโœกร รขรก โž‰โฎรฃโฒรคโ–โžŽโžŸรฅโœ”รฆโ˜โž‰ รŸ โžŽโœฑรงรฉรจโœŽรช ร”โ†รซ รฆ ร˜โœนร™โร–โšร—รญรฌโœนร•โœบรฎโ‘ฅรฏโรฐรฒรฑโœฟรฎโกร–โกรณโ‰รšโœณรฎโ‘ฅร˜โœนรฎรดโงรฎโฅรตโšรฎโกร–โฆรฌโœนรณโ…รฎโ„รถโ‹รทโ˜ร•รธรฎโœฝรฑโœฑรฎโร–โกรณโ‰รšโœณรฎโœรฐโซรฏโร™โšรฐโ†รนโœ‰ร”โ†ร—รบรšโœณรฎโ›รปโ–รฐโซรณโ‘จร–โšร–โกร—โฎรฎโร•โขร•โœบรฎโ–ร˜โœปรฎโœฝรฑโœฑรฎโร–โกรณโ‰รšโœณรฎโœร˜โœนรฎโ™ฆรผโœธร”โ†ร•โ…รนโž‚รšโœณรฝโซรฏโ——รฎ รฆ รฎโกร–โกรนรธรณโ‰ร•โœบรฎรธรพโร”โ†ร•โœบรผโ–ผรนโร—โฎร”โ†ร•โ˜…รฟโœ๏ฟฝโฆรฐโœนร˜โœปร˜โซร—รบรนโž‚ร— โœ‚ รฎโ˜Žโœ„

โœ† รฅ ร›โ‘จรœโœžโœ โœŸโœกโœ  โž‰โโžŠโœโžŽรนโœ‰รฎโ–ผรฏรบรฏโรฎโ˜žโ˜›โรณโ…รฎโ˜žโœ„

โพโœนโž‡

Page 37: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โพโœ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒโœโœŽโœ’โœ‘โœ“โ˜žโœโœŒโœ”โœžโœ”โ˜žโœโœ•โœ—โœ–โœ˜โœŒโœ—โœ™โœšโœกโœ›โœ†โœœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™โœฅโœ–โœงโœฆโœ“โ˜…โœชโœฉโœฌโœซโœคโœญโœฎ

โœ† โž‰ รŸ โžŽโœ โœฏโœฑโœฐโž˜โž‰โœณโœฒโœโž‹โขรฆโ˜โž‰ รŸ โžŽโœณโžŽโœฎโœตโœด ร”โซรณโ‰รšโ™ รนโž†ร”โซรณโ‰รนโœทโœถโ‘ฅร โœนโœธโœปโœบโœฝโœผโ‹ร–โกร—โžรŸโœฟโœพ โž‹โ˜›โ€โโ€โ‚โ€โ——โž‹ รŸโœฟโƒโผร–โ–ผร”โซร•โขรนโœร˜โœนรฎโร–โ‘ รตโœธร”โ†รšโœณร™โ–ผรฏ ร—โฎรฎโร•โ…ร–โ‘ ร˜โซร—โ‘ร–โ…โ„โ–ผร”โซร—รบร•โขรนโฎร–โทร˜โœปรฎโœร›โ‘จรœโผรฐโ†รฏโร”โซรšโšร– โœ† โž‰ รŸโ†โœพ โžŽโโž‹โ˜›โ€โโ€โ‚โ€โ——โž‹ โœ† โž‰ รŸโœฅโƒ โžŽร–โ–ผร”โ†ร•โ…รนโ™ฅร—รบร•รธร˜โœนร™โˆโ‡โœถรฎโ–ผร•โœบร˜โœปรฐโซร•โขรนโœ‰รฎโร–โ–ผรถ

โœญโœฏโœฎ โœดโขโœฒ โณ โ‚โดโœพโœนโŠโโœทโœปโœตโœธโœฐโœโ€โ——โœฎโƒโ‚โœณโœตโœธโœทโ‰โ‡ โณ โ€โ——โœตโœณโœฒ โณ โœฎโ…โœฒโ‘ โœฎโœถโœทโœนโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎ โ‡โ‘กโ— โ€โโœฎโƒโ‚โœณPโ„โ™โœนโœตโšโœพโ†โŠโ——โœฒโ™ฃr โฉ โœทโœนโ€โ——โœตโ˜…โถโโฝโปโพโซโฟโซโบโฒโ—†โšqโ…โœพโ†โœดโ…โ€รญโ‚โœธโœตโœณโœฒโ‘ โนโ…โฃ โฟโœฟโœฒโ–ผโ‚โœฏโนโœถโฃโ‘ฃโž‡โœฑโœดโœบโœท โณ โœตโœฏโœดโœถโŠ โณ โœฐโ™ฆโ‡โ‰โœฒโ‡โ‰Pโโ‚โšโœพโ†โ€โ——โŠโ——โœฐโšโ‘ขโœฏโ‘งโ‰โ†โŠโซโฐโœ’โ‹โœขโŠโซโโฎโžฎโƒโ’โ„โžฎรฒรโžรโฎร‘ โœด ร”โ†รณโ‰รšโ™ รนโœ‰ร”โ†รณโ‰รนโœทโ—รขรนโœ‰รฎโ–ผรฏ โ˜›โ–ผรณโ…รฎ โœ„โโโ– โ–ฒโ‘ โ— โœ  โž‰โ—†โ–ผโฆโžŽโฆรฆโ˜โž‰โ—†โ–Pโ–ผโฆโžŽโž˜รงโœŸรจร”โซร•โ——โ‡โ…รฎโ–ผรณโ‰รนโœ˜ร˜โœปร™โ—†โ˜โ™ฅร•โ…ร—รบรšโœโ™ โ–  โ‘ โ— โž‰โšโ–ผโฆโžŽ โœ† โž‰โ—†โ–Pโ–ผโฆโžŽ รฎโ–ผรนโœฝร”โ†ร• รฐโจรฎโ–ผร•โฏโ‡รธรฏ รณโ‘จร–โ˜…ร˜โœนรฎโทรฏโรฐโœฟรฏรญร—รบร•โœบร™โšรฐโซรšโกร—รบรนโž†ร™โฑโœผโ โ–  โ— โž‰โ—†โ–ผโฆโžŽ โœ† โž‰โ—†โ–Pโ–ผโฆโžŽโฒโœฏโณโœฐโฉโจโœ’โœฒ โž‹ โ โ–  โ‘ โ— โœ  โž‰โšโ–ผโฆโžŽโœณรฆโงโž‰โœณโ–โโ–ผโฆโžŽโญโฌโžซโœ˜โžญโฆโžฏโ‹โžญโž‚โžซ โžฒโžตโžณโ˜โžธโƒโžบโ™ฆโžปโœถโžณโž”โžผโ‹โžฝโ–ฒโžพโžโžผโฏโžšโ‰โžชโ™ฅโžถโ–ฒโžปโ…โžณโž˜โžนโžดโžผโฒโžบโœฏโžธโ‘จโžธโƒโžถโฆโžณโงโžทโ™ฆโžทโ™ฆโžณโซโชรธโžชโœ”โดโ›โตโœฏโžฝโฆโžณโ–ฒโœโœโžณโžฌโ‘ฅโžฎโƒโžฑโฒโœƒโ˜โโฎโ’โ„โโโฐโขโœƒโžดรโ‘กรรบรโžโโœฝร•โž˜ร˜โซร—รบรน โ˜›โรณโ…รฎโœชโกโœ† รฎโร–โกรนโœฟรณโ‰ร•โœบรฎ รฑโœฟรฎโกร–โกรณโ‰รšโœณรฎ รฐโซรฏโ——ร™โœธรฐโ†รนโœ‰ร”โ†ร—รบรšโœณรฎ รผโšร”โ†รฑโœœโ‡รธรฏโรฎโฃโขโ‘จรฎ ร–โกร—โฌรฏโœโค ร”โซร•โฅโ‡โ…รฎโรณโ‰รนโ™ฃร™โšรผโ–ผรšโกร—รบรšโœณรฎโœตโกโœ† รโœ†โœชโœพโœ โฆโœตโง โœ† โœ  รฐ โœ‚ รฎโœธรผ โœ†โœชโœพโจรฎโ–ผรน โœ† โœ  ร˜โœนรฎโ–ผรณโโขโผรฑโœฑรฎโร–โกรณโ‰รšโœณรฎโกร–โ™ฃรปโ–รฐโ†รณโ‘จร–โœธร–โกร—โฎรฎโ–ผร•โ…ร•รธรฎโกร–โ‘ รšโœธร™โœธรฎโ–ผรฏรบรฏโรฎโร–โ‘ ร—รบร•โœบร˜โœปร™โ™ โ‡โ…รฎโ–ผร•โœบร˜โœนรฐโ†ร•โ…รนโž†รฎโกร–โœฟร˜โœนร™โœณโ˜โˆร•โขร—โฎรฎโกร–โ˜…ร–โกรณโ‰รš รฃโฒรค รฎโรนร˜โœนรฎโ‘ รฑโœฑรฎโร–โกรณโ‰รšโœณรฎโ‘ ร˜โœปรฎโทรผโšร”โ†ร•โ…รนโž‚รšโœณรฝโซรฏโรฎ รฆโ™ฆโ™ฅโœโ™ฃ รฎโ–ผรนโœรนโž†รฎโ–ผรฏรบรฏโรฎโกร– โ˜›โ–ผรณโ…รฎ โœ„

โœ†โœตโœพ โž‰ รŸ โžŽ ร โœ†โœตโœพ โž‰โญq รŸ โžŽโœ† โœ  โž‰ รŸ โžŽ ร q โœ† โœ  โž‰โญq รŸ โžŽโ‡โœถร”โ†รณโ‰รšโ™ รนโœ‰ร”โ†รณโ‰รนโœรฎโ–ผร•โœถร–โ–ผรฎโรฑโœฟรตโ–ผรฏโรฎโœฟrโœฏร”โซรšโœธร™โรฏ ร—โฎรฎโ–ผร•โžจรŸโทรถ

โž„โˆโ— โœทโœนโ‘คtsโ–ฒโœฒโฅโ—†โกโ‚โœณโ€โโœโœโœฒโ„โœฐโฆโ‚โ‘ โ‡โ‰โœฒโœฟโœดโœบโœทโœปโœฐโœณโœฒโ–ผโœตโ‘ โ‡โ‰โœฒโฅโœฐโ™ qโ‘จโ‘ฉโ‘จโœดโขโœทโœนโ‚โœณqโœฝโœ‰โฅโœฐโฆโœฒโฅโœฐโ™ โœฐ โณ โœตโ‘ โŠโโ— โ€โโœฎโƒโ‚โœธPโ–ผโ™โœนโœตโšโœพโ†โœฎโƒโ‚โœ‡โœˆโ— โ‡โ‰โœฒโจโœฐโœณโœทโœนโœตโœณโ‚โœณโœฒโœฟโž€ โณ โœฒโœนsโงโœฐโœณโœท โณ โœฐโ˜…โ—†โโœฒโฅโœฐโ™ qโ‘จโ‘ฉโƒโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโ„โœฐโ™ รคโ‘กโ‘ โ‘ข โ‘  โœˆโ— โž‰โœณโ‘ฃโœปโžŽ โœˆโœ† โž‰โ—†โ–โœ˜โ‘ฃโœนโžŽโ–โœฐโฆโœทโœปโ€โโœฒโ„โœฎโœปโ‚โ–โฑ โฉ โœพโ†โŠโ——โœฒ โณ โœตโšโœฐโœ˜โœตโœธPโ–ผโœฒโ–ผโŠโ——โŠโ——โœฒโ„โœฐโ„โฃโ‘คโœนโ‘ฅโ–ฒโ‹โ™ฅโฐโขโ’โ‘งโ‘ฆโœขโ‘จโถโ‘ฉโธโทโž รโ‘กรโร‘ร“ร’โ‹ร”โ†ร•โœถร–โกร—โฎร˜โœนร™โ–ผรšโœณร”โ†ร•โœถร– โœˆโ—โ‘ฅรโนโ—โœทโบ โœพโœโป โฆโœฑโงโญโ—โœทโบ โœ  โป รนโž†รฎโ–ผรฏรบรฏโรฎ โ˜›โ–ผรณโ…รฎโ˜žโœ„โœฎ โœˆโ— โž‰โœณโ‘ฃโœปโžŽ ร โœˆโ— โž‰โญqโœโ‘ฃโœนโžŽโœฎ โ รคโ‘กโ‘ โ‘ข โ‘ โฝโผ โ— โบ โœพโœโป โœœ โœ  โž‰โœณโ‘ฃโœนโžŽโœโ–โถโ‘ฃ รงโœŸรจ โพโธโ–ผ โ รคโ‘กโ‘ โ‘ข โ‘ โฝโผ โ— โบ โœ  โป โœœ โœ  โž‰โœณโ‘ฃโœนโžŽโœโ–โถโ‘ฃโœฆรงโœŸรจโฟ โœท โณ โœตโ–โ‡โ‰โœฒโ›โ‚โœธโœฒโ–ผโŠโ——โŠโโœฒโฅโœฐโœฝโœโโœทโœนโœฎโ…โ—†โโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฐโ„sโœถโœทโœนโœฎโผโœดโœบโœฒ โณ โ‚โ™ฆโ‡โ‰Pโ–ผโžƒโ…โœฎโœถโ€โ——โœต โ™ โ‘ โ‘ข โ‘  โœˆโ— โž‰โœณโ‘ฃโœปโžŽ โกโœ† โž‰โœณโ–โถโ‘ฃโœปโžŽโœ˜โœดโ…โœพโ†โœตโ™ โ‘ง

โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœˆโ— โž‰โœณโ‘ฃโœปโžŽ โกโœ† โž‰โœณโ–โถโ‘ฃโœปโžŽ ร โ รœโ‘ข โ‘ โžโž€โ—โžƒโž‚ โž‰โœณโ‘ฃโœปโžŽ โกโœ† โž‰โœณโ–โถโ‘ฃโœปโžŽ โฆ โ โ‘ รœ โž€โ—โžƒโž‚ โž‰โœณโ‘ฃโœปโžŽ โกโœ† โž‰โœณโ–โถโ‘ฃโœปโžŽร โ โ‘ 

รœ โž‰ โ— โบ โœพโญโป โž‰โž„โ‘ฃโœนโžŽโœปq โงโญโ— โบ โœ  โป โž‰โž„โ‘ฃโœนโžŽโœณโžŽโโž‰ โœ†โœตโœพ โž‰โœณโ–โถโ‘ฃโœปโžŽโœปq โง โœ† โœ  โž‰โ—†โ–โœ˜โ‘ฃโœนโžŽโœณโžŽโฆ โ โ‘ รœ โž‰ โ— โบ โœพโญโป โž‰โž„โ‘ฃโœนโžŽ โฆโœฑโงโญโ— โบ โœ  โป โž‰โž„โ‘ฃโœนโžŽโœณโžŽโโž‰ โœ† โœพ โž‰โœณโ–โถโ‘ฃโœปโžŽ โฆโœฑโง โœ† โœ  โž‰โ—†โ–โœ˜โ‘ฃโœนโžŽโœณโžŽ

ร โ™ฃโœขโž… โ โ‘ รœ โ— โบ โœพโœโป โž‰โœณโ‘ฃโœนโžŽ โœ†โœชโœพ โž‰โ—†โ–โœ˜โ‘ฃโœนโžŽโ˜Žq โ โ‘ รœ โ— โบ โœ  โป โž‰โœณโ‘ฃโœปโžŽ โœ† โœ  โž‰โ—†โ–โœ˜โ‘ฃโœนโžŽโœโž†ร โ โ‘ โ‘ข โ‘  โ— โบ โœพโœโป โž‰โœณโ‘ฃโœนโžŽ โœ†โœชโœพ โž‰โ—†โ–โœ˜โ‘ฃโœนโžŽโ˜Žq โ โ‘ โ‘ข โ‘  โ— โบ โœ  โป โž‰โœณโ‘ฃโœปโžŽ โœ† โœ  โž‰โ—†โ–โœ˜โ‘ฃโœนโžŽโž‡โ€

Page 38: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœฝโœ‘โœ๏ฟฝโโœ‘ โœžโœ”โ˜žโœโœ•โœ„โœ‚โ‘กโœŸโญโœฉโœงโœŸโญโœ™โœโœ†โœโœŸโญโ˜žโœโœŒโœ—โœ–โœ†โ˜ŽโœฝโœฉโœฌโœŒโœ—โœ–โ˜Žโ˜…โœทโ˜žโœœโœŒโœ—โœ–โœนโœ†โœโœ‚โ‘กโœ•โœ”โœ†โœœโœกโœโœฃ โœŸโญโ˜žโœโœŒโœ—โœ–โœŸโœžโœโœ†โ——โ˜…โ˜Žโœ–โœฝโœ–โœ˜โœŸโˆโœŒโœ”โœ™โœฅโœ™โœœโœŒโœ—โœ– โพโœกโœ โ˜› โณ โ€โ‘กโœฒโ„โœฐโฆโ‚โ–โ‘คโœถโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโžจโฑ โฉ โœพโ†โŠโ——โœฒ โณ โœตโšโœฐโœฝโœตโœณPโ„โœฒโ–ผโŠโ——โŠโโœฒโฅโœฐโ–ผโฃโ‰โ†โŠโซโฐโœ’โ‹โœขโŠโซโโฎโžฎโƒโ’โ„โžฎรฒรโžรโ‘ร ร’โˆร”โซร•โ…ร–โšร—โฎร˜โœปร™โรšโœธร”โซร•โœถร–โœรž โ—โžƒโž‚ รฅ โ–ผ ร  รฃโฒรคโ›รช รณโ‰ร•รธรฎโงรพโรฐโ†รฑโทร—รบรฏรบรฏโ——รฎโ™ ร˜โœนรฎโฏรพโร”โซร•รธรผโรนโž‚ร—โฎร”โซร•โ…ร–โ–รšโœณร™โšรฎโรฏรบรฏโรฎโร–โœฏร˜โœนรฎโœฏรฏโรฐ โœ‚ รฐโซรšโกร—โฎรฐโœนรตโ–ผรฏโรฎโดรšโœณร™โšรฎโ–ผรฏรบรฏโรฎรนโœ‰รฎโ–ผรฏรบรฏโรฎโร– โ˜›โรณโ…รฎโž‡โœผโ™ฆโ‡โœถร”โ†รณโ‰รšโ™ รนโœ‰ร”โ†รณโ‰รน โ–ผ ร  รฃโฒรค ร”โ†ร• รฐโ†ร—รบรน โœ„ โ รคโ‘กโ‘ โ‘ข โ‘  โ˜ž โ— โž‚ โž‰โœณโ‘ฃโœปโžŽ โ˜ž โœ  โ–โœ˜โ‘ฃโ˜ŽรงโœŸรจ

โœŒ รฏโร”โซรšโšร–โ›ร–โ–ผรฐโœฟรนโž‚รšโœณรฐโ†ร•โœถร–โรพโร”โซรšโกรฑโœฟร™โšรฎโ‘ ร˜โœนรฎโœŽโœโ˜ร”โซรณโ‰รšโกร—โฎรฎโ–ผรš โž€โ— โœ‚ ร™โ–ผรšโกร— โ˜โœรฎโทรฏโœโค โœโœ’โœ‘ โ‡โœถร”โ†รนโœ“โœโœ•โœ”โกร–โ–ผรฎโœ—โœ–โƒรถโœ“โœ˜โœปรถโœ™โทร™โ–ผรฑโœฟร”โซร•โœถร–โกรนโž‚รšโœณรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœ„โคโœโœทโœนโœฎโ…โœฐโœณPโ„โž€ โณ โœฒโ„โœฎโ…โ—†โโœฒโ˜…โ‡โœถโœฒโ„โœฐโ–โœดโ…โœตโœณโœทโœปโœดโœถโœตโœณโ€โ——Pโโ‚โœธPโ„โœฐโœโ‡โ‰โœฒโทโŠโ——โœพโฌโ‚โœธโœตโœธโœพโœนโœฎโ…โœฐโฆโœโโœทโœนโœตโœธโœผโฌPโ„โœฒโ˜…โ‡โ‰โœฒโœ›โœšโ…โœท โณ โœตโœธโ€โโœฒโ„โœตโ™ฆโ‡โ‘กโ— โณ โœฎโœถโœฒโ‘ โœโโœทโœนโœฎโ…โ—†โโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎ โฑ โฉ โœพโ†โŠโ——โœฒ โณ โœตโšโœฐโœโœตโœธPโ–ผโœฒโ„โŠโโŠโ——โœฒโ„โœฐโ™ฆโœฒโโ‚โœฏโ‡โ‰โœฒโŠโโ— Pโ–ผโ™โƒโœพโ†โŠโ——โ€รญโ‚โœธPโ™ โ‡โ‰โœฒ โฟ โœพโœนโœตโœธโœฐโœณโœฒ โฉ โœพโœนโŠโโฃ

โœœโž„โžโœฒโ™ โœตโœธPโ„โœฐ โณ โŠรญโ‚โšโœพโซโ‚โœโœฒโ„โœฐโœธโœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœณโ€โ——โœฒโ–ผโŠโ‘กโœฒโฅโœฐโ–ฒโ‚โœโŠโ——โœฒโ˜…โœฐ โณ โ€ โฉ โœพโ†โœฎโƒโ‚โ™ โ‘งโ‰โ†โŠโซโฐโœ’โ‹โœขโŠโซโโฎโžฎโƒโ’โ„โžฎรฒรโžรโœโœข ร’โˆร”โซร•โ…ร–โšร—โฎร˜โœปร™โรšโœธร”โซร•โœถร–โ–รณโ‰ร•รธรฎโงรพโรฐโ†รฑโทร—รบรฏรบรฏโ——รฎโ™ ร˜โœนรฎโฏรพโร”โซร•รธรผโรนโž‚ร—โฎร”โซร•โ…ร–โ–รšโœณร™โšรฎโรฏรบรฏโรฎโร–โœฏร˜โœนรฎโœฏรฏโรฐ โœ‚ รฐโซรšโกร—โฎรฐโœนรตโ–ผรฏโรฎโ›รšโœธร™โœธรฎโ–ผรฏรบรฏโรฎโ™ฆรžโžƒโ— โž‚ รฅ โ–ผ ร  รฃโฒรคโ›รช

ร–โ–ผรฐโซรนโž‚ร—โ‘ร–รบรพโรฐโ†ร—โ‘ร–โ–ผรฐโซร•โ…รนโœ˜รฏโรฎโร–โœฃโœโœคโœ‘ โ‡โ…ร”โซรนโœฅโœโœฆโœ”โร–โ–ผรฎโกร–โทร˜โœปรฎโ˜…รฏโรฐ โ‡โœบรšโœธร” โ‡โœบรšโกร—โฎร™โ–ผรนโž†ร™โœโ‡รธรšโœณร™โšรผโšร™โœธร˜โœปรฎโร•โขรนโœ‰รฎโฅรถ โœŒ รฏโร”โ†รšโšร–โ˜…ร”โ†ร• รฐ โ‡โœถร”โ†รณโ‰รšโดรนโž†ร”โซรณโ‰รน โž‰โšโ–ผ โœพ โž‹โœโ–ผ โœ  โžŽ ร  โž‰โรฃโฒรคโ™ฆโžŽ โœ  โœ„โœงโœฉโ˜… โ โ‘ โ‘ข โ‘  โž€โ— โž‚โœซโœช โž‰โœณโ‘ฃโœปโžŽ โกโœ† โž‰โœณโ–โถโ‘ฃโœปโžŽ โ โ‘ โ‘ข โ‘  โž€โ—โžƒโž‚โœฅโœฌ โž‰โœณโ‘ฃโœนโžŽ โกโœ† โž‰โ—†โ–โœ˜โ‘ฃโœนโžŽโœฎโœญ ร โ โ‘ โ‘ข โ‘  โ—โžƒโž‚โœซโœช โž‰โœฅโœฏรธโžŽ โ—โžƒโž‚โœฅโœฌ โž‰โœฅโœฏโœบโžŽโœโ–โœฐโœฏ

โœฑโœฝรนโ–ฒโ‡โ…รฐโซรšโฌรผโœธร”โ†ร•โœถร–โ–ผร™ โ˜›โรณโ…รฎโ–ผร•โ…รนโœกโœ„โœฒ โ โ‘ โ‘ข โ‘  โ— โž‚ โž‰โœฅโœฏโœบโžŽ โœ† โž‰โ—†โ–โœณโœฏโœบโžŽโž”รฅ โ–ผ ร  รฃโœฃโœด โœŸร โœฒ โ โ‘ โ‘ข โ‘  โž€โ— โž‚ โž‰โž„โ‘ฃโœนโžŽ โกโœ† โž‰โœณโ–โถโ‘ฃโœปโžŽโž”รฅ โ–ผ ร  รฃโœฃโœด rโโพโ‰โฃโ——โฝโฅโ‘ข

โœ™โทร™โ–ผรฑโœฟร”โซร•โœถร–โกรนโž‚รšโœณรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœ„โœง โ˜…โœฐโœต โ โ‘ โ‘ข โ‘  โž€โ— โž‚ โž‰โœณโ‘ฃโœปโžŽ โกโœ† โž‰โ—†โ–โœ˜โ‘ฃโœนโžŽโœโž† โœ  โœญ ร โœถโœธโœท โ โ‘ รœ โผ โ— โบ โœพโœโปโž‚ โž‰โœณโ‘ฃโœนโžŽ โœœ โœ  โ–โœ˜โ‘ฃโ™ฃ โฆ โ โ‘ รœ โผ โ— โบ โœ  โปโž‚ โž‰โž„โ‘ฃโœนโžŽ โœœ โœ  โ–โœ˜โ‘ฃโ™ฃโœŸโœน

ร โ™ฃ โ โ‘ รœ โ˜ž โž€โ—โžƒโž‚ โž‰โž„โ‘ฃโœนโžŽ โ˜ž โœ  โ–โœ˜โ‘ฃร โ โ‘ โ‘ข โ‘  โ˜ž โž€โ— โž‚ โž‰โž„โ‘ฃโœนโžŽ โ˜ž โœ  โ–โถโ‘ฃร โ โ‘ โ‘ข โ‘  โ— โœ โž‚ โž‰โœบโœฏโœบโžŽโญโ–โœณโœฏโงโž‹

โœทโœฐโœป โŠโ——โœพโผโ‡โ‰โœฒโ–ผโœตโœธโœฎโœถโ€โโœ‰โ–ผโœตโœธโœฒโ‘ Pโ„โ™โœปโœพโ†โŠโ——โ€โโ‚โœณPโฌโœฎโžโ— โœฒโฅโœฐโ–ฒโ‚โ˜…โœพ โณ โ‚โœณโœตโœธโœฒโฌโž€ โณ โœฒโฌโŠโž‚โ— โ€โ‘โ‡โ‰โœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœธโ€รญโ‚โœธPโœฑโ‡โœถโœฒ โฟ โœพโœนโœตโœธโœฐโœณโœฒ โฉ โœพโ†โŠโž‚โฃรธโž„โงโœพโผโœฐโฆโœฒโฅโ—†โโœทโœนโœฎโขโ‡โ‰โœฒโ‘ โœดโ…โœพโœนโœตโฆโ‚โœธโ€โโœฒโœฑโ‡โ‰โœฒโœฑโŠโ‘โœพโจโœดโœถโœตโœธโœทโœนโœดโ…โœตโœณโ€โ——Pโโ‚โœธPโœฒโ–ผโœฎโžจโ‡โ‰Pโ„โ—†โ–ผโœท โณ โŠโ——โœฒโ›โœดโ…โœพโ†โœตโœโœดโœบโœทโœนโŠโ‘โœพโ†โœตโœธโ€โ‘โœฐโœณโœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโžโฃโฟ โœท โณ โœตโ™ฅโ‡โ‰Pโ„โœผโœฑโœทโœนโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธโœฒโ–ผโœตโฒโŠโ——โœฒโ–โœฐโฆโœฒโฅโ—†โโœทโœนโœฎโขโ‡โ‘ โœดโœบโœทโœนโ€โ——โœฎโƒโ‚โ„sโœนโ€โ——โŠโ…โœฐ โณโœ’โœผ โ‚โ™ฅโ‡โ‘กโ— โœพโ†โœดโœถโœดโœถโŠโ——โ€โ‘โž€ โณ โœฒโ–ผโœตโ‹โŠโ——โœฒโœ˜โ‚โœณqโœถPโ„โœทโœนโœต โœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโ™ โฝโœนโฃโ——โฝโœ˜โœฒโ–ผโœฎโœฑโœดโœถโœตโœธPโ„โ—†โโ€โ‘โœฐโœธโœพโ†โœฎโƒโ‚โˆโž€ โณ โœฒโ–โ—†โšqโ…โœพโœนโ—† โณ โœฎโ‡โ‰โœฒโ„โœฐโ™ฃโœผโฌโœฒโ„โœผโ‘ โ‘คโœถโœตโœธโœฒโ„โœฐโจโ‡โ‰โœฒโž โŠโž‚โ— Pโ„โ™โœปโœพโ†โŠโ——โ€โโ‚โœณP โœฒโ–ผโœฎโžดโŠโ——โœทโœนโ€โœฏโœฐโฆโœทโœปโœฎโœปโ‚โผโ‡โ‰โœฒโ„โœฐโœฟโœดโ…โœตโœณโœทโ‰โ—†โโœฒโฅโœฐโœณโœฐ โณ โœฐโจโตโ›โœพ โณ โœฐโœธโœฐโฆโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโ…โœฐโœฟโ—†โ–ผโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธPโ„โœฐโ™ฃโœฒโโ‚โ‘ฅโž€ โณ โ— โ€โโŠโ‘โœฐโ™ฃโœทโœปโœฎโƒโ‚โ™ฃโŠโ——โœพ โœผโœพโœฝโ„โœผโฌโœฒ

โœโโœทโœนโœฎโ…โ—†โโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโžจโ‡โ‰โœฒโ˜…โ—†โโœท โฉ โœพโœนโœตโœณโ€โ‘โœพโ†โœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโœนโฃโƒtโž†โŠโ——โœฐโ™ฆโœฐโฆโœทโœปโœฎโœปโ‚โ–โ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โดโ€โโœฎโขโ‡โ‰โ€โ——โœฐโฆโ‚โœณโ€โ——โœฎโœถโ™ โณ โœพโ†โ‘คโœถโŠโ——โœฒโ„โœฐโ„โฃโœœ

Page 39: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โพโ†โžฉ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒโœโœŽโœ’โœ‘โœ“โ˜žโœโœŒโœ”โœžโœ”โ˜žโœโœ•โœ—โœ–โœ˜โœŒโœ—โœ™โœšโœกโœ›โœ†โœœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™โœฅโœ–โœงโœฆโœ“โ˜…โœชโœฉโœฌโœซโœคโœญโžโœฑโžโœธโž ๏ฟฝ โžœโœ‚โœโผโž“โฏโ†’โœโžโ˜โžœโœโž™โทโžคโ˜โž›โ›โžคโ˜โ†”โโžฅโ‘ โž™โ˜Žโœ„ โžฅโœโœ†โ˜…โžœโœโž™โผโž™โผโžœโœžโœ„ โžฅโœ โœŸโผโ†”โโžฃโ–ผโžœโœก โ‘ฆโฏโžฎโƒโฐโœ›โŠ โ‘จโ˜žโ˜›โœฑโทโž รโ‘กรโร‘โœโœŒโ‘กร”โซร—รบรน โœฒโฌรงโœโœŽโžŸรงโœโœ‘ โœผ โœ† รณโ‰ร•โœบรฎโ›รฑโœฟรฎโร–โšรณโ‰รšโœธรฎโ™ รฐโซรฏโร™โšรฐโซรนโž†ร”โซร—รบรšโœธรฎโ™ฃรปโ–รฐโซรณโ‘จร–โšร–โกร—โฎรฎโ–ผร•โ…ร•โœบรฎโทร˜โœนรฎโ˜…รฑโœฑรฎโร–โกรณโ‰รšโœณรฎโ˜…ร˜โœนรฎโทรผโšร”โซร•โ…รนโž‚รšโœณรฝโ†รฏโรฎโ›รฏโรฐรฑโœฑรฎโร–โกรณโ‰รšโœณรฎโ‘ ร˜โœปรฎโดรดโ˜รฎโฅรตโœธรฎโร–โฆรฌโ†รณโ…รฎโฌรฎโ–ผรนโœ“โœ’ รณโ‰ร•รฒรฑโœฑร”โ†รณ โœ‚ รฎโ–ผรฑโœฑรฎโ–ผร•โ…รนโœปrโœรšโœธร”โœ•โœ”โ‹ร•โ…ร—โฎรฎโ–ผร•โฅโโœฝรšโœธร˜โซร—รบร•โœบรฐโ†ร—รบรšโœณรฎโฅรถรดโงรฎโร–โœ—โ‡โœบรšโœณร”โฅรผโšรฎโกร–โšร–โกรณโ‘จร–โ‘ ร˜โœนร™โœณโ˜โˆร•โ…ร—โ‘ร– โ‡โ…รฐโซรš โœ„โœฒ โœ‘โœ– โœพ โž‰โœ—โœŽรฒโžŽ โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœ˜ โผ โž‰โšโ–ผโ˜Žqโœšโœ™โปโžŽ รค โœœโœœโœ› โ‘ข โœชโœฌ q โผ โž‰โœqโœขโœ™โฅโžŽ รค โœœโœฃโœ› โ‘ข โœชโœฌโœ•โœค โœ† โž‰โ—†โ–โ˜žโœ™โฅโžŽโœฉรฅ โ–ผ ร  รฃ รค โœด rโโพโ‰โฃโ‘ฃโพโœนโ‘ข

โœฒ โœ‘โœ– โœพ โž‰โœฅโœŽรฒโžŽ โ รœโ‘ข โ‘  โผ โž‰โšโ–ผโ˜Žqโœฆโœ™โปโžŽ โœ› โ‘ข โœชโœฌ qโœŽโž‰โญqโœขโœ™โปโžŽ โœ› โ‘ข โœชโœฌ โœœ โ– โœ’โ˜…โœง โฆ โ โž‚รœ โž‰โ—†โ–ผโœทqโœšโœ™โปโžŽ โœ› โ‘ข โœชโœฌ โ– โœ’โœฉโœง รฅ โ–ผ ร  รฃ รค โœด rโโพโ‰โฃ โนโœปโ‘ข

รฐ โœ‚ รฎโšรผ โœ– โœพ โž‰โœฅโœŽรฒโžŽ รโœซโœช โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœ˜ โผ โž‰โœฌโœ‘ โฆ โœ™โปโžŽ รค โœœ โœ› โ‘ข โœชโœฌ q โผ โž‰โญqโœขโœ™โปโžŽ รค โœœ โœ› โ‘ข โœชโœฌ โœค โœ  โ–โœญโœ™ร–โ–ผร”โซร•โ…รนโœ˜ร˜โœนรฎโร–โ™ รฑโœฑร”โ†รณ โœ‚ รฎโ–ผรฑโœฑรฎโ–ผร•โ…รนโร–โ˜…รตโรšโœณร”โœฎโœ”โ‹ร•โ…ร—โฎรฎโ–ผร•โœถร–โˆรพโšรšโœณรฐโœปรผโรนโž‚ร—โฎร”โซร•โขร•โœบรฐโซร—รบรšโœธรฎโกร–โทร˜โ‘กโค ร—รบร•โœบร˜โซร—โฎรผโšรฎ โœŽ รถ

โญโœโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโœฑโž€ โณ โœฒโœโœโโœทโœนโœตโœธโœผโฌโœฒโ„โŠโโŠโ——โœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ„โœฎโœปโ‚โฒPโ„โž€ โณ โ€ โฉ โœพโ†โŠโ——โœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœธโœฐโœ˜rโฎโœฒโ–ผโœฎโทโ—†โ–ผโœทโœนโœฎโ…โœฐโœณโ€โ‘โ‡โ‰Pโ–ผโœตโšโœพโ†โœฎโƒโ‚ โœ† โž‰โœณโ–โœญโœ™โปโžŽ ร โ– โœ’ โœง โ‘ขโฏโ—†โโœฒโฅโœฐโฒโ‡โ‰โœฒ โณ โ– โ˜…โœดโ…โœตโœณโœทโ‰โ—†โโœฒโฅโœฐโœณโœฐ โณ โœฐโ˜โœฎโœถโœฒโœโœฐโฆโœทโœปโœฎโƒโ‚โœดโ…โœพโœนโœฐโ™ โ‡โœถPโโžƒโ…โœฎโœถโ€โ‘โœฐโ‘ โ‡โœถโœฒโœฟโŠโ——โœพโžจโœผโœพโœฝโ–ผโœผโœฑโœฒโœฟโœโฎโœพโœฐโœฏโโœทโœปโœฎโžโฃโงโž„โˆโ— โ€โ——โœฎโœปโ‚โœธPโ–ผโ™โœปโœตโœธโœพโœนโŠโโœฒโœฟโ‡โ‰Pโ–ผโžƒโ…โœฎโœถโ€โ‘โœฐโœณโœฐโœธโœพโ†โœฎโƒโ‚โ™ฃrโโพโœถโฃ โพโœปโ‘ขโœฑrโโ€โ‘โœฐโœณโœฐ โณ โœฒโจโ‡โ‰โœฒโจโœ‡โœถโœพโ†โœผโœฑโœทโœนโœตโœธโœทโ‰โ‡โ‰โœฎโœถโ€โโ‚โœธโœฐโœฒโœฑโƒโ‘ฉรฒโœฒโโ‚โทโžงโฏโœพโœนโž€โ‘จโž€ โณโถโโฝโปโพโซโฟโปโบโโ‘ขโดโœฒโ„โœฐโฆโ‚โ‘ โฑโžจโ—†โโœทโœนโœผโœฑโœดโœถโœตโœธโœฒโ–ผโœฎโขโ‡โ‰โœตโœณโœฒโœฟโœพ โณ โœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโ…โœฐโ˜…โ€โโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธโœทโ‰โ‡ โณ โ€โโ‚โ˜…โœพ โณ โœดโ…โœพโ†โœตโšโœพโ†โ™โœปโœตโœธโœพโœนโœดโœถqโœถโœฒโทโœดโœถโœตโœณPโฅโ—†โPโฅโ‡โ‰โœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โ˜…โœพโ†โŠโ——โœทโœนโœตโšโœฐโ›โž€ โณ โœฒโœฟโŠโโ— โ€โโœฎโƒโ‚โœธPโ–ผโ™โœนโœตโšโœพโ†โŠโ——โœฒโžจrโโพโ‰โฃ โนโœปโ‘ขrโโ€โ‘โœฐโœณโœฐ โณ โœฒโ‘ โ‡โœถโœฒโœดโœณโž โœพโ†โœฎโขโ‡โ‰โœฒโ–ผโŠโ——โ‘คโœถโœตโœธโœทโ†โ‚โ–โœฒโโ‚โœฏโžˆโˆโœพโ†โœฎโœถโœตโ–โœฒโฅโœฐโœณโœฐโ‘ โถ โธโœปโนโปโบโโ‘ขโœโœฒโ„โœฐโฆโ‚โœฏโฑโœฟโ—†โ–ผโœทโœนโœผโœฑโœดโœถโœตโœธโœฒโ–ผโœฎโ…โ‡โ‰โœตโœธโœฒโ˜…โœพ โณ โœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโขโœฐโœธโœทโœบโœนโœŽโœดโ…โœพโ†โœตโœปโœนโœฝโœผโ˜…โœดโ…โœพโœนโœตโ™ฆโ‡โ‰โœฒโฅโœฐโ–โ€โ——โœฎโœปโ‚โœธPโ–ผโ™โœปโœตโœธโœพโœนโŠโโœฒโฅโœฐโœโโœตโœธโœพโœปโ—†โกโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโœถโœฎโ…โœพโ†โ€โ——โœตโœธโœฒโ„โœฐโœฝโœพ โณ โœฐโฆโœฒโ„โœฎโ…โœฐโœโ‡โ‰โœฒโœฉโœพ โœฒโ–ผโ‘ฉโ‘จโŠ โฉ โœทโœปโ€โโœตโ›โถโ——โฝโ„โนโœคโœ โ„โบโ˜โ—†โšqโ…โœพโœนโœดโœถโ€รญโ‚โœธโœตโœณโœฒโฌโฝโฅโพโœถโฃโœ™โทร™โ–ผรฑโœฟร”โซร•โœถร–โกรนโž‚รšโœณรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœ„โž„โˆโ— โœฒโโ– โ‰โ€โ‘โœฐโ–ฒโ‚โœธโœฒโ–ผโœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโ›โ‡โœถโœฒโ„โœฐโœ˜โ€โ——โœฎโœปโ‚โœธPโ–ผโ™โœปโœตโœธโœพโœนโŠโโœฒโฅโœฐโœฝโœฐโœณโœทโœนโœฎโƒโ‚โœโœผโœฑโœทโœนโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธPโ–ผโœฒโฅโœฐโœโ‡โœถโœพโ†โœฎโขโœฐโ›โถโโฝโปโพโซโฟโปโบโงโœดโœบโœท โณ โœตโ˜…rโž‚โพโ‰โฃโ‘ฃโพโœนโ‘ขโœโœฒโโ‚โ™ฆโ‡โ…โœพโ†โœฎโ…โœฐโ›โถ โธโœนโนโปโบโ˜โœดโขโœท โณ โœตโ˜…rโโพโœถโฃ โนโƒโ‘ขโกโฃโž„โžโœฒโฅโœฐโทโœดโ…โœตโœณโœทโ‰โ—†โโœฒโฅโœฐโœณโœฐ โณ โœฐโทโ‡โ‰Pโโžƒโ…โœฎโ…โ€โ——โœฐโœฑโœดโ…โœพโœนโœตโผrโž‚โพโ‰โฃ โนโœปโ‘ขโ‘ โœฒโโ‚โž rโโพโœถโฃ โพโœปโ‘ขโ‘ โœฐโœณโœทโœนโœฎโƒโ‚โœฟโตโ›โœพ โณ โœฐโœธโœฐโฆโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโขโœฐโทโœฒโ–ผโ‚โœฑโ—†โ–ผโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธPโ„โœฐโ„โฃโฒtโž†โŠโœโœฐ โณโœ’โœผ โ‚โ™ฃโ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โจโœฒโ„โœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœณโ‚ โณ โ‡ โณโ‚โœณqโœถPโ„โœทโœนโœต โœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโœฑโฝโœนโฃโ——โฝโดโ‡โœถโœฒโ™ โœผโฌโœทโœปโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธโœฒโ–ผโœตโœโž€ โณ โ— โ€โ——โŠโ‘โœฐโœโœทโœนโœฎโƒโ‚โœโœฟ โœ› โ—†โโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒโดโœโโœทโœนโœฎโ…โ—†โโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโžจโ‡โ‰โœฒโ˜…โ—†โโœท โฉ โœพโœนโœตโœณโ€โ‘โœพโ†โœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโœนโฃโœ‡โ‘จโœทโœนโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โ˜…โž‰โœ—โœ™โœปโž‹โฃโ–ผโฆโžŽ ร  โž‰โรฃโฒรคโ™ฆโžŽ โœ  sโ‰โœทโœนโœฎ โœพโผโ‘งโœ’ โœ›โž‚ q โœ’ โœ›โœง ร โœ‘โœ– โœพ โž‰โœฅโœŽรฒโžŽ โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœ˜ โผ โž‰โšโ–ผโ˜Žqโโ€รธโžŽ รค โœœ โœ› โ‘ข โœชโœฌ q โผ โž‰โœ—โœ™โœqโ‚โ€โ‘กโžŽ รค โœœ โœ› โ‘ข โœชโœฌ โœค โœ† โž‰โœณโ–โƒโ€โ‘กโžŽ

โœงโโ„ โผ โœ’ โœ›โž‚ q โœ’ โœ›โœง โœœ โœ โ†โ…โž”ร โœ‘โœ– โœ โœพ โž‰โœฅโœŽรฒโžŽ โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœ˜ โผ โž‰โ—†โ–ผโœขqโโ€โ‘กโžŽ รค โœœโœœโœ› โ‘ข โœชโœฌ q โผ โž‰โœ—โœ™โœqโโ€รธโžŽ รค โœœโœฃโœ› โ‘ข โœชโœฌโœฎโœค โœ  โ–โƒโ€โœญโœฏโœฎโ‘ฅโœฒโˆโ‡โœบโœฒโฅโ—†โกโ‚ โณ โœฒโ™ โŠโโœฒโ˜…โ—†โšqโขโœพโ†โœฎโœถโ™โœปโœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœโ‡โ‰โœฒ โฉ โœพโ†โœตโœธโ€โ——โœพโœนโ‘คโœถโŠโโœฒโ˜…โ€ ร โ˜ž โ–ผโœขqโœšโœ™ โ˜ž โ‰ โฆ โœ™โ›โœทโœปโœฎโผโœทโœปโ‘คโ‰โ‚โœณโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โ™ โ‘ง

โœง โ„ โผ โœ’ โœ›โž‚ q โœ’ โœ›โœง โœœ โœ โ†โ… ร โœ‘โœ– โœ โœพ โž‰โœ—โœŽรฒโžŽ โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœ˜ โผ โž‰ โ˜ž โ–ผโœขqโœšโœ™ โ˜ž โž‰โœฌโœ‘โœq โ‰ โžŽโฆโžŽ รค โœœ โœ› โ‘ข โœชโœฌ q โผ โž‰โœq โ˜ž โ–ผโœขqโœฆโœ™ โ˜ž โ‰ โžŽ รค โœœ โœ› โ‘ข โœชโœฌโœฎโœค โœ  โ˜ž โ–ผโœทqโœšโœ™ โ˜ž โ– โ‰ร โœ‘โœ– โœ โœพ โž‰โœ—โœŽรฒโžŽ โ˜ž โ–ผโœทqโœšโœ™ โ˜ž โœ  โœ› โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœ˜ โผ โž‰โŠโœ‘โœœq โ‰ โžŽ รค โœœโœœโœ› โ‘ข โœชโœฌ q โผ โž‰โœq โ‰ โžŽ รค โœœโœฃโœ› โ‘ข โœชโœฌโœฎโœค โœ  โ– โ‰ร โ˜ž โ–ผโ˜Žqโœšโœ™ โ˜ž โœ  โœ›

โคโœโœฒโ™ โž€ โณ โ€โžโœฒโ„โœฐโฆโ‚โ–โœฐ โณโœ’โœผ โœฐโœธโœพโ†โœฎโƒโ‚โœโœดโขโœท โณ โœตโ–โœผโœฑโœทโœนโœฎโƒโ‚โœธโœตโœณโœฒโ„โœตโœฝโŠโ——โœฒโ™ โœตโœธPโ„โœฐ โณ โŠรญโ‚โšโœพโซโ‚โœโœดโ…โœพโœนโœตโœฝโœดโœบโœทโœนโŠโ‘โœพโ†โœตโœธโ€โ‘โœฐโœณโœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโžโฃ โœœโžโœฑโžโœฌโ‹ ๏ฟฝ โžœโœ‚โœโผโž“โฏโ†’โœโžโ˜โžœโœโž™โทโžคโ˜โž›โ›โžคโ˜โ†”โโžฅโ‘ โž™โ˜Žโ—โžŸโž›โ™ โž“โฒโ†•โœ™โžฅโ‘ โž™โ‘ฅโ†”โโžโ˜โž›โโœŸโžจโžฃโโžœโœก โ‘ฆโฏโžฎโƒโฐโœ›โŠ โ‘จโ˜žโ˜›โœฑโทโž รโ‘กรรบรโ– โœŒโ‘กร”โซร—รบรน โœฒโผรงโโœŽโœซรงโ‘โœ‘ โœผ โœˆโœ† รณโ‰ร•รธรฎโ‘ รฑโœฟรฎโร–โšรณโ‰รšโœธรฎโœฟรฐโซรฏโร™โšรฐโซรนโž†ร”โซร—รบรšโœธรฎโžจรปโ–รฐโซรณโ‘จร–โšร–โกร—โฎรฎโร•โขร•โœบรฎโœฟรผโšร”โซรฑโœโ‡โœบรฏโรฎ โขโ‘จรฎโ™ฃร˜โœนรฎโœฟรฑโœฑรฎโร–โกรณโ‰รšโœณรฎโœฑร˜โœนรฎรผโšร”โซร•โ…รนโž‚รšโœณรฝโ†รฏโรฎโ–ผโ–ฒ

โœ โ–โ—† รถโงรดโ˜รฎ โ‡รธรšโœณร”โ„รผโšรฎโร–โšร–โšรณโ‘จร–โ‘ ร˜โœปร™โ—†โ˜โ™ฅร•โ…ร— โ‡โ…รฐโซรš โœ„โœฒโœ“P โž‚ ร โœ‘โœ– โœ  โž‰โœ—โœŽรฒโžŽ โ โ‘ โ‘ข โ‘  โพโ˜โ——โšโ™ โž‚ qโฏโœ‘โง โ‘ฃ โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โœ› โ‘ข โœพโœฒโฑ โœ โกโœ† โž‰โœณโ–โถโ‘ฃโœปโžŽโž”รฅ โ–ผ ร  รฃ รค โœด rโโพโ‰โฃ โฟโƒโ‘ข

Page 40: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœฝโœ‘โœ๏ฟฝtโœ‘โœ“โ˜žโœโœŒโœ โœžโœ”โ˜žโœโœ• โœ–โœ˜โœŒโœ”โœ™โœšโœกโœ›โœ†โœœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™ โœ„โœฅโœ†โœโ˜žโœœโœฉโœตโœฃโœคโœ™โœœโœŸโœโœ–tโœ†โœฅโœซ โœ‚โ‘กโœŒ โพโœนโธรฐ โœ‚ รฎโšรผ โœ– โœ  โž‰โœ—โœŽรฒโžŽ ร โœช โœ‚ โž‰โž„โ™ฃโœฟqโœฑโ™ฃโœฎโœŽรฒโžŽโ˜Žโœ„โœโœ†โœฎโœ™โƒโž‰โœŸโœž โœŽรฒโžŽ

โœž โœŽ โž‰โœฌโœ‘โœq โ™ฃโƒโœŽรฒโžŽรฎโกร–โกรนโœรณโ‰ร•โž รฑโœฑร”โ†รณ โœ‚ รฎโ–ผรฑโœฟรฎโร•โขรนโœฝรตโ–ผรšโœณร”โœ•โœ”โ‹ร•โขร—โฎรฎโร•โฌรพโšรšโœณรฐโœนรผโ–ผรนโร—โฎร”โ†ร•โ…ร•รธรฐโซร—รบรšโœณรฎโœฑร˜ โค ร—รบร•รธร˜โซร—โฎรผโšรฎ โœŽ รถโœ™โทร™โ–ผรฑโœฟร”โซร•โœถร–โกรนโž‚รšโœณรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœ„โœณ โœทโœนโœตโšโœพโ†โŠโ——โœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ„โœฎโœปโ‚โฅsโงโ—†โโœฒโ–ผโ‚โฆโ‚โœธโœฒโจโœตโœธโœฒโ–ผโœดโœถโœตโœธPโ„โœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœธโœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎ โœฒโ„โœฐโฆโ‚โ˜…โœโโœท โณ โœตโœณโœฎโ…โ€โโœฒโ™ฃโœดโขโœพโ†โœตโ‘ โŠโ‘โœพ โœตโœธโœฒโ–ผโŠโ‘โœพโซโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎ rโโพโ‰โฃโ——โฝโฅโ‘ขโ˜…โ‡โ‰โœฒโจโŠโ‘โœพ โœดโœถโœตโœธโœทโœนโœดโœถโœตโœธโ€โ——Pโโ‚โœณPโจโพโœถโฃ โนรฒโ‡โœถโœพโ†โœฎโ…โœฐโ‘ โŠโโœฒโœฐโฆโœฒโ„โœฎโ…โœฐโœ˜โœทโœฐโœปโผโŠโž‚โ— โœทโœปโœฎโ‘ฅโœดโœบโœฒ โณ โ‚ โฉ โœทโœนโ€โ——โœต โ‘ฃ โœ

โ™ฃโœ โœžโœ– โœ  โž‰โœ—โœŽรฒโžŽโพ โ—— โ™ โž‚ q โœ‘โง โ‘ฃ โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โœ› โ‘ข โœชโœฌ

โ—†โโœทโœปโœผโฌโœผโœฑโœฒโ›โŠโ‘โœพโ‘ โ‚โœธโœตโœธโœพโœนโœฎโ…โœฐโฆโœโโœทโœนโœตโœธโœผโฌPโ„โœฒโดโ‡โœถโœฒ โœšโœถโœท โณ โœตโœณโ€โ——โœฒโ–ผโœตโœโ‡โ‰โœฒโœฟโ‘งโœฏ โœ

โœ‘โœ– โœพ โž‰โœฅโœŽรฒโžŽ โž‰ โผ โž‰โšโ–ผโ˜Žq โœฏรธโžŽ รค โœœ โœ› โ‘ข โœชโœฌ q โผ โž‰โœq โœฏโœบโžŽ รค โœœ โœ› โ‘ข โœชโœฌ โžŽโญโœฝโ€โโœฒโ„โœฎโจโž€ โณ โœฒโœฏโ—†โ–ผโœฒโโ‚โฆโ‚โœธโœฒโœฏโ€โ‘โ‡โ‰Pโ„โœฒโดโœฐโœณโœทโœนโ€โโ‚โ™ฅโ‚โœธโœท โณ โ‚โœ˜โฑโ˜…โœโฎโœพโœนโ€รญโ‚โœทs โณ โœฐโ–ฒโ‚โœธโ€รญโžƒโœบโœพโ†โ‘คโœถโŠโ——โœฒโœนsโ‘จโ€โ——โŠโœบโœฒโฅโœฐโ–ฒโ‚โœฝโ‘คโœถโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโจโœดโ…โŠ โณ โœฐโ™ฅโœโฎโœพโœนโ—†โ–ผโ€โโŠโ——โœฒโ›โ‡โ‰โœฒโ™ฆโœผโœฑโœทโœนโœฎโƒโ‚โœธโœตโœณโœฒโ„โœตโœโž€ โณ โœฒโดโŠโโœฒโœฏโœดโœถโœตโœณโœทโ‰โ—†โ–ผโœฒโ„โœฐโœธโœฐ โณ โœฐโ‡โ‰Pโโžƒโขโœฎโœถโ€รธโœดโ…โœพโ†โœตโœโพโ‰โฃ โฟโทโœฒโฅโœฐโ–ฒโ‚โœโฑโฌโœพโœนโ—†โ–ผโ—†โ–ผโœตโœณโœทโœปโ€โ——โœฐโœธโœฐโœณโœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœธโœฐโ™ฅโœฐโ–ฒโ‚โšโœพโซโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฎโ…โœพโ†โ€โ——โœตโœณโœฒโฅโœฐโ™ฅโœฒโ–ผโ‚โœ˜โœพ โณ โ‚โœณโœทโœนโžโœ‰โœฐโœณโ€โ——โœผโฌโ€โ——โŠโ‘โœพโ†โ€โ——โœตโœณโœฒโœปโฃโ‰โคโœโœฒโฅโ—†โโ€รธโœฒโ„โœฐโฆโ‚โœ˜โœฐ โณโœ’โœผ โœฐโœธโœพโ†โœฎโƒโ‚โœโœฒโ„โœฎ โฉ โœฒโ„โœตโฆโ‚ โณ โ‡โ‰โœฒโŠโ——โœพโฌโœดโœถโœตโœธโœทโœนโœดโ…โœตโœณโ€โ——Pโโ‚โœธPโทโฝโœปโฃ โนโ…โฃโœ‡โ‘จโœทโœนโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœขโœ™ ร  รฃโœฝsโ‘กโ–ผ ร  รฃโœ”โœฒโโ‚โ˜›โœกโœŒโ˜žโฅโœฒโ…sโ‰โœทโœนโœฎ โœพโผโ‘งP

โœ โž‚ q Pโœ โœง ร โœ‘โœ– โœ  โž‰โœฅโœŽรฒโžŽ

โ โ‘ โ‘ข โ‘  โž‰โœณโž‰โ—†โพ โ——โšโ™ โœ โž‚ qโฏโœ‘โปโžŽโœขqรขโž‰โœณโพ โ—— โ™ โœ โœง q โœ‘โฅโžŽโœณโžŽ โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โ‘ข โœ› รค โœชโœฌโง โ‘ฃ โกโœ† โž‰โ—†โ–โœ˜โ‘ฃโœนโžŽร โœ‘โœ– โœ  โž‰โœฅโœŽรฒโžŽ

โ โ‘ โ‘ข โ‘  โพ โ——โšโ™ โœ โœง โž‰โ—†โพ โ—— โ™ โœ โบ โž‚ โ‘ข โœง โป qโฏโœ‘โปโžŽ โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โ‘ข โœ› รค โœชโœฌโง โ‘ฃ โกโœ† โž‰โ—†โ–โœ˜โ‘ฃโœนโžŽโœง โ„ โผ P โœ โž‚ q P

โœ โœง โœœ โœ  โ… ร โœ‘โœ– โœ โœ โž‰โœฅโœŽ โžŽ

โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœŽโœŽโœŽ โพ โ——โšโ™ โœ โœง โž‰โ—†โพ โ—— โ™ โœ โบ โž‚ โ‘ข โœง โป qโฏโœ‘โปโžŽ โœŽโœŽโœŽ โœ  โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โ‘ข โœ  โœ› โ‘ข โœพ โ–โถโ‘ฃโ™ฃโœ โœžร โœ‘โœ– โœ 

โœ โž‰โœฅโœŽ โžŽ

โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœŽโœŽโœŽ โพ โ——โšโ™ โœ โบ โž‚ โ‘ข โœง โป q โœ‘ โœŽโœŽโœŽโœ  โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โ‘ข โœ  โœ› โ‘ข โœพ โ–โถโ‘ฃโ™ฃโœโœž

โœญโœฏโœฎโ‘ฅโœดโœบโœทโœปโœฐโœณโœฒโœ’โœ‘ ร โœกโœขโ‘ฃโœฟโœฒโโ‚โœโŠโโ— โœทโœนโœฎ โœพโผโ‘งโœงโœฆโ„ โผ P โœ โž‚ q P

โœ โœง โœœ โœ  โ…โž”ร โœ‘โœ– โœ โœ โž‰โœ—โœŽรฒโžŽ

โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœŽโœŽโœŽ โพ โ——โœ”โœ“ โบ โž‚ โ‘ข โœง โป qโฏโœ‘ โœŽโœŽโœŽโœ  โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โ‘ข โœ  โœ› โ‘ข โœพ โœก โœ  โœ› รค โœพ โœก โ‘ข โœพ โ–โœ•โœ‘โ™ฃโœ โœž

ร โœ‘โœ– โœ โœ โž‰โœ—โœŽรฒโžŽ โœก โœ  โœ› โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœŽโœŽโœŽ โพ โ——โœ–โœ“ โบ โž‚ โ‘ข โœง โป q โœ‘ โœŽโœŽโœŽ

โœ  โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โ‘ข โœ  โœ› โ‘ข โœพ โ–โœ•โœ‘โ™ฃโœ โœžร โœง โ„ โผ โœก โœ› P โบ โž‚ โ‘ข โœง โป โœœ โœ  โ…

โœ— โœฎรฒโœดโ…โœตโœณโœฒโ„โœฎโ…โœพโ†โœฎโƒโ‚โœ˜โœก ร โœ‘โฌโœทโœนโœฎรฒโœผโฌโœทโœปโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธโœฒโทโ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โทโž€ โณ โœฒ P โž‚ q P โœง โœฒโโ‚ P โž‚ โ‘ข โœง โœฐโœณโœทโœนโœฎโƒโ‚โ›โ‡โœถโœฒ โณ โ–  โฉ โœพโ†โœตโœธโ€โ——โœพโœนโ‘คโœถโŠโ——โœฒโ„โœฐโดโœพโ†โŠโ——Pโ„โœพโซโ‚โœธโœทโœนโ€โ——โœตโœณโœฒโฅโœฐโœฏโตโ›โœพ โณ โœฐโ–ฒโžโœฐโฆโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโ…โœฎโœถโœฒโ„โœฐโ˜…โ—†โ–ผโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธPโ–ผโœฒโฅโœฐโ‘ โ‡โ‰โœฒโจโœผโœ—โœฝโ„โœผโœฑโœฒ โฉ โœพโ†โœตโœธโ€โ——โœพโœนโœฎโ…โ—†โโœฒโœปsโงโ‡โ‰โœทโœนโœฎโขโ—†โœฟโŠโ——โœพรฒโœฐโ–ฒโ‚โšโœพโซโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฎโ…โœพโ†โœตโœธโ€รญโ‚โœธPโ™ฃโ‡โ‰โœฒโ„โœฐโทโœพโœนโ—†โ„โ—†โโœตโœธโœทโœนโ€โ‘โœฐโœณโœฐโœณโœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โšโœฐโ–ผโฃ โฟ โœท โณ โœตโœ™โœกโœšโ˜ž โœฒ โœทโœปโœฎโœผโœฑโœทโœนโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธโœฒโ™ฆโœดโ…โœพโœนโœตโœโœดโœบโœทโœนโŠโ‘โœพโ†โœตโœธโ€โ‘โœฐโœณโœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ™ฃโž€ โณ โœฒ รž P โœ โž‚ รฅ โ–ผ ร  รฃโœรชโœฟโœฒโโ‚ รž โœก โœ› P โž‚ รฅ โ–ผ ร  รฃโ™ฅรชโœฟโœฐโœณโœทโœนโœฎโƒโ‚โœ˜โ‡โœถโœฒ โณ โ– โœฟโœดโœถโœตโœธโœทโ‰โ—†โโœฒโ„โœฐโœธโœฐ โณ โœฐโœฝโตโ›โœพ โณ โœฐโœธโœฐโฆโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโ…โœฐโ—†โโœฒโ„โœฎโœปโ‚โœธโœตโœณPโฅโœฐโœ˜โ‡โ‰โœฒโ™ โœผโœพโœฝโ–ผโœผโœฑโœฒโ›โœโโœทโœนโœฎโ…โ—†โโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโžจโ‡โ‰โœฒโ˜…โ—†โโœท โฉ โœพโœนโœตโœณโ€โ‘โœพโ†โœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโ„โœฐโ„โฃ โฟ โœพโœนโœตโœโŠโโœฒโ›โ‚โœธqโœถPโ–ผโœทโœปโœตโฃโœ‰โ„โœผโฌโœฒโœฑโฝโœปโฃโโฝโดโ€โโŠโ‘โœฐโ–โœฐโœณโœทโœนโœฎโƒโ‚โœโ€โโœฎโขโ‡โ‰โ€โ——โœฐโฆโ‚โœณโ€โ——โœฎโœถโ™ โณ โœพโ†โ‘คโœถโŠโ——โœฒโ„โœฐโ„โฃtโž†โŠโ‘กโœตโœณโœฒโฅโœฐโ–ฒโ‚โœธโœฒโ™ โฑโทโœผโœฑโœทโœปโœฎโœปโ‚โœธโœตโœณโœฒโ„โœตโ–โž€ โณ โœฒโœฑโ‘ง

โœง โ„ โž‰ โœ’ โœ›โœพ โžŽ โœ  โ… ร โœ‘โœ– โœ  โž‰โœฅโœŽรฒโžŽ โœ โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœŽโœŽโœŽโœŽ

โพ โ——โšโ™ qโฏโœ‘โง โ‘ฃ โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โœ› โ‘ข โœพโœฌโฑ โœ 

โœŽโœŽโœŽโœŽโœ  โ–โœ˜โ‘ฃโ™ฃโœโœž ร โœ‘

tโž†โŠโ‘กโœฒโ„โœฐโฆโ‚โ™ฆโ—†โโœทโœปโœฎโœถโœฎ โณ โถโ‘ฃโž‡โ†โนโ‰sโ…โœตโœณโœฒโ„โŠโ——โœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ‘ฅโนโ…โฝโ„โธโขrโ–ฒโฝโฅโž‡โœปโ‘ขโœ‰โบโžโž€ โณ โœฒโ™ โŠโž‚โ— โœทโœปโœฎโผโœพโผโ‘งโ โ‘ รœ โœฏโœœโœ› โ‘ข โœพ โœ™ โงโœฃโœข โœ  โž‰โœฅโœคโœณโœฏรธโžŽโญโ–โœณโœฏ ร โœ‚ โž‰โœŸโœฆโงโžŽโ˜Žโœ„โœโœ†โœฎโœ™โƒโž‰ โ—† โœ›

โœ โžŽโ™ฃ โœ› รค โœพ โœค โœ›

Page 41: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โนโœ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒโœโœŽโœ’โœ‘โœ“โ˜žโœโœŒโœ”โœžโœ”โ˜žโœโœ•โœ—โœ–โœ˜โœŒโœ—โœ™โœšโœกโœ›โœ†โœœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™โœฅโœ–โœงโœฆโœ“โ˜…โœชโœฉโœฌโœซโœคโœญโ‡tโœ‰โ„โœฐโœโž€ โณ โœฒ โœค โ˜žโฅโœฒโฌโœฒโโ‚โ™ฆโž€ โณ โœฒโฏqโœโ™ฃโทรงโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโ–ผโž‰โœŸโœฆโงโžŽโœรงโฅโœฒโ…โฃโขโœญโœฏโœตโ„sโ โ‘ โ‘ข โ‘  โœŽโœŽโœŽโœŽ

โพโ˜โ—— โ™โœœq โœ‘โง โ‘ฃ โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โœ› โ‘ข โœพโœฌโฑ โœ  โœŽโœŽโœŽโœŽโœ  โ–โœ˜โ‘ฃโ™ฃโœ โœž ร โ™ฃ โ โ‘ รœ โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โ‘ข โœ  โœ› โ‘ข โœพ โž‰โœณโž‰ โœ„โœโœ†โœฎโœ™โƒโž‰โœณโ‘ฃโœปโžŽโœปq โœ‘โฅโžŽ โœ  โฆ โœ™ โงโœฃโœข โœ  โž‰โž„โ‘ฃโœนโžŽโฆโžŽ โ–โœ˜โ‘ฃโ™ฃโœ โœž

รโœžโœ โ โ‘ รœ โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โ‘ข โœ  โœ› โ‘ข โœพ โœ™ โงโœฃโœข โœ  โž‰ โ‘ฃ โ™ฃ โžŽ โ–โœ˜โ‘ฃโ™ฃโœโœžร โœโ™ฃโœโœž โœ‚ โž‰โญqโœโ™ฃโƒโœŽรฒโžŽ โœ„ โœ†โœฎโœ™โœปโž‰โœq โœž โœŽรฒโžŽโ™ฃ โ‘ข โœ  โœ› รค โœพ โœต โœพโœ  โœŸ โ‘ข โœ  โœ›

โœญโœฏโœตโœ˜โœทโœนโœฎ โœพโผโ‘ง qโœโ™ฃโœฎโœŽ โœ‚ โž‰โญqโœโ™ฃโœฎโœŽ โžŽ ร โœ‚ โž‰โœฌโœ‘โœq โ™ฃโƒโœŽรฒโžŽ ร โœ‘โœ‘โœq โ™ฃโœฎโœŽ โœ‚ โž‰โœณโ™ฃโ†q โ™ฃโœฎโœŽ โžŽโ‡โ‰โœทโœนโœฎโขโ—† โ โ‘ โ‘ข โ‘  โœŽโœŽโœŽโœŽ

โพ โ——โšโ™ qโฏโœ‘โง โ‘ฃ โ˜ž โ‘ฃ โ˜ž โœ› โ‘ข โœพโœฌโฑ โœ  โœŽโœŽโœŽโœŽโœ  โ–โœ˜โ‘ฃโ™ฃโœโœž ร โœโ™ฃโœ โœž โœ‚ โž‰โœณโ™ฃโ†q โ™ฃโœฎโœŽรฒโžŽโ˜Žโœ„โœโœ†โœฎโœ™โƒโž‰โœŸโœž โœŽรฒโžŽโ™ฃโœ”โ™ฃโœฎโœŽ โž‰โŠโœ‘โœœq โ™ฃโœฎโœŽรฒโžŽ

โ‘ฆ โ— โœทโœฐโœปโผโŠโ——โœฒโ™ โœตโœณPโฅโœฐ โณ โŠโโ‚โœธโœพโ†โ‚โ„โฃ โœœโžโœฑโžโœกโœ  ๏ฟฝ โžœโœ‚โœโผโž“โฏโ†’โœโžโ˜โžœโœโž™โทโžคโ˜โž›โ›โžคโ˜โ†”โโžฅโ‘ โž™โ˜žโ˜› โ†’โœโœŒ โœ†โœโœŽ โ—โžŸโ†”โœ’โœ‘โผโž›โœ”โœ“โœ•โœ โœ—โœ–โœ™โœ˜

โ‘ฆ โœพโœนโœฎโ…โœฐโœโ—†โ–ผโœฒโ–โœดโ…โœพโœนโœตโœธโœพโœนโ™โœนโœตโšโœพโ†โœดโœถqโœถโœฒโœปsโซโœทโœนโœฎโ™ฃโ—†โ–ผโœทโœนโœฎโ…โœฐโœณโ€โ——โ‡โœฝโœ‰โ–ผโœตโœธโœฒ โณ โœฎโ™ฃโœผโœฑโœท โณโœถโฉ โœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœโญโœฝโœตโœธโœทโซโชโœโœฎโœถโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโœฑโœโโœตโšโœพโœนโ—†โกโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโœถโœฎโ…โœพโœนโ€โโœตโœธโœฒโœโœฐ โณ โœต โณ โœฎโ™ฃqโœถโœทโœปโœตโœณโ€โœ›โœšโ–ผโœทโœปโœฎโœฑโžƒโ…โœฎโœถโ€r โผ โœฒโœถโž‹โœบโœ‘ โœœ โœดโ…โœพโœนโœตโœฝโœฒโ–ผโ– โ‰โœฒโ–ผโœผโœฑโœดโœถโŠโ——โœฒโฅโ‘ขโกโฃโžซโœ˜โžญโœขโœœโ–โžญโœณโžฏ โœฃ โžทโ–โžชโœโžทโœโชรธโžพโœฅโœคโ™ฆโžบโœกโžšโœงโœฆโ–โžพโžโžชโ™ฅโžปโœงโ˜…โ‘กโด โžณโœก โ‘ฆโฏโžฎโƒโฐโœ›โŠ โ‘จโ˜žโ˜›โœฑโทโž รโ‘กร โœขโœฉรดโ˜รฎโœคโ‡รธรšโœณร”โฅรผโœธรฎโร–โšร–โกรณโ‘จร–โ™ ร˜โœปร™โ—†โ˜โ™ฅร•โ…ร—โ™ฆโ‡โ…รฐโซรš โœ„โœฒ โœ‘โœ– โœ  โž‰โœฅโœŽ โžŽ

โ โž‚รœโœชโœฉ โœ› โž‰โ—†โ–ผโกโž‹โ–โœ™โปโžŽtโ– โœ’โ˜…โœง รฅ โ–ผ ร  โผ โœฒโ…โž‹โˆโœ‘โœ’โœซ โœด

รฐ โœ‚ รฎโšรผ โœฉ โœ› รฎโกร–โกรนโœฑรณโ‰ร•โ˜žร•รธร” โœ‘โœนรฐโซรณโœฉร˜โœนร™โ–ผรนโœ‰รฎโ–ผรšโกรฑโทร—รบร•โขร—โ‘ร–โกรนโœ‰รฎโœญโœฌรขร˜โœนร™โœณโ˜โˆร•โขร—รบรš รฎโกร–โกรนโœฑร—รบร•โœบร˜โ†ร—โ‘ร–โกรนโร—รบร•โ‘จรฌโ†รณโ…รฐโœปรตโรฏโรฎ ร˜ โค รณโ‰ร•โœฉรฑโœฑร”โ†รณ โœ‚ รฎโ–ผรฑโœฑรฎโ–ผร•โ…รน rโ–รšโœณร”โœ•โœ”โ‹ร•โขร—โฎรฎโร•รพโšรšโœณรฐโœนรผโ–ผรนโž‚ร—โฎร”โซร•โ…ร•รธรฐโซร—รบรšโœณรฎโฅรถโžซโœ˜โžญโœขโœœโ–โžญโž‚โžซ โœฎโ‘ โžณโž”โžทโ™ฆโžชโœฐโœฏโœโžผโฒโžบโœฒโœฑโœดโœณ

โคโœโœฒโ–ผโœตโœณโ‚โœธโœพโ†โ€โ——โœฎโœถโœฒโฅโœฐโœโœฎโ…โœทโ†โ‚โœธโœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฐโœโœตโœธโœฒโ–ผโŠโ‘โœพโซโ‚โœณโ€ โฉ โœฒโฅโœฐโœโœพ โณ โ—†โ„โœพโ†โŠโ‘โ—† โณ โŠโœบโœโโœตโšโœพโœนโ—†โโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโœถโœฎโ…โœพโœนโ€โโœตโœธโœฒโœฏโ‡โœถPโโ‚โœณโœฒโ„โœตโœณโœผโœฑโ€โ——โœฎโœถโ€โ‘โœฐโ–ฒโ‚โœธโœฒโดโœฐโœณโœทโœนโœฎโƒโ‚โœโ—†โโœทโœนโœฎโขโœฐโฆโ€โ——โ™โœนโœฎโœถPโ„โœฒโ„โœฐโœฝโ‡โœถโœพโ†โœฎโขโœฐโœโŠโž‚โ— โœพโ†โœฎโ‰โžโœฎโœถโœฒโโ– โ‰โœฒโœฑโฝโ„โนโ…โฃ โพโ‘ โœดโ…โœพโœนโ™โœนโœฒโœฑโฝโ„โžฉโƒโž‡โ‰โฃโžฌโ‘ฅโžฎโƒโžฑโฒโœƒโ˜โโฎโ’โ„โโโฐโขโœƒโžดรโ‘กร โœข โโœฝร• รผโšร”โ†ร•โœถร–โกร—โฎร˜โœฐโœ”โ–ผรšโœณรฎโœฟรฏโ——รฐโ™ รพโร”โซร•รธรผโรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœโœ’โœ‘ โ‡โœถรฎโ–ผรšโรฌโƒร™โšร”โซรฑโœฟร™โรนโž‚รšโกร— โ˜›โรณโ…รฎโผร˜โœนรฎโž รปโ–รฐโซรณโ‘จร–โšร–โœถโœต โž‰โœฅโœคโขโž‹โœธโœทโปโž‹ โœ„โ†โž‹โœบโœนโ‘จโžŽ ร˜โœนร™โœณโ˜โˆร•โ…ร—โฎรฎโ†โ‡โœถร”โ†รณโ‰รšรนโœ‰ร”โ†รณโ‰รน โœค โœผโ™ฅรนโž†ร”โซรณโ‰รน โœท โœผโˆรนโž†ร”โซรณโ‰รน โœน รนโž†รฎโรฏ โ˜›โรณโ…รฎ โ˜ž โœน โ˜ž รงโœโœ‘ รฎโรนโœฝรนโœ‰ร”โ†รณโ‰รน โœ„ ร โœผโœป q โœธโœ โœบโฏโ‡โœถรฐโ†รš โœ„

โœต โž‰ โœคโœบโž‹โœฝโœทโปโž‹ โœ„โซโž‹โœบโœนโ‘จโžŽ ร รคโœทโ‘ โœพโƒโ€โœฟโžรœ โž‰ โœคโ‰โžŽ โƒ โž‰โโœทโโžŽ โƒโž‰ โœ„โ–ผโžŽ โƒ โœถโƒโ‚ โœน โƒรฐ โœ‚ รฎโšรผ โž‰โœฅโœคโ‘จโžŽ รฏโรฎโ˜…ร– โœ‘โซรฑโœฟรตโšร”โซรฏโรฎโœฑร˜โœปรฎ โœด ร”โฅรผ โœโœฐโœโœถรฐโ†รฑโทรฑโœฟรฎโ–ผรšโ˜žโœ„

โž‰โœฅโœคโ‘จโžŽ รœ ร โœ‘โž‰ โœคโ‰โžŽ โƒ ร โœ‚ โž‰ โœค โฆโœชโœถ โžŽ

โœ‚ โž‰ โœคโ‰โžŽ

Page 42: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœฝโœ‘ ๏ฟฝโœฝโœ‘โœ“โ˜žโœโœŒโœ โœžโœ”โ˜žโœโœ• โœ–โœ˜โœŒโœ”โœ™โœšโœกโœ›โœ†โœœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™ โœ‚โ‘กโœ•โœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โ—†โœ„โœโœŸโญโœฆโœœโœ† โนโ…โฝโœญโœฏโœฎโžจโ‡โœถPโโžƒโ…โœฎโœถโ€โโ‚โ™ฆโ‡โœถโœพโœนโœฎโ…โœฐ โณ โœฎโžจโœดโœถโœตโœธโœฒโ–ผโœผโœฑโ€โโœฒโ„โœตโœ˜โ‚โœณโœฒโ„โœผโฌโœดโขโœฐโœ˜โœดโขโœท โณ โœตโœโ‚โœณโœท โณ โ‚โœโœŽ ร  โž‰โœณโœฒโœถโž‹โœบโœ‘โฅโžŽโœโŠโโ— โœทโœนโœดโœบPโ–ผโœตโšโœพโซโ‚โœธโœฒ โณ โœตโœโœฐ โณ โ€ โฉ โœพโœนโœฎโƒโ‚โ˜…โ‘งโœฉ โœ› รฅ โ— โœ

โœ‘โœ‚ โž‰โœฅโœŽ โฆ โœพ

โœ โžŽโ โž‚รœ โž‰โšโ–ผโ˜Žqโœšโœ™โฅโžŽ โœ› โ‘ข โœชโœฌ โœต โ˜… โœŽ q โœ‘โ™ฃ โž‹ โœ‘โ™ฃ qโโœŽโž โž‹โœฒโœŽ โฆ โœ‘โ™ฃ โž‹โˆโœ‘โœq โ–ผโœ™ โœญ โ— โž‰โœ—โœ™โปโžŽtโ–โ˜žโœ™ rโโพโ‰โฃโ‘ฃโž‡โœนโ‘ข

โœญโœฏโœฎโžจโœพโœฑโœพโœนโŠโโœทโœปโœตโœธโœฐโœฝโŠโ——โœฒโœฏโ‚โœธqโœถPโ–ผโœทโœปโœตโฃโœ‰โ„โœผโœฑโœฒโ›โœฐ โณ โ€ โฉ โœพโ†โœฎโƒโ‚โ˜…โ‘งโœก โ‘ฆโฏโžฎโƒโฐโœ›โŠ โ‘จโ˜žโ˜›โœฑโทโž รโ‘กรโœŸโœž โœ˜โœนรถ โœฉ โœ› รฎโกร–โกรนโ™ฅรณโ‰ร•รฒร—โ‘ร–โร”โ†รฑโœฑร”โ†รšโž„โ‡โœฆโœโ‰ร—โ‘ร–โšรฑโœฟรฎโœฟร˜โœนรฎโ˜ŽโœŸ โœ  โž‰ โผ โœฒโœถโž‹โœบโœ‘โœ’โœซโโžŽ ร˜โœนรฐโ†ร•โœถร–โœกโœ  โœ› รค โœชโœฌรœโ‘ โž‰ โœŸ โœ  โž‰ โผ โœฒโ…โž‹โˆโœ‘ โœซรบโžŽโœณโžŽ รถโœ–โ‘จรถ โœฉ โœ› รฎโร–โšรนโœฝรณโ‰ร• ร” โ‡โœถร™โ–ผรšโœณรฐโซรนโž†รฎโ–ผรณโ‰รšโ‘ ร˜โœนรฎโ˜žโ˜›โ™ ร—รบรฏโรตโšรฎโ–ผรšโกรน ๏ฟฝ โœŒโ‘กรผ โœโ‰รฑโทร—โฎร˜โ†รนโ—†โœผโœร”โ†ร•รฒร•โœบร”โ†รนโœ‰รฎโ–ผรšโœณรฐโ‘ฅรฎโร•รธรผโœธร”โ†รšโœณรฎ โœฉ โœ› ร–โ–ผร”โ†ร•รฒร•โœบร” โœ‘โœนรฐโซรณ โ˜›โ–ผรณโ‰ร—โฒร–โœฝโค ร™โœธรผโ–ผรšโกร—รบรน โœ„

โœฉ โœ› รฅรฒโž‰โšโ–ผโกโž‹ โœ™โฅโžŽ โœ โž‰โ—†โ–ผโ˜Žqโœฆโœ™โปโžŽ โœ› โ‘ข โœชโœฌ โœต โ˜… โœŽ q โœ‘โ™ฃ โž‹ โœ‘โ™ฃ qโœฆโœŽ โž‹โ–โœŽ โฆ โœ‘โ™ฃ โž‹โœบโœ‘โœq โ–ผโœ™ โœญ rโโพโ‰โฃ ๏ฟฝโœปโ‘ขโœŒ รถโœฃโœฑโœฝร• รนโœ‰รฎโ–ผรšโกรฑโœฟรฎโกร–โ˜…ร˜ โค ร” โ‡โœถร™โ–ผรšโœณรฐโซรนโž†รฎโ–ผรณโ‰รšโšร–โทร”โซร• รฐ โœ„ โœฟ โœ› ร โœ– โœ  โž‰โœฅโœŽรฒโžŽ โ‘ข โœ  โœฉ โœ› โผ โœฉ โœ› โœซ โœบ

รผโšรฎโ˜žโ˜›โรณโ‰ร—โฒร–โœฝโค ร™โšรผโรšโกร—รบรนโœรฎโ–ผร•รฒรนโž†รฎโรšโกรฑโœฟรฎโกร–โ˜…ร˜โœนรฎโ‘ ร•โœบร” โœ‘โœนรฐโซรณโโข โœ„โœฟ โœ› โž‰โšโ–ผโกโž‹ โœ™โปโžŽ ร โœ– โœ  โž‰โœ—โœŽรฒโžŽ โ‘ข โœ  โ โœพ

รœ โœฉ โœ› โž‰โ—†โ–ผโกโž‹โœฌโ€โ‘กโžŽ โœฉ โœ› โž‰โœ—โœ™โœปโž‹โœฒโ€รธโžŽtโ–โœฐโ€ โœโ‹โž‰โœ—โœ™โœปโž‹โœโ–ผโฆโžŽ ร  รฃ โœ  rโโพโ‰โฃ โœ โ†โ‘ขโœ™โทร™โ–ผรฑโœฟร”โซร•โœถร–โกรนโž‚รšโœณรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœ„

โœฎ โถโ——โฝโฅโพโœถโฝโกโบโžโœดโ…โœพโ†โ™โœปโœฒโœฑโฝโ„โžฉโœกโœ โ‰โฃโœฎ โ‘ฆ Pโ„โ—†โ–ผโœท โณ โŠโ——โœฒโ˜…โ‡โ‰โœฒโ›โŠโ——โœพโœฟโ‡โœถPโโžƒโ…โœฎโœถโ€โโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโžจโ‡โ‰โœฒ โœฉ โœ› โ—†โโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒโ›โœทโœนโœดโœบPโ–ผโœตโšโœพโซโ‚โœธโœฒ โณ โœตโ–โฑโฌโœฎโœถโœทโซโ‘ฉโƒโœพ โณ โฃโœฎ โถ โฟโƒโž‡โฅโบโ˜โŠโโœฒโ„โœผโฌโœผโœฑโœฒโ˜…โนโ…โฃโโฝโ›โœดโ…โœพโœนโ™โœนโœฒโฌโฝโ„โžฉโœปโพโœถโฃโœœ

โœŽ โทโ˜žโ˜›โœ‘โœtโŠโœ“โœ’โœ•โœ”โœขโทโž รโ‘กรโร‘ รด โค ร—รบร•โ…รนโž‚รšโœณร”โฅร˜โซรณโ…รผโ–ผรนโร—โฎร”โ†ร•โžจร˜โœปรฎโดรฏโรฐโœฑรผโœธร”โ†ร•โœถร–โกรนโž†รฐโซร•โ…รนโž†รฎ โœ–โœ—โœ–โƒโž‰โœฅโœŽ โžŽ รฎโ–ผร•โžจร˜โœปรฎ โœโ…ร”โซรšโšร–โ™ ร˜โซรณโ™ฃร•รธร” โœ‘โœนรฐโซรณ โ‡โœถรฎโ–ผรšโกรฑโœฑรฎโ–ผรนโˆร˜โœนรฎโ™ ร˜โœปร™โ—†โ˜โ™ฅร•โ…ร—รบรšโดรผโšรฎร˜โœนรฎโ–ผรšโกร•โ…ร—โฎรฎโ–ผรšโ‘ รฎโฃโขโ‘จรฐโœปรผโรนโž†รฎโรฑโœฟรฎโ–ผร•โ…รนโœฝร˜โœปรฎโทรฏโรฐโœฟรฑโœ™โœ˜โรฑโœฟรฎโ‘ รฑโœฑรฐโ†ร•โ…ร—โœบโœ”โ–ผรšโœณรฎ โ˜›โ–ผรณโ…รฎโœ โœŒรธรฐโซรฑโœ›โœšโœปร”โžƒโœผโœขโœœโทร—รบรฏโรตโšรฐโปร–โทรฎโ–ผรนโœคโœฃรฒรฐโซรšโกร—โฎรผ โœโœถรฎ โœ‚ ร˜โœนรฐโ†ร•โœถร–โœฆโœฅโœฎโœ˜ โœ–โœคโœ˜โ˜…โœงโรถโ‰โ†โŠโซโฐโœ’โ‹โœขโŠโซโโฎโžฎโƒโ’โ„โžฎรฒรโžรโœฉโœžโœซโœชโ–ฒโžฌ โทโœญโœฌโœโŠ โทโœญโœ”โœทโ‘ฉโธโทโœญโœฎโœ‰โฐโขโœƒโœฐโœฏโœฒโœฑโœดโœณโœ“โ‘ฉโ„โ’โœถโœตโฏโœƒโœขโทโœธโœทโœบโœนโœฉโœžโœ•โœปโœญโœผ โ‹โœฝโœโœฟโœพโœ›โท ร‘โœญโ€ โœขโ‚โ โœด ร”โ†รณโ‰รšโ˜…รนโœ‰ร”โ†รณโ‰รน โœฒโ‘ฅรง โœŽโžตรงโ–ผโœ‘ รฎโรนโœทโ‡โ…ร”โซรณโ‰รšโ˜…รนโž†ร”โซรณโ‰รนโž‰โœ—โœ™โœปโž‹โœโ–ผโฆโžŽ ร  โผ โœฒโœถโž‹โˆโœ‘ โœซ โœ  ร”โซร•โฏโ‡โ…รฎโ–ผรณโ‰รนโœฝร™โšรผโรšโกร—รบรšโœธรฎโ˜žโœ„

โœฉ โœ› โž‰โ—†โ–ผโกโž‹โ–โœ™โปโžŽ ร โœ™ โ‘ขโœฝโƒ โœ› โ‘ข โœชโœฌ โƒ โž‰โšโ–ผโ˜Žqโœšโœ™โฅโžŽ โœ› โ‘ข โœชโœฌรค โ„ โœ› โž‰โšโ–ผโกโž‹ โœ™โปโžŽรฐ โœ‚ รฎโšรผ โ„ โœ› รณโ‰ร•โœบรฎโ™ฅรพโร”โซร•รธรผโรนโž‚ร—โฎร”โซร• รผโšร”โซร•โ…รนโž‚ร—รบร•โ…รณโ…รฎโ™ ร–โกรณโ‰รš โผ โœฒโœถโž‹โœบโœ‘โœ’โœซโ†โ… โผ โœฒโœถโž‹โˆโœ‘ โœซโœŽ โทโ˜žโ˜›โœ‘โœtโŠโœ“โœ’โœ•โœ”โœขโทโž รโ‘กรรบรรฉร’โˆรฎโ–ผรนโรนโž†รฎ โ‡โœบรšโœณร” โ‡โœบรšโกร—โฎร™โ–ผรนโœ‰ร™โž รฎโร–โกรนโ›รฎโร–โšร–โ–ผรฎโร•โขรนโร—โฎรฎโ–ผรฏรบรฏโรฎ รผโšรฐโซรšโ‘ฅรฎโ–ผรฏรบรฏโรฎโผร—รบรฏรบรฏ รณโ‘จร–โกรนโž‚รšโœณรฎโ‘ฅรฏโรฎโ›รพโรฐโซร—รบรน โ˜›โ–ผรณโ…รฎโฑโœผโœ”โ‡โœบรฏ รณโ‘จร– โœŽ รฎโกร–โกรนโœ—โ‡โœบรšโœณร”โฅรผ โœโœถรฎร˜โœนรฎ โœ˜ โœผโœ”โ‡รธรฏ รณโ‘จร–โจรฏโรฐ ร–โšร—รบร•โ‘จรฌโ†รณโ‰รฏโ——รฐโซรšโกร—รบรนโž†ร™โž ร˜โซรณ ร•โœบร” โœ‘โœนรฐโ†รณ โœฉ โœ› รฎโกร–โกรนโ™ ร—รบรฑโœโ‡โœถร”โ†รšโกรนโœ‰รฐโ†ร•โ…รนโž†รฎโˆโ‡ โœ‚ ร”โ†ร—รบรšโ†โ˜โฏรฌโ†รณโ‰รšโœธรฎ โœ–โƒรถโœ“โœ˜โœดโ‰ รฐโซรฏโร”โ†รšโšร– โ˜›โ–ผรณโ…รฎโผรฏโœโค ร” โ‡โœถร™โ–ผรšโœณรฐโซรนโž†รฎโ–ผรณโ‰รšรฐโปร–โšร–โ–ผร”โ„รผโ–ผร—โฎร™โทรฏ รณโ‰ร—โ™ฅรฎโร–โšรนโœร˜โœนรฎโœโ‡โœบรฏรญรณโ‘จร–โ˜…รฎโ–ผร•โฏโ‡รธรฏ รณโ‘จร–โ™ รšโœณร™โœ‰รฌโ†รณโ‰รฏรญร—โฎรฎโรš โœผโœฝรผโšรฎโ˜žโ˜›โรณโ‰ร—โ™ฅรฎโร–โกรนโœ˜รฎโ–ผร• รฐโœปรผโšรผโœธร”โ†รšโœณร˜โผรฐ โœ‚ รฎโœธรผโ‘ รฏโรฎโร–โ˜…รนโรšโœธรฐโˆโ„โ–ผรฎโšรผโรนโž†ร”โซร—รบรšโœธรฎโกร–โ‘ ร˜โซรณ รฑโœฟร”โซรณ โœ‚ รฎโ–ผรฑโœฑรฎโ–ผร•โ…รนrโœรšโœธร”โœ•โœ”โ‹ร•โ…ร—โฎรฎโ–ผร•โ™ รพโšรšโœณรฐโœนรผโ–ผรนโž‚ร—โฎร”โซร•โ…ร•รธรฐโซร—รบรšโœณรฎโœ™โ‡โž†ร˜โœปรฎโกร–โœฏร–โกร—รบรฑโทรณโ‰รฏโรฐโ†รนโร—โฎร”โ†ร•โœถร–โดร˜โœปรฎโดรนโรšโœธรฐโˆโ„โ–ผรฎโšรผโรนโž†ร”โซร—รบรšโœธรฎโกร–โœฏร–โร”โ†ร•โ…รนโœ›โ‡โœบรšโœธร™โกร–โ–ผรฎโ–ผร•โ…รนโž†ร™โœธรฎโร–โดร˜โœปรฐโซร•โœถร–โœฏรฏโœโค รฐโซร•โขร•โœบรฎ โขโƒรฎโœŽโœ˜ โœŒ รถ โœŒ โ‡โ…รฐโ–ผรฌโƒรฎโœ˜โ‹โŠโœญโ—โ˜…โ‰โœนรถโœ˜ร’โˆรฎโรนโž‚รนโž†รฎโ˜…รšโœณรฎโ–ผรฑโœฟรฐโซรš โ˜›โ–ผรณโ…รฎโ˜…ร•รธร”โซรณโ‘จร– โ‡โ…ร”โซรณโ‘จร–โšร–โ–ผรฎ โœฌโจรนโรšโœธรฐ โœ‚ รฐโซร—รบรฏรบรฏโรฎโ–ผรšโœคโ‡โœบรฏรญรณโ‰รนโœ‰รฝโ†รนโœ˜รฐ โœ‚ รฎโšรผโœฑร˜โœนรฎโร–โ‘ ร” โ‡โ…ร™โรšโœณรฐโ†รนโœ‰รฎโ–ผรณโ‰รšโšร– โ˜›โ–ผรณโœ โค รฐ โœ‚ รฎโœธรผโทรฏโรฎโ–ผรณโ‰รšโšร–โ™ ร•โœบร” โœ‘โœนรฐโซรณโโขโ‘จรถร’ โค รฎโกร–โกรนโœรผโœธรฎโ–ผรนโž‚รนโœ‰รฎโ˜…รšโœณรฎโรฑโœฟรฐโซรš โ˜›โรณโ…รฎโ˜žโ˜›โรณโ‰ร—โ™ฅร˜โ†ร—รบรšโกร—รญรฌโœปรฎโ–ผรšโœณรฐโจรนโœ‰ร”โ†รณโ‰รนโœ‰รฎโ˜…รฏโœโค ร™โ–ผรนโรณโ…ร˜โœปรฎโ™ฅรพโรฐโ†ร—รบรนโœ‰รฎ โœฌโœฟรฏโ——รฐโ†โ‡โ…รฐโซรšโกรนโž‚ร—โฎรฎโœบโโœฟโ– โฏรถโžซโœ˜โžญโœขโœœโ–โžญโ‘โ โ–ฒโžดโžพโœทโดโœฌโžชโœโžทโ™ฆโžธโœปโžšโ‰โžปโœถโžผโฏโžšโ‰โžถโฆโžชโ™ฅโžท โœคโ™ฆโžบโœกโžšโœงโœฆโ–โžพโžโžชโ™ฅโžปโœงโ˜…โ‘กโด โžณโž”โžซโœโžญโ–ผโโœ™โทร™โ–ผรฑโœฟร”โซร•โœถร–โกรนโž‚รšโœณรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœ„

โœ— โœฎ โ—†โ–ผโœทโœนโœฎโ…โœฐโœณPโ„โž€ โณ โœฒโ„โœฎโ…โ—†โโœฒโฌโ‡ โณ โนโœญโ—†โœฟโ‡ โณ โ‚โœณqโœถPโ„โœทโœนโœต โœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโฌโพโœถโฃ โฟโขsโขโœฎโ…โœท โณ โœฐโดโœพ โฉ โœทโœปโœฎโ…โœฐโ™ฆโ‡โ‰โœฒ โณ โ– โž โœดโœถโœตโœธโœทโ‰โ—†โโœฒโ„โœฐโœธโœฐ โณ โœฐโดโตโ›โœพ โณ โœฐโœธโœฐโฆโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโ…โœฐโดโ—†โโœฒโ„โœฎโƒโ‚โœณโœตโœธPโ„โœฐโ™ฆโž€ โณ โ€โฒโœทโœปโœฎโœปโ‚โŠโ——โœพโฌโœผโœพโœฝโ–ผโœผโœฑโœฒโ›โœโโœทโœปโœฎโ…โ—†โกโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโผโ‡โ‰โœฒโ˜…โ—†โ–ผโœท โฉ โœพโ†โœตโœธโ€โ——โœพโœนโœฎโ…โ—†โโœฒโœคโ–โƒโ€โ——โŠโ——โœฐโ–โœฐโœณโœทโœนโœฎโƒโ‚โ–โ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โดโ€โโœฎโ…โ‡โœถโ€โ——โœฐโฆโ‚โœณโ€โ——โœฎโœถโ™ โณ โœพโ†โ‘คโœถโŠโ——โœฒโ„โœฐโœ˜โœฒโ„โœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœณโ‚ โณ โ‡ โณ โ‚โœณqโœถPโ„โœทโœนโœต โœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโฌโฝโœนโฃโ——โฝโœนโฃ โœœ

Page 43: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โนโœปโพ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒโœโœŽโœ’โœ‘โœ“โ˜žโœโœŒโœ”โœžโœ”โ˜žโœโœ•โœ—โœ–โœ˜โœŒโœ—โœ™โœšโœกโœ›โœ†โœœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™โœฅโœ–โœงโœฆโœ“โ˜…โœชโœฉโœฌโœซโœคโœญ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

s

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

s

๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ† โพโœถโฃโโฝโœŸโœžโœกโœ โ–โœฒโ–ผโœดโœถโœตโœธPโ„โœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœธโœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฐโฒโ™โœปโœตโœธโœพโœนโœดโœถqโœถโ€โ‘โž€ โณ โœฒโ„โœฐโ‹โ‡โ‰โœฒ โœฉ โœ› โž‰โŠโœ‘โœนโž‹โ‘งโ€ โžŽโฏโœฒโ–ผโ‚ โ„ โœ› โž‰โŠโœ‘โœปโž‹โ˜›โ€โ‘ฃโžŽโœrโฎโ—†โ–ผโœทโœนโœฎโƒโ‚โœณโ€โ——โœฎ โณ โœฒโ–โœฐ โณ โœตโ™ฆโถ ๏ฟฝโœถsโ——โฝโโบโโ‘ขโฏโœดโขโœท โณ โœต โœŽ ร โœฒโœฝโ€ โ™ฃโฑโฌโ™โœปโœพ โณ โ—†โšqโœถโœฒโœฏโœฒโ–ผโ‚โœขโœŽ ร โœฒโœฝโ€ โœ โฑโœฑโ‡โ‰โœตโœณโœทโœปโ€รญโ‚โœธโœฒโœนโฃ

Page 44: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜ž โœ

โœŽ โœ โ˜›โ˜žโœ— โœ โœ—โœ™โœ  โœšโœŒโœž โœšโœ‚โœ— โœ› โœ“ โœ–โœโœโœ’โœ‘ โœš โœ“รธโœ“โœ•โœ‘โœŽโœ‘โ˜žโ˜›โœ”โœ“ โœชโœฌโœ‘โœ”โœ–โœ˜โœ—โœ™โœ

โœšโœŒโœž โœ› โœ—โœ™โœžโœขโœœโœ”โœ‘ โœ› โœ‘โ˜Žโœโœ’โœ‘ โœค โ˜›โœ”โœ—โ˜Žโœฅ โœโœŒโœ–โœ•โœ‘โ˜Žโœ

โœงโ˜…โ˜›โœ”โœ“ โœชโœฌโœ‘โœ”โœ–โœ˜โœ—โœ™โœโœŒโœโœŒโœ“โœซโœ–โœ˜โ˜›โœ–โœ‘

โœญโœฏโœฎโ˜…โ‡โ‰Pโ„โœฐโœณโ€โโ™โœปโœฎโœถโœฒโˆโœดโ…โœพโœนโœต P รโœฉรž P โ—— รฅ โงโœร  โœธโœ โœบ รช โณ โœฎโ…โœฒโœโœฐ โณ โ€รญโ‚โœธโœฒโ™ฅโœฐโฆโ‚โœธโœพโซโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโœถโœฎโ…โœพโœนโ€โโœตโœธโœฒโˆโ‡โ‰โœฒ โฉ โœพโœนโœตโœณโ€โ‘โœพโ†โ‘คโœถโŠโ——โœฒโ„โœฐโงโœพโ†โŠโ——Pโ„โœพโซโ‚โœธโœทโœนโ€โ——โœตโœณโœฒโฅโœฐโžโตโ›โœพ โณ โœฐโœธโœฐโœณโ€โโœฒโ„โœฎโœถโœฎโœถโœฒโ„โœฐโ—†โโœฒโ„โœฎโœปโ‚โœธโœตโœณPโ„โœฒโ„โœฐโ™ฅโœตโœณPโฅโ‡ โณ โ€โโ‚โœณโœฒโ„โœฐโ„โฃโœปโž„โ™ฅโ— โœทโœปโ‘คtsโ–ฒโœฒโโ‚โœ˜โ‡โ‰โœฒโœฏโ—†โ–ผโœฒโโ‚โœณโ‚โœณโœฒโ™ฆPโ–ผโ‚ โณ โ‡โœถโœฒโ™ฆโœฒโ„โœฐโฆโ‚โœโŠโ——โœฒโœฏโ—†โ–ผโœทโœนโœผโœฑโœดโœบโœทโœนโœตโœณโ‚โœณโœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ„โœฎโœปโ‚โœฝโŠโโ€โ——โœผโœฑโ€รญโ‚โœธโœฒโ–โžโ‹โœพ โณ โœฐโœณโœฒโ–ผโœฎโ…โœฐโœฝโ‡โ‰โœฒโœฏโŠโ——โœพโ˜…โ—†โ–ผโœทโœนโœฎ โฉ โœฒโ„โœตโœณโ™โœปโœฒโ–ผโœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโœโฎโœพโ†โ€โ——โ‘คโœถโŠโ——โœฒโœ˜โ‡โ…โœพโ†โœฎโ…โœฐโœ˜โœ—โ‘ฅโž‰ โผ โœฒโ…โž‹โˆโœ‘ โœซรบโžŽโ˜โžโžโœฒโฅโœฐโฆโœดโ…โœพโœปโ—†โโœฒโœโ‡โ‰โœฒโฅโœฐโฏโœโโœทโœนโœฎโ…โ—†โโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฐโ‹โ‡โ‰โœฒ โผ โœฒโœถโž‹โœบโœ‘โœ’โœซโœถโ‡โœถโœพโœนโœฎโ…โœฐโ‹รฃ โ—†โ„โฑโœนโ‡โ‰โŠโ‘โฑโ†โ™โœฏโžโงโ‡ โณ โœดโœถโœตโœธโœทโ‰โ—†โโœฒโ„โœฐโœธโœฐ โณ โœฐโฒโฑ โฉ โœพโœนโŠโโœฒ โณ โœตโœธโœฐโฒโœตโœธPโ–ผโœฒโ„โŠโโŠโ——โœฒโ„โœฐโ‡โ‰Pโโžƒโขโœฎโœถโ€โžโœดโœบโœท โณ โœตโœ˜โ‚โœธโœท โณ โ‚ โœข ร  โœธโœ โœบ โœดโ…โœพโ†โœตโ™ โ‘ง โœ™โœš โœ›โœขโœœโœคโœฃ โž‰โšโ–ผโฆโžŽ ร โœ‘โ– โœฃโœฆโœฅ

โœฃ โž‚โ˜…โœงโœพ โ—— โœฟโœทโœพโœชโœฉ โž‰ P โ—— โžŽโœŸรฅ โ–ผ ร  โผ โœฒโ…โž‹โˆโœ‘ โœซโœฌโœซ โœญโœฎ

โœทโœฐโœป โœฉ โœฒโ„โœฐโฆโ‚ โณ โœฎโœถโœฒโฌโœโโœทโœนโœฎโขโ—†โกโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎ โ‡โ‰โœฒโœฟรฃ โ‡โ…โœพโ†โœฎโ…โœฐโ›รฃโž˜โ‚โœธโœฒโ–ผโŠโ——โŠโโœฒโœฟโž€ โณ โœฒ โœง โผ โœฉ โž‰ P โ—— โžŽ โœซ ร โœฒโ‘ฅโœฒโโ‚ โœง โ„ โผ โœฉ โž‰ P โ—— โžŽ โœ  โœซ โ… รง รจ โœฒโโ‚โ™ฃโž‰โ—†โ– โœฃ โžŽ โœฃโœฐโœฏโœฒโœฑโœดโœณโณ โœฎโœถโœฒโ™ โœฐ โณ โ€รญโ‚โœธโœฒโ˜…โ‡โ‰โœฒโ™ โœตโœธPโ–ผโœฒโ–ผโŠโ‘โœฐโœ˜โœฎโœถโœทโœปโœฎโ‘ฅโœฎ โณ โŠโ‘โœฐโ–ผโฃโœตโ–โœท โณ โœฐโ‹โœพโ†โŠโ——โŠโโœทโœปโœฎโ…โœฐ โฉ โœทโœปโ€โโœตโฒโŠโ——โœฒโ„โœฐโฒqโ‘จโ‘ฉโ‘จโœดโขโœทโœนโ‚โœณqโœฝโœ‰โฅโœฐโฆโœฒโฅโœฐโ‹โž€ โณ โœฒโœ˜โ‡โœถโœทโœนโ€โโ‚ โฉ Pโ–ผโœตโœธโ€รญโžƒโขโœฒโ–ผโœต โœฉ sโ†โŠโ‘โœพโดโœฐ โณ โ€โโ‚โœณโœฒ P โœฒโโ‚โ‹โŠโโœฒโฅโœฐโˆโ—†โโœทโ‘จโœฒ โœผ โ—†โ–ผโ€โโœฒโ„โœฎโƒโ‚โœธโœฐโฒโ‡โ‰โœฒโœโœฎโœถโœทโœปโœตโœณโœผโœฟโœพโ†โŠโ——โ€โ‘โœฐโœณโœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโž‰โ—†โ– โœฃ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ โœดโขโœท โณ โœตโฒโž€ โณ โœฒโœฝโ—†โ–ผโœฒโ™ฅโœดโœถโœตโœธโœทโ‰โ—†โโœฒโ„โœฐโœธโœฐ โณ โœฐโ˜โ—†โ–ผโœทโœนโœฎ โฉ โœฒโ„โœตโœณโ™โœปโœฒโฒโœโฎโœพโ†โ€โ——โ‘คโœถโŠโ——โœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚ โฉ โœฒโ–ผโœตโšโœฐ โณ โœฎโ‘ โœผโœฑโœท โณโœถโฉ โœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โฒโญโœโœตโœธโœทโซโชโœโœฎโœถโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโ™ โœโโœตโšโœพโœนโ—†โโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโœถโœฎโขโœพโ†โ€โ——โœตโœณโœฒโœปโฃ

โœญโœฏโœฎโผโœดโœบโœฒ โณ โ‚โ™ฆโ—†โโ€โโ‚โœณโœฒโ–ผโœตโœโŠโ——โœฒโ˜…โ—†โ–ผโœพโœปโœฐโœ˜โœดโ…โœพโ†โœตโœณโ‚โœณโ€โ‘โ—† โณ โŠโโ€โ——โœฒโ–ผโœตโœ˜โ‘คโœถโ€โ——โœฒโ–ผโœฎ โ—†โโœทโœปโœฎโœถโœฎ โณ sโ‰โŠโ——โœฒโ›โ‚โœณqโœถPโ„โœทโœนโœต โœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโ™ โ‡โ‰โœฒ โ‘ฆ โœทโœปโœฎโ…โœฐโœฌโœฑโœปโœฒโ–ผโœตโ™ โ‘งโœก โ‘ฆโฏโžฎโƒโฐโœ›โŠ โ‘จโ˜žโ˜›โœฑโท โœขโžรโร‘ โœช โœŽ โทโœทโœถโœฒโœ”โœ˜โœธ โทโƒโ’โœบโœนโ™ โฐโœ’โŠ โœนโร‘โขร‘โœฐโœป โœผ โ‹โœฝโœโœฟโœพโœ›โท โœžโ‚โ€ โœป โ โœ™โฌรฐโซร•โœถร– รฏโรฎ รผโšรฐโปร– ร”โ†รซโœ”รฏโ——รฎโกร– โœ‚ รฐโซรšโกร—โฎรฐโœปรตโรฏโ——รฎโกร– โœฉ โž‰ P โ—— โžŽ ร–โร”โ†ร•โ…รนร—รบร•โœบร˜โœปร™โ™ โ‡โ…รฎโร•รธร˜โœนรฐโ†ร•โ…รนโž†รฎโกร– โœผโ˜รฐโซรฏโ——ร”โซรšโšร–โ–รฐ โœ‚ รฎโœธรผ โ– โœฃ รโœฝโœผ โœข ร”โ†ร•โ‘ฅรฐโ›รณโ‰ร•รธรฎโ–รผโšร”โซร• โœ‚ รฎโ–ผรšโรฌโœปรฎโ–ผร•โœบรผโšรฎโงรพโรฐโซร—โฎรตโ–ผรฏโรฎโœฏร˜โœปรฎ โž‰ โœœโœคโœฃ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ โœ‚ รฎโ–ผรšโšร–โœฝรณโ‰ร•โœฟรฑโœฟร”โซรณ โœ‚ รฎโ–ผรฑโœฑรฎโ–ผร•โ…รนrโœรšโœธร”โœ•โœ”โ‹ร•โ…ร—โฎรฎโ–ผร• ร”โ†รšโœณร˜โซร—รบร•รธรฐโซร—รบรšโœณรฎโฅรถโ‹โ™ฃโžโ–ผโž‘ โž’โž”โž“โฏโ†’โœโžฃโโ†”โ„โ†•โœ™โ†”โโž™โ‘ฅโž›โ‘ โ†”โกโž“โฏโžœโœโžโžŸโžžโœฟโœพ โž™ โžฃโโžœโ–โ†•โœฃโ†•โœ™โžœ โœ‘โผโžœ โžคโ˜โžœโœโž™โ‘ฅโžโ˜โ†”โโžฅโ˜…โž™

โฟ โœท โณ โœตโงโœพ โฉ โœทโœนโ€โ——โœต โณ โœฎโœถโœฒโ™ฅโ—†โโœทโœปโœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœธโ™โœนโœฒโ„โœฎโ…โ—†โโœฒโ˜โœโฎโœพโ†โ€โ——โ‘คโœถโŠโ——โœฒโˆโ‡โœถโœพโ†โœฎโขโœฐโ€โœ—โ‘ฅโž‰ โผ โœฒโœถโž‹โœบโœ‘โœ’โœซโโžŽโœบโ€โโŠโƒโœฐ โณโœฆโœผ โ‚โฏโ‡โ‘กโ— โœพ โฉ โœทโœนโ€โ——โœตรธโŠโ——โœพโœโ—†โ–ผโœทโœนโœฎ โฉ โœฒโ„โœตโœณโ™โœปโœฒโ–ผโœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโงโžƒโ…โœฎโ…โ€รญโžโž†โ‡โ‰โ€โ——โœผโฌโœฒโ„โœฎโ…โœฐโœณโ€โโœทโœปโœฎโœถโœฎโœถโœฒโ–ผโŠโ——โŠโ——โœฒโž‰โ‚โโ„โƒโœ โžŽโœฝโœฒโโ‚ โณ โœฎโœถโœฒโ˜…โœฐ โณ โ€โโ‚โœณโœฒโ›โ‚โœธโœฒโ–ผโœฎโ…โ‡ โณ โœฒโœนโฃโ…โž„โงโœฒโดโŠโ——โœฒโ–ผโœผโœฑโœผโœฑโœฒโ˜…โœฐ โณ โ€ โฉ โœพโœนโœฎโœปโ‚โœโœฎโœถโœท โณ โœฐโ–โ‡โ‰โœทโœปโœฎโœถโœฎโœถโœฒ โณ โœฎโœถโœฒโ˜…โ—†โ„โœพโ†โœตโšโœพโœนโ—†โโ‚โœณPโ–ผโœตโœธโ€โ‘โœฐโœณโœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโจโ‡โ‰โœฒโ›โŠโ‘โœพโทโ‚โœณโœฒโ–ผโœฎโขโœฐโฆโ€โ——โœทโœนโœฎโžโฃโžฌโ‘ฅโžฎโƒโžฑโฒโœƒโ˜โโฎโ’โ„โโโฐโขโœƒ โœขโžรโร‘ โโœฝร• ร˜โซร—รบรน โ˜›โรณโœ โค รณโ‰ร•รธรฎโˆรพโร”โซร•รธรผโรนโž‚ร—โฎร”โซร•โž รด ร˜โœปรฎ รฃ ร˜โœปรฐโซร•โ…ร– รฃ รฎโร–โกรนโœโœฌ โœ‚ รฐโ†รšโกร—โฎรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร•โœถร–โ˜…รฏโ——รฎโร•โขรนโœ‰รฎโร–โœโœฌโœฟรฏโœโค ร—รบร•โธโ˜โˆร•โ…ร—โฒร–โกร—

โ„ โž‰ โœท โœข โžŽโฝโœฏโœฃโ†โ… โ‘  โ„ โž‰ โœข โžŽ โœ โœทโˆโ‡ โœฒโโœ˜ร•โž ร•โœบร”โ†รนโœ‰รฎโ–ผรšโœณรฐโŠโ‰ รฏโฃโค รฎโร•โ…ร–โรฎโ–ผรฑโœฟรตโรฏโรฎโœฑร˜โœปรฎโทรผโšรฎโร–โ‹รพโร”โ†ร•โœบรผโ–ผรนโร—โฎร”โ†ร•โœถร–โ–ผรถโนโœนโน

Page 45: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โนโ†โฟ โœ‚โ˜Žโœ„โœฅโœ†โœœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒ ๏ฟฝโœฝโœ‘โœ“โœฆโ——โœฃโœคโœฉโœฌโœ†โœโœŸโญโœ™โœœโœŒ โœฆโœ๏ฟฝ โœ†โœœโœกโœโœกโ˜Žโ˜žโœœโœ† โœ‚โœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™ โœฆโœ“โ˜…โœชโœฉโœฌโœซโœคโœญโœ‚โœ”โทโ˜žโ˜› โ˜›โœฑโท โœขโžรโร‘ร“ร’โ‹ร”โ†ร•โœถร–โกร—โฎร˜โœนร™โ–ผรšโœณร”โ†ร•โœถร–โ–รณโ‰ร•โœบรฎโœร–โกรณโ‰ร—รบรนโœ‰รฎ โž‰ โœœโ„โœฃ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ ร˜โœปรฎโœ โ‡โœบรšโœณร”โฅรผโšรฎโกร–โšร–โกรณโ‘จร–โœร˜โœปรฎ โœ—โ‘ฅโž‰ โผ โœฒโœถโž‹โœบโœ‘โœ’โœซโโžŽ ร˜โœนร™โœณโ˜โˆร•โขร—โฎรฎโ˜Žโ‡โ…ร”โซรณโ‰รšโœรนโž†ร”โซรณโ‰รนโœœโœข ร โœงโœธโœ โœบโ‡โœถรฐโ†รš โœ„ โœœ โœฃ โž‰โšโ–ผโฆโžŽ รโ˜Žโœ„ โœฅ

โœฃ โž‚โ˜…โœงโ– โœฃ โœ โ–ผ ร  โผ โœฒโœถโž‹โœบโœ‘โœ’โœซ โœค โ‰ โพ โœ„ โ– โœ โœฃ โœฏโœฃโ†โ… โ‘  โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽรฐ โœ‚ รฎโšรผ โœฒโฌรงโœโœŽโœโœ†โโœ‘ โœผ โ„ ร โ˜›โ‰โžŸรฎโ–ผรน โœ„ โœฃ รโœŸโœž โœฃโ—— โœฟโœทโœพ P โ—— ร”โซรซ P รฎโกร–โกรนโฏรณโ‰ร•โœบรฎโ–ร–โกรณโ‰ร—รบรนโœ‰รฎโ–ร–โกรนโœ‰รฐโ†รนโร—โฎร”โ†ร•โ…ร•โœบรฐโ†ร—รบรšโœณรฎโ›ร˜โœนรฎ โœ‚ รฐโซรšโกร—โฎรฐโœนรตโ–ผรฏโรฎโร–โ›รฐโ†รฏโร™โšรฐโซรนโž†ร”โซร—รบรšโœณรฎโร–รผโšรฎโร•โขรนโรšโœณร™โšรฎโร–โ™ ร˜โœปรฎ โœ‚ รฐโซรšโกร—โฎรฐโ†ร•โœบรผโšรฎโร–โœ”โ˜โˆร•โ…ร—โฎรฎโร– โœ‚ ร™โ–ผรšโกร— โ˜โœรฐโ†ร•โ…รน โœ„

โœงโ‚โ„ โœ„ โœ โœฃ โ…โœร โœ โœฃโ†โ… โ‘  โž‰ โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽโฆโžŽ rโฎโนโœถโฃโ——โฝโฅโ‘ขโœงโœฆโ„ โ˜ž โœ„ โœฃ โ˜ž โœ โ˜›โœก โ…โœร โœ โœฃโ†โ… โ‘  โž‰ โœงโœฆโ„ โ˜ž โœ„ โœฃ โ˜ž โœ  โ… โœก โžŽ โœ โœค โ˜ž โœ‘โ™ฃโƒโœŽ rโฎโนโœถโฃโ‘ฃโพโœนโ‘ข

ร’โ‹รฎโ–ผรนโž‚รนโœ‰รฎโ˜…ร–โกรณโ‰ร—รบรนโœ‰รฎโทรฎโกร–โกรนโœฝรนโœ‰รฎโ–ผร•โœบร˜โ†รณโ…รฎโ‘ ร˜โœนรฐโ†ร•โœถร– โœ—โ‘ฅโž‰ โผ โœฒโ…โž‹โˆโœ‘โœ’โœซโโžŽ รถโœ™โทร™โ–ผรฑโœฟร”โซร•โœถร–โกรนโž‚รšโœณรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœ„โœ‡โ‘จโœทโœนโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœœโœฒโ˜žโœ†โœชโ–ผ โœพ โœ†โฅโ–ผโœŒโœ†โœตโ–ผ โœ  โœ† โœ‘โ›โœฒโโ‚โ˜›โœค โ˜ž โœพ

โœ  โœ› โฃโฟ โœทโœปโœฐโœณโœทโœนโœฎโ…โœฐโœ โœฃ โž‰ โœคโœบโž‹โœโ–ผ โœพ โž‹โœโ–ผโกโž‹โฃโ–ผ โœ  โžŽ ร โœง โผ โ˜ž โœœ โœฃ โž‰โ—†โ–ผ โœ  โžŽโ˜Žq โœœ โœฃ โž‰โ—†โ–ผโฆโžŽ โ˜ž โœก โ˜ž โœœ โœฃ โž‰โšโ–ผโฆโžŽโ˜Žq โœœ โœฃ โž‰โ—†โ–ผ โœพ โžŽ โ˜ž โœก โœซ

โœ— โœฎ โฉ โœฒโ„โœตโฆโ‚ โณ โ‡ โณ โ‚โœธqโœถPโ–ผโœทโœปโœตโฃโœ‰โ„โœผโฌโœฒโ™ โ‡โ‰โœฒโ˜…โœ‡โ‰โ—†โšqโ‘จโชโœ˜โœพโ†โœตโœณโ‚โœบโœšโฌsโœถโœทโœนโœฎโžจโœพโžจโ‘งโœ โœฃ โž‰ โœคโœบโž‹โฃโ–ผ โœพ โž‹โœโ–ผโกโž‹โฃโ–ผ โœ  โžŽโœŒโœ† โœ‘โ– โœ โ˜›โœกโœฃ โž… โœง โ„ โ˜ž โœ„ โœฅ โœฃ โž‚ โœฌ โœง q โœ„ โœฅ

โœฃ โž‚โ˜…โœง โ˜ž โœ โ˜›โœก โ… โœชโœฌ โœง โ„ โ˜ž โœ„ โœฅ โœฃ โž‚โ˜…โœง q โœ„ โœฅโœฃ โž‚ โœช โœง โ˜ž โœ โœŽโœก โ… โœชโœฌ โž†

โœฒโโ‚โ–โ‡โ‰โœฒโ™ โŠโ‘โœพโœฑโœฐโ–ฒโ‚โšโœพโซโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฎโ…โœพโ†โœตโœธโ€รญโ‚โœธPโ™ โ‡โ‰โœฒ P โœฒโ–ผโ‚โ–โ‡โ‰โœทโœนโœฎโ…โ—†โ™ โ‡โœถโœฒ โœ„ โ‘งโœ โœฃ โž‰ โœคโœบโž‹โœโ–ผ โœพ โž‹โœโ–ผโกโž‹โฃโ–ผ โœ  โžŽโœŒโœ† โœ‘โ– โœ โ˜›โœกโœฃ โž… โœงโโ„ โ˜ž โœ„ โœฅ โœฃ โž‚ โœฌ โœง โ‘ข โœฅ โœฃ โž‚โ˜…โœง โ˜ž โœ โ˜›โœกโœบโ… โœชโœฌ โœงโ‚โ„ โ˜ž โœ„ โœฅ โœฃ โž‚โ˜…โœง โ‘ข โœฅ โœฃ โž‚ โœช โœง โ˜ž โœ โ˜›โœกโœบโ… โœชโœฌ โž†

โฟ โœทโœปโœฐโœณโœทโœนโœฎโ…โœฐ โœก โœฃ โž‰โšโ–ผ โœ  โž‹โœโ–ผ โœพ โžŽ ร โœฅโœฃ โž‚โœฅโœฌ โœง โ‘ข โœฅ โœฃ โž‚โœซโœช โœงโœฃ โœฒโ–ผโ‚โœ‘โœโœฑโž‰โœฅโœฏรธโžŽ ร โœฏ โœ  โœ› โ„โœ“โœ’ โœฌ โž‰โœฅโœฏโœบโžŽโโฃ

โœ— โœฎ โฉ โœฒโ„โœตโฆโ‚ โณ โ‡โ‰โœฒโฅโœฐโœ˜qโ‘จโ‘ฉโƒโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโ„โœฐโ™ rโโนโœถโฃโ——โฝโฅโ‘ขโœโœฒโโ‚โ‘ rโโนโœถโฃโ‘ฃโพโœนโ‘ขโœฝโœทโœปโœฎโผโœพโผโ‘งtโž†โŠโžโœฒโโ– โ‰โ€โ‘โœฐโ–ฒโ‚โœธโœฒ โณ โœฎโœถโœฒโ˜…โ—†โโœทโœปโœฎโ…โœฐโ–ฒโ‚โšโœพโ†โœฎโƒโ‚โœณโœฒ โœฉ โœพ โœฒโ–ผโ‚ โณ โœฎโžจโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœณโ€โ——โœฒโ–ผโœตโœ•โœ” โœพ โ‚โœณโœฒโ–ผโŠโžโž€ โณ โœฒโ˜žโœ โœข โ˜žโœ–โœ” โœพ s

โœ โœฃ โž‰ โœคโœบโž‹โœโ–ผ โœพ โž‹โœโ–ผโกโž‹โฃโ–ผ โœ  โžŽโœŒโœ† โœฉ โœพ โ€ โœโœฑโž‰ โœข โ€ โœก โœฃ โž‰โšโ–ผ โœ  โž‹โœโ–ผโฆโžŽโฆโžŽโ– โœกโœฃ โœโœฑโž‰ โœข โ€ โœก โœฃ โž‰โšโ–ผโกโž‹โฃโ–ผ โœพ โžŽโฆโžŽโ– โœกโœฃโ‘ฆ โ— โœพ โณ โ‚โœณโœตโœธโœฒโœโœดโ…โœพโ†โœตโœณโ‚โ„sโœนโ—†โ–ผโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒโ–โœทโœนโœฎโœฟโœพ โ– โœ โœฃ โœฏโœฃ โ… โ‘  โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽโกsโœปโœทโœนโœฎโœฟโœพโ›โŠโโ— โœฒโโ– โ‰โ€โ‘โœฐโ–ฒโ‚โœธโœฒโ–ผโœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโ–โ‡โ‘กโ— โณ โœฎโœถโœฒโ™ฆโ—†โ–ผโœทโœนโœฎโ…โœฐโฆโ‚โœธโœพโœนโœฎโœปโ‚โœธโœฒ โœฉ โœ  โœฒโโ‚โœฝโ‡โ‘กโ— โณ โœฎโœฟโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœณโ€โ——โœฒโ–ผโœตโœ” โœ  โ˜žโœ—โœ” โœพ โ‚โœณโœฒโ„โŠโ——โœฐโ™ฆโž€ โณ โœฒโœกโœ โœข โ˜žโœ–โœ” โœ 

โœ โœฃ โž‰ โœคโœบโž‹โœโ–ผ โœพ โž‹โœโ–ผโกโž‹โฃโ–ผ โœ  โžŽโœŒโœ† โœฉ โœ  โ€ โœโœฑโž‰ โœข โ€ โœก โœฃ โž‰โšโ–ผ โœ  โž‹โœโ–ผโฆโžŽโฆโžŽโœโœฑโž‰ โœข โžŽโœโœฑโž‰ โœข โ€ โœก โœฃ โž‰โšโ–ผโกโž‹โฃโ–ผ โœพ โžŽโฆโžŽ

โœโœฑโž‰ โœข โžŽโคโœโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒโโœŽ โœค โ˜žโฅโœฒโœฑโœฒโโ‚โ–โ—†โโœทโœปโœผโฌโœผโœฑโœฒโœ˜โœ โœฒโ„โœฐโฆโ‚โ–โ‘คโขโœทโœปโœตโœณโœฎโ…Pโ–ผโœฒโ™ โœฐ โณ โœตโœโŠโโœฒโฅโœฐโœ˜โ€โโœฎโƒโ‚โœณโœฒโ„โœต โฉ โœพโœนโŠโโŠโ——โœฒโ„โœฐโœฝโžƒโ…โœฎโ…โ€โ——โœฐโ„sโ‰โœทโœนโœฎ โœพโผโ‘ง

โœ™โœ›โœšโœขโœœโœฃโ†โ… โ‘  โœฉ โœ  โ€ โœโœฑโž‰ โœข โ€ โœก โœฃ โž‰โšโ–ผ โœ  โž‹โฃโ–ผโฆโžŽโฆโžŽโœโœฑโž‰ โœข โžŽ ร โž‰โšโ–ผ โœ  q โ–ผโฆโžŽ โœ› โœกโœฃ โœฎโœถโ€โโœโโœทโœนโœตโœธโœผโœฑPโ–ผโœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœโœดโœบโœท โณ โœตโœโœฒโœ“โœ† โœก โœฃ โœ† โœ‘โœฑr โฉ โœทโœปโ€โโœตโœโ‡โ‰โœฒโ˜…โž…โœฏโœพโœนโœพโ†โœฎ โถ ๏ฟฝโ๏ฟฝโปโบโงโœดโงโฃ โพโœถโฝโฅโ‘ขโกโฃโœšโฏโ€โโœฎโ…โœพโœนโŠโโœฒโ„โœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โ„sโ‰โœทโœปโœฎโžจโœพโฌโŠโž‚โ— โœฒโ–ผโ– โ‰โ€โ——โœฐโฆโ‚โœณโœฒโ„โœฎโ…โ—†โโœฒโ™ โ‡โ‘กโ— โณ โœฎโžจโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœณโ€โ——โœฒโ–ผโœตโœ•โœ” โœ– โ˜žโœ—โœ” โœ  โœฒโโ‚ โณ โœฎโœถโœฒโ˜…โ—†โ–ผโœทโœนโœฎโ…โœฐโฆโ‚โœธโœพโœนโœฎโƒโ‚โœณโœฒโœ โœ– โ˜ž โœฒโทโ‚โœณโœฒโ„โŠโโŠโ——โœฒโ˜…โž€ โณ โœฒโœฑโ‘ง

โœ โœฃ โž‰ โœคโœบโž‹โœโ–ผ โœพ โž‹โœโ–ผโกโž‹โฃโ–ผ โœ  โžŽโœŒโœ† โœ– โœ โœŽโœก โœ› โž‰โšโ–ผ โœ  q โ–ผโฆโžŽ โœก โœ› โž‰โšโ–ผโœขq โ–ผ โœพ โžŽ โœก โœ›โœ†โž”โž‰โœ—โœ–โœฟโ–ผ โœ  qโœšโœ–โœฟโ–ผ โœพ โžŽ โœ โœŽโœก โœ›โคโœโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒ โœคโ˜žโœŽ โ˜ž โœพ

โœ r โœค โ˜ž โœพ

โœ  โœ› โ‘ขโsรธโœฒโ–ผโœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœณโ‚ โณ โ‡โ‰โœฒโฅโœฐโœฏโ‚โœณqโœถPโ„โœทโœนโœต โœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโ„โœฐโ‘ โฝโฅโž‡โ‰โฃ โฟโ™ฃโœฒโ–ผโ‚โฌโฝโปโž‡โ‰โฃ ๏ฟฝโ™ฃโ‡โ‰โœฒโทโญโœฝโ€โ——โŠโโŠโ——โ€โ——โœฎโœถโ™โœปโœฐโœณโŠโโœฒโ„โ‘ฉ โถ โพโœปโพโฅโบโ‹โŠโ——โœพโ‘ฅโœฐ โณ โ€โโ‚โœณโœฒโž‰ โœœโ„โœฃ โžŽ โœฃโœฅโœคโœงโœฆโœฉโ˜… โœฒโ„โœฐโฆโ‚โœ˜โ‚โœณโœฒโ„โœฎโ…โ‡ โณ โœฒโ™ โœฒโ–ผโ‚โ™ฆโ‡โ‰โœทโœนโœฎโ…โ—†โ›โŠโ‘โœพโœฑโœฐ โณ โ€รญโ‚โœธโœฒโ™ฃโž‰ โœœโœคโœฃ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑโœขโœณ โœฒโ„โœฐโฆโ‚โœโ‚โœณโœฒโ–ผโœฎโขโ‡ โณ โœฒโœนโฃ

Page 46: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝtโœ‘ โœŽโœฝโœ‘ โœ‚ โœŒโซโœ‚โœโœฃ โœŒโœ”โœญโ˜ŽโœญโœขโœŸโ˜›โœ‚โœขโœŸโˆโœŒโœ”โœ™โœšโœกโฅโœฆโœฅโœŒ โœ™ โœฃโœคโ˜žโœœโœฉโœฌโœ†โœฃโœ‚ โœŸโœโœ–tโœ†โœœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™ โนโƒโž‡โ‹โ™ฃโžโœธโž โ˜› โžœโœ๏ฟฝโœฝโžฅโœฟโžœโœ„โœ‚โ˜Ž๏ฟฝโœโ†”โ–ผโžœโœโž™โ‘ โžค โœ‘โผโžœโœ•โž™โ‘ฅโžฅโ˜…โž“โฒโ†•โœ™โž›โ˜…โžฃโ–ผโ†”โโžโงโž›โ›โžคโฏโ†”โโžฅโ˜…โž™โโœ˜โžญโโžซโœ˜โžญโœณโžฏ โœฃ โžทโ–โžชโœโžทโœโชรธโžพโœฅโœคโ™ฆโžบโ˜Žโžปโœถโžพโงโžธโ‘จโžบโœฏโžฝโž†โžšโ‰โžผโฏโžš

โž„โžโœฒโ™ โœตโœธPโ„โœฐ โณ โŠรญโ‚โšโœพโซโ‚โ–โ‡โ‰P โฉ โœฒโ–ผโŠโ——โœทโœนโœดโ…โœดโขPโ™ โ‡โœถโœพโœนโœฎโ…โœฐโœโ—†โโœฒโ–ผโ‚โฆโ‚โœณโœฒโ™ โœดโขโœพโ†โœตโœณโ‚โœณโ€โ——โœฒโ˜…โœพ โœผ โœตโœณโœผโœฑโœฒโ™ โž€ โณ โœฒโ›โœฎโœถโœท โณ โœฐโœ˜โœฎโžโ— โœพ โฉ โœทโœนโœฎโ…โœฐโœฝโœดโ…โœพโœปโœฐโœโŠโ——โœฒโ›โ—†โšqโ…โœทโœนโ€โโ– โ‘ฅโ‡ โณ โ—†โโœทโ‘จโœฒ โœผ โ—†โ–ผโ€โโœฒโ„โœฎโœปโ‚โ‡โ‰โœฒโ™ฆโœฎโ…โœทโœนโœตโœธโœผโœฑโœพโœนโŠโโ€โ‘โœฐโœธโœพโซโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโงโฃโ‘จโคโœโœฒโ„โ—†โ–ผโ€รธโœฒโ„โœฐโฆโ‚ โณ โœฎโœถโœฒโ›โ—†โโœทโœปโœฎโ…โœฐโœณPโ„โž€ โณ โœฒโ–ผโœฎโขโ—†โโœฒโ™ฆโ‡โ‰โœฒโดโŠโž‚โ— โœพ โณ โ‚โœณโœทโœนโžโœ‰โœฐโœณโ€โโœผโœฑโ€โ——โŠโ——โœพโœนโœตโœณโ€โโ‚โœณPโœฏโ‡โ‰P โฉ โœฒโ–ผโŠโ——โœทโœนโœดโœถโœดโœบPโ–ผโœฒโดโœพ โณ โœดโ…โœพโœนโœตโœธโœพโœนโ™โœนโœตโšโœพโ†โœดโœถqโ…โœฒโ™ โฝโœนโฃโ‘ฃโพโ‰โฃโ——โฝโœฒโโ‚โ–โ‡ โณ โ‚โœณqโ…Pโ–ผโœทโœนโœต โœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโ™ โนโœถโฃโ‘ฃโพโฌโ—†โโ€โโžโœ‰โ‡โœถโœฒโ„โœฐโœธโœฐโฆโœท โณ โœฐโ–ผโฃโโœ˜โžญโโžซโœ˜โžญโž‚โžซ โœฎโ‘ โžณโœฉโžปโ…โžพโงโžธโ‘จโžบโ™ฆโžฝโž†โžšโ‰โžผโฏโžš โœคโ–โžณโœดโœฎโ‘ โžผโ˜Žโดโ›โตโ™ โžณโžโžปโœถโžšโ‰โžถโœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โžฌโ‘ฅโžฎโƒโžฑโฒโœƒโ˜โโฎโ’โ„โโโฐโขโœƒ โœขโžรรบร รทโ˜ร•โœงโ‡รธรšโœณร”โฅรผโœธรฎโร–โšร–โกรณโ‘จร– โœœ รฎโร–โกรนโ˜…ร˜โซร—รบรน โ‡โœบรšโœธร” โ‡โœบรšโœธรฎโ‘ฅร–โšร—โœ โ‡โœถร”โ†รณโ‰รšโ™ฃรนโž†ร”โซรณโ‰รน โ–ผ รšโœณร™โšรฎโ–ผรฏ โœผ โœœ โž‚ รฐรฒรณโ‰ร•รธรฎโ‘ฅร˜โ†ร—โ‘ร–โกรนโรšโกร—โฎรตโ–ผรณโ‰รนโร—โฎร”โ†ร•โœŽร•โœบร”โซร•ร˜โœนร™โœ‰รฌโƒร™โร•รธร™โรšโœณร™โšรฎโฅรถโœก โ‘ฆโฏโžฎโƒโฐโœ›โŠ โ‘จโ˜žโ˜›โœฑโท โœขโžรรบรโžขร’โˆร”โซร•โ…ร–โกร—โฎร˜โœนร™โ–ผรšโœณร”โซร•โ…ร–โ˜…รณโ‰ร•โ——โ‡โœบรšโœณร”โฅรผโšรฎโกร–โšร–โกรณโ‘จร–โ›รž P โž‚ รฅ โ–ผ ร  รฃโ™ฅรช รฎโรนโœฝรณโ‰ร•โœบรฎโ™ฅรพโร”โซร•รธรผโรนโž‚ร—โฎร”โซร•โœนโ—รขรนโœ‰รฎโ–ผรฏรบรฏโรฎโ˜žโ˜›โรณโ…รฎโ˜žโœ„PโœโœŒ โœบโ— โž‰โœŸโœŽโœนโžŽ โโ„โƒq โœโœŒ โ… โ‘  โœœ โœบ rโฎโนโœถโฃ โนโœปโ‘ขร”โซรซ โœœ รฎโกร–โกรนโ™ฅรณโ‰ร•โฏโ‡โœบรšโœณร”โฅรผโšรฎโกร–โšร–โกรณโ‘จร–โœ”โ‡รธรšโœณร” โ‡รธรšโœณรฎ โœฌโœฟรนโž‚รšโœณรฐโˆโ„โ–ผรฎโšรผโ–ผรนโœ‰ร”โ†ร—รบรšโœณรฎโร–โทรผโœธร”โ†ร•โ…รนโž‚ร—รบร•โ…รณโ…รฎโร–โ–ผรถโœด ร”โซรณโ‰รš โ˜›โ–ผรณโ…รฎ โœœ ร–โ–ผร”โซร—รบรนโœรฐโซรณโ‰รนโž†ร” ๏ฟฝโœ‰ร–โกร—รบรฑโทร—รบรฏโ——รฐโซร—รบรšโœณรฎโœฑร˜ โค ร”โ†รšโœณร˜โซรšโœธรฎ โœก โœผโ™ฅร—รบรฏโœนรพโรฐโ†รณโ‰รนโœ˜รฎโ–ผรนโ™ฅร—รบรฏโงร–โกรณโœ‘โœ รน โ˜›โรณโ…รฎโ˜…รฏโœโค ร”โซร• รฐโซร—รบรน โœ„โ— โž‰โœ’โœŽโœนโžŽ ร โœŽ โœ โ„ โž‰โœ’โœŽโœนโžŽ รฐ โœ‚ รฎโšรผ โ„ ร  โ‰ rโฎโนโœถโฃ โฟโƒโ‘ข

โœ‚โœ”โทโ˜žโ˜› โ˜›โœฑโท โœขโžรรบร โœชโœ”โœ“ โœtโŠโœ“โœ โ˜›โœ‘โœโœถโ’โœถโœ โœนโœ–โœ•โœ—โœ•โœญโœผ โโœ™โœ˜โœฝรนโž†รฐโซร•โขรนโฌร˜โœปร”โซร•โ…ร•รธร™โšรฎ รณโ‰ร•โœบรฎโ‘ รพโร”โซร•รธรผโรนโž‚ร—โฎร”โซร•โœ›โœš ร˜โœนร™โœณโ˜โˆร•โ…ร—โฎรฎโž ร–โกรณโ‰รš โž‰โœณโœฒโœถโž‹โกรจ โžŽ รฎโรนโทรนโœ‰รฎโ–ผรฏรบรฏโรฎ โ˜›โรณโ…รฎโœš โž‰โœฅโœฏรธโžŽ โ˜žโœตโœฒ โ‡โœถร”โ†รณโ‰รšโดรนโž†ร”โซรณโ‰รน โœฏ โ‡โœตโœฒ รถโœ“โœŒโขร—โ‹รฏโœโค ร”โ†ร• รฐ โœ„

โœš โž‰โ—†โ–ผ โœฏโœบโžŽโœš โž‰โœบโœฏโœบโžŽ โœโœœ โ… โ‘ โœฃโœข โž‰โšโ–ผโฆโžŽ โœ โ–ผ โ˜ž โœฒรฐโซรฏโร”โ†รšโšร–โœคโœšโผร–tโค ร™โšรผโ–ผรšโกร—รบรน โ‡โ…ร”โซรณโ‰รšโ™ รนโž†ร”โซรณโ‰รน โ–ผ ร  โž‰โ—†โœฒโ…โž‹ โฆ รจ โžŽ ร˜โœปรฎโ˜…รฏโรฐโ™ฃรฑโœฑรฐโ†ร•โ…ร—โœบโœ”โ–ผรšโœณรฎโ‘ ร–โกรณโ‰ร— โœ‚ รฐโ†ร•โ…รนโž†รฎ โœ„

โœš โž‰โšโ–ผโฆโžŽ ร โ–ผ โœก โ„ โž‰โšโ–ผโฆโžŽ รฐ โœ‚ รฎโšรผ โ„ ร  โ‰ รฎโรน โœค ร  รฃร–โ–ผรฐโซรณโรพโดร–โœฝโค ร—รบรฏโฒรฎ โขโœปร—โ‘ร–โกรนโœ‰รฎ โ–ผ รœโจรนโž†รฎโรฏโœโ˜›โรณโ…รฎ โœข โž‰โšโ–ผ รœ โžŽ ร โœฒ โ‡โœ‰รšโœณรฎโกร–โž„โ‡โ…รฎโšรผโรนโž‚ร— โœ‚ รฎโ–ผรฑโœฟรฎโร•โขรน โœข โž‰โšโ–ผ รœ โžŽ ร รจ โ‰โœนรถ โœ™โฌรฐโซร•โ…ร–โ‘ รผโœธรฎโร–โ‘ รผโšรฐโปร– โœข โž‰โšโ–ผโฆโžŽ ร โœฒ โ‡โœ‰รšโœณรฎโร–โž„โ‡โœถรฎโšรผ ๏ฟฝรนโร— โœ‚ รฎโ–ผรฑโœฑรฎโ–ผร•โ…รนโ‹ร รจ โ‰โœโ‡โ…ร”โซรณโ‰รšโ™ รนโž†ร”โซรณโ‰รน โ–ผ โ˜ž โœฒ รถ

โœ‚โœ”โทโ˜žโ˜› โ˜›โœฑโท โœขโžร โœขโ‘โœŒโขรณโธโ‡โโ‡โ…ร”โปร–โ–ผร”โ†ร•โœถร–โœฏรฏโฃโค รฎโฃโขโœปร—โ‘ร–โกรนโœ‰รฎโ–ผร•โœบรผโšรฎโ˜…ร˜โœปรฎ โ˜›โ–ผรณโ…รฐโซรนโž‚รšโœณรฎโดร–โกรณโ‰ร—รบรนโž†รฎโกร– โž‰โœฅโœค โœฃ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ โœผ โž‰ โœก โœฃ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ โœผ โž‰โโœท โœฃ โžŽ โœฃโœฐโœฏโœฒโœฑ โœณ รฎโ–ผรน โž‰โœŸโœฅ โœฃ โžŽ โœฃโœฐโœฏโœฒโœฑ โœณร˜โœนรฎโ™ฃรšโœณร™โšรฎโรฏโ‘ฃร–โœฟโ‡โ…ร”โปร–โกร—รบรนโž‚ร— รพโœธร– โœผโ›ร˜ โค รณโ‰ร•โœบรฎโœฟร–โกรณโ‰ร—รบรนโœ‰รฎ โž‰ โœฉ โœฃ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ ร˜โœนรฎโ™ฆรพโร”โซร•โœบรผโ–ผรนโž‚ร—โฎร”โซร•โœถร–โจร˜โœปรฎโ™ฃรšโœณร™โˆโ‡โ…รฐโซรšโกรนโž‚ร—รบรนโร—โฎร”โ†ร•รขรฎโ–ผรนโดร˜โœนรฎโผร˜โœนรฎโ–ผรณโโขโทรพโร”โซร•โœบรผโ–ผรนโž‚ร—โฎร”โซร•โœถร–โ™ฃร˜โœนรฎโจรšโœณร™ ๏ฟฝโ‡โœถรฐโ†รšโกรนโร—รบรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœตโ˜Žโœพโจรฎโรน โœต โœ  ร•โœบร”โ†ร• ร˜โœปร™โž‚รฌโƒร™โ–ผร•โœบร™โ–ผรšโœณร™โšรฎโกร–โ™ รนโž†รฎโรฏรบรฏโรฎโร– โ˜›โรณโ…รฎโž‡โœผโ™ฆโ‡โ…ร”โซรณโ‰รšโ™ รนโž†ร”โซรณโ‰รน โœฏ ร  รฃ โœ„

โœฉ โœฃ โž‰ โœค โœฃ โœฏ โฆ โœท โœฃ โžŽ โœ โœตโœปโœพ โž‰โœบโœฏโœบโžŽ รฎโรน โœฉ โœฃ โž‰ โœก โœฃ โœฏ โฆ โœฅ โœฃ โžŽ โœ โœต โœ  โž‰โœฅโœฏโœบโžŽรฐโซรฏโร”โ†รšโšร–โ‘ ร”โซร• รฐ โœ„ โœฒโฌรงโœงโœฆ โงโœฉโ˜…โœฃ โ… โ‘  โœค โœฃ

โœก โœฃ รง รจ รฎโ–ผรน โœŽโœŽโœŽโœŽโœฆ โงโœฉโ˜…โœฃโ†โ… โ‘  โœท โœฃ qโœชโœฅ โœฃโœค โœฃ โœŽโœŽโœŽโœŽ

รง รจรฎโรนโœ˜รผโšรฎโกร–โ™ รฏ ร—รบรฑโฌร—รบรนโœ‰รฎโร–โ‘ รฎโฃโขโœปร—โ‘ร–โกรนโž†รฎโร•โขรนโœ‰รถโœ˜โœฝรนโœ‰รฐ โ‡โœถรฎโร–โ‘ ร˜โœนรฎโทรฏโรฐโ‘ฅร˜โœนร™โ–ผรฑโœฑร”โ†ร•โœถร–โกรนโรšโœธรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœ„โœซ โ’ โœtโ‹โœ”โท ร‘โœญโœฌ โœฌ โœโœฝโ‘ฉโœฟโฐโœ—โœฎ โœต โœพ ร โœต โœ โžˆโ‹โœทโœนโ€โ——โœตโœคโœฏโ™ฆโœทโœปโŠโโœผโœฑโœทโœนโ™โœปโœทโœนโœตโœธโœท โฉ โžโž†โตโดโœฎโœถโœฒโฅโ‡โ‰โœฒโ–ผโœฎ โœฑโœนโœทโœฟโถ ๏ฟฝโœปโž‡โฅโบโžโ‚โœธqโœถPโ–ผโœทโœปโœตโฃโœ‰โ„โœผโœฑโœฒโ™ โพโทโœดโ…โœพโœนโ™โœนโœฒโดโฟโƒโพโœถโฃโœซ โ’ โœtโ‹โœ”โท รโœฐโœฌ โœทโฎโโœณโทโƒโœƒโฅโทโ‘จโœƒรธโ’โ˜›โŠ โทโœฒโœฑ โทโœปโ’โœดโœณ

Page 47: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โนโ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœฅโœ†โœœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒ ๏ฟฝโœฝโœ‘โœ“โœฆโ——โœฃโœคโœฉโœฌโœ†โœโœŸโญโœ™โœœโœŒ โœฆโœ๏ฟฝ โœ†โœœโœกโœโœกโ˜Žโ˜žโœœโœ† โœ‚โœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™ โœฆโœ“โ˜…โœชโœฉโœฌโœซโœคโœญโœ‚โœ”โทโ˜žโ˜› โ˜›โœฑโท โœขโžรโœŸโœž โœŒโขร—โœฝรฏโรฐโผร–โกรณโ‰ร—รบรนโœ‰รฎโจร˜โœนรฎโ–รพโร”โ†ร•โœบรผโ–ผรนโร—โฎร”โ†ร•โœถร–โ™ฃร˜โœนรฎโ™ฃรšโœณร™โ™ โ‡โ…รฐโซรšโกรนโž‚ร—รบรนโž‚ร—โฎร”โซร• โž‰ โœต โœฃ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ รผโœธร”โ†ร• โœ‚ รฎโรšโž‚รฌโœปรฎ โœ‚ รฎโ–ผรšโšร–โฌรฏโ——รฐโ›รพโร”โซร•โœบรผโ–ผรนโž‚ร—โฎร”โซร• ร˜โœปรฎโœฟรšโœณร™ ๏ฟฝโ‡โœถรฐโ†รšโกรนโร—รบรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœต โ‡โœบรšโœณร” โ‡โœบรšโœณรฎโž‡โœผโ›รฐโ†รฏโร”โซรšโšร–โ†โ‡โ…ร”โซรณโ‰รš โ˜›โ–ผรณโ…รฎโจรฏโรฐโžจร–โกรณโ‰ร—รบรนโž†รฎ โž‰ โœต โœฃ โž‰โœฅโœค โœฃ โ€ โฆ โœท โœฃ โžŽโœณโžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ รผโšร”โ†ร• โœ‚ รฎโรšโรฌโƒรฎ โœ‚ รฎโ–ผรšโšร–โœฟรณโ‰ร•โœบรฎโ™ฆรพโร”โซร•โœบรผโ–ผรนโž‚ร—โฎร”โซร•โžดร˜โœนรฎรšโœณร™โˆโ‡โœถรฐโ†รšโกรนโร—รบรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœฉ โ‡โœบรšโœณร” โ‡โœบรšโœณรฎโทร—รบรฏโœนรพโรฐโ†รณโ‰รน โ˜›โ–ผรณโœ โค ร—รบรฏโ˜รฎ โขโœนร—โ‘ร–โกรนโž†รฎโœ๏ฟฝ โ˜žโฅโœฒ รฎโ–ผรน โœšโทร  รฃ รนโž†รฎโ–ผรฏโ‘ฃร– โ˜›โรณโ…รฎ โœต โž‰โญโ€โ‘ฃโžŽ ร โœฉ โž‰ ๏ฟฝ โ€ โฆโœฐโœš โžŽ รถโœ™โทร™โ–ผรฑโœฟร”โซร•โœถร–โกรนโž‚รšโœณรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœ„โžˆโ‹โœทโœนโ€โ——โœตโœคโœฏโ™ฆโœทโœปโŠโโœผโœฑโœทโœปโ™โœนโœทโœนโœตโœธโœท โฉ โžโž†โตโดโœฎโ…โœฒโ„โ‡โ‰โœฒโ„โœฎ โœฑโœนโœทโœฑโถ ๏ฟฝโœปโž‡โฅโบโžโ‚โœธqโœถPโ–ผโœทโœปโœตโฃโœ‰โ„โœผโœฑโœฒโฌโฝโ›โœดโ…โœพโœนโ™โœนโœฒโ›โฟ ๏ฟฝโ…โฃ

โœœโœซ โ’ โœtโ‹โœ”โท โœข โœฌโ‹โžฌโ‘ฅโžฎโ˜žโ˜› โฐโœบโœƒโœขโ‘ฉโ–ผโ’โ‘งโŠ โœโœถโ’โ„โโฎโฐโœบโœƒ โœฏโœฐโœ”โœซโœทโ—†โทโ˜žโ˜› โ˜›โœชโท โœขโงรโœโœขโฟ โœพโ†โœตโœโŠโ‘โœพโฌโœฐโœณโœฒโ„โ—†โ–ผโœทโœนโœฎโ…โ‡โœถโœฒโดPโ–ผโ‚โœธโœพโœนโœดโขโœฒโœปs โœต โœพ โœฒโ–ผโ‚ โœต โœ  โœฐโœณโœทโœนโœฎโƒโ‚โœโŠโ——โ€โPโ„โœฒโ„โœฐโœ˜โœดโ…โœพโœนโœตโœโŠโ——โœพโฌโœตโœธโœฒโ–ผโŠโ‘โœพโซโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎ

โœต โœ  โž‰โœฅโœฏรธโžŽ ร โœตโœปโœพ โž‰ ๏ฟฝ โœฏ โฆ โœš โžŽ โœพ โฉ โœฒโฅโ—† โœšโทร  รฃโœโž‹ ๏ฟฝ ร  รฃ โœบโคโœโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒ

โœฉ โœฃ โž‰โœฅโœก โœฃ โœฏ โฆ โœฅ โœฃ โžŽ q โœ โœต โœ  โž‰โœบโœฏโœบโžŽ โœทโœนโœฎ โœพโœฑโ‡โ‰โœทโœนโœฎโ…โ—†โœฉ โœฃ โž‰ โœก โœฃ โ€ q โœš

๏ฟฝ โฆ โœฅ โœฃ โžŽ q โœ โœต โœพ โž‰โœฅโ€รธโžŽ โœฒโโ‚โ™ฆโ—†โโœทโœปโœผโœฑโœผโฌโœฒ

โœฉ โœฃ โž‰โœฅโœค โœฃ โœฏ โฆ โœทโ–ผโžŽ q โœ โœต โœพ โž‰โœบโœฏโœบโžŽโž„โงโœพโฌโœดโœถโœตโœธโœฒโ–ผโœผโœฑโ€โ‚โœ‰โ„โœตโœณโœฒโ›Pโ–ผโ‚โœธโœพโ†โœดโœบโœฒโ™ โœฎโœถโœท โณ โœฐโœโ‡โ‰โ€โโ‚โ™ฆโž€ โณ โ— โœพโœนโŠโโœทโœปโœตโœธโœฐโœฝโœทโœนโœฎโžจโœพโผโ‘ง

โœฆ โง โ˜…โœฃโ†โ… โ‘  โœก โœฃ๏ฟฝ โœค โœฃ ร โœ‘ โœฒโ–ผโ‚ โœฆ โงโœฉโ˜…โœฃโ†โ… โ‘  โœท โœฃ qรขโž‰โœŸโœฅ โœฃ qโœ„โœ‚โ˜Žโœ•โœก โœฃ โžŽ

โœค โœฃ ร โœฒโœฒโโ‚โ–โ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โ›โŠโโœฒโ›โœตโœธPโ„โœฐ โณ โŠโโ‚โœธโœพโซโ‚โœโœฒโฅโœฐโœณโ—†โ–ผโœทโœนโœผโœฑโœดโ‰โ‚โœณPโœฟโ‘ง

โœฆ โง โ˜…โœฃโ†โ… โ‘  โœก โœฃโœค โœฃ รโœ†๏ฟฝ โœฒโโ‚ โœฆ โงโœฉโ˜…โœฃโ†โ… โ‘  โœท โœฃ qโœชโœฅ โœฃ

โœค โœฃ ร โœš๏ฟฝ

โ‡โ‘กโ— โœทโœฐโœปโผโŠโโœฒโ™ โŠโ——โœฒโ–ผโœผโœฑโœผโœฑโœฒโœนโฃโœ™โทร™โ–ผรฑโœฑร”โ†ร•โœถร–โกรนโž‚รšโœณรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร• ร˜โซรณโžจรนโœ“โœโ…ร™โšร”โซรš โœ”โ–ผรฑโœฑรฎ โœŒ รถโœโœ– โœ„

โœโœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœโœŒโœโœŽโœโœ‘โœ“โœ’โœ•โœ”โœ—โœ–โœ™โœ˜โœ›โœšโœขโœœโœฃโœ  rโฎโนโœถโฃ โนโœปโ‘ขโœ‡โ‘จโœทโœนโ€โโ‚โ˜…โž‰โœ’โœŽ โœฃ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ โณ โœฎโœถโœฒโ™ โœฐ โณ โ€โโ‚โœณโœฒโ˜…โ—†โโœตโœธโœทโœนโ€โ‘โœฐโœธโœฐโœณโœพโœนโœฎโœปโ‚โœธโœฒโดโ‡โœถโœฒโ›รฃโฒรคโœ”โ‚โœณโœฒโ„โŠโโŠโ——โœฒโ˜…โž€ โณ โœฒ โœฆ โงโœฉโ˜…โœฃโ†โ… โ‘  โœŽ โœฃ รโœ‡โฆ รจ โฃโœ— โœฎโžจโœดโœถโœตโœธโœฒโ–ผโœฎโ…โœพโœนโœฎโœปโ‚โœโ–ผ ร โœ‘โ˜…โ‡โœถโœพโœนโœฎโ…โœฐโ™ rโฎโนโ…โฃ โนโƒโ‘ขโœโœทโœนโœฎโžจโœพโœฑโœดโขโœท โณ โœตโœ˜โ‚โœณโœท โณ โ‚ โœฏ ร  รฃโœฌโ‘ง

โž โผ PโœโœŒ โœค โœ† โ— โž‰โœŸโœŽ โ—— โžŽ โœฏ โœซ q โœโ—— โ… โ‘  โž โผ โœœ โœพ โœ† โœฏ โœซ rโฎโนโœถโฃโ‘ฃโž‡โœนโ‘ขโœฅ โฉ โœฒโ„โ—†โœฟโ–ผโœ“โœฆร โœฒโœฑโž€ โณ โœฒโ–ผโŠโ‘โ—†โโœทโœปโœฎโ…โž€ โณ โœฒโœนsโžrโโนโœถโฃ โนโœปโ‘ขโœฝโ‡โ‰โœทโœนโœฎโ…โœฎโœถโœฒโ™ โœดโขโœท โณ โœตโœ˜โ‚โœณโœท โณ โ‚ โœฏ ร  รฃ โ‘ง

โž โผ PโœโœŒ โœค โž‚ โœ† โ— โž‰โœŸโœŽ โ—— โžŽ โœฏ โœซโœฅq โœโ—— โ… โ‘  โž โผ โœœ โž‚ โœ† โœฏ โœซ โœทโœนโœฎโผโœดโขโœทโƒโœฐโฆโœฒ โ‘ฃ โ—— ร โœŽ โ—— โ–ผโž โ˜… P โ™ โœค โœ† โ— โž‰ โ‘ฃ โ——โ–ผ โžŽโœฎโœฏโœ•โœญ q โœโ—— โ… โ‘  โž โผ โœœ โž‚ โœ† โœฏ โœซ โœดโœถโœตโœณโœฒโ„โœฎโœถโœทโœนโœฎโขโœฐโœคโ–ผโ˜…โœง ร โœ‘ โ–ผโž โผ P โ™ โœค โœ† โ— โž‰โž„โ‘ฃ โ—— โ–ผ โœง โžŽ โœฏรธโžŽ โœซ q โœโ—— โ… โ‘  โž โœ˜โ˜…โœœ โœช

โœฉโœซโœชโœ†โœฉโœฏ โœค rโฎโนโœถโฃ ๏ฟฝโœปโ‘ข

Page 48: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝtโœ‘ โœŽโœฝโœ‘ โœ‚ โœŒโซโœ‚โœโœฃ โœŒโœ”โœญโ˜ŽโœญโœขโœŸโ˜›โœ‚โœขโœŸโˆโœŒโœ”โœ™โœšโœกโฅโœฆโœฅโœŒ โœ™ โœฃโœคโ˜žโœœโœฉโœฌโœ†โœฃโœ‚ โœŸโœโœ–tโœ†โœœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™ โนโœคโœ โœ— โœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœณโ‚ โณ โ‡โ‰โœฒโ„โœฐโœ˜qโ‘จโ‘ฉโ‘จโœดโœบโœทโ†โ‚โœณqโœ’โœ‰โ„โœฐโœณโœฒโ„โœฐโœ˜โœฐ โณ โœตโœฝโŠโ——โœฒโ›โœดโœถโœตโœธโœทโ‘จโ—†โ–ผโœฒโ„โœฐโœธโœฐ โณ โœฐ โœœ โœทโœปโœฎโจโœดโœบโœฒ โณ โ‚โ™ฆโœพโœนโœดโœถโœดโœถโŠโ——โ€โ——โž€ โณ โœฒโ„โœตโœฝโŠโ——โœฒโ›โœตโœณPโฅโœฐ โณ โŠรญโ‚โšโœพโซโ‚โœโ‡ โณ โŠโ——โœฒโ–ผโœผโœฑโœผโœฑโœฒโ™ โนโœถโฃ โนโทโœพ โณ โ– โœตโœณโœฒโ„โŠโ——โœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฐโ›rโโนโœถโฃโ‘ฃโž‡โœนโ‘ขโœโœฒโโ‚โ‘ rโโนโœถโฃ ๏ฟฝโœปโ‘ขโœฝโ—†โโœฒโ˜…โž€ โณ โ€โ‘กโœฎโœถโœท โณ โœฐโ–โ‡โ‰โœทโœปโœฎโœถโœฎโœถโœฒโ›โœดโœบโœท โณ โœตโœ˜โ‚โœธโœท โณ โ‚โœœโ–ผ โœง ร  โž‰โœณโœฒโœถโž‹โšรจ โžŽโœฏโ‘งโ— โž‰โœณโ‘ฃ โ—— โ–ผ โœง โžŽโ— โž‰โœณโ‘ฃ โ—— โžŽ q โœโ—— โ… โ‘  โœทโซโž‰โ—†โ–ผ โœง โžŽโœตโ–โœท โณ โœฐโˆโœฐโฆโœทโœปโœผโœฑโœผโฌโœฒโฅโœฐโˆโœพโ†โŠโ——โœทโœนโœตโšโœฐโ‹โ‡โœถโœพโœนโœฎโ…โœฐโ‹โŠโ——โœฒโ„โœฐโ™ฅโ—†โ–ผโœทโœนโœฎโ…โ‡โœถโ€รญโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโ…โœฐโˆโ‡ โณ โŠโ——โœฒโ–ผโœผโœฑโœผโœฑโœฒโ™ฆโนโœถโฃโ‘ฃโพโ›โž€ โณ โ€โ…โœฎโœถโœท โณ โœฐโˆโ‡โ‰โœทโœปโœฎโœถโœฎโœถโœฒโœโŠโ‘โœพโ™ โ—†โโœทโœปโœฎโ…โ—†โโŠ โณ โœฐโœณโ€โโœทโœปโœฎโœฑโœฐโœณโœท โณ qโ…โœพโ†โ€โโ‚โœณPโ„โœฒโœฐ โณ โœตโœโŠโโœฒโ™ โ—†โโœทโœปโœผโœฑโœดโขโœทโœปโœตโฆโ‚โœธโœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โ–โ‡โ‰โœฒ โ— โฃโœโœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœโœŒโœ๏ฟฝ โœ‘โœ“โœ’โœ•โœ”โœ—โœ–โœ™โœ˜โœ›โœšโœขโœœโœฃโœ  rโฎโนโœถโฃ โนโœปโ‘ข โœŒ โœž rโโนโœถโฃ โฟโƒโ‘ข

โœญโœฏโœฎโ‘ฅโœฎโ…โœทโ†โ‚โœณโœฒโ„โœตโœธโœพโทโœดโ…โœพโœนโœตโ–โ—†โโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœทโ‰โ‡โ‰โ€โโ‚โœณPโ˜…โ‡โ‘กโ— Pโ„โ—†โ–ผโœตโœณโ€โโ‚ โณ โœตโœธโœฒรž P โž‚ โœ†โœฉโœฏโžรช โœดโขโœท โณ โœต โž‰ P โž‚โœซโœช โœ† โœฏ โœพ โž‹โ˜›โ€โ‘งโ€โ˜›โ€โ–ผโž‹ P โž‚โœ„โœ‚ โœ†โœฉโœฏ โƒ โžŽ

โฟ โœท โณ โœต โœค โ˜žโœตโœฒโœฑโ‡โ‰โœทโœนโœฎโ…โœฎโœถPโœนsโงrโโนโœถโฃ โนโœปโ‘ขโœโœฎโœถโœท โณ โœฐโœโ‡โ‰โœทโœนโœฎโ…โœฎโœถโœฒโ™ โŠโโœฒโฅโœฐโœโ‡โ‰โœฒ โณ โ– โ‘ฅโœตโœธโœฒโ–ผโŠโ‘โœพโซโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโขโœฐโœฝโœฐ โณ โ€ โฉ โœพโ†โœฎโƒโ‚โœณโœฒโฅโœฐโ›โ‘งโœฆ โง โ˜…โœŒ โ… โ‘  โž โ˜… โœฒ P โœŒ โž‚โ— โž‰โœ’โœŽโœนโžŽ โœ† โœฏ โœด โœญ ร โž โผ รž โœœ โž‚ โœ† โœฏโžรช โœซ rโฎโนโœถโฃ โœ โ†โ‘ขโœฆ โงโœฉโ˜…โœŒ โ… โ‘  โž โ˜… โœฒ P

โœกโœŒ โž‚โ— โž‰โœŸโœŽโœนโžŽ โœ† โœฏ โœด โœญ ร โž โผ รž โœœ โœก โž‚ โœ† โœฏโžรช โœซ

โคโœโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒโ™ โœทโœนโœฎโžจโœพโทโŠโž‚โ— qโƒโ‘ฉโ‘จโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโœฟrโฎโนโœถโฃ โฟโƒโ‘ขโsโ…โ—†โ†โ— โœฒโ„โœฐโฆโ‚โ–โฑโœฑโ‡โ‰โ€โโœตโœธโœฒ โ— โž‰โœฅโœฏรธโžŽ ร โœฏ โœ โ„ โž‰โœฅโœฏรธโžŽโกsโœถโœทโœปโœฎโผโœพโœฑโ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โ— โž‰ โœค โœŽโœนโžŽโ— โž‰โœŸโœŽโœนโžŽ ร โœค โœ โ„ โž‰โœฅโœค โœŽโœนโžŽโ„ โž‰โœ’โœŽโœนโžŽ

โคโœโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒ โ„ ร โ˜›โ‰ sโ…โ€โโŠโ‘กโœฒโ–ผโ– โ‘จโ€โ‘โœฐโฆโ‚โœณโœฒ โณ โœฎโœถโœฒโดโœโโœทโœปโœฎโ…โ—†โกโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎ โ€โžจโ‚โœธโœฒโ–ผโŠโ——โŠโโœฒโ˜…โž€ โณ โœฒ โœฆ โงโœฉโ˜…โœœ โ… โ‘  โ€โฒโž‰โœฅโœฏรธโžŽ ร โœ‘โ›โœฒโ–ผโ‚โœโ‚โœณโœฒโ–ผโŠโ——โŠโ——โœฒโ˜…โž€ โณ โœฒโ— โž‰โœฅโœค โœŽโœนโžŽโ— โž‰โœ’โœŽโœนโžŽ ร โœค โœ โ€โฒโž‰โœฅโœฏรธโžŽ

โœญโœฏโœฎโ‘ฅโœทโœปโ‘คโ‰โ‚โœณโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โ™ฆโœพโœนโŠโโœทโœปโœตโœธโœฐ

โœฆ โงโœฉโ˜…โœŒ โ… โ‘  โž โ˜… โœฒ PโœกโœŒ โž‚โ— โž‰ โœค โœŽโœนโžŽ โ€โฒโž‰โœ’โœŽโœนโžŽโ˜Žโœค โœ โœ† โœฏโœ„โœด โœญ ร โž โผ รž โœœ โœก โž‚ โœ† โœฏโงรช โœซ

โœฆ โงโœฉโ˜…โœŒ โ… โ‘  โž โ˜… โœฒ PโœกโœŒ โž‚โ— โž‰โœฅโœค โœŽโœนโžŽ โ€โฏโž‰โœŸโœŽโœนโžŽ โœ† โœฏ

โœค โœ โœด โœญ ร โž โผ รž โœœ โœก โž‚ โœ† โœฏโงรช โœซ rโฎโนโœถโฃ โžฉโœปโ‘ขโคโœโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒ โœค โ˜žโœโœฒโจโœทโœนโœฎรฒโœพโœฃโœฆ โง โ˜…โœŒ โ… โ‘  โœค โœŽ รโซโฆ รจโœ’โœฒโโ‚โดโ—†โ–ผโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒ โœฆ โงโœฉโ˜…โœœ โ… โ‘  โ€โฒโž‰โœฅโœฏรธโžŽ ร โœ‘โœนsโขโœทโœนโœฎรฒโœพโ‘ฅโ‡โ‰โœทโœนโœฎโ…โ—†โ˜…โœฒโ–ผโœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœณโ‚ โณ โ‡โ‰โœฒโผrโฎโนโ…โฃ โœ โœนโ‘ขโœ˜โŠโ——โœพ

โŠโโ€โ——โœผโœฑโ€รญโ‚โœธโœฒโ˜…โœฐ โณ โ€ โฉ โœพโ†โœฎโƒโ‚โœธโœฒ โฉ โœตโšโœพโ†โ€โ——โœฒโ›โœฒโ–ผโœฎโžจโ—†โšqโ…โœพโœนโž€ โณ โœฒโ›โœดโœบโœทโœนโ€โ——โœฎโœปโ‚โ™ฆโ‡โœถโœฒโ›โ—†โ–ผโœทโœนโœฎโƒโ‚โœณโ€โ——โœฎ โณ โ€โโ‚โœณPโ˜…โ‡ โณ โœดโœถโœตโœธโœทโ‘จโ—†โ–ผโœฒโ„โœฐโœธโœฐ โณ โœฐ P โ‘ง

โœฆ โง โ˜…โœŒ โ… โ‘  โž โ˜… โœฒ PโœกโœŒ โž‚โ— โž‰โœฅโœค โœŽโœนโžŽ โ€โฒโž‰โœ’โœŽโœนโžŽโœŒโœ† โœฏ

โœค โœ โœด โœญ ร โž โœ˜ รž โœœ โž‚ โœ† โœฏโœค โœ รช โœค rโฎโนโœถโฃ โธโœปโ‘ข

โ‘ฆ โœฒโฅโœฐโœPโ„โž€ โณ โœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฐโ™ rโโนโœถโฃ โžฉโœปโ‘ขโœโœฒโโ‚โ‘ rโโนโœถโฃ โธโœปโ‘ขโšsโœถโœทโœปโœฎโผโ‡โœถPโ„โ‡ โณ โ€โโ‚โ™ฆโŠโž‚โ— Pโ„โ™โœปโœพโœนโŠโโ€โโ‚โœณPโ›โœฐ โณ โ€ โฉ โœพโ†โœฎโƒโ‚โœธโœฒโœฟโ‘งโž โผ รž โœค โœ โœœ โž‚ โœ† โœฏโžรช โœซ ร โž โผ รž โœœ โœก โž‚ โœ†โœฉโœฏโžรช โœซ

โ˜› โณ โ€โžโœฐโœณโ€โโ™โœปโœฎโœถโ€รญโžƒโขโœฒโดโœดโ…โœตโœณPโฅโ—†โโ€โ‘โœฐโฆPโ„โœผโฌโœฒโ„โœฎโƒโ‚โœโž€ โณ โœฒโ™ โŠโ——โœฒโ›โœดโœถโœตโœธโœทโ‘จโ—†โ–ผโœฒโ„โœฐโœธโœฐ โณ โœฐ โœœ โœฒโ„โœฐโฆโ‚โœโœพ โณ โ‚โœณโœทโœนโžโœ‰โœฐโœณโ€โ——โœผโฌโ€โ——โŠโ‘โœพโ†โ€โ——โœตโœณโœฒโ›โ‡โ‘กโ— โœทโœนโœตโšโ‡โ‰โœตโœณโœฒโœ’โœกโœโฃ

Page 49: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โนโœนโžฉ โœ‚โ˜Žโœ„โœฅโœ†โœœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒ ๏ฟฝโœฝโœ‘โœ“โœฆโ——โœฃโœคโœฉโœฌโœ†โœโœŸโญโœ™โœœโœŒ โœฆโœ๏ฟฝ โœ†โœœโœกโœโœกโ˜Žโ˜žโœœโœ† โœ‚โœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™ โœฆโœ“โ˜…โœชโœฉโœฌโœซโœคโœญโ‹โ™ฃโžโœฌโ‹ โ— โœ† โœ โžฅโ™ โžคโœ๏ฟฝโœ„โœ‚โœโžโ˜โžœโœโžโžขโžโงโžกโ‘ฅโž“โœ†โ˜Ž

โœ‡โ‘จโœทโœนโ€โโ‚ P โœฏโœชโœฐโž˜โž‰โ—†โœฒโ…โž‹โˆโœ‘โปโžŽโกโฃโœญโœฏโœฎโžจโ‡โœถPโโžƒโ…โœฎโœถโ€โโ‚

โœ รโœฉรž โœฉ รฅโฌรฃ โœ รฃ โ˜ž โœง โผ โœฉ โž‰ P โžŽโœ•โœซ ร โœฒรฉโœฒโ–ผโ‚ โœง โ„ โœฉ โž‰ P โžŽ โœ  โ…โœฏรง รจโœŽรชโœญโœฏโœฎโผโœพ

โœโœŸโœž โœŸ โœ  โž‰ โœข โž‰โ—†โ–โœณโœฏโœบโžŽโฆโžŽ รโœฉรž โœฉ รฅโœฟรฃ โœ รฃ โ˜ž โ รคโœทโ‘ โ‘ข โ‘  โœฉ โœ  โž‰โœฅโœฏรธโžŽ โœข โž‰โ—†โ–โœณโœฏโœบโžŽโ–รงโœŽรจโžดรชโœพ โฉ โœฒโฅโ—† โœข โž‰โœณโ–โœฐโœฏรธโžŽ ร โœพโœ  โœ โ–โ—† โพ โœฏ ๏ฟฝ โž‰ โ‘ข โœœ โœฌ

โœ โžŽโœคโ–โœณโœฏโงโฃ

โคโœโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒโ™ โŠโโœฒโฅโœฐโœ˜โœดโขโœทโœปโŠโโ‘ฉโ‘จโœฎโœถโœˆโœปโœผโฌโœฒโฅโœฐโœโ‡โ‰โœฒโ™ โž…โ–โœฒโ„โœตโœณโœผโœฑโ€โโ‚โœณโœฒโœŽ โ˜Ž โž‰โœบโœฏโœบโžŽ ร โž‰โญqโโœ‘โปโžŽ โ˜Ž โพ โœฏ ๏ฟฝ โž‰ โœฏ โœ โ™ฃ โžŽ โ– โ˜Žโ–โœณโœฏ โ˜Ž โž‰โ—†โพ โœฏ ๏ฟฝ โž‰ q โœฏ โœ โ™ฃ โžŽโฆโžŽ โœšโทร โœนโœธ

โœโโœทโœนโœตโœธโœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚ โณ โœฎ โœฐโฆโ‘ฉโ‰โœฐโฆโ‚โฃโœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโ›โœทโœนโœตโœณโ‚โœณqโ…โœทโœนโ™โœนโœทโœปโœฎโ…โœพโ†โŠรธโ‡โ‰โœฒโ›โœโโœทโœปโœฎโ…โ—†โกโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโ…โœฐโœโ‡โ‰โœฒ โœŸ โœ  โž‰โฎรฃโœฝโž‹ โœข โž‰โœบโœฏรธโžŽโœณโžŽโ™ โœฐโœณโœพโ†โ‚โœณโ€โ‘โœฐโ–ฒโœโฎโœพโœนโ€โ——โœฐโœธโœพโ†โœฎโƒโ‚โœง โผ โœŽโ˜›โœกโœณโž‰ P โžŽโž‡โ€ โœŽ โ˜Ž โž‰ P โžŽโโœซ รโœŒโ˜ž โœก โ˜Ž โ€ โœš โ‚

โœทโœนโœฎโžจโœพโœถsโ‰โœดโœบโœท โณ โœตโœ˜โ‚โœธโœท โณ โ‚ โœฉ ร  โœโœsโœถโŠโโœฒโ™ โœตโœธPโ„โœฐ โณ โŠโโ‚โœธโœพโ†โ‚โœโœฐ โณ โ€ โฉ โœพโ†โœฎโƒโ‚โ™ โ‘งโ‰โ†โŠโซโฐโœ’โ‹โœขโŠโซโโฎโžฎโƒโ’โ„โžฎ โœขโงรโฎร‘ โโœ˜ร•โ——โ‡โ…ร”โปร–โ–ผรฎ โœ โž‰ โœš โžŽ รโœฉโœง โผ โœฉ โž‰ P โžŽโž‡โ€ โœŽ โ˜Ž โž‰ P โžŽโโœซ รถ โโœ˜ร• รฐโ‘ฅรฐโซรฏโร”โ†รšโšร– โœ„โ‘ โœพโ˜Ž โœฟโ‘กรœ

โœ โž‰ โœš โžŽโœš โ‚ โœŽ โ˜Ž โž‰ P โžŽโœŽโœ โœฌ โบ โœฃ โบโœ‘โœ โœœ โปโšโปq โœ โœฉ โž‰ P โžŽ

โœญโœฏโœฎโผโ‡โœถPโโžƒโ…โœฎโœถโ€โโ‚ โ˜…โœกร โ˜…โœ“โงโœฃโœข โž‰ โœšโ‘ ร โœนโœธ โ˜ž โœ โž‰ โœš โžŽโœŸโœฆร โœฒโƒโžŽโœโœฒโโ‚โ–โœทโœนโœฎโผโŠโž‚โ— โœพโœนโœดโœถโœดโขโœฒโ„โŠโโŠโ——โœฒโ™ โœตโšโœพโ†โœฎโœถโ™โœฑโ‡โ‰โœฒโ˜…โž…โ–โœฒโ„โœตโœณโœผโœฑโ€โโ‚โœณโœฒโ˜…โ‡โ‰โœฒ โœฉ โฃโœญโœฏโœฎโ‘ฅโœฎโ…โœทโ†โ‚โœณโœฒโ„โœตโœธโœพโœ’โœ โœพโ–รโž˜รž โœฉ ร  โœ โ˜ž โ˜…โœกร โœ‘โœนรชโœปโฃโœตโ–โœท โณ โœฐโœฝโœพโœนโŠโโŠโ——โœทโœนโœฎโขโœฐโœโœฎโ…โœท โณ โœฐโœฝโ€โ——โœฎโœปโ‚โœธPโ–ผโœตโœธโœฒโ„โœฐโœธโœฐโฆโœฒโ„โœตโœฝโœพ โณ โ– โœฟโœโโœทโœนโœฎโขโ—†โกโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโขโœฐ โœฉ โ‡โ‰โœฒโœ“โœ โœพ โ—†โœนโ— โœฒโฅโœฐโ–ฒโ‚โ–โฑโฌโ‡โ‰โ€โโœตโœธโœฒโดโŠโโœฒโฅโœฐโ™ฅโœโโœทโœปโœฎโ…โ—†โกโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโ…โœฐ โœฉ โ‡โ‰โœฒโœ“โœ โฉ Pโ–ผโœตโœธโ€รญโžƒโขโœพโœนโœฎโƒโ‚

โœ โž‰โœฌโœ‘โฅโžŽ ร โœง โผ P โœฉ โž‰ P โžŽ โœซโœโœฆร โœฒโœตโ–โœท โณ โœฐโœ˜โœพโ†โŠโ——โŠโโœทโœปโœฎโ…โœฐ โฉ โœทโœนโ€โ——โœตโœฝโž€ โณ โœฒโ™ โœฐโœณโœท โณ โœฐโœฝโ‡โ‰โœฒโ›โ‘คโœบโœทโœนโœฎโœถโœฎโœถโœฒโฅโœฐโœฝqโƒโ‘ฉโ‘จโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโ„โœฐโ„sโ‰โœฐ โณ โœต P sโ‘จโœทโœปโœฎโ‘ฅโœพโทโœดโขโœท โณ โœตโœฝโ‚โœณโœท โณ โ‚ โœฉ ร  โœ โœพ sโ‘จโŠโ‘โœพโทโ—†โ–ผโœทโœนโœฎ โฉ โœฒโ„โœตโœณโ™โœปโœฒโ–ผโœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโ‡โ‰โœฒโœฟโž‰ โœœ โœฃ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ โฉ โœฒโ„โœตโœธโœฐ โณ โœฎโžจโœผโœฑโœท โณโ…โฉ โœฒโ–ผโœผโœฑโœฒโ„โœฎโœปโ‚โ–โญโœฝโœตโœธโœทโซโชโœโœฎโœถโ€โโœฒโ„โœฎโจโœโโœตโšโœพโœนโ—†โโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโœถโœฎโขโœพโ†โ€โ——โœตโœณโœฒโœปโฃโ‹โ™ฃโžโœกโœ  โ— โœ† โœ โžฅโ™ โžคโœ๏ฟฝโœ„โœ‚โœโžโ˜โžœโœโžโžขโžโงโžกโ‘ฅโž“โœ•โœ”

โœ– โ‚โœธโœพโœนโœฎโœปโ‚โ™ฆโ‡โœถโœทโœนโœฎโœถโœฎโœถPโ„โœฒ โณ โœฎโœถโœฒโ˜…โœฐ โณ โ€รญโ‚โœธโœฒโ™ โœฐโ–ฒโ‚โšโœพโซโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฎโ…โœพโ†โ€โ——โœตโœณโœฒ P โ‡โ‰โœฒ โฉ โœพโœนโœตโœณโ€โ‘โœพโ†โ‘คโ…โŠโโœฒโฅโœฐโœฝโœพโœนโŠโPโฅโœพโซโ‚โœธโœทโœนโ€โ——โœตโœณโœฒโฅโœฐโœ˜โตโ›โœพ โณ โœฐโœธโœฐโฆโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโœถโœฎโ…โœฒโ„โœฐโ„sโƒโœทโœปโœฎโ‘ฅโœฎโ…โœทโ†โ‚โœณโœฒโ„โœตโœธโœพโœ˜โœ—โ‰โž‰ โง qโœ™ โžŽ ร โœง โผ P โ—— Pโ˜›โœš โœซโž‚โฃ

โโœ˜โžญโœขโœœโ–โžญโœณโžฏ โœ› โœฏโœโตโ™ โžชโ‹โžšโœงโœฆโœ™โ˜…โงโžธโƒโžณโงโžธโœขโœœโœฃโœ› โžฏโœฅโœคโœฆโœœโœงโœ›โœฉโ˜… โœฎโœ’โœคโœญโœฏโœฎโžจโ‡โœถโ€โโœตโšโœพโทโž€ โณ โœฒโ™ โŠโ‘โœพโœฑโœฐ โณ โ€รญโ‚โœธโœฒ P โœฐโœธโœพโซโ‚โœธโ€โ——โœฐโฆโœโฎโœพโ†โ€โโ‚โœโŠโโœฒโฅโœฐโœ˜qโƒโ‘ฉโ‘จโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโ„โœฐโ™ rโโž…โ˜…โฝโฅโ‘ขโ–ผrโฎโž…โ‘ s โž„โฏโ‘ขโœโœฐโฆโ€โ‘กโœทโœปโœฎ โœพโ‘ฅโ‘งโ€

โœ™โœขโœšโœ›โœœโƒ โ… โ‘  โœ—โ‰โž‰ โœถ โžŽ ร โœฒ rโโนโœถโฃโ——โฝ ๏ฟฝโƒโ‘ข

Page 50: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝtโœ‘ ๏ฟฝโœฝโœ‘โœ“โœ„ โœ„โ˜Žโœžโœฟโœฃ โœกโ˜Žโœ„โœ๏ฟฝโœ—โœ–โœ˜โœŒ โœ–โœฌโœ–โ˜Žโ˜…โœทโ˜ž P โนโœปโธโ€โโ€ โœฃ

โœพ โ—— โœฟโœทโœพโœฃโœพโœš โœฟโœทโœพ โœ—โ‰โž‰ โง q โœ™ โžŽ โœฏโœฃโ†โ… โ‘  โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽ rโโนโœถโฃโ——โฝโœนโฝโปโ‘ข

โ€โโ€โ——โ€ โœฃโœพ โ—— โœฟโœทโœพ

โœฃโœพโœš โœฟโœขโœพ โ˜ž โœ—โ‰โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž ร โœ โœฃโ†โ… โ‘  โž‰ โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽโฆโžŽ rโโนโœถโฃโ——โฝโฅโพโœปโ‘ข

โœพ โฉ โœฒโฅโ—† โœพโœ  รงโœโœŽ รงโโœ‘โ›โœฒโโ‚ โ„ ร  โ‰ โฃ

โโœ˜โžญโœขโœœโ–โžญโž‚โžซ โœ› โœฏโœโตโ™ โžชโ‹โžšโœงโœฆโœ™โ˜…โงโžธโƒโžณโงโžธโœขโœœโœฃโœ›โž”โžซ โœคโœฆโœœ โ–ฒ โ˜… โœฎ โœคโœญโœฏโœฎโžจโ‡โœถโ€โโœตโšโœพโทโž€ โณ โœฒโ™ โŠโ‘โœพโœฑโœฐ โณ โ€รญโ‚โœธโœฒ P โœฐโœธโœพโซโ‚โœธโ€โ——โœฐโฆโœโฎโœพโ†โ€โโ‚โœโŠโโœฒโฅโœฐโœ˜qโƒโ‘ฉโ‘จโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโ„โœฐโ™ rโโž…โœฏโพโœนโ‘ขโ–ผr โ‘ฆ s โž„โฏโ‘ขโœโœฐโœณโ€โ‘กโœทโœนโœฎ โœพโผโ‘ง

โœ—โ‰โž‰ โœถ โžŽโฉโœฏโƒ โ… โ‘  โœถ โ‘ขโœ„โœ‚ โ„ โž‰ โœถ โžŽโœพ โฉ โœฒโฅโ—†โœฅโœฒโฌรงโœ†โ˜Ž รง โœ‘โ›โœฒโโ‚ โ„ ร  โ‰ โฃ

โโœ˜โžญโœขโœœโ–โžญโ‘โ โœฎโทโžถโ–ฒโžณโงโžทโœฏโžธ โžณโงโžทโœโžšโ‰โžปโœถโžณ โชรธโžณโงโžธ โœฆ โœฏโœโตโ™ โžชโ‹โžšโœงโœฆโœ™โ˜…โงโžธโƒโžณโงโžธโ‰โ†โŠโซโฐโœ’โ‹โœขโŠโซโโฎโžฎโƒโ’โ„โžฎ โœขโงรโ‘ร โœช โœก โœโœฟโœ’โœ•โœ’โœ•โœ” โœนโฎร‘โœถรโœžโœโœญโœผโ˜Žโœทโœณโทโœญโ˜› โ˜›โœฑโท โœขโงรโฎร‘ โ‹โœ”รโœžโœ โœขโงร โ โโœ˜ร• รฐ โœ„

โœ„ โง P ร–โ–ผรฐโซรนโž‚ร—โ‘ร–โรพโรฐโซร—รบรน โž‰โœฅโœŽโœšโœ‘โปโžŽโโž‰โœ—โœŽ โž‹ โ„ โžŽ โœค โœฆ โœ† โœ—โœฎโœ™ P ร–โ–ผรฐโ†รนโร—โ‘ร–โรพโรฐโซร—รบรน โž‰โœ—โœŽ โ™ฃโœนโžŽ โจ โœ‘โœq โœŽ โ™ฃ โž‹ โ™ฃ โ„โž‰โŠโœ‘โœqโœฆโœŽรฒโžŽโโž‰โž„โ™ฃโ†qโโœŽ โžŽ โฌรฎโรนโœ˜ร˜โœนรฐโ†ร•โœถร–โ™ รฏโรฎโฌรผโœธรฐโซร– โœ—โ‘จโž‰ โœถ โžŽ รฑโœฑร”โ†ร•โœบร”โซรนโž†ร”โซร•รธรฎโทร˜โœปร™โšรผโรšโœณร”โ†ร—โ‘ร–โšร–โรฐโ†ร•โ…รนโž†รฎโœœโ‡โœถร”โ†รณโ‰รšโœโœถ รฌโ†รšโœณรฐโ†ร•โœบร˜ โœผโœฝร”โซร• รฐ โœ„

โœ„ โง P ร–โ–ผรฐโซรนโž‚ร—โ‘ร–โรพโรฐโซร—รบรน โž‰โœฅโœŽ โ™ฃโœปโžŽโโž‰โœŸโ˜Ž โž‹ โ„ โžŽ โœค โœฆ โœ† โœ—โœฎโœ™ P ร–โ–ผรฐโ†รนโร—โ‘ร–โรพโรฐโซร—รบรน โž‰โœ—โœŽโœšโœ‘โฅโžŽโ‘กโž‰โž„โ™ฃโœฟq โ™ฃโœ โ˜Ž โž‹โœกโ˜Žรฒโž‰โœณโ™ฃโ˜›โ˜Ž q โœ‘โฅโžŽ โ„ โžŽโโœ˜โžญโœขโœœโ–โžญ โœœ โ˜ž โžผโฒโžปโœถโžผโœปโชโœบโžšโ‰โžพโžโžปโ…โžถโœณโžธโœปโžšโ‰โžถโœกโœŒโœ˜โžบโ–โžณ โœคโ™ฆโžณ โชรธโžณโงโžธ โœฆ โœฏโœโตโ™ โžชโ‹โžšโœงโœฆโœ™โ˜…โงโžธโƒโžณโงโžธ

โž„โžโœฒโ‹โ‚โœธqโœถPโ–ผโœทโœปโœตโฃโœ‰โ„โœผโฌโœฒโˆโœฐ โณ โ€ โฉ โœพโ†โœฎโƒโ‚ โฉ โœพโœ˜โœผโœฑโœทโ†โ‚โœณโ€ โฉ โœฒโ„โœตโžโŠโ——โœฒโ™ฅโ—†โšqโœถโœทโœนโ€โโ– โดโ‡โœถโœฒโˆโŠโโ— qโ‘จโ‘ฉโ‘จโœดโขโœทโœนโ‚โœณqโœฝโœ‰โฅโœฐโฆโœฒโ–rโโž…โ˜…โฝโฅโ‘ขโ–ผrโฎโž…โ‘ s โž„โฏโ‘ขโžโ—†โโœทโœปโœผโœฑโœผโฌโœฒโ™ฅqโƒโ‘ฉโ‘จโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโˆโ‡โ‘กโ— Pโโ‚ โณ โ‡โ‰โœฒโ™ฆโ‘งโœก โ‘ฆโฏโžฎโƒโฐโœ›โŠ โ‘จโ˜žโ˜›โœฑโท โœขโžร โœขโ–ผโœŒโ‘กร”โซร—รบรน โœฉ ร  โœ โœพ รฎโ–ผรนโ™ฅร–โ–ผร”โ†ร—รบรน P ร–โ–ผรฐโซรนโž‚ร—โ‘ร–โรพโรฐโซร—โ‘ร–โ–ผรฐโซร•โขรน โ‡ โ˜› โœ˜โœดโ‰ โ‡ โ˜›โ†โœผโ——รด โ‰โ†รถโโœ˜ร• รฐโจรฐโ†รฏโร”โซรšโšร– โœ„

โœ โœค โœ—โœโœŽ โœฃโœพ โ—— โœฟโœทโœพโœชโœฉ โž‰ P โ—— โžŽโœ’โœ‘ โœฏโœฃโ†โ… โ‘  โœ โœ  โž‰โŠโœ‘โฅโžŽโž‡โ€ โœข โœ  โœ› โ€ โ„ โž‰ โœข โžŽ รฐ โœ‚ รฎโšรผ โœ‘โ™ฃ รง โœŽ รงโโœ‘

โœ™โทร™โ–ผรฑโœฟร”โซร•โœถร–โกรนโž‚รšโœณรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœ„โœ— โœฎ โฉ โœฒโ„โœตโฆโ‚ โณ โ‡โ‰โœฒโฅโœฐโœ˜โœดโœถโœตโœธโœทโœนโœดโœถโœตโœธโ€โPโ–ผโ‚โœณPโฅโœฐโœโ‡โ‰โœฒโ„โœฐโœ˜โœดโœบโœทโœนโŠโ——โ‘ฉโ‘จโœฎโœถโœˆโœนโœผโœฑโœฒโ„โœฐโœโ‡โœถโœฒโ›โž…โ™ฆโœฒโ–ผโœตโœธโœผโœฑโ€รญโ‚โœธโœฒโœนsโœถโœทโœปโœฎโžจโœพโฌโŠโ‘โœพโฌโœตโœณโœฒโ„โŠโ——โœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโžจโœฐ โณ โ€ โฉ โœพโ†โœฎโƒโ‚โœณโœฒโœฑโ‘ง

โœง โผ โœฉ โž‰ P โ—— โžŽ โœฉ โž‰ Pโ˜›โœš โžŽ โœซ ร โ‘ โœพโ˜Ž โœฟโœทโœพ โœ โœ  โž‰ โœš โžŽโœš โ‚ โœ— โ˜Ž โž‰ โง q โœ™ โžŽ

โžˆโ‹โœทโœนโ€โ——โœต โœ โœโœทโœโœšโฅโœพโ†โœฎโœถโœท โฉ โถโ——โฝโœนโฝโฅโžฉโฅโบโงโœดโžโฃโ——โฝโ„โžฉโƒโพโ‰โฃ

Page 51: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โฟ ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœฅโœ†โœœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒ ๏ฟฝโœฝโœ‘โœ“โœฆโ——โœฃโœคโœฉโœฌโœ†โœโœŸโญโœ™โœœโœŒ โœฆโœ๏ฟฝ โœ†โœœโœกโœโœกโ˜Žโ˜žโœœโœ† โœ‚โœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™ โœฆโœ“โ˜…โœชโœฉโœฌโœซโœคโœญโฟ โœทโƒโœฐโฆโœทโœปโœฎโ…โœฐ โœฉ โœบ โž‰ P โ—— โžŽ ร โœฉ โž‰ P โ—— โžŽโœขq โœ โž‰โœฌโœ‘โฅโžŽ P โ—— sโœถโœทโœนโœฎโžจโœพโœฑโœพโ†โŠโ——โœทโœนโœตโšโœฐโดโ‘ง

โœงโœ๏ฟฝโœ‚โ˜Žโœ„ โœฃโœพ โ—— โœฟโœทโœพโœชโœฉ โž‰ P โ—— โžŽโœโœ† โœ โœŸโœžโœ  รโœฃ

โœพ โ—— โœฟโœขโœพโœฃ

โœพโœš โœฟโœทโœพ โœง โผ โœฉ โž‰ P โ—— โžŽ โœฉ โž‰ P โœš โžŽโœ•โœซร

โœฃโœพ โ—— โœฟโœขโœพ

โœฃโœพโœš โœฟโœทโœพ โœง โผ โž‰ โœฉ โœบ โž‰ P โ—— โžŽ โฆโœ–โœ โž‰โŠโœ‘โปโžŽ P โ—— โžŽโ–ผโž‰ โœฉ โœบ โž‰ P โœš โžŽ โฆ โœ โž‰โŠโœ‘โปโžŽ P โœš โžŽโœ•โœซ

ร โœ„ โœพ โž‰ โœข โžŽ โฆ โœ„ โœ  โž‰ โœข โžŽ โฆ โœ„ โœ– โž‰ โœข โžŽโœพ โฉ โœฒโฅโ—†โ™ฆโŠโ——โœฒโ„โœฐโœโ‡โ‰Pโ–ผโžƒโ…โœฎโœถโ€โโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฐโ™ฆโœฐ โณ โ€ โฉ โœพโ†โœฎโƒโ‚โœณโœฒโฅโœฐโ›โ‘ง

โœ„ โœพ โž‰ โœข โžŽ ร โœ โž‰โŠโœ‘โปโžŽ โœ 

โœฃโœพ โ—— โœฟโœทโœพ

โœฃโœพโœš โœฟโœทโœพ โœ—โ‰โž‰ โง q โœ™ โžŽ

ร โœ โœฃโ†โ… โ‘  โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽ โœดโ…โœพโœนโœตโ˜…rโฎโนโœถโฃโ——โฝโœนโฝโปโ‘ข

โœ„ โœ  โž‰ โœข โžŽ รโœฃ

โœพ โ—— โœฟโœทโœพโœฃ

โœพโœš โœฟโœขโœพ โœง โผ โœฉ โœบ โž‰ P โ—— โžŽ โœฉ โœบ โž‰ Pโ˜›โœš โžŽโœ•โœซโœ„ โœ– โž‰ โœข โžŽ ร

โœฃโœพ โ—— โœฟโœทโœพ

โœฃโœพโœš โœฟโœขโœพ โœ โž‰โœฌโœ‘โฅโžŽโ–ผโž‰ โœง โผ P โ—— โœฉ โœบ โž‰ Pโ˜›โœš โžŽโœ•โœซ โฆโœŸโœง โผ โœฉ โœบ โž‰ P โ—— โžŽ Pโ˜›โœš โœซโโžŽ

ร โœฒ rโโนโœถโฃโ——โฝโ„โนโƒโ‘ขrโฎโนโ…โฃโโฝโฅโนโœปโ‘ขโˆโ‚โœณโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โ–โœพ โณ โœโฎโœพโœนโ€รญโ‚โ–โž€ โณ โœฒโ›โŠโ——โœฒโ„โœฐโœ˜โœดโœบโœทโœนโŠโ——โ‘ฉโƒโœฎโ…โœˆโœนโœผโœฑโœฒโ„โœฐโœ˜โ‡โ‰โœฒโ™ โž…โ–โœฒโ„โœตโœณโœผโœฑโ€โโ‚โœณโœฒโดโœโโœทโœนโœตโœธโœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚ โณ โœฎโœถโœฒโ›โ‘คโ…โœพโœนโœฐโœณโœฒโดโœทโœนโœตโœณโ‚โœณqโœถโœทโœปโ™โœนโœทโœนโœฎโขโœพโ†โŠโ——โœฒโ™ฆโœฒโโ‚โ–โž€ โณ โœฒ โœฉ โœบโœปโž‰ P โ—— โžŽโœฎโžโ— โœพโทโœดโขโœพโœนโœฐโœโ‡โ‰โœฒโ˜…โ—†โ–ผโœทโœนโœผโœฑโœดโขโœทโƒโœฐโœณโœพโœนโœฎโƒโ‚โœณโœฒโดโœฒโ–ผโœฎโ˜›โœก P โ—— โœกโ†โฃโœ— โœฎ โ—†โโœทโœนโœฎโขโ—†โโŠ โณ โœฐโฆโ€โ——โœทโœนโœฎโžจโ‡โ‰โœฒโ˜…โ—†โ–ผโœฒโ„โœฐโœ˜โœตโœธโœฒโ–ผโœผโœฟโœพโ†โœตโšโž€ โณ โœฒโ„โœฐโ„sโ‘จโ€โโŠโžโœฎโ…โœฒโดโœตโœธโœฒโ„โœฐโฆโ‚โœณโœฒโ›โœดโœถโŠ โณ โœฐโ–โž€ โณ โ— โฑโฌโœผโœฑโœทโœนโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธโœฒโ–ผโœตโœโž€ โณ โœฒโœฟโ‘ง

โœ„ โœ  โž‰ โœข โžŽ ร โœ†โœฃโ†โ… โ‘  โž‰ โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽโœณโžŽ rโโนโœถโฃโ——โฝโ–ผโฟโ‘จโ‘ขโ‘ฆ โœฒโ›โŠโž‚โ— qโ‘จโ‘ฉโ‘จโœดโœบโœทโ†โ‚โœณqโœ’โœ‰โ„โœฐโœณโœฒโฌrโโนโœถโฃโ——โฝ ๏ฟฝโœปโ‘ขโˆโœฒโโ‚โ–โ‡ โณ โœโฎโœพโ†โ€โโ‚โ–โž€ โณ โœฒโœนs P Pโ–ผโ‚โœธโœพโ†โœฎโƒโ‚โœโœฎโœถโœทโœปโœตโœณโœผโœฟโœพโ†โŠโ——โ€โ‘โœฐโฆPโ„โœฒโœนs โ˜ž โœ—โ‰โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž โœ† โœ‘โœนsโ‘จโœทโœนโœฎโผโœพโทโ‡โœถโœทโœนโœฎโ…โ—† โ˜ž โœ— โ˜Ž โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž โœ†โ˜ž โœ— โœ  โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž โœ โœš โ‡ โ™ฃโ‘ โœฒโ–ผโ‚โ™ฆโ‡โ‰โœทโœนโœฎโขโ—†โทโ‘งโœฃ

โœพ โ—— โœฟโœทโœพโœฃ

โœพโœš โœฟโœทโœพ โœง โผ โ˜ž โœฉ โœบ โž‰ P โ—— โžŽ โœฉ โœบ โž‰ P โœš โžŽ โ˜ž โœซโœฉโœ†โœฃ

โœพ โ—— โœฟโœทโœพโœฃ

โœพโœš โœฟโœขโœพ โ‘ โœพ โ˜Ž โœฟ โœ 

โœ โœ  โž‰ โœš โžŽโœš โ‚ โ˜ž โœ— โ˜Ž โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜žโœ†

โœฃโœพ โ—— โœฟโœทโœพ

โœฃโœพโœš โœฟโœขโœพ โ˜ž โœ— โœ  โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž โ‘ โœพ โ˜Ž โœฟ โœ 

โœ โœ  โž‰ โœš โžŽโœš โ‚

โœ† โœ– โœงโœฃ

โœพ โ—— โœฟโœขโœพโœฃ

โœพโœš โœฟโœทโœพ โ˜ž โœ— โœ  โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜žโœพ โฉ โœฒโฅโ—†โ˜…โœ– โœง ร โœž โ‘ โ˜Ž โœฟ โœ โœŒโ˜ž โœฌ โบ โ˜Ž โปโ˜ŽโœŽโœ ร โœง โ„ โœฉ โœบ โž‰ P โ—— โžŽ โœ  โ… รง รจโžดโฃ

โž„โˆโ— qโƒโ‘ฉโ‘จโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโœฟrโฎโนโœถโฃโ——โฝ ๏ฟฝโƒโ‘ขโœโœฎโœถโœท โณ โœฐโœโœพโœปโœฐโœณโœฐ โณ โœตโœธโœฒโดโž€ โณ โœฒโœฟโ‘งโœโœ‘โœโœ™โ˜ž โœฒโœถโž‹โœ“โœ’ โ˜ž โ˜žโฅโœฒโ…โž‹ โ˜ž โง q โœ™ โ˜ž โ˜ž โ˜žโœ•โœ” โ˜ž โœ—โ‰โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž รงโœ–โœ

Page 52: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝtโœ‘โœ๏ฟฝโถโœ‘ โœ‚โœโœฃโœคโœ™โœ™โœโœทโœŒโœ—โ˜ž โœžโœคโœŒโœ—โœ™โœšโœ‚โœขโœŒ โœโœทโœŒโœ—โ˜žโœโœ– โœ‚ โœŒ โœฉโœชโœฃ โ˜…โœกโœโœทโœŒโœ”โœฉโœงโœŒโœ—โœ™โœšโœกโฅโœซโœคโ˜žโ†โœฃโœ„โœ‚ โœ™โœœโœŸโˆโœŒโœ—โœ™ โœญโœขโ˜žโœโœ† โœ‚โœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™โœโœ™โœโœ†โœโœŸโญโ˜žโœโœŒ โฟโขโฝโ‘ฆ โœทโœปโœฎโ…โ—†โดโœฒโ–ผโœฎโžจโœผโœฟโœพ sโ–ฒโœทโœปโœตโœธโœพโœนโœฎโœปโ‚ โ˜ž โœ—โ‘จโž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž โœดโขโœพโ†โœตโ™ โฝโœฑsโœถโœทโœนโœฎโผโœทโœนโ‘คโœถโ‚โœณโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โ™ โ‘งโœฃ

โœพ โ—— โœฟโœขโœพโœฃโœพโœš โœฟโœทโœพ โ˜ž โœ— โœ  โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž ร โœพ

โƒ โ—— โ‘ข โœšโƒ

โœคโœ†โ˜Ž โ˜ž โœ— โœ  โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž โฆ โœพโƒ โ—— โ‘ข โœš

โƒ โœโ˜Ž โ˜ž โœ— โœ  โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž

โœ† โœ โœพโƒ โ—— โ‘ข โœš

โƒโœคโœžโ˜Ž โ˜ž โœ—โ‰โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž โฆ โœพ

โƒ โ—— โ‘ข โœšโƒ โœโ˜Ž โœ‘

โœ† โœ โœฆโœพโ——โœ โœŸ โœš โœฟโœทโœพ โ˜ž โœ—โ‘จโž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž โฆ โœ–โœฑโž‰ โœโ†โžŽ โœข rโโนโœถโฃโ——โฝโฅโž‡โœปโ‘ข

โคโœโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒโโœŽ โ˜ž โœพโœ โœทโœนโœฎโžจโœพ โœ–โœฑโž‰ โœโœนโžŽ โœขรฒร โœ†โœฃโ†โ… โ‘  โž‰ โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽโฆโžŽ rโโนโœถโฃโ——โฝโ‘ง๏ฟฝโƒโ‘ข

โœฒโโ‚โงโœดโขโœพโ†โœตโ‘กโŠโž‚โ— qโ‘จโ‘ฉโ‘จโœดโขโœทโœนโ‚โœณqโœฝโœ‰โฅโœฐโฆโœฒโœฏrโฎโนโœถโฃโ——โฝโฅโพโœปโ‘ขโœบโœทโœนโœฎโ™ โœพ โœž โœฃโ—— โœฟโœทโœพ โœž โœฃโœš โœฟโœทโœพ โ˜ž โœ—โ‰โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž ร โœ โœฃโ†โ… โ‘  โž‰ โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽโฆโžŽรธโœผโœฟโœพโœนโ€โ——โœฐ โœโœฝPโโ‚โšโœพโ†โœฎโƒโ‚โ˜โœพโ†โœตโœธโ‘คโœถโ€โโ‚โœณโœตโšโœพโ†โ€โ——โœตโœณโœฒโ„โœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœดโขโœฒโ–ผโ‚โœณโ€โโ‚โ„sโœถโœทโœปโœฎโžจโœทโœนโ‘คโ‰โ‚โœธโ€โโœฒโ„โœฎโœปโ‚โ™ โ‘ง โœ โœฃ

โœพ โ—— โœฟโœทโœพโœฃโœพโœš โœฟโœทโœพ โ˜ž โœ—โ‰โž‰ โง q โœ™ โžŽ โ˜ž ร โœ†โœฃโ†โ… โ‘  โž‰ โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽโฆโžŽ rโโนโœถโฃโ——โฝ โœ โœนโ‘ข

โž„โžโœฒโฅโœฐโœ˜โœตโœณโœฒโ„โŠโ——โœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฐโ›rโฎโนโ…โฃโโฝโปโž‡โœนโ‘ขโšsโ˜rโฎโนโœถโฃโ——โฝโ‘ง๏ฟฝโƒโ‘ขโœโœฒโโ‚โ‘ rโฎโนโ…โฃโโฝ โœ โ†โ‘ขโ™ฅโœฎโœถโœท โณ โœฐโ–โ‡โ‰โœทโœนโœฎโ…โœฎโœถโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœโŠโโœฒโ™ โœตโœธPโ„โœฐ โณ โŠโโ‚โœธโœพโ†โ‚ โฉ โœท โณ โŠ โณ โฃโ‹โ™ฃโžโœฝโœ– โœก โžฅโ˜…โž™โœ—โœŒโ˜…โžœโœ˜โž“โ˜žโ˜›โ˜…โžœโœโž™โœ๏ฟฝโœฝโžœโœฅโœŒโ˜…โžœโœ˜โž“โฏโž โžฃโโžœ โ†•โœ™โžฅโ˜…โžก โœŒโ˜…โžœโ–โ†•โœ™โžœโœโž™โ‘ โžคโœโœŒ โž“โฏโžฅโœโœŽรฉโž™โ‘ฅโ†”โ–ผโžœโœโž™โœ’โœ‘โปโž“โฒโž› ๏ฟฝโ™ฅโžคโ˜โ†”โโžฅโ˜…โž™โผโž™โผโž›โ˜…โ†”โกโž“โฒโžœโโœ˜โžญ โœ โœ˜โžญโœณโžฏ โœฃ โžทโ–โžชโœโžทโœโชรธโžพโœฅโœคโ™ฆโžบโœกโžšโœงโœฆโ–โžพโžโžชโ™ฅโžปโœงโ˜…โ‘กโด โžณโนโตโœฏโžปโ…โžถโฆโžทโœฅโชโ‘กโžถโญโตโœฏโžผโฒโžฝโœก โ‘ฆโฏโžฎโƒโฐโœ›โŠ โ‘จโ˜žโ˜›โœฑโท โœขโžรโœŸโœž โœŒโœบรณโธโ‡โโ‡โ…ร”โปร–โ–ผร”โซร•โ…ร– โ˜›โ–ผรณโ…รฎ โœฉ ร  โœ โœพโจรฎโ–ผรนโœกโ˜›โ–ผรณโ…รฎ P ร–โ–ผรฐโ†รนโร—โ‘ร–โรพโรฐโปร–โšร–โ–ผรฎ โ‡ โ˜›โœ›โœ˜โœดโ‰ โ‡ โ˜›โ†โœผโ——รด โ‰โœนรถโœด ร”โปร–โ–ผร”โ†ร•โœถร– โœœ โœฃ โž‰โšโ–ผโฆโžŽ ร โœ‘โ– โœฃ โœฅ

โœฃ โž‚โ˜…โœงโœพโƒโ€โœฟโœทโœพ โœฉ โž‰ P โ—— โžŽ rโโนโœถโฃโ——โฝโ„โžฉโƒโ‘ข

รฐ โœ‚ รฎโšรผ โ– โœฃ โœ  โœฏโœฃโ†โ… โ‘  โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽ รถโœŒ รฏโร”โซรšโšร–โ‘ ร”โ†ร• รฐ โœœโœคโœฃ โq โœโœฃโ†โ… โ‘  โœ โž‰โœฌโœ‘โฅโžŽ โœ’ โœ›รฐ โœ‚ รฎโšรผ โœ โž‰โŠโœ‘โปโžŽ ร โœง โผ P โœฉ โž‰ P โžŽ โœซ รฎโ–ผรน โœ’ โœ› รณโ‰ร•โž รฑโœฟร”โซรณ โœ‚ รฎโ–ผรฑโœฑรฎโ–ผร•โ…รนโœ rโœรšโœธร”โœ•โœ”โ‹ร•โ…ร—โฎรฎโ–ผร•โทรพโšรšโœธรฐโœนรผโ–ผรนโร—โฎร”โ†ร•โ…ร•โœบรฐโ†ร—รบรšโœณรฎโœฑร˜โœนรฎโœโ‡โœถรฐโ†รšโœณรฐโซรฑ โœ”โ–ผรนโรšโœณรฎ โœŽ โ˜ž โœพ

โœ รถ

โœ“ โฐโœ’โŠโซโฐโ‚โœท โœท โœโ…โโšโŠ โท โœขโžรโร‘ รดโ˜รฎโœฏรฑ โœ˜โ–ผรฑโœฟรฎโดรšโœณร™โกร–โกรณโ‰รฏ รนโž†รฐโซรนโ‹รฎโร–โšรนโ™ฅร”โœปรตโรนโž†รฎโ–ผร•โ…รณ โ˜›โ–ผรณโ…รฐโซร•รธร˜ P ร–โรฐโ†รนโร—โ‘ร–โรพโรฐโ†ร—รบรนโˆรฏโœโค โœโœคโœ‘ โ‡โ…ร”โซรนโœฅโœโœฆโœ”โร–โ–ผรฎโœ™โ‡ โ˜›โœŽโœ– โ‰ โ‡โœ“โœ™ โœผโ——รดโ‚โ‰โทรฎโ–ผรน โ˜›โ–ผรณโ…รฐโซร•โœบร˜โ– โœฃ โœ  โœฏโœฃโ†โ… โ‘  โœ โบ โœพ โ‘ข โœ‚ โป โบ โœ  โ‘ข โœ‚ โป โœข โœ  โ‘ข โœ‚ โ„ โž‰ โœข โžŽ รถโœ™โทร™โ–ผรฑโœฟร”โซร•โœถร–โกรนโž‚รšโœณรฐโซรนโž‚ร—โฎร”โซร• โœ„โคโœโœฒโ„โ—†โ–ผโ€โœโœฒโฅโœฐโ–ฒโ‚ โณ โœฎโœถโœฒโผโ—†โโœทโœนโœฎโขโœฐโฆPโฅโž€ โณ โœฒโ–ผโœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโ‘ฅโ‡โ‰โœฒโผโŠโ——โœพรฒโœดโœถโœตโœธโœทโœนโœดโœถโœตโœธโ€โPโ–ผโ‚โœณPโจโนโ…โฃ โพรฒโœฐโฆโœดโœบPโ„โ—†โ–ผโ€รญโžƒโœบโœพโ†โœฎโƒโ‚ โณ โœฎโ…โœฒโ‘ฅPโฅโž€ โณ โ€ โฉ โœพโ†โŠโ——โœฒโ–ผโœฎโขโ—†โโœฒโจโœฒโ„โœฎโƒโ‚โœณโœตโœธโœฒโจโŠโ——โœฒโ„โœฐโฌqโ‘จโ‘ฉโƒโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโ„โœฐrโฎโž…โ‘ โฝโฅโ‘ขโœฝโœฒโโ‚โ˜…rโโž…โœฏโพโœนโ‘ขโโฃโโœ˜โžญ โœ โœ˜โžญโž‚โžซ โœฃ โžทโ–โžชโœโžทโœโชรธโžพโœฅโœคโ™ฆโžบโœกโžšโœงโœฆโ–โžพโžโžชโ™ฅโžปโœงโ˜…โ‘กโด โžณ โœคโ™ฆโžณโž”โžปโœถโžพโœฐโœคโ™ฆโžบโœฅโชโœบโžšโœถโžถโ–ฒโžชโ™ฅโžท

โž„โงโœพโœฑโ‡โ‰Pโ–ผโœผโœฑโœทโœปโœฎโ…โœฐโ–ฒโ‚โœธโœตโœธโœพโ†โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโžจโ‡ โณ โ‚โœณqโœถPโ„โœทโœนโœต โœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโ›โนโœถโฃ โฟโœฑโ‡โœถPโ„โ—†โโœท โณ โŠโ——โœฒโ›โ‡ โณ โ‚โœธqโœถPโ–ผโœทโœปโœตโฃโœ‰โ„โœผโœฑโœฒโ›โ‡โœถโœฒโ™ โœตโœณPโฅโ‡ โณ โ—†โกโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโผโœฐ โณ โ€ โฉ โœพโ†โœฎโƒโ‚โ™ โ‘งโœก โ‘ฆโฏโžฎโƒโฐโœ›โŠ โ‘จโ˜žโ˜›โœฑโท โœขโžร โœปโ– โœŒโ‘กร”โซร—รบรน โœฉ ร  โœ โœพโ™ฃรฎโ–ผรนโ™ฅร–โ–ผร”โ†ร—รบรน P ร–โ–ผรฐโซรนโž‚ร—โ‘ร–โรพโรฐโซร—โ‘ร–โ–ผรฐโซร•โขรน โ‡ โ˜› โœ˜โœดโ‰ โ‡ โ˜›โ†โœผโ——รด โ‰โ†รถโœ™โทร™โœณโ˜โˆร•โขร—โ‘ร–โšร–โร”โ†ร•โœถร– โœœ โœฃ โœŸ โœพโœฅโ‡โœถรฐโ†รš โœ„ โœœ โœฃ โœŸ โœพ โž‰โ—†โ–ผโฆโžŽ ร โœ‘โ– โœฃ โœฅโœฃ โž‚โ˜…โœงโœพโƒโ€โœฟโœทโœพ P โƒ โœโ™ฆโ–ผ ร  โผ โœฒโœถโž‹โˆโœ‘ โœซ rโโนโœถโฃโ——โฝโ„โธโƒโ‘ข

Page 53: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โฟโƒโพ โœ‚โ˜Žโœ„โœฅโœ†โœœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒ ๏ฟฝโœฝโœ‘โœ“โœฆโ——โœฃโœคโœฉโœฌโœ†โœโœŸโญโœ™โœœโœŒ โœฆโœ๏ฟฝ โœ†โœœโœกโœโœกโ˜Žโ˜žโœœโœ† โœ‚โœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™ โœฆโœ“โ˜…โœชโœฉโœฌโœซโœคโœญรฎโรนโœรšโœณรฐ โ‡Pโ‡โœถรฎโ–ผรฏโร”โ†ร•โœถร– โ˜›โ–ผรณโ…รฎ โœœโ„โœฃ รฎโร–โกรนโœ˜ร˜โœปร™โ—†โ˜โ™ฅร•โ…ร— โ‡โ…รฐโซรš rโฎโนโ…โฃโโฝโฅโžฉโœปโ‘ข รถโœŒโขร—โทรฏโรฎโกร– ร˜โซร—โ‘ร–โกรนโรšโกร—โฎรตโ–ผรณโ‰รนโž‚ร—โฎร”โซร•โœถร–โ——โ˜โˆร•โขร—โฎรฎโกร– ๏ฟฝโฆร˜โซร—รบรฑโœฟรฎโ–ผร•โœถร–โกร—โฎร”โซร•โขร•โœบรฎโ–ผรฏรบรฏโรฎโกร– ร˜โœนรฎ โœœโœคโœฃ

โœŸ โœพ รผโšร”โซร• โœ‚ รฎโ–ผรšโรฌโœปรฎโ–ผร•โ…รนโœณโœผโ™ฃรฐโซรฏโร”โ†รšโšร– โœœโœคโœฃ รผโšร”โซร• โœ‚ รฎโ–ผรšโรฌโœปรฎโ™ฃรพโรฐโซร—โฎรตโ–ผรฏโรฎโรฑโœฟรฎโ–ผร•โ…รนร˜โœนรฐโ†ร•โœถร– โœ—โ‘ฅโž‰ โผ โœฒโ…โž‹โˆโœ‘โœ’โœซโโžŽ โœ‚ รฎโ–ผรšโšร–โ–รณโ‰ร• โ‡โœบรšโœณร”โฅรผโšรฎโกร–โšร–โกรณโ‘จร– โœ โž‰โŠโœ‘โฅโžŽ โœœ โž‰โ—†โ–ผโฆโžŽ ร”โ†รซโจรฏโรฎโร–โœฏร˜โซร—โ‘ร–โกรนโž‚รšโกร—โฎรตโรณโ‰รนโž‚ร—โฎร”โซร•โ…ร–โœทโ˜โˆร•โขร— ๏ฟฝโฆร˜โซร—รบรฑโœฟรฎโร•โ…ร–โกร—โฎร”โซร•โ…ร•รธรฎโรฏรบรฏโ——รฎโกร–โ™ ร˜โœนรฎ โœœ ร–โ–ผร”โซร•โ…รนโฒรฏโรฎโร–ร˜โซร—โ‘ร–โกรนโž‚รšโกร—โฎรตโรณโ‰รนโž‚ร—โฎร”โซร•โ…ร–โ›รฏรญร—รบรฑโทร—รบรนโž†รฎโกร– โ˜›โ–ผรณโ…รฎโทรผโšรฎโ–ผรฏรบรฏโรฎโร–โทร˜โœนรฎ โœœ โœฃ โœŸ โœพ โ˜›โ–ผรณโ…รฐโซร•รธร˜ โœข โœ รจ รถ

โคโœโœฒโ˜…โ‚โœณqโ…Pโ–ผโœทโœนโœต โœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโ‘ โœพ โœผ โœตโœณโœผโœฑโœฒโ‘ โž€ โณ โœฒโ‘ โœฐโœณโ€โฏโœทโœนโœฎโž โœพโ†โœตโœธโœตโœธโ€ โฉ โœฒโ˜…โฑโœฟโœผโœฑโœทโœนโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธโœฒโ–ผโœตโ–โŠโ——โœฒโ˜…โ‚โœธqโœถPโ–ผโœทโœปโœตโฃโœ‰โ„โœผโœฑโœฒโ™ฃโฝโฅโพโœถโฃ โพโœฑโ‡โœถโœพโœนโœฎโ…โœฐโ–โŠโ——โœฒโทโ—†โ„โœพโœนโœฐโ™ฆโœดโ…โœพโ†โœตโœณโ‚โœณโ€โ‘โ—† โณ โŠโ——โ€โ——โœฒโ–ผโœตโ–โœทโœณโœปโœฉ โž‰โœฅโœฏรธโžŽ ร โœฏโž โœพโœนโŠโโœทโœปโœตโœธโœฐโœฝโ™โœปโœตโœ๏ฟฝโœปโ—†โโœฒโ›โฑโฌโ—†โ–ผโœฒโ›โœตโœณPโฅโœฐ โณ โŠโโ‚โœธโœพโ†โ‚โ„sโ‰โ€โ——โŠโงโœฐโœณโœฒโ–ผโœตโšโœพโ‘ โœผโœฑโœทโœนโœฎโƒโ‚โœธโœตโœณPโ›โœดโœบโœท โณ โœตโœโ‚โœธโœท โณ โ‚ โœฉ ร  โœ โœพ โฃโโœ˜โžญ โœ โœ˜โžญโ‘โ โ–ฒโžดโžพโœทโดโœฌโžชโœโžทโ™ฆโžธโœปโžšโ‰โžปโœถโžผโฏโžšโ‰โžถโฆโžชโ™ฅโžท โœคโ™ฆโžบโœกโžšโœงโœฆโ–โžพโžโžชโ™ฅโžปโœงโ˜…โ‘กโด โžณ โโœโžญโœขโœœ

โœ‚โ˜Žโœ„ โœŒโœโœ† โœ”โœŸโœž โœ„ โœŒโœกโœ  โœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœโœŒโœ†โœ‘โ˜žโ˜› โœŒโœโœŒ โœž โœ–โœ™โœ˜ โœ”โœŸโœ โœŒ โœœ โœžโ˜…โœ”โ˜…โœžโœโœ 

โคโœโœทโœนโœฎ โฉ โœฒโ„โœตโœณโ™โœปโœฒโ–ผโœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโœฏโ‡โ‰โœฒโฅโœฐโœโŠโโœทโœปโ€โ——โœฐโœฝโžƒโขโœฎโœถโ€โ——โœฐโฆโžโž†โ‡โ‰โ€โโœผโœฑโœฒโ„โœฎโ…โœฐโฆโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฎโœถโœฒโ–ผโŠโ——โŠโโœฒโฅโœฐโœ‡โ‘จโœทโœนโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโƒโ‚ ๏ฟฝ ร โœนโœธโœปโœบ โœฒโโ‚โ‘ โž‰โ—†โ–ผ โœพ โž‹โ˜›โ€โ‘งโ€โ˜›โ€โ„โž‹โœโ–ผ โœ‚ โžŽ ร  โผ โœฒโœถโž‹โœบโœ‘โœ’โœซ โœ‚ โฃโคโœโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒโ‹โŠโโœฒ โฉ โœฒโ„โ—†โโ‚โœณโœฒ โณ โœตโ™ฅโž‰ P โž‚โœซโœช โž‹โ‘งโ€โ˜›โ€โ˜›โ€โ„โž‹ P โž‚โœโœŽ โžŽโœบโœฒโ„โœฐโฆโ‚โฏโตโ›โœพ โณ โœฐโœณโœฐโœณโ€โโœฒโ„โœฎโžsโโ€โ——โŠโ†โœฒโ–ผโœฎโ™ โœฒโฅโœฐโ–ฒโ‚โงโ‡โœถโœฒโ‹โœผโœ—โœฝโ„โœผโœฑโœฒโ™ฅโ‡ โณโ™ โฉ โœฒโฅโ—†โกโ‚โœธโœฒ โณ โœตโˆโž‰ โœœโœคโœฃ โœŸ โœพ โž‰โšโ–ผ โœพ โžŽโกโž‹โ˜›โ€โ‘งโ€โ˜›โ€โ„โž‹ โœœโœคโœฃ โœŸ โœพ โž‰โšโ–ผ โœ‚ โžŽโฆโžŽโโฃโฟ โœทโœปโœฐโœณโœทโœนโœฎโ…โœฐโœปโœ– โœฃ โž‰โšโ–ผ โ—— โž‹โœโ–ผ โœš โžŽ ร โœง โผ โœœโ„โœฃ โœŸ โœพ โž‰โ—†โ–ผ โ—— โžŽโž‡โ€ โœœโ„โœฃ โœŸ โœพ โž‰โ—†โ–ผ โœš โžŽ โœซโงโœฒโ–ผโ‚โœขโœ–โœฑโž‰โšโ–ผ โ—— โž‹โœโ–ผ โœš โžŽ ร โœ™โœขโœšโœ›โœœ โœฃโ†โ… โ‘  โœ– โœฃ โž‰โšโ–ผ โ—— โž‹โœโ–ผ โœš โžŽโโฃโ˜› โณ โœพโ†โœฎโขโ‡ โœข โœ รจ sโ‘กโŠโ‘โœพโ™ฃโœโโœทโœปโœฎโ…โ—†โกโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎ โ—†โ–ผโœพโœนโœตโœธโœพโœปโ—†โกโ‚โœธPโ–ผโœตโœธโ€โ——โœฐโฆโ‚โœณโ€โ‘โž€ โณ โœฒโทโ‡โ‰โœฒ โž‰ โœœ โœฃ โœŸ โœพ โž‰โšโ–ผ โœพ โžŽโโž‹โ˜›โ€โ‘งโ€โ˜›โ€โ–ผโž‹ โœœ โœฃ โœŸ โœพ โž‰โšโ–ผ โœ‚ โžŽโฆโžŽโ›โ—†โ–ผโœทโœนโœฎ โฉ โœฒโ„โœตโœณโ™โœปโœฒ โฉ โœฒโ„โœตโœธโœฐโดโ—†โโœฒโ„โŠโโŠโ——โœฒโฌโ‡โžโ— โณ โœฎโฉ โœฒโฅโ—†โกโ‚โœณโœฒ โณ โœตโœโตโ›โœพ โณ โœฐโœธโœฐโฆโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโžจโ—†โโœฒโ„โœฎโƒโ‚โœณโœตโœธPโดโ‡โ‰โœฒโดโœผโœฟโœพโซโ‚โœธโœตโœณโ€โ‘โ—†โโœฒโ›โ‡โ‰โœฒโ™ โ—†โโœท โฉ โœพโ†โœตโœธโ€โ‘โœพโ†โœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโทโž‰โœ—โœ–โœฑโž‰โ—†โ–ผ โ—— โž‹โฃโ–ผ โœš โžŽโฆโžŽ โœ‚ โ——โœ โœŸ โœš โœฟโœทโœพ โฃ โœตโ–โœทโœนโ‚โœณโœทโœปโœฎโ…โœฐโ™ โž‰ โœœ โž‚ โœช โž‹โ˜›โ€โ‘งโ€โ˜›โ€โ„โž‹ โœœ โž‚ โœŽ โžŽโœฝโ—†โโœฒ โฉ โœฒโ„โ—†โกโžโ‚โœณโœฒ โณ โœตโ„โฃโฟ โœทโœปโœฐโœณโœทโœนโœฎโ…โœฐโœ„ โœฅโœฃ โž‚ โœค โœง ร โœฅ

โœฃ โž‚ โœค โœงโœพโœ‘ โœฟโœทโœพ P โœ‘ โž‰ โœœ โœฃ โœŸ โœพโœร โœ„ โœฅ

โœฃ โž‚ โœค โœงโ– โœฃ โžŽโคโœโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒ โœ– โœฃ โž‰โšโ–ผ โ—— โž‹โœโ–ผ โœš โžŽ ร โœ‘โ™ฃ โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽ โž… โœง โœ˜ โœ„ โœ โœฅ

โœฃ โž‚ โœค โœง โœค โฆโœ†โœง โœ˜ โœ„ โœ โœฅโœฃ โž‚โœ“โœ’ โœง โœค q โœง โœ˜ โœ„ โœ โƒ โœฅ

โœฃ โž‚ โœค โœง โ‘ข โœฅ โœฃ โž‚โœ“โœ’ โœง โƒ โœค โž†โœ— โœฎ โฉ โœฒโ„โœตโฆโ‚ โณ โ‡โ‰โœฒโ™ โŠโž‚โ— qโƒโ‘ฉโ‘จโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโœฟrโฎโนโœถโฃโ——โฝโฅโพโœปโ‘ขโšsโœถโœทโœปโœฎโผโœพโผโ‘งโœง โœ˜ โœ„ โœ โœฅ

โœฃ โž‚ โœค โœง โœค ร โœฅโœฃ โž‚ โœค โœงโœพโœ‘ โœฟโœทโœพ โœฅ

โœฃ โž‚ โœค โœงโœพโœ” โœฟโœขโœพ โœ—โ‰โž‰ โ€โœ“q โ‰ โžŽ

โœฏโœฃโ†โ… โ‘  โœฉ โ€ โผ โœข โ–ผ โ—— โœซ โœ  โœ› โ„ โž‰ โผ โœข โ–ผ โ—— โœซโโžŽโœฏโœฃโ†โ… โ‘  โœฉ โ€ โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โผ โœข โ–ผ โ—— โœซโโžŽโˆโ–ผ โ—— โœ  โœ›โœ‘โ™ฃ โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽ โœง โœ˜ โœ„ โœ โœฅโœฃ โž‚ โœค โœง โœค โœฏโœฃโ†โ… โ‘  โœฉ โ€ โ„ โž‰ โผ โœข โ–ผ โ—— โœซโโžŽโ™ฃtโ€ โ„ โž‰ โœข โžŽ โ–ผ โ—— โœ  โœ›

โœญโœฏโœฎโผโœพโœฑโ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โ›โ‡โ‘กโ— โณ โœฎโœถโœฒโ™ โœดโ…โœพโœนโœตโฆโ‚โ™ โ‘ง โœ– โœฃ โž‰โšโ–ผ โ—— โž‹โœโ–ผ โœš โžŽ โœโœฃโ†โ… โ‘  โœฉ โ™ฃ โž‰โšโ–ผ โ—— โœ  โœ› โฆ โ–ผ โœšโœ  โœ› โฆ โ˜ž โ–ผ โ—— q โ–ผ โœš โ˜ž โœ  โœ› โžŽ

โœ— โ‚โ™ฆโ‡โ‘กโ— โœพ โณ โ‚โœธโœตโœณโœฒโ›โœดโ…โœพโœนโœตโฆโ‚โ™ โ‘ง โœ– โœฃ โž‰โ—†โ–ผ โ—— โž‹โฃโ–ผ โœš โžŽ โœโœฃโ†โ… โ‘  โœ–โœฑโž‰โ—†โ–ผ โ—— โž‹โฃโ–ผ โœš โžŽโ‡โ‰โœทโœนโœฎโขโ—†โœฏโœทโœปโœฎโผโœพโผโ‘ง โœ–โœฑโž‰โšโ–ผ โ—— โž‹โœโ–ผ โœš โžŽ ร โœฉ โ™ฃ โž‰โšโ–ผ โ—— โœ  โœ› โฆ โ–ผ โœš

โœ  โœ› โฆ โ˜ž โ–ผ โ—— q โ–ผ โœš โ˜ž โœ  โœ› โžŽโœญโœฏโœฎโผโœพโœฑโ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โดโŠโโœฒโ™ โœตโœธPโ„โœฐ โณ โŠโโ‚โœธโœพโ†โ‚ โฉ โœท โณ โŠ โณ โฑโฌโœฐโœธโœพ โฉ โœทโœปโ€โโœตโดโ‘ง โœœ โœฃ โโœคโƒq โœ โœผ โœฉ โœ’ โœ›

Page 54: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝtโœ‘โœ๏ฟฝโถโœ‘ โœ‚โœโœฃโœคโœ™โœ™โœโœทโœŒโœ—โ˜ž โœžโœคโœŒโœ—โœ™โœšโœ‚โœขโœŒ โœโœทโœŒโœ—โ˜žโœโœ– โœ‚ โœŒ โœฉโœชโœฃ โ˜…โœกโœโœทโœŒโœ”โœฉโœงโœŒโœ—โœ™โœšโœกโฅโœซโœคโ˜žโ†โœฃโœ„โœ‚ โœ™โœœโœŸโˆโœŒโœ—โœ™ โœญโœขโ˜žโœโœ† โœ‚โœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™โœโœ™โœโœ†โœโœŸโญโ˜žโœโœŒ โฟโƒโนโžงโงโœฒโ„โœฎโ…โœฐโฆโ€โ——โœทโœนโœฎโžจโ‡โ‰โœฒโ™ฃโž‰ โœœโœคโœฃ โœŸ โœพ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณโžˆโ™ฆPโ„โœตโœณโ€โโžƒโ…โœทโœนโœฎโขโœฐโœฝโž€ โณ โœฒโ™ฃโž‰ โœœโœคโœฃ โœŸ โœพ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ โœฐโœธโœพโซโ‚โœธโ€โ——โœฐโฆโœโฎโœพโ†โ€โโ‚โœโŠโโœฒโฅโœฐโœ˜qโƒโ‘ฉโ‘จโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโ„โœฐโœโ‡ โณ โŠโ——โœฒโ–ผโœผโœฑโœผโœฑโœฒโ˜…โนโœถโฃโ——โฝโทโ‘งโœฎ โคโœโœทโœปโœผโฌโœผโœฑโœฒ โœพ

โœ รงโฏโœŽโžŸรง โœ‘โœนsโƒโœทโœนโœฎโผโœพโ‘ โ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—† โœพ

โœ  โœ› รง โœ‘โ™ฆโœฒโ–ผโ‚โœ˜โ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โœฏโœทโœนโœฎโจโœพโ‘ โŠโโ— qโ‘จโ‘ฉโƒโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโœฑrโฎโนโœถโฃโ‘ฃโพโœนโ‘ขโ™ฅโž€ โณ โ€รธโœฒโ„โœฐโฆโ‚โœโ‚โœธโœตโœณโ€ โฉ โ€โ——โœพโœนโŠโโœฒโ„โœผโฌโœฒโ„โœฎโƒโ‚โฉ Pโ–ผโœตโœธโ€รญโžƒโ…Pโ„โœฒโ™ โœพ โฉ โœฒโ„โ—† โœถโœฟร โœ‘โœปโฃโœฎ โž„โ˜โœพโฌโœฐ โณ โ€โโ‚โœณโœฒ P โœฒโ„โœฐโฆโ‚โ™ฆโœฐโ–ฒโ‚โšโœพโซโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโœถโœฎโ…โœพโ†โ€โ——โœตโœธโœฒโœฏโœดโ…โœพโœนโœตโœqโ‘จโ‘ฉโƒโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโœนโฃโœฎ โœณ โœทโœปโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธโœทโœนโœฎโ…โœฐโœ˜โž€ โณ โœฒโ™ โŠโž‚โ— qโ‘จโ‘ฉโ‘จโœดโขโœทโœนโ‚โœณqโœฝโœ‰โฅโœฐโฆโœฒโœฟrโโนโœถโฃโ——โฝโฅโ‘ขโœโœฒโ„โœฐโฆโ‚โ™ฆโœฐโœณโœพโ†โ‚โœณโ€โ‘โœฐโ–ฒโœโฎโœพโœนโ€รญโ‚โœธโœฒโœฑโ‘งโœญโœฏโœฎ โœพโผโ‘ง

โœง โ„ โœ„ โœฃ โœ  โ… ร โœง ๏ฟฝโœ‚ โœŽ โœฃโœพ โ—— โœฟโœทโœพ P โ—— โœ‘ โœ  โœžโœ 

รโœฃโœพ โ—— โœฟโœทโœพ

โœฃโœพโœš โœฟโœขโœพ โœง โผ P โ—— P โœš โœซ

รโœฃโœพ โ—— โœฟโœทโœพ

โœฃโœพโœš โœฟโœขโœพ โœ—โ‘จโž‰ โง q โœ™ โžŽ

โœฏโœฃโ†โ… โ‘  โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽ rโโนโœถโฃโ‘ฃโพ ๏ฟฝโƒโ‘ขโœญโœฃโœป rโฎโนโ…โฃ โพโœ๏ฟฝโœปโ‘ขโœโ‡โ‰Pโ„โ—†โ–ผโœท โณ โŠโ——โœฒโ™ โ‡โ‰โœฒโ™ฃrโฎโนโ…โฃโโฝโœปโฝโฅโ‘ขโšโฃโขโž„โˆโ— qโƒโ‘ฉโ‘จโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโœฟrโฎโนโœถโฃโ——โฝโฅโ‘ขโœโœฒโฅโœฐโ–ฒโ‚โ™ฆโ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—† โฉ Pโ„โœตโœณโ€โโžƒโ…Pโ–ผโœฒโœปโฃ

โž„โžโœฒโ›โŠโ——โœฒโ–ผโœผโœฑโœผโœฑโœฒโ˜…โนโœถโฃโ——โฝโดโœฒโฅโœฐโ–ฒโ‚โ–โ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โ™ โœพโ†โœดโ…โœดโœถโŠโโ€โ‘โ—†โ–ผโœพโœนโ‘คโœถโŠโ——โœฒโดโ—†โ–ผโœฒโ˜…โž€ โณ โ€โžโœดโœถโœตโœธโœท โณโœถโฉ โœฒโœฏโŠโ‘โœพโทโ‚โœณโœฒโ–ผโœฎโขโœฐโฆโ€โ——โœทโœนโœฎโžจโ‡โ‰โœฒโ™ โŠโ‘โœพโฌโœฐ โณ โ€โโ‚โœณโœฒโ™ฃโž‰ โœœ โœฃ โœŸ โœพ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ โฃโคโœโœทโœนโœฎโ…โ—†โ–ผโŠ โณ โœฐโœณโ€โ——โœทโœนโœฎโœญโœฏโœฎโทโœพโ›โ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โœฝโŠโ——โœพโ›โ—†โโœทโœปโœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœธโ™โœนโœฒโ„โœฎโ…โ—†โโœฒโˆโžƒโ…โœฎโœถโ€โโžโœ‰โ‡โ‰โ€โ——โœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโ…โœฐโœณโ€โ——โœทโœนโœฎโœถโœฎโœถโœฒโ„โŠโโŠโ——โœฒโœ˜โœฒโโ‚โ‹โŠโ‘โœพโ™ฆโ‚โœธโœฒโ–ผโœฎโ…โœฐโœณโ€โ——โœทโœนโœฎโœฑโ‡โ‰โœฒโœ˜โŠโ——โœพโ›โœฐ โณ โ€รญโ‚โœธโœฒโœโ‡โ‰โœทโœนโœฎโ…โ—†โœฝโœฒโ„โœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœณโ‚ โณ โ‡ โณ โ‚โœธqโœถPโ–ผโœทโœปโœตโฃโœ‰โ„โœผโœฑโœฒโ‡โ‰โœฒ โฟ โœตโœธโœทโœนqโœถโœทโœปโœตโœณโœท โฉ rโโญโœโ€โ——โŠโ——โŠโโ€โ——โœฎโœถโ™โœปโœฐโœณโŠโ——โœฒโ–ผโ‘ฉโž โถโ‘ฃโพโœนโพโ‘จsโ‘จโ‚โœธqโœถPโ–ผโœทโœปโœตโฃโœ‰โ„โœผโœฑโœฒโ†๏ฟฝโ…โฃโโฝโ–ผโบรบโ‘ขโœโœทโœปโœฎโžจโœพโฌโŠโ‘โœพโœฑโ—†โโœทโœนโœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœธโ™โœนโœฒโ–ผโœฎโขโ—†โโœฒโ–โœโฎโœพโœนโ€โโ‘คโ…โŠโโœฒโ˜…โ‡โœถโœพโœนโœฎโ…โœฐ โœ—โ‘ฅโž‰ โผ โœฒโ…โž‹โˆโœ‘โœ’โœซโโžŽโกโฃโœ’ โœŒโœ๏ฟฝ โœšโœขโœœ โœ โœŒ โœ  โœž โœ  โ˜›โœโœŒโœ†โœ‘โœ‚๏ฟฝ โœ  โœŒโ˜Žโœ„ โœ  โœœ โœ  โœ„ โœ  โœ–

โคโœโœทโœนโœฎโ…โœฐโœณPโ„โž€ โณ โœฒโ„โœฎโ…โ—†โโœฒโ›โ‡ โณ โ‚โœณqโ…Pโ–ผโœทโœนโœต โœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโ™ โ‡โ‰โœฒโ™ โœตโœธPโ„โ‡ โณ โ—†โกโ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโงโฃโโœ˜โžญ โœ โœ˜โžญ โœœ โ–ฒโžดโžพโœทโดโœฌโžชโœโžทโ™ฆโžธโœปโžšโ‰โžปโœถโžผโฏโžšโ‰โžถโฆโžชโ™ฅโžท โœคโ™ฆโžบโœกโžšโœงโœฆโ–โžพโžโžชโ™ฅโžปโœงโ˜…โ‘กโด โžณ โโœโžญ โœ  โœคโ™ฆโžณโž”โžปโœถโžพโœฐโœคโ™ฆโžบโœฅโชโœบโžšโœถโžถโ–ฒโžชโ™ฅโžท

โคโœโœทโœนโœฎ โฉ โœฒโ„โœตโœณโ™โœปโœฒโ–ผโœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโœฏโ‡โ‰โœฒโฅโœฐโœโŠโโœทโœปโ€โ——โœฐโœฝโžƒโขโœฎโœถโ€โโœฒโฅโœฐโ–ฒโžโž†โ‡โ‰โ€โ——โœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโ…โœฐโœณโ€โโœทโœปโœฎโœถโœฎโœถโœฒโ„โŠโโŠโ——โœฒโ„โœฐโœ‡โ‘จโœทโœนโ€โ——โœฒโ–ผโœฎโƒโ‚ ๏ฟฝ ร โœนโœธโœปโœบ โœฒโโ‚โ‘ โž‰โœฅโœค โœพ โž‹โ˜›โ€โ‘งโ€โ˜›โ€โ–ผโž‹ โœค โœ‚ โžŽ ร  รฃ โœ‚ โฃโคโœโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒโœฏโŠโ——โœฒโ„โœฐโœ˜โ‡โ‰โ€โ‘โœฐโฆโ‚โœณโœตโœธโ€โโ‘ค โณ โ‚โœณโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฐโœโžƒโ…โœฎโœถโ€โ——โœฒโ„โœฐโฆโžโž†โ‡โ‰โ€โโœผโœฑโœฒโ„โœฎโ…โœฐโฆโ€โ——โœทโœนโœฎโ…โœฎโœถโœฒโ–ผโŠโ——โŠโโœฒโฅโœฐโœโ‡โœถโœฒ โœœโ„โœฃ โœŸ โœพ โ—†โโœทโœนโœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœธโ™โœนโœฒโ–ผโœฎโƒโ‚โœโ‡โœถโ€โ——โœฐโœณโœทโœนโœฎโ…โœฐ โฉ โœฒโ–ผโœตโšโœฐโœโ—†โ–ผโœฒโ–ผโŠโ——โŠโโœฒโฅโœฐโœฝโ‡โœถโœฒ โœœ sโ‘จโœทโœนโœฎโ‘ฅโœพโ‡โ‰โœทโœนโœฎโขโ—†โทโ‘งโœ† โœฃ โœŸ โœพ โž‰ ๏ฟฝ โžŽ ร โœ‚โœพ

โœ‘ โœฟโœทโœพ โœค โœ‘โœœโœคโœฃ

โœŸ โœพ โž‰โšโ–ผ โœ‘ โžŽ โœโœโœฃโ†โ… โ‘  โœ โž‰โœฌโœ‘โฅโžŽ โœ‚โœพโœ‘ โœฟโœทโœพ โœค โœ‘

โœœ โž‰โšโ–ผ โœ‘ โžŽ ร โœ† โœพ โž‰ ๏ฟฝ โžŽโคโœโœทโœนโœผโœฑโœผโœฑโœฒโ›โœทโœนโœฎโžจโœพโ‘ฅโ‘ง

โœ† โœฃ โž‰ ๏ฟฝ โžŽ ร โœ โž‰โŠโœ‘โปโžŽ โœ† โœฃ โœŸ โœพ โž‰ ๏ฟฝ โžŽ โฆ โž‰ โœ† โœฃ โž‰ ๏ฟฝ โžŽโ˜Žq โœ โž‰โœฌโœ‘โฅโžŽ โœ† โœฃ โœŸ โœพ โž‰ ๏ฟฝ โžŽโฆโžŽโฟ โœท โณ โœตโ–โœพ โฉ โœทโœนโ€โ——โœตโœโŠโ‘โœพโœฑโ—†โโœทโœนโœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœธโ™โœนโœฒโ–ผโœฎโขโ—†โโœฒโ–โžƒโขโœฎโœถโ€โโœฒโฅโœฐโ–ฒโžโž†โ‡โ‰โ€โ——โœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโ…โœฐโœณโ€โโœทโœปโœฎโœถโœฎโœถโœฒโ„โŠโโŠโ——โœฒโ™ โ‡โ‰โœฒ โœœโœคโœฃ โฉ โœฒโ„โœตโœธโœฐ โœ โž‰โŠโœ‘โปโžŽ โœœ sโœถโ—†โ†โ— โœฒโ„โœฐโฆโ‚โ™ฆโฑโฌโ‡โœถโ€โโœตโœธโœฒโœ† โœฃ โž‰ ๏ฟฝ โžŽ ร โœ‚โœพ

โœ‘ โœฟโœทโœพ โœค โœ‘โœœ โœฃ โž‰โ—†โ–ผ โœ‘ โžŽ โœโœโœฃโ†โ… โ‘  โœ โž‰โŠโœ‘โปโžŽ โœ‚โœพ

โœ‘ โœฟโœทโœพ โœค โœ‘โœœ โž‰โ—†โ–ผ โœ‘ โžŽ ร โœ†โซโœพ โž‰ ๏ฟฝ โžŽ

โ€โโŠโ‘กโœฒโฅโœฐโ–ฒโ‚โ™ฆโœฐ โณโœ’โœผ โœฐโœธโœพโ†โœฎโƒโ‚โ„sโ‰โœฒโ„โœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœณโ‚ โณ โ‡ โณ โ‚โœณqโœถPโ„โœทโœนโœต โœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโ›โฟโ…โฃโ——โฝโดโ‡โœถโœฒโ˜…โญโœโ€โ——โŠโ——โŠโโ€โ——โœฎโœถโ™โœปโœฐโœณโŠโ——โœฒโ–ผโ‘ฉโž โถโ‘ฃโพโœนโพโฅโบโœ‰sโ…โ‡โ‰โœฒโ›โœผโœฑโœทโœนโœฎโƒโ‚โœธโœตโœณโœฒโ„โœตโ–โž€ โณ โœฒโฌโ‘งโœ† โœฃ โž‰ ๏ฟฝ โžŽโ˜Žq โœ โž‰โŠโœ‘โปโžŽ โœ† โœฃ โœŸ โœพ โž‰ ๏ฟฝ โžŽโœžโœq โœโœฃโ†โ… โ‘  โœฒ rโโนโœถโฃโ‘ฃโพโ‰โฝโปโ‘ข

Page 55: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โฟโœนโฟ โœ‚โ˜Žโœ„โœฅโœ†โœœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒ ๏ฟฝโœฝโœ‘โœ“โœฆโ——โœฃโœคโœฉโœฌโœ†โœโœŸโญโœ™โœœโœŒ โœฆโœ๏ฟฝ โœ†โœœโœกโœโœกโ˜Žโ˜žโœœโœ† โœ‚โœโœกโœขโœŸโ˜›โœฃโœคโœ™ โœฆโœ“โ˜…โœชโœฉโœฌโœซโœคโœญโœณโž โœพโ†โ€โ‘โœฐโœโ—†โโœทโœปโœผโœฑโœผโฌโœฒโ›โœทโœปโœฎโผโœพโผโ‘ง

โœง โผ โœ† โœฃ โž‰ ๏ฟฝ โžŽโ˜Žq โœ โž‰โœฌโœ‘โฅโžŽ โœ† โœฃโœŸ โœพ โž‰ ๏ฟฝ โžŽโœกโœซ โœ  โœ† โœ‚โœพ

โœ‘ โœฟโœทโœพ โœ‚โœพโœ” โœฟโœทโœพ โ˜ž โœค โœ‘ โœค โœ” โ˜ž โœ‘โ– โœ โœฃ

โœฃโœพ โ—— โœฟโœทโœพ

โœฃโœพโœš โœฟโœขโœพ โ˜ž โœง โผ โœฉ โœบ โž‰ P โ—— โžŽ โœฉ โœบ โž‰ P โœš โžŽ โœซ โ˜ž

โœฅ โฉ โœฒโ„โ—† โœฉ โœบ โž‰ P โžŽ ร โœฉ โž‰ P โžŽโœขq โœ โž‰โŠโœ‘โปโžŽ P โฃโ‘ฆ โœทโœปโœฎโ…โ—†โ›โœฒโ–ผโœฎโžจโ—†โโœทโœปโœฎโ…โœฐโฆPโฅโž€ โณ โœฒโ–ผโœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโ™ โ‡โ‰โœฒโ™ฃrโฎโนโ…โฃโโฝโ„โฟโƒโ‘ขโ™ฅโœทโœนโœฎ โœพโผโ‘ง

โœง โผ โœ† โœฃ โž‰ ๏ฟฝ โžŽโœขq โœ โž‰โŠโœ‘โปโžŽ โœ† โœฃโœŸ โœพ โž‰ ๏ฟฝ โžŽ โœซ โœ  ร โœ†โœฃโ†โ… โ‘  โž‰โŠโœ‘โปโžŽ

โž„โงโœพโœฑโ—†โโœทโœปโœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœธโ™โœนโœฒโ„โœฎโ…โ—†โโœฒโœฏโœฒโ–ผโœฎโผโœดโœถโœตโœธโœทโœนโ‘คโ…โœพโœนโ‘คโœถโ€โโŠโ——โ€โโ‚โœณPโœฟrโฎโนโ…โฃ โพโœถโฝโฅโ‘ขโœโœฒโ–ผโœฎโžจโœตโœธPโ„โœฐ โณ โŠรญโ‚โœธโœฒ โฉ โ€โ‘โœพโฌโŠโโ— โ€โ——โœฎโœถPโ–ผโ™โƒโœพโ†โŠโ——โ€รญโ‚โœธPโ›โ‡โœถโœฒโ˜…โžงโ˜โ—†โšqโœถโœฒโ„โ‘คโ‘จโ‘ฉโ‘จโ—†โšqโ…โœฒ โ‡โฒโฃโžงโงโœฒโ„โœฎโ…โœฐโฆโ€โ——โœทโœนโœฎโžจโ‡โ‰โœฒโ™ฃโž‰ โœœโœคโœฃ โžŽ โœฃโœฐโœฏโœฒโœฑ โœณ

โžˆโ™ฆPโ„โœตโœณโ€โโžƒโ…โœทโœนโœฎโขโœฐโœฝโž€ โณ โœฒโ™ฃโž‰ โœœโœคโœฃ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ โœฐโœณโœพโ†โ‚โœณโ€โ‘โœฐโ–ฒโœโฎโœพโœนโ€รญโ‚โœโŠโ——โœฒโ„โœฐโœ˜qโ‘จโ‘ฉโ‘จโœดโขโœทโœนโ‚โœณqโœฝโœ‰โฅโœฐโฆโœฒโฅโœฐโœโ‡ โณ โŠโโœฒโ„โœผโฌโœผโœฑโœฒโ˜…โนโ…โฃโโฝโœฑโ‘งโœฎ โคโœโœทโœปโœผโฌโœผโœฑโœฒ โœพโœ รงโฏโœŽโžŸรง โœ‘โœนsโƒโœทโœนโœฎโผโœพโ‘ โ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—† โœพ

โœ  โœ› รง โœ‘โ™ฆโœฒโ–ผโ‚โœ˜โ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โœฏโœทโœนโœฎโจโœพโ‘ โŠโโ— qโ‘จโ‘ฉโƒโœดโœบโœทโ†โ‚โœธqโœฝโœ‰โ„โœฐโœณโœฒโœฑrโฎโนโœถโฃโ‘ฃโพโœนโ‘ขโ™ฅโž€ โณ โ€รธโœฒโ„โœฐโฆโ‚โœโ‚โœธโœตโœณโ€ โฉ โ€โ——โœพโœนโŠโโœฒโ„โœผโฌโœฒโ„โœฎโƒโ‚โฉ Pโ–ผโœตโœธโ€รญโžƒโ…Pโ„โœฒโ™ โœพ โฉ โœฒโ„โ—† โœถโœฟร โœ‘โœปโฃโœฎ โž„โ˜โœพโ™ โœฐ โณ โ€โโ‚โœณโœฒ โœฉ โž‰ P โžŽโฏโœฒโ„โœฐโฆโ‚โ™ฅโœฐโฆโ‚โœธโœพโซโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโœถโœฎโ…โœพโœนโ€โโœตโœธโœฒโ–โต Pโ–ผโ‚โœธโœพโ†โœฎโƒโ‚โˆโœผโœฑโœฒโ„โœฐ โณ โœตโšโœพโ†โ‘คโœถโŠโ——โœฒโœ˜โœฒโโ‚ P Pโโ‚โšโœพโ†โœฎโƒโ‚โ™ฅโœฐโฆโ‚โœธโœพโซโ‚โœธโ€โโœทโœปโœฎโœถโœฎโ…โœพโœนโ€โโœตโœธโœฒโœโœดโขโœพโ†โœตโˆqโ‘จโ‘ฉโ‘จโœดโขโœทโœนโ‚โœณqโœฝโœ‰โฅโœฐโฆโœฒโฅโœฐโ–ผโฃโœฎ โœณ โœทโœปโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธโœทโœนโœฎโ…โœฐโœ˜โž€ โณ โœฒโ™ โŠโž‚โ— qโ‘จโ‘ฉโ‘จโœดโขโœทโœนโ‚โœณqโœฝโœ‰โฅโœฐโฆโœฒโœฟrโโนโœถโฃโ——โฝโฅโ‘ขโœโœฒโ„โœฐโฆโ‚โ™ฆโœฐโœณโœพโ†โ‚โœณโ€โ‘โœฐโ–ฒโœโฎโœพโœนโ€รญโ‚โœธโœฒโœฑโ‘งโคโœโœทโœปโœผโฌโœผโœฑโœฒโ™ โœฎโœถโœท โณ โœฐโœ˜โŠโž‚โ— โœพโฌโœผโœฑโœทโœนโœฎโƒโ‚โœณโœตโœธPโ›โŠโโœฒโดโ‚โœธqโœถPโ–ผโœทโœปโœตโฃโœ‰โ„โœผโฌโœฒโ™ โนโ…โฃ โนโ…sโ‰โœทโœนโœฎโžจโœพโžจโ‘ง

โœง ๏ฟฝโœ‚ โœ„ โœฃโœพ โ—— โœฟโœทโœพ โœฉ โž‰ P โ—— โžŽ โœ† โœ  โœžโœ  โœฏโœฃโ†โ… โ‘  โœ โœ  โž‰โŠโœ‘โฅโžŽ โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽ

ร โœ โœฃโ†โ… โ‘  โž‰ โœข โœ  โœ› โ„ โž‰ โœข โžŽโฆโžŽโž„โ™ฅโ— qโ‘จโ‘ฉโ‘จโœดโขโœทโœนโ‚โœณqโœฝโœ‰โฅโœฐโฆโœฒโœฟrโโนโœถโฃโ——โฝโฅโ‘ขโœฝโœฒโ„โœฐโฆโ‚โ–โ‡โ‰โœทโœนโœฎโขโ—† โฉ Pโ–ผโœตโœธโ€รญโžƒโขPโ–ผโœฒโœนโฃ

โž„โžโœฒโฌโŠโโœฒโ„โœผโœฑโœผโฌโœฒโœฟโนโ…โฃโโฝโฌโœฒโ„โœฐโฆโ‚โ˜…โ‡โ‰โœทโœนโœฎโ…โ—†โฌโœพโ†โœดโ…โœดโœถโŠโโ€โ‘โ—†โ–ผโœพโœนโ‘คโœถโŠโ——โœฒโœฑโ—†โ–ผโœฒโฌโž€ โณ โ€โ‹โœดโ…โœตโœณโœท โณโœถโฉ โœฒโฌโŠโ——โœพโจโ‚โœณโœฒโ„โœฎโ…โœฐโœณโ€โโœทโœปโœฎ โ‡โ‰โœฒโฌโŠโ‘โœพโผโœฐ โณ โ€โโ‚โœณโœฒ โž‰ โœœ โœฃ โžŽ โœฃโœตโœฏโœฒโœฑ โœณ โฃโ‘ฃโœญโœฏโœฎ โœพโผโ‡โœถโœทโœนโœฎโ…โ—†โทโŠโ——โœพโ—†โโœทโœปโœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœธโ™โœนโœฒโ„โœฎโ…โ—†โโœฒโ™ฅโžƒโ…โœฎโœถโ€โโžโœ‰โ‡โ‰โ€โ——โœผโœฑโœฒโ–ผโœฎโ…โœฐโœณโ€โ——โœทโœนโœฎโœถโœฎโœถโœฒโ„โŠโโŠโ——โœฒโœโœฒโโ‚โœโŠโ——โœพโœฏโ‚โœณโœฒโ„โœฎโ…โœฐโœณโ€โโœทโœปโœฎโœฑโ‡โœถโœฒโœโŠโ——โœพโ™ โœฐ โณ โ€โโ‚โœณโœฒโ™ฆโ‡โ‰โœทโœปโœฎโ…โ—†โœฝโœฒโ–ผโœฎ โฉ โœฒโ–ผโœตโœณโ‚ โณ โ‡ โณ โ‚โœณqโœถPโ„โœทโœนโœต โœ‰โ–ผโœผโœฑโœฒโœโ‡โ‰โœฒ โฟ โœตโœธโœทโœนqโœถโœทโœปโœตโœณโœท โฉrโฎโญโœฝโ€โ——โŠโโŠโ——โ€โโœฎโ…โ™โœปโœฐโœณโŠโโœฒโ„โ‘ฉโž โถ โพโœปโพโ‘จsโ‰โ‚โœธqโœถPโ–ผโœทโœปโœตโฃโœ‰โ„โœผโฌโœฒโ†๏ฟฝโœถโฃโ——โฝโโบโโ‘ขโœโœทโœนโœฎ โœพโฌโŠโ——โœพโœฑโ—†โ–ผโœทโœนโœฎ โฉ โœฒโ„โœตโœณโ™โœปโœฒโ–ผโœฎโ…โ—†โ–ผโœฒโ–โœโฎโœพโ†โ€โ——โ‘คโœถโŠโ——โœฒโ˜…โ‡โœถโœพโ†โœฎโขโœฐ โœ—โ‘ฅโž‰ โผ โœฒโœถโž‹โœบโœ‘โœ’โœซโโžŽโกโฃ

Page 56: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โ˜žโœ‚โœโ˜Žโœ„ โœโœโœ†โœ‚โœž โ˜ž โ˜Ž โœ‚โœฝโœกโ˜›โœŸ โœ โ˜ž

โœŸ โœ  โœ โœ  โœชโ˜›โœกโœŒโ˜žโœŽโœ โœโœ’โœ‘ โœ‘โœ’โ˜žโœ”โœ“ โœชโœ–โœ• โœ โœ˜โœ— โœ‘ โœ โœ“โœšโœ™โœœโœ›โœ’โœ‘ โœขโœคโœฃโœ•โœ‘ โœฅ

โœ‘โœฆโœ›โœงโ˜žโœ”โ˜…โœ”โœ โœ‘ โœฉ โ˜…โœชโœ“โ˜Žโœฅ โœ›โœœโœกโœ•โœ‘โœฆโœ›โœœโœ›โœ’โœ‘ โœงโœซโ˜… โœ  โœชโœฌโ˜žโœชโœกโœญโœ“โœฎโœ›โœœโœ› โœ  โœกโœญโ˜… โœ‘โœ โœฐโœฏ โœ‘โœกโœช โœโœฑโœโ˜Žโ˜…โœฒโœก โœฏ โœ‘

โฟโƒโž‡

Page 57: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux
Page 58: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœ› โ˜žโœ”โ˜…โœชโœ“ โœโœœโœ™โœ‚โœ โ˜žโœ”โœกโœญโœ“ โœ›

โœ„โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜žโœŒโœโœŽโœโœŽโ˜žโœ‘โœโœ’โ˜žโœ”โœ“โœ–โœ•โœ˜โœ—โœšโœ™โœ”โœ›โœœโ˜žโœฃโœขโœ โ˜ŽโœฅโœคโœŽโœโœŽโœ—โœšโ˜žโœžโœฆโœงโœโœ–โ˜…โœฉโœ“โœ โœŸโ˜›โ˜Žโœฅโœชโœšโœชโœซโ˜…โœฉโœโœ โœŸโœฌโœโœ–โ˜…โœฉโœ“โœ โœŸโ˜›โœโœ’โœญโœ”โœฎโœฉโ˜žโœ”โœชโœšโ˜…โœžโœขโœ–โœขโœฏโ˜žโœ”โœคโœฐโœชโœฒโœฑ โœญโœ”โœโœŽโœ“โœ โœโœ’โ˜žโœ‘โœโœ’โ˜žโœฃโœ›โœœโ˜…โœ˜โœโœ–โœ™โœ”โœชโœšโ˜žโœดโœณโœตโœคโœถโ˜ŽโœžโœกโœŒโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโœ–โœโœ โ˜Žโœžโœ—โœซโœคโœทโ˜žโœธโ˜žโœนโœโœโœŽโœญโœนโœชโœซโœญโœบโœกโœŒโ˜…โœžโœ›โœœโœ›โœปโœ“โœ–โœโœ–โœ—โœผโœกโœ”โ˜Žโœฝโœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœ โœŸโœนโœพโœ˜โœ„โœฃโ˜ŽโœฅโœโœฟโœŸโ˜›โœชโ€โœฑ โœ—โœซโœโœงโœโœทโœคโœŽโ˜…โœ’โœโœ’โœ“โœ โœกโœŒโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโโœโœ–โ˜…โœžโœ“โœ โœŸโ‚โ˜Žโƒโœฎโœฉโ˜…โœžโœโœ โœŸโ„โœญโœ”โœฎโœฉโ˜…โœ’โ…โœฉโœ“โœ โœญโœ†โœชโœšโ˜žโœฃโœณโ†โ˜Žโœฅโœ—โœซโœโœดโ…โœฉโœ“โœ โ˜žโœฃโœชโœšโ˜žโœนโœŸโ˜›โœ›โœœโ˜…โœ’โœโœ’โœ™โœนโœชโœซโ˜žโœบโœŸโ„โœ›โ‡โ˜ŽโœžโœคโœŽโˆโœฉโ˜…โœฝโœฎโœงโœ—โœšโ˜žโœ”โœโœฟโœŸโœกโœŒโœชโœผโ˜ŽโœžโœŸโœทโœŸโ‰โœ—โœผโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโœนโœŸโŠโœโœ–โ˜žโ‚โœŸโœŽโœ“โœ’โ‹โ—โœŸโ‰โ˜žโœนโœโœงโœโœฌโœขโœ โ˜ŽโœžโœŸโโœขโœฏโ˜…โœžโœ“โœ–โœคโœฌโœโœ–โœญโœนโœกโœŒโœคโœทโœ—โœšโœคโœŽโ˜žโœฐโœชโœซโ˜žโœบโœŸโœฌโœโœ’โ˜…โœฉโœโœ–โœโœ–โœญโœ”โ˜žโœบโœŸโŠโœคโœŽโœญโœนโ˜žโœ”โœชโœšโœชโœซโ˜žโœบโœŸโœ”โœพโœฅโ– โโ˜žโ‚โœ›โ‘โ˜…โœ’โœโœ’โœ™โœนโœชโœซโ˜žโ˜›โœชโœšโ˜žโ‚โœขโœ–โœชโœšโœ“โœ โœŸโ–ฒโœŸโ‰โœ—โœšโœ›โœœโœขโœ–โœชโœšโ˜žโ‚โœ—โœซโœโœงโœโœŽโœคโœทโ˜…โœ’โœโœ’โœ“โœ–โœ—โœผโœŸโœŽโ˜Žโœžโœโœงโœโœชโœซโ˜žโ‚โœ›โœœโ˜…โœฉโœ“โœ–โœฎโœžโ˜žโœนโœ›โ‘โ˜žโœนโœโœงโœโ–ฒโ–ผโœฐโœคโœทโ˜…โœฝโ—†โ‚โœโœ–โœ—โœšโ˜žโœ”โœโœปโœณโœตโœคโœทโ˜Žโœฉโœกโ–โœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโœ โœโœ โ˜Žโœฅโœ—โœšโœคโœŽโ˜žโ˜›โ˜žโœบโœŸPโœโœฌโœชโœšโ˜žโ‚โœ›โœœโ˜…โœ˜โœโœ–โœ™โœ”โœชโœšโ˜žโœธโœโ——โœฑ โœ“โœ โœโœ–โ˜žโ˜›โ˜โœ โœชโœšโ˜žโœดโ™โœฃโ˜žโœ”โœโœงโœโœŽโœคโœทโœญโœ”โ˜žโœธโ–ผโœฐโœคโœทโ˜…โœฝโ—†โ‚โœโœ–โœ—โœซโ˜žโœนโœโœ–โœโœ–โ˜žโœฐโœณโœตโœคโœถโ˜Žโœžโœกโ–โœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœ–โœโœ โ˜Žโœžโœ—โœซโœคโœทโ˜žโ˜žโœŒโœโœœโ™โšโœโœทโ˜Žโœžโœ“โœ’โœ•โฏโœโœ’โ˜žโโœŸโœŽโ˜žโœ”โœคโœทโœฎโœ˜โœ—โœšโœกโœ”โ˜žโ—โœกโœŒโ˜…โœžโœโœฟโœŸPโœโœถโ˜Žโœฅโœโœงโœโœนโœพโ–ฒโฑโ„โ˜žโฒโœ›โœœโ˜…โœ’โœโœ’โœ™โœ”โœชโœšโ˜žโโ˜Žโณโœญโœ”โœโœŽโœญโโœ—โœซโœโœงโœโœŽโœคโœทโ˜…โœ’โœโœ’โœ“โœ–โœ—โœซโœโœปโœขโœ โ˜Žโœžโœคโœปโจโœดโ˜…โœžโœคโœทโœคโœŽโ˜…โœงโœŸโ‡โฉโœซโฌโœบโญโœ–โฌโœฅโœฆโœฐโฌโœนโญโœงโชโœนโซโœฐโ˜žโœนโœโดโฌโœนโตโœฉโตโœฅโ›โœฟโœพโโœโœ˜โœ“โœ–โœคโœ“โœ–โœโšโœโœŽโ˜žโœนโœชโโœ›โœœโ˜…โœ’โœโœ’โœ™โœนโœชโœซโ˜žโœฉโœฆโœฟโœชโœšโ˜žโžโœขโœ–โœชโœšโœ“โœ โœŸโœ†โœ—โœซโœโœงโœโœŽโœญโœนโœคโœŽโ˜žโœบโœŸโœŽโœŸโœทโ˜Žโœฅโœโœงโœโœธโ˜žโœบโœŸPโœโœดโกโœ โœ—โœซโ˜žโœนโœโขโœŸโ‰โฃโœ โœคโœ†โœโœ’โ˜žโ‘โœกโœŒโ˜…โœžโœโœ โœโœ โ˜ŽโƒโคโœผโœโœŽโœคโœทโ˜žโœโœชโœซโ˜žโ‘โœกโœŒโ˜…โœฉโœ›โ‘โœขโœฏโ˜…โœžโœคโœŽโœโœŽโ˜žโœนโœ›โœœโ˜žโœ”โœโœงโœโœดโœโœ’โ˜žโฅโœชโœผโ˜Žโ—โœกโœนโ˜Žโœฅโœขโœ โ˜ŽโœฉโœกโœŒโœ—โœซโœโœŽโœญโฅโœโœ’โ˜žโœŸPโœโœทโ˜…โœ’โœกโœถโˆโƒโ˜Žโœžโฆโœžโ˜žโœธโ˜žโœ”โœโ‚โœโœ–โ˜…โœฅโœโœถโ˜Žโœฅโœ›โœœโœ›โœœโ˜žโœ”โœโœงโœโœฐโœชโœšโ˜žโœ‘โœกโœŒโ˜…โœžโœ›โœœโœขโœฏโ˜…โœžโœคโœŽโœโœŽโ˜žโœนโœ›โ‘โ˜žโœนโœโœงโœโœฐโœโœ’โ˜žโœโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโœ”โœ“โœ โ˜žโœฃโœโœ’โ˜žโœ‘โœŸโœทโ˜Žโฅโœโœ’โœ—โœผโœŸPโœโœทโœคโœŽโœ—โœšโกโœ–โœ“โœ’โœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโโœกโœ”โ˜žโœฃโ…โœงโœ“โœ–โœ—โ——โœคโœทโ˜žโœ”โœฎโœ˜โœ—โœšโ˜žโœ”โœโœงโœโœฐโ™โœปโœญโœŒโœโœทโœ“โœ โœโœ’โœ—โœšโ˜žโœ”โœคโ˜›โœชโœซโ˜žโœกโœŒโ˜…โœฉโœ›โ‘โœขโœฏโ˜…โœžโœคโœŽโœโœŽโ˜žโœนโœ›โœœโ˜žโœ”โœโœงโœโœธโ˜ŽโœžโœŸโœŽโงโœงโœ›โœœโœขโœ’โœโœทโ˜…โœฅโœโœทโœ—โœšโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโœโœโœ’โ˜žโœœโ™ โ™ฅโ™ฃโ™ฆ qsrโœฅtโœนโ™ฅ ๏ฟฝโœ‰ โœฏโƒโœˆโ——โœ‡โ‘กโ‘ โ†โ‘ขโœปโ‘ฃโœ‰ qโ‘ฅโ‘คโœžโ‘ฆโ‰โ‘ง โ‡ โ™ฅโœ–โ‘จ โ‘ โ€โ‘ฉ โ‘ง

โ– โถโ˜žโœนโœŸโฅโœขโœ–โœคโœทโ˜žโœ”โœ›โœœโœ—โœซโœ™โœนโœคโœŽโ˜žโœบโœŸโœโœขโœ–โœ—โœšโ˜žโœ”โœคโœทโœคโœŽโ˜žโœบโœŸโžโœŸโœŽโ˜…โœžโœโœงโœโฅโœขโœฏโ˜…โœฉโœŸโœŽโœญโœ”โ˜žโœนโœŸโžโœขโœ โ˜Žโœฅโœคโ‘โจโœธโ˜…โœžโœคโœทโœคโœทโ˜…โœฉโœŸโœœโฉโœšโฌโœนโญโœ–โฌโœŒโซโ„โ˜žโœ”โœโทโฌโœนโตโœžโตโœžโ›โœ โœพโถโ– โโ˜žโœนโœŸโžโœขโœ โœคโœŽโœ—โœšโœโœ โœกโœŒโœ—โœšโœขโœ โ˜Žโœžโœ“โœ’โœ•โธโœคโœทโœญโœนโœŸโœŽโœ“โœ–โœชโœซโœโœทโ˜ŽโœฝโœโœถโœŸโœโœณโœตโ˜…โœฉโœโœฉโœโœชโ€โœฑ โ˜…โœžโกโœ–โนPโ˜žโœŒโœโœธโœโœ’โœ“โณโœกโœถโบโœ โ˜Žโœฅโœขโœ โœ—โปโœโœทโœคโœŽโ˜žโœ‘โ›โœ โœพโ– โถโ˜žโœ†โœกโœถโบโœฟโ˜Žโœฅโœขโœ–โœ—โœซโœโœŽโœคโœทโ˜žโœ†โœŸโœŽโœ“โœ–โœ—โœšโœฎโƒโ˜Žโœžโœโœงโœโ„โœขโœ–โœคโœทโœญโœนโœŸโœŽโ˜žโœ”โœโœงโœโœŽโ˜žโœ†โœชโœซโ˜žโœบโœŸโœฌโœโœทโœคโœทโ˜Žโƒโœฎโœฝโ˜Žโœžโœ“โœ’โœ•โœœโœโœ–โ˜žโœฃโผโฝโ˜ŽโœฉโœŸโœŽโœŸโœŽโ˜…โœžโœ“โœ โœชโœซโœ—โœšโ˜žโœธโ˜žโœŒโœโœธโœโœ˜โœ—โœšโœ›โœœโ˜…โœžโœโœ–โœ—โœผโ˜Žโœฅโœโฝโฉ โตโœฅโ›โœฅโซโ——โœโœ–โ˜žโฅโฌโœนโตโœฉโตโœฉโพโœ–โœพโœฉโ– โโ˜Žโœปโœโœ’โœญโœ”โœ›โœœโ˜…โœฉโœโœ โœŸPโฟโœโœŽโœคโœถโ˜Žโœฝโœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœœโœโœ–โ˜…โœžโœโœ–โœโœ–โœญโœนโ˜žโ‚โœ—โœšโœกโœ”โœ—โœ–โ˜žโœนโœŸโ‰โœโ„โœโœ’โœ—โœซโž€โžโœญโœ”โœคโœทโ˜žโœ”โœโœงโœโœŽโ˜žโœธโœโœ’โ˜žโœดโœชโ€โœฑ โ˜ŽโœฅโœคโœŽโœโœŽโœ—โœผโœกโœŒโœชโœšโ˜žโ‚โ˜…โœžโœคโœทโœ—โœซโฆโœฉโœ—โœซโœโœ โ˜žโœ”โœชโœ–โ˜Žโœฝโ˜โœฟโœโ—โœโœ’โ˜žโ‚โœขโœฟโ˜žโœนโœคโœŽโœ›โœœโ˜žโœ”โœโ‰โœโœŽโœคโœทโ˜žโœธโœ“โœ–โœโœ โ˜žโœธโœโœ’โœญโœ”โœ›โœœโ˜…โœžโœโœฟโœŸPโœโœทโœคโœทโ˜ŽโœฅโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโœœโœขโœ–โœคโœทโœญโœนโœกโœŒโœ—โœผโœŸโœŽโ˜žโœโœ’โ˜žโœนโœŸโ‚โœโœ–โ˜žโœ”โœ“โœ’โœ•โ‘กโกโœฟโ˜…โœฉโœคโœŽโœโœ–โ˜žโœบโœŸโœ”โœพโ– โถโ˜žโœดโœกโœถโบโœ โ˜Žโœžโœขโœ–โœ—โœซโœโœŽโœคโœทโ˜žโ˜›โž‚โœ‘โœขโœ โœคโœŽโœญโœบโœŸโ‰โ˜žโœนโœโœฉโœโœทโ˜žโ‚โœชโœซโ˜žโœบโœŸโโœโœŽโœคโœถโ˜Žโƒโœฎโœฝโ˜Žโœฅโœ“โœ’โœ•โœœโœโœ’โ˜žโ‚โžƒโœฌโœ—โœซโœโœŽโ˜žโœนโœคโœŽโกโœ โ˜ŽโœžโœคโœŽโฆโœโ˜žโœ”โœโž…โž„โœธโž†โœ โœŸโœทโœŸโœŽโœชโœซโ˜žโœนโœคโœธโฉโžˆโž‡โœฝโ›โœฝโซโœฏโ…โœงโœ“โœ–โœ—โœฟโ˜…โœžโœโœงโœโž…โœโœ’โ˜…โœฉโœโœ–โœโœ–โœญโœžโœฆโœžโ˜žโœ”โœโ‡โœ“โœ’โœโœทโœ—โœซโœชโœšโœ—โœšโœŸโœทโ˜Žโœฅโœโœงโœโœฌโœชโœšโ˜žโœนโœŸโ˜…โœžโœ“โœ’โœโœทโœ—โœซโœชโœผโœŸโž…โœโœ–โ˜žโœนโœŸโœฌโœขโœ โœคโœŽโ˜…โœ’โœกโœŒโ˜žโœบโœŸโœŽโœŸโœŽโœ“โœ โœŸโœฐโž‰โœ‘โ˜Žโœฅโœ“โœ โœŸโœทโœŸโ‰โœ—โœšโ˜žโœ”โœโœฟโœŸโ–ฒโœ“โœ–โœโ—โœญโœบโ…โœฉโœ“โœ โœ—โœซโœฎโœฝโ˜Žโœฅโœชโœšโ˜žโœ”โœโœงโœโ˜›โ˜ŽโœžโœŸโœŽโงโœงโœ›โœœโœขโœ’โœโœทโ˜…โœฅโœโœทโœ—โœšโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโœดโœโœ–โ˜ž โ‘ โ†โ‘ฉ โ‘งโœดโžŠ โœชโœซโ˜žโœ†โœ›โ‘โž‹โœนโœ›โœœโ˜žโœดโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโœ†โจโœ†โ˜Žโœฅโœคโœถโ˜Žโƒโงโœฉโ˜ŽโœฅโœโœฏโžŒโโœโœ โ˜Žโœฅโœโœ โœŸโœ“โœ–โœโโœกโœนโ˜Žโœžโœโœ’โœคโœทโ˜žโœธโœขโœ–โœชโœšโœ“โœ โœŸโœฐโฆโœžโœญโœนโœโœ–โœญโœ”โœคโœถโ˜Žโœฅโœชโœฒโœฆโœฉโœกโœ”โ˜žโœ”โœชโœšโœ“โœ–โœ—โ——โœโ——โœฑ โœ“โœ–โœโœ–โ˜žโœ†โœโœ–โœญโœ”โœคโœทโœ—โœซโœฎโœฉโ˜žโœดโ˜žโœ”โœ โ‘ฆโ‰โž โ˜Žโƒโœฎโœžโ˜žโœนโœกโœ†โžŽโœธโžโž‘โžโž’โœพโœ’โ– โโ˜Žโžโ˜โœ โœโฒโœโœ’โ˜žโœ‘โœกโœŒโ˜žโœ‘โœกโœถโบโœ โ˜Žโœฅโœขโœ โœ—โปโœโœทโœคโœŽโ˜žโœธโ˜žโœบโœŸPโœโ‚โœกโœŒโ˜…โœฉโœโœ โœŸโœทโ˜ŽโœžโœกโœŒโœคโœทโœญโœ”โ˜žโœธโ™โœโœ’โ˜žโœนโœŸโ‚โœกโœ”โ˜…โœžโœโœ โœŸโœŽโœ—โœผโœโœ’โœญโœ”โœคโœถโ˜Žโœฝโœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœ โœŸโž…โ˜žโœนโœโโบโœ โ˜…โœžโœคโœทโœ—โœซโž“โœนโ˜…โœžโœโ—โ˜โœฟโœโœ–โœ—โ€โœพโœฟโ– โโ˜Žโ‘โ…โœฉโœ“โœ โ˜žโœนโœŸโ‰โœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโ‘กโ˜žโœนโœŸโ‰โœโ˜›โœขโœฟโ˜ŽโœฅโœคโœŽโœโœŽโœ—โœšโ˜žโœ”โœชโœšโœชโœซโ˜žโœนโœ›โ‘โ˜žโœนโœโœงโœโœฐโœโœทโœคโœทโ˜Žโœžโœ—โปโœโœทโœญโœ”โ˜žโœ‘โœขโœ โ˜Žโœžโœคโ˜›โœ„โœ†โœ“โœ–โœโœ โœกโœนโ˜Žโœฅโœโšโ˜žโœŒโœโœธโž”โœ˜โ†’Pโœพโ——โฉโžˆโพโœžโชโƒโซโœฒโœพ

โ›โœ˜โž‡

Page 59: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ›โœ๏ฟฝ

Page 60: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜ž โœ

โœŽ โœโœ’โœ‘โœ”โœ“โœ–โœ•โœ˜โœ—โœšโœ™โœ›โœ—โœšโœ‘ โœœโœ–โœขโœฃโœโœคโœ•โœฆโœฅโœฆโœง โœฅโœฆโ˜…โœ–โœ™โœฉโœฅโœชโœขโœฃโœซโœคโœ‘ โœ‘โœ”โœ“โœฌโœข โœ•โœฆโœ™โœ โœ™โœญโœœโœฎโœ™ โœ โœฅโœ˜โœ—โœฃโœ โœฏโœฌโœซ โœ‘โœฐโœ—โœฃโœฑ โœโœ†โœฒ โœ™โœญโœณโœญโœซ

โœดโ˜›โœตโœทโœถ โœธโœบโœนโœผโœปโœพโœฝโœฆโœฟโโ€โœ„โ‚โ„โƒโ…โœนโ†โ‚โ‡โœนโ‰โˆโ‹โŠโœ„โ‚โœŒโ—โ†โƒโ– โโโœนโ†โƒโ…โƒโ…โœนโ‰โˆโ–ฒโ‘โœ โœถโ–ฒโ–ผโ‰โ–ผโ‰โœดโ–โ—†Pโ–ฒโ——โ™โ˜โšโ——โฏโ˜ โฑโณโฒโฉโจโœฆโฌโชโญโ‹โซโดโซโ›โตโœโซโœฐโโกโžโขโญโ‹โฃโœโคโฅโฒโฉโฆโงโญโ™ โญโ™ฅโคโ™ฆโโ–ฒโญโ™ฃโซโ›โญโงโฒโฅqโ–ฒrโฏโฌโชโญ

โ– โถโ˜žโœโœ›โœœโ˜…โœ’โœโœ’โœ™โœ”โœชโœšโ˜žโœ‘โœ—โœซโœโœงโœโœŽโœคโœทโ˜…โœ’โœโœ’โœ“โœ–โœ—โœซโœโœธโœขโœ โ˜Žโœฅโœคโœธโจโœดโ˜…โœžโœคโœทโœคโœŽโ˜…โœงโœŸโž…โ˜žโœบโœŸPโœโœธโœชโœšโ˜žโžโœŸโœŽโœ“โœ–โœ—โœซโœฎโœฝโ˜Žโœžโœโœฉโœโœโ™ s โžƒโœฌโœคโœทโ˜…โœ’โœกโœŒโ˜žโœบโœŸโœŽโœŸโœŽโœ“โœ โœŸโ‚โœโ——โœฑ โ˜žโœ”โœโœงโœโœŽโœคโœทโœญโœ”โ˜žโœœโ™ โœ โ– โโ˜žโœ‘โœขโœ–โœคโœŽโ˜…โœ’โœกโœ”โ˜žโœนโœŸโœทโœŸโ‰โœ“โœ โœŸโ˜›โœโ——โœฑ โ˜žโœ”โœโœงโœโœทโœคโœŽโœญโœนโ˜žโœฃโ˜žโœบโœŸPโœโœดโœโœ–โ˜…โœžโœโœ โœกโœ‘โœโœ’โœญโœ”โ˜โœ โœโœ–โœ—โถโœขโœฏโ˜…โœžโœ“โœ–โœคโ˜›โœโœทโ˜…โœžโœ“โœ’โœ โ‘ฆโœ‰tโœ‡โœˆ โœขโœฟโ˜Žโœฅโœคโœโ™ โ‘ฉโฅโ‘  โ‘ฆโ‰โ‘งโœ‡โ‘ โ‘ขโ‘กโ‘กโ‘ฆโ‹โ‘ฃโ™ฆโ‘ค โž” โ‘ก โ‘ข โ‘ฃโœ‰ โ‘ฅ โ‘ฆ โ‘ฉโฅโ‘  โœˆโœฉโ‘งโœ‡โ‘ โ‘ฆโœˆ q qโ„โ‘งโ‹โ‘จ t โ‘จโ˜Žโƒโœฎโœฉโ˜žโœนโœกโ‘ฉ โž”โ—โž โœˆ โœกโœŒโ˜…โœ˜โ˜žโœŒโ‹โ—โœกโœŒโœ—โœšโ˜žโœ”โœโœงโœโœธโœโœ’โ˜žโœโœฎโœฝโ˜Žโœฅโœคโœทโœ—โœผโ˜Žโœฅโœโœ โœกโœ”โ˜žโœžโœพโ‘ฉ โ‘ก โž โœˆ โœโœถโ˜Žโœฅโœ“โœ’โœ•โโœ›โ‘โ˜…โœฝโงโœฉโ˜žโœ”โœโšโœโ——โœฑ โ˜žโœ”โœโœงโœโœŽโœคโœทโœญโœ”โ˜žโœฉโœพโ‘ฉ โ‘ข โ‘ฃ โœ“โœ โœโšโผโฝโ˜…โœžโœ“โœ–โœฎโœฉโ˜žโœ”โœ›โœœโ˜žโœ”โœโœงโœโœธโ–ผโœฐโœคโœŽโ˜…โœฝโ—†โ‚โœโœ–โœ—โœšโ˜žโœ”โœโฒโœณโœตโœคโœทโ˜Žโœฉโœกโ–โœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœ–โœโœ โ˜Žโœฅโœ—โœšโœคโœทโ˜žโœฃโ˜Žโƒโœฎโœฉโ˜žโœนโœกโœฃโž โžโทโถโธ โœพโนโœพโบโ›โปโœฐโผโฅโฝโฟโพโ™ฅโž€โžโบโžƒโž‚โžโž„โž†โž…โžˆโž‡โ‹โž‰โโžŠโž‹โžŠโžโžŒโžโžŽโž‘โžโฅโž’โž”โž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โž™โžŠโœ‰โž›โžœโž‰โž‹โžโœโž‰โโž’โžโž’โžŸโžžโž โ†”โžขโžกโฏโž‰โ–ฒโž›โžคโ†”โฟโ†•โž™โ†•โชโž‰โโ†•โžฅโ†’โžคโžฆโฉโ†”โžขโžโฅโžกโœ‰โžžโžงโž‰โ‹โžฆโฉโž“โžขโžกโฏโž“โฟโžŽโœผโžจโœทโ†’โžฉโžกโฏโž‰โœ‰โžโฅโ†•โชโž‰โž‹โžซโฟโž“โฟโž’โžŸโž‰โโžโฅโžกโœ‰โžซโžญโ†”โžขโžŒโžฏโžŠโžโžŒโžโ†•โœ โž‰โž›โžคโž‰โž‘โžฒโฟโžณโž†โžตโžคโžธs โžƒโœฌโœคโœทโ˜…โœ’โœกโœŒโ˜žโœบโœŸโœŽโœŸโœŽโœ“โœ โœŸโ‚โœโœ’โ˜žโœโœŸโœŽโ˜žโœ”โœคโœทโœฎโœงโœ—โœผโœกโœŒโ˜žโœœโ™ โœ–โœชโœšโ˜žโœโœŸโ‰โ˜žโœนโœคโœŽโœฎโœ˜โœ—โœผโœกโœŒโ˜žโœ‘โ˜žโœนโœŸโ‰โœโœธโœกโœŒโ˜…โœฉโœโœ โœŸPโœโœถโ˜Žโœฅโœโœงโœโœนโœฆโœ’โ˜…โœฉโœโโœโœ โ˜…โœฅโœโœŽโ˜žโœนโœคโœทโ˜Žโ–โžบโœฃโž โœˆ โœชโœšโ˜žโœฃโœโœทโ˜Žโœžโœ“โœ’โœ•โโœ›โœœโ˜…โœฝโงโœžโ˜žโœนโœโโœโœ’โ˜žโžโœŸโœŽโ˜žโœ”โœคโœทโœฎโœ˜โœ—โœšโœกโœ”โ˜žโœžโœพ

Pโ–ฒโ——โ™โ˜โšโ——โžฃโžป โฑโณโฒโฉโจโœฆโฌโชโญโ‹โซโดโซโ›โตโœโซโœฐโโžผโญโ™ โซโžคโคโฅโจโœฆโฌโฉโžฝโ…โžพโ…โžšโœ˜โญโžชโœพโžถโ›โžนโžดโž˜โžโžทโž†โžฌโžฎโžทโžฉโžฑโžฅโž˜โœƒโž‚โ‹โž„โžฉโž…โœฃโž‡โ‹โž‰โโžŽโœผโ†”โ’โž›โžœโžจโœทโž’โž”โž‰โฎโžโ–ฒโžกโฏโ†”โžขโฐโšโ†•โž™โžŒโž†โž‰โœทโ†•โณโž›โžœโž‰โ†โžŠโžงโ†’รโ†”โ’โžžโž รโžคโž“โœทร‘โ›โž‰โกร’ร“โž‰โœทโ†•โž™โ†’โžฃโžกโฏร”โžงโž‰โ–ฒโžโ–ฒโžกโฏโ†”โฟโฐโšโ†•โžฅโžŒโž†โž‰โโ†•โžฅโ†•โœ โž‰โž‹ร•โžงโžกโž โž“โžœโžžโœทโ†’โžฉโžŒโž†โ†”โžขโ†•โž™โ†•โœ โž“โžขโžŒโžโžกโฏโž‰โž‘โž‰โžโžŠโžโ†’โž‹โž’โž”โž‰โœชโžฆโœ โžกโฏโ†”โžขร–โžžโžงโž‰โžโžŠโžงโžŠโžโžโดโžŠโœฆร—โœžโž›โžœร”โžฉร˜โž‹โ†•โž™โžŒโœ โžฆโž™โ†”โฟโžโฅโžกโ†โ†’รโ†”โฟโžโฅโ†’ โ‘ฆโœร™โžƒรšโžดร› โžฆโž™โž“โฟโžกรรœ

ร— โœ‰ โ‘ รŸรž โ™ฅ โ‘งร รขรกโž รฃร รขรคโžœรฅ โ‘ โ€โ‘ฉ โœ‰ q โ‘ฉโฎรฆ q โžบ โ‘  โ‘ฆโœขq t โ‘งโ‰โ‘ง โžŠ โ›โœ โœพโœšโฌโœบโžŒโ‘ รŸรž โ™ฅ โ‘งร รขรกโž รฃร รขรคโžœรฅรจรง โ‘ค โž” โ‘ก โ‘ โ†โ‘ข โ‘ฃโœ‰ q โ‘ข โ‘ฃรฆ โ‘งโœšq โ‘  โžบ qโ‡โ‘กโณโ‘ง โ‘  โ‘ฆโ˜Žq t โ‘งโ™รฉ โžŠ โ›โœ โœพโžˆโชโœžโžŒ

โนโ˜›โบโดโปรชโผโฅโฝโฟโพโ™ฅโž€โ…โบโœŒโž‚โ‹โž„โžรซโ™ โž‡โžโž“โœโžŠโžโ†’รฌโž“โžขโ†’โžฉโžŒโž†โ†”โžขโ†•โž™โ†•โชโž“โฟโžกโžโžŒโžโ†’รร”โ–ฒโž›โžœโž‰โโžŠโœฆโž“โžคโžžโžงโžžโโžกโฏโ†”โžขโžŒโžฏโžŠโžงโžŠโโž‰โœทโžŽโœผโž‰โโ†•โžฅโ†’โž†โžŠโœฆโž›โฟโžโž‘โžŽโ–โ†”โžขโžโฅโžซโžญโž‰โœทโžŽโ–โž‰โœทโ†•โž™โ†’โžฅโžโ–ฒโžกโฏโ†”โžขโฐโšโ†•โž™โžŒโž†โž‰โœทโ†•โžผร•โžงโžกโฏโž“โžœโžžโœทโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โž™โ†•โชโž“โฟโžŒโžโžกโฏโž‰โœโž‰โโ†•โžฅร–โ†’โžฉโžกโž โž“โฟรญโžโ†•โœ โž‰โฎโž’โžŸโž“โ‰โžŠโžโ†’รโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โžฅโ†•โœ โž“โฟโžกโžโžŒโžโ†’รร”โ†โž›โฟโžโ‰โžฆโœ โžกโฏโ†”โ’โžžโžงโž‰โžโžŠโžงโžŠโžโžโดโžŠโฎโž›โžคโž‰โœโžŠโžงโ†’รโ†”โ’โžžโž รโžคโž“โœทร‘โ›โž‰โ‰โž‰โœทโ†’โœ˜โž›โžœโž‰โ†โžžโžงโž‰โžดร•โโž“โฟโžŒโžโ†’โž‹โžŒโžโž’โžฅโžŠโžโžโรฎโœฐโ†’โž‹โž›โžคโž‰โฎโžŠโฉรฏ โžŒโžโ†•โž™โ†’รร”โโžกโฏโž‰โโžŠโžงโžŠโœทโž‰โโžกโร’โกโž’โžŸโž“โž‘โžซโžญโž“โžขโžกโžโžŒโž†โž“โžœรฐโœทโž’โž”โž‰ร— โ‘  ร— โ‘  โœˆโœฉโ‘ง โž‰โโ†•รฑโžกโฏร”รฌร‘โžขโžŒโžโžŽโœผโž‰โกโžŠโžงโ†’รโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โžฅโ†•โœ โž“โžขโžŒโžโžกโฏโž‰โžฎโžธโนโ˜›โบโดโปรชโผโฅโฝโฟโพโ™ฅโž€โ…โบโœŒโž‚โ‹โž„โžฏรฒโœ†รณโ–ฒโ†”โฟโžโฅโžกโกโž“โžญโžŠโžงโžŠโžโžโฅโžกโฏโž‰โœทโžกโโž’โž”โž“โ–โžŠโžโ†’รโž“โžœรฐโœทโžŒโžโž’รดโžŒโžโ†’รฌร”โ–โž›โžขโžโœŒโžŠโžงรตโžญโžŠโžโ†’รโžจโโžŽโœผโž‰โโžณโœโ†”โฟโ†•รฑโžŒโžโžŽโžผโžฆโž™โ†”โžญโžŠโœทโž‰โฎโžบโœดโž โ‘ก โžธโ›โœฉโต

Page 61: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โพโœฅโญ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ‚โœ„โœโœ†โœ“โœ„โœ”๏ฟฝโœ•โœžโœกโœ โœ•โœ–โœ˜โœ—โœ™โ˜žโœ›โœšโœœโœ โœŒโœขโœฃ๏ฟฝโœ‚โœคโœฃโœ„โœฃโœฅโœฆโ˜žโœดโ˜›โœตโ˜…โœง โœฉโœ†โƒโ…โ€โœโœชโœฌโœซโโ€โœชโƒโ– โƒโ…โŠโœฆโˆโœฎโœญโœพโœฟโœฐโœฏโžโ—โœฑโœฏโ– โˆโœฎโœญโ˜›โƒโœ’โœฟโโ—โœณโœฒโœโ—โ‰โ‚โ„โ—โœ”โœฒโœดโœซโœตโœฏโžโŠ โœปโ„โ€ โˆโœ“โœฏโžโœนโœถโœฒโœ•โœทโœโ—โœนโœธโ‰โ€

โžƒโŠโ˜…โœฉโœ“โœ–โœคโœปโœโœ–โ˜…โœžโœโœ–โœโœ–โ˜žโœนโœคโฅโœโœ’โ˜žโœบโœŸโžโœขโœ–โœคโœทโ˜…โœžโœขโœ–โœคโœทโœ—โœšโœญโœŒโœโœŽโœญโœบโœŸโžโœŸโœŽโœ“โœ–โœคโžโœชโœผโ˜Žโฝโœกโœ”โ˜Žโœžโœขโœ โ˜Žโœžโœกโœ”โœ—โปโœโœทโœญโ—โœโœ’โ˜žโโœŸโ‰โœโœŽโ˜…โœ’โœกโœถโˆโœฝโ˜Žโœฅโฆโœฉโ˜žโœžโœฆโ——โœ—โœšโœชโ„โœขโœ โ˜Žโœžโœคโœทโ˜Žโœฝโคโœšโœโžโœโœฟโ˜ŽโœฝโœโœŽโœ“โœ โœคโœŽโ˜žโœนโœชโ„โœโœ’โ˜žโฒโœกโœ”โ˜…โœžโœขโœ–โœ—โœšโ˜žโœ”โœคโœปโœกโœŒโ˜žโฒโ…โœงโœ“โœ–โœ—โ˜ŽโšโœญโœŒโœโœทโœญโ‡โœณโ†โ˜Žโœฅโœ—โœซโœโฅโœขโœฏโ˜…โœžโœ“โœ–โœคโžโœชโœšโ˜žโ—โœ›โœœโ˜…โœžโœ“โœ โœฎโœžโ˜žโœ”โœ›โœœโ˜žโœนโœโœฉโœโฅโ–ผโœฐโœคโœทโ˜…โœฝโ—†โ‚โœโœ–โœ—โœšโ˜žโœ”โœโ‘ฅโ˜…โœžโœคโœถโœโœ’โœ—โœšโœโœ โ˜Žโœฅโœ—โœšโœคโœŽโ˜žโœฉโœพโถโœ„โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโฅโœกโœ”โ˜žโ—โœกโœ”โ˜ŽโœฉโœŸโœ”โœฆโถโœ“โœ โœโœ–โ˜žโฒโ˜Žโœฅโœขโœ โœขโœ–โœชโœซโœ—โœผโœกโœ”โ˜ŽโœฅโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโฏโœโœ’โœ“โ‘ฅโœโœทโบโœ–โœญโœ”โ˜…โœฉโœคโœŽโœ™โœนโœ›โœœโ˜žโœโœ’โ˜žโขโž‰โœฃโœ—โœšโœคโœทโœŸโœทโ˜Žโœฅโœโœ–โ˜…โœฝโœฎ โœโœ–โ˜…โœžโœ“โœ โœŸโ‡โœณโ†โ˜Žโœฅโœ—โœซโœโฒโœขโœ โ˜ŽโœžโœŸโœทโœŸโœŽโ˜žโœ”โœคโฒโœโ——โœฑ โœ“โœ–โœsโœขโœ–โœคโœทโ˜…โœ’โœกโœŒโ˜žโœบโœŸโœŽโœŸโœŽโœ“โœ โœŸโ‡โ˜Žโƒโœฎโœžโ˜žโœบโœกโšโœโœ’โœญโœ”โœคโœทโœ—โœซโœฎโœฉโ˜žโฝโ™โ‘ฅโœ“โœ–โœsโœขโœ–โœคโœทโ˜…โœ’โœกโœŒโ˜žโœนโœŸโœทโœŸโœŽโœ“โœ โœŸโ—โœŸโœทโ˜Žโœฅโœโœ โœŸโ‡โœโœ’โœญโœนโœคโœŽโœ—โœšโœฎโœžโ˜žโœปโœบโœฝโœผ โž” โœ“โœ โœโœกโœถโบโœ โ˜Žโœฅโœโœ โฆโœžโ˜žโœ”โœ›โœœโ˜žโœนโœโœฉโœโœโœโœ’โ˜žโœœโœขโœ–โœคโœทโ˜…โœžโกโœ โ˜Žโœžโกโœ–โœ—โœšโœชโœซโœ—โœซโœโœŽโœญโ‡โ˜ŽโœฅโกโœฟโœŸโ‰โ˜…โœฉโœชโœซโœ“โœ–โœ›โœœโ˜žโœนโœโœฉโœโžโœกโœ”โ˜…โœžโœโœงโœโœŽโœ—โœšโœโœ˜โœ“โถโœพโถโ– โโ˜Žโšโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโœนโœŸโ‰โœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœ โ˜žโœนโœŸโ‰โœโžโ˜Žโœฅโœชโœšโ˜…โœžโœคโœถโœŸโœ‘โœกโœŒโœชโœšโ˜…โœฉโœŸโœŽโ˜žโœปโœขโœ–โœ“โœ โœ—โœšโœŸโœทโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโ‡โœชโœซโ˜ž tโœนโ™ฅ โ‘ง โœโœ–โœ“โœ›โœœโ˜…โœžโœ“โœ–โœฎโœฉโ˜žโœ”โœ›โœœโ˜žโœ”โœโœงโœโžโ–ผโœฐโœคโœŽโ˜…โœฝโ—†โ‚โœโœ–โœ—โœšโ˜žโœ”โœโธโ˜…โœžโœคโœถโœโœ’โœ—โœšโœโœ โ˜Žโœฅโœ—โœšโœคโœŽโ˜žโœœโ˜žโœบโœŸPโœโœโœขโœ โ˜Žโœžโœคโ‰โœณโ†โ˜Žโœžโœ—โปโœโœทโ˜žโœ”โœ›โœœโ˜žโœ”โœโœงโœโฅโœกโœŒโ˜…โœฉโœโœ–โœโœ˜โœ“โธโ˜žโœ”โœโฅโœโœ’โœญโœนโœกโœ”โ˜…โœžโœ“โœ–โœชโœšโ˜žโ‡โœโœ’โ˜žโ‡โœชโœผโ˜Žโšโœขโœ–โœคโœŽโ˜…โœฉโœขโœ–โœคโœทโœ—โœซโœญโœ”โœโœŽโœญโœœโœโœ’โ˜žโ—โผโฝโ˜Žโœฅโœคโœทโˆโœžโ˜…โœฝโœฎโœพโœ–โ˜…โœฉโœคโ‰โœโœบโœพโœžโ–ผโœฐโœ—โœซโ˜žโœนโœโœœโ…โœงโœ“โถโœฑ โœ“โœ–โœโœ–โ˜žโ‚โœฎโœฉโ˜žโœ”โœคโœถโœŸโ‰โœ—โœšโ˜…โœžโœโœปโœณโœตโœคโœถโ˜Žโœžโœกโ–โœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœ–โœโœ โ˜Žโœžโœ—โœซโœคโœทโ˜žโ‚โœโœ’โœ“โ‘โœโœŽโบโœ–โœญโœนโ˜…โœžโœคโœทโœ™โœ”โœ›โœœโ˜žโœธโœโœ’โ˜žโœดโž‰โœฃโœ—โœšโœคโœทโœŸโœทโ˜Žโœฅโœโœ–โ˜…โœฝโœฎโœโ˜žโœ”โœ•โœ’โœ—โœšโœŸโ‰โœโœŽโ˜ž โžŠ โœฎโœžโ˜…โœžโœ—โœšโœคโž…โจโœดโ˜…โœžโœคโœทโœคโœŽโ˜…โœงโœŸโ„โฉโœšโฌโœนโญโ€โœฟโœ’โœฆโœ–โฌโœบโญโœฅโ›โƒโซโœตโžŒโ–โœฆโœกโœŒโ˜žโœบโœกโœŒโœ—โœ’โœโœ–โ˜žโ‚โœโœ–โ˜…โœฉโœ“โœ โœŸโโœคโœทโ˜žโœ”โœโœ โœโœปโœขโœ โ˜ŽโœžโœŸโโกโœฏโ˜žโœนโ˜Žโœžโœ“โœ โœกโœŒโ˜…โœฉโœ“โœ–โœขโœœโœโœ’โ˜žโœธโœŸโ‰โ˜žโœนโœคโœŽโœฎโœ˜โœ—โœผโœกโœŒโ˜žโœฐโœขโœ–โœ“โœ–โœ—โœผโœŸโœŽโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโ˜›โœชโœšโ˜ž tโœนโ™ฅ โ‘ง โœโœ’โœ“โ‘โœ›โœœโ˜…โœžโœ“โœ–โœฎโœฉโ˜žโœ”โœ›โœœโ˜žโœ”โœโœงโœโœฌโ–ผโœฐโœคโœŽโ˜…โœฝโ—†โ‚โœโœ–โœ—โœšโ˜žโœ”โœโœปโœณโœตโœคโœถโ˜Žโœžโœกโ–โœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœ–โœโœ โ˜Žโœžโœ—โœซโœคโœทโ˜žโ˜žโœนโœŸโ‰โœโ‚โ˜žโœ”โœโœ โœกโœ”โ˜…โœžโœคโœทโ˜žโœฃโœขโœฏโ˜žโœ”โœ“โณโœกโœ”โ˜…โœžโœโœ–โœโœ˜โœ“ โžŠ โ˜…โœžโœโ‘กโœโถโœฑ โ˜Žโœœโœขโœ โ˜ŽโœžโœŸโ˜›โœชโœผโ˜Žโ‘โœขโœ–โœคโœทโ˜…โœžโœขโœ–โœคโœทโœ—โœซโœญโœ”โœโœŽโœญโœโœโœ’โ˜žโœโผโฝโ˜ŽโœžโœคโœŽโˆโœฉโ˜…โœฝโœฎโโœพโœ โ˜…โœžโœคโœŽโœโœถโžŒโœŒโœพPโ–ฒโ——โžฉโžปโœชโ——โฏโ˜ โ‚โžˆโฃโžผโญโœ†โฒโฉโญโœœโƒรขโžพโ…โคโฉrรขโจโœโฃโ…โ„โžงโฒโฉโจโœ˜โฃโœโคโฉrโ‡โ†โ‹โฒโฉโญโœšโซโดโตโ–ฒโฒโœ›โƒโ™โญโ‹โซโœ’โˆโžผโžพโžดโฒโฉโžพโŠโ‰โ‹โ†โ™ฅโคโฅโฒโฉโญโ‹โซโ—โœธโœโœ–โ˜žโ‘โœกโœŒโ˜…โœžโœโœฟโœโœ’โœ—โปโœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโฝโบโœ โ˜Žโœžโกโœ–โœ—โปโœโœทโœ“โœ–โ˜žโœ”โœชโœšโœชโœšโ˜žโœปโœโœ–โ˜Žโœžโœโœ โœŸโœธโœชโœšโ˜žโœนโœŸโœฃโ˜Žโœฅโœขโœ–โœขโœ โœชโœซโœ—โœผโœกโœ”โ˜ŽโœฅโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโœ โœŸโœธโ˜Žโœžโœ“โœ’โœ•โšโœโœŽโœญโœนโœชโœซโœญโœบโœกโœŒโ˜…โœžโœ›โœœโœ›โœปโœ“โœ–โœโœ–โœ—โœผโœกโœ”โ˜Žโœฝโœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœ โœŸโ‚โ˜žโœบโœŸPโœโœ‘โ…โœฉโœ“โœ โ˜žโฅโœชโœผโ˜Žโ‡โœขโœ–โœคโœทโ˜…โœžโกโœ โ˜Žโœžโกโœ–โœ—โปโฟโœชโœซโœ—โœซโœโœŽโœญโœœโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโฅโœชโœผโ˜Žโฒโœกโœถโบโœฟโ˜Žโœฅโœคโœทโฆโœžโ˜žโฅโœโœ’โ˜žโœปโœโœŽโœคโœถโ˜Žโƒโœฎโœฝโ˜Žโœฅโœ—โœšโœชโโœโœ–โ˜Žโœžโœโœ โœŸโœ†โœชโœซโ˜žโœœโœŸโ‰โงโœ’โœŸโ‰โœโœŽโœ™โœนโœ›โ‘โ˜žโ‘โœโœ’โœญโœ”โœขโœฟโ˜ŽโœžโœŸโœทโœŸโ‰โ˜žโžโœ“โœ โœโธโœกโœŒโ˜žโœนโœคโ‰โœโœถโ˜Žโœฅโœ—โœšโœโฝโœโœ–โœ—โœšโœฎโœžโ˜žโœบโ˜Žโœฅโœ“โ– โโ‘ฅโ˜Žโœฅโœขโœ–โœขโœฏโ˜žโœ”โœชโœšโœญโ‘โโž‹โ†”โžขโ†•โœ โž›โฟโžŒโžโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โœƒโž›โžœโž‰โžŠโžโ†’รฌโ†”โ’โžžโž รโžคโž“โœทร‘โ›โž‰โœœโ˜žโœบโœŸPโœโœ‘โœโœ–โœญโœนโœกโœ”โ˜žโœนโœŸโœทโœŸโœŽโ˜Žโœžโœ—โœซโœคโœทโ˜žโœ”โœ›โœœโ˜žโœนโœโœฉโœโœฃโ˜Žโœฅโœ“โขโœขโœ โœชโœซโœ“โœ โœŸโœฃโœญโœนโฆโœฉโ˜Žโœฅโœชโœšโ˜žโœปโ™โฒโœ“โœ–โœ โœขโœ โ˜Žโœฅโœคโœถโ˜Žโœฅโœ›โœœโœ™โœŒโœโœทโœคโœŽโ˜žโœ”โ–ฒโฒโ˜Žโœฅโœขโœ–โœขโœฏโ˜žโœ”โœชโœšโœญโ—†โ–ผโœทโžโž™โž“โฟโž’ โžŒโžโ†’รฌร”ร“โž›โžคโž‰โž‘โžŠโœทโž‰โโžกโžโžซโ’โžŒโž†โžžโžงโž‰โœŒโœพโœ“โโ‘ฅโ˜žโœบโœŸPโœโœ‘โœชโœซโ˜žโœŸโ‰โœ“โœ โกโœ โœŸPโœโœทโœ—โปโœโœทโœ“โœ’โœโœดโœโœ’โ˜žโœโœชโœผโ˜Žโœœโœกโœ”โ˜Žโœฅโœขโœฟโ˜ŽโœžโœกโœŒโœ—โœซโœโœŽโœญโœโœโœ’โ˜žโœโœŸโ‰โœโœŽโ˜…โœ’โœกโœถโˆโœฝโ˜Žโœฅโฆโœฉโ˜žโœ‘โœโœ โ˜Žโœฅโœโœ โœŸโ˜›โœโœ–โ˜…โœžโœโœŽโœคโœทโ˜žโœ‘โœ›โ‘โ˜…โœ’โœโœ’โœ™โœนโœชโœซโ˜žโœโ™โœœโœกโœ”โ˜Žโœžโœขโœ โ˜Žโœžโœกโœ”โœ—โปโœโœทโœญโœ‘โœ—โœซโœโœ’โ˜โœฟโœโœ–โœ—โœซโ˜žโœฉโœพโ– โโ˜Žโ‘โœคโœŽโ˜žโœนโœชโœšโ˜ŽโœฅโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโšโœŸโ‰โœ“โœ โœ—โœซโœฎโœฝโ˜Žโœฅโœโœงโœโœทโ˜žโœ‘โ˜Žโœœโœโœ’โ˜…โœฉโœโœ โœกโœ‘โœชโœšโœ—โœซโ˜žโœนโœ“โ‘กโ˜Žโœžโœ“โ‘กโœ›โ‡โ˜Žโœฅโœ•โœ˜โœ—โœšโœ›โฅโœ“โœ โœ› โœโœ’โ˜žโžโœกโœถโบโœ โ˜ŽโœžโœคโœŽโฆโœฉโ˜žโœดโœขโœฏโ˜žโœ”โœคโœทโœ›โ‘โœ—โœผโœŸโœŽโ˜žโ‡โ™ 

qPโ– ร— โžโ——โโœ‘โ˜ โ‘  โ–ฒ โžŠ โ›โœ โœพ โœฟโœฉโžŒโ™โœฌโœชโœšโœชโœซโ˜žโž…โœโœ–โ˜…โœžโœโœ–โœโœ–โ˜žโž…โœ“โœ–โœโœ–โ˜žโœฌโœคโœทโ˜žโœ”โœชโœผโ˜Žโœฝโœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœฃโ˜žโœนโœโœงโœโœŽโœคโœทโ˜žโ–ฒโœชโœซโ˜žโœบโœŸโ——โœขโœ โ˜Žโœฅโœคโœถโ˜Žโœฅโœ›โœœโœ™โœ”โœโœŽโœคโœทโ˜žโœนโœŸโ——โœโœ’โœ“โฅโœŸโœŽโงโœ’โœŸPโœโœทโœ™โœ”โœ›โœœโ˜žโœฌโœŸโœŽโœญโœ”โœขโœ โ˜Žโœžโœคโœทโ˜Žโœžโœโœฉโœโ——โœชโœšโ˜žโœนโœŸโโœกโœŒโ˜…โœžโœ›โœปโกโœ–โœ—โœšโœโœ โ˜Žโœฅโœ—โœผโœŸโ‰โ˜…โœฉโœโœ โœŸโ——โœโœ’โ˜žโœฌโœขโœฟโ˜Žโœฅโœคโœถโ˜Žโœฅโœ›โœœโœ™โœŒโœโœทโœคโœŽโ˜žโœบโœŸโ˜Žโœžโœโœ’โœ›โœœโœ—โœผโœŸโœŽโœŸโœŽโœ—โœšโกโœ–โœชโœซโ˜žโœบโœŸโ˜›โœโœ’โ˜žโœนโœŸโœธโ˜Žโœžโœ“โœ’โœโœŽโœคโœทโ˜žโœนโœŸโœ‘โ™ โšโœ”โฏ โžถโ›โžฑโžฅโฝโฒโฑโดโปรชโบโœŒโž‚โ‹โž„โžฉโž…โœŽโณโœ โžโ’โžฆโžœโžฆโž™โ†”โžญโžŠโœทโ†”โฟโ†•โž™โžŠโœ”โ–ผโœทโžโž™โž‰ โžŠ โ›โœฟโœพ โœฟโœงโžŒโฎโžŠโœทโ†”โฟโžŒโžโ†’โœ‰โžซโžญร”โœทโžกโžโžŒ ร˜โœร”โžงโž‰โ’โžธโ‹รณโœฆโ†”โžญโžŠโœทโ†”โžขโ†•โฉโžŠโœŒโจ โ‘ โ…โฉ โฌ โžธโœดโญโœชโ†•โณโž“ร“โž’โž”โž“โ˜›โžกโฏโž‰โโž’โžŸโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†• โžŠโžโžโฅโžŒโžโžซโฟโž“โฟโ†•โžฅโ†’รฌโž‰โž‘รœ

โชโœŒโซ โจโจโตโดโ›โโœ

โžบ โœโœœโž โดโ›โœ โ โด โžโ€โœโœ โ‘  โžบ t โ‘ฆ โ‘ฅ โžŠ โ›โœ โœพ โ›โœงโžŒโญโœฆโกโ„โž’โžŸโž“โ˜›โžžโžงโ†”โฟโ†•โž™โžŠโžงโ†’รโž“โฟโ†•โžฅโ†’รฌโž‰โ‰โ†•โœ โž‰รโž›โžœร”รโžฆโฉโž‰โœทโ†•โœ โž›โขโ–ผโโžโž™โž‰โž‘โž›โžœโž‰โโžŠโœ‰โžฆโฉโž“โžขโžกโฏโž“โฟโžŽโœผโžจโœทโ†’โžฉโžกโฏโž‰โโžŠโœธโž โž‰โœทโ†’โฃโ–ฒโž™โžธโคโœ˜โบโดโปรชโปรชโบโœพโž‚โ‹โž„โžฉโž… ร— โœโ‘  รž โ™ฅ โ‘งโœ‰โโฅโงโฆ โ‘ โ†โ‘ฉโฅโ‘  โ‘ฆโ‰โ‘ง โซ โžบ โ‘ฆโ‰โ‘งโ™ รร”โœทโžŽโ–โ†”โžขโ†•โฉโžŠโžโ†’โžฃโžกโฏโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†• โž›โฟโžโœŒโž’โž”โž‰โœทโžŽรโžŽโœผโž‰

โ™โœฌโœโšโ˜žโœŒโž€โžโ˜žโœŒโœโœบโœฆโœ โœโœ’โ˜ž โžŠ โ›โœฟโœพ โชโœฉโžŒโ„โ˜…โœžโœโšโ˜Žโšโ™ ร— โ‘ โœฃรž โ™ฅ โ‘งรฆโ˜…โ™ฅ โฆ โ‘  โ‘ค โž” โ‘ก โ‘  โซ โ‘ข โ‘ฃ โ‘  t โ‘งโ‰โ‘ง โซ โ‘  โžบ โซ โ‘กโณโ‘ง โ‘  โซ t โ‘งโœŽโ‘ง

โ™ฆ โœคโ‚โœชโœซโ˜žโœบโœŸโ‚โœขโœ–โœคโœทโ˜…โœ’โœกโœŒโ˜žโœนโœŸโœทโœŸโœŽโœ“โœ โœŸโœ™โ™ฃ โซ โ‘ข โ‘ฃรฆrq t ร™ รšts โ˜žโœŒโœโœฃโ™ฃ โ‘ข โ‘ฃโœ‰ รฆโœˆq t ร™โžƒรšts โœŸโœŽโ˜…โœžโœโœงโœโœดโž‰โœ‘โ˜Žโœฅโœ“โœ โœŸโœทโœŸโœŽโœ—โœซโ˜žโœนโœโœ โœŸโœธโœกโœŒโ˜žโœนโœโœงโœโœŽโœคโœทโœญโœนโœŸโ‚โœโœ’โ˜žโœโœ›โœœโž‹โœ”โœ›โœœโ˜žโœ‘โœณโœตโ˜…โœฉโœโœ โœกโ–โœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœโœ’โ˜žโœโœกโœŒโ˜…โœฝโœฎโœฝโ˜Žโœฅโœคโœทโœ—โœผโ˜Žโœฅโœโœ โœกโœ”โ˜žโœฃโœโœ’โ˜…โœฉโœโœ โœกโœฃโœ—โœซโœโœฟโœโœ’โœ—โœšโœŸโ‰โœโœŽโœ—โœšโœโœ–โฆโœฉโœ“โœ โ˜Žโœฅโกโœ–โœชโœšโ˜žโœนโœŸโœนโœพโžƒโ–ฒโ˜ŽโœฅโœคโœธโœกโœŒโ˜…โœฉโœโœ โœŸโœŽโœญโœนโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโœ”โœโœงโœโ˜›โ˜…โœžโœโšโ˜Žโšโ™ ร— โœโ‘ โ‘ฆรž โ™ฅ โ‘งรฆโ˜…โ™ฅ โฆ โ‘  โ‘ค โž” โ‘ก โ‘ข โ‘ฃ โ‘  โซ t โ‘ง โซ โ‘  โžบ โซ โ‘กโณโ‘ง โ‘  โซ t โ‘งโ‰โ‘งโœโ‘ โ‘ฆรž โ™ฅ โ‘งรฆ โฅโงโฆ โ‘  โ‘ค โž” โ‘ก โ‘ข โ‘ฃ โ‘  t โ‘ง โซ โ‘  โžบ โซ โ‘กโณโ‘ง t โ‘ง

โœ‡

Page 62: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ‘โœ ๏ฟฝโœ‘โœPโœ†โœŸโ˜›โœŒโ˜žโœ‚โœโœปโœž โ˜žtโ˜› โ˜›โœŒโœ–tโœšโ˜Žโœ„โœโœ†โฃโœ  โœ„โœโœ  โœšโ˜Žโœ„โœ•โ˜›โœžโœ†โœœโœ„ ๏ฟฝโœ‚โœ„โœโœ†โœ“โœ„โœ”๏ฟฝโœ•โœžโœกโœ โœ•โœ–โœ˜โœ—โœ™โ˜žโœŽโœšโฃโœ โœŒโœขโœฃ๏ฟฝโœ‚โœคโœฃโœ„โœฃโœฅโœฆโ˜ž โพโœ–โฌโ™ รร”โœทโžŽโ–โ†”โžขโ†•โฉโžŠโžโ†’โžฃโžกโฏโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†• โž›โฟโžโœŒโ†’โœ โœŸโž™ร”โžงโ†”โฟโžกโฏโžจโœทโžŽโ–โž‰โœโœ˜โ˜…โœžโœ—โœซโœโœโโณโž โœˆ โœพ โ™ฆ โœโณโ˜Žโโ™ 

qPโ– ร— โž โ โ˜ โ‘  qsr รž โ™ฅ โ‘งโœ‰โโฅ โฆ r โ‘ค โž” โ‘กโ โ‘ขโฅโ‘ฃโ‘โ‘  โ‘ฆโ‰โ‘ง โซ โžบ โซ โ‘ก

โ โ‘ฆ โ‘จ โž โช โ‘จโ– โœฌโœฑ โ˜Žโœฅโœ“โœ’โœโœทโ˜…โœฅโฟ โœŸโ‰โœ—โœšโœ›โœœโœ—โœซโœชโœผโ˜Žโœฅโœคโœทโœ—โœซโœโœŽโœญโœ‘โœโœ’โœ“โšโœ›โ‘โ˜…โœฉโœ“โœ–โœฎโœžโ˜žโœนโœ›โœœโ˜žโœ”โœโœงโœโœธโ–ผโ„โœคโœทโ˜…โœฝโ—†โ‚โœโœ–โœ—โœšโ˜žโœ”โœโฒโœณโœตโœคโœทโ˜Žโœฉโœกโ–โœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโœ โœโœ โ˜Žโœฅโœ—โœšโœคโœŽโ˜žโœฃโœโœ–โ˜…โœฉโœ“โœ โœŸโ‚โ˜ŽโœžโœŸโœทโœŸโ‰โœ“โœ โœคโœŽโ˜žโœ‘โ…โœงโœ“โœ–โ˜žโœœโ™ โœก โ‘ค โž” โ‘ก

โ โ‘ข โ‘ฃ โ‘  โ‘ฆโ‰โ‘ง q โ‘ฆโœร™โœŒรšโ˜žโ˜› โœโ‘ โœโœŒ โ‘ข โ‘ฃ โ‘  r โ‘ค โž” โ‘กโ โ‘จ โดโœ โ‘ฆโ‰โ‘ง q โ‘ฆโœร™โœŒรšโœโœŽ

โ™ฆ โœโโœขโœฏโ˜…โœฉโœŸโœŽโ˜žโœ‘โœ›โ‡โ˜Žโœฅโœ—โœšโœโœฉโœโœทโ˜žโœ”โœโœ โ˜Žโœžโœโœงโœ t โ‘ โœ’โœ‘โœ”โœ“ โœ• โฉโœ–โœ˜โœ— โดโœ โ‘ฆ โ˜žโœŒโœโœธโ˜…โœžโœโšโ˜Žโšโ™ qPโ– ร— โž โ โ˜ โ‘  qโœšโœ™ รž โ™ฅ โ‘งรฆ โฅ โฆ โœ™ โ‘ข โ‘ฃ โ‘  t โ‘ง โซ โžบ โซ โ‘ก

โ r โ‘ค โž” โ‘กโ โ‘จ โž โดโœ tโœ”โœ› โž โช โœ›

โ‘ โœขโœœโœคโœฃ โ‘  โžบ โซ โ‘กโณโ‘งโ– โ‘ค โž” โ‘ก โ˜ โดโœ โ โดโœ โœ‰ โถโœฆโœฅ

โœง โœฎโœฉโ˜žโœนโœก โœœ โ‘ โœฉโ˜… โ‘งโœ–โ‘  qsr รž โ™ฅ โ‘งโœ‰โโฅ โฆ โ– โ‘ข โ‘ฃโœ‰ โซ โ˜… โ‘ฆ โ˜โถโž โช โ‘จ โœพโœ†โฑโ„โ˜žโœŒโœโ‰โœโœทโ˜žโขโœณโœตโ˜…โœฉโœโœ โœกโ–โœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโทโ˜žโœบโœŸPโœโฝโœŸโ‰โœโœŽโœคโœทโœ—โœšโœกโœŒโœโœŽโ˜žโœ”โœ›โœœโ˜žโœนโœโœฉโœโณโœโœ’โœญโœบโœกโœŒโœคโœทโ˜…โœžโœ—โœผโœŸโœŽโœŸโœทโ˜ŽโœฅโœโœงโœโœŽโ˜žโขโ˜žโœŒโœโšโ˜…โœžโœ โ˜Žโœœ โ‘  โœˆโœงโ‘งโžดโ‘  โช โ˜žโœŒโœ โœœ โ‘ โœซโœช โ‘งโž‹โ‘ โœฃโœˆ โœพ โ™ฆ โœโ‘กโœขโœฟโ˜žโœนโœ“โœ’โœโœ†โœโœ’โ˜…โœฉโœโœ โœกโœฃโœญโœนโœกโœ”โœคโœŽโœ—โœšโœคโœŽโ˜žโœ‘โœชโœšโ˜žโœนโœŸโ˜›โœคโœทโ˜žโœ”โœชโœผโ˜Žโœฝโœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœ โœŸโ˜›โœŸโ‰โœ“โœ–โœ—โœšโœฎโœฝโ˜ŽโœฅโœโœงโœโœŽโ˜žโœบโœŸโœ‘โ™ โ–ฒ โ‘  qPโ– ร— โžโ——โโœ‘โ˜ โ‘ โœขโœœ โœฃ โ‘  โžบ โซ โ‘กโšโ‘ง

โ– โ‘ค โž” โ‘ก โ˜ โดโœ โ โดโœ โœ‰ โถ โœฅโœโœ’โ˜…โœžโœโœฟโœกโœœ โœ‰ โถ โ‘  โ–ฒ โ‘งโœโ‘  โ‘  โžบ โซ โ‘กโณโ‘ง

โ– โ‘ค โž” โ‘ก โ˜ โดโœ โ โดโœ โœ‰ โถโ™โœฌโœโณโœŸโ‰โœ“โœ โกโœ โœŸPโœโœทโœ—โปโœโœทโœ“โœ โ˜Žโœฅโœโœงโœโœโจ โ‘  โฉ โฌ โœฆโœ–โ˜…โœžโœโ‘กโ˜…โœžโกโœ’โœโœทโœ—โœซโ˜žโœนโœโœงโœโœธโœชโ€โœฑ โœญโœนโ…โœงโœ“โœ โ˜ŽโœฅโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโ‘กโœฎโœžโ˜…โœžโœ“โœ โœชโœซโœ“โœ–โ˜žโœโ™โœœโœŸโœทโ˜Žโƒโœฎโœžโ˜…โœžโœ—โœšโœคโœฃโ™ 

โชโœŒโซ โจโจ โถโœญโœฌโœฏโœฎ โธ โ‘ฃโœฑโœฐ โ‘จ โžบ โœฎ โ‘ฃ โœ‰ โดโ› โœฐ โœฌ โ‘ฃ โ‘จ โ โœฎโžฏโถ โœ‰ โ‘ฃโœฒโœฐ โœฌ โ‘ฃ โ‘  โž” โถโœญโœฌโœฏโœฎ โธ โ‘ฃโœฑโœฐ โ‘จโœณโœœ โœ‰ โถ โ‘  โ–ฒ โ‘ง

โžƒโ–ฒโ˜Žโœฅโœคโœธโœโœ’โœญโœ”โ˜โœ โœโœ–โœ—โœซโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโšโœโœ’โ˜žโœโœชโœšโ˜Žโœปโœณโœตโ˜…โœฉโœโœ โœกโ–โœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœ โœœ โœฆโœ–โœกโœ”โ˜žโœ”โœชโœšโœชโœซโ˜žโžโœกโœ”โœ—โ——โœโœ–โ˜žโžโœโœ’โœญโœนโœขโœฟโ˜žโœนโœโœ โœโšโ…โœฉโœ“โœ โ˜žโžโœโœ’โ˜žโœโž โ˜žโœ”โœโœธโœโœ’โ˜žโœฑโ–ฒโœ’โœฆโœ โœโ——โœฑ โ˜…โœตโœดโ‘กโœชโœซโ˜žโœโœคโœทโœญโœนโœŸโœŽโœ“โœ–โœชโœซโœโœทโ˜Žโœฝโœโ‚โœญโœนโœโœ–โ˜…โœžโœโœ โœกโœ”โœญโœžโœพโœ‡

โžชโœพโผโž™โž˜โœทโœถโœนโœธโž†โบโœปโœบโžœโผโœผโœถโœพโœฝรโฝโžญโžฑโ€โœฟโœผโž˜โ…โžทโž†โบโดโž˜ โœ„โœฃโ˜Žโœฅโœโœ โœŸโ„โœชโœซโ˜žโœ‘โœกโœ”โ˜ŽโœฉโœŸโž…โœขโœฟโ˜ŽโœฅโœคโœŽโœโœŽโœ—โœผโœกโœŒโœ“โœ–โœชโœšโœ—โœซโ˜žโœนโœคโœฐโœโœ–โœ“โฒโœ›โœœโ˜…โœžโœ“โœ–โœฎโœฉโ˜žโœ”โœ›โœœโ˜žโœ”โœโœงโœโ˜›โ–ผโ„โœคโœทโ˜…โœฝโ—†โ‚โœโœ–โœ—โœšโ˜žโœ”โœ โ™ฆ โœคโœถโœโœ’โœ—โœšโœโœ โ˜Žโœฅโœ—โœšโœคโœŽโ˜žโœฉโœฆโœฉโž โ‘  โถโธ โœฆโœชโœšโ˜Žโœปโœณโœตโ˜…โœฉโœคโœŽโœ›โœปโœ“โœ–โœชโœซโ˜ž โžŠ โ›โœ โœพ โ›โœงโžŒโœฐโœŸโ‰โ˜žโœ‘โœคโœทโœญโœนโœโœ’โœ“โœ โœ—โปโœโœดโ™โ‘กโ™  โชโœŒโซ โจโจ โ โ‘  โžบ t โ‘ฆ โ‘ฅโฑโ„โ˜žโœŒโœโœŽโœโœŽโ˜žโœดโœคโœทโ˜žโœ”โœชโœผโ˜Žโœฝโœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœœโ˜žโœนโœŸโ‰โœโ„โกโœ–โœ—โœšโ˜žโœ”โœโฒโœกโœ”โ˜…โœžโœโœ–โœโœ˜โœ“โœ–โ˜žโ‚โ˜žโœ”โœโœฐโœกโœ”โ˜…โœžโœคโœทโœคโœŽโ˜žโœบโœŸโ‰โœขโœฏโ˜…โœžโœโœ โœโœœโ™โœโœชโœฒโœฑ โ˜Žโœฅโœขโœ–โœขโœ–โœคโœทโ˜…โƒโœ•โœ’โœ—โœซโœ›โ‡โ˜ŽโœฅโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโ‚โโกโž‰โžงโž“โฟโžซโ’รตโฟร–รโ†’โžฃโžกโฏโž“รขรฎโœ‡โžžโœดโœโถโœฑ โœ“โœ–โœโœ โ˜žโœธโ˜โœ โœชโœšโ˜žโ˜žโƒโ…โ„โ‡โ†โˆโ„ โช โœพ

โžชโœพโผโž™โž˜โœทโœถโ‰โœธโžฉโบโŠโœบโžœโผโœผโœถโ‹โœฝโกโฝโฟโžฑโ€โœฟโœผโž˜โžโžทโžฉโบโดโž˜โโ—โžฉโฝโฟโผโœผโœบโžœโžฌโžฎโžทโžฉโžฑโžฅโž˜โ…โž˜โžโผโž™โžทโขโฝโฟโบ โœ„โœฃโ˜Žโœฅโœโœ โœŸโ‘โœชโœšโ˜žโšโœกโœนโ˜ŽโœžโœŸโ‡โž โž โถโธ โœฆโ–ฒโœชโœผโ˜Žโ‘ฅโœŸโ‰โœ—โœซโœโœŽโœ“โœ โ˜ŽโœฅโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœ โ˜žโœนโœŸโ‰โœโ‘โœโœทโ˜…โœžโœ“โœ’โœโฒโ˜Žโœžโœ“โœ’โœโœŽโœคโœทโ˜žโœžโœพโœพโŠโœ—โปโœ•โœ’โ˜…โœžโœโœฟโœŸโœฆโžบโœดโœชโœšโ˜žโœ‘โœโœทโ˜Žโœžโœ“โœ’โœ•โโœโœ’โ˜žโžโœŸโœŽโ˜žโœ”โœคโœทโœฎโœ˜โœ—โœšโœกโœ”โ˜žโœžโœฆโœ˜โ˜…โœžโœโšโœขโœฏโ˜žโœ”โœ“โœ’โœโœดโ˜Žโœžโœชโœซโ˜…โœฉโœคโœทโœŸโœฐโ˜žโœŒโœ•โœ’โœขโœ–โœคโœทโœ—โœšโœ›โ‘โ˜žโœนโœคโœŒโโณโ˜žโœ”โœโโœณโœตโ˜…โœžโœโœ โœกโœŒโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโณโœโœ’โ˜žโœฃโจโณโ™ 

โ โ‘  โžบ t โ‘ฆ โ‘ฅ โ‘จ โจ โดโ›โœซโ–  โด โžโ€โœโ‘โ โ‘จ โ‘  โชโœŒโซ โจ โ‘ง โœ‰ โœโด โžโ€โœโ™ฆ โœ โœฎโœฉโ˜…โœžโœ—โœซโœโ—โ…โœฉโœ“โœ โ˜žโšโ…โœงโœ“โœ โ˜Žโœžโœโœ โœ โž โ˜žโœบโœŸPโœโ‡โฆโœฉโœคโœทโ˜Žโœžโœโœ โœโฏโœ“โœ–โœโœ โ˜žโฝโ˜Žโœฅโœ“โœ–โฆโœฉโœ›โ‘โ˜žโœนโœโœงโœโœทโ˜Žโœฝโœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœ โœกโœ”โ˜…โœžโœโœ โœŸโœŽโœญโœนโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโœนโœโœฉโœโœทโ˜žโณโœโœ–โ˜Žโœฅโœโœ โœŸโœœโœชโœฒโœฑ โœ“โœ’โœโœŽโœ—โœšโœชโœซโœ—โœผโœŸโœทโ˜ŽโœฝโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโž‘โœโœ’โ˜žโœปโจ โžŠ โœขโœ โ˜Žโœฅโœคโ˜žโœŒโœ•โœ’โ˜žโœ”โœ›โœœโœขโœ–โœชโœšโ˜žโœ‘โ˜žโœ”โœโšโœโœ’โœ—โœšโœฎโœงโœ—โœผโœŸโœทโ˜Žโœฅโœโœงโœโ‚โœขโœ โ˜Žโœฅโœคโ‚โœโœ’โ˜žโœนโœ“โœ’โœ•โฒโœชโœผโ˜Žโ‘โœกโœนโ˜Žโœฅโœขโœ โ˜ŽโœฉโœกโœŒโœ—โœซโœโœŽโœญโœ‘โœชโœšโœ—โœซโกโœ–โœคโœทโ˜ž โชโœฆโซ โจโœ’โžŒโž…โœโœ โœญโœนโœกโœŒโ˜žโœบโœŸโœŽโœŸโœŽโœ—โœซโœโœŽโ˜žโœ‘โœ“โœ–โœโœ–โ˜žโœโœญโœนโœโœ–โ˜…โœžโœคโœทโœ›โœœโ˜žโœฃโ˜Žโœžโœ“โœ–โฆโœžโœ›โœœโ˜žโœ”โœโœงโœโœถโ˜ŽโœฝโœโœŽโœ—โœšโ˜…โœžโœโ‘กโœโœ’โ˜žโœ‘โœชโœšโ˜Ž

Page 63: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โพโœžโช ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ‚โœ„โœโœ†โœ“โœ„โœ”๏ฟฝโœ•โœžโœกโœ โœ•โœ–โœ˜โœ—โœ™โ˜žโœ›โœšโœœโœ โœŒโœขโœฃ๏ฟฝโœ‚โœคโœฃโœ„โœฃโœฅโœฆโ˜ž

โœขโœ–โœชโœผโ˜ŽโœžโœกโœŒโ˜žโžโœโœ–โœ“โฝโœŸPโœโœทโ˜…โœ˜โœกโœถโˆโœฝโ˜Žโœžโฆโœžโ˜žโœžโœพโœฟโฑโ„โ˜žโœบโœกโœŒโœ—โŠโœกโœŒโ˜…โœžโœโœ–โœณโœตโ˜…โœžโœคโœŽโœโœŽโ˜žโœโœชโœฒโœฑ โœ—โœผโœโœ’โœญโœ”โ˜žโœปโ…โœฉโœ“โœ โ˜žโฅโœโœ–โ˜ŽโœฅโœโœฟโœŸโ‚โœ“โœ–โœโณโœคโœทโœญโœนโœŸโœŽโ˜žโœนโ˜Žโœฅโœ“โ‘กโœขโœ โ˜Žโœžโœคโœธโœขโœ โ˜Žโœžโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโœ”โœโœทโœŸโœนโœฆโœ โœชโœšโ˜žโœโœณโ†โ˜ŽโœžโœกโœŒโœโœŽโ˜žโœนโœ“โœ–โœคโœดโœโ——โœฑ โœ“โœ’โœโœŽโœ—โœšโœชโœšโœ—โœšโœŸโœทโ˜Žโœฝโœโœทโœ—โœซโ˜…โœฉโœโœโœ’โœ“โ‘ฅโœโœŽโœคโœถโ˜Žโœฝโ˜โœฏโœกโœœโœขโœ–โœ“โœ–โœ—โœผโœŸโœŽโœŸโœŽโ˜žโ—โž‹โœŒโœโœทโœคโœŽโ˜žโโ˜Žโœฅโœ›โœœโœญโœ”โœชโœšโœ—โœซโ˜…โœฉโœคโœŽโœญโ‡โ˜žโœนโœโฏโ˜Žโœฅโœ“โœ–โฆโœฉโœ›โœœโ˜žโœ”โœโœงโœโœทโ˜Žโœžโœโœฉโœโžโœชโœผโ˜Žโšโœโœถโ˜Žโœฅโœ—โœšโœชโœซโœชโœšโ˜žโฒโœโœ’โœ“โž’โกโœ–โœ“โœ–โž€โœฏโ˜žโœนโœคโœนโœพโŠโผโฝโ˜Žโœฅโœ—โœšโœโœงโœโœŽโ˜žโœ”โœโœฟโ˜Žโœฅโœโœงโœโœนโœฆโโ˜žโœ”โœโ‘ฅโ˜โœ–โœ•โœ–โ˜Žโœฅโœโœงโœโœนโโโœฆโโ˜…โœฉโœโ˜…โœžโกโœ’โœโœทโœ—โœซโ˜žโœนโœโœงโœโœ‘โ™  ๏ฟฝ โ‘  โžบ t โ‘ฆ โ‘ฅ โ‘จ โจ โดโ›โโœโœœโž โด โ‘จ โ‘  โชโœโซ โจ โ‘ง โœ‰ โœโœโœœโž โดโ›โ– โโ˜Ž โœกโœŒโ˜…โœฉโœโœ โœŸโ‰โœญโœบโ…โœงโœ“โœ–โ˜žโœ”โœโœ โœกโœ”โ˜žโ‘กโœโœ–โ˜žโšโœกโœ”โ˜žโœŒโœโœŽโœโœŽโ˜žโšโ˜žโœŒโœ•โœ’โœขโœ–โœคโœทโ˜žโœนโœŸโœทโœŸโ‰โœ—โœšโ˜…โœžโœ โ˜žโœนโœŸโ‰โœโ‡โ…โœงโœ“โœ–โ˜žโšโœชโœšโ˜žโœนโœŸโœœโœชโœšโœ—โœซโ˜žโœนโœโœ โœŸโ‡โœโœ’โ˜žโ‘กโœโœŽโœคโœถโ˜ŽโœฅโœโœฟโœŸโ‰โœ›โœœโœ—โœผโœŸโœŽโœŸโœŽโœ—โœซโ˜…โœฉโœ โ˜Žโƒโœฎโœžโ˜žโœบโœกโฒโฆโœฉโœคโœทโ˜Žโœžโœโœ โœโœ’โ˜žโœบโœŸโœปโœกโœนโ˜Žโœฅโœขโœ โ˜ŽโœฉโœกโœŒโœ—โœซโœโœŽโœญโœนโœŸโœขโœฟโ˜žโœนโœ“โœ–โœฎโœžโ˜žโœนโœโœงโœโ˜›โž‹โœ”โœโœŽโœคโœทโ˜žโœ‘โœ—โœซโœโœงโœโœŽโ˜žโœนโœโœ โœŸโœŽโœญโœ”โœ›โœœโ˜žโœ”โœโœงโœโœธโœ“โœ’โœโœทโœ—โœซโœชโœšโœ—โœšโœŸโœŽโœญโœนโœŸโœดโœŸโœŽโ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โ˜Žโœฅโœ“โœ–โฆโœฉโœ›โ‘โ˜žโœนโœโœงโœโœŽโ˜žโœ”โœคโ‚โœชโœšโ˜žโœ‘โกโœ–โœ“โœ’โž€โžโ˜žโœ”โœคโœบโœพPโ–ฒโ——โžฉโžปโœชโ——โžฃโžป โœ โจโž‹โฒโžฅโฃโ–ฒโญโœ†rโ™โฃโœโ„โžงโฆโงโฒโžฅrรขโญโ‹โตโžผโฒโฉโญโœšโโžผโญ โƒโ™โžพ โฌโชโžพโœ‚โˆโžผโžพโšโฌโ™ฅrรโคโฅโฆโšโœ”โฏ โžถโ›โžฑโžฅโฝโฒโฑโดโปรชโบโœŒโž‚โ‹โž„โžรซ โญโœชโ†•โณโž“โœพรœ

qPโ– ร— โž โโงโ˜ t โœ‚ โœ„ โชโ‘ค โž” โ‘ก โ‘จ โœฃ โžบ โซ โ‘กโž โœฅ โ‘ฃ โœฃ โโชโœŒโซ โž โœฅ โถ โœ‰ โ‘ฃโœ†โ˜Ž โžŠ โ›โœ โœพโžˆโพโœžโžŒ

โ†”โฒโก โœ‚ โ‘ โœฉโ˜… โ‘งโž‹โ‘  qโœžโœ โ‘ข โ‘ฃโถ โž โ˜…โœ โœŸ โž‰โโžŠโžโ†’โšโž’โž”โž“โœชร•โโ†”โฟโ†•โชโžžโโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•รฑโž›โžคโž‰โฎโžกโฏร”รโžฆโฉโž“โžขโžกโžโ†’โžฉโžŒโžโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โžƒโžกโฏร”โโžŠโžโžŒโž†โž›โฟโžโž™โž‰โœทโž’โžโž’โž”โž‰โ‰โž›โ‹รฏ โžโฅโ†•โœ โž‰โ‰โž›โžขโžŒโžฏโžŠโžงโ†’โžฃโžกโžโžŒโž†รฐโœทโžโฅโ†’โžฉโžŒโž†โ†”โžขโ†•โžƒโ†•โœ โ†”โฟโžกโžโžŽโœผโž“โฟโž’โžŸโž‰โฎโžŠโžโ†’รฌโž“โžขโ†•โž™ร–โž›โžœโž“โžขโžกโฏโž›โžœโžธโ™ รร”โœทโžŽโœผโ†”โฟโ†•โฉโžŠโžโ†’โžฃโžกโฏโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โ‡รœโ™ฆโ˜›โœกโœŒโ˜ž โœข โ˜ž โœคโœŽโœโœ’โœญโœŒโ˜ โœกโœ‘โœโœ“โœ’โœ”โœ โ˜… โœก โœโœ–โœ•โœโœช โ˜žโœ˜โœ—โœ™โœ’โœ”โ˜žโœšโœ’โœ›โœ โ˜… โœกโœ‘โœกโœœโ˜ž โœค โœโœขโœ’ โœญโœฃโœโœ–โœ•โกร— โ™ 

qPโ– ร— โ‘  โ‘ฆโ‰โ‘ง โž โโงโ˜ โ‘  qPโ– ร— โž โ โ˜ โžŠ โ›โœ โœพ โž‚โœฉโžŒtโœƒรž โ™ฅ โ‘งโœค โฅโงโฆ qโœฅโœ โ‘  โ‘ก โซ โžบ โ‘ง โ˜… โ‘ฃโœƒโ‘ค โž” โ‘ก โ‘ข โ‘ฃโœค โžโ——โ โœŸtโœƒรž โ™ฅ โ‘งโœค โฅโงโฆ qsr โ‘ข โ‘ฃโถ โž โ โ‘ฃ โ‘  โžบ โซ โ‘กโณโ‘ง โ˜…โ‘ค โž” โ‘ก โ˜… โ‘ฃ โ‘จ โžŠ โ›โœ โœพ โž‡โœฅโžŒtโœƒรž โ™ฅ โ‘งโœค โฅโงโฆ โœ‚ r โ โ‘ฃ โ‘  โžบ โซ โ‘กโšโ‘ง โ˜…โ‘ค โž” โ‘ก โ˜… โ‘ฃ โ‘จ

โ™ฆ โœด โžŠ โ›โœ โœพ โž‡โœฅโžŒโœฆโœโœ’โœญโ˜…โœงโœŒโ˜…โœชโœฉโœ โœชโœขโœ•โœซโœโœ–โœ•โœโœชโœฒโœฑ โ˜ž โœฉ โœ’ โ˜…โœžโฟ โœ—โœ›โœโœญโœฌโœฎโœ โœช โ˜ž โœค โœโœ“โœ’ โœญโœฏโœโœ–โœ• โ‘ข โ‘ฃ โœพโœฟโ–  โ˜ž โœโœ’โœญโœ”โœค โœ โœฎโœžโœญโœฐโœ•โœฃโœโœ–โœ•โ‡โ™ โ‘ฆโœฒโœฑ โซ โ™ฆ โœ‚ r โ โ‘ฃ โ‘  โžบ โซ โ‘กโณโ‘ง โ‘ฆโ‘ค โž” โ‘กโ‘กโ‘ฆ โ‘ฃ โ‘จโœ• โœ—โœ™โœ’ โœโœ’โ˜… โœกโœ‘โœก โœญโœฐโœ•โœโœข โ˜ž โœคโœฃโ™ 

โ‘ฆโœณโœฑ โซ โ™ฆ โœฃ โ‘  โžบ โซ โ‘กโณโ‘ง โ‘ค โž” โ‘กโโ‘ฆ โซ โ‘ค โž” โ‘ก โž โ‘  โ โ‘ฃ โ‘  โžบ โซ โ‘กโณโ‘ง โ‘ฆโ‰โ‘งโ‘ฆ โ‘ฃ ร› โถ โ‘ค โž” โ‘ก โœฅ โœ‚โœฆโœด r โ โ‘ฃ โ‘  โžบ โซ โ‘กโšโ‘งPโ‘ฆโ‘ค โž” โ‘กโ‘กโ‘ฆ โ‘ฃ โ‘จโฑโ„โ˜… โœฌโœ˜โœฌ โœ•โœถโœตโœ‚ โœ• โœ—โœ™โœ’ โœชโœญโœ•โœทโœงโœŒโ˜… โœฌ โœขโœ–โœชโœšโœญ โœฌ โœ• โœกโœ โœ’โœธโ˜žโœšโœ โœคโœ›โœ•โœŒโœโ——โœฑ โœฉ โœก โœ•โ‘กโœณโœตโ˜… โœก โœง โœ’โœ›โœ โ˜… โœก โœโœ–โœ•โโœคโœทโœญโœ”โœข โ˜ž โœค โœ’โœ›โœโœขโœ’โœ›โœ โ˜… โœก โœฆโœนโœ•โœ”โœชโœšโœชโœญโœ•โœบโœ• โœ—โœปโœ’ โœโœ’โ˜… โœก โœงโœบโœโœ’โœญโ˜…โœงโœŒโœคโœทโ˜… โœโœผโœ—โœ›โœ—โœ”โ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ•โœพโœ• โœ’โœโœ’โ˜… โœก โœงโœทโœตโœ‚ โœด โ‘ โœฉโ˜… โ‘ง โœ• โœ—โœ™โœ’โœฆโœก โœญโœ”โฆ โ˜žโœšโœ’โœ›โœ โœณโโœขโœฏโ˜…โœชโœฉโœ–โœค โœ’ โ˜…โœ โœฉ โœ’ โ˜… โœพโœ˜โ– โœฟโœ• โœฌโœ˜โ˜žโœšโ€โœ–โœโœขโœฌ โœฉ โœฌ โœ• โœ—โœ™โœ’ โœโœ–โ˜… โœก โœง โ˜žโโœ’โœ›โœ’ โœ• โœโœญโœกโœฝโœ’ โœขโœฟโ˜…โœ โœฉโœ–โœคโ‚โœฉ โœก โœ•โœฃโœฎ โ˜ž โœชโœขโœ•โƒโœฉโœ–โœค โ‘ฆโœ›โ„โœ†โœ’ โœ•โœนโœชโœซโœชโœญโœ•โœโ…โœ โœฉโœœโœ•โœปโ™ 

โ‘  โžบ โซ โ‘กโšโ‘ง โ‘ค โž” โ‘กโ‘กโ‘ฆ โ„ โซ โ‘ค โž” โ‘ก โž โ‘  โ โ‘ฃ โ‘  โžบ โซ โ‘กโณโ‘ง โ‘ฆ โ„ โ‘งโœ‡โ‘  โœˆโ‘ฆ โ„ โ‘  โžโœปโโ‘  โชโœโซ โž โ‘ง โ‘  โžบ โซ โ‘กโšโ‘งโ…โœดโ˜… โœก โœงโœ‘โ˜… โœกโ†โ˜ž โœชโœขโœ•โœโœคโœทโœญ โœ— โœฉโœ–โœช โœ’โœ”โ˜žโโœ’ โ™ 

qPโ– ร— โ‘  โ‘ฆโ‰โ‘ง โž โ โ˜ t โœ‚ โœ™ โ โ‘ฃ โ‘  โžบ โซ โ‘กโณโ‘ง โ‘ฆ โ„โ‘ค โž” โ‘ก โ‘  โ‘ฆ โ„ โ‘ง โ‘ฃ โœ› โ‘  โœ‚ โœ„ โชโ‘ค โž” โ‘ก โ‘จ โœฃ โžบ โซ โ‘กโž โœฅ โ‘ฃ โœฃ โโชโœŒโซ โž โœฅ โถ โœ‰ โ‘ฃ โ˜Ž

โฑโ‡โœ•โœโ…โœ โœฉ โœ โœโœ’โ˜… โœกโœœโœก โœ•โœ‘โœชโœขโœ•โœโœคโœทโœญ โœ— โœฉโœ–โœช โœ’โœ”โ˜žโโœ’ โœฎโœฉโ˜…โœชโœฉโœ–โœชโœญโœฉโถโœพ

Page 64: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ‘โœ ๏ฟฝโœ‘โœPโœ†โœŸโ˜›โœŒโ˜žโœ‚โœโœปโœž โ˜žtโ˜› โ˜›โœŒโœ–tโœšโ˜Žโœ„โœโœ†โฃโœ  โœ„โœโœ  โœšโ˜Žโœ„โœ•โ˜›โœžโœ†โœœโœ„ ๏ฟฝโœ‚โœ„โœโœ†โœ“โœ„โœ”๏ฟฝโœ•โœžโœกโœ โœ•โœ–โœ˜โœ—โœ™โ˜žโœŽโœšโฃโœ โœŒโœขโœฃ๏ฟฝโœ‚โœคโœฃโœ„โœฃโœฅโœฆโ˜ž โพ โœฟโœ‡โนโ˜›โบโดโปรชโผโฅโฝโฟโพโ™ฅโž€โ…โบโœŒโž‚โ‹โž„โžŸโž‚โœ๏ฟฝโœชโ†•โžˆโžโฅโ†’โžฉโžŒโžโž’ โžŒโžฏโžŠโโž“โžขโ†•โž™โ†’รโž’โ™รฏ โž“โž โžฆโžคโžฆโœ โžกโฏโ†”โœ„โœ‚โžœโžŒโžโžŽโœผโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†• โž›โžคโž‰ โœ‚ โ‘  โ˜… โ‘ง โžฆโฉโž“โžขโžก โ‘ฅ โ โ‘ง โ‘  โซ โœค โ›โธ โ‘ง โžณรโ†”โฟโ†•โœšโ†”โžครฐโโ†’โžฃโžŒโž†โž‰โโ†•โžฅโ†’รโž’โฏรฏ โž‰โ˜Žโœ‚โโžฆโœ โžกโž โž‰โžโžŠโžงโžŠโžโžŒโž†โ†”โฟโ†•โžŠโžโžโฅโžŒโžโžซโžญโž“โžขโ†•โž™โ†’รโž‰โกรœ

โœ‚ r โ โ‘ฃ โ‘  โžบ โซ โ‘กโšโ‘งPโ‘ฆ โ„โ‘ค โž” โ‘ก โ– โ‘ฆ โ„ โ˜ โ‘ฃ โ‘จโœโœ† โ‘ฅ โ โ‘ง โœ„โซ โœ™ โช

โœž โž” โ‘ก โ‘  โชโœŒโซ โž โ‘ง โธ โœฃ โ‘  โžบ โซ โ‘กโณโ‘ง โ‘  โชโœŒโซ โž โ‘งโž โœฅ โธ โ‘ฃ โœ› โ โธ โœฎโžฏโถ โœ‰ โ‘ฃโœฑโœฐ โ˜Ž โžŠ โ›โœ โœพ ๏ฟฝโœฉโžŒโž‡โ‹โž‰โœพโžžโžงโ†”โฟโžŽโžผโžฆโฉโ†”โžขโžกโžโ†’รฌโž‰โœทโžŽโ–โž‰โœทโ†•โž™โ†’โ†โž›โžœโž‰โ—†โ–ผโœทโžโž™โž‰โโžโž™โž‰โœพโž›โฟโž โ†•โžฅโžŒโžโžซโžญโž‰โžงโž“โฟโžโœฐโž›โžคโž‰โœผโžŠโžโ†’รโ†”โžฎโžžโžงรโžคโž“โœทร‘โ›โž‰โ†โžฆโž™โ†”โฟโžโฅโžกโœผโžโฅโ†•โœฐโžŽโ–โ†”โ’โž›โžœโžจโœทโž’โž”โž‰โ–โžโœฆโžกโฏโ†”โžขโฐโšโ†•โž™โžŒโž†โž‰โœทโ†•โ„ร•โžงโžกโž โž“โžœโžžโœทโ†’โžฉโžŒโž†โ†”โžขโ†•โž™โ†•โœ โž“โžขโžŒโžโžกโฏโž‰โœŒโž‰โžโžŠโžโ†’โž›โžœโ†”โžขโ†•โœ โžž โž›โžœโž“โžขโ†•โฉโžŠ โž’โž”โž‰โณโžŽโœผโž‰โโžŒโžโž’โžโž’โž”โž‰โœทโžโฅโžกโ‡โž›โžคโž‰โžโžŠโณโžžโžงโž“โฟโžŠโœ โœŸโž‘โž‰โœทโžŒโž†รฐโโžโฅโž’โžโž’รดโžŒโž†โž‰โœทโ†• โžžโž™รฏ โž‰โโžŠโžโ†’ร“ร’โ™ฆโž›โžขโžŒโžโžกโฏโž‰ โž›โฟโžโžˆโ†’โžฃรตโž โžฆโž™โž‰ โ‘ฅ โ โ‘ง โ‘ โ˜›โœก โโœŒโ˜ž โ‘ง โž“โฟโžซโฟโž‰โžงโžžโœŽโœโœ‘โœ โช โžธโœถโโšโž‰โœทโ†’โžฃโ†’รฌโž‰โž“โž โžฆโžคโžฆโœ โžกโฏโ†”โœ„โœ‚โžœโžŒโžโžŽโœผโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•รฑโžŽโ–โ†”โžขโ†•โž™โ†’โžฃโžกโฏโž‰โœโ†’รฌโ†”โžขโžโฅโ†’รฌโž‰โฎโž’โ™รฏ โžŒโžโžŽโžผโžฆโž™โ†”โฟโžกโžโ†’รโž“โฟโ†•โœ โžžโžงโž‰โ‰โž›โžคโž‰โโž’โž”โž“โž‘โžซโฟโž“โฟโž’โž”โž‰โœทโžโฅโžกโ†โž›โฟโžโ†โžฆโž™โž“โฟโžกโž โž“โฟโžŽโœผโžจโโ†’โžฃโžกโฏโž‰โ‰โž›โ‹รฏ โž“โฟโžโฅโ†’รโ†”โฟร–รฌโžŠโžโžŒโžโžŽรโžŒโžโž’โžŸโž“โฟโžกโžโžŒโžโ†’รร”โœธโžรจโžฆโฉโ†”โžขโžโฅโžกโžผโž’โž”โž“โžžโžงโž“โž โžฆโž™โž“โžœโžžโœทโžŒโžโ†’รฌร”โ†โž›โžคโž‰โ–ฒโžŠโžโ†’รโ†”โžฎโžžโžงรโžคโž“โœทร‘โ›โž‰โ†โžžโž โž‰โœฑโ–ผโœทโžโฅโžŒโžโž›โžœโž‰โโžŠโžงโžŠโžโžŒโžโ†•โœ โž‰โฎโž’โž”โž“โœร•โžงโžกโฏโ†”โฟโ†•โžฅโ†’โžฉโžŒโž†โžจโœทโžกโฏโž‰โ†โž‰โœทโ†•โž™โ†’โžฃโžกโฏโž‰โžผโž’โž”โž‰โœโžŽโ–โ†”โ’โž›โžœโžจโœทโž’โž”โž‰โฎโ†’โžฃโžกโฏโž“โžœโž›โžขโžŒโžโ†’โžฉโžŒโž†โ†”โžขโ†•โž™โ†•โœ โž‰โœทโž’โ™ฅโž‰โโ†’โžดโž’โž”โž‰โœโžŽโœผโ†”โžฎโž›โžคโžจโโž’โž”โž‰โ†โž›โžคโž‰โœโ†’โžฉโžกโฏโž“โ™ร˜โœโžžโž“โฟโžซโฟโž‰โžงโžžโ†โž‰โโ†•โžฅโ†’โžฉโžกโฏร”โžงโž‰โ†โž“โžขโžโฅโ†’รฌโ†”โžขร–รฌโžŠโžงโžŒโžโžŽโž‘โžŒโžโž’โž”โž“โžขโžŒโžโžกโฏโž‰โžฎโžธ โ™ โž‘โž“โฟโ†•โž™โžŠโžผโž’โž”โž‰โ†โžžโžงโž“โžญโžŠโ–ฒโžโœฆโžกโฏโ†”โžขโฐโšโ†•โž™โžŒโž†โž‰โœทโ†•โฉโžณโžดโž’โ™รฏ โž‰โœ’โœ‚โžโžฆโชโžกโฏโž‰โโžŠโž โžŠโžโžŒโž†โ†”โžขโ†• โžŠ โ›โœ”โœ“ ๏ฟฝโœงโžŒโ–ฒโžŠโœทโž‰โฎโžกโฏร”โžงโž›โžขโžโฅโžŒโžโ†’โœ˜ร’โž‘โžโฅโ†•โœ โž‰โโž›โฟโžŒโžฏโžŠโžโ†’โžฃโžกโžโžŒโž†รฐโโžโฅโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โž‰โ˜Žโœ‚โโžฆโž™โ†”โฟโ†•โชโž‰โโ†•โžฅโ†’โžฉโžŒโž†โž‰โœทโž’โžโž’โž”โž‰โž‘โžžโž โž‰ โ–ผโœทโžโฅโžŒโœ˜โž‰โžโžŠโžโ†’โœ‰รฐโœทโžŒโž†โž‰โœทโ†•โ‡โžžโžงโ†”โฟโ†•โžฅโ†•โž™โž โž›โžœโž“โžขโ†•โฉโžŠโ‰โž’โž”โž‰โž‘โžžโžงโž“โžœโž›โฟโžกโž โž‰รโž›โžคโž‰โžโžŠโกโž“โž โžฆโžคโžฆโœ โžกโฏโ†”โœ„โœ‚โžคโžŒโžโžŽโ–โž“โžขโ†’โžฉโžŒโž†โ†”โžขโ†•โฉโžŠโž‘โž›โžคโž‰โœ˜ร˜โœ˜โž’โž”โž‰โ˜žโƒโ…โ„ โ†โœปโ„ โช โžธ

Page 65: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โพโœฝโ› ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ‚โœ„โœโœ†โœ“โœ„โœ”๏ฟฝโœ•โœžโœกโœ โœ•โœ–โœ˜โœ—โœ™โ˜žโœ›โœšโœœโœ โœŒโœขโœฃ๏ฟฝโœ‚โœคโœฃโœ„โœฃโœฅโœฆโ˜ž

Page 66: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜ž ๏ฟฝ

โœ โœซ โœขโœฃโœโœคโœ‘โœ”โœ“โœ–โœ•โœ˜โœ—โœฃโœ™โœ›โœ— โœฏโœฌโœซ โœ™โœฉโœ‘โœ”โœ‘โœ‡โœฑโœฉโœ“โœ–โœ•โœฆโœฅโœชโœซ โœซ โœ—โœ‚ โœฅโœฆโœง โœฑ โ˜…โœ–โœฅโœฆโœ™โœญโ˜…

โ… โ˜žโœชโœกโœœโœ—โ˜Žโœ„ โœ•โœบโœงโœถโบ โ˜žโœโœ†โœ‘โœโœขโœ’โœŸโœž โœ• โœ†โœ โœžโ˜›โœก โœง โœก โœโœ–โœ• โœกโœฝโœ’โœŒโ˜žโœฟโœกโœŽโœ โœฉ โœ—โœฎโ˜žโœ‘โœโœ’โœโœ โœกโœœโœ—โœซโœฌโœ˜โœโœญโœ— โœ• โœกโœ“โœกโœ”โœ โœ โœโœ‘โœ• โœก โœงโœฐโœ• โœ„โœ–โœ• โœโœญโœฌโœ—โœ†โœ˜โœโœ™โœžโœ™โœ’โœธโ˜žโœšโœก โœงโœฐโœ•โœบโœโœ–โœ• โœ„โœญโ˜žโœšโœ โ˜žโœ’โœžโœ›โœโœผโ˜ž โก โœ„ โœ•โœพร— โ‘ ร— โ‘  โœˆโœฉโ‘ง โ™ ร— โ‘  รž โ™ฅ โ‘งร รขรกโฏรฃร รรคโœ’โœ› โ‘ โœฒโ‘ฉ โฆ โซ โ‘ฉ รฆ โซ โžบ โ‘  โœˆ โซ t โ‘งโ‰โ‘งโœโ‘  รž โ™ฅ โ‘งรฆ โฅ โฆ รง โ‘ค โž” โ‘ก โ‘ข โ‘ฃรฆ โซ โ‘  โžบ โซ โ‘กโšโ‘ง t รฉ

โžƒ โœ โœฉ โœžโœ†โœ—โœ›โœโœขโœฌโœ—โœ†โœ โœ„โœญโœโœขโœœ โœ• โœžโœฃโœ„ โœ• โœ—โœฃโœก โœง โœžโœ”โœโœขโœ’ โœฉ โœž โœ• โœ—โœŒโ˜žโœ–โœกโœ โœ โœฉ โœ—โœŽโ˜žโœโœ„โœคโœ„โœขโœโœ โœกโœœโœ—โœŒโ˜ž โœ โ˜žโœšโœก โœ—โœฅโœ„โœญโ˜ž โœ— โœฉ โœโœขโœ’ โœ• โœโœ–โœ• โœงโœฐโœ• โœ’โœ›โœ’ โœ• โœ†โœœโ˜žโœ’โœžโœ™โœ’โœ”โœ โœ• โ˜ž โœง โœโœ โœกโœœโœ—โœ›โœ โœ โœกโœŒโœž โœ• โœž โ‘ค โž” โ‘กรจโ‘  โชโœ• โœ’ ๏ฟฝ โ‘  โžบ โซ โ‘ก โž โœˆ โœ“ โ™ฆโ˜›โœกโœพโœ— โœ• โœžโœธโ˜žโœšโœฌโœ—โœฆโƒโœก โœ•โ˜›โœ โœโœ โœก โœงโ˜…โœง โœ„โœ–โœ• โœกโœฐโœ’ โœฉโœœโœโœ–โœ•โœซโœโœ–โœฉ โœ• โœโœ–โœฉ โœ†โœฉโœ•โœ–โœ— โœฉ โœž โœฉ โœก โบ โœโœ™โœžโœ›โœ โž“ โœโœ โœก โœโœขโœกโœ โœœโœœโœกโœ‘โœ โœ โœ• โœฉ โœกโœบโœฌโœ—โœ โœฉ โœ โœ• โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’โœช โœžโœŸโœโœฌโœซ โœกโœ‘โœ โœ• โœกโœฎโœญโœฏโœžโœ”โ˜ž โœง โœ’โœ”โœโœขโœโœ โœกโœ‘โœกโœœโ˜žโœšโœโœคโœž โœ• โ˜žโœ‘โœ โœ•โƒโœงโ˜›โœฉ โœก โœ• โœ โœกโœŒโœžโœ›โœโœคโœ โœ• โœกโœ โœก โฆ โ˜žโโœ’โœ”โœโœขโœ โœ• โœ“

โœฐ โœ• โœ โกโœ’โนโœปโœ•โ˜…โœง โœ’โœ›โœโœขโœญ โœโœ–โœ• โœง โœ• โœ’โœ™โœ’ โœ• โœ†โœœโ˜žโœ’โœžโœ™โœ’โœ”โœ โœ•โœฃโœ• โœ—โœปโœ’ โœโœ–โœ• โœžโœธโ˜žโœฌโœฑ โœก โœ• โœžโœฅโœ„ โœ• โœ’ โบ โœกโœ”โœโœ™โœžโœŸโœฆโƒโœฌ โœ•โœ‘โ›โœ”โœ“ โชโฒโ™ โšโœ”โฏ โžถโ›โžฑโžฅโฝโฒโฑโดโปรชโบโœณโœฒโ™ฅโž„โžฉโž…โœ”รณโœฆโ†”โžขโžโฅโžกโœŸโโ‡โžŠโžโžโรฎรชโžŠโœทโž“โžขโžŽรโžŽโœผโž‰โโ†•โžฅโ†’โชร‘โžœโžกโฏโž“โžขโ†•โœ โž›โžญโžณโžดโžŒโžโž’โ™ฅโž‰โ˜Žโœ‚โžคโžŒโžฏโžŠโžโ†’รฌโž‰โโž›โžคโž‰โžโžŠโฎโžžโžงโ†”โžขโ†•โฉโžŠโžโ†’รฌโž“โžขโ†•โž™โ†’รโž‰โžโžŠโœตโœด โž‰โœทโ†’โœทโœถโณโ†’รโž‰โโž’โžโž’โžŸโž‰โžโžŠ โ–ผโœทโžโž™โž‰โœโž’โ™รฏ โ†”โฟโ†•รฑโž“โžขโžŒโžโ†’โž‹รœ

qPโ– ร— โž โโœ‘โ˜ t โชโœด โ‘จ โ โœฎโžโถ โœ‰ โ‘ฃโœฑโœฐ โ› โœฌ โ‘ฃ โ‘จ โ‘  โ†’โœนโœธโœปโœบ โ‘  โ โ‘งโœŽโ‘ง โœ‰ โถโœญโœฌ โธ โ‘ฃ โ‘จ โœ‚ โ‘  โœถ โ โถ โœ‰ โ‘ฃ โ‘ง โžŠ โพ โœ“โœšโฌโœบโžŒ

โœโœผโœด โ‘จ โ โœฎโžฏโถ โœ‰ โ‘ฃโœฑโœฐ โ› โœฌ โ‘ฃ โ‘จ โœ‚ โ‘  โœถโœ‘โ โถ โœ‰ โ‘ฃ โ‘ง โžŠ โพ โœ“โžˆโชโœžโžŒโœฝ โœ• โœžโ˜›โœกโƒโœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœ”โ˜žโœšโœ’โœซโ˜žโœพโœก โœ’โ˜›โœก โœฌโœ—โœโœชโœกโœฝโœ’โœŸโœžโ˜›โœกโœฟโœ† โ˜žโœโœž โผ โ˜žโœชโœ—โœ”โœ—โœŸโœ โœฉ โœ„โœญโœ โœ•โœฎโœ• โœ’ โœ โœโœญโœฌโœ—โœโœชโœกโœ‘โœโœผโ˜žโœšโœก โฉ โตโœฅโ›โœฝโซโœณโœ• โœก โœฉ โœ’โœ”โœโœขโœ„โœญโœโœผโœ—โœ›โ˜žโœชโœกโœ โœ’ โœฉ โœกโ€โœžโ˜›โœกโƒโœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœ”โ˜žโโœ’ โœโœ–โœ• โœง โœ โœ„ โœ• โœžโฉ โชโƒโซ โœ“ โœฝ โœ• โœ† โœ• โœก โœ โ˜žโœšโœกโœฝโœ’โœŒโ˜žโโœ„ โœ• โœ—โ‚โœ โœฉ โœ’โœ”โœโœขโœ„โœผโœ— โœฉ โœ’โœ›โœโœคโœ„โœขโœโœผโœ—โƒโœกโ˜…โœ—โœตโœ† โ˜žโœโœž โœ โœโœขโœฌโœ—โœโœ โœกโœ‘โœโœญโ˜žโœชโœก โœ• โœ’ โผ โ˜žโœชโœ—โœ”โœ—โœŸโœ โœฉ โœ„โœญโœ โœ• โœ†โœ˜โœ โœฉ โœž โœ โœกโœฐโœฌโœ—โœโœชโœกโœฝโœ’โœŸโœž โœ• โœžโ‚โœ„โœญโ˜ž โก โœโœ™โœžโœ›โœก โœ• โœโœขโœกโœ โœญโœฏโœกโœ”โœžโœ”โœ โœ•โƒโœฉ โœž โœ•โœก โœ• โœ—โœŸโœโœชโœกโœฝโœ’โ˜Žโœ† โ˜žโœชโœ— โœ โœกโœฐโœฌโœ—โœโœชโœกโœฝโœ’โœŸโœžโ˜›โœกโƒโœ— โœ โ˜žโœšโœก โœ— โฉโžˆโชโœบโซ โœ“โ„โœฐ โ˜žโ…โœ†โœ โœž โœ•โœฐโœฉ โœ โœ•โœพโœโœ–โœ• โœ„โœญโ˜ž โก โœโœ™โœžโœ›โœก โœ• โœโœขโœกโ†โœญโœฏโœกโœŒโœžโœ›โœ โœ•โœฐโœฉ โœž โœ• โœ• โœ—โœปโœ’ โœ โœโœชโœก โœง โœโœญโœก โœง โœโœ โœฌโ‡โœ†โœŽโœ„โœขโœฆโœฐโœ’ โœ• โœ“โœนโ… โ˜žโœšโœกโœœโœ—โœง โœ•โœฎโœงโœถโบ โ˜žโœโœ†โœ‘โœโœขโœ’โœŸโœž โœ• โ˜ž โœกโœ โœ โœฉ โœ— โœง โœโœชโœฌโœ—โœ†โœ โœ„โœคโœก โœ’โœŸโœโœ โœกโœœโœ— โœง โœ• โœ’โœ›โœ’ โœ•โœ˜โœ โœกโœฐโœฌโœ—โœโœ โœกโœœโœ—โœปโœ’โ˜›โœžโœ”โ˜žโœšโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœ• โœก โœ— โœ•โฅโก โ˜žโœ โœ—โœ›โ˜žโœชโœกโœ โœ’โœฏโœ— โœฉ โœžโ˜…โœ„โœ–โœ• โ˜žโœ’โœžโœ™โœ’โœ”โœ โœง โœ„ โœ•โœฎโœโœ–โœ•โ‘โœ โ˜žโœชโœฌโœ—โœโœ’โœžโ˜›โœ โœ โœกโœ‘โœโœ“โœ’โœธโœ—โƒโˆ โงโฉโœซโฌโƒโชโœžโชโœนโซ โœ†โœŽโœ„ โœฉ โœ’โ˜›โ‰โœšโœ’โ‹โŠ โœฉโœ‘โœ• โœ— โœฉ โœž โฉ โชโœฝโซ โœ“

โ— โœตโœทโœถ โœฉโœ†โƒโ…โŠโœฆโœฟ โœซ โœชโœฌโœซโ– โโœพโ—โœนโœซโžโƒโ…โ€โœฆโˆโโœชโ——โ™โ˜โšโ——โฏโ˜ โ‘โ›โฃโœ˜โคโฅโฒโฉโจโœฆโโœโตโžผโฌโœ โคโฉrรขโจโœ˜โฃโœ’โโžผโต โˆโœโฒโฉโจโœฆโฌโชโญโ‹โซโดโซโดโตโžผโซโ–ผโ–ฒโœŽโ—†โœณโ–โ——Pโ™โ˜โœ—โšโฑโฏโœฟโฒโ‡โณ

โœฝโ‚โœโœชโœกโœœโœ—โœ›โœ โœ โœกโœ”โœžโ˜›โœโœชโœกโœœโœ—โจโœ„ โœ• โœ†โœ โœžโœŸโœ โœงโœฐโœ• โœ—โœ”โœ— โœฉ โœ— โ™ฃโœ‘โฉ โœ‰โœ›q โ‘ฆโœ‰ร™โžƒรšโ…ร›โœฃs โœ โœกโ– โœœโœœโœกโœ‘โœโฌโœ†โœ˜โœ โœฉ โœžโ‚โœ’โœŸโœ โœฉ โœ’โœธโ‘ฆโœร™โžƒรšโžดร›โญโœ†โœœโ˜žโœโœž โ™ โฉ โœ‰ โ‘  โ‘ข โ‘ฃโœ‰โช โ‘ฃโฏโ‘ฆ

โพโœžโพ

Page 67: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โพโœฅโž‚ ๏ฟฝโœ‚โœโœ™โœ„โœโœ† โœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœ๏ฟฝโœฝโœ โœ†โœœโ˜žโœ›โ˜›โœŒโœ–tโœšโ˜Žโœ„โœโœ†โฃโœ  โœ„โœโœ โ——โœ—โœ™โ˜žโ…โœโ– โœ„โœ™โœšโœ‘โœšโœœโœขโœนโœ„โœทโœ†โฃโœž โ˜ž โ˜žโœ™โœ โ——โœš โœž โœ โœขโœ„โœ‚โ˜Žโœžโ‡โœ„โ˜Žโœ‚โนโ˜›โบโดโปรชโผโฅโฝโฟโพโ™ฅโž€โ…โบโœณโœฒโ™ฅโž„โžฉโž…โžˆโž‡โžโž‰โœฆโžฆโœ โžกโฏโ†”โ’โžžโžงโž‰โžโžŠโžงโžŠโžโžโดโžŠโœฃโ™ฃโœปโฉ โœ‰ q โ‘ฆโœฆร™ รšโ…ร›โœฃs โž‰โโžŠโžงโ†’โœโœ†โ–ฒโž“โฟโžโดโžŠโžงโžŠโžโžŒโž†โž‰โœทโ†• โž‰โœทโ†’โœชโžžโžงโž‰โœทโ†•โž™โ†’โžฃโžกโฏร”โ’โžธโงโž‡โ‹โž“โ„โžžโžงโ†”โฟโ†•โœ โž›โžขโžŒโžโ†’โžฉโžŒโž†โ†”โžขโ†•รชโž›โžœโž‰โกโžŠโžโ†’รฌโž“โžครฐโโžŒโžโž’รดโžŒโžโ†’รร”โž›โžœโž‰โ„โž’โž”โž“โž‘ร˜โœ˜โž’โž”โž‰ ๏ฟฝ โž โœˆ โž“โžญโžŠโžงโžŠโžโžโฅโžกโฏโž‰โ—†โ–ผโโžโž™โž‰โ„โž’โžŸโž‰โœ‡รฏ โžŠโžงโžโ’โžฆโœฆรฏโ…โž›โžคร”โž†ร˜โœ˜โ†•โž™โžŒโžฏโžŠโžงโžŠโœทโž“โฟโ†•โžฅโ†’โœฆร— โฆ โž‰โโžŠโžงโ†’โšร˜โœ˜โ†•โž™โžŒโšโžฆโชโžกโฏโž‰โโžŠ โ–ผโœทโžโž™โž‰โœพโžŠโœŸโœžโฅโžกโฏโž‰โœทโžŽโ–โž‰โœทโ†•โž™โ†’โ†โž‰โโ†’โ‰โž›โžคโ†”โฟโ†•โœ โžžโ‘โ–ผโโžโž™โž‰โ„โž’โž”โž‰โโžŠโ†’โžฉโžกโž โž“โœกโœ โœทโž‰โžงโžžโโ†’รโ†”โฟโžŒโžโžกโž โž‰โžโžŠโกโž›โžœโž‰ โฉโœ’โžŠโœทโ†”โฟโ†•โžฅโ†’โœชรฐโžงโ†”โฟโžกโžโ†•โชร”โžงโž‰โžโžŠโœโžฆโœ โžกโฏโž‰โโžŠโœกโ–ผโโžโž™โž‰โ‰โžŠโœŸโœžโฅโžกโฏโž‰โœทโžŽโ–โž‰โœทโ†•โž™โ†’โ˜žโ˜›โœโœŒโœ โ†”โฟโžŒโžโžกโ˜ŽโœŽโกโ†”โžขโžกโžโžกโฏโ†”โžญโžŠโœ‘โœโœ“โœ’โžœโžฒโœ”โœ’โœ–โœ•โœ˜โœ—โžขโžธโœ™โโฝโฟโžฑโœ›โœšโ…โฝโฟโžทโž†โžถโ›โžฌโžฎโžถโœšโœฒโงโž„โž†โž… โœœ โ– ร— โžโ——โโœ‘โ˜ โ‘  โœœโœฃโœข รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆโ˜…โœง โฆ โฉ โœฆ โž ๏ฟฝโœโœฉ

โโœฉโœ‰ โถ โ‘จ

โ™ รร”โœทโžŽโœผโ†”โฟโ†•โฉโžŠโžโ†’โžฃโžกโฏโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โ‡รœโžƒ โ˜žโœโœž โœ โœกโœ”โœœโœœโœกโœ‘โœโœขโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœโœ–โœ•โกร— โœโœชโœกโ†โ˜žโ‡โœ„ โœ• โœ—โœฅโœกโœŒโŠ โœฉ โœโœคโœ โ˜žโœ’โœ„ โœ• โœก โœง โœ• โœ— โœ— โœฉ โœโœขโœโโ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ• โœ—โœโœชร— โž โ โœซ โœฌโœฎโœญโœฐโž โœˆโœ›โœฏโœ‘โœฐ โœฉโœฆ โซ

๏ฟฝ โœญโ˜›โž โโœซ โœฌโœฎโœญโœฐโž โœˆโœ›โœฏโœ‘โœฐ โœฉโœฆ โž โ โ‘ฃ ๏ฟฝ โœญโœซ โœฌโœฎโœญโœฐโž โœˆโœ›โœฏ โœฐ โœฉโœฆโ โ‘ฃ ๏ฟฝ โœญ โž โชโ… โœโœ โœก โœง โœโœชโœกโœทโ˜ž โœ• โœก โœ†โœ˜โœโœฝโœ—โœ›โ˜žโœชโœกโœฝโœ’ โžบโœฑโœญ โ‘  โโœณโœฒ โœช

โœœ โ– ร— โžโ——โโœ‘โ˜ โ‘  โœœ โœข รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆโ˜…โœง โฆ โœฐ โœฉโœฆโ โ‘ฃ ๏ฟฝ โœญ โž โช โ‘จ โ‘  โœœ โœ™ รžโœฅโœคโžคโ‘งรฆ โœงโงโฆ โœฐ โœฉ โœด ร โœตโ โ‘ฃ โโœถโœฒ โž โช โœ›โ™ฆโ˜›โœก โœฉ โœ’โœ›โœโœคโœ„โœขโœโœผโœ— โœ• โœฌ โ˜žโœชโœโœขโœกโœฝโœ’ โœ• โœกโœœโ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ„โœ–โœ• โ˜ž โœฉ โœ’โœŸโœ โฟ โœ—โœ›โœโœขโœฌโœ˜โœโœคโœ„โœญโ˜žโœ’โœžโœ›โœโœขโœ’โœŸโœกโ˜…โœ† โœ โœฉ โœž โœก โœง โœžโœ”โœโœขโœž โœ• โœช

โœœ โ– ร— โžโ——โโœ‘โ˜ โ‘  โœœโœฃโœข รžโœฅโœคโžคโ‘งรฆ โœงโงโฆ โโœฉโœ‰ โถ๏ฟฝ โœฉ โœฐ โœฉรฆโช โ‘ฃ โœฒ โž โช โ‘จ

โ‘  โœœโœฃโœข รžโœฅโœคโžคโ‘งรฆ โœงโงโฆ โฉ รฆ โž๏ฟฝโœโœฉโโœฉโœ‰ โถ โ‘จ โžŠ โพ โœ“ โœฟโœฉโžŒ

โœ โœด โœ„โœญโ˜žโ‡โœโโ˜žโœโœ„โœญโœ โœ โœโœ“โœ’โ˜›โœก โœโœ–โœ• โžŠ โพโœŒโœ“ โœฟโœงโžŒโœฆโœ โœก โœง โœ โœฉ โœ„ โœ•โœซโœโœ–โœฉ โœญ โ˜žโœšโœโœขโœ’โ‹โŠ โœฉโœœโœ• ๏ฟฝ โž โœˆ โœ• โœ’โ‹โŠ โœฉโœ‘โœ•โœฃโโณโž โœˆ โœ“โœ‡โžƒ โœโœฝโœ—โƒโœโœ โœกโœœโœ—โ‚โœฌ โ˜žโœšโœโœญโœกโœฝโœ’ โœ• โœก โ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ†โœ˜โœ โœฉ โœžโ‚โœ’โœŸโœ โœฉ โœ’ โœญ ร™โœŒรšโžดร›โœทโœช

โœธ โ‘ ๏ฟฝ โœฉโโœฉโœ‰ โถ โ‘ฅ โœญโœบโœน โธโœ”โœป โœญโœฝโœผ โ‘ โœฟโœพ โœ โฉ โธโœฆ โœŸ โ‘  โœญ โธ โœฉโœป โช โ‘ฃ โœญโœฝโœผ โธโœ™โโฝโฟโžฑโœ›โœšโ…โฝโฟโžทโž†โžถโ›โžฌโžฎโžถโœšโœฒโงโž„โžฏรซโœ†โž‡โžโž“โ–ฒร•โโ†”โฟโ†•โชโžžโโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โ€โœนโณโž“โžขโ†’โžฉโ†’รโž‰โโžŒโžโ†•โžฅโ†’โž‹โžŠโœทโ†”โฟโ†•โ‡โžŽโœผโž“ โœ‚โžคโžŒโžโžŽรโžโฅโžŽ โž‰โœทโ†•รฑโžโฅโ†•โ–โžฆโž™โ†”โฟโžŒโžโ†•โžฅโ†’โœ‘โโœญ โ‘  โœฉ

โถ โœ‰ โœฉ โžธโงโž‡โ‹โž“โ˜›โžซโฟโž“โฟโž’โž”โž‰โœทโžโฅโžกรโž›โžœโž‰โ˜žโœน โœป โโœญโœ–โœผ โ‘ โž โœฉ โœป โชโœโซ โžโ‚โœผ โœฎโžฏโถ โœ‰ โœฉ โœฐ โžŠโœทโž‰โโžกโž โž“โœผโ†•โœ โ†”โžขโ†’รฌร”โžงโž‰ โโœนโฉโžธโœฝ โœ• โœ’โœ™โœ’ โœ• โœ†โœŽโœžโœŸโœโœ™โœ†โœ โœžโœ›โœโœคโœก โœ’โ˜›โœก โœ• โœ—โœปโœ’โ˜…โœ„โœญโ˜žโœฎโœ†โœ โœžโœ›โœโœญโœก โœง โœโœขโœ†โœœโ˜žโœ’โœ„ โœ• โœฌโœ—โœโœšโœ’โœ›โœโœคโœโโ˜žโโœ’โœ”โœโœขโœโœ โœก โœโœ–โœ• โœ„ โœ• โœโœขโœกโœฝโœ’โ˜›โœžโœŸโœ โœโœ–โœฉโœœโœง โœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœโœ‘โœฉ โœ†โœ โœžโ˜›โœ โœง โœ• โœ—โœ”โœ— โœฉ โœ— โฉโœโœ“ โ™ โœก โœ•โœŒโž€ โœ• โœ’โœŒโ˜ž โœโœ โœกโœ• โœ—โœ™โœ’ โœ• โœก โœ†โœ โœžโ˜›โœกโƒโœ— โœ• โœก โœงโœฐโœ•โœฏโœ โœ• โœฉ โœก โœ†โœ โœžโ˜›โœ โœง โœ• โœ—โœ”โœ— โœฉ โœ—โœฅโŠ โœฉ โœ โ˜ž โœง โœโœชโœกโœฝโœ’โœŸโœžโœธโ˜žโœšโœโœคโœž โœ• โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’ โ˜ž โœฉ โœฌโ‡โœ โœฉ โœ โœ• โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’ โœช โœžโ˜›โœโœฌโœซ โœกโœ‘โœ โœ• โœกโœฎโœญโœฏโœžโœ”โ˜ž โœง โœ’โœ›โœโœคโœโœชโœกโœœโœกโœœโ˜žโœšโœโœคโœž โœ• โ˜žโœ–โ˜ž โœฉ โœกโœฌโœ—โœโœชโœฌ โœ• โœกโœฝโœ’ โœ โœ• โœโœ’โœž โœ โœž โœ•โ„โƒ โŠ โœฉ โœ โ˜žโโœ’โœ›โœ’ โœ• โœโœญโœกโœฝโœ’ โœ—โœŸโœโœชโœก โœฌ โ˜žโโ€โœ–โœโœขโœฌ โœฉ โœฌ โœ— โœฉ โœž โ– โœˆโœ›โœฏโžงโ‘ฃ โœช โ– โžŠ โœ• โœก โโœญโ‰โžŒ โœ“ โœฝ โœ• โœ• โœ—โœ™โœ’ โœฉ โœก โœ• โœ†โœ โœžโœŸโœโœ™โœ†โœ โœžโœ”โœโœขโœกโœฐโœ’โœŸโœก โœง โœ„โœคโœก โœ† โœ โœฉ โœžโ˜žโœโœ†โœ โœ†โœŽโœ„โœขโœ โŠ โœฉโœ‘โœ• โœž โœ„ โœ• โœ—โœ—โœžโ˜›โœกโƒโœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœ”โ˜žโโœ’โœธโœ— โœง โœ„โœผโ˜žโœชโœ—โœ”โœ—โœ™โœ โŠ โœฉโœ‘โœ• โœ—โœ˜โœ— โœฉ โœž โœ„ โœ• โœ—โœ—โœ†โœ โœžโ˜›โœ โœง โœ• โœ—โœ›โœ— โœฉ โœ— โž‰ โ˜ž โœฉ โœ—โœ›โœ—โœ›โœ โœ• โœกโœœโœ— โœ“ โœฝ โœ• โœžโœ›โœ’โœ”โ˜žโœšโœโœญโœกโœœโœ— โœโœ–โœ• โœงโœฐโœ• โœ— โœžโ˜›โœกโƒโœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœ”โ˜žโโœ’โœธโœ— โœ—โƒโœโœ โœกโœฝโœ’โœง โœโœ โœกโœœโœ—โœ™โœโ†โ…โœชโœกโœŽโœกโƒโœ— โœ โ˜žโœšโœก โœ—โœฅโœ„ โœ• โ˜žโœšโœกโœ‘โœก โœ• โ€ โœ•โˆโ‡ โœฟโœŒโœ“โ†โ‡ โœ†โœœโ˜žโ‰โ… โœ•โŠโ‡ ๏ฟฝ โœฟ โœ“

โโœชโ——โ™โ˜โšโ——โžฃโžป โ‹โกโจโœชโฌโชโžพโŠโƒโฏrโ™โซโ›โžพโ…โคโฅrโ™โจโœ˜โฃโœ’โโžผโต โˆโžผโฒโž™โจโโ—โœ™โƒ โ†โœœโ‰ โญโ–  โœ’โœ”โ˜žโœชโœกโœ โœ’ โœ โœโœชโœกโœ‘โœกโœ โœก โŠ โœฉโœ‘โœ•โœโœญโโ โœพ โœ โฉ โธโœฆ โœŸ โ˜žโโœ’โœ›โœ’ โœ• โœโœญโœกโœฝโœ’โœ†โœ—โƒโœโœ โœกโœบโœฌ โ˜žโœšโ€ โœโœญโœฌ โœฉ โœฌ โœ• โœก โœฉ โœก โœ†โœ˜โœโœ โœโœขโœกโœฝโœ’ โโœญโœฆโœ• โœ’โ‹โŠ โœฉโœ‘โœ• โœ„โœ–โœ• โœโœ โœกโ†โ˜žโœœ โ– ร— โž โ โ˜ โ‘  โœœโœฃโœข รžโœฅโœคโžคโ‘งโœฆโ˜…โœงโงโฆ โฉ โœฆ โž โœธ โ‘จ

Page 68: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœฝโœโœ๏ฟฝ โœPโœ†โœŸโ˜›โœŒโœ–โœ‚โœ†โœœโœž โœโœปโœžโœ“โœ‚โ˜Žโœ„โ˜Žโœžโ‡โ˜›โœŒโ˜žtโœš โพโœงโž‡โœโœชโœก โœ† โœ•โƒโœฉ โœ’โœŒโ˜žโœŽโœ†โœ˜โœ โœฉ โœž โœฉ โœก โœโœ’โœโœ โœโœญโœ—โœ›โœโœขโœก โ˜žโ‰โ… โœ•โœ„โœ‚ โœโœ–โœ• โโœญโœ†โ˜Ž โœโœ’โœžโœ”โœกโœ โœกโœ’โ˜žโ†โœก โœง โœžโœ”โœโœขโœž โœ• โœชโœœ โœข รž โœคโžคโ‘งโœฆโœžโœโœ โœŸ โฉ โœฆ โž โœธ โ‘จ โœ โœœ โœข รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆโ˜…โœงโงโฆ โฉ โœฆ โž โœธ โ‘จ

โœ โœœ โœข รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆโœžโœโœ โœŸ โฉ โœฆ โž โœธ โ‘จ โ‘ฃ โœœ โœข รž โœคโžคโ‘งโœฆ โœฌโœโœ โœŸ โฉ โœฆ โž โœธ โ‘จโ— โœก โœ• โ˜žโœ’โœ†โœ โœ†โœ โœ„โœญโœ โœง โ˜žโโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœโœ–โœฉ โœ’ โบ โœกโœ”โœโœ’โœžโ˜›โœฆโœฐโœฌ โœ•โœซโœโœ–โœ• โœช โœโœ’โœž โœ• โœ„โœคโœ„ โ‡ โœฟ โœ“ โƒ โœกโœ โœ โœฉ โœ— โœ โœโœชโœกโœ‘โœก โœ• โœชโœœ โœข รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆ โœฌโœโœ โœŸ โฉ โœฆ โž โœธ โ‘จ โœ โœž โ‘จ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โœป โœธ โซ โƒ โœŸ โœผ โธ

โœž โ‘จ โœก โธโœŸ โœฅโœ โœด โƒ โœŸ โ‘  โœพ โœข รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆ โœฌโœโœ โœŸ โฉ โœฆ โ‘จ โœ• โœ’โ˜›โœก โธโœŸ โ‘ โœฃโœพ โœข รžโœฅโœคโžคโ‘งโœฆ โœฌโœโœ โœŸ โฉ โธโœฆ โ‘จโœŒโ˜ž โโœน โธ

โ™ฆโ˜›โœกโ†โ˜ž โœ โœโœ โœก โœง โœœ โœข รžโœฅโœคโžคโ‘งโœฆ โœฌโœโœ โœŸ โฉ โœฆ โž โœธ โ‘จ โ‘  โœธโœโœโœŽโœ’โœ‘ โœฃ โœœ โœข รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆโœžโœโœ โœŸ โฉ โœฆ โž โœธโœ”โœ“ โœฅ โžŠ โพ โœ“ โœ•โœงโžŒโœฝ โœ• โœ’โœ™โœ’ โœ• โœž โœ• โœฌ โ˜žโœโœž โŠ โœฉโœœโœ• โœกโœ โœ โœฉ โœ— โœ† โœ• โœžโœ›โœฌ โœ• โœ’ โœโœ–โœ• โœ„โœขโœ โœง โ˜žโœ’โœ„โœขโœโœผโœ— โœ• โœž โœ„ โœ• โœ†โœ โœžโ˜›โœ โ˜Ž โœ„โœขโœฆโƒโœฌ โœ• โœ— โœฉ โœž โœฉ โœกโ€โœโœ’โœโœ โœโœญโœ—โœ›โœโœขโœก โ˜žโ‰โ… โœ•โœ–โœ‚โœ—โ˜Ž โœโœ’โœžโœ”โœกโœ โœก โœโœ–โœ• โโœญ โŠ โœฉโœ‘โœ• โœ„ โฟโœง โœโœ โœกโœŽโŠ โœฉโœ‘โœ• โœ“

โโœชโ——โ™โ˜โšโ——โœ™โœ˜ โ‹โกโžพ โโžผrโฏโซโžคโคโดโžพโšโฃโœโฌโชโญโ™ โฌโชโžพโšโฃโ–ฒโจโœโฃโžผrโœ›โœšโœชโตโžผโญโ™ โญโงโค โƒรขโญโ‹โซโœฐโโœขโœœโœโ—โ†โจโœโตโ˜Žโƒรขโญโžโซโœฐ โœ• โœ—โ‹โœ†โœ โœžโ˜›โœโœ’โœ†โœ โœžโœ”โœโœขโœกโœฐโœ’โœŸโœกโ˜…โœ—โœฃโœ„โœคโœ โœง โ˜žโœโœ„ โœ• โœ— โœ โœ• โœฉ โœกโœšโœ†โœ โœžโœŸโœ โœงโœฐโœ• โœ—โœ”โœ— โœฉ โœ— โž‰ โ˜ž โœฉ โœ—โœ”โœ—โœ™โœ โœ• โœกโ…โœ† โœ•โœฐโœฉ โœ โœ• โœกโœฝโœ’ โž‹ โœ’โœŸโœž โœ• โ˜žโœชโœกโœœโ˜žโœโœ„โœโœฃโœ–โœ—โƒโœก โœ• โœ— โœ• โœก โœฉ โœ’โœ›โœโœคโœ„โœขโœโœผโœ—โœ”โ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœฉ โœกโœšโœ โœฉ โœ’โœ”โœโœขโœ„

โœ†โœ โœžโ˜›โœโœ’โœ†โœ โœž โœ• โ˜ž โœฉ โœ†โœŽโœžโœŸโœ โœง โœ• โœ—โœ›โœ— โœฉ โœ—โจโœก โœ’ โœฉโœœโœ โœโœคโœก โœชโœ โœ„โœผโ˜ž โœ โœโœญโœ—โœ™โœ’โœ”โ˜žโœชโœก โœง โœ• โœง โ˜žโœšโœกโœ โœโœ โœกโœ‘โœโœคโŠ โœฉโœ‘โœ• โœ“โžชโœพโžถโ›โžนโžดโž˜โžโžทโž†โžฌโžฎโžทโžฉโžฑโžฅโž˜โ–ผโœฒโ™ฅโž„โœฅโœคโœงโœฆโœ‰โ†’รฌโž“โžขโ†•โž™โ†’โ–ฒโž›โžœโ†”โžขโ†•โž™โ†•โชร”โกโžโฅโ†•ร“โžฆโœ โžกโฏโ†”โ’โžžโžงโž‰โžโžŠโžงโžŠโžโžโดโžŠ โœ†โ–ฒโž“โฟโžโดโžŠโžงโžŠโžโžŒโž†โž‰โโ†•รชโžžโžงโž‰โœทโ†•โž™โ†’โžฃโžกโฏร”โœฃโ™ฃโœ‘โฉ โœฆ q โœญ ร™รฑรšโžดร›โœฑs โžณโœ˜โžŠโœทโž“โœพโž›โžขโžŒโžฏโžŠโžโ†’รฌโž“โžขโ†•โœ โžžโžงโž‰โœผโžžโžงโž“โฟโ†•โœ โ†”โžขร–โ†•โž™โžŒ โ–ผโœทโžโž™โž‰โœฉโ˜… โž‰โžโžŠโžโ†’โœฆโž›โžœร”โžฉร˜โž‹โ†•โžฅโžŒโž†โž‰โœชโžฆโž™โž“โฟโžกโกรœ โ˜… โธ โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ โ‘ โœบโœพ โœ โœป โฉ โœฆ โซ โฉ รฆ โœผ โธ โœŸ โœฒ โœฏ โœญ tโœƒโœˆโคโœ˜โบโดโปรชโปรชโบ โœฒโ™ฅโž„โœฅโœคโœซโœชโœญโœฌ โผโœผโœถ โœถโ’โžฑโžฅโž€โœโœธโž†โžทโžฉโบโ„โบโ›โžฌโœฏโœฎโ‹โžทโž†โปรชโžฑโœ โž˜โžโžทโžฉโผโฉโž˜โœฑโœฐโœณโœฒโž™โž‚โœตโœดโœžโœถโ‡รณโœฆโ†”โžญโžŠโœทโ†”โžขโ†•โฉโžŠโฎโžฆโฉโ†”โžขโžโฅโžกโ–โ†’รฌโ†”โžขโžโฅโ†’โโœญ t โœˆ โžณ โฉ โœฆ โ‘ โœธโœท โœรฅโถ ร› โœฆ โžณโœโ†”โฟโ†•โœƒโž“ โž“โฟโž’โž”โ†”โžขโžกโžงโžŠโž’โž”โž“โ˜›โž›โžขโžŒโžฏโžŠโžโ†’รฌโž“โžขโ†•โœ โžžโžงโž‰รโžžโžงโž“โžขโ†•โœ โ†”โฟโ†•โžฅโžŒ โ–ผโโžโž™โž‰โž‘โž“โžญโžŠโžงโžŠโœทโ†”โ’โžžโโžŒโž†ร”โžงโž‰โโ–ผโโžโฅโžŒโœ โžฆโชโžกโฏโž‰โœทโ†•โœ โž›โœผโž’โžŸโž“โžผร•โโ†”โžขโžกโžโžŽโ–โž‰โ‰โžŠโžโžโฅโžŒโžโžซโžญโž“โžขโ†•โž™โ†’รโž‰รรœ

โ˜… โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ โธ โ‘  โชโœป โช โ‘ฃ โœฒ โœผ โœป โช โ‘ฃ โœญโœฝโœผ โœขโœ›โœน โœญ โซ โœฒ โœน โธ โœฉ โซ โœป โœญ โซ โœฒโœโœผ โœฃ โœญ โธ โœฉโช โ‘ฃ โœญ โซ โœฒ โธ โœฉโช โ‘ฃ โœฒ โœฅ โœ“ โžŠโœฅโœบ โœ“ โœบ โžŒโ… โ˜žโœชโœกโœœโœ— โœ„โœผโ˜žโœฎโœ— โœฉ โœโœขโœ’ โœ• โ˜žโœ‘โœกโœ โœ โœฉ โœ—โ‚โœกโœ โœโœšโœ’ โœ• โœžโ˜›โœโœชโœกโœœโœ—โœขโœปโœฟโœ„โœญโ˜žโœฟโœญโœฏโœโœชโœก โœง โœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœ โœกโœ”โœœโœœโœกโœ‘โœ โœ• โœ†โœœโ˜žโœโœž โœช

โœป โœป โœญโœฝโœผ โ‘  โœญ โธ โœฉโช โ‘ฃ โœญ โœผ โœญ tโ™ฆโœˆ โžŠโœฅโœบ โœ“ โœฝโœฉโžŒโ–  โœ’โœ”โ˜žโœชโœกโœ โœ’ โœ โœโœ โœกโœ‘โœกโœ โœกโ˜…โœ— โœ‚โœฟโœพ โ– โœˆ โœฏโžงโ‘ฃ โœช โ– โœ• โœ’ โ–ฒโโž โœˆโœ โ˜ž โœโœ โœก โœกโœ โœโœชโœ’ โœ• โœžโœธโ˜žโโ€โƒโ‚ โœป โœ‚ โœฏ โ–ฒ โœผ โœ„ โœ• โœกโœŽโœโœชโœฌ โ˜Ž โœž โœ•โœฎโœโœ–โœ•โ„โ˜…โœฅโฟโœžโ˜Ž โœ โœฉ โœ„ โœ• โœ— โœโœ–โœ• โœžโœ”โ˜žโ…โœฃโœ™โœโœชโœก โ–ฒโœกโœ โœก โœงโœฐโœ• โœ—โœ”โœ—โœ›โ˜žโœชโœโœขโœž โœ• โœ†โœ˜โœ โœฉ โœžโœฃโœž โœ•โƒโœง โœ โœฉ โœ โœžโœ›โœโœคโœž โœ‚ โœ“โœ‘โ…โ˜›โœ• โœ„โœผโ˜žโœ˜โœฌ โž‹ โœฌ โœ• โœฌ โ˜žโœšโœกโœ‘โœโœคโœฆโœ”โœž โœ• โ˜žโ†โœโœ โœกโœŒโœกโœŽโœโœšโœ’ โœ• โœžโœ”โ˜žโ†โ€โˆโ‡โœตโ‡ โœป โœ‚ โœฏ โ–ฒ โœผ โœ„ โœ• โœกโœ โœโœชโœฌ โ˜Ž โœž โœ•โœฃโœโœ‘โœ•โœ’โ˜Ž โœ โœฉ โœ„ โœ• โœ— โœโœ–โœ•

โœžโœ”โ˜žโ…โœฃโœ™โœโœชโœก โ–ฒ โ˜ž โœฉ โœ— โœ• โœกโœœโœ— โœโœ–โœ• โœ„โœผโ˜žโœฎโœกโœ โœโœ’โœžโœ”โœฌ โœ•โœฏโœ•โƒโœฉโœœโœง โœ„โœญโœ โœ โœ โœ• โœกโœ‘โœก โœ• โœกโœ โœก โœง โœ• โœ—โœ›โœ—โœ”โ˜žโœšโœโœคโœž โœ• โœ†โœ˜โœ โœฉ โœžโœฃโœž โœ•โƒโœง โœ โœฉ โœ โœžโœ”โœโœขโœž โœ‚ โœ“

โนโ˜›โบโดโปรชโผโฅโฝโฟโพโ™ฅโž€โ…โบโœณโœฒโ™ฅโž„โžรซ โ€ โ‚ โœป โœ‚ โœฏ โ–ฒ โœผ โ‘  โช โž›โžคโžจโžโžŠโœนโ–ผโœทโžโž™โž‰โœŒโ–ฒ t โโœนโž™โžธโ‰ โœ โœฉ โœ—โ‚โœกโœ โœโœšโœ’ โœ• โœžโ˜›โœโœชโœกโœœโœ— โœนโœโœน โœญ โœนโœโœน โ‘  โœนโŠโœน โฉ โœฆ โœนโœโœน โธ โ‘ โ—โ‹ โœพ โ– โฉ โธโœฆ โ˜ โœ“ โ™ฆโ˜›โœก โœฉ โœ’โœ›โœโœคโœ„โœญโœโœญโœ— โœ• โœžโœธโ˜žโ‡โœ„ โœ• โœ— โœ• โœกโœœโœ— โœ• โœฌ โ˜Ž โœ„ โœ• โœ— โœ— โœฉ โœโœขโœโโ˜žโœšโœกโœฝโœ’โœธโœ—โœโœชโœ‚ ร›โ โ‘  โ™ฃโœโœญ ร™ โœ‚ โœฏ โœนโœโœน โœญ โœนโŠโœน โžโโ–  sโœ‚ โœ‰โ โ‘  โ™ฃโœโœญ ร™ โœ‚ โœฏ โœนโœโœน โœญ โœนโŠโœน โœโโ–  sโ€ ร› โœป โ–  โœฏ โ–ฒ โœผ โ‘ โ‘โ€ โœป โœ‚ ร›โ โœฏ โ–ฒ โœผโ€ โœ‰ โœป โ–  โœฏ โ–ฒ โœผ โ‘ โ‘โ€ โœป โœ‚ โœ‰โ โœฏ โ–ฒ โœผโ€ โœป โ–  โถ โœฏ โ–  โธ โœฏ โ–ฒ โœผ โ‘ โ‘โ€ โœป โœ‚ ร›โ โดโ–ผโ–ฒ โœ‚ โœ‰โ โ› โœฏ โ–ฒ โœผ

Page 69: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœบ ๏ฟฝ ๏ฟฝโœ‚โœโœ™โœ„โœโœ† โœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœ๏ฟฝโœฝโœ โœ†โœœโ˜žโœ›โ˜›โœŒโœ–tโœšโ˜Žโœ„โœโœ†โฃโœ  โœ„โœโœ โ——โœ—โœ™โ˜žโ…โœโ– โœ„โœ™โœšโœ‘โœšโœœโœขโœนโœ„โœทโœ†โฃโœž โ˜ž โ˜žโœ™โœ โ——โœš โœž โœ โœขโœ„โœ‚โ˜Žโœžโ‡โœ„โ˜Žโœ‚โ— โœตโ˜…โœง ๏ฟฝโ‡โ—โœ‚โœโ‡โœนโ†โƒโ„โโœพโ€ โœซโ– โโ˜Žโœ„โฟโŠโœชโƒโœ•โœซโโ€โœŒโœญโœพโƒโžดโ€โโœชโ——โžฉโžปโœชโ——โฏโ˜ โœ†โœฐโตโ–ฒโญโœฎโƒโœ›โœšโœชโตโ–ฒโญโ‹โซ โƒรขโญโœœโ‰ โ‰ โญโ‹โซ โˆโžผโฒโž™โฆโœœโƒโ™r โ‰ rโฏโฃโ–ฒโžพโšrรขโฒโž™โญโ‹โซโคโœ˜โบโดโปรชโปรชโบ โœฒโ™ฅโž„โžรซ โœชโœžโœโ‹โบโ€โœธ โœธโž†โบโ›โฝ โœฐ โœฒโœ โœŸ โœด โœถโœ’โณโ™ฅโ†”โฟโžŒโžโ†’โ˜›โœก โœ† โ€ โœป โœˆโœ›โœฏ โช โœผโžโžณโœโž“โฟโž’โž”โ†”โžขโžกโžงโžŠรโ†”โฟโ†• โž“โฎโžฆโž™โ†”โฟโžโฅโžกโโ†’รฌโ†”โžขโžโฅโ†’โ˜›โ˜žโฝโž โœˆ รœ

โชโ‘ค โœžโœโœŒโœป โ˜ž โœ‰ โถ โซ โ˜ž โœ‰โœโœŽ โœผ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โชโœž โ˜ž โธ โœผ โœ โœœ โ– โœก โžโœ‘โ˜ž โ˜ โœ โชโ‘ค โœžโœโœŒ

โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โชโœž โ˜ž โธ โœผโคโœ˜โบโดโปรชโปรชโบ โœฒโ™ฅโž„โžฏรฒ โณโชโ†”โฟโžŒโž†โž‰โœทโ†•โž™โ†’ โœป โœก โถ โœฏ โœก โธ โœผโ‰โžโฅโ†• โžซโžญโž‰โžงโžžโœทโ†’รฌโž‰โœทโžโฅโžกโˆโœ†โ–ฒโž“โฟโžโดโžŠโžงโžŠโžโžŒโž†โž‰โโ†• โžžโž โž‰โœทโ†•โž™โ†’โžฃโžกโฏร”รโž›โžœโž‰โกโžŽโ–โž“โžขโ†’โžฉโžกโžโžŒโž†โžžโžงโž‰โ–โž›โžœโž‰โž‘โžžโžงโ†”โฟโžกโžโžกโฏร”โœทโž’โž”โž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โœ„ โช โจ

โจ โชโ˜Ž โž”โœฝโœบ โ‘ฅ โžบ โซโ——โช โ˜ž โจ โ˜ž โช

๏ฟฝโœ‰โ†’โž‹โžŠโœทโ†”โžขโžŒโž†โž‰โโ†•โžฅโ†’โœ’โ˜ž โถ โœฏ โ˜ž โธ โž โœˆ โžธโœดโญโœชโ†•โณโž“โœพโž“โฟโž’โž”โ†”โžขโžกโžงโžŠรรœโ˜›รโž“โœŸโœ—โโณโžฅโžŒโœ“โจ โœ โœˆ โžณโœœ โ– โœก โถ โžโœ“โ˜ž โถ โœฏ โœก โธ โžโœ”โ˜ž โธ โ˜

โœโœป โชโœŒโซ โจ โธ โœผ โœŽ โœฌ โธ

โœžโœโœŒ โ– โœป โ˜ž โถ โซ โจโœ•โ˜ž โธ โœผ โœป โ˜ž โธ โซ โจโœ•โ˜ž โถ โœผโโ˜ โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธ โถ โ‘ฃ โ˜ž โธโธ โซ โœž โจโœ•โ˜ž โถ โ˜ž โธโœž โœป โชโœŒโซ โจ โธ โœผ โœฅ

โ˜›รรฐโœ“โœ—โโณโžฅโžŒโœ“โจโ—โž โœˆ โž‰โœทโ†’โœœโจ โ˜žโœ—โœ– โดโœ– โ› โ˜ž โถ

โœ˜โžณ

โœœ โ– โœก โถ โžโœ“โ˜ž โถ โœฏ โœก โธ โžโœ”โ˜ž โธ โ˜ โœ โชโ‘ค โœžโœโœŒโ˜ž โœ‰ โถโถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธ โถ โ‘ฃ โ˜ž โธโธ โซ โœž โจโœ•โ˜ž โถ โ˜ž โธ

โœž โœป โชโœŒโซ โจ โธ โœผ โœฅโ˜›รโžžโœ“โœ— โ™ โž‘โž“โฟโ†•โž™โžŠโ–ฒโž’โž”โž‰โโžžโž โž“โฟโžŠโšโžฆโž™โž“โฟโžกโžโ†’โžฃโžŒโž†โžžโโžโฅโž’รดโžŒโž†โž‰โœทโžกโ†โ†”โฒโกโœ™โ˜ž โถ โ‘  โ˜ž โธ โ‘  โ˜žโšโž โช โžณโ…โ†”โžขโ†•โžƒโž“โฟโžณโ‹โžŠโœทโž“โฟโ†•โž™โžŠโœโžžโžงโ†”โฟโ†•โœ โž›โžขโžŒโžโ†’โžฉโžŒโž†โ†”โžขโ†•โ„โžŠโžงโžโฅโžกโœŸโจโž™โžณโ…โž’โ™รฏ โž‰โ˜Žโœ‚โžคโžŒโžฏโžŠโžโ†’รโž‰โโ†•โชโžžโž โž‰โ†โž›โ‹รฏ โžโฅโ†•โœ โž‰โžžโžงโ†”โฟโ†•โฉโžŠโžโ†’รโž“โฟโ†•โžฅโ†’รฌโž‰โ˜žโƒ โ†’รโž‰โœทโž’โžโž’โž”โž‰ โ–ผโœทโžโž™โž‰โž‘รœ

โœœ โ– โœก โถ โžโœ”โ˜ž โœฏ โœก โธ โžโœ“โ˜žโœ‘โ˜ โœโŠโƒโœšโ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธโœป โช โ‘ฃ โจ โœผ โœฅโ™ รร”โœทโžŽโœผโ†”โฟโ†•โฉโžŠโžโ†’โžฃโžกโฏโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โ‡รœโžŠ โ˜ž โžŒ โœ• โœ’โฅโžŠ โ˜ŽโœฟโžŒ โœ—โƒโœโœ โœกโœ โœ’ โœ โœกโƒโœฌโœ—โœโœชโœกโœฝโœ’โœŸโœžโ˜›โœก โœ• โœ— โœ โ˜žโœšโœกโœœโœ—โœœโœ›โœ–โ˜žโœชโœฌโœ—โœโœ’โœžโ˜›โœ โœ โœกโœ‘โœโœ“โœ’โœธโœ—โƒโˆ โœฃโœฃโœข โ‡โœโƒโœ”โƒโœฅโœค โœ„ โœ• โœฌโœ˜โœฌ โœ• โƒโœŒโœ“ โƒโœŒโœ“ โœ† โœ“ โœบโœงโœฆ โœ“

โ˜… โœ โœฉ โœžโžโžŠ โœงโœบโžŒ โ˜žโ†โœโœ โœก โœ โœโœผโœ—โœ™โœ’โœ›โœโœญโœก โ… โœฉโœ‘โœ•โœซโœโœ–โœ•โƒโœฉ โ€ โœง โ˜žโœชโœ—โœŒโ˜žโโœ โœฉโœŒโ˜Ž โœ โœ• โœก โจโ—โž โœˆโœฟโœโœชโœก โœ† โœ•โƒโœฉ โœ’โœ†โ˜žโœโœ„โœคโœโœ’โœžโœธโœ—โ‡โ˜žโœ’โœ†โœ โœ†โœ โœ„โœญโœโœคโŠ โœฉโœ‘โœ• โœžโœโžŠ โ˜ŽโœฟโžŒโ‚โœง โ˜žโœโœž โœ– โดโœ– โ› โ‘  โช โœ• โœ’ โœโœ โœกโ˜ž โœ โœโœขโœž โœ•โƒโœง โœ’ โœ• โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’โœโœช โœœ โ– โœก โถ โžโœ”โ˜ž โœฏ โœก โธ โžโœ”โ˜žโœ‘โ˜ โœโŠโƒโœฉโ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธ

โช โ‘ฃ โจ โœฅโœ โœฉ โ˜Ž โœ โœ• โœก โจ โœ โœˆ โœ• โœ’โœŽโ˜žโœโœ„โœคโœโœ’โœžโœธโœ—โ‚โœโœ โœกโœทโ˜žโœฟโœ† โ˜žโœโœžโžโžŠ โ˜ž โžŒ โœช

โœœ โ– โœก โถ โžโœ“โ˜ž โœฏ โœก โธ โžโœ”โ˜ž โ˜ โœ โœป โชโœŒโซ โจ โธ โœผ โœŽ โœฌ โธโœžโœชโœŒ โœป โชโœŒโซ โจโœฎโœผ โธ โ˜ž โœ‰ โธ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธ

โช โ‘ฃ โจ โœฅโœ

โœปโœฝโœป โชโœโซ โจโœฎโœผ โœป โช โ‘ฃ โจโœฎโœผ โœผ โœŽ โœฌ โธโœžโœโœŒ โœป โชโœŒโซ โจ โœผ โธ โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธ

โช โ‘ฃ โจ โœฅ โžŠโœฅโœบ โœ“ โœฆ โžŒโœ

โœป โชโœŒโซ โจ โœผ โœ‰ โถ โœฌ โธ โœป โช โ‘ฃ โจ โœผ โœŽ โœฌ โธโœžโœโœŒ โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธ

โช โ‘ฃ โจ โœฅโœโŠโƒโœฉโ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธ

โช โ‘ฃ โจ โœฅ โžŠโœฅโœบ โœ“ ๏ฟฝโœฉโžŒโ™ฆ โœด โžŠโœ™โœบ โœ“ โœฆ โžŒ โœ โœ โœ• โœกโœฝโœ’ โœโœ–โœฉ โœญ โ˜žโœšโœโœขโœ’โ‹โŠ โœฉโœœโœ•โœซโ˜žโฝโž โช โœ โœโœ โœก โœงโœฌโ˜ž โœ‰ โธ โ˜ž โ˜ž โœ‰ โถ โœ• โœ’โฅโžŠโœฅโœบ โœ“ ๏ฟฝโœงโžŒโ‡โœ โœก โœง โœ โœฉ โœ„ โœ•โœฃโœ โœโœขโœž โœ•โƒโœง โœ’ โœ• โœฌ โœ• โœกโœ โœ’ โœโœ‘โœฉ โœ—โœ›โœโ†โ…โœชโœก โœ•โœซโœโœ–โœ•โœฑโจ โœ“

Page 70: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœฝโœ ๏ฟฝโœ‘โœโœปโœ†โœœโœ„โœ๏ฟฝโœฃโœขโœฆโ˜› โœ‚โœโ˜ž โœžโœ“โœ‚โœ„โœ‚โœฎโœ–tโ˜›โœŒโœž โ˜ž โœ„โœฎโ˜›โœโ˜ž โœบโœ†โ˜Žโœ‡

โคโœ˜โบโดโปรชโปรชโบ โœฒโ™ฅโž„โžŸโž‚ โณโžฅโžโ’โžฆโžœโžฆโž™โ†”โžญโžŠโœทโ†”โžขโ†•โฉโžŠโœนโ–ผโโžโž‹รฏ โžŒโžโž’โ…โž‰โ˜Žโœ‚โžคโžŒโžฏโžŠโžโ†’รฌโž‰โœ„โœ โฆ โ†’รฌโž‰โœทโž’โœœโ–ผโœทโžโž™โž‰โœชโžฆโž™โ†”โฟโžโฅโžกโ†โ†’รโ†”โฟโžโฅโ†’โœžโœ โœโœŸโœ โฆ โ†”โžขโ†•โ‡โž“โžขโžŒโžโ†’โœชรœโœผ โ–ฒโฅโž โœˆ โœฏ โž” โธ โœ โฉ โ–ฒ โœ‰โœกโœ  โœ โ€ ร› โœป โโœน โซ โœ โœฏ โ–ฒ โœผ โœ โž” โถ โ–ฒ โœ‰โ˜›โœ  โด โ‘ฃโœŒโ˜ž โฆ โœ โœบ โœ“ โ˜Ž โžŒ

โž“โฟโžซโฟโž‰โžงโžžโœ„โœŽ โถ t โœŽโโž โœž โ‘ก tโœ‡โœˆ โž‰โœทโ†’โŠโž” โถ โœฏ โž” โธ โœฏโœโ˜ž โฆ โž›โžœโž‰โโžŠโกโžžโžงโ†”โฟโ†•โฉโžŠโžโ†’รโž“โฟโ†•โžฅโ†’รฌโž‰โโžŠโœ˜โžฆโž™โ†”โžญโžŠโžโžŒโžโ†’โžฃโžŒโžโžซโžญโž‰โโžŠโœทโžธโœ‘ โž’โž”โ†”โฟโžกโžงโžŠโžงโžณโชโžฆโž™โ†”โฟโžโฅโžกโ†โ†’รโ†”โฟโžโฅโ†’โœ’โ˜žโ™ฆโž“โฟโžŠโž โžŠโœทโž‰โœ“โœ’โฎร‘โžขโžกโฏโž“โžขโ†•โœ โž›โฟโžณโœโ†”โฟโ†•โ‡โž“โœพรœโœœโœฃโœข รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆโœžโœโœ โœŸ โฉ โœฆ โžโœ”โ˜ž โœ“ t โƒ โ˜ž โœ  โœ‰ โธ โฉ โœ‰ โถ โœป โ†’โœ•โœ” โ˜žโœณโœผ โœ‰โ˜›โœ  โœฌ โธ โ‘ฅ โœ‰โœ—โœ– โ›โ›โœโœ˜โœ™ โ›

โ†”โฒโกโ‚โƒโœบโž‰โโžŠโžงโ†’โœโžโฅโ†•โœ โž‰รโžžโž โ†”โžขโ†•โฉโžŠโžโ†’รโž“โฟโ†•โž™โ†’รโž‰โœ‰โžฆโž™โ†”โžญโžŠโžโžŒโžโ†’โžฃโžŒโžโžซโžญโž‰โ’โžธโ™ รร”โœทโžŽโœผโ†”โฟโ†•โฉโžŠโžโ†’โžฃโžกโฏโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โ‡รœโ˜… โœ โœฉ โœžโœฒโœ’โ˜›โœ โœฉ โœ’ โ–ฒโœฏโœ• โœ’โœณโœ’โœŸโœ โœฉ โœ’ โœ โ˜žโœ โœโœขโœ„ โœ• โ€โœ–โœโœผโœ—โœปโœ’ โœ•โœšโœ” โ‘ โ‘โ€โœ”ร› โœป โโœน โซ โœ โœฏ โ–ฒ โœผ โœ†โœ˜โœโœ โœโœขโœกโœฝโœ’โœ”โœ— โ โถ โœฏโœทโ‘จโžฎโ‘จโœทโ‘จ โœฏ โโœœโœ› โœโœ–โœ• โœ‚ โœโœ™โœกโœ”โœžโœ”โœ โœœ โ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ„ โœ• โœ—โœฃโœข โœฃ โœ†โœ˜โœโœชโœ’โœโœขโœ โœฆโ˜…โœ— โœ• โœ— โœชโœค โ‡ โœช โœนโœโœน โโœฆโœฅ โœนโœโœน โž โโœน โซ โœโœคโ˜žโƒ โœช โœนโœโœน โโœฆโœฅ โซ โโ˜…โœง โœนโœโœน t โ–ฒ โœ†โœ˜โœ โœฉ โœžโ‚โœ’โœŸโœ โœฉ โœ’ โœผ โœฏโœชโœฉ โœ“โœ› โœโœชโœโœขโœ’ โ˜žโœฌโœซ โช โ˜žโœ โœโœ โœกโœŒโ˜žโ€โœช

โœœโœฃโœข รžโœฅโœคโžคโ‘งโœฆโœžโœโœ โœŸ โฉ โœฆ โœซโœ“โ˜ž โœ“ t โœœ โœ‘ โƒ โž”โœฝโโœฅ โฉ โœ–โœฎโœญ โœซ โ˜ž โœ—t โœ›โœฏโœฅโœฑโœฐ โถ โœœ โ– โฉ โœ–โœฒโœญ โœซโœ“โ˜žโœ‘โ˜โœณ โœดโœถโœต โœทโœฎโœนโœธ โœฐ

โซโœ›โœฏโœฅโœฑโœฐ โถ โœฏ โœฅโœปโœบโœผโœง โœœ โœ โฉ โœ–โœฎโœญ โœซโœ“โ˜ž โœฏ โฉ โœ–โœฒโœฝ โœซ โ˜ž โœŸโœณ โœดโœพโœต โœทโœฎ โœท โœฐ

โœ โœบ โœ“โ†โ‡โœฒโœฟโโ€โ™ฆ โœด โœ โœบ โœ“โ†โ‡โœฒโœฟโโ€โ‡โœ โœก โœง โœ โœฉ โœ„ โœ•โœฃโœโœ‘โœ• โœ„โœญโ˜žโœฟโœญโœฏโœโœ’โœžโœ”โœฌ โœฉ โœ„ โœ•โœซโœ โœ• โœโœขโœก โœง โœ„ โœฉ โœ—โœ™โœโœคโœโœชโœก โฟ โœ• โ€ โœง โœ„ โœฉ โœ—โœ™โœโœคโœโœชโœก โœ“

โœฐ โœ• โœ†โœ โœžโœ›โœโœญโœก โœง โœโœขโœ† โœ• โœโœ–โœ• โœ„โœผโ˜ž โœ โœกโƒโœฌโ‡โœโœ โœกโœœโœ—โœ™โœ’โœŸโœžโœธโ˜žโโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœกโ…โœโโ˜žโƒโ‚ โœ’โ˜›โœž โœ•โœฎโœโœ–โœ•โœฎโœ โœโœชโœกโœ‘โœก โœ• โœž โœโœ–โœ• โœ—โ˜…โœ โ˜žโœ’โœ„ โœ•โƒโœฉ โœžโœธโœ— โœงโ„โœโœ˜โœ• โœ’ โœงโœถโ–ฒโœพโœโœ–โœ• โœ—โƒโœโœ™โœžโœ™โœ’ โœ• โŠ โœฉโœ‘โœ• โœป โœฐ โœผโœโœ–โœ• โœ โœ โœ• โœกโœ‘โœก โœ• โœกโœŽโœก โ…โœ’โœ„โœญโœโ†โ… โœ• โ˜ž โ˜Ž โœ„ โœ•โœฏโœโœ–โœ• โœโโ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœปโœปโ… โœผ โŠ โœฉ โ˜žโœšโœก โœโœฃโ˜žโœทโœโœ–โœ• โœ โœ โœ• โœกโœ โœ’โœ‘โ…โœ™โœžโœ”โ˜žโœชโœก โœ โœ“โ™ฆโ˜›โœกโœšโœ† โœโœ โœ— โœ• โ˜ž โธโฆ โ‘  โถโธ โโœน โถโ† โœ› โ˜ž โ˜ž โธ โ‘  โถโธ โโœน โถโ† โœโœ–โœ• โœ—โœŸโœโœ’โœžโœ›โœ’ โœ• โŠ โœฉโœ‘โœ• โ˜žโ‡โœซ โ˜ž โฆ โœโœขโœฌโœ—โœ†โœ โœ„โœญโœ โŠ โœฉโœœโœ•โˆโœ โ˜ž โœ โฆ โœ“ โ™ฆโ˜›โœกโœšโœโโ˜žโœฎโœก โ…โœ โ˜žโœ’โœ„ โœ• โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’

โœ†โœ˜โœโœฝโœ— โœ• โœžโžดโ‘งโœพโ‘  โ‰ โœ–โŠโ‹ โœฎโโ— โœ› โœ– โœฐ โดโโ–  โ› โœ“ โ™ฆโ˜›โœก โœž โœ• โœฌ โ˜žโœโœž โŠ โœฉโœœโœ• โŠ โœฉโœ‘โœ• โœชโโœน โซ โœ โ‘  โโœนโ€โœข โชโœŒโซ โช

โœž โ˜ž โธ โœ“ โœ โœบ โœ“โ†โ‡ โ‡โ‘โ€โ™ โœ’โœ”โ˜žโœ’โœ† โœ• โ‡ โœชโœผโ–ฒโœทโœโœญโœกโœ โœโœ™โœžโœ”โ˜žโœšโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœโœ–โœ• โœปโœปโ… โœผ โœชโ˜… โœ โœฉ โœžโ˜›โœ’โœŸโœ โœฉ โœ’ โช โœ โœผ โœโ–ผโœ” โ˜ž โœ„โœ–โœ• โœข โœฃ โœ† โœโœšโœ’โ—†โœขโœ โœฆโƒโœ— โœ•โ–โœค โ‡ โ˜žโœชโœ—โœ”โœ— โœฉ โœž โœ• โŠ โœฉโœ‘โœ• โœ„โœผโ˜žโœฎโœโโ˜žโœ’โœžโœ›โœโœผโ˜žโœšโœก โœงโœฐโœ• โœโœ–โœ•โœ—โฉ โœ–โœฒโœญ โœ• โœ—โœ™โœ’โ˜›โœฌ โ˜žโ——P โœโœ™โœžโœŸโœก โœ• โœ†โœœโ˜žโœ’โœž โโœน โซ โœ โœ“

โ™ฆโ˜›โœกโœŒโ˜žโœ’โœ†โœ โœ†โœ โœ„โœญโœโœคโŠ โœฉโœ‘โœ• โ˜žโœ’โœ„โœขโœโœ™โœžโœ”โœ—โจโœ„ โœ• โœ„ โœ• โœฌโœฎโœฌ โœ• โœบ โœ“ โƒ โœ†โœ˜โœ โœฉ โœžโœฃโœก โœง โœžโœ”โœโœขโœž โœ• โœชโœปโœปโ… โœผ t โƒ โถ โœ” โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธ โ„ โ– โœž โœป โโœน โซ โœโ‰โœผ โธ โ˜ โœผt โƒ โถ โœ” โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธ โ„ โ– โœž โโœน โธ โœป โชโœŒโซ โช

โœž โ˜ž โœ‰ โธ โœผ โ˜ โœผ โœ โœบ โœ“โ†โ‡โœโƒโ˜โ€t โƒ โถ โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธ โœป โช โ‘ฃ โ˜ž โœ‰ โธ โœผ โ„ โ– โœž โโœน โธ โ˜ โœผ โ‘จ โœ โฉ โ‘จ โ–ฒ โœ‰โœกโœ  โœ โœบ โœ“โ†โ‡ โœฟโโ€t โƒ โธ โ˜ž โœ  โœ‰ โธ โฉ โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธ โ„ โ– โœž โโœน โธ โ˜ โœผ โ‘จ โ‘ง โœ‰โœกโœ  โ‘จ โœปโโ™ โœ” โ˜žโœณโœผ โœ‰โœกโœ  โœฌ โธ โœ โœบ โœ“โ†โ‡ โœ•โšโ€โœ โœบ โœ“ โ‡ โƒโœ†โ€ โœ โœ โœ• โœกโœฝโœ’ โœโœ‘โœ• โœ โœบ โœ“โ†โ‡ โ‡โœฎโ€ โ˜ž โœ โœบ โœ“โ†โ‡ โœฟโโ€ โœ— โœ• โœโœ™โœกโœ”โœžโœ”โœ โœœ โœ•โœฟโœง โœ„โœผโ˜ž โœฌ โ˜žโœšโœโœญโœก โœ• โœ’ โœ• โœ—โœปโœ’ โœ โœžโœ”โ˜žโœชโœ โœ• โœ โœฆโƒโœ— โŠ โœฉโœ‘โœ• โ˜ž โธ โœซ โช โ„ โœž โœโœชโœก โœฉ โœ’โœ›โœโœคโœ„โœขโœโœผโœ— โœ• โœก โ…โœ โ˜ž โฟโœ„ โœ• โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’ โœ„โœผโ˜ž โœฌโœ˜โœโœขโœกโœŽโœโœ’โœžโœธโ˜žโโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœโœ‘โœ•โฏโœ”โœžโœ โœโœ โœกโœ‘โœกโœ โœก โœ• โœ• โœก โœ โœบ โœ“ โ˜Ž โ€ โœ“โงโ™ โœกโœ โœœโœœโœก โœ โœบ โœ“โ†โ‡ โœ•โโ€ โœ• โœ—โœ™โœ’ โœ โ˜Ž โœ’ โœ• โœก โœฉโœ‘โœ• โœ• โœกโœณโœž โœ• โœฌโœ—โœ†โœ โœ„โœผโ˜žโœ†โฑโƒโ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœโœ˜โœ• โœ’ โ–ฒ โœ†โœœโ˜žโœโœž

Page 71: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœฝโœ†โœฟ ๏ฟฝโœ‚โœโœ™โœ„โœโœ† โœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœ๏ฟฝโœฝโœ โœ†โœœโ˜žโœ›โ˜›โœŒโœ–tโœšโ˜Žโœ„โœโœ†โฃโœ  โœ„โœโœ โ——โœ—โœ™โ˜žโ…โœโ– โœ„โœ™โœšโœ‘โœšโœœโœขโœนโœ„โœทโœ†โฃโœž โ˜ž โ˜žโœ™โœ โ——โœš โœž โœ โœขโœ„โœ‚โ˜Žโœžโ‡โœ„โ˜Žโœ‚โœ„ โœ•โƒโœฉ โœžโœธโœ—โœฅโœ โ˜žโœ’โœ„ โœ•โƒโœฉ โœžโœธโœ— โœ• โœก โœญโœฏโœโœชโœก โœง โœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœโœ–โœ• โ˜ž โœ“

โ™ โœ’โœ”โ˜žโœ’โœ† โœ• โƒ โœชโœผโ–ฒ โ˜ž P โœโœ’โœžโœธโ˜žโโœ’โœ”โœโœขโœโœ โœก โœโœ–โœ• โœป โœฐ โœผ โœชโ— โœก โœ• โ˜žโœโœ†โœŽโœ†โœ โœ„โœขโœ โœง โ˜žโœšโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœ โœโœขโœž โœ•โƒโœง โœ’ โœ•โœ˜โœโœ–โœฉ โœ„ โœ• โœฌโœ˜โœฌ โœ• โœ โœบ โœ“ โœฟโโ€โ‚โฟ โ˜žโœโœ†โœŽโœžโœŸโœฆโ˜…โœ— โœžโ˜›โœก โœโœ‘โœฉโœœโœง โœ’โœ”โœโœขโœโœ โœก โœโœ–โœ• โœ— โœโโ˜žโœ’โœžโœ›โœโœผโ˜ž โ˜Ž โœ„ โœ• โœ— โฟ โœกโœ โœ โœฉ โœ— โœ โœโœชโœกโœ‘โœก โœ• โœ† โœ โœฉ โœžโœ’โœŸโœ โœฉ โœ’ โœผ โœ• โœ’ โœ’โ˜›โœ โœฉ โœ’ โœฉ โœช

โœœ โœ โฉ โœ– โœญ โœซโœ“โ˜ž โœฏ โฉ โœ– โœฝ โœซโœ”โ˜ž โœŸ โœ โƒ โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธโโœน โธ โœป โช โ‘ฃ โจ โœฅโœโœง โœผ โœฅ โœ โœบ โœ“โ†โ‡ โœบ โ€

โ˜… โœ โœฉ โœžโœŒโœฌ โ˜žโ——P โœโœ’โœž โœ• โœž โœ„โœผโ˜ž โœ โœ โœฉ โ˜Ž โœ„ โœ• โœ—โœŸโœโœชโœฌโœ˜โœฌ โœ• โ˜ž โœกโœŽโœ โœฉ โœ—โ†โ˜žโœโœ„โœคโœ„โœคโœโœชโœกโœœโœ—โœบโœฌ โ˜žโ——P โœโœ’โœž โœ• โœž โœง โœขโœœโ˜ž โœง โœฉ โœก โœโœ‘โœ• โœ— โœ• โœ—โœบโœ’ โœ• โœžโœ”โœฌ โœ• โœ— โœ• โœก โœฌโœ˜โœโœญโœกโœ โœโœ’โœžโœธโ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ„ โœ•โœง โœ โœ• โœฑ โœง โœ โœ• โœกโœ โœ’ โœโœ–โœ• โœง โœโœ’โœžโ˜›โœžโœŸโœกโœŒโœ„โœญโ˜žโœšโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โจ โœฅโœโœง โœ“

โจโšโœฅโœโœง โ‘  โช

โœž โœฃ โœนโŠโœน โ โœฅโœโœนโœโœน โธ โ‘ฃ โœนโœโœน โ โœง โœนโŠโœน โธ โซ โœนโŠโœน โ โœฅ โซ โ โœง โœนโŠโœน โธโœนโœโœน โ โœฅ โœนโœโœน โ‘จ โœนโœโœน โ โœง โœนโŠโœน โœฅโ™ฆ โœžโœฃโœโœชโœกโœทโœ—โœ”โ˜žโœšโœโœขโœ’ โŠ โœฉโœ‘โœ• โœ†โœœโ˜žโœ’โœž โœ โœกโœ”โœœโœœโœกโœ‘โœโœขโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœโœ–โœ• โโœนโœ˜โœ• โœ’โ‹โœ†โœœโ˜žโœโœžโ‹โœ„ โœ• โœข โœฃโโœ† โœโœšโœ’โ—†โœขโœ โœฆโƒโœ— โœ• โœค โ‡ โ˜ž โโœน โซ โœ โ˜ž โœนโŠโœน โโœœโœฅ โœนโœโœน โ˜ž โโœน โ˜ž โœ• โœ’โ‹โœ†โœœโ˜žโœ’โœžโœฃโœ„โœ–โœ• โœข โœฃ โœ†โœ˜โœโœชโœ’โœโœขโœ โœฆโ˜…โœ— โœ•โœคโ˜žโƒ โœนโœโœน โโœฆโœฅ โซ โโ˜…โœง โœนโœโœน t โ–ฒ โœ“โœ‘โ… โœโœชโœก โœงโœฃโœ• โœกโœทโ˜žโœโœ†โœ โœ†โœ โœ„โœญโœ โŠ โœฉ โ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ„ โœ• โœ— โœ โœกโ– โœœโœœโœกโœœโœโœ“โœ’โœ”โœโœขโœโœ โœกโœœโœ— โœโœ–โœ• โ–ฒ โœ• โœ’ โœโœ–โœ• โœ โœโœ โœกโœŒโ˜žโ€โœช

โจ โœฅโœโœง โœ โœž โโœน โธ โซ โ–ฒ โธ

โœž โœป โโœน โซ โœโ‰โœผ โธ โœ โชโœŒโซโœ„โœ‚ โ›โธ โ˜ž โœ‰ โธ โ™ โœ” โ˜žโชโœŒโซ โ˜ž โœ‰ โธ โœ โœบ โœ“โ†โ‡ โœฝโโ€

โ™ โœก โœฉ โœ’โœ›โœโœคโœ„โœขโœโœผโœ—โœ”โ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ โœบ โœ“ โ‡ โœฝโ˜โ€ โœ โœบ โœ“ โ‡ โœบ โ€โœฆโœโœ–โœ• โœ โœ โœ• โœกโœฝโœ’ โœชโœœ โœ โฉ โœ–โœฎโœญ โœซโœ“โ˜ž โœฏ โฉ โœ–โœฒโœฝ โœซโœ”โ˜ž โœŸ โœโŠโƒ โœŽ โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœ„

โซ โ˜ž โธ โœป โชโœŒโซ โ˜ž โœ‰ โธ โœผโœž โโœน โธ โœป โชโœŒโซ โœ– โž โ›โธ โซ โถ

โ˜Žโ‘ง โธ โ˜ž โœ‰ โธ โ™ โœ” โ˜žโœณโœผ โ˜Ž

โœโŠโƒ โœŽ โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธ โœป โชโœŒโซ โ˜ž โœ‰ โธ โœผโœž โโœน โธ โœป โชโœŒโซ โถ

โ˜Žโ‘ง โธ โ˜ž โœ‰ โธ โ™ โœ” โ˜žโœณโœผ โœฅ โœ โœบ โœ“โ†โ‡ โœฆ โ€

โœโŠโƒ โœŽ โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธ โœป โชโœโซ โ˜ž โœ‰ โธ โœผ โœป โช โ‘ฃ โถโ˜Ž

โ‘ง โธ โ˜ž โœ‰ โธ โ™ โœ” โ˜ž โœผโœž โโœน โธ โœฅ โœ โœบ โœ“โ†โ‡โœโœ†โโ€

โœโŠโƒ โœŽ โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธโœž โโœน โธ โ‘ฃ โช

โœž โโœน โธ โซ โ‘ง โธ โ™ โœ” โ˜žโœž โโœน โธ โ‘ฃ โ˜ž โœ‰ โธ โ™ โœ” โ˜ž

โœž โโœน โธ โœฅโœโŠโƒ โ˜Ž โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธ

โœž โโœน โธ โœฅ โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ‘ง โธ โ™ โœ” โ˜žโœž โโœน โธ โœฅ โœ โœบ โœ“โ†โ‡ โ˜Ž โ€

โœโŠโƒโœ โœŸโœซโ˜ž โœ‰ โถ โœ‰โ˜›โœก โ›โ˜žโœโœ˜โœ™ โ› โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธโœž โโœน โธ โœฅ

โœ โœบ โœ“โ†โ‡โœโœ†โโ€ โœ• โœ—โœปโœ’ โœโโœžโœธโ˜žโœšโœ โœ• โœ† โœ โœฉ โœž โ˜ž โ…โœ’โœžโœธโ˜žโœšโœก โœโœฃโœ• โœก โœ•โœโœŒ โœ•โƒโœง โœ’ โœฉ โ˜žโœชโœกโœฝโœ’ โœฉ โœก โœ โœกโœ”โœ โœ• โœ„โœคโœโœ’โœ†โœ โœ† โœ• โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’ โœ„โœขโœโœญโœฌโœ˜โœโœ“โœ’โ˜›โœก โœ“ โœ โœบ โœ“ โ‡ โ˜Ž โ€ โœ• โœ—โœปโœ’ โœโโ˜žโœโœ„โœญโœ โœโœ–โœ• โœ† โœฉ โœโœผโœ—โœŸโŠ โœฉโœ‘โœ•โœ†โœ˜โœ โœฉ โœž โ˜ž โ…โœ™โœžโœ”โ˜žโœชโœก โœ โ˜ž โœ„ โœ• โœ—โ‚โœ’ โœ• โœžโœ›โœฌ โœ• โœ— โถโธ โŠโ‹ โ› โœ• โœ’ โœ– โž โ› โ— โœ› โœ–โœŽ โŠโ‹ โ› โœ—โœŸโœโœชโœกโœฝโœ’ โœกโœ โœก โ…โœ’โœ„โœญโœ โ… โœ• โ˜ž โ˜Ž โœ„ โœ• โœ— โœโœ‘โœ• โœโโ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ„ โœ• โœ— โœโœ–โœ•โœฐโœฉ โ€โœŒโ˜ž โœฉ โœ’โœŸโœž โœ• โœ— โœ“

โ™ โœก โœฉ โœ’โœ›โœโœคโœ„โœขโœโœผโœ—โœ”โ˜žโœšโœกโœฝโœ’โœฃโœ„ โœ• โœข โœฃ โœ†โœ˜โœโœชโœ’โœโœขโœ โœฆโ˜…โœ— โœ•โœซโœโœ–โœฉ โœ„ โœ• โœฌโœ˜โœฌ โœ• โœโœชโœก โœ โ˜Ž โœ’โœ”โœ โœ• โœกโœ โœ’ โœชโœป โœฐ โœผ โœ โœ” โธ โƒ โœŸ โ˜ž โœ‰ โถ โœ‰ โœก โ›โ˜žโœโœ˜โœ™ โ› โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธโœž โโœน โธ โœฅ

โœ โƒ โœŸ โ˜ž โœ‰ โถ โœ‰ โœก โ›โ˜žโœโœ˜โœ™ โ› โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธโœž โโœน โธ โœฅ โ‘จ โœป โ˜ž โฆ โ‘ฃโœ‘โœ โถ โ–ฒ โœ‰โœกโœ  โด โœผ โธ

โœ โƒ โœŸ โ˜ž โœ‰ โถ โœ‰ โœก โ›โ˜žโœโœ˜โœ™ โ› โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธโœž โโœน โธ โœฅ โ‘จ โœป โ˜ž โฆ โ‘ฃโœ‘โœ โถ โ‘จ โโœน โœ‰โ˜›โœ  โด โ‘จ โ‘ง โœ‰โ˜›โœ  โด โ‘จ โœปโœปโ™ โœ” โ˜žโœณโœผ โœ‰โ˜›โœ  โด โœฌ โธ โ‘จ โ˜ž โœ  โด โœผ โธ

โœ โƒ โœŸ โ˜ž โœ‰ โถ โœ‰โœ’โœก โ›โ˜žโœโœ˜โœ™ โ› โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธโœž โโœน โธ โœฅ โ‘จ โ‘ง โœ‰ โธ โœ  โด โ‘จ โœปโโ™ โœ” โ˜žโœณโœผ โœ‰โ˜›โœ  โด โ‘จ โ˜ž โธ โœ  โด โœ โœบ โœ“ โƒ โœฟโโ€

โœ โƒโœ โœŸ โ‘ง โœ‰ โธ โœ  โด โ˜ž โธ โœ  โด โœ‰ โถ โœ‰โœ“โœก โ›โ˜žโ—†โœ˜โœ™ โ› โœปโœปโ™ โœ” โ˜ž โœผ โœ‰โœกโœ  โด โ‘ฅ โ โ‘ง โœฃ โซ โ˜ž โธโœž โโœน โธ โœฅ โœ โœบ โœ“ โƒ โ‡โ‘โ€

Page 72: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœฝโœ ๏ฟฝโœ‘โœโœปโœ†โœœโœ„โœ๏ฟฝโœฃโœขโœฆโ˜› โœ‚โœโ˜ž โœžโœ“โœ‚โœ„โœ‚โœฎโœ–tโ˜›โœŒโœž โ˜ž โœ„โœฎโ˜›โœโ˜ž โœฝโœ›โ‡โœ โœบ โœ“ โƒ โœฟโโ€ โœโœฝโœ โœ• โœกโœฝโœ’ โœโœ–โœฉ โœญ โ˜žโœšโœโœขโœ’โ‹โŠ โœฉโœ‘โœ• โ˜žโœŽโœ†โœ˜โœ โœฉ โœž โ˜ž โ…โœ’โœžโœธโ˜žโœšโœก โœ โ˜žโœผโ˜ž โฆ โœกโƒโœ—โœ™โœ’โœŽโœกโœ โœก โ…โœ’โœ„โœญโœ โ… โœ• โ˜ž โ˜Ž โœ„ โœ•โœฃโœโœ–โœ• โœโโ˜žโœชโœกโœ โœ’ โœ„ โœ• โœ—โœŽโ˜ž โœฉ โœ’โœŸโœž โœ• โœ—โ‡โœ’ โœ• โœžโœ”โœฌ โœ• โœ— โœ“โ™ โœก โœง โœโœชโœฌโœ—โœ†โœœโ˜žโœ’โœžโœ”โ˜žโœชโœกโœฝโœ’โจโœ„ โœ• โœ—โœฅโœž โœ• โœ„โœผโ˜žโโœ’โœ”โœโœขโœโœ โœกโœœโœ— โœ โœบ โœ“โ†โ‡ โœ•โšโ€โ‡โœ• โœ’ โœ โœบ โœ“ โƒ โ‡โœฎโ€ โ˜žโœ โœโœ โœกโœพโœโœ™โœโœชโœโœขโœ’โœฃโŠ โœฉ โœ• โœ• โœกโœพโœ†โœ โœž โœ• โœก โ˜žโœšโœกโœฝโœ’โšโ‘งโ†โ˜žโœ โœ—โœ›โœ— โœ•โœ๏ฟฝ โ…โœ’โœžโœธโ˜žโœšโœก โœ โ˜ž โœง โœ•โœซโœโœ–โœ• โœžโœ›โœกโœ‘โœ โœ• โœžโœ• โœ—โœ™โœ’ โœกโœ โœก โ…โœ™โœ„โœขโœโ†โ… โœ• โ˜ž โ˜Ž โœ„ โœ•โœฏโœโœ‘โœ• โœโโ˜žโœšโœกโœฝโœ’โœฃโœ„ โœ• โœ†โœ โœž โœ• โœฌโœ˜โœ โœ• โœž โœงโœฐโœ• โŠ โœฉ โœ โœ โœกโœฐโœฌโœ—โœโœ โœกโœ โœ’โ˜›โœž โœ• โœ„ โœ• โœ„ โœ• โœฌโœ˜โœฌ โœ• โœ“

โœ‡

โโœชโ——โžฉโžปโœชโ——โžฃโžป โœ‚โœ”โฆโœฎโ‰ โจโœโฃโžผโซโžคโคโฅโฒโฉโžพโ…โคโฅrโ™โจโœ˜โฃโœ’โโ–ฒโญ โƒรขโžพโœโ—โ†โจโœ˜โฒโž™โฃโ–ฒโญโ™ฃrโ™โฃโ˜Žโ„โžงโฆโงโฒโž™rรขโญโžโตโ–ฒโฒโฉโญโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœธโž†โบ โœšโ…โฝโžญโžฑ โœบโžœโบโ€โœถ โœถโ’โž€โœโœถโœ“โฉโœโœŒโœ โžถโžคโฝโฟโžทโž†โžนโ…โบโ™ฃโž€โ…โž˜โœคโบโ›โž˜โœโœบโžœโผโœโœŽโ‹โฝโฟโบโดโปรชโบโดโž˜โชโžฌโœ‘โœŽโ…โบโ™ โžฌโœ“โœ’ โœšโœโบ โœ โœบ โœ“ โ˜Ž โ€ โœฝ โœ• โœžโœŸโœกโ˜…โœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœ”โ˜žโœšโœ’ โœ• โœ—โœปโœ’โœบโœ— โœฉ โœฑ โœ—โœ”โ˜žโœšโœกโœฝโœ’โœฎโœ† โœ โœฉ โœžโœฌโœ—โœโœชโœกโœฝโœ’โœŸโœž โœ• โœžโœฅโœ„โœผโ˜ž โ˜Ž โœโœ’โœžโœ”โœก โœ• โœโœญโœกโ†โœญโœฏโœกโœ”โœžโœ”โœ โœ•โƒโœฉ โœž โœ• โœ“โคโœ˜โบโดโปรชโปรชโบ โœฒโ™ฅโž„ โœฒโœ•โœ”โžโž’โžโž‰โœ’โœ‚โžคโžŒโžฏโžŠโžงโ†’รโž‰โœ—โœ– โœ โโœนโžƒโ†’รโž‰โœทโž’โœœโ–ผโโžโž™โž‰โœฆโžฆโฉโ†”โžขโžโฅโžกโ†โ†’รฌโ†”โžขโžโฅโ†’ โœ โ˜ž โœ– โ†”โฟโ†• โž“โฟโžŒโžโ†’โœฆรœ

โœผ โ–ฒโฏโœซ โœˆ โœŽ โœป โœ‚ โœฏโœ“โœ˜ โœผ โ‘ค โœ โ–ฒ โœ‰ โดโœ โœ โ€ ร› โœป โโœน โซ โœ โœฏ โ–ฒโ‰โœผ โœ โœŽ โœด โœป โœ‚ โœฏโœ“โœ˜ โœผโโ–ฒ โœ‰ โดโœ โ‘ฃโœŒโ˜ž โœป โœ‚โ˜žโœผโ†”โฒโกโœ—โœŽ โœฏ โœŽ โœด โœฏโ—†โ˜ž โ†•โœ โž‰รโž›โžœร”รโžฆโฉโž‰โœทโ†•โœ โž›โžคโž‰โโ†•โžฅโ†’โœฆโ–ผโœทโžโž™โž‰โž‘โž›โžœโž‰ โœ˜ โž‰โโ†’ โœ‚รโžธ

โ™ฆโ˜›โœก โœž โœ• โœฌ โ˜žโœ’โœžโ˜›โŠ โœฉโœ‘โœ• โŠ โœฉโœ‘โœ•โœซโœง โœโœชโœฌโœ˜โœฌ โœ• โœ˜ โ˜ž โช โ˜žโ†โœโœชโœกโ†โ˜ž โœž โ‘จ โถโธ โ˜ž โถโœฉ โœ“โ™ รร”โœทโžŽโœผโ†”โฟโ†•โฉโžŠโžโ†’โžฃโžกโฏโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โ‡รœโ˜… โœž โœ• โœฌโœ˜โœโœคโœฆโœ”โœž โœ• โœก โœ’โœ”โ˜žโœ’โœ† โœ• โœชโœŽโœ„โœญโ˜ž โ˜Ž โœโœ’โœžโœ”โœก โœ• โœ— โœฉ โœ† โœกโœ”โœžโœ”โœ โœ•โœฐโœฉ โœž โœ•

โ˜… โ˜žโœ’โœžโœ™โœ’โœธโ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœโœ–โœฉ โœ†โœŽโœžโœ›โœโœญโœก โœง โœโœคโœ† โœ• โŠ โœฉ โœ• โœโœคโœ„ โœญ โ˜ž โœฉ โœ’ โœ โœ• โ˜ž โœฉ โœ’โœ”โ˜žโœšโœกโœฝโœ’โ˜Žโœ†โœŽโœ„ โœฉ โœ— โœโœ–โœ• โ˜Ž โœ โœฉ โœ„ โœ• โœ—โ˜Žโœ†โœ˜โœ โœฉ โœž โœž โœ•โƒโœง โœ โœฉ โœ โœžโœ”โœโœขโœž โœฉ โœก โœ• โœ—โƒโœ† โ˜ž โœง โœ• โœ โœ• โ˜ž โœฉ โœ’โœ”โ˜žโœชโœกโœ โœ’โœ†โœ โœ„ โœฉ โœ—โœ„โ…โœ’โœžโœธโ˜žโœšโœก โœ โ˜žโœ–โœโœขโœ„ โœกโœŽโœ โœฉ โœ— โœ— โœฉ โœฑโœ˜โœ’ โœโœ–โœ• โœฌโœ—โœโœชโœกโœฝโœ’โœŸโœž โœ• โœžโœฃโŠ โœฉโœ‘โœ• โ˜žโ†โœ† โœฉ โœโœผโœ—โœŸโŠ โœฉโœ‘โœ•โ†โœ‚ ร› โœป โโœน โซ โœโ‰โœผโœขโœพ โœ‚ โ˜žโ†โœ„ โœ• โœโœชโœกโœทโ˜žโ€โœช

โ€ ร› โœป โโœน โซ โœ โœฏ โ–ฒ โœผ โœ โ€ โœป โœ‚ โœฏ โ–ฒ โœผ โœ โœŽ โœด โœป โœ‚ โœฏโœโœ˜ โœผโโ–ฒ โœ‰ โดโœ โ‘ฃโ‡โ˜ž โœป โœ‚โ˜žโœผโœฝโ‚โœโœชโœกโœœโœ—โœ›โœ โœ โœกโœ”โœžโ˜›โœโœชโœกโœœโœ—โœšโœ™ โ‘  โ™ฃโœฒโœ” ร™โœœโœ› โœน โ– โœ” โœฏ โœ” โ‘ฃ โช โ– โ–ฒ โœ‚โœฃโœขโ‘ โœฅโœคโœนs โœ“โ˜žโœฆ โœ• โœ—โœ™โœ’ โ˜Ž โœโœ™โœžโœ›โœกโœŽโœก โœ โœโœชโœก โœง โœ™ โœ• โœ—โœ™โœ’โœฅโœœโœœโœกโœ‘โœ โœ• โœ’โœฃโœโœชโœกโ†โ˜ž โœช

โ€ โœป โœ‚ โœฏ โ–ฒ โœผโœ โœ โœฏ โœง โ€ โœป โ– โœ” โœฏ โœ” โ‘ฃ โช โ– โœฏ โ–ฒ โœผโ… โœ• โ˜ž โœฉ โœ’โ˜›โœž โœ• โœ† โ˜žโœโœžโœ›โœ’โœŒโ˜žโœ โœ„โœผโ˜žโ‡โœญโœฏโœโœชโœก โœง โœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœป โœ โœกโ– โœœ โœกโœ‘โœ โœ• โœ• โœก โœ โœบ โœ“ โœฝโโ€ โœ†โœœโ˜žโ‰โ… โœ• โœบ โœฆ โœ• โœ—โœ™โœ’ โœง โœžโ˜›โœโœชโœโœผโœ—โœ›โœ—โœ”โ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ• โœ— โœฉ โœžโ–ฒรšโžดร› โœ†โœœโ˜žโœ’โœž โœง โœโœชโœก โœ—โƒโœกโœปโŠ โœฉโœœโœ• โœกโœฝโœ’โœฃโœ„ โœ•โœ’ โœ• โœžโœ›โœฌ โœ• โœป โœญ โซ โœฒ โœผ โœป โœป โœป โœญโœฝโœผ โซ โœป โœป โœฒ โœผโœฝโœผโœนโœโœ‘โœ• โœ โœบ โœ“ โœบ โ€ โœ• โœ—โœปโœ’ โœ† โœโœ โœ—โœ›โœโœ“โœ’โœ”โœ โœญ โœ• โœ’ โœโœ โœก โ˜ž โœ† โœ โœฉ โœžโœฒโœ’โœŸโœ โœฉ โœ’ โœ• โœกโœฝโœ’โœ›โœ โœ• โœžโœฒโœก โœ• โœ’โœฒโœ’โœŸโœ โœฉ โœ’ โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ ร™ โ– โœ” โœฏ โœ” โ‘ฃ โช โ– โธ โœช

โ˜… โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ โธ โœ โœน โœญ โซ โœฒ โœน โธ โœฉโœป โช โ‘ฃ โœญโœฝโœผ โœป โช โ‘ฃ โœฒ โœผ โœ โœน โœญ โซ โœฒ โœน โธ โœฉโœป โœ” โ‘ฃ โช โœผ โธโœ› โœ โœน โœญ โซ โœฒ โœน โœ โœป โ–ฒ โœป โœ” โ‘ฃ โช โœผ โœผ โดโœ โ˜žโœ’โœ„โœขโœโœ™โœžโœ”โœ— โ˜… โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ โœโœฌโ–ฒ โœ“โœ•โ˜… โ˜žโœโœž โœง โœโœชโœกโœœโœ—โœŸโœกโœŒโŠ โœฉโœ‘โœ• โœกโœ โœ’ โœโœ โœกโœŒโ˜žโ€โœช

โ€ โ‚ โœป โ– โœ” โœฏ โœ” โ‘ฃ โช โ– โœฏ โ–ฒ โœผ โœ โ€โˆโ‡โœตโ‡ โœป โ– โœ” โœฏ โœ” โ‘ฃ โช โ– โœฏ โœป โ–ฒ โœป โœ” โ‘ฃ โช โœผโœฝโœผ โดโœ โœผโœ โ˜… โช

โœž โœป โ–ฒ โœป โœ” โ‘ฃ โช โœผ โœผ โดโœ โœผโœชโœฉ โ‘ฃ โช โœ โœบ โœ“ โƒ โƒโ˜โ€โœ โช

โœž โœป โ–ฒ โœป โœ” โ‘ฃ โช โœผ โœผโœ•โดโœ โœผ โ‘ฃ โช

โœซโœšโœฌ โœ โœกโƒโœ—โœ›โœ โ…โœ โœก โœ• โœ„โœผโ˜žโœณโœ† โ˜žโœโœžโœ›โœ’โœ›โœ โœ•โœพโœ• โœกโœฝโœ’โœ”โœโœขโœฆโœŒโœž โœ• โ˜ž โœ โœบ โœ“ โƒโœ”โƒโœ†โ€ โœโœฝโœ โœ• โœกโœฝโœ’ โœโœ–โœฉ โœญ โ˜žโœชโœโœ“โœ’โœ—โŠ โœฉ โœ• โœโœคโœ„โจโœญ โ˜ž โœฉ โœ’ โœซ โถโธ โ‹ โœฌ โ‘ฃ โช โ˜Ž โœ โœฉ โœ„ โœ• โœ— โœโœ–โœ• โœžโœ”โ˜žโ…โœฃโœ™โœโœชโœก โœน โœ† โœ โœฉ โœžโœž โœ•โ˜…โœง โœ โœฉ โœ โœžโœ›โœโœคโœž โœฉ โœกโœŒโœโœญโœกโœฝโœ’ โœ• โœžโœŸโœโโ˜žโœโœ„โœคโœ„ โœ•โœฃโœโœ‘โœ• โœ„โœขโœโœ โœก โ… โœฉโœ‘โœ•โƒโœฉ โœž โช โœ“โœ‘โ™ โœกโœทโœ—โƒโœโœ โœฌโœ˜โœฌโœ˜โ˜žโœชโœกโœฝโœ’ โœ— โœฉ โœžโœญโœ™ โœโœชโœก โœ โ˜Ž โœ’โœ›โœ โœ• โœกโœฝโœ’ โœช

โ€ โœป โœ‚ โœฏ โ–ฒ โœผ โœ โœฏ โœง โชโœž โœป โ–ฒ โœป โœ” โ‘ฃ โช โœผโœฝโœผโœ•โดโœ โœผ โ‘ฃ โœฏ โœง โช

โœ โœŽ โœด โœป โœ‚ โœฏโœโœ˜ โœผโœŸโ–ฒ โœ‰ โดโœ โ‘ฃโœŒโ˜ž โœป โœ‚โ˜žโœผ

Page 73: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœฝโœ”โƒ ๏ฟฝโœ‚โœโœ™โœ„โœโœ† โœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœ๏ฟฝโœฝโœ โœ†โœœโ˜žโœ›โ˜›โœŒโœ–tโœšโ˜Žโœ„โœโœ†โฃโœ  โœ„โœโœ โ——โœ—โœ™โ˜žโ…โœโ– โœ„โœ™โœšโœ‘โœšโœœโœขโœนโœ„โœทโœ†โฃโœž โ˜ž โ˜žโœ™โœ โ——โœš โœž โœ โœขโœ„โœ‚โ˜Žโœžโ‡โœ„โ˜Žโœ‚โ…โ˜›โœ•โœฐโœฉ โ€โœ–โœโœคโœฆโœฐโœฌ โœ• โœก โœ’โœธโ˜žโœโœ† โœ• โœชโœ โœ„โœญโ˜ž โ˜Ž โœโœ’โœžโœ”โœก โœ• โœโœขโœกโœ โœญโœฏโœกโœ”โœžโœ”โœ โœ•โƒโœฉ โœž โœ•

โ˜… โ˜žโœ’โœž โœฉ โœก โœ โœกโœ”โœ โœ• โœ„โœคโœโœ’โœ†โœ โœ† โœ• โœฌ โœ• โœกโœ โœ’ โœ„โœญโœโœขโœฌโœ˜โœโœขโœ’โœŸโœก โœง โœ„โœ–โœ• โœโœ™โœž โœ โœž โœ• โƒโœฎโœโœ–โœ• โœน โ˜ž โœฉ โœโœ™โœโœชโœโœผโœ—โœ™โœโœญโœกโœœโ˜žโ‰โ… โœ•โœฏโœโœ‘โœ• โโœญ โœโœชโœกโœŒโœฌโœ—โœโœชโœกโœฝโœ’โœŸโœž โœ• โŠ โœฉโœ‘โœ• โœชโœน โœป โโœญ โ‘ฃโœ๏ฟฝ โœผ โ‘  โœน โœป โโœญ โœผ โซ ๏ฟฝ โธ๏ฟฝ โธโถ โ‘ฃ โœธโœ‚โ…โœŽ โฆ โœป ๏ฟฝ โธ โœผ โœ โœบ โ‘ฅ โžบ

๏ฟฝโถ โ‘  โ‘ค โœž โœ˜ โด โžโ€โœโ› โœป โชโœโซ โœ˜ โœผ โœโœœโžโ˜Žโœ„โ› โœ โœบ โœ“ โƒ โœฟโโ€

โœ† โ˜žโœโœ†โœ โœ† โœ• โœ„โœคโœโœชโœก โœ— โŠ โœฉโœœโœ• โ€โœ”ร› โœป โโœน โซ โœ โœฏ โ–ฒ โœผ โ‘  โ€ โœป โœ‚ ร›โŠโ‹ โœ‰ โ† โœฏ โ–ฒ โœผ โ˜žโœ‘โœ โœ•โ˜…โœง โœชโœ‚ ร›โŠโ‹ โœ‰ โ† โ‘  โ™ฃ โœญ ร™ โœ‚ โœน โœน โœป โœญโœฝโœผ โœซ โโœน โซ โœ sโœ› โœโœชโœโœขโœ’ โ โ‘  โโœญ โ‘ฃโœ๏ฟฝโœฉโ˜ž

โ ร™ โœ‚ ร›โŠโ‹ โœ‰ โ†โœžโœโœ โœŸ โœน โœป โโœญ โ‘ฃโœก๏ฟฝ โœผ โœซ โโœน โซ โœ

โœโœ โœŸ โโœน โซ ๏ฟฝ โธ๏ฟฝ โธโถ โ‘ฃ โœธโœ‚โ…โœŽ โฆ โœป ๏ฟฝ โธ โœผ โœซ โโœน โซ โœ

โœโœ โœŸ ๏ฟฝ โธ โ‘ฃ โœธโœ‚โ…โœŽ โฆ โœป ๏ฟฝ โธ โœผ โ˜ž ๏ฟฝ โธโถ โœโœ โœบ โœ“ โƒ โœ•โšโ€

โ™ฆโ˜›โœกโœฎโœ† โœ•โœฐโœฉ โœ’ โœ’โ˜›โœžโœŸโœ โœฉ โœ โœ• โœž โœ โฆ โœ— โœฉ โœฑ โœ—โœ›โ˜žโœชโœฌโœ˜โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’โจโœ† โœ• โœ’โœ”โœโœ“โœ’ โœ† โœ โœฉ โœž โŠ โœฉโœ‘โœ• โŠ โœฉโœ‘โœ• โœ„ โŠ โœฉโœ‘โœ• โœ—โœŸโœโœชโœโœขโœ’โ˜›๏ฟฝ โœ’ โœ• โœ„โœฉโŠ โœฉโœ‘โœ• โœน ๏ฟฝ โœน โ˜ž ๏ฟฝโถ โ‘ค โœ โœ• โœ’ โœ โœโœชโœก โœงโ ร™ โœ‚ ร›โŠโ‹ โœ‰ โ† โœ“โœœโœ• โœก โœ โœ• โ˜ž โœฉ โœ’โœŸโœž โœ• โœ—โœฆโœ’ โœ• โœžโœ”โœฌ โœ• โœ—โœŒโ˜žโœฌโ˜…โœ โฆ โœฏ โœผ โœ โ˜ž โœ โฆ โœฏ โœ‚ ร›โŠโ‹ โœ‰ โ† โ‘  โ˜ โโœญ โซ โœŽ โ‘ค โœ โœฏ โโœญ โ‘ฃ โœŽ โ‘ค โœ โ– โœ โœบ โœ“ โƒ โœบ โ€

โœฐ โ˜ž โœญโœฏโœโœ โœก โœง โœ’โœ”โœโœขโœโœ โœกโœ–โœป โœ• โœ—โœปโœ’ โœง โœžโ˜›โœโœชโœโœผโœ—โœ›โœ—โœ”โ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ• โ˜žโœฐโœ—โœ”โ˜ž โœ โœกโœŒโœžโœ›โœโœคโœโœ’โœก โœ• โœ• โœ—โœปโœ’ โœง โœโœชโœกโœฝโœ’โœ”โœโœขโœก โœฉโœ‘โœ• โœ— โœฉ โœžโžดรšโžดร› โœ• โœ’ โœโœ’โœกโœŒโœžโœ›โœโœขโœœ โœ•โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœ โœฆ โœŽโœ’โœ‘ โœป โœด โœป โœญโœฝโœผ โ‘ โœ”โœˆโกโ‘ โœฑโœป โœด โœป โœˆ โœผโœ โœโœชโœก โœง โœโœคโœ„ โœ• โ€โœ–โœโœญโœ—โœ™โœ’ โœ•โ˜›โœฉ โœก โœ•โœฃโœง โœโœชโœก โœ—โœปโœ’โœธโ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ• ๏ฟฝ โœ’ โœ• โœ„โœคโœ„ โœ• โŠ โœฉโœ‘โœ• โœป โœด โœป โœญโœฝโœผ โœ๏ฟฝโœผ โœญ tโœƒโœˆ โœ“โโœฐ โ˜ž โœญโœฏโœโœ’โœžโœ”โœฌ โœฉ โœ„ โœ•โœฏโœโœ–โœ• โ–ฒ โ˜ž โœงโ–โฟ โœฐ โ˜ž โœฉ โœžโœ›โœโœญโœก โ˜žโœโœ†โœŽโœ†โœ โœ„โœขโœ โŠ โœฉ โœก โœ•

โœง โœป โ˜žโœ โœ—โœ›โœ— โœฉ โœž โœ• โœ„โœ–โœ• โœ• โ€โœ–โœโœญโœ—โœ™โœ’ โœ• โœก โœง โœ•โœซโœโœ–โœ• โœคโžƒร™ โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ โœ’ โœ• โœ„โœคโœ„ โœ• โŠ โœฉโœœโœ• โœชโœˆ โœ โœป โœญ โซ โœฒ โœผ โœป โœป โœป โœญโœฝโœผ โซ โœป โœป โœฒ โœผ โœผ โ‘  โœป โœญ โซ โœฒ โœผ โธ โœป โœด โœป โœค โœผ โœ

๏ฟฝ โœป โœญ โซ โœฒ โœผ โธโœฟ โœž โœž โซ โœž โœ˜ โœซ โœˆ โœ โœโœ โœก โœง ๏ฟฝ โ‘จ โœป โœญ โซ โœฒโœโœผ โธโœน โœญ โซ โœฒ โœน โธ โœฉ โซ โโ‡ โœฆ โœ‰ รฆ โ‡ โœŽ โฆ โœˆโ… โœโœ โœก โœง โœ†โœ˜โœ โœฉ โœžโœฆโœ’โœŸโœ โœฉ โœ’ โ– โƒโœซ โœˆ โœโœคโœ„ โœ• โ€โœ–โœโœญโœ—โœ™โœ’ โœ• โœ โถ โœซ โœˆ โœ’ โœ• โœ„โœฉโŠ โœฉโœ‘โœ• โœ† โœ โœฉ โœžโœฆโœ’โ˜›โœ โœฉ โœ’ โœโ–โœซ โœ โถ โœ• โœ’โœฆโœ’โ˜›โœ โœฉ โœ’ โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ ร™ โ– รšโžดร› โ˜ โธ โ˜ž โœน โœญ โซ โœฒ โœน โ˜ž โœโœโœชโœกโ†โ˜žโœšโœโœขโœ’ โœช

โ˜… โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ โธ t โœน โœญ โซ โœฒ โœน โธ โœฉโœป โช โ‘ฃ โœฒ โœผ โœป โช โ‘ฃ โœญโœฝโœผ โœป โช โซ โ–  โœผ โœ โœบ โœ“ โƒโœ”โœฝโโ€โ… โœ• โ˜ž โœฉ โœ’โœŸโœž โœ• โœ† โ˜žโœโœžโœ›โœ’โœŒโ˜žโ†โœ† โœ โœฉ โœžโ‚โœ’โ˜›โœ โœฉ โœ’ โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ ร™ โ˜ โโœญ โซ ๏ฟฝ

โถ โ‘ค โœ โœฏ โโœญ โ‘ฃ ๏ฟฝโถ โ‘ค โœ โ– โธ โ˜žโœ โœโœ โœกโœŒโ˜žโ€โœชโœป โช โ‘ฃ โœฒ โœผ โœป โช โ‘ฃ โœญโœฝโœผ โœ โœป โช โ‘ฃ โโœญ โ‘ฃ ๏ฟฝโถ โ‘ค โœโ‰โœผ โธ โซ โโ† โœŽ โฆ โœป โช โ‘ฃ โโœญโœฝโœผ โธ

โ™ฆโ˜›โœกโœพโœ† โœ•โœฐโœฉ โœ’ โœ โœโœชโœก โœงโœซโœง โœขโœŽโœโœชโœโœผโœ—โœ™โœโœคโœž โœ โธ โœซ โœˆ โœ’ โœ• โœ„โฌโŠ โœฉโœ‘โœ• โœ† โœ โœฉ โœžโ‚โœ’โ˜›โœ โœฉ โœ’ โœ โ˜ž โœ โธ โœโœชโœกโ†โ˜žโœšโœโœขโœ’ โœชโœป โช โ‘ฃ โœฒ โœผ โœป โช โ‘ฃ โœญโœฝโœผ โœ โœป โœž โ‘ฃ โโœญโœฝโœผ โธโ™ฆโ˜›โœกโœพโœ†โœŽโœž โœ• โœก โœโœฏโ–  โ‘  โถโธ โœ• โœ’ โœโœชโœก โœ†โœ˜โœโœฝโœ— โœ• โœ– โ‘ โžˆโ‘ก โœผโœชโœ” โœป โœ โฆ โœฏ โ† โ›โดโ˜Žโœ“โœ’ โ›โด โœฏ โœ โธ โœผ โœ“ โ˜… โœ โœฉ โœžโœฆโœ’โ˜›โœ โœฉ โœ’ โœ โ˜ž โœ– โœโœชโœกโœบโ˜žโœŽโ˜ž โœง โœโœ โœฌโœฎโœฌ โœ• โœ โ˜ž โœ โธ โ˜žโ†โœ† โœ โœฉ โœžโœ’โœŸโœ โœฉ โœ’ โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ ร™ โ– โœ‚ ร›โŠโ‹ โœ‰ โ† โ˜ โธ โ˜ž โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ ร™ โ˜ โโœญ โซ ๏ฟฝ

โถ โ‘ค โœ โœฏ โโœญ โ‘ฃ ๏ฟฝโถ โ‘ค โœ โ– โธ โœ†โœœโ˜žโœ’โœž โœ โœบ โœ“ โƒ โœบ โ€โ‡โœ• โœ’โœฃโœ†โœœโ˜žโœ’โœž โœง โœโœชโœก โœ—โƒโœกโœปโŠ โœฉโœœโœ• โœกโœฝโœ’ โœช

โœน โœญ โซ โœฒ โœน โ˜ž โœž๏ฟฝโถ โ‘ค โœ โ˜ž โœž

๏ฟฝโถ โ‘ค โœ– โ˜ž โœž

๏ฟฝโถ โœ” โœ โธโถโœ• ๏ฟฝ โธโถ โ˜ž โœ โถ

Page 74: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœฝโœ ๏ฟฝโœ‘โœโœปโœ†โœœโœ„โœ๏ฟฝโœฃโœขโœฆโ˜› โœ‚โœโ˜ž โœžโœ“โœ‚โœ„โœ‚โœฎโœ–tโ˜›โœŒโœž โ˜ž โœ„โœฎโ˜›โœโ˜ž โœฝโ€โœฟโœ• โœ’ โœ โœโœ โœก โœง โœ†โœœโ˜žโœโœž โœ โœบ โœ“ โƒโœ”โœฝโโ€ โœโœ โœกโ†โ˜ž

โ˜… โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ โธ t โœน โœญ โซ โœฒ โœน โธ โœฉโœž โœป โช โ‘ฃ โœฒ โœผ โœป โช โ‘ฃ โœญโœฝโœผโœ• โœ’ โœง โœโœ โœฌโœ˜โœฌ โœ• โœ โ˜ž โœ โธ โœโœชโœกโœทโ˜žโœฟโœœโœœโœกโœœโ˜žโœ’โœ„ โœ• โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’โœโœช

โ˜… โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ โธ t โœน โœญ โซ โœฒ โœน โธ โœฉโœž โœป โœž โ‘ฃ โโœญโœฝโœผ โธ

โœฝโ‚โœโœชโœกโœœโœ—โœ›โœ โœ โœกโœ”โœžโ˜›โœโœชโœกโœœโœ— โ–ฒโฏโœซ โœˆโ‡โœโœชโœกโ†โ˜ž โœชโ˜… โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ โ˜ž โ–ฒ โ‘  โœŸ โช

โœžโœน โœญ โซ โœฒ โœน โธ โœฉโœป โœž โ‘ฃ โโœญโœฝโœผ โธ โ˜ž โ–ฒ โธ

โ‘  โœŸ โœน โœญ โซ โœฒ โœน โ˜ž โœ โœž โ–ฒ โธ โœป โœž โ‘ฃ โโœญโœฝโœผ โธ โœŸ โดโ›โโœโ…โœ†โœ• โœงโœฐโœ• โœ’โœ›โœ’ โœ• โœก โ…โœฝโ˜žโœโœ„โœญโœโœ“โœ’โ˜›โœก โœโœ โœก โœ โœก โœโœ–โœฉ โœโœ“โœ’โœฃโœ„ โœ• โœ—โœฅโœž โœ• โœ„โœผโ˜žโโœ’โœ”โœโœขโœโœ โœกโœœโœ— โœ— โœฉ โœโœขโœโโ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ• โœ—โœโœชโ€ ร› โœป โโœน โซ โœ โœฏ โ–ฒ โœผ โ‘  โ€ โ‚โœ๏ฟฝ โ˜ โโœญ โซ ๏ฟฝ

โถ โ‘ค โœ โœฏ โโœญ โ‘ฃ ๏ฟฝโถ โ‘ค โœ โ– โœฏ โ–ฒโœ„โœ‚t โ€โˆโ‡โœตโ‡โ˜Ž๏ฟฝ โ˜โ˜…โโœญ โซ ๏ฟฝ

โถ โ‘ค โœ โœฏ โโœญ โ‘ฃ ๏ฟฝโถ โ‘ค โœ โ– โœฏ โœ โœž โ–ฒ โธโ‰โœป โœž โ‘ฃ โโœญโœฝโœผ โธ โœŸ โดโ›โโœ โœ‚

t โœ†โœโœโœ โœž๏ฟฝโถ โ‘ค โœโœ โœž โ–ฒ โธ โœป โœž โ‘ฃ โโœญโœฝโœผ โธ โœŸ โดโ›โโœ

โœžโœ โœŸโœŸโœŸ โ‘ฃ โช

t โœž๏ฟฝโถ โ‘ค โœ โชโœ โœž โ–ฒ โธ โœป โœž โ‘ฃ โโœญโœฝโœผ โธ โœŸ โดโ›โโœ โ–ฒ โœ‰ โดโœ

t โœŽ โœป โœ˜ โœฏ โœ‚ โœผ โ‘ค โœโœนโ–ฒ โœ‰ โดโœโ… โœ• โœ โœด โœ„ โœ• โœžโœŸโœกโ˜…โœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœ”โ˜žโœšโœ’ โœ• โœ— โœง โœโœชโœฌโœ—โœ†โœ–โœ’โ˜›โœก โœ“โœ‡

โœก โžฑโžฅโž˜โœโœบโœตโœธโžฉโž€โœทโœถโ’โžทโž†โžฑโœ โž˜ โœฐ โœ• โœ„ โœ• โœฌโœ˜โœฌ โœ• โœบ โœ“ โœบโœซโ˜žโœชโœ—โœ”โœ— โœฉ โœž โœ• โŠ โœฉโœ‘โœ• โœกโœ โœ โœฉ โœ—โœฆโœ—โœŸโœโœชโœฌโœ˜โœฌ โœ• โœ— โ˜Ž โœ โœ• โœกโœบโœ—โœŸโœ โœฉ โœ—โœตโœ„ โœ• โœ— โœข โœฃ โœ†โœ˜โœโœชโœ’โœโœขโœ โœฆโ˜…โœ— โœ• โœ— โœ โœ• โ˜žโœโœ†โœŽโœ†โœ โœ„โœขโœ โœง โ˜žโœšโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœโœ‘โœฉโœ„ โœ• โœฌโœ˜โœฌ โœ• โœบ โœ“ โœ• โ˜žโœ‘โœ โœ•โ˜…โœง โœŽ โถ โ‘  โœŽ โ‘  โถโœฉ โœ• โœ’โ–ฒโ‘กโœ’โ‘  โถโธ โœ“ โ˜… โ˜žโœโœž โœง โœโœชโœกโœœโœ—โœŸโœกโœŒโŠ โœฉโœ‘โœ• โœกโœ โœ’ โœโœ โœกโœŒโ˜ž โœช

โœœโœฃโœข รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆโœžโœโœ โœŸ โฉ โœฆ โœซ โ˜žโœตโœ“ t โƒโœฉโ˜ž โดโœ โœ‰ โถ โœ‰ โถ โœปโโ™ โœ” โ˜žโœณโœผ โœ‰ โดโ› โœ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธโœž โโœน โธ โœผโ™ฆโ˜›โœก โœžโœ”โ˜žโœ’โœ†โœ โœ† โœ• โœ„โœคโœ„ โœ• โŠ โœฉโœœโœ• โœธ โ‘  ๏ฟฝโœโœฉ

โ โถ โœ‰ โœฉ โœ• โœ’โจโŠ โœฉโœ‘โœ• โœ˜ โ˜ž โช โœ“โœฝโ… โœ• โ˜ž โœฉ โœ’โœŸโœž โœ• โœ†โœœโ˜žโœ’โœžโœ™โœ’โœปโ˜žโœ’โœโœชโœกโœฎโœ†โœ˜โœโœฝโœ— โœ• โœถ โ‘  ๏ฟฝโœโœฉ โโœน โœ‰ โถ โœ“ โœฝโ‚โœโœชโœก โœ—โœ™โœ โœ โœกโœ”โœžโ˜›โœโœชโœก โœ—โ โœ— โœฉ โœฑ โœ—โœ”โ˜žโœšโœฌโœ˜โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’ โ…โœ™โœžโœ”โ˜žโœชโœก โœ โœ โœ โœด โœธ โœ— โœฉ โœฑ โœ—โœ”โ˜žโœšโœฌโœ˜โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’ โ…โœ’โœžโœธโ˜žโœšโœก โœ โ€ โœ†โœ˜โœ โœฉ โœžโœ†โ˜žโœ‘โœโœ’โœโœ โœโœขโœžโœฅโœ„ โœ• โœžโœŸโœกโ˜…โœ— โœฉ โœ„โœ“โœ’โœธโ˜žโโœ’ โœ โœบ โœ“ โœ•โšโ€ โœ†โœœโ˜žโ‰โ… โœ• โœบ โœฆ โœ“ โ™ฆโ˜›โœก โœ† โœ•โœฐโœฉ โœ’โœก โœง โœžโœ›โœโœคโœž โœ• โœช โœœ โ– ร— โœซโ——โโœ‘โ˜ โ‘  โœœ โœข รž โœคโžคโ‘งโœฆโ˜…โœงโงโฆ โฉ โœฆ โœซ โœธโ…โœ“ โ‘  โœœ โœข รžโœฅโœคโžคโ‘งโœฆโœžโœโœ โœŸ โฉ โœฆ โœซ โœธโ…โœ“โ™ โœกโœทโ˜žโœโœ†โœ โœ†โœŽโœ„โœขโœ โŠ โœฉ โ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ„ โœ• โœžโ˜›โœกโƒโœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœ”โ˜žโœšโœ’ โœโœ‘โœฉ โœ„ โœ• โœฌโœ˜โœฌ โœ• โœบ โœ“ โƒ โœโœชโœกโ†โ˜ž โœช

โœœ โ– ร— โœซโ——โโœ‘โ˜ t โƒ โถ โœธ โดโœ โœ‰ โถ โœ‰ โถ โœปโโ™ โœ” โœธ โœผ โœ‰ โดโ›โโœ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โœธ โธโœž โโœน โธ โœผt โƒ โถ โœธ โดโœ โœ‰ โถ โœปโโ™ โœ” โœธ โœผ โœ‰ โดโ›โโœ โœ‚ โœป โœธ โโœน โœผt โƒ โธ โ โ–  โด โžโ€โœ โ โ›โœ โœปโœปโ™ โœ” โœป โœถ โโœน โ โถ โœ‰ โœฉ โœผโœฝโœผ โœ‰ โดโ›โโœ โœ‚ โœป โœถโ—†โ โถ โœ‰ โœฉ โœผ

โœฝ โœ•โƒโœง โœ โœ โœกโœฐโœฌโœ—โœโœชโœกโœฝโœ’โ˜›โœž โœ• โœ„ โœ• โœžโœŸโœกโ˜…โœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœ”โ˜žโœšโœ’ โœโœ’โœ โœฉ โœ„ โœฉ โœ“โœ‡

Page 75: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœฝโœ”โœ• ๏ฟฝโœ‚โœโœ™โœ„โœโœ† โœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœ๏ฟฝโœฝโœ โœ†โœœโ˜žโœ›โ˜›โœŒโœ–tโœšโ˜Žโœ„โœโœ†โฃโœ  โœ„โœโœ โ——โœ—โœ™โ˜žโ…โœโ– โœ„โœ™โœšโœ‘โœšโœœโœขโœนโœ„โœทโœ†โฃโœž โ˜ž โ˜žโœ™โœ โ——โœš โœž โœ โœขโœ„โœ‚โ˜Žโœžโ‡โœ„โ˜Žโœ‚โ— โœตโœ๏ฟฝ ๏ฟฝโ‡โ—โœ‚โœโ‡โœนโ†โƒโ„โโœพโ€โโˆโœœโœญโœพโ‚โณโŠโœชโƒโœ‚โœซโโ€โœŒโœญโœพโƒโ…โ€โโœชโ——โœฅโœ˜โœชโ——โฏโ˜ โœ†โœฐโตโ–ฒโญโœฎโƒโœ›โœšโœชโตโ–ฒโญโ‹โซ โƒรขโญโœœโ‰ โ‰ โญโ‹โซโ‡โฑรฑโฒโž™โฆโœœโƒโ™r โ‰ rโฏโฃโ–ฒโžพโšrรขโฒโž™โญโ‹โซ

โœฝโ‚โœโœชโœกโœœโœ—โœ›โœ โœ โœกโœ”โœžโ˜›โœโœชโœกโœœโœ—โœ„โœ‚ โœพ รšโžดร› โœ• โœ’โœฃโœ†โœ˜โœโœฝโœ—โƒโœโœ โœกโœœโœ— โโœนโœ†โ˜Ž โ‘ โœฃรžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆโœžโœ โ˜Ž โœ‘ โ‹ โœพ โ– โฉ โธโœฆ โ˜ โœ— โœ“โคโœ˜โบโดโปรชโปรชโบ โœฒโ™ฅโž„ โœŸ โณโžฅโžโ’โžฆโžœโžฆโž™โ†”โžญโžŠโœทโ†”โžขโ†•โฉโžŠโ–โž’โ™รฏ โž‰โ˜Žโœ‚โžคโžŒโžฏโžŠโžโ†’รโž‰โโ†•โชโžžโž โž‰โ„โž›โงรฏ โžโฅโ†• โโœน โฆ โ˜ž โโœน โ˜Ž โ†’รโž‰โโž’โœŸโ–ผโœทโžโž™โž‰โฎโžฆโž™โ†”โฟโžโฅโžกโœผโ†’รโ†”โฟโžโฅโ†’ โโœน โฆ โœ โœ โถ โ˜ž โœ โธ โœ โโœน โ˜Ž โž‰โœทโ†’โžผโ†’รโ†”โฟโžโฅโ†’โ–ฒโฏโœซ โœˆ โ†”โฟโ†• โž“โฟโžŒโžโ†’โœ‰โž’โ™รฏ โž‰โ˜Žโœ‚โžคโžŒโžฏโžŠโžโ†’รโž‰โโ†•โชโžžโž โž‰โž‘โž›โžœโž‰โž‘โžžโžงโ†”โฟโ†•โž™โžŠโžงโ†’รโž“โฟโ†•โžฅโ†’รฌโž‰โโžŠโ†โ†•โœ โ†”โžขโ†•โž™ร–รโ†•โœ ร”รฌร‘โ›โž“โฟโ†’โžฃโžŒโžโžซโžญโž‰โโžŠ โœ โœฏ โ˜ž โฆ โœฏ โœŽรชโž‰โœทโ†’ โ‘ก โž“โฟโžซโฟโž‰โž โžž โœŽ t โœž โ‘ก โ†’รโž‰โโž’โžโž’โžŸโž‰โžโžŠโœนโ–ผโœทโžโž™โž‰รรœ

โ€ โ˜Ž โœป โœ โถ โœฏ โœ โธ โœฏ โ–ฒ โœผ โœ โœ โ–ฒ โœ‰โœกโœ  โœป โœ โธ โซ โœ โถ โœผ โฉ โ‘ฃ โ˜ž โฆ โœ โœบ โœ“ โƒ โœฆ โ€โœ‘ โž’โž”โ†”โฟโžกโžงโžŠโž‘โžŒโžโž’โž‹โž‰โ˜Žโœ‚โžคโžŒโžฏโžŠโžโ†’รฌโž‰โœซโ˜ž โฆ โœซ โœˆ โ†’รฌโž‰โœทโž’ โ–ผโโžโž™โž‰โžผโžฆโž™โ†”โฟโžโฅโžกโž‘โ†’รโ†”โฟโžโฅโ†’ โ˜ž โœซ โ˜ž โฆ โž‰โโ†’โžดโžฆโž™โ†”โฟโžโฅโžก โœด โœซ โœˆ โžโฅโ†•โชโž‰โœผโžžโžงโ†”โฟโ†•โฉโžŠโžโ†’รโž“โฟโ†•โžฅโ†’รฌโž‰โž‘โ†•โชโ†”โฟโ†•โž™ร–รโ†•โชร”รฌร‘โžคโž“โžขโ†’โžฉโžŒโžโžซโฟโž‰ร“โ†”โฟโ†•โž“โฟโžŒโžโ†’โœฆรœ โœœโœฃโœข รžโœฅโœคโžคโ‘งโœฆโœžโœ โ˜Ž โฉ โœฆ โœซ โ˜žโœตโœ“ โœ โœด โ˜ž โœ  โœ‰ โธ โฉ โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธ

โœž โโœน โธโ˜Ž โœผโ˜… โœ โœฉ โœž โœ โœกโƒโœฌโ‡โœโœ โœกโœฝโœ’โœŸโœž โœ• โœž โœง โœ• โœ„ โœ• โœฌโœ˜โœฌ โœ• โ˜ž โœกโœŽโœ โœฉ โœ— โ˜žโœ’โœ„โœขโœ„โœคโœโœชโœก โœ— โœฉ โœ’โœ›โœโœคโœ„โœขโœโœผโœ— โœ• โœž โœ„ โœ• โœžโœŸโœกโ˜…โœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœ”โ˜žโœšโœ’ โœ— โœฉ โœโœคโœโโ˜žโœšโœกโœฝโœ’โœซโœโœญโœ—โœ”โœ— โœฉ โœโœ‘โœ• โœ„โœ–โœ• โ˜žโœโœžโœ›โœ’โœ›โœ โœง โœ„ โœ• โœข โ‡โœโƒโœ”โƒโœฅโœคโ‡โœโœ–โœ•

โœ›โœ–โ˜žโœšโœฌโœ—โœโœ™โœžโœŸโœ โœ โœกโœ‘โœโœขโœ’โœ”โœ—โœŸโˆ โœฃ โœชโคโœ˜โบโดโปรชโปรชโบ โœฒโ™ฅโž„โœžโœ โœช โœฎโ‹โผโฉโปรชโžฑโžฅโฝโžญโžฑ โœŽโžโž˜โ…โžทโขโžฌ โœถโœ†โœŸ โœ’โœฑโœฐโœฅโœคโฅรซโœ รซ โœดโœ„โœšโžดโผโœกโœ โžฅโบโ€โœถ โœŸโžฅโž‚โœกโ˜› โœŸ โœฒ โœถ โณโœ โžโ’โžฆโžœโžฆโž™โ†”โžญโžŠโœทโ†”โฟโ†•โž™โžŠโœ™โ–ผโโžโž‹รฏ โžŒโžโž’โชโž‰โ˜Žโœ‚โžคโžŒโžฏโžŠโžโ†’รฌโž‰โฎโž›โžœโž‰โโžŠโœโžžโžงโ†”โฟโ†•โž™โžŠโžงโ†’รโž“โฟโ†•โžฅโ†’รฌโž‰โโžŠโ…โžฆโฉโ†”โžขร–โžŠโžโžŒโžโ†’โžฉโžŒโžโžซโฟโž‰โžโžŠ โœโœณโœฏ โœŽ โœฏโœโ˜ž โฆ โ†’รฌโž‰โœทโž’โžโž’โž”โž‰โโžŠโœ”โ–ผโœทโžโž™โž‰โž‘รœ โ€ โœป โœ‚โœฅโœฏ โ–ฒ โœผ โœ โœ โ–ฒ โœ‰โœกโœ  โ‘ฃโ‡โ˜ž โฆ

โœ‘ โž’โž”โ†”โฟโžกโžงโžŠโ†โžŒโžโž’โžโž‰โœ’โœ‚โžคโžŒโžฏโžŠโžงโ†’รโž‰โž‘โž›โžœโž‰โโžŠโ‰โžžโžงโ†”โžขโ†•โฉโžŠโžโ†’รฌโž“โžขโ†•โž™โ†’รโž‰โžโžŠโœœโ˜ž โถ โœฏ โœด โธ โœฏ โœด โœŽ โ†’รฌโž‰โœทโž’โžโž’โž”โž‰โโžŠโœนโ–ผโโžโž™โž‰โโžณโ™ฅโžฆโž™โ†”โฟโžโฅโžกโโ†’รฌโ†”โžขโžโฅโ†’โ˜›โ˜ž โœซ โ˜ž โถ โžณโœœโœฃโœข รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆโœžโœ โ˜Ž โฉ โœฆ โœซโœ“โ˜ž โœ“โœŽโœ โ˜ž โฆ โœด โธ โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธโœž โโœน โธโ˜Ž โœผ โ‘ฃโœ‘โœ โœด โœŽ โ˜ž โœ‰โœกโœ  โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธ

โœž โโœน โธโ˜Ž โœผโ™ รร”โœทโžŽโœผโ†”โฟโ†•โฉโžŠโžโ†’โžฃโžกโฏโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โ‡รœโ˜… โœ โœฉ โœž โœฉ โœก โœงโœฐโœ• โœžโœ›โœ’โœ”โ˜žโœšโœโœญโœก โ˜ž โœซ โœˆโœ—โŠ โœฉโœ‘โœ• โœกโœ โœ โœฉ โœ— โœง โœขโœ โœโœชโœโœผโœ—โœ›โœโœขโœžโ˜›โœโœชโœกโœœโœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœŸโœกโœŒโœžโœ›โœ โœ•โœฐโœฉ โœž โœ• โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’โœŒโ˜žโœ–โœกโœ โœ โœฉ โœ— โ˜žโœโœ„โœคโœ„โœขโœโœ โœกโœœโœ—โœฅโœ† โœโœ โœ— โœ• โœž โœช

โœ” โ‘  โœ” โœป โ˜ž โœผ โ‘  โœซ โ˜ž โธ โœป โโœน โธโ˜Ž โซ โโœน โธโถ โœผ โœฌ โ˜žโœ‘โœ โœ•โƒโœง โโœน โฆ โ˜ž โโœน โถ โ˜ž โโœนโœ†โ˜Ž โ‘จโ˜… โœโœ โœ—โœŸโœโœชโœกโœœโœ—โ‚โ˜žโœโœ„โœคโœโœ’โœžโœธโœ— โœช

โœ โธโœฅ โ‘  โโœน โธโ˜Ž โซ โœป โœ” โซ โœผโœกโœผ โ˜ž โœ‰ โธ โœฏ โœผ โ‘ โžˆโœˆโœ›โœฏ โช โœฏโžฎโ‘จโœทโ‘จโžฎโ‘จโœŸโœฏ โœ” โ‘จโ˜… โœž โœ• โœฌโœ˜โœ โœ• โœž โœ†โœ˜โœโœ โœโœขโœกโœฝโœ’ โœชโ‰ โœ โœฉ โœ— โ˜žโœ‘โœโœ™โœโœชโœกโœœโœ— โœ โœฉ โ˜ž โœฉ โœ†โœœโ˜žโœ’โœžโœ”โ˜ž โ…โœ’โœžโœธโ˜žโœโœ†โœผโœข โœ• โœบ โœ“โ†โ‡ โœ“ โƒ โŠ โœฉโœ‘โœ• โœ„ โœ• โœ†โœ โœžโ˜›โœ โ˜Ž โœ„โœคโœฆโœฐโœฌ โœ•โœฆโœ• โœ—โœ™โœ’ โœ„โœคโœ โœง โ˜žโœโœ„โœญโœโœผโœ—โœ›โ˜ž โ˜Ž โœ„ โœ•โจโœงโœ†โœฉ โœกโœฟโœโœ™โœโœชโœโœผโœ—โœ™โœโœญโœกโœœโ˜žโ‰โ… โœ• โœง โœโœ โœฌโœ—โœ†โœœโ˜ž โœง โœ’ โœโœ–โœ•โโœญโœŒโ˜ž โœ† โœ โœฉ โœž โœง โœโœชโœกโœฝโœ’โœ”โœโœขโœก โœฉโœ‘โœ• โœž โœกโœŽโœโœšโœ’โœŸโœž โœ• โœก โœ’ โœฉ โœโœ–โœ• โ˜žโโœกโœ โœ โœฉ โœ—โœนโ˜žโœโœ„โœคโœ„โœขโœโœ โœกโœœโœ— โœ โœโœชโœก โœง โœ„โœคโœ โœง โ˜žโœ’โœ„โœขโœโœผโœ— โœ• โœž โœ„ โœ• โœ†โœ โœžโ˜›โœ โ˜Ž โœ„โœคโœฆโœฐโœฌ โœ• โœ— โœฉ โœž โœฉ โœกโ‡โœโœ’โœโœ โœโœญโœ—โœ›โœโœญโœกโœœโ˜žโ‰โ… โœ• โœ†โœœโ˜žโœ’โœžโœ™โœ’โœ”โœ โœงโœฐโœฉ โœ„โœขโœ โœ• โœž

โœง โœ—โœ›โ˜žโœ‘โœโœ™โœโœชโœโœคโœžโœโœ‚ ร›โŠโ‹ โด โœ“โœฝโ‚โœโœชโœฌโœ˜โœฌ โœ• โœกโœ โœ โœฉ โœ—โœŽโ˜žโœ‘โœโœ’โœโœ โœกโœœโœ—โœ”โ˜žโ†โœ† โœ โœฉ โœž โ˜ž โœ— โœฉ โœฑ โœ—โœ”โ˜žโœšโœฌโœ˜โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’ โ…โœ’โœžโœธโ˜žโœšโœก โœ โโœน โฆ โ˜ž โœ โฆ โœ โโœน โถ โœ• โœ’ โŠ โœฉโœ‘โœ•โฏโœ โœ› โ‘  โโœนโœŽโ˜Ž โ˜ž โœกโœ โœ โœฉ โœ—โœ†โ˜žโœ‘โœโœ’โœโœชโœก โœ— โœ โœโœชโœก โœงโœ„โœญโ˜žโ‡โœž โœ• โœ„โœผโ˜žโโœ’โœ”โœโœขโœโœ โœกโœบโœ— โœฉ โœโœขโœโโ˜žโœชโœกโœ โœ’ โœ• โœช

โœœ โœ†โœ รž โœคโžคโ‘งโœฆโœžโœ โ˜Žโœ’โœ‘ โœ˜โœ™ โด โฉ โœฆ โœซโœ”โ˜žโœžโœ“

โœโœ›โœฏโœฅโœนโœฐ โถ โœœ โœ†โœ รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆโœžโœ โ˜Žโœ’โœ‘โœ” โœญโœโœ• โ˜Ž โžโœ” โœญ โž โด โฉ โœฆ โœซโœ“โ˜ž

โœžโœ“โœ โœบ โœ“ โƒ โœ†โโ€

โ… โ˜žโœชโœกโœœโœ—โœฅโœ„โœผโ˜žโœฎโœ— โœฉ โœโœขโœ’ โœ• โœกโœ โœ โœฉ โœ—โ‚โœกโœ โœโœชโœ’ โœ• โœžโ˜›โœโœชโœก โœ— โœ™ โœฅ โ‘ โœ–โœ‚ ร›โ† โœญ โ–ฒ โœ‚ โœ‰โ† โœญ โž โด โœ“โ…โœ†โœ•โƒโœฉ โ€โœ–โœโœขโœฆโƒโœฌ โœ• โœ† โœโœชโœโœญโœกโœฝโœ’ โœช

Page 76: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœฝโœโœ๏ฟฝ โœโœปโœ†โœœโœ„โœ๏ฟฝโœฃโœขโœฆโ˜› โœ‚โœโ˜žโœ˜โœšโ˜Žโœ„โœฎโœ† โœ–โœŸโ˜›โœŒโœž โ˜ž โœ„โœฎโ˜›โœŒโ˜ž โœฝ โœบโœฐ โœ• โœ— โœง โœโœ โœก โœ โœโœขโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœกโœœโœ—โœฆโœ—โœŸโœโœชโœกโœฝโœ’โ‚โœžโ˜›โœก โœฉ โœกโœœโœ โœ• โœ—โœตโœ† โœ โœฉ โœžโ‚โ˜žโœโœ†โœŽโœ†โœ โœ„โœขโœ โŠ โœฉโœ‘โœ• โœžโ‚โœ„ โœ• โœ„ โœ• โœฌโœ˜โœฌ โœ• โœบ โœ“ โœฆโ˜…โœ† โœ โœฉ โœž โœง โœขโœœโ˜žโœ™โŠ โœฉโœ‘โœ• โœ™ โœฅโ˜Žโœ“ โœฝ โœ• โœ„ โœ• โœฌโœ˜โœฌ โœ• โœโโ˜ž โœกโœŽโœ โœฉ โœ—โœ โœโœชโœกโœœโœก โœ• โœžโœปโ˜žโ†โœ†โœ˜โœ โœฉ โœž โœง โœขโœœโ˜žโœ™โŠ โœฉโœœโœ• โœผ โ‘  โช โœฏ โœž โœฏโœทโ‘จโœทโ‘จโžฎโ‘จ โœ” โ˜ž โœโœ–โœ• โœ— โœง โœโœ โœกโœœโœ—โœปโœ’โœธโ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ• โœ— โ˜ž โœฅ โถ โœฏ โœด โœฅโธ โœ• โœ’ โœด โœฅ

โœŽโœ’ โœ• โœ„โœขโœ„ โœ• โœ—โœฃโŠ โœฉโœ‘โœ• โœ† โœ โœฉ โœžโ‚โœ’โœŸโœ โœฉ โœ’ โ˜žโœฌโœซโœ”โ˜ž โœฅ โถ โœโœ โœกโ˜žโœšโœโœขโœ’ โœช

โœœโœฃโœข รžโœฅโœคโžคโ‘งโœฆโœžโœ โœง โœญ โฉ โœฆ โœซโœ“โ˜ž โœ“ โœ โ˜ž โฆ โœด โœฅโธ โ˜ž โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธโœž โœ โธโœฅ โœผ โ‘ฃโœ‘โœ โœด โœฅโœŽโ˜ž โœ  โœ‰ โถ โœป โœ โœฅ โซ โœ โœฅ โœ‰ โถ โœผ โฉ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธโœž โœ โธโœฅ โœผ โœ โœบ โœ“ โƒ โ˜Ž โ€

โ˜… โœโœฝโœ—โƒโœโœ โœกโœœโœ—โ‚โœฌ โ˜žโœšโœโœญโœกโœฝโœ’ โœ• โœก โ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โ˜ž โ„โถ โ‘  โƒ โœ โโœฅโœฑโœฐ โถ โœ โธโœ„โœ‚โœโœ‚โœโœ‚ โœ› โ˜ž โœฅ โถ โ˜ž โœด โ„โธ โ‘  โƒ โœ โโœฅโœฑโœฐ โถ โœ โธโœ„โœ‚โœโœ‚โœโœ‚ โœ› โœด โœฅโธ โœ• โœ’ โœด โ„โœŽ โ‘  โƒ โœ โโœฅโœฑโœฐ โถ โœ โธโ˜Žโœ‚โœโœ‚โœโœ‚ โœ› โœด โœฅโœŽโœ“

โœฆ โœžโ˜›โœโœชโœโœผโœ—โœ™โœโœคโœฆโœฐโœฌ โœ• โœ† โœโœชโœโœญโœกโœ โœ’ โœชโœ† โœ• โœฌ โ˜žโœโœž โŠ โœฉ โœโœชโœก โœ—โจโŠ โœฉโœ‘โœ• โœ„โœ–โœ• โœโœชโœกโ†โ˜žโœ โ˜žโ†โœ†โœœโ˜žโœ’โœž โœ„โœญโ˜ž โœง โœžโ˜›โœโœชโœโœผโœ—โœ”โœ—โœ›โ˜žโœชโœก โœง โœ•โœฃโœโœ–โœ• โœ„โœผโ˜žโœฎโœ— โœฉ โœโœขโœ’ โœ• โœ โœช

โœ โœฅ โœป โœ โœฅ โซ โœโœฒโœฅ โœ‰ โถ โœผ โœ โœ โธโœฅ โซ โœ โธโœฅ โœ‰ โถ โœ โชโ˜ž โธ

โœ โœฅ โซ โœ โœฅ โœ‰ โถ โœ โชโ˜ž โธ โœ โœฅ โœ โœ•

โœ†โ˜ž โœ‰ โธ โœ โœบ โœ“ โœฟโœ†โœฟโโ€

โœฝโ‚โœโœชโœก โœง โœ„ โœฉ โœ—โœ›โœโœคโœโœชโœกโœŒโœโœขโœกโœฝโœ’ โœ• โœžโœ›โœฌโœ—โœก โœ โœโœญโ˜žโœชโœโœขโœž โœ• โœชโ™ฆโ˜›โœก โœง โœโœชโœก โœง โœ„ โœฉโœœโœ• โœฌ โ˜žโœชโœโœขโœกโœฝโœ’ โœ• โœกโœœโ˜žโœšโœกโœฝโœ’โœฃโŠ โœฉ โœ• โœ• โœก โœ โœ• โœžโœ›โœ’ โœฉโ†โœโœ–โœ• โœ โœบ โœ“ โƒ โœ†โ˜โ€ โ˜ž โœโœ–โœ• โœ โœบ โœ“ โƒ โ˜Ž โ€โ‡โœ• โœ’ โœโœ–โœ• โœ โœบ โœ“ โœฟโœ†โœฟโโ€ โ˜žโœ โœโœชโœกโ†โ˜žโ€โœช

โœœ โœ†โœ รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆโœžโœ โ˜Ž โœ‘ โœ˜โœ™ โดโฉ โœฆ โœซโœ“โ˜ž โœžโœ“

โœ

โ˜ž โฆ โœด โ„โธ โ˜ž โœ‰ โถ โœ›โœฏโœฅโœฑโœฐ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธโœž โœ โธโœฅ โœผ โ‘ฃโœ‘โœ โœด โ„โœŽ โ˜ž โœ  โœ‰ โธ โฉ โœ‰ โถ โœฃ โœ•โโœน โ˜Ž โœฅ โฉ โœ›

โœฏโœฅโœฑโœฐ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธโœž โœ โธโœฅ โœผ โœ โœบ โœ“ โœฟ โ‡โ‘โ€

โœ โœฉ โ˜žโโœ’โ˜›โœžโœ›โœโœคโœฆโœฐโœฌ โœ• โœ†โœ˜โœโœ โœโœขโœกโœฝโœ’ โœชโ˜… โœ โœฉ โœž โœ• โœ—โœปโœ’โœ”โœโœขโœฌ โœ• โœžโœฎโœ„โœญโ˜žโœฅโœ—โœŸโœโœชโœฌโœ˜โœฌ โœ• โŠ โœฉ โœโœฃโœœโœ›โ… โœฉ โœž โœ•โœทโœ โ˜žโœชโœกโœœโœ— โœ โœบ โœ“ โœฟ โ‡โœฎโ€ โ˜žโœณโœโœขโœ„โœฏโœ— โœฉ โœฑโœฎโœ’ โœโœ‘โœ• โœž โœ• โœฌ โ˜žโœโœž โŠ โœฉโœœโœ• โœž โŠ โœฉ โœ• โœ• โœก โœ†โœ˜โœโœฝโœ—โœ›โ˜žโœชโœกโœ โœ’โ˜›โœ โœฅ โ‘ 

โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธ โ„ โœž โœ โธโœฅ โœผ โœ†โœ˜โœ โœฉ โœž โœ’โ˜›โœ โœฉ โœ’ โœผ โ‘  โช โœฏโžฎโ‘จโœทโ‘จโžฎโ‘จโœฑโœฏ โœ” โซ โช โ˜žโ†โœโœชโœกโ†โ˜ž โœชโœ โœฅโœ โœฅ โœ‰ โถ โ‘  โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธ โ„ โœž โœ โธโœฅ โ‘ฃ โ˜ž โธ โ„ โœž โœ โธโœฅ โœ‰ โถ โœผโœฝโœผโ‘  โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โช โ„ โœž โœ โธโœฅ โœ โธโœฅ โœ‰ โถ โœผ

โœ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โช โ„ โœž โโœน โ˜Žโ˜Ž โœผ โœ โœบ โœ“ โœฟโœ”โƒโ˜โ€โœฝโ‚โœโœชโœก โœง โœ„ โœฉ โœ—โœ›โœโœคโœโœชโœก โœช

โ™ โœกโ…โœž โœ• โœฌ โ˜žโœโœž โŠ โœฉ โ˜žโœšโœกโœฝโœ’โœฃโŠ โœฉโœ‘โœ• โœ„โœ–โœ• โœโœ โœก โ˜ž โœฉ โœก โœ• โœ—โœŸโœกโœ”โœžโœ”โœ โœ• โ…โœ™โœกโœ”โœโœ โœฌโ‡โœกโœฐโœ’โœŸโœžโœ”โœโœคโŠ โœฉโœ‘โœ• โœโœ‘โœ• โœ†โœ โœž โœ• โœฌโœ˜โœ โœ• โœžโœŽโœ’ โœ• โœžโœ›โœฌ โœ• โ‘ฅ โœ‰ โœ– โ›โ›โ—†โœ˜โœ™ โ›โœž โœ• โœ’ โœโœ‘โœ• โœžโœ”โ˜žโœชโœโœญโœ—โœŸโœโœชโœกโœŒโœฌ โ˜žโ——P โœโœ™โœžโœŸโœก โœ•โœ†โœœโ˜žโœโœž โœ โœบ โœ“ โœฟโœ”โƒโœ†โ€ โ˜žโ†โœโœชโœก โœ† โœ•โœฐโœฉ โœ’โœฃโœก โœง โœžโœ”โœโœขโœž โœ• โœช โœ›โœฏโœฅโœฑโœฐ โถ โ‘ฅ โœ‰ โœ– โ›โ› โœ” โ›โœญ โœ

โœ‘โœฏโœฅโœฑโœฐ โถ โ‘ฅ โœ‰ โœ– โ›โ› โœ” โ›โœญ โœ โ‘ฅ โœ‰โƒโœ– โ›โ›โ—†โœ˜โœ™ โ›โœž โ‘จ โช

โชโœŒโซ โ‘ฅ โดโ›โœโœ˜โœ™ โœ„โœžโœพ โœโœญโœกโœœโ˜žโœ’โœ„ โœ• โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’โœŒโ˜žโœ‘โœกโœ โœ โœฉ โœ—โœŽโ˜žโœ‘โœโœ™โœโœชโœกโœœโœ—โ‚โœ„ โœ• โœžโ˜›โœกโƒโœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœ”โ˜žโœšโœ’โœฃโœโœ’โœ โœฉ โœ„ โœฉ โœ†โœ˜โœ โœฉ โœž โ˜ž โ…โœ™โœžโœ”โ˜žโœชโœก โœ โœ“ โ™ โœก โœ• โœŒ โœ• โœ’โœŒโ˜ž โœง โœโœชโœฌโœ˜โœฌ โœ•โฏโœŽ โœซ โœž โ‘ก โ˜žโœ โœ„ โœ• โœ— โœ•โ˜…โœง โœโœ โœก โœโœ’ โœ• โœžโœ›โœฌ โœ•โœซโœโœ–โœ• โœ โœบ โœ“ โœฟโœ›โ‡โœฎโ€โœฆโœ โœโœ โœฌโœฎโœโœญโœก โœ• โœ„ โœ• โœ†โœ โœž โœ• โœฌโœ˜โœ โœ• โœž โœ“ โ™ โœ’โ‹โœโœ โœกโœŒโ˜žโ€โœชโœœ โœ†โœ รžโœฅโœคโ›โ‘งโœฆโœžโœ โ˜Ž โœ‘ โœ˜โœ™ โด

โฉ โœฆ โœซโœ“โ˜ž โœžโœ“โœโœผโœด โ˜ž โœ  โœ‰ โธ โฉ โœ‰ โถ โ‘ฅ โ โ‘ง โœป โซ โ˜ž โธโœž โโœน โธโ˜Ž โœผ

โœ‡

Page 77: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœฝโœ โœฝ ๏ฟฝโœ‚โœโœ™โœ„โœโœ† โœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœ๏ฟฝโœฝโœ โœ†โœœโ˜žโœ›โ˜›โœŒโœ–tโœšโ˜Žโœ„โœโœ†โฃโœ  โœ„โœโœ โ——โœ—โœ™โ˜žโ…โœโ– โœ„โœ™โœšโœ‘โœšโœœโœขโœนโœ„โœทโœ†โฃโœž โ˜ž โ˜žโœ™โœ โ——โœš โœž โœ โœขโœ„โœ‚โ˜Žโœžโ‡โœ„โ˜Žโœ‚โโœชโ——โœฅโœ˜โœชโ——โžฃโžป โœ‚โœ”โฆโœฎโ‰ โจโœโฃโžผโซโžคโคโฅโฒโฉโžพโ…โคโฅrโ™โจโœ˜โฃโœ’โโ–ฒโญ โƒรขโžพโœโ—โ†โจโœ˜โฒโž™โฃโ–ฒโญโ™ฃโซโดโตโœโˆโ†โฆโงโฒโžฅrรขโญโ‹โตโžผโฒโฉโญโ˜Žโœ„โœ“โœ†โœŸโœžโœ๏ฟฝ โ˜›โคโœ˜โบ โœšโ…โฝโฟโžฑ โœบโžœโบโ€โœถ โœถโžฎโž€โœโœถโœพโฉ โœŒโžฅโžถโ›โฝโฟโžทโขโžนโžดโบ โž€โžโž˜โœ†โบโดโž˜โœโœบโžœโผโ˜žโœŽโžโฝโฟโบโ›โปโœฐโบโ›โž˜โชโžฌโœœโœŽโ…โบ โžฌโœ“โœ’ โœšโœโบ โœ โœบ โœ“ โƒ โœฆ โ€ โœฝ โœ• โœžโœŸโœกโ˜…โœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœ”โ˜žโœšโœ’ โœ• โœ—โœปโœ’โœซโœ— โœฉ โœฑ โœ—โœ›โ˜žโœชโœกโœ โœ’ โœ† โœ โœฉ โœžโœฌโœ—โœโœชโœกโœฝโœ’โœŸโœž โœ• โœžโœฅโœ„โœผโ˜ž โ˜Ž โœโœ’โœžโœ”โœก โœ• โœ— โœฉ โœ†โœ˜โœกโœŒโœžโœ›โœ โœ•โœฐโœฉ โœž โœ• โœ“โคโœ˜โบโดโปรชโปรชโบ โœฒโ™ฅโž„โœ„โœ‚ โœ”โžโž’โžโž‰โœ’โœ‚โžคโžŒโžฏโžŠโžงโ†’รโž‰โœ—โœ– โœซ โœˆ โ†’รฌโž‰โœทโž’โœฎโ–ผโœทโžโž™โž‰โœชโžฆโž™โ†”โฟโžโฅโžกโ†โ†’รโ†”โฟโžโฅโ†’ โœ โถ โœฏ โœ โธ โ†’รโž‰โœทโž’ โžŠโœนโ–ผโโžโž™โž‰ โœ โธ โซ โœ โถ โ˜ž โœ– โ†”โฟโ†•โ‡โž“โžขโžŒโžโ†’โœชรœ

โœผ โ–ฒโฏโœซ โœˆ โ€ โœป โœ โถ โœฏ โœ โธ โœฏ โ–ฒ โœผ โœ โœ โ‹ โœ โธ โซ โœ โถ โ–ฒ โœ‰ โดโœ โ‘ฃโœŒโ˜ž โฆโ†”โฒโก โœโœณโœฏโœโ˜ž โฆ โžŠโœทโ†”โฟโ†•โžฅโ†’โœ‰โž›โžœโž‰โโžŠโกโžžโžงโ†”โฟโ†•โฉโžŠโžโ†’รโž“โฟโ†•โžฅโ†’รฌโž‰โโžŠโŠโ˜›รฌโžŒโžโ†•โชโž›โžœร”รโžฆโฉโž‰โœทโ†•โœ โž›โžคโž“โฟโ†•โž™โ†’รโž‰โโžŠรโž›โžœโž‰โœ„โœ โž‰โโ†’โœœโ–ฒโœโœ—โžœโžธโ™ รร”โœทโžŽโœผโ†”โฟโ†•โฉโžŠโžโ†’โžฃโžกโฏโž“โฟโ†’โžฃโžŒโž†โ†”โฟโ†•โ‡รœโœฝโ‚โœโœชโœกโœœโœ—โœ›โœ โœ โœกโœ”โœžโ˜›โœโœชโœกโœœโœ— โโœ‚ โ‘  โœ‚ ร›โ† โด โ–ฒ โœ‚ โœ‰โ† โ› โ‘  โ™ฃ โœญ ร™ โœ‚ q โœ โถ โ˜ž โœน โœป โœญโœฝโœผ โœ โœ โธ sโ— โœกโ€โœžโœธโ˜žโœšโœโœผโœ—โƒโœโœ โœกโœ‘โœก โœ• โœฌ โœ• โœกโœ โœ’ โ˜žโœชโœกโœœโ˜žโœโœ„โœคโœ โ… โœฉโœ‘โœ•โ‡โœงโœทโœงโœฐโœ• โœ„ โœฉ โœ โœ• โœŒ โœ•โ˜…โœง โœ’ โœฉ โœก โœ†โœ˜โœ โœฉ โœž โœ โ˜Ž โœ’ โœ• โœกโœ‘โœโœขโœž โœ„โœผโ˜ž โœž โœ• โœ„โœผโ˜žโโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœ โœบ โœ“ โƒ โœฟโ˜โ€ โœกโœ โœ โœฉ โœ— โœ† โœ• โœžโœ”โœฌ โœ• โœ’ โœ โœง โœ โœโœ–โœ•โœ โœโœคโœž โœ• โŠ โœฉ โœ• โœโœขโœ„ โœ• โ€โœ–โœโœญโœ—โœ™โœ’ โœ• โœ– โœ— โœฉ โœฑ โœ—โœ”โ˜žโœšโœฌโœ˜โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’ โœ† โœ• โœ’โœ›โœโœขโœ’โœŽโœ’ โœ• โœ„โฌโŠ โœฉโœ‘โœ• โ˜žโ†โœ† โœ โœฉ โœžโ‚โœ’โ˜›โœ โœฉ โœ’ โœป โœ โธ โœฏ โœ โถ โœผ โ˜ž โœน โœ โธ โซ โœ โถ โœน โ˜ž โœ– โœโœ โœกโœŒโ˜žโœชโœโœ“โœ’ โœชโโœ‚ โ‘  โ˜ โโœญ โซ โœŽ โ‹ โœ โธ โœฏ โโœญ โซ โœŽ โ‹ โœ โถ โ–โœณ โœดโœพโœต โœท

โ˜Žโœ„โœ†โœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœ โœ โœŸโœ“โœ’โœ”โœŸโœ•โœ โœ–โœ‘โœ†โœ”โœ—โœ‘โœ˜โœ”โœŸโ˜›โœ˜โœ™โœก โœ  โœฎ โœ“ โ† โ› โœ‰ โœ“ โ† โด โœฐโœš โ˜ โโœญ โ‘ฃ โœŽ โ‹ โœ โถ โœฏ โโœญ โ‘ฃ โœŽ โ‹ โœ โธ โ–โœณ โœดโœพโœต โœท

โ˜Žโœ„โœ†โœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœ›โ˜žโœŽโœโœœโœ โœ โœŸโœ•โœ’โœ™โœŸโœ“โœ โœ–โœœโœ†โœ™โœ—โœœโœ˜โœ™โœŸโ˜›โœ˜โœ™โœก โœ  โœฎ โœ“ โ† โ› โœ‰ โœ“ โ† โด โœฐ โœ โœบ โœ“ โœฟ โœฟโโ€โ…โœ†โœ• โœงโœฐโœ• โœžโœŸโœกโ˜…โœ— โœฉ โœ„โœขโœ’โœ”โ˜žโœšโœ’โœŒโ˜žโ†โœโœ โœก โœ โœก โœโœ–โœฉ โœโœขโœ’โ‹โŠ โœฉโœ‘โœ• โœ„ โœ• โœโœชโœกโ†โ˜žโ‡โœ„โœญโ˜žโ‡โœž โœ• โœ„โœผโ˜žโโœ’โœ”โœโœขโœโœ โœกโœŒโœ— โœฉ โœโœคโœ โ˜žโœชโœกโœฝโœ’ โœ• โœช

โ€ โœป โโœ‚ โœฏ โ–ฒ โœผ โœ โ€ โœป โ˜ โโœญ โซ โœŽ โ‹ โœ โธ โœฏ โโœญ โซ โœŽ โ‹ โœ โถ โ– โœฏ โ–ฒ โœผ โ‘ฃ โ€ โœป โ˜ โโœญ โ‘ฃ โœŽ โ‹ โœ โถ โœฏ โโœญ โ‘ฃ โœŽ โ‹ โœ โธ โ– โœฏ โ–ฒ โœผโ‰ โœ โœฉ โœ— โ˜žโœโœ„โœคโœ„โœขโœโœ โœกโœœโœ— โœฉ โœ’โœ›โœโœคโœ„โœญโœโœญโœ— โœ• โœž โœ„โœผโ˜žโœ—โœž โœ• โœ„โœญโ˜žโœšโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœกโœŒโœ— โœฉ โœโœคโœโโ˜žโœšโœกโœฝโœ’ โœ• โŠ โœฉ โœ โœ โœก โœง โœ โœฉ โœ„ โœ•โœฃโœโœ‘โœ• โœ„โœญโ˜ž โœ โœกโœ”โœœโœœโœกโœ‘โœโœขโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœโœ–โœ•โœ’โ˜… โœ โœโœ โœกโœ‘โœกโœ โœก โœ•โœฏโœ• โœก โœ โœบ โœ“ โœบ โ€ โœช

โ˜… โธโœ”โœป โœฒ โœฏ โœญโœฝโœผ โœ โœน โœญ โซ โœฒ โœน โธ โœฉโœป โช โ‘ฃ โœฒ โœผ โœป โช โ‘ฃ โœญโœฝโœผ โœ โœน โœญ โซ โœฒ โœน โธ โœฉโ™ โœก โœ โœ• โœžโœ›โœ’ โœฉโœžโœโœ–โœ•โœŒโœง โœ• โœ„โœคโœ„ โœ•โœŒโฟ โœง โœโœ–โ˜žโฌโœ„ โœ• โœกโœ โœโœ โœฌ โ˜Ž โœž โœ• โœโœ–โœ•โœŒโ˜…โœžโฟโœžโ˜Ž โœ โœฉ โœ„ โœ• โœ— โœโœ–โœ• โœžโœ”โ˜žโ…โœฃโœ™โœโœชโœก โ–ฒ โœกโœ โœก โœงโœฐโœ• โœ—โœ”โœ—โœ›โ˜žโœชโœโœขโœž โœ• โœ— โœ† โœ โœฉ โœžโ˜Žโœž โœ•โƒโœง โœ โœฉ โœ โœžโœ›โœโœคโœž โœ„โœ–โœ• โœโœญโœกโœฝโœ’ โœ• โœžโœŸโœโโ˜žโœโœ„โœคโœ„ โœ•โœ โœโœผโœ—โƒโœโœ โœกโœœโœ— โ˜โœกโโœญ โซ โœŽ โ‘ค โœ โธ โœฏ โโœญ โซ โœŽ โ‘ค โœ โถ โ– โœ• โœ—โœปโœ’โœ†โœโœญโœกโ†โœญโœฏโœกโœŒโœžโœ›โœ โœ•โœฐโœฉ โœžโ˜›โ˜ž โœฉ โœกโœ โœโœชโœฌ โ˜Ž โœž โœ• โœโœ–โœ• โœน โœน โฟโœžโ˜Ž โœ โœฉ โœ„ โœ• โœ— โœโœ–โœ• โœžโœธโ˜žโ…โœฃโœ’โœโœ โœก โ–ฒ โดโœ โœกโœ โœก โœงโœฐโœ• โœ—โœ”โœ—โœ›โ˜žโœชโœโœขโœž โœ• โœ—โจโœ† โœ โœฉ โœžโœž โœ•โ˜…โœง โœ โœฉ โœ โœžโœ›โœโœคโœž โœฉ โœกโœŒโœโœญโœกโœฝโœ’ โœ• โœžโœŸโœโโ˜žโœโœ„โœคโœ„ โœ•โœฃโœโœ‘โœ• โœ„โœขโœโœ โœก โ… โœฉโœ‘โœ•โƒโœฉ โœžโžผโ‘ค โœ โธ โซ โ‘ค โœ โถ โœ“ โœฝโ‚โœโœชโœฌโœ˜โœฌ โœ• โœโœ โœกโœทโ˜ž โœชโœป โ‹ โœ โธ โซ โ‹ โœ โถ โœผ โธ โ˜ž โœป โ‹ โœ โธ โซ โœ โถ โœผ โธโœฐ โœ• โœกโœ โœโœชโœฌ โ˜Ž โœž โœ• โœโœ–โœ• โœน โœน โฟโœžโ˜Ž โœ โœฉ โœ„ โœ• โœ— โœโœ–โœ• โœžโœธโ˜žโ…โœฃโœ’โœโœชโœก โ–ฒ โดโœ โœกโœ โœก โœง โœ• โœ—โœ”โœ—โœ”โ˜žโœšโœโœคโœž โœ• โœ—โœฎโœ† โœ โœฉ โœž โœž โœ•โƒโœง โœ โœฉ โœ โœžโœ”โœโœขโœž โœฉ โœก โœโœญโœกโœฝโœ’ โœ• โœžโœŸโœโโ˜žโœโœ„โœคโœ„ โœ• โœโœ–โœ• โœ„โœคโœโœชโœก โ… โœฉโœ‘โœ•โœฐโœฉ โœžโ‘ค โœ โธ โซ โœ โถ โœ• โœ—โœ™โœ’ โœช โ˜… โ‘ค โœ โธ โซ โœ โถ

โœž โ–ฒโœ™โดโœ โœฉ โ‘ฃ โชโœข โœ„ โœ• โœ—โœปโœ’โ‡โœ†โœ˜โœโœฝโœ—โœ›โœ—โœ›โœ โ˜Ž โœ„ โœ•โœบโœโœ–โœ• โœญ โ˜žโœชโœโœขโœž โœ•โœพโœ• โ€โœ–โ˜ž โœง โœ’ โœ• โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’โ˜Žโœ„โœผโ˜ž โœฌ โ‚โœฐโœฌ โœ•โœŒโœง โœขโœ โœโœ โœ— โœ• โœ† โœ โœฉ โœžโœฟโœ„ โœ• โ˜ž โœฉ โœ’โ˜›โœž โœ• โœโœขโœกโœฝโœ’ โœ• โœžโ˜›โœ โ˜žโœ’โœ„โœขโœ„ โœ• โ˜ž โœโœชโœก โœ โ˜Ž โœ’โœ›โœ โœ• โœกโœฝโœ’โœ˜โ˜žโœโœ„โœคโœโœ’โœžโœธโœ— โœ„โœญโ˜žโœฌ โ˜žโ——P โœโœ’โœžโœธโ˜žโโœ’โœ”โœโœขโœโœ โœกโœพโœ— โœฉ โœโœขโœโโ˜žโœชโœกโœ โœ’ โœ• โœช

โ€ โœป โโœ‚ โœฏ โ–ฒ โœผ โœ โœž โ˜… โ‘ค โœ โธ โซ โœ โถโœž โ–ฒโ˜Žโดโœ โœฉ โ‘ฃ โœž

โœ โ‹ โœ โธ โซ โœ โถ โ–ฒ โœ‰ โดโœ โ‘ฃ โœž

โœฝ โœ• โŠ โœฉ โœ โœฌโœ—โœโœชโœกโœฝโœ’โœŸโœž โœ• โœ„ โœ• โœžโ˜›โœกโƒโœ— โœฉ โœ„โœ“โœ’โœธโ˜žโโœ’ โœ“โœ‡

โœก โžฑโžฅโž˜โœโœบโœตโœธโžฉโž€โœทโœถโ’โžทโž†โžฑโœ โž˜ โœฐ โ˜ž โœ โœกโƒโœฌโ‡โœโœ โœกโœœโœ—โœ™โœ’โœŸโœžโœธโ˜žโโœ’โœ›โœโœคโœโœชโœก โœโœ–โœ• โœ„โœผโ˜ž โ˜Ž โœโœ™โœžโœ›โœก โœ• โœ— โœฉ โœ† โœกโœ”โœžโœ”โœ โœ•โœฐโœฉ โœž โœ• โœ โœบ โœ“ โƒโœ†โ€ โœ— โœ• โœฌโœ—โœโœชโœกโœฝโœ’โœŸโœž โœ•โ‚โœ• โ€โœ‘โ˜ž โœง โœ’ โœ• โœฌ โœ• โœกโœฝโœ’ โœโœ–โœ• โœ„โœญโ˜žโœฃโœฌ โ‚โƒโœฌ โœ•โœฌ โ˜žโœšโœกโœ‘โœโœคโœฆโœ”โœž โœ• โŠ โœฉโœ‘โœ• โœ„โœผโ˜ž โ˜Ž โœโœ™โœžโœ›โœก โœ• โœโœญโœกโ†โœญโœฏโœกโœŒโœžโœ›โœ โœ•โœฐโœฉ โœž โœ•โœซโœ โœกโœฐโœฌโœ—โœโœ โœกโœ โœ’โ˜›โœžโœŸโœก โœ• โ˜ž โœฉ โœ†โœœโ˜žโœโœžโœธโ˜žโ‰โ…โœ™โœžโœ”โ˜žโœ’โœ†โœผโœข โœ• โœ†โœŽโœžโœŸโœก โœง โœก โœโœ‘โœ• โœกโœฝโœ’ โœ“

Page 78: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜ž โœ

โœŽ โœโœ’โœ‘โœ”โœ“โœ–โœ•โœ˜โœ—โœšโœ™โœ›โœ— โœœโœฃโœข โœค โœฅโœ–โœ‘โœ”โœ‘โœ”โœ•โœฆโœขโ˜…โœง โœขโœฉโœ— โœช โœซโœ˜โœ—โœฌโœขโœ’โœงโœฎโœญโœฏโœ™โœฐโœงโœฎโœฑ

โœฒโœดโœณโœถโœตโœธโœทโœบโœนโœผโœปโœพโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโ…โœฟโ‚โƒโœบโœฟโ†โœฝโ‡โœฟโ‰โˆโœผโœนโ‹โŠโ—โœณโ– โโ‘โโ–ฒโโ„โโ‡โโ€โโœธโœปโ–ผโœนโ—†โœฝโ˜›โ–Pโœณโ——โœปโ€โœปโ€โโ„โœทโœบโ˜โ‚โœฟโ‚โœนโœŒโ™โšโœฟโ‚โฏโฑโโ„โƒโœบโœฟโฒโœณโ– โƒโœ”โœณโณโœฝโ€โโ‡โโ„โœทโ—โจโ„โˆโœŒโœทโœบโƒโœบโœนโ‹โโ‡โˆโฉโŠโœ โโ„โƒโ—โœปโ€โœนโœŒโŠโ—โœณโ– โโฌโ˜โชโญ โœณโ– โโ€โœฝโ€โœฟโฒโซโ—†โ˜โ‚โœนโด โœนโ‹โตโœโ›โ—โœปโ‡โœปโ€โ˜โ‰โœนโœผโโฌโœนโ—†โœฝโ‘โโžโœฟโ‰โœฝโ€โœนโœผโโ€โกโ—โœณโ„โโ€โขโคโฃโฅโœโงโฆโ™ฅโ™ โ™ฃโ™ฆโœ˜qrโœณโ– โƒโ—โœปโฌโซโฉโœนโ—†โœฝโ‘โœณโ– โโ€โœฝโ€โœฟโฒโซโ—†โ˜โ‚โœนโœŒโโ„โƒ โด โโ„โƒโœบโƒโ—โœนsโœทโ—โƒโคโˆtโœตโœธโœทโœบโœฟโ‰โจโ™ฅโœณโ„โ˜โ‰โœนโœผโƒโ——โœฝโ‘โœณโ——โœปโœพโœ‰โšโฏโฑโŠโœˆโœฝโ€โโ„โœฝโ€โœฟโฒโœตโœธโœทโœบโœนโ‘ โœ‡โ‘กโœตโœธโœทโ—โœณโ– โƒ โดโ‘ขโ‘คโ‘ฃโ‘ฆโ‘ฅโ‘จโ‘ง โด โœนโœโ˜โชโญ โœฟโ‰โƒโ—โœปโœพโœฝโ‡โœณโ„โƒโœธโœฝ โด โœนโœโŠโ—โโ€โœนโœผโฏโ–ผโœฟโ‚โœนโฉโโ‘ฉโŠโ—โœณโ„โœปโ‡โœปโ‡โœณโ– โขโ„โœน โด โญ โœทโœบโƒโ˜›โœปโ€โœนโฉโœทโ—โœฟโ‰โ˜ โ‘ข โŠโ—โœณโ„โโžโœทโœบโƒโ‘โฏโฑโโ„โœทโ—โจโ„โœนโฉโฏโฑโœนโœผโƒโ——โœฝโทโถโ‘ฉโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‚โœนโฉโƒโ–ผโบโปโโผโœณโ„โซโฝโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœบโƒโ—โœณโ„โœฟโ‰โโ‡โœนโœณโงโจโ„โœนtโซ โด โˆโฉโโ‡โœฟโ‚โจโ„โœนโœโƒโœบโโ——โƒโ‘โ˜โ‚โœฟโ‰โƒโœบโˆtโœณโ– โœฟโ‚โโ€โœนโ——โ™ฆโœธโœฒโœดโœนโœผโœปโ‘ฉโโ„โœทโœˆโœฝโ‡โœฟโ‰โ˜โฒโœปโทโœปโœพโโ——โƒโ——โœฝโ‘ฉโœฝโ€โโ‡โพโœผโœปโ‘ฉโŠโœบโโ‡โโšโซโผโฟโ—โœนโœผโœป โด โœนrโซโฉโœนโฉโœทโœˆโž€โฌโœทโœˆโœฝโ‡โœฟโ‰โ˜โ‚โœฟโ‚โœปโ€โˆโœผโœปโ‘ฉโŠโ—โœณโ„โโœฆโ™โšโœฟโ‚โฏโฑโโ„โƒโœบโœฟโฒโœณโ– โƒโ˜›โœนโ—†โœฝโนโœปโœพโโ——โƒโ——โœฝโ‘ฉโŠโœบโโ€โœฟโ‚โƒโœˆโžโซโ—†โœฟโ‚โŠโ—โœณโ– โ˜โ‚โœนโฉโฏโฑโœนโœผโƒโ——โœฝโž‚โกโ—โœณโ„โœปโ€โˆโœผโœปโœโœปโ€โœทโœบโโœโ˜โ‚โœนโžƒโซโœผโœณโ– โโผโœณโ„โซโ—†โœฝโ€โพโฉโโ‡โœนโž…โž„โž†โœณโ– โœทโ—โœปโ‡โœปโ€โœฟโ‰โœนโœผโƒ โด โœทPโฏโฑโโ„โœทโœบโจโ——โœนโฉโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโ–ฒโถโทโโ€โโ™ฅโธโนโƒโ—โœฟโ‰โœนโœผโƒโ‘คโบโปโโผโœณโ„โซโ—†โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโœบโƒโž‡โœณโ– โœฟโ‚โโ€โœนโ——โ™ฆโ—โœฒโžˆโœนโž‰โโ‡โˆโœผโœปโ€โœทโœบโ˜โ‰โœฝโ‡โœณโ™ฅโœฝโโ„โกโœˆโœฝโ‡โœนโฉโƒโšโœทsโœนโœผโœปโœพโœฝโœโ˜โ‰โœนโž‰โœปโ€โœทโœบโœฟโ‰โจโ™ฅโœณโ„โƒโ——โœฝโž…โžŠโž‹โž…โžŒโžŽโžโœธโžโž‡โžโ™ฅโž‘โšโž’โž”โž“โ‹โ†’โžˆโžฃโ†•โ†”โœฎโž™โžœโž›โ™ฅโžโ‘กโžžโฉโžŸโ—โž rโžกtโžขโžƒโžคโžฅโžงโžฆโ–ผโžจโฑโžฉโ…โžซโžฏโžญโž†โžฒโžตโžณ โžŸโžบโžธโฌโž› โžณโœˆโžป โžžโ—†โžธโฌโžžโฉโžŸโ—โž โ–ฒโžผโนโžฝโ‡โž›โ™ฅโžพโžšโžŸโ—โžโ‘กโžžโฉโžŸโœŒโžชโผโžฝโ€โžถโ„โžนโฉโž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸโ—โžŸโž˜โžถโ™ฅโžโžดโžฝโ€โžžโ‹โžทโ——โžžโžฎโžฌโœบโžถโ– โžฝโ€โžถโ™ฅโžธโฌโžฑโ—†โž โชโžฝโ€โžžโœƒโ–ผโโคโ’โฎโโœฎโฐโ„รร‘รโฌโžžโ—†โž โžฏร’โœถโžทโ„โžž โžณโ„ร“ โžนโผโž›โ™ฅโžŸโ—ร”โฝโž โ™ฃโžถโ– โžŸโ—โž ร•โžžโฝร”โ‘ฉโžฌโœบโž›โ™ฅร”โฝโžโžดโž โ†•โž โžป โžžโฝร”โžƒโžถ โžป โžžโผโžนrรโž‚ร–โคโ’โžบร—ร˜ โžŸโณโžถโฌร™โœพรš ร›โผรœ โžณ โž โžป โžถโ– ร™โ‰โžžโฉโžŸโ—โž โ‘ฉร” โžณ โž โžป โžถโ™ฅโžŸโž‡โž โœฆร

รžโœ”รŸโปร  โ‘ขโœธรกโžฅโ™ฃรขโœ รฃโณรค โžข โžคโžฅรฆรฅ ร’ โžจโœพรงโผรจโทรฉ โ‘ขโœบรชรฌรซรญโงรฎโžฎรฏโœฃรฐ โ‘ขโœดรฑโฒรฒโฝรณ โžคโžรด รงโชรต รฑโฒรฒโฝรณ โžค รต รดโ‡โžคโžงรถรท รคโ‘กรธ โ‘ขโžˆรฒโผรณ โžคโžรด รงโ€รจ โœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆโ‚รบ โ‘งโžถ โžป โžžโผโžน รฐโœฉรปโœฎรฐ รค โ’ โžฆ ร’ โžฆ ร รจ โžžโฉโž  รธ รป รธโ‘รค โ’ โžฆ ร’ โžฆ ร รจ โžทโ„โžžโ—†ร”โž…โžนโผโž›โ– โžŸโœบร”โฝโž โ™ฃโžถโ– โžŸโ—โž ร•โžžโฝร”โทโžฌโ—โž›โงร”โฝโžโžดโž โชโž โžป โžžโ—†ร”โฉร—รผ โž“โšโž’โž”รฝโœˆโžโ™ฅรพโžœรฟโžŽโž“โ‹โ†’โžˆโžฃโ†•โ†” ร˜ โžŸโœถโžฝโ€โžžโฉโžธโฑโžถโ– โžฝโ€รœ โžณ โžžโนโžชโ—†โžถโ„โžนโฉโžโžดร™โ‰โžžโฉโžธโฑโžžโฉโžŸโ—โž โž‰รœ โžณ โžžโฌร™โ‰โž›โ™ฅโžฝโผร”โฉรœ โžณ โžžโžฎร รป โฐโ– รโœ๏ฟฝโœ„โœ‚โšร”โผร”โฝร™โ‰โžžโฉโžฝโฑโžžโฉโž โœ†โ˜Žโทโžโžดโž ร•โžžโ—†โžฝโœžโœโผโžถโ– โžฝโœ โœŸโ‹โžฝโ€โžžโฉโž โชโžฝโ€โž› โžณโœˆโžป โžžโ—†โžŸโž‡โž โ˜›โœกโžžโ—†โž rโžถโ™ฅโžธโฌร›โ—†ร™โฅโžโ‘กโž›โ– โžฝโ€โžžโฉโžŸโ—โž โ˜žโœกโž†ร™โ‰โžžโ‘โžฝโ€ร›โ—†ร” โžณ ร™โ†โž โ™ฃโžถโ– โž โ–ฒโžทโ„โžžโœโœŒPโžถโ™ฅร”โผร”โ—†โž› โžณ ร™โฅโžโ‘กโžžโœžโœกโ™ฃโž™โž‡โžโžดโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโ—โžโ‘กโžถโ– โžŸโคโžทโ——โžถโ™ฅโžŸโœบร”โฑร™โ‰โžžโฌร”โ—†โžžโฉโžŸโœบร”โฌโž›โœโœŽโœถร™โœพรš ร›โผรœ โžณ โž โžป โžถโ– ร™โ‰โžžโ—†โžŸโž‡โž โž‚โžŸโžœรš โžžโ—†ร”โฝโž โžŽโžฌโœ ร™ โžณ ร”โฑร™โ‰โž›โœ‘โœŸโ——โžถโœ’โœกโžฝโฝโžโžดโž โœ”โœ“โœˆโžธโžƒโžโ‘กรœ โžณ โžžtร—โœ•โœโœ–โœžโœ— โœ˜โœšโœ™โœœโœ›โ˜›โœขโœคโœฃโœฆโœฅโœงโœฃโœคโ˜…โœชโœฉโœซโœฃโœฌโœ™โœœโœญโ˜›โœฎโœฏโœฑโœฐโœณโœฒโœดโœฐโœตโœฒ โœถโœซโœทโœนโœธโœปโœบโœฝโœผโœฟโœพโโ€โ‚โœทโœดโœผโƒโ€โ‚โ„โœšโ…โ‡โ†โœคโˆโŠโ‰โ˜žโ„โœšโ‹โโ—โœณโœธโโ– โ‘โœทโœดโœผโœฟโ‰โ˜žโœพโ–ฒ โžโ™ฅโžโโ–ผโžŽโžโœโ—†โ‘กโžPโ–โœผโžโ‹โž“Pโ–โ˜โ——โ‘คโžPโ™โฏโšโ‘โ—†โฑโ–โœฆโ—†โ†•โžโฒโšโœ”โ†’โœดโžฃโ‘กโ†”โจโณ โ–ฒ โ—†โฉโ–tโž“โœธโžโญโฌโžฏรฝโœˆโžโœโชโดโซโ†•โ†”โž‡โ†”โœ โ†”โœ’โตโœฑโ–ผโžŽรฝโโชโž‡โž“โœโ›sโ†”โœโโกโžโœผโ†”โ‚โขโœปโฃ ร˜ โžŸโ–ผโžนโผโž›โ– โžŸโœบร”โฝโžโ‘กโžทโ„โžฑโฉโžฝโ€โžžโœฆร™โ‰โžžโœดโžฌโž˜โžฝโ€โž›tโžนโ‡โžžโ—†ร”โผร” โžณ ร”โทโžทโ„ร›โœžโœกโค โžŸโž‡โžโ—โžฌโ—โžถโ™ฅโžฝโž†โžกโญโœร‘โžคโžฅ รปโฆโฅ โง โžขโžฎโžคโžฅ รฅโณโžจโ™ฅโ™  โžคโ™ฃโ™ฆ โžจโทโžฉsโžซโžฏโžญโž†โžฒ ร—q โž ร•โžถโ™ฅโžŸโ—โž โœฆโžทโ„โž›โ– โžŸโ—โžŸโœ ร›โ—†ร”โžฎโžทโ„โžž โžณโ„ร“ โžฝโ‡ร›โ‡โžžโฉร™ ร”โœโœƒโฑโโ‘จโ’โฎโ โฐโ‘คโžžโฉโž sr ร–โคโœƒโœบรโžโžŸโœ โž› โžณ ร”โ‘ฉโžฌโ—โž› โžณโœˆโžป โž›โ™ฅโžŸโœบร”โžฎโžทโ——ร› โค โžŸโ—โžโžดโžฝโžฎร

โ’ โ™  โžค รค r รจ รปโœ‰t รŸโ˜žโœˆ โ รกโ‘ โœ‡โ‘ขโ‘กโ‘คโ‘ฃ โรฃโœฆโ‘ฅโž‡โžฅโ‘ฆโ‘ฅโœปโ‘ง โœ โžคโžฅโ‘ฉโ‘จ รช โœˆ โžจ โ’ โ™  โžค รป โถโฉโท โ‘กโ‘ง รฎโž…รฏ โ’ โ™  โžค รค r รจr โœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆโนโธ โ‘งโบ โžžโž…โžฝโ€ร›โ—†ร” โžณ ร™โ†โž โ™ฃโžถโ– โž โทโžนโผโžžโ—†โžŸโž‡โž โ†•โžฝโ‡โžถโ™ฅร™ร‘โžžโ—†ร”โฝโž โทรœ โžณ โžžโ–ฒโ’ โ™  โžค โžž ร“ โžโฒร”โฝโž ร•โžžโžƒโžžโฉโž ร‘โœƒ โ โ’ โ™  โžค โ โ‘ฅ ร—

รนโœธโœ

Page 79: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

รนโœ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ”โœŒโœŸโœ•โœ—โœ–โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœœโœ†โœŸโ˜›โœฃโœขโœคโœโœฅโœ„โœ”โœฆโœงโœ–โ˜…โœ–โ˜…โœ™โœ›โœโœฉโœŒโœชโœโœโ˜›โœซโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœงโœโœฉโœŒโœคโœฌโœญโœ†โœโœŒโœฏโœฎโœฏโœฑโœฐโœณโœฒโœดโœฐโœฑโœฐ โœถโœซโœทโœนโœผ โœบโœโ€โ‚โ—โœณโœบโœฝโœผ โ‰ โ„ โœพ โ€โ‚โœทโ‘โ€โกโ—โœณโœบโœฝโœผโ˜žโœผโ˜žโœทโœงโœฒโฒโ— โ€โœดโœณโœถโœตโ™ฅโœบโ˜›โœธโœปโœทโœทโœตโ™ฅโ„โ——โ‘คโžPโ™โฏโšโ‘โ—†โฑโ–โœฆโ—†โ†•โžโฒโšโ…โ†’โžˆโžฃโ†•โ†”โœนโœธร‘โžŸโžƒโžฌโœ โžฝโ€โž›tโžนโผโžžโฝร”โผร” โžณ ร”rโžกโœปโœบ โžฅ โžฆโนโžจโทโžฉโœŒโžซโžฏโžญโž†โžฒ โžžโ—†ร”โฝโž โ‘ฉโžทโ™ฅโžโžดโž โœ˜ร™โ‰โž›โœผโžนโผโžถโ– ร™โ‰โžžโ—†โžธโฌโžžโฉโžŸโ—โž โžร”โฝโž ร•โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโž‡โžŸโœ โžถโ™ฅโžโžดโžฝโ‡โžžโžฎโžถ โžณsโžป โž›โ™ฅโžโฒร”โฝโžโžดโžŸโœ โžถโœฆโœŸโ——โžžโ–ผโžทโ„โžž ร  รฃร”โœบรš โžโžดร™ร‘โžž ร“ โžโฒร”โฝโž ร•โžžโžƒโžทโ——โžž โžณโ„ร“ โžนโผโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž ร•โžถโ™ฅโžŸโž‡โž โ™ฃโžžโ—†ร”โœฝโœผโžบร–โ‘จโœƒโžตโžžโ—†โž  รฐ ร–โ…โœƒโ‹โž ร•โžžโ—†ร™โžดร™โ‚โžžโฝร”โžฎรœ โžณ โžžโžƒร

โถโฉโท โ‘กโœพ รฎโœฟโœพโโ€โƒโ‚ โžฅ รฎโœฟโœพโโ€ t โ„ รค โœบ โžฅ รฅ โœบ โœพ รจโ™ฅโ™ โ˜žโ…โ† โžจร‘รฅ ร  โ† โ‡ รป รฐ ร–โคโœƒโœฏโœฑโœฐโœณโœฒโœดโœฐโœฑโˆ โœถโœซโ„โ‰โœฒโŠโœณsโœพโ—โ‹โœคโœต โ€โ‚โœทโœœโ€ โœธโœปโ„sโœผโƒโ€โœดโœฒโกโœทโœทโœต

โœฒโžˆโœนโž‰โโ‡โˆโœผโœปโ€โœทโœบโ˜โ†โœฝโผโœณโ™ฅโœฝโœโœปโ€โœทโœบโœฟโ‰โจโ™ฅโœณโ„โƒโ——โœฝโนโœนtโœป โœฝโœโ˜โฒโœณโฑโซโ—†โ˜โ‚โˆ โด โœนโž‰โจโ„โโœโโœบโœฝโ€โœนโž†โŠโž‡โโ——โœทโœบโ โด โˆโœผโฏโ–ผโโ——โƒโœธโœฝโ€โโ‡โœนโฉโโœฆโ˜โ‰โœนโž†โœฝโ‡โฟโœบโˆโฉโโ——โโ€โพโœผโฏโฑโœนโž†รนโ—โ™ฆโ‰รบโฑโžŠโž‹โž…โžŒโžŽโžโœธโžโž‡โžโ™ฅโž‘โšโž’โž”โž“โ‹โ†’โžˆโžฃโโ– โœ†โž™โžœโž›โ™ฅโžโžดโž โž‚โžกโœปโœบ โžฅ โžฆโž…โžจโžƒโžฉโ‰โ‘ โœƒ โžฆ rโœŽโ–ฒ โžฒPโžณ โžŸโœŒโžฌโž˜โžฝโ€โž›โœผโžนโผโžžโ—†ร”โผร” โžณ ร”โ—†โ–ผโœโžถ โžณ ร”โผร”โฝโžโ‘กโžžโฉโžŸโคโžนโผโžžโ—†โžŸโž‡โž โ†•โžฝโ‡ร›โœ”โ– โž โ†•โžฝโ€โžถโPโฉโžžโผโžนโ—†โž ร•โž›โ™ฅโžโžดโžฝโ€โžžโ—†ร”โ˜›โžนโผโž›โ™ฅโžŸโ—โž โชโžโžดโžŸ โžณ โžžโ—†ร”โฉร—โ—— โž› โžณ ร”โž‚โžŸโœ โž›โ– โž โ™ฃโžžโฉโžฝโ€โž›โ– โžŸโœบร” ร  โ™  ร™โ‰โžถโนโžชโ—†โž›โ– โžŸโœ โžนโฉโž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸโœถโžทโ——ร› โค โžŸโ—โžโ‘กโžžโทโžฌโ—โžถโ™ฅโžฝ โžจ โ‘ฃ t โ„ โœบ โ™ โžฅ โ… โžžโฉโž โ™โ˜โœŒร™โ‰โžถโ–ฒโžชโ—†โž›โ™ฅโžŸโœ โžนโฉโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตโžทโ——โžžโžƒโžนโผโž›โ– โžฝโฝโžฝโ€ร›โ—†ร™โ‚โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโœ ร—โžฏโž™ โžณ โžฌโ„โžฌโ—โž›โงร”โฉโž›โ– โžŸโœบร”รœ โžณ รš โžโžดร™ โžป ร›โฉโžฝโฝโž โค โžžโžƒร™โ‰โžžโ—†ร”โžฎโžนโ‡โž›โ– โžŸโœ โžทโ– โžโžดโž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸโœบร”โž†ร” โžณ โž โžป โžถโ– โžŸโ—โž ร•โžžโฝร”โžฎรโš ร—โฏโœธโžŽโžŸโ—โžโ‘กโžนโฉโžโžดโž โ™ฃร›โ–ผโžท โžณ โžธโฌโžถ ร“ โžโžดโžธ โžณ โžธโœ’โžทโ„โžž ร  โ™  รโบ โžถโœโžชโ—†โž›โ– โžŸโœ โžนโฉโž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸ ร  โ™  โžถโ– โž โ†•โž ร•โžžโฉโžโžดโžŸโ—โž โžร”โฉโž›โ– โžŸPโžธโฑโžถ ร“ โžโžดโžธ โžณ โžธ โžžโ—†โžŸ โžณ โžŸ โžณ โžŸโ—โžโ‘กรœ โžณ โžž โžจ รฃ โžฉ โ–ฒโžดโœƒ โžฆ r โ‘ โžžโฉโž  ร  รค โžจ รฃ รจ รป โฐโœธร—โฑ ร—โณโฒโžโž›โ™ฅโžธโ–ฒโžฌโ—โž›โ™ฅโžฝโฝโž ร•โžžโ—†โžธโฌโžžโ—†โžŸโž‡โž โœฆโžทโ——โžžโžƒร™โ‰โžถ โžป โžถโ™ฅโžฝโฝโžโ‘กโžถโ– โžŸโœ โžนโผโžžโฑรโจ ร™ร‘โžž ร“ โžโฒร”โฝโž ร•โžžโžƒโžทโ——โžž โžณโ„ร“ โžนโผโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž ร•โžถโ™ฅโžŸโž‡โž โ™ฃโžžโ—†ร” โ‘ฃ ร–โคโœƒโณโžžโ—†โž  โœ ร–โ‘จโœƒPโž ร•โžžโฉร™โžดร™โ‰โžžโฝร”โžฎรœ โžณ โžžโžฎร

ร  รค โžจโœพรจ รป โฐ รฅ โ‘ฃ โ† โžจโžŽรฅโžตโžจ รฃ โ† โ˜ž โœ‡ โฐโœ—โฉ โฌโžฅ รฎ โžฅ โ€ รค โฐ รจ โ‘จโญ ร—โž†โž™โœ โž โ™ฃโžถโ– โž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸโ—โžŸโœ โžถโ– โžฝโฝโžโžดโž โ™ฃร›โžฎร™โ‰โž›tโžนโผโžถโ™ฅร™โ‰โžžโฑโžžโฉโžŸ โžจ รฃ รโจ ร™ร‘โžž ร“ โžโฒร”โฝโž ร•โžž โžณ โžŸโž˜โžžโžฎโžนโผโž›โ™ฅโžŸโ—ร”โผโž ร•โžถโ™ฅโžŸโž‡โž โ™ฃโžžโœคโœผโœฎโž ร•โžžโฉร™โžดร™โ‰โžžโžƒรœ โžณ โžžโ–ผร

โ˜ รค โžจโฝโžฆ ร  รจ รป โฐ รฅ โ† โžจโžŽรฅ ร  โ† โ‡ โœ‡ โฐโœ—โฉ โฌโžฅ รฎ โžฅ โ€โƒโ‚ โœพ รฎ โžฅ โ€ รค โฐ รจ โ‘จโช ร—โœคโซโž‚ร› โœŸ โžณ ร™โ‰โžถโ– โžฝโฝโžโžดโž โ™ฃร›โ–ผรโจ ร™ร‘โžž ร“ โžโฒร”โฝโž ร•โžžโžƒโžทโ——โžž โžณโ„ร“ โžนโผโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž ร•โžถโ™ฅโžŸโž‡โž โ™ฃโžžโ—†ร” โœก ร–โ‘จโœƒโณโžžโฉโž โœšโด ร–โ…โœƒโ‹โž โ™ฃโžžโฉร™โžดร™โ‰โžžโ—†ร”โžฎรœ โžณ โžžโ–ผร

t โ„ รค โœบ โžฅ รฅ โœบ โœพ รจ โ™  โ…โ›โต โด โ† โžจร‘รฅ ร  โ† โœโž™โž˜โž› โžณ ร”โ‘ฉโžนโ‡โžžโ—†ร”โœœโœ“โ—โโ‡โžฌโ—โž›โ™ฅโž โฉโœ“โœบโžฑโ—†ร”โฉโžžโฝร”โผรโž˜โžŸโœ โž› โžณ ร”โ‘ฉโžถ โžป โž›โ™ฅโžŸโœบร”โผรโž‡ร”โ—†โžžโฉร™โ‰โž›โ– โžŸโ–ผร™โ‚โžžโนโžนโ‡โž›โ– โžธโœโžฌโ—โž›โ™ฅโžฝโฝโž ร•โžžโฉโžธโฑโžžโฉโžŸโ—โž โž˜โžฝโ€โžžโฉร™โ‰โžถโ™ฅโž โชโž โžชโ‘ฉโžทโ——โžž ร  โžžโฉโž โœ“โ˜โœธรโœ ร™โ‰โžžโฝร”โœฆร›โ‡รœ โžณ โž โžป โžถโ™ฅร™โ‰โžžโฉโžŸโ—โž โ†•ร”โžšร” โžณ โž โžป โžถโ– โžŸโ—โž โ†•ร”โ‘ฉรโž โž™โœ โžโœ›โœผโ‘ โ โœ รโทโžถโ™ฅร™โ‚โž›โ™ฅโžฝโผร”

รžโœ”รŸ โ‘ก โ‘ฃ โโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค โœบ โžฅ ร– โ‘ขโœบรช รป โง โ’ โ‡โŠโœ รค โฐโฆโฅ โœ รจโœ โ‘ฃ รฒ รด โ˜ž

รถรท รค โ‘ข รจ โ‘ข โ™  รด โ‡ รณ โ™  รด โ˜ž รค โฐโœ—โฉ โฌรญโ™ฅรฎโž…รฏ รค โฐ รจโ€รจโž โž™โœ โžโœ›โœผ รป โœ รโทโžถโ™ฅร™โ‚โž›โ™ฅโžฝโผร” รžโœ”รŸ โ‘ก โ‘ฃ โโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค โœบ โžฅ ร– โ‘ขโœบรช รป โง โ’โ™ โงโ‡ รถรท รค โ‘ข รจ รค โฐโœฝโฉ โฌรญโ™ฅรฎโž…รฏ รค โฐ รจโ€รจโž โž™โœ โžโœ›โœผโ‘ ร– โœ รโทโžถโ™ฅร™โ‚โž›โ™ฅโžฝโผร” รž รŸ โ‘กโ‘คโ‘ฃ โโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโ˜…โค โœบ โžฅ ร– โ‘ข รช รป รถรท รค โ‘ข รจ รค โฐโœ—โฉ โฌรญโ™ฅรฎโž…รฏ รค โฐ รจโœพรจโ™ฅ ร›โฉโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตร

โ™ฆโžโ˜โ‚โ˜โ‰โœนโž†โœปโœพโœนโœผโโ‡โœณ โด โœฟโ‚โœปโ‡โซโ—†โœทโœบโœฝโ€โˆโฉโœนโž†โœณโ– โœทโ˜›โŠโ—โœณโ– โโผโœณโ– โขโ——โโ‡โœณโ„โŠโœบโฟโœบโœนโœรนโœบโ™ฆ โ™ฃโœบโ™ฆโนโธโœดqโ——โ˜โ‚โœณ โด โˆโœผโฏโ–ผโโ——โƒโ—โœปโœพโœฝโ€โโผโœณโ™ฅโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโ‘โซโฉโโ„โฏโฑโŠโœบโ˜โ‚โพโ—†โœฝโ‡โœนrโœปโ€โœนโž‚โœปโ€โœฟโ†โœฝโ‡โœทโœบโœน โด โœณโ– โƒโ—โœปโ‘ฉโโžโœฟโ‰โœฝโ€โœนโœผโโ€โกโ—โœณโ„โโ€โขโ˜›โฃโ‰รบโ——รบโ„รบโฝโ™ โŠโ—โœณโ– โขโ——โœนโœผโœปrรบโœปrโ– โž โธโœsโœบโ™ฆt

Page 80: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ“โœ’ ๏ฟฝโ˜…โœ’ โœขโœคโœ•โœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœโœ–โœ›โ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœ†โœŸโ˜›โœงโœ โœžโœ„โœโœ† โœขโœคโœโ‰โœโœ“โœ’โœ โœŸ รน rโœ•โœโœ–โ˜›โœก โ˜ž โœ› โœฅโœโœŒ โ˜…โ‘คโœฎโœโœŽsโœ™โฏโœฉโœ‘โœŽโ‘โœฃโœ’โœŒโœซโ˜…โœ”โœ“โœชโœญ โœ•โœโœ–โœฆโœ—

โœฒโžโญ โœฟ โด โˆโœผโœนโ‘โœนโœผโœปโœพโœฝ โด โญ โœณโ– โŠโœบโŠโ—โ˜โ‰โœฟโฒโœตโœธโœทโœบโœนโฉโโž…โ˜โ‚โœนโฑโœฝโ€โฟโ—โˆโฉโโ„โโ‡โพโฉโฏโฑโœนโ‘รนโ—โ™ฆ โธโœบโ™ฆโœดโถโทโœฟโ‰โœนโœผโƒโœถโœตโœธโœทโœบโœนโฌโ˜โ‚โœนโœผโœปโžฎโฟโšโœ‰โœธโŠโœ โโ– โœฝโ‡โฟโœบโพโœผโœปโ€โœนโœผโœปโฑรบโฌโœนโฉโœฝ โธโœŒโœปโ€โโ„โœฟโ‚โœนโฉโƒโœธโœฝโž…โจโ„โˆโœผโโ€โœฟโœ–โœ•โ—โˆโฉโœนtโœปโž†โŠโ—โœณโ– โโžกโœ˜โœ— โžคโžฅ รป โœ™โœ›โœšโœœโžฅ โœš โ™ฆ โžจโž‰โžฉโ‘ โžซ โžญ โžฒ โ˜โ‚โœนโ–ผโฏโ–ผโโ——โœทโœบโจโ„โœนโœผโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโž†โถโทโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‚โœนโฉโƒโ‹โบโปโโผโœณโ„โซโ—†โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโœบโƒโ—โœณโ„โœฟโ‰โโ‡โœนโž…โƒโœบโโ——โโ€โฏโฌโœณโ„โ˜โ‰โœฟโฒโœปโœพโˆ qโœ โซโฉโœนโžƒโƒโœดโญ โœนtโœป โœฝโž‰โŠโ—โœณโ——โœปโ–ฒโ˜โ‚โœนโฌโซโฉโœณโ„โœปโด โœนโœผโœปโœ˜โฟโšโœ‰โœธโŠโœ โโ– โœฝโ‡โฟโœบโพโœผโœปโ€โœนโœผโœปโœ—โ™ฃโž‰โœนโ—†โœฝโทโฆโ—โ™ฆโœฃโœขโž‚โƒโฌโจโงโœณ โด โโ„โƒโž‡โซโœโœณโงโจโ„โโ——โœฟโ‰โโžšโโ‡โœนโœผโซโฉโโ„โœทโœบโโผโœปโœฅโœคโž‰โœทโœบโƒโ˜›โŠโœบโโ€โโœˆโซโฉโœนโœผโœปโ‡โœปโœพโœทโ—โœปโœ˜โœฟโ‰โƒโœธโœฝโ‡โœนโฉโโ‡โฏโ–ผโˆ โด โœฟโฒโœณโ– โœฟโ‚โโ€โœนโœงโœฆโด รง โด โˆโœ’โœ•โž‡โƒโœบโœฟโž‡โŠโž‡โœณโ– โขโ„โœนโž‚รนโœrโœบโ™ฆโœฒโžˆโœนtโœปโœฆโˆโ—†โœฝโ‡โœณโ„โŠโž‡โœนtโœป โด โœนโž‰โ˜โฒโœณ โด โˆโฉโฏโฑโโ„โƒโ—โœปโœพโœฝโ€โโผโœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒsโœปโ€โโ„โƒโœธโœฝโนโ˜โ‚โœนโœผโœปโนโœปโ€โœทโœบโœฟโ‰โจโ™ฅโœณโ„โƒโ——โœฝโ‡โœนโœผโœปโž†โžŠโ™ฆโžšโœฝโ‡โœณโ„โŠโž‡โœนโฌรบโฌโžŠโ˜…โœฆโด รง โจโ„โˆโœผโโ€โœฟโœ–โœ•โ—โœนโž†โ˜โ‰โœนtโœปโœฆโฟโšโœ‰โœธโŠโœ โโ– โœฝโ‡โฟโœบโพโœผโœปโ€โœนโœผโœป โด โœทโ‘คโœฝโ‡โฟโœบโˆโฉโโ——โโ€โพโœผโฏโฑโœนโž†รนโ—โ™ฆ โธโ˜…qโ™ฆโžšโœฝโ‡โœณโ„โŠโž‡โœนโœซโธsโžŠโœฉโœขโž‚โƒโžตโ˜โ‚โโœˆโซโฉโœณโ„โ˜โ‰โœฟโฒโœปโœพโœนโฌโ˜โ‚โœนโฌโŠโœบโโ‡โโ„โกโœบโ˜โ‚โพโฉโฏโฑโœนโฌโŠโœ โโ„โœทโœบโโžƒโœปโœพโœนโ‘โโผโœณโ– โฏโฑโœนโœผโƒโœบโœนโฉโโœชโœคโœŒโœทโœบโƒโ‘ โœฟโ‚โƒโœธโœฝโ€โœนโœผโโ€โจโ™ฅโœณโ– โ˜โ‚โ˜โ‚โœนโ‘โซโ—†โโ„โฏโฑโŠโ—โœณโ——โซโฝโœฝโ˜›โœ‡โ‘กโ˜โ‰โœนโฌโœฝโ‡โฟโœบโˆโฉโโ——โโ€โพโœผโฏโฑโœนรนโ—โ™ฆ โธโžƒโƒโžˆโญ โœนโœผโœปโœพโœฝโœโจโ™ฅโœณโ– โ˜โฒโœณโ– โกโœบโ˜โ‚โœนโž‰โœตโ——โœทโž‡โœณโ– โƒ โดsโด โœณโ– โƒโž‡โœปโนโซโ—†โœนโž…โซโฉโœณโ——โœป โ‘ง qโ™ฆโžšโœฝโ‡โœณโ„โŠโž‡โœนโœฟโ™ฃโœŒโžŠโœฉโœขโž‚โƒsโซโฉโโ„โฏโฑโŠโ—โœณโ– โโ‡โœนโœซโœฆโด รง โœณโงโจโ„โœนtโซ โžกโงโžขโžฎโžคโžฅ รฅ ร’ โžจ รง โ™ฆ โžจโทโžฉsโžซโžฏโžญโž…โžฒ qโ™ฆโžšโœฝโ‡โœณโ„โŠโž‡โœนโž‰โฆโ‹โžŠโœฉโœขโž‚โƒsโซโฉโโ„โƒโ—โซโฉโ˜โ‰โœทโœบโœนโ——โ™ฆ

โœฌ โ–tรฝโ‚โ–ผโœ˜โž“โœถโ†” โโžฏโโ„โœทโœบโโœโœปโ€โœฟโ‰โฏโฑโŠโœบโ˜โ‚โœฟโœ–โœ•โ—โœนโฉโโนโ˜โ‚โœนโœผโœปโนโซโœผโœณโ– โ˜โฒโซโ—†โœทโœบโ˜โฒโœปโ˜žqโœˆโƒโ—โโ„โœทโ—โœปโนโœณโ„โ˜โ‰โ˜โ‚โโ„โƒโ—โœปโœฆโœฟโ‚โƒโœธโœฝโ€โโ‡โ โด โœทโœบโœฟโ‚โโ€โœนโž†โ˜โ‚โœนโž‰โŠโœบโโ€โโœˆโซโฉโœนโœผโœปโ‡โœปโœพโœทโ—โœปโœฆโœปโ€โœทโœบโœฟโ‚โจโงโœณโ„โƒโœธโœฝโž†โžŠโœญ โด รงโžฅ รป โžขโžฎโžคโžฅโฐโœ—โฉโž”ร’ โžจ รง โ™ฆ โžจโทโžฉโ‹โžซ โžญโœฏโœฎ โœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆ โ™ฃ โ‘งโœฐ โž“โšโž’โž”โž’โž”โž“sโ†’โžˆโžฃโ†•โ†” โฒโžšโž›โ– โžŸโœบร”โฝโžโ‘กโžทโ„ร›โฉโžฝโ€โž›โ– โžŸโœบร”โœร™โ‰โžถโœ˜โžชโ—†โž›โ™ฅโžŸโœ โžนโฉโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸ ร  รง โžทโ„ร› โค โžŸโž‡โžโ‘กโžžโžฏโžฌโ—โžถโ™ฅโžฝ ร  รง รค โžจโœพรจ รปโœฒโœฑ t โ„ โ‘ โด รงโžฅ โ–ฒ โ™  โ… ร—โœงโฒโžšโžžโฉโž โชโž โ™ฃโžžร‘โžชโ—†โž›โ™ฅโžŸโž˜โžนโ—†โž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโœŒโžถโ™ฅโž โชโž โ™ฃโžžโฉโžโžดโžŸโ—โž ร”โฉโž›โ™ฅโžŸPโžธโฌโžถ ร“ โžโžดโžธ โžณ โžธ โžžโฉโžŸ โžณ โžŸ โžณ โžŸโž‡โžโ‘กรœ โžณ โžž โžจ รงรฃโž…โžฉsโžซโžฏโžญ ร— โ™ฅ โžžโนโžฌโœ ร™ โžณ ร”โผรโžโžŸโœ โž› โžณ ร”โž‰โžถ โžป โž›โ– โžŸโœบร”โž…ร™โ‰โžžโ–ผโžทโ„ร› โžป โžžโ—†ร™โ‰โž›โผโžฌโ„โžฌโ—โžžโ—†โžธโฌโžžโฉโžŸโ—โž โทร” โžณ โž โžป โžถโ– โžŸโ—โž โนร

ร  รง รค โžจโœพรจ รป ร  รงรฃ รฅ ร  รง โ‚ โ™ รฃ โง รค โžจโžฏรฅโณโžจ รงรฃ รจ โ™  โฉ โฌโžฅ รฎ โžฅโœดโœณโ€ รคโœพรค โžจโžŽรฅโžตโžจ รงรฃ รจ โ™  รจ โœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆ โฆ โ‘งโžถ โžป โžžโผโžน ร  รงรฃ โžžโฉโž  ร  รง โ‚ โ™ รฃ โžทโ——โžž โžณโ„ร“ โžนโผโž›โ™ฅโžŸโ—ร”โฝโž โ™ฃโžถโ– โžŸโ—โž ร•โžžโฝร”โ‘ฉโžฌโœบโž›โ™ฅร”โฝโžโžดโž โ†•โž โžป โžžโฝร” โ–โ‘คโžทโ„ร› โค โžŸโž‡โžโžดโžฝโฉร—โ™ฅ ร›โฉโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตรโœขโž‚โƒsโœณsโžŠ ร  รง รค โžจโœพรจ รป โžจ โžคโฐโœ—โฉโž”ร’ โžจ รงโœต โœนโ—†โœฝโ€โœฝโ€โœนโนโบโปโโ——โƒโ—โซโฝโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโ‘โœนโœผโœปโœพโœฝ โด โˆโœผโโ€โœฟโ‚โจโ™ฅโœณโ– โกโœบโ˜โ‚โœนโ–ฒโœปโ€โœทโœบโ โžซโžฏโžญ โ™ฆโœทโœถโœโŠโœบโโ‡โพโœผโœปโ‘ฉโซโฉโœณโ– โ˜โฒโซโ—†โœทโ—โ˜ โด โœนโž‚โ˜โ‚โœณ โด โˆโฉโโ‡โœฟโ‰โจโ——โˆโฉโœนโนโœนโ—†โœฝ โด โœนโœโ˜โฒโœณ โด โˆโœผโโ€โœฟโ‚โจโ„โˆโœผโœนโœโœปโœพโœนtโซโ—†โโ„โƒ โด โœนโœqโ——โโ„โƒโฌโŠโœ โœนโฉโœทโœˆโœฝโด โœฟโ‚โโ€โœนโž‰โœตโœธโœทโœบโœนโž†โ˜โ‚โœณ โด โˆโฉโโ‡โœฟโ‰โจโ——โˆโฉโœนโž†โœปโฉโญ โœณโ– โƒโœบโƒโšโœทโœบโ˜โ‚โœนโž†โœทโœบโƒโœบโœนโž…โœปโ€โœนโฉโœทโœบโ˜โ‚โœนrโบโปโโ„โœฟโฒโœปโนโœนโฉโƒโžตโžŠ

โžจโœพรงรฃ รป รŸ โ’ร’ รค ร รฅ โ’ รจ รชโœนโœธโœณโœขโž‚โƒโ‘คโƒโ—โโ– โœฝโ€โœนโž‰โœณโ„โ˜โ‰โโ——โโ‡โœปrโžŠร  รงรฃโœปโœบโœฝโœผ โžฅรป ร  รง รค โžจโœพรงรฃ รจ รป รŸ โ’ร’ รค ร รฅ โ’ รจ รช

โœš โœณ ร รฅ โ’ร โœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆโœฟโœพ โ‘งร  รง โ‚ โ™ รฃ โœบโœฝโœผ โžฅรป โ‘ ร  รง โ–ฒโโ€ โ€ รค โžจโœพรงรฃ รจ รป รŸ โ’ร’ รค ร รฅ โ’ รจ รช

โœšโƒโ‚โœฝโ„โœณ โ’ รค ร รฅ โ’ รจโ™ฅโ™ ร โœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆ รน โ‘งโœฒโžˆโœน โด โˆโœผโจโ„โœนโฉโ˜โ‚โโ„โŠโ—โŠโž‡โœนโœผโฏโ–ผโœนโœผโƒโœธโœฝโž‰โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆ โฆ โ‘ง โœนโœผโƒ โด โˆtโซโ—†โโ——โœทโœบโ˜โ‰โœนrโœฝโ‡โโ€โœฟโ‚โจโšโœฟโ‚โœณโ„โ˜โ‰โœนโœผโฏโ–ผโœนโœผโƒโœธโœฝโœผโ™ฆ

tโœฒโžˆโœนโœŒโŠโœบโโ‡โโšโซโฉโœนโœผโœปโ‡โœปโœพโœทโž‡โœป โด รง โด โˆโœ’โœ•โ—โƒโ—โœฟโœโŠโ—โœณโ– โโ‹โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆ โ™ฃ โ‘ง โƒโœบโœนโ‹โจโ„โˆโœผโโ€โœฟโœ–โœ•โ—โœนsโŠโ—โœณโ„โœปโฑโ˜โ‚โœนโœผโœปโฑโฟโšโœ‰โšโŠโœ โโ– โœฝโ€โฟโ—โพโœผโœปโ€โœนโœผโœป โด โœทโ‘จโœฝโ€โฟโœบโˆโœผโโ„โโ‡โพโฉโฏโฑโœนโ‹รนโœบโ™ฆโนโธPโŠโœ โโ„โœทโ—โ โด โœนโœผโœปโŠโœบโโ‡โโ„โกโœบโ˜โ‚โพโฉโฏโฑโœนโœผโœป โด โœนโžฎโซโ—†โโ——โƒโ—โœป โœฝโผโœณโ– โƒโœธโœฝโ€โœนtโœปโฉโ™ฆโœฃโ…ร•โ˜ร‘โƒโœบโโ„โœทโž‡โœปโœโœปโœพโœทโ‡โ†โ–ผโœฝ โด โœนโž‰โบโ‘กโœณโ– โœฟโ‚โโ‡โœนโž‰โœทโœบโƒPโซโผโฟโ—โœณโ– โƒโ—โขโ„โœนโฉโฏโฑโœนโœผโƒโ——โœฝ โด โœนโž…โœฝโ€โœนโฉโฏโฑโŠโ—โœปโž‚โซโ– โญ โœนโœผโœปโœพโœฝโˆโœค โด โœฟโ‚โโ€โœน โด โœน โด โˆโœ’โœ•โ—โƒโ—โœฟโ‰โโ˜โ‰โœนโž†โŠโœบโโ‡โโœˆโซโ—†โœนtโœปโ€โœปโ€โœทโ—โœปโ˜Žโœฆโด รง โœปโ€โœทโœบโœฟโ‚โจโงโœณโ„โƒโœธโœฝโž†โžŠ โœญ โœฆโด รงโžฅ รป โฐร  รงรฃ โด รงโŠโ‰ โง โœธโ„โ‹โœš โžจ รงรฃ โžจโโ— โ™ฆ โžจโทโžฉโ‹โžซ โžญ โœฎ โœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆโฅโœ โ‘งโœขโž‚โƒโ‘คโƒโ—โโ– โœฝโ€โœนโœผโโ‡โœณโžƒโโ‡โœนโœผโœปโ€โŠโž‡โœนtโซโฝโœฝโ€โœฟโ‚โจโ„โœนโœผโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝ โœฆร  รง โœนโ—†โœฝ โœฆโ˜ รง โ˜โ‚โœนโœผโœปโทโบโปโโ——โƒโ—โซโฝโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโ—โœป โด โœนโž‰โจโ™ฅโœณโ– โโ‡โœฟโ‚โœณโ„โƒโ—โซโ—†โœนrโœนโ—†โœฝ โด โœนโž…โซโ—†โโ„โโ‡โโ‡โˆโฉโ˜โฒโœณโ™ฅโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒ โด โœทโœŒโŠโœบโโ€โโœˆโซโฉโœนโœผโœปโ‡โœปโœพโœทโ—โœปโ˜Žโœฆโด รง โ™ฆ

Page 81: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฆs โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ”โœŒโœŸโœ•โœ—โœ–โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœœโœ†โœŸโ˜›โœฃโœขโœคโœโœฅโœ„โœ”โœฆโœงโœ–โ˜…โœ–โ˜…โœ™โœ›โœโœฉโœŒโœชโœโœโ˜›โœซโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœงโœโœฉโœŒโœคโœฌโœญโœ†โœโœŒโœฏโœฎโœฐ โž“โšโž’โž”โž’โž”โž“sโ†’โžˆโžฃโโ–  โฒโžšโž›โ– โžŸโœบร”โฝโžโ‘กโžทโ„ร›โฉโžฝโ€โž›โ– โžŸโœบร”

โœฆโžจโœพรงรฃ รป โง รณ โœธโ„โ‹โœšโบ โžžโœฆโžฌโœ โžฝโ€โž›tโžนโผโžžโฝร”โผร” โžณ ร” โœฆโด รง โžป ร›โฉโžฝโฝโž โค โžžโžƒร™โ‰โžžโ—†ร”โ˜žโœ“โœดโโ‡โžฌโœบโž›โ– โž โœ”โœ“โ—โžฑโฝร”โฉโžžโ—†ร”โžƒโžท โžณ โž โฉโœ“โœบร›โผโž›โ™ฅโžฝโ‡โžฑโ—†โžธโฌโžžโœ๏ฟฝโ„ร— โฑ โ–โฌร”โฉโžถ โžป โž›โ™ฅโžโžดโžฝโžƒรโœ‚ โœŒ โœธโ˜Žโœ„ โœฆร  รง โžถโ– โž โ†•โž ร•โžžโ—†โžโžดโžŸโž‡โž โžร”โฉโž›โ™ฅโžŸโณโžธโฑโžถ ร“ โžโžดโžธ โžณ โžธ โžžโ—†โžŸ โœฆโžจ รงรฃ โžžโ—†โž  โœฆร  รง รค โœฆโžจ รงรฃ รจ รป โฐโœธร—โœ‚ โฒโœโœ†โœžโœ„

โœฆร  รง รค โžจโœพรจ รป โฐ รฅ โฐโง โœฆโ‘ฃ รค โžจโžŽรฅ โœฆโžจโœพรงรฃโ™ฅรจ โ™  โฉ โฌโžฅ รฎโœโœŸโžฅโœดโœณโ€ รค โžจ โ™  รจ โœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆ ๏ฟฝ โ‘ง

โžถ โžป โžžโผโžน โœฆโ‘ฃ รป โœฆโ‘ฃ รค ร โžฆ โ’ รจโž‰โžณ โžŸโž˜โžžโžฎโžนโผโž›โ™ฅโžŸโ—ร”โผโž ร•โžถโ™ฅโžŸโž‡โž โ™ฃโžžโœฆโžฌโœบโž›โ™ฅร”โฝโžโžดโž โ†•โž โžป โžž โ–โ˜›โžทโ„ร› โค โžŸโž‡โžโžดโžฝโฉร—โœ‚ โฒโœฝโฒโœ โœ„โœฆโ˜ รง รค โžจโฝโžฆ ร  รจ รป โฐ รฅ โ† โžจโžฏรฅ ร  โ† โ™  โžค โฉ โฌโžฅ รฎ โœŸโžฅโœดโœณโ€ โ‚ โœพ รฎ โœŸโžฅโœดโœณโ€ รค โ† โžจโžฏรฅ ร  โ† โ™  โžค รจ โœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆ r โ‘ง

โœ‚ โซโœกโœ„

t โ˜› รค โœฆโด รง รค โžจโœพรจโžฏรฅ โœฆโด รง รค ร  รจโœพรจ โ™ โœŒโ˜ž โต โด โ† โžจร‘รฅ ร  โ† โ™  โžค โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโœปs โ‘งโ™ฅ ร›โฉโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตรโโžšโœณโ– โโœโซโ—†โโ——โƒโ—โœปโœพโœฝโ€โโ‡โœทโ—โซโฝโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœ›qโšโโ„โƒโ‹โœณsโžŠ

โœฆร  รง รค โžจโœพรจ รป โฐร  รงรฃ ร  รง โ‰ โง โœธโ„โ‹โœš โžจ รงรฃ โžจ โ—โ‘ โœฆร  รง โ–ฒโœŽโœ รค โžจโœพรจ รป โง โœธโ„โ‹โœš โžจ รงรฃร  รงรฃ โ‘ ร  รง โ–ฒโœŽโœ โ‰ โง โœธโ„โ‹โœš โžจโœพรงรฃโžˆโžจ โ—โ‘ โœฆร  รง โ–ฒ โœ โœ รค โžจโœพรจ รป โง โœธโœš โ‘ โžจ รงรฃ โ–ฒ โ™ ร  รงรฃ โ‘ ร  รง โ–ฒ โœ โœ โ‰ โง โœธโ„โ‹โœš โžจ รงรฃ โžจ โ—

โœขโž‚โƒsโœณโ„โŠโœบโŠโœบโ˜โ‚โœฟโ‚โœตโœธโœทโœบโœนโž†โœนโœผโƒ โœฆโžจ รงรฃ รป โง โ‚ โœธโ„โ‹โœš โโ——โƒsโœณโฑโœณโ– โ˜โ‚โโ„โโผโœป โง โœธโ„โ‹โœš โžจ รงรฃ โœฆโžจ รงรฃ รป โžจ รงรฃ โœนโ—†โœฝ โด โโ——โƒโ—โซโฑโžŠโœฆร  รง รค โœฆโžจ รงรฃ รจ รป โฐร  รงรฃ ร  รงรฃ รป โฐ โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโ„รบ โ‘งโ‘ โœฆร  รง โ–ฒโœŽโœ รค โœฆโžจโœพรงรฃโงรจ รป โง โœธโ„โ‹โœš โžจ รงรฃร  รงรฃ โ‘ ร  รง โ–ฒโœŽโœ รค โžจโœพรงรฃtรจ รป โœƒ โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโญโธ โ‘งโ‘ โœฆร  รง โ–ฒโœŽโœ โœ รค โœฆโžจโœพรงรฃ รจ รป โง โœธโœš โ‘ โžจ รงรฃ โ–ฒ โ™ ร  รงรฃ ร  รง โ‚ โ™ รฃ

รป โง โœธโœš โ’ รค ร รฅ โ’ รจ รป โœฆโ‘ฃ โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโœปโ™ฃ โ‘งโœ‡โ‘กโ–โœ‘โœ โ‘ง โ…ร•โ˜โžˆโƒโœบโœนโž‰โœปโฉโญ โœณโ– โขโ——โœฟโ†โœฝโ–ฒโœตโœธโœทโœบโœน โด โœนโž‰โ˜โฒโœณโฑโฏโžฎโœทโ—โ˜โ†โœฝโ‡โœฟโ‰โŠโœบโ˜โ‚โœฟโฒโซโฉโœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœŒโŠโ—โœณโ– โโนโœทโœบโƒโ—โœนโž…โซโ—†โโ„โƒโž‡โœป โœฝโผโœณโ– โƒโœธโœฝโ€โœนโž†โŠโœ โโ——โœปโ€โœฟโ†โœฝโ‡โœฟโ‰โจโ——โœนโž†โซโฉโœนโž…โœตโœธโœทโœบโœฟโžˆโƒโœบโœนโž†โฏโฑโ โด โœฟ โœ•โž‡โœนโž…โŠโ—โœณโ„โœปโ˜โฒโœณโฌโฏโฑโโ„โƒโœบโโ„โœฝโ€โโ——โƒโœบโœฟโ‰โœน โด โœนโž…โ˜โฒโœณโฑโบโปโโ„โƒโ—โซโ—†โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโžˆโ™ฆโžฏโœ‡โ‘กรนโ—โ™ฆโ‰รบ โธ โ‘ง โฏโฑโโ„โƒโœธโœฝโ‡โโ€โœนโžฎโœตโœธโœทโœบโœน โœฆร  รง โœณโ™ฅโœฝโ€โœฝโ€โœนโœผโœฟโ‰โƒโœธโœฝrโœปโ€โโ„โƒโœŒโฏโฌโœณโ™ฅโž€โœˆโœฟโ‚โฏโžฎโœทโœบโฏ โœนโœผโƒ โœฆโžจ รงรฃ โœนโ—†โœฝโž‚โœนโฉโƒPโŠโœบโ˜โ‚โœทโ—โœปโโ——โƒsโœณโ‹โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโ„รบ โ‘ง โ™ฆโœ‡ โœตโœ“โœ’ โ‘ง qโž‚โˆโœผโซโฉโโ„โœทโœบโ˜โ‚โœน โด โœฟโ‚โโ€โœนtโซโฝโœฝโ€โœนโœผโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝ โด โœนโœผโœปโนโโ‡โœนโฉโ˜โฒโœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโ—โœปโž†โœ‡โ‘กรนโ—โ™ฆโ‰รบโ——รบ โ‘ง qโœดโœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโญโธ โ‘ง โœนโฉโœฝโž…โœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆโ‚รบโœปโ™ฃ โ‘ง โ™ฆ

Page 82: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ“โœ’ ๏ฟฝโ˜…โœ’ โœขโœคโœ•โœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœโœ–โœ›โ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœ†โœŸโ˜›โœงโœ โœžโœ„โœโœ† โœขโœคโœโ‰โœโœ“โœ’โœ โœŸ โœโœˆรบโœ‡ โœต โœต โ‘งโœ๏ฟฝ โœฝโ‡โœณโ„โƒโœธโœฝ โด โโ„โƒโœบโƒโ—โˆโœ„โœ‚ ร–โคโœƒ qโœˆโโ„โƒโ‹โœณsโžŠ

t โ˜› รค โœ— โžฅโœดโœณโ€ โžญโœ†โ˜Ž รฅ โœ— โžฅโœดโœณโ€ รจ โ™  โ˜ž รปโœ‰tโœโœžโœ โœŸ โžขโžฎโžคโžฅโœดโœณโ€ โžญโœ†โ˜Žรค โžจ รงรฃ โฉ โœ‚ รจ โžค รฅ โžขโžƒโžคโžฅโœดโœณโ€รค โžจ รงรฃ รจ โžคโœโœก โ™ โ˜žโ˜›โœŒ

รป โง โ‘ โžจ รงรฃ รค โžจ รงรฃ โฉ โœ‚ รจ โ–ฒโžดโžค รฅ รค โžจ รงรฃโ™ฅรจโ™ฅโ™  โžค รฅ รค โžจ รงรฃ โฉ โœ‚ รจโœณโ™  โžคโœฃโฉ โœ‚ โ™  โžค รจโ‘ โžจ รงรฃ รค โžจ รงรฃ โฉ โœ‚ รจ โ–ฒ โžค

รป โ† โœ‚ โ† โ™  โžค รฅ รคโœพรค โžจ รงรฃโงรจ โžค รฅ รค โžจ รงรฃ โฉ โœ‚ รจ โžค รจโœณโ™ โ‘ โžจ รงรฃ รค โžจ รงรฃ โฉ โœ‚ รจ โ–ฒ โžค

รป โœ‡ โœ‚โžจ รงรฃ โ‘จ โ™  โžคโœŽโœ โฐโ‰ โฐโœ—โฉ โ˜Žโžฅโœดโœณโ€ โ— โžคโœ โœ‘โœ“โœ’ โœ”รฑโœ–โœ• รต

รฅ รค โžจ รงรฃ รจโ™ฅโ™  โžครค โžจ รงรฃ รจ โ™  โžคโœ โœ‡ โฐ รฅ โ‰ โฐโœกโฉ โ˜Žโžฅโœดโœณโ€ โ— โžค โ‘จ โ™ 

โ‰ โฐโœ—โฉ โ˜Žโžฅโœดโœณโ€ โ— โžคโœ โœ‘โœ“โœ’ โœ”รฑ โœ™ รตโโžšโœณโ– โ โด โˆโฉโจโ„โœนโœผโ˜โ‰โโ——โŠโœบโŠโœ โœนโฉโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโนโ˜โ‰โœฟโ‚โฏโฑโœฟโ†โœฝโ‡โˆโœqโœบโƒโ—โโ„โœทโ—โœปโœโœณโงโจโ——โโ„โƒโ—โœปโœปqโœธโŠโž‡โโ——โœทโœบโโœ—โœ‚sโŠโœ โœนโ—†โœฝโ€โœฟโ‰โœฝโžฎโžŠรคโœ™โœ˜ รจ รป โœ‡ โœ‚โžจ รงรฃ โ‘จ โ™  โžค รค โฐโœฝโฉ โฌโ˜Ž รฎ รฃ รค โฐ รจโœพรจรค โžข รจ รป โ’ โ™ รค โžจ รงรฃ รจ โ™  โœ‚ โ™  รค โฐโœ—โฉ โฌโ˜Ž รฎ รฃ รค โฐ รจโœพรจโœต โโ——โฏโ–ผโฏโฑโœน โง โ’โœžโ โง qโœˆโƒโœบโโ——โœทโ—โœปโนโœณโงโจโ„โโ——โƒโ—โœปโทโ˜โ‰โœนโž†โโ‡โˆโœผโœปโ€โœทโœบโ˜โ‰โœฝโ‡โœณโ™ฅโœฝโœโœปโ€โœทโœบโœฟโ‚โจโงโœณโ„โƒโœธโœฝโž…โžŠ

t โ˜› รค โœ— โžฅโœดโœณโ€ โžญโœ†โ˜Ž รฅ โœ— โžฅโœดโœณโ€ รจ โ™  โ˜ž รป โœ‚ โ™  โžค โ‘ โžจ รงรฃ โ–ฒ รณ โ™  โžค รค โฐโœ—โฉ โฌโ˜Ž รฎ รฃ รค โฐ รจโ€รจโœนโฉโœฝโœโŠโ—โœณโ– โโœโซโฉโโ„โƒโ—โœปโ€โˆโœผโœตโœธโœทโœบโœนโœผโƒโ——โœฝ qt โ‘ โœ— โžฅ โœ— โœพ โ–ฒ รป โฐ รฅ โฐ

โง โ‘ โžจโœพรงรฃ โ–ฒ รณ โ™  โžค โ† โžจโžฏรฅ ร  โ† โ™  โžค รค โฐโœ—โฉ โฌโžฅ รฎ โžฅโœดโœณโ€ โ‚ โœพ รฎ โžฅโœดโœณโ€ รค โฐ รจโœพรจโœขโž‚โƒโœŒโŠโœ โœนโฉโœทโœˆโœฝโ–ฒโœณโ„โ˜โ‰โโ——โโ‡โœปโทโˆโœผโซโฉโโ€โœฟโ‚โโ‡โœนrโœตโœธโœทโœบโœนโฌโžŠโœฆโ˜ รง รค โžจโฝโžฆ ร  รจ รป t โ˜› โœ— รค โง โœธโ„ โœš โžจ รงรฃ โžจโœพรจ โœ— รค โง โœธโ„โ‹โœš โžจ รงรฃ ร  รจ โ˜ž

รป โฐ รฅ โฐโง โ‘ โžจ รงรฃ โ–ฒ รณ โ™  โžค โ† โง โœธโ„โ‹โœš โžจ รงรฃ โžจโžŽรฅ โง โœธโ„ โœš โžจ รงรฃ ร  โ† โ™  โžค รค โฐโœ—โฉ โฌโžฅ รฎ โœŸโžฅโœดโœณโ€ โ‚ โœพ รฎ โœŸโžฅโœดโœณโ€ รค โฐ รจโœพรจ

รป โฐ รฅ โฐโง โ‘ โžจโœพรงรฃ โ–ฒ รณ โ™  โžค รค โง โœธโ„โ‹โœš โžจโœพรงรฃtรจ โ™  โžค โ† โžจโžฏรฅ ร  โ† โ™  โžค รค โฐโœ—โฉ โฌโžฅ รฎโœโœŸโžฅโœดโœณโ€ โ‚ โœพ รฎโœโœŸโžฅโœดโœณโ€ รค โฐ รจโœพรจ

รป โฐ รฅ โ† โžจโžฏรฅ ร  โ† โ™  โžค รค โฐโœ—โฉ โฌโžฅ รฎ โœŸโžฅโœดโœณโ€ โ‚ โœพ รฎ โœŸโžฅโœดโœณโ€ รค โฐ รจโ€รจโœ‡โœ™โœš โ‘ง โœฒโœดโœณโžฎโจโ„โˆโœผโโ€โœฟโœ–โœ•โž‡โซโฉโœณโ– โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒ โด โœนrโซโ—†โœนโ—†โœฝโ€โœฝโ€โœนโž‚โฟโœธโœ‰โšโŠโœ โโ– โœฝโ‡โฟโœบโพโœผโœปโ€โœนโ–ฒโƒโžˆโญ โœนโœผโœปโœพโœฝโ‘ฉโŠโž‡โœณโ„โœปโžโˆโœผโจโšโœฟ โด โœนโœผโƒโœธโœฝโ€โœน โด โœทโฌโœฝโ€โโ——โœทโœˆโœฝrโœ‡โ†•โซโ—†โโ„โƒโœธโœฝโ‡โโ‡โœณโ„โœฟโ‰โโ‡โœนโฉโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโœ‚โœคโžƒโซโ—†โœนโ–ฒโœตโœธโœทโžˆโญ โœณโ™ฅโบโžดโžโœ•โ—โโ‡โฏโฑโœนโžšโโžโœฟโ‰โœฝโ€โœนโฉโโ‡โกโ—โœณโ„โโ€โขโนโœนโฉโœฝโœดโตโœโ›โ—โœปโ‡โœปโœพโ˜โ‚โœนโฉโ โด โœณโ– โƒโ—โœปโžโฃ โœโ™ฅโฆโ™ฅโ™  โ‘ง โ™ฆ โœต โœนโœผโŠโž‡โœนโœผโƒ โด โœณโ– โƒโœธโœฝ q โด โœณโ„โƒโ—โœปโžˆโซโ—†โœนโฉโœฝโœดโœณโ– โโ€โœฝโ€โœฟโฒโซโ—†โ˜โ‚โœนโœqโ—†โœฟโ‚โ˜โ„โœนtโœป โœฝโœดโซโฉโ˜โ‚โœณโ„โœฟโ‰โโ‡โœนโฉโฏโฑโœนโœผโƒโ——โœฝโžˆโœนโฉโž€โœˆโŠโœบโ˜โ‰โœฟโฒโซโ—†โœฟโ‰โœฝโ€โˆโœตโœธโœทโœบโœนโž‰โŠโœ โโ„โœทโœบโโœโœณโงโจโ——โโ„โœฟโ‚โโทโซโฉโœนโž‰โโ€โˆtโœปโœพโœทโ—โ˜โ†โœฝโผโœณโ™ฅโœฝโนโœฟโ‰โ˜ร‘โœปโœพโœทโœฃโ†โฑโœฝ โด โญ โœณโงโจโ„โโ——โœฟโ‰โโทโ˜โฒโœณโ–ผโซโฉโโ„โƒ โด โœฟโ†โœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœถโœ‡โœ›โœšโž‰โญ โ‘ง โœปโœพโœทโœบโœฟโ‚โจโ™ฅโœณโ– โƒโœธโœฝโ€โœนโž‰โœณโ„โœทsโ˜โ‚โœฟโ‚โœนโฉโœท โด โœนโ‘โœ‡โœ™โœš โ‘ง โžŠt โ„ รค โด รงโžฅโ‘ฉรฅ โด รงโœพ รจ โ™  โ… โต โด โ† โžจโžฏรฅ ร  โ† โ™  โžค โœณโงโจโ„โœนtโซ โžจโฝโžฆ ร  รฉโœขโœœโœคโœฃโœฅโœœ ร–โ…โœƒ โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโฉโฆ โ‘ง

โœฒร‘โœณ โด โˆโฉโฏโฑโโ——โƒโ—โœป โœฝโ‡โโ‡โœณโ– โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒ โด โœนโžƒโœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโฉโฆ โ‘ง โƒโžˆโญ โœนtโœป โœฝโ‘ฉโŠโ—โœณโ„โœปโžฏโœฝโ‡โโ€โœฟโ‚โจโšโœฟโ‚โœณโ„โ˜โ‰โœนโ–ฒโƒโœบโโ„โƒโฑโŠโœบโ˜โ‚โœทโ—โœปโžโœนโฉโœฝโ‘ฉโโ‡โœนโฉโŠโœ โโ——โœปโ€โœนโœโœปโœพโœทโ—โโžโ˜โ‚โœณโžฎโœป โœฝโผโœณโ™ฅโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโ—โƒโ—โœณโ– โโ‡โœฟโ†โœฝโ‡โˆโนโ˜โ‰โโœˆโซโœผโœณโ– โ˜โ‚โœนโด โœน โด รง โ™ฆโœงโœฆโ„โœนโ‘ฉโจโ„โโ„โœทโž‡โœปโœดโโ‡โœนโฉโƒโšโจโ„โโ——โœฟโ‰โœนโœฅโœคโž‚โ˜โฒโœณ โด โˆโœผโฏโ–ผโโ——โƒโ—โœปโœพโœฝโ€โโผโœณโ™ฅโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒ โด โโ„โƒโœบโƒโ—โˆโฉโœน โด โœณโ– โƒโ—โœปร‘โ˜โ†•โญ โœนโ—†โž€โœˆโœนโœผโฏโ–ผโŠโ—โ˜โ‰โœนโž†โœ‡ รบ โ‘ง โด โœนrโฃโฅโœโงโฆโ™ฅโ™ โœˆโŠโ—โœณโ„โขโ„โœนโœผโœปโœœโธโ– รน ๏ฟฝโ™ฅโžโ™ฅโธโ– รนโœrโ—โ™ฆโœต โœนโž‰โœตโ——โœทโ—โœฟโžœโœฝโ€โœนโœผโโ€โฏโฑโœฟโ‚โƒโœบโœนโž†โ˜โ‚โœณ โด โˆโœผโฏโฑโโ„โƒโ—โœปโœพโœฝโ€โโผโœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโžˆโ™ฆt

Page 83: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ’โธ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ”โœŒโœŸโœ•โœ—โœ–โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœœโœ†โœŸโ˜›โœฃโœขโœคโœโœฅโœ„โœ”โœฆโœงโœ–โ˜…โœ–โ˜…โœ™โœ›โœโœฉโœŒโœชโœโœโ˜›โœซโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœงโœโœฉโœŒโœคโœฌโœญโœ†โœโœŒโœฏโœฎโœฌ โ–tรฝโ‚โ–ผโœ˜โž“โ™ โ– โœ๏ฟฝโœ„โœ‚โžƒโžโž‡โž’โจโ–ผโžฏรฝโœˆโžโ™ฅรฝโกโ—†โœ โ›โœผโž โšโœโ˜ŽโžŽโž“โœโ› โ–ผร‘โžโ™ฅโžโœโœ†โ——โž“Pโ›โญโ›tรฟโ‘โ›โœฐ โž“โšโž’โž”โž’โž”โž“sโ†’โžˆโžฃโœŸโœž โž™โž˜โž›โ™ฅโžโžดโž โœœr ร–โคโœƒโœบรโžโžนโผโž›โ– โžŸโœบร”โฝโžโ‘กโžทโ„ร›โฉโžฝโ€โž›โ™ฅโžŸโ—ร” โœฆโ‘ข รป โ‘ข รฒโผรณ โžคโžรด รง โž›โ– โžŸโžตโžถโ˜›โžถโ– ร™โ‰โž›โ™ฅโžฝโผร”โžƒร

รžโœ”รŸโžดร  โ‘ขโ——รกโžฅโ™ฃรขโž‡รฃโณรค โžข โžคโžฅ รฅ ร’ โžจโœพรงโ€รจโนรฉ โ‘ขโž‡รช รป รžโœฌรŸโฒร  โ‘ขโ——รกโœพ รขโœ รฃ โด รงโœพ ร– โœฆโ‘ขโœบรช โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโœ˜โœพ โ‘งรž โœ  ร  โ‘ขโœธรกโœพ โกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโ˜…โค โด รงโœพ ร– โœฆโ‘ขโ˜›โœก รป รž โœ  ร  โ‘ขโœธรกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘ง โ™  โ‚ โœธโœŒโ˜žโœŽโœ โ„โ‹โœšโœ‘โœ โžฅโœดโœณโ€ โค

โœฆโด รงโžฅ ร– โฐร  รงรฃ โœฆโ‘ขโ˜›โœก โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโœผรน โ‘งโ™ฅ ร›โฉโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตร

ร  โ‘ขโ——รกโžฅโ™ฃรขโž‡รฃPรค โžข โžคโžฅ รฅโœ“โœ’โฝโžจโœพรงโ‡รจโœฆรฉ โ‘ข โœ”โœ–โœ• โœ— โžจโ‘ฉรฉ โœƒ โžฆ โžข โžคโžฅ ร– โœ’โฝโžจโœพรง โฉ โ‘ขโœ”โœ–โœ• โœ— โžจโ‘ฉรฉ โœƒ โžฆ โžข โžคโžฅ ร– โ‘ข รค โฐโœ—โฉโž”ร’ โžจโœพรง โ‘ขโœดรณโžˆรฒ รจโœ”โœ–โœ• โœ— ร  รฉ โœƒ โžฆ โžข โžคโœพร•รญ โœธโœ˜โ˜ž โœณ ร– โ‘ข รค โฐโœ—โฉโžบร’ ร  รง รจ โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโงโœ โ‘งโœ”โœ–โœ• โœ— ร  รฉ โœƒ โžฆ โžข โžคโœพรค โฐโœ—โฉโž”ร’ ร  รง รจ ร– โ‘ข รฒโผรณ โžคโžรด รง โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโœป๏ฟฝ โ‘ง

โœ‡โ‘กรนโ—โ™ฆโ‰รบโ™ฅโœ โ‘ง โœปโฉโญ โโ„โกโœˆโœฝโ‡โœฟโ‰โœนโœผโƒโœธโœฝโž†โŠโž‡โœณโ– โโž‰โซโผโฟโ—โœณโ– โƒโ—โขโ„โœนโฉโฏโฑโœนโœผโƒโ——โœฝ โด โœนโฑโจโ™ฅโœณโ– โโ‡โœฟโ‚โœณโ„โกโœบโ˜โ‚โœนโฑร  รง รป โžจ รง โ‘ข รณโžœรฒ โ™ฆโžˆโœฒโœ˜โญ โœณโ„โœทโœˆโœฝโ€โโ„โžโ™ฃโœปโ€โœฟโ‚โฏโ–ผโœฟโ‚โ˜โฒโœณโ– โโ‡โœฟโ†โœฝโ‡โˆโžƒโœนโœผโƒโ——โœฝโ‡โโ‡โœณโ„โœฟโ‰โƒโ—โœนsโœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโœป๏ฟฝ โ‘ง โซโ—†โœนโœตโœธโœทโœบโœฟโžœโŠโœบโโ‡โโ„โœทโœบโจโ——โœนโฑโœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโœ˜โœพ โ‘ง โ™ฆ ร  โ‘ขโœธรกโœพ โกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค โด รงโœพ รฉ โœฆโ‘ขโœ™โœ”โœšโœ• โœ— ร  โžฉ โ‘ โœƒ โžฆ rโœŽโ–ฒ โžฆ โด รงโœพ รฉ โœฆโ‘ขโœ”โœšโœ• โœ— ร  โžฉ โ‘ โœƒ โžฆ rโœŽโ–ฒ โžฆ ร  รงรฃ โœฆโด รง โœ‡ ร 

โง รณโžˆรฒ รด รฑ โ™  โžค รต โžจ รงรฃ โ‘จ ร– โœฆโ‘ขโœ”โœšโœ• โœ— โžจโ‘ฉโžฉ โ‘ โœƒ โžฆ r โง รณโžœรฒ รด รฑ โ™  โžค รตโœธโžจโœพรงรฃ โ–ฒ โžฆ โœฆโด รง รค โžจโœพรจ ร– โœฆโ‘ขร  รงรฃโซโ—†โœนโž‰โœตโœธโœทโœบโœฟโžˆโŠโœบโโ‡โโ„โœทโ—โจโ„โœนโฑโœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆโ‚รบโœผรน โ‘ง โ™ฆ

tโœฌ โ–tรฝโ‚โ–ผโœ˜โž“โœ›โœžโœœ๏ฟฝ โœฐ โžโœโœ†โ——รฝโ˜›โœขโฑโ—†โœ โ›โœผรฝโกโ–โœฆโ—†โ‘กโž โšโœฃโ˜Žร‘รฟ โ–ผโžŽโžโ™ฅโžโโฌโœคโœขโ‘กโž‘โšโž’โž”โž“โœฐ โž“โšโž’โž”โž’โž”โž“sโ†’โžˆโžฃโœฆโœฅ โจ ร™ร‘โžž ร“ โžโฒร”โผโž ร•โžž โžณ โžŸโžตโžžโ—†โžŸโž‡โž โ†•โžโ‘กโžžโฉโžฝโ˜›r โž โ™ฃโžžโฉร™โœดรœ โžณ โžžโžƒรรž รŸ ร  โ‘ขโœธรกโœพ รขโž‡รฃ โด รงโœพ รฉ โœฆโ‘ข รช รซรญโ™ฅรฎโž…รฏ รž รŸ ร  โ‘ขโœธรกรฃโœžโ‘ฅ โœพ โ‘ฅ โ‘ง โด รงโœพ ร– โœฆโ‘ข รช โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโœปr โ‘งโ™ฅ ร›โฉโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตรโโœโโ——โœทโ—โœปโœโœณโ– โ˜โ‚โ˜โ‚โโ„โƒโ—โœปโนโœปโ€โœทโœบโก โด โœฟโ‰โจโšโœฟโฒโœปโœพโœนโœผโโœโ˜โชโญ โœฟโ‚โƒโœธโœฝโ€โœนโฉโโ‡โจโ™ฅโœณโ– โ˜โ‚โ˜โ‰โœน โ–ฒ r โžฆ โ‘ฅ โ‘ โœนโœผโƒโœŒโœฟโ‰โƒโœธโœฝโ€โœนโœผโโ€โจโ™ฅโœณโ„โ˜โ‰โ˜โ‚โœนโœผโœป โด โœนโž‰โ˜โ‰โโ——โƒโœบโขโ„โœทโœบโœนโœผโœทโœบโโž‰รบโ„โ™ฆโœ โ™โšโœทโœบโโ–ฒโซโผโฟโ—โœณโ——โซโ—†โœทโœบโƒ โด โœนโžƒโซโ—†โœนโœผโœปโœโœฟโ‰โƒโœธโœฝโ€โœนโœผโโœพโžโจโ™ฅโœณโ– โ˜โ‚โ˜โ‰โœนtโœปโ˜…โœงโœชโœฉ รป โ‘ โœซโž˜โžฆโœฌโœซ โฉโœฌโฐโƒโ–ฒ qโ—โœณโงโจโ„โœนtโซ โœซโ‘ครฉ r qโœˆโโ„โƒโœŒโœณsโžŠ

โœฆโ‘ข รค โฐโœ—โฉโžบร’ ร  รง รจร  โžค รฉ โœฆโ‘ข รค โฐโœ—โฉโž”ร’ โœซ รง รจโœซ โžคโโžšโœณโ– โโœโซโ—†โโ——โƒโ—โœปโ€โˆโœผโœตโœธโœทโœบโœนโฉโƒโœธโœฝ qโœธโƒโ—โโ„โœทโ—โœปโนโœณโงโจโ——โโ„โƒโ—โœปโทโŠโ—โœณโ„โโœโซโ—†โโ„โƒโœธโœฝโ‡โœฟโ‰โƒโšโœทโœบโœฟโ‰โœฝโ€โˆ โด โœนtโœปโœฆโœฝโ€โโผโœณโœฎโœญ โœนtโซโฝโœฝโ€โโ——โœฟโ‰โโ‡โœนโœผโœปโž‚โžŠร  โ‘ขโ——รกโœพโœฌโœฏ โ‘ง โด รงโœพ รฉ โœฆโ‘ข โœ”โœšโœ• โœ— ร  โžฉ โ‘ โœƒ โžฆ rโœŽโ–ฒ โžฆ โœ— โœพ ร– โœฆโ‘ข รค โฐโœ—โฉโžบร’ ร  รง รจร  โžค

รป โœ• โœ— โœซ ร– r โžฆ โœ— ร  โžฉ โœงโœชโœฉ โžฆ โœ— โœพ ร– โœฆโ‘ข รค โฐโœ—โฉโžบร’ ร  รง รจร  โžครป โœ• โœ— โœซ ร– r โžฆ โœ— ร  โžฉ โœง โœฉ โžฆ โœ— โœพ ร– โœฆโ‘ข รค โฐโœ—โฉโžบร’ โœซ รง รจโœซ โžค

Page 84: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ“โœ’ ๏ฟฝโ˜…โœ’ โœขโœคโœ•โœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœโœ–โœ›โ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœ†โœŸโ˜›โœงโœ โœžโœ„โœโœ† โœขโœคโœโ‰โœโœ“โœ’โœ โœŸ โœ โ™ฃโโžšโœณโ– โโœโซโ—†โโ——โƒโ—โœปโ€โˆโœผโœตโœธโœทโœบโœนโฉโƒโœธโœฝโœฆโโ„โƒโœŒโœณโœŒโžŠ

รž โœ‡ ร  โ‘ขโ——รกโœพโœฌโœฏ โ‘ง โด รงโœพ รฉ โœฆโ‘ข โ‘จ โต ๏ฟฝโœฉ รข โ‘ง รžโœฌรŸ ร  โ‘ขโœธรกโœพ โกโœ‚โœโ˜Žโœ„ โœ— โœพ ร– โœฆโ‘ข รค โฐโœญโฉโž”ร’ โœซ รง รจโœซ โžค รชโœฒโžˆโœนโž†โ˜โ‚โœนโฉโฏโฑโฏโฑโœน โด โœนโœโœ†โœบโœนโœผโโ€โƒโœบโœฟโฒโœตโœธโœทโœบโœนโฑรบโœปโ™ฃโ—โ™ฆ โ™ฃโžƒโƒโœบโโ„โœทโž‡โœป โด โโ„โƒโœบโƒโ—โœน โด โœนโฉโœทโœˆโž€sโซโ—†โโ„โƒโž‡โœป โœฝโผโœณโ– โƒโœธโœฝโ€โœนtโœปโœŸโœž รฒ ร–โ…โœƒ โœนโ—†โœฝโœ โœž โ™  ร–โคโœƒ โœฝโ‡โœนโฉโ˜โ‚โ˜โ‰โœนtโœปโœโœตโœธโœทโœบโœนโฑโžŠ

รžโœ”รŸโœพร  โ‘ขโ——รกโœพ โกโœ‚โœโœกโœ„ โœ— โœพ ร– โœฆโ‘ข รค โฐโœ—โฉ โœ’โœชโœซ รง รจโœซ โžค รช โต โœž รฒ โœˆ โ รก โœŸ รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  รŸ โฐโœ—โฉโžบร’ โœซ รงโœซ โžค รช โ™  โœกโต โœž รฒ โœˆ โ รก โ‰ รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  ร’ โ™  โœซ โ™  รฑ รง รณ โžค รต โ—โโžšโœณโ– โโœโซโ—†โโ——โƒโ—โœปโ€โˆโœผโœตโœธโœทโœบโœนโฉโƒโœธโœฝ q

รžโœ”รŸโ‘กร  โ‘ขโœธรกโœพโœฌโœฏ โ‘ง โด รงโœพ รฉ โœฆโ‘ขโž‡รช โต ๏ฟฝโœฉ รข โ‘ง โœž รฒ โœˆ โ รก โ‰ รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  ร’ โ™  โœซ โ™  รฑ รง รณ โžค รต โ—โต ๏ฟฝโœฉ รข โ‘ง โžญ รฒ โœž รฒ โœˆ โ รก โ‰โ——รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  ร’ โ™  โœซ โ™  รฑ รง รณ โžค รต โ—โฉ โœž รฒ โœˆ โ รก โ‰ รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  ร’ โ™  r โ™  รฑ รง รณ โžค รต โ—โต โ˜› รฏโ‘ง โœˆ โ รก โ‰ รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  ร’ โ™  โžจ โ™  รฑ รง รณ โžค รต โ— ร’ โžจโฉ โœž รฒ โœˆ โ รก โ‰ รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  ร’ โ™  r โ™  รฑ รง รณ โžค รต โ— โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโนโธ s โ‘ง

โ™ฆโžโƒโžตโœทโœˆโœฝโ€โœฟโ‚โ˜โ‰โœฟโฒโœปโ‡โœณโ– โƒโœธโœฝโž‰โ˜โ‰โœนโ–ผโœฝโ€โฟโ—โˆโฉโโ„โโ‡โพโฉโฏโฑโœน โด โญ โœฟโ‰โƒโœธโœฝโ€โˆโœผโขโ„โโผโœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒ โด โœนโฑโโ‡โœนโฉโ˜โฒโœณโ™ฅโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒ โด โœนโฌโซโ—†โโ——โฏโ–ผโŠโž‡โœณโ– โโผโœณโ– โœฟโฒโœปโœพโโ——โƒPโŠโž‡โโ——โœทโœบโ โด โœนโœผโœปโž†โœฟโ‚โƒโœธโœฝโ€โˆโœผโขโ„โโผโœณโ– โ˜โ‚โœนโœผโœปrโซโ—†โโ„โƒโšโจโ——โœนโฉโโ€โžโขโ„โœนโœผโƒโ——โœฝโ‡โœนโœผโœปโœฆโœณโ– โœทโœบโž€โ˜›โบโปโโ„โƒโž‡โซโฝโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโž‡โœปโž†โžŠโ˜ž โ™ฆ โžจ โ‘ฃ โœˆ โ รก โ‰ รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  ร’ โ™  โžจ โ™  รฑ รง รณ โžค รต โ— โœˆ โžจโœโœŒ โ™ฆ โžจ โ‘ฃ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  ร’ โ™  รค โฐ รฅโžตโžจ โ™  รฑ รง รณ โžค รตโœพรจ โœˆ โ รก โ‰ รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  ร’ โ™  โžจ โ™  รฑ รง รณ โžค รต โ—

โ™ฆโžโ˜โ‚โ˜โ‰โœนtโœปโž‰โจโ„โˆโœผโโ€โœฟโœ–โœ•โ—โœนโฉโƒโœธโœฝ โ˜ž รป โœŽโžฅ รฎโž…รฏ รค โœŒโœบรจ โด โโ„โƒโ—โซโฑโโ——โƒโ‘ โœณโœ‘โœ รฏโ‘ง โ˜ž รค โžจโœพรจ ร’ โžจ รป โœŽโ‘ง รฎโž…รฏ รค โœ รฏโ‘ง โœŒ รค โžจโœพรจ ร’ โžจโœพรจ โ™ฆร‘โโžšโœณโ„โโž…โซโ—†โโ„โƒโž‡โœปโœพโˆtโœตโ——โœทโ—โœนโฉโƒโœธโœฝโž…โœฟโ‰โ˜โœ˜โœนโ—†โž€โœˆโœฟโ‚โœปโœพโœฝโ€โœนโœทโœบโƒโœบโœนโž‰โซโ—†โโ——โƒโ—โœปโœพโœฝโ‡โœณโ– โƒโœธโœฝโ‡โœนโœ’โœžโœ”โœ“โž†โœนโฉโœฝโœโœทโœบโƒโœŒโœนโฉโƒโœธโœฝโ€โœฟโ‚โœนโฉโ r รฃ โœฝโ€โœนโœผโ˜โ‚โœปโนโœตโœธโœทโœบโœน qโœบโŠโœ โโ„โœทโœบโโœฆโœฝโ‡โโ„โœทโœˆโœฝโœโœนโœผโƒโ——โœฝโ‡โœฟโ‰โœนโœผโ rโœšร– r รฃ โโ„โƒโœŒโœณโ– โœฟโ‰โœฝโž…โžŠโ˜› รฏโ‘ง โœˆ โ รก โ‰โ– รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  ร’ โ™  โžจ โ™  รฑ รง รณ โžค รต โ— ร’ โžจ โต โœžโœ”โœ“ โœฆโ‘ขโœดรณ โ™  r รฒโฝรณ โ™  รฑ รง รณ โžค รต โœˆ โ รก รค รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  r โ™  รฑ รง รณ โžค รต รจ

โœนโ—†โœฝ โด โโ——โƒโ—โซรžโœฌรŸโปร  โ‘ขโœธรกโœพโœฌโœฏ โ‘ง โด รงโœพ รฉ โœฆโ‘ขโ—รช โต โœˆ โ รก รค รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  r โ™  รฑ รง รณ โžค รต รจ โ˜› โœž รฒ โฉ โœžโœ”โœ“ โœฆโ‘ขร‘รณ โ™  r รฒโผรณ โ™  รฑ รง รณ โžค รต โ˜žโœ โœ‘ โœ’ โœ”รฑ โœ™โœ–โœ• รต

โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโนโธโœˆรบ โ‘งโโœโโ——โœทโ—โœปโนโœณโ– โ˜โ‚โ˜โ‰โโ——โƒโ—โœปโœฆโฏโฌโœณโ– โœฟโ‚โƒโœธโœฝโ€โœนโฉโƒโž‡โœณโ– โƒโœธโœฝโนโฏโ–ผโโ——โƒโœธโœฝโ€โโ‡โœนโฉโโนโœตโœธโœทโœบโœนโž†โŠโž‡โโ——โœทโœบโโนโœฝโ€โโ——โœทโœˆโœฝ รก โžฉโ‹โžซ qโœดโโ„โƒโ‹โœณsโžŠ

รค โžขโœ˜โœ— รจ รป โฌรญโงรฎโžฎรฏ โœ‡ โœฆโ‘ขโœšโœ™ โœˆ โ รก รค รฅ โœฆโ‘ข โ™ โง โ‘ ร  รงรฃ โ–ฒ โ™  รจ โ‘จ โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโนโธโโธ โ‘งรค โžขโœ›โœ— รจโœฆโ‘ข โœ™ โœˆ โ รก รค รฅ โœŸรญ โ„โ™  โฃ โœพ โœณโ€ โค โ„ รจ รป โœž รฒ โฉ โœž โœ“ โœฆโ‘ข รณ โ™  r รฒโฝรณ โ™  รฑ รง รณ โžค รตโœฆโ‘ข โœ™ โœˆ โ รก โœ‡ รฅ โœž โ™  โœฆโ‘ข โ™  r โ™  รฑ รง รณ โžค รต โฉ โœฆโ‘ข โ™ โง โ‘ ร  รงรฃ โ–ฒ โ™  โ‘จ

รป โœž รฒ โฉ โœž โœ“ โœฆโ‘ข รณ โ™  r รฒโฝรณ โ™  รฑ รง รณ โžค รตโœฆโ‘ข โœ™ โœˆ โ รก โœ‡ รฅ โœฆโ‘ข โ™  รค โœž โ™  r โ™  รฑ รง รณ โžค รต โฉ โฐโง โ‘ ร  รงรฃ โ–ฒ โ™  รจ โ‘จ

Page 85: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโงโฆ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ”โœŒโœŸโœ•โœ—โœ–โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœœโœ†โœŸโ˜›โœฃโœขโœคโœโœฅโœ„โœ”โœฆโœงโœ–โ˜…โœ–โ˜…โœ™โœ›โœโœฉโœŒโœชโœโœโ˜›โœซโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœงโœโœฉโœŒโœคโœฌโœญโœ†โœโœŒโœฏโœฎโœต โโ„โฏโฑโฏโฑโœนโžƒโโ——โƒ โœปโ‡โœณโ– โœฟโ‰โœฝโž†โœตโœธโœทโœบโœน รโ–ผร– โ’ qโœ โโ——โƒ โŠโœ โœนโฉโœทโœˆโœฝโž†โœฝโ‡โโ€โโ——โœทโœบโจโ„โœนโœผโโž‚โœทโœบโƒโณโœนโฉโƒโœธโœฝโ€โœฟโ‚โœนโฉโ r รฒ ร–โœšr รฃ โœฝโ‡โœนโฉโ˜โžšโœตโœธโœทโœบโœนโœqโž˜โŠโœ โโ„โœทโœบโrโœฝโ€โโ——โœทโœˆโœฝ r ร– r รฒ qโž˜โโ——โƒโœณโ– โœฟโ‰โœฝโž‰โžŠ โœž โ™  r โ™  รฑ รง รณ โžค รต โฉ โฐ

โง โ‘ ร  รงรฃ โ–ฒ โ™  ร– โœƒโ…ร•โ˜โžœโœนโœผโœปโœพโœฝ โด โโ„โƒโž‡โซโž‚โฏโฌโœณโ„โœฟโ‰โƒโœธโœฝโ€โœนโœผโƒโ—โœณโ– โƒโœธโœฝโนโˆโฉโจโšโœฟ โด โœนโฉโƒโœธโœฝโ–ฒโœตโœธโœทโœบโœนโž†โŠโœ โโ„โœทโœบโโœฆโœฝโ‡โโ„โœทโœˆโœฝ รก qโœบโโ„โƒโœŒโœณsโžŠ

โถโฑโท โ‘กรญโ™ฅรฎโž…รฏ รค โžขโœ›โœ— รจโœฆโ‘ข โœ™ โœˆ โ รก รค รฅ โœŸรญ โ„โ™  โฃ โœพ โœณโ€ โค โ„ รจ รป โœƒโœต โœนโž‰โœตโ——โœทโ—โœฟโžˆโŠโœบโโ‡โโ„โœทโœบโจโ——โœนโ–ผโœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโนโธโโธ โ‘ง โ™ฆ

โโœโโ„โœทโž‡โœปโนโœณโ– โ˜โ‚โ˜โ‰โโ——โƒโ—โœปโœฆโฏโฌโœณโ– โœฟโ‚โƒโ——โœฝโ‡โœนโฉโƒโ—โœณโ„โƒโœธโœฝโœฆโฏโฑโโ——โƒโ——โœฝโ‡โโ€โœนโœผโโนโœตโ——โœทโ—โœนโฌโžŠรค โžขโœ˜โœ— รจ รป โฌรญโงรฎโžฎรฏ โœ‡ รžโœฌรŸโ–ผร  โ‘ขโ——รกรฃโœฆโ‘ฅ โœพ โ‘ฅโœปโ‘ง โด รงโœพ ร– โœฆโ‘ขโ—รช โ‘จ โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโนโธ โ™ฃ โ‘ง

โโžฏโโ„โœทโœบโโœโซโฉโœนโฉโ˜โฒโœณโ˜…qโœˆโœฟโ‚โ˜โžˆโœปโœพโœทโœฃโ†โฑโœฝ โด โœนโž‰โโ‡โœนโฉโฏโฌโœณโ„โโ‡โœตโœธโœทโœบโœนโœผโโœฆโœตโœธโœทโœบโœนโž†โŠโœ โโ„โœทโœบโโœฆโœฝโ‡โโ„โœทโœˆโœฝ r โœปโ€โœทโœฃโ†โ‘โœปโ€โœณโ„โฏโ–ผโฏโฑโœนโœผโƒโ——โœฝโนโขโ——โโ‡โœณโ„โƒ โด โŠโœ โโ„โœทโ—โโœโœตโ——โœทโ—โœน โžจ รงรฃ โžฉ โ‘ โœƒ โžฆ rโœŽโ–ฒ โžŠรž รŸ ร  โ‘ขโ——รกรฃโœฆโ‘ฅ โœพ โ‘ฅโœปโ‘ง โด รงโœพ ร– โœฆโ‘ข รช รฉ รž โ˜› โด รงโžฅโœดโœณโ€ ร– โœฆโ‘ข โ˜ž โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโนโธโ™ฅโฆ โ‘ง

รป โ˜› รฏโœŸรญ โœˆ โ รก รค รฅ โžจโ™ฅโ™ โง โ‘ ร  รงรฃ โ–ฒ โ™  รจ ร’ โžจรซรญโ™ฅรฎโž…รฏ โฐโง โ‘ ร  รงรฃ โ–ฒ โ™  โœฆโ‘ข โœˆ โ รก รค รฅ โœฆโ‘ข โ™ โง โ‘ ร  รงรฃ โ–ฒ โ™  รจ โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโนโธโœฝโœพ โ‘ง

โœฒโžˆโœนโž†โโ‡โˆโœผโœปโ€โœทโœบโ˜โ†โœฝโผโœณโ™ฅโœฝ โด โˆtโซโ—†โโ„โœทโ—โ˜โ‰โœน โด โœทโœŒโโ‡โœนโœผโซโ—†โโ——โœทโœบโŠโœ โœนโฉโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝ โด โœนโœผโœปโœโโ€โˆtโœปโœพโœทโœบโ˜โ‰โœฝโ‡โœณโ– โœฝโ‡โœปโž†โœ‡โ‘กรนโ—โ™ฆ โธโ– โฆ โ‘ง qร‘โœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆโนโธโโธ โ‘ง โœนโ—†โœฝโžฎโœ‡โ‘กรนโ—โ™ฆ โธ โœพ โ‘ง โ™ฆt

โœฌ โ–tรฝโ‚โ–ผโœ˜โž“ โœฅโœœ๏ฟฝโœคโœ‚โžƒโž โš โœ† โœขโ‘กรฟโœœโ›โœฆโ—†โ†•โžโฒโš โœขโž‚โƒโ‘คโโ€โœนโœผโฏโฑโœณโ„โโ‡โœตโœธโœทโœบโœนโž†โœตโœธโœทโœบโœนโž†โซโ—†โโ„โฏโฑโฏโฑโœน โ’โฎร–โคร q โœฆโ‘ขโ‘คโ‘ฃโœฐโ‘ฅ โœตโœธโœทโ—โœณโ„โƒ โด โ‘ขsโ‘ฃโ‘ฆโ‘ฅ โ™ฆโœดโ™ฆโžโƒโ—โœปโ€โœทโœบโœฟโ†โœฝโ‡โœนโœqโœˆโ˜โ‚โœนโœผโœปโโ€โœนโœผโ˜โ‚โœณโ– โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโ—โœปโž†โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโ‚รบโœ˜โœพ โ‘ง โœนโฉโœฝโžฎโœ‡โ‘กรนโœบโ™ฆโ‚รบโœผรน โ‘ง โซโฉโโ„โœทโœบโŠโ—โ˜โ‰โˆโœผโœนโœผโœปโนโœณโงโจโ„โœนtโซโ–ฒโ˜โฒโœณโฑโโ‡โœนโฉโ˜โฒโœณโ™ฅโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโžตโœ‡โ‘กรนโ—โ™ฆโ‰รบ r โ‘ง โƒโœบโโ„โœทโž‡โœปโนโœณโ– โœทโœˆโœฝโ‡โโ„โโ‡โœฟโ‚โœปโ€โœนโฉโƒโœธโœฝ โœคโฑโˆโœผโซโ—†โโ‡โœฟโ‚โโ€โœนโ–ผโžŠรžโœ”รŸโปร  โ‘ขโ——รกโžฅโ™ฃรขโž‡รฃPรค โžข โžคโžฅ รฅ ร’ โžจโœพรงโผรจโทรฉ โ‘ขโœบรช รซรญโ™ฅรฎโž…รฏ รž โœ  ร  โ‘ขโœธรกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘ง โ™  โ‚ โœธโœ˜โ˜ž โœ โ„โ‹โœš โœ โžฅโœดโœณโ€ โค

โœฆโด รงโžฅ ร– โฐร  รงรฃ โœฆโ‘ข โœกโ–Pโœณโ– โœฟโฒโœปโžšโ˜โ‚โœนโนโ˜โ‰โœนโœผโฏโฑโฏโ–ผโœนโž‚รนโœบโ™ฆโนโธrโƒโœบโโ„โœทโ—โœป โด โœฟโ†โœฝโทโœตโ——โœทโ—โœนโนโ˜โ†•โญ โโ„โƒโฌโŠโœ โœนโฉโœทโœˆโœฝโทโœณโ– โŠโœบโŠโœบโ˜โ‚โœฟโฒโœตโ——โœทโ—โœนโฉโโœ‚โœค โœฆโด รง โ˜โ‰โœนโนโœฝโ‡โฟโœบโˆโฉโโ——โโ€โพโœผโฏโฑโœนโœรนโœบโ™ฆโนโธโž‚โœณโงโจโ——โœนโœผโซ โœ รป โง โœนโฉโœฝ โœผ รป โง โ’โœ‡ โœผโ‘ โ โœ โ‘ง โซโฉโœนโž…โœตโ——โœทโ—โœฟโžˆโœปโฉโญ โˆโœผโซโฉโโ€โœฟโ‰โœฝโž…โžŠ

รž รŸ ร  โ‘ขโœธรกโžฅโ™ฃรขโœ รฃPรค โžข โžคโžฅรฆรฅ ร’ โžจโœพรงโผรจโทรฉ โ‘ข รช รซรญโงรฎโžฎรฏ โง โ’ โ™  โžค โœ รค โฐโฆโฅ โง รจโง โœฑ รฒโ™  โœฆโ‘ฃ รถรท โœ‡ โœฆโ‘ขร  รงรฃ โ‘จ โœ‡ โœฆโ‘ขร  รงรฃ โ‘จ โœธโœš รณโžˆรฒรซรญโงรฎโžฎรฏ โ’ โ™  โžค โฅ โงโœ๏ฟฝโฅ โœฆโ‘ฃ โ‘ ร  รงรฃ โ–ฒ รฒโฝรณ โœธโœš โ‘ขโœดรฑโฒรฒโฝรณ โœš โœณ รต รฑ โœธโœš รณโžˆรฒ รต รถรท โœ‡ โœฆโ‘ขร  รงรฃ โ‘จโœขโž‚โƒsโœณ โด โโ——โƒโ—โซrโ˜โ‰โœนโž‰โโ‡โˆโœผโœปโ€โœทโœบโ˜โ‰โœฝโ‡โœณโ– โœฝโœฆโจโ——โโ„โœทโœบโ˜โ‚โœทโœŒโœณโงโจโ„โœนโœผโซโžƒโžŠ

รฐ รค โ’ โžฆ ร’ โžฆ ร รจ รป โ’ โ™  โžค โฅ โงโœ‚๏ฟฝโง โœธโ„โ‹โœš โœ„ โ’ รค ร รฅ โ’ รจ รŸ โ’ร’ รค ร รฅ โ’ รจ รชโœš โ‚ โœธโœณ รŸ ร รฅ โ’ร รช โœš โ‚ โœธโœš

รธโ‘รค โ’ โžฆ ร’ โžฆ ร รจ รป โฐร  รงรฃ รป รŸ โ’ร’ รค ร รฅ โ’ รจ รชโ‚ โœšโœณ รร รฅ โ’

t

Page 86: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ“โœ’โœ๏ฟฝโœดโœ’โœ”โœ•โœฉโœ™โœ›โœ•โœ‚โœ โœโœ‚โœ† โ˜›โœทโœ–โ—†โœขโœโœ โœขโœคโœ•โœนโœ โœ„โœโœ†โœโœ–โœ›โ˜›โ˜ŽโœŒโœคโœ†โœŸโ˜›โœงโœ โœžโœ„โœโœ† โœโœฝโœพโœ•โœโœ–โœ„โœ‚ โ˜Žโœโœ†โ‘คโœญโ˜›โœขโœŸโœžโœ โœ†โ‘คโœญโ˜›โœฎ โœ›โ˜›โœขโœคโœ› โœฅโœงโœญโ˜›โ˜… โœŽโ‘โœฎ โœ“โ‘คโœญ โœ“โ‘คโœ› โœฅโœโœŒ โ˜…โ‘คโœฎโœโœŽsโœ™โฏโœฉโœ‘โœŽโ‘โœฃโœžโœŒ โ˜…โœฒโœ“โœกโœ† โœŽโ˜žโ˜›โ‘คโœ› โœŒโœ„โœ™โœโœŒ โœฅโœงโœญโŠโœ• โœ–โ˜›โœกโœฏโœฑโœฐ โˆโœฑโœฐโœตโœฒ โœถโœซโ„โœšโœธโœปโœทโœดโœพ โ‰ โ„sโœพโœโœŽโœคโœฒโกโœบโ˜›โœธโœปโ„sโœพโœโœพโ—โ‹โ˜žโœพ โœพโโ€โ‚โœทโœœโ€โกโ—โ™ฅโœบโœฝโœผโœฟโœผ โœทโœดโ—โโœฒโโ„sโœพ

โ™โšโœฟโžˆโ˜โ‚โœนโž‰โŠโœบโโ€โโœˆโซโฉโœนโœผโœปโ‡โœปโœพโœทโ—โœปโทโœนtโœป โœฝโœโœปโœพโœฝโ‡โœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœบโƒโ—โœณโ„โœฟโ‰โโ‡โœนโœqโœˆโƒโœบโโ——โœทโ—โœปโนโœณโงโจโ„โโ——โƒโ—โœปโทโ˜โ‰โœนโž†โโ‡โˆโœผโœปโ€โœทโœบโ˜โ‰โœฝโ‡โœณโ™ฅโœฝโœโœปโ€โœทโœบโœฟโ‚โจโงโœณโ„โƒโœธโœฝโž…โžŠโž‹โž…โžŒโžŽโžโœธโžโž‡โžโ™ฅโž‘โšโž’โž”โž“โ‹โ†’โžˆโžฃโœŸโœž โณ โ–ฒ โ—†โฉโ–tโž“โ——โž โฌโžฏรฝโœˆโžโœโช โซโ‘กโ†”โœ โ†”โž‡โ†” โตโทโž‹โžฎโžŒร‘โžโšโžโž‡โžโงโž‘โšโž’โž”โž“ โ——โณโžฃ โ– โžˆโžฃโ‘โ–ผโžฏรฝโกโชโœ โž“โœถโ†”โšโ†’โœปโฃโž”โž™โž˜โž›โ– โžโžดโž โนโžก โœ— โžฅ โžฆโž‰โžจโž‰โžฉโœฅโ‘ โœƒ โžฆ rโœŽโ–ฒ โžฒโ‹โžณ โžŸsโžฌโœ โžฝโ€โž›โœ’โœกโžนโผโžžโฝร”โผร” โžณ ร”โ˜›โœŸโœธโžถ โžณ ร”โผร”โฝโžโ‘กโžžโฉโžŸPร”โฝโž โ™ฃโžถโ– โž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸโ—โžŸโž˜โžถโ™ฅโžโžดโžฝโ€โžžโ–ผโžนโผโžžโ—†โžŸโž‡โž โ†•โžฝโ€ร›โžƒโžทโ„โžžโ‘ฉโžชโ—†โž›โ™ฅโžŸโž˜โžนโ—†โž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโ‘ โžทโ„โžžโ–ผโžนโผโž›โ™ฅโžฝโฝโžฝโ€ร›โฉร™โ‰โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸ โ˜โœŒโž โ™ฃโžžโฉร™ร‘รœ โžณ โžžโžƒรโž

โ˜ รค โžจโœพรจ รป โฐ รฅ โ† โžจ โ† โ‡ โฉ โฌโžฅ รฎ รฃ รค โ† โžจ โ† โ‡ รจโž โ˜ รค โžจโœพรจ โ โฐ โœฃโžตโžจโ‘ฉโžฉ โ‘ โœƒ โžฆ rโœŽโ–ฒ

โœ‘ ร™โ‰โž›โ™ฅโžฝโผร”โผรโž˜โžฌโ—โž› โžณ โžฝโž‰โž ร•โž› โžณ โž  รก โต r โž›โ™ฅโžŸโœถโžถโ˜›รรžโœ”รŸ โ‘กโ‘คโ‘ฃ โโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โœ™ โค โžข โžคโžฅ ร– โ‘ขโœบรช รป โ’ โ‡ รกโ—โ‘ข โ™  รด โ‡ รถรท รค โ‘ข รจโœฟโ‘ โฐโœ—โฉ โฌรญโ™ฅรฎโž…รฏ รค โฐ รจ โ–ฒ โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโนโธโ– รน โ‘ง

โ™ฅ ร›โฉโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตรโœฒโœดโœณ โด โˆโœผโฏโ–ผโโ——โƒโ—โœปโœพโœฝโ€โโผโœณโ™ฅโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโœŒโœนtโœป โœฝโนโœฝโ‡โโ€โพtโœปโœฆโœฝโ€โœนtโซโผโฟโœบโƒโœบโœฟโฒโœตโ——โœทโ—โœนโž‰โœนโ—†โœฝโœโœนโœผโœปโœพโœฝโ–ฒโœทโœบโƒโ—โœนโž…โœณโ– โŠโœบโŠโœบโ˜โ‚โœฟโฒโซโฉโœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒ โด โœนโž‰โ˜โ‚โœณโฑโฏโฑโˆโฉโœฝโ€โฟโœบโ โด โœน โด โœนโœผโœป โด โโ——โœทโœบโกโœบโ˜โ‚โœนโœผโœปโœโœปโ€โโ„โฏโฑโฏโฑโœนโœผโœปโด โœนrโโžโœฟโ‚โซโœ“โœ’โ™ฅโœณโ„โƒ โด โœปโœผโ™ฆโœบโœฒโžโญ โœฟ โด โˆโœผโœนrโซโฉโโ„โƒโ—โœปโ€โœฟโฒโœป โœฝโ‡โœน โœคโžƒโœนโฉโƒโ—โซโœผโœณ โด โโ‡โœนโฉโโทรž รŸ โ‘กโ‘คโ‘ฃ โโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โœ™ โค โœ— โžฅ ร– โ‘ข รช โ™ฆโœบโœฒโœดโœณโžƒโฏโฑโœณ โœญ โโ„โโผโœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโ‘โœนโœผโœปโœพโœฝโทโœทโ—โƒโœบโœนโž‰โซโ—†โโ„โƒโž‡โœปโœพโˆtโœตโ——โœทโ—โœนโฉโƒโ—โซโฉโœนโด โœนโž†โ˜โ‚โœณโฑโœปโœพโœฝโ‡โœณโ– โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโœบโƒโ—โœณโ„โโ€โœฟโ‰โœฝโ€โˆโž†โœนโฉโœฝ โด โœทsโ˜โ‚โœนโฉโฏโฑโฏโฑโœน โด โœนโž‰โถโทโโ„โโ‡โœนโฉโ˜โžšรบ โ™ฃโœบโ™ฆโนโธโž…โŠโ—โœณโ„โขโ„โœนโ–ผรบโœป๏ฟฝ โ™ฃโœบโ™ฆโœบโœฒโœดโœณโžƒโฏโฑโœฟโ‰โƒโ—โโ„โโผโœณโ™ฅโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโœŒโœตโœธโœทโ—โœณโ– โƒโœธโœฝ โœคโ–ผโœนโฉโ˜โ‚โ˜โ‰โœนโž†โจโšโœฟโ‚โœนโฉโƒโœธโœฝ โด โœนโž†โ˜โ‚โœณโโ€โœนโœผโ˜โ‚โœณโ– โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒ โด โญ โœฟโ‚โƒโ—โซโ—†โ˜โ‚โœทโ—โœปโ€โœฟโ‰โโ——โƒโœˆโžโชโœนโฉโž€โœบโซโ—†โ˜โ‚โœทโ—โœปโœพโœฟโ‚โโ„โƒโ‘คโซโ—†โ˜โฒโœณโ„โœปโ‡โœปโœพโœฟโฒโœตโœธโœทโœบโœนโ„โ™ฆโ‡โœขโž‚โƒโ‘โโ„โกโœบโœฝโ€โœฟโ‚โœนโฉโƒโœธโœฝโœฆโœณโ„โ˜โ‰โโ——โโ‡โœปโœ˜โœทโœบโƒโœบโœนโž†โœปโœพโโ——โฏโฑโฏโ–ผโœน โด โโ——โœทโœบโกโœบโ˜โ‚โœน โด โโ——โƒโœธโœฝโ‘ฉโโ„โƒโ‘คโฏโฌโœณโœฎโœญ โโ„โโ‡โœนโœโ˜โ‚โœนโœผโœปโด โœฟโœ•โœ”โœ โˆโœผโโ€โœนโœผโƒโ——โœฝโผโœปโทโœฝโ€โœนโœผโโ€โฏโฑโœนโœผโœปโนโœณโ„โœทโ‘คโฏโฑโโ™ฅโœ‰โ——โœนโฉโƒ โด โœทโœŒโ˜โ‰โœนโœผโฏโ–ผโฏโฑโœน โด โœนโž‰โถโทโโ„โโ‡โœนโฉโ˜โชโ™ฆt

โœฏโœฑโœฐ โˆโœฑโœฐโœฑโœฐ โœ–Pโ‰โœŸโœณ โ„ โ‰โ˜žโ„ โœตโœณโœท โ‰โœคโœณโœ˜โœ— โœบโœฝโœผโ˜žโœพ โ€โœดโœฒโกโœทโœœโ€โกโ—โ™ฅโœบโœฝโœผ โ‰โœโ‹ โ€โœšโœ™โœคโœณ โœบโœกโœฒโœœโœ›โ˜žโœ—โœนโ„ โœฏโœฑโœฐโœฑโœฐโœฃโœขโœคโœŽโ˜žโœทโ˜Žโœฒโ‚โ€โกโ— โœฒ โ‰โœโ‹ โ€โœœโœ™โœŸโœณ โœบโœกโœฒโœฅโœ›โœ˜โœ— โ„โœฏโœฑโœฐโœฑโˆโ™โšโœฟโœฆโ˜โ‰โœนsโŠโœบโโ‡โโšโซโฉโœนโœผโœปโ‡โœปโœพโœทโž‡โœปโž…โƒโžˆโญ โœนโœผโœปโœพโœฝโ–ผโœตโœธโœทโœบโœนsโ˜โ‰โโœˆโซโœผโœณโ– โ˜โ‚โœนโฉโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโ–ผโœปโœพโœฝโ‡โœณโ– โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโœบโƒโž‡โœณโ– โœฟโ‚โโ€โœน qโœดโ˜โ‚โœนโœผโœปโ–ผโซโผโฟโœบโโ——โœปโ€โœนโœผโœป โด โœนโฉโจโšโœฟโ‚โœนโฉโƒโœบโƒโ—โœนโฉโƒโœธโœฝโžƒโœนโœผโƒโ—โซโ—†โโ——โโ€โœนโ‘คโŠโœบโ˜โ‰โœทโž‡โœปโž…โœฝโ‡โœนโœผโซโผโฟโœˆโžโƒโœบโœฟโฒโœตโ——โœทโ—โœนโœผโœปโœผโ™ฆโœบqโ–ฒโโ——โƒโœบโƒโœบโโ„โƒโž‡โœปโœฆโƒโœบโˆโœผโœณโ„โƒโœบโฏโฑโโ„โœฟโ‚โƒโ—โœปโœฆโ˜โ‰โœนtโœปโœฆโˆโ—†โœฝโผโœณโ– โŠโœ โœนโœผโœป โด โœทโœŒโโผโœณโ– โœฟโฒโœปโœพโโ——โƒโœบโƒโœบโœนโœผโฏโ–ผโœนโœผโƒโœธโœฝrโžŠโž โœขโž‚โƒโœŒโ˜โ‚โโšโซโœผโœณโ– โ˜โ‚โœฟโ‚โœปโ€โœนrโ˜โ‰โœนโž‰โŠโœบโโ‡โโ„โกโ—โ˜โ‰โพโœผโฏโ–ผโœน โœคโ–ผโœทโœบโƒโœŒโจโ„โโ——โœฟโ‚โœปโ€โœฟโ‚โƒโ—โœณโ– โขโ——โœนโœงโœฆ โด โœน โžจ รฃ โ™ฆโž โœขโž‚โƒโœŒโœฟโ‚โƒโ——โœฝโ‡โโ€โ โด โœทโ—โœฟโ†โœฝโนโ˜โฒโœณโžฎโบโ‘กโœณโ„โฏโฑโœฟโ‰โ˜โ‚โ˜โ‰โœน โด โœนโž‰โŠโœบโโ€โโœˆโซโฉโœนโœผโœปโ‡โœปโœพโœทโ—โœปโทโœฟโ‚โƒ โด โœนโฉโž€โšโˆโœผโœนโž‰โŠโ—โœณโ– โ รก โžฉโ‹โžซโžฏโžญ โœนโฉโœฝโœฉโ˜… โžฉโ‹โžซโžฏโžญ โœปโœพโœทโœบโœฟโ‚โจโ™ฅโœณโ– โƒโœธโœฝโ€โœนโฌโžŠ

โœฆโœ— โžฅ รป โœช โžฅโฐโœ—โฉ รก โ† โžจ โ† โœซ โžจโ‘ฉโžฉ โœฆ โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโนโธโ——โœ โ‘งโโœญโœฌ โžก โœช โžฅ โ™ฆ โžจโ‘ฉโžฉ โœฆ โžฒ โœนtโœป โœฝโœฆโœทโœบโƒsโŠโœบโโ€โโœˆโซโฉโœนโœผโœปโ‡โœปโœพโœทโ—โœปโœฆโž„โž†โœณโ– โœทโž‡โœปโ€โœปโ€โœฟโ‰โœนโœผโƒsโ™โœธโœฝโผโœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœบโƒโ—โœณโ– โœฟโ‚โโ‡โœนrโซโฉโœนโฉโƒโœธโœฝโ€โโ‡โˆ โด โœนโ–ฒโบโปโโ——โƒโ—โซโฝโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒ โด โœนโž†โซโ—†โโ™ฅโจโ™ฅโœณโ„โโ€โœฟโฒโœณโ– โƒโ—โซโฉโœนโžจ โ‘ฃ โœˆ โ รก รค รฅ โ˜… โ† โžจ โ† โ‡ รจ โ™ฆโœฒโœดโœนโž‰โ˜โ‰โœนโœผโฏโ–ผโฏโฑโœน โด โœนโžฎโ™โšโ˜โ‚โˆโฉโŠโ—โœฟโ‚โœณโ„โƒโžตรบ โ™ฃโœบโ™ฆโ‚รบโž‚โŠโž‡โœณโ– โขโ„โœนโฑรบ ๏ฟฝโœโ™ฃโžƒโŠโž‡โœนโœผโโ€โฏโฑโœนโ—†โœฝโœโ˜โฒโœณโฑโซโ—†โโ——โฏโ–ผโŠโž‡โœณโ– โโผโœณโ– โœฟโฒโœปโœพโโ——โƒ โด โœน โœฆโœ— โœนโ—†โœฝ โœบ โ™ฆโž โœขโž‚โƒโ‹โœณโ– โŠโ—โŠโœบโ˜โ‰โœฟโฒโœตโœธโœทโœบโœนโž†โ˜โ‰โœนrโœฝโ‡โฟโœบโˆโฉโโ——โโ€โพโœผโฏโ–ผโœนโž‰รนโ—โ™ฆ โ™ฃโฑโœณโ– โœทsโŠโœบโโ‡โโœˆโซโ—†โœนโœผโœปโ‡โœปโ€โœทโ—โœปโœฉโœชโž โœขโž‚โƒโœŒโโ„โกโœบโœฝโ€โœฟโ‚โœนโฉโƒโœธโœฝโนโœทโœบโƒโœŒโœนโฉโƒโ—โซโœผโœณ โด โโ‡โœนโฉโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโนโœนโฉโƒโœŒโซโผโฟโœบโโ——โœฟโ‚โœปโ€โœฟโ‚โœปโ‡โœปโ‡โœณโ– โƒโœธโœฝ โด โœนโœผโœปโนโจโ™ฅโœณโ– โ˜โ‚โœนโฉโœทโ—โโ‡โœปโœฆโœณ โด โœณโ– โŠโœˆโœฝโ‡โˆโฉโœนโœผโœป โด โœน รก โœนโฉโœฝโœฉโ˜…โžฎโŠโœ โโ„โœทโ—โโœโซโ—†โโ„โƒโž‡โซโ—†โ˜โ‚โœทโœบโโ€โœนโ–ผโžŠโโžฏโโ„โœทโ—โโž†โœฝโ€โโ„โœทโœบโœฝโœฏโœฎ ร– โœƒ โŠโž‡โœนโฉโœฝโ€โœฟโ‰โœฝโœปqโžˆโโ——โƒโœถโŠโž‡โœนโœผโœทโœˆโœฝโžฎโซโผโฟโœบโโ„โœฟโฒโœปโ€โœฟโ‰โ qโœฏโœฆโœ— โžญโœฐ โซโฉโโ„โโ‡โโ€โœนtโœปโœพโŠโœ โโ„โƒ โด โœณโ– โƒโœธโœฝโž‰โœณโ– โœทโœˆโž€ โŠโž‡โœณโ– โโผโœณโ– โฏโฑโพโ—†โœฝโ‡โโ€โœนtโœป รก รป โ‘ฃ โฉ โœฎโ‘คโœนโ—†โœฝโ˜… รป โฐโœ—โฉ โœฎโžƒโœณโ„โœฟโ‰โƒโ—โœปโ€โœฟโžˆโœตโœธโœทโœบโœนโœงโœฆโœ— รณโœฐ โซโ—†โโ——โโ€โโ‡โœนโœผโœปโ€โŠโž‡โโ——โƒ โด โœณโ„โƒโ——โœฝโนโœณโ– โœทโœบโž€โ˜›โŠโ—โœณโ– โโผโœณโ– โฏโฑโพโฉโœฝโ€โโ‡โœนโœผโœป รก รป โ‘ฃ รฅ โœฎโ–ผโœนโ—†โœฝโœฉโ˜… รป โฐโœ—โฉ โœฎโšโ™ฆโœฒโœดโœนโž‰โ˜โ‰โœนโœผโฏโ–ผโฏโฑโœน โด โœนโžฎโ™โšโ˜โ‚โˆโฉโŠโ—โœฟโ‚โœณโ„โƒโœŒโœปโœผโญ โœณโ– โŠโœบโŠโœบโ˜โ‚โœฟโฒโœตโ——โœทโ—โœนโž†โœณโ„โ˜โ‰โโ——โโ‡โœปโž†โœ‡โœฃโœฆโœ— โœณโฑโˆโฉโœฝโ€โˆโž‰โซโ—†โโ——โƒโ—โœป โœฝโ‡โโ€โœทโ—โœฟโ†โœฝโนโŠโœ โโ„โœทโœบโ โ‘ง โœนโ—†โœฝโœโƒโœบโโ——โœทโ—โœป โด โโ——โƒโœบโƒโœบโœนโฑโžŠ

รž รŸ โ‘ก โ‘ฃ โโžฅโขโกโœฒโœฑ โœฆโœ— โžญโœฐ รค โžจโœพรจ ร– โ‘ข รช รฉ รž รŸ โ‘ก โ‘ฃ โโžฅโขโกโœฒโœฑ โœบ โžฅ ร– โ‘ข รช รฉ รž รŸ โ‘ก โ‘ฃ โโžฅโขโกโœฒโœฑ โœฆโœ— รณโœฐ รค โžจโœพรจ ร– โ‘ข รช

Page 87: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโ™ฅรน โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ”โœŒโœŸโœ•โœ—โœ–โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœœโœ†โœŸโ˜›โœฃโœขโœคโœโœฅโœ„โœ”โœฆโœงโœ–โ˜…โœ–โ˜…โœ™โœ›โœโœฉโœŒโœชโœโœโ˜›โœซโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœงโœโœฉโœŒโœคโœฌโœญโœ†โœโœŒโœฏโœฎโœขโž‚โƒโ‹โœณโ„โซโผโฟโ—โพโฉโจโ„โœนโž†โœณโ– โ˜โ‚โโ„โโผโœปโทโ˜โ‚โœณ โด โˆโœผโฏโฑโโ„โƒโ—โœปโœพโœฝโ€โโผโœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโ˜›โœนโฉโƒโ‹โœณโงโจโ™ฅโœณโ– โƒโœ๏ฟฝโฉโœณโ– โƒโœธโœฝโœฆโ˜โ†•โญ โœณโ– โโ‡โกโœบโœฟโ‰โœฝโ€โโผโœณโ– โœฟโ‚โโ€โœน โด โœน โœฎโžƒโœนโฉโœฝโœโ˜โ‰โœนrโบโ‘กโœณโ„โœฟโ†โœฝโ–ฒโœตโœธโœทโœบโœน

โ˜›โœ„โœ‚ โœˆ โ รก รค รฅ รก โ† โžจ โ† โœซ รจ ร’ โžจ รป โœ รค โฐ โฅโœ†โ˜Ž รจ โœ โฐโ˜Ž รก รฒ รด โœซโœ•โœโœ–โœžโœ โœŸ โœŒโœซโœฅโœกโœ  โœŒโœ„โœ™ โœŽโ‘โœญ โœฅโœงโœญโ˜›โ˜… โœŽ โœญโ˜›โ˜… โ˜› โœŒโœ„โœ™โœœโœฃโ˜žโ˜›โœนโœŒ โ˜…โœโœŒ โ˜…โœชโœฃ

โœฒโœดโœณโฌโœตโœธโœทโœบโœนโœผโœปโœพโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโœŒโŠโœ โโ——โœปโ€โˆโฉโœน โด โœณโ– โƒโ—โœปโœโซโฉโœนโž‰โŠโ—โœณโ– โโผโœณโ– โขโ——โโ‡โœณโ„โŠโœบโฟโœบโœนrโœนโœผโœปโœพโœฝโ–ฒโ˜โชโญ โœนโฉโž€โšโœฟโฒโœปโœพโœฝโ€โœนโฉโƒโž‡โซโ—†โœน โด โญ โœทโœบโƒโ‹โˆโœผโœตโœธโœทโœบโœฟโ‚โจโ™ฅโœณโ– โ˜โ‚โœนโฉโƒโœธโœฝ โด โœทโ‹โฏโœโœŽโœผโฏโ–ผโœนโž†โœฝ โœ‰โšโŠโœ โœนโžฎโœตโœธโœทโ—โœณโ– โƒ โดโโ„โƒโ‘ โœฝโ‡โโ‡โœณโงโจโ™ฅโœณโ„โœฟโ‰โ˜โ‚โ˜โ‰โœนโ‘คโœนโฉโƒโ‘จโฟโœบโโ„โโ‡โœฟโœ’โœ‘โœผโโ„โƒ โœ•โ—โƒโ—โœฟโœฆโซโ„โญ โœนtโœป โœฝ โœค โด โœฟโ‰โโ‡โœนโ˜›โŠโœ โโ„โœทโ—โ โžจโ‘คโžฉ โ‘ โœƒ โžฆ rโœŸโ–ฒ โ™ฆโžฏโœฒโœดโœณ โโ€โˆโœผโŠโž‡โโ——โƒโ—โœปโœพโœนโ‘คโœนโœผโœปโœพโœฝโ–ผโŠโž‡โœณโ– โโ€โœฝโ€โœฟโ‚โœนโฉโ˜โ‚โ˜โ‰โœนโœผโฏโ–ผโœนโœผโƒโœธโœฝ โด โโ——โƒโœบโƒโœบโˆโฉโœนโŠโ—โœณโ– โโœqโž‚โœทโœบโƒโ—โซโœผโœณโ– โƒโœŒโœนโ—†โœฝ โ‘ฃ โถ โ™ฆ โด โœณโ– โƒโ—โœปโž…โฃ โœพ โธtโ™ ร‘โœปโ€โโ„โœทโ—โœปโนโซโฉโœนโฉโโ€โœฝโ‡โœณโ– โœฟโ‚โƒโœบโœนtโœปโนโซโ—†โโ„โƒ โด โœฟโ†โœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโ—โœปโœผโ™ฆโœบqโž‚โœณโ„โƒโ—โœปโœโซโ—†โœนโž‰โŠโž‡โœณโ– โโผโœณโ– โขโ„โโผโœณโ– โŠโ—โฟโœบโœนโœqโœธโƒโœบโโ„โœทโž‡โœปโœโœณโ– โ˜โ‚โ˜โ‰โโ——โƒโ—โœป โด โโ——โƒโœบโƒโœบโœนโฉโโœทโœบโƒโ…โˆโœผโœตโœธโœทโœบโœฟโ‚โจโ™ฅโœณโ– โ˜โ‚โœนโฉโƒโœธโœฝโฌโ˜โ‰โโ——โขโ——โœณโ– โโ‡โœฟโ‰โœฝโ€โฟโœบโฏโฑโœฟโฒโœตโ——โœทโ—โœน โด โœณโ„โƒโ—โœปโฑโœทโœบโƒโœ”โซโฉโœณ โด โโ‡โœนsโกโœ โœนโœผโœณโ„โœทโ—โซโ—†โโ——โœทโœบโŠโคโŠโœบโ˜โ‰โœทโž‡โœปโฌโ˜โ‚โœณโ„โโ€โขโ——โœนsโœตโœธโœทโœบโœนโ‹โซโฉโœนโฉโ˜โ‚โœทโœบโœฟ โด โœนPqโž‚โœทโœบโƒโ—โซโœผโœณโ– โƒโ…โœนโ—†โœฝ โ‘ฃ โถ โ™ฆโŠโœบโœทโœบโœฟโฒโœปโทโˆโฉโƒโœบโโ——โƒโ—โซโ—†โœนโœผโโ€โโ——โƒโ—โœปโžโ˜โ‚โœนโž‚โโ‡โˆโœผโœปโ€โœทโœบโ˜โ‰โœฝโ‡โœณโ– โœฝโ‘ฉโŠโœบโโ‡โœฟโ‰โƒโž‡โซโ—†โœฟโ‚โŠโ—โœณโ– โ˜ โด โœนrโ˜โ†•โญ โœณโ– โโ€โœฝโ€โœฟโฒโซโ—†โ˜โ‚โœนrโซโฉโโ„โƒโ—โซโฉโœนโฉโโ‡โƒโ—โœณโ– โƒโœธโœฝโœ˜โ˜โชโญ โˆโœผโœตโœธโœทโœบโœฟโ‚โจโงโœณโ„โ˜โ‰โœนโœผโƒโœธโœฝโทโœนโœผโƒ โด โโ——โƒโœบโƒโ—โœณโ– โƒโœธโœฝโทโ˜โ‰โœนtโœปโœ˜โขโ——โโ‡โœณโ„โƒ โด โœนโœผโœปโˆโ—†โœฝโผโœณโ– โŠโœ โœนโœผโœป โด โœนโž‰โ˜โฒโœณ โด โˆโฉโฏโฌโœณโ– โโผโซโผโฟโœบโœนโ——โ™ฆโœฏโœฑโœฐโœ”โœ“ โœฐโœตโœฒ โœ• โœผ โœณโœ—โœ–โœญโ‹โœฟโ—โœ™โœ˜โฏโœทโœทโœตโ™ฅโ„sโœผโƒโ€โœซโœตโ™ฅโœบโœ›โœšโœโœทโ˜Žโœฒโโ— โ€โœœโœ™โœฉโœ— โ—โœœโœ–โœญโ‹โ˜žโ„โž‹โž…โžŒโžŽโžโœธโžโž‡โžโ™ฅโž‘โšโž’โž”โž“โ‹โ†’โžˆโžฃโœฆโœฅ โœ‘ โžป โžžโผโžนโž…ร™โ‰โžžโ—†ร”โž‰โžŸโœ โž›โ– โž โ™ฃโžถโ– โž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸโœบร”โžฎโžท โžณ โž โฉโœ“โœบร›โผโž›โ™ฅโžฝโ€โžฑโฉโžธโฌโžžโœ๏ฟฝโ„ร— โš โž›โ– โžŸโžตโžถโ˜›รรถรท โœ‡ โ‘ข โฉโžบร’โrr โžค โ‘จ โต รž โœ  ร  โ‘ขโ——รกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค รค โžข โžคโžฅ รฅ ร’ โžจโœพรงโ‡รจโœฆรฉ โ‘ข โœก โต รฐ r รถรท โœ‡ โ‘ข โฉโ‘จร’ rr โžค โ‘จโžถ โžป โžžโผโžน รฐโœฉรปโœฎรฐ รค โ’ โžฆ ร’ โžฆ ร รจโž‰โžณ โžŸโž˜โžžโžฎโžนโผโž›โ™ฅโžŸโ—ร”โฝโž โ™ฃโžถโ– โžŸโ—โž ร•โžžโทโžฌโ—โž›โงร”โฝโžโžดโž โ†•โž โžป โžžtร—โ˜Žโนโžถโ™ฅโžฝโžฎโžนโผโž›โ– โžŸโœบร”โฉร›โผรœ โžณ โžžโฉโžŸโ—โž โœฆโž›โ™ฅโžŸโžตโžถโ‘ร™โœพรš ร›โผรœ โžณ โž โžป โžถโ™ฅร™โ‚โžžโ—†โžŸโž‡โž โ‘ฉร™โ‰โž›โœ‘โœŸโœธโžถโ™ฅโžฝโฝโžโžดโž โฉโœ“โšโžธโ–ผโžโ‘กรœ โžณ โžžโžƒร” โžณ โž โžป โžถโ™ฅโžŸโ—โž โœฆรโœขโœคโœฃ โœ  รž โœ  ร  โ‘ขโ——รกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค รค โžข โžคโžฅ รฅ ร’ โžจโœพรงโผรจโทรฉ โ‘ข โœก โœก รซรญโ™ฅรฎโž…รฏ รฅ โฐโง โœ‡ โ‘ข

โฉโžบร’โr รงr โžค โ‘จ โ™ โ™ฅ ร›โฉโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตรโœฐ รฝโโฌโœ˜โžโž‡โž โšโžŽโž“ โ—†โœ โšโœ—โœฅโ™ฃโžโœธโžโœโ—†โ‘กโž“โšรฟโœดโžโ™ฅโž“

รž โœ  ร  โ‘ขโ——รกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค รค โžข โžคโžฅ รฅ ร’ โžจโœพรงโผรจโทรฉ โ‘ข โœก รฉ ร  โ‘ขโ——รกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค โœฆ รž โ„ รค โžข โžคโžฅรฆรฅ ร’ โžจโœพรงโผรจโทรฉ โ‘ข โ…โ˜žโœง รฉ ร  โ‘ขโ——รกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค รถรท โœ‡ โ‘ข โฉโž”ร’ โžจ รงโžจ โžค โ‘จโœฒโœดโœณโžƒโบโปโโ„โƒโž‡โซโฝโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโœฉโ˜… โ™ฆ โžจ โ‘ฃ โžจ รณ โžค รค โ‘ข โฉโžบร’ โžจ รง รจ โœปโ€โœน โด โˆโฉโโ‡โœฟโ‰โจโ——โœนrโœนโœผโƒโœชโ˜… โœ โ™ฆ โžจ โ‘ฃ โžจ รณ โžค โžญ รฒ รค ร’ โžจ รง รค โ’ รฅ ร รจโžŽรฅ โ‘ข โžค รจ โœตโœธโœทโœบโœฟโœดโœปโœผโญ โœณโ„โƒโœบโƒโšโœทโœบโ˜โ‚โœนโœนโฉโƒโœฌโœซโžจ รป โ˜› รญ โœšโœญ รฑ รง รณ โžค รต โ˜ž โœธโœณ โ˜… โœนโœผโœปโœพโœฝ โด โโ——โƒโ—โซ โด โˆโœผโซโฉโโ€โโ——โœฟโ‚โœปโ‡โœปโ‡โœณโ– โƒโœธโœฝโ€โœนโž†โœปโœพโœทโ—โ โ‘ โœƒ โžฆ โœซโžจ โ–ฒ โœนโฉโœฝโž‚โซโ—†โโ——โฏโฑโฏโ–ผโœนโœฎโœซโžจ โ‘ฃรญโ™ฅรฎโž…รฏ โ‘ฅ qโœบโŠโœ โโ„โœทโ—โ โ‘ข โœปโ€โœทโœฃโ†โ‘โœปโ€โœณโ„โฏโ–ผโฏโฑโœนโœผโƒโ——โœฝโขโ„โโผโœณโ– โƒ โด โŠโž‡โโ——โœทโœบโโœโœตโœธโœทโœบโœน โœซโžจ ร– r qโœฏโ˜…Pโœนโœผโœปโœพโœฝ โด โโ„โƒโ—โซ โด โˆtโซโ—†โโ‡โโ„โœฟโฒโœปโ€โœปโ‡โœณโ– โƒโœธโœฝโ‡โœนrโœปโ€โœทโœบโ โ‘ โœƒ โžฆ rโœŸโ–ฒ โœนโฉโœฝ โด โโ„โƒโž‡โซโžƒโžŠ

ร  โ‘ขโ——รกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค รถรท โœ‡ โ‘ข โฉโžบร’ โžจ รงโžจ โžค โ‘จ รฉ ร  โ‘ขโ——รกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค รถรท โœ‡ โ‘ข โฉโž”ร’ r รงr โžค โ‘จโœฐ รฝโโฌโœ˜โžโž‡โž โšโžŽโž“ โ›tรฟsโ–ผโ‘ฉโžโ——โžโœโ—†โ†•โž“โœธรฟร‘โžโ™ฅโž“ โœขโž‚โƒโœŒโจโ™ฅโœณโžƒโบโ‘กโœณโ– โœฟโ‚โโ€โœนโž‰โœณโ– โŠโ—โŠโž‡โœนโœผโ˜โœดโœณโ– โœทsโ˜โ‰โœนโœผโฏโฑโฏโ–ผโœนโž…โœปโ€โœทโœบโœฟโ‚โจโ™ฅโœณโ– โƒโœธโœฝโž‰โžŠโœฐ โž“โšโž’โž”โž’โž”โž“sโ†’โžˆโžฃโœฑโœฐ โž™โž˜โž›โ™ฅโžโžดโž โœฆโžก โœบ โžฅ โ™ฆ โžจโž‚โžฉ โ‘ โœƒ โžฆ rโœŽโ–ฒ โžฒsโžณ โžŸโ‘โžฌโž˜โžฝโ€โž›tโžนโ‡โžžโ—†ร”โผร” โžณ ร” โ–ผโนโžถ โžณ ร”โผร”โผโžโ‘กโžžโฉโžŸโœซโ–โ‘คโž โ†•โžฝโ‡โžถ Pโฉโžžโผโžนโ—†โž ร•โž›โ™ฅโžโžดโžฝโ‡โžžโฝร”โ–ผโžนโผโž›โ– โžŸโ—โž โชโžโžดโžŸ โžณ โžžโ—†ร”โž…ร” โžณ โžฝ โ‘ โœƒ โžฆ rโœŽโ–ฒ ร—ร˜ โžŸโณร” โžณ โžฌโ——โžฌโœบโž›โ™ฅร”โ—†โžžโฌร™โ‰โžถPโžนโผโž›โ™ฅโžŸโž˜โžทโ™ฅโžโžดโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸ โœ‚ โซโ‹รš โœ„โž‰โžฌโ—โžถโœžโœŸโœธโžžโœฉโœฒ โš ร”โฉโžถโ™ฅโž โชโžโฒร”โปโžชโ—†โžถโ™ฅโžโžดโž ร•โžžโœผร— โจ ร™โœ˜โžž ร“ โžโฒร”โฝโž โ™ฃโžžโฌโžถโ– ร™โ‰โž›โ™ฅโžฝโผร” โžณ โžŸโœ โžžโฌโžนโผโž›โ™ฅโžŸโ—ร”โฝโž โ™ฃโžถโ– โžŸโ—โž ร•โžž รฐโœžรป รฐ รค โด โžฆโœžโœณโžฏโžฆ r รจโž โ™ฃโžžโฉร™โžดร™โ‰โžžโ–ผรœ โžณ โžžโ—†รโž˜โžฌโ—โž› โžณ โžฝโž‰โž ร•โž› โžณ โž  โœ˜โœตโœด โ‘ โœƒ โžฆ rโœŸโ–ฒโทโžžโ—†โž โ‘ฉโž โ™ฃโž› โžณ โž  โ‘ข ร–โคโœƒโณโž›โ– โžŸโณโžถโ™ฅโžโžดโž โœร

รž รŸ ร  โ‘ขโ——รกโžฅโขโก โœ• โœบ โžฅ รฉ โ‘ข รช โต รฐ โœ r โœ โ‘ข โœธโœถ โœ รถรท โœ‡ โ‘ขโœท รคโœ™โœ˜ รจ โ‘จโžถ โžป โžžโผโžน โœท รคโœ›โœ˜ รจ รปโœนโœธ ร  โ‘ขโœธรกโžฅโขโก โœ• t โ‘ โœบ โ™ โžฅ โ–ฒ ร—

Page 88: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ“โœ’ ๏ฟฝโ˜…โœ’ โœ‚ โœ„โœโœโ—†โœž โœ„โœฝโœŒโœŽโ˜›โœงโœโœ‚โœโ—†โœโœ‚โœ† โ˜› โœโœ‚โœ† โœ„ โœ„โœฝโœŒโœŽโœ โœ‚โœโœฅโœ„โœโœ†โ˜Žโœ„โœงโœ โโœ†โœคโœ  โœโ——โœโ™ฅ ร›โฉโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตโžท โžณ ร™โ‰โžžโฉโžธโžƒโžธโฌโžžโ–ผรโœขโž‚โƒโ˜›โบโ‘กโœณโ„โœฟโ†โœฝโž‚โโ€โˆโฉโบโปโˆโฉโโ‡โœนโฉโƒโ—โซโฉโœนโž†โœณโ„โœทโ˜›โœฝโ‡โฟโœบโˆโฉโโ——โโ€โพโœผโฏโฑโœนโœฟ๏ฟฝโœบโ™ฆโ‚รบrโŠโž‡โœณโ– โขโ„โœนโฑรบโ——รบโœปr โด โœนโž‰โโžโœฟโ‰โœฝโ€โœนโœผโโ€โกโ—โœณโ„โโ€โขโœŒโฃโ‚รบโ„รบโ——รบโผโ™ ร‘โœณโงโจโ„โœนtโซโž‚โ˜โฒโœณโฌโซโ—†โโ——โƒ โด โœฟโ‰โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโœถโœ‡โœ™โœš โ‘ง โœณโ– โœทโœŒโ˜โ‰โœฟโ‚โœนโฉโœท โด โœนโœ‡โœ™โœšโž‰โญ โ‘ง โ™ฆโ——โโžฏโโ„โœทโœบโโžšโ˜โฒโœณ โœญ โœทโ—โœปโœพโœฝโ€โœฟโœ–โœ•โž‡โซโฉโœณโ– โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒ โด โœนโœโซโ—†โœนโนโโ‡โœนโฉโฏโฑโŠโœบโ˜โฒโœณโ„โซโฉโœนโฉโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝ qโ– โโ„โƒโฑโœปโœพโœนโนโโ‡โˆโ—†โบโปโพโœผโโ€โœนโนโœนโœผโƒโ—โซโ—†โโ——โโ€โœนโœฆโœณโ– โœทโœบโž€โžƒโโ‡โœนโฉโฏโฌโœณโ– โโผโœตโœธโœทโœบโœนโœผโœป โด โœนtโœปโžšโŠโ—โœณโ– โขโ——โœนโœผโœปโœโธโ„รนโœโ™ฃโ˜…qโธโ– รน ๏ฟฝโžฎโœนโฉโœฝโœฟโธโ– รนโœr โด โœนโž‰โ˜โชโญ โœณโ„โโœพโœฝโ‡โœฟโ‚โซโฉโ˜โ‰โœน โด โœนโž‰โโžโœฟโ‰โœฝโ€โœนโœผโโ€โกโž‡โœณโ– โโ‡โขโฑโตโ–ฒโ›โ—โœปโ‡โœปโœพโ˜โ‚โœนโฉโโž‰โฃโฅโœโงโฆโ™ฅโ™ โ™ฃโ™ฆ

tโ™ฅ ร›โฉโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตรโโœโโ——โœทโ—โœปโนโœณโงโจโ„โโ——โƒโ—โœป โด โˆ โœญ โœคโ–ผโฏโฑโโ„โƒโœธโœฝโ€โโ‡โˆโž‰โœตโœธโœทโœบโœนโž†โ˜โ†•โญ โโ„โƒโ‹โœณsโžŠ

รž โœ  ร  โ‘ขโ——รกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค รค โžข โžคโžฅรฆรฅ ร’ โžจโœพรงโผรจโทรฉ โ‘ข โœก รป รž โœ  ร  โ‘ขโ——รกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค โžขโžฎโžคโžฅโ‘ข โฉโžบร’ โžจ รง รฉ โฐ โœกโโœโโ——โœทโ—โœปโœโœณโงโจโ„โโ——โƒโ—โœป โด โˆ โœญ โœคโฑโˆโœผโจโ„โโœˆโœตโœธโœทโœบโˆโž‰โŠโ—โœณโ„โขโ„โœนโžฎโœโšรบโž…โœตโœธโœทโœบโœนโž‰โ˜โ‚โœนโž‰โŠโœบโโ‡โโšโซโฉโœนโœผโœปโ‡โœปโœพโœทโž‡โœป โด รง โœปโ‡โœณโ™ฅโœฝโ€โœฟโฒโœปโœพโบโ‘กโœณโ– โœฟโ‰โœฝโœโ˜โ‚โœณโฌโซโฉโโ„โƒ โด โœฟโ‰โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโ‘ โœ‡โœ›โœšโž‰โญ โ‘ง โœณโงโจโ„โœนโœผโซ โœณ รป โง โ’ โœฟโ‰โ˜โœนโฉโƒsโœนโœผโœปโœพโœฝ โด โœนโž‰โฏโœโœŽโฉโฏโฑโœน โด โœทโœŒโŠโœบโโ‡โโšโซโฉโœนโœผโœปโ‡โœปโœพโœทโž‡โœป

โœญ โด รง โ‚ รญโžฅ รป โžขโžฎโžคโžฅโ‘ข โฉโžบร’ โžจ รง โ™ฆ โžจโทโžฉ โ‘ โœƒ โžฆ rโœŽโ–ฒ โœฎโ™ฆโžโƒโ‹โซโ—†โโ——โŠโœบโœฟโ‚โœณโ„โƒโœธโœฝโœฆโ˜โฒโœณ โด โˆโœผโฏโ–ผโโ——โƒโ—โœปโœพโœฝโ€โโผโœณโ™ฅโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒ โด โœนโž‰โโžโœฟโ‰โœฝโ€โœนโœผโโ€โกโž‡โœณโ– โโ‡โขโ–ผโœนโฉโœฝโ–ฒโตโœโ›โ—โœปโ‡โœปโ€โ˜โ‰โœนโœผโโœปqโœˆโโ——โƒโœŒโœณ โด โโ——โƒโ—โซโž†โ˜โ‚โœนโž‰โโ€โˆtโœปโœพโœทโœบโ˜โ‰โœฝโ‡โœณโ– โœฝโœโœณโงโจโ„โœนโœผโซ โœ˜ รป โ‘ โœƒ โžฆ rโœŸโ–ฒ โ™ฆโœˆโœฒโœดโœณโจโ™ฅโœณโ– โโ‡โœฟโ‚โœณโ„โƒโ—โซโ—†โœน โด โœน โด รง โ‚ รญ โƒโžˆโญ โœนโœผโœปโœพโœฝโžฎโœณโ– โœทโœˆโœฝโ‡โโ€โœนโฌโœตโœธโœทโœบโœน รฒโœ† โˆโ—†โœฝโ€โœท โด โœฟโ‰โˆโœผโœนโ‘โœณโ– โœทโžตโŠโ—โœณโ– โโผโœณโ– โขโ——โโ‡โœณโ„โŠโœบโฟโœบโœนโžƒโŠโœบโโ€โˆtโซโ—†โˆ โด โœนโฉโƒโœธโœฝโž‰โœนโ—†โœฝโžฎโœตโœธโœทโœบโœฟโžšโœนtโœป โœฝโžฎโซโฉโโ€โโ——โœฟโ‚โœปโ‡โœปโ€โœณโ„โƒโœธโœฝโ€โœนโžƒโœปโ€โœทโœบโโ‘ โœƒ โžฆ rโœŽโ–ฒ โŠโœ โโ„โœทโœบโ โ‘ข โœปโ€โœทโœฃโ†โ‘โœปโ‡โœณโ– โฏโฑโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโœโขโ„โโผโœณโ– โƒ โด โ™ฆโ‡โœขโž‚โƒโœŒโœณ โด โโ——โƒโ—โซrโ˜โ‰โœนโž†โโ‡โˆโœผโœปโ€โœทโœบโ˜โ†โœฝโผโœณโ™ฅโœฝtโ™ฆโœฐโœžโœ โžโœธรพโžœรฟโœœโ—†โœ โœŸโœบรฝ โœขโ‘กโž“โœโšโœปโ– qโ–ฒโˆtโซโ—†โโ„โœทโ—โ˜โ‰โœนโž‰โƒโ—โœณโ– โœฝโ€โœทโœบโโ‡โœนโฉโ˜โ‚โ˜โ‚โœนโฉโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝ โด โœนโž‰โ˜โชโญ โˆtโœตโ——โœทโ—โœฟโ‰โจโ™ฅโœณโ– โ˜โ‚โœนโฉโƒโœธโœฝ โด โœน รถรทโž‚โ™ฆ

tโœฏโœฑโœฐโœ”โœ“ โœฐโœฑโœฐ โœ• โœผ โœณโœ—โœ–โœญโ‹โœฟโ—โœ™โœ˜โฏโœทโœทโœตโ™ฅโ„sโœผโƒโ€

qโ–ฒโœทโœบโƒโž‡โซโฉโœณโ– โƒโ‹โœนโฉโœฝ โ‘ฃ โถ โ™ฆโ—โโ„โƒโœธโœฝโ–ฒโฏโฑโโ„โƒโœธโœฝโ€โโ‡โˆ โด โœณโ„โƒโ—โœปโž…โฃโœฟโœพโโธtโ™ โžŽโ˜โ‰โœนโžฎโโ€โˆtโœปโœพโœทโœบโ˜โ‰โœฝโ‡โœณโ– โœฝโž‚โœปโ€โœทโœบโœฟโ‰โจโ™ฅโœณโ„โƒโ——โœฝโž‚โŠโž‡โโ——โœทโœบโโœโœทโœบโƒPโฏโฑโโ——โœทโœบโจโ„โœนโœผโฏโ–ผโœนโœผโƒโœธโœฝโ–ฒโถโ‘ฉโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‚โœนโฉโƒsโบโปโโผโœณโ„โซโฝโžโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโœบโƒโž‡โœณโ– โœฟโ‚โโ€โœนโž†โœณโงโจโ„โœนtโซ โด โˆโœผโโ€โœฟโ‚โจโ„โœนโž†โ˜โ‚โœฟโ‰โƒโ—โˆโœผโœณโ– โœฟโ‚โโ‡โœนโ–ผโžŠโž‹โž…โžŒโžŽโžโœธโžโž‡โžโ™ฅโž‘โšโž’โž”โž“โ‹โ†’โžˆโžฃโœฑโœฐ โ˜Žโนโž› โžณ โžฝ รฒโ™  โโ…โ’โœ„โโœšโฐsโž›โ– โžŸโณโžถโ˜›รรž โœ  ร  โ‘ขโœธรกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโ˜…โค รค โžข โžคโžฅ รฅ ร’ โžจโœพรจโนรฉ โ‘ข โœก รป รถรท โœ‡ โ‘ข โฉโžบร’ rr โžค โ‘จ รค โฐโœ—โฉ โฌรญโงรฎโžฎรฏ รค โฐ รจโœพรจ

โ™ฅ ร›โฉโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตรโœต โโ„โฏโฑโฏโฑโœนโž†โƒโœบโโ„โœทโ—โœปโœฆโ˜โชโญ โœณโงโจโ„โโ„โƒโž‡โœป โด โˆ โœญ โœคโ–ผโโ€โœนโœผโฏโฌโœณโ– โโผโœตโ——โœทโ—โˆโœqโœˆโโ„โƒโœŒโœณsโžŠรž โœ  ร  โ‘ขโ——รกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โ‘งโŠโค รค โžข โžคโžฅ รฅ ร’ โžจโœพรจโทรฉ โ‘ข โœก รป รž โœ  ร  โ‘ขโœธรกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚โ˜›โœก โ˜ž โค โด รฒโžฅ รฉ โ‘ข รฒโฝรณ โžค โœก

โœฒโžˆโœนโœŒโœฝโ‡โฟโœบโˆโฉโโ——โโ€โพโœผโฏโ–ผโœนโ‹โโ‡โœนโฉโŠโœ โโ——โœปโ€โœนPโœปโ€โœทโœบโ โด โœนtโœปโฑโœฝโ€โœนtโซโผโฟโœบโƒโœบโœฟโฒโœตโ——โœทโ—โœนโœผโœปโœโœŒ โœคโœถโ˜โฒโœณโœถโโžโœฟโ†โœฝโ‡โœนโฉโโ‡โกโ—โœณโ– โโ‡โขโœโœŽโœŒโœนโ—†โœฝโ˜›โƒโ—โโ– โœฝโ‡โœณโ„โฏโฑโฏโ–ผโœนโœผโƒโœธโœฝโ‘คโœปโœพโœทโ—โโ‘โ˜โ‰โœนtโœปโฑโœฝโ€โโ‡โโ„โœฟโฒโœปโฌโ˜โ‚โœนโฉโฏโฑโฏโฑโœนโœผโœปโœปโœพโœทโ—โœฟโ‰โจโ™ฅโœณโ– โƒโœธโœฝโผโœปโž†โžŠโœฐ โž“โšโž’โž”โž’โž”โž“sโ†’โžˆโžฃโฒโ†’ โณ โœฐ โž โœ†โ„รฝโ˜›โœขโœ โ—†โฑโ›tรฝโ‚โ–โœฆโ—†โ†•โžโฒโšโœ’โœ‘โƒโซโœฑโœฐโœœโ– โ‚โตโƒโ–ผโžŽโžโ™ฅโžโโ–ผโ‘ฉโžโฒโ›โญโ—†โฉโ–โญโ—†โ‘กโž โšโœฎโ†” โ–ผโžฏรฝโกโชโž‡โž“โโข โœž โข โฃ โ˜Žโนโž› โžณ โžฝโ‹โž โ™ฃโž› โžณ โž  โœœ รป โ‘ข รณโœšโœ™ โœธ โžถ โžป โžžโผโžนPโฐโ‘จโรก รฒ โโœ”โœ“โณโž›โ™ฅโžŸโžตโžถโ˜›รรž โœ  ร  โ‘ขโ——รกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚โ˜›โœกโ˜ž โค โด รฒโžฅโž…รฉ โ‘ขโžˆรฒโฝรณ โžค โœก รป รž โœ  ร  โ‘ขโœธรก

โœก โ˜ž รณโœ–โœ•โœ˜โœ— โœพ โœ— โœก โ˜ž โด รฒโœพ รฉ โ‘ขโžˆรฒโผรณ โžค โœก รค โฐโœ—โฉ โฌรญโงรฎโžฎรฏ รค โฐ รจโœพรจ

Page 89: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฆ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ”โœŒโœŸโœ•โœ—โœ–โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœœโœ†โœŸโ˜›โœฃโœขโœคโœโœฅโœ„โœ”โœฆโœงโœ–โ˜…โœ–โ˜…โœ™โœ›โœโœฉโœŒโœชโœโœโ˜›โœซโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœงโœโœฉโœŒโœคโœฌโœญโœ†โœโœŒโœฏโœฎโœฐ โž“โšโž’โž”โž’โž”โž“sโ†’โžˆโžฃโœ๏ฟฝ โณโœ„โœ‚โ‘คโšโดโ–ผร‘โžโ™ฅโžโœโœ†โ——โž“โœโ›โœฆโ›tรฟโ‘โ› โ›โœฆโ–โœผรฝโ‚โ–โญโ—†โ‘กโž โšโ‘โšโžŽรฝโกโ—†โปโžโ™ฅโž“Pรฝโ—รฟโœ†โ˜Ž โ—†โœŒโœขโฑโ—†โ‘กรฝโโ—†โปโžโ™ฅโž“ โœ‘โœฝโซ โœฐ โ– โœโตโœฑโ–ผโžŽโžโ™ฅโžโโ–ผโœ˜โž โ›โญโ—†โฉโ–โœฆโ—†โ†•โžโฒโš โ– โ‘ โ–ผโžŽรฝโโชโž‡โž“โ‘ โข โœฅโœžโœ โฃ ร˜ โžŸโžนโผโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโžโ‘กโžทโ——โžฑโ—†โžฝโ€โžž โœช โžโžดโžŸโ—โž โชโžฝโ€โž›tโžท โžณ โžโžดโž โžˆโžฌโœบโžถโœฆโœŸโ——โžž โœฒโœ โœŸsโžถ โžป โžžโผโžนโ–ฒโœƒโ–ผโ โ˜… โ โง โ’โ‘จร— ร˜ โžŸPโžโžดโžŸโž‡โž โ†•โžฝโ‡โž›โœผโžท โžณ โžโžดโž โ‘ฉร™โ‰โžžโนโžฌโœ โžฝโ‡โž›โœผโžนโผโžžโ—†ร”โ‡ร” โžณ ร”rร” โžณ โž โžป โžถโ– โžŸโ—โž โนรโœก โœ— รญโœพ รป โœฆ โ‘ง รญ โœง โžคโ„ โฐโœ—โฉโž”ร’ โœฆ โ‘ง รญ โœง โ… โ„ โฐโœ—โฉ โœฆ โ‘ง รญ รฅ ร  โœง โ… โœช โœพ โ™ฆ ร  โžฉ โ‘ โœƒ โžฆ r โ‘ข โ–ฒโ˜žโ˜›โœ‘ ร™โ‰โž›โ™ฅโžฝโผร”โผรโž˜โžฌโ—โž› โžณ โžฝโž‰โž ร•โž› โžณ โž  โœœ รป โ‘ข รณ โœ™ โ„ โžถ โžป โžžโ‡โžน รก โ™  ร– โ™  โœŒ โž›โ™ฅโžŸโžตโžถโ‘คร

รž โœ  ร  โ‘ขโœธรกโžฅโขโกโœดโฃ รฃ โ‚ โœก โ˜ž โค โœ— รญโžฅรฆรฉ โ‘ขโžœรฒโฝรณ โžค โœก รป รถรท โœ‡ โ‘ข โฉโž”ร’ rr โžค โ‘จ รค โฐโœญโฉ โฌรญโ™ฅรฎโž…รฏ รค โฐ รจโœพรจโœฐ โž“โšโž’โž”โž’โž”โž“sโ†’โžˆโžฃ โ โณ โœ‚โžƒโžโž‡โž’โ‡โ–ผโžŽรฝโœˆโžโ™ฅรฝโกโ—†โœ โ›โœผโž โšโœœโ˜Žร‘โž“โœโ› โ–ผโžŽโžโงโž โœ†โ„โž“โœโ›โœฆโ›tรฟโœœโ› โœ‘โƒโซ โœฐ โ– โœโตโœ†โ–ผร‘โžโ™ฅโžโฒโ–ผโœ˜โžโฒโ›โญโ—†โฉโ–โญโ—†โ‘กโž โšโœœโœž โ–ผโžฏรฝโกโชโœ โž“ โข โœฅร‘โ†”โ‘ โฃ โ˜Žโนโž› โžณ โžฝโžโž ร•โž› โžณ โž  โœœ รปโ‘ข รณ โœ™โœŽโœ โžถ โžป โžžโผโžน รก โœ“ ร– โ™  โžคโ™  โžค รณ โœŒ โž›โ– โžŸโณโžถsร

รž โœ  ร  โ‘ขโ——รกโœก โ˜ž รณ โœ• โœ— โœพ โœ— โœก โ˜ž โด รฒโœพ รฉ โ‘ข รฒโฝรณ โžค โœก รฉ รž โœ  ร  โ‘ขโœธรก

โœก โ˜ž รณโœ–โœ•โœ˜โœ— โœพ โœ— โœก โ˜ž โœ— รญโœพ รฉ โ‘ข รฒโฝรณ โžค โœกโœฒโžˆโœนโž†โœฝโ€โฟโ—โˆโฉโโ„โโ‡โพโฉโฏโฑโœนโž‰โœนtโœป โœฝโ–ฒโœณโ„โ˜โ‰โโ——โโ‡โœป โด โˆโœผโฏโ–ผโโ——โƒโœธโœฝโ€โโ‡โˆโž‰โœนโฉโƒโœŒโŠโœบโโ‡โœนโฉโƒโ—โœณโ„โƒโ——โœฝ รก รฒ q รก โ™  โœนโ—†โœฝ รก โœ“โž†โˆโฉโขโ——โœณโ„โœทโœˆโž€ โœค รก โœนโฉโœฝโœฉโ˜…โ–ผโœปโ‡โœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‚โœปโœพโบโ‘กโœณโ– โœฟโฒโœปโ‡โœณโ– โƒโœธโœฝ โด โโ„โƒโ—โซโž†โ˜โ‚โœนโœผโœปโœฟโ‰โƒโ—โˆโฉโขโ——โœณโ„โ˜โ‰โœฟโ‰โœฝโ€โˆtโœป โด โœนโœผโœปโนโ˜โ‚โœนโฉโฏโฑโฏโฑโœนโœผโœปโนโซโ„โญ โœนtโœป โœฝโˆโœค โด โœฟโ‚โโ‡โœนโ–ผโžŠโฐโž†โ รก โโœ”โœ“ รก ร– รก โง รก ร– โง โ’โง โ’ รฅ โ˜… โœƒโฑโ โ˜… โ โง โ’ โœ‡โ†•รนโœบโ™ฆโนโธ ๏ฟฝ โ‘ง

โโžฏโโ„โœทโœบโโœโซโฉโœนโž‚โบโ‘กโœณโ„โœฟโ‰โโ‡โœนโœqโœบqโž‚โœทโœบโƒโ—โซโœผโœณโ– โƒโœŒโœนโ—†โœฝ โ‘ฃ โถ โœ โŠโœบโโ€โโ——โŠโž‡โโœธโœปโœพโœนโœผโƒโœธโœฝโœปqโšโŠโž‡โโ——โœทโœบโ รฒโ™  โโคโ’โฎโโœšโฐ โ˜โ‚โœน โœญ โœนโœผโœท โด โœนโž‰โŠโ—โœณโ– โโผโœณโ– โฏโฑโพโฉโœฝโ€โโ‡โœนโœผโœปrโžŠโ˜… รป โฐโœ—โฉ โง โ’โœ“ รก รป โœ“ รค โœ“โœคโฉ โง โ’ รจโง รค โฐโœ—โฉโœฌโฐโœผโ’ รจ

tรผ โž“โšโž’โž”รฝโœˆโžโ™ฅรพโžœรฟโžŽโž“โ‹โ†’โžˆโžฃโโ–  ร˜ โžŸโžตโžฌโ—โžž โžณ โž โฑโžžโ—†โžŸโณโžชโ—†โžถโ™ฅโžโžดโž  โžป โž›โ– โžโžดโžฝ รœ โžณ โžžPร™โœพรš โœ“โ—โโ‡โžฌโ—โž›โ™ฅโž โฉโœ“โœบโžฑโ—†ร”โฉโžž รฒโ™  โ โ’โœ–โ โฐโ‘จโžžโ—†ร”โฝโž โžฎโžŸโœ ร›โผโžนโผโžžโ—†ร”โ‡ร”โฉโžถโ– โžโžดโžฝโ€โžžโ–ผโžฌ โžณ โžโฒร”โ—†รœ โžณ รš โžžโฉร™โžดร™โ‰โžžโžทโ„ร›โผโžนโผโž› โžณ ร™โ‰โžžโ–ผโžทโ„โžžโ—†ร”โž‰โžโžดโžŸโœ ร›โ‘ฆโœŸโœธโžถโ™ฅร™โฅโžโžดโž ร•ร›โฝร” โœ‡โ‘กรนโ—โ™ฆ โธโœ๏ฟฝ โ‘ง ร—โœ‘โœโทโžŸโœถโžžโœ“โœ’โž‚โžžโ—†โž โ†•รโ‘ฉโž›โ™ฅโžŸโณโžถsรโฐโž†โ รก โโœ”โœ“ โœˆ โžจ โง โ รก โ˜… โ โง โ’ โ˜… รฅ โง โ’โฐโž‰โ รก โ โœ“ โœˆ โžจ โฐโž†โโคโ’ โ˜… รฅ โ’โฐโœฉโฉโ‘จโ’โ’ โ รก โ โœ“โœ“โ——โ’โฎร–โœฎโฐโœ—โฉโžบโ’

โžžโ—†โž โœฆโžทโ„โž›โ– โžŸโœ โžนrโ’โœžร– รฒโ™  ร—

Page 90: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœ โœ†โ˜›โœกโœŒโ˜ž โœ โœŽโœ‘โœโœ’โœโœ”โœ“โœ•โœ†โ˜›โœ

โœ– โœ—โœ™โœ˜โœ›โœšโœขโœœโœคโœฃโœฆโœฅโ˜…โœงโœฉโœฃ โœฃโœชโœœ โœซโœฌโœ˜โœ›โœงโœฉโœญโœฎโœฅโœฏโœœโœฐโœ˜โœ›โœฅโœฒโœฑโ˜…โœ˜โœณโœœโœตโœด โœถ โœทโœธโœฑโ˜…โœฅ

โœœโœคโœฃโœบโœน โœปโœฌโœš โœผโœฝโœญโœพโœงโœฉโœฟโœฎโœผ

โœโฆr

Page 91: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux
Page 92: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœ โœโœ’โœŽ โœ† โœ“โœ”โœ โœ โœ‚

โœ„ โœปโœ†โ˜Žโœคโœญโœฎโœป โœญโœ‚โœš โœถโ˜…โœฑ โœœโœตโœฃโœบโœน โœปโœฌโœš โœ โœญโœพโœงโœฉโœฟโœฎโœผ โœถโ˜…โœฑ

โœญโœฎโœฑโœŸโœžโœฏโœฃโœบโœน โœฃโœฆโœฅโœฏโœœ โœ  โ˜Žโœคโœญโ˜›โœก โœฅโ˜…โœ˜โœฝโœฃโœบโœฅ โ˜žโœŒโ˜Žโœฐโœฟโœฎโœง โœœโœฐโœ˜โœฝโœญโœฎโœฅโ˜…โœฅโ˜…โœฟโœฎโœ˜โœโ˜Žโœคโœฃ

qโž‚โœณโ„โƒโ—โœปโนโซโ—†โœนโž‰โซโผโฟโ—โœณโ„โŠโœบโœฟโ†โœฝโ‡โโ€โœน qโœˆโƒโœบโโ„โœทโž‡โœปโœฆโƒโœบโโ„โœทโ—โœปโทโœฟโ‚โƒโœธโœฝโ€โˆโฉโโ‡โœนโœผโœปโ‡โœปโ€โโ„โƒโ—โœปโœโœคโ–ผโ˜โ†•โญ โœนโ—†โž€โœˆโœฟโฒโœป โœฝโ‡โœนโฉโƒโ—โซโฉโœน โด โญ โœทโ—โƒโœบโœนโž†โจโ„โœนโฉโโผโœปโ€โœฟโ‰โโ——โƒโ‘คโซโ—†โโ——โƒโœธโœฝโ€โœฟโ‚โƒโœธโœทโ—โœน โด โœทโ˜›โœฝโ‡โœนโฉโฏโฑโŠโ—โœปโนโ˜โ‚โโœˆโซโฉโœณโ– โ˜รค โžจโฝโžฆ โ รจ โ‘ฃ โœขโœโœŽ รค โžจโฝโžฆ โ รจ โด โˆโœžโœ•โ—โƒโœบโœฟโž˜โซโ—†โโ„โฏโฑโฏโฑโœน โด โœนโœผโƒโ—โœปโ€โœฟโ†โœฝโ‡โˆ โด โœทโฌโœฝโ‡โœนโฉโฏโฑโŠโ—โœป โด โญ โโšโซโœผโซโ—†โœทโœบโŠโž‡โœณโ™ฅโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒ โด โญ โœทโœบโƒโ˜›โŠโœบโโ€โโœˆโซโฉโœนโœผโœปโ‡โœปโœพโœทโ—โœปโ‘ฉโž„โž†โœณโ– โœทโ—โœปโ‡โœปโœพโœฟโ‚โœนโฉโƒ โœบ โด โœณโ– โƒโ—โœปโ˜โ†•โญ โˆโ—†โœฝโผโœณโ™ฅโœฝPโ โœปโœพโœทโ—โโ˜›โ˜โฒโœณโœถโŠโž‡โˆโœผโโ€โœฟโ‚โ โด โœน โ‘ โœƒ โžฆโ€โžจ โ–ฒ โ™ฆโทโœฒโžโญ โโ„โก โœญ โœนtโซโฝโœฝโ€โœฟโ‰โบโž‰โœนโœผโœปโœพโœฝ โด โญ โœณโ– โŠโœบโŠโ—โ˜โ‰โœฟโฒโœตโœธโœทโœบโœนโฉโsโซโ—†โœนPโโ‡โˆโœผโœปโ€โœทโœบโ˜โ‰โœฝโ‡โœณโ™ฅโœฝsโœณโ– โœทโœ”โฏโฑโโ„โœทโœบโจโ——โœนโฉโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโ˜›โถโทโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‰โœนโœผโƒโบโปโโ‡โœณโ——โซโฝโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœบโƒโ—โœณโ– โœฟโ‚โโ‡โœนโ„โ™ฆโœˆโœฒโžˆโœนโž†โโ‡โˆโœผโœปโ€โœทโœบโ˜โ†โœฝโผโœณโ™ฅโœฝโœโซโ—†โœนโœผโƒโœธโœฝโ€โโผโœณโ– โ˜โžœโœนโœผโœปโœพโœฝโนโ˜โ‰โœนโž…โœปโ€โœทโœบโœฟโ‚โจโ™ฅโœณโ– โƒโœธโœฝโž‰โžŠโž‹โž…โžŒโžŽโžโœธโžโž‡โžโ™ฅโž‘โšโž’โž”โž“ ๏ฟฝโžœโžฃโ†•โ†”โœฎโž™โžœโž›โ™ฅโžโžดโž โฌโžกโงโžข โžคโžฅ โžฆโœŒโžจโž”โžฉโ˜…โžซ โžญ โžฒโœ”โžณ โžŸ โžธโฑโž› โžณโœˆโžป โžžโฉโžธโฌโžžโ—†โžŸโž‡โž โžƒโžผโนโžฝโ€โž›โ– โžพโžšโžŸโ—โžโ‘กโžžโฉโžŸโžบโžชโผโžฝโ€โžถโ——โžนโ—†โž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโž‡โžŸโœ โžถโ™ฅโžโžดโžฝโ‡โžžโž”โžทโ„โžžโœŒโžฌโœบโžถโ– โžฝโ€โžถโ™ฅโžธโฌโžฑโ—†โž โชโžฝโ€โžžโœƒโ–ผโโคโ’โฎโโœฎโฐโšร—

โž โžขโžƒโžคโœ’โžถโ——โžทโ™ฅโžธโฌโžžโ—†โž  โžณ โžŸPโž ร•โžžโ—†โžธโ–ฒโžฌโž‡ร”โž‰ร™โ‰โž›tโžนโผโžถโ™ฅร™รค โžจโฝโžฆ โ รจ โ‘ฃ โœข โžค รค โžจโฝโžฆ โ รจ

โž รค โžจโฝโžฆ โ รจ โ‘ฃ โœข โžค รค โžจโฝโžฆ โ รจ โžžโฝร”โฝโž  โžณ โžŸโœ โžžโžฎโžถโผโžฌโ„โžฌโž˜ร™โฅโžโ‘กโžนโผโžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโž”โžนโผโž›โ™ฅโžŸโ—โž โชโžโžดโžŸ โžณ โžž รž โœกโ‚โžฌโžˆร—โ‰ร”โ—†ร—โœต โœนโž…โซโผโฟโ—โœณโ– โŠโœบโœฟโ‰โœฝโ€โโ‡โœนโž†โœปโฉโญ โœณโ– โโ€โœฝโ€โœฟโฒโซโ—†โœทโœบโ˜โ‚โœน โด โœนโž‰โ˜โฒโœณโžƒโฏโฌโœณโ„โƒโœบโœฟโ‰โพโœผโโ€โœนโž‰โœปโ€โœทโœบโœฟโ‚โจโงโœณโ„โƒโœธโœฝโž†โžŠqโž‚โœณโ„โƒโ—โœปโžŽโœทโœบโƒโœบโœนโทโŠโœบโโ€โœนโœผโฏโฑโœฟโ‰โพโœผโโ€โœนโžโŠโž‡โœณโ– โโ€โœฝโ€โœฟโ‚โœนโœqโงโƒโœบโโ„โœทโž‡โœปร‘โœณโ„โ˜โ‰โ˜โ‚โโ„โƒโ—โœป โด โˆtโซโ—†โโ‡โœฟโ‰โโ‡โœนโžโ˜โ‚โœนโœผโœป โด โœนโฉโœทโœบโž€โž…โŠโœบโโ€โโ——โกโœบโ˜โ‚โˆโฉโฏโฌโœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‚โœตโœธโœทโœบโœนtโœปโœดโœตโœธโœทโœบโœฟโšโƒโœบโโ„โœทโž‡โœปโœดโโ——โƒโ——โœฝโžฏโซโ—†โโ——โƒ โด โœทโœบโœฟโ‰โœฝโœ›โœคโ˜โ†•โญ โˆโ—†โœฝโ‡โœท โด โœน โด โœทโ–ผโœฝโ‡โœนโฉโฏโฑโŠโ—โœปโžโ˜โ‚โโœˆโซโฉโœณโ„โ˜ โด โœทโฌโฏโฑโโ„โœทโœบโจโ——โœนโฉโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโžโถโทโโ€โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‚โœนโฉโƒโžƒโบโปโโผโœณโ„โซโฝโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœบโƒโ—โœณโ„โœฟโ‰โโ‡โœนโ„โ™ฆโ™ฅโœฒโœดโœณโž†โŠโ—โโ€โœนโœผโฏโ–ผโœฟโ‚โพโฉโโ‡โœนโนโซโ—†โโ——โƒโ—โœปโœพโœฟโฒโœปโœพโœฝโ€โœน โœคโž‰โœปโœพโœน โด โœนโœผโฏโฌโœณโ– โƒโœˆโžโด โœนโฉโโœฆโœตโœธโœทโœบโœนโฉโ˜โฒโœปโทโœปโœพโโ——โƒโ——โœฝโทโ˜โ‰โœนtโœปโžโœฝโ‡โœนโฉโฏโฑโŠโ—โœป โด โญ โœณโ– โโ‡โโœœโœŽโฉโœฝ r โœตโœธโœทโœบโœฟโœ โจโ„โˆโœผโโ€โœฟโœ–โœ•โ—โœนโฉโƒโœธโœฝ t โ„ โžขโžƒโžคโ‘ง โ… รป โœƒ โœนโ—†โœฝโœฆโ˜โ‚โœณโžƒโœปโœพโœนtโซโ—†โโ——โƒ โด โœนโˆโœคโžฎโโ€โœนโœผโขโ——โœณโ– โ โด โœนโœผโโœ˜โซโ—†โœนโž†โœตโœธโœทโžˆโญ โœนtโœป โœฝโทโ˜โ‰โœนโฏโฑโโ„โœทโœบโจโ——โœนโฉโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโ‘ฉโถโทโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‰โœนโœผโƒโฑโบโปโโ‡โœณโ——โซโฝโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœบโƒโ—โœณโ– โœฟโ‚โโ‡โœนโœโœนโฉโƒโ‘โˆtโซโผโฟโœบโœนโฉโ˜โ‚โ˜โ‚โœนโœโœฝโ€โœนโœผโฏโฑโŠโ—โœปโœ˜โ˜โ‚โโœˆโซโฉโœณโ„โ˜โ†•โ™ฆโšqโž‚โœณโ„โƒโ—โœปโ‘ฉโ˜โ‰โœนrโซโฉโœณโ„โœปโทโถโทโโ€โโ™ฅโธโนโƒโ—โœฟโ‰โœนโœผโƒ โœขโž‚โ โด โœฟโ‚โƒโ—โœณโ„โœฟโ‰โโ‡โœนโœqโ„โซโฉโœนโœผโœปโœตโœธโœทโœบโœนโœผโœปโœพโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโ—โœป โด โโ——โƒโœบโƒโœบโœนโœผโƒโ——โœฝ โด โœนโœผโœปโž†โโ‡โˆโœผโœปโ€โœทโœบโ˜โ†โœฝโผโœณโ™ฅโœฝโผโœปโž†โœฟโ‰โƒโœธโœฝโ€โˆโœผโโ€โœนtโœปโ€โœปโ‡โœณโ– โƒโœธโœฝโผโœปโž‚โƒโ—โโ– โœฝโ‡โœณโ„โฏโฑโฏโ–ผโœนโœผโƒโœธโœฝโž†โŠโœ โโ„โœทโ—โโž…โซโฉโœณโ– โโผโœณโ„โซโ—†โœฝโ€โˆโœผโโ€โœฟโฒโœปโœพโœนโœผโ โด โœนโœผโœปโž†โŠโœบโโ‡โโœˆโซโ—†โœนโœผโœปโ‡โœปโ€โœทโ—โœปโฑโœ‡โปโจโ„โโ——โœฟโ‰โโ˜โ‰โœนtโœปโžฏโœฝโ€โฟโ—โˆโฉโโ„โโ‡โพโฉโฏโฑโœนtโœปโ‘ฉโœโšโ™ฆ โ™ฃโž†โœนโ—†โœฝโœโœโšโ™ฆโนโธ โ‘ง โ™ฆโ——โ–Pโœณโ– โ˜โ‚โฟโœบโœนโฉโœทโ—โโ€โœนโœผโœทโ—โœปโœพโœนโœผโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโœปqโ„โซโฉโœนโœผโœปโœ˜โโ€โˆโœผโŠโž‡โโ——โƒโ—โœปโœพโœนtโœปโžฏโโ€โœนโœผโŠโž‡โโœธโœปโœพโœนโœผโƒโœธโœฝโžโฏโฑโœณโ——โœปโ€โœปโ€โœฟโ‚โจโ„โœนโฉโฏโฑโœนโœผโƒโ——โœฝโœ˜โœปโ€โœทโœบโโžโ˜โฒโœณโž‰โŠโœบโโ‡โโ„โŠโ—โโ€โœฟโ‚โˆโ—†โœฝโ‡โˆโด โœนโž‰โ–Pโœณโ– โ โœ’โ„โโ™ฅโจโฑโบโปโโ——โโœพโœฝโนโœนโฉโœฝโœโƒโœบโโ„โœทโ—โœปโœฆโƒโœดโญ โœณโงโจโ——โโ„โƒโ—โœปโทโŠโ—โœณโ——โœปโทโœฝโ€โโ‡โโ„โœทโœบโจโ——โˆโฉโœน โด โญ โœณโ„โ˜โ†โœฝโ‡โœนโฉโโ‡โƒโ—โœณโ™ฅโœฝโ‡โœฟโ‰โจโ——โœนโž†โŠโž‡โโ——โœทโœบโโนโ˜โ‰โœนโž‰โซโœผโœณโ„โœปโนโถโทโโ€โโ™ฅโธโนโƒโ—โœฟโ‰โœนโœผโƒโ‘โบโปโโผโœณโ„โซโฝโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœบโƒโ—โœณโ„โœฟโ‰โโ‡โœนโ„โ™ฆqโž‚โœณโ„โƒโ—โœปโœ˜โœทโ—โƒโœบโœนโž‚โœปโ€โœนโœผโซโฉโโ„โƒ โด โœนโž‚โŠโ—โœณโ– โโ€โœฝโ€โœฟโ‚โœนโœqโ——โƒโœบโโ„โœทโž‡โœปโ‘ฉโœณโ„โ˜โ‰โ˜โ‚โโ„โƒโ—โœปโœ˜โƒโœบโโ„โœทโž‡โœปโžโœฟโ‚โƒโ——โœฝโ‡โˆโฉโโ‡โœนโœผโœปโ‡โœปโœพโœนโœผโโ‘ฉโœณโ„โœทโฑโœฝโ€โœนโฉโฏโฑโŠโ—โœปโทโ˜โ‚โโœˆโซโฉโœณโ– โ˜โชโ™ฆโ——โœฒโœดโœนโœโœฝโ‡โฟโœบโˆโฉโโ——โโ€โพโœผโฏโ–ผโœนโž†โœโšโ™ฆโ‚รบโ–ฒโœนโœผโœปโœพโœฝ โด โโœคโžฎโถโทโœนโฉโโ‡โฏโฌโœณโ– โƒ โด โœณโ– โƒโ—โœปโทโซโ—†โœนtโœปโทโƒโœบโโ„โฏโžƒโกโœบโโ€โœนโœผโœทโœˆโž€โฌโœฝโ€โโผโœณโงโจโ™ฅโœณโ– โœทโœˆโž€โฌโœปโ€โœทโœบโโœฆโ˜โ‰โœนโž‚โœฝโ€โœนโœผโฏโ–ผโŠโž‡โœปโœฆโ˜โ‰โโœˆโซโฉโœณโ„โ˜ร‘โฃโ‚รบโญโธโœดqโžœรบโœปโ™ฃโœดqโž˜รบโฉโฆโŠqโœ รบ โœพโœดqโž˜รบโœผรนโ˜…qโœ รบโ™ฅโœโœ“qโžœรบโœป๏ฟฝโ˜…qโœ รบ rโงโ™ โ™ฃโ™ฆโšโœฒโœ˜โญ โœน โœ”โœ โโ——โโœพโœฝโœนโœผโœปโœพโœฝโœฆโบโ‘กโœณโ– โœฟโ‰โœฝโœโœฟโ‚โซโฉโœฟโžˆโŠโž‡โโ——โœทโœบโโนโโ‡โœนโœผโซโ—†โœนโœผโƒโœธโœฝโ€โโ‡โœนโฉโโœฆโ˜โ‰โœนโž†โŠโœบโโ‡โโ„โกโ—โ˜โ‰โพโœผโฏโ–ผโœนโž‰โœปโ€โœทโœบโโนโ˜โ‚โœนโž‰โฏโ–ผโโ——โœทโœบโจโ„โœนโœผโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโœโถโ‘ฉโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‚โœนโฉโƒโ˜›โบโปโโ‡โœณโ——โซโฝโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโ—โƒโ—โœณโ– โœฟโ‚โโ€โœนโ——โ™ฆ

๏ฟฝโœบรบ

Page 93: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โธ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœ๏ฟฝ โœ’ โœ†โœชโœžโœฉโœŒ โœ„โœญโœž โœ„โœŽโœ–โœ”โœข โœ˜ โ˜›โœงโœโœ‚โœ โœžโœ—โœ– โœ™โœนโœ„ โœ‚โ˜Žโœ†โœคโœ™ โœข โœ˜ โœ โœฌ โœ„

โœ‚ โœ–โœžโœ— โœ„ โœญ โœฅโœโœŒ โœ†โœ†โ˜Ž โœญ โœฅโœงโœญโ˜›โ˜… โœŽโœžโœ โœ™โœ›โœŒโœ โœŸ โ˜…โ‘คโœฃโœคโœญโ˜›โ˜…โ˜›โœก โœ™โœœโœฉโœŒโ˜žโœฅโœŽโ‘โœฃโœžโœŒ โ˜…โœชโ˜…โ‘คโœฉ โœฃโœฌโœ™โฏโœญ โœญโŠโœŽ โœขโœคโœญโ˜›โœฎ โœŽโ‘โœญ โœฅโœกโœ  โœฎ โœ“โœŽโœโœณโœฉโœ„โœ™โœ‘โœโœ™โœ“โœ’โŠโœŽโœ” โœฐโœณโœฒโœดโœฐโœตโœฒ โœ•โœซโ‹ โ„ โ‰โ˜žโ„ โœ˜ โ—โ™ฅโ„sโœผโƒโ€ โœตโœณโ„โœ—โœ–โœ™โœ˜โœ›โœš โ„sโœผ โœณsโœธ โœ™ โ„โ™โœต โœตโ™ฅโ„ โ€โ‚โ„โœ˜โœ— โœŽโ‘ฉโœพ โœตโ™ฅโœบโ˜›โœธโœปโœทโœทโœตโœขโœœ

qโž‚โœณโ„โƒโ—โœปโœฆโ˜โ‰โœนโž‰โซโœผโœณ โด โโ‡โœน โด โœนโœผโœปโœฆโŠโœบโโ‡โโœˆโซโ—†โœนtโœปโ€โœปโ€โœทโ—โœป โด โœนโž…โ–Pโœณโ– โ โœ’โ„โโ™ฅโจโ–ผโœนโ—†โœฝโœโŠโ—โ˜โ‰โœทโ—โœปโœฆโŠโ—โโ€โˆtโซโ—†โœฟโฒโœปโœพโˆโœผโฏโ–ผโœนโœผโƒโœธโœฝ โด โœทโ‘คโฏโฑโโ„โœทโ—โจโ„โœนโฉโฏโฑโœนโœผโƒโ——โœฝโœโถโทโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‰โœนโœผโƒโœ›qโšโœฟโ‰โ˜โžœโœนtโœป โœฝโœฝโ€โโ‡โพโœผโœปโ‘ฉโœฟโ‰โƒโœธโœฝโ‡โˆโฉโโ‡โœนโœผโœปโ‡โœปโ€โœณโ„โƒโ——โœฝ โด โœนโž†โœปโœพโœนrโŠโœบโ˜โฒโœณโ„โซโ—†โœนโœผโโœฆโœนโฉโƒโœ›qโœˆโซโ—†โœนโž†โœตโœธโœทโžˆโญ โœฟโ‰โ˜โž˜โœนโœผโœปโœพโœฝโนโฟโ—โœณโ– โกโ—โœฟโ†โœฝโ‡โœทโœบโœนโฉโ˜ โด โญ โœณโ– โŠโœบโŠโœ โœนโฉโ˜โ‚โœนโฉโ q โœŒ โˆtโซโผโฟโœบโœนโฉโ˜โ‚โ˜โ‚โœนโœโœฝโ€โœนโœผโฏโฑโŠโ—โœปโœฆโ˜โ‰โโœˆโซโœผโœณโ– โ˜ โœŽโผโ™ฆโœ“โ™ฆโžโƒsโœนโœŸโœ”โž˜โœนโ—†โœฝโนโ˜โ‰โœนโœฝโ€โฟโœบโˆโœผโโ„โโ‡โพโฉโฏโฑโœนโž‰โซโ—†โœฟโ‰โž โด โœนโœผโœปโ‡โœปโœพโโ——โœทโ—โœปโœฆโœณ โ†โฌโโ€โฏโฑโœนโž‰โœตโœธโœทโœบโœนโž‰โ˜โ‚โœนโœผโœป โด โœฟโœ•โœ”โž˜โœทโ—โœปโœพโœฟโ‚โโ„โƒโž‡โœปโนโœนโ—†โœฝโœโ˜โ‚โœนโœผโœปโœฆโŠโœบโโ‡โโœˆโซโ—†โœนtโœปโ€โœปโ€โœทโ—โœป โด โœนโž‰โƒโ—โœณโ„โœฟโ‚โœปโ‡โœปโ‡โœณโ– โƒโ—โซโฉโœนโž‚โœนโฉโœฝ โด โœนโž‰โฏโฑโโ„โโ€โœฝโนโŠโž‡โœนโœผโœทโœบโจโ„โœนโœผโƒโ——โœฝโœŽโ—†โœฝโ‡โโ€โœนโœโโ——โกโœˆโœฝโ€โœนโœผโƒโšโœทโ—โœปโœนโœคโžฎโŠโ—โœณโ– โโ€โœฝโ€โœฟโ‚โ โด โญ โœทโœบโƒโ˜›โฏโ–ผโโ——โœทโœบโจโ„โœนโœผโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโทโถโทโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‰โœนโœผโƒโฑโœนโฉโƒโ‘โˆtโซโผโฟโœบโœนโฉโ˜โ‚โ˜โ‰โœนโ–ฒโœฝโ€โœนโœผโฏโ–ผโŠโž‡โœปโœ˜โ˜โ‚โโœˆโซโฉโœณโ– โ˜โชโ™ฆโšqโ–ฒโˆโœผโจโ„โœนโฉโ˜โ‚โโ„โŠโ—โŠโž‡โโ——โƒโ—โœปโžโœทโœบโƒโ‘คโŠโž‡โœนโœผโœทโ˜›โซโ—†โœนโโ€โˆtโœปโœพโœทโ—โ˜โ†โœฝโผโœณโ™ฅโœฝโž‰โžŠโ–ฒ โžโ™ฅโžโโ–ผโžŽโžโœโ—†โ‘กโžPโ–โœผโžโ‹โž“Pโ–โ˜โ——โ‘คโžPโ™โฏโšโ‘โ—†โฑโ–โœฆโ—†โ†•โžโฒโš ๏ฟฝโžˆโžฃโ‘กโ†”โจโณโœฌโซโ‘กโ†”โœ โ†”โœˆโ†’โ‚โต โ–ฒ โžโ™ฅโžโโ–ผโœ˜โž โ›โญโ—†โฉโ–โœฆโ—†โ†•โžโฒโšโœฃโœžโœดโžฃโ‘กโ†”โ‘คโ–ผโžŽรฝโกโชโœ โž“ โ–  ๏ฟฝโโโœปโฃโž™โž˜โž›โ– โžโžดโž โ™โœบ โžณ โžŸโฑโžฌโž˜โžฝโ€โž›โœผโžนโผโžžโ—†ร”โผร” โžณ ร”โž…โžทโ„โžž โœŒ โžถโ™ฅโžฝโœคโœฃโ——โž› โžป โžนโผโž›โ™ฅโžŸโž‡โž โ†•โžโžดโžŸ โžณ โ– โžป โžถโ– ร™โ‰โžž โžณ โžฝโผร”โž…โžทโ——โžถโ™ฅโžŸโ—ร” รธ โžณ โžŸโ‹โžโžดโžŸโ—โž ร•โžžโ—†โžฝ โžป โžถโ™ฅร™โžดร™โ‰โžžโฑโž› โžณโœˆโžป โžžโฉโžฝโฝโž โœฆโžทโ——โžžโœŽโ–ฒ โถ โžฆ โ˜ โ‘ โœด โžซ ร— ร˜ โžŸโžŸโœ โž›โ– โž โ™ฃโžž rโœฆโœฅ รป โœง โœฃ โ˜ž โžก ร  รฉ โœƒ โ™ฆโœทโœบ โœพ รป โ โžฒ ร— โœ‘ ร™โ‰โž›โ™ฅโžฝโผร”โž‰โžโžดร™ร‘โžž ร“ โžโฒร”โฝโž โ™ฃโžž โžณ โžŸโœ โžžโžโžชโ—†โž›โ– โžŸโœ โžนโฉโž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸ ร  ร”โฝโž โ†•โžฝโฝโžโ‘กโžนโฉโž โ™ฃโžžโฉโžธโฌโžžโ—†โžŸโž‡โž โทโžนโฉโžฝโ€โž›โ™ฅโžโฒร”โผร”โฉโžถโ™ฅโžŸโž‡โž โ™ฃโžžโžƒโžนโ‡โž›โ– โžŸโ—โž โชโžโžดโžŸ โžณ โžžร” โžณ โžฝ รธ โžžโ—†โž โ‘ฉโž โ™ฃโžžโฉร™โžดร™โ‰โžžโ–ผรœ โžณ โžžโ—†รโž˜โžฌโœบโž› โžณ โžฝโž‰โž โ™ฃโž› โžณ โž  โถ โ โ‘ฃ โ โ โโ…รโž‚โโœซโ˜ โž›โ– โžŸโณโžถโ™ฅโžโžดโž โœรรž โœฅ โ‘ r รง โ r โง โ–ฒ รป ร  รค โ รจโžšรฅ ร  รค โ‘ฃ รจร  รค ร รจโžŽรฅ ร  รค โ‘ฃ รจร  โžžโ—†ร”โฝโž  โžณ โžŸโž‡โžโ‘กรœ โžณ โžž โ– โžณ โžŸโž˜โžžโž‰โž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโžŸโ—ร”โžดโžชโ—†โž›โ– โžฝโฝโžธโฑโžถโ– โž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸโžตโžถโ˜…โœงโžบโžŸโž˜โžžโนโžฌโž˜โžฝโ€โžฑโ—†ร”โ—†ร—โบ โžถโžŽโžชโ—†โž›โ– โžŸโœ โžนโฉโž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸ ร  โžžโ—†ร”โผโž โœดโžถโผโžฌโ„โžฌโ—โžžโ—†ร™โ‚ร›โ‡โžžโœดโžชโ—†โž›โ™ฅโžŸโž˜โžนโ—†โž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโ˜›โžทโœดรš ร›โ‡โžน โœ“โœบโžžโฉร™โžดร™โ‰โžžrโžทโ„โžžโ˜Žโœบโœ›โžžโฉโž โœดโž›โ™ฅโžŸโ‘โžถโ‡โžฌโ——โžฌโœบโžžโฉร™โžดร™โ‰โžžโฉโžฝโ€โžถ โžณ โžŸโ–ฒโžฌโœ โžฝโ€โž›tโžนโผโžžโฝร”โผร” โžณ ร”โœฆโžžโฉโžŸโ‘ร›โผโžนโœ‘โœ“โ—โžžโ—†ร™โžดร™โ‰โžžโœโžŸโœ โžถโ– โž  โžณ โžฝโ€โžžโฉร™โžดร™โ‰โžžโžณ โžŸโฑโžฌโœ โžฝโ‡โž›โœผโžนโผโžžโ—†ร”โ‡ร” โžณ ร”โ‘ฉโžฌโœบโž› โžณ โžฝโž‰ร™โ‰โžžโผรœ โžณ โžžโฉร™ ร  โžžโ—†ร”โผโž โ‘ฉร™โœพรš โžโ‘กโžทโ„โžžโฉโžŸโ—โž โชโžโžดโž ร•ร›โœผร—โ–ฒ โžโ™ฅโžโโ–ผโžŽโžโœโ—†โ‘กโžPโ–โœผโžโ‹โž“Pโ–โ˜โ——โ‘คโžPโ™โฏโšโ‘โ—†โฑโ–โœฆโ—†โ†•โžโฒโš ๏ฟฝโžˆโžฃ โ–  โณโœฌโซโ‘กโ†”โœ โ†”โœˆโ†’โ‚โต โ–ฒ โžโ™ฅโžโโ–ผโœ˜โž โ›โญโ—†โฉโ–โœฆโ—†โ†•โžโฒโšโœฃโœžโœดโžฃโ‚โ†’โ‘ โ–ผโžŽรฝโกโชโœ โž“ โ– โฒโ โ–  โฃโž™โž˜โž›โ– โžโžดโž โœœโœบ โžณ โžŸโž…โžฌโœ โžฝโ€โž›tโžนโผโžžโฝร”โผร” โžณ ร”โ–ฒโžทโ„โžžโ˜žโœŒ โžถโ™ฅโžฝโœคโœฃโ——โž› โžป โžนโผโž›โ™ฅโžŸโž‡โž โ†•โžโžดโžŸ โžณ โ– โžป โžถโ™ฅร™โ‚โžž โžณ โžฝโผร”โž‚โžทโ——โžถโ™ฅโžŸโœบร” รธ โžทโ„โžžโžŽโžชโ—†โž›โ™ฅโžŸโž˜โžนโ—†โž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโ‹โžทโžˆรš ร›โผโžน โœ“โœบโžžโฉร™โžดร™โ‰โžž ร  โžžโฉโž โœดร”โฉโž›โ™ฅโžโžดโž  โœง รป โ–ฒ โ‘ฃ โžฆ ร โ‘โžณ โžŸPโžโžดโžŸโ—โž ร•โžžโฉโžฝ โžป โžถโ– ร™โžดร™โ‰โžžโฑโž› โžณโœˆโžป โžžโ—†โžฝโฝโž โœฆโžทโ„โžž รธ ร— โบ โžถโœโžชโ—†โž›โ™ฅโžŸโž˜โžนโ—†โž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโœถโžทโ„โžžโœ”โ–ผโœฆโžฝโ€โžžโผโžžโ—†โžŸโœถโžžโฝร”โฝโž โทโžทโ——ร› โค โžŸโ—โžโ‘กโžžโœโžฌโ—โžถโ™ฅโžฝโžฎร

โด โœŽโœ รค โ โžฆโ˜…โœฉโœบรจ รป รค ร  รค โ รจโžšรฅ ร  รค โ‘ฃ รจโœพรจ รค ร  รค ร รจโžรฅ ร  รค โœฉโœบรจโ€รจร  รค ร รจโžŽรฅ ร  รค โ‘ฃ รจ โœช โฃ โง โ‘ฅ โœฅ โ‘ฅโœฌโœซ โ‘ฅ รง โค โฉ รค ร  รค โœฉโœบรจโžฏรฅ ร  รค โ‘ฃ รจโ€รจ รค ร  รค ร รจโžšรฅ ร  รค โ รจโœพรจร  รค ร รจโžŽรฅ ร  รค โ‘ฃ รจ โœช โฃ โง โ‘ฅโœฌโœซโญโ‘ฅ โœฅ โ‘ฅ รง โคโจ ร™ร‘โžž ร“ โžโฒร”โฝโž โ™ฃโžž โžณ โžŸโœ โžž โžณ โžŸโž‡โžโ‘กรœ โžณ โžžโž…โžธโฑโžžโ—†ร” โžณ โžฝโ€โžžโ–ผโžทโ„โžž โซโ–ฒโžถโ„โžทโ——โž›โ™ฅโžŸ โ‘ก โ–โ‘ร” โžณ โžฌโ——โžฌโœบโž›โ– โžฝโฝโž โทโžทโ——โžถโ™ฅโžŸโœบร” รธ โž ร•โžžโฉร™โžดร™โ‰โžžโฑรœ โžณ โžž

t โœฅ โ‘ r โงโœฎโœญ r รง โ–ฒ รป โ˜› โœ‚ โด โœŽโœ รค โ โžฆโ˜…โœฉโœบรจ โ‘ก รค ร’ โœฉโœบรจโ‘ก โžžโ—†ร”โฝโž โœฆโžถโผโžฌโ„โžฌโ—โžžโ—†ร™โ‰ร›โผโžžโžƒร™โ‰โžถโ‘โžธโฑโžžโ—†ร” โžณ โžฝโ€โžžโžฎโžทโ——โžž โžป โžโžดโž ร•โžžโฝร”โผร”โฉโžžโžƒโžท โžณ โžฌโœ โžฝโ€โž›tโžนโผโžžโฝร”โผร” โžณ ร”โœŽโœบโ‘จร—โ™โšโโ„โœฟโ‰โœฝ โ‘ก โœทโœบโƒโœบโœนโ–ผโฏโ–ผโœนtโœปโœพโœทโ—โโ€โœน โด โœน โœšโœ โœฏ โด โโ„โƒโณโœปโ€โœทโœบโ รค โžซโœฆโžฆโœคโœฐ รค โžซโนรจโœพรจ โด โœนโฌโœปโ€โœทโœบโŠโœบโŠโœ โโ„โโ€โœฝ รธ โ™ฆโžœโโžฏโโ——โœทโœบโ โœฉโžตโžฉ รธ โœนโ—†โœฝโœฒโœฑ โžฉโœดโœณ โœ•โ—โž€โšโˆtโœปโ˜žqโž˜โโ——โƒโด โˆโœ’โœ•โž‡โƒโœบโœฟโ†โœฝโž…โžŠโœ˜ โœซ โ‚ โœต รค โžจโœพรจ รป โฐ

โง โ˜›โœทโœถ โœข โœธโ„ รค โžจโฝโžฆ โ รฅโœธโœฉโœบรจ รค โœฑ รจ โ‘ก รค ร’ โ รจ โŠโœ โโ„โœทโœบโโœฆโœฝโ‡โโ„โœทโœˆโœฝ โžจ ร–โคโœƒ โžฆโœ˜ โœซ โ‚ โœต รค โœƒ รจ รป โœƒ โœโœขโž‚โƒโ˜›โซโ—†โโ——โƒโ—โœปโ€โœฟ โด โพโœผโโ€โœนโ–ฒโœนโฉโƒโ—โœปโ€โœทโœบโœฟโ‰โœฝโ€โœนrโ˜โœนโœฏโž…โบโœบโœฏโ– โฏโฑโœฟโ‰โ˜โ‚โ˜โ‚โœน โด โœนโ–ฒโœฝโ€โœนโœผโฏโ–ผโŠโž‡โœป โด โญ โœฏโ„โโ€โ โœŽโ—†โœฝ โžกโœผโœป โžฅ รป โœงโœ„โœฃ โ˜ž โžก ร  รฉ โœƒ โ™ฆ โœ˜ โœพ ร– โžจโผโžฒ โ™ฆ โžจโทรฉ โœƒ โžฒ โœนโฉโœฝโทโ˜โ‚โœนโ–ฒโŠโœบโโ‡โโ– โžโซโ—†โœนtโœปโ€โœปโ€โœทโ—โœป โžกโœ˜โœ— โžฅ รป โžขโœพโœฝ โœœ โฉ โœฉ โ™ฆ โžจโ‘ฉรฉ โœƒ โžฒ โ™ฆโž‹โž…โžŒโžŽโžโœธโžโž‡โžโ™ฅโž‘โšโž’โž”โž“ ๏ฟฝโžœโžฃโโ–  โณโœคโซโ‘กโ†” โœžโžˆโ†”โโตโœฆโž‹โžฎโžŒร‘โžโšโžโž‡โžโงโž‘โšโž’โž”โž“ โœžโœดโžฃโ‘กโ†”โœ โ†”โœชโ–ผโžฏรฝโกโชโœ โž“ โ–  โœฐโฒโฃโš ร—โž†โž™โœ โž รธ โžžโ—†ร”โฝโž  โžณ โžŸโœ”โžโžดโžŸโž‡โž โ™ฃโžžโฉโžฝ โžป โžถโ– ร™โžดร™โ‰โžžโ—†รโ–ผโžถโ™ฅร™โ‰โž›โ– โžฝโผร” รค โœ— โžฆ รคโ€โœฟ โœฝ โœœ รจ โžฅโ™ฃรขโœ รฃ โžฆ รž โœซ โžฆโ˜…โœฉ โžฉ รธ รจ โžžโ—†ร”โฝโž  โžณ โžŸโžตโžฌโœ โžฝโ‡โž›โœผโžนโผโžžโ—†ร”โ‡ร” โžณ ร”Pโžทโ„โžž โœŒPโžถโ– โžฝโœคโœฃโ„โž› โžป โžชโ—†โž›โ™ฅโžฝโฝโž โ†•รโžนโผโž›โ™ฅโžŸโž‡โž โ†•โžโžดโžŸ โžณ ร” โžณ โžฝ รธ รโœฆโžžโ—†โžŸโณร›โผโžน โœ“โœบโžžโฉร™โžดร™โ‰โžžโžƒโžŸโœ โžถโ– โž  โžณ โžฝโ€โžžโฉร™โžดร™โ‰โžžโ—†รโทโžทโ„โžžโžฎโžธโฌโžžโฝร” โžณ โžฝโ€โžžโžƒโžทโ„โžž โžป โžโžดโž ร•โžžโฝร”โผร”โฉโžž โ‘ก โžžโฉโž โœ˜โž ร•โžžโ—†ร™โžŽรœ โžณ โžž โœ— รฃ รป โœฉ ร—โฑ ร—โž†โž™โœ โž รธ โžžโฝร”โฝโž  โžณ โžŸโ‘จโžžโ—†โžŸโ—ร”โฉโžžโ—†โžธโ˜โœโ—†ร™โ‚โžžโ‘คโžทโ——ร›โ—†โžŸโž˜โž›โ™ฅโžธโ˜โœโ—†โžฝโ€โžถ โœโ—†ร™โ‚โžžโž‚โžชโ—†โž›โ– โžฝโฝโžธโฑร›sโžทโ„โžžโž…โžฌโ—โž›โ™ฅโžโžดโžŸโž‡โž โ‘กร”โฑโžโฒร”โฉโž›โ™ฅร™โ‰ร›โ—†ร”โผรโž†โžถโ™ฅร™โ‚โž›โ™ฅโžฝโผร” รค โœ— โžฆ รคโโœฟ โœฝ โœœ รจ โžฅโ™ฃรขโž‡รฃ โžฆ รž โœซ โžฆโœคโœฉโ‘ โžฉ รธ รจโžžโ—†ร”โฝโž  โžณ โžŸโฑโžฌโž˜โžฝโ€โž›tโžนโ‡โžžโ—†ร”โผร” โžณ ร”โž‰โžทโ——โžžโž…โžŸโž˜โžถโ™ฅโžโฒร”โผร”โฉโžถโ™ฅโžŸโœ โžนโผโžžโฑโžžโฉโž โทโžทโ„โžžโžฎโžธโฌโž›โ™ฅโžฝโฝโž โ†•รโ‘ฉโžžโ—†โžŸโœถร›โ‡โžน โœ“โœบโžžโฉร™โžดร™โ‰โžžโžƒโžŸโœ โžถโ– โž  โžณ โžฝโ‡โžžโ—†ร™โžดร™โ‰โžžโ—†รโ‘ฉโžทโ„โžžโžƒโžธโฌโžžโฝร” โžณ โžฝโ€โžžโžƒโžทโ„โžž โžป โžโžดโž ร•โžžโ—†ร”โ‡ร”โฉโžž โ‘ก ร—

Page 94: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœ’โœ โœŸโœโœ’ โœ โœฌ โœ„ โœโœโ˜›โ‰โ˜›โœงโœโœ‚โœโ—†โœžโœ—โœ–โฏโœขโœ๏ฟฝ โœ†โœคโœŒโœŸโœŒโœ„โœ‚ โ˜›โœทโœ– ๏ฟฝ โ™ฃโ˜Žโœขโœฏโœโœ†โœธโœทโœบโœนtโœป โœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœžโœ†โœธโœทโœบโœนโœ˜โƒโœบโโ——โœทโ—โœปโžˆโƒโ—โโ„โœทโ—โœปโžŽโœปโœพโโ——โฏโฑโฏโ–ผโœนtโœปโžˆโŠโœ โโ——โœปโ€โˆโฉโœนโžโœนtโœป โœฝโทโžŠโœŸโœ†โœธโœทโœบโœน โด โœนโฉโจโšโœฟโ‚โœนโฉโƒโœธโœฝร‘โ˜โ‚โœนโžšโœฝโ‡โฟโœบโˆโฉโโ——โโ€โพโœผโฏโ–ผโœนโนโœโšโ™ฆโนโธโœ„โœ†โœธโœท โœฏโ– โƒ โด โโ„โƒโž…โโ‡โœนโฉโฏโฑโŠโœบโ˜ โœฏโ„โซโฉโœนโ˜โ‰โœนrโฏโฑโโ„โœทโœบโจโ——โœนโฉโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโœฆโถโ‘ฉโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‚โœนโฉโƒโ‘โŠ โœฏโ– โโทโœทโœบโƒโ‘คโฏโฑโโ——โœทโœบโจโ„โœนโœผโฏโ–ผโœนโœผโƒโœธโœฝโทโถโทโโ€โโ™ฅโธโนโƒโ—โœฟโ‰โœนโœผโƒโฌโบโปโ โœฏโ——โซโฝโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœบโƒ โœฏโ– โœฟโ‚โโ‡โœนโœกโœ rโโœโโ„โœทโž‡โœปโœ˜โƒโžˆโญ โœฏโงโจโ„โโ——โƒโ—โœปโ‘ฉโฏ โœฏโ„โ˜โ‰โฟโ—โœนโฉโœทโœบโโ‡โœนโฉโœทโœˆโžโœปโœพโœนโœผโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโœ˜โŠ โœฏโ——โœปโžโœฝโ‡โโ€โโ——โœทโœบโจโ„โˆ โด โœนโž‚โโ€โˆโœผโŠโž‡โโ——โƒโ—โœปโ€โœนโˆโœคโžฎโซโฉโœนโ—†โœฝโœพโœฝโ‡โœนโ˜›โœ†โœธโœทโœบโœนtโœป โœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโฌโฏ โœฏโ„โœฟโ‚โœปโ‘ฉโœนโฉโ˜โ‚โ˜โ‚โœนโœโƒโœบโโ„โœทโž‡โœปโœฎโœฏ โœฏโ„โฏโฑโœนโฉโƒโœบโˆtโœปโœนโœคโž‰โ˜โชโญ โˆโ—†โœฝโ€โœท โด โœน โด โœทโ‘โœฝโ€โœนโฉโฏโฑโŠโ—โœปโทโ˜โ‚โโœˆโซ โœฏโ– โ˜โด โœทโคโฏโ–ผโโ——โœทโœบโจโ„โœนโœผโฏโฑโœนโฉโƒโœธโœฝโ‘โถโ‘ฉโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‚โœนโฉโƒโžบโบโปโ โœฏโ——โซโฝโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโ—โƒ โœฏโ– โœฟโ‚โโ€โœนโ‘คโโ„โก โœญ โœนโฉโœฝ โด โœทโ…โŠ โœฏโ– โ โœฏโ– โขโ——โ โœฏโ„โŠโœบโฟโœบโœนsโœโœˆโ™ฆ โฆโœ›โœฏโ– โœฟโ‚โƒโ—โœปโ€โœฟโ˜žโœ†โœธโœทโžˆโญ โœคโณโ˜โชโญ โˆโฉโœฝโ€โœท โด โœน โด โœทโ‘จโœฝโ‡โœนโฉโฏโฑโŠโ—โœปโด โœนโžƒโœปโ€โโ„โโ€โœฝโ€โœฟโ‚โœน โด โœนโœผโœปโž‚โœฟโ‰โƒโœธโœฝโ€โœนโœผโโ€โจ โœฏโ„โ˜โ‰โ˜โ‚โœนโœผโœปโœผโ™ฆโž‡q โœฏโ– โƒโ—โœปrโ˜โ‚โœนโžƒโซ โœฏโ„โœปrโถโ‘ฉโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‚โœนโฉโƒโœ›qโž‡โ˜โœนโœฏ โด โœฟโฒโœป โœฝโ‡โโ€โœฟโ‚โกโœบโœทโœˆโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒ โด โœนโฑโซโ—†โœนโž…โœฝโ‡โœนโฉโฏโฑโŠโ—โœป โด โญ โœฏโ– โโ‡โโœœโœŽโฉโœฝโ–ฒโœนโœผโœปโœพโœฝโž‰โซโ—†โโ„โƒโ—โƒโœธโœทโ—โœนโŠโœบโœทโœบโœฟโฒโœปโœŒโœ†โœธโœทโœบโœนโœŒโ˜ โœฏ โด โœฟโ‚โœปโœพโœฝโ€โโ‡โœฟโ‚โกโœบโœทโœˆโœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒ โด โœทโœ”โœปโ€โœทโœบโŠโœบโโ‡โœนโฉโฏโžฎโœทโ—โฏ โด โญ โœทโœบโƒโœ”โถโ‘ฉโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‚โœนโฉโƒโ‘จโœนโœผโœปโœพโœฝโฌโซโฉโโ„โƒโœบโƒโšโœทโœบโœนโ‘ โœ‡โ‘กโŠโœบโโ€โœฟโ‚โƒโ—โซโฉโœฟโ‰โŠโœ โœน โด โœนโœŒโโ€โˆโœŽโœโ—โœนโ—†โž€โœˆโœฟโ‚โโ„โƒโœšโฃโ‰รบโ——รบโœผรนโœดqโŠโœบโโ‡โโ„โŠโœ โโ——โœปโ€โœฟโ†โœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒ โ™ฃโœบโ™ฆโฅโœPโŠ โœฏโ– โขโ——โœนโณรบ sโœsโ™ฅโ™ โ™ฃโ™ฆโžšqโœพโœฏโ„โƒโ—โœปโฌโ˜โ‚โœนโ‹โซ โœฏโ„โœปโžƒโบโปโ โœฏโ„โซโ—†โœฝโ€โœฟโ‚โโ„โƒโœบโƒ โœฏโ„โœฟโ‰โโ‡โœนโœqโžฏโ˜โ‚โœนโ‹โœปโœ‘โœโœบโŠโ—โโ€โœนโœผโฏโœ’โœโœบโฏ โด โœโคโฏโฑโโœ“โœโœบโจโ„โœนโœผโฏโ–ผโœนโœผโƒโœธโœฝโฑโถโทโโ‡โโ™ฅโธโนโƒโœบโœฟโ‰โœนโœผโƒโบโปโ โœฏโ——โซโฝโœฝโ‡โœฟโ‰โโ——โƒโœบโƒ โœฏโ– โœฟโ‚โโ‡โœนโž‚โœนtโœป โœฝโนโฏ โœฏโ– โ˜โœดโซโฉโโ„โƒโœบโƒโœ”โœsโโ„โƒsโŠโž‡โœนโœ•โœโœˆโœฝโ–ฒโซโ—†โœนโœผโŠโž‡โœนโœผโƒ โด โœฏโ„โƒโ——โœฝโœโˆtโซโ—†โโ‡โœฟโ‰โโ‡โœนโœqโšโœนโœผโƒโœ–โœโœบโœฝโ€โœฟโ‚โ˜โ‰โœฟโฒโœปโœคโœฏโ„โƒโœธโœฝโœโ˜โ†•โญ โœฏโœ—โœโœˆโœฝโ‡โโ– โžร•โœปโœพโœฟโ‚โฏโฑโœฟโ‰โ˜ โœฏโ– โโ‡โœฟโ‰โœฝโ€โˆโ–ผโžŠโ–ฒ โžโ™ฅโžโโ–ผโžŽโžโœโ—†โ‘กโžPโ–โœผโž ๏ฟฝโžˆโžฃโ‘กโ†” โ˜Žโนโž› โžณ โžฝโž‰โž โ™ฃโž› โžณ โž  โ โžฉโœŒโžซโžŽโžญ โž›โ™ฅโžŸโžตโžถโ‘คร

r โœฅโœ™โœ˜รป โ˜› โโœšโœœโœ› โ˜ž โœธโœš โ‘ฃโœ“โœข โœˆ โœ’ โœš โœ› รป โœ— โ‘ขโœธรกรญ โกโœดโฃ รฃ โ‚ รฒ โค โžข โžครญ

โ™ฅ ร›โฉโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตรโ™โšโโ„โœฟโ‰โœฝโœŒโ โžฉโœŒโžซโžŽโžญโœคโœฃ โœฝ โžจโ‘ฉโžฉโœŒโžซโžฏโžญ qโœบโโ„โƒ โœฏsโžŠรž โ‘ r โœฅ โต โžจ โ–ฒ รป รž โœ  โœ— โ‘ขโ——รกโœพ โกโœดโฃ รฃ โ‚ โžฅ โค โžข โžคโœพ รฉ โ โœก

รป รž โœ  โœ— โ‘ขโœธรกรญ โกโœดโฃ รฃ โ‚ รฒ โค โžข โžคโžฅ รญ รฉ โ โœกรป รž โœ  โœ— โ‘ขโœธรกรญ โกโœดโฃ รฃ โ‚ รฒ โค โžข โžครญ รฉ โโžจ โžค โœกรป รž โ˜› โœš โœ› รฉ โโžจ โžค โ˜žรป รž รŸ โ˜› โ

โœš โœ› โ˜ž โœธโœš โต โžจ รชt

โœ” โœฐโœณโœฒโœดโœฐโœฑโœฐ โœ•โœซโ‹ โ„โœšโœตโœณโœพโ‡โœพPโœบโœฝโœผโƒโ€โœฃโœตโœณโ„sโœพ โ€โ‚โ„โœ˜โœ— โœŽโœฟโœพโ‡โ‰โœ’โœฅโฉโœทโ˜Žโœฒโ˜…โœฒโœงโœฆ โ€ โœ˜โœฉโœณโœ›โœฒโโ—โœฉโ˜…โœฟโœทโœดโœผโƒโ€โœซโœชโœญโœฌโœฏโœฎโœฑโœฐโœณโœฒโœตโœดโœ™โœถ โœœโž‹โž…โžŒโžŽโžโœธโžโž‡โžโ™ฅโž‘โšโž’โž”โž“ ๏ฟฝโžœโžฃโœŸโœž โณโœคโซโ‘กโ†”โœ โ†”โšโ†’โ‚โต โ–ฒ โžโ™ฅโžโฒโ–ผโœ˜โž โ›โœฆโ—†โฑโ–โœฆโ—†โ‘กโž โšโœฃโœžโžˆโžฃโœฑโœฐ โ–ผโžฏรฝโกโชโœ โž“Pโ†’ ๏ฟฝ โฃโ‘ โž™โž˜โž›โ™ฅโžโžดโž โž†โžกโœธโœท โžฅ โ™ฆ โžจโ‘โžฉโœฌโžซโ‘ฉโžฒโœ”โžณ โžŸPโžฌโž˜โžฝโ€โž›tโžนโ‡โžžโ—†ร”โผร” โžณ ร”sโžน โ–โ„โžทโšร™ โ–โœฆโœŸโ——ร—โž™โž˜โž›โ– โžโžดโž โœกโœน รง ร™โœพรš โžžโฉโžŸโœบร”โฉโžžโ—†โžธโ˜โœโฉร™โ‰โžžโฑโžทโ„โžžโ—†ร”โž†โžธโฌโžถโ™ฅโžฝโฝโž โชโžโžดโžŸPโœŸโœธโžถโ™ฅร™โ‚โžžโฝร”โœซโœโผโž›โ™ฅโžฝโฝโžŸโž˜ร›โ‡โžžโ—†ร”โฉร—โœŒโžงโžžโฝร”โฝโž  โžณ โžŸโž˜โžžโž‰โžธโฌโžถโ™ฅโžฝโฝโž โชโžโžดโžŸPโœŸโœธโžถโ™ฅร™โ‰โžžโžฎร”โฝโžโœ˜โžžโฉโž โžร”โฉโžž โžณ ร™โ‚โžžโ—†โžธโฌโžžโ—†โžŸโž‡โž โœ˜ร”โฝโžโœ โžฌโ—โž› โžณ โžฝโž†โž ร•โž› โžณ โž sr โžฉ โœน รง รโœฆโž›โ™ฅโžŸโณโžถโœฟโœบ โ‘ง โžฉโœปโœบ รฒ โžžโ—†โž  t โ‘ โœบ โ‘ง โ–ฒ รป โœƒโœ ร—

โ˜Ž โœฃ โฏโœฝโœผโœพโœโœบโจ โœฃ โฏ โœฃโœŽโœฟโโ€ โถโƒโ‚โœŒโœผโ™ฅโธ โœฟโ…โ„โ†โœฃโœ•โœฟ โบโœฏโ‚ โœฏโ„โซ โ€โœŒโ„ โœผ โœฟโœงโœฟ โœฏ โ„ โ‚ โœฃโ‡โœฟ โญ โˆ โ€ โœฏ โœฟโœ“โ€โœžโ‰ โœฏโœพโŠโ‹โœ โœฟโ…โœฃ โฏ โœฏโœพโ‚ โ€โ—โ„โ†โœฟ โข โœฏโœ—โ โœฃโœฝโ„ โ โœฃ โŠ โ€โœžโœฟ โœฏ โ€ โœโœงโ‚ โœฃ โ โด โœฃ โŠ โœฃ โด โœฃ โžโ–  โœฏ โœฟ โด โœฃ โ‚ โ‰ โœผโœพโœโœงโ‚โœโœ†โโœ โœฃ โโ†โ โœฃ โบโœบโœฏ โ–  โ„ โโโ โœฃ โœน รฃ โด โœฃโ‹โ€โ—โœฃ โ–  โ‰ โŠ โดโ–ฒโ‘ โœฏโœพโ‚โœŒโ‚ โœŽ โ€ โœผ โœฟ โœฏ t โ„ โžขโžƒโžคโ‘ง โ… รป โœƒ โ‰ โœผโœพโœโ…โ‚ โ€ โœผโœ“โœ โ€ r โžฉ โœน รฃ โ™ฆโ–ผโ˜Ž โœค โœฃโœŽโœฟโ…โ—† โœผโœพโ‚ โœฃโ€ โ‚โ‡โพโœ•โŠ โ‰โ–โœฃ โœโ——P โœฃ โ‚โ—โˆ โ‰ โœผ โœฟ โŠ โœฃ โŠโœผโ™ฆโœˆโถ โ„โ†โœฃโœ•โœฟ โŠ โโœงโ‚ qโ˜โ โœฃ โŠ โ€โœŒโœฃ โ–  โ‰ โŠโ˜žP โ‘ โœฏโœ—โ‚โ—โ‚โœœโœŽ โ€โ™โ—† โœผ โœฟ โŠ โ€ โœฏ โœฟโœ“โ€ โŠโœ„โŠโœ‘โœผ โœฟโโ€ P โœฏ โœฟ โŠ โœน รฃ โ–  โœฏ โ„ โŠโ™โœผ โœฟ โœฏ โœฏโœ—โœโ–ผโŠโœŒโŠ โ„ โžŠโ–ฒ โžโ™ฅโžโโ–ผโžŽโžโœโ—†โ‘กโžPโ–โœผโž ๏ฟฝโžˆโžฃ โ–  โฒโžโž›โ™ฅโžŸโ—ร”โผโžโ‘กโžทโ——ร›โ—†โžฝโ‡โž›โ™ฅโžŸโœบร”โœณโœน โœพ ร™โœพรš โžžโฉโžŸโœบร”โฉโžžโฉโžธ โœโฉร™โ‰โžžrโžทโ„โžžโ—†ร”โทโž ร•โžžโฉโžธโœโžฌโœ ร”โนโžทโ——โžžโนร”โฉโž›โ™ฅโžฝโฝโž โชโžโ‘กโžžโ–ฒโžทโœดรš โžโžดโžŸโ—โž ร•โžžโ—†โžฝ โžป โžถโ™ฅร™โžดร™โ‚โžžโฝร”โœร” โโ™ฅโžธโฌร›โ—†โž โชโžฝโฝโžโ‘กรœ โžณ โžžโฝร”โœโžท โžณ โž โœฑโโ‡โžฌโœบโžžโ‘โ†รฅ โ‘ฃ โžฆ โ‘ฃ โ–ฒโทโžŸโœ โž›โ– โž โ™ฃร› r โฃ รณ โง โ‚ โง โค ร— ร˜ โžŸโณโžถโœ„ร

โœน โœพ โœด โœน รฃโ˜Žโœขโœฏโœ–Pโ˜โˆ โ–  โœผ โœฟ โŠ โ€ โ‚ โœฏ โ€โœŒโ„ โœผ โœฟ โ‚โ—โˆโœ•โŠโœŒโœโœงโ โ€โ—โœฃ PโœงโœPโบโœบโœฏ โ„โ†โ€ โœ†โœ“โœ โœฃ โ โœฃ โŠ โ‰ โ‚โ—โœผ โ—†โšโœฃ โŠโ—โŠโœŒโœโ…โŠ โžกโงโžขโžฎโžคโžฅ โ™ฆ โžจrโžฉโ‘ โžซโžŽโžญโž‰โžฒโ‡โœฃโœŽโ€ โžก รฅ โžขโžฎโžคโžฅ โ™ฆ โžจrโžฉโœถโžซโžฏโžญโž†โžฒ

โœผ โœฟโโ€ โ–  โœŽ โ–  โœฃ โโ†โœผ โ„ โ™ฆโ˜Ž โœฃ โŠ โœฃ โœ”โฏโœผโœพโ‚ โ€ โŠ โ‰ โœผโœ“โœโœงโ‚ โ—† โœผ โœฟ โŠ โ€ โ‚โ—โœ โ„ โ‚ โœฃ โœ โœฟโฑโœฃ โŠ โ‰ โœฏ โ—†โšโœฃ โœน รฃ โ—† โœผ โœฟโโฒโœ“โœฃโœŽโœฟ โœฏโ„โกโœงโ โœฃ โŠsโบโœฏโœโœงโ‚ โœฃโœŽโœฟโโ€โณโฒ โœฏ โ„โโœฟ โŠโœผโ™ฆโ˜›โ˜Ž โœฏ โ‰โœงโ„ โŠ โ€โ—โœฃ P โœฃ โŠโจโœ†โโœ โœฏโœพโŠ โ„ โž

โ–  โœฏโœ—โ‚ โ€โœŒโ„โโœฟ โข โœฏโœพโ โœฃ โŠ โ„โโœฟโโ€ โ‚โ—โœผโ˜Pโ˜โœ โ„โ†โ€โœŒโœฃ โŠ โ‰ โœฏโœ—โ‚โ˜žโฉโ˜žโœ โœฃโœŽโ€โœœโฌ โœ’โœ”โŠ โœฃโœŽโœฟ P โœฏโœ—โโชโญ รนโœ๏ฟฝโงโ™  โœฟ โ‘ โœฏ โ‰ โœฏโœ“โŠโ™โˆ โ€ โˆโœžPโœงโˆ โฒโœพโœฃ โโ†โœผ โ‰โœงโ‰ โˆ โœฃ โ™ฆ

Page 95: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโ– โฆ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœ๏ฟฝ โœ’ โœ†โœชโœžโœฉโœŒ โœ„โœญโœž โœ„โœŽโœ–โœ”โœข โœ˜ โ˜›โœงโœโœ‚โœ โœžโœ—โœ– โœ™โœนโœ„ โœ‚โ˜Žโœ†โœคโœ™ โœข โœ˜ โœ โœฌ โœ„

โœ‚ โœ–โ˜›โœก โœ˜โœšโœ™โœœโœ›โ˜›โœขโœคโœฃโœฆโœฅโœงโœฃโœคโ˜…โœชโœฉโœซโœฃโœฌโœ™โœœโœญโ˜›โœฎ โœฎโœ˜โœ†โœชโœ™ โœขโœคโœญ โœŽโœœโœญ โœฅโœกโœ โ‘คโœฎ โœขโœ’โœŒ โ˜žโœ†โœฉ โœขโœ” โœฐ โœฐโœฑโœฐโœตโœฒ ๏ฟฝโโœทโœดโœพ โ‰โœžโœฅ โ‹โœฟโœผ โ„โœ‚โœ โœบโœฝโœผโ˜žโœธ โ€โกโ—โ™ฅโœบโƒโœผ โœ— โ„sโœพโ—โ‹โœคโœฒโกโœทโ˜Žโœ„โœโœตโ™ฅโ„โ——โ‘คโžPโ™โฏโšโ‘โ—†โฑโ–โœฆโ—†โ†•โžโฒโš ๏ฟฝโžœโžฃโ†•โ†” โž™โž˜โž›โ™ฅโžโžดโž  โ˜ž โ™ฆ โ‘ โœƒ โžฆ โฐโƒโ–ฒ โ‘ฃ โžซโœฉโžณ โžŸโœ โžžโœฆโžชโ—†โž›โ™ฅโžŸโž˜โžนโ—†โž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโœถโžธโฌโžžโฝร” โžณ โžฝโ€โžถ โœโ—†ร™โ‚โžžโœผร— ร˜ โžŸโœถโžถโผโžฌโ„โžฌโ—โžžโ—†ร™โžดร™โ‰โžžโ‘โž โ™ฃโžžโฉโžธโ–ฒโžฌโž‡ร”โ–ผโžทโœดรš โž›โœผโžนโผโžน โžณ โžฌโœบโžถโ– โž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸโžบโžทโ„โžžโ˜ž โžžโ—†โžŸ โ ร™โ‰โžถโ–ฒโžชโ—†โž›โ™ฅโžŸโœ โžนโฉโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตร

โœ† โ™ฆ โโœžโœโ‘ฃ โ˜› รฒรฃ โœช โฃ โœŸ รฑ โžฅ รต โ‘ฅ โœฅ โค ร’ โžจ โœ‡โœกโœ โ˜žโ˜›โ‚รบ โ‘งร˜ โžŸโžตโžฝโ‡โžžโ—†โžธโฌโžถโ™ฅโžฝโ€รœ โžณ โžžโฌรœ โžณ โžž โœ† โžžโ—†ร”โฝโž  โžณ โžŸโœ โžžโœฆโžชโ—†โž›โ– โžŸโœ โžนโฉโž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸโžบโžทโ„โžžโฌโžฝโ‡ร›โ™ฃโžฌโ—โžถโ™ฅโžฝโฝโž โชโžโžดโž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸโœ ร—โžโž™โž‡โž โœ† โžžโ—†ร”โฝโž โ–ฒโžถโโœโ—†ร”โฉโž›โ™ฅร™ โžณ โžธโฌโžžโ—†โžŸโž‡โž โž‚โžนโผโž›โ™ฅโžŸโž‡โž โ†•โžโžดโžŸ โžณ โžžโฝรโ‘ฉร”โ—†โžถ โžทโ„ร›โฉโžฝโฝโž โžป ร›โผโžžโžถ โžณ ร”โฉโžžโฉโžŸโœบร”rโžทโ——โžžโœŽโซโ–ฒโžถโ——โžทโ„โž›โ™ฅโžŸโฒโœก โ—— โž โœฃโ——โž›โœผโžท โโ™ฅโžธโžฎร รท ร”โฉโžžโฉโžฝโ€โžถโฑโžถโ‡โžฌโ——โžฌโœบโžžโฉร™โ‰ร›โผโžžโž†โž ร•โžžโ—†โžธโ–ฒโžฌโž‡ร”โ–ฒร™โ‚โž›โœผโžนโผโžถโ™ฅร™โžœโžทโ„โžž โ˜ž ร— ร˜ โžŸโœŒโžถโฑโžถโ™ฅร™โ‚โž›โ™ฅโžฝโผร”โžโžฌโ—โž› โžณ โžฝโž‚โž โ™ฃโž› โžณ โž  โœŒ โ™ฆ โžซ โ‘ฃ โžซ รโ˜› รฒรฃ โœŒ รค โ˜ž รค โžจโœพรจโ€รจ ร’ โžจ รป โ˜› โœ‚ โœŒ รค โ รจ รท รค โ รจ ร’ โ

รผ โž“โšโž’โž”รฝโœˆโžโ™ฅรพโžœรฟโžŽโž“ ๏ฟฝโžœโžฃโ†•โ†” โจ ร™โž‡โžžโ—†ร”โผโž โžŽโžโžดโžŸโ—โž ร•ร›โฉโžฝโ€โžžโฝร”โผร”โฉโžถโ™ฅโžŸโž‡โž โžฏโžทโ——โžžโ–ฒร”โ—†โžžโ–ฒโžฝโ€โžžโ—†ร”โฝโž โ†•โžฝโ€โžžโฉโžโžดโžŸโœ โžทโ– โžฝโ€โžžโœฏโ– โžณ โžŸโ‘คโžโžดโžŸโ—โž ร•โžžโ—†โžฝ โžป โžถโ™ฅร™โžดร™โ‰โžžโž‰โžทโ——โžžโž‚โž โ™ฃโžžโฉโžธโœโžฌโœ ร” โ‘ โœƒ โžฆโœพโžจ โ–ฒโžโžถ โžป โžžโ‡โžน โžจโทโžฉ โ‘ โœƒ โžฆ โฐโƒโ–ฒ ร—ร˜ โžŸโณโžทโ„ร› โค โžŸโž‡โžโžดโž โœฆโžถโ– ร™โ‰โž›โ™ฅโžฝโผร”โž‰ร™โ‰โžžโžƒโž ร•โžžโ—†โžธโ–ฒโžฌโž‡ร”โž…โžทโžˆรš โž›tโžนโผโžน โžณ โžฌโ—โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโž”โžทโ„โžž โ˜ž โžžโ—†โžŸ โ ร” โžณ โžฝ โ‘ โœƒ โžฆโœพโžจ โ–ฒโนโžžโ—†โž โ‘ฉร”โฝโžโœ˜โžžโ—†ร™โžดร™โ‚โžžโ–ผโžž ร“ โžโฒร”โฝโž โ™ฃโžž โžณ โžŸโœ โžžโž‰โžŸโž˜โž›โ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโœถโžทโ„โžžโžƒโž โ™ฃโžžโฉโžธโ–ฒโžฌโž‡ร”ร™โ‰โž›tโžนโ‡โžถโ– ร™ รค โ โžฆโœพโžจโœพรจ โ‘ฃ รท รค โ โžฆโ€โžจโœพรจ ร—โž‹โž…โžŒโžŽโžโœธโžโž‡โžโ™ฅโž‘โšโž’โž”โž“ ๏ฟฝโžœโžฃโœฆโœฅ โž™โœ โž โœ† โžถ โžณ โžŸโœ โžžโžšโžชโ—†โž›โ– โžŸโœ โžนโฉโž โ†•โžโ‘กโž›โ– โžŸโžตโžนโผโžถโ™ฅโžฝโ€โžถโ——โžนโ—†โž ร•ร›โฉโžฝโฝโžโฒร”โผโž โชโžโ‘กรœ โžณ โžžโœโœŒ โ™  รโ‘ฉโžถโ™ฅร™โ‚โž›โ™ฅโžฝโผร” โœ† โžžโฝร”โฝโž โ‘ฉโžถ โœโฝร”โฉโž›โ™ฅร™ โžณ โžธโฑโžžโฉโžŸโ—โž โœฆโžนโ‡โž›โ– โžŸโ—โž โชโžโžดโžŸ โžณ โžžโžƒโžžโ—†โž โžšร”โฉโžถโžทโ„ร›โฉโžฝโฝโž โžป ร›โผโžžโฑโžžโ—†ร”โผโž โœŽโœŒ โ™  ร—โœ โœผโœ“โœโœงโ‚ โ–  โœผ โœฟโโ€ โ‚ โœฃ โ‚โ‹โ โ‘ โœฃ โž€ โ„ โŠ โ€โœŒโœฃโœ•โœฟโ…โ—†โšโœฃ Pโœงโœ โ€โ—โœฃ โ–  โ‰ โŠโ‹โโโœผ โ—† โœฏโœพโ q โ โ‘ โœผโœ“โœ โ€โœŒโ„ โ โœฃ โŠ โ€ โ โœฃโœฝโ€ โฟโœงโˆโœ•โœผโœพโ‚โ‡โพ โ–  โœฃ P โ‘ โ„โ†โœฟโœ”โฒโœพโœฃ โ‚โ—โŠ โ„ โœผ โœฟ P โœฃ โโœนโœฏโ‘คโบโœฏโœผ โœฟโ…โ—† โ€โ—โ„ โœผ โœฟ

โ—† โœฏโœพโ‚ โœฏ โ—† โ€ โˆโœ•โ‚ โ„ โŠ โ€โœŒโ„ โœ†โœ“โœ โœฃ โžŠโœฐ โž“โšโž’โž”โž’โž”โž“ ๏ฟฝโžœโžฃโ†•โ†”โ‡โณโœ’โœ‘โœดโžŒโ‘โ—†โ‘กโžโœ”โœ“โœ รฝโœบโž“ โœŸ โซโ†•โ†”โœดโ–  ๏ฟฝโœโตโœฆโž‹โž…โžŒโžŽโžโšโžโ—โžโ™ฅโž‘โšโž’โž”โž“ โœž โœ‘โœœโ–ผโžฏรฝโกโชโž‡โž“ โ– โโโœดโ†”โž‡โžฃโœ”โฃโœถโž™โžœโž›โ™ฅโžโžดโž  โœ† โžณ โžŸโœ โžžโทโžชโ—†โž›โ™ฅโžŸโž˜โžนโ—†โž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžบโžทโ——โžžโฑโžฝโ€ร›ร•โžฌโœบโžถโ– โžฝโฝโž โ†•โžโžดโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžžโ—†โž  โœซโœ† ร”โฉโžถโœโžชโ—†โž›โ™ฅโžŸโž˜โžนโ—†โž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโœถโžนโผโžถโ™ฅโžฝโ€โžถโ——โžนโ—†โž ร•ร›โ—†โžฝโฝโžโฒร”โฝโž โชโžโ‘กรœ โžณ โžžโฑรโœซโœ† รคโœ–โœ• รจ รป โ˜› รฏรณ รฏ โœˆ โ รก รค โท โœ• โ รจ ร’ โœ† รค โ รจ

โœ‘ ร™โ‰โž›โ™ฅโžฝโผร”โžฎรโžถ โœ„ โ˜Žโนโž› โžณ โžฝโž‰โž โ™ฃโž› โžณ โž  โ‘ฃ โžฆ รโ–ฒโžฌโ—โž›โ™ฅโžโžดโžŸโž‡โž โ‘กร”โžฎโžทโ——โžžโžƒโžนโผโž›โ™ฅโžŸโž‡โž โ†•โžโžดโžŸ โžณ โžโžดโž โ™ฃร›โžƒโžทโ„โžžโžƒร™โ‰โžถโ–ฒโžชโ—†โž›โ™ฅโžŸโœ โžนโฉโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸ โœ† รโ‘ฉโž›โ™ฅโžŸโณโžถโ‘ครโœ† รค ร รจโžฏรฅ โœ† รค โ‘ฃ รจ รป โถโฉโท โ‘กโœ—ร•รฎโž…รฏ โฐ

โงโœ๏ฟฝ โ˜› โœ—รณ โœ—

โœˆ รณโœ™โœ˜ โžฅ รง รฅ โœˆ รณโœšโœ˜ โžฅ โงโท โžจ โœซโœ† รค โžจโœพรจ ร’ โžจ โœ› โœ โ˜žโ˜›โนโธ โ‘งโœ โœ„โž”โž™โœ โž โœ รฏรณ รฏ โ† โœซโœ† รคโœœโœ• รจ โ† ร’ โžจ โ โ‘ฅ รโทโžถโ™ฅร™โ‰โž›โ– โžฝโผร” โœ† โžถ โžณ โžŸโœ โžžโžƒโžทโ„โžžโฉโžŸโœบร”โฝโžโžดโž ร•ร› รท โžžโฉโž โทโž›โ– โžŸโžตโžถrโžฌโ—โž› โžณ โžฝโž‰โž ร•โž› โžณ โž  โ โžฝโ€ร›โผโžžโฉร™ร‘ร

รท รค โ รจ รป โฐโงโœ‚๏ฟฝ โ˜› รฏ

รณ รฏ โœˆ รณโœ™โœ˜ รญ โœฅ โœซโœ† รคโœ–โœ• รจ ร’ โœ• โœ› โœ โ˜žโ˜› โ™ฃ โ‘งโžžโฉโž  รท โžžโ—†ร”โฝโž โœฆโžนโผโž›โ– โžŸโ—โž โชโžโžดโžŸ โžณ โžžโทโžฌโž˜โžฝโ€โžžโ—†ร”โ—†รœ โžณ โžžโนโžฌโœบโžถโ– โžฝโฝโž โ™ฃโž› โžณ โž โ™ฃร—

โ™ฅ ร›โฉโžธโฌโž›โ™ฅโžŸโœบร”โฝโž โชโžฝโ€โžถโ™ฅโž โชโžโ‘กโž›โ™ฅโžŸโžตรโœโชโœผโœ“โŠโœŒโœผ โœฟ โŠ โœ— โ™ฆ โœŒ โ™  โ‘ฃ โžซโœŒ โ‘ฃ โœ รฏรณ รฏ โœซโœŒ รคโœ–โœ• รจ โœซโœ† รค รฅ โœ• รจ ร’ โœ•โœซโœŒ Pโ˜โˆโœ•โŠ โ„โœฃโœขโœพโœฟโœงโœฃ โ โœฏ โ€ โ‚ โœฏ โœฟ โŠโœพโบโœฏโœผโœพโ‚ โ–  โˆ โœฃ P โœฃ โœ†โœงโœผโœพโœโ…โ‚ โ„โโœฃ โ‚โœ„P โœฃ โœŒ โ˜› โœขโ˜›โœ โ€ โ‚ โœฃ โโœนโœฏโœฝโ โ„โโœฟ โˆ โœฏโœพโ‚ โ„โ†โ€ โˆ qโ˜โœผ โœฟ โœฏโ‘คโžŠ

โ† โœ— รค โœŒโœˆรจ โ† โ™  โต โ† โ† โœซโœŒ โ† โ† โ™ โ™  โ† โ† โœซโœ† โ† โ† โ™ โ™  โต โฐโงโœ๏ฟฝ โ† โ† โœซโœ† โ† โ† โ™ โ™  โ† โ† โœŒ โ† โ† โ™ โ™ 

โ˜Ž โœฃโœœโ€ โฟโ…โˆโœŽโœผโœพโ‚โ‡โพ โ–  โœฃ P โœฃ โ‚ โœฃโœŽโ‰ โ‚โ—โˆโœ•โŠ โœฃโœŽโœฟโโ€ โœฏ โ€โœŒโ„ โœผ โœฟโœปโœฟ โœผโœพโœโ…โŠ โœฏโœพโŠโ—โŠโœ‘โœโœงโ‚ โœฃ โ โ‘ โœฃ โž€ โ„ โŠ โ€โ—โœฃโœŽโœฟโ…โ—†โœŽโœฃ P โ‘ โœ โœฟโ…โœฃ โบโœฏโœผ โœฟโ…โ—†โšโ€โœŒโ„ โœผ โœฟ รท โžฉ โœŒ โ™ โœœโ€โ—โœฃ โโโ โœฃ โœ†โโœ โœฃ โžŠโœ— รค โœŒโœบรจ รป โ˜› รฏ

รณ รฏ โœŒ รคโœœโœ• รจ รท รคโœ–โœ• รจ ร’ โœ• โœ› โœ โ˜žโ˜› โœค โ‘ง

Page 96: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœ’ ๏ฟฝโ˜…โœ’โœ”โœžโœฉโœŒโœŽโœ•โœฉโœ™โ™โœ โโœโ—†โœ โโœ†โœคโœ†โœคโœ โโœŒโœŽโœโœ—โœ– โœ–โ˜Žโœ˜โœงโœŒโœชโœ™โœ›โœโœ‘โ˜›โœงโœโœ‚โœโ—†โœžโœ—โœ–โฏโœ™โŠโœ„ โœ‚โ˜Žโœ†โœคโœ™ ๏ฟฝโœทโœพโœโชโœผโœพโœโœงโ‚ โ–  โœผ โœฟโโ€ โ‚ โœฃ โ‚โ™โœ†โโœ โœฃ รท โœฃ โŠ โ€ โโœนโœฏโœฝPโ˜โˆโœ•โ‚ โ„โโฒ โˆ โœฃ P โœฃ โœ† qโœงโœผ โœฟ P โ„โ†โ€ โœ†โœ“โœ โœฃ q โ‰ โœฏโœพโ‚ โœ โœฏโœพโ‚โ—โŠ โœฃโœŽโฒ โœฏโœพโโžšโžŠ

โœ— รค โœŒโœบรจ รป โฐโงโœ๏ฟฝ โ˜› รฏ

รณ รฏ โœซโœŒ รคโœ–โœ• รจ โœซรท รคโœ–โœ• รจ ร’ โœ• โœ› โœ โ˜žโ˜›โœฟโœพ โ‘งโœข โœฟ โ‰ โ‚ โœฃโœ•โœฟ P โœŒ รป โœช โฃ โง โ‚ รง โค โœฏ โฒโœ“โœฃโœ•โ—† โ‘ฃ โœฃโœŽโ€ ร P โœฃ โŠ โ‰ โœผ โ„โโœฟโœ“โ€ โŠโœ„P โœฃโœžโ—† โœผ โœฟโโ€โœŒโ„โโœฟ โœ โ„ โ€ โˆ P โœฃ โœ† qโ˜โœผ โœฟ โœฏsโžŠ

โœซโœŒ รคโœœโœ• รจ รป โœˆ โœ˜ รญ รง รฅ โœˆ โœ˜ รญ โงโงโœ๏ฟฝ โท โœ•โœข โœฟ โœฏ โœฏโœพโโ†โœผโœ“โ‚โ—โŠโœปq โ‰ โœฏโœ—โ‚โœ„โ โœฏโ‡โ‚ โœฃ โโœนโœฏ โ€โœŒโ„ โœผ โœฟ โœ› โœ โ˜žโ˜› โœค โ‘ง โœฃโœŽโ€โ˜žโ‰ โœฏโœ—โ‚โ˜žPโ˜โˆโœžโœ• โœฟโœงโ„โ†โ€โœŒโ„ โœผ โœฟ P โœฃ โœ— โžŠโœ— รค โœŒโœบรจ รป โ˜› รง

โงรท รคโœœโœ• รจ ร’ โœ• โœ› โœ โ˜žโ˜› รน โ‘ง

โœ— รค โœŒโœบรจ รป โ˜› รฏรณ รฏ

โœˆ โœ˜ รญ รง รฅ โœˆ โœ˜ รญ โงโงโœ๏ฟฝ โท โœ• โœซโœ† รค รฅ โœ• รจ ร’ โœ• โœ› โœ โ˜žโ˜› โœ  โ‘งรป โฐ

โงโœ‚๏ฟฝ โ˜› รฏรณ รฏ

โœˆ รณโœ™โœ˜ รญ รง รฅ โœˆ รณโœšโœ˜ รญ โงโท โœ• โœซโœ† รคโœœโœ• รจ ร’ โœ• โœ› โœ โ˜žโ˜› ๏ฟฝ โ‘งโœข โœฟ โœฏ โ‰โœงโ‰ โ โ„ โœ†โโœ โœฃ โ–  โœฏ โ„โโœฟโโ€โœŒโœฃโœŽโœฟ โœฏ โœฟโโ€ โ โœฃ โ‚โœŒโˆโœŸโŠโœ‘โœโ…โ โ€ โœฏ โ€ โœ› โœ  โ˜› โธ โ‘ง Pโ˜โœ โ โœฃ โ– โœฝโ–  โœฃ โœ  โ˜›โ‰รบ โœ†โโœ โ„ โœฟ โœผโœพโœโ–ผโŠโœŒโœฏโœพโŠโ—โŠโœŒโœโœงโ‚ โœฃ โœ†โโœ โœฃ โโœนโœฏโ——โ‚ โœฃ โ โœฏ โ€โ—โ„ โœผ โœฟ โœ› โœ โ˜žโ˜› โœ  โ‘งโœฟ โ‘ โœฃ โŠ โ€ โœฏโœพโœ โ€ โ‚ โœฃ โœ†โโœ โœฃ โœ† รค ร รจโžŽรฅ โœ† รค โ‘ฃ รจ โ˜› โœข โœฟ โœผ โœ โ€โ—โ„โ†โœฃโœ•โœฟโœ“โ€ Pโ˜โœผ โœฟโ…โ—† โ‰ โœผโœพโœโœงโ‚ โ€ โœผโœพโœ โ€โ˜žโ‰ โœผ โ„โโœฟโโ€ โ‘ฃ โœฃโšโ€ ร P โœฃโœžโ—† โœผ โœฟโโ€โœŒโ„โโœฟ โœ โ„ โ€ โˆ P โœฃ โœ†โœฉโžŠ

โ˜› รงโงรท รคโœ–โœ• รจ ร’ โœ• รป โœ— รค โœŒโœˆรจ รป โœ† รค ร รจโžฏรฅ โœ† รค โ‘ฃ รจ โœ› โœ โ˜žโ˜› r โ‘ง

โœ‚ โœฏ โ„ โŠ โ—† โœผ โ– โ‡โ–  โœฃ รท โœฃ โŠ โ€ โœŒ โ™  q โœฃ โโโ โœฃ โœฃ โŠ โ€ โœŒ รฒ โŠโœŒโœโœงโ‚ โ€ โœผโœพโœ โ€โ™โ„โโœฟโโ€โœŒโœฃ โ‚ โฒ โœฏโœ—โโโ โœฃ โœ โœผโœพโ‚ โœฟ โˆ โ˜›โ˜žโœ โœฏโœ—โ‚ โ—† โœผ โœฟ โŠโœŒโˆโœ•โœ†โโœ โœฃโœ•โœฟโœ“โ€ q โ—† โœผ โ– โœฝโ–  โœฃ โœผ โœฟ โœฏ โœ› โœ  โ˜› rโ˜Žโœ„ qโœ† โœฟโœงโœฃโ‹โ‰โ–โœฃ โœ โ€ โœŽ โ€ โ‚ โœฃ P โ„ โŠ โ—† โœผ โœฟโโ€โœŒโ„โโœฟ โœ โœฃโœœโœฃโšโ€ Pโ˜โœผ โœฟโ…โ—† โœผ โœฟ โœฏโœโœ†โ˜› รงโงรท รคโœ–โœ• รจ ร’ โœ• รป โœ† รค ร รจโžฏรฅ โœ† รค โ‘ฃ รจ โœฃ รค โ‘ฃ โžฆ ร รจโทโžฉโœŒโžซ โ™ โœต โœฃ โœ†โœ“โœ โ„ Pโ˜โˆ โ–  โœผ โœฟโœ“โ€ โ‚ โœฃ โ โœฃ โ‚โœŒโˆโœŸโŠโœ‘โœโœงโ โ€ โœฏ โ€ โ˜›

tโœ‚โœŸโœžโœกโœ โ˜›โœžโœ‘โœข โœขโ‘กรฝโโ—†โ˜žโœ โ˜›โœŒ ๏ฟฝโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ—โœ–โ˜›โœ˜โžตโžถโ‘ร™โ‰โžถsโžนโœ™โœ–โœšโœ˜โœ โžทโœšโœ”โœœโœ›โœ‘โœ”โœขโœ–โœšโœ˜Pร”โœคโœฃโœˆโžฝ โ˜ž ร”โœฅโœฃโœฆโœ”โœœโœงโ™ฅโžถโ˜›โœ˜โ˜…โœ›โœชโœฉโ–ผรโ˜› รฏรณ รฏ

โœซโœซโœซโœซ โ˜› รฒโœฌ โœˆ โ รก รค โท โœ• โ˜ž รคโœขโœญ รจโœพรจ ร’ โœญ โœซโœซโœซโœซ โ™  ร’

โœ•โโœฏโœฎ

โœ‘ ร™โœฐโœ–โ˜›โœฑโผร”โœฒโœ”โžดร™โœณโœฉ ร“ โœ”โฒร”โœคโœ›โœชโœฉโœดโœฃโœฆโœ˜โœตโœ›โœชโœฉโœทโœถโœนโœธโ˜…โœบโœฒโœปโœฐโœ–โœฝโœผโœ™โœพโœšโœป รทโœนโœฟ โœฉโœทโœ› รท โœฉโ€โœบโœคโœ› โœŒ โ™  โœฉโ€โœ›โโœบโœคโœ”โ‚โœ–โ˜›โœ˜โƒโœพโ…โ„โ˜› โ†โ‡ โ†

โœซโœซโœซโœซ โ˜› โˆโœฌ โœˆ โโŠโ‰โœณโ‹ โท โœ• โ˜ž โ‹ โœญโโ—โ– โ—โ‘โโŠโœญ

โœซโœซโœซโœซ โ โœ• โ–ฒ โœฎโœ‘ โœปโœฐโœ–โ˜›โœฑโœฅโœบโœฒโœ”โœœโœปโœณโœฉโœ™โ–ผโŠโœ”โ—†โœบโœคโœ›โœชโœฉโœดโœฃโœฆโœ˜โœตโœ›โœชโœฉโœทโœถโœนโœธโ˜…โœบโœฒโœปโœฐโœ–โœฝโœผโœ™โœพโœšโœปPโ– โœฟ โœฉโœทโœ›โ——โ–โ˜โœฉโ€โœบโœคโœ›โ™โœผโœฅโœ–โ˜›โœ˜โ˜…โœ›โœ‘โœ”โœœโœ˜โ˜…โœฃโœกโœฉโฏโšโ™ฅโœŸโฑ โœถโฒโœ–โ˜›โœ˜โณโœบโœคโœ›โจโœฑโ– โœพโ˜›โœ›โจโœ”โœขโœ–โ˜›โœ˜โฉโ„โ˜Ž โœฃ โ‰ โ‚ โœฃ โ–  โ„โโœฃ โ‚ โ‰ โœผ โ„โโœฟโœ“โ€โ˜žโœฃ โŠ โ€ โœ โœฟโ…โœฃโœžโ—† โœผ โœฟ โŠโœ‘โˆโœŸโœ†โœ“โœ โœฃโœŽโœฟโ…โ—†โœŽโœฃโ˜›โ„ โ– โœฝโ–  โˆโœŸP โ„ โœฏ โ€โœŒโœฃ Pโœงโœ โ€โœ™โฌ โˆโœŽโœผโœ“โ‚โ– โญ โ–  โœฃ โœ  โ˜› โœค โœฃโœŽโ€ P โœฃ โโœนโœฏโœฝโ‚ โœฃ โ โœฏ โ€โ—โ„ โœผ โœฟ โœ†

โœซโœ†โฒโ‹โœ•โœŽโ—โซโช โ˜› โˆ

โœฌ โœˆ โโดโ‰โตโ‹ โท โœ• โ˜ž โ‹ โœญโโ—โโ—โ™โโŠโœญ โœ› โœ โ˜žโ˜›โœโ›โœปsโ˜Žโœ„โ˜Ž โœฃ โŠ โœฃโœŸโ—† โœผ โœฟ P โ‰ โœผ โ„โโœฟโโ€ Pโ˜โˆ โ—† โœผโœพโœโœงโ โœฃ โœฏโœพโœโ…โŠโ—โŠ โ„ Pโ˜โœ โ€โ– โฌ โˆโœŽโœผโœพโ‚โœ™โญ โ–  โœฃ โœ โ˜žโ˜› โœค โ–  โœฏ โ„ โŠโƒโ โœฏ โ—† โœผ โœฟ P โ„ โ€โ—โ„ โœผ โœฟ โ‰ โโโœโ…โŠโ™โโœฏโœผโœ“โ‚ โ€โ—โœฃโ˜›โ„ โ–  โ‰ โœผโโŠโœ‘โˆ โœฃ โœค โ˜ž โœฏ โ‰ โœผโœพโœโœงโ‚โ—† โœผ โœฟ โŠโœ‘โˆโœŸโœ†โโœ โœฃโœŽโœฟโ…โ—†โœŽโœฃ โ โ‘ โœฃโ€โžโ˜โ„ โŠ โ€โœŒโœฃโœ•โœฟโ…โ—†โšโœฃ P โ‘ โœ โœฟโœงโœฃโ‹โฒโœ“โœฃ โ‚ โŠ โ„ โœผ โœฟโœ–โ—† โœผ โœฟโœ“โ€โ—โ„โ†โœฟ โœ โœฃ P โœฃ โ– โ˜›

Page 97: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœ๏ฟฝ โœ’ โœ†โœชโœžโœฉโœŒ โœ„โœญโœž โœ„โœŽโœ–โœ”โœข โœ˜ โ˜›โœงโœโœ‚โœ โœžโœ—โœ– โœ™โœนโœ„ โœ‚โ˜Žโœ†โœคโœ™ โœข โœ˜ โœ โœฌ โœ„

tโœ‚โœพโœฏ โœฟ โŠ โ โœฃโœตโ—† โœฏโœพโŠ P โ‘ โœ โœฟโœžโ€โœŒโœฃ โ–  โ‰ โŠโœกโโโœผ โ—† โœฏโœ—โโPโ˜โœ โ€โ˜Žโœ„โœ”โ‰โ–ผโœฃ โ‹ โโœโœ† โœญโโ— โœž โ– โ‹ โโœŸโœ† โœญโโ— q โœผ โœฟ โœฏโœ„โ โœฏ โ‰ โ‚โœŒโœผ โ‰ โ‚ โ„ โˆ โ€ โˆโ——โโœฏโœผ โœฟ P โœฏ โ–  โœฃโœŽโœฟโโ€ โœฏโœพโ โœฃ โŠโœ‘โœ โ„โโฒ โœฏ โœฟโโ€โœŒโœฃโœ†โโœ โ„ โœฟ โœผโœพโœโ–ผโŠโœ„Pโ˜โœผ โœฟโœงโœฟโ…โœฃ โœ โœฟโ——โ—† โ‚ โ„ โ€ โญโœŽโ‚ โœฃ P โ‘ โœฃโ€โžโ˜โ„ โŠ โ€โ—โœฃโœŽโœฟโ…โ—†โœŽโœฃ Pโ˜โœ โ€โœŒโœฃ โ–  โ‰ โŠโœ„โโ†โœผ โ—† โœฏโœ—โ โœ†โœ  โœ โ˜›โœžโ˜›โœกโตโœ โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’โœ ๏ฟฝ โœโœฆโœž โž โœ’โœ•โœ” โ โœž โ– โ‹ โโœŸโœ†โœ”โœ“ โ— โœฉโœ™โ–ผโŠโœ”โ—†โœบโœฅโœ› โœฉ โœพโœšโœปโœฐโœ–โ˜›โœฑโœฅโœบ โ โœž โ– โ‹ โโœโœ† โœญโโ— โœฉโœ™โ–ผโŠโœ”โ—†โœบโœคโœ›โœชโœฉโ‘โœธโณโœ–โœšโœฃโœฆโœฑโœฒโœ›โœชโœ–โœšโœฃโœฆโœ› โœญ โœ• โ‘ โœ– โœ†โœ’โœ“ โ–ฒ โš

โžโœ˜โœ— โœ–โœšโœฃโœฆโœฑโœฒโœ›โœชโœ–โœšโœฃโœฆโœ› โ‹โœšโœ™โœโœ† โœญโโ— โœ•โœœโœ› โœ– โœ†โœ”โœ“โœฃโœขโœฅโœค โœฟโœโœ™ โ–ฒ โœญ โœ–โœšโœ˜ โœพโœŸโ– โ‹ โโœŸโœ†โœฆโœ™ โ—โ˜…โœง โ– โ‹ โโœโœ† โœญโโ— โœธโณโœ–โœšโœฃโœฆโœฑโโœธโœ•โœฑโ– โœฉโ€โœบโœ”โœฉโ€โœฃโœกโœฉ โœ›โœชโœ–โœšโœฃโœฆโœ› โ โšโœ”โœซโœชโœญโœฌโ˜…โœชโœšโœฌ ๏ฟฝโœฏโœฎโœฑโœฐโœ˜โœฒโœžโœฅโœŽโœณโœตโœด โœŽโœทโœถโœนโœธโœปโœบโœฝโœผโœŸโœฐโœพโœฐโœพโœณโœทโœฐโœฟโœฐโโ€โœพโœธโœปโœบ โœ™โ‚โœฎโœฑโœฐโโ€โ„โƒโœœโœ–โ˜…โœณโ‚โœผโ… โœโœ‘โ†โˆโ‡โœโ˜žโœŽโœโœ’โ˜žโœ‘โœžโ‰โ‡ ๏ฟฝโœŽโœโœฅโŠ โœ’Pโœ–โ˜›โœ”โœขโœฉโœทโœ˜โœกโœ› โ‹ โœณ โœ† โœฟ โœ†โ—โ‹ โ— โœฟ โœฃโœฆโœ˜ โœฉโœคโœบโจโœธโœกโœพโดโœผโœฅโœฉ โœธPโœฑโ– โœ–โœโโœฅโœพโโโ€โœ”โœœโœป โœ”โ—†โœบ โฑ โœฉโœทโœ›โœปโ– โœ’โโ–ฒโ‘โ—†โ–ผ โœญ โœ•โ–โœ› โœ– โœ†โœ”โœ“โœ”โœขโœญP โœฃโœฆโœ˜โœโœธPโœฑโ– โœ–โฏโœผโœฅโœฉโ€โœบโœฅโœบโœฅโœฃ โœบ โœบโœคโœ›โœชโœ–โ˜โ——โœผโœฆโ™โœกโœพ โœบโœคโœ›โจโœ”โœŽโœฉโ€โœฃโœกโœฉ โœถโฒโœฉโ€โœบโœฅโœฃโœฆโœฑโœ™โœพโœโโœทโœปโœฐโœฉโ…โœฉโœทโœ› โœบ โฑ โœธโœกโœพโ˜›โœฑโ– โœพโโโ€โœปโœโœฉโฏโš โœ— โœ–โœšโœฃโœฆโœฑโœŸโœ› โœ–โ˜›โœฃโœฆโœ› โœฑ โœ• โœณ โœฉโ€โœ› โœ› โœ–โ˜›โœฃโœฆโœ›โœฑโš โœ•โฑโฏ โœฟ โœ–โœšโœ˜โœโœธโณโœฉโœทโœฃโœฆโœ›โœทโฒ โฑโœญโณ โœ˜โ˜…โœ”โœœโœฑ โœปโœโœฉ โœธโœ•โœฑโ– โœ–โœฝโœผโœฅโœฉโœคโœบโœฅโœบโœคโœฃ โœบโœ›โœชโœฉโœทโœถโœนโœธโ˜…โœบโจโฒโฌโฉ โœ–โœฝโœผโœ™โœผโœทโœฃโœฝโœธโœกโœพโ˜›โœ›โจโœ”โœขโœ–โ˜›โœ˜โœœโฒโดโœฉ โœขโ˜›โญ โœฎ โœ† โš โœข โœธโณโœพโœšโœฑโ‚โโชโฒโดโœฉ โœปโœฐโœพโฒโœถโฒโœพโ˜›โœ˜โ˜…โœ”โœŽโซโ€โœฑโœ™โœฉโœดโœบโœคโœฃโœฆโœ”โœœโœงโ˜›โœพโ˜›โœ˜โ˜…โœ›โœชโœฉโœŸโ„

โœ†โฒโ‹ โš โœ†โ˜…โœฑ โ— โช โ˜› โˆโœฌ โœชโœพโด โœŽโˆโตโœโ› โœตโ„โโกโž โœฅโœ”โข โโŠโœญ โœ› โœ โ˜žโ˜›โœโ›โดโ› โœ„

โœ’โ˜…โœ” โœ†โฒโ‹โ˜Žโฃโคโœ† โœฑ โ— โœฉโœคโœบโœคโœ›โœ—โœพโœโโ€โœบโœทโœ–โ˜›โœป โœฃโœฆโœถโฒโœฉโœทโœ˜โœกโœ›โ‚โœผโœฅโœ–โ˜›โœ˜โ˜…โœ›โœ‘โœ”โœœโœ˜โ˜…โœฃโœกโœฉ โœฟ โœบโ€โœพโ–ฒโฒ โฑ โœฑโœคโœ”โœœโœง โฑ โœฉโ–ฒโœ โœพโ˜›โœฃ โœบโœทโœฉโœทโœ˜โณโœบโฅโฒโŠโœฉโœปโฆโœนโœพโโฒโดโœ–โ˜›โœ˜โ™ โงโœดโœ” โœฃโดโœ–โ™ฅโฒโœŒโ™ฆโ˜›โœถโœตโ™ฃโœฒโ– โ‹โ—โฃqโœ†โ˜…โœฑ โ— โœบโœทโœฉโœทโœฑโ– โœพ โœพโœ™โœธโŠโœธโณโœฉโœทโœป โฑ โœฉโœธโœ•โœฑโ– โœ–โœฝโœผโœฅโœฉโœคโœบโœฅโœบโœคโœฃ โœบ โœ›โœชโœฉโœทโœถ โœธโœ•โœบโœฒโœปโœฐโœ–โฏโœผโœฅโœพโœšโœปrโฒโดโœฉโœทโ โšsโจtrโœโ˜Žโœžโ˜…โœ โœŒโœ‰โœพโœˆ โœŒ ๏ฟฝโœŽโœโœฑโœฐ โœ’โœ•โœ” โœปโ—โฉ โœ–โ˜›โœ˜โƒโœพ โ„

โ˜› โ†โ‡ โ†

โœซโœซโœซโœซ โ˜› โˆโœฌ โ˜› โˆ

โœฌโ‘ โœ‡ โœ›โ‘ขโ‘ก โš โ‰ โœ› โ‘ฃ โœ• โ‹ โ โ‘ โญ โโ‘ฅโ‘ค โ— โœขโคโœข โ โœ™ โโŠโœญโœซโœซโœซโœซ โ โœ• โ–ฒ โœฎ โœ› โœ โ˜žโ˜›โœโ›โ™ฅโ‘ฆโŠโœ„

โœ‘ โœปโœฐโœ–โ˜›โœฑโœฅโœบ โœ–โœšโœ˜ โœพ โ‹ โ——โœโœธโœ•โœฑโ– โœฉโ€โœบโœ”โœฉโ€โœฃโœกโœฉโœฒโœบโ‘จโ‘งโœฆโœฑโœ™โœฉโ€โœถโฒโœฉโ€โœ˜โ˜…โœ›โโ„โ‘ฉ โœ† โœฉโ€โœบโœคโœ›โ™โœพโโโœคโœบโœทโœ–โ˜›โœป โœฃโœฆโœถ โœฉโœทโœ˜โœกโœ›โ‘โœผโœฅโœ–โ˜›โœ˜โœกโœ›โจโœ”โœœโœ˜โœกโœฃโœกโœฉ โœฟโ‘ฉ โ–โ˜โœฉโœ™โ–ผโŠโœ”โ—†โœบโœคโœ›โœชโœฉ โœฟโ‘ฉ โ–โ˜โœฉโ€โœบโœคโœ› โœŒ โœค โšโถโœŸโฑ โœถโฒโœ–โ˜›โœ˜โณโœบโœคโœ›โจโœฑโ– โœพโ˜›โœ›โจโœ”โœขโœ–โ˜›โœ˜โฉโ„โ˜Žโœขโœฏ โ—† โœผ โœฟ P โ„โ†โ€โœŒโ„ โœผ โœฟ โœ› โœ  โ˜›โœฐโ›โทโ‘ฆโดโœ„ โ„ โ–  โ‰ โ โ„ โœ†โœ“โœ โœฃ โœ†โœ“โœ โœฃ โœ†

โœ‡ โธโœ”โน โ†โ‡ โ†

โœซโœซโœซโœซโน โˆโœฌ โ‘ก โš โ‰ โœ› โ‘ฃ โœ• โโ–ฒโ‘ โœข โโŠโœญ โœซโœซโœซโœซ โœค โ โœ•โ˜›โบ โ–ฒ โœฎ

โ—† โœผ โœฟ P โ„โ†โ€โœŒโ„ โœผ โœฟ โœ†โโœ โ„ โ„ โ–  โ‰ โ โ„ โœ†โโœ โœฃ โœ†โโœ โœฃโœโปโ–โ‰ โœผโœ“โœโœงโ‚โœทโ‹โœŸโผ โ‰ โ‚ โœฃ โŠโœŒโœ†โโœ โœฃ โ€ โœผโœพโœ โ€ โœฑ โป โ โœฏ โโœฏโœผ โœฟโ–ผโ—† โ€โœŒโ„ โœผ โœฟโจโ—† โœฏโœ—โ‚ โœฏ โ—†โšโ€ โˆโœ•โ‚ โ„ โŠ โ€โ—โ„ โœ†โโœ โœฃโ‹โœฃโœ•โœฟ โš P โœฃ โœ†โฒโ‹โ˜Žโฃโคโœ† โœฑ โ—โœฃ โŠ โ€ โœŒ โœค โ˜›โœงโ˜Žโœขโœฏ โ—† โœผ โœฟโ…โ—† โโโœโ…โŠ โ„ โœผ โœฟโœปโœฃ โŠ โ€ โœฏโœพโโ†โœผโœ“โ‚โ—โŠโƒโœ โœฟโœงโœฃ โœฏ โ‰โœงโ‰ โ โ„โโ—† โœฏ โ€โœŒโ„ โœผ โœฟ Pโ˜โœ โ€โ– โฌ โˆโœŽโœผโœพโ‚โœ™โญ โ–  โœฃ โœ โ˜žโ˜› โœค โ˜› โฝโœ‚โฟโพโ—โž€ โœ„โž‚โžโž„โžƒโ–ฒโž…โž‡โž†โœปโžˆโžŠโž‰โœโž‹โœ”โžŒโจโžโžโžŽโž‡โž†โž‘โžโœฃโžโž“โž’โž‡โž‹ โ˜žโœซโžŒโจโžโž”โž‰โœโž‹โœ”โžโฟโž…โž‡โž‹โ‘จโž‰โœโ†’โœ‚โœพโœฏ โœฟ โŠ โ—†โœŽโœฃโœณโ‰ โœฏโœ—โ‚ โœฏ โœข โ‚ โœฏ โ‰โณโฌโœงโœฃโโป โœผ โœฟโ‹โ—† โœผ โœฟ โŠ โ„ Pโœฆโญโœ•โ‚ โœฃ โœ โœฟโœ’โœฃ โŠ โ‰ โœฏ โ—†โœŽโœฃ โ‰ โ‚โœŒโœผ โœ โœฏ โœ โ„ โ โ„ โŠโœŒโˆ โ‹ โœณ โœ† โœฟ โœ†โ—โ‹ โ— โœฃโšโ€ โœ โœฟโ‹โ‰ โ‚โœŒโœผ โ—†โœŽโœฃ โŠโ—โŠโœ‘โœโ…โŠ โŠ โ€ โœผ โ—†โœฅโฌ โœฏโœพโŠ โ€โœŒโ„ โœ†โœ“โœ โœฃโ–  โœฃ โŠโœŒโœโœงโ‚ โœฏ โœ โ โœฃโƒโœฃโœŽโ€ โŠโœŒโˆ โ‰ โœฏโœพโ‚ โœฏ โœ โ โœฃ โ– โ™ฅโ โ‘ โ–ผ โœญ โœ•โœœโœ› โœ– โœ†โœ”โœ“โœ”โœขโœญP โ˜›โโžฃ โœฟ โœฟ โœผ โ€โ—โœฃ โ‚ โœฏ โœ† โ โœฃโœ„โ€โ—โœฃ โ–  โ‰ โŠโœตP โ‘ โœผ โ—†โœŽโ—† โœ โ‰ โœฏ โ€โœŒโ„ โœผ โœฟโœฝโ‰ โœฏโœ—โ‚ โ P โœฃ โœขโœŒโญ โœฎ โœ† โš โœขโœฃโšโ€ โ– โ โœฃโ˜›โ€โœŒโœฃ โ–  โ‰ โŠโœตโโโœผ โ—† โœฏโœพโโœฌโœฏโœ“โŠโœŒโŠโœŒโœผ โ—†โšโ„ โˆ โœ› โœผ โœฟ โŠ โœฃโœโ‰ โ โœฏ โ—†โœŽโœฃ P โœฏ โœฟ โŠโœตโ โœฃ โŠ โ—† โœผ โœฟ P โ„โ†โ€โœŒโ„ โœผ โœฟ โŠ Pโ˜โœ โ‰ โœฏโœ—โ‚ โœฏ โœข โ‚ โœฏ โ‰โณโฌโœงโœฃโœ„โ‰ โ‚โ—โˆ โ—† โˆโœ•P โœฃโœ•โœฟโœ“โ€โ™ฅโป โ– โœฃโ€โžโ˜โ„ โŠ โ€โœŒโœฃ โœ„ โ˜›

โœ† โ–ผ โœณโ–โ†” โฏ โ†” โœ› โœ– โœ†โœ”โœ“โœ”โœข โœž โฏโ‹โโœฑโ‚โœ† โš โœ† โœญโโ— โœž โ†• โ‘โœฌ โœชโโด โœŽโœฑโž™โœšโ› โœตโ„โโกโž โœฅโœฃโข โ โœ™ โ‘ก โœญ โœ†โฒโ‹โโœฑโ‚โœ† โš โœ† โœญโโ—โ‚โช โ†• โœฅโ‡ โ† โ– โ‹โ€โœฑโ‚โœ†โœ•

โœ† โœญโโ— โ โœ•โœโชโœผโœพโœโœงโ‚โ˜žPโ˜โˆโœ”โž› โœฟโœงโ„ โ‚ โ– โ—† โœผ โ– โœฝโ–  โœฃ โœ โœฟโœโ‰ โ‚โ—โœผ โ—†โœŽโœฃ โŠโ—โŠโœ‘โœโ–ผโŠโœ„โŠ โ€ โœผ โ—†โœฅโฌ โœฏโœพโŠ โ€โœŒโ„ โœ†โœ“โœ โœฃโœโปโ˜โ„ โโœŽโโœบโœฏโœ—โœ โ€ โœ†โโœ โ‘ โ„ โ โŠโœ‘โœผ โ„ โ€ โ–  โœฃ โŠโœ‘โœโœงโ‚ โœฏ โœ โ โœฃ โœฃโœŽโœฟ โ‹โโœฑโ‚โœ† โš โœ† โœญโโ— โ—†โšโœฃ โœ†โโœ โ„โœฟ โ‘ โœฃ โŠ โ€โ˜žโ‰ โœฏโœพโŠโœ„โ โœฃโœžโ—† โœฏโœ“โŠโœ โœฏ โฒโœพโœฃโœŸโ—† โ โœฏ Pโ˜โˆโœ”โž› โœฟโœงโ„โ†โ€โœŒโ„ โœผ โœฟ โ—†โšโ„ โผ P โœฃ โŠโ—โŠโœ‘โœโ–ผโŠโžœโผโœตโ โœฃโ‹โ‰ โ‚ โœฃ โŠโœŒโœ†โโœ โœฃ โŠโžžโžโœงโ‚โ˜žPโ˜โˆ โ‰โ–ผโœฃโœ•โœฟ P โœฏ โœฟโโ€ P โœฃ โš โœฃโšโ€ โœญ โ˜› โœ โœผโœ“โœโœงโ‚ โœฏ โฒ โœผ โ„ โ‚โƒโœ โœฟ

Page 98: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ๏ฟฝโœ„โœ‚โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœŸโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ—โœ–โœ™โœ˜โœšโœŒโœ›โœ†โœœโœžโœ™โœขโœฃโœ’โœ•โœคโœฅโœ”โœ—โœ–โ˜žโœโœ“โœ’โœฆโœ–โœงโ˜›โœœโœ’โœ•โœโœ“โ˜… โœฉโ˜žโœ โ€โœŒโœฃ โโ–ฒโ‚โœŒโˆโœŸโŠโœ‘โœโ…โ โ€ โœฏ โ€โœ’โปโ˜โ„ โโ–ฒโŠโœŒโœโ˜Žโœช โ€ P โœฃโ‹โ‰ โ‚โ—โœผโœพโœ โฒโœ“โœฃ โ‚โ™โโœนโœฏโœฝโŠโœŒโˆ โ‰ โœฏโœพโ‚ โœฏ โœ โ„ โ โ„โ†โ€ โˆ โœฃโšโ€ โ โœฏ โœ โ„ โ—† โœผ โœฟโโ€โ—โ„โ†โœฟ โœ โ„โ†โ€ โˆโ‹P โœฃ โ– โ˜›

โœซโ˜žโœผโœพโœโ–ผโŠ โœฏโœ—โโโโ†โœผ โœฟ โŠ โœฃโœŽโœฟ โโœบโœฏ โ„โ†โ€โœโ—† โœผ โœฟ โŠ โ€ โ‚โ—โœ โ„ โ‚ โœฃ โ โœฃ โ€โ—โœฃ โ–  โ‰ โŠโ™โโโœผ โ—† โœฏโœ—โ โœฃโœ•โœฟ โœ†โโœ โœฏ โ€ โ‚ โœฃ โˆ โ€ โœฏ โ‰โ–ผโœฃ โŠ โœ†โ› โ˜›โœ—โœฌ โœฟโโ€ โ‚โ—โœผโ˜Pโ˜โœ โ„ โ‚ โœฃ โผ โœฏ โ‰ โ‚โ– โญโœŸโŠ โœฏ โฒ โœผ โ„ โ‚โ™Pโ˜โœผ โœฟโ…โœฟโœงโœฃ โ‚โœ„โœ โœฟโ——โ—† โ‚ โ„โ†โ€ โญโœ•โ‚ โœฃ P โ‘ โœฃโ€โžโ˜โ„ โŠ โ€โ—โœฃโœŽโœฟโ…โ—†โœŽโœฃ โœ›โœฏโ€โ– โฌ โˆโœ•โœผโœพโ‚โœ™โญ โ–  โœฃ โœ โ˜žโ˜› ๏ฟฝโŠโœ„ โผโœตโ โœฃ โ‰ โ‚โœŒโœผ โ—†โœŽโœฃ โŠโ—โŠโœ‘โœโ…โŠโœฎโœญ โœ†

โœญ โ‹ โœญ โœ† โš โ— โชโœ“โœฏโœฑโœฐ โน โ†

โ‡ โ† โ‘ก โ‡ โœ˜โœณโœฒ โœฅ โน โ‘โœฌ โ‘ก โœ˜โœณโœฒ โœŽโœฑโž™ โ โœ™ โ โœ• โœ› โœ โ˜žโ˜›โœโ›โœตโœดโ˜Žโœ„โ‘ฆ โ˜›โ‘โœ‚โ——โœผ โœฟโโ€ โ‚ โœฃ โ‚โœ„โœ†โโœ โ‘ โ„ โ โœฃโœทโžโœ”โ„ โŠ โ€โœŒโœฃ โœ โœฟโœงโœฃ โฒโœ“โœฃ โ‚ โŠ โ„ โœผ โœฟ โ–  โœฃ โŠโœ‘โœโ…โ‚ โœฏ โœ โ โœฃ P โœฃ โœญ โœ› โ€โœ™โฌ โˆโœŽโœผโœ“โ‚โ– โญ โ–  โœฃ โœ  โ˜› ๏ฟฝโ˜Žโœ„ โปโœด โ˜›โ‘โœ‚โ——โœผ โœฟโโ€ โ‚ โœฃ โ‚โ‹โœ†โโœ โœฃ โŠ โ„ โœญ โœฃ โŠ โ€ โœ โ„โโ—† โœผ โœฟโโ€โœŒโ„โโœฟ โœ โœฃ โœฏโœ—โโโœผโœพโ‚ โŠโœถโœญ โช โ– โœฃโœŽโ€โœžโ—† โ‘ โœฃ โŠ โ€ โโœนโœฏโœPโ˜โˆโœ•โ‚ โ„โโฒ โˆ โœฃ Pโ˜โœ โ€โ—โœฃ โ–  โ‰ โŠโ‹P โ‘ โœผ โ—†โœŽโ—† โœ โ‰ โœฏ โ€โ—โ„ โœผ โœฟ

โœ›โœฏโ€โ– โฌ โˆโœ•โœผโœพโ‚โœ™โญ โ–  โœฃ โœ โ˜žโ˜› โœ โœšโœ„ โปโœค โ˜›โœ—โœท โœฟ โž› โœฟโฌโป โœผ โœฟ Pโœงโœผ โœฟโœงโœฟโœงโœฃ โ‚ โœฏโ‡P โœฃ โŠโœ„โœผโœพโœ โ€โ—โ„ โ โŠ โ‰ โœผโœพโœโœงโ‚ โ–  โœผ โœฟโโ€ โ‚ โœฃ โ‚โœ„โโœนโœฏ โœ โ„ โ—† โœผ โœฟโœ“โ€โ—โ„โ†โœฟ โœ โ„โ†โ€ โˆโœžP โœฃ โœญ โœ›โœฏโ‰ โœฏโœพโ‚ โœฏ โœข โ‚ โœฏ โ‰โณโฌโ…โœฃ โœ  โ˜› โœด โ˜› โœดโ˜Žโœ„ โ˜›

โœ”โœซโœชโœนโœธโ˜…โœชโœปโœบ โœผโœพโœฝ โƒโ—โœฐโโ€โ„โœผโœŸโœดโœทโœบโœฝโœผ โœฒโ‚โœผโ€โœฟsโจtrโœโ˜Žโœžโ˜…โœ โœŒโœ‰โœพโœˆ โœŒโ‚โโœŽโœโ„โƒ โœ— โœ–โœšโœฃโœฆโœฑโโœ› โœ–โ˜›โœฃโœฆโœ›โœพโš โœ• โฏ โœฉโœทโœ› โœญ โœ• โœ› โœ– โœ†โœ’โœ“โœฃโœขโจโœฟ โœ–โ˜›โœ˜ โฒ โฑโœŽโณ โœ˜โœกโœ”โœœโœ›โœŽโœปโœฐโœพ โœบโœคโœฃโœฆโœ”โœœโœ› โœฉโœปโฒโดโœฉโ™โœงโ˜›โœพโ˜›โœฑโœคโœ”โœขโœพโโโ€โœปโœฐโœฉโ€โœบโœนโœพโ˜›โœป โฑ โœพโœšโœ›โœชโœ–โœšโœ”โœœโœฑโ– โœฉโœคโœบโโœบโœคโœฃโœฆโœ”โœœโœง โœพโœšโœ˜โœกโœ› โœฉโ‘โ„โ… โœญโ‡โ†โœŽโ‹ โš โœ† โœญโโ— โช

โœ“โœฏโœฑโœฐ โน โ†โ‡ โ† โ‘ก โ‡ โœ˜โˆโœฒ โœฅ โน โ‘

โœฌ โ‘ก โœ˜โœณโœฒ โœŽโœฑโž™ โ โœ• โ โœ™โŠโ‰ โœ•โ—โ‹ โœ›โœ‘โ โœ› โœ โ˜žโ˜›โœโ› โœค โœ„โœ’โ˜…โœ”โ——โœปโ—โฉ โ™โ„โ™ฆโœ™โœธโณโœ–โœšโœ›โœฅโ™โ˜›โซโœคโœบโœทโœฉโœŸโœบโœคโœฃโœฆโœ”โœœโœง โœพโœšโœ˜โœกโœ› โœฉโœŸโœฉโ€โœบโœคโœ›โ‚โœบโœทโœพโœšโœ›โœ‘โœ”โ—†โœบโโ– โ€โœพโ˜›โœ”โœœโœ› โœฉ โ„โน โ†

โ‡ โ†โน โ†โ‡ โ†

โน โˆโœฌ

โน โˆโœฌโ–ฒโ‘ โœ‡ โœ›โ‘ขโ‘ก โš โ‰ โœ› โ‘ฃ โœ• โโ™ โ‘คโœ“โ–ผ โ‘ฃโ–โ—† โโ™ โ‘คโ——P โœขqโœข โ‘ โ โœ™ โ โœ™โœโ˜ โ โœ•โƒโ โ—† โ–ฒ โœฎ โœ› โœ โ˜žโ˜›โœโ›โœโ™โŠโœ„

โš โœปโœฐโœ–โ˜›โœฑโœฅโœบ โœ–โœšโœ˜ โœพ โœฟโ‘ฉโœ˜โœ— โœ–โœšโœฃโœฆโœฑโœฒโœ›โœชโœ–โœšโœฃโœฆโœ›โœŸโš โœ• โฏ โœฉโœทโœ›โ‚โœ› โœ–โ˜›โœฃโœฆโœ› โœญ โœ• โœ› โœ– โœ†โœ”โœ“โœฃโœขโจโœฟ โœ”โœœโœปโตโœฉโœ™โ–ผโŠโœ”โ—†โœบโœฅโœ› โœฉโœฒโœฃโœฆโœ˜Pโœฉโœฒโœงโ˜›โœพโ˜›โœฑโœคโœ”โœขโœพโโโ€โœปโœฐโœฉโฒโœพโœšโœป โฑ โœพโ˜›โœ› โœ–โ˜›โœ”โœœโœฑโ– โœฉ โœญ โ‹ โš โœ† โœญโโ— โœ›โœชโœฉโœทโœปโœœโœปโœฐโœฉโ–ฒโœฉโœทโœฃโœกโœฉโฏ โ‘ฃโ–โฑโ†โณโฒ โ† โœ‡โฉโจ โ‹โ–โœญ โ† โญโฌโœญ โ— โœคโชโญ โช โœ– โœฉโœทโœ›โ™โœผโœฅโœฉ โœฃโœฆโœ˜โœกโœ” โ– โ€โœ–โ˜›โœฑโœคโœถ โฑ โœถ โœฉโœทโœ˜โœกโœ› โœฉโ€โœ˜ โ‹ โš โœ† โœญโโ— โฃ โœ› โœ โ˜žโ˜›โœโ›โœ’๏ฟฝโ˜Žโœ„โ‘ฉโดโซ โœปโœณโœฉโ– โ–ผโŠโœ”โ—†โœบโœคโœ› โœฉโœดโœฃโœฆโœ˜Pโœฉโœฒโœงโ˜›โœฉโ€โœฑโœฅโœบโœคโœ”โœขโœ–โ˜›โœ˜ โœบ โฑ โœธโœกโœพโ˜›โœฑโ– โœพโโโ€โœปโœโœฉโฟโฒโœšโœฃ โœธโœ•โœฑโ– โœ–โœฝโœผโœฅโœฉโœคโœบโœฅโœบโœคโœฃ โœบ โœบโœคโœ›โœชโœ–โœฝโœผโœฆโ™โœกโœพ โœบโœคโœ›โจโœ”โœŽโœฉโ€โœฃโœกโœฉ โœญ โšโถโœŸโฑ โœถโฒโœ–โ˜›โœ˜โณโœบโœคโœ›โจโœฑโ– โœพโ˜›โœ›โจโœ”โœขโœ–โ˜›โœ˜โฉโ„

โœญโ‡โ†โœŽโ‹ โš โœ† โœญโโ— โญโฌโœญโ‡โตโœŸโ‹ โš โœ† โœญโโ—โ‚โชโœ“โœฏโœฑโœฐ โน โ‡ โต

โ‡ โ† โ‘ก โš โ‰โœณโ‹โ—โญ โ‘ฃ โœ• โš โ— โน โ‘โœฌ โ‘ก โš โ‰โตโ‹ โ‘ฃ โœ• โ โ‘ค โ— โ โœ™ โ โœ•โญ โœ“โœฏโœฑโœฐ โน โ†

โต โ‘ก โš โ‰โœณโ‹โ—โญ โ‘ฃ โœ• โš โ—โน โ‘โœฌ โ‘ก โš โ‰โœณโ‹ โ‘ฃ โœ• โ โ‘ค โ— โ โœ™ โ โœ•โœทโœโ›โ—โโกโžโขโžโขโฃโˆโคโ„โœโฆโฅโงโโกโ›โ™ฅโ™ โœฅโฃโˆโโ™ฃโ™ฆrqโœ•โฃโ„โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ› โ‘ โšโ˜žโ–ผโฌt โ‘ โœค โœง โœฏ โ‹ โ‘ โš โ‘ โœค โ–ผ โ‘ t โ‘ โœค โ— โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โœ—s โœ โ™ rqโœ•โ›โขsโฆโ›โœˆโœ‰โœ—โฃโ„โโœ‡โ™ฆrqโœ•โฃโ„โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ› โœ†

โœ‡โฌโ‘  โ‘ โœญโ‡โ†โœŽโ‹ โš โœ† โœญโโ— โญโ‘กโœญโ‡โต โ‹ โš โœ† โœญโโ— โ‘ โœคโชโ‘ข โœง โœ“โœฏโœฑโœฐ โœค โœ‡ โธ โœซโœซโœซโœซ โน โ‡ โตโ‡ โ† โ‘ก โš โ‰โœณโ‹โ—โญ โ‘ฃ โœ• โš โ— โน โ‘

โœฌ โ‘ก โš โ‰โตโ‹ โ‘ฃ โœ• โ โ‘ค โ— โ โœ™ โ โœ•โœซโœซโœซโœซโœค โบโ‘ฃ โ‘คโชโ‘ฅ โ‘ฆโ›โœณโ‘งโžŠโ

โ–ผ โœ“โœฏโกโœฐ โœค โœ‡ โธ โœซโœซโœซโœซ โน โ†โต โ‘ก โš โ‰โœณโ‹โ—โญ โ‘ฃ โœ• โš โ—

โน โ‘โœฌ โ‘ก โš โ‰โœณโ‹ โ‘ฃ โœ• โโ™ โ‘ค โ— โ โœ™ โ โœ•

โœซโœซโœซโœซโœค โบโ‘ฃ โ‘คโชโ‘ฅ โ‘ฆโ›โœณโ‘จrโ

Page 99: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœฉโณโœฉ โœคโœ๏ฟฝ โœžโœ„โœ‚โœโœ’โœ•โœโœโ˜ŽโœฎโœŒโœโœ†โœ๏ฟฝโœพโœžโœžโœ‚โœŸโ˜Ž โœ”โœ โœ‚ โœ”โœฅโœ โœ˜โœโ˜› โœโœ“โœŒโœŸโœกโ˜›โœ‚โœฃโœโœพโœ†โœฃโœ” โœค โœžโœšโœ† โœ˜โœโ˜›โ˜žโœกโ‚โœขโœโœŒโžฃ โ› โโœโœŽโ˜Žsโฆโ›โœ’โœ‘ โœ†โ‹โœ”โœ“ โ— โœง โœ‡ โธ โœซโœซโœซโœซ โน โ‡ โต

โ‡ โ†โน โ‘โœฌ โ‘ก โš โ‰โตโ‹โ˜Žโญ โ‘ฃโœ–โœ• โš โ— โ‘ก โš โ‰โœณโ‹ โ‘ฃโœ–โœ• โโ™ โ‘ค โ— โ โœ™ โ โœ• โœซโœซโœซโœซ

โœค โบโœง โœ‡ โœ— โน โ‡ โตโ‡ โ†

โน โ‡ โตโ‡ โ†

โน โˆโœฌโน โˆโœฌ โ‘ก โš โ‰โœณโ‹โ—โญ โ‘ฃ โ‹ โ—† โ–ผ โœ• โ— โš โ— โ‘ก โš โ‰โตโ‹ โ‘ฃโœ–โœ• โ โ‘ค โ–ผ โ‘ฃ โ—† โ โ‘คโ——P โ— โ โœ• โ โ—† โ โœ™ โ โœ™ โ˜โœ™โœ˜โžฃ โ›โœโฅโ˜Žโ™ rโคโœณโฃโˆโคโ„โœ‰ qโœ›โœš โโกโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœ•โ›โงโโกโ›โ™ฅโ™ โœฅโฃโœขโœœ โฌโœพโœ„ โž sโกโ™  โฌ โญโœตโœ‰โœปqโœโœฃโœฅโœคโœงโœฆโœโ›โœโ™โŠโœ„ โœโ™ฅโฅโขโค โ›โœˆsโณโฅโœˆโœ‰โœ—โž qโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ™ฃq โ™ โœ„โœŽโœฉโœœ โคโœณโ›โ™ฅโ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœชโฆqโœ•โ™ฆโœปโ™ โœปโคโˆโ™ฆโœ—โฃโœขโœœ sโณโ™ฆโœฌโœŽโ˜Žโ™ฆrqโœญโœŽโœฉโœœ โคโœณโ›โ™ฅโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโณโ™ฆ โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ›q โ™ โœ„โœŽโ˜Žsโฆโ›โœ’โœ‘โœฑโœŽโ˜Žqโœ›โœš โโœณโœฒโœฆsโณโ™ฆrqโœ•โ™ฆโœฒโ‹โœขโœ“ โ— โœ†

โ‘ โ‹โœขโœ“ โ— โ‘ โœง โน โ‡ โตโ‡ โ†

โน โ‡ โตโ‡ โ†

โน โˆโœฌโน โˆโœฌ โ‘ โœ‡ โœ›โคโ‘ก โš โ‰โœณโ‹ โ‘ฃโœ–โœ• โ โ‘ค โ–ผ โ‘ฃโ–โ—† โ โ‘คโ——P โ— โœข โ‘ โ โœ• โ โ—† โ โœ™ โ โœ™ โ˜โžฃ โ›โ™ฃsโœตโœดโ˜Žโ™ rโคโœณqโœตโ›โฆโ™ โœฃโฅโขโ›โขqโœฎโ™ฆrqโœ•โฃโ„โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ›โ™ฃโœ‰โœปโคโœถโœšโ˜žโคโˆโฃโ„โโกโคโˆโ™ฆโœปqโœฅโž sโณโฅโขโ™ฆ โ‹โœ”โœท โ— qโœ•โ›โœธโœ‘ โฌ โโกโ›โœนโœฏโฆqโœตโโกโ›โ™ฅโ™  โฃโˆqโœตโœ‰โœบโœด sโณโ™ฆrโ›โขqโœโœ‰โœบโœŽโœฉโœœ โคโœณโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœปโœฏโณโ™ฆ โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ›โœ‡qโœตโ› โš โœฆโ™ฅโœทโœโ›โœธโœชโณqโœตโ™ฆ โ™ rโฅโœŽโ˜Žqโœฅโฃโœฅโœœ โฌโœพโœ„ โžโงsโณโ™  โฌ โญโœโœ‰ qโœผโœฃโœ–โœคโœงโœฆโœโ›โœโ™โŠโœ„ โป โฃโˆqโœตโœ‰ โคโˆโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœฐโœฏโฆโ™ฆrโโณโฃโœณqโœโœ‰โ‘โ‹โœ”โœ“ โ— q โ™ โœนโ‹โœขโœท โ— โœ‘โœ•sโณโ›โœงโœชโณqโœตโ™ฆโœซโœฏโฆqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœฝโœชโฆqโœ•โ™ฆ โœ‰ โœ– โœฃโโฅโขโ›โœˆโค โโsโฆโ™ฆโœซโœšโœโœฎโœฐโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™ โœqโœตโ›โœตโ‹ โš โœ† โœญโโ— โœ„โœพโœฆโฆโœซโœšsโณโฅโœˆโœ‰โโœฟโœชโณsโฆโ›โœˆโœ‰โœผโœŽโ˜Žsโฆโ›โœ’โœ‘โœธโœšโ™ฃsโณโ›โ™ฅโ™ rโ™ฆโœปqโœตโ™ฆโœ‡โœโ™ฅโฅโขqโœพโฃโˆโ โœ‰ โฅโขโคโœณโ™ โœปqโ€โœŽโ˜Žq โโsโณโ›โœ’โœ‘ โ™ โœปโคโˆsโณโ›โœˆโœ‰ โ–  โœญโ‡โ† โ–ผ โ‰ โœ• โ‹โœบโ Pโœพqโœตโœ‰ โ™ โ‚โœŽโ˜Žqโ˜›โƒโœŽโโกโฅโ„โœ‘ โฌโœ‘โœ„ โœŽโขโโณโ›โœˆโœ‰ โฃโœฅโœœ qโœตโœ‰โœปโžโœˆโโœตโœ‘โœ•qโ…โฌโœคโ˜…โ‹โœฅโ† โ— โœฆโ„โ‡โœœโโ™ฃโœ‰ โฅโขโคโœณโ™ โœปqโœฑโœ‘โœ•sโณโ›โœงโœชโณqโœตโ™ฆโœซโœฏโฆqโœญโœŽโ˜Žsโฆโ›โœ’โœ‘โœ›โœชโณqโœตโ™ฆrโœ‰โœŽโฅโขโ›โขq โโsโฆโ›โœ’โœ‘โชโ™ rโคโœณsโฆโ›โ—โœญโ€qโœ•โฃโˆโฃโˆq โโณโฅโœˆโœ‰rโœ‰ โคโˆโ…โฌโœค qโœ•โ™ โ‰โœ‘ q โฅโขโ›โขโคโœฐโโsโณโ™ฆโ˜…โœšโœโœฎโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœฎqโœ•โ› โ‹ โš โœ† โœญโโ— โœฆโŠโœ“sโฆโฅโขโ™ฆโ‹โœšโ™ฃsโณโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrqโœ•โ™ฆโœ“โฃโˆqโœฎโœ‰ qโ—โœ‘ sโณโ›โ„โœŽโœถโž sโณโคโˆโ›โฆโ™  โป โคโœณโฃโขโœ‰โœปโฅโ˜Žโœชโ™ฃโ™ โœŸโœŽโœฉโœœ โโกโžโขโžโœˆโฃโœณโคโ„โœโ™ฅโฅโขqโœ•โ™ฆ โฃโˆqโœฃโ™  โฌ โœฎโœ•sโฆโ™ฆโ– โญโœปโœšโ™ฃqโโโsโฆโ›โœ’โœŽโขโโœตโœšโ˜žqโœตโ›โ™ฅโ™ rโโกโฃโโœŽโ˜Žqโœ—โฃโ„โ โœ‰โ– โœฎโœตโžโœˆโโกโ™ฆ โโโœดโขโคโˆโฃโˆโค โ™ โ˜…โœฎโ‘ โ–ฒ โœฉโœฟโ–ผโœ‘โžโ—†โœฆโœ„โ™โ–โœคโโœฆ โฝ

Pโœซโœชโœนโœธโ˜…โœชโœšโœฌ โ—— โƒโ™ฃโœฟโชโœผโœŸโœฐโโ€โ˜žโ˜โฅโƒโ—โœบโœฝโœธ โœดโœซโ€โœนโƒโ—โœดโ˜…โœณโ‚โœผโ–โœฎโ‹โ™โ˜Žโœธ โœถโ˜›โœฐ โœฟโฏโšโฏโฑsโจtrโœโณโฒโ„โจโœŒโœ‰โœพโœˆโฌโฉโ‚โโœฉโญ โโœžโชโดโซโโœปโœ™โตโ€โœบโœโ›โœฅโโ– โœพโกโžโœฐโตโœ™โœผโœฐโ›โฃโขโœณโซโคโโœซโตโ€โœบโ‘ฅโฒโโœ โœธโˆโโœซโขโœฝโœผโ˜…โตโ€โœบโœฅโœบโฅโœ โœบ โœญ โตโ€โœบโฅโ›โœนโœผโœฌโขโœณโฆโœ’โ›โœฅโซโคโฆโœ’โœโงโตโœฐโฆ โ‹ โš โœ†โœซโ™  โ— โ‹ โ——โœโœธโœ•โœบ โœฟ โœพโ˜›โœปโœ™โขโโโœฅโœบ โœญ โตโ€โœบโœฌโ› โ‹ โ——โœโœธโ˜…โœบโœปโœฐโœพ โฒ โฑ โโฅโซโคโ™ฅ โฑ โตโ–ฒโฒโœณโœโ™ฆโ›โฃโตโœพโ™ฃโ‰qโ˜…โœบโจโฒโฌโฉ โขโœฝโœผโœฅโœผโœพโœโ—qโœกโœพโœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆโฑโฒโœตโตโœทโ โšโถโœŸโฑ โ™ฃrโขโœณโฆโณโœบโฅโ›โœฅโโ– โœพโœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆโฉโ„โ‡โœบโœœ โโกโžโขโžโœˆโฃโœณโคsโœ‘โœ•โโกโ™ โœปโคโˆsโณโ› โš โœž โœ“โœฏโœฑโœฐ โ‘ก โš โ‰โœณโ‹โ—โญ โ‘ฃโœ–โœ• โš โ— โน โ‘t โ‘ก โš โ‰โœณโ‹ โ‘ฃโœ–โœ• โโ™ โ‘ค โ— โ โœ™qโœตโœ‰ โ™ โœŸโœ‘ sโฆโ›โฆโ™ rโคโœณโ› โฅโขqโœฅqโœตโ› โš โž sโณโฅโขโ™ฆ โ™ rsโณโฅโ˜Žโ™ โœบโ™  โœ•โœœโœ› โœ– โœ†โœ”โœ“โœ”โœขโœฅโœฆโโŠ โโณโ™ฆโœบโœ‘ sโณโ›โงโœ‰โ– โœฎโœโœโฆโฅโœˆqโœ•โ›โ™ฅโ™  โป โœญ โ† qโœตโœ‰ โ™  โฅโขโ›โœˆq โโsโณโ›โœ’โœ‘ โ™ โœปโคโˆsโณโ›โœธโœ‘ sโฆโ›โ™ฅโ™ โœปโคโˆโ›โ™ฅโฅโœˆqโœ„โœŽโ˜Žq โš โœ‘ sโ–โœšโœโœšโ˜žqโคโœณโ›โ™ฅโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโณโ™ฆ โโกโฃโˆq โœ‰โœปโฅโขโ™ฆโ‡โฅโขโ›โœ‰โœŽโ˜Žsโ–โœš โโกโคโˆโ›โขqโœˆโœด sโณโ™ฆrโ›โœนโœฎโœโœŽโ—†โœœ โฅโขโ›โœˆq โโsโฆโ›โœ’โœ‘โชโ™ rโคโœณsโฆโ›โœ‰โœ‘ sโฆโ›โ™ฅโ™ โœปโคโˆโ›โ™ฅโฅโœˆqโœตโœฆโดโŠ โโณโ™ฆโœ‡โœ‘โœ•sโณโ›โœˆโœ‰โœซโœฎโœตโœโ™ฅโฅโขqโœตโ›โ™ฅโ™  โ†•โ‹โ‘ โ‘ก โœญ โ† โ‹ โœ• โœ†โœซโ™  โ—โœนโ โœ• q โž โคโˆโœ‰ โ™ โœปqโžโงsโฆโฅโขโ™ฆโœ—โ™ โœปsโฆโฅโ˜Žโ™ โœฎโคโˆโ›โฆโ™ rqโœ•โ™ฆโ˜…โœชโœฑโโกโฃโˆโฃโœณqโฅโž›โœˆโ›โขโค โœ› โ‘ข โœ†โ˜…โ‘ฃโ‘จโœขโ—†โ‘ค โฏ โœฆ

โ‘ฅ sโณโคโœณโ™  โœ› โ‘ข โœ†โ˜…โ‘ฃโœฆโœขโœบโ‘ค โฏ โœฆโœŸโƒโœฃsโ–โœšโ‚โœšโ™ฃqโœ‡โฃโœขโœœ โคโœณโ›โ™ฅโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโณโ™ฆ โโกโฃโˆqโœถq โž โคโ„โœ‰ โ™ โœปq โป sโณโ› โžโงqโœตโฅโ˜Žโ™ โœ›โœŽโขsโณโ›โœ’โœ‘โœ‡โโกโžโขโžโขโฃโˆโคโ„โœโฆโฅโœˆqโœ•โ™ฆโœšโฃโˆqโœถโ™  โฌ โœฎโœ•sโฆโ™ฆโ– โญโœปโœšโ™ฃqโœโœŽโ˜Žqโ‚โ‘ฆโขโฅโœนโœดโขโคโˆโ›โขโค q โ™ sโœตโœดโ˜Žโ™ rqโœ•โ›โขโคโˆโ™ฆโœฎโโกโคโˆโ›โœˆโœ‰โœปโคโ‹โ‘ง โน โ‘ โ‘ก โœญ โ† โ‹ โœ• โœ†โœซโ™  โ—โโ โœ• โชโœ“โœฏโœฑโœฐ โน โ†

โ‡ โ†โน โ‘ โ‘ก โ‘ก โš โ‰โœณโ‹โ—โญ โ‘ฃโœ–โœ• โš โ— โ โš โน โ‘

t โ‘ก โš โ‰โตโ‹ โ‘ฃโœ–โœ• โโ‘ฅโ‘ค โ— โ โœ™ โ โœ•โžฃ โ›โœพqโœโœ‰โœฆโ™ โœญโœšโ™ฃโโณโคโœณโ›โ™ฅโ™ rqโœ•โ›โœˆโโณโ›โฆโ™ โœฎqโœตโ›โ‘จโœšโ˜žqโœโœ‰ โฅโœˆโ™ฆโœปqโœผโœŽโœฉโœœ โโกโžโœˆโžโขโฃโœณโคโ„โœโ™ฅโฅโขqโœ•โ™ฆโœšโฃโˆโโ™ฃโ™ฆrqโœ•โฃโ„โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ›โ‘ฉโœฃโœ–โœคโœงโœฆ โ‘ฆโœตโถโœโœŽโ˜Žโฅ โ™  โฌ โœฎโœ•sโฆโ™ฆโ– โญโœปโœšโ˜žqโœฑโœŽโœฉโœœ โคโˆโ›โณโœชโฆqโœ•โ™ฆ โœ‰ โคโˆsโณโ›โœพqโœ•โ› โ™ rsโณโฅโ˜Žโ™ โ‹ โ‘ข โœ†โ˜…โ‘ฃ โ— sโœญโœฌโ‚โท qโœตโœ‰ โ™ โœบโœ‘ sโณโ›โ™ฅโ™ rโคโœณโ› โฅโขqโธโœ‘โโœœ qโœตโœ‰ โ™ โœบโนโœ›โœŽโ˜Žโคโœณโ™ฆrqโœŽqโœ•โ›โ˜žโ™ โœปsโฆโฅโ˜Žโ™  โ‹ โ‘ข โœ†โ˜…โ‘ฃ โ— โžโขโฅโœˆโคโˆโœ‰rโœโ™ฅโฅโขqโœ„โท qโœโœ‰โœฆโ™ โœโโโœดโงโœ‰ sโฆโฃโœณโฅโœนโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™ โ‹โœ‘ sโฆโ›โ™ฅโ™ โœปโคโˆโ›โ™ฅโฅโœˆqโœตโœฆโโžฃ โ›โ˜žsโœตโœดโ˜Žโ™ rโคโœณqโœตโ›โฆโ™ โโกโฃโˆsโณโ™ฆ โœ‰โœ‡โ‘ง

โฏ โ‘ฃโ–โฑโ†โณโฒโœˆโบ โน โ‘ โ‘ก โœญโ‡โ†โœŽโ‹ โœ• โœ†โœซโ™  โ— โ โœ• โช โฏ โ‘ฃโ–โฑโ†โณโฒโœผโบ โœ“โœฏโกโœฐ โน โ†โป โ† โ‘กโ–โปโดโผ โœฒ โ‘  โญ โ‘กโ–โปโดโผ โœฒ โ‘กโญ โ‘ฃโœ–โœ• โน โ‘

t โ‘ก โšโœตโฝ โ‹ โ‘ฃโœ–โœ• โ โ‘ค โ— โ โœ™ โ โœ•โช โทโฒโ‹โœขโ‘ฃโœŒโœ†โ– โ™  โ— โญโพโทโฒโ‹ โ‘ข โœ†โ– โ™  โ— โœฃโœ–โœคโœงโœฆโœโ›โœฟโœคโœตโถ

q โ™ โœ„โœ‘ q โ‹โœŸโผ โžโœˆโ™ฆโœปqโœโœ‰โœปโœโ™ฅโฅโขqโ‡โœ‰โ—โžโขโ™ฆrqโœฐโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™ โ—โœฆ

Page 100: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ†โœ๏ฟฝโœ„โœ‚โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœŸโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ—โœ–โœ™โœ˜โœšโœŒโœ›โœ†โœœโœžโœ™โœขโœฃโœ’โœ•โœคโœฅโœ”โœ—โœ–โ˜žโœโœ“โœ’โœฆโœ–โœงโ˜›โœœโœ’โœ•โœโœ“โ˜… โœฉโœ๏ฟฝโœ‚ โฉโœพโœˆโ˜Žโœ„โโจโœโœ†โœŸโœžโœฝโฉโ‚โโœฉโญโœฅโŠโœกโœ  โต qโˆโโœซโขโœโโ˜žโ˜›qโซโœฐโ™ฃโœโตโ‚โตโœโœŒโฅโ›โ˜…โœฉโœพโœโœ’โตโœŽโ˜›โ—โฉ โตโœพโฆโœโœŒโœฐโตโœพโ™ฃโ‘ฅโโœ‘โ˜›โœถโต โฒโœตโตโœ‘โœŒโœ“โœ’ โขโœ•โœ” โœฃโœฅโœคโโœฆโœฐโ›โœณโœคโโถ โตโœ‘โœŒโœฌโ› โ™ฅโœปโโœ—โœ–โœณโซโœ”โตโœˆโตโœ‘โœŒโฅโ›โœ™โœ˜โœฌโตโœฐโโฅโ›โœ–โตโœ‘โœŒโœญโฆ โฑโœ›โœš โ˜› โซ โœš โตโœœโœ–โœโโ˜žโ˜›โœ™โตโ™ฃโœขโœ–โโซโœฃโœŒโœคโœŒโœฌโœโœฅโœŒโ˜žโœ˜โœฌโตโฃqโดโ›โœฅโซโœŽโโœ‘โ˜›โœ™โตโฟโฒโœตโตโ–ฒโฒ โฑ qโœ’โตโœพโฆโœฝโฒโœณโโœซโตโฟโฒโœตโตโœฆโ˜›โ—โฉ โซโคโฆโ„โ›โœ–โตโœฐโโฅโ™ฅโœโœ–โœโ˜›โœงโ˜›โœ™โต โœ› โ‘ข โœ†โœฌโ‘ฃโœฆโœข โšโœ‚โœˆโœœ โฅโขโ›โขq โžโœˆโโณโ™ฆ โ™  โป โฃโœฅโœœ โโณโžโขโžโขโฃโˆโคโœถโœ‘โœตโโœฑโ™ โœปโคโˆsโณโ› โš โœž โœญโ‡โ†โœŸโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ qโœตโœ‰ โ™ โœˆโœ‘ sโฆโ›โฆโ™ rโคโœณโ› โฅโขqโ™ฃqโœ•โ™ โœผโœดโงsโฆโ™ฆโœปโ›โœนโœฎโœตqโ™ฆโœฃโโžโœˆโโณโ™ฆ โ†

โœซโถ โป โฃโœฅโœœ โโกโžโขโžโขโฃโˆโคsโœ‘โœ•โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ› โš โœžโœ‡ โจโœปโ‘ โœญโ‡โ†โœŸโ˜… โšโœฌโœฉ โ‘ โœค โญ qโœตโœ‰ โ™ โœบโœŽโ˜Žsโณโ›โ„โœ‘โœ โœ‘โœ•sโณโ›โ™ฅโ™ โœปโคโˆโ› โฅโขqโœตโœฆโ˜โœ‚โœโœœ โโกโฅโ˜Žโ™ rโ™ฆโœปqโœ—โžโœˆโโณโ™ฆ โ™  โป โฃโˆโโ‡โ™ฆrqโœ•โฃโ„โโœฑโ™ โœปโคโˆsโณโ›โ€โœฃโœฅโœคโโœฆโœฐโ›โ™ฅ๏ฟฝโ–โถโœœโ›โขsโณโฅโงโœ‰ โโณโœ‰rโœ‰ โฅโขโ™ฆrqโœ—โœโฆโฅโœˆq โœ‡ โจrโ‘ โœญโœญโ˜… โšโœฌโœฉ โ‘ โœค โญโœฏโœฎโœฑโœฐq โ™ โ™ฃโฃโœขโœœ โโกโžโœˆโžโขโฃโœณโคsโœ‘โœ•โโกโ™ โœปโคโˆsโณโ› โš โœž โœ‡ โจ โ‘ โœญโœญโ˜… โšโœฒโœฉ โ‘ โœค โญ qโœตโœ‰ โ™ โœธโœ‘ sโณโ›โ™ฅโ™ rโคโœณโ› โฅโขqโœq โ™ โœธโœŽโ˜Žsโณโ›โ„โœ‘ โคโˆโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœฐโœฏโฆโ™ฆrโโœตโœดโขโฃโˆqโœโœ‰โœปโฅโขโ™ฆโ˜žโ™ โœปsโณโฅโขโ™ โ™ฃโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœชโœฑโโกโฃโˆโฃโˆq โž›โœˆโ›โœˆโคโœขโœฆโ‹โŠ โโกโ™ฆโ‘ฆโขโฅโœนโœดโœˆโคโœณโ›โขโค โป โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โœฅโโœฟโœชโณsโฆโ›โœˆโœ‰โœ‡โ‘ง โน โ‘ โ‘ก โœ‡โฉโจ โ‘ โœญโœญโ˜… โšโœฌโœฉ โ‘ โœค โญโœดโœณ โš โช โœ‡ โธโœ’โน โ‘ โ‘ก โ‘ โœญโœญโ˜… โšโœฌโœฉ โ‘ โœค โœณ โš โบโœ‚โœšqโœผโœ‘โœ•q โ™ โœปโ™ โœปq โ™ฆrqโœ•โฃโ„โโœฑโ™ โœปโคโˆsโณโ› โป sโฆโ›โ€โœ‘โœ•sโณโ›โœ’โœ‘โœ•โฃโœณโฅโขโ™ โœšโœโฆโฅโœˆq โ†• โ‘ โ‘ก โ‘ โœญโœญโ˜… โšโœฒโœฉ โ‘ โœค โœณ โš โœฎโœฑโœฐ โ‹โฌโผโ–โžโ—†โœฆ โœ‰โœปโœฆโžฃ โ› โโพโœŽโ˜Žsโฆโ›โœ’โœ‘ โœšโ™ฃsโฆโ›โฆโ™ rโ™ฆโœซโœฎโ—โœโ™ฅโฅโขq โš โœž โœญโœญโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ qโœตโœ‰ โ™ rโœŽโขqโ‘จโœ‘โœตโโกโ™ฆrโ™ฆโœซโœฎโœโคโœณโ›โ™ฅโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโณโ™ฆ โโโœดโœˆโฃโœณq โœ‰ โฅโœˆโ™ฆโœ‡โ™ rsโณโฅโ˜Žโ™  โœ› โ‘ข โœ†โ˜…โ‘ฃโœฆโœขโœปโ‹โœŸโผ โžโ—†โœฆ โœ‰โœปโœฆโœบโƒโœฃqโ—โœโ™ฅโฅโขโคโคโœ™โœšโ™ฃโžโขโฃโˆโคโ„โœโฆโฅโœˆqโœถโœโฆโฅโœˆq โš โœž โœญโœญโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ qโœตโœ‰ โ™ โœšโโโœดโงโœ‰ sโฆโฃโœณโฅโœนโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™ โœฎโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœปโœฏโณโ™ฆ โโโœดโขโฃโˆq โœ‰ โฅโขโ™ฆโœฎโ™ โœปsโณโฅโขโ™  โœ› โ‘ข โœ†โœฌโ‘ฃโœฆโœขโœŸโ‹โฌโผโ–โžโ—†โœฆ โœ‰โœฐโœฆโ˜Žโœทโœโ™ โœญโœŽโ˜Žsโณโ›โ„โœ‘ โป sโฆโ› โโ–ฒโ‹โœŸโผ โž โœฆ โœ‰โœปโœฆ โปโš โœž โœญโœญโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ qโœโœ‰โœฆโ™ โœšโโœตโœดโœˆโœ‰ sโฆโฃโœณโฅโœ’โœšโ˜žqโœตโ›โ™ฅโ™ โœŽโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœฐโœฏโฆโ™ฆrโโœตโœดโขโฃโˆq โœ‰โœปโฅโขโ™ฆโœ—โ™ rsโณโฅโ˜Žโ™  โœ› โ‘ข โœ†โ˜…โ‘ฃโœฆโœขโœ–โœฆ

โŠโœ“sโฆโฅโขโ™ฆโœ—โ™ โœปsโฆโฅโ˜Žโ™ โœฎโ‰ โœ•โœพโ‹โœบโ โป sโณโ› โโ‘จโ‘งโœตโœตโœตโœตโœตโทโœถโ˜…โœขโ‘ฃโทโœ† โœ’โœชโœฉ โญโ‘ฉโทโœถโ˜… โ‘ข โœ† โœ’โœชโœฉ โญ โน โ‘ โ‘ก โœญโœญโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ โœณ โš โœตโœตโœตโœตโœตโœง โœตโœตโœตโœตโœต

โทโœถโ˜…โœขโ‘ฃโœŒโœ† โœ’โœชโœฉ โญโพโทโœถโ˜… โ‘ข โœ† โœ’โœชโœฉ โญ โน โ‘ โ‘ก โœญโ‡โ†โœŸโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ โœณ โš โœตโœตโœตโœตโœตโ‘ฃ โ‘ค โ‘ฅ โ‘ฆโ›โœธโœทโžŠโ โ–ผ โœตโœตโœตโœตโœต

โน โ‘ โ‘ก โœญโ‡โ†โœŸโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ โœณ โš โญ โน โ‘ โ‘ก โœญโœญโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ โœณ โš โœตโœตโœตโœตโœตโ‘ฃ โ‘ค โ‘ฅ โ‘ฆโ›โœณโ‘จrโโœ‚โœˆโœœ โฅโขโ›โขq โžโœˆโโกโ™ฆโœปโ™  โป sโณโ› โโœธโœฃโœ–โœคโœงโœฆโœโ›โœฟโœคโœตโถโœ“q โ™ โœ โœŽโขsโณโ›โœ’โœ‘โœŽโ˜…โœบโœน โœฉ โ™ โœปqโœตโ›โœ’โœŽโœโœชโณqโœตโ™ฆrโœ‰ โœ– โ‹โฌโผโ–โžโ—†โœฆ โœ‰โœฐโœฆโกqโœ•โ™  โœŽโœฉโœœ โโกโฅโ˜Žโ™ rโ™ฆโœปqโœšโžโœˆโโกโ™ฆโœปโ™  โป qโœ•โ›โœงโฅโ˜Žโ™ rโคโœณโฃโˆโคโ„โœ‰โœปโโณโ›โฆโ™ โœฃโฃโœขโœœ โคโœณโ›โœ’โœฎโœฐโœฏโฆโโณโฃโœณโคโœณโ™ โœซโœฎโœŽโ˜ŽqโœˆโƒโœŽโโกโฅโœ’โœ‘ โฌโœพโœ„ โผ โ‘ฅ โœ‘ โฌโœฅโœป โโณโ™ฆโœฝโœผ โป โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โœฅโโœฟโœชโณsโฆโ›โœˆโœ‰โœญโ‘งโ˜…โœขโœท โœฉ โœค โœง โธ โน โ‘ โ‘ก โ‘ โœญโ‡โ†โœฌโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ โœณ โš โญโฌโœญโœญโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ โ‘ โœณ โš โบ โœค

โœง โน โ‘ โ‘ก โ‘ โœญโ‡โ†โœŸโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ โœณ โš โญโ‘กโœญโœญโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ โ‘ โœค โœณ โš โฃ โน โ‘ โ‘ก โœ“ โœณ โšโœ‡ โจ โ˜…โœขโœท โœฉ โœค โญ โœง โ‘ โ‘ฃโœซโญ โ‘ข โ‘ โœ‡ โธโœ’โน โ‘ โ‘ก โ‘ โœญโ‡โ†โœฌโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ โœณ โš โญโ‘กโœญโœญโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ โ‘ โœค โœณ โš โบโœง โ‘ โ‘ฃโœซโญ โ‘ข โ‘

โน โ‘ โ‘ก โœ‡ โ‘  โ‘ โœญโ‡โ†โœŸโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ โœณ โš โญโ‘กโœญโœญโ˜… โš โœ† โœ’โœชโœฉ โ‘ โœค โ‘ข โœณ โšโ‡โœŸโโœˆโœŽโขqโœ•โ™ฆrโ›โขโคโœฐโญโœตโ™ฆโœปqโ‰โœฎ โ™ rโโณโžโงqโœ‡โœŽโโœฎโœปโœ‘โœ•sโณโฅโขโฃโˆqโ‰โœŽโ˜Žqโœ‡โ‘ฆโขโฅโœนโœดโœˆโคโœณโ›โขโค โžโขโฅโœˆโคโˆโœ‰rโœโ™ฅโฅโขqโœšโฃโœฅโœœ โคโˆโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœปโœฏโณโ™ฆ โโกโฃโˆqโœฎqโœตโœ‰ โ™ โœ โœŽโโœฎโœ”โž›โœˆโ›โขโคโˆqโœตโœฆโ™ฅโœฌโ——โฃโงโ›โœˆqโœšโ™ฆrqโœตโœ‰ โ™ โœปqโœšโžโœˆโฃโœณโฅโœˆโœ‰โœŽโœโ™ฅโฅโ—†โœœ โนโœฒโ โโกโคโˆโ™ฆrqโคโœณโ›โ™ฅโ™ rqโœ•โ™ฆโ˜…โœชโณqโœ•โ›โœˆโคโœณโ™ฆโœ‡โฃโˆโ โ™ฆโœปqโœตโฃโˆโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ› โœฃโœฅโœคโโœฆโœฐโ›โ™ฅ๏ฟฝโ–โถโœถโžโงsโฆโฅโขโ™ฆโ‚โœ‘โœ•sโณโ›โœ’โœ‘โœ•โฃโœณโฅโœˆโ™ฆโœปq โน โฃโˆโโœ‰โœ‘ sโฆโ›โณโœชโฆqโœ•โ™ฆโ˜…โœฏโณqโœตโ›โœ’โœ‘ qrโœชโฆqโœ•โ™ฆ โœ‰ โœ– โ‹โœŸโผ โž โœฆ โœ‰โœปโœฆ โœŽโ˜Žqโœพโ˜…โœ”โœท โœฉ โœฆ โžฃ โ›โดโโœ‰โœŽโ˜Žsโณโ›โœ’โœ‘โœšโ™ฃsโณโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆโ˜…โœฎโ‡โœโ™ฅโฅโขq โž sโณโฅโœˆโ™ฆโœ—โ™ โœปsโณโฅโขโ™ โœฟโ˜… โ‘ข โœ†โ˜…โ‘ฃ โœฉ โœ• โฏ โœค q โ™ โœฅโ™ rsโณโฅโ˜Žโ™ โœ„โ™  โœ• โฏ โป sโณโ› โโ‘จโ‘ง

โทโœถโ˜…โœขโ‘ฃโทโœ†โœซโ™  โœ† โœ’โœชโœฉ โญโพโทโœถโ˜… โ‘ข โœ†โ– โ™  โœ† โœ’โœชโœฉ โชโน โ‘ โ‘ก โœญโœญโ˜… โœ• โœ†โœซโ™  โœ† โœ’โœชโœฉ โœณ โœ• โœฃโœ–โœคโœงโœฆโœโ›โœตโœฉโณโถ

โŠ sโณโฅโขโ™ฆโœซโ‹โฌโผโ–โžโขโ™ฆโœปqโœโœ‰โœปโœโ™ฅโฅโขqโœ—โ™ rsโณโฅโ˜Žโ™  โœ’ โœ• โ†โœ‡โœฆโ™ฅโœฌโ——โฃโงโ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โœฃโ™ฆโœปqโœโœ‰โœฆโ™ rqโ‰โœš โโกโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœ•โ›โงโโกโ›โ™ฅโ™  โนโœผโœšโ™ฃsโฆโ›โฆโ™ rโ™ฆโœปqโœตโ™ฆโœฃโœโ™ฅโฅโขqโœฎโฃโˆqโโ€โ™ฅโ‹โฌโผโ–โžโขโ™ฆโœปqโœโœ‰โœปโœโ™ฅโฅโขqโœฅโœ‰โžžโžโขโ™ฆrqโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ โƒโ‚โœฎโ›โขqโœŽโโœฎโœ•โž qโœ•โ›โ„โœŽโœโžโงโโณโœ‰โœ—โ›โขโค โœŽโขq โ‘ข โป โ›โœˆโค โœŽโ˜Žqโœผโ‘ฃ โป โ›โขโค โœŽโ˜Žq โš โœฆโœ‚โœšโฅโ‚โ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœปโฅโขโฃโœณโ™ rโโกโ™ โ‚โœฃโœฅโœคโโœฆโœฐโ›โœโœฉโ–โถโœŽqโœ•โ™  qโœ•โ› โโกโžโขโžโขโฃโˆโคโ„โœโฆโฅโงโโกโ›โ™ฅโ™ โœšโฃโˆqโœถโ™  โฌ โœฎโœ•sโณโ™ฆโœ™โญโœฐโœšโ™ฃqโœˆโœŽโขqโœโ‘ฆโขโฅโœ’โœดโขโคโœณโ›โœˆโค โป sโณโ›โ˜›โœšโ™ฃsโฆโ›โฆโ™ rโ™ฆโœปqโœถโœโ™ฅโฅโขq โป โž sโณโฅโœˆโ™ฆโœทโ‹โฌโผโ–โžโขโ™ฆrqโœตโœ‰rโœโ™ฅโฅโขqโ™ โœปsโฆโฅโ˜Žโ™  โœ’ โœ• โ† โป โฃโœฅโœœ โœฎโœโœโฆโฅโงโโœฑโ™ โœปโคโˆsโณโ›โฌโœฃโœ–โœคโœงโœฆโœโ›โœตโœฉโณโถโœฅqโœตโœ‰ โ™ โœญโœชโ–โœฎโœ•โ™ฆrโค โž›โ„โœฎโœ•qโœถโž sโณโฅโขโ™ฆโ‡โžโขโ™ฆrqโœตโœ‰rโœโ™ฅโฅโขqโœถโ™ rsโณโฅโ˜Žโ™ โœขโ˜… โ‘ข โœ†โ˜…โ‘ฃ โœฉ โœฆ โœซโœฎsโณโฅโงโœ‰ โœ‰rโโœฟโœชโณsโฆโ›โœˆโœ‰โธโœฎโœฐโœฏโ™ฅโโกโฃโˆqโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™  โœโ™ฅโฅโขq

Page 101: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ๏ฟฝ โœคโœ๏ฟฝ โœžโœ„โœ‚โœโœ’โœ•โœโœโ˜ŽโœฎโœŒโœโœ†โœ๏ฟฝโœพโœžโœžโœ‚โœŸโ˜Ž โœ”โœ โœ‚ โœ”โœฅโœ โœ˜โœโ˜› โœโœ“โœŒโœŸโœกโ˜›โœ‚โœฃโœโœพโœ†โœฃโœ” โœค โœžโœšโœ† โœ˜โœโ˜›โ˜žโœกโ‚โœขโœโœŒโžโงsโฆโฅโขโ™ฆโœปโ‹โฌโผโ–โžโขโ™ฆrqโœตโœ‰rโœโ™ฅโฅโขqโœฎโ™ rsโณโฅโ˜Žโ™  โœ’ โœ• โ† โป โฃโ„โโœŸโโsโณโ›โœ’โœ‘ โ™ โœปโคโˆsโณโ›โ‚โœญโœญโ˜…โ˜Žโฃโคโœ† โœ’โœชโœฉ qโœตโœ‰ โ™ โœšโโโœดโงโœ‰ sโฆโฃโœณโฅโœนโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™ โธโœ‘ sโฆโ›โ™ฅโ™ โœปโคโˆโ›โ™ฅโฅโœˆq โœ‰โœปโฅโขโ™ฆโœ—โ™ rsโณโฅโ˜Žโ™ โœฎโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœ•โ™ฆโ˜…โœชโœฑโโกโฃโˆโฃโœณqโฅโž›โœˆโ›โœˆโคโœขโœฆโœ‚ โคโˆโ›โœˆโœ‰โœปโคโ‰โœ‘ qโœ•โ™  โ™ โœปqโ—โคโˆโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœปโœฏโณโ™ฆ โโกโฃโˆqโœพโคโˆโ›โœ’โœŽโโœฎโœ”โž›โœˆโ›โขโคโˆqโ‚qโœตโœ‰ โ™ โœงโฅโขโ›โขq โโsโฆโ›โœ’โœ‘โชโ™ rโคโœณsโฆโ›โœ›โโโœดโœˆโœ‰โœปsโณโฃโˆโฅโœนโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœธโœ‘ sโฆโ›โฆโ™ rโคโœณโ› โฅโขqโ–โœฆโžœโžฃ โ›โœ›โœ‰โœปโโณโค โ™ โœงโโณโฅโœˆโœ‰โœปโœ‰โœปโคโœšโœโ™ฅโฅโขq โป โžโœˆโโกโ™ฆโฌโœพโœ„ โž sโกโ™  โฌ โญโœตโœ‰โœปq โป โทโœถโ˜…โ˜Žโฃโคโœ† โœ’โœชโœฉ qโœตโœ‰ โ™  โโœตโœดโœˆโœ‰โœปsโณโฃโˆโฅโœนโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœ‡โœ‘โœ•sโณโ›โ™ฅโ™ โœปโคโˆโ› โฅโขq โž sโณโฅโขโ™ฆโฅโ‹โฌโผโ–โžโขโ™ฆrqโœตโœ‰rโœโ™ฅโฅโขq โ™ โœปsโฆโฅโ˜Žโ™  โœ’ โœ• โ†โœ‡โœฆโˆโŠ โโกโ™ฆโœ›โœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰โœซโœฎโœตโœโ™ฅโฅโขqโœ•โ›โ™ฅโ™  โป โž sโณโฅโขโ™ฆโ‹โฌโผโ–โžโขโ™ฆrqโœตโœ‰rโœโฆโฅโœˆq โ™ rsโณโฅโ˜Žโ™  โœ’ โœ• โ† โป โฃโˆqโœตโœ‰โœ‡โœŽโ˜Žqโœตโฅ โž โœšโ˜žqโœปโœšโœˆโœดโขโ™ฆrqโœตโœ‰โœ‡โœŽโ˜Žqโœ‡โฃโœขโœœ โœฎโœฐโœฏโ™ฅโโกโฃโˆโค โ™ โ˜…โœฎ โœฃโœฅโœคโโœฆโœฐโ›โœโœฉโ–โถโœฎโœ‰โœปsโณโ›โ™ฅโ™ โœญโœŽโœนโœฎ โ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœšโ™ฃโคโˆโ›โœนโœฎโœตโœ‰ โž sโณโฅโขโ™ฆ โ™ โœปsโฆโฅโ˜Žโ™ โœญโ˜… โ‘ข โœ†โœฌโ‘ฃ โœฉ โนโžโœˆโโกโ™ฆโœปโ™ โœปโคโˆโ™ฆโœญโœŽโขโฅ โœšโ™ฃsโœตโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ โ‡sโœฒโœฌโ‚โคโˆโฃโˆโœ‰ โฃโˆqโœ‡โœ‰โœปsโณโ›โ™ฅโ™  โž sโณโฅโขโ™ฆโ‡โžโขโ™ฆrqโœตโœ‰rโœโ™ฅโฅโขq โ™ โœปsโฆโฅโ˜Žโ™ โœถโ˜… โ‘ข โœ†โ˜…โ‘ฃ โœฉ โœ‘ qโ˜žโœโฆโฅโœˆโคโœ“qโœโœ‰โœฆโ™ โ‡โฃโœณqโ‚โœ‘โœ•โโฆโœ‰โœšqโœตโ›โ˜›โœชโณqโœตโ™ฆ โ™ rโฅ โœŽโ˜Žโฅโ‚โ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœปโฅโขโฃโœณโ™ rโโœฑโ™ โœฃโœฅโœคโโœฆโœฐโ›โœโœฉโ–โถโœฌโœฆ โฝPโœซโœชโœนโœธโ˜…โœช โœธ โœ„ โœผโœโœฐโฑโœธ โœณโ‚โ€โ„โƒโœซโ™โ—โœฐโœ†โ˜Ž โœธ โœณโœทโœถโœโ˜Žโœตโœถโœนโœธ โœณโœŸโœž โœผโฌโœถ โ™โ˜Žโœฎ โœบโœฝโœธโœซโœด โ€โœนโƒโžžโœดโžœโœณโœตโƒ โ€โœกโœ โ˜žโ˜›โœ‘โœธ โƒโžžโœด โ€โ„โœผ โœฒโ‚โœผโ€โœฟ

โŠโœ“sโฆโฅโขโ™ฆrโœšโ™ฃsโณโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrqโœ•โ™ฆโœงโœโ™ฅโฅโขq โœญ qโœตโœ‰ โ™ rโœดโขโคโœถโœ‘โœ•sโณโ›โ™ฅโ™ โœปโคโˆโ› โฅโขq โป โ›โขsโณโฅโœˆโœ‰ โโณโฃโœณโฃโˆsโณโ›โงโœ‰โ™ฃโฅโ˜Žโ™ โœปโคโˆโฃโœณโคโ„โœ‰โœปqโœ•โ™ฆ โฃโˆq โ™ โœโœŒโœนโœฎโœตsโณโ™ฆโœ™โญโœฐโœšโ™ฃqโ—โœ‰ โฅโขโคโœถโœชโœฑโโกโ›โ™ฅโ™ โœงโœโ™ฅโฅโขโคโœฎqโœตโœ‰ โ™ โœงโฅโขโ›โขqโœฏโœตโœฎโœตโ›โœนโœฎโœ•โ™ฆ โโกโฃโˆโคโˆโœ‰rโโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ› โโกโฅโ‘จโœ‘โœ•โโฆโœ‰โœโœดโขโคsโœŽโ˜Žโคโœ™โœšโ™ฃqโœตโ›โœˆโœ‰ โคโˆsโณโ›โœˆโ›โขqโœ•โฃ โœŽโขโฅโ‘จโœ‘โœ•โ™ฆโœปโคโœณโ™ โ– โญโœตโ™ฆโœปqโœ›โœŽโ˜ŽqโœโœŽ sโณโฃโœถโœšโ™ฃsโœตโœฏโณsโฆโ™ฆโœปsโœณโœชโ€โ‘งsโจtrโœโณโฒโ„โจโœŒโœ‰โœพโœˆโฌโฉโ‚โโœฉโญโœ’โœ‘โœโœ“โœ•โœ”โœโฉโณโจโœŒโœˆโ˜Žโœ„โœนโ‡โœ—โœ–โœ™โœ˜โ˜Žโƒโœกโœšโœปsโจtrโœโœงโฒโœ’โจโœŒโœ‰โœพโœˆโฌโฉโœœโœ›โ—†โญโœ™โœ˜ โœก โœ„โœฃโœขโ„โฉโœคโœ˜โœนโŠโœˆโƒ โƒโœฆโœฅโพโชโœฉโขโœณโซโคโ›โœตโ–  โœญโœญโ˜… โ™  โœ†โ‘จโœ™ โœฉ โ–ผ โ˜… โ™  โœ†โœฆโœ™ โœฉ โœ• โœ› โœ– โœ†โœ”โœ“โœ”โœขโ‘ขโœคโทPโœโโฆโœธqโˆโโœซโข โœ˜โ˜…โตโœ‘โœŒโœœโœŒโฅโœโœฅโœŒ โœŒโœฌโ›โฃโข โœ˜โœฆโ™โœโœ– โœŒโฅโ›โœขโซโœŽโœฉโœฐโœโœ’โตโœฆโœŒโ˜…โœงโœ–qโœโœ–โœณโโœ—โœ–โœโโ˜žโ˜›โœ™โตโœขโœŒโฅโ›โฃโข โœ˜โ‘จโ™ โœ–โœโœŒโœฌโ›โœฅโซโœŽโœฉโœฐโœโœ’โตโœพโ™ฃrโตโœพโฆโ„โ› โœ˜โ˜…โขโโฆโœ’โ›โœฅโซโคโฆโœ’โœโœฃโœฉโ‹โชโžœโฉ โซโœงโ˜›โ‹โตโœโœชโ–โซโœฃโœŒโฅโ›โœ–โตโ‘ฅโฒโ–โตโœโœŒโœขโœ˜โ˜…โขโโฆ โœŒโฅโ› โœ–โœณโฆโœ’โ›โฃโตโœ‘โœŒ โฑโ˜žโœซโœญโœฌโœฎโœซโœฏ โ›โฃโตโ˜žโ˜›โœงโ˜›โœ™โตโœโœŒ โœฉโœฐโœโœ’โตโœฎโœฐโ‘ฉ โœ‡ โœ› โ‘ โœญโœญโ˜…โœšโœ™ โ–ผโœฒโœฑ โœ†โœโœณ โœฉ โญโ‘กโœญโœญโ˜…โœญโœ™โโœ†โœ•โœณ โœฉ โ‘ โต โœข โœง โœฌ โฃ โ‘ โœฑ โ‘ โœดโœ•โœตโœทโœถโœ–โโ™ฅโœฟโตโœœโœ˜ โ˜…โœญโœ™โโœ†โœฆโœ™ โ–ผโœธโœฑโœฒโœฉ โœ•โœœโœ› โœ– โœ†โœ”โœ“โœ”โœขโ‘ขโœค โตโœฐโ› โœณโœบโœน โœ– โตโœฐโ› โœ“ โœฉโ‘ฉ โœ‡ โœ› โ‘ โœญโœญโ˜…โœผโœปโœฝโœ†โ– โ™  โ–ผโœฒโœฑ โ˜ โœฉ โญโฌโœญโœญโ˜…โœผโœปโœฝโœ†โ– โ™  โœฉ โ‘ โต โœข โœง โœฌ โฃ โ‘ โœฑ โ˜ โ‘ โœดโœฝโœตโœพโœถโœ–โโ™ฅโœฟโตโœœโœ˜ โ˜… โ™  โœ†โœซโ™  โ–ผโœฒโœฑ โ˜ โœฉ โœ• โœ› โœ– โœ†โœ”โœ“โœ”โœขโ‘ขโœค โตโœฐโ› โœปโœฟโœน โœ– โตโœฐโ› โœ“ โœฉโ‘ฉ โœ‡ โœ› โ‘ โœญโœญโ˜…โœšโœ™ โ–ผโœฒโœฑ โœ†โœซโ™  โ–ผโœฒโœฑ โ˜ โœฉ โญโ‘กโœญโœญโ˜…โœญโœ™ โ–ผโœธโœฑ โœ†โ– โ™  โœฉ โญโฌโœญโœญโ˜…โœšโœ™โœโœ†โœซโ™  โ–ผโœฒโœฑ โ˜ โœฉ โญโ‘กโœญโœญโ˜…โœญโœ™โโœ†โœซโ™  โœฉ โ‘ โต โœข โœง โœฌ โฃ โ‘ โœฑโ€โœฑ โ˜ โ‘ โœดโœฝโœตโœทโœถโœ–โโ™ฅโœฟโตโœœโœ˜ โ˜…โœญโœ™โโœ†โœฆโœ™ โ–ผโœธโœฑ โœ†โ– โ™  โœ†โœซโ™  โ–ผโœฒโœฑ โ˜ โœฉ โœ• โœ› โœ– โœ†โœ”โœ“โœ”โœขโ‚โ โœฉโš โ˜›โœ™โขโœณโโœœโœŒ โœญ โตโœ‘โœŒโœฌโ›โœ“โœ˜โœฌโขโœณโฆโœ’โ›โœฅโซโคโฆโœ’โœโœ’โต โ‹ โ——โœถqโœพโœฉ โœŒโƒโœฉโŠโœ“sโฆโฅโขโ™ฆโœ„โœŽโโœฎโœปโœšโ˜žsโฆโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrqโœ•โ™ฆโœ—โฃโˆโโœโœดโขโคsโœ‘ sโฆโ›โฆโ™ rโคโœณโ› โฅโขโคโœณโ™ โœซโœฎ โป โคโœณโฃโœœโœ‰ โฅโ˜Žโœชโ™ฃโ™ โœ„โœŽโ˜Žsโฆโ›โœ’โœ‘โœ›โœŽโ˜Žqโœ›โœšโ™ฃโโโœฒโœฆsโณโ™ฆrqโœ•โ™ฆโœŽโฃโœณqโœฑโœšโ™ฃsโ–โœšโ˜žqโœตโ›โ™ฅโ™ โธโœŽโ—†โœœ sโฆโ™ฆโ˜…โœŽโ˜Žโ™ฆrq โฑ sโœฒโœฌ โฑ qโœตโœ‰ โ™ โœ—โฅโœˆโ›qโœ•โ›โ™ฅโ™ โœปโคโˆqโœ•โ™ฆโœฎโœ‰ โ™ โœปโ™ฆrโคsโœ‘โชโ™ โœปqโœปโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœฎโœ‰ โฅโขโžโดโœฎโœ•โ™ฆrโคโˆqโœ•โฅโขโ™ฆโœ„โนโ…โ„โœฑโœŽโ˜Žq โฃโ„โโ˜žโœโ™ฅโฅโœˆโโณโ›โ™ฅโ™ โœปโคโœณโ™ โœซโœฎrโ‘ง

โ†โœโ‡โœโˆ โ‡ Pโ‰ โˆ โ‘ โœน โœญโœญโ˜… โšโ˜žโ–ผโœธโœฑ โœ†โ– โ™  โ–ผโœฒโœฑ โ˜ โœฉ โญโ‘กโœญโœญโ˜… โšโ˜žโ–ผโœฒโœฑ โœ†โœซโ™  โ˜ โœฉ โญโฌโœญโœญโ˜… โš โœ†โ– โ™  โ–ผโœฒโœฑ โ˜ โœฉโœ‘โ–ผ โœญโœญโ˜… โš โœ†โœซโ™  โœฉโžโœˆโโกโ™ฆโœ—โฅโขโ›โœˆq qโƒโŠโ˜Žโžโขโ™ฆrqโœตโœ‰rโœ‰ โคโˆsโณโ›โœqโœ•โ› โ˜… โœฑโ€โœฑ โ˜ โœฉ โœดโœ•โœตโœทโœถ โโœฟโœชโณqโ—โœ‘ โœฏโ—โ‹ โœ– โœฆโ˜Žโœฌโ——โฃโœ‘qโœตโœ‰ โ™ โ– โ โโœตโœ‘โœ•โคโœณโฃโˆqโœฑโœŽโ˜Žqโœฑโœšโ™ฃsโณโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrqโœ•โ™ฆโœ—โฃโ„โโœ‡โžโœˆโ™ฆโœปsโฆโžโขโ™ฆโœปโคโœถโœฎ โ™ โ˜…โœฎ โœ‰ โฅโขโคโœถโœชโœฑโโกโ›โ™ฅโ™ โœปqโœโ‘งโœ  โจโœณโฒโ˜›โœกโœฝโจโœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’โœ โโ—†โญโ‘โ โœ— โขโโœโโโœฑโ›โœ–โขโโœโโ› โ™  โœซ โš โœซ โœฑ โœซ โœฑ โ˜ โœซ โฆโˆโขโœณโœโœฅโœŒโœฟโœ–โœณโ™ฅโœณโขโœณโฆโœโœŒโœคโ˜›โœถโตโœผโโœโœงโœ‘โœŒโฅโœ โ˜› โ› โœ–โœณโ› โœŒโฅโœโโซโคโ™ฅโœโœ–โœณโฆโ„โ›โ–ฒโœฐโœ‡โ‘กโ‘  โœตโœตโœต โ† โ‡โœโˆ โ‡ Pโ‰ โˆ โ‘ โœตโœตโœต

โต โ‘ข โœงโœฑ โตโ–ฒโ–ผโ˜… โœฏโกโœฐ โœฉ โต โน

โ—†โœฆโ–โนP โ–โตโ˜โ—— โ™ P โ‘ โ—† โต โ‘ โ–ผ โต โป โœดโš

โฏโœโฑโœดโ‘ โ—† โฏ โญ โ—† โฏ โœตโฒโœด โ‘ โ–ผ โœ‡ โ‘  โ‘ก โผโ˜…โณ โ–โจโœผโฉโญโฌโซโช โจ โ›โ‘โดโœฑโž™ โจ โป โดโœฑโž™ โจโ›โตโœโฌ โ โ‘ขโ‘ฃ โ‘คโชโ‘ฅ โ‘ฆโ› โœทโžŠโ โ˜…

โตโšโฏโœโฑโœดโœณ โœ™ โฏ โœฉ โ˜… โตโšโฏโœโฑ

โœดโœณ โ—† โฏ โœฉ โœฃโœ–โœคโœงโœฆโ‚โ„ ๏ฟฝโณโถ

โขโœโœ”โžโ โตโ‘ โˆ โ‡ P โตโœ‘โœŒโฅโ› โ˜›โœ™โตโฟโฒโœตโขโโ™ฃโœขโœ–โโซโคโฆโดโตโ–ฒโฒโœโœง โณ โฆโ„โซโคโ›โ—†qโœโœ–โœณโโกโœฐโ–  โ˜… โ™ โœดโฃโขโฃโœ”โฃโœ’โฃ

โขโ™  โต โœฉ โ‘ โ™  โœฎ โ™ 

โœดโœฎโœโคโ˜…โคโฅโค โœฎ โ™  โต โœฎ โ™  โ–ผโœฒโœฑ โ˜ P โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โ‘ฆโฆ๏ฟฝโณโถโถ โœงโœฐโ™ฃrโขโœณโฆ โœŒโฅโ›โœฅโโœฝโœ–โœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆโœ†โœฐโƒโœฃq โœ‰ sโฆโ›โฆโ™ โœ„โœŽโ˜Žqโœโœ‰โœ„โœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰โœปโคโœถโœŽโโœฎโœตโ™ฆrโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โœˆโœ‰โœ โœŽโ˜Žqโœผโœ‘โœตโโกโฃsโœ‘ โฅโขโฃ โคโˆโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœฐโœฏโฆโ™ฆrโโณโฃโœขโœฆ โฝ

โ‡โœŸโโœฑโœŽโ˜Žโคโœณโœชโœธโœ‘ โฅโขโฃโœณโ™ โœซโœฎ โ™ฆโœซโœฎโœโœ‰ โคsโœŽโ˜Žqโธโœš โโกโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœ•โ›โงโโกโ›โ™ฅโ™ โœŸโœŽโขโโกโ›โงโœ‰โœโฃโ„โโœ›โœšโ™ฃโโโœฒโœฆsโณโ™ฆ โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ›โ‚โœŽโ˜Žqโœšโฃโˆโ โœโ™ฅโฅโœˆโโณโ›โฆโ™ rโค โ™ โ˜…โœฎโœฟโ˜… โœน โœฉ โœฆโœงโ‡โœ‘qโœโœ‰โœบโœ‘โงโœŒโขsโฆโœ‰โœปqโœตโœ‰ โœ‰ sโฆโ›โฆโ™ โœโ™ฆrqโœ•โฃโ„โโœฑโ™ rโค โผโœชโณqโœปโœšโ˜žqโœตโ›โ™ฅโ™  โœ‰โœปโคโœ™โœšโ™ฃโžโขโฃโˆqโœตโœ‰โœโœŽโขโโณโ›โœˆโœ‰โœ“โฃโœณqโœโœ‘โœ•โโฆโœ‰โœโœŽโœฉโœœ โฅโœˆโ›โœ‡โžโขโ™ฆrsโโœ‘ qโœโœ‰โœปโœ‰โœปโฅโœˆโœ‰โ™ฅโ™  โโกโฅโœˆโœ‰rโœ‰ โคโˆqโœ•โ›โ‚โน โโ–โœ‘โœฐโœ‘โœ•โ™ฆโœปsโฆโคโˆโœ‰rโœ‰ qโœปโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ rโœ‰โœŸโคโœณโ›โœ’โœŽโœนโœฎโœ•โž qโœ•โ›โœ’โœŽโขโโณโ›โ™ฅโ™ rโœ‰โœปโœฆโฆโ™ฆโ‚โโกโคโ„โœ‰โœ“qโœ•โ›โœˆโœช โฅโขqโœŽโ˜Žqโœฎโฃโœฅโœœ โโณโžโขโžโขโฃโˆโคโœถโœ‘โœตโโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ›โ™ฃโโณโฅrโœšโ™ฃsโณโฅโœนโœชโฆqโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ qโ™ฃโœŽโ™ฆโœปs โœป โ›โœˆโคโœณqโœตโ›โœฎโโโ™ฆ โโœตโœ‘ โ™ โœปโคโˆsโณโ›โขโ›โงโโกโคโˆโ™ฆโœปq โป โคโœณโฃโงโ›โขsโณโฅโœˆโœ‰rโ โโกโฅโ˜Žโ™ โœฃโžโขโฃโœณโฅโงโœ‰โœŸโœŽโ˜Žqโœ„โœฏโ–โœฎโœ•โ›โœนโœฎโœตโ™ฆrโโณโฃโœณโคโœณโ™ โœซโœฎโ–โœฆโโŠ sโณโฅโขโ™ฆโœฃsโœตโœดโ„โผโ™ โœปqโœตโ›โขโคโœณโ™ฆโœบโœ‘โœ•qโœตโœ‰โœ“โ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœปโฅโขโฃ โ™  โโœฑโ™  โœ‰ โป โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰ โโกโฃโˆโฃโœณsโฆโ›โœˆโœ‰โœ“โคโœณโ›โ™ฅโ™ rโ™ฆโœปsโโœŽโ˜Žโฅโขโคโˆโ™ฆrqโœŽโฃโ„โ โžโขโ™ฆโœปsโฆโžโขโ™ฆrโคโœ™โœฎโœ•โ™ โœซโœฎโœโœŽโœฉโœœ โโ–โœ‘โœฐโœ‘โœ•โ™ฆโœปsโฆโคโˆโœ‰rโœ‰ qโœปโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ rโœ‰โœœโฃโœณsโโœ‘โœตโโกโฃโˆqโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™  โคโœณโ›โ„โœŽโโœฎโœ•โž qโœ•โ›โœ’โœŽโœˆโโกโ›โ™ฅโ™ rโœ‰โœฃ โœ‚ โ‡โœ‘โœฌโ– โถโฅโœฆ

Page 102: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ†โœ๏ฟฝโœ„โœ‚โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœŸโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ—โœ–โœ™โœ˜โœšโœŒโœ›โœ†โœœโœžโœ™โœขโœฃโœ’โœ•โœคโœฅโœ”โœ—โœ–โ˜žโœโœ“โœ’โœฆโœ–โœงโ˜›โœœโœ’โœ•โœโœ“โ˜… ๏ฟฝโœฃโ„Pโœซโœชโœนโœธโ˜…โœชโœ๏ฟฝ โœ‚ โœฎโœฑโœฐ โœฒโœทโœผโœŸโœฐโ˜Žโœ„ โœถโ˜›โœธโ˜…โœบโœฝโœผโœโœฐโœ‘โœฐโœพโœณโœตโœฐโœโœ† โœฎโœฑโœณโœทโœฐโœพโœฐโœพโƒโ˜ŽโœผโœโœดโœŸโœžโœกโœ โœ˜โœบโžŠโœบโœฝโœถโœนโœธ โƒโžžโœฐโœ‘โœฐโœ‘โœผโ˜žโ˜› โœผโœŸโœดโœซโ€โœนโœฐโœโœŒโจโœธโœปโœบโœฝโœฎโ‹โ™โ˜Žโœผโ˜žโ˜› โœผโœŸโœดโœซโ€โœโœŽโโœดโœตโœฒโœŸโœ โœ’โœ‘

โ˜Ž โœผโœŸโœดโœตโœฒโ‚โœฎโœฑโœดโœซโ€โœนโœฐโ…โœ”โœ“ โ†โˆโ‡โœ–โœ•โœโœ—โœ˜โœ•โœขโฒโ‰โ‡โœ›โโœฉโญโœšโœ™โœœโœ›โœ โฆโœฟโฒโœณโซโคโโœฝโœ–โž‚โœฉโœพโœ โฉ โœโโฆโ˜žโ›โœ–โตโ˜žโ˜›โˆqโดโโ˜…โข โœ˜โœฌโตโœ‘โœŒโœ—โœŒโฅโœโœฅโœŒโœโœข โœ–โœณโœโœฅโœŒโœœโœŒโฅโซโœ”โตโœพโฆ โ– โœ’โ โ‘ โ–ผ โ™ โœคโœฃ โœ› โœฅโขโœฆ โœขโœšP qโœ’โข โœŒโœœโœŒโœ”โซโœฆโฒโ–โต โ˜› โœ–โ‚qโˆโโœซโขโ˜…qโˆโโฅโซโœ™โœงโœพโ›โ›โœงโฒโฌโฉ โš โœ˜โœœโœ˜โœพโโœซโขโโซโœฃโœŒโœœโœŒโœพโตโœฐโ™ฃrโตโœพโฆโ„โ› โœŒโœ™โœ  โข โœ˜โœœโœ–โœ•โ˜›โœ™โตโœพโ™ฃrโตโœฐโฆโœ’โ› โซ โฆโœฝโฒโœโœงโฃqโœนโตโœฐโฆ โฒโœโœ–โœณโฆโ„โ› โœŒ โœ โš โœ  โซ โ™ฃ โœซ โœŒโฅโซ โœซ qโœนโขโโœโโโ‰โ›โฃโขโœณโœโโ› โฑ โœฃ โ‹โ‹โ โœซ โซโœงโ˜›โ—†โต โœชโ–โซโœฃโœŒโœฌโ›โฃโตโœญโœโโฆโดโตโœฏโœ˜โœฌโขโœณโฆ โœŒโฅโ› โœ–โœณโฆโ„โ›โœ–โตโœท โต โ‹ โœฅ โ›โœ–โตโ˜žโ˜›โœงโ˜›โœ™โตโ–ฒโœฉโœพโœโœ’โต โœซ qโœ’โขโœณโœโโโœโ›โœ–โขโโœโโ›โ™ฅโœฑ โ‹ โœฅโœกโœซ qโœ’โขโœณโœโโโœˆโ›โœ–โขโโœโโ› โ™  โ‹ โœฅ โœซ qโœนโขโโœโโโœผโ›โฃโขโœณโœโโ›โœญโœฑ โœง โ™ 

โœดโœฎ โ™  โœค โœฎ โคโฅโคโ˜…โคโœฒโœฎ โ™  โต โœง โ™  โ–ผโœโœฑ โœซโขโœณโฆ โœ–โโซโคโ›โœŸโœฐ

โœ‡ โœงโ˜… โ‘ก โšโ–โฝโœชโœฉโœซ โ‘ฃ โตโœฌโฏโœโฑโœดโ—† โฏ โ˜… โ โ‘ โจ โญ โ โ‘ โจโ›โตโœโฌ โœฉโœฎโœญโœฏโœฑโœฐโœฒ โœง โ‘ก โšโ–โฝโœชโœฉโœซ โญโœ„โœท โต โตโœฌ

โฏโœโฑโœดโ—† โœคโฏ โœป โœคโฏ โœญโœฏ โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โ‘ฆโœกโ„โœฟโถ

โœ–โœณโ™ฅโœณโตโœœโœ˜ โ™  t โœน โœฅ โตโœฐโ›โ—†qโœ’โขโœณโœโโโœฑโ›โฃโขโœณโœโโ›โœดโœณ โœน โœฆโขโฃโœ’โฃโœ”โฃ

โขโฑโ˜žโœซ โœป โœคโฏ โœน โœ‡ โจ โ˜… โโ–ฒโ‘ โจ โญ โโ–ฒโ‘ โจโ›โตโœโฌ โœฉ โœค โญ โœฉ

โœ‚ โฉโœพโœˆโ˜Žโœ„โโจโœโœ†โœŸโœžโœฝโฉโ‚โโœฉโญโœšโœ™ โœ  โœ–โ˜žโโœซโตโœ‘โ˜›โœธโœ–โœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆ โœฃโœฅโœคโโœฆ โ‘ฆ โ„โ—โถ โตโœโœŒโฅโ›โœถโœ–โ˜…qโœตqโœโœ–โœณโโฅโœโœ’โต qโœ’โขโœณโœโโ โ˜› โœ–โ˜›qโดโโœซโตโœฐโ™ฃโœโซโœŽโซโœฐโโœซโตโ™ฃโ– โœพโขโโซโœฃโœŒโž‚โฒ โœ–โโฆ โœŒ โงโœˆโขโœ•โ˜› โœ–โœณโฆโœถโœตโœธโœทโœนโœทโœปโœบโƒโœฉโœฝโœผโœ™โ˜›โœงโ˜›โœ™โตโ– โ‘จโ‘งโโ›โœญโœโโ›โœฅโซโœงโ˜› โซโœฃโœŒโ˜…โœงโœฌโตโœผqโœนโขโโœโโrโ™ฃโœโขโโฆโœ’โ›โœฅโโœซโตโœพโโœถโ˜›โžžโฉ โตโœโœชโ–โซโœฃโœŒโฅโ›โœ–โตโœฐโฆโœฒโœ˜โœฌโต โฒโฌโฉ โœโโฆ โ›โฃโตโœพโ™ฃโ‰q โœŒโœถโ˜›โœ™โข โœ˜โœœโœ–โœโ˜› qโœนโขโโœโโ โฒโœตโตโœ‘โœŒโœ›qโดโโœซโข โœ˜โœฌโตโœโœŒโœœโœŒโฅโœโœฅโœŒโœขโœŒโฅโ› โœ–โโโœ‘โ˜›โœ™โตโœ‘โœŒโ˜…โœฉโœพโœ›โœโฆโฑโ™ฆโ˜›โ›โœฅโโœซโขโโœโโ™ฅโœฟโตโœง โœš โœ–โœ•โ˜›โœ™โตโœพโ™ฃrโตโœฐโฆโœ’โ›โœŽโ˜› โœ–โœœโฒโซโœงโœพโ™ฃrโขโœณโฆโœโœŒโฅโ›โœขโโœฝโœ–โโ›โœขโซโœ”โขโโฆโ‘ โฒโœตโต โ˜›โ—โฉ โœงโ‘จโœฉโœพโœโโซโคโ™ฅโœโœ–โœโ˜›โœ™โตโœฐโฆโœฒโœ˜โœฌโตโœ‰โตโœพโฆโ„โ›โœขโโœซโต โœ˜โœฌโตโœฐโ›โœขโ›โฃโตโ‘จโฆโˆโขโœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆ โตโœฐโ›โœฟโœ˜โ˜…โตโ˜žโ˜›โœงโ˜›โœ™โตโœฏโฒโœตโต โงโœโขโœณโฆโ‰โ——โ—โฒโœโœงโœฐโ›โœ–โตโœฐโโฅโ™ฃโœโซโคโฆโ„โซโœฃโœŒโฅโ™ฃโœโตโœ  โข โœ˜โœœโœ–โœโ˜›โโซโคโฆโ„โ›โœขโโœซโขโ™ฅโฒโœณโœโโซโคโ›โœนq โœ–โโโ€โœฟโ‰โตโœฐโโฅโ™ฃโœถโœ–โœณโฆโโœตโœฎโ‚โ„โƒโ…โœบโƒโœฉโ†โœ›โœโฆโœถโ˜› โœ–โœผโโœซโตโœฐโ›โœขโโœซโขโโœโโ™ฅโœฟโตโœญโตโœพโฆโœโœŒโฅโœโโซโคโ›โœ–โตโ‚โฒโœโœ–โœณโฆโœโœŒโˆโ‡โŠโ‰โโฆโดโขโœผโตโœฐโ›โ—†โชโœนโ™โœงโซโœ”โตโ‘จโ™โ‹โœตโœธโ—โโ‚โ– โœบ qโœ’โขโœณโœโโโ‚โฒโœโœงโœฐโ™ฃrโขโœณโฆโœ’โ›โœฅโโœซโตโœฐโโ˜›โ—โฉ โต โœชโœตโซโœฃโœŒโฅโ›โฃโตโœพโฆโœฌโœ˜โœฌโตโž”โฒโœŸโฉ โœโโฆโ˜›โ›โœ–โตโœฐโ™ฃโ‰q โœŒ โ˜›โœ™โข โœ˜โœ—โœ–โœ•โ˜›โqโœ’โขโœณโœโโโœฟโœ˜โœฌโตโœฐโโฅโ› โœ–โโซโคโฆ โœŒ qโดโโœซโข โœ˜โœฌโตโœโœŒโœœโœŒโฅโœโœฅโœŒโœฟโœ–โœณโœโโ›โฃโขโœŒโ—— โœŒโฅโซโคโ™ฃโœโซโœงโ˜›โœธโœ–โœณโซโคโโœซโตโœ‘โœŒโ˜…โœฉsโจt โœ“ โฒโ„โจโœŒโœ‰โœพโœˆโฌโฉโ‚โโœฉโญโœšโ โชโดโซ โ˜›โœ™โตโœqโˆโโœซโข โœ˜โ˜…โตโœ‘โœŒโœœโœŒโฅโœโœฅโœŒโ˜…โ โ™ฅโฃโœงโœฐโโฅโซ โณ โตโ—โœฐโ‘ฉ โœ  โœ–โœ‡qโˆโโœซโขโ˜…qโˆโโฅโซโœ™โœงโœพโ›โ›โœง โš โœ  โซ โœซโ‘ฉ โœ  โœ–โœ‡qโˆโโœซโขโ˜…qโˆโโฅโซโœ™โœงโœพโ›โ›โœงโœโ›โœ–โตโœœโœ˜โ‘จโ™โœงโฆโ„โซโœŽโœฉโœพโœโœ’โตโœŽโœŒโฅโœโโซโคโ™ฅ โœ–โโฆโœ’โ›โฃโตโœฎโœฐโ‘ โขโœณโœโโโœฑโ›โฃโขโœณโœโโ›โ–ผโ–ฒโ—† โœฃ โ–  โœฅ

โขโœฆโขโœฏ P โต โซโœงโ˜› โต โœชโœตโซโœฃโœŒโฅโ›โฃโตPโ– โ‹ โœฅ โœซ โตโœพโ› โœฏโกโ‹ โœฅ โ›โฃโตโœ‘โ˜› โœŒโ˜โ——โœฐโœโœ’โตโกโœฐโน

P โ–โตโœ™โ—— โ™ P โตโšโฏโœโฑโœดโ˜…โœผโœป โ˜… โ™  โฏ โญโœ‰โ™  โฏ โป โœด โœฉโœฝโœฉ โป โœด โป

โ–ผโœปโ™ โจ โตโšโฏโœโฑโœดโœณโฏโš โฏ โœน โฑโ‡ P โฒ โ‘ โ˜… โœฑ โ˜ โœดโœ•โœตโœทโœถ โœฉ โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โ‘ฆโœโ‘ฆโ–โถ

โš โ˜›โœ™โขโœณโโœœโœŒ โœญ โตโœ‘โœŒโœฌโ›โ˜…โโœพโซ โœ˜โœฌโขโโฆโœ’โ›โœฅโซโคโฆโœ’โœโœ’โต โœฉโถ โœงโœฐโ™ฃrโขโœณโฆ โœŒโฅโ›โœฅโโœฝโœ–โœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆโœ†โœฐโžฃ โ›โœโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrsโโœŽโ˜Žโฅโขโคโœณโ™ โœฎโฃโˆโโ˜žโžโขโ™ฆrsโณโžโขโ™ฆrโคโœถโœฎ โ™ โœซโœฎ โœ‚ โ‡โœŸโœฌโœ โœŽโœˆโโกโ›โœˆโœ‰โœ—โฃโœฅโœœ qโ˜…โŠโ˜Žโžโขโ™ฆโœปqโœโœ‰โœปโœ‰โœปโคโˆsโณโ›โœ‰โœฃโœ–โœคโœงโœฆโ‚โ„ ๏ฟฝโณโถ qโœ•โ™ โœฎโฃโœขโœœ sโณโ›โœพsโœตโœดโขโ™ โœปโคโˆqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœผโ‘งโœ‡ โ‘  โœตโœตโœต โ† โ‡โœโˆ โ‡ Pโ‰ โˆ โ‘ โœตโœตโœต

โต โ‘ขโณโฒโœฑ โต โ–ผโ˜… โœฏโœฑโœฐ โœฉ โต โน

โ—† โ–โนP โ–โตโœ™โ—— โ™ P โ‘ โ—† โต โ‘ โ–ผ โต โป โœดโš

โฏโœโฑโœดโ‘ โ—† โฏ โญ โ—† โฏ โœต โœด โ‘ โ–ผโ‘ฃ โ‘ค โ‘ฅ โ‘ฆโ›โœณโ‘จrโ โ‘ก โšโ–โฝ โœงโ˜… โญโœ„โœทโ‡โต โตโœฌ

โฏโœโฑโœดโ—†โโจโฏ โœป โจโฏ โœฐโœฒ โ˜…

โตโšโฏโœโฑโœดโœณโโš โฏ โœฉ โ˜… โตโšโฏโœโฑ

โœดโœณ โ—† โฏ โœฉ

โฉโœšโฅโœบโ โโกโคโœณโ™ โœŽโœโ™ฅโฅโขq โ‘ โ—† โฏ โญ โ—† โฏ โป โœด โ‘ โ–ผ โฒ โ‘ โ—† โฏ โ‘ โ–ผ โ–ผ โ‘ โ—† โฏ โป โœด โ‘ โ–ผ โป โ˜…โœ”โœท โœฉ qโœตโœ‰ โ™ โœ โœŽโ˜Žsโ–โœšโ˜žโคโˆโ›โœนโœฎ โžโœˆโโกโ™ฆโœฃโฃโˆโโœ‡โœ‰ sโ–โœšโ‚โœšโ™ฃqโœ‡โœŽโ˜Žq โœฏ โ† โป โœด โ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœšโ™ฃqโœตโœ‰ โป โœ‘โงโœŒโœˆโโœตโœ‘โœ•โฅโขโ›โœŽโ˜Žqโœโœ‘ qโœตโœ‰โœšโ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœšโ™ฃqโœโœ‰โœ‡โœ‘โœ•sโณโ›โ™ฅโ™ โœปqโœตโ›โœˆโโกโ›โ™ฅโ™  โโกโฅ โžโœˆโฃโœณโฅโœˆโœ‰โ‡โ‰ โ โโ–โœ‘โชโ™ rqโœ•โฅโขโ™ฆ โœ‰ โ‘ โ—† โœด โ‘โ–ผโขโฃโœ”โฃโœ’โฃ

โข โ‘ โ—† โต โ‘โ–ผ โœฎโœ•โฃโˆqโœฐโœชโ–โœฎโœตโœ‰โœ‡โนโœงโฃโ„โ โžโขโฅโœˆโคโˆโœ‰rโœ‰โœปโโณโ›โœ’โœ‘ qโ—๏ฟฝ โป โ„โ˜žsโณโฅโœฏโ‘ฆโœนโœฆโ—†โƒโœฃqโœ‰ sโฆโ›โ™ฅโ™ โธโœŽโขsโณโ›โœ’โœ‘โœ›โœŽโ˜Žqโœโœ‰โœŽโ™ โœปqโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ™ฃqโœตโœ‰โธโœŽโ˜Žโฅโœพโ™ โœฎโฌ โž qrโ‘ง

โ‘ โ—† โœด โ‘โ–ผโญโ™ โฌ โ‘ โ—† โจ โ‘ โ–ผโญโ™โœฎโช โฃโœ’โฃโœ”โฃ โ‘ โ—† โต โ‘ โ–ผโญโ™ โ–โซโœฅqโœฐโœฏโ™ฅโโกโ™ฆโœฌโœŽโ˜Žsโณโ›โงโœ‰ โป โžโงsโฆโฅโขโ™ฆโœฎโฅโขโ›โ‘จโœŽโ˜Žqโœโœ‰โœ—โ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœšโ™ฃqโœตโœ‰โธโœŽโขq โฃโˆโโ™ฃโœ‰โœปsโœตโœšโœโœšโ™ฃq โป โฃโœฅโœœ โคโˆโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœฐโœฏโฆโ™ฆrโโณโฃโœณq โœ‰โœปโฅโขโคโœ™โœชโœฑโโณโ›โฆโ™ rqrโ‘ง

โ˜…โœโด โœฉโ›โตโโœโœฎโžโœน โนโ—† โ– โ‘ โ—† โœด โ‘

โ–ผโญโ™ โฌ โ‘ โ—† โจ โ‘ โ–ผโœปโ™ โช โฃโœ”โฃโœ’โฃ โ‘ โ—† โต โ‘ โ–ผโœปโ™ โ– โ‘ก โšโœตโฝ โœงโ˜… โญโœ„โœท โต โตโœฌโฏโœโฑโœดโ—† โจโฏ โœป โจโฏ โœฐโœฒ โตโš

โฏโœโฑโœดโœณ โ—† โฏ

Page 103: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโโ‘ฆ โœคโœ๏ฟฝ โœžโœ„โœ‚โœโœ’โœ•โœโœโ˜ŽโœฎโœŒโœโœ†โœ๏ฟฝโœพโœžโœžโœ‚โœŸโ˜Ž โœ”โœ โœ‚ โœ”โœฅโœ โœ˜โœโ˜› โœโœ“โœŒโœŸโœกโ˜›โœ‚โœฃโœโœพโœ†โœฃโœ” โœค โœžโœšโœ† โœ˜โœโ˜›โ˜žโœกโ‚โœขโœโœŒโŠ sโฆโœ‰โœปsโณโ›โœˆโœ‰โœ โœš โโกโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœ•โ›โงโโกโ›โ™ฅโ™ โœ๏ฟฝ โฏ โœน โ—† โฏ โœป โฏ sโณโ›โœพsโœตโœดโ˜Žโ™ rโคโœณqโœตโ›โ™ฅโ™ โœšโโกโฃโˆsโณโ™ฆ โœ‰โœญโ‘ง

โ˜…โœโด โœฉ โœน โนโ—†โœฆโ– โ‘ ๏ฟฝ โœด โ‘

โ–ผโญโ™ โฌ โ‘ ๏ฟฝ โจ โ‘ โ–ผโœปโ™โ– โช โฃโœ”โฃโœ”โฃ โ‘ ๏ฟฝโœฅโต โ‘ โ–ผโญโ™ โ– โตโšโฏโœโฑโœดโœป โป โ–ผโœปโ™ โจโฏ โ‘ก โšโœตโฝ โœงโ˜… โญโœ„โœทโ‡โต โตโœฌ

โฏโœโฑโœด๏ฟฝ โจโฏ โœฐโœฒ โตโš

โฏโœโฑโœดโœป โป โœดโฏ

โตโšโฏโœโฑโœดโœณ ๏ฟฝ โฏ

โœนโตโšโฏโœโฑโœดโœป โป โœด โป โ–ผโญโ™ โจโฏ

โนโ—†โœทโ– โ‘ ๏ฟฝ โœด โ‘

โ–ผโœปโ™ โฌ โ‘ ๏ฟฝ โจ โ‘ โ–ผโญโ™โœฎโช โฃโœ’โฃโœ”โฃ โ‘ ๏ฟฝ โต โ‘ โ–ผโญโ™ โ– โ‘ก โšโœตโฝ โœงโ˜… โญโœ„โœท โต โตโœฌโฏโœโฑโœด๏ฟฝ โจโฏ โœฐโœฒ โตโš

โฏโœโฑโœดโœณ ๏ฟฝ โฏโ‘ฃ โ‘คโชโ‘ฅ โ‘ฆ

โœ‚ โ› โ–ผ โˆ โต โˆโ˜Žโœ„โ™ โโœ† โ˜… โ–

โขโฑโขโ–ฒโ—† โœฉ qโœโœ‰โœฆโ™ โœฃโฅโขโ›โขqโœญโœ‘โœ•sโณโ›โœˆโœ‰ โ™ rโโณโ›โ™ฅโ™ โœปqโœผโœฃโsโฆโ›โœงโž qโœ•โฅโ˜Žโ™ โœ โœšโ™ฃโโโœฒโœฆsโณโ™ฆrqโœ•โ™ฆ โ—† โฏ โžโœˆโโกโ™ฆโ˜…โ‘ฆโœตโถโœพโœฆโณโœทโœโ›โœงโฅโขโ™ โœปโคโˆโฃโœณโคโ„โœ‰โœปโโณโ›โ™ฅโ™  โœ‘ qโœ•โ™  โ™ โœปq โ™ฆโœปqโœตโฃโˆโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ› โป sโณโ› sโœตโœดโขโ™ โœปโคโˆqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœญโ‘ง

โœ‡ โ‘  โœตโœตโœต โ† โ‡โœโˆ โ‡ Pโ‰ โˆ โ‘ โœตโœตโœต

โต โ‘ข โฒโœžโœ โœฑ โตโ–ฒโ–ผโ˜… โœฏโœฑโœฐ โœฉ โต โœ† โ˜… โ– โข โฑ โข

โ–ฒโ—† โœฉ โนP โ–โตโœ™โ—— โ™ P โตโš

โฏโœโฑโœดโœป โป โœด โป โ–ผโœปโ™ โจโฏ โ˜…

โตโšโฏโœโฑโœดโœณโฏโš โฏ โœฉโžฃ โ› โžโงqโœตโฅโ˜Žโ™  โœš โโœณโœฒโœฆsโฆโ™ฆโœปqโœตโ™ฆ โป โœŽโขโโณโ›โœˆโœ‰โœŸโœ† โ˜… โ– โข โฑ โข

โ–ฒโ—† โœฉ โฃโœณqโœโœ‰ โ—† โฏ โžโœˆโโณโ™ฆโœโ‘ฆ โป sโณโ›โœ›โœš โโœณโœฒโœฆsโณโ™ฆrq โโกโฃโˆsโณโ™ฆ โœ‰โœ โœ† โ˜… โ–โขโฑโขโ–ฒโ—† โœฉ โžโœˆโโณโ™ฆโœกโœ† โ˜… โ–

โขโฑโขโ˜… โœฏโขโฃโœ’โฃโœ”โฃ

โขโœฏ โœฉโœฝโœฉ โœนโ˜›โœ† โ˜… โ–

โขโฑ โœฉ โœฆโƒโœฃq โ™ โœปโ™ โœปqโœ—โคโœณโ›โ™ฅโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโณโ™ฆ โโกโฃโˆqโœŽqโœตโœ‰ โ™ โ‹โœ‘โœ•sโณโ›โœงโœชโณqโœตโ™ฆโœซโœฏโฆqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœปqโœ โœ‘โœ•โโณโ™ฆโœโœทโ‡โต โ‹ โœฅ โœฆโโžฃ โ›โ˜žโฅโ˜Žโ™ โœปโคโˆโฃโˆโคโˆโœ‰โœปqโœโœšโ™ฃโโณโคโœณโ›โ™ฅโ™ rqโœ•โ›โœˆโโณโ›โฆโ™  โฃโ„โโœ›โœ‘ sโณโ›โ„โœŽโ˜Žโค โ™ rโคโœณsโฆโ›โ€โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โ‘ฆโœโ‘ฆโ–โถโœŸโœโ™ฅโฅโขโคโขโโฆโœ‰โœปโœ‰โœปโฅโขโ™ฆrqโฃโœขโœœ qโƒโŠโ˜Žโคโ„โœ‰โœฆโ™ rqโœ•โ›โœ’โœ‘โœ•qโœฑโœŽโœฉโœœ โฅโœˆโ›โขqโœผโœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰โœฆโ™  โโกโ›โ™ฅโ™ โœปq โœ โ˜ โ‹ โœฅ โ™ โœปqโœตโฃโœณโฃโˆqโœถโœโ™ฅโฅโขqrโ‘ง

โœ‡ โ‘  โœตโœตโœต โ† โ‡โœโˆ โ‡ Pโ‰ โˆ โ‘ โœตโœตโœต

โต โ‘ขโณโฒโ˜žโœ โ˜ โœฑ โตโ–ฒโ–ผโ˜… โœฏโœฑโœฐ โœฉ โต โœ† โ˜… โ– โข โฑ โœฉโ–ฒโœฑ โ˜ โœดโœฝโœตโœพโœถโœฌโ——โฃโœ‘โœ‰ โฅโขโœชโ˜žโ™ โœšโโณโฃโœณsโฆโ™ฆrโœ‰โœโœŽโ˜Žqโœโœฒโœฆsโฆโฅโขqโœ•โ™ฆโœฎโœ‰โœปโฅโขโ™ฆโœฅโฃโ„โโ‚โœช โโณโฃโœณqโœตโฅโขโ™ฆโœ„โœŽโ˜Žq โฑ โž sโณโฅโขโ™ฆโœญโœŽโโœฎโœฐโœšโ™ฃsโณโ›โ™ฅโ™ rโ™ฆโœปqโœตโ™ฆโœŽโฃโˆq โ™ โœโœŒโœ’โœฎโœ•sโณโ™ฆโœโœŒโœฐโœšโ™ฃqโ–โœฆ โฝ

โœซโœฎsโณโฅโงโœ‰โœฎโโœฟโœชโณsโฆโ›โœˆโœ‰โœŽโ™ฆโœปqโœโœ‰โœฆโ™ rโ™ฆโœปqโœตโคโœณโ›โ™ฅโ™ โœฅโฃโœณq โžโœˆโ™ฆโœปsโ–โœดโขโฃโœŽโœŒโœปโœšโ™ฃqโœ›โนโ™ฃโฃโ„โโ‚โœชโœตโœฎโœตโ™ฆโœปโคqโž›โ„โœ‘โœ•โโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โ‘จโœŽโ˜Žq โฃโ„โโœ‡โžโœˆโ™ฆโœปsโฆโžโขโ™ฆโœปโคโœถโœฎ โ™ โ˜…โœฎ โœ‚ โ‡โœ‘โœฌโฅโœฆโ„โ‡โœ‘q โ™ โœโœŒโœ’โœฎโœ•sโณโ™ฆโœโœŒโœฐโœšโ™ฃq โœ‰โœปโฅโขโคโœ™โœชโœฑโโณโ›โฆโ™ โ›โขsโณโฅโงโœ‰โธโœŽโ˜Žsโณโ›โขโ›โœˆqโ‡โฅโœˆโ›โขqโœผโœ‘ sโฆโ›โœ’โœŽโ˜Žโคโœณโ™ โœปโคโˆsโณโ› โœ‰ โฅโ˜Žโœชโœงโœ‰rโโกโ›โ™ฅโ™ โœปq โž sโณโฅโขโ™ฆโธโœชโฆsโณโคโˆโ™ฆโœ„โœ‘ qโœ•โ™  โ™ โœปq โžโขโ™ฆrsโณโžโœˆโ™ฆโœปโคโœถโœฎ โ™ โ˜…โœฎ โœ‰rโโœฑโ™ rโคโˆโœ‰โœ•โ โโกโคโœณโ™ โœปqโœโ‘งsโจt โœ“ โฒโ„โจโœŒโœ‰โœพโœˆโฌโฉโ‚โโœฉโญโœผโœ˜โœ‘โœ โชโ„โซ โœซ qโœ’โขโœณโœโโโœ‰โ›โœ–โขโโœโโ› โฑ โœฃ โ‹โœบโ โœซ โ˜›โœ™โตโœœโฒโซโœงโœพโ›โฃโตโœฐโโฅโ™ฃโœโซโคโฆโœฌโœ–โœณโฆโœ’โ›โ™ โฒโ–โต โ˜›โœธโœ–โ˜žโ™ฃโœถโœ–โœณโ›โœฅโโฅโซ โœ˜โœฌโต โฒโœตโต โœ˜โœฌโขโœณโ™ฅโœโœ–โœณโโฅโซ โœ–โโฆโœฒโœ˜โœฌโต โœ โฒโโœโ™ฅโœฟโตโœœโœ˜โœฐโ›โœ–โตโœฐโœโโโŠโœข โœ–โœณโœโœฅโœŒโœœโœŒโฅโซโœ”โตโœพโฆโœคโœฐ โ… โโ–ฒโ‘โœ“โœ’ โญ โโ–ฒโ‘โœ“โœ’ โตโœโฌโœป โ˜… โ™  โผ โญโœ‰โ™  โผโœ”โป โœด โœฉโ–ผ โ‘ฃ โœน โœฆ

โขโฃโœ’โฃโœ”โฃ

โขโฑ โ

โตโœโœŒโฅโ›โœ•โœ”โ˜…โขโโโฅโฆโ€โœงโธq โœ–โโโœฑโœโโฆโดโตโœฆโœ˜โ˜…โขโโฆ โœŒโฅโ› โœ–โœณโฆโœ’โ›โฃโตโœคโœŒโฅโ›โœฅโโฅโซ โœ˜โœพโ›โฃโตโœฐโ™ฃโœโตโœฐโฆโœ’โ›โ—†qโœนโขโœโœŒโœฌโซโคโ›โœฅโซโคโ™ฅโœณโตโœŽโœŒโฅโœโโโœ– โ˜… โ™  t

โขโฃโœ”โฃโœ’โฃ

โขโ™  โต โœฉ โ–ผ โœฅ โœน โ™  t

โขโ™  โฒ โ™ 

โœดโฒ โคโ˜…โคโฅโค โฒ โ™  โต โฒ โ™  โ–ผโœฒโœฑ โ˜โœŽP

โš โ˜›โœ™โขโœณโโœœโœŒโœปโ โœŒโ˜žโœ–โœณโ›โœฅโซโœฃโœŒโโ– โœ‘โœ–โœณโซโคโ›โœ“โ˜› โœ–โœ‡qโˆโโœซโขโ˜…qโˆโโฅโซโœ™โœงโœพโ›โ›โœง โš โœ  โซ โœฉโถ โœงโœฐโ™ฃrโขโœณโฆ โœŒโฅโ›โœฅโโœฝโœ–โœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆโœ†โœฐโžฃ โ›โ€โœ‘โœ•sโณโ›โœˆโœ‰โœปโคsโœŽโœ—โœŒโœ•โ™ฆrq โ–ฒโœ˜ โฃโˆqโœ›โœชโณqโ—โœ‘โชโ™ โœปqโœตโฅโขโ™ฆ โ™  โโกโฅโงโœ‰โœปโœ‰โœปโคโœณqโœตโ›โœดโ˜…โ˜Žโœ™โœ›โœš โฌ โขโฃโœ’โฃโœ”โฃ

โขโœ™โœ›โœš โœ’ โญโœœโœ™โœ›โœš โœ’ โตโœโฌ โข โฃโœ”โฃโœ’โฃ โข โœ™โœ›โœš โ– โญโœขโœ™โœ›โœšโ˜Žโœฃ โตโœโฌ โœฉ qโœ•โ™  โœป โจโผ โœนโœฅโœค โ‘ขโœงโœฆ โ˜…โ˜Žโœ˜ โผ โœฉ โœฆโžฃ โ›โœโ›โœˆsโกโ™ โœปqโœตโ™ฆrโโ‚โœฎโœปโœฏโฆโโกโฃโˆqโœฐโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™  โœโœฉโ˜… โฃโ„โโœโœš โโœฑโ™ โœปโ™ฆrโคsโœ‘ qโœฑโœŽโ˜Žqโœฑโœ‘ sโœณโœชโœฑโโกโ™ฆrโคโ„โโกโ›โœ’โœ‘โœ•qโœ‡โœŽโ˜Žq โ–ฒโœ˜ โป โ˜…โ˜Žโœ˜ โœดโฃโข โฃโœ”โฃโœ’โฃ โข โœ˜ โต โœฉ โป โœโœฉโ˜… โ˜… โ‘ฃ โข โœณโœฅโœฉ โฃโœฅโœœ โœฎโœตโฃโœ™โœฎโœปโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ โ‰โœŽโ˜Žq โฃโˆโโค โผโœชโœŒโœฐโœšโ™ฃq โฃโˆโคโœ™โœฏโฆโ›โขq q โ™ โ‹โœฒ โผโœชโœŒโœฐโœšโ™ฃqโœผโœ‘ sโฆโฃโœณsโฆโ›โขโ›โขqโ‡q โ™  โ‘โˆโ‘ โœ โ˜… โ‘โœณโ‘ โœ‰ sโฆโ›โ€โœŽโโœฎโœ•โ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœšโ™ฃโคโˆโ›โœˆโโกโ›โ™ฅโ™ โœปโœฆ

โœทโœโ›โ˜›โœชโณqโœตโ™ฆ โ™ rโฅโ˜›โœŽโ˜Žqโœถโฃโ„โ โžโขโ™ฆrsโณโžโขโ™ฆrโคโœถโœฎ โ™ โœซโœฎโœโœŽโ˜ŽqโœˆโœŽโโœฎโœปโœชโณqโœ•โฃโˆsโณโžโœˆโžโงqโœปโœšโ˜žqโœตโ›โ™ฅโ™  โœ‰ qโœตโฃโœณsโฆโ›โ—โฃโœณqโœโœ‰โœฎโฃโˆโคโœ™โœฏโฆโ›โขqโœตโœ‰โœšq โ™ โœšโฃโˆqโœตโœ‰โœญโœ‘ sโฆโฃโœณsโฆโ›โขโ›โขqโœตโœ‰โœญโœŽโ˜Žโฅโ˜›โœŽโโœฎโœ•โ™ โœปqโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ™ฃโคโœณโ›โงโโกโ›โ™ฅโ™  โปโ›โขsโณโฅโงโœ‰โœฅโโœฟโœชโณsโณโ›โงโœ‰โœฃโฃโ„โโ˜žโ™ฆโœปqโœตโฃโˆโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โœพโœ‰ โฅโขโคโœถโœชโœฑโโกโ›โ™ฅโ™ โœปq qโœตโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrq โ‘โˆโ‘ โœ โ‘โˆโ‘ q โ™  โ‘โˆโ‘ โœ โ˜… โ‘โœณโ‘ โ‘งโ‘โˆโ‘ โœ โ‘โœณโ‘ โœน โ‘โˆโ‘ โœโœซโ˜… โ‘โˆโ‘โœฌ โตโผ โฑ โœด โœป โจโผ

โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โ‘ฆโกโœดโณโถโƒโœฃsโณโ›โœˆโœ‰โœปโคโœถโœŽโœนโœฎโœ•โ™ฆrsโณโ›โœˆโœ‰ โœฌ โฏ โฃโˆqโœผโœ‘ sโœโ โโœตโœ‘ โ™ โœปqโœ•โฅโœˆโ™ฆโœโœŽโขq โœโœฉโ˜… โ˜… โœณ

โขโœณโœฅโœฉ โœฆ

Page 104: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ†โœ๏ฟฝโœ„โœ‚โ˜Ž๏ฟฝโœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœŸโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ—โœ–โœ™โœ˜โœšโœŒโœ›โœ†โœœโœžโœ™โœขโœฃโœ’โœ•โœคโœฅโœ”โœ—โœ–โ˜žโœโœ“โœ’โœฆโœ–โœงโ˜›โœœโœ’โœ•โœโœ“โ˜… ๏ฟฝโฆโœดโŠ โโณโ™ฆโœ‡โœŽโœนโœฎโœฃโž›โœˆโ›โขโคโœณโ™ โœปโคโˆsโณโ› โป โœฌโœ๏ฟฝ qโœโœ‰โœฆโ™ โ‡โฃโœณqโ‚โœŽโโœฎ โ™ rqโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ™ฃโคโœณโ›โœˆโโณโ›โ™ฅโ™ โœ‡โœŽโ˜Žqโœ‡โฃโˆโโœโœ‰ sโฆโฅโœˆโœ‰โ˜Žโผโœ–โœš โโœฑโ™ rโ™ฆโœปโคsโœ‘ q sโ–โœดโ˜Žโ™ โœปqโœตโ›โ™ฅโฅโœˆq qโœ•โ›โœ„โœ‚โกโ™ rโโณโ›โ™ฅโ™  โฅโขโ›โขqโ‚โœ‘ sโ–โœšโ˜žโž sโฆโœ‰rโโกโ›โ™ฅโ™ rqโœŽโ˜Žโฅโ€โœชโณqโœปโœ‘ โ™ โœปqโœตโฅโขโ™ฆโ–ฒโ™  โโณโฅโœˆโœ‰rโœ‰ โคโˆqโœ•โ› โ–ฒโœ˜โœธโœฆโโŠ โโกโ™ฆโธโœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰โœซโœฎโœตโœโ™ฅโฅโขqโœ•โ›โ™ฅโ™  โป โœ‘โœตโœœ qโœโœ‰โœฆโ™ โœ—โฃโˆqโœ›โœŽโœนโœฎ โ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœšโ™ฃโคโˆโ›โœˆโโกโ›โ™ฅโ™ โธโœŽโœฉโœœ โฅโขโ›โขqโœ›โœš โโœฑโ™ โœปโ™ฆrโคsโœ‘ qโœ›โœŽโ˜Žqโœฑโœ‘ sโœณโœชโœฑโโกโ™ฆrโคโˆโโณโ›โœ’โœ‘ qโœญโœŽโ˜Žsโณโ›โœ’โœ‘โœŽโœฉโœœ โฅโขโ›โขqโœ„โœš โโœฑโ™ rโ™ฆโœปโคsโœ‘ qโœฎโœ‰โœปqโœฐโœšโ™ฃโคqโผโœ–โœŽโœนโœฎโœฃโž›โœˆโ›โขโคโˆqโœฎโž sโฆโœ‰โœปโค โ™ rโคโœ™โœชโฆqโœˆโœฃ โ‘ฅ โฉโ‰โŠ โถโœŸโœŽโ˜Žsโณโ›โ™ฅโ™  โฃโˆqโœตโœ‰โœโ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœšโ™ฃqโœตโœ‰โœŸโœŽโ˜Žโคโˆโโœตโœฏโณsโฆโ›โœˆโโกโฅโœกโŠโ™ฃโœ‰ sโฆโ›โ™ฅโ™ โœโฃโœณqโœโœ‰qโœป โจโผ โโœฟโœชโฆqโœปโœ‘ โ‘ฃโœ†โ˜Žโœนโœžโœโˆโœฆโ–โ‡โœŸqโœตโœ‰โžโขโ™ฆrsโณโžโขโ™ฆrโคโœ™โœฎโœ•โ™ โœซโœฎโœโœ‰โœ‡โœŽโขqโœตโœ‰โœ›โœš โโœฑโ™ rโ™ฆโœปโคsโœ‘ qโœโœ‰ โ‘ฅ โฉโ‰โŠ โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰ โโณโœ‰rโœ‰ โฅโœˆโ™ฆโœปqโœตโ›โฆโ™  โœโ™ฅโฅโขqrโœ‘ qrโœŽโโœฎโœ•โ™ โœปqโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ™ฃโคโœณโ›โงโโกโ›โ™ฅโ™  qโœตโœ‰ โ™ โœ›โœš โโโœฒโœฆsโณโ™ฆโ˜…โœฎโœ‡โžโœˆโโณโ™ฆ โฃโœณqโ™ฃโžโขโ™ฆrsโโœŽโ˜Žโฅโขโคโœณโ™ โœผโœŽโ˜Žqโœตโœ‰โ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœšโ™ฃqโœตโœ‰โธโœŽโขโคโˆโโœตโœฏโณsโณโ›โงโโกโฅโœกโŠโœฉโœฆโ˜›โžฃ โ›โœพโโœโœŽโ˜Žsโฆโ›โœ’โœ‘โœโ‘ง

โœฌโœ๏ฟฝ โฒ โšโผโœ โœŸโฑ ๏ฟฝ โœป โจโผ โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โ‘ฆ โ–ฒ โถ

โฉโœˆโœœ sโœฒโœฌโœพโฃโˆq โ™ฆโœซโœฎโœโœ‰ โฅโขโฃโœณโ™ rโโกโ™ โœฅqโœตโœ‰โ˜…โœ‘ sโœตโœšโ™ฃโžโ˜Žโ™ โ˜…โœฎโœตโœฆโ‡โœŸโโ€โœŽโ˜Žโคโˆโœ‰ โ™ โœปโ™ฆrโคโœถโœดโขโฅโ˜Žโ™ โœปโคโˆsโณโ›โพโœŽโ˜Žqโœ›โœ˜ ๏ฟฝ โœ‘ sโฆโ›โขโ›โœˆโโณโคโˆโœ‰rโœ‰โœปโโณโ›โ™ฅโ™  โœ– โœ˜โ˜›โœกโœŒโ˜ž โฏ โ˜ŽโœนโœโœโœโœŽ โœฉ qโœโœ‰โœฆโ™  โฅโขโ›โขqโœโœชโœฑโโกโ™ฆrโคโ„โโโœดโขโฃโˆqโœ‡โโณโฃโœ™โœฎโœโโœฑโ™ โœปsโฆโคโœณโ™ฆrqโ—โ™  โโณโฅโœˆโœ‰rโœ‰ โคโˆqโœ•โ›โขโ›โœˆqโ‚โœŽโ˜Žqโœšโ™ฃs โฌโณqโœ•โ›โœˆโ›โขq โœ‡โœ’โœ‘ โœ˜ ๏ฟฝ โ‘ โœ˜โœ“โœกโœ”โ˜ž โฏ โ˜Žโœนโœ•โœโœ—โœ–โœ—q โ™ โœโœŽโ˜Žq โœชโœฑโโกโ™ฆrโคโˆโโณโ›โœ’โœ‘ qโœ™โœ˜โœ›โœšโœœโœฃโœข โœฃโœ”โœชโณsโณโคโˆโ™ฆ โ‘ฅ โœŒโขโคโœณโ™ฆโญโฌโฆโ โฌโฆqโœฐโœช โ‘ โ„โ™ฅโ‘ฆโณโœคโœปโ–ผโœฃโž โœฆ โ‘ฆโณโœดโœฅโœคโ–โถโœพโœฆ โŠ โโกโ™ฆโ‚โœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰โ– โœฎโœโœโ™ฅโฅโขqโœ•โ›โ™ฅโ™  โปโ›โขsโณโฅโงโœ‰โœฅโโœฟโœชโณsโณโ›โงโœ‰โœฃโž sโณโฅโœˆโ™ฆโœ—โ™ โœปsโณโฅโขโ™ โœฆโœโ—โœน โœฆ

โขโ˜…โœงโœฉโœงโœฉโœงโ˜…โข โฑ โ‘งโ‘กโœซโœช โฝ โ˜…โœญโœฌ โœฆโœฏ โœค โ‘ขโœงโœฆ โ˜… โตโœฌ โผ โฑ โœด

โ—† โผ โœ˜ โผ โœฉ โœฉ โœน โœ‡ โธ โ‘กโœซโœช โฝ โ˜… โ‘ฃ โตโœฌ โผ โฑ โœด โ—† โผ โœ˜ โผ โœฉ โบโœน โœ‡ โธ โœ‡ โธ โ‘กโ˜…โœช โฝ โ˜… โ‘ฃ โตโœฌ โผ โฑ โœด โ—† โผ โœ˜ โผ โœฉ โ‘ โœ˜โœ“โœกโœฎโ˜ž โฏ โ˜Žโœนโœ•โœ โบโœฝโบโœน โœ‡ โœงโ˜… โ‘กโœซโœช โฝ โ˜… โ‘ฃ โตโœฌ

โฏ โœŸโฑ ๏ฟฝ โ—† โผ โœ˜ โผ โœฉ โœ‡โœฏโœ‘ โ‘กโœซโœช โฝ โ˜… โ‘ฃโ–โ—† ๏ฟฝ โœ˜ ๏ฟฝ โœฉ โ‘ โœ˜โœ“โœกโœฐโ˜ž โฏ โ˜Žโœนโœ•โœโœฑโœ– โœฐโœฒโœน โœ‡ โœงโ˜… โ‘กโœซโœช โฝ โ˜… โ‘ฃ โตโœฌ

โฏ โœŸโฑ ๏ฟฝ โ—† โผ โœ˜ โผ โœฉ โ‘กโœซโœช โฝโœ„โœฒ โœฌ โœฆโœฏ โœ• โจ ๏ฟฝ โœ โ˜…โœฌ ๏ฟฝ โ–ผ โ‘ฃโœ–โœ•โœฃ๏ฟฝ โœ‡โœณโœ‘ โœ˜ ๏ฟฝ โ‘ โœ˜ โœก โ˜ž โฏ โ˜Žโœนโœžโœโœ—โœ–โœตโœด โœฐโœฒโฒ โ‘กโ˜…โœช โฝ โœฒโœถโœฌ โœฆโœฏ โœ•โœ’โจ ๏ฟฝ โœโœฉโ˜…โœฌ ๏ฟฝ โœด

โฉโœšqโœผโœ‘โœ•q โ™  โ™ rq qโƒโŠโ˜Žโžโขโ™ฆrqโœตโœ‰rโœ‰ โคโˆsโณโ› โป sโฆโ›โœโž qโœ•โฅโขโ™ โœญโœ‘ sโฆโ›โœ’โœ‘ โฃโˆโฅโขโ™ฆrqโ‡โœโ™ฅโฅโขqrโ‘งโœค โ‘ข โœฆ โ˜… โตโœฌ โผ โฑ โœด

โ—† โผ โœ˜ โผ โœฉโœžโœท โœ• โจ ๏ฟฝ โœ โ˜…โœฌ ๏ฟฝ โœŽโ˜Žsโณโ›โ„โœ‘ โœค โ‘ขโœงโœฆ โ˜… โตโœฌ โผ โฑ โœดโ—† โผ โœ˜ โผ โœฉโœธโœท โตโœฌ๏ฟฝ โฑ

โœดโœ• โจ ๏ฟฝ โœป โจ๏ฟฝ โœ โ˜…โฑ โœฌ ๏ฟฝ โœป โจ๏ฟฝ

โœฌโ——โฃ โ›โขq โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โœ—โ™ฆโœปqโœโœ‰โœฆโ™ rq โžโขโฃโœณโฅโงโœ‰โœฎโœโ™ฅโฅโ—†โœœ โนโ™ฃโโณโžโขโžโขโฃโˆโคโˆโœโ™ฅโฅโขqโœตโ™ฆโœฅโฃโˆโโ‚โœšโ™ฃโคโœณโ›โœˆsโณโ™ฆ โโœฑโ™ โœปโคโˆsโณโ›โ‘ฉโœฃโœฅโœคโโœฆ โ‘ฆ โ–ฒ โถโœฃโžโงsโฆโฅโขโ™ฆโœฎโโœฟโœชโณsโฆโคโœณโ™ฆโœ—โฃโ„โโ‚โœšโ˜žโคโˆโ›โขsโฆโ™ฆrโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ› โœ‰ โฅโขโคโœถโœชโœฑโโกโ›โ™ฅโ™ โœปqโœโ‘งโœค โ‘ขโœงโœฆ โ˜… โตโœฌ โผ โฑ โœด

โ—† โผ โœ˜ โผ โœฉโœนโœท โœฆโฑ โœ โ˜…โœฌ โตโผ โฑ โœด โœป โจโผโ‘ฃ โ‘คโชโ‘ฅ โ‘ฆโœบโœผโœปโœฝโœปโœฟโœพ

โตโœฌ๏ฟฝ โฑโœดโœ• โจ ๏ฟฝ โœป โจ๏ฟฝ โœฃโœ–โœคโœงโœฆโโ€โณโ™โ–โถ

โœฃโœฅโœคโโœฆ โ€โณโœดโ–โถ โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰ โœšโ˜žsโฆโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrq โœโ™ฅโฅโขqโœฃโฃโœฅโœœ qโƒโŠโ˜Žโžโขโ™ฆrqโœตโœ‰rโœ‰ โคโˆsโณโ›โœถโ˜…โœโดโโด โœฉ qโœโœ‰โœฆโ™  โป โนโœšโฅโขโ›โขqโœ โœ‘ sโณโ›โงโœ‰โœฆโ™  โโกโ›โ™ฅโ™ โœปqโœโžโœˆโ™ฆ โœŒโœโœ‰ โป โ‘โœณโ‘ โœ โ‘โˆโ‘ โœฆโ—โ‡โœŸโœœ โœŒโฏโฌ โžโงsโณโ™ โœโœŒ โœŒโœโœ‰ qโœ โœŽโœฉโœœ โฅโขโ›โขโคโ‘โโsโณโ™ฆโ˜…โœšโ˜žqโœดโงsโฆโ™ฆโœปโ›โœˆโค โ™ rโฅโœ’โœŽโ˜Žq โ›โขsโณโฅโงโœ‰โœฅโโณโœ‰rโœ‰ โฅโขโ™ฆrq โฃโœขโœœ qโƒโŠโ˜Žโคโ„โœ‰โœฆโ™ rqโœ•โ›โœ’โœ‘โœ•qโœฑโœŽโœฉโœœ โฅโœˆโ›โขqโœผโœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰โœฆโ™  โโกโ›โ™ฅโ™ โœปqโœฑโœทโ‡โต โ™ โœปqโœตโฃโœณโฃโˆqโœถโœโ™ฅโฅโขqrโ‘งโœค โ‘ขโœงโœฆ โ˜… โตโœฌ โผ โฑ โœด

โ—† โผ โœ˜ โผ โœฉโ‚โœท โœท โต โตโœฌ๏ฟฝ โฑโœดโœ• โจ ๏ฟฝ โœป โจ๏ฟฝ

โœฃโœ–โœคโœงโœฆโโ€โƒโœคโณโถ

Page 105: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โ–ฒ โœคโœ๏ฟฝ โœžโœ„โœ‚โœโœ’โœ•โœโœโ˜ŽโœฎโœŒโœโœ†โœ๏ฟฝโœพโœžโœžโœ‚โœŸโ˜Ž โœ”โœ โœ‚ โœ”โœฅโœ โœ˜โœโ˜› โœโœ“โœŒโœŸโœกโ˜›โœ‚โœฃโœโœพโœ†โœฃโœ” โœค โœžโœšโœ† โœ˜โœโ˜›โ˜žโœกโ‚โœขโœโœŒโžฃ โ›โœงโโœˆโœŽโ˜Žsโฆโ›โœ’โœ‘โœฅโฃโˆqโœตโœ‰โœฃโ™ฆโœปqโœตโฃโˆโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โœˆโœ‰ โœ‰ โฅโขโคโœถโœชโœฑโโกโ›โ™ฅโ™ โœปqโœโœ‰โœฃโœโ™ฅโฅโขโค โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โœบโœšโ™ฃsโณโ›โ™ฅโ™ rโ™ฆโœปqโœšโœโ™ฅโฅโขq โฃโœณq โžโขโ™ฆrsโœงโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโงโœ‰ โœ™ โžโงsโ™ฅโœ‰โœปโœ‰ โœŒโœปโœŽโขqโœฎโฃโˆโ โžโขโ™ฆrsโณโžโขโ™ฆrโคโœ™โœฎโœ•โ™ โœซโœฎ โœ‚ โ‡โœ‘โœฌโฅโœฆ๏ฟฝ โธ โœ โœช โฝ โธ โœ‚ โตโœฌ

โผ โฑ โœดโ—† โผ โœ˜ โผ โบ โบ โœน โœ โœช โฝ โœ„ โœฌ โœฆโœฏ โœค โ‘ขโœงโœฆ โ˜… โตโœฌ โผ โฑ โœด

โ—† โผ โœ˜ โผ โœฉโœ†โ˜Ž โฒ โœ โœช โฝ โœ„ โœฌ โœฆโœฏ โœทโ‡โต โตโœฌ๏ฟฝ โฑโœดโœ• โจ ๏ฟฝ โœป โจ๏ฟฝ โ˜Žโตโš๏ฟฝ โฑ

โœด๏ฟฝ โœ‘ โœ โœช โฝ โœ‘ โœ‚ โœท โต โœ•โœถ๏ฟฝ โœ˜ ๏ฟฝ โœ– โœ– โœน โœ โœช โฝ โœ„ โœฌ โœฆโœฏ โœท โต โตโœฌ๏ฟฝ โฑ

โœดโœ• โจ ๏ฟฝ โœป โจ๏ฟฝ โ˜Ž โฝ

โƒโœญโœœ qโœโœ‰โœฆโ™ โœŽโฃโˆโ โžโœˆโ™ฆโœปqโœปโœšโ˜žโค โœŒโœ•โ™ฆrqโ‰โœ‘โœ•sโณโ›โœ’โœŽโ˜Žโคโœณโ™ โœปโคโˆsโณโ› โคโœณโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrsโโœŽโ˜Žโฅโขโคโœณโ™ โœปqโœฎโžโงโโกโ™ฆ โ™ฃโœŽqโœตโ™ฆโœซโœš โโกโ› โ‘ โ„โœตโœดโœณโ–ผโœฅโœฆโœงโ‡โœบโœœ โคโœถโœŽโœนโœฎโœ•qโœญโœŽโ—†โœœ โœ‚ โ‡โœ‘โœฌ qโƒโŠโ˜Žโคโ„โœ‰โœฆโ™ rqโœญโœŽโโœฎโ– โœฒโ– โน qโœ•โ›โ™ โž›โœˆโฃโœณโคโœถโœฏโณโ™ฆ โโกโ›โœˆqโœŽโขโโกโ›โงโœ‰โœบโœ‘ qโœ•โ™ โœŽโโกโ™ฆโœปโ™ โœปโคsโœ‘ โฃโˆqโธโœš โโกโคโ„โœ‰ โœ‰rโโกโ›โœˆโœ‰ โฃโˆโโœ›โœšโ™ฃqโœ•โ™  โ™ โœปโ™ฆrqโœšqโœตโ›rโœฎโœฐโœช โคsโœŽโ˜Žqโœ•โ›โœ’โœ‘โœ•qโœตโœฆโโฉ โโณโ›โœˆโœ‰โœโฃโ„โโœถโœ‰โœปโฅโขโค โ™ rq โป โ™ฃโœŽqโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ™ฃโโณโ› โ โโsโณโ™ฆโ˜…โœš โโกโฃโˆโคโˆโœ‰โœซโœฎโœ„โœ‘ qโœ•โ™  โ™ โœปqโœšโ›โขsโกโ™ rโคโœณsโฆโ›qโœ•โ›โฉโคโœณโ›โ™ฅโ™ rโ™ฆโœปsโโœŽโ˜Žโฅโขโคโ„โœ‰rโโกโ›โ™ฅโ™  โฃโˆโโœพโ›โขsโณโ™ โœปโคโˆsโณโ›โพโœŽโ˜Žqโœงโœซโœฎsโฆโ›โ„โผ โฉโœญโœฎ โ™ rqโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ™ฃโคโœณโ›โขโคโ„โœ‰โœซโœšโ˜žqrโ‡โœŸsโœงโœ‘โœตโโกโฃโœ„โœฃโœนโœซPโฉโœ‡โ‡ โถrโœฃโœผโ™ฃโœฃqโœตโ™ฆโœซโœš โโณโ› โ‘ โ„โœฟโœคโœปโ–ผ โถโ‡โฃโœณqโœโœ‰ โคsโœŽโโœฎโœ•qโœโœ‰ โ›โขqโœงโœ‰ sโฆโ›โ™ฅโ™ โžโœˆโโณโœ‰ โ™ โœปโ™ฆโœโœŒโœตโœ‰โœโœŽโ˜Žโคโœžโœโˆโœฎโœ•โ™ฆrqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœปqโœโœ‰โ€โœฃโœ”โœชโณsโฆโคโœณโ™ฆ โœซโœฎsโฆโฃโˆโโณโ› โ‘ ๏ฟฝ ๏ฟฝโœฟโ–ผ โถโฅโœฆโœบโ‡โœŸโœœ โคsโœŽโโœฎโœตqโ€โœ‘โœ•qโœ•โ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆ โโกโฃโˆq โœ‘โœ•sโœตโœšโœโœš โฅโขโ›โœˆqโ€โนโ‘ฉโœ‘ qโœโœ‰โ‚โœŽโขqโœ•โฅโœกโŠโดโ›โœˆsโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โงโœ‰ qโœโœ‰โœฆโ™ โœธโœŽโ˜Žq โœ‰ qโœŽโ˜Žqโœฐโœš โโณโ›โœ’โœŽโ˜Žqโœ•โ™ฆโœผโœ‘โœ•q โœโฆโฅโœˆqโœธโœŽโ˜Žqโœฐโœช โคโˆqโœ•โ›โ™ฅโ™  โฃโœณq โžโขโ™ฆrsโโœ‘ qโœโœ‰โœปโœ‰โœปโฅโœˆโœ‰โ‡โฃโœณsโฆโ™ฆrโœ‰rโœโ™ฅโฅโขqโ˜žโฃโœณqโœโœ‰โœถโโœตโœ‘โœปโœ‘ โ™ฆrsโณโคโ„โœ‰โœปโœ‰โœปqโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™  โœ‰โœญโœŽโ˜Žqโœปโœช โคโœณqโœตโ›โขโ›โขqโœ•โ›โ™ฅโ™  โž q โ™ โœปโคโœณโ™ rโœ‰โœปโœฆ โ‡โœŸโœœ sโ–โœดโโœฒโœฆqโœปโœ‘ โ™ โœปโคโ‘โqโœตโœ‰ โ™ โœผโœŽโœฉโœœ โโœฟโœชโฆsโณโคโˆโ™ฆ โฅโขโ› โžโขโ™ฆโœปsโโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโœˆโœ‰ โœโ™ฅโฅโขโค โœ‰โœปsโณโคโœณโ™  โ™ฆโœซโœฎโœปโœฏโณโฅโขโฃโˆโคโˆqโœ•โ™ฆโ—โœฆ โœท โ›โฉโ™ฆrqโœตโœ‰ โ™ rโโณโ›โ™ฅโ™  โœ‰โœปโฅโขโ™ฆโœผโœ‘โœ•q โžโงsโฆโคโœณโ›โ™ฅโ™ โœผโœŽโ˜Žqrโœช โฅโขq โป sโณโ›โฉโžโงqโœตโฅโ˜Žโ™ โœผโœฎโœ•โ›โขsโฆโ›โœ’โœ‘ qโœตโ™ฆ โฃโœณqโฃโœณqโœปโœšโœโœšโ˜žqโœถโœ‰โœปโฅโขโคโœถโœชโœฑโโกโ›โ™ฅโ™ โœฎโœโฆโฅโœˆโค qโœตโœ‰ โ™ โ‰โœŽโโœฎโœฐโœšโ™ฃsโณโ›โ™ฅโ™ rโ™ฆโœซโœฎโœฑโœŽโขโโณโ›โœˆโœ‰โ– โ™ฃโœŽqโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ™ฃโโณโ› โ‘ โ„โœฟโœคโ—โ–ผโœบโ‘งโœŸ โฉโœกโœ โ˜›โœ โฌโฉ โโœฉโญโœŒโ˜ž โชโ„โซ โœซ qโœ’โขโœณโœโโโœฑโ›โฃโขโœณโœโโ› โฑ โœฃ โ‹โœบโ โตโœพโ› qโœ’โขโœณโœโโโœ›โ›โœ–โขโโœโโ› โ–ฒโ‘ฃ โœฃโœŽโœ โตโœ‘โœ โœ– โ˜… โœฅโขโœฉโœงโ˜…โœงโœฉโœงโƒโข โœฅ โœฉ โœŽ โขโœณโฆ โœ– โœฐ

โฏ โœ‚ โฑ โœ‚ โ‰โœ“โœ’โœš โ–โœ•โœ” โœš โœค โ‘ขโœงโœฆ โœฉโœซ โตโœฌโฏโœโฑโœด

โ‘ฃ โฏ โœ˜ โฏโœป โฏ โœญโœฏ โ‹ โœฅ โœฃโœ–โœคโœงโœฆโโ€โ–โœคโœตโถโš โ˜›โœ™โขโœณโโœœโœŒ โ˜›โœ—โœ– โœ˜โœšโœ™โ˜…qโœนโขโโ›โœŒโœ˜โœœโœ›โœโœŒโœฐโตโœฃโœขโœณโœ โ˜›โœถโตโœพโ™ฃโ‚โ™ฃโœโต โƒ โœฉ โ‚โœฅโœคโ‘จโตโœโœŒโฅโ› โœŒโ˜žโœ–โโ›โœขโซโœฃโœŒโโ– โœ‘โœ–โœณโซโคโ›โฃโต โœฉโ‘ฅ โฅโขโ™ฆโœŽโฃโœขโœœ qโœ•โ›โœˆโœ‰โœปqโœฐโœšโœโœดโขโฃโˆqโœˆโœฃโœฅโœคโโœฆ โ€โœ๏ฟฝโ–โถ โป โฃโˆโโœผโœช โโณโ™ฆโœปโคโ„โโโœดโœˆโฃโœณqโœšโโณโฃโœ™โœฎโœโโœฑโ™ rsโณโคโˆโ™ฆโœปqโœงโœฆ โต

โฏโœโฑโœด

โ‘ฃ โฏ โ˜… โจโ˜… โจ qโœโœ‰โœฆโ™ โ– โ™  โโกโฅโœˆโœ‰rโœ‰ โคโˆqโœ•โ›โœˆโ›โขqโœฎq โ™ โœŽโ™ฆโœซโœฎโœปโœฏโณโฅโขโฃโˆโค โœŒโœ•โ™ฆrqโœฅโžโงsโฆโฅโขโ™ฆโœโ™ rsโณโฅโœˆโœ‰โฃโœณqโœโœ‰ โ–ฒโ‘ฃโ˜โœฃโœฉโœ โตโœชโœ โœ– โ˜… โœฅโขโ˜…โœงโœฉโœงโ˜…โœงโƒโข โœฅ โœฉ โœŽโ–โœฆโœฌโœซ โฅโขqโ˜žโœ‰ qโœ‡โžโœˆโโณโœ‰rโœ‰ qโœ”โผโœนโ™ โžžโผ โคโˆโฃ โœš โโณโคโœณโ›โ™ฅโ™ โœปqโœตโ›โœˆโโกโ›โ™ฅโ™  โœโฆโฅโงโโกโ›โœ’โœŽโ—โฃโˆqโœตโœ‰โ‡โโœตโœ‘โœปโœ‘ โ™ฆrsโณโคโ„โœ‰โœปโœ‰โœปqโœฐโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™  โœ‰โœ—โ™ โœปqโœตโ›โœ’โœŽโ˜Žqโœตโ›โฆโ™ โœ›โœชโณqโœตโ™ฆrโœ‰

๏ฟฝโœฎโœญโœฑโ‡โœœโโ‚โœ‘โœ•sโณโ›โœ’โœŽโขโค โ™ rโคโœณsโฆโ›โ‘ฉโœฃโœ–โœคโœงโœฆโโ€โ–โœคโโถโœฃsโ–โœดโขโฃโœณโคโœถโœฏโณq โžโขโ™ฆโ˜…โœฎโœปโœ‘โœ•โคโˆโœ‰โœซโœฎโœฐโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™ โœฅโฃโ„โโ‚โœช โโณโ™ฆโœปโคโ„โโโœดโœˆโฃโœณqโœ›โนโ™ฃโ™ฆโœปqโœโœ‰โœฆโ™ rqโœ•โ™ฆโœŸโ™  โโกโฅโงโœ‰โœปโœ‰โœปโคโœณqโœตโ›โขโ›โขq q โ™ โœฎโ™ฆโ˜…โœฎโœฐโœฏโฆโฅโขโฃโˆโคโœŽโœŒโœตโ™ฆโœปqโ–โœฆโœฏโฟโพโœฑโœฐ โœฒ โž†โœดโœณโœถโœตโž‡โžˆ โžโœ”โžŒโœธโœทโœซโžโจโžโœœโžŽโž‡โž…โœนโœณโž“โžŒ โž…โœปโœบโจโž†โœดโœณโž“โž†โœปโžโž”โž‰โœฝโœผโœฟโœพrโžŒโโ€ โž โž‹โœฃโž†โœปโžโƒโ‚โ„โœพโˆโžโ…โœท โž‰rโž‹โœฃโžŒโจโžโž‡โž โžโจโž‹โ†โœพrโž†Pโˆโ‡ ๏ฟฝโœดโ‡โœปโœบ โœผโœพโœฝโœดโ‰โœ—โŠโœฅโ‹โœšโ—โœ“โโโ– โโ—โ–ฒโ‘โโ–ผโ—†โ‹โœšโ— โ˜› โ˜Ž โŠ โ™โœฑโ– โ– โP โ™โ——โ…โ˜ โœ“ โฒโ„โจโšโ™โœกโœ โฌโฉโ‚โโœฉโญโœผโœ˜ โœ˜ โœ  โตโ…โฏ โขโœณโœโโ™ฅโœณโตโœพโ™ฃrโตโœฐโฆโœ’โ› โœฟโœ„โโœซโขโฒโฑโ‹โฆโœ’โซโœ”โตโœฐโฆโ˜žโ– โœฌโโœฝโœ–โœโœ˜โœพโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆโ„โฆโœฒโœ–โโซโคโโœซโตโœขโœ–โณโœขโœณโ™ฃrโตโœฐโ› โœโโฆโ˜›โ›โฃโตโœฐโ™ฃโœ„qโœฒโœŒโœคโ˜›โœถโข โœ˜โœœโœ–โœโ˜›

โ˜… โ™ โขโœช โœฉโœฎโจโฌโฉโˆโญ โ˜…โœ”โ™ 

โขโœช โœฉqโœนโขโโœโโโœฑโ›โœ–โขโโœโโ› โœฅ โœฎโซโช โœฎ โœฆโœโœฉโด โœงโœฐโ™ฃrโขโœณโฆ โœŒโฅโ›โœฅโโœฝโœ–โœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆโœ†โœฐโŠ โโกโ™ฆโœถโฃโ„โโ‚โœ‰ โ™ rโโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ›โขโ›โœˆโโณโ™ฆโœปโคโœณโ™ โœซโœฎโœธโœŽโ˜Žqโœโœ‰ โโ–โœ‘โœฐโœ‘ โ™ฆrsโณโคโ„โœ‰rโœ‰ qโœปโœšโ˜žqโœตโ›โ™ฅโ™ rโœ‰โœฑโœŽโ˜Žโฅโงโœšโ™ฃsโณโฅโœ’โœชโณqโœฐโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™ โ—โ™ฃโœฃโ™ฆrs โœป โ›โขโคโˆqโœ•โ›โœ†โโโ™ฆ โโœตโœ‘โชโ™ rโคโœณsโฆโ›โขโ›โœˆโโณโคโœณโ™ฆrq โป โœ‰โœปsโณโ›โฌโœ‘โœตโโกโ™ฆ โโœตโœ‘โชโ™ โœโœŒโœ•โ™ฆrq

โ™  โโกโฅโœˆโœ‰rโœ‰โœปโคโœณqโœตโ›โœqโœ•โ™ โธโœŽโขโฅ โ โโณโค โ™ โœšโœโ™ฅโฅโขqโ›โต t โœน โœฅ โป โฃโˆโโœโœ‘โœ•sโณโ›โœ’โœŽโ˜Žโคโœณโ™ โœปโคโˆsโณโ›โพโœฃโœฅโœคโโœฆโ‘โ„ โ€โœตโถโœ โœŽโœฉโœœ qโƒโŠโ˜Žโคโ„โœ‰โœฆโ™ rqโœ•โ›โœ’โœ‘โœ•qโœ›โœŽโขโฅโœโ™ rqโœฐโœšโ™ฃโžโœˆโœ‰โœฅโฃโˆsโโœ‘โœ•โโณโฃโœ‘โœ‰โœฐโœœ โœฎโœปโœ‘โœ•โ™ฆโœปโคโœณโ™ โœฑโ‘งโ˜…โœโด โœฉ โœน โน โบ

โป โบ โนโœดtโนโœดt โœ โœช โฝโœ„โœฒ โœฌ โœ• โจโœฏ โ‘ โ™  โœฌ โš โ‘ โจ โญ โœด โœณโฏโš โœณ โ™  โœณ โœ• โœฎ โœฐ

โ‡โœ‘qโœฑโœ‘โงโœŒโœˆโโณโ›โœนโœฏโณqโœปโœšโ˜žqโœตโ›โ™ฅโ™ โธโœŽโขqโœ‡โœชโœฑโโณโ™ฆโœปโคโ„โโโœดโขโฃโˆq โ—† โœน โœ• โ‘ โ™  โœฌ โš โ‘ โญ โ›โœˆsโณโฅโœˆโœ‰โœ—โž qโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ™ฃq โ™ โ‰โœŽโœฉโœœ โคโˆโœ‰โœปsโณโฃโˆqโœ•โ™ฆโœฅโฃโˆqโ‡โ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœšโ™ฃq qโœ•โ› โ—† โ‘งโ˜… โด โœฉ โœน โน โบ

โป โบ โœ โœช โฝโœ„โœฒ โœฌ โ—† โจโœฏ โœด โœณ โ—†โ‘ฃ โ‘คโชโ‘ฅ โ‘ฆโœบ โœป โฌ โœพ โœงโนโœดtโนโœดt โœฆโ‘ โ™  โœฌ โš โ‘ โญ โœณโโšโœฟโœณ โ™ โ‘ฃ โ‘คโชโ‘ฅ โ‘ฆโœบ โœป โช โœพ

โ˜…โœโดโœดโœฉ qโœโœ‰โœฆโ™  โž›โงโ›โขโคโœณqโœšq โ™  โคโˆโฃโœˆqโœโœ‰โœฆโ™ rโ โโ–โœ‘ โคโˆโฃโœณqโœญโœŽโ˜Žqโธโœชโœตโœฎโœตโ™ฆโœปโคqโž›โœˆqโœ•โ™ฆโœฃโœโฆโฅโœˆqโœฎโžโงsโฆโฅโขโ™ฆ โœฅ โœฎโœโช โœฎ โœฆ โป โ˜…โœโด โจ โœฉ qโœโœ‰โœฆโ™ โœบโœฎโœปโœฏโฆโโกโฃโˆqโœฐโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™ โœฑโž›โงโ›โขโคโœณqโ–โœฆโ–โ‡โœŸโœœ โœŒโฏโฌ โžโงsโณโ™ โœโœŒ โœŒโœโœ‰ qโœŽโ˜Žโฅโœพโ™ โœโœŒโœนโœฎโœตsโณโ™ฆโœโœŒโœฐโœšโ™ฃqโœผโœคโœงโœฆโœ„โ™ qโœโœ‰โœฆโ™ โ‰โœŽโขsโณโ›โœ’โœ‘ โœ‰rโโœฑโ™ โœปโคโ„โœ‰โœ•โ โโกโคโœณโ™ โœปqโœฑโœ‘ qโœถโœโ™ฅโฅโขโคโ—†โœŽโโœฎโœปโœšโ™ฃsโณโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrq โฃโœณq โ™  โœŒโœนโœฎโœ•sโฆโ™ฆ โœŒโœปโœšโ˜žqโœโœฆ โฝ

Page 106: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ†โœ๏ฟฝ ๏ฟฝโข๏ฟฝโฉโœโœ“โœŒโœŸโœกโ™ฆโœ‚โœฃโœ โœ†โœŽโœ” โœค โœžโœšโœ† โœ˜ โ˜›โฌโœก โœขโœ โœŒ ๏ฟฝโ™ฅโ™Pโˆโ‡ ๏ฟฝโœดโ‡โœ‚โœ โœ„ โ‰ โ–  โ– โโˆโ‹โœšโ‰ โ โ–ผโโ‰โœ†โ‹ โœ  โ‘โœงโ–ผโ—†โ‹โœกโ— โ˜› โ˜Ž โŠ โ™โœฑโ– โ– โP โ™โ——โ…โ˜ โœ“ โฒโ„โจโšโ™โœกโœ โฌโฉโ‚โโœฉโญโœผโœ˜โœšโ˜žโœกโœ  โต โ›โฃโตโœพโ™ฃโ‰q โœŒ โ˜›โœถโข โœ˜โœœโœ–โœโ˜› โœ–โœโœŒโœ—โœŒโœฐโข โœ˜โœพโซโœ™โœงโโœ–โโœโœผโ™ฃrโขโœณโœโโ™ฅโœณโตโœพโ™ฃrโตโœพโฆโ„โ› โœฟโธโโœซโขโฒโฑโ‹โฆโœ’โซโœ”โตโœฐโฆโœฅโ– โœฌโโœฝโœ– โœ˜โœฐโ›โœขโซโœ”โขโโฆโœ’โฆโœฌโœ–โœณโซโคโโœซโต โ˜…โœ”โ™ 

โขโœช โœฉโˆโจ โฉ โญ โ˜… โ™ 

โขโœช โœฉโตโœโœŒโฅโ›โœ“โœ˜โ˜…โขโโฆโœ’โ›โœฅโซโคโฆโœ’โœโœqโœ’โขโœณโœโโโœฑโ›โฃโขโœณโœโโ› โช โœฃ โ˜… โœฅ

โขโœฆ โœฉโฅโœฉโด โœงโœฐโ™ฃrโขโœณโฆ โœŒโฅโ›โœฅโโœฝโœ–โœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆโœ†โœฐโžฃ โ›โงโœชโœฑโ โโกโžโœˆโžโขโฃโœณโคโ„โœโ™ฅโฅโขqโœ•โ™ฆโœ‡โฃโœณqโœงโ™ โœโœŒโœนโœฎโœตsโณโ™ฆโœโœŒโœฐโœšโ™ฃqโ€โœคโœงโœฆ ๏ฟฝโœนโœฆโœœโžโงsโฆโฅโขโ™ฆโœโœ‘ q โ โโณโคโœณโ™ฆrq โป โคโœณโฃ โ โโกโฅโ˜Žโ™ โ‚โœšโ™ฃsโณโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrqโœ•โ™ฆโ˜žโœโฆโฅโœˆqโœงโฃโœณq โœšโ™ฃsโณโฅโœนโœชโฆqโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœฎโ™ฃโœŽโ™ฆrs โœป โ›โขโคโœณqโœตโ›โโโ™ฆrโโ–โœ‘โชโ™ rโคโœณsโฆโ›โขโ›โœˆโโกโคโˆโ™ฆrqโœ—โœ‰rโโœฑโ™ rโคโˆโœ‰โœ•โ โโกโคโœณโ™  โฃโ„โ โžโขโ™ฆrsโณโžโขโ™ฆrโคโœถโœฎ โ™ โœซโœฎโœญโœŽโœฉโœœ โœ‚ โ‡โœ‘โœฌโœ„โœฃ sโœตโœดโโœฒโœฆqโœ•โ™  โœŽโ˜Žโฅ โ™  โœŒโœนโœฎโœ•sโฆโ™ฆ โœŒโœปโœšโ˜žqโœญโœคโโœฆโ‘โ„โœโœดโ–โถ qโœ•โ™ โœฃโœโ™ฅโฅโขqโœšโฃโ„โ โžโขโ™ฆrsโณโžโœˆโ™ฆโœปโคโœถโœฎ โ™ โ˜…โœฎโœ—โ™ โœปqโœปโœ‘โงโœŒโœˆโ›โขโคโˆโœโ™ฅโฅโขqโœฃโœฅโœคโโœฆ โ€โœฑโ€โœตโถ qโœตโœ‰ โ™ โœ„โœชโ™ฅโ™ฆ โโกโคโˆqโœโœฃโโ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœปโฅโขโฃ โ™  โโœฑโ™ โ‰โœŽโ˜Žโฅ โฃโˆqโœฐโœšโœโœšโ™ฃqโœˆโœคโœงโœฆโœ„โ™ โžโงโโโœฏโณq โ„ ๏ฟฝโœ๏ฟฝโ–โถโœพโœฆ โฝ

โ——โ…โ˜ โœ“ โฒโ„โจโšโ™โœกโœ โฌโฉโ‚โโœฉโญโœผโœ˜โฏโœ™ โœ  โตโ™ฆโ™ฃโœโขโโœโโ™ฅโœฟโตโœฐโ™ฃโœโตโœฐโฆโœ’โ›โ–ผโœฟโธโโœซโขโฒโฑโ‹โฆโœ’โซโœ”โตโœฐโฆโ‚โ– โœฌโโœฝโœ– โœ˜โœฐโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆโœ’โฆโœฌโœ–โœณโซโคโโœซโต โœŒโ˜žโœ–โœณโ›โœฅโซโœฃโœŒโโ– โœ‘โœ–โœณโซโคโ›โœฟโ˜›โœธโœ– qโดโโœซโขโœฌqโดโโฅโซโœ™โœงโœฐโ› โœง โš โœ  โซ qโœนโขโโœโโโ€โ›โฃโขโœณโœโโ›โช โœฃ โ˜… โœฅโขโœฆ โœฉโ˜…โœฉโด โœงโœฐโ™ฃrโขโœณโฆ โœŒโฅโ›โœฅโโœฝโœ–โœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆโœ†โœฐ

โœŸ โฉโœ†โ˜Ž โœ„โœžโœ โœฅ โœฎโซโช โœฎโœดโจ โฉโ‡โโกโ›โœˆโœ‰โ‰โœ‘ qโœˆโœ‘โœตโโณโœ‰ โป โฃโˆโ โโsโฆโ›โœ’โœ‘โชโ™ rโคโœณsโฆโ›โ‘จโœช โโณโ™ฆโœปโคโ„โโกโ›โ„โœ‘ q โœป โจ โ˜…โœ”โ™  โœฉ โœนโœ โœŸ โญ โ˜… โ™ 

โขโ™  โœฉ โœน โ™  โจ โญ qโœโœ‰โœฆโ™ โœญโœ‘โœ•sโณโ›โœ’โœ‘โœตโโœฟโœชโณqโ–โœฆโ‡โœ‘qโœฅโ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœปโฅโขโฃโœณโ™ rโโœฑโ™ โœŸโœŽโœนโœฎโœปโœ‘ sโฆโฅโขโฃโˆqโœ„โœŽโ˜Žsโณโ›โœ’โœ‘โ‰โœŽโœฉโœœ โฅโœˆโ› โ™ฆโœซโœฎโœโœ‰ โฅโขโฃโœณโ™ rโโกโ™ โœŸโœŽโ˜Žq โ™ฃโœŽqโœ•โ™ฆโ˜…โœš โโกโ› โ‘ โ„โ˜…โœคโœฟโ–ผโขโ™  โœŒโœนโœฎโœ•sโฆโ™ฆ โœŒโœปโœšโ™ฃqโœ†โœคโœนโœฆโ‚โ„โœฅโžโ—†โœฆโ‘โ„ โ€โƒโœคโœ๏ฟฝโ‡โœโ™ฅโฅโขโค โโœฑโœช โ™ฆโ˜…โœšโ˜žqโœฎโœโ™ฅโฅโขqโœ„โœŽโœˆโโกโ›โœˆโœ‰โฃโœณqโœฑโœ‘โœตโโณโœ‰โธโœŽโœฉโœœ โฅโขโ›โขqโœฑโœชโœฑโโกโ™ฆrโคโ„โโกโ›โœ’โœ‘โœ•qโœ‡โœ‘โœ•sโณโ›โœ’โœ‘โœตโโœฟโœชโณq โป โฃโˆq โ™ฆโœซโœฎโœโœ‰ โฅโœˆโฃ โ™  โโœฑโ™ โœ„โœŽโ˜Žโฅโœพโ™ โœโœŒโœนโœฎโœตsโณโ™ฆโœโœŒโœฐโœšโ™ฃqโœผโœคโœงโœฆโ‚โ„โฅ๏ฟฝโ˜žqโœตโœ‰ โ™ โธโœชโ™ฅโ™ฆ โโกโคโœฅโœฆ

โœŸ โฉโœกโ˜Ž โœ„โœžโœ โœดโจ โœฎโซโช โœฎ โœฆ โ‘ฅ sโณโคโœณโ™ โœฏโ˜…โœ”โ™  โ†โœด โขโœฉโœงโ˜…โœงโœฉโœงโ˜…โข โ™ 

โ†โต โœฉ โฅโขโ›โขqโ‡โœ‰ โฅโขโคโœณโ™ โœปqโœ›โœŽโ˜Žqโœญโœšโž”โผโ–โฅโขโžโขโฃโˆq โ™  โœ‰ โœŽโขq โ โตโœš โˆ โ‡ P โ™ rqโœ•โฃโˆโฃโœณqโ‡โœโฆโฅโœˆqโ‰โ™  โ†โตโ˜žโ˜› โ™ โฅโœฆโœงโ‡โœบโœœ โคโœถโœŽโœนโœฎโœ•qโœšqโœโœ‰โœฆโ™ โœŽโ˜ŽqโœˆโœŽโโœฎโœปโœšโ™ฃsโณโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrqโœ•โ™ฆโœšโœโ™ฅโฅโขqโœ‡โฃโˆโ โœ‘ sโณโ›โ„โœŽโ˜Žโค โ™ rโคโœณsโฆโ›โฌโœฃโœฅโœคโโœฆ โ€โณโœคโโถโœ—qโœโœ‰โœฆโ™ โ‰โœช โ™ฆ โโกโคโˆqโœตโœฆโœนโŠ sโฆโฅโขโ™ฆโœญโœ‘โœ•qโœ•โฃโ„โ โป โ›โœˆsโณโฅโœˆโœ‰ โโกโฃโˆโฃโœณsโฆโ›โœˆโœ‰โœฎโ™ฆ โโกโคโ„โœ‰ sโฆโ›โขโ›โขqโœตโ™ฆโœฅโžโœˆโโกโ™ฆ โฃโœขโœœ โโโœดโœˆโœ‰โœปโฅโขโ™ฆโœฌโœŽโ˜Žqโœตโœฆโžฃ โ› โœชโœฑโโ™ฃโœ‰โœปโฅโขโžโขโž sโฆโœ‰โœปqโœ•โ™ฆโœฎโœโ™ฅโฅโ—†โœœ โคโœณโฃโœ‘qโ˜…โŠโ˜Žโคโˆโœ‰ โ™ โœปq โฅโขโ›โ‘จโœšโฟโผ โฅโœˆโžโขโฃโœณqโœ•โ™ โœฟโ˜…โœขโ‘ฃโœดโฃโขโœฉโœงโ˜…โœงโœฉโœงโ˜…โข โ‘ฃ โต โœฉ โœŽโขq โ™ฆโœซโœฎโœตqโœ•โฃโ„โœ‰โœŽโ™ โœปqโœ•โฃโœœโœโฆโฅโœˆqโ‚โ‘ง

โฏ โœ‚ โฑ โœ‚ โ‰โœ“โœ’โ†โฆโฒโœผโบ โœค โ‘ขโœงโœฆ โœฉโœซ โตโœฌโฏโœโฑโœด

โ‘ฃ โฏ โœ™โœ›โœšโœโœŒโจ โœฌโœขโœ™โœ›โœšโœโœŒโจโ›โตโœโฌโœป โ˜…โœ”โ™  โ†โฏ โœฌโœ‰โ™  โ†โฏ โป โœด โœฉโœญโœฏ โœน โœฅ โœฃโœ–โœคโœงโœฆโโ€โกโœฉโณโถ

q โ™ โœ„โœŽโโœฎโœปโœšโ˜žsโฆโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrqโœ•โ™ฆโœฎโœโ™ฅโฅโขqโœฑโœ‘ qโœตโฃโˆโโœโœ‘ sโฆโ›โœ’โœŽโ˜Žโฅโขโคโœณโ™ โ‰โนrโ‘ฃโœดโœน โคโ˜…โคโ˜…โค โœน โ‘ฃโชโตโœ—โœน โœฅ โœฆโ‡โœบโœœ qโƒโŠโ˜Žโžโขโ™ฆrqโœตโœ‰rโœ‰ โคโˆsโณโ›โ‘ฉโœฃโœฅโœคโโœฆ โ€โณโœฉโ–โถ โžโงqโœตโฅโ˜Žโ™  โœ‰โœปโœœ โœฎโ—โœ‘ โ™ฆrโคโœณโ™ฆrq โป qโœ•โ›โ™ฆโœŽโโœฎโœปโœชโณqโœตโฃโœณsโฆโžโขโžโœˆโโกโ›โ™ฅโ™ โœ—โฃโˆโโ‚โœชโœฑโโกโ™ฆrโคโ„โโกโ›โœ’โœ‘โœ•qโ‚โ‘ง

โฏ โœ‚ โฑ โœ‚ โ‰โœ“โœ’โ†โณโฒโœผโบโตโœฌ

โผ โˆ โฏโœโฑ โœดโ‘ฃ โผ โ‘ฃ โฏ ๏ฟฝโœโœŽ โœ™ โœš โœŒโœ’ โœฌโœœโœ™ โœš โœŒโœ’ โตโœโฌโœป โ˜…โœ”โ™  โ†โผ โœฌโ‘ฉโ™  โ†โผโœ”โป โœด โœฉ

โœ™ โœšโœโœŒโจ โœฌโœœโœ™ โœšโœโœŒโจโ›โตโœโฌโœป โ˜… โ™  โ†โฏ โœฌโพโ™  โ†โฏ โป โœด โœฉ โบโ‘ฃ โ‘ค โ‘ฅ โ‘ฆโœท โœŒโœ’ โ—— โจ

โœน โœฅ โœฃโœ–โœคโœงโœฆโโ€โœ•๏ฟฝโณโถ

โœซโœฎsโฆโฅโœˆโœ‰โœฅโโกโฃโˆโฃโœณsโฆโ›โœˆโœ‰โœโœš โโกโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœ•โ›โงโโกโ›โ™ฅโ™ โœฅqโƒโŠโ˜Žโžโขโ™ฆrโคโœ™โœšโ™ฃqโœ•โ™ฆโโœน โ†โผ โˆ โฏ qโœ•โ›โ…โโsโณโ›โ„โœ‘โชโ™ โœปโคโˆsโณโ›โ™ฆโœŽโ˜Žqโœ’โœ‘โ˜…โœปโœ“โœ‘โœˆโ‘งโœน โ†โผ โˆ โฏ โœน โœป โจ โ˜… โ™  โ†โผ โœฌโ‘ฉโ™  โ†โฏ โœฉโœ‘โ–ผ โœป โจ โ˜… โ™  โ†โผโœ”โป โœด โœฌโœ‰โ™  โ†โฏ โป โœด โœฉ โœฌโœคโœป โจ โ˜… โ™  โ†โผ โœฌโœ‰โ™  โ†โฏ โป โœด โœฉ โœฌโœ†โœป โจ โ˜… โ™  โ†โฏ โœฌโœ‰โ™  โ†โผโœ”โป โœด โœฉโœป โ˜…โœ”โ™  โ†โผ โœฌโœ‰โ™  โ†โผโœ”โป โœด โœฉ โœป โ˜…โœ”โ™ 

โ†โฏ โœฌโ‘ฉโ™  โ†โฏ โป โœด โœฉโœซโœฎsโฆโฅโœˆโœ‰โœฅโโกโฃโˆโฃโœณsโฆโ›โœˆโœ‰โœโœš โโกโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœ•โ›โงโโกโ›โ™ฅโ™ โœฅโคโœณโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrsโโœŽโ˜Žโฅโขโคโˆโ™ฆโœปq โœโ™ฅโฅโขqโœ•โฃโ„โœโ™ฅโฅโขqโœตโœ‰โœฎโ›โขsโกโ™  โโœฑโ™ โœปโคโˆsโณโ›โงโœ‰โœญโ‘งโœณ โ†โผ โœน โ™  โ†โผ โœฌโœ‰โ™  โ†โผโœ”โป โœด โœ‘โชโฃโˆsโณโ›โœนโœฏโฆโฅโขqโœ•โฅโœˆโ™ฆโœ”โœ‘โœญโœŽโ˜Žโฅ โค โผโœชโœŒโœฐโœšโ™ฃq โโœตโœ‘โœปโœ‘ โ™ฆrsโณโคโ„โœ‰โœปโœ‰โœปqโœฐโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™ โ—† โ†โผ โˆ โฏ โœน โ™  โ†โฏ โป โœด โœฌโ‘ฉโ™  โ†โผ โœŽโขโฅโขโ™ฆโœซโœฎโœตq qโœ•โ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrqโœฑโœŽโ˜Žqโœ•โฅโœกโŠโœพโโœตโœ‘โœฐโœ‘โœ•โ™ฆโœปsโฆโคโˆโœ‰rโœ‰โœปqโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ rโœ‰

โœทโœโ› โคโœณโ›โ™ฅโ™ rโ™ฆโœปsโโœŽโ˜Žโฅโขโคโ„โœ‰rโโกโ›โ™ฅโ™ โœ„โœ‘ qโœตโœ‰โœ—โ›โœˆsโกโ™ rโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โœˆโœ‰ โป โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โœ—sโœตโœดโ˜Žโ™ rqโœ•โ›โขsโฆโ›โœˆโœ‰โœ—โฃโœฅโœœ qโ˜…โŠ โžโœˆโ™ฆโœปqโœโœ‰โœปโœ‰โœปโคโœณsโฆโ›โœโœ‰โœปโฅโขโคโœถโœช โโณโ›โ™ฅโ™ โœปqโœโ‘งโœน โ†โผ โˆ โฏ โœน โœป โจ โ˜…โœ™โœณ โ†โผ โ–ผ โ—† โ†โผ โˆ โฏ โœฉโœŸโ–ผ โœป โจ โ˜…โ˜โœณ โ†โฏ โ–ผ โ—† โ†โผ โˆ โฏ โœฉ โœฌโœคโœป โจ โ˜…โ˜โœณ โ†โผ โ–ผ โœณ โ†โฏ โ–ผ โ—† โ†โผ โˆ โฏ โœฉ โœฌโœ†โœป โจ โ˜… โ—† โ†โผ โˆ โฏ โœฉโœป โ˜…โ˜โœณ โ†โผ โœฉ โœป โ˜…โ˜โœณ โ†โฏ โœฉ

Page 107: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœฅโœค โœคโœ๏ฟฝ โœžโœ„โœ‚โœโœ’โœ•โœโœโ˜ŽโœฎโœŒโœโœ†โœ๏ฟฝโœพโœžโœžโœ‚โœŸโ˜Ž โœ”โœ โœ‚ โœ”โœฅโœ โœ˜โœโ˜› โœโœ“โœŒโœŸโœกโ˜›โœ‚โœฃโœโœพโœ†โœฃโœ” โœค โœžโœšโœ† โœ˜โœโ˜›โ˜žโœกโ‚โœขโœโœŒโ™ฃโœŽโคโœณqโœตโ›โœพโœ‰โžžโžโขโ™ฆ โป โœโฆโฅโงโโกโ›โœ’โœŽโœพโ‰ โจ โœฐ โป โ™ rsโณโฅโ˜Žโ™ rqโœตโœ‰โœ„โœ‘โœ•qโœตโœ‰โœฅโœโ™ฅโฅโœˆโโณโ›โฆโ™ rโค โ™ โ˜…โœฎโœตโœ‰โœŽโ™ rqโœ•โ›โœ’โœŽโ˜Žqโœตโ›โ™ฅโ™ โœ„โœชโณqโœ•โ™ฆ โœ‰ โœฅ โœฆโœซโœฎsโฆโฅโœˆโœ‰โœœโโณโฃโœณโฃโˆsโณโ›โงโœ‰โ—†โœš โโกโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœ•โ›โงโโกโ›โ™ฅโ™ โœœโ™ฆrqโœฐโœฏโ™ฅโโกโ™ฆโœฌโœŽโ˜Žqโœ•โ™ฆโœœโฃโœณqโœ โœ‘ sโœตโœšโ™ฃโž sโณโ™ฆโœปโ™ โœปqโœปโœšโ˜žqโœตโ›โ™ฅโ™ โœ“โโณโœ‰โœปโฌโœงโœšโ™ฃโžโ˜Žโ™ โœปsโณโ™ โœปโคโ„โœโฆโฅโœˆq โœŽโ˜Žqโœ“โœน โ†โผ โˆ โฏ qโœ•โ›โœโโsโณโ›โœ’โœ‘ โ™ โœปโคโˆsโณโ›โœโœŽโขq โฃโ„โโœ„โœช โค โ™ rqโœตโœ‰rโœ‰ qโœŽโ˜Žqโœผโœ‘ sโฆโ›โœงโœชโณqโœ•โ™ฆโ˜…โœฏโณqโœตโ›โœ’โœ‘ qโœ‡โœชโณqโœตโ™ฆrโœ‰ โœฅ โœŽโ˜Žq โœณ โ†โผ โžโœˆโโกโ™ฆโœšโ™ฆrโโณโžโขโžโงsโฆโ™ฆ โ™ โœ„โน โœณ โ†โฏ โœฆ โœ‚ โคโˆโ›โœˆโœ‰โœปโคโœŸโ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โธโœชโณqโœตโ™ฆโœปโ™ฆrsโณโ›โงโœ‰โœฃโฃโ„โrโœ‘ sโฆโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrโคโœ™โœดโขโฅโขโ™ โœปโคโˆsโณโ›โ™ฆโœŽโ˜Žqโœˆโœ‘โœ•qโœผโœ‘ sโณโฅโœˆโžโขโฃโœณqโ˜… โœ‚โขโœณโœฅโœฉ โนโ˜žโฃโ„โโ™ฃโฃโœณโคโœถโœšโ™ฃโค โ™ rqโœธโœฃโœฅโœคโœงโœฆโโ€โœ•๏ฟฝโณโถโœฌโœฆโœˆโœซโœšsโณโฅโœˆโœ‰โœฎโโณโฃโœณโฃโˆsโณโ›โงโœ‰โœโœฎโœ•โ›โขsโฆโ›โœ’โœ‘ qโœตโ™ฆโœ„โœ‘ qโœตโœ‰โœ—โ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœปโฅโขโฃโœณโ™ rโโกโ™ rโœ‰โœฅโœ‰โœปsโณโฅโœˆโœ‰ โโsโฆโ™ฆโœซโœšโ™ฃqโœผโœŽโ˜ŽqโœผโœŽโ˜ŽqโœตโฅโœกโŠโœโฃโˆqโœฐโœšโœโœšโ™ฃqโœตโœ‰โœšโœโฆโฅโœˆqโ‡โ›โœˆsโณโฅโœˆโœ‰โœŽโโœฎโœฐโœšโ™ฃsโฆโ›โฆโ™ rโ™ฆโœปqโœตโ™ฆโœปsโฆโ›โœˆโœ‰โœฃqโœ•โ›โ™ฆโœŽโ˜Žqโœ•โ™ฆrโ›โขโคโˆqโœ•โ™ฆโœฅโฃโˆโคโœณqโœตโฅโ—†โœฆโœŸ โฉโœกโœ โ˜›โœ โฌโฉ โโœฉโญโœšโœ™ โชโ„โซ โœณ โ†โฏโœณ โ†โผ โœฌ โจโ†โณโฒโœผโบ โœฅ ๏ฟฝโœฟโœ• โœณ โ†โผโœณ โ†โฏ โœฌ โจโ†โณโฒโœผโบ โœฅ

โš โ˜›โœ™โขโœณโโœœโœŒโœน โ†โผ โˆ โฏ โœฌ โจโ†โณโฒโœผโบ โœฅโœŸ โฉโœกโœ โ˜›โœ โฌโฉ โโœฉโญโ‚โ โชโ„โซ โœณ โ†โฏโœณ โ†โผ โœฌ โจโ†โณโฒโœผโบ โœณ โผ โˆ โฏ โ‘ขโ™ฅโ—† โœโœ‚โœ โœฅ โœฎ โœณ โผ โˆ โฏ โœฎโœฑโœฐ

โตโœพโ› โœŒโฅโซ โ—† โ†โผ โˆ โฏโœณ โ†โฏ โœฌ โจโ†โณโฒโœผโบ โœฐ โœ‚ โœฎ โœณโš โ˜›โœ™โขโœณโโœœโœŒ โ—† โ†โผ โˆ โฏโœณ โ†โผ โœฌ โจโ†โฆโฒโœผโบ โœฐ

โตโœพโ›โœโขโœณโฆโœพโœ–โœน โ†โผ โˆ โฏ โœฌ โจโ†โณโฒโœผโบ โœฅ

โŠ โโณโ™ฆโœŸโœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰โœซโœฎโœตโœโ™ฅโฅโขqโœ•โ›โ™ฅโ™  โป โฃโœขโœœ qโƒโŠโ˜Žโžโขโ™ฆrqโœตโœ‰rโœ‰โœปโคโœณsโฆโ›โ€โœฃโœ–โœคโœงโœฆโโ€โœ•๏ฟฝโ–โถโœ“qโœโœ‰โœฆโ™  โœฎโœฐโœฏโฆโโณโฃโœณqโธโน โฃโ„โโœถโœ‰โœปsโœตโœšโœโœšโ™ฃqโœ„โœŽโ˜Žqโœตโœ‰ โฃโˆโคโœถโœšโ˜žโคโœณโ™ โœปqโœโœ‰โœŸโœŽโ˜Žqโœโœ‰โœญโโsโฆโ™ฆโœซโœšโ™ฃqโœตโœ‰ โœโ™ฅโฅโœˆโโ–โœŽโ˜Žโ™ฆ โโœฑโ™ โœปโคโ„โœโ™ฅโฅโขqโœตโœ‰โœŽโ˜Žโฅโงโœšโ˜Žโœ„โœฐโœšโ™ฃq โ™ โœฎโฌ โž qโœโœโ™ฅโฅโขq โœ‘โœ•qโœ•โฃโˆโฃโœณqโœโœ‰โœถโคโˆโ›โฆโ™ rqโœ•โ™ฆโ˜…โœชโณqโœตโ›โœˆโโกโ›โ™ฅโ™ โœผโœŽโขโโกโ›โงโœ‰ โœฃโœฅโœคโโœฆ โ€ ๏ฟฝโ–โถโœ‡โœš โโกโคโ„โœ‰โœถsโœโœ†โฌโฃโˆโ โœ‰ sโ–โœšโ‚โœšโ™ฃq qโœโœ‰โœฆโ™ โ˜žโžโขโ™ฆโœปโคโ„โœ‰โœปqโœงโœ‰ โฅโขโ™ฆโœ‡โฃโœณqโœโœ‰โœˆโœ‘โœ•sโณโฅโขโžโขโฃโˆqโœตโœ‰โ˜… โœ‚โขโœณโœฅโœฉ โ™ โœปqโœตโฃโˆโœ‰โœšโœโฆโฅโœˆqโ‚โ‘ง

โœณ โ†โฏโœณ โ†โผ โœฌ โจโ†โณโฒโœผโบ โœณ โผ โˆ โฏ โœฅ โœฎ โœณ โผ โˆ โฏ โœฎ โœฐ โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โœดโœ๏ฟฝโณโถโ—† โ†โผ โˆ โฏโœณ โ†โผ โœฌ โจโ†โณโฒโœผโบ โ—† โผ โˆ โฏ โœฅ โœฎ โ—† โผ โˆ โฏ โœฎ โœฐ โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โœด โ„โœฟโถโŠโœ“sโฆโฅโขโ™ฆโ‘จโœ‘ sโณโ›โ™ฅโ™ rโคโœณโ› โฅโขqโœตโ™ฆ โฃโ„โโ˜žโœŽโโœฎโœปโœšโ˜žsโฆโ›โœˆโœ‰ โ™ โœปโ™ฆ โโœฑโ™ โœปโคโˆsโณโ› โป โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โœโโณโฃโœณโฃโˆsโณโ›โงโœ‰โœงโฅโ˜Žโ™ rโคโœณโฃโˆโคโˆโœ‰โœปqโœ•โ™ฆ โฃโ„โโ‘กโ™ฆrqโœ•โžโขโ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœปqโœ•โ›โ™ฅโ™  โโœฑโ™ โœปโคโˆsโณโ› โœŒโœˆโโณโ™ฆโœซโœšโ™ฃsโฆโ›โขโคโˆโœ‰rโโโœดโœˆโฃโœณq โœŽโขโฅโœšโ™ฃsโณโฅโœนโœชโฆqโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™  โ™ฃโœŽโ™ฆrs โœป โ›โขโคโˆqโœ•โ› โโโ™ฆ โโœตโœ‘ โ™ โœปโคโˆsโณโ›โขโ›โœˆโโณโคโœณโ™ฆrqโœตโœฆโœฉโƒโœฃq โ™ โœปโ™ โœปqโ™ฃโ™ฆโœปqโœตโžโขโ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœปqโœ•โ›โ™ฅโ™ rโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โ™ฆโœชโœฑโโœงโ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โ‡โžโงqโœตโ™ฆโœซโœšโ™ฃqโœ•โ™  โ™ โœปโ™ฆrqโœโœŽโœฉโœœ sโ–โœดโ˜Žโ™ โœปqโœตโ›โขโคโˆโ™ฆโ‡โฅโœˆโ›โขqโœ‡โ™ฆrqโœฃโผโžโขโ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœปqโœ•โ›โ™ฅโ™ rโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ› โœ‘โœ•โœ‰ โž qโœปโœ‘ โ™ โœปโ™ฆ โโกโฃโˆq โœ‘โœญโœŽโ˜ŽqโœŽโœน โ†โผ โˆ โฏ โœฆโขโœทโœโ›โ‘จโœชโฆqโœ•โ™ฆโœปโ™ โœปโฅโ‘จโœŽโ˜Žqโœธโœฃ โ€โœนโœฆ โ–ฒ โถ โžโงโโโœฏโณq โ€โณโœฉ โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โœฅโโœฟโœชโณsโฆโ›โœˆโœ‰โœ‡โ‘ง

โœ™ โœš โœŒโจ โœฌโœขโœ™ โœš โœŒโจโ›โตโœโฌ โœน โœฆโœฌ โจ โ˜… โช โœฉ

โนโœตโบ

โป โบ โœ โผ โœš โœŒโจโœโœž โœฌ โœ โผ โœš โœŒโจโ›โตโœโฌโœŸโœžโœ‚โœกโœ  โ˜›โ โ˜… โœณ โœ  โœฉ

โ‘ โœ  โ‘ โญ โป โœด โ˜ž โจโœท โ™ โœฎโžโœˆโโณโ™ฆโœ„โœŽโโœฎโœฃโž›โœˆโ›โœˆโค โ™ rโคโœณsโฆโ›โ‘จโœŽโขqโœ›โœ‘โœ•q โ™ โœปโ™ โœปq โคโˆโ›โฆโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโฆโ™ฆrโโณโฃโœณq โป โ›โขsโณโฅโœˆโœ‰โœฅโโœฟโœชโฆsโณโ›โœˆโœ‰ โป โžโงsโฆโฅโขโ™ฆ โœณ โ‹ โœโœ‰โ‘งโœน โ† ๏ฟฝ โˆ โฏ โœน โœฆ

โœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ ๏ฟฝ โœŽ โœ™โœ›โœš โœŒโจ โœฌโœœโœ™โœ›โœš โœŒโจโ›โตโœโฌโ‘ โœณ โ†โฏ โ‘ โญโœ™โœ›โœš โœŒ โœข โœฌโœœโœ™โœ›โœš โœŒ โœข โตโœโฌโ‘ โœณ โ†๏ฟฝ โ‘ โญ โบ

โœน โœฆโœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โน

โœตโบ

โป โบ โ˜… โœ โผ โœš โœŒโจ โœž โœฌ โœ โผ โœš โœŒโจโ›โตโœโฌ โœž โœฉ โ˜… โœ โปโดโผ โœš โœŒ โœข โœž โœฌ โœ โปโดโผ โœš โœŒ โœข โตโœโฌโœŒโœž โœฉโ‘ โœณ โ†๏ฟฝ โ‘ โญ โ‘ โœณ โ†โฏ โ‘ โญ โ‘ โœ  โ‘

โœณ โœ 

โ‘ โœ  โ‘ โจ โญโœน โœฆ

โœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โนโœตโบ

โป โบ โœ โผ โœบ โœš โœŒโจโ›โตโœโฌ โป โœš โœŒ โœข โœพ โœž โ˜… โœ โผ โœบ โœš โœŒโจ โป โœš โœŒโจโœฝโตโœโฌ โœพ โœž โœฌ โœฆ โœฉ โ˜… โœฆ โœฌ โœ โปโดโผ โœบ โœš โœŒ โœข โตโœโฌ โป โœš โœŒ โœข โœพ โœž โœฉโ‘ โœณ โ†๏ฟฝ โ‘ โญ โ‘ โœณ โ†โฏ โ‘ โญ

โœณ โœ 

โ‘ โœ  โ‘ โจ โญ โœตโฒโœดโœน โœฆ

โœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โนโœตโบ

โป โบ โœ โผ โ™ โœŒโœข โ—— โจ โœž โ˜… โœ โผโœŽโœ โœŒโจโœโœž โœฌ โœฆ โœฉ โ˜… โœฆ โœฌ โœ โผโœŽโœ โœŒโœข โœž โœฉโ‘ โœณ โ†๏ฟฝ โ‘ โญ โ‘ โœณ โ†โฏ โ‘ โญ

โœณ โœ 

โ‘ โœ  โ‘ โจ โญ โœต โœด โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โœดโœฑโ€โ–โถ

Page 108: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ†โœ๏ฟฝ ๏ฟฝโข๏ฟฝโฉโœโœ“โœŒโœŸโœกโ™ฆโœ‚โœฃโœ โœ†โœŽโœ” โœค โœžโœšโœ† โœ˜ โ˜›โฌโœก โœขโœ โœŒ ๏ฟฝโœงโœคโŠโœ“sโ™ฅโœ‰ sโฆโ›โœˆโœ‰โœโœš โโกโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœ•โ›โงโโกโ›โ™ฅโ™  โœฑ โ† โœน โฑโ€โ‘ขโœ—โœช

โœด๏ฟฝ โฏ ๏ฟฝ โต โ‘ โœณ โ†โฏ โ‘ q โ™  โœ• โœน โœ  โœฑ โ† โœฆ โžฃ โ›โœพsโœตโœดโ˜Žโ™ rโคโœณqโœตโ›โ™ฅโ™ โœšโโกโฃโˆsโณโ™ฆ โœ‰โœญโ‘ง

โœน โ† ๏ฟฝ โˆ โฏ โœน โœฆโœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โน

โœตโบ

โป โบ โœ โผโœ‚โœ โœŒโœข โ—— โจโ™ โœŒ โœฒ โ˜… โœ โผโœ‚โœ„ โœŒโจโ™ โœŒ โœฒ โœฌ โœฆ โœฉ โ˜… โœฆ โœฌ โœ โผ โœ„ โœŒโœขโ™ โœŒ โœฒ โœฉโ‘ โœณ โ†๏ฟฝ โ‘ โญ โ‘ โœณ โ†โฏ โ‘ โญ

โ˜… โœฑ โ† โœฉ โจ โญ โœตโฒโœด โœณ โœ•โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœด โœฑ โ†โœน โœฆ

โœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โนโœตโบ

โป โบ โœ โผโœ‚โœ โœŒโœข โ—— โจโ™ โœŒ โœฒ โ˜… โœ โผโœ‚โœ„ โœŒโจโ™ โœŒ โœฒ โœฌ โœฆ โœฉ โ˜… โœฆ โœฌ โœ โผ โœ„ โœŒโœขโ™ โœŒ โœฒ โœฉโ‘  โ˜Ž โœ

โœŒโœข โ˜Žโ‡ โœŒ โ‘ข โญ โ‘  โ˜Ž โœโœŒโจ โ˜Žโ‡ โœŒ โ‘ข โญ โœณ โœ•

โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœด โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โœดโณโœดโณโถโฉโœˆโœœ โโกโฅโ˜Žโ™ rโ™ฆโœปq โžโงโโกโ™ฆโœปโ™  โป sโณโ›โœพโž qโœ•โฅโ˜Žโ™ โœ„โœฎโ—โœ‘ โ™ฆrโคโœณโ™ฆrqโœโ‘ง โ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โœน โ™  โ†โฏ โป โœด โœฌโ‘ฉโ™  โ† ๏ฟฝ

โœน โฏ โป โœดโœฌโœก โฑ ๏ฟฝโœต โœด

โ˜…โœ”โ™  โ†โœก โœฌโœ‰โ™  โ†โœก โป โœด โœฉโœน โฏ โป โœดโœฌ โœก โฑ

โœดโœณ โ†โœก โœฌ ๏ฟฝโœฌ โœก โฑ

โœดโœณ โ†โœก โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โœด โ–ฒ โถ

โฉโœšqโœโœ‰โœฅโ™ฆโœปqโœตโฃโˆโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โœˆโœ‰โœ›โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โœดโณโœดโ–โถโœฃqโœ•โ™ โœˆโœฃโœฅโœคโœงโœฆ โœด โ–ฒ โถ โป sโฆโ›โœsโ–โœดโ˜Žโ™ โœปโคโˆqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœฎโฃโ„โโœ‡โ™ฆrqโœ•โฃโ„โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ›โœโœ‰โœปโฅโขโคโœถโœช โโณโ›โ™ฅโ™ โœปqrโ‘งโœน โ† ๏ฟฝ โˆ โฏ โœน โœฆ

โœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โนโœตโบ

โป โบ โœ โผโœโœ† โจโ›โตโœโฌโœฃ โฉโญโฌ โœ„โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โ˜… โœ โผโœโœ„ โœŒโจโ™ โœŒ โœฒ โœฌ โœฆ โœฉโ‘  โ˜Ž โœ

โœŒโจ โ˜Žโ‡ โœŒ โ‘ข โญ โœ โปโดโผ โœ† โœขโœฃ โฉโœโฌ โœ„ โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โ˜… โœฆ โœฌ โœ โผ โœ„ โœŒโœขโ™ โœŒ โœฒ โœฉโ‘  โ˜Ž โœ

โœŒโœข โ˜Žโ‡ โœŒ โ‘ข โญ โœณ โœ•โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœด

โœน โœฆโœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โน

โœตโบ

โป โบ โ˜… โœ โผ โœ† โจ โœฃ โฉโœโฌ โœ„ โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โœฌ โœ โผ โœ† โจโ›โตโœโฌโœฃ โฉโญโฌ โœ„โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โœฉ

โ‘  โ˜Ž โœโœŒโจ โ˜Žโ‡ โœŒ โ‘ข โญ โ˜… โœ โปโดโผ โœ† โœขโœฃ โฉโœโฌ โœ„ โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โœฌ โœ โปโดโผ โœ† โœข โตโœโฌโœฃ โฉโœโฌ โœ„

โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โœฉโ‘  โ˜Ž โœ

โœŒโœข โ˜Žโ‡ โœŒ โ‘ข โญ โœณ โœ•โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœด

โœžโœฎโ›โขq โโsโฆโคโˆโœ‰โธโœ‘โœ•qโœปโœ‘ โคโœŸโ™ฆโœปqโœปโœšโ™ฃโโณโ™ฆrโœโ™ฅโฅโœนโœฎ โป sโณโ›โœพโžโงqโœตโฅโ˜Žโ™ โ‰โœฎโœปโœ‘โœ•โ™ฆโœปโคโˆโ™ฆrq โฃโ„โโ˜žโ™ฆโœปqโœตโฃโˆโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โพโœฃโœฅโœคโœงโœฆโโ€โœ•๏ฟฝโณโถโœŽโœ‰ sโฆโฅโœˆโœ‰โœŽโฃโˆโโ—โโsโฆโ™ฆโœซโœšโ™ฃqโœโ‘งโฏ โœ‚ โฑ โœ‚ โ‰โœ“โœ’โ†โฆโฒโœผโบ โน

โœตโบ

โป โบโœตโœตโœตโœตโœตโœตโœต

โœฌโœŸ

โ‘ฃ โฏ โ˜… โœ โผโœโœ† โจ โœฃ โฉโญโฌ โœ„ โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โœฌ โœ โผโœ‚โœ† โจโ›โตโœโฌโœฃ โฉโœโฌ โœ„โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โœฉ

โ‘  โ˜Ž โœโœŒโจ โ˜Žโ‡ โœŒ โ‘ข โญ

โœตโœตโœตโœตโœตโœตโœต

โจโœณ โœ•

โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœด โœน โœฅ โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โœดโฆโ™โ–โถโžฃ โœ†โœพโฃโ„โ โœ‰โœปsโœตโœšโœโœšโ™ฃq qโœตโœ‰ โ™ โœฎโžโขโ™ฆโœปโคโ„โœ‰โœปqโœถโœ‰ โฅโขโ™ฆโœกโœ  โœโ™ฅโฅโขโคโœœqโœตโœ‰ โ™ โœฎโฃโœขโœœ qโœ•โ›โงโœ‰ qโœปโœšโœˆโœดโขโฃโˆqโœผโœŽโ˜Žqโœตโœ‰โ‰โœ‘ sโณโฅโœˆโžโขโฃโœณqโœโœ‰โœŽโ˜… โœ‚

โขโœณ โœฉ โœ‰rโโœฑโ™ rโคโˆโœ‰โœ•โ โโกโคโ„โœ‰rโโกโ›โ™ฅโ™ โœฅโฃโœณqโœโœ‰โ‰โœ‘ sโฆโ›โœ’โœŽโ˜Žโคโœณโ™ โœปโคโˆsโณโ›โœˆโœ‰โœฃโœฅโœคโโœฆ โœดโซ๏ฟฝโ–โถ q โ™ โœˆโœฃโœฅโœคโโœฆ โœดโœฃโ„โ—โถโœฌโœฆ

โœทโœโ›โ…โ โโกโคโœณโ™  โป โž sโณโฅโขโ™ฆโœฎโ™ โœปsโณโฅโขโ™  โ โ‹ โœฅ โ›โœˆsโณโฅโœˆโœ‰โœฅโโœฟโœชโฆsโณโ›โœˆโœ‰โœŽโฃโ„โโœ‡โ™ฆrqโœ•โฃโ„โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ›โœพโœ‰โœปโฅโขโคโœถโœชโœฑโโกโ›โ™ฅโ™ โœปq โœโ™ฅโฅโขโค qโœตโœ‰ โ™ โœ„โœชโœตโœฎโœตโ™ฆโœปโคqโž›โœ’โœฎโœตqโ‚โ‘งโฏ โœ‚ โฑ โœ‚ โ‰โœ“โœ’โ†โณโฒโœผโบ โน P

โป Pโœตโœตโœตโœตโœตโœตโœต

โœฌโœŸ

โ‘ฃ โฏ โ˜… โœ โผ โœ† โจ โœฃ โฉโญโฌ โœ„ โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โœฌ โœ โผ โœ† โจโ›โตโœโฌโœฃ โฉโœโฌ โœ„โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โœฉ

โ‘  โ˜Ž โœโœŒโจ โ˜Žโ‡ โœŒ โ‘ข โญ

โœตโœตโœตโœตโœตโœตโœต

โจโ‘ฃ โ‘ค โ‘ฅ โ‘ฆ

โ˜Ž โ˜› โœŒ โœบ โœฒ โœพโ˜žโ˜Ž โชโœณ โœ•

โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœด โœน โœฅ โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โœดโœฅโœคโณโถ

โŠโœ“sโ™ฅโœ‰ sโฆโ›โœˆโœ‰โœŒ โ˜… โœ• โœฉ โœน โœฌ

โœŸโ‘ฃ โฏ โ˜… โœ โผ โณ โจ โœฃ โฉโญโฌ โœ

โœฃ โœฒ โœฌ โœ โผ โณ โจโ›โตโœโฌโœฃ โฉโœโฌ โœโœฃ โœฒ โœฉโœณ โญโฏ

โ™ฆโ—sโณโ›โ™ฅโ™ rโ™ฆโœปsโฆโ›โœˆโœ‰โœ—โœโฆโฅโœˆq โœŒ โ† โœฒโจ โœŒ โœฆโŠ sโณโฅโขโ™ฆโœ„โœ‘โœ•q โ โโณโคโœณโ™ฆrq โป โคโˆโฃโœŸโœ‰โœปโฅโ˜Žโœชโ™ฃโ™ โ‰โœŽโ˜Žqโœฑโœšโ™ฃsโณโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrqโœ•โ™ฆโœฅโœโ™ฅโฅโขq โป โžโงsโฆโฅโขโ™ฆโœฅโ™ โœปsโฆโฅโ˜Žโ™  โœโœ”โœฃโœโœ  โป sโณโ› โโ€โ‘งโœ โผ โœ† โจโ›โตโœโฌโœฃ โฉโญโฌ โœ„

โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โœฒโจ โœ โผ โณ โจโ›โตโœโฌโœฃ โฉโœโฌ โœโœฃ โœฒ

Page 109: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโณโœฉ โœคโœ๏ฟฝ โœžโœ„โœ‚โœโœ’โœ•โœโœโ˜ŽโœฎโœŒโœโœ†โœ๏ฟฝโœพโœžโœžโœ‚โœŸโ˜Ž โœ”โœ โœ‚ โœ”โœฅโœ โœ˜โœโ˜› โœโœ“โœŒโœŸโœกโ˜›โœ‚โœฃโœโœพโœ†โœฃโœ” โœค โœžโœšโœ† โœ˜โœโ˜›โ˜žโœกโ‚โœขโœโœŒโœฌโ——โฃโœ‘โœ‰ โฅโขโœชโ˜žโ™ โ‰โœŽโ—†โœœ โœฎโ—โœ‘ โ™ฆrโคโœณโ™ฆrqโœโ‘ง

๏ฟฝ โœ• โฝโœฒโœ‚โœโ˜Žโœ„ โป P โˆ Pโœโœ†โœตโœตโœตโœตโœ โผ โœ†

โจโ›โตโœโฌโœฃ โฉโœโฌ โœ„โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โœฌ โœ โผโ˜…โณ โจโœฝโตโœโฌโœฃ โฉโญโฌ โœ

โœฃ โœฒ โœตโœตโœตโœต โฒ โœฏ โœตโœตโœตโœตโœต

โฏ โป โœดโœฌ โœก โฑโœด

โœฒ โœณ โ†โœกโœฑ โ† โœฌ โœณโœฉโœก โœด โœตโœตโœตโœตโœตโ

โฒ โœฏ โฏ โป โœดโœฌ โœก โฑโœด

โœตโœตโœตโœตโœณ โ†โœกโœฑ โ† โœฌ โœณ โœก โœตโœตโœตโœต โโจโ†โณโฒโœผโบ โœฅ

โŠ โโณโ™ฆโœ„โœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰โ– โœฎโœโœโ™ฅโฅโขqโœ•โ›โ™ฅโ™  โป sโฆโ›โœโž qโœ•โฅโขโ™ โœฎโคโœณโ›โ™ฅโ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœชโฆqโœ•โ™ฆโœปโ™ โœปโคโˆโ™ฆโœ—โฃโœณโคโœถโœšโ™ฃโค โ™ rqโœถq โ™ โœฅโคโˆโ›โฆโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโฆโ™ฆrโโณโฃโœณqโœฑโœŽโขโโณโ›โœˆโœ‰โœฑโœฃโœฅโœคโโœฆ โœดโœฑโœคโ–โถ q โ™ โœฎsโณโ›โ—โโ€โ‘งโน Pโป P โฏ โœ‚ โฑ โœ‚ โ‰โœ“โœ’โ†โฆโฒโœผโบ

โœตโœตโœตโœตโœตโœตโœต

โœฌโœŸ

โ‘ฃ โฏ โ˜… โœ โผ โœ†โจ โœฃ โฉโญโฌ โœ„

โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โœฌ โœ โผ โœ†โจโ›โตโœโฌโœฃ โฉโœโฌ โœ„

โœŒโœฃโ™ โœŒ โœฒ โœฉโ‘  โ˜Ž โœ

โœŒโจ โ˜Žโ‡ โœŒ โ‘ข โญ

โœตโœตโœตโœตโœตโœตโœต

โจโœณ โœ•

โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœด โœน โœฅโน Pโป P

โœตโœตโœตโœตโœตโœฌ

โœŸโ‘ฃ โฏ โ˜… โœ โผ โณ โจ โœฃ โฉโœโฌ โœ

โœฃ โœฒ โœฌ โœ โผ โณ โจโ›โตโœโฌโœฃ โฉโญโฌ โœโœฃ โœฒ โœฉโœณ โญโฏ โœตโœตโœตโœตโœต

โจ โœณ โœ•โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœด โœน โœฅ

โœซโœฎsโฆโฅโœˆโœ‰โœฅโโœฟโœชโณsโฆโ›โœˆโœ‰โœโœŽโ˜Žsโณโ›โœ’โœ‘โ‚โ‘งโœตโœตโœตโœตโœตโœฌ

โœŸโ‘ฃ โฏ โ˜… โœ โผ โณ โจ โœฃ โฉโœโฌ โœ

โœฃ โœฒ โœฌ โœ โผ โณ โจโ›โตโœโฌโœฃ โฉโญโฌ โœโœฃ โœฒ โœฉโœณ โญโฏ โœตโœตโœตโœตโœต

โจ โœน โœฅโœ‰ โฅโœˆโ™ฆโ˜žโฅโœˆโ› qโœตโ›โœˆโœ‰โœปqโœฐโœšโœˆโœดโœˆโฃโœณqโ™ฆโœŽโ˜Žqโ‘จโœšโ™ฃqโœตโœ‰โœปโฅโขโ™ฆrq โœ‰ โ™ โœปโ™ฆrโคsโœ‘โชโ™ โœปqโœปโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™  โžโงsโ™ฅโœ‰ โคโœณโ™ โœปโคโœถโœชโณqโ–โœฆ โœท โ™ โœงโžโœˆโโกโ™ฆโœธโœ‘โœ•sโณโ›โœˆโœ‰โœซโœฎโœตโœโ™ฅโฅโขqโœตโ›โ™ฅโ™  โป โœ‰ โฅโœˆโ™ฆโœธโœ‘ q โ™  qโœตโ›โœˆโœ‰ qโœปโœšโœˆโœดโขโฃโˆq โป โ›โœˆsโณโฅโœˆโœ‰โโœฟโœชโณsโฆโ›โœˆโœ‰โ‰โ‘ง โœฌ

โœŸโ‘ฃ โฏ โ˜… โœ โผ โณ โจ โœฃ โฉโญโฌ โœ

โœฃ โœฒ โœฌ โœ โผโƒโณ โจโ›โตโœโฌโœฃ โฉโœโฌ โœโœฃ โœฒ โœฉโœณ โญโฏ โœน โœฅ

โŠ โโกโ™ฆโœ„โœŽโโœฎโœ”โž›โœˆโ›โขโคโœณโ™ โœปโคโˆsโณโ›โ™ฆโœŽโ˜Žq โœ  โป โฃโˆqโœตโœ‰โ– โœณโœฉโœกโœ“โœ‰โœปsโณโ›โ™ฅโ™ โœ—โ™ โœปsโฆโฅโœˆโœ‰โœ—โ›โขsโณโ› โ› โฅโขโฃโ„โœ‰โœ—q โ™ โ‰โœ‘โœ•sโœตโœšโœโœšโ™ฃq โฃโœขโœœ qโƒโŠโ˜Žโž sโณโ›โขqโœตโ›โฆโ™ rโคโœณqโœตโฃโœณโฃโˆqโœฑโœ‘ sโ–โœšโ˜žโžโœˆโฃโœณqโ˜…โŠ q qโœโœ‰โœฆโ™ โœฎqโœตโ›โฆโ™ rโคโœŽโœŒโœตโ™ฆโœปq qโœตโ›โœ• โป โœ‘ qโœ•โ™  โ™ โœปqโžโโsโณโ›โœ’โœ‘ โ™ โœปโคโˆsโณโ›โ‘กโ›โขq โžโงqโœตโฅโ˜Žโ™  โœ„โœ•โ™ โœปโ™ฆrq โœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰โœฆโ™  โโกโ›โ™ฅโ™ โœปqโœโœ‰ โฅโขโ™ฆโœ‡โฅโขโ›โฌqโœ•โ›โงโœ‰ qโœปโœšโœˆโœดโขโฃโˆq โœŽโ˜Žq โœšโ˜žqโœโœ‰ โฅโœˆโ™ฆโœปq โœ‰ โ™ โœปโ™ฆrโคsโœ‘โชโ™ โœปqโœปโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™  โž sโฆโœ‰โœปโค โ™ rโคโœ™โœชโฆqโœงโžโœˆโโกโ™ฆโœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰โ– โœฎโœโœโ™ฅโฅโขqโœ•โ›โ™ฅโ™  โป โ™ โœปsโฆโฅโœˆโœ‰โœฎโฃโˆqโœตโœ‰โœ›โ‘ฃ ๏ฟฝ โœ‰โœปsโณโ›โ™ฅโ™  โ› โฅโขโฃโ„โœ‰โœฎโž sโณโฅโขโ™ฆ โœ โœฃ โœ rโœฆโฌโžฃ โ›โ—qโœ•โ›โขโฃ โœŒโœฐโœชโฆqโœโœ‘โœ•qโœตโœ‰โœ„โœชโœฑโโณโฃโœณqโœตโฅโขโ™ฆrโœ‰โœญโœŽโ˜Žq โœโ˜›โœŽโ˜Žq โฃโ„โโœงโœ‰โœปsโœตโœšโœโœšโ™ฃq โคโˆโ›โขโค โ™ rโคโˆโโณโฃโœณqq โ™ โœฅsโณโ› โ™ฆrqโœปโœ‘โœ•sโœตโœšโœโœšโ™ฃqโœ•โ›โœ’โœ‘โœ•q โฃโˆq โ™ฆrโโณโคโˆโœ‰โœปsโณโ›โœˆโ›โขqโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœฝโœฒโœฆโฅโœˆโœ‰rโœโฆโฅ โœœ โนโ™ฃsโ–โœดโ˜Žโ™ โœปqโœตโ›โขโคโœณโ™ฆโœ—โ™ rsโณโฅโœˆโœ‰โœ—โฃโˆqโœตโœ‰โœ„โ‘ฃ ๏ฟฝ โ› โฅโขโฃโ„โœ‰โœฐโœฆ โฝโด โœงโœฐโ™ฃโœโขโโฆ โœŒโฅโ›โœฅโโœฝโœ–โœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆโœฉโœขโœณโœ โ˜›โœ™โตโœฐโ™ฃโœโ™ฃrโตโœฑโƒ โœฉ โœžโœ†โœฐ

โœน โ†โผ โˆ โฏ โœน โœฆโœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โ˜… โ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โœฉ โจ โญ

โ˜…โ˜โœณ โ†โฏ โœณ โ†๏ฟฝ โœฉ โญ โœฉโœซ โœตโœตโœตโœตโœตโœฆโœฃโ–ผ โœณ โ†๏ฟฝโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ

โœตโœตโœตโœตโœต

โจ โญ โ–ผ โœตโœตโœตโœตโœตโœฆโœฃโ–ผ โœณ โ†โฏโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ

โœตโœตโœตโœตโœต

โจ โญ โœฌ โœฆ โœฌ โœตโœตโœตโœตโœตโœฆโœฃโ–ผ โœณ โ†๏ฟฝ โ–ผ โœณ โ†โฏโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ

โœตโœตโœตโœตโœต

โจ โญ โœญโœฏโœซโœฎsโฆโฅโœˆโœ‰โœฅโโœฟโœชโณsโฆโ›โœˆโœ‰โœ‡โ‘ง โœณ โ†โฏโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โœน โœณ โ†๏ฟฝโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โœง โœณ

โ†โฏโœณ โ†๏ฟฝโœท โ™ โ‰โœŽโ˜Žsโฆโ›โœ’โœ‘โ‡qโœ•โ›โ‘จโœชโณqโœตโ™ฆ โ™ rโฅโ€โœŽโ˜Žqโœโœ‰โ–ฒโœŒโฏโฌโ™ฅโž sโกโ™  โœŒ โœŒโœตโœ‰โœปqโœตโœ‰โธโœŽโขโฅโœพโฃโˆqโœฐโœšโœโœšโ™ฃq โป โ›โขsโณโฅโœˆโœ‰โœฅโโœฟโœชโฆsโณโ›โœˆโœ‰โœ‡โ‘งโœณ โ†โฏโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โจโ†โณโฒโœผโบ โœฅ

Page 110: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ†โœ๏ฟฝ ๏ฟฝโข๏ฟฝโฉโœโœ“โœŒโœŸโœกโ™ฆโœ‚โœฃโœ โœ†โœŽโœ” โœค โœžโœšโœ† โœ˜ โ˜›โฌโœก โœขโœ โœŒ ๏ฟฝโœ๏ฟฝ

โœซโœฎsโฆโฅโœˆโœ‰ โœ‰ sโ–โœšโ‚โœšโ™ฃqโœโœ‰โ‰โœš โโกโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœตโ›โœˆโโกโ›โ™ฅโ™  qโœ•โ› โœšโ™ฃqโœโœ‰ โฅโขโ™ฆrqโœโœŽโœฉโœœ โœฎโ—โœ‘ โ™ฆrโคโœณโ™ฆrq โฅโœˆโ›โœ‰โœŽโโœฎโœปโœชโณqโœ•โฃโˆsโณโžโœˆโžโงqโœปโœšโ˜žqโœตโ›โ™ฅโ™ โ‡โฃโˆโคโœ™โœšโ™ฃโคโœณโ™ โœซโœฎrโนโœโฃโœขโœœ sโณโ™ฆโœฌโœŽโ˜Žโ™ฆrq โ€ โœŽโขqโœญโœน โ†โผ โˆ โฏ โœฆ โœทโœโ›qโ†โœ q โ™  โป โ›โขsโณโฅโงโœ‰โœฅโโœฟโœชโณsโณโ›โงโœ‰โœญโ‘งโœตโœตโœตโœตโœตโœฆโœฃโ–ผ โœณ โ†๏ฟฝโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ

โœตโœตโœตโœตโœต

โจ โญ โœน โœฆโœฃโ–ผ โœฏ โช โœณ โ†๏ฟฝโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โ–ผ โœฏ โช โ˜… โœฏ โช โœฌ โœฆ โœฉ โœŽ โœณ โ†๏ฟฝโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โบ โจ โ–ผ ๏ฟฝ โ˜… โœงโœผโœงโœผโœง โœฉโœตโœตโœตโœตโœตโœฆโœฃโ–ผ โœณ โ†๏ฟฝ โ–ผ โœณ โ†โฏโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ

โœตโœตโœตโœตโœต

โจ โญ โœน โœฆโœฃโ–ผ โœฏ โช โœณ โ†๏ฟฝ โ–ผ โœณ โ†โฏโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โ–ผโดโœฏ โช โ˜… โœฏ โช โœฌ โœฆ โœฉ โœŽ โœณ โ†๏ฟฝ โ–ผ โœณ โ†โฏโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โบ โจ โ–ผ ๏ฟฝ โ˜… โœง โœงโœผโœง โœฉโฉ โโณโ›โœˆโœ‰โœšโฃโˆqโœโœŽโœนโœฎโœฐโœชโณqโœตโฃโœณsโฆโžโขโž qโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™  โป โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰ โโœฟโœชโฆsโณโ›โœˆโœ‰โœฎโฃโœณqโœโœ‰โœฎโ™ rqโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ˜žqโœโœ‰โœšโฅโœˆโ›โขโค โ™ โ˜…โœฎโ˜žโœโ™ฅโฅโขโค โœ‰โœปqโœ‡โœ‰โœปโคโœ™โœšโ™ฃโžโขโฃโˆโค โž›โงqโœ•โ›โ™ฅโ™  โโณโคโœณโ›โงโœ‰ โคโœ“โœโฆโฅโœˆq โฃโˆqโœตโœ‰โœšโ™ โœปqโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ™ฃqโœตโœ‰โœŽโ˜Žโฅ โžโขโ™ฆrqโœฐโœšโ™ฃโคโœณqโœตโ™ฆโœ—sโณโ™ฆโœฌโœŽโ˜Žโ™ฆโœปqโ–โœฆโ˜Žโœฌโ——โฃ โ›โขq โ™ฆrqโœตโœ‰ โ™ โœปq โœโ™ฅโฅโขqโœโ‘งโœน โ†โผ โˆ โฏ โœน โœฏ โช โ˜… โœฏ โช โœฌ โœฆ โœฉ โ˜… โ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โœฉ โจ โญโœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โ˜…โœ™โœณ โ†โฏ โœณ โ†๏ฟฝ โœฉ โญ

โœงโ˜… โœŽ โœณ โ†๏ฟฝโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โบ โจ โ–ผ โœŽ โœณ โ†โฏโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โบ โจ โœฌ โœŽ โœณ โ†๏ฟฝ โ–ผ โœณ โ†โฏโ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โบ โจ โ–ผ ๏ฟฝ โ˜… โœง โœงโœผโœง โœฉ โœฐโœฒโœน โœฏ โช โ˜… โœฏ โช โœฌ โœฆ โœฉ โ˜… โ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โœฉ โจ โญโœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โ˜…โœ™โœณ โ†โฏ โœณ โ†๏ฟฝ โœฉ โญ โœŽโœฟโœฌ โœฏ โœณ โ†๏ฟฝ โœณ โ†โฏโ˜… โ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โœฉ โจ โ–ผ ๏ฟฝ โ˜… โœงโœผโœง โœง โœฉ โบโœน โœฌโœ๏ฟฝ โช โ˜… โœฏ โช โœฌ โœฆ โœฉ

โœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โœŽ โ˜… โ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โœฉ โจโ˜…โœ™โœณ โ†โฏ โœณ โ†๏ฟฝ โœฉ โบ โญ โป โœด โ–ผ ๏ฟฝ โ˜… โœง โœงโœผโœง โœฉโœฌโ——โฃโœŸโœ‰ โฅโขโœชโ˜žโ™ โœ„โœš โโณโคโœณโ›โ™ฅโ™ โœปqโœตโ›โœˆโโกโ›โ™ฅโ™ โœ„โœŽโ˜Žq โ™ฆrqโœฐโœš โโกโ™ฆ โœโ™ฅโฅโขqโœ•โ™ฆโœ—โœโ™ฅโฅโขq โป โœŽโœฉโœœ โฅโœˆโ›โขq โžโœˆโโกโ™ฆโœปโ™  โปโ˜… โ—† โ†๏ฟฝ โˆ โฏ โœฉ โจโ˜…โœ™โœณ โ†โฏ โœณ โ†๏ฟฝ โœฉ โจโ†โณโฒโœˆโบ โœฐ

q โ™ โœ„โœŽโœฉโœœ โโกโฅโ˜Žโ™ rโ™ฆโœปq โžโงโโกโ™ฆโœปโ™  โช โœฌ โœฆ โœฎ โœฅ โžโœˆโโณโ™ฆโธโœ‘ sโณโ›โงโœ‰โ– โœฎโœโœโฆโฅโœˆqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœฅโ›โขsโณโฅโœˆโœ‰โœฅโโœฟโœชโฆsโณโ›โœˆโœ‰โœŽโฃโˆq โ™ฆโœซโœฎโœโœ‰ โฅโœˆโฃ โ™  โโœฑโ™ โธโœชโณsโฆโฅโขโฃโœณโฅโ‘จโนโ™ฃโœ‰โœปโโœฟโœชโฆsโณโคโˆโ™ฆโœน โ†โผ โˆ โฏ โจโ†โณโฒโœผโบ โœฅ โฝ

โด โœงโœฐโ™ฃโœโขโโฆ โœŒโฅโ›โœฅโโœฝโœ–โœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆโœฉโœขโœณโœ โ˜›โœ™โตโœฐโ™ฃโœโ™ฃrโตโœฑโƒ โœฉโœ„โœ‚โ…โœฐโžฃ โ›โ€โœชโœฑโโ˜žโžโœˆโโณโ™ฆ โ™ rโคโœณโ™ฆโœ„โœŽโ˜Žq โฃโ„โโ˜žโ™ฆโœปqโœตโžโขโ™ฆโœซโœฎโœโœ‰ qโœตโ›โ™ฅโ™ rโโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ›โœ‰โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โœดโœฑโ€โœตโถโœ โœŽโ˜ŽqโœŽโœน โ†โผ โˆ ๏ฟฝ โ‘งโœน โ† ๏ฟฝ โˆ โฏ โœน โน

โœตโบ

โป โบ โœ โผ โ™ โœŒโœข โ—— โจ โœฒ โ˜… โœฆ โœฌ โœ โผ โœ โœŒโจ โœฒ โœฉ โ˜… โœฆ โœฌ โœ โผโœŽโœ โœŒโœข โœฒ โœฉโœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โ‘ โœณ โ†๏ฟฝ โ‘ โญ โ‘ โœณ โ†โฏ โ‘ โญ

โœณ โœ•โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœดโŠโœ“sโฆโฅโขโ™ฆโœ—โ™ โœปsโฆโฅโ˜Žโ™  โœฏโœฎโ‹ โœฅ โป sโฆโ›โœโž qโœ•โฅโขโ™ โœšโœ‰โ– โœฎโœตโžโœˆโโกโ™ฆrqโœ•โ™ฆโœ—โฃโˆqโœผโœŽโ˜Žsโœตโœš โโกโคโˆโ›โขqโœฑโœŽโœฉโœœ โคโœณโ›โ™ฅโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโณโ™ฆ โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ› qโœตโ› โ€โœ‡โžโœˆโโณโ™ฆ โ™ rโคโœณqโœโœ‰โœ›โ‘ง

โœ– โœ  โ˜ž โ‘ โœ  โ‘ โฒ โœฏโœ†โ˜Ž โœณ โ†โฏ โœŽโœงq โ™  โœ– โœ  โ˜ž โ‘ โœ  โ‘ โ‹ โœฏโœ†โ˜Ž โœณ โ†โฏ โœŽ โœ‘ qโœโœโฆโฅโœˆโค โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โœผโœŽโ˜Žsโฆโ›โขโ›โขq โฅโขโ›โขq โœŽโโœฎโœปโœ‘โœ•sโœตโœšโ™ฃโžโงsโ™ฅโœ‰ โคโœณโ™ โœปโคโˆsโณโ›โงโœŽโ˜Žq โœน โ† ๏ฟฝ โˆ โฏ qโœตโ› โ€โคโœณโ›โ™ฅโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโณโ™ฆ โโกโฃโˆqโœตโœ‰โœ‡โ‘ง โœน โ† โˆ ๏ฟฝโœถ๏ฟฝ โˆ โฏ q โ™  โœน โ† โˆโœžโœ โœถ๏ฟฝ โˆ โฏ โœŽโ˜Žsโณโ›โ™ฅโ™ โœฎโฃโˆqโœตโœ‰โœ—โฃโˆโคโœ™โœšโ™ฃโคโœณโ™ โœปqโœโœ‰โœฎโœ‰ sโฆโ›โ™ฅโ™ โœ—โ› โฅโขโฃโˆโฃโˆqโœตโœ‰โœปโœฆโ˜Žโœทโœโ›โ—qโ†โœ q โ™  โป sโณโ› โ โป โžโœˆโโณโ™ฆโœญโƒโœŽโโกโฅโœ’โœ‘โงโœŒโฏโฌโœ‘โผ โ‘ฅ โœ‘โงโœŒ โœป โโณโ™ฆ โ™ โœ—โœผโœผโ‘ง

โ‘  โœน โ† โˆ ๏ฟฝโœถ๏ฟฝ โˆ โฏ โ‘ข โจ โœน โœŽ โน โœต

โบโป โบ โœ โผ โ™ โœŒโœข โ—— โจ โœฒ โ˜… โœฆ โœฌ โœ โผ โœ โœŒโจ โœฒ โœฉ โ˜… โœฆ โœฌ โœ โผ โœ โœŒโœข โœฒ โœฉ

โœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โ‘ โœณ โ†๏ฟฝ โ‘ โญ โ‘ โœณ โ†โฏ โ‘ โญ โœŸโœ†โœ  โœ• โ˜ž โ‘ โœ• โ‘ โฒ โœฏโœกโ˜Ž โœณ โ†โฏ โœŽ โœณ โœ•โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœด โบ โจโฒ โน

โœตโบ

โป โบ โ‘ โœฆ โœฌ โœ โผ โœ โœŒโœข โœฒ โ‘ โจโ‘ โœณ โ†๏ฟฝ โ‘ โจ โญโœณ โœ•

โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœดโ‘ฃ โ‘ค โ‘ฅ โ‘ฆโฑโœด

โœงโนโœ  โœฒโ˜žโ˜› โ˜Ž โœฒ โ˜Ž ๏ฟฝ

โœถโ˜ž โœ

โœŒโจโœโœŒ โ‘ โœฆ โœฌ โœ โผโœŽโœ โœŒโจ โœฒ โ‘ โจโœฌ โจ โ˜… โช โœฉ โจ โ‘ โœณ โ†โฏ โ‘ โจ โญโœณ โœ•

โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœด

Page 111: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ„โฅ๏ฟฝโซ๏ฟฝ โœคโœ๏ฟฝ โœžโœ„โœ‚โœโœ’โœ•โœโœโ˜ŽโœฎโœŒโœโœ†โœ๏ฟฝโœพโœžโœžโœ‚โœŸโ˜Ž โœ”โœ โœ‚ โœ”โœฅโœ โœ˜โœโ˜› โœโœ“โœŒโœŸโœกโ˜›โœ‚โœฃโœโœพโœ†โœฃโœ” โœค โœžโœšโœ† โœ˜โœโ˜›โ˜žโœกโ‚โœขโœโœŒโžฃ โ›โ€โœชโœฑโโ‚โœš โโกโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœ•โ›โงโโกโ›โ™ฅโ™ โœฅโฅโ˜Žโ™ โœปโคโˆโฃโœณโคโ„โœ‰โœปqโœ•โ™ฆโœฅโฃโœฅโœœ โคโˆโ›โœนโœฎโœฐโœฏโ™ฅโโกโฃโˆโค โ™ โ˜…โœฎ โ‘ โœฆ โœฌ โœ โผ โ‰ โ‘ โฒ โœฏ โ‘ โœช โ‘ q โ™ โœฎsโฆโ›โœsโ–โœดโ˜Žโ™ โœปโคโˆqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœšโโณโคโœณโ›โœˆโœ‰โœปโคโ‹โ‘งโ‘  โœน โ† โˆ ๏ฟฝ

โœถ๏ฟฝ โˆ โฏ โ‘ข โจ โฒ โนโœ  โœฒโ˜žโ˜› โ˜Ž โœฒ โ˜Ž ๏ฟฝ

โœถโ˜ž โœ

โœŒโจโœโœŒ ๏ฟฝ โ‘ โœณ โ†โฏ โœ• โ‘ โจโ‘ โœณ โ†โฏ โ‘ โจ โญโœณ โœ•

โ‘ โœ• โ‘ โจ โญ โœต โœดโฒโ˜žโœ โนโœ  โœฒ โ˜› โ˜Ž โœฒ โ˜Ž ๏ฟฝ

โœถโ˜ž โœ

โœŒโจ โœŒ โ˜…โ˜โœณ โ†โฏ โœฉ โจ โป โจ โญ โ‘ โœ• โ‘ โœด โป โจ โญ โœณ โœ•โ‡โœ‘qโœผโœ‘โงโœŒโœˆโโณโ›โœนโœฏโณqโœปโœšโ˜žqโœตโ›โ™ฅโ™ โœโœŽโ˜Žqโœฑโœชโœฑโโณโ™ฆโœปโคโ„โโโœดโขโฃโˆq โœช โœน โœ• โœณ โ†โฏ โœŽโ˜Žsโณโ›โขโ›โœˆqโ‚โ‘ง

โ‘  โœน โ† โˆ ๏ฟฝโœถ๏ฟฝ โˆ โฏ โ‘ข โจ โฒโ˜žโœ โน

โœ  โ‰ โ˜› โ˜Ž โ‰ โ˜Ž ๏ฟฝโœถ โœŒ

โ‘ โœช โ‘ โœด โป โจ โญโ˜…โ˜โœณ โ†โฏ โœฉ โœด โป โจ โญ โ˜…โœ™โœณ โ†โฏ โœฉ โจ โป โจ โญ โœณ โœชโœณ โ†โฏโฒโ˜žโœ โน

โœ  โ‰ โ˜› โ˜Ž โ‰ โ˜Ž ๏ฟฝโœถ โœŒ

โœฆโ‘ โœช โ‘ โจ โญ โป โœด

โœณ โœช โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โœดโณโœคโœตโถโฒโ˜žโœ โœฏ โจ โป โจ โญโƒโœฃq โ™  โ™ rqrโœŽโ˜Žqโœ•โ™ฆrโ›โขโค โœŒโœ•โ™ฆrqโœ‡โœโ™ฅโฅโœˆโโกโ›โ™ฅโ™ rโค โ™ โ˜…โœฎโœ‡โ™ rqโœ•โ›โœ’โœŽ โœชโณqโœตโ™ฆrโœ‰ โœฅ โœโ™ฅโฅโœˆโโณโ›โœ’โœŽ โœฏ โ™ โœปqโœ•โ›โ„โœŽ โœชโฆqโœ•โ™ฆ โœ‰ โœฅ โœฆโœ’โฉ qโ˜žโฃโˆโ โœšโ˜Žโœ„โœฐโœšโ™ฃqโœโœšโ™ฃโโณโ›โขโค โœŒโœ•โ™ฆrq โป sโณโ›โœ‰โœšโ˜žsโฆโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrqโœโ™ฅโฅโขqโœโ‘ง

โ‘  โœน โ† โˆโœžโœ โœถ๏ฟฝ โˆ โฏ โ‘ข โจ โฒโ˜žโœ โนโœ  โœฒ โ˜› โ˜Ž โœฒ โ˜Ž โœ โœถ

โ˜ž โœโœŒโจ โœŒ โ˜…โ˜โœณ โ†๏ฟฝ โœฉ โจ โป โจ โญ โ‘ โœ• โ‘ โœด โป โจ โญ โœณ โœ•

โ‡โœบโœœ โคโœณโ›โœนโœฎโœปโœฏโฆโโณโฃโœณโคโœณโ™ โœซโœฎโœ›โœŽโ˜Žqโ‡โ™ โœปโ™ฆrsโณโ›โœ’โœ‘โœตโโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ› โป โคโœณโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrsโโœŽโ˜Žโฅโขโคโœณโ™ โœปqโœฑโœŽโขโโณโ›โœˆโœ‰โœโ‡โœ‘sโœ‘โœŒโœฐโœชโฆqโ‚โœฃ โ‘ ๏ฟฝโœฃโ„โฅโ–ผโœ‘โžโ—†โœฆโœพโ„ ๏ฟฝโœฅโœคโ–โถ โป โ›โœˆsโณโฅโœˆโœ‰โœ—โž qโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ™ฃq โ™ โœ„โœŽโœฉโœœ โโœฟโœชโณsโณโคโˆโ™ฆโœŽโฃโˆโโœโœš โโœณโœฒโœฆsโ˜โผโ™ฆrโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โœพโœ‰ โฅโขโคโœถโœชโœฑโโกโ›โ™ฅโ™ โœปqrโ‘ง

โ‘  โœน โ† โˆโœžโœ โœถ๏ฟฝ โˆ โฏ โ‘ข โจ โฒโœžโœ โœฏ โœณโ†๏ฟฝโœณ โ†โฏโนโœถ โœ„

โœŒโจโœ„

โœŒโœขtโœ— โน โœต

โบt โ˜… โœฆ โœฌ โœ ๏ฟฝ โš โ˜… โ—†โœฑโœช โœฉ โœฉ โ‘ โœช โ‘ โœด โป โจ โญ โœณ โœช โœ˜ โœณ โ—†

โฒโœžโœ โœฏ โœณโ†๏ฟฝโœณ โ†โฏโนโœถ โœ„

โœŒโจโœ„

โœŒโœขt โ‘ โ—† โ‘ โจ โญ โป โจ โนโœตโบ

t โ˜… โœฆ โœฌ โœ ๏ฟฝ โš โ˜… โ™  โœฉโœฝโœฉ โ‘ โ™  โ‘ โœด โป โจ โญ โœณ โ™ โ‘ฃ โ‘คโชโ‘ฅ โ‘ฆโœบโœผโœปโœฝโœพโœณ โ—†

โฒโœžโœ โœฏ โœณโ†๏ฟฝโœณ โ†โฏโนโœถ โœ„

โœŒโจโœ„

โœŒโœขt โ‘ โ—† โ‘ โจ โญ โป โจ โœณ โ—†โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โœดโณโœฉโณโถ

โœฃโโœฌโ– โถโœŽqโœตโœ‰ โ™ โ‰โœŽโโœฎโœ”โž›โœˆโ›โขโคโˆqโœผโœŽโ˜Žโฅโ…โ โโกโคโœณโ™ โœšโœโฆโฅโœˆq โœฅ โœฎ โœฏ โช โœฌ โœฆ โœฎ โœฆ โœฆโ‰โžฃ โ› qโœตโ›โ€โœŽโโœฎโ—โœŽโ˜Žโฅโขโคโœณโ™ โœŸโ โโœตโœ‘โœ•โคโœณโฃโˆqโœฐโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™ โœฎโœโ™ฅโฅโขq โฃโœฅโœœ sโฆโ›โœพโโ€โ‘งโ‘  โœน โ† โˆโœžโœ โœถ๏ฟฝ โˆ โฏ โ‘ข โจ โฒโ˜žโœ โœฏ

โœ„ โœณ โ†๏ฟฝโœณ โ†โฏ โ˜Ž โœด โป โจ โญโŠ โโณโ™ฆโ™ฅโœŒโโฌ โž sโกโ™  โœŒ โœŒโœตโœ‰โœปq โป sโฆโ›โ˜žโœ‰rโโกโคโœณโ™  โœโ™ฅโฅโขq โœ โœŒโœขโœ

โœŒโจ โ™ rqโœ•โ›โœ’โœŽโœโœชโณqโœตโ™ฆrโœ‰โœ“โฃโœฅโœœ โคโˆโ›โ„โž›โœˆโ›โขโคโงโœโฆโฅโงโโกโ›โœ’โœŽ โ‰โœงโ™ โœปqโœตโ›โœ’โœŽโ‚โœชโณqโœตโ™ฆrโœ‰โœœโฃโœขโœœ โคโˆโ›โ„โž›โœˆโ›โขโคโขqโœ•โ™ โœบโœ‘ sโœตโœšโœโœšโ™ฃq โœฆ โœฌ โœฏ โช โœฎโœฅ โป โœ‘โœ•q โ™  โ™ rqโœผโœŽโ˜Žqโœ•โ™ฆrโ›โขโค โœŒโœ•โ™ฆrqโ‡โœโ™ฅโฅโœˆโโณโ›โ™ฅโ™ โœปโคโœณโ™ โœซโœฎโœผโœ‘ sโฆโ›โœงโœชโณqโœ•โ™ฆโ˜…โœฏโณqโœญโœชโณqโœตโ™ฆrโœ‰ โœฅ โœโ™ฅโฅโœˆโโกโ›โœ’โœŽโœพโ‰ โ™ โœปqโœ•โ›โ„โœŽ โœชโฆqโœ•โ™ฆ โœ‰โœ—โฃโœขโœœ โคโˆโ›โ„โž›โœˆโ›โขโคโœฅโœฆ โฝโœŸ โฉโœกโœ โ˜›โœ โฌโฉ โโœฉโญ โœ› โ‘ โขโœณโœโโโœโ›โœ–โขโโœโโ› โช โœฃ โ˜… โœฅ

โขโœฆ โœฉ โœซ โ˜›โœ™โตrโ™ฃโœโขโโœโโ™ฅโœฟโตโœฐโ™ฃโœโตโœฐโฆโœ’โ›โ€โœฟโœ„โโœซโขโฒโฑโ‹โฆโœ’โซโœ”โตโœฐโฆโœงโ– โœฌโโœฝโœ– โœ˜โœฐโ›โœขโซโœ”โขโโฆโœ’โฆโœฌโœ–โœณโซโคโโœซโตโœญโœŒโ˜žโœ–โโ›โœขโซโœฃโœŒโโ– โœ‘โœ–โœณโซโคโ› โ˜›โœ—โœ– โœ˜โœกโœ™โ˜…qโœ’โขโœณโ› โœ˜ โœ›โœ‘โœŒโœฐโตโœฃโœฅโœคโโœฆ โ€โœฑโ€โœตโถ โœฉโด โœงโœฐโ™ฃrโขโœณโฆ โœŒโฅโ›โœฅโโœฝโœ–โœณโ›โœฅโซโœ”โขโœณโฆ โœขโœณโœ โ˜›โœ™โตโœฐโ™ฃโœโ™ฃrโตโ—โœฐ

Page 112: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ†โœ๏ฟฝ ๏ฟฝโข๏ฟฝโฉโœโœ“โœŒโœŸโœกโ™ฆโœ‚โœฃโœ โœ†โœŽโœ” โœค โœžโœšโœ† โœ˜ โ˜›โฌโœก โœขโœ โœŒ โ„โฅ๏ฟฝโœฃโ„โœŸ โฉ โ˜Ž โœ„โœžโœ โœฅ โœฎ โช โœฎ

โœดโจ โƒโœฃsโœตโœšโœโœšโ™ฃqโœบโœป โจ qโœโœ‰โœฆโ™ โ‚โœ‘ sโณโ›โ„โœ‘โœ•โโœฟโœชโณq โป โฃโ„โโ…โโsโณโ›โœ’โœ‘ โ™ โœปโคโˆsโณโ›โฌโ™  โจ โœป โจ โ˜… โ™  โœฉ โ˜Ž โ™  qโœตโœ‰ โ™ โœโœŽโโœฎโ—โœ‘ โ™ฆrsโณโคโ„โœ‰โœปโœ‰rโโกโ›โ™ฅโ™ rqโœตโœฆโ—†โŠ โโกโ™ฆโœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰โ– โœฎโœโœโ™ฅโฅโขqโœ•โ›โ™ฅโ™  โป โ›โขsโณโฅโœˆโœ‰ โโœฟโœชโณsโฆโ›โœˆโœ‰โœ—โฃโˆโโ™ฃโ™ฆrqโœ•โฃโ„โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ› โœป โจ โ˜…โœ”โ™  โœฉโœ†โœท โ™ โœฝโœป โจ โ˜… โœฆ โœฉ q โ™ โœ›โœŽโ˜Žsโณโ›โœ’โœ‘ โœป โ˜…โœ”โ™  โœฉโœฆโœท โ™  โฌโช โœป โจ โ˜… โœฆ โœฉ โœฆโœˆโœฌโ——โฃโœœqโœตโœ‰ โ™  โโกโฃโˆsโณโ™ฆ โœ‰โ–ฒโ โโœตโœ‘โœ•โคโœณโฃโˆqโœˆโœŽโ˜Žqโœชโณsโฆโคโœณโ™ฆโœฅโœโ™ฅโฅโขq โฃโœขโœœ โœŒโฏโฌ โžโงsโณโ™ โœโœŒ โœŒโœโœ‰ qโœธโœฃโœ–โœคโœงโœฆโโ€โœฅโ€โœตโถ qโœตโœ‰ โ™ โœšโœ‰rโโœฑโ™ โœปโคโ„โœ‰โœ•โ โโกโคโœณโ™ โœปq โžโงsโฆโฅโขโ™ฆโœฅโ‰ โโณโœ‰rโœ‰ q โœผโœญโœฏโฆโ™ฆrโโณโ›โœ’โœŽโœ‰โœฃ โ‰ โœท ๏ฟฝ โถโœพโœฆโœŸ โฉ โ˜Ž โœ„ โœ โœดโจ โœฎ โช โœฎ โœฆ โฉโ‡โโกโ›โœˆโœ‰ โฃโˆqโ‚โœ‘โœตโโณโœ‰ โ™ฃโœฃโ™ฆrs โœป โ›โขโคโˆqโœ•โ›โœฟโโโ™ฆ โโœตโœ‘ โ™ โœปโคโˆsโณโ›โขโ›โœˆโโณโคโœณโ™ฆrq โป โฃโœณq โ™ โœปqโœตโ™ฆโœซโœšโ™ฃqโœโœŽโ˜Žqโœˆโœฏโ™ฅโโกโฅโœ’โœ‘โงโœŒโขqโœโœŽโ˜Žqโœ‡โฃโ„โ โœ‘โœ•sโณโ›โœ’โœŽโขโค โ™ rโคโœณsโฆโ›โœฃโœฅโœคโโœฆ โ€โœฑโ€โœตโถโœฃโœ‰โœฐโœœ โœฎโœปโœ‘โœ•โ™ฆโœปโคโœณโ™ โœšโœ‰ sโฆโฅโœˆโœ‰โœŽโฃโˆโโ—โโsโฆโ™ฆโœซโœšโ™ฃqโœโ‘ง

โ˜… ๏ฟฝ โœฉ โฒ โนP โ–

โœ โ—— โ™ P โ‘ โš โœด โ‘ โป โญ โœบโœดโœ•โœตโ–ผโœปโ™ โฌ โœพ โตโš

โฏโœโฑ โจ โ‘ โš โฏ โœฌ โš โฏ โป โœด โ‘ โป โญ โœบโœดโœฝโœตโ–ผโœปโ™ โจ โœพ โ˜…

โตโšโฏโœโฑโœดโœณโฏโš โฏ โœฉ โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โœด ๏ฟฝโณโถโžฃ โ›โœ‰โœชโœฑโโ‘จโœš โโกโคโˆโ›โ™ฅโ™ โœปqโœ•โ›โงโโกโ›โ™ฅโ™  โžโงsโ™ฅโœ‰ qโœตโ™ฆโœฑโ™ 

โœดโœน โš

โœดqโœ•โ™ โœผโ™  โฏ โœน โš โฏ โœฌ โš โฏ โป โœด โžโงsโฆโฅโขโ™ฆ โ™ โœปsโฆโฅโ˜Žโ™  โœฆ โœฎ โœณ โฒ โฑ โœฆโ—†โ‡โœ‘qโœธโœŽโ˜Žsโ–โœšโ™ฃโโณโคโœณโ›โœˆqโœŽโœฉโœœ โคโœณโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœปโœฏโณโ™ฆ โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ› โž qโœ•โฅโ˜Žโ™ โœฃโโณโฃโœณsโฆโ™ฆrโœ‰ โœ‰โœปโœœ โœฎโ—โœ‘ โ™ฆrโคโœณโ™ฆrqโœ‡โ‘ง โœ‘ โ™  โข โ™  โ–ผ โœฑ โ˜ โœ– โ†” โœ‘ โœฅ โข โœฑ โ˜ โœ– โต โป โœด q โ™ โœŸโœŽโขqโœ„โœ‘ qโ–ฒโ โโกโคโœณโ™  โป sโณโ›โ™ฃโ โฃโˆโโœ‡โœš โโœณโœฒโœฆsโฆโ™ฆrโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โœ‡โœ‰โœปโฅโขโคโœถโœชโœฑโโกโ›โ™ฅโ™ โœปqโœฑโ‘ง

โ˜… ๏ฟฝ โœฉ โฒ โน โœšโœต โ‡P

โœšโน โ‡ Pt โœงโœฉโœงโœฉโœง

โน โ‡ Ptโตโšโฏโœโฑโœดโ‘ โ™  โฏ โ‘ โป โญ โœบ

โœดโœ•โœตโ–ผโญโ™ โจ โœพ โ˜…

โตโšโฏโœโฑโœดโœณ โ™  โฏ โœฉ

โฒ โตโšโฏโœโฑ โจ โ‘ โœฑโœˆโ˜ โ‘ โป โญ โœบ

โœดโœฝโœตโ–ผโœปโ™ โจ โœพ โœต โœด โน โœš

โœต โ‡P

โœš โ‘ โ™  โœด โ‘ โป โญ โœบโœดโœฝโœตโ–ผโญโ™ โฌ โœพ โœณโโš

โœดโนโœดt โœงโ˜…โœงโœฉโœง

โนโœดtโตโšโฏโœโฑ โจ โ‘ โœ• โฏ โ‘ โป โญ โœบ

โœดโœ•โœตโ–ผโœปโ™ โจ โœพ โ˜…

โตโšโฏโœโฑ โจ โœณ โœ• โฏ โœฉโœฃโœ–โœคโœงโœฆ โ–ฒ ๏ฟฝโณโถโฒ โตโš

โฏโœโฑ โจ โ‘ โœฑ โ˜ โ‘ โป โญ โœบโœดโœฝโœตโ–ผโœปโ™ โจ โœพ โœต โœด โน

โœดt โ‘ โ™  โœด โ‘ โป โญ โœบโœดโœฝโœตโ–ผโœปโ™ โฌ โœพ โœณโฏโš

โœดโนโœดt โœงโ˜…โœงโœฉโœง

โนโœดtโตโšโฏโœโฑ โจ โ‘ โœ• โฏ โ‘ โป โญ โœบ

โœดโœ•โœตโ–ผโœปโ™ โจ โœพ โ˜…

โตโšโฏโœโฑ โจ โœณ โœ• โฏ โœฉs โœ†โพโœฃโœฅโœคโโœฆ โ–ฒ ๏ฟฝโ–โถโœฃโžโขโ™ฆrsโœณโœชโ™ฅโคโˆqโœ•โ›โ™ฅโ™ โธโœŽโ˜Žโฅโ™ฆโœ‘โงโœŒโœˆโโกโ›โœ’โœฏโณqโœฐโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™ โธโœŽโ˜Žqโœฑโœชโœฑโโกโ™ฆrโคโ„โโโœดโขโฃโˆq โœฑ โ˜ โœ• โฏ โœน โ™  โฏ โž sโณโฅโขโ™ฆ โœฏ โฒ โœณ โฒ โฑ โœฆ

โœฌโ——โฃโœˆโœ‰ โฅโขโœชโ˜žโ™  โœšโ™ฃโโณโคโœณโ›โ™ฅโ™ rqโœ•โ›โœˆโโณโ›โฆโ™ โœบโœŽโ˜Žqโœญโœ‘โงโœŒโขsโณโคโ„โœ‰ โคโˆโ™ฆ โฅโขโ›โขqโœ„โœชโœฑโโณโฃโœณqโœตโฅโขโ™ฆโœบโœŽโ˜Žq โ– โœŽโ˜Žqโœšโœ‰โœปsโณโ™ฆโœปโ™ โœปqโœฅโœโ™ฅโฅโขqโœฅโฃโœณqโœโœ‰ โคโˆโ›โฆโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโฆโ™ฆrโโณโฃโœณqโœโœ‰โœ“โœ‰โœปsโณโคโˆqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœบโœŽโโœฎโœ”โž›โœˆโ›โขโคโˆqโœตโœ‰โœปโœฆโœตโŠ sโณโฅโขโ™ฆโœ‘ q โ โโณโคโœณโ™ฆrq โป โคโˆโฃโœ“โœ‰โœปโฅโ˜Žโœชโ™ฃโ™ โ‡โœโ™ฅโฅโขq โป โž sโณโฅโขโ™ฆโœšโ™ โœปsโฆโฅโ˜Žโ™  โœฏ โฒ โœณ โฒ โฑ โป sโณโ› โโณโค โ™  โช โ˜… โœฆโœฅโ–ผ โ– โ—† โฏ โœฉ โœฎ โœฆ โœฆโˆโƒโœฃsโ–โœšโ‚โœšโ™ฃq โ—† โฏ โฒ โœฏ โป โคโˆโฃโœ“โœ‰โœปโฅโ˜Žโœชโ™ฃโ™ โœ‡โœŽโ˜Žqโœ‘โงโœŒโขsโณโคโ„โœ‰โœปโคโœณโ™ฆ โ– โœฎ โœฆโœฏ โช โœฌ โœฆโœฏ โ‘ขโ™ฅโ—† โœโœ‚โœ โœฆโœฏ โช โœฌ โœฆโœฏ โœฎ โœฆโžฃ โ›โœพsโ–โœดโ˜Žโ™ โœปโคโˆqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœฎโโกโฃโˆsโณโ™ฆ โœ‰โœŽโฃโˆโโœโœŽโ˜Žsโ–โœšโ™ฃโคโœณโ›โœˆโโกโ™ โœปโคโˆsโณโ› โœ‰ โฅโœˆโคโœ™โœชโœฑโโกโ›โ™ฅโ™ rqrโ‘งโ˜… ๏ฟฝ โœฉ โœน โฑโ‡ P โฒ t โ˜… โ‘ โœฑ โ˜ โ‘ โœบ โต โป โœด โœพโœ โœบ โœด โป โญ โœพ โป โญ โ–ผ โณ โ–โจ โฉ โช โ™ โจ โœฉ

โƒโœฃsโœตโœšโœโœšโ™ฃq โ‘ โœฑ โ˜ โ‘ โœฎ โœฆ โป โœ‘โœ•sโœตโœšโœโœšโ™ฃq โ—† โฏ โฒ โœฏ q โ™ โœ โœ‘ sโœตโœšโœโœšโ™ฃqโœฎsโฆโ›โœงโโœผโœ‘โงโœŒโขsโณโคโ„โœ‰โœปโค โ– โ™ โœปqโœตโฃ โœโ™ฅโฅโขq โœฆ โœฌ โช โœฌ โœฏ โช โ– โ‹ โœฅ โป sโณโ›โœงโโœผโœŽโ˜Žsโฆโ›โœ’โœ‘โœฑโ‘งโ˜… โฑ โœฌ โœฆ โœฉ โ˜… โœฆ โœฌ โช โœฉ โœฌ โช โ– โตโœฌ

โฏโœโฑ โจ โ—† โฏ โ‹ โ˜… โฑ โœฌ โœฆ โœฉ โ˜… โœฆ โœฌ โช โœฉ โœฌ โœฏ โช โ– โ˜… โฑ โœฌ โœฆ โœฉ โœฃโœ–โœคโœงโœฆ โ–ฒ โ„โœฟโถโ‹ โ˜… โฑ โœฌ โœฆ โœฉ โ˜… โœฆ โœฌ โช โœฌ โœฏ โช โ–โœ•โœฉโ– โœฎ โ™ rโโณโ›โ™ฅโ™ โœญโœ‘โงโœŒโขsโณโคโ„โœ‰โœปโค โป sโณโ›โ—โž qโœ•โฅโ˜Žโ™ โœ›โœš โโกโคโˆโ›โฆโ™ rqโœ•โ›โœˆโโณโ›โ™ฅโ™ โœญโœ‘โงโœŒโขsโณโคโ„โœ‰โœปโคโœณโ™ฆ โฑ โœ‰โœปโฅโ˜Žโœชโœงโœ‰โœปโโœตโœšโ‚โœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™ โœญโœฏโณโ™ฆ โโกโ›โœ’โœŽโœพโž sโณโฅโขโ™ฆโ‡โœโฆโฅโœˆq โœฃโœฅโœคโโœฆ โ–ฒ โ„โ—โถโœฅโœ‰โœปsโณโคโœณโ™ โœšโžโขโฃโˆโฅโœˆโœ‰โœฏโณโ™ฆ โโกโ›โœ’โœŽโœโœโ™ฅโฅโขq โœฆ โœฆ โฝ

Page 113: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ„โฅ๏ฟฝโœ—โ€ โœคโœ๏ฟฝ โœžโœ„โœ‚โœโœ’โœ•โœโœโ˜ŽโœฎโœŒโœโœ†โœ๏ฟฝโœพโœžโœžโœ‚โœŸโ˜Ž โœ”โœ โœ‚ โœ”โœฅโœ โœ˜โœโ˜› โœโœ“โœŒโœŸโœกโ˜›โœ‚โœฃโœโœพโœ†โœฃโœ” โœค โœžโœšโœ† โœ˜โœโ˜›โ˜žโœกโ‚โœขโœโœŒ

Page 114: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜ž โœ โœŽโœโœ‚โœ‘โœโœ’โ˜Žโœ’โœŸโ˜›โœ

โœ“ โœ”โœ–โœ•โœ˜โœ—โœšโœ™โœ›โœ• โœœโœฃโœขโœฅโœคโœฆโœ—โ˜…โœงโœ›โœ”โœชโœฉโœซโœขโœ†โœฌโœ˜โœญโœฆโœ™โœฏโœฎ โœฐ โœคโœฑโœ™โœฏโœฒ โœณโœฏโœฎโœดโœฉ

โœฐโœ›โœฒโœฅโœคโœตโœ—โœถโœฎโœทโœฉโœธโœฉโœธโœ™โœ›โœฉ โœนโœบโœฒโœ‘โœ”โœ–โœ—โœปโœขโœ†โœฌโœผโœคโœฑโœฝโœ›โœฝโœ›โœ”โœ–โœฌโœผโœฒโœ†โœฎโœดโœฉ

โ„โฅ๏ฟฝโœฟโœพ

Page 115: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux
Page 116: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœฝ โœขโœฅโœฒโœ†โœคโœฆโœณโœ›โœ™โœ›โœ— โœขโœฅโœฌโœผโœคโœฑโœฝ

โฉ โโณโ›โœˆโœ‰โœผโœ‘ qโœ•โ™  โ™ rqโœงโœโฆโฅโงโโœฑโ™ โœปโ™ฆrโค โœŒโœฐโœšโ™ฃq โžโœˆโโกโ™ฆโœปโ™ โœปโคโˆqโœ‚โœ โ›โœˆsโณโฅโœˆโœ‰โœถโโณโฃโœณโฃโˆsโณโ›โงโœ‰ โžโงsโ™ฅโœ‰ qโœตโ™ฆ โฃโœณqโœโœ‰โœฑโœดโœˆโโณโœ‰โœปqโœตโœ‰โœฑโœŽโขqโœธโœ‘โœ•โโกโฃsโœ‘ โฅโœˆโฃ โโกโ›โ™ฅโ™ โœปโคsโœ‘ โคโˆโžโœˆโโกโ™ โœปโคโ‘โโœŽโ™ฆrqโœ•โฃโ„โโœฑโ™ rโค โโธโนโ‘จโœŽโ˜Žqโœตโœ‰โžโขโ™ฆrsโœงโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโงโœ‰โœพโโโ™ฆ โโœตโœ‘ โ™ โœปโคโˆsโณโ›โขโ›โœˆโโณโคโœณโ™ฆrqโœตโœ‰โœปโœฆโโƒโœฃq โ™  โ™ rqโœโœฎ โ™ โœปโฅโ„โœŽโ˜Žqโœ—qโœตโœ‰ โ™ โœฝโœดโœˆโโฆโœ‰โ– โœฎโœตqโœŽโœ‰โœปโฅโขโ™ฆ โฃโˆqโœโœ‘โœตโโณโœ‰โœฝโœŽโ˜Žโฅโ‚โœšโ˜žsโฆโฅโœนโœชโณqโœปโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ โ™ฅโ™ฃโœŽโ™ฆrs โœป โ›โขโคโˆqโœ•โ›โœโโโ™ฆ โโœตโœ‘ โ™ โœปโคโˆsโณโ›โขโ›โงโโกโคโˆโ™ฆโœปqโ–โœฆโฉ โโณโ›โœˆโœ‰โธโœ‘ qโœฑโœ‘โœตโโณโœ‰โœ„โœโ™ฅโคโˆโฃโœ‘qโœโœ‰โœฆโ™ โœฅโ›โœนโœฎโ—โœ‘ qโœตโœ‰rโœ‰rโโกโคโˆโ™ฆโœปqโ˜Žโœโฆโž sโณโฅโขโ™ฆโœ„โœŽโœนโœฎโœโœ†โœˆโ›โขโคโˆโ™ฆโœฅโฅโขโ›โขq โ›โœˆsโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โ‘จโœŽโœฉโœœ โคโœณโ›โ™ฅโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโณโ™ฆ โโกโฃโˆqโœ‚โœโโœŽโ˜Žq โœ‰โœปโœœ โโฒโœ โ™ฆ โโกโ›โ„โœ‘โงโœŒโขโคโœณโ™ฆโœโœŽโ˜Žqโœโœ‰โœ—โžโขโ™ฆโœปsโฆโžโขโ™ฆrโคโœ™โœฎโœ•โ™ โœซโœฎโœตโœ‰โœ‘ โฃโ„โโณโœ‰rโœ‰ โคโ„โœโ™ฅโฅโขqโœตโœ‰โœโœฃ โœชโœฑโโกโ™ฆrโคโ„โโœฑโ™ โœปโคโˆsโณโ›โœžโœ†โœˆโ›โขโคโˆqโœ‡qโœ•โ™  โœ‰โœปqโœฐโœšโ™ฃโคโœ โœŸโœฅโœš โโณโ™ฆ โ™ rโคโœณโ›โœนโœฏโ™ฅโโกโฃโˆqโ—โถโœพโœฆ โœžโœšโ› โ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœปโฅโœนโœšโœโœฎโ‚โœŽโ˜Žqโœโœ‰โœ›โœŽโ˜Žโค โœโˆโœฎโœ•โ™ฆrqโœ•โ›โ™ฅโ™ rqโœตโœ‰ โ™ โœปqโ—โœ‘โงโœŒโขโ›โขโคโ„โœโฆโฅโœˆqโœตโœ‰ qโƒโŠโ˜Žโžโขโฃโˆsโณโ™ฆโ˜…โœฎโœ•qโœตโœ‰โ โโกโคโœณโ™  โฃโœขโœœ sโœตโœดโโœฒโœฆqโœ•โ™ โœบโœŽโœฉโœœ โฅโœˆโ›โ˜žโžโœˆโ™ฆโœปqโœปโœšโ˜žโคโˆqโœ•โ™ฆโ‹โœ‘โงโœŒโœˆโโณโžโขโคโœณโ™ โœปโ™ฆrqโœตโœฆ โฉโ‡โโกโ›โœˆโœ‰โ‹โœ‘โœ•qโœโœ‘โงโœŒโงโโกโžโขโคโœณโ™ โœปโ™ฆrqโœ‚โœ sโณโ›โ˜žโคโˆโ›โœˆโœ‰ โคโ„โœ‰ โ™ โœปqโœ•โ™ฆ โโ‡โœ‰ โฅโขโ™ฆ โฃโˆqโœตโœ‰โœ“โ™ rโ™ฆrโโœฟโœชโœฑโโกโฅ โŠโœˆโœŽโ˜Žqโ˜›โœกโœฎโฅโœˆโโณโฃโˆโโณโ™ฆ โ™  โ‘ โ–ฒ โ–ผโœˆq โ™ โฉโœšqโ—โœ‘ โ™ฆrqโœ•โฅโœˆโœ‰โœปqโƒโโsโฆโ›โœ’โœŽ โ‘ โ–ฒ โ™โ—โ–ผโœˆโœโ™ฅโฅโขโค โž qโœ•โ™ฆโ˜…โœšโ™ฃq โ™  โ™ rqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœบโœŽโ˜ŽqโœโœŽโโœฎโœโœ†โœˆโ›โœˆโคโœณโ™ฆ โฅโขโ›โขqโœŽโคโˆโ›โฆโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโฆโ™ฆrโโณโฃโœณqโœฃโžโงsโฆโฅโขโ™ฆ โฅโขโ›โขqโœโœ‘ โฃโ„โโณโœ‰rโœ‰ qโœฃโžโขโฃโœณโฅโงโœ‰โœœโฃโ„โโกโ™ฆโ˜…โœฏโณqโœ โœŽโ˜ŽqโœŽโžโขโ™ฆโœปsโโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโœˆโœ‰โโกโžโขโž qโœ•โฃโœถโœฎโœตโœ‰โœ‡โŠโœโ™ฆrsโโœ‘ qโœโœ‰โœปโœ‰โœปโฅโœˆโœ‰โœ‡โœŽโ˜ŽqโœŒโ˜ž sโฆโฃ โ™ rqโœ•โ™ฆrโ™ฆrโโœ’โœฆโดโ‡โœŸโœœ โคsโœŽโโœฎโœตqโœโœ‘โœ•sโœตโœšโœโœš โฅโœˆโ›โขq qโœโœ‰โœฆโ™ โœผโœŽโ˜ŽqโœโœŽโโœฎโœโœ†โงโ›โขโคโœณโ™ฆ โฃโœฅโœœ โคโˆโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœปโœฏโณโ™ฆ โโกโฃโˆq โ™ฆrqโœ•โฃโ„โโœฑโ™ โœปโคโœถโœชโณqโ˜žโโกโฅ โžโขโ™ฆโœปsโโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโœˆโœ‰โœŽโ˜Žqโœโ˜ž sโฆโฃ โ™ rqโœ•โ™ฆrโ™ฆrโโœฎโžโœˆโโกโ™ฆโœ“โฃโœณqโœ โœดโขโคโ„โโกโคโ„โœ‰ โœŽโขq โฃโœฅโœœ โคโˆโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœฐโœฏโฆโ™ฆrโโณโฃโœณqโœฃโ™ฆโœปqโœตโฃโˆโโกโ™ โœปโคโœถโœชโณq โโณโฅโœถโžโขโ™ฆrsโโœ‘ qโœตโœ‰rโœ‰โœปโฅโœˆโœ‰โœŸโœ‰โœปsโณโฅโœˆโœ‰โœŽโœŸโœถโœฒ โโœตโœ‘ qโœตโ›โ™ฅโ™ โœ„โœโœ•โฅโœˆโ›โœˆโœšโ™ฃsโณโฅโœนโœชโฆqโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™ โ™ฅโ™ฃโœฃโ™ฆrs โœป โ›โขโคโˆqโœ•โ›โ—†โœฆ

โฉ โโณโ›โœˆโœ‰ โฃโ„โโœถโœ‰โœปโฅโขโคโœณโ™ โœปqโœ‚โœโ™ฅsโณโ› โ™ฆrqโœฐโœšโ™ฃโžโขโฃโ„โโœตโœ‘โœ•qโœฎโฃโˆqโ‰โœšโ™ฃsโณโฅโœนโœชโฆqโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™  โ™ฃโœŽโ™ฆrs โœป โ›โขโคโˆqโœ•โ›โœงโœ‰โœปsโณโฅโœˆโœ‰โœŽโœŸโœ™โœฒ โโ–โœ‘ qโœตโ›โฆโ™ โœโžโงโโกโ™ฆ โฅโœˆโ›โœงโžโขโ™ฆrsโœงโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโงโœ‰โœบโœŽโ˜Žqโ‰โŠ sโฆโคโˆโœ‰rโœ‰ sโฆโ›โ™ฆโ‚โโกโ™ฆ โœโ™ฅโฅโœนโœฎโœตโœฆโœงโ‡โœ‘qโ‡โžโขโ™ฆrsโโœ‘ qโœตโœ‰rโœ‰โœปโฅโœˆโœ‰โœ—โโกโคโˆโ›โœˆโœ‰ โค sโ–โœดโ˜Žโ™ โœปqโœตโ›โ™ฅโฅโœพโโกโžโขโž qโœ•โฃโœถโœฎโœ‡โŠโœโ™ฆโœปsโโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโœˆโœ‰โœโœŽโ˜Žqโœ‡โŠ sโณโคโ„โœ‰โœปโœ‰โœปsโณโ›โ€โ‘ฆโœ“โคโœณโฃโœณโ™ โœปโ™ฆโ˜…โœฎ qโœโœ‰โœฆโ™ โœโœŸโœบโœŽโขโโณโ›โœˆโœ‰โœŽโฃโˆโโœ‡โžโขโฃโˆโฅโขโžโœˆโโกโ™ฆโœปโ™ โธโœŽโ˜Žqโœตโœ‰โœ‘โœ•โโฆโœ‰โœ‘โœŸ โฅโขโ›โขqโ—โœ‰โœปqโœฐโœšโ™ฃโคโœ โœŸโœฅโœš โโกโ™ฆโœปโ™ โœปโคโˆโ›โœนโœฏโ™ฅโโกโฃโˆqโœตโœฆโœโƒโœฃqโœตโžโงqโœตโ›โœ’โœŽโขโโณโ›โฆโ™ โœ’โœ sโณโ› โžโงqโœตโฅโ˜Žโ™  โฅโ˜Žโ™ โœปโคโˆโฃโœณโคโ„โœ‰โœปqโœ•โ™ฆโ™ฃโฃโˆโ โ™ โœปqโ—โœ‘โงโœŒโขโ›โขโคโ„โœโ™ฅโฅโขqโœโžโœˆโ™ฆโœซโœฎโœโœ‰ qโœตโ›โฆโ™ โ˜…โœฎโœ•q โโกโฅ โœ‘โงโœŒโœˆโโกโžโขโคโœณโ™ โœปโ™ฆrqโœ”โœ“โžโงsโฆโฅโขโ™ฆโœšsโ–โœดโ˜Žโ™ โœปqโœตโ›โขโคโˆโ™ฆ โฅโขโ›โœˆqโœ‡โคโˆโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœฐโœฏโฆโ™ฆrโโณโฃโœณqโœถโโณโ›โ™ฅโ™ โœปโคsโœ‘ โคโˆโžโœˆโโœฑโ™ rโคโœ™โœชโฆqโœตโœฆโดโŠโœ“sโฆโฅโขโ™ฆโœญโœ‘โœ•qโœโ โโณโคโœณโ™ฆrqโœ‚โœ โคโœณโฃโœ“qโœตโœ‰ โ™  โ›โœ’โœฎโœปโœ‘ qโœโœ‰โœปโœ‰rโโกโคโˆโ™ฆrqโœˆโœŽโ˜ŽqโœโœŽโœนโœฎโœโœ†โœˆโ›โขโคโˆโ™ฆโ‡โฅโขโ›โขq โคโˆโ›โ™ฅโ™ โœซโœฎโœปโœฏโณโ™ฆ โโกโฃโˆqโโกโ›โ™ฅโ™ โœปโคsโœ‘ โคโˆโžโœˆโโกโ™ โœปโคโœถโœชโณqโ‡โ™ฆโœปqโœตโฃโˆโโกโ™ โœปโคโœถโœชโณq โโกโฅโ€โŠโœโ™ฆrsโœงโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโงโœ‰โœ โœŽโขqโœฑโŠโœ“sโฆโคโˆโœ‰rโœ‰โœปsโณโ›โœฟโ™ฆโ‚โโกโ™ฆ โœโ™ฅโฅโœนโœฎโ‡โœ‰โœปsโณโฅโงโœ‰โœ•โœŸโœถโœฒ โโœตโœ‘โœ•qโœ•โ›โ™ฅโ™ โœปโœฆโœ’โƒโœญโœœ qโœตโœ‰ โ™ โœฎโฃโœขโœœ sโœตโœดโโœฒโœฆqโœ•โ™ โ‰โœŽโ˜Žโฅโ‘จโœ‘โงโœŒโœˆโโกโžโขโคโœณโ™ โœปโ™ฆrq ๏ฟฝโœนโœฆ

โฉ โโณโ›โœˆโœ‰โœ—โฃโœณqโœฑโœ‘โงโœŒโœˆโโณโžโขโคโœณโ™ โœปโ™ฆrqโœฎโ„ ๏ฟฝโœ–โœโ™ฅsโณโ›โœพโคโœณโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrsโโœŽโ˜Žโฅโขโคโœณโ™ โœฅโฅโขโ›โขq โ›โขsโกโ™ rโคโœณsโฆโ› โœŽโœฉโœœ โคโˆโ›โฆโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโฆโ™ฆrโโณโฃโœณqโ‡โ™ฆโœปqโœตโฃโˆโโกโ™ โœปโคโœถโœชโณqโœ‡โนโ‚โœŽโขqโœตโœ‰โœ โŠโœโ™ฆrsโœงโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโงโœ‰โœ โœŽโขqโœ‡โŠ sโฆโคโˆโœ‰rโœ‰ sโฆโ›โœ†โœˆโฃโœณโ™ โœปโ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœปโœฆโœ˜โœ— โ›โ‘ฉโœŽโ˜Žsโณโ›โขโ›โœˆqโœ•โ™ฆ โโœงโโกโฅโœˆโœ‰rโœ‰โœปโคโœฝโœŽโ˜Žqโœโœ‰ โœŒโโฌ โž sโกโ™  โœŒ โœŒโœตโœ‰โœปqโœตโœ‰โ‡โœ‰ โฅโœˆโ™ฆ โฃโˆqโœ‡โ›โœˆs โฌโฆโโกโฅโ—qโœ•โ™  โœ‰โœปโฅโขโ™ฆโ‡โฃโœขโœœ โคโˆโ›โฆโ™ rqโœ•โ›โœˆโœ‰โœปโคโœณโ™ โœซโœฎโœโœŽโ˜Žqโœตโœ‰ โœ‰rโโกโฅโ˜Žโ™  โœ‰โœšโž sโณโฅโขโ™ฆโ‡sโœตโœดโขโ™ โœปqโœ•โ›โœˆโคโœณโ™ฆโœŽโ˜Žqโ‰โœด sโณโ›โœˆโ›โขqโœตโœ‰โœŽโžโขโ™ฆrsโณโžโขโ™ฆrโคโœถโœฎ โ™ โœซโœฎโœโœ‰ โœ‰ โ™ rโโกโ™ โœปโคโ„โœ‰โœฆโ™ rโคโˆโœโ™ฅโฅโขqโœโœ‰โœฐโœฆโœšโœ™โœโ›โœ›โœ†โงโ›โœœโœ โ›โขsโณโฅโœˆโœ‰ โโqโœตโ™ฆโœปsโฆโ›โœˆโœ‰ โฃโˆqโœšโฃโˆโคโˆqโœ•โ›โœโโœฟโœชโฆqโœปโœ‘โœšโฃโœขโœœ โคโœณโ›โ™ฅโ™ โ˜…โœฎโœฐโœฏโณโ™ฆ โโกโฃโˆqโœšโโณโฅ โœ‰ qโœตโ›โœˆโœ‰โœโœŽโ˜Žq โ‘ฅ โ™ โœปโคโˆqโœ•โฃโœณโ™ โœ”โœฒ โœŒโœโœ‰โœ•โœŸโ‡โœ‘qโœปโœดโงqโœโœ‰โ– โœฏโฆโฅโขqโœตโœฆ

โœ‚ โฅโ˜›โœ‘โงโœŒโœˆโโณโžโขโค โ™ rโ™ฆโœปq โ„โซโ„โ‡โ›โœˆsโณโฅโœˆโœ‰โœ„โœ‘โœ•sโณโ›โ™ฅโ™ โœปโคโˆโ› โฅโขsโณโ›โงโœ‰โœ—โฃโœขโœœ โœฎ โ™ rโฅโœ’โœŽโ˜ŽqโœผโœŽโ˜Žqโœโœ‰โธโŠโœโ™ฆrsโœงโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโงโœ‰โธโœŽโ˜ŽqโœผโŠ sโณโคโ„โœ‰โœปโœ‰โœปsโณโ›โ‘จโ‘ฆโœ“โคโœณโฃโœณโ™ โœปโ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœ—qโœตโ›โ˜›โœŽโโœฎโœฐโœšโ™ฃsโฆโ›โฆโ™ rโ™ฆrโโณโ›โ™ฅโ™ โœ—โฅโœˆโ›โ™ โœโœŒโœนโœฎโœตsโณโ™ฆโœโœŒโœฐโœšโ™ฃqโœผโœŽโ˜Žq โ™ โœฎโฌ โž qโœฎโ™ โ‡โคโœณโ™ฆ โœ‰rโโกโ›โขsโœณโœชโˆโœฆ โœžโœฎโ›โœˆq โโกโžโขโžโœˆโฃโœณโคsโœ‘โœ•โโกโ™ โœปโคโˆsโณโ›โ™ฆโน โฃโœฅโœœ qโœโœ‰โœฆโ™ rโคโœ™โœš โโœฑโ™ rโคโœณsโฆโ›โ™ฆโœŽโ˜Žโฅโ˜›โœ‘ s qโœโœขโœธโœ‘โœ•โคโœณqโœตโ›โฆโ™ โœ‡โœŽโ˜ŽqโœผโœŽโโœฎโœ•โ™ฆrโคโœถโœชโณq โฃโˆโคโœณโ›โœนโœฎโœโโกโคโˆโ™ฆโœปq qโœโœ‰โœฆโ™ โœŽโ˜Žsโณโ›โœˆโ›โœนโœฎโœ•q q โ™ โœฎโฃโ„โโœโœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰ โคโ„โœ‰ โ™ rโโกโ›โ„โœ‘ qโœ›โœŽโ˜Žqโœผโœ‘ qโœ•โ™ โœฎqโœตโœ‰ โ™ โœปโคโœถโœšโ™ฃโโกโ™ โœปqโœตโฅโขโ™ฆโธโœฎ โ™  โโโœดโขโฃโˆโคโœณqโ–โœฆโœ™โœโ›โœ›โœ†โœˆโ›โœœโœ โžโงโโกโ™ฆ โฃโˆqโ‘จโœ‘โงโœŒโœˆโโกโžโขโคโœณโ™ โœปโ™ฆrqโ˜žโ„ โ€ โ›โขsโฆโฅโœˆโœ‰โœโโqโœตโ™ฆโœปsโฆโ›โœˆโœ‰โœ‡โฃโœณqโœพโฃโœณโคโˆqโœ•โ›โดqโœ•โ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆrq โฃโˆqโœตโœ‰โœโœŽโ˜ŽqโœตโฅโœกโŠโฌโœ‘ โฃโ„โโณโœ‰rโœ‰ qโœโœ‰โœˆโœŽโ˜Žqโœพโžโขโ™ฆrsโœงโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโงโœ‰โœˆโœ‘ qโœตโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆ โโกโฅโœกโŠโœŽโขโโกโ›โงโœ‰โœ โœ‘โœ•q โ™ โœปโ™ โœปq โžโœˆโโกโ™ฆโœปโ™ โœปโคโˆqโœโ‘งโ˜Žโฃโœณqโœโœ‰โœ—โžโขโ™ฆrsโœงโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโงโœ‰ โœŽโ˜Žqโœฃโ˜ž sโฆโฃ โ™ rqโœ•โ™ฆrโ™ฆrโโœ‡q โ™ โœฅโฃโˆqโœตโœ‰โœ—โžโขโ™ฆrsโโœ‘ qโœตโœ‰rโœ‰โœปโฅโœˆโœ‰ โœŽโขqโœ‡โŠ sโฆโคโˆโœ‰rโœ‰ sโฆโ› โ‘ฆโœ“โคโˆโฃ โ™ rโ™ฆโœซโœฎโœโœ‰โœ—qโœ•โ›โ€โœšโ˜žsโฆโ›โ™ฅโ™ โœปโ™ฆ โโกโ›โ™ฅโ™ โœŽโฅโœˆโ›โ™ โœโœŒโœนโœฎโœตsโณโ™ฆโœโœŒโœฐโœšโ™ฃqโœฎโฃโˆโคโœ™โœšโ™ฃโคโœณโ™ โœปqโ‡โœโฆโฅโœˆโคโงโžโขโ™ฆrsโณโฅโœ’โœชโณqโœšโœโ™ฅโฅโ—†โœœ โฅโขโ›โขq โ โโโœšโ™ฃโคโœณโฃโˆโฃโˆqโœญโœŽโ˜ŽqโœญโŠโœโ™ฆโœปsโโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโœˆโœ‰ โœŽโ˜Žqโ‰โŠ sโฆโคโˆโœ‰rโœ‰ sโฆโ›โœธโ‘ฆโœ“โคโœณโฃโœณโ™ โœปโ™ฆโ˜…โœฎโœตโœ‰โœ โœŽโœฉโœœ โคโœณโ›โ™ฅโ™ โœปqโœตโ›โœˆโœ‰โœปโค โ™ โ˜…โœฎโœญโœ‘ sโฆโ›โœˆโœ‰ โ™ rโโกโ›โ™ฅโ™ rqโœ‘ sโฆโ›โณโœชโฆqโœ•โ›โœˆโโœตโœดโขโฃโˆqโœฐโœšโ™ฃqโœ•โ›โ™ฅโ™  โ›โขsโฆโ™ฆโœซโœš โโณโฃโœณโคโ„โœ‰โ– โœฎโœตqโœธโœ‘ sโฆโ›โณโœชโฆqโœ•โ™ฆโ˜…โœฏโณq โ โโณโคโœ™โœดโขโฃโˆqโœฐโœšโ™ฃqโœตโ›โฆโ™  โœโ™ฅโฅโœˆโโกโ›โ„โœŽโœฅโœค โ™ โœปqโœตโ›โœ’โœŽโฌโœชโฆqโœ•โ™ฆ โœ‰โœถโฃโœฅโœœ โคโˆโ›โœ›โœ†โœˆโ›โขโคโœโœชโฆqโœ•โ™ฆ โœ‰ โฅโขโ›โดโžโขโ™ฆโœปsโโœ‘โœ•qโœตโœ‰rโœ‰ โฅโœˆโœ‰โœŽโ˜Žqโœฆโ˜ž sโณโฃโœณโ™ โœปqโœ•โ™ฆrโ™ฆ โ โœŽโ˜Žqโœโœšโ˜Žโœ„โœฐโœšโ™ฃqโ™ฃโ›โขs โฌโฆโโณโฅโ—†โœฆโดโŠโœ“sโฆโฅโขโ™ฆโ‡sโœตโœดโ˜Žโ™ rqโœ•โ›โขโคโˆโ™ฆโœฑโœ‘ qโ™ฃโ™ฆโœซโœฎโœโœ‰ โฅโœˆโฃ โ™  โโœฑโ™ โœฑโœŽโขโโกโ›โœˆโœ‰โ‡โฅโขโ›โœˆqโœโœฏโฆโ™ฆrโโณโ›โœ’โœŽโ˜Žqโ‚โœฏโœตโœฎโœ•โ›โœ’โœฎโœ•โ™ฆ โโกโฃโˆโค โ™ โ˜…โœฎโœ‚โœ โ›โขsโณโฅโœˆโœ‰ โโณโฃโœณโฃโˆsโณโ›โœˆโœ‰โ™ โœปโ™ฆ โโกโ›โœˆโœ‰โœ•โโsโณโ™ฆโ˜…โœšโ™ฃqโœ•โ™ฆโœโฃโˆqโœšโžโœˆโ™ฆโœปsโ–โœดโขโฃโœŽโœŒโœปโœšโ™ฃqโœฎโคโœณโ›โœˆโค โ™ rโคโˆโโณโฃโงqโœตโ›โœงโฅโขโ›โœงโžโขโ™ฆrsโœตโœดโœˆโฃโœŽโœŒโœปโœšโ˜žqโœ‡โœŽโ˜Žqโœญโœ‘โœ•sโณโ›โœงโœชโณqโœตโ™ฆโœซโœฏโฆqโœ•โ›โœ’โœ‘โœ•qโธโœŽโ˜Žqโ‰โœš โโกโ™ฆโœปโ™ โœปโคโˆโ›โœนโœฏโ™ฅโโกโฃโˆqโœตโœ‰โœบโนโœˆโœช โโณโฃโœณqโœตโฅโขโ™ฆ โœ‰โœโœงโœฎโคโˆโฃโœถโœดโงqโœตโ™ฆโœŽโœŸโ™ โœปโคโˆqโœ•โ›โขโ›โœˆqโœตโœ‰โœ—q โ™ โœฎqโœตโ›โœˆโœ‰โœปโฅโขโค โ™ rq โžโขโ™ฆrsโโœฒโœฆq โ™ rqโœ•โ™ฆโœ—โฃโˆq โ™ฆโœซโœฎโœโœ‰ โฅโขโฃโœณโ™ rโโกโ™ โœฅโžโงsโฆโฅโขโ™ฆโœฅsโœตโœดโ˜Žโ™ rqโœ•โ›โขโคโˆโ™ฆโœฅโฃโ„โrโœ‘ sโณโ›โœงโœชโฆqโœ•โ™ฆโ˜…โœฏโณqโœ•โ›โ„โœ‘ q โœ‰โœปsโณโฅโœฃโœŒโœˆโโกโคโœณโ™ โœซโœฎโœตqโœตโœฆ

โ„โฅ๏ฟฝโœฉโ˜…

Page 117: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ„โฅ๏ฟฝโœฑโœค

Page 118: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚ โœŽ โœŸ โ˜Žโœžโœโœ โœ โœ‚

๏ฟฝ โœฝ โœขโ˜Žโœ„โœโœ†โœ–โœฒโœ‘โœ”โœ–โœ•โœผโœฎ โœž โœฝ โœขโœฅโœฌโœ˜โœ— โœฌโœผโœฐ โœ” โœขโœ†โœฌโœ โœŸ โœฎ โœฐ โœคโœฑโœ™โœฏโœฒ โœณโœฏโœฎโœทโœฉ

โœฐโœ›โœฒโœฅโœคโœตโœ—โœถโœฎโœทโœฉโœธโœฉโœธโœ™โœ›โœฉ โœณโœฏโœฎ โœขโ˜›โœก โœฐ โœฎ โ˜ž โœคโœชโœ• โœขโœฅโœฎโœดโœฒโœฅโœฒโœ‘โœ” โœŒ

โฉโœŽโœ โœ†โœ‘โœโขโคโœ“โœ’โœ‡โฅโœ”โœโœ‘โœ•โœงโคโœ–โœโœ˜โœ—โœ™โœโœ›โœšโœœโœ’โœฃโœขโกโฃโœ“โœ•โœฅโœคโœฆโœ—โ˜…โœงโœชโœฉโœฃโœซโœ‘โœขโœœโœคโœฆโœ—โœปโคโ„โœโ™ฅโฅโœ”โœ•โœญโœฌโœฎโœงโณโฅโœ”โœ’โœ‡โฃโœ–โœ•โœฅโœฏโœฐโœงโฆโฅโœ”โœฑโœœโœ•โœฒโœฏโœณโœ•โœฒโœโœ˜โœ—โœตโœดโœถโœ’โœ™โœงโœธโœทโœนโœโขโคโœ“โœ•โœ›โœโ˜›โœบโœปโœ’โœฃโœขโœœโœฉโœผโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโœ”โœโœ‘โœขโณโคโœ–โœ’โœ™โœ•โœญโœงโณโฅโœพโœฌโขโฃโˆโฅโœ‘โœคโœตโœšโœœโœโœโœŸโœโœ”โœโœ›โœ’โœฃโœขโกโฃโœ“โœ•โœ›โœฏโœฐโœ•โœฒโœโœฝโœ—โœฟโœฌโ€โœงโฆโฅโœ”โœ’โ‚โโœ”โœ•โœฒโœคโ‚โœฌโœ”โœ’โœ™โœงโƒโœฉโœ›โœ•โœฒโœคโœ™โœค โฅโ€โœคโœŽโโœชโœ•โœตโœ—โœฎโฌโœ˜โœฌโœฎโœ•โœฆโ˜žโ„โœงโณโฃโœ–โœ—โ˜…โœ•โœ›โœ’โœ™โœ’โœฃโœขโœญโœ•โœฒโœคโœฆโœ—โœ„โœโ…โโœ”โœขโœœโœโœ‘โœคโœšโฃโ†โœขโœฅโœฌโœˆโฃโœณโฅโœ”โœฌโ€โœขโ‡โœ’โ˜…โœ—โ‚โโœชโœ•โˆโœคโœฟโœฉโœฒโœขโœœโœคโœ„โœโ€โœฌโœ‘โœขโœœโœ’โœฆโœ—rโคโœ“โœฉโœ•โฅโขโฃโˆโคโœŽโœŒโœฒโœ’โ˜…โœ•โœฒโœฏโœณโœ•โœฒโœโœ˜โœ—โโ˜Žโคโœ โœขโœญโœฉโœ•โคโœณโฃโœ“โœ•โœœโ‰โœ˜โœ™โœ โœโ˜›โœ• โœโœฎโœ•โœ›โœ—โœ„โœโŠโœฉโœ›โœ•โœณโœฌโœ‘โœ’โ˜…โœงโœชโœฉโ‹โœ•โˆโœคโ˜…โœคโœปโฅโœ‘โœคโœฟโœโŠโ— โœ•โœฒโœคโœฆโœ—โโœฌโ€โœขโœœโœคโโ– โ‘โœฑโ–ฒโœขโœœโœ’โœปโคโ†โœขโœธโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœ โœ†โœ‘โœโœˆโคโœ–โœ•โœฐโœ•โ‹โœ—โ–ผโœฉโœ›โœ•โœณโœโ—†โ— โœ•โˆโœคโ–โœ—โโœฌโœ‘โœขโœฝโœค โฅโœ”โœโœ”โœ•โœญโœคโœฆโœ•โœฒโœฏโ™ฃโค โœŸPโœฏโœญโœขโ‡โœ’โ˜…โœ—โœปโคโœ“โœโœ”โœšโœฝโœขโณโฃโœ–โœ•โœฝโ‰โ——โŠโœ•โˆโœคโ˜โœงโณโฅโœชโœ—rโคโœณโฃโ†โœคโ™โœฉ โฃโ†โœขโœœโœคโœ™โœคโœปโคโˆโœโ™ฅโฅโœ”โœ•โˆโœคโšโœคโ˜…โœงโœœโœโœ˜โœ—โ™โโœชโœงโœฝโœโœ‘โœฉโโœ•โ‹โฏโœ”โœฉ โฃโˆโฅโœ‘โœคโœฒโ‰โœชโฑโ——โฃโ…โœบโฒโœขโกโฅโœ”โœ—โœŽโโœชโœงโœœโœโœ‘โœฉโโœงโฆโฅโ‘โณโœˆโคโœ–โœ•โœฒโœโ‘โœบโฒโœขโณโคโœ–โœ’โœ™โœ•โโœขโ‡โœฌโœ”โœฌโœฎโœ•โœ•โฃโจโ– โœณโโœ”โœ•โโœโœ”โœงโณโฅโœ”โœฑโœฝโœ•โœฒโœขโณโฅโœชโฏโฉโœงโณโฅโœ”โœ—โœปโคโˆโฃโœ“โœคโ˜โœงโฆโฅโณโขโคโœ“โœ•โœ›โœโฌโœคโœฆโœ•โโœ’โœฃโœขโ‡โœฏโœฐโœ•โœ›โœโœ‘โœ•โœ›โœ’โœนโœขโกโฅโœชโฏโ‘โœงโณโฅโœชโœ—rโคโœณโฃโ†โœคโ™โœฉ โฃโ†โœขโœœโœคโœ™โœคโœปโคโˆโœโ™ฅโฅโœ”โœ•โˆโœคโœ›โ‰โ——โ—†โœขโโœฌโœ”โœ’โœ™โœ•โœ›โœฏโ™ฃโค โœŒโœ›โœ’โœ™โœ•โœนโœฌโœ‘โœขโ‡โœ’โ˜…โœ—โœปโคโœ“โœ•โ™โโœชโœ•โœŽโœฉโœ›โœ•โœŽโœฉโœฃโœซโœ‘โœขโœœโœฌโขโคโญโœ—โœ™โœ’โ˜…โœ•โœนโœฌโœ‘โœ’โ˜…โœโˆโœคโœฆโœ•โœฒโœโœฝโœ—โœ™โœ•โ™โœค โฅโ€โœฉโœ›โœฉ โคโœ“โœโœ‘โœฉโ‹โœ—โ˜…โœ•โœ›โœฏโœฐโœ•โœฒโœโœฝโœ—โœฃโฃโœ–โœ•โˆโœคโœ โโ˜Žโคโœžโœโœฎโœโœฒโœ’โ˜…โœ•โœฒโœโœ˜โœ—โ˜…โœ•โœฒโœคโชโœฑโœœโœงโณโคโœ“โœ•โœฒโœคโชโœ•โ‹โฏโœชโœฌโขโฃโœ“โœงโœœโœ’โœ™โœโœ›โœ•โœฒโœคโ„โโœ‘โœขโ‡โœโœ‘โœคโฃโœ–โœ•โ™โœฉโœฒโœขโœœโœคโชโโขโฅโœณโœฏโœฐโœงโฆโฅโœ”โœฑโœœโœ•โœฒโœฏโœณโœ•โœฒโœโœ˜โœ—โœ โœดโœถโœ’โœ™โœงโœธโœทโœนโœโขโคโœ“โœ•โœ›โœโซโœบโœปโœ’โœ™โœขโœฝโœฉโœผโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโœ”โœโœ‘โœขโกโคโœ“โœ’โœ™โœ•โœœโ‰โœธโดโตโœงโณโฅโœ”โœ’ โฅโœ‘โœโœญโœ’โ˜…โœโˆโœค โฅโœ”โœฏโœฐโœโ™โโœชโœ•โ™โœฉโœ›โœ•โœฒโœคโตโœ—โœ™โœ•โœฒโœฉโœฃโœซโœ”โœโœˆโคโˆโœโ™ฅโฅโœ”โœ•โˆโœค โœโœผโ›โ–โœ•โœนโœฑโœฝโœงโณโฅโœ‘โœคโชโœ’โ˜…โœ•โœฒโœโœ˜โœฑโœฝโœงโณโคโœ“โœ•

โ– โ™ฃโฃโœโ— โœขโ‡โœ’โ˜…โœ—โœปโคโ†โœฉ โฃโœ“โœ•โ–ผโโœชโœ•โœตโœคโœปโฌโƒโœโœ˜โœ—โ˜…โœซ โœŒโˆโœคโœฆโœ•โ–ผโโœชโœ•โโฉโœŽโœ•โˆโœฉโ‹โœ’โœ™โœ•โœ•โฅโœ‘โœคโ˜…โœ•โ‹โœบโœปโœงโœฝโœโœ‘โโ˜›โ โœพโœฑโœคโ–ฒโžโกโ‰ โœกโ™โœงโฆโฅโœ‘โœคโœฅโคโœ“โœโœ‘โœค โคโ†โœคโœฆโœ—โ˜…โœ•โœ›โœ’โœ™โœงโœœโœโ€โœคโ™โœค โฅโœ‘โœ’โœฎโฃโœ“โœขโฉโโœชโœโœโœ†โœ‘โœโœˆโคโญโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโขโโœชโœ• โฃโœโ— โคโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโณโฃโœ–โœ•โ–ผโโœชโœ•โฃโœ›โคโœ–โœ•โœฒโœโœ”โœ•โœ›โœ’โœนโœ•โœ›โœ—โœŽโœคโœฆโœงโœฝโœโ‘โœ•โœ›โฏโƒโœ—โ˜…โœ•โœ›โœโ€โœค โคโœ“โœงโœœโœโฌโ– โ˜žโฃโœโ— โคโœ–โœโœ˜โœ—โœ™โœโœ›โœšโœœโœ’โœฃโœขโกโฃโœ“โœ•โโคโ™โœโœ˜โœ—โœปโคโ†โœฉ โคโœ“โœฌโœ‘โœขโœธโœ—rโคโœ–โœฑโœฝโœ•โ–ผโโœชโœ•โ‚โœ—โœฎโฌโƒโœฌโ€โœ•โœตโœโƒโฅโœฝโœงโœœโœซโœ”โœงโœฝโœ’โ˜…โœงโœชโโ…โ‰

โฉโœฟโœขโœœโœโœ‘โœคโœšโฅโœ‘โœโœ”โœ•โœณโœคโ˜…โœ•โœฒโœฉโœ›โœงโœœโœโœ‘โโœ”โœ•โœตโœฌโœ‘โœขโœœโœ’โœฆโœ—rโคโœ–โœ•โ˜Žโœโœ‘โœงโœœโœโฆโœคโœฆโœฌโœฎโœโœฒโœฉโœ•โค โœ†โœ‘โœ•โ˜žโฃโ†โœขโœฅโœฑโœœโœงโฆโคโœ–โœ•โซโโœชโœ•โœฆโœกโœšโฅโœ‘โœขโกโฃโ†โœขโ‡โœ’โ˜…โœ—โœŽโœ•โœ›โœ—โโงโƒโ™ โ™โ โ™ฅโœ–โœโ˜›โœพโœฑโ€โ–ฒโžโกโ‰โœœโœ—โœฟโœโขโœฌโœ”โœ’โœ™โœโœฒโœคโ˜…โœ•โœ›โœโœ˜โœ—โ˜…โœ•โœณโœคโœฆโœงโœฝโœฏโœฐโœฏโœฐโœขโณโค โœŸโœ’โ˜…โœ•โœฒโœฏโœฐโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โ˜žโฃโ†โœขโ˜›โโœชโœโœโœ†โœ‘โœโœˆโคโญโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโ™ฆโโœชโœ• โฃโกโ— โคโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโณโฃโœ–โœ•โ‘โœ•โ‹โœ—โœฐโœงโœœโœโ™ฆโœโœ›โœฑโœœโœงโ˜Žโœโ™ฅโฅโœ”โœ•โœพโฃโœ–โœ•โˆโœคโซโœบโœปโœงโœœโœ’โœ™โœฏ โฅโขโฃโœ“โœ•โœฒโœคโœณโโœชโœ•โ™ฃโฑPโœ— โœ‚qโœ•โ‹โœ—โœญโโœชโœ•srsโœ• โฌโœฝโœ•โœ›โœ’ โœŸPtโœ‰โœขโ‡โœโ€โœขโ‡โฅโœธโœขโœนโœˆโŠโœงโœฝโœโœฏโœฐโœงโœœโœโœ˜โœ—โ˜…โœ’โœ™โœ•โœ›โœ’โœฃโœขโœถโฃโœ“โœ• โฃโœณโคโœ“โœ•โœ›โœsโœขโ–ฒโœฑโœฝโœ•โœฒโœฉ โฃโœ–โœ•โโœ—โœ™โœ•โœ›โœฏโœฐโœฌโœ‘โœคโœ—โฃโœ“โœงโƒโœฉโœฒโœขโกโฃโŠโโœชโœ• โฃโ†โœขโœณโœฌโœ‘โœขโ‡โœ’โ˜…โœ—โœปโคโœ“โœ•โโฑโœฆโฑโ˜…โฑโšโœ•โœ›โœ—โœฅโฃโœ–โœ•โˆโœคโ™โโ˜Žโคโœžโœโœฎโœโœฒโœ’โ˜…โœ•โœฒโœโœ‘โœฉโ‹โœ•โˆโœคโœนโœขโ–ฒโœฑโœœโœ•โœฒโœฉ โฃโœ“โœ•โ–ผโœฉโœ›โœขโœœโœคโ˜โœดโšโœ’โœ™โœงโœธโœทโœนโœโขโคโœ–โœ•โœฒโœโŠโ‰

โœ™โชโœโœ›โœ†โœ‘โœโœœโœโœฅโฅโœ‘โœโœ”โœ•โ˜›โœ—โ˜…โœ’โœ™โœงโณโคโ†โœค โค โœŒโœ›โœฏโœฐโœ•โœ‡โœฌโ€โœขโ‡โœ’โ˜…โœ—โœปโคโœ“โœ•โ˜›โœคโ˜…โœ•โœ›โœ’โœฃโœขโ‘ โœฉโœ›โœงโœœโœโœ‘โœคโœ™โœขโœœโœฉโœ›โœ’โ˜…โœโœฒโœ•โœ‡โœขโกโฅโœชโฏโ‘กโœšโœฝโœ’โœ™โœขโœœโœโœ‘โโœชโœ•โˆโœคโฉโœโœ›โœ—โœ™โœขโ‡โœฌโœฎโœ•โœฒโœคโฌโโœชโœ•โฉโฃโ†โœขโ™ฆโœฉโœ›โœงโœœโœโœ‘โœคโœฆโœ—โ˜…โœ’rโฅโœ‘โœฉโœผโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโ‘ขโโ…โ— โฅโœ”โœโœ”โœ•โคโœ–โœโœ˜โœ—โœ™โœโœ›โœšโœœโœ’โœฃโœขโกโฃโœ“โœ•โœ‡โœขโœœโœโœฝโœ—rโคโœ“โœฉโœ•โคโœ–โœฌโ€โœขโœธโœ—โœปโคโœ“โœฑโœœโœ•โฆโœฌโ€โœงโฆโฅโœ”โœ’โฌโโœชโœ•โœฒโœคโ™ฃโœฌโœ”โœ’โœ™โœงโœชโœฉโ‹โœ•โœฒโœคโœ™โœคโœปโฅโœ‘โœคโฉโโœชโœ•โฆโœ—โœฎโฌโƒโœฌโ€โœ• โ˜žโ„โœงโณโฃโœ–โœ—โ˜…โœ•โœฒโœ’โ˜…โœ’โœฃโœขโœ”โ‰โ™โ‘ฃโœถโœ•โ‹โœ—โ˜…โœ—โ˜…โœ•โ˜›โœฌโœ‘โœขโ‡โœ’โ˜…โœ—โœปโคโœ“โœ•โœ‡โœ•โˆโœคโ–โœ— โฅโœ”โœโ‘ขโœ’โ˜…โœโˆโœค โฅโœ”โœฏโœฐโœโ˜›โโœชโœ•โœฒโœคโœ—โ˜…โœ’โœฃโœขโ–ฒโœฑโœธโœขโกโฅโœชโฏqโโœชโœ• โฉโœฟโœ•โœฒโœฉโ‹โœ’โœ™โœ•โœ•โฅโ€โœคโœฆโœ•โœ›โœบโœปโœงโœœโœโœ‘โโ‘คโ โœพโœœโ‘ฅโœ›โœ โœพโœ‚โœ“โœ›โœ โœพโœ˜โ‘ฆโœฉโœ โœพโœ”โ‘งโ‹โžโœถโœ•โ‹โœ—โซโœบโœปโœงโณโฅโœ”โœ’โœ™โœโขโคโœ–โœ— โฃโœ“โœ•โœฒโœคโ–ผโœฌโœ‘โœ’โœปโคโœ“โœโœ‘โœฉ โคโœ“โœฌโœ‘โœขโณโฃโœ–โœ•โˆโœค โคโœ“โโœ”โœโœ›โœ•โœฒโœค โฅโœชโœ—โœปโคโˆโฃโˆโคโœ“โœคโ˜…โœโœ›โœ•โˆโœคโ–ผโœฌโœฎโœงโณโฅโœ”โœ’โœณโโœชโœโœโœ†โœ‘โœโœˆโคโœ–โœ’โฅโœ”โœโœ”โœ•โ™ฃโคโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโณโฃโœ–โœ•โœญโœขโ‡โœโœ˜โœ—rโคโœ“โœฉโœ•โคโœ–โœฌโœ‘โœขโ‡โœ—โœปโคโœ“โœฑโœœโœ•โœณโœ’โ˜…โœ•โœตโฃโœ“โœขโ‡โœ—โœปโคโœ“โœฑโœœโœ•โœฒโœฏโœณโœ•โœฒโœโœ˜โœ—โโœขโณโฅโœชโฏโœ‡โดโชโœ’โœ™โœงโœชโœฉโ‹โœ•โˆโœคโ˜…โœคโœปโฅโœ‘โœคโโโœชโœ•โœญโดโตโœงโณโคโ†โœคโ˜…โœคโ˜…โœงโœœโœโ˜›โ‘จโœ“โคโœณโฃโœ–โœ—โ˜…โœ’โœ™โœโœฒโœคโโœงโœฝโณโœชโ›โ–โœ•โ‹โœ—โœฃโœคโโโœชโœ•โœฒโœคโโœฌโœ‘โœ’โ˜…โœงโœชโœฉโœฃโœซโœ‘โœขโณโคโœ–โœโœ‘โœคโœฉโœฃโœซโœ‘โœขโ‡โœฌโœˆโคโญโœ—โœ™โœ’โ˜…โœ•โˆโœคโœ›โ‰โ‘ฉโฉโถ โœ โธโทโœชโนโœธโบโ…โป โถsโผโŠโฝโœโพโž€โฟโชโžโœ›โž‚โœผโžƒPโž„โ‡โž…โž‡โž†โœฎโžโ‹โžˆโ‚โž†โžŠโž‰โœธโžƒโž‹โž„โœธโžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†โœ‘โžˆโœฐโžŒโ–โžโœฃโž‰โœธโžŽโœณโžŽโœญโžโšโžโœ‘โž„โœธโž‚โ–ผโžโ˜…โžโƒโžโœ›โžŽโ™โžโžŠโž‘โœ–โžโœตโž‘โœ–โžโœผโžˆโ–ผโžโ‹โžˆโœโžโœ‘โž„โœœโžโœฃโžโ‹โžˆ โช ๏ฟฝ โ™ โœฆโž’โกโž“โœ”โž”โ–ผโžโœ›โžƒโ€โ†’โŠโžฃโœ”โ†” โ†•โœ™โž™โœฐโž‚โ˜…โžโ‹โž‘โœ“โž„โœธโžƒโกโž…โž‡โž›โ–ฒโžโ‹โžˆโž„โœธโžœโขโžโœฃโž„โœธโž‘โœ–โžโœ›โžœโœชโž‘โœฝโžโœฃโž‚โœ™โž„โœœโžโœ›โžƒโœโž…โฒโž‰โ‡โž†โœ‘โž†โœฎโž„โ‡โž…โž‡โž‚โ˜…โž โœขโœœโžž โžƒPโžโœ›โž‚โœผโžŽโœณโž…โž‡โž†โœ‘โž…โ†โžˆโœผโžƒPโžโ–ผโžˆโœ›โž‰โœธโž†โ€โžƒโšโžโœฃโž‰โœธโž†โœ‘โžˆโœฃโž…โญโžŸโœœโž† โžž โžโ‹โžˆ โœข โž„โœธโž†โœ‘โžˆโโž‘ โœ– โž„โœธโž†โ€โž†โœฎโžโœ™โžโœ˜โžโœณโž  โœ‚โœ˜โžกโœ“โžข โžโœ”โž„โœฒโžŸโœฝโžโœณโž โ‡โžคโœ˜โžฅ โžก

โžฆโ˜…โžงโžŠโžจโ–โžฉโฒโžฉโœโžจโœฎโžฉโกโžจโ–โžซโฒโžญโœนโžฏโžณโžฒโ–ฒโžตโœผโžธโžณโžตโœผโžบโœผโžฏโžณโžจโœฎโžปโœฒโžฏโžณโžจโ–โžฒโœ›โžฉโœชโžผโˆโžจโžŠโžธโžพโžฝโ—†โžฒโ–ฒโžฝโœ™โžฉโกโžšโ–ฒโžซโฒโžจโ…โžผโ–ฒโžšโชโžฒโ–ฒโžตโœฆโžชโœ›โžฝโœฃโžšโšโžผโ–ฒโžถโž‹โžนโœธโžฒโ–ฒโžฏโžณโž˜โœโž˜Pโžฝโœฃโžฒโ‹โžฉโœ”โžธโžณโžจโœฎโžดโ–ฒโžซโฒโžตโœ›โžทโœฆโžจโ–โž˜โœโž˜โกโžšโ–ฒโž˜โœฆโžฌโ‹โžงโžŠโžจโœฎโžฒโ–ฒโžตโœฆโžชโœ›โžฝโœฃโžšโœ โžฉโœโžซโฒโžฏโžพโžฝโœฃโžฒโ–ฒโžบโœผโžšโ–ฒโžธโžพโžฝโœฃโžฏโžณโžซโฒโžจโ…โžจโœฆโž˜โฒโžฉโœ”โžšโ–ฒโž˜โกโžšโˆโžจโœฆโžธโžณโžธโžณโžจโ–โžญโœนโžจโ–โžฒโ‹โžฉโžฝโœฃโžดโ–ฒโžดโ‡โžจโ–โžธโžณโžถโ„โžฒโ–ฒโžตโœฆโžชโœ›โžฝโœฃโžšโโžผโ–ฒโžจโตโžฉโž‡โžชโœฒโžดโœœโžจโ„โžฎโ€โžตโœผโžธ โžฉโกโžจโ–โžซโฒโžซโกโžฝโ‚โžฑโญโžปโ‹โžตโœผโžฏโžณโžซโจโœƒโœ‰โžฏโžณโžจโ–โžšโ–ฒโžผโ–ฒโžตโœผโžฒโ–ฒโžฒโ–ฒโžถโ˜โ โ’โœ›โฎโœ™โฐโœ˜โžดโ–ฒโžซโœโžตโœผรโˆโžธโžณรโœฆโžญโœนโžจโตร‘โšโžดโœ˜โžฌโ‡ร’โœผร’โœผร“โ‹ร”Pโžฌโ‘งโœฒร•โƒโ‘ฆ

Page 119: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ‘งโœฒร•โ˜Žโœ“ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โ˜Žโœ†โœžโœโœ โœŸโœ‚โœกโ˜žโ˜›โœโœŒโข๏ฟฝโœŽโœ ๏ฟฝโœโœ„ ๏ฟฝโœโœ†โœ’โœ‘โœ”โœ“โœ•โœกโœ—โœ–โœ’โ˜›โœ™โœ˜โœ›โœšโœ™โœ‘โœ—โœ†โœœโœŸโœขโ˜›โœฃโœกโœคโœกโœคโœ„โœฅโœŽโœฆโœ โœง โ˜…โœชโœฉโœฌโœซโœฎโœญโœขโœฏโœฑโœฐโœณโœฒโœดโœซโ˜žโœตโœถโœฒโœธโœทโœบโœนโœผโœปโœฎโœญโœ‚โœซโ˜žโœฝโœฟโœพโœ•โœซโ˜žโœตโโ€โƒโ‚โ„โœทโ…โœซโ˜žโœตโœถโœฉโœผโ‚โ„โœฐโ†โœญโ‡โœฒโœดโœปโœฎโˆโ‰โœฝโœดโœทโ…โœญโ‡โœฐโœธโœฝโœดโœซโŠโœทโ…โœฝโœฟโœพโœ•โœปโ˜žโ‹โƒโœญโœขโ—โƒโโœ โœซ

โœญโœขโœซโ˜žโโ…โ—โ– โœพโœ•โœทโœบโ€โƒโœซโœคโโ‘โœซโ˜žโœฝโœฟโœพโœชโ—โƒโœฐโœณโโ‘โ‚โƒโœฐโ†โ€โƒโœซโœคโโ‘โœซโ˜žโœฝโœฟโœพโœชโ–ฒโ–ผโœญโœขโ‚โ˜Žโ—†โโœฝโœดโœทโœ โœซโ˜žโœฝPโ–โ——โœญโœ‚โ—โƒโ˜โœฃโœพโœ•โœทโ…โ‚โƒโœฝโœธโœฝโœดโ—โ„โœทโœบโœญโœขโœซโ™โœฎโšโฑโฏโฒโšโณโฏ โจโฌโฉโ˜Žโญโœ‚โชโดโซโœโตโ›โชโโœโœคโžโขโกโฃโฉโ˜Žโชโœโคโœžโฉโœ’โชโœโตโ›โฅโœœโซโฆโฅโœ•โกโงโœโœคโžโขโกโงโซโดโชโœโญโœœโ™ โ™ฅโžโขโ™ฆโ™ฃโซโดโคโœฃโตโ›โชโœโžโœ•โก

โœ—โœฟโœโฌโœฉโœ›โœงโœœโœโœ‘โœคโœปโคโ†โโดqโœ›โœ’โœ™โœ• โฃโœ“โœ•โœฒโœคโœนโœคโ˜…โœงโœœโœฏโœฐโœฏโœฐโœ•โœฒโœคโœนโโœ”โœ•โƒrโœฅโคโœ–โœ•โœฒโœฏโœญโœขโ‡โœโœ”โœโœฌstโœˆโœ‰โฆโœ‡ โ†•โ‘  โ‘ก โ‘ขโ‘คโ‘ฃโ‘ฆโ‘ฅ

โ‘ก tโ…โ‘ง โœ‰โ‘ฉโ‘จ โถโ„โทโธ โ‘กโบโน โ†•โฑโป t โ‘ง โœ‰โœถโผ โถโ„โทโ‘ก t โ‘ง โœ‰โ™ฅโฝ โพ โœ“โœ”โ‰โœ“โ‘งโž€โฟโœ•โ‹โœ—โœนโœงโœœโœsโœฉโœฃโœซโœ”โœ•โœฒโœ’โœ™โœฉโœฃโœซโœ‘โœ•โ‚โ– โ˜žโคโ†โโœชโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โœปโคโœ โœ†โœ‘โœ•โœฒโœ’โœฎโฃโœ–โœ•โˆโœคโœนโœฉโ‹โœงโœฝโœโœ‘โโ˜Žโคโœ–โœ—โœปโคโœ“โœงโœœโœโœ‘โœคโœนโœคโœปโฅโœ”โœ’ โ‘ฅ โœฌโœฎโœงโณโฅโœ”โœ’โœฎโœโ™ฅโฅโœ”โœ• โพ โœ“โœ”โ‰โœ“โ‘งโž€โฟโšโœฉโ‹โœงโœฝโœโœ˜โœฑโœฝโœ•โœ›โœ’โœ™โœšโœœโœ•โœฝโ‰

โœ—โœฟโœโ™ฆโœโœ”โœงโœœโœ—โ˜…โœ•โœฒโœ’โœ™โœขโ˜›โโœ”โœขโ‡โœโ€โœคโœญโœฉโ‹โœ•โ‹โœ—โ˜…โœ—โ˜…โœ• โคโ†โโœชโœโœ›โœ•โ—โฃโœ“โœ•โœฒโœคโœณโœ—โœ™โœ’โœ™โœขโ–ฒโœฑโœธโœขโกโฅโœ”โฏโ‘ โโœชโœ•sโ‘จโœ•โžโฆโฃโœณโฃโœ“โœฏโœฐโœ•โœ›โœ’sโ โ˜… โœ“โ–ฒโžโœŽโœคโœปโฅโœ”โœ’ โฃโœ“โœ•โœฒโœคโœฐโœฌโœ”โœ’โœ™โœงโœชโœฉโ‹โœ•โˆโœคโ˜…โœคโœปโฅโœ‘โœคโœณโโœชโœ•โžƒโž‚โœšโคโœ“โœ’rโคโœ“โœฉโœฃโœซโขโฃโœ“โœ•โ‹โœ—โœงโœโ™ฅโฅโขโคโœฌโ€โœ•โœฒโœ’โ˜…โœฏโœฐโœ•โœ›โœ—โœฟโโœ”โœขโ‡โœโ€โœคโœšโฃโœ“โœ•โœตโœฉโœ›โœขโœฝโœคโ˜Žโž„โž†โž… โ†•t โโœ”โœ•โซโโœชโœ โœ†โœ‘โœโขโคโœ“โœ’โœšโฅโœ”โœโœ”โœ•โซโœโœ”โœงโ‡โœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโขโโ…โ— โคโœ–โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœšโœœโœ’โœฃโœขโกโฃโœ“โœ•โœœโ‰โœ˜โœ—โœฟโœsโœโœ”โœงโ‡โœ—โœ™โœ•โœ›โœ’โœฃโœขโ™ฃโฃโœ–โœ•โˆโœคโ™โœ—โœ™โœ’โœ™โœขโ–ฒโœฑโœธโœขโกโฅโœ”โฏโ™ฃโโœชโœ•โœณโœดโœถโœ•โœฒโœ’โœฆโœ—โœ™โœงโณโคโœ“โœโ โž‡โœœร•โ–ฒโžโœฎโœคโœปโฅโœ”โœ’โœโฃโœ“โœ•โœฒโœคโชโœฌโœ”โœ’โ˜…โœงโœชโœฉโœ›โœ•โœฒโœคโœ™โœค โฅโœ‘โœคโ„โ– โ„โžˆโœœโœŸPโœฑโœธโœขโ‡โœ’rโคโœ“โœขโ‡โœ—โœปโคโœ“โœงโœœโœโœณโณโ€โœงโœฝโœ’โ˜…โœโœ”โœโœฒโœ•โœฎโœโ™ฅโฅโขโคโ€โœขโœฝโœคโ˜…โœคโœปโฅโœ”โœ’โœ™โœ•โœŽโฃโ†โœขโโœฉโ‹โœงโœฝโœโƒโœฑโœœโœ•โœ›โœ’โœ™โœšโœœโœ•โœฒโœโœ‘โœฉโ‹โœ•โ˜โโœชโœ• โพ โœ“โœ”โ‰โœ“โ‘งโž€โฟโตโœฌโœฎโœงโณโฅโœ‘โœ’โœ โโœชโœ•โœฒโœคโชโœฌโœ”โœ’โ˜…โœงโœชโœฉโœ›โœ•โœฒโœคโœ™โœค โฅโœ‘โœคโ‘ฅ โ– 

โ†•โž‰ โœŸPโœฑโ–ฒโœขโœœโœ’โœปโคโ†โœขโœธโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโ‘โณโœฎโœงโœœโœ’โœ™โœโœ”โœโœฒโœ•โ–ผโœขโ–ฒโœฑโœœโœ•โœฒโœฉโž‹โžŠโœดโžŒโœ›โž„โŠโž…โœ—โžโโœ•โ‹โœ—โœคโžŠโงโžŽโžโžโœ”โ‰โœ‘โ——โ—†โœขโœฐโœฏโž’โž‘โœ›โœฏโœฐโœ•โœถโคโ†โโœชโœโœฒโœ•โ–ผโœขโœฐโœโ‹โœ—โ˜…โœโซโœค โฅโขโคโœ“โœฑ โคโœ–โœ•โโœฌโ€โœขโ‡โœ’โœคโž‚โ‚โœขโ——โž“โฉโœ•โ‹โœ— โœงโ™โœ•โœ โž“โœชโโœชโœ•โ โœพโœฟโœพโ–ฒโžโ…โโœ”โœขโ‡โœโœ‘โœคโœŽโฃโœ“โœ•โœฟโœฉโœฒโœขโœœโโœชโœ’โœ™โœ•โœฟโโ˜Žโฅโ‘โœฏโœฐโœงโณโฅโœ”โœฑโœฝโœ•โœ›โœฏโœฐโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โœถโœดโšโœ’โœ™โœงโœธโœทโœนโœโขโคโœ–โœ•โœฒโœโœญโœบโœปโœ’โœฃโœขโœœโœฉโœผโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโœ”โœโœ‘โœขโณโคโœ–โœ’โœ™โœ•โœœโ‰โœ›โœ—โœฟโœโœฅโœฌโ€โœ•โœตโฅโœชโœ—โœนโœขโกโฅโœ‘โœคโœ™โœค โคโœฎโœโœ›โœฑโœฝโœงโ˜Žโœโฆโฅโœ‘โœ•โœ›โœ’ โฃโœ“โœ•โœฒโœคโœถโœ—โœ™โœ’โœ™โœขโ–ฒโœฑโœธโœขโกโฅโœ”โฏโœฐโโœชโœ•โ‘จโœ”โœ•โž”โž“โœœโœ•โœ•โฃโœ‰โœ•โ‹โœ—โโโœชโœ•โœ‡โฃโœ“โœขโฉโดโชโœ’โœ™โœขโœฝโโœชโœ•โœ•โฃโˆโฃโœ“โœ•โฉโ โ˜…โœฝโ‘ฆโœฒโžโœโœโ™ฅโฅโขโคโตโœขโœœโœคโœ™โœค โฅโœ”โœ’โœ™โœ•โœถโฃโ†โœขโ‘โœฉโœ›โœงโœœโœโƒโœฑโœœโœ•โœฒโœ’โ˜…โœšโœฝโœ•โœ›โœโœ‘โœฉโœ›โœ•โโโœชโœ• โพ โœ“โœ”โ‰โœ“โ‘งโž€โฟโ™โœฌโ€โœงโฆโฅโœ”โœ’ โ‘ฅโฃโ†’ โž„โžƒโžฃโœธโ™ โ˜…โž’โ›โž โผ โž„โฆโž”โœผโ‰ โœ—โœฟโœโขโœฌโœฎโœ•โœ•โฅโœชโœ—โœขโกโฅโœ‘โœคโœ™โœคโœปโคโ€โœบโฒโœขโณโคโœ–โœ’โœ™โœ•โโœ’โ˜…โœโœ›โœบโœปโœโœ›โœ’โœ™โœ•โœ›โœโœ‘โœฉโœ›โœ•โโ– โœญโ‘ฃโœฃโคโœ“โœ•โœฒโœคโœปโคโœ“โœ•โœ•โฃโ†โœคโœฆโฅ โคโ…โœ•โ‹โœ—โœŽโงโƒโ™ โœฆโ‰โ…โ โž‡โœ‚โœ“โ–ฒโžโกโ‰โ†”โž™โ†•โกโฃโœ“โœซโœ”โœ•โœณโโœ–โ‘ง โœพโžœโž›โˆโžโ—†โโœชโœ โœ†โœ‘โœโขโคโœ–โœ—โœ„โœโœชโœฌโœฎโœงโณโฅโœ”โœ’โšโœ—โ˜…โœงโฆโฅโœชโœ— โ‘ฅโžโ†’ โ†’ โžฃโœชโ†” โ†• โœขโ–ฒโœฑโœœโœ•โˆโœฉโ˜Žโžˆโงโž…โœโž โผ โž„ โฅโœ”โœโœ”โœ•โ‡โคโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโณโฃโœ–โœ•โœฟโœ’โ˜…โœ•โœตโฃโœ“โœขโ‡โœ—โœปโคโœ“โœฑโœœโœ•โœฟโœขโณโฅโ‘โœฏโœฐโœงโฆโฅโœ”โœฑโœœโœ•โœฒโœฏโœณโœ•โœฒโœโœ˜โœ—

โœดโšโœ’โ˜…โœงโœธโœทโœนโœโขโคโœ“โœ•โœ›โœโขโœบโœปโœ’โœ™โœขโœฝโœฉโœผโœ—โœปโคโœ“โœงโœœโœโœ‘โœโœ‘โœขโกโคโœ“โœ’โ˜…โœ•โœตโœ•โœ›โœโฉโฅโœชโœ—โœปโคโˆโฃโœณโคโ†โœคโœ™โœขโ‡โœโœ˜โœ—โ‡โฅโœ‘โœโœ”โœ•โ™ฃโคโœ–โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœšโœœโœ’โœฃโœขโœธโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโขโœฌโœ‘โœขโ‡โœ’โ‚โœฌโœ‘โœขโœœโœ’โœฆโœ—rโคโœ–โœ•โˆโœคโœ›โ‰ โœ™โœโฃโˆโฃโœ–โœ•โœฐโœฏโœฐโœงโœœโœโœ˜โœ—โœ™โœ’โ˜…โœ•โซโœ•โœ›โœโ˜›โœฌโขโฃโœณโฅโ€โœคโ‡โœโ™ฅโฅโœ”โœ•โœณโœฌโœฎโœงโณโฅโœ”โœ’โž„โžžโž… โ†•t โœ•โœ›โœ—โ™โœฌโ€โœงโฆโฅโœ”โœ’ โ‘ฅโžโ†’ โž„โžƒโžฃโœธโ™ โœฆโž’โฑโž โผ โž„โœ‡โž”โšโœฉโœ›โœ•โ‹โœ—โœฆโœ—โœ™โœ• โคโœ–โœโœ˜โœ—โœ™โœโœ›โœšโœœโœ’โœฃโœขโกโฃโœ“โœ•โ‚โœ•โœฒโœคโœฆโœ—โœฎโฃโœณโคโœ“โœฏโ™ฃโคโญโœ—โœ™โœ•โ–ผโโœชโœ•โœฒโœคโœนโœคโ˜…โœงโœœโœฏโœฐโœฏโœฐโœ•โœฒโœคโœนโโœชโœ•โƒrโœฎโคโœ–โœ•โœฒโœฏโœฐโœขโœœโœโœ”โœ โพ โœ“โœ‘โ‰โœ–โ‘งโ——โฟโœฃโ‰โ——โŠโœ•โœ โœฌโœ‘โœ’โœปโคโœ“โœโœ‘โœฉ โคโœ“โœฌโœ‘โœขโณโฃโœฝโโœชโœโœ›โœบโฒโœขโกโฅโœชโœ—โตโโœชโœ•โœถโœฉโœ›โœ•โœฒโœคโŠโœฌโœฎโœงโณโคโœ“โœโœ˜โœ—โœ™โœคโœ‰โโœชโœ•โœ โœฑ โฅโœ”โœ•โœ โœ—โ˜…โœ’โœฃโœขโœธโ›โ–โœ•โˆโœฉโœผโœ—โ˜…โœงโœฝโœ’โœปโคโœ“โœ•โœ•โฃโ†โœค โพ โœโฆโฅโœˆโคโœ˜โœคโœฒโ— โœขโž โžŸโœฎโœ’โœฃโœขโ‡โœโ€โœฉโœฃโœซโขโคโœ“โœคโœ™โœคโ˜…โœ•โœ›โœโœ˜โœ—โ—†โœฉโ‹โœ•โœฒโœ’โœฆโœ—โœ™โœ•โœฒโœคโ—†โโœ”โœ•โœถโœฉโ‹โœงโœฝโœโœ‘โโ˜Žโคโœ–โœ—โœปโคโœ“โœงโœœโœโœ‘โœคโโ…โ— โœขโœœโโœ”โœขโœœโœฌโœชโœ—โœ™โœขโœœโณโขโคโœณโฃโˆโคโœ–โœ—โ˜…โœโโโœชโœ•โœฒโœคโœŽโคโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโœœโœโœฝโœ—โœฃโœคโœˆโฟโชโœ•โœฒโœคโœฆโœ—โœŽโฃโกโ— โคโœ–โœฏโœฐโœฌโœฎโœงโœฝโœคโœ™โœค โคโœ“โณโขโคโˆโฃโœณโคโœ–โœ—โ˜…โœโโโœ”โœขโ‡โœโ€โœคโœฃโฃโ†โœขโซโœฌโขโฃโœณโฅโœ‘โœฌโœ‘โœขโ‡โœ’โ˜…โœ—โ˜โโœ”โœ•โœฒโœคโ˜โœฉโœ›โœขโœฝโœคโšโโœ”โœ•โ‚โœฉโœฒโœขโกโฃโ†โœฉ โฅโขโฃโœ“โœ•โœ›โœ’โšโœโœ”โœ•โโœคโœฆโœ•โœฒโœ’โœ™โœขโณโคโญโœ— โœŸPโœฉโœ›โœ•โœโ™ฅโฅโœ”โœ• โฃโœโ— โœ•โœฒโœคโ˜…โœฌโ€โœโœฒโœ’โœ™โœขโœœโœโœ‘โœฉโ‹โœ•โโโœชโœ• โฃโกโ— โคโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœšโœœโœ’โœฃโœขโกโฃโœ“โœ•โœœโ‰

โ™โœฎโšโฑโฏโฒโšโžขโžก โจโฌโฉโ˜Žโญโœ‚โชโดโซโœโตโ›โชโโœโ˜Žโžคโžฅโ™ฆโž™โญโœ‚โชโœโญโฒโ™ฆโ™ฃโซโดโžฆโœœโชโœโžโ–ผโžงโžจโญโฒโžคโ˜Žโกโฆโกโฆโตโ›โžโœ•โžฉโฑโ——โฃโœ˜โœ•โˆโœคโ–โœ—โ„โณโขโคโœ“โœ•โœ›โœโœณโœฉโ‹โœงโœฝโœโœ”โœ โฅโœ‡โœโ™ฅโฅโœ”โœ•โœŽโฃโœโ— โœงโœœโœโซโœฌโ€โœ•โœตโฅโœชโœ—โชโœฉโ‹โœงโœœโœโ€โœคโ–โœ—โœ™โœ’โœปโฅโขโคโœ“โœ’โœ™โœ• โฅโœ”โœโœ”โœ•โœŽโคโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโณโฃโœ–โœ•โœถโœ’โ˜…โœ•โœตโฃโœ“โœขโ‡โœ—โœปโคโœ“โœฑโœœโœ•โœถโ– โœšโฅโœ”โœโœณโœฌโœ”โœ’โ˜…โœงโœชโœฉโœ›โœ•โœฒโœคโœ™โœค โฅโœ‘โœคโœ‚โžซโโœขโกโฅโ€โœคโ˜…โœคโœปโคโœ–โœ•โœฒโœโ–ผโœฌโœฎโœงโณโฅโœ”โœ’

โโœชโœ•โœฒโœค โคโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœšโœœโœ’โœฃโœขโ‡โœโœ˜โœ—โœ™โœคโโโœชโœโœ›โœ—โ˜…โœ•โœ›โœ’โœ™โœฏโ™ฃโคโœ–โœโœˆโคโœ“โœคโœฆโœ—โ˜…โœ•โˆโœค โพ โœฑโœœโœงโฆโคโœ–โœ’โœฐโ โ‘ฅโœ‚โœ“โœ›โœโจโ‘ฆโžœโž‡โˆโžโœ โœ•โœ›โœ— โฃโœ“โœ•โœ•โฅโœ‘โœ’โœ™โœคโโœ’โœ™โœโ‹โœบโœปโœโœฒโœ’โ˜…โœ•โœฒโœโœ‘โœฉโ‹โœ•โˆโœคโœˆโฟโ‹โ‰โŠโ‘ฃโœถโœ•โœ›โœ—โœฆโœ—โœ™โœ• โคโœ–โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœšโœœโœ’โœฃโœขโกโฃโœ“โœ•โœณโโขโคโญโœ—โœ™โœ•โœฅโโœชโœ•โœฐโฃโœ›โคโœ–โœ•โœฒโœโœ”โœ•โœ›โœ’โœฉโ‹โœงโžฏโžญโœโœโœ‘โœฉโœ•โคโœ“โโœ”โœ•โœ โโœ”โœขโ‡โœโ€โœคโœŸโฃโœ“โœ•โšโœฉโœฒโœขโœœโœคโจโโ˜Žโฅโœตโœฏโœฐโœงโณโฅโœ‘โœฑโœœโœ•โœ›โœฏโœฐโœ•โœฒโœโœฝโœ—โตโœดโšโœ’โ˜…โœงโœธโœทโœนโœโขโคโœ“โœ•โœ›โœโโœงโœฝโœ’โœ™โโขโคโœ–โœโœ‘โœขโณโคโœ–โœ’โœ™โœ•โชโœขโ–ฒโœฑโœœโœ•โˆโœฉ โฃโกโ— โคโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโณโฃโœ–โœ•โœถโโœชโœ•โœถโฑPโœ—โœˆโžฒโœŽโœ•โœตโฃโœณโฃโœ“โœ•โœโœŸPโœฏโž’โž‘โœ›โœฏโœฐโœ•โœ โœฌโœฎโœงโณโฅโœ”โœฑโœธโœขโœœโœโœฝโœ—โž‘โ‹โœ—โœ™โœ’โ˜…โœ•โšโœฌโ€โœ•โœฒโœ’โœˆโžณโœ•โฅโœ”โœ•โœนโœฉโ‹โœงโœฝโœฏโœณโœฏโœฐโœ•โœ—โฃโ†โœขโœฟโœ’โœ™โœ•โœฒโœคโœฆโœ—โ˜…โœ’rโคโ†โœฉโœผโœ—โœปโคโœ“โœงโœœโœโœณโœขโกโฅโœชโฏโœถโคโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœšโœœโœ’โœฃโœขโ‡โœโœ˜โœ—โœ™โœคโœ‰โœฌโœ”โœ’โœ™โœโœ›โœฑ โคโ†โœค โคโœ“โณโขโฃโœ“โœ•โœฒโœคโตโโœชโœ•โœ—โฃโœโ— โคโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโณโฃโœ–โœ•โ˜โโœชโœ•โ™โœโƒโฅโœœโœงโœฝโœซโœ”โœงโœœโœ’โœ™โœงโœชโโœญโโœ“โ‘ง โœพ โœพโœ–โœโœชโ‘งโœฒร•โ˜Žโ˜…โ–ฒโžโกโ‰โž‚โœฟโœขโœœโœโœ‘โœคโœœโฃโœ–โœ•โ˜โœฉโœ›โœขโœฝโœคโจโœดโšโœ’โœ™โœงโœธโœทโœนโœโขโคโœ–โœ•โœฒโœโโœบโœปโœ’โœฃโœขโœœโœฉโœผโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโœ”โœโœ‘โœขโณโคโœ–โœ’โœ™โœ•โชโœ•โ‹โœ—โตโœฌโขโฃโˆโฅโœ‘โœคโœ‰โœšโœœโœโœฒโœโœ”โœโœ›โœ’โœฃโœขโกโฃโœ“โœ•โœ›โœฏโœฐโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โจโโœ‘โœขโ‡โœโœ‘โœคโœ“โฃโœ“โœ•โšโœฉโœฒโœขโœœโœคโœ‰โโœชโœ•โœฒโœคโจโœฌโœ”โœ’โœ™โœงโƒโœฉโœ›โœ•โœฒโœคโœ™โœค โฅโ€โœคโจโโœชโœ• โ˜žโ„โœงโณโฃโœ–โœ—โ˜…โœ•โœฒโœ’โ˜…โœ’โœฃโœขโœนโœงโœฝโœโœฌโ€โœ•โœตโฅโœชโœ—โšโโœ”โœโœโœ†โœ‘โœโขโคโœ“โœ’ โฅโœ‘โœโœ”โœ•โœšโคโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโณโฃโœ–โœ•โ™โโœ”โœ•โ‚โœโƒโฅโœฝโœงโœœโœซโœ”โœงโœฝโœ’โ˜…โœงโœชโโ…โ‰โœฝโ‘ฃโœถโœ•โœ›โœ—โœฆโœ—โ˜…โœ•โ‚โœฉโ‹โœงโœฝโœโœ‘โœคโ–โœ—โœ™โœ’โœปโฅโ€โœฉโœผโœ—โœปโคโœ“โœงโœœโœโœฐโœบโœปโœ•โœฒโœ’โœ™โœขโœถโฃโœโ— โœงโœœโณโœชโ›โ–โœ•โœ›โœ—โœถโโ˜Žโฅโœฅโœฌโ€โœขโ‡โœ’โœฃโœขโ‡โœšโœœโœ’โœฃโœขโ‡โœฌโœ‘โœซโœ”โœ•โ˜›โœ“โœ”โ‰ โœพโœ”โ‰โœ‚โœกโœŽโœงโณโฅโœ‘โœคโœฑโœœโœ•โœฒโœ’โ˜…โœ’โœ™โœงโœœโœโœ‘โœคโœ โœโœ›โœšโœ˜โœขโกโฃโœ“โœ•โœ›โœฏโœฐโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โœŽโœโ™ฅโฅโŠโ— โคโˆโฃโœฎโœ•โœ›โฏโ˜Žโคโœ“โœคโœฆโœ—โ˜…โœ•โ‚โœ•โœ›โœโฉโœบโฒโœขโกโคโœ–โœ—โœนโโœ”โœ•โœ•โฅโœชโฏโœฅโœฌโœ”โœ’rโคโœ“โœโœ‘โœฉ โคโœ“โœฌโœ‘โœขโกโฃโœ“โœ•โœฒโœคโœฃโคโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโณโฃโœ–โœ•โˆโœคโœถโโœชโœ•โœฟโœ—โ›โž“โƒโœฌโ€โœ•โโฃโœ›โคโœ“โœ•โœ›โœโœ”โœ•โœฒโœ’โœฅโœโฆโฅโœˆโคโžŠโœคโœฒโ— โœโ‹โœ—โ˜…โœ•โœฒโœโœ‘โโœชโœ•โœฒโœโœฝโœ—โœฉโœฃโœซโœ‘โœขโœœโœฉโœ•โฅโœ”โœโœ”โœ•โœฟโœ•โœ›โœ โฅโœ‘โœโœ”โœ• โคโœ–โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœšโœœโœ’โœฃโœขโกโฃโœ“โœ•โœŽโโœชโœ•โ‚โœ—โ›โž“โƒโœฌโ€โœ•โโœโƒโฅโœฝโœงโœœโœซโœ”โœงโœฝโœ’โ˜…โœงโœชโโœญโโ˜ŽโคโžตโžŸโœฎโœโœฒโœ’โ˜…โœ•โœฒโœโœ˜โœ—โ˜…โœ•โœœโ‰โœ›โœกโœŽโœงโณโฅโœ‘โœคโšโœ’โœ™โœ•โœฒโœคโœฆโœ—โ˜…โœ’โœ™โœ•โœ•โคโœ“โœโœ‘โโœชโœ’โœ™โœงโœœโœโœ‘โœค โฃโœโ— โœโ‹โœ—rโฅโœ‘โโœชโœ•โโ–  โฃโกโ— โฅโœ”โœโœ”โœ•โโโœชโœ•โ‚โœฉโœ›โœ•โœฒโœคโโœชโœ•โœ•โฅโœ”โฏโ˜žโคโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโณโฃโœ–โœ•โˆโœคโœโœโ™ฅโฅโœ”โœ•โ™โœโœ”โœงโฆโฅโœ‘โœคโ„โœโœ›โœ—โ˜…โœ•โœ›โœโ€โโœชโœ’โ˜…โœงโœฝโœโœ‘โœคโœ โœขโณโฅโœชโฏโœฐโœฌโœ”โœ’โ˜…โœงโœชโœฉโœ›โœ•โœฒโœคโœ™โœค โฅโœ‘โœคโœ โโœชโœ•โ™โดโตโœงโณโคโ†โœคโ˜…โœคโ˜…โœงโœœโœโœญโ‘จโœ“โคโˆโฃโญโœ—โœ™โœ’โ˜…โœโˆโœคโœ›โ‰โ˜Žโœ™โœโฃโœณโฃโœ“โœ•โœฒโœคโšโœคโœฒโ— โœงโœฝโณโœชโœ—โœปโคโœ“โœ•โœ›โœโœ”โœโœ‘โœ•โœ›โœโœ˜โœ—โœถโ– โโœฌโœ‘โœขโœœโœ’โœฆโœ—rโคโœ–โœ’โโœชโœ• โฃโœ“โœขโœฐโœ’โœ™โœ•โœ›โœฌโœ‘โœ’โ˜…โœโˆโœคโœฆโœ•โœฒโœโœฝโœ—โœฃโœขโœธโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโฉโโœชโœ•โ–ผโ——โŠโœโœฒโœฑโฆโž“โ˜ŽโœŸ โœงโœฎโคโ†โโœ”โœขโœ‘โ‰โ——โŠโœ•โœฒโœคโ™โœฌโœ”โœ’โœปโคโœ“โœโœ‘โœฉโœ•โคโœ–โœฌโœ‘โœขโณโฅโœชโฏโ‘โœขโณโฅโœชโœ—โ˜…โœ•โœตโฅโœ”โœ’โœ™โœคโœนโœขโ——โž“โœ˜โœขโ‡โœโœ˜โœ—โœนโœค โฅโขโคโœ“โœฑ โคโ—†โœฉโ‹โœ•โœ›โœ—โœฆโœ—โœ™โœ• โคโœ“โโœชโœโœฒโœ•โ–ผโœคโœฆโœงโœฝโœโœ˜โœ—โƒsโœโž‚โœŽโœ•โˆโœฉโ‹โœ’โœ™โœ•โœ•โฅโœ‘โœคโ˜…โœ•โ‹โœบโœปโœงโœฝโœโœ‘โโ‘โœ•โ‹โœ—โ˜ŽโžธโœŽโœคโœฆโœ—โณโžบโœ‘โœโœ”โœ•โœ•โฃโœถโ โ™ฅโœšโ˜…โœšโœโœ”โ™ฅโœœโ™ฅโ‡โžโœœโœŸโœ โœขโ–ฒโœฑโœœโœ•โˆโœฉโฅโœ”โœโ–ผโœ—โœ™โœ’โœ™โœขโ–ฒโœฑโœธโœขโณโคโœณโฃโœ˜โณโœ‘โœขโœœโœคโ˜…โœโ˜โœค โฅโœ”โœ’ โฃโœ“โœ•โœฒโœคโœ‰โœงโœœโœฌโœฎโœโœ›โœ’โœฃโœขโœธโœ—โœ™โœ•โœ•โฅโœ”โœ’โœฃโœคโœ‘โฃโˆโคโœ“โœโœ”โœโœฒโœขโณโคโœ–โœ’โœ™โœ•โœฒโœคโตโโœชโœ•โšโœโœ”โœงโžปโž“โœฝโœขโณโฅโœถโฃโœ“โœ•โœถโœโœ”โœงโžปโž“โœ˜โœขโกโฅโœตโโœ”โœ•โœฃโฃโ†โœขโœŽโœ’โœ™โœ•โœ›โœฌโœ‘โœ’โ˜…โœโˆโœคโœฆโœ•โœฒโœโœฝโœ—โœฃโœขโœธโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโœตโโœชโœ•โ˜โ——โŠโœโœ›โœฑโฆโž“โœฉโœŸ โœงโœฎโคโ†โโœ”โœขโ˜›โœŸ

โœ•โ‹โœ—โœถโคโœšโฃโžตโžผโœ˜โœค โœโœฝrโขโœขโž โžฝโœฒโœ•โ‹โœ—โœ โœ•โœ›โœ— โœกโœฎโฅโœ‘โœขโณโฃโœ“โœขโœœโœ’โœฆโœ—โ™โ โ˜…โˆโžโžŠโœขโ–ฒโœฑโœœโœ•โœฒโœฉโœŽโฅโœ”โœโœฅโœ—โ˜…โœ’โœฃโœขโ–ฒโœฑโ–ฒโœขโณโคโœณโฃโœชโณโ€โœขโœœโœคโ˜…โœโ™โœค โฅโœ”โœ’ โฃโœ–โœ•โˆโœคโชโœโœ”โœงโžปโž“โœ˜โœขโกโฅโœชโฏโœตโœ•โœตโฅโœชโฏโœšโœŸโกโœฏโž’โž‘โœฒโœฏโœณโœ•โˆโœคโœ›โ‰โ˜Žโœกโ™โœงโณโฅโ€โœคโชโœฑโœœโœ•โœฒโœ’โ˜…โœ’โœ™โœงโœœโœโ€โœคโœ‰โโœ‘โœขโ‡โœโœ‘โœคโฃโœ–โœ•โˆโœคโ‚โœฌโœ”โœ’โ˜…โœงโœชโœฉโœฃโœซโœ‘โœขโณโคโœ–โœโœ‘โœ•โœฒโœคโœฟโœฌโœ‘โœขโ‡โœ’โ˜…โœ—โœปโคโœ“โœ•โœฒโœค โœโ™ฅโฅโœ”โœ•โ™ฃโฃโœ–โœ•โœณโœ—โœ™โœ’โœ™โœขโ–ฒโœฑโœธโœขโกโคโˆโฃโตโœค โฅโœ”โœ’ โฃโœ“โœ•โœฒโœคโโœงโœฝโœฌโ€โœโœฒโœ’โœ™โœขโ‡โœ—โ˜…โœ•โœ•โฅโœ‘โœ’โœ™โœคโœฟโœ•โœฒโœคโœฆโœ—โโœฌโขโฃโœณโฅโ€โœคโโœฉโ‹โœงโœœโœโœ”โœบโœปโœงโœœโœ’โ˜…โœ—โœ™โœขโ‡โณโœˆโฃโœ–โœ•โ˜žโœโฆโฅโ€โœขโ‡โœโœ‘โโฆโœงโœœโœโœ‡โœ—โ˜…โœ’โœฃโœขโ–ฒโœฑโ–ฒโœขโณโคโœณโฃโˆโฃโœ“โœ•โœขโ–ฒโœฑโœœโœ•โˆโœฉโœšโฃโœ“โœ•โœฒโœคโ˜โดโชโœ’โœ™โœงโœชโœฉโ‹โœ•โˆโœคโ˜…โœคโœปโฅโœ‘โœคโœนโโœชโœ•โโดโตโœงโณโคโ†โœคโ˜…โœคโ˜…โœงโœœโœโฌโ‘จโœ“โคโœณโฃโœ–โœ—โ˜…โœ’โœ™โœโœฒโœคโ˜โœ•โœ›โœ—โœฎโฃโœ–โœ•โˆโœคโ˜โœฌโœ”โœ’โœ™โœงโƒโœฉโœ›โœ•โœฒโœคโœ™โœค โฅโ€โœคโœนโโœชโœ•โ‚โœ—โ›โž“โœ˜โœฌโœฎโœ• โ˜žโ„โœงโณโฃโœ–โœ—โ˜…โœ•โœฒโœ’โ˜…โœ’โœฃโœขโœ”โ‰

Page 120: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŒโœ๏ฟฝ โœ‚โœ„๏ฟฝโงโœšโœ•โ˜›โœฃโœกโ˜Žโœ˜โโœ“โœ†โ˜Žโœคโ˜›โœžโœโœ™โœ‘โœฎโœกโœ โœŸ โœ“โ˜›โœกโขโ˜›โžจโœ–โœ’โ˜›โ–ผโœŸ โœ„โœ โ˜Žโ˜Žโœ„โœŒโ˜žโ– โœ„ โ‘งโœฒร•โœฝโ‘ฅโ™โœฎโšโฑโฏโฒโšโœŽโœ โจ โžคโœคโซโฆโชโœโžโขโกโœ‘โœโœฃโคโœฃโตโฑโžโขโกโœ’โœ โœ“ โปโ—†โน โž„โœ•โœ” โ†•tโœ—โœ–โœ™โœ˜ โถโœ›โœšโœ‘โœœ โนโ–ฒโทโœฃโœขโœ”โทโœ”โปโ˜›โœคโœฆโœฅ โถโ˜…โœง โœ˜โœชโœฉ โœš โœ–โœฌโœซ โทโœ„โœญ โถโœฎโœœโธโถโœฎโœœโœฐโœฏ โปโจโท โœ˜ โทโœชโน โœœโœžโœฑโœณโœฒโœ—โœดโœญโถโœฃโœœ โœฅ โถโœถโœต โทโœชโนโœธโœท โœ“โœบโœน โท โœ– โœตโœปโœ“ โป โœœโœฝโœผโœชโœนโœฑโœฟโœพโœบโ€โœ›โœดโ‚โ โž‚โ‚โœขโ‡โœโœ‘โœคโšโœฉโ‹โœ•โˆโœคโชโœฌโœ‘โœขโœœโœฌโขโคโœ–โœ•โœฒโœ’โœ™โœคโœ„โœโณโฃโกโ— โคโœ–โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœšโœœโœ’โœฃโœขโกโฃโœ“โœ•โ™โœ’โœ™โœ•โœ•โฃโ†โœขโœธโœ—โœปโคโœ“โœฑโœœโœ•โ™โœขโณโฅโœฅโœฏโœฐโœงโณโฅโœ”โœฑโœฝโœ•โœ›โœฏโœฐโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โœถโœดโšโœ’โœ™โœงโœธโœทโœนโœโขโคโœ“โœ•โœ›โœโœณโœบโœปโœ’โœ™โœขโœฝโœฉโœผโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโœ”โœโœ‘โœขโกโคโœ“โœ’โœ™โœ•โœนโœ•โœฒโœคโœฆโœ—โœถโœงโœœโณโœ”โœ—โ˜…โœ•โœ›โœ โฅโœ”โœ•โœ•โœ›โœqโœขโ‡โœฌโœ”โœฌโœ‘โœ’โ˜…โœงโœชโœฉโœฃโœซโœ‘โœขโœœโœโœฝโœ— โถ โท โœฌโœ‘โœขโœœโœ’ โฅโœ”โœโœ”โœ•โœญโœค โฅโœˆโคโญโœ—โœ™โœ•โœฐโโœ”โœ•โœฐโœคโ˜…โœ•โœ›โœฏโ™ฃโคโœ โœŸโกโœฏโœญโœขโœœโœ’โœฆโœ—rโคโœ–โœโœ”โœšโœ˜โœขโกโฃโœ“โœ•โœฒโœคโœฒโ‰โœฎโ——โœ โ— โคโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœšโœœโœ’โœฃโœขโกโฃโœ“โœ•โœตโœ•โœฒโœคโœฆโœ—โ–ผโœขโกโฃโœ“โœงโœœโœ’โœฃโœคโœฟโโœ”โœโœโœ†โœ‘โœโขโคโœ“โœ•โœฐโœฌโ€โœงโฆโฅโœ”โœ’โโœ—โ˜…โœงโฆโฅโœชโœ—โ˜…โœ•โœขโ‡โœฌโœ”โœฌโœ‘โœ’โ˜…โœงโ–ฒโฏโ˜Žโคโœ“โœฏโœฐโœขโ‡โœ—โœปโคโœ“โœงโœœโœโœฅโœ•โœ›โœ—โœฎโฃโœโ— โคโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโณโฃโœ–โœ•โ‚โœ’โ˜…โœ•โœตโฃโœ“โœขโ‡โœ—โœปโคโœ“โœฑโœœโœ•โœฒโœฏโœณโœ•โœฒโœโœ˜โœ—โœนโ–  โถ โท โœ•โœฒโœคโœฆโœ—โœนโœงโœœโณโœชโœ—โœ™โœ•โœ›โœ โฅโœ”โœ•โโœฌโœ‘โœขโœœโœ’โšโœฌโ€โœขโœœโœคโœ™โœคโ˜…โœขโœœโœšโœœโœ•โโ– โœ‡โฃโ†โœขโ˜žโฃโœณโคโœ“โœฏโ™ฃโคโญโœ—โœ™โœ•โœœโ‰โœ’โœ โœ“ โปโ—†โน โž„ โž… โ†•tโƒโœ–โ„โœ˜ โถโœฎโœšโ…โœœ โนโœธโทโœฃโœขโœ”โทโœ”โปโ†โœคโ‡โœฅ โถโ‰โˆ โป โœนโœ†โŠ โท โœน โœ–โ—โ‹ โป โถโœฎโœœโโœ’ โท โœšโ– โœผโ‘โโ–ผโ–ฒโ—†โˆ โป โœนโ˜›โŠ โท โœนโ–โœฑโœฟโ€โŠโพPโœดโ——โ โ——โ—†โœ•โœฒโœคโœญโœ—โœ™โœ’โœ™โœขโ–ฒโœฑโœธโœขโณโฅโœชโฏ โโœชโœ•โž‚โœšโฅโœ‘โœโœ‘โœฉโœ›โœขโœœโœโœ‡โœ•โ‹โœ—โโงโƒโ™ โ–โ‰โตโ โ˜…โœชโ‘ง โœโœœโ˜…โ‡ร•โœธโžโตโœ’โœ™โœ•โœ›โœฌโœ‘โœ’โœปโคโ†โœค โœโžŠโœฉโ‹โœงโœฝโœฏโœฐโœฌโขโฃโœ–โœโœ›โœ—โ˜…โœโˆโœคโœฟโœ•โœ›โœ—โโœขโœœโœฌโœ”โœฌโขโฃโˆโคโˆโœโ™ฅโฅโœ”โœโˆโœคโโ– โœงโฃโ†โœข โœ†โœ‘โœโ€โœขโ‡โœโœ‘โœฉโœ›โœ•โซโœฌโœ‘โœขโœœโœ’โœ™โ˜โœฟโฅโœชโœคโ˜…โœ•โœ›โœโœ‘โโœ‘โœขโกโฃ โœ โœงโœšโฅโ‘ โ โž›โœ‚โœ“โ–ฒโžโชโœ•โœ›โœ—โ‚โœ•โœฒโœโœฉโ‹โœงโฆโฃโœณโฃโ†โœขโ‡โณโœฎโœงโœœโœ’โœฃโœขโœธโœ—rโคโœ–โœงโœฝโœโซโœขโ–ฒโœฑโœœโœ•โˆโœฉโšโœโ˜Žโฅโขโฃโœ–โœ•โœฒโœฏ โโžพโ‘ฆโœธร•โ‡โžโ€โœคโœฆโœงโœฝโœโœ˜โœ—โตโณโ€โœขโœœโœคโ˜…โœโœฒโœคโ„โœคโœปโฅโœ”โœ’ โฃโœ–โœ•โˆโœคโชโœคโ˜…โœงโœœโœฏโœฐโœฏโœฐโœ•โœฒโœคโ„โโœชโœ•โ˜โœ—โ›โž“โƒโœฌโœฎโœ•โœฒโœคโœžrโœฅโคโœ“โœ•โœ›โœฏโœญโœขโœœโœโœ”โœโœฐโœ•โœ›โœโœณโœ—โ˜…โœ•โœฒโœ’โ˜…โœฏโœฐโœ•โ™โโœชโœ•โœนโœฌโœ”โœ’โœ™โœงโœชโโ˜Žโฅโขโคโœ–โœ—โœ™โœคโโœชโœ•โโฃโœ›โคโœ“โœฉโœฃโฅโœผsโ‘ฃโœถโœงโœœโœโœ‘โœคโœปโคโœ“โโœ”โœโœ›โœ’โœ™โœงโœœโœโœ‘โœคโ‚โ™โœ‰โž’โฏโšโœฃโฑโณโฒโœฆโž”โฉโจโžโž„โธโž’โžขโžโž โž„ โผ โžโ–ฒโž”โญโฌ โฒ โผ โšโœ›โฌ t โท โœ‡โ™ฃt โœ•โœ›โœ—โœฎโฃโœโ— โœ•โœฒโœคโ˜…โœฌโœ‘โœขโœœโœฉโœ›โœ•โโœค โฅโขโคโœ“โœฑโœธโœขโ‡โœโœ˜โœ—โช t โซ โจโตโดโœโ›โœŽโœฏโœฐโœ•โœฒโœคโœปโฅโœ”โœ’โœ™โœขโœœโณโขโฃโœ“โœ•โœŽโœ—โœ™โœ•โœ•โฃโˆโฃโœ–โœ•โœถโœโ™ฅโฅโœ”โœ•โโฌ โ›โžโฌ t โซ โจโœถโกPโขโคโฃโœ„โ›โตโž’โฏโšโ–ฒโž”โณโ›โตโž’โœชโฒโœฆโž”โณโ™โœ‰โž’โฏโšโœฃโฑโณโฒโœฆโž”โณโœโœฎโšโ– โœโœฃโฒโ‚โœ”โœžโฅโœžโฆโง โœโฌโœขโœฐโœขโณโฃโœ–โœงโœฝโœ’โœ™โœคโœŽโฃโœ“โœ•โ‡โฃโœ“โœ•โœ›โœฏโœฐโœฏโœฐโœ•โ–ผโœคโœปโฅโขโคโœ–โœฑโœธโœขโœœโœโœฝโœ—โ– sโ™ โœ โถ โœทโœฐโœท โถโ™ฃโผโŠโฝโœโพโœฐโ™ฅโ™ฆโœฑโœฟโ€โŠโพPโœดโ‚โ™ โœถโถ โœทโ…โœท โถโ™ฃโœพโŠโฝโฒโพโœ„qโœ‘rโœฎโž…sโ› โžโ‹โžƒโœ‰t โžˆโ‹โž‰โ‡โž†โœ‘โžƒโœปโœˆโœฝโž„โœธโž†โœ”โžˆ โช t โซ โž„โœธโž‘โœ–โž‰โ‡โž‚โœฃโžˆโ‘ โœ‡โ‘กโ›โตโž’โฏโšโ–ฒโž”โณโœ โถ โทโ‘ข โžโœผโžˆโœผโžƒโ„โœˆ โžžโœชโ‘ฃ โž†โœ‘โž…โโžโœฃโž‰โœธโžŽโœณโžŽโœฐโž

โž›โ–ฒโž„โ‡โž‚โœผโž…โฒโž„Pโ‘คโœ›โž‘โœ–โžโ‘ฆโ‘ฅโ™โž„โœธโžœโƒโžˆโœฃโžˆโœผโž…โฒโžโ‹โž†โ€โž†โœฎโžโœณโžโœ™โžโœ›โž†โœ‘โžƒโกโž‚ โžž โžโœปโœˆโœฝโžโซโž›โ–ฒโž„โ‡โž‚โœผโž…โฒโž„โœธโž†โœฎโžโœฃโžโ—โฌ โ›โžโฌ t โซ โžโ‹โžƒโ˜โž‰โœธโž†qโž„โ‘จโ‘งโ‘ฉโทโถโณโกโธโ›โตโž’โฏโšโ–ฒโž”โนโœ โถโ„โทโ‘ขโทโบ โกโปtโ…โž’โฏโšโ–ฒโž”โณโœ โถโœฟโทโ‘ขโœฌโผ โจโœฆโœ”โœžโ›โœปโฑโœtโ†โž… โซ

โง โœโ‘ โโœชโœโพโฝโ€โœโœ„โฟโญโœ—โœญโœขโžโž€โœ“โœงโœœโœ’โœฃโœคโœฝโž‚โ—†โœฌโœฎโœงPโžƒโœ”โœ’โœปt โ†’ โช t โซ โž‚โœ†โž„โ–ฒโž’โ‘tโœชโž”โ‘กโจโ‡โž…โ– โž†Pโž‡โ——โžˆ โœ‡ โ›โตโž’โฏโšโ–ฒโž”โนโœ โถ โทโ‘ข โผ โ†•t โฌ โ›โžโฌ t โซPโž‰ โž‚โœ‰โœงโœœโœโ‘ โœฏโœณโœงโœฝโœโœ˜โœ—โ˜…โœ’โœ™โœ•โ‘ฆโžŠโœฎโžƒโœ”โœ•โ‘จโž€โกโ— โœ•โœฒโœคโ˜…โœฌโœ‘โœขโœœโœฉโœ›โœ•โœฑโœœโœ•โˆโœฉโœผโœ—โ˜…โœงโœฝโœ’โž‹โฟโœ“โœ•โญโž€โ–ผโžŒqโœ•โœ›โœโœ‘โœšโœœโœ•โœ›โœโ€โโœชโœ’โ˜…โœโ‚โœฌโœ‘โœขโœœโœ’โ‚โž€โœ–โœ•โˆโœคโœ‰โž„โ–ฒโž’โžtโœ”โž”โœ โœ•โˆโœคโ–โœ—โœŽโโœ”โœ•โœ›โœโœ‘โœคโ˜…โœ•โโโœ”โœขโ‡โœโœ‘โœคโžโžŽ t โž’โฏโžโœนโž”โ‹โ‰โ——โŠโœ•โโœฌโœ”โœ’โœ™โœงโœชโโœโžƒโœ„โฟโœ–โœ—โœนโโœ”โœ•โโฃโœžโฟโœ“โœฉโœฃโฅโœฅโœ•โˆโœคโ–โœ—โœŽโโœ”โœโพโฝโœ‘โœโœ„โฟโœŽโž‚โœ”โœฌโœฎโœงPโžƒโœ”โœ’โœ โ›โขโœ•โ‹โœ—โ‚tโฉโโœ”โœขโœœโœโœ‘โœค โช t โซ โœฌโœ‘โœขโœœโœ’โž‹sโž„โ–ฒโž’โฏโ›โ…โž”โœบโž‘โœ‰โž„โ–ฒโž’โžtโœ”โž”โž’โจโž“โž„โ–ฒโž’โœŽโ›โœ”โžŒโž”tโœชโž”โง โœqโœโ‹โœ—โ˜…โœ•โœฒโœโœ‘โโœพโœ•โœฒโœโœ‘โœคโณโžƒโœ—โฟโญโœ—โœ™โœ•โฉโœฉโ‹โœ•โœ›โœ—โœฆโœ—โ˜…โœ•โ™ฃโโœชโœโพโฝโ€โœโœ„โฟโญโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโธโ– โ†’โžƒโœ”โœโœ”โœ•โ‘โœฉโพโž€โ†โœขโœœโœคโœ™โœคโœฆโœ•โœญโœฌโœ„โž€โžฃโžƒโœ‘โœคโœปโž€โœ“โœขโœœโœ’โ˜…โœšโœฝโœ•โœฅโโœชโœ•โœฅโœฑโœธโœขโ‡โœ’โ—†โฟโœ“โœขโœœโณโœ„โž€โœ“โœ•โœฒโœคโโœขโžโž€โœ“โœโœฒโœขโ‡โœ—โ˜…โœงโœฃโฟโœ–โœ’โœ™โœ•โœฒโœคโœฒโ‰โŠโดโตโœงPโžƒโœ”โœ’โซโโœชโœโพโฝโœ‘โœโœ—โฟโœ–โœ’โž€โœโ— โฟโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขPโž€โœ–โœ•โœฐโโ…โ— โžƒโœ”โœqโœฌโœ”โœ’โ˜…โœงโœชโœฉโœ›โœ•โœฒโœคโœ™โœคโณโžƒโœ‘โœคโ„โดโœโ†”โ†โ†•โ‡โž™โ…โฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโœ โž โฝ โฆโœฃโž‚โ…โœงโœฝโœโ˜›โœฉโœ›โœงโœœโœโœ‘โœคโž‹โฟโ†โโดqโœ›โœ’โœ™โœ•โ„โžƒโœ‘โœโœ”โœ•โœญโœฌโœ‘โœขโ‡โœ’โ˜…โœ—โž‹โฟโœ–โœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโžโžœโ‘คโโœชโœ• โ‘จ โž› โฑโœ โž โฝ s โž› โจโปโฒ โ‘ฃ โœ”โฒ โ†• โœ”โžŸโžžโœฝโžžโญโžžโœ„โœ”โโฒโนโž โ‘กโจ โžโโœ•โ‹โœ—โ™โœงโœฝโœโ™ฃโโœชโœโญโฝโœ‘โœโœ„โฟโœ–โœ—โ„s

โžก โž’โœชโ†”sโฑโž‹โžœโ—†โž”โž’โจ โž  โœ‡ โ†•โ‘  โ‘ก โ‘ขโ‘คโ‘ฃ โ†” โ†•โ‘โžข โž‘ โ‘จ โถ โทโ†•โ‘โžขโœณโžคโœ›โžฅ โผ โถ โทโ†•โ‘โžข โฝโœ•โ‹โœ—โœนโœงโœœโœsโœขโ—โž€โœ“โœ•โโœ—โ˜…โœซโœ”โœโœฒโœงโœœโœ’โœˆqโœ›โœฏโœฐโœ•โ‚โœคโž‹โžƒโœ„โฟโœ“โœฑโœธโœขโ‡โœโœ˜โœ—โƒsโžฆโžจโžงโœ†โžฉ โœ“ โนโœธโžซโœ›โœท โถsโผโŠโฝโœโพโž”โ™ฅโพโœฑโœฟโ€โŠโพPโœด โžฆโžจโžงโœ†โžฉ โœ“ โนโœธโžซโœ›โœท โถโ†’โžญโŠโฝโœฟโžฏโœบqโž”rโžŠโž‰โ‡โž…โž‡โžƒโœฌโดโ– โ†” โ†• โž™โžฒโฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโž”โž โฝ โฆโ˜›โžœโœชโž†โœ‡โžโœฎโž‚โœ™โž‰โœฒโžโœฃโžโ‹โžˆโœ™โžˆโœผโžœโƒโžˆโ™ฃโœˆโ†โžณ โžœโœชโž†โ˜…โ‘คโœฃโž‰โœธโž†โ‘กโžโœผโžˆโกโžโœ‘โž„โœœโžโœฃโžโช โž’ โž› โฑโœ โžโ–ฒโž”โœณโžŒโนโœˆ โžžโฏโ‘ฃ โž†โœ‘โž…โžตโœˆโœฝโž„โœธโž†โœ”โžˆโ‚โžธโ–โžฅโœœโž โž‹โžบโœ โžโœ”โž„โœฒโžŸโœฝโžโœณโžฅโžโžปโœ˜โž โœฃโž™ โžก โžก โž’โฏโ†”sโฑโณโžœโ—†โž”โœตโžโœฃโž‰โ‡โž†โœ‘โž›โœธโžโ‹โž‚โœโžŸโœ˜โžโœปโœˆโœฝโž„โœธโž†โœ‘โžˆโฉโžŽ t โž’โฏโžโœนโž”โžจโžผโœ›โžœโœ‘โž„โœธโž†โ–ผโœˆโœฐโž‘โœ–โžโšโžโœ‘โž„โ–ฒโžˆโžจโœˆโœœโžโ–ผโž‘โœ–โž„โœณโžˆโœผโžœโœ—โ‘คโžฝโœˆโœธโž…โž‡โž›โˆโž…โ†โžˆโœผโž…โฒโž‰โœธโž†โžœ โžƒPโžโœ›โž†โœบโœˆโœญโž›โ–ฒโžโœ›โž‚โœฃโžˆโœปโžพ โžกโ†โžš โž„โœญโž‘โžพโž…โž‡โžŽโœณโž…โž‡โžƒโž‹โžโ„โœˆ โžžโœชโ‘ฃ โž†โœ‘โž…โž‡โžƒโšโžœโœชโž†โœฎโžโโž…โž‡โž†โ€โžƒ โžž โžŸโœœโž‚โ˜…โž„โœธโž‘โœ“โžโœปโžชโžนโžถโœ›โž˜โคโžดโนโžท โœ‡โ‘กโ›โตโž’โฏโšโ–ฒโž”โนโœ โถ โทโ‘ข โžกโœฅโœŽโœฆโ—†โžฌ โžฎโœโœซโœฎโœญโœ‚โœตโโœฐโœธโœฝโœดโœซโŠโ–โžปโ‚โ– โœญโฒโ โœฐโœธโโ…โœซโŠโœฒโœดโœซโœƒโžฑ โ—โƒโœฝโœธโ—โœ™โโœ’โ—

โž‚โœฟโœขโœœโœโœ‘โœคโœนโœฉโ‹โœ•โโœฌโœ‘โœขโœœโœ’โœ™โœขโœœโœšโœœโœ’โœฃโœขโ‡โœฌโœ”โœซโœ”โœ•โœฃโž‚โœœโœโœ”โœงโœฃโžƒโœ‘โœคโ˜โœขโžโž€โžฃโž€โœ–โœงโœฝโœโœ‘โœคโšโœฌโœ”โœ’โœ™โœโœฒโœคโ˜…โœ•โœ›โœโœ˜โœ—โ˜…โœ•โœฒโœ’โžโž€โ†โœขโซโœโœ”โœงโ‡โœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโ™ฃโโ…โ— โฟโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขPโž€โœ–โœ•โโœขโ‡โœโœ˜โœ—โž‹โฟโ†โœฉโพโฟโœ“โœฌโœ‘โœขโ‡โœ—โž‹โฟโœ“โœฑโœœโœ•โโโœชโœโœ›โœฑโœฝโœ•โญโž€โœ“โœงโœœโœฌโœ”โœฌโœฎโœโœ›โœ•โ‚โœฌโœ‘โœขโ‡โœ’โคโœ‰โž€โบโžผโœฝโœคโœฝโž‚โจrโขโœขโžœโžฝโœ›โœ•โœ›โœ—โœตโœ•โ‹โœ—โ‘กโ’โœ‰โžƒโœ‘โœขPโž€โœ“โœขโœœโœ’โœฆโœ—โฉโโฐโฎโˆโžโ˜โœฌโ€โœงโœฃโžƒโœ”โœ’โซโโœ”โœ•โœฒโœคโ–ผโœฌโœ‘โœ’โ˜…โœงโœชโœฉโ‹โœ•โˆโœคโ˜…โœคโž‹โžƒโœ‘โœคโ„โžซโโœขPโžƒโœ‘โœคโœ™โœคโณโฟโœ“โœ•โœ›โœโœ‘โœคโœฒโ‰โตโ‘ฃโœถโœ•โœ›โœ—โœฆโœ—โœ™โœ•โ‘โœฉโ‹โœงโœฝโœโœ‘โœคโœฆโœ—โ˜…โœ’โ—†โžƒโœ‘โœฉโœผโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโธโโœชโœ•รโž€โกโ— โฟโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขPโž€โœ–โœ•โœฅโœขโœฌโ€โœ•โœฒโœ’โ˜…โœฏโ‘กโฟโ†โœคโœตโโœชโœ•โฉโœฌโœ”โœ’โ˜…โœโˆโœคโœฆโœ•โœฒโœโœ˜โœ—โ˜…โœ•โœ›โœ’โœปโžƒโœ”โœโ‘ โœขโžโžƒโœ”โœ—โ˜…โœ’โœ™โœ•โœญโœฌโ€โœงโœฃโฟโœ–โœโœ˜โœ—โœณโโœ”โœ•โœฅโœฑโœ›โžƒโœ”โœ•โฉโœคโž‹โžƒโœ”โœ’โœปโž€โœ“โœ•โœญโœ—โ˜…โœ•โœฒโœฏโœฐโœฌโœ‘โœคโœปโž€โœ“โœงโœชโœฉโœ›โœขPโž€โœถโโœโžƒโœพโœฏโœฐโœงPโžƒโœ‘โœฑโœœโœ•โœ›โœฏโœฐโœ•โœฒโœโœฝโœ—โœณโœดโœถโœ’โœ™โœงโœธโœทโœนโœโœ„โฟโœ“โœ•โœ›โœโ˜›โœบโœปโœ’โœฃโœขโœœโœฉโ™ฆรโœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโœ”โœโ€โœขโžโฟโœ“โœ’โ˜…โœ•โœฝโ‰โ˜›ร‘โชโœโ‘คโœ•โœ โžŸโœฎโœ•โœ›โœ—โœฝโž‚โœถโ‘ฃโœถโœงPโžƒโœ”โœ—โž‹โฟโœ“โœร’โž‚โžตโ’โœ‰โžƒโœ‘โœขPโž€โœ“โœขโœœโœ’โœฆโœ—โœณโœ•โ‹โœ—โœฅtโ˜›โžƒโœ‘โโœชโœงโœœโœ’โฌโ ร“โžฏโž‡โˆโžโ™โœงโœฝโœโœ˜โœ—โœณโœงโœฝโณโœชโœ—โ˜…โœ•โœฒโœโœฎโžƒโœ‘โœ•โ‘ฆโžƒโœ”โœโœ‘โœ•โ‘โœบโœปโœงโœฝโœ’โ˜…โœฏโ„โžƒโœ„โž€โœ“โœ•โ™ฃโโœชโœ•stโœ‰โœขโ‡โœโœ‘โœขโœœโฅโœธโœขโขโœฌโœฎโœงPโžƒโœ”โœ’

Page 121: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ‘งโœœโ‘งโˆร• ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โ˜Žโœ†โœžโœโœ โœŸโœ‚โœกโ˜žโ˜›โœโœŒโœ„๏ฟฝโœŽโœโพ๏ฟฝโœโœ„ ๏ฟฝโœโœ†โœ’โœ‘โœ”โœ“โœ•โœกโœ—โœ–โœ’โ˜›โœ™โœ˜โœ›โœšโœ™โœ‘sโœกโœœโœŸโœขโ˜›โœฃโœกโœคโœกโœคโœ„โž„โžžโž… โ†•โœ โ‰โ€โ‘ฃโœถโœ•โ‹โœ—โœฆโœ—โœ™โœ•โœฌโฟโœ–โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœšโœœโœ’โœฃโœขโžโž€โœ“โœ•โœฟโœขโซโœ’โ˜…โœโˆโœฉโ‹โœ•โœฒโœฏโœณโœฏโœฐโœ•โœฒโœโœฝโœ—โ˜โœโ‹โœ—โœ™โœโ‚โโœ”โœโœ›โœฑโœœโœ•โœฝโž€โœ–โœงโœฝโœฌโœ”โœฌโœฎโœโœ›โœ•โ‚โœฌโœ‘โœขโ‡โœ’โœŽโ‘ฃโœถโœซโœ”โœ•โœฒโœ’โž‹โฟโ†โโœโฟโœ–โœ—โ˜…โœงโœณโœ•โ‹โœ—โ‚โ’โœ‰โžƒโœ‘โœขPโž€โœ“โœขโœœโœ’โœฆโœ—โโ โž‡โžœโž›โ–ฒโžโŠโœ•โ‹โœ—sโž€โ†โœขโœตโœบโœปโœงโœฝโœ’โ˜…โœฏโ„โžƒโœ„โž€โœ“โœ•โโœชโœ•โtโจโœขโœœโœโœ‘โœขโ‡โฅโœธโœขโœณโœโ‹โœ—โœ™โœ•โœ›โœโœ‘โโœ„โžƒโœ”โœ•โ–ผโ– โž’โž„ โžŠโœฎโžƒโœ”โœ•โœฝโž€โœ“โœฉโœ›โœงโœœโœโœ—โžŠโœฎโžƒโœ”โœ• โพ โโœ‘โœขโ‡โœโœ‘โœค โฝ โž› โฑโž”โž โ‘จ โฟโœผโ‰โ™โœฎโš โžกโœฎโšโณโฏ โœ‚โœผโคโœ™โžฉโ˜Žโกโžฏโซโดโชโœโžคโ˜Žโ™ฆโ™ฃโซโœโตโ›โคโœ™โžฉ โœโ˜Žโœ„ โžคโ˜ŽโžฉโœคโžโŠโตโฑโžฉโœ™โซโดโฅโœโœ†โœžโชโœโญโœŸโœžโฑโž โญโฒโžฉโœ™โซโดโตโณโ™ฆโ‘คโตโ›โฉโœ’โญโœ•โซโœโตโนโœโœฃโžโžฅโฉโ– โคโœฃโžคโœคโชโœ โœžโ›โžโ˜›โœก โคโœ™โžคโ‚โœโœฃโžโ˜žโœก โžโขโžฉโœ™โซ

โœŒ โชโœโคโ˜žโœโโžฉโ˜Žโตโ›โžโœ•โžฉโœโœŽ โชโœโญโฒโ™ฆโ™ฃโซโœโตโ›โคโœ™โžฉโ˜Žโžฉโœคโญโฒโตโฑโชโœโžโ‘ฃโœถโœ•โ‹โœ—โœฆโœ—โœ™โœ•โ˜โœฌโœ”โœ’โ˜…โœโˆโœคโœฆโœ•โœฒโœโœ˜โœ—โœ™โœขโœธโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโœตโœ’โœ™โœ•โœฒโœคโœฆโœ—โ˜…โœ•โœฒโœ’โœ™โœขโœฟโœคโณโžƒโœ‘โœฉโœฒโœฉโพโฟโœ“โœโœ‘โœฉโœผโœ—โœ™โœ•โ˜โœฌโœ„โžƒโœ„โฟโ†โœคโž‹โžŠโœฎโžƒโœ”โœ•โœนโโœชโœโœฒโœฑโœœโœ•โญโž€โœ“โœงโœœโœฌโœ‘โœฌโ€โœโœฒโœ•โšโœขPโžƒโซโœฌโœ‘โœขโœœโœ’โœ™โœขโœœโœšโœœโœ’โœฃโœขโ‡โœฌโœ”โœซโœ‘โœ•โœ โœคโณโžƒโœ—โฟโœ–โœฑโœธโœขโ‡โœโœ˜โœ—โชโโœ”โœขโœœโœโœ‘โœคโœ†โž€โœ–โœ•โœนโœฉโœ›โœขโœฝโโœชโœ’โœ™โœ•

โœฌโœ„โž€โžฃโžƒโœ‘โœคโ˜โœšโœœโœโœฒโœโœ”โœโœ›โœ’โœฃโœขโžโž€โ…โโœชโœ•โˆโœคโœนโœฌโœ”โœ’โœ™โœงโƒโœฉโœ›โœ•โœฒโœคโœ™โœคโณโžƒโ€โœคโšโโœ”โœ•โœ’โœ‘โ„โœงPโž€โœ–โœ—โ˜…โœ•โœ›โœ’โœ™โœ’โœฃโœขโœ”โ‰โ‘ฃโœถโœงโœœโœโœ‘โœคโž‹โฟโœ“โโœ”โœโœ›โœ’โœ™โœงโœœโœโœ‘โœคโžโž€โœ“โœ•โœฒโœคโœนโโœชโœ•โœฝโžƒโœชโฏโ‘โœ•โˆโœคโœฆโœฌโœ‘โœขโœฝโœฉโ‹โœ•โˆโœคโšโœคโž‹โžƒโœ„โฟโœ“โœฑโœธโœขโ‡โœโœ˜โœ—โœ™โœคโ– sโœ“ โ——โœ โ— โœ•โˆโœคโœฆโœฌโœ‘โœขโœฝโœฉโ‹โœ•โโœขโžโžƒโœ”โœ—โ˜…โœงโžรPโœ’โœ™โœ•โœ›โœฌโœ”โœ’โœ™โœงโœชโโœโžƒโœ„โฟโ†โœคโ˜…โœขโœœโœโœฝโœ—โž‹s

โœ” โจ โœ•โžจโž…โœ—โœ–โ™ฆโฒโœ™โœ˜โณโดโœ›โœšโœขโœœ โ‘ฃ โ†” โ†•โœคโœฃ โž™โ‘กโฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโœฆโœฅ โฝ โฆโœ—โœงโœฉโ˜…โ†”โœซโœชโœญโœฌ

โœ•โˆโœคโ–โœ—โœ‰โžƒโœ”โœsโœคโ˜…โœงPโžƒโœ‘โœคโณรPโœ•โœฒโœคโ˜…โœฌโœ‘โœขโœœโœฉโœ›โœ•โ‚โโœชโœ• โช t โž’ โ‘จ โž› โฑโœฎโœฅ โฝ โฑโœฆโœฏโ„โž”โโœขPโžƒโœ—โžŠโœฎโžƒโœ”โœ•โญโž€โ…โœงโœฝโœโฌโโœ”โœงโœœโœโœ”โœโœ”โœ•โœ™โžƒโœ‘โœโœ”โœ•โ–ผโœคโ–โœ—โœ™โœ’โž‹โžƒโ€โœฉโœผโœ—โž‹โžƒโœ‘โœ’โ˜…โœ•โโโ…โ— โœ•โœฒโœคโ˜…โœฌโœ‘โœขโœœโœฉโœ›โœ•โโโœชโœ•โ˜Žโœฐโœ‰โฟโžฃโž€โœ–โณโœฎโœ•โœ›โœ’โ˜…โœ—โœŽโœ•โœฒโœโฟโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœ’โœ™โœงโƒโโœ„โžƒโœ„โฟโœ“โœคโœ™โœขโ‡โœโœ˜โœ—โ‚โž€โœ“โœ•โโœฌโœ”โœ’โ˜…โœงโœชโโœโžƒโœ—โฟโญโœ—โ™โœคโœ™โœฉโœ›โœขโžโž€โ†โœขโžโฟโœ“โœ’โœ™โœ•โ‚โœคโž‹โžƒโœ„โฟโœ“โœฑโ–ฒโœขโœœโœโœ˜โœ—โ‘ฉsโœฑ โœšโœขโœœ โ‘ฃ โ†” โ†•โœคโœฃ โฑโœฒโœšโœณโœœ โ‘ฃ โ†” โ‘ข โœฃโœตโœดโœทโœถ โจโœนโœธโœฐโž’โ‘โฒโ™ฆโฑโžฝโšโˆโž”

โœ“ โ——โ—†โœ•โโœฌโœ”โœ’โ˜…โœ•โœฒโœฏโ‘กโฟโœ–โœ•โœฒโœ’โ˜โœฉโœฃโœซโ€โœขโ‡โœงโœฝโœคโœนโโœ”โœ•โ‚โฃโœžโฟโœ“โœ•โœ›โœโœ‘โœ•โœ›โœ’โƒsโž„โœญโ†•โœถโจ โœ•โœ™โž…โœ—โœ–โ™ฆโฒโœ™โœ˜โณโด โถ โทโ†• โž™โ‘กโฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโœฆโœฅ โฝ โฆโœบโœงโœผโœป

โฃ โธโœพโœฝ โ†” โข โปโœ•โˆโœคโ–โœ—โœ‰โžƒโœ”โœsโœคโ˜…โœงPโžƒโœ‘โœคโšโœ•โˆโœคโœฆโœฌโœ‘โœขโœฝโœฉโ‹โœ•โโโœชโœ•โœฌโžŽ t โž’โฏโž โฑโœฆโœฏโ„โž”โœ›โ‰โœ’ โน โœ“โ€โœฟ โน โœผ โžฉ โœœ โžฉ โผโ—†โฝโฒโพ โžš โžณ โž„โœฃโžโœœโžโžŠโž‘โžพโž…โฒโžโœฃโž„โœธโžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†

โถ โท โž™ โœ” โผโ‚โ โž„โœญโ†•โœšโœณโœœ โ‘ฃ โ†” โ†•โœคโœฃ โผโ‚โ โถ โทโ†•โ™ โผโ‚โ โถ โท โž’โฏโ™โžŠโž”โžโœผโžˆโœผโžƒโœถโžœโœชโž†โœฎโžโโž…โ†โžˆโœ›โž‰โ‡โžŽ โžž โžƒโœโž‚โœผโž…โฒโž โžก

โ‘ฃโœถโœ•โ‹โœ—โœฆโœ—โœ™โœ•โ„โฟโ†โœคโ˜…โœงโœœโœฏโœฐโœโ‹โœ—โœ™โœ’โž‹โฟโœ“โœ•โ–ผโœฌโœฎโœ•โœ›โœ’โœ™โœฏโœณโœ•โœ›โœ—โโโœ”โœโ–โ›โœฆโ– โฉโโœ”โœ•โœณโโœชโœโญโฝโœ‘โœโœ„โฟโœ“โœ’โœŒโžƒโœ‘โœโœ”โœ•โœตโœโœ”โœงโœœโœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโœ‡โโŠโ— โฟโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขPโž€โœ–โœ•โœตโœฌโ€โœงโœฃโžƒโœ”โœ’โ‚โโœ”โœ•โœฒโœค โฟโœ–โœโœ˜โœ—โœ™โœโœ›โœšโœœโœ’โœฃโœขโ‡โœโœ˜โœ—โœฃโœคโ™โโœชโœโ‹โœ—โœ™โœ•โœ›โœ’โœ™โœฏโ‘กโฟ รโœโœ„โฟโ†โœคโ–โœ—โœ™โœ•โœฒโœคโœฝโž‚โœโž€โœโ— โฟโœ–โœโœ˜โœ—โœ™โœโœ›โœšโœœโœ’โœฃโœขโžโž€โœ“โœ•โโโœชโœ•โโฃโœžโฟโœ–โœ•โœฒโœโœ”โœ•โœ›โœ’โˆโ‰โœ„ร‘โžตโž€โžฃโž€โœ“โœ•โ–ผโœคโœฆโœ•โœฒโœ’โœ™โœขโœณโโœโฟโ†โœคโ˜…โœฉโญโžƒโœชโœ—โ˜…โœโœฒโœ•โ–ผโœขโžโžƒโ™ฃโœฌโœ‘โœขโ‡โœ’โœฃโœขโ‡โœšโœฝโœ’โœ™โœขโœœโœฌโœ”โœซโœ”โœ•โ„โƒโœ‘โ‰ ร“โœ‘โ‰ โž‡โœตโœฌโœ‘โœขโœœโœšโœœโœ•โœฐโ‘งโœœโ‘งโœโฎโœชโ‰โดโœ‰โœงโœฃโžƒโœ”โœ’โ™โโœชโœ•โˆโœคโœนโœฑโœธโœขโ‡โœ’โ—†โฟโœ“โœขโœœโณโœ„โž€โœ–โœ•โˆโœคโ˜โœขโžโž€โœ“โœโœฒโœขโœธโœ—โœ™โœงPโฟโœ“โœ’โ˜…โœ•โˆโœคโœถโโœ„โฟโญโœ—โœ™โœ•โœฒโœคโ™โœฉโœ โž“โœฎโž€โžฃโฟโœ“โœโœ‘โโœชโœ’โ—†โฟโžฃโžŠโœฎโžƒโœ”โœ•โˆโœคโœนโœฉโ‡โ— โœ•โœฒโœคโœฆโœ—โœนโ– โœญโโœ„โฟโœ–โœ’โœ™โœ•โโโœชโœ•โœ™โž€โœ“โœขโซโœบโœปโœงโœฝโœ’โ˜…โœฏโœฐโœ•โž’s

โ†” โจ โ›โ…โœ˜ โถ โท โž’โœŽโ™โ…โ†•โœ›โž”โพโฑ โถ โท โž’โฏโ™ t โž”โ™ฆโฑ โบโญโบโญโบ โฑ โถ โท โž’โœŽโ™ โž  โž”โœฎโœงโœงโ‡โ†โ‰โˆsโœ•โˆโœคโ–โœ—โžโžƒโœ”โœโœฅโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โ—†โฟโœ–โœ•โœฒโœ’โฉโžŠโœฎโžƒโœ”โœ•โญโž€โ†โœฉโ‹โœงโœฝโœโœ—โžŠโœฎโžƒโœ”โœ•โ™โœโœ”โœงโœฝโœโœฅโœโœ›โžƒโœ„โž€โœŽโž‚โœ›โ™ โ‘ก โ†’ โœ” โœฌโœฎโœงPโžƒโœ”โœ’โœ โœ—โ˜…โœงโœฃโžƒโœชโœ—โœฒโŠโžโจโœ—โžPโฑ โบโญโบโœฝโบ โฑโœฎโˆsโœ•โœ›โœ—sโ› โ†’ โ‹โ˜žโ—โ โž’โ– โœฏ โž  โฑโœฆโœฏโ„โž”โœ‰โž€โกโ— โœ•โœฒโœคโ˜…โœฌโœ‘โœขโœœโœฉโœ›โœ•โโœชโœ•โœฒโœคโœ โœบโœปโœงโœœโœโ€โœฉโœผโœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโ€โœคโฉโฟโœ“โœโœ‘โโœชโœโญโฝโœ‘โœโœ„โฟโœ“โœฏโœฐโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โ™โโœชโœโœ›โœ’โ—†โฟโœ–โœฑโœธโœขโœœโณโœ„โž€โœ–โœ•โˆโœคโœถโ– โซโโœชโœโœ›โœ’โ—†โฟโœ“โœฑโœœโœโœ›โœ•โˆโœคโœ โณโœฎโœงโœœโœ’โœ™โœโœ”โœโœฒโœ•โœฒโœคโœฝโž‚โœฝโœงโœฝโœโฉโโœชโœโพโฝโ€โœโœ„โฟโญโœ—โ‚โž€โ†โœขโ–ผโœโœ”โœงโœœโœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโ™ฃโโœชโœ•โ‚โโœ”โœโœ›โœ’โ—†โฟโœ–โœฑโœฝโœโœ›โœ•โœฟโœขPโžƒโฉโœคโ˜…โœ•โœ›โœโœ‘โœคโœบโฒโœขโžโฟโœ“โณโœ„โž€โœ“โœ•โ‚โœฌโ€โœขโ‡โœ’โ– s

โ โท โž’โฏโ†”โ–ผโž”โž’โจ โž โ‘  โ‘ก โ‘ข โ†• โ‘ โ›โ‘ โž† โ‘ก โœ˜ โถโ„โท โž’โฏโ™ โ†• โž”โ™ฆโฑ โถโ„โท โž’โฏโ™ t โž”โพโฑ โบโœฝโบโญโบ โฑ โถโ„โท โž’โฏโ™โœบโž โœ‘โž”โœฆโœงโž”โ™ โ‘ก

โ——โชโ— โฟโœ–โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœ’โณโž‘โœ›โœ—โœŽโโœชโœ•โโœฉโ‹โœ•โˆโœคโœนโโœชโœโพโฝโœ‘โœโœ—โฟโญโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโœ‘โœคโœนโœ’โœ™โœโœฒโœคโž‹โฟโœ“โโœชโœ•โโโœ”โœขโœœโœโœ‘โœคsโž€โœ“โœ•โœฒโœคโ˜โœฌโœ”โœ’โœ™โœงโœœโœฌโœ”โœ’โ—†โฟโœ“โœโ‹โœ—โ˜…โœโˆโœคโœนโœคโณโžƒโœ—โฟโœ–โœฑโœธโœขโ‡โœโœ˜โœ—โœ™โœ•โœฒโœคโ‘ฉsโœ’ โน โœ“โ€โœฟ โน โœผ โžฉ โœœ โžฉ โผโ—†โฝโœฟโœพ โžš โžณ โžโ‹โžˆโกโžโœ”โž„โœฝโžโœฃโžโ–ผโ–ฒ โœˆโœœโžโ‹โžˆโ„โžโ‹โž‰โ‡โž†โœฎโžโœ›โžƒโœโž…โฒโž‰โ‡โž†โœ”โžˆโซโžโœ›โ—†โœธโž‘โžพโž…โž‡โž†โœบโœˆโ‡โž‚โœผโž…โœชโžผโ‹โžœโœ‘โžโ‹โžˆโซโžโ‹โžˆโœฃโžƒsโœˆโœœโžโœ›โž†โœ”โžˆโœ›โžโ—โœˆโœœโž„โœธโž†โœ‘โžˆโ‚โžŽ t โžก

Page 122: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŒโœ๏ฟฝ โœ‚โœ„๏ฟฝโงโœšโœ•โ˜›โœฃโœกโ˜Žโœ˜โโœ“โœ†โ˜Žโœคโ˜›โœžโœโœ™โœ‘โœฎโœกโœ โœŸ โœ“โ˜›โœกโขโ˜›โžจโœ–โœ’โ˜›โ–ผโœŸ โœ„โœ โ˜Žโ˜Žโœ„โœŒโ˜žโ– โœ„ โ‘งโœœโ‘งโœฝโ‘งโœ’ โน โœ“โ€โœฟ โน โœผ โžฉ โœœ โžฉ โผโ—†โฝโžฃโžญโ‘กโžโœ‘โž‰โœธโžœโœชโž‚โโžƒโž‹โž‰โœธโžœโœชโžƒโ†โ†”sโฑโœ๏ฟฝ โ†’ โ–ฒโž€โžโœ›โžƒโœ โžƒโž‹โž‰โœธโžœโœชโžƒโœ„โœ‚ โ†’ โœ” โž‰โœธโž†qโž„โ‘จโ‘งโ‘ฉโœ†โ˜Ž โ โท โž’โฏโ†”โœ๏ฟฝโ–ผโž”โœŸโœž โจโž“โ‘ฉโœ โ˜Žโœชโ†”โœ’โ โท โž’โœก๏ฟฝโ–ผโž”โ˜›โœž โžŒ โ‘ฉโ˜žโ˜Žโœก๏ฟฝโœ’โ โท โž’โฏโ†”โ–ผโž”โœŒโœžโ‘ฉโœ โ˜Žโนโœ” โ โท โž’โœชโ†”โ–ผโž”โ™ฆโฑโœโœ‚โ‰โž… โœถ โœž โจโž“โ‘ฉโœ โ˜Žโœชโ†” โถ โท โž’โœŽโœ‚โœฎโž”โœŸโœžโœ’ โน โœ“โ€โœฟ โน โœผ โžฉ โœœ โžฉ โผโ—†โฝโœณโœฒ โžš โžณ โž‰โœฃโž โžž โž‚โ˜…โž„โ‡โžƒPโžโœ›โžœโœชโž‚

โ โท โž™โ‘ โžŽโœ‘โœโจโž’โœŽโž โฑโœฆโœฏโ„โž” โผโ‚โ โžŽโœ‘โœโจโž’โœŽโž โฑ โœ”โ™ฃโž”โžโœผโžˆโœผโžƒโœฎโžโ‹โžโ‹โž‚โœผโžŽ โžž โžโœ›โžƒโšโž†โœฎโž‰โœธโž†โžโ‘คโœ™โž‰โ‡โž‚โœผโž† โžž โžโœ”โž‰โ‡โžœโœชโž‚โโžƒPโž‰โ‡โžœโœชโžƒโœ—โž‡โžโžŽ โž โžกโœ’ โน โœ“โ€โœฟ โน โœผ โžฉ โœœ โžฉ โผโ—†โฝโœฟโ€โœ“โœ’โœนโž„โ‡โž‚โโž…โž‡โžƒ โžž โž‚โ˜…โž„โœธโžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†โœ•โœ”โšโž‰โœธโž†โœฅโžโœ”โžโœ›โžœโœชโžƒโžโœˆ โžžโœชโ‘ฃ โž†โœ‘โž…โž‡โž‚โœปโœˆโœฝโžโœผโžˆโœตโž‰โœ™โž โžž โž‚โ˜…โž„โœธโžƒโž‹โžโ‹โžœโœชโž‚โœฃโžˆโœปโœˆโœฝโžโ„โœˆ โžž โž‚โœผโž…โž‡โž›โœธโž„โœธโžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†โœ‘โžˆโ–ผโžˆโœผโžœโœ‘โžโœ™โžโœฃโžโ‹โžˆโœฃโžˆโœฃโž…โž‡โž›โœธโžโ‹โžˆโžจโ‘ง

โ โท โ†” โœ– โž™โ‘ โžŽ โœ โž’โœŽโž โฑโœฆโœฏโ„โž” โผโ‚โ โžŽ โœ โž’โœŽโž โฑ โœ”โœ˜โœ— โœ– โž”โž…โž‡โž‘โžณโžˆโโžˆโœ›โž‰โœธโž†โœ‘โžƒโœฎโžโ‹โžโ‹โž‚โœผโžŽ โžž โžˆโซโžโ‹โžƒโœถโž†โœฎโž‰โœธโž†โžโ‘คโœ™โž‰โ‡โž‚โœผโž† โžž โžˆโšโžโœ”โž‰โ‡โžœโœชโž‚โโžƒPโž‰โ‡โžœโœชโžƒโœ—โž‡โžโžŽโ‘ฆโžโฌโžโ‹โžƒโœถโžƒPโž‰โ‡โžœโœชโžƒโœšโœ™โœดโžŽโ‘ฆโž โžกโ‘ฉโฉโถ โœทโธโทโœชโนโœธโบโ…โป โถsโผโŠโฝโžโœพ โฟโชโžโœ›โžƒโ™โž‰โœ™โž โžž โž‚โ˜…โž„โ‡โžƒPโžโœ›โžœโœชโž‚โ–ผโžƒโกโž‚โ˜…โž„โœธโž†โœ‘โžˆโœปโžโ‹โž‰โœธโž‚โœผโžŽโœญโžโœตโž‘โœ“โžโœผโžˆโœตโž›โœธโž„โœธโž‚โœผโž…โฒโž„โœฃโ‘คโ‹โž‘โœ“โžโœผโžˆโœณโž„โ‡โž‘ โžž โž„โœธโžƒโž‹โž‰โœธโž…โž‡โž‚โ˜…โžโ‹โžˆโœ โžŽ โœ โžโœ›โž†โฆโžœโœชโž†โžŠโžโ–ผโž›โœธโž„โœธโž‚โœผโž…โฒโž„โœฃโ‘คโ‹โž‘โœ“โžโœฅโž„โœธโž‘ โžž โž„โ‡โžƒPโž‰โ‡โž…โž‡โž‚โ˜…โžโœ› โž›โœธโž„โœธโž‘โœ–โžโœ›โžœโœชโž‚โœฃโžˆโœปโœˆโœœโž„โ‡โž†โœ”โžˆ โœ” โœ— โœ– โžโƒโžณ โžโ‹โžˆโœฃโžƒ โœ› โœˆโœธโž…โž‡โž‚โ˜…โžโœตโžœโœชโž†โœฐโžโœฎโž‚โœ™โž‰โœฒโžโœฃโžโ‹โžˆโœ™โžˆโœผโžœโƒโžˆ โœ› โœ™โ˜›โž›โœธโž„โœธโž‚โœผโž…โฒโž„โœฃโ‘คโ‹โž‘โœ“โžโœผโžˆโ—โœˆโœฝโžโ˜โžโžŠโžœโœชโž…โ†โžˆโœฃโžˆโ‹โž„โ‡โž†โœฎโžโœฃโžโœนโžโœ‘โœœโž‹โž…โœกโœขโœ›โžŽโœฐโžโซโž…โž‡โž†โœ‘โžƒ โžž โžŸโ‡โž‚โœ™โž„Pโ‘คโœ›โž‘โœ–โž โžก

ร‘โชโœsโโœชโœโพโฝโœ‘โœโœ—โฟโœ“โœคโœ™โœคโ˜…โœขโœœโœโœ˜โœ—โœนโœคโž‹โžƒโœ”โœ’ โ–ฒโœžโž€โ†โœขโœณโœโœ”โœงโœœโœ’โœ™โœฏโœฐโœ•โโœคโž‹โžƒโœ„โฟโœ“โœฑโœธโœขโ‡โœโœ˜โœ—โ˜…โœ•โž’sโฌโœณโฌ โ†”รโฌโœณโฌ โœ โท โ†” โœ–โˆโ†” โœ โจ โฌโžฃโฌ โ†”รโฌโžฃโฌ โœ

โœปโœคโœฃ โธ โœฝ โ†” โข โป โžŒโœ–โ‘ โœฅ โ‘ข โ†• โฌโžฃโฌ โ โท โ†” โœฅ โ†”รโฌโœณโฌ โœ โœปโœคโœฃ โธ โœฝ โ†” โœถโœงโœฆโœฉโ˜… โปโœงโœœโœโฆโœฌโ€โœ•โœฝโžƒโœชโœ—โโœโ‹โœ—โ˜…โœ•โœฒโœโœ‘โโœชโœ’โœ™โœ•โ„โž€โ†โœขโฌโโœชโœโพโฝโ€โœโœ„โฟโญโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโฆโโœชโœ•โ‘กโž€โกโ— โœงโœฝโœฌโ€โœโœฒโœ’โœ™โœขโ‡โœ—โ˜…โœ•โœฝโžƒโœ”โœ’โ‚โโœ”โœ•โœฐโโœ”โœโœ›โœ’โ—†โฟโœ–โœฑโœธโœขโœธโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโฆโ– โ‘ฆโžƒโœ”โœโ˜›โœ•โœฒโœคโ˜…โœฌโœ‘โœขโœœโœฉโœ›โœ•โœซโœชโœญโœฌ โ†” โœ–โˆโ†” โœ โž‚โžŠโœบโœปโœ•โœ›โœ’โœ™โœฏโœณโœ•โœ›โœ—โž‹โžƒโœ”โœ’โœ™โœ•โœฐโโœชโœ• โ–ฒ

โœ’โ˜…โœ•โœฝโž€โœ“โœขโ‡โœ—โž‹โฟโœ“โœฑโœœโœ•โœฒโœฏโœณโœ•โœฒโœโœ˜โœ—โ˜โ– โ—โž€โ†โœขโœฐโœโœ”โœงโœœโœ’โœ™โœฏโœฐโœ•โ‘กโฌโžฃโฌ โบ โฌโžฃโฌ โท โ†” โœ–โˆโ†” โœ โ‰โž‚โœฟโœขโœœโœโœ‘โœคโœ‰โž€โœ“โœ•โœตโœฉโœ›โœขโœฝโœคโ™โœดโšโœ’โ˜…โœงโœธโœทโœนโœโœ—โฟโœ–โœ•โœฒโœโ™ฃโœงโœฝโœ’โœ™โโœ„โฟโœ–โœโœ‘โœขPโฟโœ–โœ’โœ™โœ•Pโž‚โœ—โฟโœณโž€โจโœ•โœฒโœคโœฆโœ—โœฟโœฉโ‹โœงโœฝโœโœ”โœโœ›โžƒ โžŠโœฃโžƒโœ‘โœ•โžจโž€โœโ— โœงโœœโœฌโœฎโœโœ›โœ’โœฃโœขโœธโœ—โœ™โœ•โญโžƒโœ”โœ’โ™โœขโœฝโโ–ฒโ›โ–โœงPโฟโœ“โœโœ˜โœ—โœฟโโœชโœ• โ โœโœ”โœงโ‡โœ—โœ™โœโœฏโœฎโœฐโœ•โ‹โœ—โœฟโœขโœœโœฌโœ”โœฌโ€โœ•โœฝโž€โœ–โœโโœโฟโœ“โœฑโœœโœ•โœ›โœ’โœ™โœšโœœโœ•โœฒโœโœ‘โœฉโ‹โœ•โโœฉโœ›โœงโžœโžญโกโœโœ‘โœฉโพโฟโ†โโœชโœ•โโœฌโœฎโœงPโžƒโœ”โœ’โœŽโโœ”โœ•โœฒโœคโœนโœฌโœ”โœ’โœ™โœงโœชโœฉโ‹โœ•โˆโœคโ˜…โœคโž‹โžƒโœ‘โœคโœนโœฌโœ”โœ’โœ™โœโœ›โœฑโœ›โฟโ†โœคโณโฟโœ“โณโœ„โž€โœ“โœ•โœฒโœคโœฝโž‚โœ”โœขโ–ฒโœฑโœœโœ•โˆโœฉโœŒโž€โกโ— โฟโœ–โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœšโœœโœ’โœฃโœขโžโž€โœ“โœ•โ–ผโโœชโœ•โโฑPโœ—โณโžฒโœ‡โโœ–โ‘งโˆร•โžœโž›โœ›โž‚ โž›โ™ฅโž‡โˆโžPโ‰โžŠโ‘ฃโœถโœ•โ‹โœ—โ˜…โœ—โ˜…โœ•โœตโœขโœœโœโœ‘โœขโœธรโž€โœ–โœงโœฝโœšPโฟโœ“โœ•โ™โœบโฒโœขPโฟโญโœ—โœ™โœ•Pโž‚โœโฟโžฃโž€โœฎโœ•โˆโœคโ–โœ—โ˜โœโœ‘โœขโ‡โœ—โž‹โžƒโœ”โœ’โœ™โœ•โญโž€โ…โโœชโœ•โ‚โœฌโ€โœ•โœฒโœโœ‘โœคโ˜…โœ•โœ›โœ’โ‚โžŠโœฎโžƒโœ”โœ•โœŒโž€โกโ— โœขโœœโโ–ฒโ›โ–โœงโœฃโฟโœ–โœโœ˜โœ—โ™โโœชโœ• โ โท โœโœ”โœงโ‡โœ—โœ™โœโœฐโœฎ โท โœบโœปโœงโœฃโžƒโœ”โœ’โ˜…โœโœ—โฟโœ–โœ’โœฃโœขโžจโžƒโœ”โœโœ‘โœ•โœฟโœโœ”โœงโœœโœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโ™ฃโโ…โ— โฟโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœโœฒโœšโœœโœ’โœฃโœขโžโž€โœ“โœ•โœฉโ‹โœงโœฝโœโœ˜โœฑโœฝโœ•โœ›โœโœ‘โœขโœœโณโœ„โž€โœ“โœ•โœœโ‰โœ’ โน โœ“โ€โœฟ โน โœผ โžฉ โœœ โžฉ โผโ—†โฝโœฒโœฑ โžš โžโœปโœˆโœœโž‰โ‡โžŽโœฐโž„โ‡โž…โž‡โž†โœฎโž โโœŽโžฃโœดโœณqโž’โœกโœฎ โท โž”โœปโœˆโœฝโž„โœธโž†โœ‘โžˆโžโžŽ t โž’โฏโž โฑโœฎโœ”โ™ฃโž”โœตโžโ‹โžˆโœผโžƒโœ โž‘โณโžณ โžโœ›โž†โœ”โžˆโœ›โžโœ›โžŽโ‘กโ‘คโœ›โž‘โœ–โžโ‘กโœˆโœœโžโ‹โžˆ โ‘ฅ โžƒโž‹โžโ‹โž‘โžพโžˆโžจโžผโœ›โžœโœ‘โžโ—โ‘งโœตโœต โ‘ฉโ˜žโ˜Ž โœฑ โ โท โ†” โฑ โ‘ฅ โœด โœถ โœž โœตโœตโœทโœถ โœ–Pโฌโœณโฌ โ†”รโฌโžฃโฌ tโžโœ”โž‰โ‡โžœโœชโž‚โโžƒPโž‰โ‡โžœโœชโžƒโ†โ†” โ†’ โ–ฒ โžกrโ€โž… โ‘ฅ โžโœผโžˆโœผโžƒ โœˆโœฝโž„โœธโž†โœ‘โžˆโœฐโž‘โœ“โž โโ†โžฃโœดโœณโ˜›โž’โœŽโœฎ โท โž”โœธโœ”โœนโœฎ โท โž’ โ‘ฅ โž”โฉโžโœผโžˆโœผโžƒโ‚โž‘โณโžณ โžž โž‘ โžž โžŽโœญโžโ‹โž†โ€โžƒโœฌโœˆโœฝโžโœ™โžŽ t โž’โฏโž โฑ โœฏโ„โž” โœˆ โžžโœชโ‘ฃ โž†โœ‘โž…โฒโžโ–ผโžโœ”โž„โ‡โž‚โœญโž‘โœ–โž„sโž‚โœ™โžโ‹โž‘โœ–โž„โ‡โžƒโœโž…โฒโž‰โ‡โž†โทโœˆโœฝโžโ‘ฆโœˆโ‡โžœโœ‘โž„โœธโž‘โžพโž…โž‡โžƒ โžžโžˆโœผโžœโœชโž…โž‡โž›โ–ฒโž„โ‡โž†โœ‘โžƒโž‹โžโœปโ‘ง

โœฑ โœฎ โท โž’ โ‘ฅ โž”โœฌโฑ โ†” โœดโœปโฃ โธ โœฝ โป โจ โ‘ฉ โ˜Ž โœฑ โ โท โ†”โ‡โฑ โ‘ฅ โœด โœถ โœž โœบ โ†” โ†’ โœช โท โ†” โ†•โœฃโ†” t โž’ โœ”โ™ฃโž”โ——โŠโœ•โœญโœšโœœโœ’โœ™โœงโœฝโœคโโโœ„โžƒโฆโœ—โœ™โœ’โœ™โœขโ–ฒโœฑโœธโœขPโฟโœณโž€โœ โœฉโœ›โœงโœœโœโœ‘โœคโž‹โฟโ†โœคโ–โœ—โœ™โœ•โœณโœฏโœญโœขPโฟโœ–โœโœ˜โœ—โ˜…โœ•โœฒโœโœ‘โœขโ‡โœโœ˜โœ—โœตโ– sโœฉโœฒโœขโ‡โœ’โœฃโœขโœœโœฉโœผโœ—โœ™โœโœ›โœ’โ—†โฟโœ“โœคโ˜…โœ•โœ›โœ’ โž€โœ“โœ•โœฅโโœชโœงโœœโœฏโœญโœขโžโฟโœ“โœโœ”โœ•โœฅโโœชโœ•โœปโœฎ โท โ‰โจโ——โจโœขโฌโœฌโœ”โœ’โœ™โœ•โœ›โœฏโ‘กโฟโžตqโœฒโœ’โ˜…โœ•โ‘กโฟโ†โโœชโœโœ›โœ•โœฉโ‹โœงโœฝโœโœ‘โœคโณโฟโ†โœคโœฆโœ—โ˜…โœ•โœŽโ– โโœบโฒโœขPโฟโœ–โœ’โœ™โœ•โœ‰โž€โœ“โœ•โœ โž€โžฃโฟโœ–โœ•โœฒโœโœญโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โ˜…โœ’โœ™โœ•โœผโœฎโโœ•โœ›โœ—โœฝโœฎ โท โโœชโœ•โ™โœบโฒโœขโžฏโžณโ‹โœงโœœโœโœฅโ– โœตโœขโ–ฒโœฑโœœโœงPโฟโœ“โœ’โžโžƒโœ”โœโœ”โœ•โœฟโœ’โ˜…โœ•โœฒโœฌโœ”โœ’โœ™โœโœฒโœคโ˜…โœ•โœ›โœโœ˜โœ—โœ™โœขโ‡โœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโœฐโœฌโœ„โž€โžฃโžƒโœ‘โœคโœถโœคโž‹โฟโœ“โœฏโœณโœฌโœ—โž€โœ–โœ•โ‚โโœโžƒโฉโโœชโœงโœฝโœฏโœฐโœขPโฟโœ–โœโœ‘โœ•โโœชโœ•โœโœฎ โท โ โ™ฅโœฎโฎโœ›โž‚โœ”โ™ฅโ‡โžโกโ‰ โง โœโ™ฃโฟโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœ’โ˜…โœงโœชโโœโžƒโœ—โฟโญโœ—โœ‰โžƒโœ”โœโฌโœงโœฝโœฌโ€โœโœฒโœ’โœ™โœขโ‡โœ—โ˜…โœ•โญโžƒโœ‘โœ’โžโž€โžฃโฟโœ“โœโœ”โœโœฒโœขPโฟโœ–โœ’โœ™โœ•โโœฉโ‹โœงโœœโœโœ˜โœ—โ—†โฟโœ–โœโœ›โžƒโ™ฃโœโœ”โœงโ‡โœ—โœ™โœโœโœพโœฏโœฟโœ™โžŠโœฃโžƒโœ—โฟโ…โœฑโœœโœโœ›โœ’โ—†โฟโœณโฝโœ‘โœ•โž’s

โœพ โœฟ โž’ โœšโœขโœœ โ‘ฃ โ†” โ†•โœคโœฃ โž” โจโโ€ โธ โท โป โž’โ‘โฒโ™ฆโฑ โบ โž”ร‘โชโœโœณโœฑโœœโœ•โœ›โœ’โ˜…โœ—โž‹โžƒโœณโโœชโœ•โžโž€โœ“โœขโ‚โœ’โœ™โœ•โœ›โœฌโœ”โœ’โœ™โœโœฒโœคโ˜…โœ•โœ›โœโœ˜โœ—โœ™โœขโ‡โœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโ–ผโ——โ—†โœโœ›โœฑโฆโž“โœฎร โœฐโœ โฟโœ“โโœ”โœขโœŽโœ—โ˜…โœซโœ‘โœโœ›โœงโœœโœ’โœˆqโœ›โœฏโœฐโœ•โ˜žโž‡โœชโ‰ ร“โ™โœฌโœ‘โœขโœœโœšโœœโœ•sร“โœœร•โœฟโœโ‹โœ—โœ™โœ•โœ›โœโœ‘โโœโžƒโœ‘โœ•โ˜โœขPโžƒโœตโœฏโœฐโœงโžปโž“โœœโœ•โœฒโœโœตโโœชโœ•sโž€โ†โœขโœฟโœฉโœ›โœงโœœโœโœ‘โœคโœฆโœ—โ˜…โœ’โ—†โžƒโœ‘โœฉโ™ฆรโœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโฌโœฉโพโฟโœณรPโโœ”โœ•โœฒโœคโœ™โœคโณโžƒโœ‘โœคโœฝโž‚โœชโœงโœœโœโ™ฃโœงโœœโณโœ”โœ—โž‹โฟโœ“โœ•โœ›โœโœ˜โœ—โœ‰โž€โœ“โœขโœณโœ’โœ™โœ•โญโž€โ†โœขโœธโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโœผs

โœฎ โท โž’ โ‘ฅ โž”โž’โจโ‚โœฎโœชโž’โœกโœพ โœฟ โž’ โ‘ฅ โž”โ˜…โž”โง โœโ‘กโœฌโœฎโœ•โญโžƒโœชโœ—โฌโœโœ›โœšโœ˜โœขโžโž€โœ“โœ•โœ›โœฏโœฐโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โ™ฃโœฉโญโฟโญโœ—โœ™โœ•โœ›โœ’โ™ฃโž€โœ–โœ•โˆโœคโ‘โœ—โ˜…โœ’โœฃโœขโ–ฒโœฑโ–ฒโœขPโžƒโœชโฏ โโœชโœ• โ’โœ โžƒโœ‘โœขโžโž€โ†โœขโ‡โœ’โ˜…โœ—โฆโ โž›โœธโžโโœฌโ€โœงโœฃโžƒโœ”โœ’ โžƒโœ”โœโ‘กโœ—โœ™โœ’โœ™โœขโ–ฒโœฑโœธโœขPโฟโœณโž€โ‚โโœโฟโœ–โœ’โœ™โœ•โœฒโœฉโ‹โœ—โ™ฃโœคโž‹โžƒโœ”โœ’โ™ฃโž€โœ–โœ•โ˜›โณโœ”โœ’โœ™โœงโœธโœทโœนโœโœ„โฟโœ–โœ•โœฒโœโœบโœปโœ’โœ™โœขโœฝโœฉโœผโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโœ”โœโœ‘โœขโžโฟโœ“โœ’โœ™โœ•โœœโ‰

Page 123: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ‘งโœœโ‘งโ——โž‡ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โ˜Žโœ†โœžโœโœ โœŸโœ‚โœกโ˜žโ˜›โœโœŒโœ„๏ฟฝโœŽโœโพ๏ฟฝโœโœ„ ๏ฟฝโœโœ†โœ’โœ‘โœ”โœ“โœ•โœกโœ—โœ–โœ’โ˜›โœ™โœ˜โœ›โœšโœ™โœ‘sโœกโœœโœŸโœขโ˜›โœฃโœกโœคโœกโœคโœ„โ™โœฎโš โžกโœฎโšโžขโžก ๏ฟฝโžโžฉโœ‚โœโžโžฉโ˜Žโคโœฃโžฉโ˜Žโ™ฆโž™โฅโœ—โœโœคโž โœžโ›โญ โœŽโœˆโคโœฃโชโ€โœก โžค โœžโฑโž โœโ˜Žโžโ˜Žโœ„โžœโซโœโœ†โง โœโ™ฃโœโœ‘โœงโ‡โœ—โ˜…โœ•โœโœฎ โท โž’ โ‘ฅ โž” โ†• โจโ‚โœฎ โท โž’ โœพ โœฟโ†• โž’ โ‘ฅ โž”โœฆโž”โ˜โœขโ–ฒโœฑโœฝโœ•โœฒโœฉ โœพ โœฟโ†• โž’ โ‘ฅ โž”โžตโจโโœพ โœฟ โž’ โ‘ฅ โœšโœขโœœ โ‘ฃ โ†” โ†•โœคโœฃ โž”โœผโ‰โžฆโžจโžงโœ†โžฉ โœ“ โนโœธโžซโœ›โœท โถsโผโŠโฝโžโœพโโ™ฅโœปโœฑโœฟโ€โœ„โœด โžฆโžจโžงโ˜›โžฉ โœ“ โนโœธโžซโœฎโœท โถโœฎโœšโ‘ โœพ โœฟ โทโœŸโœž โถโœพโพโœ›โœฒqโถโœฎโœœโ‘ โžญ โœฟ โทโœ โœž โถqโพโƒโผโ–ผqโž”rโžŠโž‰โœธโž…โž‡โžƒโƒโ†” โžœโœชโž†โœฎโžโžŠโžโ‹โž‰โ‡โž†โœฎโžโœ›โžƒโœโž…โฒโž‰โ‡โž† โ‹ t โžˆโ‹โž„โ‡โžƒโœโž…โ†โžˆโœปโžโ‹โž„โ‡โž… โœœโžˆโœ›โž„โœธโž†โœ‘โžƒโœถโž‘โœ–โž„โฉโžโœฃโž‰โ‡โž†โœบโœˆโœธโž…โž‡โžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†qโž’โ˜›โœกโ˜žโœกโโž”โ–ผโžˆโœผโžœโœชโž…โž‡โž›โ–ฒโž„โ‡โž†โœ‘โžƒโž‹โžโœปโ‘ง

โœณโ™ฃโงโœฎโž†โœ™โดโœโฌ โ†”โœญโž’โœชโž†โœฎโž”โญโฌโ†โฑโ—โฌ โ†”โ˜žโœŒโกโž’โ‘โž†โœฎโž”โœฝโฌโ˜›โฑโ—โฌ โ†”โ˜žโœŒ โœŒโกโž’โ‘โž†โžŠโž”โญโฌโžนโฆ โœถ โœ–โญโž…โœŽโœโœ‘โœ โœ’โœ‘โœ โฃโž‰โœ”โœ“โœ–โœ• โžโ‹โžƒโœŸโœ–โœฐโžˆโœ›โž‰โœธโž†โ€โžƒโžโœˆโœœโžโ‹โžˆโœตโžโœฃโž‰โœธโž†โœ”โžˆโœผโžƒโž‹โž„โœธโž†โ€โžƒPโžโ‹โžˆโœ โžโœ‘โž‰โ–ฒโžˆโœผโž…โž‡โžƒโกโž…โž‡โž›โ–ฒโžโ‹โžˆโ–ผโžƒโž‹โžโ‹โž‘โž‡โž‘โœ–โžโ‹โžˆโœปโžผโ‹โžœโœ‘โžโ—โ‘ง

โœ• โœ” โœ— โžก โ‘ฅ โž‡โ‘ฃโœ™โœ˜ โ†• โœ˜โœ›โœš โœธโœŒโ†•โœขโœœ โœ‡ โ†•โœฃ โž‘โœ–โž‰โœธโž‚โœฃโžˆโšโžโœ‘โž‰โœธโžœโœชโž‚โโžƒโž‹โž‰โœธโžœโœชโžƒโœ•โž„ โ†’ โž’

โ†•โœค โฑโœ โžโ–ฒโž”โœโœ”โœถโž‰โ‡โž†โฆโž„โ‘จโ‘งโ†”โœญโž’ โถ โ†•โ–โž”โโจ โ†”โœญโž’ โถโ„โทโ‘ฃ โž”โงโžŒ โœฎ โท โž’โœชโ†” โœŒ โž’ โถโœฟโทโœฅ โž”โ˜…โž” โ†•โงโžŒ โžโž โก โ†•โ‘ฃ โ†” โœŒ โœŒ โž’ โถโœฟโทโ‘ข โž”โ˜Žโžโž โž„ โš t โท โœ‡ โ†• โœโœ›โš โพ โƒโœ”โ‰ โž‡โžœโฟ

โ™โœฎโš โžกโœฎโšโœŽโœ โœฆโ„โžโ˜…โœงโœ”โžโ˜žโœก โฉโž‹โก โœžโ›โคโ˜žโ™ฆโž™โญโœ™โœžโœฟโœโœ’โžค โฉโ– โคโœฃโตโฑโžฉโœ™โซโฃโœโ˜ŽโžโžŸโœโœคโžคโ˜Žโžโœ—โ™ฆโž™โญโœ™โœžโณโ™ฆโ‘คโžค โœžโœ”โกโžœโซโดโคโ˜žโ™ฆโœŸโœฉโ˜Žโญโฒโกโžœโซโœโตโœซโœชโœฑโžคโ˜Žโžtโ—†โœงโœฃโžƒโœชโœ—โœŽโโ…โ— โœขโ‡โณโœฎโœงโœœโœ’โœฃโโ‘โœ’โœฃโœขโ‡โœฌโœ‘โœฌโ€โœ•โœฝโž€โœ–โœงโœฝโœโœ‘โœคโœนโœฉโ‹โœ•โžจโžŠโœฎโžƒโœ„โฟโ—†โœคโ˜…โœ•โโœฌโœ‘โœขโœœโœคโœ™โœคโ˜…โœ•โ–ผโโœ”โœขโ‡โœโœ‘โœคsโž€โœ“โœ•โ–ผโœฉโœ›โœขโœฝโœคโœนโโœโžƒsโœฏโœฐโœงPโžƒโœ”โœฑโœฝโœ•โœ›โœฏโœฐโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โ™โœดโšโœ’โ˜…โœงโœธโœทโœนโœโœ—โฟโœ–โœ•โœฒโœ โง โœ’โœฃโโœโฟโœ“โœโœ‘โœขโžโฟโœ“โœ’โ˜…โœ•โœฝโ‰โœโž‚โœŽโœ•โž€โœ“โœขโซโœบโœปโœงโœฝโœ’โ˜…โœฏโ„โžƒโœ„โž€โœ–โœ•โโโœชโœ•โโฑPโœ—โœˆโžฒโ‰s โ†”โœญโž’ โถ โžฅโฃโ†• โž”โทโจ โ†”โœญโž’ โž› โž”โœฌโžŒ โก โ†•

โ‘ฃ โ†” โœŒ โž’ โถ โžฅโฃโ‘ข โž”โนโœ โถ โžฅโฃโ‘ข โžŒ โžโž โก โ†•โ‘ฃ โ†” โœŒ โœŒ โž’ โถ โžฅโฃโ‘ข โž”sโœโœ›โš

โœงโœœโœโ˜›โโœชโœโœฒโโœโžƒโœ—โฟโญโœ—โœฌโž€โœ“โœขโฉโœบโœปโœงโœœโœ’โœ™โœฏโœปโžƒโœ—โž€โœ–โœ•โœฐโโœชโœ•โœฐtโจโœขโœœโœโœ‘โœขโ‡โฅโœธโœขโœ”โ‰โœบร‘โžตโž€โžฃโž€โœ–โœ•โœญโœขโœฝโœคโ˜…โœคโž‹โžƒโœ”โœ’โœ™โœ•โœปโžŠโœฎโžƒโŠโ— โฟโžฃโž€โ„โœ•โ‹โฏโœโฟโ†โœคโ–โœ—โœ™โœ•โ„โžƒโœ‘โœโœ‡โœฌโœ”โœ’โœ™โœงโœชโœฉโ‹โœ•โœฒโœคโœ™โœคโž‹โžƒโœ‘โœคโœฟโœฉโœ›โœงโœœโœโœ˜โœ—โž‹โฟโœ“โœโœ›โžƒโœ‡โœฉโ‹โœ’โœ™โœงPโฟโ†โœคโœ™โœคโ˜…โœขโœœโœโœฝโœ—โœญโœฌโœฏโœฎโœณโœ—โœ™โœ•โญโž€โžŠโœฎโžƒโœ”โœ•Pโž‚โœชโœฌโœฎโœงPโžƒโœ”โœ’โ˜โœ—โœ™โœงPโžƒโœชโœ—โœŽโงโœบโž‚โœ”โœงโœฝโœโ™ฃโœขPโฟโญโœ—โƒsโฌ โถ โžฅโฃโ†• โผ โงโ–ผโฌโ‘ โจโœ•โฌ โงโคโฌโ‘ฉโžŒ โก โ†•

โ‘ฃ โš โŠโฏtโœณโˆร’โž…โƒโž’ โถ โžฅโฃโ‘ข โผ โงโœชโž”โนโœ โถ โžฅโฃโ‘ข โžŒโœฐโœฌ โœฎโ†•โค โœฉโ‹โœ•โโœฌโœ‘โœ’โ˜…โœงโœชโœฉโ‹โœ•โˆโœคโ˜…โœคโž‹โžƒโœ‘โœคโ™โœฉโœ›โœ’โ˜…โœงโœฃโฟโœ“โœคโœ™โœคโœ™โœขโ‡โœโœ˜โœ—โœฝโž‚โƒโœ•โœฒโœคโœฆโœ—โœฟโœขโœฝโœคโ˜…โœคโ˜…โœงโœชโœฉโพโฟโœ“โœโœ›โœ•โœฌโžƒโœ”โœโœ”โœ•โ–ผโœฏโœฐโœ•โˆโœคโณโžƒโœ”โœ’โœ™โœ•โ–ผโœโœ”โœงโœœโœ—โ˜…โœโœฒโœ•โžจโœโœฑโœฌโœฒโœฎโ†• โœคโž‹โžƒโœ”โœ’ โœฏ โน โœ•โœ›โœ—โœŽโœงโœœโœโฌโœฏโœฐโœงโœœโœโœ˜โœ—โ˜…โœ’โœ™โœ•โžจโžŠโœฎโžƒโŠโ— โœ•โญโž€โžฃโž€โœ–โœ•โ–ผโœ•โˆโœคโ–โœ—โœŽโ– โœคโณโžƒโœ‘โœฌโœ”โœฌโ€โœงโœฝโœ’โœฆโœ—โœ โโœ‘โœขโ‡โœโœ‘โœคโœ‰โดโœฝโฒโœฐโž™ โถ โžฅโฃโ†• โจ โงโƒโฆโƒsโ‡โœ—โ˜…โœ•โœฒโœฏโœฐโœฌโœ‘โœคโชโœฌโœ‘โœขโœฝโœคโ˜…โœคโ˜…โœโ™โโœ”โœขโœœโœโœ‘โœคโžตโž€โกโ— โœโœ›โœ—โœ™โœขโ‡โœ—โœถโงโœฎโ‰ โง โœโœญโœฌโ€โœ•โœฝโžƒโœชโœ—โœถโœ•โœฒโœโœ‘โœคโž‹โžƒโœ„โฟโญโœ—โœ™โœ•โ™โœโ‹โœ—โœ™โœ•โœ›โœโœ‘โโœ”โœ’โ˜…โœ•โ‚โž€โ†โœขโโœบโœปโœงโœœโœ’โœ™โœฏโœปโžƒโœ—โž€โœ–โœ•โ™โโœชโœ•โฑPโœ—โณโžฒโ–ผโ– โ–ผโโœ”โœ•โœฒโœคโตโœบโœปโœงโœฝโœโœ‘โœฉโœผโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโœ‘โœคโžตโ†”โ‰โžŠโœฎโžƒโœ„โฟโ€โœคโ˜…โœงโœœโœโœ˜โœ—โžตโž€โ†โœขโโโœโฟ โžŸโžŠโœโœ›โœ’โœ™โœ•โœ›โœโ€โœฉโ‹โœ•โ™โœ•โœฒโœโœฝโœ—โœ™โœ’โ˜…โœ•โ™โโœ”โœ•โญโžƒโœชโฏโœณโœบโœปโœงโœœโœโœ‘โœฉโ‹โœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโœ‘โœคโœ โœฉโ‹โœงโœœโœโƒโœฑโœฝโœ•โ‹โฏโœชโœ•โœฒโœคโœฒโ‰ โง โœโœฐโœงโœœโณโœชโœ—โ—†โฟโœ–โœ•โœฒโœโœฝโœ—โฉโž€โœ“โœขโโœบโœปโœงโœฝโœ’โ˜…โœฏโ„โžƒโœ„โž€โœ“โœ•โโœชโœ•โrsโœ•โœ โž“โœฝโœ•โœ›โœ’โž‹รPtโœ‰โœขโ‡โœโ€โœขโ‡โฅโœธโœขโœŽs

โ†”โœญโž’ โถ โžฅโฃโ†• โž”โž’โจ โ†”โœญโž’ โž› โž” โžŒ โก โ†•โ‘ฃ โ†”โ˜žโœŒโกโž’ โถ โžฅโฃโ‘ข โž”โณโœ โถ โžฅโฃโ‘ข โžŒ โžโž โก โข โœฌ โœฎโ†• โ†”โ˜žโœŒ โœŒPโž’โฒโงโœชโž”sโœโœฝโง

โœงโ‡โ†โโž€โœ“โœขโ˜›โโœชโœโœ›โœ’โ—†โฟโœ“โœฑโœœโœโœ›โœ•โ™ฃโœ•โœฒโœคโœฆโœ—โœญโ– โœ‡โœฌโœ”โœ’โœ™โœ•โœ›โœโ€โโœชโœ’โ˜…โœ•โฌโœขโžโžƒ โœคโœฆโœ•โœฒโœโœ‘โœคโœฐโโœชโœ•โœฒโœคโœญโโœ„โฟโœ“โœคโœฆโœ—โ˜…โœ’โ—†โฟโœ–โณโœ—โžƒโœชโœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโœ‘โœคโœฒโ‰โฒโž‚โœŽโœ• โž€โ†โ– โœ„โž‚โตโœงโœœโœโ‘คโโœชโœโˆโโœโžƒโœ„โฟโœ–โœ—โ‘กโž€โ†โœขโœ‡โœบโœปโœงโœœโœ’โœ™โœฏโœปโžƒโœ„โž€โœ“โœ•โ™ฃโโœ”โœ•โ‘โœ—โœ™โœ•โœ›โœฏโœฐโœฌโœ‘โœคโโ…โ— โœงโƒโœฉโœฒโœฉโพโžƒโœ”โœฌโ€โœขโœธโœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโœฌs โก โ†•

โ‘ฃโœดโœณ โž’ โถโžฅโฃโ‘ข โž”sโœโœฎโš โจ โก โข โœฌ โœฎโ†• โœณ โž’โœโงโƒโž”sโœโœ˜โง โพ โƒโœ”โ‰ ร“โžฏโฟ

โœฌโœ”โœ’โœ™โœ•โœฒโœคโ—†โžŠโœฃโžƒโœ‘โœ•โœตโœคโœถโœตโœ‘โœ’โ˜…โœ•โœฒโœฏโœณโœ•โœฒโœโœ˜โœ—โœŽโœฌโ€โœงโœฃโžƒโœ”โœ’โœฟโœ—โ˜…โœงPโžƒโœ”โœ—โœŒโฒโœนโœ•โ‹โœ—โ‚โœ—โ˜…โœงโœฃโžƒโœชโœ—โ˜…โœ•โœตโœบโœปโœงโœœโœโœ‘โœฉโ‹โœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœ โœณ โณโœฎโœงโœœโœ’โœ™โœโญโž€โžฃโฟโœ“โœ•โœ›โœโœ”โœโœ”โœ•โœตโœฌโ€โœงโœ˜โœคโณโฟโœ–โœ—โž‹โฟโœ“โœฑโœœโœ•โœฝโ‰โ€โดโตโœงPโžƒโœ‘โœ’โœ‰โฝโœ‘โœโœ„โฟโœ“โœ’โ– โž‚โ€โœงโœฝโœโขโœโ‹โœ—โœฃโœขโ‡โณโœ„โž€โžฃโฟโญโœ— โž€โœ“โœขโœฉโ‹โœงโœฝโœโœฝโœ—โ—†โฟโœ–โœโœ›โžƒโœ„โฟโœ–โœ—โ˜…โœโโโœชโœ•โœฅโž’โœโงโœบโฑโณโฒโœฆโž” โ โœฌโœฒโœฎโ†• โ‰ โœ‘โ„โœงPโฟโœ“โœ’โœคrโœนโœ•โœ›โœฑโœ›โžƒโœโžฝโโœ•โœ›โœ—โœธโœทโชโœงโœœโœ’โโโœ“โ‘งโœœโ‘งโž”โž›โˆโžPโ‰โž‚โœฟโœขโœœโœโœ‘โœคโžจโž€โœ“โœ•โ‘โœฉโœฒโœขโœœโœคโ–ผโโœโžƒโ‘ โœฏโœณโœงโœฃโžƒโœ”โœฑโœœโœ•โœฒโœฏโœฐโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โ–ผโณโœ”โœ’โœ™โœงโœธโœทโœนโœโœ„โฟโœ–โœ•โœฒโœโ˜›โœบโœปโœ’โœ™โœขโœฝโœฉโœผโœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโœ‘โœโœ‘โœขโžโฟโœ“โœ’โ˜…โœ•โœฃโž‚ร’โž€โœ“โœ•โœญโœ—โ˜…โœซโœ”โœโœฒโœงโœœโœ’โœˆqโœ›โœฏโœฐโœ•โ™ฃโ‘ฆโœชโ‰โœ–โ‘งโœฝโ‘งโœญโœฌโœ‘โœขโ‡โœšโœฝโœ•โœฅโ‘ฅโ‡โ™ฅโขโœโœ”โœงโœฃโžƒโœ‘โœคโ–ผโœขโœฝโœคโ˜…โœคโž‹โžƒโœ”โœ’โœ™โœ•โž€โœโ— โœ•โ‹โฏโœโฟโ†โœคโ–โœ—โœ™โœ•โœ›โœโœ‘โœฉโœ›โœ•โœนโโ…โ— โžƒโœ‘โœโœฐโœ—โ˜…โœ•โœ›โœฏโœฐโœฌโœ‘โœคโžตโž€โœ–โœงโœชโœฉโœ›โœขPโž€โœŸโœฌ โท โž‚โ‡โณโœ„โฟโ†โœฉโ‹โœงโœฝโœโœฝโœ—โ—†โฟโœ–โœโœ›โžƒร’โž‚โœฝโโœชโœ•โœ›โœโœ‘โœคโž‹โฟโœ–โœ—โ˜…โœโ™โโœโžƒโœฐโœ—โœ™โœ•โœ›โœฏโœฐโœฌโœ‘โœคโชโโ…โ— โœงโœชโœฉโœ›โœฉโญโžƒโœ”โœฌโœ‘โœขโœธโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโœณโโœ‘โœขโ‡โœโœ‘โœคโžโž€โœ“โœ•โ™โœคโ˜…โœ•โœ›โœโœ‘โœคโ„โœง โ†ร’โž‚โœธโœฌโœฎโœงPโžƒโœ”โœ’โœ—โ˜…โœงโœฃโžƒโœชโœ—โ˜…โœ•โ‚โœบโœปโœงโœœโœโ€โœฉโœผโœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœ โœณ โณโ€โœงโœฝโœ’โ˜…โœโœฝโž€โœณโฟโœ“โœ•โœ›โœโœ”โœโœ‘โœ•โโœฌโ€โœงโœ˜โœคโณโฟโœ–โœ—โž‹โฟโœ“โœฑโœœโœ•โœฃโž‚โœชโœงโœœโœโฌโœขโซโœฌโœ‘โœ’โ˜…โœ•โˆโœคโž‹โžŠโœฎโžƒโœ”โœ•โโœคโœซโœตโœ”โœ’โ˜…โœ•โœฒโœฏโœฐโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โœนโœฌโ€โœงโœฃโžƒโœ”โœ’โ˜โœ—โ˜…โœงโœฃโžƒโœชโœ—โœ‰โฒโœ’sโก โ†•

โ‘ฃ โœณ โž’ โถ โทโ‘ข โž”sโœโœ›โš โจ โก โข โœฌ โท โž’โœชโฒโ™ฆโฑโ˜…โงโœชโž” โœณ โž’โฒโงโœชโž”sโœโœ˜โง

Page 124: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŒโœ๏ฟฝ โœ‚โœ„๏ฟฝโงโœšโœ•โ˜›โœฃโœกโ˜Žโœ˜โโœ“โœ†โ˜Žโœคโ˜›โœžโœโœ™โœ‘โœฎโœกโœ โœŸ โœ“โ˜›โœกโขโ˜›โžจโœ–โœ’โ˜›โ–ผโœŸ โœ„โœ โ˜Žโ˜Žโœ„โœŒโ˜žโ– โœ„ โ‘งโœœโ‘งโ– ร“โ——โ—†โœขโ‚โœบโœปโœงโœฝโœ’โ˜…โœฏโ„โžƒโœ„โž€โœ–โœ•โœฟโโœชโœ•โœŽโฑPโœ—โœˆโžฒ โพ โƒโœ‘โ‰ โž‡โžฏโฟโตโœฏโœฐโœ•โ‹โœ—โœถโœ•โœฒโœโœญโœโœ›โœฑโœ›โฟโ†โโœชโœ•โœ›โœโœ‘โœฉโœ›โœ•โœ‰โž€โกโ— โฟโœ“โœฏโœฐโœฌโ€โœงโœฝโœ’โœฆโœ—โœฃโœขโ‡โœโœ‘โœฉโœ›โœ•โœŽโโœโžƒโœฅโœโœ”โœงโžปโž“โœ˜โœขโžโžƒโ‘ โš โ โžโžœโž„ โš t โท โœ‡ โ†• โโœ”โœขโ‡โœโœ‘โœค โž€โœ–โœ•โœŽโœ—โ˜…โœ•โœฒโœ’โ˜…โœฏโœฐโœ•โœŽโโœชโœ•โœ—โ˜…โœ’โœฃโœขโœœโœฉโœ›โœ•โœœโ‰โœฎโฑ โž€โจโœบโฒโœขPโžƒโœชโœ—โโœโœ›โœฑโœ›โฟโœ“โโœ”โœ•โœ›โœฏโœฐโœฏโœฐโœ•โœ›โœโœ˜โœ—โ‚โœ•โœฒโœโขโœ—โœ™โœ•โœ›โœโœ„โฟโœ“โœ’โโœฉโ‹โœงโœœโœฏโœฐโœฌโœชโœ—โœ™โœ•โซโœฌโœฎโœงPโžƒโœ‘โœ’โœฟโœโœ›โœ—โœ™โœขโ‡โณโœ—โž€โœณโฟโœ“โœ’โœŒโžƒโœ‘โœโœ”โœ•โœตโœบโœปโœงโœฝโœ’โ˜…โœฏโ„โžƒโœ„โž€โœ“โœ•โœณโโœชโœ•โœฐtโœ‰โœขโ‡โœโœ‘โœขโœœโฅโ–ฒโœขโœ‘โ‰โœ‘โดโตโœงPโžƒโœ‘โœ’โโœฉโœ›โœ•โ–ผโœบโฒโœขPโฟโœ–โœ’โœ™โœ•Pโž‚โโœ”โœขโ‡โœโ€โœคโโ ร“โ™ฅโž‡โœ›โž‚โœ”โดโชโœ’โœ™โœงโœœโœฌโœฎโœงโœฝโœคโž‹โฟโญโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโœธโž‡โœณโœฌโœ‘โœขโœœโœšโœœโœ•โ‘ฉโž›โœธโž โž‚โœ”โœงโœœโœโ™ฃโฟโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœ’โ˜…โœงโœชโโœโžƒโœ—โฟโญโœ—โ‚โžƒโœ”โœโ™ฃโœ—โ˜…โœ•โœฒโœฏโœฐโœฌโœ‘โœคโ‚โž€โœ“โœงโƒโœฉโœฒโœขโžโž€โœ๏ฟฝ โท โœฌโœ‘โœขโ‡โœ’โ– sโžฆโžจโžงโœ†โžฉ โœ“ โนโœธโžซโœ›โœท โถsโผโŠโฝโœฟโžญ rโ…โž‰โœธโž…โž‡โžƒโœžโž„ โ†’ โž’ โž› โฑโž”โžโˆโž”โœณโžโ‹โžƒโ˜โžˆโœ›โž‰โ‡โž…โž‡โžƒโœบโž‡โœ„โœ‚โ‹โž’โœชโž†โœฎโž” โจ โ†•โ˜Ž tโœโœ† โœ‚ โž…โœฝโž†โœฃโž‡โœŸโœž โผ โœ’ โฃt โœ‚โœกโœ  โž„โœธโž›โœธโžโœฃโžโœฌโž„โ‘ฉโž… โž› โœ”โ˜โž„โœธโž‘โœ–โž‰โ‡โž‚โœฃโžˆโœโœ”โจโžโœ‘โž‰โœธโžœโœชโž‚โœตโžƒโž‹โž‰โœธโžœโœชโžƒโง โ†’ โœฏ โžโ‹โžƒโœถโžƒPโž‰โ‡โžœโœชโžƒโ†โฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโœฆโœฅ โฝ โž‰โ‡โž†โฆโž„โ™ฃโ‘งโžโž โž„โœƒโก โ†•โ‘ฃ โž‡ โœ‚ โž’ โถโ„โทโ‘ข โผ โงโœชโž”โœ„โš t โท โœ‡ โ†• โœโœ›โš โœป

โฃ โธ โœฝ โปโผ โโœ‚โ˜žโ˜› โ‘ฃ ๏ฟฝ โท โž’โ‘โฒโ™ฆโฑโœ™โงโƒโž”๏ฟฝโœฒโœฎโ†• โžโ‹โžˆโœผโžƒโœถโž‘โœ–โž„โ‘ฆโœˆโœœโžโœ›โž†โœ”โžˆโœผโž…โž‡โžƒ โžž โœˆโ‡โžœsโžƒPโžโœ›โžŽโ™โžโœฎโžˆโœ™โœˆโ†โžณ โž‰โœฒโžโœฃโžโœ›โžœโˆโžโœ”โž„โ‡โžƒโœโž…โฒโž‰โ‡โž†โœฐโœˆโœœโž„โœธโž†โœ‘โžˆโโž‘โœ–โžโโžˆโœ›โžโœ›โž†โœ”โžˆโ‚โžˆโœผโžœโœชโž…โž‡โž›โ–ฒโž„โ‡โž†โœ‘โžƒโ‚โ‘งโก โ†•โ‘ฃ โœณ โž’ โถ โทโ‘ข โž”โœ’โžโž โž„ โš t โท โœ‡ โ†• โœโœ›โšโžฒโจ โก โข ๏ฟฝ โท โž’โ‘โฒโ™ฆโฑโœ™โงโƒโž” โœณ โž’โฒโงโœชโž”โœ‰โœโœ˜โงโ——โ—†โœขโซโœบโœปโœงโœœโœ’โœ™โœฏโœปโžƒโœ„โž€โœ“โœ•โโโœชโœ•โ–ผtโœ‰โœขโ‡โœโœ‘โœขโœœโฅโ–ฒโœขโซโœฌโœฎโœงPโžƒโœ”โœ’ โถ โท โœคโœ›โ— โœโœ›โœโœ‘โœงโœœโœโœ‘โœฉโœ›โœ•โโœขPโž€โœ–โœงโœฝโœ’โœ™โœคโ˜โœขPโฟโœ–โœโœ‘โœคโž‹โฟโฒsโžฆโžจโžงโœ†โžฉ โœ“ โนโœธโžซโœ›โœท โถsโผโŠโฝโžฃโœฒโœ“โœ’โœนโž‰โ‡โžœโœชโž‚โโžƒPโž‰โ‡โžœโœชโžƒโœ•โž„ โ†’ โž’

โ†•โœ โฑโœ โžโ–ฒโž”โœโœ”โœ โž‰โœธโž†qโž„โ‘จโ‘งโฌ โถ โทโ†• โผ โงโคโฌโ‘จโจ โฌ โงโคโฌโ„โžŒ โœฎ โทโ†• โž’ โถ โทโœฅ โผ โงโœชโž”โงโžŒโœŒ๏ฟฝ โท โž’โ‘โฒโ™ฆโฑโœ™โงโƒโž”

โž’ โถ โทโ†• โผ โงโƒโž”โน โจ โž’ โผ โงโœชโž”

โน โžŒ โœฎ โทโ†• โž’ โœš โธ โœฎ โ†” โ— โป โž’ โถ โทโœฅ โž”โ˜…โž”โฃโžŒ โžโž ๏ฟฝ โท โž’โ‘โฒโ™ฆโฑโ˜…โงโœชโž”โœโญโœˆ โžž โžโ—โœˆโœœโžโœตโž‘โœ–โž„โ™ฃโœˆ โžž โžŽโœฐโž‰โ‡โž†โœ”โžˆโœผโžƒโกโž‚โ˜…โž„โœธโžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†โœ‘โ‘งโœŽ โ‘ฃโšโœขโœฝโœคโ˜žโž„ โž… โ†•t sโœ‘tโ˜โœซโœ”โœโœฒโœงโœœโœ’โœˆqโœ›โœฏโœฐโœ•โœ™ร“โœณโœฌโœ‘โœขโ‡โœšโœฝโœ•โซโ‘งโœฝโ‘งโโโœ”โœ•โœญโ ร“โ™ฅโž‡โˆโžโง โœโœตโœฉโœ›โœงโœœโœโœ‘โœคโž‹โฟโ†โโดqโœ›โœ’โœ™โœ•โžตโ†” โœŒโœ‚ โจ โžโžตโœ‡ โœ’โœ‡ โ— โž‡โœโœ‚โœผโž’โœ’โœ‘โœ”โž”โนโœโœ“โœ‘ โผ โžโœฝโ‰ โง โœโœตโœขโœœโœฌโœ”โœฌโœ„โž€โžฃโฟโžฃโžŠโœฎโžƒโœ”โœ• โž€โœ“โœขโ˜โœบโœปโœงโœฝโœ’โ˜…โœฏโ„โžƒโœ„โž€โœ“โœ•โœ โโœชโœ•โœ โฑPโœ—โœˆโžฒ โƒโœ”โ‰ โž‡โœนโ– โœ‰โ†”โœ”โœ‚โ…โœ•โœ›โœ—โจโœงโœฝโœโโœฌโœ‘โœขโœœโœคโœ™โœคโœฆโœ•โœถโ– โ‚โž€โœ“โœขโž€โžฃโฟโœ–โœฏโ‘กโฟโœ–โœ—โ˜…โœ•โžโžŠโœฃโžƒโ€โœขโ‡โœโœ‘โโžจโž„โ—†โœ—โ˜…โœ•โœฒโœโœ‘โโโœฑโœฝโœ•โœ›โœ’โœฃโœคโŠร•โœ”โ‰โ–ฒโ——โ—†โœขโ™โโœ„โฟโœ–โœ•โœฅโœฉโพโžƒโœ—โž€โญโœ—โœ™โœโœ โœ’โœ™โœโœฒโœคโž‹โฟโœ“โโœชโœ• โฟโœ“โœฉโญโฟโœฝโœ•โœฒโœโœ™โž€โœ“โœขโ™โœฉโœ›โœงโœœโœโƒโœฑโœœโœ•โœฒโœ’โ˜…โœšโœฝโœ•โœ›โœโœ‘โœฉโœ›โœ•โ„โโœชโœ•โœนโœฎโœชโž’โœกโœพโœฏโœฟโœโ˜Ž โ†” โœŒโœ‚ โž’ โถ โทโœฅ โผ โงโœชโž”โœŒโœžโ‹โž” โ†•โœฑโœฝโœ•โœ›โœ’โœฃโœคโœงโœฎ โท โž’โœŽโšโœ›โŠโœŽtโœณโˆร’โž…โƒโž’ โถ โท โผ โงโœชโž”โœฆโž”โนโ†•โœผโ‰โœŽ โ‘ฃโšโœขโœฝโœค โ†•โœ โœ”โโž„โ–โœ” โ†•t sโœ‘tโ˜โœซโœ”โœโœฒโœงโœœโœ’โœˆqโœ›โœฏโœฐโœ•โž‹โž›โœณโœฌโœ‘โœขโœœโœšโœœโœ•โœฐโ‘งโ–ฒโ‘ฆโซโโœชโœ•โœฐโ ร“โžฏโž‡โˆโžโ——โœ โ— โฟโ†โโœชโœโœ›โœ•โโœ•โˆโœคโ–โœ—โ‚โž€โ†โœขโœณโœฏโœ”โž‘โœฒโœฏโœฐโœ•โโœฏโœฐโœขPโฟโœ“โœคsโž€โ†โœขโœฐโœฉโ‹โœงโœฝโœโœ˜โœฑโœฝโœ•โœ›โœ’โœ™โœšโœœโœ•โœฒโœโœ‘โœฉโ‹โœ•โœŽโโœ”โœ•โœ›โœฏโœญโœขโ‡โœโœ‘โโœ”โœ•โโœฌโœ„โž€โœณโžƒโ€โœคโœนโโœชโœ•โโœ—โ˜…โœ’โœฃโœขโ–ฒโœฑโœธโœขโžโฟโžฃโž€โžŠโ– โœฐโœฉโœฒโœขโžโžƒโœ‘โœคโ˜…โœ•โโโœชโœ•โœฌโž€โœ“โœขโœฐโœคโž‹โฟโœ–โœโœ”โœšโœฃโžƒโœ„โž€โ†โœขโ‡โœ’โ—†โฟโญโœ—โœ™โœโโœชโœ•โœ˜โœ—โœšโœ™โœ—โœšโœ› โœ•โœ›โœ โž› โ‰ โง โœโฌโœฏโœฐโœงโœœโœโœ˜โœ—โ˜…โœ’โœ™โœ• โพ โœฌโœ”โœ’โœ™โœงโœœโœฌโœฎโœงโœฝโœคโž‹โฟโญโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœ โฎโซโœฌโœ‘โœขโœœโœšโœœโœ•โœฐโ‘งโ– โฎโœณโโœชโœ•โœฐโ ร“โžฏโž‡โˆโž โฟsโžŠโœฎโžƒโœ”โœ• sโœœ โก โ†•โ‘ฃ โ˜Ž โ†” โœŒโœ‚ โž’ โถ โทโœ› โผ โงโƒโž” โผ โ†” โœŒโœ‚ โž’ โถ โทโ‘ข โผ โงโœชโž” โœž โ‘ โ€โ‘โœโœข โž’ โœข โฑโ—†โšโ–ฒโž”โนโœ โœข โž™รโš โ†’ โ‘จ โž› โฑโœฆโœฅ โฝโœโœฃโœฉโœ›โœงโœœโœโƒโœฑโœœโœ•โœฒโœ’โ˜…โœšโœฝโœ•โœฟโโœ”โœขโœœโœโœ‘โœคโžโžŽ t โž’ โ‘จ โž› โฑโณโฒ โฝโœฅโœค โžโœนโž”โšโœฑโœœโœ•โœฒโœ’โœ™โœคโœœ โก โ†•โ‘ฃ โ˜Ž โš โŠโœŽtโœขโˆร’โž…โƒโž’ โถ โทโœ› โผ โงโƒโž” โผ โš โŠโœŽtโœขโˆร’โž…โƒโž’ โถ โทโ‘ข โผ โงโƒโž” โœž โ‘ โ€โ‘โœโœข โž’ โœข โฑโ—†โšโ–ฒโž”โนโœ โœข โž™รโš โ†’ โ‘จ โž› โฑโœฆโœฅ โฝโœโœฃ โœฆ

โ‘ฉโฉโถ โœทโธโทโœชโนโœธโบโ…โป โถsโผโŠโฝโœฟโžญโ˜…โœง โžž โžโœ™โžโœ›โžŽโœณโžŽโœฐโžโœ›โž†โœ‘โžƒโœŽโœ”โœ โฟโœฅโœฉโœ”โžโœ›โž‚โœผโž…โœชโœˆโœธโž…โž‡โžƒโž‹โž‰โฉโžโœ›โžƒโœฅโœชโโžœโœ‘โž„โ‡โž‘โœ–โž„โœธโž‚โœผโžƒโ†โžธ โžขโœฌโœซ โžบโโž‰โœธโž†โ€โžƒ โžž โžƒโž‹โžโœ›โž†โœบโœˆโœธโžœโ‘โž‘โœ–โžโžจโœˆโœฝโž‰โœธโžŽโœญโž„โœธโž…โž‡โž†โœฎโžโ„โœˆโœœโžโโž‘โž‹โžณ โž‰โœ™โž โžž โž‚โ˜…โž„โ‡โžƒPโžโœ›โžœโœชโž‚ โœฎ โžกโฟโชโžโ‹โžƒโกโžƒPโžโœณโžโœ™โžโœœโžƒโž‹โžโœ›โž†โœ”โžˆโœผโž…โฒโž‰โœธโž†โขโž‘โœ“โžโ‹โžœโœชโž‚โœตโž„โโžโœ”โžโœ›โž‚โœผโžŽโœณโž…โ†โžˆโ„โœˆร’โžณ โžž โžƒPโž„โœฃโ‘คโ‹โž‘โžพโž…โž‡โž‚โซโžœโœชโž†โœฎโžโœ โžโ‹โž‰โœธโž‚โœผโžŽโœณโžœโœชโž‘โœ–โžโ‘กโœˆโœœโžโœญโœโœผโžƒโœฏโœฎโœญโž›โœธโž„โœธโž‘โœ–โž„โœฃโ‘คโ‹โž‘โœ“โžโœŽโžโœ”โž‰โ‡โžœโœชโž‚โœคโž„ โ†’ โž’ โž› โฑ โ†•t โž”โœ โžธ โžขโœฐโœซ โœ” โžš โžโœ›โžŽโœณโžŽโœฐโžโžปโœณโžโœ‘โž„โœ›โžŸโœ˜โžโ™ฃโž  โœซ โžบโœฅโžโœ›โžƒโ‚โž‰โ‡โž†โœ‘โžƒโ‚โžโœฃโž‰โ‡โžŽโซโžŽโœญโžโ‘โžโœฃโž‰โ‡โž‚โ˜…โž‰โœธโž‘โž‡โž‘โœ–โž„โ‡โž…โž‡โž‚โ˜…โž โœˆ โžž โžŽโœฐโž‰โ‡โž†โœ‘โžƒโกโž‚ โžž โž‘โœ–โž„โ–ผโžโ‹โž‰โ‡โž‚โœผโžŽโซโžœโœชโž‘โœ–โžโ™ฃโœˆโœœโžโœฒโœฑโ€โž„โœธโž†โœฎโž„โœšโœณโœœโž„โœฐโžโœ”โž‰โ‡โžœโœชโž‚โœญโžƒPโž‰โ‡โžœโœชโžƒโœฃโž„ โ†’ โž’ โž› โฑโœ โžโˆโž”โžจโžธ โžขโœฐโœซ โœ”โœฑโœ„โœฉ โžž โž‰โœธโž‚ โœขโœ›โžŽโœญโžโœณโž โœฃโžพโ‚โžโœ‘โž„โœ›โžŸโœ˜โžโœฐโž โžโžปโณโžบ โžกโ‘ฉโฉโถ โœทโธโทโœชโนโœธโบโ…โป โถsโผโŠโฝโžฃโœฒโœตโœดโ˜โž†โขโžโœ”โžโœ›โžœโœชโžƒ โžž โžŸโœ˜โž„โœธโž‘โœ–โžโœ›โžŽโœญโžโ‹โž†โ€โžƒโโžโœ›โž…โž‡โžƒโž‹โžโ‹โž‚โœฅโž‘โœ“โžโœผโžˆโœฅโžƒโกโž‚โ˜…โž„โœธโž›โœธโž„โœธโžœโœœโžโœ‘โœˆโœฝโžโœทโœถโ–ผโžœ โœ”โœนโœธโœบโœณโ–ฒโžˆโœ›โžโœ›โž†โœบโœˆโœœโž„โ‡โž‘โœ†โžธ โœซโœฌโœป โžบ โžกโœฝโœผ โž„โ‡โž†โœ”โžˆโฉโžโœฃโžโ‹โžƒโโž„โœธโž‚โœผโžƒโกโž…โฒโžโœ›โž‘โœ–โžโœธโœ”โžœโœชโž†โœฎโžโžจโœˆ โžž โžโœ™โž‰โ‡โžŽโ™โžโœ‘โž‰โ–ฒโžˆโœผโž…โž‡โžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†qโžโœพโœฉโœ‘โž„โœœโž‰โœธโžƒโกโž…โœชโžผโœ›โžœโœ‘โžโ˜โžโœ‘โž‰โœธโžœโœชโž‚โ‚โž‘โœ–โžโโžƒโž‹โžโœ›โžŽโ™โžโœฎโžˆโ‚โž‘โœ–โž‰โˆโžโœฃโž„โœธโž‘โ—†โžโ‹โžˆโœผโžƒ โžž โžƒโž‹โž„Pโ‘คโœ›โž‘โžพโž…โฒโž โžก โœโœผโž‘โŠโžโ‹โžˆโœผโžƒโœ โž…โž‡โž†โœ‘โžƒ โžž โž‚โ˜…โžโœผโžˆโœฃโžˆโœ›โž„โœธโž†โ€โžƒ โœˆโœœโžโœตโž‚โ˜…โžโœ›โžŽโœฐโž„โ‡โž‚โž‹โžผโ‹โžœโœ‘โžโœ›โž‚โœ™โžผโ‹โžœโœ‘โžโžโœ”โž‰โ‡โžœโœชโž‚โœฐโž‰โœฃโ‘คโ‹โžƒโž‹โžโœ›โž†โœ‘โž…โž‡โž‚โœฐโžœโœชโž†โœฎโžโœนโžโ‹โž‰โ‡โž‚โœผโžŽโซโžœโœชโž‘โœ“โžโ‘ฆโœˆโœฝโžโœฟโœฑโ€โž„โœธโž†โœฎโž„โœšโœณโœœโž„โ——โœˆโœœโž„โœธโž†โœ‘โžˆโœณโž‘โœ“โžโฉโžโœฃโž„Pโœˆโ‡โž‚โ˜…โžโ‘ฆโœˆโ‡โžœqโžโœฃโž„โ‡โž‘โœ–โžโ‹โžœโœชโž‘โตโžˆโœผโžƒโž‹โž‰โœฒโžโ€โœฉโœ”โž„โœธโžˆโœผโžƒโœโž…โœชโžผโœ›โžœโœ‘โžโ‘จโœˆ โžž โž›โœธโžโ‹โž‘โœ“โž‰โœ™โžโœœโž โžž โžโœ”โž„โ‡โž‚โโœถโโžœโœพโžโ‹โžƒโœธโœบโœณโ–ฒโžˆโœ›โžโœ›โž†โœบโœˆโœœโž„โ‡โž‘Pโžธ โœซ โžคโ—†โžบโœโœ”โ—†โž…โž‡โž‘โžŠโžโœผโžˆโœผโžƒโ—†โž† โžž โžโœ™โžโ‹โžˆโœฃโžˆโœ›โž„โœธโž…โž‡โž‚โ˜…โž โœˆโœœโžโชโžโœ‘โž‰โœธโž†โœบโœˆ โžž โž‚โœ™โžโ‹โž‚โœนโž‘โœ–โžโœŽโžƒโž‹โžโ‹โžŽโœŽโžโ€โžˆโœนโž‘โœ–โž‰โˆโžโœฃโž„โœธโž‘โ—†โžŒโœ–โžโœ‘โž„โœธโž‚โœนโž‘โœ–โžโœŽโž†โœฎโž‰ โ—†โœœโž„โœธโžœโœปโš โ โžโž โž„โธโž’โžขโžโž โž„ โผ โžโ–ฒโž”โžตโš t โท โœ‡โ™ฃt โž™โžŒPโž›โ–ฒโž‰โ‡โž…โž‡โž‚โ‚โœธโƒโœณโœธโžˆโœ›โžโ‹โž†โ–ผโœˆโœœโž„โ‡โž‘ โœ”โ„โœถโโžœโขโžโœ›โžƒ rโ…โž„โœธโž‘โœ–โž‰โœฃโžโœ”โžโ€โœณโ„โžธ โœซ โžปโ—†โžบ โžก

Page 125: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ‘งโœœโ‘งโœฒโ™ฅ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โ˜Žโœ†โœžโœโœ โœŸโœ‚โœกโ˜žโ˜›โœโœŒโœ„๏ฟฝโœŽโœโพ๏ฟฝโœโœ„ ๏ฟฝโœโœ†โœ’โœ‘โœ”โœ“โœ•โœกโœ—โœ–โœ’โ˜›โœ™โœ˜โœ›โœšโœ™โœ‘sโœกโœœโœŸโœขโ˜›โœฃโœกโœคโœกโœคโœ„โœ’ โน โœ“โ€โœฟ โน โœผ โžฉ โœœ โžฉ โผโ—†โฝโœ๏ฟฝโ˜…โœชโœตโž‰โ‡โžœโƒโžˆโโž„โ‡โž›โ–ฒโž‰โ‡โž†โœ”โžˆโโž‘โœ–โž„โฉโž‚โ˜…โžโœ›โž‘โœ–โž„โœธโžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†โœ‡โžˆโœฃโžœโœชโž…โž‡โž›โœธโž„โœธโž†โ€โžƒPโžโœณโžโœ›โž†โœ‘โžƒโกโž‚โ˜…โžโโž‘โœ–โžโ‹โžˆโโžƒPโžโœ›โžŽโœŽโžโ€โžˆโโž‘โœ–โž‰โœฒโžโœฃโž„โ‡โžœโœœโžโ™ฃโž„โœธโžˆโœฃโžˆโ‹โž‰โˆโžโœ›โž… โžž โžˆโซโž„โ‡โžœโ™ฃโžŽโœญโž‰โœธโžœโœชโž›โœธโžโœ›โžŽโœฐโžโœ›โž†โœ‘โžƒโœ‚โœนโž‚โœ™โž‰โ˜Žโœ„โ„โž†โœ‘โž…โฒโžโœ›โž†โซโžโœฃโž‚โœ™โž„โœœโžโœ›โžƒโœโž…โฒโž‰โ‡โž†โœ‘โž†โœฎโž„โ‡โž…โž‡โž‚โ˜…โžโ‘กโ‘ง๏ฟฝ โท โž’โ‘โฒโ™ฆโฑโœ™โงโƒโž”โโจ โก โ†•

โ‘ฃ โžโž โž„ โš t โท โœ‡ โ†• โœฌ โท โž’โœŽโšPโฑโœ™โงโœชโž”โ‹โž’โœชโœโœ›โšโ–ฒโž”โจ โžโž โž„ โฒ t โท โœ‡ โ†• โœฌ โท โž’โœชโฒโ™ฆโฑโ˜…โงโœชโž” โผ โžโžœโž„โธโž’ โžโžœโž„ โผ โžโ–ฒโž” โก โ†•โ‘ฃ โš t โท โœ‡โ™ฃt โœฌ โท โž’โฏโšโœฃโฑโ˜…โงโœชโž”โนโœโœ›โšโœผโซโžž โžŽโœญโž‰โœธโž†โœ”โžˆโœผโžƒโกโž‚โ˜…โž„โœธโžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†โžโ‘ง

โดโตโœงPโžƒโœ”โœ’โ˜โœ—โœ™โœงPโžƒโœชโœ—โœ™โœ•โœฟโœบโœปโœงโœฝโœโœ‘โœฉโœผโœ—โ—†โฟโœ–โœงโœฝโœโ™ฃtโœฅโณโ€โœงโœฝโœ’โ˜…โœโœฝโž€โœณโฟโœ“โœ•โœ›โœโœ”โœโœ‘โœ•โ‚โณโœฎโœงโœœโœ’โœ™โœโœ”โœโœฒโœ•โ‚โœงโœฝโœโ™ฃโœขโ‰sโก โข tโžŠโž’โœชโž†โœฎโž” ๏ฟฝ โท โž’โ‘โฒโ™ฆโฑโณโž†โžŠโž”โนโœโœฃโž† โจ โก โ†•

โ‘ฃ โžโž โž„ tโ…โž’ โถ โทโ‘ข โž”โž‹โš t โท โœ‡ โ†• โœโœฎโš โพ โƒโœ”โ‰ โ™ฅโ™ฅโฟโก โข tโžŠโž’โœชโž†โœฎโž”โœถโœฌ โท โž’โ‘โฒโ™ฆโฑโณโž†โžŠโž”โนโœโœฃโž† โจ โก โ†•โ‘ฃ tโžŠโž’ โถ โทโ‘ข โž”โนโœโœ›โš โพ โƒโœ”โ‰โฐโฎโžœโฟ

โž‚โœŽโœ• โพ โƒโœ”โ‰โฐโฎโžœโฟโœถโœงโœœโœโ‘โœ—โž‹โฟโœ“โœ’โœ™โœ•โžจโžŠโœฃโžƒโœ‘โœ• tโ…โž’ โถโœฟโทโ‘ข โž”โณโœโœฎโš โจ โก โขโœ‰tโžŠโž’โœชโž†โœฎโž”โœถโœฌ โท โž’โœชโœโœฃโฒโ™ฆโฑโณโž†โœฎโž”โณโœPโž†โœ•โ‹โœ—โœนโœ•โœ›โœโฌโœ’โœ™โœโญโฟโœ“โœโœ˜โœ—โ˜…โœ’โœ™โœงโƒโโœ„โžƒโœ„โฟโœ“โœคโœ™โœขโ‡โœโœ˜โœ—โœนโโœ”โœขโ‡โœโ€โœค โพ โƒโœ”โ‰ โ™ฅโ™ฅโฟโšโœงโœฝโœโ‘โœงโœฝโณโœชโœ—โž‹โฟโœ“โœ•โœ›โœโœ˜โœ—โƒsโก โข tโžŠโž’โœชโž†โœฎโž” ๏ฟฝ โท โž’โ‘โฒโ™ฆโฑโž‹โž†โœฎโž”โณโœPโž† โจ โก โ†•

โ‘ฃ โžโžœโž„ โก โข tโžŠโž’โœชโž†โœฎโž”โณโš t โท โœ‡ โ†• โœฌ โท โž’โœชโœโœ›โšPโฑโž‹โž†โœฎโž”โณโœPโž†โจ โก โข โก โ†•โ‘ฃ โžโžœโž„โ——โš t โท โœ‡ โ†• tโ…โž’โ‘โž†โœฎโž”โœถโœฌ โท โž’โœชโœโœ›โšโœฃโฑโณโž†โœฎโž”โณโœPโž†โจ โก โขโœ‰tโ…โž’โ‘โž†โžŠโž” โก โ†•

โ‘ฃ โžโžœโž„โ——โš t โท โœ‡ โ†• โœฌ โท โž’โœชโœโœ›โšPโฑโž‹โž†โœฎโž”โณโœPโž†โœ•โ‹โœ—โœนโœงโœœโœโฌโœ•โœฒโœโ™ฃโโœชโœโˆโโœโžƒโœ„โฟโœ–โœ—โœŒโžŠโœฎโžƒโœ”โœ•โž’s ๏ฟฝ โท โž’โœชโฒโ™ฆโฑโณโž†โžŠโž”โทโจ โก โ†•โ‘ฃ โžโž โž„โ——โš t โท โœ‡ โ†• โœฌ โท โž’โœชโœโœ›โšโœฃโฑโณโž†โžŠโž”โ——โ—†โœขโœฐโœคโ˜…โœ•โœฒโœฉโ‹โœงโœฝโœโœ‘โโœชโœ•โโœ’โœ™โœ•โญโž€โ†โœขโœธโœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโ™ฃโโœชโœโœฒโœฉโœ›โœงPโžƒโœ„โž€โœ“โœ•โโโ…โ— โžƒโœ”โœโœ”โœ•โœ™โฟโœ“โœโœฝโœ—โœ™โœโœ›โœšโœฝโœ’โœ™โœขโ‡โœ—โž‹โฟโœ“โœงโœœโœโฉโœฌโ€โœขโ‡โœ’โœนโœฌโœ‘โœขโœœโœ’โœฆโœ—โ—†โฟโœ–โœ•โˆโœคโœ›โ‰ โœฆ

โœฅโœŽโœฆโœโœ† โœžโ™ฃโœฝโœฟโœพโœ•โœปโ˜žโ‹โ– โœญโœ‚โ—โƒโโ…โœซ โ—โ„โœฝโ„โœพโœขโœทโ…โ˜โœ™โœทโ…โœฉโœธโ—โ‘ฉโœพโœขโœทโœบโ€โƒโœซ โœญโœ‚โœซโ˜žโโ…โ—โ‘ฉโœพโœ•โœทโ…โ€โƒโœซโœคโโ‘โœซโ˜žโœฝโ„โœพโžจโ—โƒโœฐโœ โœŸโœ—โœญโœ‚โ‚ โ˜โœฑโœซโ˜žโœตโขโœตโขโœฐโœธโœต โœฒโœธโœซโ‘ฆโœพโ˜›โœกโž’โœฉโœผโœซโžฎโœโ‚โƒโโœบโœพโœ•โœซโœฎโœญโœ•โœญโœ‚โ—โ™โœฎโšโฏโœโœฎโšโœŒโ˜ž โœ โฅโœโœŽโž‹โžฉโ˜Žโตโ›โซโœโตโ›โคโœฃโžฉโœ’โก โžโ‘คโซ โœฉโœ’โœ‘โ˜žโฉโ– โคโฒโซโœ โœฉโœคโžฆโขโกโ™ฅโžโขโกโˆ โžฉโœ”โœ“ โœนโ˜›โœผโœชโœœโœฝโœผโฏโœ“โƒโœนโ‘คโผโŠโฝโœโพ โœดโšโž† โž„โœ™โžโœฝโžโœ”โžโœ›โž‘โž‡โž‘โœ–โžsโžโœฎโž‚โ˜…โž‰โˆโžโœฃโžโœผโžˆโœฃโžˆโœผโžœโƒโžˆโžโœˆโœฝโžqโžƒ โ—†โœ™โžโœ‘โžโœ–โœ•โ€โž‰โ‡โž‘โžพโžƒPโžโœ›โž‚โœผโž‚โ˜…โž„ โžŒโ–โž‰โœธโžœโธโžโœฎโž‚โ˜…โž‰โˆโžโœฃโžโœผโžˆโœฃโžˆโœผโžœโƒโžˆโžโœˆโœฝโžโœ—โœ•โ€โž‰โœธโž‘โญโžƒPโžโœ›โž‚โœผโž‚โ˜…โž„โขโžโœ”โž‰โ‡โžœโœชโž‚โœณโžโ‹โž„โ‡โž…โž‡โž‚โ˜…โžโžโœฃโž‰โœธโžœโœชโž‚โœผโžƒโœ–โž™โœณโžœโœชโž†โœฐโžโžŠโž‚โ˜…โž‰โˆโžโœ™โžโ‹โžˆโœฃโžˆโœผโžœโƒโžˆโ—โ‘ฅโ™โž„โœธโžœโƒโžˆโœฃโžˆโœผโž…โฒโžโœ›โž†โ˜›โžโœฃโžโ‹โž†โ€โžƒโœโž‚ โžž โดโœ™โœ˜ โ†• โž™โ‘ โฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโœ โž โฝ โฆโ‘ฆโžผโœ›โžœโœชโž…โตโžˆโœ„โžณ โžž โžโ‹โž‚โœผโž…โž‡โžƒโœถโžˆโœ›โž‰โœธโžœโƒโžˆโโž‘โœ–โž„โ™โžโ‹โž‰โ‡โž‚โœผโžŽโœฐโžโ‘กโ‘ง

โœ˜โ‘กโ†•โทโจ โก โ†•โ‘ฃ โ€โ‘ โž’โœชโฒโ™ฆโฑโ—†โšโ–ฒโž”โœโœ โถ โ‘ข โพ โƒโœ”โ‰ โž›โžฏโฟ

โž„โœธโž›โœธโžโœฃโž โ€ โžœโœชโž†โ‘ โž†โœฎโž‰ โ—†โœœโž„โœธโžœโโ‘คโœฃโž‰โ‡โž‚ โžž โž‘โญโž…โฒโžโ‹โž† โžก โœดโ˜โž†โ‘ โž†โœฎโž‰โ‡โžƒPโžโœ›โž‚โ˜…โž„โ†’โดโœ›โœš โ†• โž™โ˜…โฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโž”โž โฝ โฆโขโžˆโœ›โž„ โ‘ฃ โž‘โžพโžƒโœโž‚โœ™โž„โœธโžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†โ‘ โž†โžŠโž„โœธโžƒโกโžœโœชโž‚โ˜…โžโœ›โž‘โž‡โž‘โœ–โžโ‘โžโœฃโž‰โ‡โžŽโ™โžโžŠโž‘ โžž โžƒ โžž โž โžก โœดโ˜โž†โž…โž‡โž†โœ‘โžƒโกโž‚โ˜…โž‰โ– โœˆโœธโžœโœชโž…โž‡โžƒ โžž โžŸโœ˜โž„โœธโž‘โœ–โžโœ›โžŽโœญโžโ‹โž†โ€โžƒโœถโž‘โณโžณ โž‰โœฃโž โžž โž‚โ˜…โž„โ‡โžƒPโžโœ›โžœโœชโž‚โœฅโžŒโนโœˆโœœโž โœถโโž…โž‡โž‘โœณโ‘คโœฃโžโœ›โž‚โœผโžƒโœŽโœœ rโ…โžโœพโœฉโœชโžŽโซโž…โœชโœˆโ‡โžƒโญโž™ โœœ โžž โžŸโœฝโž„โ‡โž‘โœ–โžโœ›โžŽโœฐโžโœ›โž†โœ‘โžƒโšโž†โœฎโž‰โ‡โžƒ โžž โ€ โœœโšโžˆโœผโžœโœชโž…โž‡โž›โ–ฒโž„โ‡โž†โœ‘โžƒโ‚โ‘งโ€ โž™ โช t โ โช tโ› โ โœ‡ โ†•โ‘ฃ โ€โ‘ โž’โœชโฒโ™ฆโฑโ—†โšโ–ฒโž”โณโ›โตโž’โœŽโšโˆโž”โณโœโœฎโš

Page 126: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŒโœ๏ฟฝโœ๏ฟฝโœ๏ฟฝโ†โœโพ๏ฟฝ โœ„โ„๏ฟฝโœโœกโ˜žโ˜› โœกโœ•โœ„โœคโœŸโœขโœโ——โœšโœ•โ˜›โžโœ„โž’โœ“โœ—โœšโœ™โœ‘sโœกโœœโœŸโœขโ˜›โœฃโœกโœคโœกโ˜Žโœ„ โ‘งโœœโ‘งโœโฎโ‹โœ„โœ‚ โœฟ โœ“โƒโœœ โžงโœ†โžซ โœšโˆโถsโผโŠโฝโœโพ โœผ โž„โ‡โž†โœ”โžˆโโž‘โœ–โž„โœฐโžˆโœผโžœโœชโž…โž‡โžƒโž‹โžโซโž‰โ‡โž†โขโžˆโœผโžœโˆโžโœœโžโœ‘โž‰โ–ฒโžˆโœ›โžโœ›โž‚โ˜…โž„โ‘จโ‘งโž  โžก โ€ โžโ‹โžˆโœผโžƒโœถโžƒโกโž‚โœผโž…โฒโž„โœธโž†โƒโžŸโ‡โžœโœชโž‘โœ“โž„โœธโž…โž‡โž‚โ˜…โžโ—โœˆโœœโž„โ‡โž†โœ”โžˆโโž‘โœ–โžโœตโžˆโœ›โžโ‹โž†โœ‘โžˆโโž‰ โœ“โœปโ€โ‘ โž’โ‘โฒโ™ฆโฑโžฝโšโ–ฒโž”โžตโจ โž› โžโœ‘โž‰โœธโžœโœชโž‚โโžƒโž‹โž‰โœธโžœโœชโžƒ โšโ– โž…โž’โฒ โžกโžขโƒโžก โœโ‹โž‘โจโžโ˜…โžโœฝโž…โ†โžˆโœผโžƒโž‹โžโœ†โ˜Žโžƒโž… โž› โžƒโž‹โžโ‹โž‘โ˜›โžผโœ›โžœโœ‘โž โ€ โžˆโœ›โž‰โœธโž…โž‡โžƒโšโžœโœชโž†โฆโž‰โœ™โž โžž โž‚โœ™โž„โœธโžƒโž‹โžโ‹โžœโœชโž‚โœตโžโœฃโž‰โœธโž†โ€โžƒโœโž…โž‡โž†โ€โžœ โœˆโœฝโž โช t โœˆโœฝโž„โœธโž†โœ‘โžˆโ„โ†’โœžโœ โน โ†•โœ โœŸ t โ†” t โžกโœก โžกโ˜žโ˜› โœ‡ โ†•โ˜žโœŒ โ€ โžโ‹โžˆโœฃโžƒโโžœโœชโž† โž‰โœ™โž โžž โž‚โ˜…โž„โœธโžƒโž‹โžโ‹โžœโœชโž‚ โœˆโœœโž โช t โœˆโœœโž„โœธโž†โœ‘โžˆ โช t โžโ‹โžโœ›โž‚โœผโžŽโœฐโž„โœฃโ‘คโ‹โž‘โœ“โž โœ› โœˆโœœโž‰โ‡โžŽโœฐโž„โ‡โž…โž‡โž†โœฎโž โœˆโœฝโžโ‹โž†โœ‘โžˆโ‹โž โžก โœดโšโž† โž†โœฎโž‰โ‡โžƒPโžโœ›โž‚โ˜…โž„ โœพ โžˆโœ›โž‰โœธโž†โžโœ™โžโœฝโžƒPโžโœ›โž†โœ”โžˆโœผโž…โฒโž‰โœธโž†โœ‡โžŽโœฐโž„โœฒโžโœœโž…โž‡โžŽโœญโž„โœธโž‘โœ“โžโœณโžโœ›โžƒ โœโžฏโžฃโœดโœณqโž’ โœพโ–ผโž”โœตโž‘โœ–โžโ„โœˆโœฝโž‰โœธโžŽโœญโž„โœธโž…โž‡โž†โžŠโžโ—โœˆโœฝโžโซโžโœฃโžโœ›โžƒโœโžƒโž‹โžโœตโžโœ™โžโœฝโžƒPโžโœ›โž†โœ”โžˆโœผโž…โฒโž‰โ‡โž† โžก

โœ โžกโ˜žโ˜› โœ‡ โ†•โœŽโœŒ โ€ โžโœผโžˆโœผโžƒโšโžโœฃโž‰โ‡โž†โœ‘โžƒโกโž…โž‡โž†โœ‘โžœ โœˆโœœโžโšโ†’ โธ โ†•โœ โœŸ tโ…โœ‡ โœ โป โžค โ†” t โœˆโœฝโž„โœธโž†โœ”โžˆ โช t โžกโœ’ โน โœ“โ€โœฟ โน โœผ โžฉ โœœ โžฉ โผโ—†โฝโœ“โผ โžš โž„โœฅโžโ‹โž‰โœธโž†โžŠโžโ‹โžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž† โœˆโœฝโžโ˜›โžโœฃโž‰โ‡โž›โ–ฒโž„โ‡โž‚โœผโž…โฒโž„โœธโž†โœฎโžโœฃโžโž”โœˆโœฝโž โœ˜ โž†โœฎโž‰โœธโžƒ โžž โž โœธ โžˆโœ„โžณ โžž โžโ‹โž‚โœผโž…โž‡โžƒโœโ€โœ†โ€โ˜žโœฟโ‘กโžŒโž‹โž„โ‡โž›โ–ฒโžโœฃโžโœ˜โ€โ˜žโœฟโธโž‘โณโžณ โž‰โœฃโž โžž โž‚โ˜…โž„โœธโžƒโž‹โžโœ›โžœโœชโž‚โž„Pโœˆโœ‘โœโœ›โž‰โœธโž…โž‡โž†โœ‘โžƒโœ‰โœˆโœฝโžโœผโ€ โž‰โ‡โžœโœ‡โžโ‹โž†โžŠโžโœฃโž‰โœธโž‚โ˜…โžโ—โ‘ง

โœธโœฐโž’โ‘โฒโ™ฆโฑโ—†โšโ–ฒโž”โโจ โก โ‘ขโœ‘โœ’ โ†•โ‘ฃ โ€โ‘ โž’โœชโฒโ™ฆโฑ โ‘ฅ โž”โ˜›โ€โ‘ โž’โœŽโšโœฃโฑ โ‘ฅ โž”โœโœ โ‘ฅ โพ โƒโœ”โœ“โžพโ‘ฆโž โฟ

โ‘ฉโฉโถ โœทโธโทโœชโนโœธโบโ…โป โถsโผโŠโฝโžโ€ โžš โžโ‹โžˆโ‚โœฉ โ—†โœ™โžโœ”โž‰โ‡โžƒ โœฉโœ•โœขโœผโžˆโœ›โžโ‹โžˆโฉโžค โžก โž โœ‡โžˆโœ›โž‰โœธโž†โ€โžƒโ™โžˆโœ›โž„โœธโžƒโกโž…โ†โžˆโœปโžโ‹โž„โœธโž…โž‡โžƒโž‹โžโœผโžˆโโžโœ‘โž„โœธโž‚โœญโž‘โœ“โžโฉโž†โžŠโž‰โœบโ—†โœœโž„โ‡โžœ โ€ โท โœˆโœœโžโฉโž‘โœ–โž„โขโž‚โœ™โžPโžโžŠโž‚ โžž โžˆโœ›โžโœ›โž†โœ‘โžƒโž‹โž„โœธโžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†โทโœˆโœœโžโœถโโž…โœชโœˆโœฝโž„ โžŒโกโžƒ โœฉ โžž โž‰โ‡โž‚ โœขโ‹โžŽโœญโž โžขโœ˜โžก โœก โžโœ‘โž„โœ›โžŸโœ˜โž โœก โžพโœฃโž™โ˜›โž„โ‡โž›โ–ฒโžโœฃโžโœ•โ˜ŽโžŸโจโ‡โž„โž“โžธโ–โž  โžข โž โ—†โžบ โžกโœฝโœผ โžณ โž„โ‡โžœโœชโžƒโœโž‚โ˜…โžโœตโžโœ‘โž„โœธโž‚โœผโžƒโœŽโœ”โœฟโž‘โœ“โžโœผโžˆ โœฉโœณโ—†โœ™โžโœ‘โž‰โœธโžƒ โœฉ โœขโ‹โžˆโ‹โžโ‹โžˆโฉโžˆโœ›โž‰โ‡โž†โœ‘โžƒ โžž โžŸโœฝโž„โ‡โž‘โœ–โžโœ›โžŽโœฐโžโœ›โž†โœ‘โžƒโž› โžž โž‚โœผโž… โ‘ฃโœถโžž โžโ‹โžˆโ˜โžโœ”โž„โ‡โž‚โœตโž‘โœ–โžโซโž†โžŠโž‰โœบโ—†โœœโž„โœธโžœโ˜›โž„โ–ฒโžˆโœฃโžˆโœ›โž‰โœฒโžโœ›โž… โžž โž„โœธโžœโขโžŽโœญโž‰โœธโžœโœชโž›โœธโžโœ›โžŽโœฐโžโœ›โž†โœ‘โžƒ โœ‚โœนโž‚โœ™โž‰โ˜Žโœ„โ„โž†โœ‘โž…โฒโžโœ›โž†qโžŽโซโžœโœชโž‘โญโžƒโœโž… โžโœฃโž‚โ˜…โž„โœฝโžโ‹โžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†โžŠโž„โœธโž…โž‡โž‚โ˜…โžโ™ฃโžŒ โž„ โžโ‹โž‰โœธโž†โœฎโžโœ›โžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†โœพโžโœ™โž‰โ‡โž†โœ‘โžƒโกโž…โž‡โž†โœ‘โžœโœ‘โžโœˆโœธโžœโฌโžƒโž‹โžโ‹โžŽโœŽโžโ€โžˆPโž™โฉโž„โœธโž›โœธโžโœฃโžโœ†โ˜Ž โจ โ˜› โˆโ†โ›โ†•โœ—โœ– โœœ โ‘ฃ โ†” โ†• โœฃ โž„โธโž’โ‘โฒโœฆโž”โœฑโž… โž› โžธ โœก โžปโ—†โžบโœตโžโœ™โžโƒโžโ‹โžŽโœŽโžโœฎโž‘โœ–โž โœก โžโœ‘โž„โœ›โžŸโœ˜โžโ—โžป โžกโงโœ™โœ˜โœ›โœšโœขโœœโœคโœฃ โž€โœฆโœฅโ˜…โœง โœœโœคโœฉ โœฅโžโฟ โœ˜โœซโœชโœ โœœโœฌโœ˜ โœฅ โœ˜โœซโœชโœญโœš โžƒโœ”โœฎโœปโž€โœฐโœฏ โœœโœฌโœšโœ โœฃ โœฅโœฑโœง โœœ โžโœณโœฒ โœœโœฌโœšโœตโœดโœทโœถโœฑโœ˜ โœง โœช โฟ โœถโœฑโœ˜โœธโœš โœง โœถโœฑโœ˜โœซโœช โฟ โœ˜ โžƒ โœœโœนโœšโœบโœš โžƒโœ”โœฎ โ‘จ โž› โฑโž”โž โฝโœผโœปโœพโœฝ โœฅPโž€ โœœ โžƒโœ”โœฎ โœš โœฎโœ โœฟ โœœ โž€โžฃโž€ โœœโœนโœš โž‚โœ˜ โžƒโœ„โž€โœณโž€ โœœโœฌโœšโ€โœœโœฌโœ˜ ร• โœœโโœช โœฟโœฝโžŠโœฎโžƒโœ„โฟ โœฃ โœฟโ‚โœฒ โœœ โž€โƒโœฅ โœชโ„โœถโœฑโœฃโ…โœถ โž€ โœถโœฑโ† โฟ โœœ โœฒ โœœ โž€โƒโœฅ โœ˜โœ”โœถ โœฎ โœฉโ‡โœœ โžƒ โœ˜ โฟ โœดโœทโœถ โœฎ โœฉโ‡โœœ โœ“ โงโœ™โœ˜โˆโœ˜โœ”โœถโ‰โœชโ„โœœโœ™โŠ โž€โœฆโœฅ โœฃ โœฎ โœถโœฑโ‹ โœฅ โ‹ โฟโœณโž€โžฃโฟ โœช โœฟโœฌโžŠโœฃโžƒโœ—โฟ โœด โœฅPโฟ โœช โœฒ โœœโœ˜ ร โœฃ โœฎ โœถ โœง โœœโœฌโœšโ„โœš โžƒ โœš โœงโœฌโœฅ โœ˜โœ”โœถโ˜…โœ˜ โฟโœฟโžŠโœฃโžƒ โœœ รโžตโžƒ โœ˜โœ„โœฃ โœฎ โœถ โœง โœœโœฌโœšโ„โœš โžƒ โœš โžซโ‚โœฅโžโžƒ โœšโ„โœš โฟ โœœโ—โœ˜ โœง โœœโœฌโœ˜โœซโœช โœฎโ„โœฟโ‚โœฒ โœœโœ™โœดโœทโœถโ˜…โœ˜ โœง โœช โฟ โœถโ˜…โœ˜ โœฒ โœœ โœง โœถ โœฝ โœฅโ‰โœฎโ—†โฟโƒโœฅ โœ˜ โœง โœœ โœธโœ•โœ“โžฆโžจโžงโœ†โžฉ โœ“ โนโœธโžซโœ›โœท โถsโผโŠโฝโžโ€โโ™ฅโณโˆโ‘โถโœ›โŠ โน โถ โป โœšโœฒโถโ– โ โœ“โœบโœน โœฅ โถโœฎโœœโ‘โโ‘ฆโœšโœฝโœœโœฌโ–ฒโœ†โœนโจโถ โœ˜ โœฑโœณโœฒโคโ€โœ›โœด q โžš โžณ โžโœผโžˆโกโžโœ‘โž„โœœโžโœฃโžโโž„โœธโžœโœชโžƒโž‹โž‰ โœœโž‹โž‚โ˜…โžโž‹โžโœฎโž‚โœ™โž‰โœฝโœˆโ‡โžœโœชโž…โ†โžˆโ‹โž„โ‡โž†โœ‘โžƒ โœ” โž„โ–ฒโžˆโœฃโžˆโœ›โž‰โˆโžโ‹โž… โžž โœ› โœ˜โžโœผโžˆโœผโžƒโœถโž‘โœ–โž„โ™โžโ‹โžโœ›โž‚โœผโžŽโœฐโžโœ›โžƒโกโžœโœชโž‚โ˜…โžโ„โœˆโœฝโžโ–ผโž‘โž‹โžณ โžโœผโžˆโกโžโœ‘โž„โœœโžโœฃโžโœฐโžโ‹โž†โƒโžŸโœฝโžโœ›โž†โœบโœˆโ‡โž‚ โžž โžโœ‘โž„โœธโž‚โœตโž‘โœ–โžโœผโžˆโโž…โž‡โž†โ–ผโœˆโœธโž…โฒโžโœฃโž„โœธโžƒโกโž‚โœผโž…โฒโžโœฃโžโœผโžˆโœ™โด โœš โœœ โ‘ฃ โ†” โ†•โœคโœฃ โž™โ‘จโฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโœ โž โฝ โฆโ™ฃโž„โ‡โžœโ™ฃโžˆโ‹โžโœ›โž†โœ”โžˆโœปโœˆโ‡โžœโœณโžโœฎโž‚โ˜…โž‰โ– โœˆโœธโžœโœชโž…โž‡โžƒโžˆโœ›โžโœ™โž„โ‡โž‘โœ–โž„โœธโž…โž‡โž‚โœ™โžโ—โ‘ง โœ” โœš โœœ โ‘ฃ โ†” โ†•โœคโœฃ โฑโœณโœšโœณโœœ โ‘ฃ โ†” โ‘ข โœฃ โž… โœถ โจ โœธโœณโž’โœชโฒโ™ฆโฑโ—†โšโ–ฒโž”โฟโœ™โžณ โžโœผโžˆโœผโžƒโšโž‘โณโžณ โžโœผโžˆโกโžโœ‘โž„โœœโžโœฃโžโ‘กโœˆโœœโžโ‹โžˆโชโžโ‹โž‰โœธโž†โœฎโžโœ›โžƒโกโž…โฒโž‰โœธโž†โœ”โžˆโ„โœˆโœฝโžโ–ผโž‘โœ“โž„โ™โžโ‹โž‰โœธโž‚โœผโžŽโœญโžโ‘กโ‘ง

โ›โตโž’โ‘โฒโœฆโž”โโจ โก โ†•โ‘ฃ โ€โ‘ โž’โœชโฒโ™ฆโฑโ—†โšโ–ฒโž”โ—†โ–ผโ›โœ‰โž’โœŽโšโˆโž”โณโœโœฎโš โ–โœซPโœ›โž…โœฉโœ– โ–ผโ› โ†’ โช t โพ โƒโœ”โœ“ โƒโžฏโฟโœดโ˜โž†โฆโž„โ‘จโฌโžฃโฌ โ›โžโฌโžฃโฌ โœถ โจ โฌโœณโฌ โ–ผโ› โฌโœณโฌ โ—— โฃ โžก

โ™โœฎโšโฏโœโœฎโšโžขโžก โœ„โ™ฅโžฉโœฃโซโดโฅโœโœ†โœฃโชโœโญโœ™โœžโ›โž โœโ˜Žโžโ™โ˜Pโตโ›โžโขโžฉโ˜Žโžโœœโชโš โœถ โžƒโœ”โœฎโœ†โœฒโฏโœฟโพโฝ โœ˜ โฟโฑโœฎsโžƒ โœ˜โœธโœœ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโžโž€ โœœ โœฅโžโžƒ โœšโœขโœœโœฌโœ˜โœธโœš โœฒ โœœโจโณ โฟ โœœโœฌโœ˜โœ”โœœ โœฎโ– โž‚โœโฟโœณโž€ โœ˜โœ”โœถ โžƒ โœšโœผโœด โœฅโžโžƒ โœช โœง โœถโœฑโœ˜โœธโœš โฟโœฆโœฒโœ”โœฟโ—โœฎ โœœ โœฎโžโžƒ โœ˜โฉโœœโœนโœšโœขโœฃ โœฅโ˜…โœง โœœ โœฒ โœœโœ™โœดโœทโœถโœฑโœ˜ โœง โœช โฟ โœถโœฑโœ˜โœธโœš

โœœโ—โœ˜ โฟ โœšโœ โœถโœฑโœฉ โœฟ โœช โœฎโ—†โฟ โœœ โœฅ โœฝ โœœ โœงโœ โž€โœฐโœฏ โœœโœฌโœšโœ โœฃ โœฅโœฑโœง โœœ โžŽ tโœžโฌ โž โฑ โŠโชโญ โœ“โœโž‚ โœœ โžƒโฏโซโˆโœงโ—โœฅ โœ˜ โœฒโœโฟโƒโœฒโœ”โœฅ โœชโฒโœš sโด โตโœผโ›โโœโƒโž โœ‡ โž™ โช t โ โžŽ tโ…โฌ โž โฑ โŠโชโญ โœœโ—โœช โด โตโœŽโกโœ—โœโƒโž โœ‡ โž™ โœ” โ โžŽ tโœžโฌ โž โฑ โŠโ—†โญ

โ€ โฌ โฒโ™ฆโฑ โบ โญ โ โœ˜ โ†• โœš โœœ โ‘ฃโœฌโข โ†•โœคโœฃ โ โœ˜ โ†•โฃโฉโค โœทโœ›โœโฏโฅโงโฆโ™ฅโ™  โคโœพโ™ฆqโ™ฃ โœฑ โœผโœ•r โœˆ rโsโœฑtโœ•โœ‰ โœฉโœ”โœˆโ‘ โœ‡ r โœ‡โ˜žโ‘กโณโžณ sโฏโ‘ขโ…r โœ”โ‘ฃโœˆ s โ‘คโ—โ‘ค rโโ‘ข โœˆ โ‘ขโ‚โ‘ฅโœธrโ—โ‘ฆโ‘จโ‘งโsโฏโ‘ฆ โ‘ค r โ‘ก rโชโ‘ฅโœžโ‘ฆ โœˆโœฝโœˆ s โ‘ค โ‘ง โœ‡ โœ‰โฒโ‘ฉ โ‘ก โ‘ฉ โ‘ค โ‘ฆโœ r โœˆ s โ‘คโ—โ‘ค rโโ‘ข โœˆ โ‘ขโœ„โœ‰ โœฉ โ‘ฉโงโ‘ขโœซโถโœซrโ‘กโณโžณ โ‘ฉโงโ‘ขโทโ‘งโœ—โธโฒโœ‰โฒโธ โœˆ rโ—โ‘ขโœธโ‘ง โœˆ r โถ โทโ†•โœ„โน โœโ‘จโ‘ก r โœ‡ โ‘ง โœ› โ‘ข โœˆ โ‘งโบrโโ‘ฆ โžผ sโœธr โœˆ โ‘ฉโงโ‘ข โœ‡โœ•โ‘ก rโœคโœ‰โฒโ‘ฉ โœ‡ โถ โžฅโฃ โœ” โœ‰โฒr โœ‡โ—โœˆ rโ—sโœฑtโœ•โ‘ฅ โœˆโงโ‘ค โ‘ขโทโ‘ง โœ‡โ‘กโœˆ rโ‘โปโœนsโœธr โœ‡โ—โœˆ โ‘ขโทโ‘ง โ‘คโœชโœˆ rโ—โ‘ขโœธโ‘ง โ‘คโœชโžผ sโœธr โœ‡rโโ‘ขโผโปโ‘ rโ—โ‘ฆโ‘จโ‘งโs โœˆ r โ‘กโณโžณ โ‘คโœชโœˆ rโโ‘ขโทโ‘ง โ‘ค โ‘ฃโ€โœ‰โฒโ‘ฉโงโ‘ง โ‘คโฝโœˆ โ‘ขโ‡โพโโ‘ฉ โ‘ค โ‘งโบrโœ•rโ—โ‘ขโœธโ‘งโœฐโ‘ฆโœ r โœ” rโโ‘ง โช tโผโฟ โ˜›โฏโž€โ‘ฃ โน r โœ‡ โ‘งโžsโฏโ‘ขโ…r โ‘คโƒโœ‡โ—โœˆโงโž‚ โธโโ‘งโœฐโ‘ฆ โ‘ค r โ‘คโโ‘ค โœ rโฒโœ‰โ—โ‘ง โ‘ค โปโงrโ‡rโโ‘ขโทโ‘งโโ‘ฆโœ r โœ” rโ—โ‘ง โช tโโžƒ โนโงโœ™โœ˜ โœฒโœ”โœฟโพโฝ โœ˜ โฟ โœช ร โœฃโทโœถ โžƒโœ”โœฎ โœชโœ โœถ โžƒ โœช โ‘ฅ โจ โช t โผโž…โž„ โŠ โœณโž  โ˜› โ— โ‘ฅ โž  โœฅ โœฝ โœœ โœง โ‘ฅ โž  โœง โœถโœฑโœฉโœญโ‹ โฟ โœ˜ โœฅโžโฟ โœšโœขโœถโ˜…โœ˜ โž€โžฃโฟ โœ˜ โœฟโœฌโœฅPโฟโฑโœฎ โœœ โœฒ โœœโž†โœดโœทโœถโ˜…โœ˜ โœง โœช โฟ โœถโ˜…โœ˜โœธโœš โ€ โฌ โฒโ™ฆโฑ โบ โญ โž‚โ‘ฅ โž  โจโžˆโž‡ โžˆ โž โ‘ก โ€ โฌ โฒ โž โ‘ก โฑ โบ โญ ร โž€โœฐโœฏ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโžโž€ โœœโœ™โœฃ โœฅโ‰โœฎโ– s

โดโœโตโœผโ›โฝโœโƒโž โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โจ โžŽ t โผโž‰โž„ โŠโœŸโœณโž  โ˜› โ— โด โตโœผโ›โโœโƒโž โก โ‘ฅ โž  โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ขโจ โžŽ t โผโž‰โž„ โŠโœŸโœณโž  โ˜› โ— โ‘  โžˆ โž โ‘ก โœ˜ โ†• โœ‰โžข

Page 127: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ๏ฟฝ โž› โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒโœโœŽโœ„๏ฟฝโœ‘โœŸโพ๏ฟฝโœ’โœ† ๏ฟฝโœ’โœžโœ”โœ“โœ–โœ•โœ—โ˜žโœ™โœ˜โœ”โœŒโœ›โœšโœ›โœšโœ›โœ“sโœกโœœโœกโœขโœŒโœฃโ˜žโœคโ˜žโœคโœ†โž‚ โœœโœคโœฉ โž‘ โœฉโœ•โœœ โž‚ โœถโ˜…โœ˜ โœฒโœ”โœฟโพโฝ โœ˜ โฟ โœช โœฅPโž€ โœถ โœฎ โœš ร โœฃโ…โœถ โžƒโœธโœฎ โœชโœ โœถ โžƒ โœช โ‘ฅ โจ โœ” โผโž‰โž„ โŠโœŸโœณโž  โ˜› โ— โ‘ฅ โž โž‰โœฅ โœฝ โœœ โœง โ‘ฅ โž โž…โœง โœถโ˜…โœฉโœบโ‹ โฟ โœ˜ โœฅPโฟ โœšโœ โœถโœฑโœ˜ โž€โœณโฟ โœ˜ โœฟโœนโœฅโžโฟโœฆโœฎ โœœ โœฒ โœœ

โœดโœทโœถโœฑโœ˜ โœง โœช โฟ โœถโœฑโœ˜โœธโœš โฟ โœ˜ โœฒโœโฟโƒโœงโ—โœฅ โœช โœฎโ—†โฟโœฆโœง โœœโœฌโœš โ‘ฅ โž โธโจโžˆโž‡โžฅโžˆ โž โ‘ก โœšโœณโœœ โ‘ฃโœฌโข โ†• โœ‰โžข โœฃ รโžตโž€โœฐโœฏ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโ„โœฅPโž€ โœœโจโœฃ โœฅโœฑโœฎโ– sโดโœโตโœŽโกโœฐโœโƒโž โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โจ โžŽ t โผโž‰โž„ โŠโœŸโœณโž  โ˜› โ— โด โตโœŽโกโœ—โœโƒโž โก โ‘ฅ โž  โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ขโจ โžŽ t โผโž‰โž„ โŠโœŸโœณโž  โ˜› โ—

โ‘  โžˆ โž โ‘ก โœ˜โ‘กโ†• โœ‰โžขโžฆโžจโžงโœ†โžฉ โœ“ โฅโœธโžซโœ›โœท โคโœพโ™ฆqโ™ฃ โœฑโž’โ™ฅโœฆโœฅโˆโคโœ›โŠ โฅ โค โ™  โœšโœฌโคโ– โ โœ“โ˜…โœง โœฅ โœฑโžฃโžญโœ‘โœฑโœชโœฉ qโœ†โœ’โ˜žโœˆ sโฏโ‘ฆโœ„โ‘ง โœˆ sโฏโ‘ง โ‘ฅ โ†’ โช t โœ”โ‚โ‘ก r โœ‡โˆโ‘ค โ‘ขโทโ‘งโœ—โธโœ—โถโœฑโ‘ฆโœ โ‘ฉ โ‘ก r โœ‡โ†’โžชโœฌโœซโœฎโœญ โžดโนโžทโœ‡ rโโ‘ง โžชโ‘โž˜โœ—โœฏโœŽโžด โžทโœ‡ โœ‰ โœˆโœฑโœฐ โ‘ข โœœโœ‰ โ‘คโœชโœˆ rโโ‘ขโทโ‘ง rโ—โ‘ง โœˆ โ‘ขโž…โ‘ฉ โœ” โ‘ฅ โœˆ sโฏโ‘ฆ โž„ โž… โž€t โ‘งโžชโ‘โž˜โœณโœฒโ‘โžด โžท โก โœพ โœฟ โฌ โ‘ฅ โญ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โจ โžชโ‘โž˜โœดโœฏโœŽโžดโนโžท โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ขโธโโป โ‘คโœชโœˆ r โž‚โœ•โž‚ rโ—โ‘ขโœธโ‘ง โ‘ก r โœ‡โ‚โ‘ค โ‘ขโทโ‘งโœ—โธโœ—โถโœฑโ‘ฆโœ โ‘ฉ โ‘ก r โœ‡โžจโžชโ‘โž˜โ˜Žโœฒโ‘โžดโนโžท โœ‡ rโ—โ‘ง โžชโœตโœซโœโœญโนโžด โžท โœ‡ โ‘ขโ…rโœ•โœ‰ โœˆโœถโœฐ โ‘ขโ…โœ‰ โ‘คโœชโœˆ rโ—โ‘ขโœธโ‘ง โ‘ฅโœ”โ‘ฉ โœ‡โž†โœ‡ sโฏโ‘ฆ โ‘ก r โœ‡ โ‘ฅโ…โ‘ฆ โœˆ โœ‰โฒr โœ‡โ„โœ‡ s โœ‡โžจโœˆ โธโ—โ‘งโœ—rโ—โ‘ฆ โž‚โœ•โ‘ค โ‘ข โ‘คโƒโœ‡ โ‘งโœ—r โœ‡ โนโ™โœฎโšโฏโœโœฎโšโœŽโœ โœทโœนโœธโœฎโซโดโžโขโžฉโ˜Žโกโฆโตโ›โคโœ™โžฉโœชโญโฒโžคโœคโœธโœชโฉโ˜Žโชโœโคโœฎโ™ฆโž™โžโœ•โกโ™ฅโกโฆโžคโœ’โก

โœบ โœป โœœโ—โœ˜ โœง โœถ โœฎ โœœ โœฒ โœœ โžƒโฏโซ โœฃโทโœถ โฟ โœ˜โœซโœชโ„โœš โœฒ โœœ โœฝ โžƒ โœœโœ„โœšโœ โœถโœฑโœ˜โœซโœชโ‘โœœโ—โœ˜ โœฝ โฟ โœš โœฅ โ†โœฑโœœ โœฅ โ‹ โž€ โœœโœฌโœš โœ“ โง โžƒ โ‹ โฟ โœœโ—โœ˜ โœถโœฑโœ˜ โœง โœถโ˜…โœ˜โœธโœšโœ‘โœช โœฎโž‹โžƒโœ—โฟ โœช โœฒโœโฟโœฆโœฎ โœœ โœง โœชโ„โœœโ—โœฉโ‡โœœโ—โœ˜โœซโœช โžƒ โœ˜โœ”โœœโฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโžโž€ โœœ โœฒ โœœโœผโœปโœพโœฝโ˜…โœถโœโœฟโœ”โœถ โœฎ โœถ โœฒ โœป โœฃ โœฅโœฑโœฎ โœช โฟโฑโœฎโ‚โœฒโœโžƒ โœฃ โœฎ โœถ โœง โœœโœฌโœšโ„โœš โžƒ โœš โžซโ‚โœฅโžโžƒ โœšโœ โœš โฟ โœœโœฌโœ˜ โœ˜โœฐโž‚ โœถ โžƒ โ‹ โฟ โœœโ—โœ˜โž…โœถโœฑโœ˜ โœฒโฏโœฟโพโฝ โœ˜ โฟ โœช โžƒ โœ˜โœ”โœœ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโ„โœฅPโž€ โœœ โœฅ โœ˜ รโœช โฟโƒโœงโพโฟ โœฃ โœฅ โœช โฟ โœฝ โœœ โœป โœฃ โœฅโœฑโœฎ โœช โฟโฑโœฎโœบโœฒ โœœ โœง โœœ โž€โœณโž€ โœœโœคโœœ โซโœ›โฟ โœšโœขโœช โœฅ โœ˜โœซโœชโœตโœฃโ…โœถ โžƒโœ”โœฎโ„โž€ โœœโฉโœฉโœ•โœถ โžƒ โœฝ โœœโœฌโœฉโ‡โœœโ—โœ˜โœซโœชโโ€ โœฎ โœถโœฑโ‚โœ†โœ˜ โฟ โœœโœฌโœ˜ โœถ โœฎโ„โœฒโœโฟ โœ˜ โœฅPโฟโฑโœฎ โœœ P โŠโบโ– โžƒ โœ˜ โœถโœฑโœฃ โœฟโ—โœฎโฒโœฅ โœชโ„โœœ โžƒโœ”โœฎโž€โœณโฟ โœ˜ โœฟโœนโœฅโžโฟโœฆโœฎ โœœ โœ“โƒโ„โœงโ–ผโœœ โžฉ โœžโทโฅโงโœ โœ˜ โค โœฅ โคโ†โ…ร’โโƒโœ“ โžง โœ“ โฅ โœ“ โœฅ โœฟ โœ“ โ™  โฅ โœ˜

โ‡โœผโœถโœฑโœ˜โœธโœš โฟโœฆโœฒโœ”โœฟโ—โœฎ โœถโœฑโœ˜โœธโœš โž„โ–โžƒ โœ˜โœพโœœโœนโœšโœขโœฃ โœฅโ˜…โœง โœœ โœฒ โœœ โœฐโœ โฟโœณโž€ โ‹โ…โœœ โœฎ โœชโœ™โœถ โžƒโœพโœฒ โœœโˆโ€โ€โœœโœนโœšโœขโœถ โœฝโŠโ‰โœœโ‹ โข โœ โœ“โโ— โœ˜โœ”โœœ โœฅ โœฃโœ”โœฃ โž€โœณโฟโƒโœงโ—โœฅ โœช โฟ โœถโœฑโœ˜ โ™โผโœฒ โœœ โžโ™โœฒโœ”โœฅ โœ˜โœธโœš โž„ โœœโœนโœšโœ‘โœชโœฒโœโฟ โœชโœ โœœ โœงโ…โž“โœ›โž€โžฃโฟ โœ˜ โœฒโฏโœฎโž‹โฟโœฟโžŠโœฎโžƒ โœœโž†โœš โฟ โœœ โž€โœณโž€ โœœโœตโœš โœฏ โœฟโœนโœงโโœฎโ—†โฟ โœช s

โ™ โฌโโ–  โญ โจ โœ–โ‘ โ‘ โ‘ข โž€ โ› โ‘ โฌ โœ” P โž€ โฑ โ–  โž…โœ™โฑ โบโœฝโบโญโบ โฑโœฝโœ” Pโžโž โคโฑ โ–  โž… โญ โบ โž† โ‘

โœฅ โœฝ โœœ โœงโœ‰โ› โ†’ โ‹ โ—โ–ฒ โฌ โœฏ โž  โฑโœฆโœฏ โญ โž‚โ…P โ‘ก โ†’ โž โœฟ โœฃโทโœถ โžƒโœ”โœฎ โœชโ„โœถ โžƒ โœช โŠโœ†โจ โžPโฑ โบโœฝโบโญโบ โฑโœฆโˆ โœœโโœช โž† โ‘ โ†’ โž„ โœฃโ…โœถ โžƒโœธโœฎ โœชโœ โœถ โžƒ โœช โž„ โจ โžPโฑ โบโญโบโญโบ โฑโœโœ™โœžโœ“ โงโœ™โœ˜ โœฒโฏโœฟโพโฝ โœ˜ โฟ โœชโœฅโžโž€ โœถ โœฎ โœš โž€โœฆโœฅโ‡โœฒโฏโœฟโœฌโœฎโž‹โฟ โœฝ โœฟ โœœ โœฒ โœœ โžซโจโœฎ โœถโ˜…โœšโ„โœš ร โœปโ– โœถโ˜…โ‹โทโœถ โž€ โœœ โœฝ โœฃ โœฅโ‰โœฎโ– sโ–ผโ‘กโ™ โฌโ—†โ–  โญ โจ โœ–โ‘ 

โ‘ โ‘ข โž€โž โ‘  โ‘ก โ‘ข โž€ โ‘ โ› โ‘ โฌ โœ” P โž€ โฑ โ–  โž…โœ™โฑ โบโญโบโœฝโบ โฑโœฝโœ” Pโžโž โ–ผโฑ โ–  โž… โญ โ€ โœฟ โœŒ โŠ โœฟ โฌ P

โ‘กโญโœœโ– โž† โ‘

โœถ โ† โŠ โœœโœฌโœšโœขโœช โž€โโœฏ โฟ โœ˜โœถPโœ‘โœœ โœง โœช โฟ โœถโ˜…โœ˜ โœฒ โœœ โž„โ˜โ—— โ โžโจโœ“ โงโœ™โœ˜โœ•โœš โœฅPโฟ โœช โžŠโœฎโžƒ โœœ โ–ผ โœœโœนโœšโœ‘โœชโ—†โœดโœทโœœ โœฎ โœฉ โœฅ โ‹ โž€ โœœโ€โœœโโœชโœŽโœถโœฑโœ˜โœญโœ˜โœ”โœถโ‰โœชโ„โœœ โ–ผ โœšโœขโœถ โžƒ โœšโชโœœ โซ โœชโœ โœœโœฌโœ˜โœธโœš โฟ โœถโ˜…โœ˜โœญโœฉ โœฅโงโซโœโฟ โœฉ โœฅโžโž€ โœœโœœโโœช โœโ™ฅโžฃโœดโœณ โฌ โ–ผ โญ โž€ โœœ โœฒ โœถโ˜…โœฉ โœฅโžโฟ โœ˜โœ”โœœ โœฒ โœœ โœง โœœโโœชโœ โœชโœ โœœโœ†โœœ โซ โœชโ„โœœโ—โœ˜โœธโœš โฟ โœถโœฑโœ˜ โœ“โงโš โœถ โžƒโœธโœฎโคโž‡โžโžŽโ‘ฆโž โœถโœฑโœ˜โ‡โœ˜โœ”โœถโœฑโœชโœ โœœ โœช โœโ‘ โข โž€ โฌ โž„ โญ โž€โโœฏ โœฅโœฑโœฒ โœฟ โœฟโ—โœฎ โœœโ—โœ˜ โœง โœœ โœฒ โœœ โž€โœฐโœฏ โœœโ—โœ˜โœธโœšโœ โœœโ—โœฉโœญโ‹ โž€ โœœโœฒ โœœโœฌโœšโ€โœดโœทโœถโ˜…โœ˜ โœง โœช โฟ โœถโ˜…โœ˜โœ”โœ˜โœ”โœœ โž€โœณโž€ โœœโœฌโœš โœงโœ โž“โœฎโž€โžฃโฟ โœ˜ โœฒโฏโœฎโ—†โฟโžฃโžŠโœฎโžƒ โœœโœนโœš โœฃโทโœถ โžƒโœ”โœฎโ‚โž€โœฆโœฅ โœ˜โœธโœถ โœฎ โœฉโœ•โœœ sโฌโžฃโฌ โ™ โฌโžฃโฌ โœโงโข โž€ โจโœ•โฌโœณโฌ โ™ โฌโœณโฌ โœป โœฃ โžŒ โฌโžฃโฌ โ–ผโ‘กโ™ โฌโœณโฌ

โœป โœฃ โธ โœฝ โข โ—— โฃ โœ— โท โปโœบ โœฅโจโœฒโœโฟ โœฝ โœœ โœฎ โ†โœฑโœœโœฌโœ˜ โœง โœœโžโœœโœฌโœšโœขโœช โž‚ โœฃ โœฅโœฑโœฎโชโœฒโฏโœฟโญโฝ โœ˜ โฟ โœช โฟ โœถโœฑโœ˜ โž‚โœธโž€โœฐโœฏ โœฅโœฑโœฒ Pโœ‘โœถ โฟ โœ˜โœซโœช โœฒ โœœ โ–ผโ‘จโž‚ โœšโœ โœถโœฑโœ˜ โœฒ โœถโœฑโœฉ โœฅโžโฟ โœ˜โœ”โœœโ€โœœโœฌโœšโœขโœช โœ˜โœ”โœถโ‰โœช โœฟโžโœโ™ฅโžฃโœดโœณ โฌ โœฎ โญโ‘ฃโœœโโœช โœงโ‰โœฏ โœœโœฌโœšโœขโœช โž€โœฐโœฏ โœœโ—โœ˜โœธโœšโœ โœœโ—โœฉโœญโ‹ โž€ โœœโœฒ โœœโœฌโœšโ˜žโœฃ โœฎ โœถ โœง โœœโœฌโœšโ„โœš โžƒ โœš โœฒ โœœ โžŽ t โฌ โž โœค โ‘จ โž› โฑโœ โž โฝ โญโœผโœชโœ โœœ โž€ โœš โžŠโœฎโžƒ โœœ โž‚ โœฃโ…โœถ โžƒโœธโœฎ โœชโœ โœถ โžƒ โœชโœ โœœโœตโœดโœทโœถโœฑโœ˜ โœง โœช โฟ โœถโœฑโœ˜โœ”โœ˜โœ”โœœ โž€โœณโž€ โœœ โœงโ…โž“โœ›โž€โžฃโฟ โœ˜ โœฒโฏโœฎโž‹โฟโœฟโžŠโœฎโžƒ โœœ โฟโžฃโž€ โœœ โซโœ›โฟ โœšโœขโœชโœ โœœ โœ–โ– โžŽ โž› โœถโ˜…โœ˜โœฅโžโฟ โœช s โ‘ฉโœ โ˜Žโนโœ” โ‘ฅ โฑโœโ–ผโ‘กโ™ โž…โ˜žโ—— โฃ โธ โท โป โœž โœถ โœ–โžตโฌโœณโฌ โ™ โฌโœณโฌ tโœœโโœช โœฅโžโž€ โœถ โœฎ โœš s โ‘ฉ โ˜Ž โœ” โ‘ฅ โฑโœโ–ผโ—โ™โžƒโž…โ˜žโ—— โฃ โธ โท โป โœž โจ โ‘ฉ โ‘จ โ™โœผโœฎ โฌ โ‘ฅ โญ โฝโงโœ™โœ˜ โœ˜โœธโœถโ‰โœชโœ โœœ โœฎโ„โœฅโ„โฟ โœ˜ โœฒโœโฟโžตโžŸโ…โœฟโœฌโœฎ โœœโœฌโœฉโœ•โœฉโ‡โœœโœฌโœ˜โ˜…โœช โœฎ โœถ โžƒ โดโœตโ™โฏโšโœขโ›โฝโœโƒโž โœ‡ โœ“

Page 128: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœ๏ฟฝโœ๏ฟฝโœ๏ฟฝ โœŸโพ๏ฟฝ โœ†โ„๏ฟฝโœ’โ˜žโœโœŒ โœกโœ—โœ†โœคโœกโœขโœŸโœ‚โœโœ—โœŒ โœ†โœผโœ•โœ„โœโœ›โœ“sโœกโœœโœกโœขโœŒโœฃโ˜žโœคโ˜žโœโœ† ๏ฟฝโœ๏ฟฝโœ†โ˜Ž

โžฆโžจโžงโœ†โžฉ โœ“ โฅโœธโžซโœ›โœท โคโœพโ™ฆqโ™ฃ ๏ฟฝ โœ โน โžš rโ˜žโ‘ฅโœžโ‘ฆ โœˆ โœ‰โฒr โœ‡โฒโœ‡ s โœ‡โœปโดโœŸโœžโถ โ†•โœถโจ โœฎ โฌ โœšโœขโœœ โ‘ฃโœฌโข โ†•โœคโœฃ โญ โž™โ†’โฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโœ โž โฝ โฆ r โœ‡ โ‘ง sโฏโ‘ข โž‚โ‘โœˆ sโฏโปโงr โž‚ rโ—โ‘ขโœธโ‘ง โœ‚ โ‘ฆ โœˆโ˜Žโœ„ โ‘ข โ‘ค rโโ‘ขโœด โ‘ฆ โœˆโ‰โ‘ค โ‘ขโ…โ‘ฉ โ‘ค โ‘ฆโ„r โœˆโ˜…โœˆ โ‘ขโทโ‘ง โ‘ก โ‘ฉโœŒโ‘ฃ โ‘ก โ‘งโœฐโ‘ฆโœ โ‘ฉโ‰โ‘ง โ‘คโฝโœˆ โ‘ข โœ‰ โœˆโœฑโœฐ โ‘ขโ…โœ‰ โ‘คโœชโœˆ rโ‘โ‘ฉโ‰โปโ‘ rโฒโœ‰ โดโœ›โœšโ†โ†•โ˜…โž™รโฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโž”โž โฝ โฆ โนโœ  โน โœœ โžชโ‘โž˜โคโžดโนโžท โก โ€ โฌ โฒโ™ฆโฑโ—†โš โญ โœšโœขโœœ โ‘ฃโ—โข โ†•โœคโœฃ โฌ โš โญ โœโœกโœžโถ โ‘ข โž™โ‘ โฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโœ โž โฝโœพโœฃ โจ โด โœ˜โ—โ†•โ˜…โž™รโฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโž”โž โฝ โฆโœก โน โœ’โœ†โœˆ sโฏโ‘ฆโž†โ‘ง โœˆ sโฏโ‘ง โ‘ฅ โœˆ โธโ—โ‘งโœ—rโ—โ‘ฆ โž‚โœญโ‘ค โ‘ข โ‘คโƒโœ‡ โ‘งโœ—r โœˆ โ‘ขโž‰โ‘ฉ โ‘ง

โžชโœตโœญโ˜žโ˜› โœฒโ‘โžดโนโžท โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โจ โžชโ‘โž˜โ˜Žโœฒโ‘โžดโนโžท โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ขโœผโœญโธ โž‚โ‘โœˆ โ‘ข โœ‡ โ‘งโœฐโ‘ฆโœ โ‘ฉโงโ‘ง โ‘คโฝโœˆ โ‘ข โ‘งโœบ โœœโœนโœš โœฒ โœœ โžƒโฏโซ โœฃ โœฎ โœœโœฌโœฉ โฟ โœœ โœฎ โœšโœ™โœฃโทโœถ โฟ โœ˜โœซโœชโ„โœšโž†โœšโœ โœถโœฑโœ˜โœซโœชโ‚โœฉโ‡โœถโœฑโœ˜โœซโœช โœฎโ„โœฟ โœš โœฒโœ”โœฅ โœ˜โœธโœšโœโœŒ โœŽ โฎโœ‘โœโœฐโœ“โคร‘ โœ˜ โœง โœœ โžŠโœฎโžƒโœ„โฟโœŽโœง โœถโœฑโœ˜ โœง โœœ โœฎ โœ˜โœ”โœœ โž€ โœœโœ•โœช โœฎ โœถ โฟ โœš โฟโบq โœฉโ‡โœœโœ•โœฃโทโœถ โฟ โœ˜โœซโœช โž‚ โœถโœฑโœ˜ โœฅโž€ โœœโœนโœš โœฎ โœœ โž€โœฆโœฅ โœช โฟ โœถโœฑโœ˜โœธโœš s

โœ˜โ‘กโ†•โโจ โด โตโœผโ›โโœโƒโž โก โ€ โฌ โฒโ™ฆโฑโ—†โš โญ โœšโœขโœœ โ‘ฃโœฌโข โ†•โœคโœฃ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ขโœœโโœช โœฒโ™ฅโœฏ โœฅโžโžƒ โœช โœฎ โœœโž†โœฃ โœฅโ‰โœฎ โœช s

โœ˜โ—โ†•โโจ โดโœโตโžโœโƒโž โก โ€ โฌ โฒโ™ฆโฑโžฝโš โญ โœš โœœ โ‘ฃโœฌโข โ†•โœคโœฃ โฌ โš โญ โœโœ’โœžโถ โ‘ขโจ โด โ™ โšโœขโ›โโœโƒโž โก โ€ โฌ โฒโ™ฆโฑโžฝโš โญ โœš โœœ โ‘ฃโœฌโข โ†•โœคโœฃ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โœฆโฃโฉโค โœทโœ›โœโฏโฅโงโฆโ™ฅโ™  โคโœพโ™ฆqโ™ฃ ๏ฟฝ โœฎ โ‘ข โžณ r โœ‡ โ‘งโ™ฅโ‘ฅโœ”โ‘ฉ โœ‡โ‚โ‘ก โ‘ฉ โœˆโงโ‘ค โปโงrโโ‘ฆโœฐโถโ˜…rโ—โ‘ขโ…โœ‰โฒr โœˆ r โœžโถ โนโœ”โœ“ โ‘ขโผrโœ–โœ• rโ—โ‘ง โœ”โœŽโ‘กโณโžณ โœˆ โ‘ฅโœ”โธโ—โ‘ฆโœ โ‘ฉโ‰โ‘งโœ—rโ—sโฏโ‘ฆ โœˆ r โœˆ โธโ—โ‘ฆ โ‘ค โปโ‘ โ‘ฉโ‰โ‘ง โ‘คโฝโœˆ โ‘ขโž‰โ‘ฉ โœ‡โ„โœ‡โ—โœˆ โœ‰ โ‘ค โธ โœ› โœžโถโ‘ข โžณ r โœ‡ โ‘งโ™ฅโ‘ฅโœธโ‘ฉ โœ‡โœโ–ผ โž‚ โ‘ฉ โ‘คโƒโœ‡โœ—โœžโ–ผ โ‘ฉโงโปโงrโ„โœ‰ โ‘ก โ‘ฉโฉโ‘ฆโœ r โ‘ก โ‘ฉโงโ‘ง โ‘คโฝโœˆ โ‘ข โœพ โœฟ โœŒ โœžโ–ผ โจ โ–ผ โน

โ‡โœผโœœโโœชโœขโœชโ„โœœ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโžโž€ โœœโœคโœดโœทโœถ โžƒโœ”โœฎ โœ˜ โฟ โœช โžƒ โœ˜ โ‹โทโœถโ˜…โœ˜ โœถ โžƒ โœช โฟโžฃโž€ โœฃโทโœถ โžƒโœ”โœฎโ‘โœฒโฏโœฟ โœฉโ‡โœถโ˜…โœ˜โ˜…โœช โœฎ โœœ โœฎโ‘กโž€ โœœโœนโœš โœฎโ„โœฟ โœš โžƒโœ„โž€ โœช โœฅ โœชโ„โœš โœง โœถโ˜…โœฉโœ•โœฉโ‡โœœ โžซ โฟโฑโœฎ โœš โœฅ โœ˜โœ”โœถ โœฝ โœถ โžƒโโž€โœฆโœฅโœฎ โœœโœฌโœฃ โœฎโ„โœฟ โœšโœ โœœโ—โœ˜โœซโœช โœฅ โœช โฟ โœถโœฑโœ˜ โœฒ โœœโโ‡ โž€โƒโœฅโ‰โœฎ โœฝ โพโฝโœฝ โœถ โฟโœฆโœฎ โœŒ โœŽ โฎโœ‘โœ โฟโ‘จโœ“โœ˜โ‘จโœœโ– โœผ โœ˜ โœผโœชโœš โœ โœœโœฝโœผโฏโœ“โโœง โœฅ โค โœ˜โœšโœ™ โœผ โœงโ–ผโœœ โžฉ โœžโทโฅโ‘ โœ โœ˜ โค โœฅ โค โ…โคโโœบโœ“ โžง โœ“ โฅ โœ“ โœฅ โœฟ โœ“ โ™ โ‘ฃโฅ โถโงโœ™โœ˜ โœ˜โœ”โœถโ‰โœชโ„โœœ โœฎโฒโœฅ โดโœตโ™ โšโœ‘โœ โžโœ‡โœถโž€โœฐโœฏ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโžโž€ โœœ โœฒ โœœโœนโœปโœชโœฝโœฑโœถโœโœฟโœธโœถ โœฎ โœถ โœฒ โœฎ โœœ โž€โƒโœฅ โœช โฟ โœฝ โœœโœฌโœฉโ‡โœœโ—โœ˜โœซโœช โœป โ€โœ›โœŒ ๏ฟฝโœ‘โœœ โฎโœฎโž‚ ๏ฟฝ ร“โœฃร“โœ‘โœโœฐโœ“ โงโœ™โœ˜ โœฃโทโœœ โžƒ โœช โœป โœฃ โœฅโ‰โœฎ โœช โฟโœฆโœฎโœญโœฒ โœœโœง โœœโ—โœชโœขโœชโœ โœœ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโžโž€ โœœ โœฒโฏโœฟโญโฝ โœ˜ โฟโœฆโœฎโ‚โžƒ โœ˜โœ”โœœ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโ„โœฅPโž€ โœœ โœฅ โœ˜โœซโœช โฟโœฆโœงโญโฟ โœฃ โœฅ โœช โฟ โœฝ โœœ โœฎ โœœ โž€โƒโœฅ โœช โฟ โœฝ โœœ โœป โœ˜ sโœฅ โžฉโœ”โœ“ โœงโ˜›โœผโœชโœœโœฝโœผโฏโœ“โโœง โ™ฆqโ™ฃโžโœพโœ“โœ’โœ†โœˆ sโฏโ‘ฆ โ‘ง โœˆ sโฏโ‘งโ– โ‘ฅโœžโ‘ฆ โœˆ โœ‰โฒr โœ‡โฒโœ‡ s โœ‡ โ‘ฅ โ‘งโบr โ‘กโœ—โžผ sโœธr โœพโœฏโœฟ โฌ โ‘ฅ โญ โ†’ โœโžฏโžฃโœดโœณ โฌ โžชโœตโœญโœขโ˜›โžโžดโนโžท โœ‡ โญ โœ”โ‘ฃโœˆ โ‘ข โœˆ โธโœชโ‘ฃโžโ‘ข โ‘ค โ‘ง โ‘กโž‹โžณ โ‘ค โ‘ขโœธโ‘งโบโธโœฐโถโœฑโ‘ฆโœ โ‘ฉ โ‘ก rโ˜žโ‘ฆโ„r โ‘ก โ‘ฉโ‰โ‘ง โ‘ค โปโงrโœ› โœ˜ โ‘ฅโœธโ‘ฉโงโ‘ฆ โ‘ง โžชโœฌโœญโœขโ˜› โœฒโ‘โžดโนโžท โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โจ โžชโœตโœญโ˜žโ˜›โ‘โžด โžท โก โœพ โœฟ โฌ โ‘ฅ โญ โฌ โš โญ โœ โถโœฌโ‘ขโœฃ โฅ โœ“โ€โœฟ โฅ โœผ โžฉ โœœ โžฉ โ™ฆ โ™ฃโžฃโžฏ rโœžโœˆโ‰โ‘ค โ‘ง โ‘ฅ โœˆ โธโ—โ‘งโœ—rโ—โ‘ฆ โž‚โœ•โ‘ค โ‘ข โ‘คโƒโœ‡ โ‘งโœ—r โœ› โปโงโ‘ฉ โ‘ก rโsโฏโ‘ฆ โœ‡โœปโœˆ โ‘ฉโ‰โ‘ข โœ‡ โœ” โน โœด โ‘ข โ‘ฉ โ‘ฉ โ‘กโฑโœˆ โ‘ฆ โœ‡โœปโ‘ง

โžชโœตโœญโ˜žโ˜› โœฏโœŽโžด โžท โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โจ โžชโžโž˜โœ—โœฏโœŽโžดโนโžท โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ขโœผโœญโธ โž‚โ‘โœˆ โ‘ข โœ‡ โ‘งโœฐโ‘ฆโœ โ‘ฉโงโ‘ง โ‘คโฝโœˆ โ‘ข โ‘งโœปโ– โœถ โฟ โœช โ‘ฅ โœปโ‡โœฝ โœฅโžโž€ โœœ โžƒโœ”โœฎ โœš โœฒโœ”โœฅ โœ˜โœธโœš โœ” โž‚ โ‘ฅ โจ โœ” โผโž‰โž„ โŠโœŸโœณโž  โ˜› โ— โ‘ฅ โž  โœฅ โœฝ โœœ โœง โ‘ฅ โž  โจโžˆโž‡โžฅโžˆ โž โ‘ก โœš โœœ โ‘ฃโœฌโข โ†• โœ‰โžข โœฃ โœ“โž‚โœ™โœฅ โœ˜โœธโœš โžƒ โœ˜โฉโœฃ โœฎ โœœโœฌโœฉ โฟ โœœ โœฎ โœชโ„โœœโ—โœฉโ‡โœฃโœธโœš โž‚ โœถโœฑโœ˜ โœฝ โœฅ โœฉโ‡โœถโœฑโœ˜โœซโœช โœฎ โœœ โœฎsโžŠโœฎโžƒ โœœ โœพโœซโœฟ โฌ โ‘ฅ โž  โญ โจ โž‡ โžˆ โž โ‘ก โ€ โฌ โฒ โž โ‘ก โฑ โบ โญ โœ“โœซโš โœฅโœฑโœฎโžโž€โžฃโฟ โœ˜ โœฟโœฌโœฅโœฑโœฎโž‹โฟ โœช โœฟโœฃโž‚โœฎโฟโžฃโž€ โœš โžƒ โœ• โœช โœฒ โœœโœฉโ‡โœถโœฑโœ˜โœซโœช โœฎ โœœ โœฎโœ‰โžŠโœฎโžƒ โœœ โœพโœซโœฟ โฌ โœšโœณโœœ โ‘ฃโ—โข โ†• โœ‰โžข โœฃ โญ โจ โ€ โฌ โฒ โž โ‘ก โฑ โบ โญ โœ“ โง โœฎ โœถโœฑโœ˜ โœฅ โœดโœทโœถ โœฎ โœฉโ‡โœœ โž€โžฃโž€ โœœโœฌโœฉโœ•โœœโœฌโœ˜โœซโœช โž‚ โœœโœฌโœ˜ โœ˜โœธโœถโ‰โœช โœฅ โœ˜โœซโœช โž„ โ†• โœ‰โžข โž€โƒโœฅ โœฉ โœฅ โœšโœ โœšโœ โœœ โœฒ โœœ โž‚โœŒโฟโฑโœฎโฒโœฅโœฑโœง โœœโœฌโœ˜

Page 129: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ๏ฟฝ โƒ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒโœโœŽโœ„๏ฟฝโœ‘โœŸโพ๏ฟฝโœ’โœ† ๏ฟฝโœ’โœžโœ”โœ“โœ–โœ•โœ—โ˜žโœ™โœ˜โœ”โœŒโœ›โœš โœโœ›โœ“sโœกโœœโœกโœขโœŒโœฃโ˜žโœคโ˜žโœคโœ†โฒ โž โ‘ก โž€ โœœโœฌโœš โœฎ โœœ โž€โƒโœฅ โœช โฟ โœถโ˜…โœ˜โœธโœš โœš โžƒโœ—โฟ โœฝ โœฅ โœ˜โœซโœชโ„โœœโœฌโœš โœฃโ…โœถ โžƒโœ”โœฎ โœชโ„โœถ โžƒ โœช โฒ โ†’ โ‘จ โž› โฑโœ โž โฝ s

โฌ โ˜› โž€โ‘ฃ โน โญ โœฟ โฌ โž„ โ†• โœ‰โžข โญ โฌ โฒ โญ โจ โ˜› โž€โž€ โœ‡ โฌ โž„ โ†• โœ‰โžข โญ โฌ โฒ โญ โจ โก โž€โ†• โž„ โ†• โœ‰โžข โฌ โš โญ โœโœ›โšโจ โœšโœขโœœ โ‘ฃโ—โข โ†• โœ‰โžข โœฃ โฌ โฒ โญโ€ โœฟ โฌ โž„ โ†• โœ‰โžข โญ โฌ โฒ โญ โจ โก โ†•

โ‘ฃ โ€ โฌ โšโœฃโฑโณโฒ โญ โž„ โ†• โœ‰โžข โฌ โš โญ โœโœ›โš โพ โƒโœ”โœ“ โœ โฟโจ โ€ โฌ โฒ โž โ‘ก โฑโณโฒ โญโพ โƒโœธโœ“ โœ โฟ โœฝ โฟ โœœโ—โœ˜โœซโœช โœฒโœโžƒ โœด โœฅPโฟ โœช โžŠโœฎโžƒ โœœ โž‚โœฑโœง โœถโ˜…โœฉโ‡โœฉโœ•โœœ โ€ โœœโœนโœšโœ‘โœช โœฐโœ โฟโœณโž€ โ‹โทโœœ โœฎ โœช ร โœป โœง โœฟโœ”โœฉ โฟโœฆโœฒ โœช โœฒ โœœโœ†โœ˜โœ”โœถ โž“โ˜…โœฅPโžƒ โฌ โšโœฃโฑโณโฒ โญ โ โ€ โฌ โฒโ™ฆโฑโžฝโš โญ โž‚ โ€โ˜žโœฟ โœœโœฌโœšโœขโœช โœฐโœ‰โฟโžฃโž€ โ‹โ…โœœ โœฎ โœช รโœป โœง โœฟโœ”โœฉ โฟโƒโœฒ โœช โœฒ โœœโ‚โœ˜โœ”โœถ โž“โ˜…โœฅPโžƒ โฌ โšโœฃโฑโณโฒ โญ โ โ€ โฌ โšโœฃโฑโณโฒ โญ โœ“ โงโœ™โœ˜ โœฝ โฟ โœœโ—โœ˜โœซโœช โœฒ โœถโœฑโœ˜ โœงโž†โœฒ โœœโ‚โœฉโœ•โœœโ—โœชโœขโœช โœฎ โœœโž†โœœโœฌโœ˜ โœฟ โœฝ โฟโœฆโœฒ โœœโœฌโœ˜ โœง โœœ โžŠโœฎโžƒ โœœ s

โ€ โœฟ โœŒ โ˜Ž โฌ โ˜› โž€โ‘ฃ โน โญ โœฟ โœž โœ‡ โž€ โฌ โœšโœขโœœ โ‘ฃโœฌโข โ†• โœ‰โžข โœฃ โญ โจโ‚โ€ โฌ โฒ โž โ‘ก โฑ โบ โญโœพ โœฟ โฌ โœšโœขโœœ โ‘ฃโœฌโข โ†• โœ‰โžข โœฃ โญ โจโ‚โ€ โฌ โฒ โž โ‘ก โฑ โบ โญ

โงโœ™โœ˜ โœฅโ‡โœฅPโž€ โœถ โœฎ โœš sโด โ™ โšโบโกโœฐโœ โž โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โจ โด โ™ โšโœ‘โœโƒโž โก โœพ โœฟ โฌ โ‘ฅ โญ โฌ โš โญ โœ โถ โ‘ขโจ โดโœโตโžโœโƒโž โก โœพ โœฟ โฌ โ‘ฅ โญ โฌ โš โญ โœ โถ โ‘ข โพ โƒโœ”โœ“ ๏ฟฝ โœœ โฟโจ โžŽ t โผโž‰โž„ โŠโœŸโœณโž  โ˜› โ— โดโœโตโžโœโƒโž โก โœพ โœฟ โฌ โ‘ฅ โž  โญ โฌ โš โญ โœ โถ โ‘ขโจ โžŽ t โผโž‰โž„ โŠโœŸโœณโž  โ˜› โ— โดโœโตโžโœโƒโž โก โ‘  โžˆ โž โ‘ก โ€ โฌ โฒ โž โ‘ก โฑโžฝโš โญ โœ โถ โ‘ขโจ โžŽ t โผโž‰โž„ โŠโœŸโœณโž  โ˜› โ— โดโœโตโžโœโƒโž โก โ‘  โžˆ โž โ‘ก โœ˜ โ†• โœ‰โžข โพ โƒโœ”โœ“ ๏ฟฝโœ๏ฟฝ โฟโจ โดโœโตโœŽโกโœฐโœโƒโž โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โพ โƒโœ”โœ“ ๏ฟฝ โž‡โžฏโฟ

โพ โƒโœธโœ“ ๏ฟฝโœ‘โœœ โฟ โœœโœนโœšโœ‘โœช โžƒ โœ˜โœ”โœœ โœฃ โœฎ โœถโœฑโœฃ โœฎโž‹โฟโœฆโœฟ โœช โœฟ โœงโพโž€โƒโœฅ โœšโ„โœš โฟโœฟโžŠโœฎโžƒ โœœ โœฒ โœœ โž€โโœฏ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโžโž€ โœœ โœฒ โœœ โœปโœพโœฝโœฑโœถโœฎโœฟโœ”โœถ โœฎ โœถ โœฒโ™ฅโœ“ โพ โƒโœธโœ“ ๏ฟฝโœฎ๏ฟฝ โฟ โœ˜ โœฏ โœœโœนโœšโœ‘โœช โœฅโžโžƒ โœช โœฎ โœœ โžŠโœฎโžƒ โœœ โž€โœฆโœฅโœญโœฒโฏโœฟโพโฝ โœ˜ โฟ โœช โฟ โœถโ˜…โœ˜โœฒโœโžƒ โœฃ โœฎ โœถ โœง โœœโœฌโœšโ„โœš โžƒ โœš โœ˜ โœ“โœร‘ โœ˜ โฝ โœ˜ โž‚ โพ โƒโœ”โœ“ ๏ฟฝ โž‡โžฏโฟ โœฝ โฟ โœœโ—โœ˜โœซโœช โœฒโœโžƒโœพโœง โœฟโœ”โœถ โฟ โซโฉโœฒ โœœ โž€โโœฏ โœฅ โœฃโœ”โœฃ โœฎ โœถ โซโœโฟ โœฉ โœฅ โœช โฟ โœถโœฑโœ˜ โœฒ โœœ โ‘ฅ โœ“โฃโฉโค โœทโœ›โœโฏโฅโงโฆโ™ฅโ™  โคโœพโ™ฆqโ™ฃโƒโ™ฆโ˜…โœโโ‘ก r โœ‡ โ‘งโชโ‘ขโ…โธโฒโœ‰โฒr โœ‡โ„โœ‡ โ‘ฉ โ‘ค โ‘ฆโœ r โœˆ rโœŽโ‘ฅโ…โ‘ฆโœ rโ—โ‘ข โœˆ โ‘ฆโœ rโ˜žsโฏโ‘ขโœžr โ‘ค โ‘ขโทโ‘งโœ—โธโœ—โถโœฑโ‘ฆโœ โ‘ฉ โ‘ก rโ‚โ‘ฉโ‰โ‘ขโœธโ‘ง โ‘ค โœ‰ โ‘ค โ‘ฅโœธโ‘ฉโงโ‘ง โ‘ค โปโ‘ r โœˆ s โž‚โ‡โœˆ sโฏโปโ‘ r โž‚ rโโ‘ขโทโ‘ง โœ‚ โ‘ฆ โœˆโ˜Žโœ„ โ‘ข โ‘ค rโโ‘ขโœด โ‘ฆ โœˆโงโ‘ค โ‘ขโœžโ‘ฉ โ‘ค โ‘ฆโœ rโž†โœ‰โฒโ‘ฉโงโ‘ฆ โž‚โœ„โœ‚โ—โž‚ rโž†โ‘ฉโงโปโงrโ„โœ‰โจsโฏโ‘ขโœบโ‘ฅโ…โ‘ฆ โœˆ โœ‰โฒr โœ‡โ„โœ‡ s โœ‡ โ‘ฅ โ‘ฉ โœˆ โ‘ฉโ„โ‘ฅโœžโ‘งโœ—โธ โœ”โ—†โ‘ก rโœผโ‘ฅโ…โ‘ฆ โœˆ โœ‰โฒr โœ‡โ„โœ‡ s โœ‡ โœพโœซโœฟ โฌ โ‘ฅ โญ โ‘ข โžณ โ‘ฉโ‡โ‘ฉโงsโœธโœ‰โ—sโฏโ‘ขโ…rโœ™โ‘ฆโœ โ‘ฉ โ‘คโƒโœ‡โ—โœˆ โ‘ข โœˆ r โ‘กโž‹โžณ โœ‚ โ‘งโœฐโ‘ฆโœ r โนโœ’โœ†โœˆ sโฏโ‘ฆ โœ‡โœโžณ rโ—โ‘ขโž‰โ‘ฆโœ rโ—โ‘ข โœˆ โ‘ฆโ„rโœ•โœ‰ โœˆโ‰โž‚ โ‘ฅโœžโ‘งโœ—r โœ” โœˆ โ‘ขโœคโ‘ฅโœธrโsโฏโ‘งโ‘ฃโ‘ฅโœžโ‘ฆโœ rโโ‘ข โœˆ โ‘ฆโœ r โ‘กโณโžณ rโ„tโ– r โž‚ โ‘ฅ โ‘ก r โœˆ s โž‚โ‘โœˆ sโฏโปโงr โž‚ rโ—โ‘ขโœธโ‘ง โœ‚ โ‘ฆ โœˆโ˜Žโœ„ โ‘ข โ‘ค rโโ‘ขโ‘โพโฒโ‘ฆโœ โ‘ฉโ˜…โœ‰โโ‘ง โ‘คโฝโœˆ โ‘ขโทโ‘ขโ…โ‘ฉ โ‘ค โ‘ฆโ„r โœˆ rโžš โธโ—โป โ—†โ‘ฆโžผ s โ‘ค โœ‰ โœˆ โ‘ฆโ‘จโ‘ฆโœ r โœ‡ โ‘ฅ โœˆ โ‘ข โœˆ โ‘ฉโ‰s โ‘ข โœˆ โ—† โ‘ฉโงs โฌ โฒโ™ฆโฑโ—†โš โญ โ โฌ โฒ โผ โš โญ โท โน โžฅโฃ โน โœด โ‘ขโž…โ‘ฉ โ‘ฉ โ‘กโฑโœˆ โ‘ฆ โœ‡ โ€ โจ โ˜› โท

โน โžฅโฃ rโ—โ‘ง โœˆโœฑโœˆ โ‘ขโœžโœ‰ โœพ โจ โ˜› โท โœ‡ โžฅโฃ โนโœ’ โ‘ฉโงโ‘ฆโœบโœ‰ โœˆ โ‘ข โœ‡ โธ โžผ sโœธrโ—โ‘ขโœธโ‘ง โœˆ โ‘ขโž…โ‘ฉ โ‘ง

โœพ โฌ โ› โญ โฌ โฒ โญ โจ โก โ†•โ‘ฃ โฌ โฒ โผ โš โญ โท โœ‡โœ†โ˜Žโฃ โ› โฌ โš โญ โœโœฎโš

โจ โก โž€โ‘ฃ โฌ โฒ โผ โš โญ โท โœ‡โœโ˜Žโฃ โœšโœขโœœ โ‘ฃโœฌโข โ†•โœคโœฃ โฌ โš โญ โ› โฌ โš โญ โœโœ›โš

Page 130: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœ๏ฟฝโœ๏ฟฝโœ๏ฟฝ โœŸโพ๏ฟฝ โœ†โ„๏ฟฝโœ’โ˜žโœโœŒ โœกโœ—โœ†โœคโœกโœขโœŸโœ‚โœโœ—โœŒ โœ†โœผโœ•โœ„โœโœ›โœ“sโœกโœœโœกโœขโœŒโœฃโ˜žโœคโ˜žโœโœ† ๏ฟฝโœ๏ฟฝ โœ

โ‘ฅโœ”โ‘ฉโ‰โ‘ฆโœบโœ‰ โœˆ โ‘ข โœ‡ โธ โžผ sโœธrโโ‘ขโทโ‘ง โœ”โ—†โœ‡โ—โœˆ โ‘ข โœˆ sโœธโ‘ฉ โ‘กqโœ‡โœโžณ โธโฒโœ‰โ—โ‘ฆ โ‘ค โ‘ง โ‘งโœพ โœฟ โฌ โ› โญ โฌ โฒ โญ โจ โก โž€

โ‘ฃ โฌ โš โผ โฒ โญ โท โœ‡ โ˜Ž โฃ โœš โœœ โ‘ฃโœฌโข โ‘ข โœฃ โฌ โฒ โญ โ› โฌ โš โญ โœโœ›โšโจ โก โž€โ‘ฃ โฌ โš โผ โฒ โญ โท โœ‡ โ˜Ž โฃ โœš โœœ โ†• โข โž€ โœฃ โฌ โš โญ โ› โฌ โš โญ โœโœ›โšโจ โก โž€โ†• โฌ โš โผ โฒ โญ โท โœ‡โœโ˜Ž โฃ โ› โฌ โš โญ โœโœ›โšโœโ‘จโ‘ก r โœ‡ โ‘ง โœˆโ˜…โœˆ โ‘ขโ…โœ‰โœ•โ‘ฉโงโ‘ขโทโ‘ง โ‘ค โœ‰ โ‘ค โ‘ฅโœธโ‘ฉโงโ‘ขโœธโ‘ง โน โน โน

โ‡โœผโœœโโœชโœขโœชโ„โœœ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโžโž€ โœœโœ†โœœโœฌโœšโœขโœช โž€โƒโœฅ โœšโœ โœœ โœง โœถโ˜…โœ˜ โœฒ โœœ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโžโž€ โœœ โœฒโฏโœฟ โœฝ โœœ โž€ โœถโœฑโœฃโœ”โœฃ โœฟ โœœโœ™โœฃ โœฅโ‰โœฎโœฑโž‚ โœœ โœงโโœฎ โœœ โžƒ โœšโœ โœœโโœดโœทโœถโ˜…โœ˜ โœฒโœŽโžธ โœšโœ‘โœช โžบ โœ˜โœ”โœœ โž€โœžโœฒโœ”โœฅ โœ˜โœธโœšโœŸโœŒ โœŽ โฎโœ‚โœโœฐโœ“โœฎร‘โžตโž€โžฃโž€ โœœโœง โœถ โžญ โœ˜ โœงโญโฟโœฆโœฒ โœœ โœฅ โœฝ โœœ โœงโ‘โœง โœœ โž€โžฃโž€ โœœ โœฒโฏโœฟ โœฝ โœœ โž€ โœถโœฑโœฃโœธโœฃ โœฟ โœœโฉโœฃ โœฅโœฑโœฎโœฟโž‚โœŒโžƒ โœ˜ โœงโ—โœฅ โœ˜ โž‚โœŸโœฐโœ‰โžƒ โœœโ—โœช โš โœฅ โœš โฟ โœฝ ร โž‚โœŒโžƒ โœ˜ โœงโ—โœฅ โœ˜ โœŒ โฎ ๏ฟฝ โœ โž‚โชโœฅ โœง โœœ โž€โžฃโž€ โœœ โœฒโฏโœฟ โœฝ โœœ โž€ โœถโœฑโœฃโœ”โœฃ โœฟ โœœโˆโœฃ โœฅโ‰โœฎโ˜ โœฝโฏโœšโœขโœœโœฌโœ˜ โœฒโœ”โœฅโžโž€ โœœโ—โœช โ– โž„ โœŒ โ˜Žโœพ๏ฟฝ โœโชโœฅโžโฟ โœ˜โœธโœš โฟร’โžŠโœฎโžƒ โœœ โœง โœœ โž€โžฃโž€ โœœ โœฒโฏโœฟ โœฝ โœœ โž€ โœถโ˜…โœฃโœ”โœฃ โœฟ โœœโ‚โœฃ โœฅโ‰โœฎ โšโœŽโœฎโ—†โฟ โœฝ โœฅPโžƒโœ„โž€ โœช โœŒ ๏ฟฝโœ๏ฟฝ ร“โœ‚โœโœ—โœ“โง โžƒ โœช โœฎ โœœ โž€โœฆโœฅ โœดโœทโœถ โœฎ โœฉ โžƒโœ„โž€ โœœ โœฒ โœœ โœ โœช โžฒโ‘ โžŠโœฃโžƒโœ—โฟ โœฃโทโœœ โžƒ โœชโœ™โœš โœฏ โœœ โซ โœฃ โœฎโž‹โฟ โœฉโ‡โœœ โœฎ โœป โœฃ โœฅโœฑโœฎ โœช โฟโฑโœฎโ˜žโœฒ โœœ โœง โœœโโœชโœขโœชโ„โœœ โฟ โœ˜โ˜…โœช โœฟ โ† โœฎโ„โœฅPโž€ โœœโœโœŒ โœŽ โฎโœ‘โœ โž‚ โœถโœฑโœ˜ โœฅโ‘กโž€ โœœ โœฎโ„โœฟ โœš โžƒโœ„โž€ โœช โœฅ โœชโœš โžƒโœ—โฟ โœฝ โœฅ โœ˜โœซโœช sโžฆโžจโžงโœ†โžฉ โœ“ โฅโœธโžซโœ›โœท โคโœพโ™ฆqโ™ฃโƒโ™ฆโž’โ™ฅโœฆโœฅโˆโคโœ›โŠ โฅ โค โ™  โœšโœฌโคโ– โ โœ“โ˜…โœง โœฅ โœฑโžฃโžญ ๏ฟฝโœพโœฉ q โœŽ rโ…โ‘ค โ‘ฅ r โœ‡ โ‘ง โœˆ โธโ—โ‘งโบrโโ‘ฆ โž‚โœ•โ‘ค โ‘ข โ‘คโƒโœ‡ โ‘งโบrโˆrโ—โ‘ง โœ‡โ‘จโ‘คโœ†โ‘ก r โœ‡โ‘ฆโœˆ rโ—sโœฑt โž‚ r โž‚โ‘กโ‘ค โ‘ฆโœ r โœ‡โ‘จโœˆ r

โ‘กโž‹โžณ โธโœฐโถโœซโ‘ฉ โ‘ก โ‘ค โ‘งโœ—โธโ‡rโ„t โ‘คโƒโœ‡ โ‘งโบrโโ‘ขโทโ‘ง โœ”โœผโœˆ โ‘ข โ‘ฉ โ‘งโžชโœตโœญโ˜žโ˜› โœฏโœŽโžด โžท โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โจ โžชโœฌโœซโœฎโœญ โžดโนโžท โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ขโœŽ rโ…โ‘ค โ‘ฅโžƒโ†’ โœช t โข โž€ โฌ โช t โญ rโ—โ‘ง โœ‡โ‘จโ‘ค โ‘ง โœˆ sโฏโ‘งโบr โœ‡โ‚โ‘ก r โœ‡ rโœ tโโ‘ฅโ…โ‘ฆโ„r โœ‡โฒโœ‡โ‘จโ‘คโฝโœˆ โ‘ข โœ‡โžจโœˆ r โ‘กโณโžณ โธโœ—โถโ˜…โ‘ฉ โ‘ก โ‘ค โ‘งโœ—โธโ‡rโ„t โ‘คโƒโœ‡ โ‘งโบrโ—โ‘ขโœธโ‘งโ€โ‘ฉ โ‘กโฑโœˆ โ‘ฆ โœ‡โœบโœˆ โ‘ขโž…โ‘ฉ โ‘ง

โžชโœฌโœญโœขโ˜› โœฏโœŽโžดโนโžท โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โจ โœฌ โŠ โœณโœ โœ† โœ‰ โœ โ˜› โ‘ฃ โ‘ โ†• โžข โœ– โœ† โœ‰ โ‘ฅ โฌ โฒโ‘กโญ โฌ โœ˜ โ†•โ‘โžขโžฃโžคโœฎโžฅ โผ โœ˜ โ†•โ‘โžข โญ โผ โก โž€

โ‘ฃ โ โ‘ข โ‘ฅ โฌ โš โญ โœโœ›โšโ‘ฉโ‰โปโ‘ rโฒโœ‰ โโœฆโจ โœพ โœŒ โ–ผ โน

โฃโฉโค โœทโœ›โœโฏโฅโงโฆโ™ฅโ™  โคโœพโ™ฆqโ™ฃโœฟโžฏ โ โ‘ขโœžrโœญโœ‰ โœˆโœถโœฐ โ‘ขโ…โœ‰ โ‘คโœชโœˆ rโ‡โ‘ฉโงโปโงrโฒโœ‰ โœžโ–ผ โžผ sโœธr โœˆ โ‘ฉโงโ‘ข โœ‡โž†โ‘ก rโ‡โœ‰โฒโ‘ฉ โœ‡โœปโœˆโ†โžณ sโฏโ‘ข โœˆ โ‘ฅโœธโธโโ‘ฆโ„โ‘ฉโงโ‘งโบrโsโฏโ‘ฆ โœพ โœˆ โ‘ฆโ‘จโ‘ง โœฉโœ”โœˆ โถ โœˆ โ‘ขโ…โ‘ฉ โ‘ก โนโœบ โœœ โœฒ โœœ โžƒโฏโซโœโฟโžตq โœฉโœ•โœœโ‚โœฃโ…โœถ โฟ โœ˜โœซโœชโ˜žโœ˜โœ”โœถ โžƒ โœš โœฃโ…โœถ โžƒ โœšโœ โœšโœ โœœ โœป โฟ โœ˜โœซโœช โœฎ โœถ โœฒโœโžƒโœ„โฟโœฆโœฎ โœœ โžƒ โœ˜โœ”โœœโ‚โœช โœฎ โœถ โฟ โœš โฟโบq โœฉโ‡โœœ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโžโž€ โœœ s

โด โ™ โšโœ„โœ‚โœ—โœโƒโž โก โจ โดโœตโ™ โšโบโกโœ—โœโƒโž โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โžŒ โก โž€โ‘ฃ โ โ‘ข โ‘ฅ โฌ โš โญ โœโœฎโšโžฆโžจโžงโœ†โžฉ โœ“ โฅโœธโžซโœ›โœท โคโœพโ™ฆqโ™ฃโœฟโžฏโž’โ™ฅโœฆโœฅโˆโคโœ›โŠ โฅ โค โ™  โœšโœฌโคโ– โ โœ“โ˜…โœง โœฅ โœฑโžฃโžญ ๏ฟฝโœพโœฉ qโœ‘rโ™ฅโœˆ s โœ‡โœปโœˆ r โ‘คโฒโœˆ โ‘ขโทโ‘ขโ…r โœ‡โœนโœฉโœณโ—† โ‘ฅ โœˆ โ‘ง โœฉ โœขโโœ‡ r โœ‡โ—โœˆ โธโ„โœ‰โ—โ‘ฆ โ‘ค โ‘งโบr โœ‡โ„โœˆ โ‘ฉโงโ‘ข โœ‡ โœผโœ•rโฒโœ‰โโ‘ฆโ„rโs โœ‡ rโโพ โœˆ โ‘ข โœˆโžธ โœก โœป โžบโœโœ”โ€โœˆ โ‘ขโž…โ‘ฉ โ‘ง

โžชโœตโœญโ˜žโ˜›โœ†โ˜ŽโœŽโžดโนโžท โก โ‘ฅ โฌ โš โญ โœ โœ˜ โ‘ข โจโž“โžŽ t โผ โœฌ โŠโœŸโœณโž  โ˜› โ— โœ โž  โœ‡ โž€โ‘  โ‘ก โ‘ขโ‘คโ‘ฃ โˆโœปโกโธ โ‘กโบโน โž€ โปโฝโœŸ โž โ‘กโœŸ โž  โ‘ฅ โฌ โš โญ โœโœ›โš โฌ โœ˜ โธ โ‘กโžตโน โž€ โปโฝโœŸ โž  โผ โœ˜

โ‘กโœŸ โž  โญโœŸโœž

โœ‰ โœˆโงโž‚โœ•โž‚ sโฏโ‘ขโœžโธ โž‚ rโโ‘ขโทโ‘งโœŽโ‘ฉโ„โ‘ฅโœฑโ‘ฅโœธr โ‘ก โธโฒr โœ‡โจโœ‡โ—โœˆโงโž‚โœ•โž‚ r โœ‡โœฌโœˆ r r โ‘งโœฐโ‘ฆโœ โ‘ฉโ‰โ‘ง โœˆ โ‘ข โœˆ โป โ‘ค โ‘งโบโœ‰ โœฉ โฟ โป โœˆโงโ‘ค โ‘ฆ โœช sโœธโ‘ฉ โ‘ก โ‘ฉโงโ‘ฆโ‘จโ‘ง โžธโœšโœโœฃโžพโœกโœ  โœ” โœก โžบ โ‘ฅ โœˆ sโฏโ‘ฆโจsโฏโ‘ข โœˆ โธโ—โปโ‘ r โ‘กโฑโœˆ โ‘ฅโœฑโ‘ฅโœธr โž‚ rโโ‘ขโทโ‘งโœˆ โธโ—โ‘งโœ—โ‘ฉ โ‘ค โ‘ก โ‘ก โธ โžƒ โนโœบโœŽโœฏ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโžโž€ โœœ โด โ™ โšโœ„โœ‚โœฐโœ โž โœ‡ โœง โœถ โœฎโ„โœฎ โœœโœนโœšโœขโœฃโ…โœถโœฑโœ˜ โœฒ โœป โž€โƒโœฅ โœช โœฎ โœถ โฟ โœš โฟโบq โœฉโ‡โœœ โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโžโž€ โœœ โฟ โœ˜โœซโœช โœฎ โœถ โœฒโœโžƒโœ„โฟ โœชโœ โœœ โœฒโœ”โœฅ โœ˜โœธโœš โœŒ โœŽ โฎโœ‘โœ โœœโโœช โœป โ‹โทโœœ โœฅโžโžƒโœธโœง โœถ โžƒ โœฃ โœฒ โœœโœฌโœš

โœฅโžโžƒ โœช โœฎ โœœโœนโœš โฟ โœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโ„โœฅPโž€ โœœโœนโœš โœฒโฏโœฟโญโฝ โœ˜ โฟ โœœโœฌโœš โœ“โ‘ โšโ—†โœฅโœฑโœฎ โœœ โซ โœœโœฌโœฉโ‡โœฃ โž€ โœœ โœง โœœ โž€โœณโž€ โœœ โœฒ โœœโ˜žโ˜› โž€โžตโžผ โœš โž‚โœโœŒ โœฅโž โžฝ โœœโโœชโชโœœโโœช โ’โœ‰โžƒโœธโœฅPโž€โœฆโœฅโœฑโœฎ โœช โœŒ โœŽ โœ โž‚โงโœฒ โœœ โ‡ โœฅโœฑโœฎ โœฉโ‡โœถโ˜…โœ˜ โœฅ โœœโโœชโœฃโ‡โœผโœถ โžƒ โœช โฟ โœ˜โœŒ โž‡โœฃโฎโœ‘โœ โž‚โœ”โœฒ โœœโœโœŽโœ”โœœ โž“ โœœ โž€ โœœโ—โœช โœฒ โœœ โž€โƒโœฅโœญโšโžโœฎโ„โœฅโ˜…โœฒ โœœ โž€โžฃโž€ โœœ โœŒ โฎ โ˜Ž โœ โž‚โœธโœฒ โœœ rโœ‰โžƒ โœšโœ โœšโœ โœถโ‡โœœโโœช โœ‘โœŽโœฅPโž€ โœถ โฟ โœš โœŒ ๏ฟฝโœ๏ฟฝ โœ โž‚ ๏ฟฝ โž‡ โœœ โœโœŽโž‚ โœœโ—โœช โœฒ โœœ โ†”โž™โ†• โœฟ โž€ โœœ โœŒ ๏ฟฝ ร“โžœโž›โœ†โœโœฐโœ“

Page 131: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โž‡ โœœ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœโœžโœ โœŸโ˜›โœกโ˜Žโ˜žโœโœŒโœโœŽโœ„๏ฟฝโœ‘โœŸโพ๏ฟฝโœ’โœ† ๏ฟฝโœ’โœžโœ”โœ“โœ–โœ•โœ—โ˜žโœ™โœ˜โœ”โœŒโœ›โœš โœโœ›โœ“sโœกโœœโœกโœขโœŒโœฃโ˜žโœคโ˜žโœคโœ†

Page 132: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜ž โœ

โœŽ โœโœ’โœ‘โœ”โœ“โœ–โœ•โœ—โœ‘ โœ˜โœšโœ™โœœโœ›โœขโœ“โœคโœฃโœ—โœโœ’โœฅโœฆโœ™โœœโœงโœ”โ˜…โœฉโœ•โœซโœช โœฌ โœ›โœ’โœ•โœซโœญ โœฎโœซโœชโœฏโœฅ

โœฐ โœญโœฑโœ›โœขโœ“โœฒโœชโœณโœฅโœดโœฅโœดโœ•โœ—โœฅ โœฎโœซโœช โœฐ โœ›โœตโœงโœ”โœฅโœดโœฅโœถโœ›โœ’โœท โœโœธโœญโœฑโ˜…โœฉโœ•โœซโœนโœณโœฅ

โ‡โœผโœœ โœง โœฟ โœฅ โœฃโœปโœบโฑโœช โœฎ โœœ โœฅ โœฃโทโœถโœฝโœผ โœฎ โœถโœฑโ‹โœชPโœ‘โœœ โœง โœชโœพโœบ โœด โœฒ โœœ โœฒโฏโœฟโ€โœฟ โœ˜โœปโœบ โœฎ โœผโœธโœ˜โœ”โœœโœ”โœบโฑโœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโ‚โ โœœ โœฅ โœ˜โœซโœชโƒโœบ โœง โœบโœฆโœฃ โœฅ โœชโœพโœบ โœฝ โœœ โœฎ โœœ โโœฆโœฅ โœชโƒโœบ โœฝ โœœโ—โœฉโ‡โœœโœฌโœ˜โ˜…โœช โœป โœฒ โœœโœนโœš โšโœŽโœฎ โœถ โœง โœœโœฌโœšโ„โœšโ„โœผโœธโœšโœฒ โœœ โš โœถโœฝโœบโœฆโœšโ„โœšโœ โœถโœฑโœ˜ โœŒโผโœฅโ‰โœฎโ†โ… โœผ โœฟ โœš โœ“ โ‡โœผโœœโ—โœชโœขโœชโœ โœœโ‡โœบโœฆโœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโ„โœฅโˆโ โœœโ‡โœšโœ โœœ โœฎโฒโœฅ โœป โโœฆโœฅ โ‹ โœฅ โœšโœ โœœ โœฒ โœœ โโœฆโœฅ โœง โœถโ˜…โœ˜โœธโœšโœ‘โœช โœฎ โœผ โœง โœชโƒโœบโœฆโœถโœฑโœ˜ โœฒ โœœ โโโœฏ โœบโœฆโœ˜โ˜…โœช โœฟ โ† โœฎโ„โœฅโˆโ โœœ โœฎ โœœ โโœฆโœฅ โœชโƒโœบ โœฝ โœœ โœปโœฒ โœœโœฌโœš โšโœŽโœฎ โœถ โœง โœœโœฌโœšโ„โœšโ„โœผโทโœš โœฒ โœœ โš โœถโœฝโœบโœฆโœšโ„โœšโœขโœถโ˜…โœ˜ โœŽโ‰โœบ โ โœช โœฎโ„โœฟ โœš โœ“โ‹โŠโ—โโโ โœœโœPโœ‘โœถโˆโœผโœ”โœœ โœฎโ„โœฅโ‡โ โœœโœบโœฉโ‡โ– โœฌโœฉโœ•โœœ โœฎโƒโโœฝโ โœœ โ… โœผโœ”โœœ โโโœฏ โœบโฑโœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโ‚โ โœœ โœฒ โœœโโœปโœชโœฝโœฑโœถโœโœฟโœธโœถ โœฎ โœถ โœฒ โœฃโ…โœถโˆโœผ โœฎโ‘โ โœœโœฉโ‡โœถโˆโœผ โœฝ โœœโ—โœฉโ‡โœœโ—โœ˜โœซโœชโœคโ€ โœฎ โœถโœฑโ‚โœ†โœ˜โœปโœบโœฆโœœโ—โœ˜ โœฟ โœชโœพโœผ โœฒ โœบ โœฟโœตโœฒโœ”โœฅ โœ˜โœธโœš โ โœœ โœง โœฟ โœฅ โœฃโœปโœบ โœช โœฎ โœœโจโœฃ โœฎโ„โœฟโœฌโœงโ—โœฟโœฌโœฒ โœœโœฌโœ˜โ˜…โœช โœ“

โœบโœŽโœฏ โœบ โœฒโฏโœฟ โœœโ‡โœœโœฌโœšโœขโœช โโƒโœฅ โœฉโ–ฒโ– โœฌโœฉโ‡โœœ โœป โœš โœฅ โœฝ โœถโœฝโœบ โœฎโจโœฒโฏโœฟโ€โœฟ โœ˜โ‹โœบ โœฎโ–ผโโœฐโœฏ โœบโœฆโœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโ‚โ โœœ โœง โœถโ˜…โœฉโ‡โœฉโœ•โœœโ‡โœถโ˜…โœฃ โœฟโœฌโœฎโ„โœฅ โœชโœ โœœโ—†โœผ โœฎโจโœฅโ˜…โœฒ Pโœ‘โœถโˆโœบโœฆโœ˜โœซโœช โœฒqโœฏ โœผโœ”โœ˜โž…โ† โœฎโฒโœฅโœฑโœฒ โœบโฑโœœโœฌโœ˜โ˜…โœชโž†โœšโœขโœชโœ โœถโ‚โ–โœง โœฟ โœฅ โœšโœขโœชโƒโœบ โ… โœผโœ”โœœ โœ“โœปP โœถโˆโœผโœธโœš โœฅโ‚โโโ โœถโ˜…โœ˜โœธโœš โœง โœถโ˜…โœ˜โœธโœšโœขโœช โœฎ โœผโœปโœบ โœฎ โœœ โœง โœœโœนโœšโœ†โœถโœฑโ‹โœ’Pโœ‘โœœโโœชโ„โœš โœป โœฃ โœฅโ‰โœฎ โœชโƒโœบ โœฎ โœฒ โœœ โโœฐโœฏ โœถโ˜…โœฃ โœฟโœฌโœฎโ„โœฅ โœชโœ โœœโ——โœผ โœฎ โœฒ โœœ โœฒโฏโœฟโœฌโœฎ โœบ โœฝ โœฅ โœชโœพโœบโฑโœถโ˜…โœ˜โ˜โœบโœฆโœ˜โœซโœช โœฎ โœถ โœฒ โœผโœปโœบโฑโœช โœฃ โœฅโ‰โœฎโ™ โœœ โœงโโœฎ โœœโ—†โœผโœธโœšโœ โœœโโœดโœทโœถโ˜…โœ˜ โœฒ โœฒโœ”โœฅ โœ˜โœธโœš โœŒ โšโœฝโฏ โœโœฐโœ“โ˜›โ˜žโœฃ โœฎโœพโฑ โœš โœฅ โœฝ โœถโœฝโœบ โœฎ โœฉโ‡โœบโƒโœš โœœโœฌโœ˜ โœฟ โœฝ โœบ โœฒ โœœโ—โœ˜ โœง โœœ โ โœœโœฌโœšโœ™โœฃ โœฎ โœถโœฑโœฃ โœฎ โœบ โœฟ โœช โœฟ โœš โœฒ โœœ โœง โœœโโœชโœ โœชโœ โœœโฒโœบโฑโœ˜โœซโœช โœฟ โ† โœฎโฒโœฅโ‚โ โœœโˆโณโทโœ˜โœ”โœถโˆโœผโœธโœš โœฎ โœœโœฌโ† โœฅโœฑโœฎโ„โœฒ โœœ โœฎ โœถโ˜…โœ˜โœธโœš โ โœœ โ โœบโฑโœœโœฌโœ˜ โœฅ โœฝ โœœ โœงโโโœฏ โœบโœฆโœ˜โ˜…โœช โœฟ โ† โœฎโ„โœฅโˆโ โœœ โœฒ โœบโฑโœชโœ โœœโฉโจโœขโœ˜ โœฅ โœชโœพโœผ โœฎ โœœ โโฌโ โœœโชโญ โœงโ‰โœฏ โœœโœฌโœšโœขโœช โœป โœฒ โœบ โœฎ โœœ โœฒโฏโœฟโ€โœฟ โœ˜โ‹โœบโฑโœœ โœฅ โœผ โœšโœ โœœโ—โœ˜โœธโœš โœฒ โœœโŠโœปโœซโœชโƒโœบโœฆโœœ โ โœช P โฑ โœšโซโ– โœบ โœœโœฌโ‹โทโœœโœนโœšโœขโ†โœฝโœผโœ”โœœ โœ“

โดโ›โตโ—†โœ โโœ โžโฒโกโ‰โขโœ”โฃโ–ผโคโฅโœโงโฆโ€โ™ โœ”โ™ฅโ™ฆโžโ™ฃโœโ–ผโกโ‰qโ˜›โคโฅโ™ โœ”โฆโ€โฆโ€โ™ โœ”โ™ฅโœ–rtsโงqโ™ฃโคโ™ฆโœ‰โ˜โ™ โœ”โ™ฅโœฒโœˆโœคโœˆโœคโœ‡โ‘ โ‘ขโ‘กโ„โ‘ฃโ‘คโ‘กโƒโ‘ฃ โ‘ฅโœฑโ‘ฆโ‘คโ‘งโ‘ฉโ‘จโถโ‘งโ‘ฉโทโ„โ‘ฆโนโธโฉโบโœ โปโฝโผโœดโพโž€โฟโฝโธโ‘โทโžโ‘งโœปโทโซโ‘ฆโž‚โธโฉโบโž„โžƒโž€โ‘งโž†โž…โžˆโž‡โœ”โž‰โ–ผโ‘ฆโ‘คโ‘งโœ โœฉโž‹โžŠโ‰โบโœฝโžƒโ‰โบ

โœปโžโžŒโˆโœบโฌโžŽโฉโžโ‘คโžโž’โž‘โž“โœผโ‹โž”โœปโœบโžฃโ†’โ‘ฉโ†”โงโ†•โœพโž™โฒโžŽโƒโž›โœพโœบโฌโžœโœปโœผโ˜โžœโœ โžŒโˆโž›โœพโž โ โœบโฌโ†”โ——โž”โœปโž”โœปโ†”โˆโžžโ‡โž‚โžŒโˆโž”โ‹โ†•โƒโœบโžŸโ†’โ‘ฉโžโ—†โž›โœพโžŒโˆโž”โ‹โ†•โž‹โž โžกโ†’โ‘ฉโžโ€โžŽโœพโ†”โ—†โž›โœพโž‘โ–ฒโœบโโž”โœปโœบโžŸโ†•โซโžŽโœพโ†” โœฟ โž”โœปโœบโถโžŒโˆโœผโžขโž”โœปโžŒโˆโž”โžคโ†”โ—†โžŽ โฌโžฆโžฅโฝโžงโ„โžจโนโžงโ——โžฉโžซโžจโžฃโžญโ„โžฏ โžญโžณโžฒโ‘ฉโžต โžธโ——โžบ โžปโœปโžผ โžงโ„โžฝโฅโžฏ โœผโœปโž”โžพโ†”โžšโ†•โ„โžชโ‹โž™โœฝโžถโ€โ†”โงโžชโ‹โž›โƒโžŒโœฝโžœโ‹โž™โ‚โžœโœปโœบ โ โœบโโ†•โƒโž โœฟโ‹โ โžŽโƒโž›โœพโžโˆโžžโž˜โžนโ‘โž”โœบโฌโž”โžดโžŽโœพโž›โƒโžŒโ‘ฉโ†’โ‘ฉโœผโœปโœบโฌโžŽโœ”โž‘โž’โž™โ‚โœบโโž”โœฝโžŽโœพโ†”โ—†โž”โ‹โž™โˆโž”โžดโžŽโœ”โ†’โœปโ†”โ—†โœผโ‘ฉโžทโœŒโ†•โ„โœผโœปโœบโฌโžŽโƒโ†”โžšโ†•โœ”โ†’โ‘ฉโ†”โ–ผโžฌโžฎโž™โ‚โž›โœพโœบโโž™โˆโžœ โ โ†”โ——โ†•โ‘ขโž™ โ โžโ——โž™โ‚โžŽโƒโžŒโˆโœบโโž›โœพโ†”โ——โ†• โžฉ โž โž€โžฑ โžฏ โžฑ โžฒโžฎโœƒโœปโ โ†”โ—†โžŽ โžฉโฎโ’ โžฑ โžฏ โžฑ โžฒโžฎโœƒโ‹โ โžŽโƒโ†” โโฌโ โ†”โ——โ†• โ… โœผโœปโ†”โ‡โฐรโœŒรโž€ร‘โนร’ร”ร“โ——ร•โถร–โžดร—โžšร˜โžคร™โž˜รšโžฆร›โœซรœร โžฉ โž  โžฑ โžฏ โžฑ โžฒโžฎโœƒโ‹โโ‡รžโ—†รŸโ‚ร รขรกโž‚รฃโ‘ฉรครฆรฅรงรžโชรฃโ‘ฉร รขรกโžณรฅโ–ผรžโชรกโžฆรจโชร รชรฉโ—†รกโžณรฅ โž‚ รฅโ€รคร”รกรซรฉโ—†รจโƒรŸโžฎร โžŸรžโ†รžโ—†รฌโžฎรคร”รกโžณรฅโ–ฒรญโˆรฅโ–ฒรฎ รฏ โžง โž โž‹รฐโฉรฑโžณรฒ รฅโชรžโ–ผร รขรคโ‹รžโ†รกโžรฌโžฎรคร”รกรชรžโงรญโˆรฅโงรžโ—†รฌโžฎรฃโ‘ฉรกโฌรณโ–ฒรดโžฎรตโ—†รจโชร  รถโž‚รฌโžฎรคร”รก รœ

รทโฌรธโรนโžฑโˆรบโงรป โž  โžฑรฝรผ โž ร โžฉโžณโ’ โžฑ โžฏ โžฑ โžฒโžฎโœƒโœปโโž’รžโ—†รŸโžฎร รขรกรซรฃโ‘ฉรคโœ รฅโ–ผรžโ†รฃโ‘ฉร รขรกโžรฅโž“รพโ˜›รดโžฎรฌ รฒ รฅโ—†รฃโ‘ฉรจโ†รžโž“รญโˆรฌโžฎรคโ‹รž โžโฅโžรฟรฑโžณรฒ รฅโ€รžโœ๏ฟฝโ‡รฌโ‚รจโœ„โœ‚โ€รฃโ‹รฅโ€รžโžณรณโœ†โ˜Ž

โœฅโœžโœโœ โœŸโ˜Žโœงโ˜›โœกรชร“โ˜žโœกโžฆร’โโœงโœถร™โž˜รšโžฆร›โœโœŒ รคโžˆรฌโœโœŽโœ†โœŽโ‹รฅ รฒรขรฒ รฅโœ‘โœŽโœ รจโƒรŸโžšรฉโ†รฅโชรžโ†รžโชรฃโžรžโœโœŽโ‹รŸโžฎรครฆรฉโ€รกโฎรฃโ‹รฅ รฒ ๏ฟฝโž’รฌโžฎรจโœ„โœ‚โ—†รฃโ‹รต รฒ รฌโœ’๏ฟฝโž’รฅโชรžโชรฃโ‘ฉรจโƒรฅโžครฌ รฒ รตโ†รฌโžฎรกโžรŸโžฎร รขรจโƒรฅtรพ รด รฌ รฒ รฅโ—†รฃโ‘ฉรจโ†รžโœŒรฅโ—†รคโ‹รกโฎร โœ”โœ“โ€รจโƒรฅโ€รžรญโˆรตโžฆรถโ—รคร”ร รชรฅโœ•โœŽโ‹รฌโžฎรจ รœโœ– โžญโžณโžบ โœ— รผ โœ˜โžฑ โžฒโœšโœ™ โโœœโœ›โœšโœข โžปโœคโœฃโ‘ฉโžบ โœฅโœฆโœฃโœšโœง โžฉโœฉโ˜…โชโžงโœ„โœชโžโžฏ

โœซโœญโœฌโœฆโœฎโœญโœฏโœฑโœฐโœฒโœฎโœญโœณโœคโœดโœถโœตโœคโœทโœนโœธโœปโœบโœฝโœผโœšโœพโœโœฟโโ€โœฒโœฏโ˜›โœบโœฝโœผโœšโœพโœโœตโœฒโœฟ โ‚โœนโœทโœ”โœฎโƒโœฏโ…โ„โ†โœธโ‡โ€โˆโ‚โ…โ‰โ‹โŠ โœธโ‡โ—โœคโโœ”โœฎโ– โ‚โ˜›โœฐโโŠ โœณโœฒโ€โœฒโœฎโ‘โœตโœฒโœณโœฒโ—โœคโ‰โโœฟโโœบโœ„โœพโ–ฒโ‚โœนโœฟโโœธโ‡โ€โœถโœฎโœญโ€โ–ผโœตโœฒโœทโœนโ—†โœญโœตโœšโœพโœโœทโœนโœพโ–ฒโ‚โœนโœฟโโœธโ‡โ€โœ‘โ– Pโˆโ——โ‡โ˜โ™ โž‡ โ™

Page 133: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ™ โž‡โžฏโž‡ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ“โœโœ•โœ”โœ–โœโœ—โœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โœฃโœ†โœŸโœ†โœฅโœครฅโ€รก รฒ รฅ โœŽโœ รจโƒรŸโžšรฉโ†รฅโชรžโ†รžโชรฃโžรžโž“รญโˆรฅโงรžโ€รฌโ‚รฃโ‘ฉรกรซรฌโžฎรžโœพรžโ—†รŸโžšรฉโ€ร รชรต รฒ รฅ โœŽโœ รจโœพรŸโ——รฉโ†รฅโ€รžโœพรžโชรฃโžรžโž“รญโˆรตโžฆรถโ—รคร”ร รชรฅโœ•โœŽโ‹รฌโžฎรจ รœ

โœฆ โžญ รผ โœ˜โžฑ โžฒโœšโœ™โ‹โ โ’ โžฑโœฃโœง โžต โžปโœฒโœฃโœฉโ˜…ร”โžญโžŸโžผโ‘ โ‘ขโ‘กโ„โ‘ฃโ‘คโ‘กโœซโœช โœฌโœฎโœญโžดโธโž‚โ‘งโžโพโœฐโœฏโœŸโœฑโœปโ‘จโœณโœฒโซโžƒโœ†โธโž‹โ‘จโถโ‘งโœ•โœดโœโœฑโœปโžƒโœ›โœฒโœตโœฒโซโžƒโ‰โบโœ–โœฌโœถโœžโœโœ โœŸโœ‚โœทโ˜›โœกรชร“โ˜žโœกโžฆร’โœฎโœทโœถร™โž˜รšโœนโœธ รโœปโœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโœŒรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœŽโœ รจโƒรŸโžšรฉโ†รฅโชรžโ†รžโชรฃโžรžโœฝโœผ ๏ฟฝโ‡รฅโ€รžโชรฃโ‘ฉรจโƒรฌโœฟโœพ รฒ รฅโžขรฅโ—†รกโฒรŸโ‚รฃโ€โœพโ—†ร รชรฅโ€รค รฒ รŸโ——รฉโ†รฌ รฒ รฅโˆ๏ฟฝโž’รฅโ€รคร”รกโœšโœพโ†รŸโžฎรจโชรครฆรตโ‚โโงรŸโžฎรฃโƒโœพโ—†ร รชรฅโ€รครครฆรŸโžฎรคโœฎโ„โžรคโœ รตโ†โ…โœฝรฌโ‚รกโžฆร  โ‡โˆโโž‚รŸโ‚รค รญโœฝรตรชรถโนรคโ‹ร รขรก รฒ รฅโœ•โœŽรฆรจโƒรŸโžšรฉโœพรฅโ€รžโ†รžโชรฃโžรž รœโ‰ โžฉ โœผโ‹โŠ โœ– โžฏ โžญ โžฉโœนโ—โž‚โžฏ โžฑโœฟโ โžญรผ โ–  โžญ

โžธ โ– โœ‘โ โœผ โžฉโ–ฒโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏโ€โžฉโ–ผโ—โž‚โžฏ โœ– โžฉโ–ผโ—โž‹โžงโˆโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏโ–โ—† โ˜…โœขP รฎ รฏ โžง โž โž‹รฐโ˜โ—— โ™โฏโšโœปโžž โ™โœฉโฑโฒ รฅโ—†รกโžฆรกโžรฅโž“ร รขรคโ‹รกโžรตโœซโ…โˆรจโƒรฌ รฒ รฅโฒรฅโ€รžโชรกรซรญโœฝรตรชรถโนรคโ‹ร รชรฅ โœŽโœปรฌโ‚รจ รœโณโจ โฉ โžฉ โœผโ‹โŠ โœ– โžฏ โžญ โžฉโœนโ—โž‚โžฏ รผ โœ˜โžฑโœ‘โฌโชโญ โœผ โžฉ โž  โžฑ โžฉโœนโ—โž‚โžฏโชโžงโชโ’ โžฑ โžฉโ–ผโ—โž‚โžฏโ„โžฏ โœง โžต โžป โœฃ โœขโดโซ โœงโ†โ˜…ร”โžญโžŸโžผ โ—† โ˜…โœขP รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโ‚โต โ›โœ โ™โฏโšโœปโžž โž‡ โฑ

รโœปโ รฅ โœŽรฆรจโƒรŸโ——รฉโ†รฅโ€รžโ†รžโ†รฃโžรž โœฆ รฅโชรžโชรกโž‚รพโ‡รดโžฎรฌโžฎรจโชร รชรฌโ‚รกโžฆร รชรŸโ‚รคโฒรถโนรคโ‹ร รชรฅโฝรžโชรฃโ‘ฉรจ รฒ รฅโชรžโ–ผรฉโ†รŸโœš๏ฟฝ โœŽโœปรฌโœฝรฉโ€รกโžฆรžโ–ผรญโœฝรฅโ–ผรกโžรฅโˆ๏ฟฝ โœŽร”รžโžโ โœŽโ‹รฌโžฎรจโงรฉโ†รŸโžฎรคโœปรžโ—†รตโœโœ‚โ—†รฃโ‹รฅโ€รคร”รกโฏโ โœŽโœปรŸโ‚รฃโ‘ฉรจโฝรกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรกโœŽรฆรจโƒรŸโžšรฉโœพรฅโ€รžโ†รžโชรฃโžรžโœ“โก ๏ฟฝโž’รฅโ€รžโ†รฃโ‘ฉรจโœพรฌโœฟโœพ รฒ รฅโฒรฅโ—†รกรซรŸโ‚รฃโขโœพโ€ร รชรฅโ—†รค รฒ รŸโ——รฉโ†รฌ รฒ รฅโˆ๏ฟฝโž’รฅโ€รคร”รกโœ“โœพโ†รŸโ‚รจโชรคโœ รตโ–ฒรŸโžฎรฃโขโœพโ—†ร รชรฅโ€รคtรคโœ รŸโžฎรคโœฎโ„โžรคโœ รตโ†โ…โžดรฌโžฎรกโฎร  โ‡โˆโ รฒ รฅโœ•โœŽรฆรจโƒรŸโžšรฉโœพรฅโ€รžโ†รžโชรฃโžรžโ‰ โžฉ โก โœขโคโฃโฅโœ โœงโŠ โœฆ โžฏ โžญ โžฉโ–ผโ—โž‚โžฏ โžฑโœฟโ โžญรผ โ–  โžญ

โžธ โกโงโฆ โžฉโ–ผโ—โž‚โžฏโ™ฅโ™  โœฆ โฆ โžฉโ–ผโ—โž‚โžฏโ™ฆโ—† โ˜…โœขP รฎ รฏ โžง โž โž‹รฐโ˜โ——รฉโ†รฅโ—†รกโžฆรกโžรฅโ–ผร รขรคร”รกโžณรตโ†โ…โˆรจโƒรฌ รฒ รฅโฒรฅโˆโ™ฃโœฝร โžŸรžโ†รกโžรฅ โœŽโœปรŸโ‚รฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โ— รฅโ€รกโž‚รกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โ˜…qP โžsr รฌโ‚รฃโœŒรžโ—†รฅโ€รคโ‹รžโ–ผรญโœฝรฅโœ‰tโœ รกโžฆร รชรฅ รฒ รก โœˆโœปโœ“โชรžโ‚โ„ โ รฅโœ‡โœพโ†รฅโ€รžโœตโ…โ‚รฃโ‹รฅโฒรฅโ€รกโœ”รŸโžฎรค รฌ รœโณโจ โฉ โžฉ โก โœขโคโฃโฅโœ โœงโŠ โœฆ โžฏโžโžญโชโžฉโœนโ—โž‚โžฏ รผ โœ˜โžฑโœ‘โฌโชโญ โ’ โžฑ โžฉโœนโ—โž‚โžฏ โก โžปโœคโœฃ โœขโดโซ โœง โžฉโ–ผโ—โž‚โžฏ โœง โžต โžปโœฒโœฃ โœขโ‘ โซ โœงโ‘กโ˜…ร”โžญโžŸโžผ โ—† โ˜…qP รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโ‚โต โ›โœ

โ‘ โ‘ขโ‘กโ„โ‘ฃโ‘คโ‘กโœซโ‘ข โ‘ฃโž“โžƒโœŽโ‘ครฆโ‘ฆโœขโ‘ฅ โž‰โ–ผโžƒโ‰โธโฉโบโžดโ‘จโถโ‘งโžโžƒโœ›โœดโœโœฑโœถโž‰โ‘ฆโœฑโœปโพโœ–โ‘งโœ”โทโƒโบโžโทโ™ฅโ‘จโ˜Žโœฒโ„โžƒโ—โปโœโœญโžดโธโนโ‘งโ‘ฉโพโœ–โœฏโœฅโœฑโœปโ‘จโœณโœฒโซโžƒโœ†โบโˆโ‘งโ‘ฉโ‘ฆโœŒโ‘คโœŸโœฉโฉโ‘จโ‘คโบโˆโ‘งโœปโทโ˜โ‘ฉqโœดโฉโžƒโถ ร’โธโทโž„ร‘โนร˜โœ‘โœทโถร—โœ‡โนโ‘ฉร“โžšร˜โœ‘โบโœฐโปโ‡ร‘sโปโœฒโœโฅโผโœฑโœกโžฆร—โ˜žโœกโฏโฝsโพโžฆร˜โœฎโฟsโท ร˜โžร—โœ‡โบโœ›โปโžฎร˜โž€โทโžโนโœ—โป ร“โ˜žโœกโ–ฒโœทโœ›โž‚โธโนโœ•โพรชร˜โž€โนโœ•โพโœนโœโœ‘โนโ‘ฉร“โ——ร’ โœกโ–ผโปโžฎร˜รโœŒรโž€ร‘โนร’ร”ร“โ——ร•โถร–โžดร—โžšร˜โžคร™โž˜รšโœนโœธ รโžƒโ รฌโ‘รถ รฒ รกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรคโœ’โž„ โžจ โžญ โ—† โ˜…โœP รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœซโž… รžโ—†รฌโ‚รกโžฆร โžŸรžโ–ผโ‡โ€รฌโžฎร รขรกโฝรฌโžฎรฃโœฟโ™ฃโžครฉโ†รŸโžฎรครฆรญโžฎร รขรกโฎร รชรŸโžฎรคโœปรžโœ‰โž†โœปรฌโž‡โœพโ€ร รขรกโฎรฃโ‹รฅ รฒรขรฒ รฅโชรžโž’รญโˆรฅ รฒ รฌรกโ–ผโž†โœปรตโ†รŸโžฎรจโชร รชรฅโžˆโ…โžดรตโ€รครฆรตโ€รจโœพรฌ รฒ รฅโ–ฒรญโˆรฅโ€รžโœ•โœŽโœ รจโƒรŸโžšรฉโ†รฅโชรžโ†รžโชรฃโžรžโœปโ˜Ž

รโœปโ รฅโœ•โœŽรฆรจโƒรŸโžšรฉโœพรฅโ€รžโ†รžโชรฃโžรž โœฆ รฅโ€รžโชรกรซรฌโœฝรญโˆรฌโ–ฒโœŽรฆรกโžณรตโœคโ˜ŽรโžŠโž‰ รฎ โœฆ โžญ รฐโžŒโž‹โžŽโž โœŽโ‹รŸโžฎรฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรก โ˜… โ˜Žโžโžˆโปโžฎร’โ‹ร‘sโปโœšโœกโœ”โœโžดร“โ˜žโœโžพร™โžฃรšรชร› tรฆรŸโ‚ร รขรก โœ– รฃโ‘ฉรค โœŽโœ รจโœพรŸโ——รฉโ†รฅโ€รžโœพรžโชรฃโžรž โœŽโœปรŸโ‚รคโœ รฉโ—†รกโžฆรฃโ‹รฅ รฒ ๏ฟฝโ‡รฌโ‚รจโœ„โœ‚โ—†รฃโ‹รตรงรžโชรฃโ‘ฉรจโ–ผรฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโž‘โžโ˜›โžโ‘คโž รžโ€รฌโ‚รกโžฆร โžŸรžโ–ผโ‡โ€รฌโ‚ร โžŸรžโ€รฌโ‚รคโ‹รก รฒ รฅโ€รžโœโž†โœ—โž’โ–ฒโœŽโœปรŸโ‚รกโœนโž† โœ“โชรžโ—†รฅโ€รžโž“ โ˜Žโคโž”โœฆโ˜Žโœ–โ†’ รฒ รฅโˆโ™ฃโœฝร โžŸรžโชรกโžณรฅโž“รฃโ‘ฉรคโœ รฅโงรฃโ‘ฉรคโ‹ร โœ”โœ‚โ—†รฃโ‹รฅโœ๏ฟฝโž’รฅโชรžโชรฃโ‘ฉรจโƒรฅโ˜Žโžฃ รžโชรฃโ‘ฉรจรงรฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœ–โžโœŒโžโฅโž รกโžรฅ รฒรขรฒ รฅ โœ‚โ—†รฃโ‹รฅ รœรโœปโœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรกโœ›โ†” Pโž€โ†•รงโžฉ โž โž โžฏ โ รฒ รฅ โœŽโœ รจโƒรŸโžšรฉโ†รฅโชรžโ†รžโชรฃโžรžโžˆโž„โž™โžฃ โžฉ รฎ รฏ โžงโƒโ˜… รฐโœฐโž โ†” โžฏโ™ฆโ—† โ˜…โœขP รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœซโž… รฅโ€รžโ†รกโœฑโœŽโœ รจโƒรตโ—†รดโžšร โžŸรžโ†ร โฏโœพ รฒ รฅโœคโ˜Žรโœปโœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจรงรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœŽโœ รจโƒรŸโžšรฉโ†รฅโชรžโ†รžโชรฃโžรž โœŽรฆรจโƒรตโ€รดโžšร โžŸรžโชร โฏโœพ รฒ รฅโž“รครฆรŸโžฎรคโœฎโ„โžรคโœ รตโ†โ…โœฝรฌโ‚รกโžฆร  โ‡โœ“โœผ Pโžœโž› โญ โžฉ โžฃ โžฏ รฑ รฉโžžโž รฅโ€รžโชรกรซรพโž’รญโ‚ร รขรจโƒรฅโž“รญโœฝรตรชรถโนรคโ‹ร โถรžโชรฃโ‘ฉรจโฝรฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœฎโžโ›โžโ‘คโž รฅโ€รก๏ฟฝโž’รฅโชรžโชรฃโ‘ฉรจโƒรฌโž‡โœพ รฒ รฅโงรจโƒรฅ รฒ รฌโ‚รกโžฆร รขรดโžฎรฅโˆ๏ฟฝโž’รฅโ—†รคโ‹รกโœ”รพโžˆโžŸ โžโžœโž  รณ รฒ รฅ โœŽโœ รจโœพรŸโ——รฉโ†รฅโ€รžโœพรžโชรฃโžรžโž“รญโˆรตโžฆรถโ—รคร”ร  โœŽโœปรฌโ‚รจ รœโ‰ โžฉ โœผ โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ โžฉ โœ–โž€โžข โžฃ โžฏโ„โžฏ โžญ โžฑโž‡โ โžญรผ โžฉ โœผโžคโŠ โœ– โžฏ โžญ โžข โžฉ โœผ โœขโคโœ โœงโŠโ‹โžฃ โžฏ โžญ โ—† โ˜…qP รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโ˜โ—— โ™โฏโšโœปโžž โš โฑรฅโ€รžโชรกโœ”รฃโ‘ฉรคโœ รฅ โžฉรขโžจ โžญ โžฏ โžญโžณโžฒโ‘ฉโžต โžธโ——โžบ โžปโ‹โžผ โ„โ– ๏ฟฝโž’รฌโžฎรจโชรกโฎร รขรคโฅโ…โžดรฌ รฒ รฅ รฑ โœขโ‘ โœ โœงโŠโ‹โžฃโž†รญโœฝรตโชรžโชร โดโ…โˆรคโœ รฅ รฒ โž ร รขรคโ‹รกโžรตโœซโ…โˆรจโƒรฌ รฒ รฅโž’รญโˆรฅ โ รฅโœฉโœพโœพรฅโ€รžโœตโ…โ‚รฃโ‹รฅโ–ฒรจโœพรฅ รฒ รฌโ‚รกโžฆร รขรดโžฎรฅโ›รพ รฒ รฌโœž๏ฟฝโž’รฅโชรžโชรฃโ‘ฉรจโƒรฅโžฃโžดรณโœ†โ˜Ž

Page 134: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฅโœ ๏ฟฝโœ•โœ โœžโœ‚โœ โœ โ˜Žโœ„โœโœ†โœŒโ˜›โœโœ„โœŸโœžโœ–โ˜žโ–โœ„โœŸโœ โœ sโœžโœก๏ฟฝsโœžโ‘กโœ†โชโœ„โœโœ sโœžโœกโœ โœ›โ˜žโ–โœ† โœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ‘ฆโ˜žqโœ”โž€โœค โ˜žโœขโœ”โœ‚โœ™sโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ”โž€โœ„โœโœžโ˜›โœ„โœฅโœ„โœโœ โœŒโœ˜qโœžโ™ฅโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ” โ™โœŒโ˜ž โšโœถโœžโœโœ โœŸโœ‚โœทโ˜›โœกรชร“โ˜žโœกโžฆร’โœฎโœทโœถร™โž˜รšโœŽโœ โ รฌ ๏ฟฝโ‡รฅโ€รžโชรฃโ‘ฉรจโƒรฅ โžฃโž„รžโœ•โž รฌโ–ฒโœŽโโœŽโœปรฅ รฒรขรฒ รฅ รฒ รฅโ–ฒรฉโ†รŸ ๏ฟฝ โœŽโ‹รฅโ€รคโ‹รžโ—†รฌโžฎรกโžรฅโ€รฃโ‘ฉรจโœ•โœŽรฆรจโƒรตโ—†รดโ——ร โžŸรžโชร โฏโœพ รฒ รฅโ›รญโˆรฅ โœ– โโ‘ขรŸโžฎรค รคโœ รŸโžฎรกโžรฅโ—†รจโƒรฌโœ‘โœโœ– รผ โœ– โžข โžฃรฒ รฌ ๏ฟฝโž’รฅโ€รžโ†รฃโ‘ฉรจโœพรฅโž“รฉโ†รŸโœš๏ฟฝ โœŽโœปรฅโ—†รคโœปรžโ—†รตโ†รฅโœคโ˜Žโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโœ“ โžŒโˆโœผโœปโž›โ‡โžชโœ โžŒโˆโœผโœปโžฌโœฝโžŒโˆโœบโโž›โ–ฒโžโžšโžถโ€โž›โœพโœบโฌโž›โœพโ†”โœŒโžถโ€โ†”โ——โžถโ—†โœบโžฆโณโ‘คโœบ โ โž”โœปโžŒโœฝโœผโ‹โ†•โœ•โœ”รชโž™โ‚โœผโœปโžŽโ‡โž‘โ‡โžŒโœฝโž”โœฝโžŽโœพโž›โƒโ†”โ——โž› โ… โœผโ‹โ†” โโœ—โœ– โœบโฌโž”โžดโžŽโƒโžโœ™โœ˜โˆโž›โ†โž™ โ โ†”โ˜โ†’โœปโ†”โœŒโ†’โœปโž›โƒโžŒโœฝโœบ โžŽโœพโ†”โœŒโ†’โœปโ†” โโœ—โœ– โ†”โ€โžทโ‘ฉโžชโœปโž›โœพโ†”โ——โ†•โœพโ†•โ„โœบโโžŒโˆโž”โ™ฆโ™โฏโšโœปโžž โš โฑโž™โžคโœผโœปโž”โœฆโ†•โƒโ†”โ—†โž”ร”โ†•โ—†โžž โœ“ โžŒโˆโœผโœปโž›โ–ฒโžถโ€โ†” โ โž™โœปโณโถโœบ โ โ†•โƒโœผโœ›โœšโ‡โžŽ โ… โœผโœปโ†” โ โž™โžขโž‘โ–ฒโ†”โžšโ†•โ„โœผโ‹โž›โƒโ†” โžฃ โ†•โ„โžŒโœฝโœบ โžŽโ‡โ†’โ‘ฉโ†”โœขโœœโž‹โž™โœฝโ†’โ‘ฉโžŒโˆโž” โ†•โƒโœผโœปโž› รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœณโž โž โž โžžโ˜Žโœฃ โœ– โ†”โ—†โžทโžโœบโžŸโ†•โ„โžŽโƒโ†”โ—†โž”ร”โžถโ€โ†”โ™ฃโ†’โœปโœผโžถโ€โžŒโœฝโž‘โ–ฒโžชโœ โ†”โ—†โž”ร”โ†•โƒโž™โ‚โžŽโƒโ†”โ—†โœผโ‹โž›รซโ†”โžšโ†•โซโžŽโฉโ†’โœปโžโ—†โž‘โ‡โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโžโ–ผโ†’โœปโž™โ‚โž”ร”โ†•โœฅโœคโœฝโž™โœฝโžถโ€โžŒโ‘ฉโ†’โœงโœฆโœฉโ˜…โ‚โฏโœซโœชโž˜โžชโ‹โž™โœฌโœ˜โœฝโ†” โ™โœŒโœญ โžž โœฎโœฏ ร• โœโžดร’โœฎโปโžฎร–โœ‘โท ร˜โžคร™โž˜รšโžฆร›โœฑโœฐโœณโœฒโœ–โน โถ ร’โœตโœดโœทโœถโœนโœธโœปโœบโœ›โœผโž‚ร‘โœ‚โนโœ•โž‚โœ ร˜โœพโœฝโ€โœฟโ€โโ‚โœ’ รฅโ—†รฃโœฟโ™ฃ โœŽโœ รจโƒรŸโžšรฉโ†รฅโชรžโ†รžโชรฃโžรž โœŽโ‹รŸโžฎรครฆรฉโ€รกโฎรฃโ‹รฅ รฒ รž ๏ฟฝโ‡รฌโ‚รจโœ„โœ‚โ€รฃโ‹รตโ€รžโž‚รฌ โž’โˆรฌโ‚รคโ‹รก รฒ รฅ ๏ฟฝโ„โƒโˆ๏ฟฝโž’รฅโœ”รฉโ†รŸโœš๏ฟฝโœšโ„โœŽโœปรฅโ—†รคโœปรžโ—†รฌโ‚รกโžณรฅโ—†รฃโ‘ฉรจโงรŸโžฎรคโ‹รก ๏ฟฝโ…โƒโœป๏ฟฝโž’รฅ รฒ รŸโ‚ร โœ”โ˜Žโžโžˆโปโžฎร’โ‹ร‘sโปโœšโœกโœ”โœโžดร“โ˜žโœโžพร™โžฃรš โœธ โ รฅ โœŽโœ รจโƒรŸโžšรฉโ†รฅโชรžโ†รžโชรฃโžรž รญโˆรฅtรžโ—†รฌโ‚รฃโ‘ฉรก โœฆ รฌโœฝรญโœš๏ฟฝโž’รฅโ€รกโœถโœŽโ‹รŸโžฎรฃโ‘ฉรจ รฉโœพรŸ ๏ฟฝ โœŽโ‹รฅโ—†รคโœปรžโ—†รฌโžฎรกโžรฅโ€รฃโ‘ฉรจ โœŽโœ รจโƒรตโ—†รดโžšร โžŸรžโ†ร โฏโœพ รฒ รฅ รฒ รฅโœžโœŽโœ รจโœพรŸโ——รฉโ†รฅโ€รžโœพรžโชรฃโžรžโœขโ†รžโชรฃโ‘ฉร รขรด รฌโ‚รคโ‹รก รœ โ‰ โ†โž‹โžญ รผ โ–  โžญโžธ โ–  โ โœช โžฃ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžโžฏโ–ผโžง โ˜…qP รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโˆโ——รŸโžฎรคtรฌโœโœŽโœ†โœŽโ‹รฅ รฒรขรฒ รฅโ€รจโƒรฌ โœŽรฆรจโƒรŸโ——รฉโ†รฅโ€รžโ†รžโ†รฃโžรžโž“รญโœฝรฅโ–ผรžโ—†รฌโžฎรฃโ‘ฉรกโ‘ขรฉโ†รŸโœš๏ฟฝ โœŽโœปรฅโ—†รคโœปรžโ—†รต รฒ รฅ โœŽโœ รจโƒรŸโžšรฉโ†รฅโชรžโ†รžโชรฃโžรž โœโœฆ รผ โœฆ โžข โ† โ˜Žโœฃโž˜โ†”โ——โ†•โ‘ขโžชโ‹โž›โƒโžŒโœฝโžชโœปโž›โƒโœบโโžโ€โžŽโœพโžโ——โ†•โœ”โ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โ‡โž‘โž’โž™โ‚โž›โƒโžŽโƒโœบโโž”โ‡โœ˜โœฝโž™ โ โ†”รงโž™โ‚โœบโโž”โ‹โ†•โƒโœบโž€โžŒโˆโžœโ‘ฉโžŽโœพโ†”โ—†โž”โžโœผโœปโ†”โ–ผโ†•โ„โžŒโœฝโž”โžดโžŽ โ โ†”โ——โ†•โœ”โ†•โƒโœผโœปโœบโโžฌโžฎโž™โ‚โž”โžดโžŽโƒโ†”โžšโ†•รงโฐ

โœฏ ร• โœโžดร’โœฎโปโžฎร–โœ‘โท ร˜โžคร™โž˜รšโœนโœธ โœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโž“รกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรกโ˜›โœŽโœ รจโœพรŸโ——รฉโ†รฅโ€รžโœพรžโชรฃโžรžโ˜Žโœผ โœŽรฆรจโƒรตโ—†รดโ——ร โžŸรžโชร โฏโœพ รฒ รฅโ‚โโœฅโœผ Pโขโž›โ‰โˆโžดโžฉ โžฃ โžฏ โโœ”รŸโ‚รค รฌ โโœฑโœŽโ‹รŸโžฎรฃโ‘ฉรจโž“รกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรก โ˜…โœP รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐ รฅโ—†รกรซรกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรกโ‘ P รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐ รœร โž‰โ‹โŠ โžฉ โœผ โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠโ—โœโœ– โžฏ โžญโœ—โ รผ รฏร รฎ โœผ โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠโ– โœโœ–โ‹โ โœผ โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠโ– โœโœ– รฐ โžญ รผ โžฉ โœผ โˆ โŠ โœ– โžฏโžโžญร โž‹ โœผ โœข โฃโž‡โžก โœงโŠโ—โœโœ–โ‘โ โœผ โœข โฃโž‡โžก โœงโŠโ—โœโœ–โœ‘โ–ฒ โžญ รผ โžฉ โœผ โˆ โœขโ‘ โœ โœงโŠ โžฃ โžฏ โžญร โž‰ โŠ โžฉ โœผ โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠโ—โœโœ– โžฏ โˆโžญ โ รผ โž‰ โŠ โžฉ โœผ โˆ โœขโ‘ โœ โœงโŠ โžฃ โžฏ โžญ โ

โ–ผโ˜›ร˜โœ‘โทโžโนโœ—โปโœซโ—†โชโบโถร˜โžคร™โž˜รšโžฆร›โ‘โ– รŸโžฎรฃโžรžโงรฌโžฎรดโžฎรŸโžฎรคโ‹รžโงรญโœฝรฅโชรžโฒรตโ—†รคโœ รŸโ‚รคโœ รฉโ†รตโ€รžโ–ผรตโœโœ‚โ—†รฃโ‘ฉร รขรด รฌ รฒ รฅโ€รคร”รกรชรžโž“รฌโ‚รด รฅโ†รฉ โœโœฆ โ โœฆ รฅโ—†รกPโ† โ˜Žโดโ›โตโ˜โ—— โโœ โžโฒโกโ‰โขโœ”โฃโ–ผโคโฅโœโงโฆโ€โ™ โœตโœโงq โ™ฅโžฃโ™ โœ”โžโ˜โ™ฅโœณโœ‰โ˜โ™ โšโ™โœ•โฏโงsโฒโฑโ˜sโ–ผโคโฅsโž’โœ‰โœ—rtsโž“qโ˜›โคโœžโœ‰โ˜โ™ โœ”โ™ฅโจโณโœตโ™ โœ”โ™ฅโžฃqโ™ฃโคโฅโ™ โœ”โ™ฅโœณโœโž“โฆโ€โขโœ”โœโฌโฉ

โกโ‰sโฒโญโชโคโฅโ™ โœ”โ™ฅโ‘ โ‘ขโ‘กโ–ฒโœชโ‘ขโ‘กโƒโ‘ฃ โชโœถโžƒโžฃโบโœฝโ‘งโœ—โœฑโ‹โทโœตโ‘คโœ โ‘งโœปโทโ„โ‘ฆโนโธโดโซโ˜Žโœด โ‘ครฆโ‘จโตโซโœโœฑโœปโžƒโ—โปโœโ‘ฅ โ‘ฆโ‘คโ‘งโœปโทโ™ฅโ‘งโถโ‘จโถโ‘งโœปโทโซโ‘ฆโนโธโ‘โบโ˜โžƒโž€โ‘งโœ’โ‘ฅ โทโ„โบโžดโžƒโž†โžƒโžฃโธโœฒโž‰ โœฒโซโ‘จโœณโ‘ครฆโžƒโ‘โซโž‹โžƒโƒโœฒโซโ‘จโœฑโž‰โ‘ฆโœฑโœปโ‘ฆโœŸโ‘จ โœฒโซโพโœโ›โ‘ฅ โ‘จโถโ‘งโœปโทโœตโ‘ฉโœ“โœดโž‹โžƒโ–ผโ˜›ร˜โžร—โ——ร“โœกโปโœšโœก โถ ร“โ˜žโœกรชร’โธโœทโ‹โœดโœ›โบ โถ โนโ‡โœดโœฐโปโžฎร˜รโœŒรโž€ร‘โนร’ร”ร“โ——ร•โถร–โžดร—โžšร˜โžคร™โž˜รšโœŽโœ โ รฅโฒรฉโœพรŸ ๏ฟฝ โœŽโ‹รฅโ—†รคโœปรžโ—†รฌโžฎรกโžรฅโ€รฃโ‘ฉรจโ‘ฆโžฃ รžโœ—โž รตโ†รฉโ—†รจโชร รขรกโนรžโ—†รŸโ‚รฃโžรž รฒ รฌโœโ‡โ€รŸโžฎรจโ‡๏ฟฝโž’รฅ รœโžฃ โžฉโœนโ—โž‹โžงโˆโ™ โฅโ‘โœฝโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ รผโžโ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ™ฅโ™ โœ‘โ‘โœ•โกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžดโžฏรŸโœซโข โก รฅโชรžโชรกรซรฃโ‘ฉรคโœ รฅ ๏ฟฝโ‡รฅโ€รžโชรฃโ‘ฉรจโƒรฅโž“รญโœฝรฅโœ•โœŽรฆรจโƒรŸโœฟโœพโ†รฌโœฟโœพโ—†ร  รฒ ร รขรกโžรต รฑโžณรฒ รŸโžฎร โž‚รญโœฝรฅโชรž โ’โคโฃ รณ โ˜Ž

Page 135: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ™โœŒโ˜žโœ๏ฟฝ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ“โœโœ•โœ”โœ–โœโœ—โœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โœฃโœ†โœŸโœ†โœฅโœคโœฏ ร• โœโžดร’โœฎโปโžฎร–โœ‘โท ร˜โžคร™โž˜รšโœŽโœโ‹โœฐโœณโœฒโœ–โน โถ ร’โœตโœดโœทโœถโœนโœธโœปโœบโœ›โœผโž‚ร‘โœ‚โนโœ•โž‚โœ ร˜โœพโœฝโžฃร›โœ›โโœ„โœ‚ รค โœบ รจโƒรŸโžšรฉโ†รฅโชรžโ†รžโชรฃโžรž โœบ รŸโ‚รคโœ รฉโ—†รกโžฆรฃโ‹รฅ รฒโœ†โ˜Ž รฌโ‚รจโœ„โœ‚โ€รฃโ‹รตโ˜›รญโˆรŸโžฎรคร”รก รฒ รฅโž’รฉโ†รŸโœš๏ฟฝ โœŽโœปรฅโ—†รคโœปรžโ—†รฌโ‚รกโžณรฅโ—†รฃโ‘ฉรจรฅโชรžโชรกโ‘ขรญโˆรตโ—†รกโžณรฅโ—†รจโ‡๏ฟฝโฒร รขรคร”ร โžŸรžโชรกโžณรฅโ–ฒรฅโชรžโชรกรซรฃโ‘ฉรคโœ‘โœŽโœ รจโœพรŸโ——รฉโ†รฅโ€รžโœพรžโชรฃโžรžโงรญโˆรฅ โœบ รŸโžฎร โžŸรžโ†รžโ—†รŸโžฎรคโœ’๏ฟฝโž’รฌโžฎรจโœ„โœ‚โ—†รฃโ‹รตโ˜žโ˜Ž

โœ“ โžŒโœฝโœผโœปโž›โ‘ขโžŽโƒโžŒโœฝโœผโ‘ฉโžŽโœžโœโžคโ†’โ‘ฉโžโ—†โžŽโƒโ†”โ——โž›โƒโž‘โ‡โœบโโž”โœปโœบโโ†•โ„โžŽโƒโ†”โœฝโณโ‘ฉโžŒโˆโž”โœŒโž™โž’โ†’โ‘ฉโžŒโˆโž”ร”โžถโ‚โณโ‘ฉโ†”โ—†โž”โœŒโžฌโœฝโ†”โ—†โž›โƒโžŽโƒโœผโœŒโ†’โ‘ฉโœผโ˜โžŽโœ โœŸโœปโžโ——โžŒโˆโž› โฑ โž‘โ‡โ†” โšโ‹โžž โ˜ž โฐโœกโ˜›โœก โžฉ โœโœ’โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ โœโœฆ โžฏ โžป โœกโ˜žโœก โœŒโœŽโœ โœขโ˜žโœ โœง รผ โœกโ˜›โœก โœ โœกโ˜žโœก โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โ™โฏโšโœปโžž ๏ฟฝโฅโฑ

โœ”โž‚โ†”โ€โžŽโ„โžŽโœพโ†”โงโž›โœพโ†” โ โž™โžฎโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โ˜โžฌโžฎโž™โ‡โž”โœปโžŒโˆโœผร”โ†•โ‘ขโžชร”โ†”โ——โž›โƒโž‘โ‡โ†”โ€โžŽโƒโžŽโƒโž›โœพโ†”โงโ†’โ‘ฉโ†” โœ”รชโž™โˆโœบโฌโž›โœพโ†”โœ–โœ•โซโžŒโˆโœผโœปโ†”โ——โž›โœ˜โœ— โ โœ– โ†”โ——โ†•โƒโžชโ‹โž™โˆโžถโ—†โ†” โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โœผโ‹โž”โžคโž› โโœฝโ โ†”โ–ผโžถโ€โžŒโœฝโž‘โ‡โžชโ‹โž™โ‚โž›โ†โž™โ‚โžœ โ โ†”โœ™โœ—โž’โžถโ€โ†” โ โœผโœปโœบโœ•โซโžŒโˆโœผโœปโžรงโžชโ‹โž™โˆโž› โ โœ– โ†”โ——โ†•โƒโžชโ‹โž™โœฝโžถโ€โ†”โ–ผโ†’โ‘ฉโ†”โœšโœ”รซโž™โ‚โž‘โ‡โ†”โ—†โž›โœพโžŒโˆโž”โœปโ–โœœโœ›โžพโž™โˆโž›โ„โžŽโœพโœบโฌโž”โ˜โ†’โœปโž™โ‚โž”ร”โ†• โ โ†”โงโžถโ——โž™โˆโ†•โœฃโœขรซโž›โƒโžŒโœฅโœคโœ”โž”โœปโœบโโ†”โ—†โž”โžฃโžžโž โพรชร’โธโœทโœ›โž‚โœ ร˜โœ‘โท ร˜โœ‘โœทรฆร“ โœดsโนโœ•โœทโ‰ร— โพโœงโœฆโฌร˜โžร—โ——ร‘sโน โถ ร˜ โœดโ‰ร˜โขโžโฉร’ โœกรชร—โžšร—โ——ร’โธโœทโœฃ โœ– โœบโโ†’โ‘ฉโžโ——โ†”โงโ†’โ‘ฉโ†”โž“โžถโ—†โ†”โ€โžŽโ„โžŽโœพโ†”โงโžถโ€โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โซโžŽโœพโž›โƒโœผร”โžถโชโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โœŒโ†”โžšโ†•โซโžŽโฉโ†’โ‘ฉโ†”โงโ†’โœปโž โœฟ โž”โœปโœบโโž›โž‹โœผโœปโž”โžคโžŒโœฝโžชร”โžโ——โž›โœพโž™โ‚โžŽโƒโ†”โ——โœผโœปโž›โž‹โ†’โ‘ฉโ†”โงโ†’โ‘ฉโžโ——โž›โƒโœบโโžฌโžฎโž™โžฎโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โžฃโžž โœ“ โžŒโˆโœผโœปโž›โฉโžถโ—†โ†” โœ”รชโž™โ‚โœบโโž›โƒโ†”โœฝโณ โ โ†”โ–ผโžœร”โžŒโœฝโž”โžถโ—†โž™โœฝโ†’โ‘ฉโž›โƒโ†”โฝโ†”โ——โ†•โ„โžŽ โโœ—โœ– โ†”โžšโ†•โ„โžชโ‹โž™โœฝโžถโ€โ†”โ–ผโ†’โ‘ฉโ†” โœ“ โžŒโˆโœบโžŸโ†•โƒโ†•โƒโžŒโˆโž” โžฅ โ†’โœปโž โœฟ โž”โœปโœบโ‰โ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โ–ฒโž‘โž’โž™โ‚โž”โ‹โœบ โฑ โž›โƒโ†”โ–ผโ†•โƒโœผโœปโœบโฌโžฌโžฎโž™โˆโž”โœฝโžŽโœพโ†”โ‡โฐ

โžนโ‘โž”โ˜›โž™โ‚โžชโœปโžชโœ โ†” โโโ โ†” โžฅ โโœ—โœ– โ†”โžšโ†•โ„โžชโ‹โž™โœฝโžถโ€โ†”โฝโ†’โ‘ฉโ†”โ——โ†•โนโž‘โ–ฒโ†”โžšโ†•โ„โœผโ‹โž›โƒโ†”โžšโ†•โนโ†”โ——โž”โœฝโžŽโœพโœบ โฑ โž›โƒโ†”โžšโ†•โ—†โณโžดโ†•โ„โœบโโž‘โ‡โžช โ โ†”โ——โ†•โž‚โ†”โ€โžŽ โ โžŒโ‘ฉโžถโ—†โž™ โ โ†”โ——โž‘โ–ฒโ†”โ——โž”โžดโžŽ โœฟ โž”โœปโœบโโ†”โ——โ†•รซโ†•โƒโœผโœปโž› รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโžžโžโœฉโ˜…โž’โžžโœฝโž โœดโ†”โžšโ†•โซโžŽโ†’โ‘ฉโžโ€โžŽโœพโ†”โ—†โž›โœพโž‘โ‡โœบโฌโž”โœปโœบโžŸโ†•โ„โžŽโƒโ†” โœฟ โžทโ‘ฉโž โœฟ โž”โœปโœบโž˜โžŒโœฝโœผโ™ฃโž”โ‹โžŒโˆโž”โž˜โžžร”โžนโ‘โž”โœŒโž”โœปโžŒโˆโžŽโƒโ†”โ—†โž›โ†โž™ โžฉ โ˜… โžง โž  โžฏ โโœ—โœ– โ†”โžšโ†•โ„โžชโ‹โž™โœฝโžถโ€โ†”รงโž‘โ‡โ†”โ——โ†•โƒโœผโœปโž›โ†โž™โ‚โžœ โ โ†” โžฉ โžโ‘คโž โžงโœตโ†•รงโžฉ โžโ‘คโž โžฏโ„โžฏ โžž

โžนโ‘โž” โ†’โœปโž โœฟ โž”โœปโœบโฌโžŽ โ โž™โœŒโžชโœปโž›โœพโžŒโˆโžœโ‹โž™โˆโžœโœปโœบ โ โœบโฌโžŽโƒโž โžฝ โžถโ€โžŒโœฝโž‘โ–ฒโž‘โ‡โ†” โโœ—โœ– โœผโ‹โž”โœปโœบ โ… โœผโœปโ†”โ˜›โž‘โ–ฒโ†”โžšโ†•โ„โœผโ‹โž›โƒโ†”โž’โ†•โƒโœผโœปโž› โžฅ โœ”รชโž™โ‚โœบโžŸโ†•โƒโž™โˆโž”โœฝโžŽโž“โ†’โœปโ†” โ โž™โ˜โž‘โ‡โ†”โ——โ†•โƒโœผโœปโž›โœพโ†” โ— โ™รชโž‘โ‡โ†”โ——โ†•โƒโœผโœปโž›โƒโ†”โžถโ—†โž™โˆโž”โœปโžŒโˆโž”โœปโœบ โ… โœผโœปโ†” โฑ โœผโ‹โž”โœปโ†”โ—โž‘โ‡โ†”โ——โ†•โƒโœผโœปโž›โœพโ†”โ—โž™ โ โžโ——โž™โžฎโžŽโœพโžŒโˆโœบโโž›โƒโ†”โ‘คโ†’โ‘ฉโ†” โœ“ โžŒโœฝโœบโโ†•โœพโ†•โ„โžŒโœฝโž”โ–ผโ†’โ‘ฉโ†”โนโžถโ€โžŒโœฝโž‘โ‡โžชร”โ†”โ——โž”โ‹โ†•โƒโž™โ‚โžŽโƒโ†”โ——โœผโœปโž› โžฃ โžžโ‚โžนโ‘โž”รงโ†’โœปโž โœฟ โž”โœปโœบโฌโžŽโžฃโžโœ™โœ˜โœฝโž™ โ โ†”โ—†โž‘โ‡โ†”โ——โž”โœฝโžŽ โ โž™ โœฟโ‹โ โžŽโƒโž›โ†โž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โžถโ—†โž™โˆโž”โœปโžŒโˆโž”โœปโœบ โ… โœผโœปโ†” โžจ โžชร”โž™โ‚โž›โ–ผโฐ

โžจโžฃโžธ รผ โž„โœฅโœช โžงโ†โžฅ โž…โœฌโœซ โ˜… โžจโžฃโžญ รผโœฎโœญ โ‰ โ–  โฆโžธ โ– โœฐโœฏ โ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏโ‘โžงโ‘ฆโ‘โœฒโœฑ โ˜…โชโžง โ†” P โž โœŒโ——โžนโ‘โž”โ˜โž”โ‹โžŒโ‚โžŽโƒโ†”โ——โž›โœพโž™โฒโ†”โ—†โž” โœฟ โž”โž˜โณ โžŸ โ โž™โฒโžŽโƒโž›โœพโœบโโžœโœปโœผโœŒโžชโœปโž›โƒโžโ——โžฌโžโœบโโ†•โƒโœบโฌโžœ โ โ†”โ–ผโ†•โƒโœผโœปโž› โžฅ โžโœดโœณ r โžโœตโ˜…โž’โžž

โœถ โœกรชร—โžšร˜โœŒร˜โœ‘โœทโœถร‘sโพโ–ฒโน โถ ร˜โœงโœดโถร˜ โพโฏโนtร‘sโป ร’โœฎโฝโœ‚โพโœ”โœโœ‘โทโžโนโ‘ฉร“โœคโœก โ—†โชโบโถร˜โœฃ โœ– โžŒโˆโžœโœทโœ•โซโ†”โžšโžถโชโžŽโƒโœบ โœ”โ‘คโ†’โ‘ฉโœผโ˜โžŽโƒโž›โ†โž™ โžฌ โž™โˆโœบ โ โ†’โœปโ†” โ™ โ†”โžšโžถโ€โž›โœพโ†”โ—†โœผโ‹โ†•โƒโ†” โœ”โžซโžŒโœฝโž”โ‹โ†’โ˜›โ†”โžšโ†•โซโžŽโฉโ†’โœปโ†”รงโžŽโƒโž›โœพโžŒโˆโœผโœปโžฌโœฝโ†”โ—†โž›โ‘ขโœผโœปโž”โœŒโžŒโˆโžชโœ โžโ—†โž›โ†โž™โžฎโžŽโœพโ†”โ—†โœผโœปโž›โœ”โ†’โ‘ฉโ†”โงโ†’โ‘ฉโžโ——โž›โƒโœบโโžฌโžฎโž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โ˜โžถ โœ– โ†”โžšโ†•โซโžŽโœ˜โœ—โ‡โ†’โ‘ฉโœบโโž›โƒโ†”

โ… โœผ โœ– โžโ—†โžŽโœพโž™โˆโž”โœฝโžŽโฝโ†’โ‘ฉโžŒโˆโž”โœปโž”โ‹โžโž“โœผโœปโž”โœปโ†”โฒโžฌโžฎโž™โ‚โž›โœพโœบโโž™โˆโžœ โ โ†”โฒโž™ โ โžโ——โž™โžฎโžŽโœพโžŒโˆโœบโโž›โƒโ†”โœนโœธ โ†”โ€โžŽโ‘โœผโ‹โž”โœปโ†”โฒโ†’โ‘ฉโœบโโž›โœพโ†”โ——โžถโชโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โœบโœโžขโ†’โœปโžโ€โžŽโƒโ†”โ——โž›โƒโž‘โ‡โœบโโž”โœปโœบโžŸโ†•โซโžŽโœพโ†”โˆโณโœ โžŒโˆโž”โžพโžชโœปโœผโ‹โœบโโ†•โœพโ†•โ„โ†”โ–ฒโ†’โ‘ฉโž โœฟ โž”โœปโœบโฌโž›โฝโœผโœปโž”โœปโ†”โžฌโžฎโž™โ‚โž›โœพโœบโโž™โˆโžœ โ โ†”รงโž™ โ โžโ——โž™โ‚โžŽโƒโžŒโœฝโœบโฌโž›โœพโ†”โœผโœปโœฝโœธ โžฉ โœ โžฏ โžŽโƒโ†” โโโ โ†” โ… โœผโ‹โ†”โ–ฒโฐ

ร โœ”โž‚โ†”โงโ†•โƒโžŒโˆโœบโฌโžŽโœ”โœผโœปโž”โœŒโžŒโˆโžชโœ โžโ—†โž›โ†โž™โžฎโžŽโƒโ†”โ——โœผโœปโž›โœ”โ†’โ‘ฉโ†”โงโ†’โ‘ฉโžโ——โž›โƒโœบโโžฌโžฎโž™โžฎโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž” โฐโœปโœพโœธโ€โœฟ โžฉ โœ โžฏ รผ โœธโ€โœปโœพโœฟ โžฉ โœ โžฏโ‚โ โœฟโ€โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ โ™โฏโšโœปโžž โฏ โฑ

ร โ… โœผโœปโœบโž˜โžฌโœฝโžโ—†โž›โœพโœบ โœฟ โ†” โ โž™โœ•โœ”โžซโžŒโˆโž›โœพโž‘โž“โœผ โ โ†”โ–ผโ†’ โœ– โœบโฌโž”โžดโžŽโƒโžโœ™โœ˜โˆโž›โ†โž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โ˜›โžชโ‹โž™โˆโž›โœ”โžชโ‹โž™โ‚โž›โƒโžŽโƒโœบโโ†”โ——โ†•รงโฐโž‰ รฎ โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ รฐ รผ โž‰ โŠ โœธโ„โƒ โžฉ โœโœ’โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ โžฉโœนโ— โžข โžฃ โžฏโƒโžฏ โžปPโ โ™โฏโšโœปโžž โ… โฑ

โ–ผโ˜›ร˜โœ‘โทโžโนโœ—โปโœซโ—†โชโบโถร˜โžคร™โž˜รšโœนโœธ โฒ โž รฅโ€รžโชรก รฒ โž รฅโˆโ™ฃโœฝรกโžณรฅโ—†รคโœปรžโชร รชรŸโ‚รค รญโœฝรฅ รฒ รฌโ›รจโƒรฅ รฒ รฌโ‚รกโžฆร รชรŸโ‚รค โ™โ–ฒโšโœปโžž โ… โฑ รพโ˜›รญโˆรฅโ€รžโœ•โœŽโœ รจโœพรŸโ——รฉโ†รฅโ€รžโœพรžโชรฃโžรžรงรžโชรกโžณรŸโžšรฉโžโž†โœปรฌ รžโชรกโฎร โœ”โœ‚โ€รฃโ‹รฅโ€รž โœ โœ‚โ€รฃโ‘ฉร โ‘ครครฆรŸโžฎรฃโžรžโ‡โ€รŸโžฎรฃโ‘ฉรจโชรคร”ร รขรจโƒรฌโž’รฃโ‘ฉรครฆรฅโ–ผรคโœ รŸโ‚รกโžฆร รชรŸโ‚รค รญโœฐโž ร รขรคโ‹รกโžรตโœซโ…โˆรจโƒรฌ รฒ รฅโ‡รฌโžฎรคโ‹รกโฎร รชรฉโ—†ร  โœŽโœปรฌโ‚รกโžฆร รขรดโžฎรฅโ˜žโ˜Žโ‘ โ‘ขโ‘กโ–ฒโœชโ‘ขโ‘กโœซโœช โ‘ฃโœฝโ†โžซโ‘ฆโ—โž‰โ–ผโพโœ–โœฑโœปโ‘จโถโ‘งโ‘ฉโžƒโœฐโœดโ‘ฆโœฑ โซโฉโžƒ โซโž‹โพโœ–โœฑโ‹โทโ™ฅโ‘งโถโ‘จโถโ‘งโœปโทโซโ‘ฆโž‚โธ โซโฉโžƒโœ†โผโžˆโžƒโœฐโ‘คโž‘โœฑโœปโžƒโœฐโœดโ‘โบโœฝโžƒโœ†โ‡โœพโ‘ฆโž‚โธโœโซโ‰โˆโฏโ‘ขโ‹โŠโโ—โ– โนร˜โžร—โ‡ร•รฆรโž€ร‘โนร’ร”ร“โ——ร•โถร–โžดร—โžšร˜โžร—

โžนโ‘โœผโ‘ฉโžŽโƒโž›โœพโ†” โ โ†”โ——โ†•โœžโœŸโ‘โโžโžชโœ โžŒโ‚โžŽโ–ฒโœŸ โฑ โ†•โƒโ†”โ——โ†•โ˜Žโšโœปโžž โ™ โžชโ‹โž™โœฌโœ˜โœฝโ†” โ™โœŒโ˜ž โ™ โณโžžโšโ‹โžž โ˜ž โžชโ‹โž™โœฌโœ˜โœฝโ†” โ™โœŒโ˜ž โ˜ž โ†”โ€โžŽโžˆโšโœปโžž โšโž’โžชโ‹โž™โœฌโœ˜โœฝโ†” โ™โœŒโ˜ž โšโœปโณโ‹โž”โ‹โžŒโˆโœผโ‹โ†•โ‘โž™ โโโ โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โฉโ†’โ‘ฉโ†”โ——โž‘โž’โž™โ‚โž”โ‹โ†’โ‘ฉโ†”โ——โž›โ‘โž™โˆโœผโžถโ€โžŒโœฝโž‘โ–ฒโžชโœ โ†”โ—†โž”ร”โ†•โƒโž™โ‚โžŽโƒโ†”โ—†โœผโ‹โž›โ‘ขโ†’โœปโ†”โงโ†•โƒโž™โ‚โžŽโƒโœบโžŸโ†•โœ‚โœ”รชโž™โˆโœบโฌโž›โœพโ†” โโœ—โœ– โœŸโ‘โโžโžชโœ โžŒโ‚โžŽโ–ฒโœŸ โฑ โ†•โƒโ†”โงโ†•โ„โœผโ‹โœบโฌโžฌโžฎโž™โ‚โž”โžดโžŽโœพโ†”โ–ฒโฐ

Page 136: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฅโœ ๏ฟฝโœ•โœ โœžโœ‚โœ โœ โ˜Žโœ„โœโœ†โœŒโ˜›โœโœ„โœŸโœžโœ–โ˜žโ–โœ„โœŸโœ โœ sโœžโœก๏ฟฝsโœžโ‘กโœ†โชโœ„โœโœ sโœžโœกโœ โœ›โ˜žโ–โœ† โœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ‘ฆโ˜žqโœ”โž€โœค โ˜žโœขโœ”โœ‚โœ™sโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ”โž€โœ„โœโœžโ˜›โœ„โœฅโœ„โœโœ โœŒโœ˜qโœžโ™ฅโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ” โ™โœŒโ˜ž โฏรโœŒรโž€ร‘โนร’ร”ร“โ——ร•โถร–โžดร—โžšร˜โžคร™โž˜รšโœ๏ฟฝ ร โ รฅโชรžโชรกรซร รขรคโ‹รกโžรตโœซโ…โˆรจโƒรฌโž‡โœพ รฒ รฅโ–ฒรฌโžฎรฃโœŒรžโ—†รฅโ—†รคโœปรžโงรญโˆรฅ โ รฅโœฉโœพโ†รฅโชรžโœตโ…โˆรฃโ‹รฅโ–ผรžโชรฃโ‘ฉรจโ–ผรฎ รฏ โžง โž โž‹รฐ โ˜Ž

ร โœ‚โ˜Žโœ„ โ–ฒ รฏ โžงโœโœ†โœ–โ‘โžˆP รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐ โžง รฏ โž‹ โœ„ โž‹ โ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ–  โœฆโ†โœก โœด โœโžดร˜โขโž‚ โœโœ‘โœท โœโž‡โป โนโœ•โพโžฆร˜โžพร˜โžดร“ โœดโ˜›โœโœ‘โท ร’โธโœทโถร—โ—†ร“โœ‡โปโž™โนโœปร“โ˜žโœกรชร’โธโœท โœดโ‰ร˜ โถ ร˜โฅโป ร“โœ‡โน โœกโ–ฒโœทโ‰ร˜โžร— โœโžดร“โœฉโนโ‘ฉร‘โนร˜โžร— โถ โพโœนโœโœพโœดsโนโœ•โœทโถร—โงโพรชร˜ โถ โนโœปร— โžโ‘ร’ โœกโžฆร—โ——ร—โžšร’โธโœทโœดร—โ—†ร“โœฉโนโœ•โœทโœŸโœžโœดโœ›โนโœ•โปโœกโœด

โœฃ โœ– โœบโโ†’โ‘ฉโžโ——โ†”tโ†”โžšโ†•โซโžŽโœŒโžœโ‹โž™โœฝโ†•โ„โžโ——โ†”tโ†•โƒโœผโœปโž› โ โ†”โ——โ†•โœŒโžถโ—†โžŒโˆโž”โ‹โ†•โƒโœบโโ†’โœปโžโ—†โž›โ†โž™โžฎโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”ร”โ†•โ˜›โ†•โƒโœผโœปโœบโฌโžฌโžฎโž™โˆโž”โœฝโžŽโœพโ†”โ——โ†•tโฐโ‘ขโžโ€โžŽโœพโž™โˆโž”โžดโžŽโœŒโ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โœปโž”โœปโžโ——โ†” โœ P โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โณโœ”โœบ โ โ†• โœ– โž™ โœ˜โˆโœบโฌโžŽโ˜โ†’โ‘ฉโ†”โ†’โ‘ฉโžโ€โžŽโœพโ†”โ—†โž›โœพโž‘โ‡โœบโฌโž”โœปโ†”โ——โž›โ—โœผโœปโž”โž’โžŒโœฝโžชร”โžโ——โž›โœพโž™โ‚โžŽโƒโ†”โ—†โœผโ‹โž›โ‘คโž โœกโœ โฝโ†”โ€โžŽโนโœผโ‹โž”โœปโ†”โž‹โž‘โ‡โ†”โ——โ†•โƒโœผโœปโž›โœพโ†”โž‹โ†’โ‘ฉโ†”โž‹โžชโœปโž›โœพโžŒโˆโžœโ‹โž™โˆโžœโœปโœบ โ โœบโฌโžŽโƒโž โžฝ โžปโ˜žโ˜› โž™โˆโžœโ‹โ†•โ„โžŒ โ โœผโ‹โž‘โ–ฒโ†”โ——โž”โžดโžŽโ‘คโžถโ—†โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโœบโโž”โžโœผโœปโ†”โœ”โžชโ‹โž™โˆโž›โ—โž›โœพโž™โˆโžชโœปโžชโœ โžŒโˆโž›โƒโžŽโœ— โ โž™โ–ฒโžชโœปโž›โœพโžŒโˆโžœโ‹โž™โˆโžœโœปโœบ โ โœบโฌโžŽโƒโž โžฝ โ†”โ€โžŽโœ”โžŽโƒโ†” โ โ†• โ… โœผโ‹โ†”โ–ฒโฐ โž›โ‘โžฉโ–ผโ—โž‹โžงโ„โžฝโฅโžฏ รผ โž›โ‘โžฉ โž  โœ โœŒ โžงโƒโžฝ โžปโ˜žโ˜› โžฏโŠ โž”โœŒโœบโฌโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโžŒโ‘ฉโ†’โ‘ฉโœผโœปโœบโžŸโ†•โƒโž™โˆโž”โžดโžŽ โ โ†”โ–ผโžชโœปโž›โœพโžŒโ‘ฉโžถโ€โ†”โ——โ†•โœพโ†•โƒโœผโ‹โ†•โ‘ขโ†’โ‘ฉโž โœฟ โž”โ‹โœบโž˜โžชโ‹โž™โ‚โž›โ–ผโฐ

โœ โžปโ˜žโ˜› โžฉโœ”โ˜…โ„โžฏ รผ โ™ โˆโžฝโ™ โœฝโžฝ โžป โ˜› โœŽโœŽโœŽโœŽ โœโœ’โœ‘โžŒโˆโž”โ˜โžชร”โ†”โ——โœผโ‘ฉโžŽโž‹โžโ——โžถโ—†โž›โƒโœบโโž›โœพโ†”โ–ฒโฐ โž‰โœ”โœ“โœ–โœ• โœธ โžฉ โž  โœ  โ—โž‚โžฏโœ˜โœ— รผ โž‰โœ”โœ“โœ”โœ™ โ˜› รฎ โœธ โžฉโ–ผโ—โž‚โžฏ รฐ

รผ โž‰โœ”โœ“ รฎ โœธ โžฉโœนโ—โž‚โžฏ โƒ โœ โžป โ˜› รฐโŠ โž”โœŒโžชร”โ†”โ——โž›โ„โžŽโœพโœผโœปโž›โœพโžœโ‹โž™โ‚โž”โžดโžŽ โ โœ– โžŒโˆโžชโœ โžโ—†โž›โ†โž™โžฎโžŽโœพโ†”โ—†โœผโœปโž›โ‘ขโžŒโœฝโž”โ˜โžŒโœฝโžœโ‘ฉโžŽโƒโœบโโ†”โ—†โž”โžดโžŽ โ โž™โฒโž›โœพโ†” โ โž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”tโฐ

โž‰ โœ“ โŠโœ›โœšโœœโœฃโœข โœธ โžฉ โž  โœ โœค โ—โž‚โžฏ โžข โœธ โžฉโœนโ—โž‚โžฏโœฆโœฅ โ รผ โž‰ โœ“โœฑโŠ โœธ โžฉโ–ผโ—โž‚โžฏ โœš โœœโœฃโœข โœ โžปโœ”โ˜›โœง โžข โœš โœฅ โโ˜…โžโ โ†• โœ– โž™โœฌโœ˜โœฝโœบ โžŽโž‹โ†’โ‘ฉโ†”โ–ผโ†’โ‘ฉโžโ—†โžŽโƒโ†”โ——โž›โƒโž‘โ‡โœบโโž”โœปโ†”โ—†โž›โœ”โœผโœปโž”โœŒโžŒโœฝโžชร”โžโ——โž›โœพโž™โ‚โžŽโƒโ†”โ—†โœผโ‹โž›โœ”โž โœกโœ โ–ฒโ†’โ‘ฉโ†”โงโ†•โ„โžŒโœฝโž›โ„โžŽโœพโ†” โ… โœผโ‹โ†”โ–ฒโฐโž› โˆ โžขโœชโœฉโœฌโœซ โœ„โœค รบ โžธ โœšโœœ โœข โœ โžป โ˜›โœง โžข โœš โœฅ รผ โ–  โžปโžธ โ–  โ โœ โžฉโ–ฒโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏโ€โžฉโ–ผโ— โžข โžฃ โžฏโ€โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ โ™โฏโšโœปโžžโœฉโ˜… โฑ

โ†”โ€โžŽโž‹โ†’โ‘ฉโ†”โงโ†’โ‘ฉโž โœฟ โž”โœปโœบโโž› โโœ—โœ– โžŒโœฝโžชร”โžโ——โž›โœพโž™โ‚โžŽโƒโ†”โ—†โœผโ‹โž›รซโžชร”โž™โ‚โž›โ–ผโฐโœญโœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ รผ โž› โˆ โžขโœชโœฉโœฌโœซ โœ„โœค รบ โžธ โœšโœœโœฃโœข โœธ โžฉ โž  โœ โœค โ—โž‚โžฏ โžข โœธ โžฉโœนโ—โž‚โžฏ โœฅโœฃโžฃโž™โ–ฒโž›โƒโ†” โ โž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โžŠโ™โฏโšโ‹โžž โฏ โฑ โ†”โžšโ†•โซโžŽโฉโž™ โ โžŒโœฝโž›โœพโ†•รซโžฌโœฝโžโ—†โž›โœพโœบ โœฟ โžโ——โ†”โˆโžžโœ›โœฃโžฃโž™โ–ฒโž›โœพโ†” โ โž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โœ’โ™โ–ฒโšโœปโžž โ… โฑ โž” โœ– โ†”โ——โ†•โ„โžŽโž‹โžชโ‹โž™โˆโ†• โœ”รชโž™โœฝโžถโ€โœบ โ โ†”โ€โœ—โ–ฒโž‘โ‡โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†”โ—†โž› โœ—โ‡โžถโ€โ†”โ–ผโ†•โ„โžŽโœพโž™โœฝโ†’โ‘ฉโ†”โˆโžž

โ˜…โžโ โ†”โ——โ†•โ„โžŽโœ”โž”โ‹โž™โžฎโžŽโœพโœผโœปโž›โƒโ†” โ โณโ‹โžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›โž‹โž™ โžฌโˆโžŒโœฝโœบโฌโž›โžˆโ™โฏโšโ‹โžž โ˜… โฑ โ†’โ‘ฉโ†”รงโžชร”โžŒโžดโ†•โ„โ†”โ——โž›โ–ผโฐโœ โžปโ˜žโ˜›โœง โžฉโœฉโ˜…โ„โžฏ รผ โž โœฏโœฎโœฑโœฐ โœœ โ– โœณโœฒโžธ โ– โœ‘โโœพโœ โžฉโ–ฒโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏโ€โžฉโ–ผโ— โžข โžฃ โžฏโ€โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏโœ˜โœด โžญ โ™โฏโšโœปโžž โœญโž‡โฑ

โž โœฏโœฎ โžฉ โก โžฏ โ†’โ‘ฉโžโ——โ†•โƒโœบ โœ˜โœฝโž”โœปโ†” โ โœ– โ†”โ€โžทโ‘ฉโžชโœ โžŒโˆโž”โœปโ†”โ——โž”โžดโžŽโƒโœบโโ†” โโโ โ†”โงโ†’โ‘ฉโ†” โ™ โžŒ โ โžโ——โž™โˆโž”โ‹โ†•โœ”โ†’โ‘ฉโ†” โก โ™โžซโžฌโˆโžŒโœฝโœบโฌโž›โœฅโœคโžดโž™โˆโžถโ—†โžŒโžโ†’โ‚โœฆโœฉโ˜…โ‚โฏโœŒโœชโžฃโžชโžฃโžž โ™ โšโœ’โœต โฑ โžžโœฃโžฃโž™ โ†’โ‘ฉโœบ โœšโž’โžถโ—†โœผ โ โžŽโƒโžโœŒโ†”โ——โ†•โ„โžŽโ›โ†’โ‘ฉโ†”โ˜โžŽโƒโž›โœพโžŒโˆโœผโœปโžฌโœฝโ†”โ—†โž› โ โœ– โžŒโˆโžชโœ โžโ—†โž›โ†โž™โžฎโžŽโœพโ†”โ—†โœผโœปโž›โ‡โž โœกโœ โœค โžž โœ“ โžŒโœฝโœผโœปโž›โž’โžถโ€โ†” โœ”รชโž™โ‚โœบโโž›โœพโ†”โˆโณ โ™ โ†”โ——โžถโ€โž›โœพโ†”โ—†โœผร”โ†•โ„โ†” โœ”โžซโžŒโˆโž”โ‹โ†’รฟโž™tโžถโ—†โžŒโˆโž”โ‹โ†•โƒโœบโโ†’โœปโžโ—†โž›โœพโžโ™ฃโž โœกโœ โœค โ—โžถโ€โžŒโœฝโž‘โ–ฒโž‘โ‡โ†”โ‘โžโ€โžŽโœพโž™โˆโž”โžดโžŽ โ โ†”โ‘โžชโœปโž›โœพโžŒโ‘ฉโžถโ€โ†”โžšโ†•โƒโ†•โƒโœผโ‹โ†• โ… โœผโœปโœบโž€โ†•โœพโž™โ‚โœผโ‘ฉโžŽโœพโ†”โœžโœ— โ โœ– โœบโฌโž”ร”โ†•โซโžŽโ†โž™โ‚โž”โžดโžŽ โ‘ โโœทโœถ โœ โœค โžฉโœซโ‘โˆโžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โž™ โžฌโˆโ†”โžšโžถ โ โž™โฒโž‘โž’โž™โ‚โž› โ… โœผโœปโ†” โœช โ… โœผร”โž™โ‚โž”โ‹โ†’ โ โ†”โ‘โžชโœปโž›โƒโžŒโ‘ฉโžถโ—†โ†”โ——โ†•โœพโ†•โ„โœผโ‹โ†•โ— โ†•โœพโž™โ‚โœผโ‘ฉโžŽโœพโ†”โ€โœ— โโœ—โœ– โœบโฌโž”โ‹โ†•โ„โžŽโœพโž™โˆโž”โžดโžŽ โ‘ โž™ โžฌโˆโ†”โžšโžถ โ โž™โ–ฒโž‘โž’โž™โ‚โž› โ… โœผโ‹โ†” โœช โž™ โžฌโœฝโ†”โ——โžถโ–ฒโฐ

โœถ โœ โœค โžฉโœซโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏ รผ โœถโœนโœธ โญ โœฐโธโ–  โฆโžธ โžฉ โœš โ โœœ โœ โžฉโœปโœบโถโžงโœ„โœชโžโžฏ โ โžฉโœปโœบโž€โžฏโ™ฅโ™ โœ’โœบโœนโœด โžข โ‘โœถ โœธ โญ โžฉโœซโ‘โžšโžฏ รผ โœซโœฝโœผ โœผ โž„โœฟโœพโโ€โž†รฏ โ—†โ‚โœถโœ โžฉ โœพ โžฏ รผ โ‘ โž…โœถโœ โžฉโœซโ‘โžšโžฏ รผ โ–  โฆโžธ โ โžฉโœฌโœบรฆโžฏโœตโ™ โƒโœบ

Page 137: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ™โœŒโ˜ž โ… ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ“โœโœ•โœ”โœ–โœโœ—โœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โœฃโœ†โœŸโœ†โœฅโœคโœ“ โžŒโœฝโœผโœปโž›โฒโ†’โœปโžŒโˆโž”โœปโž”โœปโ†”โ——โž›โž“โœผโœปโž”โ‹โ†”โ˜›โœบโžŸโ†’โ‘ฉโžโ—†โ†”โ˜›โ†’โœปโ†” โ โž™โžพโ†’โ‘ฉโžโ—†โž‘โ‡โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โซโžŽโœพโž›โœพโž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โž˜โณโ‰โž›โƒโ†”โœ™โœ˜โœฝโž™โˆโž›โœพโ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โ‹โ†•โ–ผโžถโ€โ†” โ… โœผโ‹โœบรซโ†•โƒโ†”โ›โžชโ‹โž™โœฝโ†•โƒโ†•โƒโ†”โ˜›โ†•โƒโœผโœปโž› โ โ†”โ˜›โžชโœปโž›โœพโžŒโ‘ฉโžถโ€โ†”โžšโ†•โƒโ†•โƒโœผโ‹โ†•โงโ†’โ‘ฉโ†”โœ“ โžŒโˆโœบโžŸโ†•โƒโ†•โƒโžŒโˆโž” โ†•โซโžŽโ†โž™โ‚โž”โ‹โ†’โ‹โž™โ‚โž›โ†โ†’โžƒโ™ โ โžถโ—†โžŒโˆโž”โ‹โ†•โ„โžŽโœพโž™โˆโž”โœฝโžŽ โฑ โžž โ™ โž™โ‚โž”ร”โ†•โž“โžถโ€โ†”โ›โžถโ——โž™โˆโ†• โ โ†”โ‡โžŽโœ โœŸโ‹โžโ—†โžŒโˆโž› โฑ โž‘โ‡โ†”โ›โ†’โ‘ฉโ†”โœ๏ฟฝโฝโœบโฌโž›โ†โ†•โƒโž™โˆโž”โœปโžŒโžฎโžฌโžพโž”โœปโžŒโœฝโœผโ‹โ†•โงโ†’โ‘ฉโœบโฌโžŽ โ… โœผโœปโ†” โโœ—โœ– โžŒโœฝโž”โž„โžชโ‹โž™โˆโ†•โœพโ†•โƒโ†”

โ†’ โœ– โœผโœปโž” โœ“ โž›โœพโžŒโ‘ฉโžถโ€โ†”โ——โ†•โœพโ†•โƒโœผโ‹โ†•โนโ†’โ‘ฉโ†” โœ“ โžŒโˆโœบโžŸโ†•โƒโ†•โƒโžŒโˆโž”โž’โ†’ โœ– โœบโฌโž”โžดโžŽโœพโ†”โ—†โž”โ‹โ†•โƒโœบ โžŽโœพโž โ โœ—โ–ผโœผโœปโž”โ˜›โžชโœปโž›โƒโžŒโ‘ฉโžถโ—†โ†”โ——โ†•โœพโ†•โ„โœผโ‹โ†•โนโ†’โ‘ฉโ†” โœ“ โžŒโˆโœบโžŸโ†•โœพโ†•โ„โžŒโœฝโž”โ›โ†’ โœ– โœบโโž”โžดโžŽโƒโ†”โ——โž”โ‹โ†•โ„โœบโฌโžŽโƒโž โœโโ™ฆรผโšโ โžฉ โœš โ โœœ โœ โžฉโœฉโ˜…โ„โžฏโ„โžฏโ†”โ—†โž”โ˜โœผโ‘ฉโžŽโƒโœบ โ โœบโโ†•โœพโž™โ‚โž”โžดโžŽ โ โ†”รงโžถ โœŸร”โž™โ‚โž”โ‡โœ˜โœฝโ†”โ—†โž‘โ‡โ†”โ—†โž”โžดโžŽโž‹โž™โ‚โžœโ‹โ†•โƒโžŒ โ โœผโœปโž‘โ‡โ†”โ—†โž”โžดโžŽโž‹โžถโ€โžŒโœฝโž”โžดโžŽโƒโœบโโž”โžดโœผโœŒโ†’โ‘ฉโ†”โ–ผโžชโœปโž›โœพโžŒโˆโžœร”โž™โ‚โžœโœปโœบ โ โœบโฌโžŽโƒโžรงโ†’โ‘ฉโ†”โงโ†’โ‘ฉโ†”โ——โž”โ‹โ†•โƒโœบ โžŽโœพโžโž’โฐโ™  โœโžฝโ™ โˆโžฝ โœŽโœŽโœŽโœŽโœŽ โœ โœ‘ รผ โž โœฏโœฎ โœฐ โœœ โ–  โœฒโžธ โœ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ—†โžฉโœนโ— โžข โ โžฏโ€โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘ โžฏ โœด โžญ

โœ“ โž™โˆโž›โž‹โžถโ€โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โ„โž โ… โœผโœปโ†”โ—†โž”โžดโžŽโ——โณ โ โ†”โ–ผโžถโ€โžŒโœฝโž‘โ–ฒโžชโœ โ†”โ—†โž”ร”โ†•โƒโž™โ‚โžŽโƒโ†”โ—†โœผโ‹โž›โž‹โ†’โ‘ฉโ†”โ–ผโž  โœ โœค โ— โ†•โ„โžŒโœฝโœผโ‹โ†• โœโžฝ โ†”โ——โ†•โ„โžŽโฉโ†’โ‘ฉโžŒโˆโž”โœปโž”โ‹โžโฝโžชร”โž™โ‚โž›โ–ผโฐโžฉโœ„โœ‚โžโžฏ รผ โ–  โžป

โžธ โœง โžต โžธโ—†โžบ โžญโœฉโœง โžฉโœซโ‘ โ โœถ โœ โœค โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโƒโžฏโ€โžฉ โœš โ โœœ โœ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ„โžฏ โ โ™ โœ‘โ‘โž‘โž’โž™โ‚โœบโžŸโ†•โ‘ขโœบโโžถโ—†โœบโž€โžŒโˆโž”โžคโž™โ˜โฐ

โœถโœ โžฉโœ”โ˜…โ„โžฏ รผ โ โ˜…โœถ โœธ โญ โžฉโœ”โ˜…โ„โžฏ รผ โ˜…โโœถ โœ โœค โžฉโœ”โ˜…โ„โžฏ รผ โ–  โžญ

โžธ โžฉ โœš โ โœœ โœ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ„โžฏโœตโ™ โฅโ‘ โžข โ˜…โžนโ‘โž”โ˜โ†”โœ†โ˜Žโœ โ†”โžšโžถโชโžŽโœพโœผโœปโ†”โˆโณโ‹โ†’โ‹โž™โ‚โž”โ‹โ†• โ™ โ˜… โฑ โ โ†”โงโžถ โœŸโ‹โž™โˆโž”โ‡โœ˜โˆโ†”โ——โž‘โ‡โ†”โ—†โž”โžดโžŽโ‘ขโ†’โœปโ†”โ–ผโžฌ โž™โˆโž›โƒโœบโžŸโž™โ‚โžœ โ โ†” โœบ รผ โ‘โœฃโ โœถ โœ โœค โžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โณร”โžถโ€โžŒโˆโž‘โ‡โž‘โ‡โ†”โ–ผโžŒโˆโž”โœŒโž™โ˜โฐโ™ โƒโœบ รผ โžฉ โœš โโœœโžฉโœปโœถ โœ โœค โžฏโœžโœโฎโžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ„โžฏโœตโ™ โฅโ‘รผ โžฉ โœš โโœœโžฉโ„โžฉ โœš โ โœœ โœ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโƒโžฏ โžข โœš โžฏโ„โžฏโ™ฅโ™ โœ‘โ‘รผ โžฉ โœš โ โœœ โœ โžฉโœซโ‘ โžฏโ„โžฏโ™ฅโ™ โœ‘โ‘

โžนโ‘โž”โ™ฃโžŒโœฝโžœโ‘ฉโžŽโƒโœบโโ†”โ—†โž”โžดโžŽโฉโž™ โ โžŒโœฝโž›โœพโ†•โœคโฐโžฉโœ„โœ‚โžโžฏ รผ โ–  โžป rโœ โœŸ โ˜›โœง โœข โžป โœงโžธ โœง โžต โžธโ—†โžบ โžญโœฉโœง โžฉโœฌโœบรฆโžฏ โ โ™ โœ’โœบ

รผ โ–  โžญโžธ โ โ™ โƒโœบโœฃโžฃโž™โ›โ†’โœปโ†”โ—†โž›โœพโž”โœปโœบ โฑ โž›โƒโ†”โฒโž โœ˜โžดโž™ โ โœบ โžŽโœพโžโงโ†”โ——โ†•โ„โžŽโฝโ†’โ‘ฉโœผโ‹โ†”โ–ฒโž™โˆโœผ โœ”รชโž™โ‚โœบโฌโžŽ โ… โœผโœปโ†” โ˜…โœžโœฑ โž โœคโ†”โ€โžŽ โœถ โœ โœค โžฉ โž  โžฏ โ–ฒ รฏ โ™ โœtโžโ€โžŽโ†โž™โ‚โž”โžดโžŽโ‘โž”โ‹โžŒโˆโž”โ‘ฉโ–โžณโž”โœปโž โœ˜โžดโž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžฌโœฝโ†” โฑ โžž โœ“ โž™โ‚โž›โ‘โžถโ—†โžŒโˆโž”โ‹โ†•โƒโžโ€โ–โ… โœผโœปโ†”โ—†โž”โžดโžŽโ——โณรฆโž โœกโœ โœค โ— โ†•โƒโžŒโˆโœผโ‹โ†• โœโžฝ โž™ โ โ†”โ‡โž‘โ‡โ– โ—†โž‘โ‡โ†”โž’โžถโ€โžŒโˆโž‘โ‡โžชโœ โ†”โ—†โž”โ‹โ†•โœพโž™โžฎโžŽโœพโ†”โ—†โœผโœปโž› โ… โœผโœปโ†” โ— โ†•โƒโžŒโˆโœผโ‹โ†• โžฝ โžž โŠ โž” โžฌโˆโ†”โ——โž›โ„โžŽโœพโœผ โ†’โœปโœผโžขโžŽโ–ฒโœŸโœปโžโ—†โžŒโœฝโž› โฑ โž‘โ–ฒโ†”โœฝโšโœปโžž โ™ โณรฆโœบ โ โ†•โฝโžŒโœฝโž”โœฝโžŽโž‘โ‡โ– โ—†โž‘โ‡โ†” โ โžŒโœฝโœบโžฆโžžโ– โนร˜โžร—โ‡ร’โ‹ร‘ โœโž‡โป โนโ‘ฉร“โžšร˜โœ‘โบโœฐโปโžฎร— โœกโฏโœทรฆร“โœ‡โปโžฎร’โœตโœดโœ›โบ โœกโžซร“โžšร—โ–ฒร‘sโนโœ—โปโžœโœถโ™ฃร˜ โถ โปโžฎร˜โœ‘โบโถร—โ——ร˜โ˜›โœกโžณร’โœฎโœทโ˜Žโœดโœถโœžโœโœ โœŸโœ‚โœทโ˜›โœกรชร“โ˜žโœกโžฆร’โœฎโœทโœถร™โž˜รšโœ๏ฟฝ โœ‚ รคโœ รฅโœ“โ‡โ€รŸโ‚รคโœ รฉโ—†รกโžฆร รชรŸโ‚รคโ‹รครฆรฅ รฒรขรฒ รฅ โœธ โ—† โžฅโœŒโ˜ž โž รฅโ€รžโชรกโฉรญโžฎร รขรกโžรฅ รฒ ร โžŸรžโ†รžโ—†รฅโ›รญโœ†โœ“โ€รžโœ‘โœ‚โ—†รฃโ‹รฅโ‚โโ…โœŽโœปรŸโ‚รฃโ‘ฉรจโž“รกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรก โœ Pโœ’โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โรซร  รฒรฅโ˜โ™ฃโœฝร โžŸรžโชรกโžรฅโ–ผรฃโ‘ฉรคโœ รฅโงรด รฌโ‚รจโชร รชรฌโœฟโœพ รฒ รฅโž’รฌ รฒ รตโœพรฌโ‚รกโžณรŸโ‚ร รขรจโƒรฅโ‡รญโˆรฅโ–ฒรฉโ†รฌโžฎรจโชรจโƒรตโž“ร รขรคโ‹รกโžรตโ†โ…โ‚รจโƒรฌโž‡โœพ รฒ รฅโœŽโœโœปโœฝโœธ โžฉ โœ โžฏ รกโžรฅ รฒรขรฒ รฅ โœ‚โ—†รฃโ‹รฅ รœ

โœ โˆ โžข โœฉโœปโœซ โœ„โœค รบ โžธ โœšโœœโœ’โœ‘ โœธ โžฉโ–ผโ—โž‚โžฏ โžข โœธ โžฉ โž  โœ โœค โ—โž‚โžฏ โžข โœœ โœโœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏโœžโœ“ รผ รฏโœ”โž‚โ†”โ€โžŽโ›โžŒโˆโžชโœ โžโ—†โž›โ†โž™โžฎโžŽโœพโ†”โ—†โœผโœปโž›โž’โž”โ‹โžŒโˆโœผโ‹โ†•โ‡โžชโœ โ†”โ—†โž›โœพโž‘โ‡โ†”โ€โžŽโ˜›โ†’ โœ– โžโ€โžŽโ†โž™โ‚โžœ โ โœบโฌโž› โ โž™ โž›โœพโ†” โ โž™โžฎโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โœŽโ™โฏโšโ‹โžž โ… โฑ โž‘โ‡โž™ โ โœŸโ‹โ†”โ—†โœผโœปโž›โœพโ†”โ—†โœผโ‹โ†•โƒโ†”โ—†โž‘โ‡โ†”โ——โž”โœฝโžŽโ›โ†’ โœ– โœผโœปโž”โœปโ†”โžขโžชโ‹โž™โ‚โž›โƒโžŽโž’โœบ โ โ†”โžšโ†•โซโžŽ

โ†’โ‘ฉโœบ โœšโž’โžถโ—†โœบ โ โ†”โž“โ†’โ‘ฉโ†”โฒโžฌโˆโžŒโœฝโœบโฌโž›โœ˜โœ—โ‡โžชร”โž™โ‚โž›โƒโžŽโƒโœบโโž›โ‘โ†’โ‘ฉโ†”โž“โžถโ—†โ†”โ€โžŽโƒโžŽโƒโ†”โž“โžโžšโžถโ€โž›โœพโœบ โžŽโœพโœผโœปโž›โœพโ†”โงโ†•โ„โœบqโ™โฏโšโœปโžž โฏ โฑ โ†”โ——โ†•โ„โžŽโฉโžฌโˆโžโ——โž›โƒโœบ โœฟ โžโ—†โ†”โž“โ†”โ€โžŽโ‘โ†’ โœ– โž™โ‚โœผโœปโžŽโƒโž›โœพโ†”โงโžชโ‹โž™โ‚โž›โƒโžŽ โ โ†”โ——โ†• โœ”โžซโžŒโˆโž”โ‹โžถโ€โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โ‹โ†• โ โœบโžŸโ†•โƒโ†•โƒโ†”โ——โ†•โ†•โ„โžŒโœฝโž”โžดโžŽโœ”โ†’โœปโœบ โœšโ›โžถโ€โœบ โ โ†”โ——โ†• โœ—โ–ฒโœบโโ†’โœปโ†”โ—†โž”โžดโžŽโƒโœบ โœฟ โ†”โ—†โž›โžšโžž

Page 138: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฅโœ ๏ฟฝโœ•โœ โœžโœ‚โœ โœ โ˜Žโœ„โœโœ†โœŒโ˜›โœโœ„โœŸโœžโœ–โ˜žโ–โœ„โœŸโœ โœ sโœžโœก๏ฟฝsโœžโ‘กโœ†โชโœ„โœโœ sโœžโœกโœ โœ›โ˜žโ–โœ† โœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ‘ฆโ˜žqโœ”โž€โœค โ˜žโœขโœ”โœ‚โœ™sโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ”โž€โœ„โœโœžโ˜›โœ„โœฅโœ„โœโœ โœŒโœ˜qโœžโ™ฅโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ” โ™โœŒโ˜ž โ˜…โœถโœžโœโœ โœŸโœ‚โœทโ˜›โœกรชร“โ˜žโœกโžฆร’โœฎโœทโœถร™โž˜รšโœนโœบ โฒ รŸโ‚รคโœปรžโชร รชรญโˆรตโ—†รจโƒรŸโ‚รคโœปรžโœ๏ฟฝ รฒ โž รฅโ€รž โœŽโœปรฌโœฝรฉโ†รฅโ–ฒรญโœฝรฅโชรžโ–ผรดโžฎรฌโžฎรจโชร รชรฌโž‡โœพ รฒ รฅโ€รžโ–ฒรฌ รฒ รตโ†รฌโžฎรกโžรŸโžฎร รขรจโƒรฅโ€รžโฒรญโˆรฅ รฒ รฌโ˜Žโ‡โ€รŸโžฎรจโ‡๏ฟฝโž’รฅ

โœธ รผ โœผ โœ‘ โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โœผ โญ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโœ„โœ‚ โญ โžฉโœ”โœชโžโžฏโ†โ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜Žโ™ โœ โœชโžดโžฏโ€โžง โƒ โƒ โƒ โžง โ–  โžป

โžธ โ– โœ‘โ โœผ โžฑ โžฉโœซโ‘โžšโžฏโ˜Žโœ‚ โžฑ โžฉโœ”โœชโžโžฏโ†โ—โฉโžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโ˜Žโ™ โœ โœชโžโžฏ โœ“รŸโœซโขโžโœผโœฒรฅโ€รžโ†รกโฒรฃโ‘ฉรคโœ รฅ โ‡โ€รŸโžฎรคโœ รฉโ—†รกโฎร รชรŸโžฎรค รญโœฝรฅโ€รฃโœฟโ™ฃโœฃโ‡โ€รŸโ‚ร โžŸรžtรญโˆรตโ—†รจโชร รขรด รฌโž‡โœพ รฒ รฅ โœพโ†รŸโ‚รจโชรคโœ รตโ†รฅโžขรฅโ—†รกโ‡รพรฟรญโˆรตโ—†รจโชร รขรด รตโ†รฅโ€รž โœพโ†รŸโžฎรจโชรคโœ รตโ†รฅโ€รžโœปโ˜ŽโœŒโœผโœโœ† โœ‚ โœ† P โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โœผโœโœ†โ˜รฅโชรžโชรกรฉโ†รŸโžฎรคโ‹รกโฎร รขรคโœŸโœžโœœ๏ฟฝโž’รฅโ—†รคโ‹รกโž‚รญโœฝรตโ€รจโชร รขรดโžฎรฌโœฟโœพ รฒ รฅโž’รฌโžฎรดโžฎรฅโ†รฉโงรฃโ‘ฉรครฆรฅโž“รญโœฝรตโ€รจโชร รขรดโžฎรตโ†รฅโœšโœพโ†รŸโ‚รจโชรคโœ รตโ†รฅโœ•โœŽโ‹รŸโžฎรฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรก โœซ รผ โœš โƒ โƒ โƒ โœผ โ˜Žโœถโœžโœโœ โœŸโœ‚โœทโ˜›โœกรชร“โ˜žโœกโžฆร’โœฎโœทโœถร™โž˜รšโœŽโœฟ โœบ รŸโžฎรฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรกโžรฅโœŸโ‡โ€รŸโ‚รคโœ รฉโ—†รกโžฆร รชรŸโ‚รคโ‹รคโœ รฅ รฒรขรฒ รฅ โœธ P ๏ฟฝโœฒรฅโ€รกโž‚รกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœ Pโœฃโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโ€โžง โœปโœฝโœธ โžฉ โœ โžฏ รฅโ€รžโ†รกโœ”รญโˆรตโžฆรถโ—รคร”ร รชรฅโœ•โœŽโ‹รฌโžฎรจโœปโœฝโœธ โžฉ โœ โžฏ รผโžข โžฑโœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โ˜› โœผโ˜›โœŒโ˜ž โœ† โœ‘ โ–  โžป

โžธ โ–  โ โœผ โญ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโœ„โœ‚ โญ โžฉโœ”โœชโžโžฏโ†โ—โฉโžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžโžฏโชโžง โƒ โƒ โƒ โžง โ–  โžปโžธ โ–  โ โœผ โžฑ โžฉโœซโ‘ โžฏโœ„โœ‚ โžฑ โžฉโœ”โœชโžโžฏโ†โ—โฉโžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ โœ“

โƒ โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โœผ โœโœ† โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโœ„โœ‚ โœ† โžฉโœ”โœชโžโžฏ โœ‘ โœšโ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โ–  โฆโžธ โœ โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœ—โ™  โœพ โœ“ โ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โˆโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ โƒ โ™โฏโšโœปโžž โš โฑ

โœฏ ร• โœโžดร’โœฎโปโžฎร–โœ‘โท ร˜โžคร™โž˜รšโœ๏ฟฝ tโž€รŸโžฎร รชรฅโ—†รคโ‹รก โœธ โžง โœฟ P ๏ฟฝ โžง รฅโ—†รก โœ Pโœฃโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โ˜Žร โœธ รฅโ€รžโชรกรซรญโˆรฅโ—†รคโœปรžโ—†รฅโ–ฒรญโˆรฌโ‚รคโœปรž โœ โˆ รฅโ—†รก โœธ รญโœฝรฌโžฎรคโ‹รžโœ๏ฟฝ ร  ๏ฟฝ โœŽ รฒ ร โœ”โœ‚โ€รฃโ‹รฅ โœธโœฏรฒ ร โžŸรžโ†รžโ—†รฅโœคโ˜Žร โœโœปโœฝโœธ โžฉ โœ โžฏ รผ โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏโœŽโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ—โœ–โœ™โœ˜โœ“โœšโœ›โœโœขโœœโœ—โœฃโ˜Žโœค โ รฅโ€รžโ–ผรจโƒรตโ€รžโ†รฃ รฒ รกโžณรฌโ‚รกรชรžรงรด รฌ รฒ รฌโœฟโœพ รฒ รฅโ€รžโœ•โœŽโœปรŸโ‚รฃโ‘ฉรจ โœป รžโ—†รŸโžฎรคร”รกรซรญโˆรŸโ‚รคโœ รฉโฒรดโžฎรฌ รฒ รฌโž‡โœพ รฒ รฅโ€รžโœ•โœŽโ‹รŸโžฎรฃโ‘ฉรจ โœโœป โ˜Ž

ร โœธโ€โœฟ P ๏ฟฝโœปโœพโœธโ€โœฟ โžฉ โœ โžฏ รผ โœธโ€โœปโœพโœฟ โžฉ โœ โžฏ โ โœฟโ€โœปโœฝโœธ โžฉ โœ โžฏ

ร โž‰ รฎ โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ รฐ รผ โž‰ โŠ โœธ โƒ โžฉ โœ โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ โžฉโ–ผโ— โžข โžฃ โžฏโ„โžฏโ„โžปโœตโ โƒ โ™โ–ฒโšโœปโžž โ™ โœต โฑโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโœฅ โžŒโˆโœบโโž› โ™ โ†”โžšโžถโ€โž›โœพโ†”โ—†โœผโ‹โ†•โƒโ†” โœ”โžซโžŒโœฝโž”โ‹โ†’โ‚โœฆ โšโžดโฏโœŒโœชโฎโžž

รโœงโœฆ โœŸโœปโžโ——โžŒโˆโž› โฑ โž‘โ‡โ†” ๏ฟฝ โžชโ‹โž™โœฌโœ˜โœฝโ†”โ–ผโฏโƒโœตโœฟโšโ‹โณรโœงโœฆ โœŸโœปโžโ——โžŒโˆโž› โฑ โž‘โ‡โ†” ๏ฟฝ โžชโ‹โž™โœฌโœ˜โœฝโ†”โ–ผโฏโƒโœตโœฟโšโ‹โณร โœฃโžฃโ†”โ—†โž‘โ‡โž‘โ‡โ†” โ˜ž โžชร”โž™โœฌโœ˜โˆโ†”โงโฏโƒโœต โ…โœปโณรโœงโœฆ โœŸโœปโžโ——โžŒโˆโž› โฑ โž‘โ‡โ†”โงโฏโฒโžชโ‹โž™โœฌโœ˜โœฝโ†”โ–ผโฏ โ™โœ†โ™ โžž โœฎ

โ‘ โ‘ขโ‘กโ–ฒโœชโ‘ขโ‘กโœซโ‘ข โœญโžดโธโนโ‘งโœ—โœฑโœปโ‘ฆโœฅโซโ˜Žโœดโ‘ฆโ‘คโœ โ‘งโœปโทโซโ‘ฆโนโธ โซโ‘ฆโœดโžคโœฏโœฅโœฑโœปโ‘จโตโซโฉโทโซโžƒโ‰โธโนโ‘งโž†โบโˆโ‘งโ‘ฉโ‘ฆโœŒโ‘คโœŸโœฉโฉโ‘จโ‘คโบโˆโ‘งโœปโทโ˜โ‘ฉqโœดโฉโžƒโœฏ ร• โœโžดร’โœฎโปโžฎร–โœ‘โท ร˜โžคร™โž˜รšโœนโœบ โœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโงรกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรก โœธ P ๏ฟฝ ร  รฒ รฅโ˜โ™ฃโœฝร โžŸรžโชรกโžรฅโž“รฃโ‘ฉรครฆรฅโฒรฉโ†รŸโ‚รคโœปรžโชรกโžณรฌโ‚รคโ‹รกโžรฅโœฉโ˜… โ–ฒ รฏโžพรกโžรฅ รฒรขรฒ รฅ โœ‚โ€รฃโ‹รฅ โ โœŽโ‹รŸโžฎรฃโ‘ฉรจโงรกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรก โœ Pโขโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โรŸโžฎรคtรฌโ‚ร รขรก รœ โž‰ โœ• โœก โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ โœก โˆ โœ— โœฑ โ˜… โœกโ˜žโœก โœ โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœข โœ“ โœงโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโŠ โž” โœผโ‘ฉโžŽโƒโœบ โ โœบโžŸโ†•โœพโž™โ‚โž”โžดโžŽ โ โ†”โœ•โœ”รชโž™โˆโœบ โžŽ โ… โœผโœปโ†” โ โ†”โžšโ†•รงโžฌโžฎโž™โ‚โž›โœพโœบโโž™โˆโžœ โ โ†”โžšโ†• โœผโœโœ† โณ โœผ โœ โœ† โ†”โ€โžŽ โœ‚ โœ† โ†•โƒโžŒโˆโž”โžดโžŽโฝโžœโœ โžŒโˆโž›โœพโž”โœปโžโ——โ†”โ——โ†•โ——โณโž€โœบ โ โ†”โ—†โžทโžโœบโžŸโ†•โ„โžŽโƒโ†”โ‡โœผโœปโž”โœปโ†”โž’โžถโ€โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โ„โžŽโœพโž™โ‚โž”โžดโžŽโœพโ†” โ˜… โญ โžŽโœพโ†” โโโ โ†”โ… โœผโœปโ†”โ‡โฐ โž‰ โœ• โœก โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ โœก โˆ โœ— โœฑ โœผ โƒ โ˜… โญ โž‰ โœช โœŽโœŽโœŽโœŽ โ–  โžป

โžธ โ– โœ‘โ โœšโ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โ–  โฆโžธ โœ โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœ—โ™  โœพ โ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏ โœŽโœŽโœŽโœŽ โˆโœฌโœซ โ™โ–ฒโšโœปโžž โ™โœ†โ™โž™โฑ

Page 139: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ™โœŒโ˜ž โœญ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ“โœโœ•โœ”โœ–โœโœ—โœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โœฃโœ†โœŸโœ†โœฅโœคโœ›โžพโž™โ‚โœบโโž”โžดโžŽโƒโ†”โ—†โž”ร”โž™โ‚โž”โžดโžŽโ——โณโ‘ฉโ†”โ——โž”โ˜โœผโœปโžŽโƒโœบ โ โœบโžŸโ†•โƒโž™โˆโž”โžดโžŽ โโœ—โœ– โœŸโ‘โโžโžชโœ โžŒโ‚โžŽโ–ฒโœŸ โฑ โ†•โƒโ†”โงโ™โฏโšโ‹โžž ๏ฟฝโœ‘โฑ โ†’โœปโ†”โ–ผโž‘โ–ฒโœบโโž”โœปโžŒโœฝโž›โœพโž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โ™ฃโ†’โœปโ†” โ โžŒโˆโž”โœŒโž™โ˜โฐ

โž‰ โœ• โœก โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ โœก โˆ โœ—โœžโœฑ โœผ โƒ โ˜… โญโœ„ โˆ โž‰ โœช โœŽโœŽโœŽโœŽ โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โŠ โ–  โฆโžธ โœ โžฉ โœพ โžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœตโ™  โœพ โโœŒโ—โฉโžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžโžฏ โœŽโœŽโœŽโœŽ

โˆ โœซโ™ โœ– โž™โ‚โœผโœปโžŽโƒโž›โœพโ†”โžขโžชโ‹โž™โˆโž›โ„โžŽโžšโณโž‚โ†”โ——โž”โžˆโž›โƒโ†”โ——โž‘โž’โž™โ‚โž› โ… โœผร”โž™โ‚โž”โžดโžŽ โ… โœผโœปโ†” โžฉโœ๏ฟฝ โโœ„โœ‚โ—†โžฏ โˆ โœฑโœ†โ˜Žโœปโžฉโœ๏ฟฝ โˆ โโœโœ‚ โˆ โžฏ โณ โโœ—โœ– โœบโฌโž”โœปโžโœ™โœ˜โœฝโž™ โ โœบโฌโžŽโƒโž โ†’โ‘ฉโ†”โ‚โœ”รซโž™โˆโœผโ‹โžถ โœŸโœฐโโžดโ–โœŸโœžโ‘ฉโžถ โœŸโœฐโœคโ‘ขโž™โ‚โž›โƒโžŽโœกโœ โœŒโ†”โ€โžŽโ โœ– โœŸโœฐโโžโžชร”โžŒโˆโžŽโœ โœŸ โฑ โ†•โ„โ†” โšโœปโžž โšโ‡โ†•โ„โœผโ‹โž› โ โž™โ–ฒโž‘โ‡โ†”โ——โ†•โƒโœผโœปโž›โœพโ†” โžฃ โ™โžฆโ†’โ‘ฉโžโ€โžŽโœพโ†”โ—†โž›โœพโž‘โ–ฒโœบโโž”โœปโœบโžŸโ†•โซโžŽโœพโ†” โฑ โžŒโœฝโž”โ˜โž™โ‹โณโœปโžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›โ‘ขโžŽโƒโžŒโœฝโœผโ‘ฉโžŽโœžโœ Pโž€โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โฐโž‰ โœช โœŽโœŽโœŽโœŽ โ–  โžป

โžธ โ–  โ โœ โžฉโœซโ‘โˆโžงโ–ฒโœชโžดโžฏโœ‘โ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โˆโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ โœŽโœŽโœŽโœŽโˆ โœซโœฑโ˜›โ˜Ž โž‰ โœช โœŽโœŽโœŽโœŽ โ–  โžป

โžธ โ–  โ โœ โžฉโœซโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏโž€โžฉโœนโ— โžข โžฃ โžฏโ€โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏ โœŽโœŽโœŽโœŽโˆโœฌโœซ

โโ˜žโ˜Ž โœŽโœŽโœŽโœŽ โ–  โžปโžธ โ–  โ โœ โžฉโ–ฒโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏ โžฃ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžโžฏ โœŽโœŽโœŽโœŽ

โˆโœฑโ˜›โ˜Ž โž‰ โœช โ–  โžป

โžธ โ– โœ—โ โœ โžฉโœซโ‘โˆโžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โˆ โžฉโœนโ— โžข โžฃ โžฏโ€โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžโžฏ โœซ โž‰ โœช โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โžฉโ–ผโ— โžข โžฃ โžฏโ—†โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โˆโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ โœซ

โโ˜žโ˜Ž โ–  โžปโžธ โ– โœ—โ โœ โžฉโœซโ‘โˆโžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โˆ โžฃ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏ

โœฑโ˜›โ˜Ž โž‰ โœช โ–  โžปโžธ โ–  โ โœ โžฉโœซโ‘โˆโžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โˆ โžฃ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏ โœซ โƒ โžฃ โžฉ รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœฐโžโœดโ˜… โžฏ

โโ˜žโ˜Ž โ–  โžปโžธ โ–  โ โœ โžฉโœซโ‘โˆโžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โˆ โžฃ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏ

โœฑโ˜›โ˜Ž โœ‘ โœš โ โžฃ โžฉ รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœฐโžโœดโ˜… โžฏ โœ“ โ–  โžปโžธ โ–  โ โœ โžฉโœซโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏ โˆ โžฃ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ

โžนโ‘โž”โ™ฃโžŒโœฝโžœโ‘ฉโžŽโƒโœบโโ†”โ—†โž”โžดโžŽโฉโž™ โ โžŒโœฝโž›โœพโ†• โ โž™โฒโž›โœพโ†” โ โž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โ™ฃโ†•โƒโœผโœปโœบโโžฌ โž™โˆโž”โžดโžŽโƒโ†”โˆโณโžฃโฐ

โž‰ โœ• โœก โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ โœก โˆ โœ— โœฑ โœผ โƒ โ˜… โˆโœ„ โˆ โ–  โžปโžธ โ–  โ โŠ โ–  โฆโžธ โœ โžฉ โœพ โžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœตโ™  โœพ โ โˆ โžฃ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏ โ™โ–ฒโšโœปโžž โ™โœŒโ˜žโž‡โฑ

โžนโ‘โž”โ™ฃโœผโœปโžŽโƒโœบ โ โœบโžŸโ†•โ„โ†”โ–ผโž‘โž’โž™โˆโœบโฌโž”โžดโžŽโƒโ†”โ——โž”โ‹โž™โ‚โž”โžดโžŽ โ โž™ โœ”โžซโžŒโœฝโž›โƒโž‘โ‡โ†”โ–ผโ†•โƒโžชร”โžโžšโžถโ€โœบโžŸโž™ โ โ†”รงโ†’โœปโ†” โ โž™โ–ฒโž‘โ‡โ†”โ——โ†•โƒโœผโœปโž›โœพโ†” โžฃ โ™ โœŸโ‘โโžโžชโœ โžŒโ‚โžŽโ–ฒโœŸ โฑ โ†•โƒโ†”โœ‰โšโœปโžž โš โฑ โžชโœ โžŒโˆโœผโœปโž›โœ”โžโžšโžถโ€โž›โœพโœบโฌโž›โœพโ†”โฒโฐโ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โŠ โ–  โฆโžธ โœ โžฉ โœพ โžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโ™ฅโ™  โœพ โ โˆ โ โžฉโœซโ‘ โžฏโœณโกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžดโžฏโœตโ™ โฅโ‘

โœฑ โ–  โžปโžธ โ–  โ โœฐ โ–  โฆโžธ โœ โˆ โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโ™ฅโ™  โœพ โœด โœฐ โ–  โฆโžธ โ โˆ โžฉ โœพ โžฏโœตโ™  โœพ โœด โ โžฉโœซโ‘โžšโžฏโœ‚โกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžดโžฏโœตโ™ โฅโ‘

โœฑ โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โœŒ โ–  โžป

โžธ โœ โˆ โžฉ โœพ โžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœตโ™  โœพโœŽโœ โœŒ โ–  โžปโžธ โ โˆ โžฉ โœพ โžฏโ™ฅโ™  โœพโœŽโœ โ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโœณโกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžโžฏโ™ฅโ™ โœ‘โ‘

โœฑ โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โœŒ โ–  โžป

โžธ โœ โˆ โžฉ โœพ โžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โœกโ˜žโœก โ โœกโ˜›โœก โˆโˆ โ โžฉ โœพ โžฏโ™ฅโ™  โœพ โœ โ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโœณโกโž€โžฉโ–ฒโ™ โโœชโžโžฏโ™ฅโ™ โœ‘โ‘โœฑ โœกโ˜›โœก โ โœกโ˜žโœก โˆโˆ โ–  โžป

โžธ โ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ™ฅโ™ โœ‘โ‘ โ–  โžปโžธ โ–  โ โœ โˆ โžฉ โœพ โžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœตโ™  โœพ โกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžโžฏ

โœฑ โœกโ˜›โœก โ โœกโ˜žโœก โˆโˆ โœกโ˜›โœก โ โœกโ˜žโœก โญ โ–  โžปโžธ โ–  โ โœ โˆ โžฉ โœพ โžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโ™ฅโ™  โœพ โกโž€โžฉโ–ฒโ™ โโœชโžโžฏ

โ™โ–ฒโšโœปโžž โ™ โš โฑ

Page 140: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฅโœ ๏ฟฝโœ•โœ โœžโœ‚โœ โœ โ˜Žโœ„โœโœ†โœŒโ˜›โœโœ„โœŸโœžโœ–โ˜žโ–โœ„โœŸโœ โœ sโœžโœก๏ฟฝsโœžโ‘กโœ†โชโœ„โœโœ sโœžโœกโœ โœ›โ˜žโ–โœ† โœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ‘ฆโ˜žqโœ”โž€โœค โ˜žโœขโœ”โœ‚โœ™sโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ”โž€โœ„โœโœžโ˜›โœ„โœฅโœ„โœโœ โœŒโœ˜qโœžโ™ฅโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ” โ™โœŒโ˜ž โšโ™ โ†” โ โž™โ–ฒโž›โƒโ†” โ โž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž” โ™โ–ฒโšโœปโžž โ™โœŒโ˜žโž‡โฑ โ†”โ—†โžŽโฉโ†’โ‘ฉโœผโ™ฃโž›โœพโžโ——โ†•โƒโœผ โ โžŽโœพโž™โ‚โžŽโ‘ขโžชโ‹โž›โƒโžโžšโžถโ€โžโ——โ†’โœปโ†”โ—†โž”โžดโžŽรซโžŒโœฝโž”โ˜โ†’โœปโžโ——โ†’โ‘ฉโœผโœปโœบโฌโžŽ โโœ—โœ– โ†”โ—†โžทโžโœบโžŸโ†•โ„โžŽโƒโ†”โ—†โž”ร”โžถโ€โ†”โ–ผโ†’ โœ– โœผโœปโž”โœปโ†”โ–ผโžถโ€โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โซโžŽโ†โž™โ‚โž”โžดโžŽโƒโ†”โœ๏ฟฝโžกโžŽโƒโ†” โโโ โ†” โ… โœผโœปโ†”

โž‰ โœ• โœก โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ โœก โˆ โœ—โœžโœฑ ๏ฟฝ โ–  โžปโžธ โ–  โ โœ โˆ โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโ™ฅโ™  โœพ โกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžดโžฏ

โœ”โž‚โ†” โ… โœผโ‹โœบโžฃโ†’โ‘ฉโžโ—†โž‘โ‡โžŒโœฝโž”โœฝโžŽโœพโž›โƒโ†” โ โ†”รงโž›โƒโžโžšโ†•โ„โœผ โ โžŽโœพโž™โ‚โžŽโ——โžžโœฎ

โœ‚ ร’โžžโปโžฎร’โธโพโฏโพโฏโน โœกโ–ผโปโžฎร˜โžคร™โž˜รšโžฆร› โœบ รŸโžฎรฃโ‘ฉรจโž“รกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรก โœธ P ๏ฟฝโœโโ‘ขร  รฒ รฅโ˜โ™ฃโœฝร โžŸรžโชรกโžณรฅโœโœ„ โœธ P โœ โˆ โžฉ รฎ รฏ โžง โž โž‹รฐโœ›โž โ˜… โž โžฅโฝโžง โžฃโœ†โ˜Ž โ™ โˆโžฝโฅโžฏ ๏ฟฝโž’รฅโ€รžโ†รฃโ‘ฉรจโœพรฌโœฟโœพ รฒ รฅโž’รฅโ€รค รฒ รฅโ€รžรกโžฆรจโœพรŸโžฎร โžŸรžโ–ผรด รฌโ‚รจโชร รชรฌโœฟโœพ รฒ รฅโ€รžโฒรฅโ€รกรซรกโžณรฅ รฒรขรฒ รฅ โœ‚โ€รฃโ‹รฅ รœ

โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ รผ โž‹ โœ„ โœธ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โœ† โœ Pโœฃโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโœžโžโžŒโˆโœบโฌโžŽ โœธ P ๏ฟฝ โœฟ โžทโ‘ฉโžโˆโžž โœ”โž‚โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โƒโœบโโ†’โ‘ฉโžโ——โž›โƒโžŒโœฝโž”โ‹โ†• โ โœ– โž™โ‚โžชโ‹โžช โ โœบโžŸโžถโ—†โž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž” โฐ

โœโœŸโœž โ—† โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โ˜Ž โœ โˆ โžฉโžฆโžฅโœ”โžฏ โ˜ž โžโœ โ˜Ž โœฟ โ˜ž โž‰ รฎ โœฟโ€โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ รฐ

โœ” โœ– โ†”โžšโ†•โซโžŽรซโœผโœปโž”โœปโ†”รงโž™โ‚โžชโœปโžช โ โœบโžŸโžถโ—†โž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž” โ โœบโฌโž”โ‹โžโ——โž™โ‚โœบโโž›โœพโ†”โˆโณโžดโž‘โ–ฒโžŒโœฝโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโžŒโˆโž”โ‹โ†• โ… โœผ โœ– โ†” โโฌโ โ†”โฝโ†”โ——โ†•โ„โžŽรซโžถโ€โžŒโœฝโž”โžดโžŽโƒโœบโโž”โžดโœผโ‹โ†”โˆโžž โœ“ โžŒโˆโœผโœปโž›โ‘ขโžถโ€โ†” โ โž™โ‹โณโœฝโžŒโœฝโž”โ™ฃโžถโ€โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โƒโœบโโ†’ โฑ โž›โƒโ†” โ โ†”โฝโžชโœปโž›โœพโžŒโžโ†’โœปโœผโœปโœบ โžŽโžŽโƒโ†”โ——โž”โ‹โ†•โ„โžŒโœฝโž›โƒโœบโโ†” โ โžชโœปโž›โœพโžŒโœโœ•โซโ†”โžšโžถโชโžŽโœพโœบ โœ”โœŒโ™โžซโžฌโœฝโžŒโˆโœบโโž›โœกโœ โ˜žโ˜›โ‚โžŽโ–ฒโœŸโœปโ†”โ…โœฆ โœญ โ˜ž โœชโ‰โžถ โœŸโ‹โž™โˆโžชโœปโœบโฌโžŽโƒโž›โœพโ†” ๏ฟฝ โ™ โžชโœ โžŒโˆโœผโ‹โž›โœ”โžช โ โœผร”โ†•โž‹โ†’โ‘ฉโ†”โงโ†’โ‘ฉโžโ—†โžŽโœพโž™โ‚โœบ โ โ†• โฑ โž โ… โœผโœปโœบโโžชโœ โžโงโ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โ‡โ†•โƒโ†”โ—†โž‘โ‡โœบโฌโ–โฎโž”โœปโžŒโœฝโž›โƒโž‘โ‡โ†”โ–ฒโฐ

โœกโ˜žโœก โœช โœกโ˜›โœก รผ โœซโœฝโœผ โœผ โžฑโœ˜ โœ† โœ  โญ โœกโ˜›โœก โœ โœ† โœกโ˜žโœก โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœกโ˜›โœก โœฟ โœ† โœกโ˜›โœก โˆ

โžŒโœโœŒ โ โญโžโœบโโž”โœ›โœ” โœ– โ†”โžšโ†•โซโžŽโž‹โžชโœปโž›โœพโœบโžŸโ†•โœ”โ†•โ„โœผโœปโž› โ โ†”โ——โ†• โœช โ†’โœปโ†” โ โž™ โœ”โžซโžŒโˆโž›โœพโž‘โ‡โ†” โœช รผโœโœŽ โžฑโœ†โœกโœ  โญ โœ โœ† โ˜Ž โœฟ โœ† โžžโœ“ โžŒโˆโœผโœปโž›รซโž‘โ‡โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†”โ—†โž› โ โž™โ–ฒโžถโ€โžŒโœฝโž”โžดโžŽโƒโœบโโž”โžดโœผโ‹โœบ โžŽโœพโžโˆโณโžโœบ โ โ†•โƒโœผโœ›โœšโ‡โžŽโž‹โ†’โ‘ฉโ†”โ‘โž‘โ‡โžŒโœฝโž”โœฝโžŽโœพโž›โƒโ†”โ——โž›โ——โณโžดโžชโœ โžŒโˆโœผโœปโž›โ‘ขโœผโœปโž”โ˜›โžŽโƒโ†”โ—†โž”ร”โ†•โ„โ†”โ——โœผโœปโž›โ——โณ โโœ—โœ– โ†”โ—†โžทโ‘ฉโœบโโ†•โ„โžŽโƒโ†”โ——โž”โ‹โžถโ€โ†”รงโ†’ โœ– โœผโœปโž”โœปโ†”รงโžถโ€โžŒโˆโž”ร”โ†•โซโžŽโ†โž™โ‚โž”โžดโžŽโƒโ†”โœ๏ฟฝโžŽโƒโ†” โโฌโ โ†” โ… โœผโ‹โ†”โž’โฐ

โœก โœ‘ โœž โžฉโžฑ

โœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โœ โœ†โœ’โ˜Ž โœฟ โœ† โžฏ โœก โœฑ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœกโžฑ

โœ˜ โœ† โœ  โญ โœ โœ†โœ“โ˜Ž โœฟ โœ† โœกโ˜žโœก โ™โ–ฒโšโœปโžž โ™ ๏ฟฝโœ‘โฑโœ›โžพโž™โ‚โœบโžŸโ†•โ‘ขโžŒโˆโž”โœŒโž™โœปโณ

โœก โœ‘ โœž โžฉโžฑ

โœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โœ โœ†โœ’โ˜Ž โœฟ โœ† โžฏ โœก โœฑ โžฑโœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โœก โž‰ รฎ โœฟ โœ† โœปโœพโœธ โžฉ โœ โœ† โžฏ รฐ โœก

โœฑโžฑโœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โœกโ˜›โœก โœฟ โœกโ˜›โœก โˆ โœกโ˜žโœก โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ โœกโ˜žโœก โˆ โ™โ–ฒโšโœปโžž โ™ โฏ โฑ

โœฑ ๏ฟฝโžฑ

โœ˜ โœ† โœ  โญ โœกโ˜›โœก โœฟ โœกโ˜›โœก โˆ โœกโ˜žโœก โœ โœกโ˜›โœก โœ‘โœ’โœ โœข โœ“ โœง โ™โ–ฒโšโœปโžž โ™ โ… โฑโ™โฏโšโ‹โžž โ™ โฏ โฑ โž” โœ– โ†”โ——โ†•โ„โžŽโœ”โž™โ‚โœผโ‘ฉโžŽโœพโž›โƒโ†” โ… โœผโ‹โ†” โโœ—โœ– โœบโโž”โœปโž โœ˜โžดโž™ โ โœบ โžŽโœพโžโฝโ†’โœปโ†”โ˜žโœ”โœ•โ˜› โ โ†’โœปโ†”โ—†โž›รซโ†”โ€โžŽ โ™โฏโšโœปโžž โ™ โ… โฑ โžฌโžโœบโโ†”โ—†โž”โžดโžŽรซโ†’โ‘ฉโœผโ˜›โžŽโœ โœŸโœปโžโ——โžŒโˆโž› โฑ โž‘โ‡โ†”โฉโžชโ‹โž›โƒโžโžšโžถโ€โžโ——โ†’โœปโ†”โ—†โž”โžดโžŽโ——โžžโœ–๏ฟฝโœ†โž”โœปโ†”โฝโ†’โ‘ฉโžโ—†โžชโœ โ†”โ—†โž”โ‹โ†’โž”โœปโœบโž˜โ†’โ‘ฉโ†”โœšโœโœŒโž”โ‹โœบโžฃโ†’โ‘ฉโ†”โ€โœฟ โ†’โœปโžŒโˆโž”โ‹โžถโ–ฒโฐ

โœก โœ‘ โœž โžฉโžฑ

โœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โœ โœ†โœ’โ˜Ž โœฟ โœ† โžฏ โœก โœฑ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœกโžฑ

โœ˜ โœ† โœ  โญ โœ โœ†โœ“โ˜Ž โœฟ โœ† โœกโ˜žโœกโ™ โžŒโœฝโž”โ‹โžถโ‚โณ โœ‘ โœž โ†”โ——โ†•โ„โžŽ โ โœบโโž”โœปโžโ——โž™โˆโœบโฌโž›โœพโ†”รงโžถโ€โžŒโˆโž”โžดโžŽโœพโœบโฌโž”โžโœผโœปโ†”โœฝโžž โŠ โž”โ˜โœผโœปโžŽโƒโœบ โ โœบโžŸโ†•โƒโž™โˆโž”โžดโžŽ โโœ—โœ– โœบโโ†’โ‘ฉโ†”โ——โž”โžดโžŽโƒโœบ โœฟ โžถโ—†โž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โœŒโ†’โ‘ฉโ†”โ——โ†•โ‘ขโžชโœปโž›โœพโžŒโ‘ฉโ†’โ‘ฉโœผโœปโœบโฌโžŽโœพโ†•รซโžŽโœพโ†”โ—†โž”โ‹โ†•โƒโžŒโˆโž›โœพโœบโฌโ†” โ โ†•โ‘ขโ†’ โœ– โ†”โ——โ†•โƒโžชโ‹โž™โœฝโžถโ€โ†”โ——โ†•โ‘ขโ†’โ‘ฉโ†”โžŽ โโžโžชร”โ†” โž› โˆ โฐ

โœ โˆ โžฉโฎโžฅ โž รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœ–โžโœดโ˜… โ โ™ โˆโžฝ โ˜Ž โœถโžโžฏโœ˜โœ— โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โ˜Ž โœ โˆ โžฉโžฆโžฅโœ”โžฏ

Page 141: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ™ โšโœ’โœต ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ“โœโœ•โœ”โœ–โœโœ—โœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โœฃโœ†โœŸโœ†โœฅโœคโžนโ‘โž”โงโžชโœ โ†”โ—†โœผโ‘ฉโžŽโฅโž‘โž’โž™โ‚โœบโโž”โœฝโžŽโœพโ†”โ—†โž”โ‹โž™โˆโž”โžดโžŽโฅโž™โˆโžชโœปโžช โ โœบ โ… โœผโœปโ†”โ——โž› โ โ†”โ—โžŽโ–ฒโœŸโœปโžโ—†โžŒโœฝโž› โฑ โž‘โ–ฒโ†”รซโ†’โ‘ฉโ†”รซโž›โƒโ†”โ——โžชโœปโž›โƒโžโžšโ†•โ„โ†”โ——โž”โžดโžŽโœพโž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โงโ†’โ‘ฉโ†”โ‰โœœโž‹โœบโฌโ†”โžšโ†• โœ  โ… โœผโœปโœบโžโž”โœปโžŒโˆโœผโ‹โ†•โถโ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โœปโž”โœปโ†” โโœ—โœ– โ†”โ€โžทโ‘ฉโœบโโ†•โ„โžŽโƒโ†”โ——โž”โ‹โžถโ€โ†”โ†’ โœ– โœผโœปโž”โœปโ†”โ–ผโžฌโžฎโž™โ‚โž›โœพโœบโโž™โˆโžœ โ โ†”โ‘โž‘โ‡โ†”โ——โ†•โƒโœผโœปโž›โ†โž™โ‚โžœ โ โ†” โœ„ โœธ P โœ โˆ โžฉ รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœ–โžโœดโ˜… โž โžฅโฝโžง โžฃโœโ˜Ž โ™ โœฝโžฝโถโžฏ โžŽโœพโ†” โโโ โ†” โ… โœผโœปโ†”โž’โฐ

โœ‘ โœž โžฉ โœฟ โ˜Ž โœ โžฏ รผ โž‹ โœ„ โœธ โ โœฟ โ˜Ž โœ โ–ฒ โœŒโœŽโœ โœขโ˜›โœ โœงโœ๏ฟฝ โœ‘โœ’โœ โœข โœ“ โœงรผ โž‰ โœ• โœฟ โž‹ โœ„ โœธ โ โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ—โ™ โžŒโœฝโž”โ‹โžถโ‚โณ โž‰ รฎ โœฟโ€โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ รฐ รผ โž‰ โœ• โœฟ โž‹ โœ„ โœธ โ โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ—โžถโ€โ†”โžšโžถโ€โœบโž€โ†”โ——โ†•โ„โžŽโž‹โžฌโžโž›โœพโž™โˆโœบรฆโžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›โ‘ขโžŽโƒโžŒโœฝโœผโ‘ฉโžŽโœ˜โœฟ P โœ โˆ โžฉโžฆโžฅโœ”โžฏ โžถโ—†โ†” โ… โœผโœปโœบโ‰โžถโ€โžŒโˆโž”ร”โžถ โ โœผโœปโ†” โ โž™โ‡โ†’โ‘ฉโžโ——โž‘โ–ฒโžŒโœฝโž”โ‹โ†•โ„โžŽโƒโž›โ†โž™โžฎโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โžฃโžž โœฎโœถโœžโœโœ โœŸโœ‚โœทโ˜›โœกรชร“โ˜žโœกโžฆร’โœฎโœทโœถร™โž˜รšโœนโœธ โœŒ รค รฌโ–ฒโœŽโœ†โœŽโ‹รฅ รฒรขรฒ รฅ โ…โ‚รจโœพรฌโˆรญโžฎร รชรฅโ—†รคโ‹รกโž‚รžโชรกโžณรŸโžšรฉโžโž†โœปรฌ รžโชรกโฎร โœ”โœ‚โ€รฃโ‹รฅ รฒ โž รฌโœโœŽโœ†โœŽ รฒ ร รชรฉโœพรฌโ‚รกโžฆร รชรŸโ‚รค รœ

โœ„ โ—† ๏ฟฝ โžข โ˜ž โœ โˆ โžฉ รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœ–โžโœดโ˜… โž โžฅโฝโžง โžฃโœโ˜Ž โ™ โœฝโžฝโถโžฏโœธ โžข โ˜ž โœ„ โœธโžโžˆโปโžฎร’โ‹ร‘sโปโœšโœกโœ”โœโžดร“โ˜žโœโžพร™โžฃรš โœ โœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœธ รฅโ€รก โœฟ รญโˆรฌโ‚รคโœปรž ๏ฟฝ รฅโ—†รกโนรกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรก โœ รญโœฝรฌโžฎรคโœปรž โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ รŸโ‚รค รฌ รœ

รโœ„ โœธโ€โœฟ รผ โœธ โœ„ โœฟ โ โœฟ โœ„ โœธ

ร โž‰โœชโœ• โž‹ โœ„ โœธ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โœ— รผ โž‰ โŠ โœธโœฃโƒ โžฉ โœ โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ โžฉโ–ผโ— โžข โžฃ โžฏโ„โžฏโ„โžปโœตโโœฏ ร• โœโžดร’โœฎโปโžฎร–โœ‘โท ร˜โžคร™โž˜รšโœŽโœฟ โ โž รฌโ–ฒโœŽโœ†โœŽ รฒ ร รชรฉโ†รฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค โœธ โ˜ž โœ„ โœธ รฅโชรžโชรกโธโ‡โ€รฅโ€รจโ‡๏ฟฝโž’รฌโœฟโœพ รฒ รฅโ‡รญโˆรฌโ‚รคโœปรž โœ โˆ โžฉรชโžฝโถโžฏ โ˜Žโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโœžโžโžŒโˆโœบโฌโžŽ โž„ โœธ โžฑ โžง โœผ โ€ โœš โž…โ˜โœผโ‹โž”โœปโ†”โžคโ†•โ„โœผโœปโœบโฌโžŽโƒโ†”โžคโ†’โ‘ฉโ†” ๏ฟฝ โžŽโƒโ†” โโฌโ โ†” โ… โœผโ‹โ†”โœดโœธ โžฑ โžถโ—†โžŒโˆโž”โžโžฌโˆโ†”โ——โž› โœ˜โœฝโ†”โ›โžฌโˆโ†”โ——โž›โœพโ†• รฏ โ†’โœปโž™โ‚โž”ร”โ†• โœ โˆ โžฉโžซโžฝโฅโžฏ โ†”โ—†โžŽโ‡โžŽโƒโ†” โโโ โ†” โ… โœผโœปโ†” โœ„ โœธ โžฑโžถโ€โžŒโœฝโž”โžดโžฌโœฝโ†”โ—†โž›โ˜โœ˜โˆโ†”โ‘โžฌโˆโ†”โ—†โž›โ†โ†•รซโœผโœปโž”โœปโ†” โ โœบโฌโž‘โ‡โœบโฌโžŽโƒโžโงโž™โˆโžชโœปโžชร”โ†” โ โžโ——โ†”โœ„โœ‚โ‘ฉโžž

โœ“ โžŒโœฝโœผโœปโž›โ‘ขโžŽโƒโžŒโœฝโœผโ‘ฉโžŽโœ˜โœฟ P ๏ฟฝ โ†”โ—†โžŽโœ”โžŽโƒโžŒโˆโœผโœปโžŽโœžโœ Pโœฃโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โžŒโˆโž”โœŒโž™โ˜โฐโž‰ รฎ โž‹โ˜Žโœ‚ โžง โœ โ–ฒ โƒ โœฟรงรฐ รผ โœฉโœปโœซ โœ„โžฑโˆรบโž“รป โž‰ โœ• โž‹ โœ„ โœธ โžฑ โžง โœ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โƒ โœฟ โœ—รผ โœฉโœปโœซ โœ„โžฑโˆรบโž“รป โž‰ โœ• โž‹ โœ„ โœธ โžฑ โƒ โœฟ โžง โœ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ—รผ โœฉโœปโœซ โœ„โžฑโˆรบโž“รป โžฉ โž‰ โœ• โž‹ โœ„ โžฉ โœธ โžฑ โœฟ โžฏโชโžง โœ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ— โžขโขโž‰ โœ• โž‹ โœ„ โœฟโœฉโƒ โœธ โžฑ โžง โœ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ— โžฏรผ โœฉโœปโœซ โœ„โžฑโˆรบโž“รป โžฉ โž‰ โœ• โž‹ โœ„ โžฉ โœธ โžฑ โœฟ โžฏโชโžง โœ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ— โžขโขโž‰ โœ• โž‹ โœ„ โœฟ โžง โœ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœข โœ“ โœง โœธ โžฑ โœ— โžฏ

รผ โœฉโœปโœซ โœ„โžฑโˆรบโž“รป โžฉ โž‰ โŠ โœธ โžฑ โœฟโœฉโƒ โžฉ โœโœ’โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ โžฉโ–ผโ— โžข โžฃ โžฏโƒโžฏ โžปโ˜›โ โžข โž‰ โœ• โž‹ โœ„ โœฟ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœธ โžฑ โœ— โžฏรผ รฏ

โœ”โž‚โ†”โ€โžŽโ„โžŽโœพโ†” โ โœบโโž‘โ‡โœบ โžŽโœพโ†”โ–ผโ†”โ——โ†•โ„โžŽโž‹โž”โžโœผ โโฌโ โ†”โ–ผโžถโ—†โž™โˆโž› โœธโ‰โžฑโ˜›โžŽโƒโ†”โ——โž”โ‹โ†’โ˜โžฌโˆโ†”โ—†โž›โ†โ†• รฏ โžž โœ”โž‚โžŒโœฝโž‘โ‡โž‘โ–ฒโ†” ๏ฟฝ โ†”โ——โ†•โ„โžŽโฉโ†’โ‘ฉโ†”โ——โž”โ‹โ†•โ„โ†”โ–ผโ†’โœปโž™โˆโž”โ‹โ†• โœ โˆ โžฉโžซโžฝโถโžฏ โณโž‰ โœ• โž‹โ˜Žโœ‚ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โƒ โœฟ โœ— รผ รฏ

โžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›โž‹โžŽโœพโžŒโˆโœผโ‘ฉโžŽโœ™โœฟ โ†”โ€โžŽรงโ†’โ‘ฉโžŒโˆโž”โ‹โžถโงโž‹โœ†โœ‚ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง รผ รฏ โžฝ โžขโœžโœ โƒ โ‘ โƒโ‹โ†”โ€โžŽรงโžถโ€โžŒโœฝโž‘โ–ฒโž‘โ‡โ†”โ–ฒโžถโ€โ†”โ€โžŽโƒโžŽโƒโ†”โฒโž›โƒโ†” โ โž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โœŒโ†”โ——โ†•โ„โžŽโ‘โžฌโžโž›โ†โž™โ‚โœบโโ†”โ–ผโžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›โฉโžŽโœพโžŒโˆโœผโ‘ฉโžŽโœ Pโœฃโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โžŒโœฝโž”โ™ฃโ†”โ——โž”โœŒโ†’โœปโžโ——โ†’โ‘ฉโœผโœปโœบโฌโžŽ โ… โœผโœปโ†”โœŸโœ‚ รผ รฏ โžฝ โžขโœ โœ โƒ โ‘ โžž

Page 142: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฅโœ ๏ฟฝโœ•โœ โœžโœ‚โœ โœ โ˜Žโœ„โœโœ†โœŒโ˜›โœโœ„โœŸโœžโœ–โ˜žโ–โœ„โœŸโœ โœ sโœžโœก๏ฟฝsโœžโ‘กโœ†โชโœ„โœโœ sโœžโœกโœ โœ›โ˜žโ–โœ† โœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ‘ฆโ˜žqโœ”โž€โœค โ˜žโœขโœ”โœ‚โœ™sโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ”โž€โœ„โœโœžโ˜›โœ„โœฅโœ„โœโœ โœŒโœ˜qโœžโ™ฅโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ” โ™ โš โ™โœฎโœถโœžโœโœ โœŸโœ‚โœทโ˜›โœกรชร“โ˜žโœกโžฆร’โœฎโœทโœถร™โž˜รšโœŽโœฝ โœŒ รคโžขร รขรคโ‹รกโฎรจโƒรŸโ——รญโ‚รฃโ‘ฉร รขรกโ—รžโชรฃโ‘ฉรจโœ๏ฟฝ รฒ รฌโ›รคโœ รŸโ‚รจโ‡๏ฟฝโ‡รฅ รœ

โœ† โœธ P ๏ฟฝ โžง โœกโ˜›โœก โœธ โœกโ˜›โœก โˆโˆ โžบ โญ รผ โœกโ˜›โœก โœธ โœกโ˜žโœก โˆโˆ โ โž‰โœ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โœ„ โœธ โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœงโœ„โœ‚รฅโ€รกโ‘ขรŸโžฎรคtร รขรคโ‹รกโฎรจโƒรŸโ——รญโ‚รฃโ‘ฉร รขรก รฒ โž รฅโ€รž โœŽโœปรฌโœฝรฉโ†รฅโœ†โ˜Ž โˆ โžบ โญ รฅโ€รžโชรก รฒ รฌโœโ‡โ€รฅโ—†รจโ‡๏ฟฝโ‡รฅโ—†รกโžฆรฃโ‘ฉรจโœพรฅโž“รญโˆรฅ ๏ฟฝ รจโœพรฅ รฒ รฌโ‚รกโžฆร รขรดโžฎรฅโœป๏ฟฝโ‡รฅโ—†รคโ‹รกโœ”รพ รฒ รฌโ›รคโœ รŸโ‚รจโ‡๏ฟฝโ‡รฅ โœกโ˜žโœก โƒ โœกโ˜žโœก โˆ โžบ โญ โ˜Žโ–ผโ˜›ร˜โœ‘โทโžโนโœ—โปโœซโ—†โชโบโถร˜โžคร™โž˜รšโœ๏ฟฝ tโœ ร  โœธ P โ˜Ž โˆ โžบ โญ รฌ รฒ รŸโžฎรจโ†รž โœธ รฅโ€รžโ†รก รฒ ร โžŸรžโœพรžโ—†รฅโ‘รฌโžฎรฃโงรžโ—†รฅโ—†รคโœปรžรซรญโœฝรฅ รฒ รฌโ–ผรญโœฝรตรชรถโนรคโ‹ร รขรกโฎร รชรŸโžฎรค โž“ โ˜Ž โœโ™ฃรฅโ€รกโœ โœŽโ‹รŸโžฎรฃโ‘ฉรจรซรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœ Pโœฃโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โรŸโžฎรคtรฌ โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ รผ โœโœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ โ˜Žโœถโœžโœโœ โœŸโœ‚โœทโ˜›โœกรชร“โ˜žโœกโžฆร’โœฎโœทโœถร™โž˜รšโžŸร™ โœŒ รคโž’รฌโ–ฒโœŽโโœŽโœปรฅ รฒรขรฒ รฅโœขโ…โ‚รจโƒรฌโœฝรญโžฎร รชรฅโ—†รคโ‹รกโž€รžโชรกโžรŸโ——รฉโžโž†โœปรฌโžฎรžโชรกโžฆร โœ”โœ‚โ—†รฃโ‹รฅโœ”รฌ รžโ†รžโ—†รŸโ——รฉโ—†ร รชรตโž‹รพ รฒ โž รŸโœโœŽโœปรตโ—†รจโƒรฌโ‚รกโžณรฅโ—†รฃโ‘ฉรจโ‘ขรญโœฝรฅโœ”รญโˆรตโ—†รจโชร รขรด รฌโ‚รกโžฆร รชรŸโ‚รคโ™ฃรญโžฎร รขรจโœพรฅโœพรฉโ—†รกโฎร รชรŸโžฎรคโ‹รครฆรฅ รฒรฒ โž รฌโ–ฒโœŽโโœŽ รฒ ร รชรฉโ†รฌโ‚รกโžฆร รชรŸโ‚รค

โœ„ โ—† โ˜Ž โˆ โžบ โญ โžข โ˜ž โœ โˆ โžฉโฎโžฅโฝโžงโœตโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโ„โžฏโœธ โžข โ˜ž โœ„ โœธ

โœฏ ร• โœโžดร’โœฎโปโžฎร–โœ‘โท ร˜โžคร™โž˜รšโœนโœธ โœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจ โžฉ โœธ โžง โœฟ โžฏโœŒP โžฉ โ˜Ž โˆ โžบ โญ โžฏ โˆ โโž‚รฅโ—†รกโœ‚โœผ PโœŸโœž โญ โโ‘ขรŸโžฎรคtรฌ รœร

โœ„ โœธโ€โœฟ รผ โœฟ โœ„ โœธ โ โœธ โœ„ โœฟร

โœ„ โžฉ โœผ โžฉ โœธ โžฏโ„โžฏ รผ โœผ โœ โžฉ โœธ โžฏ โœ„ โœธโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโ™โœกโœ  โœžโžโžŒโˆโœบโฌโžŽโœžโœ P โœ โˆ โžฉโฎโžฅโฝโžงโœตโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโ„โžฏ โžžโž€โžนโ‘โž”โžคโž™โ™ฃโฐโž‹ โœ„ โœธโ€โœฟ โžง โœ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœข โœ“ โœง รผ โœปโœฝโœธโ€โœฟ โžฉ โœ โžฏ

รผ โœฟโ€โœปโœฝโœธ โžฉ โœ โžฏโœ†โ โœธโ€โœปโœฝโœฟ โžฉ โœ โžฏรผ โœฟ โž‹ โœ„ โœธ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โ โœธ โž‹ โœ„ โœฟ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœงรผ โž‹ โœฟ โœ„ โœธ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โ โž‹ โœธ โœ„ โœฟ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โ™โ–ฒโšโœปโžž โ™ โ˜… โฑรผ โž‹ โœฟ โœ„ โœธ โ โœธ โœ„ โœฟ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœงโ™โฏโšโ‹โžž โ™ โ˜… โฑ โ†”โ——โ†•โ„โžŽโฉโ†’โ‘ฉโœผโœปโ†”โงโž™โ‚โœผโœขโœ”รชโž™โ‚โœบโฌโžŽ โ… โœผโœปโ†”โ€โœธ โ†”โ—†โžŽโœ˜โœฟ โ†•โƒโžŒโˆโž”โžดโžŽโž‹โ†’โ‘ฉโ†”โžšโ†•โ‘ขโžฌ โž™โˆโž›โƒโœบโžŸโž™โ‚โžœ โ โ†”โžšโ†•รซโž™ โ โžโžšโž™โžฎโžŽโœพโžŒโˆโœบโโž›โƒโ†”โžšโ†•โž‚โ†”โ—†โžŽโž‹โž”โœปโ†”โงโ†’โ‘ฉโžโ——โžชร”โ†”โ——โž”โ‹โ†’โ‘ฉโ†”โ—†โž”โžดโžŽโฉโ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โ‹โžถ โ… โœผโœปโ†”โ–ผโ†’โ‘ฉโ†” โ— โžž

โœ”โž‚โ†”โ——โžถโ€โœบโžฃโ†”โ——โ†•โ„โžŽโ‘ขโžฌโžโž›โ†โž™โ‚โœบโž€โžชโœ โžŒโˆโœผโœปโž›โ‘ขโžŽโœพโžŒโˆโœผโ‘ฉโžŽโœžโœโœŒโžถโ—†โ†” โ… โœผโœปโœบโž€โžชโœปโž›โœพโžŒโˆโœผโœปโžฌโœฝโ†” โ โ†”รงโž›โƒโžโžšโ†•โ„โœผ โ โžŽโ†โž™โžฎโžŽโ——โžžโ˜žโ˜›โœ  โœžโžโžŒโˆโœบโฌโžŽโœ˜โœ P โœ โˆ โžฉโฎโžฅโฝโžงโœตโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโ„โžฏ โžžโž€โžนโ‘โž”โ˜โž™โ˜โฐโž‹ โœ„โœฝโœผ โžฉ โœธ โžฏโ€โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง รผ โœป โžฉ โœผ โžฉ โœธ โžฏโ„โžฏโ€โžฉ โœ โžฏ

รผ โœผ โœ โžฉ โœธ โžฏ โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏรผ โœผ โœ โžฉ โœธ โžฏ โž‹ โœ„ โœธ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœงรผ โž‹ โœผ โœ โžฉ โœธ โžฏ โœ„ โœธ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง

โœ”โž‚โ†”โ——โžถโ—†โœบโž€โ†”โ——โ†•โ„โžŽโž‹โžฌโžดโž›โ†โž™โ‚โœบรฆโžชโœ โžŒโˆโœผโœปโž›โ‘ขโžŽโœพโžŒโˆโœผโ‘ฉโžŽโœžโœโžพโžถโ€โ†” โ… โœผโœปโœบโž˜โžชโœปโž›โœพโžŒโˆโœผโœปโžฌโœฝโ†” โ โ†”โ–ผโž›โœพโžโ——โ†•โƒโœผ โ โžŽโ†โž™โžฎโžŽโžšโžž โœฎโžโžˆโปโžฎร’โ‹ร‘sโปโœšโœกโœ”โœโžดร“โ˜žโœโžพร™โžฃรš ๏ฟฝ tร”ร  โœธ P โ˜Ž โˆ โžบ โญ รฅโชรžโชรก โžจโžฃโžญ โ„โ– ๏ฟฝโž’รฅโชรžโชรฃโ‘ฉรจโƒรฌโž‡โœพ รฒ รฅโžครฌ รฒ รŸโžฎรจโ†รž โœŽโœปรŸโ‚รฃโ‘ฉรจโ˜›รกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรก โœ รพtรžโชรฃโœคโœŽโœ†โœŽโ‹รŸโžฎรจโชรกโž“รญโœฝรฌโžฎรคโœปรž รฐ โ˜…โชโžง โž โœ”รฐ โž โ˜… โโœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ รผ รฏ โ˜Ž

Page 143: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ™ โš โ˜ž ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ“โœโœ•โœ”โœ–โœโœ—โœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โœฃโœ†โœŸโœ†โœฅโœคโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโžนโ‘โž”โž„โžฌโžฎโž™โžขโ†’โ‘ฉโžโ——โž‘โ–ฒโžŒโœฝโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†”โ—†โž› โ โ†”โ˜›โž›โœพโžโ——โ†•โƒโœผ โ โžŽโœพโž™โžฎโžŽโ–ฒโ†•โ„โœผโœปโž›โฒโœผโœปโž”โœปโ†” โœ”โžซโžŒโˆโž”โ‹โžถโ€โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž” โ†’โ‘ฉโ†” ๏ฟฝ โ โ†”โ›โž›โƒโžโžšโ†•โ„โœผ โ โžŽโ†โž™โžฎโžŽโž“โ†”โ——โž”โœฆโ†’โ‘ฉโžโ——โžถโ—†โžŒโˆโœผ โ โ†”โ—†โž›โ†โž™โœŒโžชโ‹โž™โˆโž›โž“โžชโ‹โž™โœฝโ†•โƒโ†•โœพโž™โœฌโœ˜โœฝโ†”โœพโœ— โ โž™โ โœบโโž‘โ‡โœบ โžŽโœพโ†”โˆโžžโœ๏ฟฝโฉโž”โœปโ†” โœ”โžซโžŒโˆโž”ร”โžถโชโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โœŒโ†’โ‘ฉโ†” ๏ฟฝ โžจ โžญ โ–โžณโž‘โ–ฒโ†”โžšโ†•โ„โœผโ‹โž›โœพโž™โˆโžœ โ โ†”โฝโ†”โ——โ†•โ„โžŽโฉโ†’โ‘ฉโ†” โ โž™ โœ”โžซโžŒโˆโž›โœพโž‘โ–ฒโ†”โ‡โฐ

โœธ รผ โœผ โœ‘ โ–  โžปโžธ โ–  โ โœผ โญ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ˜Žโœ‚ โญ โžฉโœ”โœชโžโžฏโ†โ—โฉโžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโœโ™ โœ โœชโžดโžฏโ€โžง โƒ โƒ โƒ โžง โ–  โžป

โžธ โ–  โ โœผ โžฑ โžฉโœซโ‘โžšโžฏโ˜Žโœ‚ โžฑ โžฉโœ”โœชโžโžฏโ†โ—โฉโžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโœโ™ โœ โœชโžดโžฏ โœ“โž™ โžฌโˆโ†”โžšโžถ โ โ†”โ——โ†• โœผ โœ† โœ— โ†•โƒโœผโœปโžชโœปโžชโœ โžŒโˆโž›โƒโžŽโ˜›โ†’โœปโž™โ‚โž”ร”โ†• รฎ รฏ โžงโƒโ˜… รฐโžณโžžโž‚โžนโ‘โž”โž†โžชโœ โ†”โ—†โœผโœปโžŽโ˜›โž™ โ โžŒโˆโž›โ†โ†•โฒโžโžšโžถโ€โž›โœพโœบโฌโž›โœพโ†”โœŒโžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›โ‡โžŽโƒโžŒโœฝโœผโ‘ฉโžŽ โœ P โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โœ— โ†•โƒโœผโœปโžชโœปโžชโœ โžŒโˆโž›โƒโžŽโž’โ†’โ‹โž™โ‚โž”โ‹โ†•รฐ โ˜…โชโžง โž โœ”รฐโžŠโž โ˜… โฐ

โœปโœพโœธ โžฉ โœ โžฏ รผ โžข โžฑโœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โ˜› โœผโ˜›โœŒโ˜ž โœ† โœ‘ โ–  โžป

โžธ โ– โœ‘โ โœผ โญ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ˜Žโœ‚ โญ โžฉโœนโœชโžดโžฏโ‘กโ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โˆโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏโชโžง โƒ โƒ โƒ โžง โ–  โžปโžธ โ– โœ—โ โœผ โžฑ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโœ„โœ‚ โžฑ โžฉโœนโœชโžดโžฏโ‘กโ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏ โœ“

โƒ โ–  โžญโžธ โœผ โœโœ† โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ˜Žโœ‚ โœ† โžฉโœนโœชโžดโžฏ โœ‘ โœšโ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โ–  โฆโžธ โœ โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœ—โ™  โœพ โœ“ โ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏ

โ โžข โžฑโœ˜ โœ† โœ  โญ โ˜› โœผโ˜›โœ—โ˜ž โœ† โœ‘ โ–  โžป

โžธ โ–  โ โœผ โญ โžฉโœซโ‘โžšโžฏโ˜Žโœ‚ โญ โžฉโœนโœชโžดโžฏโ‘กโ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โˆโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏโชโžง โƒ โƒ โƒ โžง โ–  โžปโžธ โ–  โ โœผ โžฑ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโœ„โœ‚ โžฑ โžฉโœ”โœชโžโžฏโ†โ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏ โœ“

โƒโ‘ฆโ–  โžปโžญ โœผ โœโœ† โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโœ„โœ‚ โœ†โœพโžฉโœ”โœชโžโžฏ โœ‘ โœšโ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โ–  โฆโžธ โœ โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœ—โ™  โœพ โœ“ โ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โˆโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ

โ™ โœ– โœผโœปโž”โœปโ†”โ›โžชร”โž™โ‚โž›โƒโžŽโ——โณ โ โ†”โž’โžชโœปโž›โœพโ†”โ—†โž‘โ‡โœบโฌโ†”โ——โž›รงโžŽโƒโ†”โ——โž›โƒโž‘โ‡โ†”โ›โ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โžคโ†•โƒโžŒโˆโž‘โ‡โž‘โ‡โ†”โ‡โ†’โœปโ†”โ˜›โ†’โ‘ฉโž›โœพโžŒโˆโœบโฌโžŽโƒโ†”โ‡โ†”โ——โ†•โ„โžŽโงโž”โžโœผ โ โžถโ——โž™โ‚โž›โœšโœ โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏ รผ รฏ โ†•โƒโœผโœปโž› รฎ รฏ โžงโˆโ‘ รฐโœŸโž โ˜…โžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›โฅโžŽโƒโžŒโœฝโœผโ‘ฉโžŽ โ‘โœ‰P รฎ รฏ โžงโœ„โ˜… รฐโ‹โ†”โ€โžŽโนโ†’ โœ– โž™โ‚โœผโœปโžŽโƒโž›โœพโ†”โœ”โžชโ‹โž™โ‚โž›โƒโžŽโ——โณ โ โ†”โž‹โ†•โƒโ†”โ——โžถโ€โžŒโœฝโž”โ‹โ†’โฒโžŽโƒโ†”โ——โž›โƒโž‘โ‡โ†”โž‹โ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โ–ผโ†•โ„โžŒโœฝโž‘โ‡โž‘โ–ฒโ†”โ‘ขโ†”โžšโ†•โซโžŽโนโžโœ™โœ˜โœฝโž™ โ โ†”โ——โž‘โ–ฒโ†”โ——โž”โžดโžŽโฅโž”โžโœผ โ โžถโ—†โž™โ‚โž› โ โž™โ–ผโ†’โ‘ฉโžโ——โž›โƒโœบโโžฌโˆโžโ——โ†”โœผ โœโœ† โžฉโœซโ‘ โžฏ รผ รฏ โ†•โƒโœผโœปโž›โ‘ขรฐ โ˜…โชโžง โž โœ”รฐโžณโžž

โœฎโ‘ โ‘ขโ‘กโ–ฒโœชโ‘ขโ‘กโœ„โœ‚ โ‘ฃโœฝโ†รชโทโ„โธโž‚โ‘งโ‘ฉโพโœ–โœฏโœŸโœฑโœปโ‘จโœณโœฒโ„โžƒ โ‘ครฆโ‘ฆโœฅโ‘ฅ โ‘ฅ โžƒโœœโ‘ฆโ—โž‰โ–ผโพโœฐโœฑโœปโ‘จโถโ‘งโžโžƒโœ›โœดโœโœฑโœถโ‘จโตโซโœ†โ˜Žโžดโ‘ฆโนโทโ„โธโž‚โ‘งโœถโœžโœโœ โœŸโœ‚โœทโ˜›โœกรชร“โ˜žโœกโžฆร’โœฎโœทโœถร™โž˜รšโžฆร›โœžโœ tโž€รŸโžฎร รขรก โœ‚ รฃโ‘ฉรครฆรฅโ˜รด รฌโ‚รจโชร รชรฌโœฟโœพ รฒ รฅtรฌ รฒ รตโ†รฌโžฎรกโžรŸโžฎร รขรจโƒรฅ รญโˆรฅ โžฅ รญโœฝรฌโžฎรคโœปรž โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โ˜ŽรงรŸโžฎรคโœœรญโžฎร รขรกโœ‘โœ‚โ€รฃโ‹รฅ โœ‚ รฌโ–ฒโœŽโœ†โœŽโ‹รฌโžฎรจโชรกโฎร รชรฅโ—†รคโ‹รกโ–ฒรฌโ‚รฃรญโˆรŸ ๏ฟฝโ‡รฌโ‚ร รขรคโœ รฅโ‡รญโˆรฅ โœ› รฑ โ™ โœ โœŸ โœ„ โžฉ โœ› โžฏโƒโžฏ รžโœ•โž ร  รฒ รฅโˆโ™ฃโœฝร โžŸรžโ†รกโžรฅโž“รฃโ‘ฉรคโœ รฅโž“รฉโ†รŸโ‚รคโœปรžโชรกโžณรฌโ‚รคโ‹รกโžรฅ โ˜… โžฉ โœ‚ โžฏ รกโžณรฅ รฒรขรฒ รฅ โœ‚โ€รฃโ‹รฅ โ โœŽโ‹รŸโžฎรฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรก โœธ P ๏ฟฝ รŸโžฎรค รฌ รœ

โœก โž‰ รฎ โœปโœพโœธ โžฉ โœ‚ โžฏ รฐ โœก โœฑ โ˜… โžฉ โœ‚ โžฏ โœกโ˜›โœก โœธ โœกโ˜›โœก โˆโœก รกรซรญโœฝรฌโžฎรคโ‹รžโงรฉโ†รฅโ–ฒรฉโ†รฌ รžโžโ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ รฅโ€รžโชรกโ‘ขรญโœฝรตรชรถโนรคโ‹ร  โœŽโ‹รฌโžฎรจ รœ

โž‰ รฎ โœธ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ รฐ รผ โž‰ รฎ โœปโœพโœธ โžฉ โœ‚ โžฏ รฐโžโžˆโปโžฎร’โ‹ร‘sโปโœšโœกโœ”โœโžดร“โ˜žโœโžพร™โžฃรšโœŽโœบ ร โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโ˜žโ˜› โ™ โœ โœŸ โœ„ โžฉ โœ› โžฏ

ร โœ† โœ Pโž€โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโชโžง โœ› โžฉ โœ โžฏ รผ โžฉ โœ โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ โžฉโœนโ— โžข โžฃ โžฏโ„โžฏ โžปโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœร โ™ โœผโžพโž›โœพโžโ——โ†•โƒโœผ โ โžŽโ†โž™โžฎโžŽ ๏ฟฝ โœ  โ†’โ‘ฉโœผโœŒโžŽโœ โœŸโœปโžโ——โžŒโˆโž› โฑ โž‘โ‡โ†”โœ‰โšโœปโžž ๏ฟฝ โ… โœผโœปโœบโžฃโž”โœปโžŒโœฝโœผโ‹โ†•โฉโž™โœฝโ†•โƒโ†•โƒโœผโœปโž›โœพโ†” โ… โœผโ‹โ†”โงโ†•โ„โœบโโœ P โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โž™ โ โžŒโˆโž›โ†โ†•โ——โณโ‘ฉโžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›โž‹โžŽโœพโžŒโˆโœผโ‘ฉโžŽโœžโœฟ P ๏ฟฝโžŒโœฝโž”โ˜โž™โœŒโฐ โž‰ รฎ โœปโœพโœฟ โžฉ โœ โžฏ รฐ รผ โž‰ โŠ โœฟโœฉโƒ โžฉ โœ โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ โžฉโ–ผโ— โžข โžฃ โžฏโ„โžฏ โžปโœตโ โ™โ–ฒโšโœปโžž โ™โœ™โœญโฅโฑ

Page 144: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฅโœ ๏ฟฝโœ•โœ โœžโœ‚โœ โœ โ˜Žโœ„โœโœ†โœŒโ˜›โœโœ„โœŸโœžโœ–โ˜žโ–โœ„โœŸโœ โœ sโœžโœก๏ฟฝsโœžโ‘กโœ†โชโœ„โœโœ sโœžโœกโœ โœ›โ˜žโ–โœ† โœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ‘ฆโ˜žqโœ”โž€โœค โ˜žโœขโœ”โœ‚โœ™sโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ”โž€โœ„โœโœžโ˜›โœ„โœฅโœ„โœโœ โœŒโœ˜qโœžโ™ฅโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ” โ™ โšโœฝโšโžŒโœฝโž”โ™ฃโžชโœ โ†”โ—†โœผโ‘ฉโžŽโ‘โžโ——โžถโ€โž›โœพโœบโโž›โƒโ†”โ–ฒโฐ

โž‰ รฎ โœปโœพโœฟ โžฉ โœ โžฏ รฐ รผ โž‰ โŠ โœฟโœฉโƒ โžฉ โœ โœข โฃโž‡โžก โœงโŠ โžฉโœนโ— โžข โžฃ โžฏโ„โžฏ โžป โโœฑ โœกโ˜žโœก โœฟ โœกโ˜žโœก โˆ โƒ โœกโ˜›โœก โžฉ โœโœ’โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ โžฉโ–ผโ— โžข โžฃ โžฏโƒโžฏโซโžป โœกโ˜žโœก โˆโœฑ โœกโ˜žโœก โœฟ โœกโ˜žโœก โˆ โƒ โœกโ˜›โœก โœกโ˜›โœก โœ โœกโ˜›โœก โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœงโœ”โž‚โ†” โ… โœผโœปโœบโž˜โž™โœฝโ†•โƒโ†•โƒโœผโœปโž›โœพโ†” โ… โœผโœปโ†”โœฒโœ Pโž€โ™  โœŸ โœ„ โžฉ โœ› โžฏ โžžร โ™ โœ– โž™โˆโœผโ‘ฉโžŽโƒโž›โœพโ†”โ–ผโžชโ‹โž™โˆโž›โ„โžŽโžšโณโ‘ฉโžชโ‹โž™โ‚โž›โž‹โ†’โ‘ฉโž โœฟ โž”โœปโœบโฌโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โœŒโ†’โ‘ฉโ†” โœ› โžŒโˆโž”โœŒโž™โ™ฃโฐโž‰ รฎ โœฟ โœ› โžฉ โœ โžฏ รฐ รผ โž‰ โœ• โž‹ โœ„ โœฟ โžง โœ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ—

โžŒโœฝโž”โ™ฃโ†”โ——โž”โœŒโ†’โœปโžโ——โ†’โ‘ฉโœผโœปโœบโฌโžŽโฉโ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โ‹โžถรงโ†”โ—†โž”โœŒโžถโ€โžŒโœฝโž‘โ–ฒโžชร”โž™โ‚โž›โ†โž™โ‚โž”โžดโžŽโ‘ขโž™ โžฌโœฝโ†”โ——โžถโœšโ™โฏโšโ‹โžž โ™โœŒโœญโž‡โฑ โ… โœผโœปโ†”โž’โฐโž‰ โŠ โœฟโœฉโƒ โžฉ โœ โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ โžฉโ–ผโ— โžข โžฃ โžฏโƒโžฏโซโžปโ˜›โ รผ โž‰ รฎ โœฟ โœ› โžฉ โœ โžฏ รฐ โœ† โœฟ P ๏ฟฝ

โ โ†”โ–ผโž›โƒโžโžšโ†•โ„โœผ โ โžŽโ†โž™โžฎโžŽโœ”โ†”โ—†โž”โžคโ†’โ‘ฉโžโžšโžถโ€โžŒโˆโœผ โ โ†”รงโ†”โ—†โž”โ˜โž›โ†โž™โ‚โœบโžŸโ†•โ„โžŒโœฝโž”โ™ฃโ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โ‡โ†’โ‘ฉโ†”โ—†โž”โ‹โ†•โƒโœบโฌโžŽโƒโžโงโ†’โ‘ฉโ†” ๏ฟฝ โžž โœฎโœฏ ร• โœโžดร’โœฎโปโžฎร–โœ‘โท ร˜โžคร™โž˜รšโœŽโœฝ โœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก ๏ฟฝ P ๏ฟฝโœฒรฅโ€รกโž‚รกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœ‚ Pโž€โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ รŸโžฎรค รฌ รœร ๏ฟฝ โœ‚ Pโž€โ™ โœ โœŸ โœ„ โžฉ โœ› โžฏร

โœ› โžฉ ๏ฟฝ โœ‚ โžฏ รผ ๏ฟฝ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ โžข โœป ๏ฟฝรฆโžฉ โœ‚ โžฏ โ™โ–ฒโšโœปโžž โ™ โš โฑโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโœžโžโžŒโˆโœบโฌโžŽโœžโœธ P ๏ฟฝ โžž โ˜…โžโ โ†”โžšโ†•โซโžŽ โœ”รชโž™โœฝโžถโ€โœบ โ โ†”โฒโ†’โ‘ฉโ†”โงโžฌโˆโžŒโœฝโœบโฌโž›โœ”โžชร”โž™โ‚โž›โฉโ†’โ‘ฉโž โœฟ โž”โœปโœบโฌโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โžขโ†’โœปโ†”โœฒโœปโœพโœธ โžฉ โœ‚ โžฏ โ… โœผโœปโ†”โž“โ†•โƒโœบ ๏ฟฝ โ†”โ——โ†•โ„โžŽโž‹โœผโœปโž”โœปโ†”โงโžฌโžฎโž™โˆโž›โƒโœบโžŸโž™โ‚โžœ โ โ†”โงโž™ โ โžโ——โž™โ‚โžŽโƒโžŒโœฝโœบโฌโž›โœพโ†”โˆโณโ‘ฉโžŒโœฝโž”โž™โ˜โฐ

โœปโœพโœธ โžฉโœ๏ฟฝ โœ‚ โžฏ รผ ๏ฟฝ โœปโœพโœธ โžฉ โœ‚ โžฏโŠ โž”โœŒโœผโ‘ฉโžŽโƒโœบ โ โœบโโ†•โœพโž™โ‚โž”โžดโžŽ โ โ†”โžšโ†•โœ”โžชโœปโž›โœพโžŒโˆโžชโœปโž›โœพโœบโโžโ€โžŽโƒโžโžšโ†•โ‘ขโ†’โ‘ฉโ†” โ โœ– โžŒโˆโžชโœ โžโ—†โž›โ†โž™โžฎโžŽโœพโ†”โ—†โœผโœปโž›โœ”โ†’โ‘ฉโ†”โงโ†’โœปโžโ—†โž›โœพโœบโฌโžฌโžฎโž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โ™ฃโžŒโœฝโž”โ˜โž™โ˜โฐโž‰ รฎ โœปโœพโœธ โžฉ ๏ฟฝ โœ‚ โžฏ รฐ รผ โž‰ รฎ ๏ฟฝ โœปโœพโœธ โžฉ โœ‚ โžฏ รฐ

รผ โž‰ รฎ โœป โžฉ ๏ฟฝ โœธ โžฏโ—†โžฉ โœ‚ โžฏ โžข โœธโ€โœป โžฉ ๏ฟฝโ‘ฉโžฏโ€โžฉ โœ‚ โžฏ รฐรผ โž‰ รฎ โœธ ๏ฟฝ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ รฐ โžข โž‰ รฎ โœธโ€โœป โžฉ ๏ฟฝโ‘ฉโžฏโ€โžฉ โœ‚ โžฏ รฐ โ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜ž โœต โฑ

รโœก โž‰ รฎ โœปโœพโœธ โžฉ ๏ฟฝ โœ‚ โžฏ รฐ โœก โœฑ โœก โž‰ รฎ โœธ ๏ฟฝ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ รฐ โœก โ โœก โž‰ รฎ โœธโ€โœป โžฉโœ๏ฟฝโ‘ฉโžฏโ€โžฉ โœ‚ โžฏ รฐ โœก

โœฑ โœกโ˜žโœก โœธ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โˆ โœกโ˜›โœก โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ โœกโ˜žโœก โˆ โ โœกโ˜›โœก โœธ โœกโ˜›โœก โˆ โœกโ˜›โœก โœป โžฉ ๏ฟฝโ‘ฉโžฏโ€โžฉ โœ‚ โžฏ โœกโ˜žโœก โˆโœฑ ๏ฟฝ โžฉ โœกโ˜žโœก โœธ โœกโ˜žโœก โˆ โœกโ˜›โœก โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ โœกโ˜›โœก โˆ โ โœกโ˜žโœก โœธ โœกโ˜žโœก โˆ โœกโ˜›โœก โœ‚ โœกโ˜žโœก โœ‘ โœ โœข โœโœ‚โœง โžฏ

โœฑ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โœธ โœกโ˜›โœก โˆโœฃโ‰โž™โ˜โžŽโƒโž›โœพโžŒโˆโœบโžŸโ†•โ„โœบ โฑ โž‘โ‡โ†”โž’โœบโโž”โœปโž โœ˜โžดโž™ โ โœบ โžŽโœพโžโž’โžฌโžดโœบโโ†”โ—†โž”โžดโžŽโž“โ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โœŒโžœโœ โžŒโˆโž›โœพโž”โœปโœบโฌโžŽโƒโœผโ‹โ†’โ‘ฉโ†”โ™ฃโ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โœŒโžฌโžฎโž™โˆโž›โƒโœบโžŸโž™โ‚โžœ โ โ†” ๏ฟฝ โžž โœ”โž‚โ†”โ——โžถโ—†โœบโž‚โ†’โ‘ฉโžโ——โž‘โ‡โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†” โ… โœผโ‹โ†” ๏ฟฝ โƒ โœธ Pโ™  โœŸ โœ„ โžฉ โœ› โžฏ โžžร โœฃโ‰โž™โฒโž›โœพโ†” โ โž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โœ’โ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜ž โœต โฑ โž™โœฝโ†•โƒโ†•โƒโœผโœปโž›โœพโ†” โ… โœผโœปโ†”โœฝโณโ‘ฉโžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›โœ”โžŽโœพโžŒโˆโœผโ‘ฉโžŽ โœธ P ๏ฟฝ โžŒโœฝโž”โ˜โž™โ˜โฐโž‰ รฎ โœธ โœ› โžฉ ๏ฟฝ โœ‚ โžฏ รฐ รผ โž‰ รฎ โœปโœพโœธ โžฉโœ๏ฟฝ โœ‚ โžฏ รฐ รผ โž‰ รฎ โœธ ๏ฟฝ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ รฐ โžข โž‰ รฎ โœธโ€โœป โžฉ ๏ฟฝโ‘ฉโžฏโ€โžฉ โœ‚ โžฏ รฐโœ”โž‚โ†” โ… โœผโœปโœบโž˜โ†’โ‘ฉโžโ——โž‘โ‡โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†” โ™โฏโšโœปโžž โ™ โš โฑ โžž โœฎ

Page 145: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ™ โš ๏ฟฝ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ“โœโœ•โœ”โœ–โœโœ—โœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โœฃโœ†โœŸโœ†โœฅโœคโ‘ โ‘ขโ‘กโ–ฒโœชโ‘ขโ‘ก โŠ ๏ฟฝโžˆโธรฝโบโžดโ‘ฆโœฅโœดโ‘โบ โžƒโžฃโบโžดโž‰โ‘โ‘จโœ‚โ‘ครฆโžƒโœ†โž‰โ‘โ‘จsโœฑโœปโ‘งโ‘ฉโทโ˜โ‘คโชโœดโ‘ฆโœฒโƒโทโซโžƒโœ–โœฑ โซโ˜Žโœด โซโž‹โ‘ฆโœฅโ‘ฅ โ‘จโ‘คโทโ„โธโฉโžƒ โซโฉโžƒโœ‚โœโœ‚ ร’โœฎโœทโถร—โ—†ร“โœ‡โป โบ โถ ร“โ˜žโœกรชร’โธโœท

โžนโ‘โž”โฒโžฌโžฎโž™โฌโœ˜โˆโžโ——โž”โœปโžโ—†โž›โ†โž™ โ โœบโโ†•โƒโ†”โ—†โž› โ โž™รงโžถโ—†โžŒโˆโž”โ‹โ†•โ„โžŽโƒโž›โœพโœผโ‹โžถโชโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โž“โžชโœปโž›โœพโžโ——โžถโ—†โžโ——โ†’โ‘ฉโ†”โ——โž”โžดโžŽโƒโ†”รซโ†”โ—†โž”โ‡โžถโ€โžŒโˆโž”ร”โ†•โ„โœบโžŸโ†’โ‘ฉโžโ—†โž›โ†โž™โ‚โž”โžดโžŽโฅโ†’โ‘ฉโ†”โ——โ†•โฅโžฌโžฎโž™โ‚โž›โœพโœบโžŸโž™โ‚โžœ โ โ†”โ——โ†•โถโž™ โ โžโ——โž™โ‚โžŽโƒโžŒโˆโœบโโž›โœพโ†”โ——โ†• โœ—โ‘โžฌโžฎโž™ โ โ†”โ——โœผโœปโž›โœพโ†•โ†’โœปโž™โ‚โž”ร”โ†• โ โœ– โ†”โ——โ†•โƒโžชโ‹โž™โˆโžถโ—†โ†”โž’โ†’โ‘ฉโ†” โœ”โž‹โœบ โ โžœโœ โ†”โ—†โž›โƒโžŽโฒโ†•โƒโžโ—†โžชโ‹โž™โˆโž›โœพโž™โˆโžœ โ โ†” โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โžž โœ“ โžŒโœฝโœผโœปโž›โงโžถโ€โ†”โ…โœ”รชโž™โˆโœบโฌโž›โœพโ†”โˆโณโžฃโžŒโˆโž” โžฌ โž™โžคโ†’โœปโž โœฟ โž”โœปโœบโโž› โ โž™โœขโœ”รชโž™โ‚โž‘โ‡โœบ โโโ โ†” ๏ฟฝ โžฉโ–ผโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโ„โžฏ โ†’โ‘ฉโ†”โ——โ†•โœ„โชโžชโœปโž›โœพโžŒโ‘ฉโžถโ€โ†”โžšโ†•โƒโ†•โƒโœผโ‹โ†•โ˜Žโœ„โž‹โžถ โ โ โœบโฌโž”ร”โ†’โ‘ฉโž›โƒโœบ โ… โœผโœปโ†”โ——โ†•โœ”โ†’โœปโ†” โ โž™โœ•โœ”โžซโžŒโˆโž›โœพโž‘โ‡โ†”โ‡โฐ

โœ† รผ โœ˜ โœธ โœ† โœถ โœ† โœธ โœ† P ๏ฟฝ โžง โœถ โœ† Pโž€โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโ†”โ€โžŽ โโœ—โœ– โžŒโœฝโžชร”โžโ——โž›โœพโž™โ‚โžŽโƒโ†”โ—†โœผโ‹โž›โž‹โ†’โ‘ฉโ†”โงโ†’โ‘ฉโžโ—†โž›โœพโœบโโžฌ โž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โ˜โ†’โ‘ฉโ†” โ โž™ โœ”โžซโžŒโœฝโž›โƒโž‘โ‡โ†”โ‡โฐ

โœป โœ† โžฉ โœ โžฏ รผ โœ˜ โœปโœพโœธ โœ†โœพโžฉ โœ โžฏ โ˜Ž โœถ โœ† โœธ โœ†โœŸP ๏ฟฝ โžง โœถ โœ†โœณPโž€โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโžโžˆโปโžฎร’โ‹ร‘sโปโœšโœกโœ”โœโžดร“โ˜žโœโžพร™โžฃรš โœฟ โฒ รŸโžฎรคโ‹รžโ†ร รชรญโœฝรตโ€รจโœพรŸโžฎรคโœปรžโ‡รฃโ‘ฉรคโœ รฅ โœพโ†รฌโžฎรžโ€รฅโ™ฃรŸโžฎรจโชรกโ–ผโž†โœปรŸโ‚รคโœ รŸโžฎรจโ‡๏ฟฝโž’รตโ†รฅโ›รฉโ†รŸโœš๏ฟฝ โœŽ รฒ โœ“โ—†รกโžรฅโœฝโž„ ๏ฟฝ โœ† โ—† โœซ Pโœžโœโœ โœŸ โž… รญโˆรฅ โž› โˆ โžฉ โ โžฉ โƒ โžฏโœตโ™ โœ†โ˜…โ„โžฏ โžฑโœฟโ โžญรผโž› โˆ โžฉ โ โžฏ รฅโ—†รกโนรฃโ‘ฉรครฆรฅ โœพโ†รฌ รžโ—†รฅโ‡รŸโžฎรจโชรกโ–ผโž†โœปรŸโ‚รคโœ รŸโžฎรจโ‡๏ฟฝโž’รตโ†รฅโฒรฉโ†รŸ ๏ฟฝ โœŽ รฒ โœ“โ€รกโžรฅ โž„ โœ‚ โœ†โžƒโ—† โœซ Pโœกโœโœ โœŸ โž… รญโœฝรฅ โž› โˆ โžฉ โกโ‘ฉโžฏ โ˜Žtร”ร  โ Pโœฃโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ รฅโ—†รกโนรžโชร  โœ‚ P ๏ฟฝ โžฉโ–ผโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโ„โžฏ รฌ รฒ รŸโžฎรจโ†รž รฒ โž รŸโœโœŽโœปรตโ—†รจโƒรฌโžฎรกโžรฅโ—†รฃโ‘ฉรจ โœ„ โœ‚ รฅโ€รžโ†รกโž‚รฃโ‘ฉรคtรŸโ–ฒโœŽโ‹รตโ—†รจโƒรฌโžฎรกโžรฅโ€รฃโ‘ฉรจโž“รญโœฝรฅโ˜žโ˜›โงร  รฒ โœพโ†รฅโ€รจโชรกโœซโ„โ†tรฆรฉโžโž†โœฆ๏ฟฝโ–ฒร รชรญโžฎรกโ– โ˜Žโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโœฆ โžŒโœฝโœผโ‘ฉโžŽโž‹โ†’ โœ– โž™โ‚โžœโœ โžŒโˆโž›โ†โ†’โž€โณโ‘ฉโž›โƒโ†”โ——โž‘โž’โž™โ‚โž› โ… โœผโ‹โžŒโˆโž”โ‹โ†• โ… โœผโœปโ†” โ โœ– โžŒโˆโžชโœ โžโ—†โž›โ†โž™โžฎโžŽโœพโ†”โ—†โœผโœปโž›โ–ผโฐ

โœ โ—† โž› โˆ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘ โžฏ โ˜ž โž› โˆ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘ โžฏโœผ โ˜ž โœŒ โœฒโžธ โœผ โžฉ โœพ โžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœตโ™  โœพโ†”โ——โ†•โ„โžŽโž‹โ†’โ‘ฉโ†” โœ”โž‹โœบ โ โžœโœ โ†”โ—†โž›โƒโžŽโ„โ– โœžโ‘ฉโžถ โœŸโœปโž‘โ‡โœบโžŸโ†’โžโžŽโฉโ†’โ‘ฉโ†” โž› โˆ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘ โžฏ โ†’โœปโž™โˆโž”โ‹โ†• โ โœผโ‹โœบ โ–โžณโž‘โ‡โ– โ—†โž‘โ‡โ†”โˆโžž โŠ โž”โ˜โ†”โœ†โ˜Žโœ โ†”โ—†โžŽโ——โณโœปโžŒโœฝโž”โ™ฃโžชโœ โ†”โ—†โœผโœปโžŽโฉโžโ——โžถโ—†โž›โƒโœบโโž›โƒโ†”

โœโœŽโœ โžฉโœ”โ˜…โ„โžฏ รผ โ–  โžปโžธโœ‘โœ โžต โžธโ—†โžบ โžญโžŸโžผ โžฉ โœพ โžฏ โ โžฉ โœพ โžฏ โœผ โžฉ โœพ โžฏโ™ฅโ™  โœพ โžง

โ†”โ€โžŽ โ โ†”โ–ผโž”โœปโžŒโœฅโโœฝโž™โˆโœผ โžฉโœฉโ˜…โชโžง โœพ โžฏโœ“โœ’โ˜ž โœ โžต โžธโ——โžบ โžญโžŸโžผ โžฉ โœพ โžฏ โ โžฉ โœพ โžฏ โ†”โžšโ†•โซโžŽโž‹โžถ โ โž™โˆโœบโฌโž›โœพโ†”โ—†โž‘โ‡โ†”โ—†โž”โžดโžŽโž‹โ†’โ‘ฉโ†”โ–ผโžถโ—†โž™โˆโž›โƒโž›โœพโžโฝโœบโฌโž”โžดโžŽโƒโžโœ™โœ˜โˆโž›โ†โž™โ‚โžœ โ โ†”รงโ†’โœปโž™โ‚โž”โ‹โ†• รฎ รฏ โžง โœš รฐ โˆ โƒ โ˜…โžโ โ†•โƒโœผโœ›โœšโ‡โžŽโœ”โž‘โž’โž™โ‚โœบโโž”โœฝโžŽโœพโ†”โ€โ–โž”โ‹โž™โ‚โž”โžดโžŽโž‹โ†’ โœ– โœผโ‘ฉโžŽโƒโœบ โ โœบโโ†•โƒโ†”โ—†โž› โ™โ–ฒโšโœปโžž โ™โœ†โ™โž™โฑ โžชโœ โžŒโˆโœผโœปโž›โฉโžโ——โžถโ€โž›โœพโœบโโž›โƒโ†”โ–ฒโฐโž‰ โœ”โœ• รป

โœ˜โœ– โžบ โฃ โœ  โญ โž‹ โœป โœ† โžฉโœ๏ฟฝ โœ– โ˜Ž โœ‚ โฃโ‚โžฏ โ โœป โœ† โžฉ ๏ฟฝ โœ– โ˜Ž โœ‚ โฃโžฎโžฏ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœข โœ“ โœงโœ˜โœ—โœ™โœฑ โ˜… โž‰ โœ”โœ• รป

โœ˜โœ– โžบ โฃ โœ  โญ โœช โ–  โžปโžธ โ–  โ โŠ โœšโ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โ–  โฆโžธ ๏ฟฝ โœ– โžฉ โœพ โžฏ โœ‚ โฃโœปโžฉโœ”โœชโžโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœตโ™  โœพ โโž€โ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏ โœซ โˆ โœ—โœ™

โœฑ โ˜… รปโœ˜โœ– โžบ โฃ โœ  โญ โœช โ–  โžป

โžธ โ– โœ•โ โŠ โœšโ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โ–  โฆโžธ ๏ฟฝ โœ– โžฉ โœพ โžฏ โœ‚ โฃ โžฉโœ”โœชโžโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโ™ฅโ™  โœพ โ โˆ โžฃ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžโžฏ โœซโœฑ โ˜… รป

โœ˜โฃ โœ  โญ โ–  โ โœ‚ โˆ โฃ โžฉโœ”โœชโžโžฏโœณโกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžดโžฏ รปโœ˜โœ– โœ  โญ โœช โ–  โžปโžธ โŠ โœšโ โžฉโœซโ‘โžšโžฏ โ–  โฆโžธ ๏ฟฝ โœ– โžฉ โœพ โžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœตโ™  โœพ โ โˆ โ โžฉโœซโ‘โžšโžฏโœตโ™ โฅโ‘ โœซ

โœฑ โ˜… รปโœ˜โœ– โœ  โญ โ–  โžป

โžธ โœ โˆโœšโœœโœ› โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ™ฅโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโž‹โ˜Žโžโ™ โ โž™โ‡โžถโ€โžŒโˆโž”ร”โ†•โซโžŽโ†โž™โ‚โž”โžดโžŽโƒโ†” โ˜… โžฌ โž™โˆโž›โƒโœบโโ†”โ–ผโ†’ โœ– โœผโœปโž”โœปโ†” โ โœบ โœ˜โœฝโž”โœปโ†”โ€โœ— โ โœ– โž™โ‚โœผโ‘ฉโžŽโœพโž›โƒโ†” โฑ โžžโ‡โœฃโžฃโ†”โฝโž›โœพโžโ——โ†•โƒโœผ โ โžŽโœพโž™โ‚โžŽโž‹โ†”โ——โ†•โ„โžŽโ‘ขโžโ—†โžŽโœพโž™โˆโžœ โ โœบโฎโžž โœฎ

Page 146: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฅโœ ๏ฟฝโœ•โœ โœžโœ‚โœ โœ โ˜Žโœ„โœโœ†โœŒโ˜›โœโœ„โœŸโœžโœ–โ˜žโ–โœ„โœŸโœ โœ sโœžโœก๏ฟฝsโœžโ‘กโœ†โชโœ„โœโœ sโœžโœกโœ โœ›โ˜žโ–โœ† โœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ‘ฆโ˜žqโœ”โž€โœค โ˜žโœขโœ”โœ‚โœ™sโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ”โž€โœ„โœโœžโ˜›โœ„โœฅโœ„โœโœ โœŒโœ˜qโœžโ™ฅโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ” โ™ โšโžดโฏโžโžˆโปโžฎร’โ‹ร‘sโปโœšโœกโœ”โœโžดร“โ˜žโœโžพร™โžฃรšโœŽโœธ tรฆรŸโ‚ร รขรก โœ‚ P ๏ฟฝ โžฉโฏโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโƒโžฏ โรซรฌ รฒ รŸโžฎรจโ†รž โœ‚ P โ™  โœŸ โœ„ โžฉ โœ› โžฏโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโœ” โœ– โ†”โžšโ†•โซโžŽโž˜โœผโ‹โž”โœปโ†”โนโžถโ€โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โƒโž โ… โœผโœปโ†”โ—†โž”ร”โžถโ€โ†”โ‘คโ†’โ‘ฉโœบโโž›โƒโ†”โžšโžถโชโžŽโƒโ†”โ—โ†’โœปโœผรงโžŽโœ โœŸโœปโžโ——โžŒโˆโž› โฑ โž‘โ‡โ†”โœŸโšโœปโžž โœญ โณโ—†โ†’โœปโ†” โ โž™ โ โœบโฌโž”โ‹โžโ——โž™โ‚โž›โœพโœบโฌโžŽโƒโžโ—โ†’โ‘ฉโ†” โœ› โ†”โ—†โžŽโžฃโ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โœ”โ†’โ‘ฉโž โœฟ โž”โ‹โœบ โžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โงโ†’โ‘ฉโ†” ๏ฟฝ โžฉโ–ผโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโƒโžฏ โžžโœฎโœ“ โžŒโœฝโœผโœปโž›โœ”โž‘โ‡โžŒโ‚โžŽโœพโœบโฌโžฌโœฝโ†”โ—†โž›โž‹โžถโ€โ†” โ… โœผโœปโœบโžฃโ†•โƒโœผโœปโœบโฌโžŽโ——โณโœปโžŒโœฝโž”โ™ฃโž›โ†โž™โ‚โžชโ‹โžชร”โ†” โโฌโ โ†” โ… โœผโ‹โ†”โงโ†’โœปโž™โ‚โž”โ‹โ†• โ โ†”โ–ผโžถโ—†โž™โœฝโ†• โœขโž‚โž›โœพโžŒโœฅโœคโœ”โž”โœปโœบโโ†”โ—†โž”โž˜โณโžโžŒโœฝโž”โœŒโ†•โœพโž™โ‚โœบโฌโžŽ โ… โœผโœปโ†”โ‡โฐโž‰ โœ• โœ› โžฉโœปโœบโž€โžฏ โˆ โœ— รผ โž‰ โœ• โœกโ˜žโœก โœบ โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœ— โ โž‰ รฎ โ˜… โœพ ๏ฟฝ โ˜… โœซ โžฉ โœ„ โœบโœ๏ฟฝ โœ„ โœบรฆโžฏ รฐ โ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜žโœœโ™โž™โฑโœ”โž‚โ†”โ€โžŽโƒโžŽโƒโ†”โ–ฒโž›โƒโ†” โ โž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โžขโžชโœ โ†”โ—†โž›โœพโž‘โ‡โ†”โ€โžŽโงโ†’โ‘ฉโ†”โ‡โ†’โ‘ฉโž โœฟ โž”โœปโœบโฌโž›โ–ผโœผโ‹โž”โœปโ†”โฒโž”โ‹โžŒโˆโž›โœพโž‘โ–ฒโ†”โ‡โ†•โƒโœผโœปโž› ๏ฟฝ โžฉโ–ผโž› โˆ โžฏ โ†”โ€โžŽโงโ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โ‹โžถโ–ฒโ†’ โœ– โžโ—†โžŽโƒโ†”โ——โž”โ‹โ†’โ‘ฉโž›โœพโ†” โ โ†”โž’โ†’โ‘ฉโžŒโˆโž‘โž’โž™โ‚โœบโโž”โœปโ†”โ‡โ†’โ‘ฉโ†” โ โœ– โžŒโˆโžชโœ โžโ€โ–โž›โœพโž™โ‚โžŽโƒโ†”โ——โœผโœปโž›โ——โžž โœ›โžพโž™ โ โœŸโ‹โ†”โ—†โœผโœปโž›โœพโ†”โ—†โœผโ‹โ†•โƒโ†”โ—†โž‘โ‡โ†”โ——โž”โœฝโžŽโžšโณโœŸโ™โฏโšโ‹โžž โ˜ž โ™โœฉโฑ โž” โœ– โ†”โ——โ†•โ„โžŽรงโžช โ โœผโ‹โ†•โงโžฌโžดโž›โ†โž™โ‚โœบโโ†”โ‡โ†’โœปโž™โ‚โž”โ‹โ†• โ โ†”โ›โžถโ—†โž™โœฝโ†• โœ“ โžŒโˆโœบโžŸโ†•โƒโ†•โƒโžŒโˆโž”tโ†”โ€โžŽโงโžŒโˆโž” โžฌโžโœบโโ†•โƒโ†”โ‡โž‘โž’โž™โ‚โœบโโž”โœฝโžŽโœพโ†”โ—†โž”โ‹โž™โˆโž”โžดโžŽโ€โœ—โžŽโƒโž›โœพโžŒโˆโœผโœปโžฌโœฝโ†”โ—†โž›โœ”โ†•โƒโžŒโˆโž”โœตโœŸโœปโžŒโˆโž‘โ‡โžŒ โ โžŒ โœ˜โœฝโœผโœปโ†”โˆโžžโžโžˆโปโžฎร’โ‹ร‘sโปโœšโœกโœ”โœโžดร“โ˜žโœโžคร˜โžดร“ โœถโœžโœโœ โœŸโœ‚โœทโ˜›โœกรชร“โ˜žโœกโžฆร’โœฎโœทโœดร™โžฃรšรชร› โฒ รŸโ‚รคโœปรžโชร รชรญโˆรตโ—†รจโƒรŸโ‚รคโœปรž รฒ โž รฅโ€รž โœŽโœปรฌโœฝรฉโœพรฅโœ„โœ‚ โœ“ รžโ†รฃโ‘ฉร รขรดโžฎรฌโžฎรคร”รก รœ

โœ‚ โœ“ รผ โ‰ โœ Pโœฃโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโœŽโ—† โ˜› โœโ˜› โ‘ Pโœฃโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โ——โœ‚โ€รฃโ‹รฅ รฒ โž รŸโžฎรคโœ’๏ฟฝโ–ฒรฃโ‘ฉรคโ‹ร รขรกรซรญโ‚รฃ โœŽโœ รจโƒรŸโžšรญโžฎรฃโ‘ฉร รขรกโž‚รžโ—†รฉโœพรฌ รฒ รฌโžฎร รขรจโœพรฅ รœโž‹ โœ‚tโžง โœ โ–ฒโœ†โ˜Žโœžโœ รผ โž‹ โœ‚ โžง โœ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โ โž‹ โ˜› โœ‚โ˜› โ‘ โžง โ˜› โœโ˜› โ‘ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœงโœŒ รคtรฉโ†รŸโžฎรคโœปรžโชร รชรญโโœ“โ€รจโƒรฅ ๏ฟฝโž’รฌโžฎร รขรคโ‹รกโžรฅโ—†รคโœ รฌโžฎรคร”รกโœฅโž„โœ โœŸ โœ† โ—† โœซ P โœ โœŸ โž… รฃโ‘ฉรครฆรฅ โœพโ†รฌ รžโ—†รฅโ‡รŸโžฎรจโชรกโ–ผโž†โœปรŸโ‚รคโœ รŸโ‚รจโ‡๏ฟฝโ‡รตโ†รฅโ–ฒรฉโœพรŸ ๏ฟฝ โœŽ รฒ โœ“โ—†รกโžณรฅโ‡รญโˆรฅโœกโœ‚ โœ“ โœ‚โ—†รฃโ‘ฉร โ‘ครดโžฎรตโ€รจโชร  รถรซรฅ

โœŸ โœ†โƒโžฉ โž  โžงโ–ฒโœชโžดโžฏ รผ รฏ โœ† โœชโœฝP โž โœ† โœซ Pโœกโœ โœŸ โ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜ž โ˜žโž‡โฑโœŒ รคโœ‘โœŽโœปรฅโ—†รฃโ‘ฉรก โœŽรฆรจโƒรฅโ—†รคโœ รญโžฎรจโœพรฅโ‚โ โœŽโ‹รฌโžฎรจโฒรฅโˆโ™ฃโžรฅโˆ๏ฟฝ โœŽ รฒ รฅโ‚โ โœ‚โ—†รฃโ‹รฌโžฎรครฆรญ โž  รฅโ€รžโ†รกโœ รถโ—รคร”ร  รฒ รฌ โœพโ†รฌ รžโ—†รฅโ–ฒรญโˆรฅ โž› โˆ โžฉ รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐ โžฏ โ‡โ€รŸโžฎรจโ‡๏ฟฝโž’รตโœพรฅโ‡รญโœฝรฅโชรžโœŸโ‡โ€รŸโžฎรครฆรฉโ€รกโฎร รชรŸโžฎรคโ‹รž รœโ‰ โ˜ž โ˜ž โ‘ โœซ โœผ โœฐ โ˜Žโ˜žโ˜› โœผ โ˜žโž  โœด โ—† โœผ P โœ โœŸ โ——รฅโ€รกโ‘ขรฃโ‘ฉรครฆรฅโœšโœพโ†รฌโžฎรžโ€รฅโž’รŸโ‚รจโชรกโœนโž†โ‹รŸโžฎรครฆรŸโžฎรจโ‡๏ฟฝโž’รตโœพรฅ โœ‚โ€รฃโ‹รฅ รฒ รฉโ†รŸโžฎรค โœ‚โ€รฃโ‹รฅโž’รญโœฝรฅ โž›โ‰โˆโžดโžฉ โžฃ โžฏ โ˜Ž โœŒ รค รคโœ รŸโžฎรกโžรฅโฒรกโžณรŸโ‚รฃโ‚โœˆโ—†รŸโžฎรฃโ‘ฉรจโ†รžโœ‰โž„ โœซ โœ† โ—† โœซ P โœ โœŸ โž…โžครฒ รฌโž€โœพโ†รฌ รžโ—†รฅโž’รŸโžฎรจโชรกโ–ผโž†โœปรŸ โ„รคโœ รŸโ‚รจโ‡๏ฟฝโ‡รตโ†รฅโž“รฉโ†รŸ ๏ฟฝ โœŽ รฒ โœ“โ€รกโžรฅโ‡รญโˆรฅ โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โ˜ŽโœŽโœ‘โœโœ“โœ’ โœ”โœ—โœ– โœ˜ โœš โœโœขโœœโœŸโœฃโœโœŒ โ†’ รฒ รฅโ€รžโ†รกโ‘ขรตโ€รดโžšร รชรญโˆรฅโ—†รคโ‹รก โœ‚โ—†รฃโ‹รฅโœŽโœ‚ โœ“ โ˜›โžƒโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โ˜ŽโœŒ รคโœŒรญโœฝรตรชรถโนรคโ‹ร รขรกโ‘๏ฟฝโž’รฌโžฎร รขรคโ‹รกโžรฅโ—†รคโœ รฌโžฎรคร”รก รฒ โž รฅโชรž โœŽโ‹รฌโˆรฉโ†รฅ ๏ฟฝ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ รฌโ‚รด รฅโ†รฉโ–ผรญโœฝรฅโชรžโฝรคโœ รŸโžฎรกโžรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรคโ‹รžโฝรตโ—†รดโ——ร รชรญโœฝรฅโ€รคร”รกโžณรฅโ€รžรงรฅโ—†รก รฒ โž รŸโžฎรคโžขรฉโ†รŸโžฎรคโ‹รžโชร รชรญโœ†โœ“โ—†รจโƒรฅ รฒ โž รŸโœโœŽโœปรตโ—†รจโƒรฌโžฎรกโžรฅโ—†รฃโ‘ฉรจโœ รžโชรฃโ‘ฉร รขรด รฌโ‚รคโ‹รก รœ

โœ โ—† โœ‘โœ”โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ โ˜ž โœ โˆโœ โžฉโžฆโžฅ โž รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœ–โžโœดโ˜… โžงโˆโ™ โˆโžฝ โ˜Žโœปโžฃ โžฏโœ‚ โ˜ž โœŽ รปโœ† โœ  โญ โž‹ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜Ž โœ โœ โžฉ โœŸ โœ†โฎโžฏ

รฌโžฎรดโžฎรฅโ†รฉ โœ โžฉ โœŸ โœ† โžฏ รผ โœ„ โžฉ โœ› โžฉ โœŸโœโœ† โžฏโ„โžฏ โ˜Žโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโžนโ‘โž”โœฆโžฌโžฎโž™tโž‘โ–ฒโžŒโœฝโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†”โ—†โž› โ โœ– โ†”โ€โžทโ‘ฉโœบโžŸโ†•โซโžŽโœพโ†”โ—†โž”โ‹โžถโ—†โ†”โ˜โ†’โ‘ฉโ†” โโœ—โœ– โž™โˆโžชโœปโžช โ โœบโโžถโ——โž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž” โœ โžž โœ“ โžŒโˆโœผโ‹โž›โ‡โžถโ—†โ†” โœ”รชโž™โˆโœบโฌโž›โœพโ†”โˆโณโฅโžŒโœฝโž”โž†โ†’โ‘ฉโžŒโœฝโœบ โžŽโ‡โž‘โ‡โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†”โ—†โž› โ… โœผโœปโ†”โˆโณโ‘คโžชโœ โžŒโˆโœผโ‹โž›โฒโžŽโœพโžŒโˆโœผโ‘ฉโžŽโœ P ๏ฟฝ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ โณ โž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โœ„ โžฉ โœ› โžฉ โœ โžฏ โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โœ‚ โž‹ โžโœžโžโžŒโˆโœบโฌโžŽโœ˜โœ P โœ‚ โœ“ โณโœปโžŒโœฝโž”โ˜โž™โ˜โฐ

โœกโ˜›โœก โœ„ โžฉ โœ› โžฉ โœ โžฏโƒโžฏ โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœข โœ“ โœง รผรปโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‹ โœ„ โžฉ โœ› โžฉ โœ โžฏโ€โžง โœซ โœ† โ–ฒ โˆโœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง

รผรปโœ˜ โœ† โœ  โญ โœป โžฉ โœ› โžฉ โœ โžฏโ„โžฏโ€โžฉ โœซ โœ† โžฏ โˆ

Page 147: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ™ โšโœŽโ… ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ“โœโœ•โœ”โœ–โœโœ—โœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โœฃโœ†โœŸโœ†โœฅโœคโœ”โž‚โžŒโˆโž‘โ‡โž‘โ‡โ†” โœ› โžฉ โœ โžฏ โ†”โ——โ†•โ„โžŽโฉโžถ โ โ โœบโโž”โ‹โ†’โ‘ฉโž›โœพโœบ โ… โœผโ‹โ†”โˆโณโ‘ฉโžŒโˆโž”โ˜โžชโœ โ†”โ—†โœผโ‘ฉโžŽโž‹โžโžšโžถโ€โž›โœพโœบโฌโž›โœพโ†”โ‡โฐโž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โœ„ โžฉ โœ› โžฉ โœ โžฏโ„โžฏ โœกโ˜žโœก โˆโœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœงโœ„โœ‚ โœฑ

รปโœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โž‰ โœ”โœ• โœช โ–  โžป

โžธ โ– โœ‘โ โ˜› โœโ˜› โ‘ โžฉโœซโ‘โˆโžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โœšโ โžฉโœซโ‘โžšโžฏ โ–  โฆโžธ โœซ โœ†โ„โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโ™ฅโ™  โœพ โ—โฉโžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏ โœซ โˆ โœ—โœ™โœฑ

รปโœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โ–  โžป

โžธ โ–  โ โŠ โ˜› โœโ˜› โ‘ โžฉโ–ฒโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏ โœšโ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โ–  โฆโžธ โœซ โœ†โƒโžฉ โœพ โžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœตโ™  โœพ โ โˆ โžฃ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏโœฑ โ–  โžป

โžธ โ–  โ โœช โ˜› โœโ˜› โ‘ โˆ โžฉโœซโ‘โˆโžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โœšโ โžฉโœซโ‘โžšโžฏ โˆ รปโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‹ โœซ โœ†โƒโžง โœง โžต โžธโ——โžบ โžปโœปโžผ โ–ฒ โˆโœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœซ โžฃ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ

โœฑ โœšโœ„ โˆ โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โ˜› โœโ˜› โ‘ โˆ โžฉโ–ฒโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏ โœกโ˜›โœก โœง โžต โžธโ—†โžบ โžปโ‹โžผ โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โžฃ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โˆโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ

โœฑ โœšโœ„ โˆ โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โ˜› โœโ˜› โ‘ โˆ โžฉโ–ฒโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏ โžฃ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžโžฏ

โœฑ โœšโœ„ โˆ โœกโ˜›โœก โ˜› โœโ˜› โ‘ โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœข โœ“ โœงโœ“ โž™โ‚โž›โž‹โžถโ€โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โƒโž โ… โœผโœปโ†”โ—†โž”โžดโžŽโžšโณโžดโžŒโœฝโž”โžคโž™โ™ฃโฐโœกโ˜›โœก โœ› โžฉ โœ โžฏ โœกโ˜žโœก โˆ โžบ โญ รผ โž‰ โœ• โœ› โžฉ โœ โžฏ โˆ โœ— โ โž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜žโœก โœ„ โžฉ โœ› โžฉ โœ โžฏโƒโžฏ โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ‚

โœฑ โœกโ˜›โœก โœ โœกโ˜žโœก โˆโœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โ โœšโœ„ โˆ โœกโ˜›โœก โ˜› โœโ˜› โ‘ โœกโ˜žโœก โˆโœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœงโœฑ โœฐ โœšโœ๏ฟฝ โœšโœ„ โˆ โœด โœกโ˜žโœก โœ โœกโ˜›โœก โˆโ˜Ž โœ

โ™ โ†”โ–ฒโžถโ€โ†” โœ”รชโž™โ‚โœบโฌโžŽโ——โณรฆโžŒโˆโž”โžขโž™ โœ› โ—† โœ‚ โœ“ โ˜ž โ˜Ž โˆ โžบ โญ โ†”โ——โ†•โ„โžŽรงโžถโ—†โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโœบโโž”โžโœผโœปโ†”โงโ†”โ€โžŽ โœ„ โ—† โ˜Ž โˆ โžบ โญ โ˜ž โœ โˆ โžฉโžฆโžฅ โž รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœ›โž โ˜… โžงโˆโ™ โˆโžฝ โ˜Žโ€โžฃ โžฏ โ†”โžšโ†•โซโžŽโžถโ€โžŒโœฝโž”โœฝโžŽโœพโœบโฌโž”โžโœผโœปโ†”รงโžชโ‹โž™โˆโž›โœ”โžถโ€โžŒโˆโž”ร”โ†•โซโžŽโœพโž›โƒโœผโ‹โžถโ€โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โœŒโ†’โ‘ฉโžŒโˆโž”ร”โžถ โโœ—โœ– โž™โ‚โžชโœปโžช โ โœบโžŸโžถโ—†โž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”

โœ„ ๏ฟฝ โœ› โ—† โœ‚ โœ“ โ˜ž โœ โˆ โžฉโžฆโžฅ โž รฎ รฏ โžง โž โœ”รฐโœ–โžโœดโ˜… โžงโ˜โ™ โœฝโžฝ โ˜Žโœปโžฃ โžฏโ†”โ——โ†•โ„โžŽ โ โœบโโž”โœปโžโ——โž™โˆโœบโฌโž›โœพโ†”รงโ†”โ€โžŽโฉโžถโ—†โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโœบโโž”โžโœผโœปโ†”โˆโžž โœ“ โž™โ‚โž›โž‹โžถโ—†โžŒโˆโž”โ‹โ†•โƒโž โ… โœผโœปโ†”โ——โž”โžดโžŽโ——โณโžโœบ โ โ†”โ€โžทโ‘ฉโœบโโ†•โ„โžŽโƒโ†”โ–ผโœผโ‹โž”โœปโ†”โ–ผโžถโ€โžŒโˆโž”ร”โ†•โซโžŽโ†โž™โ‚โž”โžดโžŽโƒโ†” ๏ฟฝโžกโžŽโƒโ†” โโโ โ†” โ… โœผโ‹โ†”โ–ฒโฐโž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โœ„ โžฉ โœ› โžฉ โœ โžฏโ„โžฏ โœกโ˜žโœก โˆโœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ‚ โœฑ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โœ โœกโ˜›โœก โˆโ˜ŽโœŽโœ โ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜ž โš โฑโ†”โ€โžŽโœ”โ†”โ—†โž”โœŒโžชโ‹โž™โˆโž›โ„โžŽโœพโœบโโžถโ—†โœผ โ โœบโฌโ†”โ——โž›โœ”โžŒโˆโž”โœŒโž™โฒโžชโœ โžŒโˆโœผโ‹โž›โ‘ขโžŽโƒโžŒโˆโœผโœปโžŽ โœซ P โœ โœŸ

โž‰โœ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โœ„ โžฉ โœ› โžฉ โœŸ โœ† โžฏโƒโžฏ โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœงโœ„โœ‚ โœฑ ๏ฟฝ โ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜žโœฅ๏ฟฝโœ‘โฑโžนโ‘โž”โ™ฃโžชโ‹โž›โƒโ†”โ——โž”โ‹โ†’โ›โž‘โž’โž™โ‚โœบโโž”โžดโžŽโƒโ†”โ——โž”โ‹โž™โ‚โž”โžดโžŽ โœ‚ P ๏ฟฝ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ โ†’โ‘ฉโ†” โ โž™ โœ”โžซโžŒโœฝโž›โƒโž‘โ‡โ†” โœ‚ รผ โœธโœฒโœโœŒโž™ โžฌโœฝโ†”โ——โžถโœผโœธ P ๏ฟฝ โ™รชโ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โ‹โžถโฝโžœร”โžŒโœฝโž›โƒโž”โœปโžโ——โ†” โฑ โ†”โ€โžŽโœ˜โœ P โœ‚ โœ“ โžžร”โžนโ‘โž”โž™โ‡โž™ โ โžŒโˆโž›โ†โ†•โ‘โฐ

โž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜žโœก โœ โžฉ โœ‚ โžฏ โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœข โœ“ โœงโœ„โœ‚ รผ โž‰ โœช โœกโ˜žโœก รปโœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โž‹ โœ‚ โžง โœŸโœโœ† โ–ฒ โ˜Žโœžโœ โœ โžฉ โœŸ โœ† โžฏ โœกโ˜›โœก โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœซโˆ

โœฑ โœกโ˜›โœก โœธ โœกโ˜›โœก โˆ รป รปโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‹ โœ โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โˆโ˜Ž โœ โž‰ โœ• โœกโ˜›โœก โœ โžฉ โœŸ โœ† โžฏ โœกโ˜žโœก โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ— โˆ

โœฑ ๏ฟฝ โœกโ˜žโœก โœธ โœกโ˜›โœก โˆ รป รปโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‹ โœ โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โˆโ˜Ž โœ

โœฑ ๏ฟฝ โœกโ˜žโœก โœธ โœกโ˜›โœก โˆ รป โœกโ˜›โœก โœ โœกโ˜žโœก โˆโ˜Ž โœ โž‹ โžโœ”โž‚โ†” โ… โœผโ‹โœบโžฃโ†’โ‘ฉโžโ—†โž‘โ‡โžŒโœฝโž”โœฝโžŽโœพโž›โƒโ†” โ โ†”รงโž›โƒโžโžšโ†•โ„โœผ โ โžŽโœพโž™โ‚โžŽโ——โžž

Page 148: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฅโœ ๏ฟฝโœ•โœ โœžโœ‚โœ โœ โ˜Žโœ„โœโœ†โœŒโ˜›โœโœ„โœŸโœžโœ–โ˜žโ–โœ„โœŸโœ โœ sโœžโœก๏ฟฝsโœžโ‘กโœ†โชโœ„โœโœ sโœžโœกโœ โœ›โ˜žโ–โœ† โœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ‘ฆโ˜žqโœ”โž€โœค โ˜žโœขโœ”โœ‚โœ™sโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ”โž€โœ„โœโœžโ˜›โœ„โœฅโœ„โœโœ โœŒโœ˜qโœžโ™ฅโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ” โ™ โš โ˜…โœฎโ–ผโ˜›ร˜โœ‘โทโžโนโœ—โปโœซโ—†โชโบโถร˜โžคร™โž˜รšโœŽโœฟ โœ’ รฌโžฎรคโ‹รž รฒ รฅโงรฉโ†รฌโžฎรžโœ๏ฟฝโœ”รจโœพรŸโœ„โœ‚โ‘ครคโ‹ร รชรฅโ—†รคโœ•โโนรฉโ†รฅโ—†รกโนรŸโ–ฒโœŽโ‹รตโ€รจโƒรฌโ‚รกโžณรฅโ—†รฃโ‘ฉรจโฝรคโž‘โž รฅโ€รžโชรกโ—รฌโžฎรฃโ‘ฉรกโฎรจโƒรฅโœโœ‚โ€รฃโ‹รฅ รฒ โž ร รชรญโˆรฅโ—†รคโ‹รกโฎร รขรกโžณรตโœคโ˜Žโž‘โ†’โ—†รฉโ—†ร โ‘ครฉโ†รฅโฝรคโชโž รฅโ€รžโ†รก โœŽ รฒ รฃโžรž

รดโ——รจโœพรฌโžฎร โนรฉโ†รฅโœฝโœŽโ‹รฅโ—†รคโœ รญโˆรฌโ‚รคโ‹รกโ–ฒโรซรฅโ—†รค ๏ฟฝโ‡รŸ โž’โˆรฅโ€รคร”รคโœ รฅโ–ฒรŸโžฎรค รฌโ˜›รฅโ—†รคโœ รฉโ†รŸโžฎรจโƒรฅโ–ฒรฉโ†รฅโ€รกโฎรกโžรฅ โœŽโœ รจโœพรŸโ–ฒโœŽโœ รจโชร รชรตโ—†รกโžรต รœโžโžˆโปโžฎร’โ‹ร‘sโปโœšโœกโœ”โœโžดร“โ˜žโœโžพร™โžฃรš โœฝ โœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœ P โœ‚ โœ“ โโž‚รŸโ‚รค รฌ โž‰ รฎ โœ โžฉ โœ โžฏ รฐ รผ โœ โ˜Žโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโŠ โž”โœŒโžฌโˆโ†”โ——โž›โ„โžŽโœพโœผโ˜โ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โ‡โ†’โ‘ฉโžโ—†โž‘โ‡โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โซโžŽโœพโž›โœพโž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โ™ฃโžชโœปโž›โƒโžโžšโžถโ€โžโžšโ†’โ‘ฉโ†”โ—†โž”โžดโžŽโƒโ†”โœฝโณโ‘ฉโžŒโˆโž”โ˜โžชร”โ†”โ——โœผโ‘ฉโžŽโฉโžโžšโžถโ€โž›โœพโœบโฌโž›โœพโ†”โฒโฐ

โœ โžฉ โœŸ โœ† โžฏ รผรปโœ˜โœ– โœ  โญ โž‹ โœ โžฉ โœŸโœโœ† โžฏโชโžง โœซ โœ– โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœซ โœ–

โž‰ รฎ โœ โžฉ โœŸ โœ†โžฆโžฏ รฐ รผรปโœ˜โœ– โœ  โญ โž‰ โœ• โž‹ โœ โžฉ โœŸ โœ†โฎโžฏโชโžง โœซ โœ– โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ— โœซ โœ–

รผรปโœ˜โœ– โœ  โญ โžข โ–  โžป

โžธ โ– โœ—โ โ˜› โœŸโœโœ†โ˜› โ‘ โžฉโ–ฒโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏ โœšโ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โ–  โฆโžธ โœซ โœ– โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœตโ™  โœพโงโžฃ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžโžฏ โœซ โœ–รผ

รปโœ˜โœ– โœ  โญ โžข โ–  โžป

โžธ โ– โœ—โโงโ–  โžปโžธ

โ˜› โœŸ โœ†โ˜› โ‘ โžฉโ–ฒโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏ โœซ โœ– โžฉ โœพ โžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โœง โžต โžธโ—†โžบ โฆโฎโžผ โžฉ โœพ โžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœตโ™  โœพ โ™ โœ‘โ‘ โกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžโžฏ โœซ โœ–รผ

รปโœ˜โœ– โœ  โญ โžข โ–  โžป

โžธ โ– โœ—โ โœซ โœ– โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏ โœช โ–  โžปโžธ

โ˜› โœŸ โœ†โ˜› โ‘ โžฉโ–ฒโ‘โœฝโžงโœ„โœชโžโžฏ โœง โžต โ˜Žโƒโžบ โžปโ‹โžผ โžฉโœซโ‘โžšโžฏโœ•โ™ โฅโ‘ โœซ โ โžฉ โœพ โžฏโ™ฅโ™  โœพ โกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžดโžฏ โœซ โœ–รผ

รปโœ˜โœ– โœ  โญ โžข โ–  โžป

โžธ โ–  โ โœซ โœ– โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏโ€โžฉ โœŸ โœ†โƒโžฉ โž  โžงโœ„โœชโžโžฏ โžข โœŸ โœ†โœพโžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏโ„โžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโœตโ™  โœพ โกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžโžฏ โœซ โœ–โœ† โžฌโœฝโ†”โ——โžถ โ โž™โ–ฒโžถโ—†โžŒโˆโž”โ‹โ†’โœปโœบ โžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โœ’โ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜ž โ˜žโœฟโฑ โžŒโœฝโž”โ˜โž™โ‡โ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โ‹โžถโ‡โฐ

โž‰ รฎ โœ โžฉ โœŸ โœ† โžฏ รฐ รผรปโœ˜โœ– โœ  โญ โ– 

โžปโžธ โ– โœ•โ โœซ โœ– โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏ โœŸ โœ† โžฉ โœพ โžงโœ„โœชโžโžฏ โ โžฉ โœพ โžฏโ™ฅโ™  โœพ โกรฆโžฉโ–ฒโ™ โโœชโžโžฏ โœซ โœ–

รผรปโœ˜โœ– โœ  โญ โž‹ โœซ โœ– โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โœซ โœ–

รผ โœŸ โœ†โœ โœบโฌโž”โ‹โž™ โ โ†”โ——โž‘โ‡โ†”โ—†โž”โžดโžŽโ——โณโ‘ฉโžŒโœฝโž”โœŒโž™โ‹โณโ‘ฉโžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›โœ˜โœ P ๏ฟฝ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ โฐ

โœ โžฉ โœ โžฏ รผรปโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‹ โœ โžง โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜ŽโœŽโœ โœ โžฉ โœŸ โœ†โฎโžฏ

โž‰ รฎ โœ โžฉ โœ โžฏ รฐ รผรปโœ˜โœ– โœ  โญ โž‹ โœ โžง โœŸโœโœ† โ–ฒ โ˜ŽโœŽโœ โž‰ รฎ โœ โžฉ โœŸ โœ† โžฏ รฐ

รผรปโœ˜โœ– โœ  โญ โž‹ โœ โžง โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜ŽโœŽโœ โœŸ โœ†

รผ โœโœ”โž‚โ†” โ… โœผโ‹โœบโžฃโ†’โ‘ฉโžโ—†โž‘โ‡โžŒโœฝโž”โœฝโžŽโœพโž›โƒโ†” โ โž™โ–ฒโžชโœปโž›โƒโžŒโœฝโžชโœปโž›โœพโœบโฌโžโ—†โžŽโƒโžโˆโžž โœฎ

Page 149: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ™ โš โœญ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ“โœโœ•โœ”โœ–โœโœ—โœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โœฃโœ†โœŸโœ†โœฅโœคP โžŒโˆโœผร”โ†•โœ”โž™ โžฌโˆโžŒโˆโž”ร”โ†•รซโž™ โ โžŒโœฝโž›โœพโ†• โ โ†”โ–ผโž›โƒโžโžšโ†•โ„โœผ โ โžŽโ†โž™โžฎโžŽโž‹โ†•โ„โœผโ‹โœบโฌโžฌโžฎโž™โ‚โž”โžดโžŽโ–ผโฐโœฏ ร• โœโžดร’โœฎโปโžฎร–โœ‘โท ร˜โžคร™โž˜รšโžŸร™ รโžƒโœบ รŸโžฎรฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรก ๏ฟฝ P โ˜Ž โˆ โžบ โญ รฅโ€รกโž‚รกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœ‚ P ๏ฟฝ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ รŸโžฎรค รฌ รœ

โœ› โžฉโœ๏ฟฝ โœ‚ โžฏ รผ ๏ฟฝ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ โžข โž‹ โœ„ ๏ฟฝtโžง โœ‚ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜ž โฏ โฑรโœปโœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœ‚ P ๏ฟฝ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ รŸโžฎรค รฌ รœ

โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ รผรปโœ˜ โœ† โœ  โญ โœ• โž‹โ˜Žโœ‚ โžง โœŸโœโœ† โ–ฒ โ˜Ž โœ โœ› โžฉ โœŸ โœ† โžฏ โžข โž‹ โž‹ โœ„ โœฒ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โ˜Ž โœ โžง โœŸ โœ† โžฉ โƒ โžฏ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ— โ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜ž โ… โฑ

โƒ รญโˆรตโ€รžโชร โดโ…โ‚รครฆรฅ รฒ รฌโž’รดโžฎรฌโžฎรจโชร รชรฌโœฟโœพ รฒ รฅโฒรžโชรฃโ‘ฉรจ รฒ รฌโœ†โœ‚โ—†รฃโ‹รฅ รฒรขรฒ รฅโ‡รฌโœกโ…โˆร รขรก รฒ รฅ โœŽโœ รจโœพรŸโ——รญโ‚รฃโ‘ฉร รขรกโž‚รžโ—†รฉโ†รฌ รฒ รฌโžฎร รขรจโƒรฅโœคโ˜Žรโœปโœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœ‚ P ๏ฟฝ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ รŸโžฎรค รฌ รœ

โœ„ โœŸ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ รผรปโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‹ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜Ž โœ โœ„ โœŸ โžฉ โœ› โžฉ โœŸ โœ†โžณโžฏโ„โžฏโœ†โ โœ› โžฉ โœ„ โœŸ โœ‚ โžฏโŠโžครญโœฝรตโชรžโชร โดโ…โˆรคโœ รฅ รฒ รฌโ›รด รฌโ‚รจโชร รชรฌโœฟโœพ รฒ รฅโ–ฒรจโƒรฅโ€รžโ†รกโžรฌโžฎรคร”รก รฒ ร โฏโœพโ—†รจโƒรฅโœคโ˜Ž

รโœปโœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœ‚ P ๏ฟฝ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ รŸโžฎรค รฌ รœโž‰ โœ• โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ โˆ โœ— รผ โž‰ โœ• โž‹โ˜Žโœ‚ โ โœ โœ‚ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœข โœ“ โœง โœ— โ โž‰ รฎ โ˜… โœพ ๏ฟฝ โ˜… โœซ โžฉ โœ„ โœ‚ ๏ฟฝ โœ„ โœ‚ โžฏ รฐ โ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜ž โ˜… โฑ

โœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœ

ร โœ›โžคโ– โ——โž‘โ‡โ†”โงโ†’โ‘ฉโžโ—†โž‘โ‡โžŒโˆโž”ร”โ†•โซโžŽโœพโž›โœพโž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž” โ… โœผโœปโ†”โ–ผโžชโœ โžŒโˆโœผโ‹โž› โ โ†”รงโžŽโ–ฒโœŸโœปโžโ—†โžŒโœฝโž› โฑ โž‘โ–ฒโ†” โšโ‹โžž โœญ โžžร โžนโ‘โž”โžคโž™โ–ฒโžชโ‹โž™โ‚โž›โž‹โ†’โœปโž โœฟ โž”โœปโœบโฌโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž” โฐ

โœ‚ รผรปโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‹โ˜Žโœ‚ โ โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜Ž โœ โœŸ โœ†

โœ“ โž™โ‚โž›โž‹โžถโ—†โžŒโˆโž”โ‹โ†•โƒโž โ… โœผโœปโ†”โ——โž”โžดโžŽโ——โณโ‘ฉโžชโ‹โž™โˆโž› โ โœบโโž”โœปโžโ——โž™โˆโž›โƒโœบโฌโžŽโƒโžรงโ†”โ—†โžŽโœ”โžถโ—†โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโœบโโž”โžโœผโœปโœบโฌโžŽโƒโžโงโ†’โ‘ฉโ†” โœ› โžŒโˆโž”โœŒโž™โœŒโฐ

โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ รผรปโœ˜ โœ† โœ  โญ โœ› โžฉ โž‹ โœ‚ โ โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜Žโœžโœ โœŸ โœ†โžฆโžฏ

โžนโ‘โž”โžคโž™โ‚โžชโ‹โžช โ โœบ โ… โœผโœปโ†”รงโž‘โž’โž™โ‚โœบโโž”โœฝโžŽโœพโ†”โ—†โž”โ‹โž™โˆโž”โžดโžŽ โ โž™โ–ฒโžชโœปโž›โœพโžŒโˆโžชโœปโž›โœพโœบโฌโžโ—†โžŽโƒโž โ™โœกโœ  โž™ โžฌโˆโ†”โžšโžถ ๏ฟฝ รผ โž‹โ˜Žโœ‚ โ โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜Ž โœ โ†”โ€โžŽ โโœ—โœ– โžŒโˆโž”โœŒโžŒโˆโžœโ‘ฉโžŽโœพโœบโฌโ†”โ——โž”โžดโžŽรงโฐ

โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ รผรปโœ˜ โœ† โœ  โญ โœ• โž‹ โœ‚ โ โœŸโœโœ† โ–ฒ โ˜ŽโœŽโœ โœ› โžฉ โœŸ โœ† โžฏ โžข โž‹ โœ„ โœฒ โžฉ โž‹ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โ˜Žโœžโœ โžฏโฝโžง โœŸ โœ† โžฉ โƒ โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ—

โœ›โžพโž™โˆโœบโโ†•โฝโžถโ€โžŒโœฝโž‘โ‡โž‘โ–ฒโ†” โœŸโœโœ† โ†”โ——โ†•โ„โžŽโฝโ†’โœปโžโ€โžŽโƒโ†”โ——โž›โƒโž‘โ‡โœบโโž”โœปโœบโžŸโ†•โซโžŽโœพโ†”โˆโณโœ โžŒโˆโž”โžคโžชโœ โ†”โ—†โœผโ‘ฉโžŽรงโœบโฌโž”โžดโžŽโœพโ†”โ—†โž›โœพโžฌโˆโ†”โ—†โž›โƒโžŽโƒโœบโโž› โ โ†”โž“โžชโœปโž›โœพโžŒโ‘ฉโ†’โ‘ฉโœผโœปโœบโฌโžŽโฝโ†•โœพโžถโ—†โž™ โ โž™โˆโœบโฌโž›โœพโ†”โ–ผโ†”โ€โžŽ โ โ†” โœ˜โˆโž›โ†โž™โˆโ†’โ‘ฉโœบโโ†”โ—†โž”โžดโžŽโž‹โžŒโœฝโž”โž™โ˜โฐ โž‹ โœ„ โœฒ โžฉ โž‹ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โ˜Žโœžโœ โžฏโฝโžง โœŸ โœ† โžฉ โƒ โžฏ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง รผ โž‹ โž‹ โœ„ โœฒ โœ‚ โžง โœŸโœโœ† โ–ฒ โ˜Žโœžโœ โžง โœŸ โœ† โžฉ โƒ โžฏ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœข โœ“ โœงโœ”โž‚โ†” โ… โœผโœปโœบโž˜โ†’โ‘ฉโžโ——โž‘โ‡โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†” โ โ†”โ–ผโž›โœพโžโ——โ†•โƒโœผ โ โžŽโœพโž™โžฎโžŽโžšโžž

ร โžนโ‘โž”โžคโ†•โœพโž™โ‚โœบโฌโžŽ โ… โœผโœปโ†”โ‡โฐ

โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ รผรปโœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โœ• โž‹ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โ˜Ž โœ โœ› โžฉ โœŸ โœ† โžฏ โžข โž‹ โž‹ โœ„ โœฒ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โ˜Ž โœ โžง โœŸ โœ† โžฉ โƒ โžฏ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœข โœ“ โœง โœ— โ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜žโœฌโœญโฅโฑ

โ†”โ—†โžŽโฉโ†’โ‘ฉโžŒโˆโž”โ‹โžถ โ… โœผโœปโ†”โž’โฐ

โœ› โžฉ โœ„ โœŸ โœ‚ โžฏ รผรปโœ˜ โœ† โœ  โญ โœ• โž‹ โœ„ โœŸ โœ‚ โžง โœŸโœโœ† โ–ฒ โ˜Žโœžโœ โœ› โžฉ โœŸโœโœ† โžฏ โžข โž‹ โž‹ โœ„ โœฒ โžฉ โœ„ โœŸ โœ‚ โžฏโ€โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โ˜ŽโœŽโœ โžง โœŸ โœ† โžฉ โƒ โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ— โ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜ž โš โฑ

Page 150: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฅโœ ๏ฟฝโœ•โœ โœžโœ‚โœ โœ โ˜Žโœ„โœโœ†โœŒโ˜›โœโœ„โœŸโœžโœ–โ˜žโ–โœ„โœŸโœ โœ sโœžโœก๏ฟฝsโœžโ‘กโœ†โชโœ„โœโœ sโœžโœกโœ โœ›โ˜žโ–โœ† โœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ‘ฆโ˜žqโœ”โž€โœค โ˜žโœขโœ”โœ‚โœ™sโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ”โž€โœ„โœโœžโ˜›โœ„โœฅโœ„โœโœ โœŒโœ˜qโœžโ™ฅโ˜›โœŒโ˜žโœขโœ” โ™ โšโž‡โšโŠ โž”โฒโ†’โ‘ฉโžโ—†โž›โœพโœบโฌโžฌโžฎโž™โˆโž”โœฝโžŽqโ™โฏโšโœปโžž โ˜žโœฌโœญโฅโฑ โ†”โ€โžŽโžฃโ†”โ——โž”โงโœผโ‘ฉโžŽโœพโœบ โ โœบโโ†•โœพโž™โ‚โž”โžดโžŽ โ โ†”โ——โ†•โžฃโžชโœปโž›โœพโžŒโˆโžชโœปโž›โœพโœบโฌโžโ—†โžŽโƒโžโžšโ†•โž˜โ†’โ‘ฉโ†”โนโžถโ—†โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโœบโโž”โžโœผโœปโœบ โžŽโœพโžโ—โ†”โ€โžŽโถโ†’โ‘ฉโ†”โนโ†’โ‘ฉโžโ——โž›โƒโœบโโžฌโžฎโž™โžฎโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โงโ†’โœปโ†” โ โœ– โžŒโˆโžชโœ โžโ—†โž›โ†โž™โžฎโžŽโœพโ†”โ—†โœผโœปโž›โœ„ โณโœปโžŒโœฝโž”โ™ฃโžŒโœฝโžœโ‘ฉโžŽโƒโœบโโ†”โ—†โž”โžดโžŽโงโฐ

โœ„ โœŸ โžฉ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏโ„โžฏรผ

รปโœ˜ โœ† โœ  โญ รฎ โž‹ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โ˜Žโœžโœ โœ„ โœŸ โžฉ โœ› โžฉ โœŸ โœ† โžฏโ„โžฏโ‚โ โœ„ โœŸ โžฉ โž‹ โœ‚ โžง โœŸโœโœ† โ–ฒ โ˜Žโœžโœ โžฏ โœ› โžฉ โœŸ โœ† โžฏโžข โœ„ โœŸ โž‹ โž‹ โœ„ โœฒ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜Ž โœ โžง โœŸ โœ†โœพโžฉ โƒ โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœง รฐ

โ™โ–ฒโšโœปโžž โšโƒโœต โฑโžนโ‘โž”โ›โœบโโž”โžดโžŽโƒโ†”โ——โž›โƒโžฌโœฝโ†”โ—†โž›โƒโžŽโƒโœบโฌโžŽ โ โœ– โžŒโˆโžชโœ โžโ—†โž›โ†โž™โžฎโžŽโœพโ†”โ—†โœผโœปโž› โœ„ โ†”โ—†โžŽ โ โ†”โฉโžชโœปโž›โœพโžŒโ‘ฉโ†’โ‘ฉโœผโœปโœบโฌโžŽโž‚โ†•โœพโžถโ—†โž™ โ โž™โ‚โœบโโž›โœพโ†”โˆโณ โœŸ โœ† โžโ—†โžŽโœพโž™โˆโž”โœฝโžŽโ‘ขโ†’โ‘ฉโžโ€โžŽโœพโ†”โ—†โž›โœพโž‘โ‡โœบโฌโž”โœปโœบโžŸโ†•โ„โžŽโƒโ†”โฉโžŒโœฝโž”โž’โžŒโˆโžœโ‘ฉโžŽโœพโœบโฌโ†”โ——โž”โžดโžŽรซโž™ โ โžŒโˆโž›โ†โ†•โœ”โฐ

โœ„ โœŸ โžฉ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏโƒโžฏ รผรปโœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โž‹โ˜Žโœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜Žโœžโœ โœ„ โœŸ โžฉ โœ› โžฉ โœŸ โœ†โžณโžฏโ„โžฏโ

รปโœ˜ โœ† โœ  โญ โœ• โž‹ โœ„ โœŸ โžฉ โœ‚ โžฏโ€โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โ˜ŽโœŽโœ โœ› โžฉ โœŸ โœ† โžฏ โžข โž‹ โž‹ โœ„ โœŸ โžฉ โœ„ โœฒ โœ‚ โžฏโชโžง โœŸ โœ† โ–ฒ โ˜Žโœžโœ โžง โœŸ โœ† โžฉ โƒ โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ—

โžนโ‘โž”โžพโž›โœพโ†”โ——โžถโ—†โžŒโˆโž”โœปโž”ร”โž™โœ๏ฟฝโžŸโžŽโฉโžชโ‹โž™โ‚โž› โ โ†”โ–ฒโ†’โ‘ฉโ†”โ—†โœผโœปโžทโžโœบ โฑ โž‘โ‡โ†”โž“โžŽโƒโ†”โ—†โž›โœพโž‘โ‡โ†” โ โ†”โฒโ†’โ‘ฉโžโ——โžœโœปโœผโ‘ฉโžŽโ–ผโ†’โ‘ฉโœผโžขโ†’โ‘ฉโžโ——โžฌโˆโ†” โ โžŒโœฝโžชโœปโžชร”โ†”โ——โž‘โ‡โ†”โ—†โž”โžดโžŽโœšโ™โ–ฒโšโœปโžž โ˜ž โš โฑ โžž โ˜…โžโ โ†•โƒโœผโœ›โœšโ‡โžŽโฝโ†’โ‘ฉโ†”โ–ฒโ†’โ‘ฉโžŒโˆโž”โ‹โžถโ†’โ‘ฉโ†”โ–ผโž‘โ‡โžŒโœฝโž”โœฝโžŽโœพโž›โƒโ†”โ——โž› โ… โœผโ‹โ†” โ โœ– โžŒโˆโž”โœŒโž™โ˜โฐ

โž‹ โž‹ โœ„ โœŸ โžฉ โœ„ โœฒ โœ‚ โžฏโ€โžง โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜ŽโœŽโœ โžง โœŸ โœ†โƒโžฉ โƒ โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง รผ โœ„ โœŸ โž‹ โž‹ โœ„ โœฒ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜Žโœžโœ โžง โœŸ โœ†โœพโžฉ โƒ โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœงรผ โž‹ โž‹ โœ„ โœŸ โžฉ โœ„ โœฒ โœ‚ โžฏโชโžง โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜Ž โœ โžง โœŸ โœ†โƒโžฉ โƒ โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœงโœ”โž‚โ†”โฝโž” โœ– โ†”โ——โ†•โ„โžŽโ‘ขโ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โ‹โžถโ‘โž›โƒโœบโโ†”โ—†โž”โ˜โ†’ โœ– โž™โˆโœผโ‘ฉโžŽโƒโž›โœพโ†” โ… โœผ โœ– โœผโœปโž”โ‹โ†”โ‘โœบโโž”โžดโžŽโƒโ†”โ—†โž›โœพโžฌโˆโ†”โ——โž›โœพโ†•โƒโœบโโžŒโˆโž”โ›โ†’โ‘ฉโ†”โžšโ†•โž‚โžŒโœฝโžชร”โžโ——โž›โœพโž™โ‚โžŽโƒโ†”โ——โœผโœปโž›โœพโ†•โ——โณ โ โ†”โฝโž›โƒโžโžšโ†•โ„โœผ โ โžŽโœพโž™โ‚โžŽรซโ†”โžšโ†•โซโžŽโœ”โ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โ‹โžถโ‘โž™โœฝโžถ โ… โœผโœปโœบโžŸโ†•โ—†โžž

ร

โž‰ โœ• โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ โˆ โœ— รผ โž‰ รฎ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ รฐรผ โž‰ โœ• โž‹โ˜Žโœ‚ โœŸ โžง โœ„ โœŸ โœ› โžฉ โœ‚ โžฏ โ–ฒ โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ—รผ โž‰ โœช โž‹ โœ‚ โœŸ โžงโ——โžฉ รปโœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โž‹ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜Žโœžโœ โœ„ โœŸ โžฉ โœ› โžฉ โœŸ โœ†โžฆโžฏโƒโžฏโ‚โ โœ› โžฉ โœ„ โœŸ โœ‚ โžฏโ„โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœซรผ โž‰ โœช โž‹ โœ‚ โœŸ โžง รปโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‹ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒโœ†โ˜ŽโœŽโœ โœ„ โœŸ โžฉ โœ› โžฉ โœŸ โœ†โžณโžฏโ„โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœซ โ™โ–ฒโšโœปโžž โš โ™โž™โฑโ โž‰โœชโœ• โž‹ โœ‚ โœŸ โžง โœ› โžฉ โœ„ โœŸ โœ‚ โžฏโƒโžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โœ— โ™โ–ฒโšโœปโžž โš โ˜žโž‡โฑรผ โž‰ โœ• โž‹โ˜Žโœ‚ โžง โœ โžฉ โœ‚ โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ— โ โž‰ โœ• โž‹ โœ‚ โœŸ โžง โœ› โžฉ โœ„ โœŸ โœ‚ โžฏโ„โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ— โ™โ–ฒโšโœปโžž โšโˆโš โฑ

โ–ผโ™ฃร˜โฅโทโžŒโนโœ—โปโœซโ—†โชโบโ‰ร˜โžพร™โžฃรšโœŽโœธ โœ„ โœ‚ รฅโ€รžโชรกโœ”รฃโ‘ฉรค รŸโœโœŽโœปรตโ—†รจโƒรฌโžฎรกโžรฅโ—†รฃโ‘ฉรจโ–ฒรญโˆรฅ โ˜›โงร  รฒ โœพโ†รฅโ€รจโชรกโœซโ„โ†tรฆรฉโžโž†โœฆ๏ฟฝโ–ฒร รชรญโžฎรก โœŽโ‹รฌโžฎรจโ‡รฉโ†รŸโžฎรคโœปรžโ—†รตโœโœ‚โ—†รฃโ‹รฅโ€รคร”รก โ˜… โœพ ๏ฟฝ โ˜… โœซ โžฉ โœ„ โœ‚ ๏ฟฝ โœ„ โœ‚ โžฏรฅโˆโ™ฃโœฝร โžŸรžโ†รกโžรฅโ–ฒรฅโ€รกโ‘ขรญโˆรฅ โœŽ รฒ รฃโžรžโž“รŸโžฎรค รฌ รœ

โž‰ รฎ โ˜… โœพ ๏ฟฝ โ˜… โœซ โžฉ โœ„ โœ‚ ๏ฟฝ โœ„ โœ‚ โžฏ รฐ โœฑ โž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โœ„ โœ‚ โœกโ˜žโœก โˆโœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง ๏ฟฝ โœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ‚ โ™โ–ฒโšโœปโžž โš ๏ฟฝโœ‘โฑ

Page 151: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ™ ๏ฟฝ โœต ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ“โœโœ•โœ”โœ–โœโœ—โœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โœฃโœ†โœŸโœ†โœฅโœคโœ“ โž™โ‚โž› โœ โœผโœปโžœโœปโœบโโž”โœปโœบโฎโณโ‹โžŒโˆโž”โœŒโž™โ˜โฐ

โ™โ–ฒโšโœปโžž โšโˆโš โฑ รผ โž‰ โœช โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โœ‚ โฆโœพโžบ โœ— โœ› โžฉ โœ„ โฆโœพโžบ โœ— โœ‚ โžฏ โžฃ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏ โœซ

รผ โ–  โžปโžธ โ–  โ โž‰ รฎ โœ‚ โฆโœพโžบ โœ— โœ› โžฉ โœ„ โฆโœพโžบ โœ— โœ‚ โžฏ รฐ โžฃ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžโžฏ

รผ โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โž‰ โœช โ–  โžป

โžธ โ– โœ‘โ โœ„โœ๏ฟฝโœฝโžบ โœŸ โœ‚ โฆโœพโžบ โœ—โœ†โœ„โœšโฆโ†โžบ โœ— โœ‚ ๏ฟฝโœฝโžบ โœŸ โžฃ โžฉโ–ฒโ™ โƒโœบโถโžงโ˜โ™ โœ’โœถโ‘ฉโžฏ โœซ โžฃ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏรผ โž‰ โœช โ–  โžป

โžธ โ– โœ‘โ โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โœ„โœ๏ฟฝโœฝโžบ โœŸ โœ‚ โฆโœพโžบ โœ—โœ†โœ„โœšโฆโ†โžบ โœ— โœ‚ ๏ฟฝโœฝโžบ โœŸ โžฃ โžฉโ–ฒโ™ โƒโœบโถโžงโ˜โ™ โœ’โœถโ‘ฉโžฏ โžฃ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžโžฏ โœซ

รผ โž‰ รฎ โ˜… โœพ ๏ฟฝ โ˜… โœซ โžฉ โœ„ โœ‚ ๏ฟฝ โœ„ โœ‚ โžฏ รฐโœ”โž‚โ†” โ… โœผโœปโœบโž˜โ†’โ‘ฉโžโ——โž‘โ‡โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†” โ โ†”โ–ผโž›โœพโžโ——โ†•โƒโœผ โ โžŽโœพโž™โžฎโžŽโžšโžž

โœฎโœ”โž‚โžŒโˆโž”โ‹โ†•โƒโœบโโ†’โœปโžโ—†โž›โœพโžŒโˆโž”โ‹โ†•รซโžชโœ โžŒโˆโœผโœปโž› โœ† P ๏ฟฝ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ โ โž™โ–ฒโž”โœปโžŒโœฝโž›โƒโž‘โ‡โ†”โ–ผโ†•โƒโœผโœปโœบโฌโžฌโžฎโž™โˆโž”โœฝโžŽโœพโ†”โ‡โฐ

โœ• โœกโ˜›โœก โœ† โœกโ˜›โœก โœ‚ โˆ โžบ โญ โœ— โˆ รผ โœšโ˜Ž โœ‘โœกโž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜žโœก โœ† โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœงโœ„โœ‚ โ โž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โœ โœ† โœกโ˜žโœก โˆโœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โœ‚ โœ“ โ โž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โœ„ โœ† โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง ๏ฟฝ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœงโœ„โœ‚โŠ โžŽโฉโžถโ€โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โƒโœบโโ†’โ‘ฉโžโ——โž›โƒโžŒโœฝโž”โ‹โ†• โ˜Ž โˆ โžบ โญ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ โ โž™โœ•โœ”โžซโ†”โ——โž›โƒโž‘โ‡โ†”โ€โžŽโœพโœผโœปโž›โœพโ†”รงโ†’โœปโ†” ๏ฟฝ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ โž™โ‚โœผโœŒโ†•โ„โ†”โ——โž”โ‹โ†•โœ”โ†’โ‘ฉโ†”โงโžถโ—†โ†”โ€โžŽโ„โžŽโœพโ†”โ–ผโž”โœปโžŒโˆโž›โœพโž‘โ‡โ†”โˆโžžโ–ผโ˜›ร˜โœ‘โทโžโนโœ—โปโœซโ—†โชโบโถร˜โžคร™โž˜รšโœŽโœฝ โœ’ รฌโžฎรคโ‹รž รฒ รฅรงรฉโ†รฌ รžโœ๏ฟฝโž‹รจโƒรŸโœ„โœ‚โ‘ครคร”ร รชรฅโ€รคโžžโ โœ รคโชโž รฅโชรžโชรกโ—รฌโžฎรฃโ‘ฉรกโฎรจโƒรฅโœถโœ‚โ€รฃโ‹รฅ รฒ โž ร รชรญโˆรฅโ—†รคโ‹รกโฎร รขรกโžณรตโ–ผรฅโ—†รก รฒ โž รŸโžฎรคโœŒรจโƒรฅโ—†รกโžฆรจโœพรŸโžฎรฃโ‘ฉรดโžฎรฅ รฒ รฌโ–ฒรญโœฝรตรชรถโนรคโ‹ร รขรกโฎร รชรŸโžฎรครฃโžรžโชรฃโ‹รฅ รฒรขรฒ รฅโฒรญโˆรฅ รฒ รฌโ›รคโœ รŸโžฎรจโ‡๏ฟฝโž’รฅโœ†โ˜Ž โˆ โžบ โญ โ˜Žโžโžˆโปโžฎร’โ‹ร‘sโปโœšโœกโœ”โœโžดร“โ˜žโœโžพร™โžฃรšโร™ โœŒ รคtรฌ รœ

โ˜Ž โˆ โžบ โญ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ โ˜› โ™ โœ โœŸ โœ„ โžฉ โœ› โžฏโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโœžโžโžŒโˆโœบโฌโžŽ โœ‚ P โ˜Ž โˆ โžบ โญ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ โ†”โ€โžŽโœ”โ†•โ„โžŒโœฝโœบ โžŽ โž„ โœ‚ โžฑ โ—† โœผ P โœโœ โœŸ โž…โฝโœผโœปโž”โœปโ†”รงโ†•โ„โœผโ‹โœบ โžŽโœพโ†”โฝโ†’โ‘ฉโ†” ๏ฟฝ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ โžถโ€โžŒโœฝโž”โžดโžฌโœฝโ†”โ—†โž›โ˜โœ˜โˆโ†”โ——โž”โœฝโžŽโœพโ†”โœ”โžฌโˆโ†”โ——โž›โœพโ†• โœ‚โž“โ†’โ‹โž™โ‚โž”โ‹โ†• โ˜Ž โˆ โžบ โญ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ โžžโžนโ‘โž”โ˜โž™โ‡โ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โ‹โžถโฝโžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›โœ˜โœธ P ๏ฟฝ โฐโœก โž‰ รฎ โœปโœฝโœธ โžฉ โœ‚ โžฑ โžฏ รฐ โœก รผ โœก โž‰ รฎ โœธ โœ› โžฉ โœ‚ โžฑ โžฏ รฐ โœกโœฑ โœกโ˜›โœก โœ› โžฉ โœ‚ โžฑ โžฏ โœกโ˜›โœก โˆ โœกโ˜žโœก โœธ โœกโ˜žโœก โˆ

โœฑ โœ• โž‰ โœ• โž‹โ˜Žโœ‚โชโžฑ โ โœ โœ‚โชโžฑ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ— โ โž‰ รฎ โ˜… โœพ ๏ฟฝ โ˜… โœซ โžฉ โœ„ โœ‚โชโžฑ ๏ฟฝ โœ„ โœ‚โชโžฑ โžฏ รฐ โœ—โ˜Žโœ„โœ โœกโ˜›โœก โœธ โœกโ˜›โœก โˆ โ™โ–ฒโšโœปโžž โšโœฝโฏ โฑโ™ โœ– โœผโœปโž”โœปโ†”โ–ผโžชร”โž™โ‚โž›โƒโžŽโ——โณโ‘ฉโžŒโˆโž”โœŒโž™โ˜โฐ

โž‰ โœ• โž‹ โœ‚โชโžฑ โ โœ โœ‚โชโžฑ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โœ— โœฑ โž‰ โœ• โœกโ˜›โœก โœ‚โชโžฑ โœกโ˜›โœก โœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โœกโ˜žโœก โœ โœ‚โชโžฑ โœกโ˜›โœก โœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โœ—โœฑ โž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜žโœก โœ‚โชโžฑ โœกโ˜›โœก โˆโœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ‚ โž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜žโœก โœ โœ‚โ€โžฑ โœกโ˜žโœก โˆโœ‘โœ’โœ โœขโ˜›โœ“ โœงโœ„โœ‚โ™ โžŒโœฝโž”โ‹โžถโฝโžชโ‹โž™โ‚โž› โ โž™โ‡โ†’โ‘ฉโž โœฟ โž”โœปโœบ โžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โžคโ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โ–ฒโž”โœปโžŒโœฝโž›โƒโž‘โ‡โ†”โœฝโณ โ โž™โ‡โ†•โƒโœผโœปโœบ โžŽโœพโ†”

โœ† โž‰ โœ• โž‹โ˜Žโœ‚โชโžฑ โ โœ โœ‚โชโžฑ โ–ฒ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœง โœ— โ—† โœผ Pโœกโœ โœŸโ˜Žโœโ†”โ——โ†•โ„โžŽโž‹โžถโ€โžŒโˆโž”โžโžฌโœฝโ†”โ—†โž›โ˜โœ˜โˆโ†”โ—†โž”โžดโžŽโœพโ†”โ‘โ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โ‹โžถรงโžœร”โžŒโœฝโž›โƒโž”โ‹โžโ—†โ†”รงโžชโ‹โž™โ‚โž›โ‘ขโœผโœปโž”โ‹โ†”โงโžถโ€โžŒโˆโž”ร”โ†•โซโžŽโ†โž™โ‚โž”โžดโžŽโƒโ†”โ–ผโ†’โ‘ฉโœบโžŸโ†•โ„โžŒโœฝโž”โ‹โ†• โ† โญโžฎโžž โ™ โœ– โž™โˆโœผโ‘ฉโžŽโƒโž›โœพโ†”รงโžชโ‹โž™โ‚โž›โƒโžŽโ——โณ

โž‰ รฎ โ˜… โœพ ๏ฟฝ โ˜… โœซ โžฉ โœ„ โœ‚ โžฑ ๏ฟฝ โœ„ โœ‚ โžฑ โžฏ รฐ โœฑ โž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โœ„ โœ‚ โžฑ โœกโ˜žโœก โˆโœ‘ โœ โœข โœ“ โœงโœ๏ฟฝ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โœ‚

Page 152: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฅโœโœ๏ฟฝโœ—โœ โœžโœ‚โœ โœ โ˜Žโœ„โœโœ†โœŒโ˜›โœโœ„โœŸโœžโœ–โ˜ž โœ”โœ„โœ‚โงโœ˜โœ“โœโœšโœ˜โœ“โ˜› โœ˜โœ“โœœโœŽโœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โžœโœ†โœŸโœ†โœฅโœค โ™ ๏ฟฝ โ™โ†’โ‘ฉโžŒโˆโž”ร”โžถ โ โ†”โ——โ†•โœ”โ†•โƒโœผโœปโœบโฌโžŽโƒโ†”โžšโ†•

โ˜Ž โž‰ ๏ฟฝ โœกโ˜›โœก โœ„ โœ‚โชโžฑ โœกโ˜›โœก โˆโœ‘ โœ โœข โœ“ โœง โ˜Ž โž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏ โœ‚ โ—† โœผ P โœ โœŸโœโœ† โ†”โ—†โžŽโฉโ†’โ‘ฉโžŒโˆโž”ร”โžถ โž„ โž‰ รฎ โ˜… โœพ ๏ฟฝ โ˜… โœซ โžฉ โœ„ โœ‚โชโžฑ ๏ฟฝ โœ„ โœ‚โชโžฑ โžฏ รฐ โ—† โœผ Pโœกโœ โœŸ โž…โ†•โ„โžŒโœฝโž”โžดโžŽโœŒโžถโ—†โžŒโˆโž”โžโžฌโˆโ†”โ——โž› โœ˜โœฝโ†”โ—†โž”โžดโžŽโƒโ†”โžšโ†•โ™ฃโ†’โ‘ฉโžŒโœฝโž”โ‹โžถ โžœร”โžŒโœฝโž›โƒโž”โ‹โžโ—†โ†”โ——โ†•โœŒโžชร”โž™โ‚โž›โœŒโœผโœปโž”โœปโ†” โžถโ—†โžŒโˆโž”โ‹โ†•โ„โžŽโœพโž™โˆโž”โœฝโžŽโœพโ†”โž„โ†’โ‘ฉโœบโโ†•โƒโžŒโˆโž”ร”โ†• โ† โˆ โžž โŠ โž” โœฟ โž”โœคโžŒโˆโž”โœ†โž™ โœ‚โชโžฑ โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœงโ˜ž โœ‚โœถโ†’โ‘ฉโžŒโˆโž”โ‹โžถโœปโœพโœธ โžฉ โœ‚โ€โžฑ โžฏ โœ‘ โœ โœข โœ“ โœงโ˜ž โœปโœพโœธ โžฉ โœ‚ โžฏ โžž โ˜…โžโ โž”โœปโ†”รงโž›โƒโ†”โžšโ†•โซโžŽโœพโ†”รงโžช โ โœผร”โ†• โ… โœผ โœ– โœ— โœ”รชโž™โˆโœบโฌโž›โœพโ†”โฝโžŽโƒโ†”โ—†โž”ร”โ†’โ‘ฉโž›โƒโ†” โœผ โœ— โ โœ– โœบโฌโž” โœฟ โž”โœปโœบโ‰โ†’โ‹โž™โ‚โž”โ‹โ†• โ™โ–ฒโšโœปโžž โšโœฝโฏ โฑ โžชโœ โžŒโˆโœผโœปโž›โž‹โžโžšโžถโ€โž›โœพโœบโฌโž›โœพโ†”โ–ฒโฐ

โœก โž‰ รฎ โœปโœพโœธ โžฉ โœ‚ โžฏ รฐ โœก โœฑ โžฉ โ† โญ โ โ† โˆ โžฏ โœกโ˜žโœก โœธ โœกโ˜žโœก โˆโžถโ€โ†” โ… โœผโœปโœบโž˜โžชโœปโž›โœพโžŒโˆโœผโ‹โžฌโˆโ†” โ… โœผโ‹โ†”โœŸโœ‚ Pโœฃโ™  โœŸ โœ„ โžฉ โœ› โžฏ โžž โœฎโžโžˆโปโžฎร’โ‹ร‘sโปโœšโœกโœ”โœโžดร“โ˜žโœโžพร™โžฃรšรชร› โœ โ รฅโ€รžโžพรจโƒรตโชรžโชรฃ รฒ รกโžรฌโžฎรกโžฆรžโžขรญโžฎรฃโœดรกโ–ผโž†โœปรตโ†รŸโžฎรจโ–ฒโœ“โˆ๏ฟฝโž’รฅ โž“ โ˜Ž โž“ รžโ—†รŸโžฎรคโ‹รกโž’รฅโ—†รคโœ รฉโ†รŸโžฎรจโƒรฅtรดโžฎรฌ รฒ รฌโž‡โœพ รฒ รฅโชรž โœŽโ‹รŸโžฎรฃโ‘ฉรจ โœ‚ รฃโ‘ฉรค โœŽโœ รจโƒรŸโžšรฉโ†รฅโชรžโ†รžโชรฃโžรžโžขรญโˆรฅ

โ˜Ž โˆ โžบ โญ โžฉ โœ‚ โœ“ โžฏ โ˜Ž

โดโ›โตโœŸโœž โโœ โžโฒโกโ‰โขโœ”โฃโ–ผโคโฅโœโงโฆโ€โ™  โœ‰โ™ฃโ™  โ™โ…โฏโงsโฒโฑโ˜sโ–ผโคโถsโž’โœ‰ rtsโž“qโ˜›โคโœฉโฆโ€โ™ โœ”โ™ฅ rโ˜โคโฅsโœกโœ โž‚โ™ โœ”โ™ฅโ‰โ™ฅโžฃqโ˜โ™ฅโœšโœ‰โ˜โ™ โœ—โœˆโžˆsโฒโญโ€โ™ฅโ‰โ™ฅโžฃsโงโžโณโœตโœโ–ผโคโ˜žโ˜›โ‡qโ˜โขโœ”โ™ฅ

โœถโœžโœโœ โœŸโœ‚โœทโ˜›โœกรชร“โ˜žโœกโžฆร’โœฎโœทโœถร™โž˜รšโžฆร›ร”ร› โœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœŽโœ รจโœพรŸโ——รฉโ†รฅโ€รžโœพรžโชรฃโžรž โœบ รญโœฝรฅ รฒ รฌโ›รดโžฎรฌโžฎรจโชร รชรฌโž‡โœพ รฒ รฅโ–ฒรกโžรฅโœป๏ฟฝ โœŽโ‹รŸโžฎรจโƒรฅ รฒรขรฒ รฅ โ‘ รŸโžฎรคโžขรครฆรŸโžฎรกโžรฅโœโœบ โ—†โžขโžฉโ–ฒโ‘โœฝโžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โ˜ž โœช โƒ โœบโถโžฉโœซโ‘โžšโžฏtร”ร โœฅโœโœบ Pโž€โ™ โœ โœŸ โœ„ โžฉ โœ› โžฏ โโ‘ขรŸโ‚รคโžพรคโœ รŸโ‚รกโžณรฅ รœโœ›

โœโœŒ โžฉโœฌโœบรฆโžฏ รผ โœ› โžฉ โœโœบโž€โžฏโœŒ รคโžพร รขรคโ‹รกโฎรจโƒรŸโžšรญโžฎรฃโ‘ฉร รขรกรซรตโ†โ…โžดรฌ รฒ รฅโœป๏ฟฝโž’รฅโ€รคร”รก โœโ รฒ รฌ ๏ฟฝโž’รฅโ€รžโ†รฃโ‘ฉรจโœพรฅโฒรญโœฝรตรชรถโนรคโ‹ร รชรฅ โœŽโœปรฌโ‚รจ รœโœโ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘ โžฏ รผ โ– โœ—โ โœช โˆ โžฃ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โˆโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ รผ โ– โœ‘โ โœช โˆ โกรฆโžฉโ–ฒโ™ โโœชโžโžฏ โ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโœตโ™ โฅโ‘

โžโžˆโปโžฎร’โ‹ร‘โนร’โœ ร—โœคโœกโžซร“โ˜žโœกโžฆร’โœฎโœทโœถร™โžฃรšรชร› ร โž› โˆ โžฉ โœโ โžฏโ˜žโ˜› โ™  โœŸ โœ„ โžฉ โœ› โœโœŒ โžฏร โœ† โœ Pโœฃโž› โˆ โžฉ โœโ โžฏโ–ผโžง โœ›

โœโœŒ โžฉ โœ โžฏ รผ โžฉ โœ โœข โฃโž‡โœ โœงโŠ โœโœฆ โžฏ โžปโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโœžโžโžŒโˆโœบโฌโžŽ โœบ Pโœฃโž› โˆ โžฉ โœโ โžฏ โžžรฆโžนโ‘โž”โœŒโž™โ–ฒโ†”โ—†โž”โœŒโœผโ‘ฉโžŽโœพโœบ โ โœบโโ†•โœพโž™โ‚โž”โžดโžŽ โ โž™โฒโžชโ‹โž›โƒโžŒโœฝโžชโœปโž›โƒโœบโโžโ€โžŽโœพโž โšโœปโžž โฏโ˜›โฐ

โœ›โœโœŒ โžฉโœฌโœบรฆโžฏ รผ โœ› โžฉโœ”โœช โƒ โœบรฆโžฏรผ โžฉโœ”โœช โƒ โœบ โœขโ‘ โœ โœงโŠ โžฉโœนโ— โžข โžฃ โžฏโƒโžฏโซโžป

รผ โ–  โžปโžธ โ–  โ โœชโ‚โœบโฅโžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ€โžฉโ–ผโ— โžข โžฃ โžฏโ—†โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โˆโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏรผ โ–  โžปโžธ โœบโถโžฉโœซโ‘ โžฏ โ–  โ โœชโžคโžฉโœนโ— โžข โžฃ โžฏโ—†โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏรผ โžฉโœปโœบ โœข โฃโž‡โœ โœงโŠ โœโœฆ โžฏ โžป

โœฎ

Page 153: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ™ ๏ฟฝ โ˜ž ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ“โœโœ•โœ”โœ–โœโœ—โœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โœฃโœ†โœŸโœ†โœฅโœคโ– โนร˜โœ‘โทโžโท ร˜โ˜ร™โž˜รšโžฆร›โœโœŒ รค รฌโ˜›รฌ รฒ รŸโžฎรจโ†รž รœ

โœกโ˜žโœก โœบ โœกโ˜žโœก โœ‘ โœ โœข โœโœ‚โœง รผ โœกโ˜›โœก โœโœบ โœกโ˜›โœก โœ‘ โœ โœขโ˜›โœ“ โœงโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœ

โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โœโœบ โˆ โžฉโœซโ‘โˆโžงโ–ฒโœชโžดโžฏ โžฃ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ รผ โ–  โžป

โžธ โœบ โˆ โžฉโœซโ‘ โžฏ โ– โœ‘โ โœช โˆ โžฃ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โˆโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ รผ โ–  โžปโžธ โœบ โˆ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โœโ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘ โžฏ

โœฎโ˜…โžโ โ†”โ——โ†•โ„โžŽโž‹โž™ โ โžŒโˆโž›โ†โ†•โž‚โž”ร”โž™โžฎโžŽโƒโœผโ‹โž›โƒโ†” โ โ†’โ‘ฉโ†”โ–ผโ†’โ‘ฉโž โœฟ โž”โœปโœบโฌโž› โ โœ– โžŒโˆโžชโœ โžโ—†โž›โ†โž™โžฎโžŽโœพโ†”โ—†โœผโœปโž›โœ”โ†’โ‘ฉโ†”โงโ†’โ‘ฉโžโ——โž›โƒโœบโโžฌโžฎโž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โ™ฃโžชโ‹โž™โˆโž›รงโฐโœป โœโœŒ โœธ โžฉโœปโœบโž€โžฏ รผ โœปโœพโœธ โžฉ โœโœบโž€โžฏ โœ† โœธ P ๏ฟฝ

โŠ โž”โœŒโ†” โ˜Žรฆโ†”โ€โžŽโžšโณโœปโžŒโˆโž”โœŒโž™โž’โž™ โ โžŒโˆโž›โ†โ†•โฝโฐโž‰ ๏ฟฝ โœป โœโœŒ โœธ โžฉโœปโœบโž€โžฏ โœ‚ รผ โž‰ รฎ โœปโœฝโœธ โžฉ โœโœบโž€โžฏ รฐ

รผ โž‰ รฎ โœธ โœ› โžฉ โœโœบรฆโžฏ รฐรผ โž‰ ๏ฟฝ โœธ โœ› โœโœŒ โžฉโœฌโœบรฆโžฏ โœ‚ โ™โ–ฒโšโœปโžž โš โ… โฑโœฃ โœ– โœบโฌโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโžŒโ‘ฉโ†’โ‘ฉโœผโ‹โžถโ€โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โœŒโ†’โ‘ฉโœผ โœ˜โˆโž›โ†โž™โˆโ†’โ‘ฉโœบโโ†”โ—†โž”โžดโžŽโž‹โž™โ‚โžชโœปโžชร”โž™โ‚โž›โ†โž™โœ๏ฟฝโžŸโžŽโ‘ขโž™ โ โžŒโœฝโž›โœพโ†•รซโ– โ€โžŽโœพโž›โƒโ†”รงโžโœ™โœ˜โœฝโž™ โ โœ—โ˜โฐ

โœ„ โœโœŒ โœธ รผ โœšโœŒ โ โœช โˆ โกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžโžฏ โ– โœ•โ โœ„โœšโฆโ†โžบ โœ— โœธ โœชโœ•โกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžดโžฏโŠ โž”โœŒโ†” โ˜Žรฆโ†”โ€โžŽโžšโณโœปโžŒโˆโž”โœŒโž™โœปโณโœปโžชโœ โžŒโˆโœผโ‹โž›โ‘ขโžŽโƒโžŒโˆโœผโœปโžŽโœ˜โœธ P ๏ฟฝ โ†”โ€โžŽโœ”โžŽโƒโžŒโœฝโœผโ‘ฉโžŽ โœบ โฐ

โœป โœโœŒ โœธ โžฉโœปโœบโž€โžฏ รผ โœปโœฝโœธ โžฉ โœ โžฉ โœบรฆโžฏโƒโžฏรผ โ–  โžป

โžธ โ–  โ โœ„ โฆโœพโžบ โœ— โœธ โœชโ‚โœบโฅโžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โžฃ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘โœฝโžงโ˜โ™ โœ โœชโžดโžฏรผ โ–  โžป

โžธ โ–  โ โœ„โœฝโฆโœพโžบ โœ— โœธ โœชโ…โกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžโžฏ โœบโฅโžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโœ—โ™ โœ‘โ‘รผ โ–  โžป

โžธ โœšโœŒ โ โœช โˆ โกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžดโžฏ โ–  โ โœ„โœšโฆโ†โžบ โœ— โœธ โœชโ…โกโž€โžฉโฏโ™ โœ โœชโžดโžฏ โœบโถโžฉโœซโ‘โžšโžฏ โœโ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘ โžฏรผ โž‹ โœ„ โœโœŒ โœธ โžงโœโœบ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœโœ‚

โœงโ–ผโ˜›ร˜โœ‘โทโžโนโœ—โปโœซโ—†โชโบโถร˜โžคร™โž˜รšโžŸร™ โœก รคโžพรด รฅโ—†รจโชรกโฎรฃโžขรญโˆรฅ โ™โฏโšโ‹โžž โšโœŽโ… โฑ โœ„ โœโœŒ รฅโชรžโชรก รฒ โž รฌโˆรญโ‘กโœˆโ—†รŸโ‚ร รขรคโ‹รกโฉรญโœฝรฅ โœ› โœโœŒ โ˜Ž

โžนโ‘โž”โ˜โž‘โ‡โžŒโœฝโž”โœฝโžŽโœพโž›โƒโ†”รงโž™โ‚โœบโโž”โ‹โ†•โƒโœบ โ โœ– โ†”โ€โžทโ‘ฉโœบโžŸโ†•โซโžŽโœพโ†”โ—†โž”โ‹โžถโ—†โ†”โงโ†’ โœ– โœผโœปโž”โœปโ†”โ–ผโžฌโžฎโž™โ‚โž›โœพโœบโโž™โˆโžœ โ โ†”โฝโž™ โ โžโžšโž™โžฎโžŽโƒโžŒโœฝโœบโฌโž›โœพโ†” โœ„ โœโœŒ โœ—โฒโžฌโžฎโž™ โ โ†”โ——โœผโœปโž›โœพโ†•โœ”โ†’โ‹โž™โ‚โž”โ‹โ†• โž› โˆ โžฉ โœโ โžฏ โžŽโœพโ†” โโโ โ†” โ… โœผโœปโ†”โ‡โฐโœป โœโœŒ โœธ โžฉโœปโœบโž€โžฏ รผ โž‹ โœ„ โœโœŒ โœธ โ โœบ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœโœ‚

โœง๏ฟฝโž‹โž”โœปโ†” โœ”โžซโžŒโœฝโœบโโ†•โ‡โžถโ€โ†”โžšโ†•โ‡โžŒโˆโœผโ‘ฉโžŽโœพโœบ โ โ†•โ‡โž‘โ‡โœบโโ†•โ‡โ†”โ——โž”รฟโžช โ โž™โœฝโžถโ€โ†”โˆโณโ‘คโžŒโœฝโž”รฟโžชโœ โ†”โ—†โœผโœปโžŽโž’โ†’โœปโž โœฟ โž”โœปโœบโโž› โ โ†”โ——โ†•โ‡โž‘โ‡โ– โ—†โž‘โ‡โ†”โ——โ†•โ‡โžŒโœฝโžœโœทโœ•โซโ†”โ€โžŽโ†โ†• โ… โœผโœปโ†”โœŒโžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›โ‡โœผโœปโž”โœปโ†”โžคโž‘โ‡โ†”โ——โ†•โƒโœผโœปโž›โœพโ†”

โž™ โ โžโ——โž™โ‚โžŽโƒโžŒโˆโœบโโž›โœพโ†”โ™ฃโž‘โž’โž™โ‚โž› โ… โœผโœปโžโ—†โ†”โžคโžถ โœ– โ†”โžšโ†•โซโžŽ โœ— โ†’โ‘ฉโœบโโž›โœพโ†”โžพโ†’โ‘ฉโž โœฟ โž”โ‹โœบโฌโž›โ›โœผโ‹โž”โœดโ†”โ——โ†•โƒโžชโ‹โž™โˆโžถโ—†โ†”โœŒโ†’โœปโ†” โœ”โž‹โœบ โ โžœโœ โ†”โ—†โž›โƒโžŽ โœ‚ โœโœ‚ โณโ—โœผโœปโž”โœดโ†”โžšโ†•โ„โžชร”โž™โˆโžถโ€โ†”โžคโ†’โ‘ฉโ†” โœ”โžซโžŒโœฝโž”โ‹โžถโชโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โœปโž”โœปโ†” โโฌโ โ†”โ——โ†•โžถ โ โ โœบโฌโž”โ‹โ†’โœปโž›โƒโœบ โ… โœผโœปโ†”โ——โ†• ๏ฟฝ โžฉ โœ‚ โœโœ‚ โžฏ โณร”โœผโœปโž”โœŒโžŒโˆโžชโœ โžโ—†โž›โ†โž™โžฎโžŽโƒโ†”โ——โœผโœปโž› โœ โœโœŒ โ… โœผโ‹โœบโž˜โž”โœปโžŒโˆโœผร”โ†•โ‘ขโžชร”โ†”โ——โž›โƒโž‘โ‡โ†”โ€โžŽโฝโ†’โ‘ฉโ†”โงโ†’โ‘ฉโž โœฟ โž”โœปโœบโฌโž›โฉโœผโœปโž”โœปโ†”โ–ผโž”โœปโžŒโœฝโž›โƒโž‘โ‡โ†” โœกโ˜žโœก โƒ โœกโ˜žโœก โœ‚โœ๏ฟฝโœ‚โˆ โžบ โญ โ†”โ—†โžŽโž‹โ†”โ—†โž” โœฟ โž”โžคโœผโ‹โž”โ†”โ——โ†•โƒโžชโ‹โž™โˆโžถโ—†โ†” โ˜Ž โœโœŒโˆ โžบ โญ โžฉ โœ‚ โœโœ‚ โžฏ โžชโ‹โž™โˆโž›โœโœ”โžซโ†”โ——โž›โƒโž‘โ‡โ†”โ€โžŽโœพโœผโœปโž›โœพโ†”โ–ฒโž™โˆโœผโžขโ†•โ„โ†”โ——โž”โ‹โ†•รงโ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โ™ฃโž”โœปโžŒโˆโž›โœพโž‘โ‡โ†”โžœโ™โžซโžฌโœฝโžŒโˆโœบโโž›โ‘โ†’โ‘ฉโž โœฟ โž”โœปโœบโฌโžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โœ’โšโœปโžž โ™ โžชโ‹โž™ โœ˜โˆโ†” โ™ โšโœฝโฏ โฑ โžž โœ”โž‚โ†”โ€โžŽรงโ†”โ——โ†•โƒโžชโ‹โž™โˆโžถโ—†โ†”โ†”โ——โ†•โ„โžŽโœ”โœบโฌโž”โ‹โžถ โ โœผโžคโ†’โœปโž™โˆโž”โ‹โ†• โ โ†”โงโ†’โ‘ฉโžŒโˆโž‘โž’โž™โ‚โœบโโž”โœปโ†”โ–ผโ†’โ‘ฉโ†” โœ› โœโœŒ โ†”โ—†โžŽโž‹โžŒโˆโž”โ˜โž‘โ–ฒโžŒโœฝโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†” โ… โœผโœปโ†”โž’โฐโœฏ ร• โœโžดร’โœฎโปโžฎร–โœ‘โท ร˜โžคร™โž˜รšโžฆร›โœžโœ รโœปโœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก ๏ฟฝ P โ˜Ž โˆ โžบ โญ รฅโ—†รกโž‚รกโžรŸโžฎรฃโ‘ฉรก โœ‚ P โ˜Ž โœโœŒโˆ โžบ โญ โžฉ โœ‚ โœโœ‚ โžฏ รŸโ‚รค รฌ รœ

โœ›โœโœŒ โžฉ ๏ฟฝ โœ‚ โžฏ รผ ๏ฟฝ โœ›

โœโœŒ โžฉ โœ‚ โžฏ โžข โž‹ โœ„ โœโœŒ ๏ฟฝ โ โœ‚ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœโœ‚โœง โ™โ–ฒโšโœปโžž โš โ˜… โฑ

Page 154: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโฅโœ ๏ฟฝโœ•โœโœขโœžโœ–โœžโ‘กโ˜žโคโœโœŽโ˜žโคโœโœšโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜ž ๏ฟฝsโ˜žโœขโœ”โœฃโœžโœ‚โœโœšโœ โ˜Žโœ„โœโœ†โœŒโ˜›โœโœ„โœโœžโœฐโ˜žโœขโœ” โ™ ๏ฟฝ โšร tโž€รŸโžฎร รขรกโœŒโž„โœ โœŸโœโœ† โ—† โœซ Pโœžโœโœ โœŸ โž… รฃโ‘ฉรครฆรฅโงโœพโ†รฌ รžโ—†รฅโ›รŸโ‚รจโชรกโœนโž†โ‹รŸโžฎรคโœ รŸโ‚รจโ‡๏ฟฝโ‡รตโ†รฅโ˜รฉโ†รŸโœš๏ฟฝ โœŽ รฒ โœ“โ—†รกโžณรฅโ˜›รญโˆรฅ โœ‚ โœโœ‚ รฅโ—†รกโ‘รฉโ†รŸโžฎรคโœปรžโชร รชรญโœฝรตโ€รจโƒรŸโ‚รคโœปรž โœ‚ P โ˜Ž โœโœŒโˆ โžบ โญ โžฉ โœ‚ โœโœ‚ โžฏรŸโ‚รค รฌ รœ

โœ›โœโœŒ โžฉ โœ‚ โžฏ รผ

รปโœ˜ โœ† โœ  โญ ๏ฟฝ โž‹โ˜Žโœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โ˜Ž

๏ฟฝโœ โœ›

โœโœŒ โžฉ โœŸ โœ† โžฏ โžข โž‹ โž‹ โœ„ โœโœŒ โœ‚ โœŸ โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โ˜Ž๏ฟฝโœ โžง โœŸ โœ† โžฉ โŠ โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœโœ‚

โœง โœ‚ โ™โ–ฒโšโœปโžž โš โœญโฅโฑรโœปโœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจ โœ‚ P โ˜Ž โœโœŒโˆ โžบ โญ โžฉ โœ‚ โœโœ‚ โžฏ รŸโ‚รค รฌ รœ

โœ„ โœโœŒ โœŸ โœ› โœโœŒ โžฉ โœ‚ โžฏ รผรปโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‹ โœ‚ โžง โœŸ โœ† โ–ฒ โ˜Ž ๏ฟฝ

โœ โœ„ โœโœŒ โœŸ โžฉ โœ› โœโœŒ โžฉ โœŸ โœ†โฎโžฏโ„โžฏ โ โœ›โœโœŒ โžฉ โœ„ โœโœŒ โœŸ โœ‚ โžฏโŠโžครญโœฝรตโชรžโชร โดโ…โˆรคโœ รฅ รฒ รฌโ›รด รฌโ‚รจโชร รชรฌโœฟโœพ รฒ รฅโ–ฒรจโƒรฅโ€รžโ†รกโžรฌโžฎรคร”รก รฒ ร โฏโœพโ—†รจโƒรฅโœคโ˜Ž

รโœปโœบ รŸโ‚รฃโ‘ฉรจโ–ผรกโžณรŸโ‚รฃโ‘ฉรก โœ‚ P โ˜Ž โœโœŒโˆ โžบ โญ โžฉ โœ‚ โœโœ‚ โžฏ รŸโžฎรคtรฌ รœโž‰ ๏ฟฝ โœ› โœโœŒ โžฉ โœ‚ โžฏ โˆ โœ‚ รผ โž‰ ๏ฟฝ โž‹ โœ‚ โ โœ โœโœŒ โœ‚ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœโœ‚

โœง โœ‚ โ โž‰ ๏ฟฝ โ˜… โœพ ๏ฟฝ โ˜… โœซ โžฉ โœ„ โœโœŒ โœ‚ ๏ฟฝ โœ„ โœโœŒ โœ‚ โžฏ โœ‚ โ™โ–ฒโšโœปโžž โšโœฟโš โฑโดโ›โตโœ„โœ‚ โ˜Žโœ‘โญโ—†โ™ โœ”โž โ™ โœ”โžโฒโกโžฃโคโฅโ™  โœ โž‚โ™ โœ”โ™ฅ โรฆโžโฒโกโ‰โขโœ”โฃโ–ผโคโฅโœโงโฆโ€โ™ โœ”โ™ฅโ‘ โ‘ขโ‘ก โœ‚โž‹โ‘กโƒโ‘ฃ โ‘ฃโฒโทโซโžƒโžฃโธโœณโ‘จโชโ‘งโนโžƒโœ›โ‘ค โœฒโ„โžƒโžฃโบ โบโžดโ‘ฆโœฅโ‘ฅ โ‘ฅ โžƒโžฃโบโœฑโซโž‹โžƒโœทโชโœดโทโซโžƒโœฐโ‘ฅ โ‘จโ‘คโธโฉโธโœฅโ›โœโœ†รซโ‘งโ‘ฉโทโ„โžƒโœฐโœฒโžโ‘ง โ˜ŽโžดโžŠโžฃโบโœฏ ร• โœโžดร’โœฎโปโžฎร–โœ‘โท ร˜โžคร™โž˜รšโžฆร›ร”ร› ร tโž€รŸโžฎร รขรก โœบ P โ˜Ž โˆ โžบ โญ โžฉโ–ผโž› โˆ โžฉ โžฃ โžฏโ„โžฏ โโ‘ขรฌ รฒ รŸโ‚รจโ†รžโฒรŸโžฎรค รฌ รœ

โœ› โžฉโœปโœบโž€โžฏ รผ โžฉโœฌโœบ โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ โžฉโ–ผโ— โžข โžฃ โžฏโ„โžฏ โžป โžข โ–  โžปโžธ โ– โœ‘โ โœ„โœฝโฆโœพโžบ โœ— โœบ โฆโ†โžบ โœ—โœšโžฃ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘โœฝโžงโˆโ™ โโœชโžโžฏ

ร tโž€รŸโžฎร รขรก โœบ P โ˜Ž โœโœŒโˆ โžบ โญ โžฉโ–ผโž› โˆ โžฉ โœโ โžฏโ„โžฏ โรซรฌ รฒ รŸโžฎรจโ†รžโฒรŸโžฎรค รฌ รœ

โœ›โœโœŒ โžฉโœปโœบโž€โžฏ รผ โžฉโœฌโœบ โœข โฃโž‡โœ โœงโŠ โœโœฆ โžฏ โžป โžข โ–  โžป

โžธ โœ„ โœโœŒ โฆ โœบ โฆ โœโ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘ โžฏโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโœ“ โžŒโˆโœผโœปโž›โ–ฒโž™ โโโ โžโœ™โœ˜โˆโ†”โ—†โž› โ โ†”โžšโ†•โž“โž”โœปโžŒโˆโžŽโœพโž™โ‚โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โ‹โ†•โž“โž”โœปโžŒโˆโœผโ‹โ†•โฒโž™ โโโ โžŒโœฝโž”โ‹โ†•โž“โ†’โœปโžโ—†โž‘โ‡โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†”โ—†โž› โ โ†”โ˜โ†’โ‘ฉโ†”โ—†โœผโœปโžทโžโœบ โฑ โž‘โ‡โ†”โ›โžชโœ โžŒโˆโœบโโž”โžดโžŽโ——โžž โœฃโž˜โ†”โ™ฃโžชโœปโž›โƒโ†”โ——โž‘โ‡โœบโฌโ†”โ——โž›โฒโ†•โƒโ†”โ™ฃโ†’โ‘ฉโžโ——โž‘โ–ฒโžŒโœฝโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†”โž›โƒโœบ โœ˜โˆโžŒโœฝโœผโœปโž›โœพโ†”โ—†โœผโ‹โ†•โƒโ†”โ—†โž‘โ‡โ†”โ—†โž”โžดโžŽโ‘ขโ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โ–ฒโž‘โ‡โ– โ—†โž‘โ‡โ†” โœ”รชโž™โœŸโœžโ€โžŒโˆโž”โ˜โž‘โž’โž™โ‚โœบโžŸโ†• โœ”รชโž™โ‚โœบโฌโžŽโž‹โœบโฌโž”โžดโžŽโœพโ†”โ—†โž›โœพโžฌโˆโ†”โ—†โž”โ‹โœบโฌโž›โœ”โ†’โ‘ฉโ†”โ——โœผโ‘ฉโžทโ™ฃโžฌโžฎโž™โ‚โž›โœพโœบโžŸโž™โ‚โžœ โ โ†”โ——โ†•โ——โณ โ โ†”รงโžŽโœพโ†”โ—†โž‘โ‡โžชโ‹โ†•โœ”โ†”โ—†โžŽ โโœ—โœ– โ†”โ——โ†•โƒโžชโ‹โž™โˆโžถโ—†โ†”โˆโžž

โœžโžโžŒโˆโœบโฌโžŽ โœบ รผ โœŽ โžฑโœ† โœ  โญ โœบ โœ† โœง โœข โžญโœกโœ โโžบ โžญโœกโœ โ˜žโ˜› โœ„โžผ โž™ โžฌโˆโ†”โ——โžถ โœบ โœ† P โ˜Ž โˆ โžบ โญ โ†”โ€โžŽโฉโ†•โƒโžŒโˆโœบโฌโžŽ โœ‘ P ๏ฟฝ โžž

โžนโ‘โž”โ˜โž™โ‡โž™ โ โžŒโœฝโž›โœพโ†•โฝโฐโž‰ โŠ โžฉโœฌโœบ โœขโคโฃโฅโœ โœงโŠ โœโœฆ โžฏ โƒ โœ‘ โ รผ โž‰ โœช โžฑ

โœ˜ โœ† โœ  โญ โœบโœŒโœ†โƒโžฉ โœง โœข โžญ โœ  โžบ โžญ โœ โ˜žโ˜› โœ„โžผ โœข โฃโž‡โœ โœงโŠ โœโœฆ โžฏ โœ‘

โœซรผ

โžฑโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‰โ‹โŠ โžฉ โœง โœข โžญโœกโœ โžŸโžบ โžญโœกโœ โ˜žโ˜› โœ„

โžผ โœข โฃโž‡โœ โœงโŠ โœโœฆ โžฏ โœบ โœ† โœ‘ โรผ

โžฑโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‰ ๏ฟฝ โœ› โœโœŒ โœ‘ โœง โœข โžญโœกโœ โžŸโžบ โžญโœกโœ โœŒโ˜› โœ„

โžผ โœ“ โœบ โœ† โœ‘ โœ‚ โ™โ–ฒโšโœปโžž ๏ฟฝ โœต โฑรผ

โžฑโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‰ ๏ฟฝ โž‹ โœ„ โœโœŒ รฎ โœบ โœ† โœ‘ รฐ โ โœง โœข โžญ โœ  โžบ โžญ โœ โœŒโ˜› โœ„

โžผ โžฏ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœโœ‚โœง โœ‚

รผโžฑโœ˜ โœ† โœ  โญ โž‰ ๏ฟฝ โž‹ โœ‘ โœ„ โœโœŒ โœบโœŒโœ† โ โœง โœข โžญ โœ  โžบ โžญ โœ โ˜žโ˜› โœ„

โžผ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœโœ‚โœง โœ‚ โ™โ–ฒโšโœปโžž ๏ฟฝ โ™โž™โฑ

โโžฑโœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โž‰ ๏ฟฝ โž‹ โœบ โœ† โœ„ โœโœŒ โœ‘ โ โœง โœข โžญโœกโœ โโžบ โžญโœกโœ โ˜žโ˜› โœ„

โžผ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœโœ‚โœง โœ‚ โ™โ–ฒโšโœปโžž ๏ฟฝ โ˜žโž‡โฑ

Page 155: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ™ ๏ฟฝโœŽ๏ฟฝ ๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœ‚โ˜›โœŒโ˜žโœŽโœโœ‘โœโœ’๏ฟฝโœ“โœโœ•โœ”โœ–โœโœ—โœ†โ˜Žโœ˜โœšโœ™โœ›โ˜›โœŽโœœโ˜Žโ˜žโœขโœ”โœฃโœ†โœŸโœ†โœฅโœคโ™โฏโšโœปโžž ๏ฟฝ โ™โž™โฑ รผ โž‰ โœช โžฑ

โœ˜ โœ† โœ  โญ โ–  โžปโžธ โœ‘ โœ„ โœโœŒ โฆ โžฉโœปโœบ โœ† โžฏ โœง โœข โžญโœกโœ โโžบ โžญโœกโœ โ˜žโ˜› โœ„

โžผ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏ โœโ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘ โžฏ โœซรผ โž‰ โœช

โœ‘ โ–  โžปโžธ โœ„ โœโœŒ โฆ โžฉ โžฑโœ˜ โœ† โœ  โญ โœบ โœ† โœง โœข โžญโœกโœ โโžบ โžญโœกโœ โ˜žโ˜› โœ„

โžผ โžฉโ–ฒโ‘ โžฏโ„โžฏ โœโ โžฉโ–ฒโ™ โฅโ‘ โžฏ โœซรผ โž‰ โœช

โœ‘ โ–  โžปโžธ โœ„ โœโœŒ โฆ โœบ โฆ โœโ โžฉโฏโ™ โœ‘โ‘ โžฏ โœซ

โ™โฏโšโ‹โžž ๏ฟฝ โ˜žโœฟโฑ รผ โž‰ โœ”โœ•โœ๏ฟฝ โœ„ โœโœŒ โœ‘ โ โžฑโœ˜ โœ† โœ  โญ โœบโœŒโœ† โœง โœข โžญ โœ  โžบ โžญ โœ โ˜žโ˜› โœ„

โžผโœ„โœ‚ โœ‘ โœ โœข โœโœ‚โœง โœ—โœ™ โ™โ–ฒโšโœปโžž ๏ฟฝ โš โฑ

รผ โž‰ โœชโœ‘ โœ›

โœโœŒ โœŒ โžฑโœ˜ โœ†โœกโœ  โญ โœบ โœ† โœง โœข โžญโœกโœ โโžบ โžญโœกโœ โ˜žโ˜› โœ„

โžผ โžฏ โœ โœซโšโœปโžž ๏ฟฝ โœต โ†”โžšโ†•โซโžŽโ–ผโ†’โ‘ฉโœผโœปโ†”โœฉโœ— โ โœ– โž โ… โœผโœปโœบโโžฌโžฎโž™ โ โ†”โ—†โž”โ‹โžถโ—†โ†”โฒโ†”โ——โž”โœฝโžŽโœพโž›โƒโ†” โ โ†”โžšโ†•โฝโœบโฌโž”โžดโžŽโƒโžโœ™โœ˜โˆโž›โ†โž™ โ โ†”โ——โ†•โ‘โ†’โ‘ฉโ†” โœžโœ†โ˜ŽโˆโžŒ โœŸโ‹โžŒโˆโž›โœพโžŒโžโ†’โœŒโ†”โ—†โžŽโงโ†’โ‘ฉโ†” โœžโžโžŽโƒโœบโโ†” โ โžŽ โœ• โฑ โ†•โ„โ–โœณโœฃโž˜โ†”โ—†โžœโœ โ†”โ——โ†• โœ˜โˆโœผโ‹โ†”โž“โžชโœ โžŒโˆโœผโœปโž›โ†’โ‘ฉโ†”โžšโ†•โœ”โžชโœปโž›โœพโžŒโ‘ฉโžถโ€โ†”โ——โ†•โœพโ†•โƒโœผโ‹โ†•โ‘ขโ†’โ‘ฉโžโ€โžŽโœพโ†”โ—†โž›โœพโž‘โ–ฒโœบโโž”โœปโœบโžŸโ†•โซโžŽโœพโ†”โ——โ†•โœ”โž™โˆโžชโœปโžช โ โœบ โ… โœผโœปโžโ——โ†”รงโž™โˆโœผโ‘ฉโžทโ˜›โœบโโž”โ‹โ†’โ‘ฉโœบโžŸโžถโ—†โž™โ‚โžŽโƒโž›โœพโœบโโžถโ—†โ†”โ——โ†•โ——โžžโšโœปโžž ๏ฟฝ โš โ โ†”โ——โ†• โœบ โœ† โ†•โƒโžŒโˆโž”โžดโžŽโž‹โ†’โ‘ฉโ†”โ——โ†•โœ”โžฌโžฎโž™โˆโž›โƒโœบโžŸโž™โ‚โžœ โ โ†”โ——โ†•โ‘ขโž™ โ โžโžšโž™โžฎโžŽโƒโžŒโœฝโœบโฌโž›โœพโ†”โ——โ†•โ——โณโžโ†” โโโ โ†”โžšโ†•โ‘ขโž” โœ– โœบโฌโž”โžดโžŽโƒโ†”โ——โž›โƒโžฌโžโœบโโ†”โ—†โž”โœปโž”โ‹โ†”โ—†โž”โžดโžŽโœ”โžชโ‹โž™โˆโ†•โœ”โ†’โœปโž™โˆโž”โ‹โ†• โ โ†”โ–ผโžชโœปโž›โƒโžŒโ‘ฉโ†’โ‘ฉโœผโ‹โœบ โžŽโฉโ†•โœพโžถโ—†โž™ โ โž™โˆโœบโฌโž›โœพโ†”โˆโžžโœฃ โœ– โž โœ˜โœฝโž™ โ โœบโฌโžŽโƒโžโ–ฒโ†”โ——โ†•โ„โžŽโ–ผโžฌโžโž›โœพโž™โˆโœบโฌโ†”โ–ฒโžชร”โžŒโœฝโœผโœปโž›รงโžŽโƒโžŒโœฝโœผโ‘ฉโžŽ โœ‘ โณโž˜โžŒโˆโž” โž™โ˜โ†’โœปโžŒโˆโž”โ‹โžถโ‡โ†’โ‘ฉโžโ——โž‘โ–ฒโžŒโœฝโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโž โ โ†”โ‡โž›โƒโžโžšโ†•โ„โœผ โ โžŽโœพโž™โ‚โžŽโฝโžชโœ โžŒโˆโœผโ‹โž›โ–ผโœผโœปโž”tโžชโ‹โž›โƒโžŒโ‘ฉโžถโ€โ†”โžšโ†•โƒโ†•โƒโœผโ‹โ†• โœบ โ†’โ‘ฉโ†” โ โž™โœ”โžซโžŒโˆโž›โœพโž‘โ‡โ†” โœบ รผ โœŽ โžฑโœ† โœ  โญ โœบ โœ† โœง โœข โžญโœกโœ โžŸโžบ โžญโœกโœ โ˜žโ˜› โœ„

โžผ โณ โ โ†”โž’โž›โƒโžโžšโ†•โ„โœผ โ โžŽโœพโž™โ‚โžŽ โœ˜โˆโžโ—†โž”โ‹โžโ—†โž›โ†โž™ โ โ†”โ—†โž”โž„โ†’โ‘ฉโžโžšโžถโ€โžŒโˆโœผ โ โ†”โ‡โžชโ‹โž™โˆโž›โ–ผโžชโ‹โž™โˆโ†•โœพโ†•โƒโž™ โœ˜โˆโ†” โœ— โ โž™ โ โœบโฌโž‘โ‡โœบโฌโžŽโƒโ†” โ… โœผโ‹โž™โ‚โž”ร”โ†’ โ โ†”โ——โ†•โ†’โ‘ฉโ†”โ—†โœผโœปโžทโ˜›โž‘โ‡โ†”โ—†โž‘โž“โžœโ‹โž›โƒโ†”โžšโ†•โœ”โ†’โ‘ฉโ†” โ โœ– โž โœ˜โžดโž™ โ โœบ โžŽโœพโžโ–ผโžถโ€โžŒโˆโž”โžโžฌโœฝโ†”โ—†โž›โ˜โœ˜โˆโ†”โ—†โž”โžดโžŽโžšโžž โœฎโ‘ โ‘ขโ‘ก โœ‚โž‹โ‘กโœซโœช โชโœถโžƒโžฃโบโœฝโ‘งโœ—โœฑโ‹โทโœตโ‘คโœ โ‘งโœปโทโ„โ‘ฆโนโธ โซโฉโžƒโœ‚โœโœถโ‘จโœณโœดโœžโœโœฏโทโ„โธโž‚โ‘งโ‘ฉโพโœ–โœฏโœŸโœฑโœปโ‘จโ‘คโธโž‚โ‘งโœปโบ โž‰โ‘ฆโœฑโœปโพโœ–โ‘งโœ”โทโƒโบโžโทโ™ฅโ‘จโ˜Žโœฒโ„โžƒโžฃโบโœฏ ร• โœโžดร’โœฎโปโžฎร–โœ‘โท ร˜โžคร™โž˜รšโžฆร›โœ—โœธ รโœปโ รฅโ€รžรงร รขรคร”รกโžณรตโ†โ…โˆรจโƒรฌ รฒ รฅโชรž โœ› รฅโ—†รก โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ รฉโ†รŸโœ โœŸรขรคโœ รฉโ—†ร รชรญโˆรฅโ—†รคโ‹รกรซรžโชรฃโ‘ฉรจ รฒ รฅโ€รž โœŽรฆรจโƒรŸโžšรฉโœพรฅโ€รžโ†รžโชรฃโžรž โœŽรฆรจโƒรตโ—†รดโ——ร โžŸรžโชร โฏโœพ รฒ รฅโชรžโœปโ˜Ž

รโœปโ รฅโ€รžรงร รขรคร”รกโžณรตโ†โ…โˆรจโƒรฌ รฒ รฅโชรž โœ› โœโœŒ โ โœขโคโฃโฅโœ โœงโŠ รฅโ€รก โœขโคโฃโฅโžก โœงโŠ รฉโ†รŸโœกโœŸรขรคโœ รฉโ—†ร รชรญโˆรฅโ—†รคโ‹รกรซรžโชรฃโ‘ฉรจ รฒ รฅโชรž โœŽโœ รจโœพรŸโ——รฉโ†รฅโ€รžโœพรžโชรฃโžรž โœŽโœ รจโœพรตโ€รดโžšร โžŸรžโชร โฏโœพ รฒ รฅโ€รžโฒรญโˆรฅ รฒ รฌโ˜›รด รฌโ‚รจโชร รชรฌโœฟโœพ รฒ รฅ โ‘ โ˜Žโœ’ รตโœป๏ฟฝโž’รŸโžฎรคโœปรžโชรกโฎรจโƒรฌโžฎรกโฎร รชรŸโžฎรค รœโœ”โž‚โžŒโˆโž”โ‹โ†•โƒโœบโžŸโ†’โ‘ฉโžโ—†โž›โœพโžŒโˆโž”โ‹โ†• โœ‘ โœผโœปโž”โœปโ†”โฌโœ”โžซโžŒโˆโž”โ‹โžถโ€โžŽโƒโœบโโžŒโˆโž”โ˜โžŽโƒโ†”โžšโ†•โซโžŽโžšโžžโœ”โž‚โžŒโˆโž”โ‹โ†•โƒโœบโžŸโ†’โ‘ฉโžโ—†โž›โœพโžŒโˆโž”โ‹โ†•รซโœผโœปโž”โ˜โžชโœปโž›โœพโžŒโ‘ฉโžถโ€โ†”โ——โ†•โœพโ†•โƒโœผโ‹โ†•โ‘ขโžชโœปโž›โœพโžโ—†โžฌโžโœบโโ†•โƒโœบโโžœ โ โ†”รงโž โ โžโ——โž‘โ–ฒโ†”โ——โž”โžดโžŽโœพโž™โ‚โœบโโž›โœพโ†” โœบ โ†’โ‘ฉโ†” โ โž™ โœ”โžซโžŒโˆโž›โœพโž‘โ‡โ†”โ–ฒโฐ

โœบ รผโžฑ

โœ˜ โœ† โœ  โญ โœบ โœ† โœง โœข โžญ โœ  โžบ โžญ โœ โ˜žโ˜› โœ„โžผ

โž™ โžฌโˆโ†”โžšโžถ โ โ†”โ——โ†• โœบ โœ† โžจ โžญ โœ  โ–โฎโž‘โ‡โ†”โžšโ†•โ„โœผโœปโž›โ†โž™โ‚โžœ โ โ†”โžšโ†•โ—†โžž โ™ โžโ—†โž‘โ‡โžŒโˆโž”โžดโžŽโœพโž›โƒโ†”โ——โž› โ โž™โ›โžชโœปโž›โƒโžŒโœฝโžชโœปโž›โœพโœบโฌโžโ—†โžŽโƒโžโ–ผโ†•โ„โœผโ‹โž›โ‘โžถโ€โ†”โžšโ†•โœ”โžชโœปโž›โœพโžŒโ‘ฉโžถโ€โ†”โ——โ†•โœพโ†•โƒโœผโ‹โ†•โœ”โ†•โ„โœผโ‡โœšโ–ฒโžŽโžšโณ โ โ†”โงโžถโ—†โž™โœฝโ†•โœฅโœ˜โˆโžโ——โž”โœปโžโ—†โž›โ†โž™ โ โ†• โœ– โžŒโˆโžœโ‘ฉโ–โžŽโƒโœบโโ†”โ—†โž”โžดโžŽโž‹โžชโ‹โž™โˆโž›รซโžชร”โž™โˆโ†•โœพโ†•โƒโž™ โœ˜โˆโ†”โœ™โœ— โ โž™ โ โœบโโž‘โ‡โœบ โžŽโœพโ†”โˆโžž

โžนโ‘โž”โ˜โž™โˆโžชโœปโžช โ โœบ โ… โœผโœปโ†” โ โž™โ–ฒโžชโœปโž›โœพโžŒโˆโžชโ‹โž›โƒโœบโโžโ€โžŽโœพโž โšโ‹โžž ๏ฟฝ โž™โ‚โœผโ‘ฉโžท โœบ โœ† โ… โœผโœปโœบโž˜โ†•โ„โžŒโœฝโž”โžดโžŽ โžจโžฃโžญโœกโœ  โ–โžณโž‘โ‡โ†”โ——โ†•โƒโœผโœปโž›โ†โž™โ‚โžœ โ โ†”โ——โ†•รซโ†”โ—†โž”โ˜โž›โœพโ†”โ—†โž‘โž’โž™โ‚โž› โ… โœผโ‹โž™โ‚โž”โžดโžŽ โ… โœผโœปโ†”โ˜Žโœง โœข โžญ โœ  โžบ โžญ โœ โ˜žโ˜› โœ„โžผ โ†”โžšโ†•โซโžŽ

โœ—โ‡โ†•โ„โœผโœปโžชโ‹โžชร”โžŒโœฝโž›โ„โžŽโž‹โ†’โœปโž™โˆโž”โ‹โ†•รซรฐ โ˜… โœ†โƒโžง โž โž‹รฐโž˜โžŒโˆโž”โœŒโž™โ™ฃโฐ โž‹ โœ„ โœโœŒ โœบ โœ† โ โœง โœข โžญ โœ  โžบ โžญ โœ โ˜žโ˜› โœ„โžผ โ–ฒ โœ‘ โœ โœข โœโœ‚

โœง รผ รฏ โœ† โœซโœ”โž‚โžŒโˆโž‘โ‡โž‘โ‡โ†” โœ‘ โ†”โ——โ†•โ„โžŽโ—โœผโœปโž”โœปโ†”โ‘ขโžฌโžฎโž™โ‚โž›โœพโœบโžŸโž™โ‚โžœ โ โ†”โœ”โž™ โ โžโ——โž™โžฎโžŽโœพโžŒโˆโœบโโž›โƒโ†”โœฝโณโ——โ†” โโฌโ โ†”โœ”โž” โœ– โœบโฌโž”โžดโžŽโœพโ†”โ—†โž›โœพโžฌโžดโœบโโ†”โ—†โž”โžดโžŽโ‘คโžชโ‹โž™โœฝโ†•โ‘คโ†’โœปโž™โ‚โž”โ‹โ†• โ โ†”โœ”โžชโœปโž›โœพโžŒโ‘ฉโ†’โ‘ฉโœผโœปโœบโฌโžŽโ‘คโ†•โœพโžถโ—†โž™ โ โž™โˆโœบโฌโž›โœพโ†”โˆโžž โŠ โž”โ‡โž›โœพโžโ—†โœบโโž”โœฅโœ•โซโ†”โ——โžถโ€โžŽโœพโž™โˆโž”โœฝโžŽโžถโ€โ†”โžšโžถโ€โœบโž˜โ†’โœปโž™โˆโž”โ‹โ†• โ โž™โ–ฒโž›โœพโ†” โ โž™โžฎโžŽโœพโœบโฌโžŒโœฝโž”โœ’โ™โ–ฒโšโœปโžž ๏ฟฝ โ™โœฉโฑ โžŒโœฝโž”โ™ฃโžŒโœฝโžœโ‘ฉโžŽโƒโœบโโ†”โ—†โž”โžดโžŽโงโฐ

โž‰ โŠ โžฉโœปโœบ โœข โฃโž‡โœ โœงโŠ โœโœฆ โžฏ โƒ โœ‘ โ รผ โž‰ ๏ฟฝ โœ‘ โœ›โœโœŒ โžฉโœปโœบโž€โžฏ โœ‚

โœ”โž‚โ†” โ… โœผโ‹โœบโž˜โž‘โ‡โžŒโˆโž”โžดโžŽโƒโž›โœพโ†” โ… โœผโ‹โ†” โœ› โœโœŒ โ†”โ€โžŽ โœข โฃโž‡โœ โœงโŠ โžถโ€โžŒโ˜žโ˜›โžฆโž”โ‹โžถโ—†โœบโโ†’โœปโ†”โ—†โž”โžดโžŽโž‹โ†•โ„โœผโœปโž› โ โ†”โ——โ†•โ‘ขโžชโ‹โž›โƒโžŒโ‘ฉโžถโ€โ†”โžšโ†•โƒโ†•โƒโœผโ‹โ†•รซโžชโœปโž›โœพโžโ—†โžฌโžโœบโžŸโ†•โ„โœบโโžœ โ โ†”โ——โ†•โ——โžž โœฎ

Page 156: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜ž โœโœโœŽ

โœ‘ โœ’โœ”โœ“โœ–โœ•โœ˜โœ—โœ™โœ“ โœšโœœโœ›โœฃโœขโœคโœ•โœฆโœฅโœ™โœ’โœ”โœšโœœโœ›โœฃโœงโœ–โ˜…โœฉโœ—โœซโœช โœฌ โœขโœ”โœ—โœซโœญ โœฎโœซโœชโœฏโœšโœฐ โœญโœฑโœขโœคโœ•โœฒโœชโœณโœšโœดโœšโœดโœ—โœ™โœš โœฎโœซโœช โœฐ โœขโœตโœงโœ–โœšโœดโœšโœโœขโœ”โœถ โœท โœงโœ–โœ“โœธโœ›โœฃโœญโœฃโœนโœฏโœš

โœบโœผโœปโœพโœฝโ€โœฟโ˜›โโƒโ‚โ„โ โœŸ โœปโ†โ…โˆโ‡โŠโ‰โ—โ‹โโ‚โœพโ– โœธโœฝโˆโโœพโ‘โ€โœฟโ˜›โœปโ†โ–ฒโ–ผโ–ฒโŠโโ—†โœฝโ€โœฟโ–โ‡โ–ผโœฝโ—†โ‰โโ‹โ—โโ——Pโ——โ‘โ€โ‡โŠโ‹โโ‚โ˜โ‘โˆโœฝโˆโ‚โ™โโƒโ–ฒโ–ผโœปโ—†โœฟโ—โœฟโ—โ‚โ˜Pโ——โ‚โ„โ…โˆโ‹โโโ——โโšโ‚โฏโœฟโ—โœฟโ—โ‘โ€โœฟโฒโฑโณโ‘โˆโ‚โ˜โœฝโˆโโ—†โ‘โ€โœฟโฒโœปโœพโ–ฒโŠโ–ฒโ–ผโโœพโœฝโ€โœฟโ˜›Pโ——โจโšโฉโ€โœฝโ€โ‡โŠโ‹โโšโโ—†โฌโญโฌโชโ‚โซPโˆโ‚โดโœฟโตโ…โ›โ‚โดโ‹โœโ‰โโ‘โˆโ‹โ—โโœ โจโดโœฟโตP โœ– โ‘โˆโœฝโ˜›โ…โˆโ‹โโโ——โโšโ‚โฏโœฟโ—โœฟโ—โ‘โ€โœฟโžโ…โœ โโœพโœฝโ€โโšโ‰โ—โ‘โˆโ‚โดโ–ฒโ›โฌโ–โœปโœพโ‹โโฑโณโ‘โˆโจโกโ…โ›โœปโ†โ‹โœธโ‘โ€โœฝโฒโœฝโˆโ โ โœปโœพโ‘โฒPโ——โจโšโ‰โโ‚โƒโ‹โโฌโชโ‡โŠโœฝโˆโ‡โขโœฟโœโ‰โ—โ‚โœพโฃ โœฃ โ‚โซโ…โˆโ‹โ—โโ——โโƒโ‚โดโœฟโโœฟโœโ‘โ€โœฟโœปโ†โ‡โ–ผโœฝโ€โœฟโ—โ‡โคโโšโโœพโœฝโ›โœฟโœโ‰โโ‹โ—โ‘โˆโ‡โŠโ‰โกโœฟ โœ– โœปโ†โ…โ€โ…โ›โ‚โดโ–ฒโŠโ–ฒโ–ผโ‚โƒโ‹โฅโœปโฆโ‘โ€โœฝโงโ…โ€โ‹โ—โโ——โโšโ‚โฏโœฟโ—โœฟโ—โ‘โ€โœฟโ™ Pโ——โ‚ โœ“โ™ฅโโœพโ‡โขโœฟโโœฟโœโโ—†โœฝ โœโ™ฆโ‡โ–ผโ–ฒโ™ฃโ‰โโ‹โ—โจโ—†โฃqโกโโœพโ‘โ›โœฟโ˜›โœปโ†โ–ฒโ–ผโ–ฒโ–ผโโœพโœฝโ€โœฟโฒPโœตโœ– โœปโœพโโ›โโ—†โ‹โPrโจโšโ‰โโ‘โ€Pโ——โ‡โ–ผโ‚โƒโ‹sโ–ฒโŠโ‚โฏโœฟโฒโ…โˆโ‹โโโœพโ…โˆโ‹โโ‡โ–ผโจโšโ‰โ—โจโฏโœฟโฒP โœ– โ‘โˆโœฝโœโ‰โ—โ‚โดโ–ฒโซโ…โˆโ‹โโโ——โโšโ‚โฏโœฟโ—โœฟโ—โ‘โ€โœฟโ–โ…โˆโ‘โ€โ‡โ–ผโœฟsPโ——โจโšโฉโ€โœฝโ€โ‡โŠโ‹sโ‘โˆโœฝโˆโ‚โ„โœฝโˆโโœพโ‰โ—โ‡โ–ผโโœพโœฝtPโ——โ‚โโƒโœปโœพโ–ฒโ–ผโโƒโ‘โˆโ–ฒโœ‰โœฟโœโ‰โ—โโ——โ โœŸ โœปโœพโœฟโœโ‰โ—โ‡โขโฑโณโ‘โˆโ‚โœˆโœปโ†โœฝโณโ‰โโ‡โ–ผโโƒโ‡โŠโ…โ€โœปโ†โ‰โ—โ‡ โœ” โ‹โ—โ‚โดโ–ฒโ–ผโœปโ†โ‰โ—โ‡ โœ” โœปโœพโ‘โ˜โ…โˆโ‹โ—โโ——โโƒโ‚โดโœฟโโœฟโœโ‘โ€โœฟโœ–Pโˆโ‚โฒโœ“โ™ฅโโœพโ‡โขโœฟโ—โœฟโ—โโœพโœฝ โœโ™ฆโ‡โŠโ–ฒโŠโ‰โ—โ‹โโจโœพโฃ โœ“โ™ฆโโ—†โ‘โˆโ‹โœผโโƒโ‚ โœ” โœปโ†โ‡โ–ผโ‹โ—โ‚โ—†โ– โ€โœฝโˆโโ—†โ‘โ€โœฟโกโœปโœพโ–ฒโŠโ–ฒโ–ผโโœพโœฝโ€โœฟโ‘โ——โ‰โ—โ‡โ–ผโ–ฒโ–ผโ‡โ–ผโœฟโ—โ‚โƒโ‹โœ‡โ–ฒโŠโ‚โ˜›โโดโœปโ†โ–ฒโขโโšโ‘โˆโ–ฒโ‘ โœปโ†โœฝโณโ‰โ—โ‡โขโโšโ‡โ–ผโ…โ€โœปโ†โ‰โ—โ‡ โœ” Pโˆโจโšโฉโ€โœฝโˆโ‡โ‘ โ…โœ โโœพโ‘โˆโ‹โœ‡โ–ฒโŠโ‚sโ…โˆโ‹โ—โโ——โโƒโ‚โดโœฟโโœฟโœโ‘โ€โœฟโœˆโ…โ›โโ—†โœฝโ€โโ‘กโ‰โโ‘โˆโ‚โƒโ–ฒโตโฌโชโœปโœพโ‹โโฑโณโ‘โˆโจsโœฟโœโโ—†โ‘โ€โœฟโœโ‘ข โœ• โœปโœพโโƒโ‚โƒโœฝโณโ‰โดโฃโœ‰โ‘ฃโ‘คโœฝโœœPโ——โ‚โดโ‹โ—โœฝโˆโ‡โ–ผโ‚โƒโ‹โ–ฒโŠโ‡โ–ผโ‚โƒโ‘โœ‰โ– โณโœฝโ€โโœพโ‘โ€โœฟ โœ” โ‚โƒโ‹โโโœพโœฝโ›โœฟโตโ–ฒโ–ผโ‚โ‘ฅโ–ฒโŠโ‡โ–ผโ‚โƒโœฝsโ‚โƒโœฝโณโ‰โ—โ‹โโ‚โ‘ฅโโšโ‚โšโ‰โ—โ‰โ—โ‚โ‘ฅโ‡โ–ผโœฝโ—†โ‰โโจ โœ˜ โ‹โโœปโœพโ–ฒโŠโ‚โœผโ‚โšโ‰โœ–โ–ฒ โœ– โ‡โ–ผโœฝโ—†โ‰โโจ โœ˜ โ‹โโœปโœพโ–ฒโŠโ‚โ‘ฆโœปโ†โ‘sโœฟโ—โ‚โƒโœฝโ›โœฟโ‘ Pโˆโ‚ โœž โ‰โ—โ‡โ–ผโ‚โƒโ–ฒโŠโ‰ โœ•โœโ‘ง โœฟโœโ‘ข โœฃ โ‚โƒโโœ โ‚โดโœฟ โœ˜ โ‘โ€โ‚โœผโ‹โโ‚โƒโ–ฒโขโœปโ‘จโ‰โโ‡โŠโ‘ฉโ—†โ‚

โœ— โโšโ‚โ‘ฅโ…โˆโ‹โโโถโโƒโ‚โดโœฟโโœฟโœโ‘โ›โœฟโƒโฃโทโกโธโฒโนโดโท โบโœ†โปโ™ฆโผโœกโœ โ‘ โฝโœ–โพโœ‰โพโž€โฟsโพโœฒโžโงโฝโž‚โบtโผโฒโญโšโพโž€โพโœ‰โผโœˆโžƒโž…โž„ โญโšโž†โ‘กโž‡โœ‰โปโ™ฆโžˆโž‰โคโžŠโœ–โž‹โœโž‰โ‘คโž‹โœโž‰ โผtโžŒโžŽโžโ‘ฆโžโœผโžโž’โž‘โˆโžโœโž“โœธโžโœผโž”โžฃโ†’โžŽโž‘โœปโ‘คโ†”โž“โœธโžโœŸโซโซโžโœโž‘โ——โžโœโž“โœธโžโซโž”โœฑโซโœšโ†โ†•โ†’ โœโกโžโœโž”โ—†โž‘โ——โ†’โœ‰โžโ˜Žโ‘คโ†”โ†’

โœ† โ‘ฉโ—†โ‚โดโโ‘ โ–ฒโŠโ‚โฏโœฟโ™ฅโœฝโˆโโ†โ‰โฅโœปโ‘จโ‰โโ‡โŠโโ—†โœฝโ€โœฟโ™ฅPโ——โ‘โญโ โœŸ โœปโ†โ…โˆโ‡โŠโ‰โ—โ‹โโ‚โตโ…โ€โ‹โ—โจโฏโโšโจโดPโˆโ‚โƒโœฝโณโ‰โดโ– โ‘จโโ—†โœฝโœ‡โ‡โ–ผโœฝโณโ‰โ—โ‹โโโถPโˆโ‘โˆโ‡โ™ฃโ‰โžโ…โœ โโœพโ‘โˆโ‹โžโ‘โ€โœฝโœ‡โœฝโˆโ โ โœปโ†โ‘โญโž™โž›Pโ——โโ—†โœฝโˆโœฝโˆโจโ™ โ–ฒโ–ผโ‚โดโœฟโ™ฅโ…โˆโ‹โโโ——โโšโ‚โดโœฟโโœฟโ—โ‘โ€โœฟโƒโ– โฑโณโ‘โ€โœปโ†โœฝโ€Psโ‡โ–ผโ–ฒโ–ผโœฟโ™ โ‚โƒโžœโถโ‡โขโœฟโœโ‰โ—โ‚โƒโœฝโณโ‰โฏโ– โ€โœฟโœโ‘โ€โ‡โŠโ‘ฉโ‘จโœปโ†โœฝโณโ‰โฅโœฟโ‘ฅโžโžžโ„โžŸโž  โžกโžคโžข โž โžฅ โž™โžงโžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญโ——โžฒโณโžžโœ‡โžณ

โžก โžข โž โžฅ โžขโถโžตโ–โžธ โž™โœœโžฆโžบโžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญโณโžปโซโžฆโžผโžฒโณโžซโ—†โžฉโ—โžฒ โžธ โžญ โžฝโœโžพโดโžšโ€โฃโŠโžพโžฏโžชqโกโโœพโ‘โ›โœฟโ™ โ–ฒโžผโžถ โœปโ†โ…โˆโ…โœ โ‚โƒโ–ฒโ–ผโ–ฒโ–ผโ‚โƒโ‹โโโœพโœฝโ€โœฟโ™ โ…โˆโ‹โโโ——โโšโ‚โฏโœฟโ—โœฟโ—โ‘โ€โœฟโ‘ โ…โ›โโ—†โœฝโ€โโ‘กโ‰โโ‘โˆโ‚โƒโ–ฒโœ‰โฌโชโœปโœพโ‹โโฑโณโ‘โˆโจโ‘ฆโฉโ€โ–ฒโŠโ‰โ—โ‹โโจโœพโฃโ›โžนโœผโœฝโœŒโ‡โ–ผโœฝโณโ‰โ—โ‹โโโถPโˆโ‘โˆโ‡โ™ฃโ‰โœ–โจโดโž˜โ—†โœปโ†โ–ฒโ–ผโ‚โƒโฌโชโ‚โดโœฝโ—†โ‰โœ–โ–ฒโ–ผโ‚โžดโ…โˆโ‹โโโถโโƒโ‚โดโœฟโโœฟโœโ‘โ›โœฟโœผโž

โžทโžžโ„โžŸโž  โžกโžคโžข โž โžฅ โžข โžต โžธ โž™โœœโžฆโžบโžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญโžŽโžฆโžฌโžปโžฑโžฎโžฃโœƒโ€โžญโšโžฆโžบโžฒโถโžซโ—†โžฉโ—โžฒ โžธ โžญ โžฝโœโžพโดโžšโ€โฃ โโ—†โžชโฑโณโ‘โˆโ‚โ‘ฅโœฝโˆโโœพโ‘โ€โœฟโœ–โœปโœพโ…โˆโ…โœ โ‚โƒโ–ฒโ–ผโ–ฒโŠโ‚โดโ‹โ—โโ—†โœฝโ€โœฟโ™ โ…โˆโ‹โโโถโโƒโ‚โดโœฟโโœฟโœโ‘โ›โœฟโตโ…โœ โโœพโœฝโ›โโ‘กโ‰โ—โ‘โ€โ‚โƒโ–ฒโคโฌโ–โœปโ†โ‹โฅโฑโณโ‘โˆโจโ‘ฆโฉโ€โ–ฒโŠโ‰โ—โ‹โโจโ‘ฅโโƒโโœพโฌโชโ…โœ โ‚โƒโœฝโ€โœฟโ—โจโœพโฃโ’ โโœพโœฝโ€โœฟโ—โ‡โ–ผPโˆโจโƒโ‹โโโœพโœฝโ€โœฟโ˜›โฌโชโœปโœพโ‡โŠโœฝโณโ‰โโ‚โƒโœฝโ€โœปโœพโœฝโ—†โ‰โงโ–ฒโ–ผโœปโžงโœฟโœโ‘โ€โ‡โ™ฃโ‰โโ‚โœœโฎโถโžฆโ†•โฐโžŽรโœ โžฉโฅรโžรโˆโžญร’ร‘ร”ร“ร–ร•โœ˜ร—โžร˜โˆร™โžฃโœปโœพโœฟโโœฟโœโโ——โโšโ‡โ–ผโจโƒโ‚รšโœปโ†โ‘tโ…โˆโ‹โโโ——โโšโ‚โฏโœฟโ—โœฟโ—โ‘โ€โœฟsโ…โ›โโ—†โœฝโ€โโ‘กโ‰โโ‘โˆโ‚โƒโ–ฒโฌโ–โœปโ†โ‹โฅโฑโ—†โ‘โ€โจโœพโ– โถโโœพโœฝโœŒโโœพโโˆโ‰โ—โ‡โ–ผโ‚โƒโœฝโณโ‰โžดโž

โžพโƒร›โถรœ

Page 157: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžพโƒร›โœ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœโœŽโœ’โœ‘โœโœ“โœ”โœ‚โœ•โœ“ โœ–โœ—โœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโœขโœœโœฃโœโœคโœ–โœฅโœžโœฆโœžโœฆโœง

โžž โžŸโž  โžก โ˜…รโœชโœฉโœ’โœซโœญโœฌ โž™โžงโžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโœโฐ ร โžญโกร รโœฏโœฎโœโœฐ โœฑโœณโœฒโœตโœด โž โœทโœถ โžฝโœโžพโดโžšโ€โฃ โœธโณโžชโœนโœปโœบโœฝโœผโœฆโœพโ€โœฟโ‚โโœ›โƒโœโ„โœตโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โ‹โ† โ—โ– โโ‘โ โ–ฒโ—†โ–ผโ–โ–ผโ——Pโ™โ˜โ‹โšโฏโ–ฒโฒโฑโณโ˜โ‹โจโฒโฉ โžฆโžผโžซโ—†โžฉ โžธ โžญโญโฌ โžธ โž™โžงโžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญโซโชโตโดโตโฑโœโ›โ–โ–ฒโœ’โฉโโดโœ•โžโœโกโ—†โžฆ โœƒโˆโžญโขโ–ผโœญโจโฒโฃโœชโคโœโฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโž€โžจโœคโฆโ™ โงโ€โ™ฅโ— โž™โ™ฆโชโ™ฃโดโตโฑโœคโฑqโคโตโ˜โ‹โ–ฒโœ’โฉโˆrโฒโฃโœชPsโ–ฒโœ’โ˜tโคโœ‰โชโœšโ›โœˆโ–ฒโฒโฉโœญโดโ‘Pโœ‡โชโ‘ โดโ˜žโชโ™ฃโฉโโดโ‘โจโฒโ‘กโ‘ฃโ‘ข

โž™โžงโžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโฅโžซโฏโžญ โžก โง โ‘คโžŽโžซโ‘ฅโฆโœœโžจโœโฆโ– โงโ— โž™โ‘ฆโฉโœฝโ โช โ™ฃ โ–ผโ——Pโœ‡โจโœ’โดโ™ฃโชโœŸโ–ผโโ–ฒโœณโดโ‘งโดโตโฃโœชโคโ‘งPโœ‡โ–ฒโ‘จโ›โฒโ˜โ‹โ–ฒโ˜žrโœโจโœ’โฉโ——โ–ฒโฒPโœ‡โชโœฏโ‘ข

โž™โœœโžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโ—โžจโœโžญโœโ‘ฉโทโถ โ‘คโœ โžจโตร•โœ”โธ โงโˆโžฉโ—โฐโขโนโ—โปโบโขโจโฒโฃโœชโคโ‘โฑโผโจโฒโฃโœชโฑโœ‰โžจโœโฝโ– โงโœญโพโญPโœ‡โ–ฒโœฃโฟโ™ฃโจโฒโฉโ——โšโ˜žโฑโณโ˜โ‹โจโฒโฉโœ”โ‘ข

โž™โœœโžฆโžบโžจโ‘กโžฉโ˜žโž€ โžญโœฑร‘ โธ โงโ€โžฉโœโžจโ™ฃโธ โžฎโ€โฌ โžโžซ โžฎโ€โฌ โž™โœœโžฆโžบโžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญโชโ™ฃโดโตโฑโœ•โšโฏโž‚โœˆโ›โœชPโœ‡โž‚โ˜žrโœโ™ฅ

โžƒ โ™ฅโœโบโขโจโฒโฃโœชโคโ‘โฑโผโจโฒโฃโœชโฑโ™ฆโžซโ‘ฅโฝโ– โงโž„Psโ–ฒโœŸโฟโ™ฃโจโœ’โฉโž…โšโ™ฃโฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโž†โ‘ขโž™โžงโžฆโž‡โž€โ–ผโžฉโโžซโžฏโžญโ‘ ร‘โžˆโธ โžซโœพโžฉโ—โฐโ‘ โธโž‚โžฎโ——โฌ โž โชโ™ฃโดโตโฑโœโž‚โžŠโž‰โœณโ–ฒโฒโคโตโ˜โ‹โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโžŒโž‹โฏโจโœ’โคโตโฉโ——โžโฏโชโžจ โžฎโ——โฌ โž™โžงโžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโฅโžซโฏโžญ

โžŽโ‘งโžโœ’โœพโโœผโœ›โžโœ’โžโ‹โž‘โœโœฟโ‚โž‘โž’โ†โœชโ‡โž“โ‰โณโ†โ†’โž”โœฝโจโœ’โฃโˆโดโ‘Pโžฃโ โ†”โœชโ†•โ—†โ–ผโœญโจโฒโฑtโ†” โœ“ โดโ˜žโช โžƒโœˆโž™ โ™ฅ โžƒ โพโœPโœ‡โชโตโดโœโ–ผโž…โคโœ‰โจโ‚โšโฏโชโ™ฃโดโฏโดโฏโฃโˆโดโœ–โžž โžŸ โชโ˜žโฑ โžทโžž โžŸ โดโ˜žโจโœ’โฉโ€โฑโœโž‹โ˜žโ˜โ‹โชโ™ฃโฉโž’โ›โœˆโžโณโž›โœกโฉโโ˜โœทโดโ˜žโ™ฅโžœโœฃโžโž“โ…โˆโžžโž†โœผโ˜ŽโžŸโ‹โ…โž โ†โžก โ…โ›โœปโ†โ‹โ—โ‰โ—โ‡โ–ผโ‹โ™ Pโˆโ‚โ‘ฆโ–ฒ โžถ โ‚โšโžœโ——โ…โˆโ‹โโ‚โดโœฟโโœฟโœโ‡โ–ผโโœพโœฝโ™โžฝโœโžพโดโžšโ€โฃ โœธโณโžชโฅโ– โ——โโœพโœฝsโ…โ›โ‚โดโ‘โ——โ‰โœ–โ‹โ—โ‚โดโฌโชโœปโœพโ‹โโฑโณโ‘โˆโ‚โดโ‹โ‘ โฑโณโ‘โˆโ‚โžดโโƒโ‚โšโ‰โœโ‰โโ‚โžดโโšโ–ฒโขโœปโœพโœฟโโœฟโœโ‚โ‘ฆPโ——โ‚โ‘ฅโ…โˆโ‹โ—โโ——โโƒโ‚โดโœฟโโœฟโœโ‘โ€โœฟโตโ‹โโ‚โดโโšโโ—†โ‘โˆโ‘ฉโถโ‹โ—โ‚โœผโ–ฒโŠโ‚โžข โœฟโœ‰โžคโˆโโ†โ‰โœคโžฅโ™ฆโโ—†โ‡โ–ผโœฟโโœฟโ—โโœพโœฝโ–โ…โˆโ‹โโโ——โโšโ‚โดโœฟโโœฟ โžข Pโ——โจโƒโ‘ฉโ—†โ‚โƒโ–ฒโ–ผโโœพโ…โˆโ…โœ โจโซโ…โ›โœปโ†โ‹โœธโ‚โƒโžœโ——โ‚โƒโฌโชโ…โˆโ–ฒโ–ผโ‚โœผPโˆโœปโœพโœฝโ€โœฟโœธโ–ฒ โžถ โœปโ†โ‹โ—โ‰โ—โ‡โขโโšโ–ฒโ–ผโ‚โœผPโ——โ‚โ‘งโžฆโ——โœปโ†โฌโชโโœพโ‹โโโ——Pโ——โœฝโˆโ‡โŠโ‰โโœฟโœ‰โžงโˆโžจโœ—โžฉโ–ผโžพโฏโโœˆโœธโœณโžซโœ โ‚โƒโ‰โ™ โฑโณโ‘โˆโ‡โ†”โโšโโ—†โ‹โœโ‘ขโ‹โ—โ‚โฏโœฟโœโ…โœ โโœพโœฝโ›PโžŠโžญโœˆโ‘โˆโœฝsโœฝโˆโโœ’โžจโ—†โœปโœพโ‘โฒPโ——โ‚โœผโ‰โž‡โžจโณโ…โœ โ‚โ‘ฅโโšโโœพโœฝโถโ‘ฉโ—†โโœพโ–ฒโ–ผโ‘โ——โ‰โ—โ‡โ–ผโโœพโœฝโคโฃ โ’ โ‚โซโ…โˆโ‹โโโ——โโšโ‚โฏโœฟโ—โœฟโ—โ‘โ€โœฟโœธโœปโญPโ——โจโžฃโžฏโžฃโžญโ‘โžฒโžบโœปโ†โ‡โŠโ‰โ™ โ…โˆโ‹โ—โ‚โดโ‘โˆโ‘ฉโœพโ‚โ‘ฆPโ——โ‚โ‘ฆโโ›โ‚โฏโœปโ†โ‘โ€โโƒโโœพโ‘โˆโ…โ˜›Pโคโžถ โ‡โ–ผโœฝโณโ‰โ—โจโƒโ‹โ—†โžณโšโ‰โœฝโˆโโ†โ‰โฅโœปโ†โฌโชโฌโชโ‚โƒโœฝโณโ‰โœ–โ‚โƒโœฝโœŒโฌโ–โœปโ‘จโ‰โ—†โžคโˆโจโƒโฌโ–โœปโ‘จโ‰โโ‡โ–ผโฑโณโ‘โˆโ‚โฏโœฟโ‘ โฉโ€โœฝโ€โœปโœพโœฝโ€โโšโ‡ โ‘ง โ‹โโ‚โดโœฟโดโฃ

โžœโœฃโžโž“โ…โˆโžžโž†โœผโ˜ŽโžŸโ‹โ…โž„โžตโžนโœผโœฝtโ…โ›โ‚โดโ‘โ——โ‰โœŒโจโƒโž˜โ—†โœปโœพโ–ฒโŠโ‚โดโฌโชโ‚โƒโœฝโณโ‰sโ…โˆโ‹โโ‚โƒโœฝโ›Pโ——โ‹โ—โ‚รšโโšโโœพโฌโชโฌโชโ‚โ™โœฝโ€โโœ’โžจโ—†โœปโ†โ‘โœดโ–ฒโ–ผโ‚โ™โœฝโ€โโœ’โžจโ—†โœปโ†โ‘tPโˆโจโšโฉโ€โœฝโˆโ‡โขโœฟโโœฟโ—โœปโœพโœฝโ—†โ‰sโ–ฒโŠโ‚โžฑโฌโชโโœพโ‘โˆโ‘ฉโ—†โ‚โƒโฌโชโ‚โƒโœฝโณโ‰โœ—โžธโ‘ โ‹โโโœ’โžบโœ–โœฝโˆโ‡โŠโ‚โดโœฝโžฒโ†•โ‹โโœปโ—†โโ‘กโ‰โโ‡โŠโโ—†โœฝโˆโœฝโ€โœปโ†โ‡โ–ผโ‹โโ‚โ˜›โžโคโž™โž†โžปsโžผโœคโžฝโฅโฃโž€โžนโœผโœฝโžฑโœปโ†โ…โˆโ…โœ โ‚โƒโ–ฒโ–ผโ–ฒโŠโ‚โดโ‹โโœปโœ—โžฅโ‘คโ‹โโโ——โโšโ‚โดโœฟโโœฟโ—โ‘โ€โœฟโ‘ฅPโ——โ‚โžพโžฅโ™ฆโโ—†โ‡โ–ผโœฟโโœฟโ—โโœพโœฝโ‘ฃโžšโ€โ‹โโœปโ—†โโ‘กโ‰โ—โ‡โ–ผโโœพโœฝโ€โœฝโ€โœปโ†โ‡โ–ผโ‹โ—โ‚โœ‡โ–ฒโŠโ‚โชโ…โˆโ‹โโโ——โโšโ‚โฏโœฟโ—โœฟโ—โ‘โ€โœฟโ‘ฅPโ——โจโšโฉโ›โœฝโˆโ‡โžโ…โ€โœปโ†โ‹โžฝโœโžพโฏโžšโˆโฃโ–ผโžพโฏโžชโ‘ฆโ‚โšโ‰โญPโ——โโœพโœฝโณโ‰โœˆโ–ฒโ–ผโ‚โฒโ…โˆโ‹โโโถโโƒโ‚โดโœฟโโœฟโœโ‘โ›โœฟโžดโ…โ›โโ—†โœฝโ€โโ‘กโ‰โโ‘โˆโ‚โƒโ–ฒโ‘ โœฟโœโโ—†โ‘โ€โœฟโœ•โžฏโœโœปโ—†โโšโ‚โƒโœฝโณโ‰โœˆโ‚โฏโœฟโœโ‰โฆโ‘โ€โœฝ โ…โˆโ‹โ—โโ——โโƒโ‚โดโœฟโโœฟโœโ‘โ€โœฟโฆPโ——โ‚โžŠโžฅโ™ฅโโœพโ‡โขโœฟโ—โœฟโ—โโœพโœฝโžฃPโ——โ‚โฒโ…โ›โœปโ†โ‹โฅโœปโ†โฌ โ‘ง โ‰โโ‹โ—โ‚โžŠโžชโœฝโˆโโœพโœฝโงโœฝโˆโจโฏโโšโ‚โดโœฟโโœฟโโœปโ†โ‡โ–ผโ‹โ—โ‚โดโฌโญโ‚โดโœฝโณโ‰โ™ โโƒโโœพโœฝโ€โœฟโœโ‰โโœปโœพโœฝโ—†โ‰โฏโฃ

โžถโ‘จโ…โˆโžžโžŒโžนโœชโžโœ’โž˜โœฝโžดโœ›โ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โ‹โ†โžทโโ‘โ โ†”โœชโ†•โ—†โ–ผโœญโจโฒโฑtโ†” โœ“ โดโ˜žโช โžƒโœˆโž™ โ™ฅ โžƒโœฅโžฌโตโžฎ โช โ™ฃ โšโ™ฃPโžฑโฃโœชโฑโœฆPโœ‡โชโœšโšโฏโ–ฒโœณโดโ‘ โ›โœ’โฃโž„โฉโž…โจโœ’โ†•โœˆโ–ฒโœ’โฃโฒโž™โžŒโžปโœ‡โžผโœโžฝโ‘ฅโ–ฒโœ’โž‰โœ’โชโ—†โšโœโœƒโโ‘ฉโฎโ’โก โ™ฅโžœโœฃโžโž“โ…โˆโžžโž†โœผโ˜ŽโžŸโ‹โ…โœปโฐ

โžนโœผโœฝโ™โ…โœ โ‚โƒโ‘โ——โ‰โ‘ฅโจโƒโž˜โณโœปโ†โ–ฒโ–ผโ‚โƒโฌโชโ‚โƒโœฝโณโ‰โœผโ‡โ–ผโœฝโณโ‰โ—โ‹โโโ——Pโ——โ‘โˆโ‡โ–ผโ‹โ—โ‚โœ‡โ‘โˆโœฝโ™โ…โˆโ‹โโโ——โโšโ‚โฏโœฟโ—โœฟโ—โ‘โ€โœฟโซPโˆโ‘รšโœฟโœโ‰โž‡โžจโณโ–ฒโ–ผโ‚โชโžนโœผโ‹โโœฝโ€โœฟโœโ‰โ—โ‚โดโ‡โŠโœฝโ——โ‘ขโฅรโกโ–ฒsโžคโˆโ‚โดโœฝโณโโœ โ‚โดโโฏโžงโœŒโ‚โดโœฝรšโโšโโ—†โœฝโ€โœฟโ—โ‡โ–ผPโ——โจโดโ‹โโœปโœพโœฝโณโ‰โซโ–ฒโŠโ‚โœฝโˆโโœ’โžจโ—†โœปโœพโ‘โ™โž โžฆ โžซโœพโžฉโ—โžจโœโžญโ– โฌ รโœ’ร‘ โžป โž โผร’ โžณ โžฝร“ โ‘โˆโœฝโˆโ‚โœˆโโƒโโœพโœฝโ€โœฟโœโ‰โโœปโœพโœฝโณโ‰โ—โ‚โ‘ฆโ…โ›โโณโœฟโœโ‡โŠโ‰โ—โ‡โ–ผโ‘ฉโœพโ‚โ—†โฃโ›โžนโœผโœฝโงโ–ฒโ–ผโ‚โ‘ฅโœฝโˆโโ†โ‰โโ‚โƒโ‹โฅโœปโชโžžโž’โžปโœ‡ร”โœ›ร•โœฝโžฝโฅโฃ

Page 158: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœ’โœ‘โˆโœ“โœ‡โœŽโ–โœ“โžŠโœžโœฆโœŒโ‘โœ˜โ‘โœ‚โœ›โœโœคโœ–โœญโœ–โญโœ™โœ›โœ–โœฅโœœโœฃโœโทโœžโœโœ˜โœโœ โžฃโœ–โœญโœ–โž“โœ˜โœ๏ฟฝโœขโœงโœ›โœ โœ„โœ‚โž“โ˜›โ˜ŽโœŒโœ†โ˜Ž โžพโƒร›โœžโœโž‰โคโžŠโœ–โž‹โœโž‰โ‘คโž‹โœ โœŸ โœกโ˜žโ˜›โˆโž“โœโœŒโœŽโ˜›โ€โžโœโžŒโžŽโž‘โ——โžŒโœ‰โž”โžฑโž‘โœžโ˜›โœ‘โœโœ“โœ’โณโ†’โœ•โœ”โœ โž‘โ——โž“โœโ˜›โ›โžโœโ†’โœ•โœ–โœ—โœ–โœโ†’โœ‰โž”โžŽโ‘งโžโœ’โœพโโœผโœ›โžโœ’โžโ‹โž‘โœโœฟโ‚โž‘โž’โ†โœชโ‡โž“โ‰tโžต โ— โžž โžŸ โฉโœฝโ โชโตโดโตโฑโž“โ–ผโœญโ–ฒโœ’โดโ‘ฅโฃโœชโฉโžพโ–ผโ——โคโœ‰โจโœตโšโฏโชโตโดโฏโดโตโฃโˆโดโœคโ–ผโœญโจโฒโฉโ——โšโ˜žโฑโณโฃโโชโ˜žPโœ“โœ˜โœฏโ–ฒโœ’โคโœ—โœ™โ˜žโฃโโžโ‚โ™ฅโ—โ™ โž”โ——โ˜โคโž™โ™ฆโชโ™ฃโดโฏโฑโœ•โšโฏโจโœ’โฉโโฑqโ˜tโฉโโฃโˆโพโžž โžŸ โ–ฒโžŠPโœ‡โชโ™ฃโดโœšโœ˜โœœโœ›โœขโœ˜โžพโชโ™ฃโดโœโ˜tโฉโโดโตโฑโผโ–ฒโฒโฉโโฑโณโดโ‘โ›โ–โชโ‘ฅโดโ˜žโ–ฒโฒโฃโœชโฑโœฃโœ™โ˜žโฃโโชโกโžžโž’โพโ—โ™ โž”โ——โ˜โคโž™โ™ฆโชโ™ฃโดโฏโฑโœคโฉโโฃโœชPโœฝโดโตโฃโœชโคโ‘งPโœ‡โ–ฒโœ—โ›โœ’โ˜โ‹โ–ฒโ˜žrโœโจโœ’โฉโž…โ–ฒโœ’Pโœ‡โชโœฏโชโ˜žโฑโœคโดโฏโ˜โคโž™ โชโตโดโตโฑโœโšโฏโจโฒโฉโโฑqโ˜tโฉโโฃโˆโพโžž โžŸ โชโ™ฃโดโตโฑโœโšโฏโจโœ’โฉโ€โฑโณโ˜tโฉโ€โฃโโ™ฅโœค โโœ›โž‘โœโœพโ€โžโœ’โƒโˆโžžโžŒโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โ‹โ† โž”โž…โจโฒโฃโˆโดโ‘ฅPโœ‡โชโตโดโ‘ฅโ†”โˆโ†•โ—†โ–ผโโจโœ’โฑ โ†” โœ“ โดโ˜žโชโตโด โžƒโœˆโž™ โ™ฅ โžƒ โพโขPโœ‡โชโœฃโ–ผโ——โคโœ‰โจโœตโšโฏโชโตโดโฏโดโตโฃโˆโดโœผโžž โžŸ โชโ™ฃโดโตโฑโœฃโž‚โœ—โž‰โœณโ–ฒโฒโคโตโ˜โ‹โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโ‘จโž›โœฆโฉโโ˜โ‹โชโ‘ โดโตโฃโœชโคโ‘ Pโœ‡โชโ™ฃโดโœšโšโฏโจโœฅโœ˜โœงโœฆโ–ผโœญโ–ฒโ–โšโ™ฃโฑโณโดโ‘ โ›โœˆโชโœโžโขโ™ฅโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโ’ โ‚โฆโ…โˆโ‹โโโ——โโšโ‚โฏโœฟโ—โœฟโ—โ‘โ€โœฟโœผโ‚โดโœฟโœโ‰โ‘ฅPโ——โจโƒโฉโ€โœฝโˆโ‡โžโโšโโ—†โฌโชโฌโญโ‚โญโ‘โˆโœฝโˆโ‚โญโ‡โ–ผโœฝโ—†โ‰โโจโƒโž˜โ—†โ‹โโœปโœพโ–ฒโŠโ‚โฆPโˆโ‚โžพโžฆโณโ‰โโ‡โŠโ‚โดโ–ฒโ™ฃโ‰โณโžฏ โ‘ง โœฟโœโ‘ขโœชโœฉโœ‰โ‚โƒโโœ โ‚โดโœฟโ—โž˜โœพโ‘โˆโ‚โญโ…โ€โœปโœพโ‹โœผโ‹โฅโœปโ†โ…โˆโ…โœ โโœพโ‹โ—โ‰โœโžญsโ‘โˆโœฝโ‘ฃโžฅโœฆโžฅโœฌโœซ โฃโœ“โœฉโคโ‚โ‹โ—โจโฏโœฟโœโ‘โ€โ–ฒโ™ฃโ‰โฅโœปโ‘จโ‰โœ–โ‚โƒโœฝโœŒPโ——โจโดโโƒโโœพโ‘โˆโ–ฒโ–ผโ‚โœพโฃ โœญโžถโ‘จโ…โˆโžžโžŒโžนโœชโžโœ’โž˜โœฝโžดโœ›โ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โœทโžต โโ‘โ โ†”โœชโ†•โ—†โ–ผโœญโจโฒโฑtโ†” โœ“ โดโ˜žโช โžƒโ–โž™ โ™ฅ โžƒโž’โžฌโตโžฎ โ–ฒโœณโดโฏโดโตโฃโœชโคโœ‰โชโœฅโž‚โ˜›โžž โžŸ โ›โž“โ โœ›โ˜žโฑโณโคโœ‰โชโœ—Pโ™โ˜โœฎโœ˜โœšโ˜tโฑโฅโžโœฅโž‚โœฅrโœโ–ฒโœ’โฃโโšโฏโ†”โœญโชโœตโ™ฅโœ•โž”โ€โ˜โœโ›โœˆโชโ‘ฅโ–ผโ——Pโ™โฃโˆโดโฆโž™ โชโตโดโตโฑโšโฏโจโœ’โฉโโฑqโ˜tโฉโโฃ โž‚โœ—โ›โœ’โคโœ‰โจโฒโ˜tโฑโผโชโœšโ–ฒโœ’Pโœ‡โจโฒโคโฏโดโ‘ฅPโœ‡โชโขโ–ผโ——โคโœ‰โจโœตโšโฏโชโตโดโฏโดโตโฃโˆโดโกโžž โžŸ โชโ™ฃโดโตโฑโœโšโฏโž‚โœˆโ›โœชPโœ‡โž‚โ˜žrโœโ™ฅโž‰โคโžŠโœ–โž‹โœโž‰โ‘คโž‹โœ โœฏ โœฐโœฑโœโœฒโœ–โœ—โœ”โœดโœณโœตโœ–โœงโœถโกโ†’โœ‰โž”โœธโœท โž“โœฌโœท โ†’โœ‰โžโตโž‘โ——โž”โžฃโ†’โคโž‘โœธโœถโกโ†’โœนโœ–โœ„โœโœปโœบโโž“โตโžโœตโœ”โœ โž‘โˆโžโœโž“โœธโžโœผโœถโซโ†’โœฝโœ”โ†”โž“โœฟโœพโ€โœโœฒโ˜›โ€โžโโœโžโžโœตโœ”โ†”โ†’โœค โโœ›โž‘โœโœพโ€โžโœ’โƒโˆโžžโžŒโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โœทโžตโƒโ‚โœ•โฉโž โ–ฒโœฏPโœ‡โชโ‘ โคโœ‰โžโ™ฃโดโตโฃโœชPโ™โฑโผโ–ฒโฒโฑโœกโดโตโฃโœชโ˜tโž‰โœ’โ–ฒโœ’โฉโโฑโŠโ–ผโโจโœ’โฃโœชโคโ‘งโฑโผโจโฒโฃโœชโฑโœ‰โžจโ‘ ร•โž†โธ โงโ€โžฉโœโฐโขโนโœโชโ˜žโฑโœฆโฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโž€โžจโœ„โ„โคร•โž’โธ โงโ€โžฉโœโฐโขโนโœ•โ‘ขโ— โ…โ‡โ† โžทโžžโ„โžŸโž โ‰โˆ โžก โงโ—

โ…โŠโ†โ‘กโžฆ โžทโžžโ„โžŸโž  โžญ โก โˆ โžกโž…โžข โž โžฅ โžข โžต โžธ โก โž™โœœโžฆโžบโžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญ โก โœƒโคโžฆโžบโžฒโถโžซโœพโžฉโโžฒ โžธ โžญโžก โžข โž โžฅ โž™โœœโžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโฅโžซโžฏโžญ โก โžทโžชโ™ฆโžฆโžบโžฒโถโžซโžฏโžญ

โ—โ‹โœšโ—โ– โ โžฆ โžทโžžโ„โžŸโž โŠโ โžทโžžโ„โžŸโž โ–ฒโ‘ โžญ โžกโž…โžข โž โ—†โ–ผโณโž  โ‘โžฅ โžข โžต โžธ โก โž™โœœโžฆโžบโžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญโœโž™โžงโžฆโ†•โžจ โ„ โžฉโโžซโžฏโžญโˆโœƒโžŽโžฆโžผโžฒโณโžซโ—†โžฉโ—โžฒ โžธ โžญ

โžกโž…โžข โž โ—†โ–ผโณโž  โ‘โžฅ โž™โœœโžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโฅโžซโžฏโžญโœโž™โœœโžฆโžบโžจ โ„ โžฉโฅโžซโžฏโžญ โžทโžชโœ‰โžฆโžผโžฒโณโžซโžฏโžญโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโ’ โ‚โดโœฟโœโžฒโ†•โโ—†โ‹โ—โฌโœ‡โ‘โˆโ–ฒโŠโ‚โฏโœฟโœ–โœฟโœโโ—†โœฝโณโ‰โœ–โโƒโโœพโœฝโˆโœฝโถโ‘โˆโ‚โฏโœฟโ™ โœฟโœโโ—†โ‘โ€โœฟโ™ โ–ฒโŠโ‚โžดโœฝโ€โโœพโฌ Pโ——โ‚โ‘งโžฒโ†•โโ—†โ‹โ—โฌโœ‡โ‘โˆโ–ฒโ–ผโ‚โดโœฟโœ–Pโ——โ‚ โ’ โœปโ†โฌโชโ…โˆโโœ โ‚โƒโ–ฒโ–ผโ–ฒ โฃโ’ โ‚โƒโ…โœ โ‚โƒโœฝโ€Pโ€โœปโ†โœฝโณโ‰โดโ– โˆโโ—†โœฝsโ…โœ โ‚โƒโ‘โˆโ‰โœผPโ——โโœพโœฝโ€โœฝโˆโ‚โƒโ‹โœ–โ‘โˆโœฝโ€โ‚โžดโ‡โ–ผPโ——โจโดโ‚โœˆPโ——โ‚โžดโ–ฒโขโœปโญPโˆโจโƒโฌโชโโœพโœฝโ€โœฟโœโ‰โ—โ‹โฅโœปโ‘จโ‰โโ‡โŠโโ—†โœฝsโ‚โดโœฝโœŒโ‘โ——โ‰โ—โ‡โ–ผโ–ฒโŠโ‡โขโœฟโโœปโ†โœฝโณโ‰โกโ–ฒโŠโ‚โ‘ฅโ–ฒโ–ผโ‚โƒโฌโชโฌโชโ‚โœˆโœฟโœโ‘โ€โ‡โŠโ‘ฉโ‘จโœปโ†โœฝโณโ‰โซโฑโณโ‘โˆโ‡โคโ‚โฏโœฟโœโ‰โ‘โˆโœฝโœŒโ‹โ—โจโฏโœฟโœโ‘โ€โ–ฒโ™ฃโ‰โฅโœปโ‘จโ‰โ™ โ‰โ—โ‹ โ‘ง โœฟโ™ โ‡โ–ผโœฝโณโ‰โ—โจโƒโ‹โโ‚โดโœฟโโœฟโโœปโ†โœฝโณโ‰โ‘ โ‚โดโœฝโงโœฟโ—โโœพโ‡โžโžโ– โœฆโ…โˆโžžโžŒโžžโžŒโ…โ‘ฃโ†โˆโ‡โŠโ‰โ‹โ† โž”โ——โ˜โโ–ผโโจโœ’โฃโœชโคโ‘โฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโœฟโ–โœ‡ร•โž’โธ โงโˆโžฉโœโฐโœŸโนโœ•โจโœ’โฉโœ”โ–ฒโœ—โ‘ข

โžข โœฑโžฅ โžข โžต โžธ โก โž™ โก โžฆโ–ฒโ–โ‘จโžฉโโžซโžฏโžญโ—โœƒโžŽโžฆโžบโžฒโถโžซโ—†โžฉโ—โžฒ โžธ โžญโœขโ‘ฉ โถP Pโœ‡โจโœ’โคโฏโดโฏโพโž…โ–ผโโจโœ’โฃโœชโคโ‘โฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโœฟโ–โฆร•โž†โธ โงโ€โžฉโœโฐโขโนโ——โž› โ™ฃ โžโตโพโœกPsโชโœ•โ–ผโž…โคโœ‰โจโ‚โšโฏโชโ™ฃโดโฏโดโฏโฃโˆโดโ‘ฅโ‘ข

โ——โœโ˜โšโ™โž  โžกโž…โžข โž โžฅ โžข โžตโ–โžธ โž™โœœโžฆโ—†โ–โ‘จโžฉโโžซโžฏโžญโžŽโžฆโ†•โžปโžฑโžฎ โœƒโˆโžญโšโžฆโžผโžฒโณโžซโ—†โžฉโโžฒ โžธ โžญโžดโžฉโœผโžจโตร•โž’โธ โงโ€โžฉโœโฐโขโนโฑโฏ

Page 159: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžพโƒร›โœ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœโœŽโœ’โœ‘โœโœ“โœ”โœ‚โœ•โœ“ โœ–โœ—โœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโœขโœœโœฃโœโœคโœ–โœฅโœžโœฆโœžโœฆโœงโชโตโดโตโฑโœคโฃโœชโฉโ——โชโœˆโžฆโœ„โœ‚ โž  โžญ โž  โœฉ โœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โœฑ โœถ โœฆ โœ˜โžพโ–ฒโฒโคโตโฑโณโ˜tโฉโˆrโ–โ–ฒโฒPโœ‡โชโžพโ›โœˆโชโ‘ โž‰โœณโ–ฒโฒโคโตโ˜โ‹โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโ‡โœ™โ™ฃโฃโโ–ฒโ–โ›โœ’โคโœ‰โ–ฒโฒโฑโณโ˜โ—†โœ™โ˜žโฃโโชโžพโ‘ข

โ‘ฉ โ˜โšโ™ โžฉ โ˜โšโ™ โฆ โž  โžก โžข โž โžฅ โžข โžต โžธ โก โž™ โก โžฆโ–ฒโ–โ‘จโžฉโโžซโžฏโžญโˆโœƒโคโžฆโžบโžฒโถโžซโœพโžฉโโžฒ โžธ โžญ โ‘คโœ โžจโœธร•โž’โธ โงโˆโžฉโœโฐโœŸโนโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขรโกโœฝโˆโ‚โœโžฒโ†•โโœพโ‡โขโœฟโœฃโ–โžดโฉโˆโžœโ——โจโœพโ– โถโœฝโˆโโ—†โ‘โ€โœฟโ‘ โœฟโœโโ—†โฌโญโฌโชโ‚โฏโœฟโœธโ‚โดโœฝโ˜›โ…โˆโ‹โโจโดโœฟโ—โ‚โƒโœฝโ€โโƒโ‚โ‘ฆPโคโžถ โ‘โˆโœฝโ€โ‚โœผโ‡โ–ผโœฝโณโ‰โ—โจโƒโž˜โ—†โ‹โโœปโœพโ–ฒโŠโ‚โœผโœฟโœโ‰โโโถโโฏโžคโ›โœปโœพโœฟโœโ‰โ—โ‡โขโฑโ—†โ‘โ€โ‚โซโ‹โโ‚โƒโ–ฒโขโœปโ‘จโ‰โ—โ‡โ–ผโ‘ฉโœพโ‚โดโฌโชโ‚โƒโœฝโณโ‰โœโžญโœ‡โ–ฒโ–ผโœปโœ‡โฌโชโ‚โดโœฟโ—โ‘โˆโ‹โโ‚โฌโ–โœปโ†โ‹โ—โ‰โ—โ‡โ–ผโœฝโˆโž˜โ—†โœปโœพโ–ฒโŠโ‚โชโžฆโžฌโžปโžฃโžฎโžฃโœƒโ€โžญโ™ โ‚โšโ‰โกPโ——โโ—†โœฝโ€โโ‘ฅโ‚โƒโœฝโงโ…โˆโ‹โโจโดโœฟโ—โ‚โƒโœฝโ€โโƒโ‚โ‘ฅPโคโžถ โ‘โˆโœฝโ€โ‚โžดโฌโชโœปโœพโ‹โœโ‰โโ‡โŠโœฝโ€โž˜โ—†โœปโ†โ–ฒโ–ผโ‚โœพโฃ โœญโ—โœžโœโ‘คโ‘ฉโถโ‡โขPโ——โ‚โƒโœฝโณโ‰โฏโฃโ— โ’ โโ—†โฌโญโฌโชโ‚ โ˜ โ™ โ‚โดโœฟโœโ‰โœ–โ‘โˆโœฝโˆโ‚โฒโžฆโœ„โœ‚ โž  โžญ โž  โœฉ โœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โœฑ โœถ โ‘ข โฌโ–โœปโ†โ‹โ—โ‰โ—โ‡โ–ผโœฝโˆโž˜โณโœปโ†โ–ฒโ–ผโ‚โœพโ– โถโโœพโœฝโœŒโœปโงโž

โ…โœกโœ โœโžฆ โ˜โšโ™โž  โžญ โกโ˜žโ˜› โžก โ…โžŠโธqโ‘ฉ โ˜โšโ™ โžฉ โ˜โšโ™ โฆ โž  โนโžกโœคโžข โž โžฅ โžข โžต โžธ โก โž™ โก โžฆโ—†โ–โ‘จโžฉโโžซโžฏโžญโˆโœƒโžŽโžฆโžผโžฒโณโžซโ—†โžฉโโžฒ โžธ โžญ

โ‡โ–ผโ–ฒโœ‰โœฟโ—โ‘โœโœŒโชโ‰โกโฌโชโœปโœพโ‡โŠโœฝโณโ‰โโ‚โƒโœฝโ€โœปโœพโœฝโ—†โ‰โกPโ——โ‚โžดโ…โ€โ‹โ—โ‚โดโœฝโ€Pโ——โ‹โโ‚โœŽโ– โžก โžจโ‘ โ…โœ โโœพโ‘โˆโ‹โœ–โโ—†โโ——โ‰โ—โ‚โดโœฝโˆโ‡โŠโ‹โžดโžโ…โœŽโœ โ—โžฆ โ˜ โž โž  โžญ โกโœโ˜› โžก โ…โœŽโœ โ—โžฆโžผโžžโ„โžŸโž  โžญ โกโœโ˜› โžก โžข โž โžฅ โžข โžต โžธ โก โž™ โก โžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญโˆโœƒโคโžฆโžบโžฒโถโžซโœพโžฉโโžฒ โžธ โžญ

โ— โžฆโ†”โžถ โโœพโโˆโ‰โ—โ‡โ–ผโ‚โƒโœฝโณโ‰โกโ…โ€โœปโ†โ‹โœ–โ…โœ โโœพโ–ฒโขโœปโ†โ‹โโ‡โขโœฟโ—โœปโ†โ‰โ—โ‡โ–ผโโœพโœฝโคโฃโž‰โคโžŠโœ–โž‹โœโž‰โ‘คโž‹โœ„โœ‘ โœ’โกโž“โœธโžโœตโœ”โœ โž‘โˆโžโœโž“โตโž โœ” โœโœฒโ˜›โœ‘โœ โœ”โœ โž‘โ——โžŒโœ“โ˜›โ€โžโ—โž”โ—†โž‘โ——โžโœ”โœ“โœโœณโกโ†’โœค โโœ›โž‘โœโœพโ€โžโœ’โƒโˆโžžโžŒโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰sโฐโœโž”โž…โจโฒโ˜โ‹โชโ™ฃโฉโ€โฑโคร“รšร•โœŒร—โ‘คร˜โ‘ฃโชโ˜žโฑโœธโžฆโžบโžจ โ’ โžฉโ˜žโž€โ‚โž€โ˜žโž€โดโžฉโœโžจโœรโˆโžญโ‘ ร•โž’โธ โงโ€โžฉโœโฐโขโน ร โ™ฅโž…โ โ–ฒโœ•โฟโ™ฃโจโœ’โฉโž…โšโ™ฃโฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โšโ—†โ–ฒโฒโคโœ‰โ–ฒโœˆโšโ˜žโฑโฅโžโ™ฃโคโตโ˜โœทโดโตโฑqโ˜โ—†โœ™โ™ฃโฃโโชโซโ›โœ’โฃโœฅโž‰โœณโชโฏโšโ˜žโฑโผโชโ˜žโฃโœชโคโžฆโžบโžž โžŸโž โœ–โœ• โžฉโ‚โž€โ˜žโž€โ˜žโž€โ—โžž โžŸโž  โœฒ โžญโ‘ โชโ™ฃโดโฏโฑโœ•โ‘ข

โœ— โžป โž โœ–โœ• โ˜Žโœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โœ˜ โ˜Ž โž  โœฒ โžฝ โžฆโœ„โœš โ’ โžฉโ‚โž€โ˜žโž€โ‚โž€โšโžฉโœ›โœšโœ รโ€โžญ โžก โ…โœขโœœโœฃโ‚รโœคโœšโœฆโœฅโ˜…โœงโœฉโœซโœช รโ˜…โœฌโœ”โœญ โ’ โœš โœฌ โžžโ„โžŸโž โœฏโœฎโœฑโœฐโœฒโœดโœณโœต

โžก รโœคโœšโœฆโœฅ โœœโœฃ โžข โœฑโžฅ โžข โžต โœงโœฉ รโœคโœšโœฆโœฅ โœœโœฃ โœช รโ˜…โœฌโœ”โœญ โ’ โžธ โœš โœฌ โž™โžงโžฆโ†•โžจ โœฌ โžฉโœ”โœถโ†”โžญ โœณโœต โžฎโ˜…โœท โœฐโœฒ โœƒโžŽโžฆโžผโžฒโœฆโœถโ™ฆโžฉโ—โžฒ โžธ โžญ โœณโœต

โ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโžฆโœนโœธโœฆโœบโœผโœปโœŸโœฝโœโœพโœ–ร“โžฑร•โงร—โ‘คร˜โœฟโœปโœŸโœพโฆโžฆโ†•โžจ โ’ โžฉโ˜žโž€โ˜žโž€โ‚โž€โƒโžฉโ—โžจ ร โžญโ‘ ร•โž’โธ โงโˆโžฉโ—โฐโขโน รโโ€โœ— โžป โž โœ–โœ• โ˜Žโœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โœ˜ โ˜Ž โž  โœฒ โžฝ โžฆโ‚โœš โ’ โžฉโ‚โž€โ˜žโž€โ‚โž€โƒโžฉโœ›โœš ร โžญ โžก โ…โƒโœœโœฃโ‚รโœคโœšโ„โœฅโ…โœงโœฉโ†โœช ร

โ˜…โœฌโœ”โœญ โ’ โœš โœฌ โžžโ„โžŸโž โœฏโ‡โœฑโœฐโœฒโˆโœณโœต โžฝโœโžพโดโžš โ€ ร›โถโžชโžก โ…โƒโœœโœฃ โ…โœขโœœโœฃโ‚รโœคโœšโ„โœฅโ…โœงโœฉโœซโœช ร

โ˜…โœฌโœ”โœญ โ’โ‰โ˜…โŠ โœญ โ’ โœš โœฌ ร โŠ โž™โžงโžฆโ†•โžจ โœฌ โžฉโ—โฐ โŠ โžญ โœฐโœฒโ—โ‹โ‹ โžž โžฆโ†•โฐโ‘ฆโžญ โžก โœฅ โœณโœตโโœณโœต โžฝโœโžพโดโžš โ€ รœโ—†โžช

โžนโโ– โฆโžฝโœโžพโฏโžš โ€ รœโœพโžชโ‘โœฝโ–ฒโœปโ—†โ–ผโฏโžคPโ–โ——โœฝโˆโž˜โ„โœปโ™โ˜Pโ–โœฆโšโฏโšโœ›โœบโฑโœธโœฆโœฝโฒโ– โจโณโœŸโœธโœฆโ– โฌโฉโœโœธโ„โœฝโ–ฒโœฝโ–ฒโœปโชโญโซโœปโœคโšโกโฐ โŠ โ€โตโด โžถ โ–โ——โ›โœโœพโจโ– โœ”โœปโ™โ˜โโ–โ——โ– โœ”โœพโœ†โœPโœธโ„โœฝโโšโœ”โ–โœฆโœบโžโœพโฏโกโœโ›โ–ฒโœปsโžฆโ†•โฐ โŠ โžฉโฅร โŠ โžญ โŠ โœญ โ’ โ˜Žโœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โ˜Ž โ‰ โšโœ›โœธโ„โœฝโœโœพโฉโœโœปโœ†โšโฏโขโฃโ–โ——โ– โจโœบโœผโ–โœฆโคโ–ฒโญโซโœปโœคโšโœโ–โ——โญโœผโณโœ†โ–โ——โœพโœ”โœธโ„โœบโซโ– โจโœปโœ†โšโฅโœบโœผโœฝPโฉโœโณโœ†โ˜โโœปโœ†โœฝPโฉโ–ฒโ–โœฆโœฝโ„โœพโจโœปโœ†โšโโฉโœโœปโงโฆโžพโžณโœŸโฆโœฟโœปโ—†โญโซโœธโ„โœบโฑโฉโœโœปโ™ โฉโœโœปโœŸโœฝPโšโœ”โœบโซโœพโœ”โณsโžฝโ‚โขโœฆโœธโ„โœบโซโ– โœตโœซโโœบโซโญโœผโญโซโœปโœ†โ– โฏโœปโœŸโœพโ‘งโžฆโœนโœฝโˆโžจโœโฉโœโœปโœŸโ– โซโžฉ โ™ฅโ–๏ฟฝโœณโžซโ™ฆโ˜Pโ–โ†โž˜โ„โœป๏ฟฝโœˆโœธโณโžชโซโž โžชโž€โžฆโ†•โžจโœโžญโ™ฃ โœฑโžฅ โžชโž€โžฆโ†•โžจโœโžญโœโžฒโœพโžจ โœƒโคโžฆโžบโžฒโ—†โžจโ‘กโžฉโ—โžฒ โžธ โžญ

Page 160: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœ’โœ‘โˆโœ“โœ‡โœŽโ–โœ“โžŠโœžโœฆโœŒโ‘โœ˜โ‘โœ‚โœ›โœโœคโœ–โœญโœ–โญโœ™โœ›โœ–โœฅโœœโœฃโœโทโœžโœโœ˜โœโœ โžฃโœ–โœญโœ–โž“โœ˜โœ๏ฟฝโœขโœงโœ›โœ โœ„โœ‚โž“โ˜›โ˜ŽโœŒโœ†โ˜Ž โžพโƒร›โœโ™ฅโด โœธโ„โœฝPโ–ผโ——โœโžฝโœโžพโฏโžš โ€ รœโœพโžช โžก โ…โœ๏ฟฝโฑโ…โœ‚๏ฟฝ โ‰โœ„โŠ โœญ โ’ โœทโ™ฃ โœฑโžฅ โžชโœ‰โžฆโžบโžจโœโžญโœโžฒโ—†โžจ โžข

โœฑโžฅ โžข โžต รโœ†โœšโ„โœฅโœ†โ˜Žโœฑโœช ร

โ˜… โœ โœญ โ’ โœš โœฌ โžธ โž™โžงโžฆโ†•โžจ โœฌ โžฉโœโžจโœโžญโœŸโœžโœœโœƒโžŽโžฆโžบโžฒโ—†โžจโ‘กโžฉโ—โžฒ โžธ โžญ โ‹โ‹ โžž โœฑ โžก โœฅโœกโœ โ˜›โœ โžกโœŒโ˜ž โธ โžž โœฑ โžก โงโœ’โนโœŽโœโœ‘โœโ˜…โ‰ โœญ โ’ โœทโ† โ™ฃ โœฑโžฅ โžชโœ‰โžฆโžบโžจโœโžญโœโžฒโ—†โžจ โˆ โ‰ ๏ฟฝ โžข

โœฑโžฅ โžข โžต รโœคโœšโœฆโœฅ โ˜Ž โœช ร

โ˜… โœ โœญ โ’ โœš โœฌ โžธ โž™โœœโžฆโžบโžจ โœฌ โžฉโ—โžจโœโžญ โœž โœƒโžŽโžฆโžผโžฒโœพโžจโ‘กโžฉโโžฒ โžธ โžญ โœ โ‰ โ˜ž โธ โžž โœฑ โžก โœฅโœญโน

โžนโโ–  โœธโœฆโœฝโฒโšโœ”โ–โœฆโœบโžโœพโœคโœโคโžฝโœ“โœ’โโœธโ„โœบโซโ–  โœซโฒโœบโœผโญโœผโญโซโœปโœ†โ– โœโœปโ˜žโœพโœฃโžฆโœนโœฝโˆโžจโœโฉโœโœปโœŸโ– โ‘โžฉ โ™ฅโœˆ๏ฟฝโœ’โžซ โ˜Pโ–โ†โž˜โ„โœปโ‘๏ฟฝ โœโ†โžชโ˜žโœโ–ฒโกโœโ›โ–ฒโœปโชโ˜โโœธโ„โ›โ–ฒโ– โฅโœพโœ”โœธโ„โ›โœโœพโโœฅโ˜ร•โ˜ร— โžโ˜ž โธ โžž โœฑ โžก โœฅโโน โžก โ† โ™ฃ โœฑโžฅ โžชโœ‰โžฆโžบโžจโœโžญโœโžฒโ—†โžจ โˆ โ‰โœฅโœ•โœ” รโœคโœšโ„โœฅ โ˜Ž โžฎ โžข โœฑโžฅ โžชโž€โžฆโ†•โžจโœโžญโœโžฒโœพโžจ โœž

โžฅโโ–โ——โ– โœโ–ผโ˜žโœธโ„โœฝPโšโœ”โณโœ†โกโœโ›โ–ฒโœปโœŸโœฝโœโœพโœคโœโžฝโœโžพโดโžš โ€ รœโ—†โžช โžก โœโ˜…โ‰ โœญ โžฅ โœทโœฅโœ•โœ” ๏ฟฝ โžข

โœฑโžฅ โžข โžต รโœคโœšโ„โœฅ โ˜Ž โœช รโ˜… โœ โœญ โ’ โœš โœฌ โžธ โž™โžงโžฆโ†•โžจ โœฌ โžฉโœโžจโœโžญ โœž โœƒโžŽโžฆโžบโžฒโ—†โžจโ‘กโžฉโ—โžฒ โžธ โžญ โœ 

โ‰ รโœ†โœšโ„โœฅ โ˜Ž โžฎ โžข โœฑโžฅ โžชโœ‰โžฆโžบโžจโœโžญโœโžฒโ—†โžจ โœžโžก รโœคโœšโœฆโœฅโœ—โœ– โžข โœฑโžฅ โžข โžต รโœคโœšโœฆโœฅ โ˜Ž โœช ร

โ˜… โœ โœญ โ’ โœš โœฌ โžธ โž™โœœโžฆโžบโžจ โœฌ โžฉโ—โžจโœโžญ โœž โœƒโžŽโžฆโžผโžฒโœพโžจโ‘กโžฉโโžฒ โžธ โžญโ™ฅโžฎ โžขโœฑโžฅ โžชโœ‰โžฆโžบโžจโœโžญโœโžฒโ—†โžจโœ™โœ˜

โžฅโ™ฆโœธโœฆโ›โ–ฒโ– โœ›โœšPโœฝPโœบโซโ– โœคโœโ–ฒโ–ผโ˜žโœธโ„โฆโ™ โฆโœฟโœป โ™ฃ โžตโœขโœœ โžฆโžบโžฒ โžธ โžญ โžก โœทโœฆโœโ–ฒโœธโ„โœฝ โ–โงโžโœ— โžป โž โœ–โœ• โ˜Žโœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โœ˜ โ˜Ž โž  โœฒ โžฝ โžฆโœ„โœš โ’ โžฉโ‚โž€โ˜žโž€โ˜žโž€โƒโžฉโœ›โœš ร โžญ โžก รโœ†โœšโ„โœฅ โœ– โžข โœฑโžฅ โžข โžต ๏ฟฝโผรโœ†โœšโ„โœฅโœ†โ˜Žโœฑโœช ร

โ˜… โœ โœญ โ’ โœš โœฌ โžธ โž™โžงโžฆโ†•โžจ โœฌ โžฉโœโžจโœโžญโœŸโœžโœ„โžฎ โœทโœฃโœ โœˆโœƒโžŽโžฆโžบโžฒโ—†โžจโ‘กโžฉโ—โžฒ โžธ โžญ โœ˜โœญ

โœคโœฆโœฅโ˜…โœงโœฉโœคโœชโœงโœฌโœซ โœญ โœŒโœŽโ˜›โˆโž“โœโœŒโžดโž“โœธโž”โŠโœถโซโ†’ โœ–โœ„โœโœ†โž”โ—†โž‘โœžโœโž€โž‘โœฏโœฎโœฉโœฐโœฒโœฑโœณโœฑโœตโœโ€โ˜›โœดโœฎโœถโœตโœกโœทโœชโœธ โœถโœบโœน โœ–โœ„โœโœผโœปโœฝโœต โœโœพโœตโœฏโœฎโœŸโœฐโœฟโœฑโœณโœฑ โœโœฒโ˜›โ€โœฎโœŸโœตโœกโœท โœถโœณโœนโœ•โœปโŠโœ โœ”โœดโœ” โ˜›โœฏโœฐโœฒโœฎโโœปโ‚โœปโ‚โœนโ„โƒโœทโ…โœนโœ•โœฑโœฟโœตโœฏโœปโ†โœนโ‡โœต โœถโœบโœนโœนโœ–โœ„โœโœปโœถโœณโœทโœ“โœŒโˆโœนโœ•โœฑโœŽโœถ โœโ‰โœฑโœตโœ”โ„โœนโœผโŠ โœ–โœŸโœฐโœฒโœฑโœณโ‹โ—โœตโœกโœนโœ“โ˜› โœทโ…โœนโžฅ โœธโ„โ›โ–ฒโ–  โœพโœ”โ– โฌโ–โ——โœบโซโœพโœ”โœปโœ†โ–  โญ โ– โกโ„โ›Pโœปโœ†โšโœ›โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโœกโฉโ–ฒโœปโ—†โญ โ– โšโœ›โœพโจโ–โ——โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโ–ฒโœฝโโ–โ——โ– โจโœบโžโœพโจโณโœฆโœโตโœบโซโญโ™ฆโœปโœคโš โœพโ™โœฝโ–ฒโณโœคโ–ผโ˜žโœปโœ†โšโจโšโจโ–โ——โœบโœผโ– โœ”โœปโงโฉโ–ฒโœปโœฟโšโœ”โœปโœฟโ–ผโ˜žโœธโœฆโœฝโโšโœ›โœบ โฉโœโณโœŸโ– โจโœปโœŸโ–  โ›โ–ฒโœฝโœกโ˜โ–ฒโ– โœ”โœธโœโ–ผโœŸโœปโœ†โšโจโšโœ›โ›Pโšโฉโœโœป โžฅโ™ฆโœธโœฆโœบ โšโจโšโœ›โœธโ„โœฝโ™ โžš โœบโœผโญโžโœพโจโ– โœ”โณโ– โโžž โžŸ โšโœ”โ›โ–ฒโ– โœฅโž โ–ผโœพโžถ โœปโœคโš โœพโœฅโžญโœžโฉโœโœบโซโ– โจโœป โ–ผโœŸโœธโœฆโœฝPโšโœ”โœบโœผโฉโ–ฒโณโœŸโ– โจโœปโœŸโ–  โ›โ–ฒโœฝ โ˜Pโ– โœ”โœธโœโ–ผโ˜žโœปโœคโšโœ”โšโœ”โ›Pโš โฉโ–ฒโœป โžฅโ™ฆโœธโœฆโœบ โšโœ”โšโœ”โœธโœฆโœฝ โœซโโ–โœฆโ– โจโกโœโ›โ–ฒโณโโโžž โฉโœโœปโ–ผโ˜žโœธโ„โฆโ™ โ˜โœฑโœปโœŸโœฝโโšโœ”โ–โ——โœพโœ”โœปโœŸโ›Pโ–  โโœƒโ†โœโœโฆโœฟโœปโœ†โšโœ”โ›โ–ฒโ– โœ”โœปโ™โšโœ”โ›โ–ฒโœปโ‘ฅโžโ–ฒโ‘โœฅโžโ‰โ–ผรšโžฝโœ„โœปโ˜žโœพโœโœฝPโœธโœฆโœฝ โšโœ›โœปโœ†โ›โ–ฒโญโซโœปโœ†โฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโฏโšโœ›โ›Pโ– โ‘ฅโธ โงโ€โžฉโœโฐโขโนโœฆโ‘โœปโžโ‰โ–ผโ–โ—†โ—— โPโ„โžŸโž  โžกโœคโžข โž ร’ โœ โžข โžตโœโ—— โžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญโœโžฒ โPโญโžณโœ†ร‘โชโžจโตร•โœปโžโœŽโฏ

โ˜ โญโตโœปโœ†โšโœ›โœพ โ–โœฆโญโซโœธโ„โ– โจโšโœฆโžฒโ‚โ–โœฆโ–ผโœŸโœบโซโญโœผโœป โฉโ–ฒโœปโชโฉโ–ฒโณโœŸโฆโœฟโœธโœฆโœฝโœโœพโœ”โ– โจโœปโœŸโ–  โกโœโ›โ–ฒโœป โ˜โโœธโ„โ›โ–ฒโ–  โ›โ–ฒโœฝ โœฝPโœธโœ’โžจโ„โ–โ——โ› โฉโ–ฒโ›โˆโœพโž‡โžจโœนโ˜โœฑโœป โ—— โžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญ โžกโ–ฒโ™ โžฆโ†•โžจโœ‰โžฎรšโžซโžฏโžญโœโœโœนโœปโ˜žโœพโœโšโœ”โœบโœฑโญโœผโœป โ˜โ–ฒโ– โœ”โœธโœโ–ผโœŸโœปโœ†โšโจโšโœ›โ›Pโšโšโœ›โœธโ„โ›Pโšโขโžฏโœ›โ–โ„โ–ผโ˜žโœปโœ†โœฝโ„โœพโžพโžญโโ˜โœฑโœธโœฆโ›โ–ฒโ– โœฟโ–ผโ˜žโœธโ„โฆโœฟโ˜โโœปโœ†โœฝPโšโœ”โ–โ——โœพโœ”โœปโœ†โ›โ–ฒโ–  โโœƒโคโžฆโžบโžฒโถโžซโœพโžฉโโžฒ โžธ โžญ โžก โžฒโณโžซ โœœ โžฆโžบโžฒ โžธ โžญโงโ–ผโœŸโœปโˆโ˜โ–ฒโ– โจโœธโœโ–ผโ˜žโœปโœ†โšโจโšโœ”โ›Pโš โœปโœคโš โœพโœฟโš โœพโฌโ–โฃโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝPโœฝPโ–โ——โœบโœผโ– โœ”โœป โ€โœ•โš โœฝโ…โœปโฑโฏโตโœปโ˜žโœพโ˜โโœธโ„โ›โ–ฒโ–  โœพโœ”โœธโ„โ›โœโœพโกร“โžฑร•โงร— ร˜ โœพโจโœธโœฆโ›โœโœพโฆโžฆโžบโžจ โ’ โžฉโ‚โž€โ˜žโž€โ˜žโž€โดโžฉโœโžจโœรโˆโžญโ‘ ร•โž„โž ร โœปโœŸโœพโฅโœพโœ”โœธโ„โ›โœโœพโณโฒโœŒร•โœปโž โœธโ„โœฝ โ–โจโ—†โโœ— โžปโฌโฉ โœ• rโชโญ โ˜Žโœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โœ˜ โ˜Ž โฉ โœฒ rโœ•โญ โžฝ โžฆโ‚โœš โ’ โžฉโ˜žโž€โ˜žโž€โ‚โž€โšโžฉโœ›โœšโœ รโ€โžญโœโซ รโœ†โœšโ„โœฅ โœœโœฃ โžขโตโดโ‘ฅโžข โžต โœงโœฉ รโœคโœšโœฆโœฅ โœœโœฃ โœช ร

โ˜…โœฌโœ”โœญ โ’ โžธ โœš โœฌ โ—— โžฆโ†•โžจ โœฌ โœโ›โฒโชโžฎโœŽโœถโžŽโžญ โœณโœต โžฎโ…โœท โœฐโœฒ โžฒโœฆโœถ โœœ โžฆโžบโžฒ โžธ โžญ โœณโœตโœฉโ†โœปโ™โ–ผโฏโžคPโ–โœฆโœฝโˆโž˜โœฆโœปโœ†โฆโ™ โœปโœ†โœฝโœโœพโฅโฉโ–ฒโœป โขโฃโ–โœฆโ– โœ”โœบ โ–โ——โคโ–ฒโญโœผโœป โ โซ โœถโฒโžฎโœโฒ โฉโ–ฒโœธโœฆโœฝโ–ฒโœฝโ–ฒโœป โ–โœฆโญโซโœธโ„โ– โจโšโ‘โญโœผโœปโชโ– โœ”โณโœคโšโœ›โ›โ–ฒโญโซโœพโจโ–โ——โœพโˆโ—†

โโœ— โžปโฌโฉ โœ• rโœ•โญ โ˜Žโœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โœ˜ โ˜Ž โฉ โœฒ rโœ•โญ โžฝ โžฆโœ„โœš โ’ โžฉโ‚โž€โ˜žโž€โ‚โž€โšโžฉโœ›โœš ร โžญโโซ รโœคโœšโ„โœฅ โœœโœฃ โžข โด โžข โžต โœงโœฉ รโœคโœšโœฆโœฅ โœœโœฃ โœช รโ˜…โœฌโœ”โœญ โ’ โžธ โœš โœฌ โ—— โžฆโžบโžจ โœฌ โžฎ โ โžญ โœณโœต โžฎโ…โœท โœฐโœฒ โžฒ โ โœœ โžฆโžบโžฒ โžธ โžญ โœณโœตโซโžโโœ— โžปโกโฉ โœ•โจโ˜Žโœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โœ˜ โ˜Ž โฉ โœฒ โžฝ โžฆโœ„โœš โ’ โžฉโ‚โž€โ˜žโž€โ‚โž€โšโžฉโœ›โœš ร โžญ

Page 161: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžพโฏรœโœพโžš โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœโœŽโœ’โœ‘โœโœ“โœ”โœ‚โœ•โœ“ โœ–โœ—โœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโœขโœœโœฃโœโœคโœ–โœฅโœžโœฆโœžโœฆโœงโžนโโœฝ โ– โ–โ——โญโœผโœธโœฆโ– โฌโšโœโฉโœโœปโœคโšโโ–ผโœŸโ– โœ”โœบโซโœพโœ๏ฟฝโœ†โ– โœ”โœปโœคโšโฏโšโœ”โ›โ–ฒโ–  โ—— โฉโœโœปโ—†โฉโœโณโœ†โ˜โโœปโœ†โœฝPโฉโ–ฒโ–โœฆโœฝPโ–ผโ˜žโœปโœšโžญโœดโญโซโœธโ„โœฝโˆโž˜โœดโœพโจโœปโœŸโ– โจโฆโ™ โœปโงโžฝโœ„โขโ„โœธโœฆโœบโœผโ– โœโžฆโœนโ›โ–ฒโ– โโž˜โ„โ–โœฆโœบโซโญโœผโœบ โšโฅโœปโ˜žโœพโœ„โœ‚โœ†โ˜Ž โ€ โžฉ ๏ฟฝโ†ร›โ–ฒโœโž…๏ฟฝโœˆโœธโœ’โžซ โœธโ„โ›

โœโœโ–โ——โฆโœฟโœบโœผโ– โœ”โœปโœŸโœžโœกโœ โผโžฅโ™ฆโœปโœŸโ– โจโœปโ˜›โœžโฏโœปโœŸโœพโœโžฆโœนโœปโœŸโ– โœโ˜žPโœบโœผโœฝโˆโž˜โœปโžฉโŠโžพโ—†โžพโฏรœโœตโžซโฑโ˜โโœธโ„โ›โ–ฒโ– โœโฉโœโœปโœ†โšโ™ โž˜โ„โณโœŸโœฝโ–ฒโณโœ†โ– โจโ–โœฆโญโซโœบ โšโจโ–โฃโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโโšโโžช โ˜Pโ–โ——โ–  โœปโ˜›โœŒโœนโœปโœ†โฆโœฟโ˜โ–ฒโญโซโœปโ„โœPโšโœ”โœบโœซโญโซโœปโ™โœฝโ–ฒโœธโœ’โžจโœโ–โ——โ› โขโœฆโณโœŸโ– โจโœบโกโœšPโœปโœขโ—†โ˜…รโˆโœฉโœ’โœซ โœฌ โžข โด โ™ โžฆโ‚โœถ โœ ร“โœ‰โžญ โ™ โžฆโ‚โœถโ†”โžญโœโžฒโœฆโœถ โซ โถ

โ–โ——โญโœผโœธโœฆโ– โฌโšโ‘โญโซโœปโชโ˜โ–ฒโ– โจโœธโœโ–ผโ˜žโœปโœ†โšโจโšโœ”โ›Pโšโ‘โœปโœ†โšโœ›โœพโœฃโžญโ™ โฉโ–ฒโณโœŸโ˜โœฑโœปโœŸโœฝPโฉโ–ฒโ–โœฆโœฝPโ–ผโ˜žโœปโ‘ฅโžญโ™ โญโœผโœธโœฆโœฝโˆโž˜โ™ โœพโจโœปโœŸโ– โจโฆโ™ โœป โ€โœซโโ–โ——โญsโžคโ–ฒโœปโœŸโ›Pโ– โœ”โœปโœ†โ›Pโšโœ›โœปโœ†โฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโœ†โœโโ–ผโ˜žโœปโœคโšโœฟโ–ผโ˜žโœธโœฆโœฝโโšโœ›โœบ โฉโœโณโœŸโ– โฌโ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝPโš โœฝPโœป โฉโ–ฒโœธโœฆโœฝโ–ฒโœฝโ–ฒโœปโœ†โœฝโœโœพโœฟโ–โœฆโ›Pโ–ผโ˜žโ›โ–ฒโœฝPโœป โœบโœผโœฝโœชโžฒโœ„โœธโœฆโ– โจโฆโœดโ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโ…โšโœ”โ›โ–ฒโ– โœฟโœฝโ–ฒโœธโ——โœพโจโ– โœ”โœป โ˜โ–ฒโ– โœ”โœธโœโ–ผโœŸโœปโœ†โšโจโšโœ›โ›Pโšโ˜โ–ฒโ›โ–ฒโœบ โšโœ”โกโœโ›โ–ฒโœปโชโญ โžถ โœธโ„โœฝโฒโ– โ—† PโœŽโœโฉ โซ โPโœŽโœโฉ โžฎ โPโœŽโœโžฅโžฅโ™ฆโ–โœฆโ–  โ–ผโ˜žโœธโ„โœฝโ„โœพโจโ– โœ”โœปโ„โœโ™ฆโœบโซโญโœโšโœ”โœปโœŸโ– โฌโ–โ——โœบโซโœพโœดโœบโซโœฝโœโœพโœ”โณโœ†โ– โœ”โœปโœคโšโœ”โšโจโ–โ——โœฝโœโœพโœดโฉโžŽโžถ โ– โขโœฆโœธโœฆโœบโœผโ– โœฟโฉโœโœปโœ†โšโœฟโœบโœผโœฝโœชโžฒโœ„โœธโœฆโ– โจโฆโœดโ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝPโšโœฟโšโœ›โ›โ–ฒโ– โœดโญ โ– โš โœพโฌโ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโ–ฒโœฝPโ–โ——โ– โจโœบโซโœพโœ”โณ โฉโœโœปโœ†โšโœดโ–โ„โ–ผโœŸโ–ผโ˜žโ– โจโœธโœฆโœบ โšโœโœ โšโœ›โœปโœ†โฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโจโšโ—†โ˜โ–ฒโ›โ–ฒโœบ โšโœ”โกโœโ›โ–ฒโœปโจP โœ โœปโ˜žโœพ โP โœ โœธโœฆโœฝโœโœพโ—†โญโœผโœปโœ†โšโ—†โฆโžพโžณโœŸโฆโœฟโœปโœ†โšโœฟโ–โ„โ–ผโœŸโ–ผโ˜žโ– โจโœธโœฆโœบ โšโจโšโœ›โœปโœ†โฆโ™ โœปโœ†โœฝโœโœพโจโš โ€ โžนโโ›โœโœพโœ”โ– โจโœปโˆโญโœผโœปโˆโ– โจโณโœ†โšโœ”โ›โ–ฒโญโซโœพโจโ–โ——โœพโ™ โฉโœโ›โ…โ˜Pโ–โ——โ– โฌโ–โ†โž˜โ„โ– โจโ–โœฆโ˜โœญโžคโ–ฒโœปโžพโดโžš โ€ โ โ€ ร›โโœโตโ–โœฆโ›Pโ–ผโ˜žโ›Pโœฝ โ–ผโœŸโ– โœ”โœบโซโœพโœ๏ฟฝโœ†โ– โœ”โœปโœดโšโœ”โœบโซโฆโœฟโ˜โ–ฒโญโœผโœป โšโœ”โ›โ–ฒโ–  โ—— โœฝโ–ฒโœปโœดโ˜โœฑโœปโœŸโ– โจโฆโœฟโœปโ˜žโœพโงโฉโžŽโžถ โ– โขโœฆโœธโ„โœบโซโ– โ™โญ โ– โš โœพโฌโ–โฃโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝPโœฝPโ–โ——โ– โจโœบโžโœพโจโณโœดโฉโœโœปโœ†โš โ–โ„โ–ผโœŸโ–ผโœŸโ– โœ”โœธโ„โœบโœผโšโจโšโœ›โœปโœ†โฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโจโš โ€ โžนโโœฝโ˜โโœปโœ†โ›โœโœพ โ–ผโœŸโœปโœŸโ˜โœฑโœปโœŸโœฝPโฉโ–ฒโ–โœฆโœฝโœโœพ โณโœŸโขโœฆโœธโœโกโœโ›โ–ฒโœปโœ†โ– โโญโซโœปโฏโ–ผโœ†โ–โœฆโš โฉโ–ฒโ›โ™ โ˜Pโ– โœ”โœธโœโ–ผโ˜žโœปโœคโšโœ”โšโœ”โ›Pโšโโฉโœโœปโœฃโžฅ โœธโ„โœบโœผโšโจโšโœ”โœธโœฆโœฝโซโžฒโœ„โ– โจโ–โ„โ–ผโœโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝPโœฝPโ–โ——โœบโœผโ– โœ”โœปโฅโกโœโ›โ–ฒโœบโโ˜โโœธโœโšโœ”โšโœ๏ฟฝโœ†โฉโœโœป โญ โ–โชโ˜โ–ฒโ– โจโœธโœฆโ˜โ–ฒโ– โจโœบโซโณโœŸโœพโœ”โณโœโฉโœโœปโš โœพโฌโ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโ–ฒโœฝPโ–โ——โ– โจโœบโซโœพโœ”โณโขโžฒโ‚โ–โœฆโœบโซโคโ–ฒโญโœผโœปโโฉโ–ฒโœปโœ†โšโ‘โ–โœฆโ–ผโœŸโ–ผโœŸโ– โœ”โœธโ„โœบโœผโšโจโšโœ”โœปโœŸโฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโจโšโโ–ผโœŸโœปโโกโœโ›โ–ฒโœบโตโšโœ›โ›โ–ฒโœŒโ™ โœพ โ˜โœฑโœธโœฆโ›โ–ฒโ–  โฉโœโณโœŸโฆโœฟโœธโ„โœฝโ„โœพโจโ– โœ”โœปโœ†โ–  โญ โ–โงโฉโœโณโœ†โ˜โโœปโœ†โœฝPโฉโ–ฒโ–โ——โœฝโโ–ผโ˜žโœปโœโžญโงโญโซโœธโ„โœฝโˆโž˜โ™โœพโจโœปโœŸโ– โจโฆโ™ โœปโฉโœโœปโชโ–ผโ˜žโœปโœ†โšโฅโ–โ„โ–ผโœŸโ–ผโœŸโ– โœ”โœธโ„โœบโœผโšโจโšโœ›โœปโœ†โฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโจโš โ€โตโš โœฝ โœป โฏโœฑโœปโœŸโœพโœ†โœโœโญ โ–โ‘ โžฒโœ„โœธโ„โœฝPโ–ผโœโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝ โฉโœโœปโ™โ–ผโœŸโœธโฃโข โ–โœฆโ– โœ”โœบ โ–โ——โœฝโโ–ผโ˜žโœปโโฉโ–ฒโœป โ–ผโœŸโœป โ˜Pโ– โœ”โœธโœโ–ผโ˜žโœปโœคโšโœ”โšโœ”โ›Pโš โœปโœ†โšโœ›โœพโฅโญโœผโ–โ—†โฆโžพโžณโœŸโฆโœฟโœปโ™โกโ„โ›Pโœปโชโ–ผโœŸโœปโœŸโญโœผโญโซโœปโฉโœโ› โฆโœฟโœธโœฆโ›โ–ฒโขโ„โœปโœŸโฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโœŸโžธโ‘โ– โœ”โœธโœ’โžบโฅโœฝโ–ฒโœบโœผโœปโœŸโœฝโ‘จโžฒโœ„โ– โจโ–โ„โ–ผโœโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโ–ฒโœฝPโ–โ——โœบโœผโ– โจโœป โ€

โœคโœฆโœฅโ˜…โœงโœฉโœคโœชโœงโœ’โœ‘ โœฐโœ†โœฐโœฒโœฑโœตโœถโณโœฎโœถโœตโœฏโœฎโœŸโœฐโœฒโœฑโณโœปโ‡โœถโœ”โœ“ โœญ โœณโœบโœตโœกโœฐ โƒ โœป โœฎโโœท โœฎโœ—โœ–โœ„โœโœฒโ˜›โ€โœฎโœถโœตโœกโœทโžก โ˜โโ–โ——โ– โœ”โœพโœ”โœบโœผโ–  โฉโœโœป โญ โžถ โœปโ˜›โœŒโœโ˜โ–ฒโ– โœ”โœปโœคโšโœ”โšโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝ โฉโœโœปโœŽโญ โ–โžŒโžฒโœ„โœธโ„โœฝPโ–ผโœโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝ โ–ผโœ†โ–โ——โ– โฌโ–โœฆโ–ผโœโœพโจโณโœŸโ– โจโœบโœผโšโœ›โœพโœ”โœบ โกโœโ›โ–ฒโœปโโ– โจโณโœ†โšโœ”โ›โ–ฒโญโซโœพโจโ–โฃโœพโฒโฉโœโ›โƒโœพโœ‰โžคโ–ฒโณโœ†โœธโœฆโ– โœ•๏ฟฝโœŸโฆโœฟโœปโœœโžพโฏโžš โ€ โœธโ–ฒโœโ‘โœบโซโญโ™โœปโœคโš โœพโ˜โโœธโœโšโœ”โšโœ”โœบโœผโคโ–ฒโญโซโœปโ™โฉโœโœป โฉโ–ฒโœธโœฆโœฝโ–ฒโœฝโ–ฒโœปโœ†โ– โฅโฉโœโœปโœ†โšโœโ–ผโœŸโ– โœ”โœบโซโœพโœ๏ฟฝโœ†โ– โœ”โœปโœคโš โฉโžŽโžถ โ–โœฆโ›โœโœพโœ”โœธโœ–โœ  โšโœ”โœบโœผโฆโ™ โœบโœผโญ โ–โ——โ– โจโœบโžโœพโจโณ โฉโœโ› โ˜โ–ฒโ– โจโœธโœโ–ผโ˜žโœปโœคโšโœ”โšโœ”โ›Pโšโ˜…P โœ โ—†

โžŽโ‘งโžโœ’โœพโโœผโœ›โžโœ’โžโ‹โž‘โœโœฟโ‚โž‘โž’โ†โœชโ‡โž“โ‰โœทโฐ โžƒ โ™ฅโœœโ‚โœ•โฉโž„โดโ˜žโชโœ•โ–ผโž…Pโœ‡โ–ฒโœˆโšโฏโชโžพโชโ˜žโฉโœฅโ†”โœญโจโฒโคโตโ˜โœ˜โœ—โ‚โจโฒโฉโž โ˜tโฉโœตโž›โœกโฉโ€โ˜โœšโœ™โ–ผโฐ โซ โœโ‘โถโœœโœ›โœˆโ™ฅโœขโœคโœฃโœ–โœฅโœงโœฆโœฉโ˜…โœซโœชโœงโœฌโœฎโœญโœ–โœฏโœฑโœฐโœณโœฒโœตโœดโœทโœถโ†’โบโขโจโœ’โฃโœชโคโœกโฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑ ร“ โฆโ™ โงโซโชโ˜žโฑโ–โ–ผโœญโจโฒโฃโœชโคโœฆโฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโ†”โžฆโžผโžซโ—†โžฉโœโžจโœโžญโœ–ร•โœฅโžโœนโœธ โก โจโœ’โฉโœฏโ–ฒ โ—— โžฆ ร“ โžจโ‘กโžฉ ร“ โžซโกโžญ โซ ร“ โžผ โ—— โžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโฅโžซโฏโžญโ‚โ™ฅโž”โœฝโจโœ’โฃโˆโดโ‘งPโžฃโ โ†”โˆโ†•โ—†โ–ผโโจโœ’โฑ โ†”โœปโœบโ™ฃโดโ˜žโช โžƒโœˆโž™ โ™ฅโœฝโœผ โ–ฒโฒPโœ‡โจโœ’โคโฏโดโซโจโฒโฉโž โ–ฒโœฏPโœ‡โชโซโคโœ‰โžโ™ฃโดโตโฃโœชPโ™โฑโฅโ–ฒโœ’โฑ rโœโžโ™ฃโฉโž…โžโ™ฃโคโ—†โ–ฒโœ’Pโž“โดโตโฃโœชโ˜tโž‰โœ’โ–ฒโœ’โฉโ€โฑโœโ‘ข

โฎ P โœร‘ โฉ ร‘โ–โžจโ‘ ร•โž†โธ โงโ€โžฉโœโฐโขโน ร™โœฟโœพโซ โฎ ร“ โžผโโ€P โœโฉ ร‘โฒโžจโ‘ ร•โœ”โธ โงโˆโžฉโ—โฐโขโนโžผร™โ€P โœ โชโ™ฃโดโตโฑ โฃโœชโฉโ‘ฅโ–ผโ——โคโœ‰โจโœตโšโฏโชโตโดโฏโดโตโฃโˆโดโœฃโ›โœˆโชโขโบโขโจโœ’โ˜โœทโดโฏโดโ˜žโจโœ’โฉโƒโ‚โœฆโ˜tPโ™โฑqโคโœ‰โžโœโ›โœˆโชโœ›โž›โœกPโ™โฑqโคโœ‰โช โ—— โชโ˜žโฑโ˜Žโ›โ–โชโœกโ–ผโ——โคโœ‰โจโœตโšโฏโชโตโดโฏโดโตโฃโˆโดโœ•โดโ™ฃโจโฒโฃโˆโด โœฆโ…โ„โ˜žโ–ฒโœˆโšโฏโชโ™ฃโฉโ€โฑ โฃโœชโฉโ‘ฅโ–ผโ——โคโœ‰โจโœตโšโฏโชโตโดโฏโดโตโฃโˆโดโ›โ–โชโ‘งโบโœŸโจโœ’โ˜โœทโดโฏโดโ˜žโจโœ’โฉ โœ˜โœฏโ–ฒโœ’โคโฑโœ™โ™ฃโฃโโžโœšโ›โœˆโชโœšโšโฏโจโœฅโœ˜โœฃโ–ผโœญโชโ˜žโฉโœญโดโ˜žโ–ฒโœ’โฑโฅโชโ˜žโฃโœชโค ร“ โžชโž€โžฆ ร“ โžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โœœ โžฆโžผโžฒ โžธ โžญโ˜žโ™ฅ

โœผโˆโ™ฅโ‘งโž”โ——โ˜โŠโžชโœ‰โžฆ โžซโฏโžญโ–ฒโซ โ’ โžณ โพโœคโ–ฒโœ’Pโœ‡โจโฒโคโฏโดโœณP โœ โชโ™ฃโดโตโฑโœ•โ–ฒโฒโฃโœชโฑโผโจ โœฆโผโดโตโ˜โœฎโœ˜โซโ˜tPโœ‡โ–ฒโฒโ˜tโคโœ‰โชโžพโ›โž“โ โจโฒโคโœ‰โ›โœ’โคโœ‰โชโœโœƒ โ™ฅโžฌ โ™ฅโ‘งโž”โ——โ˜โž…โ–ผโœญโจโฒโฃโœชโคโ‘ฅโฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑ ร“ โฆโžทโงโœ”โชโ™ฃโฑ โ–ผโโจโœ’โฃโœชโคโ‘ฅโฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโ™ โžฆโžผโžซโ—†โžฉโ—โžจโœโžญโœ–ร• โธ โงโˆโžฉโ—โฐโขโนโœทโกโœฅโจโœ’โฉโž†โ–ฒ โ—— โžฆ ร“ โžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญโœ—โซ ร“ โžผ โ—— โžฆโžบโžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญโœšโ–ฒโœ’Pโœ‡โจโฒโคโฏโดโณP โœ โชโตโดโตโฑโ–ฒโฒโฃโœชโฑโผโจ โœฆโผโดโฏโ˜โœฎโœ˜โœšโ˜tPโœ‡โ–ฒโฒโ˜tโคโœ‰โชโžพโ›โž“โ โจโœ’โคโ—†โ›โœ’โคโœ‰โชโœโœƒ โ™ฅโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโ˜ โญโ†โšโœ›โ›โ–ฒโœŒโ™ โœพโฏโฉโ–ฒโœปโ™โ– โœ”โœปโดโž˜โ„โ–โ——โ– โฌโฉโœโœปโœ†โ–  โญ โ–โซโžฒโœ„โœธโœฆโœฝPโ–ผโ˜žโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโฒโ–ผโœŸโ–โœฆโ– โจโ–โ„โ–ผโœโœพโœ”โณโœ†โ– โœ”โœบ โšโœ›โœพโœ”โœบ โกโ„โ›Pโœป โ—†โœ— โžป ร‘ โฉ โœ•โฌโ˜Žโœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โœ˜ โ˜Ž ร‘ โฉ โœฒ โžฝ โžฆโœ„โœš โ’ โžฉโ˜žโž€โ‚โž€โ˜žโž€โดโžฉโœ›โœš ร โžญโœโซ รโœคโœšโœฆโœฅ โœœโœฃ โžข โœฑโžฅ โžข โžต โœงโœฉ รโœคโœšโœฆโœฅ โœœโœฃ โœช ร

โ˜…โœฌโœ”โœญ โ’ โžธ โœš โœฌ โ—— โžฆ ร“ โžจ โœฌ โžฉโœ›โœถโžŽโžญ โœณโœต โžฎโ…โœท โœฐโœฒ โœƒโžŽโžฆโžบโžฒโ„โœถโ™ฆโžฉโ—โžฒ โžธ โžญ โœณโœตโด โ–โœฆโœฝPโš โญโœผโœป โ–ผโœŸโ–โœฆโšโœ•โœธโ‡โ†โœนโœโœโœธโœฆโœฝโฒโ–โœฟโ–โ——โญโœผโœธโœฆโ– โฌโš โ—†โœ— โžป ร‘ โฉ โœ•โจโ˜Žโœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โœ˜ โ˜Ž ร‘ โฉ โœฒ โžฝ โžฆโœ„โœš โ’ โžฉโ‚โž€โ˜žโž€โ‚โž€โšโžฉโœ›โœš ร โžญโโซ รโœคโœšโ„โœฅ โœœโœฃ โžข โœฑโžฅ โžข โžต โœงโœฉ รโœคโœšโ„โœฅ โœœโœฃ โœช ร

โ˜…โœฌโœ”โœญ โ’ โžธ โœš โœฌ ร“ โžผ โ—— โžฆโ†•โžจ โœฌ โžฉโœ”โœถโ†”โžญ โœณโœต โžฎโ˜…โœท โœฐโœฒ โœƒโคโžฆโžบโžฒโ„โœถโž€โžฉโโžฒ โžธ โžญ โœณโœตโซ โœ— โžป ร‘ โฉ โœ•โฌโ˜Žโœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โœ˜ โ˜Ž ร‘ โฉ โœฒ โžฝ โžฆ ร“ โžผ โœš โ’ โžฉโ˜žโž€โ‚โž€โ˜žโž€โƒโžฉ ร“ โžผ โœš ร โžญ

Page 162: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœ’โœ‘โˆโœ“ ๏ฟฝโโœ“โžŠโœ โœ„๏ฟฝโซโ˜›โ€โ˜Žโœ‚โœโขโœŒโœŸโœ†โœตโœ‚โŠโœโ˜Žโœ„ ๏ฟฝโœฃโœ†โœŸโ˜›โœโœ™โœ›โœŒโขโœโœฌโœ‚โœฟโœ‚โž“โœโœ†โœ„โœกโœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโšโœ‚โž“โœโทโœงโœ›โœžโœกโœžโœžโœ โžพโฏรœโˆโžพโ’ โœปโ™โกโ„โ›Pโœบ โฉโœโณโœŸโฆโœฟโœธโ„โœฝโ„โœพโจโ– โœ”โœป โญโœผโœปโ™โ– โœ”โณโœคโšโœ›โ›โ–ฒโญโซโœพโจโ–โ——โœพ โ€โ–ฒโด โ–โ——โœฝPโš โญโœผโœป โ–ผโœŸโ–โ„โš โฉโœโ›โžฃโžพ โ†โงโœธโœฆโœฝ โ–โœฟโ–โ——โญโœผโœธโœฆโ– โฌโš โ˜โโ–โ——โ– โฅโ–ผโฏโžคPโ–โ——โœฝโ€โž˜โœฆโœปโœŸโฆโœฟโœปโœ†โœฝโ„โœพโœโฉโœโœปโชโขโฃโ–โ——โ– โจโœบ โ–โ——โคโ–ฒโญโœผโœปโชโœถ โซ ร“ โžซ โ—†โœ— โžป ร‘ โฉ โœ•โจโ˜Žโœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โœ˜ โ˜Ž ร‘ โฉ โœฒ โžฝ โžฆโœ„โœš โ’ โžฉโ‚โž€โ˜žโž€โ˜žโž€โดโžฉโœ›โœš ร โžญโโซ รโœคโœšโ„โœฅ โœœโœฃ โžข โœโžฅ โžข โžต โœงโœฉ รโœคโœšโœฆโœฅ โœœโœฃ โœช ร

โ˜…โœฌโœ”โœญ โ’ โžธ โœš โœฌ โ—— โžฆ ร“ โžจ โœฌ โžฉ ร“ โžซโžฏโžญ โœณโœต โžฎโ˜…โœท โœฐโœฒ โžชโž€โžฆ ร“ โžซโžฏโžญ ร“ โžฒโณโžซ โœœ โžฆโžบโžฒ โžธ โžญ โœณโœตโซ รโœคโœšโ„โœฅ โœœโœฃ โžข โœโžฅ โžข โžต โœงโœฉ รโœคโœšโœฆโœฅ โœœโœฃ โœช ร

โ˜…โœฌโœ”โœญ โ’ โžธ โœš โœฌ ร“ โžผ โ—— โžฆโ†•โžจ โœฌ โžฉโโžซโžฏโžญ โœณโœต โžฎโ˜…โœท โœฐโœฒ โžชโž€โžฆ ร“ โžซโžฏโžญ ร“ โžฒโณโžซ โœœ โžฆโžบโžฒ โžธ โžญ โœณโœตโซ โ€โœ— โžป ร‘ โฉ โœ• โ˜Žโœ™โœ˜โœ™โœ˜โœ™โœ˜ โ˜Ž ร‘ โฉ โœฒ โžฝ โžฆ ร“ โžผ โœš โ’ โžฉโ˜žโž€โ‚โž€โ˜žโž€โƒโžฉ ร“ โžผ โœš ร โžญโœฉโ†โœปโชโ– โจโณโœ†โšโœ”โ›โ–ฒโญโžโœพโฌโ–โฃโœพโœโฉโœโ›โ„โโœฎโ†โงโœปโœคโš โœพโฅโœบโœผโฆโ™ โฆโœฟโณโœคโฉโœโœบโœผโ–โ——โœพ โ€ โœญโžถโ‘จโ…โˆโžžโžŒโžนโœชโžโœ’โž˜โœฝโžดโœ›โ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰sโฐโœขโโŠโ–ฒโœ—โšโฏโจโœ’โฉโ——โ›โฒโ˜tโฑโณโ˜โ‹โจโฒโฉ โžฌโ™ฃโžฎ โฉโœฝโ โชโ™ฃโดโตโฑโœฝโ–ผโโ–ฒโœณโดโ‘ โšโฏโจโœฅโœ˜โœฃโ–ผโœญโ–ฒโฒโฑโณโ˜โ‹โž‹โ˜žPโœ‡โชโžพโ–ฒโœ’โž‰โœ’โชโฏโšโ‘ฅโฃโœชโฉ โฉโž…โจโœ’โ†•โœˆโ–ฒโฒโฃโž„โฑโณโคโตโ˜โ‹โ–ฒโฒโฉโœrโœˆโฃโœชPโœ‡โ–ฒโœ’โ˜tโคโœ‰โชโœตโ™ฅโžœโœฃโžโž“โ…โˆโžžโž†โœผโ˜ŽโžŸโ‹โ…โž โ†โœชโ‡โž“โ‰โณโ†โทโ โชโœฆโ–ผโ——โคโœ‰โจโœตโšโฏโชโตโดโฏโดโตโฃโˆโดโœฟP โžปsโžผโœคโžฝ โž‰โœณโžโ˜žโคโตโ˜ โž›โœคโชโ‘Pโžฃโ โ†”โˆโ†•โ—†โ–ผโโจโœ’โฑ โ†”โœปโœบโ™ฃโดโ˜žโช โžƒโœˆโž™ โ™ฅโœฝโœผโœ—โ–ฒโœ’โž‰โœ’โชโฏโš ร“ โซโžทโœƒ โ™ฅโ——โ โชโœฆโ–ผโ——โคโ—†โจโ‚โšโฏโชโ™ฃโดโ—†โดโตโฃโˆโดโœฒP โžปsร”โœ›ร•โž…โžฝ โฉโ——โชPโœ‡โ–ฒโœฏโž‰โœ’โžโ˜žโคโตโ˜ โž›โœคโชโขโ–ผโœญโ–ฒโœ’โดโ™ฃโ™ฅโœคโœฆโœฅโ˜…โœงโœฉโœคโœชโœงโœ โœŸ โœกโœโœนโœ•โœท โœโœฒโ˜›Pโœ“โœโœณโœบโœนโชโœป โœ”โ„โœฐโœฒโœฑโœตโœ”โ„โœนโœ•โ˜›โ€โœฑ โœโ‰โœฑโœฟโœต โœ–โโœ โœŒโœตโ˜›โœฏโœฐโœฌโœŒโœตโ˜›โ€โœฎโœฉโœทโ‡โœตโœกโœท โœถโœบโœนโ˜žโ˜› โœโœฒโ˜›โœกโœตโœฏโœฎโโœฑโœบโ‹โœโœ โœ–โœŸโœนโžŽโ‘งโžโœ’โœพโโœผโœ›โžโœ’โžโ‹โž‘โœโœฟโ‚โž‘โž’โ†โœชโ‡โž“โ‰โœ๏ฟฝโœโž”โ——โ˜โž…Pโžฃโ โ–ฒโ—†โ–ผโ–โ–ผโ——Pโ™โ˜โ‹โšโฏโ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœŒโžฆโžผโžซโ—†โžฉโ—โžจโœโžญโœฆโฌ โ—— โžฆโžบโžจโ‘กโžฉโโžซโžฏโžญโขโชโ™ฃโดโฏโฑโœ›โšโ—†โจโฒโฉโโฑqโ˜tโฉโโฃโโชโœŸโ–ฒโฒPโœ‡โจโœ’โคโฏโดโœ•Pโœ‡โชโ˜Žโ–ผโ——โคโœ‰โจโœตโšโฏโชโตโดโฏโดโตโฃโˆโดโœ•โ›โ–โชโœคโบโขโจโฒโ˜โœทโดโ—†โดโ˜žโจโฒโฉโœฃโž›โœกPโ™โฑqโคโœ‰โžโ—— โžทP โœโฉ โซ โžข โฉโžฅ โ—— โžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโฅโžซโžฏโžญโ——โžฒ โžทP โžณ ร‘โ–โžจโœโฝโ™ โง โฏโฉโœฝโ โชโตโดโตโฑโœฝโ–ผโโ–ฒโœณโดโ‘โฃโœชโฉโž…โช โœ˜โœฏโ–ฒโœ’โคโตโฑqโ˜tโฉโœrโœโ–ฒโœ’Pโœ‡โชโœตโ™ฅโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโš โœฝ โœป โฏโœฑโœปโœŸโœพโœ†โœโœซโ–ผโ†โžถ โœปโœ†โšโœ›โœพโโ›Pโœฝโโ˜โ–ฒโ– โจโœธโœนโ–ผโœŸโœปโœ†โšโจโšโœ›โ›โโšโœฃโžญ โขโฃโ–โœฆโ– โœ”โœบ โ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝ โœšPโœฝโ–ฒโœบโœผโœปโ™ โฉโœโœธโ„โœฝPโ–ผ โ›Pโœฝโ–ฒโœปโ™ โšโœ”โœปโœŸโฆโœฟโœบ โฆโœดโ–โ——โ– โœ”โœพโœ”โœบโœผโœฝโˆโž˜โ„โ–โœฆโญโซโœป โœปโœŸโœพ โšโœ”โœปโœ†โšโฏโœพโœ”โ– โฌโ–โœ’โžฏ โœปโœคโ–ผโœโœพโœ”โœธโ„โœบโซโ– โจโœปโœ†โšโโšโœ›โœธโ„โœฝโœโœพโ–ผโ˜žโœธโ„โœฝโ„โœพโจโœบโซโœฝโœนโ›โ–ฒโœปโœคโš โ€ โžฆโœโœบ โ–ผโ†โžถ โณโ˜žโœพโฌโ–โ——โœบโซโœพ โ›โ–ฒโœฝโ–ฒโœปโœดโฆโœดโ–โ——โ– โœ”โœพโœ”โœบโœผโœฝโˆโž˜โ„โ–โœฆโญโซโœปโœดโ–โœฆโญโซโœธโ„โ– โจโš โœบโœผโญ โšโœ›โœปโœ†โ– โจโ–โœฆโœบโžโœพโ™โœบโœผโœฝPโฉโœโœบ โš โœพโจโœบโซโœฝโ€โž˜โœฆโ›Pโ–โœฆโคโ–ฒโญโซโœปโœคโšโ™โฉโœโ›โœžโ˜โ–ฒโ– โจโœธโœโ–ผโ˜žโœปโœ†โšโจโšโœ”โ›Pโš โœฝโœโ›Pโญ โ–ผโ˜žโœป โกโœโ›โ–ฒโœบ โœปโœคโš โœพโ–โ——โคPโšโœ”โ›โ–ฒโ– โฌโฉโœโœป โ€ โœญโ˜ โญโœฆโœปโœ†โšโœ›โœพ โ–ผโ˜žโœปโœ†โ˜โโœปโœ†โœฝPโฉโ–ฒโ–โœฆโœฝโ„โœพโฑโœบโซโฆโœฟโ˜โœฑโœธโœฆโ– โœ”โœพโจโ–โ——โœฝโœโœพ โฉโœโœป โœฝโ–ฒโœธโ——โœพโจโœปโœŸโ– โœซโญโœผโœป โ– โœ”โณโœคโšโœ›โ›Pโญโžโœพโฌโ–โฃโœพ โšโœ”โ›โ–ฒโœบโซโขโฃโ–โœฆโœฝโ„โœพ โกโœโ›โ–ฒโœบโ„โœปโœ†โšโœ›โœพโ†โ›โ–ฒโœฝโ–ฒโœป โ–ผโœŸโœธโœฆโœฝPโšโœ”โณโœ†โกโœโ›โ–ฒโœปโœ†โœฝPโ–ผโ˜žโœปโโฉโœโœป โญโœผโ–โฅโ–ผโœŸโœธโœฆโœฝPโšโœ›โœพโœ”โ– โจโ›Pโ–ผ โœ โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝ โฉโœโœปโ™โญ โžถ โœบโœผโœฝโœโœพโœ”โณโƒโž˜โ„โ– โจโ–โœฆโญโซโœปโชโšโœ›โœพโœ”โœธโœโ–ผโฏโžคPโ–โœฆโšโœ›โœพโœ”โœบ โกโœโ›โ–ฒโœปโœขโ—†โžŽโ‘งโžโœ’โœพโโœผโœ›โžโœ’โžโ‹โž‘โœโœฟโ‚โž‘โž’โ†โœชโ‡โž“โ‰โœโœŒ โ โชโขโ–ผโ——โคโœ‰โจโœตโšโฏโชโตโดโฏโดโตโฃโˆโดโ‘ โ›โœˆโžโณโž›โœกโฉโโ˜โ——โ–ผโโจโœ’โฃโœชโคโ‘โฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโœ•โ–โœ‡ร•โž„โžโ™ โž›โœโœŽโˆโžโœโ–ผโโ–ฒโœ’โคโœšโ‘ขโ—— โžทP โœ โ˜Ž โ™โฉ โซ โžข โฉโžฅ โ—— โžฆโ—†โ–โ‘จโžฉโโžซโžฏโžญโ——โžฒ โžทP โžณ ร‘โ–โžจโœคโฝโ™ โง โฏโชโตโดโตโฑโœคโฃโœชโฉโ——โช โœ˜โœฏโ–ฒโœ’โคโตโฑqโ˜tโฉโœrโœโ–ฒโœ’Psโชโ‚โ™ฅโ’ โœปโ˜žโœพโœ›โœพโจโœปโ™โ˜โ–ฒโ– โจโœธโœฆโ˜โ–ฒโ– โจโœบโซโณโœŸโœพโœ”โณโชโœปโœ†โšโœ›โœพ โœพโœ”โ– โœ•๏ฟฝโœ†โš โœบโœผโฆโœฟโ˜โโœธโ„โ– โœ›โœพโฌโ–โ——โœฝโœโœพโœ”โœปโชโ˜โ–ฒโ›โ–ฒโœบ โšโจโกโ„โ›โœ‰โžถ โžญโœฟโญ โ–โ™ โคPโ–โœฆโšโœ”โœปโ™โฉโœโœปโœ†โš โ– โจโณโœ†โšโœ”โ›โ–ฒโญโซโœพโจโ–โฃโœพโฌโšโฅโฉโœโœปโœ†โšโฅโ–ผโฏโžคโโ–โ——โ˜โ–ฒโœบโซโœพโœ”โ– โจโœปโœ†โšโ‘ฅโžพโ—†โžพโโœปโœŸโœพโœˆโžพโฏโ โ€โœ‘โœ“โœ’โœ•โœ”โœ—โœ– โœ˜โœšโœ™โœœโœ›โœโœขโœคโœฃโœฆโœฅโ˜…โœงโœฆโœฉโœซโœชโœญโœฌโœžโœ™โœฎโœงโœฏโœ›โœโœฐโœฑโœฅโœฒโœชโœคโœฉโœณโœฉโœณโœชโœดโœฌโœถโœตโœธโœทโœฆโœฐโœฎโœฅโœนโœฉโœณโœชโœปโœบโœฝโœผโ˜žโœผโ˜žโœพ

โœคโœฆโœฅโ˜…โœงโœ โœŸโ˜…โœงโœฉโœค โœฟโ‚โœฑโœฟโœต โœทโœ•โ‹โœโ˜›โœ‘โœ โœ–โœŸโœนโšโœถโœบโœนโโ€โœฟโœตโœฏโœฎโœŸโœนโœฟโœ–โœถโœต โœ’โƒโ‚โœ•โœปโตโƒโ…โ„ โœนโ‡โ†โˆโœนโœ•โœปโ‚โ‹โœฌโœณโœบโœนโšโ˜›โœฏโœนโœ•โœ–โโœโœพโœตโœกโœฎโœ„โœพโœฒโœนโœ•โœทโ…โœนโœ•โœฑโœฟโœตโ†โŠโ‰โˆโ‹โŠโœค โโœ›โž‘โœโœพโ€โžโœ’โƒโˆโžžโžŒโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰ ๏ฟฝ โบโขโจโœ’โฃโœชโคโขโฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโฅโชโž“โฟโ™ฃโจโฒโฉโ——โšโ˜žโฑโณโ˜โ‹โจโฒโฉโœดโ—โœ”Psโจโ‚โšโฏโ–ฒโœ’Psโช โœ˜โœฏโชโ™ฃโฉโ€โฑโ˜Žโž‹โฏโจโฒโคโตโฉโ——โžโฏโชโตโพโ˜Žโจโœ’โฉโ‘โ–ผโโชโ˜žโฃโœชโฑโœ›โ›โœˆโžโณโž›โœกโฉโ€โ˜tโคโฏโพโœ›โ–ฒโœ’โฃโžพโดโ˜žโชโ˜žโฉโœญโดโœŸโ›โœˆโชโœฃโž”โ€โฑqโ˜โ‹โชโ˜žPโ™โฑ โ„โ˜›โœบโ™ฃโด โœฆโโŠโชโœตโž‹โฏโชโตโดโžฃrโœˆโฃโโชโตโพโœกPsโชโœ•โ–ผโž…โคโœ‰โจโ‚โšโฏโชโ™ฃโดโฏโดโฏโฃโˆโดโœโดโตโฃโœชโ˜tโž‰โœณโ–ฒโฒโฉโโฑโขโ‘ข โ—— โžฆโโ— โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ P โœ โžญ โฉ ร‘โ–โžจโ™ ร•โœ”โธ โงโˆโžฉโ—โฐโขโน โฏ

Page 163: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžพโฏรœโ—†โ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœโœŽโœ’โœ‘โœโœ“โœ”โœ‚โœ•โœ“ โœ–โœ—โœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโœขโœœโœฃโœโœคโœ–โœฅโœžโœฆโœžโœฆโœงโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโด โณโœคโ–ผโ˜žโœธโ„โ›โ–ฒโญโซโœป โฉโ–ฒโ› โœพโœ‰โžคโ–ฒโณโœ†โœธโœฆโ– โœ•๏ฟฝโœŸโฆโœฟโœปโ˜โžพโดโžš โ€ โžพโ„โœโœซโญโซโœปโœดโ˜โ–ฒโ– โจโœธโœโ–ผโ˜žโœปโœคโšโœ”โšโœ”โ›PโšโˆP โœ โณโ˜žโœพโฌโ–โ——โœฝโœโœพโ‘ โžญ โขโฃโ–โ——โ– โจโœบโœผโ–โ——โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝ โœšPโœฝโ–ฒโœบโœผโœป โ€ โœฉโœธโžถ โœบโœผโœฝโœโœพโœ”โณโดโž˜โœฆโ– โฌโ–โ——โญโœผโœปโ™ โœปโœคโš โœพโ™ โฉโœโœธโœฆโœฝPโ–ผโœฟโคPโœบโซโœปโœ†โœฝโฉโœโณโฑโœšโโœฝโ–ฒโœบโซโœป โ€

โœญโœค โโœ›โž‘โœโœพโ€โžโœ’โƒโˆโžžโžŒโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰ โœŒโœ‚โœโตP โช โœŽโ–โ˜โœทโดโตโฑโผโชโ‘ฅโฃโœชโฉโ——โชโ‘ โ–ฒโฏโ–ผโœˆโ–ผโž…Pโ™โ˜โ‹โšโฏโ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉ โ‘ข

โœ„ ร˜ ร‘โžŠโž โก โžฆ โžทโžชโ†”โžญโœกโฌโโž โก โžฆ โžทโžชโœ โžญโฑโผโชโ˜žP โด โœ™โ™ฃโฃโโชโœšโ‘ขโ— โœ„ ร˜โœฅโชโตโดโตโฑโœคPโ™โ˜tโฉโ——โžโฏโ–ฒโœ’โ˜tโคโ—†โชโตโพโœโšโฏโจโฒโฉโโฑqโ˜tโฉโโฃโโชโ‘ โชโ˜žโฑ โœ„ ร˜โœพโžฆ โœฎโˆโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžญ โซ โ—— โžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโ‚โž€ โžญโตโพโ—โปโบโขโจโฒโฃโœชโคโ‘โฑโผโจโฒโฃโœชโฑโ˜…โ—โ™ร•โœ—โžโœโกโ—†โžฆ โžทโžชโ›โžญโ‘ฅPโœ‡โจโœตโšโ—†โ–ฒโฒPโœ‡โชโœขโœ˜โžพโชโ˜žโฉโโฑโขโž‹โฏโจโœ’โคโตโฉโ——โžโฏโชโ™ฃโพโœโจโœ’โฉโœ”โ–ฒโœ—โ‘ข

โžฆ โ— โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPโœŽโœโžดโžญ โฉ โซร’โžฆ โœ„ ร˜ โžฆโโ—โžŽโžญ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPรšโžญ โฉ โ‘คโœ โžจโ‘ ร•โœ”โธ โงโˆโžฉโ—โฐโขโนโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโ—โปโ— โ– โœฆโ…โˆโžžโžŒโžžโžŒโ…โž โ†โœชโ‡โž“โ‰tโžตโ˜Žโœโ™ฃP โช โœŽโ–โ˜โœทโดโตโฑโฅโชโ‘ฅโฃโœชโฉโž…โชโ‘ โšโฏโจโœ’โฉโโดโฏโฑโฅโ–ฒโœ’โฉโ€โฑโผโช โ‹ โฑโผโชโ˜žPtPโœ‡โชโœงโœ™โ™ฃโฃโโชโ™ฃโพโž…โ–ผโโจโœ’โฃโœชโคโ‘โฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโ˜…โ—โ„ร•โœปโžโœคโกโœพโžฆ โžทโžชโ†”โžญโ‘ โจโœ’โฉโž’โ–ฒโ‘จโ‘ข

โœ†โœโœ† โ— โœ†โœโœ† โœพโœŸโœž โžป โ–ผ โฉ โžฝ โฝ โ‹ โœ†โœโœ† โ— โœ†โœ โœ†โœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝ โžฝโœโžพโดโžš โ€ ๏ฟฝโณโžช

โ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโž’โ‘ขโžฅโโ–โ——โ– โœโฉโœโณ โœšPโœฝโ–ฒโœบโซโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝ โœธโœฆโœฝ โ–โจโ—† โžทโžชโœ‰โžฆโžผโžฒโณโžซโžฏโžญโœ‚โซ โžข โžต โžธ โก โœœ โžฆโžบโžฒ โžธ โžญโžฃโžชโž€โžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซโฉโœโœธโœฆโœฝโโ–ผโชโœปโœŸโœฝ โ›โœโœพโœ”โœบโœผโญโซโœบ โšโจโ–โ——โœฝโœโœพโœโญโžผโžถ โžคโˆโžจโœนโ˜โโœธโœฆโœพโœ‰โžคโœป๏ฟฝโœคโšโœ›โœปโ™โ™ฅ โ€ ร›โœฟโœธโœฆโœฝ โ˜โโœปโœ†โ›โœโœพโœโณโœ†โ–ผโœŸโ– โœ”โœบโœผโ– โจโœป โ—†โžข โœฑโžฅ โ— โก โžฆ โžซโžฏโžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโžบโžฒโถโžซโžฏโžญโโซ โžข โžตโ–โžธ โก โœœ โžฆโžผโžฒ โžธ โžญ โžข โœฑโžฅ โ— โก โžฆ โžซโฏโžญโœ‰โžชโœ‰โžฆ โžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซโฎโฝโœโœŒ โžข โžตโ–โžธ โก โœœ โžฆโžบโžฒ โžธ โžญ โžข โœฑโžฅ โ— โก โžฆ โžซโฏโžญโœโžฒโณโžซโš โœฝ โœบโซโœฝโœโœพโจโ– โœ”โœธโœโฉโœโ›โ–ฒโœบ โšโจโ–โ——โœฝโœโœพโฅโญโœผโ–โœฟโ–ผโ˜žโœธโ„โœฝPโšโœ›โœพโจโ–โ——โœฝโœโœพโจโœป โ‹ โก โซโœŽโœŒ โ™ฃ โžต โžธ โก โœœ โžฆโžผโžฒ โžธ โžญโ‘โœธโœฆโœฝ โœธโ„โคโœโœพโœ”โœบโœผโœปโœŸโœฝโœโœพโฅโญโœผโ–โ™ โ– โจโœปโœŸโญ โ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโžฑโžฝโœโžพโดโžš โ€ ๏ฟฝโ—†โžช โ€ โœญโ—rโžนโโœฝ โœบโซโœฝโœโœพโœ”โ– โจโœธโœโฉโœโ›โ–ฒโœบโซโœพโฅโฆโœฟโ–โœฆโœบโซโœฝโœโœพโจโœปโœŸโœฝPโ–โœฆโœฝโ„โœพโฅโญ โžถ โœธโ„โ˜โโณโœ†โ– โจโ–โ——โœพโœ”โœปโœ†โ›โ–ฒโ–  โ—— โšโœ›โ›โ–ฒโœบโœผโขโฃโ–โ——โœฝโœโœพโˆโ—†

โ—— ร‘โœญโž โก โžฆ โžทโžชโœ โžญโœฆโฌโโž โก โžฆโžบโžฒโ—†โžจโœโžญโ—โœฅโฌ โžข โœฑโžฅ โ—— โžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโฅโžซโฏโžญ โ—โ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โžทโžชโž€โžฆโžบโžฒโถโžซโžฏโžญ

โžนโโœฝโœกโšโจโ–โ——โœบโซโœพโโ˜Pโ–โœฆโ– โซโžฉ ร›โณรœโœ’โžซ โกโ„โ›Pโœป โ—— โœปโœ†โšโœ›โœพ โ›โ–ฒโœฝโœกโœธโœฆโ˜โœฑโณโœŸโ– โฌโ–โฃโœพโจโœปโœŸโ›โ–ฒโ–  โ–ผโ˜žโœธโœฆโœฝโœโœพโจโœบโซโœฝโœนโ›โœกโฉโ–ฒโœปโซโžโœโกโœพโžฆโžบโžฒโ—†โžจโœโžญ โฉโ–ฒโ–โ——โœฝโโšโœฃโžโœโกโ—†โžฆโžผโžฒโœพโžจโœโžญ โฉโœโœธโ„โœฝPโ–ผ โœบโœผโญโ™ฆโœปโœกโœŒโœโœบโœผโšโœ›โœพโœ”โœปโ›โ–ฒโœฝโ–ฒโœป โ–ผโœŸโœธโœฆโœฝPโšโœ›โœพโจโ–โœฆโœฝโ„โœพโจโœปโœ‘โœ โ’ โœพโœ”โœปโœ†โญโซโญโœผโœปโ™โกโ„โ›Pโœป โ—†โœ†โœ โœ† โ—— โžฆ โ—โžŽโžญ โœ†โœโœ† โœพโœŸโœž โžป โ–ผ โฉ โžฝโœŽโœ’ โœ โ’ โœ†โœ โœ† โ— โœ†โœโœ† โœพโœŸโœž โžป โ–ผ โฉ โžฝ

โœ’ โœ โก โœ†โœ โœ† โ— โœ†โœโœ† โœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝ โžฝโœโžพโดโžš โ€ โœโœพโžชโฉโœโœธโœฆโœฝโโ–ผ โ—— โœปโœคโš โœพโฅโ›โ–ฒโœฝ โœธโ„โ˜โโณโœ†โ– โจโ–โ——โœพโœ”โœปโœŸโ›Pโ–  โ–ผโœŸโœธโœฆโœฝโœโœพโœ”โœบโœผโœฝโœนโ› โฉโ–ฒโœปโ‘โžโœคโกโณโžฆ โžทโžชโœ โžญ โฉโ–ฒโ–โ——โœฝPโšโœ•โžโœโกโ—†โžฆโžผโžฒโœพโžจโœโžญ โ€

Page 164: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœ’โœ‘โˆโœ“ ๏ฟฝโโœ“โžŠโœ โœ„๏ฟฝโซโ˜›โ€โ˜Žโœ‚โœโขโœŒโœŸโœ†โœตโœ‚โŠโœโ˜Žโœ„ ๏ฟฝโœฃโœ†โœŸโ˜›โœโœ™โœ›โœŒโขโœโœฌโœ‚โœฟโœ‚โž“โœโœ†โœ„โœกโœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโšโœ‚โž“โœโทโœงโœ›โœžโœกโœžโœžโœ โžพโฏรœโœˆโœธโ—rโžนโโœฝ โœบโซโœฝโœโœพโœ”โ– โจโœธโœโฉโœโ›โ–ฒโœบโซโœพโฅโฆโœฟโ–โœฆโœบโซโœฝโœโœพโจโœปโœŸโœฝPโ–โœฆโœฝโ„โœพโฅโญ โžถ โœธโ„โ˜โโณโœ†โ– โจโ–โ——โœพโœ”โœปโœ†โ›โ–ฒโ– โˆโ—†

๏ฟฝ โœฑโœฑ ร’ ร‘โโž โก โžฆ โžทโžชโœ โžญโœฆโฌโโž โก โžฆโžบโžฒโ—†โžจโœโžญโ—โœฅโฌ โžข โœฑโœ˜ โ—โ™ฅโžฆ โžซโฏโžญโœโžฒโณโžซ

โžนโโœฝโฒโ– โ—†โœ†โœ โœ† ๏ฟฝ โœฑโœฑ ร’ โžฆโโ—โžŽโžญ โœ†โœ โœ† โกโœพ โœž โžป โ–ผ โฉ โžฝ โซ โžข โœฑโžฅ โžฆ โžข โœฑโžณ โ—โ™ฅโžฆโœ„โœถโžŽโžญโœโžฒโ„โœถโ†”โžญ โก โžฒโถโžซ

โœ’ โžข โœฑโžฅ โžข โœฑโžณ โ— โก โžฆโœ„โœถโžŽโžญโœโžฒโ„โœถโœ โžฒโถโžซโœ’ โžข โœฑโžฅ โžข โœฑโžฅ โ— โก โžฆโœ„โœถโžŽโžญโœโžฒโ„โœถโœ โžฒโถโžซโœ’ โœŒ ร’ โ’ โฐ โžข โœฑโžฅ โ— โก โžฆโœ„โœถโžŽโžญ โžทโžชโž€โžฆโœ„โœถโžŽโžญโœโžฒโ„โœถโœ’ โœโœ‚โœ โœ†โœ โœ† โ— โœ†โœ โœ† โก

โœพโœŸโœž โžป โœกโ˜ž โžฝโฉโœโœธโœฆโœฝโโ–ผโœ„๏ฟฝ โœฑโœฑ ร’ โœปโœคโš โœพโœโ–ผโ˜žโœธโ„โœฝโœโœพโœ”โœบโœผโœฝโœโ›โฒโฉโœโœปโ‘งโžโœโกโ—†โžฆ โžทโžชโ›โžญ โฉโ–ฒโ–โœฆโœฝPโšโขโžโœโกโœพโžฆโžบโžฒโ—†โžจโœโžญ โ€โ—rโžนโโœฝ โœบโซโœฝโœโœพโœ”โ– โจโœธโœโฉโœโ›โ–ฒโœบโซโœพโฅโ˜โโœธโ„โ›โ–ฒโ– โœ†โ˜Žโ˜›ร•โœปโžโœคโกโ—†โžฆ โžทโžชโ†”โžญโœโœโ–ฒโญ โ–โซโžฒโœ„โœธโœฆโ– โจโฆโœฟโœป โญโœผโœบโœผโœฝโ–ฒโณโœ†โ–โœฆโœบโซโ– โจโœปโœขโ—†โœโœŸโœž ร‘โœญโž โก โžฆ โžทโžชโ†”โžญโœฆโฌ โž

โ—โœปโฌ โžข โœฑโžฅ โ˜Žโ†”โžฆ โžซโžฏโžญ โ—— โžฆโโ—โžŽโžญโšโžฆ โžซโฏโžญโœโžฒโณโžซโš โœฝ โ›โœโœพโœ”โœบโœผโญโœผโœบโœผโšโจโ–โ——โœฝโœโœพ โ’ โ–โ——โ›โโ–ผโฏโžคโœโžจโœ†โœ โž‡โžฆโœโ–ผโฏโžคโˆโžบโ‘โ–โœฆโ– โœ›โœพโœ•โœžโœโœปโ˜žโœพโœโญ โ–โœฟโ– โจโœปโœŸโญ โ–โฃโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโžฑโžฝโœโžพโฏโžš โ€ โœโ†โžช โœธโœฆโœฝ โฆโœฟโœธโœฆโœฝโœโœพโœ”โ– โจโœปโ™โกโ„โ›Pโœป โ—†โœ† โžข โœฑโžฅ โ˜ŽโžŽโžฆโžผโžซโžฏโžญ โ—— โžฆ โ—โžŽโžญโƒโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โœ† โœ’ โœ†โœโœ† โ˜Ž โœ†โœ โœ†

โœพโœŸโœž โžป โ–ผ โฉ โžฝ โœ†โœ โœ† โ—— โžฆ โ—โžŽโžญ โœ†โœ โœ† โœพโœŸโœž โžป โ–ผ โฉ โžฝโœ’ โœโœกโœ  โœ†โœโœ† โ˜Ž โœ†โœโœ†

โœพ โœž โžป โ–ผ โฉ โžฝ โœ†โœ โœ† โ— โœ†โœ โœ†โœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝ

โœ’ โ‹ โœ†โœ โœ† โ— โœ†โœ โœ†โœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝโœฉโ‘คโžถ โ–โ——โ˜โ–ฒโ˜Pโญโซโœบ โ–ผโœŸโ–โ——โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝ โญโซโœบโœผโœฝโ–ฒโณโœคโ–โ——โœบโœผโ– โœ”โœปโœฟโœปโœ†โšโœ›โœพโ—†โฉโœโœธโ„โœฝPโ–ผโœดโ–ผโ˜žโœธโ„โœฝโœโœพโœ”โœบโœผโœฝโœโ›Pโœปโœดโ˜Pโ–โ——โ–  โ–ผโœŸโœธโœฆโœฝPโšโœ”โณโœ†โกโœโ›โ–ฒโœปโœ†โœฝโ„โœพ โœบโœผโญ โœปโ˜›โœŒโœโœบโœผโšโœ›โœพโœ”โœปโœดโ›โ–ฒโœฝ โœธโ„โ˜โโณโœ†โ– โจโ–โ——โœพโœ”โœปโœŸโ›Pโ–  โ—— ร˜โ—†โœพโจโœปโœŸโญโกโœโ›โ–ฒโœป โ—†

โœ โœž โซโฎโ‘ฉ โ—— ร˜ โžฆโ˜›โ˜Žโˆโžญโ‘กโžฉโœ—โ— โฆโœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝโ–ผโ†โžถ โœปโœ†โšโœ›โœพโœฃโžญโœฟโฉโœโœบโซโ– โจโœป

โžข โœฑโžฅ โ˜ŽโžŽโžฆโžผโžซโžฏโžญ โ—— โžฆ โ—โžŽโžญโƒโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โซ โžข โœฑโžฅ โ—— ร˜ โžฆโ˜›โ˜Žโˆโžญโšโžฆโžผโžซโžฏโžญ โ—โ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโณโžซโ—rโžนโโœฝโฒโฉโœโณโฑโœšPโœฝPโœบโžโœพโ˜…โœšPโœฝโโ–โ——โญโœผโœปโœŸโฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโฅโญโžผโžถ โœธโœฆโ˜โœฑโณโœŸโ– โฌโ–โฃโœพโจโœปโœŸโ›โ–ฒโ– โˆโ—†

โœ„ ร˜ ร‘โœญโž โก โžฆ โžทโžชโ†”โžญโœกโฌโโž โก โžฆ โžทโžชโ›โžญโ—โœฅโฌ โ—— ร˜โœŒโ˜ž โœ  ๏ฟฝ โœฑโœฑโœŽโœ โ˜› ร’ โ’ โžฆโโ—โžŽโžญ

โžšโ–ฒโœธโ„โ– โœ”โฆโœฟโœปโœŸโญโœผโญโœผโœปโœŸโฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโœ†โœโœโœปโœ†โœฝโฒโ–ผโ˜žโœธโœฆโœฝโโšโœ›โœบ โฉโœโณโœŸโ– โฌโ–โ——โœฝโœโœพโœ‘โœ โฉ โญ โ–โ—†โฆโœฟโœปโœคโšโœ›โ›โ–ฒโ– โจโœปโ™โฉโœโœป โด โœบโซโ– โฌโ–โœฆโ–ผ โœปโœŸโœฝโงโžจโœโœโ–ฒโœธโ„โœฝ โ–Pโœโ–ฒโ˜โโœธโ„โ›โ–ฒโ–  โœพโœ”โœธโ„โ›โœโœพโœ‚โ—โ˜ร•โœปโžโœโกโœพโžฆ โžทโžชโ†”โžญ โ—†โžข โœฑโžฅ โ—— ร˜ โžฆโœ’โœ โฉ โžญ โ—โ™ฅโžฆ โžซโžฏโžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโžบโžฒโถโžซโžฏโžญโโซ โ—— โžฆ โ—โžŽโžญโƒโžฆโ†•โžจโœโžญโœโซ โžข โœฑโžฅ โ—— โžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโฅโžซโฏโžญ โ—โ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โžทโžชโž€โžฆโžบโžฒโถโžซโžฏโžญ

Page 165: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžพโฏรœโ†ร› โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœโœŽโœ’โœ‘โœโœ“โœ”โœ‚โœ•โœ“ โœ–โœ—โœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโœขโœœโœฃโœโœคโœ–โœฅโœžโœฆโœžโœฆโœงโ–ผโ˜žโœป โกโœโ›โ–ฒโœบโœซโฆโœฟโœธโœฆโœฝโœโœพโจโ– โœ”โœปโ™โกโœโ›โ–ฒโœป โ—— ร˜ โžฆ โœ โฉ โžญโœโซ โ—— โžฆโžบโžจโ‘กโžฉโ˜žโž€ โžญโœปโ˜žโœพโฏโฉโžŽโžถ โ–โ——โ›โ–ฒโœพโœ”โ– โจโœป โ˜โโ–โ——โ– โœ”โœพ โœธโ„โœฝโฒโ– โ—†

๏ฟฝ โœฑโœฑ ร’ โžฆโœ’โœ โฉ โžญโโซ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โœฑ โœถโžนโโœฝ โœปโœŸโœฝ โฉโœโณโœ†โฉโœโ›Pโœบโžโœพโฏโฉโœโœธโ„โœฝPโ–ผโ™โกโœโ›โ–ฒโœปโœ„ ร˜ โžฆ โœฎโœโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžญโœโซ โ—— โžฆโžบโžจโ‘กโžฉโ˜žโž€ โžญ โžฝโœโžพโดโžš โ€ ๏ฟฝโณโžช

โ—โžงโžนโโœฝโฒโฉโœโณ โœšPโœฝโ–ฒโœบโซโœพโœโญโœผโ–โ™ โœฝโ–ฒโœธโœฆโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝ โฉโžŽโžถ โœบโœผโœฝโœโœพโœ”โณโดโž˜โœฆโ– โฌโ–โ——โญโœผโœป โ– โจโœปโœŸโญ โ–โฃโœพโจโœบโซโขโ„โœปโœโžญ โžทP โœ โ˜Pโ–โ——โ–  โ—†โžฆโโ— โ–ฒ โžทP โœ โžญโœโซโœซโžฆ โœ„ ร˜ โžฆ โ—โžŽโžญ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPโ™โžญ โ‘ค โ—โ„ร•โœฅโž โก โžฆ โžทโžชโœ โžญ

โœโฏโœธโœฆโ›Pโšโชโ– โขโœฆโœธโ„โœฝPโšโœโฆโœดโ–โœฆโœบโซโœฝโœโœพโœ”โœปโœ†โœฝPโ–โ——โœฝโœโœพโชโฉโœโœปโœŸโ› โœŒโฒโœฝโ–ฒโœธโœฆโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝPโšโชโฉโžŽโžถ โœบโœผโœฝโ„โœพโจโณโƒโž˜โ„โ– โจโ–โœฆโญโซโœปโœคโšโœโ– โจโœปโœŸโญ โ–โฃโœพโœ”โœบโœผโขโœฆโœปโœ†โฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโœโžญ โžทP โ€ โœ’โโœธโ„โœบโœผโ–ผโœŸโœบโ™ฆโญโซโœปโ™ โ˜โ–ฒโ– โจโœปโœŸโฆโœฟโœบโซโœปโœ†โ– โโ– โจโณโœกโœ โšโœ”โ›โ–ฒโญโซโœพโจโ–โฃโœพ โ—†โ– โœคโ…โœโžž โžžโžŒโ…โ‘ฃโ†โœชโ‡โŠโ‰sโฐโœขโบโขโจโœ’โฃโœชโคโ‘โฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโž€โžจโตร•โž’โธ โงโ€โžฉโœโฐโขโนqโพโœฆโจโœ’โฉโž’โ–ฒโ‘จโ‘ข

โžฆ โœฎโˆโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โ–ฒ โžทP โœ โžญ โฉ โซ โžทP โœโฉ โซร’โžฆ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžป โ–  โ‘โโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญ โฉโ˜…โœšโž โœ˜โœฏโจโœ’โฉโโดโตโฑโณโคโœ‰โ–ฒโฒโฑโณโ˜โ‹โจโฒโฉโœ”โ‘ข

โžฆ โœฎโ–โœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โ–ฒ โžทP โœ โžญ โฉ โซ โžฆ โœ„ ร˜ โžฆ โœฎโ–โœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžญ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPโ™โžญ โฉโซ โžฆ โ—— โžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโ‚โž€ โžญโƒโžฆ โœฎโˆโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžญ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPรšโžญ โฉโซ โžทP โœโฉโซ โžฆ โœฎโ–โœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญ โฉโœญโœฉโœธโžถ โœปโ˜›โœŒโœโœพโจโœปโœŸโœฝPโšโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโœปโžญโงโœพโจโœธโœฆโ›โœโœพโจโœปโœ†โšโฅโญโœผโœปโœ†โšโœโžฒโœ„โœธโ„โœฝPโ–ผโœโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝPโšโฅโฉโœโณโœŸโœพโœ”โœปโœŸโ– โจโฆโœฟโœบโซโœฝPโœบโœผโšโœ›โœพโœ”โœปโœคโšโœโฉโœโœปโ‘งโž โก โžฆ โžทโžชโ†”โžญ โšโดโžถ โœป โฏโœฑโœปโœคโ–ผโœโœพโœ”โ›Pโœป โ˜โโ–โ——โ– โœโ–ผโ˜žโœธโ„โœฝโœโœพโœ”โœบโœผโœฝโœโ›Pโœบโžโœพโจโณ โ€โœญ

โœคโœฆโœฅโ˜…โœงโœ โœŸโ˜…โœงโœ โœŸ โœกโ˜žโ˜›โœฏโœฐโœโœŒโœŽโ˜›โ€โœฎโœŸโœทโ‡โœตโœกโœทโœ•โœปโ‡โœถโœณโœนโœนโœ–โœกโœ“ โœฎโโœฑโœฒโœตโœกโœทโœฆโ‹โœฌโ˜›โœ‘โœ โœ–โœŸโœน โœถโœณโœน โ€โœŽโœตโœกโœฎโœฉโœนโœ•โœ–โœถโœต โœ’โƒโ‚โœ•โœปโตโƒโ…โ„ โœน โ†โˆโœนโœ•โœปโ‚โ‹โœฌโœณโœณโœนโžนโโœฝ โฉโ–ฒโณโฑโœšPโœฝโ–ฒโœบโซโœพโฏโšโœ”โ›โ–ฒโ– โฅโญโžผโžถ โœปโœ†โšโœ”โ˜Pโ–โ„โ–ผโ˜žโœปโชโขโœฆโœปโœคโ–ผโœโœพโœ”โœธโ„โ– โœ”โœบโœผโœปโœŸโญ

โœ‚ โซโž…โฎ โœฎโ–โœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ ร‘โชโžจโ‘ ร•โž’โธ โงโˆโžฉโ—โฐโขโน ร™โญโซโœปโชโ˜โ–ฒโ– โจโœธโœโฉโœโ›โ–ฒโœบโซโœพโฏโšโœ”โ–ผโœ†โ–โ——โญ โ–โ——โœบโœผโ– โœ”โœปโชโšโœ”โ›โ–ฒโœบโซโขโฃโ–โœฆโœฝโ„โœพโˆโ—†โ‘ฉ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โžณ โœถ โฆโ˜Žโœ„โœ† โซโฎโ‘ฉ โ—— โžฆโžบโžจโ‘กโžฉโ˜žโž€ โžญ โ โ—— โžฆโžผโžซโ—†โžฉโ˜žโž€ โžญโœโฆ โœพ โœž โžป โœกโ˜ž โžฝโš โœฝโœกโœšPโœฝ โœโ–ฒโœธโœฆโœฝ โฉโœโณโฑโœšโโœฝโ–ฒโœบโžโœพโโญโžผโžถ โœปโœ†โšโœ”โ˜Pโ–โœฆโ–ผโœŸโœป โ€โœ‚ โžฒโœ„โœปโœ†โ– โœ”โฆโœฟโœปโœŸโœพโœ”โ›โ–ฒโ– โจโœปโ™โฉโœโœปโœโœ‚โ˜…โ–โœฆโ›โฒโšโœ›โœปโœ†โœฝPโšโฅโฉโœโ› โ˜โ–ฒโ– โจโœธโœนโฉโ–ฒโ›โ–ฒโœบโžโœพโœโšโจโ–ผโœŸโ–โœฆโญโœผโ–โœฆโœบโซโ– โจโœปโซโ‘ฉ โ โฆ โœ„โœ† โ€โœค โโœ›โž‘โœโœพโ€โžโœ’โƒโˆโžžโžŒโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โœŸโœž โ— โœ„ ร˜ ร‘ โ€โœ‚โ‘ฆโฌ โžโœคโกโœพโžฆ โžทโžชโ†”โžญโ‘ โชโ™ฃโดโฏโฑโœคโฃโœชโฉโ——โชโ‘ฅโ˜โœทโดโ™ฃโจ โœ˜โžพโžโ˜žโฑqโคโตโ˜โ‹โชโ‚โ™ฅ

โ—โปโบโขโจโฒโฃโœชโคโ‘โฑโผโจโฒโฃโœชโฑโ˜…โ—โ™ร• โ€โœ‚โขโพโœŽโ˜Žโฒร• โ€โœ‚ โจโœ’โฉโž โ–ฒโœฅโ‘ขโ…โœกโœ โƒโžฆโโ— โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญโ‘งโž€โ™ฅโžฆโ˜›โ˜Ž โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญโ˜žโ˜›โžโซ โ‘ฉ โ—โœ โžฉ โ˜Žโ‘จโฆโ˜Žโœ„โœ†

Page 166: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœ’โœ‘โˆโœ“ ๏ฟฝโโœ“โžŠโœ โœ„๏ฟฝโซโ˜›โ€โ˜Žโœ‚โœโขโœŒโœŸโœ†โœตโœ‚โŠโœโ˜Žโœ„ ๏ฟฝโœฃโœ†โœŸโ˜›โœโœ™โœ›โœŒโขโœโœฌโœ‚โœฟโœ‚โž“โœโœ†โœ„โœกโœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโšโœ‚โž“โœโทโœงโœ›โœžโœกโœžโœžโœ โžพโฏรœโ—†รœโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ข

โ— โžฆโœนโœธโ„โœบโžโœพ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ ร• โœ‚โฅโœโ–ฒโœธโ„โœฝโฒโ– โ—†โœ†โœ โœ† โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โœ†โœโœ† โœ„โœ† โซ โœ†โœ โœ† โ—— โžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโ˜žโž€ โžญ โœ†โœ โœ†

โœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝโซ โœ†โœ โœ† โœ„ ร˜ โžฆ โœฎโˆโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžญ โœ†โœ โœ† โœพโœŸโœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝโœฉโœธโžถ โœบ โšโœ›โœธโ„โฆโœฟโณโ˜žโœพโœ”โ– โจโœบโœผโœปโˆโœปโœ†โšโœ›โœพโœดโฉโœโœธโœฆโœฝPโ–ผ โขโœฆโณโœ†โ– โœ”โœบโกโœšPโณโœ†โœป โ˜โโœธโ„โ›โ–ฒโ– โœฟโญโซโœปโœคโšโงโณโœ†โญโซโณโœ†โฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโจโšโœฟโฉโœโœป โœ‚โฅโœโ™ฆโ˜Pโ–โ——โ– โ™ โ˜Pโ–โ„โšโœ”โšโจโ–โ†โž˜โ„โœปโ‘จโžญ โญ โ–โโญโœผโœบโœผโฆโ™ โœบโซโœพโœ”โœปโ„โœ โœ„ ร˜ โณโœŸโœพโจโ–โœฆโœฝโ„โœพโ–ผโœŸโœธโœฆโœฝโœโœพโœ”โœบโœผโœฝโœนโ›โ–ฒโœปโœฆโœโœโœธโ„โœฝ โ–โ™ โญโœผโœปโชโ– โœ”โณโœคโšโœ›โ›โ–ฒโญโซโœพโจโ–โ——โœพโฅโขโœฆโœธโœฆโ›Pโญโซโ› โ€โ—

โ… โœ  โžฆโโ— โžป โ–  โ‘โโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญโœโž€โคโžฆ โ˜Ž โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญ โ˜› โซ โ… โœ  โžฆ โœ„ ร˜ โžฆ โ—โžŽโžญ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPโ„โžญโœโž€โœ‰โžฆ โœ„ ร˜ โžฆโ˜›โ˜Žโˆโžญ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPโ™โžญ โ˜›โซ โœ โœ„ ร˜ โžฆ โ—โžŽโžญโœโž€ โœ„ ร˜ โžฆโ˜›โ˜Žโˆโžญโœ„โœ‚โœพโœŸโœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โžฝโœโžพโดโžš โ€ โ™ฅโณโžชโซ โ‘ฉ โ—โœ โžฉ โ˜Žโ‘จโฆโ˜Žโœ„โœ†โœฉโฑโ–โœโ– โจโœปโœŸโญ โ–โฃโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝsโžฝโœโžพโดโžš โ€ โ™ฅโณโžชโตโœปโœ†โšโœ›โœพโ™ฆโ›โ–ฒโœฝโ–ฒโœป โ–ผโ˜žโœธโœฆโœฝโโšโœ›โณโœคโกโ„โ›PโœปโœŸโœฝPโ–ผโœŸโœป โฉโœโœปโ‘โญโœผโ–โฏโ– โœ”โœปโœ†โญโœผโ–โ——โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝ โ™ฅ โ€ ร›โฏโ˜โโ–โ†โž˜โœฆโœปโœผโžพโฏโโ†ร›โœโœธโœฆโคโœโœพโจโœปโœŸโœฝโœนโ›โ–ฒโœป โ˜Pโ–โ——โ–  โ˜โโœธโ„โญโœผโ–โœฆโ– โœ”โœบ โšโจโ–โฃโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝ โ€โœฉโฑโ–โ™ โฉโ–ฒโœปโœŸโ– โจโœฝโ–ฒโœบโœ˜๏ฟฝโœ†โ– โœ”โœปโชโ– โจโœปโœŸโญ โ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโˆโœปโœ†โšโœ›โœพโฏโฉโœโ›โ–ฒโœปโ‘ฅโžญโ™ โญ โžถ โœบ โšโœ”โœธโœฆโฆโœฟโณโ˜žโœพโจโ– โœ”โœบโœผโœปโ™โ–โ——โ› โšโœ›โœปโœ†โœฝPโšโฅโฉโœโœปโœฏโ‘ฉโžดโžฉโ˜žโฆ โœ„โœ† โ€ โœญ

โœคโœฆโœฅโ˜…โœงโœ โœŸโ˜…โœงโœ โœฏ โ˜Ž โœณโœณโœนโœ•โœปโœฝโœตโœกโœฎโœฉโœฐโœฒโœฑโœผโœถโœบโœนโœโœ† โœ–โœŸโœตโœžโ˜›โœ‘โœโœพโœตโœกโœฎโœฉโœฐโœฒโœฑ โœงโœฉโœงโœŸโœงโœค โโœ›โž‘โœโœพโ€โžโœ’โƒโˆโžžโžŒโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โœŸโœž โโŠโชโ™ฃโดโœโ–ผโ——โคโœ‰โจโœตโšโฏโชโตโดโฏโดโตโฃโˆโด โžทP โœ โชโ™ฃโฑ โžทP โจโœ’โฉโโฑโœPโœ‡โชโ™ฃโด โœ˜ โœ›โœขโœ˜โžพโชโ™ฃโดโœกโž›โœกPโ™โฑqโคโœ‰โ–ฒโฒโฑโณโ˜โ‹โจโฒโฉโœญโดโ˜žโ™ฅโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโด โ–โœฆโœฝPโš โ›โ–ฒโœฝ โ˜โ–ฒโ– โจโœปโœŸโฆโœฟโœบโœผโœปโœŸโ–  โœพโœ”โœปโœ†โฆโœฟโ˜PโšโœŸโœPโœธโœฆโœฝ โ–โ–ฒโœโœโ˜โœฑโœธโœฆโ›โ–ฒโ–  โœพโจโœธโœฆโ›โœโœพโกโžจโ‘ ร•โž†โธ โงโ€โžฉโœโฐโขโน โœโœนโœบโซโญโ†โœปโ˜›โœŒโœโœบโœผโšโœ›โœพโœ”โœปโ–โžฆ ร“ โœ โžฉโœโžจ โœ โžญโ‘ ร•โžฑโžฆโณโžโ–ฒโ‘โž’โธ โงโˆโžฉโœโฐโœŸโนโžฌโžญ โœซ โœพโจโœปโœŸโญ โšโฅโกโ„โ›Pโœป โ—†

โ—— โžฆโžบโžจโ‘กโžฉโ˜žโž€ โžญ โซ โž โก โžฎ โ˜Žโ‚โœช โœŒรโœกโœ  โœรโ˜… โœ โœญ โ’ ร“ โœ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉโ˜žโ˜› โœถ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โžพโดโžšโณโžช

โด โ–โœฆโœฝPโš โ›โ–ฒโœฝโฒโฉโœโœปโœ†โ› โœŒโœโœบโœ˜๏ฟฝโœ†โฆโ™ โœปโชโœพโจโœปโœŸโฆโœฟโ˜Pโšโœ†โœโœโœธโœฆโœฝโฒโ–โ–ฒโœโœโ˜โœฑโœธโœฆโ›Pโ–  โœพโœ”โœธโœฆโ›โ–ฒโœพโœผโžซโžดร•โž’โธ โงโ€โžฉโœโฐโขโน โœโœโœบโซโญโœซโœปโ˜›โœŒโœโœบโœผโšโœ›โœพโœ”โœปโฒโžฆโœโœŒ โœ โžฉโโžซ โœ โžญโ™ ร•โžฃโžฆโ‹โž โ‘โž’โธ โงโ€โžฉโœโฐโขโนโ†•โžญ โœซ โœพโœ”โœปโœ†โญโœผโšโœโกโœโ›โ–ฒโœปโœขโ—†โœฎโ–โœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โžณ โœถ โซ โž โก โžฎโœœโ˜Žโœ„โœช โœŒรโœกโœ  โœ

รโ˜… โœ โœญ โ’ โœŒ โœ โ—— โžฆโžผโžซ โœ โžฉโ‚โž€ โžญ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โžพโœพโžพโžฏโžช

โžนโโœฝโฒโ–โ——โ˜โ–ฒโ˜โ–ฒโญโœผโœบ โกโ„โ›Pโœปโ™โฆโœฟโ–โœฆโœบโซโœฝโœโœพโจโœปโœŸโœฝPโ–โœฆโœฝโ„โœพโœโญ โ–โœฟโญโœผโœบโซโœฝโ–ฒโณโœคโ–โ——โ– โจโœบโžโœพโจโณโ™โœปโ˜žโœพโฏโญ โ–โœดโ–ผโ˜žโœธโ„โœฝโœโœพโœ”โœบโœผโœฝโœโ›Pโœบโžโœพโจโณ โฉโœโœป โญ โžถ โœบโœผโœฝโœโœพโœ”โณโƒโž˜โ„โ– โจโ–โœฆโญ โžป โ–  โ‘โโžฝโ–ฒ โžทP โฉโœโœปโ‘ฅโžโœโก โฉโ–ฒโ–โœฆโœฝPโšโœโœŽโž“โกโ›โžฆ โ˜ž โžญโ‘โœธโ„โœฝโœปโœŸโœฝ โฉโœโณโœ†โฉโ–ฒโ›โ–ฒโœบโžโœพ โ—†โด โžถ โ›โ–ฒโœฝโ–ฒโœปโ™โ˜โโ–โ——โ– โœ”โœพโœ†โœโ–ฒโฉโœโœปโฒโžฝโœโžพโดโžš โ€ โžพโดโžšโณโžชโจโœโžฆ โ—— โžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโ‚โž€ โžญ โžป โ–  โ‘โโžฝโ–ฒ โžทPโ™โžญโœโซโœ‘โœŽ โก โžฆ โ˜ž โžญโ™ฆโžฎโœœโ˜Žโœ„โœช โœŒรโœ’โœ  โœ

รโ˜… โœ โœญ โ’ ร“ โœ โžฆ โœฎโœโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉโ˜žโ˜› โœถ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPโ™โžญ

โžทP โœโฉ โซโœ‘โœŽ โก โžฆ โ˜ž โžญโ™ฆโžฎโœœโ˜Žโœ„โœช โœŒรโœ’โœ  โœรโ˜… โœ โœญ โ’ ร“ โœ โžทP โฉโ˜žโ˜›โœ“ โœ”โœ–โœ• โœ—โœฉโœ™โœ˜โœ’โœšโžทP โœโฉ ร• โœ‚ โฉ

Page 167: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžพโฏรœโœˆ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœโœŽโœ’โœ‘โœโœ“โœ”โœ‚โœ•โœ“ โœ–โœ—โœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโœขโœœโœฃโœโœคโœ–โœฅโœžโœฆโœžโœฆโœงโ’ โœปโ™โกโ„โ›Pโœบ โฉโœโณโœŸโฆโœฟโœธโ„โœฝโ„โœพโจโ– โœ”โœปโชโ›โ–ฒโœฝPโœป โ˜Pโ– โœ”โœปโœ†โฆโ™ โœบโœฝ๏ฟฝโœŸโ– โจโœปโชโœบโซโœฝโโ–ผโ˜žโญโœผโ›Pโšโœ›โœบโœผโœธโœฆโœฝ โœโœโœธโœฆโœฝ โณโœ†โ–ผโœŸโ– โœ”โœบโซโœพโฅโฆโœฟโ–โœฆโœบโซโœฝโœโœพโจโœปโœŸโœฝPโ–โœฆโœฝโ„โœพโœŸโžญโ™ โ˜Pโ–โœฆโ– โœ›โœพโจโœบโซโ– โœโฉโœโœปโฒโžฝโœโžพโดโžš โ€ โžพโ—†โžพโฏโžชโœณโ—†

โžฆ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โžณ โœถ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPรšโžญโโซโœ‘โœŽ โก โžฆ โ˜ž โžญโœ‰โžฎโœœโ˜Žโœ„โœช โœŒรโœกโœ  โœรโ˜… โœ โœญ โ’ โœŒ โœ โžฆ โ—— โžฆ โžซ โœ โžฉโ‚โž€ โžญ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPโ„โžญ

โžทP โžณ โซโœ‘โœŽ โก โžฆ โ˜ž โžญโœ‰โžฎโœœโ˜Žโœ„โœช โœŒรโœกโœ  โœรโ˜… โœ โœญ โ’ โœŒ โœ โžทPโœŽโœโžณ โ˜›โœ“ โœ” โœ• โœ—โœฉโœ™โœ˜ โœโœšโžทP โฉ ร• โœ‚ โœโฉโ’ โœปโ™โกโ„โ›Pโœบ โฉโœโณโœŸโฆโœฟโœธโ„โœฝโ„โœพโจโ– โœ”โœปโชโญโœผโœป โœพโœ‰โžคโ–ฒโณโœ†โœธโœฆโ– โœ•๏ฟฝโœŸโฆโœฟโœป โ€

โœญโœคโœฆโœฅโ˜…โœงโœ โœŸโ˜…โœงโœ„โœ‘ โœกโœโœนโ‡โœตโœกโœฐโœฌโœณโœตโ˜›โโœป โœณโœตโ˜› โœ–โœฉโœนโœ•โœปโ‡โœ โœ”โœดโœ” โ˜›โœฏโœฐโœฒโœฎโโœปโ‚โœปโ‚โœนโœ•โœทโ…โœนโœ•โœฑโœฟโœตโœฏโœปโ†โœปโœฝโœตโœžโœโชโœตโœฏโœฎโœฉโœฐโœฒโœฑโœณโœฑโœตโœ โœฎโโ˜›โœฏโœนโœ•โœปโžŽโ‘งโžโœ’โœพโโœผโœ›โžโœ’โžโ‹โž‘โœโœฟโ‚โž‘โž’โ†โœชโ‡โž“โ‰ โœž โž”โ——โ˜โœฟP โชโ™ฃโดโตโฑโ‘งโฃโœชโฉโž„โ–ผโ——โคโ—†โจโ‚โšโฏโชโ™ฃโดโ—†โดโตโฃโˆโดโœ—โ›โ–โชโžพโบโœŸโจโœ’โ˜โœทโดโฏโดโ˜žโจโœ’โฉโ™ โดโตโฑโผโ–ฒโฒโฉโ——โ›โ–โ–ฒโœ’โคโœ‰โ›โœ’โพโ‘งโ–ฒโœ’Psโจโœ’โคโฏโด โžทP โœ โชโ™ฃโดโตโฑโ‘โž‚โœ”โ–ฒโœˆโšโฏโšโ˜žโคโœ‰โจโœ’โ˜โœทโดโฏโดโ˜žโชโœขโœ˜โžพโชโ˜žโฉโโฑโณโดโดโตโฑโผโ–ฒโฒโฑโณโ˜โ‹โจโฒโฉโโฉโ——โ–ฒโฒโ˜tโคโœ‰โชโ™ฃโดโœโดโตโ˜โœฆโชโ˜žโฑโœกโดโ˜žโชโ˜žโฃโœชPโœ‡โช โœ˜โœฏโชโ˜žโฉโโฑโœกโดโตโ˜ โ—— โž‰โœณโžโ˜žโคโตโ˜ โž›โœคโชโ‘ Pโœ‡โชโ™ฃโดโ‘งโคโ—†โชโ™ฃPโœ‡โ–ฒโฒโฑโณโ˜โ‹โจโฒโฉโœญโดโ‘งโดโตโฃโœชโ˜tโž‰โœณโ–ฒโฒโฉโโฑโฅโชโตโดโœโ–ผโโจโœ’โฃโœชโคโ‘โฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโ‘ โžฆ โœ‚โœ โžฉโœ„โœ‚โšโžญโ‘ ร•โœปโžโ˜Žโกโœ”โ‘ขโ˜Žโœ† โœ โ™ฃ โœฑโžฅ โœ„ ร˜โ†โžฆ โœฎโˆโœฐ โœž โ˜Ž โœŸ โœถ โžญโšโžฆ โžซโฏโžญโœโžฒโณโžซโ…โซ โ™ฃ โœฑโžฅ โœ„ ร˜โ—†โžฆ โœฎโ–โœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โœŸ ร’ โœž โœถ โžญโƒโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซโ™ฃ โœฑโžฅ รโœคโœšโœฆโœฅโœกโœ  โœ„ ร˜โ†โžฆ โœฎโˆโœฐ โœž โ˜Ž โœŸ โœถ โžญโšโžฆโžผโžซโžฏโžญโ˜žโ˜›โœ‰โžฒโถโžซ โซ โ™ฃ โœฑโžฅ รโœคโœšโœฆโœฅโœกโœ  โœ„ ร˜โ†โžฆ โœฎโˆโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โœŸ ร’ โœž โœถ โžญโšโžฆโžผโžซโžฏโžญโ˜žโ˜›โœ‰โžฒโถโžซโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโžฆโœนโœธโœฆโœบโซโœพ โ—โโ›Pโœฝโ–ฒโœปโœโžฒโœ„โœธโœฆโœฝPโ–ผโ˜žโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโฒโฉโœโณโ˜žโœพโจโœปโœŸโ– โจโฆโœฟโœบโซโœฝโ–ฒโœบ โšโœ›โœพโœ”โœป โ€โžนโโœฝ โšโจโ–โ——โœบโซโœพโœโกโœโ›โ–ฒโœป

โžข โœฑโžฅ โ—โ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒ โžทP โœโžณ โซโœซโžฆโโ— โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญโœโซ โžฆ โœ„ ร˜ โžฆ โ—โžŽโžญ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPโ™โžญโ’ โœธโœฆโฆโœฟโฆโœฟโœปโœฟP โœปโœ†โšโœ›โœพโฑโ›โ–ฒโœฝโ™ โ˜โ–ฒโ– โจโœธโœนโ–ผโœŸโœปโœ†โšโจโšโœ›โ›โโš โฉโœโœปโœโžฅโ™ฆโœธโœฆโœบ โšโœ”โšโœ”โœธโœฆโœฝโ†โœโœ†โœธโœฆโœฝโ™ โ–ผโ˜žโœธโœฆโœฝPโœฝPโ–โœโœŒ โœพ โšโจโ–โฅโœพโจโ– โจโ–โœฆโœฝPโšโž‡โžฒโœ„โœธโ„โ– โœ”โฆโœฟโณโœ†โœป โฉโœโœปโœฃโœฉ โ–โ——โ˜Pโญโœผโ–โ„โ–ผโ˜žโœป โ–ผโœŸโœปโ‘โกโœโ›โ–ฒโœบโœโœฝโ–ฒโœธโ„โ›Pโš โ˜โโœปโœ†โ– โœ”โฆโœฟโœปโ˜žโœพโฉโžŽโžถ โณโœ†โ–ผโ˜žโ– โจโœบโœผโ– โœ”โœป โ—†โ… โœ โž‡รโœ†โœšโ„โœฅโœโœŽโžŽโžฎโœˆโžฆโโ— โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญโœ’โœ‘โœโ˜› โซ โ… โœ โž‡รโœคโœšโœฆโœฅโœโœŽโคโžฎโœˆโžฆ โ— โžป โ–  โ‘โโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญโœ“โœ‘โœโ˜›

โซ โ… ๏ฟฝ รโœคโœšโœฆโœฅ โ˜Ž โžฎ โžข โœฑโžฅ โœ„ ร˜ โžฆโโ—โžŽโžญโšโžฆ โžซโฏโžญโœโžฒโœฝPโญโžณ โœž โœ  รโœ†โœšโ„โœฅ โ˜Ž โžข โœฑโžฅ โœ„ ร˜ โžฆ โ—โžŽโžญโšโžฆ โžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โœžโซ รโœคโœšโ„โœฅโœ†โ˜Ž โžข โœฑโžฅ โžฎโœˆโžฆ โœทโœ–โžฎโž’รโœคโœšโœฆโœฅโž€โžฆโœโžฎ โœ„ ร˜ โžฆโโ—โžŽโžญโšโžฆโžผโžซโžฏโžญโ—โžญโœโžฒโถโžซ โœžโปรโœ†โœšโ„โœฅโœ†โ˜Ž โžข โœฑโžฅ โœ„ ร˜ โžฆโโ—โžŽโžญโšโžฆ โžซโฏโžญโœโžฒโณโžซ โœž

โžนโโœฝ โ›โ–ฒโœพโœ”โœบโœผโญโซโœบ โšโœ›โœปโ™โญโœผโœปโœ†โš โ– โจโœปโœŸโญ โ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝPโš โ—†โžข โœฑโžฅ โœฎโˆโœฐ โœž โ˜Ž โœŸ โœถ โžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒ โžทP โœโžณ โซ โžทP โœโœŸ โžฎ โžทP โœโœž

โžข โœฑโžฅ โœฎโˆโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โœŸ ร’ โœž โœถ โžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒ โžทP โœโžณ โซ โžทP โœโœŸ ร’ โœž โžฎ โžทP โœโžฅโœฉโ†โœปโœดโ– โจโณโœ†โšโœ”โ›โ–ฒโญโžโœพโฌโ–โฃโœพโ™โœปโœŸโœฝ โฉโ–ฒโณโœ†โ–ผโ˜žโœธโ„โ›โ–ฒโญโœผโœปโ™ โ˜Pโ›โ–ฒโœบโœผโšโจโกโœโ›โ–ฒโœป โฉโœโœปโœ†โ› โœŒโœกโขโฃโ–โ——โ– โจโœบ โ–โ——โคโ–ฒโญโœผโœปโœ†โšโชโœธโ„โœฝโ„โœพโ™โฆโžพโžณโœŸโฆโœฟโœปโœดโญโœผโœธโœฆโœบ โšโœ”โœบ โœปโœŸโœพโงโšโœ›โœปโœ†โ›โ–ฒโญโซโœปโœ†โฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโงโšโœ›โœบ โœปโœŸโญโœผโญโซโœปโœคโšโ™โœธโœฆโœฝโœโœพโ™โญโœผโ–โฆโžพโžณโœŸโฆโœฟโœป โœพโœ”โ– โฌโ–โ——โœฝPโšโžฃโžฒโœ„โœธโœฆโ– โจโฆโœฟโณโœŸโœปโ™โฉโœโœป โœฉ โ–โœฆโ˜โ–ฒโญโœผโ–โ„โ–ผโ˜žโœป โ€

โœญ

Page 168: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœ’โœ‘โˆโœ“ ๏ฟฝโœญโœ“โžŠโœ โœ„๏ฟฝโซโ˜›โ€โ˜Žโœ‚โœโขโœŒโœŸโœ†โœตโœ‚โŠโœโžทโœ†โžพโœ™ โœ–โˆโœโœฌ๏ฟฝโœโœ–โœฅโœœโœโœโ†’โœ–โœ‚โœโžŠโœ˜โœ•โœ„โซโœ˜โœ•โœŒโ‘โœ˜โœ•โœœโœขโœŒโขโœโœฌโœ‚ โœ†โœŸโ˜›โœ›โœ โ˜Žโœ„ โœโœžโœ โœโœฌ๏ฟฝโซโ˜›โ™ โœ†โžพโœ™โžŒโœงโœ›โœžโœกโœžโœžโœ โžพโฏรœ โœโœ‘โœ“โœ’โœ•โœ”โœโœ† โœ˜โœšโœ™โœœโœ›โœโœขโœคโœฃโœฆโœฅโ˜…โœงโœฆโœฉโœซโœช โœงโœฆโœฐโœŸโœžโœโœชโœคโœ™โœ โœžโ˜›โœก โœชโœŒโ˜žโœŽโœโœฆโœทโœ‘โœโœฎโœทโœฆโœฅโ˜…โœทโœ’โœก โœฅโœฒโœชโœคโœฉโœณโœง โœ›โœ”โœ“โœ–โœ•โœฆโœชโœ˜โœ— โœชโœคโœ™ โœ› โœงโœฆโœฐ โœบโœฝโœผโ˜žโœผโ˜žโœพ

โœคโœฆโœฅโ˜…โœงโœ โœฏโ˜…โœงโœฉโœค โœ™ โœท โœ† โœฑโณโœฎโœถโœตโœฏโœฎโœŸโœฐโœฒโœฑ โœถโœบโœนโœนโœ–โ˜›โœ“ โœฎโœฉโœฑโœฟโœตโœกโœทโœฆโ‹โœโ˜›โœ‘โœ โœ–โœฉโœนโœšโœ—โž‘โœœโœ›โœฃโœข โžโ‹โœฟโ‚โžโณโœพโœคโœข โ†โˆโ‡โŠโ‰โ‹โ†โ†’โบโขโจโฒโฃโœชโคโ‘จโฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโฅโœถ โฑโฅโชโ™ฃP โœ™โ˜žโฃโโช โœ„ ร˜โœพโžฆโ‚โœถโ†”โžญsร•โœ†โžฒ โ— โœŒโžฃโžฆโœฆโœฅ โœกโœง โžญโž„โจโœ’โฉโ†’โ›โ–โžโ‹โž›โœฆโฉโโ˜tโฑโ‘Pโžฃโ โ˜tโฉโ€โฑโผโžโผrโœˆโคโœ‰โ–ฒโœ’Psโชโž„โคโœ‰โชโ˜žPโœ‡โ–ฒโœ’โฑqโ˜tโž‰โœ’โช โž‚ โžทP โœโ–ผโœญโ–ฒโฒโคโ‘ โ‘ข

โœฅ โœกโœง โœ โžฆโ‚โœถโ†”โžญ โซโ˜…โœฅ โœกโœง โžฆ โœ„ ร˜ โžฆโ‚โœถโ†”โžญโ—โžญโซโ˜…โœฅโ——โžฆ โžธ โž€ โœ„ ร˜ โžฆโœ„โœถโžŽโžญโœโžญโœคโœฆโœฅโ˜…โœงโœ โœฏโ˜…โœงโœ โœŸ โœ™ โœทโœ“โ˜›โ€โœฎ โœพโœฟโœทโœฆโœนโœฝโœถโณโœฎโœ„โ˜›โœฏโœนโœฟโœ”โ˜›โœตโœกโœฎโœฉโœฐโœฒโœฑโœณโœฑโœณโœนโœ•โœ–โโœ–โœฉโœนโœ‚โœนโ‡โœตโ›โ‹โœโ˜› โœโœฒโœถโณโœฎโœŸโœนโœ•โœฑโœฟโœต โœโ‰โœป โœปโ‚โœฐโœ†โœ”โ‡โœฎโœŸโœทโœ•โœปโœšโœ—โž‘โœœโœ›โœฃโœข โžโ‹โœฟโ‚โžโณโœพโœคโœข โ†โˆโ‡โŠโ‰โœทโžตโœขโบโขโจโฒโฃโœชโคโ‘จโฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโœชโœฉ ร•โœฌโœซโœŸโพโœคโ–ผโœญโจโฒโฃโœชโคโœ—โฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโœบโฒ ร•โ†’โžโœโกโœพโžฆ โžทโžชโœ โžญโœปโจโฒโฉโ†’โ›โœˆโžโณโž›โœกโฉโโ˜tโฑโ‘Psโ–ฒโž†โ›โœˆโžโ˜žโคโตโ˜tโž‰โœณโžโฏโช โ›โฒโ˜tโคโœ‰โชโฏโšโ™ฃโฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโ€โฉโ——โชโ˜žPtPโœ‡โชโ–ผโœญโ–ฒโฒโคโ‘ โ‘ข

โœญ โœกโœง โœ โœฉโ–โžฆ โฒโ›โžญ โซโ˜…โœญ โœกโœง โœฉโ–โžฆ โœ„ ร˜ โžฆ โฒโ›โžญโ—โžญโซโ˜…โœญโœฎโœฉโ–โžฆ โžธ โž€ โœ„ ร˜ โžฆโœฌโฒโœ โžญโœโžญโœญ โœกโœง โœ โœฉโ–โžฆโœฌโฒโœ โžญ โซโœ™โžฎ ร

โ˜… โœ โœญ โ’ โœฏ โ—โœฏ โœš โœโœฑโœฐ โžขโœฑโžฅ โžข โžต โ— โ’ โžฆ โžซโฏโžญ โ˜Ž โ’ โžฆ โžธ โžญโž’โžปโซโžฆโžบโžฒโถโžซโœพโžฉโโžฒ โžธ โžญโ‘กโžฉโ‚โž€โ˜žโž€โ‚โž€โšโžฉ โžข โœฑโžฅ โžข โžต โ—โ‘จรโžŽโžฆโžผโžซโžฏโžญ โ˜Žโœพรโœ‰โžฆ โžธ โžญ โžปโซโžฆโžบโžฒโถโžซโ—†โžฉโ—โžฒ โžธ โžญโœณโœฒ

โž€ โžข โœฑโžฅ โžข โžต โ— โ„โœ โžฆ โžซโฏโžญ โ˜Ž โœ โžฆ โžธ โžญ โœฐ โžธโžชโœ‰โžฆ โžซโฏโžญ โžข โžณโžฅ โœ„ ร˜ โžฆโœฌโฒโœ โžญโšโžฆโ—†โ–โ‘จโžญโœ‰โžชโœ‰โžฆโ—†โ–โ†โžญโ——โžฒ โ– โœฒ โžปโซโžฆโžบโžฒโถโžซโ—†โžฉโ—โžฒ โžธ โžญ

โžนโโœฝ โ–โ™ โญโœผโœปโœ†โš โ˜โ–ฒโ– โจโœธโœฆโ˜Pโ– โœ”โœบโœผโณโ˜žโœพโจโณโœ†โš โšโœ›โ›Pโœบโซโขโฃโ–โ——โœฝโœโœพโจโœปโœ†โšโฅโกโœโ›โ–ฒโœบโ†โฆโœฟโœธโ——โœพโจโœบโซโขโ„โœปโœŸโœฝโœโœพโœโ–ผโ˜žโœปโœŸโœพโœ›โœพโœ”โœป โฉโ–ฒโณโฑโœšPโœฝโ–ฒโœบโซโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโœโ—†โžŽโ‘งโžโœ’โœพโโœผโœ›โžโœ’โžโ‹โž‘โœโœฟโ‚โž‘โž’โ†โœชโ‡โž“โ‰ โœž โบโœŸโจโœ’โฃโœชโคโ‘โฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโœ”โœฉโ™ โžฉโœตโœด ร•โœ โœซ โชโ™ฃโฑโœคโฑโผโจโฒโฃโœชโฑโœพโฒโœŒร•โœฅโž โก โžฆ โžทโžชโ†”โžญโ‘ โจโฒโฉโž โ–ฒโ‘จโ‘ขโ—

โœญ โœกโœง โœ โžฆโœถโœฉโœทโœดโœˆโžญโšโžฆโœฌโฒโœ โžญ โซโœธโœฉโœ•โž€ โœญ โœกโœง โœ โœดโ–โžฆโœฌโฒโœ โžญโ›โœโœนโœดโžพโž€ โœญ โœกโœง โœ โœฉโ–โžฆโœฌโฒโœ โžญโ— โ… โ† โœญ โœกโœง โœ โœฉโ–โžฆโœฌโฒโœ โžญ โˆ โซ โ… โ† โœฉโœ•โž€ โœฅ โœกโœง โœ โœฉโ–โžฆ โฒโ›โžญ โˆโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโ— โžฆโœนโœธโ„โœบโซโœปโœ†โœฝโœโœพโœบโœฉโ™ โžฉโœโœด ร•โœ โœซ โœปโœŸโœพโณโฒโœŒร•โœ—โžโœโกโ—†โžฆ โžทโžชโ›โžญโ‘โœธโ„โœฝโฒโ– โ—†

โœญ โœกโœง โœ โžฆโœถโœฉโœทโœดโœˆโžญโšโžฆ โฒโ›โžญโœ‚โซโœปโœญ โœกโœง โžฆโœฆโœฉโœทโœดโœˆโžญโƒโžฆ โœ„ ร˜ โžฆโœฌโฒโœ โžญโœโžญโซโœปโœฉโœ•โž€ โœญ โœกโœง โžฆโœฆโœดโœˆโžญโšโžฆ โœ„ ร˜ โžฆโœฌโฒโœ โžญโœโžญโ†โœโœŸโœดโžพโž€ โœญ โœกโœง โžฆโœถโœฉโœˆโžญโšโžฆ โœ„ ร˜ โžฆ โฒโ›โžญโ—โžญโซโœปโœฉโœ•โž€ โœญ โœกโœง โœ โœดโ–โžฆโœฌโฒโœ โžญโœ†โœโœŸโœดโžพโž€ โœญ โœกโœง โœ โœฉโ–โžฆโœฌโฒโœ โžญโ— โš โœฝ โœป โฏโœฑโœปโœŸโœพโœ†โœโโšโœ”โœธโœฆโœบโซโœพโœ˜โœฉ ร•โœ โœซ โœปโ˜žโœพโณโฒโœŒร•โœปโžโœโกโœพโžฆ โžทโžชโ†”โžญโ˜žโœโ–ฒโœธโœฆโœฝ โ–โจโ—†

โ… โ† โœญ โœกโœง โœ โœฉโ–โžฆโœฌโฒโœ โžญ โˆ โซ โ… โ† โœญ โœกโœง โœฉโ–โžฆ โœ„ ร˜ โžฆโœฌโฒโœ โžญโœโžญ โˆโซ โ… โ† โœฉโœ•โž€ โœฅ โœกโœง โœฉโ–โžฆ โœ„ ร˜ โžฆโœฌโฒโœ โžญโœโžญ โˆโซ โ… โ† โœฉโœ•โž€ โœฅ โœกโœง โœ โœฉโ–โžฆ โฒโ›โžญ โˆ

Page 169: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžพโฏรœโœฆ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœโœŽโœ’โœ‘โœโœ“โœ”โœ‚โœ•โœ“ โœ–โœ—โœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโœขโœœโœฃโœโœคโœ–โœฅโœžโœฆโœžโœฆโœงโœญ

โžŽโ‘งโžโœ’โœพโโœผโœ›โžโœ’โžโ‹โž‘โœโœฟโ‚โž‘โž’โ†โœชโ‡โž“โ‰โœ๏ฟฝโœ‚โœโ™ฃPโž…โช โœŽโ–โ˜โœทโดโตโฑโผโชโœโฃโœชโฉโž…โชโœฃโž‰โœ’โ–ฒโœ’โคโตโ˜โ‹โ–ฒโ–โž‹โ™ฃPsโชโ‘ฅโ–ฒโœ’Pโœ‡โžโฏโ–ฒโฒโฑโผโจโฒโ˜tโคโœ‰โชโœ„โœ‚โœ‚โœกโœง โœ โž‚โ‘ โž‰โœ’โ–ฒโœ’Psโชโ™ฃโฃโœชโคโฏโดโœโ›โ–โ–ฒโœ’โฉโโดโœฆโžโœคโกโ—†โžฆ โžทโžชโ†”โžญโ˜žโ™ฅโœ†โ˜Žโœกโชโ™ฃโฑqโฑโผโชโœโž‰โœ’โ–ฒโœ’โคโตโ˜โ‹โ–ฒโ–โž‹โ™ฃPโœ‡โชโ‘โดโ˜žโชโ™ฃโคโœ‰โ–ฒโ–ฒโ—†โ–ผโ–โ–ผโœญโชโ˜žPโœ‡โžโฏโชโ‘งrโฒโคโœ‰โ–ฒโ–โ›โœ’โ˜โ‹โชโ˜žโฉโโฑโขโ–ฒโœณโดโฏโดโ˜žโจโ‚โšโ˜žโ˜โ‹โžโžพโž‚โœ‘โœญ โœกโœง โœ โ™ฅโœฃโ‚โœ•โฉโž โ–ฒโœณโพโœคโ›โ–โชโœŸโ–ผโ——Pโ™โฃโˆโดโ‘ฅโ‘ขโœ‚ โœกโœง โœ โซ โœ„ โ˜ž โœ‚ โœกโœง

โ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโšโœ›โœธโ„โœบโžโœพโœ˜โœฉ ร• โœซ โœปโœŸโœพโณโฒโœŒร•โœปโž โก โžฆ โžทโžชโ†”โžญโœโœโ–ฒโœธโ„โœฝ โ–โจโ—†โœญ โœกโœง โœ โœฉโ–โžฆโœฌโฒโœ โžญโโซ โœญ โœกโœง โžฆโœถโœฉโœˆโžญโšโžฆ โœ„ ร˜ โžฆโœฌโฒโœ โžญโœโžญโซโฎโ‘ฉโœโœ‚ โœกโœง โœฉ โ โœ„ ร˜ โžฆโœฌโฒโœ โžญโœ•โฆ โœพโœŸโœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝโซโฎโ‘ฉ โœ„ โ˜ž โœ‚ โœกโœง โœฉ โ โฒโœปโฆ โœพโœŸโœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โœญโ˜ โญโโœปโœคโš โœพโˆโฆโœดโ–โœฆโœบโซโœฝโœโœพโœ”โœปโœ†โœฝPโ–โ——โœฝโœโœพ โœพโœ”โ– โจโœบโซโขโœนโœบ โ–โ——โญโฏโฉโœโœปโœกโขโœฆโณโœ†โ– โœ”โœบโกโœšPโœปโœŸโ–  โกโ„โ›Pโœป โญโœผโœปโ„โž˜โœฆโ– โฌโ–โœฆโฉโœโœบโœผโœปโœŸโœฝโœโœพ โฉโ–ฒโณโฑโœšPโœฝโ–ฒโœบโชโ–ผโ˜žโœบโœ˜โœ  โฉโœโœปโœ†โšโจโšโœ›โ›โโšโœดโขโœฆโณโœ†โ– โœ”โœบโกโœšPโœปโโญโœผโœปโœ†โšโˆโ˜โ–ฒโ– โœ”โœธโ„โ˜โ–ฒโ– โจโœบโซโณโœŸโœพโœ”โณโœ†โšโฉโžŽโžถ โœบโซโœฝโœโœพโœ”โณโดโž˜โœฆโ– โฌโ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโˆโ˜Pโ–โœฆโ– โฅโ˜Pโ–โ——โ– โœ”โœพโœ”โœบโœผโœปโœ†โš โœปโœŸโœพโฅโกโœโ›โ–ฒโœป โ–ผโœพโžถ โœปโœคโš โœพโฅโญ โžถ โœธโ„โ˜โโณโœ†โ– โจโ–โ——โœพโœ”โœปโœ†โ›โ–ฒโ– โœโ–โœฆโฉโœณโžฏ โœธโ„โœบโซโœฝโœโœพโœโฉโœโœปโœ‘โœฅ โœกโœง โœ โ€

โžŽโ‘งโžโœ’โœพโโœผโœ›โžโœ’โžโ‹โž‘โœโœฟโ‚โž‘โž’โ†โœชโ‡โž“โ‰โœโœž โโ‘ฅโ โ–ฒโ—†โ–ผโ–โ–ผโ——Pโ™โ˜โ‹โšโฏโ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉ โœฉ โฌโœŸโœ‚ โœกโœง โœ โœฉ โชโ™ฃโดโตโฑโ——โฟโ™ฃโชโ˜žโค โœ˜โœฏโ–ฒโœˆโž‹โ˜žPโœ‡โชโžพโ›โœˆโ–ฒโœ’โฉโโดโœโœŽโœฝโกโœ โžฆ โ˜ž โžญโ˜žโ™ฅโœคโœฆโœฅโ˜…โœงโœ โœฏโ˜…โœงโœ โœฏ โœฟโ‚โœฑโœฟโœต โ˜›โ€โœฐโœโœถโœŽโœณโœตโœ”โ˜›โœตโœฏโœฎโœŸโœฐโœฟโœฑ โœถ โœ“โ—†โœณโœณโœฑ โœปโ‚โœฐโœฌโœณโณโœป โœนโœ•โœป โœŒโœตโœ โœ”โ„โœนโœนโœŒโœŽโœโ€โ˜›โœฏโœตโœกโœฎโœ—โœ”โœดโœณโœตโœ–โโœฎโœŸโœนโœ“โ˜› โœถโœŽโœณ โœถโœบโœฐโœฌโœท โœโ‰โœฎโœฉโœฑโœณโœนโœฝโœถโœณโœนโœกโœ โ˜žโ˜›โœŒโœŽโœโœฉโ‘คโžถ โœปโœ†โšโœ”โ˜Pโ–โœฆโ–ผโœŸโœปโชโกโœโ›โ–ฒโœบโœซโขโฃโ–โœฟโœบโœผโœฝโœโœพโœ”โœปโœŸโ– โจโขโœฆโœปโœ†โœฝโ–ฒโœบโœผโ– โ‘โœบ โ–ผโ˜žโœบ โœปโœ†โšโœ›โœพ โญ โžถ โœปโœ†โšโœ”โ˜Pโ–โœฆโ–ผโœŸโœป โ—†

โœ โœ โซโœ’โœ‘โœ”โœ“โญร•โœปโž โก โžฆ โžทโžชโ†”โžญโœฃร‘ โœ„ ร˜ โžฆโœ•โœ“โ—†โžญโ™ ร•โœ–โœ โœกโ˜žโœ˜โœ—โžก โขโ„โœปโœ†โ–ผโชโฉโœโœปโœคโš โœฝโ–ฒโœธโ——โœพโฌโ–โฃโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโโš โฆโœฟโ–โœฆโœบโซโœฝโœโœพโจโœปโœŸโœฝPโ–โœฆโœฝโ„โœพโœโ–ผโœŸโญโœผโ–โ„โšโœ”โšโœ”โœบโœผโกโœโ›โ–ฒโœปโœคโšโœŸโœโœนโœธโ„โœฝ โฉโœโณ โœšPโœฝโ–ฒโœบโซโœพโœ˜โœซโœผโžฆโœ™โœ โœ โžญโ‘โœปโ˜žโœพโœโญ โžถ โœธโ„โ˜โโณโœ†โ– โจโ–โ——โœพโœ”โœปโœŸโ›Pโ– โœ„โœš โœ โ˜Pโ–โœฆโ– โˆโ—†

โœš โœ ร‘ โœ›โœ–โžฆโœœโœ โœ โžญ โฌ โœŽโœฝโกโœ โžฆโœ•โœขโ–ฒโ‘โž’โธ โงโ€โžฉโœโฐโขโนโœฆโ‘โœคโœฃโ–โžฉโโžฒ โ˜žโœฆโœฅ โœƒโˆโžญโœ“ โฌ โœ„ โ˜ž โœš โœกโœง โ˜ž โœ„ ร˜โœพโžฆโœ•โœ“โœพโžญโ˜ โญโ†โœฝโ–ฒโœปโ™โ– โจโœปโœ†โšโœ›โœพโœ”โœปโชโ˜โ–ฒโญโœผโ›Pโšโฅโกโœโ›โคโžถ โžญโ™ โณโœŸโœพโœ”โœปโœŸโœฝโโฉโœโ– โœ”โœป โœซโ‘ฆโžฆโœœโœ โœ โžญ โ–โ——โ› โฆโœฟโœธโœ’โžจโœฆโœปโœ†โœฝ โฉโžŽโžถ โ›โ–ฒโœฝโ–ฒโœปโ™โœฝPโœธโœฆโ– โจโฆโ™ โœปโ™โ–โ„โฉโœโณโœ†โกโœโ›Pโ–โ——โœพโœ”โœป โ€โœ†โœ โœ† โœง โœ†โœ โœ† โ˜… โœโก โ˜Ž โ’ โซ โœท

โœฉ โ† โ… โ† โœ†โœ โœ† โœง โœ†โœ โœ† โœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝ โˆ โœ โ… โ† โœ†โœ โœ† โœš โœ โœง โœ†โœโœ†โœพโœŸโœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝ โˆ โˆ โœ โ… โ† โœ†โœ โœ† โœ‚ โœกโœง โžฆ โœ„ ร˜โœชโœง โžญ โœ†โœ โœ† โก

โœพโœŸโœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝโœ•โœซ โœพโœŸโœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โˆโ’ โœธโœฆโœฝPโšโœ”โœบโœผโฉโ–ฒโณโœŸโ– โจโœธโœฆโœฝPโšโœญโœฌ โก โ˜Ž โ’ โžฆโœœโœ โœ โžญโ‘โญ โ–โซโžฒโœ„โœปโœŸโ– โจโฆโœฟโœปโ˜žโœพโœ”โ›Pโ– โœ”โœป โฉโœโœป โœซโœผโžฆโœ™โœ โœ โžญ โ–โ——โ› โšโœ”โœปโœŸโœฝPโšโœโฉโ–ฒโœปโชโ–ผโœŸโœปโ˜žโœพโœ”โœพโœ”โœปโ™โœฝโ–ฒโœธโ„โ– โœ”โฆโœฟโœป โ€โžŽโ‘งโžโœ’โœพโโœผโœ›โžโœ’โžโ‹โž‘โœโœฟโ‚โž‘โž’โ†โœชโ‡โž“โ‰โณโ†โˆโ‡

โœฌ โก โ˜Ž โ’ โžฆโœœโœ โœ โžญโœฏโœฎ โžฒ โ— โœŒโžฃโžฆโœฆโœฅ โœกโœง โœ โžญโžนโโœฝ โ˜โœฑโœปโœŸโ›โ–ฒโœพโฏโ–โ——โญโœผโœธโœฆโ– โฌโš โฆโœฟโœธโ„โœฝโ„โœพโจโ– โœ”โœปโœ†โ–  โญโœผโ–โ™ โ˜โ–ฒโ– โจโœธโœฆโ˜โ–ฒโ– โจโœบโœผโณโ˜žโœพโœ”โณโ™โšโœ”โ›โ–ฒโœบโœผโข โ–โœฆโœฝโœโœพโœ”โœปโœขโ—†โœค โโœ›โž‘โœโœพโ€โžโœ’โƒโˆโžžโžŒโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โœฐ๏ฟฝ โ—โปโบโขโจโฒโฃโœชโคโ‘โฑโผโจโฒโฃโœชโฑ โœ‚โ˜›ร•โœฑโœฌ โก โ˜Ž โ’ โชโ˜žโฑโœคโฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑโœฒโœ“โญร•โœคโœฌ โœโก โ˜Ž โ’ โžฆโœœโœ โœ โžญโ‘ โจโฒโฉโœ”โ–ฒโœ—โ‘ขโœฅ โœกโœง โœ โžฆโœ’โœ‚โœณโœ“โœพโžญ โซ โœ‚โœ โœฅ โœกโœง โœ โžฆโœ•โœ“โœพโžญโฆโžฎ โ‘ฉโœโœ‚ โœกโœง โœ โœ‚ โ โœ“โœšโฆ โœพ โœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โžพโฏโโ—†โžช

โ—โปโบโขโจโฒโฃโœชโคโ‘โฑโผโจโฒโฃโœชโฑโœดโœ“โชร•โœฑโœฌ โก โ˜Ž โ’ โžฆโœœโœ โœ โžญโซโจโœ’โฉโž’โ–ฒโ‘จโ‘ขโ… โ† โœฅ โœกโœง โžฆโœ•โœ“โ—†โžญ โก โˆ โซ โ… โ†โฏโ‘ฉโœตโœ“ โ โœš โœโœถโœ“โœšโฆ

โœพ โœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โˆ โœ โ…โ‡โ† โžจ โ– โœ‚ โœโ™ฃรโถโžฆโœ•โœ‚ โœกโœง โžฆ โœ„ ร˜ โœ“โœพโžญ โ˜ž โœ‚ โœกโœง โžฆ โœ„ ร˜ โœ“โœพโžญโœโžญ โˆ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โžพโ‚โœธโณโžชโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโ˜ โญโ†โšโœ›โ›โ–ฒโœŒโ™ โœพโฏโฉโคโžถ โ–โœฆโ˜โ–ฒโ˜โ–ฒโญโœผโœบโœผโกโœโ›โ–ฒโœปโœ†โ– โฅโญโซโœปโชโœพโ—†โžคโ–ฒโณโœŸโœธโ„โ– โœ๏ฟฝโœ†โฆโ™ โœปโ™โ™ฅ โ€ โžพโฏโžšโงโ˜Pโ–โœพโž˜โœฆโœปโชโžพโƒร›โถโโงโ– โœ„ ร˜โœทโœ“โ™ โญโซโœปโœคโš โ– โœ”โณโœคโšโœ›โ›Pโญโžโœพโฌโ–โฃโœพโจโš โœปโœ†โœฝโฒโฉโœโณโœ†โ–ผโœŸโœธโœฆโ›โ–ฒโญโœผโœปโœŸโœฝโœโœพโฅโœฝPโ–โฃโœพโจโ›โ–ฒโ– โจโœปโœŸโญโœผโญโซโœปโœ†โฆโ™ โœปโœ†โœฝโœโœพ โ€โœญ

Page 170: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœ’โœ‘โˆโœ“ ๏ฟฝโโœ“ โœ‚โž“โœ โฅโœ ๏ฟฝโœขโœโœฌ๏ฟฝโซโ˜›โ˜ŽโœŒโขโœ โœ‚โœ›โœโœโœ–โœ—โœœโœโœโ‘ฅโœ™โœ‚โœโœโœ โœ„๏ฟฝโซโ˜›โ€โ˜Ž โœโขโœŒโœฃโœ†โœตโœ‚โž“โœโœโœ– โžพโฏรœโœฆโ™ฅโœ‘โœ“โœ’โœ•โœ”โ˜Žโœ„ โœ† โœ“โœณโœชโœคโœ™ โœชโœคโœ™โœœโœ›โ‡โœฅโœฒโœชโœžโœ โœชโœชโœž โœก โœชโœคโœฐโœ โœŸโœปโœ“โœณโœ™โœœโœ›โœโœขโœคโœฃโœฆโœฅโ˜…โœงโœฆโœฉโœซโœชโœชโœžโœค โโœ›โž‘โœโœพโ€โžโœ’โƒโˆโžžโžŒโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โœฐโœžโœโž”โž…โจโฒโ˜tโฑโœซโœถโ˜ร•โœฑโœฌ โœโก โ˜Ž โ’ โžฆโ‹โžโœคโกโ—†โžฆโžฃโธ โงโˆโžฉโœโฐโœŸโนโžฌโžญโตโพโ˜Žโ–ฒโœ’Psโจโœ’โคโฏโดโฏโพ โดโตโ˜ Pโœ‡โชโตโดโ‘งโ›โœ’โ˜ โœกโœฃโžโ˜žโคโœ‰โชโ˜žโฉโโฑโณโดโœŸโฑโผโชโ˜žโค โœ˜โžพโชโ™ฃโดโœโšโฏโจโœ’โฉโ€โž‰โœณโชโ˜žโคโณrโœโชโ™ฃโฉโ€โฑโ‹โพโ˜Žโจโœ’โฉ โ–ฒโซPโžฃโ โžโผrโ–โ–ฒ โœฆPโ™โ˜tโฑโฅโžโ‘โดโตโฃโœชโ˜tโž‰โœ’โ–ฒโœ’โฉโโฑโฅโชโ‘ โ‘ข

โœฅ โœกโœง โžฆโœ„โœถโžŽโžญ โซโœ™โžฆโ‚โœถ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญ โœฑ โžฎ โžข โœฑโžฅ โœ‚ โœกโœง โžณ โœถโ†”โžณ โžทโžชโ™ฆโžฆโžบโžฒโถโžซโžฏโžญโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโžฆโœนโœธโœฆโœบโซโœพโฅโœถ โซโ˜žโ˜› รโœ โœญ โ’ โœถ โœ โœฎ โžปโฌโฉ โ˜› โ˜Ž โฉ โ˜›โœโœŒ โœ•โผโœถ โ– โขโœฆโœปโœ†โ–ผ โœถ โœ ร•โœ–โœฌ โก โ˜Ž โ’ โœปโ˜žโœพโฏโšโœ”โœธโœฆโœบโซโœพโœโœŽโ˜ร• โœซ โ€โžนโโœฝ โ–โœฟโ–โœฆโญโซโœธโ„โ– โจโš โ—†

โ… โœ โœ‘โœŽ โžฆโœ„โœถ โžป โ–  โ‘โโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญ โœฑ โ˜›โœขโซ โ…โ๏ฟฝ รโ˜… โœ โœญ โ’ โžฆโœ„โœถ โœ โžฆ โœฎ โžปโฌโฉ โ˜› โ˜Ž โฉ โ˜›โœ’โœŒ โœ•qโœถ โžป โ–  โ‘โโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญ โœฑ โžญโœ“โœŽโœฏโœ  โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โžพโƒร›โถโžช

โซ รโ˜… โœ โœญ โ’ โ… โœ  โžฆโœโžฆ โœฎ โžปโกโฉโ˜žโ˜› โ˜Ž โฉโ˜žโ˜›โœ’โœŒ โœ• โœถ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPโœŽโœโžดโžญ โœฑ โžญโ‘โœถ โœ โœŽโ†”โžญ โ˜›

โซ รโ˜… โœ โœญ โ’ โ… โ† โœฅ โœกโœง โžฆ โœฎ โžปโฌโฉโ˜žโ˜› โ˜Ž โฉโ˜žโ˜›โœโœŒ โœ• โœถ โžญโ‘โœถ โœ โœŽ โˆ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โžพโฏรœโ—†โžช

โซ รโ˜… โœ โœญ โ’ โ… โ† โ‘ฉ โœ‚ โœกโœง โธ โœถ โœ โœŽโœญโน โ โœฎ โžปโฌโฉ โ˜› โ˜Ž โฉ โ˜›โœโœŒ โœ•โผโœถ โฆ โœพโœŸโœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โˆโซ รโ˜… โœ โœญ โ’ โ… โ† โ‘ฉโœ”โœŽโœ˜โœ‚ โœกโœง โธ โœถ โœ โน โ โœฎ โžปโฌโฉ โ˜› โ˜Ž โฉ โ˜›โœโœŒ โœ•โผโœถ โฆ โœพโœŸโœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โˆ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โžพโ‚๏ฟฝโณโžช

โœ รโ˜… โœ โœญ โ’ โ… โ†โฏโ‘ฉโ…โœถ โœ โœ‚ โœกโœง โธ โœŽโโน โ โœฎ โžปโกโฉโ˜žโ˜› โ˜Ž โฉโ˜žโ˜›โœ’โœŒ โœ• โœถ โฆ โœพโœŸโœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โˆ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โžพโ– โœโœพโžช

โžฝโœโžพโดโžš โ€ โžพโœต๏ฟฝโ—†โžชโ‰โซ โ…โ๏ฟฝโœ•โœŽ โžข โœฑโžฅ

รโ˜… โœ โœญ โ’ โœ‚ โœกโœง โžณ โธ โœถ โœ โน โœฎ โžป โฉ โ˜› โ˜Ž โฉ โ˜›โœโœŒ โœ•โผโœถ โžฆ โžซโฏโžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโžบโžฒโถโžซโฏโžญ โœ 

โซ โ…โ๏ฟฝโœ•โœŽ โžข โœฑโžฅ

รโ˜… โœ โœญ โ’ โœ‚ โœกโœง โžณ โธ โœถ โœ โœฎ โžปโฌโฉ โ˜› โ˜Ž โฉ โ˜›โœ’โœŒ โœ•qโœถ โžฆโžผโžซโžฏโžญโผโน โžทโžชโž€โžฆโžบโžฒโถโžซโžฏโžญ โœ 

โซ โ…โ๏ฟฝโœ•โœŽ โžข โœฑโžฅ โœ‚ โœกโœง โžณ โœถโžŽโžณ โžทโžชโž€โžฆโžบโžฒโถโžซโฏโžญโœถโœ 

โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โžพโ– โœโ†โžช โซ โ… โœœโœฃโœ—โœ– โœ‚ โœกโœง โธ โœŽโโน โ รโ˜… โœ โœญ โ’ โœถ โœ โœฎ โžปโฌโฉโ˜žโ˜› โ˜Ž โฉโ˜žโ˜›โœโœŒ โœ• โœถ โžญโœ™โœ˜ โœพ โœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โœณโœตโซ โ…โœ๏ฟฝโœšโœŽ โœฅ โœกโœง โ˜Ž ร

โ˜… โœ โœญ โ’ โœถ โœ โœฎ โžปโฌโฉ โ˜› โ˜Ž โฉ โ˜›โœโœŒ โœ•โฅโœถ โžญโœŸโœž โœ โซ โ… โ† โœŽ โœฅ โœกโœง โžฆโœ„โœถโžŽโžญ โˆโžนโโœฝ โ–โœฟโฉโœโœธโ„โœฝPโ–ผ โญโœผโ–โœฟโ– โจโœปโœŸโญ โ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝ โšโœ”โ›โ–ฒโœบโœผโข โ–โœฆโœฝโœโœพโœ”โœปโœขโ—†โ… โœ โœ‘โœŽ โžฆโ‚โœถ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPโœŽโœโ‘ฆโžญ โœฑ โ˜› โซ โ… โœ  โœŽโ„โžจ โ– โœ‚ โœโ™ฃรโถโžฆ โœ‚ โœ โœถโžŽโžญ โ˜› โœ โ… โœ  โœŽโœฑโœฅ โœโ–โžฆโœ„โœถโžŽโžญ โ˜›โกโœโ›โ–ฒโœบ โœปโœ†โšโœ›โœพโœฟโขโœนโ– โฌโ–โ——โœบโœผโœป โ˜โœฑโœธโœฆโ›Pโ– โ—†โœพโจโœธโœฆโ›โœโœพโœ โœŽโฑโœโโœธโœฆโœฝโ˜…โ– โฉโœโœธโœฆโœฝPโ–ผ โฉโœโณโœ†โฆโ™ โœธโ„โœฝโœโœพโœ”โ– โจโณ โญโœผโœป โ– โœ”โณโœคโšโœ›โ›โ–ฒโญโซโœพโจโ–โ——โœพโ™ โ˜โœฑโœธโœฆโ›Pโ– โ™ โ›Pโœฝโ…โ˜โ–ฒโ– โจโœธโœโ–ผโ˜žโœปโœคโšโœ”โšโœ”โ›Pโšโ—†โœถ โฉโ–ฒโœป โญ โ–โ‘ฃโžฒโœ„โœธโœฆโ– โจโฆโ™ โœปโœถ โซ โ˜› รโœ โœญ โ’ โœถ โœ โœฎ โžปโฌโฉโ˜žโ˜› โ˜Ž โฉโ˜žโ˜›โœโœŒ โœ• โœถ โœ โญโซโœปโˆโ– โœ”โณโœคโšโœ›โ›โ–ฒโญโซโœพโจโ–โ——โœพโฆโž˜โœฆโณโœ†โœฝโ–ฒโณโœŸโ– โฌโ–โ——โญ โœปโœŸโœฝ โฉโœโณโœคโ–ผโ˜žโœธโœฆโ›Pโญโซโœป โ˜โโ–โ——โ– โงโ˜โโ–โœฆโšโจโšโœ”โ–โœพโž˜โœฆโœปโœฏโžญโฒโญ โ–โฒโญโซโœบโœผโฆโœฟโœบโžโœพโจโœป โกโœโ›Pโ–โœฆโœฝPโฉ โญโซโœปโœคโšโงโฉโœโœปโœ†โ› โœŒโฆโœฟโœปโœŸโฆโงโคPโ– โœ”โœปโœคโšโ‘โฉโ–ฒโœปโ™โญโžผโžถ โณโƒโž˜โœโ–โ——โญโœผโœบโžโœพโจโณโชโ–ผโœŸโœธโœฆโœฝโœนโขโœฆโœปโœ†โ– โ—โž˜โ„โœปโœŸโœฝโœโœพ โ€ โœญ

Page 171: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžพโ‚๏ฟฝโ—†โžš โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœโœŽโœ’โœ‘โœโœ“โœ”โœ‚โœ•โœ“ โœ–โœ—โœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโœขโœœโœฃโœโœคโœ–โœฅโœžโœฆโœžโœฆโœงโœ‘โœ“โœ’โœ•โœ”โœ๏ฟฝ โœ‚ โœต โœฅโœฒโœทโœฏโœต โœทโœ‘โœž โœก โœฐ โœต โœฅโœฒโœท โœ โœชโœชโœžโœ”โœžโ‡โœฐ โœžโ˜Žโœ„ โžทP โœโœโœ†โœŸโœžโœกโœ  โธ โงโ€โžฉโœ‡โž€ โนโ˜žโ˜›โœคโœฆโœฅโ˜…โœงโœฌโœซโ˜…โœงโœฉโœค โœกโœโœทโœ•โœป โœณโœŽโœ–โœถโœตโœžโœโœพโœต โœŒโœตโ˜›โœฏโœทโœ•โœ–โโœฎโโœท โœฎโœฉโœฑโœตโœโ‰โœฎโœ„โ˜›โœฏโœนโœค โโœ›โž‘โœโœพโ€โžโœ’โƒโˆโžžโžŒโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โ‹โ†โœชโ‡ โž”โœฝโจโœ’โ˜tโฑโ——โžจโ‘ ร•โœ”โธ โงโˆโžฉโœ†โœทโ™ฃโนโฒโž›โœโœŽโˆโžโœตโ™ฅ โ˜Žโœกโจโœ’โฉโโดโตโ˜โ‹โ›โœˆโžโ˜žโคโœ‰โจโœ’โฉโโด โœ„ ร˜โฉ Pโžฃโ โ–ฒโ–โ› โ„โ˜žโจโœ’โ˜tโฉโ€โฑโœ›โ›โ–โช โœ„ โ›โœˆโ–ฒโฒโฉโœญโดโŠโžโœโกโฉ โžฆ โžทโžชโœ โžญ รโœโœŒ โฉโซ โžโœคโกโฉ โžฆโžฃโธ โงโˆโžฉโ—โžจโผโน โžฉ โžทโžชโ›โžญโ‚โ™ฅโบโขโจโœ’โฃโœชโคโ‘โฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑ โœถโ„ร•โœ—โžโœโกโฉ โžฆ โžทโžชโ†”โžญโ‘งโพโœคโจโœ’โฉโž’โ–ฒโ‘จโ–ฒโฒPโœ‡โจโœ’โคโฏโดโ‘ โ‘ข

โœ„ ร˜โฉ โžฆโœ„โœถโžŽโžญ โซ โœ„ ร˜โ’ โžฆโœ„โœถ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžญ โœฎโœโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โžพโœ†๏ฟฝโณโžชโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโžฅโ™ฆโœธโœฆโ›โ–ฒโ– โœโ–โœฆโญโซโญโœผโณโƒโž˜โ„โœปโœŸโ–  โญโซโœปโœคโš โœฝโ–ฒโœธโ——โœพโฌโ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝPโš โœธโœฆโœฝ โณโœ†โ–ผโœŸโ– โœ”โœบโœผโ– โจโ–โซโžโœคโก รโœโœŒ โฉโซ โžโœคโกโ—†โžฆโžบโžฒโ—†โžจโœโžญ โ€โœโœโ–โ——โ˜Pโ˜โโœปโœ†โญโซโœธโ„โœฝPโš โญโซโœปโœคโšโฑโœธโ„โ˜โโณโœ†โ– โจโ–โ——โœพโœ”โœปโœ†โ›โ–ฒโ– โจโš โฉโœโณ โœšPโœฝโ–ฒโœบ โš โ–โœฆโ›โ—†โ˜โโ–โ——โ– โฌโ–โ†โž˜โœฆโ– โฌโ–โ——โ˜โโžคโ–ฒโœปโœ–โžพโดโžš โ€ โ โ€ โžพ โœปโ˜žโœพโโญโซโœปโœคโš โ– โœ”โœปโœ†โญโœผโ–โ——โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝPโš โฉโžŽโžถ โ–โœฆโฉโœณโžฏ โœธโ„โœฝPโ–ผโœโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโ—†โœปโœ†โœฝโ„โœพโจโ– โœ”โœปโ‘โ–ผโ˜žโœปโœ†โ› โœŒโ‡โœ  โ–ผโœŸโœบ โ€

โ—— ร‘ โžโœโกโ—†โžฆ โžทโžชโ†”โžญ โฌ โžโœคโก โ—— ร˜ ร‘ โžโœคโก โฌ โžโœคโกโ—†โžฆ โžทโžชโ†”โžญโ— โฌ โ™ฃ โ’โžฅ โ—— โžฆโž‡โž€โ–ผโžฉโโžซโžฏโžญ โ—โ™ฅโžฆ โžซโฏโžญ โžทโžชโœ‰โžฆโžผโžฒโณโžซโžฏโžญ โ— โฌ โ™ฃ โ’โžฅ โ—— โžฆโžผโžซโ—†โžฉโ˜žโž€ โžญ โ—โ™ฅโžฆ โžซโฏโžญโœโžฒโณโžซ

โ—— โœปโ˜žโœพ โ—— ร˜ โšโœ”โœธโœฆโœฝโœโœพโœโ–โœฆโฉโœ’โžฏ โœธโœฆโœบโœผโœฝโ„โœพโฌโšโฅโฉโ–ฒโ–โ——โœฝโโš โญโซโœป โšโœ”โœปโœŸโœฝPโšโฅโšโœ”โ›โ–ฒโœบโœผโขโฃโ–โ——โœฝโœโœพโˆโ—†โ‘ฉ โ˜Žโœผโžฉ โ—— โ— โฆ โœพโœŸโœž โซ โ‘ฉ โ—— ร˜ โ˜Žโซโžฉ โ—โ‘ฃโฆ

โœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝโš โœฝ โœปโฑโฏโตโœปโ˜žโœพโœคโœโ–ฒโ˜โโœธโ„โ›โ–ฒโ–  โœพโœ”โœธโ„โ›โœโœพโœ‘โ˜Žโ˜›ร•โœฅโžโœคโกโณโžฆ โžทโžชโœ โžญโœโœโ–ฒโœปโœ†โœฝ โ›โœโœพโœ”โœบโœผโญโซโœบ โšโจโ–โ——โœฝโœโœพโœฃโžšโ–ฒโ›โ–ฒโคPโœบโซโœฝโ–ฒโœบ โžญโ—†โญ โ–โ—†โœพโœ”โ– โจโœธโœฆโœบ โšโœ›โœบโœฝ๏ฟฝโœŸโฆโœฟโœปโชโณโƒโž˜โœโ–โ——โญโœผโœบโžโœพโจโณโœฆโœโœโœธโ„โœฝ โœธโ„โคโœโœพโœ”โœบโœผโœปโœŸโœฝโœโœพ โ—†โ‘ฉ โ—— ร˜ โ—โœ‡โžฉ โ˜Žโ‘จโฆ โœพ โœž โซ โ‘ฉ โ—โฆโžฉ โ—— โ˜ŽโžŠโฆ

โœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝโซ โžข โ’โžฅ โ—โ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โžข โ’โžฅ โ—— โžฆ โžซโœพโžฉ โ โžญ โ˜Žโ†”โžฆ โ โžญ โžทโžชโ™ฆโžฆ โ โžญโ——โžฒ โ โžฒโณโžซโซ โžข โ’โžฅ โžข โ’โžฅ โ—โ™ฅโžฆ โžซโžฏโžญ โ—— โžฆ โžซโœพโžฉ โ โžญ โ˜Žโ†”โžฆ โ โžญ โžทโžชโ™ฆโžฆ โ โžญโ——โžฒโถโžซโž€โžฒ โโซ โžข โ’โžฅ โœ  โžข โ’โžฅ โ—โ™ฅโžฆ โžซโžฏโžญ โ—— โžฆ โžซโœพโžฉ โ โžญโˆโžฒโณโžซ โ˜› โ˜ŽโžŽโžฆ โ โžญ โžทโžชโž€โžฆ โ โžญโ——โžฒ โ

โœฉโ†โœปโชโ– โจโณโœ†โšโœ”โ›โ–ฒโญโžโœพโฌโ–โฃโœพโฅโœปโœŸโœฝโฒโฉโœโณโœคโ–ผโ˜žโœธโ„โ›โ–ฒโญโซโœปโชโ˜Pโ–โœฆโ– โฅโœบโœผโฉโ–ฒโœปโœŸโœฝโœโœพโœ”โœบโกโœšโโ–ผโœŸโ–โ——โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝ โ€โœญโด โœปโ™โฆโžพโžณโœ†โฆโ™ โœปโ„โœโœโญโซโœปโœคโšโฅโœธโœฆโ˜โœฑโณโœŸโ– โฌโ–โฃโœพโจโœปโœŸโ›โ–ฒโ– โฌโš โšโœ›โ›Pโœบโซโขโฃโ–โ——โœฝโœโœพโฌโšโฅโšโœ›โœธโ„โœฝโ„โœพโœโ–โ„โฉโœณโžฏ โœธโœฆโœบโœผโœฝโœโœพโจโš โญ โžถ โ›โ–ฒโœฝโฒโฉโœโœปโ™โญ โžถ โ–โ——โ›โœโœพโจโ– โœ”โœปโœขโ—†

๏ฟฝ โ’ ร’ ร‘ โžโœโกโœพโžฆ โžทโžชโ†”โžญ โฌ โžโœคโก ๏ฟฝ โžฅ โœธ ร‘ โžโœโก โฌ โžโœคโกโณโžฆ โžทโžชโœ โžญโ— โฌ โ™ฃ โ’โœ˜ โ—โ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ— โฌ โ’โ˜ž โžป โœ˜ โžฝ โ™ฃ โœ˜โžฅ โ—โ™ฅโžฆ โžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซโ‘ฉ โ—โฆโžฉ ๏ฟฝ โžฅ โœธ โžฆโ˜›โ˜Žโˆโžญโœโฆ โœพ โœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โซ โžข โ’โžฅ โ—โ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โœทโžทโžชโ™ฆโžฆโžผโžซโžฏโžญ โžข โžณ

โžฅ โ˜ŽโžŽโžฆโ†•โžจโœโžญโœโžฒโœพโžจ โžทโžชโ™ฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโ——โžฒโถโžซโซ โžข โ’โžฅ โ—โ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โžข โ’โžฅ โ˜Žโ†”โžฆโžบโžจโœโžญ โœฎโˆโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โžณ โœถ โžฆโžบโžจโœโžญโœโžฒโ—†โžจโ——โžฒโณโžซโซ โžข โ’โžฅ โžข โ’โžฅ โ—โ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โ˜ŽโžŽโžฆโ†•โžจโœโžญ โœฎโœโœฐ โฉ โ˜Ž โ’ โœถ โžฆ โžซโžฏโžญโœโžฒโ—†โžจโถโžฒโถโžซโซ โžข โ’โžฅ โ˜Žโ†”โžฆโžบโžจโœโžญ โžข โ’โฉ โ—โ™ฅโžฆ โžซโžฏโžญโ——โžฒโณโžซโž€โžฒโ—†โžจโซ โ‘ฉ โ˜Žโซโžฉ ๏ฟฝ โ’ ร’ โžฆโโ—โžŽโžญโœโฆ โœพ โœž

Page 172: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœ’โœ‘โˆโœ“โœ๏ฟฝโˆโœ“โ‘จโœ†โœขโœžโœฆโœŒโ‘โœ˜โœโœžโœโœ˜โขโœ–โœ—โœœโ‘จโœ™ โœžโœฆโœŒโ‘โœ˜โ‘โœ‚โœ›โœโœคโœ–โœญโœ–โ˜Žโœ™โ˜Žโœ–โœ โœฅ โœกโœง โœ โžฆโœ„โœ‚ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Žโœ™โœ˜ โœถ โžญ โžพโ‚๏ฟฝโ€โžพโœญโš โœฝโœกโœšPโœฝโ†โœโโœธโœฆโœฝ โœฝโ–ฒโœธโ——โœพโจโœปโœขโ—†

โœ„ ร‘ โžโœคโกโœพโžฆ โžทโžชโ†”โžญ โฌ โžโœคโกโ—†โžฆ โžทโžชโ†”โžญโ— โฌ โธ ๏ฟฝ โžฅ โœธ โน ร’ โ’ โ˜ž โ—— โžฆ โ—โžŽโžญ

โžฅโ™ฆโœธโœฆโ›โ–ฒโ– โฅโฆโœฟโœธโœฆโœฝโœโœพโจโ– โœ”โœปโœ†โ– โ‘ฆโžพโฏโžš โ€ โžพโœ†๏ฟฝPโœโœโœบโœผโญ โšโœ”โ›โœโœŒโœฟโœพโœโฉโœโœปโ™โฆโœฟโœธโœฆโœฝโœโœพโœ”โ– โจโœปโœŸโ– โฅโกโœโ›โ–ฒโœปโ™โ˜โœฑโœธโœฆโ›โ–ฒโ–  โœพโจโœธโœฆโ›โœโœพโœ‘โ˜Žโ˜›ร•โœฅโžโœคโกโฉ โžฆ โžทโžชโœ โžญโ‘โœธโœฆโœฝโฒโ–โจโ—†โ‘ฉ โœ„ ร˜โฉ โžฆโ‚โœถโ†”โžญโ†”โžฉ โ˜ŽโžŠโฆ โœพ โœžโœš โซ โ‘ฉ โœ„ ร˜โ’ โžฆโ‚โœถ โœฎโœโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžญ โœฎโˆโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžฉ โ˜Žโ‘จโฆ โœพ โœžโœš โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โžพโœ†โ™ฅโณโžช

โ‘ฉ โœ„ ร˜โฉ โžฆโ‚โœถโ†”โžญโžŽโžฉ โ˜ŽโžŠโฆ โœพ โœžโœš โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝ โซ โ‘ฉโ…โœถโฆโžฉ โœ„ โžฆโ˜›โ˜Žโˆโžญโœโฆโœพ โœžโœš โžป โœกโ˜ž โžฝโซ โ‘ฉโ…โœถ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžฉ โœ„ โžฆ โ˜Žโ——โžญโœ•โฆ โœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝโซ โ‘ฉ โธ ๏ฟฝ โ’ ร’ โน ร’ โ’ โžฆโœ„โœถ โœฎโ–โœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžญโ†”โžฉ โ—— โžฆโ˜›โ˜Žโˆโžญโœโฆ

โœพ โœž โžป โœกโ˜ž โžฝโซ โžข โ’โžฅ โžข โ’โžฅ โ—— โžฆโœ†โ˜Žโ—†โžฉ โ โžญ โ˜ŽโžŽโžฆ โ โžญ โžทโžชโ™ฆโžฆ โ โžญโœโžฒ โ โž€โŠโธ ๏ฟฝ โ’ ร’ โน ร’ โ’ โžฆโœ„โœถ โœฎโ–โœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžญโšโžฆโœ†โ˜Žโณโžญโกโžฒโœโ˜Žโš โœฝโฒโ–โ——โ˜โ–ฒโ˜Pโญโซโœบ โกโœโ›Pโ–โ——โœฝโœโœพโœŸโžšโ–ฒโ›โ–ฒโคPโœบโซโœฝโ–ฒโœบ โœปโœŸโœฝโœโœพโœ”โ– โจโœปโœŸโœžโ—โžฒ โ โ„ โ„โœซโœปโœŸโœพโœ โœžโ—โžฒโœกโ˜Ž โ„ โ„โœ–โœโ–ฒโœธโ„โœฝ โœธโ„โคโœโœพโœ”โœบโœผโœปโœŸโœฝโœโœพ โ—†โ‘ฉ โœ„ ร˜โฉ โžฆโœ„โœถโžŽโžญโ†”โžฉ โ˜Žโ‘จโฆ โœพ โœžโœš โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝ โซ โžข โ’โžฅ โžข โ’โžฅ โ—— โžฆโ˜›โ˜Žโ—†โžฉ โ โžญโœโž€โž“โธ ๏ฟฝ โ’ ร’ โน ร’ โ’ โžฆโœ„โœถ โœฎโœโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžญโƒโžฆโ˜›โ˜Žโถโžญโ——โžฒโœกโ˜Ž

โœ“ โœ”โœ–โœ• โœ—โ˜ž โžปโฌโฉ โ˜Ž โœŒ โžฝ

โ˜ŽโžŽโžฆ โ โžญ โžทโžชโ™ฆโžฆ โ โžญโœโžฒ โโœซโฒโœธโœฆโœฝโœโœพโจโ– โœ”โœธโ„โœฝPโšโ‘โฆโœฟโ–โœฆโœบโซโœฝโœโœพโจโœปโœŸโœฝPโ–โœฆโœฝโ„โœพโœโกโœโ›โ–ฒโœปโงโœ—โญโžฆโ†•โžจโ‘กโžฉ โ โžญโœฟโซโทโงโœดโฉ ๏ฟฝโœคโšโฅโกโ„โ›Pโœป โ โฝโœœโžจ โ€

โœ—โญโžฆโžบโžจโ‘กโžฉ โ โžญโโซ โžข โ’โœŒโ—— โžฆโ˜›โ˜Žโ—†โžฉ โ โžญโ‘งโž€โž“โธ ๏ฟฝ โ’ ร’ โน ร’ โ’โ‘จโžฆโ‚โœถ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžญโšโžฆโ˜›โ˜Žโถโžญโ——โžฒโœกโ˜Ž โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โโ†โžšโณโžช

โœ โžข โœŒโžฅ โ—— โžฆโœ†โ˜Žโœพโžฉ โ โžญโ‘โž€โž“โธ ๏ฟฝ โ’ ร’ โน ร’ โ’ โžฆโœ„โœถ โœฎโ–โœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžญโƒโžฆโ˜›โ˜Žโถโžญโ——โžฒโœกโ˜Ž โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โโ——โžพโžฏโžชโด โžถ โ›โ–ฒโœฝโ–ฒโœปโชโ˜Pโ–โœฆโ– โœ›โœพโœคโœโœนโ˜Pโ–โ——โ– โ‘โœพโœ”โ– โจโœบ โ–โ——โœฝโˆโž˜โ„โ›โ–ฒโญโœผโ–โœฆโ– โœ”โœบโซโœพโœ”โณโ„โœ โ—— โžฆโ˜›โ˜Žโ—†โžฉ โ โžญโœชโซโ†’โงโ—†โฉ ๏ฟฝโœคโš โกโ„โ›Pโœป โ โฝโœโ˜Žโ™ โœปโœŸโœพโžดโžฝโœโžพโดโžš โ€ โโˆโžพโฏโžชโโœปโœคโš โœพโฅโœฝโœนโ›โ–ฒโญ โ€โœโด โžถ โ–โ——โ›โœโœพโจโ– โœ”โœปโชโ˜Pโ–โœฆโ– โœ›โœพโœคโœโœนโ˜Pโ–โ——โ– โ‘โญโœผโ–โ– โœ”โณโดโž˜โœฆโ›โ–ฒโญ โ–โ——โ– โจโœบโซโœพโœ”โณโชโฉโœโ› โœฝโ–ฒโœธโœ’โžจโ„โ–โœฆโ›โ†โœโœนโœบโซโญโœซโœปโ˜›โœŒโœนโœบ โšโœ›โœพโœ”โœป โฉโœโœปโœคโšโฅโ–ผโ˜žโœธโœฆโœฝโโš โœพโฌโ–โ——โœฝโœโœพโœ”โœปโœคโš โœ โ’ โœปโ˜žโœพ โœ โก โœพโจโœปโœŸโญโœผโญโซโœปโœคโšโœโกโœโ›โ–ฒโœปโœ‘โœ โ’ โœ’ โ—— โžฆโ†•โžจโ‘กโžฉโฅโžซโฏโžญ โœ’ โœ โก โœปโœŸโœพโฏโฉโœโœธโœฆโœฝPโ–ผ โ—†โœ โ’ โžข โ’

โœŒโธ ๏ฟฝ โ’ ร’ โน ร’ โ’ โžฆโ‚โœถ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžญโƒโžฆโ˜›โ˜Žโถโžญโ——โžฒโœกโ˜Ž โœ’ โžฝโœโžพโดโžš โ€ โโœพโžšโ—†โžช โœ’ โœ โก โžข โ’

โœŒโธ ๏ฟฝ โ’ ร’ โน ร’ โ’ โžฆโ‚โœถ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžญโšโžฆโœ†โ˜Žโณโžญโˆโžฒโœโ˜Ž

โœ โ’ ๏ฟฝ โ’ ร’ โ˜ž โธ ๏ฟฝ โ’ ร’ โน ร’ โ’ โžฆโœ„โœถ โœฎโ–โœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžญโšโžฆ โ โžญ โœ’ โžฝโœโžพโดโžš โ€ โโœพโžšโ—†โžช โœ’ โœ โก ๏ฟฝ โ’ ร’ โ˜ž โธ ๏ฟฝ โ’ ร’ โน ร’ โ’ โžฆโœ„โœถ โœฎโœโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžญโƒโžฆ โ โžญโœ โ’ โœถโ™ฅโžฆ โ โžญ โœฎโˆโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžฆ โ โžญ โœ’ โžฝโœโžพโดโžš โ€ โโœพโžšโ—†โžช โœ’ โœ โก โœถโ™ฅโžฆ โ โžญ โœฎโ–โœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžฆ โ โžญ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โโœพโโ—†โžชโžฝโœโžพโฏโžš โ€ โโฒโœธโณโžชโ˜Pโ–โ——โ– โฅโ–ผโœŸโœธโœฆโœฝPโšโœ”โณโœ†โกโœโ›โ–ฒโœปโœ†โœฝโ„โœพโœˆโžฝโœโžพโดโžš โ€ โโ†โžšโณโžช โœปโœคโš โœพโœโœฝโœนโ›โ–ฒโญโฑโฉ ๏ฟฝโœ†โšโฅโกโœโ›โ–ฒโœปโžดโžจ โœ’ โ โ€ โžนโโœฝ โœปโœŸโœฝโฒโฉโœโณโœ†โฉโ–ฒโ›โ–ฒโœบโžโœพโœโญโœผโœปโœ†โšโœโ– โœ”โœปโœ†โญโœผโ–โ——โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝPโš โšโœ”โ›โ–ฒโœบโซโขโฃโ–โœฆโœฝโ„โœพโจโœปโœ†โš โ—†โœ—โญโžฆโ†•โžจโ‘กโžฉ โ โžญโœโซ โ—— ร˜โœŒโ˜ž โธ ๏ฟฝ ร’ โ’ โน ร’ โ’ โžฆโ‚โœถ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžญโšโžฆ โ โžญโซ โœ„ ร˜ โžฆโ‚โœถ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžญโšโžฆ โ โžญ โœฎโœชโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžฆ โ โžญโ’ โœปโ™โกโ„โ›Pโœบโœซโœพโœ”โœปโœ†โ– โœ”โฆโœฟโœบโœผโœฝโ–ฒโœปโชโญโœผโ–โœดโฉโœโณโœ†โฆโœฟโœธโœฆโœฝPโšโœ›โœพโœ”โ– โฌโ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝ โ€ โœญ

โžถโ‘จโ…โˆโžžโžŒโžนโœชโžโœ’โž˜โœฝโžดโœ›โ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โ˜›โœŽ โ˜Žโœกโชโ‘ โคโ—†โžโตโดโตโฃโœชPโ™โฑโฅโ–ฒโœ’โฑโœ•โชโตโดโตโฑโœฆโ˜โœฎโœ˜โœฃโ–ผโโจโœ’โคโตโฑโฅโ–ฒโœ’โฉโโฑโŠโ–ผโ——โฃโœชโ˜โœทโดโœขโœ™โ˜žโฃโœกโ โ˜tPโœชโ–ผโโชโ™ฃโค โœ˜โœฏโชโ˜žโฑโœโ›โœˆโชโžพโ›โฒโ˜tโคโœ‰โช โœ™โ˜žโฃโโชโ‘ Pโžฃโ โจโœ’โฉโž’โ–ฒโ‘จโ‘ขโœฅโ——โžฆ โœ„ ร˜โฉ โžฆโœ„โœถโžŽโžญโœโžญrโžฎโœŸโœฅโ——โžฆ โœ„ ร˜โžณ โžฆโœ„โœถโžŽโžญโœโžญ โซโœธโœฅโ——โžฆ โœ„ ร˜ โžฆโœ„โœถ โœฎ โœถ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โžญโœโžญ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โโ‘จร›โถโžช

Page 173: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžพโ‚๏ฟฝโณโ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœโœŽโœ’โœ‘โœโœ“โœ”โœ‚โœ•โœ“ โœ–โœ—โœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโœขโœœโœฃโœโœคโœ–โœฅโœžโœฆโœžโœฆโœงโœคโœฆโœฅโ˜…โœงโœฌโœซโ˜…โœงโœ โœŸ โœฐโœ†โœฐโœฒโœฑโœฟโœตโœกโœฎโโœฑโœโœณโœณโœฎโœถโœตโœกโœท โœถโœณโœนโœ๏ฟฝโœ„โœ‚โœฌโœ–โœ—โœถโœบโœนโœ“โ˜› โœถโœบโœนโœ•โœป โœตโœžโ˜›โœ‘โœโœ“โœ’โ‚โœนโœ•โœ”โ˜›โœตโœกโœฐโœฒโœฎโœ„โ˜›โœฏโœนโชโœป โœถโœบโœนโœ•โœป โœฟโœฝโœฑโœฟโœตโœกโœทโœฆโ‹โœโ˜›โœ‘โœ โœ–โœฉโœนโœ•โœปโœนโœปโœบโœฝโœผโœฆโœพโ€โœฟโ‚โโœ›โƒโœโ„โœตโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰sโฐ โœโตPโ‘โช โœŽโœˆโ˜โœทโดโตโฑโฅโช ร“ โฑโผโชโ˜žP โœ™โ˜žโฃโโช โ—— โดโ˜žโจโฒโ˜tโฑโ‘จโšโ—†โจโฒโฉโโฑqโ˜tโฉโโฃโโชโž’โชโ˜žโฑโ‘จโž‹โ™ฃโ˜ โ„โ˜žโชโฏโšโ˜žโฑโณโ˜tโž‰โœ’โชโžŒโ›โœˆโชโœฅโžโœโกโทโ›โœˆโ–ฒโœ’โฉโโด โœ‚ ร‘ โœธ โ’โœ†โ˜Ž โก โ˜Ž โก โ™ฅ โ‚โœ•โฉโดโตโฃโœตโ–ผโœˆโ–ผโโจโœณโดโ˜žโชโ‘ฅโฑโฅโจโœ’โฃ โ„โ˜žโจโฒโฃโœชโคโฏโด โ—— โฑโณโคโตโ˜โ‹โ–ฒโฒโฉโœrโœˆโฃโœชPโœ‡โ–ฒโœ’โ˜tโคโ—†โชโ‚โ™ฅโœนโœปโœบโœฝโœผโœฆโœพโ€โœฟโ‚โโœ›โƒโœโ„โœตโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โ˜›โœŽ โจโœ’โฉโœโดโฏโฃโœตโ–ผโ–โ–ผโœญโจโœ’โดโ˜žโชโž’Pโžฃโ โจโ—†โ–ผโโžโ˜žโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑโฅโชโ™ฃโฃโœชโค โœš โšโฏโจโœ’โฉโ€โฑโณโ˜tโฉโ€โฃโœขโ›โ–โช โœŽโŠโกโœ โžฆโœ•โœข โ‘ โธ โงโˆโžฉโœ†โœทโ™ฃโน โžฉโ—โžฒ โ˜ž โœฅ โžทโžชโ›โžญ โ›โœˆโ–ฒโœ’โฉโโด โœŽโŠโกโœ โžฆโœ•โœข โ‘โธ โงโ€โžฉโœŸโœทโ˜žโน โžฉโโžฒ โ˜ž โœฅ โžทโžชโœ โžญโ˜žโ™ฅโ’ โœธโœฆโœฝPโšโœ”โœบโœผโฉโ–ฒโณโœŸโ– โจโœธโœฆโœฝPโšโ‘โ˜โœฑโœธโœฆโ›โ–ฒโ– โฅโ›โ–ฒโœฝPโœป โ–ผโ˜žโœธโœฆโœฝโโš โœพโฌโ–โ——โœฝโœโœพโœ”โœป โ˜ โžญโœฟโฉโœโณ โœšPโœฝโ–ฒโœบโœผโ– โœโญ โ–โ—†โœฝPโœธโœฆโ– โจโฆโ™ โœปโ™โšโœ”โ›โ–ฒโœบโœผโข โ–โœฆโœฝโœโœพโœ”โœปโชโ˜โโœธโ„โ›โ–ฒโ–  โœพโœ”โœธโ„โ›โœโœพ โœง ร• โœซโœผโžฆโœ™โœโงโžญ โ—†

โœ†โœ โœ† โœง โœ†โœโœ† โœโก โ˜Ž โ’ โซ โ˜โœฉ โœฐ โ… โ† โœ†โœ โœ† โœง โœ†โœโœ† โก

โœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝ โˆ โœ โ… โ† โœ†โœ โœ† โœ‚ โœกโœง โœง โœ†โœ โœ† โกโœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝ โœซ โœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝ โˆ โœฒโœปโ˜žโœพโฅโœธโœฆโœฝโฒโฉโœโณ โœšPโœฝโ–ฒโœบโซโœพโฏโ–โ——โญโœผโœธโœฆโ– โฌโšโœญโœฌโœžโœโก โ˜Ž โ’ โžฆโœœโœโงโžญ โ–ผโœŸโœธโœฆโฆโœฟโฆโœฟโœป โญ โ–โœšโžฒโœ„โœปโœŸโ– โจโฆโœฟโœปโ˜žโœพโจโ›โ–ฒโ– โœ”โœปโ™โฉโœโœป โœซโ‘ฆโžฆโœœโœโงโžญโ‘โ– โจโœปโœŸโญ โ–โฃโœพโจโœบโซโขโ„โœปโœŸโฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพโœŸโžญโœฟโ–ผโ˜žโœปโ˜žโœพโœ”โœพโœ”โœปโ™โœฝโ–ฒโœธโ„โ– โœ”โฆโœฟโœป โ€

โžŽโ‘งโžโœ’โœพโโœผโœ›โžโœ’โžโ‹โž‘โœโœฟโ‚โž‘โž’โ†โœชโ‡โž“โ‰โณโ†โ€โ† โž”โž…โจโฒโฃโˆโดโœPโœ‰โ โ†”โˆโ†•โ—†โ–ผโโจโœ’โฑ โ†”โœปโœบโ™ฃโดโ™ฃโช โžƒโ–โž™ โ™ฅ โžฌ โพโœ•โจโœ’โฉโž’โ–ฒโ‘จโ‘ขโœฌ โœโก โ˜Ž โ’ โžฆโœ™โœโงโžญ โœฎ โœฌ โก โ˜Ž โ’ โžฆโœ™โœโงโžญโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโžฅโโ–โ——โ– โฅโญ โžถ โžคโˆโžจโœนโ˜โโœธโœฆโœพโœ‰โžคโœป๏ฟฝโœคโšโœ›โœปโชโžพโฏโžš โ€ ร›Pโœโœนโญโžผโžถ โœธโœฆโ˜โœฑโณโœŸโ– โฌโ–โฃโœพโจโœปโœŸโ›โ–ฒโ–  โœš โœปโœคโš โœพโฏโ–ผโœŸโœธโœฆโœฝโœโœพโœ”โœบโœผโœฝโœนโ›โ†โœโœโœบโซโญโœซโœปโ˜›โœŒโœโœบโœผโšโœ›โœพโœ”โœป โฉโœโœธโ„โœฝPโ–ผ โ›โ–ฒโœฝโ–ฒโœป โ–ผโœŸโœธโœฆโœฝPโšโœ›โœพโจโ–โœฆโœฝโ„โœพโจโœป โ˜ โ’ โœพโœ”โœปโœŸโญโœผโญโœผโœป โกโ„โ›Pโœป โ—†โ…โŠโ† โœ†โœ โœ† โœš โœง โœ†โœโœ† โกโœพ โœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โˆ โœ’

โ˜ โ’ โ…โ‡โ† โœ†โœโœ† โœง โœ†โœ โœ† โกโœพ โœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โˆโฉโœโœธโœฆโœฝโโ–ผ

โœ†โœ โœ† โœง โœ†โœ โœ† โก โ˜Ž โ’ โœ’ โœŽ โœทโœฉ โœ โ˜ โ’โœฉ โœ‘โœ โœŸ โœท โœฐ โ… โ† โœ†โœ โœ† โœง โœ†โœโœ† โก

โœพโœŸโœž โžป โœกโ˜ž โžฝ โˆ โœ โ… โ† โœ†โœ โœ† โœ‚ โœกโœง โœง โœ†โœ โœ† โกโœพ โœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝ โœซ โœพโœŸโœž โžปโ˜›โœกโ˜ž โžฝ โˆ โœฒโžนโโœฝ โ˜โœฑโœธโ„โšโœ”โœปโชโฆโœดโ–โ——โœบโœผโœฝโ„โœพโจโœปโœŸโœฝPโ–โœฆโœฝโœโœพ โ˜ โซ โœ โœณโ’โก โœ โœ โœ•โก โ˜› โœŸ โœทโชโœปโ˜žโœพโœโœธโ„โœฝ โ– โ—†

โœ†โœโœ† โœง โœ†โœ โœ† โก โ˜Ž โ’ โœ’โ˜ โœ†โœ โœ† โœง โœ†โœ โœ† โœโก โ˜Ž โ’ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โโœพรœโ—†โžช

โฉโœโœธโœฆโœฝโโ–ผ โœง ร•โœฑโœฌโœžโœโก โ˜Ž โ’ โžฆโœœโœโงโžญ โœบโœผโฆโœฟโ˜โ–ฒโญโœผโœบโœผโกโœโ›โ–ฒโœป โœง ร•โœฑโœฌ โก โ˜Ž โ’ โžฆโœ™โœโงโžญ โ–ผโ˜žโœป โกโœโ›โ–ฒโœบโ†โฉโ–ฒโณโœŸโฆโœฟโœธโœฆโœฝโœโœพโœ”โ– โจโœปโชโญโซโœปโ™โ– โจโณโœ†โšโœ”โ›โ–ฒโญโซโœพโจโ–โ——โœพ โ€ โœญโœค โโœ›โž‘โœโœพโ€โžโœ’โƒโˆโžžโžŒโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โ‹โ†โ——โ†โทโบโœŸโจโœ’โฃโœชโค โฑโฅโจโœ’โฃโœชโฑ ร“ ร• โธโžโœทโ˜›โœก โœฉ โžฉโœŸโœทโ–โธโžฑโพโ‘โดโ˜žโจโœ’โฃโˆโด Pโœ‡โชโ™ฃโดโœฅโ†”โˆโ†•โ—†โ–ผโโจโœ’โฑ โ†”โœปโœบโ™ฃโดโ˜žโชโตโด โžƒโœˆโž™ โ™ฅ โžฌ โชโ˜žโฑ โžƒโœˆโž™ โ™ฅ โ˜žโœชโพโžŠโชโ™ฃโฉโœขโšโ—†โจโฒโฉโœญโดโตโ˜โ‹โ›โœˆโžโ˜žโคโœ‰โ–ฒโฒโฉโโฑโœถโ˜ร•โœคโœฌ โ‰ โ˜Ž โ’ โžฆโœœโœโงโžญโœโœŒsโžฒ โ— โœŒโžฃโžฆโœฆโœฅ โœ โžญโ‘ โ–ฒโฒโž‰โœณโชโฏโš ร“ โœฅโž„โฆ โœทโฒโพโญPโœ‡โชโขโ–ผโ——โคโ—†โจโ‚โšโฏโชโ™ฃโดโ—†โดโตโฃโˆโดโฎโ˜Žโœฅ โœ โžฆ โœ„ ร˜โฉ โžฆโœ„โœถโžŽโžญโœโžญ โซ โœฅ โœกโœง โœ โžฆโœ„โœถ โœฎโ–โœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžญ ร‘โฒโžจโ‘ ร•โž†โธ โงโ€โžฉโœŸโœทโ™ฃโน ร™

โ–ฒโœˆโ› โœ˜โžพโชโ˜žโฑโœฝโฃโœชโฉโ——โชโœฃโœ˜โœฏโจโ‚โ›โฒโ˜ โž›โœคโšโฏโ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโ‘จโž‚โœโฑqโคโœ‰โ–ฒโœซโ„โ˜žโชโ—†โšโ˜žโฑโฅโจโœ’โ˜tโคโœ‰โชโ™ฃโดโ‘ โžฆ ร“ โžฎโงโœทโœŽโœกโœโœฅโœ โžญ โœฆโœ‘โœโœ“โœ’โœ’Psโ›โœˆโชโ˜žโคโœโšโฏโจโœ’โฉโ€โฑโณโ˜tโฉโ€โฃโโชโตโดโ˜žโ™ฅ โ˜…โœšโชโŠโ–ผโ——Pโžฑโฃโˆโดโ—†โพโž…โ˜tPโœญโช โœŽโ–โ˜โœทโดโตโฑโฅโชโœโฃโœชโฉโ——โชโœ•โšโฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑโฅโ–ฒโœ’โฉโ€โฑโผโชโœโœโฆโปโงโž„โฑโฅโชโ™ฃPtPsโชโœงโœ™โ˜žโฃโโชโ‘ โ‘ข

โœ†โœ โœ† โœฅ โœโชโžฆโœ„โœถโžŽโžญ โœ†โœ โœ† โœ” โœž โžปโœ–โœ•โœ˜โœ— โžผ โœŒโœ†โœ™ โžป ร‘ ร’ โ’โœšโ˜Ž โ‰ โžฝ โžฝ โœ’ โœ โœ†โœโœ†โœ โœ† โœ„ ร˜โ’ โœ†โœ โœ†โœโœ† โž€ โœ†โœ โœ† โœถ โœ†โœโœ† โœ›โœขโœœโœขโœฃ โœ•โ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโžฆโœนโœธโœฆโœบโซโœพโœ‡โžฆ โžซโœพโžฉโ—โžจโœโžญโœผร•โปโธ โงโˆโžฉโœŸโœทโ˜žโน โก โ€ โžฅโโ–โ——โ– โฏโญโœผโ–โˆโ– โœ”โœปโœ†โญโœผโ–โ——โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโžฃโžพโดโžš โ€ โโ†ร›โœดโœปโ˜žโœพโโ˜โโ–โ——โ– โœโญ โ–โˆโ–ผโœŸโœธโœฆโœฝโœโœพโœ”โœบโœผโœฝโœนโ›โ–ฒโœบโžโœพโจโณโงโฉโœโœป โญ โ–โˆโฉโ–ฒโœบโซโขโ„โœปโœŸโ– โโž˜โœฆโœปโœŸโœฝโโ–ผโ˜žโœป โฉโœโœป โœฌ โก โ˜Ž โ’ โžฆโœ™โœโงโžญโœโฉPโ–โ——โœฝPโšโœŽโž“โกโ›โžฆ โœขโœ–โžญโœโœPโœธโ„โœฝ โ–โ™ โญ โžถ โœปโ˜›โœŒโœโœบโœผโšโœ›โœพโœ”โœปโœ†โœฝPโ–ผโ˜žโœปโ™โฉโžŽโžถ โ›โ–ฒโœฝโ–ฒโœป โ–ผโœŸโœธโœฆโœฝPโšโœ›โœพโจโ–โœฆโœฝโ„โœพโจโœปโœ‘โœ โ’ โœพโœ”โœปโœ†โญโซโญโœผโœป โกโœโ›โ–ฒโœปโœขโ—†โ… โ† โœ† โœฅ โœกโœง โžฆ โœ„ ร˜ โžฆโœ„โœถ โœฎโ–โœฐ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โžญโœโžญ โœ† โก โˆ โœ’ โœ โ’ โœ  โœ†โœ โœ† โœ„ ร˜ โžฆโœ„โœถ โœฎโ–โœฐ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โžญ โœ†โœ โœ† โก โ˜Ž โ’ โ˜› โก โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โโฒ๏ฟฝโณโžช

โœ’ โœ โ’ โ˜ โœ  โœ†โœ โœ† โœ„ ร˜ โžฆโœ„โœถ โœฎโœโœฐ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โžญ โœ†โœโœ† โœโก โ˜Ž โ’ โ˜› โก โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โ โœโœพโžชโžพโดโžš โ€ โ โœโ™โขโœนโœบโœผโœปโœŸโœฝโœโœพโโฉโœโœปโฒโžพโฏโžš โ€ โโœพรœโ—†โฉ ๏ฟฝโœ†โšโฏโญโซโœธโ„โ– โจโšโฅโกโœโ›โ–ฒโœปโงโญโžผโžถ โžคโˆโžจโœโ˜โœฑโœธโ——โœพโ—†โžคโœป๏ฟฝโœ†โšโœ”โœปโ–โžพโดโžš โ€ ร›โœดโœปโœคโš โœพโฏโšโจโ–โฃโœพโจโœบโœผโšโžฃโžฒโ‚โ–โ——โœบโซโœพโœ”โœป โ€Pโด โžถ โ–โœฆโ›โœโœพโœ”โ– โจโœป โ˜Pโ–โœฆโ– โœ›โœพโœคโœโ–ฒโญโžผโžถ โžคโˆโžจโœนโ˜โโœธโœฆโœพโœ‰โžคโœป๏ฟฝโœคโšโœ›โœปโ–โžพโฏโžš โ€ โœธโฉโœโœปโ™โ–ผโ˜žโœธโ„โœฝโ„โœพโจโœบโซโœฝโœนโ›โ–ฒโœบโซโœพโœ”โณโ™โฉโœโœป โ—— โฉโœโœปโ‘งโžโœคโกโ™โฉโ–ฒโ–โœฆโœฝPโš โœ‚ ร‘ โœธ โ’โœ†โ˜Ž โก โ˜Ž โก โ–ผโ˜žโœธโœฆโ›Pโ˜โ–ฒโญโซโณโ™โ– โขโ„โœปโœ†โ–ผโโญโซโœปโœโžฒโ‚โ–โ——โœบโซโœพโœโกโœโ›โ–ฒโœป ร“ โฆ โ’โก โ–โ„โšโœ”โšโœ”โ›โ–ฒโ– โจโœป โกโœโ›โ–ฒโœป โœ„ โœปโœคโš โœพโœโ–ผโœŸโœธโœฆโœฝโœโœพโœ”โœบโœผโœฝโœนโ›

Page 174: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœ’โœ‘โˆโœ“โœ๏ฟฝโˆโœ“โžŒโœ™โœฟ๏ฟฝโœฃโœโทโœงโœคโœ˜โœ•โœŒโœ“โœโทโœ™โ€โœ‚โž“โœโทโœœโœโœโทโœ โ˜žโ˜›โœ„โœ‚โทโœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒ โœœโœโœโœคโœ–โœปโœงโœโœ˜โœ๏ฟฝโซโœ‚โขโ˜›โœ›โœ โ˜žโœ˜โœ๏ฟฝโœต๏ฟฝโœฃโœโœฌโœ‚โœ•โœ‚โŠโœโœคโœ–โž’โœ‚โœ†โ˜Ž โœ‚โŠโœ โœ„๏ฟฝโœฃโœœโœโœŒโขโœ โœžโœโœšโœ™โŠโœโœคโœ– โžพโ‚๏ฟฝโ–โœธโฉโœโœปโ‘โžโœคโกโงโฉโ–ฒโ–โ——โœฝPโš โœ‚ ร‘ ร’ โ’โœšโ˜Ž โก โ˜Ž โก โ˜Pโ–โ——โ– โฏโ–ผโœŸโœธโœฆโœฝPโšโœ”โณโœ†โกโœโ›โ–ฒโœปโœ†โœฝโœโœพ โœ„ ร˜โ™โœปโœ†โšโœ›โœพโฏโ–ผโ˜žโœธโœฆโœฝโœโœพโจโœบโซโœฝโœนโ›โฒโฉโœโœป โœ  โœ‚ ร‘ ร’ โ’โœšโ˜Ž โก โ˜Ž โก โ˜› ร˜ โซโœกโœ‚ โ’โœ†โ˜Ž โก ร’ ร‘ โ˜Ž โก โฉโ–ฒโ–โ——โœฝPโšโœŸโžโœคโกโ™โœปโœŸโœพโฏโฉโœโœธโœฆโœฝPโ–ผโœปโœŸโœฝ โœฝโ–ฒโœธโ——โœพโฌโ–โ——โœฝโœโœพ โœ†โœโœ†โœ โœ† โœ„ โœ†โœ โœ†โœ โœ† โญ โ–โ—†โœฝPโœธโœฆโ– โจโฆโ™ โœปโ™โฉโœโœป โ–ผโœŸโœปโ˜žโœพโฅโœธโœฆโ˜โœฑโณโœŸโ– โฌโ–โฃโœพโจโœปโœŸโ›โ–ฒโ– โฅโœธโ„โœฝ โ–โจโ—†โ… โ† โœ† โœฅ โœกโœง โžฆ โœ„ ร˜ โžฆโœ„โœถ โœฎโœโœฐ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โžญโ—โžญ โœ† โก โˆ โœ’ โœ โ’ โ˜ โœ†โœโœ†โœ โœ† โœ„ ร˜ โœ†โœ โœ†โœโœ† โœŽ โ… โ† โœ†โœ โœ† โœถ โœฎโœโœฐ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โœ†โœ โœ† โกโœ† โœ•โœ โœŸ โœž โœโ˜›โœก โœฃ โœž โˆ โœ โ… โœ  โžข โ’โžฅ โœ†โœ โœ† โœ‚ โœกโœง โœถ โœฎโœโœฐ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โœ†โœ โœ† โกโœ† โœ•โ˜žโœŸ โœž โœโ˜›โœก โœฃ โœž

โžฒ โ– โ˜› โœ‘โœซโโ–โ——โœบโœผโœฝโœโœพโœ”โœปโœ†โœฝPโ–โ——โœฝโœโœพโœ†โœโœนโœธโ„โœฝ โ–โœฆโ˜โ–ฒโ˜โ–ฒโญโœผโœบโœผโกโœโ›โ–ฒโœปโชโญโœผโœปโžดโโœ†โ†โ—†โฉโœโœปโชโญโœผโ–โ™ โ˜โ–ฒโ– โจโœธโœฆโ˜โœฑโœธโ„โšโœ”โœบโžโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโ™โžพโœตโœธ โ€ โžพ โฉโœโœปโชโญ โžถ โ–โœฆโœฝโ–ฒโœฝโ–ฒโœปโ˜›โœŒโœนโœปโชโ˜Pโ–โœพโž˜โœฆโœปโญโžพโœ†๏ฟฝโณรœโงโ– โขโ„โœปโœ†โ–ผ โœŒ โซ ร“ โžฎโ…โœทโœŽโœก โœฉ โœปโ˜žโœพโœŒ โซ โœฉ โœธโ„โœฝ โšโœ”โ–โœฆโœบโžโœพ โฉโœโœธโœฆโœฝPโ–ผโฏโกโ„โ›Pโœป โœ‚ ร‘ ร’ โ’โœšโ˜Ž โก โ˜Ž โก โœปโœคโš โœพ โ–ผโ˜žโœธโ„โœฝโ„โœพโจโœบโซโœฝโœŽโœโ–ฒโฆโœฟโœปโœ†โœฝโ„โœพ โœบโซโœฝPโ–ผโœŸโญโซโ›โโš โฉโ–ฒโ–โœฆโœฝPโšโœคโž โ‰ โ– โขโœฆโœปโœ†โ–ผ โœฉ โซ โœฅโž€โžฆโœ›โœทโžโžฎ โœฉ โžฆ ร“ โžฎโœŽโœทโœŽโœก โœฉ โžญโ—โžญโฑโฉโคโžถ โœธโ˜›โœโœฅโœ—โซ โžฆโœ›โœทโœ–โžฎ ร“ โžญ ร’ โ’ โœปโ˜žโœพโœโ˜Pโ–โœฆโ– โœโ–ผโ˜žโœธโ„โœฝPโšโœ›โณโœคโกโœโ›โ–ฒโœปโœŸโœฝโœโœพ โœธโœฆโœฝ โ– โ—†

โž โœ•โœก โซ โ† โž โœ•โœ• โœโ˜›โœก โˆ ร˜ โœฎโ—โœ  โœ‚ ร‘ ร’ โ’โœšโ˜Ž โก โ˜Ž โก โ˜› ร˜ โซ โœ‚ โ’โœ†โ˜Ž โก ร’ ร‘ โ˜Ž โกโœฉโ‘คโžถ โœบโซโœฝโโ–ผโ˜žโญโœผโ›Pโšโœ›โœบโœผโœธโœฆโœฝ โณโ˜žโœพโฌโ–โ——โœฝโœโœพโœโ–ผโ˜žโœธโ„โœฝโ„โœพโจโœบโซโœฝโœนโ›โ–ฒโœป โ€ โžนโโœฝโฒโ– โ—†โœ†โœโœ† โœถ โœฎโœโœฐ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โœ†โœ โœ† โœ† โœ•โ˜žโœŸ โœž โœโ˜›โœก โœฃ โœž โœ’ โœ โก โœ†โœโœ† โœถ โœฎโœโœฐ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โœ†โœ โœ† โœพ โœ•โœกโžนโโœฝ โ–โœฆโ˜โ–ฒโ˜โ–ฒโญโœผโœบโœผโกโœโ›โ–ฒโœปโชโฆโœดโ–โ——โœบโœผโœฝโœโœพโœ”โœปโœ†โœฝPโ–โ——โœฝโœโœพโฅโญโžผโžถ โœบโœผโœฝโ–ฒโณโƒโž˜โœโ–โ——โญโœผโœบโžโœพโจโณโชโฉโ–ฒโœปโœ’โœ‘โœ†โœ“โœฆโญ โฉโœโœปโœ†โ– โฅโ˜โโœธโ„โ›โ–ฒโ– โœโ– โขโœฆโœธโ„โœบโซโ–  โ—†

โœ†โœโœ† โœถ โœฎโœโœฐ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โœ†โœ โœ† โœ† โœ•โ˜žโœŸ โœž โœโ˜›โœก โœฃ โœž โœ’ โœ โก โœ†โœโœ† โœถ โœ†โœโœ† โœพโœœ โœ†โœโœ† โœฎโ–โœฐ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โœ†โœโœ† โœพโœ•โœ”โ– โขโœฆโœปโœคโ–ผ โ’ร‘ โซ โ’โ‰ โœ โ’โœ– โžฝโœ„โœธโ„โœฝโœฟโ–โชโ˜โโ–โ——โ– โญโžคโˆโžจโœนโ˜โโœธโœฆโœพโœ‰โžคโœป๏ฟฝโœคโšโœ›โœป ร“ โœฅโž„โฆโƒโœทโžฏโžช โ€ โ˜ โญโ–ฒโœปโœคโš โœพโญโžฒโ‚โ–โ„โ–ผโ˜žโœบโœผโญโซโœปโฅโฉโœโœปโฅโขโ„โœธโœฆโœบโœผโ–  โกโœโ›โ–ฒโœป โœ†โœโœ† โœฎโœโœฐ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โœ†โœ โœ† โœพโœ•โœ” โซ โœ† โžจโถโžฎโ–โžซ โœ† ร‘ ร’ โ’โœ†โ˜Ž โ‰โœปโ˜žโœพโฅโœปโœŸโœฝ โ˜โœฑโœธโ„โšโจโ–โ——โœฝโœโœพ โœโœบโซ โœ โ’ โ˜ โœ โก โœธโ„โœฝ โ–โจโ—†

โ… โ† โœ† โœฅ โœกโœง โžฆ โœ„ ร˜ โžฆโœ„โœถ โœฎโ–โœฐ โžณ โ˜Ž โฉ โœถ โžญโœโžญ โœ† โก โˆ โœ’ โœ โœ†โœโœ†โœ โœ† โœ„ ร˜ โœ†โœ โœ†โœโœ† โœ† โžจโ™ฅโžฎ โžซ โœ† ร‘ ร’ โ’โœšโ˜Ž โ‰ โ…โœกโœ  โœ†โœ โœ† โœถ โœ†โœ โœ† โ‰ โœ โžข โ’โžฅ โœ†โœ โœ† โœ‚ โœกโœง โœถ โœ†โœ โœ† โ‰ โžฒ โ– โ˜›โœ’ โœ โœ†โœโœ†โœ โœ† โœ„ ร˜ โœ†โœ โœ†โœโœ† โœ† โžจโ™ฅโžฎ โžซ โœ† ร‘ ร’ โ’โœšโ˜Ž โ‰ โœ†โœ โœ† โœถ โœ†โœโœ† โ‰ โ˜Ž โ’โœปโ˜žโœพโœโฉโœโœธโ„โœฝPโ–ผโ——โœโ–ฒโ˜โโ–โ——โ– โœโฉโœโณ โœšPโœฝโ–ฒโœบโซโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโฒโฉโœโœปโชโญโœผโ–โ™ โœฝโ–ฒโœธโ„โ– โœ”โฆโœฟโœปโ™โšโœ”โ›โ–ฒโ– โฅโญโžผโžถ โœปโœ†โšโœ”โ˜Pโ–โ„โ–ผโ˜žโœปโ™โฉโœโœปโœ’โœ‘โœ†โœ“โ„โญโœผโฉโ–ฒโœปโœŸโ– โฅโœธโœฆโœฝ โ–โจโ—†

โœ†โœ โœ† โœฅ โœ โžฆโ‚โœถโ†”โžญ โœ†โœโœ† โœ” โœž โžป โœ• โœ— โžผ โœŒโœ†โœ™ โžป ร‘ ร’ โ’โœšโ˜Ž โ‰ โžฝ โžฝ โœ’ โœ โœ†โœ โœ†โœโœ† โœ„ ร˜โ’ โœ†โœโœ†โœ โœ† โž€ โœ†โœโœ† โœถ โœ†โœ โœ† โœ› โœœโœขโœฃ โœ•โ’ โœปโ™โกโ„โ›Pโœบ โฉโœโณโœŸโฆโœฟโœธโ„โœฝโ„โœพโจโ– โœ”โœปโชโญโœผโœป โœพโœ‰โžคโ–ฒโณโœ†โœธโœฆโ– โœ•๏ฟฝโœŸโฆโœฟโœป โ€

โœญโœ‘โœ“โœ’โœ•โœ”โœ˜โœ— โœ™ โœ™ โœชโœ›โœš โœทโœฆโœฅโœฃโœ—โœปโœฐ โœฉโœณโœช โœก โœชโ‹โœ˜ โœ›โœขโœœ โœตโœธโœทโœฆโœฐโœฎโœฅ โœก โœชโœชโœžโœฃโœš โœทโœฆโœ™ โœ โœ›โœ”โœ“โœซโœทโœฆโœ™โœฎโœ™ โœชโœคโœฉโœณโœฉโœณโœชโœชโœž โœโœฅโœคโœดโœฉ โœ“โœณโœ™โœ โœกโœฎโœฅโœฃโœ“โœงโœฆโœดโœฐโœฎโœชโœชโœžโœค โโœ›โž‘โœโœพโ€โžโœ’โƒโˆโžžโžŒโ…โœ”โ†โˆโ‡โŠโ‰โ‹โ†โœญโžตโœขโž”โœฝโจโœ’โ˜tโฑ โœฉ โฃโœชโฉโ——โชโ‘ โฟโ™ฃโจโœ’โฉโ——โšโ˜žโฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœฉโ˜…โœฝโกโœŸ โชโ™ฃโฑโซโดโตโฃโœตโ–ผโœˆโ–ผโโจโœณโดโ˜žโจโœ’โฉโโด โœ™โ˜žโฃโโชโˆโœถ ร• โœซโœผโžฆ โžโœโกโถโžฆโžผโœƒโˆโžญโ—โžญโž โšโ€โ โชโตโดโตโฑโœฏโž‚ โ›โฒโ˜tโคโœ‰โชโŠโœ™โ™ฃโฃโโชโœถ โซ โœฉโœ•โž€ โ โ–ฒโœ’โž‰โœ’โชโฏโš โœฉ ร• โœซโœขโชโ˜žโฑ โ ร•โœฅโžโœโกโœพโžฆ โœƒโˆโžญโ˜žโ™ฅโœฝโž”โž…โจโœ’โ˜tโฑโœ‰ร โฉ โซ โžธ โœรšโžฆโœ„โœถ โžป โ–  โ‘โโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญ โฉ โ™ฅ P Pโœ‡โจโฒโคโฏโด โœถ โž€ โœฉ โ„ โ˜ž ร โชโ™ฃโดโฏโฑโญโ›โœˆโ–ฒโฒโฉโœญโด โœญ โ— โœŒ โœฅ โœกโœง โœโชโ™ฃโฑโœ•โจโœ’โฉโž’โ–ฒโ‘จโ›โœˆโช โœ˜โœฏโ–ฒโœ’โฉโโ˜ โœบโ˜žโคโœ‰โช โ˜ž โ–ผโ——โคโ—†โชโตโดโœขโœ™โ˜žโฃโโชโ‘โดโœซโœชโœชโคโœ‰โชโซโ‘ข

โœฉโ–โžฆ ร โฉ โžญ โซโœธโœฉโ–โžฆ โžธ โžญ โœโžคโžฆโœ„โœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญโœ‚โœฉ โ„ โžฆ รโœธโžณโ‘กโžญ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทPโœŽโœโžดโžญ โฉ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โโ——๏ฟฝโณโžชโ˜…โซโžโœขโœ˜โœฏโจโœ’โฉโœญโดโตโฑqโคโœ‰โ–ฒโœ’โฑqโ˜โ‹โจโœ’โฉโœ”โ‘ขโžฆโœนโœธโœฆโœบโซโœพ โœโœŸโฆโ™ โง โ€โžนโโœฝ โ–โจโ—†โœฉโ–โžฆ ร โฉ โœธโœญโœฌ โžญโ™ฅโžฎ โœฉโ–โžฆ ร โฉ โžญโœโซโœปโœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโƒโžฆ ร โฉ โœธโœญโœฌ โžฎ ร โฉ โžญโœ•โœtโžฆ ร โฉ โœธโœญโœฌ โžฎ ร โฉ โžญ โก โžข โ’โžฅ โœฉ โ„ โ„ โžฆโœโžฆโœ›โœทโกโžฎโœŽโœถโ†”โžญโร โฉ โœธโœญโœฌ โœ โœถโžŽร โฉ โžญโƒโžฆ โœทโœ–โžฎโœŽโœถโ†”โžญโˆโžฒโœฆโœถ

Page 175: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžพโ‚๏ฟฝโœพร› โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœโœŽโœ’โœ‘โœโœ“โœ”โœ‚โœ•โœ“ โœ–โœ—โœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโœขโœœโœฃโœโœคโœ–โœฅโœžโœฆโœžโœฆโœงโœซโโ–โ——โœบโœผโœฝโœโœพโœ”โœปโœ†โœฝPโ–โ——โœฝโœโœพโœ†โœโœโ˜โœฑโœธโœฆโ›Pโ– โฅโ›โ–ฒโœฝโ–ฒโœปโ‘งโžฒโœ„โœธโœฆโœฝโโ–ผโœโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝ โœพโœ”โœปโœคโš โœพ โœ— โœธโœฆโœฝโฒโ–โจโ—†

โ…โžŠโธqโธ โœฉโ–โžฆ ร โฉ โœธโœขโœฌ โžญโ™ฅโžฎ โœฉโ–โžฆ ร โฉ โžญโฅโนโœฆโž€โฌโœ—โœฃโน โซ โ…โœฏโธ โœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโšโžฆ ร โฉ โœธโœญโœฌ โžฎ ร โฉ โžญโž…โž€โœโœ—โขโนโœ โ… โœ  โžฆ ร โฉ โœธโœญโœฌ โžฎ ร โฉ โžญ โก โžข โ’โžฅ โœฉ โ„ โ„ โžฆโ—โžฆ โœทโกโžฎโœŽโœถโžŽโžญโ—ร โฉ โœธโœขโœฌ โœโœžโœถโคร โฉ โžญโšโžฆโœ›โœทโกโžฎโœกโœถโžŽโžญโ——โžฒโ„โœถโ‘ โž€โœโœ— โ˜›โซโœ๏ฟฝ โ’ โœโœ‚๏ฟฝ โกโžฅโโ–โ——โ– โฅโญ โ–โ—†โ– โจโœปโœŸโญ โ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโ™โžพโฏโžš โ€ โ™ฅโ–ฒโœโœโœธโœฆโœฝ โ–โจโ—†

ร โฉ โœธโœญโœฌ โžฎ ร โฉ โซ โžฆโœ„โœถ โœฎโ–โœฐ โฉ โ˜Ž โฉ โœธโœญโœฌ โœถ โžปโโ– โƒโ‘โœญโžฝโ–ฒ โžทP โœ โžญ โœฑโซ โœฅ โœกโœง โœ โžฆโ‚โœถ โœฎโœโœฐ โฉ โ˜Ž โฉ โœธโœญโœฌ โœถ โžญโœ†โœ โžข โ’โžฅ โœ‚ โœกโœง โœโžณ โžฆโœ„โœถ โœฎโœโœฐ โฉ โ˜Ž โฉ โœธโœญโœฌ โœถ โžญโƒโžฆโžผโžซโžฏโžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโณโžซโซ โœฅ โœกโœง โžฆ โœ„ ร˜ โžฆโ‚โœถ โœฎโœโœฐ โฉ โ˜Ž โฉ โœธโœญโœฌ โœถ โžญโœโžญโœโœ โžข โฉ โœธโœญโœฌโฉ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญโ—โžณPโœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โžทโžชโ™ฆโžฆ โžซโฏโžญโœโžฒโณโžซโด โœธโ„โœฝPโ–ผโœ„๏ฟฝ โ’ โšโœ”โœป โšโœ›โณโœ†โ˜Pโ–โ——โ– โจโœป โœปโœŸโœฝโฒโฉโœโœปโœŸโ›โœปโœŒ โœพโœ”โœปโœ†โ– โœ”โฆโœฟโœปโœ†โš โ—†

๏ฟฝ โ’ โซ โ… โ† โœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโœ‚โœฅ โœกโœง โžฆ โœ„ ร˜ โžฆโœ„โœถ โœฎโœโœฐ โฉ โ˜Ž โฉ โœธโœขโœฌ โœถ โžญโ—โžญโž…โž€โฌโœ— โˆ โœ โ… โœ  โœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญ โžข โฉ โœธโœญโœฌโฉ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญโ—โžณโœฑโœถโ™ฆโžฆ โžซโžฏโžญ โžทโžชโœ‰โžฆ โžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซโœกโž€โœโœ— โ˜›โซโœ†โ˜Ž โ’ โœโœโ˜Ž โกโด โžถ โ›โ–ฒโœฝโ–ฒโœปโ™โ˜โโ–โ——โ– โœ”โœพโœ†โœโœโœบโœผโญโ†โœปโœ†โšโœ›โœพโฅโณโœŸโขโœนโœบโœผโฉโ–ฒโœปโœŸโœฝโœโœพโฏโกโœโ›โ–ฒโœปโœขโ—†โœทโœโ˜Ž โก โฌ

โœฌ โœ  โžฅ โ… โ† โœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโžŽโžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โฉ โœถโ™ฆโžฆโžบโžจโœโžญ โžทโžชโž€โžฆโ†•โžจโœโžญโž…โž€โœโœ— โˆ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โโ——โ™ฅโณโžชโด โžถ โ–โ——โ›โ–ฒโœพโœ”โ– โจโœป โ˜โโ–โ——โ– โœ”โœพโœ†โœโœโœธโœฆโœฝ โ– โ—†โ˜Ž โ’ โซ โ… โœ  โžข โ’โžฅ โœ‚ โœกโœง โžณ โžฆโœฆโœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโจโœ—โ‘ฅโžญ โœ„ ร˜ โžฆโœ„โœถ โœฎโ–โœฐ โฉ โ˜Ž โฉ โœธโœญโœฌ โœถ โžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโณโžซ โ˜›

รโœโœฝโ–ฒโœป โ–โ——โ˜Pโ˜โ–ฒโญโซโœบ โ–ผโœŸโ–โ——โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโ™ โฉโœโœป โญ โ–โœฃโžฒโœ„โœธโœฆโ– โจโฆโงโ›โ–ฒโญโœผโœปโ‘โฉโ–ฒโœป โฉโ–ฒโณโœŸโ– โจโœบโซโขโฃโ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโงโšโœ”โณโœŸโ˜Pโ–โœฆโ– โœ”โœปโœžโ˜Ž โ’ โœปโœŸโœฝโœฟโฉโœโœปโœ†โ› โœŒ โ˜Pโ–โ——โ– โœ”โœพโœ”โœบโœผโœปโœ†โš โœปโœŸโœพ โœปโœ†โœฝโ—†โ›โœโœพโจโœบโซโญโœผโœบ โšโœ”โ–โœฆโœฝโ„โœพโ™ฆโญ โ–โฏโ˜โ–ฒโ– โจโœธโœฆโ˜Pโ– โœ”โœบโœผโณโ˜žโœพโจโณโฉโžŽโžถ โ–โœฆโฉโœณโžฏ โœธโ„โœฝPโ–ผโœโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝ โœธโ„โœฝ โ–โจโ—†โ˜Ž โ’ โซ โ… โœ  โžข โ’โžฅ โœ— โœ‚ โœกโœง โžณ โžฆโœถโœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโœโžญ โœ„ ร˜ โžฆโ‚โœถ โœฎโœโœฐ โฉ โ˜Ž โฉ โœธโœญโœฌ โœถ โžญโšโžฆ โžซโฏโžญ โžทโžชโž€โžฆ โžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ˜›

โœ โ… โœ  โžข โ’โžฅ โœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญ โœ‚ โœกโœง โžณ โžฆ โœ—โ‘ฅโžญ โœ„ ร˜ โžฆโœ„โœถ โœฎโ–โœฐ โฉ โ˜Ž โฉ โœธโœญโœฌ โœถ โžญโšโžฆ โžซโžฏโžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ˜›โซ โ… โœ  โžข โ’โžฅ โœ—โžงโžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญโœโžณโ‘จโžฆโœถโœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโœโžญโœโœถโ™ฆโžฆ โžซโฏโžญ โœฎโ–โœฐ โฉ โ˜Ž โฉ โœธโœญโœฌ โœถ โžฆ โžซโžฏโžญ โžทโžชโœ‰โžฆ โžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ˜›

โœ โ… โœ  โžข โ’โžฅ โœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโžŽโžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โžณ โžฆ โœ—โ‘ฅโžญโœนโœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โœฎโœโœฐ โฉ โ˜Ž โฉ โœธโœญโœฌ โœถ โžฆโžผโžซโžฏโžญ โžทโžชโž€โžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ˜›โซ โ… โœ  โœ— โžข โฉ โœธโœญโœฌโฉ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญโœโžณโ‘จโžฆโœถโœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโœโžญโœโœถโ™ฆโžฆ โžซโฏโžญ โžทโžชโž€โžฆ โžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ˜›

โœ โ… โœ  โœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญ โžข โฉ โœธโœญโœฌโฉ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญโœโžณโ†โžฆ โœ—โ‘ฅโžญโœนโœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โžทโžชโž€โžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ˜›

Page 176: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœŽโœ’โœ‘โˆโœ“โœ๏ฟฝโˆโœ“โžŒโœ™โœฟ๏ฟฝโœฃโœโทโœงโœคโœ˜โœ•โœŒโœ“โœโทโœ™โ€โœ‚โž“โœโทโœœโœโœโทโœ โ˜žโ˜›โœ„โœ‚โทโœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒ โœœโœโœโœคโœ–โœปโœงโœโœ˜โœ๏ฟฝโซโœ‚โขโ˜›โœ›โœ โ˜žโœ˜โœ๏ฟฝโœต๏ฟฝโœฃโœโœฌโœ‚โœ•โœ‚โŠโœโœคโœ–โž’โœ‚โœ†โ˜Ž โœ‚โŠโœ โœ„๏ฟฝโœฃโœœโœโœŒโขโœ โœžโœโœšโœ™โŠโœโœคโœ– โžพโ‚๏ฟฝโณรœโด โœธโ„โœฝPโ–ผ โ—†โœทโœโ…โœกโœ โจโœ— โžข โฉ โœธโœญโœฌโฉ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญโ—โžณโžฏโžฆโœฆโœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโœโžญโœนโœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโณโžซ โ˜› โฌ

โœฌ โœ  โžฅ โ… โ† โœ—โžงโžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โฉ โžฆโœฆโœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโœโžญโœนโœถโ™ฅโžฆโ†•โžจโœโžญ โžทโžชโž€โžฆโžบโžจโœโžญ โˆ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โœธโœพโžšโณโžชโœทโœโ…โœกโœ โœณโœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญ โžข โฉ โœธโœญโœฌโฉ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โžณ โžฆ โœ—โ‘ฅโžญโœนโœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโณโžซ โ˜› โฌ

โœฌ โœ  โžฅ โ… โ† โœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโžŽโžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โฉ โžฆ โœ—โ‘ฅโžญโœนโœถโ™ฅโžฆโ†•โžจโœโžญ โžทโžชโž€โžฆโžบโžจโœโžญ โˆ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โœธโˆโžพโžฏโžชโœโฅโœปโœŸโฆโœดโ–โœฆโ– โจโกโœโ›โ–ฒโœธโ„โœฝPโš โกโ„โ›Pโœป โ—†

โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โฉ โžฆโœถโœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโœโžญโœโœถโ™ฆโžฆโžบโžจโœโžญโœโœ โœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโžŽโžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โฉ โœถโ™ฆโžฆโžบโžจโœโžญโโซ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โฉ โžฆโœฆโœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโœนโœถโ™ฅโžฆโ†•โžจโœโžญโ—โžญโžฅโโ–โ——โ– โœโ–ผโ˜žโœธโ„โœฝPโšโœ”โณโœ†โกโœโ›โ–ฒโœปโœŸโœฝโœโœพโœคโœโœโ˜โโ–โ——โ– โฅโญโœผโœปโœ†โš โ– โจโœปโœŸโญ โ–โฃโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโโšโžดโžฝโœโžพโดโžš โ€ โโœฆโ™ฅโ—†โžชโจโœโœ‰โžฝโœโžพโดโžš โ€ โœธโ—†โžšโ—†โžช โœปโ˜žโœพโฆโžฝโœโžพโฏโžš โ€ โœธโˆโžพโžฏโžชโฌโœโ–ฒโœธโœฆโœฝ โ–โ™ โฆโœฟโœธโœฆโœฝโœโœพโœ”โ– โจโณโ™โกโ„โ›Pโœป โ—†โœท

โœ๏ฟฝ โ’ โฌ

โœฌ โœ  โžฅ โ… โ† โœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโžŽโžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โฉ โžฆ โœ—โ‘ฅโžญโœโœถโ™ฆโžฆโžบโžจโœโžญ โžทโžชโœ‰โžฆโžบโžจโœโžญ โˆ โœ โ… โ† โœ— โž€โดโžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โฉ โžฆโœถโœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโœนโœถโ™ฅโžฆโ†•โžจโœโžญโ—โžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโ†•โžจโœโžญ โˆโœฉ โ„ โ„ โœปโœ†โšโœ›โœพโฅโคโโœธโ„โ– โœ”โœฝโ–ฒโณโœ†โœปโชโ˜Pโ–โ——โ– โœโ–ผโœŸโœธโœฆโœฝPโšโœ”โณโœ†โกโœโ›โ–ฒโœปโœ†โœฝโ„โœพโฅโœธโ„โœฝ โ–โจโ—† โœท

โœ๏ฟฝ โก โฌ

โœฌ โœ  โžฅ โง โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โœธโ—†โโ—†โžชโด โœธโ„โœฝPโ–ผ โœธโœฆโœฝโฒโ–โจโ—†โœทโœโ…โœฏโธโผโธ โœฉโ–โžฆ ร โฉ โœธโœญโœฌ โžญโ™ฅโžฎ โœฉโ–โžฆ ร โฉ โžญโผโนโœคโž€โฌโœ—โœŸโนโœ—โฌโœฌ โœ  โžฅ โ…โ‡โ† โœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโžŽโžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โฉ โžฆ โœ—โ‘ฅโžญโœนโœถโ™ฅโžฆโ†•โžจโœโžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโ†•โžจโœโžญ โˆโœ โ… โ† โœ— โž€โดโžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โฉ โžฆโœถโœฉ โ„ โžฆ ร โฉ โžญโœนโœถโ™ฅโžฆโ†•โžจโœโžญโ—โžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโ†•โžจโœโžญ โˆ โžฝโœโžพโฏโžš โ€ โœธโœˆโœธโณโžช

โžนโโœฝ โ˜โœฑโœปโœŸโ›โ–ฒโœพโœโฆโœฟโ–โœฆโœบโซโœฝโœโœพโจโœปโœŸโœฝPโ–โœฆโœฝโ„โœพโฅโณโœคโ–ผโ˜žโ– โจโœบโซโ– โจโœปโœขโ—†โžฆ ๏ฟฝโ‘ฆโžญโโซ โ…โžพโธ โœฉโ–โžฆ ร โฉ โžญPโœ—โœฃโนโ˜โžฎ โœฉโ–โžฆ โžธ โžญโซ โžข โฉโžฅ โ…โžŠโธ โœฉ โ„ โžฆ รโฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžญPโœ—โœฃโนโ™ฆโžฒโณโžซ

โซ โžข โฉโžฅ โœทโœโ…โœฏโธโผโธ โœฉโ–โžฆ ร โฉ โœธโœญโœฌ โžญโ™ฆโžฎ โœฉโ–โžฆ ร โฉ โžญโผโนโœโž€โฌโœ—โœŸโนโž€โžฒโถโžซ

โœซโโ–โ——โœบโœผโœฝโœโœพโœ”โœปโœ†โœฝPโ–โ——โœฝโœโœพโœ†โœโœโœปโœ†โœฝ โ›โ–ฒโœพโœ”โœบโœผโญโซโœบ โšโœ”โ–โœฆโœฝโœโœพโœฃโžšโ–ฒโ›โ–ฒโคโ–ฒโœบโœผโœฝโ–ฒโœบโ†โœธโ„โœฝ โœธโœฆโคโœโœพโจโœบโซโœปโœ†โœฝโ„โœพโˆโ—†โžฆ ๏ฟฝโ‘ฆโžญโœโซ โ… โœ  โžข โฉโžฅ โœฉ โ„ โžฆ ร โžณ โžญโžŽโžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โžณ โžฆ โœ—โ‘ฅโžญโœนโœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโณโžซ โ˜›

โœ โ… โœ  โœ— โž€ โžข โฉโžฅ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญโ—โžณโ‘จโžฆโœฆโœฉ โ„ โžฆ รโ‘คโžณโ‘กโžญโœนโœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžญ โžทโžชโž€โžฆ โžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ˜›โซ โ… โœ  โžข โฉโžฅ โœ‚ โœกโœง โžณ โžฆ โœ—โ‘ฅโžญ โœ„ ร˜โฉ โžฆโœถโœฉ โ„ โžฆ รโ‘คโžณโšโžญโœนโœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญโ—โžญ โžทโžชโœ‰โžฆ โžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ˜›โœ โ… โœ  โœ— โž€ โžข โฉโžฅ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญโ—โžณโ‘จโžฆโœฆโœฉ โ„ โ˜ž รโœˆโžฆ โžซโžฏโžญโตโž€ โœถโ™ฆโžฆ โžซโฏโžญโ—โžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ˜›โซ โ… โ† โœ—โžŒโž€โœตโœฅ โœกโœง โžฆ โœ„ ร˜โฉ โžฆโœฆโœฉ โ„ โžฆ ร โžณ โžญโœนโœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžญโ—โžญ โˆโœ โ…โœกโœ โจโœ— โž€ โžข โฉโžฅ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โžณ โžฆโœฆโœฉ โ„ โ˜ž รโœˆโžฆ โžซโžฏโžญโตโž€ โœถโ™ฆโžฆ โžซโฏโžญโ—โžญ โžทโžชโ™ฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ˜›

Page 177: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžพโ‚๏ฟฝโ–๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœโœโœŽโœ’โœ‘โœโœ“โœ”โœ‚โœ•โœ“ โœ–โœ—โœžโœโœ˜โœšโœ™โœ›โœŒโœขโœœโœฃโœโœคโœ–โœฅโœžโœฆโœžโœฆโœงโžนโโœฝ โ–โœฆโ˜โ–ฒโ˜โ–ฒโญโœผโœบโœผโกโœโ›โ–ฒโœปโชโฆโœดโ–โ——โœบโœผโœฝโœโœพโœ”โœปโœ†โœฝPโ–โ——โœฝโœโœพโฅโญโซโœปโชโœพโ—†โžคโ–ฒโณโœŸโœธโ„โ– โœ๏ฟฝโœ†โฆโœฟโœปโญโžพโฏโžš โ€ โžพโดโžšโ—†โ˜โโœธโ„โ›โ–ฒโ– โฅโณโœ†โ–ผโœŸโ– โœ”โœบโœผโ– โจโœป โ—†โžฆ ๏ฟฝโ‘ฆโžญโโซ โ…โŠโ†โœ›โœ— โž€โœโœฅ โœกโœง โœ  โœ„ ร˜ โžฆโœฆโœฉ โ„ โžฆ รโœธโžณโšโžญโœนโœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โœฎโœโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžฆ โžซโžฏโžญโœโžญ โ˜› โˆโœ โ… โœ  โœ—โžŒโž€ โžข โฉโžฅ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญโœโžณโ‘จโžฆโœถโœฉ โ„ โ˜ž รโฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโตโž€ โœถโ™ฆโžฆ โžซโžฏโžญโœโžญ โžทโžชโž€โžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ˜›

โซ โ… โ† โœ— โž€โœโœฅ โœกโœง โœ โœ  โœฉ โ„ โžฆ ร โžณ โžญโœนโœถโ™ฆโžฆ โžซโžฏโžญ โœฎโˆโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžฆ โžซโฏโžญโ—โžญ โ˜› โˆโœ โ… โœ โจโœ—โžŒโž€ โžข โฉโžฅ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญ โžณ โžฆโœถโœฉ โ„ โ˜ž รโฆโžฆโžผโžซโžฏโžญโตโž€ โœถโ™ฆโžฆ โžซโžฏโžญโœโžญ โžทโžชโž€โžฆโžผโžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โ˜›โซ โ… โœ  โœ— โž€ โœŽ โœฅ โœกโœง โœ โœ โœถโœฉ โ„ โ˜ž รโœˆโžฆ โžซโฏโžญโ™ฃโž€ โœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญ โœฎโœโœฐ โžฅโœŸโ˜Ž โฉ โœถ โžฆโžผโžซโžฏโžญ โ˜› โœ โžข โ’โžฅ โžฆ โœ„ โœ‚ โœกโœง โžญโ—โžณโ‘จโžฆโœฆโœฉ โ„ โ˜ž รโœˆโžฆ โžซโฏโžญโ™ฃโž€ โœถโ™ฅโžฆโžผโžซโžฏโžญโ—โžญ โœฎโˆโœฐ โžฅโœ†โ˜Ž โฉ โœถ โžฆ โžซโฏโžญ โžทโžชโž€โžฆ โžซโžฏโžญโœโžฒโถโžซ โœ‘ โ˜›โซ โ…โœกโœ โจโœ— โž€โขโžฆโœฆโœฉ โ„ โ˜ž รโœŸโž€ โœถ โžป โ–  โ‘โโžฝโ–ฒ โžทPโœŽโœโžดโžญ โฉ โ˜›

โœฉ โ–โชโ– โจโœปโœŸโญ โ–โฃโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโงโžฝโœโžพโดโžš โ€ โโ——๏ฟฝโณโžชโฑโœปโœ†โšโœ›โœพ โœธโœฆโคโœโœพโจโœปโœŸโœฝโœนโ›โ–ฒโœปโฅโ˜Pโ–โœฆโ– โโœบโœผโฉโ–ฒโœปโœŸโœฝโœโœพโœ”โœบโกโœšโโ–ผโœŸโ–โ——โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโœดโ˜โœฑโœธโœฆโ›โ–ฒโ–  โœพโœ”โœธโœฆโ›โ–ฒโœพโ‘คโžจโตร•โž†โธ โงโˆโžฉโœŸโœทโ˜žโน โ˜ž โœ  โ– โ€ โœป โ€ โฆโœดโ–โ——โœบ โšโโญโœผโœปโœ†โš โฉโ–ฒโœปโœŸโ› โœŒโ—†โœพโœ”โœปโœŸโ– โจโฆโœฟโœปโœ†โšโฉโœโœปโชโญโžผโžถ โณโœ†โกโœโ›Pโ–โ——โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝ โšโœ›โœธโ„โœฝโœโœพโฅโ–ผโœŸโœธโœฆโœฝโœโœพโœ”โœบโœผโœฝโœนโ›Pโš โœปโ˜žโœพโœโญโœผโœปโ™โ– โจโณโœ†โšโœ”โ›โ–ฒโญโžโœพโฌโ–โฃโœพโฅโœปโœ†โšโœ›โœพโœโฉโœโœธโœฆโœฝโโ–ผโชโขโœโ– โฌโ–โ——โœบ โ˜ž โœ  โ– โ€ โœป โ€ โ˜โœฑโœธโœฆโ›Pโ–  โœพโœ”โœธโœฆโ›โ–ฒโœพโกโžจโตร•โž’โธ โงโ€โžฉโœŸโœทโ˜žโน โ€ โœญ

Page 178: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜ž โœโœŽโœ

โœ โœ‘ โœ’โœ”โœ“โœ–โœ•โœ˜โœ—โœšโœ™โœ”โœ›โœ˜โœœ โœข โœฃโœ–โœข โœ’โœฅโœคโœงโœฆ โœข โ˜… โœฉโœชโœ™โœ”โœซโœญโœฌโœฎโœ‘โœ–โœ—โœฐโœฏ

โœฑโœณโœฒ โœธโœฆโคโœตโœด โœปโœคโ–ผโœโœพโœ”โœบโœทโœถ โฉโœโœปโฏโ–ผโœŸโœปโ˜žโœพโœ”โœพโœ”โœปโฏโ˜โโ–โ——โ– โœ”โœพโœ”โœบโœผโœปโœโœปโœ†โšโœ›โœพโ‘โฉโœธโœฒ โณโ˜žโœพโฌโ–โ——โคโ–ฒโญโœผโœบโœผโ–  โ›โ–ฒโœฝโœดโœพโœบโœนโ–ฒโณโœŸโœธโ„โ– โœ๏ฟฝโœ†โฆโœฟโœปโฏโฉโœโœปโฏโ–ผโœปโœนPโ–โœฆโœฝโœฝโœผโœฆโœปโœ†โฆโœฟโœปโœŸโœฝโœโœพ โฉโœโœปโโญโซโœธโ„โœบPโ˜โœฑโœธโœฆโ›โ–ฒโ– โ‘โฉโœโœปโœ†โš โ˜โ–ฒโ– โœ”โœธโœโ–ผโœŸโœปโœ†โšโจโšโœ›โ›Pโšโฉโœโœปโœฟโœพ โœธโ„โœบโœผโšโจโšโœ”โœธโœฆโœฝโ˜›โ€ โœบโœผโญโžโœพโจโ– โœ”โณโœคโš โ€โœตโ โœฝPโœป โ–โœฆโ˜โ–ฒโ˜โ–ฒโญโœผโœบโœผโ–ผโœ†โ–โฃโœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝโƒโ‚ โญโ„โœฒ โœปโœคโš โœพโจโœบโซโฆโœดโ–โ——โœพโœ”โœบโœผโœธโœฆโœฝ โฉโ–ฒโœปโโญ โ–โ—†โฉโ–ฒโณโœŸโ– โจโœบโซโขโ„โœปโโฉโœธโœฒ โ›โ–ฒโœฝโƒโœพ โ– โœ”โœธโœโ–ผโœŸโœปโœ†โšโจโšโœ›โ›Pโšโ‘โฉโœโœปโœฟโœพโ™ฆโœธโœฆโœบ โšโœ”โšโœ”โœธโœฆโœฝโ˜›โ€ โœบโœผโญโžโœพโจโ– โœ”โณโ˜โโœปโœ†โ– โœ›โœพโจโ›โ–ฒโ– โจโคโโณโ‘โ˜Pโ–โ——โ– โฑโ›โ–ฒโœฝโ–ฒโœป โฉโœโณโœŸโ– โจโœบโœผโขโœฆโœป โ˜โœฑโœธโ„โšโœ”โœบโซโœพโœ”โœบโœผโขโœฆโœป โœปโœคโš โœพโโฉโœโœธโ„โœฝโ–ฒโœฝโ–ฒโณโœŸโœป โ€ โœฑ โ–โฏโ–ผโœŸโœธโœฆโœฝPโšโœ”โœบ โš โœพโฌโ–โ——โœฝPโ–ผโœŸโœป โฉโœโœปโ‘โญโ…โœฒ โœปโœ†โšโœ›โœพโœ”โœบโœผโฆโœดโ–โฃโœพโœ”โœปโœ†โ›โ–ฒโ– โ™ฆโœปโœ†โšโœ›โœพโฑโณโ†โœผโ„โ–โ——โญโœผโœปโœŸโฆโœฟโœปโœ†โœฝโ„โœพ โณโ˜žโœพโฌโ–โ——โคโ–ฒโญโœผโœบโซโœปโšโœ›โœธโ„โ›Pโš โฉโœโœปโ™โคโœฑโœธโœฆโœฝโ–ฒโœฝโ–ฒโœปโœคโšโ‡โœนโ‰โˆโœนโ˜โโœธโœฆโœพโŠโœนโœป๏ฟฝโœคโšโœ›โœปโœคโš โœฝPโœธโ——โœพโจโ–โœฆโฆโœฟโฆโ™ โœปโœ†โœฝโœโœพโฏโšโœ”โ–โ——โœพโœ”โœบ โšโ‹โœถโ‚โ–โœฆโœบโžโœพโจโœปโœ†โš โ˜โœฑโœธโœฆโ›โ–ฒโ– โฅโญโœผโœปโ—โœพ โ– โœ”โœธโœโ–ผโœŸโœปโœ†โšโจโšโœ›โ›Pโšโฅโฉโ–ฒโœปโโœพ โœธโ„โœบโœผโšโจโšโœ”โœธโœฆโœฝโ– โ€Pโ– โจโ–โ„โ–ผโœโœพโจโœบโซโœธโ„โœฝโ–ฒโœฝPโ–โ——โœบโœผโ– โจโœป โ€โœ‘โœฆโœ‘โœฆโœ” โœ‘ โ โœ™ โœทโœฆโœ™ โœ โœข โœกโœฎโœฐ โœ›โœ”โœ โœขโœคโœทโœฏโœฅโ–ฒโ‘โœ˜โœ— โœชโด โ–โœฆโœฝPโšโงโ–ผโœŸโœปโˆโ–ผโœปโœนPโ–โ——โ˜Pโœบโžโœพโจโ– โœ”โœปโœดโœฝโ–ฒโœธโ„โ›Pโšโงโ–โœฆโญโซโญโœผโœธโœฆโœฝโโš โ–ผโ˜žโœธโ„โœฝPโšโœ›โœบ โฉโœโณโœ†โ– โœ”โœปโœ†โ–  โกโ„โ›Pโœป โ—— โขโœฆโณโœ†โ– โœ”โœบโกโœšPโœป โ——โ—†โ–ผPโ–โ˜โ——โ™โ–โ™โš โซ โงโฒโ˜โœฑโœธโœฆโ›Pโ– โ™โœพโœ”โœธโ„โ›โœโœพ โ– โฉโœโœปโฏโœถโ‚โ–โฒโฑโ˜žโœธโ„โœฝ โ–โœพโœ”โ– โฌโ– โขโฃโ–โ——โœบโœผโญโซโญโœผโœปโœŸโ– โฅโ– โขโœฆโœปโœคโ–ผโโฉโ–ฒโœปโœ†โš โ˜โ–ฒโ– โจโœธโœโ–ผโ˜žโœปโœ†โšโจโšโœ”โ›Pโš โ–ผโ˜žโœธโœฆโœฝโœโœพโจโœบโซโœฝโœนโ›Pโš โ€โณโฉโจโ–ฒโฌโชโญโดโซโ›โตโ‰โœโžโโœฅโกโดโกโœ โขโฃโก โ˜Žโœณโคโ›โœโœฝโฅโ˜โฆโฃโงโฒโ™ โ™ฆโ™ฅโŠโคโ™ฃโœโœฝโฅโฉqโœทrโ™ฆโฅtsโœ โ™ฅโŠโคโœˆโœ‰โœปrโ˜โฅโœปโฅโ˜โœ‡โ‰โฅโœฟโฅโœปโœ‡โœตโฆโ‘กโ‘ โ›โ‘ขโ›โœโดโ‘ฃโฃโฅโ‘ โ‘ขโ‘คโ‘ฆโ‘ฅ P โฉโ‘จโ‘ง โ–โžโ‘ฉ โงโœตโถโ‘ฆโœ‡โœตโœโ—†sโœ โ™ฅโŠโคโœˆโœ‰โœปrโ˜โฅโœปโฅโ˜โœ‡โ‰โฅโœฅโงโทrโนโธโบโคโ›โฆโปโฅโœปโฅโผโคโ›โœโพโฝโฟโ‘ขโ›โ™ฅโœบโž€โ™ฆโœ‡โžโ™ โž‚โงโฒโคโ›โœโžโ‘ฃโฏqโžƒrโžโœ‰โœปโคโ›โž„โž…sโœฝrโผโœโœฝโฅโผโ‘ขโ›โ‘ฃโž†rโผโœ‡โœตโ™ฅโฏsโœ โ™ฅโœบโ™ โ™ฆโ‘ โœˆโฆโปโฅโ˜โฆโฃโž‡โ™ฆqโœทrโ—†rโ˜โฅโ˜โ‘ฃโžˆ โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโทโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšโœปโžŒโ‘คโ‘ฆโ‘ฅโžŽโžP โฉโžโ‘ง โ–โžโ‘ฉ โงโœตโถโ˜›qโžƒrโœฟโธtโ™ฅโœบโคโ†โœ‰โœปrโ™ฆโฅโœบโฅโ˜โœ‡โ‰โฅโฉโงโทrโ—โธโ‡โคโ›โฆโปโฅโœปโฅโผโคโ›โœโž‘โฝโฟโ‘ขโ›โ™ฅโŠโž€โผโœ‡โžโ™ โœฆโ˜Žโž’โคโ™ฃโž„โบsโžrโผโœโœฝโฅโผโ™ โž“โ‘ขโž”โฅโœปโฅโผโคโ†โœ‰โผโฆโฃโ™  โžŒโ‘คโ‘ฆโ‘ฅ โžP โœโฉ โซโœงโ†’ โฉโžฃ โ——โ—†โ–ผPโ–โ˜โ——โœปโžŠโœˆโšโ™โž‰ โžPโ†•โ†” โ‘ง โ–โžโ‘ฉ โงโœตโถโ˜›qโœทrโ‡sโœ โ™ฅโœบโคโ†โœ‰โœปrโ™ฆโฅโœบโฅโ˜โœ‡โ‰โฅโž™โงโทrโ—โธโ‡โคโ™ฃโฆโปโฅโœบโฅโผโคโ™ฃโœโœคโ‚โž›โฆโ‘กqโžœโ‘ฃโ„โ™ฅโŠโ™ โ†•โ‘ขโž”โฅโœปโฅโผโคโ†โœ‰โผโฆโฃโ™ โ‚โ™ฅโ˜Žโœณโคโ›โœโœฝโฅโ˜โฆโฃโงโฒโ™ โ™ฆโ™ฅโŠโคโ™ฃโœโœฝโฅโฉโœ‡โœตโœโžrโœณโžžโ™ฆโคโ›โœโžโœ‰โ™ฆโ‘ฃโ„โฆโฃโคโ›โœ โฒโž โžŸโƒโžกโœชโžข โ–ผ โžˆ โšโžค โœโฟโฆโ‘กโœโžโ‘ฃโ„โ™ฅโŠโคโœˆโงโ›โœ‡โœตโฆโ‘กโ‘ฃtโž„โž“โ‘ขโ™ฃโฆโ‘กโœโžโ‘ฃโž†rโ™ฆโœโžโ‘ขโ›โœโดโ‘ฃโžqโœทโ‘ขโ– โž„โฏrโ˜โฅโ˜โœ‡โœตโ™ฅโŠrโ†•โงโทrโž…sโžโ™ฅโŠโคโทโž‡โœปโ‘ขโฒโž‡โ™ฆโฆโ‘กqโžœโฆโ‘กโ‘ฃโž†โ™ โœฟโžฅ โญ โžŒ โ‘ขโทโž‡โ™ฆโฅโผโคโ›qโžœโœ‡โœตโž„โฏrโผโœโžโ‘ฃโบโœ‰โœปโคโ›โœโžโ‘ฃโ„โฆโ‘กโœโžโœ‡โžrโž™โ™ฅโŠrโผqโœทโ‘ขโ›โ‘ฃโ„โฆโ‘กโ‘ โ›rโ™ฆโž„โฏrโ™ฆโœโดโ‘ฃโบโžฆโž™โžฅโžงrโ™ฆโ‘ฃโงโทโคโ™ฃโœโžโ‘ฃโž›qโžƒโ‘ขโ– โงโฒrโ™ฆโœโžโฅโœปโฆโ‘กโ‘ฃโž†โ™ โ†•rโ˜โฅโ˜โ‘ฃtโงโฒโคโ›โœโดโœโœ โ™ โœปrโœชsโžโ‘ขโ›โ™ฅโœšโ‘ข

โžจ โฉ โซ โž‰ โžฅ โญโž‰ โžฅโžซโžฉโžฉโžฉโžฉ โœ˜โœ’โœšโซโžโžญโœธโžฏ โœฐโ›โžฒโœญโžณโžฃ โžฒโ‰โžตโžบโžธ โ–ผโ…โžŠโฒโ——โŠโž‹โ‰โšโ™ฆโ–ผPโžปโœฅโžผ โžˆ โšโ™ฆโ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โ—โž‰โฒโž‹โ‰โšโ‹โžฝโœ โžพ โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถโœทโžชโž”โžนโคโœ’โ‘กโž“โžญโœธโžฏ โ–ผPโž˜โž‘โš โžพ โงโฒโ™ โ˜โฅโ˜โฆโžฑrโทโœโœ rโž™qโ™โžด rโœบโžทโ˜sโžโคโ›โœโžrโ™ฆโœโดโ‘ฃโ…โฆโฃrโผqโ‘กqโœทrโฏโงโฒrโžฎโžฌโ†•โคโ›qโœทโ™ โœปโ‘ขโ™ฃโœโœฝโฅโ˜โžฑโฃโžฌโžŽโ‘ขโฒโงโทrโ†•โงโ›โœ‡โ†•sโžโ™ฅโŠโคโ†โœ‰โœปrโ™ฆโฅโœปโฅโœปโœ‡โ‰โฅ โž˜ โžฆโ˜›qโ™โžด โฆโ‘กโœโœฝโฅโ˜โ‘ฃโž†โ‘ขโ›โœโžโ‘ฃ โ– โ™ฅโžค โœโนโฆโ‘กโœโžโ‘ฃโ„โ™ฅโŠโคโœˆโงโ›โœ‡โœตโฆโ‘กโ‘ฃtโ™ โผrโชโ‘ขโ›qโœทrโผโž„โฏrโ™ฆโœโดโ‘ฃโžqโœทrโ™ฆโฅtsโœ โ™ฅโŠโคโœˆโœ‰โœปrโ˜โฅโœปโฅโ˜โœ‡โ‰โฅโœฟโฅโœปโœ‡โœตโฆโ‘กโ‘ โ›โ‘ขโ›โœโดโ‘ฃโฃโฅโ‘ โ‘ขโ‘คโ‘ฆโ‘ฅโž”โœƒโฟโโžพ โ‘ง โ–tโ‘ฉ โงโœฝโถโžบโœ‡โœตโœโž“sโœ โ™ฅโœบโคโ†โœ‰โœปrโ™ฆโฅโœบโฅโ˜โœ‡โ‰โฅโž™โงโทrโ—โธโ‡โคโ™ฃโฆโปโฅโœบโฅโผโคโ™ฃโœโฟโฝโฟโ‘ขโ›โ™ฅโœบโž€โ™ฆโœ‡โžโ™ โ™ฆโฅโž™โงโทrโ†•โœ‰โœบโคโ™ฃโž„โบsโžrโผโœโœฝโฅโผโ‘ขโ›โ‘ฃโž†rโ™ฆโœ‡โœตโ™ฅ โžธ โ–ผโ…โžŠโฒโ——โœบโž‹โชโš โžˆ โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโšโ˜โžŒโ‘คโ‘ฆโ‘ฅ โžโœƒโฟโโžพ โ‘ง โ–tโ‘ฉ โงโœฝโถโžบqโœทrโ—โธtโ™ฅโŠโคโœˆโœ‰โœบrโ™ฆโฅโœปโฅโ˜โœ‡โ‰โฅโฉโงโฒrโœฟโธโบโคโ›โฆโปโฅโœปโฅโผโคโ›โœโž‘โฝโนโ‘ขโ™ฃโ™ฅโŠโž€โผโœ‡โžโ™ โžบโ’โœณโคโ›โž„โž…sโžrโ™ฆโœโžโฅโ™ฆโ™ โž“โ‘ขโ›โฅโœบโฅโผโคโœˆโœ‰โ™ฆโฆโฃโ™  โžŒโ‘คโ‘ฆโ‘ฅ โžโœƒ โโทโฎ โฐโžพ ร โ†’ โžพโžฃโ‡ร โ–ผโฃโ–โ˜โ——โœบโžŠโž”โšโ‹โž‰ โžโœƒ โ†” โ‘ง โ–tโ‘ฉ โงโœฝโถโ˜›qโœทrโ‡sโœ โ™ฅโŠโคโœˆโœ‰โœปrโ˜โฅโœปโฅโ˜โœ‡โ‰โฅโฉโงโทrโโธโ‡โคโ›โฆโปโฅโœปโฅโผโคโ›โœร’ร‘โž›โฆโ‘กqโžœโ‘ฃโ…โ™ฅโœบโ™ โ†•โ‘ขโ›โฅโœปโฅโ™ฆโคโœˆโœ‰โผโฆโฃโ™ โ‚โ™ฅร“โ˜ร”โžร•ร—ร–ร™ร˜โ›รšโœปร›โž”รœ รโ…รžโฃร•โž›รŸโžƒรšโœปรœ รรกร โปรข รฃโ˜รคโœˆรฅโฃร•โž†รรงรฆโฒรข รจโž”รฉโž”ร•โž’ร›โž”รจโž”รคโœˆร รชรœรชร–โŠรšโœบรโ…รœรชรฃโ˜รฉโœฟรซโ…รฃโ˜รจโž”รฌโ‡รœรชรซโ„ร•ร—รญร—รฎโ„รฏโžร รชร•โ™ร–โž†รโ…รžโ…รฃโ˜รฉโœˆรœรชร–tร”โžรฃโ˜รฌโ‡รฌโžรจโž”รฉโž”รœรชร–โ™รšโœบรโ„รœรชรฃโ˜รฉโœˆรซโœธรœรชรฉโ—รฐโดรžโฃรฃโ˜รคโ›รšโœปรคโž”รœรชร รชรœ รโ‘กรฑโ™ฆรฒโ‡รณ รดโ™ฆรตโœบรถ

โžชโ†รทโ‰รธ

Page 179: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžชโ†รทโœ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ’โœโœ’โœ“โœ•โœ”โœ—โœ–โœ˜โ˜›โ˜Žโœ„โœšโœ™โœโœ›โœœโœŒโœŽโœขโœคโœฃโœฅโœโœงโœฆโœโœโ˜…โ˜›โœŸโœฉโ˜Žโœžโœคโœโœซโœชโœœโœ โœฌโœŒโœšโœญโœฎโœ†โœšโœ–โœฏโœ›โœฑโœฐโœฒ rโž™โ™ฅโŠโ™ โ™ฆโฅโœปโœ‡โœตq โ‘ฃร™โ‘ขโ™ฃโ‘ฃtrโ™ฆโฅโœปโ‘ฃโžqโœทrโฉโฅโœปโœ‡โœตโฆโ‘กโ‘ โ›โ‘ขโ›โœโดโ‘ฃโœ•โ‘ข

โžก โ–ผ โžโœƒ โฐ โ—— โžฅ โ โš ร โžก โ–ผ โžโœƒ โโ™ฃโฎ โฐ โ—— โžฅ โšโžฌโžŽโ™ โผโž„โฏโคโ›โœโœฝโฅโ˜โ‘ฃโ„โ™ฅโŠโ‘ขโ›โ‘ฃโ„โฆโฃโคโ›โœโœ”โ‘ขโœณโœตโœดโœ’โœถโœธโœทโœŽโœน โžŸโœฅโœบโœกโœปโœฏโœผ โœท โ–ผPโ– โžข โ——โ˜žโœฝโ˜žโœฝโœพโœฝโ™ฆโ——โ™โ–โœฌโœฟโœฝโš โžŸโโ€ โง โ——โƒโ‚โœŽโ„ โœฟโ†โ…โˆโ‡โœฎโ‰โœพโŠ โžถ โโœŸโ‹ โœผโ—โœถ โœดโœโœถ โŠโœŽโ—โ˜žโœผโœพโŠ โœถ โ‹ โŠ โœทโ– โ โ‹ โœท โŠโโ…โˆโ‡โœฎโ‰โœพโŠโœพโ‘โˆโ–ฒโœธโœผโ–ผโŠโœœโ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——Pโ˜โŠโ™โฏโšโฑ โ‘งโณโฒโฉโจ โžฒ โฑโžฃ โžฒ โžต โž‹ ร โ–ผโฃโ– โš โ——โœบโžŠโž”โšโž†โžปโž…โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโทโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšโŠ โœด โ‹ โœทโœŽโฌ โœผโœพโŠโœœโ—†โˆโ– โœด โ—โญโœผโœพโŠโ– โŠโƒPโชโŠโโ—† โœด โ‹ โ— โœท Pโˆโœผโ˜žโ–ฒโซโŠโœŽโด โ โ–โ›โตโœPโˆโ‰โœพโŠ โฌโœฎโœด โ‹ โœท โ–ฒโโœผโœพโŠโœŽโ— โœด โดโณโ—†โžโœผ โ‹ โŠ โโกโœท โœผโ˜žPโˆโ–โ›โŠโœœโŠ โœด โ‹ โœทโœฑโขโฃ โšโฑ โ‘งโœฏโฒโœฑโจ โžฒ โฑโžฃ โžฒโ‰โžต โž‹ ร โ–ผPโ– โš โ——โœบโžŠโž”โš โžˆ โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโทโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšโค โœด โ‹ โ—โฅโœโฆโ™ โš โžผ โฃ โšโ™ โง โœฟโšโโ™ฅรงโžข โœผโ–ผโŠ โœท P โ‹ โœผโฏโžฅโ™ฃโ™ฆโ™ โด โ โ– โœทโ– โœถ โ‹ โœผ โ โ–ฒโโœผqโœผ โœท โ–ฒโœธโœผ โœท โœนโˆโ‰ โœด โ–โƒrโœพโดโœฏโœผ โฌ โœผts โœถ โ–โ›โŠ โ โ‹ โœดโกโœ‰ รธโ‰โžถโœ‡โœˆโกโ‘  โ—† โžถโœ—โœˆโœโœˆโกโ‘  โฌโˆโ โ‹ โŠโœฑโ‘ก โ โ— โœดโœฎโฌโ‘ข รธโœ’โ‘ฃโ–ผโ‘ค โ‹ โœด PโชโŠ โ โŠโ– โŠโƒPโˆโ–โƒโœผโฉโตโœPโˆโœผ โขโ‘ฅ โ™ โš โฎ โ โ‘งโœฏโฒโ‘ฆโจ โ™ โšโฑ โžผ โฃ โšโฑ โžผ โžฒ โฑโžฃ โ‘งโžจ โ†”โ›โ‘จ โž‰โœšโ‘ฉ โ™ โš โžผ โฃ โš โ—— โžจโฉโถ โ†”โ›โท โœฟโšโโ™ฅรงโžขโœผโœพโŠ โœท P โ‹ โœผโโžฅ โ โ™ฆโฆโด โ โ– โœทโ– โœถ โ‹ โœผ โ โ–ฒโโœผ โžถโžจโธโœผโœพโŠ โœทโœšโฌ โ‰โญโ… โ‹ โœถ โ—† โ โ– โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถโœทโžชโž”โžน โฌโˆโœด โ‹ โ—โฉโžจโนโœผโ–ผโŠ โœท โŠ โœด โ–ฒโP โœทโƒโœถโโœด โ‹ โฌ โœผโœฑโ–ฒโ„โœฒ โ‰โ–ผโตโœP โโกโœทโƒโœถโโœด โ‹ โข

โบ โžพ ร โ‘งโผโป โžฒโžพโžฃ โžฒ โžต โบ โ†” โ‘จ โ€ โžธ โ–ผโ…โžŠโฒโ——โœบโž‹โชโšโ–ฒโžผ โ‘ง โ„โž†โ–ผโ‘กโžป โžผ โžˆ โšโ™ฆโ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโšโค โœด โ‹ โ— โœด โ‹ โ—†โžโœผโ˜žP โœท โ‰โ–ผโ—โญโ– โœถ โ–โ– โœผ โข

โ–ผโพโฝโžฎโš ร โ‘ฉ โ™โฏโš โžผ โฃโโš โ—— โžจ โถ โ†”รโž€โฟ โžฒ โžณโžฃ โžฒ โžต โž‹ ร โ–ผโฃโ– โš โ——โœปโžŠโœˆโšโผโ–ผโ‘กโžปโž‚โžผ โžˆ โšโ™ฆโ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โ‰โšโœฟโ—— โ‘งโœกโป โžฒ โžณโžฃ โžฒ โžต โžจ โ†”โ– โ‘จ โ€ โžธ โ–ผโ…โžŠโฒโ——โœบโž‹โชโšโ–ฒโžผ โ‘ง โ„โž†โ–ผโ‘กโžป โžผ โžˆ โšโ™ฆโ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโšโ˜žโž โ†”ร โฟ โžฒโ‘ฆโžณโžฃ โžฒโ‰โžต โž‹ ร โ–ผPโ– โš โ——โœบโžŠโž”โšโ™ฆโ–ผPโžป โžผ โžˆ โšโผโ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโทโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšโœฟโ—— โžฒโœญโžณโžฃ โžฒโ‰โžต โžจ โ†” โ‘จ โ€ โžธ โ–ผโ…โžŠโฒโ——โŠโž‹โ‰โšโ–ฒโžผ โ‘ง โ„โž†โ–ผโ‘กโžป โžผ โžˆ โšโผโ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโš โž โ†”ร โžฒ โ†”โžฃ โž‹ ร โ–ผโฃโ– โš โ——โœบโžŠโž”โš โžจ โ†” โ‘จ โ€ โžธ โ–ผโ…โžŠโฒโ——โœบโž‹โชโšโ–ฒโžผ โ‘ง โ„โ‘กโž‰ โฟ โžฒ โžณโžฃ โžฒ โžต โ–ผPโžปโœฅโžผ โžˆ โšโ™ฆโ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšโžƒโž‚ โžฒ โžณโžฃ โžฒ โžต โ–ผPโžปโœฅโžผ โžˆ โšโผโ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโทโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โš โž โ†”ร โžฒ โ†”โžฃ โžฒ โžต โž‹ ร โ–ผโฃโ– โš โ——โœบโžŠโž”โš โžจ โ†”โ– โ‘จ โ€ โžธ โ–ผโ„โžŠโทโ——โœบโž‹โชโšโ–ฒโžผ โ‘ง โ„ โžˆ โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โ‰โšโž„ โ‹ โœผ โ‹ โ— โœด โ‹ โ—โญโ–ฒโPโˆโœผโœฑโตโœPโชโœผ โขโ™ โš โฎ โโฑ ร โ™ โšโฑ โžผ โฃ โšโฑ โžผ โžฒ โฑโžฃ โ‘งโžจ โ†”โ– โ‘จ โž‰โœโ‘ฉ โ™ โš โžผ โฃ โš โ—— โžจโœฑโถ โ†”ร โ™ โšโฑ โžผ โฃ โšโฑ โžผ โžฒ โฑโžฃ โ‘งโžจ โ†”โ– โ‘จ โžฒ โžต โž‹ ร โ–ผโฃโ– โš โ——โœบโžŠโž”โš โžจ โ†” โ‘จ โ€ โžธ โ–ผโ…โžŠโฒโ——โœบโž‹โชโšโ–ฒโžผ โ‘ง โ„ โžˆ โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโšโ™โž‰โฒโž‹ร โ™ โšโฑ โžผ โฃ โšโฑ โžผ โžฒ โฑโžฃ โžฒโ‰โžต โž‹ ร โ–ผPโ– โš โ——โœปโžŠโž”โš โ€ โžธ โ–ผโ„โžŠโทโ——โœบโž‹โชโšโ–ฒโžผ โ‘ง โ„ โžˆ โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โ‰โšร โžฒ โฑโžฃ โžฒ โžต โž‹ ร โ–ผโฃโ– โš โ——โœบโžŠโž”โšโž†โžปโž…โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโทโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšร—โžผ โฃ โšโฑ โžผ โžฒ โฑโžฃ โžฒ โžต โž‹ ร โ–ผโฃโ– โš โ——โœบโžŠโž”โš โžธ โ–ผโ„โžŠโทโ——โœบโž‹โชโš โžˆ โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโš โป โฃ โšโฑร โžฒ โฑโžฃ โžฒ โžต โž‹ ร โ–ผโฃโ– โš โ——โœบโžŠโž”โšโž†โžปโž…โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโทโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšร—โžผ โžฒ โฑโžฃ โžฒ โžต โž‹ ร โ–ผPโ– โš โ——โœปโžŠโž”โš โžธ โ–ผโ…โžŠโฒโ——โŠโž‹โ‰โš โžˆ โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โš โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถ โœˆโฒโžน

Page 180: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ’โœโœโœ“ ๏ฟฝโชโœ“ โœ”โœ—โœ–โœšโœ โœ†โœŸโœžโœกโœžโœ‚โœ โœ โ˜žโœ‚โ˜Žโœ†โœŸโ˜› โœ โ˜žโœ›โœœโœ– โžชโ†รทโ˜Žโœ„โฌโœฎโœด โ‹ โ— โ‘ โฒโ‘ฆโจ โžฒ โฑโžฃ โžฒ โžต โž‹ ร โ–ผPโ– โš โ——โœปโžŠโž”โšร™โžปโž…โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโšโ–ฒโžผ โžฒ โฑโžฃ โžฒ โžต โž‹ ร โ–ผPโ– โš โ——โœบโžŠโž”โš โžธ โ–ผโ…โžŠโฒโ——โœบโž‹โชโš โžˆ โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโšโœผโœพโŠ โœท P โ‹ โœผโโžฅ โ โ™ฆโฆโด โ โ– โœทโ– โœถ โ‹ โœผ โ โ–ฒโโœผโœโœผ โœท โฒโ‘ฆโจ โžฒ โฑโžฃ โžฒ โžต โž‹ ร โ–ผPโ– โš โ——โœบโžŠโž”โš โžธ โ–ผโ…โžŠโฒโ——โŠโž‹โ‰โš โžˆ โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโทโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โš โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถ โœ†โชโžนโœผโœพโŠ โœท โ–ฒโœธโœผโโžฅ โ โ™ฆ โ— โœด โดโณโ—†โžโœผ โ‹ โŠ โโกโœท โœผโ˜žPโˆโ– โฌ โœผqโ™ โš โžถโœ โ—† โ โ– โœทโƒโœถ โ– โฌ โœผ โžšโ‹โžชโฒโžชโทโžถโœ‡โœˆโทโžน โ‘โžโ™ โš โฎ โ โŠโ†โœฒ โ‰โ–ผโ—โญโ– โœถ โœทโœฑโข

โ™โฏโš โฎ โ โ‘งโณโฒโ‘ฆโจ โžฒ โฑโžฃ โžฒโ‰โžต โž‹ ร โ–ผPโ– โš โ——โœบโžŠโž”โšโ™ฆโ–ผPโžปโž…โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโทโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšร—โžผ โžธ โ–ผโ„โžŠโฒโ——โŠโž‹โ‰โš โžˆ โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โ‰โšโ™โšโค โœด โ‹ โ—โฉโŠ โœด โ‹ โ— โœด โดโณโ—†โžโœผ โ‹ โŠ โโกโœท โœผโ˜žPโˆโ–โœŸโŠ โœด PโชโŠโœชโžฅโโœผโœพโŠ โœท โžšโ‹โžชโฒโžชโทโžถ โœ†โฒโžนโœปโžถโœฑโ™ฃโœผ โœท โœนโˆโ‰ โœด โ–โƒrโœพโดโœฏโœผ โœ„โžโžถโœทโžช โ—† โ โœผโœ’โœผ โžช โœˆโœžโœ† โด โœด โ‹ โœท โ–โƒโœผโœกโตโœPโˆโœผ โฌ โœผโœพPโœฎโ‡โ—โœพโœกโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——PโชโŠรกโœพ โœด โ‹ โ— โœท Pโˆโœผโ˜žโ–ฒโซโŠโœ โœŸ โ โ–โ– โตโœPโˆโ‰โ–ผโŠ โฌ โœผโœกโดโ˜›โœกโœพโดโœฏโœผโผโ— โœด โดโณโ—†โžโœผ โ‹ โŠ โโกโœท โœผโ˜žPโˆโ–โœด โ‹ โœท โดโ˜›โœกโ˜žโดโณโœผโœฑโ–ฒ โœดโœโœถ โžถ โค โœด โ‹ โ— โ‘ โžกโœŒโ˜žโœŽโœ โฒโ‘ฆโจ โ™ โšโฑโœ‘โœ โœฟโšโโ™ฅรงโžข โž‚ โžฅ โ โžฝ ร โžกโœŒโ˜žโœŽโœ โฒโœฑโจ โ™ โš โฎ โโฑโœ’โœ โœฟโšโœธโ™ฅโ–ฒโžข โž‚ โžฅ โžฝโœ“ โ–ฒ โŠโ——Pโœ•โœ” โœท โด โ โœถ โ‹ โœท โœผ โ‹ โ โ‹ โœทโœœโฌ โœผ โ–โ– โœผโ˜žโด โ โ–โ– โตโœPโˆโœผโœพโ–โผโตโœPโˆโœผโœ’โ‘โœตโ–ฒโโœผ โ‹ โœด โˆ โ Pโ†โ‰ โœทโ›โ โ‹ โœทโผโœท โ– โœถโซโ โ‹ โœผโœ’Pโˆโ–ฒ โ โœถ โ–โƒโœผโœโ‘โœโœผ โ‹ โ—†โˆโ–โ– โœผ โ‹ โ โ‹ โœท โฒ รโœ—โœ–โœ™โœ˜โœ›โœšโžขโœ‘โœœ โšโœขโœœ โœฟ โ– โš โœด โ‹ โโ™ โšโฑ ร โ™ โšโžพโœขโœฃ โœผ โœท โ–ฒโœธโœผโฉโ–โ– โ‰โœพโŠโƒPโˆโ–ฒ โœทโ›โโกโœท โœผ โ‹ โฌ โ‰โ–ผโ— โœด Pโˆโ–ฒโœธโœผ โžถ โœค

โœฅโœฆโœฅโœฆโœงโœ‘โ˜… โœฉโœซโœชโœญโœฌโœฏโœฎโœฆโœฐโœฑโœฐโœณโœฒโœตโœดโœตโœถโœทโœฎโœนโœธโœบโœดโœตโœปโœผโœชโœฝโœพโœฝโ€โœฟโ‚โโƒโœฟโ„โœฝ โ…โœณโ†โœ‚โ‡โ‰โˆโ‹โŠโœ•โˆโ„โ†โœ‚โ—โ– โโ‘โโ–ผโ–ฒโ–โ—†Pโ†โœ‚โ——โ‘โ˜โ‹โ™โœบโšโฑโฏโฒ โœทโ– โ โ‹ โœทโฉโฌโœฎโœด โ‹โชโ‹ โ‰โ‘ฆP โ‹โœฅโ‹ โœด โˆ โ P ร โ‘ โœด โ‹ โœดโ˜Žโณ โŠโ——โœผโœพโ– โœ‰ โœผโฉโ–ฒโœธโœผโ–ผโŠ โœท โ– โ โœดโœฌโœผโ–ผโ— โœทโ– โœดโœ’โœถ โ–โƒโœผโ–ผโŠ โฌ โœฒ P โ‹ โ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——Pโ˜โŠ โฌ โœผโฉโœพ โœดโœ’โœถ โŠโ– โŠ โœด โ‹ โ€ โœถ โ–ฒ โœท โ–โƒโ‰qโ—†โ˜โœผโœพโ–โ——โ™ฆโœท Pโˆโ– โณ โ‰โœฑโ—† โ โ–โœœP โ‹ โœผ โฌ โ‰โ˜žโ– โœถโœธโœ‰ โœผ โ–ฒ โœถ โ‹ โ‰ โโœ’โœถ โ–โ– โœผ โ‹ โ‰โผโœผ โ โœทโƒโœถโโœ‰ โœผ โข

โž˜โฉโจโžพ ร โžโœƒ โฐโžพ โžผโญโฌโ™ฃโ–โ โœ‰ โœผโ–ผโ— โฌโซโชโตโดโžโžถ โœฑ โœผโผโ—†โชโ– โœดโ˜Žโณ โ–ฒโœธrโœพโดโณโœผโœคโ—† โœด โŠโƒโ‰โผโœผโ–ผโŠ โœท โ— โœด โดโœฏโดโณโœผ โ‹ โœท โœผโœพโŠ โœทโƒโœถ โดโณโœผโ˜žโ– โฌโœ‚โ›โโœ โœผโžโœผโœโœผ โ‹ โ–โ– โœผ โฌ โœผโผโ—†โˆโ– โœดโžโณ โ–ฒโœธrโœพโดโœฏโœผ โโœšโฌ โ‰โ‹โœดโ™โ‚โœโ‰ โœท โ‰ โณ โœผ โ Pโ˜โ— โœด Pโชโ—†โ‰ โœท P โฌโœฎโœถ โ‰ โฌโˆโ โ‹ โŠโœŸโ–ฒโโœผ โ— โ โŠ โœดโ˜Žโก โ–ฒโœธโœผ โ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——Pโ˜โŠโœšโŠ โœด PโชโŠโ——โ™ฆโœทโœด โ โ—โญโœผ โ‹ โœท โœผโ–ผโŠ โœทโœนโข โ– โœดโคโฃ โ‹ โœถ โœผ โ‹ โœผ โœท โตโœP โ โ‹ โฌ โ–ฒโœธโœผ โ‹ โœด โˆ โ PโœฅโœผโœพโŠ โœท รโฅโœโงโฆโœทโ™  โฌ โ‰โ˜žโ… โ‹ โœถโ—† โ โ– โœˆโœฝโžถ โ‘ฃ โ—† โ โœผโœ’โœผ โœ†โœฝโžชโฒโžถ โค โ โ‹ โŠโœŽโ—โญโœผโœฑโ— โ โŠ โžโœƒโนโฐ โœผโ–ผโŠ โœท P โ‹ โด โœด P โœ‰ โœผโ˜žโดโณโœผ โ‹ โœทโโข โ– โœดโคโฃ โ‹ โœถ โœผ โ‹ โœถ โ– โ โ— โœทโƒโœถโโœด โ‹โˆโ‹ โโœ’โœถ โ–โ– โœผ โ‘ข โ‘ โœตโ‘ฃ โ‘ รธโก๏ฟฝ โ‘ รธโคโœ„ โ‘คร™โžถโœพ โœด Pโˆโ–โœคโ—โ˜žโœผโœชโœถ โ โœถ โ–โƒโœผโœโ‘ โ‹ โœด Pโ˜โŠ โ โ–ฒโโ–ฒ โœด โ‹ โŠโœกโŠโƒPโˆโ—†โˆโ—† โœด โŠโƒโœผโ˜žโ–โœกโตโœPโˆโœผ โžˆ โœผ โœท ร โŠ โœด โ‹ โœท โœท โœผโ˜žโ–ฒโซโŠโœคโตโœPรกโœฒ โœถ โ–ฒโˆโœผโญโ‡ โœถ โŠ โœท โœผโœŸP โ‹ โœผโœŽโœผ โœท P โ‹ โœผโœšโŠโƒโœผโ˜žPโชโ–ฒโœธโœผโœชโœถ โœด โ‹ โ— โœทโ– โœถโœธโœด โ‹โ™ฅ โœท โœผโ˜žโ–ฒโโ–ฒโœธโœผโ‘ฆโตโœPโˆโœผ โข โžฒ โžพ

โžฃ โžฒ โžต โž‹ ร โ–ผPโ–โ˜โ——โœปโžŠโœˆโš โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โžˆ โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โš ร โ–โœ โ–ฒ โœด โ–โ›โŠโ˜žโ‘โœฎโ—† โ โ–โœŽโ–ฒโœธโœผ โœท โœนโˆโ‰ โœด โ–โƒrโœพโดโœฏโœผ โžชโฒโžชโทโžถโžƒโžช โ‘ โœถ โ–ฒโ™ฃโŠโ——Pโœ•โœ” โœทโœšโฌ โœฒ โœถ โ‹ โœท โ– โœดโœฎโฌ P โœถ โ–โ– โœผโฉโ–ฒ โ โœถ โœด โ‹ โ— โœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โฌ โœผ โœ‰ โ– โ โœถ โŠโ——โœผโœพโด โณ โ–ฒ โ โ‹ โ—โญโœผ โขโžจ โจโžพ ร โž‰ โžฅ โจโž‰ โžฅโœ†โžฉโžฉโžฉโžฉ โ™ฆโ˜Žโ™ฃ

ร โžญโœธโžฏ โ‘ฅ โžฒ โžณโžฃ โžฒ โžต โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™ฆโ–ผPโžปโžโžผ โžˆ โšโผโ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโš โท โžพq โ‹ โœผsrโžโœผ โœท โ‘โโ–ฒโœธโœผโ–ผโŠโ†โ—†โˆโ– โœด โ—โญโœผโœพโŠโ– โŠโƒPโชโŠ โž˜ โจ โŠ โœด PโชโŠโฏโžฅโœซโœผ โœท โžโœƒโนโฐโœชโฎ โจ โŠ โœด PโชโŠโžบโžฅ โจ โœด โ‹ โœท โ–ฒ โ โดโ˜›โœกโ˜žโดโณโœผ โ–ฒ โœดโœ’โœถ โœผ โœท โ—† โ โ– โ— โœด โ‹ โŠโƒโ‰โœพโตโœPโˆโœผ โ‹ โœท โ‘โœคP โ‹โœผโœพโŠ โœทโƒโœถ โด โโกโœท โœผโœพPโˆโ– โฌ โœผ โฌ โœผโœพโŠ โœทโœšโฌโœฎโœด โ‹โชโ‹ โ‰โฉโ—† โ โ– โข t

โฌ โžพ ร โฝ โฒโœˆโœ‰โ‰โœ‡โœญโ‘ โœ›โ‘กโจsโ‘ขโœ•โ‘ฃ โžฃ โฎ โžขโ‘ฅโ‘ค โžจ โจโžพ

Page 181: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžชโž”รธโœ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ’โœโœ’โœ“โœ•โœ”โœ—โœ–โœ˜โ˜›โ˜Žโœ„โœšโœ™โœโœ›โœœโœŒโœŽโœขโœคโœฃโœฅโœโœงโœฆโœโœโ˜…โ˜›โœŸโœฉโ˜Žโœžโœคโœโœซโœชโœœโœ โœฌโœŒโœšโœญโœฎโœ†โœšโœ–โœฏโœ›โœฑโœฐโœฝโœพโœฝโ€โœฟโ‚โโƒโœฟโ‚โ โœ‚โ˜Žโœ„โโˆโ„โ‡โ˜ŽโŠโœ•โฏโœŽโ—โœโœ† โฏ โฏ โŠโตโโ‘โ—โ–โˆโœžโœ† โˆโ‘ฅโŠโœ โœŸ โโ–โฏ โ˜โ˜›โœกโœขโฏโœŽโ‡โ˜ŽโŠPโˆโ„โšโœŒโ˜ž โŠโœ•โฏโœŽโโโ—†

โœŸ โ โ–ฒโžƒโœนโˆโœผโ˜žPโชโ–โƒโœผโœพPโชโŠโ——โœผโœพโดโณโœผ โ‹ โœท โ‘โœโ–ฒโ…โœฒ โœผโญโ‡โœฎโ—†โˆโ–โ– โœผโœพโŠโ– โŠ โœถโโœด โ‹ โœผโ˜žโ‡ โ โ— โœท โœผ โฌ โœผโœโ–ฒโ…โœฒ โœผโญโ‡โœฎโ—† โœด โ‹ โœผ โ‹ โœทโ– โœถ โœผโœพโ–ฒโœธโ–ฒโโœผ โฌ โœผ โค โœด โ–ฒโœธโ‰ โ โ‹ โŠโœคโœผโœพโŠ โœทโœคโœท โœผโ˜žโ–ฒโโ–ฒโœธโœผโœพโดโœฏโœผ โ‹ โœท โ—†โžโœผโ˜žPโ†โด โ โ‹ โœถ โ™ฆโ—†โˆPโˆโ–ฒ โโœžโณ โ–ฒโโœผ โฌโˆโ โ‹ โŠโœœโ–ฒโœธโœผโ‘ฆโ— โ โŠ โฌ โœฒ P โ‹ โ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——Pโ˜โŠ โ โœ‰ โœผโœพโ— โŠ โ P โœท โŠโœŽโตโœPโˆโœผ โ‹ โœด PโชโŠโœŽโŠ โœด โดโณโดโณโœผโœพโŠโœŽโ— โœด โ‹ โœท โ– โ โœถ โ‹ โœทโœœโฌ โœผ โœท โ– โœด P โœ‰ โœผโœพโ–โœœP โ‹ โœผ โ P โœท โ–โ– โœผโœผโญโ‡โœฎโ—†โˆโ–โ– โœผโœพโŠโ– โŠ โœถโโœด โ‹ โฌ โœผโž™โžจ โจ โ—† โœด Pโˆโ–โœŽโ—†โˆโ– โœด P โœ‰ โœผโ˜žโ–โโ–ฒโ„โœฒ โœผโ˜žโ‡ โœถ โŠ โœท โœผ โ‹ โ—โญโœผโฉโœผ โœท โ–ฒโ„โœฒ P โ‹ โœถ โ— โœถ โœท โ‰ โฌ โœผ tโฌ โžพ โžถ โœ โœฒ โœผโœพโŠ โœท โ–ฒโ…โœฒ โœดโžโณ โœดโœฌโœผโ–ผโ— โœทโ– โœถ โœถ โฌ P โ–ฒโœธโœผโœพโดโœฏโดโณโœผโœฑโŠโƒP โœถโœธโœ‰โกโ โ‹ โœทโœฑโขโœ โโ‰โœโžโœโžโโฟโกโดโกโœ โขโฃโกโœโœŽ โฆ โ™ฅ โžŸโƒโžก โžข โ–ผ โžˆ โš rโ™ฆโ‘ฃโž›โฅโ˜โฆโœงโ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโผโป โ™ฅ โš โžŸโœŒโžก โžข โ–ผ โžˆ โš โ‘ขโ›qโœทโคโ™ฃโ™ฅโœปโฅโœ’โœ‘โœ“ โžญโœธโžฏ โ‘ฅ โžฒโœญโžณโžฃ โžฒโ‰โžต โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโž”โšโ™ฆโ–ผโ‘กโžปโžโžผ โžˆ โšโผโ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโทโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โš โท โžพ โ‘ง โดโœ•โœ” โ–โœ–โœ” โ‚โœ˜โœ— รโœšโœ™โœœโœ› โ‘ก โœš โ–ผโœฃโœข โจโžพ โš โ‘ง โดโœคโœ” โ–โœ–โœ” โ‚โœ’โœฅโ‘ขโ›โ‘ โ›rโœปโœ‰โœชsโžโคโ›โœ‡โœตโ™ฅโโ‘ฃโž†โคโ›โœ‡โœตโ‘ฃ โดโœ’โœ” โ–โœฆโœ” โ‚ โœ‘โœข โจโžพ ร โžฒ โžพโžฃ โžฒ โžต โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโž†โžปโž…โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโšโ‘ฆโžผ โžฒ โžพโžฃ โžฒ โžต โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโž”โš โžˆ โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โ‰โšโžฌโžŽโ™ โผโž„โฏโคโ›โœโœฝโฅโ˜โ‘ฃโ„โ™ฅโŠโ‘ขโ›โ‘ฃโ„โฆโฃโคโ›โœโœฅโงโ›โœ‡ร’qโœทrโผโž„โžŽโž„โฏrโœ•โœ‘

โœ โœฒ โœผโ–ผโŠ โœท P โ‹ โœผ โ โ—†โˆโ—†โˆโ–ฒ โœถ โ— โโกโœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โฌ โœผโผโ–ฒ โ โœถ โœด โ–โƒโด Pโˆโ–ฒโโœผ โฌ โœผ โœ“ โœทโœžโœง โ—† โœด Pโชโ–โœ—โ–ฒ โ โœถ โœด โ‹ โ— โœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โ‘ก โจ โœ› โ‘ก โœš โ–ผ โ‘ก โš โ–โ– โœผโ˜žโ–ฒ โโกโœทโƒโœถโโœ‰ โœผโœพโดโณโœผ โ‹ โœทโœ—โ Pqโ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——PโชโŠโฌ โœผโœฑโŠ โ P โœท โœข โจ โžถ โž„ โ‹ โœดโžโณโœฎโœทโ– โœถ โœผ โ‹ โœท โ—† โœด Pโˆโ– โœทโƒโœด P โœท โ– โžŸโฅโ€ โดโžโ——โ——โ‚โœŽโ„ โขโœ› โ‘ก โœš โ–ผโœฃโœข โจโžพ โšร—โžผ โ‘ง ร โžฒ โžพโžฃ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโ˜…โœข โจโ†” โ‘จ โšโ‹โž‰โœฉโœข โจโ†” โปโœซโœช โ†” โœœ โžพ โ€ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโœฃโœข โจโ†” โšร—โžผ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโ˜…โœข โจโ†” โ‘จ โšโ–ฒโžผ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโ˜…โœข โจโ†” โ‘จ โšโผโ–ผโœฃโœข โจโ†” โžผโœฌโœข โจโ†” โ‘จ โšโ™ โ„ร โžฒ โžพโžฃ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโ˜…โœขโœผโจโ†” โ‘จ โšโ‹โž‰โœฉโœข โจโ†” โป โžฒโžพโžฃ โžฒ โžต โ€ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโ˜…โœข โจโ†” โ‘จ โป โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโŠโš โžผ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโœฃโœขโœผโจโ†” โ‘จ โš

โžผ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโœฃโœข โจโ†” โ‘จ โšโ™ฆโ–ผ โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโŠโšโœชโžปโž…โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โ‰โšโ™ โ„ร โžฒ โžพโžฃ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโ˜…โœขโœผโจโ†” โ‘จ โšโ‹โž‰โœฉโœข โจโ†” โป โžฒโžพโžฃ โžฒ โžต โ€ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโ˜…โœข โจโ†” โ‘จ โป โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโŠโš

โžผ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโœฃโœข โจโ†”โ– โ‘จ โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโœœโป โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโœคโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโž”โšโ™โšโ™โšโ‡โžปโž…โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโš โ„โœŸ โ โœถ โŠ โœด โ‹ โ โข โž‰โœฉโœข โจโ†” ร โžฒ โžต โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโž†โžปโž…โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโทโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšโ—†โžผ โžฒ โžต โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โžˆ โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโšโฌโœฎโœด โ‹ โ— โขโœ› โ‘ก โœš โ–ผโœฃโœข โจโžพ โšร—โžผ โ‘ง ร โžฒ โžพโžฃ โžฒ โžต โœ› โ‘ก โœš โ–ผโ˜…โœข โจโ†”โ›โ‘จ โš โ€ โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโž†โžปโž…โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโšโ—†โžผ โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โžˆ โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโš โ„

โป โžฒโžพโžฃ โžฒโœฝโžต โ€ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโœฃโœข โจโ†” โ‘จ โป โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโŠโš

โžผ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโœฃโœข โจโ†”โ– โ‘จ โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโœœโป โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโœคโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโž”โšโ™โšโ™โš โ„รงโžปโž…โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšร โžฒ โžพโžฃ โžฒโ‰โžต โœ› โ‘ก โœš โ–ผโ˜…โœข โจโ†” โ‘จ โš โ€ โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโ—†โžผ โ–ผ โ‘งโผโป โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโŠโšโป โœ› โ‘ก โœš โ–ผ โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโž”โšโ™โšโ™โš โ„รงโžปโž…โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšโžผ โžฒ โžพโžฃ โžฒ โžต โœ› โ‘ก โœš โ–ผโœฃโœข โจโ†” โ‘จ โšโ‘ฅโฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโž”โš โžˆ โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โ‰โšร โžฒ โžพโžฃ โžฒ โžต โœ› โ‘ก โœš โ–ผโ˜…โœข โจโ†”โ›โ‘จ โšโ‹โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšร™โžปโž…โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšโ—†โžผ โžฒ

โžพโžฃ โžฒ โžต โœ› โ‘ก โœš โ–ผโœฃโœข โจโ†”โ– โ‘จ โšโ‘ฅโฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โžˆ โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโšร โžฒ โžพโžฃ โžฒ โžต โœ› โ‘ก โœš โ–ผโ˜…โœข โจโ†” โ‘จ โšโ‹โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™ฆโ–ผPโžปโžโžผ โžˆ โšโ™ฆโ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโš

Page 182: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ’โœโœโœ“ ๏ฟฝโชโœ“ โœ”โœ—โœ–โœšโœ โœ†โœŸโœžโœกโœžโœ‚โœ โœ โ˜žโœ‚โ˜Žโœ†โœŸโ˜› โœ โ˜žโœ›โœœโœ– โžชโž”รธโœตโžชโค โœด โ‹ โ— โ‘โœโ–ฒโœธโœผโœšโ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——PโชโŠ โœ› โ‘ก โœš โ–ผโœฃโœข โจ โš โœผโœพโŠ โœท โŠ โœด โ–ฒโœธP โœทโƒโœถโโœด โ‹ โฌ โœผโœŸโ–ฒโ„โœฒ โ‰โ–ผโตโœP โโกโœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โฌโˆโœถ r โ‰โ˜žโ–โ– โœผ โ‹ โœทโƒโœถ โœผโ˜žโ–ฒโโ–ฒโโœผโœšโŠ โœทโ– โœด โ—โœปโœน โ โŠ โœทโƒโœถ โตโœPโˆโœผ โฌ โ‰โญโ… โ‹ โœถ โŠโ– โŠ โ โ‹ โœท โ–ฒโ…โœฒ โœผโญโ‡โœตโ™ฆโ—† โœด โ‹ โœผ โ‹ โœทโ– โœถ โœผโœพโ–ฒโœธโ–ฒโโœผ โฌ โœผโ‘ฆโค โœด โ–ฒโœธโ‰ โ โ‹ โŠ โžถ โœพ โ โ–โœŽโ–ฒโ„โœฒ P โ‹ โœถ โ— โœถ โœท โ‰ โฌ โœผโœฑโ–ฒ โ โŠ โœด โ–ฒโP โœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โ‘โœฎโ–ฒโœธโœผโฉโ–โ– โ‰โœพโŠโƒPโˆโ–ฒ โœทโ– โโกโœท โœผโ–ผโŠ โœทโœŽโœดโ˜Žโณโœฎโœท โœผ โ‹ P โžถ โœคโœฑโ™ฃโœผโœฑโ–โ– โ‰โœพโŠโƒPโˆโ–ฒ โœทโ›โโกโœท โŠโ†โœฒ โ‰ โ‹ โœด โ‹ โ—โ˜žโœผ โ โœถ โ‹ โŠ โœถ โข

๏ฟฝ โซโ›โญโœ‚โœโž›โญโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœ โœ†โ…โญโ˜›โœกโœ”โกโœ โกโดโขโ…โก โžค โœร’โฅโ˜โœ‡โœˆsโทsโžโคโž”โฅโผrโž™qโœทrโ™ฆโฅโ—โž„โฏโ‘ขโ›โ™ฅโœบโž€โ™ฆโœ‡โžrโ™ฆโฅโž™โงโ›โœ‡โ†•sโœ โ™ฅโœบโคโ†โœ‰โœปrโ™ฆโฅโœบโฅโ˜โœ‡โ‰โฅโœฟโฅโผโคโ›โœ‡โ‰โฅโœŒโ˜žโผโ‘ขโทโœ‰โœปrโผโœโžโ‘ฃ sโœฝโคโ›โฅโœปโฆโ‘กโ‘ฃโ„โฆโ‘กโ‘ โ›rโ˜โฅโžŽโคโ™ฃโœ‡โƒโœโดโœ‡โœตqโ‘กqโœทrโ™ฆโฅโœŽโœโœŽ โฆ โ™ฅ โžŸโ– โžก โžข โ–ผ โžˆ โš rโ™ฆโ‘ฃโ–ฒโฅโ˜โฆโœณโ˜Ž โœน โ–ผ โ‘ง โป โ™ฅ โš โžŸโ– โžก โžข โ–ผ โžˆ โš โ‘ขโ›qโœทโคโ™ฃโ™ฅโœปโฅโž…โฆโ‘กqโœ rโœบโžทโฒโฆโปโฅโœปโ‘ฃโž†rโžฎโœ‡โœตโœโƒrโ™ฆโฅโ˜โ‘ฃโ…โฆโ‘กโž„โฏโ‘ขโ›โ‘ฃโž†rโ™ฆโœ‡โœตโ™ฅโž…โงโ™ฃโœ‡โžบโž„โฏโ‘ขโผโžทโฒโฆโ‘กโž„โžŽโœ‡โœตโž„ โงโทrโžฎโ‘ โœˆโ™ฅโŠโ‘ขโ›โฆโปโฅโผrโผโž„โž“โž‡โผqโœทโ‘ขโ™ฃโœโœ โœ‰โœปrtโฌ โžพ sโžโคโ›โœ‡โœตโ™ฅโ—โ‘ฃโž†โคโ›โœ‡โœตโ‘ฃ โ– โžŸโฅโ€ โดโžโ——โ——โ‚โœŽโ„ rโ™ฆโ‘ฃโžโฆโ‘กqรงrโ™ฆโฅโœปโ‘ฃtโœ‡โœตโœโžโฆโฃโž€โผโœ‡โžrโœโœโžฌโžŽโ™ โผโž„โฏโคโ›โœโœฝโฅโ˜โ‘ฃโ„โ™ฅโŠโ‘ขโ›โ‘ฃโ„โฆโฃโคโ›โœ โœ‘โœ โ– โ…โˆโ‡โœฎโ‰โœโ‘โˆโ–ฒ โ โœถ โœด โ‹ โ— โœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โฌ โœผ โœ‰ โ– โ โœถ โŠโ——โœผโœพโด โณ โ–ฒ โ โ‹ โ—โญโœผ โโกโœทโ——โœท โœผ โœถ โ‹ โœท โŠ โœด โ‹ โด โ โ‡ โœถ โดqPโˆโด โตโœP โ โ‹ โฌ โ–ฒ โ โœถ โœด โ‹ โ— โœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โข

โœ โ‘ง โฌ โจ โžฒ โžพโžฃ โžฒ โžต โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโž†โžปโž…โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โชโšโ—†โžผ โžฒ โžพโžฃ โžฒ โžต โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โžˆ โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšโโกโœทโƒโœท โœผ โœถ โ‹ โœท โŠ โœด โ‹ โด โ โ‡ โœถ โดqPโˆโด โžถโœŸ โ โœถ โŠ โœด โ‹ โ–โ– โœผโ˜žโด โ โ–โ›โตโœPโˆโœผ โตโœPโˆโœผ โขโœโœ’โœ‘ โ–ผ โฌโฒโš ร โžฒ โžพโžฃ โžฒ โžต โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโš

โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โžปโž…โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โšโžโžผ โžฒโžพโžฃ โžฒ โžต โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โžˆ โ–ผโฃโž‰โ‰โžŠโทโ——โœบโž‰โฒโž‹โ‰โš

โœโœ’โœ‘ โœ‘ โ–ผ โฌโฒโš ร โžฒ โžพโžฃ โžฒ โžต โžผ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโž”โšโœ”โœ“โ€ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โ„ โœ“ โžปโž…โ–ผโ…โž‰โชโžŠโฒโ——โŠโž‰โชโž‹โ‰โšโœฑ โ โœถ โœด โ‹ โ— โœทโƒโœถโโœด โ‹ โœ โœผโ–ผโŠ โœทโœšโฌโˆโœด โ‹ โ—โฉโ— โœด โ‹ โ— โ โœ‰ โœผ โŠโƒPโˆโ–โ‘ฆโ€ โดโœฝโ—— โ‘ง โ„ โœผ โœทโœšโฌโˆโœด

โ‹ โ—โœ’โ‘โœฎโœผโ˜žโ–ฒโโ–ฒโœธโœผ โโœ’โฌ โดโœฏโœผ โœท P โ‹ P โ‹ โœถ โตโœPโˆโœผโœฑโด โ โ‡ โœถ โด Pโˆโด โžถ โœคโœ• โโ‰โœโœ—โœ–โœตโซโœ™โœ˜โœ›โœšโ–ฒโโœฅโกโดโกโœ โขโฃโก โœฒ rโžฎโธtโ™ฅโŠโคโœˆโœ‰โœบrโ™ฆโฅโœปโฅโ˜โœ‡โ‰โฅโœฟโงโทrโž…โธโบโคโ›โฆโปโฅโœปโฅโผโคโ›โœโž™โžžโœปโ™ฅโŠโ‘ขโฒโœ‰โ™ฆโ‘ฃโ„โฆโฃโคโ›โœโดโœโœ โ‘ขโ™ฃโฆโ‘กโ™ฅโŠrโž™โ‘ขโฏโ™ โผโ‘ฃร™โ™ โโงโฒโ™ โœขโœœโž›โœโžโฆโž’โ‘ขโ›โœ‡โฉsโœฝโ‘ขโ™ฃโ™ฅโŠโ‘ขโœคโœฃโทโ™ฅโŠโ‘ขโœบsโœ‚โœฅโœฝrโœงโœฆโœฉโ˜…โœชโœโœซโœฆโœฉโœโœซโœฆโœฟsโžโ‘ขโœคโœฃโชrโœฆโœŽโœฌโ˜Žโœญโœฉโœรกโžฌโ†•โ‘ขโ›โœโžโฅโโœ‰โœปrโ†•โœ‰โœบโ‘ขโ›โฅ โžŒ โคโ›โœโฟโฅโ™ฆโ‘ขโ™ฃโฆโ‘กโ‘ฃโœชโž€โผโœ‡โœณโžด rโผโœโž‘โœ‰โœปโคโ›โœโœฝโฅโ˜โฆโฃโงโฒโ™ โ™ฆโ™ฅโŠโ‘ขโ™ฃโœโžโ‘ฃโ‡โž€โ™ฆโœ‡โžrโž™qโœทrโ†•โž‡โœปโคโ›โœโœฅโœ‰โœปโ‘ขโ™ฃโœโœ โงโ›โฆโฃโงโฒโ‘ขโ›โ‘ฃรงsโžโคโ›โœ‡โœตโ™ฅโqโœทโ‘ขโž…โžžโ™ฆโคโ›โœโœ โœ‰โผโ‘ฃโ„โฆโฃโคโ›โœ โ™ฅ rโ™ฆโฅโ˜โ‘ฃโœฆโœ‘

โžŠ โจ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš ร โœฎ โ–ผโœคโœฏโœ“ โžผโœฑโœฐโฟโšโœฎ โ–ผโœณโœฒโœฟโžผโœดโœฒโœตโœฐโฟโš โžŠโœ›โœถโœทโœตโœธ โฆโœน โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถ โ‘ โ‰โžน

โœบ โ‘ โž”โคโ™ฃโฆโ‘กโ™ฅโโžฌโ†•rโœปโœ‰โ™ฆโ™ฅโœบrโ™ฆโœ‡โ‰โฅโผrโ…โžžโ™ฆโคโ›โœโœ โงโœผโœปรงโฅโ˜โ‘ฃโœณโœฝโœตโœโžrโ™ฆqโœ’โœพโœซโœฌโ˜›โœญโ€โœฟโ‚โโœฉโœโ˜Žโœฒรงrโž“โ‘ฃโœŸโœฅโœฝโ™ โœปโคโ›โ™ฅโ„โƒโ™ฆโž„โฏrโ†•โฅโœฝโžด โ‘ขโœบsโฒsโœ qโžœโฆโฃโž€โผโœ‡โžrโ˜›โฅโœปโฆ โ™ฅ โžŸ โžก โžข โ–ผ โžˆ โš โœ‰โœปrโžบโž€โผโœ‡โœตโฆโ‡rโ˜โฅโ˜โ‘ฃโบโ‘ โœˆโ™ฅโŠโ‘ขโ›โฆโ‡โงโœฉโƒโ™ฆโฅโžบโž€โ™ฆโœ‡โžrโžขโœ“โ†โ… โœฐ โ… โ‘ง โงโทrโ‡sโœ q โœ‡โ‰โฅ โžŒ โฅโ˜โฆโœณโœ‰โœปrโ™ฆโ‘ฃโ„โ‘ฃโž†rโž™โœ‰โœปโคโ›โœโžโงโ›โฆโ‘กโ‘ฃโ„โฆโฃโคโ›โœโœฅrโ™ฆโฅโ˜โ‘ฃโžโ‘ โœˆโ™ฅโŠโ‘ขโ™ฃโฆโฃrโžŽโ‘ขโ™ฃqโœทโคโ›โ™ฅโœปโฅ โ˜Ž โœน โ–ผ โ‘งโœคโป โ™ฅ โš โžŸโƒโžก โžข โ–ผ โžˆ โš โœ โœฒ rโฉโ‘ฃโœซโœฅโžโ™ โœปโคโ›โ™ฅโ€โƒโผโž„โž“rโฉโฅโœฝโžด โ‘ขโœบsโฒsโœ qโžœโฆโฃโž€โผโœ‡โžrโงโทโคโ™ฃโœโœ โœ‰โ‡sโœฝโคโ™ฃโœ‡โœตโ™ฅโโ‘ฃร™โคโ™ฃโœ‡โœตโ‘ฃร™rโ™ฆโฅโœฟqโžƒrโ˜โฅโโ‘ โ›โ‘ขโ›qโœทrโผโœ‡โœตโ™ฅโœปโฅโž™โงโทr โœฐ sโœฝโคโ›โฅโœปโฅโœปโฆโฃโž‡โผqโœทrโ™ฆโฅโœคโœโœฝโœพโœฝโ€โœฟโ‚โโƒโœฟโœณโ‡ โˆ โ†โœ‚โ—โ–โ‡โ‰โˆโ„โ‡โ˜ŽโŠโœ โ˜žโ€โ— โœ† โฏ โโโฏ โ˜ โœก โฏโœŽโ‡โ˜ŽโŠโœ•โˆ โšโœŒโ˜žโœบโŠโœ•โฏโœŽโโ–โ—†

โ‰ โœด Pโ˜โŠ โ โ–ฒโโ–ฒ โœด โ‹ โŠโœฑโด โ โœถ โ‹ โœท โœผ โ‹ โ โ‹ โœท โด โœด โ‹ โœท โ–โ– โœผโ˜žโ–โ‘ฆโตโœPโˆโœผโœโ‘โ™ฃโ—† โœด Pโˆโ– โฌ โช โด โ‘ tโฌ โžพ โœผโœพโŠ โœท โœถ โœด โ– โœท โœผโœพโดโœฏโœผ โ‹ โœท โ— โœด โ‹ โŠ โœถ โŠ โœท โœผ โ‹ โœท โ—โ™ฃโœฒ โœผโœพโŠ โœท โ‚ โฌโœฎโœถ โ–โƒโœผโตโœPโˆโœผ tโฌ โžพ โ— โœด โ‹ โœ‰ โœผโ˜žโ–โœบโœผโœ’โœผโœœโ—†โˆโ–โ– โœผโœพโŠโ– โตโœPโชโœผโœšโŠโ‹โŠโชโ–โƒโœผโœพโดโœฏโœผ โ‹ โœทโœคโœ‰ โœผโœพโ–โ– โŠ โฌโžโžถ โœ“ โ–ฒโžโœผโœพโŠ โœท โ‚ โ‹ โœด โœท โœผโœพโ–โผโตโœPโˆโœผโœŸโ–ฒโ„โœฒ โœด โ‹โ†โ‹ โœผโœโ— โœด โ‹ โŠ โœถโซโฌ rโ˜žโ–โ– โœผโœšโตโœPโˆโœผโœŸโ–ฒโโœผโœโ— โ โŠ โฌ โช โด โœผ โ‹โœผโœตr โœผ โœท โ‘โชโŠ โœถ โฌ โ… โด โ‘โˆโ–ฒ โ โตโœP โ โ‹ โœทโƒโœถโœธโœท โ‰ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โ—†โžโœผโ˜žP โœท โŠโ†โœฒ โ โ‹โˆโ‹ Pโˆโ–ฒโโœผโ˜žโ–โœŸโ—โ˜žโœผโฉโตโœP โœถ โ‹ P โœถ โœท โ‚โœฏโ–ฒโ„โœฒ โœถ โ‹ โœท โ‰โผโœผโœโ– โโžโณโˆโœถ โ–ฒ โœถโœธโœท โ‰ โฌ P โ–ฒ โœด โœผ โ โ– โœถโœธโœท โœนโชโดโœฏโœผ โžถโœ โโ‰โœโžโœโžโโฟโกโดโกโœ โขโโ— โœฒรงrโ–ฒsโžโ™ฅโŠโคโ†โœ‰โœปrโ™ฆโฅโœปโฅโœปโœ‡โ‰โฅ tโฌ โžพ โ‘ง โ– โžŸโฅโ€ โดโœฝโ——โƒโ‚โœŽโ„ rโ™ฆโฅโœปโ‘ฃร—โงโทโ™ โœปโœ‰โผโ™ฅโŠโคโ›โฆโปโฅโœปโฅโผโ‘ขโ›โœโดโ‘ฃ โฅโ˜โœ‡โœตโ™ฅโบโœ‰โ„โœฅโžโ‘ขโทโœ‰โผโœ‡โœตโœโ– โงโทrโ™ฆโฅโ‡โฆโ‘กโœโžโ‘ฃโž†rโ™ฆโ™ฅโ˜โ‘ โ›โ‘ขโ›qโ‘กqโžƒrโ˜โฅโœŸโ€ โ‚ โœฟ โ——โชโ‚ โœฟโœฉโ–  โžข โ€โโœโžฌโžŽโ™ โผโž„โฏโคโ›โœโœฝโฅโ˜โ‘ฃโ„โ™ฅโŠโ‘ขโ›โ‘ฃโ„โฆโฃโคโ›โœ โœ‘

โœ โœด โ‹ โŠ โœถโซโฌ โ‰โ˜žโ– โœด โ‹ โŠ โ โ–ผ โ‘ก โ——โ‹โ‘โœฝโš ร โ‘กโ‘งโผโป โ‘ก โ‘

Page 183: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžชโž”รธโœ’โœˆ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ’โœโœ’โœ“โœ•โœ”โœ—โœ–โœ˜โ˜›โ˜Žโœ„โœšโœ™โœโœ›โœœโœŒโœŽโœขโœคโœฃโœฅโœโœงโœฆโœโœโ˜…โ˜›โœŸโœฉโ˜Žโœžโœคโœโœซโœชโœœโœ โœฌโœŒโœšโœญโœฎโœ†โœšโœ–โœฏโœ›โœฑโœฐโœ“ โ–ฒโœ—โœผโ–ผโŠ โœท โ—โญโ–ฒ โ โœถ โ–โœโตโœPโˆโœผโ‘ฆโ—† โœด Pโชโ– โœทโ– โœด P โœท โ‘ก โช โดโœฝโ—— โ–ฒโ…โœฒ โ โ—†โชโ—†โˆโ–ฒ โœถ โ— โ โœทโƒโœถโโœด โ‹ โ—† โ โ– โœทโ– โœถ โœผโœพโ–ฒโœธโ–ฒโโœผ โ–ผโœขโ‘โœ๏ฟฝโจ โ โ–ผ โ‘ก โ——โ‹โ‘โœฝโšโŠโš โœผโ–ผโŠ โœทโฉโฌ โ‰โœพโ—โ˜žโ– โœดโœโœถ โŠโ– โŠ โ โ‹ โœท โœผ โžถ โคโž™โœฒ โ P โœท โ–โƒโœผโ—† โ โ– โœท โ‘ โœด โ‹ โŠ โ โœถโœธโœท โตโœPโˆโœผ tโฌ โžพ โœผโœพโŠ โœท โŠ โœด โ–ฒโœธP โœทโƒโœถโโœด โ‹ โฌ โœผโœฑโ–ฒโ…โœฒ โ‰โœพโตโœP โ โœทโƒโœถโโœด โ‹ โข

โœชโœ‚โ˜Žโœ„ โœœ โžพ โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผ โ‚โœโœ†โž”โšโ˜โ——tโฌ โžพ โš ร โžฒ โžพ

โžฃ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโœตโž‰โ‰โžŠโœโœฝ โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถ โ‘ฃโฒโžนโœพ โœด Pโˆโ– โœทโƒโœด P โœท โ– โžŸโนโ€ โ‚ โœฟ โ——โ——โ‚ โœฟโœตโ–  โžข โ€ โ—— โ–ฒโœธโœผ โ‹ โœด โด โณ โ–โ– โœผ โฌ โœผ โœท โœผโ˜žโ–โ– โดโณโœผโœพโŠ โฌ Pโฅโดโณโœผโ˜žโด โณ โ–โ– โœผ โฌ โœผโฏโœผ โ Pโ˜โ—โœปโœนโˆโœผ โฌ โœผโœฏโ–ฒโ„โœฒ โ‰โœพโตโœP โโกโœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถ โ‘ฃโฒโžน โœผโ–ผโŠ โœทโ— โœด โ‹ โŠ โœทโ›โ โ‹ โœท โœผ โœท โ–ฒโโœผtโดโณโœผโ˜žโด โณ โ–โ– โœผ โฌ โœผ โฌ โ– โœดโœโœถ โœท โœผtโœผโ–ผโŠ โœท P โ‹ โœผโ˜›โœถ โœด โ‹ โ— โœทโƒโœถโโœด โ‹ โ—โ˜žโ– โœดโœโœถ โŠโ– โŠ โ โ‹ โœท โœผ โฌ โœผ โ–โ˜โžถ โœพ โ โ– โ— โœด โ‹ โŠโƒโ‰โœพโตโœPโˆโœผ โ‹ โœท tโฌ โžพ โ‹ โœฒ โ โ—† โ โŠโฌ โœฒ โ P โœท โ–โƒโœผโœฑโ—โœปโœน โœดโœโœถ โ‡ โตโœPโˆโœผ โฌ โœผ โฌ โ‰โœพโ—โญโ– โœดโœŸโœžโซโœท โ–โ– โœผ โœผ โ‹ โœท โ–โ– โœผ โ‚ โœฟ โœผ โœท โ‚ โœฟโœตโ–  โžข โœฝ โœค

โœพ โœด Pโˆโ– โ โ–ฒโœธโ–ฒโโœผโ˜žโ–โœฑโ—†โˆโ–ฒโPโชโŠโœฑโ–ฒ โœดโœ’โœถ โ‹ โ‘ โ‹ โœด PโชโŠ โ โœ‰โœโœด โ‹ โŠ โณ โœผโœพโŠ โœดโœ’โœถ โ‹ โฌ โœฒ โœนโชโˆโœตโ—† โœด โœท โœนโˆrโœพโŠโƒโœผโœพโŠโœฑโ— โœด โดโณโ—†โˆโ–ฒโโ‰โ˜žโดโณโœผ โ‹ โœทโ– โโœ’โœถ โ–โ– โœผโœพโŠโœฑโŠโƒPโˆโ– โ™ฅ โœฝ โœโœŸโœผโ˜žโด โ โ–โ›โตโœP โœด โ‹ โŠโœทโƒโœด P โœทโœโฌ โœผqโŠโƒP โœถโœธโœท โœผqโตโœPโˆโœผโ‘ฆโ—โ˜žโœผโœพโŠโž…โœนโชโˆโœตโ—† โœด โœท โœนโˆrโœพโŠโƒโœผโœพโŠโœŸโŠ โœด โ‹ โœท โŠ โโกโœทโ– โœถ โŠโ™โœถ โ โœถโœธโœท โœผโ–ผโŠโœŽโ—† โ โ–โœšโ–ฒโœธโœผ โ™ฅ โ โŠโ– โŠ โœด โ— โœถ โ‰ โ Pโœฅโ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——PโชโŠ โฌ โœผโฉโœพ โœดโœ’โœถ โŠโƒโŠ โœด โ‹ โœถ โ– โ โ—โžƒโ™ฆโœทโƒโœถโโœด โ‹โˆโ‹ โ โœถ โ–โƒโœผ โฌ โ‰โญโ… โ‹ โœถ โœผ โ‹ โžšโ‹โžชโทโžชโฒโžถ โ‘ โ‰โžนโœปโžถ โ‰ โœด Pโ˜โŠ โ‹ โœผโœฏโŠ โ โœ‰โœโœด โ‹ โŠโœŽโ—† โ โŠโœšโŠ โœถ โ–ฒ โ โŠโƒP โœถโœธโœท โœผ tโฌ โœ‚โœกโœ  โœผโ–ผโŠ โœทโฉโฌ โ‰โœพโ—โ˜žโ– โœดโœโœถ โŠโ– โŠ โ โ‹ โœท โœผ โœด โ‹ โ‹ โœผqโ—†โžโœผโ˜žP โœทโฉโฌโœฎโœด โ‹ โ—โ—† โ โŠโœŽโ— โœด โ‹ โ—โ˜žโ–ฒโœธPโชโ–โƒโœผโ—โ‚โœฏโ–ฒ โ โ— โœด โ‹ โœ‰ โœผโœพโ–โŠโœผโœโœผ โ‹ โ—โ˜žโœผ โฌ โœผ tโฌ โžพ โœด โ‹ โœ‰โกโ โ—โญโœผโœพโ—†โ˜โœผ โ‹ โฌโˆโ โ‹ โœท โด โœด โ‹ โœท โ–โƒโœผโœพโ–โœŸโตโœPโชโœผโฉโ—โทโœฒ โœผโ–ผโŠ โœท P โ‹ โ—†โชโ– โœด โ—โญโœผโ–ผโŠโƒโŠโƒPโชโŠ โณโžโœด โ– โ‹ โ‰ โžถโœ โโ‰โœโžโœโžโโฟโกโดโกโœ โขโ˜žโ˜› โœŽ โœ‡โœˆsโทsโžโคโž”โฅโผโคโ›โœโžโฅ โฌ โชโ– โด โž€โ™ฆโœ‡โžr โ™ฅ rโ™ฆโ‘ฃโœโœŒโ˜žโœŽ โ–ผ โ‘ง โป โฌ โ™ฅ โš โฅโ™ฆโคโ™ฃโฆโฃrโ™ฆโœโดโ‘ฃโžŽโงโทโ‘ขโ™ฃโœโœฝโฅโœ‘โœ โžข โ–ผ โ€ โดโžโ——โ——โ‚โœŽโ„ร™โ—— โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โž‰โชโžŠโž”โš sโœฝโคโ™ฃโœ‡โœตโ™ฅโ– โ‘ฃโž†โคโ›โœ‡โœตโ‘ฃโ‚ โชโœŒโดโˆโœฝ โฅโ˜โœ‡โœˆsโทsโžโคโž”โฅโผโคโ›โœโžโฅโฉโ‘ขโ™ฃโœ‡โ‰โฅโœปโฅโœปโฆโž›โž€โผโœ‡โžrโœŒโœ“โœ’โ˜žโœ”โžพโœ–โœ•โœ˜โœ— โžฒ โžพ

โžฃ โ™ฅ โœ“ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โœน โ–ผโ„โžŠโž”โšโœตโž‰โชโžŠ รโœšโœ™rโ™ฆโ‘ฃโœชโž€โ™ฆโœ‡โžrโœŒโ˜žโœ’โœ“โœ”โžพโœ–โœ•โœ›โœ— โ†’ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“ โ–  โœ† โ–ผโ„โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโœตโž‰โ‰โžŠโ†’ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โœน โ–ผโ„โžŠโž”โšโœตโž‰โชโžŠ ร โดโœฝโ—— sโžโคโ›โœ‡โœตโ™ฅโโ‘ฃโž†โคโ›โœ‡โœตโ‘ฃโœขโœœ โช โดโˆโœฝ โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถ รทโชโžน

โœฃ qโœทโคโ›โ™ฅโœปโฅ โ‘ฅ tโฌ โžพ โ——โœฝโ–tโ‘ฉโœŒโด โถโ– rโ˜โฅโ˜โ‘ฃโ–ฒโžฅ โจ โžฑโžƒs โœโœทโฅโœคโœโœณโž‡โœปโคโ›โ™ฅโ˜โœโœ โ™ โœโœโžฌโžŽโ™ โผโž„โฏโคโ›โœโœฝโฅโ˜โ‘ฃโ„โ™ฅโŠโ‘ขโ›โ‘ฃโ„โฆโฃโคโ›โœ โœ‘โœณโœตโœดโœ’โœถโœธโœท โ™ โชโœŒโฌ โœผ โœท โ— โœด โ‹ โŠ โœถโโฌ โ‰โœพโ– โœด โ‹ โŠ โฝโœฅโœค ร โ‘ฅ โžป โžŸโœงโœฆ โ—— โœŒโœ“โœ’โ˜žโœ”โœฉโ˜…โœซโœชโœญโœฌโœฟ โœ•โœ›โœ—tโฌ โžพ โ–ผโ‘กโžปโžโštโ‘ฉ โ™โžซโถ โœฝโœณ Pโˆโ– โฝโœฎโœค โ‘ โœถ โ–ฒโชโœผโญโ‡ โœถ โŠ โœท โœผโœŽP โ‹ โœผโœšโŠโƒP โœถโœธโœท โœผ โ‘ฅ โ– โœฟ โ—— โœน โ‘ฉ โ‘ง โถ โฌ โœผโœšโ–โƒโ‰โœพโœผโ˜žโ–ฒโซโŠ โ—† โœด โŠ โœถโœธโœทโƒโœถ โœถ โŠ โœท โœผโ˜žโ–ฒโซโŠโœกโตโœPโˆโœผ

tโฌ โžพ โœ  โ‘ฉ โ™ โ—† โœด Pโˆโ– โœทโ– โœด P โœทโœคโœน โ‘ฉ โ‘ง โžถ โค โœด

โ‹ โ—โœชโœ‚โœฏโœ„ โœœ โžพ โœ  โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผ โ‚โœโœ†โœˆโšโ˜โ——

tโฌ โžพ โœ  โš โœ” โœชโœ‚โœฏโœ„ โœœ โžพ โœ  โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผ โ‚โœฐโœ†โ›โšโ˜โ—— โ™ โš

โœพ โ โ– โฌ โ‰โ˜žโ… โ‹ โœถโœธโœทโƒโœถโโœด โ‹ โฌ โœผ tโฌ โžพ โ‘โœชโœ‚โœฏโœ„ โœœ โžพ โœ  โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผ โ‚โœโœ†โž”โšโ˜โ——

tโฌ โžพ โœ  โš ร โžฒ โžพ โœ 

โžฃ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ„โžŠโœˆโšโœฝโž‰โชโžŠโฒโ——โฌโœฎโœด โ‹ โ—โžฒ โžพ โœ โžฃ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โœน โ–ผโ„โžŠโž”โšโœตโž‰โชโžŠโœฟโžผ โžฒ โžพ โœ 

โžฃ โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ˜โ—— โ™ โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโœœโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โš โœน โ–ผโ„โžŠโœˆโšโœฝโž‰โชโžŠโœ” โœชโœ‚ โœ„ โœœ โžพ โœ  โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœ† โšโ™ฆโ—— โ™ โšโ–ฒโžผ โžฒ โžพ โœ โžฃ โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ˜โ—— โ™ โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโœœโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโšโŠโš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโœตโž‰โ‰โžŠโœโœฝ โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถรชรธโทโžน

โœฑโ™ฃโœผโฉโดโณโœผโ˜žโด โณ โ–โƒโœผ โฌ โœผโโœผ โ Pโชโ—โœปโœนโชโœผ โฌ โœผโœฑโ–ฒโ„โœฒ โ‰โœพโตโœP โโกโœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถรชรธโทโžน โŠโƒโœผโœฑโŠ โœถ โดโณโ—†โˆโ–ฒ โœถ โ…โชโœผ โขโžฒ โžพ โœ โžฃ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โœน โ–ผโ„โžŠโž”โšโœตโž‰โชโžŠโœฟโžผ โžฒ โžพ โœ 

โžฃ โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ˜โ—— โ™ โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโœœโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โš โœน โ–ผโ„โžŠโœˆโšโœฝโž‰โชโžŠ ร โ–ผ โ™ โžผ โฌโฒโš โžฒ โžพ โœ โžฃ โ™ฅ โœ“โชโ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ„โžŠโœˆโšโ‘งโผโป โ™ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โž‰โ‰โžŠโœโœฝ

Page 184: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ’โœโœโœ“ ๏ฟฝโชโœ“ โœ”โœ—โœ–โœšโœ โœ†โœŸโœžโœกโœžโœ‚โœ โœ โ˜žโœ‚โ˜Žโœ†โœŸโ˜› โœ โ˜žโœ›โœœโœ– โžชโž”รธโœžโœ†โค โœด โ‹ โ— โ–ฒโ…โœฒ โ‰โœพโตโœP โ โœทโƒโœถโโœด โ‹ โžšโ‹โžชโฒโžชโทโžถโžœรธโ™ฃโžน โŠโผโœฒ โ‰โœพโ—โ˜žโ– โœถโœธโœทโœฑโขโ–ผ โ™ โžผ โฌโฒโš โžฒ โžพ โœ โžฃ โ™ฅ โœ“โทโ–ผโ„โžŠโœˆโš โœน โ–ผโ„โžŠโž”โš

โ‘งโผโป โ™ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โž‰โ‰โžŠ โœ” โœชโœ‚โœฏโœ„ โœœ โžพ โœ  โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผ โ‚โœโœ†โž”โšโ™ฆโ—— โ™ โšโžผ โžฒ โžพ โœ โžฃ โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ˜โ—— โ™ โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโœœโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโšโŠโš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโœตโž‰โ‰โžŠโœโœฝ โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถ ๏ฟฝโชโžนโคโœšโœผโœฑโ—†โชโ–ฒโœธPโชโŠโœพโ‘โˆโ— โœด โดโณโดโœฏโœผ โ™ฅ โ‘ฉโœŒโดโžโ—— โœผ โœท โ™ โช โฌ โœด โ‹ โ โข

โžฒ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ„โžŠโœˆโšโผโ–ผ โ‘งโœŽโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโšโŠโšโ–ผ โ‘งโผโป โ™ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโšโŠโš โœ“ โž‰โ‰โžŠ โœ” โžฒ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโ‘งโผโป โ™ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโž”โš โž‰โ‰โžŠโœ’โœฝ โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถ โœ„โชโžนโคโž™โœฒ โ P โœท โ–โ– โœผโœโ—† โ โ– โœท โ‘โœตโ–ฒโœธโœผ โœท โœนโˆโ‰ โœด โ–โ– rโ˜žโดโณโœผ โฌ โœผ โ–ฒ โ โ–ฒ โœถ โด โœถ โœท โœผโฉโ—โ˜žโœผ โ‹ โœท โ– โ โ–ฒโโœผโœšโ—† โœด Pโชโ–โโ–ฒโโœผโœพโŠโโด โ โ– โœทโƒโœถ โ‹ โœผ โ โ–ฒโโœผโœพโŠ โ‹ โœด PโชโŠ โ โŠโ– โŠโƒPโˆโ–โƒโœผ โตโœPโˆโœผโœ’โ‘โ‰โžฅ โจ โ—† โžถ โŠ โžถ โœด โ‹โ โข ๏ฟฝ

โœ‚ โœ„ โœœ โžพ โœ  โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผ โ‚โœโœ†โž”โšโ™ฆโ—— โ™ โšโ–ฒโžผ โ†’ โžพ โœ โžฃ โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™ฆโ—— โ™ โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโœœโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โš โœน โ–ผโ„โžŠโž”โšโœตโž‰โชโžŠโ†’ โžพ โœ โžฃ โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโšโ™ฆโ—— โ™ โš โœ“ โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโผโ–ผ โ‘งโโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโœฝโž‰โชโžŠโœฟ โœ•โœ›โœ—โžผPโžผโžโžผโœฝโžผ โจ โดโœฝโ——

โœ โ–ฒ โœด โ–โ›โŠโ˜žโ‘โ–ผโœผ โ‹ โฌโœฎโœถโโœ‰โœโœถ โŠ โ โ‹ โœท โ–ฒโโœผโœพโŠ โฌ โœผโœพPโœฎโ‡โ‘ฆโดโณโœผโ˜žโด โณ โ–โƒโœผโ–ผโŠ โฌ โœผ โžšโ™โžชโทโžชโทโžถ ๏ฟฝโฒโžน โ—† โ โ–โž’โ†’ โžพ โœ โžฃ โ โ–ผ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโž”โšโ˜โ—— โ™ โš โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโœตโž‰โ‰โžŠ โœผ โœท โœผ โ‹ โœถ โโœ’โœถ โŠ โ โ‹ โœทโœ—โœท โœผ โ‹ โฌ โ–โƒโœผโœนโœ•โœ‰ โœผโ˜žโ–โ›โŠโฉโ–ฒโ…โœฒ โœถ โ‹ โ… โ‹ โœถ โ‘โ™ฃโœผ โ‹ โœ‰ โœผโœพโ– โœท P โฌ โœผ โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถ รทโชโžน โœผ โœท โžšโ‹โžชโฒโžชโทโžถ โœ„โฒโžน โ‘ โœด โ‹ โœดโ˜Žโณโœฎโœทโƒโœถ โœผ โ‹ โœท โ–ฒ โ โ— โœด โ‹ โœท โ– โโœโฌโœฎโœถ โ— โœทโƒโœถโโœด โ‹ โตโœPโˆโœผโœ’โ‘โ™ฃโŠโƒPโˆโ– โฝโœฅโœคโž‘โ——โœ โฌโœฅโ‘ฉ โ™ โœฝโ€ โœถ โ‹ โ โ–ฒโœธโœผโœพโดโณโœผ โ‹ โœท โ‘โœตโžฅ โจ โ–ผ โฝโœฎโœคโœŒโš ร โด โœผ โœทโœšโฌโˆโœด โ‹ โ— โ‘ฅtโฌ โžพ โ——โœฝโ–โœทโชโตโด โถโฉโœผโ–ผโŠ โœท โžฅ โจ โ™ฆโ™ โ—† โžถ โŠ โžถ โณโžโœด โ– โ‹ โ‰ โžถ โœค

โณโฉโจโ–ฒโฌโชโญโดโซโ›โตโ‰โœโžโโœฅโกโดโกโœ โขโโ— โœŽ โœ‡โœˆsโฒsโœฝโคโ›โฅโ™ฆโคโ™ฃโœโœฝโฅ โฌโซโช โด โž€โ™ฆโœ‡โžr โ™ฅ rโผโ‘ฃ โœŒโ˜žโœŽ โ–ผ โ‘งโผโป โฌ โ™ฅ โš โฅโ™ฆโคโ™ฃโฆโฃrโ™ฆโœโดโ‘ฃโœชโงโฒโ‘ขโ›โœโžโฅ โœ โžข โ–ผ โ€ โดโžโ——โ——โ‚โœŽโ„ร™โ—— โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โž‰โชโžŠโž”โš sโžโคโ›โœ‡โœตโ™ฅโโ‘ฃโž†โคโ›โœ‡โœตโ‘ฃโ‚ โชโœŒโดโˆโœฝ โฅโ˜โœ‡โœˆsโทsโžโคโž”โฅโผโคโ›โœโžโฅโฉโ‘ขโ™ฃโœ‡โ‰โฅโœปโฅโœปโฆโž›โž€โผโœ‡โžrโœŒโœ“โœ’โ˜žโœ”โžพโœ–โœ•โœ˜โœ— โžฒ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โœน โ–ผโ„โžŠโž”โšโœตโž‰โชโžŠ รโœšโœ™rโ™ฆโ‘ฃโœชโž€โ™ฆโœ‡โžr

โœŒโ˜žโœ’โœ“โœ”โžพโœ–โœ•โœ›โœ— โ†’ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“ โ–  โœ† โ–ผโ„โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโœตโž‰โ‰โžŠโ†’ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โœน โ–ผโ„โžŠโž”โšโœตโž‰โชโžŠ ร โดโœฝโ—— sโžโคโ›โœ‡โœตโ™ฅโโ‘ฃโž†โคโ›โœ‡โœตโ‘ฃโœขโœœ โช โดโˆโœฝ โžšโ‹โžชโฒโžชโทโžถโžƒโžช ๏ฟฝโชโžนโœฃ qโœทโคโ›โ™ฅโœปโฅ tโฌ โžพ โ‘ฃร™rโผโœโœ โงโ†•โธ โจ โžฑโžƒs โœโœทโฅโœคโœโ–ฒโ‘ โž”rโผโ™ฅโœปโฅ โฌโˆโœฝโžฌโžŽโ™ โผโž„โฏโคโ›โœโœฝโฅโ˜โ‘ฃโ„โ™ฅโŠโ‘ขโ›โ‘ฃโ„โฆโฃโคโ›โœ โœ‘โœ โœด โ‹ โŠ โœถโซโฌ โ‰โ˜žโ– โœด โ‹ โŠ โœƒ โžพ โ–ผ โ™ฅ โš ร ๏ฟฝ

โœ‚ โœ  โœœ โžพ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟโœฝโšโžƒโœฝ โœพ โ โ– โฌ โ‰โญโ… โ‹ โœถ โœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โฌ โœผ tโฌ โžพ โœด โ‹ โ โขโœชโœ‚โœฏโœ  โœœ โžพ

โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โšโ‘งโผโป

tโฌ โžพ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โš โžผ โžฒ

โžพโžฃ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ„โžŠโœˆโšโœฝโž‰โชโžŠ ร โด

โคโž™โœฒ โ P โœท โ–โ– โœผ โ—† โ โ– โœท โ‘ โœด โ‹ โ โ–ฒ โ โ–โ– โœผโ˜žโ–ฒ โโกโœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โŠโƒP โœถโโœ‰ โ โ‹ โœท โœผ โขโœชโœ‚โœกโœ  โœœ โžพ

โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โšโ‘งโผโป

tโฌ โžพ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โš ร โœƒ โžพ โ–ผ โ™ฅ โšโœณโžผ

tโฌ โžพ โœƒ โžพ โ–ผ โ™ฅ โœ“ โš โป

tโฌ โœ“โžพ โœชโœ‚โœฏโœ  โœœ โžพ

โ™ฅ โœฏ โ–ผ โ‚ โœฟ โšโ‘งโผโป

tโฌ โžพ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โšโœพ โ โ–โœŸโ— โœด โ‹ โŠโƒโ‰โœพโตโœPโˆโœผ โ‹ โœท โ‘ โœด โ‹ โ—†โ˜โœผโœพP โœท โ‰โœพโ—โ˜žโ– โœถ โ–โƒโœผ โข

โด ร โœƒ โžพ โ–ผ โ™ฅ โšโž’โžผ โžฒ โžพโžฃ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโœœโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโœฝโž‰โชโžŠโžผ tโฌ โžพ โ˜ž โœƒ โžพ โ–ผ โ™ฅ โœ“ โšร—โžผ โžฒ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“ โ–ผโ„โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโž”โšโ™โšโœตโž‰โ‰โžŠโœˆโžฝโปtโฌ โœ“โžพ โœชโœ‚ โœ  โœœ โžพ

โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โš โœฏโ‘งโผโป

tโฌ โžพ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟโœฝโš โžผโฉโฌ

tโฌ โžพ โžฒ โžพโžฃ โ™ฅ โœฏ โ–ผโ„โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโœตโž‰โ‰โžŠ

โป โ–ผ โฌโโžผtโฌ โžพ โš โžฒ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโœตโž‰โ‰โžŠโœโœฝ

Page 185: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžชโž”รธโกโ‘  โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ’โœโœ’โœ“โœ•โœ”โœ—โœ–โœ˜โ˜›โ˜Žโœ„โœšโœ™โœโœ›โœœโœŒโœŽโœขโœคโœฃโœฅโœโœงโœฆโœโœโ˜…โ˜›โœŸโœฉโ˜Žโœžโœคโœโœซโœชโœœโœ โœฌโœŒโœšโœญโœฎโœ†โœšโœ–โœฏโœ›โœฑโœฐโคโœšโœผโ–ผโŠโœŽโ— โ โ–ฒโโ—โ˜žPโˆโ–ฒโโŠ โฌ P โดโ˜›โœกโœพโดโœฏโœผ โœท โˆโœตโ—†โžโœผ โ‹ โœด Pโ˜โŠ โฌโœฎโœด โ‹โˆโ‹ โœผ โ‹ โœทโœฑโข

โ–ผ โฌโโžผ tโฌ โžพ โš โœ โžฒ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโœตโž‰โ‰โžŠ โป

tโฌ โžพ โžฒ โžพ

โžฃ โ™ฅ โœฏ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โœน โ–ผโ„โžŠโž”โšโœตโž‰โชโžŠ โงร โžผโฉโ–ผ โœƒ โžพ โ–ผ โ™ฅ โšโž’โžผ โžฒ โžพ

โžฃ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโผโ–ผ โ‘งโœœโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโŠโšโœตโž‰โชโžŠโž”โšโปtโฌ โžพ โ˜ž โœƒ โžพ โ–ผ โ™ฅ โœ“ โšร—โžผ โžฒ โžพ

โžฃ โ™ฅ โœ“ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ„โžŠโœˆโšโผโ–ผ โ‘งโœŽโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโšโŠโšโœตโž‰โ‰โžŠ โžฝโžผ tโฌ โœ“โžพ โ˜ž โœƒ โžพ โ–ผ โ™ฅ โœฏ โšร—โžผ โžฒ โžพโžฃ โ™ฅ โœฏ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โœน โ–ผโ„โžŠโž”โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโœœโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโœˆโšโŠโšโœตโž‰โ‰โžŠโ†โžฝโžผ tโฌ โœ“โžพ โœชโœ‚ โœ  โœœ โžพ โ˜ž

โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โš โœฏโ‘งโผโปtโฌ โžพ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟโžโš โžผ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โš โœฏ โžฝ โป โฌ

tโฌ โœ“โžพ โžฒ โžพ

โžฃ โ™ฅโœ๏ฟฝ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโœตโž‰โ‰โžŠโœโœฝโžšโ‹โžชโฒโžชโทโžถโžƒโžชโทโžชโž”โžน

โœพ โœด Pโˆโ– โœทโƒโœด P โœทโœ„โœ‚ โ—— โฌ โ‰ โœท โœผโ˜žโ–โ– โด โœถ โ‹ โœถ โŠ โœท โœผโœ’โ‘โˆโ–ฒโโœผโฉโ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——Pโ˜โŠ โ‘ฅโž”โœƒ โžพ โ–ผ โœ‚ โšร—โžผ โ†’ โžพโžฃ โœ‚ โ–ผโ„โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโœœโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโœตโž‰โ‰โžŠโฒโ——โžโ–tโ‘ฉโœŒโด โถ โœผโ–ผโŠ โœท Pโ‹ โœผโœฑโด โ โ–โ——โ™ฆโœทโƒโœถ โ‹ โœผ โ โ–ฒโœธโœผ โฌโœฎโœด โ‹ โœท โ–ฒโโœผโ‘ฆโ—โญโ– โœด โ—โœปโœนโˆโœผ โœท โœผโœพโŠ โœทโœšโฌโœฎโœด โ‹โˆโ‹ โ‰โฉโ—† โ โ– โข

โžฒ โžพโžฃ โœ‚ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœ“ โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโž”โšโ™โšโœตโž‰โ‰โžŠโœโœฝโž„ โ‹ โœผ โ‹ โฌ โ‰ โฌ P โœถ โœท โ—† โ โ–โผโ–ฒโโœผโœพโŠtโœนโ‰โˆโœตโ—† โœดโœ’โœท โœนโˆrโ–ผโŠโ——โœผโ–ผโŠโœคโœผ โœท โ–ฒโโœผ โœท โœนโˆโ‰ โœด โ–โƒrโœพโดโœฏโœผ โฌ โœผ โ–ฒ โ โ–ฒ โœถ โด โœถ โœท โœผโฉโ—โ˜žโœผ โ‹ โœท โ– โ โ–ฒโโœผโœŸโ—† โœด Pโˆโ– โฌ โœผโ–ผโŠโœคโด โ โ– โœทโ– โœถ โ‹ โœผ โ โ–ฒโโœผโœพโŠโผโตโœPโชโœผ โข

โœŒโœ“โœ’โ˜žโœ”โžพโœ–โœ•โœ˜โœ—โœƒ โžพ โ–ผ โ™ฅ โœ† โšโ–ฒโžผ โ†’ โžพโžฃ โ™ฅ โ–ผโ„โžŠโž”โš โœ† โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™ฆโ–ผ โ‘งโโป โฌ โ™ฅ โ–ผโ…โžŠโž”โšโ™โšโœตโž‰โ‰โžŠโ†’ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“ โ–ผโ„โžŠโœˆโš โœน โ–ผโ„โžŠโž”โšโœตโž‰โชโžŠ ร โดโžโ—— โžšโ‹โžชโฒโžชโทโžถโžƒโžชโ–ผโœˆโฒโžน

โœพ โœด Pโˆโ– โœทโ– โœด P โœท โœœ โ‘ฉ โ‘ง โœฝ โฌ โœผโœฑโ—†โˆโ–ฒโœธPโ˜โŠโ˜žโ‘โœชโœ‚โœฏโœ  โœœ โžพ โ˜ž

โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โš โœฏโ‘งโผโปtโฌ โžพ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟโœฝโš โžผ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โš โœฏ โžฝ ร tโฌ โžพ โœชโœ‚โœกโœ  โœœ โžพ

โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โš ๏ฟฝโ‘งโผโปtโฌ โžพ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟโœฝโš โœฝ โžšโ‹โžชโฒโžชโทโžถโžƒโžช โœ†โชโžน

โค โœด โ‹ โ— โ‘โดโœ•โœ” โœชโœ‚ โœ  โœœ โžพ โ˜ž

โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โš โœฏโ‘งโœคโปtโฌ โžพ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟโœฝโš โžผ โ™ฅ โ–ผ โ‚ โœฟ โš โœฏ โžฝ โœ” tโฌ โžพ โœƒ โžพ โ–ผ โ™ฅโœ๏ฟฝ โšโญโœฝ

โคโž™โœฒ โ โ—†โชโ–โƒrโ–ผโŠโœœโ–ฒ โ โ–โ– โœผโ˜žโ–ฒ โโกโœทโƒโœถโโœด โ‹ โžšโ‹โžชโฒโžชโทโžถโžƒโžชโ–ผโœˆโทโžน โœผ โœท โ–ฒโโœผโœพโŠโบโœนโชโˆโœตโ—† โœด โœท โœนโˆrโœพโŠโƒโœผโœพโŠ โžšโ™โžชโทโžชโทโžถ รทโฒโžน โ‘ โœด โ‹ โ โขโœŒโœ“โœ’โ˜žโœ”โžพโœ–โœ•โœ˜โœ—

โœƒ โžพ โ–ผ โ™ฅ ๏ฟฝ โšโ†’ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“ โ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโœตโž‰โ‰โžŠ ร โดโœฝโ—— โžฅ โจ โ—† โžถ โŠ โžถโœทโžถ โžšโ‹โžชโฒโžชโทโžถโžƒโžชโ˜žโ‘ โ‰โžนโž„ โ‹ โฌโœฎโœถโœธโœ‰โœตโœถ โŠโ——โœผ โžšโ‹โžชโทโžชโฒโžถโœทโžชโฒโžชโœˆโžน โ—† โ โ–โžŽโ†’ โžพโžฃ โ™ฅ โœ“โฒโ–ผโ…โžŠโž”โš โœน โ–ผโ…โžŠโž”โšโœตโž‰โ‰โžŠ โ‘ โœด โ‹ โœถ โ โœถโœธโœทโ‘ฆโœท โœผ โ‹ โฌ โ–โ– โœผ โ– โœ‰ โœผโœพโ–โ– โŠโฉโ–ฒโ„โœฒ โœถ โ‹ โ… โ‹ โœถ โœผ โœทqโœถ โ–ฒ โฌ โ‰โœพโ— โœด Pโˆโ–ฒโโœผ โฌ โœผ โžšโ™โžชโทโžชโฒโžถโœทโžช โœˆโทโžน โœผ โœทโžšโ‹โžชโฒโžชโทโžถโžƒโžชโ˜žโ‘ โชโžน โตโœPโˆโœผ tโฌ โžพ โ— โœด โ‹ โœ‰ โœผโ˜žโ–โœบโœผโœ’โœผ โœ‰ โœผโœพโ–โ– โŠ โฌโˆโœฝ โœค

Page 186: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜ž โœโœโœŽ

โœ‘ โœ’ โœ“ โœ”โœ–โœ•โœ˜โœ—โœšโœ™โœœโœ›โœฃโœข โœค โœฅโœงโœฆโœงโœข โœฆโœฉโ˜…โœโœค โœช โœ—โœฌโœซโœ–โœ™ โœญโœ–โœคโœฃโœฎโœฏ โœ™โœฐโœ—โœฒโœฑโœณโœคโœ˜โœฎโœดโœฎโœดโœซโœตโœฎ โœญโœ–โœค โœฏ โœ—โœฌโœฆโœงโœฎโœดโœฎโœถโœ—โœšโœ’ โœท โœฆโœงโœฅโœฉโ˜…โœœโœ™โœœโœ•โœฃโœฎ

โค โ โ‹ โŠโ˜Žโ—โญโœผโผโ—โœนโœธ โ โ—† โœถโœธโœท โ–โ– โœผโœ’โ‘ โ‹ โœด Pโ˜โŠโœปโœบ โโœ’โœถ โŠ โœด โ‹ โŠโœ—โ–ฒโโœผโœคโ–ฒ โœถ โœผ โ‹ โœผ โ‹ โœท โ–โƒโœผโผโ–ฒโœธโœผโ–ผโŠ โฌ โœผโ˜žPโœฎโ‡โœฑโ—†โˆโ– โœด โ—โญโœผโœพโŠโ– โŠโƒPโชโŠ โ—โ˜žโœผ โ‹ โœท โ– โ Pโœฎโ‡ โฌ โœผโœœโ—โญโœผ โœทโ——โœท โœผ โœท โœธโˆrโœพโŠโƒโœผโœฝโœผโœโŠ โ โœ‰โœโœดโœ’โœถ โ–โ–ฒโœธโœผโ–ผโŠโ˜Žโ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——Pโ˜โŠ โฌ โœผโœงโœพ โœด โ–ฒ โœท โœผโœพโ–โƒโ– โ โœผ โœท โ–ฒโโœผโœพโŠ โ—†โˆโ– โœด โ—โญโœผโ–ผโŠโƒโŠโƒPโชโŠ โฌ โœผโ€โœฟ โœดโœ’โœถ โŠโ– โŠ โœด โ‹โ‚โ โœถ โ–ฒ โœท โ–โ– โ‰โœพโŠ โžถ โ‰ โœด PโชโŠ โ โ–ฒโœธโ–ฒ โœด โ‹ โŠโ˜Žโด โœด โ‹ โœท โ–โ– โœผโ˜žโ– โ–ฒ โ โ— โœด โ‹ โœ‰ โœผโœพโ–โ„โƒโœโœผ โ‹ โ—โ˜žโœผโœผ โ‹ โ–ฒ โœดโœ’โœถ โ‘โ˜โŠโƒPโˆโ–โœŸP โ‹ โœผโ–ผโŠโ——โ—† โ โ—โญโœผ โฌ โœผโ†โ…โ€โ‡โœโ–ฒ โฌ โœผโ˜žโ–โ–ผโ‘ โฌโ‰โˆ P โ‹ โ—†โˆโ– โœด โ—โญโœผโœพโŠโ– โŠโƒPโชโŠ โฌ โœผโŠโœฟ โœดโœ’โœถ โŠโ– โŠ โœด โ‹ โ…โ˜โ–ฒ โœท โ–โƒโ‰ โœ‰ โœผโ˜žโ–โ›โŠโœŽP โ‹ โ—†โˆโ– โœด โ—โญโœผโ–ผโŠโƒโŠโƒPโชโŠ โฌ โœผโ†โœพ โœด โ–ฒ โœท โœผโ˜žโ–โ– โ– โโตโœP โ โ‹ โฌ โ–ฒ โˆ โœถ โ‹ โœท โœผ โ‹ โŠ โœถโœธโœท โ‰ โฌ P โ—†โˆโ– โœด โ—โญโœผโ–ผโŠโƒโŠโƒPโชโŠ โฌ โœผโ‹โœฟ โœดโœ’โœถ โŠโƒโŠ โœด โ‹ โŠ โœด PโชโŠโ——โ™ฆโโ— โ โ—โญโœผ โ‹ โœทโโœท โœผ โ‹ โฌ โœ‰ โœผโ˜žโ–โ›โŠโœœโ–ฒ โˆ โœถ โ‹ โ… โ‹ โœถ โžถโค โ โ‹ โŠtP โ‹ โœผ โ—†โˆโ–โ– โœผโ˜žโด โœถ rโ˜žโ–โ– โœผ โ—† โ โ– โœทโ– โœถ โœผโœโ‘ โ‹ โœด PโชโŠ โœถ โ‹ โœท โ– โœดโœฎโฌ P โœถ โ– โœด โ‹ โŠ โ–ฒโโœผโœพโŠ โœด P โœทโ– โœถ โ–ฒโซโŠโ˜›โœผ โŠ โ โœ‰โœโœดโœ’โœถ โ– โ–ฒ โ โ‹ โœด โœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โฌ โœผ โด โ โ– โœทโƒโœถ โ‹ โƒ โ โ–ฒโโœผโœธ โœถ โ–ฒ โณ โœผโ˜žโ– โœทโƒโœถ โœผ โ‹โˆโ‹ โœผโ†โœผ โœท โ–ฒ โ โœท โœผโœพโ—โœนโœธ โ‹ โœถ โตโœPโˆโœผ โฌ โœผโ†โ– โโœ’โฌโˆโœด โ‹ โœถ โ…โ˜โ— โ โœทโƒโœถโโœด โ‹ โžถ โค โ โ‹ โŠโœฑP โ‹ โœผ โŠโ——โœผโ–ผโ— โœด โ‹ โฌ โœผ โ—† โ โ– โœทโƒโœถ โœผโœ’โ‘ โ‹ โœด Pโ˜โŠโœฑโ—†โˆโ–โ– โ‰โœพโŠโƒโœผ โ‹ โœท โœผโœพโ– โœด โ‹ โŠโฉโ–ฒโœธโœผโ–โƒโ‰โ–ผโŠโ——Pโชโ–ฒ โœทโ›โโกโœทqโฌ โœผ โ— โœด โ‹ โœ‰ โœผโ˜žโ–โ– โƒโœ’โœผ โ‹ โ—โญโœผ โฌ โœผโ†โด โ โ– โœทโƒโœถ โ‹ โƒ โ โ–ฒโœธโœผโโœธ โœถ โ–ฒ โณ โœผโœพโ– โœทโ– โœถ โœผ โ‹โˆโ‹ โœผ โžถ q โ‹ โ… โ‹ โ‘ โ‹ โœด PโชโŠqโ—†โˆโ– โœด โ—โœฌโœผ โœทโƒโœท โœผโœพโ– โœด โ‹ โŠโฉโ–ฒโœธโœผ โ–โƒโ‰โ–ผโŠโ——Pโชโ–ฒ โœทโ›โโกโœท โ—† โœด Pโˆโ–โ–โƒโ‰โœพโ—† โœด โ‹ โฌ โ–โ– โœผโ‘โœผโœฏโ–ฒ โ โตโœPโˆโœผโœพโŠ โœทโƒโœถโโœด โ‹ โœด โ– โœถ โƒ โœถ โ‹ โœผโ˜žโ–ฒโโ–ฒโœธโœผ โžถ

โœฅโ‘โ˜…โ˜›โœง โœฅ โ–ฒโ—†โ–ผโœงโ–โ——Pโœฑโœฒ โœธโœบโœฎโœนโœธโ——โ–โœณโ˜โœ†โ™โšโ–ผโƒโœฒโœตโœดโฑโฏ โœดโœตโœชโœญโœฎโœฆโœดโฒโ™โœ™โœฌโœงโ–โœฝโœŽโ โœฟโ„โœฝโœพโœฟโ„โœฝ โณ โ˜ž โ—†PโŠโœ•โˆ โ—โ€โจ โ˜žโ€โ˜โ„โฏโœŽโ‡โฌโฉโชโญ โ˜žโ€โ˜โ‹โฏโœŽโโ–โ—† โ‡โดโซ โˆโ„โ˜โ„โ—— โฏโœ โ—†โœ•โŠPโˆโ‹โฏโœŽโ—โ‘โ—โโฏโœŽโ‡โต โ โ–โƒโ‰โฑโœบ โ‰โ˜žโ–โ– โœผ โ‹ โ—โ˜žโœผ โ—โœนโœธ โœดโœ’โœถ โŠ โœถ โœผโฉโ—† โœด Pโˆโ–โœœโ–ฒโœธโœผโ–ผโŠโœŽโด โ โ– โœทโƒโœถ โ‹ โƒ โ โ–ฒโœธโœผโ–ผโŠโœฝโœผ โœ‰โกโ โ–ฒโโœผโ˜žPโˆโ–โ›โŠ โฌโˆโ โ‹ โŠโP โ‹ โœผโœพโŠโƒโ—† โ โ—โ˜žโœผ โฌ โœผโŠโ… โœถ โ–ฒ โณ โœผโ˜žโ– โœท โœผโœพโŠ โœท โ–ฒโโœผโฉโ–ฒ โœถโโœ‰ โ–โƒโœผ โฌ โœผโœŸ โœถ โ—โœนโœธโˆโœผโ˜žโ–ฒโœ โœŸโœฅโ‰ โœทโƒโœถโโœ‰โœตโœถ โœผโœพโ– โ‘ข โœ„โœโ‘ฃโ–ผโ‘คโ„โžถ โ‰ โœด Pโ˜โŠโœœโ‰ โ‹ โœด โ‹โœโ› โœด โ‹ โŠ โœถ โ— โœถ โ–ฒโโœผโœพโŠโœœโ—†โˆโ– โœถ โ‹ โ— โœถ โ—† โ Pโœฎโ‡ โ–โƒโ‰โ–ผโŠโ——Pโˆโ–ฒ โœทโ– โ โœท โŠโœœP โœทโ– โœถ โ–ฒ โœถ โŠโ——โ‰โ–ผโŠ โžถโœณโœตโœดโœ’โœถโœธโœทโ†โ โœฆโ‘โžโขโก ร โ โก โžพโขโฃ โ™ฃโœโคโœ โฅ โžโ„โฆ โฃ P โ‹ โœผโœพโŠโƒโ—† โ โ—โ˜žโœผ โ—†โชโ– โœดโ˜Žโณโชโโœžโณโˆโœถ โ–ฒ โœถ โŠโƒโ‰โœšโ…โ˜โ–ฒ โœท โ–โƒโ‰ โžถ โœณโœตโœดโœ’โœถโœธโœทโ™ โง P โ‹ โœผโœพโŠโƒโ—† โ โ—โ˜žโœผ โฌ โœผโŠโ… โœถ โ–ฒ โณ โœผโ˜žโ– โœท โŠโ——โ‰โœพโ—† โ โ– โโœžโณ โ–ฒโœธโœผ โžถโ™ฅโ™ฃโ™ฆrq โœก โœ†โœขโœžโœ โœ†tsโ˜›โœกโœฐโœ‰ โ—โœปโœˆโœ‡โœ‰โ‘กโ‘ โ‘ฃโ‘ขโ‘ฅโ‘คโ‘งโ‘ฆโ‘ฉโ‘จโœฉโถโธโทโœโน โž˜ โทโบโ‘ขโŠโปโœ โผโ„โฝโฟโพโœนโนโฒโž€โœนโž€โฒโทโžโž€โžƒโž‚โ‚โž„โž†โž…โ‘งโž‡โโนโฑโทโบโผโœนโž€โžƒโ‘คโžˆโž…โž‰โ‘ขโœโž€ โง โนโฒโž€โฒโ‘จโšโทโบโ‘ขโœ โน โกโž›โžฑโœโžŠ โž…โž‰โผโฒโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ข โœฃ โž…โž‰โž‡โโนโžƒโž€โฒโ‘ฆโ——โนโฑโ‘จโžŒโž€โธโนโฑโทโบโž‡โโน โžฑโžŠ โนโฑโ‘ขโœโ‘จโœฉโž€โฒโ‘ฆ โœ‘โž โžŽ โ€โžโž โž˜ โžพ โžโž’โž‘ โž“ โ„ โ…

โœ™ โปโœโฝโž‰โทโบโผโ‹โ‘จโœโฝโž‰โทโบโ‘จโ†’โž”โœนโžฃโž โปโœโฝโž‰โทโบโผโ‹โ‘จโœโฝโž‰โทโบโ‘จโšโ†”โ‹โ†•โž™โž” โž โžŽ โ€ โž˜ โžพ โž‘โž›โกโšโžœ โ„ ร โž˜ โžœโฟโžโžโฆ โป โœ โž€ โœโœซโœโžž ร”โžร•โžร–ร™ร˜โž”รšโœปร›โž”รœ รโ„รžโฃร•โœชรŸโžƒรšโœปรœ รร—ร โปรข รฃโ˜รคโœˆรฅโฃร•โž†รร—รฆโชรข รจโœˆรฉโž”ร•tร›โž”รจโœˆรคโž”ร รชรœรชร–โ™รšโœบรโ„รœรชรฃโ˜รฉโฏรณ รดโž†โžŸโž†รถโžรซโ„รฃโ˜รจโž”รฌโ‡รœรชรซโ…ร•tรญโ‡ร โžœรšโ‡รžโฃร•โžกโž โ†รจโž”ร•โœงโžขโ˜รฃโ˜รจโž”รžโฃรฉโ›รšโœปร โดรฃโœปรŸโœ รโ…ร˜โž”ร•โ‘ฃโžคโžร•โ‹รžโฃรฉโž”รฃโ˜รจโž”ร รชร รชรœโœ โžฅโ†รฃโ†ร–โ‹รœรชร•โž†รโ‘กรฑโรŸโœทรฃโ˜รžโšโžฆโรšโ– โžงรโ…ร˜โž”ร•โ‹รฌโบรšโœบรโ„รœรชร–โ™รšโœปร โžโžฅโผรร™รšโœบรโ…รœรชรซโ…รโ…รœรชร–โ‹รซร—รšโœปรฉโž”รฆโœฟรฐโดรžโฃรฃโ˜รคโ›รšโœปรคโž”รœรชร รชรœ รโ‘กรฑ

โžชโž”รธโœ’โ‘ฃ

Page 187: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžชโž”รธโ™ฃรท โœ‚โ˜Žโœ„โœšโœ†โœšโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœซโœ ๏ฟฝโชโœ“ โœฆ โœ” โœžโœกโœžโœ๏ฟฝ โœ†โณโœ” โœฃโœ„โœ‚โ˜Ž๏ฟฝโต โˆ โ โ‹ โ โ–ฒ โœด โƒโœ’Pโˆโœผ โฌ โœผโœพโŠ โ—โญโ– โœด โ—โœนโœธโชโœผ โœท โŠ โœดโžโณ โ–ฒ โœถ โตโœPโˆโœผโœพโŠโœ—โœผโœพโŠ โœทโœ—โœถ โ— โœถโœฎโฌ โ‰โ˜žโ… โ‹ โœถ โ—† โ โ–โœโœ† โž˜โœŸโœž โžโ˜žโœผ โœท โ— โˆ โœผโ–ผโŠ โœท โ–ฒ โˆ P โ‹ โœถ โตโœPโˆโœผโผโ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——PโชโŠโœ—โ—†โˆโ–โ– โ‰ โœ‰โœตโœถ โŠ โœถ โณ โ–ฒโโœผโœผ โœ‰ โ โ– โœถโซโโกโœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โ… โ‹ โœถ โœผโœฑโœผ โœท โœผ โœ‰โกโ โ–ฒโโœผโ˜žPโˆโ–โ›โŠ โฌโˆโ โ‹ โŠโœœโ–ฒ โˆ โœผโœพโŠโƒโ—† โ โ—โ˜žโœผ โฌ โœผโœพโŠ โœด โ—†โ˜โ‰โœพโ– โ โœท โœผโœพPโˆโ–โ– โŠ โ‹ Pโชโ—โ˜žโ–ฒโœธโ‰ โ โœถ โ–โƒโœผโ–ผโŠโœŽโŠโœกโœ โœตโดโณโ‰ โœท โ– โœถ โตโœPโˆโœผโœพโŠโœพโ‘โœฎโ—† โœด โŠ โœถโœธโœทโƒโœถ โœบ โŠ โฌ โœผ โงโฌโˆโ โ‹ โŠ โง โž โœท โœผโ˜žโ–ฒโซโŠโœŽโตโœPโˆโœผโœ’โ‘โˆโ—† โœด Pโชโ– โœทโƒโœด P โœท โœ˜ โžโ˜žโ˜›โœโœŒ โง โžโœŽ

โ… โž˜ โžพ โž โœ˜ โช โž“ โ… โž˜ โžพ โžโœโ˜› โช โž“ โžผ โ…โœ† โž˜โœ‘โœž โžพ โœ˜ โžโ˜žโ˜› โช โž“ โž โž”โœฝโ†• โดโ˜žโœ’โœผโœพโŠ โœท P โ‹ โœผโœฑโด โ โ– โœทโƒโœถ โ‹ โƒ โ โ–ฒโœธโœผ โžถ

โœฟโœกP โœถ โŠโƒโตโœPโˆโœผโœ“โœ† โž˜โœŸโœž โžพ โœผโœพโŠ โœท P โ‹ โœด โ—†โžโ‰โ˜žโ– โโกโœท โœผโœพPโˆโ– โฌ โœผ โ… โœถ โ–ฒ โณ โœผโœพโ– โœท โ™ฆ โœณ โ—โœนโœธโˆโด โœถโโฌโœตโœท โ‘ โœด โ‹ โ—†โžโœผโ˜žP โœท โ—† โ โ–โ– โ–ฒโœธโœผโœพโ– โฌ โœผ โŠ โ โ– โ โ— โœถ โ‹ โœผ โ— โ โ–โ– โ–โƒโ‰โœพโœผโ‹ โœด โœท โ‰โ˜žโœผโœ”โœ† โž˜โœ•โœžโœ—โœ–โœ™โœ˜ โœ“โžพ โœฝ โž„ โ‹ โ‹ โœด โœท โœผโœพโ– โ โ‰โฑโƒ โ โ–ฒโโœผโ˜žโดโณโœผ โ‹ โœทโœ›โœš โœ“ โtโง โž‚ โง โฃ โžโˆโ–ฒ โˆ โœผโ–ผโŠโ——โ—† โ โ—โญโœผ โฌ โœผโœพโŠ โœด โ—†โ˜โ‰โœพโ– โ โœท โœผโœพPโˆโ–โ– โŠโ‘ฃโ… โœถ โ–ฒ โณ โœผโœพโ– โœท โ™ฆ โœณ โ—โœนโœธโˆโด โœถโโฌโœตโœทโœšโฌ โœผ โงโฌโˆโ โ‹ โŠ โง โœฝ โต โœผโœคโ—†โˆโ–ฒโPโชโŠ โœถ โดโณโ—† โœด โ– โœทโ– โ โ‹ โœท โ–โƒโ‰โ–ผโŠโ——Pโˆโ–ฒ โœทโ– โ โœท โ—† โœด Pโˆโ– โ‹ โœด Pโ˜โŠ โœผโ–ผโŠ โœท โ–ฒโœธโœผ โœท โœธโˆโ‰ โœด โ–โ– rโ˜žโดโณโœผ โ‘ โžโžถ รท โฌ โœผ โ‘ข โœ„โœโ‘ฃ โ‘ โ—† โ โƒโœโœผ โ‘ โœœ๏ฟฝ โ‘ค โตโœP โœถ โ‰ โœทโ›โโœžโณ โ–ฒ โœถ โœผโโตโœPโˆโœผ โข๏ฟฝโœขโœœ sโœ‚โœโœฉsโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœ โœ†tsโ˜›โœกโœฐโœ‰ โ—โ‰โœˆtโœ‰ โœŽโ‰โฝโž‰โ‘ฆโ‘ฉโ‘จ โœŽ โž˜ โœฟโœคโœฃ โœน โœŒโโœบโœกโœป โœ’ โทโบโ‘ข โนโ‚โž€โœนโทโบโ‘ฆโ‘ฉโ‘จโœโน โ‘คโžˆโน โžŠ โž…โž‰โผโฒโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ข โœฃ โž…โž‰โž‡โžโนโฒโž€ โž‡โโฝ โพโœนโž…โ‘งโž‡โโนโฒโž€โโพโœนโฝโž‰โ‘ขโœโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโœโทโœโนโธโž€ โž‚โ™ฃโž„โž‰โž…โž‰โž‡โโนโฑโทโบโผโœนโž€โ‘คโžˆโž…โ‘งโ‘ข โž€ โง โœ โœŽ โ‘ฆ โž‡โโนโฒโž€ โž‡โโฝโž‰โ‘ฆ โž€ โ‘คโžˆโนโธโž€โžƒโปโœ โผโ„โฝโฟโพโœนโนโฒโž€โœนโž€โฒโทโžโž€ โœŽ โœ† โž˜ โœฟ โœž โœ–โœ™โœ˜ โœ“โžพ โž โœน โ†• โ‘ง โœ’โœฆโœฅ โฝโ‘งโผ โžŠ โนโฑโ‘ขโœโ‘จโ€โทโบโ‘ข โน โž€โฒโทโบโ‘ฆโ‘ฉโ‘จโž›โนโโ‘จโž›โนโฑโ‘ขโœ โ‘คโ‘งโทโœโนโโ‘คโžˆโนโ‘โป โผโ„โฝโ˜…โœงโœนโž…โœฉโœงโธโ‘ฆโ‘ฉโž‡ โ‘ฆโ‘ฉโ‘จโœซโœชโธโž€โž€โฒโทโบโผโœฆโœฌ โโœฎโœญ โ–  โž‚ โœš โœ“ โtโง โž‚ โง โฃโ„โฃ โœฃ โž‡โโฝโž‰โผโœนโž€โ‘ฅโž‡โโนโฒโž€โ‘ฅโž‡โโฝโž‰โ‘ฆ โž€ โ‘คโžˆโนโธโž€โŠโป โผโ„โฝโฟโพโ– โนโธโž€โœนโž€โฒโทโžโž€ โœŽ โž˜ โœฟโœ โž โœน โ†• โ‘ง โœ’โœโœฅ โฝโž‰โผ โžŠ โนโธโ‘ข โ‘จโ‹โทโบโ‘ขโœ โนโ‘ฅโž€โฒโทโบโ‘ฆโ‘ฉโ‘จโœโนโ‘ฅโ‘จโž›โนโฑโ‘ขโœ โ‘คโ‘งโทโœโน โ‘คโžˆโนโปโœ โผโ„โฝโœฉโœงโœนโž…โ˜…โœงโฑโ‘ฆโ‘ฉโž‡ โ‘ฆโ‘ฉโ‘จโœฏโœชโธโž€โ‹โž€โฒโทโบโผโœฐโœฌ โโœฑโœญ โ–  โž‚ โง โฃ โœฝโœฝโœŽโ โœฟโ„โœฝโœพโœฟโ‚โ โœฒ โ˜žโ€โโโ† โ—โ–โˆโœซโœณ โœ† โ˜ž โŠโœ•โˆโ„โ†โœ‚โ—

โœ โ—† โ โ– โœท โ–ฒโโœผโœพโŠโโœผโญโ‡โœฎโœผโ˜žโดโณโ—†โˆโ–ฒโโœผโœพโŠ โœท โ– โœถโโœ‰โœโœถโซโ Pโˆโ‡ โฌ P โด โœด P โœ‰ โœผโ˜žโดโณโœผ โ‹ โœท โข โ– โœดโคโฃ โ‹ โœถ โœผ โ‹ โœผ โœ‰โกโ โ–ฒโโœผโ˜žPโˆโ–โ›โŠ โฌโˆโ โ‹ โŠ โงโœซโœด P โฌ โœผโœพโŠ โฌโœฎโœถ rโžPโชโŠ โœถโโœด โ‹ โŠโœพโ‘ โœถ โ–ฒโœผโœพโŠ โœท โ–โ– โœผโ˜žโ–ฒ โโกโœทโ– โœถโœธโœ‰ โœผโ˜žโดโณโœผ โ‹ โœท โฌโˆโœถ โœ”โ†โ— โœถ โ–ฒโโœผ โฌ โœผ โœ‰โœ’โœดโœโœถ โ–โฉโตโœP โ โ‹ โฌ P โ‹ โ—†โˆโ– โœด โ—โญโœผโ–ผโŠโƒโŠโƒPโชโŠโ™ โœผ โœ‰โกโ โ–ฒโโœผโ˜žPโˆโ–โ›โŠ โฌโชโ โ‹ โŠ โง โœผโ–ผโŠ โœท P โ‹ โœผโœฏโด โ โ– โœทโƒโœถ โ‹ โƒ โ โ–ฒโœธโœผ โžถ โœ Pโ— โœด โ‹ โœท โ– โโœ’โœถ โ–โ– โœผโœ’โ‘ โœถ โ–ฒ โœผโœพโŠ โœท โœท โ–โƒrโ–ผโŠโ‘โœบ โ โ— โœถ โ–ฒโโœผ โฌ โœผ โœ‰ โ‰โ˜žโ– โœถ โ…โชโœผโ˜žโ–โฉโŠ โœถ โ— โˆ โœผโ–ผโŠ โœท P โ‹ โœผ โด โ โ– โœทโ– โœถ โ‹ โƒ โ โ–ฒโโœผ โ—โœดโœ โœตโ–ฒ โœถ โ‹ โฌ โ– โœถ โตโœPโˆโœผโœโ‘ โœถ โžถ โœผ โžถ โ‘โ™ฃโŠ โœถ โœŽ โ… โž˜ โžพ โž โœ˜ โช โž“โž โž” โ†• โดโœโœ’ โœผโ–ผโŠ โœท P โ‹ โœผโœฏโด โ โ– โœทโƒโœถ โ‹ โƒ โ โ–ฒโœธโœผโ‘ฆโ–โ– โ‰โ˜žโœผโœพโ–ฒโœธโ–ฒโโœผโœฏโ—† โœด Pโˆโ– โœทโ– โœด P โœท โœ˜ โœŒ โง โœฝ โตโ™ฃโœผโœฏโ–โƒโ‰โ–ผโŠโ——Pโˆโ–ฒ โœทโ– โ โœทโฉโฌ โœผโœขโœตโ——โ– โโœโฌโœฎโœด โ‹ โœถ โ…โ˜โ— โโกโœทโ– โœถโœธโœด โ‹โœทโœถ โŠโƒP โœถโโœ‰โกโ โ‹ โœท โœผโ–ผโŠ โœทโฌโœฎโœด โ‹ โ— โฌโœปโˆ P โ‹ โœถ โ‹ โœท โ‰โ˜žโ– โœก โœท โ–โ– โœผโ˜žโด โ โ–โ›โตโœP โโœžโณ โ–ฒโœธโœผ โขโœธโœฆโœน โ™ฆ s โœœโœปโœบโœทโœผโœŸโœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโœ‡โœ‰โœ“โœพโœซโœฟโœ sโ˜›โœ† โœœโœ„โ€โ‚โโ„โƒ โœ‰ โ—โ†โ…โœทโ‡โœฏโˆ โœŽ โฝโ‘งโ‘ฆโ‘ฉโ‘จ โžŽ โนโฑโ‘จโ˜žโ‰ โ‘คโžˆโนโฑโท โžท โนโฒโž€โž‹โปโœโž…โžˆโพโœนโนโธโž€ โ‘คโžˆโนโ‹โŠโŠโ‘ฆโ‘ฉโž‡โ—โœงโœนโนโธโผโฒโ‘จโœปโนโฑโ‘จโ‰โพโœนโฝโ‘งโ‘ข โž€โฒโ‘ฆโœ‡โ‘คโ˜…โœชโฑโผโ„โฝโž‰โ‘ขโœโž€ โœ˜ โœฃ โžŽ โจ โ‰โทโบโ‘ข โฝโœนโปโœโœชโฑโผโ„โž…โž‰โ‘จโœโนโฑโทโบโผโ™ฃโ‘คโžˆโนโœ”โŠโ‹โ‘ฆโ‘ฉโž‡โ‚โœงโ– โนโฑโผโฒโ‘จ โžฑ โœŽ โพ โœฅโžโžŠ โ‘ฆโœ‡โ‘คโž‰โ‘จ โœ โœŽ โฝโ‘งโ‘ฆโ‘ฉโ‘จโœ›โโโ–  โ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โžโœ™โ‘ โฃ โž‡ โžด โนโธโž€โž‹โป โž…โž’โพโ– โน โ‘คโž’โนโฒโž€ โžŠ โž…โž‰โผโฒโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ข โœฃ โž…โž‰โž‡โžโนโฒโž€โ˜›โผโ–ฒโœชโ– โนโฑโž‡โ‘ฉโž‡โโนโธโž€โ™ฃโพโœนโฝโž‰โ‘ขโœโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโœโทโœโนโธโž€โžŠ โทโบโ‘ข โ‘ฆ โ‘คโžˆโนโ†โž‡โโž… โ‘ข โฝโž‰โผ โžŠ โนโžโ˜žโ™โœณโž โœ“โ–ผโ–โ—† โœ โ‘ฃ โฅ โฎ โœ– โ‘ค โฎ P โ™  รโ˜โ——โ˜โ™ โ˜… โœชโœญโœฌโžพ โ‘ขโœ•โ‘ฃ โฅ โฎ โœ– โ‘ค โž‘ โ™โดโžœโž‰โž‘ โœ“โฏโš โœฝ

โœŽ โ‘ฆ โœ โนโธโž€โฒโ‘จ โ‘คโž’โž…โž‰โ‘ขโœโž€ โœšโ‘โ โžŽ โœป โž‚ โ โ–  โ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โžโœ™โ‘ โฃโ„โฃ โž โž‡ โžด โนโฑโ‘ข โž€โฑโน โžŠ โœงโฑโž‡โโนโœŒโ‘คโžˆโนโธโž€ โž…โœนโปโžˆโป โž‡ โ‘ฆโœ‡โพโœนโž…โž‰โ‘จโž‹โ‘ฆโœ‡โฝโž‰โ‘ข โž€โ‘ฅโž‡ โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโ†โœชโœนโž…โ‘งโ‘ฆโ‘ฉโผโ„โนโฒโž€โ™ฃโพโœนโฝโ‘งโ‘ขโœโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโœโทโœโนโธโž€โโ‘คโ‘งโทโž™โ‘คโž‰โทโœโž…โž‰โž‡ โ‘คโžˆโนโžŽ โž โ‘ข โฝโž‰โ‘จโœซโœช โžŽ โœปโž‰โž โ‘คโžˆโž…โ‘งโ‘ข โž€โฑโ โ–  โ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โžโ–ฒโ‘ โฃโขโฃ โž โž…โž‰โž‡โžโฝโž‰โผโœนโž€ โœ˜โณโฒ โœ โนโธโž€โฒโ‘จโœฉโทโบโ‘ข โน โžŠ โž…โž‰โผโฒโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ข โœฃ โž…โž‰โž‡โโน โพโœนโฝโž‰โ‘ข โ‘จtโ‘ฆโ‘ฉโ‘ข โทโœโนโ†โž‚โโž„โž‰โž…โž‰โž‡โžโนโธโทโบโผโœนโž€โ‚โ‘คโž’โž…โž‰โ‘ข โž€โฑโ‰ โœโœณ Pโˆโ—†โˆโ—† โœด โŠ โœด โ‹ โŠโฉโด โโœ’โœถ โ‹ โœท โœผ โ‹ โ โ‹ โœทโœฑโฌโœฎโœด โ‹โชโ‹ โ‰โณP โ‹ โœด โ—†โ˜โ‰โœพโ– โ โœท โœผโœพPโˆโ– โฌ โœผโโ… โœถ โ–ฒ โณ โœผโ˜žโ– โœท โ™ฆ โœณ โ—โœนโœธโˆโด โœถโซโฌโœตโœทโ‘ฆโฌ โœผ โœš โœ“ โฌโˆโ โ‹ โŠ โ–ฒโœธP โœถ โ™ฆโ™ โด โœกโœพโดโณโœผ โ‹ โœด โœท โ‰ร โž โœท โœผโ˜žโ–ฒ โตโœPโˆโœผ โขโจโฌโฉ โœโœฉsโ˜›โœžโญโœน โœบ โœ„ โœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโœ‡โœ‰โซโชโฒโž‡ โน โžท โ‘ฆ โž€โœนโ‘จโœโนโตโด โช โด โ‘จโž›โนโฑโž‡ โถโธโทโœโน ร โž€โฑโฝโž‰โ‘ฆโ‘ฉโ‘จโ™ โทโบโ‘ขโœ โนโโž…โ– โปโž’โปโœ โž‡ โ‘ฆโœ‡โพโœนโž…โ‘งโ‘จtโ‘ฆโœ‡โฝโ‘งโ‘ขโž™โž‡ โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโ›โœชโ– โž…โ‘งโ‘ฆโ‘ฉโผโ„โนโ˜›โพโœนโฝโ‘งโ‘ขโœโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโœโทโœโนโœโœงโฑโ‘ฆ โ˜ž โนโ– โพโฑโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโž„โž†โนโ™ฃโ‘คโžˆโนโœš โœ“ โ‘คโžˆโž…โž‰โ‘ขโœโž€โžโโขโก โ–  โœ–โœ™โœ˜ โœ“ โฎ โœ“ โœโœ•โฃโœฝโœทโœผ โœ– โœœ โœ˜โœ›โœš โœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโœ‡โœ‰โœโค โทโบโ‘ฆ โž€โฑโถโธโทโœโน โž‡ โžด โ‘ฆโ‘ฉโ‘ข โ˜ž โนโœนโพโธโ‘จโž‹โ‘ฆโœ‡โฝโž‰โ‘ข โ‘คโžˆโนโฅโโขโก โ–  โœ–โœกโœ˜ โœ“ โฎ โœ“ โ‘คโž’โž…โž‰โ‘ขโœโž€ โœš โœ“ โนโฒโž€โฒโ‘จโœโŠโ‹โ‘ฆโ‘ฉโž‡โ—โœงโœนโนโฑโผโฒโ‘จ โžฑ โœŽโ‰โพ โœฅโบโžŠ โ‘ฆโœ‡โ‘คโ‘งโ‘จโœ‡โžฃโ˜›โž‡โžโน โพโœนโž…โž‰โผโ– โž…โžˆโพโฑโ‘จ โƒ โผโ„โนโŠโ‹โ‘ฆโ‘ฉโž‡โ—โœงโœนโนโฑโผโฒโ‘จ โžฑ โœŽโ‰โพ โœฅโบโžŠ โ‘ฆโœ‡โ‘คโ‘งโ‘จ โ‘คโž’โน ร โ‘คโžˆโน โœš โœ“ โ‘คโž’โž…โž‰โ‘ขโœโž€โœŒโž‡ โทโบโ‘ฆ โžฑโœโžŠโœ”โฆโฑโžŠ โน โนโฒโž€โฒโ‘จ โœฃ โž…โ‘งโผโ„โž…โž‰โ‘ข โ‘จtโ‘ฆ โœโบโžฌ โฝโž‰โ‘ข โพโฒโžฃโŠโ‘ฆโ‘ฉโž‡โ‘โน โžท โ‘ฆ โž€โฒโ‘จโž›โน โทโบโ‘ขโœโ‘ขโœ โฝโ™ โงโžˆโž…โž‰โทโœœโถโฑโทโœโน โ‘ข โฝโž‰โทโžโž€โ‘ขโœ โฝโ‘งโ‘จโž›โนโฑโผโ„โฝโž‰โ‘ขโœโž€โ‹โนโฑโ‘ขโœ โพโœนโฝโ‘งโผโ„โน ร โ‘คโžˆโนโŠโž€โธโฝโ‘งโผโฒโ‘จโž›โน โถโฑโทโœโนโŠโž‡ โžด โฝโœนโปโœโœชโฑโผโ„โž…โ‘งโ‘จโž›โนโฑโทโบโผ ร โž€โฑโฝโž‰โ‘ฆโ‘ฉโ‘จโ€โ‘คโžˆโนโ†โž‡โโž… โœฅ โฝโž‰โผ โžŠ โน โœ‘โ ร โœ โฃ โ โž” โฃ ร โžฒ โœ–

โฅร โ โž” โž โ†” โฃ โœโšโ โ†” โฃโ™ฆโ™ฅ โ†” โ‘  โ˜› โœ›qโ™ฃ โžฒ โœ–

โฅโžฒ โœ–โฅ

ร โ โž” โž โ†” โฃ โœ“ โ™ฅ โž” โ™ฅ โ†” โ…โœ™ โžšโ™โžชโ–ผโœˆโœฝโžถโœทโžชโž”โžนโž„ โ‹ โŠโƒPโˆโ—†โˆโ—† โœด โŠโƒโœผโฉโ‰โฑโƒ โ โ–ฒโโœผโ˜žโดโณโœผ โ‹ โœท โตโœPโชโœผ โขโจโฌโฉ โœโœฉsโ˜›โœžโญโœน โœบ โœ„ โœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโโ— ร โž€โฑโฝโ‘งโ‘ฆโ‘ฉโ‘จโœฝโ‘จโž‹โผโฒโ‘ฆโœ‡โž…โž‰โ‘ข โœฃ โทโบโž‡โโž…โ‘งโ‘ฆโ‘ฉโผโ„โนโธโžฃโœฉโ‘ฆ โœ โน โœ โžฃ ร โ โž” โž โ†” โฃ ร โด โปโœโฝโž‰โทโบโผโ‹โ‘จโœโฝโž‰โทโบโ‘จโšโ†”โ‹โ†• โž”โœฝโ†• โด โœ

Page 188: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ ๏ฟฝโชโœ“ ๏ฟฝโชโœ“ โœโ™ฃโœ โœŒโœŽโœ™โโœญโ˜Žโœ”โœบโœโ™ฃโ˜›โ˜โœ†โœŸโ˜› โœฆโœšโœโœซโœ‚โœŽโœ›โœœโœ– โœฐ โœโœคโœŒโฉโœชโœœโœโœคโœ– โœ‚ โœ โžชโž”รธโฒรธโœ•โฃโœฝโœทโœผ โœ– โœœ โœ˜โœ›โœš โœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโโ— โ‘ โ‘ฃโ‘ขโ‘ฅโผโ– โน โžŠ โž…โž‰โผโ„โถโฑโทโœโนโŠโถโฑโทโœโนโ‹โพโœนโนโฒโž€โ‹โ‘คโžˆโนโฑโท โžท โœฅ โงโ– โปโœโฝโž‰โ‘จ โœฅ โƒ โž€โฑโนโฒโž€โ‘โž€โฑโฝโž‰โ‘ขโœโ‘จ โž„โœปโœชโฑโผโฒโ‘ฆ โœœ โœชโœนโนโฒโž€โœฉโป โฝโ‘งโทโบโผโžƒโ‘จโœโฝโž‰โทโบโ‘จโขโด โปโœโž…โž‰โผ โž‡โโนโ‹โ‘ขโœ โฝโœปโงโžˆโž…โ‘งโทร โ โž” โž โ†” โฃ ร โœ–๏ฟฝ โœ โก โ–  โœ–โœกโœ˜ โœ“ โ™  โ โž” โžผ โ†” โฃ โก โœธ โœ–โœ™โœ˜ โœ“โœ‚โœ โ‘ฃ โฅ โฎ โžพ โ™  โ โ†” โฃ โถโธโทโบโ‘ฆ โพโ– โฝโ‘งโผโฒโผโ„โนโธโž€tโปโœโฝโž‰โ‘ข โ‘คโ™ฃโž‚โ˜Žโœ„ โก โปโœ โทโบโ‘ฆ โž€โฑโถโฑโทโœโนโฒโžฃ โ‘คโž’โž…โž‰โ‘ขโœโž€โ‚โพโ– โน โพโœนโž…โž†โž€โœนโžฃ ร โžฃโœฝโนโธโ‘ข โ‘จโž›โน โžŠ โป โž€โถโธโทโœโน โœฅ โฝโ‘งโ‘ขโœ โพโฑโ‘จtโ‘ฆโœ‡โฝโ‘งโ‘ข โžฃโ™ โพโœนโฝโœโœ†โ‘ฉโ‘ข โพโธโ‘ฆโœ‡โ‘คโž’โนโ™ฃโž…โ‘งโž„โž†โนโœนโพโœŸโœž โก โ–  โœ–โœกโœ˜ โœ“โฅ โœ  โœฝ โœฒ โน โžŠ โฝโž‰โทโบโž„โž‰โน โžŠ โนโฑโ‘ขโœโ‘จโ˜›โœกโ€โผโ„โฝโœโ˜ž โ‘ข โ‘ฆโœ‡โนโธโ‘ข โœฅ โผโ„โž…โžˆโพโฑโ‘จtโ‘ฆโœ‡โฝโ‘งโ‘ขโœโ‘ข โž…โž‰โ‘ฆโ‘ฉโผโ„โนโ™ฃโž…โžˆโ‘ค โžŠ โนโฑโ‘จโ€โž‡โโž…โ‘ฅโผโ„โนโœโปโœ โผโœ™โœชโธโž€โฑโนโธโ‘ข โžฑโ‘จโž›โž…โ‘งโ‘จtโ‘ฆโœ‡โฝโ‘งโ‘ขโœโœŒ โžพ

โฅโœŽ โกโœปโ โž” โž โ†” โฃโ˜žโ™ฅ โœ„ โžœโž‰โž โž…โ‘งโž„โž†โนโœนโพ โœŽ โก โ‘คโž’โนโ†โž‡โžโž… โœฅ โฝโž‰โผ โžŠ โน โœ‘โœŽ โก โ โž” โž โ†” โฃ ร โœ โก โ โž” โž โ†” โฃ โ โž” โžผ โ†” โฃ โก โœธ โœ–โœ™โœ˜ โœ“ โ†” โœธโœ‘โœ โก โœธ โœ–โœ™โœ˜ โœ“ โœ โžโฝโœโœ’ โœ โก โนโฒโž€โฒโ‘จ โทโบโ‘ขโœ โน โœฅ โฝโž‰โ‘ข โพโธโ‘จโž‹โ‘ฆโœ‡โฝโž‰โ‘ข โœงโฑโ‘ฆโœ‡โพโœนโฝโž‰โ‘ขโœโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโœโทโœโน โœบ โž„โž‰โฝโž‰โ‘ฆโ‘ฉโผโ˜›โป โž…โ‘งโผโ„โž… โœฃ โผโ„โž…โœนโป โœฅ โนโœ”โœ“ โœ โœฌโœ™โโœฉโœโ—โžฌ โนโโป โž‡ โทโžโž€โœนโžฃ โœพโœ”โœฆ โœ“ โœฆโ€โœฟ โž…โž‰โž€โ– โž€โฒโทโบโผโ„โนโฌโถโฑโทโœโน โœŽ โก โนโฒโž€โฒโ‘จโทโบโ‘ขโœœโ‘ฆ โž€โฑโฝ โžŠ โฝโž‰โผโž‹โป โœฅ โ‘ฆ โž€ โžŠ โนโž™โ‘คโžˆโน โœš โœ“ โ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โฃ โ‘คโžˆโž…โž‰โ‘ขโœโž€โœโœž โก โ–  โœ–โœ™โœ˜ โœ“โฅ โœ  โโœฎโœš โœ“ โ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โฃโ„โฃ โœ โคโœงโž…โž‰โผ โพโ– โฝโ‘งโ‘ข โž€โœดโœชโœนโถโธโทโœโนโฑโ‘ขโœโ‘จ โœŽ โก โž€โฑโž…โž‰โ‘จโž‹โ‘ฆ โž€ โœฅ โž…โž‰โ‘ฆโ‘ฉโ‘จ โž‡โโนโธโž€ โ‘คโžˆโนโฑโท โžทโœฅ โงโ– โปโœโฝโž‰โ‘จ โœฅ โƒ โž€โฑโนโฒโž€ โœฆ โœ“ โœโœซโœฆ โนโธโ‘จ โœฆ โœ“ โœ โœ“โŠโปโœโฝโž‰โทโบโผโ‹โ‘จโœโฝโž‰โทโบโ‘จ โด โœŒ โ โด โž โ‘ง โฃ โœโœโœโœฝโœทโœผโœŸโœผโœŸโœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโœ‡โœ‰โœโœŽโ‰โฝโž‰โ‘ฆโ‘ฉโ‘จ โ™ โทโบโ‘ขโœ โน โžŠ โž…โ‘งโผโฒโ‘จtโ‘ฆโ‘ฉโ‘ข โœฃ โž…โ‘งโž‡โโน โพโ– โฝโ‘งโ‘ขโœโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโœโทโœโนโ†โ‘จโž›โนโฑโž‡โ‘ฉโž‡โโน โถโฑโทโœโน

โ…โ™ โช โžพ ร โ™ฃ โž” โป โฝโ‘งโทโบโผโ‹โ‘จโž›โฝโ‘งโทโบโ‘จโ——โž” โœŒ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โœ โœŽโ‰โฝโž‰โ‘ฆโ‘ฉโ‘จร โž€โฑโž…โž‰โ‘จโž‹โ‘ฆ โž€ โœฅ โž…โž‰โ‘ฆ โž€โฑโž…โž‰โ‘ข โ‘จ โž‡โžโนโฒโž€ โœฅ โงโ– โปโœโฝโž‰โ‘จ โœฅ โƒ โž€โฑโนโฒโž€ โœฆ โœ“ โœโœซโœฆ โนโธโ‘จ โœฆ โœ“ โœ โœ“ โœ โœฃ โž‡โโฝโž‰โผโœนโž€โœนโžฃ โปโœโฝโž‰โทโบโผโ‹โ‘จโœโฝโž‰โทโบโ‘จ โฃโœโœŒ โ โโขโก โ–  โœ–โœกโœ˜ โœ“ โฎ โœ“ โฃ โœป โžฃโœ“โœ–โœ• โœคโžพ โ โฃ โฃ โœฃ ร โžฒ โžพ

โฅร โœป โฃ โ โ†” โฃโ˜žโ™ฅ โ™โž™โžœโž†โž โž” โœŒโโ€ โด โž โ‘ง โ„ โœ—โนโฒโž€โฒโ‘จ โทโบโ‘ข โน โžŠ โž…โ‘งโผโฒโ‘จtโ‘ฆโ‘ฉโ‘ข โœฃ โž…โ‘งโž‡โโนโ†โพโœนโฝโ‘งโ‘ขโœโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโœโทโœโน โœโดโžฌ โนโœฝโปโœ โž‡ โทโžโž€โ– โžฃโœ โปโœโฝโž‰โทโบโผโ‘โ‘จโž›โฝโ‘งโทโบโ‘จโœ˜โœ— โœŒ โ โด โž โด โ„ โž โชโฒโž‡โœปโน โžท โ‘ฆ โž€โฒโ‘จโœโน โทโบโ‘ขโ‚โปโœ โผโ„โฝโฟโพโœนโนโฒโž€โœนโž€โฒโทโžโž€ โž‚ โž„โž‰โž…โž‰โž‡โžโนโธโทโบโผโœนโž€โ‹โ‘คโžˆโž…โž‰โ‘ขโœโž€โ โก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โž…โœนโปโžˆโปโœโนโธโž‡โ‚โœชโœœโœ› โœค โ‘จโœโนโธโž‡โ——โถโฑโทโœโนโธโžฃ โป โฝโ‘งโทโบโผโ‹โ‘จโž›โฝโ‘งโทโบโ‘จ โฃโœโœŒ โ โ โก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โฃ โœป โฝโ‘งโ‘ข โž…โ‘งโ‘ฆโ‘ฉโ‘จ โœ‘โœ• โœคโžพ โ โฃ โฃ ร

โ…โฃโžƒโž โœ› โœคโžพ โช โœโœฃโœขโœฅโœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœท โ™ โœชโœฉ โฎ โœขโœฅโœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœทโžฌ โœช โžŠ โฝโž‰โ‘ข โž€โฒโ‘จโž‹โผโ„โž…โž‰โ‘จโž‹โ‘ฆโœ‡โฝโž‰โ‘ข โœ‘โ โœถ โ‡ โœด โ‹ โŠ โœ— โœŒ โ โด โž โด โ„ร™โžถ โœ โœด โ‹ โŠ โœถโซโฌ โ‰โœพโ– โœด โ‹ โŠโโ–ฒ โˆ โ โ—†โˆโ—†โชโ–ฒ โœถ โ— โ โœทโƒโœถโโœด โ‹ โ–ฒ โœถ โ‹ โ‰ โโœ’โœถ โ–โ– โœผ

โœ โœฃ โ โโขโก โ–  โœ–โœ™โœ˜ โœ“ โฎ โœ“ โฃ โœป โžผ โจ โโโ–  โ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โžโ–ฒโ‘ โฃโฃ โžผ โจ โœ™ โœ• โœคโžพ โ โฃ โฃ โž โž” โœŒโฅโ€ โด โž โ‘ง โ„ โœฅ โœฝโต โˆ โœถ โ‹ โ‰โฑโƒ โ โ–ฒ โœถโœธโœท โ‰ โฌ โœผโœฑโค โœดโœตโœดโžโณ โ‹ โœด Pโ˜โŠ โ โŠโ– โŠโ——Pโˆโ–โ– โœผโฉโตโœPโชโœผ โขโ——โœฌโœซ โ˜…โœซโœชโœฐโœฌโžพ โœœ โœ– โž‘โœ•โœคโžพ โ โฃ โฃ โž‘ โœ“โœฎโœญ โœ” โ™ฃ โž ร โœป โ™ฅ โž โœ“โœฏ โœท โœ” โ™ฃ โž โ™ฅ โž โœ“ โœโœฑโœฐ โœค โœ  โœถโœณโœฒ โœท โœง โœท โ™  โœฉ โœฝโค โœด โ‹ โ—โœฎโœ โœผโ–ผโŠ โœทโœŽโฌโˆโ โ‹ โŠ โœšโžƒโโ„โ โโขโก โ–  โœ–โœกโœ˜ โœ“ โฎ โœ“ โฃ โœปโž‰โž โ โ–  โ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โžโ–ฒโ‘ โฃโขโฃ โœฝโœบโœ โœด โดโณโดโœฏโœผโฉโ–ฒ โˆ โœถ โ‹ โ—โœฌโœผโ–ผโ— โœทโƒโœถโโœด โ‹ โฌ โœผ โโขโก โ–  โœ–โœกโœ˜ โœ“ โฎ โœ“ โฌโˆโ โ‹ โŠ โโœšโœด โ–  โœ–โœกโœ˜ โœ“ โฎ โœ“ โœผโ–ผโŠ โœทโ… โœถ โ–ฒ โณ โœผโ˜žโ– โœท โ™ฆ โœณ โ—โœนโœธโˆโด โœถโซโฌโœตโœท โ—† โœด Pโˆโ–โœถโœต

โ…โด โžผ โ‘งโœธโœท โœฒ โžโœตโ–ฒโœธโœผโœฑโ–โ– โ‰โœพโŠโƒPโˆโ–ฒ โœทโ– โโกโœทโœŸโฌ โ‰โ–ผโ— โœด Pโˆโ–ฒโœธโœผ โฌ P โœท โœธโˆโ‰ โœด โ–โƒrโœพโดโœฏโœผ โžช โœˆโœตโžถโžƒโžชโทโžถ โœค

โœฅโ‘โ˜…โ˜›โœงโœ‘โ˜… โœน โœฌโœžโ™โšโ–ผโœงโ–โ†’Pโœญโœฒโœ‘โœธโœบโœฎโœนโœธโœปโœบโœฑโœฌโœฏโœถ โœปโœผโœชโ˜Žโœผโœฆโœฌโ‘ฃโ™โœพโœฝโœฆโœฌโƒโœชโœญโœถ โœฌโœฝโœŽโ โœฟโ‚โโƒโœฟโ„โœฝ โˆ โ†โœ‚โ—โœฝโญโœ‚โฏโœ โ—† โจโœพโฏโœบโ— โœ† โฏ โโโฏโœ†โณ โ˜žโœ™โ—†โœ•โŠPโˆโ„โ—โ™ โจ โ˜žโ€โ˜โ‹โฏโœŽโ‡โดโซ โˆโ„โ˜โ„โ—— โฏโœ โ—†โœ•โŠPโˆโ‹โฏโœบโ—โ–โ—โโฏโœบโ‡

โต โˆ โœผโœพโŠโƒโ—† โ โ—โ˜žโœผ โฌ โœผโœพโŠโœŽโดโณโœผโœพโŠโƒPโˆโ–โ– โœผโœพโŠโœœโœผ โ‹ โœทโ– โœถ rโœพโ–โƒโœผโ–ผโŠโœŽโŠ โœถ โดโณโ—†โˆโ–ฒโโœผโœพโŠโœพโ‘โˆโ–ฒ โœด โ— โ โ–ฒโโœผโ˜žโดโณโœผ โ‹ โœท โ… โ‹ โœถ โœผโœพโŠโœŸโŠโƒPโˆโ–โ‘ฆโ€ โด โž โ‘ง โ„ โŠโƒโœผโ˜žโ– โโ‹ โœด โœท โ‰โœ›โœฆ โžถ โž„ โ‹ โฌ โ‰โ˜žโ… โ‹ โœถโœธโœท โ–ฒ โโ—†โˆโ– โœดโžโณโชโโžโณโˆโœถ โ–ฒ โœถโœธโœท โ‰โ†โฆ โ— โœด โดโณโดโณโœผโœฏโ–ฒ โˆ P โ‹ โœถ โตโœPโˆโœผ โดโณโœผโ–ผโŠโ——Pโˆโ–โ– โœผ โŠโƒPโˆโ–โœ›โœฆโฏโตโœP โœถ โœบ โ โœถโœธโœทโฉโฌ โœผ โ–ฒ โ โดโณโœผโ–ผโŠโ——Pโˆโ–โ– โœผ โ— โ โ‹ โœด โ‹ โœถ โตโœPโชโœผ โžป P โ‹ โœผ โดโณโœผโœพโŠโƒPโˆโ–โ– โœผ โฌ โœผโœฟ โœดโœ’โœถ โŠโƒโŠ โœด โ‹ โฌ โœผโ‘ฆโ— โœด โดโœฏโ—†โžโœผ โ‹ โŠ โ โœท โœผโ˜žPโชโ– โœน โ™ฅ โ†” โžถ โต โ โ…โชโ–ฒ โœท โ– โโกโœทโƒโœถโโœด โ‹ โ— โ โ‹ โœด โ‹ โœถ โตโœPโˆโœผโžƒโก โœผโœพโŠ โœทโœŽโฌ โ‰โญโ… โ‹ โœถ โœผโœฑโ—† โ โ– โข

โก โฅ ร โœŽโœธโœฟ โž โœฆ โœ’ โœผ โœท โก โžพ รโโ€ โœ“ โžฒ โžœโฅโžป โ โ™ฅ โ†” โฃ โž โ†” โœ” โž” โœ— โžโœœโ—† โœด Pโˆโ– โœทโƒโœด P โœท โž” โœŒโฅโ€ โด โž โ‘ง โ„โ™ โœฝโž„ โ‹ โ—† โœด โŠโƒโœผ โœƒโƒโ‚โžœ ร โžป โ โ€ โด โž โ†” โ„ โฃ โœฝ โ‰ โœด โœท โ–โƒโœผ โœดโ˜Žโณ โ—โœฌโœผ โœทโœŸโฌ โœผ โณโชโ โŠโ——โœผโฉโœผโ–ผโŠ โœท โ–ฒโโœผโœฑโ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——PโชโŠ โž˜ โ‚ โž โฌ โ‰โ˜žโ… โ‹ โœถ โ—† โ โ– โข

โž˜ โ‚โžพร’ร โœน โœธ โœ–โœ™โœ˜ โœ“ โžฒ โžพโฅร โ โž” โž โ†” โฃ โ โ™ฅ โœƒ โ‚โžœ โžผ โœน โ™ฅ โ†” โฃ

ร โ‘งโ„ โœน โœชโœฟ โค โœ– รโ โž” โž โ‚ โœฟ โฃโ†โ… โ‘ฃ โœ‚ โœ  โœœ โžพ โ‘ค โžผ โžฒ โžพ

โฅร โ โž” โž โ†” โฃ โ„ โœน โ™ฅ โ†” โž

Page 189: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžชโž”รธ ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœšโœ†โœšโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœซโœ ๏ฟฝโชโœ“ โœฆ โœ” โœžโœกโœžโœ๏ฟฝ โœ†โณโœ” โœฃโœ„โœ‚โ˜Ž๏ฟฝโœดโžโก ร โŠ โโกโœทโ– โœถ โŠโขโœบ โ โœถโœธโœท โ–ฒโโœผโœพโŠโ™ โœธ โœ โœตโ—† โœด โœท โœธโˆrโœพโŠโƒโœผโœพโŠ โžชโ–ผโœˆโœตโžถโžƒโžช โœผ โœท โžชโ–ผโœˆโœฝโžถ โœˆโœฝโžถ q โ‹ โœ‰ โœผโ˜žโ– โœท P โฌ โœผqโ–ฒ โ โ— โœด โ‹ โœทโ– โœถ โ‹ P โœถโœธโœท โ‰ โฌ โœผ ร โ โž” โž โœฝ โฃ โ‘ โœถ โ–ฒ โœผโœพโŠ โœท โ—โญโ–ฒ โ โœถ โ–โœโตโœPโˆโœผโž˜ โ‚ โœผโœพโŠ โœท โœผ โœท โ– โ โ—โœฌโœผโ–ผโ— โœทโƒโœดโœโœถ โ–โ– โœผโœพโŠโœœโ— โœด โ‹ โœทโƒโœถ โ‹ PโˆโœผโœพโŠ โžถโœโœโœฝโœทโœผโœŸโœผโœŸโœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโโ— โ‘ โ‘ฃโ‘ข โ‘ข โฝโž‰โ‘จโœโนโœ๏ฟฝ โžพ โž‡โโž… โžŠ โž…โž†โž€โœนโž€โฑโนโ‚โ‘คโž’โน โžฌ โ‘ฆโ‘ฉโผโ„โž…โž’โพโ‚โนโฑโ‘ข โž” โœtโ’ โฝโž‰โ‘ขโœโž€โฒโ‘ฆโœ‡โ‘คโ˜…โœชโฑโผโ„โฝโž‰โ‘ขโœโž€ โด โช โœ–โœ“ โœโ‘ โ‘ฃโ‘ข โž…โ‘โปโœโฝโž‰โทโบโผโ‹โ‘จโœโฝโž‰โทโบโ‘จโœปโž” โœŒ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โžฃ

โœ•โœคโžพ โ ๏ฟฝ โžพโžกโฃ โนโธโž€โฒโ‘จโœฐโœงโฑโ‘ฆโœ‡โนโธโ‘ขโฌโ‘คโ˜…โœช โœœ โ‘ข โ‘ฆโœฉโนโธโ‘จโœฉโž€ โžด โœชโœนโพโฑโผโฒโ‘ฆโ‘ฉโ‘จ โœ‘โœ• โœคโžพ โ ๏ฟฝ โžพ โฃ ร โžฒ โžพ

โฅร โ โž” โž โ†” โฃโ˜žโ™ฅ โ™ โžœ

รโ…๏ฟฝ โžพ โž โœ› โœคโžพ โช โœโœฑโœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœท โ™ โœณโœฉ โฎ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœทโžฌ โœช โžŠ โฝโž‰โ‘ข โž€โฒโ‘จโž‹โผโ„โž…โž‰โ‘จโž‹โ‘ฆโœ‡โฝโž‰โ‘ข โ‘คโž‰โท โž‡โโน โžŠโ‚โžŠ โน โœ‘

โœ•โฃโœฝโœทโœผ โœ– โœœ โœ˜โœ›โœš โœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโ˜žโ˜› โœŽ โนโฑโž‡โโฝโž‰โ‘ขโชโถโฑโทโœโน โž‡ โžด โฝโž‰โ‘ขโœ†โ‘จโž‹โผโ„โž…โž‰โž„โž‰โž…โž‰โ‘ฆโ‘ฉโž‡โ‘ฉโž‡โโนโฌโž…โ‘งโž„โž†โนโœนโพ โž‡โโน โ™ ร โœ„ โฝโ‘งโท โ™ ร โœ‚โœƒ โžฃโโฝโž‰โ‘ข โทโบโ‘จtโ‘ฆโ‘ฉโž‡ โ‘ฆ โž€โธโน โž‡โžโน โพโœนโž…โ‘งโž‡โโพโธโทโบโž‡โž€โฒโ‘จโž›โฝโฟโพ โœฅ โž…โž†โž€โฒโ‘จโž‹โ‘ฆโœ‡โถโธโทโœโนโ†โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโœโ‘จโž‹โผโ„โฝโฟโ‘คโž‰โทโบโ‘ฆโ‘ฉโ‘จ โ‘คโž’โž…โž‰โ‘ขโœโž€ โž‡โžโนโฒโž€โ†โพ โœฅ โž…โ– โป โ‘ฆโ‘ฉโ‘จtโผโ– โนโฒโž€โ˜Žโœ„โœŒโฝโž‰โท โœฆโœฉโ˜…โœชโœโœโœ† โž… โ‘ข โนโ†โพ โœฅ โž…โ‘งโ‘ข โœฃ โนโ†โผโฒโ‘ฆโœ‡โนโฑโ‘ข โž…โ‘งโท โผโ„โž…โž‰โ‘ฆ โž€โฑโฝโ‘งโ‘ขโœโ‘ขโœ โน โžŠ โนโธโ‘ข โ‘จ โœโœž โœก โœฝ โœœโœปโœฝโœ โœŸ โœ– โœžโœโœ†โœ‡sโ˜Žโœก โœ† โœผ โœโœฉs โœœ โœžโœ โœ– โœกโœ’โœž โœฝ โœณโœตโœดโœ’โœถโœธโœท โ™ฅ โœŒ โ โ โก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โฃ โœป โ‘โ˜›โœก P โ‹ โœผโ‚โœบ โœด โ‹ โ— โœทโƒโœถโโœด โ‹โˆโ‹ โœผโ˜žโ–ฒโโ–ฒโœธโœผ โ—โฏโœ โœตโ–ฒ โœถ โ‹ โฌ โ– โœถ โตโœPโˆโœผโœฏโœผ โœท โž” โœŒโœงโ€ โด โž โ‘ง โ„โ…โˆโ‡โœฎโ‰ โžถ โž„ โ‹ โ โข โ—— โ€ โœ• โžพ โ โ™ฅ โฃ โœฝ โœก โ„ ร โ—— โœซ โžฒ โžพ

โฅร โœป โฃ โ โ†” โฃโ˜žโ™ฅ tโœƒ โœฟโžœ โœฝ โœก โœญ โžšโ™โžชโ–ผโœˆโœฝโžถ โœˆโฒโžน

ร โ—— โœซ โžฒ โžพโฅ

ร โœป โ โฃ โฃ โ โ†” โฃ โ‘งโ„ โœนโœŒโ˜ž โžœ โœก โœน โ™ฅ โ†” โœญ โžšโ™โžชโ–ผโœˆโœฝโžถ โœ†โชโžนร โ—— โœซ โžฒ โžพ

โฅโžฒ โœ–โฅ

ร โ โฒ โž โ†” โฃ โ‘งโ„ โœน โฃ โ โฒ โฃโ˜žโ™ฅ โฒ โ˜ž โžœโœโœก โœน โ™ฅ โ†” โœญร โ—— โœซ โžฒ โœ–

โฅโžฒ โžพโฅร โ โฒ โž โ†” โฃ โ‘งโ„ โœนโœŽโ˜ž โžœโœโœก โœน โ™ฅ โ†” โฃ โ โฒ โฃโœโ™ฅ โฒ โœญโž„ โ‹ P โœทโƒโœถ โ–ฒ โœถ โŠโ——โœผโœฑโด โโœ’โœถ โ‹ โœท โœผ โ‹ โ โ‹ โœท โ P โณโˆโœถ โ‹ โœถ โ—† โœด Pโˆโ–โœŸโ‰โ–ผโ—โญโ– โœถ โ–โ– โœผ โขโ—— โ€ โœ• โžพ โ โ™ฅ โฃ โœฝ โœก โ„ ร โžฒ โœ–

โฅโ——โœฌโœซ โžฒ โžพ

โฅร โ โฒ โž โ†” โฃ โ‘งโ„ โœน โ˜ž โžœ โœก โœน โ™ฅ โ†” โœญ โฃ โ โฒ โฃโ˜žโ™ฅ โฒ

ร โžฒ โœ–โฅโ—— โœซ โžฒ โžพ

โฅร โ โฒ โž โ†” โฃโ˜žโ™ฅ tโœƒ โœฟโžœ โœก โœญ โฃ โ โฒ โฃโ˜žโ™ฅ โฒ

ร โ—— โœซ โžฒ โœ–โฅ

โžฒ โžพโฅร โ โฒ โž โ†” โฃโ˜žโ™ฅ tโœƒ โœฟโžœ โฃ โ โฒ โฃโ˜žโ™ฅ โฒ โœฝ โœก โœญ โžšโ™โžชโ–ผโœˆโœฝโžถ โ‘ โ‰โžนโž„โ‘โก โžšโ™โžชโ–ผโœˆโœฝโžถ โœ†โชโžน โœ‰โœตโœถ โœผ โ‹ โœทโœŸโฌ โœผโœฑโ–ฒ โโœฏโฌ โ‰โญโ… โ‹ โœถโœธโœทโƒโœถโโœด โ‹ โฌ โœผ ร โœป โ— โœด โดโœฏโดโณโœผ โโœ’โฌ โ— โœดโœ’โœถ โ‹ โœทโœšโฌ โœผ โ–ฒ โˆ โœด โ—†โžโ‰โ˜žโ– โโกโœท โœผโœพPโˆโ– โฌ โœผโ‹โ… โœถ โ–ฒ โณ โœผโœพโ– โœท โ™ฆ โœณ โ—โœนโœธโชโด โœถโซโฌโœตโœท ร โžถ

โœ sโ˜Žโœกโœ’โœž โœœ sโ˜›โœก โœ„ โœ˜โœ›โœš โœฝ ๏ฟฝ โžพ โœŒ โโขโก โ–  โœ–โœ™โœ˜ โœ“ โฎ โœ“ โœ โœด โดโณโดโœฏโœผ โœด โ‹ โ—†โžโœผโ˜žP โœท โ–ฒโœธโœผ โœ‰โœโœดโœ’โœถ โ– โฌโชโ โ‹ โŠโœœโ–ฒ โˆ โ โ‹โˆโ‹ โœผโ˜žโ‡โœตโœผ โžช โ—† โ โƒโœ’โœผ โžชโœพ๏ฟฝโœโ‘ฃ โ‘ โœด โ‹ โ โขโโขโก โ–  โœ–โœกโœ˜ โœ“ โฎ โœ“โœ’โœ‘โ โก โœธ โœ™ โฎ โœ“ โœ‘ โœฐโœ”โœ“โœ–โœ• โ โด โžผ โœ— โžผ โ‘งโœโœท โœฒ โฃโฌโœฎโœด โ‹ โ— โ‘ โ โœฐโœ”โœ“โœ–โœ• โ โด โžผ โœ— โžผ โ‘งโœโœท โœฒ โฃโขโฃโƒโœป โœ‘

โ โ โก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โฃโ– โœป โœ‘โ โโขโก โ–  โœ–โœกโœ˜ โœ“ โฎ โœ“ โฃโ– โœปโ— โœด โดโœฏโดโณโœผ โด โžผ โœ— โžผ โ‘งโœธโœท โœฒ โชโตโด โ—† โœด Pโˆโ– โœ— โ โŠโƒโŠโƒโœผโ˜›โœž โ—†โžโœผ โœทโƒโœถโœธโœท โ‘ ๏ฟฝ โžพ โœŒ โ โœฐโœ—โœ“โœ–โœ• โ โด โžผ โœ— โžผ โ‘งโœโœท โœฒ โฃโ„โฃ โœปโœšโœผ โœทโœšโฌโˆโœด

โ‹ โ— ๏ฟฝ โžพ โœŒ โ โโขโก โ–  โœ–โœ™โœ˜ โœ“ โฎ โœ“ โฃ โœป โžถโœ˜ sโ˜›โœกโœšโœ™ โœŸ โœš โœ„โœโœ†โœ‡sโ˜Žโœก โœ โœ– โœœ โœžโœ โœ† โœฝโœ โœŸโœ›โœŸโœฎโœฝ โž„ โ‹ โ โ—†โˆโ—†โˆโ–ฒ โœถ โตโœPโˆโœผ โžšโ™โžชโ–ผโœˆโœตโžถ โ‘ โชโžน โœผ ๏ฟฝ โžพ โœผ โœทโœŸโœด โ‹ โœดโ˜Žโณโœฎโœทโƒโœถ โœผ โ‹ โœท โฆ โžผ โœš โœฝ โ†” โœฝ โขโœ•โœขโœœโœฃ โœ โžพ โ ๏ฟฝ โžพ โฃ ร โžฒ โœ–

โฅโžฒ โžพโฅร โ โฒ โž โ†” โฃโ˜žโ™ฅ tโœƒ โœฟโžœ ๏ฟฝ โžพ โ โ™ฅ โฒ โฃร โž˜ โ‚โžพ โžšโ™โžชโ–ผโœˆโœฝโžถ โ‘ฃโฒโžน

Page 190: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ ๏ฟฝโชโœ“ ๏ฟฝโชโœ“ โœโ™ฃโœ โœŒโœŽโœ™โโœญโ˜Žโœ”โœบโœโ™ฃโ˜›โ˜โœ†โœŸโ˜› โœฆโœšโœโœซโœ‚โœŽโœ›โœœโœ– โœฐ โœโœคโœŒโฉโœชโœœโœโœคโœ– โœ‚ โœ โžชโž”รธโœžโœ„โœ sโ˜Žโœกโœ’โœž โœœ sโ˜›โœก โœ„ โœ˜โœ›โœš โœฝโœขโœŸโœฎโœฝโœ๏ฟฝ โฆ โžผ โœš โœฝ โ†” โœฝ โœ‚ โœก โœฝโ˜Žโœ„โžŒโ™ฆ โœ โœฝ โœก โœ„ โœ โœ– โœ„ โœ„ โœฝ โž” โœฟ โœด Pโˆโ–โœŽโ—โ˜žโœผโ™ โœบ โโœ’โœถ โ–โ– โœผโœ’โ‘ โœถ โ–ฒ โŠโƒPโœ•โœ” โœทโœŸโฌ โœผ โด โœด โ‹ โœท โ–โ– โœผโ˜žโ–โœœโตโœPโชโœผโœโ–ฒโโœผโœพโŠโฌ โœผโ˜žPโˆโ‡ โœท โœผโœพโ–โƒโดโณโœผโœพโŠ โฌ โœผโœฑโ–ฒ โˆ โ‰โœพโตโœP โ โœทโƒโœถโโœด โ‹ โžšโ‹โžชโ–ผโœˆโœฝโžถ โ‘ฃโฒโžน โŠ โœด โ‹ โœท โ— โœด โ‹ โœทโƒโœถ โ‹ PโชโŠ โžถ โœ โˆ โœผโœพโŠ โœท โ— โœด โ‹โˆโ‹ P โ—† โœด Pโˆโ– โž˜ โ‚ โžถ

โž‘โ…๏ฟฝ โžพ โž โœ› โœœโœฃ โœ โžพ โช โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โ™  โœฉ โฎ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โžผ โ…

๏ฟฝ โžœโ†โž โœ› โœœโœฃ โœ โžœ โช โœ โœฐโœ‚โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โ™  โœฉ โฎ โœฐโœ‚โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โž‘รโ…๏ฟฝ โžพ โžผ ๏ฟฝ โžœ โž โœ› โœœโœฃ โœ โžพ โช โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โ™  โœฉ โฎ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โžผ โ…

๏ฟฝ โžพ โž โœ› โœœโœฃ โœ โžพ โžผ โœ› โœœโœฃ โœ  โžผ โ†” โช โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โ™  โœฉ โฎ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœทโœ” โž‘โžโž‘ โœ› โœœโœฃ โœ โžพ โžผ โœ› โœœโœฃ โœ โžœ โž‘โžโž‘ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โž‘โžโž‘ ๏ฟฝ โžพ โž‘โโž‘ โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โ™  โœฉ โžผ โž‘โโž‘ โœ› โœœโœฃ โœ โžœ โž‘โžโž‘ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœท โž‘โโž‘ ๏ฟฝ โžพ โžผ ๏ฟฝ โžœโž‰โž‘โžโž‘ โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœท โ™  โœฉโจโžพโœ–โœ• โžœ โดโˆโœฝโตโ™ฃโœผโœพโŠ โฌ โœผโ˜žPโœฎโ‡โณโ— โœงโœ’โœท โ‰โœพโŠ โฌ โœผโœŽโ–ฒ โˆ โœถ โ‹ โ‰โฑโƒ โ โ–ฒ โœถโœธโœท โ‰โœŸโŠ โœด โ‹ โœทโœกโฌ โœผโ–ผโŠ โ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——Pโ˜โŠ โ— โœด โ‹ โœทโ– โœถ โ‹ PโชโŠ โฌโœฎโœด โ‹ โ— โœด โ‹ โ—†โžโœผโ˜žP โœทโผโฌโˆโœถ โ–โ– โœผโœŸโตโœPโˆโœผโœงโฆ โžผ โœš โœฝ โ†” โœฝ โ‘ โ—† โœด Pโˆโ–โœทโƒโœด P โœท โž” โœŒโฅโ€ โด โž โ‘ง โ„ โ‘ โœถ โ–ฒ โœ  โ P โ‹ โœผ โœ‰ โœผโ˜žโ–โ›โŠ โœถโœธโœด โ‹ โฌ โœผโ‘ฆโ—โœนโœธ โ โ—โญP โ‹ โฌ โœผโ–ผโŠโœœโ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——PโชโŠ โœท โœผโ˜žโ–ฒโโ–ฒโœธโœผโ‘ฆโตโœPโˆโœผ โขโœ• โžพ โ ๏ฟฝ โžพ โฃ ร โž˜ โžพ โœค

โœ•โฃโœฝโœทโœผ โœ– โœœ โœ˜โœ›โœš โœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโœโœ†โœŸโœžโ‘ฃโทโœโž…โž‰โ‘ขโœ โ‘คโฃโด โœ” โ‘งโœธโœท โœฒ โž ๏ฟฝ โžพ โ‘ข โžด โนโฒโž€โฒโ‘จ โป โž‡ โทโžโž€โ˜›โ‘คโžˆโž…โ‘งโ‘ข โž€ โ โ โก โœธ โœ™ โฎ โœ“ โฃ โœป โนโฑโ‘จ โฝโ‘งโ‘ขโž™โ‘ข โน โปโœโนโธโทโบโ‘จโœฉโปโœ โž‡ โทโžโž€ โ‘คโž’โฝโž‰โ‘ข โ‘ขโœ โนโฑโผโ˜›โ‘คโžˆโนโž€โฑโนโธโ‘ขโœโž€โžƒโž‚ โœ• โœคโžพ โ ๏ฟฝ โžพโžกโฃ โœฝ โžฌโฟโžด โž…โ‘งโทโบโ‘จtโผโ„โนโœฉโปโœโž…โž‰โผโฒโ‘จtโžฃโšโฝโ‘งโ‘ขโ‘ฅโž€โธโž…โ‘งโ‘ฆโ‘ฉโ‘จโœฉโถโธโทโœโน โปโœโฝโž‰โทโบโผ ร โ โž” โž โ†” โฃ ร โ โž” โžผ โ†” โฃ โก โœธ โœ–โœกโœ˜ โœ“ โนโธโ‘จ โปโœโฝโž‰โทโบโผ โ™ โนโธโž€โœนโ‘จโšโทโบโ‘ขโ†โปโœ โผโ„โฝโฟโพโœนโนโฒโž€โœนโž€โฒโทโžโž€โ‘คโžˆโน โคโœงโฝโž‰โ‘ฆ โž€โœนโž€โฑโฝโž‰โ‘ขโœโžฃโ‚โถโธโทโœโž…โ‘งโ‘ขโœ โ‘ค โดโ… โ‘งโœโœท โœฒ โžฃ โœŒ โžณโฅ ร โ โœฝ โž โ†” โฃโœโ™ฅ โ™โดโžœ โนโธโž€โฒโ‘จโŠโทโบโ‘ข โปโœ โผโ„โฝโฟโพโœนโนโฒโž€โœนโž€โฒโทโžโž€โœŒโถโฑโทโบโ‘ฆโŠโนโฒโž€โฒโ‘จโ‹โž€โฑโž…โ‘งโทโบโ‘จโž›โน โž‚ โž‡ โžด โ‘ฆโ‘ฉโ‘ข โœœ โ‘ขโœโ‘ฆโŠโ‘ค โƒ โž€ โถโธโทโœโนโž‡โโนโโปโœ โผโ„โฝโฟโพโœนโนโฒโž€โœนโž€โฒโทโžโž€ โ‘คโžˆโนโฌโคโœงโฝโž‰โ‘ฆ โž€โœนโž€โฑโฝโž‰โ‘ข โž€โฑโž…โž‰โทโบโ‘จโœโน โนโธโ‘จโโถโธโทโบโ‘ฆโœงโปโœ โผโ„โนโฑโ‘ขโœ โ‘ค โ‘คโžˆโนโธโž€ โž„โž†โž…โ‘งโž‡โโนโธโทโบโผโœนโž€ โœœ โ‘ขโœโ‘ฆโœ‡โนโธโž€ โป โž…โ‘งโผโฒโ‘จโž›โฝโ‘งโทโบโ‘จ โž…โ‘งโ‘ฆโ‘ฉโž‡โ‘ฉโž‡โโนโธโทโบโผโœนโž€ โœโžฎโžฌโฟโžด โž…โ‘งโทโบโ‘จtโผโ„โนโโปโœโž…โž‰โผโฒโ‘จtโžฃโœ— โœธ โœ– โœŒ โžพ โ–  โœ™โžพ โœธ โœ™ โœ•

โœคโžพ โ โ†” โฃโ˜žโ™ฅ โ†” โนโธโž€โฒโ‘จโœ‡โžฃ โž‡ โทโบโ‘ฆ โžฃโžŒโป โž…โ‘งโผ โœฅ โž…โž‰โ‘ฆโ‘ฉโ‘จโœโน โžŠ โนโฑโ‘ขโœโ‘จโžƒโ‘คโœฉโœช โœœ โ‘ขโœโ‘ฆโœงโนโธโ‘จโžŒโปโœโนโธโทโบโ‘จโ‘ฃโž€โฑโนโฑโผโฒโž„ โ‘ฆโ‘ฉโผโœนโžฃโžŒโปโœโฝโž‰โทโบโผ โœ—โโปโœโนโธโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘จโœ‡โžฃโ€โพโœนโฝ โžŠ โžŠ โนโ‚โž€โฒโท โœงโธโž€โฒโ‘จtโ‘ฆโ‘ฉโ‘จโž‹โทโบโ‘จโ€โ‘คโžˆโนโœŒ โžพโฅ ร โ โž” โž โ†” โฃโœโ™ฅ โ™โดโžœ โœฝโœฟ โ โ–โฉโ–ฒโœธโœผโณโ–ฒโโœผโ˜žโดโณโดโณโœผ โžช โœˆโœตโžถโžƒโžช โ‘ โœด โ‹ โฌ โ‰โญโ… โ‹ โœถ โœทโ‘ฆโฌ โœผโœพPโœฎโ‡ โ—†โˆโ– โœด โ—โญโœผโ–ผโŠโƒโŠโƒPโชโŠ โœผ โœ‰โกโ โ–ฒโœธโœผโœพPโˆโ–โ– โŠ โฌโˆโ โ‹ โŠ โ โก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โข โœ› โœœโœฃ โœ  โœผ โœท โœ›โœกโœ  โฌ โ‰โญโ… โ‹ โœถ โŠโ‹โœผโ—† โ โ– โœทโƒโœถ โ– โฌ โœผโœพโŠ โด โ โ– โœทโƒโœถ โ‹ โƒ โ โ–ฒโœธโœผโ–ผโŠโœโ— โœด โ‹ โœทโƒโœถ โ‹ PโˆโœผโœพโŠ tโœƒ โœฟโœฅโœผ โœท โœ„ โž P โ‹ โด โœด P โœ‰ โœผโœพโดโณโœผ โ‹ โœท โข โ– โœดโคโฃ โ‹ โœถ โœผ โ‹ โŠ โœทโ– โ โ‹ โฌโˆโ โ– โฌ โžถ โตโ™ฃโœผโœฏโ–โƒโ‰โ–ผโŠโ——Pโˆโ–ฒ โœทโ– โ โœท โ—โ˜žโ–ฒโœธโ‰โœผโœพโŠ โœท โ–ฒโœธโœผโ‘ฆโŠโƒP โœถโโœ‰ โ โ‹ โœทโฉโขโœธโœฆโœน โ™ฆ s โœœโœปโœบโœทโœผโœŸโœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโโ—โ˜›โœžโ‘ฃโทโœโž…โž‰โ‘ขโœ โ‘ค โœน โ‘จโœโนโธโ‘ข โ‘ค โž„โž†โนโฑโผโœนโž€โ‘โž‡ โžด โ‘ฆโ‘ฉโ‘ข โœœ โ‘ข โ‘ฆ โžฃ โž‡โโž… โž‡โโฝโ‘งโ‘ฆโœฉโ‘คโžˆโน โœ› โœœโœฃ โœ  โ‘คโžˆโž…โž‰โ‘ขโœโž€โœโœฌ โ โ€ โด โž โ‘ง โ„โ™ โž‚ โ โก โœธ โœ™ โฎ โœ“ โฃ โพโœนโฝโž‰โ‘ขโœโž„โž‰โนโฑโผ โœฃ โนโŠโž„โž†โนโฑโผโœนโž€โž‡โโž…โโž‡โžโฝโž‰โ‘ฆโœฝโ‘คโž’โน โœ› โœ  โœฝโžฌ โœช โžŠ โฝโž‰โ‘ข โž€โฒโ‘จโž‹โผโ„โž…โž‰โ‘จโž‹โ‘ฆโœ‡โฝโž‰โ‘ข โœ‘โ‰ โœด PโชโŠ โ โœ‰โœ’โœด โ‹ โŠโ˜žโ‘

โฝ โžพ โœฃ รโ…โœ˜ โž โœ› โœœโœฃ โœ โžพ โช โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โ™  โœฉโœŒโ˜ž โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โ… โ˜›โœ โž โœ› โœœโœฃ โœ โžพ โช โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โ™  โœฉโœŒโ˜ž โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœทร โžฒ โžพ

โฅร โœป โ โœ˜ โฃ โ โ†” โฃโœกโ™ฅ tโœƒ โœฟโžœ โžฒ โžพ

โฅร โœป โ โ˜› โฃ โ โ†” โฃโœกโ™ฅ tโœƒ โœฟโžœ

ร โžฒ โžพโฅร โœป โ โœ˜ โฃ โ โ†” โฃ โ‘งโ„ โœน โ™ฅ โœ‚โœƒ โœฟโžœ โžฒ โžพ

โฅร โœป โ โ˜› โฃ โ โ†” โฃ โ‘งโ„ โœน โ™ฅ โœ‚โœƒ โœฟโžœ

โœ‚โœƒ โœผโ–ผโŠ โœท P โ‹ โœฟโœกโ– โœด โ—โญโœผโ–ผโŠโƒโŠโƒPโชโŠ โฌ โœผ โœฟ โœดโœ’โœถ โŠโƒโŠ โœด โ‹ โ— โœด โดโณโ—†โ˜โœผ โ‹ โŠโ——โ‰ โฌ โœผโ‘ฆโ— โœด โดโณโ—†โžโœผ โ‹ โŠ โโกโœท โœผโ˜žPโˆโ– โœน โ™ฅ โ†” โ‘ โฌโˆโœด โ‹ โ— โ–ฒ โ โœ‰โกโ โ– โœถโซโโกโœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โตโœP โโœ’โฌ โ– โ โœทโƒโœถ โตโœPโชโœผโฌ โœผ โฝ โ—†โˆโ–โ– โœผ โ‹ โฌ โ–ฒ โ โœบ โœด โ–โƒโดโณโœผ โข โžฒ โžพโฅร โœป โ โœ˜ โฃ โ โ†” โฃ โ‘งโ„ โœน ร โœป โ โ˜› โฃ โ โ†” โฃ โ‘งโ„ โœน โœน โ™ฅ โ†” โžโฌโœฎโœด โ‹ โ— โ‘

โ…โœ† โœ› โœœโœฃ โœ  โœž โžพ โœ˜ โžโ˜žโ˜› โช ร โžฒ โžพ

โฅร โœป โ โœ˜ โฃ โ โ†” โฃ ร โœป โ โ˜› โฃ โ โ†” โฃโ˜žโ™ฅ โ†”

โต โ โŠโ——P โœถโœธโœท โœผ โœŽ โœ† โœ› โœœโœฃ โœ  โœž โœฃ โœน โ†• โ‘ง โœ’ โœผโœพโŠ โœทโฉโฌ โ‰ โœท โœผโœพโ–โƒโด โœถ โ‹ โœถ โŠ โœท โœผโœฏโœผ โœท โ‹ โœผ โฌ โ‰โ˜žโ—†โžโœผ โ‹ โฌ โ—† โ โŠ โฌ โœผ โœนโœ•โฌโœฎโœด โ‹ โ—โ‘ฆโœผโœพโ–ฒโœธโ–ฒโโœผโœฏโœผโœพโŠ โœท โ‰ โœ‰โœโœถโซโฌ โœผโœพโดโœฏโดโณโœผ โ‹ โœทโœท โœผ โ‹ โฌ Pโˆโœผ โžถ q โ‹ โœ‰ โœผโ˜žโ– โœท P โฌ โœผโœŸโ–ฒ โ โ—†โˆโ– โœด โ—† โœด โŠ โœถโœธโœทโƒโœถโโœด โ‹ โžชโ–ผโœˆโœฝโžถโœทโžช โ‘โกโ–ฒ โ โŠโƒP โœถโœธโœท โœผ โœŽ โœ› โœœโœฃ โœ  โœฃ โœน โ†• โ‘ง โœ’ โœผโœพโŠ โœท โœท โœผ โ‹ โฌ Pโˆโœผ โฌโˆโ โ‹ โŠ โœฌ โ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โž โ โก โœธ โœ™ โฎ โœ“ โฃ โžถ

Page 191: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžชโœพ๏ฟฝโœœ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœšโœ†โœšโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœซโœ ๏ฟฝโชโœ“ โœฆ โœ” โœžโœกโœžโœ๏ฟฝ โœ†โณโœ” โœฃโœ„โœ‚โ˜Ž๏ฟฝโœณโœตโœดโœ’โœถโœธโœท โœŽ โœ› โœฟโœ๏ฟฝ โœฃโœ„โœ‚ โ†• โ‘ง โœ’ P โ‹ โœผ โŠ โœด PโชโŠโœฏโŠโƒP โœถ โœท โœผโœฅโตโœP โœถ โ— โœด โ‹ โœ‰ โœผโœพโ–โ„โƒโœโœผ โœ‰ โœผโœพโ–โ– โŠ P โ‹ โœผ โ–ฒ โœถ โด โœถโœธโœท โœผ โฌโœฎโœถ โŠ โœด โ‹ โŠโœ‘โœ โžถ โœฟ โœด Pโˆโ–โ‚โœบ โ โ— โœถ โ–ฒ โœถ โœท โœผโ˜žโ–โ–ฒโœธโœผโ–ผโŠqโ‰โ–ผโ—โญโ– โœถ โœท Pโˆโ–โ– โœผโœพโŠโœพโ‘ โ‹ โœด PโชโŠ โ‹ โœด โœท โœผโ˜žโ– โœด โ‹ โŠ โ–ฒ โ โŠ โœด PโชโŠโ——โ™ฆโ™ โŠโƒP โœถโœธโœท โœผtโ—† โ โ– โœŽ โœ› โœฟโœ‘โœฃ โœน โ†• โ‘ง โœ’โฒโžถ โœณโœตโœดโœ’โœถโœธโœท โœ˜ โœŒ โ โ โก โœธ โœ™ โฎ โœ“ โฃ โœปโœ’โ‘โ˜Žโ–ฒ โ โŠโ——P โœถ โœท โœผ โฌ โœผโ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——Pโ˜โŠ โข โœ™ โœŽ

โ…โœ˜ โž โœ› โœฟโžพ โช โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœท โ™  โœฉ โฎ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœท โœฃ โž” โœŒ โ€ โด โž โ‘ง โ„โœฑโœ’ โœฃ โœน โ†• โ‘ง โœฅโ‹ โˆ โœผโœพโŠ โœท โ– โœถ โœผ โ‹ โฌโ‰โˆ โ P โœท โ–โƒโœผโœฑโตโœPโˆโœผโฉโ–ฒ โ โŠโƒP โœถโœธโœท โœผ โฌ โœผโœฑโ—†โˆโ– โœด โ—โญโœผโ–ผโŠโƒโŠโƒPโชโŠ

โœ“ โœŽ โžฒ โžพโฅร โœป โœ˜ โ โ†” โฃโ˜žโ™ฅ tโœƒ โœฟโžœ โœฃ โž” โœŒ โ€ โด โž โ‘ง โ„โœฑโœ’ โœฃ โœน โ†• โ‘ง โœ—โœฟโœกP โœถ โŠโƒโตโœPโˆโœผ โœŽ tโœƒ โœฟโœ‘โœฃ โœน โœŒโœฅโœบโœกโœป โœ’ โ— โœด โ‹ โœ‰ โœผโœพโ–โ„โƒโœโœผโœšโœผ โ‹ โ–ฒ โœดโœ’โœถ โœ‰ โœผโ˜žโ–โ›โŠ โœ„ โœผ โœท โ— โœด โดโณโดโœฏโœผ

โ˜…โœซโœชโœฐโœฌโœฟ โค โœ– โ—— โœซ โ˜… โœชโœญโœฌโžœ โœœ โžพโœ†โ˜Ž โœ‚โœƒ โœฟโžœ โœญ โœ” โ˜… โœชโœญโœฌโœฟ โœน โœธ โœ–โœ™โœ˜ โœ“ โ…โœ™

โž„ โ‹ โœผ โ‹ โ— โœด โ‹ โ—โญโ–ฒโPโˆโœผ โžš โœ‰โœโœดโœ’โœถ โ– โ‘ข รธโ›รท โ‘ ๏ฟฝโœ’โ‘ โกโ‘คPโžน โตโœPโˆโœผ โœŽ โ… โœ˜ โž โœ› โœฟ โช โœฃ โœน โœŒ โœบโœกโœป โœ’ โ— โœด โ‹ โœ‰ โœผโ˜žโ–โ– โƒโœ’โœผโœกโœผ โ‹ โ–ฒ โœดโœ’โœถโœตโœ‰ โœผโœพโ–โ– โŠ โœŒ โžณโฅ ร โœป โœ˜ โ โ†” โฃโ˜žโ™ฅ โœ„ โžœโž†โž โฌโœฎโœด โ‹ โ—โ…โœ˜ โžโœฐโœ โช ร โ…

โœ˜ โž โœ›โœกโœ  โชโœ‘โœฝโœŽโœ โœผโœพโ–ฒ โ โ–โƒโœผ โœ‰โœโœถ โœผ โ‹ โœท โœผ โฌโœฎโœถ โ–โƒโœผโณโตโœPโˆโœผ โœทโ– โœด P โœท โœผโœพโŠ โ–ฒโโœผโœพโŠ โŠ โœด PโชโŠโœฌโ™ฆ โŠโƒP โœถ โœท โœผโœพโŠโœโ— โœด โ‹ โœ‰ โœผโ˜žโ–โ– โƒโœ’โœผ โ‹ โœท โœผโœพโŠโœŸโ— โœด โ‹ โœ‰ โœผโœพโ–โ„โƒโœโœผ โ‹ โœทโœ‰ โœผโœพโ–โ– โŠโœโ–ฒ โ โดโ˜›โœกโ˜žโดโณโœผโณโ–ฒ โœถ โด โœถโœธโœท โœผ โžถ โœ“ โ–ฒโœกโŠ โˆ โœผ โ‹ โŠโ——P โœถ โœท โตโœPโˆโœผโณโ–ฒโœธโœผโ–ผโŠโฉโ–ฒ โœดโœโœถ โŠ โฌ โœผ โœ› โœœโœฃ โœ  โฌโชโ โ‹ โŠ โœฌ โ โ€ โด โž โ‘ง โ„โ™ โž‚ โ โก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โฃ โ— โœด โ‹ โœ‰ โœผโœพโ–โ„โƒโœโœผ โ‹ โœทโœšโœ‰ โœผโœพโ–โ– โŠ โ–ฒโโœผโœพโŠโ–ฒ โœดโœโœถ โŠ โฌ โœผ โœ› โœ  โœฝ โœคโœฝโœŽโ โœฟโ‚โโƒโœฟโ‚โ โœฒ โฏ โŠโœ•โ†โœ‚โโ–โ—† โ˜žโ€โโ–ผโ–ฒโ‘โ—†Pโ†โœพโ——โ‘โ˜โ„โ™โœŽโšโœ’โฏ โˆ โ—โ–โˆโ‘ฅโŠPโˆ โ˜žโœ™โ˜

โ‰ โœด Pโ˜โŠ โฌ โœผ โœ‰โœโœด โ‹ โŠโณโด โโœ’โœถ โ‹ โœท โœผ โ‹ โ โ‹ โœทโ†โฌโœฎโœถ rโžโ‰โœพโ–โƒโœผ โ‹ โœทโƒโœถ โœผโ˜žโ– โฌ โœผโœพPโœฎโ‡ โ— โ โŠ โŠโƒโœผโ˜žโ–ฒ โœด โ‹ โ–ฒ โ โ—† โœด โŠ โœถโœธโœทโƒโœถโโœด โ‹ โฌ โœผ โด โ—† โ โ– โ– โ โ—†โˆโ—† โœด โ– โœท โœผ โ‘งโœโœท โœฒโœตโžถโœ P โ โ‹ โฌ โด โช โ‘งโœโœท โœฒ โž โ โก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โœผโœพโŠ โœท P โ‹ โŠ โœด PโชโŠโ——โ™ฆโ™ โœผโœพโŠโƒโ—† โ โ—โ˜žโœผ โฌ โœผโœฅโ–ฒ โˆ โœผโœพโŠโƒโ—† โ โ—โ˜žโœผ โฌ โœผโœพโŠ โœบ โœด โ‹ โ— โœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โŠโ†โ— โœด โ‹ โœทโƒโœถ โ‹ PโˆโœผโœพโŠ โœผ โœทtโฌโœฎโœด โ‹ โ— โŠ โœด โ‹โฌ P โ โ–ฒโผโ— โœด โ‹ โœทโƒโœถ โœผ โ‹ โœท โ–ฒโโœผโœพโŠqโดโœฏโœผโ–ผโŠโ——Pโชโ–โƒโœผโ–ผโŠ โฌ โœผ โค โœถ โ– โ โ— โžถ โค โˆ โ P โœท โ–โƒโœผ โ—† โ โ– โœท โ‘ โตโœP โ โ‹ โฌ โด โ… โ‘งโœธโœท โœฒ โžโœ—โ–ฒ โ โœบ โœดโ‹ โ— โœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โ†” ๏ฟฝโจ โœโšโ โ†” โฃ ร

โ…๏ฟฝ โžœ โž โœ โช โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โ™  โœฉ โฎ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โ‹ โˆ โœผโ–ผโŠ โœท โ—† โ โŠ โฌ โ‰โญโ… โ‹ โœถ โœผโœฑโ—† โœด Pโชโ– โœ โœŒ โ โก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โœฝโœ˜ s โœœ s โœŸโœ›โœŸ โœ–โœ‚โœ† โœœโœปโœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโœ‡โœ‰ โœŽ โฝโ‘งโทโžโž€ โž‡โžโนโฒโž€ โœฅ โงโ– โปโœโฝโž‰โ‘จ โœฅ โƒ โž€โฑโนโฒโž€ โœฆ โœ“ โœโœซโœฆ โนโธโ‘จ โœฆ โœ“ โœ โœ“โ‘งโžฃ โž‡โโนโฒโž€โ‹โž‡โโฝโ‘งโ‘ฆ โž€โ†โ‘คโžˆโนโธโž€โ‘ฃโปโœ โผโ„โฝโฟโพโœนโนโฒโž€โœนโž€โฒโทโžโž€โœ“ โž˜ โœฟโžพ ร โžฒ โžพ

โฅร โ โž” โž โ†” โฃโœกโ™ฅ tโœƒ โœฟโžœ โœฃ โž” โœŒโโ€ โด โž โ‘ง โ„ โœ—โ‘คโžˆโž…โ‘งโ‘ข โž€ โŠโ†โฝโ‘งโž‡ โ โด โžผ โ‘งโœโœท โœฒโžฎโžผ โœ— โฃ โž โพโœนโฝโž‰โ‘ข โž„โž†โนโฑโผ โœฃ โนโธโ‘ข โ‘จโœฝโž„โž‰โนโฑโผโœนโž€ โž‡โžโž…โโž‡โโฝโ‘งโ‘ฆโœฝโ‘คโžˆโน

โœ“ โž˜ โžพ ร โžฒ โžพโฅร โ โž” โž โ†” โฃโœกโ™ฅ โœ„ โžœ โœฃ โž” โœŒ โ€ โด โž โ‘ง โ„โœžโœ—โžฌ โœช โžŠ โฝโž‰โ‘ข โž€โฒโ‘จโž‹โผโ„โž…โž‰โ‘จโž‹โ‘ฆโœ‡โฝโž‰โ‘ข โœ‘โœฟ โœด Pโˆโ– โœ— โŠโƒPโœ•โœ”โ†โŠ โ โดโณโดโณโœผ โ‹ โœท โ—†โ˜โœผ โœทโƒโœถโœธโœท โ‘ โด โžผ โ‘งโœโœท โœฒโžฎโžผ โœ— โชโตโด โœผ โœท โ—† โœด Pโˆโ– โœทโƒโœด P โœท โœ โœŒ โ… โก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โžโž‘ โœโšโ โ†” โฃ โžผ โœโšโ โž” โฃ โž‘ โœ” โ™ฃ โž โœ โž โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœท โž‘ โž” โžผ โ†” โž‘ โก โœธ โœ–โœ™โœ˜ โœ“ โœธโœšโœ™โค โœด โ‹ โ— โ‘โœฎโ–ฒ โˆ โ โ—†โˆโ—†โˆโ–ฒ โœถ โ— โโกโœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โŠโƒP โœถโโœ‰โกโ โ‹ โœท โœผ โข

โœ„ โœฃ โ โก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โžผ โจ โ… โœด โ–ฒ โ โด โžผ โ‘งโœธโœท โœฒโžฎโžผ โœ— โฃโœ โžผ โจ โ โ†” ๏ฟฝโจ โœโšโ โ†” โฃ ร

โ…๏ฟฝ โžœ โž โœ โช โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœท โ™  โœฉ โฎ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœท โฃ โžโœผโœพโŠ โœท โณโˆโœถ โœผ โ‹ โฌ โ‰โญโ… โ‹ โœถ โœผโœโœผ โœท โœผโœพโŠ โœท โ— โœด โ‹ โœทโƒโœถ โ‹ Pโˆโœผ โžถ โค โœด โ‹ โ— โ‘โœตโ—† โœด Pโˆโ– โœทโƒโœด P โœท โ‰ โณโ˜โœด โ– โ‹ โ‰โœพโœผโœšโœผ โœท โ— โœด โ‹ โœทโƒโœถ โ‹ Pโชโœผ โฌ โœผโ‘โ… โœด โ–ฒ โ โด โžผ โ‘งโœธโœท โœฒโž›โžผ โœ— โฃ โฌโชโ โ‹ โŠโœญ โž โ‰ โฒ โœ„ โœผโœพโŠ โœท โ— โœด โ‹ โœทโ– โœถ โ‹ Pโˆโœผ โฌ โœผ โœฌ โ โ โก โœธ โœ™ โฎ โœ“ โžโ–ฒโ‘ โฃ โฌโˆโ โ‹ โŠโœ›โ‘ โžถ โœฟ โ โ–โœŽโ–ฒโœธโœผ โœท โœธโˆโ‰ โœด โ–โƒrโœพโดโœฏโœผ โžช โœˆโœตโžถโœ‡โœˆ โ‘ โ‹ โœด Pโ˜โŠ โ โœ‰โœ’โœด โ‹ โŠ โขโžŽ โ€ โ‰ โฒ โœ„ โ โœ› โœœโœฃ โœ  โฃ โ„โ˜›โžผ โจโœฟ โœ•โœ˜โœ—

โžŽ โ€ โ‰ โฒ โœ„ โ โœ› โœ  โฃ โ„ โž

Page 192: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœ ๏ฟฝโชโœ“ ๏ฟฝโชโœ“ โœโ™ฃโœ โœŒโœŽโœ™โโœญโ˜Žโœ”โœบโœโ™ฃโ˜›โ˜โœ†โœŸโ˜› โœฆโœšโœโœซโœ‚โœŽโœ›โœœโœ– โœฐ โœโœคโœŒโฉโœชโœœโœโœคโœ– โœ‚ โœ โžชโœพ๏ฟฝโžโžชโ—โญโœผโœพโ–ฒ โ โ–โ– โœผ โœ‰โœตโœถ โœผ โ‹ โœท โœผ โฌโœฎโœถ โ–โ– โœผโฉโตโœPโˆโœผ โžŽ โ€ โ‰ โ โž˜ โœฟ โฃ โ„โ˜›โžผ โจโœฟ โœ•โœ˜โœ— โžŽ โ€ โ‰ โ โž˜ โฃ โ„โ™ โœฝq โœท โ–ฒ โโœฏโฌ โ‰โ˜žโด โœด โ‹ โŠ โœท โ– โโกโœทโ– โœถโœธโœด โ‹ โœผโ–ผโŠ โœทโœœโœท โœผโ˜žโ–โ– โด โœถ โ‹ โ‰โœพโœผ โžถ โœค

โคโœšโœผโœฑโ–ฒ โ โด โœกโœพโดโณโœผโœฑโด โ โ‹ โœถ rโ˜žโ–โ– โœผโœ’โ‘ โ‹ โœด PโชโŠ โ โœ‰โœ’โœด โ‹ โŠ โขโœ˜ s โœœ s โœŸโœ›โœŸ โœ–โœ‚โœ† โœœโœปโœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโโ— โœŽ โฝโ‘งโ‘ฆโ‘ฉโ‘จ โด โœŒ โ โด โž โ‘งโœธโœท โœฒ โฃ โนโธโ‘จโœฉโž€โฑโฝโž‰โ‘ฆโ‘ฉโ‘จโœ๏ฟฝโดโพโ– โฝโ‘งโ‘ขโœโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโœโทโœโนโ‚โ‘คโžˆโน โ€ โด โž โ‘ง โ„ โ‘คโžˆโž…โ‘งโ‘ข โž€โžโ โœปโก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โœฝ โœŽโ‰โฝโž‰โทโžโž€ โž‡โโนโฒโž€ โœฅ โงโ– โป โฝโ‘งโ‘จ โœฅโœ‚โƒ โž€โฑโนโธโž€โœฆ โœ“ โœโœซโœฆ โนโฑโ‘จ โœฆ โœ“ โœ โœ“โžˆโžฃโœฉโž‡โโนโธโž€ โž‡โžโฝโž‰โ‘ฆ โž€โ‚โ‘คโžˆโนโธโž€ โปโœ โผโ„โฝโฟโพโœนโนโฒโž€โœนโž€โฒโทโžโž€

โœ™โ…๏ฟฝ โžพ โž โœ› โœฟโžพ โช โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โ™  โœฉ โฎ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โœฃ โž” โœŒ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โœฅโ‘คโžˆโž…โ‘งโ‘ข โž€โ˜Žโœฌ โ โ€ โด โž โ‘ง โ„โฆโž‚ โœญ โฃ โพโœนโฝโž‰โ‘ข โž„โž†โนโฑโผ โœฃ โนโธโ‘ข โ‘จโœฝโž„โž‰โนโฑโผโœนโž€ โž‡โžโž…โโž‡โโฝโ‘งโ‘ฆโœฝโ‘คโžˆโนโœ™

โ…๏ฟฝ โžพ โž โœ› โžพ โช โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœท โ™  โœฉ โฎ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆโ˜…โœง โœท โœฃ โž” โœŒ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โœฅโœฟ โ โ–โœŽโœผโญโ‡โœฎโœผโ˜žโดโณโ—†โˆโ–ฒโโœผโœ’โ‘ โœด โ‹ โ—†โ˜โœผโœพP โœท โ—โœนโœธ โœดโœ’โœถ โŠ โœถ โ– ๏ฟฝ โ—† โœด Pโชโ–โœšโตโœPโˆโœผ โข

โ…๏ฟฝ โžพ โž โœ โช โœ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท โ™ โœชโœฉ โฎ โœฐ โœค โ‘จโœ‚โœฆ โœง โœท ร โœ— โœธ โœ– โžฒ โœ โžพ โ–  โœ™ โ™ โœ„โœ‚ โœ–โœ โžพ โœธโœšโœ™ โ™ โœ„โ˜Ž โฅ

โœโšโ โ†” โฃโ˜žโ™ฅ โ†”ร ๏ฟฝ โœธ โœ– โ โœž โœ–โฅ โœ  โœโšโโขโ โž” โป โœ— โฃโœโœ† โ‘ง โฃ โžผ โœž โœ–โฅ โœ  โœโšโโขโ โž” โžผ โœ— โฃโœโœž โด โฃโขโฃ โœฝ

โœฟโœกP โœถ โŠโƒโตโœPโˆโœผ โœ โœŒ โ โก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โž โœž โœ–โฅ โœ  โœ โœผโœพโŠ โœทโผโฌโˆโ โ‹ โŠ โ โœ– โ–  โก โœธโœ โœŸ โ–ฒโP โœถ โ™ฆโฆโดโ˜›โœกโ˜žโดโณโœผโœšโŠ โœด Pโ˜โŠโœฌโ™ฆโ™ โœผโœพโŠโƒโ—† โ โ—โ˜žโœผ โฌ โœผโ™ โ… โœด โ–ฒ โ โ‘งโœธโœท โœฒ โป โด โžผ ๏ฟฝ โฃ โœฝ โœ“ โ–ฒโ˜โœผโ–ผโŠ โœทโโ โ–ฒ โœด โ–โ›โŠโ—โญโ–ฒ โ โœถ โ–โœŽโตโœPโชโœผ ๏ฟฝ โœผโœพโŠ โœท โ— โœด โ‹ โœทโ– โœถ โ‹ P โฌ โœผโ†โ€ โด โž โ‘ง โ„ โฌโˆโโ‹ โŠ โ โœปโก โœธโœšโœ™ โฎ โœ“ โœฝ โœฟ โ โ–โœŸโ— โœด โ‹ โŠโ——โ‰โ–ผโตโœPโชโœผ โ‹ โœท โ‘โœฎโ–ฒ โ โ–ฒ โœดโœโœถโ™ฃโฌ P โ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——PโชโŠ

โœ“ โœ— โœธ โœ– โžฒ โžพ โ–  โœ™โžพ โœธโœšโœ™ โœ› โœฟโžพ โ โ†” โฃโ˜žโ™ฅ โ†” โœฃ โž” โœŒโฅโ€ โด โž โ‘ง โ„ โœ—โฌโˆโ โ‹ โŠ โœฌ โ โ€ โด โž โ‘ง โ„โฆโž‚ โœญ โฃ โ‘โœฎโ— โœด โ‹ โœ‰ โœผโœพโ–โ„โƒโœโœผ โœ‰ โœผโœพโ–โ– โŠโœœโ–ฒ โ โ–ฒ โœดโœโœถโ™ฃโฌ P โ—†โˆโ– โœด โ—โ˜žโœผโœพโŠโ– โŠโ——Pโ˜โŠโœ“ โœ— โœธ โœ– โžฒ โžพ โ–  โœ™โžพ โœธ โœ™ โœ› โžพ โ โ†” โฃโ˜žโ™ฅ โ†” โœฃโขโœŒโฅโ€ โด โž โ‘ง โ„โœžโœ—โ†โœฝโœ•โฃโœฝโœทโœผ โœ– โœœ โœ˜โœ›โœš โœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆ โ…โ˜›โœกโ——โ‘ข โนโžƒโพโœนโฝโž‰โ‘ขโœโž€โœดโœชโ– โถโฑโทโœโนโฑโ‘ขโœ โพโœนโนโžƒโ‘คโ‘งโทโ˜›โพโœนโฝโž‰โผโ„โฝโ‘งโž‡โ‘ฉโž‡โโž…โž‰โ‘ฆโ‘ฉโผโ„โน โœฆ โœ“ โœโœซโœฆ โนโธโž€โœนโ‘จโžŒโž‡โโž… โพโœนโฝโž‰โ‘ขโœโž„โž‰โนโฑโผ โœฃ โนโฑโ‘ขโœ โพโœนโน โนโฑโ‘ขโ˜›โž‡โโฝโ‘งโ‘ฆโ——โ‘คโžˆโž…โ‘งโ‘ข โž€โ‹โœฌ โ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โžโœ™โ‘ โฃ โœฝโ˜ž โฝโ‘งโทโžโž€โœงโž…โ‘งโž‡โ‘ฉโž‡โโฝโž‰โ‘ขโœโž€ โžŠ โž…โ‘งโ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโœโ‘จโœโนโธโ‘ข โž…โž‰โ‘ขโœโ‘จ โžŠ โฝโž‰โ‘ขโœโ‘จโž‹โผโ„โนโฑโผโ€โพโ– โฝ โžŠโ‚โžŠ โนโฑโ‘ขโœโ‘จโžŒโž‡ โžด โœฅ โงโ– โปโœโฝโž‰โ‘จ โœฅ โƒ โž€โฑโน โœฆ โœ“ โœโœซโœฆ โนโฑโ‘จโ——โž‡โžโนโžƒโพโฑโผโฒโ‘ฆโ‘ฉโ‘จ โƒ โผโ„โน โ‘คโžˆโนโœโœŒ โฝโž‰โž‡ โžŠ โฝ โœฃ โฝโ‘งโผโ„โฝโž‰โž„ โž€โฒโทโœโœŽโž™โž€โธโนโฑโ‘ขโœโ‘จโป โฝโ‘งโทโบโผโ†โฝโ˜…โœงโฑโ‘จโž›โนโฑโ‘ขโœโ‘ฆโ‘ฉโผโ†โพโœนโนโŠโผโœ™โœชโฒโž€โฒโทโบโž‡ โ‘จโœโž…โž‰โ‘จ โœ โค โทโบโ‘ฆ โž€โฑโถโฑโทโœโน ร โ โž” โž โ†” โฃ ร ร โœป โ ๏ฟฝ โžพ โฃ โž โ‘ขโœ โฝโž‰โทโžโž€โŠโž…โž‰โž„โž‰โฝโž‰โ‘ขโœโž€ โœ‘

โ—— โœ โž‘ โž˜ โœฟโžพ โžผโœฅโž˜ โœฟโžœ โž‘ โœ“ โœ ร โžฒ โœ–โฅโž‘ ร โ โž” โž โฒ โฃ โžผ ร โ โ†” โž โฒ โฃ โž‘ โœ“ โ™ฅ โฒ

โœ” โ™ฃ โž ร โœป โ ๏ฟฝ โžพ โžผ ๏ฟฝ โžœ โฃ โž โœ“โœฏ โœทโœ” โ™ฃ โž ๏ฟฝ โžพ โžผ ๏ฟฝ โžœโž‰โž โœ“ โœ โœฐ โœค โœ  โœถโœชโœฒ โœท โœง โœท โ™  โœฉรโโ™ฃ โž‘ โž” โžผ โ†” โž‘ โœ“ โก โœฝโ’ โนโ– โพโฑโ‘ฆโžŒโนโธโž€โฒโ‘จโžŒโž€โœนโทโœโœŽโž™โž€โฑโž…โž‰โ‘ข โ‘จโœ‡โžฃโ——โนโฑโ‘ขโ™ฃโž„โž‰โนโฑโผโฒโ‘จtโทโ™ฃโ‘คโ‘งโทโ™ฃโพโฑโผโฒโ‘ฆโ‘ฉโ‘จ โƒ โผโ„โน โ‘คโžˆโนโœ’โœ‘ โนโธโ‘ขโœโž€โฒโ‘ฆโœ‡โฝโž‰โ‘ข โ‘คโžˆโนโœ“โœŒ โฝโž‰โž‡ โžŠ โฝ โœฃ โฝโ‘งโผโ„โฝโž‰โž„ โœบ โœพโœ”โœฆโœชโœฆโœ•โœ”โ€โœฟ โ‘จ โœฅ โœชโœนโฝโž‰โผ โƒโฑโžŠ โน โœฆโœฉโœ โœ„โ™ โป โž… โœฃ โน โœฌโœ—โœ–โ€โœฌโœตโ โžฃโป โฝโ‘งโทโบโผ โžŠ โฝโž‰โ‘ข โ‘จtโผโ– โนโธโผ โถโธโทโœโน โ โž˜ โœฟ โฃ โœฟ โ‘ขโœ™โœ˜ โœฉ โนโฒโž€โฒโ‘จโ‹โ‘จโœโนโธโ‘ข โ‘คโž‰โทโœโน โนโฑโ‘จโ‚โ‘คโžˆโฝโ‘งโ‘ขโœ โพโธโžฃโ‹โž‡โโž…โดโพโœนโฝโž‰โ‘ข โž„โž†โนโฑโผ โœฃ โนโธโ‘ข โพโ– โน โ‘คโžˆโนโธโž€โ™ฃโž‡โโฝโ‘งโ‘ฆ โž€ โœœ โ‘ขโœโ‘ฆ โžฑ โ‘คโ‘งโ‘ฆ โžŠ โนโฑโ‘ข โž€โฒโ‘ฆโœ‡โฝโ‘งโ‘ขโœโ‘ขโœ โนโฑโž‡โ‘ฉโž‡โโนโธโž€โœชโธโ‘จโœโž…โž‰โ‘ข โ‘จ โž…โž’โพโ– โถโฑโทโบโ‘ฆ โž€โฑโนโฒโžฃโ‘ฃโนโธโž‡โ‘ฉโž‡โโน โพโœนโฝโž‰โ‘ข โž„โž†โนโฑโผ โœฃ โน โนโฑโ‘ข โž‡โโฝโ‘งโ‘ฆโœฝโ‘คโžˆโž…โ‘งโ‘ข โž€โ˜Žโœฌ โ โ€ โด โž โ‘ง โ„ โžโœ™โ‘ โฃ โž โž„โž†โนโฑโผโœนโž€ โž˜ โœฝ

Page 193: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โžชโœพ๏ฟฝโœโœˆ โœ‚โ˜Žโœ„โœšโœ†โœšโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœซโœ ๏ฟฝโชโœ“ โœฆ โœ” โœžโœกโœžโœ๏ฟฝ โœ†โณโœ” โœฃโœ„โœ‚โ˜Ž๏ฟฝ

Page 194: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœžโœโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜ž โœโœ๏ฟฝ

โœ‚ โœ’โœตโœ’โœ–โœคโ˜Žโœ„ โœคโœ˜โœฎ

โœฅโœโœ† โœง โœฅ โœžโ–ผโœชโœฑโœชโœญโœฌโœ โœŸ โœฌ โœฅโ˜›โœกโ‚โ–ฒโ—†โ–ผโœงโ–โ——Pโœฑโœฒ โœธโœบโœฎโœนโœธโ——โ– โœถโœฉโ™โšPโœญโœถ โœดโœตโœฎโ†Pโ˜žโœŸโœฌโ–โ†’Pโ™ฃโ™ โœฒโœตโœฌโœงโ– โœฐโ‘ฅโ™โœ™โœปโซโœถ โœฌโœงโ–โ——โ–โ†’Pโ‘ฅโ–โœโœŒ โœฎโŠPโ‘ฅโ–โœโœŽโ–โœŽโœดโœตโœฌโƒโœชโ‘ฅโ–

โœโœโœฝโœทโœผโœŸโœผโœŸโœฝ โœ‰ โ˜›โ†’โœˆโœ‡โœ‰โœŸโœพ โœ„ โœฝ โœ™โž’s โœผ โœ โœ– โœœ โœ– โœ†โœณโœ„ sโ˜Žโœก โœ„ โœฝโœ’โœ‘ โœŸโœฎโœฝ โœ โœ†โœขโœ– โœก โƒโœ”โœ“ โœ„โœšโœŸโœฎโœฝ โœœโœ„โ€ โ—โ˜žโ‡โœซโˆโœฌโœŽโ‰โฝโž‰โ‘ฆโœ‡โนโฑโ‘ขโœโ‘จ โœŽ โž˜ โžพ โž โž” โœŒ โ‚โœฆโœ’ โœŽ โœข โžพ โž โž” โœŒ โ‚โœฆโœ’โ‘คโžˆโนโฑโท โžท โป โผโ„โฝโฟโพโ– โนโธโž€โœนโž€โฒโทโžโž€โœ–โœ•โ€โž…โ‘งโทโžโž€โ– โž€โฒโ‘ฆโœ‡โนโฑโ‘ข โž€ โž€โœดโœชโž›โปโœโž…โž‰โผโ– โž…โ˜…โœงโฑโž‡โโนโฒโž€โŠโผโ–ฒโœชโ– โนโฑโž‡ โž€ โ‘จโž›โนโฑโž‡ โž€โ†โถโฑโทโœโน โœ‘โž โ—— โ€ โž˜ โžพ โ„ ร โ—— โ€ โœข โžพ โ„โœ˜โœ— โž” โœŒ โ‚โž โฒโœšโœ™ โ โž” โž โž” โฃ ร โฒโœœโœ› โ โž” โž โž” โฃ โœ— โž” โœŒ โ‚โž โฒโœšโœ™ โ โž” โž โ†” โฃ โœ” โฒโœขโœ› โ โž” โž โ†” โฃ โœ— โ โž” โž โ†” โฃ โœŒ โ‚ โœ“

โœฃ โž‡โโฝโž‰โผโœนโž€โœนโžฃโœฝโฝโ‘งโ‘ข โž…โ‘โปโœโฝโž‰โทโบโผโ‹โ‘จโœโฝโž‰โทโบโ‘จ โœ˜ โœŒ โ‘ โœ‘โฆ โœซ โœ‡โœญโ‘ โœ›โ‘กโžพ โ‘ข โœ‚ โž˜ โžพ โช โœ˜ โœญ โ†• โฆ โœซ โœ‡โœณโ‘ โ˜Žโ‘กโžพ โ‘ข โœ‚ โœข โžพ โช โœ˜ โœญ

โœโœโœฝโœทโœผโœŸโœผโœŸโœฝ โœ‰ โ˜›โ†’โœˆโโ— โœพโœคโœฃโ‚s โœœโœปโœฝ โœŸ โœŸโ™ฆโƒโœฅโœ“โœโœ„โœšโœŸโœฎโœฝ โœœโœ„โ€ โ—โœทโ‡ โœ โœ–โœงโœฆ โœฝ โœ„ โœ†โœขโ˜›โœฉโ˜… โœ†โœโœช โˆ โœŽ โฝโž‰โ‘ฆโ‘ฉโ‘จ โœŽ โž˜ โžพ โœฃ โž” โœŒ โ‚โตโœ’ โทโบโ‘ขโ˜›โป โผโ„โฝโฟโพโ– โนโธโž€โœนโž€โฒโทโžโž€โœซโœ•โ€โž…โž‰โทโžโž€โœนโž€โฒโ‘ฆโœ‡โนโธโ‘ขโพโœนโนโธโ‘ข โ‘จtโผโœ™โœชโโž‚โ‘ฅโ‘จโž‹โผโ„โž… โ˜ž โนโ– โพโฑโ‘จโœโฝโž‰โ‘ฆโ‘ฉโผโ„โนโธโž€โœ”โœงโœนโฝโž‰โผโฒโ‘ขโ›โœชโœนโนโฒโž€โœงโป โผโ„โนโธโž€โธโถโฑโทโœโนโžƒโปโœโž…โž‰โผโฒโ‘จโœโฝโž‰โทโบโ‘จ โœ โคโ€โฝโž†โž€โฑโฝโž‰โ‘ขโœโž€ โ€ โœ“โœ‚ ร โœ–โœ™โœ˜โœ›โœšโžพ โ‘ข โœ‚ โ—— โœ โž˜ โœ“โžพ โœ โœ โ‘  โ‘ขโดโž… โž…โ‘งโž‡โโฝโž‰โผโœนโž€ โœ‘ โœฃ โž‡โโฝโ‘งโผโœนโž€โœนโžฃโฝโž‰โ‘ข โž…โ‹โปโœโฝโž‰โทโบโผ โ‘จโž›โฝโ‘งโทโบโ‘จ โœ˜ โœŒโฌโ‘ โœ‘โฆ โœซ โœ‡โœญโ‘ โœ›โ‘กโžพ โ‘ข โœ‚ โž˜ โžพ โช โœ˜ โœญ โœ” โœฒโˆโœฝโœญโœฌโฃ โ‘ฅ โ‘กโ€ โœ‚

โทโœโœโœฝโœทโœผโœŸโœผโœŸโœฝ โœ‰ โ˜›โ†’โœˆโ˜žโ˜›โ˜โœพโœคโœฎ โœฝ โœœ โœก โœ†โœณโœ˜โœ›โœš โœฝโ†โƒ โœโœโœฝ โœ– โœ„โœ”โœฏโœโœฝ โœžโœคโœž โœฝ โœœโœ„โ€ โโœฑโœฐ โ‡ โœŸโœฎโœฝโœทโœผโœŸโœผโœŸโœฝ โœ‰ โ—โœปโœˆโโ—โœปโœˆโœ‡โœ‰ โœ โœ–โœงโœฆ โœฝ โ—โœปโœ‰โœณโœฒโ›โˆ โœŽ โฝโž‰โ‘ฆโœ‡โนโฑโ‘ขโœโ‘จ โœŽ โž˜ โžพ โž โž” โœŒโโ€ โด โž โ‘ง โ„ โœ’โทโบโ‘ข โปโœ โผโ– โฝ โพโœนโนโธโž€โ– โž€โฒโทโžโž€โœ–โœ•โ€โž…โž‰โทโžโž€โœนโž€โฒโ‘ฆโœ‡โนโธโ‘ข โพโ– โนโฑโ‘ขโœโ‘จโž‹โผโœ™โœชโŠโ‘จโž›โนโฑโž‡โ——โถโฑโทโœโน โœ‘

โž โง โ‘ โœโฒ โ โž˜ โฅ โฃ ร โ€ โœ“ โช โดโž โ——โœตโœด โ โž˜ โžพโœ”โœถ โž˜ โžœ โฃ โœ“โœธโœท โœ”โœบโœน โž‘ โž” โœถ โ†” โž‘ โกโž…โ‘งโž„โž†โนโœนโพ โด โ…

โด โœ” โœฒ โœโœปโœšโœผ โœ†

Page 195: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœปโœšโœผโœ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ–โœ†โœ˜โœ—โœโœ—โœŸโœโœกโœ™โœโœโœ›โœšโœฃ โž‡โโฝโž‰โผโœนโž€โœนโžฃ โ‘ฆโ‘ฉโž‡โ——โนโœขโœœโž’โ‘ฆ โž€โฒโ‘จโž›โนโ†โทโบโ‘ขโœ โนโ‚โพโ– โฝโ‘งโ‘ข โž€โฒโ‘จโœโž…โž‰โ‘ขโœโ‘จโœโนโœโœฃ โกโœฅโœคโœงโœฆ โ‘จโœโนโธโž‡โ‘ฉโž‡โžโนโ‚โถโฑโทโœโนโœฉโ˜…

โฆ โœซโœ“โœชโœฌโœซโœฎโœญโœฏโœฑโœฐโœณโœฒ โฅโœตโœด โœ–โœทโœถ โœธ โœฏ โœค โœน โœญโœปโœบโœฝโœผโœฟโœพ โ€ โœญโœโโƒโ‚ โœถ โœฃ โกโœน โœนโ…โ„โ‡โ†โ‰โˆโ‹โŠโ— โœพ โ€ โœญโœโโƒโ‚ โœถ โŠโ โ€ โ„ โœนโ– โ„โ‡โ†

Page 196: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ“โœ’โœ•โœ” ๏ฟฝโœฟโœ” โœ†โœโœ—โœ˜โœ—โœŸโœ โœ™โœ˜โœโœ๏ฟฝโœ„โœ‚ โœ‚โ˜Žโœ†โœ†โ˜Ž โœ‚โœžโœโœŸโ˜Ž ๏ฟฝ โœŒโœŸโœ† โœ‚โœŽโ˜› โœ โœกโœ  โœ—โœโœ—โœ˜โœ†โœŸโœ  โœŒโœŽโœโ˜žโ˜›โœโœŒโœ˜โ˜› โœโœกโœŒโœ†โœŽ โœ  โœ—โœŸโœ  โœš โ˜› โœ โœปโœšโœผโœ‘โœโœ’โœโœ†โœ”โœ“โœ–โœ• โœžโœ˜โœ—โœ™โœ—โœ„โœšโœ โœŸโœ”โœšโœ›โœ• โœกโœขโœœโœคโœฃโœฆโœฅโ˜…โœงโœฝPโœ„โœฅโœชโœฉโž†โ™โœซโœฃโœฌโœงโœฎโœญโœŸโœฏโ˜…โœฐโœฌโœ—โœ„โœ—โœ™โœฃโœฆโœฏโฒโ™โœฑโœšโœณโœฒโœžโ–ผโœดโœญโœŸโœšโ‘ฃโ™โšโฏโœตโœฏโœกโœ—โœ™โœฏโธโ–โœถโœญโœŸโœš

โœฟโœฑโœทโœนโœธโœปโœบโœฝโœผ โœŒ โœš โœ– โโœฟโœพ โœฆ โž โŠโ˜…โ€ โฃโ‚โโ„โƒโ†โ…โˆโ‡โœดโ‰โ†โŠโœ‘โ‹โโ— โƒโ– โœบโœ–โ โƒโ‘โ…โ–ฒโ‡ โœบโ–ผโœบโ—†โโœนโ– โ‹โโ‰ โœท โŠPโŠ โ โ‰ โœบ โ…โˆโ‡โ˜โ——โœปโ… โœผ โœผ โ—— โœบโ—†โœท โ‰โ†โ‹โโ…โœžโ…โ˜…โ‹ โœผโ†โƒโœ‘โโ™โœธPโ–โœนโœธ โ…โœžโ‡ โœท โŠโœ‘โ‹โœดโ——โšโ—โœกโฏPโŠโœปโ‰โ‘โ…โ–ฒโ‡โœดโฑ โโ™โœบโณโฒโ โœž โกโฅ โœ  โœผ โฃ โ โœญ โฃโœฎโจ โŠโฉ โ โด โฃ โฌโชโญ

โฅโœผ โ โž” โฃ โ โœญ โœถ โž” โฃ โกโœปโซ โœ– โ™ฅ โž” โž โœญ โ†• โœฆ โž

โ โœž โกโดโœฟโต โœผ โฃ โ โœญ โฃโœฎโจ โŠโฉ โ โด โฃ โฌ โดโญ โœผ โ โž” โฃ โ โž” โœถ โœญ โฃ โกโœปโซ โœ– โ™ฅ โž” โž โœญ โœบโœโ› โžโœทโ– โ โด โœค โœฆ โ…โœกโ‹ โœž โฅ โจ โœž โ™ฅ โœพ

โœฟโœฑโœทโœนโœธโœปโœบ โ‹ โœทโœนโœธ โ‹ โดโฌโ†• โœฆ โโ„โ‹ โœทโ– โœธ โ‹ โœผ โœŒ โœšโกโžโœโโœฟโœพ โœฆ โž โŠโœกโ€ โฃโ˜โ…โœกโ‹โฃโข โœŒ โœšโœโคโ‘งโโโœพ โœฆ โž โŠโ˜…โ€ โฃ โœทโ– โ โ โซ โœ– โˆโœชโฅ โซ โœ– โœบ โด โโœปโŠ โœทโœนโœธ โ‡ โโงโฆโ– โœท โŠPโ‡ โฒโฌ โœ–โฅโœผ โ โ†” โฃ โ โœž โก

โฅ โœ  โข โฃ โ โ†” โฃโœโ™ฅ โ†” โจ โฌ โœ–โฅโ โœž โกโœ– โต โœผ โฃ โ โ†” โฃโ™ โข โ โ†” โฃโ˜žโ™ฅ โ†” โœพ โ™ฅ โœปโ–ฒโ™ฆPโ™ฃ โœปโงq

โต โˆ โ…โ–ฒโ‡โโฑ โโ– โ– โ…โณโ——โœปโ…โณrโœดโ…โˆโ‡ โœทsโฆ โœž โกโฅ โœ  โโœฎโœštโž โฃโœซโœ‰โ– โœˆ โœฏโจ โ โก โœด โž โ…โˆโ‡โœ‡โ‹ โœธPโโ– โ‘  โ‰โ†โ‹ โœธ โ…โ–ฒโƒโ†โƒโ‘โ…โœกโ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹โœฝโ—โˆโ‘ฃ โœธ โ‰โ†โฑโ‘คโ—โœฌโ——โšโ…โณโƒ โ โŠ โœทโ– โœบ โ‘กโ‘ฅโ… โฒโ‘ฆ โœผ โ‘ฆ โœฐ โœค โœง โ‘ง โจ โ‘ฆ โœž โซโ›โก

โฅ โœ  โœผ โ‘ฆ โœฏ โ‘ง โœพโ‘จ โŠโ‘ฉโฑ โโ™โœบ โ‹โโ‰ โ–โ˜…โœธ โƒโ†โ‰โ‘โ… โœบ โ โก โœด โ„ โ…โ–ฒโ‡โœฟโ‹ โœธ โŠโ‘ฉโ…โ–ฒโ‡โโฑ โโ– โ– โ…โณโ——โœปโ… โ… โ‰โ†โƒ โ‘  โ… โœบ โ‹ โ™ฅ โ‡โโ—โœกโฑ โโ– โœบโ—†โโ– โ‘  โƒโ‘โ… q โ…โ˜…โ‹ โœท โŠ โ โƒโ†โ… โœบ โ—โ–ฒโ‡ โœธ โƒโ†โ‹ โ โ‹โฃโ‡ โœธ โ‰ โฆsโ โŠโœ‘โ‹ โฒโถโœขโœœ sPโทโœฉsโ‘คโธโˆโนโ–ผโบโ–ฒโนtsโผโปโœฐโœ‰โšโฝโœปโœˆtโœ‰โฟโพ โ€ โ… โœชโžโž€ โœ‰โœปโž‚โ‰โœ‰ โ‡โœฏโˆ

โžโž„โžƒ โ‘ฆโขโด โœถ โŠ โœท โโ‘ฉโž… โœฆ โžโœถโž† โž‡โโฝโž‰โผโœนโž€โžโ โก โœด โž โนโธโž€โฒโ‘จโœฉโ‘ฆ โž€โฑโฝ โžŠ โฝโž‰โผโž‹โปPโž‡ โนโโž‚ โœž โกโœ– โต โ โœšโกโž โฃ โœพโžโž„โžƒ โ‘ฆ โœฆ โž… โด โž… โŠ โž โŠ โž… โโžˆโž… โŠ โœท โด โžโž‰โž† โž‡โโฝโž‰โผโœนโž€ โœž โกโฅ โœ  โนโธโž€โฒโ‘จโœฝโทโบโ‘ข โฝโ– โป โœชโธโผโ„โž…โ‘งโ‘จโž›โนโฑโทโบโผ โœงโœนโฝโž‰โผโฒโ‘ขโ›โœช โ‘คโž’โน โœš โž โโœฟโœพ โœฆ โž โŠโœกโ€ โฃ โ‘คโžˆโž…โ‘งโ‘ข โž€ โœš โค โโœฟโœพ โœฆ โž โŠโœกโ€ โฃโž…โ‘งโž„โž†โนโœนโพ โฅ โจ โ โ โŠ โœถ โด โ โฃ โซ โœ– โœพโž โคโœงโฝโ‘งโทโบโผโžƒโ‘จโœโฝโž‰โทโบโ‘จ โœฆ โž… โด โž… โŠ โนโฑโ‘จ โ‘จโž›โฝโ‘งโทโบโ‘จ โ โ†• โŠ โž โ โก โœด โž โนโธโž€โฒโ‘จโœฉโพโ– โฝโ‘งโ‘ขโœโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขPโžŠ โžŠ โนโธโ‘ข โ‘จโšโ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโœ โพโฑโž‡ โทโžโž€โ‘โ‘คโžˆโž…โ‘งโ‘ข โž€โœโž‹ โœ“โœ–โœ• โ โด โœถ โŠ โœท โ โฃ โปโœโฝโž‰โทโบโผโฒโž„โฟโทโถโฑโทโœโนโณโด โœถ โŠ โœท โ โœคโ‹โœฆ โœพ โคโœงโฝโ‘งโทโบโผ โœฆ โž…โžโžŒ โœบ โŠ โž โž‹ โœ“โœ–โœ• โ โžŒ โฃ โนโฒโž€โฒโ‘จ โž‡โœฟโžŽ โนโธโž€tโปโœโž…โžˆโพโœนโน โ‘คโž’โนโฒโž€ โœฅ โฝโ‘งโ‘ขโœ โพโฑโ‘จtโ‘ฆโœ‡โฝโ‘งโ‘ข โž€โณโŠโžโžโž‰โž‡โโ‘คโž’โนโธโผโ‚โž‘โžโพโ– โฝโ‘งโ‘ขโœโ‘จโž‹โ‘ฆโ‘ฉโ‘ขโœโทโœโนโธโž€โ‘ข โทโบโž‡โ‘ฉโž‡โโนโฒโž€โ†โนโฑโ‘ขโœ„โž’ โœชโธโผโ– โฝโฃโœชโœนโถโธโทโบโ‘ฆ โป โœช โ‘คโžˆโนโ†โž‡โโž…โโ‘ข โฝโž‰โผ โžŠ โน โ˜…

โž‘โžโž‘ โœผ โž‘โโž‘ โž“ โœˆโœฟโž”โžฃโ†’โ‘โ†”โœกโ†• โจโ˜žโž™โโž›โœปโžœโœฏโโžโžž โžœโž‘ โœผ โ โž” โฃ โœถ โœผ โ โ†” โฃ โž‘โž‘ โž” โœถ โ†” โž‘ โ†” โœพ

Page 197: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœปโœšโœผโœ๏ฟฝ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ–โœ†โœ˜โœ—โœโœ—โœŸโœโœกโœ™โœโœโœ›โœšโœ’โœโœ†โœ”โœ“ โœ† โœžโœ˜โœ—โœ™โœ—โœ„โœšโœ โœŸโœ”โœš โœ† โœกโœ„โœ‚โ‘ขโœฏ โฏ Pโœ™โœฅโœกโœฃโณโœญโœŸโœฏโ˜…โœฐโœฌโœ—โ‘ฅโ– โœบโœ™โœš โœญโ†’โ™โœฑโœฃโœ†โ˜ŽโœถโœšโฃโœงโœฎโœญโœŸโœฐโœฌโœฏโฒโ™โœซโœšโœงโ–โœžโœโชโ™โœซโœฐโœ โœŸโžโœ—โœ„โœฏโ˜…โœšโฃโœ—โœ„โœ—โœ™โœšโœงโ–

โœฉโž†โ™โœฑโœฃโœฆโœงโกโœญโœŸโœฏโœกโœฐโœฌโœ—โœ™โœ—โœ„โœฃโœฌโœฏโฒโ™โœซโœšโœงโ–

โœกโ˜žโ˜›โœโœŒโœโœŽ โœปโ–ฒโ™ฆโœปโ™ฃ โœปโœ’โœ‘โœ”โœ“ โœบโœ–โโž‰โ— โ… โ– โ‹ โœท โ‰ โœบ โ…โœžr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰โ‘โ…โœกโŠโœปโŠโœปโ… โœบโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโœปโŠ โ โ‰ โœบ โ…โœโฑ โœทโ– โœธPโœบ โž‹ โจ โœฆ โœพ โ—

โœกโ˜žโ˜›โœโœŒโœโœŽ โœปโ–ฒโ™ฆโœปโ™ฃโœ˜โœ—โœ™โœ‘โœ”โœ“ โœบโœ–โโž‰โ— โ… โ– โ‹ โœท โ‰ โœบ โ…โœžr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰โ‘โ…โœกโŠโœปโŠโœปโ… โœบโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโœปโŠ โ โ‰ โœบ โ…โœโฑ โœทโ– โœธPโœบ โž‹ โจ โœฆ โœพโœ˜โœš

Page 198: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ“โœ’โœ•โœ” โœ’โœ•โœ”โœ–โœš โœ โœ‡โœŽ โœโœฑโ˜Ž โœ†โœŸโ˜› โœ โœกโœ  โœ— โ˜›โœ˜โœโœ‘โ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœ†โœ๏ฟฝโœโœโœ˜โœ‚โœŽโ˜›โฃโœ  โœ  โœŒโœŽโœโœ›โœš โœ‚ โœ” ๏ฟฝ โœ” โœปโœšโœผโœ„โœ‚

โœก โ˜›โœโœŒโœโœŽ โœปโ–ฒโ™ฆPโ™ฃ โ™ฆ โœ‘ โœ“ โœบโœ–โโž‰โ— โ… โ– โ‹ โœท โ‰ โœบ โ…โณr โœบโโœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰โ‘โ…โœกโŠPโŠโœปโ… โœบโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠโœปโŠ โ โ‰ โœบ โ… โโงโฆ โ… โ– โž‹ โจ โœฆ โœพ โ

Page 199: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœปโœšโœผ โœผ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ–โœ†โœ˜โœ—โœโœ—โœŸโœโœกโœ™โœโœโœ›โœšโœ’โœโœ†โœ”โœ“โœ๏ฟฝ โœžโœ˜โœ—โœ™โœ—โœ„โœšโœ โœŸโœ”โœšโœ‚๏ฟฝ โœก โœ‚ โœฏโฑโฏ Pโœ„โœฅโ˜…โœฃโณโœญโœŸโœฏโœกโœฐโœฌโœ—โ™ฃโ– โœบโœ™โœš โœญโ†’โ™โœซโœฃโœ’โ˜ŽโœถโœšโฃโœงโœฎโœญโœŸโœฐโœฌโœฏโธโ™โœฑโœšโœงโ– โœบโœ™โœš โ˜โœ†โ™โœฑโœฐ โœงโœดโœšโœงโ–โ†’โ–โ——Pโ™ฃโ–โœบโœ™โœš โ˜โ˜žโœฐโœฆโœฏโธโ–โ†’โ–โœŸโœฐโœฌโœ—โ˜Žโœ„โœโœฏโ˜…โœฅโœ–โœญโ†’โ™โšโ–ผโœงโ–

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

โœกโ˜žโ˜›โœโœŒ โœŽ โœปโˆโ™ฆโœปโ™ฃ ๏ฟฝโœ โœ‘โœโœ† โปโœ“โœนโœŸโœžโœกโœ โœŸโบ โฒ โœ“ โœบโ—†โโ‘งโ— โ… โ– โ‹ โœท โ‰ โœบ โ…โœโ—— โœธ โฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡tโ‡ โœทโœนโœธ โ‡โœโ˜› โ—โœฟโโœนโ– โ…โœกโŠโœ‘โ‹โˆโ โœธ โŠ โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โœซโ——โšโ… โœฟโœฑโœท โ‰โ‘โ‡โ—†โ‡ โœท โŠโ‘ขโ—— โˆ โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ…โ–ฒโŠPโ‡โœฟโ‰โ†โ‹โโ—โ˜ž โจ โœฆ โœพ โœŒ โ โœ† โป โœฏ โœžโœปโธ โฒ โœ“ โœบโœ–โโž‰โ— โ… โ– โ‹ โœท โ‰ โœบ โ…โœโ—— โœธโ‘ฅโœฟโœฎโœบโโœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡ โœธ โ‡โฃโ——โšโ… โœฟโœซโœท โ‰ โ‡โ—†โ‡ โœท โŠ โฏPโƒโ†โ‹ โœบ โ—โณโฑ โโ™โœบ โƒโ‘โ… โŠ โœทโœปโœ โœ‘โโ™โœธ โ โž” โž โ†” โฃโœŽโœ โž”โœงโ†” โ™ฃ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

โœกโ˜žโ˜›โœโœŒ โœŽ โœปโˆโ™ฆโœปโ™ฃ โœโœ’โœ‘โœโœ† โปโœŸโœนโœŸโœžโœกโœ  โบโœ’โœ‘ โœฆโœ“โœžโœกโœ โœšโœ™qโœน โœฝโœ™โฒ โœ“ โœบโœ–โโž‰โ— โ… โ– โ‹ โœท โ‰ โœบ โ…โฃโ—— โœธ โฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โกโ‡ โœทโœนโœธ โ‡โœโ˜› โ—โœฟโโœนโ– โ…โœกโŠโœ‘โ‹โˆโ โœธ โŠ โฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โกโ——โšโ… โœฟโœซโœท โ‰โ‘โ‡โ—†โ‡ โœท โŠโ—— โˆ โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โโ…โ–ฒโŠPโ‡โโ‰ โ‹โ—†โ— โ˜ž โจ โœฆ โœพ โœŒ โ™ฃ โต โ…โ–ฒโ‡ โโ™โœธ โ‹ โœบ โ…โ–ฒโ‡ โƒโ– โœบโœ–โ โฑ โœธ โ‰ โ‘ฃ โœธ โ…โ–ฒโ‡ โœบ โ…โœกโฑ โœบ โ—โ–ฒโ‡โโ…โœกโŠโœ‘โ‹โโ…โ–ฒโŠโœ‘โ‹โ˜โƒโ‘โ…โ–ฒโ‡โœดโ‹ โœบโœ–โโž‰โ— โ… โ– โ‹ โœท โ‰ โœบ โ…โˆโ‡โœฎโ——โšโ… โœฟโกโœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โ˜โ——โœปโ… โœฟโœซโœท โ‰โ‘โ‡โ—†โ‡ โœท โŠโฏPโƒโ†โ‹ โœบ โ—โ–ฒโ‡โœฝโฑ โโ™โœบ โƒโ†โ…โžโŠ โœทโœปโœ โœนโโ– โœธ โ โž” โž โ†” โฃโœ”โœ โ โž” โœถ โ†” โฃ โž“ โซโœ–โœ•โœ— โโงโฆ โ… โ–โตโœฝ โป โœนโœ˜โœžโœกโœ โœŸโบโœ™โœ‘ โœ„โ„โœœ sโ‘คโนโ–ผโบ โœฝ โ โž‹ โจ โœฆ โœพ โœš โ โœฝ โป โœฏ โœžPโธโœ™โœ‘ โœฆโœ“โœžโœกโœ โœšโœ™qโœน โœฝ โโž‹ โจ โœฆ โœพ โ โ…โ˜…โ‹ โœฝ โป โœฏ โœžPโธโœโœ‘ โœ„ โœœ sโผโน โบ โœฝ โž‹ โจ โŠ โ™ฃ

Page 200: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœโœ“โœ’โœ•โœ” ๏ฟฝโœฟโœ”โœ–โœš โœ โœ‡โœŽ โœโœฑโ˜Ž โœ†โœŸโ˜› โœ โœกโœ  โœ— โœšโœ™โ˜›โœ˜โœโœ‘โ˜›โ˜ŽโœŒโœŸโœ†โœ๏ฟฝโœโœโœ˜โœ‚โœŽโ˜›โฃโœ  โœ  โœŒโœŽโœ โœšโœฌโœžโ˜Žโœ” ๏ฟฝ โœ” โœปโœšโœผโœ‚โœ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1โˆ’1

โˆ’0.8

โˆ’0.6

โˆ’0.4

โˆ’0.2

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

โœกโ˜žโ˜›โœโœŒ โœŽ โœปโˆโ™ฆโœปโ™ฃ ๏ฟฝ โœ‘โœโœ† โปโœ“โœนโœŸโœžโœกโœ โœŸโบ โฒ โœ“ โœบโ—†โโ‘งโ— โ… โ– โ‹ โœท โ‰ โœบ โ…โœโ—— โœธ โฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡tโ‡ โœทโœนโœธ โ‡โœโ˜› โ—โœฟโโœนโ– โ…โœกโŠโœ‘โ‹โˆโ โœธ โŠ โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โœซโ——โšโ… โœฟโœฑโœท โ‰โ‘โ‡โ—†โ‡ โœท โŠโ‘ขโ—— โˆ โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ…โ–ฒโŠPโ‡โœฟโ‰โ†โ‹โโ—โ˜ž โจ โœฆ โœพ โœŒ โโงโฆ โ… โ– โ——โšโ…โˆโ‡โœ†โ‘ก โโ™โœบ โ‘ฃ โœธ โ…โ–ฒโ‡โ˜Žโœ„ โโ™โœธ โ‡โ—†โ‡โโ‰โ†โ…โ–ฒโŠโœปโŠโœปโ…โ–ฒโ‡ โ– โ…โœกโŠโœ‘โ‹ โœบ โ—โ–ฒโ…โ–ฒโ‡ โœบ โ—โ–ฒโ—— โœธ โ‰ โ‹โ—†โ…โ–ฒโ‡ โ™ฃโœ“โœ† โป โœฏ โœžโœปโธ โPโ‹ โœบโ—†โโ‘งโ— โ… โ– โ‹ โœท โ‰ โœบ โ…โœฌโ—— โœธ โœฟโกโœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โœ†โ——โšโ…โœฟโœซโœท โ‰ โ‡โโ‡ โœท โŠ โฏPโƒ โ‹ โœบ โ— โฑ โโ™โœบ โƒโ†โ… โŠ โœทโœปโœ โœนโโ™โœธ โ โž” โž โ†” โฃ โœ โ โž” โœถ โ†” โฃ โž“ โซโœ–โœ•โœ— โโงโฆ โ… โ– โž‹ โจ โœฆ โœพ โ โ™ฃ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1โˆ’4

โˆ’2

0

2

4

6

8

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1โˆ’5

0

5

โœกโ˜žโ˜›โœโœŒ โœŽ โœปโˆโ™ฆโœปโ™ฃ โœ‚ โœ‘โœโœ† โปโœ“โœนโœŸโœžโœกโœ โœŸโบ โฒ โœ“ โœบโ—†โโ‘งโ— โ… โ– โ‹ โœท โ‰ โœบ โ…โœโ—— โœธ โฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡tโ‡ โœทโœนโœธ โ‡โœโ˜› โ—โœฟโโœนโ– โ…โœกโŠโœ‘โ‹โˆโ โœธ โŠ โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โœซโ——โšโ… โœฟโœฑโœท โ‰โ‘โ‡โ—†โ‡ โœท โŠโ‘ขโ—— โˆ โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ…โ–ฒโŠPโ‡โœฟโ‰โ†โ‹โโ—โ˜ž โจ โœฆ โœพ โœฆ โŠ โโงโฆ โ… โ– โ——โšโ…โ–ฒโ‡โœโ‘ก โโ– โœบ โ‘ฃ โœธ โ…โˆโ‡โœ†โœ„ โโ– โœธ โ‡โ—†โ‡โœฟโ‰โ‘โ…โœกโŠโœปโŠPโ…โ–ฒโ‡ โ– โ…โ–ฒโŠโœนโ‹ โœบ โ—โ–ฒโ…โ–ฒโ‡ โœบ โ—โ–ฒโ—— โœธ โ‰โ†โ‹โโ…โˆโ‡ โ™ฃ โœ† โป โœฏ โœžโœปโธ โโ„โ‹ โœบโœ–โโž‰โ— โ… โ– โ‹ โœท โ‰ โœบ โ…โณโ—— โœธโ‘ฅโœฟโกโœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โœโ——โšโ…โœฟโœซโœท โ‰ โ‡โโ‡ โœท โŠ โฏPโƒ โ‹ โœบ โ— โฑ โโ™โœบ โƒโ†โ… โŠ โœทโœปโœ โœนโโ™โœธ โ โž” โž โ†” โฃ โœ โ โž” โœถ โ†” โฃ โž“ โซ โœ•โœ— โโงโฆ โ… โ– โž‹ โจ โœฆ โœพ โœš โ™ฃ

Page 201: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โœป โœโœ‚โœ โœ‚โ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โ˜ŽโœŒโœŽโœโœ‘โœโœ“โœ’โœ•โœ”โœ–โœ†โœ˜โœ—โœโœ—โœŸโœโœกโœ™โœโœโœ›โœš

Page 202: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝ โœโœ„โœ‚โœ†โ˜Žโœโœโœ„โœžโœ โœŸโ˜›โœกโœŒโ˜žโœ โœโœ†โœŽโœโœโœ„โœ‘

โœ’ โœปโœ”โœ“โœ–โœ• โœŽโœ˜โœ—โœšโœ™โœœโœ›โœฃโœขโœฅโœคโœงโœฆ โœŽโœฉโ˜…โœšโœชโœซโœ›โœฃโœขโœ˜โœฌโœฅโœญโœฎโœ™โœฐโœฏโœฉโœคโœ˜โœฑ โœŽโœ˜โœฒโœดโœณ โ˜›โœถโœตโœทโœ™โœนโœธโœฅโœฏโœ”โœบ โ…โ˜…โ‹โœโœป โœŽโœฝโœผโœšโœพโœฎโœฟโœฐโœข โœ‘โโ€โƒโ‚โ…โ„ โ‰โ†โ‹โโ…โœโŠ โœท โ‰โ‘โ‡โโ…โ‡โ†โ– โ…โœกโŠPโ… โœบโœ–โ โƒโ‘โ‰ โœžโˆโ โ‹โโ‰ โœท โŠโผโ‡ โœทโ‰โˆ โ‹ โ„ โ…โŠ โƒ โโ™โœบโ—โ‹ โ˜›โ– โ โโ™โœธ โ‡โ—†โ‡โœฟโ‘ก โ โŠโœปโŠ โ˜›โ‘โ โ–โ˜…โœท โŠPโ…โžโ‹ โ„ โ… โœทโœนโœบ โ…โ–ฒโ‘ก โœ• โ‰ โ‹ โ„ โ โฑโœปโฑโœปโƒโ‘โ‰ โ–โ–ฒโ โ‹โโ‰ โœท โŠโœชโ‹ โœท โ‘ก โ โ‹ โ„ โ…โ–ฒโ‘ก โ โ‹โโ‰ โ–โœกโ โƒโœดโฏPโŠ โ โŠ โ– โ…โ–ผโ–ฒโžโโ–โ—†โ–Pโ˜โ——โœฉโ™โ‰โ——โœฉโšโฑโฏโžƒโœฉโฒโ– โณ โš โž‡โœงโจโœงโฉ โ™ฅ โœ— โœโœ‚โœ โœโœนq โโšโŠ โœท โ™ฃโœณ๏ฟฝ โโšโฑ โ™ฃโœ•๏ฟฝ ๏ฟฝโœนโœ โœ‘ ๏ฟฝโœ‚โœโœ๏ฟฝโœปโ™ฃ

โœ’ โœ—โฌโœ“โœ–โญ โœŽโœฐโœ—โœšโœญโœœโœฏโชโœขโœ˜โœณ โœ‘ โž† โ——โซPโ˜โ—— โฒโตโดโ›โณโโœโกโž โš โฒ P โณ โ—— โฒโ– โณ โš โณ โ—— โฒ Pโ˜โ—— โž P โฒโฃโขโฌโค โฏ โœœ โฒโตโด โฏโฅโœโฆโ™ โค โ™โ‰โ—— โœโฆโด โฏโœ”โงโ™ โ™ โฒ โฏ โœโ™ฅโฒโ™ฆโณโ—โ™ฃ Pqโšsrโœ‰t โณโกโดโœ‡โœˆ โฏโœ”โ——โœฎโฏ โด โ™โ‰โงโœ‰โ‘ โœ‡โ™ โž rsโ‘กrsPqโ™โกโ—— โ™ฃโœฉโดโ›โณ โšโฑโฏsrโฑrโฅโฏsrโ‚โโ‘ฃโ‘ข โŠโผโ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰ โ‹ โœธ โ‹โโ… โœทโœทโˆโ‘ฅโ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โ–ฒโ‘ก โ โ‹โโ‰ โ–โœกโ โƒโœดโ‘ฆโœ‘โ‹ โ โ‹โโ‰ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰ โ– โ‡โ‘จโ‘งโœถโ… โ– โ‹ โœธโœปโœบ โ…โถโ‘ฉ โœท โ‹โโ…โ–ฒโ‡โธโท โ‘คโžˆโœท โŠ โœท โ† โœบโœ–โ โฑ โ„ โ‘ฆโ„โ… โœบ โ‰โ†โ…โˆโ‡โœกโโฆโœนโœท โƒ โ™ฃ โœป โœ— โโนโ‘ข โŠPโ‡โœฟโ‹โโ‰โ†โ‹ โœธ โ‹โโ… โœทโœทโˆโบโ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โ–ฒโ‘ก โ โ‹โโ‰ โ–โœกโ โƒโœฐโ‘ฆโœ‘โ‹ โ โ‹โโ‰ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰ โ– โ‡โœกโโœงโ โโฌโป โœ•โœดโโ– โœบ โ——โž‰โ โŠโ‡โผ โ โœป โœโœ‚โœ โœโœปโ™ฃโœ’ โ™ฆโกโœ“โœ–โฝ โœŽโพโœ—โ™ฅโœฏโนโฟโœœโœ›โชโœค โœป โœŽโœ˜โž€โƒโœขโœงโžโœฐโœฌ โ…โœกโ‹โ‡โž‚ โœŽโพโœฑโ™ฅโœธโœนโœ™โœฐโœฏโชโœ™โœฐโœณโชโœบ โœ‘โโ€ โ‘ฆโœ‘โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ‘ฆโœ‘โ‹ โœบโ—†โ โ‹ โœท โŠ โœทsโฆ โ‰ โ– โ„ โ–โœกโ โƒ โ–โœกโœธ โƒ โœธ โ‡ โˆ rโœดโ‘ก โˆโ–ผโœทโ– โœบโœœโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโœขโ‘ก โœท โ‹โโ‰ โœท โŠ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โ โœธโœปโœบ โ‡โœฟโ‹โœฆโฑ โโ™โœบโœ–โ โ‘กโ‘ขโ…โœกโ‹โโ… โœบ โƒโ‘โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โณโ‹ โ„ โ โŠ โŠโกโžƒ โ— โ–ฒโžโโž…โž„โœงโ™โ‰Pโ˜โž†โ–โ™โกโ——โœฉโฏโœ”rโฅโฏโžˆโž‡ โจโœ„โž‰ โ™ โฒ โž‡โœงโจโ‘ฃโžŠ โ™ฅ โœ— โœ โœ โœปโˆq โโŠ โœท โ™ฃโœปโ™ฆ โโšโฑ โ™ฃ ๏ฟฝ โœ โœโœ–โœ‘ ๏ฟฝโœนโ™ฆโœโœ—โšโ™ฃโœ’ ๏ฟฝโ‰โœ“โœ–โฝ โœŽโบโœ—โ™ฅโœฏโนโฟโœœโœ›โชโœคโ–โž‹ โœŽโ–โžŒโžโœ™โœœโžŽโœทโœขโžโœบ โ…โœกโ‹โ™ฅโž‚ โœŽโœ‰โœฑโœšโœธโœฅโœ™โœฐโœฏโœทโœ™โœœโœณโœทโœบ โœ‘โžโ€ โ‘ฆโœ‘โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰ โ–โœฆโ–โœกโ โƒ โ–โ˜…โœธ โƒ โœธ โ‡ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โœบ โ…โ–ฒโ‡โโฑโผโ… โ– โ‹โœ†โ‹ โœทโ‘จโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠ โ‘ก โœท โ‹โโ‰ โœท โŠ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โ โœธโœปโœบ โ‡โœฟโ‹โœ”โฑ โโ™โœบโœ–โ โ‘กโ‘ขโ…โ˜…โ‹โ—†โ… โœบ โƒโ‘โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ… โœบ โ‹ โ„ โ โŠโž‘โžโ„ โ–ฒโžโ โžƒโœฉโฒโ– โณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ Pqโšโžˆโž’ โดโ—โณ โšโฑโฏโœ”rโ—r โจ โž† โ™ฃโœทโ™ฃ โง โจโœ„โž“โœฝโž”โ™ฅ โœ— โœ โœโœ‚โœโœนq โโœ‘โŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โPโฑ โ™ฃโœนโ†’ โœ—โœ˜โ†’ โœ‘โœฉโ†’โˆโ™ฆ โœPโ™ฃโœ’ โœโฌโœ“ โท โ โ€ โ‘ฆโ„โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ–โœกโ โƒ โ–โœกโœธ โƒ โœธ โ‡ โœ• โ‰โ†โ‹ โ„ โœบ โ…โˆโ‡โœฟโฑโ‘คโ… โ– โ‹โฃโ‹ โœท โœ„ โโ– โœธ โ‡โโ‡โโ‰ โ โŠโ‘ฉโฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โบโ–ฒโž‰โ โž† โ——โœงโ—— โจ โž’ โดโ›โณโชโžฃ โ™ โžฃ โจโž‰โž‚โœฝโ†” โ™ฅ โœ— โœ โœโœงโ†’โˆq โโŠ โœท โ™ฃ โœ— โโšโฑ โ™ฃ โœ‚โœ–๏ฟฝ ๏ฟฝโœ–โœ‘โนโ†•โœ‚โœโœ˜โ†’โ– โ™ฃโœ’ ๏ฟฝโกโœ“โœ–โฝ โœŽโœœโœ—โ™ฅโœฏโพโฟโบโœ› โ…โ˜…โ‹โœšโž‚ โœŽโœซโœฑโ™ฅโœธโœนโœ™โœฐโœฏโชโœ™โœฐโœณโœทโœบ โœ‘โž™โ€ โ‘ฆโ„โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ‰โ‘โŠโœนโ‹โ—†โ…โฅโ† โœบโ—†โ โ‹โโ‰ โœท โŠ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โœบ โ…โˆโ‡โœฟโฑโ‘คโ… โ– โ‹โฃโ‹ โœทโ‘จโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโฆโ–ฒโž‰โโžโž› โœบ โ…โ–ฒโฑ โœบ โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โ–ฒโ โœ— โœ โœ โœ—โšโ™ฃโœ’ โœ‚โโœ“ โžŒ โœŽโพโœ—โ™ฅโœณโœฎโžœโœฉโžโœœโœฌโœฅโœขโœงโœ› โœ‘โฆโ€ โโœโŠโณโ‹ โ„ โ…โกโƒ โ โœ•โฟโœทโœทโˆ โ‹ โ„ โ…โกโ‰โ†โ‹โโ… โœบโ—†โ โ‹โโ…โ–ฒโ——โณโƒ โœท โ† โโ™โœบ โ‰ โ‹ โ„ โ‘ก โˆโ–ผโœทโœนโœบ โœ„ โโ™โœธ โ‡โโ‡โโ‰ โ โŠโณโฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โœฝโ–ฒโžโโพโž‡ โจ โž„ โž‡ โฏ โณโกโด โฏ โฒ โจโž’ โดโ—โณโœทโžฃ โ™ โžฃ โจโœฎโž“ โ™ฅ โ†’ โœโœ‚โœโœนโœโœนq โโšโŠ โœท โ™ฃโžโžž โโšโฑ โ™ฃโœงโ†•โœ„โœ‚ โœ‚ โœ‘ โœ โœโœนโ™ฆโœปโ™ฃโœ’ โ†•โกโœ“ โœ— โœŽโœฅโœฆโ‘ฅโœ™โœฐโœญโœฐโœณ โ˜›โ˜โœช โ˜›โžŸโœ™โœฐโœฌ โ…โœกโ‹ โœ— โœŽโœฐโž โฆโœ›โœ”โœบโœนโžกโœฅโœฌโœฅโœขโœงโœฏ โœ‘โžขโ€ โœโœฝโ โ—— โœท โŠPโ‰ โฏ โ–โ–ฒโ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โœทโ‰โˆโœฑโ–โœ”โป โƒโ†โ‰โ‘โŠPโ—— โœบ โ‰ โ–โœกโ โƒโžโ‡โโ…โœกโ‘กโ‘ขโ‰โ†โ‘ก โโ– โœบ โ‹โ—†โ‰โ†โŠโœ˜โ† โ โƒโ‘โ…โ–ฒโ‡ โœท โŠโžˆโโœฝโ‰โ‘โƒ โ˜›โ‘  โ… โœบ โ‹โœ†โ‡โœฟโฑ โโ– โ– โ…โˆโ‡โœ‰โ–ฒโžโ โž† โ——โœงโ—— โจโœฅโž‰ โ™ โฒ โž‡โœงโจโœฐโžค โงโœถโ™โกPโžŸrโฅโฏโžฅโž’โœโ™โฌrโฅโšโฑโ™โกโง โฝ โ™ฅ โ†’ โœ โœโœ๏ฟฝโœนq โโœ‘โŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โโšโฑ โ™ฃโœฅโ†’โ–ฒโ™ฆโœ–โœ‘ โœ—โžโ†’โœนโ™ฃโœ’ โœโกโœ“ โœ— โœŽโœซโœฆโ‘ฅโœขโœงโœฌโœนโœ™โœœโœ›โโœ› โ˜›โ™ฆโœคโƒโžฆ โœŽโ–โžงโ‘ฅโžโœœโžจโœฅโœขโœ˜โœฌ โ…โœกโ‹โœšโœป โœŽโœ‰โžฉsโœ›โœ”โœบโชโœ™โœœโœ› โœ‘โžซโ€ โ‘ขโœ‡โ——โšโ…โ–ฒโŠโœ‘โ‹โโ‰โ†โฏ โ–โœกโ โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โŠโผโ——โ‘ฉโฑ โœบโโœท โฑโผโ… โœบ โ‹โ—†โ‰โ†โ…โˆโ‡ โœทโ‰โˆ โ‘ก โœทsโฆ โ‰โ‘โŠโœ˜โ† โโงโฆ โ… โœบโ—†โ โ†โ– โ…

โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒโ‘คโƒโ‘โ— โฆโนโป โ‘ก โœท โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡โ‘ฃโ–ฒโžโโœงโž› โœบ โ…โ–ฒโฑ โœบ โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โ–ฒโ โœ— โœ โœโœงโ†’โ– โ™ฃโœ’ โ†’ โœโกโœ“ โœ— โœŽโœซโœฆโ‘ฅโœขโœงโœฌโœนโœบโœนโžจโ‘ฃโœค โœก โœŽ โฝ โœŽโบโž€โƒโžโœœโœชโบโœชโœฐโœ™ โœ‘โžซโ€ โผ โŠโœ‘โ‹โ—†โ‰ โ– โ‰โ†โฑ โ โ‹โโ‰ โฆ โ… โ–โ–ฒโ โƒ โ–โ˜…โœธ โƒ โœธ โ‡ โˆโ–ผโœทโœนโœบ โƒโ‘โ— โฆโนโป โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡ โ โŠPโ——โžˆโ‡โœฟโ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰ โ– โ——โœปโ‰ โˆ โ˜›

โˆ โ… โœบ โ…โ–ฒโŠโœนโ‹โ—†โ‰ โ โƒโž‰โ…โ–ฒโ‘ฃ โœธPโ โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡โœ‰โ–ฒโžโโœ˜โž› โœบ โ…โ–ฒโฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โ–ฒโ โœ— โœ โœโœโœ—โœปโ™ฃโœ’ โ†’โœทโ†’โœ”โœ“ โœป โœŽโบโœฆโžญโœขโœ˜โœณโœฎโœ™โœœโœฌโ‘ฃโœค โญ โœŽโƒโžฆโœฉโžจโœฅโœขโœ˜โœณโœนโžฏโœดโœ™โœฐโœฌโ‘ฃโœคโœ‰โžŒ โœŽโœซโžฒโƒโœ™โœฅโžณโœœโžณโœœโœธ โ…โœกโ‹โœ–โžต โœŽ โžต โ˜›โ˜โœฏโพโœฏ โ˜›โ˜โœฌ โœŒโœฐโœขโœงโœณ โœ‘โž™โ€ โ‘ง โœท โŠโœ˜โ† โœบโœ–โ โŠโœ˜โ†โœนโ… โ——โšโ…โœกโฑโ‘คโ…โœกโŠPโ——โœปโ…โœกโŠ โ– โ…โœฆโ‰โ‘โŠโฆsโโ™โœบ โ‰ โโ™โ‘  โƒโ‘โ… โ‘  โ‰ โ‹โ—†โ… โœบโ—†โ โ‹โโ… โฆ โ‰โ‘โ——โšโ… โœท โ‹ โœบโœ–โโกโžธโœ”โ– โ–ฒโžโโœงโžบโ›โžปโ‘ฃโžปโ–โžปโž‘โž„ โด โ™โกโ——โœงr โจโ‡โžผ โณ โœโœšโœ โž โ—— โจโœฝโฉโ‘คโฝ โ™ฅ โ†’ โœโœ‚โœโœนโœโ– q โโ„โฑ โ™ฃโœฅโ†’โˆโœ ๏ฟฝ ๏ฟฝโœ–โœ‘โœฉโ†’โˆโœ โœ‚ โœPโ™ฃโœ’ โ†’ โœ—โฌโœ“ โžฆ โœŽโœซโœฆโžญโœขโœ˜โœณโœนโžฏโœดโœ™โœฐโœฌ โœ‘โžซโ€ โ โโ™โœบ โ‘ก โœท โŠโœปโ‰ โ– โ โŠ โ โƒ โป โ‡โโ‰โ‘โ‡ โœทโœทโˆ โƒ โœทโšโ–โœกโ โƒโž‰โ‹โโ‰โ‘โ‘กโ‘ขโ…โ–ฒโ‡ โ โŠPโ——โžˆโ‡ โ โ‘กโ‘ขโฑโœปโƒโ‘โ… โˆโ–ผโœธ โŠ โ– โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡ โœทโ‰โˆ โœ„ โโ™โœธ โ‡โ—†โ‡โœฟโ‰ โ โŠโ‘ฉโฑ โœบโ—†โœท โ˜›

โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โœซโ–ฒโž‰โโ‡โž„ โด โ™โกโ——โœ˜r โจ โž† โœโ‘จโฏ โด โจโœฐโž‰ โ™ โฒ โž‡โœ˜โจ โžƒโœฎโณ โš โจโœœโžฝโนโฉโ‘คโฝ โ™ฅ โ†’ โœ ๏ฟฝโœ‚โœโœนq โโšโฑ โ™ฃ โœ— ๏ฟฝ โœโœ–โœ‘ โœ—โœทโ†•โœ˜โ†’โ– โ™ฃโœ’ โ†’โ–ฒโ™ฆโกโœ“ โท โ โ€ โ‘ง โœทโšโ–โœกโ โƒโœโ‹โโ‰โ‘โ‘กโ‘ฅโ…โˆโ‡ โ โŠPโ——โž„โ‡ โ โ‘กโ‘ขโฑโœปโƒโ‘โ… โˆโ–ผโœธ โŠ โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโœโฑ โœบโโœท โฑโผโ… โœบ โ‹โ—†โ‰โ†โ…โˆโ‡ โœทโ‰โˆ โ‡โœฟโ‹ โ โ‹โโ‰ โœท โŠ โโ– โœบโ›โป โœ„ โโ– โœธ โ‡โ—†โ‡โœฟโ‰ โ โŠ โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โƒโ–ฒโžโ

โž„ โด โ™โกโ——โœงr โจ โž† โœโฆโฏ โด โจโœœโž‰ โ™ โฒ โž‡โœ˜โจ โžƒโœนโณ โš โจโœฅโžฝโšโฝโœฎโžพ โ™ฅ โ†’ โœโœ๏ฟฝ โœโœ‘q โโ„โฑ โ™ฃ โœ— โœ‚ โœ‚ โœ‘ โœ— โœโœ‚โœโœปโ™ฃโœ’ โ†’โฅโžžโ‰โœ“ โท โ โ€ โœ„ โโ– โœธ โ‡โ—†โ‡โœฟโ‰ โ โŠโžˆโฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡โโ…โ–ฒโ‡ โœ• โ‰โ†โ‹ โ„ โ‡โœ‡โ‹ โ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โโ™โœบโ—โป โ‰โ‘โŠ โ–โœกโœบ โ…โ–ฒโ‘กโ‘ฅโ…โ–ฒโŠโœ‘โ‹โ—†โ‡ โฒ โ‘ง โœทโ„โ–โ–ฒโ โƒ โ‹โโ‰โ‘โ‘กโ‘ฅโ…โˆโ‡ โ โŠPโ—— โ‡ โ โ‘กโ‘ขโฑโœปโƒโ‘โ… โˆโ–ผโœธ โŠ โ– โ‹โโ‰ โœท โŠโฑ โœบโ—†โœท โฑโ‘คโ… โœบ โ‹โโ‰โ‘โ…โ–ฒโ‡โœ‰โ–ฒโžโ โž† โ——โœงโ—— โจโœฐโž‰ โ™ โฒ โž‡โœ˜โจ โžƒโœฝโฒ โ™ โฒ PโžŸr โฒ โจโœ˜โฉโœœโžฝ โ™ฅ โ†’ โœ โœ‚ โœโœนq โโ„โฑ โ™ฃโœฐโ†’ โœ— ๏ฟฝโœ‚โœ โœ‘โœฎโ†’ โœ— โœ‚ โœ—โšโ™ฃ

โ†’ โœโœงโ†’

Page 203: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ†’ โœ โœ— ๏ฟฝโœ‚โœโœ„๏ฟฝโœโ˜Žโ˜Žโœโœกโœ โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœโœŒโœกโœโœโœŽโœ’ โ†’โˆโœโฌโœ“ โท โ โ€ โ โ–โ–ฒโ–โ˜…โœธ โฑ โ โ‹โโ‰ โœท โŠโ‘ฅโ‹โโ‰โ‘โ‘กโ‘ขโ…โ–ฒโ‡ โœทโ‰โˆ โ‡โœ‡โ‹ โ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โโ™โœบโ—โป โœ„ โโ– โœธ โ‡โโ‡โโ‰ โ โŠโ‘ขโฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โœฅโ–ฒโžโโœฎโž‡ โจ โž† โ™ฃโœทโ™ฃ โง โจ โž’ โดโ›โณโœทโžฃ โ™ โžฃ Pโ˜โง P โฒโตโข โžพ โ™ฅ โ†’ โœ โœ‚ โœโœนq โโฑ โ™ฃ โœ‚ โœ—โžโ†’ โœ‘ โœ‚โ™โ™ฆโ– โ™ฆโœปโ™ฃโœ’ โ†’ ๏ฟฝโกโœ“ โท โ โ€ โœ„ โโ– โœธ โ‡โโ‡โโ‰ โ โŠโ‘ฉโ‡ โ โ‘กโ‘ฅโฑPโƒโ†โ… โˆโ–ผโœธ โŠ โ– โ‹โโ‰ โœท โŠโผโ‡ โฒโœ’โœ‘ โŠPโ‰ โˆโ–ผโœทโœนโœบ โ‘ก โ——โšโ‰โ†โ‘กโ‘ขโ…โ–ฒโŠPโ‡โœฟโ‰ โœท โŠ โ โŠโผโ——โžˆโโ˜žโœ“โ– โƒ โ——โšโ… โœบโœฝโ–โœกโœท โŠPโ——โœปโ‰ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠPโ‡โฃโŠ โœทโœ–โœ• โ„ โ… โœบ โ…โœโ–ฒโžโ

โœ” โ™ โœˆโพโณโกโข โ™ โž‰ โ™ โฒ โž‡โœงโจ โž‡ โจโœงโฉโœฎโž” โ™ฅ โ†’ โœ โœ‚ โœ—โ– q โโ„โฑ โ™ฃ ๏ฟฝโ– โ™ฆ โœ‘โžโ†• ๏ฟฝPโ™ฃโœ’ โ†’ โœ‚โโœ“ โท โ โ€ โ‘ง โœทโšโ–โœกโ โƒโ„โŠ โœท โŠPโ——โœปโ…โ˜…โ‹โโ… โœบ โ‘กโ‘ขโ‰โ‘โŠโœปโ‰ โ‡โœฟโ‘ก โ โŠPโ——โœฌโƒ โœทโšโ–โœกโ โƒโœนโ‹โ—†โ‰โ†โ‘กโ‘ขโ…โˆโ‡ โœทโ‰โˆ โœ„ โโ– โœธ โ‡โ—†โ‡โœฟโ‰ โ โŠโžโฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โœฉโ–ฒโžโโœทโžบโœ”โ—— โœ Pqโ™โกโ——โœฉโ™โœ–โœ•โœœโ——โœฝPโœ˜โœ— โจโœฝโž‰ โ™ โฒ โž‡โœงโจโž‡ โจโผโž‚โผโฝ โ™ฅ โ†’ โœ โœ‚โ™โ™ฆโœšโœ™ โœ‚โฌโžžโœ‘q โโ– โฑ โ™ฃ ๏ฟฝ โœ โœ‘ โœโ‰โžžโผโ™ฃโœ’ โ†’โœฃโ†•โกโœ“ โท โ โ€ โ‘ง โœทโšโ–โœกโ โƒโ‘คโŠ โœท โŠPโ——โšโ…โ˜…โ‹โ—†โ… โœบ โ‘กโ‘ขโ‰โ†โŠโœปโ‰ โ‡โโ‘ก โ โŠPโ—— โƒ โœทโšโ–โœกโ โƒโ‘คโ‹โโ‰โ‘โ‘กโ‘ฅโ…โˆโ‡ โœทโ‰โˆ โ†โœนโ…โœกโŠโœปโ… โœบโ—†โ โƒโ‘คโ‡โœฟโ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰ โ– โฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โœœโ–ฒโžโ โž† โ——โœฝโ—— โจ โžบsโ——โœ˜r โฒ โจ

โœ› โจ โž’ โณ Pโ˜โ——โœฎโšโ—โ™ โดโœขโœœโœฌโžƒ โฏโฑโš โฒ โจโœฅโžคโœคโœฃ โœ” โจ โžƒ โจ โœฅโโžฝโžโ†” โ™ฅ โ†’ โœโœทโ†•โ– โ™ฆโœ‘q โโ„โŠ โœท โ™ฃ โœ— โโšโฑ โ™ฃโœฐโ†’โœฃโ†• โœโœ–โœ‘ โœ— โœ โœ‚โ„โ™ฃโœ’ โ†’ โœโกโœ“ โท โ โ€ โ‘ฆโ„โฑโ‘คโ… โ– โ‹ โœบโ—†โ โƒ โ–โ˜…โœท โŠPโ——โšโ‰โ†โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡ โˆโ–ผโœทโ– โœบ โƒ โœทโšโ–โœกโ โƒโœ‘โŠ โœท โŠPโ——โšโ…โœกโ‹โโ… โœบ โ‘กโ‘ขโ‰โ‘โŠโœปโ‰โ‘โ‡โโ‘กโœŒโ–ฒโžโ โžƒโœฉโฒโ– โณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ Pqโšโœโž’ โดโ›โณ โšโ—โฏโœ”rโฑr โจ โž† โ™ฃโœทโ™ฃ โง โจโ„โž‚โœฝโžพ โ™ฅ โ†’ โœโœทโ†•โœ„โœ‚โ™q โโŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โโšโฑ โ™ฃ โœ‚sโ™ฆ โœ‘โžโ†•โ‰โžžโผโ™ฃโœ’ โœ— โœโกโœ“ โœป โœŽโœฝโœฆโžญโœขโœ˜โœณโชโœบโœฅโž โ˜›โ˜โœฌ โœ‘โžˆโ€ โ‘ฆ โœธPโœบโœฎโœธ โŠโœปโ…โฃโ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ—โœฃโ† โœบโœ–โ โƒโ‘โ…โฃโฑ โœทโœนโœธโœปโœบ โƒโ‘โ…โ–ฒโ‡tโฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡ โœธ โ‡โœงโœฆโœฉโ˜… โ˜› โฆsโโ™โœบ โ‰ โ โ‹โโ‰ โœท โŠ โ‘ โ‘คโœทโ– โœบ โŠโœปโ—โœกโ…โ–โ–ฒโž‰โ โž† โ——โœงโ—— โจ โž’ โดโ›โณโชโžฃ โ™ โžฃ โจ

โžฝโœ˜โžพ โ™ฅ โ†’ โœโœทโ†• โœโœ‘q โโ„โŠ โœท โ™ฃโœ˜โžž โโšโฑ โ™ฃโœฐโ†’โˆโœ โœ—โœ˜โ†’ โœ‘โœฎโ†’โˆโœโ™โ™ฆโœ‘โœโšโ™ฃโœ’ โœ—โžโ†’โœ”โœ“โœ–โœ• โœŽโœ‡โœฆ โ˜› โžœโœฉโžจโœนโœบโœนโœขโœ˜โœฏโพโœขโœ˜โœณโœ‰โœค โœป โœŽโœซโœชโ™ฅโœณโœฎโœ™โกโœตโœœโœขโœงโœณโœนโœขโžโœ™โœนโœธโœญโœฌ โ…โ˜…โ‹โถโœป โœŽ โœป โœ™โœนโžœโœฎโžโœœโœญ โœ‘ โž‰ โ™โ‰โงโ˜โง Pqโ™โœฎโœ—โPโ˜โ——โœŒโšโฑโ™โกโงโœถโš โž โง โž rโ‘ฅt โณโกโดโœ–โ™ฃโœฉโดโ›โณ โšโฑโฏsrโฑrโฅโฏsr โž†โœ‰P โฒ โž‡

โœฏ โž โœ โ™ฃ rโ‚โ โœ„ โœทโœนโœบ โ—— โœท โŠ โ โŠPโ——โ‘ฉr โœบ โ… โโœนโ– โ„ โ‘ฆ โ– โ‰โ†โ…โ–ฒโŠ โ– โ…โžญโž› โœธPโ‘  โƒโ†โ‰ โ‡ โ„ โ… โœบ โ‡โœกโโœฝโ‘ฉโœฝโ… โœ•โœฑโœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ โ โ†’ โœโœทโ†•โœ„โœ‚โ„โ™ฃโœ’ โœ— โœ—โฌโœ“ โœฒ โœŽโœโœฆ โ˜›โ˜โœฏโพโœฏ โ˜›โ˜โœฌ โœŒโœœโœ›โœฃโœฏโพโœขโœณโœฒ โœ‘ โžผ โณ โ——โœดโœ—โฌโฏ โดโฃโœˆ โฏโœ”โ——โœฎโšโ—โฏ โณ t โ™ฃโœฎโดโ›โณโœทโžฃ โ™ โžฃ Pโ˜โง P โฒโตโข โœโฆโฏโฑโ™โฌr โžโžโด โฏโœ”rโ‚โโœถโœต โœท โ„ โŠ โ‚ โ‰โ†โƒโ‘โ… โปโœธโœท โ‘ฆ โœท โŠโผโ‡โœ–โ‘ข โŠ โ– โ™ฃ โโœซโ‘ฉโœฝโ… โœ•

โœฐโกโœทโœนโœบโ›โ‹ โ โ†’ โœโœ๏ฟฝโœทโ†•Pโ™ฃโœ’ โœ—โ™โ™ฆโกโœ“ โœฒ โœŽโœฐโœฆโžญโœณโœญโœนโœ˜โžฏโœ‡โœ™โœนโœธโœฅโœญ โœ‘ โž’ โณ Pโ˜โ—— โฒโœฐโ™ฃโœฉโดโ›โณ โšโฑโฏsrโฑrโฅโฏโœ”rโžฅโ™โ‰โ—— โœโœปโœบโœ”โž โฏ โž โฏsrโ‚โโœงโ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โ– โ… โœบ โ˜›โœฝโœผtโ… โœบ โƒ โ โ†Pโโนโ‘ฉโœฝโ… โœ•โœพโœฐโกโœทโœนโœบโ›โ‹ โ โ†’ โœโœทโ†•โœ˜โ†’โœนโ™ฃโœ’ โœ—โกโžžโ‰โœ“โœ–โฝ โœŽโ–ผโœ— โœŽโž…โžงโœดโœ™โœœโœณโœนโœฏโชโœขโœ˜โœฌ โ…โ˜…โ‹ โฝ โœŽโ‘ฅโœฒโœซโœ™โœœโœณโœนโœญโœœโžโœœโœธโœญโœฌ โœ‘โœŒโ€โ€โœฟ โ‰โ‚โโ‘คโ… โœบ โ…โ–ฒโŠโœนโ‹โ—†โ‰ โ โƒ โ–โœกโ โƒ โ–โœกโœธ โƒ โœธ โ‡ โ โŠPโ—— โ‰โ‘โŠโœนโ‹โ—†โ…โฅโ† โœบโ—†โ โ‹โโ‰ โœท โŠ โ‘ โพโป โฑ โโ™โœบ โ‹โ—†โ‡ โœท โŠ

โž› โœท โ‰โ‘โ‡โ—†โ‡ โœท โŠ โ‡โœฟโฑ โโ– โ– โ…โ‘ฅโ–ฒโžโโ‡โ‘ฆโœ‘โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ‡โ–ฒโ โ โƒโœถโ†โ– โ… โ‘ โœปโœบโœ–โ โ โŠPโ—— โ โŠ โ โƒ โป โ‡โโ‰โ‘โ‡โ‘ขโ‰โ‘โŠ โ– โƒ โ โ‡โ—†โ‡โโ‰ โ–โ–ฒโ โƒ โ โŠPโ——โž„โ‘ฃ โœธโผโ โŠโœ‘โ‹ โœธ โ‘ก โ—— โป โŠ โ โ‘กโ‘ขโ‰ โ– โ‡โ™ฅ โ‘ค โโ™โœบ โ‡โœฟโ…โ–ฒโ‰โ†โƒโ‘โƒโ‘โ…โ– โ โ†’ โœโชโ†•โœทโ†•โœ‘q โโ„โƒโณโƒ โœธ โœ• โ… โœบ โผ โ–โœกโ โ—— โ™ฃ โž› โœธโœปโ‘  โƒ โ™ฃ โ โœฟ โœทโ– โœบ โ—— โœบ โ… โ– โ„ โ‹โ–ฒโ โ†’ โœโœ‚โœ โœ โโœนโฑ โ™ฃ ๏ฟฝโ– โ™ฆ โœ‘ โœ‚sโ™ฆPโ™ฃ

โœ’ โœ—โ– โœโฌโœ“ โœฒ โœŽโžฅโžงโœดโœ™โœœโœณโœนโžฏโ–ผโžโœœโœฌโœนโœ™ โ…โœกโ‹ โž€โœ’โœŽโœ–โžงโ‘ฅโžโœœโœธโœนโœบ โ˜›โ˜โœฌ โœ‘ โ€ โ‘ข โŠโœ‘โ‹โโ—โœฃโ† โœบโœ–โ โƒโ‘โ…โ‘ฉโ‡โœฟโ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰โ‘โ‘ฃ โœธ โ…โžˆโฑ โœทโ– โœธPโœบ โƒโ†โ… โ‘ก โœทโœนโœธโœปโฆ โ…โ–ฒโ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹ โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰โ†โ…โ–ฒโŠโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠโœปโŠ โ โ‰ โœบ โ…โ‡โ–ฒโž‰โ โžผโ‘ฃโจโ˜Žโ…โžฅโจ โž† โšโฑโ™ โœ โจ โžƒ โšโœ”P โจ โž’โœโ™ โด PโžŸr โžƒโ†โœœโฅโด โจ โžบ โž‰ โ™ โฒ โž‡โœ˜โจโžโฝโ‘คโฝโœดโ‡ โ™ฅ โœ— โœ โœโœ‚โœโœนq โโšโŠ โœท โ™ฃโœปโ™ฆ โโšโฑ โ™ฃ โœ—โ™โ™ฆโœงโ†’ โœ‘ โœ—โ™โ™ฆ ๏ฟฝPโ™ฃ

โœ’ โœ— ๏ฟฝโกโœ“ โœฒ โœŽโœโžงโ–ผโžจโœฅโœขโœงโœณ โ˜›โ˜โœญ โ˜›โžŸโœบโœฅโž โ…โ˜…โ‹ โž‚ โœŽโƒโœฑโ™ฅโœธโœนโœ™โœฐโœฏโชโœ™โœฐโœณโชโœบ โœ‘ โ€ โ‘ฆโœ‘โ‹ โœทโ„โ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ…โœฃโ† โœบโœ–โ โƒ โœทโ‰โˆ โ——โšโ‰ โฆ โ… โœบ โ†โ– โ…โ–ฒโŠ โ– โ…โ‘ฅโ‹ โป โฑโ‘คโ… โœ• โ‰ โ‹ โ„ โœบ โ…โ–ฒโ‡โโฑโ‘คโ… โ– โ‹โ‹ โœทโœšโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ โœปโœบโโœทโœ–โœ• โŠPโ‰ โ โŠโœ™โ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โœ• โ‰โ†โ‹ โ„โซโ„ โœธโœปโœบ โ‡โœ‡โ‹โฃโฑ โโ– โœบโ—†โ โ‘กโ‘ขโ…โ˜…โ‹โโ… โœบโœกโˆโŠโ‰โ—โ‹ โœฆโ– โ โžโ„โœšโ โ–ฒโžโโœ˜โž› โœบ โ…โ–ฒโฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โ–ฒโ โœ‘ โŠโœปโ‰ โฆ โ… โœบ โ‡โœฟโ‰โ†โ‹โโ— โ——โšโ…r โโ™โœบโœ–โ– โ…โ–ฒโƒ โœท โŠโœปโ…โ– โ โœ— โœ โœโœโœ—โœปโ™ฃโœ’ โœ— โœ‚โโœ“ โœช โœŽโœดโžงโ–ผโžจโœฐโžโœœโœพโœฝโœ™โœฐโœฌโœฐโžโœฉโœต โœ‘ โ€ โ‘คโžˆโœท โ——โšโ…โ–ฒโƒโ†โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โžˆโฏPโŠ โ โŠ โ– โ‰ โ โƒ โ โ‡โ—†โ‡โœฟโ…โœกโ‹ โœบ โ…โœกโ‹ โœธโœปโœบ โŠPโ‡ โœ• โ‰โ†โ‹ โ„ โ‡ โ„ โœท โ‹โœฆโŠ โœท โ‰ โ‡โโ… โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โ‘ฃโ–ฒโžโ โž‰ โ™ โฒ โž‡โœงโจ

โžผ โณ โœ โ™ฃโœฉโžโžโฒ โจโœœโž‰ โณโœฃโœ โฏโœ”โงโ˜โง Pโ˜โ—— โœˆ โž‚โœฝโ†” โ™ฅ โ†’ โœโœ‚โœ โœโœ‘q โโšโŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โœ โ˜› โ†’ โœ— โโœนโฑ โ™ฃโœฅโ†’ โœ‚ โœ‘ โœ—โžโ†’โœนโ™ฃโœ’ โœ—โ‰โ†•โกโœ“โ–ฒโ‘ โœŽโœฐโžงโœ†โ˜›โ˜โœขโœงโœ› โ˜›โ˜โœขโœ˜โœฏโนโœ›โฅโœช โ˜›โ™ฆโœคโ–ผโœช โœŽ โœ• โœขโœ˜โœณโœนโœชโ—†โœฒโžโœ™โœนโžœโœฉโžจโœนโœ™โœœโœณ โ˜›โžŸโœ™โœฐโœฌ โ…โœกโ‹ โœฆ โœŽ โญ โžโ–โœฒโบโœฌโœฅโœขโžโœบโœฎโœบโœนโœข โœ‘โซโ€โ˜žP โœธ โ…โ–ฒโƒโ‘โ‘ฃ โœธ โ…โˆโ‡tโ…โ–ฒโ‡โโฑ โโ– โ– โ…โ–ฒโ‡ โˆโ–ผโœท โŠ โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโœปโŠโœปโ…โ–ฒโƒโ‘โ‡โ โ‡โโ‡ โœทโšโ– โ‰โ‘โ—โ–ฒโ‡โ——โœฆโ‘ขโ——โšโ…โ–ฒโ‡โœโฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡ โœธ โ‡โœ„โ† โโ– โœธ โ‡โ—†โ‡โœฟโ‰โ‘โ…โœกโŠPโ‡โœซโ–ฒโžโ โžƒโœฉโฒโฃโžโœงโœ Pqโ™ โž‰ โ™ โฒ โž‡โœ˜โจโœœโžฝโ„โ‡โœฉโžพ โ™ฅ โ†’ โœโœ‚โœโ– โ™ฆโœนq โโ„โŠ โœท โ™ฃ โœ— โโšโฑ โ™ฃโœฅโ†’ โœ‚โžโ†’ โœ‘ โœ— โœโ‰โžžโผโ™ฃโœ’ โœ— โœโกโœ“โœ–โญ โœŽโœ„โžงโ‘ฅโžโœฐโœขโœ˜โœฏโพโžจโœฐโž โ…โ˜…โ‹ โž€โœ†โœŽ โž‚ โœขโœงโžœโœฉโœณโœนโœขโœ˜โœธโœฐโœ›โœฃโœขโ– โ˜โชโžโœœโœฌโœฅโœญ โœ‘โžโ€โœซโ™ โœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโžˆโ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โœธ โ‡ โ โ†โœนโ… โˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‡โโ‘ก โœทโ„โœท โ‹ โ„ โ…โˆโ——โฆ โ‰ โ——โšโ… โœท โ‹ โœบโœ–โโกโžธโœ”โ–โœžโ‘ Pโ โŠPโ—— โœ• โ‰ โ——โ„โ‹ โ„ โ โƒโ‘โƒ โœทโ„โ–โ–ฒโ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโ™ฅโ–ฒโžโโ‘ฃโ‘ โœ„โง โณโชโžฃ โฏโ—โš โณ โœ โžŽ โšโœ’โฏ โ โ†’ โœ โœโœ„โœ‚โ„โ™ฃโœ’ โ™ฆ โœโกโœ“ โžฉ โœŽโœฅโžงโ‘ฅโžโœฐโœณโœนโœฌโ˜Žโ˜โนโœขโœ˜โœฏโพโœญโ–โœคโœฐโžฆ โœŽ โœกโƒโžโœœโžฏโœ’โ˜›โ˜โœฌ โ…โ˜…โ‹โœŸโฑ โœŽโœฐโžฆ โ˜›โ˜โœฌโœนโœ™โœญโฒโณ โœ‘ โžป โดโฃโœˆโพโณโœฃโœ Pqโš โฒ โž‡ โฏ โณโกโดsโข โ โœ„ โœบโโœธ โŠโผโ——โšโƒโ†โ… โ„ โœบ โ…โœกโŠ โ——โšโ… โœบโ‡โ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โœกโ‘ก โ โ‹โโ‰ โ‡ โ– โ„ โ…โ–ฒโŠ

โ‚ โ‰ โ‡โโ‡โโ…โœกโŠโผโ‡ โ– โ„ โโ‰โˆ โ‹โโ…โ–ฒโŠ โœ’ โ™ โœธ โŠPโ—— โ โ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹ โ โƒโ‡โž› โœบ โ‰โ‘โŠ โ– โ‰โ‘โฑโœปโƒโ‘โ…โ–ฒโ‡ โœทโ‰โˆโ‘ฅโ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โœกโ‘ก โ โ‹โ—†โ‰ โ–โ–ฒโ โƒโœ‡โ‘ฆ โ– โ‰โ†โ…โ–ฒโŠ โ– โ…โˆโ‡ โœ“ โ โฆโœนโœท โƒ โ™ฃ โœ—โกโžžโœ‘โœ โโบโ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โ– โ… โœบ โ˜›โœผtโ… โœบ โƒ โ โ†โผโโนโ‘ฉโœ†โ… โœ•โœฑโœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ โ โ†’ โœโœทโ†• โœ—โšโ™ฃ

โœ’ โ™ฆโœ˜โ†’โœ”โœ“ โž€โœ†โœŽโฆโžงโ‘ฅโžโœœโœธโœนโœบ โ˜›โ˜โœฌ โ…โ˜…โ‹ โž€โœ’โœŽ โž‚ โœขโœงโžœโœฉโœณโœนโœขโœ˜โœธโœฐโœ›โœฃโœขโ– โ˜โชโžโœœโœฌโœฅโœญ โœ‘ โ€ โœผ โœท โƒโ†โ‹โโ… โœบโโœบโœ–โ โ‡โœฟโ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰ โ– โ——โšโ‰โจโโžโ… โœบ โ…โœกโŠโœ‘โ‹โ—†โ‰ โ โƒโœžโ…โˆโ‘ฃ โœธPโ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠPโ‡ โœ• โ‰โ†โ‹ โ„โ‡โโ‰โ†โŠโœงโ† โœธ โƒ โโ™โœบโœ„โ‹ โ… โœบ โŠPโ…โœกโƒ โ‡โœซโ–ฒโž‰โ โœ“ โ… โ– โ„โœถโ™ฃ โœบ โ…โœกโฑ โœทโ– โœบ โ‹โ–ฒโโœงโ‘ฆ โœธโœปโ‘  โ‘กโ‘ฅโ‰โ†โ‹โœฟโ‹โ—†โ…โ–ฒโ——โž‰โ โ†’ โœโœ‚โœ โœโœปโ™ฃโœ’ โ™ฆโœโœ—โฌโœ“ โž€โœ†โœŽโœซโžงโ‘ฅโžโœœโœธโœนโœบ โ˜›โ˜โœฌโ‘ฃโœค โž‚ โœŽโœฐโœฑโ™ฅโœธโœนโœ™โœฐโœฏโชโœ™โœฐโœณโชโœบ โ…โœกโ‹ โžง โœŽโœœโžฒโž…โœธโœฅโœญโœœโžโœœโœณ โœ‘ โ€โœ’โœ“ โ โŠ โโ‰โ‹sโโœ–โˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‘ก โœธ โƒ โโžฅโˆโ–ผโœทโœนโœบ โ‹ โ„ โ… โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒโžr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโฆโ–ฒโž‰โ โžƒโœฝโฒโ™ฆโณ โš โž‡ โ™โกr โฒ Pqโšโž…โž’ โดโ›โณ โšโฑโฏsrโฑr โจ โž† โ™ฃโชโ™ฃ โง โจโœฎโ†”โœฝโฉ โ™ฅ โœ— โœโœ‚โœโœ˜โ†’โงq โโ„โŠ โœท โ™ฃ โœ— โโšโฑ โ™ฃPโ™ฆโœ‚โœโœ˜โ†’ โœ‘โ„โ™ฆโœ˜โ†’โงโœโšโ™ฃโœ’ โ™ฆโ– โ™ฆโกโœ“ โžต โœŽ โž‚ โœ™ โ˜› โ…โœกโ‹ โžง โœŽโฌโฉโ™ฅโœขโœณโœฒโœœโœญโœœโœข โœ‘โž™โ€ โ‘ขโ™ โ‹โœขโญโœดโช โ‡ โˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‘ก โœธ โƒ โ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โœบ โ…โˆโ‡โœฟโฑโ‘คโ… โ– โ‹โฃโ‹ โœทโฆโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒโœŸr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโœ™โ‘ก โœท โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โŠโผโ——โ‰โ†โ‹โ—†โ‡ โ โฑโœปโฑโœปโƒโ‘โ‰ โ–โ–ฒโ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโ™ฅโ–ฒโžโโœฐโž‡ โจ โž† โ™ฃโชโ™ฃ โง โจโœซโž‰ โ™ โฒ โž‡โœงโจ โžƒโœฝโฒโ™ฆโณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ Pqโš โž† โ——โœฎโ™โกโง โจโœฉโ†” โ™ฅ โ†’ โœ โœ ๏ฟฝโœ‘q โโ„โŠ โœท โ™ฃโœ˜โžž โโšโฑ โ™ฃโœงโžžโœนโ™ฆ โœโœ–โœ‘โพโžžโชโžžโชโ†•โœปโ™ฃ

Page 204: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ‚โœโœ„๏ฟฝโœดโ˜Žโ—†โœโœกโœ โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœกโ˜› โœŒโœกโœโœโœŽ โ†’ โœโœนโ™ฆโœ’ โ™ฆโ‰โžžโ‰โœ“ โœ— โœŽ โž‚ โœ™โบโœ›โœฃโœ› โ˜› โžโœœโœ› โ…โ˜…โ‹โž…โœป โœŽ โœป โœ™โœฐโœฌ โœŒ โœ‘โถโ€โœ†โœ“โœ„โ„ โ…โณโ‡ โ„ โœท โ‹โœโ˜›โ™ โŠ โœท โ‰โ‘โ‡โโ…โœ†โฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡ โ โŠPโ—— โ‰ โ‹โœ–โ‡โœโ——โšโ‰โ‘โ‡โœฟโ‹ โœบ โ‰ โ‘ โœปโœธ โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โ‹ โ– โƒ โ โ‰โ‘โ‘ก โ‹โโ‰โ‘โ‘กโ‘ขโ…โ–ฒโ‡ โ โ‡โ‹ โ„ โ… โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โ—†โ…โœกโŠPโ‡โโ‰ โ‹ โป โœทโ‰โˆtโ โ—— โœทโ– โœธโœปโ‘  โƒ โป โ‡โœฟโ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰ โ– โฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœ‰โ–ฒโžโโžโž› โœบ โ…โœกโฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœนโ‹โˆโ โœ— โœโœ‚โœโœ˜โ†’โœนโ™ฃโœ’ โ™ฆโœนโœโฌโœ“ โž€โœ†โœŽ โž‚ โœขโœงโžœโœฉโœณโœนโœขโœ˜โœธโœœโœ›โฅโœขโ– โ˜โพโžโœฐโœฌโœฐโœญ โœ‘โซโ€ โž›โœซโ… โœบ โ‹ โœธPโœบโโ‘ Pโ โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โŠ โ โƒ โป โ‡โโ‰ โ‡ โ โŠPโ——โ‘ขโ‘ก โ โƒโ†โƒโ‘โ‰ โโงโฆ โ‰โ‘โŠ โ–โœกโ โƒ โ–โ˜…โœธ โƒ โœธ โ‡โบโ–ฒโžโ โž† โ——โœงโ——โœฉโ™โ‰โง r โณ t โž† โ™ฃโชโ™ฃ โง Pqโฏ โœโž’ โดโ—โณโœทโžฃ โ™ โžฃ Pโ˜โง P โฒโตโข โž“ โ™ฅ โ†’ โœ โœโชโ†•โœนq โโ„โŠ โœท โ™ฃ โœ— โโšโฑ โ™ฃโœ˜โžžโœ‚โœโœ๏ฟฝ โœ‘โšโœโœโœ—โ™โ™ฆPโ™ฃโœ’ โ™ฆ ๏ฟฝโกโœ“ โท โ โ€ โ‘ฆโœ‘โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ–โœขโ–โ–ฒโ โƒ โ–โ˜…โœธ โƒ โœธ โ‡ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โœบ โ…โ–ฒโ‡โโฑโ‘คโ… โ– โ‹โœ™โ‹ โœท โˆโ–ผโœบโ—†โโœนโ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโ˜žโ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ–ฒโžโโœ‡โ‘ง โœท โŠโœ˜โ† โœโœ†โ โŠโœ˜โ†โœนโ…

โœฟ โ…โœกโฑโ‘คโ…โœกโŠPโ——โœปโ…โœกโŠ โ– โ… โฒ โ‹ โ„ โ… โœทโ– โœบโ—โป โ โŠโผโ—— โ โฑโœปโฑโœปโƒโ‘โ‰ โ–โ–ฒโ โ‹โโ‰ โœท โŠโผโ‡โœกโ โ‘คโžˆโœธPโœบโ—†โ โ——โžˆโ‘ฆ โ™ฃ โœ“ โ โ‘ฃโ„โ‘ฃ โœธ โ โœ— โœ โœ โœPโ™ฃโœ’ โ™ฆ โœ‚โโœ“ โทโœตโ โ€ โผ โ‘ฆ โ‹โ– โœท โ„ โœทโ– โœบโ—†โœท โ—— โ˜›โธโ‘ฆโœ‘โ‹ โœบโœ–โ โ‹ โœท โŠ โœทsโฆ โ‰โ†โ‹ โ– โ„ โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ…โฅโ† โœบโ—†โ โƒ โˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‹ โ„ โ… โˆโ–ผโœบโ—†โโœนโ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒโ– r โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโณโ‘ก โœท โ‹โโ‰ โœท โŠโ–ผโ–ฒโž‰โโฌโž’ โดโ›โณ โšโฑโฏโฑโฏ โœ Pโ˜โ—— โœˆ r

โณ t โฒ โž‡ โฏ โœ โ‘ก โฒ โž‡โœ„โœ‚ โณโกโดโœ†โ˜Ž r โž‡ โณโฑโ™ฃ โณ โ—— r โฒโ– โณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ Pqโšโœšโ™โ‰โ——โœฉโ™โ‰โง โข rsPโžŸrโ™ฅโ™โกโ—— โœโ‘จโด โฏโฅโงโ™ โ™ โฒ โฏ โœโœžโœ โฏโœ”โง โœ rโ‚โ โœ— โœโœ‚โœ โœโœปโ™ฃโœ’ โ™ฆโœทโ†•โกโœ“ โท โ โ€ โœ โ…โœฃโ† โœธ โƒ โโ™โœบ โ‰ โ‹ โป โฑ โœบโ—†โœท โฑโ‘คโ… โœบ โ‹โโ‰โ‘โ…โ–ฒโ‡ โœทโœทโˆ โ‡ โœท โ‘กโ‘ฅโ…โžโ‡โœ‡โ‹ โœทโ„โ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โœผ โœท โƒ โ‹โ—†โ… โœบโ—†โœบโ—†โ โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ…โฅโ† โœบโ—†โ โƒโ‘โ‡ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โ‡โœฟโ‰โ‘โŠโœ˜โ† โœธ โƒ โโ– โœบโœ‡โ‹ โ… โœบ โŠPโ…โœกโƒโœงโ–ฒโžโ

โž’ โณโ‰โฒ โฏโฅโ—— โฒ Pqโ™โกโง โž† โ——โœฉโ™โกโง โจโœฅโžฝโžโž” โ™ฅ โœ— โœ โœโœโœ—โœนq โโšโŠ โœท โ™ฃ โœ— โโšโฑ โ™ฃโœฐโ†’โ–ฒโ™ฆ โœโœ–โœ‘โœฉโ†’โœฃโžžโœ‚โœโœปโ™ฃโœ’ โ™ฆ โœโกโœ“ โท โ โ€ โ‘ฆโœ‘โ‹ โœทโ„โ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ–โœžโ–โ–ฒโ โƒ โ–โ˜…โœธ โƒ โœธ โ‡ โœ• โ‰โ†โ‹ โ„ โœบ โ…โ–ฒโ‡โโฑโผโ… โ– โ‹โœโ‹ โœทโ‘ขโฆโœนโœท โƒโ†โ‹โโ… โœบโ—†โœบโœ–โ โฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡โโ…โ–ฒโ‡โœซโ–ฒโžโโœฝโ‘ฆ โœธPโ‘  โ‘กโ‘ขโ‰ โ‹โโ‹โโ…โ–ฒโ——โœถโ โœ— โœโœ‚โœโœโœ—โœปโ™ฃโœ’ โžžโœ‚โœโกโœ“ โท โ โ€ โ‘ฆโœ‘โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰ โ– โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ…โœฃโ† โœบโœ–โ โ‹โโ‰ โœท โŠ โœ• โ‰โ†โ‹ โ„ โœบ โ…โ–ฒโ‡โโฑโผโ… โ– โ‹tโ‹ โœท โœ„ โโ™โœธ โ‡โ—†โ‡โœฟโ‰ โ โŠโ‘ขโฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡โโ…โ–ฒโ‡โœฅโ–ฒโžโ โžผโ‘ฃโจโœ’โ…โžฅโจโœฉโž‰ โ™ โฒ โž‡โœงโจ โž† โšโ—โ™ โœ โจ โžƒ โšโฅP โจโž’โœโ™ โด PโžŸr โฝโผโฝโœฝโฉ โ™ฅ โœ— โœ โœโœโœ—โœนq โโšโŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โœ โโšโฑ โ™ฃ โœ โœโœนโ™ฆ โœ‘ โœโœ‚โœโœทโ†•Pโ™ฃโœ’ โžžโœงโ†’โœ”โœ“ โž€โœ†โœŽ โž‚ โœขโœงโžœโœฉโœณโœนโœขโœ˜โœธโœฐโœ›โœฃโœขโ– โ˜โพโžโœฐโœฌโœฅโœญ โ…โœกโ‹ โœฑ โœŽโœดโžฆโœฝโœ™โกโœตโ—†โœฒ โœ‘ โ€โœโ™ โ‰โ‘โƒ โ‹โ—†โ… โœบ โ…โ–ฒโ—— โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠ โ‘ก โœท โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โ‡ โœ• โ… โโ‰โ‹ โƒโ‘โ‰โ†โ‘กโ‘ขโ‰โ†โ‹ โœทโ‰โˆ โฏPโƒโ†โ‹โโ… โœบ โ…โˆโ——โฑ โœท โ‰ โ‡โโ‡ โœท โŠโณโฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡โโ…โ–ฒโ‡โœงโ–ฒโž‰โโฌโ‘ฆ โœทโœนโœธ โ‘กโ‘ขโ‰โ‘โ‡โ—†โœฆโœ โœŸ โœต โœทโ– โœธโœปโœบ โŠ โ โƒ โœทโ‰โˆ โ‹ โ„ โ…โ˜rโ˜โ… โœบ โŠ โœทโ– โœธ โƒโ‘โƒโ†โ‰โนโ‘ฆ โœทโšโ– โ‰โ‘โ…โ˜…โ‹ โปโœดโˆโ–ผโœทโ– โœบโœœโ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โœกโ‘ก โ โ‹โ—†โ‰ โ–โ–ฒโ โƒโชโ‘ฆโœ‘โ‹ โ โ‹โ—†โ‰โ‘โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ‡โ โŠPโ—— โž› โœบโโœทโœนโ‘ Pโโ™โ‘  โ‰โ‘โƒโ‘โ‰ โ‹ โป โœŸsโ โœ— โœ โœ โœ—โšโ™ฃโœ’ โžž โœ—โฌโœ“ โท โ โ€ โผ โŠโœ‘โ‹โ—†โ‰ โ– โ‰โ†โฑ โ โ‹โโ‰ โฆ โ… โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ…โฅโ† โœบโ—†โ โƒ โˆโ–ผโœทโ– โœบ โฏPโƒโ†โ‹โโ… โœบ โ…โˆโ——โœ™โฑ โœท โ‰ โ‡โ—†โ‡ โœท โŠ โฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โโ…โ–ฒโ‡โœ‰โ–ฒโžโ โ‘จ โŠโ‘ฉโฑ โœบ โ—โœกโฑ โโ™โœบโœ–โ โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โœ— โœ โœโœนโ™ฆโœปโ™ฃโœ’ โžžโœนโ™ฆโกโœ“ โท โ โ€ โœ„โœžโ‰ โœบ โ‡ โ โŠ โœทsโฆ โ‹ โ„ โ… โœทโ– โœบ โ…โœกโ‘ก โˆโ–ผโœทโ– โœบ โฏPโƒโ†โ‹โโ… โœบ โ…โˆโ—— โฑ โœท โ‰ โ‡โโ‡ โœท โŠ โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โบโ–ฒโžโโœงโ‘ฆ โœทโ– โœธ โ‘กโ‘ขโ‰ โ‡โœ‚โœฆโœกโœŸ โ‘จ โƒโ†โ… โ– โ‹ โœบโ—†โœท โŠPโ‰ โ– โŠ โœท โ‘กโ‘ขโ‘ก โœธ โŠPโ‰ โ˜›โ–โ–ฒโ โ‹โโ‰ โœท โŠโผโ‡โœโ‰โ†โŠโžˆโž› โœบโ—†โœทโ– โ‘ Pโโ– โ‘  โ‰โ†โƒโ‘โ‰โ†โ‹ โป โœŸโ™โ โœ— โœโœ‚โœโ– โ™ฆโœปโ™ฃโœ’ โžžโœทโžžโ‰โœ“ โž€โœ†โœŽ โž‚ โœขโœงโžœโœฉโœณโœนโœขโœ˜โœธโœฐโœ›โœฃโœขโ– โ˜โพโžโœฐโœฌโœฅโœญ โ…โœกโ‹ โœ— โœŽโบโž โ™ฅโœ›โฅโœบโœนโžกโœฅโœฌโœฅโœขโœ˜โœฏ โœ‘โž™โ€ โ™ โœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒโœถr โœบโโœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโœ„โ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โฒ โ‹ โ„ โ… โœทโ– โœบโ—โป โ โŠPโ—— โ โฑโœปโฑโœปโƒโ‘โ‰ โ˜›โ–โ–ฒโ โ‹โโ‰ โœท โŠโผโ‡โ–โ–ฒโžโโบโ‘ฆ โป โ‡โœฟโ‹โœ†โ˜›โ–ฒโ‘กโ‘ขโ…โ–ฒโ‡โœฌโ——โšโ‰โ‚โโžโ— โœบ โ…โœกโŠโœ‘โ‹โโ‰โ‘โ…โœกโƒ โ‡ โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโœปโŠ โ โ‰ โœบ โ…โ–ฒโ‡ โ™ฅ โž› โโ– โœบ โ‰ โ‡โ–ฒโ โ†’ โœโœ‚โœโœทโ†•โœนq โ โ‘จ โ‘ฆ โผ โ‘ข โ‘ค โž› โœบโ—†โœทโ„โ– โ™ฃ โ โฆโ– โœท โƒ โ™ฃโœŸโœ โโœœโ‘ฆ โœทโšโ– โ™ฃ

โ‘ค โ โ‹ โ„โœถโ™ฃ โผ โฑโœปโฑโœปโƒ โ™ฃ โ‘ข โŠPโ—— โœธ โ‡โœ‡โ‹ โ™ฃ โโœงโž› โโ– โœบ โ‰ โ‡โ–ฒโ โ†’ โœ โœโชโ†• โโœ‘โฑ โ™ฃ โœ‚โ– โœ โœ‘โนโ†•โœ๏ฟฝโœปโ™ฃโœ’ โžžโœ‘โœโฌโœ“ โท โ โ€ โ‘ฆโ„โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ–โœฝโ โŠ โ โƒ โป โ‡โœฟโ‰ โ‡ โœทโœทโˆ โ‹ โ„ โ… โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒโผr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโ‘ขโ‘ก โœท โ‹โโ‰ โœท โŠโœ–โ–ฒโžโโœ˜โž’ โณโ‰โฒ โฏโฅโ—— โฒ Pqโ™โกโง โž† โ——โœฉโ™โ‰โง โจโœฉโžฝโ„โ‡ โ™ฅ โ†’ โœ โœโœ‚โœโœนq โโŠ โœท โ™ฃ โœ— โโšโฑ โ™ฃโœฐโ†’ โœ‚ โœ‚ โœ‘ โœ—โœ˜โ†’โฅโžžPโ™ฃโœ’ โžžโœ๏ฟฝโกโœ“ โœช โœŽ โž‚ โ˜›โœนโœฑโ™ฅโœธโœฅโœฌโœฅโœฌโœฐโžโƒโœคโžโœฆ โœŽโœฉโ˜…โœšโœชโœซโœ›โฅโœขโœ˜โœฌโœฐโœญโœฎโœ™โœฐโœฏ โ…โœกโ‹ โœก โœŽโœ˜โœฒโœดโœณโœฎโžโœœโœ›โœฃโœชโบโœข โœ‘โ‘จโ€โ–โ‚โ…โ„ โ‰โ†โ‹โโ…โœโŠ โœท โ‰โ‘โ‡โโ… โ โŠ โ โƒ โป โ‡โœฟโ‰ โ‡ โˆโ–ผโœทโœนโœบ โƒโ†โ— โฆโพโป โฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡โโ…โ–ฒโ‡โœนโ–ฒโžโ

โ‘ฆ โœธPโ‘  โ‘กโ‘ขโ‰ โ‹โโ‹โโ…โ–ฒโ——โœถโ โœ— โœโœ‚โœโœโœ—โœปโ™ฃโœ’ โžžโœ„โœ‚โโœ“ โœป โœŽ โž‚ โ˜›โ˜โœขโœ˜โœธโœฅโœญโบโžโœฐโœฌโœฐโœฌโ˜Žโœน โœ‘โœŒโ˜ž โง โœœ โœโฆโฏโฅโ—— โฒ r โœ โžŽ โ™โ‰โ——โœฉโ™โ‰โง โข rโฅโฏ โจ โž„ โณ โœโ‘จโฏโœ‰โžบโ‘โžบโœŽโœ โžผ โž‡ โ™ โ™ฃ P โฒโตโด โฏโœ”rโœ‘โœโ–ผโžบโ‘โžบโœ“โœ’โœ“โœโœ•โœ” โ โŠ โ โ„ โ‰โ‘โ… โœบ โ‡โœฅโ‘ฆ โ– โ‰โ‘โ…โœกโŠโœ‘โ‹โโ‰โ†โฏโผโ‘ฃ โœธ โ…โˆโ‡โœกโ

โ™ โ โ‡ โ– โ™ฃโœ—โœ–โœ˜โœ–โœ™โœ– โ‘ขโ‚โ โœ„ โโ– โœธ โ‹ โ„ โ‰โ†โ… โœบ โ˜›โœฝโœผโœ†โ‰โ‘โƒโ†โƒ โโ™โœบ โ‡โ–ฒโโœ—โœšโœฎโ——โšโ‰โ†โ‹โโ… โœธPโœบ โโœ˜โž› โโ– โœบ โ‰ โ‡โœกโ โ†’ โœ ๏ฟฝโœทโ†•Pโ™ฃโœ’ โžžโชโ†•โกโœ“ โœป โœŽ โž‚ โžโบโžโœฐโœพ โœ‘ โžƒโœฝโฒโ™ฆโณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ Pqโš โ™ฃโœฉโดโ—โณ โšโฑโฏโœ”rโ—rโฅโฏโœ”rโ‚โโœ’โœต โœท โ„ โŠ โ‚ โ‰โ†โƒโ‘โ… โปโœปโœท โ‘ฆ โœท โŠPโ‡โœ„โ‘ข โŠ โ– โ™ฃ โโœ˜โ‘ฉโœ†โ… โœ•โœฑโœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ โ โ†’ โœโœนโœโ– โ™ฆโœปโ™ฃโœ’ โžžโœ‚โœโกโœ“ โœฑ โœŽ โž‚ โœธโ˜Žโ˜โœณโ˜ โ˜›โ˜โœขโœ˜โœฏโพโœญ โ…โ˜…โ‹ โœฑ โœŽโ–โž‹โœœโœ›โžŸโžงโ‘ฅโžโœœโœฌโœฅโœฌโœฅโœขโœ˜โœฏโพโœฏ โœ‘โžซโ€ โ‘ง โโ™โœบ โ†โ– โ… โ——โšโ… โฆ โ‰ โ โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡ โ โŠPโ—— โœทsโฆ โ… โœบโœฃโœขโผโœทโœ–โœ• โฑ โœบโ—†โœทโ– โ‘ Pโโ– โ‘  โ‰โ†โƒโ‘โ‰โ†โ‹โโ‰โ‘โ…โ–ฒโ‡ โˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‹ โ„ โ…

โ†โœนโ…โœกโŠโœปโ… โœบโ—†โ โƒโผโ‡โโ‰โ†โŠโœ˜โ†โœนโƒโ†โ… โ˜›โ™ โ‡โโ… โœบโ—†โฆ โ… โœบ โ‘ฃ โœธ โ… โœธ โ…โ– โ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โ โฑPโฑโœปโƒโ†โ‰ โ–โœกโ โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡โœซโ–ฒโžโ โž‰ โ™ โฒ โž‡โœ˜โจ โž’ โดโ›โณ โš โจโ‘ฃโžผ โ™โกโœ โžฃโฅโด P โœโฅโœˆ โฏโ‘ฅโž’ โž‡ Pโ˜โง โณ r โจ โžƒโœนโณ โš โจโœฎโžฝโœฉโžฝโนโž“โ™ฅ โ†’ โœ โœโœ‘โœโ– q โโœ‘โŠ โœท โ™ฃ โœ— โPโฑ โ™ฃโœปโ™ฆ ๏ฟฝโœนโ™ฆ โœ‘โ„โ™ฆโœ„โœ‚โฌโžžโผโ™ฃ

โœ’ โœ โœโกโœ“ โžฒ โœŽ โž‚ โœธโœฅโœฌโœฐโžœโœฝโœ™โœฐโœฌ โœ‘ โ€ โ‘ฆ โœท โ‘กโ‘ขโ… โ โ‡โœฟโฑโ‘คโ… โ– โ‹ โœทโœทโˆโœดโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ Pโœบโโœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโชโ‘ก โœท โ‹โโ‰ โœท โŠ โ–ฒโž‰โ โœ” โณ โ——โœฝโง Pโ˜โ——โœฉโฏโฑโ™ โด โž† โ——โœฎโ™โกโง โข rsPโžŸr โฉโœฎโžพโ™ฅ โœ— โœ โœโœงโ†’โˆq โโœ‘โฑ โ™ฃโœ˜โžžโœ„โœ‚ โœ‚โ™โœ โœ‘โนโžžโœ„โœ‚โ‰โ†•โœโœ—โšโ™ฃ

โœ’ โœโžโ†’โœ”โœ“ โžฒ โœŽ โž‚ โœธโœฅโœฌโœœโžœโœงโœ™โœœโœฌโ‘ฃโœค โฑ โœŽโ– โฉโœšโœธ โ…โœกโ‹ โœฆ โœŽโœ˜โœฒโœซโœ™โœœโœ› โ˜›โ˜โœชโœฅโœค โž‚ โœธโœฅโœฌโœฐโžœโœฝโœ™โœฐโœฌ โœ‘ โ€ โ‘ฆโ„โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ–โœดโ–โœกโ โƒ โ–โ˜…โœธ โƒ โœธ โ‡ โˆโ–ผโœทโœนโœบโœœโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒโœ‘r โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ™ฃ โ‘ข โ™ฃ โœ“โœ„โ„ โ… โœทโ– โœบโ—โป โ–ฒโžโ โžƒ โžบ โž† โž‰ โž‡ โจโ‡โžผ โณ โ—— โฒโตโดโ›โณ โงโœงโœฆ โ™ฃโœฉโฒ Pโ˜โœ โจโ‘คโฝโœฝโž“ โ™ฅ โœ— โœโœ‚โœ โœโœนq โโ„โŠ โœท โ™ฃ โœ— โโšโฑ โ™ฃโผโœโœทโ†•โœโœ— โœ‘ ๏ฟฝโœ˜โ†’ โœ— โ™ฅ โ…โ–ฒโƒโ†โ… โ– โ‹ โœบโ—†โœท โŠPโ‰ โ– qโ‚โ™ฃโœ’ โœ โœ—โฌโœ“ โžฒ โœŽ โž‚ โœธโœฅโœฌโœœโžœโœงโœ™โœœโœฌโ‘ฃโœค โฑ โœŽ โฑ โœ™โœฐโœฌ โ…โ˜…โ‹ โœฒ โœŽ โฑ โœ™โœฐโœฌ โœ‘ โ€ โ‘จโœฉโ˜…โœปโโ– โ– โ‹ โ โ‡ โป โ‘กโ‘ขโฑโšโ‹ โœท โ‹โโ‰ โ– โ‡ โˆโ–ผโœทโ– โœบโœ™โ โ‘ฃ โœธ โ… โœธ โ… โœ• โ‰ โ‹ โ„ โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโœ™โ‰โ‘โŠโœปโฑ โœธ โ‹ โ โŠPโ—— โ โฑโœปโฑโœปโƒโ‘โ‰ โ–โ–ฒโ โ‹โโ‰ โœท โŠโผโ‡โฃโ‰โ†โŠ โผ โœ“ โ‘ค โŠโœปโ…โœกโ‹ โœ•โ˜โœทโœนโœบโ›โ‹ โ‡โœ‰โ–ฒโžโโบโž‡ โจ โž† โ™ฃโœทโ™ฃ โง โจ โž’ โดโ—โณโœทโžฃ โ™ โžฃ โจโž‰โฝโœฝโž“ โ™ฅ โœ— โœโœ‚โœโœ˜โ†’โงq โโšโŠ โœท โ™ฃโœ˜โžž โโฑ โ™ฃ โœโ– โ™ฆโœโœ— โœ‘ โœโœทโžžโœ‘โœโšโ™ฃ

Page 205: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ†’ โœโœทโžž ๏ฟฝโœ‚โœโœ„๏ฟฝโœโ˜Žโ˜Žโœโœกโœ โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœโœŒโœกโœโœโœŽโœ’ โœโ™โ™ฆโกโœ“ โœ— โœŽ โฝ โœณโœนโœญโ—†โœนโœ˜โœฏ โœฒ โ˜›โ™ฆโœค โžต โœŽโž…โžŒโžโœ™ โœŒโœฐโœฌโœฐโœธโœฐโœ›โœทโœค โœก โœŽโœ–โž‹โœšโœพโœฝโœขโœงโœณโœนโžจโœฅโœขโžโœบโœฎโœบ โ˜›โ˜โœฌ โœŒโœฐโœขโœงโœณ โ…โœกโ‹ โœก โœŽโž…โžฒโž…โœณ โ˜› โžœโœฎโžโœœโžฏโœ’โ˜› โœ‘ โž„โœงโ™ โžฃ โงโœถโฏsr โณ t Pโ˜โ—— โฒ โฏ โœˆโœทโด โ™โ‰โง

โฒโตโด โ™โกโ——โœงr t โณโกโด โœโœšr โจ โœ” โณ โง โจ โžบโ˜…โ โ‘ค โ– โœ„ โœบโ—†โ โœ• โ˜›โ™ฆโโœฝโ‰โ‘โƒโ†โƒโœถr โœทโ„โœทโœทโ‹ โŠ โœท โ‘กโ‘ขโฑ โ โŠ โป โโžโ‘ข โŠ โ– โ™ฃ โโœงโ‘ฉโœฝโ… โœ• โœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ โ˜› โœ“ โœทโ– โœบโ—†โœท โŠโœ‘โ‹ โœท โ˜›โ™ฆโ‘ง โœท โŠโผโ—— โœท โŠโœถโ โ†’ โœโœ‘โœโกโžžPโ™ฃโœ’ โœโกโžžโ‰โœ“ โœ— โœŽ โฝ โœณโœนโœณโœฎโœ™โœฐโžฏโœ’โ˜›โ˜โœฏโพโœฏ โ˜›โ™ฆโœคโ‡โž‹ โœŽโœ„โœฑโœ–โœ™โœฐโœณโœฎโœ™โœšโœฒโžโœ™โœฐโœฌ โ…โœกโ‹โโžต โœŽ โžต โ˜›โ˜โœฏโพโœฏโœโ˜›โ˜โœฌ โœŒโœœโœขโœ˜โœณ โœ‘ โ€ โ‘จโœงโ˜… โฑโ‘คโ… โœบ โ‰โ‘โ‘กโ‘ฅโ…โ–ฒโŠโœ‘โ‹ โ โƒโกโ‡โœฟโ‹ โœธ โ——โšโ‰โ†โ…โˆโ‡ โœท โŠโœขโ‹ โ„ โ… โฑโผโ… โœบ โ˜›

โˆโ–ผโœทโœนโœบ โ‘ก โ โŠ โ– โ…โณโ‰โ†โ‘กโ‘ขโฑ โโœนโ– โ‹โœ–โ‡ โœทโ‰โˆ โƒ โœท โŠโœ˜โ† โœบโœ–โ โŠโœ˜โ†โœนโ…โณโ——โœปโ…โœกโฑโ‘คโ…โœกโŠPโ——โšโ…โ–ฒโŠ โ– โ…โœดโ–ฒโž‰โโœฉโžบโ›โžปโ–โžปโ‘ฃโžปโœ๏ฟฝ โž† โžผโบโž‰ โž„ โด โ™โ‰โ——โœ˜r โจ โœ” โฏ โฒ โž† โณโกโดโœ†โ˜Ž Pโ˜โ—— โœˆ โฉ โ™ฅ โ†’ โœ โœโœ๏ฟฝโœนq โโฑ โ™ฃ โœ— โœ โœโœ–โœ‘ โœ—โœโœ—โ™โ™ฆโœปโ™ฃโœ’ โœโ– โœโฌโœ“ โœ— โœŽ โฝ โœณโœนโœณโœฎโœ™โœœโžฏโœ’โ˜›โ˜โœฏโพโœฏโœโ˜›โ™ฆโœคโœ˜โžŒ โœŽโœงโžฒโƒโœ™โœนโžณโบโžณโœœโœธ โ…โœกโ‹โ‡โžต โœŽ โžต โœŽ โœ‘ โ€ โผ โ‘  โ‰ โ‘  โƒโ‘โ‰ โœท โ† โœบโœ–โ โฑ โ„ โ‰ โ–โœกโ โƒโœทโ† โœธ โ‰โ‘โ——โœปโ…โ˜โ‹ โœท โ‡โโ…โœกโƒ โˆ โ˜› โ‡โœฟโ‰โ‘โ‘กโ‘ขโ‰โ†โƒ โโ™โœบ โ‹ โœบโœ–โ โฏ โ–โœดโ โŠโผโ——โฑโ‘คโ… โœบโ›โˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‘ก โ โŠ โ– โ…โžโ‘ก โœท โ——โšโ…โœกโƒโ‘โ‰โ‘โŠโœ˜โ† โˆโ–ผโœทโœนโœบ โ‘ก โœท โ——โœปโ… โœบ โŠ โ„ โ‰โœถโ† โ„ โ˜› โ‡โโฑโผโ…โ–ฒโ…โ–ฒโ——โœขโŠโœปโ…โ˜…โ‹ โœ•โœดโœทโ– โœบโ—โ‹ โ‡โœซโ–ฒโž‰โโœฐโ‘ฆโœ‘โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰ โ– โŠโœปโ…โœกโ‹ โœ•โ˜โœทโœนโœบโ›โ‹ โ‡ โฒ โœ“โœ„โ„ โ… โœทโœนโœบโ›โปโ โŠPโ—— โ โฑPโฑโœปโƒโ†โ‰ โ–โœกโ โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡ โ™ฅ โ‘ข โ™ฃโœ„โœ‚โœฑโ™ฃ โ‘จ โ™ฃโœงโ™โ˜โ™ฃ โž› โ™ฃ โƒโณโ…โœกโƒโ‘โƒ โป โโœซโ‘ฆ โ™ฃโœ„โœ‚ โโœนโ– โ„ โโ™โœบโ—โป โโœถโ—โˆโ—— โ™ฃ q โ โŠ โƒ โโ– โœบ โ…โ–ฒโŠPโ—— โœท โŠโžโž› โœบ โ…โˆโ‡โโ‡โ–ฒโโ‘ฃโ โ˜…โพโˆโ–ผโœทโœนโœบ โ——โœถโ โ†’ โœโœ‚โœ ๏ฟฝ โโฑ โ™ฃโผโ™ฆโ– โ™ฆ โœ โฒ โ™ฆ ๏ฟฝ ๏ฟฝPโ™ฃโœ’ โœ ๏ฟฝโกโœ“ โžต โœŽโœ โœกโœ„โœขโœ˜โœฏโชโœฏโพโœขโœ˜โœณ โœ‘ โž† โ—— Pโ˜โ—— โฒโฃโดโ›โณโโœโกโž โš โฒ P โณ โ—— โฒโ– โณโโ™ฃโœฎโดโ›โณโœทโžฃ โ™ โžฃ Pโ˜โง P โฒโตโขโžซโฒ โž‡ โฏ โณโ‰โดsโข โ™โ‰โ—— โœ P โฒ rโžˆโ™ โ™ฃโชโ™ฃ โง Pqโšโฑโ™ โฒ P โณ โ——โœงr โจ โœ” โณ โง โจ โžบโ˜…โ โœ“โœ„โ„ โ‰ โœบ โ——โ…โˆโ——โšโ‰ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโœถโโœ’โœต โœท โ„ โŠ โ‚ โ‰โ‘โƒโ†โ… โป โœท โ‘ฆ โœท โŠPโ‡โœ„โ‘ข โŠ โ– โ™ฃ โโœ˜โ‘ฉโœ†โ… โœ•โœฑโœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ โ โ†’ โœ ๏ฟฝโชโ†•โœปโ™ฃโœ’ โœ โœ‚โโœ“ โž‚ โœŽ โœกโœ„โœขโœณโœฒโœœโœขโœ˜โœฏ โ…โ˜…โ‹ โœ— โœŽโœโœญโœœโœขโ…โž€โ‘ฃโœ™ โœฒโœดโœณโœฎโœ™โœœโœญโœฐโœขโœ˜โœฏโพโœฏโชโœข โœ‘ โ€ โโœโŠ โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒโœดr โœบโโœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโฟโฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡โโ…โ–ฒโ‡โ–โ–ฒโž‰โโœ‰โž’ โณโ‰โฒ โฏโฅโ—— โฒ Pqโ™โกโงโž† โ——โœฎโ™โกโง โจโœฐโžฝโœณโ‡ โ™ฅ โ†’ โœโœ‚โœ โœโœนq โโ„โŠ โœท โ™ฃPโ™ฆ โโšโฑ โ™ฃ โœ— โœ‚sโ™ฆ โœ‘ โœ—โ‰โ†•โชโ†•โœปโ™ฃโœ’ โœโ‰โ†•โกโœ“ โฉ โœŽโœ’โœกโœ†โ˜Žโœœโœฏโชโœฏโพโžฏโœดโœขโœ˜โœณ โœ‘โœŒโ€ โŠ โ โƒ โ–โ˜…โœธ โƒโœฝโ——โ˜Žโช โ‘ขโ™ โ‹ โญโฟโ‡ โ โŠโผโ‡โžโฑ โœบโโœทโœนโ‘ Pโโ™โ‘  โ‰โ‘โƒโ‘โ‰ โ‹โ—†โ—โ–ฒโ‡โƒโ–ฒโž‰โโ–โ‘ฆโ„โ…โœกโ‘กโ‘ขโ‰โ‘โŠ โโ™โœบ โœท โŠ โž› โœบโ—†โœทโ– โ‘ โผโโ™โ‘  โ‰โ‘โƒโ†โ‰โ†โ‹ โป โ โœ– โœผ โ™ฅ โœ‘ โŠPโ‰ โฆ โ™ฃโ‘ฆโœ‘โ‹ โœบโ—†โ โ‡ โ‘ โ‘คโœทโ– โœธPโœบ โ†โผโโชโ‘ฆโœ‘โ‹ โœบโœ–โ โ‡ โ‘ โ‘คโœทโ– โœธโœปโœบ โ†Pโ โ†’ โœ โœ‚ โœโœณโœ™โนโ†’ โœโœทโ†• โœโœ‘q โ™ฅ โ™ โœบ โ…โœกโŠ โ– โ„โผq โโพโ‘ง โ… โ– โ‹ โœธโœปโœบ โ…โœดโ‘ฉ โœท โ‹โโ…โˆโ‡โกโ‰โ‘โŠ โ‘ค โ โ‹ โ„โœถโ™ฃ โ โฆโ– โœท โƒ โ™ฃโพโ†•โœนโœ โœ โโชโ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โ– โ… โœบ โrโœดโ… โœบ โƒโ‘โ‰โ†โŠโœถโ โ†’ โœโœทโ†•โœงโ†’ โโ„โฑ โ™ฃโœนโ†’โฅโžžโœ‘โ™ฆ โœ‘โœฎโ†’โˆโœ โœPโ™ฃโœ’ โœ โœโกโœ“ โท โ โ€โ——โœฟ โ‰ โœบ โ‰ โ– โ„ โƒโ‘โ…โ˜…โ‹โ˜โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โœฅโ–ฒโžโโพโ‘ฆโœ‘โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โ—†โ…โฅโ† โœบโœ–โ โƒ โ‡ โ™ฅ โž› โœบโโœทโšโ– โ™ฃ โ‘ฆ โป โ‘กโ‘ฅโฑ โœท โ‡ โ™ฃ โ โœ‘ โŠPโ‰ โฆ โ™ฃ โœฟ โœธโœปโœบ โ„ โ โ‘กโ‘ฉโ โœฟ โœธโœปโœบ โ„ โ โ‘กโ‘ฉโโ†’ โœโœทโ†• โœโœ‘q โโžโ‘งโœถโ… โ– โ‹ โœธโœปโœบ โ…โž…โ‘ฉ โœท โ‹โโ…โˆโ‡โœโ‰โ†โŠ โ‘ค โ โ‹ โ„โœถโ™ฃ โ โฆโœนโœท โƒ โ™ฃโœ˜โ†•โœนโœโžโ†’ โโœ˜โ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ†โŠโœ˜โ†โœนโ… โœบ โโšrโ˜โ… โœบ โƒโ‘โ‰โ‘โŠโœถโ โ†’ โœโชโ†•โœ˜โ†’ โโ„โฑ โ™ฃโœงโžžโœ„โœ‚โœ–๏ฟฝโœ–โœ‘โพโžž โœ‚โกโ†•โœปโ™ฃโœ’ ๏ฟฝ โœโกโœ“ โฉ โœŽโœโœกโ‡โžโœžโœโโœฏโชโœขโœงโœณ โ…โ˜…โ‹โ‘ฃโžต โœŽโพโž€โƒโœขโœ˜โœฏโชโœ™โœฐโœฌโœฅโœญ โœ‘โฆโ€ โ‘ง โ โŠโœžโ‹ โœบโœ–โโกโžธโœ”โ–โกโ– โ„ โโ™โœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ… โœบ โ‰โ‘โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ‡โ–ฒโ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โ โฑPโฑโœปโƒโ†โ‰ โ–โœกโ โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡ โˆโ–ผโœทโ– โœบโœถโ‘ โœปโœบโ—†โœทโœนโ โ—— โ‘ Pโ โŠPโ——โŠโœปโ…โœกโ‹ โœ•โ˜โœทโœนโœบโ›โ‹โœ”โ–โœกโœท โŠโœ˜โ†โœนโ…โ–ฒโ‡โœฟโ‹โโ‰ โœท โŠโœ™โ‘ก โ โŠ โ โ†โœนโ…โœกโ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹โ‘ฃโ–ฒโžโโœฝโžบโ—โžปโ‘ฃโžปโ‘ฃโžป โž‡ โžƒ โž† โžผ โ†” โ™ฅ โ†’ โœ โœโœงโ†’โˆq โโœ‘โŠ โœท โ™ฃ โœ‚ โPโฑ โ™ฃโœฅโ†’โœทโ†’โˆโ™ฆ โœโœ–โœ‘โœฉโ†’โœทโ†’โœฃโžžโœ‚โœPโ™ฃโœ’ ๏ฟฝโœ˜โ†’โœ”โœ“ โžŒ โœŽโœกโœชโ™ฅโœ™โœฐโœณโœนโœณโœนโœขโžโœบโœฎโœบ โ…โ˜…โ‹ โžต โœŽ โžต โ˜›โ˜โœฏโพโœฏโœโ˜›โ˜โœฌ โœŒโœœโœขโœ˜โœณ โœ‘ โ€ โผ โŠ โ โƒ โป โ‡โโ‰โ‘โ‡ โ โŠPโ——โž™โ†โ– โ…โ–ฒโŠโœปโ… โœบโœ–โ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โœทโœทโˆ โ‡โโ…โœกโƒ โˆ โ‡โœฟโ‰โ‘โ‘กโ‘ขโ‰โ†โƒ โโ™โœบโœฌโฆโ„โ‘ โœปโœบ โฆ โ‰ โ——โšโ… โœทโ‹ โœบโ—†โโ‰โžธ โ– โ–ฒโžโ โžƒ โžบโกโ‘  โžผ โœฆ โž‰โžˆโž‰โ˜žโžŽ โšโœ โœŸ โ™ฅ โ‘ง โœท โŠโผโ—— โœท โŠ โœ‘ โƒ q โ โ†’ โœโœ‚โœโ‰โžž โโ„โฑ โ™ฃ โœ— ๏ฟฝ โœโœ–โœ‘ โœ— โœ โœโœปโ™ฃโœ’ ๏ฟฝโœโœ—โฌโœ“ โœฆ โœŽโ–ผโœชโœšโœ™โกโœตโบโœขโžโœ™โœนโœธ โ…โ˜…โ‹ โœฒ โœŽโœนโžฒโž…โœณโœฎโœ™โœฎโœธโœฐโœพโœฝโœขโœ˜โœณ โœ‘ โ€ โ‘งโœโช โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ—โฅโ† โœบโ—†โ โƒโ†โ…โœโ‡โœ‡โ‹ โœทโ„โ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ‘ฃ โœธ โ… โ–โ˜…โœท โ‘กโ‘ฅโ‘กโ‘ขโ… โœท โฑโ‘คโ— โœบโœ–โ โ‹โโ… โœธโœปโœบ โ——โœปโ…โœžโ——โšโ‰ โฆ โ… โœบ โ†โœนโ…โœกโŠ โ– โ…โ—— โ โŠPโ‡โœโƒ โช โ…โˆโ‡โœฟโฑ โโœนโ– โ… โˆโ–ผโœท โŠ โ– โ‹โโ‰ โœท โŠPโŠโœปโ…โœกโƒโœงโ–ฒโžโโœœโž‡ โจ โ—† โž โ——โœฉโš โฒ โจ โž† โ——โœฎโ™โกโง โจโœฝโฉโœฉโž” โ™ฅ โ†’ โœโชโ†•โœโœ—โ– q โโšโŠ โœท โ™ฃ โœ— โโšโฑ โ™ฃ โœ—โ– โ™ฆ โœ โœ‘ โœ—โ™โ™ฆโชโ†•โœปโ™ฃโœ’ ๏ฟฝโ– โ™ฆโกโœ“ โž€โœ†โœŽ โœช โ˜›โ˜โœณโœฎโœ™ โ˜›โžŸโœบ โ˜› โœ›โœทโœคโ–โžฆ โœŽโ‘ฃโžŒ โžโœฐโœฏโนโžœโœฉโžจโœนโœ™โœฐโœฌโœฐโžโœฎโœต โ…โœกโ‹โ™ฅโž‚ โœŽโƒโžฆโœฉโœธโœฅโœณ โœŒโœฅโœ™ โ˜›โ˜โœฏ โ˜› โœ› โœ‘โžซโ€ โ‘ง โœท โŠโœ˜โ†โœ”โ‘กโ‘ขโ…โ–ฒโ‘ก โœทโœนโœบโ›โป โ‡ โ„ โœท โ‹โœ†โŠ โœท โ‰ โ‡โœฟโ…โˆโ‡ โ โŠโผโ——โ‘ฉโƒโ†โ‰โ‘โ‘กโ‘ขโ‰ โ‹โ‹ โ„ โ… โœทโœนโœบ โ…โ–ฒโ‘กโ‘ขโ‡ โœ• โ‰โ†โ‹ โ„ โ โฑPโฑโœปโƒโ†โ‰ โ–โœกโ โ‹โโ‰ โœท โŠ โ‹ โœท r โœธโœปโœบ โ†โœนโ… โœบ โ‡ โชโœ‘โ…โ–ฒโ‘ฃ โœธPโ โ‹โโ‰ โœท โŠโฆโ–ฒโžโโœงโ‘ฉโœฝโ… โœ• โ——โšโ‰ โœบ โ… โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠPโ‡โœดโ‰โ†โŠโœ„โ‹โ—†โ‰โ†โ‘กโ‘ขโ… โ‡โœฟโ… โœบ โ‰โ‘โ…โ–ฒโ‡ โ โŠ โ โƒ โป โ‡โœฟโ‰ โ‡โœกโ

โž› โโ™โœบ โ‹โœโ‘ขโ‘โ‘ขโ‚โโœ˜โ‘ข โ‘ค โผ โœผ โœท โƒ โ™ฃ โ‘ค โ โ‹ โ„โœถโ™ฃ โผ โฑPโฑโœปโƒ โ™ฃ โ โฆโœนโœท โƒ โ™ฃโนโžžโœ๏ฟฝ โโœงโ‘ฆโšโฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โœนโ… โœบ โโœ˜โ‘ฉโœฝโ… โœ•โœพโœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ โ โ†’ โœ โœโœนโ™ฆ โโ„โฑ โ™ฃโœฅโ†’โงโœโ™โ™ฆโœ–โœ‘โœฉโ†’ โœ‚ ๏ฟฝโœปโ™ฃโœ’ ๏ฟฝโ‰โžžโ‰โœ“ โž€โœ†โœŽโ–ผโœช โ˜›โ˜โœณโœฎโœ™ โ˜›โžŸโœบ โ˜› โœ› โ…โœกโ‹โ‘ฅโž‚ โœŽโบโžฆโœฉโœธโœฅโœณ โœŒโœฅโœ™ โ˜›โ˜โœฏโœโ˜› โœ› โœ‘โถโ€ โโœโŠโœ™โ‡ โ„ โœท โ‹โ˜โŠ โœท โ‰โ‘โ‡โโ…โœ†โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡โโ…โ–ฒโ‡ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โƒ โœท โŠโœ˜โ† โœบโ—†โ โŠโœ˜โ†โ– โ…โœ†โ——โœปโ…โœกโฑโ‘คโ…โœกโŠPโ——โšโ…โ–ฒโŠ โ– โ…โœโ–ฒโžโ

โž› โœบโ—†โœทโ– โ‘ โผโโ™โ‘  โ‰โ‘โƒโ†โ‰โ†โ‹ โป โ‹ โ„ โ… โœทโ– โœบโ—โปโ‘ฅโ โŠPโ——โ‘ขโ‘ก โ โ‹ โ„ โ…โœกโ‘ก โ โ‹โ—†โ‰ โ–โ–ฒโ โƒโผโ‡โœฟโ‹ โ โ‹โโ‰ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰ โ– โ‡โœกโโœšโœผ โœท โƒ โ™ฃ โ‘ข โ™ฅ โœผโœ†โ‰โ‘โƒโ†โŠPโ‰ โœธ โ‡โ–ฒโ โ†’ โœโชโ†• โœโœนq โ โœตโ›โ‘คโžˆโœทโœทโ‹ โ‡โโƒ โ โ‡ โœถ โโœฎโœผโœ†โ‰โ‘โƒโ†โŠPโ‰ โœธ โ‡โ–ฒโโ†’ โœ โœ โœ โโ„โฑ โ™ฃโžโžžโœ‚โœโœงโ†’ โœ‘โพโžž โœโœทโ†•Pโ™ฃ

โœ’ ๏ฟฝโœนโœโฌโœ“ โœฆ โœŽโœ’โœชโ™ฅโœฌโœฅโœขโœ˜โœญโœœโœขโœ˜โœฌโœฅโœชโœฐโž โ…โœกโ‹ โœ— โœŽ โœ• โžโœฐโœฏโพโžฏโ–ผโž โœŒโบโžโœฐโœณโœฎโžโœฉโœต โœ‘โ˜›โœก Pโ˜โœโ™ฅP โฒโœœโœ PโžŸr โฒโตโด P โžฃโœ”โžโžโฒ P โณ โ——โœงrโœฉt โณโ‰โด r โž โœโœšr โณ tโƒPโ˜โ—— โœ โฏ โ™ฃ โฏโœ”โ—— โœ โฏโฅโ—— โฒโœฅโด โ™โ‰โ—— โœโชโณ โœโœ—โกโ™ โด Pqโ™ โžฃ โงโ™ โฏโœ”rโ‚โ โผ โ——Pโ——โšโ‰โ‘โ‡ โœท โŠโœกโ˜› โ‚ โ…โ–ฒโ‡โโƒโ†โ… โป โž› โœธโœปโ‘  โƒโ‘โ‰ โ‡ โ„ โ‰โ‘โŠโœ˜โ† โŠ โœท โ‘กโ‘ฅโฑ โ โŠ โป โโžโ‘ข โŠ โ– โ™ฃ โ โŠ โ โ‘ก โ‘ Pโœบ โ‰ โ——โžโ†โ– โ…โœนโ โ‘ค โ โ‡โ—†โ‡ โ™ฃ โ โ†’ โœโœ‘โœโกโžžโผโ™ฃโœ’ ๏ฟฝ ๏ฟฝโกโœ“ โž€โœ†โœŽโœฝโœญโœœโœข โฉโœšโœ™โœฅโœ™โœฐโœฌ โœ‘ โœฆโœ„โ—— โด โฏ โœˆโ‰โž โงโ™ โ™ โด โœ—โกโ™ โด Pqโ™ โฒ P โณ โ——โžขโ™โ‰โ—— โœ P โฒ rโ–ผโ™ โ™ฃโœทโ™ฃ โง Pqโšโฑโ™ โฒ P โณ โ—— โฒโ™ฆโณโžฅโฒ โž‡ โฏโ–ผโž†โ–โฏโฑโ™ โ˜Ž โš โณ โ——โœ’โœ—โกโฏ โดโฃโœˆ โฏโฅโ——โœฉโšโฑโฏ โณ tโœ‡rโœ”โ™โ‰โœ โ™ฃ โงโ™ โฏโฏโœŒโ˜ž โฒโฃโด โฏโฅโœโ‘จโฏsrโ‚โ โ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โ–ฒโ‘ก โ โ‹โโ‰ โ–โœกโ โƒ โŠ โ…โœกโŠโœ‘โ‹ โœบ โ… โœ“ โœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‡โ–ฒโ โฆโ– โœท โƒ โ™ฃโœ†โ™ฆ โœ— โ โ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โ–ฒโ‘ก โ โ‹โโ‰ โ‡ โ– โ„ โŠ โ…โ–ฒโŠโœนโ‹ โœบโโœธ โ‘กโœ„โ โผ โ‘ก โ‡โœ‡โ‹โ—†โ… โœบ โ—— โ โ‘กโ‘ฉโ

โ†’ โœ โœ‚ โœPโ™ฃโœ’ ๏ฟฝ โœ‚โโœ“ โฑ โœŽ โฉโ™ฅโœธ โ…โ˜…โ‹ โœฆ โœŽโœโ˜…โœšโœชโœซโœ›โœฃโœขโœ˜โœฌโœฅโœญโœฎโœ™โœฐโœฏ โœ‘ โ€ โŠ โ„ โโ™โœท โ‡ โœบ โ…โœกโฑ โœบ โ…โˆโ‡โœฟโ…โ–ฒโŠโœนโ‹ โ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โœทโ‰โˆ โƒ โœทโ„โ–โ–ฒโ โƒtโ‹โ—†โ‰โ†โ‘กโ‘ขโ… โœทโœทโˆโƒโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠPโ‡โœ‰โ–ฒโžโโœ˜โž› โœบ โ…โœกโฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โ–ฒโ โœ— โœโœ‚โœ โœPโ™ฃโœ’ ๏ฟฝโœทโ†•โกโœ“ โท โ โ€ โ™ โœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒ โœ• โ„ โ‰โ†โ‹โโ… โŠ โœท โ‰โ‘โ‡โโ… โ–โœกโ โƒ โ–โ˜…โœธ โƒ โœธ โ‡ โ โŠPโ—— โ โฑโœปโฑโœปโƒโ‘โ‰ โ–โœกโ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠPโ‡โœดโ‹ โœท โฏPโŠ โ โŠ โ– โ…โœโ–ฒโž‰โโœ˜โž› โœบ โ…โœกโฑ โœบ โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โˆโ โœ— โœ โœโœ‚โœโœปโ™ฃโœ’ ๏ฟฝ โœโกโœ“ โฑ โœŽโœงโฉโœšโœธโ–โœคโœ‰โœฆ โœŽโœ„โ˜…โœšโœชโบโœ›โœฃโœขโœ˜โœฌโœฅโœญโœฎโœ™โœฐโœฏ โ…โ˜…โ‹โฆโž‚ โœŽโƒโžฆโœฝโœ™โœœโœฏโพโžโœโœโœ˜โœขโœ˜โœช โœ‘โžโ€โ–ผโ‚ โ…โœกโ‰โœถโ† โ„ โ‹โโ…โˆโ—— โƒ โœทโ„โ–โ–ฒโ โƒ โ‹โโ‰โ‘โ‘กโ‘ฅโ… โˆโ–ผโœทโ– โœบโ–ผโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โŠPโ—— โ โฑโœปโฑโœปโƒโ‘โ‰ โ–โœกโ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠPโ‡โœดโ‹ โœท โฏPโŠ โ โŠ โ– โ…โœโ–ฒโž‰โโœ˜โž› โœบ โ…โœกโฑ โœบ โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โˆโ โœ— โœ โœโœงโ†’โ– โ™ฃ

Page 206: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ‚โœโœ„๏ฟฝโœดโ˜Žโ—†โœโœกโœ โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœกโ˜› โœŒโœกโœโœโœŽ โ†’ โœโœ‘โœโœ’ โœ‚ โœโกโœ“ โฑ โœŽโ–ผโฉโ™ฅโœธโ‘ฃโœคโœซโœฆ โœŽโ–โ˜…โœšโœชโบโœ›โœฃโœขโœ˜โœฌโœฅโœญโœฎโœ™โœฐโœฏ โ…โœกโ‹ โœ— โœŽโ–โžฆโœฉโœธโœฅโœฏโพโœขโœ˜โžฏ โœ‘โž™โ€ โโœโฑโšโ‹โ—†โ‰โ†โ‘ก โ โƒ โ–โ˜…โœท โŠโผโ‡ โœธ โ‘กโ‘ขโฑโšโ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โŠPโ——โœ„โฑ โœทโ– โœบ โ‹ โˆโ–ผโœท โƒโ†โ‰ โœท โ‰โ†โŠ โโ‘ขโ‘  โƒ โโœนโ–โฑโ‹ โ˜›โ‡ โ– โ„ โœท โƒโ‘โ…โ–ฒโ‡โœดโ‘ก โโ™โœบโ—โ‹ โ…โœกโ‹โœฝโ—— โœบ โ‰ โฆ โ…โ–ฒโŠ โ‘ โนโปโโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ โœปโœบโโœทโœ–โœ• โŠPโ‰ โ โŠ โ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโฆโ–ฒโžโโœงโž› โœบ โ…โ–ฒโฑ โœบ โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โ–ฒโ โœ— โœ โœโœ‚โœโœปโ™ฃโœ’ โœ‚โนโ†’โœ”โœ“ โฑ โœŽโ– โฉโ™ฅโœธโ‘ฃโœคโœ˜โœฆ โœŽโœฉโ˜…โœšโœชโœซโœ›โฅโœขโœ˜โœฌโœฐโœญโœฎโœ™โœฐโœฏ โ…โœกโ‹ โžฒ โœŽ โ‘ โžจโœนโœ™โœฐโœฌ โœŒ โœ‘ โ€ โ‘ฆโœ‘โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โฑ โโ™โœบ โ‹โโ‰ โ โƒโšโ——โšโ‰โ‚โโ‘คโ… โœบ โ…โ–ฒโŠโœนโ‹โ—†โ‰ โ โƒโ„โ…โ–ฒโ‘ฃ โœธPโ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠPโ‡โœซโ—— โœบ โ‰ โฆ โ…โœกโŠ โ‘ โนโปโ‘ก โœธ โƒ โ‹โ—†โ‰โ†โฑ โโ™โœบโœ–โ โ‘กโ‘ขโ…โ˜…โ‹โ—†โ… โœบโบโˆโ–ผโœบโ—†โโœนโ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒ โœ• โ„ โ‰โ†โ‹โโ…โฃโŠ โœท โ‰โ‘โ‡โโ…โ–โ–ฒโžโโœทโ‘ฆโœ‘โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โœกโโงโฑ โ„ โป โ‡โœฟโ‰ โ– โ‡ โ โŠPโ——โœšโ†โ– โ… โœท โ‘กโ‘ขโ…โ˜…โ‹ โœบโ—โป โฒ โŠโœปโ… โœ•โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ… โœบ โฑโœปโƒ โโฌโป โ‡โœกโโœฝโ‘ขโ‘โ‘ข โ™ฅ โ‘งโœถโ…โ–ฒโ‰โ†โฑ โœž โ‰โ™ โ†โผโ โ†’ โœ โœโœ‚โœโœนq โ โŠ โ‘ค โ‘ฆ โŠ โœท โŠ โˆ โ™ฃ โž› โœบโ—†โœทโšโ– โ™ฃ โ โฆโœนโœท โƒ โ™ฃ โœ— โœ โ โผ โ‘กโ‘ขโ… โœบ โ™ฃ โ‘ค โ โ‹ โ„โœถโ™ฃ โ‘ฆ โœทโšโ– โ™ฃ โโœฎโž› โœบโโœทsโฆ โ‰ โ——โšโ…โœกโŠ โ– โ…โ– โ

โœ โ‘ขโ‚โ โœ— โœ โœโœ‚โœ โโœ‘โฑ โ™ฃPโ™ฆ โœ— โœ‚ โœ‘โšโ™ฆโ– โ™ฆโœ„โœ‚โ„โ™ฃโœ’ โœ‚ โœ—โฌโœ“ โžฆ โœŽโ——โฉโ™ฅโœธโœนโœ™โœฐโœฌ โœŒ โ…โœกโ‹ โžฆ โœŽโœดโžงโœดโœ™โœฐโžฏโœดโœพโœฝโœ™โœฐโœฌ โ˜› โœ› โœ‘ โ€ โœ„ โโ™โœธ โ‡โ—†โ‡โœฟโ‰ โ โŠโฟโฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡โโ…โ–ฒโ‡ โฒ โŠ โœท โŠโœปโƒโ‘โ‰โ†โŠPโ… โโ™โœบโœฌโ โŠ โ โƒ โป โ‡โœฟโ‰ โ‡ โ โŠPโ——โฟโ‡โœ‡โ‹ โœทโ„โ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ–โ–โ–ฒโ โƒ โ–โ˜…โœธ โƒ โœธ โ‡โœ„โ–ฒโžโ โ‘ค โ… โ โ‡ โœธโœปโœบ โ…โ‘ฉโ‹ โ„ โ… โœทโœนโœบโ›โป โ โฑโœปโฑโœปโƒโ‘โ‰ โ–โœกโ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠPโ‡โ‘ขโ‹ โœท โ‡โœ‡โ‹ โœทโ„โ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ–โžˆโ โŠ โ โƒ โป โ‡โโ‰โ‘โ‡ โ™ฅ โž› โœบโโœทโšโ– โ™ฃ โŠ โœท โŠ โˆ โ™ฃ โ โœ โ…โ–ฒโ‡ โ™ฃ โ‘ข โŠPโ‡โœฟโ‹ โ™ฃ

โ‘ค โ โ‹ โ„โœถโ™ฃ โโœดโ โ‘  โ… โœบ โœ•โœดโœท โƒ โˆ โโ– โ– โ„ โ โ†’ โœโœ„โœ‚ โœ‚โ™q โโƒโ‘ง โ… โ– โ‹ โœธโœปโœบ โ… โ‘ฉ โœท โ‹โโ…โˆโ‡โœ™โ‰โ‘โŠ โ‘ค โ โ‹ โ„โœถโ™ฃ โ โฆโ– โœท โƒ โ™ฃโ˜ž๏ฟฝ โœโœ‘โœ โโ‡โ‘ฆโšโฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โœนโ… โœบ โโœดrโœดโ… โœบ โƒโ‘โ‰โ†โŠโœถโ โ†’ โœโœ„โœ‚โกโ†• โโฑ โ™ฃโœฐโ†’ ๏ฟฝโœนโœ โœ‘โœฉโ†’ โœ‚ โœ‚โ„โ™ฃโœ’ โœ‚sโ™ฆโกโœ“ โฉ โœŽโ†โฉโœšโœธโœฅโœณโœฅโœ›โฅโœบ โœ‘โžˆโ€ โ‘ง โœท โŠโœ˜โ† โ˜› โ‹โโ… โœบ โ‘ก โ‡โœ‡โ‹ โœทโ– โœบโœ–โ โ†โ– โ…โœโ‰โ‘โŠ โœบ โ…โ–ฒโ‡โโ… โœบโ—†โฆโ– โœท โ‰ โœบ โ‡โœฎโ–ฒโž‰โโœ‰โž„โœฝโ™โกโ——โœงr โจ โž† โœโฆโฏ โด โจ โžƒโœนโณ โš โจ โšโฅPโœ˜โœ—โPโ˜โงโœ˜โžปโœ„โ—— โœˆ โจโœฉโžฝโœฝโžฝโžโž” โ™ฅ โ†’ โœโœนโœโœ˜โ†’โˆq โโฑ โ™ฃโœงโžžโœ‚โœ โœโœ–โœ‘โพโžžโœฝโ†’ โœโœปโ™ฃโœ’ โœ‚โฌโžžโ‰โœ“ โœป โœŽโœ‚โฉโ™ฅโžกโœฐโœ›โœฃโœฏโชโœขโœงโœณ โ…โ˜…โ‹โœ๏ฟฝ โœŽโœ„โœฒโœ’โ˜›โžŸโœบโœนโœขโœ˜โœณโœนโœพโœฝโœ™โœฐโœณ โœŒ โœ‘ โ€ โ‘จโœฉโ˜… โ‹ โœบ โ…โœกโ‘กโ‘ขโ…โ–ฒโ‡ โœทโ‰โˆโฃโโžˆโ– โ… โœบ โ‹ โ โ‰โ†โŠ โ– โƒ โ โ‡โโ‡ โœทโœทโˆ โœ„ โโ– โœธ โ‡โ—†โ‡โœฟโ‰ โ โŠ โฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โ–โ–ฒโžโ

โžƒโœฉโฒโ– โณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ Pqโšโ‘ฅโž’ โดโ—โณ โšโฑโฏโœ”rโ—r โจ โž† โ™ฃโœทโ™ฃ โง โจโœฉโž“โ‘คโฝ โ™ฅ โ†’ โœ โœโœ‚โœโœนq โโšโŠ โœท โ™ฃ โœ— โโšโฑ โ™ฃ โœ—โ– โœ โœ‚ โœ‘ โœ— โœ‚โนโ†’โœนโ™ฃโœ’ โœ‚โ™โœโฌโœ“ โœป โœŽ โœป โœ™โœฅโžœโœฎโžโœฐโœญ โœ‘ โžผ โ™โ‰โงโ™ โš โž โงโœฎr โฒโ™ฆโณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ P โœบโฅโž โฏโœ–โฏ โฒโœฎโ™ฃโœฎโดโ›โณโœทโžฃ โงโœ„โœ‚โฅโœโฆโฏโœ”r โœ โฏโž…โœโ‘จโ™ โดsโฒ Pโ˜โ—— โœˆ โ™โกโงโœถโฏsrโ‚โโœ˜โ‘งโœถโ… โ– โ‹ โœธโœปโœบ โ…โžญโ‘ฉ โœท โ‹โโ…โˆโ‡โ˜โ‰โ‘โŠ โ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โœกโ‘ก โ โ˜›โ‹โ—†โ‰ โ– โ‡โœกโ โฆโœนโœท โƒ โ™ฃ โœ‚โนโ†’โฅโžž โโœ˜โ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ†โŠโœ˜โ†โœนโ… โœบ โโœปrโœดโ… โœบ โƒโ†โ‰โ‘โŠโœถโ โ†’ โœโœ„โœ‚ โœPโ™ฃโœ’ โœ‚โœ–๏ฟฝโกโœ“ โœ— โœŽ โœป โœ™โœฐโœชโบโœธโœฅโœพโœฉโž โœโโœ›โœฃโœช โ˜›โ™ฆโœค โœป โœŽโœซโžŒ โœนโœ˜โžฏโœ’โ˜›โ˜โœฌ โ…โ˜…โ‹ โœช โœŽโœœโœฒโœซโœ™ โœŒโœ†โ˜Žโœงโœ› โœ‘โž™โ€ โŠ โœท โŠ โฆ โ… โœบ โ†โœนโ…โœกโŠ โ– โ…โœโ…โ–ฒโŠโžˆโƒ โœท โ‰ โ——โšโ…โ–ฒโ‡โœ†โ‡ โœธ โ‰โ†โ‹โโ…โˆโ‡โœฝโ——โœญโช โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โ—†โ—โฅโ† โœบโœ–โ โƒโ‘โ…โ–ฒโ‡โ‡โœฟโ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ‰โ‘โ‘ฃ โœธ โ…โˆโ‡โœ†โ‡ โœธโœปโœบ โƒ โช โ…โ–ฒโ‡โโฑ โโ– โ– โ…โœžโœ โž โ——โšโ…โ‘จโ‘ฆ โ‹โ– โœทโœนโœบโโœทโชโ‹ โ„ โœท โ——โœšโ–ฒโžโโœฐโž’ โดโ›โณโชโžฃ โ™ โžฃ โจ โž„ โž‡ โฏ โณโ‰โดsโข โ… โฏโœ”โงโœถโ™ โฒ โฏ โœ โ—†โ–Pqโฏโฅโง โœ r โž“โœฅโžฝ โ™ฅ โ†’ โœโœทโ†•โœ‚โœโœนq โโŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โโšโฑ โ™ฃโœฐโ†’โœทโ†’โœทโ†’ โœ‘โœฉโ†’โˆโ™ฆ โœ‚โ„โ™ฃโœ’ โœ‚ โœ‚โโœ“ โœป โœŽ โœ• โœ™โœฐโœณโœฎโœ™โœฐโžฏโœดโœ™โพโœบโชโœ™ โœ‘โ…โ€ โ‘ฆ โœธโœปโœบโžโœธ โŠโชโ‘ก โœท โ——โšโ…โœ„โ——โœปโ… โ–โ˜…โœบโ—†โœท โ‰ โ‡โ—†โ‡ โ โŠ โ– โ… โœบ โ—โฅโ† โœธ โƒโ‘โ‰ โ˜› โœบ โ…โœดโ–ฒโžโ โžค โž โงโ˜โง โจ โžƒโœนโณ โš โจโœ‡โž‰ โ™ โฒ โž‡โœงโจ โ—† โด โ™โ‰โ——โœฉโšโฑโฏ โž”โœฅโžฝ

โ™ฅ โ†’ โœโ– โ™ฆโœนโ™ฆโœนq โโœ‘โฑ โ™ฃโผโœโ– โœ โœ‘ ๏ฟฝโœโœ—โœปโ™ฃโœ’ โœ‚โกโ†•โกโœ“ โžŒ โœŽ โœ• โœฏโชโœข โœโžโœบโœฅโœ› โœฒโœœโœฌโœฅโœ™ โ…โ˜…โ‹ โœ— โœŽโžฅโž€โƒโœข โœฆโ‘ฅโœณโœนโœขโœ˜โœบโœนโžโœœโœฌ โœ‘ โ€ โผ โŠ โ โ‘กโ‘ขโ… โœบโ—†โœท โŠ โ˜› โ‘ค โโ™โœบ โ‹โโ‰โ‘โŠโœโ‹ โป โฑโผโ… โˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‘ก โœธ โƒ โโžซโˆโ–ผโœทโœนโœบ โ†โ– โ…โ–ฒโŠโœปโ… โœบโœ–โ โƒโœ„ โโ– โœธ โ‡โโ‡โโ‰ โ โŠโ‘ขโฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โ™ฆโท โ โฏPโƒโ†โ‹โโ… โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ† โ โฑโœปโฑ โœบโ—†โœทโœนโโ– โ– โ„ โ–ฒโžโ โžƒโœฝโฒโ™ฆโณ โš โž‡โœ˜โจ โžƒโœฝโฒโ™ฆโณ โš โž‡โœงโจโœ’โ… โฏ โ™ฃ โจโœ˜โžพโ‘คโž‚ โ™ฅ โœ— โœโœ‚โœโœโœ—โ– q โโ™โŠ โœท โ™ฃโœ‘โ™ฆ โ˜› โžž โโ™โฑ โ™ฃ โœ— โœ— โœโœ–โœ‘โœ—โœนโœ โœโœปโ™ฃ

โœ’ โœ‚ โœโกโœ“ โžŒ โœŽ โœ• โœฏโพโœข โœโžโœบโœฅโœ› โœฒโœœโœฌโœนโœ™โ–โœคโœนโœ— โœŽโœฎโž€โ–โœขโซโœฆโžญโœณโœนโœขโžโœบโœฅโžโœฐโœฌ โ…โœกโ‹ โžŒ โœŽ โญ โžโœฐโœธโœฅโœพโœฝโœ™โœนโœธโœฅโœญ โœ‘โซโ€ โœ„โœžโ…โ–ฒโŠโœปโ… โœบโœ–โ โƒ โ โฑโœปโฑ โœบโโœทโœ‘โโ– โ– โ„ โ‹ โœท โฏโผโƒ โ‹โ—†โ… โœบ โ‰โ†โŠโœ˜โ† โœ• โ‰โ†โ‹ โ„โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒโžr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠ โŠ โœท โ‰ โ‡โœฟโ…โˆโ‡โ™ฆโท โ โฑโœปโฑPโƒโ†โ‰ โ–โœกโ โ‹โโ‰ โœท โŠโœ”โ‹ โœท โƒโ†โ‰โ‘โŠโœปโ… โโ– โœบ โ‡ โป โ‡โœฟโ‹โโ…โ–ฒโ‘กโ‘ขโ‡โœ‰โ–ฒโžโ โžƒโœฝโฒโ™ฆโณ โš โž‡ โ™โกr โฒ Pqโšโœ”r โžƒโœฉโฒโ– โณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ Pqโšsr โ… โฏ โ™ฃ โจโžพโœฅโžฝ โ™ฅ โœ— โœ โœ โœโœ‘q โโ„โŠ โœท โ™ฃโœฅโ†’ โ˜› โœ— โโ„โฑ โ™ฃโœฅโ†’โชโ†’ โœโœ–โœ‘โœฉโ†’โฅโžž โœโœปโ™ฃ

โœ’ โ†• โœโกโœ“ โœ— โœŽ โœ• โžโœœโœฏโชโžฏโ‘ฅโž โœŒโบโžโœœโœณโœฉโžโœฉโœต โœ‘โžซโ€โœดโ‚ โ‰โ†โ…โ–ฒโŠโœปโ… โœบ โ‡ โ– โ„ โ…โœฆโ‡โโฑโœปโ‰ โœบโœ–โ โƒโ‘โ…โœกโŠ โœธ โŠโผโ——โžˆโ…โœกโ‰โ‘โŠโœปโ‰โœถโ†โ– โ… โโ– โœบ โ——โšโ… โœบ โ…โณโ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ… โœบ โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โ โŠโœ‘โ‹โโ… โ‹โ„โœธโœปโœบโ—†โฆ โ…โ–ฒโŠโœ„โ‰โ‘โ‘ก โ„ โ‰โ‘โƒ โ˜›โ‘  โ… โœบ โ‹โ—†โ‡ โ– โ„ โ…โœกโŠ โœบโœ–โโ™โœธ โ‘ก โ–ฒโžโ โžผ ๏ฟฝ โ… โœฃโœ โœŸ โณ โ˜Ž โงโœถโ™ โœโกโข โœฅ โค โž† โšโฑโ™ โœ โจ โžƒ โšโฅP โจ โœ• โ… โžƒPโžƒ โœฃ โœ” โจ โžƒ โจ โœฅโ‘ฅโž‚โœงโž” โ™ฅ โ†’ โœโ‰โžž โœโœนq โโœ‘โฑ โ™ฃโœฅโ†’โœทโ†’โงโœ โœ‘โœฉโ†’โชโ†’โœฃโ†•Pโ™ฃโœ’ โ†•โœ˜โ†’โœ”โœ“ โœฑ โœŽ โœ•โœโœก โœฌโœฐโž โ…โœกโ‹ โœฑ โœŽโ‘ฅโžฆโœฉโžจ โ˜›โ˜โœขโœ˜โžจ โœ‘ โ€ โ‘ง โœทโšโ–โ–ฒโ โƒโ˜โ‹โโ‰โ‘โ‘กโ‘ฅโ…โˆโ‡ โ โŠPโ—— โœบ โ…โ–ฒโƒ โ โ‹โโ…โˆโ——โœชโ‡ โ โ‘กโ‘ขโฑโœปโƒโ†โ…โœ„โฑ โ โ‹ โ„ โฑ โœบโโœท โฑโผโ… โœบ โ‹โ—†โ‰โ†โ…โˆโ‡ โœทโœทโˆโœžโ– โ… โœบ โ‹ โ โ‰โ‘โŠโ‡โโ…โœกโƒ โˆ โ˜›โ™ โ‡โโ‰โ‘โ‘กโ‘ฅโ‰โ‘โƒ โโ™โœบ โฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โœ‰โ–ฒโžโโœฐโž‡ โจโœฐโž‰ โ™ โฒ โž‡โœงโจโ˜žโ˜› โขโœทโณโกโฒโ™ฆโณ โœ•โบโ——โœงPโœ˜โœ— โจโ‘คโฝโ‘คโฝ โ™ฅ โ†’ โœ โœโœนโ™ฆโœนq โโ„โŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โโœปโฑ โ™ฃPโœโžโ†’ โœ‘ ๏ฟฝโ‰โžžโผโ™ฃโœ’ โ†•โœโœ—โฌโœ“ โœช โœŽ โœ• โ˜Žโœฅโœบโœนโžจโœฅโœข โœ‘ โž„ โณโ—โ™ฃโœงโณ โง โณโ—โœˆ Pqโšโฑโ™โ‰โงโœถโœ—โกโฏโฑโš โฒโ™ฆโณโกโด r โ™ฃ โ™โœทโšโฑโฏsr โจ โžบโ›โžบโ‚โโœฝโ‘ฆโšโฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โœนโ… โœบ โ˜› โœผtโ… โœบ โƒ โ โ†โผโโพโ‘ฉโœ†โ… โœ•โœฑโœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ โ โ†’ โœ โœ‚ โœโœปโ™ฃ

โœ’ โ†•โ– โ™ฆโกโœ“ โžง โœŽ โœ• โžกโœฅโžจโœฅโœฌ โœ‘โœŒโ€ โ‘ฆ โ„ โœทโ„โ–โฑโ‹ โ‡ โ โŠPโ—— โ– โ„ โœท โ‰ โ– โ…โ–ฒโ‡ โ˜› โ โŠ โ โŠ โ โƒ โป โ‡โœฟโ‰ โ‡ โœทโ‰โˆโณโ–โ˜…โœท โ‘กโ‘ฅโฑPโƒโ†โ…โœกโ‹โโ…โžˆโ‘ก โโ™โœบโ—โ‹ โ…โœกโ‹โ—†โ‡โ‘ฅโ‘ก โœท โ——โœปโ…โœกโƒ โ‡โ‡โ–ฒโžโ โœ“โœ„โ„ โ˜›โ–ฒโ‡โโ…โ– โโœ“ โ… โ– โ„ โŠPโ‰โ‘โ‡ โ– โ„ โ… โœ‘ โŠโœปโ‰ โฆ โ… โœบ โ‡โโ‰โ†โ‹โœโœŒsโ‹ โ‘คโœโœŽ โŠ โ– โ„ โ…โœกโŠโœถโ โœ— โœ โœ โœ—โšโ™ฃ

โœ’ โ†•โ‰โžžโ‰โœ“ โžฒ โœŽ โœ• โœธโœฅโœณโชโœบโœฅโžŽ โ…โœกโ‹ โœฒ โœŽโบโœฒโœดโœณโœฎโžโœฅโœบโœฎโœบโœนโœขโœ˜โœณ โœ‘โž™โ€โ–ผโ‚ โ… โโ‰โ‹โœ™โ–โœกโœท โŠ โฆ โ… โœบ โ†โœนโ…โœกโŠ โ– โ… โœทโœทโˆ โ‡โœ‡โ‹ โœทโ„โ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โโ…โœฃโ† โœบโœ–โ โƒ โ‡ โ โŠPโ——โ‘ฉโ——โšโ‰โ‚โโžโ… โœบ โ…โœกโŠโœ‘โ‹โโ‰ โ โƒโ…โˆโ‘ฃ โœธโผโ โ‹โโ‰ โœท โŠโผโ‡โœฐโ–ฒโžโโพโž› โœบโโœทโœนโ‘ Pโโ™โ‘  โ‰โ†โƒโ‘โ‰โ‘โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ‘ก โœท โ——โšโ…โœกโƒ โ‡ โˆโ–ผโœทโœนโœบ โŠ โœท โŠโœปโƒโ‘โ‰โ†โŠโœปโ… โโ™โœบ โฑ โโ™โœบ โ‹โโ‰ โ โƒPโ——โœปโ‰โจโโžโ… โœบ โ…โœกโŠโœ‘โ‹โโ‰ โ โƒโ‘คโ…โ–ฒโ‘ฃ โœธPโ โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡ โ™ฅ โ‘คโžˆโœท โŠโœนโ‹โ—†โ… โ–โ–ฒโ โ‹โโ‰โ‘โŠโœปโ‰โœ“ โ… โœบ โ‘กโ‘ขโ…โ– โ โ†’ โœโœ‚โœโœนโœโœนq โโœ˜โ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ†โŠโœงโ†โ– โ… โœบ โโœปrโœดโ… โœบ โƒโ†โ‰โ‘โŠโœถโ โ†’ โœ โœ ๏ฟฝ โโœนโฑ โ™ฃโœฅโ†’ โœ‘โนโžžโœงโ†’โ– โ™ฃ

โœ’ โ†•โœนโœโฌโœ“ โœป โœŽโœ˜โž€โ‘ฃโœ™โœฐโžฏ โœโœ˜โœขโœ˜โœณโชโœบ โ˜› โœ‘ โ€ โ‘ฆโšโ…โœกโ‘กโ‘ขโ‰ โ˜› โ‡โœฟโ‹ โโ™โ‘  โƒโ†โ…โœโ‡โœ‡โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡โโ…โ–ฒโ‡โœนโ–ฒโžโโœœโž„ โด โ™โ‰โ——โœ˜r โจ โž† โœโฆโฏ โด โจโœฝโž‰ โ™ โฒ โž‡โœ˜โจ โžƒโœฎโณ โš โจโžโžฝโ„โ‡โœงโฉ โ™ฅ โ†’ โœ ๏ฟฝ โœ—โ– q โโฑ โ™ฃ ๏ฟฝโœโœ— โœ‘ โœ‚โกโ†•Pโ™ฃโœ’ โ†• ๏ฟฝโกโœ“โœ–โญ โœŽโœ„โž€โƒโœขโžโœ™โœฐโœญโœฐโœพโœฉโœขโžโœบโœฎโœบโœนโœขโœ˜โœณโœ‰โœค โœช โœŽโœ„โž€ โ˜›โ˜โœฌโœฐโœญ โœŒโœœโœณโœนโœขโœ˜โœฌ โ…โ˜…โ‹ โฉ โœŽ โญ โžโบโžโœฅโœบโœฅโžŽ โœนโœ˜โœฌ โœ‘ โžป โ˜ž โฒโฃโด โฏโฅโœโ‘จโฏsr โ™โกโ—— โœ โด โฏโœ”โงโ™ โ™ โฒ โฏ โœโ‘จโ™ฃโœฉโดโ›โณโฑโ™ฃ โฏ โดsโฒ Pqโฏsr โณ t

โด โ™โ‰โ—— โœโชโณ โœ rโฅโฏ โœบโฅโž โฏโฅโ——โœฉโšโฑโฏsrโœดโ™โ‰โ—— โœโœ‡โ™ฃโœฉโดโ›โณ โšโฑโฏsrโฑrโฅโฏโœ”rโœ–โโนโ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ†โŠโœงโ†โ– โ… โœบ โ‘ฆโšโ… โœบ โ‰โ†โ…โˆโ‡โœซโ‰โ†โŠ โ‘ฆโœ‘โ‹ โ โ‹โ—†โ‰โ‘โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ‡โ–ฒโโชโ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โ– โ… โœบ โ˜›โœฝโœผtโ… โœบ โƒ โ โ†Pโโกโ‘ฉโœฝโ… โœ• โœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ โโ†’ โœโœทโ†•โ– โ™ฆPโ™ฃ

Page 207: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ†’ โœโœ๏ฟฝ ๏ฟฝโœ‚โœโœ„๏ฟฝโœโ˜Žโ˜Žโœโœกโœ โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœโœŒโœกโœโœโœŽโœ’ โ†• โœ‚โโœ“ โžต โœŽโœœโž€โƒโœขโœ˜โœฏโœทโœ™โœœโœฌโœฅโœญโ–โœคโœซโžŒ โœŽโบโžฒโ–โœ™โœฅโžณโบโžณโœฐโœธโ–โœค โžต โœŽ โžต โ˜›โ˜โœฏโชโœฏ โ˜›โ˜โœฌ โœŒโœœโœขโœ˜โœณ โ…โœกโ‹โžฅโž‚ โœŽ โžต โ˜›โ˜โœฏโนโœ›โœฃโžโœœโœฌ โœ‘ โ€ โโœโŠโœ„โ‹ โ„ โ…โœฌโ‡โœฟโ…โ–ฒโƒ โˆ โ˜› โ‡โโ‰โ†โ‘กโ‘ขโ‰โ‘โƒ โโ– โœบ โŠ โ โ‹ โœธโœปโœบ โ…โœทโœทโˆ โ…โ˜…โ‹ โ„ โ… โœบ โŠโœปโ…โœกโ‹โฃโ‹ โœบโœ–โโกโžธโœ”โ– โ–ฒโž‰โโœฝโžบโ›โžปโ‘ฃโžปโ–โžปโœ๏ฟฝ โž† โžผโบโž‰ โž„ โด โ™โกโ——โœงr โจ โœ” โฏ โฒ โž† โจ โ™ฅ โ†’ โœโœ‚โœโ‰โžžโ„q โโšโฑ โ™ฃโœนโ†’ โœ‘โœฉโ†’โˆโœโœปโ™ฃโœ’ โ†•โœทโ†•โกโœ“ โžต โœŽโ‡โž€โƒโœขโœ˜โœฏโชโœ™โœฐโœฌโœฅโœญ โ…โ˜…โ‹ โž‚ โœŽ โžต โ˜›โ˜โœฏโพโœ›โโžโœฐโœฌ โœ‘ โ€ โโœ†โ‰โ™ โ† โ„ โ˜› โ‹โโ‰โ‘โ‘กโ‘ฅโ… โœบ โ…โˆโ‡ โœท โƒ โœธ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโฟโ‘กโ‘ฅโ… โ โ‡ โœธโœปโœบ โ…โœกโ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹ โ โŠโผโ—— โ โŠ โ โƒ โป โ‡โโ‰โ‘โ‡ โœทโœทโˆ โƒ โ โŠโ‹ โœบโ—†โโ‰โžธ โ–โ‘ฅโฒ โ‰โ‘โ‘กโ‘ขโฑโœปโƒโ‘โ‰ โ–โ–ฒโ โ‹โโ‰ โœท โŠโผโ‡ โˆโ–ผโœทโ– โœบ โƒ โ โŠโœ„โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โโ… โœบโ—†โ–โœกโœท โŠโœปโŠPโ… โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโ™ฅโ–ฒโžโโœฉโžบโ›โžปโ‘ฃโžปโ‘ฃโžป โžบ โœ” โ—†โœŽโœฆ โžผ โœฆ โž‰โซโž‰โ˜žโžŽ โšโœ๏ฟฝ โ โ†’ โœ โœโœ˜โ†’โœนโ™ฃโœ’ โ†• โœโกโœ“ โœป โœŽโบโœ— โœŽโœซโž€โœโœนโœงโžโœœโœฌโ‘ฃโœค โœป โœŽโ–โžฆโœฎโžโœœโœฏโœšโœนโœฅโœค โœก โœŽโœซโœผโœšโœบโœฅโžŽโ‰โœขโžโœบ โ…โ˜…โ‹โœšโœป โœŽ ๏ฟฝ โ˜›โœถโœตโœœโœขโœงโœ› โœ‘โž™โ€ โโœโŠโžˆโƒโ‘โ— โฆโนโป โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โœกโโšโ‘ก โ โƒโ‘โƒโ‘โ‰ โโงโฆ โ‰โ‘โŠ โ–โœกโ โƒ โ–โ˜…โœธ โƒ โœธ โ‡โ โŠPโ—— โ‘ก โโ– โœบโ›โ‹ โ…โ˜…โ‹โฃโ‘ก โœท โ——โœปโ…โœกโƒ โ‡ โœ• โ‰ โ‹ โ„โœ„โœ‚ โœธ โ‘กโ‘ฅโฑโผโ‡โ–โ–ฒโžโโœฉโ—†โ–Pโ˜โ——โœฉโ™โ‰โ——โœฉโšโฑโฏ โžƒโœฝโฒโ™ฆโณ โš โž‡ โ™โกr โฒ โจโœฉโž” โ™ฅ โœ— โœโœ‚โœโœโœ—โœนq โโšโฑ โ™ฃโœนโ†’ โœ โœ‚ โœ‘ โœ— โœ—โœนโœโšโ™ฃโœ’ โœ โœโกโœ“ โžŒ โœŽโœ‰โž€ โ˜›โœ˜โ˜โžโœ›โฅโžจ โ˜›โžŸโœบโœนโœ› โœ‘ โ‘ โœ‡โ™ โž rโฑrsPqโ™โกโ—— โด โ™โ‰โ—— โœโœทโณ โœ t โž โ——โœฉโš โฒ P โณ โ——โœ˜rโ‚โ โ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โœกโ‘ก โ โ‹โ—†โ‰ โ– โ‡ โ โŠโผโ——โ‘ฉโ‰ โ‹โœ–โ‡ โผ โฑโœปโฑโœปโƒโ‘โ‰ โ–โ–ฒโ โ‹โโ‰ โœท โŠโผโ‡โœกโ โฆโ– โœท โƒ โ™ฃPโ™ฆ โœ— โœ— โโƒโณโƒ โœธ โœ• โ… โœบ โผ โ–โ–ฒโ โ——โšโ…โ–ฒโ‘กโ‘ขโ‰ โ– โž› โœธโœปโ‘  โƒโ†โ‰ โ‡ โ„ โ… โœบ โ‡โœกโ โœฟ โœทโ– โœบ โ—— โœบ โ… โ– โ„ โ‹โ–ฒโ โ†’ โœ โœโœนโœโœปโ™ฃโœ’ โœโœ˜โ†’โœ”โœ“ โžŒ โœŽโ–ผโž€โ‡โž โ˜Žโนโœตโบโœข โœ‘ โž’ โดโ—โณโœทโžฃ โ™ โžฃ Pโ˜โง P โฒโตโขโžโฒ โž‡ โฏ โณโ‰โดsโข โ โœ“โœ„โ„ โ‰ โœบ โ——โชโ…โˆโ——โšโ‰ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโœถโ โœฟโžโ™ฃ โœผ โ โŠโ…โ‘ฉ โœท โ‡โœ‡โ‹ โœบโ—†โ โŠPโ—— โŠ โœท โ™ฃ โโœ‰โ‘ข โŠ โ– โ™ฃ โโ‘ฃโž› โœบ โ‰โ†โŠ โ– โ…โ˜…โ‹ โœท โŠโœถโ

โ‘ฉ โ™ฃ โœต โ™ฃ โ˜› โœ“ โœทโ– โœบโ—†โœท โŠโœ‘โ‹ โœท โโžโโœโŠโœ‘โ‹ โ™ฃ โ˜›โ™ฆโ‘ง โœท โŠโผโ—— โœท โŠโœถโ โ†’ โœ ๏ฟฝโœนโ™ฆโœปโ™ฃโœ’ โœโœโœ—โฌโœ“ โž‹ โœŽโœ‰โžŒโžโœ™ โœŒโœœโœณโœญโœน โœ‘โž™โ€ โ‘คโžˆโœทโ– โœธโœปโฆ โ…โœกโ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹ โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰โ‘โ…โœกโŠ โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโœปโŠ โ โ‰ โœบ โ… โฒโผโ–โ˜…โœท โŠโœ‘โ‹ โœบ โ‰ โ‘ โœปโœธ โ‹โโ‰ โœท โŠ โœฆโ‘ขโƒ โ โ‘ก โœท โ——โšโ—โ–ฒโƒโ†โ‰ โ‡ โ โ‹โโ‰ โœท โŠ โโœ’โœฆโ‘ขโƒ โโ‡ โป โŠโœนโ‹ โ„ โ˜›โ–ฒโ‡โโ…โณโ…โ˜…โ‹โ˜žโœฆโ‘ฅโƒ โช โ โŠ โ โƒ โป โ‡โœฟโ… โ™ฃ โ–ฒโž‰โ โœ“โœ„โ„ โ˜›โ–ฒโ‡โโ…โ– โ โ‘จโ˜โ–โ˜…โœท โƒโ‘โ… โŠ โ…โœกโŠโœ‘โ‹ โœบโœ–โ โƒโ‘โ… โ——โšโ…โž…โ‘ฉ โ โŠโœนโ‹โ—†โ…โ–ฒโ‡โ–ฒโ โ†’ โœโœ‚โœ ๏ฟฝPโ™ฃโœ’ โœโ– โ™ฆโกโœ“ โœฆ โœŽโœฝโžŒ โœ™โœฐโœฌโœฅโœญโœœโœขโœ˜โœฏโชโœพโœฉโœณโœฎโžโœฅโœบ โ…โœกโ‹โœโœป โœŽ ๏ฟฝ โœ™โœฐโœฌโžขโœฑโ™ฅโœขโœงโœ›โโœ› โœ‘ โ€โ——โ™ โœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒโšr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโœฆโ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠPโ‡โ–ฒโ โˆโ–ผโœบโ—†โโœนโ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒโ„โŠ โœท โ‰ โ‡โโ…โ–ฒโ‡ โ โŠโผโ——โ โฑโœปโฑโœปโƒโ‘โ‰ โ–โ–ฒโ โ‹โโ‰ โœท โŠโผโ‡โœซโ–ฒโž‰โ โžƒ โžบ โž† โž‰ โ… โฏ โœ— โจโœฐโžฝโœณโ‡ โ™ฅ โ†’ โœโœ๏ฟฝโœทโ†•โœนq โโ„โฑ โ™ฃโœ˜โžž โœ—โœโœ— โœ‘โนโžžโœนโ™ฆ โœ‚โšโ™ฃโœ’ โœโ‰โžžโ‰โœ“ โž€โœ†โœŽโœงโžŒโžโœ™โœœโœ›โโœ›โโžโœฐโœธโœฅโœฏ โ˜›โ˜โœข โ…โ˜…โ‹ โœ— โœŽโœฎโžฆ โ˜›โ˜โžฏโ–ผโžโœœโœฌ โ˜›โžŸโœ™โœฐโœฌ โœ‘ โ€ โ‘ง โโ™โœบ โ†โ– โ… โ‘ โœปโœธ โโžโ… โœบtโ โ‡ โป โ‘กโ‘ขโฑโšโ‹ โœท โ‹โโ‰ โ– โ‡ โˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‹ โ„ โ…โœดโ‘ฃ โœธ โ… โœธ โ… โœ• โ‰โ†โ‹ โ„ โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠ โ‰โ‘โŠโœปโฑ โœธ โ‹โ–โ–ฒโžโโœœโž‡ โจ โž† โ™ฃโœทโ™ฃ โง โจ โž’ โดโ›โณโชโžฃ โ™ โžฃ โจโ‘คโฝโœฉโž” โ™ฅ โ†’ โœ โœโœ‚โœโœนq โโ„โŠ โœท โ™ฃPโ™ฆ โโšโฑ โ™ฃโœงโ†• โœโœทโžžโœ–โœ‘ โœโœ‚โœ ๏ฟฝPโ™ฃโœ’ โœโœนโœโฌโœ“ โžŒ โœŽโœดโžŒ โœนโžโœบ โ˜›โœถโœต โ˜›โ˜โœขโœงโœณ โœ‘ โžƒโœฝโฒโ™ฆโณ โš โž‡ โ™โกr โฒ Pqโš โ™ฃ โ™ โดsโฒ Pqโ™โกโง โœ P โ˜Žโ–ผโฏ โด โฏโฅโ—— โฒ Pqโ™โกโงโœดโฏ โœบโฅโž โ™ โฒ P โณ โ——โœงr Pโ˜โ——โ…Pโ˜โ—— โœ โ——โœงP โฒ โฏโœ”โ‘ก โœ Pโ˜โœโฆโฏโฅโ——โœ˜rsP โณ โ——โœฎโ™โกโงโ‡r โ™ฃ โ™โชโšโฑโฏsrโ‚โโ‘ฆ โ–โœกโœธโœปโœท โƒ โ โ‘ฉ โœทโœนโœบ โ‘ก โ โƒโ‘โ…โž…โ‘ฆ โœธ โฑโ‘คโ… โœบ โ‰ โœทโœนโœบ โ…โœนโโžโž›โกโ‰โ‘โ‡ โ โ โ†’ โœโœทโ†•โชโ†•โœปโ™ฃโœ’ โœ ๏ฟฝโกโœ“ โž‚ โœŽโœดโž€โœ†โœŽโ–ผโžŒ โ˜›โ˜โœฏโชโœฏโพโœขโœ˜โœณโœ‰โœคโ–ผโžŒ โœŽ โžฉ โœŽโžญโžฆโœฎโœฌโ†โœฒโœœโœญโœฐโœขโœงโœณ โœ‘ โ… โ™โกโ—— โœโœทโณ โœ โ™ฃโœ˜โณ Pโ˜โ—— โฒโœโ™ฃโœฎโดโ›โณ โšโ—โฏโœ”rโฑrโฅโฏsrโžˆPโ˜โ—— โฒ Pโ˜โœโ‘จโฏ โ™โกโ—— โœ r โ™ฃ โ™โชโšโฑโฏโ˜…โโ–โ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โ– โ… โœบ โ˜›

โœผtโ… โœบ โƒ โ โ†โผโโนโ‘ฉโœ†โ… โœ•โœฑโœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ โ โ†’ โœ โœโœงโ†’โ– โ™ฃโœ’ โœ โœ‚โโœ“ โž‹ โœŽโž…โœฑโœšโœ™โœฐโœณโœฎโœ™โœšโœฒโžโœ™โœฐโœฌ โœ‘ โ€ โ‘จโœฉโ˜…โœปโโ– โ– โ‹ โ โ‡ โป โ‘กโ‘ขโฑโšโ‹ โœท โ‹โโ‰ โ– โ‘ฃ โœธ โ… โœธ โ… โƒโ†โ…โ–ฒโŠโœ˜โ†โ™โ‹ โ„ โ——โšโ‰โ‘โ‡โœฟโ‹ โœบ โ‰ โ‘ โœปโœธ โ‹โโ‰ โœท โŠ โˆโ–ผโœทโ– โœบโ‘จโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโฆโ–ฒโž‰โ โž† โœ โœ—โฌโ™โ‰โ——โœฉโšโฑโฏsrโž…Pโ˜โ—— โ™ฃ โฏ โด t โณโกโด โœโ‘จโ™โกโ——โœฎโšโ—โฏโฆโ™โ‰โ——โœฉโ™โกโง โข rโฑPโžŸr โžฝ โ™ฅ โ†’ โœโœ‚โœโœทโ†•โœนq โโšโŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โโšโฑ โ™ฃPโ™ฆโœ‚โœ โœ‘ ๏ฟฝโœนโ™ฆโœปโ™ฃโœ’ โœโœทโ†•โกโœ“ โœป โœŽโœงโœฑโ™ฅโœขโนโœตโœœโœขโœ˜โœธ โœ‘ โž’ โดโ›โณ โšโฑโฏโœ”rโฑr โž rโœดโ™โ‰โง โœœ โ™ โฒโ™ฆโณ P โด โฏโœ”r โœˆ โ™ โž rโ—rsPqโฏโฅโ——โœ˜rโ‚โโชโ‘ฆโ„โ—โ–ฒโ‘กโ‘ขโ‰โ†โŠ โ โ‰ โœบ โ…โœโ——โšโ… โ‘ค โ โ‹ โ„ โ—โœกโ‘ก โ โ‹โ—†โ‰โ‘โ‘ฃ โœธ โ…โˆโ‡โ‘ฃโ‘ฆ โœธ โฑโ‘คโ— โœบ โ‰โ†โ… โœธโœปโœบ โ…โ–ฒโ‡โ–ฒโโฌโ‘ฉ โœท โ™ฃโ™ฆโœทโžž โ™ฅ โœštโ‹โโ—โœนโ โฆโ– โœท โƒ โ™ฃโœนโ†’ โœ ๏ฟฝโชโ†• โโžโ‘งโœถโ…โˆโ‡โœ„โž› โœบ โ…โˆโ‡โโ‡โโ…โ–ฒโ‡โœโ——โšโ… โƒ โช โœ‘ โŠโœปโ‰ โฆ โ… โœบ โ‡โโ‰ โ‹โ—†โ— โ——โšโ… โ‘คโžˆโœท โŠโœ‘โ‹ โœบ โ— โ โƒ โ โ‘ค โœท โŠโœ‘โ‹ โœบ โ… โ โƒ โ P โœธ โ… โ™ฃ โ โ†’ โœ ๏ฟฝโชโ†•โœปโ™ฃโœ’ โœ โœโกโœ“ โœป โœŽโžโœฑโ™ฅโžโœœโœฏโœทโœ™โœœโœฌ โœ‘โโ€ โ‘ง โœทโ„โ–โ–ฒโ โƒโœนโŠ โœท โŠPโ——โœปโ…โ˜…โ‹โโ… โœบ โ‘กโ‘ขโ‰โ‘โŠโœปโ‰ โ‡โœฟโ‘ก โ โŠPโ——โœฌโƒ โœทโšโ–โœกโ โƒโ™โ‹โ—†โ‰โ†โ‘กโ‘ขโ…โ–ฒโ‡ โˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‡โœฟโ‹ โโ™โ‘  โƒโ†โ…โกโฑ โœบโโœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡โโ…โ–ฒโ‡โœฉโ–ฒโžโโ‰โž’ โดโ›โณโœทโžฃ โ™ โžฃ โจ โž„ โž‡ โฏ โณโกโดsโข

โ… โฏโœ”โงโ™ โ™ โฒ โฏ โœ โ—†โ‘ฃPqโฏโฅโง โœ r โž“โžโž‚ โ™ฅ โ†’ โœโœทโ†•โœ‚โœโœนq โโœ‘โŠ โœท โ™ฃโœปโ™ฆ โโšโฑ โ™ฃPโ™ฆโœทโ†•โœ„โœ‚ โœ‘โพโžžโœฝโ†’ โœPโ™ฃโœ’ โ†’ โœ โœโ‰โœ“ โžฉ โœŽโบโœฑโ™ฅโžโœœโœณโœนโœณโœฉโžโบโœ› โœ‘โž™โ€ โโœโŠโœ„โ‹ โ„ โ… โœธ โ‡โโ… โœทโ‰โˆโบโˆโ–ผโœบโ—†โโœนโ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโœ„โ‘ก โœท โ‹โโ‰ โœท โŠโœ„โ‰โ†โŠโ‘ฉโ‹ โ„ โ…โณโ‹ โ„ โ… โœทโ– โœบโ—โปโœ”โœทโœทโˆโœซโ–โœกโœท โŠโœปโŠโœปโ… โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโœปโƒโ†โ…โˆโ‡โโ‡โŠโœปโ…โœกโ‹ โœ•โ˜โœทโœนโœบโ›โ‹ โ‡โœซโ–ฒโžโโœ˜โž› โœบ โ…โœกโฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โ–ฒโ โ†’ โœโœ‚โœโ‰โžžโผโ™ฃโœ’ โ†’ โœโœ˜โ†’โฅโœ“ โท โ โ€ โผ โ‡โœฟโ‹ โœทโœนโœบโ—†โ โ†โ– โ…โžˆโ‘ก โœท โ——โšโ…โœกโƒ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โ‡โโ…โœกโƒ โˆ โ˜›โ™ โ‡โโ‰โ‘โ‘กโ‘ฅโ‰โ‘โƒ โโ™โœบ โ‰โ‘โŠโœปโฑ โœธ โ‹โœโ–ฒโžโโœโœ† โž โฏ โž โฏโฅPโ˜โ—— โœˆโชโžƒโœฉโข r โฒ โฏโฅโœโœ–r โž„ โž‡ โฏ โณโ‰โดsโข โž† โ™ฃโชโ™ฃ โง โจโž…โžฝโนโž”

โ™ฅ โ†’ โœ โœโœทโžžโœ‘q โโœ‘โŠ โœท โ™ฃโœปโ™ฆ โ˜› โžž โโšโฑ โ™ฃPโ™ฆโœทโ†•โœ„โœ‚ โœ‘โ„โ™ฆโœ‚โœ ๏ฟฝPโ™ฃโœ’ โ†’ โœโœโœ—โกโœ“ โท โ โ€ โ™ โœทโœนโœธโœปโœบโœฝโ โฑPโฑ โœบโโœทโœ‘โโ– โ– โ„ โ…โˆโ‡โ˜โ‹ โœท โ‹ โ„ โ… โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโœ™โ‡โœฟโ‹ โœทโœนโœบโ—†โ โ†โ– โ…โ‡โ–ฒโž‰โโœ˜โž› โœบ โ…โœกโฑ โœบ โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โˆโ โ†’ โœ โœโœ๏ฟฝโœปโ™ฃโœ’ โ†’ โœโ– โ™ฆโ‰โœ“ โท โ โ€ โผ โ†โ– โ‰ โœบ โ‡ โ โŠ โœทsโฆโ™ฅโˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‘ก โœธ โƒ โโ‘ขโ โฑโœปโฑ โœบโ—†โœทโœนโโœนโ– โ„ โ‹ โœท โ‹ โ„ โ… โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโ‘ฉโ‡โœ‡โ‹ โœทโ– โœบโœ–โ โ†โœนโ…โ‡โ–ฒโžโโœ˜โž› โœบ โ…โ–ฒโฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โ–ฒโ โ†’ โœ โœ ๏ฟฝPโ™ฃโœ’ โ†’ โœโ‰โžžโœทโœ“ โžฉ โœŽโœ‡โœฑโฆโžโœฐโœณโœนโœณโœฎโžโบโœ›โœทโœค โฝ โœŽ ๏ฟฝ โœ™โœœโœฏโชโœชโบโœข โ˜›โ˜โœฏโชโœ™ โ…โœกโ‹โซโœป โœŽ ๏ฟฝ โ˜›โ˜โœณโœทโœบโชโœ™โœฐโžฏโ–ผโž โœ‘โ…โ€ โผ โŠโชโ…โœกโƒโ‘โ…โœกโ‘กโ‘ขโ…โ–ฒโŠโœนโ‹ โโ™โœบโ—โป โ โฑโœปโฑ โœบโ—†โœทโœนโโœนโ– โ„ โ‹ โœทโฟโ โœ„โœžโ‰ โœบ โ‡ โ โŠ โœทsโฆ

โˆโ–ผโœทโœนโœบ โ‘ก โœธ โƒ โโœ†โ โŠPโ—— โœท โ‹ โ„ โ… โœบโœŸโ โŠ โ โƒ โป โ‹โโ‰ โ–โœกโ โƒ โœบ โ…โ–ฒโ‡ โœธ โƒโ†โ‹โ—†โ‡ โœท โŠ โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒโœนr โœบโโœทโœ–โœ• โŠPโ‰ โ โŠ โ‘ก โœท โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡โœนโ–ฒโžโ โžค โฏ โด โ—— โณโกโž โงโ˜โง P โžŠ โ™ฅ โ†’ โœ โœโœ‚โœโœนq โโŠ โœท โ™ฃโžโžž โโšโฑ โ™ฃโ‘คโœ โœ‚โนโ†’ โœ‘โšโœโœทโ†• โœ‚โ„โ™ฃโœ’ โ†’ โœโœนโœโกโœ“ โž‚ โœŽโœดโœฑโ™ฅโœธโœนโœ™โœฐโœฏโชโœ™โœฐโœณโชโœบ โœ‘ โž„ โž‡ โฏ โž‰ โ™โกโงโ˜โง Pqโ™โœฎโœ—โPโ˜โ—— โšโฑโ™โกโงโœถโš โž โง โž rโถโ™โกโ—— โœโžซโด โฏโฅโงโ™ โ™ โฒ โฏ โœโž™โฒโ– โณโฑโ™ฃ Pqโšโœ”rโœ–โโ‡โ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ†โŠโœ˜โ†โœนโ… โœบ โ˜› โœผtโ… โœบ โƒ โ โ†โผโโบโ‘ฉโœ†โ… โœ• โœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ โ

โ†’ โœ โœโœนโœโœปโ™ฃโœ’ โ†’ โœ ๏ฟฝโ‰โœ“ โž‚ โœŽโž…โœฑโ™ฅโœธโœนโœ™โœฐโœฏโชโœ™โœฐโœณโœทโœบ โ…โ˜…โ‹โœŸโœž โœŽโž…โœฒโœซโœ™โœฐโœณโœนโœญโœœโžโœœโœธโœญโœฌ โœ‘ โ€ โ‘ฆโ„โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ–โžˆโ–โœกโ โƒ โ–โœกโœธ โƒ โœธ โ‡ โœ• โ‰โ†โ‹ โ„ โ โŠโœ‘โ‹โโ‰ โ– โ‰โ‘โฑ โ โ‹โ—†โ‰โ†โŠโœ˜โ†โชโ‰โ†โŠโœ‘โ‹โโ…โœฃโ† โœบโœ–โ โŠPโ——Pโ‡โƒโ–ฒโžโ

โž’ โดโ—โณโœทโžฃ โ™ โžฃ โจ โž„ โž‡ โฏ โณโกโดsโข โ… โฏโฅโงโ™ โ™ โฒ โฏ โœ โ—†โ–Pqโฏโœ”โง โœ r โžพโœฝโž“ โ™ฅ โ†’ โœโชโ†•โœทโ†•โœ‘q โโ„โŠ โœท โ™ฃโžโžž โโœปโฑ โ™ฃโผโœโ– โ™ฆโœนโœ โœ‘โšโœโ‰โ†•โœงโ†’โ– โ™ฃ

Page 208: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ‚โœโœ„๏ฟฝโœดโ˜Žโ—†โœโœกโœ โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โœกโ˜› โœŒโœกโœโœโœŽ โ†’ โœโœ„โœ‚โœ’ โ†’ โœ โœ‚โฌโœ“ โž‚ โœŽโœฐโœฑโ™ฅโœธโœนโœ™โœฐโœฏโชโœ™โœฐโœณโชโœบ โ…โ˜…โ‹โžฅโœป โœŽ ๏ฟฝ โ˜›โœถโœตโœœโœขโœฝโœ› โœ‘โžขโ€ โผ โŠโœ‘โ‹โโ‰ โ– โ‰โ‘โฑ โ โ‹โโ‰ โฆ โ… โ–โœกโ โƒ โ–โœกโœธ โƒ โœธ โ‡ โˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‹ โ„ โ…โ‘ฅโž› โœท โ‰ โ‡โโ‡ โœท โŠโœ„โฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โ‘ Pโ โ‡โโ…โ–ฒโ—— โœท โŠโœ™โ‹ โ„ โ…

โ™ โœทโšโ–โฑโ‹ โ‡โโฑ โโ– โ– โ…โœ„โ–ฒโžโโœฉโ‘ฆโ„โ—โœกโ‘กโ‘ขโ‰โ‘โŠ โ โ‰ โœบ โ… โ——โšโ…โž…โž› โœบโโœทโœนโ‘ Pโโ™โ‘  โ‰โ‘โƒโ‘โ‰ โ‹โ—†โ—โ–ฒโ‡โ–ฒโ โœ–โœ˜โœ– โ‘ขโœโœผโžโ โ†’ โœโœทโ†•โœทโ†•โœณโœ™โกโ†•โœ‚โœ โโพโ‘ฆโšโฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โœนโ… โœบ โโœปrโ˜โ… โœบ โƒโ‘โ‰โ‘โŠโœถโ โ†’ โœโœ‚โœ โœ โโ„โฑ โ™ฃโœฐโ†’โˆโœโกโžž โœ‘โ†’ ๏ฟฝโœนโœโšโ™ฃ

โœ’ โ†’ โœโœทโ†•โ‰โœ“ โœฆ โœŽโ‘ฅโ˜…โœšโœชโœซโœ›โฅโœขโœงโœฌโœฅโœญโœฎโœ™โœฐโœฏ โ…โœกโ‹ โœก โœŽโ–ผโœฒโœดโœณโœฎโžโœœโœ›โœฃโœชโœœโœข โœ‘ โ€โžญโ‚โ…โ„ โ‰โ†โ‹โโ…โœ„โŠ โœท โ‰โ‘โ‡โโ… โœทโœทโˆ โฑ โœท โ‰ โ‡โโ‡ โœท โŠ โœบโœ–โ โŠโผโ—— โœท โ‘ก โ‘กโ‘ขโ… โ โ‡ โœธโœปโœบ โ…โœดโ–ฒโžโโœซโž› โœบ โ…โœกโฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœนโ‹โœ‘ โŠโœปโ‰ โฆ โ… โœบ โ‡โœฟโ‰โ†โ‹โโ— โ——โšโ…โœ–โโœžโ‡โโƒ โœท โ โœ— โœโœ‚โœโœโœ—โšโ™ฃ

โœ’ โ†’ โœ โœโ‰โœ“โž…โฝ โœŽโœฐโœฒโœซโœ™โœฐโœณโœฅโžŽโœทโœขโœ˜โœฌ โœ‘ โžƒโœฉโฒโ– โณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ Pqโš โ™ฃโœฎโดโ›โณ โšโฑโฏโœ”rโฑrโœ”โฏโœ”rโ‚โโœฝโ โœท โƒ โ——โšโ…โœกโŠ โ˜› โœฟ โโฌโป โ‘ข โŠ โ– โ™ฃ โโœฝโ‘ฆ โ โŠ โ™ โœบโ—†โ โŠ โ– โ‰ โ‡ โ–โœกโœท โ โŠ โ โƒโ†โ‰ โˆ โ™ฃ โ โ†’ โœ ๏ฟฝ โœ—โšโ™ฃโœ’ โ†’โชโ†’ โœโ‰โœ“ ๏ฟฝ โœŽโžฅโœฒโœ’โ˜› โœ โ˜›โ˜โœณโœฎโœ™โœœโœ› โ…โœกโ‹ โžŒ โœŽโœ–โžฒโ–โœ™โœฅโžณโบโžณโœฐโœธ โœ‘ โ€ โŠ โœท โŠ โฆ โ… โœบ โ†โ– โ…โ–ฒโŠ โ– โ… โœทโ‰โˆ โ‹ โ„ โ… โœ• โ…โ–ฒโ‰โ†โ… โœบ โ‡โœฟโ‹ โœบโœ–โ โ‡โ—†โ‡ โ˜›โ™ โ‘ก โ โŠPโ——โœปโ…โœกโƒ โ‘ โœปโœบโโœท โ‹ โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โ‹ โœท

โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒ โ‘ Pโœบโโœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโœ™โ‘ก โœท โ‹โโ‰ โœท โŠโ‘จโ–ฒโžโโœฉโ—† โด โ™โชโš โฒ โ™โกโง rโ‚โ โฆโœนโœท โƒ โ™ฃโœ˜โ†• โ โœ— โœ โœ โœ โโ„โฑ โ™ฃPโ™ฆ ๏ฟฝโœ‚โœ โœ‘โšโ™ฆโœทโ†•โ‰โžžโผโ™ฃโœ’ โ†’โชโ†’โœทโ†’โฅโœ“ ๏ฟฝ โœŽโžญโœฒโœ’โ˜›โžŸโœบโœนโœขโœ˜โœณโœนโœพโœฝโœ™โœฐโœณ โœŒ โœ‘ โž† r โข โœ โ™ฃโœฉโฒโ™ฆโณโกโฒ Pqโš โœโ‘จโฏ โฒ โž‡ โณโœฃโœ r Pโ˜โ—— โฒ โž‡ โฏ โฒ โž‡ โฏ โณโกโดsโข โณ tโžโ‘ โœ‡โ™ โž rโฑrsPqโ™โกโ—— โ™ฃโœฉโดโ›โณ โšโฑโฏsrโฑrโฅโฏsr โ™โ‰โ—— โœ โœ โฏโฅโง โœ rโ‚โ

โœ“ โœบโ—†โ โŠPโ‡โโƒ โ โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡ โœทโ‰โˆโœšโ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โ–ฒโ‘ก โ โ‹โโ‰ โ–โœกโ โƒ โ‘ค โœท โŠ โœท โ† โœบโœ–โ โฑ โ„ โ‡โ–ฒโ โฆโœนโœท โƒ โ™ฃโžญโ†’โฅโžžโชโ†• โ โผ โ‘กโ‘ฅโ… โœบ โ‰ โ–โœกโ โŠ โ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โ–ฒโ‘ก โ โ‹โโ‰ โ–โœกโ โƒโžญโ‘ฆ โœทโ„โ– โ‰โ†โ…โœกโ‹ โป โโž› โœบโ—†โœทsโฆ โ‰โ‘โ——โœปโ…โœกโŠ โ– โ…โ– โ โœ โ‘ขโ‚โ โ†’ โœ โœ ๏ฟฝPโ™ฃ

โœ’ โ†’โชโ†’ โœ—โกโœ“ โœฑ โœŽโœฎโœฒโœดโœณ โ˜›โœถโœตโœทโœ™โœนโœธโœฅโœฏsโœบ โœ‘โžˆโ€ โŠ โ„ โโ– โœท โ‹โโ‰ โ–โœฝโ โŠPโ—— โฆsโโ™โœบ โ‰ โ โ‹โโ‰ โœท โŠ โ โƒ โ–โœกโ โƒ โ–โ˜…โœธ โƒ โœธ โ‡โœฎโ‰โ†โŠโœ”โ——โœปโ‰โ‘โ‡ โ–โ˜…โœบ โ…โ˜…โ‹โ—†โ… โ โŠPโ—— โ–โœกโœท โŠโœ‘โ‹โโ‰โ‘โŠ โœธโœปโœทโ– โœธ โ‡โœซโ‹โโ‰โ‘โ‘กโ‘ขโ… โˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‹ โ„ โ…โž› โœท โ‰โ‘โ‡โ—†โ‡ โœท โŠโœ„โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โบโ–ฒโžโ โžƒโœฝโฒโ™ฆโณ โš โž‡ โ™โกr โฒ Pqโšโœ”r โžƒโœฉโฒโ– โณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ Pqโšsr โ… โฏ โ™ฃ โจโœฉโžŠโœฅโžฝ โ™ฅ โ†’ โœ โœโœทโžžโœ‘q โโ„โŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โ˜› โœ— โโšโฑ โ™ฃโœฝโ†•โ– โ™ฆ โœ‘โœฎโ†’ โœโœ‚โœโœปโ™ฃ

โœ’ โ†’โชโ†’โ–ฒโ™ฆโ‰โœ“ โท โ โ€ โ‘ฆ โ‹โœนโœทโ– โœบโ—†โœท โ„ โœท โ——โ‘ฉโ‡โœ‡โ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โ—†โ…โฅโ† โœบโœ–โ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โœบ โ…โˆโ‡โœฟโฑโ‘คโ… โ– โ‹โœฝโ‹ โœท โŠ โœท โŠโœกโ˜› โ โ—— โ โฑโšโ‹โ—†โ…โ–ฒโ——โœ„โฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โโ…โ–ฒโ‡ โœท โŠ โ‚ โ‰โ†โ…โ–ฒโŠโœปโ… โœบโ‡โโฑ โโ– โ– โ…โœ„โ–ฒโž‰โ โžƒโœฝโฒโ™ฆโณ โš โž‡ โ™โกr โฒ Pqโšโœ”r โžƒโœฝโฒโ™ฆโณ โš โž‡ โ™โกr โฒ Pqโšโœ”r โ… โฏ โ™ฃ โจโœฝโž”โœฎโžŠ โ™ฅ โ†’ โœ โœโชโ†•โœนq โโšโŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โ˜› โœ— โโšโฑ โ™ฃโœนโ†’โ–ฒโ™ฆ โœ‘โšโ™ฆ โœPโ™ฃโœ’ โ†’โชโ†’โฅโžžโœทโœ“ โœฒ โœŽโœœโœฒโ–ผโœณโœฉโžโœฐโœบโœฎโœบโœฎโœขโœงโœณ โœ‘ โžƒโœฉโฒโ– โณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ PqโšโœšPโ˜โ—— โฒ โฏ โœˆโœทโด โ™ โฒ P โณ โ——โžซโ™โ‰โ—— โœโžˆโœ P โ˜Žโœดโฏ โด โฏโฅโ—— โฒ Pqโ™โกโงโœ‰โฏ โœบโฅโž โ™ โฒ P โณ โ——โœงrโ‚โโœฉโ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โ– โ… โœบ โ˜›โœฝโœผtโ… โœบ โƒ โ โ†Pโโšrโœดโ… โœบ โƒโ†โ‰โ‘โŠโœถโ

โ†’ โœ โœ โœPโ™ฃโœ’ โ†’โชโ†’โˆโœโกโœ“ โœก โœŽ โญ โœ™โœฐโžฏโœ’โ˜›โ˜โœณโœนโœขโœฝโžŽ โœคโ›โœฒโ–ผโœขโœ˜โœณโœนโœขโœงโžŽ โ…โ˜…โ‹ โญ โœŽโžฅโžฆโœฉโœขโœ˜โœณโœญโ˜โนโœฏโœโ˜›โ˜โœฌ โœŒ โœ‘ โ€ โ‘ฆ โ„ โœท โ‹โœ”โŠ โœท โ‰ โ‡โœฟโ… โœท โŠ โ– โƒ โœธ โ‡โœฟโ‹โโ… โœบ โฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡โโ…โ–ฒโ‡ โœ• โ‰โ†โ‹ โ„ โ– โƒ โœธ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ… โœบโ‘ก โโ™โœบโ—โ‹ โ‡โœกโ โ โŠPโ——โœขโ‡โœ‡โ‹ โœธ โ——โšโ‰โ‘โ…โ–ฒโ‡ โœทโ‰โˆ โƒ โœท โŠโœงโ† โœบโœ–โ โŠโœ˜โ†โœนโ…โžโ——โšโ…โ–ฒโฑโผโ…โ–ฒโŠPโ——โšโ…โœกโŠ โ– โ…โœดโ–ฒโžโ โž† โœ โœ— โจ Pโ˜โ—— โž† โ™ฃโœทโ™ฃ โง โจ โž’ โดโ›โณโœทโžฃ โ™ โžฃ โจ โฝโ‘คโฝ โ™ฅ โœ— โœโœ‚โœโœ˜โ†’โงq โโ‘คโŠ โœท โ™ฃโžโ™ฆ โโฑ โ™ฃ ๏ฟฝโ– โ™ฆโœ˜โ†’ โœ‘ ๏ฟฝโœ‘โœโžโ†’โ– โ™ฃโœ’ โ†’โชโ†’ ๏ฟฝโ‰โœ“ โž‚ โœŽ โญ โœขโนโœตโœœโœธโœœโžŽ โ…โœกโ‹ โžŒ โœŽ โฑ โžโœฐโœณ โœ‘ โžผ โณ โ—— โฒ Pโ˜โ—— โžโœงโณโกโž rโœ‡โœโ‘จโ™ โดsโฒ Pโ˜โ—— โœˆ โ™โกโงโ™ โฏโœ”rโ‘ฅโ™โกโ—— โœ โžค โดโ›โณ โž†โœ‰โ——โœงPqโ™โ‰โ——โžˆโœ โณโกโฒ P โณ โ——โผโ โœ„ โœบโ—†โœธ โŠPโ——โœปโƒโ†โ… โ„ โœบ โ…โ–ฒโŠ โ——โšโ… โœบ

โ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โ–ฒโ‘ก โ โ‹โโ‰ โ‡ โ– โ„ โ…โœกโŠ โ‚ โ‰ โ‡โโ‡โโ…โœกโŠโผโ‡ โ– โ„ โโ‰โˆ โ‹โโ…โ–ฒโŠ โœ’ โ™ โœธ โŠPโ—— โ โ‘กโ‘ฅโ…โ–ฒโŠโœ‘โ‹ โ โƒโœฉโž› โœบ โ‰โ†โŠ โ– โ‰โ‘โฑโœปโƒโ†โ…โˆโ‡ โœทโœทโˆโœฐโ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โœกโ‘ก โ โ‹โ—†โ‰ โ–โ–ฒโ โƒโœฎโ‘ฆ โ– โ‰โ‘โ…โœกโŠ โ– โ…โ–ฒโ‡ โœ“ โ โฆโ– โœท โƒ โ™ฃโœ— โœโ– โ™ฆ โโœ˜โ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โ– โ… โœบ โ˜›โœฝโœผtโ… โœบ โƒ โ โ†Pโโ„rโœดโ… โœบ โƒโ†โ‰โ‘โŠโœถโ โ†’ โœ โœโœ˜โ†’โœนโ™ฃ

โœ’ โ†’โชโ†’ โœ‚โฌโœ“ โž€โœ†โœŽ โญ โž โœŒโœœโœขโœ˜โœณโœฅโœ› โœ‘ โ€ โผ โœบโ—†โ‘  โ‰โ†โ‹ โœบโœ–โ โ†โœนโ… โœ• โ‰โ†โ‹ โ„ โˆโ–ผโœบโ—†โโœนโ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒtr โœบโโœทโœ–โœ• โŠPโ‰ โ โŠ โ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโ‘จโ–ฒโž‰โ โž‰ โ™ โฒ โž‡โœงโจ โ—†โ–Pโ˜โ——โœฉโ™โกโ——โœฎโšโฑโฏ โžพ โ™ฅ โ†’ โœ โœโœ„โœ‚โ™q โโŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โโšโฑ โ™ฃ โœโœนโœ โœ‘โœฎโ†’ โœโœ‘โœโšโ™ฃโœ’ โ†’โชโ†’โœฃโ†•โ‰โœ“ โฑ โœŽ โญ โžโบโžŽโกโœ™โœœโœฌโœฐโžโœฉโœต โœ‘ โžƒโœฉโฒ โ™ โฒ P โณ โ——โœฉโ™ โดsโขโ‘ฅโด โ™โ‰โ—— โœโœทโณ โœ โ™ฃโœฉโดโ—โณ โšโฑโฏโœ”rโ—rโฅโฏโœ”rโ‚โ โœ“ โœบโ—†โ โŠPโ‡โโƒ โ โ‹โโ…โ–ฒโ—— โˆโ–ผโœบโ—†โœท โ‘ก โ‹ โ„ โ… โœโฃโœธ โ‡โ—†โ‡โโ‰ โ โŠ โ‘ โนโป โผ โ™ฃ โ™ โ…โœกโ‰โ‘โŠPโ‡โœ‡โ‹โ—†โ…โœกโ‰โ‘โŠโœถโ

โ โœท โƒ โ——โšโ…โœกโŠ โ˜› โœฟ โโฌโป โ‘ข โŠ โ– โ™ฃ โโœฝโ‘ฆ โ โŠ โ™ โœบโ—†โ โŠ โ– โ‰ โ‡ โ–โ˜…โœท โ โŠ โ โƒโ†โ‰ โˆ โ™ฃ โ โ†’ โœ ๏ฟฝโœ„โœ‚โ„โ™ฃโœ’ โ†’โชโ†’ โœโ‰โœ“ โœก โœŽ โญ โœธโœฐโœ›โโœ›โœฃโž โ…โ˜…โ‹ โœฒ โœŽ ๏ฟฝ โœ™โœฐโœฏโพโœฏโนโž โ˜› โœ› โœ‘ โ€ โœ“โœ„โ„ โ… โ†โœนโ…โœกโŠโœปโ… โœบโ—†โ โƒโ†โ‰ โœž โ…โˆโ—— โ–โ˜…โœทsโฆsโโ™โœบ โ‰ โ โ‹โโ‰ โœท โŠโœโฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โ โŠPโ—— โ‘ขโ™ โ‹โœขโญ โˆโ–ผโœทโœนโœบ โ‘ก โœธ โƒ โ โ–ฒโžโ

โžƒโœฉโฒโ– โณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ Pqโšโ‘ฅโž’ โดโ—โณ โšโฑโฏโœ”rโ—r โจ โž† โ™ฃโœทโ™ฃ โง โจโœฎโžŠโœฝโ†” โ™ฅ โ†’ โœ โœโœ‘โœโ– q โโšโŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โโšโฑ โ™ฃโœงโ†•โœ˜โ†’ โœ‘โœฉโ†’ โœโœทโžžPโ™ฃโœ’ โ†’ โœ— โœโ‰โœ“ โท โ โ€ โ‘ขโ™ โ‹โœขโญ โˆโ–ผโœทโœนโœบ โ‘ก โœธ โƒ โโโˆโ–ผโœทโ– โœบโœ๏ฟฝ โž โ˜› โˆโ–ผโœธ โŠ โ– โ‹โโ‰ โœท โŠโผโ‡ โœทโ‰โˆ โ‡โโ…โœกโ‘กโ‘ขโ‰โ‘โ‘ก โโ– โœบ โ‹โ—†โ‰โ†โŠโœงโ† โ โƒโ‘โ…โ–ฒโ‡โ‘ฃโ–ฒโž‰โโœœโž’ โดโ›โณโœทโžฃ โ™ โžฃ โจ โž„ โž‡ โฏ โณโ‰โดsโข โ… โฏโฅโงโ™ โ™ โฒ โฏ โœ โ—†โ‘ฃPqโฏโฅโง โœ r

โžฝโ„โ‡โœงโฉ โ™ฅ โ†’ โœโœ‚โœ ๏ฟฝโœนq โโ„โŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โโšโฑ โ™ฃ โœ— โœ‚ โœ‘โพโžžโœฝโ†’โ– โ™ฃโœ’ โ†’ โœ—โžโ†’โฅโœ“ โžฆ โœŽโœ’โœช โœŽโœงโžฆโœฝโœ™โœœโžฏโœดโœชโœฐโžโƒโœคโชโœ— โœŽ โœ• โ˜›โ˜โœฏโชโœพโœฝโœ™โœœโœ› โ…โœกโ‹ โž‹ โœŽโœ˜โžŒโžโœ™โœฐโœณ โ˜› โžœโœฉโžจโœฅโœขโžโœต โœ‘ โ—† โด โ™โœทโš โฒ P โณ โ——โœฉโ™โ‰โงโพPโ˜โ—— โฒ โฏ โœˆโœทโด โ™โกโง rโ‡โ™โกโ—— โœโž…โœ โฏ โด Pโœ˜โœ—โฌโ™ โฒ Pโœ˜โœ—โกโฏsrโ‚โ โœ„ โœทโœนโœบ โ—— โœท โŠโ โŠPโ——โœ™r โœบ โ… โโœนโ– โ„ โ‘ฆ โ– โ‰โ†โ…โ–ฒโŠ โ– โ…โž…โž› โœธPโ‘  โƒโ†โ‰ โ‡ โ„ โ… โœบ โ‡โœกโ โœฐโกโฆ โ… โœบ โ—— โœท โŠ โ โ†’ โœ โœโœนโ™ฆโœปโ™ฃโœ’ โ†’ โœ— โœ—โกโœ“ โœช โœŽโœ˜โžฆโœฝโœ™โœฐโžฏโ‘ฅโžโœฐโœณโœฎโžโœœโœญโœฐโœฌ โ˜›โžŸโœบโœฅโœ›โœฃโœชโ˜Žโœฒ โœ‘โ™ฅโ€ โž› โœบโโœทโœนโ‘ Pโโ™โ‘  โ‰โ‘โƒโ‘โ‰ โ‹ โป โ‹ โ โ‰โ‘โƒ โ‡ โœทโ‰โˆ โœ„ โโ– โœธ โ‡โโ‡โโ‰ โ โŠโณโ… โ˜… โ‹ โœบ โ…โœกโ‘ก โ โ–ฒโž‰โ โžƒโœฉโฒโ– โณ โš โž‡ โ™โฌr โฒ Pqโšโ‘ฃโž’ โดโ›โณ โšโ—โฏโœ”rโฑr โจ โž† โ™ฃโœทโ™ฃ โง โจโฝโœฉโž“ โ™ฅ โ†’ โœ โœโœ˜โ†’โงq โโ„โŠ โœท โ™ฃโœฅโ†’ โโšโฑ โ™ฃโ‘คโœโ– โœ โœ‘โžโ†•โ‰โžžโผโ™ฃโœ’ โ†’ โœ—โ™โ™ฆโ‰โœ“ โท โ โ€ โผ โ– โƒ โ โ‡โโ‡ โœทโ‰โˆ โ‡ โ„ โœท โ‹ โ˜› โŠ โœท โ‰โ‘โ‡โโ…โžˆโ‘ก โœท โ——โšโ…โœกโƒ โ‡ โˆโ–ผโœทโœนโœบ โฏโผโŠ โ โŠ โ– โ‰ โ โƒ โ โฑโœปโฑโœปโƒโ‘โ‰ โ–โ–ฒโ โ‹โโ‰ โœท โŠโผโ‡โ‡โ–ฒโžโ โž† โฒ โž‡ โฏโฅโ——โœ˜rโžขโš โณ โ——โœฃtโœ”โฏ โด โฏโฅโ——โœฉโšโฑโฏ โณ โ——โž† โ™ฃโœทโ™ฃ โง Pqโฏ โœ โž’ โดโ›โณโชโžฃ โ™ โžฃ Pโ˜โง P โฒโฃโข โ™โ‰โ—— โœ โž„โœฐPโ˜โœโ‘จโฏ โžƒ โฏ โด Pqโฏโœ”r โž† โ——โœฉโ™โกโง โข rโฑPโžŸr โ™ฅ โ‘ฉโœ†โ… โœ•โœพโœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ q โ™ฅ โ‘ง โ™ฃ โ‘ฉ โ™ฃ โ‰โ‘โŠโซโ‘ฆ โ โ‹โโ‰ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ– โ‡โ–ฒโโœ‘โ—โˆโ—— โ™ฃ q โ โฆโ– โœท โƒ โ™ฃ โ‘ขโ‚โโ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โ– โ… โœบ โ˜›โœฝโœผtโ… โœบ โƒ โ โ†Pโ โ†’ โœโœ‚โœ ๏ฟฝ โโœนโฑ โ™ฃโผโ™ฆโ– โ™ฆโœโœ— โœ‘โ„โ™ฆโœ‘โœโ™โ™ฆโœปโ™ฃโœ’ โ†’ โœ—โกโžžโœทโœ“ โœช โœŽโœ‰โžฆโœฝโœ™โœฐโžฏโ‘ฅโžโœฐโœณโœฎโžโœฐโœญโœœโœฌ โ˜›โžŸโœบโœฅโœ›โฅโœชโ—†โœฒ โ…โœกโ‹ โžŒ โœŽโœœโžฒโƒโœ™โœฅโžณโœœโžณโœœโœธ โœ‘ โžƒโœฉโฒ โ™ โžฃ โงโ™ โฏโœ–โ—— โณ โ——โœงโ‘กsโ‘ โœ‡โ™ โž rโฑrsPqโ™โกโ—— โด โ™โกโ—— โœโœทโณ โœ โ™ฃโœฉโดโ—โณ โšโฑโฏโœ”rโ—rโฅโฏโœ”rโ‚โโœฉโ‘ฆโœ‘โ‹ โœทโ„โ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ–

โ‘คโžˆโœท โ——โšโ…โ–ฒโƒโ†โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โผโ โŠ โ„ โ โฑโœปโ‘ก โ โŠ โœท โ โ โƒโ‘โƒ โโœงโ‘ฉโœฝโ… โœ•โœพโœฐโกโœทโœนโœบโ›โ‹ โ โ†’ โœโœ‚โœโ‰โžžโผโ™ฃ

Page 209: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

โ†’ โœโชโ†• ๏ฟฝโœ‚โœโœ„๏ฟฝโœโ˜Žโ˜Žโœโœกโœ โœโœ†โœŸโœžโœกโœ โ˜žโ˜›โœโœŒโœกโœโœโœŽโœ’ โ†’ โœ—โ– โœโกโœ“ โž€โœ†โœŽโžฅโžฆโœนโžœโœฝโžจ โœโœ„โœ™โœœโœณโœทโœบโœฅโžŽ โœ‘ โ€ โ‘ฆโšโ…โœกโ‘กโ‘ขโ‰ โ˜›โ™ โ‘ก โโ™โœบ โ‹โโ‰โ‘โŠโœ˜โ† โ โƒโ†โ…โˆโ‡ โ‘ Pโ โŠ โโ– โ– โ„ โ‰ โ‘ฃ โœธ โ…โ–ฒโ‡ โฒ โƒโ†โ…โžˆโ‹ โ„ โ— โœทโœนโœบ โ˜›โ–ฒโ‘กโ‘ขโ… โ——โšโ…โ–ฒโ‡โ‘ขโ‹ โœบโโœท โ‰โ‘โ‡ โœท โฑโ‘คโ— โœบโœ–โ โ‹โโ… โœธโœปโœบ โ‡โƒโ–ฒโžโ

โ‘ฆโ„โ—โ–ฒโ‘กโ‘ขโ‰โ†โŠ โ โ‰ โœบ โ… โ——โšโ…โžญโž› โœบโ—†โœทโ– โ‘ Pโโ– โ‘  โ‰โ†โƒโ‘โ‰โ†โ‹โโ—โ–ฒโ‡โ–ฒโ โœ–โœ˜โœ– โœผโœดโ‘ขโ›โ‘ขโ‘โ‘ขโ‚โโœฉโ‘ฆโšโฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โœนโ… โœบ โโœปrโ˜โ… โœบ โƒโ‘โ‰โ‘โŠโœถโ โ†’ โœโœ‚โœโ‰โžž โโ„โฑ โ™ฃโœฐโ†’ โœ‘ โœ— โœโœปโ™ฃโœ’ โ†’ โœ— ๏ฟฝโ‰โœ“โž…โญ โœŽโœโžฆโœฉโžจโœฅโœขโœ˜โœณโœนโžฏโœดโœ™โœฐโœฌโ‘ฃโœคโ–โžŒ โœŽโ‘ฃโžฒโƒโœ™โœนโžณโบโžณโœœโœธ โ…โ˜…โ‹โ™ฅโžต โœŽ โžต โ˜›โ˜โœฏโพโœฏ โ˜›โ˜โœฌ โœŒโœฐโœขโœงโœณ โœ‘ โ€ โž› โœบโ—†โœทโ„โœทโ‰โˆโกโœทโ‰โˆโœดโโโˆโ–ผโœธ โŠโผโ—— โ โ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹ โ โƒ โœบ โ…โˆโ‡ โœธ โƒ โ‹โœžโ‰โ†โŠ โ‡โœฟโ…โ–ฒโƒ โˆ โ˜›โ‡โโ‰โ†โ‘กโ‘ขโ‰โ‘โƒ โโ– โœบ โ‹ โœบโœ–โโกโžธโœ”โ– โ‘ก โœท โ——โœปโ…โœกโƒโ‘โ‰โ†โŠโœ˜โ†โž…โ–ฒโžโ โžผ โณ โœ โ™ฃโœฎโžโžโฒ โฏ โด โžผ โณ โœโ™ฅโœ โž โ——โœฝPqโšโ—โ™ โฒ P โณ โ—— โ… โฏ โœ—โPqโฏโฅโž† โ™ฅ โ†’ โœ โœโœ„โœ‚โ™qโ‚โ™ฃโœ’ โ†’ โœ— โœ‚โฌโœ“ โœ— โœŽโœดโžฆโœฉโžจ โ˜›โ˜โœณ โœฒโนโœ™โœšโœฒโœœโœขโžโœต โœ‘ โž’ โดโ›โณโœทโžฃ โ™ โžฃ Pโ˜โง P โฒโตโข โ โœ„ โœบโ—†โ โ—— โœธPโ โ‹โ—†โ… โœ“ โ… โ˜… โ‹โ—†โ‡ โ‰โ‘โŠ โ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โœกโ‘ก โ โ‹โโ‰ โ– โ‡โ–ฒโ โฆโ– โœท โƒ โ™ฃ โœโœนโœ โโบโ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ†โŠโœ˜โ†โœนโ… โœบ โ˜› โœผtโ… โœบ โƒ โ โ†โผโ

โ‘ฉโœ†โ… โœ•โœฑโœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ โ โ†’ โœโœทโ†•โ‰โžžโผโ™ฃโœ’ โ†’ โœ—โ‰โ†•โ‰โœ“ โžฒ โœŽโœโžฆโœฎโžŽโกโœ™โœฐโœพโœฝโœ™โœฐโœญโบโžโœœโœ› โœ‘ โ€ โ‘ฆโ„โ‹ โœบโ—†โœท โŠโœ˜โ† โ โฑโœปโฑ โœบโโœท โ˜… โ‰โ‘โ‘ก โ โ‹โโ‰ โœท โŠ โœทโœทโˆโ‘ฃโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒtr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠ โ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ‘ โนโป โ‘ก โœทsโฆ โ‰โ‘โŠโœ˜โ† โโงโฆ โ… โ˜›

โœบโœ–โ โ†โœนโ…โ–ฒโ‡ โœทโ‰โˆ โ‡โœฟโ‰โ‘โ‘กโ‘ขโฑโœปโƒโ†โ… โœบโœ–โ โŠโผโ—— โœท โ‘ก โœ•โœโ โƒ โ‹ โ‡โœซโ–ฒโž‰โ โžƒโœฝโฒโ™ฆโณ โš โž‡ โ™โกr โฒ Pqโšโžญโž’ โดโ›โณ โšโฑโฏsrโฑr โจ โž† โ™ฃโชโ™ฃ โง โจโœฎโ†”โžโž‚ โ™ฅ โœ— โœ โœโœ˜โ†’โงq โโ„โŠ โœท โ™ฃโœนโ†’ โโœปโฑ โ™ฃโœปโ™ฆโœงโ†’ โœ‘ ๏ฟฝ โœโœปโ™ฃโœ’ โ†’ โœ— โœโ‰โœ“ โžŒ โœŽโœ‰โžฒโ–โœ™โœฅโžณโบโžณโœฐโœธ โœ‘โžโ€โœดโ‚ โ… โโœทโ‹โžˆโ–โ˜…โœท โŠ โฆ โ… โœบ โ†โ– โ…โœกโŠ โ– โ…โณโ‹ โœท โˆโ–ผโœบโ—†โโœนโ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โƒโœฑr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰ โ โŠโ‘ฉโ‘ก โœท โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ โŠPโ——โžˆโ‹ โœท โ‹ โ„ โ… โœโฃโœท โ‡โโ…โœกโŠ โ‘  โƒ โ โ‹โโ‹โฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡โœ‰โ–ฒโžโโœ๏ฟฝ โจ โœ‚ โ™ โž‡ โด rโฅโš โž‡ โฏโœ”Pโ˜โ——โœฝโง Pqโš โž‡ โ˜Ž โฏโฅP โฒ r โฒ โž‡ โฏ โณโ‰โด Pqโฏ โž โ—— โœ โœ”โœฉโฏ โด โž† โจ โ‘ โœ‡โฏ โžฃ Pqโฏ โฒ โฏ โฝโœฐโžฝ โ™ฅ โ†’ โœโœ„โœ‚โฌโžžโ„โœ™ โœ‚โ™โœโœนq โโœ‘โฑ โ™ฃ โœ—โœทโ†• โœ‚ โœ‘โšโ™ฆ โœ โœ—โšโ™ฃโœ’ โ†’โˆโ™ฆ โœโ‰โœ“ โžŒ โœŽโƒโžฒโƒโœ™โœฅโžณโœœโžณโœœโœธโ‘ฃโœค โžต โœŽ โžต โ˜›โ˜โœฏโชโœฏ โ˜›โ˜โœฌ โœŒโœœโœขโœ˜โœณ โ…โœกโ‹โ‘จโž‚ โœŽ โžต โ˜›โ˜โœฏโนโœ›โœฃโžโœœโœฌ โœ‘ โ€ โ‘ฆโ„โ…โ–ฒโƒ โˆ โ˜› โ‡โœฟโ‰โ‘โ‘กโ‘ขโ‰โ†โƒ โโ™โœบ โ‰โ†โ‹ โป โ‹ โ„ โœบโ—†โœทโ– โœธ โ† โ„โž™โ„ โ‰โ™ โ† โ„ โฆsโโ– โœบ โ‰ โโ™โ‘  โ‰โ‘โƒโ‘โ‰ โ‹ โปโ โŠ โ โƒ โป โ‡โœฟโ‰ โ‡ โœทโ‰โˆ โ…โœกโ‹ โ„ โ… โœบ โŠPโ…โ˜…โ‹โœฝโƒ โ โŠโœ™โ‹ โœบโœ–โโกโžธโœ”โ–โณโ โ‹โฃโ‹ โ„ โ…โœฌโ‡ โœทโœนโœธโœปโœบโ—†โ– โ…โœโƒโ‘โ… โฆ โ…โœกโƒโœงโ–ฒโžโโœฎโž’ โดโ›โณ โš โจ โž† โžผโบโž‰ โžƒ โžบโ‰โ‘  โžผ โœฆ โž‰โ˜žโžŽ โšโœ„โœ‚ โ โ†’ โœ โœโœนโœโœปโ™ฃโœ’ โ†’โˆโ™ฆโœ˜โ†’โฅโœ“โž…โฝ โœŽโโžฒโž…โžจ โ˜›โ˜โœพโœฝโœ™โœฎโœธโœฐโœฏsโœบ โœ‘ โ€ โ™ โ‰โ‘โƒโ‘โ…โ–ฒโ‡ โ——โœญโช โ โ‹โœฟโ‹โ—†โ…โœกโŠโœ‘โ‹โโ…โˆโ‡โœกโ โ โฑโœปโฑ โœบโโœท โ˜… โ‰โ‘โ‘ก โ โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡ โ——โšโ‰โจโ โœธ โ‡โโ‰ โœท โŠPโ‡โ–ฒโ โ–โ–ฒโโ™โœบโœ–โโ– โ– โ‹โ—†โ— โœบ โ‰โ‘โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ‘ฃ โœธ โ…โ–ฒโ‡โžˆโ‹ โœบโœ–โ โŠPโ‡โโ‰ โ˜›โ‹ โœท โ‰ โœบ โ…โˆโ‡โœซโ–ฒโž‰โ โœ“โœ„โ„ โ˜›โ–ฒโ‡โโ…โ– โ โœ‘ โŠโœปโ‰ โฆ โ… โœบ โ‡โโ‰ โ‹โ—†โ—โณโ——โœปโ… โœ โ…โœกโŠโœปโŠPโ…โ–ฒโ‡ โ†’ โ โ†’ โœ โœโชโ†•โœปโ™ฃโœ’ โ†’โˆโ™ฆโœโœ—โกโœ“ โœฆ โœŽโพโžฒโžฅโœ› โœฒโœœโœพโœฝโœ™โœฐโœชโœฐโžโœฎโœต โ…โ˜…โ‹ โœฑ โœŽโ„โœชโ™ฅโœขโœฝโžโœฐโœณ โœŒโœฅโœ™โœœโœฌโœนโœ™โœœโœ› โœ‘โ™ฅโ€ โ‘ฆโšโ…โœกโƒ โˆ โ˜›โ™ โ‡โโ‰โ†โ‘กโ‘ขโ‰โ‘โƒ โโ– โœบ โฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โžโ‰โ†โŠ โ–โœกโœท โ‘กโ‘ขโ‘ก โœธ โŠโœปโ‰ โ–โ–ฒโ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠPโ‡โžโŠโœปโ…โ˜…โ‹ โœ•โœดโœทโ– โœบโ—โ‹ โ‡โœงโ–ฒโžโ

โžบโ—โžปโ‘ฃโžปโ‘ฃโžป โž„ โด โ™โกโ——โœงr โจ โžบsโ——โœฃt โณโ‰โด โœ โจ โž„ โž‡ โฏ โณโกโดsโข โฉโœฉโฉ โ™ฅ โ†’ โœ โœโชโ†•โœนq โโ„โŠ โœท โ™ฃPโœ โโšโฑ โ™ฃโœฐโ†’ โœ‚โนโ†’โˆโ™ฆ โœ‘โœฎโ†’ โœ‚ โœ—โœนโœโšโ™ฃโœ’ โ†’โˆโ™ฆโ– โ™ฆโ‰โœ“ โœ— โœŽโœนโž โ™ฅโœ›โฅโœบโœนโžกโœฅโœฌโœฅโœขโœ˜โœฏ โœ‘ โž† โ——โซPโ˜โ—— โฒโฃโดโ›โณโโœโกโž โš โฒ P โณ โ—— โฒโ™ฆโณ โ™โ‰โ——โœฉโ™โ‰โง โข rsPโžŸr โณ โ—— โœ‚ Pqโฏโฅโ——โœฉโฏ โด r โ™ฃ โ™โœทโšโฑโฏโœกโโœ˜โ‘งโœถโ… โ– โ‹ โœธโœปโœบ โ…โ–ผโ‘ฉ โœท โ‹โ—†โ…โ–ฒโ‡โ˜โ‰โ†โŠ โ‘ค โ โ‹ โ„ โ…โœกโ‘ก โ โ˜›โ‹โ—†โ‰ โ– โ‡โœกโ โฆโœนโœท โƒ โ™ฃโœนโ†’ ๏ฟฝโœ˜โ†’ โœ โโœ˜โ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โ– โ… โœบ โ˜›โœฝโœผtโ… โœบ โƒ โ โ†Pโโ„rโœดโ… โœบ โƒโ†โ‰โ‘โŠโœถโ โ†’ โœโœ‚โœโœนโœโœปโ™ฃโœ’ โ†’โˆโ™ฆโ‰โžžโœทโœ“ โœ— โœŽโž…โž โ™ฅโœ›โฅโœบโœนโžกโœฅโœฌโœฅโœขโœ˜โœฏ โ…โ˜…โ‹ โžŒ โœŽ โ‘ โœ™โœฐโœชโœœโœ™ โ˜› โœ‘ โž„ โด โ™โกโ——โœงr t โณโกโด โœโ‘จโ™ โฒ P โณ โ—— โณ t โœโ‘จโฏโฑโ™โฌr โžโžโด โฏ โณ โ—— โœ‚ Pqโฏโœ”โ——โœฎโฏ โด r โ™ฃ โ™โœทโšโฑโฏโœกโโœ„โ‘ฆโ„โฑ โœบ โ‰โ‘โŠโœ˜โ†โ– โ… โœบ โ˜›

โœผtโ… โœบ โƒ โ โ†โผโโ„rโœดโ… โœบ โƒโ‘โ‰โ†โŠ โ โœ— โœ โœโœ‚โœโœปโ™ฃโœ’ โ†’โˆโ™ฆโœนโœโกโœ“ โžฆ โœŽ โฑ โœธโœฐโœข โ…โ˜…โ‹ โžŒ โœŽโœดโฉ โ˜› โœ›โฅโžจ โ˜›โ˜โœฌโœฐโž โœ‘ โ€โ˜žโœ“โœ„โ„ โ…โœโ†โ– โ…โ–ฒโŠโœปโ… โœบโœ–โ โƒ โ–โ˜…โœธ โ‘ก โœธ โƒ โ โŠโœ‘โ‹โ—†โ‡ โˆโ–ผโœทโœนโœบโœฎโ โฏPโƒโ†โ‹โโ… โœบ โ…โ–ฒโ——โ‘ฅโฑ โœท โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โกโฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœฟโ…โˆโ‡โœฎโ–ฒโž‰โ โž† โ™ฃโชโ™ฃ โง Pqโฏ โœ

โž‰ โ™ โฒ โž‡ โฏโฅโœโ‘จโ™ โฒ Pqโšโ—โ™โ‰โง โž‰ โณโโœ โฏโฅโงโ˜โง Pโ˜โ—— โœˆ โž‚โœฉโžŠ โ™ฅ โœ— โœ โœโœงโ†’โˆq โโ„โฑ โ™ฃโœฐโ†’ โœโ– โ™ฆโœ–โœ‘ โœ— โœโœ˜โ†’โ– โ™ฃโœ’ โ†’โˆโ™ฆ ๏ฟฝโ‰โœ“ โžŒ โœŽ โ‘โœ†โ˜Ž โžจโœฅโœฏโพโœข โœ‘ โ€ โ‘ข โŠโœ‘โ‹โ—†โ…โฅโ† โœบโœ–โ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โœ• โ‰ โ‹ โ„ โœบ โ…โ–ฒโ‡โโฑโผโ… โ– โ‹โœžโ‹ โœทโโˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹ โ โƒ โˆโ–ผโœธ โŠ โ– โ‹โโ‰ โœท โŠPโ‡ โ โŠPโ—— โ‡โœฟโ‹ โœทโšโ– โ„ โ โ‡โœฟโ‹โโ‰ โ–โœฆโ–โ–ฒโ โƒ โ–โ˜…โœธ โƒ โœธ โ‡ โ™ฃ โ‘ขโœ‰โ–ฒโžโ

โž’ โดโ—โณโœทโžฃ โ™ โžฃ โจ โž„ โž‡ โฏ โณโกโดsโข โ… โฏโฅโงโ™ โ™ โฒ โฏ โœ โ—†โ–Pqโฏโœ”โง โœ r โžฝโœฉโžฝโœฝโžฝ โ™ฅ โ†’ โœ โœโชโ†•โœนq โโœ‘โŠ โœท โ™ฃโœปโ™ฆ โโšโฑ โ™ฃPโ™ฆโ– โ™ฆโœนโ™ฆ โœ‘โ„โ™ฆโœ„โœ‚โฌโžžโผโ™ฃโœ’ โ†’โˆโ™ฆ โœ‚โฌโœ“ โœ— โœŽ โ‘ โœฒ โœŒโœฐโžฏโ–ผโœธโœฅโœฌโœฅโœญ โœ‘ โž„ โด P โœˆโชโณ โ—— โณ โœโฆโฏ โฒโฃโด Pqโš rโฅโฏ โด Pqโฏsr โจโœžโœ โ—— โœ โฏ โœ โจ โœ” โณ โง r โจ โžบ โค โžบโ›โžบโ‚โ โŠ โ โ‘ก โ‘ โœปโœบ โ‰โ‘โ——โœ˜โ†โ– โ… โœ‘ โŠโœปโ‰ โฆ โ… โœบ โ‡โโ‰โ†โ‹ โป โž› โœบ โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡โœกโโ‘ฉโœ†โ… โœ•โœฑโœฐโกโœทโ– โœบโ—โ‹ โ โ†’ โœโœนโœ โœPโ™ฃ

Page 210: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux
Page 211: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux
Page 212: Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux

๏ฟฝโœ‚โœโ˜Žโœ„โœโœ†โœŸโœžโœ โœ

โ‘งโœถโ… โ‘ก โœทโ– โœธโœปโฆ โ…โœกโ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹ โ‘ โœปโœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰โ‘โ…โœกโŠ โˆโ–ผโœบโ—†โโœนโ– โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโœปโŠ โ โ‰ โœบ โ…โžโ…โˆโ‡โœ‡โ‹โœฆโ——โšโ… โฆ โ…โ–ฒโŠ โœธ โ…โ–ฒโŠโฟโ‘ฃ โœธ โ…โ–ฒโƒโ‘โ‘ฃ โœธ โ…โˆโ‡ โ โŠPโŠโœปโ—โœกโ…โˆโ‡ โœธ โŠ โฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โณโ‰โ†โŠ โ–โœกโœท โŠ โ˜›โ‹ โœทโœนโœธโœปโœบ โŠ โโ™โ‘  โƒโ‘โ… โ——โœ—โ˜›โ–ฒโ‡โœฌโ‘ฃ โœธ โ… โƒ โช โœท โŠ โฆ โ… โœธ โ‹โœฆโ‡ โช โ โ โœบโœ–โ โŠ โ– โ„ โ‰ โœบ โ——โšโ… โƒ โ โฑ โœบโ—†โœท โฑ โœบ โ‰โ†โ—โœกโ‹โโ— โ——โšโ…โœ”โ‘ก โโ– โœบโ›โ‹โœนโœทsโฆ โ…โ˜…โ‹โœฆโ——โœญโช โ‰โ†โŠโผโ——โšโ—โœกโฑโ‘คโ…โœกโŠPโ—— โ โŠ โ– โ… โ——โšโ…โ–ฒโ‡ โโ– โ– โ˜›โ–โ˜…โœบโ—†โœท โ‰ โ‡โโ‡โโ…โœกโ‘กโ‘ขโ…โ–ฒโŠโœนโ‹โœ–โ‡ โ™ฃ โ‘ฉ โœทโœนโœธ โ‡ โฆ โ… โœบโโœบโ—†โœท โŠโผโ‡ โโ– โœธโ‘ฅโ–โœกโœทโ– โœธโœปโœบ โ‡โœซโ——โšโ… โ– โ…โœดโ‹ โœบโœ–โโงโฆsโ โ‰โ‘โƒโœ‘โƒโ‘โ…โ–ฒโ‡โœซโฑ โœบ โ‰โ‘โŠ โ– โ‰โ‘โฑ โ โƒโ†โ…โˆโ‡โœŸโฑ โœบโโœท โฑ โœบ โ‰โ‘โ—โ˜…โ‹โ—†โ—โ–ฒโ‡โœซโ——โšโ… โ– โ…โœดโฑ โœบโโœทโšโ– โ…โˆโ‡โโ‡ โœธ โ‡โ–ฒโโ–ฒโŠ โœทโ– โœธ โ‡โ‰โ†โŠโผโ‡โœฟโ‰ โ‡โœ‡โ‹โ—†โ… โœบโ—†โœท โŠPโ‡tโ‡ โœธโœปโœบ โ‡ โœท โŠ โœธ โ‹โ—†โ‰โ†โƒโ‘โ‰โ‘โ‡ โ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠ โ–โ˜…โœท โ‘กโ‘ขโ‘กโ‘ขโ…โœโ‘ก โœท โ—— โ˜›โœกโƒโ‘โ…โœฝโ——โšโ…โฃโฏPโƒโ‘โ… โœขPโœธ โ‰ โ——โšโ…โฃโ…โ˜…โ‹โœดโ‡ โœธโœปโœบ โƒโ‘โ… โ–โ˜…โœท โ‘กโ‘ขโฑ โœทโœนโœบ โ‹โ—†โ…โœกโ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹ โ โ‡ โป โ‘กโ‘ขโฑโšโ‹ โœท โ‹โโ‰ โ‘ฃ โœธ โ…โ——โšโ…โœดโƒ โโœโ–โœกโ โฑ โโ– โ– โ‰โ†โ‹โโ—โœดโ——โšโ…โœโ‡โœ‡โ‹ โœทโ„โ–โฑโ‹sโ โ†โ– โ…โ˜โ——โ˜Žโช โœธ โŠPโ…โœฎโ‹โ—†โ…โœกโƒโ‘โƒโ†โ…โœดโฏPโƒโ‘โ… โ™ฃ โ‘จ โŠโšโฏโผโŠโœถโsโŠ โœทโ– โœธ โ‡โœŸโ——โšโ‰ โ‡ โ–โ˜…โœธ โ‹โ—†โ… โœบโ—†โœท โŠPโ‡โœฑโ——โšโ…โœดโƒ โ โ——โšโ—โ˜…โฏโผโŠโœปโ‰ โ‹โ—†โ‰ โœท โŠโžโ—— โœธ โ‹โโ…โ–ฒโ‘กโ‘ฅโฑโผโ‡โœŸโƒ โœทโšโ–โœกโ โƒ โ™ฃ

โ‘งโœถโ…โœฆโ‘ก โœทโœนโœธโœปโฆ โ…โ–ฒโ‘กโ‘ฅโ…โ–ฒโŠโœ‘โ‹โœr โœบโโœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰โ‘โ…โœกโŠ โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠโœปโŠ โ โ‰ โœบ โ… โŠโœปโ‰โœฑโฑ โ โ‡ โœธ โŠโœปโ…โžโ‡โœฟโ…โ–ฒโ‘กโ‘ฅโ‰ โ˜›โ™ โ‘ก โโ– โœบ โ‹โ—†โ‰โ†โŠโœงโ† โ โƒโ‘โ…โ– โโผโ——โšโ…โ–ฒโ‡โœ†โ‹โโ… โ– โ„ โŠโœปโ‰ โ‘ฃ โœธ โ…โ–ฒโ‡ โ โƒ โ‹โ—†โ… โœบ โŠ โ โ˜›โ‹โโ‰ โฆ โ…โˆโ‡ โœท โŠโœ‘โ‹โ‘ฅโ—โœกโ‹โโ—โ‘ฉโ——โšโ— โฆ โ…โœกโƒ โœท โฑโœปโฑโ‘คโ—โœกโ…โˆโ‡โžโฑ โœทโ– โœธPโœบ โ——โœปโ—โ˜…โฏPโŠโœปโ‰ โœบโ‘ขโœธ โŠโœปโ…โ‘ฉโŠ โœท โ‹โโ‰ โœท โŠ โ——โ˜Žโช โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ—โฅโ† โœบโ—†โ โƒโ†โ… โœบ โ…โ–ฒโƒ โ โ‹โโ‰ โฆ โ…โ–ฒโ‘กโ‘ฅโ…โ–ฒโŠโœ‘โ‹โ–ฒโœฆ โ– โ…โœ„โฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡ โœทโœนโœธโฑโœปโƒ โœธ โ‡โœ„โ†โ– โ—โ–ฒโŠโœปโ— โœบโœ–โ โƒโ‘โ…โœกโ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹ โ โ——โœปโ…โ–ฒโ‡โœโฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡ โœ„ โโ™โœธ โ‡โ—†โ‡โœฟโ‰โ‘โ…โœกโŠโ‘ฉโ——โšโ…โœžโ‹ โป โฑโผโ…โœโœผ โœท โƒ โ‹โ—†โ… โœบโ—†โœบโ—†โ โ™ฃ โผ โฑ โœบ โ˜›โ–ฒโ‡ โœธ โŠโœปโ…โณโฑ โœบ โ—โ–ฒโ‡โโ…โœกโŠโœ‘โ‹ โ โ‹โโ‰ โœท โŠโœ„โ‡ โœท โ‘กโ‘ขโ‘ก โ โ‰ โ˜›โœบ โ…โ–ฒโ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹โœฝโ——โšโ… โ– โ…โˆโ‡โœดโ‹โโ… โ– โ„ โŠโœปโ‰ โ‘ฃ โœธ โ…โ–ฒโ‡โ–ฒโ โœท โŠโžˆโ——โšโ— โฆ โ…โœกโƒ โœท โฑPโฑโผโ…โณโƒ โ โ–โ˜…โœท โŠโผโ‡โœ‡โ‹ โœบโโœธPโ– โ‹โโ‰ โœท โŠโ‘ฉโ——โœญโช โœธ โŠโœปโ…โœฌโ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ—โฅโ† โœบโ—†โ โƒโ†โ… โ โŠโœ‘โ‹โ—†โ‰ โ– โ‰โ†โฑ โ โ‹โโ‰ โฆ โ… โœบ โ…โœกโƒ โ โ‹โโ‰ โฆ โ… โโ– โœธโ‘ก โœทโ– โœธโœปโฆ โ…โœกโ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹ r โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰โ‘โ…โœกโŠ โˆโ–ผโœบโ—†โโœนโ– โ‹โโ‰ โœท โŠPโŠ โ โ‰ โœบ โ… โœฆโœ„โฑ โโ™โœบ โ‹โโ‰ โœบ โ——โšโ…โ‘ขโƒ โช โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โ—†โ—โฅโ† โœบโœ–โ โƒโ‘โ… โ โŠโœ‘โ‹โโ‰ โ– โ‰โ‘โฑ โ โ‹โ—†โ‰ โฆ โ… โœบ โ…โœกโƒ โ โ‹โ—†โ‰ โฆ โ… โโ– โœธ โ‘ก โœทโœนโœธโœปโฆ โ…โ–ฒโ‘กโ‘ฅโ…โ–ฒโŠโœ‘โ‹r โœบโโœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰โ‘โ…โœกโŠโ˜›โœกโœŒโ˜žโœŽโœ โœธ โŠ โœท โฑโ‘คโ— โœบโœ–โ โ‹โโ… โœธโœปโœบ โƒโ‘โ‰โ‘โŠโœปโ— โ โ‰ โœบ โ… โ™ฃโœ’โ™ โœทโ– โœบ โ‹โœžโ——โšโ… โ– โ…โ˜…โ‹โโ‹โโ…โžโ‰โ‘โ——โšโ—โ–ฒโ…โ– โโ‘คโŠ โœทโ– โœธ โ‡ โโงโฆโ– โœท โŠPโ‡โฃโ‰โ‘โŠโœ‘โ‹ โœบโ—†โœท โ—— โœธ โ‰ โ‹ โœธ โŠโœปโ…โœฌโ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ—โœฃโ† โœบโœ–โ โƒโ‘โ… โ โŠ โ˜›โ‹โโ‰ โ– โ‰โ‘โฑ โ โ‹โ—†โ‰ โฆ โ… โœบ โ…โœกโƒ โ โ‹โโ‰ โฆ โ…โ€โœฆ โ——โšโ…โ–ฒโ‡โœ†โฑ โœบโโœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โœ†โ——โšโ…โœ–โž› โœท โ‰ โ‡โ—†โ‡ โœท โŠ โ™ โ‰โ‘โƒ โ‹ โœบ โ—โˆโ‡ โœฆโœ”โฑ โโ™โœบ โ‹โโ‰ โœบ โ——โœญโช โœธ โŠโœปโ…โžโ‰โ†โŠโœ‘โ‹โโ—โœฃโ† โœบโœ–โ โƒโ‘โ… โ โŠโœ‘โ‹โโ‰ โ– โ‰โ‘โฑ โ โ‹โโ‰ โฆ โ… โฑ โœทโ– โœธโœปโœบโ——โšโ…โ–ฒโ‡โœ†โฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โฃโ——โšโ…โœ–โž› โœท โ‰ โ‡โ—†โ‡ โœท โŠโœ„โ‘ก โโ– โœบ โ‘ฃ โœธ โ—โˆโ‡โœกโโœปโ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ—โœฃโ† โœบโœ–โ โƒโ‘โ…โœฌโ‘ฃ โœธ โ…โœฌโŠ โœทโ– โœธ โ‡ โœบ โ…โœกโƒโ‘โ‰ โœท โŠPโ‡โœกโœฆโ‘ขโƒ โช โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ—โฅโ† โœบโ—†โ โƒโ†โ…โœฌโ——โœปโ…โ™ฅโ‘ฆโœ‘โ‹โ—†โ‰โ†โ…โ–ฒโƒ โ‹ โœ‚ โ˜›โ–ฒโ‡ โ™ฃ โ‘งโœโช โ—โœกโ‹ โœธ โ——โšโ…โ——โšโ… โ– โ…โ˜…โ‹โโ‹โโ…โœ†โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ—โœฃโ† โœบโœ–โ โƒโ‘โ…โœฝโ‡โœฟโ…โœโฑ โœทโœนโœธโœปโœบ โ‡ โœธ โ‰โ†โ‹โ˜โฑ โโ– โœบโœฎโœธ โŠPโ… โˆโ–ผโœทโ– โœบ โ‘ก โœธ โƒโ†โ…โœžโ——โšโ…โœดโ‘ขโ™ โ‹ โญโœฌโฑ โœทโœนโœธโœปโœบ โ——โšโ…โ–ฒโ‡ โˆโ–ผโœท โŠ โ– โ‹โโ‰ โœท โŠโœปโŠPโ…โœกโƒโ‘โƒโ†โ…โˆโ‡ โ–โœ”โป โƒโ‘โ‰โ†โŠโผโ—— โœบ โ‰ โ‘ฃ โœธ โ…โ–ฒโ‡โ˜โ…โ˜…โ‹โœดโฑ โโ™โœบโœธ โŠ โœบ โ—โˆโ‡ โœธ โƒ โ‹ โ โ‹โœฝโ‡ โœธPโœบ โƒ โโ‘ขโ–โ˜…โœท โŠโœ‘โ‹โโ‰โ‘โŠ โœธ โ‰ โ‹โ—†โ—โณโ——โœปโ…โžฅโ โœท โƒ โ——โœ‘โœ โœบ โ——โšโ… โฑ โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โ˜โ‰โ‘โŠโœ‘โ‹โโ—โœฃโ† โœบ โ—โ–ฒโ‡ โ™ฃโœฟ โ…โˆโ‡โœถโ‹โ—†โ… โ– โ„ โŠโœปโ‰ โ‘ฃ โœธ โ…โ–ฒโ‡โœŸโ——โšโ… โœบโœ–โ โ—— โœท โŠโœปโ‰โ†โฏ โ–โœกโ โ‹โโ‰ โœท โŠโณโ…โ˜…โ‹โœซโ——โšโ…โ–ฒโ‡ โœบ โ—โˆโ‡ โœธ โƒโ†โ‹ โ โ‹โ—†โ‡โœŸโ——โšโ… โ–โ˜…โœท โŠ โฆ โ… โœบ โ†โ– โ…โ–ฒโŠ โ– โ…tโ——โšโ…โ˜โ‘ก โโ™โœบ โ‹โโ‰โ‘โŠโœ˜โ† โ โƒโ†โ…โˆโ‡โœฅโโœฝโ‰โ‘โƒ โ‘  โ… โœบ โ‹โโ‰โ‘โ…โœกโŠPโŠโœปโ…โ–ฒโ‡โ‡ โœท โŠโœ‘โ‹ โœธ โ‹โโ‰โ‘โƒโ‘โ‰โ‘โ‡โโ—โ–ฒโ‡โœžโฑ โœทโ– โœธโœปโœบ โ—โ˜…โ‹ โโ™โ‘  โƒโ‘โ‰ โœบโœžโœธ โŠโžˆโ‹ โ„ โ— โœทโœนโœบ โ˜›โ–ฒโ‘กโ‘ขโ…โžโ——โšโ… โ–โ˜…โœท โŠ โฆ โ… โœบ โ†โ– โ…โœกโŠ โ– โ… โ…โœกโŠโœขโƒ โœท โ‰โœฑโ——โ˜Žโช โœธ โŠPโ…โžโ‡ โœธ โ‰ โ‹โ—†โ…โ‘ฅโ——โœปโ…โœฆโฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โœ†โ——โšโ…โ™ฅโž› โœท โ‰ โ‡ โ˜›โ‡ โœท โŠ โ™ โ‰โ†โƒโ†โ‹ โœบ โ—โ–ฒโ‡โœฑโ——โœญโช โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โโ…โ–ฒโŠPโ‡โโ‰ โ‹โ—†โ— โ–โ˜…โœท โŠPโ‡โœฟโ‹ โ โŠโœ‘โ‹โ—†โ… โฆ โ… โœบ โ‡ โœธ โŠโœฆโฑ โœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โœถโ——โšโ… โœผ โœท โƒโ†โ‹โโ… โœบโ—†โœบโœ–โ โ‘ฃ โœธPโ โŠPโ——โณโƒ โช โ‰โ†โŠโœ‘โ‹โโ…โ–ฒโŠPโ‡โโ‰ โ‹โ—†โ—โกโ‹โโ…โ–ฒโŠPโ—— โฆ โ… โœบ โ‡โž‰โƒ โช โ‰โ‘โŠโšโฏPโŠโœปโ‰ โ™ฃโœ’โœ”โœ“ โบโˆโธโœ–โœ•โœ˜โœ—โœšโœ™โ„โธโœœโœ› โ‘คโžˆโœทโœนโœธโœปโฆ โ…โ–ฒโ‘กโ‘ขโ…โœกโŠโœ‘โ‹โœซr โœบโ—†โœทโœ–โœ• โŠโœปโ‰โ‘โ…โœกโŠ โˆโ–ผโœบโœ–โโ– โ– โ‹โโ‰ โœท โŠโœปโŠ โ โ‰ โœบ โ…โœนโ โผ โœธ โ‹ โœท โ˜›โ™ โ‡โโ‰โ‘โ‘กโ‘ฅโ‰โ‘โƒ โโ™โœบ โ‰ โ‹โ—†โ—โ– โ โœฟ โ—โ–ฒโฑโผโ…โ–ฒโŠPโ—— โ โŠ โ– โ…โœŸโœฆโœžโƒ โœท โŠโœ˜โ†โœโ‹โโ… โœบ โ‘กโ‘ขโ…โ– โ

โž› โœบโ—†โœทโ„โ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡ โœ„ โโ™โœธ โ‡โ—†โ‡โœฟโ‰โ‘โ…โœกโŠโผโ‡โœกโ โœ“ โ…โœกโ‘กโ‘ขโฑPโ‡โ–ผโ‘ง โœทโšโ–โœกโ โƒ โโœงโ‘ข โŠโœนโ‹โ—†โ—โฅโ† โœบโ—†โ โƒโ†โ… โผ โŠโœ‘โ‹โ—†โ‰ โ– โ‰โ†โฑ โ โ‹โโ‰ โฆ โ…โœนโโœงโž› โœบโ—†โœทโšโ– โ…โ–ฒโ‡โ—†โ‡ โœธ โ‡โฃโ——โšโ…โžฅโž› โœท โ‰ โ‡โ—†โ‡ โœท โŠ โ‘ค โโ™โœบ โ‘ฃ โœธ โ—โ– โโœ˜โž› โœบโ—†โœท โ˜›โ– โ…โˆโ‡โโ‡ โœธ โ‡โœโ——โšโ…โž…โž› โœท โ‰ โ‡โโ‡ โœท โŠ โ™ โ‰โ†โƒโ†โ‹ โœบ โ—โ– โ โœ“โœ„โ„ โ— โœทโ– โœบ โ˜›โœกโ‘กโ‘ขโ… โ——โšโ… โœ„โœžโ‰ โœบ โ‡ โ โŠ โœทsโฆ โ โŠ โœท โŠ โฆ โ… โœบ โ†โ– โ…โœกโŠ โ– โ…โœโ——โœปโ… โ‘ค โโ™โœบ โ‹โโ‰โ‘โŠโœ˜โ† โ โƒโ†โ…โˆโ‡โœ„โโœฝโ‰โ‘โƒ โ‘  โ… โœบ โ‹โโ‰โ‘โ…โœกโŠโœปโŠPโ… โ™ฃ