4장. 이차원에서의 운동(Motion in Two Dimension)

4.1 위치, 속도, 가속도 벡터

4.2 등가속도 이차원 운동

4.3 포물체 운동

4.4 분석모형:등속 원운동하는 입자

4.5 접선 및 지름 가속도

4.6 상대 속도와 상대 가속도

1

* 이(2)차원에서 움직이는 입자의 운동학

-2차원 운동에 대한 기본을 알면, 궤도상에 있는 인공위성의 운동에서

부터 균일한 전기장내에서 전자의 운동에 이르기까지 다양한 운동을

다룰 수 있음

* 위치, 속도, 가속도가 벡터임을 공부

- 1차원 운동과 같이 2차원 운동에서의 기본 정의로부터

운동 방정식을 유도

* 2차원 운동인 포물체 운동, 등속 원운동을 다룸

* 상대 운동의 개념을 논의

- 주어진 입자의 위치, 속도, 가속도가 다른 좌표계에 있는

관찰자에게는 왜 다른 값으로 측정되는지를 공부2

4.1 위치, 속도, 가속도 벡터(The Position, Velocity, and Acceleration Vectors)

4.1 위치, 속도, 가속도 벡터(The Position, Velocity, and Acceleration Vectors)

- 위치 벡터

if rrr

jir )()( tytx

- 변위

o 위치 벡터 (변위 벡터, Displacement Vector)

zzyyxxr iiii ˆˆˆ

kzjyixr ffffˆˆˆ

kzzjyyixx

rrr

ififif

if

ˆˆˆ

tavg

rv평균속도

dtd

tt

rrv

0

lim순간속도

o 속도 Velocity (Vector) : 점 A에서 점 B까지 이동하는데 걸린 시간에 대한 변위

ttt if

ifavg

vvva평균가속도 dt

dtt

vva

0

lim순간가속도

o 가속도 Acceleration (Vector)

4.2 등가속도 이차원 운동(Two-Dimensional Motion with Constant Acceleration)

4.2 등가속도 이차원 운동(Two-Dimensional Motion with Constant Acceleration)

이차원 운동은 x와 y축 방향의 각각 독립된 두 개의 운동으로 기술될 수 있다. 즉, y 방향으로의 어떠한 영향도 x 방향의 운동에 영향을 주지 않는다. 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지이다.

jir yx

jijirv yx vvdtdy

dtdx

dtd

jijiva yxyx aa

dtdv

dtdv

dtd

dtdyv

dtdxv yx

dtdv

adtdva y

yx

x

등가속도 운동의 경우

taavv

tavtav

yxyixi

yyixxif

)()(

)()(

jiji

jiv

tavv yyiyf tavv xxixf

tif avv

221 tatvxx xxiif

221 tatvyy yyiif

221

2212

21

)()()(

)()(

taatvvyx

tatvytatvx

yxyixiii

yyiixxiif

jijiji

jir

221 ttiifavrr

4.3 포물체 운동 (Projectile Motion)4.3 포물체 운동 (Projectile Motion)

(1) 자유 낙하 가속도는 일정하고 아래를 향한다. (2) 공기 저항은 무시한다.

포탄의 속도예제 4.1 대치

높이 115m에서 수평으로 포를 발사하였다. 포탄이 92.5m 날아갔다면포탄을 발사한 처음 속도는?

Sol

◎ Projectile Motion : 포사체 운동(포물선 (포물체) 운동의 일반화)

- 초속도 v0와 초기각 Θ로부터- 포사체가 올라가는 최대 높이 yh(H),- 포사체가 날아간 거리 xflight(X),- 포사체가 날아간 시간 tflight(T)등을 구한다.

※ 포물선 운동에서의 특징i) x-방향 : vx0 = v0cosΘ 의 등속도 운동ii) y-방향 : vy0 = v0sinΘ + 중력 가속도 -g 작용 (등가속도 운동)iii) 최대 높이에서 vy=0 (∵ 최대 높이에서 물체는 순간적으로 y-방향에서 정지)

포물체 운동을 분석할 때, 이를 (1) 수평 방향의 등속 운동과(2) 수직 방향의 자유 낙하 운동의 중첩으로 간주할 수 있다.

◎ 포물체 운동의 수평거리와 최대 높이Horizontal Range and Maximum Height of a Projectile

Sol 1) 최대 높이 도달 시간 (Since vy = 0)

0sin00 gtvgtvv yy g

vt sin0∴

2) 포사체가 날아간 시간 (비행 시간 T)

(※ = 2 × 최대 높이 도달 시간) gvtT sin22 0

or ※ 최대 높이 도달 시간 = 떨어지는데 걸린 시간 = (y=0)이 되는 시간)

021sin

21 2

02

0 gTTvgTTvy y g

vtT sin22 0

3) 최대 도달 높이 (H)

20

200 2

1sin21 gttvgttvyHy y

gv

gvg

gvv

2sinsin

21sinsin

220

200

0

4) 수평도달거리 : 포사체가 날아간 거리 (최대 사정 거리)

Rg

vg

vg

vvTvxXx x

2sin

cossin2sin2cos

20

200

000

"최대 사정 거리"

"포사체가 비행할 수 있는 최대 거리""포사체가 최초의 높이 (y=0)로 돌아오면서의 비행거리

∴ R ∝ v02 : 최대 사정거리는 v0

2 에 비례⇒ 속도 → 2 배 ⇒ 사정거리 → 4 배

5) 최대 높이 (H) .vs. (versus) 최대 사정 거리 (R)

cossin2 20v

gR

gvH

2sin 22

0

∴

tan

41

cos4sin

cossin2

sin21

20

220

v

g

vg

RH

멀리 뛰기예제 4.2☆

Aside) cf) 왜 포물선 운동인가?

Aside) ◎ 실제적인 포사체 운동

메뚜기의 뛰기Aside Ex)

(물체에 작용하는 중력과 저항)3g의 메뚜기가 뒷다리로 0.45N의 평균력을 57°의 각도로 작용하여 뛰었다.

1) 이 경우 중력의 작용에 의하여 실제로 메뚜기가 날아가는 각도는 57°보다 작아진다. 메뚜기의 몸체가 받는 순 힘과 실제 날아가는 각도 θ는?

Sol

jFiFFyx bodybodybodyˆˆ

- 메뚜기에 작용하는 외력을 고려하면,

0xexternalF

mgFyexternal

☆ 저항력이 있는 경우의 포사체 운동

o 일반적으로 저항력(Retarded Force)은 질량과 속도에 비례한다.

cf) 실험 결과를 비교해보아 속도에 비례하거나 속도의 제곱에 비례하게 잡는다.

cf) 속도에 비례 : 저항력에 의해 작은 Terminal Velocity를 갖는다.

cf) §6.4 저항력을 받는 운동Motion in the Presence of Resistive Forces 에서 다룸

매번 과녁 맞추기 (다음 예제 참고)예제 4.3

포물체가 표적을 맞추는 실험에서 정지해 있던 표적은 발사와 동시에 떨어지기 시작한다. 최초에 멈춰 있던 표적을 겨누어 발사했다면 언제나 명중할 수 있음을 보여라.

동물원을 탈출한 원숭이를 잡기 위하여 경비원이 마취제 총을 나뭇가지에 매달린 원숭이를 향해서 쏘았다. 영리한 원숭이는 총알이 발사되는 순간에 뛰어내려서 도망가려고 한다. 총알의 속도에 상관없이 총알은 항상 원숭이를 맞추게 됨을 보이시오. (수평면상의 평지이며, 총알은 원숭이가 땅에 떨어지기 전에 원숭이에게 도달한다.)

원숭이 맞추기Ex) 4.3 대치

Sol

- 원 운동시 입자의 운동 방향 : 원 or 구의 접선 방향→ 비오는 날, 우산을 돌리면 물방울은 우산살의 접선 방향으로 튕겨진다.

등속 원운동: 일정한 속력으로 원주 위를 움직이는 운동

4.4 분석모형: 등속 원운동하는 입자(Analysis Model: Particle in Uniform Circular Motion)

4.4 분석모형: 등속 원운동하는 입자(Analysis Model: Particle in Uniform Circular Motion)

rvrv

속도의 크기는 일정하지만 방향이 바뀌므로 가속도가 존재한다! 위의 그림에서 검은색 삼각형과 빨간색 삼각형은 닮은꼴이다.

trv

taavg

rv

rvac

2

◎ 구심 가속도

tva

t

lim

0- 가속도 :

- Δt → 0 일 경우 : Δθ → 0, Δℓ → 0

- v0와 v는 거의 평행하게 되고

- Δv 는 원의 중심 방향을 향하게 된다.

"구심 가속도" (Centripetal Acceleration)

- 구심 가속도의 크기:

△OAB 와 △v0,Δv,v는 닮은꼴

rvv

rvv

rv

rv

ttva

ttc

2

00

1limlim

∴

tv

t

lim0

속도 :

rvac

2

∴ 구심 가속도 : (구 or 원의 중심 방향)

∴ 구심력 (Centripetal Force) :

rmvamF cc

2

(구 or 원의 중심 방향)

cf) 원심력 (遠心力 Centrifugal Force)줄에 공을 달고 돌리면 손은 공에 의해 바깥 방향으로 당겨지는 힘을 느낀다.(구심력에 의한 반작용? → 운동시 입자의 운동 방향이 접선 방향이기 때문에

원심력이란 존재하지 않는다.) ⇒ 공의 접선 방향의 운동에 대한 반응이다.

인공위성의 운동Ex 4.5 대치

- 지상 200㎞ 높이에서의 중력 가속도는 9.2㎨이다.이 위치에서의 인공 위성의 속도와 주기를 구해보자.

(이 경우 지구에서의 중력 가속도 g의 약 94%에 해당된다.)

Sol 인공 위성 → 지구 궤도 상에서 등속 원운동

rvac

2

→ ac = g’ = 9.2㎨

∴ (회전) 속력 : cearthc ahRrav

∵ mkmkmhRr earth6106.62006400

◎ Define 주기 (Period, T )

등속 원운동시 한바퀴 회전 하는데 (위성이 한바퀴 도는데) 걸린 시간

→ 한 바퀴 : 원주의 길이 = 2πr

∴v

rvST 2

hkmmmmv

28000sec1079.7sec2.9106.6 326

min88sec103.5sec1079.7

106.622 33

6

mm

vhRT earth

◎ Define 주파수 (Frequency, f )

(등속 원운동시) 단위 시간당 회전수 (Number of Revolutions)단위 : 1/sec ≡ ㎐ (Hertz)

rv

Tf

21

∴ Hz

Tf 44

3 1089.1sec1089.1sec103.5

11

4.5 접선 및 지름 가속도(Tangential and Radial Acceleration)

4.5 접선 및 지름 가속도(Tangential and Radial Acceleration)

일반적인 곡선 상의 운동은 속도의 방향뿐 아니라 크기도 변한다.

tr aaa

dtdvat (접선가속도 : 속력 변화, 순간속도 방향)

rvaa cr

2

(지름가속도 : 속도벡터 방향의 변화)

22tr aaa

고개를 넘어서예제 4.6

어떤 차가 도로를 따라 0.300m/s2의 등가속도로 달리고 있다. 차가 도로에있는 언덕을 넘어가는데, 언덕의 꼭대기는 반지름 500m인 원모양이다. 차가언덕 꼭대기에 도달하는 순간에, 속도 벡터는 수평이고 크기는 6.00m/s이다. 이 순간 차의 전체 가속도 크기와 방향을 구하라.

지름가속도를 구하면

2/3.0 smat 이므로

2222 /309.0300.0)072.0( 2 smaaa tr

5.13)(tantan 030.0072.011

t

r

aa

Sol

222

/072.050000.6 sm

rvar

☆

4.6 상대 속도와 상대 가속도(Relative Velocity and Relative Acceleration)

4.6 상대 속도와 상대 가속도(Relative Velocity and Relative Acceleration)

관찰자의 운동 상태에 따라 대상 물체의 운동이다르게 표현된다.

tBAPBPA vrr

BAPBPA vuu

BAPBPA

dtd

dtd vrr

두 기준틀의 원점이 일치하는 순간을 t=0이라고하고, 기준틀 SB가 SA에 대해 상대적으로 등속운동한다고 가정하면

양변을 시간에 대해 미분하면

◀ 갈릴레이 속도 변환

dtd

dtd

dtd BAPBPA vuu

양변을 다시 시간에 대해 미분하면

PBPA aa 두 기준틀에서 측정한 가속도는 같다. 즉, 뉴턴운동 법칙이 동일하게 적용된다.

강을 가로질러 가는 배예제4.7

넓은 강을 건너는 배가 물에 대해 상대적으로 10.0km/h의 속력으로 움직인다. 강물은 지구에 대해 동쪽으로 5.00km/h의 일정한 속력으로 흐르고 있다.(A) 만약 배가 북쪽을 향하고 있다면, 강둑에 서 있는 관찰자에 대한 배의 상대 속도를 구하라.

그림 (a)를 참조하고 갈릴레이 속도 변환을 이용하여 상대 속도를 구하면

rEbrbE vvv

☆

hkm

vvv rEbrbE

/2.11)00.5()0.10( 2

22

2

6.26)(tan

tan

00.1000.51

1

br

rE

vv

(B) 만약 배가 강물에 대해 상대적으로 같은 속력인 10.0km/h로 그림4.20(b)에 나타나 있는 바와 같이 북쪽으로 이동하려 한다면, 배가 향해야 하는 방향은?

hkm

vvv rEbrbE

/66.8)00.5()0.10( 2

22

2

0.30)(tan

tan

66.800.51

1

bE

rE

vv