moti stratificati (3/5) idraulica ambientale 2 a.a. 2005/06
TRANSCRIPT
![Page 1: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/1.jpg)
Moti stratificati (3/5)
Idraulica Ambientale 2
a.a. 2005/06
![Page 2: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/2.jpg)
Stratificazione e diffusione turbolenta
bTz
Tstratz RiaDD 10,,
Effetto della stratificazione (numero di Richardson)
2
dz
du
dz
dgRi
Coefficienti
2
U
HgRib
(definizione mediata)
![Page 3: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/3.jpg)
Esercizi
mix verticale:
mezzo stratificato (cuneo salino)
scarico caldo
Temperatura come tracciante passivo (mix trasversale):
scarico caldo
![Page 4: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/4.jpg)
Moti stratificati (4/5)
Idraulica Ambientale 2
a.a. 2005/06
![Page 5: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/5.jpg)
Onde interne
onde di superfici isopicne (denistà costante)
stratificazione continua: “onde interne”
stratificazione a gradino (strati): “onde di interfaccia”, “onde di superficie”
Rif. bibl.: dispense di Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005 (cap. 10)
![Page 6: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/6.jpg)
Onde di interfaccia
ipotesi:• fluidi immiscibili• contorni superiori e inferiori rigidi• moto piano• moto inviscido (viscosità nulla, Re grande)
• moto irrotazionale in ogni strato• onde di piccola ampiezza
interfaccia
contorno rigido superiore
contorno rigido inferiore
![Page 7: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/7.jpg)
Equazioni
Potenziale di velocità (moto irrotazionale) x
u
zw
Equazione di continuità
0
z
w
x
u0
2
2
2
2
yx
012
022
strato superiore
strato inferiore
gpdt
ud Equazione del moto(inviscido)
gz
p
dt
dw
x
p
dt
du
z
ww
x
wu
t
w
dt
dw
![Page 8: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/8.jpg)
Condizioni al contorno
0 zFinterfaccia:
Condizione cinematica: 0dt
dF0
xxtzx
ut
w
in superficie (z=-h1) e al fondo (z=-h2) 01
1
h
h zw
0
2
2
h
h zw
Onda periodica nello spazio (x) e nel tempo
Condizione dinamica: 21 pp (le tensioni tangenziali sono nulle)
tkxf
![Page 9: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/9.jpg)
Adimensionalizzazione e linearizzazione
* zaz * xx **0 , , wuUwu *
0
tU
at
0
x
ut
w
0*
**
*
**
x
ua
tw
ampiezza dell’onda lunghezza d’onda
1a
onde di piccola ampiezza 0
t
w
Condizione cinematica semplificata: 000
zz
tztw
![Page 10: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/10.jpg)
gz
p
t
w
Condizione all’interfaccia (linearizzata)
Equazione del moto semplificata
0
gz
p
tz (in ogni strato)
0cgzpt
Teorema di Bernoulli non stazionario costante lungo una
linea di corrente
Lungo l’interfaccia (linea di corrente) 21 pp
gt
gt 2
221
11
![Page 11: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/11.jpg)
Sistema da risolvere
gt
gt 2
221
11
01
tz
021
2
21
2
zx
Equazioni 0
22
2
22
2
zx
02
tz
Condizioni all’interfaccia(z=0)
Struttura della soluzione
tkxitkxatkxiatx sincosexp,
tkxizZtzx jj exp,, (notazione complessa)
Condizioni al contorno
01 z
02
z
1hz 2hz
![Page 12: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/12.jpg)
Soluzione per lo strato j=1,2
02
2
2
2
yxjj
022
2
jj Zk
z
Z tkxia exp
tkxiZ jj exp
0
tzj all’interfaccia
(z=0)
kzDkzCZ jjj expexp
soluzione generale
iaDCk jj
al contorno(z= zc)
0zj 0expexp cjcj kzDkzC
Condizioni al contorno per determinare Cj e Dj
sistema di 4 equazioni in 4 incognite C1, C2, D1, D2
![Page 13: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/13.jpg)
Soluzione kzDkzCZ jjj expexp
1
11 sinh
cosh
kh
hzk
k
iaZ
2
22 sinh
cosh
kh
hzk
k
iaZ
tkxikh
hzk
k
ia
expsinh
cosh
1
11
tkxikh
hzk
k
ia
expsinh
cosh
2
22
potenziale:
velocità nei due strati:
tkxia expposizione interfaccia:
le intensità rimangono indeterminate
tkxikh
hzka
xu
expsinh
cosh
1
111
tkxikh
hzka
xu
expsinh
cosh
2
222
tkxikh
hzkia
zw
expsinh
sinh
1
111
tkxikh
hzkia
zw
expsinh
sinh
2
222
tkxiZ jj exp
![Page 14: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/14.jpg)
Relazione di dispersione
gt
gt 2
221
11
condizione dinamica all’interfaccia
gkhkhk 12
2
2
1
12
tanhtanh
relazione tra frequenza e numero d’onda
T
2frequenza-
periodo 2
knumero-lunghezza d’onda
celerità di propagazione
0
dxx
dtt
d tkxa cos 0 akdxdta
kdt
dxc
![Page 15: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/15.jpg)
Casi particolari: dominio non limitato
1h 2h
12
12
gk
gkhkhk 12
2
2
1
12
tanhtanh
1tanh 1 kh
frequenza
onde di superficie
12
12
k
gccelerità
01
gkfrequenzak
gc celerità
onde di Boussinesq 21
2
kgfrequenza
k
gc
2
celerità
0
12
g
la celerità dipende da k lunghezze d’onda diverse si separano
![Page 16: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/16.jpg)
Casi particolari: acqua bassa
01 kh 02 kh
2112
1221
hh
hhgk
gkhkhk 12
2
2
1
12
tanhtanh
11tanh khkh
frequenza celerità
2112
1221
hh
hhgc
onde di superficie 01
ghkfrequenza ghc celerità
onde di Boussinesq 21
21
21
hh
hhgk
frequenza celerità21
21
hh
hhg
la celerità non dipende da k onde non dispersive
![Page 17: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/17.jpg)
Effetto della superficie libera
0cgzpt
condizione in superficie libera
relazione di dispersione 21214 ,,,, hhkf
onde lunghe (acqua bassa) di Boussinesq: due soluzioni semplificate
gHhhgc 21 H
hhg
hh
hhgc 21
21
21
modo esterno - veloce(onda di superficie)
modo interno - lento(interfaccia)
moto barotropico moto baroclinicop parallelo a p inclinato rispetto a
![Page 18: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/18.jpg)
Onde stazionarie
effetto della dimensione finita del bacino: numero finito di semi-lunghezze d’onda
2
nL
L
nk
2numeri d’onda possibili
nT
L
kTc
22
celerità
periodonc
LT
2 modo esterno
gHn
LT
2
H1h
2h
modo interno
Hhh
gn
LT
21
2
(lento)
![Page 19: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/19.jpg)
Onde di sessa (seiche)
vento eccita un’onda stazionaria con n=1
wind set-up: sollevamento
0 LFFF wrlx equilibrio mentre soffia il vento
202
1sl aHgF 202
1sr aHgF spinte idrostatiche 02 0 LHga ws
gH
La ws
2
set-up superficie
equilibrio tra le pressioni al fondo rl pp iisl ahgaahgp 2211
iisr ahgaahgp 2211 si aa12
set-up interfaccia
![Page 20: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/20.jpg)
Stratificazione continua
gz
p
t
w
0
1
0
z
w
x
u
x
p
t
u
0
1
Equazioni linearizzate, ip. Boussinesq
continuità
q.d.m. orizzontale
incomprimibilità
q.d.m. verticale
3 equazioni in 4 incognite pgwu ,,,
la quarta equazione viene dall’incomprimibilità
00
dz
dw
t
0
gg
02
wNt
g
dz
dgN 0
0
2
![Page 21: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/21.jpg)
Stratificazione continua: relazione di dispersione
modi verticali
modi orizzontalikx
2
mz
2
equazioni + condizioni al contorno
relazione di dispersione
22
222
mk
kN
22 Nonde
22 N non possono esserci onde
(frequenza di eccitazione maggiore dell’autofrequenza - Eigenfrequency)
![Page 22: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/22.jpg)
Moti stratificati (5/5)
Idraulica Ambientale 2
a.a. 2005/06
![Page 23: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/23.jpg)
InstabilitàAnalisi di stabilità idrodinamica:1. soluzione in moto laminare delle equazioni2. perturbazione della soluzione con piccoli disturbi (sinusoidali nel tempo e
nello spazio)3. sostituzione della soluzione perturbata nelle equazioni e linearizzazione
problema agli autovalori (eigenvalues)4. soluzione delle equazioni perturbate:
a. disturbo che cresce nel tempo instabilità assolutab. disturbo che cresce nello spazio instabilità convettivac. disturbo che decade stabilità
Riferimenti bibliografici: - Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005 (dispense, cap. 11)- Drazin & Reid, Hydrodynamic stability (Second edition), Cambridge Mathematical Library, 2004
![Page 24: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/24.jpg)
Instabilità di Kelvin-Helmholtz
![Page 25: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/25.jpg)
Lavoro delle forze di galleggiamento
dy
dgO
dy
dygygygygB
2
dy
dgygygB
forze di galleggiamento
2
2
0
y
dy
dgd
dy
dg
y
2
20 y
dy
dgd
dy
dg
y
particella 1
particella 2
2ydy
dgWB
lavoro totale
lavoro
![Page 26: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/26.jpg)
Variazione di energia cinetica
22
20
20 uuu
E
prima
2
0
222
uuu
E
dopo
velocità media
20
4uE
variazione di energia cinetica
![Page 27: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/27.jpg)
Instabilità: approccio euristico
instabilità: quando l’energia cinetica persa è più grande del lavoro richiesto dalle forze di galleggiamento nello spostamento delle particelle di fluido
BWE
20
4y
dy
dgu
4
12
0
u
y
dy
dgRi
(senza viscosità)
![Page 28: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/28.jpg)
Instabilità di Kelvin-Helmholtz
1U
2U
moto irrotazionalefluido idealepiccole perturbazioni…
u
![Page 29: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/29.jpg)
Formulazione del problema
Condizione dinamica: 21 pp (le tensioni tangenziali sono nulle)
Equazioni
Condizione cinematica all’interfaccia (z=)
Condizioni al contorno
11 Uu z z
0111
z
w
y
v
x
u0222
z
w
y
v
x
u
0, 11 wv22 Uu 0, 22 wv
0111
y
vx
ut
w 0222
y
vx
ut
w
02 1
12
111
p
gzu
tcTeorema di Bernoulli
non stazionario (z=):0
2 2
22
222
p
gzu
tc
gu
tcg
u
tc
22
222
22
211
11
![Page 30: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/30.jpg)
Soluzione del moto base
Perturbazione della soluzione
xUu
111
xUu
222
zw
11
yv
22
interfaccia
11 Uu
22 Uu
gzpp 101
gzpp 202 0interfaccia
1Linearizzazione
011 wv
022 wv
22
22
22
21
11
Uc
Uc costanti del trinomio di Bernoulli
yv
11
zw
22
![Page 31: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/31.jpg)
Sistema per le perturbazioni (linearizzato)
g
xU
tg
xU
t2
22
21
11
1
011
xU
tz
021
2
21
2
21
2
zyx
Equazioni 0
22
2
22
2
22
2
zyx
022
xU
tz
Condizioni all’interfaccia(z=0)
Struttura della soluzione
lykxilykxstalykxistatx sincosexpexp,
lykxistzZtzx jj exp,, (notazione complessa)
Condizioni al contorno
01 02 z z
![Page 32: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/32.jpg)
Relazione di dispersione
211
222 ikUsKgikUsKg
22 lkK numero d’onda totale
soluzione trovata con Maple
![Page 33: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/33.jpg)
Coefficiente di amplificazione
21
122
21
221212
21
2211
KgUU
kUU
iks
stabilità neutrale
2212122
122 UUkKg
instabilità
>=
<
2212122
122
2121
2211 UUkKgiUU
iks
curva marginale kKl ,0
21
21
222
21
k
gUU
2=1000,1=995 2
112
0
Uk
KgRi
![Page 34: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/34.jpg)
Casi particolari
Onde di gravità
Onde interne
Instabilità dovuta alle tensioni
Kgis
2212122
122
2121
2211 UUkKgiUU
iks
sempre stabili0,0,0 211 UU
0,0, 2121 UU 21
12
Kgis
stabili onde instabili12 12
2121 , UU
21212
21
221
2242UU
kUUikUU
ki
UUiks
sempre instabili
![Page 35: Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022103113/5542eb58497959361e8c2891/html5/thumbnails/35.jpg)
Effetto della tensione superficiale
x
z
p1
p2
221 xypp
esempio: onde generate sul marevelocità del vento minima, lunghezza d’onda (Kelvin, 1871; Chandrasekhar, 1961)
soluzione trovata con Maple
curva marginale
kk
gUU
21
12
21
21
222
21
kcrit
U)2crit
(condizione dinamica all’interfaccia)
mNmkgmkg /074.0,/1020,/25.1 32
31
smUU /6.621 cmkL 7.12
kKl ,0