mỘt sỐ chuyÊn ĐỀ hÌnh hỌc phẲng bỒi dƯỠng hỌc sinh giỎi thpt - ĐỖ thanh...
TRANSCRIPT
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
1/214
ĐỖ THANH SỢN
c) i n f ' h i f ' / i f .r h^ ( ^ *,---- _,|r ) -J —r -vr'
\ s
1 1 U r ;.J .
I f \ r r ■! ‘ I A . . \!P fA . I V . t " ' r ° . 1 V I
, r
Ị....... 1, l \ ' f )' n . , ... f r. •» t , V ,. rt \, ff t ' ®
/TRUNG HỌC PHỔ THÔNG "
L ^ á NriÀ XUẤT BẲN GIÁO DỤC VIỆT NAM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
2/214
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
3/214
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
4/214
Công ty cổ phẩn Dịch vụ xuất bản Giáo dục Hà Nội - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyền cô ng bố tác phẩm
24-2010/CXB/354-2242/GD Mã số: C3T06h0- ITS
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
5/214
L ò i I ió t đ ầ u
Toán học là một môn học quan trọng trong chươnạ trình phổ thông. Việc giảng
dạy và học tập môn Toán trong trường phổ thông khổng nhữne nhằm trang bị cho học sinh những kiến thức cụ thể đế áp dụng tronẹ cuộc sống cũnạ như
trong các môn học khác mà điểu quan trọng hơn là cung cáp, rèn luyện cho học
sinh các kĩ năng, phương pháp tư duv của Toán học. điều mà học sinh cần thiết
trong cả cuộc đời sau này.
Bộ sách "Một số chuyên đề bồi dưỡng học sình giỏi THPT" gổm các chuyên
đề tự chọiSBỚặc sắc theo chương trình dành cho chuyên loan cúa Bộ Giáo dục
ban hành. Bộ sách là kết tinh từ kinh nghiệm giảng dạv và bồi dưởn« học sinh
của các thầy cô giáo ở khới Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội. khối Chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc aia Hà Nội. trường THPT Chuyên Bấc
Giang nhằm cung cấp thèm cho các em học sinh một sổ kiến ĩhức bố sung,
giúp các em hiểu sâu hơn sách giáo khoa và chuấn bị cho các kì Ihi tốt nghiệp
THPT, thi tuyển sinh vào đại học và thi học sinh giỏi các cấp. Bộ sách gồm
năm cuốn :
Một số chuyên dể Hình học phẳiĩíỊ bổi dưỡng học sinh iỊỉỏi THPT;
Một sô' chuyền đề Đại số bồi dưỡng hục sinh iýỏi THPT; Một số chuyên đề Toán rời rạc bổ i dưỡỉìỊị học sinh giỏi THPT;
Một số chuyên đê Giải ríclĩ bổi lìưõĩT-; học sinh qiỏi THPT ;
Một sơ chuvén đề Hình hực không gian bồi dưãnạ hục sinh giỏi THPT
Cuốn sách M ột số chuyên đế Hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏ i TH PT
gồm hai mươi chuyên đề liên quan đến hình học phẳng và ứng dụng của hình
học vào đại số. Trong đó có mười bốn chuyên để dành cho hình học phang và
sáu chuyên đề dành cho ứng dụng của hình học vào đại số. Các chuyên đề về hình học đề cập đến một số đôi tượna dặc biệt như điếm Migen, điểm Brôcar,
đường đẳng giác, đường đối trung, đường thẳng ơ-le. đường tròn ơ-le. tam
giác Pê-đan, tứ giác nội tiếp có tích các cập cạnh đối bằng nhau, tứgiác nội
tiếp có hai đường chéo vuông sóc và tứ Ìác toàn phần. Mỗi chuyên đềgốm
nhiều bài toán từ dễ đến khó. Nội duna của các bài toán tron mỗi chuyên đề
3
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
6/214
xoay quanh các tính chất hình học thuộc chuyên để đó. Chẳng hạn các bài toá
thuộc chuyên đề “Các đường đẳng giác trong một góc” được phân ra một s
dạng sau : dạng toán thứ nhất, tập trung vào các tính chất hình học cúa cá
đường này ; dạng toán thứ hai, tìm điều kiện cần và đù để hai đường ỉà đẳn
giác ; dạng toán thứ ba, sử dụng các đường đẳng giác đế giải một sô' bài toá
hình học khác. Lời giải của mỗi bài toán trong mỗi chuyên đề ngắn gọn. dhiểu. Các kiến thức được dùng để giải các bài toán này chỉ nằm trong chươn
trình sách giáo khoa Trung học cơ sở và Trung học phổ thông. Các chuyên đ
ứng dụng của hình học vào đại sô' chủ yếu đề cập đến một sổ dạng toán cực tr
cúa biểu thức dại số ; biện luận nghiệm của phương trình vô tí chứa càn bậc ha
và hệ phương trình hai ẩn. Phương pháp giái các bài toán trong các chuyên đ
này là phương pháp đồ thị. Một số kết quả trong hình học đựơc dùng để xâ
"dựng phương pháp trên đều có chứng minh chặt chẽ.
Mục đích của cuốn sách là giúp học sinh hệ thống các kiến thức hình học. nhậdạng được từng bài toán và đưa ra. phương pháp giải các bài toán đó. Giáo viên
dựa vào mỗi chuyên đề hoặc liên kết các chuyên đề để xâv dựng bài tập phụ
vụ cho công việc giảng dạy.
Cuốn sách này có ỉhể được dùng cho nhiều đối tượng học sinh. Đối với họ
sinh có nhu cầu thi vào đại học, các bạn chỉ cần học các chuyên để ứng dụn
của hình học vào đại số. Đối với học sinh có nhu cầu thi học sinh gịỏi cấ
Trung học phổ thông cẩn đọc hết hai mươi chuyên đề. Đối với học sinh Trun
học cơ sở có nhu cầu nâng cao trình độ về hình học hoặc thi học sinh giói cátrường, tính (thành phố) hoặc vào các trường chuyên chi cắn đọc mười ha
chuyên đề về hình học.
Tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp cho cuốn sách để lần tá
bản sau chất lượng sách được tốt hơn. Các ý kiến của bạn đọc xin gửi về ban
Toán - Tin, Công ty cổ phần Dịch vụ Xuất bản Giáo dục Hà Nội, Nhà xuất bả
Giáo dục Việt Nam, ] 87B Giảng Võ, Hà Nội.
Xin chân thành cảm ơn.
Tác giả
Hà Nội, tháng 4 năm 2009
4
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
7/214
HUYÊN ĐỀ 1
TỨ GIÁC NỘI TIẾP CÓ TÍCH CÁC CẶP CẠNH■ » ■ĐỐI DIỆN BẰNG NHAU
Tứ qiác nội tiếp có tích các cặp cạnh đối bằng nhau là loại tứ giác được sử
dụngtyé xây dựng các bài toán hình học. Tập hợp các bài tập dưới đây là
nhữnq tính chất tương đươnẹ. Một số hài toán khác được xảy dựng từ các ' é 'tính chất đó.
BÀ! TẬP
1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng :
a) Điều kiện cần và đủ để các đường phân giác cúa BAD và BCD đi qua
một điểm trên BD là AB.CD = AD. BC.
b) Nếu các phân giác’của các góc BAD và BCD đi qua một điểm trên BD
thì các phân giác của các góc ABD và ACD đi qua một điểm trên AC.
2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp có đường chéo AC không đi qua tâm đường tròn.
Chứng minh ràng :
a) Điểu kiện cán và đủ để các tiếp tuyến với đường tròn ngoại dếp tứ giác
tại A và c cất nhau trên BD là AB.CD = AD.BC ;
b) Nếu các đường chéo của tứ giác không đi qua tâm và tiếp tuyến với đường tròn tại A và c cát nhau trên BD thì các tiếp tuyến với đường tròn
tại B và D cát nhau trẽn AC.
3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Gọi M, N, p lần lượt ìà hình chiếu
của D trên AB, BC, CA. Chứng minh rằng PM = PN khi và chỉ khi
AB.CD = AD.BC.
5
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
8/214
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
9/214
10. Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Các điểm A \ B \ C’ tương ứng
là các tiếp điểm của (O) với BC, CA, AB. Giả sử BC cắt B’C’ tại p ; CA cắt
C A ’ tại Q ; AB cắt A ’B’ tại R. Chứng minh rằng ba điểm p, Q, R thẳng hàng.
11. Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn và thoả mãn điều kiện
AB CD EF_
b c ' d e ' f a "
Giả sử p là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại A và D ; Q là
giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại B và E ; K là giao điểm của
các tiếp tuyến với đường tròn tại c và F. Chứng minh ràng các điểm
p, thảng hàng.
12. Hai đường trộn tâm o và O' cắt nhau tại các điểm A và B. Trênđường tròn(O) ta lấy điểm c sao cho c nằm trong (O’). Các đường thẳnsAC và BC
cắt (O') lần thứ hai tại các điếm p, Q. Chứng minh rằng :
a) Nếu QAÕ' = 90lithì PQ là đường kính của (O ’).
b) Nếu PQ ià một đường kính cỉia (O’) đối với mỗi điểm c bất kì trên cung
AB và nằm trong (O’) (C có thế trùng với A hoặc B) thì OAO' = 90°.
13. Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm o . Gọi p là giao điểm của các tiếp tuyến với (O) tại B và c ; M là iruna điểm cúa BC. Đường ihẳng AM
cắt đường tròn (O) lần thứ hai tại Q. Đường thẳng PQ cắt đường tròn (O)
lần thứ hai tại K. Chứng minh rằng AK // BC.
14. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và dây cung DD’ của đường
tròn vuông góc với AC tại M. Đường thẳng đi qua M và song song với BD’
cắt các đường thẳng AB và BC tứơng ứng tại các điểm p và Q. Chứng minh
rằng M là trung điểm của đoạn PQ khi và chi khi AB.CD = AD.BC.
15. Cho tam giác ABE. Giả sử đường tròn đi qua hai điểm A, B cát các cạnh
EA và EB lần lượt tại D và c . Gọi F là giao điểm của AC và BD ; M là
trung điểm của đoạn CD. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM ta lấy
điểm N khác M sao cho AN.BM = AM.BN. Chứng minh rằng N nằm trên
đường thảng EF.
7
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
10/214
16. Giả sử ABCD là một tứ giác nội tiếp. Các điểm p, Q, R lần lượt là chân cá
đường vuông góc hạ từ D xuống các đường thẳng BC, CA, AB. Chứn
minh rằng PQ = QR khi và chỉ khi các đường phân giác của các góc ABC
và ADCcắt nhau trên AC. (Đề thi thi vô địch Toán quốc t ế năm 2003).
17. A, B, c là ba điểm phân biệt theo thó tự đó nằm trên cùng một đườn
thẳng. Xét đường tròn (O) đi qua hai điểm A và c , có tâm không nằm trê
đường thẳng AC. Gọi p là giao điểm của các tiếp tuyến với (O) tại cá
điểm A và c. Đường thẳng PB cắt (O) tại các điểm Q và Q’ (Q nằm trên
đoạn PB). Phân giác của góc AQC cắt AC tại R.
a) Chứng minh rằng R !à điểm cố định, khi đường tròn (O) thay đổi. (Bà
toán được đề nghị xét chọn trong kì thi Toán quốc t ế năm 2003).
b) Gọi P’ là giao điểm các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại các điểm Q v
Q’. Chứng minh rằng P’ cố định khi (O) thay đổi.
18. Cho tứ giác ABCD nội tiếp thoả mãn điều kiện AB.CD = AD.BC. Giả s
đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với BC cắt đường chéo BD tại M
Chứng minh rằng MB = MD.
19. Cho tứ giác ABCD thoả mãn đổng thời các điéu kiện AB.CD = AD.BC v
BAC + ACD ^ BCA + CAD . Gọi M là trung điểm của đường chéo AC, E l
điểm trên đường thẳng BM sao cho DE II AC. Chứng minh rằnẹ nếu tứ giá
ACED là một hình thang cân thì tứ giác ABCD nội tiếp.
20. Cho tứ giác ABCD thoả mãn điều kiện AB.CD = AD.BC v
BAD + BID = 270° (I là giao điểm của đường phán giác của góc ABC v
AC). Giả sử p, Q lần iượt là hình chiếu của A nằm trên các đoạn BI và DIChứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp.
21. Cho tứ giác ABCD thoả mãn đổng thời các điều kiện AB.CD = AD.BC v
ADB + CBD ABD + BDC. Gọi M là trung điểm của BD. Chứng minh
rằng nếu BD là phân giác của góc AMC thì tứ giác ABCD nội tiếp.
8
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
11/214
Đáp số - Lời giải • Hướng dẫn
1. a) Gọi I là điểm trên BD mà phân giác góc BAD đi qua. khi đó ta có
IB AB „ CB AB „ , IB ■ CB „ — Jìr gia thiết ta suy ra Vì vậy ta có HêID AD CD AD ID CD
thức này chứng tỏ CI là phân giác của BCD. Đảo lại, nếu phân giác của
_ __ _ __ _ Jg AB IB CBhai sóc BAD và BCD cùng đi qua I thì - —= —— và Từ đó ta
ID AD ID CD
được điểu cần chứngminh. (Giả thiết tứgiác ABCD nội tiếp khôno được sử
dụng trong chứng minh).
b) SiMụng kết quả câu a).
2. a) Giả sử M là giaođiểm các tiếp tuyến với
đường tròn tại A và c y
nầm trên đường thẳng M
BD- Gọi I là điểm trên
BD mà phân giác của
góc BAD đi qua. Rõ
ràng tam giác MAI cân
tại M nên MI = MA (H. 1). Hình 1
Tam giác MCI có MI = MC nên tam giác này cân. Vì BCM=CDM nên
BCI = DCI và CI là phân giác góc BCD. Tóm lại từ M nằm trên BD suy ra
phần giác của BCD và BAD cắt nhau trên BD. Theo Bài toán I, điều này
dẫn đến AB.CD = AD.BC. Ngược lại, nếu AB.CD = AD.BC, khi đó AI và
BI là các phân giác của các góc BAD và BCD với I trên BD. Giả sứ đường
thẳng BD lẫn lượt cắt MA, MC tại M|, M và coi M nầm trên đoạn M,B.
Từ MA = M C MA = M,A - = MM, + MjC, MjC = Mjl và
M,A = M,l, ta suy raM,M = M,M + MM2. Đẳng thức này chứng tỏ ba điếm
M„ M và M trùna nhau.
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
12/214
b) Nếu tiếp tuyến với đường tròn tại A và c cắt nhau trên đường thắng BD
thì AB.CD = AD.BC. Theo câu a) và từ AB.CD = AD.BC với BD không đi
qua tâm đường tròn, ta suy ra tiếp tuyến tại B và D với đường tròn cắt
nhau. Khi đó giao điểm nằm trên AC.
3. (H.2) Coi điểm M nằm ngoài cạnh AB. khi đó p và N nằm trên các cạnh
AC và BC. Trons tứ giác nội tiếp
AMDP ta có MDP = BA C. Trong tứ
giác nội tiếp CNPD ta có
NDP = ÀCB . Sử dụng định lí hàm số
sin đối với tam giác DPM và tam giác
DPN, ta có
PM = AD.sinM DP= AD.sin BAC (AD ìà dườna kính của đường tròn) và
PN = CD.sin NDP = CD.sin BCA .
(CD là đường kính cúa đườna tròn).
^ PM AD sinBÃCXét ti SÔ -----^==- ,
PN CD sin BCA
Ar, ™ ~ _____ - AD BAC AB sin BÃC ,nếu AB.CD = AD.BC thì ta có = — = 1.PN CD sin Ỉ3CA BC sin BCA
Ngược lại. nếu PM = PN thì ta có
PM _ AD -sinBÃC AD sin BCA AB
PN ~ C D ' sin I3CA ~ ^ CD _ sin ABC ~ BC '
4. a) (H.3) Gọi E là ẹiao điểm của BM và đườns; tròn naoại tiếp tam giác
. ABC, khi đó diện tích của hai tam giác ABE và CBE bằna nhau. Điều đó
tương đương với AB.AE.sin BAE = BC.CE.sin BCE AB.AE = BC.CE (*)
(vì sinBAE = sinBCE). Nếu AC là phân giác cúa góc BMD
thì BMẦ = DMA . Mặt khác, BMA = EMC (đối đỉnh) nên EMC = DM A.
Điều này chứng tỏ D đổi xứng với E qua đường kính của đường tròn đi qua
M và ta có AD - CE, CD = AE. Thay kết quả này vào (*) ta được điều cần
chứng minh.
10
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
13/214
Ngược lại, từ AB.CD = AD.BC và
AB AD CE(*) ta suy ra ——= ——- = ------ . Điẽu
B C’ CD AE
này dẫn tói hai tam giác ADE và
CED đổng dạng (c.g.c). Ta biếtrằng hai tam giác đồng dạng cùng
nội tiếp trong một đường tròn thì Ahai tam ^iác đó bằng nhau. Vì vậyAD = CE và AE = CD. Hai tam
giác MAD và MCE bằng nhau nên
CME = r5ỉvĩẦ. Mặt khác
EMC vì đối đính. Kết hợp
các ákết quả đó ta suy ra điểu cần chứng minh.
5. Gọi E ià giao điếm cùa AM và đường tròn (O). VI diện lích các tam giác
ABE và ADE bằng nhau nên AB.BE = AD.DE (*). Nếu AC đối xứng với
AM qua phân giác góc BAD thì BC - DE => BC - DE và BE = CD. Thay kết quả này vào í*) ta được điều cẩn chứng minh. Điều naược lại dành cho bạn đọc tụ' chứna ininh.
. (H.4) Gọi M. N lần iuợt là trung
điểm các đường chéo AC và BD.Các hình chiếu M|, M, cúa M tương
ứng trên các cạnh AB và BC. Các
hình chiếu N,, Nj tương ứng của N
trên các cạnh AB và BC. Nếu M|,
M2. Nt, N nằm trên cùng một đường tròn thì BlVỊ.BNi BM.BN2.Điều này chứng tỏ haí tam aiác BM,Mj và B N N, đổnạ đạne, kéo
theo BM,M, =BNịN2.
Từ các tứ eiác nội tiếp BM|MM và BNịNN^ị. ta suy ra ABM = CBD . Đắng
thức này chứng tó BM đối xứng với BD qua phân giác góc ABC. Ill eo kết
quả Bài 5, ta suy ra điều cần chứne minh. Phần đáo dành cho bạn đọc tự
chứng minh.
Hình 4
u
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
14/214
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
15/214
Trường hợp tam giác NCD nằm bên
trong tam giác MAB. Cách chứng
minh tương ĩự (H.).
Trường hợp hai tam giác MAB và
NCD có phần chung là tam giác
KBD (K ỉà giao điểm của MB và
ND) (H.7). Gọi E là giao điểm của
MA và ND ; F là giao điểm của NC
và MB. Trong tam giác EMN, cát
tuyến AD đi qua một điểm trong và
một ^iểm ngoài của hai cạnh tam
giác do đó AD cắt cạnh MN tạị
điểm P;. Trosig tam giác FMN, cát tuyến BC đi qua một điểm trong và
một điểm ngoài của hai cạnh tam
giác do đó BC cắt cạnh MN tại P,.
Sử dụng định lí Mê-nê-la-uvt với
hai tam giác đó ta suy ra p, và P
trùng nhau.
Giả sử K’ là giao điểm của MA và NC khi đó hoặc các điểm A và c
nằm trên hai cạnh cúa tam giác
K’MN hoặc nằm ngoài hai cạnh đó.
Trong bất kì trường hợp nào cát
tuyến AC cũng cắt ngoài đoạn
thẳng MN. Trong tam giác KMN,
cát tuyến BD cắt ngoài hai cạnh
KM và KN nên cát tuyến đó cắt
ngoài đoạn MN. Sử dụng định lí Mê-nê-la-uýt với hai tam giác đó ta suy ra
AC và BD cắt nhau trên MN. Hạ OI vuông góc với MN và kí hiệu H„ H
lần lượt là giao điểm của OI với AB và CD. Gọi J là giao điểm của ON và
CD, ta có
13
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
16/214
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
17/214
11. Kí hiệu A ’, c \ E’ tương ứng là các giao điểm của AD và CE, CF và AE,
EB và AC. Các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy khi và chỉ khi
AE' CA' EC'
E’C'A'E'C'A
Trong tam giác ABE’ ta có
AE ' _ sinẤBẼ _ AE
AB ~~sinẤẼTb - 2R .sin ÃẼT b
(R là bán kính đườne tròn ngoại tiếp lục giác).
ML CE' CETrong tam giác CBE’ ta có ----- = ---------- F===~ •
CB 2RsinCE’B9
Chia cả hai đẳng thức trên cho nhau ta được
AE' CE _ AB
E ' C ' E A ~ B C '
Lập luận tương tự la có
CA' EA _ CD , J5C AC _ EF
A 'E ' AC ~ DE va C ‘A ' CE ~ FA ■
Nhân cả ba đẳng ihức nhận được với nhau ta suy ra
AE' CA' E C _ AB CD EF
W C ' A ' E ' C ' A ~ BC DE FA
Sử dụng Bài 7 ta được điểu cần chứng minh.
12. a) Kí hiệu M và N là giao điểm của o c và đường tròn tâm O’. Vì
OAO' = OBO’= 90° nên OA và OB là các tiếp tuyến với đường tròn tâm 0 \
Vì các tam giác OAC và OBC cân tại o SUV ra AC và BC !à các phân giác
của các gócMAN và MBN. Điều đó chứng tỏ p là điểm chính giữa của
cung MBN và Q là điểm chính giữa của CU MAN . Nghĩa là PQ đi qua tâm
O’ cỉia đường tròn.
15
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
18/214
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
19/214
17. a) Gọi s là giao điểm thứ hai của phân giác góc AQC với đường tròn (O).
„ , „ . „ ^ - AB sin APBTam giác SAC cân tại s. Trong tam giác PAC. ta có —— = ----- . Trong
BC sinBPC
tam giác SAC, ta có
AR _ sin A SR _ sin ACQ
RC sinCSR sinCAQ
Sử dụng định lí Xêva cho tam giác PAC với ba cát tuyến PQ, AQ, CQ ta
AB AR suy ra —— = ——- r .
saJBC CR
18. Ta có MAB CBD = CAD. Gọi N là giao điểm của AM với đường trònngoại tiếp tứ giác khác A, khi đó ta có CN // BD. Vì vậy
CD = BN và BC = DN. Từ giả thiết AB.CD = AD.BC, ta suy ra
AB.BN = ÀD.DN. Đẳng thức này chứng tỏ rằns diện tích hai tam giác
ABN và AND bằng nhau. Do đó M là trung điểm cùa BD.
19. (H .l l) Vì ACED là hình thang cân
nên AD = CE và CD = AE.
Từ AB.CD = AD.BC, ta suy ra AB.AE = BC.CE. Vì M là trung
điểm của AC nên diện tích của hai Q
tam giác ABE và CBE bằng nhau.
Từ đản? thức
AB.AE sin BAẼ = BC.CEsin BCE
ta suy ra sin BAE = sin BCE . Từ
sin BAE = sin BCE và BAE ^ BCE
suy ra BAE = Ĩ -B C E . Điều này chứng tỏ tứ giác ABCE nội tiếp. Từ các
tứ giác ACED và ABCE nội tiếp ta suy ra điều cần chứng minh.
2-MSCĐ...HSGTHPT 17
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
20/214
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
21/214
HUYÊN ĐÊ 2
TỨ GIÁC NỘI TIẾP CÓ HAI ĐƯÒNG CHÉOVUÔNG GÓC VÓI NHAU
Các bài tập trong chuyên đề này liên quan đến tứ qiác nội tiếp có hai
chéo vuông góc, các tính chất của tứ giác v à điểu kiện nội tiếp của
một tứ giác.
BÀI TẬP
1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và hai đường chéo vuông góc
với nhau tại p.
a) Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua p và trung điểm của cạnh
AB thì đường thẳng đó vuông ạóc với CD.
b) Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua p và vuông góc với AB
thì đường thằng đó đi qua trung điểm của cạnh CD.
c) Chứng minh rằng tập hợp các hình chiếu của p trên các đường thẳng
chứa bốn cạnh tứ giác nằm trên cùng một đường tròn và đường tròn này đi
qua trung điểm 4 cạnh tứ giác.
d) Chứng minh rằng ABZ+ BC + CD + DA = R (R là bán kính đường
tròn ngoại tiếp tứ giác).
2. Cho đường tròn (O ; R) và điểm p cô' định trong đường tròn cách tâm o một khoảng a. Xét tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn o có hai đường chéo
vuông góc tại p.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của AC.BD :
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của AC + BD ;
Ểưỉ%
19
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
22/214
c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của — ;BD
d) Tìm chu vi lớn nhất và nhỏ nhất của tứ giác ABCD.
3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp có AC vuông góc với BD tại p (P khác tâ
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD). Gọi P|, p,, p„ p„ lần iượt ỉà hìn
chiếu của p trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu cặp đường thẳn
P,P và PP cắt nhau tại một điểm thì điểm đó nằm trên đường thẳng AC.
4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp có AC vuông góc với BD ĩại
(P khác tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD). Gọi I là giao điểm
các đường phân giác của các góc BAD và BCD ; J là giao điểm các đườn
phân giác của các góc ABC, ADC. Chứng minh rằng IOJ = — .
5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có AC vuông góc với BĐ tại
(P khác tâm o của đường tròn (O)). Trên đường tròn (O) ta lấy hai điểm E
F sao cho BE // DF // AC. Gọi P’ là giao điểm của EF và AC. Đường thẳn
đi qua A song song với BD cắt BE và DF tương ứng tại các điểm B’ và D
Chứng minh rằng :
a) p là trực tâm của tam giác P’B’D’ ;
b) Chân các đường cao của tam giác P’B’D’ kẻ từ B’ và D’ nằm trên cá
đường đường BF và DE.
. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại p. biết rằn
đường thẳng đi qua p và trung điểm của cạnh AB vuông góc với CD
Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp.
7. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại p. Chứnminh rằng :
a) Bốn trung điểm của bổn cạnh tứ giác nằm trên cùng một đường tròn và
đường trộn này được kí hiệu ỉà co;
b) Nếu co đi qua hình chiếu của p trên AB thì tứ giác ABCD nội tiếp.
20
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
23/214
. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại p. Kí hiệu Pj,
p2, p,, p lần lượt là hình chiếu của p trên AB, BC. CD. DA. Giả sử các
đường thẳng P,Pj và p,p cắt nhau tại một điểm trên đường thẳng AC.
Chứng minh rằng :
a) Tứ giác P jP j P jP j nội tiếp ;
b) Nếu trung điểm của cạnh AB nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác
P,PP,P thì tứ giác ABCD nội tiếp.
9. Cho tứ giác ABCD nội tiếp có hai đường chéo vuông góc với nhau tại p và
BD đi qua tâm của đường tròn naoại tiếp tứ giác ABCD. Trên các cạnh AD
và Đ ^ ta lấy lấn lượt các điểm M và N sao cho BM vuông góc với AN.
Chứng minh rằng BN vuông góc với CM.
10. Cho tứ giác ẢBCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại p và thoả
I - AB.BC BP _ , ________ . 1mãn điễu kiện ——- ^ I. Chứng minh răns tứ giác ABCD nội tiếp.
AD.DC DP
11. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm o với hai đường chéo AC và
BD vuông góc với nhau tại p và thoả mãn đổng thời cắc diều kiện PA < PC,
PB < PD. Chứng minh ràng :
a) Tâm o nằm trong tam giác PCD ;
b) Diện tích tứ giác OABC bằng nửa diện tích tứ giác ABCD.
12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). hai đường chéo vuông ơóc với
nhau tại p (khác O). Chứng minh rằna diện tích lam aiác OAB bằng diện
tích tam giác OCD và diện tích tam giác OBC bằna diện tích tam aiác OAD.
13. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). hai đường chéo vuông góc với
nhau tại p (khác O). Chứng minh ràng bốn trực tâm cùa bốn tam giác ABC,
BCD, CDA, DAB lập thành đỉnh của một tứ gíăc nội tiếp với hái đường chéo vuông góc và tứ giác này bằn tứ giác ABCD.
14. Chó tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). hai dường chéo vuông góc với
nhau tại p (khác 0). Ghứnặ minh rằng :
|b  c - b c ầ | = ỈDÃC - i5 c ã | .
21
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
24/214
15. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo vuông góc với
nhau tại p và AC là đường kính của đường tròn. Giả sử (O’) ỉà một đường
tròn tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại điểm M nằm trên cung BCD sao
cho từ A có thể kẻ tới đường tròn (O’) các tiếp tuyến ATị, AT (Ti, T ỉà
tiếp điểm) thoả mãn điều kiện AT! = AB. Chứng minh rằng (O’) tiếp xúc
với đường chéo BD.
16. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (0 ) , hai đường chéo cắt nhau tại p
(khác O). Chứng minh rằng hai đường chéo tứ giác vuông góc khi và chí
khi khoảng cách từ o đến AB bằng một nửa độ dài CD và khoảng cách từ
0 đến CD bằn? một nửa độ dài AB.
17. Cho đường tròn (O ; R) và một điểm p cố định cách tâm dường tròn một
khoảng a (với a < R). Một góc vuông xPy có hai cạnh Px và Py cắt đường
tròn đã cho tại hai điểm A, B. Tìm tập hợp trung điểm của dây AB và hình
chiếu vuông góc của p trên dây này khi góc vuông xPy quav xung quanh p.
18. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo vuông góc vối
nhau tại p (khác O). Gọi p,, P2, Pj, P là các hình chiếu vuông góc của p
trên các cạnh của tứ giấc. Chứng minh rằng p là tâm đường tròn nội tiếp tó giấc P]PPP và tính bán kính r của đường tròn đó theo bán kính R của
đường tròn (O) và khoảng cách OP = 2a.
19. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại p. Gọi M, N, E, F lần
lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu bốn
điểm M, N , E, F nằm trên cùng một đường tròn và MPN + EPF = 180° thì
tứ giác ABCD nội tiếp có hai đường chéo vuông góc.
20. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O ; R) với hai đường chéo
khác đường kính của đường tròn (O). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ
để hai đường chéo của tứ giác vuông góc với nhau là
AB + BC + CD + DA = R2.
22
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
25/214
Đáp số ■Lời giải - Hướng dẫn
a) Gọi M là trung điểm của cạnh AB và M’ là giao điểm của PM và CD. Ta
có CPM ' = APM = BAC = B DC. Kết quả đó chứng tỏ PM vuông góc với CD.
b) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ p xuống AB và H’ là giao điểmcủa PH và CD. Ta có DPH' = BPH = BAC = BDC . Điều đó chứng tỏ tam
giác PDH’ cân tại H’ và tam giác CPH’ cân tại H’.
c) Kí hiệu M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Vì
tứ giác MNEF là hình chữ nhật, nên tứ giác đó nội tiếp với các đường chéo
là đường kính của đường tròn. Theo kết quả của câu a) và câu b) ta suy ra
rằng sghân các đường vuông góc hạ từ p xuống các cạnh tứ giác nhìn các
đường chéo của hình chữ nhật MNEF dưới góc 90°. Do đó chúng nằm trên
đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật MNEF.
d) Cách ì. Ta có AB + BC + CD + DA = 2(PA + PB + PC + PD2). Gọi
I và J là trung điểm của AC và BD. Ta có
PÃ = PĨ+ĨÃ => PA = PI+ ỈA + 2PĨ.ĨÃ .
Tương tự PC = PI +IC + 2PIIC. Cộng các kết quả trên ta được
PA + PC =2PI + 2IA + 2PĨ(ĨÃ+Ĩc) = 2PI + — . Tương tự ta có
PB + PD = 2PJ + -5 5 - . Vì tứ giác OIPJ là hình chữ nhật nên PI + PJ = OP2.
ÀC RFìVậy PA2+ PB + PC2+ PD = 20P + — .
•3 2 2
Xét PA.PC = OP - R PI +ĨÃ.ĨC = OP - R
A C2
4 = PI - OP +R2.
BETương tự ta c ó ------ = PJ - OP + R2. Từ các kết quả đó ta được
PA2+ PB + PC + PD = 20P + 2(PI + PJ - 2 0P + 2R2) = 4R2.
Từ đây ta nhận được điều cần chứng minh.
23
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
26/214
Cách 2. Kẻ đường kính AE, khi đó các tam giác ADE và ACE vuông t
các đỉnh D và c. Trong tam giác vuông ADE ta có AD + DE = 4R BD // CE nên tứ giác BDEC là hình thang cân và ta có BE = CD. BC = D
Từ điều kiện AC J_ BD suy ra AB + CD = AD + BE2. Từ các kết quả tr
ta được AB + BƠ + CD + AD = (AD +BC2) = R2.
2. Kí hiệu góc tạo bởi tia PO và tia PA bằng a , khi đó
AC = 2 \/r - a sin a = 2aVk - sin a .
sin22a
BD =2-\/r - a cos a = 2a \ /k -co s a (k > 1).
a) Xét tích AC.BD = 2aVĨ< - sin a 2 a V k - c o s 2 a =4a2Ỵ^~^~t
Tích AC. BD lớn nhất khi sin2a =1 và AC. BD nhỏ nhất khi sin2a = 0.
b) Tổng AC + BD = 2aVk -s in a + 2a-v/k - COS a
= 2 a (- /k -COS2 a + V k - s i n 2 a )
Xét tổng V i ^ W ^ + V i n ^ < V 2 ( k 3 I ) , Dấu “=” trong bất đẳn
thức xảy ra khi và chỉ khi tan2a = .
Xét ( -v/k - co s a + Vk -s in a = 2k - 1 + 2 yỊk ?- k + s-- - -
mà- sin a > 0. Dấu “=” xảy ra trong bất đẳng thức khi sin2a = 0.
, , AC V k - s in 2a i k - s u r a „ . .c) Ta có -T-— = , .. - ■■■— = , /---------- r— . Tìm giá tri lớn nhất, giá
BD Vk -cos 2a , :Vk- cos 2a,
r k - sin a , ,nhỏ nhất của f = ----- — — ta được kẽt quá bài toán,
k - co s a
d) Đặt PA - X, PC = y, PB = z, PD = t bài toán được đưa vế tìm min, m
của biểu thức
4 x 2 + Z 2 + , ] y+ z W x + t + v ỹ ^
với điều kiện xy = zt = R - a2.
+ t
24
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
27/214
3. Theo Bài 1, các điểm Pị, P2, p?, P nằm trên cùng một đường tròn (được kí
hiệu (O,)) . Mặt khác, bốn điểm A, c , p2, p, nằm trên cùng một đường tròn
(được kí hiệu ( 0 2)) và A, c , p,, P nằm trên cùng một đường tròn (được kí
hiệu bằng (O,)). Nếu Q là giao của p,p và p,p„ thì phương tích của Q đối
với các đường tròn ( 0 2) và (O,) bằng QP..OP, =QPvOPj. Điều đó chứng tỏ
Q nằm trên trục đẳng phương của (Oị) và (0 2). Trục đẳng phương cúa (0 |)
và ( 0 2) ỉà đường thẳng AC.
4. Ta thấy rằng trong tam giác ABD các đường thẳng AO và AC là hai đường
đẳn g^ iác kẻ từ A. Do đó AI là phân giác của góc CAO . Tương tự CI !à
phân giác của góc ACO . Vì vậy I ià tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAC. Do tam giác OAC cân tại o, nên OI vuông ÓC với AC.
Tức ỉà OI // BD. Tương tự, ta có OJ // AC.
5. a) Nếu d là một đường kính của (O) vuông góc với AC thì d là trục dối
xứng cùa các cặp điểm p và p’ ; A và c. Vì vậy ẤP = -CP'=>Ã P = P'C .
Phép tịnh tiến theo vectơAP biến B’P’ Ihành BC ; D' P’ thành DC do đó
P’B’ // BC và D’P’// DC. Vì B’P di qua trung điểm của AB và D’P đi qua trung điểm cúa AD, theo Bài ỉ ta suy ra B’P và D’P là các đường cao của
tam giác P’B’D'.
b) Gọi A’ là giao điểm thứ hai của đường thẳng B’D’ và đường tròn ngoại
tiếp tứ giác. Phép đối xứng qua đường kính vuông góc với BD biến A thành
A ’ và B’ thành'D\ Ta có D ’À ' = ÀB' = PB = P ’Ẽ . Phép tịnh tiến theo vectơ
D ’A ’ biến đường thẳng D’P’ thành, đường fhang A ’E ; D T ,thành A’B và
ta có EA 'B = P ' D ' P . Vì p là trực làm tam si ặc P’B ’P ’ nên
P'B ’P = P ’D ’P . Từ đó ta nhận được EA’B = P 'B ’P . Mật khác, số đo các
cung BE và DF bằng'nhau nến ta có :F B Đ -P ’B'P'; Điều đó chứng tỏ
giao điểm H của BF và B’P’ nằm trẽn đườiig tròn ngoại tiếp hình chữ nhật
APBB’. Tức là PH vuông góc với.BT.’. Đây là điều cần chứng minh.
25
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
28/214
Gọi Q là trung điểm của AB và H là giao điểm của PQ và CD. Ta có
BAG = QPA = HPC = CDB. Đẳng thức nàv chứng tỏ A và D nằm trên
cùng một cung chứà góc được dựng trên dây BC.
a) Kí hiệu M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA khi
đó ta có MN // EF // AC và MF // NE // BD. Vì vậy MNEF là hình chữ
nhật. Một hình chữ nhật bao giờ cũng nội tiếp trong một đường tròn.
b) Gọi ỉ, K, L, H lần lượt là hình chiếu của của p trên AB, BC, CD, DA.
Trong tam giác ABC ta có BĨ.BÃ = BK.BC => BI.BM = BK.BN (*). Vì I
thuộc và từ (*) ta suy ra K thuộc co. Trong tam giác ABD ta có
Al.AM = AH.AF CÙ với I thuộc co ta suy ra H thuộc (ù. Tương tự L cũng
thuộc co. Dẻ dàng thấv rằng PI đi qua E và theo Bài toán ta suy ra điều
cần chứng minh.
a) Gọi M là giao điểm của p,p với p_,p4. Từ đường tròn đi qua các điếm A.
c. p,, Pj ta suy ra MP,MP = MAMB (*). Tương tự với đường tTÒn đi qua
bốn điểm A. c, p,, P4, ta có MPjMP, =MAMB(**). Từ (*) và (**) ta suy
ra điều cần chứng minh.
b) Nếu trung điếm của AB nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác P,P,PP
thì các trung điểm của ba cạnh còn lại của tứ giác ABCD cũng nằm trên
đường tròn này. Bằng cách lí luận như Bài 7 ta nhận được điều cần
chứng minh
9. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Trong tam giác vuông ABM ta có
AB = BH.BM. Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ c xuống BN ta có
BC =BK .B N . Vì AB = BC, nên BH.BM = BK .BN. Điều này chứng tỏ
bốn điểm M, N, K, H nằm trên cùng một đường tròn đường kính MN. Tức
là MK vuông góc với BN hay CK đi qua M. Đãy là điều cần chứng minh.
lft AB.BC _ BP AB.BC _ AB.BCsinẤBC X10- - sinABC = sinADC(*)- Ta
AD.DC DP AD.DC AD.DC sin ADC
coi BP < DP. Gọi B’ là điểm đối xứng vớí B qua AC, khi đó B’ nằm trong
tam giác ACD và ta có ABC = AB 'C > ADC(**). Từ (*) và (**) suy ra
ABC = K —ADC và đây là điều cẩn chứng minh.
26
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
29/214
l ỉ . a) Gọi A ’ là điểm đối xứng với A qua BD. ta có A ’ thuộc PC và PA’ < PC
Vỉ vậy A’ nàm trong tam giác BCD và BAT) > BCD. Từ điều kiên
BAD + BCD = BA'D + BCD = 71, la suy ra BCD< —. Tương tự ta có
"— ' , - ■ADC< —. Trong tam giác BCD điếm p nằm trên cạnh BD nên hai góc kề
với BD nhọn. Vậy BCD là tam giác có ba góc nhọn. Tương tự, tam giác
ACD có ba góc nhọn. Ta biết rằns tâm o của đường tròn ngoại tiếp tam
giác nằm trong tam giác khi và chỉ khi tam giác đó nhọn. Do đó o nằm
đồng thời trong hai tam giác BCD và ÀCD nên o thuộc phần chung của hai
tam^iác đó. Phần chung này là tam giác vuông PCD.
b) Gọi I làítrung điểm của BD, khi đó I nằm trên đoạn PD và OI // AC.AC BD
Kí hiệu s ià điện tích tứ giác ABCD ta có s = _ _ _ _ — - AC.BỈ = 2SABC|. Vì
diện tích hai tam giác OAC và IAC bằng nhau nên diện tích của hai tứ giấc
ABCO và ABCI bằng nhau.
12. Ta thấy rằng OA = OB = o c = OD vằ AOB + COD = n nên
OA.OB.sinẢOB = OC.OD .sinCOD. Tức ià diện tích tam giác OAB bang
diện tích tam giác OCD. Tương tự, đối với cập tam giác còn lại.
13. Gọi A|, B(, C], D, tương ứng là trực tâm các tam giác BCD, CD A, DAB.
ABC. Khi đó các điểm A| và B, tương ứng nằm trên AC và BD. Vì BA, và
AB, cùng vuông góc với CD nên BA, // AB,. Ta có DBA, =DCA = t)BA
nên tam giác ABA, cân tại B. Tương tự, tam giác ABB, cân tại A. Điều đó
chứng tỏ p là tâm đối xứng của A và A|, của B và Bị. Tương tự, p ià tâm
đối xứng của D và D(, của c và C|. Tóm lại, phép đối xứng qua p biến tứ
giác ABCD thành tứ giác A ịB,C|D|.
14. Ta biết rằng
BÂ C-B CẦ = OBD và DAC- DCa Ị= ỐDB .
Vì tam giác OBD cân tại o nên ta suy ra điều cần chứng minh.
27
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
30/214
15. Gọi N là giao điểm của AM và BD. Vì bốn điểm M, c, p, N nằm trên cù
một đường tròn nên ta có AN.AM = AP.AC . Trong tam giác vuông ABC
có AP.A C=A B2. Từ đó ta suy ra AN.AM = AB =ATj2, Đẳng thức
chứng tỏ N nằm trên đường tròn (O’) và 0 ’N // AC. Do đó O’N vuông
với BD tại N. Đây là điều cần chứng minh.
16. Gọi H và K lấn lượt là trung điểm của AB và CD. Nếu hai đường chéo
tứ giác vuông góc thì PK // OH và PH // OK. Tứ giác OHPK là hình bình hà
do đó ta có OH = PK - và OK = PH = -^5. „ Ngirợc lại.
OH = — = CK và OK = — = BH thì hai tam giác vuông OCK và O
bầng nhau và ta có COK = OBH, BO H =O C K . Từ đó suy
AOB + COD —K. Theo tính chất của góc có đính trong đường tròn, ta s
ra ẤPB = - .2
17. Kéo dài Px và Py cắt đường tròn (O ; R) tại các điểm c và D. Gọi M
trung điểm của AB ; H là hình chiếu cúa p trẽn AB và N !à trung điểm c
CD. Theo Bài , đoạn MN là đườns kính của đường tròn đi qua H. Tâm c
đường tròn này là trung điểm của đoạn OP. Vì OP cô' định nên trung đicủa đoạn OP cố định. Ta chứng minh rằng MN có độ dài Rhone đ
Thật vậy, tứ giác OMPN !à hình bình hành nên ta
2(PM + PN-) = OP2+ MN2. Mặt khác, ta có 4(PM2+ PN2) = AB + CD
AB + CD" = AD + CDJ. Theo Bài 1 ta suy ra MN = 2R - dĩ và bán kí
đường tròn đi qua các điểm M, N. H là r = V2R - a"'. không dổi. Tóm
tập hợp M và H Iiằm trên đường tròn (I ; v2R^ ) trong đó I là tru
điểm cửa OP.Đáo lại, với điếm M bất kì trên đường tròn dó ta dựng điểm N đối xứns
M qua I. Gọi H íà giao điểm của PN với đường tròn (I ; V2R" - a ). Tr
MH lấy các điểm A, B sao cho MA = MB. = MR Ta cần chứng minh rằ
A và B nảm trên đường tròn (O) (bạn đọc tự chứng minh). Từ đó suy
PAB là tam giác vuồrrg tại p.
28
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
31/214
18. Các điểm p,, p2, p3, P là chân các đườnơ cao của bốn tam giác vuông tại
đỉnh p nên chúng nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ aiác AP,PP và
PP,BP nội tiếp nén ta có P^P = PÃP = PBP, = pĩập2 . Vì P,P và P,P nằm
vể hai phía đối với p,p nên p,p là phân giác của góc P,P,P - Mặt khác, các
góc PAP và PBP, là góc nhọn nên PP|P < 180°. Điều này chứng tỏ góc
tại đỉnh p, của tứ giác P|PP,P nhỏ hơn 180°. Tương tự, các góc tại các
đỉnh khác của tứ giác đó nhỏ hơn 180°. Vì vậy P(P,P,P là một tứ giác lồi.
Chứng minh tương tự ta được PoP và p.p ỉà các đườr phân giác của các
góc tại các đỉnh P2, p3. Tức là p cách đểu các đường thẳng chứa các cạnh tứ
giác.íãỉa biết rằng nếu p là điểm cách đều các đườn thẳng chứa các cạnh
của một tứ giác lồi thì p là tâm đườne tròn nội tiếp tứ giác. Gọi M ìà trung
điểm của AB'va N là trung điểm của CD, khi đó MN là đườns kính của
đường tròn nạoại tiếp tứ giác P,PP,P4. Trong tam giác PMN ta có
PM + PN = 2PI + 2R: (] là trung điểm của MN). Từ công thức này ta
20. Vì o không nằm trên các đường chéo cùa tứ giác nên ÕA + ÒC và
ÕB + ÕD khác õ . Khi đó AC vuông oóc với BD (ương đưong vó'ì
(ÕÃ + ÕC)(Õ B + ÕẼ>) = 0. r =
29
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
32/214
Cho xOy . Ta nói hai đường thẳnq CỈỊ, d2 là các đườn.% đẳng g iác trong góc
đã cho nếu chúrìiị cùng đi qua đinh o vâ đối xứ!ì ụ với nhau qua phán giác
của góc đó.
1. Giả sử A và B là các điểm nằm trong góc xOy sao chơ OA và OB là các
đường đẳng giác trong góc đó.
a) Chứng mình ràng hình chiếu cùa các điểm A và B trên các dường thẳng
Ox và Oy nằm trên cùng một dường tròn. Tâm cúa đường tròn đó là trung
điểm của AB.
b) Giả sử các điểm A,, A2, Bị, B trên các tia Ox và Oy sao cho
A| A/ / Oy , A2A // Ox, B.B // Oy và B;,B // Ox. Chứng minh rằng bốn điểm
Aị, A2, Bị, B nằm trên cùng một đường tròn.
c) Giả sử Aj và B, lần lượí là hình chiếu của A và B trên Ox và Oy. Các
điểm Aj và B lần lượt trên các tia Ox và Oy thoả mãn điều kiện A2A // Ox
và BjB // Oy. Chứng minh rằng bốn điểm Aị, Aj, Bị, Bj nằm trên cùng một
đường tròn. Các khẳng định trên vẫn đúng trong trường hợp A và B nằm
ngoài góc xOy.
2. Cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng các tiếp
tuyến kẻ từ A tới đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC là các đường đẳng
giác trong góc BAC.
3. Kí hiệu K và o tương ứng là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC. Chứng minh rằng AK và AO là các đường đẳng giác trong
góc BAC.
30
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
33/214
4. AA[, BB,, c c , là các đường phân giác trong của các góc tam giác ABC. Kí
hiệu M, N lần ỉượt là giao điểm của A,C! và BBị, A,B, và c c , . Chứng
minh rằng các đường thẳng AM và AN là đẳng giác trong
góc BAC.
5. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AD và BC không song
song. Gọi p !à giao điểm các đường thẳng AD và BC. Trên các đường chéo
AM BNAC và BD ta lấy các điếm M và N sao cho —~zr = —— • Chứng minh rằng
AC BD
PM và PN là các đường đẳng giác trong góc APB.
. Cho tam giác đều ABC và các góc a , p, y thoả mãn điều kiện
a + p + y = f 80°. Về phía ngoài tam giác ABC ta dựng các tam siác cân
BCX, CAY, ABZ sao cho BX = c x , CY = AY, AZ = BZ và
BXC = 60° + — , CỸẦ = 60° + — , AZB = 60° + — .3 3 3
Kí hiệu p, Q, R lần lượt là giao điểm của CY và BZ, của c x và AZ, của
AY và BX. Chứng minh rằng các cặp đường thẳng PB và PC, QC và QA,
RA và RB là các đường đẳng giác trong ba góc tam giác PQR.7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (0 ) ; M là trung điếm của cạnh BC
và p là điểm sao cho PB và PC là các tiếp tuyến của (O). Chứng minh rằng
ẠM và AP là các đường đẳng giác trong góc BAC.
. Cho tam giác ABC và các điểm Aị, A trên đường thẳng BC. Chứng minh
rằng AA| và AA là các đường đẳng giác trong góc BAC khi và chỉ khi
^ _ b l BÃỊ
à ^ B - c2 Ă j c
9. AA,, BBj, c c , là các đường phân giác trong của các góc tam giác ABC. Kí
hiệu M là giao điểm của A,c, và BB N là giao điểm của AịB, và CC;.
Chứng minh rằng các đường thẳng AAj, BN, CM đổng quy.
3}
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
34/214
10. Giả sử AD và AM lần lượt là đường cao và trung tuyến cúa tam giác AB
(D khác M). Chứng minh rằng nếu AD và AM ià các đường đẳng gi
trong góc BAC thì ABC là tam giác vuông.
11. Cho xOy và các điểm A, B nằm trong góc. Chứng minh rằng nếu hì
chiếu của các điểm đó trên hai cạnh của góc đã cho phân biệt và nằm tr
cùng một đường tròn thì OA và OB là các đường đẳng giác trong góc đã cho.
12. Cho xOy và các điểm A, B nằm trong góc. Xét các điểm A„, Ay, B*,
phân biệt và nằm trên các cạnh của góc sao cho các tứ giác OAxAAy
OBxBBy là hình bình hành. Chứng minh rằng nếu bốn điểm A x, Ay, Bx,
nằm trên cùng một đường tròn thì OA và OB là các đường đẳng giác tron
góc đã cho.
13. Cho xOy và các điểm A, B nằm trong góc. Xét các điểm 'Ax, Ay, Bx,
nằm trên các cạnh của góc sao cho AXA // Oy, ByB // Ox. AyA _LO
B,B J_ Ox. Chứng minh ràng nếu các điểm Ax, Ay, Bx, B, nằm trên cùn
một đường tròn thì OA và OB !à các đường đắng giác trong góc đã cho.
14. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và p là điểm sao cho PB và P
!à cầc tiếp tuyến với đường tròn. Trên cạnh BC ta lấy điểm M. Chứng min
rằng M là trung điểm của BC khi và chỉ khi AP và AM !à các đường đẳngiác của góc tạo bởi AB và AC.
15. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và p là điểm sao cho PB và P
là các tiếp tuyến với đường tròn (0). Trên AB và AC ta lấy các điểm K v
H sao cho PK // AC và PH // AB. Chứng minh rằng các điểm K, H cùn
với trung điểm các cạnh AB và AC nằm trên cùng một đường tròn.
16. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Kí hiệu M, N lần lượt là trun
điểm các đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng :
a) Hình chiếu của các điểm M và N trêri các cạnh AB và CD nằm trên cùn
một đường íròn ;
b) Tập hợp tất cả các hình chiếu của M và N trên bốn cạnh tứ giác nằ
trẽn cùng một đường tròn khi và chỉ khi
AB.CD = AD.BC.
32
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
35/214
17. BH, BD lần lượt là đường cao, đường phân giác kẻ từ B của tam giác ABC ;
M, N lần lượt là trung điểm của AC và BH. Điểm K là giao của MN với
BD và L là trung điểm của BD. Chứng minh rằng AK và AL là các đường
đẳng giác trong góc BAC.
18. Trong một tứ giác lồi ABCD, đường chéo BD không phải là phân giác của
các góc ABC và ADC. Điểm p nằm trong tứ giác sao cho ABD = CBP và
ADB = C DP. Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi
PA = PC.
sgn (Đề thi ôììm pìc T oán quốc í ế năm 2004).
19. Gọi I là tâm đựờng tròn nội tiếp tam giác ABC. Các đường thẳng Aỉ, BI, CI cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A|, Bị, Cị. Các điểm A2. B2, C
nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC sao cho A,A2, ,, C|C là
các tiếp tuyến với đường tròn, khác các cạnh của tam giác ABC. Chứng
fninh rằng các đường thẳng AA2, BB2, CC cắt nhau tại một điểm và điểm
này nằm trên đường thẳng đi qua tâm các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp
tam giác đó.
20. ẠA), BB,, CCị là các đường cao của tam giác nhọn ABC. Kí hiệu A2, Bj, C lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AA, và BịC,, BB, và A,C(,
CCị và AịB,. Kí hiệu C j là đường tròn tâm A tiếp xúc với B>C| và AA, là
tiếp tuyến với C j khác B ,c ,. Đường tròn CCh tâm B tiếp xúc với A,C] và
BB là tiếp tuyến với C khác A|C,. Đường tròn (O tâm c tiếp xúc với
A,B, và C,C là tiếp tuyến với CÚ khác A|B, (Aị, Bị, c , là các tiếp điểm).
Chứng Iĩiinh rằng các đường thẳng A,A3, B,B, và c ,c , cắt nhau tại một
điểm.
21. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong mặt phẳng chứa tam giác đó.
Phép đối xứng qua phân giác góc BAC, ABC và ACB biến AM, BM và
CM thành các đường thẳng X, y, z.
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng X, y, z cắt nhau tại một điểm M’.
3 -MSCĐ...HSGTHPT 'X '}
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
36/214
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
37/214
b) Các điểm A|, Aj, Bị, B nằm trên hai cạnh của góc xOy nên chúng là
đính của một tứ giác lồi. Từ các cặp tam giác dồng dạngOAAị và OBB
OA A, và OBB, ta suy ra —— = Đẳng thúc này chứng tỏ haiOB, OB, OB
lam giác OA,B và OAB, đồng dạng và OB|A = ỎBÃ, . Vì OB,A, là
góc ngoài của tứ giác AjAjBjB, nên tứ giác đó nội tiếp.
c) Sử dụng lại kí hiệu góc của phần a) ta có :
----------------------- :----------------------Từ đo ta suy ra OA,.OB, và OA,.OB, cùng dấu. Từ các cặp tam giác đổng
dạng OA,A vạ OB,B, OA2A và OBB, ta suy ra
Tù' các kết quả trên ta suy ra OAị.OB, = OAr O B,.
2. Hãy chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC nằm trên
phân giác của BAC.
3. Kéo dài AO cắt đường tròn tại A ’, AK cắt BC tại II. Các lam giác ABH và
AA ’C tương ứng vuông tại H và c có ABH = A A 'C . Xem các hình 13 và
14. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
OA|=OA.cosa, OB,=OB.cosa.
B
A'
A' K
Hìn h 13 Hình 14
35
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
38/214
4. CH. 15) Rõ ràng AM và AN nằm khác phía đối với đường phân giác AA(. T
cầnchứng minh rằng BAM = CAN. Lấy trên AB và AC các điểm M’ và N’ s
cho MM’ // NN’ // AA,. Ta cần chứng minh rằng AM ' A N'
AM’ A.M MM — :— - và — —
AC, A,c, A A,
_ CịM
A,C|
MM'
A
NN'. Ta có
Từ đó ta suy ra
AM' AA| _ A,M
MM'-ẠC, ” C,M
AM'
MM'
A,M ACị
MC, ÃÃ^
^ , AN' _ A,N AB,Tuơna tự ta có -——= ỊỊ-.-—-i-
N N’ NB, AA,
Hiển nhiên
AjM A Q _ A ịN AỊ^
MC, AA, ” NBj ' AA,A ,c
A>B AC AB , ■ •AịB = —.AịCBC, GB, a
Điều này luôn đúng.
(H.16) Rõ ràng AX, BY, c z tương ứng là
các đường phân giác của các góc
QXR , PYR, PZQ. Ta có
BAZ = 60° - — , CAY = 60°3 3
=> QÃ R = YÃZ = 60° - 1 + 60° - —+ 60°3 3
:1 2 0 °+ - = 9 0 °+ 3 0 °+ - = 90° + -! 60° + a
= 90° +QXR
36
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
39/214
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
40/214
Vì vậy SÙẫr - BA, = B A ,, nghĩa là A và A, trùng nhau.A 2B a 3b
Trường hợp B, c nằm trên đoạn A,A2, chứng minh tương tự.
9. (H.17) Gọi J là giao điểm của AA, và B ,c , ; ĩ là giao điểm của AA, và BN.
Theo Bài 4, các đường thẳng BI và BJ là các đường đẳng giác trong gócA BC. Sử dụng Bài đối với tam
giác ABA, ta có
AJTương tự, gọi I’
A
A|I _BA,
IA BA JA
là giao điểm của CM và AA| trong
tam giác ACAị ta có
‐Ajl' _ A)C AJ
I A CA ' JA|. Vì AA, là phân
AịB A ị Cgiác góc BAC nên — - —L-
AB AC. Từ
kết quả trên ta suy ra = Nshla là hai điểm I và I’ trùng nhau.IA I’A
10. Ta biết rằng đường thẳng đối xứng với AD qua phân giác của góc BAC đi
qua tâm o của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Bài 3). Vì vậy M phải
thuộc đường thẳng đó. Nếu M và o khác nhau thì AM vuông góc với BC.
Nghĩa là AM trùng với AD trái với giá thiết. Vì vạy M trùng với o.
11. Ký hiệu Ax, Aylần lượt là hình chiếu của A trên Ox và Oy : Bx , By lần lượt
là hình chiếu của B trên Ox và Oy. Từ các tứ aiác nội tiếp OAxAAj và
OBxBBy, ta suy raAOAx= ẢAyAx , BOBy = BBxBy . Từ tứ giác nội tiếp
AxBxByAy ta suy ra OAj A x=OBxBy .
Vì O A /T + ẤÁ /TX=Õ Bjfy + B B Ạ = 90° nên ÃÃ^A, = BẼ^B, . Đây làđiều cần chứna minh.
12. Từ giả thiết ta suy ra hai tam giác OAxA và OByB đồng dạng nên
A0 T = b 5 b ' .
38
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
41/214
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
42/214
KE'I = KFJ = PCA= —.2
Vì N là trung điểm của BH nên K
là trung điểm của IJ. Hai tam
giác vuông KFJ và KE’I bằng nhau nên IE’ = JF.
Trong tam giác vuông KAI ta
có
. — . A I MI MA cot KAI = — = —- +
KI KI KI
FJ _ AE' B =—- + 2-——= cot —+ 2cotA.
KJ EE' / 2
Gọi L’ và D’ lần lượt là hình
chiếu của L và D trên AB, khi
đó L’B = L’D’. Trong tam giác
vuông LAL’ ta có
. fT r , _ AL' L'D' AD'cotLAL ----- + ------
LL'LL' LL'
BL' AD'
LL' DD'
Hình 18
Bcot —+ 2cotA.
2
Từ các kết quả đó ta suy ra điều
cần chứng minh.
18. (H.19) Nếu ABCD nội tiếp và
BP cắt đường tròn ngoại tiếp nó
lần thứ hai tại E thì DE // AC.
Tương tự, DP cắt đường tròn
ngoại tiếp tứ giác lần thứ hai tại A
F, ta có BF // AC. Từ đó tứ giác
BDEF là một hình thang cân
hoặc một hình chữ nhật. Nghĩa
là p nằm trên đường kính của
đường tròn vuông góc với AC.Hình 19
40
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN
43/214
19. Kí hiệu A ’, B \ C’ lần lượt là tiếp điểm của BC, CA. AB với đường tròn
tâm I, ta thấy rằng A’ đối xứng với A qua AI. Theo giả thiết AB đối xứng
với AC qua AI. Vì vậy AA’ và AA là các đường đẳng giác trong góc
BAC. Tương tự các đường thẳng BB’ và BB2, CC’ và CC là các đườn°
đẳng giác trong các góc ABC và ACB. Ta chứng minh được rằng AA’
BB’, CC’ đồng quy. Sử dụng bài ta suy ra điều cần chứng minh. Để ý
rằng A’A và B’C’ cùng vuông góc với AI nên A’A // B’C’. Vì vậy
A ’B’ = C’A2. Tương tự ta có A ’B’ = C’B2. Từ các kết quả đó ta suv ra tam
giác C’AB cân tại C’ và AB // AB. Các tam giác ABC và ABC có các
cạnh song song nên tồn tại một phép vị tự biến tam giác này thành tam
giác kia. Một trong các phép vị tự đó có tâm trùng với giao điểm các
đường thẳng AA2, BB2, CC2. Phép vị tự đó biến đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
20. (H.20) Trong tam giác A.B ịQ , các đường thẳng AÁ„ BB,, c c , là cá