monografia de tensores

8/16/2019 Monografia de Tensores

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“Año de la Diversifcacion Productiva y del

Fortalecimiento de la Educacion. ”

CÁTEDRA : CALCULO IIICATEDRÁDITO : Lic.NOBEL LEIVA GONZALESESTUDIANTE :YANCE ESPINOZA, Rolando Wil!" SE#ESTRE : TERCERO

UNIVERSIDAD .

FACULTAD DEI!EIE"IA CI#IL

TENSORES

$%&'(I


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DEDICATORIA:

El presente trabajo vadedicado a Brayan, qe es !iinspiraci"n eterna de qien a#n nopedo olvidar, $er!ano ten%o lasesperan&as de qe nos va!osencontrar en la otra vida'

(racias)


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INDICE

I'TENSORES, DE*INICIONES *+NDAENTA-ES

II'C-ASI*ICACION DE TENSORES

III'TI.OS DE TENSORES

I/'A.-ICACION +-TI-INEA-

0' TENSORES DE ORDEN +NO

1' TENSORES DE ORDEN DOS

2' TENSORES DE ORDEN (ENERA-I3ADOS

4' CO/ARIAN3A 5 CONTRA/ARIAN3A

6' CON/ENIO DE S+ACION DE EINSTEN

7' .ROD+CTO TENSORIA- 5 .ROD+CTO E8TERIOR

9' .ROD+CTO INTERNO

' D+A- DE ;OD(E

/'TENSORES EN E- CA.O DE E


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INTROD+CCI>N

El concepto de tensores sr%e natral!ente co!o na %enerali&aci"n de las

cantidades escalares y vectoriales? en los escalares el valor de la cantidadper!anece inalterada para tras@or!aci"n de coordenadas? por eje!plo si en el

interior de n cerpo la te!peratra se pede epresar corno na @nci"n de

pnto? obvia!ente la te!peratra en cada pnto tiene n valor deter!inado

independiente del siste!a coordenado tili&ado para locali&arlo, por lo tanto: Este

tipo de trans@or!aci"n es la !s ele!ental qe eiste? en ella las co!ponentes de

la cantidad la cantidad escalar tiene na sola co!ponente s !a%nitd

per!anecen invariables al ca!biar de coordenadas' Ta!biFn saber qe las

co!ponentes de n vector se trans@or!an al ca!biar coordenadas? esta

trans@or!aci"n pede ser covariante o contravariante para cada vector? es decir

ss co!ponentes ya sean se%#n qe estFn epresadas en la base recGproca o

directa respectiva!ente se trans@or!an al ca!biar del siste!a'

Recorde!os qe lo qe se trans@or!a por !edio de las anteriores ecaciones son

cierto tipo de co!ponentes del vector pero no el vector !is!o ya qe este

per!anece @ijo o inalterado, es n invariante, en canto a !a%nitd y direcci"n con

respecto a al%#n siste!a absolto de coordenadas' Entonces el vector se pede

epresar se%#n las coordenadas o se%#n las 5 en cada no de estos siste!as se

epresa se%#n los vectores base directos o se%#n los recGprocos? por lo tanto:

.ode!os %enerali&ar a$ora y sponer qe eisten cantidades, ta!biFn invariantes

co!o la !a%nitd de n escalar o co!o n vector @ijo, cyas co!ponentes se

trans@or!aci"n de !anera co!pleta!ente si!ilar a co!o se trans@or!an las

co!ponentes de n vector? por eje!plo pode!os sponer la eistencia de na

cierta cantidad'


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I' TENSORES , DE*INICIONES *+NDAENTA-ES

AsG pes, co!en&a!os la lecci"n recordando lo qe se entiende por n

tensor sobre n espacio vectorial, qe tiene co!o casos particlares y

distin%idos a los convectores y las @or!as bilineales' Tras esta

introdcci"n al%ebraica, se de@inen las no @or!as sobre na variedad

'

TENSORES

c$os @en"!enos @Gsicos se representan !ate!tica!ente !edianteTensores, los cales, por necesidad son representados en n siste!a

de re@erencia, de este !odo sr%e el concepto de co!ponentes del

tensor' Si bien los tensores son independientes del siste!a de

re@erencia, las co!ponentes sern dependientes y variarn con Fste'

&. CLASI)ICACION DE LOS TENSORES

&.&. E*cala" Tensor de orden H' Cantidad qe tiene !a%nitd pero nodirecci"n eje!plo: densidad, te!peratra, presi"n' -os escalares

peden ser @nciones del espacio y del tie!po y no necesaria!ente

$an de ser constantes'

&.$. V!c+o" Tensor de orden 0' Cantidad qe tiene !a%nitd ydirecci"n eje!plo: velocidad, aceleraci"n, @er&a' Ser si!boli&adopor na letra en ne%rita en !in#scla'


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TI.OS DE TENSOR 5 TENSION

T!n*o" +!n*in d! Ca-c/

Representaci"n %r@ica de las co!ponentes del tensor tensi"n en na base

orto%onal'

El teore!a de Cac$y sobre las tensiones de n cerpo, establece qe dada na

distribci"n de tensiones internas sobre la %eo!etrGa de n !edio contin#ode@or!ado, qe satis@a%a las condiciones del principio de Cac$y eiste n ca!potensorial si!Ftrico de@inido sobre la %eo!etrGa de@or!ada con las si%ientespropiedades:

0' '

1' '

2' '

-a tercera propiedad si%ni@ica qe este tensor vendr dado sobre las coordenadasespeci@icadas por na !atri& si!Ftrica' Cabe sealar qe en n proble!a!ecnico a priori es di@Gcil conocer el tensor tensi"n de Cac$y ya qe este estde@inido sobre la %eo!etrGa del cerpo na ve& de@or!ado, y Fsta no es conocidade ante!ano' .or tanto previa!ente es necesario encontrar la @or!a de@or!adapara conocer eacta!ente el tensor de Cac$y' Sin e!bar%o, cando lasde@or!aciones son peqeas, en in%enierGa y aplicaciones prcticas se e!pleaeste tensor anqe de@inido sobre las coordenadas del cerpo sin de@or!ar local no condce a errores de clclo ecesivo si todas las de@or!aciones!i!as son in@eriores a H,H0'

*ijado n siste!a de re@erencia orto%onal, el tensor tensi"n de Cac$y viene dadopor na !atri& si!Ftrica, cyas co!ponentes son:

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica#Principio_de_Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica#Principio_de_Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica#Principio_de_Cauchy


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-a se%nda @or!a es la @or!a co!#n de lla!ar a las co!ponentes del tensortensi"n en in%enierGa'

P"i0!" +!n*o" +!n*in d! Piola(1i"co22 Jeditar K

-os tensores de .iolaLMirc$$o@@ T R se introdcen para evitar la di@icltad detener qe trabajar con n tensor de@inido sobre la %eo!etrGa ya de@or!adaqe nor!al!ente no es conocida de ante!ano' -a relaci"n entre a!bostensores viene dada por:

Donde F es el tensor %radiente de de@or!aci"n' Este tensor sin e!bar%o, tieneel proble!a de qe no es si!Ftrico ver se%ndo tensor tensi"n de .iolaLMirc$$o@@'

S!3-ndo +!n*o" +!n*in d! Piola(1i"co22

Este tensor se introdce para lo%rar n tensor de@inido sobre la %eo!etrGaprevia a la de@or!aci"n y qe ade!s sea si!Ftrico, a di@erencia del pri!ertensor de .iolaLMirc$$o@@ qe no tiene por qF ser si!Ftrico' El se%ndo tensor tensi"n de .iolaLMirc$$o@@ viene dado por:

T!n*o" d! *!3-ndo o"d!n Tensor de orden 1' Cantidad qe tiene

!a%nitd y dos direcciones eje!plo: tensi"n, de@or!aci"n' Sersi!boli&ado por na letra ne%rita en !ay#scla, ta!biFn para los tensoresde orden sperior'

A.-ICACI>N +-TI-INIA-

Dado n espacio vectorial de di!ensi"n sobre n cerpo ,recorde!os qe s espacio dal es el conjnto de todas lasaplicaciones lineales ' El espacio dal es n espacio vectorialde la !is!a di!ensi"n qe ' Nos re@erire!os nor!al!ente a losele!entos de y de co!o vectores y convectores, respectiva!ente'

+n +!n*o" es na aplicaci"n !ltilineal, es decir, na aplicaci"n lineal encada no de ss ar%!entos, de la @or!a:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tensor_tensi%C3%B3n&action=edit&section=3http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3n_de_Piola-Kirchhoffhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformaci%C3%B3n#Tensores_finitos_de_Deformaci.C3.B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformaci%C3%B3n#Tensores_finitos_de_Deformaci.C3.B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_multilinealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_multilinealhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tensor_tensi%C3%B3n&action=edit&section=3http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3n_de_Piola-Kirchhoffhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformaci%C3%B3n#Tensores_finitos_de_Deformaci.C3.B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_multilineal


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De este !odo, n tensor asocia cada covectores yvectores , n escalar

-la!a!os +i4o del tensor al par '

U*ando 4"od-c+o +!n*o"ial d! !*4acio* 5!c+o"ial!*

En el en@oqe !s !ate!tico del clclo tensorial se considera nespacio vectorial V y se considera s espacio dal V* ' Sies na base del espacio vectorial V y la correspondientebase dal de /, se constrye el espacio vectorial prodctode r copias de V y s copias de V* , es decir,o prodcto tensorial de espacios vectoriales' +n tensor es nele!ento de dic$o espacio vectorial:

-as propiedades de trans@or!aci"n de los tensores se si%en de laspropiedades de trans@or!aci"n de los vectores de la base de!anera trivial'

Eje!plos de tensores de distinto orden

A los tensores se los pede clasi@icar por s orden, es decir eln#!ero de arre%los qe reqiere para ser descrito' En %eneral, si nes la di!ensi"n del tensor di!ensi"n del espacio vectorial sobre elqe se constrye y rs el orden, n tensor reqiere deco!ponentes para ser descrito'

T!n*o"!* d! o"d!n c!"o: !*cala"!* Co!o se dijo anterior!ente, n escalar es na cantidad qereqiere solo n n#!ero real en calqier siste!a de coordenadaspara ser descrito' Es decir es invariante ante calqier ca!bio decoordenadas en calqier siste!a' De esta !anera si es n

escalar en n siste!a de coordenadas y es el !is!o escalar en

otro siste!a de coordenadas entonces +n escalar es ntensor de orden cero porqe reqiere n solo n#!ero para serdescrito: '

T!n*o"!* d! o"d!n -no: 5!c+o"!* / con5!c+o"!*En %eneral, n vector reqiere n co!ponentes para ser descrito' Enn espacio tridi!ensional, n vector se de@ine !ediante tresco!ponentes' -a trans@or!aci"n de coordenadas de n vector den espacio a otro se reali&a !ediante na trans@or!aci"n lineal' Deesta !anera, n vector es n tensor de orden no porqereqiere n n#!eros para de@inirlo'

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_dualhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_dualhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor


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Si tene!os n vector epresado por ss co!ponentes en n

siste!a y en otro siste!a, la trans@or!aci"n de coordenadaspara qe el vector se !anten%a invariante se pede epresar:

Donde es el coseno del n%lo entre el iLFsi!o eje decoordenadas y el PLFsi!o'

T!n*o"!* d! o"d!n do*: 0a+"ic!* / 2o"0a* c-ad"6+ica*

Si%iendo la !is!a l"%ica, el si%iente ele!ento es el qereqiere co!ponentes para ser descrito' Sedeno!ina tensor de orden dos al objeto, nor!al!enterepresentado por na !atri& nn, qe representado en n

siste!a de coordenadas co!o s trans@or!aci"n invarianteen otro siste!a con co!ponentes es:

Donde es el coseno del n%lo entre el iLFsi!o eje de nsiste!a con el lLFsi!o eje del otro siste!a'

T!n*o"!* d! o"d!n 0 3!n!"ali7ado*

Representaci"n del Tensor de -eviLCivita, tensor de orden

tres'

*inal!ente, la %enerali&aci"n de los tipos anteriores vienedada por n ele!ento qe necesita coordenadas paraser especi@icado' Co!o %enerali&aci"n de lastrans@or!aciones anteriores tene!os:

Donde son las co!ponentes del tensor en n

siste!a de coordenadas, son las co!ponentes

del !is!o tensor en otros coordenadas y los sonlos cosenos de los n%los entre los LFsi!os ejes deln siste!a y los LFsi!os en el otro siste!a'

http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo_de_Levi-Civitahttp://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo_de_Levi-Civita


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Notaci"n y no!enclatra

Co5a"ian7a / con+"a 5a"ian7a

El concepto de covarian&a y contra varian&a estarrai%ado en la descripci"n de n ele!ento en dossiste!as de coordenadas' .ara si!pli@icar s descripci"nse pede to!ar a n vector en n espacio tridi!ensional'-a posici"n de n pnto arbitrario en este espacio pedeser epresado en tFr!inos de tres

coordenadas y si es el vectorposici"n de ese pnto entonces en . eisten dosconjntos de vectores base:

y donde

En %eneral, estos vectores no son nitarios ni @or!an

na base orto%onal' Sin e!bar%o los conjntos yson siste!as recGprocos de vectores y por eso:

En el clclo tensorial es sal denotar alconjnto de vectores base co!o , el cal lodi@erencia de la base ' Con esta notaci"n, larelaci"n de reciprocidad anterior serGa:

Donde es la delta de MronecPer ' AsG, dadas dos bases y se pede escribir n vector %eneral en tFr!inos de estasbases:

-os se los lla!a co!ponentes contra variantes del vector y los se los lla!aco!ponentes covariantes' De i%al !anera, se los lla!a base contra variantey se los lla!a base covariante'

Con5!nio d! *-0acin d! Ein*+!in

Eiste na convenci"n para escribir tensores, conocida co!o convenio des!aci"n de Einstein' En esta notaci"n todo sbGndice qe aparece dos veces encalqier tFr!ino de na epresi"n indica qe Fstos deben ser s!ados sobretodos los valores qe ese Gndice to!a' .or eje!plo, en n caso tridi!ensional:

I!plica qe

http://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kroneckerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_sumaci%C3%B3n_de_Einsteinhttp://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_sumaci%C3%B3n_de_Einsteinhttp://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_sumaci%C3%B3n_de_Einsteinhttp://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kroneckerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_sumaci%C3%B3n_de_Einsteinhttp://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_sumaci%C3%B3n_de_Einstein


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I!plica qe

No+acin !n c6lc-lo !n 5a"i!dad!*

Otra notaci"n a!plia!ente sada en el clclo tensorial es la @or!a sada paralos vectores de la base' Cando se $ace clclo tensorial en na variedad

di@erencial o sper@icie crva, el espacio bsico qe sirve para de@inir las!a%nitdes es el espacio tan%ente a dic$a variedad en cada pnto' Cando see!plean coordenadas crvilGneas , dada la relaci"n iso!Ftrica qe eisteentre derivaciones sobre la variedad y el conjnto de ele!entos del espaciotan%ente, se pede constrir na base del espacio vectorial tan%ente @or!ada porlas derivadas direccionales se%#n las direcciones dadas por las coordenadas? asGna base vectorial del espacio tan%ente en cada pnto p viene dada por:

.or otra parte la base del espacio cotan%ente, qe es el espacio dal del espacio

tan%ente, se pede epresar !ediante la di@erencial eterior de las coordenadasconsideradas co!o @nciones reales sobre la variedad:

Ql%ebra de tensores

Debido a qe las operaciones de los tensores de orden cero escalares, novectores y dos !atrices son conocidos, para los tensores se espera qe solo se%eneralicen al%nas operaciones' El conjnto de todos los tensores pLvecescovariantes y qLveces contra variantes de@inidos sobre el espacio vectorial V se

denota co!o al%nos atores san la notaci"n inversa @or!an nespacio vectorial con la s!a y la resta de@inidas co!o, ya qe la

s!a est bien de@inida para tensores de los !is!os "rdenes y ? asGs s!a y resta estarGa dada por:

Este espacio vectorial es de di!ensi"n donde es la di!ensi"n del espaciovectorial V '

Otro conjnto de operaciones i!portantes tienen qe ver con el ca!bio de orden

de los Gndices de n tensor' Si son las co!ponentes de n tensor, de la!is!a !anera el conjnto @or!ado por el interca!bio de dos Gndices, es decir

, ta!biFn lo es' En tFr!inos de esos interca!bios de Gndices pedenidenti@icarse sbespacios vectoriales:

Se dice qe el tensor es simétrico si el interca!bio de calqier par de Gndices no

altera el tensor:

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_curvil%C3%ADneashttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_dualhttp://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_curvil%C3%ADneashttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_dualhttp://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial


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El conjnto de todos los tensores si!Ftricos del

espacio @or!a n sbespacio del !is!o denotado

co!o

Se dice qe el tensor es anti simétrico si el interca!bio de calqier par de Gndicesaltera el si%no del tensor:

El conjnto de todos los tensores anti si!Ftricos de

orden k de n espacio tensorial ta!biFn @or!a n sbespacio denotado

co!o es de di!ensi"n

.or otra parte, n tensor arbitrario no es si!Ftrico ni anti si!Ftrico' +n tensor de

orden 1 sie!pre pede epresarse co!o la s!a de n tensor si!Ftrico y

no anti si!Ftrico :

' Esto no es posible

para tensores de orden sperior a 1'

Operaciones con tensores

P"od-c+o +!n*o"ial / 4"od-c+o !8+!"io" Artículos principales: .rodcto tensorial y .rodcto eterior .

Dados dos tensores se pede de@inir entre ellos el lla!ado prodcto tensorial cyoresltado es n tensor de tipo !s co!plejo cyas co!ponentes pedenobtenerse a partir de los tensores ori%inales'

El prodcto de dos tensores es n tensor cyo ran%o es la s!a de los ran%osdados por los dos tensores' Este prodcto i!plica la !ltiplicaci"n ordinaria de losco!ponentes de n tensor y es lla!ado prodcto eterior '

.or eje!plo:

S-i" / a9a" ndic!* Artículo principal: -ey de sbir o bajar Gndices tensores

En na variedad rie!anniana eiste la posibilidad de de@inir na operaci"n sobretensores, qe en %eneral no pede reali&arse en na variedad calqiera' Esa

operaci"n per!ite sstitir en los clclos n tensor de tipo por otro de

tipo con tal qe ' Esta operaci"n se deno!ina sal!ente leyde sbir o bajar Gndices' Esa operaci"n se basa en la eistencia den iso!or@is!o entre espacios de tensores covariantes y contravariantes de@inidos

sobre na variedad rie!anniana opsedorie!anniana ' .or tanto para

http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_subir_o_bajar_%C3%ADndices_(tensores)http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_riemannianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_subir_o_bajar_%C3%ADndices_(tensores)http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_subir_o_bajar_%C3%ADndices_(tensores)http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_subir_o_bajar_%C3%ADndices_(tensores)http://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Covariancia_y_contravarianciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_pseudoriemannianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_subir_o_bajar_%C3%ADndices_(tensores)http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_riemannianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_subir_o_bajar_%C3%ADndices_(tensores)http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_subir_o_bajar_%C3%ADndices_(tensores)http://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Covariancia_y_contravarianciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_pseudoriemanniana


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e!plear la sbida y bajada de Gndices es necesario sar el tensor !Ftrico y s

inverso , lla!ado conLtensor !Ftrico'

Estas operaciones resltan !y #tiles en la teorGa %eneral de la relatividad dondecalqier !a%nitd @Gsica pede ser representada por tensores covariantes ocontravariantes indistinta!ente, y sin alterar el si%ni@icado @Gsico, se%#n lasnecesidades del proble!a planteado' AsG para calqier !a%nitd @Gsicarepresentada por n tensor de tercer ran%o, pede ser representado por variosconjntos de !a%nitdes relacionables %racias a la operaci"n de sbir y bajar

Gndices:

Con+"accin Artículo principal: Contracci"n de tensores

-a contracci"n de tensores es na operaci"n qe redce el orden total de n

tensor' Esta operaci"n redce n tensor tipo a otro tipo 'En tFr!inos de co!ponentes, esta operaci"n se lo%ra s!ando el Gndice de n

tensor contra variante y n covariante' .or eje!plo, n tensor 0,0 pede ser

contraGdo a n escalar a travFs de ? donde el convenio de s!aci"n de Einsteines e!pleado' Cando el tensor 0,0 se lo interpreta co!o n !apeo lineal, estaoperaci"n es conocida co!o la tra&a'

-a contracci"n se tili&a sal!ente con el prodcto tensorial para contraer elGndice de cada tensor' -a contracci"n pede ta!biFn entenderse en tFr!inos de lade@inici"n de n tensor co!o n ele!ento de n prodcto tensorial de copias delespacio con el espacio , desco!poniendo pri!ero el tensor en naco!binaci"n lineal de tensores !s si!ples, y posterior!ente aplicando n @actor

de a n @actor de ' .or eje!plo

.ede ser escrito co!o la co!binaci"n lineal de

-a contracci"n de en el pri!ero y #lti!o espacio es entonces el vector

P"od-c+o In+!"no Artículo principal: .rodcto interno

El prodcto interno de dos tensores se prodce al contraer el prodcto eterior delos tensores' .or eje!plo, dados dos tensores y s prodcto eterno es

' I%alando Gndices, , se obtiene el prodcto interno: '

D-al d! ;od3! Artículo principal: Dal de ;od%e

Clclo tensorial en variedades

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_general_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Contracci%C3%B3n_de_tensores&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Contracci%C3%B3n_de_tensores&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Contracci%C3%B3n_de_tensores&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Traza_de_una_matrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_internohttp://es.wikipedia.org/wiki/Dual_de_Hodgehttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_general_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Contracci%C3%B3n_de_tensores&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Contracci%C3%B3n_de_tensores&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Traza_de_una_matrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_internohttp://es.wikipedia.org/wiki/Dual_de_Hodge


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Tanto la %eo!etrGa di@erencial avan&ada co!o la teorGa %eneral de la relatividadreqieren el so de tensores constridos sobre espacios vectoriales di@erentes'Esto scede porqe tanto en las sper@icies crvas co!o en el espacioLtie!pocrvo el espacio tan%ente de di@erentes pntos no coincide y es necesarioconectarlos o constrir aplicaciones entre ellos de al%na !anera' +na !anera

de $acer clclo tensorial en esas sitaciones es de@inir na conei"n!ate!tica qe per!ita de@inir la derivaci"n covariante' Ade!s la estrctradi@erenciable per!ite constrir la aplicaci"n di@erencial tanente qe per!iteconstrir iso!or@is!o entre los di@erentes espacios tan%entes' El clclo tensorialen esas sitaciones se constrye a partir de secciones sobre @ibra dostan%entes asociados a cada tipo de tensor'Pushforward / Pullback Jeditar K

Artículo principal: Di@erencial de na @nci"n

Dadas dos variedades di@erenciables de di!ensi"n m y de di!ensi"n n y naaplicaci"n entre ellas el concepto de aplicaci"n di@erencial tan%enteo pushforwar es na aplicaci"n lineal entre los vibrados tan%entes de a!basvariedades' +na aplicaci"n entre variedades se dice di@erenciable si dadana carta local qe conten%a al pnto y qeconten%a a , la aplicaci"n es di@erenciable co!o@nci"n de a '

-a a4licacin lin!al +an3!n+! lla!ada @recente!ente pushforward se pedede@inir para na aplicaci"n di@erenciable entre variedades' Dado n vector delespacio tan%ente en n pnto, qeda de@inida na aplicaci"n sobre el conjntode @nciones de@inidas en el entorno de dic$o pnto, qe asi%na a cada @nci"n avalores reales la derivada direccional de la @nci"n se%#n el vector :

Teniendo presente la anterior operaci"n de vectores sobre @nciones y dada laaplicaci"n di@erenciable se de@ine la aplicaci"n lineal tan%ente:

Tal qe a n vector en p le asi%na el #nico vector qe $ace qe sec!pla qe:

Donde:

+na ve& de@inida la aplicaci"n lineal tan%ente pede de@inirse la

TENSORES EN E- CA.O DE E


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I.&. A4licacion!*:

-os tensores nor!al!ente se tili&an para aparejar o tensar

cables, cabos, barras etc' ola!ente estn diseados para car%as

a tiro directo, para tensar o para trincaje'

I.$. Alcanc!

/an Beest o@rece na a!plia %a!a de tensores, por eje!plo:

Tensores de alta resistencia -R (reen .in?

Tensores abiertos %eneral!ente se%#n DIN 04H?

Tensores de varilla roscada?

Tensores tblares cerrados?Tensores especiales para trincaje $a!br%ers'

I.


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I.>. Acaado

-os tensores de alta resistencia -R (reen .in y los tensores

cerrados tblares estn %alvani&ados en caliente' -os tensoresse%#n DIN 04H son electro %alvani&ado y los tensores de

trincaje son sin pintar o bajo petici"n, peden ser pintados'

I.'. C!"+i2icacin

Bajo petici"n, los tensores (reen .in peden ser s!inistrados

con n certi@icado de @brica y n certi@icado de preba'

II. In*+"-ccion!* 4a"a -*o

-os tensores solo deben sarse en car%a a tiro directo Nnca

sobrecar%e' Al tensar los tensores co!prebe qe no estFn de@or!ados

o torcidos' En caso de de@or!aci"n, la tensi"n debe ser redcida

in!ediata!ente y las partes de@or!adas sbstitidas' Si el so es en

condiciones etre!as o con car%as din!icas, $ay qe tener en centa a

la $ora de seleccionar los prodctos convenientes y aptos para la

operaci"n'

-os tensores cerrados tblares y los tensores abiertos co!erciales son

para tensar cable y cabos para car%as !enores por eje!plo, barreras'

-os valores de CT solo son orientativos y Fstos prodctos no son para

soportar trabajos i!portantes'

.ara el !ontaje de cables, cabos, barras etc', se deben de sar los

tensores (reen .in y los tensores se%#n DIN 04H con ojos @orjados o

con los ter!inales de varilla roscada'

-a Car%a i!a de Trabajo CT debe de ser aplicada sola!ente en

tiro vertical o lGnea directa, no se per!iten sobrecar%as' Ta!poco se

per!iten car%as laterales ya qe los prodctos no $an sido diseados

para estos @ines'


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+na inspecci"n re%lar de los prodctos es necesaria y debe de

e@ectarse se%#n las nor!as de cada paGs'

Esto es necesario porqe los prodctos peden ser a@ectados por

des%aste, !al so, sobrecar%as etc' prodciendo de@or!aci"n y

alteraciones en la estrctra del acero'

II.&. USO CORRECTO DE LOS TENSORES

-os tensores deben ser inspeccionados antes del so para

ase%rarse qe:

L las roscas del cerpo y las de los ter!inales sean del !is!o

tipo?

L las roscas del cerpo y las de los ter!inales no estFn daados?

L las roscas del cerpo y las de los ter!inales no estFn

de@or!adas o indebida!ente des%astadas?

L el cerpo y los ter!inales no ten%an @isras ni %rietas'

Ade!s, $ay qe ase%rarse qe los ter!inales estFn

correcta!ente roscados al cerpo' Sie!pre se las tercas de

cierre s!inistradas para evitar qe se selte'

Nnca sbstitya n ter!inal qe no $aya sido diseado para la

operaci"n, ya qe pdiese ser no apto para la car%a establecida'


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CONC-+SI>N


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En cada asnto de la !ate!tica no tiene qe tener en centa esa disyntiva al

abordar n te!a para los novatos'

5o !e considero n novato en el te!a de tensores, y anqe co!o !ate!tico

!e %stan !s los @or!alis!os precisos y eactos, no qiere decir qe estF a@avor de eso en todo !o!ento'

-o qe sG considero correcto es qe $aya sie!pre na b#sqeda de !ayor

@or!ali&aci"n !ate!tica, porqe eso eqivale a precisi"n en el len%aje

epositivo, seriedad en el trabajo, y estandari&aci"n en el trata!iento de

proble!as, lo cal @avorece co!nicaci"n entre las personas, etc' .ero la cesti"n

de ensear o no el te!a co!en&ando por la !era parte @or!al, no creo qe ayde

a entender el te!a de tensores' 5 no lo dijo con objetividad, sino desde !i !eraeperiencia sbjetiva: la de@inici"n de tensor no se entiende na !''': ban%$ead:

e parece qe el ca!ino de la @or!ali&aci"n es el !is!o qe el de la

co!prensi"n cabal del te!a' Si parti!os de los eje!plos, y va!os %enerali&ando,

eso !is!o nos lleva a @or!ali&ar, pero ta!biFn va!os a tener la serte de

entender esa @or!ali&aci"n' Si no trabaja!os el te!a desde los eje!plos, no $ay

c$ances de entender bien la @or!ali&aci"n' +no pede tener na idea de lo qe es

na aplicaci"n !ltilineal, y andar va%a!ente con ese @antas!a en la !ente, pero

no creo qe eso ayde a entender los tensores' .orqe los tensores tienen

ade!s na %ran variedad de aplicaciones e interpretaciones al%ebraicas,

%eo!Ftricas, @Gsicas, y !c$as !s qe ni nos i!a%ina!os' e parece qe para

entender el te!a $ay qe ir viendo todo jnto, anqe de lo !s visible a lo !s

abstracto' .orqe las abstracciones no sirven de nada, si son nada !s qe n

!ero ljo qe no nos ensea nada'

ANE8OS


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BIB-IO(RA*IA

H0' A-ONSO ARCE-O V@Gsica vol' I y IIU

O1'*IS;BANE (ASIOROWIOS3 V@Gsica para ciencias de in%enierGa vol' I y IIU

O2'BED*OR V!ecnica de !aterialesU

O4'O;AN-AN V@Gsica para ciencias e in%' vol' IU


21/21

H6' ES.INO3A RAOS Vanlisis !ate!ticoU I y II

H7' DEINO/IC; Vcalclo tensorialU

H9' /ENERO BA-DEON Vanlisis !ate!ticoU

monografia de tensores

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