Cadeias de Markov Aplicadas no Acompanhamento do Tratamento com Drogas em Pacientes de um Hospital e no

Gerenciamento de Recursos de uma Prefeitura

Luis Felipe Gomes da Silva

Limeira-SP2006

Cadeias de Markov Aplicadas no Acompanhamento do Tratamento com Drogas em Pacientes de um Hospital e no

Gerenciamento de Recursos de uma Prefeitura

Autor: Luis Felipe Gomes da Silva Orientadora: Marli de Freitas Gomes Hernandez

TGI apresentado ao Centro Superior de Educação Tecnológica – CESET como requisito de conclusão do curso de Tecnologia em Informática.

Limeira - SP2006

II

(Esta página é a folha assinada pelos professores)

III

À Anna.

IV

“Em nossas relações com os cientistas e com os artistas enganamo-nos freqüentemente: num douto que parece digno de estudo, descobre-se não raramente um homem medíocre e num artista medíocre — um homem muito interessante.”

(Friedrich Nietzsche – Além do Bem e do Mal)

V

SumárioLista de Figuras viiLista de Tabelas viiiResumo ixAbstract ixIntrodução 1

1. Implementação 2 2. Uma Luz sobre Cadeias de Markov 23. Da Prefeitura 8

Administração e Plano de Governo 8

Aplicando Markov 10

Um Caso mais Complexo 15

4. Dos Medicamentos e dos Pacientes 25Uma Modesta Visão sobre Organização Hospitalar 25

Novas Drogas e Testes 25

Aplicando Markov 26

5. Considerações sobre os Casos Estudados 31 Cadeias de Markov como Agente Organizador 31

Apêndice 32A. Pequeno Glossário 32

B. Divertindo-se com Markov 33

C. Uma Visão sobre a Técnica 35

D. Sobre as Cores Utilizadas no Trabalho 36

E. Gnuplot 36

Bibliografia 36

VI

Lista de Figuras Página

Figura 1. Grafo representando o clima da cidade A 3

Figura1.1 Tendência para o clima ensolarado 5

Figura 1.2. Tendência para o clima nublado 6

Figura 1.3. Tendência para o clima chuvoso 7

Grafo A. Representando a tabela A 11

Figura1.4. Investimentos com a saúde 13

Figura1.5. Redução dos investimentos com a habitação 14

Figura1.6. Diminuição dos investimentos em educação 15

Grafo B. Representa a Tabela 1 19

Grafo C. Representa a Tabela 4 21

Figura 1.7. Investimentos em segurança exemplos 2 e 3 23

Figura 1.7. Investimentos em educação exemplos 2 e 3 24

Grafo 1.Representa os estados pelos quais um paciente passa durante o tratamento 26

VII

Lista de Tabelas Página

Tabela A. Representa a matriz de transições. 11

Matriz de Transições. Tabela 1 18

Vetor ou matriz de distribuição inicial. Tabela 2 20

Vetor ou matriz de distribuição após 4 iterações. Tabela 3. 20

Nova matriz de transições. Tabela 4. 21

Novo vetor de distribuição após a aplicação da nova matriz de transições. Tabela 5. 22

Vetor antigo de distribuição. Tabela 6. 22

Matriz de transições que representa o grafo1. Tabela 1. 27

Matriz (I-Q)-1. Tabela 2 28

Matriz (I-Q)-1R. Tabela 3. 28

Matriz de transições para a droga D2. Tabela 4. 29

Matriz de transições para a droga D3. Tabela 5. 29

Matriz (I-Q)-1 da droga D2. Tabela 6. 30

Matriz (I-Q)-1R da droga D2. Tabela 7. 30

Matriz (I-Q)-1 da droga D3. Tabela 8. 30

Matriz (I-Q)-1R da droga D3. Tabela 9. 30

Matriz A. 34

VIII

ResumoEste trabalho apresenta duas aplicações das Cadeias de Markov. Artifício matemático criado por

Andrey Andreyevich Markov, matemático russo. A primeira delas é no gerenciamento de uma

prefeitura, cujos os estados da cadeia representam as áreas de investimento do governo e as

probabilidades de transições, o fluxo de capital que é redirecionado de cada área interligada. Esse

esquema permite, além de uma comparação imediata com o governo anterior, uma visão clara da

aplicação do orçamento governamental. Além disso é possível uma previsão a longo prazo, ou

projeção, para o fim do mandato, ou seja, quanto será investido em cada área no final dele. A

segunda aplicação é no acompanhamento do tratamento com drogas em pacientes de um hospital.

Os estados da cadeia de Markov representam os estados entre a doença e a sanidade. Destarte, é

possível prever o estado clínico do paciente após certo tempo e estabelecer um plano administrativo

para o tratamento do mesmo. Também é possível a escolha entre diversas drogas, comparando-se a

eficiência com o custo de cada uma, optando-se pela melhor entre todas.

AbstractThis work shows two ways of applying Markov Chains. A mathematical artifice created by Andrey

Andreyevich Markov, russian mathematician. The first one is on a town hall's management, whose

chain's states represent the government's investments and the transition probabilities, the capital's

flow, which is redirected from each interlinked area. This scheme allows, besides an imediate

comparison with the last government, a clear view of the government's budget application. Also, it

is possible a long run view, or projection, for the mandate's end, that is, how much will be invested

in each area at the end of it. The second is on a patient's drug treatment attendance in a hospital. The

Markov chain's states represent, in this case, the states between illness and healthiness. In this

manner, it is possible to preview the patient's clinical state after some period of time, and thus,

estabilish an administrative plan for his treatment. In addition, it is possible to choose amongst

various drugs, comparing efficiency with cost of each one of them, thus chossing the best one.

IX

Introdução

Quando pensamos em matemática, temos sempre a visão de números e mais números que povoam

um mundo estranho a nós, embora, esse mundo, esteja muito mais próximo do que imaginamos.

Usamos matemática, por mais que pareça um lugar-comum, em tudo, mesmo inconscientemente. A

economia parece ser o mundo mais próximo do que seria a matemática do dia-a-dia. Pagamos

contas, estamos sujeitos aos juros e estamos sempre preocupados com a alta ou baixa da bolsa de

valores, embora nem saibamos o porquê.

O desenvolvimento da ciência, quando esta se livrou totalmente das garras da religião, suscitou

também no desenvolvimento da técnica que promoveu um grande avanço à humanidade.

Atualmente, temos aviões, telefones celulares, microcomputadores, vacinas, não à toa; tudo obra da

técnica. A técnica, por assim dizer, é o que faz com que gastemos menos tempo para alcançar um

determinado objetivo, poupando-nos grande parte de energia e aumentando a produtividade.

Imaginemos um jovem violinista: se este possui técnica, gastará menos tempo para aprender uma

peça, do que outro que não a possui. E esta técnica advém principalmente de exercícios sobre

harmonia, contraponto, melodia, ritmo, da ciência(arte) chamada: música. Destarte, a técnica ajuda-

nos a economizar tempo e energia, os quais podemos redirecionar para outras atividades como o

lazer. Aliás, é muito triste constatar que a técnica, que proporciona uma grande produtividade, não

tenha proporcionado conforto para aqueles que a utilizam. Basta ver que a produtividade aumentou

também a carga de trabalho sobre o indivíduo, quando deveria ter diminuído.

As Cadeias de Markov foram frutos desta época, onde a ciência e a técnica sofreram um grande

avanço e possibilitaram ao século XX um grande desenvolvimento científico, por uma questão de

lógica, jamais visto antes na história. Um avanço em cem anos que equivale a quase um milênio. O

que veremos neste trabalho são duas possíveis, dentre muitas, aplicações das cadeias de Markov,

como método de organização e apoio à tomada de decisões. Como veremos do caso do tratamento

com medicação e no caso da prefeitura. Mais uma vez a matemática saída de seu “estranho mundo”

e aplicada ao quotidiano.

O objetivo deste trabalho é mostrar como as cadeias de Markov podem ajudar na organização de

dois setores, que embora distintos em sentido, possuem a boa administração como objetivo comum.

Serão estudados dois casos: um diz respeito a uma prefeitura, onde se deseja uma previsão de

investimentos em cada setor, para uma melhor distribuição de recursos; outro, é o caso de um

hospital, cujo objetivo é auxiliar médicos e enfermeiros a terem uma projeção do quadro clínico de

um paciente em um determinado período de tempo. Em ambos os casos, há questões interessantes a

serem respondidas até o final deste trabalho, que serão apresentadas no decorrer deste.

ImplementaçãoEste capítulo esclarece alguns tópicos sobre o software de apoio: o programa usado nos cálculos ao

longo do trabalho. Tratam-se de um módulo que contém operações de álgebra linear e dois

programas que realizam os cálculos referentes à teoria markoviana apresentada a seguir nos demais

capítulos.

Os programas são simples. Utilizam um arquivo texto como entrada de dados, de onde as matrizes

são lidas, seguindo uma formatação específica, para tal operação. O programa utiliza linha de

comando para ser executado e gera a saída na própria tela do console ou em uma arquivo texto

utilizando-se o recurso de redirecionamento de saída padrão disponíveis em sistemas UNIX e

similares.

Também, os programas foram desenvolvidos em duas linguagens de programação: PERL e Python.

E por isso, é possível executá-los usando os interpretadores PERL ou Python, ficando a cargo do

usuário. No Linux, podem ser facilmente executados, pois os interpretadores fazem parte da maioria

das distribuições disponíveis no mercado. No Windows, a melhor maneira é utilizar o Cygwin, um

simulador do sistema Linux, selecionando os interpretadores PERL ou Python na instalação.

O módulo de álgebra linear também foi desenvolvido nessas duas linguagens e pode ser usado em

outros projetos e softwares. Todos os softwares utilizados no trabalho foram desenvolvidos por

mim, com exceção do software de plotagem de gráficos, Gnuplot, que é tratado no apêndice.

Uma Luz sobre Cadeias de Markov

As cadeias de Markov são processos estocásticos de tempo discreto nomeado a partir do

matemático russo Andrey Andreyevich Markov. Por processos estocásticos entende-se um processo

aleatório que ocorre em uma função randômica. A variável para esta função é , geralmente,

atribuída a intervalos de tempo, em outras palavras, o tempo é discretizado. Cada variável X(t),

com t = 0,1,2,3,4..., dessa função randômica, assume um valor também randômico, que é

determinado por uma probabilidade. O resultado do lançamento de um dado não-viciado, por

exemplo, pode assumir os seguintes valores através do tempo: X(t) = {1,2,3,4,5,6}, ou os

resultados do lançamento de uma moeda X(t) = {Cara, Coroa}.

Uma cadeia de Markov representa vários estados possíveis para uma determinada situação e as

transições, entre um estado e outro, que ocorrem segundo uma certa probabilidade. Um problema

2

comum é examinar a transição do tempo em uma determinada cidade A, cujas possibilidades podem

ser ensolarado, nublado ou chuvoso. Poder-se-ia então, hipoteticamente, representar as transições

entre os vários estados por uma matriz P que contém as probabilidades de transição:

E = EnsolaradoN = NubladoC = Chuvoso

E N C E [ 0.1 0.4 0.5 ]P = N [ 0.3 0.2 0.5 ] C [ 0.7 0.1 0.2 ]

O elemento aij da matriz acima representa a probabilidade da transição do estado i para o j, ou seja,

há a probabilidade de 10% de transição entre ensolarado e ensolarado; assim como há a chance de

50% de um estado nublado mudar para um estado chuvoso. A matriz acima também pode ser

representada por um grafo, ou também, neste caso, uma máquina de estado finito:

Figura 1. Grafo representando o clima da cidade A.

Onde os nós representam os estados, e as arestas, as transições entre eles.

3

A teoria de Markov diz que , Xt = Xt-1(P) =Xt-2(P)(P) = ... = X1(P)t-1 , onde, P é a matriz de

probabilidades de transições e Xt a distribuição de equilíbrio. Isso significa que X1= X0P e X2=

X1P, assim por diante. Logo, a partir da matriz de transições é possível fazer uma estimativa do

clima da cidade A em um intervalo qualquer, digamos, semanal. Sabendo que a estimativa atual é

dada pela distribuição de equilíbrio X1= [0.2 0.3 0.5] , 20% ensolarado, 30% nublado e 50%

chuvoso, o tempo para a segunda semana é dado por:

X1(P) = X2

[0.2 0.3 0.5] [ 0.1 0.4 0.5 ] [ 0.3 0.2 0.5 ] = [ 0.7 0.1 0.2 ]

[(0.2) (0.1) + (0.3)(0.3) + (0.5)(0.7) (0.2)(0.4) + (0.3)(0.2) + (0.5)(0.1) (0.2) (0.5) + (0.3)(0.5) + (0.5)(0.2)] = [0.46 0.19 0.35]

Então, para a segunda semana, temos as seguintes distribuições: 46% ensolarado, 19% nublado,

35% chuvoso. Para sabermos sobre a terceira semana basta pegarmos a distribuição atual e

multiplicarmos novamente pela matriz de transições. Com o passar das iterações, as distribuições

tendem a um resultado fixo e se “estabilizam”. Isso é muito bom para estabelecer uma certa

previsão a longo prazo e com isso, obter um auxílio para a tomada de decisões. Vejamos os

seguintes gráficos abaixo:

4

Figura1.1 Tendência para o clima ensolarado.

5

Figura 1.2. Tendência para o clima nublado.

6

Figura 1.3. Tendência para o clima chuvoso.

Pelos gráficos acima percebe-se que há uma ligeira tendência para o clima chuvoso. Para o caso de

uma melhor apreciação dos resultados aqui estão os números que geraram os gráficos acima, com as

colunas seguindo a ordem em que os gráficos foram dispostos, isto é , ensolarado, nublado e

chuvoso.

0.2 0.3 0.5

0.46 0.19 0.35

0.348 0.257 0.395

0.3884 0.2301 0.3815

0.37492 0.23953 0.38555

0.379236 0.236429 0.384335

0.3778868 0.2374137 0.3846995

0.37830244 0.23710741 0.38459015

0.378175572 0.237201473 0.384622955

0.3782140676 0.2371728189 0.3846131135

7

0.37820243188 0.23718150217 0.38461606595

0.378205940004 0.237178879781 0.384615180215

Através dos números é possível ver a sensível diferença entre as tendências de climas ensolarado e

chuvoso, com 37,82% ensolarado e 38,85% chuvoso. É evidente que trata-se de apenas um

exemplo para facilitar o entendimento da técnica que será aplicada a seguir no decorrer deste

trabalho. Com isso, encerra-se esta secção.

Da Prefeitura

Administração e Plano de Governo

Ao assumir uma prefeitura, o prefeito tem vários desafios pela frente. O maior talvez, seja onde

aplicar o orçamento. Quais são as áreas carentes de recursos: educação, saúde, cultura, segurança,

indústria, esporte, lazer, saneamento, habitação, infra-estrutura? O que a população espera de suas

decisões? Muitas vezes o prefeito confia em seu partido e em seus secretários, para tais tarefas,

limitando-se apenas a assinar papéis e administrar o trabalho deles. Volta e meia, alguns secretários

estão sempre a pedir mais verbas, criando uma verdadeira algaravia dentro da administração. O

prefeito diante dessa situação pode atender ao pedido de seus secretários e liberar mais verba para

determinada área administrativa ou simplesmente negar recursos. Então, na maior parte do tempo, o

prefeito está em cabo-de-guerra com seus auxiliares, em vez de estar em uníssono com eles em

favor de uma boa administração. Com isso, o plano de governo, quando existe, fica comprometido.

Uma boa administração requer de antemão um plano de governo, que para fins de simplificação,

pode ser reduzido a “onde aplicar as verbas”. Um governo nunca deve ser negligente com a

aplicação das verbas, pois elas com certeza trarão retorno ao município. Há áreas nas quais o

retorno é vantajoso a curto prazo, como o comércio, por exemplo. O investimento na estrutura

comercial gera mais capital do que o investimento em educação, a curto prazo. No entanto, a

educação a longo prazo é uma excelente opção, visto que teremos cidadãos mais especializados,

culturalmente educados e detentores da técnica, que permite transformações sociais e também

comerciais, pois cidadãos com maior nível educacional tem poder aquisitivo maior, proporcionando

assim uma maior circulação de capital no município.

Também, há outros setores que são emergenciais e cuja falta de investimento pode suscitar em

verdadeiras catástrofes administrativas. O saneamento e a segurança pública podem ser exemplos.

A falta de saneamento contribui sempre com o surgimento de moléstias que por sua vez atingem o

8

sistema de saúde. A dengue pode ser um exemplo, quando falta uma política de combate aos focos

de proliferação dos mosquitos. Também existem doenças mais comuns em áreas pobres em

saneamento como o cólera e as verminoses. O acúmulo de lixo propicia o surgimento de ratos que

podem transmitir outras doenças, como a leptospirose. Isso tudo, além de contribuir para uma baixa

qualidade de vida, também sobrecarregam o sistema de saúde. No caso da segurança, é mais uma

questão moral, por uma simples razão: a impunidade. Um município que não tem a capacidade de

punir, com decência , àqueles que infringem às leis, não pode manter a ordem, para que os outros

cidadãos possam garantir seus direitos básicos como o de ir e vir.

Outras áreas como a cultura e o lazer estão ligadas diretamente ao desenvolvimento das demais. A

cultura, por exemplo, pode estar ligada ao desenvolvimento educacional de uma população.

Shakespeare, dramaturgo inglês, costumava apontar o desenvolvimento de uma determinada região

pela qualidade de sua poesia. Isso pode soar um pouco fora de moda, devido ao péssimo

investimento que é feito na educação, mas traz consigo uma certa razão prática. Uma boa educação

gera uma grande produção cultural tanto na ciência quanto nas artes. E está produção influencia

uma população de dois modos: o engrandecimento pessoal e a técnica. As artes são um veículo para

o autoconhecimento e a pesquisa científica uma geradora de técnica. O lazer talvez seja o mais

neglicenciado de todos os setores. Constroem-se indústrias, não obstante, onde brincam as

crianças? Com o desenvolvimento técnico foi possível um aumento da produtividade, porém não se

diminuiu a carga horária de trabalho. Ora, se é possível obter a mesma produtividade em um menor

tempo, esperava-se que o restante do tempo seria livre para o trabalhador gastá-lo como quiser, em

vez de lhes atribuir mais tarefas. Como diz Bertrand Russell, uma jornada de quatro horas seria

suficiente. A falta de lazer pode causar danos físicos e psíquicos às pessoas o que também

sobrecarregaria o setor de saúde.

Logo, vê-se que o os setores que a curto prazo suscitam ganhos materiais imediatos são os que

menos trazem retorno à população, por causa da falta de distribuição de renda. Ao passo que

aqueles que são mais negligenciados devido a falta de plano de governo e aplicação visando o

futuro, são os que certamente, trariam um grande ganho na área social. Destarte, um plano de

governo coerente deve integrar o material com o social, de modo a produzir uma sociedade mais

equânime.

A seguir será demonstrado como estabelecer um mínio de planejamento, utilizando-se as cadeias de

Markov, para que uma prefeitura estabeleça uma boa visão dos investimentos em cada área e para

que se tenha uma previsão em relação aos investimentos até o fim do mandato de um prefeito.

Lembrando que é apenas uma ferramenta de auxílio e que pode ser incorporada ao planejamento

9

juntamente com outras técnicas de administração.

Aplicando Markov

Aqui demonstrar-se-á a aplicação das cadeias de Markov ao problema de administração da

prefeitura. Inicialmente, para maior simplicidade de entendimento, trabalhar-se-á com somente três

setores e por fim, com todos os outros. Os setores a serem trabalhados são: educação, habitação e

saúde. Digamos que os gastos do governo anterior com as seguintes áreas foi de 30% para a

educação, 40% para a saúde e de 30% para a habitação, para um verba de R$10 000 000, para as

três . Então poderíamos escrever, em forma vetorial, assim:

S – Saúde

H- Habitação

E- Educação

S H E

V = [0.3 0.4 0.3]

em Reais(R$) :

C = [3 000 000 4 000 000 3 000 000]

Agora, imaginando que o prefeito deseja reavaliar a política de investimentos nessas áreas, ele e sua

equipe decidem que 20% dos recursos aplicados em saúde (R$ 600 000) devem migrar para a

educação, 30% (R$ 900 000) para a habitação e que também 50% (R$ 1 500 000) dos recursos

devem ser reinvestidos na saúde. E para a habitação, eles decidem que 30% (R$ 1 200 000) do que

foi investido nessa área, fosse para saúde e 20 % (R$ 800 000) para a educação e que 50% (R$ 2

000 000) fosse reinvestido. E por fim, que 40% dos investimentos com educação (R$ 1 200 000)

fossem para saúde e que 10% (R$ 300 000) para habitação e que também 50% (R$ 1 500 000) fosse

reinvestido. Isso resultaria na seguinte matriz de transições.

S H E

S [ 0.5 0.3 0.2]

H [ 0.3 0.5 0.2]

E [ 0.4 0.1 0.5]

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Saúde Habitação EducaçãoSaúde 0.5 0.3 0.2Habitação 0.3 0.5 0.2Educação 0.4 0.1 0.5Tabela A. Representa a matriz de transições.

E no seguinte grafo:

Grafo A. Representando a tabela A.

Note-se bem, que a política do governo foi clara quanto ao reinvestimento em cada área, com

relação ao governo anterior( 50% de cada área deveria ser reinvestido) . Destarte, de posse desses

dados, já é possível estabelecer uma projeção de investimentos para o fim do mandato. Sabendo que

este é de quatro anos, teríamos que aplicar quatro iterações para a matriz de transições e

multiplicarmos pelo vetor com os investimentos do governo anterior como descrito abaixo:

T = matriz de transições

Sn = soluções para n unidades de tempo

V = vetor com os investimentos do governo anterior

S1 = V*T

S2 = S1*T

S3 = S2*T

S4 = S3*T

11

ou mais diretamente:

S4 = V*T4

Utilizando o software de apoio obtém-se o seguinte vetor após quatro iterações:

A = [0.41063 0.30354 0.28583]

Comparando com o vetor do governo passado teríamos:

A = [0.41063 0.30354 0.28583]

V = [0.3 0.4 0.3]

Os resultados mostram que o governo atual, no final do mandato, teria investido 41,063% (R$ 4 106

300) em saúde, 30,354% (R$ 3 035 400) em habitação e 28,583% (R$ 2 858 300) em educação. É

claramente perceptível a migração do capital da habitação e da educação para a saúde, cujo aumento

foi de 11,063%.

O plano de governo estabeleceu um reinvestimento de 50% para cada área, mais, uma redistribuição

dos outros 50% entre as outras áreas. Os gráficos mostram que o governo preocupou-se mais com a

saúde, que obteve um aumento considerável, e, que houve uma diminuição nas outras áreas.

12

Figura1.4. Mostra os investimentos com a saúde.

A figura 1.4 mostra os investimentos com a saúde. É possível notar que os valores crescem até certo

ponto, onde o equilíbrio é alcançado. A partir daí não há mais crescimento ou decrescimento. As

demais figuras mostram os investimentos com a habitação e a educação.

13

Figura 1.5. É semelhante à figura 1.4, só que desta vez mostra os investimentos com a habitação,

que foram reduzidos pela política de investimentos.

14

Figura 1.6. Mostra a diminuição dos investimentos em educação.

A partir daqui, depois de tudo que foi visto anteriormente, ter-se-iam duas opções: mudar a matriz

de transições ou o vetor inicial, caso a previsão não tenha agradado o prefeito e sua equipe; ou

deixar tudo como está, caso contrário. É possível também aplicar a redistribuição de recursos como

será visto posteriormente.

É evidente que em um cenário real, além de mais áreas de investimentos, uma nova política de

investimentos e tomada de decisões seria construída. É o que veremos a seguir.

Um Caso mais Complexo

Para uma abordagem mais de acordo com as expectativas de um governo na realidade, aumentar-se-

á o número de áreas de investimento. Então, em vez de só três, teríamos as seguintes áreas:

segurança, saúde, educação, esporte, cultura, lazer, saneamento, habitação, infra-estrutura,

[indústria e comércio], agricultura.

Nesta cidade fictícia, a violência aumentou durante os quatro anos de governo anteriores, o número

15

de pacientes na rede pública de saúde também aumentou, devido ao clima quente e seco. Na

educação, o índice de reprovações caiu. Um novo projeto habitacional foi iniciado no governo

anterior, para famílias de baixa renda na periferia. As ruas da cidade necessitam de recapeamento.

Alguns bairros da periferia precisam de rede de esgoto. As indústrias e o comércio querem mais

melhorias na área de segurança e também querem mão-de-obra qualificada. Os agricultores querem

investimentos na área rural, na construção de vias, para um melhor escoamento dos produtos. A

população quer mais segurança e lazer. Na área de cultura, faltam eventos culturais de qualidade.

O caso acima poderia ocorrer com freqüência em algumas cidades brasileiras, às vezes, até em

casos mais complexos, se for o caso de um metrópole como São Paulo ou Rio de Janeiro.

Estudando-se o caso acima verificam-se que todas as áreas demandam recursos e investimentos.

Umas são negligenciadas em lugar de outras que poderiam trazer um retorno, principalmente

financeiro, mais rápido. Note-se que a cidade teve um aumento na violência, que pode ser gerado

por muitos fatores como o tráfico de drogas e o desemprego. Ou também pela própria falta de

investimento em outros setores como a educação. É claro que neste caso, nenhum governo quer ser

conhecido pelos seus altos índices de criminalidade, portanto um investimento deve ser feito nessa

área. No entanto, também devem ser feitas políticas de crescimento da indústria e comércio de

modo a fazer com que o desemprego diminua. Todavia, o desemprego está sempre relacionado a

falta de educação da população, o que demandaria investimentos também nessa área. Ou seja, uma

área que aparentemente é vista isoladamente como a segurança, está interligada direta ou

indiretamente com outras áreas, o que significa duas coisas: investir toda verba destinada à

segurança, somente em segurança, ou, distribuir essa verba entre as áreas interrelacionadas com ela,

como é o caso da educação, comércio e indústria.

Na saúde registrou-se o aumento de casos de doenças, devido ao clima. Vejam que o clima é um

fator um tanto aleatório para que uma área mereça mais investimentos, destarte, se a estação dará a

impressão de prolongar-se por mais tempo, então seria interessante que alguma verba extra fosse

destinada à saúde, enquanto durar o período de seca. Porém, se a saúde já recebe atenção suficiente

e seus postos tem capacidade de suportar o aumento do fluxo de pacientes é claro que não será

necessária a verba extra.

No caso da educação houve uma melhora no ensino, pois os índices de reprovações diminuíram.

Isso indica que a educação, de certa forma, absorveu e está florescendo, com os investimentos, o

que significa que nenhuma verba deve ser desviada dessa área e que 100% dos investimentos

devem ser reinvestidos nela.

Um fantasma na administração pública são os projetos iniciados por um governo anterior. Quanto

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de atenção eles devem receber? Eles devem ser continuados? No caso dessa cidade fictícia, trata-se

de um projeto importante, porque envolve a área de habitação e saneamento ao mesmo tempo.

Oferecendo lotes e moradia a baixo custo, evitando o surgimento de áreas irregulares e com

condições humanas inadequadas, que podem causar problemas de (e) para a saúde. Portanto, o

projeto deve ser continuado e 100% da verba reinvestida.

Os recursos para o recapeamento das ruas da cidade, provém de impostos pagos pela população que

transita em seus automóveis e das empresas de transporte urbano. Por esse motivo seria injusto

retirar qualquer verba dessa área de desviá-la a outra a não ser que a condição das vias sejam boas,

o que na maioria das vezes não são.

Alguns bairros da periferia necessitam de esgoto. Aqui cabe uma questão interessante. Já que o

bairro necessita de esgoto, que é uma questão prioritária, poder-se-ia redirecionar algumas famílias

para o projeto habitacional, ou, construir a rede de esgotos. Caso o custo de construção da rede seja

superior ao da habitação, certa quantia destinada ao saneamento deve ser aplicada agora, no projeto

habitacional, realocando as famílias.

Ainda na cidade fictícia: o comércio e a indústria desejam mais segurança e mão-de-obra

qualificada. Neste caso, alguma verba que é destinada à indústria e ao comércio, deve ser

redistribuída para a educação e para a área de segurança pública. Aqui cria-se um paradoxo:

investindo-se na indústria e no comércio, há geração de empregos, o que por sua vez diminui a

violência, logo não seria necessário o redirecionamento para a área de segurança. Não obstante,

seria mantido o redirecionamento para a educação.

Os agricultores querem a construção de vias: isso poderia ser feito com a verba da infra-estrutura,

mais um acréscimo proveniente da própria agricultura. As pessoas querem mais lazer e segurança e

faltam eventos culturais: aqui, seria o caso de unirem-se as áreas de esporte, lazer e cultura. Dessa

forma, seria possível atender à duas necessidades simultaneamente. E no que concerne a segurança,

poder-se-ia retirar parte do dinheiro de uma área que não tivesse sido tão afetada: a agricultura, por

exemplo.

A partir daqui já seria possível a construção de uma matriz de transições que representasse as

ponderações obtidas acima. Assim:

SE = segurança

SA = saúde

E = educação

ECL = esporte, cultura, lazer

17

SAN = saneamento

H = habitação

IE = infra-estrutura

IC = indústria e comércio

A = agricultura

SE SA E ECL SAN H IE IC ASE 0.5 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.2 0.0SA 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0E 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0ECL 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0SAN 0.0 0.0 0.0 0.0 0.8 0.2 0.0 0.0 0.0H 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0IE 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0IC 0.2 0.0 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.6 0.0A 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.15 0.0 0.65Matriz de Transições. Tabela 1.

A matriz acima pode ser representada em forma de grafo.

18

Grafo B. Representa a Tabela 1.

Do grafo B, é possível notar o fluxo de capital que é redirecionado de uma área para outra, em

porcentagem. Tomando a área de IC (Indústria e Comércio) é fácil notar que, do orçamento

destinado a essa área, 60% é reinvestido, 20% é redirecionado para segurança(SE) e 20% para

educação(E). Ora, isso está de acordo com as necessidades a serem atendidas, isto é, a área de IC

está ligada às áreas de segurança e comércio pelo que foi dito anteriormente: o orçamento de IC é

compartilhado com a segurança, pois isso foi uma exigência do setor, assim como os investimentos

em educação servirão para gerar uma mão-de-obra especializada, portadora da técnica.

Com base nos investimentos iniciais Ter-se-ia o seguinte vetor com as percentagens de

investimento:

19

SE SA E ECL SAN H IE IC A0.15 0.15 0.10 0.05 0.10 0.05 0.10 0.20 0.10Vetor ou matriz de distribuição inicial. Tabela 2 Esta tabela é fictícia.

Utilizando-se o software de apoio, obteríamos o seguinte resultado para um período de tempo

correspondente a quatro iterações ou quatro anos, para esse problema específico:

SE SA E ECL SAN H IE IC A0.0675025 0.15 0.35664 0.05 0.04096 0.10904 0.1352068

750.0728 0.0178506

25

Vetor ou matriz de distribuição após 4 iterações. Tabela 3.

A partir deste vetor, pode-se ver claramente que os recursos escoaram para a área de educação e

habitação, cuja área de educação obteve mais que o dobro da porcentagem, acontecendo algo

semelhante com a habitação. Nada obstante, áreas como, a indústria e comércio, agricultura e

segurança, tiveram seus investimentos criticamente drenados. Isso aponta um erro no planejamento

da matriz de transições, que pode ser corrigido da seguinte forma: mantendo-se a mesma matriz de

transições, busca-se retirar parte do investimento das áreas onde houve uma grande distorção:

educação; para áreas , cujos investimentos foram criticamente esgotados: agricultura e indústria,

comércio e segurança.

Aqui pegaremos somente os investimentos com educação, pelo simples fato de que foi a única área

em que o aumento foi muito superior ao esperado, mais de 30% do orçamento. Note bem que, os

investimentos em habitação dobraram devido à nova política de redistribuição, que fez com que

20% da verba de saneamento fosse para a área de habitação, favorecendo o projeto

habitacional(azul). Infra-estrutura também teve um importante aumento, pois trata-se da

reivindicação dos agricultores e portanto 15% da verba de agricultura foi redirecionada para a área

em questão.

Em vermelho está a nova redistribuição da verba excedente destinada à educação.

20

SE SA E ECL SAN H IE IC ASE 0.5 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.2 0.0SA 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0E 0.2 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.2ECL 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0SAN 0.0 0.0 0.0 0.0 0.8 0.2 0.0 0.0 0.0H 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0IE 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0IC 0.2 0.0 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.6 0.0A 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.15 0.0 0.65Nova matriz de transições. Tabela 4.

Essa tabela, assim como a Tabela 1, pode também gerar outro grafo, como visto a seguir.

Grafo C. Representa a Tabela 4, onde ocorreu a redistribuição da verba(valores em vermelho) da área de educação.

Com esta nova redistribuição utilizando o software de apoio aos cálculos, obtemos o seguinte vetor

21

para as quatro iterações.

SE SA E ECL SAN H IE IC A0.1471325 0.15 0.144645 0.05 0.04096 0.10904 0.1524868

750.122575 0.0831606

25Novo vetor de distribuição após a aplicação da nova matriz de transições. Tabela 5.

Comparando com o vetor obtido anteriormente:

SE SA E ECL SAN H IE IC A0.0675025 0.15 0.35664 0.05 0.04096 0.10904 0.1352068

750.0728 0.0178506

25

Vetor antigo de distribuição. Tabela 6.

Dessa comparação, pode-se claramente notar que a nova redistribuição surtiu o efeito esperado, ou

seja, as áreas que apresentaram um déficit nos recursos (vermelho) foram reequilibrados pela nova

matriz de transições, resultando nas novas porcentagens (amarelo). Com isso, têm-se as

reivindicações atendidas pelo novo plano de governo: mais segurança, educação, geração de

empregos, habitação e infra-estrutura. Perceba que as áreas de saúde e [cultura, esporte e lazer]

permaneceram inalteradas, como previsto no planejamento.

Agora, serão apresentados alguns gráficos, que de alguma forma ilustram o que foi obtido

anteriormente, antes, e depois da aplicação da nova matriz de transições, posto que são bem mais

amigáveis do que apenas um monte de números. Ademais, os gráficos também mostram a tendência

para uma faixa de tempo infinita, ou seja, qual seria a tendência caso o tempo se prolongasse até o

infinito. Eles mostram simultaneamente os investimentos antes, com a matriz da tabela 1, e depois,

com a tabela 4, para as áreas de segurança e educação. Nessas figuras é possível ver a distorção

corrigida.

22

Figura 1.7. O gráfico que declina vertiginosamente(azul) é o de antes da aplicação da nova matriz de

distribuição e o outro(amarelo), representa a aplicação da nova matriz.

23

Figura 1.8. Note que o aumento assustador na verba para a educação foi abatido com a nova distribuição.

Os gráficos acima são para um grande número de iterações, ou, para uma previsão a longo prazo.

Em ambos os casos foram utilizadas 30 iterações o que poderia corresponder à 30 anos no nosso

exemplo. No entanto, nenhum governo dura tanto, em regime democrático pelo menos, de modo

que esses gráficos apenas apontam uma tendência de investimentos. Pode-se notar na fig. 2.1 uma

queda muito menos brusca nos investimentos em segurança. E na fig. 2.2, nota-se um ligeiro

aumento até o terceiro ano e que depois começa a decrescer. Para um governo que dura quatro anos,

sem reeleição, é uma previsão de encerramento até otimista.

A aplicação da teoria markoviana no plano de governo é um método muito intuitivo e fácil de usar,

pois é possível ver o quanto de recursos está sendo transferido de uma área à outra e se esses

recursos terão um resultado favorável a longo prazo, cumprindo com os objetivos governamentais.

24

Dos Medicamentos e dos Pacientes

Uma Modesta Visão sobre Organização Hospitalar

Um hospital é como uma empresa que, para termos de simplificação, poder-se-ia dizer que “vende

saúde” para os pacientes. Todos que freqüentam o hospital têm em mente a saúde. Desde os

pacientes, que desejam a saúde, até os médicos e enfermeiros, que desejam curar. Administrar um

hospital pode ser tão complicado quanto administrar uma grande empresa. O diretor precisa

organizar seus funcionários, estabelecer plantões e disciplina; precisa também coordenar os gastos e

também preocupar-se com o número de leitos. Quando se tratam de hospitais públicos, a escassez

de recursos e verbas refletem na qualidade do sistema como um todo. E a falta de investimentos em

áreas relacionadas à saúde, como a educação, o saneamento e o lazer, aumentam mais os problemas.

Dentro do hospital, os médicos devem ter uma disciplina quanto aos pacientes internados: horário

de visitas e administração de drogas, que geralmente são atribuídos às tarefas dos enfermeiros. No

entanto, é do interesse dos médicos acompanhar a evolução clínica do paciente, de maneira que seja

possível prever como o paciente irá reagir a determinadas drogas e se há necessidade de mudá-las.

Especialmente com novas drogas que ainda estão em teste. A previsão do estado clínico é

importante, para que se possa saber quanto tempo um paciente, submetido a um tratamento, irá

levar no hospital, visto que ele ocupa um leito que poderia estar sendo ocupado por outro. Portanto,

é do interesse geral que o paciente se cure o mais rapidamente possível. No caso de pacientes que

não estão internados, é interessante o acompanhamento, para saber se a droga é eficiente, pois uma

droga ineficiente gasta mais recursos do que uma eficiente.

Por todos esse motivos citados, uma previsão dos tratamentos com drogas em pacientes é

importante para a administração hospitalar, porque pode oferecer uma visão avançada sobre a

utilização dos leitos, do estado do paciente e da eficiência de novas drogas sobre outras mais

antigas.

Novas Drogas e Testes

Do que foi exposto anteriormente, um tópico também é de grande importância e está relacionado

com o escopo do trabalho: o desenvolvimento e teste de novas drogas. Após um nova droga ser

desenvolvida e devidamente testada em animais, iniciam-se os testes com humanos. Essas drogas

são testadas seguindo um método estatístico de amostragem, onde um grupo representa uma

25

população, no caso, uma população de pessoas que possuem uma enfermidade, cujas drogas

pretendem curar. Dentro desta amostragem, a evolução clínica pode ser modelada como uma cadeia

de Markov, visto que podem-se estabelecer patamares, ou estados, que o paciente deve percorrer

durante o estado inicial e final, ou, entre a enfermidade e a cura. Os métodos para os testes com

novas drogas são os mesmos usados no acompanhamento do tratamento de paciente, já que utiliza-

se o mesmo esquema de cadeias de Markov para ambos. Não obstante, os testes com as drogas são

importantes, pois são eles que vão oferecer dados estatísticos verídicos, para que o problema do

acompanhamento do tratamento dos pacientes seja efetuado com precisão.

Aplicando Markov

Talvez, seja bom iniciar a secção de maneira amigável, apresentando logo de início um grafo.

Grafo 1.Representa os estados pelos quais um paciente passa durante o tratamento.

O grafo 1 acima representa os estados pelos quais um paciente passa durante um tratamento com

um medicamento qualquer. Na cor cinza, numerados de 1 a 3 estão os estados intermediários entre o

estados crítico (C), em vermelho, e o estado bom (B) em azul. Os arcos, representam as

probabilidades de transições entre os vários estados. Note que a soma dos arcos que saem de um

mesmo nó somam 1, ou, 100%. Também é possível ver dois estados de arco único, cuja

probabilidade é de 1, ou, 100%; eles são chamados de estados absorventes, pois uma vez atingidos,

não é mais possível deixá-los.

26

Um paciente em um tratamento com uma droga X, inicia seu tratamento no estado 1 e dessa forma

seu quadro clínico é previsto através das probabilidades dadas. Nota-se no grafo 1 uma política de

“segurança” a qual a droga não obtendo êxito em algum estado, o paciente, diretamente, regride ao

estado crítico. Outro modelo poderia ser adotado, onde, em vez de regredir-se ao estado crítico,

regredir-se-ia ao estado imediatamente anterior na escala. Ainda, há algumas perguntas que são de

grande importância e que serão respondidas ao longo desta secção:

1- Qual a probabilidade de um paciente ficar bom?

2- Qual a probabilidade dele regredir ao estado crítico?

3- Na média quanto tempo demora para um paciente estar curado?

Para responder as perguntas acima, é necessário antes, converter o grafo 1 em uma matriz que o

represente adequadamente.

1 2 3 C B1 0.0 0.6 0.0 0.4 0.02 0.0 0.0 0.8 0.2 0.03 0.0 0.0 0.0 0.1 0.9M 0.0 0.0 0.0 1 0B 0.0 0.0 0.0 0 1Matriz de transições que representa o grafo1. Tabela 1.

A matriz acima pode ser decomposta em quatro outras matrizes a saber: em vermelho temos a

matriz Q, que representa a transição entre os estados transientes (1,2,3), em outras palavras,

aqueles estados, onde há um caminho de A para B, mas não um caminho de B para A; em amarelo,

pode-se ver a matriz R, que representa a transição de estados transientes, para estados absorventes;

embaixo temos a matriz O, constituída de zeros, o que representa a impossibilidade de deixar um

estado absorvente para um estado transiente; e finalmente, tem-se a matriz I, uma matriz

identidade que representa o fato de não se poder deixar um estado absorvente.

As matrizes I e O não serão de muita serventia, para responder as perguntas formuladas

anteriormente. Concentrar-nos-emos apenas nas duas restantes, R e Q, que serão de grande

importância.

A partir da matriz Q é possível calcular o que se chama de matriz fundamental da cadeia de

Markov. Essa matriz é dada por (I-Q)-1. O que ela expressa é o número esperado de períodos que

serão gastos em um estado transiente antes da absorção.

27

Multiplicando-se essa matriz fundamental pela matriz R, (I-Q)-1R, pode-se obter a probabilidade

de, começando em um estado transiente qualquer, terminar em um dos estados absorventes. Com

isso, já é possível responder todas as perguntas formuladas. Vamos à primeira delas:

1- Qual a probabilidade de um paciente ficar bom?

A probabilidade de um paciente ficar bom, é a probabilidade dele sair do estados inicial 1 e ser

absorvido pelo estado B, ou seja, saindo do estado transiente ti e ser absorvido pelo estado

absorvente aj. Isso é dado pelo ij-ésimo elemento da matriz (I-Q)-1R. Assim, usando o software de

apoio, calculamos as matrizes (I-Q)-1R e

(I-Q)-1:

t1 t2 t3t1 1 0.6 0.48t2 0 1 0.8t3 0 0 1Matriz (I-Q)-1. Tabela 2

a1 a2t1 0.568 0.432t2 0.28 0.72t3 0.1 0.9Matriz (I-Q)-1R. Tabela 3.

Pelos resultados acima, a probabilidade do paciente entrando no estado 1 (t1) ficar bom (a2) é de

43,2%. O que demonstra que a medicação utilizada, talvez não chegue a curar o paciente, havendo

uma chance de 56,8%, deste, vir a regredir ao estado crítico(respondendo à pergunta número 2),

onde a substituição da droga seria inevitável. A importância disso tudo é que o médico pode optar

logo por outra medicação mais eficiente. É claro que há diversos fatores envolvidos como, efeitos

colaterais e preço dos medicamentos, mas esta é uma maneira razoável de planejar com

antecedência o quadro clínico.

No entanto, é possível notar que as chances de cura aumentam muito nos estados 2 e 3. O que

poderia ser um bom sinal caso o paciente passasse para da fase crítica que compreende o estado 1.

Logo, a droga pode ser melhor do que uma outra, cujo desempenho inicial fosse melhor e final,

menor.

28

A terceira pergunta “Na média quanto tempo demora para um paciente estar curado?”, pode ser

respondida facilmente utilizando-se a tabela 2. O tempo que um paciente leva para estar curado é o

(tempo que ele leva no estado 1) + (tempo que leva no estado2) + (tempo que leva no estado 3).

Destarte, temos na tabela 2, os elementos (I-Q)-111, (I-Q)-1

12 e (I-Q)-113, logo, 1 + 0.6 + 0.48 que é

igual a 2.08 unidades de tempo(ut). Aqui as unidades de tempo são escolhidas de acordo com o tipo

de previsão estatística que o usuário do método preferir. Portanto, podem ser 2.08 dias ou 2.08

semanas ou até 2.08 meses.

Imaginando uma situação hipotética, onde teríamos um hospital que trata uma doença A com várias

drogas D1, D2 e D3, cujos preços P1, P2 P3 respectivamente, tal que P1<P2<P3, onde a

“eficiência” da droga D1 fosse dada pela tabela 1 e a das drogas D2 e D3 fossem dadas pelas

tabelas 4 e 5 a seguir:

1 2 3 C B1 0.0 0.7 0.0 0.3 0.02 0.0 0.0 0.6 0.4 0.03 0.0 0.0 0.0 0.2 0.8M 0.0 0.0 0.0 1 0B 0.0 0.0 0.0 0 1Matriz de transições para a droga D2. Tabela 4.

1 2 3 C B1 0.0 0.5 0.0 0.5 0.02 0.0 0.0 0.7 0.3 0.03 0.0 0.0 0.0 0.1 0.9M 0.0 0.0 0.0 1 0B 0.0 0.0 0.0 0 1Matriz de transições para a droga D3. Tabela 5.

Teríamos basicamente duas perguntas a fazer: “qual é a droga mais eficiente?” e “quanto tempo

leva para curar um paciente?”. Agora, ainda, imaginando que temos 100 pacientes para tratar e que

também temos uma verba de 1000 unidades monetárias e que os preços das drogas D1, D2, D3 são

respectivamente 5, 8 e 10 unidades, preservando a ordem preestabelecida. Como elaborar um plano

de maneira que todos os pacientes sejam tratados? Quanto tempo leva para tratá-los?

Bem, primeiro é preciso responder as duas perguntas básicas. Para isso utilizamos o método já

usado sobre tabela1. Calculamos então as seguintes matrizes:

29

t1 t2 t3t1 1 0.7 0.42t2 0 1 0.6t3 0 0 1Matriz (I-Q)-1 da droga D2. Tabela 6.

a1 a2t1 0.664 0.336t2 0.52 0.48t3 0.2 0.8Matriz (I-Q)-1R da droga D2. Tabela 7.

t1 t2 t3t1 1 0.5 0.35t2 0 1 0.7t3 0 0 1Matriz (I-Q)-1 da droga D3. Tabela 8.

a1 a2t1 0.685 0.315t2 0.37 0.63t3 0.1 0.9Matriz (I-Q)-1R da droga D3. Tabela 9.

Pelas tabelas calculadas acima, já é possível saber qual a ordem de eficiência das drogas. A droga

D3 é a que tem uma maior probabilidade de regressão logo no início, de 68,5%, no entanto, é a que

leva o paciente do estado 1 à cura em menos tempo, apenas 1.85 unidades de tempo. Já a droga D2

mostrou-se a menos eficiente de todas. Além de levar 2.12 ut ainda é a droga que possui uma

grande probabilidade de regressão em dois estados 1 e 2, o que não acontece com as demais. Logo a

ordem de eficiência pode ser dada por : E(D2)<E(D3)<E(D1). A droga D1 é mais eficiente que D3,

por dois motivos: é mais barata e possui um índice de regressão menor no estado 1. Agora vamos

responder as demais perguntas suscitadas. Temos 1000 unidades monetárias e 100 pacientes para

tratamento, se só usássemos a droga D1 poderíamos comprar 200 unidades da droga D1 e com isso,

atenderíamos a todos os pacientes. Com o risco de 57 pacientes regredirem ao estado crítico logo de

início. Todavia, desses 57 pacientes poder-se-ia aplicar a mesma droga D1 quase duas vezes para

cada um! O que poderia curar cerca de 81 pacientes no total. Já com a droga D3 isso não poderia

ocorrer, posto que o dinheiro só daria para 100 unidades, uma para cada paciente, que poderiam

curar efetivamente 31 pessoas. E por fim a droga D2, a menos eficiente, dariam 125 unidades para

100 pacientes, que desses 100, 66 regrediriam ao estado crítico, dos quais 25 seriam resubmetidos a

tratamento com a chance de que aproximadamente 8 fossem curados, somando um total de 42

pacientes curados. Portanto, a droga D2 mostrou-se mais eficiente neste caso, que a droga D3, pois

30

não haveria chance de resubmeter nenhum paciente a tratamento. Logo, a nova ordem de eficiência,

vista por esse novo prisma seria E(D3)<E(D2)<E(D1). Pôde-se notar então que a droga D1 seria a

escolha desse hospital para o tratamento da doença A.

Considerações sobre os Casos Estudados

Cadeias de Markov como Agente Organizador

Foi proposto ao longo deste trabalho uma forma de demonstrar, sem complicações matemáticas, a

aplicação das cadeias de Markov. Em ambos os casos é nítido a intuitividade inerente ao método. E

é justamente por essa intuitividade, que o processo markoviano é tão importante como agente

organizador.

No caso da prefeitura, foi possível estabelecer um plano de governo, cuja maior característica foi a

clareza com relação à verba e aos investimentos. Pôde-se através da aplicação de Markov, ver

quanto dos recursos de cada área seriam redistribuídos para outras áreas de acordo com a

necessidade em relação aos problemas. Também, viu-se como reduzir possíveis distorções que

poderiam ocorrer no planejamento. Ademais, foi possível uma visão a longo prazo dos

investimentos em cada área. O que promove com antecedência a reestruturação do planejamento,

caso ele não tenha atendido às expectativas.

Já no outro caso, do tratamento dos pacientes, foi possível estabelecer um importante sistema de

previsão com base na aplicação de cada droga e ter de antemão resultados importantes sobre a

aplicação de três drogas diferentes, onde foi possível escolher uma, a mais eficiente, dentre elas.

Mais uma vez ficou claro o desenho intuitivo desta técnica, por causa da fácil visualização dos

estados pelos quais os pacientes passariam como visto no grafo 1. Outros problemas, como a

previsão do número de leitos a disponibilizar em um hospital, embora utilizem a teoria markoviana,

fogem um pouco ao escopo do trabalho e são abordados nas chamadas Teoria das Filas.

Vale lembrar que as cadeias de Markov são processos estatísticos e que as probabilidades usadas

em ambos os exemplos foram hipotéticas e a título de exposição das idéias. Caso os exemplos

fossem reais, seria preciso, no caso da prefeitura, uma análise mais apurada do cenário estratégico

para a geração das probabilidades, talvez com alguns elementos de teoria dos jogos; e no caso dos

31

pacientes do hospital, seria preciso obter as estatísticas a partir de testes com cada droga utilizada.

As principais vantagens de se utilizar Markov é sua simplicidade de compreender e aplicar o

método. Outra é a de permitir insights sobre o comportamento do sistema. E as grandes

desvantagens são que as cadeias de Markov são apenas parte de um processo decisório mais amplo

e complexo, além de ser um processo dependente apenas do estado atual do sistema, não levando

em conta estados anteriores.

O importante é que em ambas as situações foi demonstrado como as cadeias Markov são um

importante agente organizador e que se usado em conjunto com outras técnicas, teoria dos jogos,

administração e economia, constitui-se numa grande ferramenta para uso freqüente nas mais

diversas áreas.

ApêndiceNesta secção estão disponíveis algumas informações adicionais relativas ao trabalho: um glossário

com alguns termos, uma palavra sobre o conceito das cores utilizadas no trabalho e uma visão sobre

técnica. E também, mais uma possível aplicação da teoria markoviana em Divertindo-se com

Markov. Além disso há uma pequena secção que fala do software Gnuplot(não se trata de um

tutorial), usado para plotar os gráficos do trabalho. Para mais detalhes é sempre prático recorrer à

bibliografia e às referências de sítios nela contidas.

Pequeno GlossárioVetor de Distribuição de Equilíbrio – Variável randômica, que representa o estado atual. Neste

caso é um vetor, mas nada impede que seja um valor único. Ex. O número três em um lance de

dado.

Matriz de Transições – A matriz que contém as probabilidades de transições entre os estados da

cadeia de Markov.

Técnica – Meio pelo qual é possível alcançar um fim com mais rapidez, clareza e economia. (Para

ver mais sobre a técnica e seus aspectos filosóficos e como ela afeta a sociedade recorra ao item C

deste apêndice)

Variável Randômica – Função que mapeia eventos para formas inteligíveis qualitativas e

descritivas, dentro de um determinado conjunto. Ex. Lance de dados X(t) = {1,2,3,4,5,6}, qualquer

32

um dos valores do conjunto.

Divertindo-se com MarkovAs cadeias de Markov como mostradas no decorrer deste trabalho foram mostradas a partir de uma

óptica de utilidade pública. Agora, mostrar-se-á mais uma aplicação sob uma abordagem mais

lúdica, no entanto, não menos importante que as demais: a geração de texto. Várias técnicas de

geração de texto são utilizadas hoje em dia em diversas áreas, especialmente na lingüística na NPL

(Processamento de Linguagem Natural). Uma das formas de gerar texto aleatoriamente sugerida por

Claude Shannon é a de pegarmos um livro e abrirmos numa página qualquer, escolhendo uma letra

qualquer e anotando-a; depois abre-se novamente em outra página e busca-se a mesma letra, desta

vez, anotando a letra seguinte e assim por diante. Esse método é muito interessante, porém muito

cansativo, além de custoso.

Uma outra forma de obter um texto aleatório baseado em um outro texto é utilizando cadeias de

Markov. Considerando o texto de Nietzsche abaixo :

“Quem deve enfrentar monstros deve permanecer atento para não se tornar também um monstro.”

Esse aforismo pode ser dividido em n-gramas ou uma subseqüência de itens de uma dada seqüência.

Assim podemos obter unigramas, digramas, ou trigramas do texto acima.

Dividir-lo-emos em unigramas:

quem |deve |enfrentar |monstros |deve |permanecer |atento |para |não |se |tornar |também |um |

monstro.

Note que os espaços em branco participam da formação dos trigramas, embora, você também os

possa eliminar.

De posse dos n-gramas é possível construir um modelo markoviano, onde a ocorrência de cada

palavra depende apenas das n palavras antecessoras. Destarte, teríamos:

33

Quem

deveenfrentar

monstros

permanecer

atento para não se tornar também um monstro

Quem

0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

deve 0.0 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Enfrentar

0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Monstros

0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Permanecer

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Atento

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

para 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0não 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0se 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0Tornar

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0

Também

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0

um 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0Matriz A.

Iniciando-se aleatoriamente em qualquer um dos unigramas, no décimo por exemplo, teríamos a

seguinte seqüência, seguindo-se a matriz A:

'Tornar também um monstro.”

Ou do segundo unigrama:

“Deve permanecer atento para não se tornar também um monstro.”

Ou ainda:

“Deve enfrentar atento para não se tornar também um monstro.”

As frases formadas adquirem características parecidas com a da “frase modelo”, no entanto a

variabilidade semântica pode ser muito grande, se o texto tiver muitas palavras repetidas. Em um

texto maior poder-se-ia obter uma variedade muito maior de aforismos, talvez até, misturando-se

dois ou mais textos com contextos diferentes, produzindo assim um texto muito singular. Outra

formar de variar o texto é dividi-lo em digramas ou trigramas, ou, se a frase é muito pequena,

dividi-lo em agrupamentos de caracteres, formando uni, di ou trigramas de caracteres, da mesma

forma que se faz com as palavras.

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Uma Visão sobre a Técnica

Muitas pessoas ouvem falar de técnica em seu quotidiano, mas poucas têm realmente a dimensão do

que se trata. Basicamente, técnica é uma maneira de utilizar ferramentas, para atingir uma meta,

objetivo ou fim. A técnica pode variar de acordo com a área de atuação, seja na música, auxiliando

um músico a obter virtuosidade, seja na administração como forma de maximizar resultados em

uma fábrica ou empresa. Daí surge a tecnologia, que é o estudo dessas ferramentas, e que tornou-se

sinônima de avanço, evolução; não obstante, o futuro lhe reservasse um tom obscuro.

Para os gregos, a técnica (téchne) estava relacionada mais com o bem-estar da sociedade, do que

com a prática capitalista. Toda a técnica era empregada na arquitetura, na engenharia, no governo,

na agricultura e na cultura. Tudo de uma forma pura e simples, visando o benefício na comunidade.

Era uma técnica doméstica, para consumo próprio. Parte dessa utilização simples da técnica pode

ser atribuída à estrutura social da Grécia Antiga.

Com o passar do tempo, a técnica deixou de ser um fenômeno local e passou a ser cultivada e

comercializada entre os diversos povos. A invenção da prensa por Gutenberg, pode ser um exemplo

que aliou técnica comercial e difusão do saber. Outro instrumento, o telescópio, possibilitou a

observação de astros, que mais tarde ajudou Colombo a acreditar na esfericidade da Terra. E todos

já sabemos onde essa história terminou.

Finalmente, o século XX foi o século que conheceu o maior avanço da técnica, mais que em

qualquer outro. Mas no rastro desse desenvolvimento surgiu o lado sombrio, por assim dizer, da

técnica. A mesma técnica que possibilitou maravilhas tecnológicas, foi a mesma que fez a

humanidade reificar-se, ou, coisificar-se. A fé na técnica não foi capaz de suprir as necessidades

metafísicas do homem, como o amor e a morte, por exemplo, o que acabou criando uma sociedade

consumista e niilista, sem noção de valores. Isso foi criticado pelo filósofo Martin Heidegger em

seu trabalho “A Pergunta pela Técnica”. Heidegger foi um crítico dessa técnica destrutiva e

reificante, em contraponto com a técnica pura em simples dos povos antigos. Ele acreditava, assim

como os gregos antigos, que a técnica servia para desocultar, assim servindo na busca da verdade.

Logo, percebe-se a técnica sendo importante, não só como ferramenta para um meio, mas também,

como objeto esclarecedor que é.

Sobre as Cores Utilizadas no TrabalhoAs cores utilizadas nos gráficos e grafos deste trabalho são uma pequena homenagem ao pintor

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holandês Piet Mondrian. No início de sua carreira, Mondrian costumava pintar paisagens de sua

terra natal, bem ao estilo impressionista. Pouco depois, foi gradualmente optando pelo uso de cores

primárias(vermelho, amarelo e azul) em sua pintura, bem como, de formas primárias, retas,

triângulos e retângulos. Parte dessa mudança deveu-se a estudos da doutrina teosófica de Helena

Petrovna Blavatsky e de sua constante busca pela verdade. Suas pinturas de formas simples e cores

primárias oferecem uma experiência interessante para as pessoas que tem a oportunidade de

apreciá-las. Mondrian expressou-se dessa forma a respeito de sua obra: “Eu construo linhas e

combinações de cores em uma superfície plana, a fim de expressar beleza com o máximo de

clareza” e também disse “Eu desejo chegar o mais próximo possível da verdade e abstrair tudo dela,

até que alcance a fundamento das coisas”.

GnuplotO Gnuplot é um software gratuito para plotagem de gráficos desenvolvido pela comunidade do

projeto GNU. Utiliza linhas de comando para interagir com os usuários. Ele está disponível apenas

para o sistema Linux. É muito fácil de utilizar e contém muitas funções matemáticas. Pode plotar

tanto gráficos 2D como 3D das mais variadas formas.

Bibliografia

[1]BOLDRINI, J.L. et al., Álgebra Linear, 3a edição, São Paulo, Harper & Rowdo Brasil, 1980.

[2]POOLE, D., Álgebra Linear, São Paulo, Pioneira Thomson Learning, 2004.

[3]HOWARD, A. e RORRES, |C. Álgebra Linear com Aplicações, 8a. edição,Traduzido Por Doering. C.I. Porto Alegre. Bookman, 2001.

[4]WINSTON, W.L. Operations Research: Applications and Algorithms. 4.ª.Edition. Thomson Learning.2004.

[5]LIPSCHUTZ, Seymour, Álgebra Linear, 3.a Edição, Makron Books.Sítios da Internet

[6]Biografia de Andrey Andreyevich Markov - http://en.wikipedia.org/wiki/Andrey_Markov – Último acesso 05/12/2006

[7]Gnuplot – A Brief Manual and Tutorial http://www.duke.edu/~hpgavin/gnuplot.html Último acesso 06/12/2006

[8]Gnuplot - http://en.wikipedia.org/wiki/Gnuplot Último acesso 06/12/2006

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[9] Biografia Piet Mondrian - http://en.wikipedia.org/wiki/Piet_Mondrian Último acesso 06/12/2006

[10] Markov Process – J.E. Beasley http://people.brunel.ac.uk/~mastjjb/jeb/or/markov.html Último acesso 11/12/2006

[11]La Técnica Moderna Según Heidegger, Modesto Berciano V., http://www.solofici.org/HeideggerTecnicaModerna.htm – Último acesso 11/12/2006

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