Vectores en 3D

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas: {x, y, z}

Vectores Unitarios: {i, j, k}

Vectores:

A = (Ax, Ay, Az) = Ax i+Ay j +Az k

r = (rx, ry, rz) = rx i+ ry j + rz k

Productos de Vectores Unitarios:

i · i = 1 j · j = 1 k · k = 1

i · j = 0 j · k = 0 k · i = 0

i× i = 0 j × j = 0 k × k = 0

i× j = k j × k = i k × i = j

Derivada total con respecto a un escalar:

dF (t)

dt=dFxdt

i+dFydt

j +dFzdt

k

Diferencial total de un campo escalar:

df(r) =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz

Diferencial de trayectoria:

ds ≡ dr = dx i+ dy j + dz k

Operador Nabla:

∇ =∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk

Gradiente (∇):

∇f(r) =∂f(r)

∂xi+

∂f(r)

∂yj +

∂f(r)

∂zk

Divergencia (∇·):

∇ · F =∂Fx(r)

∂x+∂Fy(r)

∂y+∂Fz(r)

∂z

Rotacional (∇×):

∇× F =

(∂Fz(r)

∂y− ∂Fy(r)

∂z

)i +

(∂Fx(r)

∂z− ∂Fz(r)

∂x

)j

+

(∂Fy(r)

∂x− ∂Fx(r)

∂y

)k

Laplaciano (∇2 = ∇ · ∇):

∇2f(r) =∂2f(r)

∂x2+∂2f(r)

∂y2+∂2f(r)

∂z2

∇2Fx(r) =∂2Fx(r)

∂x2+∂2Fx(r)

∂y2+∂2Fx(r)

∂z2

Elementos de superficie:

da = da n

= daxi+ day j + daz k

= cos(α)da i+ cos(β)da j + cos(γ)da k

dax = ±dy dz day = ±dz dx daz = ±dx dy

Elemento de Volumen: dτ = dx dy dz

1

Coordenadas Cilındricas

Coordenadas: {ρ, φ, z}

x = ρ cos(φ) y = ρ sin(φ) z = z

ρ =√x2 + y2 φ = arctan(y/x) + f.c. z = z

Vectores Unitarios: {ρ, φ, k}

ρ = cos(φ) i+ sin(φ) j φ = − sin(φ) i+cos(φ) j k = k

Vectores:

A = (Aρ, Aφ, Az) = Aρ ρ+Aφ φ+Az k

r = (rρ, rz) = rρ ρ+ rz k

Productos de Vectores Unitarios:

ρ · ρ = 1 φ · φ = 1 k · k = 1

ρ · φ = 0 φ · k = 0 k · ρ = 0

ρ× ρ = 0 φ× φ = 0 k × k = 0

ρ× φ = k φ× k = ρ k × ρ = φ

Diferencial total de un campo escalar:

df(r) =∂f

∂ρdρ+

∂f

∂φdφ+

∂f

∂zdz

Diferencial de trayectoria:

ds ≡ dr = dρ ρ+ ρ dφ φ+ dz k

Operador Nabla:

∇ =∂

∂ρρ+

1

ρ

∂

∂φφ+

∂

∂zk

Gradiente (∇):

∇f(r) =∂f(r)

∂ρρ+

1

ρ

∂f(r)

∂φφ+

∂f(r)

∂zk

Divergencia (∇·):

∇ · F =1

ρ

∂

∂ρ

(ρFρ(r)

)+

1

ρ

∂Fφ(r)

∂φ+∂Fz(r)

∂z

Rotacional (∇×):

∇× F =

(1

ρ

∂Fz(r)

∂φ− ∂Fφ(r)

∂z

)ρ +

(∂Fρ(r)

∂z− ∂Fz(r)

∂ρ

)φ

+1

ρ

(∂

∂ρ

(ρFφ(r)

)− ∂Fρ(r)

∂φ

)k

Laplaciano (∇2 = ∇ · ∇):

∇2f(r) =1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂f(r)

∂ρ

)+

1

ρ2∂2f(r)

∂φ2+∂2f(r)

∂z2

Elementos de superficie:

daρ = ±ρ dφ dz daφ = ±dρ dz daz = ±ρ dρ dφ

Elemento de Volumen: dτ = ρ dρ dφ dz

2

Coordenadas Esfericas

Coordenadas: {r, θ, φ}

x = r cos(φ) sin(θ) r =√x2 + y2 + z2

y = r sin(φ) sin(θ) φ = arctan(y/x) + f.c.

z = r cos(θ) θ = arccos

(z√

x2+y2+z2

)Vectores Unitarios: {r, θ, φ}

r = sin(θ) cos(φ) i+ sin(θ) sin(φ) j + cos(θ)k

θ = cos(θ) cos(φ) i+ cos(θ) sin(φ) j − sin(θ)k

φ = − sin(φ) i+ cos(φ) j

Productos de Vectores Unitarios:

r · r = 1 θ · θ = 1 φ · φ = 1

r · θ = 0 θ · φ = 0 φ · r = 0

r × r = 0 θ × θ = 0 φ× φ = 0

r × θ = φ θ × φ = r φ× r = θ

Vectores:

A = (Ar, Aθ, Aφ) = Ar r +Aθ θ +Aφ φ

r = r r

Diferencial total de un campo escalar:

df(r) =∂f

∂rdr +

∂f

∂θdθ +

∂f

∂φdφ

Diferencial de trayectoria:

ds ≡ dr = dr r + r dθ θ + r sin(θ)dφ φ

Operador Nabla:

∇ =∂

∂rr +

1

r

∂

∂θθ +

1

r sin(θ)

∂

∂φφ

Gradiente (∇):

∇ =∂f(r)

∂rr +

1

r

∂f(r)

∂θθ +

1

r sin(θ)

∂f(r)

∂φφ

Divergencia (∇·):

∇ · F =1

r2∂

∂r

(r2 Fr(r)

)+

1

r sin(θ)

∂

∂θ

(sin (θ)Fθ(r)

)+

1

r sin(θ)

∂Fφ(r)

∂φ

Rotacional (∇×):

∇× F =1

r sin(θ)

(∂

∂θ

(sin(θ)Fφ(r)

)− ∂Fθ(r)

∂φ

)r

+1

r

(1

sin(θ)

∂Fr(r)

∂φ− ∂

∂r

(rFφ(r)

))θ

+1

r

(∂

∂r

(rFθ(r)

)− ∂Fr(r)

∂θ

)φ

Laplaciano (∇2 = ∇ · ∇):

∇2f(r) =1

r2∂

∂r

(r2∂f(r)

∂r

)+

1

r2 sin(θ)

∂

∂θ

(sin(θ)

∂f(r)

∂θ

)+

1

r2 sin2(θ)

∂2f(r)

∂φ2

Elementos de superficie:

dar = ±r2 sin θ dθ dφ daθ = ±r sin θ dr dφ

daφ = ±r dr dθ

Elemento de Volumen: dτ = r2 sin(θ) dr dθ dφ

3

Centros de Masa

El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geometrico que dinamicamente se comporta como si en elestuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera analoga, se puede decir que el sistema formadopor toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m.

Distribucion discreta de materia

Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

rcm =

∑imiri∑imi

=1

M

∑i

miri

donde M es la masa total del sistema de partıculas, mi es la masa de la i-esima partıcula y ri es el vector de posicion de lai-esima masa respecto al sistema de referencia supuesto.

Distribucion continua de materia

Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al Calculo Integral, de modo quela expresion anterior se escribe en la forma:

rcm =

∫rdm∫dm

=1

M

∫rdm

Distribucion de masa homogenea:

Si la masa esta distribuida homogeneamente (uniformemente), la densidad sera constante por lo que se puede sacar fuera dela integral:

% = M/V

dm = %dV

rcm =%∫rdV

%∫dV

=1

V

∫rdV

Para el caso de cuerpos con densidad uniforme, el c.m. coincidir con el centroide (centro geometrico) del cuerpo.

Momentos de Inercia

El momento de inercia (I), es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. El momento de inercia desempea un papelanlogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme.El momento de inercia refleja la distribucion de masa de un cuerpo o de un sistema de partıculas en rotacion, respecto a uneje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometrıa del cuerpo y de la posicion del eje de giro; pero no dependede las fuerzas que intervienen en el movimiento.Dado un sistema de partıculas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productosde las masas de las partıculas por el cuadrado de la distancia r de cada partıcula a dicho eje. Para un cuerpo de masacontinua se expresa como:

I =

∫r2dm =

∫%r2 dV

Nota

Recuerden que el vector r = (rx, ry, rz), esto es, tiene tres componentes, ası que las formulas anteriores en realidad son unapara x, una para y y una para z.Siendo formales, lo que se debe calcular es el tensor de inercia pero es algo un tanto mas laborioso y que mejor lo dejaremospara el curso de Dinamica. Para que se den una idea:

Iij =

∫ [δijr

2 − xixj]dm

4