Fsica Tema Pgina 1

CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

Se unen cuatro partculas de masa m mediante varillas sin masa, formando un rectngulo de lados 2a y 2b. El sistema gira alrededor de un eje en el plano de la figura que pasa por su centro. a) Hallar el momento de inercia respecto de este eje. b) Hallar el I respecto de un eje paralelo al anterior que pase por las masas. c) Hallar el I respecto a un eje perpendicular al anterior y que pase por una masa.

Solucin: I.T.I. 02

a) Si aplicamos la definicin de momento de

inercia:

I = miRi2i tenemos que:

b) Para calcular el momento de inercia respecto de los nuevos ejes podemos hacerlo aplicando la frmula anterior o utilizando el teorema de Steiner:

I x = Ix + 4mb2

I y = Iy + 4m a2

c) El momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano de la figura y que

pase por una de las masas (eje

z ) ser:

I z = 0 + m 2a( )2 + m 2b( )2 + m 2a( )2 + 2b( )2[ ] = Lo cual podramos haber calculado teniendo en cuenta que todas las partculas de nuestro sistema se encuentran en un plano y podemos aplicar el teorema de los ejes perpendiculares:

I z = I x + I y .

x

y

2a

2b

y

x

Ix = 4mb2 , Iy = 4m a2

I x = 8mb2 , I y = 8m a2

8m a2 + b2( )

Fsica Tema Pgina 2

Calcular el momento de inercia respecto de un eje que pase por su centro de un disco de radio R y masa M al cual se le practica un agujero circular de radio R/4 centrado a una distancia R/2 del centro del disco.

Solucin: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 04

Podemos tratar dicho disco como la contribucin de dos piezas: El momento de inercia respecto del eje Z de la pieza 1 ser:

Iz,1 =12 M1R1

2 =12 R1

2( )R12 =12 R1

4 =12 R

4 Si llamamos

Z a un eje paralelo al eje Z y que pase por el centro de la pieza 2 utilizando el teorema de Steiner podemos calcular su momento de inercia respecto del eje Z:

Iz,2 = I z ,2 + M2R2

2

=12 M2R2

2 + M2R2

2

=12 R2

2( )R22 + R22( )R2

2

=

=12 R2

4 + R22( )R2

2

=12

R4

4

+ R4

2

R2

2

=9512

R4

El momento de inercia de toda la placa ser:

Iz = Iz,1 Iz,2 =12 R

4 9512 R

4 =247512 R

4 Finalmente calculando el valor de la densidad superficial y sustituyendo:

=MplacaAplaca

=Mplaca

R2 R4

2 =1615

MplacaR2

R/2 R

R/4

x

y

= x

y

1 x

y

2

Iz =247480 Mplaca R

2

Fsica Tema Pgina 3

Calcular los momentos de inercia respecto a su eje de simetra de los siguientes cuerpos: a) esfera homognea, b) cilindro hueco de paredes delgadas, c) cilindro homogneo hueco de radio interior a y exterior b, d) sistema formado por una barra cilndrica de radio R y longitud L unida a dos esferas de radio 2R.

Solucin: I.T.I. 02

a) Coloquemos nuestro origen de coordenadas en el centro de la

esfera. Si dividimos nuestra esfera en diferenciales de masa dm con forma de coraza esfrica de radio r y espesor dr, todos los puntos de dicho dm se encuentran a la misma distancia del centro, por lo tanto si calculamos el momento de inercia polar de la esfera respecto de dicho centro nos dar:

IO = r 2dm = r24 r 2dr0

R

= 4R55 =

M43 R

3

4 R

5

5 =35 MR

2

Por simetra el momento de inercia respecto de los tres ejes coordenados X, Y y Z tiene el mismo valor

Ix = Iy = Iz , y adems se verifica que:

Ix + Iy + Iz = 2IO Ix = Iy = Iz =

b) En el cilindro hueco de paredes delgadas todos sus puntos se encuentran a la misma distancia del eje de simetra, con lo que su momento de inercia respecto de dicho eje ser:

c) En el caso del cilindro de radio interno a y externo b podemos dividirlo en corazas cilndricas de radio r y espesor dr (todos los puntos de una de estas corazas se encuentran a la misma distancia del eje de giro). Llamando H a la altura del cilindro, su momento de inercia ser:

I = r2dm = r 2 2 rH dra

b

= 2H14 b

4 a4( ) =

=M

b2 a2( )H

2H

14 b

4 a4( ) =

d) En este caso nuestro objeto se puede descomponer en un cilindro y dos esferas casi completas. El momento de inercia de dicho objeto ser por lo tanto la suma de los momentos de inercia de las tres piezas:

Iz = Iz,cilindro + 2Iz,esfera .

25 MR

2

I = MR2

r R

12 M b

2 + a2( )

H

dr

r

Fsica Tema Pgina 4

Para el cilindro podemos calcular su momento de inercia de forma similar a como hicimos en el apartado anterior. Utilizando la frmula anterior y haciendo la sustitucin b = R y a = 0, tenemos que:

Icilindro =12 McilindroR

2 =12 R

2L( )R2 = 12 R4L .

Para el clculo del momento de inercia de las dos piezas esfricas dividmoslas en rodajas de espesor dz y radio r como se muestra en la figura. La relacin entre r y z es:

r2 + z2 = 2R( )2 r2 = 4R2 z 2 La cantidad de masa contenida en una de las rodajas ser:

dm = r 2dz Y la contribucin de cada rodaja, considerada como un disco, al momento de inercia respecto del eje de simetra ser:

dIz,rodaja =12 dmr

2 =12 r

4dz = 12 4R2 z 2( )2dz

El momento de inercia de la pieza esfrica ser:

Iz = dIz,rodaja =12 4R

2 z2( )2dzzmn.

zmx . =

12 16R

4 8R2z 2 + z 4( )dz 3R

2R =

=12 16R

4z 83R2z3 + 15 z

5

3R

2R

=12 R

5 25615 +

495 3

La masa de esta pieza esfrica ser:

Mesfera = dmrodaja = 4R2 z 2( ) dzzmn.

zmx .

=

= 4R2z 13 z3

3R

2R

= R3 163 + 3 3

El momento de inercia de todo el objeto ser:

Iz = Iz,cilindro + 2Iz,esfera = R4L2 +

25615 +

495 3

R

R

2R

r

z

Z

Fsica Tema Pgina 5

Que se puede escribir en funcin de la masa del objeto sustituyendo la densidad en funcin de sta:

M = Mcilindro + 2Mesfera = R2 L +323 + 6 3

R

=M

R2 L + 323 + 6 3

R

Si hubisemos considerado desde el principio esferas completas el resultado no hubiese diferido mucho del anterior (como se puede comprobar dando valores para L y R) y vendra dado por:

Iz =L2 +

51215 R

L + 643 R

MR2

Calcular el momento de inercia de una esfera hueca respecto a un eje que pasa por su centro.

Solucin: I.T.I. 01, 04, I.T.I. 04

Coloquemos nuestro origen de coordenadas en el centro de la esfera. Todos los puntos de la esfera se encuentran a la misma distancia de dicho centro, por lo tanto si calculamos su momento de inercia polar respecto de dicho punto nos dar:

IO = MR2 . Por simetra el momento de inercia respecto de los tres ejes coordenados X, Y y Z tiene el mismo valor

Ix = Iy = Iz , y adems se verifica que:

Ix + Iy + Iz = 2IO Ix = Iy = Iz =

Determnese el momento de inercia de un cono circular recto respecto a: a) su eje longitudinal, b) un eje que pasa por el vrtice del cono y es perpendicular a su eje longitudinal, c) un eje que pasa por el centro de gravedad del cono y es perpendicular a su eje longitudinal.

Solucin: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 04

Orientemos el eje X de forma que sea el eje longitudinal del cono, como se muestra en la figura. Dividamos al cono en rodajas circulares de espesor dx y radio r. La relacin entre r y x es:

23MR

2

x

y

z

H R x

Iz =L2 +

25615 +

495 3

R

L + 323 + 6 3

R

MR2

Fsica Tema Pgina 6

rx =

RH r =

RH

x

La cantidad de masa contenida en una de las rodajas ser:

dm = r 2dx = RH

2

x2dx a) El momento de inercia del cono ser igual a la suma de los momentos de inercia de

todas las rodajas:

Ix = dIx =12 dmr

2 =

12

RH

4

x 4dx0

H

=

110 R

4H

Para escribir el resultado en funcin de la masa del cono:

M = dm = RH

2

x 2dx0

H

=

13 R

2H = 3MR2H

Sustituyendo en la expresin del momento de inercia:

b) Calculemos ahora el momento de inercia respecto del eje Y. Consideremos primeramente unos ejes

Y y

Z contenidos en el plano de cada rodaja y paralelos respectivamente a los ejes Y y Z. Para cada rodaja tendremos:

por simetra: dI y = dI z

teorema de los ejes perp.: dIx = dI y + dI z

dI y = dI z =12 dIx =

14 dmr

2

Utilizando el teorema de Steiner podemos calcular el momento de inercia de cada rodaja respecto del eje Y:

dIy = dI y + dmx2 =14

RH

4

x 4dx + RH

2

x 4dx = RH

2 14

RH

2

+1

x 4dx

El momento de inercia del cono respecto del eje Y ser:

Ix =310 MR

2

Fsica Tema Pgina 7

Iy = dIy = RH

2 14

RH

2

+1

x4dx

0

H

=

=15 R

2 14R

2 +H 2

H =

c) Consideremos un eje YC.M. paralelo al eje Y y que pase por el C.M. del cono.

Sabiendo que el C.M. del cono se encuentra a una distancia de su vrtice de tres cuartos de su altura y aplicando el teorema de Steiner:

Iy = IyC .M . + M34 H

2

Dada la semiesfera x2 + y2 + z2 = R2, z 0. Calcular sus momentos de inercia Ix, Iy e Iz

Solucin: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 04

Para una esfera completa tenemos que el momento de inercia respecto de cualquier eje que pase por su centro es:

Ix,esfera = Iy,esfera = Iz,esfera =25 MesferaR

2 Cada semiesfera contribuye de igual forma al momento de inercia de la esfera completa, por lo tanto:

Ix,semiesfera = Iy,semiesfera = Iz,semiesfera =1225 MesferaR

2

=

2512 Mesfera

R

2 = Es decir la expresin matemtica resulta ser la misma, dos quintos de la masa por el radio al cuadrado, pero teniendo en cuenta que ahora la masa de nuestra pieza es la de una semiesfera, no la de la esfera completa.

35 M

14R

2 + H 2

IyC .M . =320 M R

2 +14 H

2

y

z

x

R

25 MsemiesferaR

2

Fsica Tema Pgina 8

x

y

z

H R

Calcular el centro de masas de medio paraboloide (y 0) de revolucin alrededor del eje X, cuyo radio en la base es R, la altura es H, y su vrtice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular sus momentos de inercia Ix, Iy e Iz. Si Y es un eje paralelo al eje Y pero que pasa por la base del paraboloide, calcular Iy.

Solucin: I.T.I. 04, I.T.T. 01, 04

Sea el semiparaboloide de la figura orientado a lo largo del eje X, de altura H y radio R. Dado que el plano XY es un plano de simetra que divide al semiparaboloide en dos mitades simtricas, el C.M. se encontrar en dicho plano, con lo cual la coordenada z del C.M. ser nula:

Para el clculo de la coordenada x del C.M. dividimos al semiparaboloide en rodajas en forma de semidiscos de radio r y espesor dx. La ecuacin del paraboloide nos da la relacin entre la coordenada x y el radio r de los semidiscos:

x = k r 2

H = k R2

k = HR2 r =R2H x

12

El volumen de cada uno de los semidiscos ser:

dV = 12 r2dx = 12

R2H x

dx

El volumen total del semiparaboloide ser:

V = dV =12

R2H x

dx

0

H

=

14 R

2H

La coordenada x del C.M. ser:

xdV =12

R2H

x 2dx

0

a

=

16 R

2H 2

xC .M . =x dVdV

=

zC.M . = 0

23H

x

y

z x

r

Fsica Tema Pgina 9

Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de volumen del clculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma coordenada y. Sabiendo que el C.M. de un semicrculo de radio r se encuentra a una distancia

4r3 del

dimetro, vamos a tomar esta posicin como la representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior.

ysemidisco dV =4r3

dV

=

4r3

12 r

2dx0

H

=

=23 r

3dx0

H =

23

R2H x

32dx

0

H

=415 R

3H

yC.M . =ysemidisco dV

dV=

Vamos a calcular ahora los momentos de inercia del semiparaboloide. Para simplificar los clculos vamos a realizarlos para el paraboloide completo y despus dividiremos por dos. Si dividimos el paraboloide en rodajas de espesor dx (igual que hacamos en los clculos anteriores pero ahora las rodajas son crculos completos) la cantidad de masa contenida en una de las rodajas ser:

dm = r 2dx = R2

H x

dx

su momento de inercia respecto del eje X ser la suma de los momentos de inercia de todas las rodajas:

Ix, parab . = dIx =12 dmr

2 =

12

R4H 2

x 2dx

0

H

=

16 R

4H

Para escribir el resultado en funcin de la masa del paraboloide:

Mparab. = dm = R2H x

dx

0

H

=

12 R

2H = 2MR2H

Sustituyendo en la expresin del momento de inercia:

Ix =13 Mparab.R

2 Para el clculo de Iy , Iz tenemos que por simetra

Iy = Iz . Calculemos ahora el momento de inercia respecto del eje Y. Consideremos primeramente unos ejes

Y * y

Z *

16R15

Fsica Tema Pgina 10

contenidos en el plano de cada rodaja y paralelos respectivamente a los ejes Y y Z. Para cada rodaja tendremos:

por simetra: dIy* = dIz*

teorema de los ejes perp.: dIx = dIy* + dIz*

dIy* = dIz* =12 dIx =

14 dmr

2

Utilizando el teorema de Steiner podemos calcular el momento de inercia de cada rodaja respecto del eje Y:

dIy = dIy* + dmx2 =14

R4H 2

x2dx + R

2

H

x3dx

El momento de inercia del paraboloide respecto del eje Y ser:

Iy, parab . = dIy =14

R4H 2

x 2dx +

R2H

x 3dx

0

H

=

=112R

2H + 14 H3

R2 = 12 Mparab.

13R

2 + H 2

Para el semiparaboloide los momentos de inercia pedidos sern la mitad, pero como su masa ya es la mitad la expresin ser la misma:

El rea por debajo de la curva y = a(x/h)n, con x entre 0 y h, gira alrededor del eje X y genera un slido de revolucin homogneo de masa m. Exprsese el momento de inercia del slido respecto al eje X y respecto al eje Y en trminos de m, a y n.

Solucin: I.T.I. 03, I.T.T. 01, 03

Vamos a dividir ese slido de revolucin en rodajas circulares de radio y y espesor dx. La contribucin al momento de inercia respecto del eje X de cada una de las rodajas ser:

dIx =12 dm y

2 =12 y

2dx( ) y 2 = 12 y4dx = 12 a

4 x4 nh4 n

dx

El momento de inercia respecto del eje X de todo el slido ser:

Ix =13Msemiparab.R

2

Iy = Iz =12 Msemiparab.

13R

2 +H 2

Fsica Tema Pgina 11

Ix = dIx =12 a

4 x4 nh4 n

dx

0

h

=

12 a

4 h4n +1

Para ponerlo en funcin de su masa calculamos sta:

m = dm = y 2dx0

h

= a2x2nh2n

dx

0

h

= a2

h2n +1 =

2n +1( )ma2h

Sustituyendo en la expresin del momento de inercia: Calculemos ahora el momento de inercia respecto del eje Y. Consideremos primeramente unos ejes

Y * y

Z * contenidos en el plano de cada rodaja y paralelos respectivamente a los ejes Y y Z. Para cada rodaja tendremos:

por simetra: dIy* = dIz*

teor. de los ejes perp.: dIx = dIy* + dIz*

dIy* = dIz* =12 dIx =

14 dmy

2 =

=14 a

4 x4 nh4 n dx

Utilizando el teorema de Steiner podemos calcular el momento de inercia de cada rodaja respecto del eje Y:

dIy = dIy* + dmx2 =14 a

4 x4 nh4 n dx + a

2 x 2n+ 2h2n

dx

El momento de inercia del slido respecto del eje Y ser:

Iy = dIy =14 a

4 x4 nh4 n

dx + a2 x

2n+ 2

h2n

dx

0

h

=

=14 a

4 h4n +1 + a

2 h32n + 3 =

Ix =122n +14n +1

ma

2

142n +14n +1

ma

2 +2n +12n + 3

mh

2