D-1ApendiceDPropriedadesGeometricasdeSecoesTransversaisD.1 MomentoEstaticoConsidere uma superfcie plana de area A e dois eixos ortogonaisx e yde seu plano mostrados na FiguraD.1. SejadAumelementodiferencialdeareadasuperfcie,oqualestagenericamenteposicionadocomrelac aoaosistemadereferenciaadotado.FiguraD.1: ElementodeareadAnuma areaplanaA.Dene-se o momento est atico de um elemento de area dA com relacao aos eixos x e y, respectivamente,comodMsx= ydA, (D.1)dMsy= xdA. (D.2)Porsuavez, omomentoest aticooumomentodeprimeiraordemdaareaAcomrelacaoaoseixosxeysaoobtidossomando-seacontribuicaodosmomentosest aticosdecadaelementodiferencial dAdasecao. Logo,osmomentosest aticossaodadospelasseguintesintegraisMsx=_AydA, (D.3)Msy=_AxdA. (D.4)Supondoqueasdimensoesdasecaoestejamindicadasemcm, aunidadedosmomentoest aticosMsxeMsysaocm3.D.2. CentrodeGravidade D-2ExemploD.1Determinar os momentos estaticos Msxe Msyparaasuperfcie ilustradanaFiguraD.2(a).(a)Sistemadereferencianabase. (b)SistemadereferencianoCG.FiguraD.2: Elementosdeareanumasecaoretangular.Inicialmente, calcula-seomomentoestaticoemrelacaoaoeixox. Paraisso, utiliza-se(D.1)comoelementode areadA = bdyilustradonaFiguraD.2(a). Apartirdaexpressao(D.1)vemqueMsx=_AydA = b_h0ydy =b2y2|h0=bh22. (D.5)OmomentoestaticoMsyeobtidoempregando(D.2)comoelementodeareadA = bdx. LogoMsy=_AxdA = h_b0xdx =h2x2|b0=hb22. (D.6)

ExemploD.2DeterminarosmomentosestaticosMsxeMsydoretangulodaFiguraD.2(b)emrelac aoaoseixosxeyquepassamaolongodocentrodegravidadedasec ao.Oprocedimentoeanalogoaodoexemploanteriordevendo-semudarapenasoslimitesdeintegrac ao.PortantoMsx=_AydA = b_h/2h/2ydy =b2y2|h/2h/2=b2__h2_2_h2_2_ = 0, (D.7)Msy=_AxdA = h_b/2b/2xdx =h2x2|b/2b/2=h2__b2_2_b2_2_ = 0. (D.8)Assim,osmomentosestaticosemrelac aoaoseixosquepassampelocentrodegravidades aonulos.

D.2 CentrodeGravidadeOcentrodegravidadedeumasuperfcieplanade areaAilustradanaFiguraD.2 edenido comosendoopontoCGdecoordenadasxGeyGdadasporxG=MsyA, (D.9)yG=MsxA, (D.10)D.2. CentrodeGravidade D-3sendo MsxeMsyosmomentosest aticosda superfcie comrela caoaoseixoxey,respectivamente,e A eareadasecaotransversal.FiguraD.3: Centrodegravidadedeumaareaplana.Dada uma superfcie plana de area A,adota-se o seguinte procedimento para determinar o seu centrodegravidade:1. Escolhe-se um sistema de referencia convenientepara o calculo do CG. Por exemplo, se a superfcieesimetrica,deve-secolocarosistemadereferenciaaolongodasimetria.2. Calculam-seosmomentosestaticosMsx=_AydAeMsy=_AxdA.3. Determinam-seascoordenadasdocentrodegravidadexG=MsyAeyG=MsxA.ExemploD.3DeterminarocentrodegravidadedasuperfciedaFiguraD.2(a).Nestecaso, osdoisprimeirospassosdoprocedimentoanteriorjaforamefetuadosnoexemploD.1.Adotou-se o sistema de coordenadasxy conforme ilustrado na Figura D.2(a) e calcularam-se os momentosestaticosMsxeMsy. Lembrandoquea areadoret anguloeA=bh, bastaagoraempregarasequac oes(D.9)e(D.10)paraobterascoordenadas(xG, yG)docentrodegravidade. Logo,xG=MsyA=hb22bh=b2,yG=MsxA=bh22bh=h2.

Pode-secalcularosmomentoestaticosMsxeMsyapartirdadeni c aodocentrodegravidadedadaem (D.9) e (D.10)conforme ilustrado na Figura D.2. Para isso, considere uma superfcie plana de area Aedoiseixosortogonaisxeydeseuplano. Supondo quese conhe capreviamenteaposicaodo seucentrodegravidade,calculam-seMsxeMsyapartirde(D.9)e(D.10)comoMsy= AxG, (D.11)Msx= AyG. (D.12)Logo, aseguintedeni caoevalida: omomentoestaticodeumasuperfciedeareaAcomrelac aoaumeixoqualquerdeseuplanoeigualaoprodutoda areaAdasuperfciepeladistanciadoseucentrodeD.2. CentrodeGravidade D-4gravidade ao eixo de interesse. Por exemplo, tomando-se o retangulo da Figura D.4, os momentos estaticosMsxeMsysao dadospelo produto da areaA = bhdo retangulo,respectivamente,pelasdistanciasc + h2ea +h2docentrodegravidadedoret anguloaoseixosxey,ouseja,Msx= bh[c +h2],Msy= bh[a +h2].FiguraD.4: Calculodomomentoestaticoapartirdadenicaodocentordegravidade.Uma propriedade do momento estatico e a seguinte: o momento estatico de uma superfcie com rela c aoaumeixoquepassapeloseucentrodegravidadeezero,einversamenteseomomentoest aticodeumasuperfciecomrela c aoaumeixoezero, esteeixopassapeloseucentrodegravidade. EstapropriedadeestailustradanaFiguraD.5paraasduassuperfcies. Paraa areadaFiguraD.5(a),oeixorpassapeloCGeomomentoest aticoemrelacaoarseranulo,ouseja,Msr= A(0) = 0.NocasodasuperfciedaFiguraD.5(b), osmomentosestaticosemrela caoaoseixosretseraodadospeloproduto da areaApelasrespectivasdist anciasdredtdoCGda areaaoseixosret. Portanto,Msr= Adr,Mst= Adt.Porsuavez, comooeixoupassapeloCGdase cao, omomentoestaticoemrelacaoaexteeixoenulo,isto e,Msu= 0.ExemploD.4Determinarocentrodegravidadeparaoperl TilustradonaFiguraD.6. Nestecaso,considera-seoperl Tcomoconstitudodosret angulos1e2mostradosnaFiguraD.6.Osistemadecoordenadasecolocadodetal formaqueoeixoysejaumeixodesimetriadasec ao.Logo,acoordenadaxGdocentrodegravidadeenula,ouseja,xG=MsyA=0A= 0.Assim,oCGsempreestaraaolongodeumeixodesimetria.D.2. CentrodeGravidade D-5(a)EixorpassapeloCG. (b) Eixos r e t nao passam peloCG.FiguraD.5: Centrodegravidadedeumaareaplana.Para o calculo de yG,emprega-se(D.12). Observa-se que a areaA e o momentoestatico Msxda se c aosaodadospelasomadas areasemomentosestaticosdosdoisretangulos. Portanto,A = A1 + A2,Msx= (Msx)1 + (Msx)2FiguraD.6: PerlT.DaFiguraD.6,vemqueA = (8)(2) + (2)(5) = 26cm2,Msx= A1d1 + A2d2= (8)(2)(6) + (2)(5)(2, 5)= 121cm3.Portanto,yG=MsxA=12126= 4, 65cm.

D.2. CentrodeGravidade D-6FiguraD.7: PerlL.ExemploD.5DeterminarocentrodegravidadeparaasuperfciedaFiguraD.7.Neste caso,os eixos x e ydo sistema de referencia adotadon ao s ao eixos de simetria. Deve-se, entao,calcular as duas coordenadas(xG, yG) do centro de gravidade. Novamente, a area e os momentos estaticossaodadospelasomadasrespectivas areasedosmomentosestaticosdosret angulos1e2ilustradosnaFiguraD.7.ParaocalculodexG,emprega-se(D.11),sendoA = A1 + A2= (1)(8) + (5)(1) = 13cm2,Msy=_Msy_1 +_Msy_2= (1)(8)(0, 5) + (5)(1)(3, 5)= 21, 5cm3.Logo,xG=MsyA=21, 513= 1, 65cm.DeformaanalogaparayG,tem-sequeMsx= (Msx)1 + (Msx)2= (1)(8)(4) + (1)(5)(0, 5)= 34, 5cm3.Portanto,yG=MsxA=34, 513= 2, 65cm.

ExemploD.6DeterminarocentrodegravidadedasuperfcieilustradanaFiguraD.8.AdotandoosistemadereferenciaxydaFiguraD.8, deve-secalcularasduascoordenadas (xG, yG)docentrodegravidade. ParaocalculodexG,observa-sequeA = A1 + A2 + A3= (5)(1) + (10)(1) + (5)(1) = 20cm2,Msy=_Msy_1 +_Msy_2 +_Msy_3= (1)(5)(0, 5) + (1)(10)(6) + (1)(5)(11, 5)= 120cm3.Logo,xG=MsyA=12020= 6cm.D.3. MomentodeInercia D-7FiguraD.8: PerlU.DeformaanalogaparaocalculodeyG,vemqueMsx= (Msx)1 + (Msx)2 + (Msx)3= (1)(5)(2, 5) + (1)(10)(0, 5) + (1)(5)(2, 5)= 30cm3.Portanto,yG=MsxA=3020= 1, 5cm.

D.3 MomentodeInerciaConsidere uma superfcie plana de area A e dois eixos ortogonais x e y de seu plano. Seja dA um elementode superfcie genericamente posicionado com relacao ao sistema de referencia conforme ilustrado na FiguraD.1.Dene-seo momento de inerciade um elementode superfcie de area dAcom relacaoaoseixosx e y,respectivamente,pordIx= y2dA, (D.13)dIy= x2dA. (D.14)Apartir da, omomentodeinerciadeareacomrelacaoaos eixos xeysaodadospelaseguintesintegraisIx=_Ay2dA, (D.15)Iy=_Ax2dA. (D.16)ExemploD.7Determinar os momentos de inerciaIxGeIyGemrelacaoaos eixos quepassampelocentrodegravidadedoretangulodaFiguraD.2(b).Paraoc alculodeIxGemprega-se(D.15)eoelementode areadA = bdymostradonaFiguraD.2(a).Logo,IxG=_Ay2dA = b_+h2h2y2dy =b3y3|+h2h2=b3__h2_3_h2_3_ =bh312. (D.17)D.3. MomentodeInercia D-8Analogamente, utiliza-se(D.16)paradeterminarIyGeoelementode areadA=hdxilustradonaFiguraD.2(a). Portanto,IyG=_Ax2dA = h_+b2b2x2dx =h3x3+b2b2=h3__b2_3_b2_3_ =hb312. (D.18)Adimensaoquevaiaocuboesempreaquelacortadapeloeixoemrelacaoaoqualest asecalculandoomomentodeinerciadoret angulo.

D.3.1 TeoremadosEixosParalelosOteoremadoseixosparalelosoudeSteiner eoseguinte: omomentodeinerciadeumasuperfcieplanadeareaAcomrelac aoaumeixoqualquerdeseuplanoeigualaomomentodeinerciadasuperfciecomrelac ao ao eixo que passa pelo seu centro de gravidadee e paraleloao eixo anterior mais o produtoda areaAdasuperfciepeladistanciaentreoseixosaoquadrado. Tomando-seasuperfcieilustradanaFiguraD.9,omomentodeinerciaemrelacaoaoeixoredadopelasomadomomentodeinerciaemrelac aoaoeixorG, quepassapeloCGdasuperfcieeeparaleloar, maisoprodutoda areaApeloquadradodadist anciaentreoseixosrerG. Logo,Ir= IrG + Ad2r.Analogamente,paraoeixos,tem-sequeIs= IsG + Ad2s.FiguraD.9: Teoremadoseixosparalelos.ExemploD.8Determinar os momentos de inerciaIxGeIyGemrelacaoaos eixos quepassampelocentrodegravidadedoperl TdaFiguraD.10(a).Deformaanalogaaosmomentosestaticos, osmomentosdeinerciadase caos aodadospelassomasdosrespectivosmomentosdeinerciasdosret angulos1e2ilustradosnaFiguraD.10(a).Logo,nocalculodeIxGvemqueIxG= (IxG)1 + (IxG)2.Paracalcular(IxG)1e(IxG)2,emprega-seoteoremadoseixosparalelos, ouseja,D.3. MomentodeInercia D-9(a)PerlT. (b)PerlU. (c)PerlL. (d)PerlI.FiguraD.10: Calculodemomentodeinercia.(IxG)1=(8)(2)312+ (8)(2)(6 4, 65)2= 34, 5cm4,(IxG)2=(2)(5)312+ (5)(2)(4, 65 2, 5)2= 67, 1cm4.Logo,IxG= 34, 5 + 67, 1 = 101, 6cm4Paraoc alculodeIyG,observa-sequeIyG= (IyG)1 + (IyG)2=(8)3(2)12+(2)3(5)12= 85, 3 + 3, 3 = 88, 6cm4.

ExemploD.9Determinar os momentos de inerciaIxGeIyGemrelacaoaos eixos quepassampelocentrodegravidadedasuperfciedaFiguraD.10(b).NocasodeIxG,verica-sequeIxG= (IxG)1 + (IxG)2 + (IxG)3 .Osmomentosdeinerciadecadaumdos3ret anguloss aocalculadosutilizando-seoteoremadoseixosparalelos, ouseja,(IxG)1=(5)3(1)12+ (5)(1)(2, 5 1, 5)2= 15, 4cm4,(IxG)2=(5)3(1)12+ (5)(1)(2, 5 1, 5)2= 15, 4cm4,(IxG)3=(1)3(10)12+ (10)(1)(1, 5 0, 5)2= 10, 8cm4.Logo,IxG= (IxG)1 + (IxG)2 + (IxG)3= 41, 6cm4.D.3. MomentodeInercia D-10Porsuavez,IyGedadoporIyG= (IyG)1 + (IyG)2 + (IyG)3 .Utilizandooteoremadoseixosparalelos(IyG)1=(1)3(5)12+ (1)(5)(6 0, 5)2= 151, 7cm4,(IyG)2=(1)3(5)12+ (1)(5)(6 0, 5)2= 151, 7cm4,(IyG)3=(10)3(1)12+ (10)(1)(0, 65 0, 5)2= 83, 5cm4.Logo,IyG= (IyG)1 + (IyG)2 + (IyG)3= 386, 9cm4.

ExemploD.10DeterminarosmomentosdeinerciaIxGeIyGemrelac aoaoseixosquepassampelocentrodegravidadedasuperfciedaFiguraD.10(c).Deformaanaloga, aosexemplosanteriores, tem-separaIxGIxG= (IxG)1 + (IxG)2,sendo(IxG)1=(8)3(1)12+ (1)(8)(4 2, 65)2= 57, 3cm4,(IxG)2=(1)3(5)12+ (5)(1)(2, 65 0, 5)2= 23, 5cm4.Logo,IxG= 80, 8cm4.Analogamente,paraIyGIyG= (IyG)1 + (IyG)2 ,sendo(IyG)1=(1)3(8)12+ (1)(8)(1, 65 0, 5)2= 11, 3cm4,(IyG)2=(5)3(1)12+ (1)(5)(3, 5 1, 65)2= 27, 5cm4.Portanto,IyG= 38, 8cm4.

D.3. MomentodeInercia D-11ExemploD.11DeterminarIxGeIyGparaasuperfciedaFiguraD.10(d).Inicialmente,calculam-seascoordenadasdocentrodegravidade. Logo,yG=MsxA=(Msx)1 + (Msx)2 + (Msx)3A1 + A2 + A3.SubstituindoosvaloresvemqueyG=(5)(25)(2, 5) + (5)(30)(20) + (5)(30)(37, 5)(5)(25) + (5)(30) + (5)(30)=38937, 5425= 21, 0cm.AcoordenadaxGezero,poisoasec aoesimetricaemrelac aoaoeixovertical adotado.OmomentodeinerciaIxGedadoporIxG= (IxG)1 + (IxG)2 + (IxG)3 .Peloteoremadoseixosparalelos(IxG)1=(5)3(25)12+ (5)(25)(21, 03 2, 5)2= 43180, 53cm4,(IxG)2=(30)3(5)12+ (5)(30)(21, 03 20)2= 11409, 14cm4,(IxG)3=(30)(5)312+ (3)(50)(37, 5 21, 03)2= 41001, 63cm4.Logo,IxG= 95591, 31cm4.Finalmente,omomentodeinerciaIyGedadoporIxG= (IxG)1 + (IxG)2 + (IxG)3=(25)3(5)12+(5)3(20)12+(25)3(5)12= 18072, 92cm4.