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Möglichkeiten der numerischen
Lösung der Navier-Stokes-
Gleichungen am Beispiel einer
inkompressiblen Strömung über eine
rückspringende Stufe
Bingen, 11.01.2016
Dr. rer. nat. Frank Morherr
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Die Navier-Stokes-Gleichungen
Claude Louis Marie Henri Navier
• Geboren 1785 in Dijon
• Ingenieurstudium an der École
Polytechnique, Freundschaft mit
seinem Lehrer Fourier
• Betont die Bedeutung der Mathematik
und Physik für das Ingenieurstudium
• Arbeiten u.a. über Flüssigkeiten,
Eisenbahn, Konstruktion von
Hängebrücken
• Gestorben 1836 in Paris
George Gabriel Stokes
• Geboren 1819 in Skreen, Irland in
ärmlichen Verhältnissen.
• Vater und alle Brüder Pfarrer, Mutter
Pfarrerstochter
• mit 18 J. Studium an der Universität
Cambridge
• mit 23 J. ”On the steady motion of
incompressible fluids”
• mit 30 J. ”Lucasian Professor“ in
Cambridge. Übt großen Einfluss auf
Maxwell aus.
• Gestorben 1903 in Cambridge
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Die Navier-Stokes-Gleichungen
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Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
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Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
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Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
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Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
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Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
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Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
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Anfangsbedingungen
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Anfangsbedingungen
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Computational Fluid Dynamics (CFD)
• numerische Strömungsmechanik (computational fluid dynamics, CFD) ist
Methode der Strömungsmechanik
• Ziel: strömungsmechanische Probleme approximativ mit numerischen
Methoden zu lösen
• Benutzte Modellgleichung: Navier-Stokes-Gleichungen, Euler-Gleichungen
oder Potentialgleichungen
• wichtige Probleme wie zum Beispiel die Berechnung des
Widerstandsbeiwerts und andere Simulationen führen sehr schnell zu
nichtlinearen Problemen, die nur in Spezialfällen exakt lösbar sind
• Die numerische Strömungsmechanik ist kostengünstige Alternative zu
Versuchen im Windkanal oder Wasserkanal
• Experimentelle Untersuchungen sind nicht bei allen Strömungen möglich
zu heiß, chemisch aggressiv
Strömungssensoren können Messergebnisse verfälschen
Berührungslose Strömungstechniken nicht immer einsetzbar
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Navier-Stokes Gleichungen sind nur in Spezialfällen analytisch
lösbar
→ numerische Approximation der Lösung
Benutzung von Diskretisierungsmethoden, mit denen die
Differentialgleichungen durch ein System von algebraischen Gleichung
approximiert werden können, welches auf einem Computer gelöst
werden kann
• Finite Differenzen (FD)
• Finite Volumen Methoden (FVM)
• Finite Elemente Methoden (FEM)
Numerische Methoden
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Konvergenz:
• Diskrete Lösung konvergiert gegen die exakte Lösung, wenn
die Gitterabstände gegen Null gehen
• Lax Äquivalenzsatz (for lineare Probleme): Der Satz bedeutet, dass die erwünschte Konvergenz der Lösung der
Finite-Differenzen-Methode für die Lösung der partiellen Differentialgleichung nur sehr schwer feststellbar ist, da die numerische Lösung rekursiv definiert ist. Jedoch ist die Konsistenz der Methode, d.h. dass die numerische Methode die Differentialgleichung approximiert, einfach zu überprüfen und Stabilität ist üblicherweise viel einfacher zu zeigen als die Konvergenz (dies würde ohnehin nachzuweisen sein, um zu zeigen, dass Rundungsfehler die Lösung nicht verfälschen). Daher wird Konvergenz üblicherweise über den Äquivalenzsatz gezeigt.
Konsistenz + Stabilität = Konvergenz
• Für nichtlineare Probleme: Wiederholung der Rechnungen in
sukzessive verfeinerten Gittern um sicherzustellen, dass die
Lösung nicht von der Art des Gitters abhängt
Numerische Methoden, Eigenschaften
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Gitter
• Strukturierte Gitter
• An alle Knoten stößt dieselbe Anzahl
von Elementen
• Nur für einfache Gebiete
• Unstrukturierte Gitter
• Für alle Geometrien
• irreguläre Datenstruktur
• Block-strukturierte Gitter
Numerische Methoden, Gitter
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Navier-Stokes-Gleichungen differentielle
Form
Zur Berechnung Umwandlung in integrale Form sinnvoller
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Finite Volumen I Allgemeine Form der Navier-Stokes Gleichung
q
xU
xt i
i
i
TU j ,,1
S
i
V i
dSndVx
Integration über das
Kontroll-Volumen(CV)
Lokale zeitliche Änderung Fluss Quelle
VS
i
i
i
V
dVqdSnx
UdVt
Integrale Form der Navier-Stokes Gleichung
Lokale Änderung In der Zeit im CV
Fluss durch
die Oberfläche des
Kontrollvolumens
Quelle CV
Finite Volumen Methode
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Finite Volumen II
Massenerhaltung in der Finite Volume Methode
VS
i
i
i
V
dVqdSnx
UdVt
A B
A B
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Finite Volumen III
;VdVm p
Vi
Approximation der Volumen-Integrale
PU
eU
EU
Interpolation
0)( if
0)( if
eE
eP
e
nUU
nUUU
Upwind
Central
PE
PeeePeEe
xx
xxUUU
)1(
wesnkSPdSPdVP k
k
kSV ii
,,,
Approximation der Oberflächen-Integrale
( Mittelpunkts-Regel)
VudVumu PP
V
ii
i
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Startpunkt: Integral-Form der stationären Transport-Gleichung
Kontroll-Volumen
CV
Finite Volumen Methode
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Approximation der Volumen-Integrale
Einfachste Approximation:
• exakt falls q konstant oder linear ist
Interpolation benutzt Werte von q an mehreren Punkten
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Nettofluss durch den Rand des Kontrollvolumens CV ist die
Summe der Integrale über die Seitenflächen
• Geschwindigkeitsfeld und Dichte werden als bekannt
angenommen
• ist die einzige unbekannte Größe
• Wir betrachten z.B. die Seitenfläche nach Osten
Approximation der Oberflächen-Integrale
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Werte von f an der Oberfläche die nicht bekannt sind → Interpolation
Möglichkeiten der Approximation
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Möglichkeiten der Interpolation
Quadratic Upwind Interpolation (QUICK)
Interpolation durch eine Parabel: drei Punkte sind notwendig
P, E und Punkt in der vorhergehenden Seite
• g sind die Koeffizienten in den Termen der
Knotenkoordinaten
• dritte Ordnung
Central Differencing Scheme (CDS)
• Lineare Interpolation zwischen nächsten Knoten
• zweite Ordnung
• kann oszillierende Lösungen produzieren
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Fluid-Element
Infinitesimales Fluid-Element
6 Seitenflächen: Nord, Süd, Ost,
West, Oben, Unten
Fluidelement transportiert bei seiner Bewegung Erhaltungsgrößen wie
Masse, Impuls, Energie von der ursprünglichen Lage in die neue Lage
Systematisches Erfassen der Änderungen in der Masse, des
Impulses und der Energie des Fluid-Elements durch den Fluss
durch die Oberfläche und die Quellen im Innern des Elements
→ Fluss-Gleichungen des Fluids
Vorteil der FVM zur FDM und FEM: konvektive und diffusive Flüsse auf
den Seitenflächen jeder Zelle werden im Rechengitter explizit ausgewertet
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Transport-Gleichung
Integration der Transport-Gleichung über ein Kontroll-Volumen
Integraldarstellung
Unter Benutzung des Gaußschen Satzes:
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Diskretisierung der Kontinuitätsgleichung
0P P N N S S W W E Ea u a u a u a u a u
Ein Kontroll-Volumen
11 12 1 1
21 22 23 2, 1 2
1 1, 1
1,2 ,
1, 1 1, 2 1, 1 1, 1
, , 1
0
0
. . . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . . .
l
l
k l n
k l n
n n k n n n n n n n
n n k n n nn n
a a a u
a a a a u
a a
a a
a a a a u
a a a u
.
.
.
0
0
Gesamtes Gebiet
→ Lineares Gleichungssystem zu lösen
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Iterative Methoden (sinnvoll, da bei Strömungsproblemen oft keine
dünne Besetzung)
Jacobi-Methode
Gauss-Seidel-Methode
Sukzessive Over-Relaxation (SOR)
Konjugierte-Gradienten-Method (CG)
Mehrgitter-Methoden
- wiederholte Anwendung eines einfachen Algorithmus
- keine Garantie, dass das Verfahren konvergiert
- nur Koeffizienten, die nicht Null sind, müssen gespeichert werden
Direkte Methoden (nur sinnvoll bei dünner Besetzung)
Gauß-Elimination
LU-Zerlegung
Tridiagonal-Matrix-Algorithmus (TDMA)
Lösung des Linearen Gleichungssystems
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Finite Volumen Diskretisierung der
inkompressiblen Navier-Stokes Gleichung 0
( ) 0
h
hh h h h
Mu
duC u u Du Mq
dt
Konvektion Diffusion
),(
)(
1
1
n
h
n
h
n
hn
h
uuf
uf
dt
du
Zeit-Diskretisierung
Explizit
Implizit
Quelle Zeitabhängigkeit
(Zeit-Diskretisierung)
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Für nichtstationäre Flüsse: Anfangswertproblem
• f diskretisieren und Finite-Volume-Methode verwenden
• Zeitintegration wie in einer gewöhnlichen Differentialgleichung
Das Integral auf der rechten Seite wird numerisch ausgewertet.
Diskretisierung der Zeit
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Diskretisierung der Zeit
• Explizites Eulerverfahren: Ordnung
• Implizites Eulerverfahren: Ordnung
• Mittelpunktsmethode: explizit, Ordnung
• Crank-Nicolson-Methode (Trapezregel): implizit, Ordnung:
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• Wand : kein Fluid dringt durch die Wände
No-slip, Fluid ist an der Wand in Ruhe
Free-slip, keine Haftung an der Wand
• Inflow (inlet): Konvektiver vorgeschriebender Fluss
• Outflow (outlet): Konvektiver Fluss unabhängig von den
Koordinaten und senkrecht zum Rand
• Symmetrie (Rotationssymmetrie,Achsensymmetrie)
Randbedingugen
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Typische Randbedingungen No-slip(Wand), axialsymmetrisch, Inlet, Outlet, periodisch
Inlet ,u=c,v=0
o
No-slip walls: u=0,v=0
v=0, dp/dr=0,du/dr=0
Outlet, du/dx=0 dv/dy=0,dp/dx=0
r
x Axialsymmetrisch Periodische
Randbedingung in Spannweiten-Richtung eines Flügels
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• Die Finite-Volumen-Methode benutzt die Integralform der
Transportgleichung
• Das Gebiet wird in Kontrollvolumina unterteilt (CV)
• Oberflächen- and Volumenintegrale werden durch ein
numerisches Quadraturverfahren ausgewertet
• Interpolation wird benutzt, um die Werte von Variablen auf CV
Seiten mit den Werten an den Knoten auszudrücken
• Das Resultat ist eine algebraische Gleichung in Kontrollvolumina
• Anwendbar für jede Art von Gitter
• Erhaltend durch Konstruktion
• Kommerzielle Programme: CFX, Fluent, Phoenics, Flow3D
Zusammenfassung Finite Volumen Methode
You Tube Video: Finite Volume Method
(Control Volume Approach)
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Beispiel einer rückspringenden Stufe mit
ANSYS-FLUENT
Konstruktion der Geometrie mit FLUENT oder anderen kompatiblen
Programmen
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Konstruktion der Geometrie und des Gitters
Gittererzeugung mit FLUENT oder anderen kompatiblen Programmen
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Simulationen mit Fluent
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• Die sich abgelöste Scherschicht stromab der Stufe weitet sich allmählich auf und legt sich wieder an die Kanalwand an
• Innerhalb des Rezirkulationsgebiets sind weitere sekundäre Strukturen zu erkennen, die physikalisch nicht zu begründen sind
Unzureichende Beschreibung der Turbulenz im Rezirkulationsgebiet durch das gewählte Turbulenzmodell
• Der Wiederanlegepunkt A ergibt sich aus dem Nulldurchgang des Geschwindigkeitsprofils und kann sofort abgelesen werden
Diskussion und Probleme einer Simulation
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Simulation mit OpenFOAM
• In der Nähe der Stufe ergibt sich das dargestellte Geschwindigkeitsfeld.
Abgelöste Scherschichtstromabwärts der Stufe legt sich wieder an die
untere Kanalwand an
• Auch hier sind weitere Strömungsmuster im Rezirkulationsgebiet zu
sehen
Fazit
• Das mit DFD-Simulation ermittelte Strömungsfeld zeigt den erwarteten Verlauf
mit der abgelösten, sich aufweitenden, freien Scherschicht
• Quantitativ weicht der numerisch ermittelte Wiederanlegepunkt um etwa 15%
vom experimentell ermittelten Wert ab
• typischer Fehler für CFD-Simulationen mit Turbulenzmodellen ohne geeignete
Anpassung der Modellkonstanten
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